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Cultura y matemáticas

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Cultura y matemáticas/Instantáneas matemáticas
Autor:Ángel Requena Fraile
(Frans Floris. Detalle de la Alegoría de la Geometría. Privada) Frans Floris de Vriendt (1519-1570) fue el pintor que introdujo el manierismo en Flandes tras su viaje de aprendizaje por Italia. La contemplación de los frescos  de Miguel Ángel en la Capilla Sixtina produce la conmoción que dará entrada a un nuevo estilo. Nos interesa Floris por sus representaciones impactantes de las disciplinas matemáticas y la influencia que tuvieron en la pintura posterior a través de los grabados. Nicolaes Jonghelinck, un adinerado comerciante, decidió construir en 1555 un nuevo palacete en Amberes y encarga a Floris las pinturas murales. Una de las salas sería mitológica, y otra se dedicaría al recogimiento y el estudio con la representación de las Artes Liberales. La decoración de los palacios con las ciencias era la costumbre de los poderosos del Renacimiento, tanto de la nobleza como de los ricos burgueses. Floris acomete el trabajo creando unos imágenes de gran personalidad. Las pinturas de las artes se han dispersado. La Alegoría de la Aritmética se puede ver en el Abu Dhabi pero las otras pertenecen a un coleccionista privado y solo se exhiben por cesión. Las imágenes de Floris tienen además un nuevo atractivo. Las alegorías llevaban sus símbolos y en algunos casos van acompañadas por un personaje histórico que las encarna. Rafael en la Escuela de Atenas se limita a los sabios. Floris añade matemáticos en los lomos de los libros. Se sabe que están presentes a través de sus textos. La Alegoría de la Aritmética en Abu Dhabi Desde el año 2017 se puede visitar el Louvre de Abu Dhabi, fruto de un acuerdo por treinta años entre los Emiratos y Francia. El edificio, que ocupa una isla, fue diseñado por Jean Nouvel, y lo más destacable es su osada cúpula de entramados periódicos, semiabierta y semicerrada. Nouvel fue el diseñador de la Torre Agbar de Barcelona y de la ampliación del Reina Sofía en Madrid. Destacamos una Alegoría de la Aritmética de nuestro Frans Floris de Vriendt, que quizá  no sea la original de la primera serie sino una copia posterior un poco más larga. (Frans Floris. Alegoría de la Aritmética. Abu Dhabi) La personificación de la Aritmética enseña el algoritmo de las cifras indias a un hombre y una mujer mientras un estudioso se concentra en un libro. La tablilla parece cubierta de cera, al modo clásico, para escribir en ella con un punzón y no al modo árabe con cálamo. (Frans Floris. Detalle de la Alegoría de la Aritmética) Unas monedas o fichas sirven a su vez de cuentas para el ábaco y mostrar la vertiente utilitaria del aprendizaje. Los dos libros del suelo son uno de Pitágoras, al que se atribuyen las tablas de operar, y otro de Abraham. El Abraham no parece ser el bíblico padre del judaísmo, aunque es posible por sus cuentas de los pocos justos, más bien podrían ser Abraham ben Ezra, nacido en Tudela o también Abraham Bar Hiyya “Savasorda”, ambos judíos, a caballo entre los siglos XI y XII, y formados en la taifa zaragozana de los Banu Hud, una corte que fue un efímero pero profundo emporio matemático. Ben Ezra fue el primer gran divulgador en territorio cristiano de las cifras indoarábigas y quizá sea el aludido por merecimiento. El éxito de la serie y su extensión se deben a los grabados contemporáneos del holandés Cornelis Cort (1533-1578). Puede apreciarse que el grabado es más corto que la pintura y más acorde con las otras alegorías conocidas. (Cornelis Cort. Alegoría de la Aritmética) La alegoría de la Geometría y sus libros La Geometría aparece enseñando su arte mediante un compás y un globo aunque otros instrumentos se encuentran en el suelo. Los alumnos son artesanos, ya no tiene nada que ver con la enseñanza medieval dirigida a los nobles. El pueblo llano se apropia del saber científico y las artes se democratizan. (Cornelis Cort. Alegoría de la Geometría) En los libros encontramos los nombres de Euclides, Ptolomeo y Arquitas. (Frans Floris. Detalle de la Alegoría de la Geometría) Euclides por sus Elementos ha sido el representante unánime e indiscutible de la geometría. A Ptolomeo es más habitual verlo acompañando a la Astronomía, pero aquí refuerza la idea de la dependencia de la ciencia de los astros de la geometría. Además Ptolomeo desarrolla la geografía y la óptica geométrica haciendo las medidas de la refracción de la luz. El llamado Problema de Alhacen es realmente el Problema de Ptolomeo resuelto por Alhacen con cónicas. Arquitas de Tarento fue contemporáneo de Platón. No es habitual incluirle en las alegorías. Como pitagórico se le atribuye influencia directa sobre Eudoxo de Gnido y sobre Euclides. Da nombre a la curva de intersección de un toro con un cilindro y que se utilizó para la resolución del problema de Delos, la duplicación del cubo. La alegoría de la Astronomía y sus libros La Astronomía se nos muestra coronada de estrellas, globo celeste, compás, báculo, con alas y vestida con un sol y una luna en el corpiño. En el suelo están los libros, un reloj solar y otro mecánico. (Frans Floris. Detalle de la Alegoría de la Astronomía) Los lomos de los libros citan a Pontano, Manilius, Higinio, Anaxímenes y Ptolomeo. Giovanni Pontano (1429-1503) fue poeta humanista neolatino que escribió una Urania y un Libro de los Meteoros, además tradujo el Tetrabiblos de Ptolomeo, un manual astrológico. Tiene un cráter lunar dedicado entre los de Sacrobosco, Gemma Frisius y Abenezra. Marco Manilius, del siglo I, fue autor del Astronomicon, un poema astronómico. Cayo Julio Higinio (64-17) escribió De Astronomica. Anaxímenes de Mileto (590-526) fue autor de una cosmología, terraplanista, y primero en divulgar el valor de la estrella polar para orientarse. (Frans Floris. Detalle inferior de la Alegoría de la Astronomía) Salvo Ptolomeo que era profundo conocedor y Anaxímenes del que se conocen sus obras por terceros, los otros tres eran divulgadores en verso al modo de los Fenómenos de Arato. (Cornelis Cort. Alegoría de la Astronomía) Una voluptuosa Alegoría de las Artes Liberales en Ponce Floris no se limitó a pintar las alegorías del palacio de Nicolaes Jonghelinck, también realizó otro conjunto muy distinto que se encuentra en el Museo de Arte de Ponce en Puerto Rico (Frans Floris. Despertar de las Artes. Museo de Arte. Ponce) Nos fijamos en un sugerente Despertar de las Artes: las artes duermen, se relajan, son perezosas y voluptuosas. Decía Thomas Mann en La Montaña Mágica que las matemáticas son un buen remedio contra la concupiscencia. Mann no debió haber visto este cuadro, como otro de Van Heere en Turín. Los atributos abandonados y la semidesnudez no nos permiten identificar cada arte. De espaldas en primer plano debemos tener a La Geometría, con globo, compás y regla. La Geometría debe estar apoyada en La Aritmética, a su derecha La Astronomía y a su izquierda La Música. La Geometría en una vidriera del Rijksmuseum de Ámsterdam Una bonita muestra de la extensión mediante la imprenta de los modelos diseñados por Floris y grabados por Cornelius Cort la encontraremos en el Rijksmuseum de Ámsterdam. (Frans Floris. Vidriera. Rijksmuseum de Ámsterdam) Los efectos sobre una vidriera son bastante espectaculares. El museo nos presenta la Geometría de Floris en un panel retro-iluminado rodeada de imágenes bíblicas y mitológicas. La verdadera extensión de las imágenes de Floris se producirán con Marten de Vos que las toma de forma casi idéntica pero al eliminar los personajes secundarios  facilita la dispersaron por toda Europa como hemos expuesto en otro lugar: La Geometría de Marten de Vos, la globalización iconográfica (instantánea 13).
Martes, 04 de Enero de 2022 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Cine y matemáticas
Autor:Alfonso Jesús Población Sáez
Acercándonos a un periodo vacacional, en el que teóricamente disponemos de más tiempo para hacer actividades menos usuales, puede ser propicio dedicar algunos minutos a la reflexión, guiados por una película atípicamente poco comercial. Ficha Técnica: Título: Senderos de la mente. Título Original: Mindwalk. Nacionalidad: EE. UU., 1990. Dirección: Bernt Amadeus Capra. Guion: Floyd Byars y Fritjof Capra, basado en el libro The Turning Point, de Bernt Amadeus Capra. Fotografía: Karl Kases, en Color. Montaje: Jean Claude Piroué. Música: Philip Glass. Producción: Adrianna A.J. Cohen. Duración: 112 min. Ficha artística: Intérpretes: Liv Ullmann (Sonia Hoffman), Sam Waterston (Jack Edwards), John Heard (Thomas Harriman), Ione Skye (Kit Hoffman), Emmanuel Montes (Romain), Jean Boursin (Sacristán), Gabrielle Danchick (Guia turística), Jeanne Van Phue (Turista), Penny White (Turista). Argumento Jack Edwards es un político norteamericano en horas bajas que se siente completamente bloqueado ante los resultados electorales. Tratando de cambiar el chip, telefonea a un amigo periodista que fue colaborador suyo en campañas electorales en el pasado. Éste le propone que pase unos días junto a él en la región francesa de Normandía, a los pies del Monte de Saint-Michel (de lo cual se arrepiente a los dos minutos, recordando su forma de ser). Una típica visita turística los hará coincidir con una física en año sabático. El encuentro hará plantearse a cada uno aspectos de su vida personal artificialmente cerrados. Comentario En esta ocasión no vamos a encontrar matemáticas explícitas (miento: se menciona y enuncia el teorema de Pitágoras), pero sí un montón de referencias a matemáticos y físicos, y su aportación a la forma de entender el mundo, y cómo su visión modificó la del resto de la humanidad. Llegué a esta película preparando una reciente charla sobre Matemáticas, Filosofía y Cine, en el Salón de Actos del Museo Patio Herreriano de Valladolid, a la que gentilmente fui invitado por la organización del Festival Valladolid Piensa,  aunque finalmente no incluí ninguna de sus escenas en la presentación. Me resultó complicado seleccionar un momento concreto, ya que toda la película de inicio a fin proporciona momentos interesantes que comentar, y hubiera necesitado una hora más, dada la cantidad de escenas que ya tenía seleccionadas. En cualquier caso, la película aparece íntegramente en el siguiente enlace, subtitulada, ya que está en versión original (lo que es de agradecer en determinados momentos, aunque, en general está bastante fielmente traducida). Aunque la película va recorriendo a lo largo de un día diversos puntos de la abadia del Monte de Saint Michel (el islote y la bahía fueron declarados patrimonio de la humanidad en el año 1979, siendo un lugar espectacular para visitar), lo cierto es que perfectamente podía haberse rodado en una sala cerrada con los tres personajes principales, ya que sobre ellos recae todo el desarrollo del metraje. No obstante, el director ha seleccionado perfectamente los rincones del lugar para introducir los temas que abordan (el reloj y su engranaje para el universo mecanicista de Descartes, la cámara de tortura para el pensamiento de Francis Bacon, el uso de la luz en otras estancias con Isaac Newton, etc.). Como suele ser habitual en este tipo de obras, la tesis defendida por cada personaje es cuestionada por los otros (en este caso, uno de ellos, las pocas veces que define su pensamiento, toma partido siempre por la perspectiva de otro de ellos), produciendose un fecundo intercambio de ideas, todas ellas bastante bien traidas, que además tienen un perfecto reflejo en nuestra sociedad actual, en nuestro modo de vida. Por supuesto no se da por finalizada ninguna de las cuestiones (en la mayor parte de las ocasiones no es posible), sino que como los que las exponen, el espectador tomará partido por unas u otras. Probablemente haya un sesgo hacia la parte científica frente a la visión del político, no se puede negar, e incluso de la primera frente a la “idilica” visión poética del periodista (al menos eso es lo que me ha parecido a mí), pero los diálogos intentan contrarrestar de una u otra manera todas las perspectivas para que al final pueda declararse un “empate a los puntos” (por supuesto, no para los que estén plenamente convencidos de alguna de las posturas). No piense el lector que todo es absolutamente filosófico-teórico (el inicio comienza de ese modo, con la postura mecanicista frente a la teológica). Como hemos indicado llega un momento en el que se plantean temas polémicos de plena actualidad como el control de natalidad, el cambio de hábitos como freno al cambio climático (obsérvese que la película es de 1990, y ya se veía este problema como uno de los más relevantes al que hacer frente; sin embargo, aquí seguimos, haciendo nada al respecto), el reemplazo de Dios por el cientifismo, ¿es lícito arrasar los bosques amazónicos para saldar la deuda del país?, ¿es la medicina actual un negocio?, la nueva visión de la llamada teoría de sistemas (concebir todo el Universo como un todo uniforme), entre otros. En la imagen, el libro en el que se basa, cuyo título, El punto crucial, es bastante gráfico, aunque, desde un punto de vista matemático, hubieramos puesto El punto de inflexión. En suma, una propuesta de cine diferente (por momentos cercano al documental) para el que hay que estar advertido y preparado (el que espere cualquier tipo de acción comercialona de pegolete, tipo tortazos, cuernos, persecuciones, etc., claramente que se abstenga), y seguramente dosifique su visionado en varias tandas porque lo que prima es claramente el diálogo y la reflexión. Obviamente al que le gusten este tipo de propuestas, seguramente se le hará corta y le parecerá magnífica. Y por supuesto, nuestro más fraternal saludo para estos días que, indefectiblemente para algunos, y anheladamente para otros, se aproximan. 2022 está ya llamando a la puerta.
Lunes, 13 de Diciembre de 2021 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/El rincón matemágico
Autor:Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)
Llevamos más de 17 años dando muestras mensuales de la estrecha relación que existe entre la magia y la matemática. Después de este recorrido tan extenso, es posible que hayas tenido la impresión de que toda la magia es matemática o de que toda la matemática es mágica pero, a poco que conozcas algo más de cualquiera de estas dos disciplinas, concluirás que hay vida más allá de ambas. Digo esto porque hoy quiero dedicar nuestra reunión mensual en este rincón a explorar algunas relaciones de la magia con otras ciencias, concretamente con las ciencias cognitivas. Esto tampoco nos aleja de las matemáticas porque el estudio de la lógica del cerebro y la lógica de la razón están lógicamente relacionados, por pura lógica. Así que voy a realizar un pequeño recorrido por algunos juegos más o menos clásicos en los que el razonamiento lógico choca contra la percepción sensorial. (1) LA HIPERCARTA El primer ejemplo es el que aparece en la imagen que encabeza el artículo: ¿crees que es posible que esta figura se haya construido con una sola carta sin haberla roto completamente? Parece imposible que la sección vertical corresponda exactamente con los dos huecos contrapuestos que se han formado en la parte horizontal. Pues, contrariamente a la razón, es posible y muy fácil de realizar. El acertado nombre comercial de esta ilusión es "hipercarta" debido a que, aparentemente, se debe viajar a la cuarta dimensión para conseguir que los dos huecos se conviertan en un solo trozo. Se desconoce el origen de esta ilusión pero, en el capítulo 8 del libro Fractal Music, Hypercards and More ... (Freeeman, 1992), Martin Gardner señala que la construcción de este modelo fue propuesta como examen de ingreso para la escuela de arquitectura en la Universidad de Leningrado (la actual San Petersburgo). En ese mismo capítulo, Gardner explica el método para construir la hipercarta y desvela algunas ideas elaboradas por varios magos para convertir esta ilusión en juego de magia. Un estudio riguroso y completo, realizado por Tom Frame, culminó con el libro titulado The Hypercard Project (2006), donde se pueden encontrar diferentes variaciones y muchas sorpresas. A modo de ejemplo, van estas dos figuras: la imagen de la izquierda consiste en una banda de Möbius con aspecto de hipercarta, ideada por Paul Merva y Alexis Gilliand y la imagen de la derecha (¿te animas a construirla?) es una sorprendente construcción realizada por Jack Botermans, especialista en puzles y problemas de ingenio, como aparece en su libro Paper Capers (1986). Aunque la propia ilusión ya produce en sí misma una sorpresa mágica, una estupenda adaptación como juego de magia la ofreció el mago californiano Daryl Easton (fallecido en 2017 bajo extrañas circunstancias) con el juego Hyper-Bent-Elation. Una última sugerencia: no dejes de consultar el artículo "Impossible Folding Font", firmado por Erik Demaine, Martin Demaine, Tomoko Taniguchi y Ryuhei Uehara, que fue presentado para la edición de 2019 de las Conferencias Bridges, en las que se exploran las conexiones de las matemáticas con el arte, la música, la arquitectura y la cultura. En ese trabajo crean todo un alfabeto con figuras «imposibles» como las que vemos en las imágenes de aquí abajo. (2) EL BOOMERANG El segundo ejemplo que quiero mostrar recibe el nombre de «ilusión del boomerang». Consiste en dos láminas o tiras de cartón u otro material con forma de rectángulo curvado, como se ve en estas dos imágenes. Si nos fijamos en la imagen de la izquierda, parece evidente que la pieza A es de menor tamaño que la pieza B. Ahora bien, si intercambiamos las posiciones de las dos piezas, resulta que la pieza B tiene ahora menor tamaño que la pieza A, como se puede apreciar en la imagen de la derecha. La realidad es que ambas plantillas son exactamente iguales. Sólo la posición relativa entre ellas y la forma curvada de su construcción produce la sensación de que una de ellas es mayor que la otra (al alinearse las dos piezas por los lados cortos de su izquierda, la figura superior queda desplazada hacia la izquierda de forma inapreciable por el subconsciente). En este videoclip de la página Mighty Optical Illusions se muestran las distintas posiciones relativas de las piezas y la ilusión óptica que hace variar nuestra sensación sobre su tamaño relativo. Se dice por ahí que esta ilusión óptica fue ideada por el psicólogo estadounidense —de origen polaco — Joseph Jastrow en 1892, razón por la cual se conoce popularmente como "ilusión de Jastrow". Sin embargo, aparece impresa —¿por primera vez?— en la enciclopedia "The world of wonders: a record of things wonderful in nature, science, and art", publicada alrededor del año 1882, bajo el título Wonderful optical delusion, como se muestra en la imagen de la izquierda. Esta misma ilusión fue publicada por el psicólogo alemán Felix Müller-Lyer para la revista Archiv fur Anatomie und Physiologie en 1889 junto a una selección de ilusiones similares (que se muestran en la imagen central) y por Wilhelm Wundt unos años más tarde. El estudio de la forma que deben tener las figuras para maximizar la ilusión fue estudiado por otro psicólogo, el japonés Shogu Imai en 1960. Aquí intervinieron las matemáticas pues la conclusión de Imai fue que los bordes curvos de las láminas debían tener forma de arcos de circunferencia, que la razón entre los radios debía ser 3/5 y el ángulo central ideal debía medir 80 grados. No pasó mucho tiempo para que la ilusión se convirtiera en un juego de magia. La referencia más temprana que se conoce corresponde al libro de Will Goldston titulado Simple Conjuring Tricks That Anyone Can Perform y publicado en 1913. Un completo y documentado estudio sobre esta ilusión ha sido escrito recientemente por Peter Prevos (quien se autodefine como ingeniero civil y científico social con incursiones esporádicas a la magia teatral) bajo el título The Jastrow Illusion in Magic, publicado en 2016. Él mismo escribió en 2017 una breve reseña del folleto en el artículo titulado "The science of the boomerang illusion", publicado en el número 8 de la revista Journal of Magic Research (de la que hablaremos más adelante). Muchas y variadas versiones de la ilusión del boomerang se han desarrollado como juegos de magia. Una de mis preferidas se debe al ingenio de Terri Rogers (ya citada en este rincón en el número 152 de septiembre de 2017), con el juego titulado Top of the bill, donde van cambiando de tamaño los carteles con los nombres de Stan Laurel y Oliver Hardy, los famosos "el gordo y el flaco". Otro enfoque interesante es el juego comercializado en 2006 por Chuck Leach bajo el título Boomerang Card Across; éste consiste en un sorprendente viaje de una carta pensada desde un paquete de cartas hacia otro con la ayuda de la ilusión del boomerang. Las imágenes sin palabras que muestro aquí abajo corresponden a otras versiones ingeniosas del juego. También puedes ver un video donde el mago japonés Mizoguchi realiza el juego titulado Arch Illusion y, si quieres adquirir un modelo barato, el matemago reinounidense Andrew Jeffrey comercializa la ilusión que titula la mariposa creciente. (3) UNO ES MAYOR QUE TRES La tercera y última ilusión paradójica que quiero comentar ya no se trata de un efecto óptico ni visual sino táctil. Antes de entrar en detalles, quiero que la experimentes personalmente para lo cual basta que sigas las instrucciones que leerás a continuación. Necesitarás tres barajas de cartas, aunque lo importante no son las cartas sino sus estuches de cartón. En su defecto, valen tres cajas iguales de dimensiones similares a las de los estuches de cartas, como las cajas grandes de cerillas. Vacía dos de las tres cajas y deja la tercera llena (puede ser con las propias cartas o con muchas monedas o llena de granos de arroz o de tornillos). Cuanto mayor sea su peso, más sorprendente será el efecto. Coloca las tres cajas apiladas, una sobre otra, pero dejando la más pesada encima de las otras dos. Agarra las tres cajas desde arriba con una mano, colocando el dedo pulgar en la parte interior y el resto de los dedos en la parte exterior y levanta todo el conjunto. Toma nota mental de su peso. Deja todo el conjunto sobre la mesa y agarra ahora solamente la caja superior. Levanta la caja y observa su peso. Por arte de magia, resulta que esta única caja pesa más que la suma de las tres. ¿Menos es más? Si no crees lo que has sentido, repite el experimento todas las veces que quieras, incluso empezando por levantar primero el paquete superior y después los tres juntos. ¡Increíble pero cierto! Si te ha parecido interesante el experimento, puedes construir tus propias cajas con el diseño que ha realizado Mark Fuller, el cual está disponible en el portal www.thingiverse.com, y que puedes reproducir con una impresora 3D. Si te parece más cómodo, puedes adquirir el juego en la tienda online Grand Illusions o una versión con ingredientes adicionales y material de gran calidad en Vanishing Magic. Este juego me lo enseñó Fernando Blasco (citado ya en este rincón en varias ocasiones) quien, a su vez, lo conoció en una de las famosas reuniones Gathering for Gardner, que se celebran cada dos años en Atlanta (capital del estado norteamericano de Georgia) reuniendo todo tipo de personas que comparten con Martin Gardner tres de sus grandes pasiones, la magia, las matemáticas y los juegos de ingenio. El efecto está basado en la conocida por los psicólogos como ilusión peso/tamaño de Charpentier, por haber sido el oftalmólogo francés Augustin Charpentier el primero en realizar el experimento y mostrar la ilusión creada en el artículo titulado "Analyse experimentale: De quelques elements de la sensation de poids" y publicado en 1891 (se puede leer un resumen de dicho artículo, así como otros aspectos históricos de la ilusión, en el trabajo de 1999 titulado "Charpentier (1891) on the size-weight illusion", firmado por David Murray, Robert Ellis y Christina Bandomir). El experimento inicial consistía en disponer de varios objetos, todos del mismo peso pero de distintas formas y tamaños, y estimar su peso levantándolos individualmente. La conclusión que se obtenía era que el objeto más pequeño parecía que fuera el más pesado. El fenómeno sigue suscitando debates entre los especialistas ya que no queda completamente resuelta la causa que origina esta ilusión. Intervienen aspectos físicos —como la diferencia de tamaño—, aspectos fisiológicos —como la dificultad de agarrar el objeto más grande o que la mano ejerce más presión sobre la parte superior del objeto que es la más pesada— o aspectos psicológicos —como la idea preconcebida de que más grande equivale a más pesado—, aunque es posible que la respuesta esté en la suma de todos ellos. Muchos artículos científicos se han publicado en relación con esta ilusión y es fácil encontrarlos gracias a la existencia de buscadores virtuales tan eficientes como veloces. Sólo citaré el artículo titulado "The size-weight illusion", al que puedes acceder desde el portal Science is Fun, mantenido por Bassam Shakhashiri, profesor de Química de la Universidad de Wisconsin-Madison, y que presidió en 2012 la American Chemical Society. La revista electrónica The Journal of Magic Research, disponible bajo registro en el portal Ask Alexander (la mayor biblioteca virtual sobre magia del mundo), está dedicada a promocionar la investigación científica en la magia; su lema es: "cuando mides cualquier cosa y lo expresas con números, entonces ya sabes algo sobre ella". En la revista se pueden encontrar artículos que relacionan la magia con las matemáticas, la neurociencia, psicología, biología, física, química y otras disciplinas científicas. Pues bien, en el número 5 de dicha revista (que apareció en febrero de 2014), Gerry Hayes escribe el artículo titulado "Can you fool yourself?" en el que cita este juego a partir de la descripción dada por Ian Rowland en la revista Magic Circular, que es el órgano de difusión del longevo y selecto club londinense «Magic Circle». Hayes pide a los lectores de la revista que se pronuncien sobre el fenómeno y propongan respuestas a las causas que lo originan. En el siguiente número de la revista podemos encontrar un par de contribuciones de magos que comentan sus propios métodos para realizar el juego, sin profundizar en la posible explicación. Independientemente de las causas que originan esta ilusión, puede presentarse ante el público como juego de magia, bien para demostrar los poderes de sugestión que tiene el mago, bien para hacer creer que existen fuerzas ocultas que se ejercen por la voluntad del mago, o mediante cualquier explicación pseudocientífica que se te ocurra. La buena noticia es que nadie descubrirá el truco porque ... ¡no hay truco! Para saber más Como podrás imaginar, hay muchos otros ejemplos que se podrían proponer en la línea de los citados aquí. Para no extenderme demasiado en el tema, terminaré indicando algunos enlaces en los que puedes empezar a navegar si te interesa el tema de la psicología en la magia. La ilusión del vaso de tubo era uno de los juegos favoritos de Martin Gardner (como puedes comprobar en la imagen) y está descrito en uno de los artículos de la revista digital Computer Science for Fun, de la Universidad Queen Mary de Londres. En el portal Psychology of magic, del grupo formado por investigadores de las Universidad McGill y British Columbia, aparecen publicados algunos resultados de investigación realizados con el objetivo de entender cómo la magia actúa sobre nuestra mente. El artículo de Susan Krauss (Universidad de Massachusetts Amherst), titulado 5 amazing psychology magic tricks (2012), enseña cinco juegos de magia como ejemplos de demostraciones científicas que pueden ser utilizados en institutos o escuelas de psicología. Diversos trabajos del mago y psicólogo Richard Wiseman, como los libros "Magic in Theory", "Blink and you'll miss it" o "Magic and wellbeing", abundan en el tema de la relación entre la magia y la psicología. Han sido (y son) muy populares en la red sus ilusiones ópticas y otros efectos mágicos, que se pueden disfrutar en el canal de YouTube titulado Quirkology. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)
Jueves, 02 de Diciembre de 2021 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Instantáneas matemáticas
Autor:Ángel Requena Fraile
(Decoración doméstica con una tapa del grupo p4g) Las tapas de registro en hierro fundido de los distintos suministros urbanos tienen un especial atractivo. Muchos fotógrafos y diseñadores han prestado la debida atención al modesto objeto. Decoran vestidos y hasta las viviendas como puede verse en la foto inicial. No es algo que nos deje indiferentes. Para la educación matemática es un objeto de contemplación y estudio por sus variadas regularidades. Las tapas circulares tan habituales del alcantarillado presentan a veces simetrías de rotación pero aquí nos vamos a dedicar solo a las tapas que contienen teselaciones periódicas del plano en su limitada superficie. De los 17 grupos posibles de teselado periódico del plano vamos a mostrar que en las tapas de fundición encontraremos al menos 13. Los diecisiete grupos de teselaciones periódicas del plano A finales del siglo XIX, el matemático ruso Fedorov (1891) sistematizó los grupos cristalográficos que aplicados al plano reducen a diecisiete las posibles teselaciones periódicas del plano desde el punto de vista de sus simetrías. Más tarde el húngaro-americano Pólya  reprodujo los resultados. Los movimientos que definen el tipo de simetría son las traslaciones, los giros, las reflexiones y las reflexiones deslizantes. La traslaciones están incluidas al observar la periodicidad. Cinco son los giros posibles para las teselaciones periódicas: orden 1 (vuelta completa, 360º) orden 2 (media vuelta, 180º) orden 3 (tercio de vuelta, 120º) orden 4 (cuarto de vuelta, 90º) y orden 6 (sexto de vuelta, 60º). Las reflexiones vienen dadas por sus ejes de simetría que hacen de espejos. Los ejes de reflexión deslizante actúan como espejo tras una traslación con deslizamiento sobre el propio eje. La nomenclatura que vamos a usar es la de la Unión Internacional de Cristalografía (IUCr) que se inicia con p (en 15 casos) y con c (los otros dos), sigue el número de orden del giro, y se termina con m (mirror) si tiene ejes de simetría y/o g (glide) si tiene ejes deslizantes. Así p2mg será una simetría con giros de 180º un eje simetría especular y uno deslizante. Por redundancia se suele suprimir el 2 y queda pmg. Un desarrollo detallado y sencillo de la teoría, con numerosos ejemplos, se puede encontrar el artículo Wallpaper group de la edición inglesa de la Wikipedia. No hemos encontrado ninguna de los tres grupos de orden 3 aunque hay varios diseños con ángulos de 120º que se acercan. Veremos como el p31m está incluido prácticamente pero termina perdiéndose por la colocación. Tampoco hemos localizado la rotación de orden 4 sin simetrías de reflexión. Veamos los ejemplos: Grupo p1 (Tapa del grupo p1) Solo traslaciones, sin centros de giro privilegiados ni ejes de simetría. Si en lugar de una L y una I, hubiera sido una U tendríamos un grupo pm. Grupo pm Existe un reflexión sobre un eje de simetría y todos los paralelos de la estructura periódica. (Tapa del grupo pm) En el ejemplo el eje de simetría es horizontal pasa por el centro y otro y otro por la separación. Grupo pg Existe un reflexión deslizante sobre un eje y todos los paralelos de la estructura periódica. En el ejemplo son verticales, formando 45º con las eles. (Tapa del grupo pg) Grupo cm Existe un reflexión con eje de simetría y paralelo un eje deslizante. Y todos los paralelos de la estructura periódica. En el ejemplo los ejes de simetría especular son los líneas diagonales a 45º que unen los vértices de los catetos. Los ejes deslizantes son paralelos a ellos a mitad de distancia. (Alcorque de Zaragoza con grupo cm) Grupo p2 (Tapa del grupo p2) Existen centros de giros de 180º. Si tomamos un cuadradito cualquiera, ceda base o primitiva, los centros de giro son los cuatro vértices, el centro y los cuatro centros de los lados del cuadrado. No existe simetría de reflexión. Grupo pmm (Tapa del grupo pmm) Teselación muy sencilla. Cada rectángulo pequeño es una celda que se repite. Hay centros de giro de 180º y reflexiones tanto en ejes horizontal como verticales. Grupo pmg (Tapa de Atenas. Grupo pmg) Los ejes de reflexión siguen el palo largo de la T y los deslizantes son perpendiculares, entre los dos sombreros de la T. Los centros de giro de orden 2 se localizan con facilidad. Grupo pgg (Tapa del grupo pgg) Los centros de giro de orden 2 y la periodicidad es fácil de ver. Menos sencillo es ver los ejes deslizantes que van según las dos diagonales. Grupo cmm (Tapa del grupo cmm) El grupo cmm adopta aquí su estructura más sencilla, a base de rombos, sus diagonales son  ejes de reflexión, sus centros son de giro de orden 2 y los ejes deslizantes son paralelos a los de reflexión en su mitad. Grupo p4m (Tapa del grupo p4m) Los giros de orden 4, de 90º, y los ejes de simetría llevan la dirección de lados y las diagonales. En la tapa de ejemplo están hasta marcados la mitad de los centros. El grupo simetría p4m es el más habitual en la azulejería, pero en las tapas se ven muchos del tipo siguiente, el p4g. Grupo p4g (Tapa del grupo p4g. Praga) El grupo p4g tiene centros de giro de orden 4 y ejes de simetría perpendiculares como el p4m. La manera más fácil de distinguirlos es que en el p4g los ejes de simetría especular no pasan por los centros de giro de orden 4. Grupo p6 Mostramos una bonita tapa vista en Santiago de Compostela que no posee ejes de simetría pero si giros de orden 6. Además responde a la ilusión óptica de los cubos. Si no estuviera rayada tendría reflexiones y sería del grupo siguiente, el p6m. (Tapa del grupo p6. Santiago de Compostela) Grupo p6m (Tapa del grupo p6m. Nueva York) La estructura hexagonal permite los giros de orden 6 y existen ejes de simetría que forman ángulos de 120º. Terminamos con otra tapa p6m que con pequeños cambios correspondería al grupo de simetría p31m, bastaría con no contraponer simétricamente las Y griegas. (Tapa del grupo p6m)
Miércoles, 01 de Diciembre de 2021 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Literatura y matemáticas
Autor:Marta Macho Stadler (Universidad del País Vasco)
Un retrato alfabético es un listado de palabras (eventualmente acompañadas de frases breves) ordenadas en orden alfabético, que dibujan un retrato. Este relato alfabético ha sido una de las propuestas premiadas en el concurso “retrato alfabético-matemático” organizado durante la Zientzia Astea 2021. Axiomas En matemáticas, proposiciones que se asumen ciertas, y de las cuales se deducen el resto de proposiciones, teoremas, etc. Durante su vida Gödel estudió algunos de los sistemas axiomáticos de las matemáticas y analizó sus propiedades. Brno Brünn en alemán, ciudad en la que Gödel nació el 28 de abril de 1906, en lo que entonces era el Imperio Austrohúngaro. Vivió en esta ciudad, en la que se graduó con honores en la escuela secundaria, hasta que a los 18 años ingresase en la Universidad de Viena. Actualmente Brno es la segunda ciudad más grande de la República Checa. Círculo de Viena Movimiento científico y filosófico que abogaba por una concepción científica del mundo. Gödel participó en el mismo junto con Moritz Schlick, Hans Hahn y Rudolf Carnap. Fue disuelto en 1936 debido al ascenso del nazismo en Austria. Desnutrición Causa de la muerte de Gödel. Murió cuando su esposa, Adele Nimbursky Porkert, estuvo hospitalizada y no pudo continuar preparándole la comida. Gödel sufría de un miedo obsesivo a ser envenenado, y solo tomaba la comida preparada por Adele. Einstein, Albert Amigo de Gödel en Princeton. Solían pasear juntos y conversar en el idioma materno de ambos, El alemán. Einstein decía en sus últimos años de vida que su propio trabajo ya no le interesaba tanto, y que le entusiasmaba más compartir el paseo hasta casa con Gödel. Frege, Gottlob Matemático logicista precursor del intento de encontrar un conjunto de axiomas válido para poder deducir del mismo toda la matemática. El trabajo de Gödel terminó con esta idea de Frege, zanjando la discusión con una respuesta negativa a la existencia de este conjunto de axiomas. Gödel Lenguaje de programación informático perteneciente al paradigma de programación lógica. Nombrado así en honor a Kurt Gödel, debido a las aportaciones de este a la lógica, y a los conceptos de computabilidad y de función recursiva. Hilbert, David Matemático que continuó con las ideas de axiomatización de Frege, y que formuló un Programa para definir un conjunto de axiomas finito y completo que fuera suficiente para expresar toda la matemática. El trabajo de Gödel determinó que el Programa de Hilbert era inalcanzable, en el sentido de que con un conjunto tal de axiomas no era posible demostrar la consistencia del sistema desde dentro del mismo. Instituto de Estudios Avanzados Institución privada, situada cerca de la Universidad de Princeton, dedicada a realizar investigaciones avanzadas en ciencia básica. En el mismo han desarrollado su trabajo personajes como Albert Einstein y John von Neumann. Gödel impartió algunas conferencias en esta institución, y finalmente acabo siendo docente en la misma tras su huida de la Alemania nazi. Kleene, Stephen Matemático alumno de Alonzo Church. Asistió a las conferencias de Gödel en el IEA y sentó las bases para la teoría de las funciones recursivas, área que siguió investigando durante el resto de su vida. Fue capaz de ofrecer una demostración alternativa de los Teoremas de Incompletitud de Gödel, usando el concepto de computabilidad, que hacía más fácil entender y enseñar los teoremas. Lógica Ciencia formal a la que Gödel hizo grandes aportaciones. Gödel aprendió lógica de la mano de Hans Hahn y Rudolf Carnap, y contribuyo a la teoría de la demostración clarificando la relación entre distintos sistemas formales. Medalla Nacional de Ciencia Galardón que le fue concedido a Gödel en 1974 por el entonces presidente de los Estados Unidos, Gerald Ford. Anterior a esto, había sido el primer galardonado con el Premio Albert Einstein, junto con Julian Schwinger, en 1951. Numeración de Gödel Idea original de Gödel basada en identificar cada proposición formal de un sistema axiomático con un número natural de forma única. Esto es posible si el sistema axiomático en cuestión es capaz de expresar la noción básica de aritmética necesaria para poder demostrar el Teorema Fundamental de la Aritmética. Ontología Rama de la filosofía por la que Gödel pareció mostrar interés cuando formuló una demostración del argumento ontológico de Leibniz sobre la existencia de Dios. Actualmente dicha demostración se conoce como la prueba ontológica de Gödel. Principia Mathematica Obra realizada por Bertrand Russell y Alfred Whitehead para continuar el trabajo de Gottlob Frege, pero eliminando las inconsistencias derivadas de la paradoja de Russell. Gödel se basó en el sistema descrito en esta obra para formular sus Teoremas de Incompletitud. Recursividad Propiedad fundamental de las funciones y demostraciones que Gödel empleó en su obra. Más concretamente Gödel basó sus teoremas en la recursión primitiva. Es por ello que argumentaba que sus demostraciones eran constructivas y computables. Sobre proposiciones formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas relacionados Obra principal de Gödel. En dicha obra formuló y demostró sus Teoremas de Incompletitud. Se publicó originalmente en alemán, con el nombre “Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I”, en la revista Monatshefte für Mathematik. Gödel apuntó que publicaría una segunda parte de la obra, pero esa segunda parte jamás vio la luz. Teoremas de Incompletitud Principal y más importante aportación de Gödel a las matemáticas, consta de dos teoremas. El primer teorema establece las condiciones para que un sistema axiomático sea incompleto, es decir, que contenga proposiciones formales indemostrables e irrefutables al mismo tiempo (proposiciones indecidibles). El segundo teorema señala que dentro de un sistema tal la proposición que indica la consistencia del mismo es indecidible. Universo de Gödel Solución exacta de las ecuaciones de campo de la relatividad general de Einstein propuesta por Gödel. En dicho universo serían posibles los viajes en el tiempo, y este hecho supuso un estímulo para la búsqueda de soluciones exactas más complejas. Viena Ciudad en la que Gödel cursó sus estudios universitarios, se doctoró y vivió hasta su exilio a los Estados Unidos. Fue, sin embargo, en Bolonia donde Gödel asistió a una conferencia de Hilbert sobre completitud y consistencia en matemáticas, hecho que lo marcaría de por vida. Widerspruchsfreiheit En alemán, consistencia. Es la propiedad fundamental que tienen que tener los sistemas axiomáticos como los que estudió Gödel. Se trata de que, si se puede demostrar una proposición formal, no se pueda también demostrar la proposición contraria. El sistema descrito en el Principia Mathematica es consistente, aunque esa consistencia no se pueda demostrar dentro de la lógica del propio sistema. Por el contrario, en un sistema inconsistente toda proposición es demostrable. ZFC Los axiomas de Zermelo-Fraenkel, junto con el axioma de elección, componen el que actualmente es el sistema axiomático estándar para la teoría de conjuntos. Durante la década de 1930 Gödel demostró que el axioma de elección era independiente de los axiomas de Zermelo-Fraenkel, pero consistente con ellos. Los axiomas de ZFC constituyen también uno de los sistemas en los que se cumplen los Teoremas de Incompletitud de Gödel.
Miércoles, 01 de Diciembre de 2021 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. La función tonal La nueva serie de artículos de esta columna versan sobre los modelos matemáticos de la función tonal. Este primer artículo se dedica a examinar las diferentes definiciones de función tonal en la música clásica y en el jazz. Walter Piston en su libro Armonía4 define función tonal como siguiente (página 50, sus cursivas): La tonalidad no es simplemente una manera de utilizar las notas de una escala particular. Es más bien un proceso de establecimiento de relaciones de estas notas con la nota que representa el centro tonal. Cada grado de la escala tiene su parte en el esquema de la tonalidad, su función tonal. Esta definición resulta demasiado general o incluso vaga. La expresión “una manera de utilizar las notas” necesita más concreción. De hecho, nos resulta sorprendente que muchos manuales de armonía no definan la función tonal con más formalidad (el libro de Piston ha sido una clásica referencia durante largo tiempo). A continuación vamos a revisar las definiciones más comunes; para el lector interesado daremos referencias a los trabajos que profundizan más en el concepto de función tonal. La definición más operativa y a la vez menos ambigua la hemos encontrado en el libro en línea Open Music Theory1, que es la base de un proyecto pedagógico basado fuertemente en el aprendizaje por indagación implementado con clase invertida y discusiones en clase. Este proyecto fue iniciado por un grupo de profesores de música formado por Kris Shaffer, Bryn Hughes y Brian Moseley. Esta definición tiene en cuenta la historia del acorde, esto es, su pasado —los acordes que lo precedieron —, el presente —las notas que forman el acorde y el orden en que se presentan —, y el futuro —las notas que suelen suceder a este acorde—. Las notas que siguen a un acorde dependen fuertemente del estilo y un cierto conjunto de notas son más probables que sucedan a un acorde dado en un estilo que en otro. En vista de lo anterior, el concepto de función tonal se basa en tres principios: (1) Los acordes son conjuntos de grados de escala. (2) Cada grado de la escala tiene sus propias tendencias. (3) La combinación de tendencias de los grados de la escala de las notas de un acorde constituye la función del acorde. Vamos a examinar los conceptos incluidos en esta definición de función tonal para su mejor entendimiento. Fijada una escala (do mayor, mi frigio, etc.), el grado de la escala es la posición de una nota en la escala. Como es sabido, los grados de la escala en orden ascendente son: tónica (I), supertónica (II), mediante (III), subdominante (IV), dominante (V), superdominante (VI) (también submediante), y sensible (VII). Los grados de la escala se suelen designar con números romanos, como aparece en la figura de abajo. Figura 1: Los grados de la escala La ausencia de los conceptos raíz del acorde y calidad del acorde no es casualidad; estos conceptos se discutirán más adelante. Dado que la tendencia de un acorde es función del estilo, empezaremos estudiando la función tonal en la llamada práctica común (el periodo de la música clásica comprendido aproximadamente desde 1600 hasta el principio del siglo XX) y luego seguiremos con otros estilos (pop, rock, la práctica común extendida). Un estudio del estilo y sus leyes se puede acometer a partir del trabajo de Meyer, empezando por sus libro Emoción y significado de la música2 y Style and Music3. Meyer usa tres conceptos para explicar el estilo musical: ley, regla y estrategia. Las leyes son características de orden biológico y cognitivo y tienen una naturaleza universal (muchas de esas leyes se explican a través de la psicología de la forma); la ley de la continuación, por ejemplo, es un ejemplo de leyes. Las reglas son características de tipo cultural y están asociadas a una cultura y a un tiempo histórico particulares; por ejemplo, las reglas de conducción de voces es una regla. Por último, las estrategias son las características propias de la obra de un compositor dado; considérese el lenguaje armónico de Chopin en particular. La función tonal se puede considerar como una clasificación de los acordes en términos de su relación a un centro tonal o tónica. Estos dos últimos términos son equivalentes, pero hay alguna pequeña diferencia de matiz. Fijada una escala, la tónica es la primera nota de la escala. Nótese que la escala es una sucesión ordenada de notas y, por tanto, la tónica siempre está bien definida. La tónica implica estabilidad y resolución de las tensiones armónicas. Cuando hablamos de centro tonal esto comprende la noción de tónica, pero también se puede referir a una nota que se ha convertido en una referencia tonal (bien por medio de dominantes secundarias, cambios de modo, u otros mecanismos) y que no necesariamente tiene que ser la primera nota de la escala. Nosotros usaremos ambos términos de manera equivalente. La teoría de la función tonal surgió de la combinación de dos teorías previas sobre la armonía, la teoría de Hugo Riemann (la llamada teoría alemana) y la teoría de Schenker y otros (la llamada teoría vienesa). Hugo Riemann presentó su teoría en su libro Vereinfachte Harmonielehre en 1893. En él, define los conceptos de tónica, subdominante y dominante y comienza la clasificación de acordes según dicha función. En la teoría vienesa, fueron teóricos como Schenker, Sechter, o el propio Schoenberg quienes la construyeron. Esta teoría se basa en los grados de la escala y se centra en el contexto de las progresiones armónicas. La teoría moderna es una síntesis de ambas escuelas de pensamiento. 2. Las tres funciones tonales de la práctica común En la práctica común se han usado tradicionalmente tres funciones tonales: función de tónica, función de subdominante y función de dominante. Se les designa por T, SD y D, respectivamente. La función de subdominante también recibe el nombre de predominante. Los grados de la escala asociados a estas funciones son: Función de tónica: grados I, III y VI; las triadas formadas sobre estos grados contienen todas al grado I. Función de subdominante: grados II y IV; todas las triadas de esta función contienen el grado IV Función de dominante: grados V y VII. Fijando la escala de do mayor, por ejemplo, si ponemos los grados de la escala por terceras, veremos la relación entre dichos grados y las funciones tonales, como ilustra la figura siguiente: Figura 2: Las tres funciones tonales Una característica de la música clásica del periodo de la práctica común es que las notas del acorde determinan por sí solas la función del acorde, circunstancia que no es cierta en otros estilos musicales, como veremos más adelante en esta serie. En la música pop o rock, por ejemplo, el acorde sobre IV puede tener distintas funciones de acuerdo al contexto en que se encuentre. Otros autores, como Ian Quinn5, dan definiciones más profundas y operativas, que permiten clasificar la función tonal de una variedad más amplia de acordes en un número mayor de contextos. La definición de Quinn se basa en clasificar las notas de un acorde según tres categorías, que aquí llamaremos primarias, secundarias y disonancias (en el inglés original, son llamadas triggers, associates y dissonnace). La tabla siguiente muestra las notas asociadas a cada función tonal: FUNCIÓN NOTAS NOTAS NOTAS PRIMARIAS SECUNDARIAS DISONANTES Tónica Notas I y III Notas V y VI V si VI está presente y 7 Subdominante Notas IV y VI Notas I y II I si II está presente y 3 Dominante Notas V y VII Nota II IV y VI Tabla 1: Funciones tonales según Quinn5 Quinn introduce una excepción en el esquema anterior. Un acorde con los grados VI, I, III lo considera un tipo especial de acorde de tónica, al que llama tónica inestable (destabilized tonic). Para este acorde usa el símbolo especial Tx en lugar de simplemente T. Volveremos a esta cuestión más adelante en esta serie. There is one exception to this (for now): a chord with scale degrees 6, 1, and 3 is a special kind of tonic chord, called a destabilized tonic. Quinn uses the special functional label is Tx, rather than simply T, for this chord. En la siguiente figura vemos un esquema del propio Quinn en que se ilustra la clasificación de las notas por sus funciones tonales. Figura 3: Las funciones tonales definidas por Quinn5 En el próximo artículo veremos modelos de función tonal más avanzados y empezaremos a examinar sus primeros modelos matemáticos. Bibliografía [1] Bry Hughes et al. Harmonic function. http://openmusictheory.com/harmonicFunctions.html. web page. accedido el 1 de noviembre de 2021. url: https://viva.pressbooks.pub/openmusictheory. [2] Leonard Meyer. Emoción y significado de la música. Madrid: Alianza Música, 1956/2000. [3] Leonard Meyer. Style and Music. Nueva York: University of Chicago Press, 1997. [4] Walter Piston. Harmony. London: Gollancz, 1950. [5] Ian Quinn. Harmonic Function without Primary Triads. web page. Artículo presentado en la reunión anual de la Society for Music Theory en Boston. 2005.
Martes, 16 de Noviembre de 2021 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Cine y matemáticas
Autor:Alfonso Jesús Población Sáez
Nueva aportación de los profesores Marta Martín Sierra y Abel Martín Álvarez, en esta ocasión en formato fichas, para trabajar en el aula. La revista Making Of es una publicación centrada en la aplicación del cine en actividades de enseñanza-aprendizaje. Trata de ofrecer al profesorado información puntual sobre todos los recursos que sobre el cine se encuentran a su disposición en Internet. De una periodicidad de ocho números al año, incluye en todos una Guía Didáctica de 16 páginas sobre una película específica, junto con un buen número de fichas y sugerencias para desarrollar actividades en el aula a partir de los estrenos que se proyectan en los cines españoles. Editada por el Centro de Comunicación y Pedagogía, a partir del enlace se accede a una amplia información tanto de esta revista como de Comunicación y Pedagogía, y de Revista de Literatura. La revista dedicó un especial a las películas sobre matemáticas en el número doble 124-125, del que ya dimos en esta misma sección cumplida referencia.  Posteriormente, los profesores Abel Martín Álvarez y Marta Martín Sierra han publicado artículos en otros números: Homenaje a Jaime Escalante (revista nº 143; artículo de libre acceso que puede leerse a través del hipervínculo) y José María Sorando Muzás Las matemáticas escolares en el cine (revista nº 150) El pasado mes de octubre, de nuevo los profesores Marta Martín Sierra y Abel Martín Álvarez, comparten con nosotros unas fichas con actividades para trabajar diferentes temas relacionadas con diversas películas.  Marta y Abel mantienen el portal Mathsmovies, un compendio de referencias a las matemáticas en el cine (organizadas en diferentes salas, como si de la asistencia a un cine real se tratara), junto a exposiciones, material didáctico elaborado para llevar al aula, referencias a cursos y conferencias que han impartido, enlaces de interés, etc., y por supuesto, el tema en el que se han especializado: las matemáticas en los Simpson. Descripción de las fichas En esta revista inician una serie de varias entregas que irán apareciendo en números sucesivos de la publicación. En esta primera nos muestran ocho fichas, de libre acceso. Cada una de ellas está orientada a un curso concreto. También se indica cómo distribuir el tiempo para su realización, pensando siempre en la duración de una clase de 55 minutos, así como la descripción de los estándares de aprendizaje tratados. En todas aparece como objetivo motivador la investigación y creatividad de los alumnos, por lo que bastantes cuestiones plantean aspectos relacionados con los temas, pero no habituales en los libros de texto. Después, claramente separado de lo anterior, un pequeño resumen del argumento de la película. Se distinguen seis tipos diferentes de actividades, identificadas con un icono concreto cada una de ellas: Actividades teóricas, Actividades de investigación, Actividades para responder y/o resolver con lápiz y papel, Actividades para resolver con la ayuda de una calculadora/hoja de cálculo, Talleres de creatividad, Actividades de opinión. Se describen a continuación las aparecidas en esta revista: 1.- Los números reales (3º ESO a 1º Bachillerato) a partir de la película Smila, misterio en la nieve (Billie August, 1997).- El planteamiento es puramente conceptual en este caso (entender cuáles son los números reales y reconocerlos en situaciones cotidianas). 2.- Los números reales (3º ESO a 1º Bachillerato) a partir de la película El clan del oso cavernario (Michael Chapman, 1986).- Con un planteamiento nuevamente conceptual, en este caso las cuestiones van más orientadas a la relación de los números con la evolución de la especie humana y de otros animales. Es más antropológica que matemática. 3.- Polinomios. Fracciones algebraicas (3º ESO a 1º Bachillerato) a partir de la película Lecciones Inolvidables (Ramón Menéndez, 1988).- A partir de una escena de la película y lo que aparece parcialmente escrito en un encerado, se proponen factorizaciones de polinomios cuadráticos exclusivamente, tras haber comprobado diferentes maneras de expresar esas factorizaciones. 4.- Ecuaciones. Aplicaciones (2º ESO a 1º Bachillerato) a partir del episodio Las chicas solo quieren sumar (Temporada 17, Episodio 19) de la serie de animación Los Simpson.- En esta ocasión, la actividad está orientada a la educación no sexista de las matemáticas, echando un vistazo a la historia para comprobar cómo ha sido el comportamiento de la sociedad a este respecto. Posteriormente se propone la resolución de ecuaciones lineales y cuadráticas incompletas (similares a la de la escena del episodio) de manera mental, sin papel ni calculadora. 5.- Sistemas de ecuaciones. Aplicaciones (3º ESO a 1º Bachillerato) a partir de la película La habitación de Fermat (Piedahita y Sopeña, 2007).- Se plantean cuestiones a partir de un ejercicio propuesto en la película. De nuevo se incide no tanto en la resolución (aunque se proponen otro par de ellos similares) sino más bien en el contexto en que se describen este tipo de ejercicios. 6.- Inecuaciones y sistemas de inecuaciones (3º ESO a 1º Bachillerato) a partir de la película Una señal invisible (Marilyn Agrelo, 2010).- En realidad la ficha propuesta no trata de inecuaciones, sino exclusivamente de la comprensión de los símbolos menor y mayor que. Evidentemente es un primer paso antes de abordar el tema al completo que probablemente, como en las fichas anteriores, obedezca a un proceso de varias fichas para cada tema. Toda la actividad, salvo una última cuestión, está desarrollada en formato test. 7.- Funciones reales de variable real. Propiedades globales (3º ESO a 1º Bachillerato) a partir del episodio Homr (Temporada 12, Episodio 9) de la serie de animación Los Simpson.- En esta ocasión, la ficha está enfocada al reconocimiento de magnitudes directa e inversamente proporcionales. 8.- Tipos de funciones. Interpretación y representación (3º ESO a 1º Bachillerato) a partir de la película Cadena de favores (Mimi Leder, 2000).- A partir de los primeros valores, se trata de concluir que la gráfica que mejor se ajusta a ellos es una función exponencial. Una vez determinada, se pregunta por algunas de sus propiedades. Siete de estas ocho fichas son la primera de los diferentes temas, por lo que es difícil hacernos a la idea de cómo proseguirán desarrollándolos. En éstos el enfoque es totalmente conceptual e introductorio de lo que pudiera entenderse en un desarrollo usual de los temas planteados, potenciando más la creatividad que la comprensión de las técnicas y resultados matemáticos. Será necesario estar pendiente de cómo proseguirán las siguientes entregas para poder valorar en conjunto el proyecto. En todo caso siempre son de agradecer las nuevas propuestas y los distintos puntos de vista que traten de motivar a los alumnos y de dinamizar las clases, tendiendo además puentes a otras asignaturas que se han ido desligando (artificialmente, por cierto) progresivamente de lo que debe ser una enseñanza interdisciplinar y completa.
Miércoles, 03 de Noviembre de 2021 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/El rincón matemágico
Autor:Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)
Seguro que ya sabes lo que pasa cuando se dibujan 5 puntos equidistantes sobre una circunferencia y se une, empezando por uno de ellos, cada uno de los puntos con el siguiente, hasta volver al punto de partida. Cierto, se obtiene un pentágono regular. También sabrás que este procedimiento es completamente general: si se dibuja cualquier otra cantidad de puntos —digamos n— equidistantes sobre una circunferencia, al unir puntos consecutivos hasta volver al punto de partida se obtiene un polígono regular de n lados. En la siguiente figura se muestran los casos del pentágono y el heptágono regulares. Creo que no es difícil tampoco adivinar lo que ocurre cuando se unen los vértices del pentágono anterior no de forma consecutiva sino saltando un punto cada vez. Haz la prueba, numera los cinco puntos (por ejemplo, en el sentido de las agujas del reloj), traza un segmento uniendo el 1 con el 3 (saltando el 2), luego el 3 con el 5 (saltando el 4), luego el 5 con el 2 (saltando el 1), éste con el 4 y, por último, el 4 con el 1. Efectivamente, conseguirás la famosa estrella de cinco puntas o pentagrama, que fue símbolo de la escuela pitagórica y que oculta numerosas sorpresas matemáticas. Ahora bien, a diferencia del proceso de construcción de los polígonos regulares, si el número de puntos no es cinco, no se puede asegurar que la figura obtenida sea una estrella. Por ejemplo, con seis puntos, empieza trazando un segmento uniendo el 1 con el 3, luego el 3 con el 5 y el 5 con el 1; no hay forma de pasar por los puntos numerados con el 2, 4 ni 6. Ahora bien, si se empieza uniendo el punto 2 con el 4, el 4 con el 6 y el 6 con el 2, se consigue un segundo triángulo que, junto con el anterior, forman también una estrella, símbolo que la religíón judía conoce como sello de Salomón o estrella de David. La estrella pentagonal es un ejemplo de polígono estrellado (figura que se obtiene al unir de forma alterna, ya sea de dos en dos, de tres en tres, etc., los vértices de un polígono regular) y la estrella hexagonal es un ejemplo de falso polígono estrellado (figura que se obtiene superponiendo varios polígonos girados entre sí). En la figura se muestran las estrellas poligonales de cinco, seis, siete y ocho vértices, entre las cuales hay dos que son falsos polígonos estrellados. La pregunta que te surge ahora es: ¿cuántos lados debe tener un polígono para que se pueda dibujar una estrella poligonal y cuántas estrellas poligonales se pueden construir sobre un mismo polígono? La clave para dar con la respuesta es que, al unir los vértices, no se vuelva al punto de partida hasta que se hayan recorrido todos. Matemáticamente, esto significa que el número de lados y el salto entre vértice y vértice sean números primos entre sí. Por esta razón, sólo hay una estrella pentagonal pues 5 y 2 son primos entre sí (claro, también lo son 5 y 3 pero la figura resultante al saltar de dos en dos que de tres en tres es la misma) y no hay ninguna estrella hexagonal (vale, 6 y 5 son primos entre sí pero no sale ninguna estrella saltando de cinco en cinco pues es lo mismo que saltar de uno en uno, pero en sentido contrario). Como no quiero profundizar en estas interesantes y entretenidas cuestiones, citaré un par de referencias por si quieres aprender un poco más: el apartado "Polígonos estrellados" del blog Matemáticas en tu mundo de José María Sorando, ilustrado con gran variedad de originales fotografías, y el trabajo de Inmaculada Fernández Benito titulado "Polígonos estrellados, estrellas y formas estrelladas", presentado en la sexta reunión nacional de Estalmat (marzo de 2009). Te estarás preguntando qué relación tiene esta extensa introducción con el juego de magia que estás esperando. Para prolongar un poco más el misterio, hagamos primero el juego y, si nos queda tiempo (a mí) y paciencia (a ti), daremos las pertinentes justificaciones. Prepara siete cartas, del as al siete de cualquier palo y ordénalas de menor a mayor formando un paquete (el as es el que quedará a la vista, si las cartas están cara arriba). Quedará algo así como esta figura: Cierra la extensión de cartas y, manteniendo el paquete con las cartas cara abajo, reparte dos montones sobre la mesa, dejando alternativamente una carta en el montón de la izquierda y una carta en el montón de la derecha. Recoge los dos montones colocando uno de ellos sobre el otro. Ahora puedes cortar y completar el corte para no saber cuál es la posición de las cartas. Muy bien, gira cara arriba la carta superior y déjala nuevamente como carta superior. ¿Es el siete? Lo sabía. ¡Ah!, que no es el siete (lástima, habría sido la predicción perfecta). Pasa entonces de arriba abajo del paquete tantas cartas como indique dicho número (el as corresponde al uno, claro). Por ejemplo, si es un tres, pasa tres cartas de arriba abajo del paquete (el tres seguirá estando cara arriba pero las demás quedarán cara abajo). Gira ahora cara arriba la nueva carta superior y repite el proceso indicado en el paso anterior con este nuevo número. En este momento habrá dos cartas cara arriba y cinco cartas cara abajo. Vuelve a repetir el mismo proceso anterior hasta encontrar que la nueva carta superior ya está cara arriba. Podría apostar a que, en este momento, sólo queda una carta cara abajo. Además, sé incluso de qué carta se trata: ahora sí es el siete. Como podrás apreciar, el juego tiene un aire similar a los de tipo combinatorio que citamos en el número 193 (mayo de 2021) de este rincón, y seguro que sería muy del gusto del genio mágico John Conway. Para comprender el fundamento de este juego, debemos detenernos en el efecto que producen los dos pasos clave del proceso: el reparto inicial de los dos montones y la secuencia numérica de las cartas que se van girando. Con el primer reparto se han separado las cartas pares de las impares. El hecho de cortar el paquete puede alterar la posición de las cartas pero no el orden cíclico (si pensamos que las cartas están colocadas en los vértices de un heptágono regular, veremos las cartas pares de menor a mayor seguidas de las cartas impares, también de menor a mayor). En este momento, independientemente del valor de la primera carta, sólo hay una posible secuencia de cartas que se van girando cara arriba: 1 - 3 - 2 - 6 - 4 - 5. Hay que entender de nuevo que esta secuencia es cíclica, es decir, si la carta superior es, por ejemplo, el 5, la secuencia de cartas giradas es 5 - 1 - 3 - 2 - 6 - 4. Así pues, se recorren todas las cartas excepto el siete de modo que la predicción es infalible. Esto conduce inexorablemente a plantearse la siguiente pregunta: ¿el juego se puede realizar con cualquier cantidad de cartas? La respuesta inmediata es ¡NO! Haz la prueba con seis cartas. Recuerda el proceso: ordénalas de menor a mayor, reparte dos montones, reúnelos, corta y gira la carta superior: si es un seis, se acaba el juego. Si no, pasa de arriba abajo tantas cartas como indique su valor, repite el proceso. Verás que aparece una cara cara arriba antes de girar todas. El juego no funciona. ¿Y con cinco cartas? Ahora sí, la secuencia de cartas giradas es 1 - 3 - 4 - 2 (o cualquier reordenación cíclica de ésta). ¡Vaya!, resulta que con cinco y siete vértices se podía construir un polígono estrellado pero con seis no. ¿Tendrá algo que ver? Sigamos investigando, pero antes quiero citar el artículo donde se detallan las ideas fundamentales que he rescatado aquí: se trata del titulado "Les secrets du pentacle", escrito por Ludovic Simonet en el número 46-47 (año 2003) de la revista Hyper Cube, cuya portada se muestra en la imagen. En dicho artículo, el autor atribuye al mago George Sands (1920-2006), el mismo que inventó-descubrió-ideó-creó el principio del número primo que protagonizó el número 76 (octubre de 2010) de este rincón, el origen del método de adivinación descrito. Misteriosamente, los números primos también van a aparecer aquí. Este es el enfoque desarrollado por Ludovic Simonet (y quizá también por George Sands (ver comentarios finales)): Dibuja un número impar arbitrario de puntos equidistantes en una circunferencia, digamos 2n + 1; Escribe el número 1 junto a uno cualquiera de los puntos; Saltando n puntos en el sentido de las agujas del reloj, escribe el número 2 en el punto al que has llegado; Repite el paso anterior y escribe el número 3 en el nuevo punto al que has llegado; Sigue recorriendo los puntos marcados como se ha indicado y escribiendo números de forma consecutiva; Por último, traza un segmento uniendo el punto 1 con el 2, luego el 2 con el 3, el 3 con el 4 y así hasta volver al punto de partida. ¡Acabas de construir un polígono estrellado de 2n + 1 puntas! Has recorrido todos los puntos sin repetir ninguno de ellos debido a que los números 2n + 1 y n son primos entre sí, sea cual sea el valor de n (¿sabrías demostrar esta propiedad?). Además, si recorres los vértices de la estrella en el sentido de las agujas del reloj, aparecen los números impares, en orden creciente, y, a continuación, los números pares, también en orden creciente (precisamente, como se debían colocar para realizar el juego anterior). Esto significa que podíamos plantear el juego utilizando una estrella con los vértices numerados de esta forma en lugar de cartas, tachando los números a los que se llega después del recorrido por la estrella. El único punto que no quedará tachado sería siempre el número 2n + 1. En la figura puedes ver la disposición de los números y la forma de las estrellas con siete y nueve puntas. ¡Última sorpresa! Sería un poco aburrido que el juego se pudiera realizar con cualquier estrella que tenga un número impar de vértices. Ya hemos visto que funciona con 5 y 7 vértices pero no sale con 9, 11, 13 ni 15. Sí funciona con 17 (número que utiliza Ludovic Simonet en su artículo), con 19, 29, 31 y 43. ¿Cuál es el siguiente? ¿Sólo vale con algunos números primos? Como yo no sé las respuestas, planteo estas cuestiones a mi amigo Juan Carlos Ruiz de Arcaute —mago, matemático e informático, entre otras habilidades— y, como resultado de sus indagaciones, me devuelve la lista de los primeros valores, resumida en esta tabla: Pues sí, son todos primos, que podríamos bautizar como "primos estrellados" si no fuera porque ya estaban bautizados previamente (con otro nombre): se trata de la sucesión catalogada como A019334 en la "Enciclopedia de Sucesiones de Números Enteros", fundada en 1964 por el inagotable matemático Neil Sloane. Resulta que se trata de la sucesión de números primos con raíz primitiva 3, lo cual conduce a nuevas e inquietantes preguntas, como por ejemplo: ¿qué tienen que ver estos números con el proceso de conteo que se lleva a cabo en el juego descrito? Comentarios finales Un precursor del juego que aquí hemos mostrado es el titulado "Prime choice", ideado por George Sands y publicado por Karl Fulves en el número 8 de la revista The Chronicles (1978). En primer lugar nos hace aprender la frase mnemotécnica "A furry kitten fights seven to try at joinning six queens" (algo así como "Un gatito peludo pelea contra siete para tratar de unirse a seis reinas") como regla para recordar el orden As-4-K-10-5-7-2-3-8-J-9-6-Q. Por ejemplo, "furry" recuerda a "four", "fight" a "five", etc. Ahora basta tener preparadas trece cartas con esa ordenación, dar a elegir una carta del resto de la baraja, sustituirla por la K en la preparación anterior y dejar las trece cartas en las manos de tu asistente. Esta persona corta el paquete, completa el corte y gira cara arriba la carta superior. Ya sabes el resto: si es la carta elegida, perfecto; si no, pasa de arriba abajo tantas cartas como indica el valor de la carta girada (el as cuenta como 1, la J como 11 y la Q como 12), repite el proceso hasta que sólo quede una carta cara arriba. Será la elegida. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)
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Cultura y matemáticas/Instantáneas matemáticas
Autor:Ángel Requena Fraile
(Marianne Loir. Portrait de Gabrielle Émilie. Museo de Bellas Artes. Burdeos) ¿Alguien duda de la contribución de la matemática a la felicidad? Quizá quien no se haya leído el Discours sur la bonheur de Gabrielle Émilie Le Tonnelier de Breteuil (1706-1749), que firmaba como Marquise de Châtelet. La sabiduría debe hacer siempre bien sus cálculos: porque quien dice sabio dice feliz, al menos en mi diccionario. Gabrielle Émilie es una figura fascinante. Un espíritu libre que defiende con sano orgullo su autonomía personal y su pensamiento: Juzgadme por mis propios méritos, o por la falta de ellos, pero no me consideréis como un mero apéndice de este gran general o de aquel renombrado estudioso, de tal estrella que relumbra en la corte de Francia o de tal autor famoso. Soy yo misma una persona completa, responsable sólo ante mí por todo cuanto soy, todo cuanto digo, todo cuanto hago. Puede ser que haya metafísicos y filósofos cuyo saber sea mayor que el mío, aunque no los he conocido. Sin embargo, ellos también no son más que débiles seres humanos, y tienen sus defectos; así que, cuando sumo el total de mis gracias, confieso que no soy inferior a nadie. Estudiar matemática no ha sido un camino de rosas para muchas mujeres. Desde la propia familia a las instituciones: todo eran obstáculos casi imposibles de salvar. La humanidad se ha mutilado a sí misma. Gabrielle Émilie lo tuvo algo más fácil: su padre la educó en igualdad y pertenecía a la clase privilegiada en una época de revolución intelectual que anticipaba la política. Del atractivo imperecedero de la brillante matemática francesa dan cuenta el estreno de dos dramas teatrales con su figura como protagonista en EEUU durante el 2010 y una opera representada en Lyon en el 2008. Un asteroide y un cráter de Venus también la distinguen. Las dos obras de teatro basadas en su vida son Legacy of Light de Karen Zacarías y Emilie: La Marquise Du Châtelet Defends Her Life Tonight de Lauren Gunderson. La ópera Émilie (2008), de Kaija Saariaho, trata de los últimos momentos de la vida de la marquesa de Châtelet, donde la soprano Karita Mattila hizo de Émilie, y la letra fue redactada por Amin Maalouf. (Karita Mattila haciendo de Émilie. Opera de Lyon) Lo anecdótico, más o menos verídico, ha llenado la historia popular y sigue teniendo atractivo didáctico. El manzano de Newton, la noche anterior al duelo mortal de Galois o el Eureka de un Arquímedes desnudo forman parte de la mitología. Émilie tiene también los suyos, uno es la lucha por acabar la traducción francesa de los Principia de Newton antes de una probable muerte por embarazo tardío: no sobrevivió al parto. La vida académica francesa estaba dominada a inicios del XVIII por la física cartesiana pero un pequeño grupo se quitó el provincianismo identitario y divulgó la obra de Newton. La polémica se resolvería científicamente: si la Tierra era un melón tendría razón Descartes y Newton si fuera sandía. Las expediciones a Laponia y Ecuador dieron el triunfo al inglés: la Tierra resultó achatada en los polos. La expedición a Ecuador fue una bendición para España: los jóvenes marinos Jorge Juan y Antonio de Ulloa se impregnaron de ciencia. Maupertuis, Voltaire y Émilie tomaron partido por Newton. Lo maravilloso de Émilie es que rápidamente se da cuenta de la mejora de Leibniz: el papel de la vis viva, la energía cinética, y su conservación frente a la cantidad de movimiento (impulso). Ironías de la historia: será Emmy Noether, otra insigne matemática, quien en el siglo XX formulará el importantísimo teorema de que cada ley de conservación física se corresponde con una simetría: la energía con el tiempo, el impulso con el espacio. Muchas colegas han hecho magníficas semblanzas de figura tan destacada. Nos limitamos modestamente a hacer un breve recorrido por los espacios que la recuerdan como sencillo homenaje. (Edición póstuma de la traducción de los Principia) Gabrielle Émilie en el Château de Breteuil Gabrielle Émilie Le Tonnelier de Breteuil es una figura imprescindible de la Ilustración. Si Moliere hubiera conocido a la Marquesa de Châtelet su sátira sobre Las mujeres sabias quizá hubiera sido muy distinta. El Château de Breteuil, situado en la zona residencial de Chevreuse, treinta kilómetros al suroeste de París, fue la casona familiar de los barones y después marqueses de Perrault. Como tantos castillos franceses, se pueden visitar tanto los jardines como la mansión que está llena de recuerdos de la brillante pensadora. Nos interesan especialmente el ambiente y las pinturas, originales y copias, de la pensadora en pleno trabajo matemático, sobre todo la conocida de Quentin de La Tour, o la copia de la realizada por Marianne Loir (original en Burdeos). Algunas escenas de la actividad científica se han reproducido con muñecas de cera. (Quentin de La Tour.  Gabrielle Émilie. Château de Breteuil) Existe un tercer gran retrato de Émilie, el realizado por Nicolas de Largillière y que pertenece a una colección privada. (Nicolas de Largillière. Gabrielle Émilie. Colección particular) Los tres retratos son muy similares, el compás en la mano derecha, esfera armilar en dos de ellos y globo terráqueo en el otro. La más convencional es la pintura de De Largillière pues Émilie parece Urania mirando el cielo. El más matemático es el de De La Tour pues la muestra en pleno trabajo. El más sensible, y el que más le hace honor, es el de Loir. Un compás y una flor definen la plenitud de quien podía traducir a Newton, la terrible y amoral Fábula de las abejas de Mandeville o escribir el Discurso sobre la felicidad. (Imagen de cera.  Gabrielle Émilie. Château de Breteuil) La marquesa de Châtelet en Burdeos La reapertura, tras años de obras, de las dos alas del Museo de Bellas Artes de Burdeos permite ya contemplar el delicioso Portrait de Gabrielle Émilie Le Tonnelier de Breteuil, Marquise du Châtelet (1749) realizado por la pintora Marianne Loir. Retrato menos conocido que el realizado por Maurice Quentin de La Tour pero que es, si cabe, mucho más interesante. Como hemos dicho La Tour pintó a Émilie sobre una mesa y un libro de matemáticas abierto, Marianne Loir conserva la esfera armilar y el compás, coloca los libros en el lateral, quita la mesa y pone una flor en la mano izquierda. La condición de mujer, a la vez sensible y sabía, es resaltada de forma primorosa. Émilie no es una rara avis sino una mujer plena. El retrato de Burdeos muestra las barreras intelectuales que estaba barriendo la Ilustración. Cirey sur Blaise: refugio de las artes Voltaire y Gabrielle Émilie Le Tonnelier de Breteuil protagonizaron en el Château de Cirey sur Blaise uno de los episodios más productivos para la extensión de la física newtoniana en el continente. La marquesa ofreció refugio a Voltaire en su castillo próximo a la frontera alemana y durante unos años (1734-1738) tuvieron allí su lugar de residencia. (Émilie como musa de Voltaire. Elémens de la philosophie de Newton. 1738) Cirey fue punto de encuentro de sabios y foco de correspondencia con los principales científicos del momento. Una inmensa biblioteca, hoy desaparecida, y un bello teatro, que se puede visitar, dan cuenta de la actividad de una pareja cuya respeto intelectual se mantuvo intacto tras su relación sentimental. Émilie fue clave para la edición de Voltaire de los Elémens de la philosophie de Newton (1738), por ello no extraña la dedicatoria: Minerva de Francia, inmortal Émilie, discípula de Newton y de la Verdad. Durante su estancia en Cirey, Voltaire diseñó la puerta principal de acceso, decorándola con motivos alegóricos a las ciencias y las artes. Así, en la parte derecha vemos una esfera armilar para la astronomía y un conjunto de regla, transportador y compás para la matemática. El interior tiene motivos marinos para reflejar el origen de la vida y la unidad del conocimiento. (Puerta diseñada por Voltaire. Château de Cirey sur Blaise)
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Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Luis Nuño (Universidad Politécnica de Valencia)
Una vez más tengo el placer de contar como autor invitado a Luis Nuño, catedrático de universidad en la Universidad Politécnica de Valencia y autor de la Rueda Armónica, página web que presenta herramientas para el aprendizaje de la teoría de la música con una base matemática. Esta vez nos trae un fascinante artículo sobre grafos parsimónicos en triadas y tetracordos. Estamos ante un artículo profundo y bello a la vez. Espero que los lectores de esta columna lo disfruten tanto como lo he hecho al leerlo. Paco Gómez Martín 1. Introducción La prestigiosa revista internacional Journal of Mathematics and Music ha publicado este año 2021 un número especial titulado “Pattern in Music” (Patrones en Música), que incluye ocho artículos. A continuación se va a explicar resumidamente uno de ellos, titulado “Parsimonious graphs of the most common trichords and tetrachords” (Nuño, 2021b). La referencia completa de este artículo se encuentra en la Sección 6. Con el objetivo de que esta exposición sea de la máxima utilidad y para una variedad de lectores lo más amplia posible, se ha simplificado sustancialmente la parte teórica, pero se ha mantenido íntegramente la parte práctica. Así mismo, los acordes se han representado mediante la notación inglesa y con los símbolos más comúnmente utilizados. Entre las estructuras que se repiten de manera recurrente en las composiciones musicales tenemos las denominadas “transformaciones parsimónicas”, las cuales han sido ampliamente utilizadas en épocas y estilos musicales tan diferentes como el período Clásico, el Romanticismo, la música Latina o el Jazz, siendo por tanto unos patrones musicales perfectamente establecidos. Su análisis puede llevarse a cabo mediante la “teoría neo-riemanniana”, que surgió en la década de los años 1980 para analizar ciertos pasajes cromáticos de determinados compositores del s. XIX y está todavía en proceso de evolución gracias a las aportaciones del álgebra y la geometría. Según Gollin (2005), esta teoría se caracteriza por tres elementos: grupos matemáticos de transformaciones, conducción parsimónica de las voces y sus representaciones gráficas. El ejemplo por excelencia lo constituyen el grupo “PLR” y el Tonnetz, aunque se limitan únicamente a las tríadas mayores y menores. P, L y R son las operaciones básicas “Paralelo”, “Cambio de Sensible” (en inglés, Leading-tone exchange) y “Relativo”, las cuales transforman, respectivamente, por ejemplo, C mayor en C menor, C mayor en E menor y C mayor en A menor; y viceversa. Como punto de partida podemos tomar una regla básica en Armonía para conectar unos acordes con otros, que es la “ley del camino más corto” (Schönberg 1983, p. 39, citando a Bruckner). Esto significa mantener las notas comunes y mover las demás según los mínimos intervalos posibles. A este respecto, Douthett y Steinbach (1998) establecen que dos acordes de la misma “cardinalidad” (es decir, con el mismo número de notas) guardan entre sí una relación “Pm,n” si uno de ellos puede transformarse en el otro manteniendo las notas comunes y, en cuanto a las demás, moviendo m notas un semitono y n notas un tono. Entonces, diremos que dicha relación es “parsimónica” si los valores de m y n son bajos, generalmente m + 2n ≤ 2. El caso más simple es, lógicamente, P1,0, que denominaremos “monosemitonal” (en inglés, single-semitonal). Además, Douthett y Steinbach (1998) aportan también varios grafos parsimónicos de especial relevancia, como el “Chicken-Wire Torus” (grafo dual del Tonnetz) y el “Cube Dance” para los tricordos “más uniformes” (es decir, en los que los intervalos entre cada dos notas consecutivas son similares) o el “Towers Torus” y el “Power Towers” para los tetracordos más uniformes. Veinte años antes, sin embargo, Waller (1978) ya publicó un toroide equivalente al Chicken-Wire, pero que, además, mostraba claramente su división en hexágonos, así como los ciclos PL, PR y – aunque algo más difíciles de visualizar – los LR. Estas y otras relaciones PLR compuestas han sido estudiadas exhaustivamente por Cohn (2012). Por su parte, Tymoczko (2006) hace un planteamiento diferente, desarrollando una teoría para representar los acordes de n notas en una especie de banda de Möbius generalizada, que llamaremos “n-orbifold”. Además, proporciona las figuras del 2-orbifold y parte del 3-orbifold, antes de “torcerlos y doblarlos” para obtener los verdaderos orbifolds. Callender, Quinn y Tymoczko (2008) aportan nuevas representaciones de este tipo, aunque, en la práctica, dada su especial complejidad, solo se suelen representar las regiones centrales de los orbifolds. En este trabajo se presentan unos nuevos grafos circulares cíclicos, que he denominado “Cíclopes”, que incluyen un mayor número de tricordos y tetracordos que las representaciones anteriores, donde estos están conectados entre sí mediante transformaciones monosemitonales. Así mismo, proporcionan una visión más amplia de las regiones centrales de los correspondientes orbifolds. Por consiguiente, permiten representar un mayor número de obras musicales de una forma práctica y pueden utilizarse tanto para el análisis musical como para la composición. Se asume que el lector está familiarizado con los “nombres de Forte” (Forte 1973) y las “clases de conjuntos”, también llamadas “clases de acordes”. En este trabajo, las clases de acordes “no inversionalmente simétricas” se dividen en dos “tipos de acordes” relacionados entre sí por “inversión”, llamados “a” y “b”, de acuerdo con las definiciones dadas por Nuño (2020a). Todos estos conceptos pueden, de forma alternativa, consultarse en español en Nuño (2020b) y Nuño (2021a). Por otra parte, este estudio trata también, en gran medida, sobre la “geometría de los acordes” (Tymoczko 2011) y las “transformaciones de los acordes más uniformes” (Cohn 2012), aunque los principales conceptos se explican también aquí. 2. Selección de los Tricordos y Tetracordos Tal como se explica en las anteriores referencias, hay 12 clases diferentes de acordes de 3 notas, los tricordos, 5 de los cuales son inversionalmente simétricos, mientras que cada uno de los restantes 7 se puede dividir en dos tipos de acordes relacionados por inversión, lo que hace un total de 19 tipos de acordes. Y hay 29 clases diferentes de acordes de 4 notas, los tetracordos, 15 de los cuales son inversionalmente simétricos; y, dividiendo en dos los restantes 14, obtenemos un total de 43 tipos de acordes. En ambos casos, el número de tipos de acordes es demasiado elevado como para poder relacionarlos en unos grafos que sean visualmente sencillos y de utilidad práctica. Por tanto, nos centraremos únicamente en los tricordos y tetracordos “más comunes”. Veamos cómo podemos seleccionarlos. En el período de la práctica común (aproximadamente, 1650-1900), las armonías se forman mediante superposición de terceras sobre los siete grados de las escalas mayor, menor armónica y menor melódica (veáse, por ejemplo, Schönberg 1983 o Piston 1988). De aquí resultan las 4 tríadas y los 7 acordes de séptima básicos, cuyos nombres de Forte son 3-10, 3-11a, 3-11b, 3-12 y 4-19a, 4-19b, 4-20, 4-26, 4-27a, 4-27b, 4-28, respectivamente. A estos hay que añadir los acordes de sexta aumentada 3-8a (italiana) y 4-25 (francesa). Todos estos tipos de acordes son, por tanto, predominantes en la música occidental. Para una cardinalidad dada (3 o 4 notas en nuestro caso), las clases de acordes están ordenadas desde la que tiene las notas lo más juntas posible, es decir, en secuencia cromática hasta la que las tiene separadas lo más uniformemente posible (tríadas aumentadas y acordes de séptima disminuida, según se trate de acordes de 3 o de 4 notas). Así, el criterio seguido aquí ha sido seleccionar “series completas de tipos de acordes”, desde los “más cromáticos” de los grupos anteriores (3-8 y 4-19) hasta los más uniformes (3-12 y 4-28). Tabla 1. Tipos de tricordos y tetracordos considerados aquí. Un superíndice en los nombres de Forte indica el grado de simetría transposicional, en caso de ser mayor que 1. Un asterisco (*) significa “omit 5” y un doble asterisco (**) “omit b3”. Los acordes mayores (M) se representan, normalmente, mediante su fundamental, sin ningún símbolo adicional. El símbolo “(9)” significa “add 9”, mientras que el símbolo “9” significa añadir tanto la séptima menor como la novena mayor. Las formas interválicas empiezan desde la fundamental. Tricordo Símbolo Forma Int. Tetracordo Símbolo Forma Int. 3-8a 7* 462 4-19a mΔ 3441 3-8b Ø** 642 4-19b Δ#5 4431 3-9 sus4 525 4-20 Δ 4341 3-10 dim 336 4-21 9* 2262 3-11a m 345 4-22a (9) 2235 3-11b M 435 4-22b m4 3225 3-123 + 444 4-23 7sus 5232 4-24 7#5 4422 4-252 7b5 4242 4-26 m7 3432 4-27a Ø 3342 4-27b 7 4332 4-284 O 3333 La Tabla 1 muestra esos tricordos y tetracordos con los símbolos empleados aquí para representarlos y sus “formas interválicas” (Nuño 2020a) empezando desde la fundamental. La forma interválica de un tipo de acorde es la secuencia de intervalos, en semitonos, entre cada dos notas adyacentes, incluyendo el intervalo entre la última nota y la primera; o cualquiera de sus permutaciones circulares. Los acordes añadidos a los grupos anteriores son los siguientes: 3-8b, 3-9, 4-21, 4-22a, 4-22b, 4-23 y 4-24, los cuales se interpretan, en ocasiones, como acordes cromáticos, incompletos o de paso. En otros estilos musicales, como el Pop, la música latina o el Jazz se utilizan con frecuencia todos los tipos de acordes de la tabla (véase, por ejemplo, el listado de acordes proporcionado por Sher 1991, p. iv). Por tanto, la selección realizada de esta manera contiene un número razonable de tipos de acordes, a la vez que incluye, en todo caso, los más relevantes. 3. Grafos Parsimónicos Las Figuras 1 y 2 son unos grafos circulares que he denominado 3-Cíclope y 4-Cíclope, que muestran, respectivamente, los tricordos y tetracordos de la Tabla 1 conectados mediante transformaciones monosemitonales. Así, en cada grafo se pasa de un acorde a otro cambiando una nota un semitono, el cual puede ser ascendente, si giramos en sentido horario, o descendente, si lo hacemos en sentido antihorario. Los números que hay en los extremos de las líneas que conectan los acordes indican las notas inicial y final referidas a las fundamentales de dichos acordes, donde 1, 3, 4 y 5 representan intervalos justos o mayores, que pueden alterarse mediante # y b, mientras que las séptimas mayores, menores y disminuidas se representan mediante Δ, 7 y d7, respectivamente. Haciendo la analogía con la carátula de un reloj, cada acorde se ha colocado en una “zona”, que viene definida por “la suma de sus notas”, módulo 12 (Cohn 2012, p. 102). Así, por ejemplo, el acorde de C mayor está en la zona 0 + 4 + 7 = 11 del 3-Cíclope y el acorde BØ en la zona 11 + 2 + 5 + 9 = 27 = 3 (módulo 12) del 4-Cíclope. De esta manera, si se sube un semitono una nota de un acorde, pasamos a la siguiente zona girando en sentido horario. Además, esto hace que, en el 3-Cíclope, los tricordos del mismo tipo cuyas fundamentales están a distancia de 4 semitonos estén situados en la misma zona. Y lo mismo ocurre en el 4-Cíclope con los tetracordos del mismo tipo cuyas fundamentales están a distancia de 3 semitonos. Por otra parte, los acordes que tienen un grado de simetría transposicional “s” mayor que uno tienen, lógicamente, conexiones múltiples a acordes del mismo tipo. Este es el caso de las tríadas aumentadas (s = 3), los acordes de sexta aumentada francesa (s = 2) y los acordes de séptima disminuida (s = 4). Entre los grafos parsimónicos desarrollados hasta la fecha cabe destacar, para el caso de los tricordos, el “Cube Dance” de Douthett y Steinbach (1998), que muestra las transformaciones monosemitonales entre las tríadas aumentada (3-12), menor (3-11a) y mayor (3-11b), el cual contiene solo un tipo de acorde por zona. Tymoczko (2011, p. 105) representa estos mismos acordes en un cubo. Pero con anterioridad a ambos tenemos el Tonnetz, que es una representación de los acordes mayores y menores conectados mediante transformaciones PLR. Por su parte, el 3-Cíclope puede considerarse como un Cube Dance o un Tonnetz “de orden superior”, ya que incluye también los tipos de acordes 3-8 a 3-10. En total, contiene 7 tipos de acordes frente a los 3 del Cube Dance o los 2 del Tonnetz. Además, en él se visualizan claramente las transformaciones básicas PLR: P y L son líneas “oblicuas” con respecto a las circunferencias centradas en el grafo, y R son líneas que “atraviesan” las tríadas aumentadas, entrando y saliendo por la misma letra (“a”, “b” o “c”). Simbólicamente, P = /, L = \ y R = ^. Figura 1. El 3-Cíclope, con los tricordos considerados en la Tabla 1. Con respecto a los grafos parsimónicos para los tetracordos tenemos el “Power Towers” de Douthett y Steinbach (1998), que muestra las transformaciones monosemitonales entre los acordes disminuido (4-28), semidisminuido (4-27a), de séptima de dominante (4-27b) y menor con séptima (4-26), el cual contiene también solo un tipo de acorde por zona. Cannas (2018) añade a ellos los acordes mayores con séptima mayor (4-20), obteniendo el “Clover graph”. En cambio, tanto el “4-Cube Trio” de Douthett (Cohn 2012, p. 158), como la representación de Tymoczko en el 4-orbifold (2011, p. 106), lo que añaden son los acordes de sexta aumentada francesa (4-25), completando de esta manera un hipercubo en cuatro dimensiones o “teseracto” (tipos de acordes 4-25 a 4-28). Por su parte, el 4-Cíclope puede considerarse como un 4-Cube Trio “de orden superior”, ya que incluye también los tipos de acordes 4-19 a 4-24. En total, contiene 13 tipos de acordes frente a los 5 del 4-Cube Trio o el Clover graph, un número bastante alto que hace que este grafo sea más complejo que el 3-Cíclope. Figura 2. El 4-Cíclope, con los tetracordos considerados en la Tabla 1. 4. Patrones de Acordes Tanto el 3-Cíclope como el 4-Cíclope son especialmente adecuados para representar ciertos patrones de acordes que aparecen en determinadas composiciones musicales, los cuales se indican en la Tabla 2. Estos patrones también pueden representarse en el Tonnetz, pero solo hasta cierto punto, ya que este solo contiene las tríadas menores (3-11a) y mayores (3-11b); y, cuando se utilizan acordes de séptima de la clase 4-27, lo normal es reducirlos eliminando la séptima en los acordes “7” y la tónica en los acordes “Ø”. Cohn (2012) y Tymoczko (2011) analizan muchos ejemplos de este tipo, pero incluyen también las tríadas aumentadas (3-12); y, con respecto a los tetracordos, ambos consideran los cinco tipos más uniformes (4-25 a 4-28). Sin embargo, el 3- y el 4-Cíclope incluyen más del doble de tipos de acordes (3-8 a 3-12 y 4-19 a 4-28, respectivamente), por lo que permiten analizar un mayor número de piezas musicales, así como obtener unas representaciones más simples y compactas. Tabla 2. Patrones de acordes idóneos para ser representados en el 3- y el 4-Cíclope.   3-Cíclope   4-Cíclope     Progresiones Parsimónicas de Tricordos   Progresiones Parsimónicas de Tetracordos     Mismos Tipos de Tricordos a distancia de tercera mayor   Mismos Tipos de Tricordos a distancia de tercera menor   Consideremos, en primer lugar, varios ejemplos basados en tricordos a distancia de tercera mayor, los cuales están situados en la misma zona del 3-Cíclope, y que incluyen también progresiones parsimónicas. En cuanto a los acordes “7” y “Ø”, consideraremos sus formas incompletas, “7*” y “Ø**”, que son mejores aproximaciones a los acordes reales que las utilizadas en el Tonnetz y, lo que es muy ventajoso, conducen a representaciones mucho más compactas. Comencemos por la Sonata para Violín y Piano en Fa mayor, Op. 24 de Beethoven. Las armonías en el segundo movimiento, compases 38-54, son las siguientes:         donde cada acorde o cada pareja de acordes unidos por un guión dura un compás y el símbolo “%” significa repetir el compás anterior. Los acordes relacionados con una misma tríada consonante se han agrupado mediante llaves. Esta progresión de acordes se ha representado en la Figura 3 en el 3-Cíclope, donde el acorde inicial se ha marcado de manera especial. Los tres acordes menores (Bbm, F#m, Dm) están a distancia de tercera mayor descendente, al igual que los tres acordes mayores relacionados con ellos mediante operaciones L y P (Gb, D, Bb). Estos últimos se afirman mediante cadencias con acordes de séptima de dominante y de subdominante, estando cada uno de estos tipos de acordes situados en una misma zona. Debido a la utilización de los acordes “7” en su forma incompleta, es decir, “7*”, el resultado es muy compacto y solo ocupa tres zonas cercanas entre sí: 4, 5 y 8. Si hubiéramos usado los acordes “7” sin la séptima, como se hace en el Tonnetz, entonces estarían localizados en la zona 2 de la Figura 1. En cuanto a sus formas completas con 4 notas, estarían situadas en zonas diferentes (1, 5, 9) de la Figura 2, dejando de estar agrupados. Analicemos ahora la Consolación en Re bemol mayor, Op. 102, No. 3 de Liszt, compases 23-43, cuyas armonías son         donde algunos acordes se tocan sobre una nota pedal, lo cual se representa mediante una barra seguida de la nota pedal. Esta progresión de acordes se ha representado en la Figura 4 en el 3-Cíclope (sin los pedales) y se puede comparar con Cohn (2012, p. 187), quien aporta, además, una animación Web. Ahora los tres acordes mayores (Db, F, A) están a distancia de tercera mayor, pero ascendente, y solo hay dos acordes menores (Fm, Am) relacionados con ellos mediante operaciones L y P, los cuales se afirman mediante cadencias más largas. Hay, además, un acorde “Ø”, cuya forma incompleta (es decir, Ø**), junto con las de los acordes “7” (es decir, 7*), dan lugar a una representación muy compacta, que se extiende únicamente sobre dos zonas consecutivas (1 y 2). De hecho, el 3-Cíclope es también especialmente adecuado para representar las cadencias V7–I(m) y IIØ–V7–I(m), con acordes tónicos mayores o menores. En particular, el tema de Jazz “Giant Steps” de Coltrane (Sher 1991) está estrechamente relacionado con esto, ya que consta únicamente de cadencias V7–IΔ y IIm7–V7–IΔ a distancia de tercera mayor.   Figura 3. Beethoven, Sonata para Violín y Piano en Fa mayor, Op. 24, segundo movimiento, compases 38-54.   Figura 4. Liszt, Consolación en Re bemol mayor, Op. 102, No. 3, compases 23-43. En cuanto a ejemplos con el 4-Cíclope, consideremos el Concierto para Piano No. 2 en Do menor, Op. 18 de Rachmaninoff. En el primer movimiento, compases 1-8, hay una progresión puramente monosemitonal, representada en la Figura 4 en el 4-Cíclope mediante una simple línea: [Fm(5)]  DbΔ  DØ Fm7  F7  Fm7  DØ DbΔ Aquí, una nota entre paréntesis significa añadir dicha nota al acorde. Así, Fm(5) es Fm con la quinta duplicada (C). Este acorde se ha escrito entre corchetes porque no aparece en el 4-Cíclope, pero se ha incluido en la figura para ilustrar mejor el ejemplo. Son precisamente esos dos C los que suben y bajan por semitonos a lo largo de la progresión, excepto al pasar por F7. Hay un pedal F–C (en triple octava), que pertenece a todas las armonías y que da robustez a toda la progresión. También hay otro pedal Ab (en doble octava), excepto en F7. El primer acorde, Fm(5), pasa a DØ a través de DbΔ en lugar de DO, posiblemente porque este último no incluye el pedal C y además contiene dos tritonos, mientras que DbΔ no contiene ninguno. El siguiente ejemplo es Indudable (Bossa Nova) de Nuño (2012), cuyos compases 19-27 constan de los siguientes acordes (algunos de los cuales, en realidad, contienen más tensiones) G#m7  C#Δ  Fm7  BbΔ  Dm7  G6  Bm7  E7sus  G#m7 Esta progresión de acordes se ha representado en la Figura 6 en el 4-Cíclope. Los cuatro acordes menores con séptima (G#m7, Fm7, Dm7, Bm7) están a distancia de tercera menor, por lo que están situados en la misma zona. En cuanto a los demás acordes, sus tónicas están también a distancia de tercera menor, pero en lugar de tener la secuencia homogénea C#Δ, BbΔ, GΔ, EΔ, los dos últimos acordes (marcados con línea discontinua en la Figura 6) se han sustituido por G6 (enarmónico de Em7) y E7sus, respectivamente. En todo caso, la representación es nuevamente simple y compacta.   Figura 5. Rachmaninoff, Concierto para Piano No. 2 en Do menor, Op. 18, primer movimiento, compases 1-8.   Figura 6. Nuño, Indudable (Bossa Nova), compases 19-27. Como último ejemplo tomaremos el Preludio en Mi menor, Op. 28, No. 4 de Chopin, una de las piezas más interesantes analizadas por Tymoczko (2011, pp. 287-293) y Cohn (2012, pp. 160-166), los cuales aportan, además, animaciones Web. La figura 7 es una partitura simplificada con los compases 1-12. Figura 7. Chopin, Preludio en Mi menor, Op. 28, No. 4, compases 1-8. Melodía y estructura armónica. Figura 8. Chopin, Preludio en Mi menor, Op. 28, No. 4, compases 1-8. Armonías de las tres voces inferiores. Como se verá, esta composición se entiende mejor analizando primero las armonías de las tres voces inferiores, representadas en la Figura 8 en el 3-Cíclope, las cuales pasan por todos los tipos de tricordos considerados en este grafo, excepto las tríadas aumentadas (¿quizás son demasiado disonantes?). Chopin incluye, además, los tipos de acordes “m7*” (3-7a) y “Δ*” (3-4a), definidos por las formas interválicas y , que son los acordes tónicos de séptima incompletos de las tonalidades menor natural y mayor, respectivamente. Desde el segundo acorde (F#m7*), las tres voces inferiores realizan estrictamente una progresión monosemitonal (P1,0) descendente, que cubre algo más de una vuelta completa en el grafo. Después, se utilizan otras transformaciones parsimónicas para terminar la frase, las cuales se indican en la partitura. Figura 9. Chopin, Preludio en Mi menor, Op. 28, No. 4, compases 1-8. Armonías completas. Por su parte, la austera melodía describe también una línea descendente, B–A–G#–F#, que completa las armonías y conduce a una representación más compleja en el 4-Cíclope (Figura 9). Aparte de los acordes considerados en este grafo, Chopin también incluye el “(b9)” (4-18a) y el “Δb5” (4-16a), definidos por y , respectivamente. 5. Conclusiones Se han presentado dos nuevos grafos, denominados Cíclopes, que relacionan los tricordos y tetracordos más comunes mediante transformaciones monosemitonales. Ambos incluyen más del doble de tipos de acordes que los grafos publicados hasta la actualidad, por lo que permiten analizar un repertorio más extenso de forma práctica. Estos grafos son especialmente adecuados para representar progresiones de acordes parsimónicas, tricordos a distancia de tercera mayor y tetracordos a distancia de tercera menor, así como las cadencias V7–I(m) y IIØ–V7–I(m), con acordes tónicos mayores o menores. En todos estos casos, los resultados que se obtienen son simples y compactos, lo que nos permite visualizar claramente las relaciones entre los acordes involucrados y entender mejor los patrones de composición utilizados, a la vez que constituyen un excelente recurso mnemotécnico. Por todo ello, podemos concluir que estos grafos son unas herramientas de gran utilidad tanto para el análisis musical como para la composición. 6. Referencias Callender, Clifton, Ian Quinn, and Dmitri Tymoczko. 2008. “Generalized Voice-Leading Spaces.” Science 320 (5874): 346–348. Cannas, Sonia. 2018. “Geometric Representation and Algebraic Formalization of Musical Structures.” Ph.D. dissertation, Université de Strasbourg and Università degli Studi di Pavia e di Milano-Bicocca. Cohn, Richard. 2012. Audacious Euphony: Chromatic Harmony and the Triad’s Second Nature. New York: Oxford University Press. Douthett, Jack, and Peter Steinbach. 1998. “Parsimonious Graphs: A Study in Parsimony, Contextual Transformations, and Modes of Limited Transposition.” Journal of Music Theory 42 (2): 241–263. Forte, Allen. 1973. The Structure of Atonal Music. New Haven: Yale University Press. Gollin, Edward. 2005. “Neo-Riemannian Theory.” Zeitschrift der Gesellschaft für Musiktheorie (ZGMTH) 2 (2–3): 153–155. Nuño, Luis. 2012. Puesta de Sol. Vol. 1. Madrid: Acordes Concert, S.L. Nuño, Luis. 2020a. “A Detailed List and a Periodic Table of Set Classes.” Journal of Mathematics and Music 1–21. https://doi.org/10.1080/17459737.2020.1775902 Nuño, Luis. 2020b. “La Tabla Periódica Musical (1/2).” DIVULGAMAT, Centro virtual de divulgación de las matemáticas, RSME: Real Sociedad Matemática Española, No. 111. 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Lunes, 11 de Octubre de 2021 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

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