51. 153. (Octubre 2017) Magia cibernética

Pulsa en la imagen para ir al juego.

Domingo, 01 de Octubre de 2017 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

52. 152. (Septiembre 2017) Topología

Nos topamos de nuevo con la topología. ¡Quién diría que esta abrupta especialidad matemática tiene una gran colección de seguidores, involuntarios la mayoría, en el mundo de la magia! Como ya apuntábamos en la entrega de diciembre de 2015, "Las bandas afganas" es el nombre de uno de los juegos clásicos que sigue formando parte del repertorio habitual de muchos magos y consiste simplemente en aprovecharse de algunas propiedades topológicas de la banda de Möbius. Una extensa relación de bibliografía sobre este juego está recopilada por Peter Prevos en la página Magic Perspectives. El juego que presentamos este mes es especial por dos razones: está basado de forma inesperada y original en la banda de Möbius y fue ideado por una maga muy polifacética y poco conocida. Terri Rogers nació en mayo de 1937 en Ipswich (Inglaterra) con el nombre de Ivan Southgate. En la década de los 50 se hizo muy famoso con su número de ventriloquía presentando a su muñeco parlante Shorty Harris (aún se puede conseguir su folleto titulado "The little book of ventriloquism"). A principios de los años 60 se sometió a una operación de cambio de sexo adoptando desde entonces el nombre de Terri Rogers. Una de las grandes aficiones -y ocupaciones- de Terri Rogers fue la magia. Algunas de sus invenciones fueron puestas en escena por David Copperfield y Paul Daniels y sus ideas mágicas se plasmaron en varias publicaciones, entre las que destacaremos la trilogía Secrets (1986), More Secrets (1988) y Top Secrets (1998). Todavía se conserva un video -y puede verse en YouTube- donde Terri Rogers realiza el juego de la disminución de las cartas. Pero la razón por la que su nombre aparece en este rincón es su gusto por la Topología, ya que sus más famosas creaciones consiguen poner en entredicho algunas propiedades en las que se basa esta especialidad matemática. Veamos algunos ejemplos: - Uno de sus trucos más difundidos es el llamado Stargate, donde dos cartas que están unidas de cara se pueden dar la vuelta y quedar unidas por el dorso. Todo un reto a la topología. - En el mercado mágico se puede adquirir el juego titulado Blockbuster, donde una anilla es capaz de atravesar una cuerda por el centro, algo que no permiten las leyes topológicas. - Una disposición de tres anillos o aros que tienen la curiosa propiedad de que el conjunto está enlazado (ninguno se puede desenlazar del resto) pero al cortar uno cualquiera de ellos quedan todos sueltos recibe el nombre de anillos de Borromeo, tal como los bautizó Ralph Fox en su artículo "A quick trip through knot theory" de 1962. El juego de magia titulado "Immaculate Connection" de Paul Harris recrea esta disposición utilizando cartas perforadas. El juego se hizo famoso gracias a la interpretación televisiva por parte de David Copperfield y Terri Rogers creó una versión diferente titulada precisamente "The boromian link". Volvamos con el juego prometido. Como ya hemos adelantado, se trata de una variación de las bandas afganas, pero utilizando una hoja de papel "normal", sin giros ni recortes. Recibe el nombre de "carrera de ribetes afganos" y puede presentarse como un juego de adivinación o simplemente como prueba de velocidad y precisión. En las imágenes se muestran dos cuadros, representando a los matemáticos August Möbius y Johann Listing. Cada uno de los cuadros está adornado con un reborde ribeteado formado por dos largas tiras entrecruzadas a modo de arabesco. Imprime ambos cuadros, entrega uno a cada uno de dos espectadores y les propones una carrera, con las siguientes reglas: - Deben elegir un punto de partida, por ejemplo el punto rojo señalado en cada cuadro. - A tu señal, deben ir dibujando con un lápiz una línea continua siguiendo el camino. - Durante el recorrido, pueden pasar sobre el otro camino pero no cambiar de pista, como se ve en la figura. - El primero que llegue de nuevo al punto de partida es el ganador. Si sabes de antemano quién será el ganador, puedes hacer la predicción antes de empezar la carrera. Para terminar, proponemos un reto que presenta algunas similitudes con el juego anterior: en la figura se ven dos espirales, una de las dos está formada por una sola cuerda con los extremos unidos y la otra está formada por dos cuerdas que tienen también los extremos unidos. ¿Sabrías distinguirlas a simple vista? ¿Sabes que la solución está íntimamente relacionada con un resultado matemático muy complejo conocido como el teorema de la curva de Jordan? Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Jueves, 07 de Septiembre de 2017 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

53. 151. (Julio 2017) CONCURSO DEL VERANO 2017: La ruleta de colores

No abandonamos todavía el principio de paridad y sus sin-cuenta variantes, aplicaciones y consecuencias que hemos venido desarrollando a lo largo del tiempo en este rincón. Así como quienes nos dedicamos a las matemáticas manejamos constantemente la dualidad «número par-número impar» y quienes nos dedicamos a la magia con cartas realizamos juegos en los que se pone de manifiesto la distinción «carta roja-carta negra», también quienes se dedican a la ruleta tienen presente a menudo la doble dualidad «rojo-negro» y «par-impar». Es bien sabido que, si nos olvidamos del cero o doble cero que están reservados astutamente para aumentar las ganancias del casino, los 36 números que forman una ruleta están igualmente distribuidos: 18 son rojos y 18 son negros pero también 18 son pares y 18 son impares. Curiosamente, aunque por razones obvias, la mitad de los números pares son rojos y la mitad son negros (por supuesto, la misma separación ocurre con los impares). Esto permite que las apuestas sean "equitativas" pues la probabilidad de acertar al rojo es la misma que la de acertar al negro pero también la probabilidad de acertar al negro-impar es la misma que la de acertar al negro-par, al rojo-impar y al rojo-par. En lo que respecta a los colores, una baraja se comporta como una ruleta: la mitad de las cartas son rojas y la mitad son negras. No podemos extender el paralelismo a otros aspectos, pues si asignamos el valor 11 a la Jota, el valor 12 a la Dama y el valor 13 al Rey, evidentemente hay más cartas impares que pares. Sin embargo, la distinción de la baraja en cuatro palos permite realizar otra clasificación equitativa: las cartas de picas y corazones pueden jugar el papel de pares y las de diamantes y tréboles el papel de impares. Como en ocasiones anteriores, la distinción en colores bastará para nuestros propósitos. Aprovechando la llegada del verano, damos la palabra a nuestros lectores y proponemos un nuevo concurso, relacionado con el tema de las apuestas sobre los colores de las cartas. En las siguientes líneas, describiremos un juego de magia, en el que el mago es capaz de predecir los colores de las cartas en diferentes circunstancias, y dejaremos que trates de deducir cómo puede conseguirlo. Sigue cuidadosamente los pasos y descubre la explicación llenando las lagunas que hemos dejado. Se necesita una preparación previa de la baraja: debe estar ordenada de modo que los colores queden alternados, roja-negra-roja-negra-..., no importa si se empieza por negra o por roja. PRIMERA FASE El mago entrega la baraja a un espectador y le pide que corte y complete el corte. A continuación, el espectador reparte las dos primeras cartas, caras hacia arriba, sobre la mesa. Elige cualquiera de ellas y la inserta cara arriba en cualquier lugar de la baraja, que por supuesto está cara abajo. De esta forma se simula una apuesta de color en una ruleta. El espectador ahora reparte las dos primeras cartas de la parte superior y las coloca en la parte inferior, en su mismo orden (siguiendo con la analogía, empieza a girar la ruleta). Repite el reparto hasta que una de las dos cartas esté cara arriba. Deja sobre la mesa esta pareja de cartas. Antes de realizar dicho reparto, el mago es capaz de adivinar si dichas cartas son del mismo color o no. ¿Cómo puede saber el mago si las dos cartas son del mismo o de diferente color? El experimento se realizará una vez más pero, esta vez, el mago escribe la predicción antes de empezar el proceso. Luego retira las dos cartas que el espectador había repartido inicialmente, pues ya no se utilizarán, y coloca sobre la baraja la carta restante. SEGUNDA FASE Una vez escrita la predicción por el mago, el espectador recoge las cartas, corta y completa el corte. A continuación, el espectador retira la carta superior o la inferior de la baraja (la que él quiera), la gira cara arriba y la inserta en cualquier lugar de la baraja. De nuevo, el espectador reparte las dos primeras cartas de la parte superior y las coloca en la parte inferior, en su mismo orden. Repite el reparto hasta que una de las dos cartas esté cara arriba. Deja sobre la mesa esta pareja de cartas. Se mira si son del mismo color o no y se comprueba el acierto del mago. ¿Cuál ha sido la predicción del mago y cómo ha podido acertar de nuevo? La tercera fase del experimento es más sorprendente aún. El mago escribe otra predicción y el espectador recibe de nuevo la baraja de la que se han retirado también las dos cartas de la mesa. TERCERA FASE El espectador coloca las cartas a su espalda, corta y completa el corte. Luego, toma la carta inferior, la gira cara arriba y la inserta en algún lugar de la mitad superior de la baraja. Después, toma la carta superior, la gira cara arriba y la inserta en cualquier lugar de la mitad inferior de la baraja. Por último, el espectador coloca la baraja a la vista, reparte las cartas de dos en dos desde la parte superior hasta que una de las dos cartas esté cara arriba. Deja esa pareja sobre la mesa y sigue repartiendo de dos en dos hasta que aparezca la segunda carta cara arriba. Deja la segunda pareja junto a la primera. Se mira si alguna de las parejas son del mismo color o no y se comprueba el tercer acierto del mago. ¿Cuál ha sido esta doble predicción del mago? ¿Cómo ha podido acertar teniendo el espectador las cartas a su espalda? Como de costumbre, esperamos tu solución (puedes enviarla a pedro.alegria@ehu.es). Entre las respuestas correctas, seleccionaremos las más completas, mejor explicadas, más imaginativas y más originales. La redacción de Divulgamat sorteará un libro de divulgación matemática entre los ganadores. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Sábado, 01 de Julio de 2017 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

54. 150. (Junio 2017) Alternando colores

El concepto de paridad es uno de los más sencillos de explicar y entender pero todavía encierra algunos aspectos misteriosos que no logramos interpretar correctamente. Por una parte, resulta muy fácil distinguir si una cantidad de objetos es par o impar: se van apartando grupos de dos objetos hasta que se acaben todos (en cuyo caso el número era par) o hasta que sobre uno (en cuyo caso el número era impar). Ahora bien, en varias ocasiones han aparecido en este rincón algunas curiosidades sorprendentes relacionadas con la dualidad par-impar: en el número de octubre de 2014 (matemagia 120) podrás encontrar la última aparición del principio y algunas referencias a entregas anteriores, referencias que llegan incluso a la primera entrada de este rincón, allá por el mes de marzo de 2004 (matemagia 1). Volvemos otra vez a tratar este tema introduciendo una variante que ha tenido mucha repercusión en el mundo de la magia y que vuelve a rescatar del anonimato a uno de los personajes más interesantes en el contexto de la magia matemática. Bob Hummer (1906-1981) fue un mago americano de carácter... digamos que peculiar. Ya hemos comentado aquí algunos aspectos de su extravagante personalidad (ver por ejemplo los comentarios expresados en la entrega de julio de 2013, matemagia 107) pero se puede encontrar una descripción más detallada en la introducción del libro de Karl Fulves "Bob Hummer's collected secrets" (1980), escrita por Martin Gardner, gracias a que lo conoció personalmente desde 1940, época en la que ambos vivían en Chicago. En palabras de Martin Gardner, Bob Hummer fue una de las personalidades de la magia moderna más extrañas y originales. Aunque Bob no recibió ninguna formación académica en matemáticas, de hecho en ninguna otra rama de conocimiento, era obvio para cualquier seguidor de sus trucos que fue un genio aplicando a la magia curiosos principios matemáticos, especialmente los relacionados con la dualidad par-impar en el campo de la Combinatoria. Vivió siempre al borde de la miseria pero no perdía ocasión de mostrar su contagioso sentido del humor incluso durante los últimos años de su vida, que pasó "visitando" regularmente hospitales para enfermos mentales. En el campo de la magia no matemática es famoso -y todavía se comercializa de forma regular- su truco "the whirling card" (la carta flotante) que realizaba en sus espectáculos de magia cómica. Pero una de sus contribuciones más fructíferas está relacionada con la magia matemática y comienza en 1942, año en el que publica por primera vez el folleto titulado "Face up face down mysteries", donde se incluyen juegos como "Hummer's 18 card mystery" o "The little moonies" (también descritos en el libro Matemática, magia y misterio de Martin Gardner), los cuales están basados en lo que llamaremos a partir de ahora el principio de Hummer. Para entender este principio, veamos un ejemplo práctico. Así que consigue un grupo de cartas, una cantidad par de ellas, y colócalas de modo que se alternen los colores (no importa si el orden es roja-negra-roja-negra-... o bien negra-roja-negra-roja-...). Con este grupo de cartas en la mano, vas a realizar la llamada mezcla CATTO (acrónimo de la expresión «Cut And Turn Two Over» acuñada por el mago Charles Hudson, aunque ahora es más común llamarla simplemente mezcla CATO). Separa las dos cartas superiores del paquete, gíralas como si fueran una carta y déjalas otra vez sobre el paquete. Corta el paquete por cualquier lugar y completa el corte. Repite los pasos 1 y 2 las veces que quieras. Te quedará un paquete con algunas cartas cara arriba y otras cartas cara abajo. Por último, reparte las cartas en dos montones sobre la mesa, izquierda-derecha-izquierda-derecha-... Gira uno de los dos montones y colócalo sobre el otro. El resultado final es que todas las cartas negras están en un sentido y todas las cartas rojas están en el otro sentido. En el capítulo 1 del libro "Magical mathematics" de Persi Diaconis y Ronald Graham aparece una detallada explicación del principio, ¡hasta con teoremas matemáticos!, y algunos interesantes juegos basados en él. Puedes encontrar otra selección de juegos relacionados con el principio de Hummer en el capítulo 5 del libro "Magia por principios". También hay un video y algunas explicaciones en la página Mathaware dedicada a Martin Gardner. No vamos a repetir aquí ninguno de esos juegos sino a proponer una variante de este principio -una especie de extensión al caso bidimensional- tal como aparece en la columna "Card Colm" de febrero de 2006, mantenida por Colm Mulcahy. Así funciona el juego: El mago entrega la baraja a un espectador para que forme sobre la mesa un rectángulo de cartas, eligiendo libremente qué cartas estarán cara arriba y qué cartas estarán cara abajo. Supongamos, por ejemplo, que el espectador ha decidido colocar 28 cartas en la disposición que se muestra en esta imagen: Con el mago de espaldas, el espectador elige cuatro cartas entre las que están en la mesa que sean vértices de un rectángulo y gira las cuatro cartas, dejándolas nuevamente en su lugar. Siguiendo con el ejemplo, supongamos que el espectador ha seleccionado el rectángulo marcado en la imagen siguiente y ha girado los cuatro vértices, as de picas, tres de trébol, seis de trébol y ocho de picas. El resultado es el mostrado a continuación: El espectador puede repetir dicho proceso todas las veces que quiera, eligiendo otros cuatro vértices de un rectángulo y girando las cartas correspondientes, de modo que es posible que una misma carta se gire varias veces. En nuestro ejemplo, si el segundo rectángulo elegido por el espectador es el que se muestra en la imagen, la nueva disposición de las cartas sería la siguiente: En un determinado momento, el espectador elige una carta del retículo y la gira, recordando de qué carta se trata. Después de ello, puede seguir seleccionando rectángulos de cartas y girando sus cuatro vértices. Por último, el mago se vuelve de cara a la mesa y, de un rápido vistazo, descubre cuál es la carta elegida por el espectador. No vamos a entrar en los detalles de la explicación, pues basta saber que el juego está basado en el principio de paridad. Quizá algún lector pueda también encontrar alguna relación entre este juego y el descrito en la entrada de febrero de 2011 (matemagia 80), no sólo por la presentación y el resultado final sino por la similitud de su funcionamiento. Como ocurre muy a menudo, una combinación de diferentes principios matemáticos permite diseñar juegos de magia más elaborados y sorprendentes. Uno de ellos es el titulado "Grados de libertad", que aparece en el libro Querido Mr. Fantasy de John Bannon y está descrito en el blog magiaporprincipios. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Jueves, 01 de Junio de 2017 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

55. 149. (Mayo 2017) Bamboozlements

Para complementar el tema de los puzles de aparición y desaparición de piezas, iniciado en la entrega de febrero de 2006 (matemagia 25) y mayo de 2008 (matemagia 50) y retomado el mes pasado (matemagia 148), vamos a mostrar otros juegos, esta vez más geométricos, donde tienen lugar aparentes paradojas relacionadas con el «principio de la disposición oculta» de Martin Gardner, citado el mes pasado. Decimos aparentes paradojas porque no lo son en realidad: por definición, una paradoja es una conclusión contradictoria que se llega mediante razonamientos correctos. Lo que mostraremos son más bien falacias, pues serán razonamientos aparentemente correctos que conducen a conclusiones falsas. Además, son más apropiadas para este rincón pues la magia necesita ciertas dosis de engaño. Podemos encontrar una lista inmensa de falacias geométricas, utilizadas a veces para fomentar el razonamiento riguroso que se exige en matemáticas. Varios ejemplos están relacionados con el conocido juego del tangram. Veamos uno de ellos: como se observa en la imagen adjunta, con las mismas siete piezas del tangram se pueden construir tres figuras, pero dos de ellas tienen aparentemente distinta área que la primera. ¿Cómo es posible? Son también divertidas, aunque más difíciles de entender, las demostraciones geométricas del tipo π = 4 o π = 2. Veamos la primera de ellas a partir de las siguientes imágenes: Las tres figuras muestran una circunferencia de diámetro igual a 1 y, por tanto, perímetro igual a π. En la primera figura se dibuja un cuadrado circunscrito de perímetro igual a 4. En la figura central se han eliminado las cuatro esquinas del cuadrado para formar una poligonal cuyo perímetro es también igual a 4. En la figura de la derecha se han eliminado otra vez las ocho esquinas formando una nueva poligonal circunscrita a la circunferencia de perímetro igual a 4. Repitiendo el proceso hasta el infinito, la poligonal tiende a confundirse con la circunferencia. Como el perímetro no cambia en cada paso del proceso, al final se llega a que π = 4. Para probar que π = 2, basta observar las siguientes figuras: La longitud de la semicircunferencia roja, de diámetro igual a dos, es igual a π. La suma de las longitudes de las dos semicircunferencias azules de la primera figura (que tienen diámetro igual a uno) es también igual a π, así como la suma de las longitudes de las cuatro semicircunferencias de la segunda figura, de las ocho semicircunferencias de la tercera figura y así sucesivamente. Al repetir el proceso, las semicircunferencias pequeñas tienden a confundirse con el diámetro horizontal, de longitud igual a dos. Como la suma de sus longitudes de las semicircunferencias en cada paso del proceso es constante, deducimos que π = 2. Los ejemplos anteriores y otros similares son muy interesantes y no es sencillo justificar dónde está el error, pero en esta ocasión nos limitaremos a presentar una pequeña muestra de las llamadas paradojas por disección, en las cuales una figura geométrica cambia de tamaño simplemente al cortarla en piezas y reordenarlas. En el libro de Greg Frederickson titulado Dissections: plane and fancy (1997), el autor propone la siguiente definición: Una región plana recibe el nombre de "bamboozlement" (es engañosa) cuando, al dividirla en piezas y reagruparlas de forma adecuada, se obtienen otras regiones de área aparentemente distinta. Uno de los ejemplos más antiguos corresponde a la llamada paradoja de Hooper, pues aparece en la cuarta edición del libro Rational Recreations de William Hooper, publicado en 1794. Sin embargo, la primera aparición del puzle se encuentra unos años antes en el libro Nouvelles récréations physiques et mathématiques de Edmé Gilles Guyot, del que parece Hooper "se inspiró". La paradoja afirma que 30 = 32 y la demostración consiste simplemente en observar atentamente estas dos imágenes: ¿Está claro, verdad? La figura de la izquierda es un rectángulo de dimensiones 10 x 3, de modo que tiene área igual a 30. Basta intercambiar las posiciones de las piezas C y D para llegar a la figura de la derecha formada por un rectángulo de dimensiones 4 x 5 y otro de dimensiones 6 x 2. El área total es igual a 20 + 12 = 32. Hemos ganado dos unidades cuadradas. La explicación del secreto así como otros ejemplos, con sus justificaciones teóricas, aparecen en el artículo Geometría recortable, publicado en la revista SIGMA, en mayo de 2006, así que no vamos a inundar esta página con juegos similares. Pero sí proponemos un par de engaños geométricos más. En el librito de Jean Jacquelin titulado Pastiches, paradoxes, sophismes, absurdités et autres bizareries, aparece esta otra paradoja, donde se demuestra que 58 = 59 = 60. Observa estas imágenes: Las tres figuras están formadas con las mismas seis piezas. Ahora bien, el área del triángulo de la izquierda es igual a 60 (base igual a 10, altura igual a 12), pero intercambiando algunas piezas se logra formar un triángulo con las mismas dimensiones pero dejando un hueco de área igual a 2, lo que "demuestra" que el área conjunta de las seis piezas es igual a 58. Un nuevo intercambio de piezas da lugar a la figura de la derecha, que tiene área igual a 59 (un rectángulo de dimensiones 7 x 9 con un hueco de área igual a 4). ¿Puedes encontrar la explicación a dicha paradoja? Terminamos con un ejemplo más -más bien un regalo-, encontrado en la página Futility Closet. Consigue una pieza de oro, o del metal precioso que prefieras, digamos que tiene base igual a 10 cm y altura igual a 11 cm. Corta la pieza diagonalmente y desplaza 1 cm hacia arriba uno de los triángulos, como se indica en la imagen. Recorta los dos pequeños triángulos que sobresalen en las esquinas. Al unirlos tendrás un pequeño cuadrado de área igual a uno. Las dos piezas restantes formarán de nuevo un rectángulo con las mismas dimensiones del original, con base igual a 11 cm y altura igual a 10 cm. ¡Has conseguido un beneficio que podrás repetir cada vez que lo necesites! Por último, quiero recomendar el artículo de John Sharp titulado Fraudulent dissection puzzles - a tour of the mathematics of bamboozlements, publicado en la revista Mathematics in school, volumen 31 (2002), donde realiza un estudio matemático de una buena colección de estos puzles. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Miércoles, 03 de Mayo de 2017 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

56. 148. (Abril 2017) La magia de los puzles

No hace demasiado tiempo que se ha popularizado a través de internet una especie de paradoja geométrica en la que se muestra una tableta de chocolate que, por muchas onzas que nos comamos, nunca se acaba (mira, por ejemplo, el artículo "El chocolate infinito" de Marta Macho en el blog ZTFNews). Aparentemente se trata de una ilusión óptica o de una especie de truco de cámara del estilo de los efectos especiales a los que nos tienen acostumbrados los realizadores cinematográficos. Sin embargo, hay varias versiones en las que el truco puede realizarse en directo y están basadas en distintas técnicas que conjugan la magia y la geometría. Ya hemos tratado en este rincón el tema de las paradojas geométricas en las entregas de febrero de 2006 y mayo de 2008 pero, aprovechando que he recibido recientemente un regalo que pertenece a esta categoría y quiero compartirlo con todos los seguidores de este rincón, vamos a realizar un pequeño recorrido histórico por algunos de estos juegos. Aunque no pertenezca a la categoría de mágico, ha formado parte del arsenal de muchos magos por su componente de sorpresa y por precisar una buena dosis de ingenio para resolverlo. Se trata del llamado juego de las mulas de Sam Loyd, registrado en 1871 y vendido al empresario P.T. Barnum, quien distribuyó millones de copias para promocionar su espectáculo circense. El juego consiste en una cartulina como la que se muestra en la siguiente figura (mostramos dos versiones, la izquierda es la imagen original y la derecha una de las muchas variantes que se han ido realizando posteriormente). El desafío consiste en recortar las tres piezas y colocarlas de tal forma que se vea a los dos jinetes montando sobre las mulas. Si no lo conoces, te animo a intentar resolverlo. Comprobarás enseguida que, a pesar de su aparente simplicidad, no es fácil resolverlo. De hecho, no desvelaré la solución para darte la oportunidad de disfrutar con el reto. Como la mayoría de asuntos relacionados con Sam Loyd, el puzle no es completamente de su invención: un modelo simplificado apareció en el libro "The magician's own book", de autor desconocido y publicado en 1857. La imagen muestra dos perros en una postura alicaída y el problema consiste en trazar dos líneas en cada uno para que se vea a los perros corriendo. En la siguiente imagen mostramos la página del libro con el enunciado del problema y una ampliación de la solución.asuntos relacionados con Sam Loyd, el puzle no es completamente de su invención: un modelo simplificado apareció en el libro "The magician's own book", de autor desconocido y publicado en 1857. La imagen muestra dos perros en una postura alicaída y el problema consiste en trazar dos líneas en cada uno para que se vea a los perros corriendo. En la siguiente imagen mostramos la página del libro con el enunciado del problema y una ampliación de la solución. Ahora bien, la idea tampoco era original en ese momento pues ya se conocía en la Edad Media, como se observa en las imágenes que aparecen en esta página. Lo cierto es que la inclusión de los jinetes por parte de Sam Loyd dio un nuevo impulso al juego. Con el fin de reconocer a Sam Loyd en su justa medida, citaremos otro juego de su invención -esta vez todo indica que sí lo fue- relacionado con animales. Una completa descripción, incluyendo el relato de su gestación y realización por parte del autor, se puede encontrar en el acertijo número siete del capítulo 5 del libro "Los acertijos de Sam Loyd", compilados por Martin Gardner y publicado en castellano en 1988. Básicamente consiste en recortar las seis piezas del burrito que aparece en la imagen y recomponerlas para mostrar un pony. En la imagen de la derecha se muestra otra versión del mismo juego en la que se utilizan únicamente tres piezas. La historia de los puzles relacionados con apariciones y desapariciones podría seguir con los famosos juegos de la desaparición de los guerreros chinos, o de los duendecillos llamados leprechauns, o muchos otros similares como los que ya tratamos en el citado RINCÓN MATEMÁGICO 25 de febrero de 2006. Un par de interesantes recopilaciones de algunos de ellos fue realizada por Mariano Tomatis bajo el título "A selection of vanishing puzzles" y "Curse of the crystal skulls and other vanishing area puzzles". Estos y otros trucos geométricos están basados en una propiedad que Martin Gardner bautizó como "principio de la disposición oculta" en el supermegaimprescindible clásico libro "Mathematics, Magic and Mystery". No continuaremos con dicha historia así que vamos a finalizar con el regalo prometido: el secreto de la desaparición de un elefante. El juego fue realizado por primera vez ante más de 5000 espectadores en enero de 1918 por la elefanta Jennie y su ayudante Harry Houdini, uno de los magos más aclamados en el siglo XX. Posteriormente hemos disfrutado de multitud de versiones y adaptaciones, desapariciones de trenes, de aviones, incluso de edificaciones clásicas. La versión que aquí mostramos es más modesta pero no menos sorprendente, pues ocurrirá en tus propias manos. La revista Magic Magazine publicó en septiembre de 2016 el número 301 de su colección, titulado "The final issue" por ser el final de su trayectoria de 25 años, y allí encontramos un artículo del mago y psicólogo Richard Wiseman donde explica el juego y los detalles de su creación. Si quieres hacerlo tú también, descarga la plantilla pulsando con el ratón sobre la imagen adjunta y sigue las instrucciones que allí se detallan. Descubrirás la historia del juego a través de sus protagonistas: Harry Houdini, Howard Thurston, Charles Morritt y Jim Steinmeyer. De paso verás cómo el elefante desaparece delante de tus narices. Esta historieta en forma de comic ha sido realizada por los humoristas gráficos Richard Worth y Jordan Collver (también llamados Water Closet Press), autores de cuentos relacionados con Harry Houdini y Arthur Conan Doyle, como el titulado "A certain symmetry" cuya portada se muestra en la figura adjunta y en la que ya se sugiere la idea de simetría que aparece a lo largo del cuento. Observaciones finales. Si has llegado hasta aquí, te mereces una solución del problema de las mulas. En el blog de David Richeson, Division by zero, tienes una animación con la respuesta pero no entres a esa página hasta que realmente sientas que no eres capaz de resolverlo. Unas interesantes notas históricas con versiones posteriores del problema de las mulas está descrita en el artículo I due fantini di Samuel Loyd, de Gianfranco Bo. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Sábado, 01 de Abril de 2017 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

57. 147. (Marzo 2017) Papel on the rocks

Si has estudiado el juego que presentamos el mes pasado, posiblemente lo has puesto en práctica y has conseguido ganar algunas apuestas. Así que vamos a interesarnos una vez más en las leyes de la probabilidad como medio para obtener ganancias en el juego. El mundo de las apuestas virtuales y del juego por internet parece que se va imponiendo en nuestra sociedad y la esperanza de ganar mucho dinero con poco esfuerzo es muy tentadora entre amplios sectores de la población. Esta atracción facilita mucho las cosas a quien pretenda sacar algún provecho. Las nuevas tecnologías no deben hacernos olvidar los juegos clásicos -pares o nones, tres en raya, piedra, papel o tijera-, aunque no requieran ningún esfuerzo mental por su simplicidad técnica y la falta de estrategias ganadoras. La gran popularidad de estos juegos hace que sean buenos candidatos para idear juegos de magia, incluso de magia matemática. Por tanto, vamos a aprovechar la confluencia de dos situaciones para introducir el tema de este mes. Por una parte, el libro comentado en la entrega anterior, "Magical Mathematics" de Diaconis y Graham, contiene un juego con el tema de piedra-papel-tijera. Por otro lado, acaba de publicarse el libro "Engaños a orejas vistas" del colega y amigo Imanol Ituiño, donde recopila algunas de sus apariciones radiofónicas haciendo magia en el programa Faktoria de Euskadi Irratia. Imanol es también gran aficionado a la magia matemática (disfruta, por ejemplo, con el reportaje que le brindaron en la televisión pública vasca bajo el título "La matemática en manos de los magos") y muchos de los juegos de magia que desvela en su libro tienen alguna componente matemática que permite sustituir en alguna medida las técnicas habituales de la magia "en vivo". El libro pretende también mostrar el poder del lenguaje en la magia, al introducir detalles humorísticos o frases de doble sentido para disimular el verdadero secreto de los juegos. Ya sea por casualidad o gracias a la magia, uno de los juegos presentados en su libro está basado también en el tema piedra-papel-tijera. Aquí no vamos a describir el juego del libro "Engaños a orejas vistas", basado en propiedades de simetría y paridad, pues esperamos que lo disfrutes por ti mismo leyendo el original, sino que daremos una versión simplificada del que aparece en el libro de Diaconis y Graham, según ellos propuesto por el estudiante de Harvard Joe Fendel. Para ello necesitaremos unas tarjetas, o cartulinas, o unas hojas de papel recortadas. Dependiendo de tu habilidad artística, dibujarás imágenes de piedra, papel y tijera en cada tarjeta o, simplemente, escribirás las palabras PIEDRA, PAPEL y TIJERA en dichas tarjetas. Digamos, para no alargar demasiado el juego, que has preparado 21 tarjetas, y has dibujado el símbolo de la piedra en siete de ellas, el símbolo del papel en otras siete y el símbolo de la tijera en las siete restantes. El juego funcionará con cualquier cantidad impar, siempre que haya el mismo número de símbolos. Los más perezosos pueden imprimir en una cartulina la plantilla que hemos preparado haciendo click en la imagen siguiente y recortarla para tener el material necesario. Cuando estés listo, sigue las siguientes instrucciones. Mezcla bien las 21 tarjetas y deja sobre la mesa una de ellas, sin mirarla. El símbolo que contiene será mi jugada ganadora. A continuación, vamos a seleccionar tu jugada ganadora a partir de las reglas del juego, mediante el siguiente proceso. Con las 20 tarjetas restantes, vas a jugar a PIEDRA, PAPEL Y TIJERA, contabilizando el número de veces que gana cada uno de los símbolos. Gira las dos primeras, quédate con la ganadora y retira la perdedora. Ya sabes, si son una piedra y una tijera, gana la piedra; si son una tijera y un papel, gana la tijera; y si son un papel y una piedra, gana el papel. Si los dos símbolos son iguales, es un empate. En este caso, retira las dos tarjetas. Gira ahora las dos tarjetas siguientes, comprueba quién ha ganado y retira la perdedora. Continúa con el mismo proceso girando cada vez dos tarjetas consecutivas y eliminando la perdedora. Una vez terminada la partida, cuenta el número de jugadas que ha ganado cada uno de los tres símbolos. Evidentemente, uno de ellos tendrá distinta paridad que los otros dos: dos de los símbolos ganadores serán pares y el otro impar o dos serán impares y el otro par. Elimina los dos símbolos que tienen la misma paridad pues están empatados entre ellos. Queda ahora un único símbolo ganador: será tu jugada final. Pues bien, vuelve cara arriba la tarjeta que has retirado al principio. Recuerda que era mi jugada ganadora y comprueba que mi jugada gana a la tuya. Si analizas con detenimiento el juego, observarás que el número de posibilidades es muy grande aunque el resultado final es el recién descrito. Esto significa que, en la práctica, no es necesario mezclar las tarjetas: puedes elegir en cada caso las dos tarjetas que se van a enfrentar. Una combinación del principio de paridad y del principio Miraskill hará todo el trabajo por ti. Puedes encontrar una prueba matemática del funcionamiento del juego en el blog "God plays dice". Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Miércoles, 01 de Marzo de 2017 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

58. 146. (Febrero 2017) Ganancia segura

Es bien sabido que las matemáticas proporcionan algunas veces métodos que permiten ganar en determinados juegos de sobremesa, que no son estrictamente de azar. Existen procedimientos estadísticos para jugar con muchas probabilidades de éxito al póquer, al Black Jack, a la ruleta, a las quinielas, etc. Toda banda de jugadores que se precie ha de contar entre sus filas con algún matemático o, al menos, un personaje con grandes dotes calculísticas y habilidades numéricas. Enseguida nos vienen a la mente las películas «21 Black Jack» (2008) y «The Pelayos» (2012), donde aparecen todos estos ingredientes (puedes ver algunas reseñas con tintes matemáticos en los portales Divestadística, de la Escuela Andaluza de Salud Pública, y Matemáticas en el cine, de José María Sorando y, ¡cómo no!, en nuestra sección vecina "Cine y Matemáticas" de Divulgamat, mantenida incansablemente por Alfonso Población). En este rincón ya nos hemos hemos encontrado varias veces con juegos de magia donde se aprovechan propiedades probabilísticas poco conocidas o poco intuitivas. Por ejemplo, en "Todos ganan a todos" (diciembre de 2007) y en "Un Penney por tu jugada" (marzo de 2011) se utiliza la propiedad de no-transitividad de las leyes de probabilidad; los juegos descritos en "Predicción casi segura" (enero de 2008) y en "Siempre en medio" (octubre de 2015) se basan en propiedades sorprendentes de la teoría de la probabilidad. Un método, tan infalible como ruinoso, para ganar a la ruleta se basa en un proceso estocástico llamado martingala, introducido por el matemático Paul Lévy (1886-1971) en sus estudios sobre teoría de probabilidades. El sistema es muy simple: apuestas un euro al rojo. Si sale rojo, has ganado un euro y vuelves a empezar el proceso; si sale negro (o el cero), doblas la apuesta anterior. Este proceso de doblar la apuesta anterior se repite hasta que salga rojo, de modo que, si has perdido n partidas seguidas antes de que salga rojo, la cantidad perdida es 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2n-1 = 2n - 1 euros pero has ganado 2n euros en la última jugada. En total, has ganado un euro. Si es infalible, ¿por qué es ruinoso? Primero, porque si sale negro (o el cero) diez veces seguidas, has perdido 2047 euros y posiblemente se ha superado el tope permitido para apostar en la ruleta: dinero perdido. Segundo, en cada ronda solo ganas un euro: muchas rondas tienen que pasar para que salgas contento del garito, si no te has arruinado antes. Henry Christ Una pequeña modificación del método de la martingala nos conduce a un precioso juego de adivinación, desarrollado por Persi Diaconis y Henry Christ, a partir de una idea de Martin Gardner, y publicado en el nunca bien ponderado libro «Magical Mathematics: the mathematical ideas that animate great magic tricks» (2011), escrito por Ron Graham y el propio Persi Diaconis. Ya nos hemos encontrado a Martin Gardner y Persi Diaconis bastantes veces en este rincón así que presentaremos por primera vez al ingeniero y mago aficionado Henry Christ (Nueva York, 1903 - 1972), creador de multitud de juegos de magia con cartas (puedes encontrar una "pequeña" lista de ellos en la fabulosa base de datos que mantiene Denis Behr) y gran amante de la magia matemática. Por cierto, acabo de descubrir que fue precisamente Henry Christ quien desarrolló el principio aritmético en el que se basa el juego que hemos tratado en las dos últimas entregas (al menos, eso afirma John Scarne en su libro «Scarne on card tricks», publicado en 1950). Esta es mi versión del juego. Como limitaremos nuestra apuesta al color, en vez de utilizar una ruleta, nos conformaremos con una baraja francesa. Y, para no alargarlo demasiado, usaremos solo cuatro cartas: dos negras y dos rojas. Mezcla bien las cuatro cartas y déjalas en un montoncito sobre la mesa, caras hacia abajo. El juego consiste en lo siguiente: voy a apostar siempre al rojo y sé que, al final, ganaré 70 euros. Incluso, te voy a explicar cuál será mi estrategia del juego: cada vez que gane una jugada, el valor de mi siguiente apuesta será la mitad del valor anterior; y cada vez que pierda una jugada, el valor de mi siguiente apuesta será igual al valor de mi apuesta anterior más la mitad de dicho valor. Digamos, por ejemplo, que apuesto 30 euros en una determinada jugada. Si la pierdo, en la siguiente jugada apostaré 30 + 15 = 45 euros; si la gano, en mi siguiente jugada apostaré solo 15 euros. Voy a empezar apostando 80 euros. Gira la primera carta: si es roja, he ganado 80 euros y en la siguiente jugada apostaré 40 euros; si es negra, he perdido 80 euros y apostaré 120 euros en la siguiente jugada. Ya conoces el sistema: gira la siguiente carta y lleva la cuenta de mis ganancias y de mis pérdidas. Ya conoces también cuáles van a ser mis siguientes apuestas. Suma todas mis ganancias y todas mis pérdidas. ¿He ganado un total de 70 euros? ¡Lo sabía! Si no te importa, vamos a jugar otra vez en condiciones un poco más reales: añadiremos otra carta negra, que jugará el papel del cero en los casinos. Así pues, utilizaremos cinco cartas, dos rojas y tres negras pero yo seguiré apostando al rojo. Y estoy seguro de que ganaré al final 25 euros. Ya conoces el sistema pero te lo vuelvo a recordar: cada vez que gane una jugada, el valor de mi siguiente apuesta será la mitad del valor anterior; y cada vez que pierda una jugada, el valor de mi siguiente apuesta será igual al valor de mi apuesta anterior más la mitad de dicho valor. Mezcla las cinco cartas y déjalas en un montoncito sobre la mesa, caras hacia abajo. Gira la primera carta: si es roja, he ganado 80 euros y en la siguiente jugada apostaré 40 euros; si es negra, he perdido 80 euros y apostaré 120 euros en la siguiente jugada. Gira la siguiente carta y lleva la cuenta de mis ganancias y de mis pérdidas. Ya conoces también cuáles van a ser mis siguientes apuestas. Ya sé que perderé tres veces y ganaré dos, pero no sé en qué momento. Suma todas mis ganancias y todas mis pérdidas. ¿He ganado esta vez 25 euros? ¿No? Repasa las operaciones. En el citado libro de Diaconis y Graham se estudian con claridad y elegancia las propiedades de la fórmula que permite conocer el resultado final y cómo llegar a ella. Dicha fórmula se puede aplicar a cualquier número de cartas con resultados sorprendentes. Por ejemplo, con el sistema anterior se gana algo más de 8 euros si se utilizan tres cartas rojas y cinco cartas negras. No vayas al casino con este sistema porque no funciona. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Miércoles, 01 de Febrero de 2017 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

59. 145. (Enero 2017) SOLUCIÓN CONCURSO NAVIDEÑO: Aprender matemáticas por arte de magia

Antes de entrar en el tema de este mes, vamos a hacernos eco de la numerología -matemática, no esotérica- que tradicionalmente se despliega por estas fechas en relación al número 2017. Lo primero que destacamos es que se trata de un número primo, han pasado seis años desde el anterior número primo -curiosamente 2011 = 2017 + (2 - 0 - 1 - 7)-, y pasarán otros diez hasta el siguiente -siendo 2027 = 2017 + (2 + 0 + 1 + 7)-. También es un número primo la suma de todos los números primos impares hasta el 2017. Por otra parte, si redondeamos el producto de 2017 por π al entero más próximo, también resulta un número primo. De hecho, esta propiedad vale también cambiando π por el número e. También se puede encontrar la secuencia 2017 en las expresiones decimales de π y de e: empiezan en las posiciones 8897 y 8323, respectivamente. Estos últimos números también están muy relacionados ya que 8323=7x29x41 y 8897=7x31x41. Con un poco de imaginación, seguro que encontramos la excusa perfecta para convencernos de este año será fantástico. Pero volvamos al concurso planteado en la entrega anterior. Se trataba de explicar el funcionamiento del siguiente juego. Con la baraja en la mano, caras hacia arriba, reparte sobre la mesa varios montones de cartas, de la siguiente forma: pela la primera carta y fíjate en su valor (en lo sucesivo, las figuras cuentan como 10); empieza una cuenta mental con el valor de dicha carta; sigue pelando cartas, formando un paquete en la otra mano (dejando cada carta sobre la anterior), y siguiendo la cuenta mental, hasta que hayas pasado tantas cartas como sea necesario para llegar a doce. Un ejemplo: si la carta de cara es un siete, pásala a la otra mano empezando la cuenta por siete; al pasar la siguiente carta, cuenta "ocho"; pasa otra más contando "nueve"; otra más a la cuenta de "diez", una más a la cuenta de "once" y la última para llegar a "doce". Deja sobre la mesa, caras hacia abajo, el montón de cartas que has formado. Repite el proceso hasta dejar en la mesa un grupo de más de seis montones. No hace falta utilizar todas las cartas pero sí la mayoría de ellas. Selecciona ahora cuatro de dichos montones volviendo cara arriba la carta superior de cada montón elegido. Retira los montones no elegidos y forma un paquete con todos ellos y con las cartas no utilizadas anteriormente. Suma los valores de las cuatro cartas giradas (recuerda que las figuras valen 10) y cuenta también el número de cartas que forman el paquete desechado. ¿Coinciden ambos valores? Las cartas lo sabían. Después de unas sencillas operaciones aritméticas, es fácil encontrar la respuesta. Digamos que los valores de las cartas que se han girado cara arriba son A, B, C y D. La forma de hacer los paquetes hace que, en la mesa, haya un total de 13 - A + 13 - B + 13 - C + 13 - D = 52 - (A + B + C + D) cartas. Como la baraja tiene 52 cartas, en la mano deben quedar exactamente A + B + C + D cartas, que es la suma de los valores de las cartas que están cara arriba. Para adaptar el juego a la baraja española, utilizando también cuatro montones, basta sustituir el valor 52 por 40. Esto nos conduce a la fórmula análoga 10 - A + 10 - B + 10 - C + 10 - D = 40 - (A + B + C + D) y nos permite concluir que los montones se formarán contando desde el valor de la primera carta hasta llegar a nueve. En general, basta que el tamaño de la baraja sea múltiplo de cuatro para que sea posible el juego con las características dadas. Esta es la clave para responder la siguiente cuestión: "el número de montones a elegir debe ser divisor del número de cartas." Con la baraja francesa sólo quedan tres opciones: dos, trece o 26 montones; todas son muy poco prácticas. Con la baraja española tenemos muchas posibilidades pues los divisores de 40 son 2, 4, 5, 8, 10 y 20. El único caso factible es el de hacer cinco montones pero estos tendrán como máximo siete cartas y hay muchas cartas que no serían válidas. ¡Quién sabe si el creador del juego hizo el estudio previo para llegar a la misma conclusión: lo mejor es usar cuatro montones! Hemos recibido varias respuestas con explicaciones detalladas y correctas, como las de Montserrat Bruguera, Roberto Camponovo, Enrique Farré, Rubén Navarro, Daniel Sadornil y Juan Simón. Entre ellos sortearemos dos premios, cortesía de Divulgamat. Agradecemos a todos ellos -y a quienes les ha faltado el paso final de enviar su respuesta- su interés y dedicación. Comentarios finales. El principio matemático del juego que hemos analizado se remonta mucho tiempo atrás. Distintas versiones se pueden encontrar publicadas a lo largo del siglo XX: en el primer tomo de la enciclopedia "Tarbell course in magic", escrito por Harlan Tarbell en 1927, encontramos el juego titulado "Royal card discovery"; en la "Encyclopedia of card tricks", escrito por Jean Hugard y Glenn Gravatt en 1937, se describe el juego "Coincidence extraordinary", el cual describimos en este rincón hace muchos años bajo el título "A ciegas"; el juego titulado "Affinities" aparece en el segundo volumen del libro "The Vernon Chronicles", escrito por Stephen Minch en 1988. Pero muchos otros magos han adaptado el principio para construir otros juegos similares, lo que da una idea de su interés. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Martes, 10 de Enero de 2017 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

60. 144. (Diciembre 2016) CONCURSO NAVIDEÑO: Aprender matemáticas por arte de magia

Ambigrama de Scott Kim A lo largo de todos estos años hemos rescatado en este rincón multitud de juegos que se encuentran diseminados en muy diversos lugares, unas veces en la literatura matemática y otras veces en la literatura mágica, algunos muy actuales y otros más clásicos que se han ido heredando de unas generaciones a otras. También hemos dado a conocer grandes personajes que han contribuido al desarrollo de esta disciplina, algunos de ellos familiarizados con las ideas matemáticas que se aplican y otros que han hecho gala de una gran creatividad e ingenio. Puede que en gran medida, puede que en poca, las aportaciones que hemos realizado a través de este rincón han logrado aumentar el número de aficionados a la magia matemática. Tampoco podemos adivinar el grado de implicación de nuestros seguidores y el uso que han hecho de este material. Es posible que algunos se hayan conformado con probar los juegos por sí mismos, o bien que otros se hayan animado a aprenderlos, ensayarlos y probarlos en su entorno. Estos primeros pasos, si los resultados son satisfactorios, suelen animar a más de uno a preparar sesiones de magia matemática para acontecimientos familiares, sociales o, por qué no, académicos. Pero quizá haya quienes han querido profundizar un poco más, han navegado por alguna de tantas referencias que hemos ido diseminando en el camino y han pretendido elaborar un material que pueda desarrollarse en un contexto educativo, bien adaptándolo a los curricula oficiales, bien como material extracurricular en forma de competencias transversales. Esta es la ocasión en que queremos rendir un homenaje a todos los aventureros que han querido detectar esa componente didáctica en la magia. Sabemos que muchos tienen un conocimiento previo de técnicas del ilusionismo y han tenido que aprender nociones pedagógicas así como otros han sabido superar la falta de preparación mágica con su dedicación docente. Sin querer dar una extensa relación de autores que han trabajado en esta dirección (ya citados a lo largo de este rincón), nos limitaremos a indicar algunos trabajos originales y novedosos orientados sobre todo a las aplicaciones didácticas de la magia. Estas son algunas referencias a estudios sobre el tema: Xuxo Ruiz, autor del libro Educando con magia, Narcea (2013). Xuxo Ruiz ha sido galardonado en 2015 con el "Premio al Mérito Educativo" por la Junta de Andalucía, debido a la innovación educativa que supone usar la magia y el Ilusionismo como recurso didáctico. El libro proporciona material muy interesante para, al menos, reenganchar al estudiante en momentos de falta de atención y motivación. Juan Sebastián Barrero, creador del portal Magia matemática. Juanse Barrero consiguió en 2013 el XXIX premio "Francisco Giner de los Ríos" otorgado por el MECD a la mejora de la calidad educativa, por su trabajo "Matemagia. Un recurso en el aula". Un resumen de su proyecto se puede leer en el folleto que acompaña a la relación de ganadores. Otro proyecto similar es el desarrollado por el grupo Alquerque, bajo el título Matemagia, preparado para su realización en la IX Feria de la Ciencia en Sevilla (2011). José Muñoz, Taller de magia y matemática, Centro de profesorado y recursos de Oviedo (2010). Pepe Muñoz es autor del libro "Ernesto, el aprendiz de matemago", una obra que también constituye una gran referencia imprescindible por su contenido didáctico. Manuel Maldonado, La magia como recurso educativo en el aula de matemáticas de 1º de ESO. Trabajo fin de master, UIR (2013). Nerea Casas, Metodología para enseñar probabilidad y estadística mediante juegos de magia en matemáticas de 3º de ESO. Trabajo fin de master, UIR (2014). Estos dos trabajos muestran el interés que despierta la magia en su faceta educativa y las posibilidades que tiene a distintos niveles de la enseñanza. María Teresa Pérez, Miguel Ángel Mirás, Carmen Quinteiro y Pedro Alegría, "Competencias transversales a través de la magia". Educación Editora (2016). Este proyecto fue diseñado para evaluar algunas de las competencias transversales del alumnado del primer curso del Grado en Química de la Universidad de Vigo. Fuera de programa, pero tratando de no perder las buenas costumbres, describimos un nuevo juego y proponemos un nuevo concurso navideño. Como es tradicional, para participar debes descubrir el fundamento matemático del juego. Así que busca una baraja y prepárate para descubrir que, hagas lo que hagas, las cartas ya saben lo que va a pasar al final. Con la baraja en la mano, caras hacia arriba, reparte sobre la mesa varios montones de cartas, de la siguiente forma: pela la primera carta y fíjate en su valor (en lo sucesivo, las figuras cuentan como 10); empieza una cuenta mental con el valor de dicha carta; sigue pelando cartas, formando un paquete en la otra mano (dejando cada carta sobre la anterior), y siguiendo la cuenta mental, hasta que hayas pasado tantas cartas como sea necesario para llegar a doce. Un ejemplo: si la carta de cara es un siete, pásala a la otra mano empezando la cuenta por siete; al pasar la siguiente carta, cuenta "ocho"; pasa otra más contando "nueve"; otra más a la cuenta de "diez", una más a la cuenta de "once" y la última para llegar a "doce". Deja sobre la mesa, caras hacia abajo, el montón de cartas que has formado. Repite el proceso hasta dejar en la mesa un grupo de más de seis montones. No hace falta utilizar todas las cartas pero sí la mayoría de ellas. Selecciona ahora cuatro de dichos montones volviendo cara arriba la carta superior de cada montón elegido. Retira los montones no elegidos y forma un paquete con todos ellos y con las cartas no utilizadas anteriormente. Suma los valores de las cuatro cartas giradas (recuerda que las figuras valen 10) y cuenta también el número de cartas que forman el paquete desechado. ¿Coinciden ambos valores? Las cartas lo sabían. Si logras descubrir el secreto, podrás responder a las siguientes preguntas: ¿Se puede adaptar el juego para hacerlo con una baraja española? ¿Se puede hacer el juego eligiendo más de cuatro montones? ¿O menos? Envía tu solución a pedro.alegria@ehu.eus. Entre las respuestas más acertadas y completas, sortearemos el ganador del concurso y le obsequiaremos con un libro de divulgación matemática, cortesía de DivulgaMat. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Jueves, 01 de Diciembre de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico