191. 58. (Febrero 2009) La magia del triángulo de Pascal

Se conoce con el nombre de triángulo de Pascal a una disposición de números en forma de triángulo, construida de forma que cada elemento es la suma de los dos inmediatamente superiores a él, donde inicialmente se coloca el número uno en los lados exteriores. Las primeras filas del triángulo de Pascal son: 1 1   1 1   2   1 1   3   3   1 1   4   6   4   1 El primer tratado dedicado a este triángulo es el titulado "Traité du triangle arithmétique" escrito por Blaise Pascal en 1653. Sin embargo, se han encontrado pruebas de que ya era conocido por el poeta y filósofo Omar Khayyam alrededor del año 1100, probablemente de fuentes indias o chinas. Entre la multitud de propiedades curiosas y hasta sorprendentes que se han ido descubriendo a lo largo del tiempo, no podían faltar los trucos de magia. El que describimos a continuación es uno de los clásicos en magia matemática. Te enseñaré a realizar una predicción basada en el hecho de que cada fila del triángulo de Pascal contiene los números combinatorios, o coeficientes del desarrollo del binomio de Newton. Busca una baraja francesa y retira las figuras y los dieces. Entrega la baraja a un espectador y pídele que coloque cinco cartas en una fila sobre la mesa, caras arriba. Para seguir mejor el desarrollo del juego, lo describiremos con un ejemplo: supongamos que las cartas elegidas por el espectador son Realiza secretamente la siguiente operación: suma los valores de la primera y última carta; multiplica por cuatro la suma de los valores de la segunda y la penúltima cartas; multiplica por 6 la carta central; por último suma todos estos resultados y calcula el resto de la división de este número por 9 (lo que equivale a sumar las cifras del resultado final). En nuestro ejemplo sería 2 + 9 + 4 · (6 + +5) + 6 · 2 = 67, cuyo resto al dividir por 9 da 4.Busca en la baraja un cuatro, digamos de corazones, y colócalo cara abajo en la mesa en una posición como la que se indica en la figura: Pide al espectador que construya un triángulo de cartas, de la siguiente forma: en una fila superior, por cada par de cartas colocará una carta cuyo valor sea la suma de las dos cartas inmediatamente inferiores. Si la suma es mayor que 9, se restará este número. En nuestro ejemplo, una posible configuración de la segunda fila (donde sólo pueden variar los palos escogidos) es la siguiente: El espectador sigue colocando cartas en las filas superiores, utilizando el mismo procedimiento. Cuando haya llegado al vértice del triángulo, pide al público que descubra la carta oculta para comprobar que su valor corresponde a la suma de las dos últimas cartas colocadas por el espectador. Siguiendo con nuestro ejemplo, el espectador colocaría las siguientes cartas: Como la suma de los valores de las dos últimas cartas es 13 y la suma de sus cifras es cuatro, la carta que debería estar en la fila superior es un cuatro. Dicha carta estaba ya colocada desde el principio en ese lugar. A la vista del triángulo de Pascal, la explicación es simple: el valor de cada carta debe multiplicarse por el valor correspondiente al lugar que ocupa en el triángulo de Pascal: para el caso de cinco cartas, los valores correspondientes en el triángulo de Pascal son precisamente 1 - 4 - 6 - 4 - 1, por lo que la operación a realizar es a1 + 4 a2 + 6 a3 + 4 a4 + a5. Se observa fácilmente que el juego puede realizarse con más cartas. Gracias a que se utilizan los restos módulo nueve, en el caso de seis cartas, como el triángulo de Pascal está formado por los números 1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1, equivalente a 1 - 5 - 1 - 1 - 5 - 1, la carta del vértice superior se obtiene mediante la suma a1 + 5 a2 + a3 + a4 + 5 a5 + a6. Si en algún momento, no hay cartas que correspondan al valor que se necesita, se pueden retirar las de las filas inferiores, que ya no se utilizan. Otra observación: el juego puede realizarse con números en vez de cartas. Cuando un espectador haya escrito cinco números en fila puedes escribir secretamente el resultado final del proceso antes de que complete el triángulo. Por último, un problema: Escribe una sucesión de ceros y unos. Debajo de cada par consecutivo escribe un cero si los dos números son iguales, y un uno si son distintos. Repite el proceso hasta que te quede un único dígito en la sucesión. ¿Puedes predecir cuál va a ser el dígito final? Si conoces la respuesta, puedes realizar un juego de magia simulando los unos con cartas cara arriba y los ceros con cartas cara abajo (o viceversa).

Domingo, 01 de Febrero de 2009 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

192. 60. (Abril 2009) Revoltijo de cartas

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Lunes, 06 de Abril de 2009 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

193. 65. (Octubre 2009) El truco del calendario

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Jueves, 01 de Octubre de 2009 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

194. 69. (Febrero 2010) Los billetes y su número de serie

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Martes, 02 de Febrero de 2010 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

195. 68. (Enero 2010) Mi mago favorito (solución)

El mes pasado planteábamos algunas preguntas relativas al juego que recordamos a continuación: Pide a tres voluntarios que elijan una carta cada uno y la devuelvan a la parte superior de la baraja. A continuación deletrea el nombre de mi mago favorito JUAN TAMARIZ, repartiendo cartas de la parte superior de la baraja sobre la mesa, una carta por cada letra, formando un paquete de once cartas. Entrega las once cartas al primer voluntario y pídele que deletree TAMARIZ repartiendo sobre la mesa una carta por cada letra y colocando las cuatro restantes juntas sobre el montón de la mesa. A continuación, el segundo voluntario recoge las cartas y realiza el mismo proceso, es decir reparte sobre la mesa una carta por cada letra de la palabra TAMARIZ y coloca el resto del paquete encima de las cartas de la mesa. Por último el tercer voluntario realiza también el mismo proceso que los dos anteriores. Coloca las cartas en la espalda y saca las tres superiores del paquete dejándolas cara abajo sobre la mesa, una frente a cada espectador. Al volverlas, observa con sorpresa que corresponden a las cartas elegidas. Para comprender el funcionamiento del proceso, supongamos que las once cartas están numeradas y su posición inicial corresponde al orden natural (1, 2, 3, ..., 10, 11). Las cartas elegidas por los tres espectadores son las que ocupan las posiciones 1, 2 y 3. Al repartir las once cartas, su posición se invierte, quedando ahora en el orden (11, 10, 9, ..., 2, 1). Después de deletrear las letras T-A-M-A-R-I-Z y colocar el resto del paquete encima, las siete cartas superiores invierten su posición y pasan a la parte inferior. El orden es ahora (4, 3, 2, 1, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11). Al realizar el mismo proceso dos veces más se obtienen sucesivamente las disposiciones (8, 9, 10, 11, 7, 6, 5, 1, 2, 3, 4) y (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 10, 9, 8). Claramente se observa que las tres cartas superiores son las elegidas por los espectadores. Observamos además que, una nueva aplicación del proceso anterior volvería todas las cartas a su posición original (11, 10, 9, ..., 2, 1). Podemos decir entonces que este proceso de reparto-deletreo es cíclico de orden cuatro, porque la disposición de las cartas se repite cada cuatro aplicaciones del proceso. La propiedad anterior puede generalizarse a grupos de cartas de tamaño arbitrario. El enunciado general del principio es el siguiente: Dado un conjunto de n cartas, supongamos que k ≤ n ≤ 2k. Si se reparten sobre la mesa k cartas, una a una (invirtiendo su orden) y se colocan las n - k cartas restantes sobre las anteriores, al repetir el proceso tres veces más, el conjunto queda ordenado en su disposición original. Demostración: Supongamos el conjunto ordenado inicialmente así: . Después del primer reparto, el orden de las cartas es . Después del segundo reparto, el orden es . Después del tercer reparto, el orden es . Después del último reparto, las cartas vuelven a su posición original . Observemos que, en el tercer reparto, la carta que ocupaba inicialmente el último lugar ha pasado al primero, propiedad que se aprovecha en el juego descrito. Observemos también que k debe ser mayor o igual que n/2, de modo que, si se utiliza el nombre de otro personaje, el deletreo se hará con el apellido si éste tiene más letras que el nombre pero se hará con el nombre si el apellido tiene menos letras. Puedes encontrar más información sobre este principio en la sección Card Colm de la Mathematical Association of America. Pedro.Alegria@ehu.es

Viernes, 08 de Enero de 2010 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

196. 67. (Diciembre 2009) Mi mago favorito

Es bien conocido que la mezcla de una baraja, que en realidad es una permutación del conjunto de las cartas, no es un proceso completamente aleatorio. Muchos estudios, realizados bien por matemáticos, bien por magos o por tahúres, se han realizado con el fin de conocer la posición de una o varias cartas después de una mezcla. Los primeros se conforman con descubrir los principios matemáticos que modelan este proceso, los segundos buscan idear juegos de magia basados en dichos principios y sorprender a sus espectadores y los terceros tratan de tomar ventaja de su información privilegiada durante una partida de cartas. Una característica común a todas las mezclas es su periodicidad: como hay un conjunto finito de permutaciones diferentes, si realizamos "una misma mezcla" un número suficiente de veces, en algún momento volveremos al punto de partida, es decir las cartas volverán a su posición inicial. Como no siempre es fácil realizar la mezcla exactamente igual y el número de mezclas necesarias es muy elevado, es más cómodo utilizar un conjunto más pequeño de cartas. El siguiente juego de deletreos con cartas es un ejemplo particular de lo que acabamos de comentar. El desarrollo del juego es el siguiente: Pide a tres voluntarios que elijan una carta cada uno y la devuelvan a la parte superior de la baraja. A continuación deletrea el nombre de mi mago favorito JUAN TAMARIZ, repartiendo cartas de la parte superior de la baraja sobre la mesa, una carta por cada letra, formando un paquete de once cartas. Entrega las once cartas al primer voluntario y pídele que deletree TAMARIZ repartiendo sobre la mesa una carta por cada letra y colocando las cuatro restantes juntas sobre el montón de la mesa. A continuación, el segundo voluntario recoge las cartas y realiza el mismo proceso, es decir reparte sobre la mesa una carta por cada letra de la palabra TAMARIZ y coloca el resto del paquete encima de las cartas de la mesa. Por último el tercer voluntario realiza también el mismo proceso que los dos anteriores. Coloca las cartas en la espalda y saca las tres superiores del paquete dejándolas cara abajo sobre la mesa, una frente a cada espectador. Al volverlas, observa con sorpresa que corresponden a las cartas elegidas. Explicación: En lugar de dar la explicación, aprovecharemos estas fechas para realizar el acostumbrado CONCURSO NAVIDEÑO y proponer algunas cuestiones relacionadas con el juego. Como habrás comprobado, las tres cartas elegidas han pasado de la parte inferior a la parte superior. ¿Cuál es la disposición final, con respecto a la inicial, del resto de las cartas? ¿Cuál es la disposición de las cartas después de un cuarto proceso de reparto-deletreo? ¿Funciona el juego si deletreas JUAN en vez de TAMARIZ en cada proceso? ¿Se puede realizar el juego utilizando el nombre de otra persona? ¿Cuándo debes utilizar el nombre en lugar del apellido? Todas estas preguntas son en realidad pistas que te ayudarán en la reflexión de las respuestas. Espero todas vuestras contribuciones a la dirección Pedro.Alegria@ehu.es.

Martes, 01 de Diciembre de 2009 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

197. 64. (Septiembre 2009) SOLUCIÓN CONCURSO DEL VERANO 2009

EL NUEVE MÁGICO (SOLUCIÓN) Recordaremos, para empezar, el problema propuesto en el número de julio. Coloca nueve monedas formando un círculo. Junto a cada moneda está escrito un número (en la figura aparece un signo de interrogación que deberás sustituir por el número adecuado). Pide a un espectador que piense uno de los números de la figura. Empezando en la moneda indicada por la flecha, y siguiendo el sentido de las agujas del reloj, señala sucesivamente una moneda y pide al espectador que deletree, en silencio, el número pensado, una letra por cada moneda señalada. Al finalizar el deletreo, estarás señalando la moneda junto a la cual está el número pensado. El problema que planteamos consiste en averiguar los números que debes colocar junto a cada moneda para que funcione el juego. Es fácil comprender que no existe una solución única, pues basta colocar junto a cada moneda un número que tenga tantas letras como sea necesario para llegar a la moneda ocupada por dicho número empezando a contar, una moneda por cada letra, desde el lugar ocupado por la flecha. Una de las soluciones posibles es la siguiente: Para encontrar otras soluciones, observemos que, en lugar del 11 podríamos colocar los números 3, 6, 8 ó 10, todos ellos con cuatro letras. Al no haber números con dos letras, para llegar a la segunda moneda necesitamos encontrar números con once letras, como es el 25. El resto de valores admiten también otras posibilidades teniendo en cuenta este mismo razonamiento. Algunos juegos similares, con explicaciones y añadidos interesantes, pueden encontrarse en el libro de Ian Stewart, El laberinto mágico, cuya lectura recomiendo.

Viernes, 11 de Septiembre de 2009 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

198. 63. (Julio 2009) CONCURSO DEL VERANO 2009

EL NUEVE MÁGICO Si eres lector habitual de esta sección, habrás observado que gran parte de los juegos mágico-matemáticos cuyo resultado se puede predecir de antemano se basa en que las operaciones aritméticas requeridas se simplifican de una u otra forma. Volvemos de nuevo a este tema presentando un juego clásico y muy sencillo pero, con un poco de ingenio, puede disimularse el principio en el que se basa. Para realizar el juego, sigue las instrucciones que se indican a partir de la imagen adjunta. Piensa un número mayor de 9. Desde la moneda número uno, recorre tantos pasos como indica el número pensado. Una vez dentro del círculo, seguirás el movimiento contrario al de las agujas del reloj. Si el número pensado es menor o igual a 16, llegarás a la moneda marcada con dicho número. [Por ejemplo, si has pensado el 22, a la cuenta de 17 llegarás a la moneda número 4, a la cuenta de 18 llegarás a la moneda número 5, y así sucesivamente, a la cuenta de 22 llegarás a la moneda número 9.] Desde esta última posición, recorre nuevamente el círculo de monedas, esta vez en el sentido de las agujas del reloj, y tantos pasos como el número pensado al principio. Ahora puedo saber que has llegado a la moneda marcada con el número 13. Repite algunas veces el experimento y comprobarás que llegas siempre a la misma posición, porque el efecto de recorrer el círculo en uno y otro sentidos es el mismo que el de restar el número de pasos recorridos en dicho círculo. Si quieres hacer el juego y disimular el principio, basta con colocar cada vez un número diferente de monedas en la cola del nueve. Eso hará que el resultado final sea siempre distinto pero tú puedes controlar en cada caso cuál será la moneda correspondiente al final del recorrido. Como problema de concurso para este verano proponemos una versión diferente usando el mismo principio. El juego consiste en lo siguiente: Coloca nueve monedas formando un círculo. Junto a cada moneda está escrito un número (en la figura aparece un signo de interrogación que deberás sustituir por el número adecuado). Pide a un espectador que piense uno de los números de la figura. Empezando en la moneda indicada por la flecha, y siguiendo el sentido de las agujas del reloj, señala sucesivamente una moneda y pide al espectador que deletree, en silencio, el número pensado, una letra por cada moneda señalada. Al finalizar el deletreo, estarás señalando la moneda junto a la cual está el número pensado. El problema que planteamos consiste en averiguar los números que debes colocar junto a cada moneda para que funcione el juego. Bastará seguir las instrucciones del juego para encontrar la regla de formación de dichos números. Como es habitual, entre quienes encuentren una solución correcta, se sorteará un obsequio por parte de Divulgamat.

Miércoles, 01 de Julio de 2009 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

199. 62. (Junio 2009) Cocientes de Fibonacci

Como continuación del tema iniciado en la entrega anterior, mostraremos con un juego de magia una de las propiedades de la sucesión de Fibonacci, concretamente la que relaciona dicha sucesión con el número áureo, famoso por haberse utilizado como modelo de proporciones en diferentes manifestaciones artísticas. El número áureo, descrito con la letra griega Φ, es la raíz positiva de la ecuación de segundo grado x2 = x + 1. Para realizar el juego, sigue las siguientes instrucciones: En una hoja de papel escribe un número cualquiera. Debajo de él escribe otro número arbitrario. Bajo ellos escribe la suma de los dos números anteriores. Escribe un cuarto número que sea la suma de los dos últimos números escritos. Sigue este proceso hasta que hayas escrito 10 números (cada uno de ellos será la suma de los dos números inmediatamente anteriores). Para finalizar, divide entre sí los dos últimos números escritos, el último entre el penúltimo o viceversa. Ejemplo: 4 7 11 18 29 47 76 123 199 322 Lo creas o no, puedo adivinar las primeras cifras de la parte decimal del resultado: son un 6, un 1, un 8, un 0, quizá un 3. La explicación es sencilla: si has dividido el último entre el penúltimo, el cociente es una buena aproximación del número áureo Φ = 1,61803...; si has dividido el penúltimo entre el último, el resultado se aproxima a 1/Φ = Φ - 1 = 0,61803... La propiedad descrita también es cierta si los dos términos iniciales de la sucesión son arbitrarios, como en el ejemplo anterior.

Lunes, 01 de Junio de 2009 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

200. 61. (Mayo 2009) Sumas de Fibonacci

Un tema que no puede faltar en cualquier trabajo sobre matemática recreativa es el relativo a las propiedades de la sucesión de Fibonacci. Por la simplicidad de su definición, por la originalidad de la leyenda con la que se definió por primera vez (sí, la de esa familia de conejos que se autofecundan indefinidamente), por la variedad de propiedades interesantes y aplicaciones inesperadas, sigue siendo motivo de estudio para muchos aspectos divulgativos de las matemáticas. En esta entrega (y algunas posteriores) nos centraremos en aquellos aspectos recreativos o ingeniosos que relacionan la sucesión de Fibonacci con la magia. Para este juego, busca una persona que quiera colaborar contigo y pídele que siga las siguientes instrucciones: En una hoja de papel escribe un número cualquiera. Debajo de él escribe otro número arbitrario. Bajo ellos escribe la suma de los dos números anteriores. Escribe un cuarto número que sea la suma de los dos últimos números escritos. Sigue este proceso hasta que hayas escrito 10 números (cada uno de ellos será la suma de los dos números inmediatamente anteriores). Para finalizar, suma los diez números obtenidos. Mientras realiza esta operación, tú puedes rápidamente saber el resultado de dicha suma y escribirlo en una hoja de papel. ¿Sabes cómo?: simplemente, multiplica por 11 el séptimo número de la serie. Para que el juego sea verdaderamente sorprendente, debes ser capaz de realizar esa multiplicación de forma inmediata. Pero una regla sencilla para hacerlo es la siguiente: Escribe la primera cifra del número; a continuación la suma de la primera y la segunda; luego la suma de la segunda y la tercera; la suma de la tercera y la cuarta; y así sucesivamente, hasta escribir la última cifra. Por ejemplo, para calcular 1436 x 11, debes escribir 1, 1+4, 4+3, 3+6, 6, es decir 15796. Otro ejemplo, las cifras del producto 2475 x 11 serían 2, 2+4, 4+7, 7+5, 5. Como algunos valores son mayores de nueve, se debe añadir la unidad a la cifra anterior. En este caso, el valor final sería 27225. Te animo a que descubras la razón de esta propiedad. Realiza las operaciones indicadas en el juego con números arbitrarios y comprueba que la suma es once veces el séptimo término de la sucesión.

Viernes, 01 de Mayo de 2009 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico