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Cultura y matemáticas

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Cultura y matemáticas/Instantáneas matemáticas
Autor:Ángel Requena Fraile
(Giambologna. Alegoría de la arquitectura geométrica. Florencia) 1. Contra lujuria, matemáticas Las Tablas de la Ley que Moisés recibió en el Sinaí se limitaban a reflejar los preceptos en una escueta frase por razones de espacio. Así el sexto mandamiento solo pregona la pureza pero no prescribe cómo debe cumplirse. Más tarde se acuña la expresión que contrapone virtud y pecado: contra lujuria, castidad. Sigue pareciendo poco concreto y no demasiado útil. Más preciso resulta el remedio del doctor Krokovski, medico jefe del hospital antituberculoso, descrito por Thomas Mann en La montaña mágica (1942): Cuanto más expansiva es esa banda de agonizantes más libertina es. Yo preconizo las matemáticas. Ocuparse de matemáticas, digo, es el mejor remedio contra la concupiscencia. El procurador Paravant, que ha sufrido grandes tentaciones, se lanzó a las matemáticas y ha llegado hasta la cuadratura del círculo, y eso le ha tranquilizado mucho. ¡Un medico sí sabe que una pasión se combate con otra igual de potente! (Frans Floris. Alegoría del premio a la virtud y del castigo al vicio. Ottobeuren) La Alegoría del premio a la virtud y del castigo al vicio, pintura atribuida a Frans Floris de Vriendt (1519-1570) y que se encuentra en la Abadía de Ottobeuren, refleja la oposición entre la virtud como dedicación a las matemáticas y el vicio de la lujuria como merecedor de castigo. También algunos matemáticos han aplicado la resolución de problemas a casos de lujuria, así San Beda el Venerable (siglo IX) en su Otras propuestas para iniciar la agudeza de los jóvenes plantea uno de los problemas clásicos de cruzar un río en una pequeña barca: Eranse tres hombres con sus respectivas esposas quienes un río debían atravesar. Cada uno de ellos era de lujuria dominado ante la sola proximidad de alguna mujer. Llegando al río no encontraron más barca que una pequeña donde solo dos personas cabían. Diga quien pueda cómo atravesarían el río para conservar inmaculadas a todas y cada una. La colección de problemas se atribuye también a Alcuino de York, el maestro de la Escuela Carolingia. El mismo ejercicio para evitar el pecado aparece en los Problèmes plaisants de Claude Gaspard Bachet de Méziriac (1581-1638), en una versión donde los lúbricos machos se transforman en maridos celosos. El texto de Bachet es el que Fourrey reproduce en sus Recréations arithmétiques. En todo caso, hay que tener cuidado pues el remedio puede convertirse en enfermedad, como bien advierte por carta Farkas Bolyai a su hijo János (1802- 1860): Por amor de Dios, te lo ruego, olvídalo [el estudio matemático]. Témelo como a las pasiones sensuales, porque lo mismo que ellas, puede llegar a absorber todo tu tiempo y privarte de tu salud, de la paz de espíritu y de la felicidad en la vida (…) Yo he atravesado esta noche sin fondo, que extinguió toda la luz y la alegría en mi vida. Aprende de mi ejemplo. Las matemáticas pueden valer como remedio... ¡con prescripción facultativa! El refugio en la geometría para escapar del acoso de la fama de amante que le persigue se pone de manifiesto en Don Juan o el amor a la geometría del suizo Max Frisch (1911 – 1991), un delicioso drama desmitificador. Don Juan no puede dedicarse a lo que realmente le gusta  -la geometría- porque su imagen de mujeriego le asfixia. Hasta un matemático como Voltaire muestra enamorado su admiración por Gabrielle Émilie Le Tonnelier de Breteuil, marquesa de Châtelet, pues: Confieso que es tiránica. Para hacerle la corte es necesario hablarle de metafísica [incluyendo la matemática], cuando uno querría hablar de amor. Qué la actividad matemática es absorbente se pone de manifiesto en una curiosa pintura de Georg Melchor Kraus, un artista menor que nos ha dejado un delicioso testimonio con su cuadro titulado Conflicto entre ciencia y matrimonio (circa 1770). (Kraus. Germanisches Nacional Museum. Núremberg) Una joven esposa se enfrenta a su marido por tenerla abandonada con su dedicación a la matemática. Como resultado de tan violenta discusión los papeles con los cálculos geométricos aparecen tirados y rotos en el suelo. Kraus ha representado en una escena doméstica toda la ambición fáustica para dominar los secretos de la ciencia. 2. ¿Matemáticas, contra lujuria? Es posible que no le falte razón al doctor que recomienda matemáticas contra la lujuria desbocada, pero se presenta un problema si observamos ciertas alegorías renacentistas o barrocas de la aritmética, la geometría o la astronomía: las imágenes destilan sensualidad. Desnudo total en Verona (Alegoría de la Geometría. Verona) Durante el Medioevo se respetaron en gran medida las estipulaciones de Capella. El Renacimiento cambiará la representación: las alegorías femeninas que decorarán los palacios van perdiendo ropaje hasta llegar a la pura verdad desnuda como esta bella pintura del Museo de los Frescos de Verona. La mujer con un compás en un idílico paisaje está atribuida a la escuela de Giulio Romano, el discípulo predilecto de Rafael y proviene del Palacio Tielli de Mantua. Romano es precisamente el autor de los frescos del Palazzo Te de la ciudad, una de las cumbres del manierismo y casa de placer papal. Matemáticas voluptuosas en Ponce Otra muestra de fino y sugerente erotismo lo encontramos en el Museo de Arte de Ponce en Puerto Rico. Nos fijamos en un sugerente Despertar de las Artes del mismo Frans Floris de Vriendt (1519-1570), el pintor que introdujo el manierismo en Flandes. En la pintura anterior enfrentaba lujuria y matemáticas pero ahora ya la ambientación es diferente. También las artes duermen, se relajan, son perezosas, lánguidas y voluptuosas. (Frans Floris. El despertar de las artes. Ponce) Los atributos abandonados y la semidesnudez no nos permiten identificar cada arte. De espaldas en primer plano debemos tener a La Geometría, con globo, compás y regla. La Geometría debe estar apoyada en La Aritmética, a su derecha La Astronomía y a su izquierda La Música. Erotismo griego en Florencia El Museo del Bargello de Florencia alberga una interesante colección de esculturas, entre ellas varias obras del escultor francés Juan de Bolonia (1529-1608), afincado en Florencia, y que ejecutó grupos como La fuente de Neptuno de la Plaza de la Señoría o El rapto de las sabinas. Nos fijamos en una sensual Alegoría, la del encabezamiento, que sujeta con una mano tres instrumentos: una regla, un compás y un cuadrante. El cuadrante se suele representar como instrumento astronómico pero también era habitual en ingeniería civil y militar para determinar alturas a través del ángulo. El compás apenas se vislumbra, emparedado entre los otros dos objetos. La escultura en mármol blanco se encuentra en la bella galería abierta de la planta superior del Palacio y sigue los modelos de perfección de sus modelos griegos. Tentaciones en el púlpito La iglesia de los Santos Tomás de Newport en la Isla de Wight alberga un magnífico púlpito de madera con catorce paneles tallados. La obra data de 1637 y representa alegóricamente las siete Virtudes y las siete Artes Liberales. La Aritmética reposa sobre una tablilla de números y porta un reloj mecánico, una forma de relacionar la ciencia del número con el tiempo como contrapunto a que la geometría sea la del espacio. (Alegoría de la aritmética. Isla de Wight) Algunos fieles asistentes al sermón no podrían resistir la tentación de contemplar las transparencias y el semidesnudo de la bella Aritmética. Urania de Il Libertino El barroco veneciano Pietro Liberi (1605 – 1687), apodado Il Libertino por la sensualidad de sus pinturas, nos pone de manifiesto su desbordante estilo en la Urania del Museo de Arte de Sebastopol M. Kroshitskiy. Una esfera armilar que caracteriza a la Astroomía sirve para dotar de significado a la representación. La habitual mirada perdida en la contemplación de los cielos se ha cambiado por una estatuilla, quizá Urania sea ella y la dama sea una astrónoma. (Il Libertino. Alegoría de Urania. Sebastopol) Geometría prudente El manierismo renueva la representación de las alegorías con gran libertad y con mensajes que no son fáciles de descifrar. El pintor boloñés Lorenzo Sabatini fue discípulo de Vasari y del Parmigianino, uno de los artistas más inquietos de su época. La pintura atribuida a Sabatini que se puede visitar en la Galería Sabuada de Turín, hoy titulada Alegoría de la Geometría (circa 1560), ha pasado por distintas autorías e interpretaciones. El compás y la esfera celeste podrían hacerla pasar tanto por Urania, Astronomía o Geometría, pero el espejo suele ser acompañante de la Prudencia, que también aparece muchas veces con compás pero no desnuda. (Sabatini. Alegoría de la Geometría. Turín) Conocido el interés del Parmigianino (y de su época) por los espejos curvos sería destacable que el cuadro fuera una muestra de cómo el arte se hace eco, mediante una encantadora geometría, de los estudios matemáticos de la imagen deformada. Medio siglo después estas investigaciones cambiarían con el telescopio la visión del mundo. Desnudos matemáticos universitarios El aristócrata renacentista Thomas Bodley es uno de los exponentes de la ilustración inglesa de la época isabelina. Este diplomático y universitario es hoy recordado por llevar su nombre la Budlian Library de Oxford, la biblioteca cuya reforma acometió dándole un carácter avanzado. En la capilla del Merton College destaca el mausoleo de alabastro de Bodley, fallecido en 1613. Es de reseñar que este memorial conecta dos tradiciones: la representación de los poliedros y la de acompañar el sepulcro con las alegorías de las Artes Liberales. (Alegoría de la aritmética. Oxford) Reyes, nobles y eclesiásticos cubrieron su sepultura con representaciones de las Artes en toda Europa, pero el uso de los poliedros es casi un endemismo inglés del que hemos ido, y seguiremos, dando cuenta. La Aritmética, con tablilla numérica, se encuentra representada en la parte superior derecha del medallón, y la Geometría, con regla y compás, en la inferior izquierda. Las huellas del manierismo no pueden dejar de verse. Nos hemos limitado a destacar una pequeña muestra de alegorías matemáticas voluptuosas, son una mínima parte de una presencia universal en los siglos XVI y XVII. 3. Todopoderoso Eros Las opiniones están divididas sobre quien es más poderoso, la Matemáticas o Eros. En Omnia vincit Amor, la anterior Instantánea Matemática número 36, mostramos como Virgilio había sentenciado en sus Bucólicas (37 a.C.) que : Omnia vincit Amor et nos cedamus Amori. (El amor conquista todas las cosas, rindámonos al amor) (El triunfo del amor. Caravaggio. Berlín) Será Michelangelo Merisi da Caravaggio, en plena madurez creativa, quien en 1602 dará la forma iconográfica más provocadora al amor convirtiéndolo en un modelo que fue imitado por otros artistas manieristas y barrocos. La alegoría plasma con fuerza, y de forma inquietante, la poderosa victoria del amor sobre todo lo que se le oponga. Cupido deja de ser una figura infantil para convertirse en un joven mórbido realzado por el claroscuro. Eros pisotea los emblemas del poder, las artes y las ciencias. Un compás abierto y una escuadra ponen de manifiesto que también la matemática puede ser vencida por el amor.
Lunes, 01 de Febrero de 2021 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Luis Nuño (Universidad Politécnica de Valencia)
1. Introducción En la primera parte de este trabajo hemos visto la forma interválica y el vector de clases de intervalos o ICV, que indica el contenido de un conjunto de notas en cuanto a intervalos, es decir, clases de cardinalidad c = 2. En esta segunda parte introduciremos unas versiones avanzadas del mismo, que son el “Vector de Tipos de Tricordos” y el “Vector de Clases de Tricordos”, los cuales indican el contenido de un conjunto de notas en cuanto a tricordos, es decir, tipos y clases de cardinalidad c = 3. Estos tres vectores han sido claves para elaborar la Tabla Periódica vista anteriormente, cuyo estudio completaremos ahora con la información relativa a los tipos de conjuntos y a los pares de clases Z-relacionadas. Por último, veremos también las formas primas de Forte y de Rahn, ampliamente utilizadas para representar las clases de conjuntos y que pueden obtenerse muy fácilmente a partir de la forma interválica introducida aquí, lo que constituye otra de sus interesantes propiedades. 2. Vector de Tipos de Tricordos: TTV Para c = 3, hay 12 clases de conjuntos, los tricordos, cuyas formas interválicas primas, ordenadas por ICV decreciente, pueden verse en la Tabla Periódica (Tabla 1). Todas ellas tienen s = 1 salvo la 3-12, la tríada aumentada, que tiene s = 3. Cinco de ellas son inversionalmente simétricas, concretamente 3-1, 3-6, 3-9, 3-10 y 3-12. Y cada una de las otras 7 está formada por dos tipos de conjuntos, relacionados entre sí por inversión. Los dos tipos que forman una clase tienen el mismo ICV, pero una sonoridad diferente, así como una forma interválica también diferente. Un claro ejemplo es la clase 3-11, formada por las tríadas mayor y menor, cuyas formas interválicas normales son, respectivamente, y . En estos casos, al tipo de conjunto que tenga la menor de ellas le llamaremos “tipo a” y al otro “tipo b”. Por tanto, la tríada menor será de tipo a y la tríada mayor de tipo b (ya que 345 es menor que 354). En total, para c = 3 tenemos 5 + 2x7 = 19 tipos de tricordos. Tabla 1. Tabla Periódica de las Clases de Conjuntos. Para los conjuntos de más de 3 notas, podemos determinar cuántos tricordos de cada tipo se pueden formar con sus notas. El resultado son 19 números que forman el “Vector de Tipos de Tricordos” o TTV. Por claridad, este vector lo escribiremos como dos grupos de 9 y 10 números separados por un guion, el primero de los cuales corresponde a los tricordos 3-1, 3-2a, 3-2b, 3-3a, 3-3b, 3-4a, 3-4b, 3-5a y 3-5b (los cuales contienen al menos un semitono) y el segundo a 3-6, 3-7a, 3-7b, 3-8a, 3-8b, 3-9, 3-10, 3-11a, 3-11b y 3-12 (los cuales no contienen ningún semitono). Por ejemplo, el TTV de la clase 4-28 (acorde de séptima disminuida) es (000000000-0000004000), ya que solo contiene 4 tricordos del tipo 3-10, que es la tríada disminuida. El TTV de la clase 5-35 (escala pentatónica) es (000000000-1220030110), donde el primer grupo de números son todos ceros porque esta clase no contiene semitonos, y el TTV de la clase 7-35 (escala mayor) es (022002211-3441151330), donde los últimos cuatro elementos indican que hay 1 tríada disminuida, 3 menores, 3 mayores y ninguna aumentada. Se ha comprobado que solo hay dos tipos de conjuntos con el mismo TTV, que son los pertenecientes a la clase 6-14, el cual es (111222200-1110010221). Todos los demás tipos tienen TTV diferentes, por lo que este vector caracteriza completamente su sonoridad. En las clases de conjuntos de más de 3 notas que tienen dos tipos, la asignación de los tipos a y b ya no se hace según su forma interválica normal, sino que se asigna el tipo a al que tenga mayor TTV, siendo el otro de tipo b. De esta forma, se demuestra que el complementario de un tipo a es siempre un tipo b y viceversa [1]. La única excepción son los dos tipos de la clase 6-14, ya que tienen el mismo TTV, lo cual se indica en la Tabla Periódica mediante un superíndice con el símbolo “=”. Además, ambos son autocomplementarios, es decir, cada uno es el complementario de sí mismo. Entonces, en este caso, sí asignamos el tipo a al de menor forma interválica normal, es decir, al que tiene la forma interválica prima. Con estos criterios, la mayoría de las formas interválicas primas resultan ser de tipo a. Hay, sin embargo, excepciones, en donde la forma interválica prima es de tipo b, que son 6-10, 6-18, 7-11, 7-26, 7-28, 8-12, 8-14, todas las cuales ocurren para c ≥ 6 y se indican en la Tabla Periódica mediante un asterisco (*). Por otra parte, los TTV de los tipos a y b de una misma clase de conjunto están relacionados entre sí de una forma muy sencilla, de manera que podemos obtener el TTV de uno de ellos a partir del del otro. Para ello solo hay que intercambiar los elementos que corresponden a dos tipos de la misma clase de tricordo, tal como se muestra en la Figura 2. Por ejemplo, para la clase , considerada en la Sección 2 del artículo anterior, si conocemos el TTV de su tipo a, que es (010001211-0001010110), podemos obtener el del tipo b, que es (001002111-0000110110). Figura 2. Relación ente los TTV de los tipos a y b de una misma clase de conjunto. 3. Vector de Clases de Tricordos: TCV De forma alternativa al TTV, podemos definir también un “Vector de Clases de Tricordos” o TCV, que indique cuántos tricordos de cada clase contiene un conjunto dado de más de 3 notas. Este vector constará de 12 elementos, los cuales se pueden obtener fácilmente del TTV, simplemente sumando los elementos que corresponden a dos tipos de la misma clase de tricordo. Esta operación se muestra en la Figura 3, donde t1 … t19 son los elementos del TTV (cualquiera de los dos tipos, a o b) y f1 … f12 los elementos del TCV. Así, por ejemplo, el TCV de la clase 4-28 (acorde de séptima disminuida) es (00000-0000400), el de la clase 5-35 (escala pentatónica) es (00000-1403020), el de la clase 7-35 (escala mayor) es (04042-3825160) y el de la clase es (01032-0011020). Figura 3. Relación entre la TTV y la TCV de una misma clase de conjunto. Se puede comprobar que cada clase de conjunto tiene un TCV diferente, por lo que este vector caracteriza completamente su sonoridad. Esto no ocurre con el ICV ya que, como hemos visto, hay pares de clases con el mismo ICV o Z-relacionadas. En estos casos, la que tiene mayor TCV diremos que es “dura”, ya que siempre tiene los intervalos menores más juntos, y la otra “blanda”. Además, se demuestra que la complementaria de una clase dura siempre es blanda y viceversa [1]. En el caso particular de los hexacordos (c = 6) esto implica que, si dos clases están Z-relacionadas, cada una es la complementaria de la otra. En la Tabla Periódica, los pares de clases Z-relacionadas, como ya se ha indicado, están en la misma celda, ya que tienen el mismo ICV. Entonces, para identificarlas, la dura se ha colocado en la parte superior. Como ejemplo, consideremos las clases 5-Z12 y 5-Z36, cuyo ICV común es (222121). Sus TCV son, respectivamente, (02022-1200100) y (11102-1101110), por lo que la primera es blanda (parte inferior de la celda) y la segunda dura (parte superior de la celda). Sus formas interválicas primas son, respectivamente, y , donde podemos comprobar que la segunda tiene, efectivamente, los intervalos menores más juntos (dos “1” seguidos frente a dos “1” separados cuatro semitonos). Sus clases complementarias son, respectivamente, 7-Z12 (dura) y 7-Z36 (blanda), pudiéndose comprobar que la primera tiene los intervalos menores más juntos. Además, la clase 5-Z36 está formada por dos tipos, 5-Z36a y 5-Z36b, por los que sus complementarios son, respectivamente, 7-Z36b y 7-Z36a. Una última característica de la Tabla Periódica es que, en cada período, las clases que tienen el mismo número de semitonos (número de “1” en la forma interválica o el primer elemento del ICV) se han representado con un mismo color de fondo. Y este color se ha asignado también a sus clases complementarias. De esta manera, dada una forma interválica prima, es más fácil localizarla en la tabla. Por ejemplo, la forma interválica prima , considerada en la Sección 2 del artículo anterior, tiene 5 notas y 2 semitonos, por lo que está en el período 5, en las celdas de color azul, y es la clase 5-20. Conviene señalar que este grupo de celdas es uno de los más numerosos, por lo que en otros casos esta búsqueda resulta mucho más sencilla. En la Tabla 2 se muestra, para cada período, el número de clases de conjuntos que tienen el mismo número de semitonos, es decir, el mismo color de fondo en la Tabla 1 (se ha seguido una disposición similar en ambas tablas). Así mismo, para cada período se muestra el número total de clases, tipos y conjuntos de notas. Dado que también se ha incluido la clase 0-1 (silencio), el número total de conjuntos de notas es, lógicamente, 212 = 4096, que pueden agruparse en 352 tipos o 224 clases. Nótense las simetrías que hay entre los períodos complementarios. Tabla 2. Número de Clases, Tipos y Conjuntos de Notas. Período Clases de conjuntos con el mismo número de Semitonos Clases Tipos Conj. Notas 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0- 1 1 1 1 1- 1 1 1 12 2- 1 5 6 6 66 3- 1 4 7 12 19 220 4- 1 8 12 8 29 43 495 5- 1 6 18 10 3 38 66 792 6- 1 9 19 17 3 1 50 80 924 7- 1 6 18 10 3 38 66 792 8- 1 8 12 8 29 43 495 9- 1 4 7 12 19 220 10- 1 5 6 6 66 11- 1 1 1 12 12- 1 1 1 1 Total 1 0 1 1 6 5 16 19 36 36 47 30 26 224 352 4096 4. Formas Primas de Forte y de Rahn Como hemos visto en la primera parte de este trabajo, la forma interválica que hemos introducido aquí es realmente útil para representar los tipos de conjuntos, dadas sus importantes propiedades. Sin embargo, en los listados proporcionados por Forte [2] y Rahn [3] solo se incluyen las clases de conjuntos y se representan mediante sus propias “formas primas”, que en la mayoría de los casos son iguales, pero no siempre. Lo mismo ocurre en los listados de Straus [4], quien utiliza las formas primas de Rahn. Por otra parte, estas formas primas no están basadas en intervalos, sino en notas y empiezan siempre por el Do. Por ejemplo, la forma prima, tanto de Forte como de Rahn, de la clase 3-11 (tríadas mayores y menores) es [037], es decir, las notas Do, Mib, Sol, que corresponden al acorde de Do menor. Y la forma prima de la clase 3-12 (tríada aumentada) es [048] (Do, Mi, Sol#). En otros casos, sin embargo, la forma prima no es tan fácil de reconocer. Por ejemplo, la forma prima, tanto de Forte como de Rahn, de la clase 7-35 (escala mayor) es [013568A], que corresponde a la escala de Reb mayor. Esto es consecuencia de los procedimientos utilizados por Forte y Rahn para obtener sus formas primas, que por cierto son bastante laboriosos. Sin embargo, ambas pueden obtenerse fácilmente a partir de la forma interválica vista aquí. A continuación, veremos cómo y lo ilustraremos con el conjunto de notas [59A24], visto en la Sección 2 del artículo anterior, cuya forma interválica es . Forma Normal de Rahn: tomamos la permutación circular que corresponda al número mayor, pero visto de derecha a izquierda (es decir, en “orden colexicográfico”), que es . Y ahora, empezando por “0”, escribimos las demás notas separadas por los intervalos indicados en esa forma interválica (salvo el último), es decir, [02378]. Forma Normal de Forte: tomamos la permutación circular que tenga el mayor intervalo a la derecha y, si hay varias opciones (como ocurre aquí, ya que hay dos “4”), la que corresponda al número menor (visto de izquierda a derecha), que es . Y ahora, empezando por “0”, escribimos las demás notas separadas por los intervalos indicados en esa forma interválica (salvo el último), es decir, [01578]. Aunque en este caso las formas normales de Forte y de Rahn son distintas, en la mayoría de los casos son iguales. Forma Prima de Rahn: hay que hallar las formas normales del conjunto dado y de su inverso, y tomar la menor de ellas. La forma interválica del conjunto inverso es , que es también su forma interválica prima. Su permutación circular que corresponde al número mayor visto de derecha a izquierda es , que da lugar al conjunto de notas empezando por “0”: [01568]. Esta es también la forma prima de Rahn, ya que es menor que [02378]. Forma Prima de Forte: también hay que hallar las formas normales del conjunto dado y de su inverso, y tomar la menor de ellas. Para el conjunto inverso, la forma interválica que tiene el mayor intervalo a la derecha y corresponde al número menor es precisamente , que da lugar al conjunto de notas empezando por “0”: [01378]. Esta es también la forma prima de Forte, ya que es menor que [01578]. De nuevo, en este caso las formas normales de Forte y de Rahn para el conjunto inverso son distintas, aunque en la mayoría de los casos son iguales. No obstante, siempre coinciden en si la forma prima corresponde al conjunto dado o a su inverso. En este sentido, la forma interválica prima también suele coincidir con ellas, como ocurre en este ejemplo, pero no siempre es así. La mayoría de las formas primas de Forte y de Rahn son de tipo a, pero algunas son de tipo b, las cuales se indican en la Tabla Periódica mediante el superíndice “+”. Sorprendentemente, son justo las complementarias de las marcadas con “*” más la 6-14, por lo que todas ellas ocurren para c ≤ 6. Como se puede observar, dada la forma normal de Forte o de Rahn de un conjunto de notas, no es nada obvio obtener, a partir de ella y sin usar la forma interválica, la correspondiente forma normal de su inverso o su complementario. Y tampoco permite determinar fácilmente sus simetrías, ni inversional ni transposicional. Por tanto, lo más práctico y sencillo es usar siempre la forma interválica introducida aquí y, a partir de ella, obtener las formas de Forte y de Rahn que sean necesarias. 5. Conclusiones e Información Adicional En la segunda parte de este trabajo se han realizado dos generalizaciones del vector de clases de intervalos o ICV: el vector de clases de tricordos o TCV y el vector de tipos de tricordos o TTV. El TCV permite distinguir entre dos clases Z-relacionadas, por lo que caracteriza la sonoridad de las clases de conjuntos. Y el TTV permite distinguir entre los dos tipos de una misma clase, por lo que caracteriza la sonoridad de los tipos de conjuntos, salvo el 6-14a y el 6-14b, que son los únicos que tienen un mismo TTV. Además, hemos visto una nueva utilidad de la forma interválica, que es la obtención de las formas normales y primas de Forte y de Rahn. Como resumen final diremos que, en la Tabla Periódica que se ha desarrollado, aparecen ordenadas todas las clases de conjuntos y permite ver, de un simple vistazo, sus principales características y las relaciones entre ellas. En particular, proporciona la siguiente información: los nombres de Forte, los tipos de simetría inversional y transposicional, las relaciones Z y las clases complementarias, las formas interválicas primas y la indicación de su tipo (a o b), lo cual permite obtener las formas normales de todos los tipos de conjuntos y, a partir de ellas, las correspondientes formas de Forte y de Rahn. Además, dada una forma interválica prima, es fácil localizarla en la tabla. Los tres vectores ICV, TCV y TTV han sido claves para elaborar esta tabla. En la publicación [1], además de la Tabla Periódica, se incluye un apéndice matemático donde se obtienen las fórmulas que relacionan los ICV y los TTV de un conjunto y su complementario, mediante las cuales se demuestran las afirmaciones que se han dado aquí sin demostración. Además, se incluye un segundo apéndice que es un listado pormenorizado de las clases y tipos de conjuntos, donde se da, para cada uno de ellos, la forma interválica normal, la forma normal de Rahn (y la de Forte cuando es diferente de ella), el nombre de Forte “extendido” (incluyendo el tipo, a o b, y su Z-relacionado si lo tiene), el ICV y el TTV. La inclusión de este último vector representa una diferencia significativa con respecto a los listados publicados con anterioridad en la bibliografía. Puede encontrarse más información sobre esta y otras materias similares en la página Web www.ruedaarmonica.com o www.harmonicwheel.com. 6. Referencias [1] Nuño, Luis. (2020). A Detailed List and a Periodic Table of Set Classes. Journal of Mathematics and Music, DOI: 10.1080/17459737.2020.1775902. [2] Forte, A. (1973). The Structure of Atonal Music. New Haven: Yale University Press. [3] Rahn, J. (1980). Basic Atonal Theory. New York: Schirmer Books. [4] Straus, J. N. (2016). Introduction to Post-Tonal Theory, 4th Edition. New York: W. W. Norton.
Martes, 12 de Enero de 2021 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/El rincón matemágico
Autor:Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)
En nuestra última aparición por este rincón —que fue el año pasado aunque sólo haya pasado un mes—, comentamos algunos tipos de mezclas, que son en realidad permutaciones del conjunto de cartas, sobre las que podemos predecir el orden final de las cartas o, al menos, la posición relativa entre ellas. En esta ocasión, nos dedicaremos a estudiar con más detalle algunas de estas propiedades. Entre la gran cantidad de maneras de ordenar un conjunto de cartas, hay dos que gustan o deben gustar a los amantes de las simetrías: el orden cíclico y el orden especular. Veamos en qué consisten con un caso sencillo: si tenemos dos conjuntos idénticos de 5 números, digamos y , formamos cualquier permutación del primer conjunto y colocamos a continuación la misma permutación del segundo conjunto, el resultado  es un conjunto de 10 números en orden cíclico. Sin embargo, si invertimos el orden de la segunda permutación, el conjunto total tendrá orden especular. Por ejemplo, el conjunto tiene orden cíclico pero el conjunto  tiene orden especular. La primera ordenación se llama cíclica porque el ciclo 13254 se repite y tiene la propiedad de que, al cortar por cualquier lugar y completar el corte, el conjunto sigue estando compuesto por dos grupos iguales con la misma permutación. La segunda ordenación se llama especular porque se comporta como si se colocara un espejo entre ambos. Ahora ya no se puede cortar por cualquier lugar pues se perdería dicha propiedad. Es relativamente sencillo descubrir diversas propiedades de invariancia entre estas dos ordenaciones cuando se realizan ciertas mezclas pero, antes de señalar algunas de ellas, prefiero que las descubras a partir del juego que proponemos a continuación. Ya hemos mencionado en este rincón al prolífico mago canadiense Stewart James (por ejemplo, en el número 99 de noviembre de 2012). En uno de sus recordados artículos para la revista «Scientific American», Martin Gardner se refirió a él como «un mago que ha inventado más juegos de magia matemática con cartas de alta calidad que cualquier otro». Alrededor de 1928, ideó un juego que tituló "Murder By Suggestion", que fue publicado casi inmediatamente, en marzo de 1980, en la revista New Pentagram (en la imagen adjunta se muestra la portada de dicho número), que fue seleccionado posteriormente en la monumental recopilación The James File (2000), así como en la posterior selección The Essential Stewart James (2007), ambos escritos por Allan Slaight, y que ha sido adaptado por varios autores, como Werner Miller (también asiduo a este rincón) y Shane Causer. Describiremos aquí esta última versión que el autor titula "Finding a Mate", como aparece en su libro «Automata: beyond self-working magic» (2005). Antes de empezar con el juego, busca una baraja y aparta las cartas del as al siete de dos palos cualesquiera. Puedes descartar el resto pues no las usaremos más. Miento, busca también un comodín o la dama de corazones o cualquier otra carta que se distinga de las catorce elegidas. Ordena las cartas del modo indicado en la imagen: Forma con ellas un paquete, colócalas con las caras hacia abajo y corta por cualquier lugar. Completa el corte para no saber el orden en que han quedado. Intercala el comodín por cualquier lugar, cara arriba para no perderlo de vista durante el siguiente proceso. Reparte las cartas sobre la mesa, una a una y forma con ellas dos montones: la primera a la izquierda, la segunda a la derecha, la tercera a la izquierda, y así sucesivamente. El primer montón tendrá una carta más pero no es importante. Recoge las cartas colocando uno de los montones sobre el otro; no importa si colocas el de la izquierda sobre el de la derecha o viceversa. Repite el reparto del paso 4 y la recogida del paso 5. Extiende las cartas en abanico y retira el comodín junto con las dos cartas adyacentes a él, la que está encima y la que está debajo. Vuelve a cerrar el abanico con las cartas restantes. ¡Sorpresa! Si giras las cartas del paquete por parejas, ninguna de ellas contiene dos cartas del mismo valor pero las dos cartas que estaban junto al comodín sí tienen el mismo valor. Parece que el comodín ha interpretado el papel de Cupido. COMENTARIOS FINALES: El orden indicado en la descripción no es importante: basta que el segundo grupo esté en el mismo orden que el primero. Un método habitual para conseguir que un grupo de cartas quede en orden cíclico es romper todas las cartas por la mitad en bloque y colocar una mitad sobre la otra. Ya hemos aplicado esta drástica solución en algún lugar, como en el número 84 de junio de 2011, con el juego "Las cartas rotas" y puede ser una opción para este juego lo que ahorraría la ordenación de los dos grupos de cartas. Esto significa que tampoco tienen que estar separadas las rojas y las negras, lo importante son los valores de las cartas. En el juego original, Stewart James utilizaba dos grupos de 14 cartas en orden cíclico de manera que la suma de los valores de las dos cartas adyacentes al comodín fuera el resultado de una predicción inicial. Para conseguirlo, basta observar qué cartas son las que se colocan junto al comodín cada vez que se realizan los repartos indicados en la descripción del juego. Como había prometido al principio, plantearé algunas características invariantes del orden especular y el orden cíclico respecto a ciertas mezclas. Estas mezclas son la mezcla Klondike y Monge (de las que ya hablamos el mes pasado) y la mezcla antifaro (que consiste simplemente en repartir las cartas sobre la mesa en dos montones —como en el juego anterior— y recoger uno sobre el otro). Te dejo como tarea la interpretación y comprobación de estas propiedades y la aplicación en algún juego de magia que se te ocurra con ellas: + CORTE ANTIFARO KLONDIKE MONGE CÍCLICO cíclico especular ESPECULAR especular cartas en parejas cíclico Las secuencias cíclicas son también fuente de juegos matemáticos sorprendentes (como, por ejemplo, en el número 30 de este rincón correspondiente a julio de 2006) y aparecen con mucha frecuencia; sin ir más lejos, la representación decimal de las fracciones es siempre cíclica, desde los números enteros cuya parte decimal contiene un ciclo infinito de ceros hasta ejemplos más complejos como los primos generadores, que forman la sucesión A001913 como aparece en la On-line Encyclopedia of Integer Sequences. ¿Te imaginas encontrar la parte cíclica del número 1/223? Tiene 222 cifras. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)
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Cultura y matemáticas/Instantáneas matemáticas
Autor:Ángel Requena Fraile
(Meridiana de la Antecámara Real. Monasterio de San Lorenzo de El Escorial) España no ha destacado por la construcción de líneas meridianas de uso astronómico u horario. Ninguna de sus grandes catedrales ha visto su pavimento atravesado por esa lujosa línea ni sus edificios públicos muestran su meridiana con analema como en Italia o Francia. Habría que esperar hasta el siglo XVIII para que tres palacios reales construyeran meridianas. Un modesto franciscano diseñó una en su convento de Benissa en los inicios del siglo XX y nada más hasta nuestros días, cuando en la restauración de San Pedro de Becerril de Campos se incluye su implantación. Meridianas: un sencillo y útil instrumento astronómico La inclinación del eje de rotación de la Tierra respecto al plano de su traslación es la causa de la diferente duración de los días y del aumento o disminución de las sombras al mediodía a lo largo de las Estaciones. La consecuencia de la diferente insolación e intensidad son los cambios climáticos de temporada o que en el interior de los círculos árticos se tenga Sol de medianoche. La elevación solar del mediodía puede cambiar hasta 47º (el arco entre los dos Trópicos), lo que hace que en lugares como San Lorenzo de El Escorial la sombra de una vara de 1 metro supere los 2 metros al mediodía en el solsticio de invierno y alcance solo 31 centímetros en el solsticio de verano. Estos cambios permiten tener tanto un calendario de las Estaciones como un ajuste de la hora. Una meridiana no es más que una línea trazada en un plano horizontal (incluso en vertical o curvo) que lleva la dirección sur-norte del meridiano del lugar y que recibe una pequeña elipse de luz de un orificio gnomónico (meridianas de cámara oscura) o la sombra de un gnomon (meridianas exteriores). Sobre la línea se suelen marcar los solsticios, equinoccios y el resto de los puntos del zodiaco. Las meridianas mayores suelen incluir hasta los días. Y cuando el sistema horario era diferente marcaba las horas del mediodía solar. Las grandes meridianas pueden ser buenos instrumentos para fijar ajustar fechas y horas, además de otras verificaciones astronómicas. Cuánto más alto está el orificio más precisión se obtiene. Durante el Renacimiento empezaron a proliferar meridianas en los grandes edificios: no es de extrañar que la Catedral de Florencia tenga en la linterna de Brunelleschi un orificio marcado. La meridiana es la más antigua conservada y la más alta: fue construida en 1475 por el astrónomo Paolo del Pozzo Toscanelli, quien aprovechó los 90 metros de altura de la cúpula. La elipse de luz solo llega al suelo en los días próximos al solsticio de verano. (Diseño de la Meridiana. Duomo de Florencia) La meridiana de referencia que sirvió como verdadero laboratorio de investigación fue la de San Petronio en Bolonia con sus 66 metros de larga. La meridiana de la colosal iglesia vio la coronación de Carlos V como emperador. Muchas catedrales como la de Milán o Palermo cuentan con sus lujosas y largas meridiana. El analema Analema es un término que ha ido evolucionando. En su etimología griega y el uso que hace Vitruvio se refiere al pedestal de un reloj de gnomon vertical. Hoy un reloj solar analemático es aquel cuyas horas están marcadas en una elipse y que usa la sombra de una persona que se debe situar en distintas posiciones del eje menor según la fecha marcada. (Analema. Posición del Sol al mediodía civil en un año) La palabra analema ha quedado reservada para la curva lemniscata que diferencia la hora solar de la hora civil, diferencia que en ejes cartesianos se llama ecuación del tiempo. El analema permite compensar la hora marcada por el reloj solar sobre la meridiana, tiempo solar aparente, del tiempo solar medio que es el tiempo civil. La diferencia se debe tanto a la órbita elíptica como la inclinación del eje de rotación. La ecuación del tiempo es suma de las dos sinusoides, una de periodicidad anual (la elipse) y otra de periodo semestral (la inclinación). La máxima diferencia se produce en Noviembre y no alcanza los 17 minutos. Las meridianas del Padre Wendlingén El jesuita Juan Wendlingén (Praga, 1715 – 1790) llegó a España como profesor de Matemáticas de los Estudios Reales del Colegio Imperial (Reales Estudios de San Isidro) y del Real Seminario de Nobles, ambos regentados por la Compañía de Jesús. Alcanzó el puesto de Cosmógrafo Real, del Supremo Consejo de Indias, y además fue profesor del futuro Carlos IV. El matemático abandona el Reino tras la Pragmática Sanción de 1766 que decreta la expulsión de la Orden. El padre Wendlingén construye cuatro meridianas en Palacios Reales, dos en San Lorenzo de El Escorial (1755), una en el Buen Retiro (1756) y otra en el Despacho del Rey en Aranjuez. Todas fueron encargadas por Fernando VI. La del Buen Retiro ha desaparecido y la de Aranjuez fue cegada ignorándose su estado por estar cubierta por moqueta. Un libro da cuenta detallada de la construcción y funcionamiento de la Meridiana del Buen Retiro. El libro describe una meridiana con Analema. Si las de San Lorenzo lo tuvieron no se ha conservado. (Portada del libro de padre Wendlingén) En dos salas colindantes de la zona palaciega del Monasterio de El Escorial, Antecámara Real y Sala del Paseo, destacan sobre el rojo pavimento dos líneas de piedra negra con incrustaciones de latón dorado que incluyen marcas de los signos del zodiaco. Una de ella va firmada por el Padre Wendlingén en 1755. Las dos   miden unos cinco metros y su orificio se localiza encima de las ventanas a algo más de dos metros. Las meridianas no funcionan por estar permanentemente cerrado el ventanuco con un postigo de hierro. La recuperación del orificio gnomónico solo requiere sensibilidad y respeto por la cultura científica. No se debería esperar ni un día más para dejarlas que funcionen. No necesitan mantenimiento: el Sol lo hace todo. (Atribución al padre Wendlingén. San Lorenzo de El Escorial) La cornisa mordida del jardín de los frailes Un paseo por los jardines de los frailes, vertiente sur del Monasterio de San Lorenzo de El Escorial, permite apreciar dos postigos metálicos situados encima de dos ventanas. Son las protecciones de los orificios de las meridianas. (Orificios gnomónicos. San Lorenzo de El Escorial) Lo que no resulta fácil de apreciar si no hemos sido advertidos es que la cornisa tuvo que ser recortada para que en el solsticio de verano, el Sol a solo 17º de la vertical no fuera ocultado por el saliente. Los postigos no dejan ver como los gruesos muros de piedra tiene una hendidura inclinada para que los rayos de luz penetren sin obstáculo. La meridiana de Fray Pacífico en Benissa (Detalle del trazado de la meridiana. Benissa) El modesto convento franciscano de la Purísima Concepción de la Madre de Díos de Benissa fue fundado en 1611 con buena traza y fachada de sillería. Un patio muy agradable con arcadas de medio punto, a modo de claustro, no desmerece de la sencilla construcción. Este pequeño monasterio de Benissa goza del honor de tener todavía dibujado en el suelo una línea meridiana con analema. El orificio gnómonico desapareció con las obras de la fachada sur pero el azulejo rayado con la meridiana se conserva. El monje valenciano Fray Pacífico Albero Estany estuvo en Benissa antes de trasladarse a Argentina, donde falleció. Fray Pacífico construyó la meridiana, a principios del siglo XX, en lo que fue la biblioteca. El muro sur tuvo que ser demolido y su balcón cambió de lugar. La biblioteca fue dividida y hoy son el despacho y el dormitorio del Padre Superior. Solo ha quedado la huella de la línea meridiana, unos 4 metros de trazo sencillo, y de su analema, con trazada múltiple, apenas unos arañazos sobre una bella baldosa hidráulica de simetría p4m (celda base obtenida juntado cuatro baldosas). La meridiana de San Pedro en Becerril de Campos Desde el 19 de marzo de 2015 se puede visitar una meridiana de cámara oscura funcionando en España. La reconversión de una iglesia en ruinas en un espacio cultural astronómico ha rellenado ese lamentable vacío. En Italia están catalogadas más de setenta meridianas en funcionamiento. En España no había ninguna visitable hasta que Becerril de Campos, al lado de Palencia, ha construido la suya. (Meridiana de San Pedro. Becerril de Campos) La Iglesia de San Pedro se ha convertido en una referencia obligada. Además la meridiana no está sola; un Péndulo de Foucault, y dos estenopes (orificios pequeños) más para estudiar el movimiento de precesión y el solsticio de invierno completan el conjunto del interior. Los frescos con el cielo estrellado y los planetas crean el ambiente propicio. Fuera se han instalado dos pequeños relojes solares Becerril ya era lugar de visita obligada por las maravillosos tablas de Berruguete, por el Canal de Castilla y por su mudéjar: con la meridiana han mostrado que patrimonio histórico, arte y ciencia combinan muy bien. El estenope gnomónico está en una ventana lo suficientemente alta para que la línea meridiana se quiebre y continúe en el muro opuesto: la elipse luminosa en invierno supera el ancho de la nave. La meridiana debe visitarse en días soleados pasada la una en horario de invierno y pasadas las dos en el de verano para poder ver la transición Se habla de poner la analema, ecuación del tiempo, pero ahora no la tiene. (Panorámica de San Pedro. Becerril de Campos) Meridiana virtual de Ceballos en San Lorenzo de El Escorial Las dos meridianas del Padre Juan Wendlingen de 1755 no son las únicas que se pueden contemplar en el Real Monasterio de San Lorenzo de El Escorial. Luís Ceballos Medrano, ingeniero de Montes y catedrático de Geodesia, utiliza en 1905  como práctica de la asignatura una línea casi diagonal del atrio principal (poniente) que utilizó como referencia de la meridiana geográfica del lugar. El Monasterio se diseño con una declinación de más de 12º al nordeste. Se han aportado distintas razones para la rotación del edificio: conseguir mayor insolación invernal en la fachada de mediodía, error de medición, orientación oeste a la festividad de San Lorenzo, eje orientado a los Santos Lugares, o un criterio escenográfico para realzar la visión del monumento. Ceballos aporta otra sin mucho sentido: orientada según la brújula en el momento de su diseño. El polo norte magnético en 1550 estaba al noroeste y no al nordeste. El resto de las razones son especulativas: ni Juan Bautista de Toledo ni el propio Monarca expresaron su razón. (Placa en el pavimento del atrio principal. San Lorenzo de El Escorial) En 1995 el Patrimonio Nacional tuvo el acierto de colocar dos nuevas placas metálicas conmemorativas que marcaban la dirección de la meridiana de Ceballos. En los dos extremos del atrio principal. Son una buena referencia para apreciar la declinación de la obra. Meridiana exterior del Parque de las Ciencias de Granada La parte al Este de la esquina Sur del Parque de las Ciencias de Granada está dedicada a los relojes solares y las meridianas. Se trata de un conjunto didáctico de gran interés y encanto por dar relevancia a una materia que debería ser de conocimiento general. Encontraremos relojes de todo tipo pero sencillos, orientados al sur y al este/oeste, ecuatoriales y de gnomón vertical, con correcciones de la ecuación del tiempo y sin ella. La meridiana de agujero es quizá la única en funcionamiento en España con analema pero queda ridícula y paupérrima, por pequeña y carecer de las habituales marcas del zodiaco.  Las explicaciones brillan por su ausencia. (Meridiana exterior con analema. Granada)
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Cultura y matemáticas/Cine y matemáticas
Autor:Alfonso Jesús Población Sáez
Si recuerdan la anterior reseña, acabábamos el año hablando de ñoñerías. Como seguimos de fiestas navideñas, empezamos el año nuevo con más de lo mismo (esta peli se estrenó un 8 de enero de 1965), una comedia familiar con las que los yanquis hacían soñar al mundo con su idílica way of life (que luego descubrimos/descubrieron que era más falsa que una gaseosa sin azúcar). Si leemos el cartel anunciador de la película, nos dice (traduzco a mi aire): “¿Qué es toda esa escandalera? Son carcajadas, ... ¡¡por la película más divertida del año!! Y debajo nos relata prácticamente todo el argumento de la película: Un profesor de poesía descubre que su hijo de ocho años es: 1.- Un genio matemático 2.- Un músico con un oído pésimo 3.- Un artista daltónico 4.- Un espabilado por una gatita sexy de 36 – 24 – 36 llamada “Querida Brigitte”. Añada apuestas de caballos, adolescentes conspiradores, y te troncharás a cada minuto. Como es mi costumbre, empezamos conociendo sus datos técnicos y artísticos: Ficha Técnica: Título: Querida Brigitte. Título Original: Dear Brigitte. Nacionalidad: EE. UU, 1965. Dirección: Henry Koster. Guion: Hal Kanter, basado en la novela Erasmus with Freckles de John Haase. Fotografía: Lucien Ballard, en Color De Luxe. Montaje: Marjorie Fowler. Música: George Duning. Producción: Fred Kohlmar y Henry Koster. Duración: 100 min. Ficha artística: Intérpretes: James Stewart  (Profesor Robert Leaf), Fabian (Kenneth “Kenny” Taylor), Glynis Johns (Vina Leaf), Cindy Carol (Pandora “Panny” Leaf), Bill Mumy (Erasmus “Ras” Leaf), John Williams (Peregrine Upjohn), Jack Kruschen (Doctor Volker), Charles Robinson (George), Howard Freeman (Rector Sawyer), Jane Wald (Terry, la esposa de George), Alice Pearce (Empleada de la Oficina de empleo), Jesse White (Cliff Argyle, el corredor de apuestas), Gene O'Donnell (Teniente de Policía Rink), Ed Wynn (El Capitán), y por supuesto, aunque no aparezca en los títulos de crédito, Brigitte Bardot, haciendo de ella misma. Argumento Aunque ya está bien resumido en la traducción del cartel publicitario hecho anteriormente, digamos que James Stewart interpreta a un profesor despistado que vive en su mundo, esta vez poeta, convencido del desastre mundial que va a suponer el auge de las ciencias en detrimento de las humanidades. Y descubre con estupor y resignación que su hijo es un negado total para todo lo artístico (música, pintura, literatura) salvo para las matemáticas para las que es un auténtico genio. Conocidas las altas capacidades del niño, todos los que le rodean intentan sacar beneficio de las mismas, aunque el único deseo de éste es conocer a Brigitte Bardot, a la que todas las noches escribe una carta. Y mientras, su padre, intentando que nadie se aproveche del chico, aunque las penurias económicas familiares quizá le hagan cambiar de opinión... Comentario, análisis y curiosidades Se describen y resuelven varias cuentas y ejercicios de matemáticas a lo largo de la película, todos de tipo aritmético, completamente rutinarios (sí, sí, ya sé que desgraciadamente así son las clases de muchos profesores, así que en ese sentido esta película de hace 56 años, sigue describiendo muchos aspectos actuales), sin demasiado interés matemático. Pero es un entretenimiento (malevolo, pero divertido, si los hay) comprobar y localizar errores en las resoluciones. Uno de los enfrentamientos que aparecen en la película es el de Quico (el niño en la versión original se llama Erasmus, aunque por comodidad lo llaman Ras, pero era una moda, o quizá era norma del régimen, el “españolizar” todo lo posible en el doblaje, para que no nos familiarizaramos excesivamente con lo foráneo; así nos va hoy con los idiomas) con una “moderna computadora” (un panel de plástico lleno de lucecitas, como vemos en la imagen), que acabará sucumbiendo ante el chaval. Esta misma máquina-decorado fue la utilizada en otra película de la misma productora que comentamos hace tiempo, Su otra esposa (Desk Set, Walter Lang, EE. UU., 1957; ver la reseña 65) y en el clásico de terror La mosca (The Fly, Kurt Neumann, EE. UU., 1958). Había que rentabilizar inversiones. También los títulos de crédito emulan los pixels de las máquinas de aquellos años. Además de los nombres de los actores principales (que se repiten con letras “normales” por si el espectador no se entera de lo que pone), aparecen algunas expresiones matemáticas y el juego del tres en raya (tic-tac-toe, en inglés, recordemos), como vemos en las imágenes siguientes: Vayamos por orden, según transcurre la película. Empieza con los improperios del padre ante todo lo que suene a científico. Sale discutiendo de la universidad, gritandole al rector: – ¡¡Estoy harto ya de vosotros y de vuestra maldita ciencia!! Al parecer la universidad ha instalado una central nuclear de uranio en su campus, y desconfia de que “cualquier mañana se presenta uno de esos sabiondos con una borrachera de éxitos y de vino, aprieta un botón que no corresponde, o echa demasiado uranio al plutonio, y ¡¡wham!!”. Ya sabemos, los años en que todo lo nuclear tenía en la opinión pública un efecto muy negativo, en parte por la mala propaganda precisamente de los medios de comunicación (y el desconocimiento, claro, y que la gente sólo veía ensayos de bombazos, y tenían reciente lo de Hiroshima y Nagasaki, y bueno, había miedo, era entendible). Ahora, ¡¡una central nuclear en un campus universitario!! Un tanto excesivo. Seguramente fuera un simple laboratorio. Un poco más adelante vuelve a la carga (a sus alumnos): – Anoten mis palabras: Dentro de cinco años nos veremos aplastados por los científicos. No habrá más que científicos donde quiera que se detenga nuestra vista, por mucho alcance que esta tenga. Y la base de la verdadera civilización, como es la literatura, la filosofía y las artes, ¡olvidada! ¡Olvidada! Tan muerta como el minué. Y en lugar de estudiar al ser humano, y la poesía de sus sueños, todo el mundo trabajará en una máquina de ahumar jamones de Virginia por un, por un sistema electrónico, o hará de las gallinas una ametralladora, pthump, pthump, pthump, ¡venga a poner huevos! ¡La gran evolución de la tecnología! Máquinas de tal perfección y tan rápidas, que automaticamente dejarán sin trabajo a un millón de obreros de la noche a la mañana. ¡Un gran adelanto! Personalmente, no quiero hacer el vuelo de San Francisco a Nueva York en menos de una hora, vaciando mi estómago sobre cualquier lugar de Denver. Le tengo delicado. Me niego a ser cómplice de ello.  En fin, menos mal que sólo es un estereotipo cómico (¿o no?). Presentado el personaje, que algunos profesores compañeros califican de medieval (¡¡qué mania de oponer siempre la materialización de la sociedad y la desaparición del humanismo frente al avance científico!! Si en realidad, las limitaciones del ser humano ante la Naturaleza y los avisos de su progresiva destrucción han venido advertidas por los científicos y desde luego el mayor materialismo lo han traido los políticos. En fin, se ve que el discurso calumniador y tendencioso, no es exclusivo de la era Trump, aunque en todas partes cuecen habas, sin duda, y tampoco deberiamos generalizar respecto a unos y otros), el primer gran golpe a su ideal lo recibe cuando la profesora relata a los padres que su hijo es capaz de realizar operaciones grandes mentalmente:  9 x 12, 17 x 142 y 2765 x 127976. El padre le ruega que no diga nada, que es necesario pensarlo bien. La maestra sentencia: – Ante todo debemos pensar en el muchacho, no en el matemático. No obstante, el padre habla a solas con el niño, preguntándole si tiene algún truco, porque es imposible que realice esas operaciones mentalmente con tanta rapidez. Y le pregunta por 1726 x 8726. Quico le responde en el acto: 15061076. – ¿Es eso?, pregunta a su esposa con cara de incredulidad. Voy a decirte una cosa: no quiero que vuelvas a hacerlo más. Porque si alguien llegara a descubrirlo, ¿sabes lo que dirían de ti? Fíjate, ahí va Quico Leaf, ¡¡un matemático!!Y nosotros no queremos que digan eso, ¿verdad? Pero la cosa no será fácil de ocultar. Sobre todo cuando, en un banco (ver imagen), mirando la pizarra del balance anual, el chico dice a su madre en voz alta que está mal, que han puesto 1012 dólares más de los reales. El director de la entidad pasa en ese momento por allí (ver imagen), y pide a un empleado que compruebe con una máquina si es verdad lo que dice el chico, que encima les vacila diciendo que “El error está en la última columna”. Y comprueban que está en lo cierto. Al día siguiente es noticia en todos los periódicos locales: “Niño de ocho años hacer quedar como un mono a un computador de banco”. Desde ese momento, periodistas, profesores de la universidad, medios de comunicación etc., lo acosan. “¡Pobre hijo! Mi niño esclavo del cálculo”, indica su padre, desesperado. Pero no sólo la amenaza vendrá del exterior. Su hermana mayor, por la noche entra en su cuarto, pidiendole que le haga sus deberes. Claro, el niño no sabe de qué le habla: Quico: ¿Qué es la raíz cuadrada? Panny: Es el número que multiplicas por si mismo para obtener otro número. Por ejemplo, 2 x 2, 4, 2 es la raíz cuadrada de 4. ¿Entiendes? Tienes que sacar la raíz cuadrada de 221 con tres cifras decimales. Quico: 14 con 866 milésimas. Panny: ¡Eres un genio, hermanito! No sólo la hermana, también el novio de la hermana, Kenny, se “aprovecha” del genio. En una cafetería, le pide que le resuelva sus deberes: Kenny: Un ascensor de un edificio de 60 pisos hace los siguientes viajes: empieza por el primer piso hasta el piso 20, baja 4, sube 8, baja 3, baja 17, sube 10, baja 1, sube 5, sube 11, baja 22. ¿Dónde se encuentra el ascensor? Quico: Séptimo piso. Efectivamente, no hay más que hacer 20 – 4 + 8 – 3 – 17 + 10 – 1 + 5 + 11 – 22. Lo que cuesta creer es que el novio de la hermana, talludito y bastante “suelto” en otras lides, no sepa resolver tamaña gilipollez (con perdón). El siguiente ejercicio dice: Kenny: Si un pionero hubiese llevado una acción de un dólar el día que embarcó en Plymouth Rock, y esta acción venciera un interés compuesto de un 5% anual, ¿cuánto valdría dicha acción en el día de la fecha? Panny: Le falta la fecha de embarque. Kenny: El 16 de diciembre de 1620. Quico: 18 millones 532 mil 311 dólares y 52 centavos. En la versión original son 42 centavos en lugar de 52 pero bueno, no nos pondremos demasiado exigentes. En el fotograma que ilustra esta escena, vemos a un joven con gafas, detrás de Quico que no pierde detalle. Éste (Orville de nombre) y Kenny se valdrán de Quico para apostar (y ganar) en las carreras de caballos (no serán los únicos posteriormente). La última referencia que pudiera considerarse matemática, vuelve a tener que ver con efectuar operaciones aritméticas complicadas mentalmente. Tiene lugar en la universidad en la que trabaja el profesor Leaf, que a regañadientes acepta que hagan al niño una prueba para ver si tiene capacidades realmente o es un fraude. Le plantean dos cuestiones: 1.- La estrella más cercana a nuestro plantea es Próxima Centauri. La luz de la estrella tarda 4 años y 3 meses en llegar a nosotros, y la velocidad de la luz es de 300000 kilómetros por segundo. ¿Cuánto tiempo tardaría un cohete viajando a la velocidad de 22000 millas por hora en llegar a la estrella? Por supuesto, apenas han acabado de formular la cuestión, Quico ya está dando la solución: 129650 años 199 días 2 horas 10 minutos y 54 segundos. Bastante tiempo después, el enorme computador que vimos anteriormente en una de las imágenes suministra una hoja con la misma respuesta. Los asistentes no dan crédito. Seguramente al lector atento le habrá llamado la atención la diferencia de unidades en un mismo enunciado. La velocidad de la luz en kilómetros por segundo, mientras que la del cohete en millas por hora. No se trata de una complicación más para Quico, sino como antes, una sunto de doblaje. En la versión original de la película, la velocidad de la luz se indica como 186000 millas por segundo. La equivalencia es que 1 milla son 1,60934 kilómetros, pero en España estamos más familiarizados con los 300000 kilómetros por segundo. Lo que deberían haber doblado también son esas 22000 millas por hora (que serían 35405 kilómetros), aunque la cantidad, al no salir un nímero más “redondo”, optarían por dejarla en millas. ¿Y quien iba a atender o percatarse de la diferencia de unidades, en una película con “otros alicientes”? En cualquier caso, veamos si los cálculos de Quico y la máquina son correctos: utilizando los datos de la versión original, esto es, con la velocidad de la luz 186000 millas por segundo, caculemos la distancia entre Próxima Centauri y La Tierra. El espacio, como sabemos, es la velocidad por el tiempo. Pasemos los 4 años y 3 meses a segundos: 1 dia = 24 * 3600 segundos = 86400 segundos 3 meses = 3* 30 * 86400 segundos = 7776000 segundos 4 años = 4 * 365 * 86400 segundos = 126144000 segundos 4 años y 3 meses = 126144000 + 7776000 segundos = 133920000 segundos Por tanto, la distancia será de 186000 * 133920000 = 24909120000000 millas. El cohete, desplazandose a una velocidad de 22000 millas por hora, recorrera esa distancia en 24909120000000/22000 = 1.1322327272727272727 * 10^9 horas Esas horas son (1 año tiene aproximadamente 8760 horas) 129250,3113 años. ¡¡Vaya, parece que no cuadran los datos!! Pero es que en la versión original de la película, Quico dice “129354 years, 199 days, 2 hours, 10 minutes, and 54 seconds”. La discrepancia proviene de utilizar 365 dias por año. Cuando yo estudié la EGB, en la escuela nos decían que se tomaban 360 días por año y 30 días por mes. Rehaciendo las cuentas de antes con 360 dias, salen 129354,545454.... Por tanto, los años cuadran en la versión original (no en la doblada al castellano, que se han confundido, como suele ser norma). Terminemos comprobando los dias, horas, minutos, segundos, a ver si cuadran con los decimales que se obtienen. Para pasar 0.545454 .... años a dias, basta con multiplicar por 360 como hemos dicho. Salen 196.363636.... días. Pero sí tomamos 365, tenemos 199.0909.... días. ¿En qué quedamos? ¿Tomamos 360  o 365 dias? Después para los días, multiplicamos 0.09090909...* 24 = 2.18181818... horas; para los minutos, 0.18181818.... *60 = 10.909090... minutos; y finalmente para los segundos, 0.90909090...* 60 = 54.545454... segundos. Por tanto, todos los datos son correctos, en la versión original, salvo que cuando quieren toman el año con 360 o con 365 días. 2.-  Dividir 17 trillones 590 billones 38 millones 552568 entre 680. Quico anuncia que la máquina no podrá hacerlo, porque no sale una cantidad exacta, porque los únicos divisores son 8191 y 2147483647. Esto es claramente un error de guión, porque al multiplicar esas dos cifras, obtenemos 17590038552577, esto es, una unidad menos que el número que mandan dividir. En cualquier caso, una división no exacta nunca provocará el colapso de un computador, por muy antiguo que sea. Hay algunas referencias sobre la necesidad de utilizar el cálculo de probabilidades y las estadísticas para poder tener un mínimo éxito en las apuestas. Lo comenta la hermana, Panny, a sus padres, pero como ven, los guionistas redujeron las matemáticas a la aritmética (quizá para que el público general no se pierda demasiado). Si alguien desea saber cómo sigue la película, no es difícil localizarla en la red (tampoco imaginarse qué va a suceder). La película tiene un aire a producción Disney, y no por casualidad ya que en su momento se barajó esa posibilidad con Bing Crosby como protagonista. Sin embargo, la remodelada 20th Century Fox se hizo finalmente con los derechos. No estuvo claro que Brigitte Bardot quisiera aparecer. La actriz francesa exigió para ello no figurar en los títulos de crédito ni en la publicidad de la película. Los productores idearon entonces un ardid como reclamo: cambiaron el título previsto inicialmente para la película (el homónimo de la novela) sólo para que apareciera la palabra “Brigitte”, y así dar pistas sobre la posible presencia de la popular actriz. Por otra parte, el elenco contaba con el cantante juvenil Fabian Forte, idolo adolescente de los cincuenta y los sesenta de los muchos que surgen a como sucedáneos de Elvis Presley. Apareció en varias películas cantando, pero ya en la época de ésta, de cantar nada: sólo poner la cara bonita y rodearse de chicas. Si ven la película, observen que aparece inmediatamente después de James Stewart en los títulos de crédito, cuando su papel en la película es bastante menor que el de otros actores. Otro aspecto que pretende actualizar este tipo de comedias, y alejarse de la blandenguería Disney, es la presencia de chicas en traje de baño y gags de cierta malicia, por supuesto simples sugerencias, como la de la vecina que posa desnuda para que su marido la retrate, el deseo de todo el mundo (el taxista francés en particular) de conocer en persona a B.B., o el orgullo de James Stewart por su hijo, no por ser un genio matemático, sino por haber puesto el ojo en la mencionada B.B. (por cierto, la permisividad con la hija mayor, roza, para la época, el completo desinterés; desde luego la lectura actual, con los parámetros actuales, sería bastante crítica con los roles masculino/femenino que se muestran). Alfonso Jesús Población Sáez
Martes, 05 de Enero de 2021 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Luis Nuño (Universidad Politécnica de Valencia)
1. Introducción Recientemente se ha publicado la Tabla Periódica Musical en la prestigiosa revista internacional Journal of Mathematics and Music [1] y ha recibido una calurosa acogida por parte de varios medios de comunicación. En el presente trabajo se desarrollan las principales ideas contenidas en dicha publicación y, con el objetivo de darle una mayor difusión, se ha hecho de manera que solo sean necesarios por parte del lector unos conocimientos musicales básicos. Para ello se ha simplificado la parte matemática y se han dado más detalles de la parte musical, realizando todas las explicaciones en lenguaje corriente y por medio de ejemplos, pero sin perder por ello rigurosidad. La denominada “Teoría de Conjuntos” o, modernamente, la “Teoría Post-Tonal”, se ha consolidado durante la segunda mitad del s. XX y ha demostrado ser una potente herramienta para el análisis y composición de la música atonal, siendo también aplicable a la música tonal. En esta teoría, los conjuntos de notas relacionados entre sí por “transposición” o “inversión” se agrupan en una “clase de conjunto”, cada una de las cuales tiene asignado un “nombre de Forte” y una “forma prima” [2, 3]. Así mismo, cada una de ellas contiene un cierto número de las distintas clases de intervalos, y estos números forman el correspondiente “Vector de Clases de Intervalos”, el cual caracteriza en gran medida la sonoridad de una clase, aunque no completamente. Los listados de las diferentes clases y sus vectores de clases de intervalos son parte esencial de esta teoría y pueden encontrarse en muchos textos, así como en [1]. Aparte de las referencias mencionadas [2, 3], cabe destacar en esta materia el artículo introductorio [4] y el libro de texto [5]. A diferencia de las referencias anteriores, para analizar los conjuntos de notas usaremos aquí la denominada “forma interválica”, y las clases no “inversionalmente simétricas” las desdoblaremos en dos “tipos de conjuntos” relacionados entre sí por inversión, lo que permite distinguir, por ejemplo, entre los acordes mayor y menor, los cuales forman una misma clase. Además, se han desarrollado unas versiones avanzadas del “Vector de Clases de Intervalos”, que son el “Vector de Tipos de Tricordos” y el “Vector de Clases de Tricordos”. Utilizando estos tres vectores se ha elaborado la mencionada Tabla Periódica, que muestra ordenadamente todas las clases de conjuntos y permite ver sus principales características y las relaciones entre ellas de un vistazo. Este trabajo consta de dos partes, en la primera de las cuales se ha incluido la explicación de los conceptos fundamentales propios de esta teoría (muchos de los cuales ya se han utilizado en esta introducción), de manera que el trabajo global sea autocontenido. 2. Conjuntos de Notas Utilizaremos el habitual sistema temperado de afinación de 12 notas, que representaremos mediante los números 0 al 11, donde el 0 corresponde al Do y el 11 al Si. Podemos imaginarnos estas notas en la carátula de un reloj donde el Do está en la posición de las 12, el Do# en la 1 y así sucesivamente hasta el Si, que está en las 11. Dado que a veces escribiremos varios números seguidos, para evitar confusiones representaremos los números 10 y 11 por las letras A y B, respectivamente. Los conjuntos de notas los escribiremos entre corchetes. Así, por ejemplo, las notas del acorde de Do mayor (Do, Mi, Sol) formarán el conjunto [047], las del acorde de La menor (La, Do, Mi) el conjunto [904] y las de la escala de Do mayor (Do, Re, Mi, Fa, Sol, La, Si) el conjunto [024579B]. Nótese que las notas de un conjunto pueden referirse a sonidos que se tocan simultánea o sucesivamente, y además en cualquier orden, por lo que también pueden, en principio, escribirse en cualquier orden. Sin embargo, lo normal será escribir las notas de un conjunto ordenadas en sentido ascendente dentro de una octava (teniendo en cuenta que después de la B viene de nuevo el 0). Por ejemplo, el conjunto [95A24], formado por las notas La, Fa, Sib, Re, Mi, lo escribiremos normalmente como [59A24], [2459A] o análogamente empezando por cualquier otra nota de ese conjunto. Diremos que dos conjuntos de notas son del mismo “tipo” si están relacionados por “transposición”, es decir, si un conjunto se obtiene a partir del otro transportando todas sus notas un mismo número de semitonos. Esto significa que, por ejemplo, los 12 acordes mayores forman un solo tipo de conjunto, al igual que ocurre con los 12 acordes menores o con las 12 escalas mayores. En el caso del conjunto [59A24], si elevamos todas sus notas 3 semitonos resulta [80157], siendo ambos conjuntos del mismo tipo. Para representar de una forma sencilla todos los conjuntos de un mismo tipo, tomamos uno cualquiera de ellos, ordenamos sus notas en sentido ascendente dentro de una octava y escribimos la secuencia de intervalos, en semitonos, entre cada dos notas consecutivas, incluyendo el intervalo entre la última nota y la primera. Al resultado obtenido, o cualquiera de sus “permutaciones circulares”, le llamaremos “forma interválica” y la escribiremos entre llaves. Por ejemplo, todos los acordes mayores, como es el caso de Do mayor, tienen la forma interválica , ya que los intervalos entre dos notas consecutivas (Do, Mi, Sol) son 4, 3 y 5 semitonos (donde el 5 corresponde al intervalo entre Sol y Do). Sus permutaciones circulares son y , que también corresponden al acorde mayor, pero empezando por diferentes notas. Análogamente, todos los acordes menores tienen la forma interválica y todas las escalas mayores , o cualquiera de sus permutaciones circulares. Para el conjunto [59A24] (u [80157]), su forma interválica es . Y, si hubiéramos escrito ese conjunto como [2459A], habríamos obtenido , que es una permutación circular de la forma interválica anterior y, por tanto, equivalente a ella. Lógicamente, la suma de todos los elementos de una forma interválica es siempre igual a 12, que es el número de semitonos que hay en una octava. Cuando comparemos formas interválicas entre sí (o “vectores”, que veremos más adelante), la “mayor” y la “menor” de ellas se determinarán a partir del número formado por sus elementos (es decir, según el “orden lexicográfico”). Así, diremos que la forma interválica es menor que (ya que el número 21414 es menor que 41421). A la menor de todas las posibles permutaciones circulares de una forma interválica le llamaremos “forma interválica normal”. En este último ejemplo, será . 3. Conjuntos Inverso y Complementario Se entiende por “inversión” de un conjunto de notas el resultado de invertir el sentido de sus intervalos. Por ejemplo, dado el conjunto [59A24], su inversión es [51086], ya que, en el primer conjunto, se pasa de 5 a 9 subiendo 4 semitonos, mientras que en el segundo conjunto se pasa de 5 a 1 bajando 4 semitonos; y análogamente para el resto de las notas. Nótese que las notas de este último conjunto están ordenadas en sentido descendente dentro de una octava. Si las escribimos en sentido ascendente, por ejemplo, [56801], podemos obtener su forma interválica, que es , la cual representa a todos los conjuntos de este tipo. Esta es, además, su forma interválica normal. Como podemos ver, las formas interválicas de un conjunto y su inversión son las mismas pero escribiendo los números en sentido inverso. En el caso del acorde mayor, cuya forma interválica es , su inversión es , que es equivalente a (por permutación circular), es decir, el acorde menor. Diremos que dos conjuntos de notas son de la misma “clase” si están relacionados por transposición, inversión o una combinación de ambas. Es decir, si sus formas interválicas son las mismas o inversas entre sí (o permutaciones cíclicas equivalentes a ellas). Por tanto, los 12 acordes mayores más los 12 acordes menores forman una sola clase de conjunto. Dadas las formas interválicas normales de un conjunto y su inversión, a la menor de ellas le llamaremos “forma interválica prima” y será la que se utilice para representar a todos los conjuntos de la misma clase. Así, la clase formada por todos los acordes mayores y menores tendrá como forma interválica prima . Y, para el conjunto de notas [59A24], la forma interválica prima será la menor de y , es decir, esta última. En general, una clase de conjunto está formada por dos tipos de conjuntos relacionados entre sí por inversión. Sin embargo, algunas formas interválicas son iguales a sus inversiones, como ocurre por ejemplo con la escala mayor, , por lo que esta clase está formada por un solo tipo y se dice entonces que es “inversionalmente simétrica”. Por su parte, un tipo de conjunto está formado, en general, por 12 conjuntos de notas, que son sus 12 posibles transposiciones, pero esto no siempre es así. Por ejemplo, un acorde como Do aumentado (cuyas notas son Do, Mi, Sol#) tiene la forma interválica ; y, debido a su estructura “periódica” (el número “4” está escrito 3 veces), solo existen cuatro acordes aumentados diferentes (es decir, 12/3). Este tipo de conjuntos se dice que son “transposicionalmente simétricos” y al número de períodos que hay en su forma interválica se le llama “grado de simetría transposicional”, el cual representaremos por la letra “s”. Así, en los acordes aumentados, s = 3. Si un tipo de conjunto no presenta simetría transposicional, diremos que s = 1 (toda la forma interválica es un único período), por lo que el número de conjuntos de notas correspondientes a un tipo de conjunto dado es siempre 12/s. Otro ejemplo es la escala disminuida, formada por 8 notas en sucesión de tono-semitono o semitono-tono. Su forma interválica es , que consta de 4 períodos (“12” o “21” escrito 4 veces), es decir, s = 4, por lo que solo hay 12/4 = 3 conjuntos de notas de ese tipo. Lógicamente, el valor de s para un conjunto y su inverso es el mismo. Por tanto, una clase que sea inversionalmente simétrica tendrá 12/s conjuntos de notas y una que no lo sea tendrá 24/s. Dado un conjunto de notas, su “complementario” es el conjunto formado por las demás notas. Por ejemplo, el complementario del conjunto [59A24] es [013678B]. Si conocemos la forma interválica de un conjunto dado, es fácil obtener mentalmente la del complementario. Para ello, nos imaginamos la forma interválica inicial, en este caso , como en la Figura 1.a), es decir, sobre una línea con 13 marcas, donde la última es equivalente a la primera y los círculos representan las notas de ese conjunto. Puesto que su complementario tiene los círculos en las demás marcas, como se observa en la Figura 1.b), su forma interválica será , o cualquiera de sus permutaciones circulares. Como otro ejemplo, la escala mayor tiene la forma interválica , por lo que la de su complementario será , que corresponde a la escala pentatónica (mayor o menor). Es fácil comprobar que un conjunto y su complementario tienen el mismo tipo de simetría, tanto inversional como transposicional. Por ejemplo, la forma interválica del acorde aumentado es , por lo que la de su complementario es , siendo ambas inversionalmente simétricas y transposicionalmente simétricas de grado s = 3. Y la forma interválica de la escala disminuida es , por lo que la de su complementario es , el acorde de séptima disminuida, siendo ambas inversionalmente simétricas y transposicionalmente simétricas de grado s = 4. Figura 1. Formas interválicas de un conjunto de notas y su complementario. 4. Vector de Clases de Intervalos: ICV El número de notas de un conjunto es su “cardinalidad”, que la representaremos por la letra “c” y podrá tomar los valores desde 0 hasta 12. Para c = 2, hay 6 clases de conjuntos, llamadas díadas, que son simplemente los intervalos de 1 a 6 semitonos. Sus formas interválicas primas, ordenadas de menor a mayor, son: , , , , y . Todas ellas son inversionalmente simétricas y tienen s = 1, salvo la clase , el tritono, que tiene s = 2. Los intervalos de más de 6 semitonos se reducen por inversión a una de las clases anteriores. Para los conjuntos de más de 2 notas, podemos determinar cuántos intervalos de cada clase se pueden formar con sus notas. El resultado son 6 números que forman el “Vector de Clases de Intervalos” o ICV (por sus siglas en inglés) y los escribiremos entre paréntesis. Por ejemplo, en un acorde aumentado sus notas forman 3 intervalos de cuatro semitonos, por lo que su ICV es (000300). Y, en un acorde mayor (como Do mayor), sus notas forman un intervalo de tres semitonos (Mi – Sol), uno de cuatro (Do – Mi) y uno de cinco (Sol – Do), por lo que su ICV es (001110). Un acorde menor tiene ese mismo ICV, ya que un conjunto y su inversión siempre tienen el mismo ICV. Así mismo, se puede comprobar que el ICV de la escala mayor es (254361), ya que tiene 2 intervalos de semitono, 5 de tono, 4 de tercera menor, 3 de tercera mayor, 6 de cuarta justa y 1 de tritono. De este modo, cada clase de conjunto tiene un ICV, el cual determina en buena parte su sonoridad, pero no completamente, ya que hay algunas clases que, siendo diferentes, tienen el mismo ICV. En ese caso se dice que esas clases guardan una “relación Z” o que están “Z-relacionadas” y se ha comprobado que el número de clases con el mismo ICV nunca es superior a dos. Una propiedad importante es que, si tomamos todas las clases de una cierta cardinalidad y las ordenamos según sus ICV, bien por valores crecientes o decrecientes, se puede demostrar que sus complementarios quedan ordenados del mismo modo [1]. De hecho, a cada clase se le asigna un “nombre de Forte” [2], que consta de dos números separados por un guion, el primero de los cuales es su cardinalidad y el segundo un ordinal. Y los ordinales se asignan según su ICV en sentido decreciente. Por ejemplo, la clase formada por los acordes mayores y menores es la 3-11, cuyo ICV es (001110); y la clase siguiente, 3-12, son los acordes aumentados, cuyo ICV es (000300), que es menor que el anterior (el número 000300 es menor que 001110). De esta manera, cada clase y su complementaria tienen el mismo ordinal. Por ejemplo, la escala mayor es la clase 7-35, y su clase complementaria, que es la escala pentatónica, es la 5-35. En el caso de dos clases Z-relacionadas, a una de ellas se le asigna el último ordinal del correspondiente grupo y en ambas se incluye una “Z” delante del ordinal. Por ejemplo, 4-Z15 y 4-Z29. La Tabla 1 es la Tabla Periódica aquí desarrollada, donde cada “periodo” corresponde a un valor de c y se representa mediante ese valor seguido de un guion, como en la parte inicial del nombre de Forte (columna izquierda de la tabla). Para hacer la tabla más compacta, los períodos 0, 1 y 2 se han colocado en la misma fila, al igual que se ha hecho con los períodos 12, 11 y 10. Dentro de cada período se han colocado las correspondientes clases ordenadas por ICV decreciente (el ICV no aparece en la tabla) y se les ha asignado el mismo ordinal que en su nombre de Forte (número grande en cada celda de la tabla). Así, cada celda tiene asignado un ICV diferente y, en el caso de dos clases Z-relacionadas, ambas están en la misma celda. Este es el caso de las clases 4-Z15 y 4-Z29, cuyo ICV común es (111111). A pesar de que 29 es el último ordinal del período 4, la clase que está en la última celda del mismo es la 4-28, el acorde de séptima disminuida, ya que su ICV, (004002), es el menor de este período. Por otra parte, cada clase y su complementaria, al tener el mismo ordinal, están en la misma columna. Por ejemplo, 5-35 y 7-35, o 3-11 y 9-11. Las clases que son inversionalmente simétricas tienen el ordinal subrayado y las que son transposicionalmente simétricas llevan en el ordinal un superíndice, que es su grado s. Por ejemplo, 3-123 o 6-302. Debajo de cada ordinal está la forma interválica prima, escrita sin llaves por simplicidad. Además, cuando en ella aparecen varios “1” seguidos se escriben “en forma de potencia”. Por ejemplo, 1119 se escribe 13 9 (clase 4-1). Como puede observarse, cada período comienza con la clase que tiene sus notas lo más juntas posible (es decir, en secuencia cromática) y termina con la clase que tiene sus notas separadas lo más uniformemente posible. Así, el período 4 empieza con la clase o (las 4 notas en secuencia cromática) y termina con la clase , que es el acorde de séptima disminuida (en el que dos notas consecutivas siempre están separadas la misma distancia, 3 semitonos). Tabla 1. Tabla Periódica de las Clases de Conjuntos. 5. Conclusiones Los conjuntos de notas relacionados entre sí por transposición forman un tipo de conjunto, que representamos por su forma interválica o su forma interválica normal. Si a estos conjuntos les añadimos sus inversos obtenemos una clase de conjunto, que representamos por su forma interválica prima. La forma interválica que hemos introducido aquí ha resultado ser tremendamente útil y versátil, ya que permite obtener de manera sencilla las formas interválicas de los conjuntos inverso y complementario; y, obviamente, también la del inverso del complementario (que es igual a la del complementario del inverso). Y, además, permite determinar fácilmente sus simetrías, tanto inversional como transposicional. Como hemos visto, un conjunto y su complementario (y, obviamente, su inverso) tienen siempre el mismo tipo de simetría, tanto inversional como transposicional. En la Tabla Periódica que se ha desarrollado aparecen todas las clases de conjuntos ordenadas por ICV decreciente y se incluye la siguiente información: nombres de Forte, tipos de simetría inversional y transposicional, relaciones Z y clases complementarias, así como las formas interválicas primas. No obstante, esta tabla contiene aún más información relevante, que se explicará en la segunda parte de este trabajo. 6. Referencias [1] Nuño, Luis. (2020). A Detailed List and a Periodic Table of Set Classes. Journal of Mathematics and Music, DOI: 10.1080/17459737.2020.1775902. [2] Forte, A. (1973). The Structure of Atonal Music. New Haven: Yale University Press. [3] Rahn, J. (1980). Basic Atonal Theory. New York: Schirmer Books. [4] Straus, J. N. (1991). A Primer for Atonal Set Theory. College Music Symposium, 31, 1-26. [5] Straus, J. N. (2016). Introduction to Post-Tonal Theory, 4th Edition. New York: W. W. Norton.
Martes, 15 de Diciembre de 2020 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Cine y matemáticas
Autor:Alfonso Jesús Población Sáez
Aunque las Navidades de este año van a ser muy diferentes de las habituales, habrá cosas que serán como siempre (quizá hasta lo agradezcamos en esta ocasión). Entre ellas, las infumables películas norteamericanas ambientadas en estas fechas. Bien, pues para ir haciendo boca, hoy, una de esas pelis, pero alemana. ¿Será tan ñoña? No hagamos ningún spoiler y veamos, que algo de interés siempre podemos encontrarnos. Ficha Técnica: Título: Socorro, he encogido a la profe. Título Original: Hilfe, ich hab meine Lehrerin geschrumpft. Nacionalidad: Alemania/Austria, 2015. Dirección: Sven Unterwaldt. Guion: Gerrit Hermans, basado en la novela de Sabine Ludwig. Fotografía: Stephan Schuh, en Color. Montaje: Stefan Essl. Música: Leland Cox y Karim Sebastian Elias. Producción: Corinna Mehner y Hans Eddy Schreiber. Duración: 90 min. Ficha artística: Intérpretes: Anja Kling (Directora Schmitt-Gössenwein), Oskar Keymer (Felix Vorndran), Axel Stein (Peter Vorndran), Justus von Dohnányi (Schulrat Henning), Lina Hüesker (Ella Borsig), Georg Sulzer (Mario Henning), Maximilian Ehrenreich (Chris), Eloi Christ (Robert), Johannes Zeiler (Conserje Michalsky), Michael Ostrowski (Señor Coldegol). Argumento Tenemos a un niño, Félix, de 11 años, que sueña con ser piloto. Vive con su padre, que es un auténtico desastre, porque su madre se ha ido a los EE. UU. por un trabajo (¿alguien sabe porque la mayor parte de los padres, y en general personajes masculinos, de series de televisión, películas familiares, dibujos animados, etc., se presentan desde hace algún tiempo como imbéciles profundos? Y no vale decir que porque son así, porque aunque algunos lo seamos, no creo que lo sean todos). El caso es que este chico no es demasiado buen estudiante y lo han expulsado de un colegio. Bien, pues el nuevo centro, el único que queda en la localidad donde viven, en el que debe pasar tres meses para ver si lo aceptan, es un tanto, digamos, siniestro. Y sus responsables no se quedan atrás, desde el conserje, al inspector, y no digamos su directora, Frau Dr. Schmitt-Gössenwein (en la imagen, el colegio y la susodicha, un trasunto de señorita Rottenmeier; se van haciendo a la idea, ¿verdad? Pues sospecho que no, aunque el cartel de la película es ya bastante diáfano también, incluyendo ese 3 x 3 = 6). Al entrar en la clase que le han asignado, Félix observa cómo los alumnos son más o menos “normales”, aunque, para no variar en este tipo de películas, el grupito de bravucones enseguida se mete con él. Afortunadamente entra en escena la directora que, al verlo de pie, lo manda directamente al encerado: Directora: Félix, ven a la pizarra. Recuerda que es tu periodo de prueba. (A la clase) ¡¡Los cuadernos!! (Todos los sacan de debajo del pupitre). ¡Apunta! Longitud del lado A, 40 centímetros. (Es un encerado con cuadrícula; Félix ha apuntado el dato donde le ha parecido). ¿Te importa utilizar la cuadrícula? No está ahí de adorno. Félix: Ya la estoy usando. Directora: ¡¡Empieza otra vez!! (El chico, intimidado, borra lo escrito con la mano). ¡¡Tenemos un borrador!! (Resignado, lo coge y lo vuelve a borrar). Ahora, dibuja una pirámide cuadrangular con triángulos equiláteros. Félix: ¿Esos son los que tiene todos sus lados iguales? Directora: ¡¡Félix!! Félix: ¿No son esos? Directora: ¡¡Dibújalos con la escuadra!! (El resto de la clase se ha reído ya varias veces). Después dibuja otra con la base en forma de octaedro y dime su altura ¡¡Rápido!! Félix: ¿Y lo primero? Directora: Dime, ¿qué te enseñaron en el colegio del que vienes? ¿Tienes la menor idea de cómo hacer lo que te he dicho? Félix: Las mates no son lo mío. Directora: ¿Conque no son lo tuyo, eh? ¿Qué quieres decir? Félix: Que las mates no se me dan bien. Directora: Eso ya lo hemos visto. Ella no estará sentada a tu lado mucho tiempo. ¿Podrías ayudarnos? (Ella es una alumna destacada, obviamente, aunque no nos muestran cómo lo resuelve). Comentario matemático Sin entrar en lo estereotípico de todo en general, pasemos a lo nuestro. Dibujar una pirámide cuadrangular con caras triángulos equiláteros es posible, aunque en la versión original la profesora pedía triángulos isósceles. Pero lo que desde luego es imposible es construir una con base un octaedro. Yo no sé en España que pasa con los doblajes y los aspectos científicos, que siempre “se lucen”. En la versión original en alemán (y en la inglesa), la profesora dice Directora: Después de eso con dos haces un octaedro, y me dices su altura H. Es sobradamente conocido, al menos cuando se estudiaba geometría elemental (en los sucesivos planes de estudio españoles ya saben que, de tener excesiva geometría allá por los inicios del siglo XX, se ha pasado a no tener prácticamente nada, simplemente unas cosillas de geometría analítica), que uniendo dos pirámides cuadrangulares por su base se obtiene un octaedro regular (ver imagen). Por este motivo, al octaedro, uno de los sólidos platónicos, también se le conoce como bipirámide cuadrada. A partir de esta escena, aunque sea tan mediocre, podemos proponer descubrir o repasar algunas propiedades de estos sólidos. Por ejemplo, que la pirámide cuadrangular, como todas las pirámides, es autodual, ya que tiene el mismo número de vértices que de caras (5). Además en el caso particular de caras triángulos equiláteros, entonces la pirámide es uno de los conocidos como sólidos de Johnson. Y en este caso, todas las aristas tienen la misma longitud​. Respecto a la pregunta de la profesora sobre el valor de la altura del octaedro, la podemos completar con el resto de magnitudes, esto es, el volumen y su superficie total. En función de la arista a, el volumen es V = a3 Para calcular la superficie de todas sus caras, por simetría, basta calcular el área de una de ellas, /4 a2, y multiplicarla por ocho, con lo que S = 2a2. Finalmente la altura, entendiendo como tal la diagonal de mayor longitud es H = a. Por tanto la altura pedida por la profesora de la película es 40. Por supuesto podemos también ejercitarnos en las simetrías, verificar que su orden de simetría es 72, obtener su poliedro dual (el cubo), deducir cuáles son las secciones que podemos encontrar en él, que otros tipos de octaedros podemos construir, dónde aparece en la naturaleza o nuestra vida cotidiana, aplicaciones que puede tener, etc. En suma, construir una práctica curiosa en la que no sólo haya cuestiones descriptivas sino también aspectos constructivos, manipulativos, etc. Continuemos con la película. Como no deseo “estropearles” el visionado, digamos a grandes rasgos que, como consecuencia de una serie de sucesos, como suele ser costumbre en estas películas (¡¡que poca imaginación!!), el grupo conocido de chavales deben tomar las riendas del argumento para poder salvar el colegio de las inmisericordes garras de la especulación de uno de los personajes (pretende cerrar el colegio por falta de alumnado para poder reabrirlo como un colegio elitista de familias adineradas, y que el negocio fluya por todas partes; pero claro con las pocas luces del personaje, la cosa, no va a ser demasiado complicada. Y si encima tiene en su contra las fuerzas del más allá, pues para que les voy a decir más, ¿verdad? Vamos que, como para no perder más el tiempo, salvo por otra referencia matemática que puede utilizarse como motivación para experimentar en el aula). El colegio esconde en sus sus sótanos un circuito de salas nombradas como las asignaturas de los planes de estudio (geografia, historia, matemáticas, etc.). Para pasar de una sala a otra la pandilla protagonista debe resolver los enigmas que se les presentan en cada sala (que están relacionados con el nombre de dicha sala). La resolución de los enigmas les abre la puerta que da acceso a la siguiente sala. En la de matemáticas, encontramos decoración relacionada con la asignatura, figuras geométricas de colores colgando del techo a cierta altura, y un suelo que se hunde a los pies del que lo pisa (en realidad es un suelo elástico). Enfrente una puerta cerrada, con el hueco de un cubo a un lado. Vean la imagen, y ya me dirán si no adivinan cuál es la prueba a resolver. Félix lo deduce a la primera (por una felina razón que no les voy a desvelar, tienen que tratar de pasar las pruebas lo más rápido posible). En efecto, las figuras que cuelgan del techo no son superficies geométricas sino diversos policubos. Recordemos que un poliminó o poliominó es un objeto geométrico que se obtiene al unir varios cuadrados del mismo tamaño de manera que cada par de cuadrados vecinos compartan un lado. El nombre, originado en una conferencia de Solomon W. Golomb en 1953, generaliza el conocido dominó, que sería el poliominó de 2 piezas (dos cuadrados iguales unidos por un lado). Los siete tetrominós de la imagen (sólo cinco si consideramos iguales los obtenidos por reflexión) son las piezas del popular tetris. Si en lugar de tomar cuadrados planos, utilizamos cubos tridimensionales, obtenemos policubos. El mostrado en la película es el conjunto de seis policubos de orden cuatro y uno de orden tres, es decir, las siete piezas con las que podemos construir el Cubo Soma 3 x 3 x 3, ya que una sencilla cuenta, 3 + (6 x 4) nos garantiza los 27 cúbitos de que se compone el cubo 3 x 3 x 3. Para construir el Cubo Soma con estas piezas hay 240 soluciones distintas excluyendo rotaciones (giros) y reflexiones (simetrías). Martin Gardner y John Horton Conway analizaron a conciencia las posibilidades de este rompecabezas en diferentes libros y artículos. El Cubo Soma es un rompecabezas de disección inventado por Piet Hein en 1934 durante una conferencia sobre mecánica cuántica impartida por Werner Heisenberg. Suele utilizarse como prueba para medir el rendimiento y el esfuerzo de las personas en experimentos de psicología. En estos experimentos, se pide resolver un Cubo Soma tantas veces como sea posible en un plazo determinado de tiempo. Existen muchos juegos de disección similares al Cubo Soma. Por ejemplo, el rompecabezas pentominó en 3D, en el que hay que construir prismas de tamaños 2 x 3 x 10, 2 x 5 x 6 y 3 x 4 x 5 unidades; El Cubo diabólico célebre en la Inglaterra victoriana construido a partir de seis piezas; El cubo de Mikusinski; El cubo de Bedlam, rompecabezas de caras de cubo de 4 × 4 × 4 que consta de doce pentacubos y un tetracubo; el cubo de Pandora, rompecabezas de seis policubos que pueden ensamblarse entre sí para formar un solo cubo de 3 × 3 × 3); entre otros. Una completa descripción de estas disecciones pueden encontrala aquí. Asimismo hay muchas variantes con los poliominós en el plano (animense a intentar deducir una fórmula para conocer el número total de poliominós de n piezas; hasta el momento sólo se conocen hasta el valor de n = 12, que son 63600 poliominós diferentes). Casi todos los libros de Martin Gardner incluyen algún capítulo de poliominós o policubos. Yo les recomiendo para los primeros el volumen de Festival mágico-matemático (Alianza Editorial), y para los policubos, Rosquillas anudadas y otras amenidades matemáticas (Editorial Labor). En otra escena de la película, Félix es capaz de deducir él solito que si el lado de una habitación en un plano mide 9 centímetros, a una escala 1:50 se convierten en 4 centímetros y medio. Sin comentarios. Tampoco faltan típicas frases de la directora como “Este examen es tan fácil que hasta un bobo como tú debería poder hacerlo solo”, o “Si piensas que el estudio y el juego tienen algo que ver, estás totalmente equivocado”. Si desean “disfrutarla” en su integridad, pueden hacerlo en este enlace. Que ustedes pasen unas muy felices fiestas. A ver si el nuevo año es algo mejor que el que dejamos. Alfonso Jesús Población Sáez
Jueves, 10 de Diciembre de 2020 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/El rincón matemágico
Autor:Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)
Un concepto muy importante en Matemáticas es el de invariancia. De hecho, existe toda una teoría matemática de invariantes, mejor dicho, al menos dos: la teoría de invariantes algebraicos y la de invariantes geométricos. Como es un campo demasiado especializado para darle cabida en este rincón, nos conformaremos con la idea elemental que sustenta dicho concepto y que todos entendemos: un objeto o estructura es invariante bajo cierta operación o transformación matemática cuando no cambia después de dicha operación. Por ejemplo, el círculo es un invariante bajo la operación de giro alrededor de su centro, independientemente del ángulo de giro. Se comprende también que el concepto es un poco más general que el de punto fijo (que citamos en el número 175 de octubre de 2019) porque, salvo el centro, todos los puntos del círculo han cambiado de posición pero, visto el círculo en su conjunto, ha quedado inalterado. La teoría de invariantes proporciona también un gran campo de experimentación en la magia. Desde conceptos tan comunes y ampliamente conocidos, como el hecho de que la suma de las caras opuestas de un dado es siempre igual a siete o que la diferencia entre cualquier número natural y la suma de sus cifras es siempre múltiplo de nueve, hasta ideas mucho más sutiles y elaboradas, como las presentes en los principios de Rusduck, de Hummer, de Gilbreath, de Kruskal, ..., todos ellos aplicados a las mezclas de cartas, podemos encontrar multitud de juegos que se basan en propiedades de invariancia, el éxito de los cuales se fundamenta en la habilidad del mago para ocultar la presencia de dichas propiedades. Como ya empieza a ser habitual, el descubrimiento de nuevas ideas por parte del mundo de las matemáticas junto con la aplicación y desarrollo de dichas ideas por parte del mundo de la magia permite convertir teoremas en juegos de magia y, en esta ocasión, ofreceremos una nueva muestra de ello con un ejemplo de invariantes relacionados con mezclas de cartas. Podemos señalar como punto de partida el artículo académico titulado «The Mathematics of the Flip and Horseshoe Shuffles», firmado por Steve Butler, Persi Diaconis y el recientemente fallecido Ronald Graham, y publicado en la revista The American Mathematical Monthly el año 2016. En ese trabajo ya aparece la primera descripción de un juego de magia basado en la bautizada mezcla herradura, y una versión más elaborada se encuentra en el artículo de Steve Butler titulado «A card trick inspired by perfect shuffling», presentado en la décimotercera edición del Gathering for Gardner de 2018 que, como cualquier aficionado debe saber, constituye el encuentro bianual más importante de aficionados a la magia y a la matemática reunidos para homenajear la figura de Martin Gardner. Para realizar el juego que proponen los autores se necesitan ocho cartas, del as al ocho de cualquier palo. Con las cartas en la mano, sigue las instrucciones que daremos a continuación. Ordena las cartas del modo indicado en la imagen: Aunque parezca extraña esta disposición, en realidad están ordenadas si pensamos el ocho como si fuera el cero, no sólo porque se escribe con dos ceritos, sino por su representación en el sistema binario: Decimal Binario 8 1 2 3 4 5 6 7 1000 001 010 011 100 101 110 111 De ahora en adelante nos olvidaremos de la primera cifra del ocho y lo representaremos como 000. Forma un paquete con las cartas así ordenadas y realiza sucesivamente —en el orden que quieras y las veces que te apetezca— las siguientes mezclas: Mezcla herradura: repartir las cartas sobre la mesa, de una en una y formando dos montones, uno a la izquierda y otro a la derecha. Al terminar, girar en bloque las cartas de uno de los montones y colocarlo sobre el otro montón. Mezcla Monge (explicada en el número 43 de este rincón, en octubre de 2007): con las cartas en una mano, ir pasándolas a la otra mano, una por una, intercambiando el orden de cada carta, es decir, la segunda carta se coloca sobre la primera, la tercera bajo las dos primeras, la cuarta sobre las tres primeras, la siguiente debajo, la siguiente encima, hasta haber pasado todas las cartas. Mezcla lechera, también llamada Klondike o Alfa (explicada en el número 122 de este rincón, en diciembre de 2014): arrastrar juntas las cartas superior e inferior del paquete y dejarlas sobre la mesa, repetir la operación con el paquete restante y dejar las dos cartas sobre las anteriores hasta que queden en la mano dos cartas, las cuales se dejan sobre las demás. Como la primera de las mezclas hace que algunas cartas queden giradas, en las siguientes no importa que las cartas estén cara arriba o cara abajo. Lo único importante es que las mezclas se realicen correctamente. Intercaladas entre las mezclas, puedes realizar —las veces que quieras y en el orden que te apetezca— cualquiera de las siguientes acciones relacionadas con los posibles divisores de ocho: Repartir sobre la mesa todas las cartas, una a una, y recoger todo el paquete. Repartir sobre la mesa todas las cartas, de dos en dos, y recoger todo el paquete. Repartir sobre la mesa todas las cartas, de cuatro en cuatro, y recoger todo el paquete. Repartir sobre la mesa todas las cartas, de ocho en ocho, y recoger todo el paquete. En realidad, esto no será necesario: echar las ocho cartas y recogerlas sólo alarga el proceso pero no produce cambios. Hemos incluido esta opción porque el ocho también es divisor de sí mismo. Una vez que las cartas están bien mezcladas (observa que el número de posibles configuraciones de las ocho cartas es igual a 8! = 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 40320), repártelas sobre la mesa formando una estructura de cuatro filas y dos columnas, en este orden (orden al que nos referiremos en lo sucesivo): Si alguna de las cartas ha quedado cara arriba (que es lo más probable), vuélvela cara abajo para que yo no pueda saber la posición de ninguna de ellas. Como comprenderás, es imposible saber qué lugar ocupa cada carta así que necesitaré algo de información. Por ejemplo, vuelve cara arriba la primera carta (sí, la superior izquierda). Su valor me indicará el valor de la sexta carta, mediante esta tabla: PRIMERA SEXTA 1 2 3 4 5 6 7 8 4 7 6 1 8 3 2 5 Necesitaré una pista más para determinar la posición del resto de cartas. Gira la segunda carta: su valor indicará el valor de la carta en la quinta posición a partir de la misma tabla anterior. Pero también puedo saber las cuatro cartas restantes. Para ello, busca en la siguiente tabla la combinación de la primera y segunda cartas para determinar los valores de la tercera y cuarta cartas pero también, a partir de la combinación de la quinta y sexta cartas, adivinaré los valores de la séptima y octava cartas. Como hay varias combinaciones posibles, la tabla es un poco más larga (aunque se podría reducir a la mitad teniendo en cuenta las simetrías): 1ª - 2ª 3ª - 4ª 1 - 3 1 - 5 1 - 6 1 - 8 2 - 3 2 - 5 2 - 6 2 - 8 3 - 1 3 - 2 3 - 4 3 - 7 4 - 3 4 - 5 4 - 6 4 - 8 5 - 1 5 - 2 5 - 4 5 - 7 6 - 1 6 - 2 6 - 4 6 - 7 7 - 3 7 - 5 7 - 6 7 - 8 8 - 1 8 - 2 8 - 4 8 - 7 5 - 7 6 - 2 8 - 7 3 - 2 8 - 1 3 - 4 5 - 1 6 - 4 7 - 5 1 - 8 2 - 5 4 - 8 5 - 2 6 - 7 8 - 2 3 - 7 2 - 6 4 - 3 7 - 6 1 - 3 7 - 8 1 - 5 2 - 8 4 - 5 8 - 4 3 - 1 5 - 4 6 - 1 2 - 3 4 - 6 7 - 3 1 - 6 ¿He acertado todas las cartas? Pues no he sido yo, sino la magia de las matemáticas. Es más, si no he acertado, ha tenido que haber una equivocación en alguna de las mezclas realizadas. EXPLICACIONES: Como apunta Steve Butler en su artículo «A card trick inspired by perfect shuffling», de las 40320 posibles ordenaciones de las ocho cartas, las mezclas y manipulaciones anteriores sólo conducen a 32 posibilidades. Todas ellas tienen un par de propiedades invariantes que permiten realizar el juego con éxito, precisamente las propiedades que se resumen en las dos tablas anteriores. En el paso 5 de la descripción del juego se puede girar cualquier carta de las ocho que están sobre la mesa. Su valor indicará, utilizando la misma tabla de antes, el valor de la carta que ocupa la posición simétrica dada por los siguientes emparejamientos: primera con sexta, segunda con quinta, tercera con octava, cuarta con séptima. Para descubrir la razón, volvamos a representar las parejas de números en el sistema binario. Decimal Binario 1 4 001 100 2 7 010 111 3 6 011 110 5 8 101 000 Resulta que la segunda cifra en ambos números es la misma y las otras dos cifras son distintas. Por tanto, adivinar una de ellas conocida la otra consiste en representar en base dos la carta, cambiar la primera y tercera cifras y pasar al sistema decimal el número obtenido. Un método más sencillo sería: si la carta descubierta es impar, su pareja será tres unidades mayor (si es un siete, se usa la aritmética de congruencias módulo 8: 7 + 3 = 10, que corresponde al 2); si es par, su pareja es tres unidades menor (con la misma salvedad para el 2 pues 2 - 3 = -1, que corresponde al 7). En el paso 6 no es necesario tampoco que se vuelva la carta de la posición número 2. Basta con cualquiera de las dos cartas que quedan cara abajo en el cuadrado formado por las dos cartas que ya estaban giradas. Con el razonamiento anterior se conoce la cuarta carta de dicho cuadrado. Para determinar el resto, se utiliza la misma tabla anterior, donde cada pareja de la misma fila determina la otra pareja de su misma fila en el orden indicado por la tabla. La correspondencia que se establece entre dichas parejas también se debe a una relación entre sus representaciones en base dos, la cual está explicada en el artículo citado de Steve Butler. OBSERVACIONES FINALES: Parece un poco sorprendente el nombre de mezcla herradura aplicado al proceso antes descrito. Los autores apuntan a que se trata de la versión discreta del llamado mapa de herradura, que consiste en "estirar" el cuadrado unidad y "doblarlo" sobre sí mismo. Este tipo de mapas forma una familia de cuyo estudio se ocupa la teoría matemática del caos. Esta nueva mezcla tiene algunas propiedades interesantes, estudiadas por Jeremy Rayner en su artículo «Flipping perfect shuffles», publicado en el primer número de la revista Metagrobologist Magazine (octubre de 2014). Por ejemplo, cuatro mezclas idénticas con las ocho cartas utilizadas en el juego hacen que el paquete recupere el orden inicial. Esta propiedad es más general, con 2n cartas sólo hacen falta n + 1 mezclas herradura para reordenar de nuevo todas las cartas. Los valores son más caóticos para otros valores: por ejemplo, con seis cartas se necesitan 10 mezclas para volver al orden inicial. Seguramente, esto se deba precisamente a la relación entre la representación binaria de los números y su evolución a lo largo de las mezclas. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)
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Cultura y matemáticas/Instantáneas matemáticas
Autor:Ángel Requena Fraile
(Alegoría de Europa. Museo Episcopal de Textiles y Orfebrería. Toledo) Ve a Europa, la más noble, excelsa y clara En saber, policía y fortaleza. Os Lusiadas. Canto X. Luiz Vaz de Camöes. Europa es superior a las otras partes del mundo en las armas las letras y todas las artes liberales. Iconología de Cesare Ripa Con la circunvalación portuguesa de África para llegar a Oriente y la travesía oceánica de Colón se inicia el colonialismo europeo que se mantendrá con altibajos más de cuatro siglos. Toda dominación requiere un relato que justifique moralmente lo que es injustificable, algo que pusieron de manifiesto los defensores de la dignidad humana como Fray Bartolomé de las Casas. La ciencia, y su expresión matemática, será uno de los argumentos para mostrar la superioridad del llamado viejo continente. Una Europa que se representará con los atributos de la religión, las armas, las letras y también de una ciencia geométrica en pleno despegue. La corona y el cetro de las alegorías dan cuenta de su papel dominante. La Iconología de Ripa ya muestra la Alegoría de Europa con los instrumentos geométricos y esa representación se mantendrá hasta el siglo XX. El encuentro con América tuvo un enorme impacto cultural y económico en Europa. Los continentes no solo se representaban en fachadas, grabados, pinturas y esculturas, también desfilaban por las calles con motivo de ciertos acontecimientos festivos. Los esponsales, el nacimiento de una princesa o la visita de un rey a una población fueron durante siglos motivo de grandes fiestas, desfiles, torneos y de adornos monumentales de las ciudades. Se trata de arquitecturas y manifestaciones artísticas efímeras pero muy impactantes. En circunstancias excepcionales se intenta perpetuar ese efímero esfuerzo con deliciosos libros ilustrados que dan cuenta de lo especial del acontecimiento: estamos ante el caso de las festividades con motivo del bautismo de la Princesa Isabel de Hesse de 1596. La Biblioteca Estatal de Baviera (BSB) conserva dos bellos manuscritos profusamente ilustrados que describen las ocho festividades que organizó el landgrave Mauricio de Hesse (1572–1632) para celebrar el bautismo de su hija, Isabel de Hesse-Kassel (1596–1625), con cuatro días de fastuosos juegos, torneos y fuegos artificiales. Los deliciosos manuscritos nos sirven de introducción de la imagen de Europa coronada como fusión de la ciencia griega y el derecho romano. (Desfile por el bautismo de la Princesa Isabel de Hesse – 1596) Europa geómetra de plata en Toledo En el año 2015 la Catedral Primada de Toledo abrió un nuevo espacio en el Antiguo Colegio Nuestra Señora de los Infantes. Se trata del Museo de Textiles y Orfebrería. Se localiza bajando desde la Puerta de los Leones hacia el Tajo. La joya del museo es el Tapiz del Astrolabio que había estado cedido al Museo de Santa Cruz. Nada más entrar en el recinto nos encontraremos con las espléndidas esculturas de  Las cuatro partes del mundo (1695), fundidas en plata por el napolitano Lorenzo Vaccaro. Sobre cuatro grandes esferas geográficas emergen las estatuas alegóricas de los cuatro continentes (Oceanía y Antártida no se consideraban entonces). Los globos muestran la calidad de la cartografía de la época tras casi dos siglos de exploración del planeta. La navegación hacía amplio uso de la matemática para poder orientarse. La Alegoría de Europa ya ha dejado de representarse como esa princesa robada por Zeus en forma de toro, ahora el discurso iconográfico trata de justificar el dominio colonial: verdadera religión, hegemonía militar y triunfo en las artes y las ciencias. Europa se representa con corona y cetro como reina del mundo. Los símbolos de la geometría no pueden faltar: escuadra y compás. A su lado se muestran los pinceles y una partitura para complementar las artes. Europa geómetra en Palermo Resulta curioso encontrar en Palermo un monumento dedicado a Felipe V, y ubicado además en un lugar tan destacado como los jardines delanteros del Palazzo dei Normanni. El Tratado de Utrecht puso fin a la Guerra de Sucesión Española pero obligaba a los borbones a ceder Sicilia a la Casa de Saboya. Después fue recuperada como reino independiente junto a Nápoles para Carlos III. Los países coloniales hacen muestra de su poder incorporando la iconografía de los cuatro continentes. Europa aparece coronada y con cetro. La matemática es uno de los atributos de esa Europa y una de las bases de su poder. Un compás muy borrado y un cuadrante astronómico aparecen a los pies de Europa. (Alegoría de Europa. Monumento a Felipe V. Palermo) Los Globos de Vincenzo Coronelli en París Dos grandes globos, uno terráqueo y otro celeste, se exhiben en el Hall Oeste de la Biblioteca François Mitterrand, el más grande y moderno emplazamiento de la Biblioteca Nacional de Francia. Los Globos del Rey Sol, miden cuatro metros de diámetro y pesan más de dos toneladas, fueron encargados para ser los más grandes y lujosos jamás construidos al Padre Vincenzo Maria Coronelli (1650 – 1718), cartógrafo veneciano. Los globos tenían que ir a Versalles pero se instalaron en la Biblioteca Real de Marly, y tras varios desplazamientos han terminado enclavados en el Hall des Globes. La decoración pictórica es de gran calidad, cada globo tiene una superficie de 50 metros cuadrados, y se tiene constancia de la participación del pintor Jean-Baptiste Corneille, entre otros. Las pinturas de las constelaciones celestes son azules mientras que el globo terrestre es polícromo. (Alegorías de los Continentes. Globos de Coronelli. París) La cartografía y la navegación eran disciplinas matemáticas como queda patente en una bella inscripción sobre los meridianos con aureola de instrumentos geométricos. El texto da cuenta de la antigüedad del Meridiano de Cádiz (Gades) y del de Toledo (por las Tablas Alfonsíes). Las pinturas también muestran la unión de las Artes y las Ciencias, así como las habituales Alegorías de los Continentes. Una figura femenina con pizarra es alegórica de la Geometría. Europa aparece con esfera armilar y un astrolabio. Europa geómetra en una celda monacal de Valencia Hay un rico patrimonio escondido en lugares dispersos que merece ser conocido y disfrutado. El caso de los azulejos valencianos es uno de ellos. El conjunto de las Azulejerías del Hospital de Pobres Sacerdotes de Valencia ya puede admirarse en forma de libro: edición de Inocencio Vicente Pérez Guillén,  Universidad de Valencia. (Alegoría de Europa. Hospital de pobres sacerdotes. Valencia) Los pavimentos, arrimaderos y murales ocupan diversos lugares pero la obra cumbre es la celda del dominico San Luis Beltrán. El santo valenciano fue evangelizador de Nueva Granada y volvió a su tierra para morir en ella en 1581. Con motivo del segundo centenario se encargó a la fábrica Faure la cubrición del pavimento y los arrimaderos de la celda con una azulejería alegórica a los dos mundos, Europa y América. El contenido simbólico es de gran complejidad. Nos fijamos en la alegoría de Europa por el uso de la geometría como atributo: figura femenina coronada y con cetro, vestido lujoso, dominio de las artes y las ciencias. América es representada como figura masculina desnuda con arco. Lo habitual es que el nuevo continente sea una mujer, pero una señora voluptuosa no debió parecer apropiado para la celda de un monje. Muy significativo resulta que el cetro se junte con el folio de la geometría. Los globos con la eclíptica y el zodiaco, el compás y las figuras geométricas son las referencias matemáticas. La lucha por la hegemonía en Europa Europa justifica su dominio colonial pero a su vez está sumida en frenética lucha por la hegemonía dentro del continente. Primer fue el imperio español, después tomaron el relevo los holandeses para cederlo a continuación rápidamente  a Inglaterra. Las alegorías ponen de manifiesto la visión interesada de cada uno. Empezando por Hispania como cabeza coronada. (Alegoría de Europa. Lámina del Strahov. Praga) Alegorías del Palacio del Dam en Ámsterdam El Palacio de la Plaza del Dam fue concebido en 1648 como Ayuntamiento y convertido en Palacio Real por Luís Napoleón en 1810, uso que se mantiene desde entonces. (Alegoría de Ámsterdam. Rijksmuseum) Nos fijaremos en las alegorías de la fachada posterior, la que da a la Raadhuisstraat, por ser la que mejor refleja la Edad de Oro de las Provincias Unidas de Holanda tras el reconocimiento de su soberanía en la Paz de Westfalia. El tímpano que corona la fachada muestra una dama majestuosa, alegoría de la ciudad de Ámsterdam, servida por los cuatro continentes que le aportan su riqueza. La base de su fortaleza reside en la navegación (velas plegadas y palo mayor) y en los instrumentos matemáticos que están a sus pies: astrolabio y ballestilla. Suele ser Europa la representada con los atributos de las nuevas ciencias y de las artes para mostrar su superioridad sobre los otros continentes y, así, justificar sus objetivos colonialistas, pero en Ámsterdam es la propia ciudad la que domina: Europa, con su cuerno de la abundancia, también se somete al poder de Ámsterdam. La estructurada está coronada por Atlas soportando el universo, figura que se repite en el gran salón de los mapas del interior. L a iconografía del tímpano fue esculpida en 1655 en el taller de Artus Quellinus. Donde mejor se aprecia la obra es en la sala del Rijksmuseum donde se encuentra expuesto un modelo de terracota: la gran maqueta está allí acompañada de detalladas explicaciones. Alegorías matemáticas en la “City” de Londres El escultor Ernest Gillick (1874 – 1951) instaló un interesante conjunto en 1932 para la nueva sede del National Provincial Bank (hoy National Westminster Bank) situado en el 1 de Princes Street de Londres. (Alegoría de Britannia. Princes Street. Londres) En los años 30 el imperio británico todavía era una realidad determinante en la cultura inglesa. El imponente edificio de piedra culmina su chaflán con un grupo alegórico de una dominante Britannia flanqueada por Mercurio (el comercio) y por la Ilustración que porta la luz a los pueblos. Lo que el propio autor destaca son las dos figuras femeninas: Higher Mathematics con el cuadrado mágico de la Melancolia I de Durero y Lower Mathematics con un compás mutilado y varios libros. Una vez más encontramos la matemática como justificación y base del imperio colonial. La figura alegórica de Europa suele aparecer coronada y con instrumentos matemáticos, musicales y religiosos, pero esta Britannia de la City se limita a las dos enigmáticas matemáticas, superior e inferior, que parecen la aritmética y la geometría pero representadas con cierto misticismo. El conjunto releva a la representación de la ciudad de Ámsterdam en el tímpano del edificio del Dam y tiene su misma función simbólica: justificar la hegemonía imperial.
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Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Introducción Este artículo es una reseña del libro de Godfried Toussaint The geometry of musical rhythm: what makes a “good” rhythm good? [Tou17a]. Godfried (en este artículo no lo llamaré Toussaint) fue mi director de tesis y amigo personal. Desgraciadamente, nos dejó en julio de 2019. Estaba dando una charla en una conferencia en Japón y cayó fulminado por causas todavía desconocidas pero que apuntan a un ataque al corazón. Figura 1: Godfried Toussaint Godfried era una persona apasionada de la vida en muchos aspectos. En los intelectuales y académicos, destaca su pasión por la geometría y la música. Empezó su carrera por la geometría, en particular la geometría computacional. Está considerado el padre de la Geometría Computacional. Estudió a fondo los aspectos teóricos de la geometría computacional así como sus aplicaciones a múltiples campos: reconocimiento de patrones (los algoritmos para encontrar los k vecinos más cercanos, análisis de agrupaciones), planificación de movimiento, visualización, teoría de nudos, configuraciones de articulados, los problemas de la galería de arte, triangulaciones, el problema del círculo vacío más grande, entre otros. Y fue productivo, como lo atestiguan sus cerca de 300 artículos en 50 años de carrera académica (su primer artículo data de 1969). Su otra gran pasión fue la música, en especial el ritmo y la percusión. Fue percusionista de música africana, afro-cubana y además tocaba la batería en un grupo de rock y pop formado por profesores de la universidad McGill (la universidad donde desarrolló su carrera) que tenía el significativo nombre de The Algorithmics. Godfried era un investigador de raza. Prefería con mucho inventar nuevos problemas, con perspectivas originales, que supusiese un cambio de perspectiva y metodología, antes que centrarse en problemas de investigación técnicos o de carácter demasiado concreto. Le gustaba pensar en abstracto, conectar varios campos con ideas insólitas; le gustaba ejercer la creatividad desde una cumbre de abstracción. Sin embargo, donde creo que Godfried brilló más fue en las relaciones personales. Godfried trataba bien a la gente con la que colaboraba. Les contagiaba la pasión que tenía por la geometría y la música, en general por la investigación y aun más por la vida misma. En los famosos talleres que organizaba en Barbados (asistí a diez de ellos) la risa pero también el trabajo duro eran constantes. Reconocía genuinamente el talento en otros, calmaba de forma magistral los atisbos de ego y sabía crear un ambiente de seguridad emocional que era altamente productivo y generaba un gran disfrute. 2. La reseña En la página de Amazon, encontramos las siguientes reseñas breves de varios especialistas en el campo del [Tou17b]. Por Marc Chemillier dice del libro: The late Godfried Toussaint studied the rhythms of the world like a gold panner, collecting with meticulousness and passion all the motifs that different cultures have given birth to. Thanks to his skill as a mathematician, he extracted fascinating properties from them. There is no doubt that this unique book will survive for a very long time. El eminente etnomusicólogo francés Simha Arom: Through the original use of distance geometry for analyzing musical rhythm and the visualization of rhythms as cyclic polygons, Godfried Tousssaint?s fascinating book will be extremely valuable to any researcher involved in in the field of rhythm. Y finalmente, los comentarios de Justin London: The new edition of The Geometry of Musical Rhythm takes us further along Godfried Toussaint?s journey through the world?s rhythms. There are new discussions of metric complexity, rhythm visualization, rhythmic performance, and the evolution of rhythmic patterns. Almost every chapter has been expanded and informed by the latest scholarship in music theory, music psychology, ethnomusicology, and music informatics. Specialists and lay readers alike will find this edition even more engaging and valuable than the first, giving us even more reasons to delight in what makes a “good” rhythm good. El libro está compuesto por 38 capítulos en los que el autor ofrece una descripción del ritmo desde sus predilecciones musicales y matemáticas; se trata además de un libro conceptual, donde no hay ejercicios ni está orientado a ser un libro de texto. Como dice el propio Godfried en los prolegómenos, “quería hacer un libro que fuera accesible a un público de músicos y gente del mundo universitaria, con diversas formaciones académicas y actividad musical, y a la vez con un nivel mínimo de prerrequisitos”. En su libro solo se examina música en formato simbólico. En el capítulo 1, titulado ¿qué es el ritmo?, pasa revista a diferentes definiciones dadas en el pasado y por diversos autores de este término. El concepto de ritmo adoptado por Godfried es simple y consiste en considerar una sucesión de k ataques distribuidos sobre un conjunto de n pulsos. Sigue, en el capítulo 2, con un distinción conceptual entre ritmo y pulso, y se adentra en cuestiones cognitivas para precisar tal distinción. Ya en el capítulo 3, se centra en un tipo de ritmo, los ritmos de clave u ostinatos, que será el grupo de ritmos que estudiará extensiva y profundamente en el resto del libro. Un ritmo de clave es un ritmo que se repite a lo largo de una pieza y que sirve como referente y estabilizador rítmico. Típicos ritmos de clave son los ritmos del son, la rumba, o la bossa-nova. En este capítulo encontramos una interesante historia del tresillo cubano (dos negras con puntillo seguidas de una negra en notación 2/2), la cual ilustra con alta erudición musical. Esta erudición musical es una de las características notables del libro de Godfried. En los capítulos 4 y 5 describe más a fondo los ritmos de clave, en especial su función rítmica, y además describe los instrumentos en los que se suelen tocar, esencialmente claves y campanas. En el capítulo 6, presenta la clave son, que en notación de caja es [×⋅ ⋅×⋅ ⋅×⋅ ⋅ ⋅×⋅ ×⋅ ⋅ ⋅ ]. En este punto encontramos una interesante discusión sobre por qué los ritmos más interesantes aparecen cuando k es menor que n∕2. También se discute algunos valores del número de pulsos en términos de su aparición en la práctica musical de diversas tradiciones. Termina este capítulo con un análisis matemático que justifica la particularidad rítmica de la clave son. En el capítulo 7 presenta los seis ritmos binarios objeto de estudio en buena parte del resto del libro. Son estos: Figura 2: Los seis ritmos de clave binarios Explica los orígenes de estos ritmos, su nomenclatura y su aparición en diversos contextos musicales. En los capítulos 8 y 9 presenta su método de visualización de los ritmos de clave a través de su representación geométrica en círculos. Figura 3: La geometría de los ritmos de clave Además, define varios conceptos que se usarán a lo largo del libro tales como contenido del intervalo, distancia entre notas (ataques), distancia geodésica, vector de intervalos, histogramas de distancias e histogramas de distancias adyacentes. También define los ritmos aksak (a partir del trabajo de Simha Arom [Aro91]). En el capítulo 10 se analizan los ritmos binarios y ternarios y se presentan las claves binarias de 5 y 7 notas más importantes, la clave fume-fume y el bembé (ritmos descritos con su terminología). Godfried hace una comparación entre ambos y estudia su contorno rítmico. El capítulo 11 es un capítulo aparte, pues realiza una comparación entre ritmo y alturas de sonido (escalas más bien). El capítulo 12 es una revisión de la obra de Rolando Pérez La binarización de los ritmos ternarios africanos en América Latina [PF86]. En esta obra Pérez propone una teoría de cómo los ritmos binarios que se oyen en América Latina provendrían de una binarización de ritmos ternarios de los esclavos africanos. Godfried hace un análisis de esta hipótesis con una perspectiva computacional y matemática. El capítulo 13 está dedicado a uno de los temas que más le gustaban en la teoría del ritmo: la síncopa. Examina y discute las varias definiciones de síncopa que encuentran en la literatura (como la de Jackendoff y Lerdahl [LJ83] o la de Keith [Kei91]). Gran parte de este capítulo es material de la tesis de maestría que dirigió a Eric Thul [Thu08]; véase también [Góm11]. En el capítulo 14 se zambulle en el fascinante mundo de las operaciones sobre ritmos, en particular, en los collares y las pulseras (necklaces y bracelets). Aplica toda esta teoría combinatoria al estudio de ritmos de clave y destila maneras de clasificar ritmos en base a si existe alguna operación que pase un ritmo a otro. Aquí es otro capítulo donde ilustra sus teorías con abundantes ejemplos de las tradiciones musicales más diversas. En el capítulo 15 estudia el índice de asimetría rítmica, propuesto inicialmente por Simha Arom, y lo aplica al análisis de la música de los pigmeos aka así como a los ritmos de clave seleccionados. Esta parte del libro es fuertemente algorítmica y se disfruta mucho la generación de ritmos en base a propiedades pre-establecidas. El capítulo 16 se especializa en el estudio de índice de contratiempo, que es una medida de complejidad rítmica con inspiración en la teoría de números. Y finalmente, en el capítulo 17 aborda el problema de la complejidad rítmica a través de conceptos tan potentes como puede ser la entropía. Los capítulos 18 a 22 están dedicados a los ritmos euclídeos o ritmos cuyas notas están distribuidas lo más regularmente posible. En el capítulo 18 argumenta muy elocuentemente porque la distancia geodésica en el círculo no es una buena medida de la dispersión de las notas en el ritmo. A continuación, propone la distancia intercordal como una medida de la regularidad de un ritmo y prueba que funciona. Figura 4: Distancias entre las notas de un ritmo En el capítulo 19 expone los aspectos algorítmicos de la generación de los ritmos euclídeos; en concreto, muestra de una manera muy instructiva la conexión entre el algoritmo de Euclides de cálculo del máximo común divisor y los ritmos euclídeos. Variando el número de notas y de pulsos, genera varios ritmos que aparecen en diversas músicas del mundo (el tresillo cubano, el bembé, la clave bossa-nova, ritmos de los pigmeos aka, entre otros). Los ritmos euclídeos o de regularidad máxima tienden a crear tensión rítmica, sobre todo si el número de notas y el número de pulsos son primos entre sí (no tienen divisores comunes salvo el 1). En este caso las notas “contradicen” las notas que se esperan a partir del número total de pulsos. Consideremos, por ejemplo, el ritmo [×⋅ ⋅×⋅ ⋅×⋅ ]. Tiene 8 pulsos y 3 notas y observamos que 3 y 8 son primos entre sí. Por ser 8 divisible por 2 y 4, las notas sobre múltiplos de 2 y 4 se perciben como estables. Sin embargo, este ritmo tiene notas en 0,3 y 7. Al tocar ese ritmo se percibe una superposición de un ritmo ternario, las tres notas del ritmo, sobre un ritmo binario, la estructura binaria de los pulsos. Todo ello, ciertamente, crea tensión rítmica. Demain y otros colegas, autores del trabajo The Distance Geometry of Music [DGM+05], investigaron la relación entre la distribución de regularidad máxima de patrones y otras disciplinas, con especial énfasis en el ritmo musical. ¿Cómo se transforma el cálculo del máximo común divisor en un método para generar patrones distribuidos con regularidad máxima? Ilustraremos el proceso con un ejemplo de ritmos. Supongamos que tenemos 17 pulsos y queremos distribuir de forma regular 7 notas en los 17 pulsos. Sigamos los pasos dados en la figura 5. Primero, alineamos el número de notas y el número de silencios (siete unos y diez ceros); véase la figura 5–paso (1). A continuación, formamos grupos de 7, los cuales corresponden a efectuar la división de 17 entre 7; obtenemos, pues, 7 grupos formados por [10] (en columnas en el paso (2) de la figura). Sobran tres ceros, lo cual indica que en el paso siguiente formaremos grupos de 3. Tras formar el primer grupo –véase el paso (3) de la figura– nos quedamos sin ceros. Continuamos agrupando de 3 en 3 tomando los grupos de la otra caja, en la que quedan 4 columnas (figura 5– paso (4)). Procedemos así que queden uno o cero grupos; de nuevo, esto es equivalente a efectuar la división de 7 entre 3. En nuestro caso, queda un solo grupo y hemos terminado (paso (5)). Finalmente, el ritmo se obtiene leyendo por columnas y de izquierda a derecha la agrupación obtenida (paso (6)). Figura 5: Generación de ritmos euclídeos. Aquí cada 1 representa una nota [×] y cada 0, un silencio [ ⋅ ]. El ritmo que hemos generado con nuestra notación se escribe entonces como [×⋅ ⋅×⋅×⋅ ⋅×⋅×⋅ ⋅×⋅×⋅ ] Los ritmos generados por este método se llaman ritmos euclídeos. El ritmo euclídeo de k notas y n pulsos se designa por E(k,n). Otra manera útil de designar un ritmo es mediante las duraciones de las notas en términos de pulsos. Así, por ejemplo, el ritmo de la sevillana [×⋅ ⋅×⋅ ⋅×⋅ ⋅×⋅ ⋅ ] se puede escribir como (3333), donde cada 3 indica que dura tres pulsos. El ritmo euclídeo que acabamos de obtener con esta notación se escribe E(7,17) = [×⋅ ⋅×⋅×⋅ ⋅×⋅×⋅ ⋅×⋅×⋅ ] = (3232322). Demain y sus coautores [DGM+05] probaron formalmente que este algoritmo proporciona, salvo rotaciones, la única manera de distribuir k objetos entre n del modo más regular posible. Aún más, había varios algoritmos propuestos de manera independiente y ellos probaron que, en realidad, eran todos equivalentes al viejo algoritmo de Euclides. Damos a continuación una pequeñísima muestra de ritmos euclídeos que se encuentran en las músicas tradicionales del mundo y que aparecen en el libro de Godfried. E(5,8) = [×⋅××⋅××⋅ ] = (21212) es el cinquillo cubano, así como el malfuf de Egipto, o el ritmo coreano para tambor mong P’yŏn. Si el ritmo se empieza a tocar desde la segunda nota aparece un popular ritmo típico de Oriente Próximo, así como el timini de Senegal. Si se empieza en la tercera nota tenemos el ritmo del tango. E(5,12) = [×⋅ ⋅×⋅×⋅ ⋅×⋅×⋅ ] = (32322) es un ritmo muy común en África central que tocan los pigmeos aka. Cuando se toca desde la segunda nota es, entre otros, la clave columbia de la música cubana y el ritmo de la danza chakacha de Kenya. E(5,16) =[×⋅ ⋅×⋅ ⋅×⋅ ⋅×⋅ ⋅×⋅ ⋅ ⋅ ] = (33334) es el ritmo de la bosa-nova de Brasil. Este ritmo se toca a partir de la tercera nota. Existen cerca de dos centenares de ritmos de músicas del mundo documentados que son generados por el algoritmo de Euclides. Para más información sobre ritmos euclídeos, recomendamos los artículos [GTT09b] y [GTT09a] El capítulo 20 trata de la aplicación de los ritmos euclídeos al cálculo de los años bisiestos. Proporciona una fascinante historia del problema de definir los años bisiestos y cómo se han resuelto en diversas culturas (desde la islámica a la cristiana). En el siguiente capítulo, el 21, se estudian los ritmos aproximadamente regulares, que son aquellos que difieren en un ritmo euclídeo por una nota; véase la figura de abajo. Figura 6: Ritmos aproximadamente regulares Para cerrar esta serie de capítulos sobre los ritmos euclídeos, Godfried estudia las conexiones entre estos ritmos y la cristalografía. El capítulo 23 está dedicado a los ritmos complementarios, esto es, a los ritmos obtenidos al intercambiar notas por silencios y viceversa. Estudia Godfried las propiedades que se conservan por la toma de complementarios y en particular analiza el teorema del hexacordo; véase [BBOG09]. El capítulo 24 es una conexión entre los ritmos y la radio astronomía que usa resultados del capítulo anterior. En el capítulo 25 se presentan los ritmos profundos, que son ritmos en que las distancias entre todas las notas ocurren de manera única. Si hacemos el histograma de un ritmo profundo, entonces es posible ordenar sus distancias de tal manera que el histograma sea creciente o decreciente estrictamente. La figura de abajo ilustra un ritmo profundo, en este caso, el bembé. Figura 7: Ritmos profundos El capítulo 26 versa sobre los ritmos cáscara. Dada una propiedad P de un ritmo (ser euclídeo, por ejemplo), se dice que es un ritmo cáscara con respecto a P si existe una sucesión de inserciones o borrados que mantiene la propiedad todo el tiempo. En el capítulo 27 Godfried estudia los ritmos fantasma, que son los ritmos resultantes de considerar como ritmos los silencios de un ritmo dado. En particular, discute las implicaciones cognitivas de estos ritmos. El capítulo 28 consiste en un examen de los cánones rítmicos y también de las simetrías axiales que se pueden encontrar en los ritmos. En el capítulo 29 el tema principal es los ritmos definidos por acentuación. Estos ritmos consisten en tocar todas las notas de los pulsos y acentuar unas cuantas de ellas, lo cual da lugar a un ritmo que destaca sobre la alfombra de pulsos. Este tipo de ritmos aparece, por ejemplo, en el flamenco. El capítulo 30 investiga varios tipos de simetría en los ritmos (simetría axial, palindrómica, etc.), ampliando así el capítulo 28. El capítulo 31 se adentra en los ritmos que tienen un número inusual de pulsos; se trata más bien de un examen musicológico de dichos ritmos más que un análisis matemático del mismo. En el capítulo 32 se discuten y analizan diversas representaciones de los ritmos, desde la notación de caja hasta las duraciones inter-notas. Ya en el capítulo 32 Godfried nos muestra uno de los temas más interesantes en la teoría del ritmo: la similitud rítmica. Examina diversas distancias de similitud, desde la distancia Hamming hasta la distancia de permutación dirigida (cuyo inventor fue él). En el capítulo 33 el autor se enfrenta a definir el concepto de regularidad e irregularidad para ritmos y cómo establecer una gradación entre ambos extremos. El capítulo 35 describe las aplicaciones de los árboles filogenéticos a la teoría del ritmo. Aquí expone buena parte de sus resultados [?] con esta técnica así como sus aplicaciones al análisis del flamenco. El capítulo 36 está consagrado al estudio combinatorio del ritmo. Finalmente, el capítulo 37 consiste en una defensa ardiente del ritmo de la clave son como el ritmo más popular y mejor construido (argumenta para ello su nivel de regularidad, su índice de asimetría, su índice de contratiempo, su complejidad métrica, entre otras). En el último capítulo del libro traza una historia y un recorrido musicológico de este ritmo. El libro cierra con un epílogo en que Godfried hace un resumen de su perspectiva e ideario sobre la teoría del ritmo y justifica una vez más la pertinencia del análisis matemático y computacional del ritmo.   Bibliografía [Aro91] Simha Arom. African Polyphony and Polyrhythm. Cambridge University Press, Cambridge, England, 1991. [BBOG09] B. Ballinger, F. Benbernou, N. Gomez, J. O’Rourke, and Toussaint G. The continuous hexachordal theorem. In E. Chew, A. Childs, and C-H. Chuan, editors, Mathematics and Computation in Music, pages 63–77. Springer, Berlin, 2009. [DGM+05] Erik Demaine, Francisco Gomez, Henk Meijer, David Rappaport, Perouz Taslakian, Godfried Toussaint, Terry Winograd, and David Wood. The distance geometry of deep rhythms and scales. In Proceedings of the 17h Canadian Conference on Computational Geometry, pages 160–163, University of Windsor, Windsor, Ontario, Canada, August 10-12, 2005. [GTT09a] F. Gómez, P. Talaskian, and G.T. Toussaint. Interlocking and euclidean rhythms. Journal of Mathematics and Music, 3(1):15–30, 2009. [GTT09b] F. Gómez, P. Talaskian, and G.T. Toussaint. Structural properties of euclidean rhythms. Journal of Mathematics and Music, 3(1):1–14, 2009. [Góm11] Paco Gómez. Medidas matemática de síncopa (I), 2011. [Kei91] Michael Keith. From Polychords to Pólya: Adventures in Musical Combinatorics. Vinculum Press, Princeton, 1991. [LJ83] F. Lerdahl and R. Jackendoff. A Generative Theory of Tonal Music. MIT Press, Cambridge, Massachussetts, 1983. [PF86] Rolando Antonio Pérez Fernández. La binarización de los ritmos ternarios africanos en América Latina. Casa de las Américas, Havana, 1986. [Thu08] Eric Thul. Measuring the complexity of musical rhythm. Master’s thesis, McGill University, Canada, 2008. [Tou17a] Godfried Toussaint. The geometry of musical rhythm: what makes a “good” rhythm good? CRC Press, Boca Raton, Florida, 2017. [Tou17b] Godfried Toussaint. The geometry of musical rhythm: what makes a “good” rhythm good?, 2017.
Lunes, 16 de Noviembre de 2020 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

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