21. 170. El contador de cartas

Nueva incursión del cine en el tema de los juegos de apuestas, con una clara conclusión: si les gusta perder dinero, allá ustedes, y los doblajes al castellano, en temas matemáticos, la siguen fastidiando. Ficha Técnica: Título: El Contador de cartas. Título Original: The Card Counter. Nacionalidad: Estados Unidos, Reino Unido, China y Suecia, 2021. Dirección: Paul Schrader. Guion: Paul Schrader. Fotografía: Alexander Dynan, en Color. Montaje: Benjamin Rodriguez Jr. Música: Robert Turner y Giancarlo Vulcano. Producción: David M. Wulf, Braxton Pope, Lauren Mann, John Read y Andrea Chung. Duración: 111 min. Ficha artística: Intérpretes: Oscar Isaac (William Tell), Tiffany Haddish  (La Linda), Tye Sheridan (Cirk), Willem Dafoe (Gordo), Alexander Babara  (Mr. USA), Bobby C. King (Slippery Joe), Ekaterina Baker (Sara), Bryan Truong (Minnesota), Dylan Flashner (Sargento Hoskins), Adrienne Lau (Crystal), Joel Michaely (Ronnie), Rachel Michiko Whitney (Nancy), Muhsin Fliah (Traductor Civil), Joseph Singletary (Preso), Kirill Sheynerman (Carcelero), Amia Edwards (Secretario del torneo), Britton Webb (Roger Baufort). Argumento William Tell, ex militar que ha pasado un tiempo en prisión, ha aprendido a jugar allí a las cartas, y de eso vive. Su existencia espartana se viene abajo cuando conoce a Cirk, un joven vulnerable y enojado que busca ayuda para ejecutar su plan de venganza contra un comandante militar retirado, que ambos conocen. Tell ve una oportunidad de redención a través de su relación con Cirk. Con el respaldo financiero de una mujer, La Linda, Tell lleva a Cirk de casino en casino, tratando de enderezar su vida. Pero ese propósito se presenta difícil. Comentario El hilo conductor de la película es la narración del protagonista, William. En apenas unos minutos nos resume cómo ha sido su vida hasta su ingreso en la cárcel, que, aparentemente, lejos de resultarle un martirio, da la impresión de que es el lugar en el que ha logrado adquirir algunos principios y ha llegado a aprender algunas cosas útiles (el primer lugar, dice, en el que ha leido un libro entero; vemos que tal libro es Meditaciones, un conjunto de reflexiones del emperador romano Marco Aurelio, adscrito a la corriente estoica, modelo de vida que asume William, y que veremos es su modelo de comportamiento) para rehacer su vida. Nos confiesa que “Me gustaba la rutina, la planificación. Las mismas actividades a la misma hora, todos los días”. Por otra parte, esa actitud metódica y analítica le lleva a aplicarse en lo que constituirá su furturo: “Fue en la cárcel donde aprendí a contar cartas”. Con esa formación autodidacta, y suponemos, leyendo algún texto específico, nos va dando las líneas maestras de lo que él considera útil respecto a diferentes tipos de juegos de apuestas. Su preferencia entre todos parece ser el Blackjack, del que nos indica lo siguiente: “Lo que diferencia el Blackjack de otros juegos es que se basa en sucesos dependientes, es decir, que el pasado condiciona las probabilidades futuras. La banca tiene una ventaja del 1.5%. Si un jugador sabe qué cartas quedan en el sabot, puede volver la ventaja de la banca a su favor. Para conseguirlo debe llevar la cuenta de las cartas que se juegan. El conteo se basa en un sistema de cartas altas y bajas. Las altas, el 10, la J, la reina y el rey, tiene valor de -1. Si se agotan, la ventaja del jugador se reduce. Las cartas bajas, el 2, el 3, el 4, el 5 y el 6 tiene un valor de +1. El 7, el 8 y el 9, no valen nada. El jugador tiene que hacer un seguimiento de las cartas y llevar una cuenta corriente. Así se obtiene la cuenta verdadera, que es la cuenta corriente dividida por las barajas restantes. Por ejemplo, si la cuenta corriente es +9 y quedan cuatro barajas y media, 9 entre 4.5 te da una cuenta verdadera de +2. Según aumenta la cuenta verdadera, aumenta la ventaja del jugador. La idea es apostar poco cuando no llevas ventaja, y mucho cuando si”. En esta sección ya hablamos de este juego a propósito de la película 21 Blackjack. Recordemos brevemente algunos conceptos, para entender este procedimiento de conteo de cartas descrito en la película que nos ocupa. Blackjack y conteo de cartas El Blackjack es un juego de cartas que consiste en obtener 21 mediante la suma de los valores de las cartas. Las cartas numéricas suman su valor, las figuras (J, Q, K) suman 10 y el as puede tomarse como 11 o como 1 si el primero hace al jugador pasarse de 21 en la jugada total. Si se consigue 21 con sólo dos cartas se considera Blackjack (con un As y una K, por ejemplo) y gana automáticamente. Se juega en una mesa semicircular con capacidad normalmente para 7 jugadores, cada uno de los cuales dispone de un casillero marcado en el tapete para realizar su apuesta antes de cada mano. Hay varios sistemas de conteo de cartas. El descrito en la película es el básico. Si la totalidad de la baraja se suma de esta manera, la cuenta final tendrá como resultado 0. Obsérvese que hay cinco cartas por palo que nos dan +1, y otras cinco que nos dan -1 (en la película, tanto en la versión original como en la doblada, falta considerar el As con -1). El total por baraja es entonces +20 para las cartas Bajas, y -20 para las Altas. Este método de conteo de cartas le permite al jugador conocer cuáles cartas quedan (a grandes rasgos) en la baraja, si son cartas Altas o cartas Bajas. Cuando estemos a la mitad de una baraja, si el valor de la cuenta es alto, significa que quedan más cartas Altas que Bajas. Como indica William, esto representa una ventaja para el jugador, mientras que si el valor es bajo, quedan más cartas Bajas por salir, y por lo general le da ventaja al crupier. Sobre la base de este conocimiento el jugador puede doblar la apuesta en el momento justo. Hay muchos sistemas de conteo. Entre los que más alegrías pueden dar al jugador está el Sistema de Conteo de Cartas Uston SS, en el que en vez de establecer sólo tres valores (-1, 0, 1) hay seis (-2, -1, 0, 1, 2). En cualquier caso la dificultad no está en las matemáticas (sólo saber llevar una cuenta), sino en la correcta memorización. El pionero en estos análisis fue, en la década de los sesenta del siglo pasado, Edward Oakley Thorp, un matemático empleado de IBM (el de la foto) que simuló en ordenador millones de manos jugadas, llegando a la conclusión de que cada mano particular tiene una forma única de jugarse correctamente. Thorp publico el libro Beat the Dealer (1962) en el que explicaba sus métodos. Entonces, los casinos se pusieron un poco nerviosos y comenzaron inmediatamente a tomar contramedidas. Antes del libro, se jugaba con una sola baraja repartida a mano. A partir del libro los casinos introdujeron más barajas, que se repartían dispensadas desde un sabot. Aunque esto dificulta algo la labor de los contadores, no fue suficiente, ya que la suma algebraica para determinar la cuenta puede ser válida con una, con seis y aún con más barajas, como nos indica William en la película. Los casinos introdujeron entonces la carta de corte. En el Blackjack repartido con sabot, se introduce una tarjeta coloreada, que cuando aparece marca el momento en el que a la siguiente mano el croupier barajará e iniciará un nuevo sabot, otra vez con todas las cartas en juego. La posición en que se coloque esa tarjeta (sea más cercana o más lejana al final de las seis barajas) determinará el momento en que hay que volver a barajar. Lógicamente en ese momento el contador tiene que abandonar la cuenta y disponerse a comenzar una nueva con el nuevo sabot a repartir. Cuanto antes aparezca la tarjeta de corte, y en consecuencia menos cartas se hayan repartido, al contador le será más difícil obtener cuentas altas. Por si acaso esta medida no fuera suficiente, en muchos casinos cuando sospechan la presencia en una mesa de un contador, le indican al croupier que coloque al barajar la carta de corte más cerca, lo que hará que, aunque se repartan menos manos en cada sabot, será más difícil obtener cuentas altas para los contadores. A pesar de que la estrategia de conteo de cartas no es considerada como ilegal en ninguna parte del mundo, la paranoia de muchos de los casinos a nivel mundial en este tipo de comportamientos, en especial en los casinos de Las Vegas, los ha llevado al punto de expulsar a los jugadores que consideran que están contando cartas, y hasta han aparecido empresas que ofrecen sus servicios a los casinos, especializadas en la detección de los contadores, con generación de archivos, y oferta de estos archivos para identificar a los contadores en la recepción del casino e impedirles el acceso, amparándose en el derecho de admisión. En la narración de William se afirma que La banca tiene una ventaja del 1.5%. El porqué de esta ventaja viene dado por el hecho de que repartidas las cartas, el jugador es el que primero debe tomar una decisión. La banca va a ganar siempre que el jugador sobrepase los 21 puntos, lo que ocurre un 2% de las veces. Una gran ventaja aunque parezca un porcentaje bajo. Los jugadores profesionales intentan reducir al máximo esa ventaja, lo que en el mejor de los casos está entre un 0.2 y un 0.5%. De ahí el comentario. En internet hay muchas páginas que explican formas de paliar esa ventaja, por lo que el lector interesado puede consultarlas sin mucho esfuerzo. Se reproducen a continuación otros momentos de la película, en la que hay algún comentario relacionado con las matemáticas, en algunos casos lejano, pero significativo sobre todo de cómo son las posibilidades de los jugadores frente a este tipo de juegos (recuerden: estos juegos no se diseñaron para que usted gane, sino para que ganen los dueños de los locales). La oferta de La Linda La Linda: Te he visto jugar. Cuentas cartas, ¿verdad? William: No soy tan listo. La Linda: Pero ganas. Así que cuentas cartas. ¿Cómo haces para que no te capen? William: Me ha pasado alguna vez. La Linda: Pero aquí estás. William: Si, bueno, es cuestión de grados. A la banca no le importan los que cuentan cartas. Ni siquiera los que las cuentan y ganan Lo que no soportan es que cuentes cartas y ganes un pastón. Todo depende de cómo y cuánto ganes. Yo no peco de ambicioso. Entonces le propone financiarle el juego, y William razona del siguiente modo William: Hay un problema con los bancadores. Ponen el dinero y las ganacias se reparten. Hasta ahí bien.  Pero si pierdes, tienes que pagar las pérdidas con ganancias futuras, lo cual es lógico. Pero vas cogiendo lastre. Si miras en cualquier página de poker on line, los diez primeros habrán ganado millones, pero la mitad estarán con el agua al cuello. Con una deuda irrecuperable. William: Hay cierto peso que un jugador va acumulando cunado acepta un bancaje. Es igual que el lastre que acumula cualquier persona endeudada. Aumenta y aumenta. Tiene vida propia. Un hombre puede también acumular cierto lastre moral por los actos que cometió en el pasado. Y ese lastre nunca se puede soltar. Sobre el póker William: En el póker, el jugador no juega contra la banca, sino contra otros jugadores. La banca se lleva una parte. Hacen falta dos cosas: conocer las probabilidades matemáticas y conocer a tus rivales. La clave es esperar. Pasan las horas y los días, mano tras mano, cada una igual que la anterior. Hasta que ocurre algo. Sobre la ruleta William: Para un novato lo más seguro es apostar al negro o al rojo en la ruleta. La probabilidad es del 47.4%. Ganas y te largas. Pierdes y te largas. Es la única apuesta inteligente en un casino. ATENCIÓN: El error de siempre de los dobladores de las películas. Una probabilidad es un valor entre 0 y 1, no es un porcentaje. Vamos a la versión orginial, y la frase es: The odds are 47.4 %. Absolutamente correcto. Las GANANCIAS son del 47.4%. ¿A quien hay que quejarse para que en la sala de doblaje se hagan las cosas correctamente? Sobre las apuestas deportivas William (a Cirk): Las apuestas deportivas son un mundo aparte. Pueden llegar a jugarse unos 100 partidos a la vez en todo el mundo, y esa es mucha información. Los algoritmos que tiene aquí son mejores y más rápidos que tú, asi que, a menos que te llegue un soplo, las apuestas deportivas se hacen por diversión. Aquí tienes 200 pavos. Elige a dos equipos, apuesta un poco, y disfruta. Yo voy a jugar al Blackjack. Curiosidades varias 1.- El nombre que adopta el protagonista (que no es su verdadero nombre como descubriremos al final), William Tell, es una referencia al famoso héroe popular suizo (el que ponía la manzana sobre la cabeza de su hijo, ¿recuerdan la historia?). Según la leyenda, Tell fue un experto tirador con la ballesta que mató a Albrecht Gessler, un tiránico juez de los duques austriacos de la Casa de Habsburgo asentado en Altdorf, en el cantón de Uri. El desafío y el tiranicidio de Tell alentaron a la población a rebelarse y a pactar contra los gobernantes extranjeros con los vecinos Schwyz y Unterwalden, lo que marcó la fundación de la Confederación Suiza. 2.- Según el director, Paul Schrader, el nombre de William Tell también es una referencia al término de póquer homónimo: "Tell", es un cambio en el comportamiento de un jugador que algunos afirman que da pistas sobre la evaluación de la mano de ese jugador. Un jugador obtiene una ventaja si observa y comprende el significado de la indicación de otro jugador, particularmente si la indicación es inconsciente y confiable. A veces, un jugador puede fingir una señal, con la esperanza de inducir a sus oponentes a hacer malos juicios en respuesta a la señal falsa. Más a menudo, la gente trata de evitar dar una señal, manteniendo una cara de póquer sin importar cómo sea de fuerte o débil su mano. 3.- El verdadero apellido de William, Tillich, podría ser una referencia a Paul Tillich, un filósofo existencialista cristiano germano-estadounidense y teólogo protestante luterano, considerado uno de los teólogos más influyentes del siglo XX. Tillich es mejor conocido por sus obras The Courage to Be (1952) y Dynamics of Faith (1957), que introdujeron temas de teología y cultura al público general. Es también conocido por su importante obra de tres volúmenes, Teología sistemática (1951-1963), en la que desarrolló su "método de correlación", un enfoque que explora los símbolos de la revelación cristiana como respuestas a los problemas de la humanidad (el comportamiento del protagonista/narrador de la película cuadra con esa personalidad). A diferencia de las principales interpretaciones del existencialismo que enfatizan la prioridad de la existencia sobre la esencia, Tillich consideraba el existencialismo "posible solo como un elemento en un todo más grande, como un elemento en una visión de la estructura del ser en su bondad creada, y luego como una descripción de la existencia del hombre dentro de ese marco”. 4.- La Serie Mundial de Póquer (WSOP) es una serie de torneos de póquer que se celebran anualmente en Las Vegas. A partir de 2020, la WSOP consta de 101 eventos, con la mayoría de las principales variantes de póquer presentadas. Sin embargo, en los últimos años, más de la mitad de los eventos han sido variantes del Texas Hold'em. Los eventos tradicionalmente tienen lugar durante un día o durante varios días consecutivos durante la serie en junio y julio. 5.- Precisamente, la primera habitación de motel en la que se registra Bill es la habitación 101, que a su vez es la notoria cámara de tortura de 1984 de George Orwell. 6.- Hay un personaje en la película que se llama El Gordo de Minnesota (referencia al personaje de la película El buscavidas; ya saben la de Paul Newman del billar) que es el antagonista allí de "Fast Eddie" Felson.  El antagonista de El contador de cartas se llama Major John Gordo. Comentario Final Independientemente de todo esto, siendo una película sobria, de bajo presupuesto, nada espectacular por tanto, sin ser una maravilla, es de lo poco salvable de las producciones últimas norteamericanas, llenas de remakes (historias ya sobradamente conocidas y en general, peores que las versiones previas) y de biopics falseados que poco o nada interesan por estos lares. Pero bueno, para gustos, los colores. Aquí pueden ver el estupendo trailer, que, parece que no cuenta nada, pero que, vista la película, está entera.

Martes, 05 de Abril de 2022 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

22. 82. (Abril 2022) Las danzantes matemáticas de Virgilio Solis

(Alegoría de la Aritmética. Salón de la paz. Münster) Virgilio Solis (1514?-1562) fue un prolífico grabador alemán de Núremberg. Uno de sus creaciones fue una representación de las Artes Liberales (1550) en actitud danzante. La alegoría tuvo gran éxito y podemos encontrarla en cerámica, ebanistería, en taracea o sobre metal. (Virgilio Solis. Alegoría de las Artes Liberales. 1550) Marciano Capella, el escritor tardo-latino que diseña las alegorías las presenta en forma de cortejo. Las figuras alegóricas femeninas danzantes no eran una rareza ya que se encuentran en distintos lugares, valga de muestra Apolo y las musas de Giulio Romano, el discípulo predilecto de Rafael. (Giulio Romano. Apolo y las musas. Copia del XIX) La Aritmética en el centro porta la tablilla y una pluma, le sigue la Música con lira y caramillo, luego la Geometría con compás y tablero y por último la Astronomía globo y señalando el cielo. Vamos a seguir las copias de Virgilio Solis a través de la alegoría de la Geometría. Las jarras renacentista de Mennicken El taller de cerámica de calidad de la familia Mennicken en la ciudad de Roeren tuvo su máximo esplendor en la segunda mitad del siglo XVI. Roeren se localiza en una zona de lengua alemana próxima a Lieja y que hoy forma parte de Bélgica, constituyendo con otros pueblos una pequeña comunidad con parlamento propio. (Baldem Mennicken. Detalle. Alegoría de las Artes Liberales. Rijskmuseum) La Jarra de las Virtudes y las Artes Liberales es una buena muestra del virtuosismo de Baldem Mennicken. Comentamos el ejemplar que se encuentra en el Rijksmuseum de Ámsterdam; podemos encontrar otra similar en el Victoria & Albert de Londres. El molde se utilizó para distintas formas de jarros. Las Artes Liberales aparecen danzando y luciendo sus atributos tal como las representa Solis y con el mismo orden pero con simetría derecha/izquierda en cada figura: el molde se haría con la forma del grabado. (Baldem Mennicken. Alegoría de las Artes Liberales. Rijskmuseum) Las matemáticas danzantes en Pillnitz En el Castillo de Pillnitz, que el crecimiento urbano ha hecho ya parte de Dresde, se encuentra también un jarrón de estaño con la representación de las Artes Liberales según las diseñó Virgilio Solis. El Castillo de Pillnitz, en realidad un palacio con tres pabellones a orillas del Elba, fue la residencia veraniega del Elector de Sajonia desde el siglo XVIII. El Museo de Artes Decorativas (kunstgewerbemuseum) de Sajonia se ha instalado en el interior. La jarra de las artes es un depósito de carpintero en estaño que fue fabricado en 1564 por un artífice anónimo de la ciudad de Schweidnitz, que hoy es la polaca Świdnica. En la parte inferior del recipiente hay un grifo de latón, la altura alcanza el medio metro. El orden de las figuras es el del grabado: astronomía, geometría, música,...La Geometría es la que mejor se aprecia con su compás hacia arriba y una tablilla. (Jarra de carpintero. Alegoría de las Artes Liberales. Pillnitz) Las Alegorías de las Artes en el Salón de la Paz de Münster La Paz de Westfalia, que ponía fin a la Guerra de los treinta años, se acordó en 1648 en el Ayuntamiento de Münster. El lugar donde se firmó es hoy conocido como el Salón de la Paz. (Alegoría de la Geometría. Salón de la paz. Münster) Los negociadores ocuparon un acogedor recinto de escaños de madera decorada con paneles de los santos y la sabiduría de las Artes Liberales. El trabajo de ebanistería es renacentista y está datado de 1577. Una gran chimenea de piedra, presidida por la Justicia, también renacentista, completa la decoración. El Ayuntamiento quedó arrasado por los bombardeos de 1944 y 1945 pero para entonces ya se había puesto a salvo su bella decoración. Tapiz y taracea del Museo Nacional Bávaro en Munich El Bayerische Nationalmuseum, fundado por Maximiliano II en 1855, debe contemplarse en toda visita a Munich. La colección es variada y de gran interés, incluido el matemático. No faltan los instrumentos científicos y objetos con representaciones alegóricas a las matemáticas. (Alegoría de la Geometría. Museo Nacional Bávaro. Munich) Un gran armario decorado en taracea tiene un panel con una alegoría de la Geometría con compás, tablilla y que descansa sobre un globo terráqueo. Se ha seguido a Virgilio Solis pero la esfera inferior resalta que se trata de medir la Tierra. Las actuales ciudades bávaras de Núremberg y Augsburgo fueron los grandes talleres exportadores de manufacturas. Alegorías matemáticas en la Casa Storre de Hildesheim El Renacimiento trajo consecuencias en la mentalidad y percepción del mundo que en muchos casos se plasmaron en las propias fachadas de los edificios. Varios casos singulares de ingenua belleza se encuentran en algunas casonas de los tradicionales entramados de madera de la Baja Sajonia alemana. Una cultura que se debate entre la ciencia y la superstición, entre lo religioso y lo profano, o entre lo clásico y lo moderno. El Wedekindhaus (también Casa Árabe o Storrehaus) era una casa de entramado de madera de estilo renacentista en el lado sur de la histórica Plaza del Mercado en Hildesheim. La plaza está formada por edificios de gran belleza con estilos que se complementan y que han sido reconstruidos completamente ya que el bombardeo de Hildesheim del 22 de marzo de 1945 destruyó todo el recinto. (Alegoría de la Geometría. Casa Storre. Hildesheim) La casa original fue construida en 1598 por el comerciante Hans Storre como sede de su residencia y su tienda almacén. La iconografía pone de manifiesto que los comerciantes eran punta de lanza de las nuevas ideas y que sabiduría y actividad económica podían estar ligadas. La reconstrucción se realizó en los años ochenta para sede de la Caja de Ahorros con la aspiración de ser  fiel a la primitiva. No disponemos de fotos anteriores con detalle suficiente para apreciar si se ha cambiado en algo la representación. En el primer nivel se representan las Virtudes, en el segundo las Artes Liberales y el tercero los Elementos. La alegoría de la Geometría se representa con tablilla y compás. Se trata del dibujo de Virgilio Solis adaptado: tras el baile llega el descanso y la Geometría reposa.

Viernes, 01 de Abril de 2022 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

23. 122. (Marzo 2022) Matemáticas, música, infinito, belleza

1. El infinito Con frecuencia reflexiono sobre las similitudes y las diferencias entre las matemáticas y la música. Creo que una de las diferencias más notables es la presencia del infinito. El infinito está omnipresente en las matemáticas. Todo se puede llevar a extremos infinitos. El infinito lo encontramos en los números naturales, en los enteros, en los racionales; por supuesto, en los reales y en los complejos. Cualquier espacio de funciones va a ser infinito así como muchas estructuras discretas. Por ejemplo, en computación se estudia la complejidad de los algoritmos en función del tamaño n de la entrada (el número de datos de entrada). Esto podría parecer que es finito y, aunque lo es, es necesario estudiar la complejidad cuando n tiende a infinito, la llamada complejidad asintótica. Más ejemplos de la presencia del infinito en las matemáticas se pueden encontrar fácilmente. Así, pues, el infinito es ubicuo en las matemáticas. ¿Y en la música? Parece que no, que la música tiene una naturaleza esencialmente finita. Para empezar, el universo de frecuencias es finito. El oído humano puede captar frecuencias entre 20 Hz y 20.000 Hz. Fuera de este rango la música, sencillamente, no ocurre. En cuanto al ritmo, algo similar ocurre. Las duraciones que podemos percibir son finitas, aunque es asombroso que el oído humano, especialmente el de un músico experto, pueda detectar diferencias en ritmos del orden de milisegundos. La memoria melódica es corta también así como la armónica. Véanse [Deu07, Deu12, Ben06] para más información sobre los mecanismos perceptuales de la música en humanos. El ser humano parece ser en su vertiente perceptual un ser finito, de capacidad perceptual finita, pero en cambio es capaz de trabajar y concebir el infinito cuando contempla este desde un punto de vista matemático, como abstracción o como concepto. Creo que esta es una diferencia fundamental entre las matemáticas y la música. 2. Belleza Hay algo que une a las matemáticas y a la música: su capacidad para generar belleza. Ambas disciplinas producen bellezas de diversas formas, que algunas veces son coincidentes y otras claramente no. Una de las principales formas en las matemáticas viene dada por la belleza que produce el entendimiento. Cuando un problema matemático se resuelve con claridad y profundidad, genera belleza. La prueba de Euclides de que hay infinitos números primos es bella sin lugar a discusión. Hay una estética, un sentido de la belleza, en la producción de resultados matemáticos. Con frecuencia los matemáticos hablamos de la belleza y la elegancia de una prueba, que es a la vez una combinación de la originalidad de las ideas y la elocuencia de la forma. En la música, la belleza viene dada por la propia estructura de la música y por su efecto cognitivo, perceptual, emocional y cultural. 3. La belleza de las matemáticas y la música - Charla TED de Marcus Miller En la columna de hoy queremos glosar la charla de Marcus Miller titulada The beauty of mathematics and music (La belleza de las matemáticas y la música) y que está disponible más abajo. La razón de nuestro interés es que habla de los temas de esta columna: las matemáticas, la música, el infinito y la belleza. Marcus Miller es músico talentoso, virtuoso del saxofón, que empezó a tocar a los nueve años de edad y a los trece ya estaba en el circuito profesional del jazz. Además, de eso fue a la Universidad de Harvard donde obtuvo un grado en matemáticas. Véase su página web [Mil22] para más información sobre su fascinante biografía. Figura 1: The beauty of mathematics and music - Marcus Miller En los primeros minutos, Miller dice lo siguiente (en inglés original y luego mi traducción): Hello I’m here today to talk to you about beauty in music and in mathematics. However, in order to get to the big takeaway, we are going to have to take two cold showers together, that is to say, we are going to have to address two sticking points that typically arise in this discussion. First cold shower is that most people are terrified of mathematics. For many of you at some point someone pointed a finger at you and told you that you weren’t smart enough to understand it or perhaps that you didn’t really need math in the real world so you were fine not knowing it. Often, that person was you. (Hola, estoy aquí hoy para hablaros sobre la belleza en la música y las matemáticas. Sin embargo, antes de llegar a esa gran cuestión, vamos a tener que darnos dos duchas de agua fría juntos; es decir, vamos a tener que superar dos escollos que típicamente aparecen en esta discusión. La primera ducha de agua fría es que la mayor parte de la gente se horroriza ante las matemáticas. Para muchos de vosotros en algún momento alguien os señaló con el dedo y os dijo que no erais los suficientemente listos para entenderlas o quizás que en realidad no necesitabais matemáticas en el mundo real de modo que estaba bien si no las sabíais. Con frecuencia, esa persona eras tú.) Con esta pequeña introducción, Marcus Miller trata el problema de la autoestima matemática y de la enseñanza de las matemáticas. Sin embargo, esta vez no señala como culpables a los profesores (que con frecuencia lo son) o al sistema (que siempre lo es); no, esta vez señala al propio aprendiente. Es este un tema importante y fascinante a la vez, pero la charla no va por ahí. Menciona esto como impedimento para apreciar la belleza en las matemáticas. En la parte central de la charla, Marcus Miller cuenta de una manera divulgativa e instructiva algunos hechos paradójicos sobre el infinito. Cuando estamos tratando con conjuntos finitos, las cosas son lo que esperamos. Por ejemplo, si A es un subconjunto de un conjunto finito B y A es distinto a B, entonces claramente el número de elementos (el cardinal) de A es menor que el de B. ¡Esto no pasa con los conjuntos infinitos! Miller en su charla prueba que: El conjunto de los números pares tiene el mismo cardinal que el conjunto de los números naturales; El conjunto de los números naturales tiene el mismo cardinal que el conjunto de los números enteros; El conjunto de los números naturales tiene el mismo cardinal que el conjunto de los números racionales; El conjunto de los números reales tiene mayor cardinal que el conjunto de los números naturales. Entre medias de estas pruebas toca música llena de belleza con su saxofón (minuto 10:33, por ejemplo). En el minuto 12 y siguientes Miller hace un elogio de la imaginación y su fuerza como motor de la belleza. De hecho, tras explicar los hechos sobre el infinito pregunta al público cómo se sienten al conocer esos hechos. Más tarde, enumera unos cuantos campos científicos que tienen relación fuerte y directa con las matemáticas (desde teoría de la señal a matemática discreta). De hecho, llega a mencionar ideas matemáticas que han servido para el análisis musical e ideas musicales que han servido de germen a la investigación matemática. Sin embargo, rechaza el lugar común de que las matemáticas son iguales a la música (en el minuto 13:22; yo lo rechazo igualmente). Continúa desmitificando varias de estas relaciones exageradas entre ambos campos, en particular, el llamado efecto Mozart. Miller afirma que “parece que la relación entre el conocimiento matemático y musical es interesante, pero no particularmente fundacional”. Es realmente interesante la posición que mantiene en los minutos15:30 y siguientes sobre la conexión entre matemáticas y música. Mantiene que uno de los puntos de conexión entre ambas disciplinas es el placer que supone su aprendizaje. No puedo estar mas de acuerdo con Marcus Miller. Bibliografía [Ben06] D. Benson. Music: A Mathematical Offering. Cambridge University Press, 2006. [Deu07] Diana Deutsch. Music perception. Frontiers In Bioscience, 12:4473–4482, 2007. [Deu12] Diana Deutsch. In Diana Deutsch, editor, The Psychology of Music (Cognition and Perception), pages 183–248. Academy Press, San Diego, 2012. [Mil22] Marcus Miller. Image with Marcus Miller. https://imaginewithmarcus.com/, accedido en marzo de 2022.

Martes, 15 de Marzo de 2022 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

24. 169. El matemático

En esta ocasión nos acercamos a un cortometraje de gran calidad técnica y muchas más matemáticas que otras películas de renombre. Ficha Técnica: Título Original: The Mathematician. Dirección: Frank Zhao. Guion: Frank Zhao. Fotografía: Yao Xiao, en Color. Montaje: Frank Zhao. Música: Jacky Zhang. Duración: 8 min. Ficha artística: Intérpretes: Frank Zhao (El matemático), Jacky Zhang (El músico), Emilia Bajer (La diseñadora), Josie Dixon (La reina), Harry Butcher y Charlotte Roderick (Los enamorados), Pip Southey (Amigo de amigos),  Ryan Su (Hombre de negocios). Descripción Un joven camina por el pasillo de un edificio que parece un instituto. Se oye hablar a varias personas que hacen cola al lado de una puerta, y él mismo se incorpora a dicha cola. Esperan su turno para entrar a hablar con alguien que quizá pueda resolverles sus problemas. Al traspasar la cámara la pared, vemos a un joven sentado en una mesa escribiendo. Asistimos entonces a un amplio listado de objetos que se encuentran en la habitación: libros de matemáticas (concretamente uno de Cálculo Diferencial, y otros abiertos), una estanteria llena de ellos, una etiqueta de un pedido de regletas geométricas, estuches de tizas de colores, cajas de folios (vemos etiquetada en una de ellas la palabra hipótesis), una cinta de video etiquetada como Matemáticas Especializadas,  cats 2 & 3, gráficas de espirales, un tablero de backgammon con dado y fichas de cierta antigüedad por su estado y su cabecera de madera, folios, diapositivas antiguas,  otra caja etiquetada como Criptografia (material reservado), juegos de espejos, una esfera armilar, ejercicios de geometría, … En todo este despliegue, no deja de sonar la música original de los autores. La cámara nos acerca entonces a un joven que no deja de escribir, apareciendo entonces el título del cortometraje, que es el cartel que tiene a la puerta de su despacho. Entra entonces el primero de la cola que se sienta y le hace una pregunta en chino, que no entendemos ni aparece subtitulada. El matemático le pide que le deje pensar un segundo. Al volver la cámara, ya no está ese personaje, sino que vemos a una chica que pregunta por un diseño de un logo porque a ella no le surgen ideas para hacerlo. Un nuevo movimiento de cámara nos muestra otra joven vestida como la reina de Inglaterra (de hecho se dirigen a ella como Su Majestad) que dice que su reino está enfrentado a un asunto grave sobre qué metodos pueden utilizarse para reducir el uso de plásticos. A continuación el matemático deja de hojear un libro, y con una amplia sonrisa responde: cuatro tercios (4/3). La pantalla se divide entonces en tres partes, cada una con uno de los personajes anteriores (el músico, la diseñadora y la reina) y los tres exclaman extrañados: ¿4/3? Entonces pasa a explicar a cada uno el motivo de su respuesta. En el caso del músico, explica que por 4/3 quiere indicar que por cada cuatro toques de un determinado sonido hay que tres de otro diferente a la vez, y después mezclarlos. El músico entonces comienza a imaginar cómo quedaría (nosotros lo oimos), quedando satisfecho con la respuesta. En el caso de la diseñadora, le pasa una tableta en la que vemos cómo se genera una curva de Lissajous, a la vez que le dice que el punto del círculo de la izquierda se mueve exactamente cuatro tercios más rápido que el inferior, generando así la curva. En efecto, como sabemos, esas curvas se obtienen cuando se superponen dos movimientos armónicos en direcciones perpendiculares. Fueron descritas y analizadas por Nathaniel Bowditch en 1815 (por eso también se conocen como curvas de Bowditch) y después, con mayor profundidad, por Jules Antoine Lissajous. Se suelen expresar mediante las siguientes ecuaciones paramétricas: donde A y B son las amplitudes, wx y wy son las frecuencias angulares, respectivamente, y δ es la diferencia de fase entre ambos movimientos. Es cierto también que se utilizan frecuentemente como logotipos, como los de la Australian Broadcasting Corporation (A = 1, B = 3, δ = π/2) y el del Lincoln Laboratory at MIT (A = 8, B = 6, δ = 0). Hasta la llegada de aplicaciones informáticas, las curvas de Lissajous se trazaban mecánicamente por medio de un armonógrafo. Finalmente la explicación dada a la reina, es que el volumen de la esfera es, como sabemos, (4/3)πR3 y la esfera es la superficie con el menor área que encierra el mayor volumen. La reina deduce entonces que si fabricaran botellas esféricas, se podría eliminar un montón de plástico. A todos parece satisfacerles la respuesta común del matemático. Aparece entonces un joven angustiado porque la chica que le parece maravillosa, ideal para él, no le hace demasiado caso. Vemos por cierto a la chica en cuestión, según la describe, resolviendo ejercicios de matemáticas. El matemático le explica que, aunque desearía que tuviera el cien por cien de posibilidades de que le hiciera caso, estima que la probabilidad de que una chica empollona como esa se fijara en un horterilla como él es cero. Y sigue diciendo que la media geométrica de su relación será la raíz cuadrada de cero veces cien, lo cual es también cero. El chico asume que el asunto es por tanto imposible. Pero antes de irse, le da un papel en el que aparece escrita una ecuación que podría hacer elevar la probabilidad de que esa chica se fijara en él un 50%, y entonces la media geométrica de su relación sería de 70.71%. No es mala, le dice, pero es lo más que puede hacer. El chico se lleva el papel con la ecuacuión muy contento. Al cabo de un rato una preocupada chica entra preguntando porqué todos sus amigos tienen más amigos que ella. El matemático le responde que la paradoja de la amistad es un tema interesante. Para explicarla porqué sucede recurre una red que vemos sobreimpresionada en la pantalla, como vemos en la imagen. Le va describiendo porqué sucede, y cuando lo precisa,  chasqueando los dedos, van apareciendo al otro lado de la imagen las expresiones matemáticas que lo demuestran, via la desigualdad de Cauchy-Schwarz. Sin ser tan riguroso, una explicación que se entiende bastante bien es que la mayoría de la gente tiene pocos amigos, mientras que una cantidad pequeña de personas tienen muchos amigos. Este pequeño grupo es el que produce la paradoja. Es más probable que quienes tienen muchos amigos se encuentren entre tus amigos, y cuando es así, hacen que aumente significativamente la cifra media de amigos de tus amigos. Por eso, de media, tus amigos tienen más amigos que tú. Después aparece un compatriota chino del matemático que le dice que está interesado en crear un motor de búsqueda chino. Aunque actualmente tenemos a Google, argumenta, nunca se sabe cuánto va a durar. Para eso le pide ayuda. El matemático le va a dar unas indicaciones sobre cómo funciona Page Rank, junto a un ejemplo concreto. Vemos con detalle las explicaciones para el caso de cuatro websites representadas mediante un grafo dirigido de cuatro nodos. Cuando uno de los sitios establece conexión con otro, lo asignamos una arista. En el modelo descrito, cada página transfiere uniformemente su información a las páginas a las que se vincula. El nodo 1 tiene tres aristas salientes, por lo que es relevante para cada uno de los otros tres nodos. El nodo 3 sólo tiene una arista de salida, por lo que le pasará toda su información unicamente al nodo 1. En general, si un nodo tiene k aristas de salida, pasará su importancia a cada uno de los nodos a los que enlaza, y el peso de cada arista se reparte uniformemente como 1/k a cada una (ver imagen). Después se describe la matriz de transición A asociada al grafo y se establece un vector inicial v con todas las  entradas iguales representando que cada web tendría inicialmente las mismas posibilidades de acceso para un hipotetico internauta. Cada enlace entrante aumenta la importancia de una página web, por lo que en un primer paso, se actualizaría el rango de cada página agregando al valor actual la importancia de los enlaces entrantes, lo que se logra con el producto A‧v. Iterando el proceso varias veces, haciendo los productos A2‧v, A3‧v, A4‧v, …, llegariamos a un vector de equilibrio (cuando el resultado de dos iteraciones consecutivas coincida), que en el caso del ejemplo se alcanza a la octava iteración. Ese vector de equilibrio es el Page Rank, o sea, el “impacto” entre los internautas que tiene cada website. Así pues, el matemático va resolviendo todas y cada una de las situaciones que se le van planteando. ¿Todas? ¿Y que pasó con el chico que quería salir con la chica de sus sueños? Vean el corto en este enlace, y de paso sabrán el significado oculto de la ecuación que el matemático le entregó. Comentario final Un cortometraje con más matemáticas en ocho minutos que cualquier película comercial que hayamos visto, con muy buenas explicaciones y referencias. Muestra además varias aplicaciones concretas a situaciones de la vida real de las matemáticas (ciertamente alguna traida muy por los pelos, como la dada a la reina, también es cierto), muy bien descritas y resueltas. Interesante, sin duda. Atentos también a partes del decorado, porque podemos encontrar cosas curiosas, como el encerado de la imagen en el que se desliza una intrigante pregunta: ¿Porqué los ricos son cada vez más ricos? La respuesta (la explicación) se encuentra en el modelo de la urna de Polya, como vemos escrito. La productora del corto, lifEdit, bajo el lema Our world needs math (Nuestro mundo necesita matemáticas) propone al espectador interesado un listado de páginas en los que describe con más detalle todas las situaciones propuestas en la película. Son las siguientes: 1.- Un intrigante patrón, la cadena dorada: https://r-knott.surrey.ac.uk/Fibonacci/fibrab.html 2.- ¿Porqué los ricos se hacen más ricos? Artículos de Mark Holmes, de la Universidad de Melbourne, sobre temas como éste: https://researchers.ms.unimelb.edu.au/~mholmes1@unimelb/#Papers 3.- Musica y teoria de la medida: https://www.youtube.com/watch?v=cyW5z-M2yzw&t=0s 4.- Las matemáticas son el secreto oculto al conocimiento del mundo. Roger Antonsen: https://www.youtube.com/watch?v=ZQElzjCsl9o&t=0s 5.- Curvas de Lissajous: https://mathworld.wolfram.com/LissajousCurve.html 6.- El logo de ABC es una curva de Lissajous: https://www.abc.net.au/science/holo/liss.htm 7.- La esfera minimiza el área en proporción a su volumen : https://math.stackexchange.com/questions/1297870/prove-that-the-sphere-is-the-only-closed-surface-in-mathbbr3-that-minimize 8.- El algoritmo PageRank: http://pi.math.cornell.edu/~mec/Winter2009/RalucaRemus/Lecture3/lecture3.html 9.- ¿Porqué necesitamos matemáticas?: https://www.dcu.ie/maths/why-do-we-need-maths 10.- Más curvas corazón: https://mathworld.wolfram.com/HeartCurve.html Confio en que disfruten con el corto. El subtítulo en inglés es generado automaticamente y muchas veces no tiene mucho sentido (ya saben, a veces pone “for” cuando debería ser “four”, y cosas similares). Pero para eso, se leen este artículo donde aparece todo descrito con corrección (modestia aparte).

Lunes, 07 de Marzo de 2022 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

25. 81. (Marzo 2022) El ábaco

(Ábaco Salamis. Museo epigráfico. Atenas) El ábaco en sus múltiples formas ha sido el instrumento de computación aritmética más universal. Unas líneas y unas cuentas, guijarros (calculi), bolas o fichas, facilitan las operaciones. La adición y la substracción son los cálculos habituales para el instrumento, además con cierta maestría se puede incluso multiplicar, dividir o extraer raíces. El ábaco decayó en occidente ante el empuje del algoritmo indo-árabe al que se sumaron dispositivos como los huesos de Neper que hacían innecesaria  la memorización de las tablas de multiplicar. En Asía y Europa Oriental se mantuvo hasta la aparición de las calculadoras electrónicas baratas en los años sesenta. Hagamos un rápido recorrido histórico. El Ábaco Salamis en Atenas En 1846 se encontró en la isla de Salamis una gran piedra de mármol con líneas paralelas, marcas y letras que dan testimonio de un primitivo ábaco. En sentido estricto es una tablilla de cuentas. La loseta se encuentra en el recibidor del Museo Epigráfico de Atenas, un lugar adosado al lateral del bullicioso Museo Arqueológico y que tiene pocos visitantes. Las letras se corresponden con los números griegos (penta, deca, hecto,…) y con las unidades de medida o monedas en uso del siglo III a.C. El historiador Herodoto (485–425) ya daba cuenta de la utilización de instrumentos que usaban cuentas: dejó constancia de que los egipcios las movían de derecha a izquierda, al revés que los griegos. Las líneas están poco marcadas y son poco visibles. Una vieja fotografía de alto contraste nos da mejor detalle. El abaquista romano de los Capitolinos en Roma Los Museos Capitolinos de la Piazza del Campidoglio ocupan el Palazzo dei Conservatori y parte del Palazzo Nuovo. Los Capitolinos albergan una pinacoteca y una colección de escultura grecorromana de gran interés, en ella se puede disfrutar del Dálmata herido, la Venus capitolina o el original de la estatua ecuestre de Marco Aurelio. Destacamos el abaquista de una sepultura. (Ábaco de fichas. Museos capitolinos. Roma) Al subir a la planta primera del Palazzo Nuovo, a la derecha (y a media altura) se encuentra empotrado el frontal de una tumba con la representación de un calculista con ábaco de fichas. No conocemos otra reproducción similar. Hay varios museos con pequeños ábacos que se han conservado, pero quizá sea el único bajorrelieve que de cuenta de las operaciones aritméticas con calculi. El ábaco romano del British Museum (Ábaco romano de bronce. British Museum. Londres) El British Museum no se queda atrás respecto a los otros museos de Londres en cuanto a interés matemático. La parte instrumental puede parecer poca cosa si la comparamos con la riqueza arqueológica griega o mesopotámica pero no es nada despreciable: armarios y armarios con estanterías repletas de instrumentos de dibujo, astronómicos, gnomónicos, ábacos, o de laboratorio. Entre los ábacos de bolsillo destacamos uno romano de bronce. Ábacos similares se pueden encontrar en otros lugares como Roma y Aosta. No han sobrevivido muchos pero estar hechos en bronce y el pequeño tamaño facilitan su conservación. El sistema de numeración romano mixto entre quinario y decimal se adapta muy bien al ábaco. Curiosamente el paralelismo con el ábaco japonés (soroban) es casi completo: utiliza cuatro bolas para las unidades y una quinaria en cada decena. Tanto en la Grecia Clásica como en el Imperio Romano los cálculos no formaban parte de la aritmética sino de una disciplina no liberal, la logística.  Los árabes y el ascenso del comercio cambiaron el paradigma. Aritmética con ábaco en la Casa Julius de Helmstedt (Alegoría de la Aritmética. Casa Julius. Helmstedt) La recuperación del comercio en la Europa Medieval necesita calcular. El ábaco era el instrumento útil compitiendo con el algorítmico. Precisamente Leonardo Pisano, Fibonacci, hijo de mercader, llama a su tratado Liber abaci (1202) cuando se trata de uno de los manuales de extensión de las cifras indias. Hay muchas representaciones del ábaco pero no se han conservado los antiguos. Elegimos una bella alegoría de la Aritmética. La residencia de los príncipes obispos de Brunswick-Wolfenbüttel es coherente con la Universidad que fundaron en 1576: el Juleum. La Academia Julia fue la primera universidad protestante del norte de Alemania y tiene una puerta espectacular de filigrana policroma. La universidad de Helmstedt tuvo sus momentos de esplendor desde 1575 hasta 1625, cuando la peste y la guerra de los treinta años diezmaron la población. Giordano Bruno impartió clases en Helmstedt en los años de esplendor, y cuando ya era una decadente universidad provinciana tuvo por alumno a Gauss. La Casa Julius se encuentra en pleno centro al lado del Ayuntamiento. Se trata de una casa renacentista de entramados de madera. La iconografía de la planta superior son las Alegorías de las Artes Liberales y la de la inferior los escudos de los duques. La inscripción de la flecha en números romanos es 1568, anterior al portal de la Academia Julia. Cada disciplina es representada con un niño que la complementa. La Aritmética calcula con  un ábaco pero el erote usa el algoritmo. La Margarita Phylosophica El monje cartujo Gregor Reisch (1467 – 1525) fue un humanista alemán que escribió una enciclopedia de saberes en doce libros llamada Aepitoma Omnis Phylosophiae alias  Margarita Phylosophica (1503). La obra tenía numerosas láminas y alcanzó gran popularidad como manual. Los siete primeros libros de la Margarita estaban dedicadas a las artes liberales, la Aritmética era el cuarto libro. Su conocido grabado se ha convertido e la referencia de la coexistencia del ábaco y el algoritmo. La alegoría de la Aritmética está acompañada de dos personajes, Boecio y Pitágoras, el primero calcula con las cifras árabes y el segundo con el ábaco. Se trata de una recreación inventada pues el latino Boecio no conocía el algoritmo ni el griego Pitágoras dejó constancia del uso del ábaco. Ambos autores son los citados habitualmente en los libros medievales y quizá no sean los representados sino dos mercaderes, el joven se ha pasado al cálculo indo-árabe mientras que el  mayor sigue apegado al ábaco. (Gregor Reisch. Margarita Phylosophica Alegoría de la Aritmética) Un ábaco Ming en Chapel Hill El Ackland Art Museum de la Universidad de Carolina del orte en Chapel Hill exhibe en la zona dedicada a la porcelana de la Dinastía Ming un ábaco tradicional chino del siglo XVI. (Ábaco chino de porcelana Ming. Ackland Art Museum Chapel Hill) El ábaco chino, suanpan, utiliza cinco cuentas de valor unidad y dos quinarías por cada decena, no está optimizado como el romano o el japonés. La época de la Dinastía Ming (siglos XIV – XVII) fue un periodo de prosperidad que se pone de manifiesto en su porcelana azul y blanca. Los ábacos no son ajenos a ella. Nos son extremadamente raros pero no suelen verse en museos. El British Museum tiene uno en almacén sin cuentas pero no se haya expuesto. Los ábacos suelen ser de madera y los pequeños en metal. La porcelana es frágil y aún no siendo el material adecuado sería apreciado por su belleza. Algunos ábacos tenían pequeños cajones, como el que mostramos. (Ilustración de 1820 sobre la práctica del suanpan) Un ábaco singular del Museo Británico El British Museum exhibe un curioso ábaco inglés del siglo XVII que muestra la pervivencia del instrumento. Cada línea tiene nueve cuentas, tres blancas, tres negras y tres blancas. Como el ruso pero ahorrando una ficha. Se trata de una curiosidad. El stchoty, el ábaco ruso (ábaco ruso moderno) Los viajeros por la  Unión Soviética todavía tuvieron la oportunidad de  contemplar el uso generalizado del ábaco de diez bolas sobre marco de madera. Las dos bolas centrales eran más oscuras. El soroban , el ábaco japonés (Ábaco japonés moderno) El soroban japonés es muy similar al chino pero eliminando las fichas superfluas. Con cuatro unidades y una cuenta quinaria es suficiente. El ábaco estaba tan extendido y tenía tantos partidarios que la compañía SHARP de calculadoras vio una oportunidad comercial en la incorporación de uno a sus calculadoras. O fue solo un experimento curioso pues se fabricaron varias series. (Híbrido de calculadora electrónica y ábaco) Ábacos escolares en Huesca El Museo Pedagógico de Aragón quizá albergue la colección de mayor interés dedicada a la institución escolar de la Península Ibérica. El Museo comparte instalación con la Oficina de Turismo de la céntrica Plaza de Luís López Allué de Huesca. La educación de la infancia se remonta a los orígenes de la humanidad. La institución de la Escuela y los principios de Enseñanza General y Obligatoria son muy recientes. La Ley de Instrucción Pública (1857) del Ministro Moyano marcó para España el inicio de la modernidad educativa. (Ábacos escolares. Museo Pedagógico. Huesca) La recuperación de las viejas aulas y los antiguos materiales escolares están en el origen de este museo. Aunque esté muy extendido la idea de que la Escuela es la institución que menos ha cambiado (maestra/o con pizarra y escolares en su pupitre) la realidad es que basta entrar en el museo de Huesca para desmontar el tópico. En Huesca veremos varias aulas con ábacos de diez bolas como material didáctico obligado. ¿Tiene futuro el ábaco? El viejo ábaco se resiste a desaparecer, las posiciones que pierde en oriente intenta ganarlas en occidente. Algunos centros escolares europeos introducen el ábaco para mejor comprensión del concepto de número y para desarrollar el cálculo mental. Quien esto escribe lleva siempre consigo su vieja regla de cálculo logarítmica y entiende a las familias chinas o japonesas que se educaron con el ábaco. En un mundo donde los teléfonos son potentísimas calculadoras de bolsillo puede parecer dudoso que quede sitio para este bastidor con cuentas perforadas. ¿Tras miles de años de prestar buen servicio se convertirán los ábacos en meros objetos de museo? Terminamos con un poema de Jacob Bronowski (1908-1972) – matemático y poeta polaco -  que fue publicado en un diálogo titulado precisamente El ábaco y la rosa: La fuerza que al invierno mueve a dar suaves hexágonos de nieve que lleva a vivir a las abejas en sus bien calculadas colmenas, es ábaco y rosa conjuntamente Una helada dulzura invade mi mente.

Martes, 01 de Marzo de 2022 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

26. 121. (Febrero 2022) Modelos matemáticos de la función tonal (II)

1. La función tonal y el tonnetz En esta última entrega de la serie sobre modelos matemáticos de la función tonal vamos a estudiar un modelo de naturaleza geométrica: el tonnetz. Es un modelo que se basa en la clasificación clásica de los acordes en tónica, dominante y subdominante y que proporciona una visualización bella y elegante de la función tonal y de las relaciones entre los acordes. Una de sus visualizaciones es en forma de toro, como muestra la figura 1 (esta visualización es su interpretación moderna en términos de teoría neoriemanniana, que veremos más adelante en este artículo). Figura 1: El tonnetz como un toro geométrico El tonnetz fue definido por primera vez por Euler en 1739 en su obra Tentamen novae theoriae musicae ex certissismis harmoniae principiis dilucide expositae [Eul22]. Dado un acorde, Euler se fijó en tres relaciones respecto a ese acorde: el movimiento por quintas, el movimiento por terceras mayores y el movimiento por terceras menores. Fijado un acorde, la organización geométrica del tonnetz es entonces como sigue: Los saltos por quintas a partir de ese acorde se representan en línea horizontales; Los acordes a una tercera menor por arriba está en la diagonal superior derecha y los de tercera menor por abajo en la diagonal superior izquierda; Análogamente, los acordes a distancia de tercera mayor están por debajo; los de tercera mayor ascendente se sitúan en la diagonal derecha y los de tercera mayor descendente en la diagonal izquierda. Si fijamos el acorde de do, en la figura de abajo vemos los acordes relacionados con este por el modelo tonnetz. En la línea horizontal vemos un trozo del círculo de quintas, do–sol; en la línea inmediatamente superior están las notas que forman el acorde menor con do, la–do–mi, las cuales a su vez forman otro círculo de quintas; y en la línea inferior a do, vemos los notas a distancia de tercera mayor, también ordenadas por quintas ascendentes hacia la derecha. Las triadas en este modelo forman triángulos. Figura 2: Acordes relacionados entre sí por el modelo tonnetz Las triadas mayores son los triángulos formados por la nota de la diagonal superior derecha y la inmediatamente a la derecha; en la figura do–mi–sol sería el triángulo con la m mayúscula. Las triadas menores son el reflejo respecto al eje x de dicho triángulo; en la figura el triángulo do–mi♭–sol marcado con una m minúscula. El modelo inicial de Euler estaba basado en la entonación justa (véanse las columnas de esta sección sobre afinación, [Góm21a], [Góm21b], [Lie04]). Por tanto, las quintas eran justas y el modelo se extendía hasta el infinito. De hecho, todos los intervalos del tonnetz en el modelo de Euler eran puros (las terceras y los demás intervalos también). Más de un siglo después, el modelo de Euler llama la atención del físico y teórico de la música Arthur von Oettingen. El trabajo de este teórico a su vez llama la atención de Hugo Riemann, quien lo sistematiza y usa en sus análisis de las conducciones de voces y las progresiones armónicas. El cambio que se produce en el uso moderno del tonnetz es que se hace finito al establecer el sistema temperado como sistema de afinación. Esto es, al dividir la octava en 12 partes iguales, el tonnetz pierde su carácter infinito (de ahí la representación finita en forma de toro que vimos más arriba). A la luz de la teoría neoriemanniana, el tonnetz se usa como modelo matemático de los acordes y las funciones tonales, donde las notas del tonnetz son ahora clases de alturas. En dicha teoría se definen tres tipos de operaciones o transformaciones: La operación P, de paralelo, donde un acorde mayor se transforma en su versión menor y viceversa. Esto ocurre por el movimiento de la tercera bien ascendente o descendente. La transformación R, donde un acorde mayor se transforma en su relativo menor y viceversa. En el acorde mayor la quinta sube un tono y en el acorde menor la fundamental baja medio tono. La operación L (de leading-tone exchange en sus siglas inglesas) transforma un acorde mayor en el acorde menor a distancia de una tercera mayor bajando la fundamental medio tono. Así, por ejemplo, do mayor se transforma en mi menor bajando do a si. A la inversa, un acorde menor, como do menor, se transforma en mi♭ mayor bajando do a si♭. En el tonnetz, estas operaciones se identifican con cuadrados como se muestra en la figura de abajo. Figura 3: Versión moderna del modelo del tonnetz (figura tomada de [Wik22]) El tonnetz ha servido para modelizar música de la práctica común extendida y el jazz. Para una ilustración muy clara del uso del tonnetz en la música de jazz, véase [Wel20]. En los vídeos que se muestran a continuación, se muestran explicaciones más detalladas y visuales sobre el tonnetz. En el primero, se explica el tonnetz con ejemplos musicales en el piano. Figura 4: Tonnetz explicado por Daniel Lewis En el siguiente vídeo se oye un preludio de Chopin y se visualiza cómo evolucionan los acordes en el tonnetz. Figura 5: Tonnetz explicado por Daniel Lewis En el último vídeo se visualiza la Gimnopédie número 1 de Satie en el tonnetz. Figura 6: Tonnetz explicado por Daniel Lewis Por ultimo, recomendamos al lector la visita a la página de Imaginary [Ima22], donde puede encontrar una versión interactiva del tonnetz.   Bibliografía [Eul22] Leonard Euler. Tentamen novae theoriae musicae ex certissismis harmoniae principiis dilucide expositae. http://eulerarchive.maa.org/backup/E033.html, Accedido en enero de 2022. Published on Euler archive. [Góm21a] Paco Gómez. Afinamiento y temperamento (I). http://www.divulgamat.net/index.php?option=com_content&view=article&id=18644&directory=67, accedido el 20 de julio de 2021. [Góm21b] Paco Gómez. Afinamiento y temperamento (II). http://www.divulgamat.net/index.php?option=com_content&view=article&id=18645&directory=67, accedido en agosto de 2021. [Ima22] Imaginary.org. Tonnetz. https://www.imaginary.org/es/node/1523, accedido en enero de 2022. [Lie04] Vicente Liern. Afinación. http://www.divulgamat.net/index.php?option=com_content&view=article&id=8747&directory=67, enero de 2004. [Wel20] John Welsh. Using Tonnetz Tone Mesh To Understand Jazz Harmony. https://jazz-library.com/articles/tonnetz/, Abril de 2020. [Wik22] Wikipedia. Tonnetz. https://en.wikipedia.org/wiki/Tonnetz, accedido en enero de 2022.

Lunes, 14 de Febrero de 2022 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

27. 168. La vanguardista Mary Ellen Bute

El próximo 11 de febrero se celebra el Día Internacional de la Mujer y la Niña en la Ciencia, un buen momento para recordar (o dar a conocer, depende del caso) a una de las más relevantes figuras de la realización vanguardista cinematográfica. Mary Ellen Bute fue una de las pioneras en la animación y dirección en el mundo del cine, y creadora de las primeras imágenes cinematográficas generadas electrónicamente. La mayor parte de sus trabajos son cortometrajes vanguardistas, en los que combina color, música y movimiento, diseñando una especie de película-ballet (con ese nombre aparecen definidos algunos de sus trabajos durante los títulos de crédito de sus trabajos). Una de sus innovaciones consistió en utilizar fórmulas y expresiones matemáticas en la implementación de sus dibujos animados. Nacida en Houston (Texas) el 21 de noviembre de 1904, estudió pintura en su localidad natal y, posteriormente, en la Academia de Bellas Artes de Pensilvania (Filadelfia). Interesada por los efectos de la luz, continúa su formación en iluminación escénica en la Escuela de Arte Dramático de la Universidad de Yale, donde adquiere los fundamentos clásicos de los órganos de color, como medio de pintar con luz; y posteriormente en la Sorbona, en el estudio de Gerald Warburg y el Hunter College. Comienza a trabajar con el inventor soviético Leon Theremin (inventor del theremin, uno de los primeros instrumentos musicales electrónicos que además pudo ser fabricado en cadena), con el que trabaja la estroboscopia (estudio visual del movimiento), y con el músico e inventor Thomas Wilfred (célebre por su “arte luminoso” bautizado como lumia, y sus diseños de órganos de color llamados Clavilux). También estuvo directamente influenciada por las películas animadas abstractas del alemán Oskar Fischinger (con varias décadas de antelación al uso posterior de ordenadores en la animación y dirección cinematográfica y la aparición de vídeos musicales). Una docena de Cortometrajes Bute comenzó su carrera cinematográfica a principios de los años treinta colaborando con Joseph Schillinger en la animación de imágenes. Schillinger, ruso-ucraniano, se trasladó muy joven a los EE. UU., adquiriendo la nacionalidad estadounidense. Fue un teórico musical, además de compositor, y desarrolló el sistema de composición de música que lleva su nombre. Falleció muy joven, con sólo 47 años. El primer trabajo acreditado de Bute (hay algunas discrepancias sobre la datación de sus películas, debidas principalmente a inexactitudes en artículos publicados en línea y sitios web. Las fechas y películas que citaremos en esta reseña están verificadas por documentos de su ex distribuidora Cecile Starr y los materiales y programas publicitarios de Bute en la colección del Centro de Música Visual), es una colaboración junto a Joseph Schillinger y Lewis Jacobs, sin terminar oficialmente, titulado Synchromy (1933). Todos sus trabajos posteriores los realizará con el director de fotografía Theodore “Ted” Nemeth, con el que contraerá matrimonio en 1940. En 1934, ambos, junto a Melville Webber realizan Rhythm in Light, cortometraje en blanco y negro de 5 minutos de duración. En los títulos iniciales, se presenta la película como las impresiones que aparecen en la mente de un artista moderno mientras escucha música. La Suite Peer Gynt de Edward Grieg acompaña imágenes de objetos comunes y formas abstractas fotografiadas con un enfoque suave a través de anillos, pirámides, el pentagrama de notas musicales y luces flotantes que se ven en muchas imágenes, a veces como a través de un caleidoscopio, otras como si estuviera en una película de animación. Los materiales visuales y auditivos están relacionados tanto estructural como rítmicamente, utilizando para ello un algoritmo matemático (que, por supuesto, la autora se reservó de difundir, por lo que no podemos valorarlo; simplemente debemos creer que fue así) para combinar los dos medios de expression (imágenes y música). Según la crítica, el resultado es relajante e hipnótico (y afortunadamente breve, añado por mi cuenta). El final se marca mediante un conjunto de bengalas, como si de una sesion de fuegos artificiales se tratara. En 1935 se estrena Synchromy No. 2, también en blanco y negro, de 5.5 minutos de duración. En esta ocasion selecciona la pieza Evening Star, de la ópera Tannhäuser, de Richard Wagner. A través del enlace pueden ver la película. A medida que la música avanza hacia su clímax, unas cabezas de yeso de características clásicas se abren paso en el diseño en movimiento; luego aparece un cruce final de escaleras nevadas iluminadas. Durante catorce meses, Bute y Nemeth habían estado trabajando en su villa-estudio en un patio trasero de una lavandería china en la calle 46 con paredes de yeso. El selecto público que presenció la premiere (pase exclusivo antes de su exhibición en salas) en el Radio City Music Hall de Nueva York, quedó, según artículos en la prensa, asombrado de la proyección y, también, días después, los visitantes de una presentación contratada en el mismo lugar. De acuerdo con esos artículos, dada su breve duración, el público “no se da cuenta de que la producción utiliza un método similar al de Disney de fotografiar cada escena de los modelos planificados logarítmicamente de Miss Bute”. En una entrevista, Ted Nemeth explicó que para pasar de Mickey Mouse a una concepción seria y artística de la música en términos de luz no hay muchas diferencias para un director de fotografía. "La diferencia", explica, "es que Disney fotografía superficies planas de dibujos animados, mientras que nosotros tenemos que tomar fotos de modelos tridimensionales instalados en un pequeño escenario del tamaño de una fuente. Para un rollo único de uno de nuestros filmes, tengo que tomar 7.000 fotografías separadas, pero estrechamente relacionadas". Mary Ellen Bute explica en el mismo artículo su intención de “tratar de expresar la música en términos de luz". "No es una idea nueva: se remonta a la idea de movimiento poético de Aristóteles en su Poética, y fue anticipada por los instrumentos Theremin y el Clavilux". “Detrás de los modelos de Miss Bute del orden matemático que existe en la música, continua la crónica, están las investigaciones trigonométricas del consejo editorial de Scripta Mathematica, la revista académica del Yeshiva College en la ciudad de Nueva York. Los profesores elaboran ecuaciones para la escala del modelo y el tempo de la música visual que arregla la señorita Bute y fotografía el señor Nemeth”. El Yeshiva College es un centro universitario judío del Alto Manhattan en nueva York.  "Los matemáticos de la Yeshiva, que nos inspiran, finalmente pretenden construir música a partir de ecuaciones en una secuencia de imágenes, no imágenes de música ya escrita", señala Bute en voz baja y profética. "En este momento, estamos dando el siguiente paso hacia adelante", declaraba Ted Nemeth, señalando los fantásticos dibujos geométricos en colores con los que están revestidas las paredes de la habitación que contiene su cámara con lentes fotomicrográficos. "Nuestra próxima película será en color. Debido a que seguiremos adelante durante años, explorando las enormes posibilidades de esta forma de arte diferente, llamamos a nuestra pequeña organización Cine en expansión". Antes, sin embargo, aparecen dos nuevos trabajos: Dada (1936, B/N, 3 min), en la que a ritmo de una música que suena como una típica melodía de Busby Berkeley, aparecen líneas y círculos sobre un fondo negro. Luego triángulos, en grupos, cuadrados blancos y negros moviéndose en tándem, y formas brillantes que se convierten en patrones caleidoscópicos. Posteriormente aparecen cubos, blancos, rebotando, contra el fondo; un ying y un yang que gira varias veces antes de que la película termine con un rápido estallido de luz dispersa. El propósito es plasmar el movimiento dadaísta (recuérdese que el dadaísmo fue un movimiento cultural y artístico que surgió en 1916 en el Cabaret Voltaire en Zúrich, creado con el fin de contrariar las artes convencionales; se oponía al concepto de razón instaurado por el positivismo, y se caracterizó por rebelarse en contra de las convenciones literarias, y especialmente artísticas, por burlarse del artista burgués y de su arte; una provocación, en suma, al orden establecido). A público y críticos se les hizo demasiado corta (normal, dada la duración). En 1937, se estrena Parábola, su última producción a blanco y negro, de nueve minutos de duración, con La Creation du Monde, de Darius Milhaud, como composición musical base. Se trata de toda una oda a esta curva, mostrada en las múltiples facetas en que la podemos descubrir. El escultor Rutherford Boyd trabajó en colaboración con Nemeth y Bute cuyas instalaciones de producción en Nueva York fueron puestas a su entera disposición. Filmada, fotograma a fotograma, mediante una sucesión de fotografías que variaban la disposición de piezas de escultura bajo iluminación controlada, Parábola nos presenta el potencial de una nueva técnica de filmación para aquel momento. Los objetos curvos flotan, y aparecen imágenes especulares. Las esculturas de papel se separan en rebanadas parabólicas. Seguramente al espectador atento le recuerden edificios aún no construidos entonces, como el teatro de la ópera de Sydney, o el edificio Chrysler. Las sombras, las superficies no iluminadas y las superficies que giran hacia la luz se suman a las variaciones. Al inicio de la película, aparece el siguiente mensaje: “La poesía del movimiento en la Naturaleza escrita con una sola línea, la parábola. El camino de cualquier bola y bala, la curva de un faro, el cable de un puente, el chorro de una fuente y una estrella fugaz siempre siguen esta trayectoria. Parábola. Una curva cautiva, terrestre por gravedad, liberada por los hombres de todas las Artes. Parábola. Cualquier curva formada al pasar un plano a través de un cono paralelo a su pendiente es una parábola”. En 1937 aparece Synchromy No. 4: Escape, primer trabajo a color de 4 minutos de duración, en el que un triángulo naranja/rojo está preso detrás de una reja bajo la expansión de un cielo azul que posiblemente represente la libertad. La composición Tocata (en re menor) de J. S. Bach añade tensión dramática a los elementos en movimiento. En 1939, se estrena Spook Sport, a graveyard gambol. (Color, 8 min.), con la Danza macabra, de Camille Saint-Saëns como sustrato musical. En el trabajo de animación participa el célebre animador Norman McLaren. Es medianoche en un cementerio. Los personajes principales son espectros, fantasmas, murciélagos, campanas y, al final, el sol. Se mueven al ritmo de la música. Contrastando con la negra noche, son azules y amarillos. Aparecen murciélagos y un xilófono de huesos. Según avanza la noche, la niebla se disipa, los espectros se arremolinan. Suena una campana. El cielo se vuelve azul claro, la danza de los fantasmas se ralentiza. Hasta la siguiente noche que vuelve a traer indicios de frenesí. Los huesos tocan tambores, los fantasmas se asoman desde las tumbas cuadradas. Aparecen caras de miedo. El movimiento frenético toma el control. Y todo termina cuando un gallo canta y todos regresan a la tierra apareciendo la luz del sol. En el enlace anterior pueden verla a partir del minuto 3:12. En 1940 las abstracciones de Mary Ellen se visualizan a través de todo el país, gozando de bastante éxito popular. De nuevo co-dirigida por Norman McLaren, se estrena Tarantella. (Color, 5 min.), en esta ocasion con música modernista de Edwin Gerschefski. En este “sonido visual”, como acostumbraba a llamar a sus trabajos, muestra su habilidad para sincronizar música e imagen como si de un moderno pintor se tratara y lo que uniera en el lienzo fuera imagen y sonido. Dos puntos, uno azul y otro naranja, aparecen en escena, a veces grandes, a veces pequeños, a veces superpuestos. Cuando los sonidos se vuelven más entrecortados, también lo hacen las imágenes: las líneas onduladas se convierten en garabatos, las líneas cortas en forma de clavo atraviesan la pantalla en filas. El resultado es una representación visual de la música abstracta, viva y enérgica. El corto toma el título de una popular danza napolitana ejecutada por trios. Se denominó así en base a la creencia popular de que era un remedio para erradicar (sudando) la picadura venenosa de una tarántula. Sus trabajos posteriores siguen la misma línea: Polka Graph (1947, Color, 4.5 min.), con la Polonesa de The Age of Gold, de Dmitri Shostakovich; Color Rhapsodie (1948, Color, 6 min.); Imagination (1948, Color); New Sensations in Sound (1949, Color, 3 min.), película publicitaria para RCA; Pastorale (1950, Color, 9 min.) con el aria Schafe können sicher weiden (Las ovejas pueden pastar con seguridad) de J. S. Bach; Abstronic (1952, Color, 7 min.), con música de Aaron Copland y Don Gillis; Mood Contrasts (1953, Color, 7 min.). En 1958 produce The Boy Who Saw Through, un mediometraje de 25 minutos no abstracto en blanco y negro, interpretado por un joven Christopher Walken. Y finalmente entre 1965 y 1967 (tres años prácticamente tardó en terminarla) se atreve con un largometraje, Passages from Finnegans Wake (B/N, 97 min.), no abstracto, en la que es directora y co-guionista, inspirada en la obra de James Joyce (fue la primera adaptación al cine de un texto del autor irlandés). Criticada por haber representado el erotismo de Joyce con escenas de sexualidad explícita, la película fue premiada en el Festival de Cannes como mejor ópera prima. En el enlace está íntegra, en versión original. En las décadas de 1960 y 1970, Bute trabajó en dos películas que nunca se completaron: una adaptación de la obra de Thornton Wilder de 1942 The Skin of Our Teeth y una película sobre Walt Whitman con el título provisional Out of the Cradle Endless Rocking. Murió de insuficiencia cardíaca en el Centro Médico Cabrini de la ciudad de Nueva York, cinco semanas antes de cumplir 77 años. Seis meses antes, el 4 de abril de 1983, recibió un homenaje especial y una retrospectiva de sus películas en el Museo de Arte Moderno. Bute fue miembro fundador de Women's Independent Film Exchange. Eligió a la historiadora de cine Cecile Starr para distribuir sus cortometrajes. El Center for Visual Music es el organismo autorizado que comercializa y distribuye sus películas en la actualidad. Como habrán comprobado, y en contra de la costumbre americana, Mary Ellen Bute siempre firmó todos sus trabajos con su nombre de soltera, circunstancia que motivó no pocos comentarios a lo largo de toda su carrera. También en eso fue pionera.

Miércoles, 09 de Febrero de 2022 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

28. 201. (Febrero 2022) Bibliografía y referencias (segunda parte)

Esta es la segunda y última parte de las referencias utilizadas en la preparación y elaboración de los artículos que han aparecido en este rincón. Estoy seguro de que muchas de estas referencias contienen información adicional que te servirá de inspiración para profundizar en el amplio mundo de la magia matemática. Matem102 Michael Kleber, The Best Card Trick, Mathematical Intelligencer, vol. 24 (2002). Michael Jørgensen, The 5-card trick. En "Numericana" (2004). Wallace Lee, Math Miracles (1950). [Matem110] Colm Mulcahy, All you need is cards. En “Puzzlers’ tribute: a feast for the mind” (editado por David Wolfe y Tom Rodgers), AK Peters (2002). Shai Simonson y Tara Holm, Using a card trick to teach Discrete Mathematics, PRIMUS, vol. 13 (2003). Matem103 Karl Fulves, Charles Jordan's best card tricks, Dover (1992). [Matem134] Jean Hugard, Encyclopedia of card tricks (1937). Phil Goldstein, Zen Poker. En "Thequal" (1984). 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29. 80. (Febrero 2022) La alquibla en al-Ándalus

(Mihrab de la Mezquita de Córdoba) ¿Anómala orientación cordobesa? La Mezquita de Córdoba es la obra maestra del Califato Omeya de al-Ándalus. La orientación de la mezquita califal cordobesa ha sido un enigma. Quizá lo siga siendo. No lo es ahora para una persona tan autorizada como David A. King que ha decidido dar el asunto por zanjado tras muchos años de dedicarse al tema y modificar su primera hipótesis. La orientación del edificio hacia el amanecer del solsticio de verano (y ocaso del de invierno) hace que su perpendicular coincida con la orientación del eje de la Kaaba: el surgir de la brillante estrella Canopus. Este dato llevó inicialmente a King a considerar que era la alquibla correcta. Recientemente King ha encontrado una explicación más simple y la ha desarrollado en The enigmatic orientation of the Great Mosque of Córdoba explained (2018): la mezquita se orienta según la cuadricula romana de Colonia Patricia (la urbs nova). Cuando admiramos el bellísimo mihrab cordobés no pensamos en cosas tan prosaicas como que la orientación del rezo no es el que nos dirige a La Meca, casi 80º E, sino de tan solo de 30º. El templo se adaptó a la dirección preexistente del cardo /decumanos romano. Las prescripciones religiosas islámicas fueron dinamizadoras de la matemática, tanto para la aritmética como para la astronomía geométrica. El reparto de herencias, el calendario lunar, el inicio del ramadán, la hora de los rezos o la propia alquibla eran estimulantes para el estudio. Los andalusíes del siglo XI llegaron a desarrollar la más alta matemática del momento. La Mezquita es una  muestra inicial de ese desarrollo: arte y ciencia suelen darse la mano. Córdoba no fue excepcional: la alquibla, la dirección a La Meca de los cinco rezos de los creyentes musulmanes, de las mezquitas de al-Ándalus minusvaloró sistemáticamente la orientación en todos los casos que hemos estudiado. El cálculo de la latitud siempre fue sencillo, una vez conocida la eclíptica, pero el de la longitud siguió siendo un problema clásico hasta bien entrado el siglo XVIII. El cálculo de la alquibla La dirección a la Kaaba desde el lugar de referencia no fue un problema complejo desde el punto de vista teórico para los astrónomos musulmanes. Las técnicas de Hiparco y Ptolomeo eran suficientes y, además, los sabios musulmanes las mejorarían y fundieron con los avances de la India. Desde el punto de vista práctico la dificultad era la determinación y tabulación segura de la longitud del lugar en relación con las coordenadas esféricas de La Meca. La alquibla del lugar del rezo no es otra cosa que el acimut, el ángulo que forma el meridiano del lugar con el circulo máximo que une con la Kaaba, y se obtiene mediante la expresión: Siendo a el acimut, φ1 y λ1 las coordenadas geográficas del lugar del rezo, y φ2, λ2 las coordenadas de la Kaaba.  Las φ son las latitudes y las λ las longitudes. La fórmula se obtiene del tercer grupo de Bessel de la trigonometría esférica aplicada al triángulo formado por el Polo Norte, La Meca y el lugar. Se conocen dos lados (las colatitudes) y el ángulo comprendido: se busca el acimut de la Kaaba desde el lugar. Hoy estamos más acostumbrados a trabajar vectorialmente con geometría analítica: se trata de calcular el ángulo diedro que forman el plano meridiano con el plano de la geodésica que pasa por el lugar y La Meca. El cálculo se puede hacer de forma aproximada y suficiente mediante el astrolabio, valiendo cualquier planisferio. Una vez situada La Meca en el astrolabio solo hay que anotar el acimut (Anexo). Los astrolabios universales, con plano de proyección meridianos, son muy sencillos de usar y pueden tener marcado el paralelo de La Meca como parte de la eclíptica. El astrónomo Al-Battānī (c. 858 – 929) (latinizado Albatenius) dio un método simplificado reduciendo el triángulo esférico a uno plano pero la aproximación solo vale para los lugares próximos, que no es el caso de al-Ándalus. En la práctica había tablas con las coordenadas de las ciudades más pobladas y que servían para su territorio. Al final todo se reduce a una buena tabla de longitudes geográficas. (Astrolabio de Ibrahim ibn al-Sahlí (Toledo - 1067). Museo Arqueológico Nacional) Determinación de las longitudes El procedimiento tradicional para obtener las longitudes relativas entre lugares es aprovechar los eclipses lunares. El método ya aparece en el tratado clásico de la astronomía hindú Surya Siddhanta, una recopilación que se iba modificando pero que ya lo incluía cuando fue vertido al árabe en el siglo IX. Tanto Albatenius como al-Biruni (c. 973 – 1050) ya usaron los eclipses lunares y realizaron las medidas con notable precisión. En tierra firme se puede esperar un eclipse pero en el mar el problema  de la longitud subsistió. Cristóbal Colón aprovecho dos eclipses lunares para medir, uno en el segundo viaje [Saona - 1494] y otro en el cuarto [Jamaica - 1504] pero la precisión no fue muy buena. España fue en 1567 el primer país que ofreció recompensar a quien resolviera el problema. Y todavía en 1714 los ingleses mantuvieron el premio y el desafío. Las distancias de estrellas a la Luna, la declinación magnética y hasta las lunas mediceas de Júpiter (Galileo) parecían los procedimientos más prometedores. Al final fue un relojero, Hamilton, y no un astrónomo, quien ofreció la solución más fácil: un reloj preciso en el navío. Ya Hiparco había relacionado la longitud y la hora. La alquibla en al-Andalus La orientación de los Mihrab en al-Ándalus se limitan a dirigir el rezo más o menos hacia el sudeste pero minusvalorando en general el Este. Los cálculos actuales nos dicen que la alquibla oscilaría entre los 70º y los 84º.  Así Zaragoza requiere 72º y Mertola, en Portugal, 82º. Curiosamente la bien conservada mezquita portuguesa es la mejor orientada de las estudiadas. (Mezquita de Mertola. Alentejo) La moderna mezquita de la M30 en Madrid está orientada a 76º que es la dirección correcta pero ninguna de las antiguas se aproxima. Hemos seleccionado algunas de las mezquitas u oratorios islámicos mejor conservados, algunas incluso con su mihrab.  Al tratarse de una aproximación se ha utilizado la aplicación google maps pues buscamos solo orden de magnitud y no exactitud. Mezquita/Oratorio Provincia Acimut Córdoba Córdoba 30º Almonaster la Real Huelva 37º Niebla Huelva 34º Archidona Málaga 45º Aljafería Zaragoza 6º Vélez-Málaga Málaga 30º Cortijo de las mezquitillas Málaga 62º Partal Granada 52º Mertola Alentejo 65º Conocía los 30º de la anómala orientación de la Mezquita Aljama de Córdoba y me sorprendió cuando estudie, por proximidad, la orientación del mihrab extramuros de Vélez-Málaga: también 30º. Otras muestras ponen de manifiesto la heterogeneidad y que no hay patrón: más al Sur que al Este cuando tenía que ser al revés. La multitud de mezquitas transformadas en iglesias hace que tanto el estudio como la precisión pueda ampliarse muchísimo pero consideramos que la muestra es significativa: el precepto de la dirección del rezo fue laxo en al-Ándalus. La razón principal debió ser la falta de precisión de la diferencia de longitudes a lo que se sumaría la edificación anterior o la orografía del terreno. ANEXO: Acimut de La Meca con astrolabio Cualquier planisferio puede servir para calcular la alquibla. Vamos a hacerlo con un astrolabio plano corriente. Aprovechamos parcialmente el modelo -para construcción- de la Asociación Valenciana de Astronomía. Un astrolabio es un sencillo e ingenioso mecanismo para cambiar el sistema de referencia: una forma de pasar de ángulo horario y declinación del astro a altura y acimut, las coordenadas locales. La madre es donde se alojan las láminas, la red, la regla y la alidada (al dorso). Para la alquibla no hace falta la red – las posiciones relativas son fijas- ni la alidada ya que no hay que medir alturas de ningún astro. De la madre nos interesa la corona que señala las horas: cada hora son 15 grados. La lámina tiene dibujados los almicantarates (paralelos al horizonte local) que nos dan la altura y las verticales (círculos máximos locales) que nos darán el acimut. La regla tiene marcados los paralelos geográficos, sus números marcados son las declinaciones, en nuestro caso nos sirve para marcar la latitud de La Meca. El proceso a seguir es el siguiente: Se dispone de as coordenadas geográficas de La Meca y del lugar (Madrid). Se monta la lámina de la ubicación –latitud, 40º- sobre la madre. Se inserta la regla. Se gira la regla para colocarla donde la corona muestre las longitud relativa del lugar a La Meca (44º): Línea azul. Se marca la latitud de La Meca en la escala de la regla-21º N: Punto rojo. Se cuentan los almicantarates desde la vertical al punto rojo: algo más de siete: 76º sudeste es la alquibla de Madrid a La Meca.

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30. 200. (Enero 2022) Bibliografía y referencias

Llegamos simultáneamente al año 2022 y al número 200 de este serial mágico-matemático. Esto significa que debemos respetar religiosamente dos tradiciones. En primer lugar, ¿podemos destacar algunas características del número 2022? Lo más visible es que, aunque no es primo, sólo tiene tres factores primos, 2, 3 y 337. ¡Ah!, pero 337 es un primo del tipo 4k+1, así que es un número pitagórico y su cuadrado es la suma de dos números cuadrados: 3372 = 1752 + 2882. Multiplicando por 6, resulta que 20222 = 10502 + 17282. Tal como apuntamos en el número 178 de este rincón (enero de 2020), hemos llegado por tercer año consecutivo a un número infeliz (y nos quedan tres más). Como contrapartida, es un número admirable, pues se puede expresar como suma de sus divisores propios, teniendo uno de ellos signo negativo: 2022 = 1 + 2 + 3 - 6 + 337 + 674 + 1011. Por ser el número 2022 múltiplo de la suma de sus cifras, recibe el nombre de número de Harshad. Para no salirse de la norma, también puede obtenerse mediante operaciones aritméticas con las nueve cifras significativas, en orden. Por ejemplo, así: 2022 = 1 x 2 x 3 + 4 x (-5 + 6) x 7 x 8 x 9. ¡Me ha salido una operación palindrómica! 9 x 8 x 7 x (6 - 5) x 4 + 3 x 2 x 1 = 2022. Por otra parte, como si de un voluminoso tratado con esta cifra redonda de capítulos se tratara, merece rematarse con una lista pormenorizada de los libros, artículos, enlaces de internet, etc., utilizados a lo largo del trabajo. He elegido como patrón el orden cronológico de aparición de los artículos, eliminando algunos enlaces que ya no son accesibles y aquellas referencias que la frágil memoria de este corresponsal impiden ser rescatadas. Sólo indicaré los enlaces en los que se puede acceder al contenido completo del correspondiente artículo o libro. Dada la cantidad de material recopilado en este rincón durante todo este periodo de tiempo, vamos a dividirlo en dos partes, dejando para el próximo mes la relación bibliográfica correspondiente a la segunda centena de artículos. Matem1 Henry Dudeney, Modern Puzzles (1926). Matem2 Ken Beale, The Pallbearers Review, v. 9, n. 3 (1974). Matem3 Claude-Gaspar Bachet de Méziriac, Problèmes Plaisants et Délectables qui se font par les nombres, (1612). [Matem90]-[Matem93] Matem4 Juan Tamariz y Gema Navarro, Por arte de Verbimagia, Producciones mágicas Tamariz (2005). [Matem87] Matem8 Theodore DeLand, Mysterious Match Trick, Goldston Magic Monthly (1915). Matem10 Banachek, Think a month, Magick Magazine. Matem18 Royal V. Heath, Mathemagic, Simon & Schuster (1933). Matem25 Sam Loyd, Cyclopedia of 5000 puzzles, tricks and conundrums, Pinnacle Books (1914). Matem29 Martin Gardner, Los mágicos números del Dr. Matrix, Prometheus Books (1985). Matem36 Ennio Peres, Giochi matematici, Editori Riuniti (1986). Matem38 William Jefferys, What is the day of the week, given any date? John Conway, Tomorrow is the day after Doomsday, Eureka (1973). Matem40 Gary Fabjance, Interactive Magic Tricks. Matem41 Dean Clark y Dilip Datta, Arithmetic Matrices and the Amazing Nine-Card Monte, The College Mathematics Journal (1993). Matem43 Stewart James, Stewart James in Print: The first fifty years, Jogestja (1989). Werner Miller, Ear Marked, Shane (2006). Matem45 Martin Gardner, The paradox of the nontransitive dice and the elusive principle of indifference, Scientific American 223 (1970). Matem46 Martin Gardner, Checker jumping, Sichermann dice, and Kruskal's card trick, Scientific American 238 (1978). Matem47 Nicolas Chuquet, Triparty en la science des nombres (1484). Matem48 Luca Pacioli, De viribus quantitatis (1496). Matem50 Martin Gardner, Mathematics, Magic and Mystery (1956). Elwyn Berlekamp y Tom Rodgers (eds.), The Mathemagician and Pied Puzzler: a collection in tribute to Martin Gardner, AK Peters (1999). Henry Perigal, On Geometric Dissections and Transformations, Messenger of Mathematics (1875). Matem52 Jesús García Gual, Juegos basados en sistemas de numeración, Estalmat (2010). Matem54 Rafael Losada, Cómo descubrir la moneda falsa sin desesperarse, Suma 33 (2000). Matem55 Walter Rouse Ball y Harold Coxeter, Mathematical Recreations and Essays, Dover (1987). [Matem93] Matem58 Blaise Pascal, Traité du triangle arithmetique (1653). Matem59 Jeremiah Farrell, Cubist Magic. En Puzzlers' tribute (editado por David Wolfe y Tom Rodgers), AK Peters (2002). Matem60 Jon Racherbaumer, The Artful Dodges of Eddie Fields, Tannen (1968). Mulawa Dreaming web. Matem64 Ian Stewart, El laberinto mágico, Crítica (2011). Matem65 José Muñoz, Ernesto, el aprendiz de matemago, Nivola (2010). José Chamoso y William Rawson, A vueltas con los números, Nivola (2003). Matem68 Colm Mulcahy, Low Down Triple Dealing, Card Colm (2004). Matem69 Volker Tanger, Euro note serial number check. Matem71 Colm Mulcahy, Quantitative Reasoning in Small Groups, Card Colm (2006). Matem72 Roberto Giobbi, The magic memories, 07. Matem73 Gérard Michon, Ternary Cards (2009). Matem76 Jim Steinmeyer, Impuzzibilities, Hahne (2002). [Matem83]-[Matem92] George Sands, Lucky 13, Pallbearers Review (1975). Matem77 Martin Gardner, Hexaflexagons and other mathematical diversions, Simon and Schuster (1959). Matem78 Paul Curzon y Peter McOwan, Mathemagic: the magic of computer science. [Matem80] Matem81 Walter Penney, Penney-Ante, Journal of Recreational Mathematics 2 (1969). Yutaka Nishiyama y Steve Humble, Winning odds, Plus Magazine (2010). Martin Gardner, On the paradoxical situations that arise from nontransitive relations, Scientific American 231 (1974). Matem84 Martin Gardner, Riddles of the sphinx, AMS (1987). [Matem86] Matem88 Kuniyasu Fujiwara, Automatic Ace Triumph, Genii Magazine 63 (2000). Matem89 Kjartan Poskitt, Prime Numbers, Murderous Maths. Thérèse Eveilleau, La balada de los pares y de los impares, Mathematiques Magiques. Matem91 John Scarne, Scarne on card tricks, Crown Publishers (1950). Matem92 Boris Kordemsky, Moscow Puzzles (1956). Brian Daniel, The Bermuda Square, Magic Magazine (2010). Brian Daniel, Teach by Magic (2010). Gianni Sarcone, The 13th magic crystal skull, Archimedes' Laboratory. Matem93 Juan Mieg, El brujo en sociedad, Madrid (1839). Jacques Ozanam, Récréations mathématiques et physiques, París (1694). Martin Gardner, Mathematical Circus, New York (1979). Matem94 Charles Jordan, Thirty card mysteries (1919). Colm Mulcahy, What's black and red and red all over?, Card Colm (2008). Persi Diaconis y Ronald Graham, Magical Mathematics, Princeton (2011). [Matem99] Matem95 Karl Fulves, My best self-working card tricks, Dover (2001). Matem96 Dominique Souder, Maths et Magiques, SOS Education (2015). Matem98 Yakov Perelman, Aritmética Recreativa, Leningrado (1938). Matem99 Leonardo Pisano, Liber Abaci (1202). Pedro Alegría, Sucesiones de recurrencia en la matemática recreativa, Revista Eureka (2009). Martin Gardner, Fibonacci Fantasy, Apocalypse (1978). Arthur McTier, Card Concepts, Davenport (2000). Colm Mulcahy, Gibonacci Bracelets, Card Colm (2007).   Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

Lunes, 10 de Enero de 2022 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico