181. 3. (Febrero 2005) El cuento como sistema lógico

Hay elementos en la estructura del cuento -posiblemente la brevedad, la rigurosidad- que llevan fácilmente a la tentación de enunciar reglas para el género y a imaginar posibles clasificaciones y decálogos. La suerte común que corren estos intentos es que o bien son demasiado vagos y generales como para tener algún interés o bien dejan escapar, cualquiera sea la cantidad de axiomas considerados y de precauciones tomadas, un exponente de cuento perfectamente legítimo y admirable que se burla de la ley. Y de la misma manera que en el libro "Las cien formas de decir NO a la prueba de amor", la respuesta número cien es SI, en todo decálogo del cuento la máxima número diez parece condenada a ser, como sugirió Abelardo Castillo: no tomen las nueve anteriores demasiado en serio. Esta insuficiencia de todos los intentos de formalización puede conducir a la opinión teórica rápida y aliviada de que no hay en realidad preceptos a tener en cuenta a la hora de acometer un cuento. Y sin embargo, y esto lo sabe cualquiera que se haya puesto seriamente a la prueba, a poco de empezar se descubre que las leyes que uno creyó haber echado por la puerta volvieron por la ventana. Son leyes escurridizas, intangibles, que se reconocen en ejemplos particulares pero no se dejan abstraer con mucha generalidad ni enunciar fácilmente. Menciono dos que me parecen particularmente profundas. La primera la sugiere Borges por oposición en un párrafo en el que trata de establecer la distinción entre cuento y novela. Borges pasa por alto la diferencia más inmediata y superficial de la extensión y observa que lo que caracteriza a la novela es que la atención está centrada en los personajes, que lo que importa en una novela, por sobre todo, es la evolución de los personajes. En los cuentos lo primordial es la trama, los personajes sólo tienen importancia como nodos de esa trama y pierden, por lo tanto, grados de libertad. La segunda la enuncia Ricardo Piglia en sus "Tesis sobre el cuento", en un artículo aparecido en "Clarín" hace algunos años. Dice allí que todo cuento es la articulación de dos historias, una que se cuenta sobre la superficie y otra subterránea, secreta, que el escritor hace emerger de a poco durante el transcurso del cuento y sólo termina de revelar por completo en el final. Esta idea coincide con la imagen más frecuente que tengo yo del cuentista: un ilusionista que desvía la atención del público con una de sus manos mientras realiza su acto de magia con la otra. Un mérito adicional de esta aproximación es que permite mirar al cuento no como un objeto terminado, listo para los desarmaderos de los críticos, sino como un proceso vivo, desde su formación. Una ligera variación sobre esta idea permite pensar al cuento como un sistema lógico. La palabra "lógica", deslizada en un contexto artístico, no debería provocar necesariamente sobresaltos: la lógica -que no debe confundirse con los rígidos silogismos del secundario ni con el fragmento binario que usa la matema'tica- ha probado ser una materia muy maleable. Desde el momento histórico en que el joven estudiante Lobachevsky, a principios de 1800, niega el quinto postulado de la geometría euclidiana creyendo que llegará a un absurdo y se asoma en cambio a un nuevo mundo geométrico, perfectamente extraño, pero perfectamente consistente, una revolución silenciosa estalla en el pensamiento humano. Desde entonces diferentes disciplinas y ramas del pensamiento se han dado su propia lógica. Así, el Derecho formaliza y trata de automatizar sus criterios de evidencia y validez, la matemática empieza a razonar con lógicas polivalentes, la psiquiatría hace ensayos para modelar la lógica de la esquizofrenia y los lavarropas incorporan la lógica difusa. Qué es en definitiva un sistema lógico? Es un conjunto de presupuestos iniciales y una serie de reglas de deducción -pueden pensarse como reglas de juego- que permiten pasar con "legitimidad" de los presupuestos iniciales a enunciados nuevos. La variedad y diversidad de las lógicas depende fundamentalmente de las reglas de deducción elegida. En la lógica intuicionista, por ejemplo, no se admiten las demostraciones por reducción al absurdo y en la lógica trivalente se puede afirmar y negar a la vez sin escándalo una misma proposición. Mirados de cerca, también los cuentos operan y proceden dentro de este esquema. En efecto, todo cuento empieza, igual que las películas de terror, creando una ilusión de cierta normalidad, en el estado -digamos- del sentido común. Pero desde el principio, por definición, este estado está amenazado veladamente, dentro del pacto tácito entre el autor y el lector de que "algo va a pasar". Las primeras informaciones, que pueden parecer casuales, son aceptadas dentro de ese contexto de normalidad. Es decir, al principio del cuento la lógica de la ficción coincide -o quizá deba decir se disimula- bajo la lógica usual del sentido común. En nuestro esquema los presupuestos iniciales son estas primeras informaciones que se disponen como las piezas de ajedrez sobre un tablero al principio de la partida. Pero por supuesto estos datos iniciales, que para el lector pueden aparecer más o menos intercambiables o aleatorios, no son cualesquiera para el escritor: lo que es contingente en la lógica inicial es necesario en la lógica de la ficción; le hacen falta al escritor en uno u otro sentido para un segundo orden que por el momento sólo él conoce. Este segundo orden está regido por otra lógica y todo el acto de prestidigitación, el juego de manos del cuentista, consiste en la transmutación y en la sustitución de la lógica inicial de la normalidad por esta segunda lógica ficcional que se va adueñando poco a poco de la escena y a partir de la cual debe deducirse el final -si las cosas han salido bien- como una fatalidad y no como una sorpresa. De este modo la idea de Piglia de las dos historias puede sustituirse por la idea -menos exigente y por eso, más general- de dos órdenes lógicos posibles, o más precisamente, de una lógica única que se desdobla en dos en el transcurso del cuento*. Hablé hasta aquí del escritor como un manipulador de lógicas más o menos astuto; pero también -a veces- el escritor es un artista. No hace mucho -y para volver a la imagen del ilusionista- vi en un programa de televisión a un viejo mago argentino al que le falta una mano, haciendo un show con cartas en Las Vegas. Estaba sentado en una mesa, con su única mano desnuda extendida sobre el tapete verde y rodeado completamente de personas que vigilaban desde todos los ángulos su rutina. La prueba era simple. Arrojaba de a una, boca arriba, seis cartas sobre la mesa, con los colores intercalados: rojo negro, rojo negro, rojo negro. Las recogía tal como habían quedado y cuando volvía a arrojarlas los colores se habían juntado: rojo rojo rojo, negro negro negro. No puede hacerse más lento, decía entonces. O quizá sí... quizá pueda hacerse más lento. Arrojaba entonces otra vez las cartas, más despaciosamente: rojo, negro, rojo, negro, rojo, negro. Las recogía, y los colores habían vuelto a juntarse: rojo rojo rojo, negro negro negro. Y entonces se sonreía para sí y repetía otra vez esa frase: No puede hacerse más lento... o quizá sí, quizá pueda hacerse más lento. Este sería entre los escritores el artista: un ilusionista con una sola mano que siempre puede decir, bajo todos los ojos: o quizá sí, quizá pueda hacerse más lento. Guillermo Martínez Publicado en V de Vian (No 32) Febrero de 1998. * (Footnote) Pensar al cuento de este modo, como un sistema lógico, permite también imaginar unaexplicación para la insuficiencia crónica de todas las reglas propuestas para el género. Es sabido que a los sistemas lógicos con un mínimo de complejidad les alcanza el teorema de incompletitud de Gödel. Este teorema, cuyo enunciado es matemático, pero cuyas consecuencias son filosóficas, dice justamente que los ejemplos generados a a partir de un conjunto finito de reglas -por más larga que sea la lista propuesta- no alcanzarán a agotar nunca el universo total de casos posibles. Esto muestra que pueden convivir perfectamente la idea de que los cuentos están regidos por leyes con la idea de que es inútil intentar enunciar estas leyes de una manera general y definitiva.

Martes, 01 de Febrero de 2005 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

182. 2. (Enero 2005) Original libro sobre geometría clásica: Estética de la razón matemática

LEYENDO A EUCLIDES de Beppo Levi (Libros del zorzal, 2000) 223 páginas A fines de los años 30, perseguido por Mussolini, llegó a la Universidad del Litoral un hombre diminuto, de aspecto frágil y frente ancha. Era Beppo Levi, uno de los matemáticos más importantes del siglo XX. Se lo había contratado como investigador en uno de los primeros institutos especializados que tuvo el país, pero por una de las clásicas paradojas argentinas, pronto sobrevino una intervención arrasadora y Levi acabó dando clases rutinarias para alumnos de primer año. Fue también en Rosario donde se publicó por primera vez Leyendo a Euclides. Casi 50 años después, un grupo de discípulos reedita esta incursión casi detectivesca en el pensamiento socrático. Para entender la importancia de este libro suyo hay que tener en cuenta que los axiomas de Euclides para la geometría no sólo fueron y son aún en gran medida el paradigma del modo de operar de la razón matemática, sino que cristalizaron también una estética casi imperativa para esa razón, con implicaciones múltiples en la filosofía que llegan hasta hoy: la estética del balance delicado entre simplicidad y alcance, entre un mínimo de presupuestos y un máximo de consecuencias derivables. En efecto, la atracción y seducción del modelo euclideano reside en que a partir de nociones elementales como punto, recta, círculo, y sólo cinco axiomas que vinculan de manera casi obvia estas nociones, puede desarrollarse de teorema en teorema toda la geometría clásica, es decir, la totalidad de la geometría que conocía la humanidad hasta no hace mucho tiempo y que Kant creyó la única posible: la que se corresponde con la forma en que vemos al mundo y sirve a cartógrafos, arquitectos y agrimensores para todos los usos diarios. La larga influencia del procedimiento axiomático en la filosofía puede rastrearse en la Etica de Spinoza, cuyo subtítulo es "Demostrada según el orden geométrico", y también en la búsqueda de Descartes de una verdad a partir de la cual construir, por pasos puramente lógicos, un sistema de pensamiento inexpungable. Pero quizá la historia más conocida en torno a la geometría euclideana es la que tiene que ver con el quinto postulado: Dada una recta y un punto fuera de ella, hay una única recta paralela a la dada que pasa por ese punto. De los cinco axiomas éste era, aun para Euclides, el menos obvio, y en las demostraciones trata de utilizarlo sólo cuando es estrictamente necesario. Durante dos mil años se pensó que tal vez sería posible probar este quinto axioma a partir de los cuatro anteriores, como un teorema más, y encontrar esa demostración elusiva se convirtió en el principal problema abierto de los geómetras. En 1826, un joven estudiante ruso, Nikolay Lobachevsky, descubrió que era posible desarrollar una nueva geometría en la que fueran válidos los cuatro primeros axiomas, pero no el quinto. Posteriormente Bolyai probó algo todavía más curioso: que la nueva geometría era tan legítima y sólida como la euclideana, en tanto que si llevaba a alguna contradicción lógica, la "culpa" de esta contradicción no podría atribuirse a la negación del quinto postulado, sino a los cuatro anteriores, compartidos con la geometría clásica. Gauss, que había llegado por su cuenta a las mismas conclusiones, observó que la existencia de una geometría no euclideana ponía en crisis la idea kantiana de una noción a priori del espacio. Este fue uno de los golpes más duros a la filosofía de Kant, al que se sumaron los experimentos sobre la geometría de la percepción visual, tampoco del todo euclideana, de Helmholtz. El espíritu de Euclides revivió con particular fuerza a principios de 1900 en el programa de Hilbert para fundamentar la matemática. Algunas paradojas lógicas señaladas por Rusell en la teoría de conjuntos habían hecho crujir el edificio orgulloso de la matemática y mostraban la necesidad de buscar principios de corroboración que permitieran la revisión cuidadosa de cada resultado. Hilbert sostenía que debía dotarse a la matemática de un conjunto de axiomas bien determinados, como los postulados de Euclides, de modo que todo resultado que los matemáticos proclamasen como verdadero pudiera corroborarse y reobtenerse a partir de estos axiomas en una sucesión finita de pasos. En una palabra, Hilbert procuraba identificar la noción de verdadero con la de demostrable. Pero ya en la vida real estamos acostumbrados a que estas dos nociones no siempre son equivalentes. Basta pensar en cualquier crimen con dos sospechosos. Cualquiera de los dos involucrados sabe la verdad sobre su culpabilidad o inocencia. Pero la Justicia debe reunir evidencias para decidir sobre esta cuestión y demasiadas veces los indicios no son suficientes para alcanzar la verdad. En 1930 Kurt Gödel mostró -en lo que fue un golpe de efecto inesperado- que lo mismo ocurre en la matemática. Su célebre teorema de incompletitud dio por tierra con el programa de Hilbert al revelar que aun en el fragmento elemental de la aritmética -los números naturales, con la suma y la multiplicación- es imposible dar una cantidad finita de postulados que permitan reobtener como teoremas todos los enunciados verdaderos. La aritmética, a diferencia de la geometría clásica, es irreductible a un tratamiento axiomático. El teorema de Gödel, convertido demasiado ligeramente en fetiche de la postmodernidad, debe verse como un resultado sobre la limitación de los métodos formales axiomáticos y, en general, sobre la limitación del lenguaje. Desde el punto de vista de la matemática, dice que hay más complejidad en el mundo de los objetos matemáticos que la que pueden dar cuenta los métodos finitistas de demostración. Dice también que la inteligencia humana es irremplazable: no puede modelarse una computadora que arroje todos los enunciados verdaderos sobre los números naturales. El factor humano insustituible es la facultad de interpretar y asignar sentido. A la vez, el resultado de Gödel pone por primera vez en crisis la estética simplicidad-alcance tan asimilada a partir de Euclides en el pensamiento matemático: la aritmética y otros fragmentos de la matemática no pueden axiomatizarse sin perder en el camino parte de su alcance. En una investigación anterior, el matemático francés Henri Poicaré había vuelto sobre los axiomas de Euclides para evidenciar los presupuestos ocultos detrás de los cinco axiomas: por ejemplo, la admisión tácita de que las figuras son indeformables por rotaciones y traslaciones. En un mundo de fluidos no tendría sentido la geometría euclideana. Este modo de atender a lo no dicho, y poner en evidencia lo que cada época convierte en verdad inconsciente, anticipaba en la matemática lo que fueron luego las técnicas arqueológicas de Foucault en las ciencias sociales. Leyendo a Euclides se inscribe más bien en esta segunda línea, y puede considerarse una revisión bajo la lupa poderosa de los siglos para entender el corpus de conocimientos y el modo de razonar geométrico de la época de Euclides. En el prólogo, Levi dice que su esfuerzo al escribir este libro estaría completamente perdido sin no pudiera cautivar la atención de lectores no matemáticos. Estos lectores tendrán hoy la oportunidad única de reaprender la geometría de la mano de un matemático verdaderamente célebre (hay un teorema ya clásico del análisis que lleva su nombre). ¿Qué hay -podría preguntarse uno al terminar- detrás de esta estética que atravesó los siglos, de este afán de apresar con unas pocas propiedades, todas las consecuencias de un sistema? Los axiomas, quizá, expresan la finitud humana. Desde siempre el hombre se ha debatido con su finitud y en la matemática logró a veces con astucia derrotarla: nadie puede contar todos los números, pero sabemos escribir cualquiera de ellos y podemos hacerlo con sólo diez símbolos. Nadie puede escribir los infinitos teoremas de la geometría, pero Euclides enseñó que con suficiente paciencia podríamos derivar cada uno a partir de sólo cinco axiomas. Otras veces, sin embargo, ninguna astucia es suficiente. El ser humano es una criatura limitada, pero echa a andar hijos cuyos pasos no puede seguir, dioses que lo suceden eternamente y objetos cuya complejidad se le escapa. (Publicado en Clarín) TEXTO ORIGINAL A fines de los años 30, perseguido por Mussolini, llegó a la Universidad del Litoral un hombre diminuto, de aspecto frágil y frente ancha. Era Beppo Levi, uno de los matemáticos más importantes de este siglo. Se lo había contratado como investigador en uno de los primeros institutos especializados que tuvo el país pero por una de las clásicas paradojas argentinas, pronto sobrevino una intervención arrasadora, y Levi acabó dando clases rutinarias de análisis para los alumnos de primer año. Fue también en Rosario donde se publicó por primera vez Leyendo a Euclides. Casi cincuenta años después, un grupo de discípulos acaba de reeditar esta incursión casi detectivesca en el pensamiento socrático. Para entender la importancia de este libro se debe tener en cuenta que los axiomas de Euclides para la geometría no sólo fueron y son todavía en gran medida el paradigma del modo de operar de la razón matemática sino que cristalizaron también una estética profunda y casi imperativa para esa razón, con implicaciones múltiples en la filosofía que llegan hasta la época contemporánea. Esa estética es la del balance delicado entre simplicidad y alcance, entre la mínima cantidad de presupuestos y la máxima cantidad de consecuencias derivables. En efecto, la atracción y seducción del modelo euclideano reside en que a partir de nociones muy elementales como punto, recta, círculo, y sólo cinco axiomas que vinculan de manera casi obvia estas nociones entre sí, puede desarrollarse de teorema en teorema toda la geometría clásica, es decir, la totalidad de la geometría que conocía la humanidad hasta no hace mucho tiempo atrás y que Kant creyó la única posible: la geometría que se corresponde con la forma en que vemos el mundo y sirve a cartógrafos, arquitectos y agrimensores para todos los usos diarios. La larga influencia del procedimiento axiomático en la filosofía puede rastrearse en la Etica de Spinoza, que lleva como subtítulo "Demostrada según el orden geométrico" y también en la búsqueda de Descartes de una verdad "a salvo de toda duda razonable" que pudiera servir como primer principio y punto de apoyo para construir, por pasos puramente lógicos, un sistema de pensamiento inexpungable. Pero quizá la historia más conocida en torno a la geometría euclideana es la que tiene que ver con el quinto postulado: Dada una recta y un punto fuera de ella, hay una única recta paralela a la dada que pasa por ese punto. De los cinco axiomas este último era, incluso para el propio Euclides, el menos obvio, y en las demostraciones trata de utilizarlo sólo cuando es estrictamente necesario. Durante dos mil años se pensó que tal vez sería posible probar este quinto axioma a partir de los cuatro anteriores, como un teorema más, y encontrar esa demostración elusiva se convirtió en el principal problema abierto de los geómetras. Finalmente un joven estudiante ruso, Nikolay Lobachevsky, descubrió en 1826 que era enteramente posible desarrollar una nueva geometría en la que fueran válidos los cuatro primeros axiomas pero no el quinto. Posteriormente Bolyai probó algo todavía más curioso: que la nueva geometría, por extraña que pudiera parecer a la intuición, era tan legítima y sólida como la euclideana, en el sentido de que si llevaba a alguna contradicción lógica, la "culpa" de esta contradicción no podría atribuírse a la negación del quinto postulado, sino a los cuatro anteriores, compartidos con la geometría clásica. Gauss, que había llegado por su cuenta a las mismas conclusiones, fue uno de los primeros en observar que la existencia de una geometría no euclideana ponía en crisis la idea kantiana de una noción a priori del espacio. Este fue uno de los golpes más duros a la filosofía de Kant, al que se sumaron luego los experimentos sobre la geometría de la percepción visual, tampoco enteramente euclideana, debidos a Helmholtz. El programa de Hilbert y la incompletitud El espíritu de Euclides revivió con particular fuerza a principios de 1900 en el programa de Hilbert para fundamentar la matemática. Algunas paradojas lógicas señaladas por Russell en la teoría de conjuntos habían hecho crujir por primera vez el edificio orgulloso de la matemática y mostraban la necesidad de buscar principios y métodos de corroboración que permitieran la revisión cuidadosa de cada resultado. La idea detrás del programa de Hilbert era que debía dotarse a toda la matemática de un conjunto de axiomas bien determinados, como los cinco postulados de Euclides, de manera que todo resultado que los matemáticos proclamasen como verdadero -utilizando cualquier método- pudiera corrobarse y reobtenerse a partir de estos axiomas por medio de un procedimiento puramente mecánico, en una sucesión finita de pasos. En una palabra, Hilbert procuraba identificar la noción de verdadero con la noción de demostrable. Pero ya en la vida real estamos acostumbrados a que estas dos nociones no son necesariamente equivalentes. Basta pensar en cualquier crimen con dos únicos sospechosos. Cualquiera de los dos involucrados sabe la verdad sobre su culpabilidad o inocencia: yo fui o yo no fui. Sin embargo la justicia debe reunir por otros caminos evidencias -huellas, colillas, verificación de horarios- para decidir sobre esta cuestión y demasiadas veces los indicios no son suficientes para alcanzar esa verdad. Más aún, puede ocurrir incluso que ni la culpabilidad de uno ni la inocencia del otro sean demostrables. En 1930 Kurt Gödel mostró -en lo que fue un golpe de efecto dramático e inesperado- que exactamente lo mismo ocurre en la matemática. Su célebre teorema de incompletitud dio por tierra con el programa de Hilbert al revelar que aún en el fragmento elemental de la aritmética -los números naturales, con la suma y la multiplicación- es imposible dar una cantidad finita de postulados, a la manera de Euclides, que permitan reobtener como teoremas todos los enunciados verdaderos. Es decir, la aritmética, a diferencia de la geometría clásica, es irreductible a un tratamiento axiomático. El teorema de Gödel, convertido demasiado ligeramente en fetiche de la postmodernidad y de los psicólogos lacanianos, debe verse como un resultado sobre la limitación de los métodos formales axiomáticos, y en general, como un resultado sobre la limitación del lenguaje. Desde el punto de vista de la matemática dice que hay más complejidad en el mundo de los objetos matemáticos de la que pueden dar cuenta los métodos finitistas de demostración. Dice también que la inteligencia y el discernimiento humano es irremplazable: no puede modelarse una computadora que arroje todos los enunciados verdaderos sobre los números naturales. El factor humano insustituible es la facultad de interpretar y asignar sentido. A la vez, el resultado de Gödel pone por primera vez en crisis la estética simplicidad-alcance profundamente asimilada a partir de Euclides en el pensamiento matemático: la aritmética, y muchos otros fragmentos de la matemática, no pueden axiomatizarse sin perder en el camino una parte de su alcance. El libro de Beppo Levi En una investigación anterior y quizá menos conocida, el matemático francés Henri Poincaré había vuelto sobre los axiomas de Euclides para poner en evidencia los presupuestos ocultos detrás de los cinco axiomas: por ejemplo, la admisión tácita de que las figuras son indeformables por rotaciones y traslaciones. En un mundo de fluidos no tendría sentido la geometría euclideana. Este modo de prestar atención a lo no dicho, y de poner en evidencia lo que cada época convierte en verdad inconciente, anticipaba en el campo de la matemática lo que fueron luego las técnicas arqueológicas de Foucault en las ciencias sociales. Leyendo a Euclides se inscribe más bien en esta segunda línea, y puede considerarse una revisión bajo la lupa poderosa de los siglos para entender el corpus de conocimientos y el modo de razonar geométrico de la época de Euclides. En el prólogo Levi dice que su esfuerzo al escribir este libro estaría completamente perdido si no pudiera cautivar la atención de lectores no matemáticos. Estos lectores tendrán la oportunidad única de reaprender la geometría de la mano de un matemático verdaderamente célebre (hay un teorema ya clásico del análisis que lleva su nombre) y al mismo tiempo -como dice Mario Bunge en las palabras finales- de tener con los muertos una conversación inteligente, sin recurrir a trucos espiritistas. ¿Qué hay en todo caso -podría preguntarse uno al terminar- detrás de esta estética que atravesó los siglos, detrás de este afán de apresar con unas pocas propiedades, todas las consecuencias de un sistema? Los axiomas, quizá, expresan la finitud humana. Desde siempre el hombre se ha debatido con su finitud y en la matemática ha logrado a veces con astucia derrotarla: nadie puede contar todos los números, pero sabemos escribir cualquiera de ellos y podemos hacerlo con sólo diez símbolos. Nadie puede escribir los infinitos teoremas de la geometría, pero Euclides enseñó que con suficiente paciencia podríamos derivar uno cualquiera a partir de sólo cinco axiomas. Otras veces, sin embargo, ninguna astucia es suficiente. El ser humano es una criatura limitada, pero echa a andar hijos cuyos pasos no puede seguir, dioses que lo suceden eternamente y objetos cuya complejidad se le escapa.

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183. 1. (Enero 2005) El amor correspondido y el experimento de la habitación china

En la novela Galatea 2:2 el escritor norteamericano Richard Powers vuelve al mito de Pigmalión en una versión computacional: el protagonista, bajo el desafío de una apuesta, se propone educar a una computadora en el gusto literario, para que pueda emitir un comentario crítico articulado ante cada libro que se le presente. Y de la misma manera que en la obra de Bernard Shaw la piedra de toque del éxito de la educación era conseguir que la florista de los suburbios fuera por una noche, durante una recepción, indistinguible de las damas de la alta sociedad, se pacta que la computadora deberá ser capaz de dar un examen de apreciación literaria que pueda confundirse con el de otro alumno universitario cualquiera. Detrás de una puerta cerrada estará la computadora, detrás de una segunda puerta un alumno brillante de carne y hueso. A la hora señalada las hojas de los dos exámenes se deslizarán hacia afuera. Si un examinador externo no logra discriminar por las respuestas a quién pertenece cada examen, el científico de Powers habrá ganado la apuesta. La recepción de Bernard Shaw y el examen de Powers son dos versiones de lo que se llama el Test de Turing. El test fue propuesto en 1950 por el matemático y fundador de la computación Alan Turing en un famoso artículo llamado “Computing Machinery and Intelligence” e intentaba convertirse en un método que permitiera decidir, razonablemente, si una máquina había llegado a “pensar”. De acuerdo con el test, la computadora, junto con un voluntario humano, quedan ocultos de la vista de algún interrogador, que tiene que decidir quién es quién en una sesión de preguntas dirigidas a ambos. Si el interrogador no es capaz de distinguir por las respuestas al ser humano, la computadora habrá pasado la prueba. El test de Turing está más presente en nuestras vidas de lo que suponemos: el paso al frente en la escuela para “dar lección”, el detector de mentiras, el interrogatorio que pone al descubierto al replicante en la película Blade Runner, o las pruebas psiquiátricas que deciden si un asesino es o no inimputable son, bien mirados, todas variantes del test. El libro Los anormales, de Michel Foucault, deja ver que un test de Turing psiquiátrico decide en cada época la “normalidad” y muchas veces la libertad o prisión de un ser humano. Pero también, todo el tiempo, hacemos nuestros pequeños tests de Turing al estudiar en los otros la serie de palabras, gestos, miradas -el conjunto de exteriorizaciones- por el que decidimos si nos mienten, o nos quieren, o si todavía nos quieren. Vale la pena entonces revisar algunas de las objeciones que se le han hecho al test. La primera se debe a John Searle y se conoce con el nombre del “Experimento de la Habitación China”. En una habitación cerrada un hombre recibe debajo de la puerta una lista de preguntas en caracteres chinos. El hombre no sabe una palabra del idioma chino pero tiene un manual de instrucciones, digamos, chino-castellano, castellano-chino, que le dice cómo proceder para responder las preguntas. El hombre sigue las intrucciones mecánicamente y pasa sus respuestas transcriptas en esos caracteres que desconoce debajo de la puerta. Un observador externo podría jurar que el hombre sabe chino, pero por supuesto no hay ninguna genuina comprensión del idioma. La analogía es clara: la computadora es como el hombre de la habitación china: puede simular entendimiento para un observador externo pero no tiene “comprensión” de lo que está haciendo. ¿Puede haber acaso inteligencia sin comprensión? Una segunda objeción al test tiene que ver con la cuestión del tiempo. La sucesión de preguntas dirigidas a la computadora tiene como propósito principal descubrir una impostura, la distancia que hay entre “simular inteligencia” y “ser inteligente”, pero una cantidad finita de preguntas sólo permite decir que la impostura, hasta ese momento, no ha sido descubierta. Si el interrogatorio de Blade Runner hubiera terminado con una pregunta menos el replicante no se hubiera puesto al descubierto. Si la maestra no le hace al alumno la única pregunta que ignora, creerá que lo sabe todo. El test ideal debería ser entonces infinito, o perpetuo, pero ésto claramente lo vuelve impracticable para todos los propósitos humanos. La tercera objeción involucra lo que podría llamarse “la estética de los razonamientos”. Es bien sabido que la computadora Deep Blue llegó a derrotar en un match de ajedrez al campeón mundial de los seres humanos. Vistos “desde afuera” los dos juegan el mismo juego. Pero la computadora - que toma ventaja de su velocidad de cálculo- procede en sus análisis de la manera más burda, con pura fuerza bruta: examina en cada jugada todos los casos, persigue todas las alternativas posibles. El ajedrecista, en cambio, sólo deja filtrar unas pocas variantes “interesantes” o potencialmente promisorias. Su árbol de búsqueda tiene menos ramas, pero más profundas. En esta economía de recursos, en sus pocas y certeras intuiciones, hay algo que nos parece grato, difícil, admirable. No juegan, en el fondo, al mismo juego. En cada uno de los casos que examinamos la dificultad está en saber qué hay verdaderamente detrás de una puerta cerrada. Pero también las personas somos habitaciones cerradas, o en el mejor de los casos, como en el título de Saer, sombras detrás de un vidrio esmerilado. Quizá la atracción y la perduración de las novelas tenga que ver con la ilusión que nos dan de que podemos conocer “por dentro” a los personajes. En un largo ensayo titulado “Conciencia y la novela”, David Lodge demuestra que gran parte de la literatura moderna y contemporánea a partir de Jane Austen y Henry James,  se desarrolló en base a una confianza o un escepticismo filosófico sobre la posibilidad de penetrar la conciencia y saber realmente qué piensan y qué sienten los otros. Quise decir algo de esto en la última de mis novelas. En uno de los capítulos el protagonista recibe debajo de la puerta una carta de amor. Acaba de estudiar el Experimento de la Habitación China y se da cuenta, con alguna desesperación, de que ha perdido confianza en el puente de las palabras. ¿Cómo saber si hay verdadera correspondencia entre los sentimientos? ¿Cómo saber si el amor de la otra persona es tan intenso como el de uno? Mucho antes de Searle y de Turing, un poeta árabe, Qais bin-al-Mulawah, sintió la misma clase de incertidumbre y sólo le quedó un ruego desesperado a un Tercero que pudiera mirar por adentro a los dos: Oh Dios, haz que el amor entre ella y yo sea parejo que ninguno rebase al otro Haz que nuestros amores sean idénticos, como ambos lados de una ecuación. Sí: somos habitaciones cerradas que intercambiamos hojas bajo la puerta en idiomas extranjeros, precarios, tentativos, con la esperanza -como otro ruego- de que no todo se pierda en la traducción.

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184. 138. ¿Órbitas Trigonométricas?

Hace unas semanas, un fiel seguidor de la sección, compañero de estudios y de trabajo, me planteó una cuestión que paso este mes a comentar. Dedicamos la reseña 117, en febrero de 2017, a comentar la estupenda Figuras Ocultas (Hidden Figures, Theodore Melfi, EE. UU. 2016) en cuyo argumento se describe el papel relevante que desempeñaron muchas mujeres de color en la carrera espacial norteamericana, a la vez que se reivindica la necesidad de dar a conocer su trabajo (el 11 de febrero está cerca, buen momento para volver a verla). En aquellos años se mantenían en un segundo plano, no sólo porque su trabajo se consideraba “secundario” (meras calculadoras, tarea rutinaria y “no digna” de los “eminentes” ingenieros), sino porque aquella sociedad tenía conceptos sociales, éticos y raciales bastante descentrados (me resisto a hacer la insinuación, pero la realidad mediática nos abruma: ¿y ahora? ¿sólo en yanquilandia?). En dicho artículo nos centrábamos en los aspectos matemáticos preferentemente, como la resolución de una ecuación cuartica mediante factorización, el método de Euler de aproximación a la solución de una ecuación diferencial de primer orden a partir de un valor inicial (buscando la transición de una elipse a una parábola en la reincorporación de una nave en órbita a la Tierra), algunos comentarios sin demasiado sentido sobre el triedro de Frenet y el método de ortonormalización de Gram-Schmidt, y relacionados, aunque de otras disciplinas, apuntes de puesta en marcha de los primeros computadores y cuestiones físicas como la constante de Planck-Einstein y la ecuación de Schrödinger. Son las referencias directas que cualquiera puede localizar. Sin embargo, la puesta en marcha de una película requiere de otras muchas cosas, entre ellas un atrezo coherente. En numerosas ocasiones hemos comentado el contenido de pizarras, cuadernos, objetos, etc., que se muestran en las películas, que enriquecen, o desacreditan el conjunto. Mi compañero Miguel me indicó que había algunas representaciones gráficas que aparecían varias veces en la película que le habían llamado la atención, como las que vemos en el fondo de la imagen adjunta de uno de los protagonistas. Se trata de un mapa de la Tierra en el que aparecen unas líneas, y unos círculos. Quizá una imagen más completa nos haga percatarnos mejor de la forma que presentan esas líneas. En esta segunda imagen, en el centro de seguimiento de la nave ocupada por John Glenn, observamos al completo las posibles trayectorias que puede seguir dicha nave y los círculos los posibles lugares en los que aterrizará. La cuestión es, ¿son sinusoidales? ¿Por qué, si teóricamente está girando alrededor de la Tierra? Los satélites artificiales que mandamos, ¿también describen trayectorias de ese tipo? Si buscamos en la red información sobre, por ejemplo, la Estación Espacial Internacional (ISS, en inglés, por si lo buscan), nos toparemos con imágenes de este tipo: Así pues, nuestras sospechas se confirman: aparecen representadas mediante una trayectoria aparentemente semejante a una trigonométrica. Todos los aficionados a la Astronomía conocen la Estación Espacial Internacional, un satélite artificial habitable que actúa como una estación espacial tripulada, en órbita terrestre baja y que aloja a una media docena de astronautas que realizan diferentes trabajos y misiones de investigación científica y tecnológica a bordo. Como cualquier otro satélite artificial, la EEI circunda la Tierra en una ruta predefinida, llamada órbita. La órbita de la EEI se encuentra a una altitud donde todavía experimenta una fuerte atracción gravitatoria de la Tierra. Contrariamente a la creencia popular, no presenta “gravedad cero”. De hecho, en la EEI se experimenta hasta el 90% de la gravedad que tenemos aquí en la Tierra. Está cayendo perpetuamente hacia la Tierra, pero gracias a su enorme velocidad orbital (17,200 mph / 27,6000 kmph) y el gran tamaño de nuestro planeta, nunca llega a la superficie. Una curiosidad notable de la órbita de la EEI es que no coincide con el ecuador de la Tierra. Cuando hablamos de un satélite que gira alrededor de la Tierra, generalmente tendemos a visualizar su órbita coincidiendo con el ecuador, pero en realidad, la órbita de la EEI se parece más a lo que muestra la imagen adjunta. En cualquier caso, sigue un desplazamiento prácticamente circular alrededor de la Tierra. La razón por la que finalmente esa trayectoria “parece” una onda en vez de una circunferencia tiene que ver con el mapa utilizado. Como es conocido, no es posible configurar un mapa “exacto” de la Tierra, ni de ningún planeta (ya les gustaría a los terraplanistas; por cierto, la bobada no es nueva, y si no echen un ojo a lo que lleva pintado en la frente el paciente elefante de la célebre comedia El Guateque (The party, Blake Edwards, EE. UU., 1968); claro que, en su descargo, en estos años, estos colegas iban colocados hasta las cejas), debido a la imposibilidad de trasladar un objeto tridimensional al plano. Existen varios modelos diferentes, de acuerdo con el criterio que mejor satisfaga nuestras necesidades: unos conservan la forma de los continentes pero no las distancias, y otros al contrario. El mapa que más se ha utilizado durante mucho tiempo pertenece a esta última categoria, y es conocido como mapa de Mercator. La proyección cartográfica que utiliza prioriza el trazado de rutas en línea recta dado que las cartas naúticas era un tema de máxima necesidad en el siglo XVI. La forma exacta de los países era algo bastante más secundario. Se trata de una proyección cilíndrica, por lo que cuanto más nos alejamos del Ecuador a los Polos, más distorsión existe frente a la realidad. Además de no mostrar de forma correcta el tamaño relativo de los países, la proyección de Mercator también distorsiona el camino de la EEI en el mapa mundial y de cualquier objeto en órbita o tratando de entrar en la atmósfera terrestre (que es el caso de John Glenn en la película Figuras Ocultas). En la propia película aparecen también imágenes de informativos de la época, como la mostrada a continuación, en la que como vemos, también se muestra un mapa con las trayectorias marcadas del mismo modo. Pero no siempre las producciones cinematográficas tienen el mismo rigor a la hora de plasmar este tipo de elementos de ambientación de la película. Hay muchas películas relacionadas con la Astronomia y los viajes espaciales. ¿Conoce el lector algún flagrante caso de “metedura de pata” con este tipo de cosas? Esperamos sus aportaciones. Alfonso Jesús Población Sáez

Miércoles, 06 de Febrero de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

185. 168. (Febrero 2019) Una predicción ESPecial

Como adelantábamos el mes pasado cuando presentamos las cartas ESP con los símbolos inventados por Karl Zener, no se hizo esperar la aparición de juegos de magia con estos símbolos como protagonistas. Esto puede interpretarse como una forma de crítica hacia los experimentos parapsicológicos al poner de manifiesto que no es necesario tener dotes especiales para conseguir resultados que escapan a los procesos mentales usuales. Algo parecido ocurrió con el «boom» de Uri Geller en la primera mitad de la década de 1970-80, pues poco tiempo después de sus apariciones televisivas encontramos que muchos magos realizaban los mismos milagros sin apelar a la superioridad de sus mentes. Ya lo apuntó muy oportunamente Stewart Judah en 1963: "Para el profano, el simple uso de las cartas ESP provoca un toque adicional de misterio. La mayoría de la gente ha oido hablar estos días del famoso doctor Rhine y de sus experimentos de percepción extrasensorial con estas cartas, lo que representa una ventaja para el mago que presenta efectos mentales en su actuación. ¡Hasta el truco más antiguo puede adornarse usando cartas ESP de modo que el principio sea irreconocible! Pero, recuerda, si este es el caso, el efecto debe presentarse como fenómeno científico: un simple juego de cartas no tiene relevancia en el mundo del mentalismo." En enero de 1938, Royal V. Heath (sí, el mismo que inventó el nombre «Matemagia» al utilizarlo como título de su libro) publicó el juego "ESP miracle" en la revista The Sphinx y en febrero del mismo año, el genial Theodore Annemann puso el enigmático título "Yggdrasil" al juego que publicó en su revista The Jinx. En el número de abril de 1941 de esta misma revista, James G. Thompson jr. (no confundir con Johnny Thompson, el gran Tomsoni) escribió el artículo "Moonlight madness" donde sugería asociar el código numérico 1-2-3-4-5 a cada símbolo según el número de líneas con el que se dibuja. A lo largo del tiempo se ha extendido el uso de estos símbolos, gracias a la creación de nuevos y originales juegos y a que muchos mentalistas los utilizan en sus espectáculos. Solo mencionaré a Nick Trost y Howard Adams, de cuyos juegos con cartas ESP se ha publicado una colección de 6 DVDs, y a Doug Dyment, en cuyo libro Stimulacra (2007) he encontrado las imágenes de las primeras versiones de estas cartas, la original de Zener y la primera versión utilizada en las barajas ESP: Diseño original de Zener Primera baraja ESP Terminaremos describiendo un nuevo juego con base matemática utilizando estos símbolos. Si el mes pasado utilizamos solamente cinco cartas, en esta ocasión necesitaremos diez, cinco rojas y cinco negras, como las de la imagen adjunta (también puedes utilizar cinco cartas rojas y cinco negras homónimas de una baraja normal, pero no se produce el mismo efecto mental): Mezcla bien estas diez cartas. Es casi seguro, ¿con qué probabilidad?, que hayan quedado juntos dos símbolos iguales. Si no ha ocurrido, vuelve a mezclar. Esta vez, seguro que hay dos cartas juntas con el mismo símbolo. Recuerda cuál es este símbolo pues se trata de mi predicción. Corta el paquete de modo que dichos símbolos queden en la parte superior. En la siguiente figura se muestra un ejemplo donde las dos ondas están en la parte superior. Recoge el paquete, gira cara abajo las cartas y pasa la carta superior debajo de las demás. Reparte ahora todas las cartas sobre la mesa, alternativamente a la izquierda y a la derecha, formando dos montones. Elimina ahora el montón que desees, el de la izquierda o el de la derecha, pero esta elección influirá en las sucesivas: si eliminas el paquete de la derecha, en sucesivos pasos eliminarás también el paquete de la derecha. Repite la operación con las cartas restantes, es decir, forma dos montones sobre la mesa repartiendo las cartas alternativamente a la izquierda y a la derecha. Vuelve a eliminar uno de los montones (el del mismo lado que antes) y vuelve a repartir cartas con el montón restante y eliminar hasta que quede sólo una carta. Comprueba que, efectivamente, el símbolo de la carta restante coincide con la predicción. Comentarios finales. Hay algunas páginas web en las que puedes probar tus habilidades telepáticas online. Por ejemplo, este test con cartas ESP de la página Psychic Science tiene varias opciones (yo he alcanzado el 28 por ciento de aciertos). El propio Rhine Research Center, dedicado a la investigación de fenómenos paranormales, vende artículos relacionados con las cartas ESP. Puedes conseguir, por ejemplo, una baraja con su manual de instrucciones. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

Lunes, 04 de Febrero de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

186. 51. (Febrero 2019) El analema de Vitruvio en Montilla

(Figura 1. Reloj solar de Cerro Cocorrón. Museo Histórico de Montilla) El Museo Histórico de Montilla conserva el único cuadrante solar romano horizontal encontrado en la Península Ibérica De la treintena de relojes solares hallados en la Hispania Romana [1], solo el localizado en Montilla es horizontal plano con gnomon vertical, el resto son de tipo escafe (σκάφη) o hemispherium, el diseño que Vituvio atribuye a Berosio el Caldeo y a Aristarco de Samos. Los únicos relojes horizontales planos de la antigüedad hasta el hallazgo de Cerro Cocorrón eran los andalusíes: ocho encontrados hasta ahora. El más bello ejemplo de reloj solar hemisférico es el encontrado en Baelo Claudia (Cádiz) y que se expone en el Museo Arqueológico Nacional. Se trata de un reloj con gnomon de orificio para dejar pasar un fino haz de rayos solares. (Figura 2. Reloj solar de Baelo Claudia. MAN, Madrid) El analema de Vitruvio El gran tratadista Marco Vitruvio Polión (c. 80-70 – 15 a. C) expone detalladamente en su De Architectura (Libro IX, Capítulo VII) la forma de construir relojes solares horizontales usando la proyección ortográfica de la esfera celeste. El procedimiento ortográfico de la analemma fue después usado y ampliado por Herón de Alejandría (10 – 70 d. C.) y Claudio Ptolomeo (100 – 160 d. C.). El sistema fue la base de los cuadrantes árabes tanto orientales como occidentales. El método del analema es geométrico y permite trazar con facilidad las líneas horarias y las hipérbolas del zodiaco (o para cualquier fecha) en las zonas templadas. Los cuadrantes romanos y andalusíes suelen marcar solo las dos hipérbolas de los solsticios y la recta de los equinoccios. Las líneas horarias romanas y andalusíes son herederas de la tradición oriental y marcan las horas temporarias o planetarias, que son desiguales ya que dividen la insolación en doce tramos iguales desde el orto al ocaso. En invierno las horas son más cortas que en verano, alcanzando su mínimo en el solsticio de invierno y su máximo en el de verano. Hoy calculamos las duraciones de los días numéricamente usando trigonometría pero Vitruvio lo hacía más fácil con geometría. (Cálculo del ángulo d de la semi duración de los días) Las horas romanas y arábigas se empiezan a contar desde el amanecer de forma que el mediodía son las seis. Esta forma de cómputo es la que heredarán los conventos cristianos para sus rezos: la sexta marca el mediodía.  Los relojes romanos dibujan las líneas que van desde la I a las XI. Los árabes fueron conscientes de que las líneas horarias temporarias no eran rectas pero su trazado siguió recto para simplificar y por la misma razón se trazaban las hipérbolas con la ayuda de una circunferencia. (Figura 3. Analema de Vituvio. Edición alemana de Walther Hermann Ryff. 1575) Utilización del analema Vamos a utilizar el esquema de Ron Doerfler [3] para uso del analema por ser muy comprensible visualmente. El proceso para la construcción de la figura 4 es el siguiente: Trácese una circunferencia que será la meridiana del lugar. Dibújense los diámetros horizontal y vertical. El horizontal es el horizonte del lugar, el límite de lo que el observador ve. El diámetro vertical es la vertical del lugar, la recta que une el centro del planeta con el observador. Trácese otro diámetro que forme un ángulo igual a la latitud del lugar con la vertical. Ese diámetro es la proyección ortogonal del ecuador celeste. Dibújense dos cuerdas paralelas al ecuador a un ángulo de 23º 27` de éste, se trata de los trópicos de Cáncer y Capricornio celestes. Al poner en movimiento la maquinaria, todo gira sobre el eje del mundo, la recta diámetral perpendicular al ecuador, fh en la figura 4. (Figura 4. Esquema de Ron Doerfler [3] para uso del analema) La figura 4 nos va a mostrar en detalle el proceso de trazado de la hipérbola de Cáncer (solsticio de verano) y sus horas correspondientes: Trácese la semicircunferencia de la cuerda de Cáncer, que corresponde al giro de la Tierra pues se abate el paralelo de Cáncer sobre el plano meridiano. Divídase la semicircunferencia de Cáncer en doce partes iguales para marcar las horas actuales. Las otras doce horas del día son simétricas y no necesitan dibujarse. Proyéctense ortogonalmente sobre la cuerda los puntos de la semicircunferencia. Únase cada punto de la cuerda de Cáncer con el centro de la circunferencia (líneas azules), y prolónguense hasta cortar la línea horizontal tangente inferior a la circunferencia (línea verde). Dibújense rectas perpendiculares a la línea verde desde las intersecciones con líneas azules. [Los puntos de corte nos han dado las distancias de las distintas horas a la tangente de la hipérbola que pasa por el vértice (el mediodía) (línea rojiazul)] Trácense las líneas paralelas al horizonte desde las horas en la cuerda de Cáncer (líneas rojas paralelas). Únase cada punto horario de la circunferencia con el centro hasta cortar a la línea verde (líneas rojas que pasan por el centro). Los arcos desde el horizonte nos dan la altura del Sol en cada hora Tómese un punto cualquiera de la prolongación de la vertical del lugar como base del gnomon (punto verde). Dicho punto debe estar suficientemente alejado de la circunferencia meridiana para poder dibujar el reloj sin interferir, aunque bastaría con la mitad inferior (horas de mañana) pues las de tarde son simétricas) Trácense las circunferencias con centro base del gnomon para las distintas longitudes de sombra. [Los segmentos de las líneas verde nos dan la longitud de la sombra del gnomon para cada hora] El proceso se ha realizado de forma que el radio de la circunferencia meridiana sea la atura del gnomon. La figura 4 describe el proceso para horas iguales; para las horas temporarias romanas el procedimiento es el mismo pero las divisiones de la semicircunferencia del paralelo de Cáncer deben modificarse para dividir en seis partes el arco diurno: Se localiza el punto de intersección entre el horizonte y la cuerda de Cáncer (punto amarillo). Levántese la línea perpendicular a la cuerda hasta cortar a la semicircunferencia del paralelo de Cáncer (punto marrón, horas 4/8 en el dibujo) Divídase el arco superior de la semicircunferencia en seis partes pues es el arco diurno. Esto último no se puede hacer con regla y compás pues requiere la trisección del ángulo.  Se usarían métodos mecánicos o aproximaciones. La hipérbola y líneas horarias de Capricornio se hacen con su paralelo correspondiente y los dos equinoccios con el ecuador celeste. En la Figura 4 están marcadas pero no dibujados tanto las horas del solsticio de invierno como ambos equinoccios. Los relojes romanos y árabes pequeños solo suelen marcar los solsticios y los equinoccios. Si se desea dibujar todas las hipérbolas del zodiaco (o una para una declinación específica cualquiera) se recurre a una pequeña circunferencia tangente a los dos paralelos de los solsticios llamada menaeo (mes). La división del menaeo en doce partes nos ofrece las doce declinaciones solares del zodiaco. Los cálculos geométricos son sencillos y una vez realizados para una latitud pueden tabularse. Eso es lo que se hace en los Libros del Saber de astronomía mandados traducir  por Alfonso X el Sabio. El cuadrante de Montilla El fragmento de reloj solar encontrado en el yacimiento de Cerro Cocorrón nos da información suficiente para reproducirlo fielmente en su totalidad. Las líneas horarias de las III, IV, V y VI (mediodía) están completas. Se deduce por trigonometría que el gnomon tenía una altura de 48 mm y se localiza a 12 mm del solsticio de verano) pues la distancia medida entre solsticios es 75 mm. En la figura 6 se muestran las diferencias entre las horas temporarias desiguales (en rojo) y las usuales en la actualidad (amarillas). Nótese que las amarillas convergen pero las temporarias no. (Figura 5. Reloj solar de Cerro Cocorrón con las horas marcadas) (Figura 6. Reloj solar de Cerro Cocorrón con los dos tipos de horas) La figura 7 muestra una aproximación al tamaño real del cuadrante sobrepuesto con el fragmento recuperado. (Figura 7. Reloj solar de Cerro Cocorrón reconstruido aproximadamente) Polisemia del término analema El uso del término griego analemma se ha ido transformado con el paso del tiempo. Etimológicamente es la base del reloj solar. En Vitrivio es el de procedimiento expuesto para construir geométricamente relojes horizontales usando proyección ortográfica de la esfera celeste y abatimiento de planos. En el siglo XVII se desarrolla un tipo de reloj llamado analemático que no requiere gnomon pues la sombra del observador marca las horas sobre una elipse. La persona se tiene que desplazar a la estación marcada en el suelo. Estos relojes son conocidos también como cuadrantes de Vaulezard. El primer reloj de este tipo se realizó delante de la fachada del Monasterio de Brou. Son relojes muy adecuados para los patios de los colegios: son sencillos y dan protagonismo a las personas. En la actualidad el término analema ha quedado reservado para la curva en forma de lemniscata asimétrica (forma de 8) que nos indica el adelanto o el retraso del mediodía solar respecto al legal a causa de la inclinación del eje de rotación de la tierra y de su órbita elíptica. Agradecimiento A la Asociación de Arqueología Agrópolis de Montilla por sus facilidades y su desinteresado entusiasmo para el mantenimiento del Museo Histórico Local. Referencias [1] Pérez Rubio, J. A. (2014) Relojes de Sol Romanos en Hispania. Asociación Ilicitana de Astronomía. [2] Serrano Gil, V. (2009) Cuadrante solar romano. Reflexiones y apuntes en torno a una pieza del Museo Histórico Local de Montilla. Boletín de la Asociación Provincial de Museos Locales de Córdoba. [3] Doerfler, R (2007). The Analemmas of Vitruvius and Ptolemy

Viernes, 01 de Febrero de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

187. 95. (Enero 2019) La geometría de la música (III)

1. Introducción La primera columna de este nuevo año 2019 es la tercera entrega de la serie Geometría y Música. Estamos examinando los modelos geométricos de la música, en especial los de la geometría de los acordes y de la conducción de voces. Todo ello de la mano del compositor y teórico de la música Dimitri Tymoczko, cuyo libro A Geometry of Music [Tym18a] nos está sirviendo de guía en esta exploración músico-matemática. La primera entrega [Góm18b] fue esencialmente musical, donde estudiamos las ideas de este autor sobre la música tonal. Según Tymoczko, la música tonal se caracteriza por cinco componentes: (1) el movimiento melódico por grados conjuntos; (2) la consonancia acústica o qué intervalos se consideran consonantes y disonantes; (3) la consistencia armónica o la similitud entre sonoridades armónicas; (4) la macroarmonía limitada o la elección de las escalas; y (5) la centralidad o la jerarquización de los grados de la escala. Tras la exposición de estos principios, Tymoczko prosigue con una serie de proposiciones sobre estos elementos, lo que él llama las cuatro afirmaciones fundamentales. Las recordamos aquí brevemente por completitud. Estas afirmaciones son: (1) la armonía y el contrapunto se restringen mútuamente; (2) la escala, la macroarmonía y la centralidad son independientes; (3) toda modulación implica conducción de voces; y (4) la música puede entenderse a través de modelos geométricos. En la presente entrega se desarrollará a fondo esta última afirmación. En la segunda serie [Góm18a], más matemática, se sentaron las bases para el estudio geométrico de acordes y conducciones de voces. Se dotaron de estructura matemática a los espacios de frecuencias y de alturas. Se definió una función para medir la distancia entre dos notas. Se identificaron transformaciones que preservan la distancia entre notas (la transposición y la inversión). Se establecieron transformaciones que preservan series ordenadas de tonos (a saber, los cambios de octava, las permutaciones o reordenaciones, cambios de cardinalidad y transposiciones). Este conjunto de operaciones recibe el nombre de OPTIC. Buena parte del artículo anterior consistió en el estudio de las propiedades de las operaciones OPTIC, en especial qué tipos de objetos son invariantes por estas operaciones. También se presentaron conceptos importantes relativos a la conducción de voces, en particular, métodos para comparar dos conducciones de voces. En esta tercer serie vamos a estudiar los modelos geométricos de progresiones de acordes y conducciones de voces para acordes de dos y tres voces. Estos modelos trasladan las estructuras musicales a estructuras geométricas y se examinará el significado musical de propiedades geométricas de dichos modelos. Estos modelos son una de las principales contribuciones del trabajo de Tymoczko. 2. Espacio 2D de tonos ordenados Dado que una melodía tiene, en su forma más básica, dos componentes, altura y duración, es natural que se represente en un espacio 2D tal como el plano euclídeo ℝ2. De hecho, la notación occidental es en el fondo una representación de este tipo. Otra manera de usar el plano euclídeo es considerar dos voces y tratar de representarlas en el plano, ahora prescindiendo de la componente temporal. Consideremos, por fijar ideas, la conducción de dos voces (do4, mi4)-→(mi4, do4), que es una conducción por movimiento contrario. Su representación 2D sería la dada en la figura siguiente. Figura 1: Representación 2D de una conducción de dos voces (figura tomada de [Tym11]) Vemos que la conducción ha dado lugar a un segmento en el plano que conecta ambas voces. Es muy intuitivo darse cuenta de que los movimientos contrarios darán lugar a segmentos que forman un ángulo de -45 grados con el eje OX y que, en cambio, los movimientos paralelos producen segmentos con ángulo +45 grados. Esto lo ilustra muy claramente la figura de abajo, que es una representación de un pasaje de una misa de Josquin des Prés. Figura 2: Una conducción de voces en el plano (figura tomada de [Tym11]) Empero, parece algo poco natural e intuitivo ver los movimientos contrarios y paralelos con ángulos de 45 grados. Musicalmente, los movimientos paralelos se entienden como segmentos paralelos al eje horizontal, mientras que los movimientos contrarios se asocian al eje vertical. Por ello, se suele rotar el plano para que la representación de las voces se adecúe a esta perspectiva, tal y como se muestra en la figura 3. Esto no cambia las voces, solo la manera en que se representan. Figura 3: Rotación del espacio de tonos (figura tomada de [Tym11]) Ahora la cuestión es cómo representar todas las posibles conducciones de dos voces usando el plano y las ideas anteriores. En la figura 4 encontramos una representación plausible. Si partimos del origen, que está en (F4♯, F4♯) (en notación inglesa y por referirnos a la figura de Tymoczko), entonces vemos que la porción del espacio representada está formada por cuatro teselaciones, que forman cuatro cuadrantes. Cuando nos movemos sobre el eje +OX (flecha negra de la figura) avanzamos en los dos voces por semitonos; análogamente, si vamos en el sentido -OX. Cuando nos movemos verticalmente hacia arriba, la primera voz desciende por semitonos y la segunda asciende por semitonos. Como consecuencia de la construcción de este espacio, las rectas de tonos paralelas a la bisectriz del primer cuadrante (óvalo del primer cuadrante) mantienen constante la primera voz, mientras que las rectas de tonos paralelas a la bisectriz del segundo cuadrante (el otro óvalo) dejan la segunda voz constante. El espacio entero comprende todas las notas en las frecuencias audibles y consiste en repeticiones del subespacio que vemos en la figura de abajo en las direcciones vertical y horizontal (con los cambios de notas pertinentes). Nótese que el cuadrante primero y tercero (NE y SO) son iguales entre sí, así como los cuadrantes segundo y cuarto. Sin embargo, el cuadrante cuatro es una simetría con respecto al cuadrante 1; lo mismo ocurre con los cuadrantes dos y tres, respectivamente. Figura 4: El espacio euclídeo 2D de tonos ordenados (figura tomada de [Tym11]) Este espacio se puede generalizar a conducciones de n voces. En ese caso el correspondiente espacio será ℝn. El valor de n puede ser alto si consideramos, por ejemplo, las conducciones de todas las voces de una obra sinfónica, o tan pequeño como 2 en un dueto de dos instrumentos melódicos. El espacio anterior fue descrito para las conducciones de voces. ¿Qué pasa si consideramos una progresión de acordes en lugar de una conducción de voces? ¿Se podría adaptar el espacio anterior para representar acordes? La respuesta es que sí. Si pasamos de conducciones de voces a progresiones de acordes, entonces se pierde el orden en los vectores; solo cuentan las notas. Prosigamos con el ejemplo de dos voces y consideremos entonces conjuntos de dos tonos (esto es, acordes de dos notas o diadas). Todavía es posible usar el plano euclídeo para representar los acordes. La figura 5 muestra cómo quedaría dicha representación. Observamos que los subíndices que marcaban la octava han desaparecido y que ahora los puntos en el plano son simplemente las notas del acorde. En la parte derecha del espacio se ven los distintos intervalos, que van desde el unísono hasta el tritono. Figura 5: El espacio euclídeo 2D de acordes (figura tomada de [Tym11]) Sin embargo, este espacio tiene una estructura mucho más fascinante que la que hemos descrito hasta ahora. Si examinamos los bordes izquierdo y derecho, veremos que son iguales, ambos van desde CC hasta F♯F♯, pero van en sentido contrario (véanse las flechas de la figura). Es natural identificar ambos bordes como uno. Para ello, es necesario retorcer uno de los bordes para pegarlo con el otro. Al hacer esto retorcemos el espacio entero de los acordes. Cuando se hace esta operación matemática de identificar los bordes con la orientación contraria, aparece un bonito objeto matemático llamado la banda de Möebius. Esta banda tiene la propiedad de ser una superficie de una sola cara y no orientable. En la figura 6 se puede ver una banda de Möebius (figura tomada de https://tex.stackexchange.com/questions/118563/moebius-strip-using-tikz). Figura 6: La banda de Möebius Como pasaba en el espacio de las conducciones de voces, las diagonales y sus paralelas dan cuenta de las progresiones en las que la nota de un acorde se queda fija. Por ejemplo, en la diagonal principal, la que biseca el primer cuadrante, la nota F♯ se queda constante. En la otra diagonal, la que biseca el segundo cuadrante, es la nota C la que se queda constante. Cuando nos movemos en vertical por el espacio, lo hacemos por movimiento contrario y cuando nos movemos en horizontal, entonces se produce movimiento paralelo. 3. Progresiones de acordes y conducciones de voces en los espacios de diadas El uso de los espacios de diadas en el caso de las progresiones de acordes y las conducciones difiere. Una progresión de acordes genera un conjunto de puntos en el espacio de diadas. Cómo se va de un punto a otro no es importante; solo es relevante el punto de llegada en sí mismo, que marca las notas del nuevo acorde. En cambio, con las conducciones de voces, la manera en que se llega de un punto a otro sí es relevante porque el tamaño de la conducción de voces se corresponde con la longitud del camino en el espacio de diadas. Esto será esencial más adelante, pues uno de los objetivos que perseguimos aquí es construir herramientas que permitan comparar conducciones de voces y elegir la más eficiente. Para ver cómo funciona este espacio de diadas, consideremos la conducción (C, E)-→(E♭, G) (en notación inglesa y por seguir la figura de Tymoczko). Como se puede pasar del primer par al segundo moviendo cada voz tres semitonos, el camino que aparece en el espacio es un segmento horizontal; véase la figura 7. Si tomamos la conducción (B, D)-→(A♭, F), en que las voces se mueven por movimiento contrario, ahora el camino que las une es un segmento vertical. Esto es consecuencia de que se pasa de una a otra bajando tres semitonos desde la primera voz y subiendo tres semitones en la segunda voz. Figura 7: Caminos entre voces en el espacio de diadas (figura tomada de [Tym11]) Consideremos ahora el espacio de progresiones de acordes. Como vimos arriba, este espacio tiene estructura de banda de Möebius y eso influye en la manera en que se conectan los acordes entre sí. Tomemos las progresiones ⇒ y ⇒; en la figura 8 aparecen los caminos que generan estas progresiones en el espacio de diadas. Figura 8: Caminos entre acordes en el espacio de diadas (figura tomada de [Tym11]) La primera progresión va primero desde hasta , cambiando la primera nota del acorde (y pasando por do sostenido), pero al llegar al borde superior, el camino rebota y va hasta el acorde final por un camino paralelo a una diagonal principal (el cual deja constante la nota D). En el caso de la segunda progresión, la situación es más divertida aun. El camino va desde hasta , y este último acorde se encuentra en el borde derecho. ¿Cómo continuar? Ese mismo acorde aparece en el borde izquierdo más abajo, como se aprecia en la figura 8. Entonces, el camino está cortado en dos trozos, aunque en realidad no es así. Si representamos el camino en la banda de Möebius, veremos que el camino es de una sola pieza. En la figura de abajo, se ve un fragmento del Alleluia justus ut palma. En la parte (a) está la pieza en notación occidental. Se trata de un ejemplo temprano de contrapunto a dos voces. En la parte (b) se encuentra la representación en el espacio de diadas de la conducción de voces. Los patrones de la conducción saltan a la vista inmediatamente y su análisis es mucho más sencillo. Se ve primero un triángulo, formado por las aristas 1, 2, 3; y a continuación, otro triángulo, que comparte base con el anterior, formado por las aristas 3, 4 y 5. Por último, hay un segmento, que nos lleva hasta el origen en el acorde (D, G). Este es el tipo de ejemplos que da Tymoczko para apoyar su tesis de que el análisis geométrico de la música es más potente e intuitivo que ciertos métodos tradicionales. Figura 9: Una conducción de voces en el espacio de diadas (figura tomada de [Tym11]) 4. Espacios de triadas El lector estará pensando en este punto en la generalización a espacios de dimensiones superiores, en particular, en cómo se pasa de espacios de diadas a espacios de triadas, ya que las triadas es uno de los acordes fundamentales de la música occidental. El espacio de triadas es un objeto más complicado y se encuentra en ℝ3. Dicho espacio es periódico y tiene forma de azulejos 3D; la figura 10 muestra uno de esos azulejos. Figura 10: El espacio que modeliza los acordes de tres notas (figura tomada de [Tym11]) En este espacio, las triadas aumentadas dividen a la octava en tres partes iguales (recuérdese que estamos en el espacio de clases de tonos); en la figura están representadas como cubos de color oscuro. Estos acordes recibirán el nombre de regulares. Cuando más cerca está un acorde de dividir la octava en partes iguales, más cerca está del eje que une las triadas aumentadas. Los acordes más alejados de los regulares son los acordes unísonos, que se encuentran en los bordes del prisma. Aunque en la figura se han representado acordes dentro del temperamento igual, este modelo sirve para acordes microtonales o para acordes en otros sistemas de afinación. Si ahora consideramos las conducciones de voces, entonces veremos que una conducción equivale a un camino dentro de este espacio. Sin embargo y como pasaba en 2D, los caminos dan saltos dentro del espacio. Si construimos el camino ⇒ que va por movimiento paralelo, comprobaremos que primero subimos desde hasta por la arista exterior del prisma que une ambos acordes, y de ahí da un salto al que está en la cara inferior a la derecha, desde donde sube hasta por la arista exterior derecha. En la figura 11 aparecen algunas progresiones de acordes del primer movimiento del cuarteto con piano en do menor opus 60 de Brahms. Se trata de secuencias cromáticas, cada una de las cuales usa una conducción de voces que desciende por semitonos para conectar triadas mayores y menores (véanse las flechas de la figura). En la parte (a) de la figura, en la primera conducción, vemos como se conecta sol mayor a fa♯ menor descendiendo un semitono. En la segunda secuencia, se conecta mi menor con sol menor. En las siguientes conducciones, como indica la figura, se salta una quinta perfecta (de la menor a mi mayor) y de una segunda menor descendente (de fa♭ mayor a mi menor). A primera vista, parece que Brahms está usando secuencias de acordes que no están relacionadas entre sí. Pero si vemos estas secuencias en el espacio de triadas, entonces nos daremos cuenta de que Brahms está moviéndose en dicho espacio de una manera bastante sistemática. Empezando en cualquier triada mayor, hay solo dos movimientos descendentes por semitonos que producen una triada menor, y que en la figura aparecen etiquetados como a y b; en la parte (b) de la figura aparecen donde está el acorde de fa mayor. Esos movimientos consisten en el descenso de o bien la fundamental o la tercera de la triada. Desde este punto, es posible bajar la fundamental un semitono y obtener un acorde aumentado. Brahms suele saltarse el acorde aumentado. Entonces, ahora hay tres posibles caminos desde la triada aumentada para conseguir una triada mayor; en la parte (b) de la figura 11 están etiquetadas como 1, 2 y 3. Cada una corresponde a la posibilidad de bajar una nota un semitono en la triada aumentada. Las nuevas triadas que resultan son de un semitono descendente, un tercera menor ascendente y una quinta perfecta ascendente, que son exactamente las que aparecen en la obra de Brahms. Figura 11: Conducción de voces en el cuarteto con piano de Brahms op. 60 (figura tomada de [Tym11]) Combinando las posibilidades por a y b y por 1, 2, 3 mencionadas antes, nos salen seis posibles secuencias para pasar de una triada mayor a una menor. En la parte (c) de la figura 11, se listan esas secuencias. Brahms usa cuatro de ellas y lo que es más interesantes es que  esas secuencias contrapuntísticamente son similares (porque usan conducciones de voces por semitonos) mientras que armónicamente son diferentes. Para experimentar con los espacios de acordes, Tymoczko programó una aplicación que permite visualizar estos espacios; véase [Tym18b].   Bibliografía [Góm18a] Paco Gómez. La geometría de la música (ii), consultado en diciembre de 2018. [Góm18b] Paco Gómez. La geometría de la música (i), consultado en octubre de 2018. [Tym11] Dimitri Tymoczko. A geometry of music: harmony and counterpoint in the extended common practice. Oxford University Press, 2011. [Tym18a] Dmitri Tymoczko. Página web de dmitri tymoczko, consultado en diciembre de 2018. [Tym18b] Dmitri Tymoczko. Página web de Dmitri Tymoczko, sección Chord Geometries, consultado en diciembre de 2018.

Miércoles, 09 de Enero de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

188. 167. (Enero 2019) Una baraja ESPecial

No hemos hablado nunca en este rincón de una baraja muy utilizada en el mundo de la magia para producir efectos de pseudomentalismo con apariencia científica, así que vamos a subsanar esta omisión. La baraja ESP (llamada así por las siglas de Extra Sensorial Perception) está formada por 25 cartas (llamadas comúnmente cartas Zener) que consisten en estos cinco símbolos repetidos cinco veces cada uno. Si nos fiamos de la Wikipedia, estos símbolos fueron diseñados en la década de los años 30 del siglo 20 por el psicólogo Karl Zener (1903-1964) (originalmente el cuadrado era un rectángulo y las líneas onduladas eran seis), y posteriormente modificados y patentados en 1937 por el parapsicólogo J.B. Rhine (1895-1980), quien los utilizó para estudiar de manera "científica" casos aparentes de percepción extrasensorial, telepatía y clarividencia. El motivo de elegir dichos diseños fue conseguir figuras sencillas, de fácil distinción entre ellas y de rápida medición estadística. Cada símbolo representa un número del uno al cinco según el número de líneas con las que está formado. Tenemos así la correspondencia 1 círculo 2 cruz 3 ondas 4 cuadrado 5 estrella Los experimentos de Rhine eran de dos tipos: con las cartas mezcladas, una primera persona las iba mirando una a una y las "transmitía telepáticamente" a una segunda persona; o bien la segunda persona mostraba sus dotes "clarividentes" para adivinar el orden de las cartas mezcladas. De acuerdo con los resultados obtenidos, el propio Rhine reconoció que sus experimentos no permitían distinguir entre telepatía y precognición. A pesar de todo, defendía la validez de sus ensayos sin hacer verdaderos estudios estadísticos con los resultados ni a evitar posibles engaños por parte de los supuestos "psíquicos" que eran objeto de su investigación. La comunidad científica no quedó convencida con los métodos de Rhine pero, como la magia siempre se ha surtido de otras ciencias, o pseudo-ciencias en este caso, rápidamente han surgido efectos de mentalismo utilizando estos símbolos. Un par de ejemplos, uno en inglés y uno en castellano: en 1980, Stephen Minch publicó el libro "Mind Novas" y, en 2013, Ricardo Marré publicó el libro titulado "Magia con cartas ESP".  También es fácil encontrar en internet juegos de magia usando estas cartas. El que mostramos en esta ocasión ya ha aparecido en este rincón pero no desvelaremos su origen para mantener en lo posible la sorpresa del resultado. Necesitarás solamente cinco cartas, o tarjetas, o cartulinas, en cada una de las cuales dibujarás uno de los símbolos de Zener. Si lo prefieres, puedes imprimir y recortar las de la imagen adjunta: Una vez que tienes las cinco cartas, elige una de ellas y la apartas del grupo. Apelando a mis dotes de pitoniso, descubriré cuál es el símbolo elegido. Mezcla bien las otras cuatro cartas y, cuando termines, coloca la carta elegida sobre estas cuatro. Con el paquete de cinco cartas en la mano, pasa de arriba abajo tantas cartas como el número que corresponde al símbolo elegido. Recuerda que el círculo corresponde al número 1, la cruz al número 2, las ondas al número 3, el cuadrado al número 4 y la estrella al número 5. Gira cara arriba la carta que ocupa ahora la posición superior del paquete y déjala en su lugar. ¿Es el símbolo elegido? Si la respuesta es afirmativa, has elegido la estrella. Era fácil pero si la respuesta es negativa, el juego continúa. Repite de nuevo el doble proceso anterior: pasa de arriba abajo tantas cartas como el número que representa el símbolo elegido y gira la carta que ocupa la posición superior. Vuelve a repetir el mismo proceso dos veces más: habrás girado un total de cuatro cartas. Curiosamente, o mágicamente, solo queda una carta sin girar y, a través de las ondas virtuales, veo que se trata de la carta con el símbolo que has elegido. Comentarios finales. En 1970, el mago e historiador Milbourne Christopher publicó el libro "ESP, Seers & Psychics: what the occult really is", donde narra diversas historias relacionadas con experimentos psíquicos y desvela algunos de los misterios que ocultan los personajes que afirman poseer poderes paranormales. Fue el primero de una trilogía en la que plasmaba los resultados de su trabajo como consultor del «Stanford Research Institute's investigation of psychic phenomena», fundado por agencias de inteligencia de Estados Unidos. El científico y mago George Hansen trabajó durante tres años en el «Rhine Research Center» de Durham (Carolina del Norte) y cinco en los «Psychophysical Research Laboratories» de Princeton (New Jersey). Publicó el libro The trickster and the paranormal (2001), así como varios artículos, tanto en revistas de magia como de psicología, relacionados con los fenómenos paranormales. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

Lunes, 07 de Enero de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

189. 137. La neurótica existencia del magUFO

Aburrida, previsible, vamos a empezar el año con fuerza, aunque la película se estrenó el septiembre pasado, y ha pasado por nuestra cartelera sin pena ni gloria. Y es que, aunque hay algunos apuntes matemáticos con algún interés, hay que tener mucho cuajo, o ser un magufo conspiranoico convencido para seguir manteniendo argumentos como los planteados en esta película. Ficha Técnica: Título: OVNI: No estamos solos. Título Original: UFO. Nacionalidad: EE. UU., 2018. Dirección: Ryan Eslinger. Guion: Ryan Eslinger. Fotografía: Ryan Samul, en Color. Montaje: Brendan Walsh. Música: West Dylan Thordson. Duración: 88 min. Ficha artística: Intérpretes: Alex Sharp (Derek Echevaro), Gillian Anderson (Profesora Hendricks), Ella  Purnell (Natalie), Benjamin Beatty (Lee), Cece Abbey (Chica), David Strathairn (Franklin Ahls), Ken Early (Dave Ellison), Brian Bowman (Roland Junger), Rick Chambers (Presentador de KCIN5), Lu Parker (Presentadora de KCIN5), Khrys Styles (Agente Especial), Ted J. Weil (Detenido en el aeropuerto), Aiden J. Ransom (Derek, con 8 años), Katie Eichler (Sara), Sara Welch (Presentadora de KLTV6). Sinopsis: Un joven universitario, estudiante de matemáticas para más señas, encuentra contradicciones en los mensajes oficiales del Gobierno sobre el presunto avistamiento de un objeto volador no identificado en el aeropuerto de Cincinnati. El asunto le llama poderosamente la atención ya que tuvo de pequeño una experiencia con un artefacto similar, por lo que se dedica en cuerpo y alma a tratar de averiguar qué ha sucedido en realidad. Pero al parecer, hay quien no le va a dar demasiadas facilidades para conseguirlo. Desde el inicio, se nos deja claro de qué va Inmediatamente después de la imagen de la productora de la película (o sea, a los 20 segundos de metraje), los responsables de la película han creído conveniente ilustrarnos con algunos conceptos que quizá el espectador medio no tenga en mente, se supone que para que entienda mejor algunos momentos del argumento. Correcto. Lo reprochable es que junto al concepto se incluyan comentarios un tanto, digamos eufemísticamente, discutibles, con la intención de ir condicionando al espectador en un determinado sentido. Veamos a qué nos referimos (he resaltado en negrita lo que creo que no debería aparecer, al menos tal y como está): Los átomos de hidrógeno emiten luz a determinados niveles de energía. Estas energías vienen determinadas a su vez por la constante de estructura fina. Constante de Estructura Fina = 0.0072973525664(17). Dicha constante es un número misterioso que aparece en multitud de cálculos de la física más fundamental de nuestro universo, …. pero no tenemos ni idea de su procedencia. La atmósfera, las estrellas, el aire que respiramos, incluso el lazo de los zapatos, poseen un componente atómico que incluye este enigmático número. Es un concepto matemático reconocible en todo el universo. En 1974, Frank Drake, Carl Sagan y otros científicos enviaron el mensaje de Arecibo al espacio. Contenía matemática básica y diversa información con el objetivo de contactar con otras formas de vida en el universo. Fue lanzado en dirección al cúmulo de estrellas M13 y el mundo esperó expectante una respuesta…, pero serían necesarios 22800 años para que el mensaje fuera recibido en el M13, …, a menos que ellos llegaran antes. Por supuesto que estamos ante una película de ciencia-ficción, y hay que crear cierta “ambientación”. Pero uno puede posicionarse desde un punto de vista neutro, objetivo (lo que debería hacer un estudiante de matemáticas como el protagonista), o hacerlo desde la más absoluta certeza de que el fenómeno que tuvo lugar era realmente una nave extraterrestre (la postura de Derek desde el principio, a causa de la experiencia que tuvo en su infancia; en la película se insinúa la razón por la que se volvió magufo perdido: su madre no le hizo ni puñetero caso, y claro, surge el efecto de acción-reacción). Y esta postura es peligrosa (y en este tipo de películas, la de siempre; ¿se tratará el tema desde una perspectiva distinta alguna vez, para variar? Supongo que no, porque eso seguramente no interese a nadie) porque, al igual que pasaba en Pi, fe en el caos, (o en El número 23, o Señales del futuro; las pongo en orden creciente de degeneración magufa; y cito éstas por haber sido comentadas en esta sección por tener algún contenido matemático) cuando uno está convencido de algo, hace lo imposible por demostrar que está en lo cierto. La constante de estructura fina Arnold Sommerfeld fue un físico alemán nacido en Königsberg (ya sabéis, la localidad de los famosos puentes que motivaron el nacimiento de la teoría de grafos) en 1868, donde estudió matemáticas. Su primer trabajo relevante fue un artículo sobre la teoría matemática de la difracción, bajo la supervisión de Felix Klein, en el que incluye una relevante parte teórica sobre las ecuaciones diferenciales. Sus contribuciones más destacadas son la propuesta en 1916 de una modificación al modelo atómico de Bohr, en el que considera que los electrones pueden girar en torno al núcleo del átomo en órbitas elípticas y no exclusivamente circulares, y la introducción en 1919 de la constante de estructura fina. De modo que, a menos que los guionistas de la película consideren que este señor fuera extraterrestre, que no creo, la procedencia de esta constante está muy clara. Sommerfeld realizó otros trabajos importantes sobre el estudio de la propagación de las ondas electromagnéticas en cables, sobre el estudio del campo producido por un electrón en movimiento, sobre la relatividad, aunque sobre todo se le recuerda por su dedicación docente y la supervisión de una treintena de tesis doctorales a eminentes estudiantes, algunos de los cuales hicieron investigaciones que alcanzaron premios como el Nobel, entre otros. Como curiosidad, indicar que Sommerfeld visitó Madrid en 1921, interesándose en conocer personalmente a Miguel A. Catalán, y que éste no tuvo ningún reparo en entregarle una copia de su trabajo sobre el manganeso, antes de publicarlo. La constante de estructura fina se introdujo como medida relativista de las desviaciones en las líneas espectrales atómicas de las predicciones hechas por el modelo de Bohr. Caracteriza la fuerza de interacción entre las partículas con carga eléctrica y determina el tamaño de la separación o estructura fina de las líneas espectrales del hidrógeno. El que aparezca en muchos lugares no justifica el calificativo de enigmática. Recordemos que la constante π, no sólo aparece en todo aquello en lo que a longitudes de curvas o cálculo de áreas o volúmenes con círculos, elipses, etc., sino que “misteriosamente” también está en el cálculo de probabilidades (experimento de la aguja de Buffon, por ejemplo), o en la suma de series infinitas, por citar dos ejemplos, aparentemente sin relación. O que decir del número ϕ. ¡¡Cuántos enigmas de otros mundos!!, ¿no? Estereotipo del profesor de matemáticas La profesora Hendricks (interpretada por la actriz Gillian Anderson, ex agente Scully de las nueve temporadas de Expediente X, y terapeuta sexual con hijo virgen en la inminente Sex Education, en Netflix) es la típica borde en las aulas, que mejora algo en las distancias cortas. En su primera aparición, entrega unas calificaciones a sus alumnos: Derek: Disculpe, profesora Hendricks. ¿Por qué no me ha calificado la número 5? (una pregunta del examen) Hendricks: No responde nada. Le falta la solución trivial x = 0, y = 0. Derek: No se me ha pasado. Pensé que no era importante. Hendricks: Encontrar todas las soluciones. ¿Entiende la definición de TODAS, señor Echevaro? Derek se sube a la tarima, y le lee el libro de texto: Derek: A veces se encuentran soluciones no triviales, y a veces, no. Paradójicamente eso sucede cuando la solución trivial es la única solución, es decir, la más importante. Hendricks: Exacto. Es un sistema homogéneo de ecuaciones y la cuestión importante es, si hay soluciones no triviales. Derek: Si esa es la cuestión importante, ¿por qué no pregunta simplemente si hay o no soluciones triviales? Hendricks: Porque quiero que encontréis matemáticamente esas soluciones. Derek: Pero lo importante es que la solución trivial es la única. Hendricks: En efecto. Y ese es el objetivo de este problema. Derek: ¿Cómo puede ser trivial y a la vez importante? Concluí que si x = 0 e y = 0 es la única, era una pérdida de tiempo, es decir, trivial. Hendricks: Creo que las palabras le están confundiendo. Derek: No lo creo en absoluto. Hasta el libro dice “paradójicamente”. Hendricks (enfadada, con sonrisa forzada): Siéntese. El chico se baja de la tarima mostrando su contrariedad cerrando el libro y arrugando los papeles de un modo brusco. Se sienta junto a su compañera. Hendricks: ¿Algo más antes de comenzar? Gracias (irónicamente). En el próximo laboratorio, haremos los problemas del 1 al 43. En otro momento reprocha a Derek, con razón, que habiendo conseguido una beca de la Fundación Akamai gracias a su brillante papel en la Olimpiada Matemática, no entiende cómo tiene un comportamiento tan incordiante en sus clases, además de no cumplir con las tareas que manda. Lo entenderá mejor cuando la despierte llamando a su teléfono particular a altas horas de la madrugada y prácticamente sacándola de la cama, marido incluido (ja, ja, ja, y encima le prepara un té). Por cierto, para aprovechar alguna cosa, la Fundación Akamai es una corporación privada dedicada a fomentar la excelencia en matemáticas, con el objetivo de promover la importancia de las matemáticas y alentar a la próxima generación de innovadores tecnológicos de los Estados Unidos. Tiene un amplio historial de programas de apoyo diseñados para atraer una mayor diversidad a la industria de la tecnología a través de iniciativas como Akamai Technical Academy y Girls Who Code, proporcionar ayuda humanitaria y de socorro en casos de desastre a nivel mundial, incentivar el voluntariado conectando a los empleados con las comunidades en las que opera Akamai, y promover la sostenibilidad ambiental a través de inversiones en energías alternativas. ¡Ay, esas traducciones! Desde estas páginas venimos casi aburriendo al personal insistiendo en que se tenga un poco de cuidado al traducir las películas al castellano para no dar lugar a equivocaciones al espectador en temas relacionados con las matemáticas y la ciencia en general. Cuando las cosas se hacen bien, la gente entiende lo que le da la gana, no digamos si encima se lo ponemos “a huevo”, como coloquialmente se suele decir. Pues ya no sólo se descuidan en este tipo de asuntos técnicos, sino que también lo hacen en conversaciones corrientes. En esta película tenemos ejemplos flagrantes, de los que seleccionamos tres (hay más). 1.- En una escena, Natalie va al despacho de la profesora Hendricks a solicitarla una carta de recomendación para poder hacer el postgrado en esa universidad. Hendricks la indica que debe esperar a las calificaciones finales ya que sólo recomienda a los que obtengan sobresaliente en su asignatura. A continuación, la pide un aplazamiento en la entrega de un trabajo de laboratorio porque su compañero está muy ocupado. La profesora la informa de que ya le dijo a Derek que no les daba prórroga, y la sugiere que lo haga sola, sin él. La chica, da la impresión de que, por hablar de algo, prosigue así: Natalie: Por lo que he leído, muchos de los mejores matemáticos hicieron sus trabajos en los años veinte. Einstein, Ramanujan, …. Hendricks: Riemann, Abel, Galois, …. Los conozco a todos. ¿Años veinte? ¿Riemann, Abel y Galois? Un poco raro, ¿verdad? Como en otras ocasiones, salgamos de dudas, yendo a la versión original: Natalie: From what I've read, a lot of the best mathematicians do their best work in their early 20's; Einstein, Ramanujan... Hendricks: Riemann, Abel, Galois, I know the list. Está claro, ¿no? No es lo mismo “en los años veinte” que “a los veinte años”. En “sus” veinte años. Por otro lado, lo de “los conozco a todos” tampoco parece muy acertado, porque “todos” es demasiado rotundo, por no hablar de que parece que se ha ido de copas con ellos. 2.- En la escena “cumbre”, en la que la profesora Hendricks descubre el significado de las cifras a las que Derek lleva dando vueltas toda la película, encontramos lo siguiente: Hendricks: Buenas tardes. Capítulo 4. Valores propios y vectores propios. Si tenemos una matriz cuadrada A que representa una transformación lineal y la multiplicamos por su vector, el resultado es igual a tantas veces la lambda escalar de dicho vector. La v designa el vector propio y lambda sería el valor propio. He marcado en negrita lo que no tiene demasiado sentido o está mal descrito. Ahora resulta que las matrices tienen un vector particular que es “su vector”. ¿Y la lambda escalar de ese vector? La traducción vuelve a estar mal hecha, aunque en este caso, si no se consulta a alguien que sepa algo de matemáticas, no se va a dar con una traducción medianamente correcta. La versión original es así: Hendricks: Chapter four. Eigenvalues and Eigenvectors. Now, if we have a square matrix "A" that represents a linear transformation, then this matrix times the vector is equal to a scalar lambda times the same vector. Now, the "v" is called an eigenvector, and the lambda is called an eigenvalue. Lo correcto hubiera sido decir que cuando al multiplicar la matriz por un vector (matrix times the vector) el resultado sea un escalar lambda por dicho vector, entonces v se denomina autovector (o vector propio) y lambda, autovalor (o valor propio). 3.- En otra escena, Derek irrumpe en el apartamento que comparte con otros estudiantes que están menos preocupados que él por el asunto del platillo volante (hablan de grupos musicales, y Lee se dispone a chutarse un poco de marihuana): Derek: Lee, ¿has visto mi mensaje? Utilizan matemática básica para comunicarse. 1+2 =3, 3 – 2 = 1. Es la constante de estructura fina. Desde luego son matemáticas muy básicas, en efecto. Pero choca que diga la frase final, cuando desde el inicio, y en otras escenas previas, se indica que la constante de estructura fina es 0. 007297… La frase anterior en la versión original es: Derek: They're using basic math as a way to communicate: 1+2=3, 3–2=1. Okay and the Fine-Structure Constant is in there. En cualquier caso, ¿qué relación tienen esas operaciones (1+2 =3, 3 – 2 = 1) con la constante de estructura fina? ¿Binario? Continuando con la escena anterior, Derek comenta a Lee lo siguiente sobre las contantes: Derek: Tal vez intentan establecer un lenguaje matemático común para comunicarse. Nociones básicas de matemáticas o física. Como con números como 3.1416 o 0.0072797. Lee: Si, claro. ¿Y este 38? Derek: Es binario. 2623 veces 2933. O sea 2623 es el número total de bits en la señal. Cada uno dará una décima de segundo. Eso nos da un total de 774572 segundos, es decir 9 días exactos, ¿vale? Así que, martes, día del avistamiento más 9 días es el próximo jueves. Dentro de 6 días. Ya saben, 38 es binario. También está así en la versión original. Por otro lado, con los números que da, a mí no me salen por ningún lado esos 774572 segundos, que tampoco son 9 días, porque 9 días, yo creo, son 9 x 3600 x 24 = 777600 segundos. Quizá, si se nos definiera la multiplicación magufa, se entendería algo. Además, como bien razonan (cuando quieren, o para enmascarar otros razonamientos, como hacen siempre estos señores; ya saben, entre col y col, lechuga) en otro momento del guion, si los extraterrestres quizá no trabajen en metros, pulgadas, pies, mega hertzios, etc., lo mismo debería aplicarse a los segundos, digo yo, ¿no? De modo que, ¿qué nos están contando? Matemáticas demasiado básicas Aparte de incluir cifras aquí y allá, dos son los momentos en los que aparece un cierto atisbo de deducción matemática, el primero a cargo de Derek, y el segundo por la profesora Hendricks (porque inexplicablemente Derek se obnubila un tanto al final): 1.- Para descubrir que las autoridades tratan de encubrir los hechos mediante mensajes absurdos y contradictorios. Cotejando la información que ofrecen los medios de comunicación con la de los testimonios de las personas que vieron el objeto en el aeropuerto, a Derek no le cuadran los datos. Ahorrándoles cómo va recopilando los datos (sus compañeros Natalie y Lee lo hubieran agradecido también), utiliza semejanza de triángulos y el teorema de Tales para calcular la envergadura real del objeto, mucho mayor que lo que transmiten a la opinión pública, que en principio achacan a un dron. Entonces, Derek llama a Dave Ellison, el encargado del aeropuerto en dar la información a los medios de comunicación (el magufo peliculero siempre acaba llegando incluso si es preciso hasta el mismísimo Presidente de los Estados Unidos). Aunque le cuelga un par de veces, la curiosidad por saber qué ha averiguado (oigan que estudiantes tan inteligentes que deducen más que el FBI o los ingenieros del aeropuerto, o más bien, qué incompetentes estos últimos) hace que escuche la enumeración de todos los datos: Derek (por teléfono): Quiero saber por qué dicen que medía un metro o metro y medio de diámetro (el objeto volante). Según los testigos era como una moneda vista a la distancia de un brazo. La capa de nubes estaría a unos 1000 metros y flotaba entre 30 y 60 metros por debajo, lo que supone unos 25 metros de diámetro. En esta ocasión se han molestado en pasar las unidades correctamente (redondeando los decimales, eso sí): de pies de la versión original, a metros en la versión doblada. Pero en la escena mencionada anteriormente, cuando Derek está haciendo los cálculos, dice en voz alta (en la versión doblada), x = 88. Y como en doblaje no hacen cálculo alguno (¡¡pobres!! Sería mucho pedir) y la versión original no incluye en ese momento unidades, pues han dejado 88, que son pies. Como el resto lo han transformado en metros, las cuentas no salen. Esos 88 pies corresponden a los 25 metros de diámetro del OVNI que dice luego. Cualquiera que siga con un poco de detalle la película, se dará cuenta de la incongruencia (no habrá muchos, seguramente: el espectador medianamente crítico no irá a ver una película con este título, y el magufo convencido se traga lo que le echen, aunque quizá en este momento de la película ya esté algo mosqueado porque no está a la altura de sus expectativas). Utilizando los datos de la versión original (porque con los datos en castellano no sale por culpa de que han “pasado” 2900 pies como 1000 metros), Derek indica que la capa de nubes estaba ese día (está constantemente mirando el móvil, no se separa de él, quizá lo más realista de la película respecto a los chicos de esa edad) a 2900 pies y el objeto entre 100 y 200 pies por debajo, de modo que toma el valor medio, 2750 pies. Estima la longitud del brazo en unas 22 pulgadas, que en pies resultan ser 1.8333, y mira en internet el diámetro de una moneda de diez centavos que es 17.91 milímetros, 0.05872 pies. Con un dibujo similar al suyo, tal y como vimos en la imagen anterior, pero con todos los datos en su sitio, tenemos esta situación Despejando la x, que sería el diámetro del OVNI, x = 88.08016014. A Derek le sale en su móvil 88.0905612, pero sinceramente no me he molestado en comprobar qué decimales ha utilizado para que salga exactamente ese valor. 2.- Para deducir que desde la torre de control del aeropuerto era imposible visualizar el objeto. A pesar de que se acerca el día en que debe presentar unas prácticas con Natalie a la profesora Hendricks, Derek no deja de pensar en el OVNI. Se va al aeropuerto, compra un billete para un avión que no va a tomar, únicamente para poder hacer fotos desde dentro del aeropuerto y ver su funcionamiento. Con las medidas de la torre de control, 252 pies, lo primero que hace es calcular la altura desde la que podría observarse desde la cabina. En la imagen vemos que estima que es aproximadamente un 90% de la altura, es decir, 227 pies (calcula bien el porcentaje). Como el objeto se vio a una altura desde el suelo de 2750 pies, los técnicos de la torre lo verían desde 2523 pies (la diferencia que vemos indicada en la imagen). Entonces para determinar el ángulo desde el que lo tendrían que ver, utiliza trigonometría elemental (cateto entre cateto, es decir, seno entre coseno, para calcular la tangente del ángulo). Esa expresión nos da que tg θ = 5.046, de donde θ = arctg(5.046) ≈78.79º (en la película, se describe el arco tangente como tan–1, tal y como hacen los anglosajones). Con el voladizo que tiene la torre de control, estima que sería entonces materialmente imposible visualizar el objeto desde la cabina. Ni corto ni perezoso, telefonea al aeropuerto y pide que le pongan con Hal (en un audio de la torre, es el nombre que acierta a entender), y ¡oh, casualidad! existe un Hal Lapierre y además le pasan con él. Bastante inquieto le confiesa que, en efecto, nunca dijo que había visto el aparato. Derek “deduce” entonces que lo oyó. 3.- Los alienígenas están enviando mensajes para comprobar si los terrestres somos una especie inteligente. Del audio de la torre de control, Derek va a tratar de descifrar la interferencia que ha producido el OVNI. Se lo explica así a Natalie: Derek: Es una secuencia de tonos, de una décima de segundo, representado aquí en círculos. Los guiones son décimas de segundo de silencio. En total 2623 símbolos, lo que suma 4 minutos y 23 segundos. Luego se repite hasta que se para. No sé por qué. Natalie: ¿Crees que es una señal? ¿Y esa cifra, 9433? Derek: Tal vez sea una cadena binaria de 32 bits. Parecen secuencias de 32, 64 y 64. No tengo ni idea de cómo interpretarlo, pero creo que son 14 bits porque hay 14 círculos al principio y al final. Si son 14, esta cadena supondría 9433, ¿vale? O se podría dividir en dos cadenas de 7 dígitos, una sería 73 y otra 89. Al final hay dos multiplicaciones a las que no encuentran sentido (¡qué afortunados! Nosotros no encontramos sentido a casi nada) que son 9433 x 38, y 9433 x 22. Les dejamos con la incógnita de lo que representan, por si se animan a ver la película. Últimas reflexiones Se suele decir que quien la sigue la consigue, que hay que perseverar, que hay que ser fiel a los principios, y demás expresiones del mismo estilo. También que hay que tener la mente abierta (pero no tanto como para que se te caiga el cerebro, Feymann dixit). Al protagonista no se puede decir que le vaya muy bien: está estresado, no duerme, llega tarde a todos lados, se pira las clases, es un paliza para sus compañeros, es desagradable con ellos cuando pasan o hacen alguna broma de él, deja tirada a su compañera en las prácticas y en lo que se compromete con ella, hace que otro compañero de piso sea detenido, no sabemos cómo logra pagar las facturas de móvil, el billete de avión que no va a disfrutar, le vigilan, entran en su apartamento y manipulan su portátil, el FBI lo detienen y esposan, está siempre de mal humor, indignado, en definitiva, que lleva una vida más bien penosilla. O sea que, aunque el director-guionista no pensara en ello, la moraleja es clara. Con esto no quiero indicar que haya que pasar de todo cuando las cosas se complican (es lo que el buen magufo infiere: las cosas o son blancas o negras, no hay teoremas del valor medio para ellos, y la campana de Gauss es falsa, o no saben de qué va). Simplemente hay que parar y pensar. Pero con lógica, críticamente, y dándose tiempo. Y si no llegamos a tiempo de descubrir que al cabo de nueve días volverán las oscuras golondrinas, pues ya vendrán otras. La profesora Hendricks se lo indica a Derek antes de caer “en el lado magufo”: No se puede forzar. Y a veces acabas bloqueado. Somos siervos, no maestros de las matemáticas. En cualquier caso, por mucho que se esfuerza el actor, Derek no queda bien parado, ni en la escena en la que Hendricks “descubre” el verdadero significado de las cifras, ni en intervenciones como: “2623 no tiene otro divisor que 43 y 61, ¿no?” Hombre que esto es de primaria, majete, no te hace falta a Natalie para que te lo asegure. Con estos valores sin embargo sí es capaz de percatarse que representa un cambio en las dimensiones del monitor. ¡¡Venga, hombre!! La película cita varias referencias de conceptos interesantes o al menos curiosas, de tipo matemático o científico: la red de anonimato TOR (The Onion Router, para hacer cosas prohibidas, según Derek), la escala de Kardashov (para detectar el grado de evolución tecnológica de una civilización), el mensaje de Arecibo de Frank Drake y Carl Sagan, Thomas Edison y sus poco escrupulosos procedimientos, los matemáticos Eugène Ehrhart y sus célebres polinomios, o Yitang Zhang y su demostración​ de que existen infinitos pares de números primos a una distancia menor de setenta millones de unidades (forma débil de la conjetura de los primos gemelos), etc. Ambos son citados como ejemplo de investigadores que han descubierto algo relevante siendo mayores de cincuenta años. Son ejemplos que no pasan de ser en la película más que una mera cita informativa, de esas que los magufos conocen para convencerte de algo. La vena magufa de Derek que acaba por eclipsar sus méritos matemáticos (que como hemos visto, no superan los de un alumno aplicadillo de secundaria) y por contagiar a todos los protagonistas, incluida la profesora Hendricks, se mantiene hasta el final de la película. Cuando el agente del FBI Franklin Ahls (que en el fondo admira a Derek por su perseverancia y sus conocimientos) pregunta a Derek “¿Sabes lo que esto significa?” en relación al mensaje descifrado y a una nueva aparición del OVNI, que acontece exactamente cuando Derek había deducido, sinceramente, yo pensé que la respuesta (al menos la que yo daría) sería “Que ya tengo trabajo en el FBI”. Pues no, es algo más rimbombante, que el título en español estropea y conlleva a pensar: ¡¡Qué hora y media más lamentablemente perdida!! Y no saliendo aún de mi estupor, uno que se queda siempre hasta el final de los títulos de crédito (mira por donde, una cosa que han hecho bien los de Marvel en sus películas), alucina viendo que instituciones como la American Mathematical Society (AMS) y la Association for Women in Mathematics (AWM) han colaborado de algún modo en el guion y realización de esta película. Normal que no se encuentre referencia alguna a la misma en sus páginas web. Alfonso Jesús Población Sáez

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190. 128. (Enero 2019) Conjunto vacío, de Verónica Gerber Bicecci

Presentación de la editorial Pepitas de calabaza (2017) Conjunto vacío, primera novela de Verónica Gerber Bicecci, es una historia construida con una dura e infinita belleza; un relato en el que la escritura va de la saturación al vacío, y en el que la prosa experimenta un viaje que parte de la normalidad y se mueve hacia la extrañeza. Estamos ante un libro tremendamente original en su manera de contar, en el que se utilizan tanto recursos narrativos (párrafos cada vez más cortos, capítulos cada vez más sintéticos) como lingüísticos (escrituras ilegibles, disgrafías, lenguajes infantiles, idiomas inventados) o gráficos (los diagramas de Venn que se utilizan en la teoría de conjuntos) con el fin de completar una historia que conquista al lector desde la primera línea. Conjunto vacío narra la desaparición de la madre del personaje principal, y su historia reconstruye la generación de hijos del exilio, la relación entre imagen y palabra, el desdoblamiento y el juego de espejos que produce el silencio y lo «no dicho». Conjunto Vacío cuenta la historia de una artista gráfica, Verónica, hija de exiliados argentinos en México. Tras ser abandonada por su pareja, que se ha enamorado de otra persona, la protagonista regresa a la casa de su madre. Me niego rotundamente a formar parte de esa configuración triangular que ellos me impusieron. Prefiero pensarme como un cono, algunos dicen que un cono es un triángulo que gira, tanto mejor. Un cono también puede ser una serie de círculos que resuenan, de pequeño a grande, el más pequeño solo un punto. O una viruta perfecta del tiempo. Conjunto Vacío, página 48 Allí rememora el momento en el que su madre desapareció, dejándola sola con su hermano Alejandro. El niño y la niña la buscaban, sin conseguir encontrarla. Ahora, de regreso a casa –el búnker–, el fantasma de la madre sigue rondando. La escucha, habla con ella, pero no la ve. Sigue fingiendo, como de pequeña, que la madre sigue en la vivienda familiar. Un secreto es como un subconjunto invisible. Conjunto Vacío, página 104 Verónica encuentra un trabajo archivando las pertenencias de la recién fallecida escritora –también exiliada argentina– Marisa Chubut por encargo de su hijo Alonso. Tras una breve relación amorosa con la protagonista, Alonso también desaparece de su vida. Los diferentes abandonos –el desamor, la orfandad, el exilio– producen un tremendo vacío en la vida de Verónica que cuenta su historia haciendo que las palabras desaparezcan poco a poco: mensajes en clave, misivas escritas del revés o diagramas de Venn la ayudan a expresar aquellas situaciones que no consigue reflejar con vocablos. Cada personaje se identifica con una letra (ella es Y –de yo–, M es su madre, A es su hermano, etc.) y con un diagrama de Venn. Y cada encuentro, cada abandono, cada acción con uno u otro personaje lo expresa con diferentes cambios en esos diagramas de Venn: intersecciones, recortes, etc. En el video de debajo pueden verse algunos ejemplos. En la época de la dictadura argentina –que forma parte de esta historia–, la enseñanza de la teoría de conjuntos se prohibió en las escuelas por ‘subversiva’. Entiendo que, de manera reivindicativa, la protagonista cuenta justamente su historia con la teoría de conjuntos como herramienta esencial. Sabemos, por ejemplo, que un jitomate pertenece al conjunto de jitomates (JI) y no al de cebollas (C) ni al de chiles (CH) ni al de cilantro (CI). ¿Dónde está la amenaza en un razonamiento como este? Conjunto Vacío, página 84 Una bella propuesta en la que los vacíos cotidianos pasan a expresarse con imágenes, con metáforas matemáticas… El reflejo se hace infinito. Y el infinito es un conjunto eternamente vacío. Conjunto Vacío, página 181 Más información Conjunto vacío, página web de Verónica Gerber Bicecci. En este enlace aparece un video en el que se hojea el libro. Nidia Rosales Moreno, Conjunto vacío. Verónica Gerber, A tierra adentro Carlos Pardo, Estrategias del ermitaño. 'Conjunto vacío' es reconocida como una de las novelas más imaginativas de la literatura latinoamericana reciente, Babelia, 26 julio 2017 Vivian Murcia G., Verónica Gerber Bicecci, la mujer del 'Conjunto Vacío', Ibe.tv, 8 marzo 2018

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