91. 18. (Octubre 2020) Los rectángulos de Mark Rothko

1. Mark Rothko, expresionista abstracto Mark Rothko (2017). Olesya Alexandrovna Denisova El pintor y grabador Marcus Rothkowitz (1903 – 1970), conocido como Mark Rothko, nació en Letonia y vivió en los Estados Unidos. Perteneciente al minimalismo y al expresionismo abstracto, incluyó «manchas» rectangulares en muchas de sus obras de gran formato. Sin temor a equivocarnos podríamos decir que con Rothko el rectángulo es elevado a la categoría de objeto artístico. En lo que sigue ofrecemos una selección del extenso catálogo de sus pinturas rectangulares. 2. Rectángulos artísticos Magenta, Black, Green on Orange (1949) Violet, Black, Orange, Yellow on White and Red (1949) Untitled (1952) Yellow over Purple (1956) Orange and Yellow (1956) White, Red on Yellow (1958) Untitled (Blue divided by Blue, 1966) 3. Arte rectangular Las siete obras anteriores, seleccionadas entre las «pinturas rectangulares» del artista letón Mark Rothko, son suficientes para poner de manifiesto la presencia de los cuadriláteros equiángulos en algunas obras de arte. En ellas, las manchas rectangulares (armónicamente dispuestas) crean una atmósfera cromática que introduce al espectador en un mundo abstracto-conceptual con múltiples interpretaciones. Desde una óptica didáctica creemos que este «arte geométrico minimalista» debe introducirse en las aulas de cualquier nivel educativo. De este modo, los alumnos podrán percibir algunos objetos geométricos 2D como unos seres más atractivos que sus parientes confinados en los manuales consagrados a la enseñanza-aprendizaje de las Matemáticas elementales.   Referencias bibliográficas MEAVILLA SEGUÍ, V. (2007). Las matemáticas del arte. Inspiración ma(r)temática. Córdoba: Editorial Almuzara, S. L.

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92. 66. (Octubre 2020) Astrolabios universales de rejilla

(Araña reticulada. Libro de la lámina. Universidad Complutense. Madrid) La taifa de Toledo fue en el siglo XI un importante centro de actividad matemática. El Libro de las categorías de las naciones del cadí Sa´id al-Andalusí ha dado buena cuenta de ello. Entre los muros de la ciudad se desarrollaron tres instrumentos que simplificaban el astrolabio plano evitando una lámina por cada latitud: la lámina [univeral] de Ali ben Jalaf y los dos tipos de azafea de Azarquiel. Ambas basadas en el cambio del centro y el plano de la proyección estereográfica. En el astrolabio plano (llano le llaman los libros alfonsíes) el centro de proyección es el polo sur mientras que en la lámina y las azafeas es el punto vernal (punto de la eclíptica en el equinoccio de marzo). El plano de proyección pasa a ser el coluro de los solsticios. El cambio de proyección permite un uso universal reduciendo el astrolabio a una sola lámina que queda grabada en la misma madre. La lámina de Jalaf mantiene una red singular: una retícula semicircular y reserva el otro semicírculo como localizador de estrellas. Las azafeas eliminan la red y solo mantienen regletas móviles. Se ha planteado que el tipo de proyección podía haber sido desarrollada por el astrónomo oriental al-Biruní (973-1048) pero no hay certeza y menos que tuviera lugar la transmisión. El uso de una red reticular es muy útil pero hay muy pocas muestras conservadas, quizá por su fragilidad, dificultad constructiva y de lectura. Dado su interés haremos un recorrido por esas láminas universales reticuladas que aparecen por primera vez en Toledo. La lámina de Ali ben Jalaf El descripción detallada que nos ha llegado es El libro de la lámina, que forma parte de los Libros del saber de astronomía alfonsíes, entre el Libro del astrolabio llano y el Libro de la azafea. A diferencia de los demás libros, del de la lámina no existe original árabe, lo que hace el judío redactor Rabiçag es una reconstrucción. En la introducción se atribuye a Jalaf la autoría de la proyección. La realidad parece diferente. La azafea es anterior (sobre el 950) mientras que Jalaf regala el astrolabio al-mamuní al emir (al-Mamun) sobre el año 970. Tenemos constancia, pues, de que la lamina universal fue construida pero ha sufrido la misma suerte que todas las azafeas que salieron de la mano de Azarquiel: no se ha conservado ninguna. (Madre. Libro de la lámina. Universidad Complutense. Madrid) Existen varias copias de los libros alfonsíes, quizá el más bello y antiguo es el de la Universidad Complutense. El de la Biblioteca Nacional reproduce el contenido y las figuras con menos calidad. (Detalle de la retícula. Libro de la lámina. Biblioteca Nacional. Madrid) Una singularidad que no presenta la retícula de los otros astrolabios es que el semicírculo reproduce completos los meridianos y la mitad de los paralelos (o almicantaretes). En los tres conservados de los que vamos a hablar se hace al revés. Astrolabio universal de al-Sarraj El astrolabio conservado más antiguo con rejilla es el fabricado por al-Sarraj (1328): la hermosa araña muestra un semicírculo “enrejado” y el otro con la posición de las estrellas más localizables. Se sabe que al-Sarraj trabajó en Alepo en el siglo XIV y se conserva parte de su obra matemática. Además, el astrolabio tiene grabados los nombres de algunos de sus anteriores propietarios. Probablemente la adquisición de Museo Benaki de Atenas se realizó en El Cairo. El singular y bellísimo astrolabio es un objeto de culto hasta el punto que se comercializan caras reproducciones y que se haya incluido en una esfera de reloj. El astrolabio se exhibió en Sevilla (2006) en la exposición dedicada a Ibn Jaldún. La fina retícula forma una red de 15 x 15 en cada cuadrante (cada 6º). La finura de los arcos de latón hace su lectura muy cómoda. (Faz del astrolabio universal de al-Sarraj . Museo Benaki. Atenas) El astrolabio de al-Sarraj es el único arábigo. Se desconoce si se inspiró en Jalaf o si tuvo noticias de su predecesor. Astrolabio universal de Petrus ab Aggere La Universidad de Lovaina fue durante el siglo XVI un centro destacado en astronomía y geografía. Gemma Frisius (1508-1555) fue la figura impulsora del florecimiento matemático de Flandes. Frisius reinventa el astrolabio universal en   De astrolabio catholico (1556), con un diseño similar al de Azarqiel. Católico significa universal, sin resonancias religiosas. El libro se dedica a Felipe II, soberano de los Países Bajos desde el año anterior. Se puede hablar de una Escuela de Lovaina a la que pertenecerían Gerad Mercator,  Petrus ab Aggere, Hugo Helt, Juan de Rojas y el instrumentista Gualterus Arsenius. Rojas ha dado nombre a una proyección con mucho éxito que sustituyó la estereográfica por la ortogonal sobre el plano meridiano. Es probable que la autoría sea la de Hugo Helt. Tanto Helt como Aggere trabajaron en España. Quizá Aggere tuvo en sus manos alguna copia de los libros alfonsíes. (Astrolabio universal de Aggere. MNCYT. Alcobendas) El Museo Nacional de Ciencia y Tecnología conserva en su sede de Alcobendas (Madrid) un astrolabio universal de rejilla de buena factura. La retícula es de 18 x 9 (cada 5º para los paralelos y 10º para los meridianos). El astrolabio pertenecería a la colección del Instituto San Isidro, heredero del Colegio Imperial. El Museo del Observatorio Adler de Chicago conserva un cuadrante similar que también se atribuye Aggere. La cuadrícula es similar pero con retícula 30 x 18 (cada 3º para los paralelos y 5º para los meridianos). (Cuadrante universal de Aggere. Planetario Adler. Chicago) La construcción de los instrumentos se estima entre 1560 y 1580. Astrolabio universal de Charles Whitwell Charles Whitwell (1568 – 1611) fue un instrumentista inglés asentado en Italia que fabricó para Fernando II de Médici el astrolabio universal que se encuentra en el Museo Galileo de Florencia. La fecha de fabricación es 1595. Whitwell había aprendido en los talleres de Augustine Ryther en Londres. La retícula es de 30 x 6 por cuadrante, 3º entre paralelos y 15º (una hora) entre meridianos). Tras el periodo de esplendor de la segunda mitad del XVI se inicia el declive del astrolabio en Occidente sustituido por nuevos instrumentos. En el mundo islámico pervivirá. (Astrolabio universal de Whitwell . Museo Galileo. Florencia) Un astrolabio escolar El astrolabio de retícula ha sido una rareza en el pasado, su historia ha sido muy corta. La dificultad y fragilidad de la araña anulaba sus ventajas. En cambio hoy puede tener nueva vida. La red puede sustituirse con ventaja por un acetato (una transparencia) imprimible. El astrolabio con retícula explica muy bien la distinta duración de los días según las estaciones y las diferentes elevaciones del sol. Reproducimos un diseño inspirado en el reloj universal del libro de navegación de Rodrigo Zamorano (Compendio de la arte de navegar. Sevilla, 1581). La proyección es ortográfica, tipo Rojas: los paralelos (y almicantaretes) son rectas y los meridianos elipses. Con los actuales programas de diseño gráfico su construcción es inmediata. La retícula ayuda la lectura de forma que su uso en la enseñanza puede ser más que una curiosidad para los talleres de astronomía. Lo que realmente hace el astrolabio (o reloj universal) es un cambio mecánico de coordenadas ecuatoriales a horizontales: se pasa de ángulo horario y declinación solar a acimut y elevación. (Astrolabio universal de uso escolar . Recreación del Reloj de Rodrigo Zamorano)

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93. 16. (Septiembre 2020) Dick Termes: su obra artística al margen de las esferas

En otro artículoi hemos prestado atención a las pinturas acrílicas de Dick Termes sobre lienzos esféricos. Dick Termes con una de sus TERMESferas En esta ocasión presentamos una colección de obras del artista estadounidense realizadas sobre otro tipo de soportes y relacionadas con objetos matemáticos. 1.  TERMESpoliedros 1.1. Rombododecaedro El rombododecaedro es uno de los trece sólidos de Catalan cuyas doce caras son rombos congruentes. Tiene veinticuatro aristas y catorce vértices. Es el poliedro conjugado del cuboctaedroii. Rombododecaedro Cuboctaedro Rombododecaedro y cuboctaedro conjugados La escena de Flat Sphere está construida sobre un rombododecaedro Flat Sphere (1988) 1.2. Dodecaedro En esta obra, Termes se sirve de una perspectiva con seis puntos de fuga situados en los puntos medios de algunas aristas del dodecaedro. En los árboles se adivinan varios rostros humanos. Dodecperspective (1989) 1.3. Icosaedro Como en la pintura anterior, el artista afincado en Dakota del Sur utiliza una perspectiva con seis puntos de fuga ubicados en los puntos medios de ciertas aristas de un icosaedro Icosa Painting (1991) 1.4. Pirámides En las dos obras siguientes, Dick Termes se sirve de las pirámides. En la primera, Cluster of Tetra Homes presenta una cadena de tetraedros, cada uno de los cuales representa una habitación. Cuando dichos poliedros se acoplan (cara con cara), el objeto resultante sigue siendo una habitación cada vez más grande. En la segunda, Lakota Headmen, dos pirámides hexagonales, unidas por sus bases, recrean un «tipi» en cuyo interior están reunidos los jefes del pueblo Lakotaiii. Cluster of Tetra Homes (1996) Lakota Headmen (1999) 2. Semiesferas Concavex Room (2019) Además de sus famosas termesferas, el artista norteamericano también representa sus pinturas en  soportes semiesféricos Así, por ejemplo, en su Concavex Room, utiliza las superficies cóncava y convexa de media esfera para mostrar una habitación completa. En otras palabras, una mitad de la habitación se ve desde el interior y la otra mitad desde el exterior. En ocasiones, cuando miras la semiesfera, es difícil saber si lo que ves es la parte cóncava o la convexa. 3. TERMESdibujos Además de sus pinturas tridimensionales, el artista afincado en Spearfish (Dakota del Sur) tiene un surtido catálogo de dibujos 2D. Veamos algunos de ellos. 3.1. Figuras imposibles Los dibujos anteriores pertenecen a la misma categoría de figuras imposibles que el famoso y popular elefante del psicólogo californiano Roger Shepard (1929). 3.2. Laberintos con rostro Dentro del fascinante mundo de los laberintos[iv], los más simples son los llamados univiarios. En ellos, una vez que se cruza la puerta de entrada, es preciso recorrer todo el circuito para llegar al centro. En otras palabras: en este tipo de dédalos no se ofrece la posibilidad de tomar caminos alternativos, no hay encrucijadas, y la puerta por la que se sale es la misma por la que se entra. En consecuencia, en estos recorridos es imposible perderse. En los dos dibujos siguientes, Dick Termes nos ofrece un par de laberintos univiarios con rostro. 3.3. Bocetos para termesferas Los dibujos precedentes son dos ejemplos de bocetos 2D para creaciones tridimensionales. 4. Inspiración matemática Este artículo que acaba de concluir, junto con el que dedicamos a las termesferas, ofrece suficientes ejemplos para concluir que el pintor Dick Termes recurre a las Matemáticas para estructurar algunas de sus obras. Esta inspiración ma(r)temática, presente en las producciones artísticas de muchos creadores, justifica, a nuestro modesto entender, la inclusión del arte-matemático (Arte para matemáticos) y de la matemática-artística (Matemática para artistas) en los planes de estudio de los artistas y matemáticos.   Referencias bibliográficas LUCAS, E. (1891). Récréations Mathématiques (Segunda edición, cuatro tomos). Paris: Gauthier-Villars et Fils, Imprimeurs-Libraires MEAVILLA SEGUÍ, V. (2007). Las matemáticas del arte. Inspiración ma(r)temática. Córdoba: Editorial Almuzara, S. L.   Referencias online https://culturacientifica.com/2014/02/26/el-rombododecaedro-estrellado-arte-abejas-y-puzzles-primera-parte/   NOTAS i Las TERMESferas: pinturas singulares sobre lienzos esféricos, publicado en Divulgamat ii Poliedro arquimediano con ocho caras triangulares y seis cuadradas. Tiene doce vértices y veinticuatro aristas. iii Los lakota son un pueblo perteneciente a la tribu sioux. Vivían en las márgenes del norte del río Misuri. iv El lector interesado puede consultar la tercera recreación (Le Jeu des labyrinthes) del primer tomo de las Récréations Mathématiques (1891) de Édouard Lucas.

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94. 17. (Septiembre 2020) Las TERMESferas: pinturas singulares sobre lienzos esféricos

Conocí la obra de Dick Termes cuando, allá por el 2006, estaba ocupado en la redacción de un libro sobre las Matemáticas del Artei. Recuerdo que me llamó mucho la atención el soporte sobre el que el artista norteamericano pintaba sus acrílicos: la esfera. De ahí que las creaciones de Termes son conocidas universalmente con el nombre de Termespheres. En las líneas que siguen ofrecemos una muestra de su producción esférica y algunos comentarios relativos a su contenido. 1. ¿Qué son las termesferas? Dick Termes en su Termesphere Gallery de Spearfish (Dakota del Sur) Para entender el concepto de termesfera nada mejor que recurrir a algunas explicaciones y comentarios de su autor: Imagina que estás de pie en el interior de una esfera transparente suspendida a cincuenta pies de altura sobre el suelo del Gran Cañón. Tú estás más arriba que algunas paredes del cañón y más abajo que otras. Tienes pintura y un pincel, y empiezas a pintar lo que ves en la superficie interior de la esfera. Pintas la cara norte, después la este, la sur y la oeste. Finalmente, pintas todo lo que ves encima y debajo de ti. Pones la esfera en lugar seguro, sales de ella y observas lo que has pintado. Entra en una esfera transparente. Con la cabeza en el centro copia en la superficie   interior todo lo que veas fuera de ella. Cuando lo hayas copiado todo, sal de la esfera y mira lo que has pintado. Lo que ves cuando miras una Termesfera es una ilusión óptica. Para ilustrar la información precedente presentamos dos fotografías del Panteón de Agripa (Roma) y sus «imágenes asociadas» en The Pantheon (1998), una de las termesferas favoritas de Dick. 2. Galería de imágenes comentadas 2.1. Relación platónica Platonic Relationship (1993) En la web oficial de D. Termes leemos: Esta esfera estudia las relaciones entre los cinco poliedros regulares. A veces son los vértices, otras las aristas y, en ocasiones, las caras las que se relacionan unas con otras. Tomé los triángulos del octaedro, tetraedro e icosaedro y los convertí en una forma toroidal. Los pentágonos del dodecaedro y los cuadrados del cubo también se convirtieron en formas toroidales. Cuanto más pequeño era el número de lados más grueso hice el toro. Cada poliedro fue identificado con  un color diferente para que se pudiera ver cuando la esfera giraii. Se entrelazan entre sí por dentro y por fuera de modo que todos tienen la oportunidad de estar al frente parte del tiempo. A partir del párrafo anterior somos incapaces de decidir cuál es la «relación platónica» que da nombre a la termesfera.  Quizás, el artista afincado en Dakota del Sur se refiere a la relación de conjugacióniii que liga el cubo con el octaedro, el dodecaedro con el icosaedro y el tetraedro consigo mismo. 2.2. Esfera angélica Order of the Angels (2000) En esta termesfera las cabezas de los ángeles están en los vértices de un icosidodecaedro (dodecaedro truncado). Este poliedro arquimediano tiene veinte caras triangulares, doce caras pentagonales, treinta vértices y sesenta aristas. Icosidodecaedro 2.3. Sinfonía de rombos Which Way (2003) El «universo» recreado en esta obra es el esqueletoiv de un triacontaedro rómbicov. Triacontaedro rómbico 2.4. Cubos, cuadrados y espirales Square Dance (2018) Sea ABCD un cuadro. Si sobre sus lados se eligen cuatro puntos A´, B´, C´ y  D´ tales que AA´= BB´= CC´ = DD´ = k, entonces el cuadrilátero A´B´C´D´ también es un cuadrado. Si sobre los lados de A´B´C´D´ se eligen cuatro puntos A´´, B´´, C´´ y  D´´ tales que A´A´´ = B´B´´ = C´C´´ = D´D´´ = k, entonces el cuadrilátero A´´B´´C´´D´´ también es un cuadrado. Si se repite este mismo procedimiento ocho veces más se obtiene una figura (véase el dibujo siguiente) en la que aparecen cuatro poligonales formadas por segmentos rectilíneos de la misma longitud cuyos extremos son los vértices del cuadrado original y los vértices del cuadrado más pequeño. Resulta claro que cuanto menor sea k dichas poligonales se aproximan más a espirales. Vicente Meavilla. Triangles and squares (2020) Pues bien, si en las seis caras de un cubo se aplica la misma técnica, entonces se generan veinticuatro «espirales». Estas curvas son las que representa Dick Termes en su Square Dance. 2.5. Pitagorismo y puntillismo Pitágoras (s. VI a. C.) y sus discípulos, los pitagóricos, utilizaron como señal de identificación el pentágono regular estrellado, llamado «pentalfa», obtenido al trazar todas las diagonales de un pentágono regular. Dichas diagonales se cortan en cinco puntos que determinan otro pentágono regular a partir del cual se genera una nueva estrella de cinco puntas. Este proceso se puede prolongar ad infinitum. Estas sucesiones de pentágonos regulares estrellados son las protagonistas de la siguiente termesfera. Seurat’s Stars (2018) Si a las consideraciones precedentes añadimos que, en esta ocasión, Termes utiliza la técnica del puntillismovi para pintar su esfera, no debe extrañarnos el título de esta obra tridimensional. 3. Esferas, geometría, y reflexiones de carácter En las líneas precedentes hemos prestado atención a algunas obras de contenido geométrico creadas por el artista norteamericano Dick Termes. Dichos acrílicos, pintados sobre esferas, nos han permitido conectar el Arte con diversos objetos de la geometría 2D y 3D (pentágonos regulares estrellados, espirales poligonales, poliedros conjugados, poliedros arquimedianos, sólidos de Catalan). Esta conexión, nos anima a proponer que en la formación académica de los artistas se debería incluir alguna asignatura en la que se estudiasen (desde una óptica puramente descriptiva) algunos tópicos matemáticos. Por otro lado, no sería desdeñable que en la formación de los futuros docentes se incluyesen algunos contenidos transversales que mostrasen la presencia de ciertos  objetos matemáticos en las obras artísticas.   Referencias bibliográficas GARCÍA FERNÁNDEZ, L. (1981). Poliedros regulares y arquimedianos. Sociedad Canaria de Profesores de Matemáticas. MEAVILLA SEGUÍ, V. (2007). Las matemáticas del arte. Inspiración ma(r)temática. Córdoba: Editorial Almuzara, S. L.   Referencias online Dick Termes (web oficial) https://termespheres.com/   AGRADECIMIENTO Agradecemos a nuestro buen amigo y colega Alfinio Flores (profesor jubilado de la University of Delaware) su ayuda a la hora de traducir los textos originales.   NOTAS i En aquella ocasion, Dick nos facilitó un CD y dos diapositivas con muchas fotografías de sus termesferas. Al mismo tiempo, nos remitió información sobre su Galería en Spearfish (Dakota del Sur). ii En un video que acompaña  a la información de la web oficial se declara que el color rojo corresponde al icosaedro, el verde, al tetraedro y el amarillo, al dodecaedro. Sin embargo, debido a deficiencias en el sonido, no hemos podido descubrir los colores que corresponden al octaedro y al cubo. iii Dos poliedros regulares se llaman conjugados cuando los vértices de uno de ellos coinciden con los centros de las caras del otro. El tetraedro regular es conjugado de sí mismo. El cubo y el octaedro regular son conjugados. El dodecaedro regular y el icosaedro regular son conjugados. iv Estructura formada por las aristas de un poliedro. v El triacontaedro rómbico es un sólido de Catalan cuyas treinta caras son rombos congruentes. Tiene sesenta aristas y treinta y dos vértices. Es el poliedro conjugado del icosidodecaedro. vi Técnica pictórica creada por el impresionista francés Georges-Pierre Seurat (1859 – 1891).

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95. 15. (Septiembre 2020) Cuadrados, círculos y semicírculos en la obra de Frank Stella

1. Frank Stella: octogenario, norteamericano y minimalista Frank Stella (1936). Fotografía de Elena Cué El pintor, escultor y grabador norteamericano Frank Stella, de ascendencia italiana, nació el 12 de mayo de 1936 en Massachusetts. Titulado en Historia por la Universidad de Princenton, pertenece al movimiento minimalista y expresionista abstracto. En la composición de muchas de sus obras pictóricas Stella se sirve de cuadrados concéntricos, círculos y semicírculos. A ellas dedicamos este trabajo. 2. Cuadradosi Fez (1964) Rabat (1964) Gray Scramble Double Square (1964) Block-House of Flowers (1967)ii Wlid (1967) Gray Scramble (1968-69) 3. Círculos y semicírculos Untitled (1965) Harram II (1967) Firuzabad (1970) Firuzabad (variation), 1970 4. Geometría y Arte En las líneas precedentes hemos presentado diez obras del artista norteamericano Frank Stella que son un buen ejemplo, eso creemos, de la presencia de las figuras geométricas en el arte. En ellas también se muestra el potencial de los objetos geométricos 2D para generar auténticas obras de arte. Desde aquí animamos a nuestros colegas, los profesores de Matemáticas, a que (de vez en cuando) muestren a sus alumnos creaciones de este tipo para que puedan apreciar la influencia de la Geometría en el Arte y la existencia de unas «Matemáticas bellas».   NOTAS i En las obras cuadradas que ofrecemos, Stella crea ilusiones ópticas dignas de tenerse en cuenta. ii En esta obra los dos cuadrados contienen sendas espirales generadas por cuadrados concéntricos.

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96. 109. (Septiembre 2020) Música y entropía - III

1. Introducción En la primera entrega de esta serie [Góm20b] estudiamos la relación entre la entropía y la música de una manera general. En la segunda entrega [Góm20a] repasamos los modelos de Markov (ya vistos también en otras entregas([Góm16b], [Góm16a]). En este tercera entrega vamos examinar a fondo el tratamiento que hacen de la entropía los autores Gerardo Febres y Klaus Jaffe en su artículo del año 2017 Music viewed by its entropy content: A novel window for comparative analysis [FJ17]. En su trabajo, los autores estudian cómo aplicar la entropía a la caracterización del estilo musical de una manera más completa y significativa que en estudios previos. El artículo empieza con una larga introducción donde, con erudición pero sin pesadez, revisan a fondo el estado del arte en el problema del estudio de la entropía en música. Evidentemente, empiezan mencionando a Meyer [Mey56] con su teoría de las expectativas y los grandes continuadores de sus ideas (como Huron [Hur06]). Identifican la entropía como una medida de regularidades estadísticas y como tal, cuando se aplica al fenómeno musical, permite extraer características musicales en base a dichas regularidades. Febres y Jaffe evalúan los principales esfuerzos de investigación en este sentido. Examinan, por ejemplo, los métodos basados en cadenas de Markov y apuntan a Mavromatis como uno de sus practicantes más notables [Mav05] (como vimos el mes pasado). Como método alternativo a las cadenas de Markov, los autores mencionan a Rohrmeier [Roh11], quien propone un método basado en reglas gramaticales inspirado en las teorías generativas de Lerdahl y Jackendorf [LJ83]. La entropía necesita como base un alfabeto de símbolos. En el caso de la música ese conjunto sería los símbolos que aparecen en la partitura entera. Sin embargo, para calcular medidas de entropía hace falta codificar la música en un alfabeto adecuado. Muchos investigadores han usado la codificación MIDI, que es una opción bastante natural por su versatilidad y por constituir una aproximación aceptable a la música. Ponce de León e Iñesta [PI07] usaron música en formato MIDI que analizaron a través de la entropía; su análisis incluía varios parámetros musicales tales como altura de las notas, duración de las notas, duración de los silencios, síncopas, entre otros. El corpus que usaron fue de jazz y era polifónico (muchos de los primeros estudios con entropía se limitaban a la música monofónica). Kranenburg y Backer [vKB04] diseñaron un procedimiento para reconocer el estilo a través de la entropía, pero, aunque prometedor, no alcanzaron a construir un sistema que reconociese estilos de manera fiable. Metodológicamente, la mayor parte de los trabajos han usado cadenas de Markov, como el mencionado de Mavromatis. Una excepción notable a esta tendencia es el trabajo de Cox [Cox10], que usa redes neuronales. En un futuro artículo de esta sección, abordaremos las redes neuronales y su aplicación a la música. Por el momento, nos conformaremos con describir el trabajo de Cox desde un punto de vista general. Respecto a la entropía y el significado musical, Cox escribe lo siguiente (nuestra traducción): Sin embargo, las fronteras estructurales son solo una parte del significado musical. Si el significado musical está relacionado con la tensión subjetiva que surge de la incertidumbre —esto es, de la entropía— , entonces debería ser posible correlacionar medidas instantáneas de la entropía (“perfiles de entropía”) con las respuestas afectivas a la música en el momento. Por ejemplo, una cadencia auténtica es un punto de reposo y, por tanto, debería estar correlacionado con una entropía baja. Un clímax dramático debería estar correlacionado con un valor alto de la entropía (un máximo local) porque representa una cantidad alta de tensión. El mérito de Cox es que usando redes neuronales fue capaz de producir unos perfiles de entropía que le sirvió para estudiar el estilo musical. En la figura 1 se ve un ejemplo de dichos perfiles. En su artículo analizó el cuarteto para cuerda opus 20, número 3 (los perfiles de abajo pertenecen al primer movimiento). En la figura se ven perfiles de entropía para las alturas y el ritmo; el eje x son los compases del movimiento. Figura 1: Perfiles de entropía (figura tomada de [Cox10]) La hipótesis musicológica aquí es que música que pertenece a un estilo concreto debería tener unos perfiles de entropía característicos, los cuales permitiría distinguir entre estilos. Esfuerzos anteriores en este sentido habían generado perfiles que eran demasiado bastos como para tal distinción. El trabajo de Cox representa un paso adelante en ese sentido, pero el trabajo de Febres y Jaffe constituye un paso mayor aun. Ellos usan tres medidas relacionadas con la entropía (diversidad específica, entropía y entropía de segundo orden) para estudiar el estilo musical. 2. Estilo musical y entropía 2.1. Perfiles de entropía Febres y Jaffe aplican la idea de los perfiles de entropía para analizar el estilo musical y en particular para resolver el problema de distinguir entre estilos musicales. Para ello, tomaron una muestra de 450 piezas en formato MIDI y estudiaron el estilo con la entropía. El alfabeto base para su estudio es el propio alfabeto del formato MIDI. La música está caracterizada por varias variables musicales: altura, duración, melodía, armonía, textura, etc. El propósito de un modelo es identificar la estructura (bloques y sintaxis) de la música en base a los valores de las variables musicales. Esa estructura se manifiesta como regularidades estadísticas en las cadenas de símbolos que representan la música. Esas regularidades representan normas estilísticas. La búsqueda de esas regularidades se llama reconocimiento de patrones. En su modelo se busca minimizar la entropía según está definida por Shannon; véanse [Góm20b],  [Góm20a]. De nuevo, este modelo se basa en el modelo de longitud de descripción mínima de Mavromatis [Mav05]. Se extraen del corpus una serie de símbolos que minimizan la entropía (o se acercan al mínimo dentro de un margen). Dicha extracción va acompañada de una distribución de probabilidad. Véamos más en detalle cómo ocurre esto. Empezaremos por considerar el conjunto B de símbolos MIDI que aparecen en un corpus musical (o en una pieza). A continuación, se extrae un conjunto mínimo de símbolos que minimizan lo más posible la entropía de Shannon [Sha10]. Este conjunto recibe el nombre de símbolos fundamentales y D será el número total de dichos símbolos fundamentales. D es la diversidad del lenguaje. De la observación de las piezas del corpus se obtiene la frecuencia de cada símbolo xi, que será una distribución de probabilidad P(xi). Si N es el número total de símbolos de B, se define la diversidad específica como el cociente d La entropía h viene dada por la fórmula h = -P log D(P). En su artículo, los autores comparan un breve texto en inglés con un segmento de un fichero MIDI para ilustrar cómo opera la entropía. Reproducimos aquí dicha comparación; véase la figura 2 (en el fichero de texto ∅ representa el espacio). Figura 2: Perfiles de entropía (figura tomada de [FJ17]) A continuación, Febres y Jaffe crean los llamados perfiles de frecuencias. Para cada distribución P, los autores asocian un perfil. El perfil está compuesto por una gráfica de los símbolos ordenados por frecuencia relativa decreciente en el eje x contra dichas frecuencias en el eje y; véase la figura 3. El perfil resulta ser una poligonal decreciente (pero no estrictamente decreciente en todos los casos). Distintos perfiles pueden tener distintos número de símbolos en sus descripciones. Eso da un problema a la hora de comparar los perfiles, ya que los perfiles no serán comparables a menos que tengan la misma longitud. Los autores resuelven esta dificultad usando lo que han bautizado como un método de reducción de escala. En este método reducen el número de símbolos mientras que mantienen el vector de frecuencias. El método lleva a cabo fusiones de símbolos y redistribuye adecuadamente las frecuencias entre los nuevos símbolos. En la figura 3 se ilustra este proceso; la condición para la fusión de símbolos está dada en la parte de la izquierda; para más información matemática sobre este procedimiento, consúltense los apéndices del artículo de Febres y Jaffe. Figura 3: Fusión de símbolos (figura tomada de [FJ17]) Para la comparación, se considera que la música tiene el mismo comportamiento que el lenguaje y se aplica la ley de Zipf para comparar perfiles. La ley de Zipf es una ley empírica que establece que en una lengua dada la frecuencia de aparición de las palabras sigue una distribución de tipo potencial, esto es, la frecuencia de la n-ésima palabra más frecuente es proporcional a 1∕na, donde a es un parámetro fijo que depende de la lengua en particular (a suele ser mayor que 1). Otra manera de enunciar la ley de Zipf es decir que una palabra es inversamente proporcional a su rango en la tabla de frecuencias de palabras. Cuando se dibuja la gráfica en escala logarítmica (log-log), la ley de Zipf se manifiesta como una recta decreciente. Es posible comparar los perfiles de frecuencias con el perfil de referencia (perfil de Zipf). En general, se pueden comparar dos perfiles arbitrarios entre sí. En efecto, sean fr,gr las frecuencias de dos perfiles dados para los símbolos que están en la posición r y sea S el número total de símbolos. La distancia E entre los perfiles viene dada por Si se quiere comparar con el perfil de Zipf, basta hacer gr = , donde g1 es el símbolo más frecuente. En la figura 4 se ve la comparación de perfiles musicales con el perfil de Zipf, que es la línea recta en gris. Volveremos a ellos más tarde. Figura 4: Perfiles de frecuencia de los símbolos 2.2. Entropía de orden superior La novedad que presenta Febres y Jaffe es la idea de una entropía de segundo orden. La entropía habitual la llaman entropía de primer orden y está dada por la fórmula h = -P log D(P), como vimos más arriba. Esta entropía se usa para ver cuánto se desvía el perfil de frecuencias de los símbolos del ideal de la ley de Zipf (la línea recta). Sabemos que cuanto más uniformes sean las frecuencias más alta es la entropía (de primer orden). Esto, sin embargo, es insuficiente para discriminar la complejidad de una pieza. La entropía de segundo orden se centra en los huecos entre las frecuencias de los símbolos en orden con respecto a la distribución dada por la ley de Zipf. Por tanto, detecta los cambios de pendiente en el perfil de las probabilidades de los símbolos. Para el cálculo de esta entropía de segundo orden, se definen las probabilidades Zi, donde i varía en el número de símbolos, como Zi = , siendo g la pendiente de la recta de la ley de Zipf y k una constante de modo que la línea recta empiece en la probabilidad p1, la primera probabilidad. La entropía de segundo orden se calcula en base a las diferencias pi - Zi, como se puede ver en la figura 5; para más detalles técnicos, véase el apéndice S2 de [FJ17]. Figura 5: Entropía de segundo orden La tabla de abajo muestra los resultados obtenidos calculando los dos tipos de entropía. El término MusicNet que vemos en la tabla se refiere a la clasificación de los estilos estudiados en el trabajo. Por ejemplo, la música occidental se divide en académica y popular/contemporánea, y cada una de estas categorías se divide en otras subcategorías. Dado que las entropías son esperanzas de variables aleatorias, los autores dan los valores medios junto con las desviaciones típicas para evaluar la dispersión. Figura 6: Medidas de diversidad, entropía y entropía de segundo orden A partir de los datos de la tabla anterior y tomando como referencia la ley de Zipf, es posible calcular la distancia entre piezas musicales, como muestra la siguiente tabla. En este caso vemos incluso la distancia entre dos interpretaciones de la misma pieza, la tocata y fuga en re menor de Back interpretada al órgano y al piano. También vemos la comparación entre distintas interpretaciones de piezas de diversa índole. Figura 7: Distancias entre piezas Una vez que se obtienen las distancias entre las piezas se pueden estudiar aspectos interesantes tales como la agrupación (a través de árboles filogenéticos, por ejemplo) o tendencias. Febres y Jaffe proponen tres medidas de complejidad, la diversidad específica, la entropía y la entropía de segundo orden que, combinadas entre ellas, llegan al estudio del estilo más de lo que trabajos previos habían logrado. En su artículo, usando estas medidas, comparan distintos estilos musicales de los cuales llegan a identificar algunas regularidades estadísticas. La lección que sacamos del trabajo de Febres y Jaffe es que el estilo es un fenómeno complejo y que hay que estudiarlo con un arsenal diverso y profundo de medidas estadísticas. Bibliografía [Cox10] G. Cox. On the relationship between entropy and meaning in music: An exploration with recurrent neural networks. In Proceeding Annual Meeting of the Cognitive Science Society, Portland, USA, August 2010. [FJ17] G. Febres and K. Jaffe. Music viewed by its entropy content: A novel window for comparative analysis. PLoS ONE, 12(10):1–30, 2017. [Góm16a] P. Gómez. Música y Probabilidad (II), diciembre de 2016. [Góm16b] P. Gómez. Música y Probabilidad (I), noviembre de 2016. [Góm20a] P. Gómez. Música y Entropía - II, agosto de 2020. [Góm20b] P. Gómez. Música y Entropía - I, julio de 2020. [Hur06] David Huron. Sweet Anticipation. MIT Press Books, Massachusetts, 2006. [LJ83] F. Lerdahl and R. Jackendoff. A Generative Theory of Tonal Music. MIT Press, Cambridge, Massachussetts, 1983. [Mav05] P. Mavromatis. A hidden markov model of melody production in greek church chant. Computing in Musicology, 14:93–12, 2005. [Mey56] Leonard Meyer. Emotion and Meaning in Music. University of Chicago Press, Chicago, 1956. [PI07] P. J. Ponce de Leon and J. M. Iñesta. Pattern recognition approach for music style identification using shallow statistical descriptors. IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics, Part C (Applications and Reviews), 37(2):248–257, 2007. [Roh11] M. Rohrmeier. Towards a generative syntax of tonal harmony. Journal of Mathematics and Computation in Music, 5:35–53, 2011. [Sha10] C. E. Shannon. A Mathematical Theory of Communication. Bell System Technical Journal, 27:379–423, 623–656, julio, octubre 2010. [vKB04] P. van Kranenburg and E. Backer. Musical style recognition–a quantitative approach. In Conference on Interdisciplinary Musicology (CIM04), pages 1–10, Graz, Austria, Abril 2004.

Jueves, 10 de Septiembre de 2020 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

97. 153. SOLUCIONES CONCURSO DEL VERANO DE 2020

Septiembre de nuevo, aunque en este caso, como medio año ya, diferente, extraño. Pero a pesar de todo con todas las ganas de seguir contando y descubriendo películas en las que las matemáticas aparezcan por algún lado, porque, aunque llevemos ya 153 reseñas (¡¡dieciséis años!!), nos queda mucho de qué hablar. Y como tradición desde los inicios, lo que toca este mes es mostrar las soluciones al concurso propuesto para el verano. Empezamos. CUESTIONES MATEMÁTICAS M – 1. Sabemos que AK = 56. Es obvio que AK = AD + DG + GJ + JK. Por otra parte, nos indican que AD, DG y GJ ≥ 17. Por tanto, AD + DG + GJ ≥ 51, y por ello, JK ≤ 5 para que se cumpla que AK = 56. Además, nos indican que HK ≥ 17, y como JK ≤ 5, entonces HJ ≥ 12. Como también nos dicen que HJ ≤ 12, entonces es claro que HJ = 12. Por otro lado, como HK ≥ 17 y HJ = 12, entonces JK ≥ 5. Luego JK = 5. Razonando de un modo similar, tenemos que AB = 5 y BD = 12. Entonces, DH = AK − AB − BD − HJ – JK = 56 − 5 − 12 − 5 − 12 = 22. Como GJ ≥ 17 pero HJ = 12, entonces, GH ≥ 5. Como DG ≥ 17 y DH = DG + GH = 22, se deduce que DG = 17 y GH = 5. Finalmente, BG = BD + DG = 12 + 17 = 29 kilómetros. Uno de los participantes, Alejandro Apezteguia, nos indica en su solución que las tres únicas posibilidades con las condiciones del enunciado (sin prueba) son 5 – 6 – 6 – 5 – 6 – 6 – 5 – 6 – 6 – 5 5 – 5 – 7 – 5 – 5 – 7 – 5 – 5 – 7 – 5 5 – 7 – 5 – 5 – 7 – 5 – 5 – 7 – 5 – 5 Observo que algunos participantes no han considerado correctamente las condiciones que se describían en el enunciado. El uso del pronombre nos ha jugado en este caso una mala pasada. El enunciado dice, “un viaje a lo largo de dos tramos sucesivos cualesquiera nunca superara los 12 kilómetros, y que uno a lo largo de tres secciones sucesivas fuera de al menos 17 kilómetros”. La situación que se trataba de describir era un (viaje) tal que a lo largo de tres secciones sucesivas cualesquiera fuera de al menos 17 kilómetros. Es decir, cualquier distancia entre tres estaciones consecutivas es de al menos 17 kilómetros. Estos concursantes han interpretado que bastaba con que hubiera un trayecto entre tres estaciones de al menos 17 kilómetros. En ese caso, no se podía calcular con solo esos datos la distancia entre B y G pedida. Entendiendo por tanto que ha sido un problema de enunciado confuso, y que todos han hecho un razonamiento correcto de acuerdo a lo que han entendido, hay dos opciones: anular la cuestión o darla como correcta a todos. Como me parece más justo valorar los razonamientos, se han dado por válidas ambas opciones. Disculpen el desafortunado enunciado. M – 2 El triángulo rectángulo de catetos 3 y 4 es el que configura las distancias entre los sucesivos ojetes del tipo de lazada descrito. En este caso las longitudes entre los ojetes de diferentes hileras son las hipotenusas de esos rectángulos de modo que, empezando por uno de los extremos tenemos las longitudes 10 + 5 + 5 + 5 + 5 + 4 (la base de la lazada) + 5 + 5 + 5 + 5 + 10 = 64 centímetros. M – 3 Los seguidores de este cuestionario estival saben que siempre hay alguna cuestión en la que no todo está perfectamente definido y determinado, buscando un poco motivar la creatividad y ver por dónde sale el concursante. En cualquier caso, esta pregunta tenía en sí tres cuestiones: un cálculo (de acuerdo a las decisiones que haya tomado el concursante) e indicar dos lazadas posibles, una útil y otra inútil (el reparto de los 10 puntos ha sido, respectivamente, 4 – 3 – 3). Si pensamos en el acto habitual en nuestras vidas de atarnos los cordones, lo “usual” es utilizar todos los ojetes (dijimos diez, es decir, dos hileras de cinco), y pasar el cordón una única vez por cada uno (sobre todo porque en la realidad, no nos cabría si lo hiciéramos más veces), dejando cordón suficiente en los extremos para hacer un nudo y que el calzado se fije bien sujeto al pie. Veamos el número de posibilidades con estas especificaciones. Por el primer ojete tenemos dos posibilidades diferentes de introducir el cordón (desde el exterior del ojete, o desde el interior). Ahí tenemos ya 2 ∙ 10 maneras (hay diez ojetes, recordemos). Para el siguiente que elijamos tenemos 2 ∙ 9 maneras, y así sucesivamente. Es decir, 2 ∙ 10 ∙ 2 ∙ 10 ∙ 2 ∙ 10 ∙ 2 ∙ 10 ∙ 2 ∙ 10 ∙ 2 ∙ 10 ∙ 2 ∙ 10 ∙ 2 ∙ 10 ∙ 2 ∙ 10 ∙ 2 ∙ 10 = 210 ∙ 10! Esta cantidad, por cierto, se conoce como doble factorial, y se denota mediante 10!! (un valor en este caso de 3 715 891 200; ¡¡un montón de maneras!!). Ahora bien, se preguntaba por formas diferentes. Y como nos indica con un ejemplo, Alejandro Apezteguia, hay maneras que se repiten a pesar de haberse configurado de modos diferentes (atado inverso). Por ejemplo, denotando los ojetes de la izquierda con la letra i y los de la derecha con la letra d, y poniendo letras minúsculas si el cordón lo atraviesa de abajo hacia arriba y en mayúsculas si lo hace al revés, tenemos que (los numeramos de 1 a 5 por orden de cercanía al tobillo) el esquema de atado i1 - I2 - d1 - i3 - i4 - D3 - D2 - I5 - d5 - D4 es idéntico al esquema d4 - D5 - i5 - d2 - d3 - I4 - I3 - D1 - i2 - I1 De ahí que, a la cantidad total, debemos dividirla por dos, quedando, 29 ∙ 10! Y esta cifra podría verse nuevamente reducida si se consideran iguales esquemas que sean “simétricos”; o si se consideran iguales esquemas que hagan el mismo recorrido, pero con las formas de paso por el ojete contrarias, en vez de abajo hacia arriba, hacerlo de arriba hacia abajo y viceversa. Considerando todas esas restricciones, en realidad hay sólo 1440 formas realmente diferentes, pero deducirlo no es nada sencillo. El lector interesado puede consultar el libro The Shoelace Book (A Mathematical Guide to the Best (and Worst) ways to lace your shoes), de Burkard Polster, y comprobarán que deducirlo excede considerablemente nuestros propósitos de este concurso. De modo que, daremos por válidas las respuestas indicadas anteriormente. Respecto a formas útiles y formas inútiles, deberiamos decidir qué entendemos por útil (que se ajuste bien es lo usual, aunque depende del tipo de pie que tengamos; cuál es la más estética, cuál emplea la menor longitud de cordón, etc.; hay muchas variantes). Lo que es claro es que la más inútil porque ni ajusta el pie ni hace nada es: Al estirar los extremos, acercaría los ojetes en vertical, pero no en horizontal (salvo el par i5 – d5). Entre los prácticos, podemos citar los tres siguientes (con una hilera más): en zig zag, en zig zag con N y en pajarita, respectivamente. M – 4 El procedimiento indicado en la cuestión M – 2 empleaba, como vimos, 64 cm., dejando libres 36 centímetros de los 100 que se indican, quedando por tanto 18 centímetros a cada extremo para hacer el nudo. El procedimiento que utiliza menor cantidad de cordón de todos los indicados por los concursantes es cualquiera de los tres que mostramos en la siguiente imagen (todos con la misma longitud): 4 + 4 ∙ 3 + 4 ∙ 5 = 36 cm. Con cualquiera de ellos nos sobrarían 100 – 36 = 64 cm. El modo de valorar la cuestión ha sido la siguiente: 10 puntos para quien ha indicado el procedimiento con el valor menor, como se pedía, y en orden decreciente, un punto menos con el resto de propuestas que utilizaban más cantidad de cordón (es decir, los siguientes 9 puntos, 8, etc.). M – 5 El único anudado que realmente hace un nudo es el c. Además de haciéndolos, se puede probar uniendo los extremos de las cuerdas e ir aplicando los tres tipos de movimientos de Reidemeister (transforman el diagrama plano del nudo en otro equivalente). Observaríamos así que salvo en el caso c, en los restantes diagramas obtendríamos una circunferencia, lo que se conoce como nudo simple (si no hubiéramos unido los extremos no existiría nudo, solo el cordón alargado). M – 6 En primer lugar deberíamos observar que en el enunciado no se dice nada del lugar en el que colocamos los pesos, porque podríamos colocarlos en uno solo de los platillos (lo que prácticamente todo el mundo contempla), pero también podrían colocarse en ambos. En ese caso, cualquier cantidad de puede pesar, ya que, por ejemplo, 1 gramo lo pesaríamos colocando tres pesos de 5 gramos en uno de los platillos junto al objeto de 1 gramo, y dos de 8 gramos en el otro platillo. Duplicando el número de pesas de esa situación, lograríamos el equilibrio para 2 gramos, y así sucesivamente para cualquier valor de n gramos. También es válido argumentar de acuerdo al teorema de Bezout teniendo en cuenta que mcd(5, 8) = 1. Si solamente permitimos el objeto en uno de los platillos y en el otro los pesos, entonces la solución es distinta. Designemos por P el peso en gramos del objeto. Éste podría pesarse siempre que cumpla que P = 5x + 8y, siendo x e y enteros positivos. A su vez, y puede ser escrito como 5z + r, siendo z ≥ 0 y r = 0, 1, 2, 3, 4. Entonces tenemos cinco situaciones: P = 5(x + 8z) + 8 ∙ 0 = 5(x + 8z) P = 5(x + 8z) + 8 ∙ 1 = 5(x + 8z + 1) + 3 P = 5(x + 8z) + 8 ∙ 2 = 5(x + 8z + 3) + 1 P = 5(x + 8z) + 8 ∙ 3 = 5(x + 8z + 4) + 4 P = 5(x + 8z) + 8 ∙ 4 = 5(x + 8z + 6) + 2 Llamando k = x + 8z, tenemos respectivamente P = 5k P = 5(k + 1) + 3 = 5α + 3 P = 5(k + 3) + 1 = 5β + 1 P = 5(k + 4) + 4 = 5γ + 4 P = 5(k + 6) + 2 = 5δ + 2 En definitiva, si nos fijamos, son múltiplos de 5, múltiplos de 5 módulo 3, múltiplos de 5 módulo 1, múltiplos de 5 módulo 4 y múltiplos de 5 módulo 2. Por otra parte, P puede ponerse de alguna de las formas: 5K, 5K + 1, 5K + 2, 5K + 3, o 5K + 4 (utilizo K mayúscula para denotar “múltiplos” en vez de tanta letra distinta). Comparando éstas con las anteriores, se concluye que (i) si P es de la forma 5K, entonces puede ser pesada (con K pesas de 5 gramos). (ii) si P es de la forma 5K + 1, puede ser pesada si K ≥ 3. (iii) si P es de la forma 5K + 2, puede ser pesada si K ≥ 6. (iv) si P es de la forma 5K + 3; puede ser pesada si K ≥ 1. (v) si P es de la forma 5K + 4, puede ser pesada si K ≥ 4. En consecuencia, los valores de P que NO pueden ser pesados son: 1g, 2g, 3g, 4g, 6g, 7g, 9g, 11g, 12g, 14g, 17g, 19g, 22g y 27g. Los concursantes establecieron una tabla que, visualmente es mucho más ilustrativa. En la que se incluye (debida a Alejandro Apezteguía), se observa que la quinta columna son todos los múltiplos de 5, y en el resto de columnas a partir del primer múltiplo de 8 que aparece todos también son de la forma 5x + 8y. Por tanto, los que quedan en color blanco son los “no pesables”. La puntuación se ha repartido del siguiente modo: 3 puntos para la primera de las situaciones (claramente más sencilla) y 7 puntos para la segunda. M – 7 Después de sacar dos litros de leche, cada litro de la mezcla tiene 3/5 de leche. Si volvemos a sacar dos litros de la mezcla, tendremos que 3 – 3 (3/5) = 9/5 de leche permanecen. Eso nos da una concentración de (9/5):5 x 100% = 36 % M – 8 Empezando en la silla 1, un número par de movimientos siempre va a terminar en las sillas 1, 3 o 5 (un número impar más otro par, resulta siempre un número impar), mientras que un número impar de movimientos acaba en las sillas 2 o 4 (impar más impar es par). Después de 19 o 2733, ambos impares, va a estar en la silla 2 o en la silla 4. En ese momento se retiran las sillas 1 y 5 quedando las sillas 2, 3 y 4. La señora se encuentra en una silla de un extremo (aunque tengan nombre de números pares, atendiendo a su orden, esas sillas corresponden a valores impares: la primera y la tercera). De nuevo, cualquier movimiento impar (se citan 97 o 5931), la llevarán siempre a la silla 3 (que es la que corresponde a la posición par de las que quedan). M – 9 En esta cuestión algunos concursantes no han tenido en cuenta que las entregas anuales también devengan intereses, por lo tanto no hay únicamente que considerar la fórmula del interés compuesto C (1 + r)n, sino también el valor total de esos intereses al cabo de los n años, que será, después de efectuar algunas operaciones siendo a =10655.2 pesetas, lo que se conoce como anualidad. Sustituyendo los datos del enunciado, es decir, 10655.2 = 10000 , se llega a que n = 12.000048 ≈ 12 años. Uno de los concursantes, Pablo Palacio, nos incluye una tabla EXCEL en la que puede verse la amortización año a año (imagen adjunta). M – 10 Si unimos los centros de los semicírculos pequeños con el centro del círculo, se obtiene un triángulo isósceles de lados 6 y 3 + R, como vemos en la imagen. Sea h la altura perpendicular a la base de longitud 6 unidades. Esa altura junto al radio del círculo nos da el radio de la semicircunferencia grande, esto es, h + R = 6. De acuerdo con el teorema de Pitágoras, h2 + 32 = (R + 3)2. A partir de ambas ecuaciones, despejando h de la primera, se obtiene que (6 – R)2 + 32 = (R + 3)2 36 – 12 R + R2 + 9 = R2 + 6R + 9, y de ahí, se sigue que R = 2. De este modo, la superficie que encierra dicho círculo es 4π. Si sumamos el área las dos semicircunferencias tendremos 9π; la semicircunferencia grande ocupa 18π, de modo que la superficie restante es  18π – 9π – 4π = 5π. De acuerdo a la imagen adjunta de uno de los participantes, tenemos entonces que S1 = 18π,   S2 = y   S3 = 4π Nos falta determinar S4 y S5. Sabemos además por pura observación que S4 + 2S5 = S1 – 2S2 – S3 = 5π, de modo que basta calcular S4 o S5 para conocer ambas. El triángulo DFO tiene área 6, ya que DO = 3 y FO = 4. Sean S6 la superficie del sector circular que definen los puntos DXO y S7 la del que definen los puntos FXT. Entonces S4 =2 ∙ (6 – S6 – S7) Por otra parte, como los ángulos del triángulo DFO son complementarios (es un triángulo rectángulo), como la relación de áreas es el cuadrado de la razón de semejanza ∙ S7 = ∙ S2 – S6 Sustituyendo esta expresión en la anterior, tenemos que S4 = 2 (6 – S6 – (π – S6)) = 12 − 2 π − S6 Por tanto, basta con que calculemos el área del sector circular S6. De la conocida fórmula para hacerlo nos falta conocer el ángulo α determinado en FDO, que será arctg(). Con ello S6 = 9 arctg() y, por tanto, S4 = 12 − 2 π – 5 arctg() y S5 = − 6 + arctg(). Por tanto, sí es posible calcular de modo exacto la superficie de cada una de las zonas. M – 11 Denotemos por Ar, Br, Cr la cantidad de rateras que capturaron respectivamente A, B y C, y sean Ac, Bc, Cc la cantidad de cornejas de cada uno, respectivamente. Del enunciado se siguen las siguientes ecuaciones: Ar = 3Br Bc = 4Cc Ar + Ac = Br + Bc = Cr + Cc Ar + Br + Cr = Ac + Bc + Cc Ar + Br + Cr + Ac + Bc + Cc < 200 con n < 100. Se trata de un sistema lineal y compatible con solución . Para que sean números enteros, n deber ser múltiplo de 51, pero menor de 100; por tanto, n = 51 y la solución es (18, 6, 27, 16, 28, 7), que corresponden a que A obtiene 18 rateras y 16 cornejas, B se cobra 6 rateras y 28 cornejas y C a 27 rateras y 7 cornejas. M – 12 Como los triángulos con la misma altura tienen área proporcional a sus respectivas bases, y como los triángulos AOB y COD son semejantes, tenemos que , por lo que área(DOA) = área(AOB). Por otra parte, como las áreas de triángulos semejantes son proporcionales a los cuadrados de los lados correspondientes, , entonces  área(COD) = área(AOB). Finalmente, como los triángulos ABD y ABC tienen la misma base e igual altura, entonces sus áreas son iguales, y como área(ABD) = área(AOB) + área(DOA) área(ABC) = área(AOB) + área(BOC) se deduce que área(DOA) = área(BOC). En consecuencia, área(ABCD) = área(AOB) + área(BOC) + área(COD) + área(DOA) = área(AOB) + 2 área(DOA) + área(COD) Es decir, área(ABCD) = área(AOB). Y, por tanto, M – 13 El número total de disposiciones de las doce letras es . Para contar aquellas que no tienen dos letras A adjuntas, distribuimos primero las otras nueve letras, que serán . Para cada una de esas disposiciones, elegimos tres cualesquiera de los diez “huecos” que hay entre letras consecutives, incluyendo las de los finales. Esto se puede hacer de formas. Después insertamos las tres A en los tres espacios que hemos elegido. Esto responde a un único arreglo sin A’s adyacentes. El número total es entonces Por tanto, la probabilidad pedida es CUESTIONES CULTURALES C – 1 Las palabras que aparecen en el texto, de escasa utilización actualmente (si bien esto es una apreciación subjetiva, porque en determinadas zonas pueden seguir siendo habituales) son, entre otras: Albarca, Ojete, Borceguíes, Zapatranco, Romana, Campero, Difidentes, Alquería, Gañanes, Delfines, Tollos, Rateras, Cornejas, Aguardadero, Corralada, Apaleadores, Bordonear. No hemos incluido su significado por no alargar esta reseña, pero son fácilmente localizables, como han hecho los participantes. C – 2 La romana es un tipo de balanza cuyo funcionamiento está basado en la ley de la palanca (la potencia por su brazo es igual a la resistencia por el suyo). De acuerdo a la imagen, P ∙ x = R ∙ y Según la posición de P y de R respecto al punto de apoyo (también llamado fulcro) tenemos diferentes tipos de palanca. En el caso concreto de las romanas (las primeras se fechan en torno al año 200 a. C.), el punto de apoyo sostiene a la palanca por la parte superior en vez de por la parte inferior y el brazo de la resistencia es mucho más largo que el de la potencia, pudiéndose desplazar la resistencia por dicho brazo, como observamos en la imagen. El material del que estaban construidas solía ser de hierro o latón, y el contrapeso (denominado aequipondium o pilón) solía ser de bronce, y en algunos casos relleno de plomo para alcanzar el peso de un modo más preciso. Este contrapeso se desplaza por el brazo graduado de la romana junto con una anilla llamada registro, para llevar a cabo la pesada. Cuando el sistema queda equilibrado (se sabe gracias a un hierro en forma de pincho llamado fiel que queda alineado con la parte superior en la alcoba y es perpendicular a la barra) la muesca de la barra graduada nos indica el peso del objeto. Las piezas más comunes de la romana son once: alcoba, calamón, gancho, ejes, registro, fiel, cabeza pequeña, cabeza larga, pilón, cadena y plato. La gran ventaja de una balanza romana o de una clásica es que comparan masas y por tanto no dependen de la gravedad del lugar donde se encuentren (miden lo mismo independientemente de que estemos en un valle o en un lugar de alta montaña), lo que no pasa con una báscula electrónica o con un dinamómetro, ya que miden fuerzas. Dependiendo de lo detallado o escueto de la descripción del funcionamiento se han dado a los concursantes valoraciones entre 8 y 10 puntos. C – 3 Existen varias razones por las que muchas personas desconfiaban de la romana, unas de tipo técnico (la exactitud y precisión de la romana depende de la calidad de los materiales con que haya sido fabricada y del calibrado de la barra y el pilón), disculpables en general por los clientes, y las más por la picaresca y “habilidad” del que la manejara ya que existen numerosos trucos y ardides para sisar en la venta (poner un plato en lugar de un gancho y no descontar su peso del del objeto; poner platos en el objeto (brazo corto) y en el pilón (brazo largo), aparentemente iguales pero de diferente peso; o reemplazar alguna pieza de la romana por otras de distinto peso; o sujetar el fiel con un dedo simulando una falsa posición de equilibrio; lijar la barra donde va el pilón; al estar sujeta de la mano, no fija a ningún sitio, moverla ligeramente, etc.). Por todo ello, se prohibió su uso, aunque en algunos lugares (pueblos apartados, mercadillos, etc.) aún pueda alguien encontrar algún paisano que la utilice. C – 4 En efecto, tal y como han descrito los concursantes, nos referíamos a la actriz Ágata Lys (cuyo nombre real es Margarita García San Segundo). Nacida en Valladolid el 3 de diciembre de 1953 se hizo popular como azafata del concurso televisivo Un, Dos, Tres…, Responda Otra Vez. Su físico y la época (segunda mitad de los años 70 del siglo pasado tras la muerte de Franco y la desaparición de la censura) en la que primaba el cine de evasión y de destape, la encasilló en producciones de baja calidad artística. Entre éstas, títulos como Las marginadas (Ignacio Iquino, 1974), El valle de las viudas (F. Windder, 1975), Fango (Silvio F. Balbuena, 1976), Deseo carnal (Manuel Iglesias, 1977), Trauma (León Klimovsky, 1978), hasta un total de treinta y siete entre 1972 a 1979. Harta de estos papeles, reconduce su trabajo hacia el teatro, aunque no desdeña en participar, aunque sea brevemente, en productos de mayor calidad, como Los santos inocentes (Mario Camus, 1984), Familia (Fernando León de Aranoa, 1996), Mala uva (Javier Domingo, 2004), o series de televisión como Amar en tiempos revueltos (2005-2006). Según sus palabras, “no está retirada, solo “en la retaguardia”. “Si me ofrecen algo interesante, que me haga crecer, lo voy hacer, aunque tenga ochenta años”. C – 5 Se pregunta por la edad del señorito Iván. Ni en la película ni en la novela se dice ninguna edad explícita de ningún personaje salvo de Azarías que indica que tiene 61 años. Pero podemos deducir un rango de edades. Tanto en la película como en la novela se indica que “el Ivancito con el rifle o la escopeta, en el monte o los labajos y el año 43, en el ojeo inaugural del Día de la Raza, ante el pasmo general con trece años mal cumplidos, el Ivancito entre los tres primeros”. Claramente entonces el señorito Iván ha nacido en 1930 (1943 – 13 = 1930). Por otra parte, en la fiesta que dan en el cortijo con motivo de la Primera Comunión del hijo mayor de Iván, se comenta de modo jocoso por lo inaudito de la propuesta, que la hija mayor de Paco, el bajo, quería hacer también la Primera Comunión. Entonces, el señorito Iván comenta que “la culpa la tiene ese dichoso Concilio que les malmete”. Evidentemente se refiere al Concilio Vaticano II que se celebró entre 1962 y 1965. Por tanto, el señorito Iván tiene entre 32 y 35 años. C – 6 En la novela se explica perfectamente: “La propia Señora Marquesa, con objeto de erradicar el analfabetismo del cortijo, hizo venir durante tres veranos consecutivos a dos señoritos de la ciudad para que, al terminar las faenas cotidianas, les juntasen a todos en el porche de la corralada, a los pastores, a los porqueros, a los apaleadores, a los muleros, a los gañanes y a los guardas, y allí, a la cruda luz del aladino, con los moscones y polillas bordoneando alrededor, les enseñasen las letras y sus mil misteriosas combinaciones”. C – 7 Milana Bonita. Como anécdota, uno de los participantes, que conoce a una de las hijas del escritor, indica en sus respuestas que cada vez que Dirk Bogarde se cruzaba con Paco Rabal en el Festival de Cannes de 1984 le repetía “milana bonita, milana bonita”. Le agradecemos que nos la de a conocer. C – 8 Azarías sólo sabe contar hasta once; después salta a cuarenta y tres, cuarenta y cuatro, etc. En la novela lo descubrimos al contar los tapones de las válvulas de las ruedas y las mazorcas de maíz. En la película lo hace también con las panochas y con habas. C – 9 En el punto dado, la función alcanza el máximo absoluto. Cuando Miguel Delibes conoció al amor de su vida, Ángeles de Castro, empezó a firmar sus primeras obras con el acrónimo MAX, lo cual era una sencilla y romántica expresión en la que la M representaba a Miguel, la A era por Ángeles y la X era la incógnita que el futuro podía deparar a la joven pareja, tal y como explicó el propio autor. Esa es la relación en la que yo había pensado y la dada como correcta. Sin embargo, los concursantes han ideado además otras relaciones que reproduzco por su originalidad: 1.- Al observar la gráfica, ese punto parece la “cumbre” de una montaña. Por otra parte, entre las muchas novelas de Miguel Delibes más afamadas por público y crítica, Los santos inocentes puede ser la que contenga los personajes "cumbre" de la pluma del autor vallisoletano. Además, la función presenta infinitos puntos donde se alcanza ese valor máximo (es periódica), mientras que Delibes obtuvo una infinidad de premios entre los que destacan el Nacional de Literatura, el premio de la Crítica, el Nacional de las Letras, el Príncipe de Asturias o el Cervantes, entre otros. No pueden ser infinitos, pero la expresión coloquial “una infinidad de premios” se utiliza por abuso de lenguaje en muchas ocasiones. 2.- El valor 4π /3 = 4.1887902.... ≈ 4.189. El valor e + 4/e = 4.1887902.... ≈ 4.189799 ≈ 4.189. El valor del máximo de esa función es ½ (3) = 2.598... ≈ 3e/π. De alguna manera, el punto dado está relacionado con el número e. Precisamente Delibes ocupaba la silla de la Real Academia Española (RAE) correspondiente justamente a la letra e hasta que murió con 89 años (número de Fibonacci). 3.- El valor x = 4π /3 en grados equivale a 240º. Al menos tres novelas de Delibes tienen justamente 240 páginas: Parábola del náufrago. Tapa blanda. Ediciones Destino; Los santos inocentes. Tapa blanda. Austral; Diario de un emigrante. Ediciones Destino. Y finalmente, otro concursante ha detectado que tomando la expresión decimal de ese valor máximo (2.5980....) y la fecha del fallecimiento del escritor, 12/03/2010 escrita en modo decimal mediante 0.1203, se obtiene como suma 2.5980 + 0.1203 = 2.7183 que es un redondeo del número e (2.71828...), y la letra e como se dijo antes es el sillón que Miguel Delibes ocupaba en la Real Academia Española de la Lengua. (¡¡¡Nunca se me hubiera ocurrido!!!) C – 10 Las nueve novelas adaptadas al cine de la obra de Miguel Delibes son: 1.- El Camino publicada en 1950. La adaptación fue dirigida por Ana Mariscal en 1963. 2.- Mi idolatrado hijo Sisí (1953): la película se tituló Retrato de familia (Antonio Giménez Rico, 1976). 3.- El Príncipe Destronado (1973); en cine fue La guerra de papá (Antonio Mercero, 1977). 4.- Los Santos Inocentes (1981); la adaptación cinematográfica la dirigió Mario Camús en 1984. 5.- El disputado voto del señor Cayo (1978); llevada al cine por Antonio Giménez Rico en 1986. 6.- El Tesoro (1985); la dirigió Antonio Mercero en 1988. 7.- La sombra del ciprés es alargada (1948), dirigida por Luis Alcoriza en 1990. 8.- Las ratas (1962), llevada al cine por Antonio Giménez Rico en 1997. 9.- Diario de un jubilado (1995); la versión cinematográfica se tituló Una pareja perfecta (Francesc Betriú, 1998). Francisco Rabal interpretó también al protagonista principal de El disputado voto del señor Cayo, película que mencionamos en el Concurso del Verano del año 2010, en la reseña número 52, en las cuestiones 22 y 23. C – 11 En este año en el que estamos, 2020, se celebra el centenario del nacimiento del autor (17 de octubre de 1920). Casualmente se cumplen también diez años de su fallecimiento, que tuvo lugar el 12 de marzo de 2010, por lo que también se le puede hacer un homenaje, pero las celebraciones son normalmente como referencia de hechos alegres, y no los fallecimientos. C – 12 Las diferencias más evidentes entre película y novela son: 1.- La película elimina algunos personajes de la novela (los seis capítulos de la novela se redujeron a cuatro en el guion de la película). Entre los personajes eliminados podemos destacar a Rogelio, el cuarto hijo de Paco el bajo; o al señorito Lucas, que enseñó los rudimentos de la gramática a Paco el bajo. 2.- En la obra de Delibes no se dice expresamente que los hechos ocurran en un lugar concreto (aunque Azarías menciona al mago del Almendral, municipio de la provincia de Badajoz, cuando está preocupado por la salud de su búho). En la primera escena de la película, sin embargo, aparece el rótulo de la estación ferroviaria de Zafra. 3.- La celebración de la comunión del señorito Carlos Alberto, en el libro se refleja solamente como una reunión en la corralada para comer chocolate con migas, mientras que en la película, hay una gran fiesta con presencia de autoridades, baile y otras escenas festivas. 4.- La “rebelión silenciosa” de la Nieves y el Quirce, que pertenecen a una generación posterior a la de sus padres y deciden tomar caminos distintos a los que se les han asignado (trabajar en una fábrica en la ciudad y como mecánico respectivamente), solo se ve reflejada en la película, no en el libro. Los flashbacks de estos personajes no existen en la novela. 5.- Otra diferencia es que al final de la película, Régula y Paco, vuelven a estar instalados en la raya de Abendújar y esta situación no existe en el argumento literario. 6.- La novela acaba con la muerte del señorito mientras que en la película se representan acontecimientos posteriores, como los descritos con los hijos de Paco y el internado de Azarías en un centro psiquiátrico. Del mismo modo, la Niña Chica no muere en la novela, y en la película si se menciona su destino. Por supuesto la película es una magnífica adaptación de la novela, que agradó al propio escritor. Pocas veces se ha logrado una trasposición al cine tan fiel al original. C – 13 Obviamente hablamos de Los santos inocentes. Casi todos los participantes conocían la película, y algunos menos habían leído la novela. Como otros años, uno de los objetivos del concurso es ahondar un poco en cine, literatura, arte, etc., y descubrir algunas de sus relaciones, lo cual ha agradado un año más (al menos eso manifiestan) a los participantes. Ha habido un montón de sugerencias, indicaciones de cómo habían descubierto la película, etc. Una que me gustaría reseñar (para dejar constancia de cómo hilan de fino los participantes) es que se podía haber hecho alusión al popular concurso 1, 2, 3, …, responda otra vez dado que Ágata Lys fue azafata del concurso (lo comentamos anteriormente) y además el personaje de la señora Marquesa en la película lo interpreta Mary Carrillo (la única actriz que se reconoce en el fotograma que se puso en la propuesta del concurso; la dejé porque pensé que nadie la conocería, pero me equivoqué y fue la “pista” para un par de concursantes para descubrir la película rápidamente), que es la madre de las hermanas Hurtado que relevaron a Don Cicuta en el mencionado concurso en la “parte negativa”.   Puntuaciones Aunque es cierto que las cuestiones matemáticas de esta edición eran un poco más sencillas que en otras ediciones (lo cual no ha animado sin embargo a más lectores a participar), es realmente destacable comprobar el buen nivel de todos los participantes (como el año anterior, me gustaría destacar y agradecer la participación de Alba Diez Mariño, una jovencita de quince años, que ha resuelto, con las herramientas matemáticas que conoce, la mayor parte de las cuestiones). Salvo malentendido de algún enunciado, todos han afrontado perfectamente todas las cuestiones matemáticas. Respecto a las de cine, siempre baja un poquillo, pero internet suele suplir las lagunas. Este año, detallo la puntuación alcanzada y además entre paréntesis la puntuación de la parte matemática (en rojo) y de la parte cultural (en azul), respectivamente. A sugerencia de un concursante, enviaré también la puntuación a cada uno por apartados. 1.- Francisco Pi Martínez.- 259 puntos (129 + 130) 2.-. Alejandro Apezteguía - 250 puntos (130 + 120) 3.- Carlos Marijuán López.- 232 puntos (112 + 120) 4.- Pedro Pablo Palacio.- 222 puntos (107 + 115) 5.- Celso de Frutos de Nicolás.- 196 puntos (81 + 115) 6.-. Alba Diez Mariño - 188 puntos (80 + 108)   Agradezco a todos su buenísima disposición, la aceptación de la propuesta, y sus elogios (inmerecidos). Espero que hayan pasado de verdad un buen rato. En breve recibiréis un mail, algunos para pediros una dirección postal a la que enviaros un pequeño obsequio de DivulgaMAT, y los demás para detallaros las puntuaciones de cada cuestión, una vez hayáis leído las soluciones.

Miércoles, 09 de Septiembre de 2020 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

98. 133. (Septiembre 2020) Tareas de un matemático loco, de Antón Chéjov

Antón Chéjov publicó en 1882 Tareas de un matemático loco bajo el seudónimo de “Antosha Chejonté”. Se trata de una hilarante parodia del quehacer matemático a través de ocho absurdas cuestiones planteadas por un matemático “loco”. Se reproduce debajo el cuento completo. Antón Pávlovich Chéjov (Wikimedia Commons). Tareas de un matemático loco Me perseguían 30 perros, de los cuales 7 eran blancos, 8 grises y los restantes negros. Se pregunta: ¿en qué pierna me mordieron los perros, en la derecha o en la izquierda? Autolimioi nació en el 223, y murió tras vivir 84 años. Una mitad de la vida la pasó en viajes, un tercio lo gastó en placeres. ¿Cuánto vale una libra de clavos y estuvo acaso casado Autolimio? En el año nuevo, de la mascarada del teatro Bolshói fueron sacados 200 hombres por pelea. Si los que peleaban eran doscientos pues, ¿cuántos eran los injuriosos, los borrachos, los levemente borrachos y los que deseaban, pero no hallaban ocasión de pelear? ¿Qué se obtiene tras la suma de esas cifras? Se compraron 20 cajas de té. En cada caja había 5 pudsii, cada pud tenía 40 libras. De los caballos que cargaban el té, dos se cayeron en el camino, uno de los cocheros se enfermó y 18 libras se derramaron. La libra tiene 96 zolotniksiii de té. Se pregunta, ¿qué diferencia hay entre el pepino en salmuera y la perplejidad? La lengua inglesa tiene 137 856 738 palabras, la francesa 0,7 más. Los ingleses se juntaron con los franceses y unieron ambas lenguas en una. Se pregunta, ¿qué vale el tercer papagayo y cuánto tiempo se necesitó para subyugar a esos pueblos? El miércoles 17 de junio de 1881, a las 3 de la madrugada, debió salir el tren de la estación A por la vía férrea, para llegar a la estación B a las 11 de la noche pero, antes de la misma partida del tren, se recibió la orden de que el tren llegara a la estación В a las 7 de la noche. ¿Quién ama más prolongado, el hombre o la mujer? Mi suegra tiene 75 años y mi esposa 42. ¿Qué hora es? Informó Antosha Chejonté Si alguien conoce la respuesta a alguna de estas cuestiones… ¿sería tan amable de compartirla? Gracias. Referencias [1] Antón Chéjov, Cuentos completos (1880-1885), Edición de Paul Viejo, Titivillus, 2013 Nota Esta breve reseña es parte del artículo Tareas de un matemático loco publicado en Cuaderno de Cultura Científica el 19 de agosto de 2020.   i Autolimio es un nombre inventado por Chéjov. ii El pud es una unidad de masa equivalente 40 libras rusas, unos 16,38 kilogramos. iii El zolotnik es una antigua unidad de masa rusa equivalente a unos 4,26 gramos.

Lunes, 07 de Septiembre de 2020 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

99. 14. (Septiembre 2020) Josef Albers y su Homenaje al cuadrado

1. Josef Albers: apunte biográfico Josef Albers (1888 – 1976), pintor, artista y diseñador gráfico, nació en Bottrop (Alemania) y estudió arte en Berlín, Essen y Munich. Fue profesor de dibujo de la Bauhaus[i] en Weimar (1923 – 1925), en Dessau (1925 – 1932) y en Berlín (1932 – 1933). Cuando los nazis cerraron la escuela en 1933, Albers se trasladó al Black Mountain College (Carolina del Norte), donde enseñó los principios de la Bauhaus. En 1950 fue nombrado director del Departamento de Diseño de la Universidad de Yale, puesto que ocupó hasta su jubilación en 1958. Entre su obra pictórica destaca la serie Homenaje al cuadrado, iniciada en la década de 1950, en la que utilizó e ilustró su teoría de que los cambios de lugar, forma y luz producen cambios en el color. Dicha obra está integrada por cuadros en los que se representan cuadrados de distintos colores contenidos en otros. Josef Albers. Autorretrato (1918) En las páginas siguientes ofrecemos una selección de obras pertenecientes a la antedicha serie. 2. Homenaje al cuadrado: algunos ejemplos Homage to the Square (1951) Guarded (1952) Ascending (1953) Warm Welcome (1953 – 1955) Homage to the Square (1958) Apparition (1959) Rooted (1961) Embedded (1963) Closing (1964) Study for Homage to the Square (1965) 3. El cuadrado, algo más que un cuadrilátero En el epígrafe anterior hemos presentado algunas obras pertenecientes a la serie Homage to the Square. En ellas, Josef Albers ofrece diversas visiones multicolores de tres o cuatro cuadrados encajados que incluyen a este cuadrilátero regular en el grupo selecto de los actores principales de algunas obras de arte. Esta versión artística del cuadrado debería ponerse al alcance de los estudiantes de todos los niveles educativos para que contemplen a dicho cuadrilátero equilátero y equiángulo no sólo como un objeto geométrico 2D, sino como un elemento indispensable en la composición de ciertas manifestaciones artísticas. Con ello, estarán en condiciones de poder afirmar que el cuadrado es algo más que un cuadrilátero.   Referencias bibliográficas MEAVILLA SEGUÍ, V. (2007). Las matemáticas del arte. Inspiración ma( r)temática. Córdoba: Editorial Almuzara, S. L. Referencias online https://albersfoundation.org/art/josef-albers/paintings/homages-to-the-square/index/ NOTAS [i] El término Bauhaus («Casa de la Construcción») se acuñó para denominar la escuela de diseño, arte y arquitectura fundada en 1919 por Walter Gropius en Weimar (Alemania). La Bauhaus sentó las bases de lo que hoy en día se conoce como diseño industrial y gráfico.

Jueves, 03 de Septiembre de 2020 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

100. 13. (Septiembre 2020) El poliedro Melancolía en la obra del artista francés Antoine Dorotte

1. Preámbulo En otro trabajo[1] dimos un breve paseo por el grabado Melencolia I (1514) del artista alemán Albrecht Dürer. En dicha excursión pasamos revista a los aspectos aritméticos (cuadrados mágicos normales de orden cuatro), geométricos (poliedro Melancolía) y artísticos de esta obra maestra del arte universal. El poliedro Melancolía o sólido de Durero Conscientes de que en aquella ocasión no incluimos todas las manifestaciones artísticas en las que interviene el famoso poliedro de Durero, en este artículo (a modo de anexo) ampliamos el catálogo de artistas y obras de arte relacionadas con él, presentando la escultura Amalgamma del francés Antoine Dorotte. 2. Antoine Dorotte, breve biografía artística El escultor francés Antoine Dorotte nació en Sens (Borgoña) el año 1976. Vive y trabaja en Pont-l’Abbé, París y La Courneuve y su obra tiene un marcado sabor matemático como puede apreciarse en las dos fotografías adjuntas en las que se representan dos de sus esculturas. Una, dedicada a la esfera y otra al tetraedro regular, sólido platónico que el filósofo griego identificó con el fuego. Antoine Dorotte con una de sus esculturas Simplexe, la mare au feu 3. Dorotte y el sólido de Durero Dentro de su «obra matemática», Antoine diseñó en 2010 un complejo escultórico, Amalgamma, formado por ocho poliedros Melancolía. Cada uno de ellos está construido con planchas de metal cortadas y dobladas manualmente. La elegancia y sencillez de sus formas apela a la componente artística de cada uno. Dejamos, pues, que el lector contemple las bellas fotografías cedidas por A.  Dorotte y se impregne de las sensaciones artístico-matemáticas que emanan de ellas. 4. Palabras finales y agradecimiento En las líneas precedentes hemos contemplado un objeto geométrico 3D, el poliedro Melancolía, con ojos no matemáticos. Creemos que para los profesores de Matemáticas de los niveles no universitarios (y para los de los niveles universitarios también) puede ser saludable tener más de una visión de un mismo objeto matemático; de este modo, pueden ofrecer a sus alumnos distintos enfoques de un mismo tema que, quizás,  puedan motivar a sus estudiantes. En el caso de los cuerpos geométricos esta «multivisión» se puede conseguir fácilmente recurriendo a las obras de muchos creadores (pintores, escultores, arquitectos,. . .) que incluyen las figuras y sólidos geométricos en sus producciones artísticas. Acabamos este modesto trabajo agradeciendo a Antoine Dorotte la deferencia que ha tenido con nosotros al dejarnos incluir en este artículo sus bellas fotografías.   Nota: [1] Paseo meláncolico, matemático y artístico de un grabado alemán del siglo XVI, publicado por Divulgamat.   Referencias online Antoine DOROTTE http://ddab.org/fr/oeuvres/Dorotte/Page19

Jueves, 03 de Septiembre de 2020 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico