11. 191. (Marzo 2021) Más magia poliédrica

Como lo prometido es deuda, vamos a continuar desarrollando las propiedades mágicas de los sólidos platónicos. Pero, antes de dedicarnos exclusivamente a la magia, comentaré algunas curiosidades matemáticas, no menos mágicas que las que aquí nos ocupan. Esta vez hablaremos de dualidad, una propiedad que permitirá agrupar los cinco poliedros de dos en dos (como hay cinco, uno de ellos se emparejará consigo mismo, adivina cuál). Para comprender este concepto, nos fijaremos nuevamente en la tabla donde se clasifican los cinco poliedros regulares según su número de caras (C), vértices (V) y aristas (A): Caras Vértices Aristas Tetraedro 4 4 6 Hexaedro 6 8 12 Octaedro 8 6 12 Dodecaedro 12 20 30 Icosaedro 20 12 30 Se puede observar que el hexaedro y el octaedro, así como el dodecaedro y el icosaedro, tienen el mismo número de aristas pero han intercambiado el número de caras de uno con el de vértices del otro. Por eso se dice que son duales. Gráficamente, esta característica hace que, dado cualquier poliedro regular, se puede construir su poliedro dual —también llamado poliedro conjugado— uniendo los centros de cada dos caras contiguas, lo que hace que el número de caras del primer poliedro coincida con el número de vértices del segundo, y recíprocamente. Esta imagen realizada con GeoGebra en el IES Mar de Alborán ilustra la idea: El tetraedro, ya que es dual de sí mismo, será protagonista del primer juego que vamos a proponer. Este juego aparece, ¡cómo no!, en la ingente colección de Martin Gardner, concretamente en el capítulo 19 del libro «6th book of mathematical diversions», publicado por primera vez en 1971. Haré unas pequeñas correcciones en la traducción para que la explicación sea más completa y precisa. Una extraña y poco conocida propiedad del tetraedro regular —y que no comparte con ningún otro sólido platónico— está relacionada con un truco de magia que puede presentarse como demostración de la habilidad para percibir vibraciones de color con los dedos. Construye un pequeño modelo de tetraedro regular. Puedes hacerlo a partir del esquema de la figura, según una idea de Charles Trigg (en el artículo titulado «Geometry of Paper Folding II: tetrahedral models» y publicado en 1954) que no requiere pegamento: recorta la figura, dobla por las líneas de división de los triángulos y forma un tetraedro con los triángulos blancos. Encaja los triángulos sombreados entre las separaciones para conseguir una estructura estable. Coloca el tetraedro así construido sobre el triángulo negro situado en la parte superior del tablero de la figura (por supuesto, debes tener la precaución de hacer coincidir las dimensiones de los triángulos del tablero y del tetraedro). Mientras estás de espaldas, alguien hace RODAR aleatoriamente el tetraedro apoyándolo cada vez en uno de los triángulos de la figura. La forma de hacerlo es girar la figura tomando como apoyo un lado del triángulo y dejando caer el vértice superior del tetraedro sobre el vértice opuesto del triángulo. Se puede detener cuando quiera, observar el color en el que se apoya el poliedro en ese momento, dejar transcurrir 10 segundos y DESLIZAR (sin levantarlo del papel) el tetraedro de nuevo hasta colocarlo nuevamente sobre el triángulo negro. Al volverte de cara, puedes sentir el color en el que se había posado el tetraedro y nombrarlo. Para adivinar el color, hace falta que, previamente, hayas dejado una pequeña marca, que pase desapercibida, en la esquina de una cara del vértice superior del tetraedro, y, al colocarlo sobre el triángulo negro, hacer que la marca quede en la cara que da hacia el tablero. La posición final de la marca permitirá deducir el último color en que se había posado el tetraedro, como se ilustra en el gráfico siguiente: ¿Cuál es esa extraña y poco conocida propiedad? La respuesta se ilustra en la siguiente imagen, en la que se representa en gris la cara del tetraedro que contiene la marca y las distintas posiciones que ocupa durante el recorrido por el tablero a partir de las indicaciones descritas en el juego. Se observa rápidamente que, cuando el tetraedro descansa en alguno de los triángulos amarillos, la cara que está marcada es la que forma la base y está apoyada en dicho triángulo; el resto de la figura consiste en hexágonos formados por seis triángulos y el tetraedro va basculando para ocupar alternativamente los tres colores, siempre en el mismo orden. Si ahora nos fijamos en el recorrido de la marca que hemos realizado, llegamos a esta otra figura: Ya comprendemos que, en los triángulos amarillos, la marca no se ve porque está en la cara inferior. Si recorremos cada hexágono en el sentido de las agujas del reloj, la marca va pasando sucesivamente del vértice superior (triángulo azul) a la cara derecha del vértice inferior (triángulo verde) y a la cara izquierda del vértice inferior (triángulo rojo). De forma análoga a la adaptación que mostramos en la entrega anterior, sería posible realizar el juego con el Pyraminx, versión tetraédrica del cubo de Rubik. Dejo a que desarrolles tu ingenio para adaptar el juego con un tetraedro de colores.     Para el siguiente juego nos pasamos al octaedro pero no dejamos de seguir a Martin Gardner, esta vez en el libro titulado «The second book of mathematical puzzles and diversions» (publicado la primera vez por Simon and Schuster en 1961). En el primer capítulo del libro, dedicado a los cinco sólidos platónicos, Martin Gardner propone una variante del clásico juego de las tarjetas binarias, que ya hemos tratado aquí en numerosas ocasiones (desde febrero de 2005 hasta abril de 2019), esta vez utilizando un dado octaédrico. Para recordar el juego, es necesario que construyas un dado octaédrico. Seguro que encontrarás muchos tutoriales que indican la manera de hacerlo pero yo voy a proponer un método en el que no se necesita pegamento para unir las caras, de modo que se podrá armar y desarmar en cualquier momento. En realidad, el método fue propuesto también por Charles Trigg en el artículo titulado «Collapsible models of the regular octahedron», publicado en el número 65 de la revista "The Mathematics Teacher", en octubre de 1972. Como se trata de un dado, las caras deben estar numeradas así que recorta la figura adjunta y, después de doblar cuidadosamente por todas las aristas, introduce las pestañas sombreadas para dar solidez a la figura. Una vez construido, observarás que el dado conserva la propiedad fundamental del dado usual cúbico pues, a pesar de tener ocho caras en lugar de seis, la suma de los valores de dos caras opuestas es igual a 7 (por eso ha sido necesario colocar el cero en una de las caras y no el ocho, como sería lo más natural). Por cierto, Gardner plantea el problema de disponer los números del 1 al 8 en las caras del octaedro de modo que la suma de los valores de las cuatro caras que convergen en un mismo vértice sea constante. ¿Te animas a resolverlo? De propina, trata de probar que el octaedro es el único entre los demás poliedros regulares que tiene esta propiedad. Volvamos con el juego una vez construido el dado octaédrico de la figura anterior. Pide a tu asistente que piense un número del 1 al 8. Muéstrale las cuatro caras que se ven en la imagen y pregúntale si ve el número que ha pensado. Cambia la disposición del dado para mostrarle estas otras cuatro caras y vuelve a preguntarle si ve el número pensado. Repite por última vez la pregunta mostrando estas otras cuatro caras del dado. Según las respuestas recibidas, podrás anunciar inmediatamente el número pensado. La solución es la misma que la de la versión original: si la primera respuesta es "sí", memoriza el número 1; si la segunda respuesta es "sí", memoriza el número 2; si la tercera respuesta es "sí", memoriza el número 4. Suma los valores memorizados y obtendrás el número pensado. La explicación se basa, como de costumbre, en el sistema binario: los cuatro primeros números mostrados (1, 3, 5 y 7) son los que tienen un 1 como última cifra en su representación binaria; los cuatro números mostrados la segunda vez (2, 3, 6 y 7) tienen un 1 como penúltima cifra en su representación binaria; y los cuatro últimos (4, 5, 6, y 7) tienen un uno como primera cifra. La suma de los valores indicados permite recuperar el número en su representación decimal. Comentarios finales: En el portal Divermates, ya citado otras veces en este rincón, se puede encontrar una versión más elaborada de este último juego. En primer lugar, allí se muestra un método de construcción del octaedro que también puede plegarse de modo que sea más fácil de guardar y transportar sin dañarlo aunque se necesita algo de pegamento en su primera elaboración. Por otra parte, se sustituyen los números por símbolos del oráculo chino I Ching —también muy relacionado con la aritmética binaria— lo que permite ocultar magníficamente el secreto y dar una presentación diferente y original. Si quieres realizar el juego con los números pero utilizando el modelo de octaedro que se propone en Divermates, puedes utilizar esta figura: Curiosamente, tambíén es posible construir un dado en forma de tetraedro. El problema es que, al lanzar el dado, siempre queda un vértice en la parte superior, no una cara. ¿Cuál es la solución? Que sean los vértices y no las caras quienes estén numerados. Puedes fabricarte un modelo de dado recortando esta imagen (observa que, ahora, en cada cara hay una de las cuatro posibles combinaciones de los cuatro números 1, 2, 3, 4, tomados de tres en tres): Para terminar, quiero recordar la analogía entre las figuras geométricas aquí consideradas con cierta clase de números figurados, más concretamente con los números poliédricos: desde la cultura clásica griega se han estudiado las familias de números que pueden representarse como puntos equidistantes en distintas figuras geométricas. Así pues, los números tetraédricos son aquellos que pueden representarse en un tetraedro regular. Los primeros elementos de esta familia son 1, 4, 10, 20, 35, ... como se puede ver en la siguiente imagen, y aparecen de forma natural en el famoso triángulo de Pascal: Del mismo modo se pueden definir los números octaédricos, que serán los que pueden disponerse en un octaedro regular, como el de la figura: Parece que fue Descartes quien publicó el primer estudio sobre las propiedades de estos números en "De solidorum elementis". ¿Podrías encontrar la secuencia de números octaédricos? Piensa que un octaedro está formado por dos pirámides cuadradas superpuestas. Incluso hay una curiosa relación entre los números octaédricos y los números tetraédricos. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

Lunes, 01 de Marzo de 2021 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

12. 190. (Febrero 2021) Magia poliédrica

Una de las propiedades más mágicas de las matemáticas se expresa con esta misteriosa fórmula: C + V = A + 2. ¿Qué propiedad es esta? ¿Qué es eso de sumar letras y números? Para responder a estas cuestiones, en primer lugar debemos aceptar que sólo existen cinco poliedros regulares (como los ilustrados por Kepler en la imagen de cabecera), comúnmente conocidos como sólidos platónicos porque Platón, en su obra Timeo, asoció a cada uno de ellos un elemento de la Naturaleza: fuego al tetraedro, aire al octaedro, agua al icosaedro y tierra al hexaedro. ¿No falta uno? Sí, el dodecaedro, asociado por Platón al Universo (claro, ya no le quedaban elementos para asignar). Un poco más elaborada fue la teoría del astrónomo Johannes Kepler —que denominó Misterio Cósmico— mediante la cual los seis planetas conocidos hasta el momento describían órbitas contenidas en esferas concéntricas, con el Sol en el centro, entre las cuales se encontraban perfectamente encajados los cinco sólidos platónicos: un cubo entre Saturno y Júpiter, un tetraedro entre Júpiter y Marte, un dodecaedro entre Marte y Tierra, un icosaedro entre Tierra y Venus y un octaedro entre Venus y Mercurio. En el artículo «Las formas del mundo», Javier Sampedro nos recuerda que estas figuras no surgen únicamente del intelecto humano sino que son componentes fundamentales de la naturaleza, aunque en un sentido diferente al que Platón y Kepler propugnaban. Volviendo a la enigmática fórmula inicial, si contamos el número de caras (C), vértices (V) y aristas (A) en cada sólido platónico, encontramos esta tabla: Caras Vértices Aristas Tetraedro 4 4 6 Hexaedro 6 8 12 Octaedro 8 6 12 Dodecaedro 12 20 30 Icosaedro 20 12 30 Ahora se puede entender mejor la fórmula que hemos avanzado al principio: en cada figura, el número de caras más el número de vértices es siempre dos unidades mayor que el número de aristas. Pues bien, el famoso matemático suizo Leonhard Euler demostró (con algunos errores) que esa fórmula es válida para cualquier figura tridimensional convexa formada por caras poligonales. Si la importancia de un resultado matemático se mide por el número de demostraciones que tiene, en la página de David Eppstein «The Geometry Junkyard», se recogen veinte de ellas, todavía muy lejos de las 122 pruebas del teorema de Pitágoras que Alexander Bogomolny coleccionó en el portal «Cut-the-Knot» hasta su fallecimiento en 2018. Como ya es tradición en este rincón, seguimos las normas de buena conducta educativa en sentido inverso y, en lugar de motivar el estudio de los sólidos platónicos mediante un juego de magia —como haría cualquier docente enamorado de su trabajo—, lo que hacemos es justificar el juego de magia que vamos a describir mediante la introducción matemática de los elementos involucrados. Así pues, utilizaremos estas importantes figuras geométricas como herramientas para la magia. Como de costumbre, una mirada retrospectiva a lo ya publicado en este rincón nos permite confirmar que no es la primera vez que aparece algún sólido platónico. Empezando por lo más obvio, en la magia con dados es fundamental el uso del cubo o hexaedro, algunas de cuyas propiedades se utilizaron en los capítulos 26 y 27 (de marzo y abril de 2006) y en el 155 (de diciembre de 2017). Nos limitaremos en esta ocasión a describir algunos juegos en los que se utiliza el cubo como elemento protagonista y dejaremos para la próxima ocasión otros juegos en los que explotaremos las propiedades del tetraedro y el octaedro. El primero de los juegos es el ha despertado mi curiosidad por recorrer su historia y conocer las variantes que se han ideado a lo largo del tiempo. Empezaré con la idea básica del juego, para cuya realización se necesita solamente un dado: Un espectador piensa un número del uno al seis. El mago, sin mirar al dado en ningún momento, lo lanza sobre la mesa y muestra al espectador tres de sus caras. Luego le pregunta si ve el número pensado. El mago gira el dado para mostrar otras tres caras y pregunta al espectador si ve el número pensado. El mago gira por última vez el dado y muestra otras tres caras volviendo a preguntar al espectador si ve el número pensado. A partir de esta respuesta, el mago adivina el número pensado. Este juego aparece por primera vez en el folleto titulado «Three Pets», publicado por Bob Hummer en 1945. En la fantástica obra «Mathematics, Magic and Mystery» (1956), Martin Gardner vuelve a publicar el juego y, como explicación, indica que basta una pequeña reflexión para saber que tres preguntas son suficientes para eliminar todas las posibilidades excepto una, pero no entra en más detalles. En 1980, Karl Fulves publica la recopilación «Bob Hummer's Collected Secrets» y también recoge este juego, bajo el título "The moon die mystery". En este caso, la descripción —como veremos a continuación— es más precisa y detallada: El mago lanza el dado y lo tapa con una mano para no ver cómo ha quedado. Lo coloca de modo que el espectador pueda ver tres de las caras y le pregunta si ve su número. Independientemente de su respuesta, tapa el dado con las dos manos y lo gira 180 grados en la dirección de la flecha A (la cara superior tocará ahora contra la mesa). Aparta las manos y vuelve a preguntar si ve su número. Nuevamente, sin importar su respuesta, tapa el dado y lo gira 180 grados en la dirección de la flecha B (pasando otra vez la cara superior a la parte inferior). Retira las manos de nuevo y pregunta por última vez si ve su número. Para adivinar el número pensado el mago sumará uno si la primera respuesta es afirmativa, dos si la segunda respuesta es afirmativa y cuatro si la tercera respuesta es afirmativa. Con el número así obtenido el mago gira el dado a partir del modelo de la figura, pasando a la parte superior la cara donde estaría dicho número en este dado. Por ejemplo, si el espectador ha visto su número las dos primeras veces, el mago recuerda el número tres y, como en el dado modelo está a la derecha, gira el dado para colocar arriba esta cara. El número que aparezca ahora en la cara superior será el pensado por el espectador. Un año después, el propio Karl Fulves publica el libro «Self-working table magic: 97 foolproof tricks with everyday objects» donde aparece el juego que titula "Mental die". La explicación que acompaña al juego no es correcta así que la hemos corregido convenientemente. El comienzo es igual al anterior: un espectador elige secretamente un número del uno al seis. El propio espectador, con el mago de espaldas, gira el dado un cuarto de vuelta hacia la derecha (en sentido horario), indicado por la flecha A, si ve su número y gira el dado un cuarto de vuelta hacia delante (pasando arriba la cara que está a la izquierda), según indica la flecha B, si no ve su número. Este proceso se repite tres veces y, al final, el espectador tapa el dado con un sombrero (o un cubilete o un pañuelo). El mago se coloca otra vez de cara frente al espectador y le pregunta si ha visto su número todas las veces. Si no es así, mete la mano bajo el sombrero y gira el dado un cuarto de vuelta hacia delante (pasando arriba la cara de su derecha). Si la respuesta es sí, no hace nada. Se levanta el sombrero y el número elegido aparece en la cara superior del dado. Fulves propone no hacer la última pregunta y jugar con la suerte, pues cinco de cada seis veces el espectador habrá dejado de ver su número alguna vez. En la última edición del homenaje a Martin Gardner Celebration of Mind 2020, Joe Turner dictó una charla titulada "Dice, dice, baby", en la que mostraba su propia versión del juego. Su idea inspiró a Mariano Tomatis quien presentó el juego sustituyendo el dado por un cubo de Rubik en el episodio 216 de su canal de Youtube «Mesmer in pillole». Esta vez el mago es quien realiza los movimientos en el cubo. El mago coloca un cubo de Rubik sobre la mesa y pide al espectador que elija uno de sus seis colores. Dejando tres de las caras del cubo a la vista del espectador, el mago pregunta si ve entre ellas el color elegido (según la figura adjunta, el espectador estará viendo las caras roja, verde y blanca). Si la respuesta es sí, el mago gira el cubo un cuarto de vuelta hacia la derecha (en sentido horario). Si la respuesta es no, el mago gira el cubo un cuarto de vuelta hacia sí mismo (pasando la cara superior al lateral izquierdo). Vuelve a preguntar al espectador si ve el color elegido. A continuación, realiza el mismo movimiento del cubo según la respuesta. Repite por última vez la pregunta y el giro del cubo. En este momento, el color elegido por el espectador ocupa la cara lateral que está a la derecha del mago, con lo que puede desvelarla como prefiera. Hay una excepción a esta regla: si el espectador ha respondido que sí a todas las preguntas, el color elegido está en la cara superior (pues siempre se ha mantenido allí). El último juego que queremos compartir está basado en un principio diferente y aparece también en el citado libro «Self-working table magic» de Karl Fulves. Se titula "Logic dice" y, para realizarlo, necesitas también un dado. Tú serás mi asistente y yo controlaré a distancia tus movimientos para adivinar el resultado final. Lanza el dado sobre la mesa. Si el número de la cara superior es impar, gira el dado un cuarto de vuelta hacia delante; si el número de la cara superior es par, gira el dado un cuarto de vuelta hacia la derecha. En el ejemplo de la figura, como hay un 3 en la cara superior, al realizar el giro indicado la cara superior tendrá un 5. Si fuera par, que no es el caso, el 6 pasaría a ocupar la cara superior después del giro. Realiza la misma operación unas cuantas veces para comprobar la cantidad de posibilidades y observar que la cara superior va tomando diferentes valores. En un determinado momento, aparecerá un 1 en la cara superior. Realiza el giro correspondiente una última vez. Concéntrate en el número de la cara superior. ¡Ya lo tengo! Es un 4. Como diría Martin Gardner, con un poco de reflexión podrás descubrir por ti mismo el secreto del juego. Si, a pesar de ello, necesitas una pequeña ayuda, aquí la encontrarás. Comentario final Ya que hemos estado tratando con dados, quiero proponer un juego —muy relacionado con el juego del NIM que describimos en julio de 2016 (número 140 del rincón matemágico)— pero sin la aparente ventaja del mago respecto al espectador. Esta versión fue ideada por el mago estadounidense Stewart Judah y era uno de sus juegos favoritos: Se lanza un dado y su resultado será el valor de partida. A continuación, cada jugador —por turnos— gira el dado un cuarto de vuelta en la dirección que prefiera, para obtener un nuevo número. Dicho número se suma al resultado anterior obteniéndose un nuevo valor, con el que se continúa el juego. El jugador que, después de girar el dado como se ha indicado y sumar el valor resultante al número acumulado anterior, alcance el número 31 o bien obligue a su oponente a superar dicho número en su siguiente jugada, es el ganador. El jugador que se vea forzado a superar el número 31, es el perdedor. ¿Serías capaz de encontrar alguna estrategia ganadora teniendo en cuenta las características numéricas de los dados? En el excelente libro de George Kaplan titulado "El arte de la magia" se explica con bastante detalle el procedimiento que garantiza la victoria del mago. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

Miércoles, 03 de Febrero de 2021 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

13. 184. (Julio 2020) De Tartaglia a Pascal

Pulsa en la imagen para ir al juego.

Miércoles, 01 de Julio de 2020 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

14. 189. (Enero 2021) Sobre ciclos y espejos

En nuestra última aparición por este rincón —que fue el año pasado aunque sólo haya pasado un mes—, comentamos algunos tipos de mezclas, que son en realidad permutaciones del conjunto de cartas, sobre las que podemos predecir el orden final de las cartas o, al menos, la posición relativa entre ellas. En esta ocasión, nos dedicaremos a estudiar con más detalle algunas de estas propiedades. Entre la gran cantidad de maneras de ordenar un conjunto de cartas, hay dos que gustan o deben gustar a los amantes de las simetrías: el orden cíclico y el orden especular. Veamos en qué consisten con un caso sencillo: si tenemos dos conjuntos idénticos de 5 números, digamos y , formamos cualquier permutación del primer conjunto y colocamos a continuación la misma permutación del segundo conjunto, el resultado  es un conjunto de 10 números en orden cíclico. Sin embargo, si invertimos el orden de la segunda permutación, el conjunto total tendrá orden especular. Por ejemplo, el conjunto tiene orden cíclico pero el conjunto  tiene orden especular. La primera ordenación se llama cíclica porque el ciclo 13254 se repite y tiene la propiedad de que, al cortar por cualquier lugar y completar el corte, el conjunto sigue estando compuesto por dos grupos iguales con la misma permutación. La segunda ordenación se llama especular porque se comporta como si se colocara un espejo entre ambos. Ahora ya no se puede cortar por cualquier lugar pues se perdería dicha propiedad. Es relativamente sencillo descubrir diversas propiedades de invariancia entre estas dos ordenaciones cuando se realizan ciertas mezclas pero, antes de señalar algunas de ellas, prefiero que las descubras a partir del juego que proponemos a continuación. Ya hemos mencionado en este rincón al prolífico mago canadiense Stewart James (por ejemplo, en el número 99 de noviembre de 2012). En uno de sus recordados artículos para la revista «Scientific American», Martin Gardner se refirió a él como «un mago que ha inventado más juegos de magia matemática con cartas de alta calidad que cualquier otro». Alrededor de 1928, ideó un juego que tituló "Murder By Suggestion", que fue publicado casi inmediatamente, en marzo de 1980, en la revista New Pentagram (en la imagen adjunta se muestra la portada de dicho número), que fue seleccionado posteriormente en la monumental recopilación The James File (2000), así como en la posterior selección The Essential Stewart James (2007), ambos escritos por Allan Slaight, y que ha sido adaptado por varios autores, como Werner Miller (también asiduo a este rincón) y Shane Causer. Describiremos aquí esta última versión que el autor titula "Finding a Mate", como aparece en su libro «Automata: beyond self-working magic» (2005). Antes de empezar con el juego, busca una baraja y aparta las cartas del as al siete de dos palos cualesquiera. Puedes descartar el resto pues no las usaremos más. Miento, busca también un comodín o la dama de corazones o cualquier otra carta que se distinga de las catorce elegidas. Ordena las cartas del modo indicado en la imagen: Forma con ellas un paquete, colócalas con las caras hacia abajo y corta por cualquier lugar. Completa el corte para no saber el orden en que han quedado. Intercala el comodín por cualquier lugar, cara arriba para no perderlo de vista durante el siguiente proceso. Reparte las cartas sobre la mesa, una a una y forma con ellas dos montones: la primera a la izquierda, la segunda a la derecha, la tercera a la izquierda, y así sucesivamente. El primer montón tendrá una carta más pero no es importante. Recoge las cartas colocando uno de los montones sobre el otro; no importa si colocas el de la izquierda sobre el de la derecha o viceversa. Repite el reparto del paso 4 y la recogida del paso 5. Extiende las cartas en abanico y retira el comodín junto con las dos cartas adyacentes a él, la que está encima y la que está debajo. Vuelve a cerrar el abanico con las cartas restantes. ¡Sorpresa! Si giras las cartas del paquete por parejas, ninguna de ellas contiene dos cartas del mismo valor pero las dos cartas que estaban junto al comodín sí tienen el mismo valor. Parece que el comodín ha interpretado el papel de Cupido. COMENTARIOS FINALES: El orden indicado en la descripción no es importante: basta que el segundo grupo esté en el mismo orden que el primero. Un método habitual para conseguir que un grupo de cartas quede en orden cíclico es romper todas las cartas por la mitad en bloque y colocar una mitad sobre la otra. Ya hemos aplicado esta drástica solución en algún lugar, como en el número 84 de junio de 2011, con el juego "Las cartas rotas" y puede ser una opción para este juego lo que ahorraría la ordenación de los dos grupos de cartas. Esto significa que tampoco tienen que estar separadas las rojas y las negras, lo importante son los valores de las cartas. En el juego original, Stewart James utilizaba dos grupos de 14 cartas en orden cíclico de manera que la suma de los valores de las dos cartas adyacentes al comodín fuera el resultado de una predicción inicial. Para conseguirlo, basta observar qué cartas son las que se colocan junto al comodín cada vez que se realizan los repartos indicados en la descripción del juego. Como había prometido al principio, plantearé algunas características invariantes del orden especular y el orden cíclico respecto a ciertas mezclas. Estas mezclas son la mezcla Klondike y Monge (de las que ya hablamos el mes pasado) y la mezcla antifaro (que consiste simplemente en repartir las cartas sobre la mesa en dos montones —como en el juego anterior— y recoger uno sobre el otro). Te dejo como tarea la interpretación y comprobación de estas propiedades y la aplicación en algún juego de magia que se te ocurra con ellas: + CORTE ANTIFARO KLONDIKE MONGE CÍCLICO cíclico especular ESPECULAR especular cartas en parejas cíclico Las secuencias cíclicas son también fuente de juegos matemáticos sorprendentes (como, por ejemplo, en el número 30 de este rincón correspondiente a julio de 2006) y aparecen con mucha frecuencia; sin ir más lejos, la representación decimal de las fracciones es siempre cíclica, desde los números enteros cuya parte decimal contiene un ciclo infinito de ceros hasta ejemplos más complejos como los primos generadores, que forman la sucesión A001913 como aparece en la On-line Encyclopedia of Integer Sequences. ¿Te imaginas encontrar la parte cíclica del número 1/223? Tiene 222 cifras. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

Martes, 05 de Enero de 2021 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

15. 188. (Diciembre 2020) Sopa de mezclas

Un concepto muy importante en Matemáticas es el de invariancia. De hecho, existe toda una teoría matemática de invariantes, mejor dicho, al menos dos: la teoría de invariantes algebraicos y la de invariantes geométricos. Como es un campo demasiado especializado para darle cabida en este rincón, nos conformaremos con la idea elemental que sustenta dicho concepto y que todos entendemos: un objeto o estructura es invariante bajo cierta operación o transformación matemática cuando no cambia después de dicha operación. Por ejemplo, el círculo es un invariante bajo la operación de giro alrededor de su centro, independientemente del ángulo de giro. Se comprende también que el concepto es un poco más general que el de punto fijo (que citamos en el número 175 de octubre de 2019) porque, salvo el centro, todos los puntos del círculo han cambiado de posición pero, visto el círculo en su conjunto, ha quedado inalterado. La teoría de invariantes proporciona también un gran campo de experimentación en la magia. Desde conceptos tan comunes y ampliamente conocidos, como el hecho de que la suma de las caras opuestas de un dado es siempre igual a siete o que la diferencia entre cualquier número natural y la suma de sus cifras es siempre múltiplo de nueve, hasta ideas mucho más sutiles y elaboradas, como las presentes en los principios de Rusduck, de Hummer, de Gilbreath, de Kruskal, ..., todos ellos aplicados a las mezclas de cartas, podemos encontrar multitud de juegos que se basan en propiedades de invariancia, el éxito de los cuales se fundamenta en la habilidad del mago para ocultar la presencia de dichas propiedades. Como ya empieza a ser habitual, el descubrimiento de nuevas ideas por parte del mundo de las matemáticas junto con la aplicación y desarrollo de dichas ideas por parte del mundo de la magia permite convertir teoremas en juegos de magia y, en esta ocasión, ofreceremos una nueva muestra de ello con un ejemplo de invariantes relacionados con mezclas de cartas. Podemos señalar como punto de partida el artículo académico titulado «The Mathematics of the Flip and Horseshoe Shuffles», firmado por Steve Butler, Persi Diaconis y el recientemente fallecido Ronald Graham, y publicado en la revista The American Mathematical Monthly el año 2016. En ese trabajo ya aparece la primera descripción de un juego de magia basado en la bautizada mezcla herradura, y una versión más elaborada se encuentra en el artículo de Steve Butler titulado «A card trick inspired by perfect shuffling», presentado en la décimotercera edición del Gathering for Gardner de 2018 que, como cualquier aficionado debe saber, constituye el encuentro bianual más importante de aficionados a la magia y a la matemática reunidos para homenajear la figura de Martin Gardner. Para realizar el juego que proponen los autores se necesitan ocho cartas, del as al ocho de cualquier palo. Con las cartas en la mano, sigue las instrucciones que daremos a continuación. Ordena las cartas del modo indicado en la imagen: Aunque parezca extraña esta disposición, en realidad están ordenadas si pensamos el ocho como si fuera el cero, no sólo porque se escribe con dos ceritos, sino por su representación en el sistema binario: Decimal Binario 8 1 2 3 4 5 6 7 1000 001 010 011 100 101 110 111 De ahora en adelante nos olvidaremos de la primera cifra del ocho y lo representaremos como 000. Forma un paquete con las cartas así ordenadas y realiza sucesivamente —en el orden que quieras y las veces que te apetezca— las siguientes mezclas: Mezcla herradura: repartir las cartas sobre la mesa, de una en una y formando dos montones, uno a la izquierda y otro a la derecha. Al terminar, girar en bloque las cartas de uno de los montones y colocarlo sobre el otro montón. Mezcla Monge (explicada en el número 43 de este rincón, en octubre de 2007): con las cartas en una mano, ir pasándolas a la otra mano, una por una, intercambiando el orden de cada carta, es decir, la segunda carta se coloca sobre la primera, la tercera bajo las dos primeras, la cuarta sobre las tres primeras, la siguiente debajo, la siguiente encima, hasta haber pasado todas las cartas. Mezcla lechera, también llamada Klondike o Alfa (explicada en el número 122 de este rincón, en diciembre de 2014): arrastrar juntas las cartas superior e inferior del paquete y dejarlas sobre la mesa, repetir la operación con el paquete restante y dejar las dos cartas sobre las anteriores hasta que queden en la mano dos cartas, las cuales se dejan sobre las demás. Como la primera de las mezclas hace que algunas cartas queden giradas, en las siguientes no importa que las cartas estén cara arriba o cara abajo. Lo único importante es que las mezclas se realicen correctamente. Intercaladas entre las mezclas, puedes realizar —las veces que quieras y en el orden que te apetezca— cualquiera de las siguientes acciones relacionadas con los posibles divisores de ocho: Repartir sobre la mesa todas las cartas, una a una, y recoger todo el paquete. Repartir sobre la mesa todas las cartas, de dos en dos, y recoger todo el paquete. Repartir sobre la mesa todas las cartas, de cuatro en cuatro, y recoger todo el paquete. Repartir sobre la mesa todas las cartas, de ocho en ocho, y recoger todo el paquete. En realidad, esto no será necesario: echar las ocho cartas y recogerlas sólo alarga el proceso pero no produce cambios. Hemos incluido esta opción porque el ocho también es divisor de sí mismo. Una vez que las cartas están bien mezcladas (observa que el número de posibles configuraciones de las ocho cartas es igual a 8! = 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 40320), repártelas sobre la mesa formando una estructura de cuatro filas y dos columnas, en este orden (orden al que nos referiremos en lo sucesivo): Si alguna de las cartas ha quedado cara arriba (que es lo más probable), vuélvela cara abajo para que yo no pueda saber la posición de ninguna de ellas. Como comprenderás, es imposible saber qué lugar ocupa cada carta así que necesitaré algo de información. Por ejemplo, vuelve cara arriba la primera carta (sí, la superior izquierda). Su valor me indicará el valor de la sexta carta, mediante esta tabla: PRIMERA SEXTA 1 2 3 4 5 6 7 8 4 7 6 1 8 3 2 5 Necesitaré una pista más para determinar la posición del resto de cartas. Gira la segunda carta: su valor indicará el valor de la carta en la quinta posición a partir de la misma tabla anterior. Pero también puedo saber las cuatro cartas restantes. Para ello, busca en la siguiente tabla la combinación de la primera y segunda cartas para determinar los valores de la tercera y cuarta cartas pero también, a partir de la combinación de la quinta y sexta cartas, adivinaré los valores de la séptima y octava cartas. Como hay varias combinaciones posibles, la tabla es un poco más larga (aunque se podría reducir a la mitad teniendo en cuenta las simetrías): 1ª - 2ª 3ª - 4ª 1 - 3 1 - 5 1 - 6 1 - 8 2 - 3 2 - 5 2 - 6 2 - 8 3 - 1 3 - 2 3 - 4 3 - 7 4 - 3 4 - 5 4 - 6 4 - 8 5 - 1 5 - 2 5 - 4 5 - 7 6 - 1 6 - 2 6 - 4 6 - 7 7 - 3 7 - 5 7 - 6 7 - 8 8 - 1 8 - 2 8 - 4 8 - 7 5 - 7 6 - 2 8 - 7 3 - 2 8 - 1 3 - 4 5 - 1 6 - 4 7 - 5 1 - 8 2 - 5 4 - 8 5 - 2 6 - 7 8 - 2 3 - 7 2 - 6 4 - 3 7 - 6 1 - 3 7 - 8 1 - 5 2 - 8 4 - 5 8 - 4 3 - 1 5 - 4 6 - 1 2 - 3 4 - 6 7 - 3 1 - 6 ¿He acertado todas las cartas? Pues no he sido yo, sino la magia de las matemáticas. Es más, si no he acertado, ha tenido que haber una equivocación en alguna de las mezclas realizadas. EXPLICACIONES: Como apunta Steve Butler en su artículo «A card trick inspired by perfect shuffling», de las 40320 posibles ordenaciones de las ocho cartas, las mezclas y manipulaciones anteriores sólo conducen a 32 posibilidades. Todas ellas tienen un par de propiedades invariantes que permiten realizar el juego con éxito, precisamente las propiedades que se resumen en las dos tablas anteriores. En el paso 5 de la descripción del juego se puede girar cualquier carta de las ocho que están sobre la mesa. Su valor indicará, utilizando la misma tabla de antes, el valor de la carta que ocupa la posición simétrica dada por los siguientes emparejamientos: primera con sexta, segunda con quinta, tercera con octava, cuarta con séptima. Para descubrir la razón, volvamos a representar las parejas de números en el sistema binario. Decimal Binario 1 4 001 100 2 7 010 111 3 6 011 110 5 8 101 000 Resulta que la segunda cifra en ambos números es la misma y las otras dos cifras son distintas. Por tanto, adivinar una de ellas conocida la otra consiste en representar en base dos la carta, cambiar la primera y tercera cifras y pasar al sistema decimal el número obtenido. Un método más sencillo sería: si la carta descubierta es impar, su pareja será tres unidades mayor (si es un siete, se usa la aritmética de congruencias módulo 8: 7 + 3 = 10, que corresponde al 2); si es par, su pareja es tres unidades menor (con la misma salvedad para el 2 pues 2 - 3 = -1, que corresponde al 7). En el paso 6 no es necesario tampoco que se vuelva la carta de la posición número 2. Basta con cualquiera de las dos cartas que quedan cara abajo en el cuadrado formado por las dos cartas que ya estaban giradas. Con el razonamiento anterior se conoce la cuarta carta de dicho cuadrado. Para determinar el resto, se utiliza la misma tabla anterior, donde cada pareja de la misma fila determina la otra pareja de su misma fila en el orden indicado por la tabla. La correspondencia que se establece entre dichas parejas también se debe a una relación entre sus representaciones en base dos, la cual está explicada en el artículo citado de Steve Butler. OBSERVACIONES FINALES: Parece un poco sorprendente el nombre de mezcla herradura aplicado al proceso antes descrito. Los autores apuntan a que se trata de la versión discreta del llamado mapa de herradura, que consiste en "estirar" el cuadrado unidad y "doblarlo" sobre sí mismo. Este tipo de mapas forma una familia de cuyo estudio se ocupa la teoría matemática del caos. Esta nueva mezcla tiene algunas propiedades interesantes, estudiadas por Jeremy Rayner en su artículo «Flipping perfect shuffles», publicado en el primer número de la revista Metagrobologist Magazine (octubre de 2014). Por ejemplo, cuatro mezclas idénticas con las ocho cartas utilizadas en el juego hacen que el paquete recupere el orden inicial. Esta propiedad es más general, con 2n cartas sólo hacen falta n + 1 mezclas herradura para reordenar de nuevo todas las cartas. Los valores son más caóticos para otros valores: por ejemplo, con seis cartas se necesitan 10 mezclas para volver al orden inicial. Seguramente, esto se deba precisamente a la relación entre la representación binaria de los números y su evolución a lo largo de las mezclas. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

Martes, 01 de Diciembre de 2020 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

16. 187. (Noviembre 2020) Códigos de Reed-Solomon

[Resultado de la corrección de errores en la imagen de la Mona Lisa mediante un código de Reed-Solomon, Wikipedia.] Dentro de la especialidad matemática llamada Teoría de Códigos son importantes las técnicas de corrección de errores, que se utilizan de forma cotidiana en multitud de dispositivos digitales. Estamos muy familiarizados con los códigos que detectan errores, como la letra del DNI, los billetes de la zona euro, los pitidos que escuchamos en la zona de cajas del supermercado al pasar los códigos de barras por el lector óptico, los mensajes de error del cajero (o del ordenador (o del móvil)) cuando tecleamos la clave equivocada, etc., pero, lamentablemente —o por suerte—, estos códigos no son capaces de adivinar el valor correcto, no corrigen el error. Aunque no seamos conscientes de ello, los que sí son capaces de corregir errores se utilizan en el proceso de almacenamiento de datos en dispositivos como CDs, DVDs, lápices de memoria, etc., para que podamos recuperar los datos que contienen a pesar de tener algunas zonas defectuosas o degradadas. Algunas de las técnicas sobre corrección de errores han sido objeto de varias aportaciones a la magia, aunque bajo la denominación de detección de mentiras lo que permite simular poderes adivinatorios por parte del artista. Ya se han desarrollado algunos ejemplos en este rincón: por ejemplo, los códigos de Hamming aparecieron en la transmisión telepática del número 80 (febrero de 2011), en el detector de mentiras del número 104 (abril de 2013) y en el juego del número 150 (junio de 2017); otros tipos de códigos aparecieron en el lápiz octal del número 128 (junio de 2015) o en el de adivinación que describimos en el número 163 (septiembre de 2018). También puedes encontrar información adicional sobre el uso de la magia en la teoría de códigos en el artículo «Códigos secretos y teoría de la información en la magia», publicado el año 2005 en el número 26 de la revista Sigma. Siempre con el ánimo de facilitar la comprensión de los códigos correctores de errores, muchos docentes e investigadores sugieren enfoques desenfadados para el desarrollo de estos temas y a veces podemos encontrar juegos de magia como los ya mencionados. En esta ocasión nos referiremos a dos trabajos de Todd Mateer, profesor de matemáticas en Howard Community College (Maryland, EEUU). El primero de ellos, titulado «A magic trick based on the Hamming code» se publicó en noviembre de 2013 en la revista Math Horizons y, como su título indica, aprovecha los códigos de Hamming para diseñar un juego de magia similar al que describimos en el ya citado detector de mentiras del número 104 (abril de 2013) pero que puede realizarse sin apoyo de un programa informático. El segundo trabajo es el titulado «A Reed-Solomon code magic trick» y se publicó en abril de 2014 en la revista Mathematics Magazine. En el artículo se describen las características principales de los códigos correctores de errores de Reed- Solomon (llamados así en honor de sus creadores, Irving Reeds y Gustave Solomon), las cuales se aplican en un juego de magia que vamos a versionar a continuación. Irving Reed y Gustave Solomon Para este juego se necesitan 16 cartas, de modo que busca una baraja y quédate con las cuatro figuras —incluyendo el as— de cada palo. Sólo usaremos la jota (J), dama (Q), rey (K) y as (A) de los palos de picas (P), corazones (C), tréboles (T) y rombos (R). Utilizaremos como motivo alegórico la rosa de los vientos que, como sabes, es un símbolo inventado por el teólogo mallorquín Ramon Llull en el que están marcados los rumbos en que se divide la circunferencia del horizonte, aunque aquí nos limitaremos a los cuatro puntos cardinales, norte, sur, este y oeste. Primera fase: Selecciona una de dichas cartas. Como verás, en las siguientes figuras se representan las rosas de los vientos en diferentes colores, azul y amarillo, y con las 16 cartas repartidas en los diferentes cuadrantes, cuatro de ellas apuntando al norte, cuatro al este, cuatro al sur y las otras cuatro al oeste. Busca la carta elegida en cada figura y anota el cuadrante en que se encuentra dicha carta. Ya puedo saber qué carta has elegido: se trata de la única carta que aparece repetida en los cuadrantes seleccionados. Para descubrirla fácilmente, gira cada círculo de modo que el cuadrante que contiene la carta elegida apunte hacia el norte. Por ejemplo, si has elegido la jota de picas (JP), verás que está situada al oeste en el círculo azul y al sur en el círculo amarillo. Si las giras como he indicado, las verás así: Se observa fácilmente que la JP es la única carta repetida entre las que están en el cuadrante superior. Segunda fase: Vamos a complicar un poco el proceso de adivinación de la carta elegida: vas a poder mentir una vez sobre la posición de la carta elegida. Como no será posible con las dos figuras anteriores, esta vez utilizaremos cuatro rosas de los vientos: además de la azul y amarilla, necesitaremos una roja y una verde, como las que aparecen a continuación. El proceso es el mismo de antes, así que debes elegir una carta entre las dieciséis seleccionadas y buscarla en cada uno de los cuatro círculos. A continuación, debes anotar las situaciones geográficas de la carta, pero puedes mentir en una de ellas, en la que quieras. Por ejemplo, supongamos que has apuntado: norte en la carta azul, oeste en la carta amarilla, norte en la carta roja y este en la carta verde. Pues bien, a pesar de la mentira, todavía puedo saber cuál es la carta elegida. En el caso del ejemplo propuesto, la carta elegida es el rey de corazones (KC) y la mentira se ha producido en el círculo azul. La respuesta es similar al caso anterior. Basta colocar los cuatro círculos de modo que todas las orientaciones correspondientes al cuadrante elegido señalen hacia arriba. La carta que aparezca repetida al menos tres veces será la elegida. Además, el círculo en el que no aparezca dicha carta señalando en la misma dirección será en el que se ha mentido. En el ejemplo propuesto, debemos disponer los cuatro círculos así: Se comprueba fácilmente que el rey de corazones (KC) aparece en el cuadrante superior de los círculos amarillo, rojo y verde, pero no en el círculo azul. Si interpretamos el resultado según la teoría de códigos, hemos podido detectar el error (círculo azul) y corregirlo (se trata de la KC y debemos girar ese círculo de modo que el sur señale hacia arriba). OBSERVACIONES FINALES: En la página Fun with RS Codes se ofrece una lista de actividades divertidas utilizando los códigos de Reed-Solomon. El artículo de Ricardo Teixeira titulado «Magical data restoration» y publicado en Math Horizons en febrero de 2017 contiene una nueva versión del juego de adivinación utilizando los códigos de Hamming. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

Lunes, 02 de Noviembre de 2020 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

17. 186. (Octubre 2020) Cubo mágico

[Imagen de John Hendricks extraída de la página www.magic-squares.net]. ¡Han pasado más de 16 (número cuadrado) años desde que nos asomamos a este rincón por primera vez y estamos empezando a redactar el artículo que corresponderá a la entrada 186 (número libre de cuadrados) de la saga! Allá por marzo de 2004 empezaba esta aventura escribiendo sobre el principio de paridad (o principio de los dobleces) aplicado a los cuadrados, figuras que han ido apareciendo regularmente durante este periodo (puedes repasar, por ejemplo, los artículos de agosto de 2004, septiembre de 2004, julio de 2007 y abril de 2008). Nunca hemos profundizado en el estudio de los cuadrados mágicos y tampoco lo haremos en esta ocasión pues no nos parece el lugar adecuado. Ahora bien, si quieres leer algo relacionado con el tema, en el artículo titulado "La magia de los cuadrados mágicos" —que apareció en 2009 en la revista SIGMA— encontrarás alguna información adicional. Esto no quiere decir que vayamos a desperdiciar cualquier ocasión de describir y comentar los juegos de magia que puedan crearse a partir de los cuadrados mágicos, siempre que estén basados en propiedades matemáticas y no solo en sutilezas y técnicas reservadas a la magia, en cuyo caso es aconsejable mantener el secreto con el que conseguir la sorpresa que toda representación de magia lleva emparejada. De hecho, esta vez iremos un poco más lejos: el juego que vamos a presentar está basado en ciertas propiedades mágicas de un cubo. Los cubos mágicos no son tan populares como los cuadrados mágicos, quizá por la dificultad de representarlos gráficamente. Tampoco tienen esa larga tradición que hace tan atractivos a los cuadrados mágicos, pues se dice que aparecen por primera vez en una carta de Pierre de Fermat a Marin Mersenne escrita en 1640, en la que incluía un cubo mágico de dimensiones 4 x 4 x 4 y suma constante igual a 130. Sin embargo, podemos encontrar algunos problemas interesantes y otros que están todavía sin resolver. La propia definición de cubo mágico ya presenta dificultades: lo normal es que sea constante la suma de los números de todas las filas y todas las columnas pero, ¿tiene que ser constante la suma de las diagonales de cada cara así como la de las diagonales que atraviesan el cubo? En la siguiente imagen (que aparece en WolframMathWorld) mostramos un ejemplo de la cantidad de líneas diagonales que se pueden considerar en un cubo. La idea que mostraremos a continuación es mucho más sencilla y el origen del juego más reciente: en 2019 se ha publicado la traducción (del alemán al inglés) del libro titulado "The math behind the magic", escrito por el matemático Ehrhard Behrends, a quien ya citamos en la anterior entrega de este rincón. El libro, como puedes imaginar, conjuga de forma precisa y didáctica distintos juegos de magia matemática y su fundamento teórico. Realiza un recorrido muy variado y completo sobre temas populares, como mezclas de cartas, propiedades de simetría, entretenimientos numéricos, decodificación de mensajes, etc., pero, sobre todo, plantea algunas generalizaciones que no son tan clásicas. Describe, cómo no, el juego del triángulo de colores sobre el que escribimos en la entrega anterior (septiembre de 2020) y extiende a tres dimensiones un juego clásico de predicción en un cuadrado a un resultado análogo sobre un cubo. Lo que sigue es la adaptación del juego que allí aparece y con el que celebramos, como ya hemos apuntado al principio, la edición 186 de este rincón. Observa el cubo de la figura, de tamaño 4 x 4 x 4, de modo que contiene 64 números. Para que puedan verse todos los números, hemos separado el cubo en sus cuatro capas horizontales: Si puedes, imprime la imagen para seguir fácilmente las indicaciones que te daré (si no, trata de seguir las instrucciones sobre la pantalla). Selecciona un número cualquiera entre todos ellos y rodéalo con un círculo (o anótalo en un papel) para no olvidarlo. Además, tacha todos los números que se encuentren en la misma fila y columna de su propia capa así como la fila y la columna correspondientes de las capas restantes. Por ejemplo, si has seleccionado el 48 de la tercera capa, rodearás con un círculo dicho número (o lo anotarás en un papel) y eliminarás del juego los números marcados en la siguiente figura: Selecciona un segundo número en otra de las capas, que no esté todavía tachado. De nuevo, rodéalo con un círculo y tacha todos los números en su misma fila y columna de su capa así como los de la fila y columna correspondientes en las demás capas. Realiza la misma operación dos veces más, de modo que habrás seleccionado de forma completamente libre (o casi) cuatro números, uno por cada capa horizontal del cubo. Por último, calcula la suma de estos cuatro números. ¿Entiendes ahora la insistencia de celebrar la entrada 186 del rincón matemágico? OBSERVACIONES FINALES: En el libro de Ehrhard Behrends encontrarás la explicación del juego y la forma de construir tu propio cubo con cualquier suma prefijada. La idea básica con cuadrados en lugar de cubos se explica en el artículo ya citado "La magia de los cuadrados mágicos" y su historia está descrita en el artículo "How to construct a forcing matrix" de Doug Dyment. En la página Magic Hyper Cube Generator se muestra un código java con el que generar diferentes hipercubos mágicos en varias dimensiones. En el caso de dimensión tres, no siempre es posible encontrar cubos mágicos perfectos (se puede disfrutar en la página de Walter Trump el apasionante desarrollo cronológico de los distintos descubrimientos realizados hasta la actualidad). En el artículo "An algorithm for making magic cubes", Marián Trenkler proporciona fórmulas simples para construir cubos mágicos. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

Jueves, 01 de Octubre de 2020 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

18. 185. (Septiembre 2020) Pascal en Technicolor

[Imagen extraída del artículo Pyramid Mysteries de Ehrhard Behrends.] Comenzábamos el número anterior de nuestro rincón (julio de 2020) destacando que el triángulo de Pascal oculta muchas propiedades que podemos convertir en juegos de magia. Allí desarrollamos dos juegos que aprovechaban las características especiales del triángulo cuando se escriben sus elementos en base nueve o base diez. Terminábamos dicho artículo proponiendo una versión basada en propiedades de la aritmética binaria. Como se puede suponer, es posible diseñar versiones del juego para cualquier sistema de numeración pues las características se mantienen y el secreto es el mismo en todos ellos. El problema es que no resulta natural en un juego de magia pedir la construcción de un triángulo donde los números utilizados no sean mayores que cierta cantidad, salvo que exista una justificación adecuada. En algunos casos, resulta bastante sencillo plantear alguna excusa; por ejemplo, se puede disimular el uso de la aritmética binaria utilizando los colores de las cartas de una baraja, rojo y negro, si establecemos, por ejemplo, la correspondencia “rojo = 0”, “negro = 1”. De este modo, como la tabla de sumar en la aritmética binaria es simplemente 0 + 0 = 1 + 1 = 0 y 0 + 1 = 1 + 0 = 1, podríamos plantear el siguiente juego, para el que necesitarás solamente una baraja (y una mesa despejada). Coloca sobre la mesa, y formando una fila, un conjunto de cartas, con las caras hacia arriba. Supongamos, por ejemplo, que las cartas colocadas son las siguientes: Construye una segunda fila sobre la anterior, siguiendo estas reglas relativas a dos cartas consecutivas: Sobre dos cartas del mismo color, coloca una carta roja (por aquello de que 0 + 0 = 1 + 1 = 0). Sobre dos cartas de distinto color, coloca una carta negra (representando las sumas 1 + 0 = 0 + 1 = 1). Siguiendo nuestro ejemplo, como las dos primeras cartas son de distinto color, sobre ellas se colocaría una carta negra; como la segunda y tercera cartas son del mismo color, sobre ellas se colocaría una carta roja. Al repetir este proceso con todas las parejas de cartas consecutivas, llegaríamos a una segunda fila que tendría esta pinta: Sigue formando filas de cartas sobre las anteriores obedeciendo las mismas reglas anteriores. Al final llegarás a una fila formada por una sola carta, que podrá ser roja o negra. Pues bien, una simple inspección de la primera fila proporciona información suficiente para saber el color de la última carta colocada. Ahora viene la inevitable cuestión: ¿cómo deducir rápidamente cuál será el color de la última carta? La respuesta se basa nuevamente en interpretar el triángulo de Pascal escrito en el sistema binario y realizar la correspondencia que habíamos establecido entre los colores y los números. Hay que tener en cuenta que la operación puede ser más o menos inmediata según el número inicial de cartas. Por esta razón, es conveniente que el número de cartas que se colocan en la primera fila se corresponda a una fila del triángulo de Pascal que sea fácilmente identificable. Veamos los casos más simples a la vista de este triángulo, donde el color rojo corresponde al cero y el color azul al uno: Si el número inicial de cartas es una potencia de dos (2, 4, 8, 16, etc.), la fila correspondiente del triángulo de Pascal sólo contiene unos. Por tanto, el mago debe contar el número de cartas negras (o rojas) que hay en la primera fila formada por el espectador. Si hay un número par, la carta final será roja; si hay un número impar, la carta final será negra. Este es precisamente el caso que hemos puesto como ejemplo, donde colocamos ocho cartas en la primera fila; como cuatro de ellas son negras, la carta que ocupará la última fila será roja. Si el número inicial de cartas es una unidad mayor de una potencia de dos (3, 5, 9, 17, etc.), la fila que le corresponde en el triángulo de Pascal sólo contiene ceros, salvo los dos unos en los extremos. Basta fijarse en los colores de las cartas en los extremos: si son del mismo color, la carta final será roja; si son de distinto color, la carta final será negra. Si el número inicial de cartas es una unidad menor que una potencia de dos (3, 7, 15, 31, etc.), la fila que le corresponde en el triángulo de Pascal contiene unos y ceros de forma alternada. Así pues, el mago debe contar el número de cartas negras que ocupan los lugares impares. Como en el primer caso, si hay un número par, la carta final será roja; si hay un número impar, la carta final será negra. Así pues, un poco de psicología barata ayudaría en las demás situaciones: si el número de cartas que coloca el espectador no corresponde a uno de estos tres casos, el mago podría pedirle que añadiera algunas cartas más para «complicar» la adivinación. En caso necesario, el mago podría incluso completar él mismo las primeras filas como «ejemplo» de lo que pretende que haga el espectador hasta llegar a un número de cartas donde el cálculo sea sencillo. A pesar del innegable interés didáctico del juego, no parece muy mágico intentar adivinar un color entre dos posibles, pues la probabilidad de acertar es del 50%. De hecho, el objetivo principal de esta entrega es el de presentar una versión más divertida y sorprendente: el caso de la aritmética en base tres. La idea básica es similar a la anterior pero, como no hay cartas de tres colores en las barajas (aunque Colm Mulcahy propone usar tres palos de la baraja o bien distinguir entre cartas rojas, negras o de dorso), lo realizaremos con cartulinas de colores. Para ello, sería interesante disponer de un surtido de tarjetas o cartulinas de tres colores. En condiciones normales, bastará con 25 rojas, 25 azules y 25 verdes. Para una versión simiplificada en papel, necesitarás tener a mano tres rotuladores, uno rojo, uno verde y uno azul. En cualquier caso, para comprender el desarrollo del juego, deberás seguir estas indicaciones: Coloca diez de las cartulinas en una fila, con los colores al azar. En esta imagen mostramos un ejemplo (por el momento, los números no son importantes): Sobre esta fila, coloca otra fila de nueve cartulinas, siguiendo estas reglas: Si dos cartulinas consecutivas son del mismo color, coloca sobre ellas otra del mismo color que ambas. Si dos cartulinas consecutivas son de distinto color, coloca sobre ellas una cartulina del color diferente a ambas. Según el ejemplo anterior, las dos primeras filas serían como las de esta imagen (las dos primeras son rojas, de modo que la fila superior empieza en rojo; la segunda es roja y tercera es verde, de modo que sobre ellas irá una azul; la tercera es verde y la cuarta es azul, con lo que sobre ellas irá una roja; y así sucesivamente): Continúa formando filas con las cartulinas de colores siguiendo las mismas reglas establecidas en el punto anterior hasta llegar a una fila con una sola cartulina. Siguiendo con el ejemplo, el triángulo completo sería el que termina en una cartulina verde como se ilustra a continuación: Sí, has adivinado: una vez colocada la primera fila de cartulinas, puedo saber el color de la cartulina que ocupará el vértice superior del triángulo. La solución es sorprendentemente simple: basta aplicar las reglas anteriores a la primera y última cartulinas de la primera fila. En el ejemplo con el que hemos ilustrado el proceso, como estos colores son rojo y azul, la cartulina que ocupará la última fila deberá ser verde. Por cierto, ¿te has percatado de que las mismas reglas se aplican a los triángulos sombreados que tienen cuatro cartulinas en cada lado? ¿Y que esas mismas propiedades se mantienen al girar 120 grados cualquiera de esos triángulos? Te habrás preguntado también qué interpretación tienen los números asociados a cada color. La respuesta es que las dos reglas de formación del triángulo a partir de los colores corresponden a unas operaciones aritméticas con sus números. Estas operaciones pueden sintetizarse en la siguiente tabla (mostramos las dos versiones, la de colores y la de números): A R V A A V R R V R A V R A V 0 1 2 0 0 2 1 1 2 1 0 2 1 0 2 Como se puede comprobar, no se trata de la suma habitual, ni siquiera en base tres, pero sí conserva las propiedades algebraicas básicas: es conmutativa y asociativa. Esto significa que este juego ya no está basado en el triángulo de Pascal y hay que buscar la solución mediante otros argumentos. Es posible que estas pistas te sugieran la justificación del funcionamiento del juego. Por si acaso, en este enlace propongo mi versión, que no requiere conocimientos matemáticos. OBSERVACIONES FINALES: Los dos juegos que hemos descrito tienen un gran recorrido histórico que me gustaría compartir. Sobre el triángulo de Pascal binario, hace unos años recibí un mensaje de Ricardo Ramírez, músico y seguidor de este rincón. En su comunicación describía este juego sugerido por un problema que le propuso su profesor de Análisis Matemático, el recordado Miguel de Guzmán, precisamente el problema que planteábamos en este rincón al final de la entrega 58 de febrero de 2009. Copio y pego el último párrafo de aquel artículo: Por último, un problema: Escribe una sucesión de ceros y unos. Debajo de cada par consecutivo escribe un cero si los dos números son iguales, y un uno si son distintos. Repite el proceso hasta que te quede un único dígito en la sucesión. ¿Puedes predecir cuál va a ser el dígito final? Si conoces la respuesta, puedes realizar un juego de magia simulando los unos con cartas cara arriba y los ceros con cartas cara abajo (o viceversa). Pues bien, al proceso eliminatorio que parte de una fila de cartas, rojas y negras, y construye sucesivamente filas de cartas hasta llegar a una fila con una sola carta a partir de las reglas ya explicadas en el juego, Ricardo dio el nombre de «cuenta Stendhal» (nombre sugerido por el famoso título "Rojo y negro" de la novela de Stendhal y supongo que también por la belleza y sorpresa final del proceso asociadas al famoso síndrome). Él había estudiado y deducido el resultado final de la cuenta para cualquier cantidad inicial de cartas (hasta 52), incluso diseñó una completa y elaborada rutina con varios juegos de cartas en los que se utilizaba esta y otras cuentas con cartas. Comparto su opinión de que estas ideas pueden ser muy apropiadas para ayudar en la comprensión y motivar el estudio de los números combinatorios y sus aplicaciones. La historia detrás del juego de los tres colores también es interesante y productiva (puedes encontrar los detalles en el artículo del 13 de mayo de 2013 del blog Wordplay escrito por Gary Antonick y titulado Triangle Mysteries). Descubrimos que el inventor del juego es Steve Humble -más conocido por su pseudónimo DrMaths-, profesor en el Departamento de Educación de la Universidad de Newcastle y prolífico autor de material didáctico para la educación primaria. Tras compartir el juego con Ehrhard Behrends, profesor en el Departamento de Matemáticas e Informática de la Universidad Libre de Berlín y autor de un interesante libro de magia y matemáticas, ambos publicaron los resultados y sus generalizaciones en el volumen 35 (año 2013) de la revista The Mathematical Intelligencer. Allí aparece la siguiente foto en la que se ve a Steve Humble supervisando el juego ante un grupo de escolares: Posteriormente, Yutaka Nishiyama, profesor de matemáticas en la Universidad de Economía de Osaka, trató el mismo juego en el artículo The three-color triangle problem (en el que se cuela una errata al considerar que operación correspondiente a las reglas de formación de los colores tiene estructura de grupo abeliano). En su artículo relaciona el problema y su solución con el triángulo de Sierpinski, estructura fractal que aparece en la representación binaria del triángulo de Pascal. En este enlace de Youtube, Nishiyama publica una versión animada del proceso. Es fácil encontrar en internet otras adaptaciones y estudios sobre este interesante juego. Muchas preguntas surgen al querer comprender en profundidad el fundamento del juego de los colores. Me limitaré a plantear tres de ellas: ¿Qué pasa si modificamos las reglas de formación del triángulo de colores? Lo más natural -matemáticamente hablando- sería que, al simbolizar cada color con un número, digamos como antes 0 = azul, 1 = rojo, 2 = verde, aplicáramos la aritmética usual, es decir, azul + azul = azul, rojo + rojo = verde, verde + verde = rojo, azul + rojo = rojo, azul + verde = verde, rojo + verde = azul. Esta situación corresponde precisamente al comportamiento del triángulo de Pascal en base tres, de modo que el número de filas necesarias para que las cartulinas de los extremos sean las únicas que proporcionan la solución será la que contenga todo ceros (salvo los dos unos de los extremos). Observando la imagen adjunta, llegamos a la misma conclusión: si se empieza con una fila formada por 3n + 1 cartulinas, la suma de los valores correspondientes a los colores de las esquinas da como resultado el valor correspondiente al color de la última cartulina colocada. ¿Qué podemos decir si utilizamos cartulinas de cuatro colores y aplicamos alguna regla adecuada? Dejo la cuestión en el aire. ¿Se pueden obtener propiedades similares para juegos en más dimensiones? Pues sí, el propio Ehrhard Behrends se permitió el lujo de proporcionar nuevas versiones de este juego en espacios de tres o más dimensiones. En lugar de empezar con filas de colores, se puede empezar con cuadrados o triángulos y construir pirámides con reglas similares a las utilizadas en el plano de modo que el color de la cúspide de la pirámide se puede deducir solamente a partir de algunos colores de la base. Los detalles de su trabajo están publicados bajo el título “Pyramid Mysteries” en la revista Mathematical Intelligencer, volumen 36, número 3 (2014), artículo en el que aparece la imagen que encabeza este artículo. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

Jueves, 03 de Septiembre de 2020 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

19. 183. (Junio 2020) Para los restos

Pulsa en la imagen para ir al juego.

Lunes, 01 de Junio de 2020 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

20. 182. (Mayo 2020) Primos impares

En el episodio anterior de la saga "Rincón matemágico" citábamos la revista «The Trapdoor», editada por Steve Beam, observando que una versión del juego Optograma apareció en las primeras páginas del primer volumen de la colección. Pues bien, otra versión del mismo juego apareció al cabo de 15 años y 1500 páginas después ya que ocupó las últimas páginas del último volumen de la misma colección. Cinco años antes de publicar el último volumen de su revista, Steve Beam (el personaje de la foto) inició una nueva aventura: en 1993 apareció el libro "Semi-automatic card tricks", tomo 1 (aunque en ese momento no llevaba el subíndice ¿por modestia o porque no pensaba que llegarían las secuelas?) de una colección que va por su undécimo volumen, que acumula alrededor de 3000 páginas y 1000 juegos de cartas, catalogados como "semi-automáticos". Ahora bien, ¿qué significa este apelativo? Si un juego automático es el que "sale solo", prácticamente sin intervención del mago (lo que conduce a sospechar que está basado en propiedades matemáticas), después de recorrer las páginas de los libros de esta colección, descubrimos que los "juegos semi-automáticos" requieren una estrecha conjunción entre ciertas habilidades del mago -no demasiado técnicas pero tampoco exento de ellas- y algunas propiedades -ya sean numéricas, de ordenación previa o de otro tipo- con las que conseguir efectos mágicos insospechados. No es de extrañar que abunden juegos probabilísticos que permitan realizar apuestas ventajosas para el mago, o basados en propiedades topológicas de las cartas. Por esta misma razón, no es fácil encontrar juegos que puedan describirse en este rincón: el paso de automático a semi-automático consiste en que el mago debe realizar ciertas manipulaciones -técnicas o psicológicas- con las que disimular las propiedades matemáticas de estos efectos, y no es el objetivo de este rincón el desvelar estas técnicas. Hemos seleccionado dos de ellos, uno para mostrar el tono desenfadado y divertido que caracteriza toda la obra (aunque en realidad apareció en la revista ya citada The Trapdoor) y otro para poner de manifiesto esta diferencia entre automático y semi-automático. Aquí va el primero, en versión original y sin traducción: El segundo consiste en una interesante evolución del principio del número primo, que apareció por primera vez como un método de elección forzada de una carta en el juego Lucky 13 de George Sands en la revista «Pallbearers Review» (agosto de 1975). La versión automática apareció en este rincón en octubre de 2010 bajo el título Prime Time. La que publica Steve Beam fue ideada por Lewis Jones y lleva por título Lucky, Lucky, Lucky, como vaticinio de la triple suerte que tendré en este juego de apuestas. En primer lugar, elige un número -digamos entre 5 y 10 para no alargar demasiado el juego (pero puede ser cualquier otro si te empeñas)- que representará en adelante mi número de la suerte (lo que equivale también a tu número de la mala suerte). Reparte sobre la mesa y caras hacia abajo dos grupos de tantas cartas como el número de la suerte. Por ejemplo, si el número elegido es 20, repartirás dos montones de 20 cartas. Elige uno de los montones y retira la carta superior. Ya no la utilizaremos más porque era mi carta de la mala suerte. Coloca el otro montón sobre el elegido, mira la carta superior, recuérdala y vuelve a colocarla en su lugar. Será mi carta de la suerte. Con este paquete de cartas realizaremos las apuestas. Estas son las reglas: Las sucesivas jugadas se realizarán de forma alternada, yo apuesto en la primera jugada, tú en la segunda, yo en la tercera, y así sucesivamente hasta acabar la partida. Cada jugada consiste en girar cara arriba la carta que ocupa la posición indicada por el número de la suerte. Para ello, pasarás una a una, desde arriba hasta abajo del paquete, una cantidad de cartas igual a una unidad menos de dicho número y girarás la carta que haya quedado arriba, dejándola nuevamente arriba. En el ejemplo propuesto al principio, pasarías 19 cartas de arriba abajo (por eso he sugerido que no fuera un número muy grande) y girarías la vigésima carta, dejándola cara arriba en la parte superior. Si esa carta ya estaba cara arriba, pierde el jugador que tiene su turno en ese momento. Pero si es la carta de la suerte, gana la partida. De acuerdo, empezamos. Yo apuesto primero. La primera jugada es fácil porque todavía no hay ninguna carta cara arriba. Pasa una a una, mientras las vas contando, cartas de arriba abajo del paquete. Cuando llegues al número de la suerte mira si la carta superior está cara arriba. ¿No? Pues gírala cara arriba. Aún no he perdido. ¿No es la carta de la suerte? Pues aún no he ganado. Repite la operación pero ahora apuestas tú. Si la carta correspondiente al número de la suerte estaba cara arriba, has perdido. Si no, la giras cara arriba. Si es la carta de la suerte, has ganado. Realiza por mí el resto de apuestas, alternando los turnos de cada jugador. Si no me equivoco, terminaré ganando yo. De hecho, en todas rondas, salvo la última, la carta correspondiente al número de la suerte estará cara abajo y nunca será la carta de la suerte. Observaciones: Por analogía, llamaremos principio del número impar al causante de este efecto, principio que está basado en ciertas propiedades de aritmética de congruencias. Si el original necesitaba un número primo de cartas, esta versión funciona con un número impar de cartas ... y con alguna sutileza adicional que seguro eres capaz de descubrir siguiendo con atención los pasos descritos. Conociendo el resultado, no es arriesgado para el mago proponer algún tipo de apuesta más creativa. Por ejemplo, permitir que el espectador apueste la misma cantidad en cada una de sus jugadas y ofrecer doblar tu apuesta en cada jugada, a pesar de que, al ir avanzando el juego, habrá más cartas cara arriba y, en consecuencia, disminuirá la probabilidad de ganar. Por cierto, la propiedad aritmética en la que se basa el juego permite realizar una versión más general que la propuesta aquí. El número de la suerte puede ser cualquiera, con tal de ser menor que el número de cartas del paquete que se utilice. La única diferencia es que la partida puede terminar un poco antes, pero siempre a favor del mago. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

Martes, 05 de Mayo de 2020 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico