21. 181. (Abril 2020) Optograma

Muchos juegos de magia basados en principios matemáticos han evolucionado a lo largo del tiempo para convertirse en clásicos, se han adaptado a diferentes niveles y diversos tipos de público y han terminado por convertirse en elementos indispensables del repertorio de magos profesionales. Y, como ya hemos comprobado en multitud de ocasiones, no siempre se trata de principios relacionados con operaciones aritméticas o propiedades numéricas curiosas. Algunas veces interviene la geometría y, en el caso que hoy nos ocupa, las simetrías de figuras geométricas. Por supuesto, el ingenio y creatividad de los primeros que descubrieron las posibilidades mágicas de estas propiedades son los principales ingredientes que convierten la recreación en magia. Vamos a denominar "Principio de la brújula cuadrada" a la propiedad que explota las simetrías de un cuadrado para conseguir algunos efectos que, con una dosis adecuada de disimulo, llegan a ser sorprendentes. Hagamos en primer lugar un recorrido por la historia y desarrollo mágico de este principio: esto permitirá apreciar cómo ha evolucionado y qué detalles creativos consiguen aumentar la sensación mágica que oculta el principio. En 1945, Val Evans comercializó el juego titulado "Optogramma" (figura 1). A juzgar por el número de gente que lo realizaba, parece que el juego tuvo un éxito considerable y no pasó mucho tiempo hasta que aparecieron nuevas versiones y modificaciones: la casa Abbott vendía una versión pirata llamada "Wizzy Dizzy lines", Harry Blackstone hacía el juego con galletitas saladas que tenían líneas dibujadas en ellas pero también las tenía impresas en sus tarjetas de visita. Impartiendo un poco de justicia, Lloyd Jones compró a Val Evans los derechos del juego y publicó su versión en la revista The Bat en abril de 1948. Por otra parte, en 1947, William Lane (Willane) publicó su versión titulada "La brújula china" en el libro "Willane's Wizardry" (figura 2). Un poco más tarde, el juego original fue modificado por Milbourne Christopher (publicado en la revista Hugard’s magic monthly, 1951) con una presentación en forma de una señal de tráfico (figura 3). Otra versión popular fue la de Earle Oakes quien puso a su versión el título "La brújula maestra" (figura 4). Figura 1: Juego original de Val Evans, 1945 Figura 2: Brújula china de Willane, 1947 Figura 3: Señal de tráfico engañosa de Milbourne Christopher, 1951 Figura 4: Folleto con la rutina de Earle Oakes Como se puede comprobar, cada versión utiliza un tipo diferente de figura geométrica, con el fin de aprovechar las simetrías de cada una. La que me parece más apropiada, aunque no sea la que oculta mejor el principio en que se basa, es la del octógono regular pues las líneas que unen vértices opuestos corresponden a los ejes de simetría de un cuadrado. La idea mágica que surgió de este principio consiste en hacer un dibujo en cada cara y observar cómo cambia su orientación según el eje de simetría utilizado. Si tienes buena imaginación, seguro que puedes crear una entretenida historia con la que sustentar los movimientos que describimos a continuación. Recorta un octógono regular y dibuja una flecha azul en la cara delantera y una flecha roja en la cara trasera, de modo que estén orientadas como en la figura (azul apuntando al norte y roja apuntando al este): Muestra la figura con la flecha roja hacia delante y los dedos pulgar y medio en los vértices A y B. Gira la figura con la otra mano para mostrar la cara posterior y explica que, CUANDO LA FLECHA ROJA SEÑALA HACIA EL ESTE, LA FLECHA AZUL SEÑALA HACIA EL NORTE. Puedes girar varias veces el disco mientras recalcas esta situación. Coloca la figura con la flecha roja hacia delante pero sujétala con los dedos pulgar y medio en los vértices C y D. Gira la figura con la otra mano y muestra que, sorprendentemente, la flecha azul señala también hacia el este. Gira varias veces para enfatizar que, CUANDO LA FLECHA ROJA SEÑALA HACIA EL ESTE, LA FLECHA AZUL SEÑALA HACIA EL ESTE. En el momento en que la flecha roja está a la vista, cambia el agarre de los dedos y sujétalos por los vértices E y F. Gira varias veces la figura con la otra mano mientras recuerdas que, CUANDO LA FLECHA ROJA SEÑALA HACIA EL ESTE, LA FLECHA AZUL SEÑALA HACIA EL SUR. Prueba por última vez las propiedades cambiantes de la brújula. Sujétala por los vértices G y H estando la flecha roja a la vista. Al hacer girar el disco sucesivas veces, repite la propiedad, CUANDO LA FLECHA ROJA SEÑALA HACIA EL ESTE, LA FLECHA AZUL SEÑALA HACIA EL OESTE. Si has conseguido que los cambios en el agarre del disco pasen inadvertidos, podrás convencer a tu público de que tu brújula tiene propiedades magnéticas, quizá debido a la fuerza de atracción terrestre. Como habrás podido comprobar, los ejes de simetría del cuadrado -horizontal, vertical y ambas diagonales- hacen que la flecha cambie de orientación sin que la figura cambie de forma. Comentarios finales: Si tu imaginación no es tan fértil como para recrear el juego con alguna situación real, quizá quieras inspirarte en la versión comercializada por Vernet bajo el título WRONG WAY, donde las flechas representan señales de tráfico. Steve Beam publicó un interesante juego basado en este principio en la primera página del primer volumen de la revista The Trapdoor (1983), bajo el título "Upside down". Allí afirma que el juego está basado en el manejo de Bev Bergeron sobre la versión de Milbourne Christopher. Da la impresión de ser un juego al que tenía mucho aprecio para concederle el honor de ser el primero de una colección compuesta por 70 volúmenes publicados entre 1983 y 1998. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

Jueves, 02 de Abril de 2020 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

22. 180. (Marzo 2020) Martin Gardner

¿Eres capaz de descubrir los nombres que faltan en esta frase? Una vez XXX escribió que YYY había convertido a cientos de matemáticos en magos y a cientos de magos en matemáticos. Los adictos (perdón, adeptos) a este rincón imaginarán rápidamente que YYY define perfectamente a Martin Gardner pero quizá no adivinen a la primera el personaje que lo describió de esta forma tan directa y certera. Si buscamos el origen de la sentencia, podemos encontrar algunas pistas aunque la frase ha presentado ligeras variantes. Por ejemplo, en el libro "Los Simpson y las matemáticas" (Ariel, 2013), Simon Singh dice que: La idea juguetona que tenía de las matemáticas Gardner -el matemático recreativo más grande del siglo- atraía tanto a jóvenes como a mayores, o como expresó una vez uno de sus amigos: «Martin Gardner convirtió a miles de niños en matemáticos, y a miles de matemáticos en niños». Por otra parte, en el libro "Magical Mathematics: the mathematical ideas that animate great magic tricks" (Princeton University Press, 2011), de Persi Diaconis y Ronald Graham, aparece esta otra frase: La columna de Martin hizo mucho más que abrir el apacible arte de la matemática recreativa a una audiencia internacional de millones. Un aviso publicitario de uno de sus libros dice: «Atención, Martin Gardner ha convertido a docenas de jóvenes inocentes en profesores de matemáticas y a miles de profesores de matemáticas en jóvenes inocentes». En la autobiografía (publicada de manera póstuma) de Martin Gardner titulada "Undiluted Hocus-Pocus" (Princeton University Press, 2013), se desvela el misterio de este baile entre decenas, centenas y millares, pues Persi Diaconis, al escribir el prólogo, cita: Yo escribí el siguiente anuncio para uno de sus libros: «Atención, Martin Gardner ha convertido a docenas de jóvenes inocentes en profesores de matemáticas y a miles de profesores de matemáticas en jóvenes inocentes». Dicho libro es el titulado "The Colossal Book of Mathematics" (Norton, 2001) y la contracubierta del libro se muestra en esta imagen: Persi Diaconis cuenta que conoció a Martin Gardner cuando tenía 13 años, en una cafetería de Nueva York llena de magos y que, desde entonces, mantuvieron una extensa y regular correspondencia. Cuando el periodista Gary Antonick -en un artículo para The New York Times en 2014- preguntó a Diaconis si era más difícil convertir a niños en matemáticos que a matemáticos en niños, contestó: "es mucho más difícil conseguir que los niños disfruten con las matemáticas; los matemáticos siempre encuentran placer en cualquier agradable minucia". Quizá te estés preguntando el motivo de esta introducción, qué nueva sorpresa nos puede deparar Martin Gardner casi diez años después de su fallecimiento. La respuesta a tus inquietudes es que, por fin, se ha publicado en español la monumental obra que Martin Gardner dedicó a la magia. La obra, titulada en inglés "Martin Gardner presents" y publicada en 1993, reúne a lo largo de sus 415 páginas todas las contribuciones a la magia realizadas por nuestro protagonista durante seis décadas. Este libro ya está agotado pero la editorial Páginas Libros de Magia ha hecho un gran esfuerzo al publicar su traducción, y lo ha dividido en tres tomos, distribuyendo el material según sus características. Están disponibles por tanto los libros «Matemagia», «Cartomagia» y «Magia de Cerca», completando una excelente colección de seis libros dedicada a este autor. La colección incluye la traducción de la autobiografía que hemos citado antes bajo el título "Puro Abracadabra" (Páginas Libros de Magia, 2017), así como otros libros que han sido difíciles de conseguir hasta ahora. Por motivos obvios, el tomo dedicado a la magia matemática es el que interesa especialmente a los habituales de este rincón. Se pueden descubrir varios juegos que no están incluidos en otros escritos y contiene muchos comentarios acertados e información interesante por parte del traductor, el físico-mago Pablo Basterrechea. Como es habitual en este rincón, vamos a abrir el libro "Matemagia" por alguna página al azar. Vaya, el azar ha querido que nos encontremos con el capítulo 4, titulado «Apuestas y Probabilidades», el cual contiene seis juegos que obedecen a esta descripción. Este tipo de juegos son muy apreciados en el mundillo de la magia pues permiten crear la sensación de que el mago tiene ciertos poderes que le hacen ganar en los juegos de azar. Vamos a describir aquí, a modo de ejemplo, el primero de ellos, que fue publicado originalmente por Karl Fulves en el libro Octet el año 1981. Despliega sobre la mesa un conjunto de 16 cartas, dispuestas en cuatro filas de cuatro cartas cada una, algunas de ellas con las caras hacia arriba y otras con los dorsos hacia arriba, de forma aleatoria. Por ejemplo, podrían haber quedado así: El reto consiste en dejar todas las cartas en un mismo sentido, bien todas cara arriba, bien todas cara abajo. Para ello, se permite realizar una serie de movimientos. Estas son las posibles opciones: Voltear todas las cartas de una misma fila. Voltear todas las cartas de una misma columna. Voltear todas las cartas de una misma diagonal. Ahora bien, cualquier diagonal (o semidiagonal) es válida, tanto si contiene cuatro cartas, tres, dos o solo una (que será cualquiera de las esquinas), en cualquiera de las dos direcciones. Esquemáticamente, las posibles diagonales son las indicadas en las figuras: Comprobarás que no es fácil conseguir el objetivo (se muestra aquí la solución para el ejemplo propuesto). De hecho, algunas veces parecerá imposible. Sin embargo, si eres mago (en este caso, si conoces el secreto), siempre encontrarás una solución. ¿Cuál es ese secreto? Un mago no debe desvelarlo, así que te remito a las fuentes originales en el caso de que no puedas resolverlo por ti mismo. Incluso, aunque lo resuelvas, el libro contiene material de sobra para saciar tu sed de magia matemática. Comentarios finales: El colega Colm Mulcahy, otro de los personajes habituales a esta sección, de hecho con sección propia titulada Card Colm y que se prolongó durante diez años, trató este juego pero, sobre todo, una versión simplificada del mismo, versión que también aparece en el libro que estamos reseñando. Puedes aprender este otro juego en la entrada de diciembre de 2006. El análisis de este juego y de otros que se derivan de él conduce de forma natural al estudio de grupos conmutativos finitos, de esos que se estudian en la carrera de matemáticas. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

Miércoles, 04 de Marzo de 2020 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

23. 179. (Febrero 2020) De camino a la magia

Pulsa en la imagen para ir al juego.

Sábado, 01 de Febrero de 2020 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

24. 178. (Enero 2020) Números interesantes

¿Quién se atreve a afirmar que no todos los números son interesantes? Vamos a otorgar momentáneamente al osado el beneficio de la duda. Con esta premisa, separaremos el conjunto de los números en dos tipos: el de números interesantes y el de números aburridos. Por muchos números aburridos que existan habrá alguno que sea el menor de todos. Eso lo convierte en interesante pues tiene el honor de ser "el primero de los números aburridos". Habrá que quitarlo de aquí y colocarlo en el grupo de números interesantes. Si empezamos de nuevo el razonamiento anterior, habrá otro número aburrido que se convierte en interesante por pasar a ser ahora "el primero de los números aburridos". Tarde o temprano, según el tamaño de tu conjunto inicial de números aburridos, ese conjunto se vaciará y todos los números pasarán a ser interesantes. ¿No te ha convencido el argumento? Claro, es una típica falacia obtenida como consecuencia de una definición imprecisa y ambigua. Porque si una definición no caracteriza de forma exclusiva el objeto definido, ya no es definición. Así que, para hablar de lo interesantes que son algunos números, debemos establecer una definición completa; lamentablemente, no existe definición matemática de una cualidad tan subjetiva como esta. Esta discusión, que tiene su origen en una anécdota ocurrida entre los matemáticos Srinivasa Ramanujan (1887-1920) y Godfrey Hardy (1877-1947) sobre el número 1729, es un buen punto de partida para mostrar algunas características distintivas de los números que sí permiten proporcionar definiciones y crear distintas personalidades a diferentes conjuntos numéricos. Vamos a romper con la tradición y, antes de mostrar algunos ejemplos, hagamos un juego donde los protagonistas sean los números, aunque disfrazados de cartas. Utilizaremos un conjunto de cartas donde están impresos algunos números. Como no importan los palos, los hemos sustituido por otros símbolos. Para realizar el juego mientras sigues las instrucciones, busca unas tarjetas o cartulinas en las que escribirás los números indicados o imprime y recorta las cartas que mostramos a continuación. Reúne todas las cartas, ordénalas de menor a mayor y forma un paquete con las caras hacia abajo. Corta y completa el corte para no saber cuál es la carta superior del montón. A continuación, reparte todas las cartas sobre la mesa, la primera a la izquierda, la segunda a la derecha, la tercera sobre la primera, la cuarta sobre la segunda, y así sucesivamente, hasta formar dos montones iguales. Retira la carta superior de cada montón, gira ambas cartas y sepáralas del resto. ¿Observas alguna característica que compartan ambos números? ¿Quizás alguna característica que los distinga? Recoge el resto de cartas colocando uno de los montones sobre el otro. Abre en abanico el paquete de cartas y selecciona seis de ellas, dejándolas sobresalir un poco del resto. Reparte, una a una y de arriba abajo, las seis cartas elegidas dejándolas sobre la mesa formando un montón (así habrás invertido el orden de estas cartas). Coloca a su lado, en otro montón, las seis cartas que han quedado en tu mano. Retira y gira la carta superior de cada montón. ¿Siguen teniendo alguna característica distintiva? Repite la operación anterior repartiendo las cartas superiores de cada montón. ¿Es cierto que, en todas las ocasiones, siempre habrá una feliz y una infeliz? Te preguntarás porqué hemos dicho que lo importante de las cartas son los números cuando lo que hemos conseguido es separar caras felices de caras infelices. Resulta que, precisamente, los números que aparecen en las caras felices se llaman oficialmente números felices y los otros son los llamados números infelices. ¿Qué propiedad distingue unos números de otros? Antes de dar la definición, elige un número, digamos 2019, y calculemos la suma de los cuadrados de sus cifras: 22 + 12 + 92 = 86. Repitamos la operación con el resultado: 82 + 62 = 100. Al repetir el proceso, sale el número 1 y no hay forma de seguir. Esto caracteriza a los números felices: la secuencia de números que se obtiene después de las operaciones indicadas termina en 1. ¿Qué pasará con el próximo año 2020? 22 + 22 = 8 →  82 = 64  →  62 + 42 = 52  →   52 + 22 = 29 →  22 + 92 = 85. A partir de ahora, se repite el ciclo 89, 145, 42, 20, 4, 16, 37, 58, lo que impide que la secuencia termine en 1. Eso hace que el número sea infeliz (recuerda que es un concepto matemático, no una predicción sobre lo venturoso del nuevo año). Mira en este enlace los primeros números felices, los cuales hemos usado en el juego anterior. Si quieres entretenerte descubriendo propiedades de números, visita la página Find the factors, donde aparece la imagen de la portada formada por los primeros números pentagonales. De ellos, el 70, 176, 376, 1247 y 1335 son también felices. En el portal Numbers Aplenty puedes encontrar gran variedad de conceptos sobre características temperamentales de los números. En particular, la sección happy numbers contiene la lista de los números felices. En realidad, he querido incluir este juego en nuestro rincón para hablar del libro de donde lo he adaptado. Nuestro buen amigo Francisco González, colega por partida doble -pues es mago y matemático- ha publicado recientemente el libro titulado «Matemagia: descubre la magia de las matemáticas». El libro se divide en cuatro capítulos (uno por cada palo de la baraja), cada uno de los cuales contiene 13 juegos (uno por cada valor de las cartas) de magia matemática de todo tipo, y con diferentes materiales. Lo destacable de su trabajo es el toque personal en cuanto a las presentaciones de los juegos y el diseño particular de los elementos que utiliza. Precisamente, el capítulo 3 está dedicado a juegos que se realizan con una baraja muy especial, que él define como baraja de tipos: cada carta es un número con alguna característica especial, ya sea número perfecto, poderoso, narcisista, modesto, feliz, hambriento, etc. La siguiente imagen muestra algunos ejemplos de esta selección. De este modo, las propiedades matemáticas de los juegos de cartas se cumplen para familias de números relacionados entre sí por alguna propiedad aritmética, dando personalidad y carácter a estas cartas. La vertiente didáctica de este enfoque es muy interesante y se agradece el esfuerzo y generosidad del autor ofreciendo la posibilidad de descargar estas cartas especiales así como el resto de material utilizado en este libro. Puedes consultar directamente con el autor (paco@magopaco.es) para recibir más información sobre su retoño. Comentarios finales: Precisamente el inicio del nuevo año es propicio para explorar las características numerológicas del número que representa. Entre la multitud de propiedades interesantes que hemos ido compartiendo entre los matefrikis, me gustaría destacar dos de ellas: El nuevo año es un número autobiográfico porque contiene 2 ceros, 0 unos, 2 doses y 0 treses. El famoso teorema de los cuatro cuadrados conjeturado por Diofanto de Alejandría (siglo III) y demostrado por Joseph Louis Lagrange en 1770 afirma que todo número entero positivo puede expresarse como suma de cuatro cuadrados de enteros positivos. Lo que no es tan común es que dichos números sean primos y, lo que es más difícil todavía, que sean primos consecutivos. Pues bien, eso ocurre este año ya que 2020 = 172 + 192 + 232 + 292, como se observa en la imagen adjunta (un pentágono de lados enteros), adaptada de un programa de Geogebra elaborado por Vincent Pantaloni. Esto no pasaba desde 1348 y no volverá a ocurrir hasta dentro de 672 años pues 2692 = 192 + 232 + 292 + 312. La última (ahora ya son tres): 2020 = 10 x 9 x 8 + (7 + 6) x 5 x 4 x (3 + 2) x 1. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

Martes, 07 de Enero de 2020 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

25. 177. (Diciembre 2019) La posada mágica

Uno de los juegos clásicos de magia que casi todos conocemos desde nuestra infancia es el de la posada. ¿Lo recuerdas? Aparecen quince personajes, el cuatro de oros representa el posadero, los cuatro reyes, los cuatro caballeros y las cuatro sotas se representan a sí mismas y los cuatro ases hacen el papel de cuatro amigos. La posada tiene solo cuatro habitaciones así que llegan los cuatro amigos, el posadero les asigna una habitación a cada uno, llegan las cuatro señoritas pero, como no quedan habitaciones libres, cada una se hospeda en una de las habitaciones ya ocupadas, y así sucesivamente van llegando los cuatro caballeros y los cuatro reyes, que también van compartiendo las habitaciones ya ocupadas con el consiguiente enfado de unos y satisfacción de otros. Después del inevitable trasiego de habitaciones, representado por una mezcla de las cartas, al final se impone el orden y cada habitación está ocupada por un solo grupo de visitantes. Por la sencillez en su ejecución y el acompañamiento de una entretenida presentación, este juego ha sido y sigue siendo muy popular entre los principiantes aficionados a la magia. No explicaremos su funcionamiento, basado en propiedades de ordenación de las cartas, así que remitimos al lector interesado a consultar en la web las numerosas versiones del juego, como la que el mago Alfonso V muestra en este video. Como ya hemos adelantado, las matemáticas involucradas en el juego son muy simples: si tenemos un conjunto numérico según la secuencia 1-2-3-4-1-2-3-4-1-2-3-4-1-2-3-4, cualquier corte deja invariable la secuencia que alterna los cuatro números y, al repartirlos en cuatro montones, en cada montón aparecen los cuatro números iguales. Estas sencillas ideas se han utilizado en otros juegos, no menos clásicos ni populares, como el de los tres montones, también llamado el de las 21 cartas, y otros similares, algunos de los cuales han desfilado por este rincón (por ejemplo el de las cartas transpuestas descrito en abril de 2016). También se ha utilizado a modo de elemento didáctico en aulas de primaria, como se muestra en el portal "didáctica mágica". Como es natural, a lo largo del tiempo se han tratado de crear juegos que, a pesar de estar basados en las mismas ideas, oculten de algún modo el principio bajo el cual se apoyan con el fin de acrecentar las dosis de misterio y sorpresa. Uno de estos juegos es el ideado por Werner Miller, mago y matemático habitual en este rincón gracias a su incansable aportación a esta especialidad. El juego, titulado Lure, aparece en el primer libro de la colección Enigmaths, que consta de nueve volúmenes. Aunque el desarrollo de la acción pueda parecer similar al juego de la posada, se adapta más a una situación de punto fijo, como la mostrada en el número de octubre de 2019. Solo necesitaremos las veinte cartas con los valores del as al cinco de cada uno de los cuatro palos. Empieza colocando sobre la mesa y con las caras hacia arriba los cuatro ases en un montón, los cuatro doses en un segundo montón, y así sucesivamente, los cuatro cincos en un quinto montón. La situación será como la siguiente: Gira cara abajo las tres cartas superiores de cada montón, dejándolos en su misma posición. Quedará así: Recoge todas las cartas que están cara abajo, una a una, empezando por las cartas superiores y de izquierda a derecha, formando un paquete de cartas en la mano. Así pues, la primera carta recogida es la superior de la izquierda, luego la carta superior del siguiente montón, luego la superior del montón central, y así sucesivamente, hasta recoger las cinco cartas superiores de todos los montones. A continuación se repite la mismo operación empezando de nuevo por la izquierda y recogiendo las siguientes cinco cartas superiores. Por último se realiza la mismo operación con el resto de cartas cara abajo. Elige ahora un número del uno al cinco y confirma tu elección girando cara abajo la carta de la mesa que corresponde a dicho número. Con las cartas de la mano, pasa de arriba abajo del paquete tantas cartas como el número elegido. Así, por ejemplo, si el número elegido es el tres, sobre la mesa estará cara abajo el tres y cara arriba las otras cuatro cartas y, además, habrás pasado del paquete de la mano las tres cartas superiores a la parte inferior. Con las cartas de la mano, forma sobre la mesa dos montones repartiendo, caras hacia abajo, una a una todas las cartas sucesivamente a izquierda y derecha. Evidentemente, el segundo de los montones tiene una carta menos: coloca este montón sobre el otro para recomponer el paquete. Reparte nuevamente las cartas formando cinco montones: la primera carta sobre el as, la segunda sobre el dos, y así sucesivamente hasta repartir todas las cartas. Por último, gira todas las cartas caras hacia arriba: ¡Solo las cartas que están sobre el número elegido coinciden con dicho número! Comentarios finales: Una original adaptación del juego clásico de la posada que involucra a familias de números, como los números amigos, catalanes, narcisistas y vampiros, aparece en un libro de reciente publicación, del cual comentaremos en una próxima edición de este rincón. Por el momento, si quieres saber más sobre estas y otras familias de números, puedes consultar el libro Momentos entretenidos con los números de Jesús Escudero o la colección completa que aparece en el portal Math Goodies. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

Lunes, 02 de Diciembre de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

26. 176. (Noviembre 2019) El sistema cuello verde

Resultan curiosas las diferentes maneras en que nos enfrentamos a las implacables leyes de la probabilidad según las circunstancias: por una parte, no nos atrevemos a apostar grandes cantidades a cara o cruz (teniendo una probabilidad de ganar igual a 1/2), ni a enfrentarnos con un trilero (a quien podemos ganar una de cada tres veces), y no digamos nada de asomarnos por un casino y jugar a la ruleta (donde hay 36 números y nos parece casi imposible acertar uno de ellos); por otro lado, somos capaces de apostar regularmente con esperanza (al menos con ilusión) de ganar a otros juegos de azar cotidianos o navideños cuyo fracaso está prácticamente asegurado. Está claro que la matemática no se aplica en estos casos y se trata de una actividad emocional, pero también cultural y social. Es también algo chocante la diferencia de criterio que aplicamos a los juegos de magia: a veces no nos sorprende que un mago sea capaz de acertar una carta elegida cuando la probabilidad es de 1/52 pero sí admiramos sus dotes precognitivas cuando acierta un par de veces en qué mano ocultamos una moneda. De nuevo, la diferencia está en el contexto en que se realicen las adivinaciones o en la habilidad del mago para magnificar la dificultad de las mismas. La situación es similar en lo que respecta a la magia matemática, con el agravante de que lo más seguro es que no intervengan las leyes del azar sino que los resultados de un experimento estén regidos por principios deterministas. Es típico el juego del trilero en su versión matemática: un espectador selecciona uno de tres objetos posibles, los mezcla de forma aparentemente libre para llegar a una posición que ya el mago puede descubrir. El primero que resolvió el problema de manera brillante fue Bob Hummer con la publicación, en 1951, del folleto titulado precisamente «Mathematical three-card monte», adaptado posteriormente por muchos artistas, siendo la del mentalista Al Koran la de mayor repercusión. Una adaptación más reciente corresponde al folleto titulado Inv3rsion, escrito por Pierre Boc e Yves Meret, en donde se aplica el mismo principio para producir efectos similares. La idea de este principio ha sido desarrollada varias veces en este rincón, como por ejemplo en «Los tres objetos» (marzo 2010) o «¿Has mentido?» (julio 2013). Recientemente, ha aparecido una nueva evolución del principio: se denomina "Sistema del cuello verde" a un proceso ideado por el mago francés Gabriel Werlen, mediante el cual se puede adivinar un objeto seleccionado entre tres después de realizar un pequeño número de movimientos con los tres objetos, movimientos que pueden hacerse incluso sin la presencia física del mago (como nos gusta en este rincón). Este nuevo principio está detallado en el libro titulado "Green neck system" y publicado hace un par de años, libro que incluye también una variedad de ejemplos donde se puede aplicar, con distintos objetos y en diferentes situaciones. Una completa descripción del libro aparece en la web Marchand des trucs, empresa editora del libro, junto con Mindbox. Debido a la gran variedad de enfoques surgidos a partir de la creación de Bob Hummer, mostraremos en este artículo tres versiones, de diferentes procedencias, pero basadas en la idea básica. En todos los casos, necesitarás tres billetes de distinta denominación (para poder distinguirlos): digamos que tienes un billete de cinco euros, uno de diez y uno de veinte. Deja sobre la mesa los tres billetes, en una fila, de menor a mayor valor (o de mayor a menor, como prefieras). Yo los he dispuesto, por ejemplo, así (pero tú puedes colocarlos al revés): Selecciona uno de los tres billetes. Recuerda que se trata de un juego, no es necesario que elijas el de mayor valor. Intercambia de lugar los dos billetes que no has elegido. Intercambia ahora de lugar los dos billetes de mayor y menor valor. ¡Es suficiente! Ya sé dónde está el billete elegido: en el centro. Si crees que el orden inicial de los billetes era importante, vamos a hacer algo más difícil, pues ahora colocarás los billetes en una fila, sin ningún orden, de modo que no sabré la posición relativa de ningún billete. Hay un total de seis posibles disposiciones, una de las cuales es esta (elige tú la que quieras): Intercambia el billete de menor valor con el de su derecha (si ya está a la derecha, no hagas nada). Intercambia el billete de mayor valor con el de su izquierda (de nuevo, si ya está a la izquierda, déjalo en su sitio). Intercambia el billete de valor intermedio con el de su derecha (como antes, solo si es posible). Vamos a repartir el dinero: tú te llevarás dos billetes y yo solo con uno. Como tú los has ido cambiando, elegiré yo primero: me quedo con el de la izquierda porque seguro que es el de mayor valor. Pasemos a la última fase. De nuevo, colocarás los billetes en una fila, sin importar el orden, y elegirás uno de los billetes. Puede estar a la derecha, en el centro o a la izquierda y puede ser el de cinco euros, el de diez o el de veinte. Trataré de encontrar el billete elegido después del siguiente ritual: Dobla por la mitad el billete de la izquierda. Dobla por la mitad el billete del centro. Intercambia de lugar los dos billetes que no has elegido. Intercambia de lugar los dos billetes que están doblados. ¡No hay duda! El billete elegido está a la derecha. Observaciones: Seguro que te has preguntado el significado del principio "cuello verde". Como afirma su creador, dicho principio fue tomando forma después de haber realizado algunas versiones preliminares y ensayos utilizando los tres objetos básicos de una cubertería, el tenedor, la cuchara y el cuchillo. En francés, cubierto se escribe "couvert", que se lee "cou vert", que a su vez significa "cuello verde". ¿Humor francés? El primero de los juegos descritos consiste en una aplicación directa del principio del "cuello verde". Como puedes apreciar, solo hacen falta dos instrucciones para determinar la posición de uno de los tres objetos. Si estudias todos los casos, observarás que cada una de las instrucciones altera el orden cíclico de los billetes. La segunda de las versiones que hemos descrito aparece en la recopilación titulada Bob Hummer's collected secrets, escrita por Karl Fulves (1980), con el título «Digital dollars». La mejor forma de saber por qué funciona es repetir el proceso teniendo en cuenta todas las posibilidades. Te animo a realizar la tabla correspondiente, a ver si te sale como la mía. Una cuarta versión, para la que tampoco se necesita saber de antemano la posición de ninguno de los billetes, fue publicada en 1964 (aunque creada bastantes años antes) por Sam Schwartz bajo el título «Long range telepathy», pues es posible realizarla por teléfono. Está descrita también en el libro de Karl Fulves ya mencionado. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

Viernes, 01 de Noviembre de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

27. 175. (Octubre 2019) Punto fijo

[Imagen de la portada: carátula del disco Fractal Muzak de Vaporwave, cuyo primer tema es el titulado Banach fixed point theorem.] El teorema del punto fijo es un resultado matemático profundo y muy ubicuo: en su forma más general, establece condiciones para las cuales una determinada transformación deja invariable alguno de sus valores. Por ejemplo, si la transformación consiste en girar un círculo 90 grados alrededor de su centro, el único punto fijo es el centro del círculo (el círculo tiene la misma apariencia pero todos sus puntos -salvo el centro- han cambiado de lugar). Podemos encontrar, según el espacio donde actúa dicha transformación, diversos teoremas del punto fijo: de Banach, de Borsuk-Ulam, de Brouwer, de Kakutani, de Lefschetz, de Ryll-Nardzewski, de Schauder, etc., todos ellos avalados por nombres de personalidades destacadas de las matemáticas. Si tienes una cierta preparación matemática, puedes seguir la interesante presentación de Bernardo Cascales sobre algunos de estos teoremas. Más elemental (al menos la primera parte) es la contenida en el video del canal Archimedes Tube, explicado por nuestro colega Urtzi Buijs. A pesar de su alto contenido teórico, el teorema tiene muchas aplicaciones prácticas (y no tan prácticas). Un ejemplo elemental, consecuencia de este teorema, establece que, si agitamos con una cucharilla un vaso de agua, al final del proceso habrá el menos una molécula de agua que ocupe la misma posición que ocupaba antes de la mezcla. Otra curiosa aplicación establece que, en cualquier momento, siempre habrá dos puntos en la Tierra, diametralmente opuestos, que tienen la misma temperatura y la misma presión atmosférica. Puedes encontrar una explicación elemental y desenfadada en este video. Incluso, al final del video encontramos un juego de adivinación numérica "basado" en este teorema. Un teorema de punto fijo especial tiene el sorprendente nombre de "teorema de la bola peluda", una de cuyas consecuencias afirma que, en algún lugar de la esfera terrestre habrá siempre un fenómeno atmosférico en el que el viento gira sobre sí mismo, como un remolino o tornado. Una forma oportuna de ilustrar el teorema del punto fijo de acuerdo a las características de este rincón sería encontrar un proceso matemático que se pueda convertir en juego de magia. Para ello tendríamos que determinar en primer lugar una transformación que cumpla las premisas del teorema. Si el mago conoce las características del punto fijo, puede plantear un juego y adivinar o prever el resultado final. A lo largo de este rincón hemos presentado gran cantidad de juegos que siguen este esquema, los más significativos son los relativos a los que llamamos "agujeros negros", donde la aplicación reiterada de una determinada transformación conduce a un punto fijo (ver por ejemplo, la secuencia de los números 31, 32 y 33 correspondientes a septiembre, octubre y noviembre de 2006). Curiosamente, hemos encontrado otro ejemplo de estas características en la literatura mágica reciente. Un joven mago autodidacta húngaro, József Kovács (personaje de la figura adjunta), ha recogido en un folleto titulado "Cardopia" algunas de sus contribuciones a la revista de magia The Budget durante el año 2013. Uno de los juegos incluidos en esta recopilación es el que hemos adaptado y describimos a continuación. Separa de la baraja cinco cartas, del as al cinco, de cualquier palo, caras hacia abajo. El orden no importa pero, para recordarlo al final de juego, es mejor ordenarlas de menor a mayor. Digamos que están colocadas así (aunque con las caras hacia abajo): Elige una cualquiera de las cartas; gírala cara arriba manteniendo su posición. A partir de este momento, realizarás una serie de movimientos que tú creerás que son libres pero te llevarán inevitablemente a una situación prevista por mí. Gira cara arriba otra de las cartas, la que quieras. Ahora intercambia la posición de las dos cartas que están cara arriba. Intercambia de posición la carta elegida con cualquiera de las cartas que están cara abajo. Intercambia de posición las dos cartas cara abajo que no han sido movidas aún. Intercambia de posición las dos cartas cara arriba. Gira cara arriba todas las cartas que están cara abajo. Observa la posición final de las cartas. Todas han cambiado de lugar excepto un punto fijo, ¡tu carta elegida! Observaciones finales: Esta secuencia de movimientos puede usarse como juego de adivinación, tal como hace József Kovács en su folleto. Con el mago de espaldas durante toda la secuencia de movimientos, basta una rápida mirada a la posición final para saber cuál ha sido la carta elegida. Es relativamente sencillo elaborar una secuencia de movimientos con las que se consiga el mismo resultado anterior utilizando más de cinco cartas. El inconveniente es que el juego puede hacerse repetitivo y aburrido al alargar innecesariamente el proceso. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

Martes, 01 de Octubre de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

28. 174. (Septiembre 2019) Math Casts

Es curioso comprobar cómo las ideas matemáticas originales surgen de las más variadas fuentes y de momentos históricos diversos: no solo entre los profesionales de la materia sino desde el mundo de los aficionados. Ocurre lo mismo con la magia y, por supuesto, con la magia matemática. Ya hemos presentado a lo largo de este rincón a un gran elenco de personajes, del pasado y del presente, tanto aficionados como profesionales, que han contribuido con sus ideas originales al desarrollo de esta disciplina. Si en la última entrega hablamos de un personaje científico actual, Harapan Ong (número 173), esta vez viajaremos en el tiempo para adentrarnos en las ideas mágico-matemáticas de un paisajista y mago aficionado del pasado reciente. Howard Adams nació en 1931 en Buffalo (Nueva York). Fue un prolífico e incansable escritor y publicó grandes enciclopedias de magia, como los 10 volúmenes de O.I.C.U.F.E.S.P. (acrónimo a la inglesa de "Oh, I see you have ESP") o M.I.N.D.E.S.P.A. (una serie de 12 ejemplares dedicados a la magia mental), pero también la colección ESP Card Magic, serie de 20 DVDs recopilados por Aldo Colombini, contiene multitud de juegos con cartas ESP originales de Howard Adams y otros autores. Falleció en 2010 en Laguna Niguel (California). El libro del que hablaremos esta vez es el titulado Mathcasts Aspellonu (H&R Magic Books, 2003), que podemos traducir como "El hechizo de los modelos matemáticos". Esto me recuerda el título del libro de Theoni Pappas, "The magic of mathematics: discovering the spell of mathematics", aunque de contenido completamente distinto. El libro de Howard Adams contiene 12 x 12 = 144 juegos basados en principios matemáticos de combinatoria y propiedades de invariancia y simetrías. Todos se realizan con un pequeño paquete de cartas o con símbolos ESP, a quienes dedicamos los artículos de enero (número 167) y febrero de 2019 (número 168). El propio autor califica estos juegos como solitarios mágicos pues la magia sucede en las propias manos del espectador, sin la intervención del mago. Durante mucho tiempo, el libro ha reposado en mi mesa de noche esperando su oportunidad de salir en nuestro rincón; la cantidad de juegos que contiene ha hecho difícil la elección. Es posible que, en el futuro, otros juegos también tengan cabida. Por el momento, valga mi recomendación como modelo lleno de ideas sobre magia y matemáticas. El juego que hemos elegido como muestra es el titulado MIRAKASTAK, el número 123 de la lista. Su desarrollo te dará una idea del tipo de juegos que contiene el libro, un verdadero filón para la magia pero también para la matemática: la sorpresa del resultado es el objetivo de la primera así como la búsqueda de la solución es la ocupación de la segunda. Separa de la baraja ocho cartas, del as al ocho, de palos mezclados (solo importan sus valores numéricos) y ordénalas de modo que, estando las cartas con las caras hacia abajo, estén en este orden, de arriba abajo (el as será la carta superior y corresponderá al número 1): En la versión original se utilizan también 60 monedas de un céntimo y tres monedas de 25 céntimos. Como no tenemos esas monedas en nuestro sistema eurístico, bastará tener escritas en dos hojas de papel las predicciones que desvelaremos en su momento. Corta el paquete de cartas por cualquier lugar y completa el corte. De este modo, cualquier número puede estar ahora en la parte superior. Reparte sobre la mesa las cuatro cartas superiores, de izquierda a derecha, formando una fila de cuatro cartas, pero colocando cara arriba las que quieras, desde ninguna hasta las cuatro. Un ejemplo: Reparte las cuatro cartas restantes, también de izquierda a derecha, sobre las anteriores, también cara arriba o cara abajo a tu gusto. Vas a recoger ahora todas las cartas. Para ello, gira el paquete de la izquierda y colócalo sobre el siguiente, como cerrando un libro. Gira ahora ese paquete de cuatro cartas y colócalo sobre el siguiente, como antes. Repite la operación anterior con este montón consiguiendo recomponer el paquete de ocho cartas quedando un solo paquete sobre la mesa. Ahora algunas cartas estarán cara arriba y otras cara abajo. Toma las dos cartas superiores del paquete, vuélvelas cara arriba si es necesario y ordénalas de menor a mayor formando así un número de dos cifras (la primera menor que la segunda). Toma las dos siguientes cartas del paquete y repite la operación anterior. Suma los dos números formados y comprueba si mi primera predicción es correcta: Quedan cuatro cartas del paquete mezclado. Recoge las dos primeras, vuelve cara arriba las que estén cara abajo y ordénalas de mayor a menor, formando otro número de dos cifras (ahora la primera cifra es mayor que la segunda). Repite la misma operación con las dos últimas cartas del paquete. Suma ahora los dos números de dos cifras que han salido y comprueba si mi segunda predicción es correcta: Un ejercicio interesante consiste en descubrir el método de adivinación. Más interesante aún es comprobar si hay otra forma de ordenar las cartas inicialmente para obtener resultados diferentes pero también predecibles. Observaciones finales: Habrás observado también que, en todos los casos, la suma de las dos cartas repartidas consecutivamente es igual a nueve. Como solo hay cuatro posibles combinaciones al escribirlas de menor a mayor, 18-27-36-45, la suma de dos parejas de dichos números es 63. Una situación análoga se presenta con los números que se obtienen ordenando las cifras de mayor a menor. Otra propiedad de la ordenación inicial, también descrita en el libro, es la invariancia de la resta: si las dos primeras cartas repartidas se ordenan de mayor a menor y las dos siguientes se ordenan de menor a mayor, la resta de estos números de dos cifras da siempre como resultado 36. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

Jueves, 05 de Septiembre de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

29. 173. (Julio 2019) Con dos caras

En diciembre de 1956 apareció en la revista Scientific American el artículo de Martin Gardner titulado "Flexagons", donde daba a conocer públicamente esas figuras descubiertas 17 años antes por el matemático británico Arthur Stone y cuyas propiedades se habían mantenido ocultas entre los miembros del "Princeton Flexagon Comittee", formado por estudiantes y profesores de la Universidad de Princeton. No vamos a describir aquí estas figuras porque se pueden encontrar multitud de referencias en la literatura (por ejemplo el primer capítulo del libro "Gardner para principiantes", RSME/SM - 2014, está dedicado a los flexágonos); solo diremos que se trata de hojas de papel dobladas convenientemente para conseguir que tengan más de las dos caras habituales. Por sí sola, esta propiedad bastaría para considerar a los flexágonos como objetos mágicos, a modo de complemento de la banda de Moebius que también es una hoja de papel doblada convenientemente para que tenga solo una cara. Existen muchos modelos de flexágonos, los cuales se clasifican según la forma geométrica final de la hoja de papel y el número de caras que puede tener. Por ejemplo, se llama tetraflexágono al que tiene forma cuadrada (en general al que tiene cuatro lados) y el más común tiene cuatro caras, por eso recibe el nombre de tetratetrahexágono. En este video y este otro enseñan a construir dos modelos. Más sorprendente es el hexatetraflexágono, que tiene forma cuadrada y puede mostrar hasta seis caras (como el que enseñan a construir en este video). Sirva el preámbulo anterior para presentar el juego de hoy, que no es un juego sino un método para construir un flexágono; de hecho tampoco será un flexágono porque se construye con varias piezas aunque mantiene la propiedad básica: se puede plegar y desplegar para mostrar varias caras. Más importante que la construcción que vamos a mostrar es la fuente original en la que se encuentra y el autor de dicha creación. Harapan Ong es un profesor singapurense de física y mago de gran habilidad técnica (puedes encontrar diversos videos en Youtube donde muestra sus habilidades). Como él mismo se define "de día soy un querido profesor de física, de noche soy un misterioso y elegante mago". Recientemente ha escrito el libro "Principia" (Vanishing Inc, 2018), título quizá inspirado en el famoso "Philosophiae naturalis Principia Mathematica" obra magna escrita por Isaac Newton y publicada precisamente el 5 de julio de 1687 pero también posiblemente en el no menos famoso "Principia Mathematica" de Bertrand Russell y Alfred Whitehead. De hecho, el libro de Harapan Ong está escrito como una secuencia de artículos de investigación científica pues todos los juegos se describen siguiendo la secuencia abstract / introduction / methodology / results / analysis and discussion / conclusion / references. Uno de los capítulos del libro es el artículo titulado Flexacard, el cual contiene la construcción que mostraremos en esta ocasión. Se trata de una carta, aparentemente normal, pero que tiene dos caras y, aparentemente, un solo dorso. Si quieres construirlo, sigue las instrucciones que se indican a continuación. Encuentra una baraja cuyos dorsos tengan un diseño simétrico y no tengan orla blanca (como las que se usan tradicionalmente en los casinos). Selecciona dos cartas de dicha baraja, que sean muy diferentes entre sí (como una roja y una negra o una figura y un número). En nuestro caso, utilizaremos el tres de corazones y el rey de picas. Corta cada una de las cartas en cuatro partes exactamente iguales, como en la figura adjunta: Junta los dos trozos que corresponden a la parte superior derecha de ambas cartas y pégalos por sus dorsos para tener un trozo que muestra el tres de corazones por un lado y el rey de picas por el otro. Realiza la misma operación con los trozos correspondientes a la parte inferior izquierda de cada carta. A continuación, coloca los seis trozos como se indica en la figura (las flechas indican que la parte de atrás es la carta pegada con el valor señalado): Une los trozos con cinta adhesiva dejando una separación entre cada trozo del grosor de una carta (para poderla plegar posteriormente). Los lugares por donde deben unirse los trozos están indicados en la figura siguiente (aunque, evidentemente, la cinta debe ser invisible): Pasa los dos trozos que muestran la cara del tres de corazones por detrás del trozo que está de dorso. Pasa también el trozo inferior derecho, que está de cara, por encima del otro trozo que está de cara (las flechas indican el lugar donde debe doblarse). El resultado final tendrá la apariencia del dorso de una carta. Pega por último con cinta adhesiva por donde indica la figura: Si das la vuelta a la carta, verás los cuatro trozos que corresponden al tres de corazones. Cierra la carta como si fuera un libro y vuelve a abrirla por la parte de atrás. Se verá nuevamente el dorso de una carta pero, al darle la vuelta, aparece el rey de picas. Dejamos a la imaginación del lector la creación de algún juego de magia con esta carta o, mejor aún, alguna variación de esta construcción que permita mostrar más de dos cartas. La carta doble, por sí misma, constituye un elemento mágico que puede servir como punto de partida para un estudio más completo de los flexágonos. Observaciones finales: Se pueden encontrar otros modelos de cartas con varias caras, como la Carta Flexagon Infinity, de la página jeguridos.com. Merece la pena estudiar el trabajo de Anthony Conrad y Daniel Hartline, titulado precisamente Flexagons, publicado en 1962, pues constituye un estudio matemático clásico y muy completo de los flexágonos. Si quieres pasar más ratos entretenido con los flexágonos, te recomiendo el libro The magic of flexagons (1999), de David Mitchell, que contiene material para fabricar tus propias figuras. En particular, contiene un modelo de tetraflexágono en el que aparecen los cuatro ases de las baraja. Se pueden encontrar incluso juegos online relacionados con los flexágonos, como el Flipagon. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

Lunes, 08 de Julio de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

30. 172. (Junio 2019) Marchando una de inducción

El principio de inducción completa es una herramienta matemática tan versátil como intrigante pues permite demostrar infinitas propiedades en solo dos pasos. Para entenderlo, es muy ilustrativo establecer la analogía de este principio con el de la caída de infinitas fichas de dominó (en este video se ven caer un millón de fichas, todavía muy lejos de ser infinitas pero puede servir como aproximación). Como es fácil entender, si numeramos un conjunto infinito de fichas de dominó con los números naturales y los colocamos a una distancia tal que todas las piezas cumplen la condición "cuando la ficha número n se cae, hace que la ficha número n + 1 también se caiga," entonces está claro que, al dejar caer la ficha número 1, las infinitas fichas caerán irremediablemente. No hará falta comprobarlo para la ficha 507 ni para la 4589, ni para ninguna en particular, la condición anterior asegura la caída de todas las fichas. Esto es precisamente lo que afirma el principio de inducción completa: dada una proposición matemática que depende de un número natural, si queremos asegurar que dicha proposición es válida para todos los números naturales, basta comprobar que es cierta la condición "cuando la propiedad es cierta para el número n, también será cierta para el número n + 1," y, por supuesto, que lo sea también para el número 1. A pesar de su aparente simplicidad, este principio ha resuelto multitud de problemas matemáticos de todo tipo, incluso es el fundamento de otras técnicas como el método del descenso infinito, muy utilizado en demostraciones clásicas. Sin embargo, a veces nos puede engañar si no observamos con atención todos sus detalles. El gran maestro George Pólya, en el primer volumen de su libro "Mathematics and plausible reasoning" (Princeton University Press, 1954) propone una paradoja que hoy se conoce como teorema de los caballos o de las niñas rubias: Dado un conjunto de niñas rubias, si al menos una de ellas tiene los ojos azules, entonces todas las niñas tienen los ojos azules. La versión original con caballos afirma que todos los caballos son del mismo color. La demostración es la siguiente: Es evidente que la afirmación es cierta si el conjunto está formado por una sola niña. Supongamos ahora que la afirmación es cierta para cualquier conjunto de n elementos (es decir que, dado un conjunto de n niñas rubias, si una tiene los ojos azules, entonces todas tienen los ojos azules), y consideremos un conjunto de n+1 niñas rubias . Si suponemos que una de ellas, digamos R1, tiene ojos azules, entonces todas las del conjunto  tienen ojos azules (por la hipótesis de inducción). En particular, R2 tiene ojos azules de modo que todas las del conjunto tienen ojos azules. En definitiva, todas las del conjunto tienen ojos azules. A pesar de que la demostración parece correcta, entendemos que no lo es porque la afirmación es falsa. ¿Qué ha fallado? Simplemente, la suposición de que los conjuntos y  tienen un elemento común es falsa cuando n = 1. Hasta aquí la clase de matemáticas. Pasamos al juego de magia, cuya explicación esperamos que descubras, quizá ayudándote del principio de inducción. Realizaremos el juego de este mes con las mismas monedas que usamos la última vez, de momento una cantidad indefinida de ellas. Saca del bolsillo un puñado de monedas y colócalas en un montón sobre la mesa. Muestra también una predicción, que mantienes a la vista hasta el final pero sin dejar ver lo que contiene. Entrega un lápiz y una hoja de papel a una persona que quiera colaborar y, contigo de espaldas, pídele que realice las siguientes operaciones: Separa las monedas en dos bloques, del tamaño que quieras, cuenta el número de monedas que tiene cada bloque y escribe el producto de sus dos valores. Elige uno de los dos bloques anteriores -tú eliges-, vuelve a separarlo en otros dos bloques, vuelve a contar el número de monedas que tiene cada bloque, vuelve a multiplicar sus valores y escribe el producto. Repite el mismo proceso del paso anterior: elige uno de los tres bloques, sepáralo en otros dos, cuenta el número de monedas que tiene cada uno y escribe el producto de estos dos valores. Vuelve a repetir este proceso hasta que todos los bloques tengan una sola moneda. Al final, suma todos los números que habías anotado. Haz que comprueben que este valor coincide con tu predicción a pesar de la total libertad de elección de los distintos tamaños de los bloques de monedas en cada paso. Veamos un ejemplo para comprender mejor el proceso: Sobre la mesa hay diez monedas. Tu colaboradora la separa en dos grupos de 4 y 6 monedas. Por tanto, escribe el número 24. A continuación, escoge el montón de 4 monedas y lo separa en dos grupos de 3 y una moneda. Escribe el número 3 debajo del 24. Sobre la mesa hay tres montones, de 6, 3 y 1 moneda. Escoge el montón de 6 monedas y lo separa en dos grupos, de 4 y dos monedas. Escribe el número 8 debajo de los dos anteriores. Luego escoge el montón de 4 monedas y lo separa en dos grupos, de 2 y 2 monedas. Escribe el número 4. De momento, hay 5 montones, uno con tres monedas, tres con dos monedas y uno con una moneda. Escoge uno de los montones de dos monedas y lo separa en dos grupos de 1 moneda cada uno. Escribe por tanto el número 1. Realiza dos veces más esta misma elección: divide el montón de dos monedas en dos grupos de una moneda y escribe el número 1. Como quedan siete montones con una moneda y un montón con tres monedas, divide este en dos grupos de dos y una moneda y escribe el número 2. Por último, el montón que tiene dos monedas se divide en dos grupos y escribe el número 1. Un esquema con el resumen de todo el proceso se muestra a continuación: 4 6 4 x 6 = 24 3 1 6 3 x 1 = 3 3 1 4 2 4 x 2 = 8 3 1 2 2 2 2 x 2 = 4 3 1 2 2 1 1 1 x 1 = 1 3 1 1 1 2 1 1 1 x 1 = 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 x 1 = 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 x 1 = 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x 1 = 1 La suma de las cantidades anotadas es 24 + 3 + 8 + 4 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 = 45. Las preguntas que debes plantear para saber de antemano el resultado final son: ¿este resultado depende del número inicial de monedas?, ¿depende también de la forma en que se separa cada montón en dos grupos? Incluso aunque hayas intuido que las respuestas son sí y no, respectivamente, la pregunta final es: ¿cuál es la fórmula con la que se obtiene por adelantado el resultado final de la operación? Pero, más importante aún: ¿cómo demostrar que esa fórmula es la correcta? Observaciones finales: Si no has logrado dar con la solución, puedes acudir a la fuente donde he encontrado este juego, el artículo de Franka Brückler titulado "Inductive Magic", aparecido en el blog Mathematics-in-Europe del Comité de Divulgación de la European Mathematical Society. Ya que hemos comentado el efecto dominó, no está de más sugerir que la caída de las fichas está relacionada también con algunas propiedades físicas, como se explica en este artículo titulado "Domino effect - it's more than just a fall". Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

Sábado, 01 de Junio de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico