31. 171. (Mayo 2019) Con dos incógnitas

Deja sobre la mesa 20 monedas y vuélvete de espaldas al espectador. Instrúyele para que retire un pequeño grupo de monedas y las guarde en su bolsillo. A continuación que cuente el número de monedas restantes, sume las dos cifras del número y retire de la mesa ese número de monedas, guardándolas también en el bolsillo. Por último, que tome otro grupo de monedas y las oculte en la mano, cerrando el puño. Cuando te vuelves de cara al espectador, cuenta secretamente el número de monedas restantes. Ya puedes adivinar el número de monedas que tiene el espectador en su puño cerrado. ¿Sabes cómo? El juego anterior fue planteado hace bastante tiempo en este rincón (número 93, abril de 2012). La explicación está basada en una sencilla regla aritmética: si se resta a un número la suma de sus cifras, el resultado es múltiplo de nueve. Así, después de la primera operación, en la mesa siempre habrá nueve monedas (salvo que el espectador haya retirado más de la mitad al principio y, cuando retire esa cantidad, no queden monedas en la mesa). En definitiva, basta contar las que quedan en la mesa para saber cuántas tiene el espectador en su mano. Otras muchas propiedades aritméticas de divisibilidad se pueden adaptar fácilmente a juegos de adivinación. Ya citamos en el número 160 de este rincón (mayo de 2018) un elaborado juego basado en las reglas de divisibilidad por siete. El más sencillo, y clásico a la vez, es el que describimos también en este rincón (número 47, febrero de 2008), aparecido en el último capítulo del libro titulado «Triparty en la science des nombres», escrito en 1484 por Nicolas Chuquet. En este juego se utilizan dos monedas y está basado en una simple propiedad de paridad: cualquier múltiplo de un número par es par y la suma de dos números pares también es par. Se puede ampliar el alcance de este juego utilizando un número mayor de monedas como propone Franka Miriam Brueckler en su artículo Guessing the numbers, el cual traducimos ahora para este rincón. Debes tener preparadas unas cuantas monedas en el bolsillo, pero también debes saber cuántas tienes. Saca del bolsillo un puñado de monedas y entrégaselas a un espectador. Pídele que esconda unas cuantas en una mano y el resto en la otra mano pero sabiendo el número de monedas que tiene en cada mano. Indica al espectador que multiplique por cuatro el número de monedas que tiene en la mano izquierda y por cinco el número de monedas que tiene en la mano derecha. Por último, que sume ambos valores y te diga el resultado. Por ejemplo, si tiene 6 monedas en la mano izquierda y 4 en la mano derecha, debe realizar las operaciones: 6 x 4 + 4 x 5 = 44. Con ese único dato, rápidamente adivinarás cuántas monedas tiene en cada mano. Es fácil comprender por qué es posible la adivinación: basta resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas pues, si llamamos X e Y al número de monedas que tiene el espectador en la mano izquierda y derecha, respectivamente, el sistema tiene la forma que vemos en la imagen siguiente donde A es el número total de monedas y B es el dato proporcionado por el espectador. También se comprende fácilmente que se pueden plantear diferentes variantes del juego, cambiando los números por los que se multiplica cada cantidad (siempre que no sean iguales ya que el sistema no tendría solución única). El hecho de que estas cantidades sean consecutivas simplifica el cálculo mental con el que se adivina la cantidad de monedas de cada mano; en el juego anterior, se ve rápidamente que B = 4X + 4Y + Y = 4A + Y. Por tanto, cuando el espectador anuncia el valor de B, basta restar B - 4A para saber cuántas monedas tiene en la mano derecha. Si tienes desarrolladas tus habilidades de cálculo mental, puedes incluso pedir a otra persona que proponga los números con los cuales multiplicar las cantidades X e Y. Esto aumentará la sensación de imposibilidad para quienes no hayan descubierto que se trata de un sistema lineal de ecuaciones. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

Miércoles, 01 de Mayo de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

32. 170. (Abril 2019) Las tarjetas perforadas

Recordemos que el mes pasado (rincón matemágico 169) presentamos una secuencia de juegos descrita por Javier Serrano donde los protagonistas eran varias cartas que tenían unas ranuras y perforaciones en diversos lugares. Queremos en esta ocasión entender el funcionamiento de estos juegos pero también rastrear su origen y posterior evolución. Parece evidente que la dualidad ranura/agujero pone de manifiesto la clásica representación binaria sí/no, 1/0, ON/OFF, y las distintas posiciones en las que están hechas las ranuras y los agujeros reflejan a su vez la característica posicional del sistema binario. De este modo, cada carta se caracteriza por su valor en este sistema binario, escrito en esta ocasión como combinación de agujeros (para representar la cifra 0) y ranuras (que representan la cifra 1). Si repasamos las imágenes de las cartas, podemos darnos cuenta cómo las incisiones determinan su valor, en código binario, salvo el ocho que identificamos con el cero porque, en caso contrario, tendría cuatro cifras. Entendemos entonces que, al atravesar la posición de las unidades con el clavo, solo se desprenden las cartas que tienen un uno en dicha posición: las impares; al atravesar la posición que representa las decenas, las cartas que se desprenden son el 2, 3, 6 y 7; por último, al atravesar con el clavo la posición de las centenas, las únicas cartas que se desprenden son el 5, 6, 7 y 8. Al hacer las separaciones en este orden -derecha, centro, izquierda- colocando cada vez las cartas separadas detrás de las que han quedado atrapadas (con las caras a la vista), el resultado final es que las cartas se han ordenado, empezando por el 8 que representa el cero. Puedes seguir el proceso paso a paso: la primera vez han quedado encima los números pares, en cualquier orden; la segunda vez quedará una secuencia de dos pares (el cuatro y el ocho), dos impares (el uno y el cinco), dos pares y dos impares; la tercera vez ya estarán todas alternadas, par (el ocho), impar (el uno), par (el dos), etc. ¿Recuerdas algún juego similar donde la posición de los unos y ceros en la representación binaria de los números permite hacer adivinaciones? Cierto, el de las tarjetas binarias que citamos allá por el año 2005 (rincón matemágico 13) y sus numerosas secuelas (rincón matemágico 49, rincón matemágico 51, rincón matemágico 104, rincón matemágico 163). La novedad de esta versión es que los números se sustituyen por las correspondientes incisiones en las tarjetas, como se hacía en los albores de la informática. Fue Martin Gardner, por lo que sabemos, el primero en presentar esta variante de las tarjetas binarias. El primer capítulo del libro "Nuevos pasatiempos matemáticos", traducción de "New mathematical diversions" (publicado por primera vez en 1966), reproduce el artículo titulado "Some recreations involving the binary number system", aparecido en el número 203 (diciembre de 1960) de la revista Scientific American. En este artículo se muestra un conjunto de 32 cartulinas (claro, una potencia de dos) que presentan ranuras y perforaciones según el esquema que hemos indicado antes (la ranura corresponde a la cifra "1" y el agujero corresponde a la cifra "0"), de modo que están representados todos los números del cero al 31 en su notación binaria. Después de mezclar todas las cartulinas, se cuadran para que queden las perforaciones alineadas, se pasa un clavo o una varilla por el hueco de la derecha dejando que caigan las tarjetas que no tienen agujero; se colocan estas tarjetas en la mesa, letras hacia abajo, y sobre ellas se colocan las que habían quedado sujetas. Se repite esta operación con el resto de perforaciones, de derecha a izquierda, siempre colocando las tarjetas que queden sujetas sobre las que queden sueltas. Al final del proceso, las letras escritas en las tarjetas se habrán ordenado para formar un mensaje, en inglés, que seguro compartes. En realidad, el proceso anterior solo ordena los valores numéricos asignados a las cartulinas, de modo que es fácil preparar un conjunto de cartulinas con cualquier mensaje y hacer algún juego de predicción. Es también interesante el uso que Martin Gardner hace de estas tarjetas como "simulador" de tablas de verdad en lógica. Basándose en el ábaco lógico o piano lógico (como el ilustrado en la figura adjunta) ideado por el economista británico William S. Jevons, se puede establecer si un razonamiento lógico es verdadero o falso. Veamos a grandes rasgos el funcionamiento del sistema: todo razonamiento consta de un conjunto de premisas, que se suponen ciertas, y una conclusión, que debe ser consecuencia de las premisas. Si cada premisa involucra no más de cinco proposiciones simples, se puede representar por un conjunto de nuestras tarjetas perforadas. Insertando adecuadamente la varilla por las tarjetas, se van eliminando aquellas que hacen que las premisas sean falsas quedando al final un pequeño grupo de tarjetas. Si alguna de ellas contiene la negación de la conclusión de nuestro razonamiento, deduciremos que dicho razonamiento es falso. La figura con el modelo de tarjetas de Gardner ya contempla esta opción porque, además de las letras con las que se ha formado el mensaje, se señalan las cinco proposiciones A, B, C, D y E, así como sus negaciones A, B, C, D y E. Por ejemplo, la tarjeta con tres ranuras y dos agujeros, que corresponde al número binario 11100, indica que las proposiciones A, B y C son ciertas, mientras que las proposiciones D y E son falsas. Si has estudiado lógica proposicional en algún momento (si no, seguro que puedes encontrar en la red bastante material para empezar), puedes jugar con las tarjetas realizando las comprobaciones de los razonamientos básicos: ¿te suenan las frases PONENDO PONENS, TOLLENDO TOLLENS, ...? No profundizaremos sobre el tema en este rincón pero el artículo citado de Martin Gardner contiene algunos ejemplos para practicar. Comentarios finales: El juego de las tarjetas perforadas también está explicado por el mago y matemático Carlos Vinuesa en su artículo "Matemagia básica", publicado en La Gaceta de la RSME (2011). En este artículo aprenderás también otros juegos basados en la aritmética binaria. Mucho más sencilla y recomendable es la versión de tarjetas lógicas que el mismo Martin Gardner presenta en el artículo titulado "Logic Machines" para la revista Scientific American, publicado en marzo de 1952 (unos años antes de empezar su colaboración regular para la sección Mathematical Games) y posteriormente incluido en el libro "Logic Machines and Diagrams", publicado en 1958. Este juego ha sido desarrollado recientemente por el equipo de Divermates, bajo el título "Tarjetas lógicas". Junto con la explicación de su funcionamiento, puedes descargar y fabricarte tus propias tarjetas. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

Martes, 02 de Abril de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

33. 169. (Marzo 2019) Cartas perforadas

Los más antiguos del lugar todavía recordamos la época prehistórica de la computación, cuando lo más parecido a un dispositivo portátil era un paquete de tarjetas perforadas, las cuales contenían el conjunto de instrucciones que debía seguir un gigantesco ordenador para realizar un simple programa. Y, ¡cuidado con perder una de ellas o alterar su orden si no queríamos pasar horas días semanas tratando de descubrir el error! Esas tarjetas de memoria -como la de la imagen que encabeza este artículo- eran cartulinas que podían contener hasta 80 columnas, las cuales, convenientemente perforadas para representar un código binario, almacenaban hasta 70 bytes de datos. Así que un miserable lápiz de memoria actual con 1GB de capacidad de almacenamiento sería equivalente a llevar 14 millones de tales tarjetas. Pero la idea original no se ha abandonado del todo: aunque ya no vemos las perforaciones, los dispositivos actuales también basan su funcionamiento en el uso de códigos binarios mediante "perforaciones" en secciones determinadas de su superficie. La diferencia está en su versatilidad, tamaño, capacidad, etc. Lo curioso de las tarjetas de memoria es que su origen no proviene de la informática sino de la industria textil. Fueron creadas en 1725 por Basile Bouchon y mejoradas en 1726 por Jean-Baptiste Falcon pero su despegue se produjo cuando, en 1801, Joseph Marie Jacquard creó un telar que funcionaba a base de tarjetas perforadas para la elaboración de los diseños. Solo entonces fue cuando Charles Babbage desarrolló en 1835 su famosa máquina analítica, la cual se programaba mediante tarjetas perforadas. Tarjetas perforadas de los telares de Jacquard Pues bien, este tipo primitivo de codificación permite idear juegos de magia basados en la aritmética binaria. Dejamos para una próxima ocasión más detalles sobre el funcionamiento de este tipo de juegos dejándote la oportunidad de que descubras por ti mismo los que te proponemos esta vez. El juego de este mes está descrito por uno de nuestros lectores, Javier Serrano, que es también gran aficionado a los juegos mágico-matemáticos como se puede comprobar recorriendo su página web (http://olmo.pntic.mec.es/~aserra10/). Cedo la palabra -mejor dicho, la redacción- a Javier. PREPARACIÓN Y MANIPULACIÓN DE LAS CARTAS Para preparar este juego necesitaremos ocho cartas, numeradas desde el A hasta el 8. Los palos de las cartas son indiferentes, pero hemos de asegurarnos de que todas las cartas pares sean de un color y las impares de otro. En este manual hemos optado por el rojo para las impares y por el negro para las pares. Ahora, a cada carta le vamos a hacer unos cuantos agujeros y unas cuantas ranuras. Los agujeros se pueden hacer con cualquier perforadora de papel. Para hacer las ranuras es conveniente hacer primero un agujero con la perforadora y, luego, con las tijeras, terminar de hacer la ranura. En la siguiente figura se muestran los agujeros y ranuras que deben hacerse en cada carta. Ya están las cartas preparadas. Ahora necesitamos hacernos con un clavo o un alfiler que pase por los agujeros de forma holgada. Una horquilla de pelo es muy recomendable porque sirve, además, para sujetar las cartas y evitar pérdidas. PRIMER EFECTO: EXTRAER LA CARTA ELEGIDA POR EL ESPECTADOR El matemago muestra las cartas para que se vea que están numeradas del As al Ocho, mientras explica que son cartas tecnológicas y que los agujeros son puertos USB. Le da el mazo a un espectador para que las baraje cuanto quiera y dice que el clavo es un ordenador portátil de último grito. Que es portátil salta a la vista por su tamaño, que es de último grito está claro porque si se lo clavara al espectador seguro que gritaría y que es un ordenador se pondrá de manifiesto inmediatamente, porque el clavo es capaz de ordenar, clasificar y seleccionar las cartas. Una vez recuperado el mazo, le pide al espectador que elija un número entre el 1 (el As) y el Ocho. Dicho este número, el mago opera como sigue: El matemago descompone mentalmente el número elegido N por el espectador como suma de 1, 2 y 4. Digamos N = a1 + a2 + a4, siendo ai ∈ . La única salvedad es que, si N = 8, entonces se descompone N = 0 + 0 + 0. La siguiente tabla da la descomposición en tres sumandos de todos los casos posibles: Nº elegido Sumandos 1 2 3 4 5 6 7 8 1+0+0 0+2+0 1+2+0 0+0+4 1+0+4 0+2+4 1+2+4 0+0+0 Pasa el clavo por el agujero superior. Si a1 = 0, se queda con el paquete del clavo dejando el otro en la mesa. Si a1 ≠ 0, se queda con el paquete de la mano dejando el otro en la mesa. Con el paquete elegido (de 4 cartas), introduce el clavo por el agujero central. Si a2 = 0, se queda con el paquete del clavo dejando el otro en la mesa. Si a2 ≠ 0, se queda con el paquete de la mano dejando el otro en la mesa. Con el paquete elegido (de 2 cartas), introduce el clavo por el agujero inferior. Si a4 = 0, se queda con la carta del clavo dejando la otra en la mesa. Si a4 ≠ 0, se queda con la carta de la mano dejando la otra en la mesa. La carta elegida es la del espectador. SEGUNDO EFECTO: SELECCIÓN POR COLORES Paquetes del mismo color Se le vuelve a entregar al espectador el mazo para que las mezcle de nuevo. El clavo, dice el matemago, no solo selecciona cartas por su número, también lo hace por su color. Y para que se vea claro que no hay trampa (en esto, el matemago ya ha metido el clavo por el agujero superior y ya tiene dos paquetes hechos, uno en la mano y otro en el clavo) le pide al espectador que decida él mismo dónde colocará el paquete del clavo, encima o debajo del paquete de la mano. El matemago sigue las indicaciones del espectador. Insistiendo en que es él quien decide, se introduce el clavo por el agujero central y se le vuelve a preguntar al espectador dónde coloca el paquete del clavo. Luego se hace lo mismo tras pasar el clavo por el agujero inferior. Formado el último mazo, el matemago reparte dos manos de cartas, una para el espectador y otra para él mismo. Cada paquete así formado contiene cuatro cartas del mismo color. Parejas de colores Resulta que el clavo, dice el matemago, no solo es un ordenador portátil de último grito, además es un romántico al que le gusta unir parejas, se cree que es Cupido el infeliz. El matemago, con el mazo en la mano, explica que en las cartas el amor se demuestra por el color, dos cartas rojas se quieren, dos cartas negras también se quieren, aunque quizá esto sea un poco racista. Podríamos hacer parejas también de distinto color, ¿qué prefiere usted? El espectador entonces elige hacer “parejas del mismo color” o “parejas de distinto color”. El mismo espectador baraja las cartas y él mismo será quien decida si, una vez arrastradas las cartas por el clavo, éstas se colocan encima o debajo del montón de cartas de la mano del matemago. No puede haber mayor libertad de elección. Siguiendo las instrucciones dadas por el espectador, el matemago va introduciendo el clavo en el agujero superior, luego en el central y, finalmente, en el inferior, colocando, cada vez, las cartas arriba o abajo, según el deseo del espectador. El matemago reparte dorso arriba, una al lado de otra, formando una fila, cuatro cartas sobre la mesa. Si el espectador eligió “parejas del mismo color” coloca la quinta carta sobre la primera, la sexta sobre la segunda, la séptima sobre la tercera y la octava sobre la cuarta; si el espectador eligió “parejas de distinto color”, entonces la quinta carta la deposita sobre la cuarta, la sexta sobre la tercera, la séptima sobre la segunda y la octava sobre la primera. En cualquier caso se forman cuatro parejas de cartas que, al voltearlas, forman pareja siguiendo los deseos del espectador. TERCER EFECTO: EFECTO DADO Mientras el espectador vuelve a mezclar las cartas, el matemago le pregunta si sabe cómo están colocados los números en un dado (o mejor, saca un dado y le pide que observe las caras opuestas). El caso es dejar bien claro que las caras opuestas de un dado suman siempre 7. Pues resulta que las cartas, que no son muy listas, no saben que son cartas y se creen que son un dado. El matemago va introduciendo el clavo en el agujero superior, luego en el central y, finalmente, en el inferior, colocando, cada vez, las cartas arriba o abajo, según el deseo del espectador. Las cartas se empeñan en ser un dado y lo demuestran colocándose, mágicamente, de forma que sus caras opuestas sumen 7, salvo el 8 claro, que en este caso no cuenta y se tomará como 0. Las caras opuestas de la baraja son la carta superior y la inferior. El matemago va formando parejas con estas cartas, la superior y la inferior, y las coloca boca arriba sobre la mesa, comprobando que, efectivamente, la suma de valores es siempre 7. Incluso en la pareja en la que aparece el 8 (que ahora vale 0) ya que la otra carta será el 7. CUARTO EFECTO: AÚN HAY MÁS Se le pide al espectador que vuelva a mezclar las cartas, haciéndole ver que ya las ha mezclado un montón de veces. Tras recoger el mazo de manos del espectador (y comprobar que todas las cartas queden con los agujeros a la derecha una vez colocadas de dorso), el matemago introduce el clavo por el agujero superior y coloca las cartas arrastradas por el clavo sobre las cartas de la mano. Tras recomponer el mazo, introduce el clavo por el agujero central y coloca las cartas del clavo sobre las de la mano. Finalmente, introduce el clavo por el agujero inferior arrastrando cuatro cartas que también coloca sobre las de la mano. Ahora voy a enseñarle una cosa prodigiosa, más prodigiosa aún que todo lo que hemos visto ya. El clavo, dice el matemago, ha colocado en primer lugar una carta que es mayor que cualquier número que usted diga. Piense usted cualquier número, no tiene por qué restringirse a los números que aparecen en una baraja, puede decir el número que usted desee, con las cifras que usted quiera. Estoy seguro de que el clavo ha colocado como primera carta del mazo una carta mayor que el número que usted diga. Cuando el espectador dice el número, el matemago le muestra la primera carta del mazo (que es el 8) y le pregunta si es mayor que el número dicho. Como el espectador dirá que no, el matemago extrañado mira la carta y le dice que la está viendo mal. Entonces la gira para ponerla horizontal y le dice que el valor de la carta es infinito y, por tanto, mayor que el número elegido por el espectador. El matemago coloca el 8 en la parte inferior del mazo, deja el mazo sobre la mesa y sigue la charla. Pero aún hay más, el clavo es también un adivino. Yo ahora le voy a pedir un número entre 1 y 8, pero el clavo ya sabe qué número va a elegir y no solo ha localizado esa carta sino que, además, la ha colocado en su lugar correspondiente, es decir, que si usted me dice 3, la carta número 3 ha de estar colocada en tercer lugar. ¿No es maravilloso? Veamos si es verdad. Fíjese que yo no toco las cartas, es el clavo quien ya lo ha hecho todo. Dígame un número entre 1 y 8. El matemago busca la carta que ocupe el lugar dicho por el espectador, la gira y efectivamente es la carta elegida. Pero aún hay más, el clavo no solo ha localizado y colocado su carta, además, como gran final, ha ordenado todas las cartas, mire: se voltean las cartas y a la vez se va diciendo su nombre: As, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete y ocho. Las cartas, efectivamente, aparecen en el orden que se dice. Comentarios finales: Como habrás comprobado, tienes frente a ti dos buenos ratos de entretenimiento: el primero cuando realices esta secuencia de juegos ante tu público y el segundo cuando trates de descubrir el funcionamiento matemático de los mismos. Para ello, deberás hacerte algunas preguntas como: ¿qué tipo de perforaciones tienen las cartas?; ¿cómo se distinguen las cartas rojas de las negras? Sí, yo también me he planteado preguntas del tipo: ¿por qué se utilizan solo 8 cartas?, ¿con qué otra cantidad de cartas se podrían realizar estos juegos?, ¿cómo deberían hacerse las perforaciones? Trataremos de responderlas en un futuro próximo pero no hay que ser adivino para suponer que, antes de nosotros, Martin Gardner ya se lo había planteado. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

Viernes, 01 de Marzo de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

34. 168. (Febrero 2019) Una predicción ESPecial

Como adelantábamos el mes pasado cuando presentamos las cartas ESP con los símbolos inventados por Karl Zener, no se hizo esperar la aparición de juegos de magia con estos símbolos como protagonistas. Esto puede interpretarse como una forma de crítica hacia los experimentos parapsicológicos al poner de manifiesto que no es necesario tener dotes especiales para conseguir resultados que escapan a los procesos mentales usuales. Algo parecido ocurrió con el «boom» de Uri Geller en la primera mitad de la década de 1970-80, pues poco tiempo después de sus apariciones televisivas encontramos que muchos magos realizaban los mismos milagros sin apelar a la superioridad de sus mentes. Ya lo apuntó muy oportunamente Stewart Judah en 1963: "Para el profano, el simple uso de las cartas ESP provoca un toque adicional de misterio. La mayoría de la gente ha oido hablar estos días del famoso doctor Rhine y de sus experimentos de percepción extrasensorial con estas cartas, lo que representa una ventaja para el mago que presenta efectos mentales en su actuación. ¡Hasta el truco más antiguo puede adornarse usando cartas ESP de modo que el principio sea irreconocible! Pero, recuerda, si este es el caso, el efecto debe presentarse como fenómeno científico: un simple juego de cartas no tiene relevancia en el mundo del mentalismo." En enero de 1938, Royal V. Heath (sí, el mismo que inventó el nombre «Matemagia» al utilizarlo como título de su libro) publicó el juego "ESP miracle" en la revista The Sphinx y en febrero del mismo año, el genial Theodore Annemann puso el enigmático título "Yggdrasil" al juego que publicó en su revista The Jinx. En el número de abril de 1941 de esta misma revista, James G. Thompson jr. (no confundir con Johnny Thompson, el gran Tomsoni) escribió el artículo "Moonlight madness" donde sugería asociar el código numérico 1-2-3-4-5 a cada símbolo según el número de líneas con el que se dibuja. A lo largo del tiempo se ha extendido el uso de estos símbolos, gracias a la creación de nuevos y originales juegos y a que muchos mentalistas los utilizan en sus espectáculos. Solo mencionaré a Nick Trost y Howard Adams, de cuyos juegos con cartas ESP se ha publicado una colección de 6 DVDs, y a Doug Dyment, en cuyo libro Stimulacra (2007) he encontrado las imágenes de las primeras versiones de estas cartas, la original de Zener y la primera versión utilizada en las barajas ESP: Diseño original de Zener Primera baraja ESP Terminaremos describiendo un nuevo juego con base matemática utilizando estos símbolos. Si el mes pasado utilizamos solamente cinco cartas, en esta ocasión necesitaremos diez, cinco rojas y cinco negras, como las de la imagen adjunta (también puedes utilizar cinco cartas rojas y cinco negras homónimas de una baraja normal, pero no se produce el mismo efecto mental): Mezcla bien estas diez cartas. Es casi seguro, ¿con qué probabilidad?, que hayan quedado juntos dos símbolos iguales. Si no ha ocurrido, vuelve a mezclar. Esta vez, seguro que hay dos cartas juntas con el mismo símbolo. Recuerda cuál es este símbolo pues se trata de mi predicción. Corta el paquete de modo que dichos símbolos queden en la parte superior. En la siguiente figura se muestra un ejemplo donde las dos ondas están en la parte superior. Recoge el paquete, gira cara abajo las cartas y pasa la carta superior debajo de las demás. Reparte ahora todas las cartas sobre la mesa, alternativamente a la izquierda y a la derecha, formando dos montones. Elimina ahora el montón que desees, el de la izquierda o el de la derecha, pero esta elección influirá en las sucesivas: si eliminas el paquete de la derecha, en sucesivos pasos eliminarás también el paquete de la derecha. Repite la operación con las cartas restantes, es decir, forma dos montones sobre la mesa repartiendo las cartas alternativamente a la izquierda y a la derecha. Vuelve a eliminar uno de los montones (el del mismo lado que antes) y vuelve a repartir cartas con el montón restante y eliminar hasta que quede sólo una carta. Comprueba que, efectivamente, el símbolo de la carta restante coincide con la predicción. Comentarios finales. Hay algunas páginas web en las que puedes probar tus habilidades telepáticas online. Por ejemplo, este test con cartas ESP de la página Psychic Science tiene varias opciones (yo he alcanzado el 28 por ciento de aciertos). El propio Rhine Research Center, dedicado a la investigación de fenómenos paranormales, vende artículos relacionados con las cartas ESP. Puedes conseguir, por ejemplo, una baraja con su manual de instrucciones. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

Lunes, 04 de Febrero de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

35. 167. (Enero 2019) Una baraja ESPecial

No hemos hablado nunca en este rincón de una baraja muy utilizada en el mundo de la magia para producir efectos de pseudomentalismo con apariencia científica, así que vamos a subsanar esta omisión. La baraja ESP (llamada así por las siglas de Extra Sensorial Perception) está formada por 25 cartas (llamadas comúnmente cartas Zener) que consisten en estos cinco símbolos repetidos cinco veces cada uno. Si nos fiamos de la Wikipedia, estos símbolos fueron diseñados en la década de los años 30 del siglo 20 por el psicólogo Karl Zener (1903-1964) (originalmente el cuadrado era un rectángulo y las líneas onduladas eran seis), y posteriormente modificados y patentados en 1937 por el parapsicólogo J.B. Rhine (1895-1980), quien los utilizó para estudiar de manera "científica" casos aparentes de percepción extrasensorial, telepatía y clarividencia. El motivo de elegir dichos diseños fue conseguir figuras sencillas, de fácil distinción entre ellas y de rápida medición estadística. Cada símbolo representa un número del uno al cinco según el número de líneas con las que está formado. Tenemos así la correspondencia 1 círculo 2 cruz 3 ondas 4 cuadrado 5 estrella Los experimentos de Rhine eran de dos tipos: con las cartas mezcladas, una primera persona las iba mirando una a una y las "transmitía telepáticamente" a una segunda persona; o bien la segunda persona mostraba sus dotes "clarividentes" para adivinar el orden de las cartas mezcladas. De acuerdo con los resultados obtenidos, el propio Rhine reconoció que sus experimentos no permitían distinguir entre telepatía y precognición. A pesar de todo, defendía la validez de sus ensayos sin hacer verdaderos estudios estadísticos con los resultados ni a evitar posibles engaños por parte de los supuestos "psíquicos" que eran objeto de su investigación. La comunidad científica no quedó convencida con los métodos de Rhine pero, como la magia siempre se ha surtido de otras ciencias, o pseudo-ciencias en este caso, rápidamente han surgido efectos de mentalismo utilizando estos símbolos. Un par de ejemplos, uno en inglés y uno en castellano: en 1980, Stephen Minch publicó el libro "Mind Novas" y, en 2013, Ricardo Marré publicó el libro titulado "Magia con cartas ESP".  También es fácil encontrar en internet juegos de magia usando estas cartas. El que mostramos en esta ocasión ya ha aparecido en este rincón pero no desvelaremos su origen para mantener en lo posible la sorpresa del resultado. Necesitarás solamente cinco cartas, o tarjetas, o cartulinas, en cada una de las cuales dibujarás uno de los símbolos de Zener. Si lo prefieres, puedes imprimir y recortar las de la imagen adjunta: Una vez que tienes las cinco cartas, elige una de ellas y la apartas del grupo. Apelando a mis dotes de pitoniso, descubriré cuál es el símbolo elegido. Mezcla bien las otras cuatro cartas y, cuando termines, coloca la carta elegida sobre estas cuatro. Con el paquete de cinco cartas en la mano, pasa de arriba abajo tantas cartas como el número que corresponde al símbolo elegido. Recuerda que el círculo corresponde al número 1, la cruz al número 2, las ondas al número 3, el cuadrado al número 4 y la estrella al número 5. Gira cara arriba la carta que ocupa ahora la posición superior del paquete y déjala en su lugar. ¿Es el símbolo elegido? Si la respuesta es afirmativa, has elegido la estrella. Era fácil pero si la respuesta es negativa, el juego continúa. Repite de nuevo el doble proceso anterior: pasa de arriba abajo tantas cartas como el número que representa el símbolo elegido y gira la carta que ocupa la posición superior. Vuelve a repetir el mismo proceso dos veces más: habrás girado un total de cuatro cartas. Curiosamente, o mágicamente, solo queda una carta sin girar y, a través de las ondas virtuales, veo que se trata de la carta con el símbolo que has elegido. Comentarios finales. En 1970, el mago e historiador Milbourne Christopher publicó el libro "ESP, Seers & Psychics: what the occult really is", donde narra diversas historias relacionadas con experimentos psíquicos y desvela algunos de los misterios que ocultan los personajes que afirman poseer poderes paranormales. Fue el primero de una trilogía en la que plasmaba los resultados de su trabajo como consultor del «Stanford Research Institute's investigation of psychic phenomena», fundado por agencias de inteligencia de Estados Unidos. El científico y mago George Hansen trabajó durante tres años en el «Rhine Research Center» de Durham (Carolina del Norte) y cinco en los «Psychophysical Research Laboratories» de Princeton (New Jersey). Publicó el libro The trickster and the paranormal (2001), así como varios artículos, tanto en revistas de magia como de psicología, relacionados con los fenómenos paranormales. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

Lunes, 07 de Enero de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

36. 166. (Diciembre 2018) Memoria sin par

Para los que "presumen" de escasa memoria como quien suscribe, es motivo de envidia (sana), de admiración (sincera) y de sorpresa (agradable) encontrar personajes que son capaces de retener gran cantidad de información, o que demuestran gran destreza y precisión al realizar complicadas operaciones matemáticas. Ya hemos visto en varias ocasiones a lo largo de este rincón que una combinación adecuada de propiedades matemáticas y técnicas de magia permite suplir la falta de habilidad y destreza calculística; los más recientes corresponden a los números 161 y 162 ( junio y julio de 2018) pero la secuencia de números desde el 108 al 111 (entre septiembre y diciembre de 2012) también se dedicaba a esta misma cuestión. Volvemos a tratar este tema aprovechando el descubrimiento hace dos meses de Leo Boudreau y su privilegiada capacidad creativa para conjugar la magia con las matemáticas. Ya citamos en aquel artículo (número 163 de este rincón) una lista de sus publicaciones, entre las cuales hemos rescatado el siguiente juego (que apareció en el foro de magia "The magic café"), con el cual podrás adivinar un número entre una gran cantidad de ellos, sólo sabiendo si alguna de sus cifras es par o impar. Sigue con atención la descripción del juego y decide por ti mismo si merece la pena su estudio. Imprime en una tarjeta los siguientes 30 números: 1593067 5072401 7163623 9463812 6802501 9372845 8593756 4163389 1502034 8072723 7293690 3802289 7163690 5072478 8502756 2463190 6372501 8593723 1502067 6372534 2463167 1593034 3802256 8072756 4163312 6802534 7293623 9463845 8502723 9372812 Muestra la tarjeta a una persona y pídele que seleccione mentalmente uno cualquiera de estos números. Realiza a continuación las siguientes preguntas, sobre la paridad de las cifras del número elegido: -¿La cifra central (la que ocupa el cuarto lugar) es par o impar?- Al recibir la respuesta, escribe una cifra en un cuaderno, anunciando que ya sabes cuál es. -¿La cifra que ocupa el tercer lugar (empezando por la izquierda) es par o impar?- Escribe una segunda cifra en el cuaderno, y muestra lo que has escrito para comprobar si estás acertando. -¿La cifra que ocupa el segundo lugar es par o impar?- Escribe una tercera cifra en el cuaderno. -¿La cifra que ocupa el primer lugar es par o impar?- Escribe una cifra más, sugerida por la respuesta. -¿La cifra que ocupa el último lugar es par o impar?- Vuelve a escribir una nueva cifra. -Concéntrate en las dos cifras que faltan, sin darme ninguna información adicional.-Escribe dos cifras más y muestra el resultado: el número escrito coincide con el elegido. El proceso que debes seguir para descubrir el número elegido es el siguiente: Si la primera respuesta es “par”, la cifra central es 2; si la primera respuesta es “impar”, la cifra central es 3. El método general de construcción de las siguientes cifras consiste en aplicar alguna de las siguientes reglas, según la paridad de las dos últimas cifras nombradas por tu asistente: Sumar 6 a la última cifra recién escrita si dicha cifra es impar y la recién nombrada es también impar. Sumar 3 a la última cifra recién escrita si esta es impar pero la siguiente es par. Sumar 5 si la última cifra escrita es par y la siguiente es impar. Sumar 8 si las dos últimas cifras escritas son pares. En cualquiera de los casos, si la suma es mayor que 10, se decarta la cifra de las decenas. Las dos cifras finales se obtienen simplemente restando uno a la primera y última cifras. Concretamente, la penúltima cifra será igual a la última menos uno y la antepenúltima cifra será igual a la primera menos uno. Veamos un ejemplo correspondiente a la paridad de las dos primeras cifras nombradas: Combinación impar/impar, la cuarta cifra es 3 y la tercera cifra es 3 + 6 = 9; el número es xx93xxx. Combinación par/impar, la cuarta cifra es 2 y la tercera cifra es 2 + 5 = 7; el número es xx72xxx. Combinación impar/par, la cuarta cifra es 3 y la tercera cifra es 3 + 3 = 6; el número es xx63xxx. Combinación par/par, la cuarta cifra es 2 y la tercera cifra es 2 + 8 = 10; el número es xx02xxx. Veamos a continuación un ejemplo completo: la persona asistente elige el número 6802534. A partir de la secuencia de preguntas, vamos obteniendo las distintas cifras como sigue: -¿La cifra central (la que ocupa el cuarto lugar) es par o impar?- Como la respuesta es “par”, dicha cifra es 2. La escribimos en el cuaderno y la mostramos al público. -¿La cifra que ocupa el tercer lugar es par o impar?- Como la respuesta es “par”, hacemos la suma 2 + 8 = 10. Escribimos la cifra 0 y mostramos el cuaderno al público. -¿La cifra que ocupa el segundo lugar es par o impar?- Nuevamente, la respuesta es “par”, de modo que hacemos la suma 0 + 8 = 8 y escribimos la cifra 8, mostrando nuevamente al público que estamos acertando todas. -¿La cifra que ocupa el primer lugar es par o impar?- Otra vez la respuesta es “par”, con lo que hacemos 8 + 8 = 16 y escribimos la cifra 6. De momento, el número empieza por 6802, con lo cual todas las cifras son correctas. -¿La cifra que ocupa el último lugar es par o impar?- La respuesta es de nuevo “par”, con lo que hacemos 6 + 8 = 14 y escribimos la cifra 4 dejando dos espacios para la penúltima y antepenúltima cifras. -Concéntrate en las dos cifras que faltan, sin darme ninguna información adicional.- Como la primera cifra es 6, la antepenúltima es 5 y, como la última cifra es 4, la penúltima es 3. Muestra el número completo para comprobar que lo has adivinado completamente. Comentarios finales. Teniendo en cuenta que un público muy observador podría darse cuenta de que las dos últimas cifras son consecutivas, Andy Moss ideó una pequeña variante que también publicó en el foro The Magic Café. La nueva lista de números propuesta está formada por los siguientes (verás que se han modificado las dos últimas cifras que deben acertarse, es decir las que ocupan las posiciones penúltima y antepenúltima): 1593947 5072381 7163503 9463792 6802481 9372725 8593636 4163269 1502914 8072603 7293570 3802169 7163570 5072358 8502636 1502947 6372481 8593603 2463070 2463047 6372414 1593914 3802136 8072636 4163292 6802414 7293503 9463725 8502603 9372792 La regla de formación de las cifras es la misma que la del juego original salvo las dos cifras que se adivinan al final: ahora la penúltima cifra es igual a la última menos tres y la antepenúltima es igual a la primera menos dos, salvo en los casos en que la resta fuera negativa, en cuyo caso se suma 10 al resultado. Por ejemplo, si la primera cifra es 4, la antepenúltima sería 4 - 2 = 2; pero si la primera es 1, la antepenúltima es 11 - 2 = 9. Otra modificación propuesta por Andy Moss es la relativa a la sucesión de preguntas para disimular aún más el proceso: basta preguntar inicialmente la posición de las cifras impares en el número elegido. Esto proporciona la información suficiente para construir todo el número sin necesidad de pedir la paridad de las cifras, una a una y empezando concretamente por la central. El sistema utilizado por Leo Boudreau para adivinar el número hace que sea sencillo realizar el juego por ordenador. Si eres capaz de elaborar un programa que dé la solución a partir de las preguntas anteriores, tendrás un juego que sorprenderá a más de uno. De hecho, el programa puede estar diseñado para que los números vayan cambiando cada vez, digamos que utilizando una pareja distinta -número par/número impar- con la que adivinar la cifra central. Un problema de combinatoria relacionado con el juego es el siguiente: «¿cuántos números de siete cifras se pueden construir de modo que la cifra central sea 2 o 3 y el resto se formen a partir de las reglas especificadas en el juego?» Para llegar a la respuesta, habrá que contar el número de posibilidades de combinaciones par/impar entre cada pareja de cifras. Cuando hayas resuelto este problema, quizá -o quizá no- podrás realizar el juego con una cantidad mayor de números de siete cifras. Compara tu respuesta con la mía en este enlace (SOLUCIÓN). Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

Lunes, 03 de Diciembre de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

37. 165. (Noviembre 2018) El oráculo EMOJI

A lo largo de la historia no es extraño encontrar personajes singulares, sobre todo en el ámbito artístico, que no han conseguido la fama y reconocimiento hasta después de su muerte. Ya sea por su carácter excéntrico o porque sus ideas han resultado estar demasiado adelantadas a su tiempo, su vida no ha sido tan fácil como su genio artístico haría suponer. Una de estas personalidades, que aunaba una singular excentricidad con inusuales dotes creativas, fue Bob Hummer, de quien hemos hablado ya en este rincón (julio de 2013, noviembre de 2015 y junio de 2017). Para completar datos de su biografía, es muy recomendable la lectura de los tres artículos escritos por el mago cómico Clarke Crandall y publicados en números consecutivos de la revista de magia "The new tops" en 1964. De hecho, según Martin Gardner, este relato constituye la mejor descripción del carácter y personalidad de Bob Hummer. Después de leer esta vívida descripción, en particular la correspondiente al periodo en que Hummer estuvo "alojado" en casa de Crandall, es inevitable pensar en el paralelismo de la relación Hummer-Crandall con la de Erdös-Graham, bien conocida en el mundillo matemático. Gracias a su inigualable originalidad, Bob Hummer publicó y comercializó varios de sus juegos, para lo cual tenía que contar con la intermediación de los comerciantes de magia. Parece que la experiencia no fue muy de su agrado y, durante mucho tiempo, le persiguió la sospecha de que trataban de robarle sus ideas. Uno de los juegos que no publicó en vida fue rescatado por Martin Gardner y publicado por Karl Fulves en el libro "Bob Hummer's collected secrets" (1980). El juego se titula «Voodoo fortune telling» y, para entender el principio matemático en el que descansa, describiremos el ejemplo que aparece en el citado libro. Retira de la baraja las siguientes cartas: Aparta una de ellas, la que quieras. Adivinaré cuál es esta carta al final del siguiente proceso: Mezcla las restantes seis cartas y repártelas en tres parejas sobre la mesa. Luego cuenta el número de parejas que contienen dos cartas del mismo color. Te saldrá un número comprendido entre cero y tres. Esta será tu primera cifra. Recoge las seis cartas y vuelve a mezclarlas. Reparte otra vez las cartas en tres parejas sobre la mesa y mira ahora cuántas parejas contienen dos cartas cuyos valores son ambos menores que siete o ambos mayores que siete. El número de dichas parejas te dará la segunda cifra que debes recordar. Recoge por última vez las seis cartas y repártelas de nuevo en tres parejas sobre la mesa. Esta vez buscarás el número de parejas cuyas cartas tienen la misma paridad, es decir son ambas pares o ambas impares. El número de parejas con esta propiedad te dará la tercera cifra del número. Con el número de tres cifras obtenido, pulsa en la imagen. Luego busca en la lista tu número y verás que corresponde a la carta que habías retirado al principio. Después de ver el juego, se comprende fácilmente que las cartas utilizadas deben ser tales que admitan representaciones distintas como números de tres cifras en base dos, de acuerdo a sus tres características: color, valor y paridad. En nuestro caso, si establecemos la equivalencia "negro = 0", "menor que siete = 0", "par = 0", las representaciones numéricas de las cartas vienen dadas por la tabla siguiente: CARTA COLOR VALOR PARIDAD 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 Por otra parte, hay una correspondencia entre el conjunto de las posibles cartas elegidas y el de los números que tienen, como máximo, tres cifras en base tres, obtenidos contando el número de parejas que comparten las diferentes características. Por ejemplo, el 9 de corazones corresponde a los números 110, 112, 130, 132, 310, 312, 330 y 332. Ya no es tan fácil entender que ninguna de dichas representaciones numéricas pueda corresponder a dos cartas distintas, lo que hace precisamente que el juego funcione. En el capítulo 15 del libro "The last recreations" (Springer-Verlag 1997), basado en el artículo de febrero de 1981 de su columna mensual "Mathematical Games" para la revista Scientific American, Martin Gardner hace gala de su estrecha relación con Bob Hummer y desvela las ideas que éste desarrolló para ocultar el principio utilizado. Bajo el título «The Hummer's wicked witch» (la bruja adivina de Hummer), Gardner describe el juego que reproducimos a continuación con un pequeño cambio en los personajes. En lugar de cartas, utilizaremos siete tarjetas, en cada una de las cuales aparece nuestro bufón adivino ataviado con un gorro con dos posibles colores, y que muestra diferentes expresiones en cada tarjeta. Además, cada una de las tarjetas incluye una pregunta que el bufón sabrá responder, después de un proceso "completamente aleatorio". Imprime las imágenes para conseguir estas siete tarjetas. A continuación, sigue estas instrucciones: Haz una pregunta al bufón Emoji (ten en cuenta que su respuesta sólo es válida durante la semana siguiente a la pregunta). Para ello, selecciona la carta que contiene la pregunta deseada. Retira esa carta y mezcla las cartas restantes mientras repites mentalmente la pregunta. Separa las dos primeras cartas. Si los sombreros del bufón son del mismo color, deja sobre la mesa dichas cartas al lado derecho. Si son de distinto color, deja las cartas al lado izquierdo. Separa las dos cartas siguientes y repite el procedimiento anterior. Separa el último par de cartas y vuelve a repetir el mismo proceso. Cuenta el número de pares que hay al lado derecho. Anota dicho número (puede ser cero, uno, dos o tres). Recoge las seis cartas y vuelve a mezclar recordando la pregunta. Repite el proceso anterior (separar las cartas mezcladas en tres parejas) pero observando en esta ocasión si lleva o no lleva gafas. A la derecha dejarás las parejas en las que ambos bufones lleven gafas o ninguno de los dos las lleve y, a la izquierda, dejarás las parejas en las que uno de ellos lleve gafas y el otro no. El número de parejas del lado derecho nos indicará un segundo número (también comprendido entre cero y tres) que anotamos a continuación del anterior. Vuelve a recoger las cartas y a mezclar por tercera vez. Reparte otra vez las cartas por parejas observando las expresiones faciales del bufón. Nuevamente anota el número de pares de cartas en las que coincide dicha expresión, ambos sonrientes o ambos enfadados. Anota el tercer número obtenido. Con el total, es decir el número de tres cifras resultante del proceso, busca en el oráculo adjunto la respuesta del bufón a tu pregunta. Observa que dicha respuesta sólo tiene sentido para esa pregunta y no para cualquier otra. Habrás observado que el fundamento del juego es el mismo que el anterior pero el desarrollo del mismo oculta de forma ingeniosa toda sospecha de cualquier principio matemático. Comentarios finales. Se pueden plantear generalizaciones de este juego utilizando 2n - 1 cartas. En este caso, los personajes deben presentar n características distintivas, cada una de ellas con dos posibles valores lo que significa que cada carta se puede representar como un número de n cifras formadas con los dígitos 0 y 1 (de hecho están representados todos los números salvo uno). El caso correspondiente a n = 4 fue desarrollado también por Martin Gardner y publicado bajo el título «Hummer's Fortune Telling Book» allá por 1941. En este caso, el libro con las posibles respuestas debe tener 4096 líneas. En el juego «The Hummer's wicked witch», no se alcanzan todas las permutaciones posibles, lo que permitió a Martin Gardner proponer una segunda parte del juego. El espectador hace una pregunta cuyas únicas posibles respuestas sean SÍ o NO. Se reparten tres veces las siete cartas en tres parejas, descartando cada vez la última carta, y se cuenta el número de parejas que tienen la misma característica -color del sombrero la primera vez, expresión visual la segunda y expresión facial la tercera- así como el número de parejas que no comparten dicha característica. Se restan ambas cantidades, la mayor menos la menor, y se obtienen las tres cifras de un número. Al buscar dicho número en la tabla del oráculo anterior, se obtiene la respuesta a dicha pregunta. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

Miércoles, 07 de Noviembre de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

38. 164. (Octubre 2018) El código KONAMI

Una de las frases relacionadas con la más temprana formación matemática, y que casi todos conservamos en la memoria desde nuestra más tierna infancia, es aquella que soltamos en muchas y muy variadas situaciones: "el orden de los factores no altera el producto". Si nos ponemos a pensar en dicha frase, enseguida caemos en la cuenta que se refería inicialmente a una propiedad que tienen las operaciones básicas de la suma y producto de números, la famosa propiedad conmutativa. Da lo mismo sumar 3 + 15 que 15 + 3, pero también es lo mismo multiplicar 3 x 15 que 15 x 3. Antiguamente, cuando no había máquinas que hicieran esas operaciones, era muy cómodo utilizar esa propiedad porque nos ahorrábamos aprender las tablas completas de multiplicar: con la mitad era suficiente. Lo que no sospechamos es que hay otras muchas operaciones que no son conmutativas: cuando quieres tomar una taza de café, no es lo mismo echar azúcar al café y luego removerlo que remover el café y luego echar el azúcar; cuando sales de casa, no es lo mismo girar a la derecha, recorrer dos calles, girar a la izquierda y recorrer una calle que girar a la izquierda, recorrer una calle, girar a la derecha y recorrer dos calles (observa en la figura siguiente los dos posibles recorridos que siguen las mismas indicaciones pero en distinto orden). El juego que vamos a describir está basado en esta falta de conmutatividad del recorrido por una cuadrícula. La cuadrícula que utilizaremos es el tablero de ajedrez y las instrucciones para recorrerlo vendrán ilustradas mediante señales de tráfico. Pero antes, daremos el crédito de la idea al personaje de la imagen, Tomas Blomberg. El juego titulado "The Konami Code" aparece en el libro "Blomberg Laboratories", escrito por Andi Gladwin y que recoge una buena parte de los juegos e ideas de Tomas Blomberg. Este mago sueco tiene formación científica (es ingeniero y trabaja en programación) lo que propicia que muchos de sus juegos tengan alguna componente matemática. Más aún, las ilustraciones del libro no son las típicas fotografías al uso en el mundo editorial mágico sino que están generadas por ordenador, a partir de programas informáticos elaborados por el propio Tomas. El título del juego viene sugerido por el famoso código Konami, combinación secreta de teclas diseñada en 1985 por Kazuhisa Hashimoto para conseguir todos los beneficios de un juego de ordenador sin tener que ganarlos en el transcurso del propio juego. El principio "matemático" del juego de Tomas Blomberg fue desarrollado por el editor de la revista online "The Jerx", en el número de noviembre de 2015, presentando algunas interesantes variaciones del juego. La que vamos a describir a continuación está basada en esta versión. Necesitarás imprimir y recortar las siguientes diez señales de tráfico y, si no tienes un tablero de ajedrez, utilizar el de la imagen adjunta. DOS CASILLAS A LA IZQUIERDA UNA CASILLA A LA IZQUIERDA UNA CASILLA HACIA ARRIBA DOS CASILLAS HACIA ARRIBA DOS CASILLAS HACIA ARRIBA UNA CASILLA HACIA ABAJO UNA CASILLA HACIA ABAJO UNA CASILLA A LA DERECHA UNA CASILLA A LA DERECHA UNA CASILLA A LA IZQUIERDA Verás que la dama está situada en la casilla d4. Vas a realizar diez movimientos con la dama, empezando por dicha posición y siguiendo las indicaciones de las tarjetas. Para ello, mezcla las diez tarjetas con las flechas y colócalas en un montón. Mira la primera tarjeta y mueve la dama tantas casillas y según la dirección indicada por dicha tarjeta. Mira ahora la segunda tarjeta y, desde la posición a la que ha llegado la dama en el recorrido anterior, realiza un segundo recorrido de acuerdo a las instrucciones de esta tarjeta. Sigue así con todas las tarjetas y recuerda que las posiciones sucesivas habrían sido distintas si la mezcla hubiera dado una permutación diferente de las tarjetas. Por cierto, si en algún momento la tarjeta que corresponde hace que la dama se salga del tablero, pasa dicha tarjeta al fondo del paquete: será la última instrucción. Al final del recorrido, la dama habrá llegado a otra casilla, la cual era desconocida de antemano. Sin embargo, si pulsas con el ratón en mi bola de cristal, verás si he acertado dónde ha terminado la dama su viaje. Comentarios finales. Este principio ha despertado cierto interés y se pueden encontrar otras versiones y presentaciones originales, como la del portal Four Suits Magic. Seguro que encuentras también algunas similitudes entre este juego y el que nos ofrece Nelo Maestre de Divermates, titulado Matemáticas del Caribe. En este caso, el recorrido no se limita a trayectos horizontales y verticales: también se aceptan otras direcciones. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

Martes, 02 de Octubre de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

39. 163. (Septiembre 2018) Miente si quieres

Decía Oscar Wilde que "el objetivo del mentiroso es sencillamente encantar, deleitar, proporcionar placer. Él es la mismísima base de la sociedad civilizada". No estamos muy seguros de compartir ninguna de estas afirmaciones pero, en lo que se refiere a la magia, una componente fundamental en la actuación de cualquier mago es el uso de la mentira, al menos del engaño; un engaño que el público acepta precisamente para ser encantado y deleitado, como afirma el afamado escritor. A mediados del año 2013 iniciamos una serie de juegos matemáticos con el denominador común de la detección de mentiras: detector de mentiras (número 104), deletrea tu mentira (número 105), ¿verdad o mentira? (número 106) y ¿has mentido? (número 107). En algunos casos, los juegos están basados en aspectos de lógica matemática, en otros se aplican algunas propiedades aritméticas sencillas y el resto son aplicaciones básicas de la parte de la criptografía relativa a la detección de errores. En esta ocasión describiremos otro juego de estas características pero en realidad, con esta excusa, queremos presentar a su autor: Leo Boudreau es un ingeniero estadounidense dedicado al mentalismo semiprofesionalmente y de quien dicen es el mayor experto en las aplicaciones mágicas de los ciclos de de Bruijn, una de las cuales ya estudiamos en el número 94 de este rincón. Es autor de tres libros dedicados al mentalismo, Psimatrika (1986), Spirited Pasteboards (1987) y Skullduggery (1989). Si eres coleccionista, puedes adquirir el conjunto completo en el portal biblio.com; si no, te puedes conformar con las versiones en formato electrónico a la venta en lybrary.com. Trabajos posteriores a la publicación de sus libros han ido apareciendo en el chat The magic café, los cuales han sido recopilados en el blog Grey Matters de Scott Cram. El juego que nos ofrece Leo Boudreau se titula "Lie to me" y, en realidad, se trata de una versión simplificada del detector de mentiras ya citado pero con una presentación más natural y con objetos cotidianos. Como la mayoría de juegos de este estilo, su funcionamiento está basado en la aritmética binaria. Esta es la descripción: Muestra cuatro objetos. Para facilitar la explicación, digamos que son un ANILLO, un BOLÍGRAFO, una CARTERA y un DADO. Indica a un espectador que escoja mentalmente uno de ellos. Además, debe decidir representar uno de los siguientes personajes: SINCERO O MENTIROSO. A continuación, le harás tres preguntas las cuales responderá de acuerdo al objeto y al personaje elegidos. Es decir, responderá siempre la verdad si ha elegido ser sincero y mentirá siempre si ha preferido ser mentiroso. Primera pregunta: -¿Has escogido el bolígrafo o la cartera? Segunda pregunta: -¿Has escogido el dado o el bolígrafo? Tercera pregunta: -¿Has escogido la cartera o el dado? Termina adivinando cuál es el objeto escogido por el espectador indicándole además si ha contestado la verdad o ha estado mintiendo. Para saber cuál es el objeto escogido y descubrir si ha mentido o no, haremos una tabla con todas las posibilidades de respuesta a cada pregunta. Como ya habrás adivinado, indicaremos cada objeto por su inicial: A B C D     primera pregunta - X X - segunda pregunta - X - X tercera pregunta - - X X verdad mentira objeto elegido objeto elegido A B C D A B C D no sí sí no sí no no sí no sí no sí sí no sí no no no sí sí sí sí no no Como se puede observar, cada una de las ocho posibles secuencias de respuestas corresponde a una única permutación de tres elementos en el conjunto . Si realizamos la equivalencia "sí = 1" y "no = 0", la siguiente tabla permite adivinar si el espectador ha decidido decir la verdad así como el objeto elegido: Respuestas Objeto Personaje 000 001 010 011 100 101 110 111 A B C D D C B A sincero mentiroso mentiroso sincero mentiroso sincero sincero mentiroso Lo que propone Leo Boudreau no requiere recordar esta tabla sino pasar al sistema decimal el número binario correspondiente. Además, esa conversión puede hacerse progresivamente, a partir de cada respuesta. De este modo, cualquier respuesta negativa corresponde al valor cero y cada una de las respuestas afirmativas tiene valor 1, 2 y 4, respectivamente. Al ampliar la tabla anterior (teniendo en cuenta que el número correspondiente a las respuestas tiene las cifras invertidas ya que la primera respuesta corresponde a la cifra de las unidades, la segunda a la cifra de las decenas y la tercera a la cifra de las centenas), nos queda la siguiente: Respuestas Número binario Número decimal Objeto Personaje 000 001 010 011 100 101 110 111 000 100 010 110 001 101 011 111 0 4 2 6 1 5 3 7 A B C D D C B A sincero mentiroso mentiroso sincero mentiroso sincero sincero mentiroso En definitiva, observamos que los totales de 0, 3, 5 y 6 corrresponden a los objetos A, B, C y D, respectivamente, y el espectador ha sido sincero. Si no ha salido ninguno de esos totales, el espectador ha mentido. Al restar dicho total de siete, se obtiene el objeto elegido por dicho espectador. Veamos un ejemplo para ilustrar el proceso: el espectador ha seleccionado la cartera y ha decidido ser mentiroso. A la primera pregunta "¿es bolígrafo o cartera?" ha respondido que no. Asignas el valor 0. A la segunda pregunta "¿es dado o bolígrafo?" ha respondido que sí. Sumas 2 y recuerdas el número 0 + 2 = 2. A la tercera pregunta "¿es cartera o dado?" ha respondido que no. Sumas 0 y obtienes el total 0 + 2 = 2. Como el número 2 no coincide con ninguno de los valores asignados (que son 0, 3, 5 y 6), ya sabes que el espectador ha mentido. Además, como 7 - 2 = 5 y el valor 5 corresponde al objeto C, también sabes que ha elegido la cartera. Comentarios finales: En su folleto "Lie to me", Leo Boudreau explica que se puede realizar el juego con más de cuatro objetos adaptando convenientemente las preguntas que deben realizarse y los valores que deben asignarse a cada objeto. Te concedo el privilegio de descubrir por ti mismo las modificaciones pertinentes. Un juego similar al descrito es el titulado Cubist Magic, escrito por Jeremiah Farrell y publicado en el libro "Puzzlers' tribute: a feast for the mind", segundo de la colección que recoge las recopilaciones de los encuentros Gathering for Gardner, en homenaje a Martin Gardner. De hecho, este juego ya ha aparecido en nuestro rincón (número 59, marzo de 2009). Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

Viernes, 07 de Septiembre de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

40. 162. (Julio 2018) Los discos de calcular

A lo largo de la historia, una gran variedad de material educativo en forma de dispositivos, artefactos, cacharros, ..., se ha diseñado para ayudar en el aprendizaje de las operaciones aritméticas durante las etapas más tempranas de la escuela. Sin entrar en el eterno conflicto entre los partidarios y detractores sobre el uso de instrumentos electrónicos que permiten esquivar el ejercicio rutinario de aprender las reglas básicas de la suma, resta, multiplicación y división, podemos afirmar que uno de los métodos pedagógicos más reconocidos por su eficacia es el desarrollado por María Montessori. Bajo las directrices de las ideas filosóficas que propugna el método Montessori, se han elaborado multitud de guías didácticas con material manipulativo original con el cual introducir los conceptos aritméticos básicos: regletas de colores, discos numerados, plantillas diversas, figuras geométricas y un largo etcétera. Es fácil encontrar en internet todo este material así como diversos estudios sobre la eficacia de su método. Como puedes suponer, esta introducción no tiene relación con el tema de esta sección. O quizá sí: la mención al uso de material manipulativo en la enseñanza es una excusa para presentar el juego que traemos hoy, que va de sumas y restas. El juego está firmado por L. Vosburg Lyons, personaje ya citado en las entradas precedentes (mayo de 2018 y junio de 2018), y apareció publicado en marzo de 1944, en el número 55 de la revista de magia The Phoenix, bajo el título "Dizzy Discs". La revista The Phoenix fue publicada por Walter Gibson y Bruce Elliott y apareció cada dos semanas durante los años 1942 y 1954, alcanzando un total de 300 números de cuatro páginas. Como ave que renace de sus cenizas, la revista volvió a aparecer con el nombre de "The New Phoenix", publicándose 98 números entre 1954 y 1965, sucediéndose en la edición Jay Marshall, Roy Benson, Don Tanner y Karl Fulves. En esta revista aparecían regularmente las contribuciones mágicas de las mentes más lúcidas del mundo del ilusionismo. No podían faltar por tanto los juegos de magia matemática, tan del gusto de la época. Al igual que ocurrió en las dos entregas anteriores de este rincón, L. Vosburg Lyons será el que nos muestre el secreto de una nueva demostración de habilidad calculística. A partir de un par de números elegidos por un espectador, el mago calculará inmediatamente la suma y la resta. Imprime y recorta los seis discos de la figura adjunta. Observa que todos ellos están formados por una cifra central y las nueve cifras restantes formando un círculo (o un nonágono (o un eneágono)). A partir de ahora identificaremos cada disco por su número central. Coloca los discos sobre la mesa en dos filas, en el mismo orden de la figura. En realidad, solo importa que los discos 1, 4 y 7 estén en la fila superior y los discos 2, 5 y 8 en la fila inferior. Pide a tu colaborador/a que elija una cualquiera de las cifras del borde de cualquier disco (tendrá 54 posibilidades pues hay nueve cifras en cada disco). Pongamos por ejemplo que se ha elegido la cifra 7 del disco 2 (el primero de la fila inferior). Haz escribir en una hoja de papel un número con todas las cifras de ese disco, siguiendo el sentido horario, empezando por la cifra elegida. Por tu parte, debes recordar la última cifra de este número. Según nuestro ejemplo, el número escrito será 753086419 y la última cifra es 9. Pide ahora que seleccionen otra cifra de otro disco, pero de la misma fila que el disco anterior. Haz escribir bajo el anterior, un nuevo número de nueve cifras, de la misma forma que el anterior y fíjate, mientras tanto, cuál es la última cifra de este nuevo número. Digamos, por ejemplo, que la segunda cifra elegida es 1, del disco 5. El nuevo número es pues 160493827 y su última cifra es 7. Ya sabes cuál será la última cifra de la suma de ambos números, basta sumar las cifras que has recordado. Debes buscar esa cifra en el disco cuyo número central sea la suma de los discos elegidos (si dicha suma es mayor que 9, réstale 9). Volviendo a nuestro ejemplo, los discos seleccionados eran el 2 y el 5. Como su suma es igual a 7, debes buscar la cifra 6 (pues 9 + 7 = 16) en el disco 7. Pide a tu ayudante que sume los dos números. Mientras tanto, tú escribirás también la suma en otra hoja de papel pero llegas al resultado mucho antes que él. Según nuestro ejemplo, escribirás las cifras del disco 7 en sentido horario teniendo en cuenta que la última es el 6. El resultado final será 913580246. En efecto, 753086419 +  160493827 ------------------ 913580246 La segunda parte del experimento consiste en una resta: nuevamente pides a tu colaborador/a que seleccione dos números y, mientras los resta, tú das el resultado de forma casi inmediata. El esquema de elección es el mismo que para la suma pero con dos variantes: las cifras seleccionadas deben elegirse de dos discos que estén en filas diferentes y la segunda cifra debe ser menor que la primera. Al saber la última cifra de cada número, puedes calcular la cifra final de la resta, número que buscarás en el disco que sea la resta de los discos elegidos. Ahora bien, si la resta de los discos es negativa, tendrás que sumar 9 al resultado. Hagamos un ejemplo: del disco 4 eligen el número 6 y del disco 5 eligen el número 2. El espectador debe escribir los números 617283950 y 271604938. Tú ya sabes que la resta debe terminar en 2 (pues es la resta de las dos últimas cifras) y que el número total está contenido en el disco 4 - 5 + 9 = 8. Es fácil escribir el resultado final de la resta: 345679012. Se puede comprobar también que 617283950 -  271604938 ------------------ 345679012 Comentarios finales: Hasta aquí la descripción del juego como lo cuenta el bueno de Lyons. Sin embargo, hay algunas irregularidades que observarás en cuanto trates de comprobar la eficacia del método con algunos otros ejemplos. Concretamente, si la suma de los dos números tiene más de nueve cifras, no funciona bien el sistema de los discos. La solución no es sencilla pero veremos algunos casos y cómo se manejan. Digamos que el espectador ha elegido las cifras 4 y 8 de los discos 1 y 4, respectivamente. De esta forma, escribiría los números 432098765 y 839506172. Según el método general, debes buscar la cifra 7 en el disco 5 y anotar todas las cifras en sentido horario hasta terminar en 7. Ese número no da la suma correcta. En este caso, lo mejor es sumar las cifras elegidas por el espectador: 8 + 4 = 12. Esto significa que el número empieza por las cifras 12, de modo que lo mejor es buscar la cifra 2 en el disco 5 y escribir todas las cifras a partir de ella. Además, hay una corrección adicional: hay que restar una unidad a la última cifra. Vamos a comprobar este ajuste al método con otro ejemplo: Disco Cifra elegida Número 2 8 3 7 308641975 790123456 Como 2 + 8 = 10, debes buscar la suma en el disco 1. La suma de las cifras elegidas es igual a 10, de modo que la secuencia de cifras empieza en cero: 098765432. Al restar una unidad a la última cifra, se obtiene la suma correcta: 1098765431. Un problema más interesante es averiguar cómo se han elaborado los discos para conseguir los efectos deseados. Una vez descubierto el método, la siguiente pregunta es: ¿se pueden conseguir efectos similares con otros conjuntos de discos? Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

Lunes, 02 de Julio de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico