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Cultura y matemáticas

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Cultura y matemáticas/Instantáneas matemáticas
Autor:Ángel Requena Fraile
(Alberto Durero. Melancolía I. 1514) El enigmático grabado Melancolia I (1514) de Alberto Durero es una de las expresiones más acabadas de la cultura del Renacimiento y fundamental para su estudio. Belleza aparte. La obra es de extrema complejidad: en ella conviven referencias astronómicas, astrológicas, alquímicas, mágicas...y matemáticas, además de las estrictamente pictóricas. Durero, Piero della Francesca y Leonardo, grandes de la pintura de todos los tiempos, escribieron tratados de matemáticas. Los tres se relacionaron con el matemático Luca Pacioli. No solo la perspectiva les llevaba al estudio de la geometría. El artista del Renacimiento solía trabajar varias artes: la arquitectura y la mecánica también exigían saber matemáticas. De ahí la famosa advertencia de Leonardo: no lea mis escritos quien no sea matemático. Tres centros de atención matemática en Melancolía I: el compás, el cuadrado mágico 4x4 y el raro poliedro de ocho caras, seis pentagonales y dos triangulares. El humor melancólico es el de los sabios, por ello el compás, que debía compensarse con la mensula jovis, el Sello de Júpiter, el cuadrado mágico de 4x4, con número mágico 34. Todas las filas, las columnas y las diagonales suman 34. Incluso los cuatro subcudrados 2x2 de las esquinas y el central suman 34. Las cifras inferiores del centro, 1514, señalan la fecha de ejecución. Tanto el cuadrado como el poliedro han sido reproducidos profusamente. Nos dedicamos al poliedro. El enigma del poliedro ¿Qué poliedro es? No se trata de uno de los más conocidos: ni de los regulares sólidos platónicos, ni los de caras regulares arquimedianos, ni  los de Catalan, sus duales. En un primer estudio parece un cubo con dos vértices opuestos truncados. Así salen las seis caras pentagonales iguales y las dos caras triangulares equiláteras. En dicho caso tres ángulos del pentágonos serían rectos. No parece que sea así. La hipótesis más generalizada es que se trata de un romboedro, un hexaedro rómbico semirregular, una ligera deformación del cubo. Francesca Folicaldi, en la presentación de la bella exposición Il Numero e le sue Forme (2005) que tuvo lugar en el Instituto e Museo di Storia della Scienza de Florencia, considera que el ángulo agudo del rombo está comprendido entre 80º y 83º, y en consecuencia el obtuso entre 100º y 97º. José María Valero Navarro, catedrático de dibujo del instituto Bachiller Sabuco de Albacete ha realizado un detallo estudio en su breve artículo El enigmático poliedro “La Melancolía I”(1989). La única truncación doble posible del romboedro que conserve las caras pentagonales iguales, y los triángulos equiláteros, son los dos vértices en diagonal que son triedros de caras agudas Jesús Martínez Frias (El enigmático poliedro de Dureo“La Melancolía I”, 2007) del Centro de Astrobiología del CSIC/INTA ha estudiado el posible origen de la forma: se trataría de una recreación de los cristales de alunita, un sulfato hidratado de potasio y aluminio. Cristaliza en sistema trigonal. La alunita es un alumbre usado en la pintura y su producción en los Estados Pontificios era muy conocida. Se trata de una hipótesis razonable que Durero no nos puede confirmar. (Cristal de alunita) El poliedro en el Panta Rhei de Hans Erni Lucerna tiene un museo espléndido para la pintura matemática, él del pintor suizo Hans Erni. Nos lo encontraremos dentro del Museo del Transporte, pero con un edificio independiente. No tan conocido en ambientes matemáticos como el holandés Escher, Hans Erni utiliza la matemática -especialmente las superficies regladas- con profusión. Sus pinturas más conocidas son las series de deportes encargadas por el Comité Olímpico, en ellas el cuerpo humano y su movimiento se encuentran matemáticamente definidos. (Hans Erni. Panta Rhei. 1980. Lucerna) Pero la joya de Lucerna no está en el Museo en sí, sino en su Auditorio, allí admiraremos el Panta Rhei, el origen de todas las cosas. En dos soberbios murales que decoran las paredes nos encontramos con la historia de la humanidad, desde Prometeo, y donde no faltan Tales, Pitágoras, Copérnico, Galileo, Descartes, Pascal, Newton, Leibniz o Einstein. La ciencia, la filosofía y la matemática son el hilo conductor de la humanidad desde que Prometeo roba el fuego de los dioses y lo pone al servicio de los hombres para su liberación. El final no es optimista: Pandora abre su caja: ¿acaso lo que empezó como liberación puede terminar como amenaza? Es significativo que el poliedro de Durero sea representado en este gráfico y sintético resumen de la historia de la humanidad. Durero en la Sagrada Familia Las matemáticas de Gaudí y en particular de la sagrada Familia son un tema de magníficos estudios. El cuadrado mágico de Dalí deriva del de Durero, corregido para sumar 33 y aparece tanto en el Beso de Judas como en el Portal de la Pasión. En las puertas de bronce (Puerta de la Oración en el Huerto de Getsemaní ) podemos ver el sólido de Durero del mismo grabado, el romboedro con dos vértices truncados (seis pentágonos y dos triángulos como caras) y debajo leeremos la palabra Melancolía. (Portal de la Pasión. Detalle. Templo de la Sagrada Familia. Barcelona) En la otra hoja de la puerta se ha reproducido un compás y varias figuras geométricas que insisten en el contenido simbólico matemático. La pasión de Cristo parece querer reflejar esa tristeza del aparta de mí ese cáliz. En las culturas tradicionales el cuadrado mágico se emplea como talismán protector, el de Gaudí también refleja la edad de la Pasión. (Puerta de la Oración en el Huerto. Templo de la Sagrada Familia. Barcelona) El  Antidudero de Anatoli Fomenko Anatoli Timoféyevich Fomenko (nadido en 1945) es un conocido matemático ruso de la Universidad de Moscu, trabaja fundamentalmente en  geometría diferencial y topología, así como en métodos numéricos en su campo. Fomenko no elude la creación artística basada en la matemática. Así, la American Mathematical Society publico en 1990 un compendio titulado Mathematical Impressions. La versión personal de Melancolia I no podía faltar, pero ahora es un Antidurero. El cuadrado aumenta a 11x11 y el sólido se agrieta. (Anatoli Fomenko. Antidudero. 1975) En Girgio de Chirico Giorgio de Chirico (1888-1978) fue un importante artista italiano creador del movimiento artístico scuola metafísica. En su metafísica no falta el poliedro de Durero en una versión muysingular de la moderna melancolía. (Giorgio de Chirico. Melancolía. 1912) En Carlos Colombino (Carlos Colombino. Poliedros enlazados de Durero) Carlos Colombino (1937 – 2013) fue un artista plástico, arquitecto, escritor y animador cultural del Paraguay. Quizá su figura internacionalmente mas destacada. Dedicó toda una serie a Durero con varias versiones de su poliedro. (Carlos Colombino. El ángel  de la Melancolía) En Miguel Rothschild Miguel Rothschild, un joven artista argentino asentado en Alemania, ha realizado la representación espacial más exagerada y multicolor en base a paralelogramos rigidizados por una diagonal para mantener la integridad tensional. (Miguel Rothschild. Melancolía) En la Estación de Hamburgo En la Estación de Ferrocarril de Hamburgo se localiza el poliedro de Durero, en vidrio que es casi un buzón de sugerencias. Se atribuye a Anna Blume pero quizá solo sea la fotografía. (Estación de Ferrocarril de Hamburgo) Plaza de Brujas en Valencia La plaza de Brujas, no dedicada a las perseguidas hechiceras sino a la ciudad flamenca, está en un lugar muy emblemático de la ciudad de Valencia con el Mercado Central y la Iglesia de los Juanes. Recibe el nombre por ser el lugar de fallecimiento del humanista valenciano Luís Vives. El busto de Vives se colocó en la plaza y los arquitectos municipales Román Jiménez Iranzo y Pedro Soler García tuvieron el acierto de dedicar una fuente a la Melancolía y colocar un poliedro de Durero. La escultura estaba próxima a la iglesia y al busto. (Fuente de Jiménez-Soler. Valencia) La plaza se esta remodelando en el 2020 y en el proyecto está la reubicación de la fuente. (Proyecto de remodelación. Plaza de Brujas. Valencia)
Jueves, 01 de Abril de 2021 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Emmet Crowley y Paco Gómez Martín
Las escalas multi-octavas La música es un fenómeno altamente estructurado que depende de una serie de principios organizativos. Con estos principios, que posibilitan su existencia, están familiarizados tanto músico como oyentes, si bien a menudo de forma inconsciente. Entre esos principios se cuenta la organización rítmica y melódica, y dentro de esta última destacan las escalas. El concepto de escala está presente en la mayoría de tradiciones musicales. La escala, en su papel estructural, constituye una forma de determinar el contenido tonal de una pieza. Aunque existe una gran variedad de escalas en el mundo, diferentes en muchos sentidos, la mayoría tiene ciertos elementos en común. Como señala Patel [Pa08] en Music, Language and the Brain, las escalas generalmente contienen de 5 a 7 notas por octava, progresan por grados continuos de entre 1 y 3 semitonos y normalmente no son simétricas. Una característica muy extendida, y que suele ser parte de la propia definición de escala en la mayoría de los casos, es que la escala consta de una serie de notas que se repite en cada octava. Esto no es sorprendente teniendo en cuenta que está demostrado que los seres humanos percibimos las notas a distancia de octava como equivalentes, seguramente uno de los pocos universales de la música; véase [BJ11] para más información sobre los universales musicales. Lo anterior nos lleva a preguntarnos: ¿es la repetición en la octava un requisito indispensable de toda escala? ¿Es posible una escala en que no repitiese en la octava? ¿Tendría sentido musical? Aunque para la mayoría sea un fenómeno seguramente desconocido, la realidad es que sí existen escalas que no se repiten en la octava. De hecho, hay culturas musicales centenarias en las que el contenido tonal es determinado por escalas que no se repiten en la octava o escalas multi-octava. La escala del Znamenny Rospev –el canto litúrgico de la iglesia ortodoxa rusa, probablemente de origen bizantino [Sw40]– es un claro ejemplo. Como se puede observar en la figura 1, consta de una serie de tetracordios mayores consecutivos, repitiendo así en la cuarta, en vez de en la octava. Mientras que la primera octava contiene la nota si natural, la segunda contiene un si bemol y si se prolongara la estructura a lo largo de más octavas, irían apareciendo cada vez más notas diferentes en cada octava. Este tipo de escala es común en la música folclórica rusa, así como de países de la región tales como Albania, Georgia, Azerbaiyán o Bulgaria [N16]. Figura 1: Construcción de escalas – La escala Znamenny Las escalas multi-octavas, aunque poco comunes, fueron utilizadas y estudiadas a mediados de la primera mitad del siglo XX por músicos y musicólogos como Nicolás Slonimsky, Joseph Shillinger, Elliot Carter, Alfred Schnittke; también por músicos de jazz como David Liebman, David Baker o Dennis Sandole; así como por compositores actuales como Joel Hoffman, Gao Weijie o Ramón Paús. Estas escalas suelen estar construidas de una de las siguientes maneras: Escalas simétricas a partir de un intervalo que divide un determinado número de octavas de manera equidistante; véanse [Sl47], [Sh46] y [Ym13]. Por una sucesión de tetracordios diferentes; véanse [P61], [Ba90] y [Li91]. Por una sucesión de tetracordios similares; véase [P61]. Por la combinación de dos escalas de una octava con una misma tónica; véanse [P61] y  [Ym13]. La gran variedad de música que ha brindado este concepto justifica la validez del mismo, pero, por ahora, pocos investigadores se han dedicado a estudiar las características y propiedades estructurales de estas escalas. Por razones evidentes, la escala que más ha sido estudiada en este sentido ha sido probablemente la escala mayor. Estudios de investigadores como Carlton Gamer [Ga67], Clough y Douthett [CD91], Clough y Myerson [CM85], o Carey y Clampitt [CM89], han conseguido desvelar propiedades auténticamente sorprendentes y fascinantes de esta colección tan determinante en la historia de la música. A continuación, vamos a describir brevemente algunas de estas características con la siguiente pregunta en mente: ¿Es posible construir una escala multi-octava que comparta algunas de estas características? Propiedades de la escala mayor La escala diatónica, así como la escala pentatónica, son sin duda de las escalas más relevantes en la historia de la música. Han definido y estructurado el contenido tonal en múltiples culturas musicales y épocas. Lo cierto es que están íntimamente relacionadas y sus propiedades han sido estudiadas por numerosos investigadores de lo que se denomina la teoría diatónica. Para un excelente resumen de la teoría diatónica, véase el primer capítulo de la tesis de Carey [Ca98]. Tomemos un momento para pensar en el teclado del piano, que consta de 7 teclas blancas y 5 teclas negras por octava. Las teclas blancas corresponden a la escala mayor (en concreto a la escala de Do mayor) y las teclas negras corresponden a la escala pentatónica (en concreto a la escala pentatónica de Sol bemol mayor). Por lo que, si tomamos las doce notas de la colección cromática y omitimos las siete notas de la escala mayor, quedan las cinco notas de la escala pentatónica. Muchos investigadores se refieren a este hecho como el complemento de la escala mayor. Es llamativo que la cardinalidad de estas escalas –esto es, el número de notas de la escala–, cinco y siete, sean primos relativos con 12, el número de semitonos en que se divide la octava (primos relativos significa que no tienen divisores comunes). Con estas cardinalidades es imposible la formación de escalas simétricas1. Además, ambas escalas comparten el mismo intervalo generador, la quinta, ya que sus notas pueden ser obtenidas recorriendo el ciclo de quintas siete y cinco pasos, respectivamente. Como muestra la figura 2, si recorremos siete pasos desde la nota fa, obtenemos las notas de la escala de do mayor, mientras que, si recorremos solo cinco, obtenemos las notas de la pentatónica de fa mayor. Si repitiéramos esto desde cada una de las 12 notas en el ciclo de quintas, obtendríamos los 12 tonos de la escala mayor y pentatónica, respectivamente. Figura 2: Intervalo generador En las siguientes secciones estudiaremos algunas propiedades estructurales de la escala diatónica. Escalas de regularidad máxima o escalas euclídeas Para definir este tipo de escalas, supondremos que tenemos una colección de notas, llamada el universo cromático o la colección cromática, de la cual elegiremos un subconjunto de notas que formará la escala. En las escalas occidentales, el universo cromático suele estar formado por 12 semitonos y el número de notas de las escalas más comunes suele ser 5 o 7. La propiedad de regularidad máxima fue definida por Clough y Douthett [CD91] y consiste en exigir que las notas de la escala estén distribuidas de la manera más regular posible entre las notas del universo cromático. Una analogía común para explicar este fenómeno es el de una mesa redonda en la que hay 12 sillas distribuidas de manera uniforme, fijadas de manera que no se pueden cambiar, y hay que distribuir a los invitados de la manera más regular posible. En el caso de seis invitados, solo hay una solución correcta, como muestra la figura 3. En el caso de, por ejemplo, siete invitados, como en la escala mayor, la solución no es tan evidente. No es posible distribuir siete en doce de una manera totalmente uniforme, por lo que hay que buscar la manera más uniforme posible o de máxima regularidad (maximally even). Las escalas con regularidad máxima se llamarán ME (por sus siglas en inglés). Figura 3: Distribución uniforme de 6 en 12 En lo que sigue, vamos a referirnos al artículo de esta misma columna de marzo del 18 Ritmos euclídeos y ritmos equilibrados [Go18]. Ilustraremos el proceso con un ejemplo de escalas. Supongamos que tenemos 17 semitonos y queremos distribuir de forma regular 7 notas entre los 17 semitonos. Estas 7 notas formarán la escala heptatónica en un universo cromático de 17 semitonos. Sigamos los pasos dados en la figura 4. Primero, alineamos las notas de la escala y añadimos notas que no son de la escala hasta completar las 17 notas totales. Esto se representa por siete unos (la escala) y diez ceros (el resto); véase la figura 4-paso (1). A continuación, formamos grupos de 7, los cuales corresponden a efectuar la división de 17 entre 7; obtenemos, pues, 7 grupos formados por [1 0] (en columnas en el paso (2) de la figura 4). Sobran tres ceros, lo cual indica que en el paso siguiente formaremos grupos de 3. Tras formar el primer grupo —véase el paso (3) de la figura 4— nos quedamos sin ceros. Continuamos agrupando de 3 en 3 tomando los grupos de la otra caja, en la que quedan 4 columnas (figura 4-paso (4)). Procedemos así que queden uno o cero grupos; de nuevo, esto es equivalente a efectuar la división de 7 entre 3. En nuestro caso, queda un solo grupo y hemos terminado (paso (5)). Finalmente, la escala se obtiene leyendo por columnas y de izquierda a derecha la agrupación obtenida (paso (6)). Figura 4: Escalas regulares Tras este proceso hemos obtenido una escala microtonal de 7 notas en un universo cromático de 17 notas. Para más información sobre distribuciones regulares en ritmos y escalas, véanse [DGMM+09], [GTT09a] y [GTT09b]. Por último, querríamos incluir la observación de que, si una escala es de regularidad máxima (ME), entonces su complementario también lo es. El complementario de una escala se construye intercambiando notas de la escala por notas que no lo son y viceversa. En términos de la notación de ceros y unos de arriba, el complementario consiste en intercambiar ceros y unos. La idea que hay detrás de este hecho es que toda distribución regular de notas en un universo cromático implica también una distribución regular de las notas que no están en la escala. Las escalas profundas o de multiplicidad única Esta propiedad fue definida por Carlton Gamer [Ga67] en 1967. Las escalas con la propiedad de profundidad (deep scale property) muestran una propiedad denominada multiplicidad única de distancias (unique multiplicity property). Esta propiedad significa que cada intervalo se repite un número único de veces, donde se cuentan todos los intervalos posibles entre las notas de la escala. La escala mayor contiene, por ejemplo, dos intervalos de segunda menor (o séptima mayor), cinco intervalos de segunda mayor (o séptima menor), cuatro intervalos de tercera menor (o sexta mayor), tres intervalos de tercera mayor (o sexta menor), seis intervalos de cuarta justa (o quinta justa) y un intervalo de cuarta aumentada (o quinta disminuida). Esta relación se refleja en las notas en común en las diferentes transposiciones de la escala; dos escalas mayores a distancia de semitono tendrán dos notas en común, dos escalas a distancia de tono tendrán cinco notas en común, etc. Para que una escala tenga la propiedad de la profundidad tiene que generarse mediante un intervalo primo relativo con el número de semitonos de la colección cromática completa. Además, el número de notas de la escala corresponderá a la mitad o la mitad más uno de la colección cromática. Si el número de notas es d y la colección cromática completa es n, el número de notas de una escala profunda será d = [n/2] o d = [n/2] + 1. En el caso de la escala mayor, su intervalo generador es la quinta– que abarca siete semitonos, siendo así relativamente primo a la colección cromática de 12– y su número de notas sería 7= 12/2 + 1. Las escalas bien formadas Esta propiedad la definieron Carey y Clampitt [CC89] en un conocido artículo de 1989. En esencia, implica que la simetría de su intervalo generador se mantiene al reordenar las notas dentro de una octava por grados conjuntos para formar la escala. Esto se entiende mejor de una manera gráfica. La figura 5 muestra las notas de la escala de do mayor en un ciclo de quintas. A la izquierda, las notas han sido unidas siguiendo el ciclo de quintas; a la derecha por grados conjuntos (do-re-mi-fa-sol-la-si-do). Como se puede observar, ambas opciones resultan en polígonos con simetría rotacional. Figura 5: Simetría en la escala mayor (figura tomada de [CC89]) También es el caso de la escala pentatónica, como podemos observar en la figura 6: Figura 6: Simetría en la escala pentatónica (figura tomada de [CC89]) Pero no es así si recorremos, por ejemplo, seis pasos en el ciclo de quintas para formar una escala hexátona, como en la figura 7: Figura 7: Ejemplo de escala en la que simetría del intervalo generador no se mantiene en la escala (figura tomada de [CC89]) En busca de escalas multi-octava con buenas propiedades estructurales Posiblemente, en parte, gracias a las sorprendentes propiedades estructurales descritas en la sección anterior, la colección diatónica es sin lugar a duda la más utilizada de las 462 posibilidades teóricas de escalas heptatónicas de una octava. La pregunta que nos hacemos en este artículo es bastante natural: ¿es posible encontrar las mismas propiedades en una escala multi-octava? Las propiedades de escala profunda y de ser bien formada parecen, a priori, imposibles de aplicar en un contexto de escala multi-octava. En primer lugar, si las notas de la escala deben poder obtenerse por un intervalo generador ¿cómo se ordenan luego para formar una escala? En el caso de una escala de una octava la solución es evidente (se ordenan por grado conjunto de grave a agudo dentro de una octava), pero, al abarcar la escala más octavas, ¿cómo se disponen las notas a lo largo del registro completo sino es de manera arbitraria? Este problema se amplifica cuando consideramos que una escala multi-octava puede contener potencialmente los 12 tonos a lo largo de su registro total. ¿De qué nos sirve el concepto de intervalo generador para obtener las notas de la escala si finalmente las vamos a incluir todas? No obstante, en esta sección nos vamos a armar de valor y embarcar en la búsqueda de una escala multi-octava que muestre las tres propiedades descritas anteriormente en relación a la escala mayor. Escalas de regularidad máxima La cantidad de escalas multi-octava posibles es prácticamente infinita, por lo que es importante delimitar nuestra búsqueda. Nos restringiremos a las escalas de dos octavas. Vamos a empezar por la propiedad de regularidad máxima, que es relativamente sencilla de aplicar a este tipo de escalas. Cualquier número de notas d pueden ser distribuidas de la manera más uniforme a lo largo de un rango total de c semitonos, en el caso de dos octavas, 24. Evidentemente, no todas las opciones tienen sentido como escala. Si elegimos un número demasiado grande para d, tendremos que agrupar las notas demasiado para lo que solemos entender como escala; por ejemplo, si d = 23, la escala será prácticamente cromática. Por lo contrario, si d es un número demasiado pequeño, los espacios entre las notas serán demasiado grandes para funcionar como escala; imaginemos, por ejemplo, las posibles agrupaciones de d = 2. Por esta razón, vamos a imponer tres restricciones en cuanto a la sucesión de intervalos dentro de las escalas, comunes a la mayoría de escalas utilizadas en la música occidental2 (véanse [Ty04] y [Pr78]): No consideraremos escalas en las que existan intervalos de dos semitonos consecutivos. No consideraremos escalas en las que existan intervalos mayores a tres semitonos. No consideraremos escalas en las que existen dos intervalos de tres semitonos consecutivos. Con estas tres restricciones garantizaremos que nuestras escalas tengan una construcción interválica equivalente a la mayoría de las escalas que utilizamos. En dos octavas, consideraremos, por lo tanto, escalas en las que d sea un número entre 10 y 15. En d ≤ 9 e inferior no podremos cumplir con las condiciones b) y/o c). Si d ≥ 17, no podremos cumplir con la condición a). Considerando d =16 solo hay dos opciones que cumplen las tres condiciones, siendo la secuencia interválica de estas, respectivamente: 1-2-1-2-1-2-1-2-1-2-1-2-1-2-1-2 2-1-2-1-2-1-2-1-2-1-2-1-2-1-2-1 Estas dos secuencias son rotaciones de la misma escala y corresponden al segundo modo de transposición limitada de Messiaen [Me44], también conocido como escala disminuida u octotónica. Esta escala repite en la octava, por lo que no nos interesa para nuestros propósitos. Con lo cual, nos quedan seis opciones para formar escalas de dos octavas bien formadas, que detallaremos a continuación: ME d = 10 Secuencia interválica: 3-2-2-3-2-3-2-2-3-2 ME d = 11 Secuencia interválica: 3-2-2-2-2-2-3-2-2-2-2 ME d = 12 Secuencia interválica: 2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2 ME d =13 Secuencia interválica: 2-1-2-2-2-2-2-2-1-2-2-2-2 ME d = 14 Secuencia interválica: 2-2-1-2-2-2-1-2-2-1-2-2-2-1 ME d = 15 Secuencia interválica: 2-1-2-2-1-2-1-2-2-1-2-1-2-2-1 De estas descartaremos, naturalmente, d = 10 (escala pentatónica en dos octavas), d = 12 (escala simétrica de tonos enteros en dos octavas) y d =14 (escala mayor en dos octavas) al ser en realidad escalas que repiten a la octava. De las escalas bien formadas que quedan, d = 15 tiene máximo común divisor (mcd a partir de ahora) mcd(24, 15)=3. Esto hace que la escala presente simetrías (para más información sobre por qué ocurre esto, véase [GTT09a]). Al ser el mcd(24, 15)=3, la escala divide el rango de dos octavas en tres partes iguales, siendo cada uno de los tres tramos de escala interválicamente idénticos. Nicolas Slonimsky recoge una gran cantidad de escalas de este tipo en su Thesaurus of scales and melodic patterns [Sl47]. La escala regular con d = 15 corresponde a la escala nº 707 del Thesaurus. Las escalas regulares con d = 11 y d =13 cumplen que mcd(24, d)=1 y parecen estar relacionadas, ya que d =13 contiene la totalidad de d =9, donde la diferencia entre ambas escalas es únicamente dos notas. Escalas profundas y bien formadas Para poder empezar a hablar de las siguientes dos propiedades, es necesario solucionar el problema del intervalo generador. ¿Cómo se disponen las notas generadas por un intervalo generador i a lo largo del registro completo c si no se hace de manera arbitraria? Si mi escala puede incluir potencialmente las 12 notas ¿qué sentido tiene un intervalo generador? La solución puede ser más sencilla de lo que parece. El pensar un rango modular de 12 notas es lógico, ya que, como indicábamos antes, los seres humanos percibimos notas a distancia de octava como equivalentes (dos notas se piensan equivalentes si están a una distancia de una octava). Pensar en las clases de equivalencias de las alturas (pitch-class equivalence) de esta manera tiene sentido incluso en escalas multi-octava, puesto que aporta información valiosa sobre la sonoridad de las mismas; cuantas más notas de la colección cromática contenga, más densa será su sonoridad, por ejemplo. Pero, por otro lado, las escalas que estamos estudiando transcurren en un rango modular de 24 semitonos, no de 12. Entonces, para poder entender mejor sus propiedades estructurales ¿no sería más revelador pensar en una equivalencia dentro de módulo 24 en vez de módulo 12? De esta manera do1 sería equivalente a do3, do2 equivalente a do4, etc.  La figura 8 muestra un ciclo de 24 semitonos que abarca 2 octavas. Figura 8: Ciclo de 24 semitonos Ahora vamos a comenzar nuestra búsqueda de una escala de dos octavas con la propiedad de la profundidad. Trasladando el caso de la escala mayor, una escala profunda cumple , a dos octavas, estaríamos buscando una escala de 13 notas. Ahora nos falta un intervalo generador i, relativamente primo con el rango cromático n, del que obtener las notas de nuestra escala. Como podemos observar en la escala mayor, el número de semitonos que abarca el intervalo generador i corresponde al número de notas d de la escala, es decir i = d. Por ejemplo, la escala mayor contiene siete notas y el intervalo generador de la escala mayor, la 5ª, abarca siete semitonos. El que d = i sea una propiedad de la colección diatónica fue demostrado definitivamente por Clough y Dhoutett [CD91]. Siguiendo esta lógica, nuestro intervalo generador en dos octavas debería abarcar 13 semitonos. La figura 9 muestra un ciclo de 13 semitonos dentro de un rango modular de 24 semitonos; al ser ambos números i y n relativamente primos, esto es, mcd(i,n)=1, el ciclo abarca los 24 tonos. Figura 9: Ciclo de 13 semitonos dentro de un rango modular de 24 semitonos Ahora podemos reparar en un hecho asombroso. Si recorremos 13 pasos en el sentido de las agujas del reloj desde la nota Eb1, obtenemos la colección de la escala regular con d =13; si recorremos 11 pasos, obtenemos la colección de la escala regular d =11. Tenemos dos escalas regulares con mcd(d,n)=1, que se diferencian en tan solo dos notas y tienen un mismo intervalo generador. ¿Nos resulta familiar? Efectivamente, guardan la misma relación entre sí que la pentatónica y la escala mayor. De hecho, la escala regular d =11 es el complementario de la escala regular d =13. Si omitimos las 13 notas de la escala d =13 de la colección completa n, nos quedamos con las 11 notas de la escala d =11. Es más, si nos fijamos en el número total de intervalos de la escala regular d =13, veremos que la escala es profunda, puesto que contiene cada tipo de intervalo un número limitado de veces. Para observar esto es necesario considerar los intervalos en un rango modular de 24 semitonos como en el cuadro 1. Si recorremos un paso en un sentido, es necesario recorrer 23 en el sentido contrario para llegar al mismo punto, no 11 como en un rango modular de 12. Por lo que las equivalencias interválicas, en vez de ser 1-11, 2-10, 3-9, 4-8, 5-7, 6-6, como de costumbre en un rango modular de 12, serán 1-23, 2-22, 3-21, etc. La siguiente tabla muestra el vector interválico (las ocurrencias de las distancias interválicas) de la escala regular de 13 notas, evidenciando que se trata de una escala profunda. Vector interválico módulo 24 de la escala regular con d = 13 Clase de intervalo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Número de ocurrencias 2 11 4 9 6 7 8 5 10 3 12 1 Cuadro 1: Vector interválico módulo 24 Considerar el vector interválico en un rango modular de 24 semitonos es esencial para poder apreciar esta propiedad, ya que en el vector interválico en un rango modular de 12 semitonos no se aprecia la propiedad de multiplicidad única. En cambio, el vector interválico en un rango modular de 12 semitonos sí es útil para evidenciar el alto contenido cromático de esta escala (cuadro 2). Vector interválico módulo 12 de la escala regular con d = 13 Clase de intervalo 1 2 3 4 5 6 Número de ocurrencias 14 14 14 14 14 7 Cuadro 2: Vector interválico módulo 12 Ahora únicamente queda por comprobar que esta escala está bien formada. Para ello, comprobamos si la simetría del intervalo generador (como en la figura 7) se mantiene al agrupar las notas por grados conjuntos para formar la escala. Como muestra la Figura10, definitivamente es el caso: Figura 10: Simetría en las escalas regulares con d =13 y d =11 Conclusión Aunque no es un hecho conocido y pueda parecer sorprendente, gracias a una idea tan sencilla como considerar las propiedades estructurales de una escala de dos octavas dentro de un rango modular de 24 semitonos, es posible encontrar escalas que comparten propiedades importantes con la escala diatónica y su complementario, la escala pentatónica. En el caso de escalas de dos octavas, estas son la escala regular d = 13 y su complementario, la escala regular con d = 11. Un dato a considerar es que la escala regular con d = 13 contiene las 12 notas de la colección cromática, lo cual permitiría a un compositor crear música en un contexto cromático que a la vez muestra propiedades importantes en común con la escala diatónica. Será interesante descubrir cómo este dato tan contundente a nivel teórico se traduce en la práctica musical.   Bibliografía [Ba90] Baker, D. 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[2] Este hecho ha sido observado por investigadores como Tymoczco o Pressing.
Lunes, 15 de Marzo de 2021 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Cine y matemáticas
Autor:Alfonso Jesús Población Sáez
Marzo, mes de las matemáticas. Desde el grupo DiMa de divulgación de las matemáticas se han pensado y compartido un montón de actividades bajo el lema “Matemáticas para un mundo mejor”. Quizá sea un buen momento también para echar un vistazo al ambiente de algunas aulas. Si tuviéramos que decidir qué cinematografía ha abordado con más asiduidad la educación o elegir una película que sirva como presentación en un debate sobre la enseñanza y la educación, no cabe la menor duda de que seleccionaríamos una francesa. Prácticamente desde los inicios del cine (me viene a la cabeza la polémica Cero en conducta (Zéro de conduite: Jeunes diables au collège, Jean Vigo, Francia, 1933)), cada poco tiempo nos ofrecen alguna nueva propuesta sobre el tema. Recordemos que de esta nacionalidad ya comentamos Hoy empieza todo, Bertrand Tavernier, 1999; Ser y Tener, Nicolas Philibert, 2002; La clase, Laurent Cantet, 2008, La profesora de historia, Marie-Castille Mention-Schaar, 2014; y algún corto como Véronique et son cancre, Éric Rohmer, 1958. (no, no me he olvidado de las aportaciones de Truffaut, que también). Obviamente, algunas incluyen las matemáticas entre sus imágenes, aunque prácticamente siempre, su punto de vista es la perspectiva social más que la curricular. Vamos con una más, reciente: Ficha Técnica: Título Original: La vie scolaire. Nacionalidad: Francia, 2019. Dirección: Mehdi Idir y Grand Corps Malade. Guion: Mehdi Idir y Grand Corps Malade. Fotografía: Antoine Monod, en Color. Montaje: Laure Gardette. Música: Angelo Foley. Producción: Eric y Nicolas Altmayer, y Jean-Rachid. Duración: 111 min. Ficha artística: Intérpretes: Zita Hanrot (Samia Zibra), Liam Pierron (Yanis Bensaadi), Soufiane Guerrab (Messaoud), Moussa Mansaly (Moussa), Alban Ivanov (Dylan), Antoine Reinartz (Thierry Bouchard), Ibrahim 'Facher' Dramé (Lamine), Moryfère Camara (Issa), Gaspard Gevin-Hié (Kevin//Dewey), Mahamadou Sangaré (Fodé), Redouane Bougheraba (Redouane), Hocine Mokando (Farid), Aboudou Sacko (Mamadi), Blandine Lenoir (Anne, la directora), Dylan Sanches Tavares (Brahim), Shirley Attia (Amel), Kamélia Beloufa (Cindy). Argumento La película nos lleva a un instituto del extrarradio francés, al que acaba de llegar Samia, una nueva jefe de estudios, que ha pedido el traslado a ese Centro por motivos personales que posteriormente averiguaremos. Se contraponen en paralelo la vida de profesores y estudiantes, la mayor parte de ellos inmigrantes con un montón de problemas, no sólo académicos, sino también familiares. Como idea general, digamos que por momentos parece que estemos viendo más un documental que una película. Todos los alumnos que aprecen son de hecho alumnos reales, actores no profesionales (circunstancia habitual en las películas francesas que hemos nombrado arriba), lo que hace de lo que vemos algo bastante creíble, natural y espontáneo. No obstante, algunas situaciones (sobre todo las vivencias en el barrio), descritas sin tapujos pero sin crudeza, parecen resueltas de forma un tanto “buenista”. Quiero decir, no vamos a encontrar macarras despreciables como en el cine norteamericano, ni padres delincuentes, ni situaciones extremas. Vemos marginación, vemos carencias, vemos abusos y aprovechamientos de la posición (no sólo por parte de los alumnos líderes, también de algún profesor), pero todo es bastante “civilizado”, con una aceptación total de la situación de cada uno. Quizá por el distinto sentido del humor español y francés, algunos gags, chistes y bromas no sólo no me han parecido adecuadas, y metidas con calzador, sino totalmente sobrantes. Pocas, afortunadamente. Me ha parecido muy acertada la presentación en paralelo de las formas de actuar de alumnos y profesores en determinados contextos de su vida personal (mostrando básicamente que al final, todos somos personas, y hacemos las mismas cosas, dependiendo del nivel en el que estemos y de la edad, pero son tan idénticas que no deberíamos reprochar demasiadas conductas al alumnado). También se muestran muy bien los dilemas y situaciones que diariamente debe manejar el profesorado de enseñanza pública de este tipo de barrios. Y lo más interesante, unos diálogos que plantean muchos temas de reflexión (más abajo, se reproducen dos, ya que hay referencias matemáticas en ellos). El desarrollo de la trama está articulado en torno a dos profesores, la recien llegada  orientadora/supervisora/jefe de estudios y el veterano profesor de matemáticas (cinco años en el centro, y conocedor de primera mano del ambiente en el que viven los alumnos, ya que él mismo procede de un entorno similar). Las diferencias en su modo de ver la vida y la docencia son evidentes, aunque pueden compaginarse, al contrario que con otros compañeros con unas mentalidades distintas (algunos más tradicionales, otros demasiado “liberales”, pasotas por mejor decir). Paralelamente se reflejan las inquietudes de los alumnos, representados fundamentalmente en el inconformista y desilusionado, aunque buen chico, aún recuperable, Yanis, y sus amigos. A pesar de las carencias indicadas, y sin ser un producto redondo ni excelente, creo que es una película muy recomendable, sobre todo para los que nos dedicamos al precioso oficio de la enseñanza. La sensación final, no obstante, como no puede ser de otro modo es de desencanto, y sin aparentes posibilidades de cambio, pero nos guste o no, es la realidad misma. Sólo nos acaba salvando la actitud del ciudadano (tanto profesor como alumno), porque poco se puede esperar de los gobiernos de turno (la película no critica ninguna forma concreta de posición política; simplemente deja traslucir el agotamiento y perversión del modelo inercial que se sigue). Para el cinéfilo, también se incluyen muchas referencias a otras películas célebres (de los noventa para acá, por supuesto), en algún caso bastante ocultas, pero apreciables. Los profesores de Saint-Denis ha conseguido varios premios (por ejemplo el “Cinéfilos del Futuro” de la 16ª edición del Festival de Sevilla que otorga el público joven del festival), y una gran acogida entre los espectadores franceses (que, a diferencia de otros lugares cercanos que no quiero mencionar, apoyan incondicionalmente sus producciones de cierta calidad). En nuestro país no se ha podido estrenar en salas por la pandemia, pero se ha ofrecido a través de plataformas de pago y está disponible en DVD. Sobre el tipo de alumnado Para entender bien el contexto en el que se enmarcan los alumnos de la película, quizá sea pertinente unas pequeñas notas previas a su visionado. Son alumnos de tercer curso de SEGPA. En el sistema educativo francés, SEGPA es el acrónimo de Sections d’Enseignement Général et Professionnel Adapté , alumnos que tienen dificultades en el aprendizaje, o no han alcanzado en los cursos de Primaria el nivel suficiente para seguir con normalidad las clases de su edad. Precisamente en tercero, los estudiantes reciben documentación del Centro de Información y Orientación que detalla todos los CAP (Certificat d'Aptitude Professionnelle;  un diploma nacional que acredita un primer nivel de cualificación profesional) de la academia, así como los potenciales lugares de capacitación. De este modo, los estudiantes pueden elegir entre varias opciones de acuerdo con sus propios deseos y anhelos. Estas opciones se solicitarán más adelante, durante el mes de mayo. Este será el momento para que el estudiante junte los archivos de orientación y complete el formulario AFFELNET. Esta hoja debe ser pensada con mucho cuidado tanto por los padres como por el estudiante. Luego, el equipo educativo de SEGPA describirá todas las calificaciones obtenidas a lo largo del curso. Esas notas juegan un papel vital en la obtención o no del puesto laboral que desea el alumno. La hoja AFFELNET permite al alumno elegir tres posibles opciones respetando su orden de preferencia. Los resultados de las orientaciones solo se conocerán a finales de junio. Si el alumno no ha obtenido plaza en una escuela de formación profesional, se realiza una segunda fase con las plazas vacantes. Por tanto, es fundamental prepararse bien para esta última fase para no quedarse “sans solution" (sin solución). Las matemáticas El profesor de matemáticas manda salir a la pizarra a uno de sus alumnos, Issa. Posteriormente veremos que se trata de resolver una ecuación. Según se acerca de su pupitre a la palestra, sus compañeros están constantemente haciendo comentarios en voz alta (“¿Por qué siempre lo saca a él? ¿Por qué es negro?”) que el profesor trata de acallar a duras penas y con mucha paciencia. Ya en el encerado, Issa comenta al profesor: Issa: Profe, las mates ya eran difíciles cuando sólo había números, y ahora encima pone letras. ¿Estamos en Lengua o en Mates? Adele (compañera, desde su pupitre): Yo lo sé, ¿lo puedo hacer? Profesor: Adele, dinos que te ha dado. Adele: Se pasa la x al otro lado, y tenemos 6 dividido entre 3 que es 2. Profesor: Casi, casi. Pero sigue así, que está bien. (A la clase) Adele se esfuerza, reflexiona. Está muy bien. Yanis: No sabes hacer nada. Mientras está teniendo lugar esta conversación, el resto de alumnos no dejan de hablar en voz alta, y haciendo comentarios, haciendo ruido. El profesor continuamente está mandando silencio sin alterarse demasiado, con mucha paciencia. Ante el último comentario de Yanis, el alumno protagonista (en la imagen), levanta algo más la voz, enfadándose. Profesor: ¿Era broma? ¿Quieres hacerlo tú? ¿Qué te ha salido? Yanis: A mi no me ha salido nada. Quiero preguntarle, ya que es nuestro tutor, que para qué nos sirve sustituir letras por números. No sé, en la vida cotidiana, si no quiero ser profe de mates, ¿de qué me servirá resolver ecuaciones? Profesor: Vale, está bien, os voy a explicar para qué sirven las mates. Sirven para tener lógica y rigor. También para que no nos estafen. Y las mates sirven para aprender que todo problema tiene su solución, incluso el más complicado. Todo tiene solución. Además sirve para sacaros un título, y con suerte, la selectividad. Yanis: Profe, un día nos dijo que no estábamos aquí de cachondeo. ¿A qué viene lo de la selectividad? Profesor: Me has entendido perfectamente. Las matemáticas sirven para usar la cabeza como hace Issa en la pizarra, ¿vale? Sirven para usar la cabeza y no rendiros. Y después de haber usado mucho la cabeza y haberlo resuelto, nos sentimos orgullosos. Y la confianza en uno mismo es esencial. En resumen que las ecuaciones y las matemáticas, como el resto de materias, son las herramientas fundamentales que intentamos daros para que vosotros, no nosotros, yo ya soy profe, tengo el futuro resuelto, para que escojais vuestro futuro.  Y eso es lo más importante. Yanis: Pero profe, ya puestos a hacernos usar la cabeza, enseñenos algo que sea útil. No sé, podemos montar muebles de IKEA. (Risas de la clase). Profesor: ¡¡Montar muebles de IKEA!! Chavales, os voy a enseñar una cosita. Hay pocos trabajos que os vayan a pedir montar muebles de IKEA. Sin embargo, las ecuaciones son básicas para muchos buenos trabajos. Banquero, contable, arquitecto,… Otro alumno: Explorador. Profesor: … explorador, astronauta, … Yanis: ¿Ve en esta clase a contables o a banqueros? ¿Issa puede ser arquitecto? ¿Dewey, ese tonto del culo, puede ser astronauta? Issa: ¡Cállate, tío! ¡Que te calles! Profesor: ¡¡Callaos, por favor!! (A Issa) Dinos que te ha dado. Issa: Esto da 18. Profesor: Eso es, perfecto, Issa, muy bien. Issa (chuleando): Soy yo el profe. Soy yo quien da clase. Profesor: Muy bien, ya puedes sentarte. (A la clase) Espero que hayáis entendido que Issa podría llegar a ser arquitecto, Yanis, y tú también. Tus reflexiones son buenas. Sabes pensar. ¿Y gracias a qué? A la escuela. Yanis: Ah, no, no. No estoy de acuerdo. No es gracias a las clases. Es gracias a la calle. Profesor: ¿Diplomado en la calle? ¿Tu peluquero es diplomado? Alumno: ¡¡Cómo se pasa!! Comentario Como observamos en la imagen, la ecuación a resolver es  2 + = 8. (El alumno se queja de muchas letras; sólo está la x. Lo que sucede es que han planteado la ecuación como una función f(x) que toma un valor concreto, y se quiere averiguar para qué valor se alcanza dicha imagen). La primera alumna, Adele, inicia el ejercicio correctamente (de ahí los ánimos del profesor), pero se equivoca al despejar al final la x: “pasa” el 3 del denominador dividiendo en lugar de multiplicando; por eso le sale 2. La escena plantea además la eterna pregunta de para qué sirve estudiar determinados conceptos, y si en el fondo el alumno “aprende” más en la calle que en las aulas. La entrega de calificaciones Más adelante, hay una escena en la que el profesor de matemáticas reparte unos exámenes coregidos y comenta en voz alta las calificaciones de cada alumno. Profesor: Lamine. Un 3. Si sólo haces la mitad de los ejercicios, no sacarás mejor nota. Lamine: Es que las mates no son lo mío. Yanis: Aparte de que eres muy tonto. Profesor: Cindy, 3.5. Te quedas con tu nota media. Vas poco a poco. Bien. Cindy: Está bien. La media es 1.5. Profesor: Dewey, Kevin, perdón. A ver, has mejorado. ¿Sabes que has sacado? Kevin: No. ¿Qué he sacado? Dígame, ¿qué he sacado? Profesor: Un 1. Kevin: ¡Está muy bien! He sacado el doble. Mola. Profesor: ¿Qué? ¿El doble? Kevin, tenías un cero. Cero por dos es cero. Kevin: No, profe. He pasado de 0 a 1. Eso es el doble. Profesor: ¡Uff! Me falta un pelo para ponerte un 0. ¡Amel! Amel, un 2.5. Amel, maravilloso. Te has inventado teoremas, teorías, … Ha sido fantástico Sí, me encanta. Ya nos vamos conociendo. ¡Sofía! Sofía, 6. ¿Qué ha pasado? ¿Por qué no me hiciste el último ejercicio? Quizá tendrías la mejor nota de la clase. ¡Yanis! 5. Tu mejor nota del año. Yanis: ¿Qué te parece? Las mates están chupadas. Si me esfuerzo un poco, os machaco. Profesor: Puedes hacerlo mejor. Y la mejor nota de la clase con un 6.5 es para el gran Issa. ¿Nos dices unas palabras? Issa (se pone de pie): Les doy las gracias a mis padres, a todos los que me han apoyado, a Pitágoras, a Tales, en fin, a la familia. Y a mis colegas del 93, y al señor Messaoud también. Profesor: Gracias, gracias, ya te puedes sentar. Si sigues así, pasarás a 4º. Otro alumno: ¡Eh, tampoco se pase! Comentario Ciertamente el profesor tiene razón (uno no es el doble de cero), pero el chaval quiere valorar la mejoría de algún modo, por muy pequeña que sea. Una buena ocasión para mostrar la diferencia entre multiplicar y sumar (la mejoría “suma”, pero no es suficiente para que “multiplique”). No obstante, una característica apreciable del profesor en toda la película es que siempre, ante cualquier comentario, trata de mostrar los aspectos positivos, nunca lo negativo (ya se encargan el resto de los alumnos de hacerlo). Gran diferencia de actitud con los métodos “clásicos” de enseñanza. Destacable también, en la imagen de esta escena, en los pósteres colgados al fondo de la clase, cómo se transmite al alumno la idea de perpendicularidad, paralelismo, secante, etc., destacando en color rojo el propio concepto. Los directores Gran Corps Malade (literalmente “Gran Cuerpo Enfermo”), es el seudónimo de Fabien Marsaud (Seien-Saint-Denis, Francia, 1977), compositor y cantautor, que en 1997 tuvo una rotura de vértebras como consecuencia de una mala zambullida en una piscina mientras trabajaba como monitor de tiempo libre en una colonia de vacaciones en Saint-Denis. Le diagnosticaron que no iba a poder recuperar nunca la movilidad. Sin embargo, en 1999, la recuperó en sus piernas, y de ahí adoptó el mencionado seudónimo. Se ha especializado en poesía-música slam. Se trata de un tipo de poesía escénica de competición en que los participantes (slammers) disponen de 3 minutos para presentar textos de autoría propia a una audiencia, que es quien decide el vencedor, empleando tan solo su cuerpo y su voz. A diferencia de la Batalla de Gallos propia del rap, los poetas no se enfrentan directamente ni se responden el uno al otro, y como norma general, no improvisan sus textos. La audiencia también puede recitar en las competiciones. Mehdi Idir también es natural de Saint-Denis. Tras acabar sus estudios de Secundaria, se formó en edición de videos y filmó batallas de baile. Él mismo, bailarín de hip-hop, conoce al grupo Wanted Posse, campeón mundial de danza hip-hop, para quien realiza un video clip. Seducido por el clip, el grupo TF1 le encarga un documental que alcanzará las 11.000 copias en DVD. En 2007, Mehdi Idir produjo Paris By Light, un video sobre pintura con luz, (una técnica para dibujar con luz) con el artista Marko93. Este vídeo le abrió las puertas de la publicidad y la televisión, en particular para Canal +, Comédie + y NRJ 12. En 2006, conoció a Grand Corps Malade de quien se hizo amigo y para quien dirigió numerosos videos musicales. En 2015, Mehdi Idir dirigió su primer cortometraje Le bout du tunnel inspirado en una canción de Grand Corps Malade que narra la vida de Laurent Jacqua, el primer preso que escribió un blog. Filmado en blanco y negro y con una cámara subjetiva, el cortometraje ganó el premio a la mejor ficción en el Festival de Cine Urbano de París. En 2017 dirigió con Grand Corps Malade el largometraje Patients (no estrenado en España), sobre la recuperación física y emocional de un adolescente después de un terrible accidente, adaptado del libro de este último. La película registró más de un millón de espectadores y recibió dos nominaciones en los premios César. La película que hemos comentado, está rodada en su ciudad natal, Saint-Denis, e inspirada en su vida en el instituto. De hecho, el de la película es el mismo centro en el que estudió Mehdi Idir. Alfonso Jesús Población Sáez
Miércoles, 03 de Marzo de 2021 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/El rincón matemágico
Autor:Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)
Como lo prometido es deuda, vamos a continuar desarrollando las propiedades mágicas de los sólidos platónicos. Pero, antes de dedicarnos exclusivamente a la magia, comentaré algunas curiosidades matemáticas, no menos mágicas que las que aquí nos ocupan. Esta vez hablaremos de dualidad, una propiedad que permitirá agrupar los cinco poliedros de dos en dos (como hay cinco, uno de ellos se emparejará consigo mismo, adivina cuál). Para comprender este concepto, nos fijaremos nuevamente en la tabla donde se clasifican los cinco poliedros regulares según su número de caras (C), vértices (V) y aristas (A): Caras Vértices Aristas Tetraedro 4 4 6 Hexaedro 6 8 12 Octaedro 8 6 12 Dodecaedro 12 20 30 Icosaedro 20 12 30 Se puede observar que el hexaedro y el octaedro, así como el dodecaedro y el icosaedro, tienen el mismo número de aristas pero han intercambiado el número de caras de uno con el de vértices del otro. Por eso se dice que son duales. Gráficamente, esta característica hace que, dado cualquier poliedro regular, se puede construir su poliedro dual —también llamado poliedro conjugado— uniendo los centros de cada dos caras contiguas, lo que hace que el número de caras del primer poliedro coincida con el número de vértices del segundo, y recíprocamente. Esta imagen realizada con GeoGebra en el IES Mar de Alborán ilustra la idea: El tetraedro, ya que es dual de sí mismo, será protagonista del primer juego que vamos a proponer. Este juego aparece, ¡cómo no!, en la ingente colección de Martin Gardner, concretamente en el capítulo 19 del libro «6th book of mathematical diversions», publicado por primera vez en 1971. Haré unas pequeñas correcciones en la traducción para que la explicación sea más completa y precisa. Una extraña y poco conocida propiedad del tetraedro regular —y que no comparte con ningún otro sólido platónico— está relacionada con un truco de magia que puede presentarse como demostración de la habilidad para percibir vibraciones de color con los dedos. Construye un pequeño modelo de tetraedro regular. Puedes hacerlo a partir del esquema de la figura, según una idea de Charles Trigg (en el artículo titulado «Geometry of Paper Folding II: tetrahedral models» y publicado en 1954) que no requiere pegamento: recorta la figura, dobla por las líneas de división de los triángulos y forma un tetraedro con los triángulos blancos. Encaja los triángulos sombreados entre las separaciones para conseguir una estructura estable. Coloca el tetraedro así construido sobre el triángulo negro situado en la parte superior del tablero de la figura (por supuesto, debes tener la precaución de hacer coincidir las dimensiones de los triángulos del tablero y del tetraedro). Mientras estás de espaldas, alguien hace RODAR aleatoriamente el tetraedro apoyándolo cada vez en uno de los triángulos de la figura. La forma de hacerlo es girar la figura tomando como apoyo un lado del triángulo y dejando caer el vértice superior del tetraedro sobre el vértice opuesto del triángulo. Se puede detener cuando quiera, observar el color en el que se apoya el poliedro en ese momento, dejar transcurrir 10 segundos y DESLIZAR (sin levantarlo del papel) el tetraedro de nuevo hasta colocarlo nuevamente sobre el triángulo negro. Al volverte de cara, puedes sentir el color en el que se había posado el tetraedro y nombrarlo. Para adivinar el color, hace falta que, previamente, hayas dejado una pequeña marca, que pase desapercibida, en la esquina de una cara del vértice superior del tetraedro, y, al colocarlo sobre el triángulo negro, hacer que la marca quede en la cara que da hacia el tablero. La posición final de la marca permitirá deducir el último color en que se había posado el tetraedro, como se ilustra en el gráfico siguiente: ¿Cuál es esa extraña y poco conocida propiedad? La respuesta se ilustra en la siguiente imagen, en la que se representa en gris la cara del tetraedro que contiene la marca y las distintas posiciones que ocupa durante el recorrido por el tablero a partir de las indicaciones descritas en el juego. Se observa rápidamente que, cuando el tetraedro descansa en alguno de los triángulos amarillos, la cara que está marcada es la que forma la base y está apoyada en dicho triángulo; el resto de la figura consiste en hexágonos formados por seis triángulos y el tetraedro va basculando para ocupar alternativamente los tres colores, siempre en el mismo orden. Si ahora nos fijamos en el recorrido de la marca que hemos realizado, llegamos a esta otra figura: Ya comprendemos que, en los triángulos amarillos, la marca no se ve porque está en la cara inferior. Si recorremos cada hexágono en el sentido de las agujas del reloj, la marca va pasando sucesivamente del vértice superior (triángulo azul) a la cara derecha del vértice inferior (triángulo verde) y a la cara izquierda del vértice inferior (triángulo rojo). De forma análoga a la adaptación que mostramos en la entrega anterior, sería posible realizar el juego con el Pyraminx, versión tetraédrica del cubo de Rubik. Dejo a que desarrolles tu ingenio para adaptar el juego con un tetraedro de colores.     Para el siguiente juego nos pasamos al octaedro pero no dejamos de seguir a Martin Gardner, esta vez en el libro titulado «The second book of mathematical puzzles and diversions» (publicado la primera vez por Simon and Schuster en 1961). En el primer capítulo del libro, dedicado a los cinco sólidos platónicos, Martin Gardner propone una variante del clásico juego de las tarjetas binarias, que ya hemos tratado aquí en numerosas ocasiones (desde febrero de 2005 hasta abril de 2019), esta vez utilizando un dado octaédrico. Para recordar el juego, es necesario que construyas un dado octaédrico. Seguro que encontrarás muchos tutoriales que indican la manera de hacerlo pero yo voy a proponer un método en el que no se necesita pegamento para unir las caras, de modo que se podrá armar y desarmar en cualquier momento. En realidad, el método fue propuesto también por Charles Trigg en el artículo titulado «Collapsible models of the regular octahedron», publicado en el número 65 de la revista "The Mathematics Teacher", en octubre de 1972. Como se trata de un dado, las caras deben estar numeradas así que recorta la figura adjunta y, después de doblar cuidadosamente por todas las aristas, introduce las pestañas sombreadas para dar solidez a la figura. Una vez construido, observarás que el dado conserva la propiedad fundamental del dado usual cúbico pues, a pesar de tener ocho caras en lugar de seis, la suma de los valores de dos caras opuestas es igual a 7 (por eso ha sido necesario colocar el cero en una de las caras y no el ocho, como sería lo más natural). Por cierto, Gardner plantea el problema de disponer los números del 1 al 8 en las caras del octaedro de modo que la suma de los valores de las cuatro caras que convergen en un mismo vértice sea constante. ¿Te animas a resolverlo? De propina, trata de probar que el octaedro es el único entre los demás poliedros regulares que tiene esta propiedad. Volvamos con el juego una vez construido el dado octaédrico de la figura anterior. Pide a tu asistente que piense un número del 1 al 8. Muéstrale las cuatro caras que se ven en la imagen y pregúntale si ve el número que ha pensado. Cambia la disposición del dado para mostrarle estas otras cuatro caras y vuelve a preguntarle si ve el número pensado. Repite por última vez la pregunta mostrando estas otras cuatro caras del dado. Según las respuestas recibidas, podrás anunciar inmediatamente el número pensado. La solución es la misma que la de la versión original: si la primera respuesta es "sí", memoriza el número 1; si la segunda respuesta es "sí", memoriza el número 2; si la tercera respuesta es "sí", memoriza el número 4. Suma los valores memorizados y obtendrás el número pensado. La explicación se basa, como de costumbre, en el sistema binario: los cuatro primeros números mostrados (1, 3, 5 y 7) son los que tienen un 1 como última cifra en su representación binaria; los cuatro números mostrados la segunda vez (2, 3, 6 y 7) tienen un 1 como penúltima cifra en su representación binaria; y los cuatro últimos (4, 5, 6, y 7) tienen un uno como primera cifra. La suma de los valores indicados permite recuperar el número en su representación decimal. Comentarios finales: En el portal Divermates, ya citado otras veces en este rincón, se puede encontrar una versión más elaborada de este último juego. En primer lugar, allí se muestra un método de construcción del octaedro que también puede plegarse de modo que sea más fácil de guardar y transportar sin dañarlo aunque se necesita algo de pegamento en su primera elaboración. Por otra parte, se sustituyen los números por símbolos del oráculo chino I Ching —también muy relacionado con la aritmética binaria— lo que permite ocultar magníficamente el secreto y dar una presentación diferente y original. Si quieres realizar el juego con los números pero utilizando el modelo de octaedro que se propone en Divermates, puedes utilizar esta figura: Curiosamente, tambíén es posible construir un dado en forma de tetraedro. El problema es que, al lanzar el dado, siempre queda un vértice en la parte superior, no una cara. ¿Cuál es la solución? Que sean los vértices y no las caras quienes estén numerados. Puedes fabricarte un modelo de dado recortando esta imagen (observa que, ahora, en cada cara hay una de las cuatro posibles combinaciones de los cuatro números 1, 2, 3, 4, tomados de tres en tres): Para terminar, quiero recordar la analogía entre las figuras geométricas aquí consideradas con cierta clase de números figurados, más concretamente con los números poliédricos: desde la cultura clásica griega se han estudiado las familias de números que pueden representarse como puntos equidistantes en distintas figuras geométricas. Así pues, los números tetraédricos son aquellos que pueden representarse en un tetraedro regular. Los primeros elementos de esta familia son 1, 4, 10, 20, 35, ... como se puede ver en la siguiente imagen, y aparecen de forma natural en el famoso triángulo de Pascal: Del mismo modo se pueden definir los números octaédricos, que serán los que pueden disponerse en un octaedro regular, como el de la figura: Parece que fue Descartes quien publicó el primer estudio sobre las propiedades de estos números en "De solidorum elementis". ¿Podrías encontrar la secuencia de números octaédricos? Piensa que un octaedro está formado por dos pirámides cuadradas superpuestas. Incluso hay una curiosa relación entre los números octaédricos y los números tetraédricos. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)
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Cultura y matemáticas/Instantáneas matemáticas
Autor:Ángel Requena Fraile
(Alegoría de la Aritmética. L’Image du monde. Ms 25344. BnF. París) Dos bellos manuscritos iluminados góticos del siglo XIV nos van a permitir mostrar el contraste entre la concepción de la matemática en la Alta Edad Media y en la Baja, una vez recibida la influencia indo-arábiga. Los dos códices usados forman parte de la Biblioteca Nacional de Francia (BnF): Gautier de Metz. L´Image du monde. Ms 25344. Casiodoro. De institutione divinarum litterarum. Ms 8500. Gautier de Metz publicó L’Image du monde en 1246. Se trata de un poema en lengua vernácula, dialecto de Lorena, sobre la Creación y el Universo, donde los hechos y la fantasía se confunden. El poema es uno de las Imago mundi, especie de enciclopedia de pretensiones científicas, que se escribieron en la época. La obra de Gautier de Metz disfrutó de cierto éxito, como muestran las traducciones, en verso y prosa, a otras lenguas y los más de sesenta manuscritos que se han conservado. L’Image du monde muestra la armonía de la creación: Dios Creador como a un artista matemático musical, quien creó todas las cosas al modo de una cítara gigantesca, cuyas cuerdas emiten diversos sonidos que se armonizan en el conjunto y se contraponen entre sí. Magnus Aurelius Cassiodorus Senator fue un político y escritor latino, fundador del monasterio de Vivarium, en el siglo VI. Parece ser que Casiodoro sustituyó en su cargo a Boecio tras su ejecución en el año 524. Casiodoro es recordado como autor del compendio de cuatro libros De institutione divinarum litterarum (aritmética, astronomía, geometría, música), un libro que influye de forma directa en las Etimologías de Isidoro de Sevilla. Las siete artes del trivium y el quadrivium, canon de los estudios medievales, tuvieron su origen en la obra anterior de Marciano Capella: De nuptiis Philologiae et Mercurii. Tanto la obra de Gautier de Metz como la de Casiodoro son superficiales y sirven de mera guía didáctica como introducción a los saberes. Lo que más nos interesa de los dos manuscritos son sus bellas ilustraciones que , además, ponen de manifiesto los cambios en la imagen de la matemática tras la recepción de la herencia griega tamizada y ampliada por la arábiga. Aritmética (Alegoría de la Aritmética. De institutione divinarum litterarum. Ms 8500. BnF. París) La Aritmética griega que se recoge en el occidente latino medieval es secuela de la concepción mística pitagórica y especialmente de Nicómaco de Gerasa. La ilustración de Casiodoro, con alegoría femenina, parece geométrica pues está pensando en la clasificación de los números en triangulares, cuadrados, pentagonales, ... En cambio en la imagen de portada de Gautier de Metz todo ha cambiado: el monje opera con las cifras indo-arábigas que ya se están generalizando. Una sociedad mercantil emerge y sustituye el misticismo numérico por su valor práctico. El computo decimal ya era conocido en al-Andalus en el siglo X pero tuvo una larga andadura hasta el triunfo definitivo del arte del algorismo durante el renacimiento científico del siglo XIII. En cambio, el arte de la computación era una actividad poco apreciada en Grecia, no se consideraba propia de hombres libres, y recibía el nombre de logística. Geometría A diferencia de la Aritmética, la Geometría alcanzó la madurez en Alejandría durante el siglo III a.C. Los elementos de Euclides no han dejado de ser desde entonces un modelo acabado de presentación axiomática de la matemática. El descubrimiento de los irracionales supuso un serio revés para la Aritmética. La obra de Diofanto no se fue editada en Occidente hasta 1575. Observamos como la iconografía antigua presenta a la Geometría con una vara midiendo la Tierra mientras que el monje de los nuevos tiempos trabaja con un compás sobre una mesa llena de figuras. (Alegoría de la Aritmética. L’Image du monde. Ms 25344. BnF. París) (Alegoría de la Geometría. De institutione divinarum litterarum. Ms 8500. BnF. París) Astronomía La ciencia astronómica tampoco había dado un salto teórico desde Ptolomeo, si bien los árabes recogieron la tradición astronómica indo-irania y dieron un avance importante en la precisión de las medidas, tablas, la trigonometría y los instrumentos. (Astronomos. L’Image du monde. Ms 25344. BnF. París) Sobre la mesa de los astrónomos de Gautier se encuentra un astrolabio y un cuadrante. Una esfera armilar en la mano. En otra imagen se ve como se enseña el uso del astrolabio plano. (Alegoría de la Astronomía. L’Image du monde. Ms 25344. BnF. París) Mientras en la Alegoría de la Astronomía de Casiodoro solo aparece descrito el sistema geocéntrico del mundo de Ptolomeo. (Alegoría de la Astronomía. De institutione divinarum litterarum. Ms 8500. BnF. París) Lógica La lógica no formaba parte de la matemática antigua, el quadrivium, pero ha ido formando parte de ella, al contrario que la Música. En Casiodoro aparece como Dialéctica y en Gautier como Lógica. (Alegoría de la Dialectica. De institutione divinarum litterarum. Ms 8500. BnF. París) (Alegoría de la Lógica. L’Image du monde. Ms 25344. BnF. París) Música Incorporamos la imagen alegórica de la Música de Casiodoro por mostrar a Pitágoras como sabio representativo. (Alegoría de la Música. De institutione divinarum litterarum. Ms 8500. BnF. París)
Lunes, 01 de Marzo de 2021 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Literatura y matemáticas
Autor:Marta Macho Stadler (Universidad del País Vasco)
La Jangada. Ochocientas leguas por el Amazonas es una novela de aventuras y suspense de Jules Verne. La escribió por entregas en la revista Magasin d’éducation et de récréation entre el 1 de enero y el 1 de diciembre de 1881. Posteriormente fue publicada en formato de libro en dos partes, una primera describiendo un viaje por el Amazonas, y la segunda centrada en el proceso de resolución de un criptograma. Portada de La Jangada (Léon Benett). Wikimedia Commons. Resumen de La Jangada Estamos en 1852. Joam Garral es un hombre de origen brasileño y propietario de una próspera hacienda en Iquitos (Perú). Es padre de Benito, de 21 años, y Minha, de 17. La hija va a casarse con el mejor amigo de Benito, el médico brasileño Manuel Valdez. Para ello, la familia debe viajar a Belém (Brasil). Garral decide transportar al séquito de familiares y criados a bordo de una enorme jangada, una balsa de grandes dimensiones que navega hacia el litoral atlántico de Brasil a través del río Amazonas. Deben recorrer ochocientas leguas a lo largo del río para celebrar el matrimonio. Mapa fluvial del Amazonas, marcadas Iquitos, Manaos y Belém. Wikimedia Commons. Garral esconde un terrible secreto: es un prófugo de la justicia brasileña. Muchos años antes había sido falsamente acusado de robo y asesinato. Debió huir de Brasil para evitar un castigo injusto: la condena a muerte por un delito que no había cometido. Al llegar a Manaos, Torres, un siniestro personaje, chantajea a Garral: no le delatará a cambio de casarse con Minha. Garral no accede a someterse a Torres, es detenido por la justicia y condenado a muerte. Torres posee un documento cifrado con la confesión del verdadero asesino. El objetivo de los familiares y amigos de Garral es recuperar ese manuscrito y lograr descifrarlo antes de que se cumpla la sentencia. El cifrado de Gronsfeld En un cifrado por sustitución simple cada carácter del texto original se sustituye por otro elegido en el escrito codificado. Además, es polialfabético cuando cada símbolo no se reemplaza siempre por el mismo carácter. En este sistema de cifrado, distintos alfabetos y diferentes métodos pueden ser utilizados para realizar en encriptado. El cifrado de Gronsfeld es un cifrado polialfabético que utiliza una clave numérica para codificar y decodificar. Para explicar cómo funciona vamos a ver un ejemplo. Fijemos en primer lugar el alfabeto original de 26 letras con el que vamos a trabajar: ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ. Supongamos que el mensaje que queremos enviar es: CÁTEDRA DE CULTURA CIENTÍFICA, con la clave 12345. El mensaje encriptado sería: DCWIISC GI HVNWYWB ELISUKIMHB ¿Cómo se obtiene? Bajo el texto a encriptar se coloca la clave (un dígito por cada letra), repetida tantas veces como haga falta. Para obtener el mensaje encriptado, cada letra original se reemplaza por la que corresponde al desplazarse (hacia la derecha) en el alfabeto tantas posiciones como indica el dígito bajo esa letra: Cifrado del mensaje a enviar. Es decir, como se indica en la tabla, C+1=D, A+2=C, T+3=W, etc. Para descifrar el mensaje, se realiza el proceso inverso. Es decir, dado el mensaje codificado, cada letra se reemplaza por la que corresponde al desplazarse (hacia la izquierda) en el alfabeto tantas posiciones como el dígito bajo esa letra: Por ejemplo, D-1=C, C-2=A, W-3=T, etc. Observar que, con este método y la misma clave, el mensaje WWWWW se encriptaría como XYZAB, ya que: W+1=X, W+2=Y, W+3=Z, W+4=A (volveríamos a comenzar el alfabeto) y W+5=B. El criptograma de La Jangada La novela de Verne comienza con el siguiente mensaje cifrado: Phyjslyddqfdzxgasgzzqqehxgkfndrxujugiocytdxvksbxhhuypo hdvyrymhuhpuydkjoxphetozsletnpmvffovpdpajxhyynojyggayme qynfuqlnmvlyfgsuzmqiztlbqgyugsqeubvnrcredgruzblrmxyuhqhp zdrrgcrohepqxufivvrplphonthvddqfhqsntzhhhnfepmqkyuuexktog zgkyuumfvijdqdpzjqsykrplxhxqrymvklohhhotozvdksppsuvjhd. Se trata del último párrafo de un texto en clave de cien líneas (que no se incluye en el texto) que esconde la confesión de un hombre llamado Ortega, el verdadero autor del delito del que se acusaba a Garral. Cuando Joam Garral es apresado en Manaos, el juez Jarríquez, encargado de su defensa, intenta descifrar el contenido del mensaje por diferentes métodos. Jarríquez alude a El escarabajo de oro de Edgar Allan Poe como sistema en el que se basa para intentar encontrar la clave. Pero sus intentos son infructuosos. Casi en el último momento, un nombre le llega, el de «Ortega», como posible firmante del mensaje en clave. Gracias a ese descubrimiento, el juez consigue encontrar la clave: si SUVJHD (última parte del mensaje cifrado) corresponde a ORTEGA, la clave debe ser «432513». Y utiliza el método Gronsfeld (aunque sin nombrarlo, tan solo lo describe) para descifrar el mensaje escondido. En este caso, el alfabeto empleado es (elimina la letra W): ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ. Primeras palabras del mensaje descifradas La última parte del mensaje dice: Le véritable auteur du vol des diamants et de l’assassinat des soldats qui escortaient le convoi, commis dans la nuit du vingt-deux janvier mil huit cent vingt-six, n’est donc pas Joam Dacosta, injustement condamné à mort; c’est moi, le misérable employé de l’administration du district diamantin; oui, moi seul, qui signe de mon vrai nom, Ortega. [El verdadero autor del robo de los diamantes y del asesinato de los soldados que escoltaban el convoy, cometido la noche del 22 de enero de mil ochocientos veintiséis, no es pues Joam Dacosta, injustamente condenado a muerte; soy yo, el miserable empleado de la Administración del Distrito de Diamantes; sí, solo yo, que firma con mi nombre real, Ortega]. Gracias al descubrimiento, Garrall (cuyo verdadero apellido era Dacosta) se libra de la horca, y la historia termina con final feliz. Nota final En el artículo de Frederick Gass indicado en las referencias, el matemático explica de qué manera enfoca Verne este problema y la manera en la que él mismo lo solucionaría utilizando métodos criptográficos. Y finaliza su texto con la siguiente frase: By virtue of this solution, Jules Verne is credited with the first published exposition of the probable word method for Gronsfeld ciphers. [En virtud de esta solución, se atribuye a Jules Verne la primera exposición publicada del método de la palabra probable para los cifrados de Gronsfeld]. En la página DCode.fr puede realizarse de manera automática cualquier codificación/decodificación por el método Gronsfeld, usando el alfabeto y las claves que se deseen. El criptograma contenido en La Jangada es, efectivamente, el indicado en el texto de Verne: Comprobando el mensaje cifrado de La Jangada. Captura de pantalla en DCode.fr. Referencias Jules Verne, La jangada. Huit cents lieues sur l’Amazone, Project Gutenberg Another first, Futility Closet, 18 noviembre 2020 Frederick Gass, Solving a Jules Verne Cryptogram, Mathematics Magazine 59:1 (1986), 3-11 Nota: Esta reseña fue publicada previamente en el Cuaderno de Cultura Científica
Miércoles, 17 de Febrero de 2021 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Cine y matemáticas
Autor:Alfonso Jesús Población Sáez
¿Por qué no se estrenan en nuestro país películas interesantes y sin embargo nos endosan todos los bodrios habidos y por haber que nos tragamos pacientemente con un hermoso paquete de palomitas? Bueno, no ahora, claro, pero volverá a ocurrir (espero, y espero que pronto; lo de volver a salas me refiero, no lo de tragarme bodrios y palomitas). Es evidente, sin más que ver el cartel anunciador de la película, que esta película contiene algo de matemáticas. Quizá para el público general sólo se lo sugieran los ceros y unos, y por eso pensará seguramente que tiene más que ver con la informática (que también), pero no me digan que ese P = NP, y el propio título, no lo delatan claramente. Por terminar la leyenda: De potestate ideam est virtutem dei, significa “La idea es controlar el poder”. Ficha Técnica: Título Original: Travelling Salesman. Nacionalidad: EE. UU, 2012. Dirección: Timothy Lanzone. Guion: Andy Lanzone y Timothy Lanzone. Fotografía: Benji Bakshi, en Color. Montaje: Christopher McGlynn. Música: Benjamin Krause. Producción: Clay Reed. Duración:  80 min. Ficha artística: Intérpretes: Danny Barclay (Nº 1 - Tim Horton), Eric Bloom (Nº 2), David John Cole (Profesor Acuri), Malek Houlihan (Hombre misterioso), Matt Lagan (Nº 4), Marc Raymond (Nº 5), Tyler Seiple (Nº 3), Steve West (Hugh). Argumento Muy sencillo. El gobierno norteamericano encarga a cuatro matemáticos la tarea de resolver el problema más potente de la historia de las ciencias de la computación. Con ello tendrán un control y un poder casi absoluto. Tienen éxito, pero uno de ellos se niega a desvelar sus descubrimientos. La película es un debate sobre la moralidad, la pertinencia o no de conocer determinados descubrimientos y el uso que se pueda hacer de ellos dependiendo de la ética del que los posea, etc. Algunos conceptos y curiosidades En este caso, hay que reconocer que no es una película demasiado comercial (en realidad, nada comercial), ya que el noventa por ciento de la misma se desarrolla con cuatro o cinco personas hablando y debatiendo en torno a una mesa. Entre las frases que he leido para definirla está la de thriller cerebral, con lo que queda claro que no es sencilla de visualizar. Destripar cada referencia, cada frase que contiene nos llevaría demasiado espacio, de modo que en esta ocasión les dejo un par de pinceladas sobre las clase de complejidad, y otro par de diálogos en castellano (traducidos a mi manera, porque no hay, que yo sepa, versión doblada, ni siquiera subtitulada, o yo al menos no la he encontrado). Cualquier comentario o aclaración que los lectores nos hagan llegar será, como siempre, bienvenido, y en esta ocasión con más razón. El problema P vs. NP es el problema sin resolver más trascendente de la informática. Se formuló por primera vez en 1971, y se pregunta si una clase de problemas (NP) es más difícil que otra clase (P). Los matemáticos agrupan los problemas en distintas clases según el tiempo que tardan en resolverse y verificarse. NP es la clase de problemas cuya respuesta se puede verificar (sólo verificar) en un período de tiempo razonable. Algunos problemas NP también se pueden resolver rápidamente, pero no todos. Cuando se pueden resolver (y nos referimos a que una máquina programada mediante un algoritmo determinístico y secuencial lo puede resolver), se dice que esos problemas están en la clase P, cuya letra indica tiempo polinomial en proporción a los datos de entrada. Sin embargo, hay otros problemas en NP que nunca se han resuelto en tiempo polinomial. Veamos un par de ejemplos rápidos de este tipo de clases de problemas. Sumar dos números enteros de longitud k es un problema P y el tiempo requerido para resolverlo es O(k) (esto quiere decir que es del mismo orden que k). Multiplicar dos números enteros de longitud k y l, con k > l es otro problema P y el tiempo que se necesita para hacerlo es O(k2), con el algoritmo usual de multiplicación (aunque hay algoritmos que permiten hacerlo en tiempo menor). Calcular el máximo común divisor de dos números también es un problema P. Un problema NP es, por ejemplo, dado un número de N cifras, hallar su descomposición en números primos. Entiendase lo que se está diciendo porque seguro que más de uno piensan que eso es un problema P. No nos refermos a un número de 300 cifras; nos referimos a cualquier número de cualquier longitud. Igual pasa con el célebre problema del viajante: uno puede verificar un caso concreto. Diez ciudades y calcular la menor ruta posible (aunque con diez ya sería un asunto de cierta complejidad, no olvidemos que existen 10! posibilidades (o sea 3628800) de establecer la ruta. Hacerlo con cualquier número de ciudades es un problema NP (además un NP-duro; porque dentro de los NP hay varias subcategorias). Es evidente que todo problema P es NP (si podemos resolverlo, podemos comprobar si la solución es válida). Lo que no se sabe es si es posible resolver todos los problemas NP tan rápidamente como los problemas P. Algunas preguntas NP parecen más difíciles que las preguntas P, pero puede que no lo sean. Muchos criptosistemas, que se utilizan para proteger los datos de todo el mundo, se basan en la suposición de que no pueden resolverse en tiempo polinomial. Pero si se demostrara que esto no es así (lo que ocurre en la película, que alguien ha resuelto el enigma), entonces esos sistemas de cifrado serían vulnerables, y se podrían descifrar todos los lugares en los que se hubieran aplicado (y por consiguiente el que lo tuviera tendría acceso a toda la información secreta de todo el mundo, gobiernos, bancos, clientes, todo). Pero no todo sería malo, porque también podrían, citan en uno de los diálogos, realizarse avances muy notables en bioinformática, que salvarán muchas vidas, o química teórica. Por tanto, resolver si P = NP conllevaría una auténtica revolución. Pero tranquilos que por el momento la cosa no parece siquiera mínimamente abordable. Es un buen argumento cinematográfico, pero nada más. Aunque la película se estrenó en 2012, el borrador original del guión se escribió en 2009, años antes de que se revelara información filtrada de la NSA (Agencia Nacional de Seguridad norteamericana) que detallaba el ciberespionaje, un tema que se discute directamente en la película. El rodaje con los planos esenciales se hizo en tan solo 10 días. No parece extraño, no sólo por el presupuesto sino también porque la mayor parte de la “acción” son debates y conversaciones entre los protagonistas, que tampoco son muchos. La película ganó 3 premios en el Festival de Cine de Silicon Valley de 2012: Mejor Largometraje, Mejor Actor Principal y Mejor Montaje. En los títulos de la película no aparece ningún consultor en ningún campo relacionado con lo que se trata en el argumento y bastantes afirmaciones matemáticas son incorrectas (o no verificadas, más bien). La película trata más sobre la moralidad de las acciones, por lo que no pretende ser una descripción real de las matemáticas o la informática. El discurso grabado que se da durante la película termina exactamente a las 13:13:13:13, desde su inicio. Es difícil que haya sido casual, aunque no he encontrado ninguna referencia a que fuera algo premeditado. Un par de diálogos comentados y algunas frases Al inicio de la película, hablando de una adenda a un informe, uno de los protagonistas menciona a John Von Neumann: - ¿Fue Von Neumann quien dijo que en matematicas no entendemos las cosas, simplemente nos acostumbramos a ellas? Tras opinar y discutir llegan a la conclusión de que en realidad lo que involucra la frase es “el conocimiento es poder”. Y sobre Neumann, declaran: “Su breve carrera, sin dudarlo, nos ha tocado, influido y motivado a todos nosotros”. Cuando se hace la presentación de  los protagonistas, desde luego son a cada cual más competente. Principalmente el protagonista, el doctor Timothy Horton, con una tesis sobre la hipótesis de Riemann, fellow invitado en el instituto para estudios avanzados y en el MIT, en donde su trabajo sobre la teoría de la complejidad le valió el premio Abel. Además miembro del Trinity College, fue propuesto a la medalla Fields por su demostración sobre la no existencia de las funciones unidireccionales (ya que tenemos que elegir a alguien relevante, que lo tenga todo, ¿verdad? Cuesta creer que alguien con essa trayectoria fuera tan joven como el actor que han elegido para interpretarlo). Otra forma de transmitir relevancia e interés de cara al espectador que no conozca demasiado, es el hecho de citar a científicos, instituciones o sucesos importantes. Así, lo que se traen entre manos los reunidos allí dicen ser equiparable a “como Oppenheimer y Fermi posiblemente no pudieron predecir las consecuencias de la investigación de Los Alamos”. Esto los carga además de una atmósfera de cierta responsabilidad. En la imagen, una pausa en el rodaje. En uno de los muchos diálogos que se mantienen a lo largo de la película (en realidad toda la película es un diálogo, prácticamente una pieza teatral), se van citando algunas de las aplicaciones que las matemáticas han posibilitado (algunas cosas las explico entre paréntesis en color rojo; estos comentarios no aparecen en la película, obviamente): “La aplicación extraordinaria de las matemáticas nos ha permitido lujos y necesidades como los teléfonos móviles, la navegacion GPS, el lavavajillas automático, los juegos de ordenador, los televisores portátiles, los reproductores de discos compactos. Nos ha permitido disfrutar de la alta definición, de la distribución de alimentos orgánicos, los aviones, los relojes de pulsera con calculadora. Nos ha permitido el radio control, la cirugía ocular LASIK (Laser assisted in Situ Keratomileusis, LASIK, es una cirugía refractiva para la corrección de la miopía, hipermetropía y astigmatismo. La realiza un oftalmólogo que utiliza un láser de baja potencia para cambiar de manera permanente la forma que tiene la córnea, con el fin de mejorar la visión y reducir la necesidad de la persona de usar gafas o lentes de contacto), la lectura del cerebro con láser, la artroscopia no invasiva. Nos ha permitido el 5G, los C-4 (un tipo de explosivo plástico), y las armas U-235 (el uranio 235 es el único isótopo natural fisible, es decir, el único isótopo presente en la naturaleza con capacidad para provocar una reacción en cadena de fisión nuclear). Nos han permitido los corazones artificiales, y la despiadada inteligencia artificial. Nos han proporcionado las blackberries, …., espero que estén todas en silencio ..., iPhones y todos los demás dispositivos portables que esclavizan al hombre, nos mantienen encadenados a la siempre creciente contingencia corporativa de este mundo. Nos ha permitido Facebook, MySpace, y todas las demás aplicaciones web que permiten una despiadada competencia y aceleran la infiltración codiciosa (se refiere al conocimiento de nuestros datos, gustos, a partir de los que nos muestran anuncios, nos proponen compras, etc.), y la perversión de nuestra juventud. En resumen, nos permite lo bueno, lo malo, y todo lo demás”. Otra reflexión que se hace en la película: - Una habitación con los cuatro hombres más inteligentes del planeta, y sin embargo ninguno de ustedes ha señalado nada con el entendimiento de la realidad del mundo. Los futuros conflictos no se librarán en una carrera hacia Júpiter o dividiendo átomos, o construyendo dispositivos nucleares más rápido que el otro. No. Esto es mucho más sutil. Es un centavo aquí, un centavo allí. Una red eléctrica que no responde, una bolsa de valores subvertida. El efecto acumulativo hace girar la economía mundial, y cuando el polvo se asiente, el mundo dividido será más pequeño. Como buitres a un cadáver gordo y carnoso. Quizás todavía somos una superpotencia. Quizás no lo somos. Pero no se equivoquen, caballeros. Los cartagineses llaman a la puerta, a las puertas de América. - ¿Está insinuando que una red fantasma se está volviendo una amenaza más significativa? - Mira, obviamente no tengo la libertad para discutir eso, pero basta con decir que los chinos son una constante fuente de escrutinio de nuestra comunidad de seguridad. Creo que eso responde la pregunta con bastante claridad. - ¿De qué manera? - Con la búsqueda y el descifrado acelerados de claves, el mundo entero está a tu alcance. Literalmente no hay nada que no se pueda ver, hasta que codifiquen las cosas de manera diferente, o desarrollen una arquitectura diferente antes de llegar a nosotros. Pero hasta ese momento tendriamos unos cuántos meses o años de acceso absoluto y sin vigilancia a lo que quisieramos: información financiera, información técnica, datos militares, secretos nacionales codificados. - Es el equivalente de ... - Miles de millones. No, tendría que decir que billones de dólares en información. - Caballeros ... - No estoy seguro de que realmente se pueda poner un valor a ese nivel de información. - Es cierto, pero podemos cuantificar aproximadamente las cosas aquí. ¿Correcto? Quiero decir, pensemos. El PIB chino ronda los 3,2 billones de dólares estadounidenses. A cualquier criptosistema que utilice algoritmos Pspace, que es esencialmente toda su infraestructura, se puede acceder fácilmente. - Bueno, eso puede funcionar para un aspecto particular de una red, digamos, los registros de una institución financiera, pero otros sistemas utilizan un algoritmo criptográfico diferente. - ¡Vamos!. - No puedes crackearlo, porque es un problema diferente. - Eso es absolutamente ridículo. Ni siquiera estamos hablando de teoría de vanguardia aquí. Gary Johnson, chicos, en los 70, demostró que, fundamentalmente, todos estos complejos problemas matemáticos ... Mochila, SAT (se refiere al problema de Satisfacibilidad Booleana, el primer problema identificado como NP-completo en 1971), lo que sea ..., Son todos el mismo problema. - Resuelve uno, resuelve todos. - Eso es lo que es esto. Eso es lo que significa NP- Completo. - La Criptografía moderna se basa en, supongo, una realidad ahora obsoleta en la que algunos problemas son demasiado costosos computacionalmente para tratarse mediante fuerza bruta, ¿verdad? Utilizan demasiado tiempo para verificar todas las respuestas. Así se presenta el procesador no determinista. Y problemas que una vez emplearon millones de años en ser resueltos, resueltos en minutos. - Agradezco la conferencia, y entiendo los fundamentos, pero mis chicos, i lanvestigación teórica apunta al hecho de que redes separadas requieren rejillas separadas con problemas computacionales diferentes. - Oh, ¿tus chicos? - Sí, Rand. Todo se reduce al oráculo no determinista. Con él, con el procesador, todos los problemas en el espacio P y NP se pueden calcular en un tiempo razonable. Búsquedas clave, factorización, registros discretos ... puedes romper cualquier criptosistema en el mundo si tienes la voluntad y, supongo, el programa de software para hacerlo. Ni siquiera un criptosistema híbrido chino podría prevenir o incluso reconocer un ataque. - No. - De todos modos, en mi opinión, esto funciona más como un arma, supongo, por resta o destrucción, de la misma manera que un arma convencional, a diferencia de, digamos, algún tipo de, no lo sé,… - Hurto intergubernamental. - ¿En qué sentido? - En el sentido de que no es práctico malversar dinero chino para, digamos, financiar un proyecto de ley de educación, ¿de acuerdo? Si quieres mas dinero, simplemente imprime más. Y a este nivel, tendrá poco efecto en su economía. Y, si te descubren de alguna manera, básicamente, le has declarado la guerra a una superpotencia, y todo lo que tienes que demostrar para ello son algunas escuelas más limpias. - Bueno, podría ser peor. Realmente, la única forma en que lo veo sería atacar sistemáticamente el activo. Básicamente, paralízalo, sácalo. - Debo decir que es mucho más fácil discutir la aplicación cuando se contextualiza así. - Supongamos que está a punto de lanzar un ciberataque contra China, ¿cuál sería lógicamente su primer objetivo? - Las plantas de energía. - ¿Por qué harías eso? - Mata el poder, sofoca la cuadrícula defensiva. El país sería el más vulnerable. - Sí, pero si cortas la energía, entonces no hay nada conectado ... ¿Cómo se puede piratear una red que no está en línea? No, creo que si quieres usar esto como arma, primero, aplasta todo su sistema de comunicaciones, actúa básicamente como el cerebro del país. Puedes recibir y transmitir lo que quieras. Histeria masiva, paranoia. Casi como una toxina a base de agua. Podrías destrozar el país. Si algún lector lo desea, aquí pueden acceder al trailer de la película. Entre las “perlas” que se publicaron sobre la película, me llama la atención esta, de Plus Magazine: “"Travelling Salesman es una película inusual: a pesar de que casi todos los personajes son matemáticos, no hay ningún loco a la vista". ¡¡Menos mal que la publicación pretende acercar las matemáticas al personal de a pie!! Alfonso Jesús Población Sáez
Jueves, 11 de Febrero de 2021 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. ¿Qué es la musicología? La musicología es, simple y llanamente, el estudio de la música. Y modernamente ese estudio se efectúa desde muchas ramas del conocimiento como corresponde al espíritu de los tiempos. Tradicionalmente, la musicología se ha dividido en tres grandes ramas: la musicología histórica, la musicología sistemática, y la etnomusicología. Durante un cierto tiempo la rama dominante fue la musicología histórica, al menos en España (pero también en otras partes de Europa). Sin embargo, desde hace unas décadas la musicología sistemática y la etnomusicología han cobrado fuerza e influencia. En el caso de la musicología sistemática, su éxito se ha basado en su carácter interdisciplinar. De las tres ramas, esta es la que ha sabido incorporar más acertadamente metodologías y conocimientos de otras disciplinas. El musicólogo Richard Parncutt [Par07] da una definición de musicología que a su vez se inspira en la entrada correspondiente del prestigioso diccionario The New Grove Dictionary of Music and Musicians [SSE01] (nuestra traducción, sus cursivas): “Sugiere (el diccionario) que la musicología hoy comprende todas las disciplinas que estudian toda la música en todas sus manifestaciones y en todos sus contextos, sean estos, físicos, acústicos, digitales, multimedia, sociales, sociológicos, culturales, históricos, geográficos, etnológicos, psicológicos, médicos, pedagógicos, terapéuticos, o en relación a cualquier otra disciplina o contexto musicalmente relevante”. En ese mismo artículo, en el resumen inicial, Parncutt da una definición de musicología sistemática que refleja el carácter interdisciplinar de que hablamos (nuestra traducción): La musicología sistemática es un término general, usado principalmente en Centroeuropa, para las subdisciplinas de la musicología que principalmente estudian la música en general más bien que las manifestaciones específicas de la música. (…) La musicología sistemática científica (o musicología científica) es principalmente empírica y orientada a los datos; en ella están implicadas disciplinas tales como la psicología empírica, la sociología, la fisiología, la neurociencia, las ciencias cognitivas, la computación y la tecnología. Como hemos dicho antes, esta combinación fértil de disciplinas aplicadas al estudio de la música se formó hace apenas unas cuatro o cinco décadas. Anterior a eso, la musicología se ocupa del estudio de la música occidental, principalmente usando métodos históricos. La mayor parte de los departamentos de musicología estaban formados por musicólogos históricos. Junto a la musicología histórica se encontraba se encontraba la etnomusicología (que al principio se denominaba musicología comparada, término que se abandono por eurocéntrico). Según la investigación musical se fue abordando desde dimensiones más amplias, otras disciplinas fueron uniéndose a su estudio. Al principio, lo hicieron disciplinas humanísticas, que aportaron perspectivas históricas, literarias o filosóficas. Posteriormente, se incorporaron otras disciplinas provenientes de las ciencias. Entre estas, destacan dos en particular, las cuales dieron un gran impulso a la investigación musicológica: la psicología y las ciencias de la computación. En este punto, es innegable la importancia de la componente cognitiva en la investigación musical. Diana Deutsch fue una pionera en la investigación de la música desde el prisma de la percepción y la cognición. Véase el excelente libro de Radocy y Boyle [RB03] para un amplio y profundo tratamiento de la cognición musical, sus logros, su investigación y sus retos actuales. Respecto a las ciencias de la computación, los modelos computacionales se hicieron totalmente necesarios para la comprensión de la música así como para su procesamiento. Por ejemplo, Jackendoff y Lerdahl [LJ83], inspirándose en las teorías de la gramática generativa de Chomsky, desarrollan una teoría generativa de la música que identifica estructuras y propone reglas de transformación de varios fenómenos musicales a varios niveles. Temperley [Tem10] construye modelos probabilísticos de los fenómenos musicales; Mavromatis [Mav05] usa modelos de Markov para estudiar la estructura interna de la música, por citar unos cuantos ejemplos. Según el tipo de metodología, la musicología se puede clasificar como musicología cualitativa, cuantitativa y etnográfica1 . Véase el libro Research methods in education [CMM13], que aunque se centra en la educación, se trata de una concisa y a la vez profunda exposición de estos métodos y su aplicación totalmente transferible al campo de la musicología. Como es lógico, la musicología cualitativa usa métodos cualitativos (entrevistas, observaciones, análisis de documentos, archivística, interpretación de textos, estudio de casos, etc.). Estos métodos provienen principalmente de las humanidades. Los métodos etnográficos consisten en la investigación vía la integración del investigador en el contexto de la investigación; si el investigador mismo es el protagonista se habla entonces de métodos autoetnográficos (por ejemplo, el musicólogo que entra en una formación musical de una cultura dada para investigarla desde dentro y no como observador externo). Dentro de los métodos (auto-)etnográficos se encuentra la redacción de diarios, los cuadernos de campo, las grabaciones en audio y vídeo, así como técnicas específicas de análisis. En último lugar está la musicología cuantitativa, de más reciente aplicación y que en gran medida es computacional debido a la pujanza del pensamiento computacional y la tecnología de los ordenadores. Esta musicología se basa en la idea de que la música tiene aspectos cuantificables y modelizables computacionalmente y, por tanto, se busca construir modelos, reconocer estructuras y producir algoritmos que permitan procesar la música para su mejor comprensión, análisis y procesamiento. Ejemplos de esta musicología sistemática se pueden encontrar en varios artículos de esta columna: el problema de la similitud musical y su cuantificación [Góm11], modelos de binarizaciones y ternarizaciones de ritmos en el contexto de la música afro-cubana [Góm13b], modelos computacionales de la música flamenca [Góm13a], modelos probabilísticos en música [Góm15], el problema del consenso entre experto en música [Góm16a], o teoría geométrica de la música [Góm16b], entre otros. 2. Musicología Sistemática: su investigación En el artículo de este mes queremos analizar la situación de la investigación en musicología sistemática en este país, al menos desde nuestra modesta perspectiva. Dado que estamos considerando la investigación, pensemos en un estudiante de doctorado que quiera investigar en musicología sistemática. ¿Qué conocimientos y destrezas debería adquirir para abordar la realización de una tesis doctoral con éxito? Su mundo se va a componer del estudio de artículos sobre el problema de su tesis, en hacer efectiva su investigación y por último de la escritura de los resultados en forma de artículos publicables en revistas de prestigio (más sobre esto más adelante). Ese estudiante debe contar con las siguientes capacidades: Un alto nivel de inglés, tanto leído como hablado y escrito. Leído, porque tendrá que enfrentarse a textos escritos en inglés académico, que es abstracto, complejo, rico en matices y de un vocabulario elevado. Hablado, porque lo lógico es que el estudiante presente sus resultados a la comunidad internacional y ello se hace en la lingua franca que hoy en día es, en efecto, el inglés. Por último, escrito, porque la mayor parte de las revistas de prestigio están en inglés. Unas altas capacidades de comunicación orales y escritas. Aparte del problema del inglés, cuya enseñanza en nuestro país es nefasta, está el problema de que un estudiante de doctorado debe ser capaz de escribir un documento científico en condiciones. Esto equivale a tener un sentido del estilo, un vocabulario rico, una lógica impecable, mostrar una adecuada erudición, y presentar un texto conciso y lúcido. Unas altas capacidades de investigación. Esto supone ser capaz de: (1) Entender un campo y los problemas abiertos en el mismo; (2) Estudiar el trabajo previo en el campo de interés; (3) Formular preguntas de investigación relevantes; (4) Evaluar y seleccionar las metodologías adecuadas para resolver el problema que se plantea en la tesis doctoral; (5) Llevar a cabo de manera eficiente y fiable las acciones marcadas por la metodología; (6) Razonar con lógica (musical y de otros tipos) y con creatividad sobre los datos; (7) Interpretar y evaluar con sentido crítico los resultados obtenidos; (8) Poner en contexto y señalar las limitaciones del trabajo de investigación; (9) A la luz de la investigación realizada, proponer líneas futuras de investigación; (10) Tener habilidades sociales y emocionales como para ejercer la colaboración científica con éxito e integridad moral; (11) Ser una persona resiliente, trabajadora, creativa y entusiasta. Capacidad de comunicar sus resultados en forma de indicios de calidad, que frecuentemente consistirán en artículos publicables en revistas de prestigio. Típicamente, las agencias de calidad universitaria exigen a los programas de doctorado que los doctorandos publiquen en el tercer cuartil o superior de revistas en rankings de prestigio. Una revista de prestigio se suele definir como una revista que usa un sistema de revisión por pares (que puede ser ciego simple o doble ciego) y que tiene un alto índice de impacto, medido este por métricas de citas. En musicología, por ejemplo, uno de los rankings habituales es el de Scopus [Ran21]. En la figura de abajo se muestra la primera página de tal ranking. Figura 1: La primera página del ranking de Scimago) En cada fila se puede leer el factor de impacto, que es el número encima del cuartil y yendo hacia la derecha los distintos datos bibliométricos. En la última columna aparece el país de origen de la revista; muchas de ellas, aunque no sean de países de habla inglesa, publican solo en inglés o en ambos idiomas obligatoriamente. En el primer cuartil no hay ninguna revista de habla española. En el segundo cuartil está la Revista de Musicología [SED21], el Anuario Musical [CSI21], la Revista Electronica Complutense de Investigación Musical [Uni21]. En el tercer cuartil hay solo dos revistas en español. Menciono esto a raíz del problema del inglés entre los estudiantes de doctorado. 3. Musicología Sistemática y métodos cuantitativos de investigación Dentro del apartado de metodología que mencionábamos antes, el estudiante de doctorado tiene que usar todos los métodos a su disposición para resolver el problema planteado en su tesis. Dada la interdisciplinariedad de la musicología sistemática, con frecuencia ese estudiante se enfrentará a artículos en que expongan resultados cuantitativos y él/ella tendrá a su vez que llevar a cabos estudios cuantitativos también. Tendrá que interpretar contrastes de hipótesis, tests de correlación, análisis ANOVA, entender el formulamiento de las preguntas de investigación, analizar críticamente un diseño experimental, entre otros. Es aquí donde hago una reflexión —y hasta una crítica —de la situación en que se encuentran estos estudiantes. En los Conservatorios, me pesa decir, no se proporciona tal formación en las especialidades de Musicología. En algunos másteres de investigación musical tocan esos métodos pero desde una perspectiva bastante limitada. Por ejemplo, no he oído de ningún máster de ese tipo donde lleguen a cubrir algo tan esencial como es un análisis ANOVA y en muy pocas ocasiones lo que es un contraste de hipótesis. Sin embargo, la bibliografía de investigación de la musicología sistemática está llena de resultados cuantitativos en forma de estadística descriptiva, de contrastes de hipótesis, de correlaciones, de regresiones múltiples, de análisis ANOVA, entre otros. Urge que a los estudiantes de maestría y doctorado de esta rama de la musicología se les dote de la debida formación matemática y computacional para desarrollar una carrera competitiva en el mundo actual. A continuación propones una plausible asignatura de Métodos de Investigación en Musicología Sistemática (incluimos métodos cuantitativos y cualitativos). Esta asignatura podría impartirse o bien como una asignatura completa en un máster o como actividades formativas en un programa de doctorado. Primero van los resultados de aprendizaje y luego el temario. Resultados de aprendizaje Tras la superación de las pruebas de evaluación del curso, el alumno deberá haber adquirido los siguientes resultados de aprendizaje. RA01: Comprender las fases de una investigación en el ámbito musical. Ser capaz de evaluar críticamente los resultados de investigación de otros autores así como los suyos propios. RA02: Ser capaz de hacer una búsqueda bibliográfica sistemática e identificar el estado del arte para un problema de investigación dado. RA03: Ser capaz de formular un problema de investigación original y relevante así como evaluar el alcance de su resolución. RA04: Adquirir destreza suficiente en materia de tratamiento estadístico de datos como para llevar una investigación rigurosa en el campo de la música. En particular, se espera que el alumno sepa interpretar probabilidades, identificar distribuciones relevantes, construir intervalos de confianza y contrastes de hipótesis, y hacer análisis factoriales. RA05: Manejarse con destreza con los métodos cualitativos más importantes, en particular la teoría fundamentada aplicada al análisis de textos así como las metodologías Delfi. RA06: Ser capaz de ejecutar una investigación propia desde la definición de la pregunta de investigación hasta la escritura del artículo. Descripción de la asignatura Tema 1. La investigación. ¿Qué es la investigación? ¿Qué es la investigación en música? La pregunta de investigación. El método científico. Tema 2. La bibliografía. Principales fuentes bibliográficas en música. Cómo hacer una búsqueda sistemática de la bibliográfica. Evaluación crítica de la bibliografía. Tema 3. Planteamiento de una investigación en música. Identificación del objeto de investigación. Descripción del problema. Aspectos cuantitativos, cualitativos y performativos. Interdisciplinariedad de los problemas de investigación en música. Diseño experimental. Tema 4. Métodos cuantitativos. 1. Estadística descriptiva aplicada a la investigación musical. Variables estadísticas y sus tipos. Medidas de centralización, dispersión y asimetría. Visualización de la información. 2. Estudios de correlación. Regresión. Regresión lineal. Coeficiente de correlación y de determinación. Correlación y causalidad. 3. Estudios de correlación. Regresión. Regresión lineal. Coeficiente de correlación y de determinación. Correlación y causalidad. 4. Introducción a la probabilidad. Espacio muestral, suceso y probabilidad. Probabilidad condicionada. Independencia de sucesos. El teorema de Bayes. 5. Distribución de probabilidades. Variables aleatorias. Media y varianza de una variable aleatoria. Distribuciones importantes (binomial, uniforme, normal). 6. Inferencia estadística. Muestra y población. La distribución en el muestreo. El teorema del límite central. 7. Intervalos de confianza. Intervalos de confianza para la media y la varianza de poblaciones normales. Intervalo de confianza para la proporción. 8. Contraste de hipótesis. Definición de un contraste: el razonamiento probabilístico. Construcción de un contraste. El p-valor. El tamaño muestral de un contraste. Contraste en poblaciones no normales. Contrastes de hipótesis entre dos poblaciones. 9. Análisis factorial. Análisis de modelo de efectos fijos. Análisis de modelo de efectos aleatorios. Métodos ANOVA. Diseños factoriales. 10. Escalas e instrumentos para medir variables en música. Diseño y uso. Medida de la consistencia interna de las respuestas. Tratamiento estadístico e interpretación de las respuestas. Tema 5. Métodos cualitativos. 1. Definición y filosofía de los métodos cualitativos. Necesidad y alcance. Ontología, epistemología y fenomenología. Subjetividad y rigor en la metodología cualitativa. 2. Recolección de datos, análisis de datos y diseño experimental. Estudios de casos, teoría fundamentada y otras formas de investigación cualitativa. Codificación de datos y abstracción recursiva. Rondas Delphi. Análisis estadístico de la información cualitativa. Uso de programas informáticos para dicho análisis (MAXQDA y otros). 3. Ejemplos de investigación cualitativa. Revisión de casos paradigmáticos en música. Tema 6. Ejecución de una investigación. Planteamiento de un problema de investigación. Evaluación de la pregunta de investigación. Recogida de datos. Procesamiento de los datos. Análisis de los resultados. Conclusiones de la investigación. Escritura de un artículo científico. Como recursos, sugeriríamos los siguientes: Paquete estadístico SPPS y MAXQDA. Editor científico de textos Latex. Como libros de referencia, se usarían los siguientes (véase la bibliografía): [Ber04], [Par07], [RB03], [POD11], [Fie17], [Cor11] y [CMM13]. 4. Conclusiones En este punto es posible que el estudiante de doctorado en musicología sistemática se sienta intimidado por el anterior programa. Probablemente, se trate de un alumno que tuve malas experiencias con las matemáticas (la docencia de las mismas es mala en este país, siento reconocer). Sin embargo, es posible enseñar el material de más arriba si se usan los métodos adecuados. Entre ellos, mencionaríamos los métodos de aprendizaje activo y el aprendizaje basado en destrezas. Un investigador de verdad debe conocer los métodos cuantitativos tanto como los cualitativos y ello es especialmente cierto en el caso de los musicólogos.   Nota: 1 También se encuentra la expresión de estudios performativos de la música, que tiene difícil traducción en castellano. Hemos preferido llamarlos estudios etnográficos. Bibliografía [Ber04] J. Beran. Statistics in Musicology. Chapman & Hall/CRC, 2004. [CMM13] Louis Cohen, Lawrence Manion, and Keith Morrison. Research methods in education. Routledge, 2013. [Cor11] IBM Corporation. Guía breve de IBM SPSS Statistics 20. IBM Corporation, 2011. ftp://public.dhe.ibm.com/software/analytics/spss/documentation/statistics/20.0/es/client/Manuals/IBM_SPSS_Statistics_Brief_Guide.pdf. [CSI21] CSIC. Anuario Musical. http://anuariomusical.revistas.csic.es/index.php/anuariomusical/about/submissions#authorGuidelines, consultada en febrero de 2021. [Fie17] Andy Field. Discovering Statistics Using IBM SPSS Statistics. SAGE Publications Ltd, 2017. [Góm11] Paco Gómez. Distancia y similitud musical. http://www.divulgamat.net/index.php?option=com_content&view=article&id=12763&directory=67, mayo de 2011. [Góm13a] Paco Gómez. COFLA: la música flamenca y su estudio computacional. http://www.divulgamat.net/index.php?option=com_content&view=article&id=15959&directory=67, agosto de 2013. [Góm13b] Paco Gómez. Transformaciones rítmicas: de binarizaciones y ternarizaciones. http://www.divulgamat.net/index.php?option=com_content&view=article&id=15246&directory=67, agosto de 2013. [Góm15] Paco Gómez. Música y probabilidad. http://www.divulgamat.net/index.php?option=com_content&view=article&id=16871&directory=67, noviembre de 2015. [Góm16a] Paco Gómez. Consenso entre expertos en música: un enfoque matemático. http://www.divulgamat.net/index.php?option=com_content&view=article&id=17164&directory=67, abril de 2016. [Góm16b] Paco Gómez. La geometría de la música. http://www.divulgamat.net/index.php?option=com_content&view=article&id=18000&directory=67, abril de 2016. [LJ83] F. Lerdahl and R. Jackendoff. A Generative Theory of Tonal Music. MIT Press, Cambridge, Massachussetts, 1983. [Mav05] P. Mavromatis. A hidden markov model of melody production in greek church chant. Computing in Musicology, 14:93–12, 2005. [Par07] Richard Parncutt. Systematic musicology and the history and future of western musical scholarship. Journal of Interdisciplinary Music Studies, 1:1–32, 2007. [POD11] R. Peck, C. Olsen, and J.L. Devore. Introduction to Statistics and Data Analysis. Brooks/Cole, 2011. [Ran21] Scimago Journal & Country Ranks. Music Journals. https://www.scimagojr.com/journalrank.php?category=1210, consultado en febrero de 2021. [RB03] R. E. Radocy and D. J. Boyle. Psychological Foundations of Musical Behaviors. Charles C. Thomas, Springfield, Ill., 2003. [SED21] SEDEM. Revista de Musicología. https://www.sedem.es/es/revista-de-musicologia/tematica-y-alcance.asp, consultada en febrero de 2021. [SSE01] John Tyrrell (Editor) Stanley Sadie (Editor). The New Grove Dictionary of Music and Musicians. Akal, 2001. [Tem10] D. Temperley. Music and Probability. MIT Press Ltd, 2010. [Uni21] Universidad Complutense de Madrid. Revista Electronica Complutense de Investigación Musical. https://revistas.ucm.es/index.php/RECI/about/submissions, consultada en febrero de 2021.
Martes, 09 de Febrero de 2021 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/El rincón matemágico
Autor:Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)
Una de las propiedades más mágicas de las matemáticas se expresa con esta misteriosa fórmula: C + V = A + 2. ¿Qué propiedad es esta? ¿Qué es eso de sumar letras y números? Para responder a estas cuestiones, en primer lugar debemos aceptar que sólo existen cinco poliedros regulares (como los ilustrados por Kepler en la imagen de cabecera), comúnmente conocidos como sólidos platónicos porque Platón, en su obra Timeo, asoció a cada uno de ellos un elemento de la Naturaleza: fuego al tetraedro, aire al octaedro, agua al icosaedro y tierra al hexaedro. ¿No falta uno? Sí, el dodecaedro, asociado por Platón al Universo (claro, ya no le quedaban elementos para asignar). Un poco más elaborada fue la teoría del astrónomo Johannes Kepler —que denominó Misterio Cósmico— mediante la cual los seis planetas conocidos hasta el momento describían órbitas contenidas en esferas concéntricas, con el Sol en el centro, entre las cuales se encontraban perfectamente encajados los cinco sólidos platónicos: un cubo entre Saturno y Júpiter, un tetraedro entre Júpiter y Marte, un dodecaedro entre Marte y Tierra, un icosaedro entre Tierra y Venus y un octaedro entre Venus y Mercurio. En el artículo «Las formas del mundo», Javier Sampedro nos recuerda que estas figuras no surgen únicamente del intelecto humano sino que son componentes fundamentales de la naturaleza, aunque en un sentido diferente al que Platón y Kepler propugnaban. Volviendo a la enigmática fórmula inicial, si contamos el número de caras (C), vértices (V) y aristas (A) en cada sólido platónico, encontramos esta tabla: Caras Vértices Aristas Tetraedro 4 4 6 Hexaedro 6 8 12 Octaedro 8 6 12 Dodecaedro 12 20 30 Icosaedro 20 12 30 Ahora se puede entender mejor la fórmula que hemos avanzado al principio: en cada figura, el número de caras más el número de vértices es siempre dos unidades mayor que el número de aristas. Pues bien, el famoso matemático suizo Leonhard Euler demostró (con algunos errores) que esa fórmula es válida para cualquier figura tridimensional convexa formada por caras poligonales. Si la importancia de un resultado matemático se mide por el número de demostraciones que tiene, en la página de David Eppstein «The Geometry Junkyard», se recogen veinte de ellas, todavía muy lejos de las 122 pruebas del teorema de Pitágoras que Alexander Bogomolny coleccionó en el portal «Cut-the-Knot» hasta su fallecimiento en 2018. Como ya es tradición en este rincón, seguimos las normas de buena conducta educativa en sentido inverso y, en lugar de motivar el estudio de los sólidos platónicos mediante un juego de magia —como haría cualquier docente enamorado de su trabajo—, lo que hacemos es justificar el juego de magia que vamos a describir mediante la introducción matemática de los elementos involucrados. Así pues, utilizaremos estas importantes figuras geométricas como herramientas para la magia. Como de costumbre, una mirada retrospectiva a lo ya publicado en este rincón nos permite confirmar que no es la primera vez que aparece algún sólido platónico. Empezando por lo más obvio, en la magia con dados es fundamental el uso del cubo o hexaedro, algunas de cuyas propiedades se utilizaron en los capítulos 26 y 27 (de marzo y abril de 2006) y en el 155 (de diciembre de 2017). Nos limitaremos en esta ocasión a describir algunos juegos en los que se utiliza el cubo como elemento protagonista y dejaremos para la próxima ocasión otros juegos en los que explotaremos las propiedades del tetraedro y el octaedro. El primero de los juegos es el ha despertado mi curiosidad por recorrer su historia y conocer las variantes que se han ideado a lo largo del tiempo. Empezaré con la idea básica del juego, para cuya realización se necesita solamente un dado: Un espectador piensa un número del uno al seis. El mago, sin mirar al dado en ningún momento, lo lanza sobre la mesa y muestra al espectador tres de sus caras. Luego le pregunta si ve el número pensado. El mago gira el dado para mostrar otras tres caras y pregunta al espectador si ve el número pensado. El mago gira por última vez el dado y muestra otras tres caras volviendo a preguntar al espectador si ve el número pensado. A partir de esta respuesta, el mago adivina el número pensado. Este juego aparece por primera vez en el folleto titulado «Three Pets», publicado por Bob Hummer en 1945. En la fantástica obra «Mathematics, Magic and Mystery» (1956), Martin Gardner vuelve a publicar el juego y, como explicación, indica que basta una pequeña reflexión para saber que tres preguntas son suficientes para eliminar todas las posibilidades excepto una, pero no entra en más detalles. En 1980, Karl Fulves publica la recopilación «Bob Hummer's Collected Secrets» y también recoge este juego, bajo el título "The moon die mystery". En este caso, la descripción —como veremos a continuación— es más precisa y detallada: El mago lanza el dado y lo tapa con una mano para no ver cómo ha quedado. Lo coloca de modo que el espectador pueda ver tres de las caras y le pregunta si ve su número. Independientemente de su respuesta, tapa el dado con las dos manos y lo gira 180 grados en la dirección de la flecha A (la cara superior tocará ahora contra la mesa). Aparta las manos y vuelve a preguntar si ve su número. Nuevamente, sin importar su respuesta, tapa el dado y lo gira 180 grados en la dirección de la flecha B (pasando otra vez la cara superior a la parte inferior). Retira las manos de nuevo y pregunta por última vez si ve su número. Para adivinar el número pensado el mago sumará uno si la primera respuesta es afirmativa, dos si la segunda respuesta es afirmativa y cuatro si la tercera respuesta es afirmativa. Con el número así obtenido el mago gira el dado a partir del modelo de la figura, pasando a la parte superior la cara donde estaría dicho número en este dado. Por ejemplo, si el espectador ha visto su número las dos primeras veces, el mago recuerda el número tres y, como en el dado modelo está a la derecha, gira el dado para colocar arriba esta cara. El número que aparezca ahora en la cara superior será el pensado por el espectador. Un año después, el propio Karl Fulves publica el libro «Self-working table magic: 97 foolproof tricks with everyday objects» donde aparece el juego que titula "Mental die". La explicación que acompaña al juego no es correcta así que la hemos corregido convenientemente. El comienzo es igual al anterior: un espectador elige secretamente un número del uno al seis. El propio espectador, con el mago de espaldas, gira el dado un cuarto de vuelta hacia la derecha (en sentido horario), indicado por la flecha A, si ve su número y gira el dado un cuarto de vuelta hacia delante (pasando arriba la cara que está a la izquierda), según indica la flecha B, si no ve su número. Este proceso se repite tres veces y, al final, el espectador tapa el dado con un sombrero (o un cubilete o un pañuelo). El mago se coloca otra vez de cara frente al espectador y le pregunta si ha visto su número todas las veces. Si no es así, mete la mano bajo el sombrero y gira el dado un cuarto de vuelta hacia delante (pasando arriba la cara de su derecha). Si la respuesta es sí, no hace nada. Se levanta el sombrero y el número elegido aparece en la cara superior del dado. Fulves propone no hacer la última pregunta y jugar con la suerte, pues cinco de cada seis veces el espectador habrá dejado de ver su número alguna vez. En la última edición del homenaje a Martin Gardner Celebration of Mind 2020, Joe Turner dictó una charla titulada "Dice, dice, baby", en la que mostraba su propia versión del juego. Su idea inspiró a Mariano Tomatis quien presentó el juego sustituyendo el dado por un cubo de Rubik en el episodio 216 de su canal de Youtube «Mesmer in pillole». Esta vez el mago es quien realiza los movimientos en el cubo. El mago coloca un cubo de Rubik sobre la mesa y pide al espectador que elija uno de sus seis colores. Dejando tres de las caras del cubo a la vista del espectador, el mago pregunta si ve entre ellas el color elegido (según la figura adjunta, el espectador estará viendo las caras roja, verde y blanca). Si la respuesta es sí, el mago gira el cubo un cuarto de vuelta hacia la derecha (en sentido horario). Si la respuesta es no, el mago gira el cubo un cuarto de vuelta hacia sí mismo (pasando la cara superior al lateral izquierdo). Vuelve a preguntar al espectador si ve el color elegido. A continuación, realiza el mismo movimiento del cubo según la respuesta. Repite por última vez la pregunta y el giro del cubo. En este momento, el color elegido por el espectador ocupa la cara lateral que está a la derecha del mago, con lo que puede desvelarla como prefiera. Hay una excepción a esta regla: si el espectador ha respondido que sí a todas las preguntas, el color elegido está en la cara superior (pues siempre se ha mantenido allí). El último juego que queremos compartir está basado en un principio diferente y aparece también en el citado libro «Self-working table magic» de Karl Fulves. Se titula "Logic dice" y, para realizarlo, necesitas también un dado. Tú serás mi asistente y yo controlaré a distancia tus movimientos para adivinar el resultado final. Lanza el dado sobre la mesa. Si el número de la cara superior es impar, gira el dado un cuarto de vuelta hacia delante; si el número de la cara superior es par, gira el dado un cuarto de vuelta hacia la derecha. En el ejemplo de la figura, como hay un 3 en la cara superior, al realizar el giro indicado la cara superior tendrá un 5. Si fuera par, que no es el caso, el 6 pasaría a ocupar la cara superior después del giro. Realiza la misma operación unas cuantas veces para comprobar la cantidad de posibilidades y observar que la cara superior va tomando diferentes valores. En un determinado momento, aparecerá un 1 en la cara superior. Realiza el giro correspondiente una última vez. Concéntrate en el número de la cara superior. ¡Ya lo tengo! Es un 4. Como diría Martin Gardner, con un poco de reflexión podrás descubrir por ti mismo el secreto del juego. Si, a pesar de ello, necesitas una pequeña ayuda, aquí la encontrarás. Comentario final Ya que hemos estado tratando con dados, quiero proponer un juego —muy relacionado con el juego del NIM que describimos en julio de 2016 (número 140 del rincón matemágico)— pero sin la aparente ventaja del mago respecto al espectador. Esta versión fue ideada por el mago estadounidense Stewart Judah y era uno de sus juegos favoritos: Se lanza un dado y su resultado será el valor de partida. A continuación, cada jugador —por turnos— gira el dado un cuarto de vuelta en la dirección que prefiera, para obtener un nuevo número. Dicho número se suma al resultado anterior obteniéndose un nuevo valor, con el que se continúa el juego. El jugador que, después de girar el dado como se ha indicado y sumar el valor resultante al número acumulado anterior, alcance el número 31 o bien obligue a su oponente a superar dicho número en su siguiente jugada, es el ganador. El jugador que se vea forzado a superar el número 31, es el perdedor. ¿Serías capaz de encontrar alguna estrategia ganadora teniendo en cuenta las características numéricas de los dados? En el excelente libro de George Kaplan titulado "El arte de la magia" se explica con bastante detalle el procedimiento que garantiza la victoria del mago. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)
Miércoles, 03 de Febrero de 2021 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/El rincón matemágico
Autor:Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)
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Miércoles, 01 de Julio de 2020 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

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