101. 102. (Febrero 2013) El truco de las N cartas (N=4,...,6)

Hace un tiempo, nada menos que en la duodécima entrada de este rincón (diciembre de 2004), propusimos el siguiente problema: Estando el mago a una distancia considerable, su asistente, quien ejercerá de médium, deja la baraja a un espectador, el cual elige cinco cartas cualesquiera y las entrega al asistente. El asistente devuelve una de las cartas al espectador para que la oculte y muestra las otras cuatro al mago. Entonces, sólo viendo estas cuatro cartas, el mago adivina la carta que oculta el espectador. El problema, que abandonamos a su suerte en aquella ocasión (aunque ya considerado en el artículo "Códigos secretos y teoría de la información en la magia", publicado en la revista Sigma el año 2005), tiene una larga historia, una hermosa solución, pero también unas implicaciones muy profundas. Con el fin de corregir aquel descuido, describiremos algunos de estos aspectos del juego, que Michael Kleber bautiza como “The best card trick” en la revista Mathematical Intelligencer, vol. 24 (2002). Larga historia Vayamos con la historia, como la cuentan Gérard Michon en el portal Numericana y el propio Michael Kleber en el artículo citado. En 1950, Wallace Lee publica el libro Math Miracles dedicado, ¡sí, has acertado!, a la magia matemática. En el capítulo XV presenta el juego “Telephone Stud”, del cual afirma que puede realizarse por teléfono. Atribuye la invención del juego al mago y matemático William Fitch Cheney Jr. (1894-1974), profesor de la Universidad de Connecticut, pero mejor conocido por haber sido el primer matemático en conseguir el doctorado (PhD) en el Massachusetts Institute of Mathematics el año 1927. En 1957, Russell Duck publica en su revista de magia The Cardiste una solución -imperfecta- al problema de determinar la quinta carta en el caso de que el propio espectador selecciona qué carta quiere ocultar entre las cinco elegidas. En el libro “El ahorcamiento inesperado y otras diversiones matemáticas” de 1969, Martin Gardner menciona el problema y propone una ingeniosa solución al problema planteado por Russell Duck. En base a esta idea, Juan Carlos Ruiz de Arcaute realiza un programa para hacer el juego donde el ordenador adivina la carta que el propio espectador ha seleccionado entre las cinco elegidas. En 1986, el matemático y calculista Arthur Benjamin populariza el juego al proponerlo como problema en un programa para estudiantes destacados de matemáticas en la educación secundaria. En 1994 es propuesto como problema en el antiguo grupo de noticias rec.puzzles y una primera solución es ofrecida por Bob Vesterman. Robert Orenstein ofrece la primera versión interactiva del juego (página abandonada durante mucho tiempo y recuperada recientemente por Thomas Ace), sin indicar la solución. Esa fue la primera noticia que tuve del juego, resolvimos el problema entre Juan Carlos Ruiz de Arcaute y yo y el propio Juan Carlos elaboró un programa en Visual Basic con ese juego y algunas otras variantes, como se explican en el artículo citado Códigos secretos y teoría de la información en la magia. Este y otros juegos son la base de algunos espectáculos y charlas de magia matemática que hemos compartido durante mucho tiempo. Además de las ya citadas, podemos encontrar otras versiones interactivas del juego: http://www.mulawa.net/mulawa/magic/5cards.html (traducido en Divulgamat) http://jm.davalan.org/jeux/cartes/cinq/index.html (en francés) http://appshopper.com/entertainment/pi-day-magic (app gratuito para iphone) http://themagiccafe.com/forums/viewtopic.php?topic=353786&forum=99&1 (código Excel) Existen multitud de referencias a este juego y sus posibilidades didácticas. Dos de las más significativas, aparte de la ya mencionada de Michael Kleber, son: Artículo titulado “All you need is cards”, de Colm Mulcahy (bajo el pseudónimo de Brain Epstein, jugando con el título “All you need is love”, de Los Beatles, y su famoso mánager Brian Epstein), publicado en la recopilación “Puzzlers’ tribute: a feast for the mind” (AK Peters, 2002). Artículo titulado “Using a card trick to teach Discrete Mathematics”, de Shai Simonson y Tara Holm, publicado en PRIMUS, vol. 13 (2003).   Hermosa solución Hay cuatro componentes matemáticas, muy sencillas pero combinadas de manera ingeniosa, que permiten desarrollar una estrategia de comunicación entre el asistente y el mago. Gracias al principio del palomar, es seguro que dos de las cartas elegidas por el espectador son del mismo palo. Estas dos cartas son las que detecta rápidamente el asistente. Gracias al orden lexicográfico, todas las cartas de la baraja están ordenadas: dadas dos cartas, será menor la de menor valor; en caso de que las cartas sean del mismo valor, será menor la del menor palo. ¿Y cómo están ordenados los palos? Como hayan acordado el mago y su asistente. Nosotros adoptamos el sistema que los programas informáticos tienen por defecto, el orden alfabético en inglés: tréboles < rombos < corazones < picas. Por culpa de la aritmética modular, si colocamos todas las cartas de un mismo palo en un círculo, dadas dos cartas, siempre se puede llegar de una a la otra en un máximo de seis pasos. Una propiedad básica de combinatoria establece que existen seis diferentes permutaciones con tres elementos. Si dichos elementos son P (pequeña), M (mediana) y G (grande), las seis permutaciones son 1=PMG, 2=PGM, 3=MPG, 4=MGP, 5=GPM, 6=GMP. Con estas cuatro ideas, será fácil construir una estrategia óptima. Además del artículo citado al principio, puedes encontrar explicaciones más detalladas en los blogs Grey Matters y Random Thoughts. Busca alguien que se la aprenda contigo y practica el juego ante cualquier público. Entonces disfrutarás de la verdadera magia de las matemáticas. ¿No es mágico que la baraja tenga cuatro palos y, al elegir cinco cartas, seguro que hay dos del mismo palo? Así que una de ellas permite transmitir el palo de la oculta. ¿Y no es mágico que la distancia máxima entre esas dos cartas del mismo palo sea precisamente seis? Esto permite ocultar la carta a la que se puede llegar sumando al valor de la otra un número menor o igual a seis. ¿Y no es mágico que seis es exactamente el número de permutaciones que se pueden obtener con las tres cartas restantes? Ordenando estas tres cartas de manera apropiada, el mago sabrá qué número sumar al valor de la carta que comparte el mismo palo que la oculta. Si da la impresión que el método es óptimo, la magia no ha hecho más que empezar: existen soluciones mejores, hasta el punto que el espectador puede elegir qué carta ocultar entre las cinco. A pesar de que el principio del palomar ya no es aplicable (el espectador puede ocultar una carta cuyo palo no coincida con ninguna de las otras cuatro), hay alguna estrategia para poder codificar el valor de la carta oculta. Sigue leyendo.   Profundas implicaciones El juego se ha estudiado con profundidad y se han propuesto diversas variantes y modificaciones. Dos de las direcciones en las que se han propuesto mejoras son: Cambiar el número de cartas que elige el espectador. Permitir que el espectador retire la carta que debe adivinar el mago. (1) El juego de las seis cartas Una mezcla de estas dos variantes es la nueva versión propuesta por Hang Chen y Curtis Cooper, de la Universidad de Missouri Central, en el artículo “n-card tricks”, publicado en College Mathematics Journal, 40 (2009), págs. 196-201. Así como las soluciones que existían en el caso de que el espectador eligiera cinco cartas y él mismo ocultara una de ellas tenían una componente mágica, el método de Chen y Cooper proporciona una solución perfecta -y exclusivamente matemática- del juego. Esta es la versión que proponen: Un espectador elige seis cartas a la vista del médium y oculta una de ellas. El médium recoge las otras cinco, las ordena de forma apropiada y las muestra al mago. Sólo observando la posición de estas cartas, el mago es capaz de adivinar la carta oculta por el espectador. La solución es la siguiente: En primer lugar, consideramos ordenados los palos bajo algún convenio, digamos tréboles < rombos < corazones < picas, y las cartas ordenadas por su valor, es decir, As < 2 < 3 < ... < J < Q < K. Así, dadas dos cartas, será menor la de menor valor y, si ambas son del mismo valor, será menor la del menor palo. El orden completo sería AT < AR < AC < AP < 2T < 2R < 2C < 2P < … < KT < KR < KC < KP. [Este es el orden lexicográfico que hemos utilizado en el juego original.] El médium coloca como primera carta vista aquella cuya posición en el conjunto de cinco cartas, según su ordenación de menor a mayor, corresponda al palo de la carta oculta, la primera indica tréboles, la segunda rombos, la tercera corazones y la cuarta picas. Es decir, si la carta oculta es de tréboles, busca la menor de las cinco; si es de rombos, la segunda más pequeña; si es de corazones, la tercera más pequeña y si es de picas, la cuarta más pequeña. La segunda carta que coloca el médium será aquella cuya posición en el conjunto de las cuatro cartas restantes, siempre de menor a mayor, indique si la carta oculta es menor o mayor que la primera carta vista, utilizando el orden circular. Para ello se utiliza la menor si la oculta es menor que la primera, o la mayor si la oculta es mayor que la primera. Las otras tres cartas se colocarán según una de las seis permutaciones posibles: 1=PMG; 2=PGM; 3=MPG; 4=MGP; 5=GPM; 6=GMP (donde P indica pequeña, M indica mediana y G indica grande) para formar un número comprendido entre 1 y 6. Dicho número se suma o resta al valor de la primera carta, según que la segunda sea la mayor o la menor, para obtener el valor de la carta oculta. En el caso de que la carta oculta tenga el mismo valor que la primera carta, basta colocar como segunda carta cualquiera de las dos intermedias entre las cuatro restantes. Esto indica que la carta oculta no es mayor ni menor que la primera carta, de modo que pueden colocarse las otras tres cartas de cualquier manera. Ejemplos   La primera carta, 7P, es la tercera de las cinco, ordenadas de menor a mayor: la carta oculta es de corazones. La segunda carta, AP, es la menor entre las cuatro restantes: la carta oculta es menor que 7, a distancia comprendida entre uno y seis. Las tres cartas restantes, ordenadas mayor-intermedia-menor, indican que la oculta está a distancia seis de la primera. La carta oculta es el AC.   La primera carta, AT, es la primera en la ordenación de menor a mayor: la carta oculta es de tréboles. La segunda carta, JT, es la mayor entre las cuatro restantes: la carta oculta es mayor que 1, estará comprendida entre 2 y 7. Las tres cartas restantes están ordenadas mayor-menor-intermedia: se suma cinco, lo que indica que la carta oculta es el 6T.   La primera carta, 6T, es la segunda más pequeña en la ordenación: la carta oculta es de rombos. La segunda carta, 9P, es la mayor entre las cuatro restantes: la carta oculta es mayor que 6, a distancia comprendida entre uno y seis. Las tres cartas restantes, ordenadas mayor-menor-intermedia, indican que la oculta está a distancia cinco de la primera: la carta oculta es la JR.   La primera carta, 2P, es la primera en la ordenación: la carta oculta es de tréboles. La segunda carta, 5T, es la menor entre las cuatro restantes: la carta oculta es menor que 2, a distancia comprendida entre uno y seis. Las tres cartas restantes, ordenadas menor-mayor-intermedia, indican que la oculta está a distancia dos de la primera: la carta oculta es la KT. (2) El juego de las cinco cartas El juego inicial de las cinco cartas, cuya solución nos pareció durante mucho tiempo inmejorable, también ha sido mejorado por Cooper y Chen, bajo la condición de que el propio espectador oculta una de las cinco cartas, en el artículo citado. Es cierto que cuatro cartas permiten sólo 24 permutaciones, justo la mitad del número de cartas que quedan en la baraja. Hace falta mucho ingenio para solventar esta dificultad. Esta es su solución: En primer lugar, consideramos ordenadas las cuatro cartas de menor a mayor, que denotaremos como 1-2-3-4, según el orden lexicográfico ya citado. La primera carta que muestra el asistente indicará el palo de la oculta: si es la carta 1, la oculta es de tréboles; si es la 2, será de rombos; si es la 3, de corazones; si es la 4, de picas. Quedan tres cartas que, ordenadas de menor a mayor, llamamos ahora 1-2-3. La segunda carta que muestra el asistente indica si el valor de la carta oculta es mayor o menor que la primera: si es la 1, la carta oculta es menor que la primera, a distancia menor o igual que seis; si es la 2, la carta oculta es del mismo valor que la primera; si es la 3, la carta oculta es mayor que la primera, a distancia menor o igual que seis. ¿Quedan dos cartas? No, dos cartas cara arriba (P=pequeña, G=grande) y una oculta (X). Las tres cartas pueden colocarse de seis maneras, indicando cada una de ellas un número entre uno y seis, valor que se sumará o restará al de la primera carta para conocer el valor de la oculta: 1 = PGX, 2 = PXG, 3 = GPX, 4 = GXP, 5 = XPG, 6 = XGP. Con un poco de práctica podrás realizar también esta versión del juego, indicando previamente la imposibilidad matemática de conseguirlo. Sólo debes justificar de alguna forma el uso de la carta oculta entre las otras cuatro. (3) El juego de las cuatro cartas Colm Mulcahy y nosotros hemos obtenido dos soluciones diferentes al siguiente juego: Un espectador selecciona cuatro cartas de una baraja y se las entrega al asistente del mago. El asistente devuelve una de las cartas al espectador para que la guarde y deja sobre la mesa las otras tres, no necesariamente caras arriba. El mago mira las cartas de la mesa y adivina la carta que oculta el espectador. Ambos métodos están explicados en los trabajos citados: Math Horizons / Revista SIGMA. Pero también Cooper y Chen proponen en su artículo una tercera solución, un poco menos elegante. Puedes practicar una versión interactiva del juego, realizada por Michael Trick, de la cual desconozco su método. (4) El póquer del diablo Esta variante se realiza con las trece cartas de un mismo palo. El juego consiste en lo siguiente: El espectador elige cinco cartas y entrega las ocho restantes al asistente del mago. Este elige otras cinco cartas y deja a la vista las otras tres, ordenadas de cierta manera. El mago, viendo solamente estas tres cartas, adivina las cinco cartas que tiene el espectador (y, por supuesto, las cinco del ayudante). ¿Te atreves a encontrar una estrategia que permita al asistente seleccionar y ordenar adecuadamente las tres cartas para que el mago averigüe las cartas del espectador? Todas las respuestas serán bienvenidas (puede servir de ayuda la información contenida en esta página).   Referencias adicionales Blog de Pradeep Mutalik: The Wizard's clock. Video de Scam School: Be a psychic. Artículo de Mary Beth Kilnoski: The mathematics of the five card trick. Artículo de John Cosgrave: el juego n!+n-1 para Maple. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Miércoles, 30 de Enero de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

102. 101. (Enero 2013) Lotería matemática

Tradicionalmente, durante los días previos al sorteo extraordinario de la lotería de Navidad, los matemáticos hacemos horas extras de trabajo tratando de desterrar todos los mitos que rodean a este acontecimiento anual. Como la ilusión puede más que la razón, es imposible convencer a la gran mayoría de personas que el número 00000 y el 31416 tienen la misma probabilidad de resultar ganadores: exactamente 1/100000; que si el Gordo del año pasado fue el 58268, este año no pierde credibilidad ni disminuye su probabilidad de ser el Gordo: vuelve a ser exactamente 1/100000 (¡vaya!, ha salido el 76058 a pesar de que su probabilidad era de 1/100000); que comprar el número en las administraciones más famosas y solicitadas sólo aumenta la probabilidad de que toque en dicha administración, pero la probabilidad de ganar con el número que hayamos adquirido es la misma: cierto, exactamente 1/100000. El resto de preguntas tienen respuestas similares: ¿por qué nunca ha salido el 00000?: porque su probabilidad es minúscula (el 0,001%); ¿por qué casi nunca ha salido premiado el mismo número?: porque su probabilidad es minúscula (el 0,001%); ¿por qué una misma persona ha tenido el Gordo dos años consecutivos?: esto sólo lo contestaré en presencia de mi abogado. Paralelamente, los magos también tenemos mucho trabajo en esas fechas. Debemos inventar respuestas imaginativas a preguntas tales como: si eres mago, ¿podrás adivinar cuál será el Gordo de la Lotería?; ¿por qué no te has hecho millonario si sabes cuál será el Gordo de la Lotería?; ¿por qué te dedicas a adivinar cartas si podrías aprovechar tus poderes adivinando el Gordo de la Lotería? 3 ♦ - 4 ♦ - 8 ♦ - 2 ♠ - 6 ♠ - 7 ♠ - A ♥ - 5 ♥ - 9 ♥ Empecemos el sorteo. Mezcla por separado los grupos de tres cartas de cada palo. Serán los tres bombos del sorteo. Tú mismo elegirás el orden de los bombos en que se irán sacando los números. Escribe en la parte superior de una hoja de papel el orden de los palos que prefieras. Tienes seis posibles elecciones: ROMBOS-PICAS-CORAZONES, ROMBOS-CORAZONES-PICAS, CORAZONES-ROMBOS-PICAS, CORAZONES-PICAS-ROMBOS, PICAS-ROMBOS-CORAZONES o PICAS-CORAZONES-ROMBOS. Supongamos, por ejemplo, que has elegido la secuencia ROMBOS-PICAS-CORAZONES. Extrae una carta del primer bombo, una carta del segundo bombo y una carta del tercer bombo. Los valores de dichas cartas, en el mismo orden en que se han extraido, darán un número de tres cifras. Anota ese número en la hoja de papel. Siguiendo el ejemplo indicado, supongamos que has extraido las cartas 8 ♦ - 2 ♠ - A ♥. Escribirías entonces el número 821. Con las cartas que no se han usado aún, repite el mismo procedimiento: extrae una carta del primer bombo, una del segundo y una del tercero. Forma con los valores de las cartas otro número de tres cifras. Escribe dicho número bajo el anterior. Repite por tercera y última vez el mismo procedimiento: ahora sólo queda una carta de cada palo, de modo que sólo puedes formar un número de tres cifras, pero su valor depende de las cartas elegidas en los pasos anteriores. Suma ahora los tres números obtenidos. Muchas han sido las elecciones posibles en cada paso, por lo que muchos son los posibles resultado de la suma. Como verás, tengo un sobre cerrado. Pulsa con el ratón sobre él y aparecerá el número de lotería que yo compré. ¿Habría ganado? Comentario final: Vamos a contar el número de resultados posibles. En primer lugar, hay seis formas distintas de elegir una secuencia de palos; una vez elegida dicha secuencia, hay tres posibles elecciones para cada cifra del primer número, lo cual da un total de 3 x 3 x 3 = 27 posibles números; a continuación, quedan dos posibles elecciones para cada cifra del segundo número, es decir 2 x 2 x 2 = 8 posibles números; esto nos deja una única elección del tercer número. En total son, entonces, 6 x 27 x 8 = 1296 distintas formas de elegir tres números. Así que la probabilidad de que la suma sea la contenida en la predicción es minúscula. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Jueves, 03 de Enero de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

103. 100. (Diciembre 2012) ¡Ya somos centenarios!

¡Quién lo iba a decir! Al aceptar la propuesta irrechazable de Raúl Ibáñez para desvelar lo que el código ético de la magia no permite, los propios secretos mágicos, mis únicas pretensiones eran las de dar a conocer las propiedades matemáticas que algunos juegos de magia utilizan. Nunca imaginé que dichas propiedades fueran tan numerosas y variadas, pero tampoco que pudieran encontrarse nuevas propiedades que pudieran aprovecharse en el ámbito de la magia matemática. Al llegar hasta aquí me ha parecido conveniente echar una mirada atrás. Creo que no está de más organizar de alguna manera toda la información contenida en todas estas páginas. Al afrontar esta tarea, me arrepiento de no haber dejado pasar la oportunidad y dedicarme a algo más sencillo, porque: ¿qué tipo de clasificación es la correcta, la establecida por criterios mágicos o por criterios matemáticos?; ¿hay alguna clasificación universal que permita distinguir un tema de otro? Un matemático necesita definir una relación de equivalencia con la que poder clasificar los elementos de un conjunto. Una vez reconocida mi propia incapacidad para hacerlo, he decidido tomar una vía intermedia: haré una lista de las ideas más significativas que permitan englobar todos los juegos y luego incluirlos en alguna de ellas. El resultado de esta labor es la tabla que ofrezco a continuación. Verás que alguno de los números están escritos en rojo; con ello quiero indicar que su inclusión en el apartado correspondiente no es la razón principal pero sí de forma secundaria. Seguro que tú, lector habitual y seguidor incondicional, tienes algunas observaciones y correcciones que permitirán afinar un poco más esta distribución. Incluso, si te dedicas a tareas docentes, podrías hacer una clasificación según el nivel educativo que se precisa para asimilar los conceptos involucrados en los juegos. No sólo serán bien recibidos tus comentarios sino que los haremos públicos para el resto de personas interesadas. Prometo que la recapitulación que hagamos después de las siguientes 100 entradas será más fiable. Muchas gracias por asomarte a este rincón y seguir el resto de secciones de DIVULGAMAT. Mezclas de cartas Operaciones numéricas 4: Orden en el Universo 5: La Luna roja 7: A ciegas 12: El juego de Fitch Cheney 14: Partida de póquer 16: A la tercera va la vencida 17: Adivinación a distancia 28: Salvado por las matemáticas 32: La fila de nueve 34/35: El juego de los montones 39: Encuentra la dama 40: Adivinación a pares 43:La herencia 46: Predicción casi segura 58: La magia del triángulo de Pascal 60: Revoltijo de cartas 67/68: Mi mago favorito 72: El truco de cartas de Einstein 74/75: Las tres últimas 76: Prime time 77: Agua y vino 78/79: Rojas y negras bajo control 80: Transmisión telepática 81: Un Penney por tu jugada 84: Cartas rotas 85/86: En busca del trozo perdido 87: La escoba 88: El triunfo de los ases 89: El juego de las tres cifras 91: El pianista sin par 94: Sucesiones De Bruijn 96/97: Adivinación a tiempo 8: El cartel 9: El megacuadrado 11: Las cinco cartas 13: Tarjetas binarias 18/19: Tu número de teléfono 23/24: Adivinación a la china 29: Con todas las cifras 30: Números cíclicos 32: La fila de nueve 33: Agujeros negros numéricos 47: Magia matemática en el Renacimiento 51: Bricomatemagia 52/53: Sobre los sistemas de numeración 54: La moneda falsa 56/57: Suma relámpago 65: El truco del calendario 66: Más juegos con el calendario 69: Los billetes y su número de serie 82: El día de Pi 89/90: El juego de las tres cifras Curiosidades numéricas Sorpresas visuales 10: Piensa un mes 11: Las cinco cartas 20: Juegos con calculadora 21: Juegos con calculadora II 26: La magia de los dados (primera parte) 27: La magia de los dados (segunda parte) 29: Con todas las cifras 30: Números cíclicos 33: Agujeros negros numéricos 37: Triple predicción 48: Magia matemática en el Renacimiento (continuación) 61: Sumas de Fibonacci 62: Cocientes de Fibonacci 63/64: El nueve mágico 73: Las tarjetas ternarias 83: Viaje astral 91: El pianista sin par 92: El polígono de las Bermudas 22: Predicción con el dominó 25: Paradojas geométricas 26: La magia de los dados (primera parte) 27: La magia de los dados (segunda parte) 31: El cuadro de colores 36: Cara o cruz 44: La tabla del nueve 45: Todos ganan a todos 49: Cubo mágico 50: Cuadrados mágicos paradójicos 51: Bricomatemagia 52/53: Sobre los sistemas de numeración 55: No sólo con unos y ceros 56/57: Suma relámpago 59: Hipercubo detector 73: Las tarjetas ternarias 92: El polígono de las Bermudas Principios numéricos Matemática recreativa 1: El doblez mágico 2: Predicción par/impar 6: El juego de las 6:20 15: La prueba del nueve 23/24: Adivinación a la china 36: Cara o cruz 39: Encuentra la dama 44: La tabla del nueve 70: Los tres objetos 76: Prime time 80: Transmisión telepática 87: La escoba 94: Sucesiones De Bruijn 95: Dados imaginarios 99: Fibonacci modular 3: Un problema divertido y deleitable 38: El calendario perpetuo 40: Adivinación a pares 43: La herencia 47: Magia matemática en el Renacimiento 48: Magia matemática en el Renacimiento (continuación) 58: La magia del triángulo de Pascal 61: Sumas de Fibonacci 62: Cocientes de Fibonacci 77: Agua y vino 93: El brujo en sociedad 98: Pesando cartas 99: Fibonacci modular Cuadrados mágicos Probabilidades 1: El doblez mágico 8: El cartel 9: El megacuadrado 31: El cuadro de colores 41/42: Otro cuadro de cartas 49: Cubo mágico 50: Cuadrados mágicos paradójicos 65: El truco del calendario 66: Más juegos con el calendario 45: Todos ganan a todos 46: Predicción casi segura 71: La batalla de los palos 81: Un Penney por tu jugada 82: El día de Pi Iba a terminar aquí, pero faltaría a la tradición de contar algún juego de magia. Esto sería imperdonable en una entrega tan especial, así que haremos dos juegos por el precio de uno: el primero se atribuye al mago francés Richard Vollmer y el segundo al mago inglés Roy Walton. Separa de la baraja las cartas de valores 10, J, Q, K y As de los cuatro palos: corazones, rombos, picas y tréboles. Elige uno de los palos y mezcla las cinco cartas de dicho palo. Luego las extiendes sobre la mesa, caras abajo, formando una fila. Repite la operación con los otros tres palos: mezcla las cinco cartas de un mismo palo y las repartes sobre las anteriores. Al final tendrás cinco montones de cuatro cartas cada uno. Recoge los cinco montones, colocándolos uno sobre otro, bien de derecha a izquierda, bien de izquierda a derecha, hasta que tengas un solo montón con las veinte cartas. Corta y completa el corte. Ahora retira la carta superior y déjala sobre la mesa. Será tu carta elegida. Con el paquete restante, pasa las tres cartas superiores de arriba abajo y deja sobre la mesa la siguiente. Repite esta misma operación otras tres veces (pasar de arriba abajo tres cartas y dejar sobre la mesa la siguiente), hasta que hayas separado cuatro cartas. Vuelve cara arriba estas cartas. ¡Curiosamente, estas cuatro cartas son del mismo palo de la elegida! Te quedan quince cartas. Las usaremos en el segundo juego. Con las quince cartas restantes, corta y completa el corte. Retira la carta superior y déjala sobre la mesa. Será la nueva carta elegida. Con el paquete restante, extrae la carta superior y la inferior, y forma con ellas un montón sobre la mesa. Repite la operación con las que ahora son las cartas superior e inferior, dejándolas en otro montón a la derecha del anterior. Vuelve a repetir la misma operación con las cartas superior e inferior, formando paquetes a la derecha de los anteriores, hasta acabar con todas las cartas. Sobre la mesa habrá ahora siete paquetes de dos cartas cada uno. Coloca la mano derecha sobre el paquete de la derecha y la mano izquierda sobre el paquete de la izquierda. ¡No siento nada! Retira ambos paquetes. Coloca la mano derecha sobre el nuevo paquete de la derecha y la mano izquierda sobre el nuevo paquete de la izquierda. ¡Siento algo! Retira el de la izquierda pero coloca el de la derecha sobre la carta elegida anteriormente. Coloca otra vez la mano derecha sobre el nuevo paquete de la derecha y la mano izquierda sobre el nuevo paquete de la izquierda. ¡Siento algo diferente! Retira el de la derecha y coloca el de la izquierda sobre la carta elegida anteriormente. Vuelve cara arriba la carta elegida y las cartas de los paquetes seleccionados. ¡Son las cinco del mismo palo!   Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Viernes, 30 de Noviembre de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

104. 99. (Noviembre 2012) Fibonacci modular. 1-2-3-5-8-4-3-7-1-8-9-?

En la comunidad matemática es bien conocido que la sucesión de Fibonacci tiene multitud de propiedades, gran diversidad de aplicaciones y un filón inagotable de temas de divulgación matemática. ¿Qué otros conceptos matemáticos tienen el honor de copar los contenidos de una sola revista de investigación? The Fibonacci Quarterly es una publicación oficial de la "Fibonacci Association" y aparece cuatro veces al año (por aquello de que "quarterly = trimestral") desde 1963, un poco después de que la sucesión fuera dada a conocer en la cultura occidental, ya que Leonardo de Pisa la introdujo en su libro "Liber abaci", publicado en 1202 (sólo hace 810 años), y Édouard Lucas le dio su nombre a finales del siglo XIX. Por cierto, se cuenta que alguno de los fundadores de la revista "The Fibonacci Quarterly" sólo aparcaba su coche en las plazas numeradas con algún término de la sucesión. Algunas de las propiedades de esta sucesión son tan sorprendentes e inesperadas que pueden plantearse como juegos de magia. En la Revista Eureka sobre Enseñanza y Divulgación de las Ciencias puedes leer un artículo donde se proponen algunas actividades con esta sucesión, y en el número 61 y el número 62 de este rincón describimos también algunos juegos de magia que tienen como protagonista a la sucesión de Fibonacci. En algunas ocasiones, aunque más de las que un matemático podría soportar, simples aficionados descubren propiedades y desarrollan teorías matemáticas con mucha precisión y capaces de despertar gran interés. Lo que ya es completamente extraño es que las propiedades las descubra alguien que afirma, "I hated school, everything about it, and mathematics most of all" (odiaba la escuela, todo lo relativo a ella y las matemáticas por encima de todo). Este es el caso del mago canadiense Stewart James (Courtright, 1908-1996), de quien te recomiendo encarecidamente que leas su biografía en el portal magicana.com y, si tienes oportunidad, las anécdotas que narra Persi Diaconis en el libro "Magical Mathematics". Una de las más significativas es ésta: cuando Diaconis le pidió una baraja para hacerle un juego, Stewart le confesó que no tenía ninguna desde hacía cinco años. Al mostrar su extrañeza, teniendo en cuenta que Stewart publicaba todos los meses algún juego de magia con cartas, éste le contestó que Agatha Christie escribía historias de asesinatos pero nunca tuvo que salir a la calle para matar a nadie. Antes de explicar el descubrimiento de Stewart James, vamos a hacer el juego que Persi Diaconis diseñó en base a sus ideas. Dibuja un cuadrado reticulado de tamaño 4x4 como el siguiente: En cada una de las dos primeras casillas escribe un número entre 1 y 7 (¡sí, claro! un número natural). En la tercera casilla escribe la suma de los dos primeros, con la siguiente salvedad: si la suma es mayor que 7, anotarás el resto de la división por 7 (lo que equivale a restarle siete). Por ejemplo, si los números iniciales son 3 y 4, anotarás su suma, que es 7; si los números iniciales son 4 y 5, la suma es 9 y anotarás el 2, pues 9 - 7 = 2. Continúa rellenando el cuadro de la misma forma: en cada casilla anotarás la suma de los números de las DOS casillas anteriores, siempre respetando la regla establecida en el punto anterior. Un ejemplo: 3 4 7 4 4 1 5 6 4 3 7 3 3 6 2 1 Cuando hayas escrito los 16 números que forman todo el cuadrado, calcula la suma de todos ellos. A pesar de la libertad de elección (7 x 7 = 49 posibles datos iniciales), creo que el resultado final es ¡63! Tengo que hacer una confesión: no siempre la suma es 63: de las 49 parejas de números iniciales, si empiezas por 7 y 7, todo el cuadro estará lleno de sietes y la suma final será, por tanto, 7 x 16 = 112. En lo que sigue excluiremos, por tanto, esta situación anómala. ¿Qué propiedades hemos aplicado para que el juego funcione? Las sucesiones de Fibonacci generalizadas (es decir, las que empiezan con cualquier par de números) cuyos elementos sólo contienen valores entre 1 y 7 (para lo cual reducimos en siete unidades los valores que excedan al 7) se repiten cíclicamente cada 16 términos. De hecho, sólo hay tres posibles sucesiones cíclicas: 1, 1, 2, 3, 5, 1, 6, 7, 6, 6, 5, 4, 2, 6, 1, 7 1, 3, 4, 7, 4, 4, 1, 5, 6, 4, 3, 7, 3, 3, 6, 2 1, 4, 5, 2, 7, 2, 2, 4, 6, 3, 2, 5, 7, 5, 5, 3 y en cada una de ellas aparecen de forma consecutiva 16 parejas de números entre 1 y 7 (a excepción de la pareja ya citada 7 - 7). La suma de los valores de los 16 elementos en cualquiera de los ciclos es igual a 63. Pero hay más propiedades que puedes aprovechar al hacer el juego: Todas las posibles secuencias contienen exactamente dos sietes separados ocho posiciones. Después de cada 7, hay un número que se repite dos veces. Salvo los sietes, dos números separados por ocho posiciones suman siete. ¿Cuál es el principio descubierto por Stewart James? En 1959, Stewart James le comunicó por carta a Martin Gardner que había descubierto que las sucesiones de Fibonacci generalizadas, si en cada paso se reduce cada término a su raíz digital (es decir, la que se obtiene sumando las cifras del número), son periódicas de periodo 24 y la suma de los 24 términos es igual a 117 (a excepción de la que empieza por 9-9 que tiene periodo uno y la que empieza por 3-3 que tiene periodo 8 y la suma de los términos de cada ciclo es 45). De hecho, sólo hay tres posibles sucesiones (aparte de las anómalas), que son: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 9, 8, 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 2, 8, 1, 9 1, 3, 4, 7, 2, 9, 2, 2, 4, 6, 1, 7, 8, 6, 5, 2, 7, 9, 7, 7, 5, 3, 8, 2 1, 4, 5, 9, 5, 5, 1, 6, 7, 4, 2, 6, 8, 5, 4, 9, 4, 4, 8, 3, 2, 5, 7, 3 En agosto de 1962, Stewart James publicó esta propiedad con el nombre de PRINCIPIO AAG, nombre que se obtiene estableciendo la equivalencia entre las letras y su posición en el alfabeto. Como A = 1, A = 1, G = 7, resulta que AAG = 117, la suma constante de los ciclos citados. En su artículo proponía además una idea que podía convertir la propiedad en juego de magia. Si se forma un retículo cuadrado de tamaño 5x5 y se construye una sucesión de Fibonacci generalizada (reduciendo sus términos a su raíz digital) a partir de dos números iniciales (que no sean ambos múltiplos de tres), la suma de los 25 términos será igual a 117 más el primer término de la sucesión. Esto permitiría que el juego pudiera repetirse sin que el resultado final fuera siempre el mismo. Con esta propiedad en mente, se puede realizar un juego similar al descrito antes, muy parecido a los que describen Martin Gardner en la revista "Apocalypse" (1978) y Arthur McTier en su libro "Card Concepts" (Davenport, 2000). Saca dos barajas y entrega una de ellas a un espectador. Explícale que, entre los dos, vais a formar un cuadrado de cartas de tamaño 5x5. Deja también sobre la mesa una hoja de papel indicando que  has escrito allí una predicción. Pide al espectador que coloque cualquier carta de su baraja (que tenga valor menor de 10) cara arriba sobre la mesa mientras tú haces lo mismo con una carta de tu baraja. Ahora el espectador suma los valores de las dos cartas, busca entre sus cartas alguna de dicho valor, sin importar el palo, y la coloca como tercera carta. A continuación tú haces lo mismo con la suma de la segunda y la tercera cartas. Si, en algún momento del proceso, la suma de dos cartas consecutivas es mayor que nueve, se resta nueve para que la carta colocada tenga siempre valor comprendido entre 1 y 9. Se continúan colocando cartas alternativamente, una el espectador y una tú, hasta colocar un total de 25 cartas, formando un cuadrado de tamaño 5x5. Una posible disposición final sería la siguiente: Pide al espectador que sume los valores de las 25 cartas. Cuando lo haya hecho, muestra la predicción y pon la misma cara de sorpresa del espectador cuando compruebe que coincide con la suma. Ahora ya no será muy difícil comprender el secreto del juego. Tu primera carta no es cualquiera, sino que depende de la predicción que hayas escrito. O al revés, tu predicción no es cualquiera sino que depende de tu primera carta. La correspondencia es la siguiente: la suma de las 25 cartas será igual a 117 más el valor de la primera carta. Lo más práctico es tener escrita una predicción, digamos 124, pedir al espectador que saque una carta y la coloque sobre la mesa cara arriba. Si es un 7, sacas de tu baraja cualquier carta y sigues como he indicado. Si saca otra carta, buscas un siete en tu baraja y colocas las dos cartas en fila, siendo la tuya la primera. Con esto evitas además que la primera carta sea un múltiplo de tres, en cuyo caso la sucesión obtenida no sería la deseada. Observaciones finales Puedes también mostrar tus dotes de calculista ultra-rápido: después de colocadas las dos primeras cartas, buscas en tu baraja una carta del mismo valor que la primera y la colocas cara abajo en el lugar que ocuparía la vigésimoquinta. Si eres capaz, también puedes buscar la que ocupará la posición vigésimocuarta (que será la resta entre la segunda y la primera o su complemento a nueve en caso de que la segunda sea menor que la primera). Así, al llegar al final, las vuelves cara arriba para demostrar que son las que corresponden en la secuencia. Debido a la propiedad adicional de que la suma de dos términos de la secuencia separados en 12 lugares es igual a 9 (salvo que sea un nueve, en cuyo caso el otro también será un nueve), puedes también colocar una carta cara abajo en una posición intermedia. Por ejemplo, la carta central del cuadrado 5x5 será el complemento a nueve de la primera carta. Incluso puedes plantear el juego como un experimento de clarividencia. Contigo de espaldas, pides al espectador que forme un rectángulo de tamaño 8x3 y coloque las cartas cara abajo, según la regla ya descrita. Cuando te vuelves de cara puedes decir que la suma de los valores de todas las cartas es 117. Como además 117 = 9 x 13, tratarás de encontrar parejas de números cuya suma es 9. Cada vez que vuelves cara arriba una carta, busca la que esté separada 12 lugares y la vuelves cara arriba, comprobando que la suma de ambas es 9. Como excepción, cuando la carta vuelta sea un nueve, explica que, como no hay ningún cero, tratarás de encontrar otro nueve. Dicho nueve también está separado 12 lugares del anterior. Colm Mulcahy, otra persona de cita obligada en este rincón, también ha estudiado este principio y ofrece algunos juegos en su columna Card Colm. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Martes, 30 de Octubre de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

105. 98. (Octubre 2012) Pesando cartas

La historia de las matemáticas se encuentra plagada de anécdotas y situaciones que se pueden utilizar con éxito para plantear problemas recreativos de toda índole. La exclamación ¡EUREKA! nos recuerda la recreación del descubrimiento realizado por Arquímedes de la famosa ley física “Todo cuerpo sumergido en el agua … sale mojado” para determinar si la corona del rey Hierón III estaba falsificada con otro material que no fuera oro. ¿Cómo? ¿Que ya te he contado esto? ¡Cierto!, en el número 54 de este rincón. El hecho de determinar una pieza de distinto peso entre un conjunto de objetos del mismo aspecto exterior ha sido objeto de muchos problemas de ingenio (te recomiendo, por ejemplo, el libro Aritmética Recreativa, de Yakov Perelman). El método empleado para la solución de estos problemas se ha utilizado también en forma de juego de magia y en este portal lo hemos tratado varias veces, por ejemplo en el citado número 54 de este portal así como en el número 52. En aquella ocasión, siguiendo el artículo de Jesús García Gual titulado "Juegos basados en sistemas de numeración", mostrábamos que la clave para resolver este tipo de problemas consistía en representar cada elemento en el sistema de numeración ternaria (en el número 73 de este rincón aprovechamos nuevamente este sistema de numeración para adivinar un número pensado). Ahora bien, el artículo citado contiene otras ideas para diseñar juegos de magia con cartas. El primer juego se basa en el resultado conocido de que es posible determinar con tres pesadas cuál es la moneda falsa (puede pesar más o menos que las demás) entre un conjunto de 12 monedas del mismo tamaño. Se usan entonces las siguientes 12 cartas a cada una de las cuales asociamos un número en base tres, según las reglas: la primera cifra identifica el palo de la baraja (oros = 0; copas = 1; espadas = 2); la segunda indica el valor dentro de un palo ( as-dos-tres = 0; cuatro-cinco-seis = 1; sota-caballo-rey =2); la tercera indica divisibilidad (múltiplo de 3 = 0; múltiplo de 3 más uno = 1; múltiplo de 3 más dos = 2). 001 (221) = tres de oros; 010 (212) = seis de oros; 011 (211) = cuatro de oros; 012 (210) = cinco de oros; 112 (110) = cinco de copas; 120 (102) = caballo de copas; 121 (101) = rey de copas; 122 (100) = sota de copas; 200 (022) = tres de espadas; 201 (021) = as de espadas; 202 (020) = dos de espadas; 220 (002) = caballo de espadas. [Observar que, entre paréntesis, está escrito el complementario del número, es decir el que sumado al anterior da 222.] Realizaremos las pesadas del modo siguiente: Primera pesada: 001, 010, 011, 012 contra 200, 201, 202, 220 (primera cifra cero contra primera cifra 2). Si pesan más los de cero, escribimos en un papel un cero; si pesan lo mismo, escribimos un uno; si pesan más los de 2, escribimos un dos. Segunda pesada: 001, 200, 201, 202 contra 120, 121, 122, 220 (segunda cifra cero contra segunda cifra 2). Escribimos a la derecha del número escrito anteriormente un 0, 1 ó 2 según la misma regla anterior. Tercera pesada: 010, 120, 200, 220 contra 012, 112, 122, 202 (tercera cifra cero contra tercera cifra 2). Nuevamente, escribimos a la derecha del número escrito anteriormente un 0, 1 ó 2 según la misma regla anterior. Habremos conseguido al final un número de tres cifras escrito en nuestro papel. La regla para identificar la carta correspondiente es la siguiente: Si dicho número corresponde a una carta, ésta será la elegida y pesa más que el resto. Si corresponde a un número entre paréntesis, la carta pesa menos que el resto. Una forma práctica de realizar el juego podría ser imprimir en unas cartulinas las cartas correspondientes a cada pesada. Tendríamos así: CARTULINA 1   CARTULINA 2   CARTULINA 3 Empezamos el juego mostrando a un espectador las doce cartas y pidiéndole que piense en una de ellas pero que, además, imagine si dicha carta es más o menos pesada que las demás. Con esos datos en mente, le mostramos la primera cartulina y le pedimos que nos diga en qué dirección se inclinaría. Si dice que hacia la izquierda, anotamos mentalmente el número cero; si dice que hacia la derecha, anotamos mentalmente el número dos; si dice que quedaría nivelado, anotamos el uno. Repetimos la operación con las cartulinas dos y tres, formando así un número de tres cifras. Dicho número (o su complementario) corresponderá a una de las doce cartas, la cual identificaremos según la regla indicada anteriormente. Por ejemplo, si el espectador piensa que la sota de copas es menos pesada que las demás, diría que la primera cartulina quedaría nivelada (anotamos el 1), que la segunda se inclinaría hacia la izquierda (anotamos el 0) y que la tercera se inclinaría hacia la izquierda (anotamos el 0). El número formado es 100, que es el complementario del 122 correspondiente a la sota de copas. Una solución más efectiva y completa es la conseguida por uno de nuestros matemagos de cabecera, Werner Miller, quien ya ha sido citado en este rincón (por ejemplo en el número 43, el número 49 y el número 50). En el juego titulado "The odd card", nos regala un programa (para Windows) que consiste en tres fases: adivinar una carta más pesada entre las trece de su mismo palo, adivinar una carta menos pesada entre las mismas trece cartas, y adivinar una carta entre doce sin saber si pesa más o menos. La pregunta que nos surge ahora es: ¿cuántas pesadas se necesitan para realizar el juego utilizando toda la baraja? Casualmente, otro problema clásico de ingenio afirma que, si disponemos del conjunto de pesas y una balanza de dos platillos, se puede pesar cualquier objeto de peso comprendido entre 1 y 40 en una pesada. Ahora bien, ¿cómo hacer dicha pesada? Un método preciso, y precioso, consiste en escribir en base tres el peso del objeto. Decimal Ternario Ternario sin el dos Pesa de 27 Pesa de 9 Pesa de 3 Pesa de 1 1 0001 0 0 0 1 2 0002 =10-1 0 0 1 -1 3 0010 0 0 1 0 4 0011 0 0 1 1 5 0012 =100-10-1 0 1 -1 -1 6 0020 =100-10 0 1 -1 0 7 0021 =100-10+1 0 1 -1 1 8 0022 =100-1 0 1 0 -1 9 0100 0 1 0 0 10 0101 0 1 0 1 11 0102 =100+10-1 0 1 1 -1 12 0110 0 1 1 0 13 0111 0 1 1 1 14 0112 =1000-100-10-1 1 -1 -1 -1 15 0120 =1000-100-10 1 -1 -1 0 16 0121 =1000-100-10+1 1 -1 -1 1 17 0122 =1000-100-1 1 -1 0 -1 18 0200 =1000-100 1 -1 0 0 19 0201 =1000-100+1 1 -1 0 1 20 0202 =1000-100+10-1 1 -1 1 -1 21 0210 =1000-100+10 1 -1 1 0 22 0211 =1000-100+10+1 1 -1 1 1 23 0212 =1000-10-1 1 0 -1 -1 24 0220 =1000-10 1 0 -1 0 25 0221 =1000-10+1 1 0 -1 1 26 0222 =1000-1 1 0 0 -1 27 1000 1 0 0 0 28 1001 1 0 0 1 29 1002 =1000+10-1 1 0 1 -1 30 1010 1 0 1 0 31 1011 1 0 1 1 32 1012 =1000+100-10-1 1 1 -1 -1 33 1020 =1000+100-10 1 1 -1 0 34 1021 =1000+100-10+1 1 1 -1 1 35 1022 =1000+100-1 1 1 0 -1 36 1100 1 1 0 0 37 1101 1 1 0 1 38 1102 =1000+100+10-1 1 1 1 -1 39 1110 1 1 1 0 40 1111 1 1 1 1 Viendo la tabla, encontramos dos tipos de números: Los números que, en su representación ternaria, sólo tienen unos y ceros (están en negro en la tabla anterior), se pesan colocando directamente las pesas indicadas por el valor 1, en el platillo contrario al del objeto. Los que tienen algún dos en su representación ternaria (están en rojo en la tabla anterior), deben modificarse según la tabla (mediante sumas y restas) de modo que el valor -1 indica que el peso correspondiente debe colocarse en el platillo que contiene el objeto. [Observar la regla de formación de los números en el sistema de numeración “modificado”: en la cifra de las unidades se van alternando los valores 0, 1, -1; en la cifra de las decenas cada valor se repite tres veces; en la cifra de las centenas, cada valor se repite nueve veces y así sucesivamente.] ¿Cómo aplicar esta idea para adivinar cualquier carta pensada de una baraja española? Con cuatro cartulinas que contengan las cartas, en la cara izquierda las correspondientes al 0 y en la cara derecha las correspondientes al 1. Tenemos así las cuatro tarjetas mostradas a continuación (pincha sobre cada una de ellas para descargarla): TARJETA 1 TARJETA 2 TARJETA 3 TARJETA 4 El funcionamiento es como el utilizado en el primer juego: un espectador piensa una carta de la baraja española y, al mostrarle las cartulinas, indica si su carta está en el lado izquierdo (en cuyo caso anotamos mentalmente el número cero) o en el derecho (en cuyo caso anotamos mentalmente el número 1) o en ninguno (donde anotamos el número -1). La tarjeta 1 corresponde a la cifra de las unidades, la dos a la de las decenas, la 3 a la de las centenas y la 4 a la de las unidades de millar. Al final tendremos un número de cuatro cifras el cual, mediante la tabla anterior, corresponde a un único número del 1 al 40. Este número representa la carta pensada por el espectador. Dejo en tus manos el método más adecuado para realizar la correspondencia entre el número y la carta, y que el espectador no tenga que esperar eternamente. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Miércoles, 03 de Octubre de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

106. 97. (Septiembre 2012) SOLUCIÓN CONCURSO DEL VERANO 2012

ADIVINACIÓN A TIEMPO (SOLUCIÓN) Como de costumbre, publicaremos en esta entrega las soluciones recibidas al concurso de verano propuesto en el número anterior. Como de costumbre, agradecemos a todos los participantes (incluidos quienes no han enviado ninguna solución) el interés mostrado en las propuestas de este rincón. Como de costumbre, quienes han enviado la solución son seguidores habituales de esta sección y, como de costumbre, animamos al resto de lectores a participar en los concursos para no tener la desalentadora impresión de ser un grupo residual de aficionados a la magia matemática. El primer juego era el siguiente: Mezcla la baraja y reparte sobre la mesa 13 cartas, caras hacia abajo. De este montón, toma un pequeño grupo de cartas y colócalo en tu bolsillo. Recoge el resto del montón repartido, mira y recuerda la carta inferior (la que estaba en contacto con la mesa) y coloca todo el montón sobre el paquete de cartas. Reparte ahora 12 cartas sobre la mesa, tantas como horas tiene un reloj. Coloca estas doce cartas en un círculo, formando un reloj: la primera carta en el lugar representado por la una, la segunda en el lugar de las dos, y así sucesivamente, la duodécima carta en el lugar de las doce. Saca las cartas del bolsillo y cuéntalas. Vuelve cara arriba la carta del reloj cuya hora corresponde al número de cartas del bolsillo. ¡Es la carta elegida! Basta seguir las instrucciones para deducir fácilmente el método empleado. Si repartimos 13 cartas, guardamos en el bolsillo x cartas, sobre la mesa quedan 13 - x. Al devolver este paquete sobre el resto de la baraja, la carta elegida queda en la posición 13 - x desde arriba (tanto si la baraja es de 40 o de 52 cartas). Al repartir sobre la mesa 12 cartas para formar un reloj, se invierte la posición de estas cartas, de modo que la elegida pasa a ocupar la posición x (la primera pasa a la posición 12, la segunda a la posición 11, y así sucesivamente, la carta de la posición p pasa a ocupar la posición 13 - p). El resto es automático: la carta elegida ocupa la hora correspondiente al número de cartas del bolsillo. Esta solución es la que nos envía Marisa Berdasco. Por otra parte, María Jesús Arcos y Roberto Camponovo no han comprendido las instrucciones de forma precisa (el hecho de repartir 12 cartas antes de formar el círculo pasa desapercibido para ellos), lo cual me sirve para tratar de ser más claro la próxima vez. Aún así, proponen una respuesta alternativa. Las instrucciones a seguir para el segundo juego eran las siguientes: Mezcla la baraja y piensa una hora (de la una a las doce). Retira de la baraja tantas cartas como indica la hora pensada y guárdalas en el bolsillo. Ahora mira y recuerda la carta de la baraja que ocupa la posición indicada por la hora pensada. Por ejemplo, si has pensado las tres, recordarás la tercera carta desde la parte superior de la baraja. A continuación vas a dejar pasar todas las horas, de la siguiente forma: Deletrea la palabra UNA pasando tres cartas de arriba a abajo de la baraja; deletrea DOS, TRES, CUATRO, etc. hasta DOCE siempre pasando una carta por cada letra. Al terminar todas las horas, vuelve cara arriba la carta superior. ¡Es la carta elegida! Para este juego, hay dos claves a tener en cuenta. En primer lugar, el número total de letras que tienen las palabras UNO, DOS, TRES, ..., DOCE, es 51. Si la baraja tiene 52 cartas, al pasar de arriba abajo las cartas a medida que se deletrean los números, el resultado final es que todas las cartas se han desplazado un lugar hacia abajo. Ahora bien, si la baraja tiene 51 cartas, después del deletreo todas las cartas ocupan la misma posición inicial; si tiene 50 (= 52 - 2) cartas, al final las cartas se han desplazado un lugar hacia arriba. En general, si baraja tiene 52 - x cartas, el desplazamiento final será de x - 1 lugares hacia arriba. La segunda clave es pues hacer que el espectador mire la carta que ocupa la posición x después de haber retirado x cartas. Con esto se consigue que dicha carta se haya desplazado hasta la posición superior de la baraja. Esta idea del deletreo puede aprovecharse en otras situaciones y con otra cantidad de cartas. Por ejemplo, si conocemos el nombre de un espectador y la carta superior de la baraja (sin que el espectador sepa que la conocemos), le pedimos que reparta sobre la mesa un número de cartas igual al número de letras de su nombre más uno (por supuesto sin decirle que esa es la razón de elegir dicho número). A continuación, que pase de arriba abajo de dicho montón cartas una a una deletreando su nombre. Entonces podemos adivinar la carta que ha quedado arriba (que incluso podemos tener escrita de antemano en una hoja de papel) ya que es la carta que originalmente estaba en la parte superior de la baraja. Entre las respuestas recibidas, Marisa también encuentra la solución correcta y, para el caso de la baraja española de 40 cartas, propone deletrear los números UNO al NUEVE para que el total sea de 39 cartas, lo que produce el mismo efecto que el caso general. Sólo haría falta justificar de una forma convincente que sólo se cuenten estos números. María Jesús realiza un estudio muy completo y más general para deducir que sólo existe solución cuando la baraja tiene 52 cartas. Para el caso de 40 cartas, propone una solución de difícil puesta en práctica, aunque matemáticamente correcta: observa que 1+2+...+11+12=78 y que 78/2 = 39. Por tanto, en lugar de deletrear las palabras, pasa de arriba abajo tantas cartas como el número, una carta para el uno, dos para el dos, tres cartas para el tres, y así sucesivamente. Como hay que pasar la mitad de las cartas, por cada pareja de impares consecutivos se pasan la mitad de su suma y por cada número par se pasa la mitad de su valor. Por último, Roberto entendió que la baraja tenía 40 cartas y propone soluciones alternativas un poco más elaboradas. Como de costumbre, enhorabuena a los ganadores y a los lectores anónimos. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Lunes, 03 de Septiembre de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

107. 96. (Julio 2012) CONCURSO DEL VERANO 2012

ADIVINACIÓN A TIEMPO En magia, dentro de la categoría llamada "magia automática", hay un juego de nombre genérico "El reloj" del cual todos los magos conocen alguna versión. Quizá no todos conozcan que el funcionamiento de dicho efecto es matemático, pues está basado en una propiedad arimética muy sencilla. Como es usual, todos los esfuerzos del mago se dedican a presentar el juego para conseguir el efecto más milagroso y ocultar lo más posible la base matemática subyacente. Presentaremos en esta ocasión un par de versiones muy sencillas. La idea surge de la lectura del material que presenta Dominique Souder (profesor de matemáticas en un instituto de La Rochelle, Francia) en sus libros y sus aportaciones a internet. Busca una baraja y sigue las instrucciones indicadas. Mezcla la baraja y reparte sobre la mesa 13 cartas, caras hacia abajo. De este montón, toma un pequeño grupo de cartas y colócalo en tu bolsillo. Recoge el resto del montón repartido, mira y recuerda la carta inferior (la que estaba en contacto con la mesa) y coloca todo el montón sobre el paquete de cartas. Reparte ahora 12 cartas sobre la mesa, tantas como horas tiene un reloj. Coloca estas doce cartas en un círculo, formando un reloj: la primera carta en el lugar representado por la una, la segunda en el lugar de las dos, y así sucesivamente, la duodécima carta en el lugar de las doce. Saca las cartas del bolsillo y cuéntalas. Vuelve cara arriba la carta del reloj cuya hora corresponde al número de cartas del bolsillo. ¡Es la carta elegida! A continuación del anterior puede realizarse este otro. Mezcla la baraja y piensa una hora (de la una a las doce). Retira de la baraja tantas cartas como indica la hora pensada y guárdalas en el bolsillo. Ahora mira y recuerda la carta de la baraja que ocupa la posición indicada por la hora pensada. Por ejemplo, si has pensado las tres, recordarás la tercera carta desde la parte superior de la baraja. A continuación vas a dejar pasar todas las horas, de la siguiente forma: Deletrea la palabra UNA pasando tres cartas de arriba a abajo de la baraja; deletrea DOS, TRES, CUATRO, etc. hasta DOCE siempre pasando una carta por cada letra. Al terminar todas las horas, vuelve cara arriba la carta superior. ¡Es la carta elegida! ¿Sabrías deducir cómo funcionan ambos juegos? ¿Se puede utilizar cualquier baraja? ¿Cómo harías para que funcionen con una baraja española? Si tienes una explicación, te animo a participar en el concurso de verano de Divulgamat, enviando la solución a esta dirección. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Martes, 03 de Julio de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

108. 95. (Junio 2012) Dados imaginarios

Sí, estoy de acuerdo. La pasada entrega ha sido más densa de lo habitual, pero considero que el tema lo merecía. Mi intención era doble: mostrar que puede haber matemáticas más elaboradas en la concepción de algunos juegos de magia y dar a entender que la investigación en el campo de la magia matemática sigue vigente. Así pues, en esta ocasión no vamos a ser tan ambiciosos y describiremos algún juego más sencillo. ¿Dónde encontrarlo? En primer lugar, seleccionamos un autor que se caracterice por proponer juegos matemáticos. No tardaremos mucho en encontrar uno de estos juegos si el autor elegido es Karl Fulves. Pero antes de ir al juego, hablaremos de este mago. La historia de la magia, como también ocurre en todos los ámbitos, está repleta de personajes singulares. En el "top ten" de los excéntricos está Karl Fulves. Sobre este personaje hay multitud de leyendas pero las dos palabras que mejor le definen son las que cita Richard Kaufman en el foro de la revista Genii: solitario y reservado. Tampoco es fácil conseguir su imagen: parece que hay una foto suya en el libro “The magical world of Slydini”, publicado por él en 1979 y en el manuscrito “Technicolor Cards” de la serie New Stars of Magic, de 1974. Lo que no es nada difícil es poseer alguno de sus libros: tiene una colección inmensa y la serie “Self-working ...”, de la editorial Dover, se vende en Amazon a precios muy bajos. También fue el editor de las revistas Chronicles, Epilogue y New Phoenix, que circularon durante mucho tiempo. Una biografía de Karl Fulves (¿la habrá escrito él mismo?) aparece en la Wikipedia. Algunos videos de juegos publicados por Karl Fulves se pueden encontrar en http://wn.com/Karl_Fulves. En el libro "My best self-working card tricks", publicado por la editorial Dover en 2001, hay varios juegos con aroma matemático. Uno de ellos, muy sencillo de ejecutar a la vez que efectivo, es el siguiente: Busca una baraja y déjala sobre la mesa, caras hacia abajo. Aquí tienes dos dados con números imaginarios (sólo imaginarios, no confundir con los complejos). Recoge el blanco: Lánzalo y recuerda el valor obtenido. No importa si no ves ningún valor. Basta que lo imagines. Si no eres capaz, dibuja unos puntos negros sobre el dado. Saca de la baraja tantas cartas como indica el valor obtenido. Recoge ahora el dado negro, lánzalo y comprueba que no está trucado, es decir, que sale un número distinto del anterior (si sale el mismo valor, lánzalo de nuevo). Para asegurarte, dibuja puntos blancos sobre el dado. Saca también de la baraja tantas cartas como indica el valor obtenido esta vez. Mezcla las cartas que has retirado. Extiéndelas en abanico y recuerda las que ocupan las posiciones indicadas por los valores de los dados. Por ejemplo, si han salido los números 3 y 6, recuerda la tercera y sexta cartas. Pero recuerda también sus posiciones exactas, es decir qué carta corresponde al dado blanco y qué carta corresponde al dado negro. Realiza ahora el siguiente proceso mágico: cierra el abanico y reparte sobre la mesa todas las cartas, una a una. Recoge la primera y pásala a la última posición. ¡Ya está! Comprueba que las cartas elegidas han cambiado de posición: siguen estando en los lugares indicados pero la carta correspondiente al dado blanco está ahora en el lugar del dado negro y viceversa. ¿Cómo funciona? La situación es muy fácil de comprender: si hay n cartas, después de repartirlas una a una, la carta que ocupa la posición x pasa a ocupar la posición n + 1 - x. Al pasar una carta de arriba abajo, dicha carta pasa a ocupar la posición n - x. Si n = x + y, entonces el valor resultante es y. ¿Te has dado cuenta de la importancia de usar un dado? ¿Qué pasaría si usaras dados como los de la imagen siguiente? Observación: Si quieres realizar el juego y no descubrir el secreto, utiliza dos espectadores, cada uno con un dado imaginario y cada uno recordando la carta que ocupa la posición indicada por el valor de su dado. Cuando recoges las cartas, colócalas bajo la mesa, invierte sus posiciones y pasa de arriba abajo la carta superior. Sin necesidad de saber los valores de los dados, las posiciones de las cartas se habrán intercambiado. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco) Esta dirección electrónica esta protegida contra spambots. Es necesario activar Javascript para visualizarla

Viernes, 01 de Junio de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

109. 94. (Mayo 2012) Sucesiones De Bruijn

El pasado 17 de febrero ha fallecido el matemático holandés Nicolaas de Bruijn (1918-2012). A lo largo de su dilatada carrera ha cosechado logros importantes. De hecho, su nombre está asociado a conceptos y resultados como la constante de De Bruijn-Newman (relacionada con la hipótesis de Riemann), los teoremas de De Bruijn-Erdösfunción de Dickman-De Bruijnsucesión de De Bruijn, definida por primera vez en un artículo de 1946, la cual tiene aplicaciones en la magia matemática. Por ese motivo, aprovechamos este rincón para rendir homenaje a este notable matemático. Nicolaas de Bruijn Antes de definir las sucesiones de De Bruijn, nos familiarizaremos con ellas por medio de un juego de cartas. El primero que utiliza esta sucesión, antes de haberse descubierto, es el titulado COLURIA, que aparece en el libro “Thirty card mysteries” de Charles Jordan, publicado en 1919. Charles Jordan El efecto es el siguiente: El mago entrega una baraja de piquet (32 cartas, del 7 al as de cada palo) a un espectador y se aleja a cierta distancia. Le pide al espectador que corte por cualquier lugar y que reparta sobre la mesa seis manos de cinco cartas. Las dos cartas restantes, sin verlas, las guarda en su bolsillo. A continuación, nombra en voz alta únicamente los colores de las cartas superiores de cada montón. Inmediatamente, el mago nombra los valores de las cinco cartas inferiores de cada montón, así como los de las cartas ocultas en el bolsillo del espectador. ¿Cómo es posible? El propio Charles Jordan afirma que la sutil ordenación empleada para este juego será nueva para la mayoría de los magos ya que sólo la distribución de los colores da información suficiente para determinar los valores de las cartas. Esto es debido a que la baraja puede ordenarse de modo que cada secuencia de seis colores sea única y aparezca sólo una vez en la baraja. Dicho esquema se conoce como ciclo binario de De Bruijn. La ordenación propuesta por Jordan es la siguiente: AP-KT-QT-10P-7T-JP-7C-QP-9P-AT-8T- 10C-AR-JT-8P-9T-9C-8R-KC-10T-KP-QC- 9R-AC-JR-7P-QR-JC-7R- 10R-8C-KR (donde los símbolos R, C, T y P representan rombos, corazones, tréboles y picas, respectivamente). Una vez que el espectador ha seguido las instrucciones del mago, vuelve cara arriba las cartas superiores de cada montón, que son las últimas repartidas, y nombra únicamente los colores. Como dicha secuencia de colores aparece sólo una vez en el conjunto de las 32 cartas, el mago sólo tiene que buscar disimuladamente en una hoja donde está anotada la lista anterior, en una distribución circular, y encontrar dicha secuencia. Las dos cartas siguientes al conjunto de las seis cartas correspondientes a la secuencia de colores son las que tiene el espectador en su bolsillo y las seis siguientes a ellas son las cartas inferiores de cada montón repartido sobre la mesa. Por ejemplo, si el espectador indica que los colores de las cartas son roja-roja-roja- roja-negra-negra, el mago sabe que se trata de las cartas 7R- 10R-8C-KR-AP-KT, de modo que las cartas del bolsillo son QT y 10P y las cartas inferiores de cada montón son 7T-JP-7C-QP-9P-AT. La idea que subyace de esta situación nos conduce a la siguiente definición: Dado un alfabeto (o conjunto ordenado) A de tamaño k, una sucesión cíclica B(k,n) de elementos de A se llama sucesión de De Bruijn cuando toda subsucesión de n elementos de A aparece como máximo una vez en B(k,n) de forma consecutiva. La sucesión será maximal cuando todas las subsucesiones de longitud n aparezcan exactamente una vez en B(k,n). Para el caso k = 2, Camille Flye Sainte-Marie probó en 1894 la existencia de estas sucesiones para cualquier n, y el caso general de la existencia de sucesiones para cualquier k y cualquier n fue probada por Tanja van Ardenne-Ehrenfest y el propio De Bruijn. Es fácil ver que la longitud de tal sucesión maximal es kn y se ha demostrado, mediante técnicas de teoría de grafos, que hay distintas sucesiones B(k,n) maximales. Pero el origen de estas sucesiones es mucho más antiguo (como se cuenta en la Wikipedia) y los 64 hexagramas místicos el libro del oráculo chino I Ching forman una sucesión B(2,6) (una de sus representaciones corresponde a la imagen que encabeza esta entrega, cuyo original está en abrahadabra.com). También son destacables sus aplicaciones en teoría de códigos y otros campos. Los primeros ejemplos pueden obtenerse fácilmente. Si consideramos el conjunto A = de los colores rojo y negro, para n = 2, la única sucesión B(2,2) es R N R N Para n = 3, existen dos sucesiones B(2,3), que son R R N R R N N N y N N R N N R R R (cada una recíproca de la otra y donde se supone la sucesión recorrida en sentido antihorario). Para comprobar que RRRNNNRN es una sucesión maximal de De Bruijn, basta describir todas las subsucesiones de 3 elementos consecutivos, las cuales son: RRR, RRN, RNN, NNN, NNR, NRN, RNR, NRR obteniéndose las ocho permutaciones de longitud tres con los elementos de A. Utilizando grafos eulerianos se pueden construir secuencias de orden mayor, como se muestra en el siguiente diagrama. Basta encontrar un recorrido por el grafo que recorra todas las aristas exactamente una vez. Grafo de construcción de B(2,4) En el juego de Jordan se utiliza la siguiente sucesión B(2,6), no maximal: NNNNNNRNNNNRRNNNRRRNNRRRRNRRRRRR y puede ser un entretenimiento apasionante descubrir cuáles de las 26 = 64 diferentes subsucesiones de 6 elementos consecutivos están contenidas en esta sucesión. Diversas variantes de este juego se han ideado con posterioridad al publicado por Charles Jordan. En el número de diciembre de 2008 de la columna “CardColm” de la Mathematical Association of America, conducida por Colm Mulcahy, aparecen dos versiones. Colm Mulcahy junto a Martin Gardner La primera de ellas, más sencilla de recordar, utiliza la sucesión B(2,3) RRRNNNRN con las cartas 8R, 5C, 4R, AT, 7P, 6T, 3C, 2P. Para facilitar su memorización, basta observar que están todos los valores, del as al ocho, y los palos están alternados dentro de su mismo color. Para realizar el juego, se colocan previamente dichas cartas en la parte superior de la baraja, en el orden indicado, y se procede como sigue: El mago mezcla la baraja (pero sin desordenar las ocho primeras cartas) y reparte sobre la mesa, formando un círculo, las ocho primeras cartas. Se vuelve de espaldas y pide a tres espectadores que retiren y guarden tres cartas consecutivas del círculo, una carta cada uno, que aparten las otras cinco y las pierdan en la baraja. A continuación el mago se vuelve cara hacia los espectadores y pregunta quién o quiénes de ellos tienen una carta roja. Con esta información, adivina inmediatamente las cartas que guardan cada uno de ellos. Para saber cuáles son dichas cartas, basta reconocer la secuencia de colores en la sucesión original. Otra posibilidad es pedir a los espectadores que sumen los valores de las tres cartas elegidas y anuncien dicha suma. Como los posibles valores de la suma de tres cartas consecutivas de la secuencia son 17, 10, 12, 14, 16, 11, 13 y 15, el mago puede determinar cuáles son las cartas elegidas por los espectadores. El segundo juego descrito por Mulcahy es el siguiente. El mago entrega una baraja a varios espectadores para que, sucesivamente, corten y completen el corte. A continuación, el primer espectador retira y se guarda la carta superior, entrega la baraja al segundo espectador, quien a su vez retira y se guarda la nueva carta superior. Esta operación se repite con otros dos espectadores. El mago anuncia que adivinará los valores de las cartas en dos fases: primero las posibles cartas rojas y luego las cartas negras. Pide entonces que se levanten los espectadores que han elegido una carta roja. Si hay alguien que se levanta, casi inmediatamente desvela los valores de sus cartas y, por último, adivina también los valores de las cartas del resto de espectadores, en el orden que ellos le indiquen. Como se puede adivinar, el mismo principio anterior se aplica en esta ocasión. Las cartas están ordenadas de modo que la secuencia circular de colores no tenga ninguna subsucesión de longitud cuatro que se repita más de una vez. Como la longitud de una sucesión maximal del tipo B(2,4) es igual a 16, el juego descrito sólo puede realizarse con 16 cartas, cuyos colores estarán ordenados según la secuencia RRRRNNNNRNNRRNRN. Para solventar esta dificultad, Mulcahy propone elegir las mismas 16 cartas de tres barajas iguales y formar tres secuencias iguales de longitud 16 formadas por dichas cartas. De este modo, la baraja tendrá 48 cartas y no importa el lugar donde se corte pues las cuatro primeras cartas de la baraja formarán una única permutación de los colores rojo-negro. Además, es conveniente elegir 16 cartas cuyo orden sea fácil de recordar pero que no sea demasiado obvio para el público. Otra opción posible sería utilizar un alfabeto diferente –también de dos elementos– para formar la sucesión como, por ejemplo, A= donde P representa un palo concreto y R el resto de los palos. Así, la primera parte de la adivinación consiste en preguntar quiénes tienen una carta del palo concreto: sabiendo la posición de dichas cartas en la secuencia, es posible adivinar todas ellas. Este enfoque permite adaptar el juego a la baraja española ya que, precisamente, esta baraja tiene 48 cartas si se utilizan los ochos y los nueves y no existe la distinción entre los colores de los diferentes palos. Una versión más ambiciosa sería considerar una baraja completa de 52 cartas. Como la potencia de dos más próxima es 64, hace falta considerar una sucesión de De Bruijn B(2,6) y eliminar de alguna forma doce elementos de la sucesión. Esto permitiría adivinar las cartas de seis espectadores. En el libro de reciente publicación “Magical Mathematics” (una reseña muy completa es de Alex Stone para el periódico The Wall Street Journal), escrito por Persi Diaconis (matemático y mago) y Ronald Graham (matemático y malabarista), se puede encontrar esta original versión, con algunos ingredientes adicionales para recordar sin demasiada dificultad las cartas de la secuencia. Ronald Graham (izquierda), Persi Diaconis (derecha) y su libro (centro) Pero vamos a posponer para otra ocasión las aportaciones de estos dos polifacéticos matemáticos. Observaciones: En la comunidad mágica, los juegos basados en las sucesiones de De Bruijn se conocen como basados en los códigos de Gray. Un código de Gray es un sistema de numeración binaria en el que dos valores consecutivos se diferencian únicamente en un bit. La ventaja de este sistema es su mayor facilidad en detectar y corregir errores (basta observar que, en el sistema binario posicional, hay números consecutivos que se diferencian en todas sus cifras, como son 2n-1 y 2n). Su uso más común es el de corrección de errores en comunicaciones digitales como el de la televisión por cable. Aunque los conceptos no son equivalentes, generalmente se construyen las sucesiones de De Bruijn de modo que dos términos consecutivos se diferencian sólo en un término, con lo que queda determinado un código de Gray. También se puede construir una sucesión B(2,k) escribiendo de forma consecutiva los 2knúmeros del código de Gray con k cifras y eliminando adecuadamente las cifras que hacen que las subsucesiones de orden k se repitan en la sucesión. Después de Charles Jordan, muchos magos han estudiado estos códigos y han inventado sus propias versiones y variaciones del juego. Podemos destacar, entre ellos, a Alex Elmsley, Leo Boudreau, Reinhard Muller, Denis Behr, Doug Dyment, etc. También pueden usarse las sucesiones de De Bruijn como rompecabezas, como explica Alex Bogomolny en "From Lewis Carroll to Archimedes" de la página Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco) Esta dirección electrónica esta protegida contra spambots. Es necesario activar Javascript para visualizarla

Miércoles, 02 de Mayo de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

110. 93. (Abril 2012) El brujo en sociedad

En todas las épocas de la historia han surgido personajes ilustres que, habiéndose dedicado a la ciencia, han mostrado gran afición por la magia y, en particular, por su vertiente matemática. Uno de tales personajes será el protagonista de esta entrega. A finales del año 2011 ha nacido en Tarragona la editorial Frechiné Editores, y los responsables han querido empezar su aventura con un facsímil del libro “El brujo en sociedad, o sea breve instrucción para aprender a ejecutar con destreza muchos juegos de manos y otras varias suertes curiosas y divertidas”, escrito por Juan Mieg en 1839. En la introducción del libro, Alain Denis explica que se trata del primer libro de magia escrito en español que no se limita a divulgar trucos copiados y mal traducidos de enciclopedias extranjeras (está refiriéndose al libro escrito por Pablo Minguet en 1733 titulado "Engaños a ojos vistas, y diversión de trabajos mundanos", el cual se considera como el primer libro de magia en español, aunque en realidad consiste en una recopilación de textos anteriores publicados en Francia). Juan Tamariz escribe el prólogo donde muestra su admiración por el autor y su obra. Allí afirma categóricamente: “Si este libro no es una auténtica enciclopedia mágica, ¿cuál puede ser?”. Lee un extracto del libro en http://issuu.com/pausus/docs/brujo_en_sociedad_extracto. El libro está dividido en cinco secciones: suertes matemáticas (de aritmética y de geometría), suertes de naipes (sin destreza y con destreza), suertes mecánicas (sin ilusión y con ilusión), suertes químicas y variedades. ¿Sorprende a alguien que la primera sección trate precisamente de magia matemática? El autor del libro, Juan Mieg (1780-1859), fue naturalista, entomólogo y ornitólogo de gran prestigio en la comunidad científica de la época pero también muy aficionado a la magia. Nació en Basilea pero desarrolló su labor en España, donde llegó por primera vez en 1814 tras aceptar la propuesta del rey Fernando VII para ejercer como profesor de física del Real Gabinete. Posteriormente llegó a ser director del Real Estudio físico-químico establecido en el Palacio Real de Madrid. Adoptó el pseudónimo de “El tío Cigüeño” cuando publicó en 1841 un libro sobre su vida privada titulado “Historia romántica de las tribulaciones, amoríos, posesión y vindicación del Tío Cigüeño, con su feliz exorcización” y con ese sobrenombre es conocido en el mundo de la magia blanca o natural, como a él le gustaba denominar, a diferencia de los nombres “Física recreativa” o “Física oculta” que él consideraba impropios. La eterna polémica entre quienes afirman poseer poderes sobrenaturales y quienes sólo pretenden el entretenimiento de su público también está presente en su época pues, en la introducción del libro “El brujo en sociedad”, afirmó: “Nadie ignora en el día que todos los supuestos encantadores, mágicos, taumaturgos, brujas, o como gusten llamarse, no son más que estafadores y charlatanes, o bien gentes alegres que gustan divertirse sorprendiendo o divirtiendo a los demás; y que todos sus pretendidos milagros y artes estriban en medios naturales, en la destreza de manos, la mecánica, la física, la química y en las matemáticas. Pero en verdad que no todos saben el cómo se operan los diversos efectos o suertes con que aquellos pretendidos mágicos suelen asombrar a la multitud, y a veces hasta a las personas más instruidas.” No es el objetivo de esta sección detallar la biografía científica de este personaje pero, si te interesa, puedes consultar el video homenaje que se realizó en octubre de 2011 por la Sociedad de Amigos del Museo Nacional de Ciencias Naturales, video que está disponible en el portal CIENCIATK del CSIC. Es posible que desees hojear el libro (la edición original en pdf puedes descargarla desde el portal de la Biblioteca Nacional, que casualmente ha cumplido 300 años el uno de marzo de este año). Incluso puedes estar pensando adquirir un ejemplar de la nueva edición (sólo se han publicado 250 ejemplares, así que averigua en http://pausus.com/frechine/el-brujo-en-sociedad-2 si estás a tiempo de poseer el libro). En cualquier caso, se trata de una prueba más que corrobora la estrecha relación que existe entre la magia y las matemáticas. Para mantener la tradición de este rincón, vamos a describir también un juego de magia matemática. Y en esta ocasión parece lo más apropiado incluir un juego descrito por "El tío Cigüeño" en el libro recién reseñado. El juego es el titulado "Suerte de las tres prendas": Pide a tres espectadores que te presten un objeto que tengan a mano, digamos que hemos conseguido un reloj, una caja y un estuche. Deja los objetos sobre la mesa y deja también un montón de monedas, digamos que hay 24 monedas. Entrega una moneda al primer espectador, dos monedas al segundo y tres monedas al tercero. Vuelto de espaldas, pide que cada uno de ellos seleccione un objeto y lo esconda en un bolsillo. Pide entonces al espectador que tenga el reloj que recoja tantas monedas como le hayas entregado (tendrá ahora el doble de las que tenía al principio), al espectador que tenga la caja que recoja el doble de monedas que haya recibido y al espectador que tenga el estuche que recoja cuatro veces el número de monedas que le entregaste. Te vuelves de cara nuevamente y cuentas disimuladamente y de un rápido vistazo el número de monedas que quedan sobre la mesa: pueden ser 1, 2, 3, 5, 6 ó 7, que corresponden a cada una de las seis permutaciones de los tres objetos. La tabla con las correspondencias entre los objetos y los espectadores que los poseen es la siguiente: Monedas restantes Espectadores 1 2 3 1 reloj caja estuche 2 caja reloj estuche 3 reloj estuche caja 5 caja estuche reloj 6 estuche reloj caja 7 estuche caja reloj Ahora es fácil determinar quién oculta cada uno de los objetos si eres capaz de recordar esta frase mnemotécnica francesa (que significa aproximadamente "por culpa del hierro, César una vez se convirtió en un príncipe tan grande"): PAR FER CESAR JADIS DEVINT SI GRAND PRINCE 1 2 3 5 6 7 Fíjate solamente en la palabra que corresponde al número de monedas restantes. Sus vocales indicarán el objeto que posee cada una de las dos primeras personas, en ese mismo orden (entendiendo que la vocal A corresponde al primer objeto -el reloj-, la vocal E corresponde al segundo objeto -la caja- y la vocal I corresponde al tercer objeto -el estuche-). Por ejemplo, supongamos que en la mesa quedan tres monedas. La palabra clave es JADIS, con vocales A-I. Esto indica que la primera persona tiene el reloj, la segunda persona tiene el estuche y la tercera persona, por eliminación, tiene la caja. Observaciones: La frase mnemotécnica utilizada por Mieg ya aparece en el libro "Récréations mathématiques et physiques" escrito por Jacques Ozanam (París, 1694), revisado y ampliado por Montucla (París, 1778), traducido al inglés por Hutton bajo el título "Recreations in Mathematics and Natural Philosophy" Riddle con el título Recreations in Science and Natural Philosophy (Londres, 1844). Pero, si escarbamos un poco más, descubrimos que la misma frase aparece en el problema 25 del libro de Claude-Gaspard Bachet titulado "Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres" (1612). Allí expone también la variante correspondiente a cuatro objetos y cuatro espectadores (hay que dejar sobre la mesa 78 monedas, la primera persona recoge tantas monedas como tiene, la segunda recoge cuatro veces más y la tercera 16 veces el número de monedas que posee). Bachet afirmaba que su variante era inédita pero ahora se conoce que Diego Palomino había publicado con anterioridad un ingenioso método para aplicarlo con cuatro objetos y cuatro espectadores. Basándose en el sistema de numeración en base n, W.W. Rouse Ball presenta en la cuarta edición del libro "Mathematical Recreations and Essays" (cuya primera edición es del año 1892) una generalización de este truco utilizando n objetos y n espectadores, dando el crédito del método a M. Bourlet. Martin Gardner (¿otra vez por aquí?) describe en su libro "Mathematical Circus" (1968) este sencillo juego que puedes realizar a continuación del anterior. Deja sobre la mesa 20 monedas y vuélvete de espaldas al espectador. Instrúyele para que retire un grupo de monedas y las guarde en su bolsillo. A continuación que cuente el número de monedas restantes, sume las dos cifras del número y retire de la mesa ese número de monedas, guardándolas también en el bolsillo. Por último, toma otro grupo de monedas y las oculta en la mano, cerrando el puño. Cuando te vuelves cara al espectador, cuenta secretamente el número de monedas restantes. Ya puedes adivinar el número de monedas que tiene el espectador en su puño cerrado. ¿Sabes cómo?   Pedro Alegría (Universidad del País Vasco) Esta dirección electrónica esta protegida contra spambots. Es necesario activar Javascript para visualizarla

Martes, 10 de Abril de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico