191. 50. (Enero 2019) Organum mathematicum

(Organum mathematicum. Museo Nacional de la técnica. Praga) El imaginativo y polifacético jesuita alemán Athanasius Kircher (1602-1680) fue el promotor de una arqueta de tablillas matemáticas para facilitar los cálculos prácticos de las diversas disciplinas de las matemáticas aplicadas de la época. El encargado de divulgar el proyecto fue su discípulo Kaspar Schott (1608-1666), quien redactó Organum mathematicum (1668), obra póstuma publicada en Núremberg. El libro del Padre Schott es un detallado manual de casi mil páginas sobre como construir y utilizar la arqueta aplicable a nueve disciplinas matemáticas (libris IX explicatum): Aritmética, Geometría, Fortificación, Cronología, Horolografía (Gnomónica), Astronomía, Astrología, Esteganografía (Cifrado) y Música. (Portada de Organum mathematicum (1668) de Gaspar Schott) La atractiva personalidad del Padre Kircher requeriría un extenso trabajo. Representa quizá el mejor ejemplo de la prolongación del espíritu renacentista al barroco: infinita curiosidad y saber enciclopédico. Políglota, orientalista, matemático, físico, teórico de la música, inventor, descifrador… Kircher representa también la pervivencia del ocultismo de los amuletos, la astrología, los cuadrados mágicos o los jeroglíficos en plena época de la revolución científica y además sin apartarse de la ortodoxia católica. El Padre Schott reconoce la deuda con su maestro reproduciendo en su libro la carta que envío Kircher en 1661 a Gottfried Aloys Kinner con la descripción básica del dispositivo Organum mathematicum y algunas instrucciones de su uso. Kircher ya tenía la paternidad de la invención de un sistema de tablillas para componer música y que publicó en su Misurgia universalis (1650). Al Organum se incorpora la Misurgia y se extiende a otras ocho materias. (Lámina del dispositivo Organum mathematicum en el libro de Schott) Descripción de las tablillas por materia según el Padre Schott Liber primus arithmeticus. Las tablillas son los conocidos bastoncillos multiplicadores de la Rabdologia de Neper. (Lámina de las tablillas aritméticas. Organum mathematicum. Schott) El libro dedica 102 páginas para explicar las operaciones aritméticas básicas. En el texto hace referencia, no solo a Neper, también a la tabla de Pitágoras. Schott explica como usar las tablillas neperianas para multiplicar, dividir, extraer raíces cuadradas y hacer reglas de tres directas e inversas. Como excepción el Organum de Munich hace una curiosa síntesis de las láminas de Caramuel y los huesos de Neper. Liber secundus geometricus Las tablillas proporcionan básicamente las llamadas umbras rectas y versas. Las sombras rectas y versas ya venían en el dorso de los astrolabios y son los catetos horizontal y vertical de un triángulo rectángulo. Se trata de tablas primitivas de senos y cosenos para los cálculos topográficos de alturas y declinaciones. La parte geométrica se extiende por 66 páginas del libro. (Lámina de las tablillas geométricas. Organum mathematicum. Schott) Liber tertius fortificatorius La generalización de la pólvora en el siglo XV hizo que los viejos castillos medievales fueran blanco fácil para la nueva artillería. La fortificación se renueva y se hace más matemática. Los muros deben ser terreros para resistir los impactos, aparecen las formas poligonales y se deben cubrir los flancos. Las explicaciones ocupan 57 páginas del manual. Las tablillas nos dan los parámetros de construcción de fortificaciones geométricas de polígonos desde el cuadrado (IV) al decágono (X). (Lámina de las tablillas para fortificar. Organum mathematicum. Schott) Liber quartus chronologicus La cronología era una ciencia matemática. El propio Newton se dedicó a ella en su vertiente bíblica. El libro de Schott se dedica a la determinación de las fiestas religiosas que siguen el calendario lunar como la pascua. El cristianismo no olvida sus orígenes hebraicos y en él pervive los restos de calendario lunar. Los árabes mantienen solo el lunar y los hebreos uno mixto como la Iglesia. Hasta 150 páginas se dedican a la cronología eclesiástica. Las tablillas cronológicas sirven para determinar las fiestas ajustadas al calendario lunar desde el solar. (Lámina de las tablillas para la cronología de la pascua. Organum mathematicum. Schott) Liber quintus horographicus El término horographicus se extiende en el texto a horolographicus y a gnomonicus que son más claros. Se trata de tablillas para calcular relojes de sol de todo tipo: horizontales, verticales, occidentales, orientales y declinantes. Las tablillas contienen incluso los datos para dibujar las hipérbolas del zodiaco. Las tablas van por latitudes desde 40º a 50º. (Lámina de las tablillas para calcular relojes solares. Organum mathematicum. Schott) Liber sextus astronomicus Las tablillas astronómicas contienen la duración del día desde el orto al ocaso a lo largo del año y la declinación del sol sobre la eclíptica según el tradicional modelo geocéntrico. (Lámina de las tablillas astronómicas. Organum mathematicum. Schott) Liber septimus astrologicus La iglesia seguía autorizando libros de astrológia pese a la prevención de San Agustín contra ellos. Kircher y Schott incorporan tablas a su Organum mathematicum para una rápida realización de horóscopos. Las tablillas cubren desde 1660 a 1681 dando la naturaleza del signo zodiacal, los humores, su uso médico lo adecuado para plantar y otras lindezas. La parte astrológica ocupa 64 páginas, poco más que la astronómica. (Lámina de las tablillas astrológicas. Organum mathematicum. Schott) Liber octavus stenograficus Kircher era considerado como el máximo especialista en cifrados de mensajes secretos. Las tablillas nos dan las sustituciones para cada letra. Las arcas se hacen con 24 espacios para depositar tablillas por ser 24 las letras latinas. La esteganografía marca el número mínimo de hendiduras de almacenamiento. Schott dedica 63 páginas al uso del cifrado y construcción de las tablillas. (Lámina de las tablillas de cifrado. Organum mathematicum. Schott) Liber nonus musicus Gaspar Schott reproduce lo adelantado por Athanasis Kircher en su Misurgia universales. Se trata de la parte más conocida por ser un procedimiento para la automatización de la composición musical. Se dedican 92 páginas del libro al uso de las tablillas musicales. (Lámina de las tablillas para música. Organum mathematicum. Schott) Valoración El Organum mathematicum es estéticamemente muy atractivo y loable su función de simplificar los cálculos. Aunque su función sea práctica no recoge los nuevos desarrollos matemáticos y la terminología más moderna como la trigonométrica. No se mencionan el álgebra, ni la geometría analítica ni los indivisibles y en cambio se mantiene la astrología y la cronología eclesiástica. El Organum es muestra de la enseñanza jesuítica dirigida a la aristocracia (fortificaciones) y a clérigos (cronología).  Resulta interesante comparar el libro con el Compendio Mathematico, en que se contienen todas las materias más principales de las ciencias, que tratan de la cantidad (1707 – 1715) del Padre Tomás Vicente Tosca, el novator jesuita valenciano: Tomo I: Geometría Elemental, Aritmética Inferior, Geometría Práctica. Tomo II: Aritmética Superior, Álgebra, Música. Tomo III: Trigonometría, Secciones Cónicas, Maquinaria. Tomo IV: Estática, Hidroestática, Hidrotecnia, Hidrometría. Tomo V: Arquitectura Civil, Montea y Cantería, Arquitectura Militar, Pirotecnia o Artillería. Tomo VI: Óptica, Perspectiva, Catóptrica, Dióptrica, Meteoros. Tomo VII: Astronomía. Tomo VIII: Astronomía Práctica, Geografía, Náutica. Tomo IX: Gnomónica, Ordenación del Tiempo, Astrología. Puede verse una gran coincidencia en materias aunque con otro ordenamiento. Tosca escribe medio siglo más tarde y es renovador: incluye álgebra y trigonometría. Órganos matemáticos conservados (Organum mathematicum. Museo Galileo Galilei. Detalle. Florencia) Se conoce el paradero de tres Organa, los tres se conservan en museos: Uno en el Museo de la Técnica en Praga, otro en el Museo Galileo Galilei de Florencia y el tercero en el Museo Nacional Bávaro de Munich. Los dispositivos de Praga y Florencia son prácticamente iguales: en lugar de tener las tablillas de una misma materia de derecha a izquierda, como dibujaba Schott, las colocan de arriba abajo pero la forma del mueble y la distribución se corresponden con la teoría. Los bastoncillos de Neper no quedan cuadrados sino rectangulares pero el funcionamiento es el mismo. (Organum mathematicum. Museo Galileo Galilei. Foto del museo. Florencia) El Organum de Munich cambia la forma por completo pero el contenido es el mismo. Las regletas neperianas son más estrechas y en la parte superior tienen las láminas de Juan Caramuel. El mueble es de cajones y recintos, culminado por la caja de Neper. Las tablillas del resto de las materias están distribuidas por el precioso contenedor. Los Organa Mathematica debieron ser populares en las instituciones escolares jesuíticas. La expulsión de la orden y la transformación de sus colegios deben ser las causas de los pocos dispositivos conocidos que se conservan. El mueble de Praga procede del Clementinum y el de Munich está documentado que proviene de la colección del jesuita Ferdinand Orban (1655-1732) de Ingolstadt y probablemente fue fabricado hacia 1680. La colección pasó al estado después de la disolución de la orden jesuita. (Organum mathematicum. Museo Nacional de Baviera. Foto del museo. Munich)

Miércoles, 02 de Enero de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

192. 136. Las leyes de la Termodinámica

Nos acercamos en esta ocasión a una comedia con una estructura de documental de divulgación de la física. Matemáticamente sólo se observan un montón de fórmulas, pero es reseñable y recomendable desde el punto de vista de guion, aunque la trama de ficción esté un poco cogida por los pelos. Ficha Técnica: Título Original: Las leyes de la Termodinámica. Nacionalidad: España, 2018. Dirección: Mateo Gil. Guion: Mateo Gil. Fotografía: Sergi Vilanova, en Color. Montaje: Miguel Burgos. Música: Fernando Velázquez. Producción: Francisco Ramos. Duración: 100 min. Ficha artística: Intérpretes: Vito Sanz (Manel), Berta Vázquez (Elena), Chino Darín (Pablo), Vicky Luengo (Eva), Irene Escolar (Raquel), Josep Maria Pou (Profesor Amat), Andrea Ros (Alba), Daniel Sánchez Arévalo (él mismo), Alicia Medina (Modelo de Anuncio), Marta Aguilar (Chica Orgullo), José Javier Domínguez (Camarero), Txell Aixendri (Enfermera), Carlos Olalla (Psicólogo), Artur Busquets (Alumno 1), Albert Baró (Alumno 2). Argumento: Manel Suárez, profesor asociado de física teórica se encuentra haciendo su tesis doctoral en torno a la termodinámica. Pretende demostrar que las leyes físicas determinan completamente la relación de las personas, en particular las relaciones sentimentales y amorosas, y nos lo trata de explicar a partir de su propia experiencia y la de un amigo suyo, de carácter diferente, pero con resultados, según él, completamente previsibles, gracias, como hemos dicho a la física, y sobre todo a la termodinámica. Comentario Desde esta sección, desde la que llevamos desgranando la parte matemática de muchas películas más de quince años (que se dice pronto; a priori nadie, ni yo mismo, podría haber supuesto que las matemáticas y el cine hubieran podido dar tanto juego, y lo mejor es que, no tiene visos de haber abarcado todo, lo cual es estupendo), nos hemos lamentado en muchas ocasiones de las posibilidades perdidas por muchas películas por no haber incluido un poco más de matemáticas, un poco más de ciencia, aprovechando la producción de tal o cual argumento, o la recreación de la vida de tal o cual matemático o científico. La película que nos ocupa ahora se encarga de mostrarnos un porqué. Nada más acabar de verla, pensando en cómo comentarla (lo que siempre intento es mostrar de forma exhaustiva todo lo que las películas pueden dar de sí desde el punto de vista matemático, contar todo lo que aparece y lo que podría haber aparecido, las posibilidades que un docente puede tener para motivar a sus alumnos tras visionar tal o cual escena en un aula; y ese par de minutillos normalmente, los que me seguís podéis dar fe de ello, me hacen llegar fácilmente a nueve o diez páginas de explicación), pensé que si pretendía comentarla como hago usualmente, iba a necesitar no una reseña, sino seis o siete, llenando sin problemas treinta o cuarenta páginas. Porque Mateo Gil nos hace un completo recorrido por las leyes de Newton, las leyes de la termodinámica, el electromagnetismo, fuerzas nucleares en los átomos, las teorías de la relatividad especial y general de Einstein, la dualidad de la luz, la paradoja del Schrödinger, la materia y la energía oscura, la teoría del Big Crunch (Gran Colapso), la teoría del Big Rip (Gran desgarramiento), etc., etc., toda, absolutamente toda la Física elemental y parte de la superior en un ejercicio muy bien pensado, perfectamente argumentado, estructuralmente impecablemente montado, una auténtica maravilla de ingenio, en suma, desde el punto de vista de la Física. Cualquier profesor puede elegir la ley de la Física que desee explicar a sus alumnos y tomar la escena de la película para hacer entender de una manera simpática y divertida dicho principio a sus alumnos. Es muy destacable para lo que nos ofrecen normalmente directores y guionistas, aunque no tanto quizá para los que hemos seguido desde que empezó la trayectoria de Mateo Gil, primero como guionista de Alejandro Aménabar, y después como realizador y guionista de sus propias películas (no quiero dejar de citar la magnífica Blackthorn. Sin destino, dada mi debilidad desde siempre por el western). Siempre se ha caracterizado por su impecable documentación y pensada puesta en escena hasta el mínimo detalle. Muy meritorio y riguroso sería la síntesis de todos sus trabajos. Así pues, con tanto material, he decidido comentar únicamente aquellos momentos que más me han sorprendido o llamado la atención (una elección por tanto personal y discutible, como cualquier otra) desde el punto de vista técnico, científico exclusivamente, y teniendo en cuenta que mis conocimientos de Física llegan hasta donde llegan (recuerdo que yo me dedico a las matemáticas). Después comentaremos la paradoja a la que se llega y a la que el propio Mateo Gil quizá no pretendía llegar: porqué, a pesar de tener esos mimbres impecables, finalmente la película no funciona como película (desde el punto de vista del espectador o del crítico de cine). A destacar ¿Cómo hacer entender, en relación a las relaciones personales, la paradoja de Schrödinger, fuera del ya famoso gato (que aparece en un póster en la habitación de Manel, por cierto? En la película todo lo que concierne a la Física aparece muy bien interrelacionado, lo que provoca que la traslación a la historia real de las parejas protagonistas vaya dando saltos hacia adelante y hacia atrás (no es nuevo en el cine; multitud de cineastas nos hacen tener que estar muy atentos porque sin avisar juegan con el espectador mostrándonos lo que desean cuando lo desean, y cuando quieren nos plantan esa escena que hace que cambie toda nuestra percepción. Recuerden, por ejemplo, el primero que me viene a la cabeza, la excepcional Rashomon, de Akira Kurosawa, tantas veces imitado con tan poca fortuna en la mayor parte de los casos, por cierto). Lo digo porque para reproducir lo que se cuenta en la película de la citada paradoja, tengo que reproducir un poco más (todo lo puesto en cursiva, es texto de la película tal cual): Consideremos a Elena y Manel como sistemas de partículas subatómicas. La evolución de las visitas de él a casa de ella servirá como ejemplo de las inverosímiles leyes cuánticas.  El más conocido es el llamado principio de incertidumbre. Trata sobre dos magnitudes que no pueden ser medidas con infinita precisión al mismo tiempo. Si sabes dónde está la partícula no podrás saber a qué velocidad se mueve. Manel, llama a la puerta de Elena (sabemos dónde están ambas partículas), pero cuando Elena abra la puerta, Manel no puede imaginar cuál va a ser su reacción, y se nos dan tres posibles opciones. Opciones que el espectador debe memorizar porque en el posterior desarrollo de la acción, en cada una su comportamiento va a ser diferente. Después sabremos que estas tres opciones han ocurrido las tres (y muchas más): han sucedido en distintos días. Y si conoces su velocidad, no puedes saber dónde está. Hay límites sobre lo que podemos saber sobre una partícula. La causa es que observar la partícula afecta a su situación, como si sólo hiciera lo que observas cuando la observas, como si lo representara sólo para ti. El resto del tiempo no hay certeza alguna de saber lo que está haciendo. Para explicar esto, vemos que Elena se va al cuarto de baño con su móvil dejando a Manel en la cama pensando qué estará haciendo dentro (por supuesto Manel es un neurótico con un cierto complejo de inferioridad frente a la espectacular Elena ya que no puede en el fondo entender cómo se ha fijado en él, un tipo del montón). Pero la incertidumbre no consiste sólo en saber lo que está haciendo, en algo mucho más inquietante. Cuando no observamos la partícula decimos que está difuminada en una nube de probabilidad, de la que podemos decir que no está haciendo nada concreto y, a la vez, lo está haciendo todo. Parece una completa locura, pero de hecho no lo es. En la nube de probabilidad, aunque unas cosas son más probables que otras, cualquier cosa es posible. Incluso es posible, y ha sido demostrado en un famoso experimento, que una partícula esté en dos sitios a la vez. […] Todo en el universo puede comportarse como una onda o como una partícula. Realmente una partícula sólo puede estar en un sitio cada vez, lo que ocurre es que mientras no la observamos, se comporta como una onda, y las ondas se extienden por todo el espacio alrededor. Puedes verlo como que una partícula encarnada en esa onda es de alguna forma ubicua. Esto significa que no sólo puede estar en cualquier otro lugar. Significa que está en todos esos lugares a la vez. Y entonces vemos cómo Manel imagina (los celos) que Elena puede estar besándose con el apuesto compañero Lorenzo, o preparando la cena, o paseando por la calle, o descolgándose por una ventana, o volando por el cielo. La analogía con esto de los celos, o con quien estará hablando con el móvil desde el cuarto de baño, me ha parecido muy acertada e ingeniosa. Aunque no podemos saber exactamente dónde está una partícula, sí conocemos con exactitud la probabilidad de encontrarla en un lugar dado. Si estudias un número suficiente de partículas, puedes estar seguro de que la probabilidad siempre acierta. A la larga es infalible. Esto que es correcto (lo relata uno de los astrofísicos expertos que han participado en la película), Manel lo traslada a su conveniencia (hasta este punto está meditado el guion) a Estudiar un número suficiente de partículas, viene a ser lo mismo que estudiar la misma partícula un número suficiente de veces. Por eso nos muestra varias opciones de quedadas con Elena a lo largo de su relación. Y prosigue diciendo: En el preciso instante que observamos la partícula, deja de comportarse como onda, y realmente está haciendo lo que ves. Y vemos el momento en que pilla in fraganti a Elena y Lorenzo solos (aunque simplemente hablando, pero él se imagina que hay algo más). Otro momento magnífico es cómo nos relata la relatividad de una misma acción, a través del tortazo que Pablo se pega cayendo desde un tráiler, comparando la visión que tiene Eva, su novia, y el propio Pablo, observadores en movimiento desde el mismo tráiler (en línea recta directamente al suelo) que el que observa un nuevo ligue desde el suelo, observador parado (parábola). Y se indica que la parábola es obviamente más larga que la línea recta, por lo que la amante lo ve caer necesariamente a mayor velocidad que la novia. Aquí el guionista podía haber sido un poco más preciso (parte matemática) porque utilizar el adjetivo “largo” entre dos curvas, no es muy riguroso que digamos, pero, en fin, volvamos a la película. Y aquí se vuelve a conectar con las partículas y la teoría de la relatividad, trasladando esta misma situación a un rayo de luz. Entonces ambos observadores tendrían que ver lo mismo porque la velocidad de la luz es contante (300.000 Km/seg): Einstein demostró que no sólo el espacio se contrae o estira según la posición del observador, sino que el tiempo también es relativo. Y entonces aparece Pablo encamado en el hospital diciendo, “A mí la caída se me hizo eterna”. ¿A qué profesor de cualquier asignatura no le han preguntado sus alumnos eso de “¿Y esto para qué sirve?”? En matemáticas lo hemos oído cada año varias veces. En la película, acerca de las leyes de la termodinámica, un alumno se supone que sin problemas para aprobar a tenor de lo que dice, plantea en el aula la consabida cuestión: Profesor Amat: Una fórmula calcula la entropía en términos de probabilidad (ver la fórmula de la primera imagen), y la otra en términos de energía (ver la segunda fórmula de la imagen). Aun calculando cosas tan distintas, los resultados coinciden. ¿No les parece fascinante? (Ante la apatía, habitual por otra parte, de los alumnos, apostilla decepcionado: No les parece fascinante. Alumno: Eh…, no le sigo, profe. Usted me conoce. Sabe que estudio lo que haga falta, pero la termodinámica no me entra. Profesor Amat (ligeramente enfadado): ¿Qué es lo que no le entra a usted? Alumno: Nada. Para empezar, no entiendo para qué sirve todo esto. Manel (estaba escribiendo en el encerado, y se vuelve de repente): Igual no te entra porque no has captado un detalle sutil pero importante. Y es que todo esto, no sólo afecta a las sustancias que usamos en el laboratorio. Te afecta a ti. Me afecta a mí. Nos afecta a todos. La segunda ley de la termodinámica (la de la entropía) explica por qué un vaso se hace añicos al tirarlo al suelo y, en cambio, si tiras los añicos, no se arma un vaso. Explica por qué se estropean los aparatos si no los usas (se dirige a toda la clase, subiendo los escalones del aula hacia la posición en la que está el alumno que ha preguntado), por qué no duran los castillos de arena, porqué al final todo (recalco las palabras en las que hace mayor énfasis) acaba olvidándose, explica por qué lo que querías hacer se convierte en la chapuza que acabas haciendo, y por qué tu pareja acaba aburriéndose de ti y buscándose a otro. Incluso explica por qué no podemos volver atrás en el tiempo y arreglar la cagada que tuvimos con ella. Explica por tanto todo lo que haces mal. Porque se puede aplicar a todos los sistemas empezando por el mismo universo y acabando por tu propia vida y la mierda de sistema social en la que la estás echando a perder. (Más calmado porque se da cuenta del numerito que ha montado). Piénsalo, y para el próximo día me traes una redacción (Risas). Evidentemente Manel está muy sensibilizado con su trabajo (su tesis va sobre el efecto de las leyes de la Física sobre las relaciones personales y el amor en particular), y sensible (por la ruptura con Elena), pero en efecto son muchas las ocasiones en que hay que explicar (y no sólo en clase) por qué es importante tal o cual cosa que aparece en los planes de estudio. El que esto escribe está ya tan cansado de esa retórica cuestión que simplemente ya responde (aún a riesgo de parecer borde) algo así como: Mira majo, te sirve para aprobar esta asignatura. Has elegido este grado (en la Universidad), quieres dedicarte a esto, ¿verdad? (en mi caso, alumnos del grado de informática). Pues si no apruebas esta asignatura, no vas a poder. Y para eso hay que demostrar que sabes algo (y para eso se hacen exámenes y demás trabajos), y para eso hay que estudiar algo también. Así que, tú sabrás, que, por supuesto yo no te lo voy a regalar por tu cara bonita. Para eso, al menos, te va a servir a ti el Cálculo. ¿No te parece suficiente? Finalmente, la analogía de la discoteca con el movimiento de los sistemas planetarios, también es destacable: Copérnico y Galileo nos hicieron ver que somos nosotros los que giramos alrededor del Sol (El Sol es por supuesto Elena), como el resto de los planetas (todos los “moscones” que tratan de ligarse a la chica espectacular, bailando alrededor de ella tratando de acercarse sin que se note; Manel nos (la) explica algunos tipos de planetas de acuerdo al tipo de “moscón”). Y aprovecha el movimiento que van haciendo para indicar las leyes de Kepler y las órbitas elípticas que describen. Como digo toda la película es un conjunto de ingeniosas analogías entre todas las leyes de la Física y las relaciones personales. Cada escena está fenomenal y meticulosamente pensada. Cuanto más la reviso, más cosas me parecen destacables, la verdad. Pero entonces, Por qué no funciona como película Cuando uno comienza a verla, lo hace desde un punto de vista curioso, por lo original tanto en el argumento como en la forma (imágenes con vectores y datos numéricos, como en los problemas de los libros de texto; superposición de iconos del móvil para saber qué hace el protagonista; agujero a la altura del corazón; etc.). El formato de documental (con los bustos parlantes de los expertos hablando en inglés, gráficos en croma ilustrativos y el doblaje al castellano por encima, pero oyéndose su voz original) es asimismo simpático. Pero llega un momento en que la gracia se convierte en tostón (como Manel, curiosamente) porque el espectador que va al cine a pasar la tarde quiere pensar lo justo, de modo que (lo he comprobado) hay personas, incluso universitarias, que llegando a la parte de la materia oscura (último cuarto de hora de la película) empieza a soplar, a cambiar de postura constantemente en la butaca, a desear que se acabe ya. Los expertos en divulgación y educación aconsejan que, si se va a mostrar al público algún audiovisual técnico, éste no dure más allá de los 20-25 minutos, porque llega un momento en que el rendimiento intelectual, la atención (quieras o no) va disminuyendo a partir de ese momento. Los documentales se editan en torno a 45-50 minutos a lo sumo por la misma razón, e intercalando momentos que relajen la tensión intelectual (en esta categoría iría esta película). Lo que le pasa a esta película es que al final tienes la sensación de haber visto uno de estos documentales y para nada una comedia. Y es una pena, porque como vengo diciendo es muy notable la forma en que Mateo Gil ha pergeñado el guion, y lo magníficamente que ha recorrido toda la Física. Cada una de las partes de esta disciplina que se han tocado son para verlas, individualmente, varias veces, y comentarlas para sacarlas todo el jugo que tienen. Esto lo han entendido muy bien los guionistas de la popular Big Bang Theory. Les importa una mierda que el espectador aprenda o entienda lo que se cuenta de Ciencia (lo harán los interesados, o de hecho ya entenderán ellos los también inteligentes gags que sueltan), pero el nivel de comedia a partir de situaciones cotidianas, entendibles por todos, llevándolas al extremo de la caricatura, lo mantienen muy alto y constante a lo largo de cada capítulo (que no olvidemos son de 20 minutos aproximadamente). Mateo Gil no ha querido hacer esto (en sus declaraciones indica que ha buscado más la sonrisa que la carcajada, y así es), y ha realizado una película valiente, mucho más didáctica que la serie comentada, y además que haga pensar al espectador más allá de la propia Física (claramente la película plantea la cuestión filosófica de si existe el libre albedrio o todo está determinado de antemano; echen un vistazo a Descartes, Espinosa, etc. se puede recorrer también toda la historia de la Filosofía, ahora que se plantea su imprescindible vuelta a los currículos). Por no hablar de cómo en nuestras vidas cotidianas, hacemos como Manel, echamos las culpas de nuestros fracasos a cualquier cosa fuera de nosotros mismos, siempre hay una excusa (para Manel el determinismo de las leyes físicas; para otros, el azar, la casualidad, el destino, Dios, etc.). Es decir, se plantean también cuestiones de cierta trascendencia y un tanto incómodas para una tarde de ocio.  Todos estos factores (y muchos más sin duda, pero ya saben el margen de esta reseña es demasiado estrecho para evitar ser también un tostón) han hecho que la recaudación en taquilla y el impacto en el público no haya sido todo lo bueno que, honestamente, creo que la película y sus responsables merecen. No suelo mirar demasiado las críticas de las películas (respeto a todos y cada uno de los críticos porque los tengo a todos por personas con cierto bagaje técnico y cultural, además de que cualquier opinión me parece súper respetable, pero también es cierto que en el medio da la impresión de haber demasiados patrones ya establecidos, muchos intereses publicitarios, y no digamos amiguismos y servidumbres), pero he visto de todo (como casi siempre), desde los que asumen lo arriesgado de la propuesta, hasta los que la califican de pedante o pretenciosa. Simplemente les diría que, para poder valorar convenientemente una película como ésta, primero hay que entender lo que se explica en ella, y ser consciente de la dificultad de transmitir ideas científicas de un modo sencillo y asequible a cualquier persona no necesariamente versada en estos temas (lo de si eres capaz de explicárselo a tu abuelo en dos minutos y que lo entienda, en definitiva). Y después hablamos, ya con algún conocimiento de causa. Brevemente, también hay cosas que no me han gustado. En la parte de ficción, claro está. Me molesta el típico maniqueísmo de las comedias románticas de que las chicas siempre están muy por delante de los inocentes, desastrosos, plastas, de pensamiento único (se repite demasiado esa obsesión que según Freud está siempre en nuestra mente, de seis letras que empieza por f) que somos los chicos (aunque sea cierto en un, digamos 75% de los casos). Y por supuesto, las condiciones iniciales de la película (chica espectacular que se fija en un chico del montón) son absolutamente improbables (por no decir imposibles). No quiero dejar de enumerar la plantilla de científicos reales y “serios” (astrofísicos la  mayor parte) que han colaborado en la película y que se interpretan a sí mismos: Katharine Blundell (profesora de Astrofísica en la Universidad de Oxford), Stephen Blundell (profesor de física en la Universidad de Oxford), Celine Boehm (profesora de física de partículas en la Universidad de Sydney. Trabaja en física de astropartículas y materia oscura), Phil Charles (catedrático de Astronomía en la universidad de Southampton (Reino Unido) y profesor visitante en la universidad de Oxford), Romano Corradi (Investigador y doctor en Astrofísica, en la actualidad es el Director General del Gran Telescopio de Canarias), Denise Gonçalves (Astrofísica de la universidad federal de Rio de Janeiro), Mathieu Langer (Astrofísico y profesor asociado de la universidad de Paris-Sud), Antonio Mampaso (astrofísico, profesor en la Universidad de La Laguna, investigador del Instituto de Astrofísica de Canarias y colaborador científico del Consejo Superior de Investigaciones Científicas), Tariq Shahbaz (investigador del Instituto de Astrofísica de Canarias), Licia Verde (cosmóloga y física teórica italiana, actualmente profesora de Física y Astronomía ICREA en la Universidad de Barcelona) y Eva Villaver (astrofísica del departamento de física teórica de la Universidad Autónoma de Madrid. Estoy seguro que habrán disfrutado del resultado final. En definitiva, recomiendo efusivamente su visionado (si no lo hiciste en salas comerciales, dale la oportunidad al DVD; seguro que, como yo, repites escenas varias veces) ahora que se acerca un periodo vacacional un poco más largo. Alfonso Jesús Población Sáez

Miércoles, 05 de Diciembre de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

193. 166. (Diciembre 2018) Memoria sin par

Para los que "presumen" de escasa memoria como quien suscribe, es motivo de envidia (sana), de admiración (sincera) y de sorpresa (agradable) encontrar personajes que son capaces de retener gran cantidad de información, o que demuestran gran destreza y precisión al realizar complicadas operaciones matemáticas. Ya hemos visto en varias ocasiones a lo largo de este rincón que una combinación adecuada de propiedades matemáticas y técnicas de magia permite suplir la falta de habilidad y destreza calculística; los más recientes corresponden a los números 161 y 162 ( junio y julio de 2018) pero la secuencia de números desde el 108 al 111 (entre septiembre y diciembre de 2012) también se dedicaba a esta misma cuestión. Volvemos a tratar este tema aprovechando el descubrimiento hace dos meses de Leo Boudreau y su privilegiada capacidad creativa para conjugar la magia con las matemáticas. Ya citamos en aquel artículo (número 163 de este rincón) una lista de sus publicaciones, entre las cuales hemos rescatado el siguiente juego (que apareció en el foro de magia "The magic café"), con el cual podrás adivinar un número entre una gran cantidad de ellos, sólo sabiendo si alguna de sus cifras es par o impar. Sigue con atención la descripción del juego y decide por ti mismo si merece la pena su estudio. Imprime en una tarjeta los siguientes 30 números: 1593067 5072401 7163623 9463812 6802501 9372845 8593756 4163389 1502034 8072723 7293690 3802289 7163690 5072478 8502756 2463190 6372501 8593723 1502067 6372534 2463167 1593034 3802256 8072756 4163312 6802534 7293623 9463845 8502723 9372812 Muestra la tarjeta a una persona y pídele que seleccione mentalmente uno cualquiera de estos números. Realiza a continuación las siguientes preguntas, sobre la paridad de las cifras del número elegido: -¿La cifra central (la que ocupa el cuarto lugar) es par o impar?- Al recibir la respuesta, escribe una cifra en un cuaderno, anunciando que ya sabes cuál es. -¿La cifra que ocupa el tercer lugar (empezando por la izquierda) es par o impar?- Escribe una segunda cifra en el cuaderno, y muestra lo que has escrito para comprobar si estás acertando. -¿La cifra que ocupa el segundo lugar es par o impar?- Escribe una tercera cifra en el cuaderno. -¿La cifra que ocupa el primer lugar es par o impar?- Escribe una cifra más, sugerida por la respuesta. -¿La cifra que ocupa el último lugar es par o impar?- Vuelve a escribir una nueva cifra. -Concéntrate en las dos cifras que faltan, sin darme ninguna información adicional.-Escribe dos cifras más y muestra el resultado: el número escrito coincide con el elegido. El proceso que debes seguir para descubrir el número elegido es el siguiente: Si la primera respuesta es “par”, la cifra central es 2; si la primera respuesta es “impar”, la cifra central es 3. El método general de construcción de las siguientes cifras consiste en aplicar alguna de las siguientes reglas, según la paridad de las dos últimas cifras nombradas por tu asistente: Sumar 6 a la última cifra recién escrita si dicha cifra es impar y la recién nombrada es también impar. Sumar 3 a la última cifra recién escrita si esta es impar pero la siguiente es par. Sumar 5 si la última cifra escrita es par y la siguiente es impar. Sumar 8 si las dos últimas cifras escritas son pares. En cualquiera de los casos, si la suma es mayor que 10, se decarta la cifra de las decenas. Las dos cifras finales se obtienen simplemente restando uno a la primera y última cifras. Concretamente, la penúltima cifra será igual a la última menos uno y la antepenúltima cifra será igual a la primera menos uno. Veamos un ejemplo correspondiente a la paridad de las dos primeras cifras nombradas: Combinación impar/impar, la cuarta cifra es 3 y la tercera cifra es 3 + 6 = 9; el número es xx93xxx. Combinación par/impar, la cuarta cifra es 2 y la tercera cifra es 2 + 5 = 7; el número es xx72xxx. Combinación impar/par, la cuarta cifra es 3 y la tercera cifra es 3 + 3 = 6; el número es xx63xxx. Combinación par/par, la cuarta cifra es 2 y la tercera cifra es 2 + 8 = 10; el número es xx02xxx. Veamos a continuación un ejemplo completo: la persona asistente elige el número 6802534. A partir de la secuencia de preguntas, vamos obteniendo las distintas cifras como sigue: -¿La cifra central (la que ocupa el cuarto lugar) es par o impar?- Como la respuesta es “par”, dicha cifra es 2. La escribimos en el cuaderno y la mostramos al público. -¿La cifra que ocupa el tercer lugar es par o impar?- Como la respuesta es “par”, hacemos la suma 2 + 8 = 10. Escribimos la cifra 0 y mostramos el cuaderno al público. -¿La cifra que ocupa el segundo lugar es par o impar?- Nuevamente, la respuesta es “par”, de modo que hacemos la suma 0 + 8 = 8 y escribimos la cifra 8, mostrando nuevamente al público que estamos acertando todas. -¿La cifra que ocupa el primer lugar es par o impar?- Otra vez la respuesta es “par”, con lo que hacemos 8 + 8 = 16 y escribimos la cifra 6. De momento, el número empieza por 6802, con lo cual todas las cifras son correctas. -¿La cifra que ocupa el último lugar es par o impar?- La respuesta es de nuevo “par”, con lo que hacemos 6 + 8 = 14 y escribimos la cifra 4 dejando dos espacios para la penúltima y antepenúltima cifras. -Concéntrate en las dos cifras que faltan, sin darme ninguna información adicional.- Como la primera cifra es 6, la antepenúltima es 5 y, como la última cifra es 4, la penúltima es 3. Muestra el número completo para comprobar que lo has adivinado completamente. Comentarios finales. Teniendo en cuenta que un público muy observador podría darse cuenta de que las dos últimas cifras son consecutivas, Andy Moss ideó una pequeña variante que también publicó en el foro The Magic Café. La nueva lista de números propuesta está formada por los siguientes (verás que se han modificado las dos últimas cifras que deben acertarse, es decir las que ocupan las posiciones penúltima y antepenúltima): 1593947 5072381 7163503 9463792 6802481 9372725 8593636 4163269 1502914 8072603 7293570 3802169 7163570 5072358 8502636 1502947 6372481 8593603 2463070 2463047 6372414 1593914 3802136 8072636 4163292 6802414 7293503 9463725 8502603 9372792 La regla de formación de las cifras es la misma que la del juego original salvo las dos cifras que se adivinan al final: ahora la penúltima cifra es igual a la última menos tres y la antepenúltima es igual a la primera menos dos, salvo en los casos en que la resta fuera negativa, en cuyo caso se suma 10 al resultado. Por ejemplo, si la primera cifra es 4, la antepenúltima sería 4 - 2 = 2; pero si la primera es 1, la antepenúltima es 11 - 2 = 9. Otra modificación propuesta por Andy Moss es la relativa a la sucesión de preguntas para disimular aún más el proceso: basta preguntar inicialmente la posición de las cifras impares en el número elegido. Esto proporciona la información suficiente para construir todo el número sin necesidad de pedir la paridad de las cifras, una a una y empezando concretamente por la central. El sistema utilizado por Leo Boudreau para adivinar el número hace que sea sencillo realizar el juego por ordenador. Si eres capaz de elaborar un programa que dé la solución a partir de las preguntas anteriores, tendrás un juego que sorprenderá a más de uno. De hecho, el programa puede estar diseñado para que los números vayan cambiando cada vez, digamos que utilizando una pareja distinta -número par/número impar- con la que adivinar la cifra central. Un problema de combinatoria relacionado con el juego es el siguiente: «¿cuántos números de siete cifras se pueden construir de modo que la cifra central sea 2 o 3 y el resto se formen a partir de las reglas especificadas en el juego?» Para llegar a la respuesta, habrá que contar el número de posibilidades de combinaciones par/impar entre cada pareja de cifras. Cuando hayas resuelto este problema, quizá -o quizá no- podrás realizar el juego con una cantidad mayor de números de siete cifras. Compara tu respuesta con la mía en este enlace (SOLUCIÓN). Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

Lunes, 03 de Diciembre de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

194. 49. (Noviembre 2018) Las otras Escuelas de Atenas

(Giorgio Vasari, Studiolo de Cosme I. Palazzo Vecchio de Florencia) Una figura tan grande como Rafael Sanzio no podía repetir patrones anteriores. En las nuevas Estancias vaticanas rompió con el modelo de representación de las Artes Liberales. Las alegorías femeninas dominantes que iban acompañadas por los sabios desaparecen; las ciencias del trivium y el cuadrivium se quedan solo con sus personajes. Las bellas mujeres con las que Marciano Capella excitó la imaginación se diluyen después de 1000 años de dominar el arte. En su lugar hay una única escena, pletórica de vida, donde apenas se vislumbran algunas damas, la más clara se atribuye a Hipatia, la que está al lado de la Aritmética, con Pitágoras y Boecio. La filosofía ocupa el centro con Platón y Aristóteles, y en pequeños núcleos las siete artes vienen representadas en pequeños grupos realizando su actividad. Las artes matemáticas ocupan el primer plano donde destaca la Geometría con Euclides en primer plano con compás dibujando en el suelo. Esa pose del sabio inclinado realizando cálculos geométricos va a convertirse en un nuevo paradigma para los pintores que lo contemplen. (Rafael Sanzio, Escuela de Atenas. Estancia de la signatura. Ciudad del Vaticano) Por un lado, Rafael rindió homenaje al valioso legado griego y por otro destaca la relación entre el arte y las matemáticas dando rostro de conocidos artistas de la época a los sabios que representa. La Escuela de Atenas vaticana data de 1510-1511 y a partir de ese momento cambiará el diseño de muchos murales en bibliotecas para incorporar el nuevo diseño.  A describir algunas de las otras Escuelas de Atenas se dedica ese escrito. La otra Escuela de Atenas en la Ambrosiana La Pinacoteca Ambrosiana de Milán contiene un avanzado Estudio para la escuela de Atenas de Rafael. No se trata de un borrador inicial, no estamos ante un simple boceto, sino ante una obra prácticamente acabada a tamaño real en sus grandes líneas, solo le falta el color. (Rafael Sanzio, Boceto para la Escuela de Atenas. Galería Ambrosiana. Milan) Las esculturas inacabadas de Miguel Ángel, seres que emergen de la piedra, tienen si cabe tanto encanto como las obras finalizadas. A este boceto de Rafael le pasa lo mismo. Solo echamos de menos precisamente la figura sentada en solitario que representa a Heráclito utilizando la imagen del propio Miguel Ángel. Rafael debió de dudar hasta el final sobre que papel asignarle al gran genio. La escuela de Atenas se nos descubre con todo su esplendor: el camino al conocimiento que termina en Platón y Aristóteles pasando por la Matemática. La obra se expone en penumbra dado lo vulnerable de su material: papel y carboncillo. La Academia de Platón en el Arqueológico de Nápoles Antes de pasar a la influencia ejercida por Rafael se debe exponer algún antecedente. Las escuelas filosóficas de Atenas como la Academia de Platón, el Liceo de Aristóteles o la Stoa de Zenón el estoico, fueron objeto de representación en los mosaicos romanos. En el Museo Arqueológico de Nápoles se encuentran algunos de los mosaicos romanos más impresionantes que puedan visitarse. Uno de los destacables es un bello mosaico que hace referencia a la meditación de los sabios en la Academia de Platón. Algunos estudiosos dialogan mientras que otros se hayan sumidos en profundos pensamientos sobre el universo matemático. Un sabio señala con su vara hacia un globo con la eclíptica, los meridianos y los paralelos. Parece ser que Platón es el filósofo que explica con la vara. El sabio que se apoya en la columna del reloj solar -con la mano sujetando la cabeza-puede ser Eudoxo de Cnidos, el creador del método de exhausción, la forma primitiva del cálculo integral. (Mosaico de la Academia de Platón. Museo Arqueológico. Nápoles) El delicioso mosaico nos trae a la mente la prescripción platónica del no entre aquí quien no sepa geometría que adornaba el frontispicio de la Academia. El studiolo de Cosme I en el Palazzo Vecchio de Florencia El studiolo, lugar de trabajo, sosiego y retiro del Príncipe del Renacimiento, suele estar decorado con motivos que hacen referencia a la filosofía, las artes y las ciencias. Cosme I encargó a Giorgio Vasari una decoración acorde con estos principios para su estancia en el Palazzo Vecchio. También llamada la Sala del Tesoretto, el estudio de Cosme I [foto de portada] destaca por el lujo de sus dorados. La religión está representada por los cuatro evangelistas, el resto de los motivos son profanos: la geometría, la astronomía, la música, la filosofía,… El fresco de la Geometría está muy deteriorado y apenas se vislumbran dos poliedros, en cambio el de la Astronomía muestra la actividad geométrica en plana acción. Vasari, más que inspirarse, copia sin disimulo la esquina derecha de La Escuela de Atenas de Rafael. El personaje agachado con compás (Euclides o Arquímedes) traza sus figuras en presencia de Ptolomeo en un marco clásico que simula la ciudad de Alejandría. La Aritmética no está representada directamente pero el tonel de Diógenes de Sinope, la Filosofía, está orlado de números. Nos aproximamos al barroco: la filosofía se va reduciendo a la escuela cínica. La Biblioteca del Monasterio de San Lorenzo de El Escorial El Monasterio de San Lorenzo no puede separarse de la visión que hombres como Herrera tenían de la unidad esencial del saber. Su huella está por todas partes, pero esencialmente en la Biblioteca. La historia de la biblioteca real es larga y controvertida. La decisión de Felipe II de instalarla en un apartado no es del agrado de todos, pero no podría entenderse el proyecto global sin el lugar de estudio. El eje central del edificio muestra alineados el trono, el panteón, el altar...y la biblioteca. Otra muestra de la importancia de la biblioteca es su decoración. La búsqueda en Italia de los pintores más acreditados de la época fue un fracaso hasta la llegada de Tibaldí. Pellegrino Tibaldí, al estilo del Miguel Ángel de la Sixtina, supo plasmar con pasión y colorido el diseño iconográfico del padre Sigüenza para el trivium y de Herrera para el cuadrivium, convirtiendo la biblioteca en todo un estimulante recorrido por el mundo de la sabiduría y sus artífices. La bóveda de la biblioteca se encuentra dividida en siete espacios. El lugar central de cada uno está ocupado por siete matronas: la gramática, la retórica, la dialéctica, la aritmética, la música, la geometría y la astrología. Cada una de las bellas mujeres tiene los atributos y decoración característicos de su actividad. En los laterales correspondientes se encuentran cuatro personajes destacados en cada disciplina y dos escenas adecuadas. Pocas veces la matemática se encuentra tan explícita y con tanta intensidad. La influencia de la Escuela de Atenas de Rafael se hace patente en dos escenas: la muerte de Arquímedes en la sección de la Geometría y en la propia Schola Atheniensium que se encuentra debajo de la Filosofía en la luneta lateral. (Tibaldi/ Carducho. Schola Atheniensium. Biblioteca de San Lorenzo de El Escorial) La matemática tiene una presencia determinante en la Escuela de Atenas escurialense. Como en el Vaticano, los personajes de los extremos se afanan en la actividad geométrica y en el centro  de la imagen se representan más poliedros y esferas. (Tibaldi/ Carducho. Muerte de Arquímedes. Biblioteca de San Lorenzo de El Escorial) “La Escuela de Atenas” jesuita en Valenciennes Los jesuitas se instalaron en Valenciennes en 1591 y mantuvieron su colegio hasta la expulsión en 1765. El edificio se reconstruyó totalmente  entre los años 1735 y 1751. La Biblioteca de Profesores data de esa renovación y pasa por ser la mejor conservada de Francia de su época. Resulta grato saber que desde inicios del siglo XIX hasta hoy alberga la biblioteca pública. La llamada Biblioteca Jesuita se encuentra en la primera planta con vistas a la calle. Se trata de un recinto abovedado con seis tramos y doce lunetas pintadas al fresco, a las que hay que añadir las dos mayores de los extremos. Una de estas es una versión jesuita de la Escuela de Atenas. Incluso Ptolomeo sigue apareciendo con corona, confundiendo los reyes de Alejandría con el sabio astrónomo y matemático. (Escuela de Atenas. Biblioteca Jesuita. Valenciennes) El fondo histórico de la biblioteca jesuita supera los 350 000 volúmenes y manuscritos; algunas primeras ediciones matemáticas son mostradas con amabilidad a los visitantes. Los frescos matemáticos del Monasterio Strahov en Praga El Monasterio de Strahov es una antigua fundación del siglo XII remodelada de forma que en su aspecto actual dominan el barroco y el neoclasicismo. Las dos bibliotecas, la Teológica y la Filosófica, son de gran valor tanto por su estética como por su contenido. En ambas hay frescos alegóricos a la actividad matemática. El monasterio se localiza en el alto de Mala Strana, cerca de la plaza con la moderna escultura de Kepler y Brahe. La Biblioteca Filosófica (c. 1779) es más alta y clasicista. Los frescos son continuos y en grandes escenas; en el lateral derecho se puede observar a los sabios Tales, Pitágoras o Euclides trabajando en su actividad con distintos instrumentos y dibujos geométricos. Los focos colocados recortan la visibilidad. La figura inclinada con compás y toda la escena ponen de manifiesto  la influencia de la Escuela de Atenas de Rafael. (Matemáticos en actividad. Biblioteca Filosófica. Monasterio Strahov. Praga)

Lunes, 26 de Noviembre de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

195. 94. (Noviembre 2018) La geometría de la música (II)

1. Introducción Esta es la segunda entrega de la serie Geometría y Música, serie que versa sobre los modelos geométricos en música y que en su mayor parte será una recensión del libro de Dimitri Tymoczko [Tym18] A Geometry of Music. En la primera entrega [Góm18] examinamos las ideas principales de este autor sobre la música tonal y post-tonal. Vimos que Tymoczko caracteriza la tonalidad por cinco componentes principales: (1) el movimiento melódico por grados conjuntos; (2) la consonancia acústica o qué intervalos se consideran consonantes y disonantes; (3) la consistencia armónica o la similitud entre sonoridades armónicas; (4) la macroarmonía limitada o el hecho de que para construir la música se escoge un número relativamente pequeño de notas (las escalas); y (5) la centralidad o el hecho de que en la música tonal hay una jerarquía que otorga más importancia a ciertos tonos que a otros. Después de esta caracterización, Tymoczko continúa con lo que él llama las cuatro afirmaciones fundamentales. Las recogemos de nuevo aquí porque serán importantes en el desarrollo de esta serie. Estas afirmaciones son: (1) la armonía y el contrapunto se restringen mútuamente; (2) la escala, la macroarmonía y la centralidad son independientes; (3) toda modulación implica conducción de voces; y (4) la música puede entenderse a través de modelos geométricos. Tymoczko aboga por el uso conceptual y práctico de los métodos geométricos para el análisis y la composición de música; se queja —y en muchos casos no le falta razón—de que los métodos tradicionales no proporcionan métodos de análisis suficientemente potentes y comprensivos. A partir de las premisas enumeradas antes, el autor persigue demostrar que los métodos geométricos son más satisfactorios en el análisis musical que los métodos tradicionales. En las secciones siguientes se presentan los conceptos matemáticos y musicales básicos para entender las ideas principales de los métodos geométricos presentados por Tymoczko. 2. Espacios de tonos Físicamente, el sonido consiste en vibraciones periódicas del aire. Cuando estás vibraciones son relativamente estables percibimos un sonido, que lleva asociada una frecuencia. Nuestro oído es capaz de percibir esa frecuencia y asociarle un tono o altura. En general, un tono no está dado por una única frecuencia, pero para nuestros propósitos podemos suponer que es así. Por la naturaleza del sonido, las frecuencias funcionan en términos de cocientes y no de sumas. Para ilustrar este hecho, supongamos que tenemos tres sonidos s1,s2,s3 de frecuencias, f,2f y 3f, respectivamente. Si reproducimos los sonidos s1 y s2 y a continuación reproducimos los sonidos s2 y s3, tendremos la sensación de que el salto auditivo entre los dos primeros es mayor que entre los dos últimos. Esto es debido a que nuestro oído detecta los cambios en los cocientes de la frecuencia y no los cambios en su diferencia (en esta caso las diferencias entre los sonidos es siempre f). Como el cociente entre las frecuencias de s1 y s2 es 2 y el cociente entre s2 y s3 es 3∕2, el primer salto se percibe como mayor. Trabajar con las proporciones es farragoso y por eso se pasa a un espacio en que las distancias entre las notas se midan mediante sumas y no mediante cocientes. La fórmula siguiente permite ese paso: donde p es el tono asociado a la frecuencia f. En la ecuación aparece la normalización respecto al la de 440 hercios. Las constantes c1,c2 se toman típicamente como c1 = 69 y c2 = 12. Esta elección permite que cada octava esté dividida en 12 semitonos y que el tono de do4 (la nota de frecuencia 261,6 Hz) tenga como valor 60; véase la figura 1. Figura 1: Espacios lineales de tonos (figura tomada de [Tym11]) El espacio de tonos producido por la fórmula de arriba es lineal, esto es, se corresponde con el del conjunto de los enteros que se representan sobre una recta. Pasar de un tono a otro se hace ahora mediante sumas y restas. Por ejemplo, si un tono tiene valor x, el tono en la octava inmediatamente superior es x + 12 y el de la inmediatamente inferior, x - 12. El oído humano tiende a oír los mismos tonos en distintas octavas como iguales o muy similares. Esto es lo que se llama la equivalencia de la octava. Se sabe que este principio constituye un universal musical (véase [BJ11] para más información sobre universales musicales). Por tal motivo, los músicos, cuando están interesados en la nota en sí misma y no en su posición en una octava determinada, identifican todos los tonos iguales en las octavas. Esto, matemáticamente hablando, es una relación de equivalencia, definida como sigue. Si x,y son dos tonos, entonces se dice que x está relacionado con y, y lo escribimos como x ~ y, si |x - y| = 12. Las clases de equivalencias se llaman clases de tonos o clases de alturas. Las clases de tonos se pueden representar sobre un círculo, que no es sino una visualización de las clases de equivalencia; véase la figura 2. Figura 2: Espacios circulares de tonos (figura tomada de [Tym11]) Será útil en el análisis de la música del siglo XX, como veremos en posteriores entregas de esta serie, considerar clases de tonos continuas. En la figura anterior aparece la clase de do más 0,17 cents como ilustración de que el modelo admite tonos con valores reales. Se define la distancia entre dos clases de tonos como la distancia más corta en el círculo entre dichas clases. Entre dos notas dadas, siempre hay dos caminos que van de una a otra, uno en sentido horario y otro en sentido antihorario. Volviendo a la figura anterior, la distancia entre do y mi es 4 (y no 8 que sería el valor de la otra distancia). Como a veces será necesario especificar una de las dos distancias entre dos clases dadas, usaremos la notación domi, que significa que se considera el camino que va de do a mi en sentido positivo (horario). La expresión domi se refiere al otro camino de do a mi. Una ventaja que tiene la representación en el círculo de las clases de tonos es que se puede representar el movimiento melódico como un caminos en el espacio de clases. 3. Transformaciones que preservan las distancias La distancia entre dos notas o clases es importante en música y por ello los músicos clasifican dichas distancias y dan nombre a todos los intervalos que generan dos notas dadas. Entonces, las transformaciones musicales que preservan las distancias entre notas tienen especial relevancia. Dichas operaciones son la transposición y la inversión. En el lenguaje geométrico, estas operaciones se corresponden con la traslación y la simetría axial, también llamada reflexión. La transposición consiste en añadir un número constante de semitonos x a un tono dado p. Se designa por Tx(p) y su expresión es Tx(p) = p + x. Dos melodías que estén transpuestas se perciben como iguales o muy similares. La segunda transformación que preserva las distancias es la inversión. Aquí hay que advertir que el término inversión es polisémico. En música, se usa para hablar de las inversiones de un acorde dentro de una octava, como en la primera inversión del acorde do-mi-sol es mi-sol-do; y también para hablar de la inversión referida al espacio de clases de tonos, que es la que estamos tratando ahora. La inversión cambia el contorno melódico y lo que asciende ahora desciende y viceversa; además las distancias entre los intervalos se respetan, aunque no así su dirección. Este tipo de inversión es la que se produce cuando estamos ante el espejo. Para ilustrarlo mejor, consideremos el ejemplo dado por el propio Tymoczko, en la página 34 de su libro y que reproducimos en la figura 3. En la parte (a) tenemos un pasaje de El clave bien temperado, libro II, de J. S. Bach; en la parte (b) tenemos el mismo pasaje al que se le ha aplicado la inversión. El bajo de la parte (b) es una reflexión exacta del bajo de la parte (a). El eje de simetría de la reflexión es el la3 = 57, que es la segunda nota del bajo. La melodía de la mano derecha también ha sufrido una inversión, excepto en la primera y última nota (por razones armónicas). Obsérvese cómo las direcciones de la melodía reflejada ha cambiado respecto a las de la melodía original. Figura 3: Inversiones en el El clave bien temperado, libro II, de Bach (figura tomada de [Tym11]) En términos de la geometría, la inversión es una reflexión o simetría axial. Para definir matemáticamente esta operación necesitamos dos puntos x,y en el círculo. El eje de simetría será la recta perpendicular que pasa por el punto medio del segmento xy (dicho punto está dado por . En estas condiciones, la reflexión Iyx(p) de un punto p está dada por la expresión Obsérvese que Iyx(x) = y y que Iyx(y) = x. En la figura siguiente se pueden ver las equivalencias geométricas de las operaciones de transposición e inversión. Figura 4: Transposiciones e inversiones (figura tomada de [Tym11]) 4. Transformaciones que preservan la identidad musical Para Tymoczko, un objeto musical básico es cualquier serie ordenada de tonos o notas. Esta es una definición bastante abstracta. Así, la serie (do4, mi4, sol4) puede representar o bien una melodía o bien un acorde. Esta abstracción, veremos pronto, es necesaria. La idea que se persigue aquí es clasificar los objetos musicales básicos de acuerdo a su contenido de tonos y no respecto a su distribución en la octava. Las tres transformaciones que conservan la identidad armónica de un objeto musical son: los cambios de octava, las permutaciones o reordenaciones y los cambios de cardinalidad. Por cambio de cardinalidad entendemos la duplicación de notas del objeto musical. En la figura siguiente se tiene el objeto (do4, mi4, sol4); en (a) están todas las posibles materializaciones de dicho objeto en la música y en (b) su representación en el espacio de clases de tonos. Figura 5: Transformaciones sobre objetos musicales básicos (figura tomada de [Tym11]) Consideremos ahora la categoría tipo de acorde; típicamente en esta categoría encontramos acordes como los mayores, menores, disminuidos, de séptima mayor, aumentados, de séptima de dominante, etc. Las transformaciones que dejan invariante el tipo de acorde son las anteriores, esto es, el cambio de octava, la permutación y el cambio de cardinalidad más una transformación, que son las transposiciones. Dos acordes mayores pertenecen a la misma categoría de tipo de acorde y como se ve en la figura siguiente están todos relacionados entre sí por medio de alguna transposición. De nuevo, en la parte (a) vemos varios acordes mayores y su equivalente en el espacio de clases en la parte (b). Figura 6: Transformaciones que dejan invariantes el tipo de acorde (figura tomada de [Tym11]) En este punto Tymoczko presenta la definición de equivalencia en el espacio de clases de tonos. Dos objetos musicales definidos en el espacio de clases se dicen que son equivalentes si uno se puede transformar en el otro por alguna de las siguientes transformaciones: cambio de octava, permutación, transposición, inversión o cambio de cardinalidad. Cogiendo las iniciales de cada una de estas transformaciones, llamaremos a estas transformaciones transformaciones OPTIC. A continuación mostramos una figura del libro de Tymoczko que ilustra claramente cómo funcionan las transformaciones OPTIC. Figura 7: Transformaciones OPTIC (figura tomada de [Tym11]) En ciertos contextos, especialmente en la práctica común extendida, aparece la necesidad de considerar colecciones no ordenadas de tonos. Para no confundir con las series ordenadas de tonos, los designaremos con corchetes. Así, (do4, mi4, sol4) es la serie ordenada de tonos y es el conjunto de tonos; obsérvese que en realidad es un multiconjunto porque admite repeticiones de los tonos. Otros objetos de interés son los acordes de tonos (que no de clases) y las sucesiones de clases de tonos (usadas estas en el análisis de la música dodecafónica). En la tabla de abajo se listan diversos objetos musicales con las transformaciones que los dejan invariantes. Tipo de objeto Invariancia Acorde (clases de tonos) OPC Tipo de acorde OPTC Conjuntos de clases OPTIC Multiconjuntos de clases de tonos OP Acorde (solo tonos) PC Sucesión de clases de tonos OC Tabla 1: Objetos musicales y las tranformaciones que los dejan invariantes 5. Conducciones de voces y progresiones de acordes Siguiendo el enfoque abstracto de Tymoczko, en esta sección abordamos a continuación las progresiones abstractas. Por progresión aquí quiere decir el autor una progresión de objetos musicales, los cuales pueden ser cualquiera de los objetos listados en la primera columna de la tabla 1. Es evidente que las operaciones OPTIC se pueden aplicar a las progresiones abstractas y que la manera de hacerlo condicionará el resultado. Hay dos maneras de aplicar una operación a una progresión abstracta, bien de modo individual o de modo uniforme. La primera manera consiste en aplicar solo la operación a ciertos elementos de la progresión (y se puede aplicar más de una operación); en la segunda manera la operación en cuestión se aplica a cada elemento de la progresión. Para ilustrar estas definiciones, déjenos el lector considerar la progresión (do4, mi4, sol4)-→(do4, fa4, la4); véase la figura 8 (a). Si aplicamos una permutación de manera uniforme, por ejemplo, rotar el acorde a la izquierda una posición, entonces tendremos la progresión (mi4, sol4,do4)-→(fa4, la4, do4), como se aprecia en la figura 8 (b). Figura 8: Maneras de aplicar las transformaciones OPTIC (figura tomada de [Tym11]) Si aplicamos distintas permutaciones a cada acorde, entonces las operaciones se habrían aplicado de manera individual. En la figura 8 (c) se ve que el acorde de do mayor ha sido rotado una posición a la derecha y en cambio el de la mayor lo ha sido dos veces. Una conducción de voces es la descripción de cómo se mueve cada voz de un acorde a otro. Una progresión de acordes es una serie ordenada de acordes. Esta serie no contiene información alguna sobre cómo se mueven las voces para conectar los acordes entre sí. Desde el punto de vista matemático, las conducciones de voces se producen cuando se aplican permutaciones de manera uniforme, mientras que las progresiones de acordes surgen cuando se aplican permutaciones y cambios de cardinalidad de manera individual. Por último, decir que las conducciones de voces se pueden dar entre tonos o entre clases de tonos. Una conducción de voces se suele denotar por una flecha que une los dos conjuntos de notas. Si nos encontramos con una conducción tal como (sol2, sol3, si3, re4, mi4)-→(do3, sol3, do4, do4, mi4), entonces estamos ante una conducción de voces entre tonos. Cuando abstraemos la octava de cada nota, pasamos a las clases de tonos, pero entonces hay que indicar el número de semitonos entre dichas clases, lo cual se hace poniéndolo encima de la flecha. En el ejemplo anterior sería (sol, sol, si, re, mi)(do, sol, do, do, mi). Cuando todos los semitonos para pasar de un acorde a otro están en el intervalo [-6,6] se pueden omitir los semitonos de encima de la flecha, ya que en este caso se está usando el camino más corto posible. Como es el caso del ejemplo anterior, podemos escribir (sol, sol, si, re, mi)-→(do, sol, do, do, mi). En el caso del tritono, que es la mitad exacta de la octava, se toma la convención de que siempre ascienden. Típicamente, una progresión de acordes es simplemente una sucesión de conjuntos de clases de tonos no ordenados. Así, por ejemplo, la sucesión ⇒ es una progresión cuyo primer acorde es do7 y cuyo segundo es mi. Para distinguir de las conducciones de voces, usaremos en el resto de la serie la notación ⇒ en lugar de -→. Obsérvese también que se han utilizado llaves en lugar de paréntesis. En la figura siguiente se ilustra esta definición sobre el círculo de tonos. Figura 9: La progresión (figura tomada de [Tym11]) 6. Comparación de conducciones de voces En este capítulo del libro, Tymoczko define una serie de relaciones que le servirán para comparar conducciones de voces. Aquí usa los conceptos de aplicación uniforme e individual de transformaciones que introdujo anteriormente. Fijemos una conducción de voces A-→B, donde A,B son acordes; dichas relaciones son las siguientes: Conducciones relacionadas por transporte uniforme (TU). En estas conducciones se transforma el acorde A en el acorde B por una aplicación uniforme de una transposición a cada una de las notas de A. Cuando esto ocurra diremos que la conducción de voces es TU. Conducciones relacionadas por transporte individual (TI). Ahora se pasa del acorde A al acorde B por una aplicación individual de una transposición a cada una de las notas de A. En la figura siguiente se ilustra estas dos definiciones con dos conducciones de voces. Figura 10: Conducciones TU y TI (figura tomada de [Tym11]) Obsérvese que en la parte (a) de la figura, la conducción (do, mi, sol)-→(do, fa, la) y la conducción (sol, si, re)-→(sol, do, mi) son TU porque la translación T7 convierte la una en la otra. En cambio en la parte (b), las conducciones (do, mi, sol)-→(do, fa, la) y la conducción (sol, si, re)-→(fa♯, la , re♯) son solo TI ya que hacen falta dos transposiciones diferentes, T7 y T6, para transformar la primera en la segunda. En este caso las conducciones de voces on IU. Conducciones relacionadas por inversión uniforme (IU). En estas conducciones se pasa del acorde A al acorde B por una aplicación uniforme de una inversión a cada una de las notas de A. Si este es el caso, diremos que la conducción de voces es IU. Conducciones relacionadas por inversión individual (II). Ahora se pasa del acorde A al acorde B por una aplicación individual de una transposición a cada una de las notas de A. La figura 11 muestra dos conducciones de voces diferentes, una que es IU (parte (a)) y otra II (parte (b)). Las conducciones IU son (do, mi, sol)-→(do, fa, la) y (sol, do, mi♭)-→(sol, si♭, re). ¿Cuál es la inversión que transforma el acorde (do, mi, sol) en (sol, do, mi♭)? Como vimos más arriba, la inversión transformará do en sol y mi en mi♭. El eje de simetría de la inversión será el punto medio entre mi y mi♭, que denotaremos por mi4♭4 (en la figura aparece como E♭44). La inversión se ha aplicado a cada nota de la conducción de voces. Figura 11: Conducciones IU e II (figura tomada de [Tym11]) Si ahora consideramos las conducciones (do, mi, sol)-→(do, fa, la) y (sol, do, mi♭)-→(sol♯, si, re♭), veremos que no son IU sino II. En efecto, para pasar del segundo acorde de la primera conducción al segundo acorde de la segunda conducción hace falta una inversión distinta de Imi4♭4mi4♭4 (hace falta Imi 4mi4). Por ello, las conducciones de voces no son IU sino II. 7. El tamaño de una conducción de voces Para continuar con el trabajo de modelizar geométricamente las conducciones de voces, Tymoczko necesita presentar el concepto de tamaño de una conducción de voces. Intuitivamente, ese tamaño es una medida de cuánto se mueven las voces cuando van de un acorde a otro. Es posible definir varias medidas para el tamaño de una conducción de voces, pero según Tymoczko, que no se decide por ninguna en particular por el momento, lo razonable es que al menos respeten los dos siguientes principios: La medida del tamaño de la conducción de voces tiene que ser proporcional a cuánto se mueve cada voz individualmente. Conducciones con cruzamientos de voces deben dar mayores tamaños que las conducciones equivalentes sin el cruzamiento. Esto es lo mismo que decir que es preferible que muchas voces se muevan a poca distancia que pocas voces se muevan a grandes distancias. La figura 12 ilustra este extremo. La conducción en (a) es menos preferible que la conducción en (b); el ejemplo de (c) está tomado de la coral de Bach Nun lob, mein Seel, den Herren. Figura 12: El tamaño de una conducción de voces (figura tomada de [Tym11]) 8. Más consideraciones sobre armonía y contrapunto Como sabemos, la armonía se ocupa de lo vertical y el contrapunto de lo horizontal y aquí el problema que estamos estudiando es cómo dada una progresión de acordes (vertical), encontrar una conducción de voces (horizontal) que sea eficiente. En esta sección vamos a estudiar qué acordes permiten conducciones de voces eficientes, esto es, que muevan lo menos posible las voces entre acorde y acorde. El concepto que va a permitir alcanzar esto es el de quasi-simetría. Vamos a estudiar qué acordes permanecen inalterados por las operaciones OPTIC a tal efecto; en realidad, nos basta estudiar las transposiciones, las inversiones y las permutaciones. Estos acordes recibirán el nombre de acordes quasi-simétricos. ¿Qué acordes permanecen inalterados tras la aplicación de una cierta transposición? Se puede probar que dichos acordes pertenecen a una de estas dos categorías: (1) o bien dividen el círculo en partes iguales; (2) o bien esos acordes pueden descomponerse en subconjuntos de igual tamaño que dividen al círculo en partes iguales. Típicos acordes que cumplen (1) son el acorde de notas a distancia de un tritono o el acorde disminuido. Los acordes que cumplen estas propiedades se llaman acordes simétricos de transposición o simplemente acordes ST. En la figura 13 tenemos ejemplos de las condiciones (1) y (2). En la parte (a) tenemos un acorde de dos notas con sus notas a distancia de 6 semitonos. Claramente, la transposición T6(x) deja el acorde inalterado. En la parte (b), tenemos el acorde (do, fa, fa♯, si), el cual se puede descomponer en los tritonos (do, fa♯) y (fa, si); dichos tritonos tienen el mismo tamaño y dividen por igual al círculo. Por tanto, son acordes ST. Figura 13: Acordes ST o acordes simétricos de transposición (figura tomada de [Tym11]) Centrémonos ahora en las inversiones. Un acorde para el que existe una inversión que lo deja inalterado se llama un acorde simétrico por inversión o simplemente un acorde SI. La pregunta es qué acordes permanecen inalterados si se les aplica una inversión. Para que esto ocurra deberá existir un eje de simetría, que debe ser un diámetro del círculo, y que debe estar dado por la perpendicular por el punto del segmento que una dos notas del acorde. Por ejemplo, en el acorde (do, re, mi), el eje de simetría está dado por la perpendicular que pasa por el punto medio del segmento do-mi, el cual, en efecto, pasa por la nota re; véase la figura 14. Figura 14: Acordes SI o acordes simétricos por inversión (figura tomada de [Tym11]) Tymoczko en las páginas 57-58 de su libro da un ejemplo real de cómo los acordes SI dan una conducción de voces eficiente. La figura 15 ilustra la conducción de voces entre el acorde (fa, la♭, do♭, mi♭) y (fa, la♭, do♭, re). En (a) vemos que el acorde (fa, la♭, do♭, mi♭) está cerca del acorde de séptima disminuida. Invirtiendo esta conducción de voces uniformemente alrededor del eje de simetría dado por la4-si♭4, tenemos una conducción de voces eficiente entre el acorde mi7 y el acorde disminuido, como se ve en (b). Ahora aplicamos una retrogradación de la conducción de (b) y la pegamos a la de (a), como se aprecia en la parte (c) de la figura. Por último, suprimimos el acorde auxiliar (fa, la♭, do♭, re) y conseguimos la conducción eficiente que buscábamos; véase (d). Figura 15: Conducciones de voces eficientes entre acordes usando la simetría de inversión (figura tomada de [Tym11]) Por último, queda examinar los acordes que permanecen inalterados por la aplicación de permutaciones. Los llamaremos acordes simétricos de permutaciones o acordes SP. Para tratar este tipo de acordes es más conveniente pensar en multiconjuntos. En realidad, los acordes SP son triviales. Tienen que ser de la forma , donde X es una nota. Sin embargo, los acordes vecinos a estos sí son interesantes. Consideremos el acorde SP y su acorde cercano (si, do, do♭); se quiere construir una conducción de voces entre (re♭, do, si) y (si, re♭, do). El procedimiento es similar al caso anterior de las simetrías de inversión. Primero, se transforma el primer acorde a uno con simetría, en este caso de permutación, que es (do, do, do), como en (a) de la figura; a continuación se aplica una retrogradación y se reordenan las voces y se obtiene una conducción de voces entre (do, do, do) y el acorde final (parte (b) de la figura). Por último, se suprime el acorde auxiliar, el de la simetría y ya tenemos la conducción buscada (parte (c)). Figura 16: Conducciones de voces eficientes entre acordes usando la simetría de permutación (figura tomada de [Tym11]) Como se puede deducir de los ejemplos anteriores, el procedimiento para construir la conducción de voces es el mismo; solo cambia el tipo de acorde y su simetría que se emplea en cada caso.   Bibliografía [BJ11] S. Brown and J. Jordania. Music evokes vicarious emotions in listeners. Psychology of Music, 41(2):229–248, 2011. [Góm18] Paco Gómez. La geometría de la música (i), consultado en octubre de 2018. [Tym11] Dimitri Tymoczko. A geometry of music: harmony and counterpoint in the extended common practice. Oxford University Press, 2011. [Tym18] Dmitri Tymoczko. Página web de dmitri tymoczko, consultado en septiembre de 2018.

Lunes, 26 de Noviembre de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

196. 32. (Noviembre 2009) Las aves, de Aristófanes

Pistetero (del griego, πειθέταιρος, el persuasor) y Evélpides (del griego, Ευελπίδης, el optimista) son dos atenienses que huyen de su ciudad, cansados de su corrupción. Deciden ir en busca de Tereo –convertido en abubilla, como castigo de los dioses– que debía conocer un lugar mejor que Atenas para vivir. Escena de “Las aves” de Aristofanes, J. Paul Getty Museum “The Birds”, L.A. Opera. Las aves amenazan a Pistetero y Evélpides. El coro de aves desea ejecutar a los dos atenienses que han invadido sus dominios, pero Pistetero persuade con su seductor alegato a las aves para construir una gran ciudad amurallada en el aire. Su nombre será Nefelocoquigia (morada de las nubes y de los cucos), lugar situado estratégicamente entre la tierra y el Olimpo, entre la morada de los seres humanos y la de los dioses. Pistetero convence a las aves de que deben reclamar a Zeus la autoridad, prohibiendo si fuera necesario el paso de los dioses por su reino. “The Birds”, Willamette University Theatre, 1986. Las aves con Pistetero y Evélpides. Llegan al reino de las aves varios individuos indeseados: un sacerdote, un poeta con un himno en honor a la nueva ciudad, un adivino, el famoso geómetra Metón que pretende  delinear las calles de la nueva ciudad, un inspector y un vendedor de decretos. A todos se les expulsa con mayor o menor violencia. http://www.turlg.ulg.ac.be/spectacle.php?id=88 Cuando la nueva ciudad Nefelocoquigia está ya terminada, un centinela avisa de que uno de los dioses ha burlado el bloqueo de las aves. Es Iris, encargada de averiguar la razón por la que habían cesado los sacrificios en la tierra; obtiene la siguiente respuesta: “Sí; las aves son ahora los dioses de los hombres; y es a ellas a quienes, por Zeus, han de ofrecerse los sacrificios y no a Zeus”. Prometeo aparece también en escena, para comentar a Pistetero: “Desde que fundasteis esta ciudad en el aire, ningún mortal ofrece ya sacrificios a los dioses, ni sube hasta nosotros el humo de las víctimas. Privados de todas sus ofrendas, ayunamos como en las Tesmoforias. Los dioses bárbaros, enfurecidos por el hambre, gritan como los ilirios, y amenazan bajar contra Zeus, si no hace que vuelvan a abrirse los mercados para que puedan introducirse las entrañas de las víctimas”. Coro de “The Birds”, 2002. Pistetero y Prometeo. “The Birds”, Willamette University Theatre, 1986. Con Poseidón, Heracles y el dios tribalo. Acuden más tarde Poseidón, Heracles y un dios tribalo. Gracias a la glotonería de Heracles –hambriento por la falta de sacrificios en la tierra–, dioses y aves se reconcilian. Pistetero consigue el cetro de Zeus y la mano de la joven Realeza. “The Birds”, Odeon. La escena final. Se reproduce debajo el momento en que Metón –con escuadra, compás y cordel– desea entrar en Nefelocoquigia para parcelar el aire, geometrizarlo, dividirlo en yugadas. Aceptar la propuesta de Metón significa, figuradamente, regresar a Atenas, así que Pistetero lo despide de manera mucho más enérgica que a los otros visitantes indeseados: a golpes. - Metón: Vengo a veros para... - Pistetero: Otro importuno. ¿Qué te trae aquí? ¿Cuáles son tus proyectos? ¿Qué te propones viniendo tan encopetado con tus coturnos? - Metón: Quiero medir las llanuras aéreas, y dividirlas en parcelas. - Pistetero: En nombre de los dioses, ¿quién eres? - Metón: ¿Quién soy? Metón, conocido en toda la Hélade y en la aldea de Colona. - Pistetero: Dime, ¿qué es eso que traes ahí? - Metón: Reglas para medir el aire. Pues todo el aire, en su forma general, es enteramente parecido a un horno. Por tanto, aplicando por arriba esta línea curva y ajustando el compás... ¿Comprendes? - Pistetero: Ni una palabra. - Metón: Con esta otra regla trazo una línea recta, inscribo un cuadrado en el círculo y coloco en su centro el Ágora; a ella afluirán de todas partes calles derechas, del mismo modo que del sol, aunque es circular, parten rayos rectos en todas direcciones. - Pistetero: ¡Este hombre es un Táles... Metón! - Metón: ¿Qué? - Pistetero: Ya sabes que te quiero; pero voy a darte un buen consejo: márchate cuanto antes. - Metón: ¿Qué peligro corro? - Pistetero: Aquí, como en Lacedemonia, es costumbre expulsar a los extranjeros, y en toda la ciudad llueven garrotazos sobre ellos. - Metón: ¿Es que, por acaso, estáis en revolución? - Pistetero: No, ciertamente, por Zeus. - Metón: ¿Qué ocurre entonces? - Pistetero: Que hemos tomado por unanimidad la decisión de pulverizar a todos los impostores. - Metón: En este caso, voy a largarme. - Pistetero: Sí, por Zeus; y aún no sé si podrás escapar, pues aquí está ya la tormenta. (Le pega.) - Metón: (Huyendo) ¡Desdichado de mí! - Pistetero: ¿No te lo decía hace tiempo? Vete con tus medidas a otra parte y bien lejos de aquí. “Die Vögel”, Dorothy Chandler Pavilion, Los Angeles.   Bibliografía [1] Aristófanes, Los pájaros. Las ranas. Las asambleístas, Alianza Editorial, 2005. [2] http://es.wikipedia.org/wiki/Las_aves

Domingo, 01 de Noviembre de 2009 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

197. 31. (Octubre 2009) Infinities, de John Barrow

Infinities es una obra escrita por el famoso cosmólogo de Cambridge y Director del Millenium Maths Project, John Barrow. Se basa en su magnífico libro The infinity book. Esta obra se estrenó en marzo de 2002 en Milán, representada por el Piccolo Teatro, bajo la dirección de Luca Ronconi. Unos meses más tarde, se escenificó en La Nau (Valencia). En la página web http://www.piccoloteatro.org/infinities/ se puede seguir parte de la obra, con explicaciones los conceptos matemáticos utilizados a cargo de especialistas. La obra se representa en cinco escenarios y presenta el concepto de infinito desde diferentes puntos de vista. Los espectadores van entrando en grupos de 60 a 80 personas en turnos de unos 15 minutos, y van moviéndose a través de los cinco escenarios, haciendo a la obra “infinita”, pues cada escena se repite sin cesar. Mientras tanto, los 65 actores también rotan, lo  que añade sentido al movimiento infinito. A continuación se describen brevemente estos cinco escenarios de los que consta la función. Escenario 1: ¡Bienvenidos al Hotel infinito! Trata del famoso Hotel infinito de Hilbert –que posee una cantidad numerable de habitaciones, es decir, ordenadas del modo 1, 2, 3, 4, 5, etc.– que, lamentablemente, está lleno. Un eficiente recepcionista tiene la importante misión de alojar a cualquier visitante que llegue, incluso si se presentan infinitos a la vez. El actor explica las recolocaciones que deben realizarse en las habitaciones para conseguir alojar a todos los huéspedes, con ayuda de un monitor que aclara las operaciones matemáticas necesarias para lograrlo. Por ejemplo, esta escena representa situaciones de este tipo: si llega un forastero, basta con desplazar el huésped de la habitación número n a la habitación n+1, y así la habitación número 1 queda libre para el recién llegado. Incluso si llegan infinitos (en cantidad numerable) nuevos huéspedes, el recepcionista encontrará sitio para ellos: el visitante de la habitación número n pasará a la habitación 2n, y así todas las estancias impares quedarán libres de nuevo para alojar a los recién llegados. Escenario 2: La vida eterna Los espectadores entran en una gran caja negra llena de ancianos, que leen lánguidamente en sus sillas, vestidos con viejas ropas de época. La atmósfera es sofocante y los largos monólogos crean un ambiente de monotonía que lleva de manera efectiva a la idea de perpetuidad… ¿Es realmente deseable la vida eterna? ¿Qué efectos biológicos tendría? ¿Qué consecuencias personales produciría? ¿No es mejor una vida limitada, pero llena de vitalidad y actividades originales? Escenario 3: La replicación infinita Este escenario dramatiza la Biblioteca de Babel de Jorge Luis Borges, obra a la que pertenece el fragmento que sigue: “A cada uno de los muros de cada hexágono corresponden cinco anaqueles; cada anaquel encierra treinta y dos libros de formato uniforme; cada libro es de cuatrocientas diez páginas; cada página de cuarenta renglones; cada renglón de unas ochenta letras. [...] La biblioteca es total y en sus anaqueles se registran todas las posibles combinaciones de los veintitantos símbolos ortográficos, o sea, todo lo que es dable expresar. Todo: la historia minuciosa del porvenir, las autobiografías de los arcángeles, el catálogo fiel de la biblioteca, miles y miles de catálogos falsos, la demostración de la falacia de esos catálogos, el evangelio gnóstico de Basílides, el comentario de ese evangelio, el comentario del comentario, la relación verídica de tu muerte.” Mediante juegos de espejos colocados al final de algunos de los pasillos, se crea la ilusión de biblioteca infinita. Los espectadores deben recorrer los pasillos mientras las voces de los actores resuenan alrededor de ellos. Los protagonistas visten igual y llevan máscaras idénticas, no se les distingue, cada vez parece que hay más y más sobre el escenario. Con estas continuas replicaciones se intenta aludir a la imposibilidad de unicidad y de individualidad. En este escenario se pretende representar la vida en un universo donde nada es el principio. Todo se rehace. Ninguna idea es nueva. Nada se realiza por primera vez ni por última. Nada es único. Todo el mundo tiene no sólo un doble, sino réplicas ilimitadas. En un universo infinito, todo lo que posee una probabilidad no nula de suceder, ocurriría infinitas veces. En un tal mundo, existiría en cada instante un número infinito de reproducciones de nosotros mismos, haciendo lo mismo que estamos haciendo y otro número infinito de copias haciendo cualquier otra cosa; de hecho habría una infinidad de copias de nosotros mismos realizando cualquier actividad con probabilidad no nula... Escenario 4: El infinito no es un gran número Este escenario habla acerca del famoso conflicto entre Cantor y Kronecker sobre la naturaleza del infinito.  Según Kronecker, las matemáticas sólo podían construirse correctamente si recurrían exclusivamente a los números enteros y a un número finito de operaciones. Las ideas de Cantor fueron sistemáticamente rechazadas por Kronecker, que impidió en muchas ocasiones su desarrollo profesional. La agitada vida de Cantor se muestra a través de un actor inmovilizado en una silla de ruedas y vendado, mientras su agresor –Kronecker– le da lecciones, desbarrando,  en una simulada aula, en la que el público participa como parte del alumnado. Escenario 5: ¿Es posible viajar en el tiempo? Los espectadores entran en un gran espacio abierto.  Una anciana atraviesa la estancia tambaleándose, y en cierto momento aparece su nieto que lleva la silla de ruedas hacia ella (aludiendo a la famosa paradoja de la abuela). El concepto del viaje en el tiempo se muestra a través de un tren con mesas, donde los pasajeros se sientan en ambas direcciones, sugiriendo un viaje de ida y vuelta. Referencias: J.D. Barrow, The infinity book, Jonathan Cape Ltd, 2005. R. Hoffmann and S. Coyaud, Infinite ideas. A theatrical contemplation of infinity makes full use of industrial space, Nature 416, 585, 11 abril 2002. Judy Kupferman, Infinity in Theater, Physicaplus, 2003. Marcus de Sautoy, To infinity and beyond, The Guardian, 5 de noviembre de 2003. K. Shepherd-Barr, Hilbert's Hotel, Other Paradoxes, Come to Life in New "Math Play", SIAM News 36 (7), septiembre de 2003. http://www.piccoloteatro.org/infinities/

Jueves, 01 de Octubre de 2009 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

198. 30. (Septiembre 2009) Matemáticas incluso en Arcadia

Arcadia es el nombre de una región de la antigua Grecia, que a partir del siglo XVI se convierte en el arquetipo literario del país feliz. Don Quijote, derrotado y de vuelta a su aldea, medita la posibilidad de vivir como en la “pastoril Arcadia”. Pero esta evocación bucólica e idílica se ensombrece, ya en el siglo XVII, cuando la Muerte reclama su inexorable presencia: “Et in Arcadia Ego” (incluso Yo, también estoy en Arcadia), sentencia ésta que da nombre a un cuadro del artista italiano Guercino (1591-1666). Poste­riormente, el pintor francés Nicolas Poussin (1594-1665) realiza un par de versiones de dicho cuadro en las que, de nuevo, aparece esta inscripción. Arcadia se interpreta ahora como una melancólica contemplación sobre la vida y la muerte. Figura 1: Pinturas de Guercino y Nicolas Poussin La magistral obra de teatro homónima del dramaturgo inglés Tom Stoppard, estrenada en el Lyttelton Theater, Royal National Theater de Londres el 13 de abril de 1993, se desarrolla íntegramente en una habitación de la gran mansión señorial de Sidley Park, en Derbyshire, a través de cuyos ventanales se adivina el típico paisaje de la mejor campiña inglesa. Con este marco pacífico e ideal de fondo (Sidley Park es Arcadia), se desarrollan dos historias separadas por 180 años, pero intrincadamente relacionadas entre sí, en las que no faltan la pasión, los celos, la ambición y la muerte. “Sexo, literatura y muerte en Sidley Park”, se dice en la obra,... y Matemáticas, muchas Matemáticas. La trama La acción transcurre siempre en la misma habitación de Sidley Park, residencia de la familia Coverly. En la gran mesa central se van acumulando objetos que los protagonistas de ambas épocas comparten. Una de las his­torias de Arcadia tiene lugar a principios del siglo XIX. Los personajes que intervienen en esta parte son: Thomasina Coverly: 13 años. Niña prodigio en Matemáticas. La pieza va evolucionando con ella, con sus ideas e inquietudes personales. Septimus Hodge: 22 años. Tutor de Thomasina. Jellaby: En la treintena, el mayordomo. Erza Chater: 31 años. Poeta. Richard Noakes: En los treinta. Arquitecto paisajista. Lady Croom: Cerca de los 40 años. La madre de Thomasina, Condesa de Croom. Capitán Brice: Frisando los 40. Tío de Thomasina. Augustus Coverly: 15 años. Hermano de Thomasina. La otra parte de Arcadia transcurre en el momento actual (cuando se estrenó la obra), o sea, a finales del siglo XX, con estos protagonistas: Hannah Jarvis: Cerca de los 40. Escritora. Chloë Coverly: 18 años. Descendiente de Thomasina. Bernard Nightingale: Casi 40. Profesor universitario. Valentine Coverly: Entre 25 y 30 años. Hermano de Chloë. Biólogo y matemático. Gus Coverly: 15 años. Hermano de Chloë y Valentine. Permanece mudo durante toda la acción. Se abre el telón y comienza Arcadia: THOMASINA: Septimus, ¿qué es una unión carnal? SEPTIMUS: Una unión carnal es la práctica de abrazarse a una pieza de carne de vaca. THOMASINA: ¿Eso es todo? SEPTIMUS: No... O a un lomo de cordero, un muslo de venado bien prieto, o un buen faisán... caro, carnis; femenino; carne. THOMASINA: ¿Es pecado? SEPTIMUS: No tiene por que serlo, señorita, pero cuando la unión carnal es pecaminosa es un pecado de la carne. Q.E.D. Encontramos caro en nuestra Guerra de las Galias: “Los británicos se alimentan de leche y carne”, “lacte et carne vivunt”. Lamento que la simiente cayese en tierra pedregosa. THOMASINA: ¿Ese fue el pecado de Onán, no es así, Septimus? SEPTIMUS: Sí. Le estaba dando a la mujer de su hermano una lección de latín, y ella no era precisamente más sabia después de la lección que antes. Pensé que estaba buscando una demostración del último teorema de Fermat. THOMASINA: Es muy difícil, Septimus. Tendrás que mostrarme cómo. SEPTIMUS: Si supiese cómo, no tendría necesidad de preguntarle. El último teorema de Fermat mantuvo ocupada a la gente durante ciento cincuenta años; esperaba que la enredase lo suficiente como para que yo pudiese leer el poema del señor Chater en alabanza del amor con la única distracción de sus propios disparates. THOMASINA: ¿Nuestro señor Chater escribió un poema? SEPTIMUS: El cree que escribió un poema, sí. Intuyo que puede haber más carnalidad en vuestra álgebra que en el “Diván de Eros” de él. THOMASINA: ¡Ah!, no tiene nada que ver con mi álgebra. Oí a Jellaby decirle al cocinero que la señora Chater fue descubierta en unión carnal en el cenador. Figura 2: Portada de la obra publicada y cartel de la representación Resumimos, brevemente, la estructura y el contenido de los dos actos y las siete escenas de la obra. Primer acto Escena 1 (10 de abril de 1809) Septimus trata de mantener ocupada a su pupila Thomasina pidiéndole que demuestre el último teorema de Fermat mientras él lee el último poema del señor Chater, huésped en Sidley Park. Thomasina sorprende a Septimus con sus razonamientos acerca de la irreversibilidad del tiempo utilizando el símil de la mermelada que se mezcla en una taza de arroz con leche. Les interrumpe el señor Chater que está furioso, pues su esposa fue descubierta en unión carnal en el cenador con Septimus. El tutor consigue tranquilizar a Chater adulándolo y ensalzando sus virtudes poéticas. Éste ignora que fue el mismo Septimus quien, en una crítica literaria, ridiculizó su anterior trabajo. Chater, eufórico por las zalamerías de Septimus, está dedicándole a éste un ejemplar de su libro cuando Lady Croom, el Capitán Brice y el señor Noakes entran en la habitación. Sorprendidos por la escena, discu­ten sobre la transformación de los jardines del estilo clásico al vanguardista estilo pintoresco encargada a Noakes. Cuando todos se van, Thomasina di­buja un refugio para un ermitaño en el diseño del nuevo jardín, hecho que causará ciertas confusiones en el siglo XX. Escena 2 (actualidad, 1993) En la misma habitación, que casi no sufrió cambios desde 1809. Hannah está embarcada en un trabajo de investigación, buscando en la mansión y sus terrenos, con el fin de escribir un libro acerca de los ermitaños como símbolos de la caída del Romanticismo. Bernard, autor de una mala crítica del último libro de Hannah, llega a Sidley Park para hacer pesquisas sobre Lord Byron. Se encuentra también en la habitación Valentine, matemático y biólogo, que está estudiando los cambios en la población de animales de caza menor en los terrenos de la mansión. Tras intercambiar cierta información, Bernard avanza su teoría: Byron visitó Sidley Park en 1809 y asesinó al señor Chater en un duelo. Escena 3 (en 1809) Thomasina está recibiendo clases de traducción de latín y se lamenta de la pérdida irreparable del conocimiento clásico debida a la quema de la biblioteca de Alejandría. Septimus cree que todo lo que se pierde volverá a aparecer de nuevo (como ocurrirá con las ideas acerca de la iteración de funciones de Thomasina, que serán recuperadas en el siglo XX). El señor Chater interrumpe la clase. Acaba de enterarse de que fue Sep­timus quien escribió la demoledora crítica de su poema y le reta a un duelo, que fijan para las 5 de la mañana del día siguiente. Escena 4 (En 1993) Hannah, leyendo el libro de Matemáticas de Thomasina, descubre que la joven anticipó el concepto de iteración en su autoproclamada “teoría de las formas irregulares de la Naturaleza”. Valentine está impresionado ya que él mismo trabaja con estas ideas, que no tienen más de 20 años de vigencia, en su investigación. Valentine explica a Hannah las ideas básicas de la iteración de funciones y la teoría del caos en conexión con su trabajo como biólogo de poblaciones. Segundo acto Escena 5 (en 1993) Bernard ensaya delante de Chloë, Valentine y Hannah la conferencia en la que hará pública su teoría del asesinato cometido por Byron. Valentine y Hannah intentan rebatir sus argumentos, hecho que pone furioso a Bernard quien termina por lanzar un ataque despiadado contra la Ciencia, en general, y contra el trabajo de Valentine, en particular. Hannah reúne cierta información que le hace pensar que el ermitaño de Sidley Park era Septimus. Bernard marcha para Londres con el fin de pronunciar allí su charla y conceder algunas entrevistas a la prensa. Escena 6 (en 1809) El duelo no se celebra. El señor Chater y su esposa se marchan para las Indias Occidentales con el Capitán Brice, que está enamorado de la señora Chater. Allí, Chater se dedicará a la botánica y morirá por causa de una fatal mordedura de mono. Byron parte hacia Grecia en un carruaje antes del amanecer. Septimus, que esperó toda la noche a sus contrincantes, cazó un conejo para Thomasina. Cuando vuelve a la mansión se encuentra con Lady Croom quien le pide explicaciones sobre dos cartas halladas en la habitación del tutor: una de amor, supuestamente dirigida a ella, y otra hablando de arroz con leche. Lady Croom invita a Septimus a sus aposentos. Escena 7 (mezclados los personajes en 1813 y en 1993) Chloë lee las noticias de los periódicos relacionadas con la teoría de Bernard acerca de Byron. Habla del determinismo con Valentine, tal y como hizo Thomasina con Septimus en la primera escena. Valentine, que estuvo explorando las ideas de Thomasina relativas a la iteración con ayuda del ordenador, muestra a una impresionada Hannah el hermoso conjunto de Coverly (el conjunto de Mandelbrot). Valentine y Hannah hablan sobre esto y sobre el concepto de entropía, preguntándose quién fue el auténtico genio de Sidley Park: Thomasina o Septimus. Thomasina quiere que Septimus le enseñe a bailar el vals. Lady Croom entra en la sala quejándose a Noakes del ruido de su máqui­na a vapor. Thomasina le explica que funciona según las mismas leyes que hacen que el Universo decline. Bernard llega justo en el momento en que Hannah descubre una nota que demuestra que Chater murió en Martinica en 1810. Esto desbarata la teoría de Bernard sobre el asesinato cometido por Lord Byron. Septimus consiente en enseñar a bailar a Thomasina. Mientras esperan a que en la habitación de al lado suene la música adecuada, él mira uno de los diagramas esbozados por su pupila acerca de la irreversibilidad del calor. En 1993, Valentine y Hannah examinan el mismo diagrama y compren­den su significado. Finalmente, suena un vals y, mientras, Bernard tiene que huir al ser descubierto con Chloë en la cueva del ermitaño. Gus sorprende a Hannah, en la actualidad, queriendo bailar con ella... la obra acaba. Thomasina morirá abrasada esa misma noche en su habitación. Las matemáticas en Arcadia Arcadia es una verdadera obra maestra, una de las llamadas “comedias serias” de Tom Stoppard. Las continuas referencias a aspectos relacionados con la literatura, con la pintura, con la ciencia, en general, y con las Matemáticas y su historia, en particular, hacen de ella una pieza compleja y, por momentos, difícil de seguir. Está, como acabamos de adelantar, repleta de referencias explícitas e implícitas a temas y personajes matemáticos. La persona que suele ser considerada como la primera programadora de la historia, la matemática Ada Augusta Byron (1815-1852), podría ser el antecedente de Thomasina. A nuestro entender, Arcadia en general, pero particularmente la figura de Thomasina, ha ejercido una gran influencia en posteriores obras de “teatro científico”. Así, por citar un par de ejemplos, el personaje de Catherine, la protagonista de Proof de David Auburn, parece inspirado en ella; y también varios de los personajes femeninos de The five hysterical girls theorem de Rinne Gro. Además de en el fragmento inicial, reproducido anteriormente, el matemático francés Pierre de Fermat y su Último Teorema aparecen en varias ocasiones en la escena. He aquí una de ellas: SEPTIMUS: [...] La unión carnal es el encuentro sexual, que es la inserción del órgano genital masculino en el organo genital femenino, con el propósito de la procreación y el placer. El último teorema de Fermat, por el contrario, afirma que cuando x, y, z son números enteros cada uno de ellos elevado a una potencia n, la suma de los dos primeros nunca puede ser igual al tercero cuando n es más grande que 2. THOMASINA: ¡Aggghhh! SEPTIMUS: Aún así, ese es el teorema. THOMASINA: Es asqueroso e incomprensible. A partir de ahora, cuando crezca para hacerlo yo misma, nunca lo podré hacer sin pensar en ti. SEPTIMUS: Muchas gracias, señorita. ¿Bajó esta mañana la señora Chater? A modo de curiosidad, Andrew Wiles anunció que tenía una demostración del último teorema de Fermat dos meses después del estreno de Arcadia. Entre los muchos resultados y teorías que Thomasina anticipa algunos están vinculados con la Termodinámica: THOMASINA: Cuando revuelves el arroz con leche, Septimus, la cucharada de mermelada se extiende alrededor dejando un rastro rojo como el dibujo de un meteoro en mi atlas de Astronomía. Pero si revuelves para atrás, la mermelada no se junta de nuevo. De hecho, el arroz con leche no lo nota y sigue tornándose rosa justo como antes. ¿Piensas que es extraño? SEPTIMUS: No. THOMASINA: Bien, yo sí. No puedes separar las cosas revolviendo. SEPTIMUS: No puedes, el tiempo tendría que marchar para atrás, y como no lo hará, debemos revolver nuestro camino para adelante mezclándonos en el proceso, desorden del desorden en desorden, hasta que el rosa se complete, sin cambiar o ser cambiado, y tendremos terminado para siempre. Esto se llama libre albedrío o auto-determinación. El debate continuo entre clasicismo y romanticismo, presente en toda la obra, aparece también en las discusiones científicas y matemáticas provo­cadas por Thomasina. Así, en la mente de esta joven la geometría clásica, euclídea, es insuficiente para describir la riqueza de formas que encontramos en el mundo real: THOMASINA: [...] Cada semana pinto tus ecuaciones punto por punto, x e y, en todos los diferentes tipos de relaciones algebraicas, y cada semana ellas mismas se dibujan como geometría ordinaria, como si el mundo de las formas no fuese sino arcos y ángulos. Por el amor de Dios, Septimus, si hay una ecuación para una curva como una campana, tendrá que haber una ecuación para una como una campanilla, y si la hay para una campanilla, ¿por qué no para una rosa? ¿Creemos que la Naturaleza está escrita en números? SEPTIMUS: Sí. THOMASINA: Entonces, ¿por qué tus ecuaciones sólo describen las formas manufacturadas? SEPTIMUS: No lo sé. THOMASINA: Con tales herramientas, Dios sólo pudo hacer un aparador. SEPTIMUS: Su maestría con las ecuaciones lo llevan a infinitos donde no podemos seguirlo. THOMASINA: ¡Qué espíritu débil! Tenemos que buscar la salida desde el medio del labe­rinto. Empezaremos con algo sencillo. (Coge una hoja de manzana.) Pintaré esta hoja y deduciré su ecuación. Serás famoso por ser mi tutor cuando Lord Byron ya esté muerto y olvidado. La cuarta escena de Arcadia se inicia con Hannah Jarvis leyendo una anotación en el libro de matemáticas de Thomasina: HANNAH: “Yo, Thomasina Coverly, encontré un método verdaderamente maravilloso mediante el cual todas las formas de la Naturaleza revelarán sus secretos numéricos y se mostrarán sólo a través de los números. Siendo este margen demasiado estrecho para mi propósito, el lector deberá buscar en otro lugar la Nueva Geometría de las Formas Irregulares descubierta por Thomasina Coverly”. ¿Tiene esto algún significado? Stoppard mezcla así las dos concepciones matemáticas antagónicas de Arcadia: La matemática clásica, euclídea, simbolizada por la mención a la famosa nota al margen de Pierre de Fermat, y la Nueva Geometría de las Formas Irregulares, hoy conocida como geometría fractal. En 1973, Benoît Mandelbrot sorprendía al mundo científico con su libro Los objetos fractales en el que se incluye un anuncio atrevido: “con el fin de estudiarlos [objetos naturales muy diversos], concebí, puse a punto y utilicé extensamente una nueva geometría de la Naturaleza”. El propio Mandelbrot acuñó el neolo­gismo fractal (del latín fractus: interrumpido o irregular) para designar la geometría que Thomasina, anticipándola en más de 150 años, llama de las Formas Irregulares. No es la única ocasión en la que Thomasina parafrasea a Mandelbrot. En la escena siete, ella dice: “Las montañas no son pirámides y los árboles no son conos” que nos recuerda las líneas que Mandelbrot escribía en 1982 en La geometría fractal de la naturaleza: “Ni las nubes son esféricas, ni las montañas cónicas, ni los litorales circulares, ni la corteza de la Tierra es lisa, ni el relámpago rectilíneo”. La identificación Thomasina-Mandelbrot se completa cuando Valentine, en la última escena, enseña a Hannah el conjunto de Coverly: Figura 3: El conjunto de Coverly-Mandelbrot HANNAH: (Mira la pantalla del ordenador por encima del hombro de VALENTINE. Reacciona) ¡Oh!, pero... ¡qué hermoso! VALENTINE: El conjunto de Coverly. HANNAH: ¡El conjunto de Coverly! ¡Dios mío, Valentine! VALENTINE: Déjame un dedo. (Le coge el dedo y pulsa una de las teclas del ordenador varias veces). ¿Ves? En un océano de cenizas, islas de orden. Patrones que surgen de la nada. No te puedo mostrar toda la profundidad. Cada dibujo es un detalle del anterior, ampliado. Y así sucesivamente. Por siempre. Precioso, ¿eh? HANNAH: ¿Es importante? VALENTINE: Interesante. Publicable. HANNAH: ¡Bien hecho! VALENTINE: No es mío. Es de Thomasina. Yo sólo ejecuté sus ecuaciones en el ordenador unos pocos millones de veces más de lo que ella pudo hacer con su lápiz. Pero Thomasina también muestra su inconformismo con el determinismo newtoniano imperante, que en este fragmento se formula casi en los términos utilizados por Laplace: THOMASINA: Septimus, ¿piensas que Dios es newtoniano? SEPTIMUS: ¿Etoniano? Casi seguro, me temo. Mandaremos a su hermano a que se informe sobre el asunto. THOMASINA: No Septimus, un newtoniano. ¡Septimus! ¿Soy la primera persona que pensó esto? SEPTIMUS: No. THOMASINA: Aún no he dicho qué. SEPTIMUS: “Si todo, desde el planeta más distante hasta el más pequeño átomo de nuestro cerebro, obedece la ley del movimiento de Newton, ¿qué acontece con el libre albedrío?” THOMASINA: No. SEPTIMUS: La voluntad de Dios. THOMASINA: No. SEPTIMUS: El pecado. THOMASINA: (Burlonamente) ¡No! SEPTIMUS: Muy bien. THOMASINA: Si pudieses detener cada átomo en su posición y dirección, y si tu mente pudiese abarcar todas las acciones así suspendidas, entonces si tú fueses bueno, verdaderamente bueno, con el álgebra, podrías escribir la fórmula para todo el futuro; y aunque nadie puede ser tan inteligente como para hacerlo, la fórmula tiene que existir igual que se alguien pudiese. SEPTIMUS: (Pausa) Si. (Pausa) Si, hasta donde yo sé, es usted la primera persona que pensó esto. [...] La teoría moderna que Thomasina avanza, en más de 150 años, como respuesta al determinismo feroz es la teoría del caos. Asistimos así a otra pugna conceptual, en esta ocasión, orden versus desorden. Las referencias a la teoría del caos en Arcadia no se limitan al manido y superficial recurso de la mención del “efecto mariposa”. Muy al contrario, podemos afirmar que Arcadia es un ensayo sobre la teoría del caos, presente incluso en la estruc­tura de la pieza, claramente no lineal, con una escena final evocadora de un “atractor extraño”: caótica pero con evidentes elementos de orden. Stoppard introduce la dinámica no lineal en la ya mencionada cuarta escena, a través de Valentine Coverly, un biólogo que pretende aplicar las matemáticas del caos en su búsqueda de un patrón de comportamiento del censo de faisanes cazados en Sidley Park (los datos de los libros de cacerías se remontan a la época de Thomasina). La elección de un biólogo de poblaciones como el personaje que nos guía a través de las matemáticas modernas en Arcadia es, probablemente, un reconocimiento a las contribuciones de Sir Robert May al estudio del caos, en particular, al conocimiento de la dinámica de la familia logística. Valentine, para aclararle a Hannah el significado de las peculiares anotaciones de Thomasina, comienza explicándonos qué es un algoritmo iterativo: HANNAH: ¿Tiene esto algún significado? VALENTINE: No sé. No sé lo que significa, excepto matemáticamente. HANNAH: A eso me refería, matemáticamente. VALENTINE: Es un algoritmo iterativo. HANNAH: ¿Qué es eso? VALENTINE: Bien, es... Jesús... es un algoritmo que fue... iterado. ¿Cómo se supone que yo...? (Hace un esfuerzo) Las páginas de la izquierda son las gráficas que representan los números que están en las páginas de la derecha. Pero a diferentes escalas. Cada gráfica es una pequeña porción de la inmediata anterior, ampliada. Como cuando amplías un detalle de una fotografía, y luego un detalle del detalle, y así sucesivamente, por siempre. O, en su caso, hasta que se quedó sin páginas. HANNAH: ¿Es difícil? VALENTINE: Las matemáticas no lo son. Es lo que hacías en la escuela. Tienes una ecuación con x e y. Cada valor de x te da un valor de y. Entonces dibujas un punto en el lugar exacto para x e y. Luego, coges el siguiente valor de x que te da otro valor de y,y cuando llevas hecho esto unas cuantas veces, unes los puntos y ésa es tu gráfica de lo que represente la ecuación. HANNAH: ¿Y eso es lo que ella está haciendo? VALENTINE: No. No exactamente. De ninguna manera. Lo que ella está haciendo es: cada vez que obtiene un valor para y, usa éste como su siguiente valor para x. Y así sucesivamente. Como una autoalimentación. Nutre la ecuación con su propia solución, y luego vuelve a resolverla de nuevo. Iteración, lo ves. Valentine nos muestra, a continuación, como se puede aplicar un algoritmo iterativo en el estudio de poblaciones. El modelo no lineal más simple de este tipo es el de la familia logística (o su hermana gemela la familia cuadrática) que, sin embargo, exhibe un comportamiento insospechadamente rico y complejo. HANNAH: [...] ¿Qué querías decir con que tú estabas haciendo la misma cosa que ella? ¿Qué estás haciendo? VALENTINE: De hecho hago lo contrario que ella. Ella empezó con una ecuación y la con­virtió en un gráfico. Yo tengo un gráfico -datos reales- y estoy intentando encontrar una ecuación que pueda dar ese gráfico si la usas como ella hizo con la suya. Iterándola. HANNAH: ¿Para qué? VALENTINE: Así es como se estudian los cambios de poblaciones en biología. Peces de colores en una charca, por ejemplo. Este año hay x peces de colores. El próximo año habrá y peces de colores. Nacerán algunos, otros serán engullidos por las garzas, lo que sea. La naturaleza manipula el x y lo transforma en un y. Entonces y peces de colores es tu población inicial para el siguiente año. Justo como Thomasina. Tu valor para y se transforma en tu siguiente valor para x. La pregunta es: ¿qué le pasó a x? ¿Cuál es la manipulación? Sea la que sea, puede ser descrita matemáticamente. Es un algoritmo. Más adelante, Stoppard incluye una referencia explícita al famoso helecho de Barnsley: un atractor, que recuerda a un helecho, obtenido a partir de la iteración de un sistema de funciones Como vimos, Thomasina ya había fanfarroneado ante Septimus de que ella sería capaz de generar formas “irregulares”, no euclídeas, como una hoja. Más tarde, Valentine profundiza en el método a seguir: HANNAH: (Coge una hoja de una manzana sobre la mesa.) ¿Luego no podrías hacer el dibujo de esta hoja iterando el como se llame? VALENTINE: Oh sí, podrías hacerlo. HANNAH: ¡Bien, dime cómo! [...] VALENTINE: Si conocieras el algoritmo y lo alimentases, digamos, diez mil veces, cada vez aparecería un punto en algún lugar de la pantalla. Nunca podrías anticipar donde aparecería el siguiente. Pero, gradualmente, empezarías a ver esta forma, porque cada punto estaría dentro del contorno de esta hoja. No sería una hoja, sería un objeto matemático. Pero sí. Lo impredecible y lo predeterminado se manifiestan juntos para hacer las cosas como son. Así es como la naturaleza se crea a si misma, en cada escala, el copo y la avalancha. Así pues, en efecto, incluso en Arcadia están presentes de modo funda­mental las Matemáticas. No obstante... VALENTINE: Si. Hubo alguien, olvidé el nombre, allá por 1820, que señaló que a partir de las leyes de Newton se puede predecir todo lo que acontezca-quiero decir, se necesitaría un ordenador tan grande como el Universo pero la fórmula existiría. CLOË: Pero no funciona, ¿verdad? VALENTINE: No. Resulta que las Matemáticas son diferentes. CLOË: No, todo es culpa del sexo. VALENTINE: ¿Cómo es eso? CLOË: Es lo que pienso. De acuerdo, el Universo es determinista, tal y como dijo Newton, quiero decir, intenta serlo, pero lo único que va mal son las personas, encaprichándose unas de las otras, no comportándose según el plan. VALENTINE: ¡Ah! La atracción que Newton olvidó. Se remonta a la manzana en el Pa­raíso. [...] Figura 4: El helecho de Barnsley Experiencias docentes La Arcadia de Stoppard que, en palabras del crítico Marcos Ordóñez en su reseña de la representación de Arcadia en Cataluña hace un par de años, es una pieza de caza mayor, ha sido objeto de numerosos estudios y centro de varias y variadas experiencias docentes. Algunas de dichas iniciativas pueden ser encontradas en: R. Devaney, Chaos, fractals and Arcadia. http://math.bu.edu/DYSYS/arcadia/ Descripción animada de algunas de las Matemáticas presentes en Arcadia. Arcadia Study Guide. http://www.skidmore.edu/academics/theater/productions/arcadia/ Página creada para las actividades de orientación programadas en 2002 para estudiantes de primer curso del Skidmore College. M. Mirás y C. Quinteiro, Et in Arcadia Mathematica. http://www.usc.es/mate/ Charla impartida en la Universidade de Santiago, dentro del curso Unha Andaina pola Matemática. REFERENCIAS [1] T. Stoppard, Arcadia. Faber and Faber, Londres, 1993. [2] L. Angelini y F. Giannini. Perfino in Arcadia sesso, letteratura e. . . matematica. In Mirella Manaresi, editor, Matematica e cultura in Europa, páginas 363-378. Springer-Verlag Italia, Milán, 2005. [3] http://www.siam.org/news/news.php?id=727 Entrevista realizada a Tom Stoppard en abril de 1999 por el profesor Robert Osserman. [4] Marcos Ordóñez. Et in Arcadia Stoppard. Suplemento EPS. El País. 02/06/2007.

Martes, 01 de Septiembre de 2009 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

199. 29. (Julio 2009) La cantante calva, de Eugène Ionesco

La cantante calva Anti-pieza por Eugène Ionesco Las obras de teatro de Eugène Ionesco (1909-1994) describen la banalidad del ser humano, que vive sumido en un mundo contradictorio en el cual las personas no consiguen comunicarse. Este pesimismo es una de las señales del teatro del absurdo, que pone en escena obras sin sentido aparente, con diálogos reiterativos y disparatados, con ambientes sofocantes y carentes de secuencia dramática. La cantante calva es la primera obra de teatro de Eugène Ionesco: se estrena en 1950 en el Théâtre des Noctambules (París), con la puesta en escena de Nicolas Bataille, y provocando un gran escándalo entre el público. Los protagonistas son el Señor y la Señora Smith, el Señor y la Señora Martin, la sirvienta Mary y el capitán de bomberos. Se trata de una obra con un único acto y once escenas. La primera escena comienza con el matrimonio Smith, burgueses ingleses, que conversan banalidades sobre su reciente cena. Siguen con un absurdo diálogo sobre los buenos y los malos médicos, que el Señor Smith finaliza con la siguiente inaudita afirmación “Hay algo que no comprendo. ¿Por qué en la sección del registro civil del diario dan siempre la edad de las personas muertas y nunca la de los recién nacidos? Es absurdo”. Continúa la escena con una conversación sobre un viejo conocido del matrimonio – Bobby Watson,  muerto hace tres años – y el buen aspecto que tenía su cadáver. Además, sorprendentemente, la esposa, los hijos –  que a veces comentan que existen y otras veces lo niegan rotundamente –  y los demás parientes del fallecido también se llamaban Bobby. En la segunda escena aparece Mary, que anuncia a los Smith que sus invitados, los Martin, han llegado a la casa; como los Smith tenían hambre, no les han esperado para cenar. Salen los Smith para vestirse adecuadamente en honor a la visita, y empieza la tercera escena con Mary, que reprocha a los Martin su falta de cortesía al llegar con retraso, y les pide que esperen. En la cuarta escena, el matrimonio Martin comienza una disparatada conversación en la que parece que se recuerdan levemente, y poco a poco, teniendo en cuenta todas las coincidencias en sus vidas, terminan deduciendo que son esposos. En la quinta escena, Mary – que afirma que en realidad es Sherlock Holmes  – comenta al público que los Martin no son quien ellos piensan ser: a pesar de tantas coincidencias en sus vidas, no son marido y mujer. En la escena sexta, los Martin, emocionados, acuerdan intentar no volver a perderse, tras haberse descubierto. En la séptima escena, entran los Smith – por cierto, sin cambiarse de ropa – y recriminan también a sus invitados por llegar tarde. La señora Martin narra varias situaciones extravagantes que ha observado: un hombre atándose el zapato, otro leyendo el periódico en el metro, etc. ante el regocijo de los demás. De repente, llaman a la puerta, pero no hay nadie... esta situación se repite varias veces y, enfadada, la Señora Smith afirma: “La experiencia nos enseña que cuando se oye llamar a la puerta nunca hay nadie”. Y vuelven a tocar por cuarta vez, aunque en esta ocasión aparece el capitán de los bomberos tras la puerta. Comienza la octava escena, con el bombero interrogándoles sobre la razón de su discusión. Los dos matrimonios explican al bombero lo que ha sucedido: el capitán confiesa que llevaba tres cuartos de hora en la puerta, que las dos primeras veces él no había tocado al timbre, pero tampoco había visto a nadie, la tercera vez él había llamado pero se había escondido para bromear, y finalmente, la cuarta vez decide entrar. Y dialogan de esta manera “tan lógica”: - Señor Martin: En resumidas cuentas, seguiremos sin saber si cuando llaman a la puerta hay o no alguien. - Señora Smith: Nunca hay nadie. - Señor Smith: Siempre hay alguien. - El bombero: Voy a hacer que se pongan de acuerdo. Los dos tienen un poco de razón. Cuando llaman a la puerta, a veces hay alguien y a veces no hay nadie. - Señor Martin. Eso me parece lógico. - Señora Martin: También yo lo creo. El bombero comenta que el motivo de su visita es saber si los Smith tienen algún fuego para apagar; las primas de los bomberos están bajando debido a la falta de incendios y el capitán debe salir a buscarlos. Los cinco personajes comienzan a relatar por turnos una serie de anécdotas, supuestamente reales, cada cual más pintoresca. La escena nueve se abre con Mary entrando porque también desea contar su anécdota. Los dos matrimonios, elitistas, se molestan por la irrupción de la sirvienta, aunque Mary acaba recitando el poema “El fuego”, en honor al capitán de bomberos, mientras los Smith la empujan fuera de la sala. En la décima escena, el bombero anuncia que debe irse, porque en exactamente “tres cuartos de hora y dieciséis minutos” tiene que apagar un incendio en el otro extremo de la ciudad. Al salir, se detiene un momento y se alude – por primera y última vez – al título de la obra: - El bombero (se dirige hacia la salida y luego se detiene) A propósito, ¿y la cantante calva? (silencio general, incomodidad) - Señora Smith: Sigue peinándose de la misma manera. - El bombero: ¡Ah! Adiós, señores y señoras. En la escena once, ya sin el bombero, sigue una absurda conversación entre los dos matrimonios. Entre las locas afirmaciones que aparecen, el señor Smith interviene con una soberbia afirmación referente a la lógica: “Tomen un círculo, acarícienlo, y se hará un círculo vicioso.” Los actores van dándose continuas réplicas y contrarréplicas, de manera cada vez más violenta, y la escena termina con los cuatro en pie, gritando al unísono “Por allá, por aquí, ...”. De repente, se dejan de oír las palabras, se enciende la luz y aparecen los Martin, colocados de la misma manera que los Smith en la primera escena y repitiendo las mismas palabras, mientras el telón empieza a caer. Desde el principio, Ionesco habla sobre la dificultad para expresarse y la imposibilidad de comunicación entre los seres humanos. El final muestra el carácter intercambiable de los personajes, y más en general, de los seres humanos, su carácter anodino y falto de importancia. Ionesco titula la obra La cantante calva “Anti-pieza”, porque desea desde el principio provocar la perplejidad los espectadores, que esperan encontrar a la citada cantante en algún momento, e indicar que su pieza no tiene nada de convencional. En efecto, el título es una falsa pista, pues se refiere a un personaje que no aparece en la obra y al que se hace una breve alusión sólo en el décimo capitulo, provocando además la incomodidad de los protagonistas. No hay argumento, y los diálogos sin sentido, aburridos, mecánicos, repetitivos, impersonales, con largos silencios a veces, van en contra de la estructura del teatro tradicional. La lógica y la incoherencia van de la mano, recurriendo incluso a un vocabulario argumentativo – sistema de argumentación, teoría, pruebas –  durante las absurdas conversaciones, para que el disparate quede aún más patente. La obra no termina, su estructura es claramente circular. No sucede como en el teatro clásico, donde encontramos la exposición, el nudo y el desenlace. Esta obra no posee conclusión, pues al final se vuelve a empezar, con la escena primera, intercambiado los personajes, como una nueva alusión a la banalidad de sus vidas. Bibliografía: E. Ionesco (traducción de Luis Echávarri), Obras Completas, Aguilar, 1973. R. Norville, la cantatrice Chauve. La Leçon, Profil 145, Hatier, 1992. En http://www.ionesco.org/ hay una amplia descripción de todas las obras de Eugène Ionesco y algunos fragmentos de algunas de ellas.

Miércoles, 01 de Julio de 2009 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

200. 28. (Junio 2009) Mad Maths

Mad Maths Espectáculo poético-chiflado para todos los públicos sobre las matemáticas Compañía “Sous un autre angle” La compañía Sous un autre angle se creó de la mano de Olivier Faliez y Kevin Lapin, ambos formados en la École Internationale de Théâtre Jacques Lecoq de París. El primero es francés y empezó a dedicarse a la comedia tras finalizar sus estudios de matemáticas. El segundo es americano, apasionado por la pedagogía y la lengua francesa, y desde siempre ha tenido un gran interés por la ciencia. Juntos deciden poner en marcha un espectáculo en el que se hablaría de las matemáticas de otra manera… divirtiéndose. Sus herramientas de trabajo: libros sobre la historia de las matemáticas (como por ejemplo, Cero. Biografía de una idea peligrosa de Charles Seife), algunos recuerdos de la escuela, su complicidad y numerosas técnicas de creación aprendidas en la École Internationale de Théâtre Jacques Lecoq. La obra se estrenó en 2003, y desde entonces ha habido cientos de representaciones en teatros, institutos, festivales… más de 300 representaciones. En 2006, Kevin Lapin regresa a su país natal y el personaje de Mr. X (el otro personaje se llama Mr. Y) pasa a ser representado por Gaëtan Peau, que pone en práctica su formación en los conservatorios de París y sus estudios de filosofía. En la obra, dos profesores, Mr. X y Mr. Y, exponen sus teorías sobre el cero, el infinito, la importancia de las cebras en la numeración, etc. en diez capítulos: Capítulo 0: Todo es el número Se parodia la admiración que sentían Pitágoras y sus discípulos por los números enteros. Capítulo 1: Las familias de funciones Los dos profesores representan por turnos las diferentes funciones matemáticas, cuyas características se transforman entonces en caracteres humanos. © Lucas Cournut Capítulo 2: Historia de la numeración Exposición de las diferentes maneras de contar a través de la historia de la humanidad. Capítulo 3: Nuevos sistemas de numeración Los dos profesores proponen un nuevo sistema de numeración sin el cero, y realizan, sin quererlo, la demostración de su utilidad. Capítulo 4: El cero Interpretación teatral por uno de los dos personajes del cero a lo largo de la historia. Capítulo 5: El infinito ¿Hay más números enteros que pares? ¿Cuántos decimales tiene pi? Evocación poética del infinito… Capítulo 6: El lenguaje matemático Sainete humorístico que, mediante la burocracia administrativa, pretende evocar  la complejidad, a veces absurda, del lenguaje matemático. Capítulo 7: La trigonometría Curso magistral donde los dos profesores, repentinamente exaltados, se dejan llevar hasta evocar la poesía de los senos y cosenos. Capítulo 8: Una sucesión convergente Teóricamente: 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 +… = 1 ¿Pero como dar la aplicación completa? Capítulo 9: La música de las fracciones Evocación de la relación entre la música y las fracciones con ayuda de tubos de PVC de diferentes tallas que termina con una demostración rítmica endiablada… En su página web, ellos mismos se presentan del siguiente modo: La Compañía “Sous un autre angle” presenta Espectáculo poético-chiflado para todos los públicos sobre las matemáticas ¿Por qué Mad Maths? Creada en 2003, Mad Maths es una conferencia en forma de espectáculo, un espectáculo en forma de curso de matemáticas, un O.V.N.I. teatral. Conducido por dos encantadoramente locos profesores, este dúo alucinante aborda capítulo a capítulo, esta ciencia con tan dolorosa reputación, bajo un ángulo inédito, absurdo, chiflado y poético. ¡Un espectáculo para los malos estudiantes, los traumatizados y los fanáticos! Y a modo de preámbulo, un pequeño ejercicio de aplicación…   Más información: http://www.madmaths.fr Marie-José Pestel, Des maths sur les planches, Revue Tangente 101, noviembre-diciembre 2004. Sandrine Martínez, Fous rire garantis, Le Parisien, 20 mayo 2005. Reseña de la Académie de Grenoble. Reseña en la página CultureMath del CNRS. Videos con fragmentos de la obra: Capítulo 1, Capítulo 2 (y otro fragmento en youtube), Capítulo 3 (y otro fragmento en youtube), Capítulo 7, Capítulo 9 (y otro fragmento en youtube).

Lunes, 01 de Junio de 2009 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico