41. 161. (Junio 2018) Los siete cielos

¿Has estudiado el juego propuesto el mes pasado? ¿Has descubierto la propiedad "secreta" que tienen los múltiplos de siete mediante la cual es posible escribir una secuencia encadenada de ellos? ¿Has tratado de averiguar si el proceso puede realizarse con números que tienen más cifras? ¿O menos cifras? No responderemos a ninguna de esas preguntas pero seguiremos estudiando al creador de aquel juego, L. Vosburg Lyons (1892-1976), pues sus contribuciones con juegos de magia matemática relativos a los múltiplos de siete continuaron apareciendo en la citada revista Ibidem. Con respecto a esta revista, podemos apuntar que se publicó en Toronto (Canadá) entre 1955 y 1979. Además, es una de las pocas revistas de magia que incluía de forma habitual acertijos y problemas de lógica, así como juegos relacionados con la matemática recreativa. Sin ir más lejos, en el número 7 de la revista, publicada en septiembre de 1956, aparece el juego titulado "Heavenly Sevens", ilustrado con la imagen que reproducimos a continuación. Esta es la descripción del juego. Entrega a un espectador siete tarjetas numeradas, donde cada una de ellas lleva escrito un número del uno al siete. Pide al espectador que descarte una cualquiera de las tarjetas. Anuncia que formarás con las seis restantes un número que sea múltiplo de siete. Como es posible que hayas memorizado todos los casos, para mayor dificultad, pide al espectador que coloque sobre la mesa, caras hacia arriba, dos de ellas, en el orden que prefiera. Estas serán las dos primeras cifras del número de seis cifras, múltiplo de siete, que tratarás de formar. Recoge las cuatro cifras que quedan sin utilizar y colócalas a continuación de las anteriores de forma tal que el número resultante de seis cifras sea un múltiplo de siete. ¡Pero eso no es todo! Haz que comprueben que el número, escrito de derecha a izquierda, ya no es múltiplo de siete. Cambia de lugar dos de las tarjetas para formar un nuevo número, el cual será todavía múltiplo de siete y, si se escribe de derecha a izquierda, también es múltiplo de siete. Veamos la forma de conseguirlo. El método es un poco elaborado, dada la dificultad del juego, pero el resultado es sorprendente. Ten un poco de paciencia y te aseguro que admirarás el ingenio de su creador. Debes tener en cuenta en primer lugar la siguiente tabla de equivalencias o congruencias: TABLA DE CONGRUENCIAS 1 2 3 4 5 6 7 17 26 35 27 36 45 21 37 46 31 47 56 32 41 57 42 51 67 43 52 61 Observa que, en cada columna, están todas las combinaciones de dos cifras distintas (con las cifras comprendidas entre 1 y 7, pero sin importar el orden) de modo que su suma es un número congruente módulo siete con el número que encabeza dicha columna. Es decir, el resto de la división por siete de la suma de las dos cifras coincide con el del número que encabeza la columna. Por ejemplo, en la cuarta columna están los números 31, 47 y 56 porque 3+1=4, 4+7=11 y 5+6=11, y el resto de la división de estos números entre siete es igual a cuatro. También podrían estar los números 13, 74 y 65 pero lo importante son las cifras, no los números. A continuación, debes recordar (o tener a mano) también los siguientes diagramas de divisibilidades: TABLA DE DIVISIBILIDADES En cada diagrama se representan de forma circular, en el sentido indicado por las flechas, los números de dos cifras que tienen el mismo resto al dividirlos por siete. Por ejemplo, en los diagramas con un cuatro en el centro están representados los números 25, 53 y 32 en la parte superior, y 46, 67 y 74 en la parte inferior. Todos ellos son congruentes con cuatro módulo siete. De hecho, están todos los que pueden escribirse con las cifras del 1 al 7. Con estos datos en mente, veamos el desarrollo del experimento. El espectador elige un número, que será la cifra descartada, y elige otros dos, que serán las dos primeras cifras del múltiplo de siete que debes encontrar, el cual llamaremos N. En lo que sigue, utilizaremos estas otras notaciones: A = cifra descartada; B = primera cifra de N; C = segunda cifra de N; X = cifra tal que el número "AX" es múltiplo de 7. Un ejemplo: el espectador decide descartar el número 3, y quiere que el número empiece por las cifras 2 y 4, en ese orden. Los datos son ahora: A = 3, B = 2, C = 4, X = 5 (porque 35 es múltiplo de 7). Con estos datos, el número de dos cifras "BC" se encuentra en una y solo una de las siguientes situaciones: Caso 1 - La suma de las cifras B + C es congruente con 2·A, módulo 7. Caso 2 - El número de dos cifras "BC" es congruente con "AB" módulo 7. Caso 3 - El número de dos cifras "CB" es congruente con "BA" módulo 7. Caso 4 - El número de dos cifras "BC" es congruente con X módulo 7. Caso 5 - El número de dos cifras "CB" es congruente con X módulo 7. Si seguimos con el ejemplo propuesto, la situación corresponde al caso 1 porque 2 + 4 = 6, que es el doble de 3. Las otras posibilidades de elección de la cifra C, con los mismos valores A = 3 y B = 2, serían: Si C = 5, el número 25 está en el caso 2, porque 25 es congruente con 32 módulo 7 (ambos dan resto 4). Si C = 7, el número 27 está en el caso 3, porque 72 es congruente con 23 módulo 7 (ambos dan resto 2). Si C = 6, el número 26 está en el caso 4, porque 26 es congruente con 5 módulo 7. Si C = 1, el número 21 está en el caso 5, porque 12 es congruente con 5 módulo 7. Veamos ahora la forma de conseguir un múltiplo de siete, según los distintos casos: Regla 1 - Si te encuentras en el caso 1, busca las dos tablas de divisibilidades de X. En una de ellas encontrarás la cifra B: escribe las dos cifras siguientes, en sentido horario. En la otra tabla de divisibilidades de X estará la cifra C: escribe también las otras dos cifras, de nuevo en sentido horario. Intercala las cifras de estos dos números y tendrás el que buscas. En nuestro ejemplo, como X = 5, las tablas de divisibilidades de 5 contienen los ciclos 475 y 126. Como B = 2, el ciclo correspondiente es 261; como C = 4, el ciclo es 475. Intercalando estos dos números llegamos a 246715, que es el múltiplo de siete que estamos buscando. Regla 2 - Si estás en el caso 2, repite el mismo procedimiento de la regla 1. En nuestro ejemplo, si el espectador hubiera elegido C = 5, los mismos ciclos 475 y 126 se escribirían en el orden 261 (pues B = 2) y 547 (pues C = 5), de modo que el número final es 256417. Regla 3 - La misma regla 1 se aplica para el caso 3. Por ejemplo, si el espectador hubiera elegido C = 7, el orden de los ciclos sería 261 (nuevamente porque B = 2) y 754 (ya que C = 7). El número que debes escribir es 276514. Regla 4 - Si estamos en el caso 4, la tercera cifra del número será igual a B + C - A si este valor está comprendido entre 1 y 7, será igual a B + C - A + 7 si fuera igual a cero, y será igual a B + C - A - 7 si fuera mayor que 7. Las cifras cuarta y quinta se obtienen de las tablas de divisibilidades de X, que empiece por la tercera cifra pero en sentido antihorario. La última cifra también se obtiene de las mismas tablas, y será la cifra que falte en la secuencia que empieza por BC en sentido horario. Volviendo al ejemplo en que A = 3, B = 2 y X = 5, si el espectador elige como segunda cifra el seis, el número 26 corresponde al caso 4. La tercera cifra será igual a B + C - A = 2 + 6 - 3 = 5. Los ciclos de las tablas de divisibilidades de X = 5 son 475 y 126. El que empieza en 5 y tiene sentido antihorario es 574 y el que empieza en 26 es 261. El número final sería 265741. Regla 5 - Si estamos en el caso 5, de nuevo la tercera cifra se obtiene como en la regla anterior, se calcula B + C - A y se suma o resta 7 en caso necesario. Las cifras cuarta y quinta se obtienen de las tablas de divisibilidades de X, empezando por la tercera cifra y en sentido horario. La última cifra se obtiene a partir de las mismas tablas, y será la que complete la secuencia que empieza por BC, en sentido antihorario. El último ejemplo correspondiente al caso A = 3 (cifra descartada) y B = 2 (primera cifra) sería aquel en que C = 1 pues CB, que vale 12, es congruente con X módulo 7. La tercera cifra sería B + C - A = 2 + 1 - 3 = 0, de modo que se le suma siete para dar el valor 7. Los ciclos de las tablas de divisibilidades de 5 son 475 y 126, de modo que las cifras cuarta y quinta son las que completan el ciclo que empieza por 7, en sentido horario, es decir 754. La última cifra sería la que completa el ciclo que empieza por 2, en sentido antihorario, es decir 216. En definitiva, el número final es 217546. Recuerda que esto no ha acabado. El número obtenido es múltiplo de siete pero, al invertir sus cifras, ya no lo es. Veamos cómo conseguir que sea múltiplo de siete por partida doble. Regla 1' - En los casos 1 y 5, pasa la tercera cifra al final. En nuestro ejemplo, el número 246715 era el correspondiente al caso 1. Pasamos el 6 al final y obtenemos el número 247156. Tanto este número como 651742 son múltiplos de siete. Por otra parte, el número 217546 era el correspondiente al caso 5. Pasamos ahora el 7 al final para obtener el número 215467. Este número, junto con 764512, son múltiplos de siete. Regla 2' - Si estamos en el caso 2, deben hacerse dos movimientos: la última cifra se coloca entre la segunda y tercera y la penúltima cifra se coloca entre la tercera y cuarta. En el ejemplo estudiado, el número resultante era 256417. Se pasa el 7 entre el 5 y el 6 y el 1 entre el 6 y el 4. Se obtiene el número 257614 y su inverso 416752, los cuales son ambos múltiplos de siete. Regla 3' - En los casos 3 y 4, se coloca la última cifra entre la tercera y cuarta. En el ejemplo que corresponde al caso 3, el número obtenido fue 276514. Al colocar el 4 entre el 6 y el 5, resulta el número 276451. Este número y su inverso, 154672, son múltiplos de 7. En el caso 4, teníamos el número 265741. Se coloca el 1 entre el 5 y el 7 y se obtiene el número 265174 que, junto con 471562, son múltiplos de 7. Comentarios finales: Como se podía suponer, el método no es sencillo. Pero el resultado final es suficientemente sorprendente como para que merezca la pena el esfuerzo de recordar los pasos necesarios, aunque solo sea como homenaje a su descubridor. Además, tu fama como experto calculista se agrandará con este nuevo reto. Por cierto, el propio L. Vosburgh Lyons explica que el método se simplifica de manera significativa si se utilizan sólo los números del 1 al 6, pero no indica el método. ¿Serías capaz de encontrarlo? Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

Lunes, 04 de Junio de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

42. 160. (Mayo 2018) Los múltiplos de siete

El número siete siempre ha sido el comodín de la numerología porque representa la buena suerte cuando conviene y la mala suerte en el resto de los casos. Para los pitagóricos era el número cósmico, la suma del tres -que representa el cielo-  y el cuatro -que representa la tierra-. No voy a aburrirte enumerando las cualidades místicas y propiedades cabalísticas del siete así como sus numerosas apariciones públicas, ya sea contando los días de la semana, las notas musicales, las distintas artes, las maravillas del mundo antiguo, las vidas de un gato, etc., etc. Me limitaré a recomendar la lectura del fantástico artículo titulado "El siete: un número muy popular", escrito por Raúl Ibáñez para la Cátedra de Cultura Científica de la Universidad del País Vasco/Euskal Herriko Unibertsitatea. Ya no necesitarás saber más sobre el número siete. O quizá sí quieras saber más. En este rincón, el siete ha sido protagonista en algunos juegos de magia matemática. Por ejemplo, en el titulado «Fibonacci modular» (noviembre de 2012), donde aparece como base de la aritmética modular, o en el dedicado a los números cíclicos (julio de 2006), donde se aprovechan las características de las cifras decimales de la fracción 1/7. En lo estrictamente aritmético, el siete es un número primo y ha sido el gran relegado en cuanto a las reglas de divisibilidad: es difícil saber si un determinado número es múltiplo de siete. Para los primos anteriores a él, como son el 2, 3 y 5, las reglas de divisibilidad son sencillas, de modo que una rápida inspección permite saber si un número -por grande que sea- es múltiplo de alguno de estos tres números. Pero hay algunas reglas, aunque no tan sencillas, que permiten averiguar si un número es divisible por siete. Aquí van dos de las más comunes: Un número es múltiplo de siete cuando la diferencia entre el número que resulta al eliminar la cifra de las unidades y el doble de la cifra de las unidades es múltiplo de siete. Por ejemplo, para saber si el número 35203 es múltiplo de siete, hacemos la operación: 3520 - 6 = 3514. Como tampoco sabemos si este número es múltiplo de siete, repetimos el proceso: 351 - 8 = 343. Repetimos nuevamente la operación con este otro número: 34 - 6 = 28 = 7 x 4. En definitiva, el número 35203 es múltiplo de siete. Un número es múltiplo de siete cuando la suma del triple del número que resulta al eliminar la cifra de las unidades más la cifra de las unidades es múltiplo de siete. Está claro que este método es más largo que el anterior pues las operaciones se realizan con números más grandes. Mirando el mismo ejemplo anterior, el primer paso de la comprobación sería realizar la operación 3 x 3520 + 3, que no es sencilla. Una estrategia más elemental es ir restando al número algún múltiplo de siete que esté próximo a dicho número. Por ejemplo, como 35 es múltiplo de 7, también lo es 35000. De modo que, como 35203 - 35000 = 203, si 203 es múltiplo de siete, también lo será 35203. Ahora ya podemos aplicar fácilmente cualquiera de los métodos anteriores (o seguir restando múltiplos de siete, claro). En esta ocasión vamos a proponer un método mágico para construir a la vez, y con la ayuda de algún espectador, varios números que son múltiplos de siete. El juego, titulado Mentrix (que supongo será una contracción de las palabras Mens y Matrix), es una creación de L. Vosburg Lyons (neuropsiquiatra e ilustrador gráfico), fue publicado en el número 5 (abril de 1956) de la revista Ibidem (cuya portada e imagen del editor se muestra en la figura), editada por P. Howard Lyons e ilustrada por su esposa Pat Patterson Lyons (así que podría perfectamente haberse llamado el juego de los tres leones). Por cierto, esta misma Pat Patterson fue quien diseñó el puzle paradójico titulado "The vanishing leprechaun" que comentamos en el número 25 (febrero de 2006) de este rincón. Con este juego demostrarás tu habilidad relacionada con los múltiplos de siete así que busca una hoja de papel y/o una calculadora sencilla como la que tienen ahora "todos" los móviles. Pide a un espectador que elija un número de seis cifras, que no sea múltiplo de siete. Con la excusa de saber si es múltiplo de siete, debe realizar la división y comprobar que no es exacta. Eso te permitirá saber cuál es el resto de dicha división. Si da la casualidad de que se trata de un múltiplo de siete, basta que añada o reste una unidad a cualquiera de las cifras. En este caso, también debes conocer el resto de la división por siete. Si eres de la generación que has aprendido a dividir, será fácil obtener el resto. Si se lo dejas a la calculadora, no verás el resto sino unos cuantos decimales. Debes recordar entonces las siguientes equivalencias entre las primeras cifras decimales y el resto: .14 → 1; .28 → 2; .42 → 3; .57 → 4; .71 → 5; .85 → 6. Dibuja a continuación un retículo cuadrado como el de la figura y escribe en cada fila cinco de las cifras del número indicado, dejando en cada fila un hueco correspondiente a una de las cifras. A partir de ahora, ilustraremos el método con un ejemplo, así que supongamos que el espectador ha nombrado el número 495283, y has comprobado que el resto de su división por siete es igual a cinco. Luego has escrito los siguientes números de cinco cifras a partir del número elegido por el espectador. 4 9 5 2 8 4 9 5 2 3 4 9 5 8 3 4 9 2 8 3 4 5 2 8 3 9 5 2 8 3 Observa que quedan sin rellenar los cuadros de la diagonal secundaria. Rellena ahora los huecos de la siguiente forma: Resta a la última cifra del número el resto de la división por siete y escribe dicho valor en el hueco de la primera fila. De este modo, el número de la primera fila es el múltiplo de siete más próximo por debajo al elegido por el espectador. En el ejemplo, habría que restar 3 - 5 pero es negativo. En este caso, se suma 3 + 2 porque se llega así al múltiplo de siete más próximo por encima. La primera fila tendría el número 495285. Observa ahora las dos últimas cifras del número de la primera fila y calcula cuál es su exceso (o defecto) respecto al múltiplo de siete más próximo. En nuestro ejemplo, el 85 tiene un exceso de 1 respecto al 84, que es múltiplo de siete. A continuación, pasa a la segunda fila y busca el número que tenga el mismo exceso respecto al múltiplo de siete de dos cifras que termine en la última cifra. Como debe terminar en tres y tener exceso igual a 1, el múltiplo de siete que buscamos debe terminar en 2. Se trata del 42. Escribe la cifra 4 en el hueco de la segunda fila. Queda entonces el número 495243. Este mismo proceso se repite en las filas sucesivas utilizando el número de dos cifras inmediatamente superior al número de dos cifras cuya decena está sin escribir. Seguimos con el ejemplo: las dos penúltimas cifras del número recién anotado son 24, que tiene un exceso de 3 respecto al 21, que es múltiplo de siete. La siguiente fila termina en 8, de modo que se debe encontrar un múltiplo de siete que termine en 8 - 3=5. Se trata del 35=7 x 5. Hay que escribir el número tres en el hueco de la tercera fila. De momento, el cuadro tiene la siguiente pinta: 4 9 5 2 8 5 4 9 5 2 4 3 4 9 5 3 8 3 4 9 2 8 3 4 5 2 8 3 9 5 2 8 3 Para la siguiente fila, hay que fijarse en el 53, que tiene un exceso de 4 respecto al 49. Como no se puede restar cuatro al 2, se hace por defecto: hace falta sumar 53 + 3 para llegar al siguiente múltiplo de siete. Se suma 3 a la cifra inferior, 2 + 3 = 5, y se busca el múltiplo de siete que termine en 5, que es el 35. Se escribe un tres en el hueco de la cuarta fila. Para la penúltima fila, hay que fijarse en el 93, que es igual a 91 + 2. Se resta 5 - 2 = 3 y se busca el múltiplo de siete que termina en 3: se trata del 63. Se anota la cifra 6. En la última fila, partimos del número 46, que es igual a 42 + 4, es decir que tiene un exceso de 4. Se resta 9 - 4 = 5, se busca el múltiplo de siete que termina en 5, y se encuentra el número 35. Se anota la cifra 3. Así quedaría el cuadro final: 4 9 5 2 8 5 4 9 5 2 4 3 4 9 5 3 8 3 4 9 3 2 8 3 4 6 5 2 8 3 3 9 5 2 8 3 Después de terminar el cuadro, haz que el público compruebe que los seis números son todos múltiplos de siete. La siguiente ilustración de Pat Lyons muestra el ejemplo que aparece en la descripción original del juego. El espectador ha nombrado el número 562346 y el cuadrado de la derecha muestra los seis múltiplos de siete que se han formado: Comentarios finales: Es evidente que el proceso debe ser rápido y fluido para que el juego sea sorprendente y mágico. Será necesario un entrenamiento previo que permita reconocer fácilmente los números de dos cifras que son múltiplos de siete. Como se puede observar, cada múltiplo de siete así obtenido se diferencia del anterior en dos cifras. ¿Se te ocurre cuál es el fundamento matemático que justifica el éxito del juego? Este asunto de los múltiplos de siete me recuerda un acertijo muy simpático: El otro día después del partido tres de los alumnos de la clase de aún vestían sus camisetas del equipo de fútbol. Los números que lucían en sus dorsales eran el 1, el 3 y 6. Enseguida se le ocurrió a uno de ellas la siguiente pregunta: ¿en qué orden debemos colocarnos para formar un número que sea múltiplo de siete? Y, hablando de acertijos, el propio L. Vosburg Lyons, creador del juego que hemos descrito, era también aficionado a los problemas de ingenio. Como muestra, vamos a reproducir el que propuso en el número 48 de la revista Phoenix (1943): Hacer dos cortes rectos en la figura adjunta de modo que quede dividida en no más de cuatro piezas las cuales puedan recomponerse para formar un cuadrado. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

Martes, 01 de Mayo de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

43. 159. (Abril 2018) Triple dilema

Una de las tantas especialidades de las matemáticas es la Combinatoria: según la Wikipedia, pertenece al área de la matemática discreta y estudia la enumeración, construcción y existencia de propiedades de configuraciones que satisfacen ciertas condiciones establecidas. Me gusta más la definición que alguien propuso una vez: la combinatoria es el arte de contar (sin tener que enumerar todos los casos). En magia se debe aplicar a menudo la Combinatoria para destacar la componente de imposibilidad de algún suceso: es relativamente fácil acertar si una moneda caerá de cara o de cruz (hay dos posibles resultados); es bastante difícil adivinar una carta elegida (hay 52 posibilidades); es prácticamente imposible conocer la posición de todas las cartas después de haber sido mezcladas (hay más de 8 x 1067 ordenaciones distintas de una baraja). Así que el personaje de este video (un tal Stephen Fry, comediante británico elegido entre los cincuenta mejores cómicos de la historia) puede afirmar sin equivocarse que es capaz de hacer algo nunca realizado antes por nadie en toda la historia de la humanidad: ha mezclado una baraja y ha dejado las cartas en una posición tal que nunca antes y nunca después se repetirá. El juego que nos ocupa explota una sencilla propiedad combinatoria que, al ser poco intuitiva, produce una sorpresa final. Se trata de una triple coincidencia de colores y aparece en la obra «Self-working handkerchief magic», de Karl Fulves (publicada en 1989). Aunque el autor lo realiza con pañuelos de colores, se pueden utilizar otros objetos, con tal de que puedan distinguirse sólo por su color. Veamos si eres capaz de calcular el número de posibilidades a lo largo de todo el proceso. Busca seis fichas o seis tarjetas -dos blancas, dos rojas y dos azules- y colócalas sobre la mesa en dos filas, como en la imagen. Intercambia la posición de dos de las fichas de la fila inferior. Tienes tres posibles elecciones y ya no podré saber el resultado después de que realices los siguientes movimientos. Cambia la posición de la ficha que está en la esquina superior izquierda con la ficha central de la fila inferior. Cambia la posición de la ficha que está en la esquina inferior derecha con la ficha central de la fila superior. Cambia la posición de la ficha que está en la esquina superior derecha con la que está en la esquina inferior izquierda. Ahora que están todas las fichas movidas de su posición inicial, voy a tratar de emparejarlas: Retira la ficha blanca en la fila superior ... junto con la ficha central en la fila inferior. ¿Son del mismo color? Retira la ficha roja en la fila superior ... junto con la ficha de la derecha en la fila inferior. ¿Son también del mismo color? ¿Quedan en la mesa dos fichas azules? Parece que he acertado las tres veces. Creo que no será muy difícil dar con la solución a pesar de la aparente libertad de movimientos. Una versión más elaborada de este juego, esta vez con cartas, apareció publicada en el libro «Deceptive Practices», del propio Karl Fulves, en 1992, bajo el título "Letter of intent". Te aconsejo participar activamente en el juego porque se sortean premios valiosos. Vamos a comprobar si es tu día de suerte. Verás a continuación tres sobres, cada uno de ellos etiquetados con tres números. Cada uno de ellos tiene un premio pero debe ser la suerte quien decida qué sobre elegirás. Busca seis cartas, del as al seis de cualquier palo, y colócalas sobre la mesa en dos filas como se muestra en la imagen (para facilitar la explicación, colocaré tres cartas negras en la fila superior y tres cartas rojas en la fila inferior): Intercambia una carta de la fila superior (negra) con una carta de la fila inferior (roja). Tú decides cuáles. Intercambia una segunda carta negra de la fila superior con otra carta roja de la fila inferior. Intercambia por último la tercera carta negra de la fila superior con la única carta roja que queda en la fila inferior. El resultado final es que en la fila superior hay tres cartas rojas en el orden que has elegido (seis posibles posiciones) y en la fila inferior hay tres cartas negras, también en un cierto orden (otras seis posibilidades). En definitiva, 36 posibles combinaciones de cartas. Suma ahora los valores de las dos cartas centrales de cada fila. Ese será tu número de la suerte. En los sobres están anotados todos los posibles resultados de las sumas. Busca el sobre que contiene tu número de la suerte y pulsa sobre él. Dentro encontrarás tu premio. Comentarios finales: Con respecto a este juego, surgen diversas preguntas. Una de las primeras sería la siguiente: ¿se puede conseguir un valor predeterminado al final del proceso? Por ejemplo, si queremos que el resultado final sea 7, la situación inicial debe ser: Es fácil obtener una fórmula general para cualquier valor arbitrario que se desee. Parece que el mismo Karl Fulves se ha interesado por este principio y ha publicado diversas variaciones de este proceso en el libro «And a packet of cards», publicado en 1989. Por cierto, puedes comprobar la inagotable producción de Karl Fulves, recorriendo la lista de la mayoría de sus publicaciones, en el artículo publicado por la World Heritage Encyclopedia. Seguro que nos dejamos algo, habida cuenta de la cantidad de seudónimos que ha utilizado nuestro personaje a lo largo de su producción literaria. En la lista ofrecida por el portal Conjuring Arts aparecen nada menos que 32 nombres. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

Domingo, 01 de Abril de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

44. 158. (Marzo 2018) Los detectives de la baraja

Si ya es suficientemente amplio el conjunto de propiedades matemáticas que se pueden encontrar al realizar diferentes tipos de mezclas de cartas, mucho mayor es la diversidad de ideas y aplicaciones a los juegos de magia que tienen dichas propiedades. En este rincón hemos ofrecido muchas pruebas de ello, así que vamos a aportar alguna más. Esta vez nos detendremos de nuevo en la mezcla australiana, que apareció por primera vez en el juego "Salvado por las matemáticas", de mayo de 2006, y posteriormente aplicado al juego "El truco de cartas de Einstein", de mayo de 2010. También puedes ver algunas propiedades matemáticas de esta mezcla en el artículo La leyenda de Josefo y la mezcla australiana, publicado en la revista Eureka (2012). Antes de describir el juego, recordemos rápidamente en qué consiste la mezcla australiana: con las cartas en la mano, se retira la carta superior y se deja sobre la mesa; la siguiente carta se pasa de arriba abajo del paquete; la siguiente carta se deja sobre la mesa, encima de la anterior; la siguiente carta se pasa de arriba abajo del paquete; el proceso se repite hasta que se han repartido todas las cartas sobre la mesa. En realidad, hay dos tipos de mezclas australianas: una de ellas es la que hemos descrito y la otra es la misma salvo que, en lugar de dejar en la mesa la primera carta, se pasa debajo del paquete, la siguiente se deja sobre la mesa y así sucesivamente, alternando una carta bajo el paquete, una carta sobre la mesa. En inglés se distinguen las dos mezclas con los nombres DOWN-UNDER o bien UNDER-DOWN, contracciones de la frase «DOWN on the table-UNDER the packet». Es fácil comprender que el resultado final es distinto y las cartas quedan dispuestas en un orden diferente según se realice una mezcla o la otra. Esta diferencia será importante en el transcurso del juego. Pasamos a describir el juego, cuyo título original es «Jackula» y aparece en el libro "Impromptu card magic", compilación realizada por el siempre recordado Aldo Colombini. El juego es una versión desarrollada por Michael de Marco a partir del titulado "Capture by ritual", que publicó Karl Fulves en el libro "Vampire Chronicles" (1997). Busca en la baraja las dos jotas negras, que serán los detectives con los que podrás encontrar cualquier carta perdida. Saca otras nueve cartas cualesquiera y mézclalas. Reparte ahora sobre la mesa -caras hacia abajo- tres montones de tres cartas cada uno, selecciona y toma uno de estos tres montones, mira y recuerda la carta inferior (la única que ves al girar el montón), coloca este montón sobre cualquiera de los dos restantes y coloca este nuevo montón sobre el tercer montón de cartas. Tienes ahora de nuevo un paquete de nueve cartas, entre ellas la elegida. Coloca las dos jotas en los extremos del paquete, pero caras hacia arriba, como se muestra en la imagen. Para encontrar la carta elegida, los detectives siguen el siguiente proceso de eliminación: Pasa la primera carta -que será una jota- a la parte inferior del paquete; deja sobre la mesa la siguiente carta; pasa de arriba abajo la siguiente carta del paquete; deja sobre la mesa, encima de la anterior, la siguiente carta; pasa de arriba abajo la siguiente carta del paquete, y así sucesivamente, una carta sobre la mesa, una carta de arriba abajo hasta repartir todas las cartas. En resumidas cuentas, realiza una mezcla UNDER-DOWN. Recoge el paquete que se ha formado y abre una pequeña extensión: comprobarás que las jotas han "atrapado" tres cartas. ¿Será la elegida una de ellas? Trataremos de quedarnos solo con una siguiendo un nuevo proceso de eliminación. Deja la primera carta sobre la mesa; pasa de arriba abajo la siguiente carta del paquete; deja sobre la mesa la siguiente carta; pasa de arriba abajo la siguiente carta del paquete, y así sucesivamente, ya sabes cómo seguir el proceso, que se acaba cuando has repartido sobre la mesa todas las cartas. En este caso, has realizado una mezcla DOWN-UNDER. Extiende de nuevo las cartas y observa que las jotas tienen "atrapada" ahora a una sola carta. ¿Es la carta elegida? ¡Espero que sí! Comentarios finales: La mezcla australiana, en sus dos versiones, permite plantearse algunos problemas o idear algunos puzles. El interesante libro de Geoffrey Mott-Smith titulado Mathematical puzzles for beginners and enthusiasts (publicado en 1954) contiene, entre otros, los siguientes: ¿En qué orden deben colocarse todas las cartas de un mismo palo para que, al realizar una mezcla australiana, queden ordenadas de menor a mayor? ¿Y si se trata de toda la baraja? Supongamos que dispones de una baraja de 971 cartas, cada una de ellas contiene un número (del 1 al 971). Se reparte sobre la mesa la número 1, se pasa debajo del mazo la número 2, se deja sobre la mesa la número 3, se pasa debajo del mazo la número 4, y así sucesivamente hasta repartir todas las cartas. ¿Cuál será la última carta repartida? ¿En qué momento se repartirá la carta con el número 288? ¿Qué número tendrá la 643-ésima carta repartida? Matemáticamente, una mezcla equivale a una permutación del conjunto de cartas porque el único efecto que produce mezclar cartas es cambiar el orden de las mismas. Por ejemplo, si ordenamos las diez cartas numéricas de un palo del as al diez y realizamos una mezcla DOWN-UNDER, el orden final de las cartas es (4, 8, 10, 6, 2, 9, 7, 5, 3, as), pero si realizamos una mezcla UNDER-DOWN, la disposición final es (5, 9, as, 7, 3, 10, 8, 6, 4, 2).  Sorprendentemente (o no), hacen falta 21 mezclas consecutivas del tipo UNDER-DOWN para devolver las diez cartas a su orden inicial pero solo se necesitan seis mezclas del tipo DOWN-UNDER para conseguir el orden numérico inicial. En matemáticas se dice que 21 es el orden de la permutación UNDER-DOWN y que 6 es el orden de la permutación DOWN-UNDER en un conjunto de diez elementos. El reto que te planteo es calcular el orden de estas dos permutaciones en el conjunto de 52 elementos, es decir cuántas mezclas consecutivas de cada uno de estos dos tipos son necesarias para devolver toda la baraja a su orden inicial. En el camino descubrirás propiedades inesperadas. Aunque no sea época habitual de concurso, seguro que las respuestas correctas obtenidas entrarán en el sorteo de un obsequio por cortesía de la redacción de Divulgamat. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

Jueves, 01 de Marzo de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

45. 91. (Febrero 2012) El pianista sin par

A las puertas del centenario en esta sección, parece incuestionable la estrecha relación que existe entre la magia y las matemáticas. Si te queda alguna duda, repasa los artículos anteriores de esta sección: te esperamos. Esta vez vamos a relacionar nuestros dos temas hermanos con otra disciplina artística: la música. La relación será metafórica aunque no podemos olvidar el gran paralelismo que siempre se ha mantenido entre la música y las matemáticas (lee el artículo Música y Matemáticas de Elisa Benítez, con muchas referencias sobre el tema), así como entre la música y la magia (la creación de una atmósfera mágica en cualquier representación se ha realizado tradicionalmente con ayuda fundamental de la música). Esto me recuerda una actuación memorable de Juan Tamariz, cuando logró el primer premio de Cartomagia en el XII Congreso Mundial de Magia en París. No te pierdas el video de Youtube con la representación para el programa Txan-tata-txan (primera parte y segunda parte). El juego que describimos en esta ocasión puede considerarse un clásico de la magia. Inventado, aparentemente, por Francis Carlyle, incluido en el repertorio de los grandes maestros John Mulholland, Nate Leipzig y Dai Vernon, y descrito por John Scarne en el libro "Scarne on card tricks" de 1950 (aunque ahora se sospecha que contrató a un "negro", Benjamin Braude). Sólo hará falta una baraja, un ayudante con dotes de pianista y saber contar hasta dos. Pide a tu ayudante que coloque las manos sobre la mesa imitando la postura de un pianista frente al piano. Coloca dos cartas entre los dedos meñique y anular de su mano derecha, pidiéndole que las sujete ligeramente, diciendo simplemente: "Aquí hay dos cartas, un número par." Coloca otras dos cartas entre los dedos medio y anular de su mano derecha diciendo: "Aquí también hay dos cartas, otro número par." Repite la misma acción con el resto de intersecciones interdigitales de ambas manos, colocando siempre dos cartas y recalcando en cada caso que el número de cartas colocadas es par, con una excepción: entre los dedos meñique y anular de la mano izquierda colocas sólo una carta. Di entonces: "Y aquí hay una carta, que es un número impar." La situación es ahora la indicada en la figura adjunta. Recoge ahora las dos cartas que están entre los dedos meñique y anular de la mano derecha y colócalas sobre la mesa formando dos montones. Repite de nuevo: "Aquí hay dos cartas, un número par." La figura siguiente ilustra esta acción. Retira las dos cartas que están entre los dedos mayor y anular de la mano derecha y las colocas también sobre la mesa: una de ellas en el montón de la derecha y la otra en el montón de la izquierda. Recalca el hecho: "Y aquí otras dos cartas, también un número par." Continúa repartiendo el resto de parejas de cartas sobre la mesa, siempre dejando una sobre cada montón y siempre confirmando que se trata de un número par. Cuando llegues a la carta aislada, pide a tu ayudante que elija uno de los montones sobre el que colocar dicha carta. Coloca la carta en el montón elegido y confirma que ahora dicho montón es el impar. Pasa las manos ligeramente sobre ambos montones afirmando que la carta impar va a viajar mágicamente. Recoge el montón que contenía la carta impar y reparte sobre la mesa las cartas de dos en dos, diciendo: un par, un par, un par y un par. ¡La carta impar ha desaparecido de este montón! Recoge el otro montón y reparte parejas de cartas sobre la mesa: un par de cartas, un par de cartas, un par de cartas y una carta. ¡La carta impar ha pasado a este montón! Comentarios finales. ¿A ti te ha sorprendido? Pues lo normal es que este juego sorprenda a la mayoría, por muy evidente que parezca al leerlo. La sutileza del lenguaje utilizado hace que la explicación pase desapercibida. Puede ser muy instructivo explicar a los niños el concepto de número par e impar mediante este juego. Entenderán muy fácilmente que la división por dos de un número par no necesariamente es par. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco) Esta dirección electrónica esta protegida contra spambots. Es necesario activar Javascript para visualizarla

Miércoles, 01 de Febrero de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

46. 157. (Febrero 2018) Tu signo del zodiaco

Como ya es sabido, muchas de las supersticiones, falsas creencias y verdaderas falsedades son aprovechadas con más o menos éxito por los magos/mentalistas para demostrar sus dotes adivinatorias o para poner de manifiesto sus habilidades psíquicas. Con una adecuada mezcla de psicología aplicada, habilidad técnica y matemática elemental, un mago consigue que un resultado inevitable parezca un verdadero milagro. Una de las especialidades de la magia, llamada lectura en frío, combina de forma adecuada estos ingredientes y convierte al mago en un sorprendente médium, con grandes poderes mentales. Un viejo principio, llamado "principio de los anagramas progresivos", es el responsable del toque matemático que hace infalible la adivinación del mago. La historia de este principio, como todas las que involucran la raza humana, está repleta de acontecimientos que no están del todo claros y de falsas atribuciones. Parece que fue Stanley Collins (1881-1966), en la década de 1920-30, el primero en utilizar el principio de los anagramas progresivos en un juego de magia, el cual le permitía adivinar palabras a partir de ciertas letras. Fue publicado en 1922 en el folleto "A holiday in Morocco". Bastante tiempo después -en el volumen 18 de la revista TOPS (marzo de 1953)- aparece publicado el juego "Anagramatic Facsimile", escrito por Stewart James, donde se adivina una palabra en relación con un poema. La primera vez que se utiliza este principio en el contexto del zodiaco debió ser en 1986, con el juego de Bob Farmer titulado Fate accompli, juego que adaptó poco después, bajo el título Signse, Thomas Alan Waters en su monumental obra Mind, Myth and Magick. Muchos otros magos han creado diferentes versiones del juego lo que demuestra el interés que ha despertado este principio. En el volumen 9 de la serie Mentalism Masterclass, Peter Turner recopila varios juegos de adivinación del signo zodiacal utilizando el principio citado y, de forma similar, Patrick Schlagel ofrece un recorrido histórico del principio y desarrolla diversos métodos en su obra Mnemosigh. La pregunta que nos hacemos entonces es: ¿en qué consiste el principio de los anagramas progresivos? A quienes hemos estudiado alguna vez cuestiones de programación nos recuerda a los diagramas de flujo, representaciones gráficas de procesos algorítmicos que son susceptibles de programar en algún lenguaje informático pero tienen la ventaja de poder interpretarse fácilmente. Pero, como dice Kevin Dunn, la mejor forma de explicar el principio es a través de algún ejemplo. Como él lo cuenta en inglés, aquí lo transcribimos tal cual: What frisky anxious monster doesn't consider nearsighted maidens. Piensa una palabra de esta frase. ¿Contiene la letra S? Si no, la palabra pensada es "What". ¿Contiene la letra N? Si no, la palabra pensada es "frisky". El proceso continúa de forma similar y permite adivinar cualquier palabra pensada. La clave está en la última palabra "maidens", la cual irá deletreando el mago de forma regresiva, primero la S, luego la N, después la E, D, I, A y, por último, la M. Un "no" a la primera pregunta corresponde a la primera palabra de la frase; un "no" a la segunda pregunta determina la segunda palabra, y así sucesivamente, hay una correspondencia biunívoca entre las siete letras de la palabra clave y las siete palabras de la frase. Evidentemente, si la respuesta a todas las preguntas es "sí", la palabra pensada es la última. Además, el mentalista siempre podrá afirmar que no va a recibir más de una respuesta negativa a sus preguntas/adivinaciones. La página de Kevin Dunn contiene también un programa informático para construir tus propias frases que permitan aplicar el principio de los anagramas progresivos. Si te armas de paciencia, puedes construir otros ejemplos y estaríamos muy agradecidos si los compartes en este rincón. Lo que proponemos en esta ocasión es la versión más extendida, la de adivinar el signo del zodiaco. A continuación te muestro el diagrama de flujo que deberás imprimir pues te servirá de "chuleta" cuando quieras hacer el juego. Para no dar a conocer el diagrama e, incluso, dar mayor impresión de poder mental, es mejor hacer el juego por teléfono. A modo de indicación sobre la forma de utilizar este gráfico, te daré un par de ejemplos. En ambos casos, el espectador tiene que saber cuál es su signo del zodiaco y debe responder algunas preguntas que debes formular en clave de pseudoadivinación. Primer ejemplo: Pregunta si la palabra contiene la letra I. El espectador contesta que sí. Sigues la flecha que parte de la letra I hacia abajo y te encuentras la letra R. Pregunta ahora si la palabra contiene la letra R. El espectador contesta que sí. Recorres nuevamente la flecha que parte de la letra R hacia abajo y te encuentras con la letra A. Pregunta si la palabra contiene la letra A. El espectador vuelve a contestar que sí. Vuelves a buscar la siguiente letra a partir de la flecha que sale de la letra A hacia abajo. Te encuentras la letra S. Pregunta si la palabra contiene la letra S. El espectador contesta que no. Al seguir la flecha que sale de la letra S hacia arriba te encuentras la letra C. Explica al espectador que has confundido la letra S con la letra C, como ocurre en países sudamericanos o en regiones del sur de España, de modo que pregunta si la palabra contiene la letra C. El espectador contesta que sí, de modo que buscas la siguiente letra en el diagrama a la que se llega desde la flecha que sale de la letra C hacia abajo, la letra P. Pregunta si la palabra contiene la letra P. El espectador contesta que no y tú afirmas categóricamente que su signo es ACUARIO, pues la flecha que sale de la letra P hacia arriba lleva a dicho signo. Segundo ejemplo: Pregunta si la palabra contiene la letra I. El espectador contesta que no. Sigues la flecha que parte de la letra I hacia arriba y te encuentras la letra A. Pregunta si la palabra contiene la letra A. El espectador contesta que no. La flecha que sale de la letra A hacia arriba lleva al signo LEO, de modo que puedes desvelar el signo del espectador añadiendo algún comentario sobre el hecho de haber respondido que no a las dos preguntas, ¡algo característico en los nacidos entre el 23 de julio y el 23 de agosto, como todo el mundo sabe! Si tienes la paciencia de escribir la secuencia de preguntas y respuestas correspondientes a cada signo del zodiaco, comprobarás que, en todos los casos, el número máximo de respuestas negativas es dos. Esto hace que el mentalista pueda justificar esas respuestas negativas con alguna de sus excusas más socorridas: ¡la astrología no es una ciencia exacta! o ¡el espectador no transmite demasiado bien sus pensamientos! Comentarios finales: Algunos programas de ordenador permiten elaborar diagramas similares para adivinar cualquier palabra mediante el uso de los anagramas progresivos, por ejemplo el llamado Panagram creado por Colin Miller y Jamie Badman. Una moderna evolución del principio es el llamado "principio de los anagramas transgresores", cuyas características básicas se desarrollan en un ejemplo cuyo funcionamiento puede leerse en el número de octubre de 2016 de la revista The Jerx. Otro toque matemático que puede añadirse al tema consiste en jugar con la Estadística y preguntarse cuáles son los signos de zodiaco más comunes. En la siguiente gráfica se muestra el resultado de un estudio sobre las frecuencias de los cumpleaños: lo más común es nacer durante los meses de verano, así que es más probable ser Cáncer, Leo, Virgo o Libra. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Jueves, 01 de Febrero de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

47. 132. (Noviembre 2015) Sé lo que estás pensando

El mentalismo es una de las especialidades de la magia que está más próxima a las matemáticas. El mago que se autodenomina mentalista consigue realizar sus adivinaciones y predicciones mediante un surtido de técnicas, muchas de las cuales consisten en explotar propiedades matemáticas que permiten asegurar el resultado previsto. Evidentemente, para fortalecer la sensación de poseer poderes mentales, el mago debe ocultar convenientemente los principios utilizados en el juego o experimento que propone. Si dichas propiedades son sencillas (por ejemplo, las entradas de marzo de 2004 o febrero de 2012), la puesta en escena debe estar preparada más cuidadosamente, con el fin de ocultarlas. En otros casos, no son tan conocidas las propiedades en las que se basa un juego (por ejemplo, las entradas de febrero de 2010 o diciembre de 2013), de modo que la presentación no necesita estar muy elaborada. Este proceso de convertir en juego de magia una simple curiosidad matemática ha ocupado a muchos magos a lo largo de los tiempos. Y hoy vamos a ilustrarlo con un ejemplo. Siempre es muy difícil situar el origen de un juego en un lugar o autor concreto. Digamos que la historia comienza el año 1951, cuando Bob Hummer pone en el mercado el juego "Mathematical three-card monte", citado ya en este rincón (julio de 2013). En 1954, Jack Yates publica el libro “Minds in close up” que contiene un juego donde muestra un método de adivinación utilizando cuatro objetos, el cual está basado en el efecto de Bob Hummer. Este juego está descrito en el omnipresente libro "Mathematics, magic and mystery" (1956), de Martin Gardner, bajo el título "Yates' four-object divination". Otra descripción del juego de Yates aparece en el libro “Big book of magic tricks” (1977) de Karl Fulves bajo el título "The parity principle". El principio matemático se convierte en juego de magia el año 1974, cuando Paul Curry publica el juego "A penny for your thoughts", en el libro "Paul Curry presents" (aunque también se incluye en la antología "Paul Curry's worlds beyond", publicada en 2001). Por cierto, este Paul Curry (1917-1986) fue un famoso mago aficionado conocido mundialmente por su juego "Fuera de este mundo" y por el puzle "La desaparición del cuadrado". ¿Cómo ha quedado el juego después de este proceso? Como una demostración de habilidad psíquica del mago. Por mucha libertad de movimientos que tenga el espectador, el mago podrá predecir el punto final de su recorrido. Veamos con detalle el proceso. Busca una hoja de papel y recórtala en seis trozos. Luego escribe en cada una de ellos una letra, de la A a la F. Coloca los seis trozos sobre la mesa, formando una fila. Busca ahora una baraja y saca seis cartas, del 2 al 7, de cualquier palo. Retira el resto, que ya no nos servirán. Mezcla las seis cartas y colócalas en la mesa caras arriba, cada una debajo de uno de los trozos de papel. Te quedará una disposición parecida a esta imagen (aunque el orden de las cartas sea otro): Ahora sigue cuidadosamente las siguientes instrucciones. Te daré bastante libertad de movimientos pero no podrás escapar a mi control mental. Intercambia el siete con cualquier carta que esté bajo una vocal. Cambia el cuatro con el cinco. Cambia el dos con el siete. Retira la carta que está bajo la letra F. Cambia la carta de menor valor con cualquiera de las que estén a su lado. Retira la carta que está bajo la letra A. Intercambia de posición las dos cartas de mayor valor. Retira la carta que está bajo la letra E. Cambia la carta de menor valor con cualquiera de las que estén a su lado. Retira la carta que está en la posición de la letra B. Quedan dos cartas que ocupan las posiciones de las letras C y D. Retira la carta que bajo la letra D. Queda una carta y ocupa la posición C. Ya sé que esto no es una buena adivinación. Lo difícil es saber la carta que queda. Concéntrate en la carta. ¡Ya sé lo que estás pensando! Pincha en la imagen para comprobarlo. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Lunes, 09 de Noviembre de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

48. 156. (Enero 2018) Dados estrellados

Ya se ha convertido en una tradición findeañera, de momento para aficionados a la numerología matemática, pero que se hará popular con el tiempo. Me estoy refiriendo a las combinaciones aritméticas y propiedades intrínsecas del número que representa el año que está a punto de empezar. Hagamos un pequeño resumen de las curiosidades obtenidas por el incansable Antonio Roldán. Después de que el año 2017 fuera primo, 2018 es producto de dos primos, 2018 = 2 x 1009. No habrá otro primo hasta 2027. También es suma de dos primos, 2018 = 7 + 2011 (esto no es destacable porque la conjetura de Goldbach asegura que esto es cierto para todos los números pero en este caso hay 28 combinaciones distintas con esta propiedad). Es un número capicúa, 2018 = 454 454 = 445 544 445 544, pero con algunas operaciones intermedias 2018 = 42 + 52 + 442 + 52 + 42 2018 = 4 x 4 + 5 x 5 + 44 x 44 + 5 x 5 + 4 x 4. Con las primeras cifras de los números π y e se llega "cómodamente", 2018 = 314 x (1 - 5 + 9 + 2) - (65 + 3 + 5!) + 8; 2018 = 271 x 8 - 2 x 81 + 8 + 2 + 8/4. Una vez cumplido el ritual, pasamos al juego de este mes, que irá acompañado de algún reto para que ocupes el tiempo de asueto que se avecina. En ambos casos, vamos a continuar con el tema desarrollado en la pasada entrega utilizando dados pero en un entorno navideño, a partir del diseño de una estrella, como las que adornan gran cantidad de lugares, tanto públicos como privados. El juego es una idea del mago Pepe Medina, y apareció en el primer número de la revista "El Manuscrito", la mejor publicación sobre magia escrita en castellano. Como verás, la imagen adjunta muestra una estrella de seis puntas, cuyos lados se cortan formando un hexágono. Hemos colocado unos dados en cada vértice del hexágono y unas flechas que unen los lados y las diagonales que pasan por el centro. Vas a realizar un pequeño recorrido por la estrella y veremos si puedo adivinar el resultado final. Lanza un dado y coloca un dedo en la imagen del dado correspondiente al resultado. Si no tienes un dado a mano, puedes hacerlo mentalmente, es decir debes elegir un número del uno al seis. Ahora vas a moverte por la figura y dar tantos pasos como indica el número donde te has colocado. Por ejemplo, si tienes el dedo sobre el número tres, debes dar tres pasos. Cada paso debe consistir en un movimiento a lo largo de cualquiera de las flechas, ya sea a un lado adyacente del hexágono o a través de una diagonal. Habrás llegado al final a otro dado (o al mismo, dependiendo del recorrido que hayas elegido). Creo que no se trata del tres, así que vamos a eliminar dicho número y, en sucesivos movimientos, ya no pasarás por allí. Mira el número del dado al que has llegado y repite el proceso anterior: recorre la figura siguiendo las flechas y dando tantos pasos como indica este último valor. Recuerda que no debes pasar por el tres, pues está eliminado. Creo que esta vez no has llegado al uno así que lo vamos a retirar también. De ahora en adelante, no pasarás por este punto. Haz un último recorrido por la figura, esta vez dando tres pasos, siempre respetando las reglas establecidas. Observa el número del dado correspondiente al final del camino. Creo que ya sé cuál es. Haz clic en el dado de abajo y comprueba si he acertado. Terminamos con un par de pasatiempos con los dados en forma de retos, uno de ellos de habilidad y el otro de lógica (o de paciencia, lo que mejor se te dé). El primero: con tres dados iguales, el objetivo consiste en colocar dos de ellos sobre el tercero, de forma que queden en equilibrio como se muestra en la imagen (tendrás que superar las leyes de gravedad): Para el segundo reto, necesitas cuatro dados iguales, que colocarás formando un cuadrado con el seis a la vista en cada uno de ellos y en la misma dirección, algo así como se ve en la imagen: En tres movimientos, deben quedar los dados con los seises a la vista, formando también un cuadrado, pero con la imagen de los seises girada 90 grados entre ellos, como se muestra en la imagen: Lógicamente, hay algunas reglas: cada movimiento consiste en agarrar dos dados simultánemante con una mano, levantarlos de la mesa y colocarlos de nuevo sobre la mesa en otra posición. Por ejemplo, un movimiento válido es el mostrado a continuación (se han tomado los dos dados de la derecha y se han trasladado a una posición superior): Pero también sería válido, por ejemplo, este otro (los dos dados de la derecha se han colocado encima de los otros dos): Recuerda, en tres movimientos válidos debes pasar de la posición inicial a la posición final. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Martes, 02 de Enero de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

49. 155. (Diciembre 2017) ¡Que rueden los dados!

Gracias a que son fácilmente reconocibles, que su presencia sugiere algún tipo de entretenimiento y que están formados por números, los dados son protagonistas de muy diversos juegos de magia con alguna componente matemática o sin ella. Inolvidable es el número con el que el gran mago gallego Camilo Vázquez ganó el gran premio mundial de magia que se celebró en París en 1973 mezclando la técnica del "apilamiento de dados" con grandes dosis de sorpresa y entretenimiento. Relacionado con las matemáticas, ya han aparecido en este rincón varios juegos con dados: por ejemplo, con "la magia de los dados" en marzo de 2006 y abril de 2006 o con "todos ganan a todos" en diciembre de 2007, incluso con "los dados imaginarios" en junio de 2012 o con "los dados relámpago" en enero de 2014. Un clásico de la literatura mágica como es el libro "Modern magic" del profesor Hoffmann, publicado a principios del siglo XX, contiene una sección titulada "Tricks with dice, dominoes, etc." que se comercializó de forma independiente. En esta ocasión, vamos a hacer un juego que explota otra sencilla pero curiosa propiedad de los dados. Debes buscar un dado y una hoja de papel en la que dibujarás un cuadrado y colocarás el dado en su interior, como en la figura. Necesitas además alguien a quien realizar el juego. Este será el proceso que has de seguir: Pide a tu ayudante que lance el dado sobre la mesa y, sea cual sea el resultado, coloque el dado en el cuadrado dibujado en el papel. En este momento le pides que gire el dado noventa grados en cualquier dirección. Por ejemplo, a partir de la imagen anterior, puede girar el uno hacia la derecha o hacia la izquierda, dejando el cuatro en la cara superior; pero también puede girar el cuatro hacia cualquiera de las cuatro direcciones -delante, detrás, izquierda, derecha-, quedando ahora como cara lateral. En total tiene seis posibles elecciones. Una vez que tu ayudante ha entendido el sistema, te vuelves de espaldas y le pides que gire el dado noventa grados cinco veces, de modo que no puedas saber cuál es su posición final. De hecho, si para cada movimiento tiene seis posibles elecciones, en total tendrá 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 7776 opciones. A continuación, tu ayudante debe elegir, sin avisarte ni dar ninguna indicación, si quiere girar el dado noventa grados una vez más o prefiere dejarlo como está. Tanto si lo ha hecho como si no, te avisa al terminar o al cabo de unos segundos. En este momento te vuelves de nuevo y, tras una rápida mirada a la posición del dado, adivinas si el espectador ha decidido hacer el último movimiento o lo ha dejado como estaba. Como hemos adelantado, la explicación es sencilla pero ingeniosa: debes fijarte en las tres caras del dado que puedes ver simultánteamente y sumar sus valores (en la figura anterior, la suma es 1+2+4=7). ¡Cada giro de noventa grados cambia la paridad de dicha suma! Así pues, cinco giros hacen que la suma de las tres caras que están a la vista tenga distinta paridad que la suma inicial. Cuando veas el dado al final del proceso, basta que sumes nuevamente los tres números que están a la vista. Si la paridad de esta suma coincide con la inicial, tu ayudante ha hecho el último cambio; si la paridad es diferente, no lo ha hecho. Como la probabilidad de acertar es del 50%, la sorpresa aumenta cuando se repite alguna vez más y se deja elegir el número de giros que pueden hacerse con el dado. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Viernes, 01 de Diciembre de 2017 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

50. 154. (Noviembre 2017) El truco más complicado de la historia

El uno de noviembre de 2017 se cumplen exactamente 103 años, 6 meses y 13 días desde el fallecimiento de Charles Santiago Sanders Peirce. Ante esta fecha tan señalada, no podemos dejar pasar la oportunidad de reseñar la componente mágico-matemática de este personaje. Charles Peirce fue un famoso filósofo norteamericano del siglo XIX y parte del XX, segundo hijo de Sarah Hunt Mills y del matemático Benjamin Peirce (dicen que la figura más prominente de la matemática estadounidense de la primera mitad del siglo XIX). Nació en Cambridge, Massachussets, el año 1839 y fue -junto a William James y John Dewey- el fundador del pragmatismo, teoría filosófica basada en que la verdad se caracteriza por la insistencia de las consecuencias. Parece que el punto de partida de sus ideas filosóficas fue la definición "la matemática es la ciencia que señala las conclusiones necesarias", establecida por su padre en el libro Linear Associative Algebra, de 1872. Sobre nuestro personaje, nos limitaremos a reproducir algunas palabras que escribió Max Fisch en el prólogo del libro “The Play of Musement” de T.A. Sebeok: "¿Quién es el intelectual más original y versátil que ha producido América? Es indudable que se trata de Charles Peirce, pues el segundo de la lista está tan lejos de él que no merece la pena ser nombrado. Él fue, entre otras cosas, matemático, astrónomo, químico, cartógrafo, ingeniero, inventor, así como psicólogo, filólogo, historiador de la ciencia, eterno estudiante de medicina, pero también dramaturgo, actor, escritor, lógico, retórico y metafísico. El artículo "The mathematics of Charles Sanders Peirce" de Louis Kauffman, publicado en Cybernetics & Human Knowing (2001), constituye una especie de resumen de su obra matemática, con especial dedicación a sus contribuciones en lógica. A Peirce le interesaba también la educación matemática y trataba de ilustrar sus explicaciones con todo tipo de entretenimientos. El tercer libro del cuarto volumen de sus Obras Completas se titula The amazing mazes y está dedicado a enseñar ciertos temas de aritmética disimulados en forma de juegos de magia que el autor denomina recreaciones. En sus propias palabras: "Si logras hacerte, querida Bárbara, con un mazo completo de naipes, te haré tragar una leccioncita de matemáticas tan fácilmente como una cucharada de aceite de ricino con un vaso de leche." Una de estas leccioncitas fue descubierta por el mago Tom Ransom casi 100 años después y publicada en la revista de magia Ibidem bajo el título "el truco de cartas más complicado del mundo", probablemente a causa de un par de sutiles principios matemáticos relacionados con la combinatoria y la aritmética modular en los que se basa el juego. Si quieres disfrutar con la profundidad intelectual de nuestro personaje, sigue las instrucciones del juego con las cartas en la mano. De hecho, como dice el propio Peirce, "debido a las leyes inexorables de la Psicología, si no tomas realmente las cartas para seguir todo el proceso, toda esta descripción no tendrá ningún sentido para ti". PRIMERA RECREACIÓN Busca las trece cartas del palo de corazones (del as al rey) y ordénalas de menor a mayor de modo que, estando el montón caras hacia abajo, el as sea la carta superior. Deja el paquete sobre la mesa. Repite la misma operación con las cartas de picas pero eliminando el rey. Sujeta este paquete en la mano. Reparte las cartas de la mano en dos montones sobre la mesa, girándolas cara arriba, alternativamente a izquierda y derecha. Retira la última carta repartida (que será la dama de picas) y déjala a un lado, para formar con ella un tercer montón, de cartas desechadas. En el lugar que debía ocupar la carta retirada del montón de la derecha (la dama de picas) coloca la primera carta del paquete de cartas rojas (as de corazones). Reagrupa ambos montones colocando el de la izquierda sobre el de la derecha. Vuelve cara abajo este paquete y repite el procedimiento indicado en los pasos 3, 4, 5 y 6 (ahora el dos de corazones será la carta que sustituye a la jota de picas, la cual colocarás en el montón de cartas desechadas, sobre la dama de picas). Vuelve a repetir hasta 12 veces el proceso anterior hasta acabar el montón de cartas rojas. Curiosamente, a pesar de que había cada vez más cartas rojas para repartir, el paquete desechado está formado sólo por cartas negras. Coloca el último rey rojo bajo el paquete de cartas rojas, caras hacia abajo. ¿Quieres saber por qué se cumple la propiedad anterior? Resulta que las cartas negras siguen una interesante secuencia: cada una de ellas es igual a la anterior multiplicada por dos, módulo 13, es decir que si el producto es mayor que 12, se resta 13. Es curioso que las sucesivas potencias de dos, módulo 13, dan siempre resultados diferentes: 20 = 1, 21 = 2, 22 = 4, 23 = 8, 24 = 3, 25 = 6, 26 = 12, 27 = 11, 28 = 9, 29 = 5, 210 = 10, 211 = 7. Seguimos: la posición actual de las cartas debe ser la siguiente (de dorsos a caras): Negras Q  J  9  5 10  7  A   2  4  8  3  6 Rojas 7  8  J  9   4  Q  6 10  3  5  2  A   K De forma sorprendente, las cartas están ahora dispuestas para otro efecto de adivinación. SEGUNDA RECREACIÓN Entrega uno de los montones a un espectador, el que quiera, y quédate con el otro. El espectador mira sus cartas y pregunta la posición que ocupa cualquiera de ellas. Basta que mires tus propias cartas para adivinarla. A continuación, el espectador pregunta por el valor de la carta que ocupa una posición determinada y tú también la adivinas rápidamente. La propiedad que permite lograr esta doble adivinación es: Si la n-ésima carta de un paquete tiene el valor k, la k-ésima carta del otro paquete tiene el valor n. Así, por ejemplo, si queremos saber en qué lugar está el 4 de corazones, buscamos la cuarta carta del paquete negro. Como se trata del cinco de picas, el cuatro ocupa la quinta posición. Del mismo modo, para saber qué carta está en séptima posición del paquete rojo, buscamos el siete de picas en el paquete negro. Como está es la sexta carta, el seis de corazones será la séptima carta del paquete rojo. Es posible sorprender más aún a los espectadores mezclando (aparentemente) nuevamente las cartas de la siguiente forma: Se corta por cualquier lugar el paquete de cartas rojas. Se elige un número k, comprendido entre 1 y 12, y se reparten k montones cara arriba, de izquierda a derecha. Se recomponen los montones del modo siguiente: Se designa por O al último montón de la derecha y se cuenta hasta el montón que recibió la última carta (pensando los montones como formando un círculo) bien en sentido horario o antihorario, el que sea más corto. Sea m dicho valor, y h el sentido del movimiento seguido para llegar a m. Se toma un montón cualquiera y se coloca sobre el montón situado m lugares en sentido h. Con el montón formado se hace la misma operación (se coloca sobre el que está m posiciones en sentido h) hasta recomponer el paquete. Por último, se corta de modo que el rey quede en la parte inferior. Se observa el valor de la carta que queda en la parte superior, digamos m, y se corta el otro paquete de modo que el as ocupe la m-ésima posición. Incluso después de estas mezclas y cortes todavía se mantienen las propiedades de reciprocidad entre los paquetes de cartas rojas y negras. Comentarios finales: Según indica Alex Elmsley en el juego Pierce Arrow (publicado en el primer volumen de sus obras completas), los pasos 4 y 5 de la primera parte pueden modificarse haciendo que la carta que se retira en cada reparto y se sustituye por una roja no sea la última sino la que ocupe cualquier lugar (siempre el mismo) en el paquete de las negras. En el artículo "Apuesta exponencial perdedora", del blog magiaporprincipios.blogspot.com, trato de justificar esta propiedad y estudiar si es posible realizar el juego con un número distinto de cartas. Kurt Eisemann, en el artículo Number-theoretical analysis and extensions of "The Most Complicated And Fantastic Card Trick Ever Invented" publicado en la revista American Mathematical Monthly (1984), simplifica el largo proceso anterior y ordena directamente las cartas negras de modo que los valores de las cartas sucesivas representen las potencias módulo 13 de su raíz primitiva 2. Esto produce la secuencia 1 - 2 - 4 - 8 - 3 - 6 - 12 - 11 - 9 - 5 - 10 - 7. En este artículo también se ofrece una justificación teórica de estos principios, así como la generalización a paquetes con otro número de cartas. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Miércoles, 01 de Noviembre de 2017 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico