171. 59. (Enero 2012) Citas matemáticas en la obra de Borges

Propongo aquí una lista que –quisiera- fuera exhaustiva de todas las citas con algún contenido matemático en la obra de Borges. Dado que la obra completa consultada (Borges, Obras Completas, Sudamericana, 2011) tiene veinte tomos, es casi imposible que no haya perdido alguna. Agradecería a los lectores atentos cualquier sugerencia que pueda completar este trabajo de recopilación. Incluyo también, en un artículo separado (Bibliografía matemática consultada por Borges) los títulos de distintas obras matemáticas citadas en sus textos o bien consultadas y anotadas en sus estudios. El concepto de infinito “Estoy seguro que voces como inmortal o infinito no fueron en su comienzo sino casualidades del idioma, abusos del prefijo negativo, horros de sustancial claridad. Tanto las hemos meditado y enriquecido de conjeturas que ayer necesitamos de una teología para dilucidar la primera y aún nuestros matemáticos disputan acerca de la segunda.”(De “Acerca de Unamuno, poeta”, en Inquisiciones, 1925, Borges Obras Completas, vol. 1, Sudamericana, pp. 151-152.) Metáfora matemática (trabajosa claridad de una demostración) “No hay en los versos de Unamuno el más leve acariciamiento de ritmo. Son claros pero su claror no es comparable al de un árbol que albricia en primavera las hojas, sino a la trabajosa claridad de una demostración matemática.” (De “Acerca de Unamuno, poeta”, en Inquisiciones, 1925, Borges Obras Completas, vol. 1, Sudamericana, pp. 152-153.) Metáfora matemática (Aleph) “¿Qué signo puede recoger en su abreviatura el sentido de la tarea de Ramón? Yo pondría sobre ella el signo Alef, que en la matemática nueva es el señalador del infinito guarismo que abarca los demás o la aristada rosa de los vientos que infatigablemente urge sus dardos a toda lejanía.” (De “Ramón Gómez de la Serna: La sagrada cripta de Pombo”, “Acotaciones”, en Inquisiciones, 1925, Borges Obras Completas, vol. 1, Sudamericana, p. 167.) Lenguaje matemático “Insisto sobre el carácter inventivo que hay en cualquier lenguaje, y lo hago con intención. La lengua es edificadora de realidades. Las diversas disciplinas de la inteligencia han agenciado mundos propios y poseen un vocabulario privativo para detallarlos. Las matemáticas manejan su lenguaje especial hecho de guarismos y signos y no inferior en sutileza a ninguno.” (De “Palabrería para versos”, en El tamaño de mi esperanza, 1926, Borges Obras Completas, vol. 2, Sudamericana, p. 44.) Metáfora matemática (representación y signos) “Tomar esa retahíla baratísima de sinónimos por arte literario es suponer que alguien es un gran matemático, porque primero escribió 3 y enseguida tres y al rato III, y, finalmente raíz cuadrada de nueve. La representación no ha cambiado, cambian los signos.” (De “La adjetivación”, en El tamaño de mi esperanza, 1926, Borges Obras Completas, vol. 2, Sudamericana, p. 49.) Factorial “Cuarenta es el número de los naipes y 1 por 2 por 3 por 4… por 40, el de maneras que puedan salir. Es una cifra delicadamente puntual en su enormidad, con inmediato predecesor y único sucesor, pero no escrita nunca. Es una remota cifra de vértigo que parece disolver en su muchedumbre a los que barajan. Así, desde el principio, el central misterio del juego se ve adornado con otro misterio, el de que haya números.” (De “El truco”, publicado en El idioma de los argentinos, 1928, p.147, y posteriormente en Evaristo Carriego, 1930, Borges Obras Completas, vol. 3, Sudamericana, p. 109.) Lenguaje matemático “Si las matemáticas (sistema especializado de pocos signos, fundado y gobernado con asiduidad por la inteligencia) entrañan incomprensibilidades y son objeto permanente de discusión, ¿cuántas no oscurecerán el idioma, colecticio tropel de miles de símbolos, manejado casi al azar?” (De “El culteranismo”, en El idioma de los argentinos, 1928, Borges Obras Completas, vol. 2, Sudamericana, p. 171) El concepto de infinito (aritmética y jerarquía de cardinales infinitos) “Sospecho que la palabra infinito fue alguna vez una insípida equivalencia de inacabado; ahora es una de las perfecciones de Dios en la teología y un discutidero en la metafísica y un énfasis popularizado en las letras y una finísima concepción renovada en las matemáticas –Russell explica la adición y multiplicación y potenciación de números cardinales infinitos y el porqué de sus dinastías casi terribles- y una verdadera intuición al mirar al cielo.” (De “El idioma de los argentinos”, en El idioma de los argentinos, 1928, Borges Obras Completas, vol. 2, Sudamericana, p. 241) Lenguaje matemático “Yo insinúo que esa superioridad numérica es ventaja aparencial, no esencial, y que el solo idioma infinito –el de las matemáticas- se basta con una docena de signos para no dejarse distancia por número alguno. Es decir, el diccionario algorítmico de una página –con los guarismos, las rayitas, las crucecitas- es, virtualmente, el más acaudalado de cuantos hay. La numerosidad de representaciones es lo que importa, no la de signos.” (De “El idioma de los argentinos”, en El idioma de los argentinos, 1928, Borges Obras Completas, vol. 2, Sudamericana, p. 245) Las tres dimensiones y su existencia “Creo que una observación elemental, aquí es permisible, la de lo sospechoso de una sabiduría que se funda, no sobre un pensamiento, sino sobre una mera comodidad clasificatoria, como lo son las tres dimensiones convencionales. Escribo convencionales, porque –separadamente- ninguna de las dimensiones existe: siempre se dan volúmenes, nunca superficies, líneas ni puntos.” (De “La penúltima versión de la realidad”, en Discusión, 1932, Borges Obras Completas, vol. 3, Sudamericana, p. 193) Fracción que tiende a cero “De esta primera corona demiúrgica procedió una segunda, también con ángeles, potestades y tronos, y éstos fundaron otro cielo más bajo, que era el duplicado simétrico del inicial. Este segundo cónclave se vio reproducido en uno terciario, y éste en otro inferior, y de este modo hasta 365. El señor del cielo del fondo es el de la Escritura, y su fracción de divinidad tiene a cero.” (De “Una vindicación del falso Basílides”, en Discusión, 1932, Borges Obras Completas, vol. 3, Sudamericana, p. 217) La navaja de Occam “Esclarecer la vana multiplicación de ángeles nominales y de reflejados cielos simétricos de esa cosmogonía, no es del todo difícil. El principio taxativo de Occam: Entia non sunt multiplicanda praeter necessitatem, podría serle aplicado –arrasándola.” (De “Una vindicación del falso Basílides”, en Discusión, 1932, Borges Obras Completas, vol. 3, Sudamericana, p. 219) Límite de una suma infinita “Basta fijar la velocidad de Aquiles a un segundo por metro, para establecer el tiempo que necesita. 10 + 1 + 1/10 + 1/100 + 1/1.000 + 1/10.000 … El límite de la suma de esta infinita progresión geométrica es doce (más exactamente, once y un quinto, más exactamente, once con tres veinticincoavos), pero no es alcanzado nunca. Es decir, el trayecto del héroe será infinito y éste correrá para siempre, pero su derrotero se extenuará antes de doce metros, y su eternidad no verá la terminación de doce segundos. Esa disolución metódica, esa ilimitada caída en precipicios cada vez más minúsculos, no es realmente hostil al problema: es imaginárselo bien.” (De “La perpetua carrera de Aquiles y la tortuga”, en Discusión, 1932, Borges Obras Completas, vol. 3, Sudamericana, p. 268) Bibliografía matemática (Introduction to Mathematical Philosophy y Our Knowledge of the External World, Bertrand Russell) “Arribo por eliminación, a la única refutación que conozco, a la única de inspiración condigna del original, virtud que la estética de la inteligencia está reclamando. Es la formulada por Russell. La encontré en la obra nobilísima de William James, Some Problems of Philosophy, y la concepción total que postula puede estudiarse en los libros ulteriores de su inventor –Introduction to Mathematical Philosophy, 1919; Our Knowledge of the External World, 1926- libros de una lucidez inhumana, insatisfactorios e intensos.” (De “La perpetua carrera de Aquiles y la tortuga”, en Discusión, 1932, Borges Obras Completas, vol. 3, Sudamericana, pp. 270-271) Los conjuntos infinitos de Cantor “Para Russell, la operación de contar es (intrínsecamente) la de equiparar dos series. Por ejemplo, si los primogénitos de todas las casas de Egipto fueron muertos por el Ángel, salvo los que habitaban en casa que tenía en la puerta una señal roja, es evidente que tantos se salvaron como señales rojas había, sin que esto importe enumerar cuántos fueron.” (Continúa con la equivalencia entre números naturales y números pares, etc.) (De “La perpetua carrera de Aquiles y la tortuga”, en Discusión, 1932, Borges Obras Completas, vol. 3, Sudamericana, p. 271) El concepto de infinito “Esa descomposición, es mediante la sola palabra infinito, palabra (y después concepto) de zozobra que hemos engendrado con temeridad y que una vez consentida en un pensamiento, estalla y lo mata. (Hay otros escarmientos antiguos contra el comercio de tan alevosa palabra: hay la leyenda china del cetro de los reyes de Liang, que era disminuido en una mitad por cada nuevo rey; el cetro, mutilado por dinastías, persiste aún.)” (De “La perpetua carrera de Aquiles y la tortuga”, en Discusión, 1932, Borges Obras Completas, vol. 3, Sudamericana, p. 273) El concepto de infinito. Bibliografía matemática (De docta ignorantia, Nicolás de Cusa) “Hay un concepto que es el corruptor y el desatinador de los otros. No hablo del Mal cuyo limitado imperio es la ética; hablo del infinito. Yo anhelé compilar alguna vez su móvil historia. La numerosa Hidra (monstruo palustre que viene a ser una prefiguración o un emblema de las progresiones geométricas) daría conveniente horror a su pórtico; la coronarían las sórdidas pesadillas de Kafka y sus capítulos centrales no desconocerían las conjeturas de ese remoto cardenal alemán –Nicolás de Krebs, Nicolás de Cusa- que en la circunferencia vio un polígono de un número infinito de ángulos y dejó escrito que una línea infinita sería una recta, sería un triángulo, sería un círculo y sería una esfera (De docta ignorantia, I, 13).” (De “Avatares de la tortuga”, en Discusión, 1932, Borges Obras Completas, vol. 3, Sudamericana, p. 283) El regreso infinito (en Zenón de Elea y Aristóteles) “Postulemos dos individuos, a y b, que integran el género c. Tendremos entonces a + b = c Pero también, según Aristóteles: a + b + c = d a + b + c + d = e a + b + c + d + e = f… En rigor no se requieren dos individuos: bastan el individuo y el género para determinar el tercer hombre que denuncia Aristóteles. Zenón de Elea recurre a la infinita regresión contra el movimiento y el número; su refutador, contra las formas universales.” (De “Avatares de la tortuga”, en Discusión, 1932, Borges Obras Completas, vol. 3, Sudamericana, p. 286) (Continúa con el análisis del regressus in infinitum en Santo Tomás de Aquino para probar la existencia de Dios, y variaciones del argumento en Hermann Lotze, F. H. Bradley y Lewis Carroll). El regreso infinito (en la lógica). Bibliografía matemática (“What the Tortoise said to Achilles”, Lewis Carroll, Mind ) “Lotze interpone los abismos periódicos de Zenón entre la causa y el efecto; Bradley, entre el sujeto y el predicado, cuando no entre el sujeto y los atributos; Lewis Carroll (Mind, volumen cuarto, pág. 278) entre la segunda premisa del silogismo y la conclusión. Refiere un diálogo sin fin, cuyos interlocutores son Aquiles y la tortuga. Alcanzado ya el término de su interminable carrera, los dos atletas conversan apaciblemente de geometría. Estudian este claro razonamiento: a) Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí. b) Los dos lados de este triángulo son iguales a mn. z) Los dos lados de este triángulo son iguales entre sí. La tortuga acepta las premisas a y b, pero niega que justifiquen la conclusión. Logra que Aquiles interpole una proposición hipotética. a) Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí. b) Los dos lados de este triángulo son iguales a mn. c) Si a y b son válidas, z es válida. z) Los dos lados de este triángulo son iguales entre sí. Hecha esa breve aclaración, la tortuga acepta la validez de a, b y c, pero no de z. Aquiles, indignado, interpola: a) Si a, b y c son válidas, z es válida. Carroll observa que la paradoja del griego comporta una infinita serie de distancias que disminuyen y que en la propuesta por él crecen las distancias.” (De “Avatares de la tortuga”, en Discusión, 1932, Borges Obras Completas, vol. 3, Sudamericana, pp. 288, 289) Metáfora matemática (para la ciencia) “La ciencia es una esfera finita que crece en el espacio infinito; cada nueva expansión le hace comprender una zona mayor de los desconocido, pero lo desconocido es inagotable.” (De “Avatares de la tortuga”, en Discusión, 1932, Borges Obras Completas, vol. 3, Sudamericana, p. 296) Temas de matemática visitados por Borges “Sus cuatrocientas páginas registran con claridad los inmediatos y accesibles encantos de las matemáticas, los que hasta un mero hombre de letras puede entender, o imaginar que entiende: el incesante mapa de Brouwer, la cuarta dimensión que entrevió More y que declara intuir Howard Hinton, la levemente obscena tira de Moebius, los rudimentos de la teoría de los números transfinitos, las ocho paradojas de Zenón, las líneas paralelas de Desargues que en el infinito se cortan, la notación binaria que Leibniz descubrió en los diagramas del I King, la bella demostración euclidiana de la infinitud estelar de los números primos, el problema de la torre de Hanoi, el silogismo dilemático o bicornuto.” (De “Edward Kasner y James Newman: Mathematics and the Imagination (Simon and Schuster)”, en Discusión, 1932, Borges Obras Completas, vol. 3, Sudamericana, p. 321) Bibliografía matemática (Mathematics and the Imagination, Edward Kasner y James Newman) Reseña de Mathematics and the Imagination, de Edward Kasner y James Newman. (De “Notas”, en Discusión, 1932, Borges Obras Completas, vol. 3, Sudamericana, pp. 320, 321, 322) La fórmula de Laplace “Equidistantes del marqués de Laplace (que declaró la posibilidad de cifrar en una sola fórmula todos los hechos que serán, que son y que han sido)…” (De “Gilbert Waterhouse: A Short History of German Literature (Methuen, london, 1934)”, “Notas”, en Discusión, 1932, Borges Obras Completas, vol. 3, Sudamericana, p. 325) La fórmula de Laplace “Casi dos mil años después, el marqués de Laplace jugó con la posibilidad de cifrar en una sola fórmula matemática todos los hechos que componen un instante del mundo, para luego extraer de esa fórmula todo porvenir y todo el pasado” (De “M. Davidson: The Free Will Controversy (Watts, London, 1934)”, “Notas”, en Discusión, 1932, Borges Obras Completas, vol. 3, Sudamericana, p. 330) Fracción que tiende a cero “En el principio de la cosmogonía de Hákim hay un Dios espectral. Esa divinidad carece majestuosamente de origen, así como de nombre y de cara. Es un Dios inmutable, pero su imagen proyectó nueve sombras que, condescendiendo a la acción, dotaron y presidieron un primer cielo. De esa primera corona demiúrgica procedió una segunda, también con ángeles, potestades y tronos, y éstos fundaron otro cielo más abajo, que era el duplicado simétrico del inicial. Ese segundo conclave se vio reproducido en un terciario y ése en otro inferior, y así hasta 999. El señor del cielo del fondo es el que rige –sombra de sombras de otras sombras- y su fracción de divinidad tiende a cero.” (De “El tintorero enmascarado Hákim de Merv”, en Historia universal de la infamia, 1935, Borges Obras Completas, vol.  4, Sudamericana, pp. 67, 68) Espacio y tiempo “El movimiento, ocupación de sitios distintos en instantes distintos, es inconcebible sin tiempo; asimismo lo es la inmovilidad, ocupación de un mismo lugar en distintos puntos del tiempo.” (De Prólogo a Historia de la eternidad, 1936, Borges Obras Completas, vol.  4, Sudamericana, p. 103) La flecha del tiempo “Una de esas oscuridades, no la más ardua pero no la menos hermosa, es la que nos impide precisar la dirección del tiempo. Que fluye del pasado hacia el porvenir es la creencia común, pero no es más ilógica la contraria, la fijada en verso español por Miguel de Unamuno: Nocturno el río de las horas fluye desde su manantial que es el mañana eterno… Ambas son igualmente verosímiles –e igualmente inverificables. Bradley niega las dos y adelanta una hipótesis personal: excluir el porvenir, que es una mera construcción de nuestra esperanza, y reducir lo “actual” a la agonía del momento presente desintegrándose en el paso.” (De “Historia de la eternidad”, en Historia de la eternidad, 1936, Borges Obras Completas, vol.  4, Sudamericana, p. 106) Tiempo individual vs Tiempo de las matemáticas. Relatividad “Una, acaso la mayor, la de sincronizar el tiempo individual de cada persona con el tiempo general de las matemáticas, ha sido harto voceada por la reciente alarma relativista, y todos la recuerdan –o recuerdan haberla recordado hasta hace muy poco. (Yo la recobro así, deformándola: Si el tiempo es un proceso mental, ¿cómo lo pueden compartir miles de hombres, o aun dos hombres distintos?)” (De “Historia de la eternidad”, en Historia de la eternidad, 1936, Borges Obras Completas, vol.  4, Sudamericana, p. 107) Los conjuntos infinitos de Cantor “Russell rebate ese argumento [el argumento de los eleatas trasladado del movimiento al tiempo], afirmando la realidad y aun vulgaridad de números infinitos, pero que se dan de una vez, por definición, no como término “final” de un proceso enumerativo sin fin. Esos guarismos anormales de Russell son un buen anticipo de la eternidad, que tampoco se deja definir por enumeración de sus partes.” (De “Historia de la eternidad”, en Historia de la eternidad, 1936, Borges Obras Completas, vol.  4, Sudamericana, p. 107) La Triangularidad “Por ejemplo, la Triangularidad: eminente polígono de tres lados que no está en el espacio y que no quiere denigrarse a equilátero, escaleno o isóseles. (Tampoco lo repudio, es el de las cartillas de geometría.)” (De “Historia de la eternidad”, en Historia de la eternidad, 1936, Borges Obras Completas, vol.  4, Sudamericana, p. 113) Permutaciones (y el Eterno Retorno) “Esa doctrina (que su más reciente inventor llama del Eterno Retorno) es formulable así: “El número de todos los átomos que componen el mundo es, aunque desmesurado, finito, y sólo capaz como tal de un número finito (aunque desmesurado también) de permutaciones. En un tiempo infinito, el número de las permutaciones posibles debe ser alcanzado, y el universo tiene que repetirse.” (De “La doctrina de los ciclos”, en Historia de la eternidad, 1936, Borges Obras Completas, vol.  4, Sudamericana, p. 160) Permutaciones (de diez elementos) “… concibamos un frugal universo, compuesto de diez átomos […] ¿Cuántos estados diferentes puede conocer ese mundo, antes del eterno Retorno? La indagación es fácil: basta multiplicar 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10, prolija operación que nos da la cifra de 3.628.800.” (De “La doctrina de los ciclos”, en Historia de la eternidad, 1936, Borges Obras Completas, vol.  4, Sudamericana, p. 161) Metáfora matemática (Grandes números y espermatozoides) “El indoloro y casto despilfarro de números enormes obra sin duda ese placer peculiar de todos los excesos…” (De “La doctrina de los ciclos”, en Historia de la eternidad, 1936, Borges Obras Completas, vol.  4, Sudamericana, pp. 161, 162) Los conjuntos infinitos de Cantor (George Cantor y su “heroica teoría de conjuntos”) “Cantor destruye el fundamento de la tesis de Nietzsche. Afirma la perfecta infinitud del número de puntos del universo, y hasta de un metro de universo, o de una fracción de ese metro. La operación de contar no es otra cosa para él que la de equiparar dos series. Por ejemplo, si los primogénitos de todas las casas de Egipto fueron muertos por el Ángel, salvo los que habitaban en casa que tenía en la puerta una señal roja, es evidente que tantos se salvaron como señales rojas había, sin que esto importe enumerar cuántos fueron. Aquí es indefinida la cantidad; otras agrupaciones hay en que es infinita. El conjunto de los números naturales es infinito, pero es posible demostrar que son tantos los impares como los pares. Al 1 corresponde el 2 Al 3 corresponde el 4 Al 5 corresponde el 6, etcétera. [Continúa] (De “La doctrina de los ciclos”, en Historia de la eternidad, 1936, Borges Obras Completas, vol.  4, Sudamericana, p. 162) El regreso infinito “Para restañar ese regressus in infinitum, San Agustín resuelve que el primer segundo del tiempo coincide con el primer segundo de la Creación –non in tempore sed cum tempore incepit creatio.” (De “La doctrina de los ciclos”, en Historia de la eternidad, 1936, Borges Obras Completas, vol.  4, Sudamericana, p. 170) Permutaciones (y el Eterno Retorno) “El segundo está vinculado a la gloria de Nietzsche, su más patético inventor o divulgador. Un principio algebraico lo justifica: la observación de que un número n de objetos –átomos en la hipótesis de Le Bon, fuerzas en la de Nietzsche, cuerpos simples en la del comunista Blanqui- es incapaz de un número infinito de variaciones.” (De “El tiempo circular”, en Historia de la eternidad, 1936, Borges Obras Completas, vol.  4, Sudamericana, p. 174) Permutaciones (y el Eterno Retorno) ““No imaginemos la materia infinita, como lo hizo Epicuro; imaginémosla finita. Un número finito de partículas no es susceptible de infinitas trasposiciones; en una duración eterna, todos los órdenes y colocaciones posibles ocurrirán un número infinito de veces. Este mundo, con todos sus detalles, hasta los más minúsculos, ha sido elaborado y aniquilado, y será elaborado y aniquilado: infinitamente” (Dialogues Concerning Natural Religion VIII, David Hume).” (De “El tiempo circular”, en Historia de la eternidad, 1936, Borges Obras Completas, vol.  4, Sudamericana, p. 175) Metáfora matemática (álgebra y dolor físico) “diez minutos de dolor físico no equivalen a diez minutos de álgebra.” (De “El tiempo circular”, en Historia de la eternidad, 1936, Borges Obras Completas, vol.  4, Sudamericana, p. 178) Progresión ascendente (ver 11, fracción que tiende a cero de los gnósticos) “A medida que los hombres interrogados han conocido más de cerca a Almotásim, su porción divina es mayor, pero se entiende que son meros espejos. El tecnicismo matemático es aplicable: la cargada novela de Bahadur es una progresión ascendente, cuyo término final es el presentido “hombre que se llama Almotásim”.” (De “Dos notas”, en Historia de la eternidad, 1936, Borges Obras Completas, vol.  4, Sudamericana, p. 213) Sistemas de numeración (duodecimal y sexagesimal) “Lo recuerdo en el corredor del hotel, con un libro de matemáticas en la mano, mirando a veces los colores irrecuperables del cielo. Una tarde, hablamos del sistema duodecimal de numeración (en el que doce se escribe 10). Ashe dijo que precisamente estaba trasladando no sé qué tablas duodecimales a sexagesimales (en las que sesenta se escribe 10).” (De “Tlön, Uqbar, Orbis Tertius”, en Ficciones, 1944, Borges Obras Completas, vol. 5, Sudamericana, p. 17) Geometría y modos de contar imaginarios “La base de la geometría visual es la superficie, no el punto. Esta geometría desconoce las paralelas y declara que el hombre que se desplaza modifica las formas que lo circundan. La base de su aritmética es la noción de números indefinidos. Acentúan la importancia de los conceptos de mayor y menor, que nuestros matemáticos simbolizan por > y por <. Afirman que la operación de contar modifica las cantidades y las convierte de indefinidas en definidas. El hecho de que varios individuos que cuentan una misma cantidad logran un resultado igual, es para los psicólogos un ejemplo de asociación de ideas o de buen ejercicio de la memoria.” (De “Tlön, Uqbar, Orbis Tertius”, en Ficciones, 1944, Borges Obras Completas, vol. 5, Sudamericana, p. 26) Bibliografía matemática (Characteristica universalis, Gottfried Leibniz y An Investigation of the Laws of Thought, George Boole) “c) Una monografía sobre “ciertas conexiones o afinidades” del pensamiento de Descartes, de Leibniz y de John Wilkins (Nîmes, 1903). d) Una monografía sobre la Characteristica universalis de Leibniz (Nîmes, 1904). […] m) La obra Les problemes d´un probleme (París, 1917) que discute en orden cronológico las soluciones del ilustre problema de Aquiles y la tortuga. Dos ediciones de este libro han aparecido hasta ahora; la segunda trae como epígrafe el consejo de Leibniz Ne craignez point, Monsieur, la tortue, y renueva los capítulos dedicados a Russell y a Descartes.” (De “Pierre Menard, autor del Quijote”, en Ficciones, 1944, Borges Obras Completas, vol. 5, Sudamericana, pp. 36,37) Segmento infinitamente subdivisible (de tiempo) “De esos ejecutores, cuatro pueden iniciar un tercer sorteo que dirá el nombre del verdugo, dos pueden reemplazar la orden adversa por una orden feliz (el encuentro de un tesoro, digamos), otro exacerbará la muerte (es decir la hará infame o la enriquecerá de torturas), otros pueden negarse a cumplirla… Tal es el esquema simbólico. En la realidad el número de sorteos es infinito. Ninguna decisión es final, todas se ramifican en otras. Los ignorantes suponen que infinitos sorteos requieren un tiempo infinito; en realidad basta que el tiempo sea infinitamente subdivisible, como lo enseña la famosa parábola del Certamen con la Tortuga.” (De “La lotería en Babilonia”, en Ficciones, 1944, Borges Obras Completas, vol. 5, Sudamericana, p. 61) Sistemas de numeración (binario e infinitos) “No sé si debo recordar que ya publicado April March, Quain se arrepintió del orden ternado y predijo que los hombres que lo imitaban optarían por el binario x1 y1 x2 z x3 y2 x4 y los demiurgos y los dioses por el infinito: infinitas historias, infinitamente ramificadas.” (De “Examen de la obra de Herbert Quain”, en Ficciones, 1944, Borges Obras Completas, vol. 5, Sudamericana, p. 68) La paradoja de Russell (en la versión Catálogo de los catálogos) “Como todos los hombres de la Biblioteca, he viajado en mi juventud; he peregrinado en busca de un libro, acaso del catálogo de catálogos […] (De “La biblioteca de Babel”, en Ficciones, 1944, Borges Obras Completas, vol. 5, Sudamericana, p. 72) La esfera de Pascal (Una variación en hexágonos) “Básteme, por ahora repetir el dictamen clásico: La Biblioteca es una esfera cuyo centro cabal es cualquier hexágono, cuya circunferencia es inaccesible.” (De “La biblioteca de Babel”, en Ficciones, 1944, Borges Obras Completas, vol. 5, Sudamericana, p. 72) Combinaciones de símbolos (lenguaje artificial) “De esas premisas incontrovertibles dedujo que la Biblioteca es total y que sus anaqueles registran todas las posibles combinaciones de los veintitantos símbolos ortográficos (número, aunque vastísimo, no infinito) o sea todo lo que es dable expresar: en todos los idiomas.” (De “La biblioteca de Babel”, en Ficciones, 1944, Borges Obras Completas, vol. 5, Sudamericana, pp. 75,76) La paradoja de Russell (en la versión Catálogo de los catálogos) “Todo: la historia minuciosa del porvenir, las autobiografías de los arcángeles, el catálogo fiel de la Biblioteca, miles y miles de catálogos falsos, la demostración de la falacia de esos catálogos, la demostración de la falacia del catálogo verdadero, el evangelio gnóstico de Basílides, el comentario de ese evangelio, el comentario del comentario de ese evangelio” (De “La biblioteca de Babel”, en Ficciones, 1944, Borges Obras Completas, vol. 5, Sudamericana, pp. 75,76) La matemática Eda Cesaratto me señaló, respecto de esta cita, el llamado “Teorema de Borges”, del matemático francés Philippe Flajolet, (ver en Analytic Combinatorics, Philippe Flajolet and Robert Sedgewick, Cambridge University Press, 2009, p. 61).Borges’s Theorem. Take any fixed finite set P of patterns. A random text of length n contains all the patterns of the set P (as factors) with probability tending to 1 exponentially fast as n → ∞. Autorreferencia “En algún anaquel de algún hexágono (razonaron los hombres) debe existir un libro que sea la cifra y el compendio perfecto de todos los demás: algún bibliotecario lo ha recorrido y es análogo a un dios.” (De “La biblioteca de Babel”, en Ficciones, 1944, Borges Obras Completas, vol. 5, Sudamericana, p. 78) Analogía con el segmento 01 de los números fraccionarios. Mención a Cavalieri “Nota al pie: Letizia Álvarez de Toledo ha observado que la vasta Biblioteca es inútil; en rigor, bastaría un solo volumen, de formato común, impreso en cuerpo nueve o en cuerpo diez, que constara de un número infinito de hojas infinitamente delgadas. (Cavalieri a principios del siglo XVII, dijo que todo cuerpo sólido es la superposición de un número infinito de planos.) El manejo de ese vademecum sedoso no sería cómodo: cada hoja aparente se desdoblaría en otras análogas; la inconcebible hoja central no tendría revés.” (De “La biblioteca de Babel”, en Ficciones, 1944, Borges Obras Completas, vol. 5, Sudamericana, p. 81) Observar: esta idea reaparece en el cuento “El libro de arena”. El tiempo como red de series que se bifurcan “A diferencia de Newton y de Schopenhauer, su antepasado no creía en un tiempo uniforme, absoluto. Creía en infinitas series de tiempos, en una red creciente y vertiginosa de tiempos divergentes, convergentes y paralelos. Esa trama de tiempos que se aproximan, se bifurcan, se cortan o que secularmente se ignoran, abarca todas las posibilidades. No existimos en la mayoría de esos tiempos; en algunos existe usted y no yo; en otros, los dos.” (De “El jardín de senderos que se bifurcan”, en Ficciones, 1944, Borges Obras Completas, vol. 5, Sudamericana, p. 94) Sistemas de numeración “Me dijo que hacia 1886 había discurrido un sistema original de numeración y que en muy pocos días había rebasado el veinticuatro mil. No lo había escrito, porque lo pensado una sola vez ya no podía borrársele. Su primer estímulo, creo, fue el desagrado de que los treinta y tres orientales requieran dos signos y tres palabras, en lugar de una sola palabra y un solo signo. Aplicó luego ese disparatado principio a los otros números. En lugar de siete mil trece, decía (por ejemplo) Máximo Pérez; en lugar de siete mil catorce, El Ferrocarril; otros números eran Luis Meleán Lafinur, Olimar, azufre, los bastos, la ballena, el gas, la caldera, Napoleón, Agustín de Vedia. En lugar de quinientos, decía nueve. Cada palabra tenía un signo particular, una especie de marca; las últimas eran muy complicadas… Yo traté de explicarle que esa rapsodia de voces inconexas era precisamente lo contrario de un sistema de numeración. Le dije que decir 365 era decir tres centenas, seis decenas, cinco unidades: análisis que no existe en los “números” El Negro Timoteo o manta de carne. Funes no entendió o no quiso entenderme.” (De “Funes el memorioso”, en Ficciones, 1944, Borges Obras Completas, vol. 5, Sudamericana, p. 108) Leibniz “[…] del consejero áulico Leibniz (que inventó la armonía preestablecida)” (De “Tema del traidor y del héroe”, en Ficciones, 1944, Borges Obras Completas, vol. 5, Sudamericana, p. 118) Argumento more geométrico “[…] “los vértices perfectos de un triángulo equilátero y místico”; el plano demostraba en tinta roja la irregularidad de ese triángulo. Treviranus leyó con resignación ese argumento more geométrico y mandó la carta y el plano a casa de Lönnrot –indiscutible merecedor de tales locuras.” (De “La muerte y la brújula”, en Ficciones, 1944, Borges Obras Completas, vol. 5, Sudamericana, p. 131) Triángulo y rombo “Yo mandé el triángulo equilátero a Treviranus. Yo presentí que usted agregaría el punto que falta. El punto que determina un rombo perfecto, el punto que prefija el lugar donde una exacta muerte lo espera. Todo lo he premeditado, Erik Lönnrot, para atraerlo a usted a las soledades de Trisre-le-Roy.” (De “La muerte y la brújula”, en Ficciones, 1944, Borges Obras Completas, vol. 5, Sudamericana, p. 137) Laberinto en línea recta “-En su laberinto sobran tres líneas -dijo por fin-. Yo sé de un laberinto griego que es una línea única, recta. En esa línea se han perdido tantos filósofos que bien puede perderse un mero detective. Scharlach, cuando en otro avatar usted me dé caza, finja (o cometa) un crimen en A, luego un segundo crimen en B, en 8 kilómetros de A, luego un tercer crimen en C, a 4 kilómetros de A y de B, a mitad de camino entre los dos. Aguárdeme después en D, a 2 kilómetros de A y de C, de nuevo a mitad de camino. Máteme en D, como ahora va a matarme en Triste-le-Roy.” (De “Tema del traidor y del héroe”, en Ficciones, 1944, Borges Obras Completas, vol. 5, Sudamericana, pp. 137-138) Sobre esta serie, puede verse una discusión aquí Simetrías “A la realidad le gustan las simetrías y los leves anacronismos […]” (De “El Sur”, en Artificios, Ficciones, 1944, Borges Obras Completas, vol. 5, Sudamericana, p. 167) Trisectores del ángulo y rectificadores del círculo “Pensé, primero, en aquel arzobispo de Cantérbury que se propuso demostrar que hay un Dios; luego, en los alquimistas que buscaron la piedra filosofal; luego, en los vanos trisectores del ángulo y rectificadores del círculo.” (De “La busca de Averroes”, en El Aleph 1940, Borges Obras Completas, vol. 5, Sudamericana, p. 265) Teorema de Fermat “Unwin había publicado un estudio sobre el teorema que Fermat no escribió al margen de una página de Diofanto.[…]   Unwin recordó a Nicolás de Cusa, para quien toda línea recta es el arco de un círculo infinito…” (De “Abenjacán el Bojarí, muerto en su laberinto”, en El Aleph, 1949, Borges Obras Completas, vol. 5, Sudamericana, pp. 284-285) Metáfora matemática (Teoría de conjuntos y cuarta dimensión del espacio) “[…] opté por olvidar tus absurdidades y pensar en algo sensato.   -En la teoría de los conjuntos, digamos, o en una cuarta dimensión del espacio-  observó Dunraven.” (De “Abenjacán el Bojarí, muerto en su laberinto”, en El Aleph, 1949, Borges Obras Completas, vol. 5, Sudamericana, p. 292) El Aleph “-¿El Alpeh? –repetí -Sí, el lugar donde están, sin confundirse, todos los lugares del orbe, vistos desde todos los ángulos” (De “El Aleph”, en El Aleph, 1949, Borges Obras Completas, vol. 5, Sudamericana, p. 321) La esfera de Pascal (Esfera de Alanus de Insulis) “[…] Alanus de Insulis, de una esfera cuyo centro está en todas partes y la circunferencia en ninguna. […]” (De “El Aleph”, en El Aleph, 1949, Borges Obras Completas, vol. 5, Sudamericana, p. 324) El concepto de infinito “Por lo demás, el problema central es irresoluble: la enumeración, si quiera parcial, de un conjunto infinito.” (De “El Aleph”, en El Aleph, 1949, Borges Obras Completas, vol. 5, Sudamericana, p. 324) Autorreferencia (El Aleph) “[…] vi el Aleph, desde todos los puntos, vi en el Aleph la tierra, y en la tierra otra vez el Aleph y en el Aleph la tierra, vi mi cara y mis vísceras, vi tu cara, y sentí vértigo y lloré, porque mis ojos habían visto ese objeto secreto y conjetural, cuyo nombre usurpan los hombres, pero que ningún hombre ha mirado: el inconcebible universo.” (De “El Aleph”, en El Aleph, 1949, Borges Obras Completas, vol. 5, Sudamericana, p. 326) Los conjuntos infinitos de Cantor (el símbolo Aleph) “[…] para la Mengenlehre, es el símbolo de los números transfinitos, o en los que el todo no es mayor que alguna de las partes.” (De “El Aleph”, en El Aleph, 1949, Borges Obras Completas, vol. 5, Sudamericana, p. 328) La esfera de Pascal (Esfera de Alanus de Insulis) “[…] en alguno de ellos, o en el Asclepio, que también se atribuyó a Trismegisto, el teólogo francés Alain de Lille –Alanus de Insulis- descubrió a fines del siglo XII esta fórmula, que las edades venideras no olvidaría: “Dios es una esfera inteligible, cuyo centro está en todas partes y la circunferencia en ninguna”.” (De “La esfera de Pascal”, en Otras inquisiciones, 1952, Borges Obras Completas, vol. 6, Sudamericana, p. 14) El regreso infinito “[…] es un retrato que data del siglo XVIII y que misteriosamente representa al protagonista. […] James crea, así, un incomparable regressus in infinitum, ya que su héroe, Ralph Pendrel, se traslada al siglo XVIII porque lo fascina un viejo retrato, pero ese retrato requiere, para existir, que Pendrel se haya trasladado al siglo XVIII.” (De “La flor de Coleridge”, en Otras inquisiciones, 1952, Borges Obras Completas, vol. 6, Sudamericana, p. 21) Objeto eterno (Whitehead) “Acaso un arquetipo no revelado aún a los hombres, un objeto eterno (para usar la nomenclatura de Whitehead), esté ingresando paulatinamente en el mundo; su primera manifestación fue el palacio; la segunda el poema. Quien los hubiera comparado habría visto que eran esencialmente iguales.” (De “El sueño de Coleridge”, en Otras inquisiciones, 1952, Borges Obras Completas, vol. 6, Sudamericana, p. 28) El regreso infinito “En el número 63 de Sur (diciembre de 1939) publiqué una prehistoria, una primera historia rudimental, de la regresión infinita.” (De “El tiempo y J. W. Dunne”, en Otras inquisiciones, 1952, Borges Obras Completas, vol. 6, Sudamericana, p. 28) El regreso infinito (el yo es infinito) “Antes de cumplir los veinte años había razonado que el yo es inevitablemente infinito, pues el hecho de saberse a sí mismo, postula otro yo que se sabe también a sí mismo, y ese yo postula a su vez otro yo.” (De “El tiempo y J. W. Dunne”, en Otras inquisiciones, 1952, Borges Obras Completas, vol. 6, Sudamericana, p. 30) El regreso infinito ““Si el espíritu –ha dicho Leibniz- tuviera que repensar lo pensado, bastaría percibir un sentimiento para pensar en él y para pensar luego en el pensamiento y luego en el pensamiento del pensamiento, y así hasta lo infinito” (Nowveaux essais sur l´entendement humain, libro II, capítulo I).” (De “El tiempo y J. W. Dunne”, en Otras inquisiciones, 1952, Borges Obras Completas, vol. 6, Sudamericana, p. 31) Metáfora matemática (para el tiempo) “El tiempo verdadero, para Dunne, es el inalcanzable término último de una serie infinita.” (De “El tiempo y J. W. Dunne”, en Otras inquisiciones, 1952, Borges Obras Completas, vol. 6, Sudamericana, p. 33) La fórmula de Laplace. Bibliografía matemática (A System of Logic, Ratiocinative and Inductive, John Stuart Mill) “En aquel capítulo de su Lógica que trata de la ley de causalidad, John Stuart Mill razona que el estado del universo en cualquier instante es una consecuencia de su estado en el instante previo y que a una inteligencia infinita le bastaría el conocimiento perfecto de un solo instante para saber la historia del universo, pasada y venidera.” (De “La creación y P. H. Gosse”, en Otras inquisiciones, 1952, Borges Obras Completas, vol. 6, Sudamericana, p. 36) Bibliografía matemática (The Analysis of Mind, Bertrand Russell) “Bertrand Russell la ha actualizado. En el capítulo IX del libro The Analysis of Mind (Londres, 1921) supone que el planeta ha sido creado hace pocos minutos, provisto de una humanidad que “recuerda” un pasado ilusorio.” (De “El tiempo y J. W. Dunne”, en Otras inquisiciones, 1952, Borges Obras Completas, vol. 6, Sudamericana, p. 39) Autorreferencia (El Quijote y Hamlet) “En la realidad, cada novela es un plano ideal; Cervantes se complace en confundir lo objetivo y lo subjetivo, el mundo del lector y el mundo del libro. […]    En el sexto capítulo de la primera parte, el cura y el barbero revisan la biblioteca de don Quijote; asombrosamente, uno de los libros examinados es la Galatea de Cervantes…[…]   “Ese juego de extrañas ambigüedades culmina en la segunda parte; los protagonista han leído la primera, los protagonistas del Quijote son, asimismo, lectores del Quijote. Aquí es inevitable recordar el caso de Shakespeare, que incluye en el escenario de Hamlet otro escenario, donde se representa una tragedia, que es más o menos la de Hamlet…”” (De “Magias parciales del “Quijote””, en Otras inquisiciones, 1952, Borges Obras Completas, vol. 6, Sudamericana, pp. 62-63) Autorreferencia (Las mil y una noches) “Ninguna tan perturbadora como la de la noche 602, mágica entre las noches. En esa noche, el rey oye de boca de la reina su propia historia. Oye el principio de la historia, que abarca a todas las demás, y también –de monstruoso modo-, a sí misma. ¿Intuye claramente el lector la vasta posibilidad de esa interpolación, el curioso peligro? Que la reina persista y el inmóvil rey oirá para siempre la trunca historia de Las mil y una noches, ahora infinita y circular…” (De “Magias parciales del “Quijote””, en Otras inquisiciones, 1952, Borges Obras Completas, vol. 6, Sudamericana, p. 64) Sobre la noche 602, ver  Readings and re-readings of night 602, Evelyn Fishburn, Variaciones Borges, 2004. Autorreferencia (Nathaniel Hawthorne y la Ilíada) “El otro es más complejo: “Que un hombre escriba un cuento y compruebe que éste se desarrolla contra sus intenciones; que los personajes no obren como él quería, que ocurran hechos no previstos por él y que se acerque una catástrofe que él trate, en vano, de eludir. Ese cuento podría prefigurar su propio destino y uno de los personajes es él”. Tales juegos, tales momentáneas confluencias del mundo imaginario y del mundo real –del mundo que en el curso de la lectura simulamos que es real- son, o nos parece, modernos. Su origen, su antiguo origen, está acaso en aquel lugar de la Ilíada en que Helena de Troya teje su tapiz y lo que teje son batallas y desventuras de la misma guerra de Troya.” (De “Nathaniel Hawthorne”, en Otras inquisiciones, 1952, Borges Obras Completas, vol. 6, Sudamericana, p. 73) Autorreferencia “En efecto si el mundo es el sueño de Alguien, si hay Alguien que ahora está soñándonos y que sueña la historia del universo, como es doctrina de la escuela idealista, la aniquilación de las religiones y de las artes, el incendio general de las bibliotecas, no importa mucho más que la destrucción de los muebles de un sueño. La menta que una vez los soñó volverá a soñarlos; mientras la mente siga soñando, nada se habrá perdido.” (De “Nathaniel Hawthorne”, en Otras inquisiciones, 1952, Borges Obras Completas, vol. 6, Sudamericana, p. 82) Ecuaciones polinómicas “Descree de la astrología judiciaria, pero cultiva la astronomía, colabora en la reforma del calendario que promueve el sultán y compone un famoso tratado de álgebra, que da soluciones numéricas para las ecuaciones de primero y segundo grado, y geométricas, mediante intersección de cónicas, para las de tercero.” (De “El enigma de Edward Fitzgerald”, en Otras inquisiciones, 1952, Borges Obras Completas, vol. 6, Sudamericana, pp. 96-97) El concepto de infinito (Demócrito y Pascal) “Demócrito pensó que en el infinito se dan mundos iguales, en los que hombres iguales cumplen sin una variación destinos iguales; Pascal (en quien también pudieron influir las antiguas palabras de Anaxágoras de que todo está en cada cosa) incluyó a esos mundos parejos unos adentro de otros, de suerte que no hay átomo en el espacio que no encierre universo ni universo que no sea también un átomo. Es lógico pensar (aunque no lo dijo) que se vio multiplicado en ellos sin fin.” (De “Pascal”, en Otras inquisiciones, 1952, Borges Obras Completas, vol. 6, Sudamericana, p. 125) Sistemas de numeración “Descartes, en una epístola fechada en noviembre de 1629, ya había anotado que mediante el sistema decimal de numeración, podemos aprender en un solo día a nombrar todas las cantidades hasta el infinito y a escribirlas en un idioma nuevo que es el de los guarismos; también había propuesto la formación de un idioma análogo, general, que organizara y abarcara todos los pensamientos humanos. John Wilkins, hacia 1664, acometió esa empresa. Nota al pie: Teóricamente, el número de sistemas de numeración es ilimitado. El más complejo (para uso de las divinidades y de los ángeles) registraría un número infinito de símbolos, uno para cada número entero; el más simple sólo requiere dos. Cero se escribe 0, uno 1, dos 10, tres 11, cuatro 100, cinco 101, seis 110, siete 111, ocho 1000… Es invención de Leibniz, a quien estimularon (parece) los hexagramas enigmáticos del I King.” (De “El idioma analítico de John Wilkins”, en Otras inquisiciones, 1952, Borges Obras Completas, vol. 6, Sudamericana, pp. 127-128) Clasificación y sus dificultades “Esas ambigüedades, redundancias y deficiencias recuerdan las que el doctor Franz Kuhn atribuye a cierta enciclopedia china que se titula Emporio celestial de conocimientos benévolos. En sus remotas páginas está escrito que los animales se dividen en (a) pertenecientes al Emperador, (b) embalsamados, (c) amaestrados, (d) lechones, (e) sirenas, (f) fabulosos, (g) perros sueltos, (h) incluidos en esta clasificación, (i) que se agitan como locos, (j) innumerables, (k) dibujados con un pincel finísimo de pelo de camello, (1) etcétera, (m) que acaban de romper el jarrón, (n) que de lejos parecen moscas.” (De “El idioma analítico de John Wilkins”, en Otras inquisiciones, 1952, Borges Obras Completas, vol. 6, Sudamericana, p. 129) Metáfora matemática (Pitágoras y Jámblico) “Que los números sean instrumentos o elementos de la Creación es dogma de Pitágoras y de Jámblico; que las letras lo sean es claro indicio del nuevo culto de la escritura.” (De “El culto de los libros”, en Otras inquisiciones, 1952, Borges Obras Completas, vol. 6, Sudamericana, p. 140) Bibliografía matemática (Il libro della Natura, Galileo Galilei, en Galileo Galilei: Pensieri, motti e sentenze, Antología de Favaro) “Nota al pie: En las obras de galileo abunda el concepto del universo como libro. La segunda sección de la antología de Favaro (Galileo Galilei: Pensieri, motti e sentenze, Firenze, 1949) se titula Il libro della Natura. Copio el siguiente párrafo: “La filosofía está escrita en aquel grandísimo libro que continuamente está abierto ante nuestros ojos (quiero decir, el universo), pero que no se entiende si antes no se estudia la lengua y se conocen los careacteres en que está escrito. La lengua de ese libro es matemática y los caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas”.” (De “El culto de los libros”, en Otras inquisiciones, 1952, Borges Obras Completas, vol. 6, Sudamericana, p. 141) El concepto de infinito (Esquilo y Pitágoras) “En las Tusculanas consta que Esquilo ingresó en la orden pitagórica, pero nunca sabremos si presintió, siquiera de un modo imperfecto, lo significativo de aquel pasaje del uno al dos, de la unidad a la pluralidad y así a lo infinito.” (De “El pudor de la historia”, en Otras inquisiciones, 1952, Borges Obras Completas, vol. 6, Sudamericana, p. 204) Contradictio in adjectio “Una palabra sobre el título. No se me oculta que éste es un ejemplo del monstruo que los lógicos han denominado contradictio in adjectio, porque decir que es nueva (o antigua) una refutación del tiempo es atribuirle uin predicado de índole temporal, que instaura la noción que el sujeto quiere destruir.” (De “Nueva refutación del tiempo”, en Otras inquisiciones, 1952, Borges Obras Completas, vol. 6, Sudamericana, p. 209) Cuarta dimensión y raíz cuadrada de -1 “Meinong, en su teoría de la aprehensión, admite la de objetos imaginarios; la cuarta dimensión, digamos, o la estatua sensible de Condillac o el animal hipotético de Lotze o la raíz cuadrada de – 1.” (De “Nueva refutación del tiempo”, en Otras inquisiciones, 1952, Borges Obras Completas, vol. 6, Sudamericana, p. 229) Argumento numérico sobre la existencia de Dios “Cierro los ojos y veo una bandada de pájaros. La visión dura un segundo o acaso menos; no sé cuántos pájaros vi. ¿Era definido o indefinido su número? El problema involucra el de la existencia de Dios.” (De “Argumentum ornithologicum”, en El hacedor, 1960, Borges Obras Completas, vol.  7, Sudamericana, p. 20) Regreso infinito “También el jugador es prisionero (la sentencia es de Omar) de otro tablero de negras noches y blancos días.   Dios mueve al jugador, y éste, la pieza. ¿Qué Dios detrás de Dios la trama empieza de polvo y tiempo y sueño y agonías?” (De “Ajedrez”, en El hacedor, 1960, Borges Obras Completas, vol. 7, Sudamericana, pp. 63-64 ) Mapas “…En aquel Imperio, el Arte de la Cartografía logró tal Perfección que el Mapa de una sola Provincia ocupaba toda una Ciudad, y el mapa del Imperio, toda una Provincia. Con el tiempo, estos Mapas Desmesurados no satisficieron y los Colegios de Cartógrafos levantaron un Mapa del Imperio, que tenía el Tamaño del Imperio y coincidía puntualmente con él.” (De “Museo”, en El hacedor, 1960, Borges Obras Completas, vol.  7, Sudamericana, p. 107) Pitágoras y la repetición periódica “Lo supieron los arduos alumnos de Pitágoras: /los astros y los hombres vuelven cíclicamente/ […] No sé si volveremos en un ciclo segundo /como vuelven las cifras de una fracción periódica;/ pero sé que en una oscura rotación pitagórica /noche a noche me deja en un lugar del mundo/” (De “La noche cíclica”, en El otro, el mismo, 1964, Borges Obras Completas, vol.  7, Sudamericana, p. 127) Regreso infinito“[…] “¿Por qué di en agregar a la infinita serie un símbolo más? ¿Por qué a la vana madeja que en lo eterno se devana, di otra causa, otro efecto y otra cuita?” En la hora de angustia y de luz vaga, en su Golem los ojos detenía. ¿Quién nos dirá las cosas que sentía Dios, al mirar a su rabino en Praga?” (De “El Golem”, en El otro, el mismo, 1964, Borges Obras Completas, vol. 7, Sudamericana, pp. 154-155) La ardiente geometría “Miraba lo que no ven los ojos terrenales: la ardiente geometría, el cristalino edificio de Dios y el remolino sórdido de los goces infernales.” (De “Emmanuel Swedenborg”, en El otro, el mismo, 1964, Borges Obras Completas, vol.  7, Sudamericana, p. 182) La muerte como estadística “[…] (las pruebas de la muerte son estadísticas y nadie hay que no corra el albur de ser el primer inmortal)” (De “Alguien”, en El otro, el mismo, 1964, Borges Obras Completas, vol.  7, Sudamericana, p. 203) Álgebra como “palacio de precisos cristales” “[…] por el álgebra, palacio de precisos cristales” (De “Otro poema de los dones”, en El otro, el mismo, 1964, Borges Obras Completas, vol.  7, Sudamericana, p. 216) La tortuga de Zenón y el mapa de Royce “[…] por el geométrico y bizarro ajedrez, por la tortuga de Zenón y el mapa de Royce” (De “Otro poema de los dones”, en El otro, el mismo, 1964, Borges Obras Completas, vol.  7, Sudamericana, p. 218) Moral y geometría “Milton quería educar a los niños de su academia en el conocimiento de la física, de las matemáticas, de la astronomía y de las ciencias naturales; el doctor Johnson observaría al promediar el siglo XVIII: “La prudencia y la justicia son preeminencias y virtudes que corresponden a todas las épocas y a todos los lugares; somos perpetuamente moralistas y sólo a veces geómetras”.” (De “Prólogo”, en Elogio de la sombra, 1969, Borges Obras Completas, vol.  8, Sudamericana, p. 38) Euclides y Spinoza “Estaba compilando, me dijo, una copiosa antología de la obra de Baruch Spinoza aligerada de todo ese aparato euclidiano que traba la lectura y que da a la fantástica teoría un rigor ilusorio.” (De “El indigno”, en El informe de Bordie, 1970, Borges Obras Completas, vol.  8, Sudamericana, p. 109) Sistemas de numeración (aritmética módulo 4) “He escrito que son cuatro; este número es el mayor que abarca su aritmética. Cuentan con los dedos uno, dos, tres, cuatro, muchos; el infinito empieza en el pulgar. Lo mismo, me aseguran, ocurre con las tribus que merodean en las inmediaciones de Buenos-Ayres. Pese a que el cuatro es la última cifra de que disponen, los árabes que trafican con ellos no los estafan, porque en el canje todo se divide por lotes de uno, de dos, de tres y de cuatro, que cada cual pone a su lado.” (De “El informe de Bordie”, en El informe de Bordie, 1970, Borges Obras Completas, vol.  8, Sudamericana, p. 188) Disco triangular y flecha del eleata “El disco triangular. El inasibleinstante en que la flecha del eleata,inmóvil en el aire, da en al blanco.” (De “Cosas”, en El oro de los tigres, 1972, Borges Obras Completas, vol.  9, Sudamericana, p. 38) Álgebra “Hoy, en la lindede los años cansados, te divisolejana como el álgebra y la luna.” (De “El idioma alemán”, en El oro de los tigres, 1972, Borges Obras Completas, vol.  9, Sudamericana, p. 53) Búsqueda matemática “Sé que no lo sabré, pero  me esperanlos eventuales dones de la busca, no el fruto  sabiamente inalcanzable. Lo mismo sentirán quienes indaganlos astros o la serie de los números…” (De “A Islandia”, en El oro de los tigres, 1972, Borges Obras Completas, vol.  9, Sudamericana, p. 79) Bibliografía matemática (What is the Fourth Dimension? / A New Era of Thought, Charles Howard Hinton) “Años después me prestaría los tratados de Hinton, que quiere demostrar la realidad de una cuarta dimensión del espacio, que el lector puede intuir mediante complicados ejercicios con cubos de colores.” (De “There are more things”, en El libro de arena, 1975, Borges Obras Completas, vol.  9, Sudamericana, p. 136) Números transfinitos “[…] a explorar los números transfinitos y a emprender la atroz aventura que voy a referir.” (De “There are more things”, en El libro de arena, 1975, Borges Obras Completas, vol.  9, Sudamericana, p. 138) Las matemáticas (después de los cien años) “Cumplidos los cien años, el individuo puede prescindir del amor y de la amistad. Los males y la muerte involuntaria no lo amenazan. Ejerce alguna de las artes, la filosofía, las matemáticas o juega a un ajedrez solitario. Cuando quiere se mata. Dueño el hombre de su vida, lo es también de su muerte.” (De “Utopía de un hombre que está cansado”, en El libro de arena, 1975, Borges Obras Completas, vol.  9, Sudamericana, p. 174) El disco de Odín de un solo lado “Es el disco de Odín. Tiene un solo lado. En la tierra no hay otra cosa que tenga un solo lado.” (De “El disco”, en El libro de arena, 1975, Borges Obras Completas, vol.  9, Sudamericana, p. 195) Línea, plano, volumen “La línea consta de un número infinito de puntos; el plano, de un número infinito de líneas; el volumen, de un número infinito de planos; el hipervolumen, de un número infinito de volúmenes… No, decididamente no es éste, more geométrico, el mejor modo de iniciar mi relato.” (De “El libro de arena”, en El libro de arena, 1975, Borges Obras Completas, vol.  9, Sudamericana, p. 196) El libro de arena, sin primera página ni última “–No puede ser, pero es. El número de páginas de este libro es exactamente infinito. Ninguna es la primera; ninguna, la última. No sé por qué están numeradas de ese modo arbitrario. Acaso para dar a entender que los términos de una serie infinita admiten cualquier número.” (De “El libro de arena”, en El libro de arena, 1975, Borges Obras Completas, vol.  9, Sudamericana, p. 199) Círculo euclidiano y volumen de incalculables hojas ““El disco” es el círculo euclidiano, que admite solamente una cara; “El libro de arena”, un volumen de incalculables hojas.” (De “Epílogo”, en El libro de arena, 1975, Borges Obras Completas, vol.  9, Sudamericana, p. 204) Autorreferencia “En el libro está el Libro. Sin saberlo, la reina cuenta al rey la ya olvidada historia de los dos.” (De “Metáforas de “Las mil y una noches””, en Historia de la noche, 1977, Borges Obras Completas, vol.  10, Sudamericana, p. 66) Falacia del diccionario perfecto “Whitehead ha denunciado la falacia del diccionario perfecto: suponer que para cada cosa hay una palabra.” (De “Epílogo”, en Historia de la noche, 1977, Borges Obras Completas, vol.  10, Sudamericana, p. 108) Pesadilla euclidiana “Y la piedra es, curiosamente, la Geometría de Euclides, sin dejar de ser una piedra.” (De “La pesadilla”, en Siete noches, 1980, Borges Obras Completas, vol.  10, Sudamericana, p. 155) “Mil” e “infinito” “[…] En éste hay otra belleza. Creo que reside en el hecho de que para nosotros la palabra “mil” sea casi sinónima de “infinito”. Decir mil noches es decir infinitas noches, las muchas noches, las innumerables noches. Decir “mil y una noches” es agregar una al infinito. Recordemos una curiosa expresión inglesa. A veces, en vez de decir “para siempre”, for ever, se dice for ever and a day, “para siempre y un día”. Se agrega un día a la palabra “siempre”.”[…]   “Si hubiera puesto novecientas noventa y nueve noches, sentiríamos que falta una noche; en cambio, así, sentimos que nos dan algo infinito y que nos agregan todavía una yapa, una noche.” (De “Las mil y una noches”, en Siete noches, 1980, Borges Obras Completas, vol.  10, Sudamericana, pp. 161, 166) Infinito actual “El karma es una ley cruel, pero tiene una curiosa consecuencia matemática: si mi vida actual está determinada por mi vida anterior; esa vida anterior estuvo determinada por otra; y ésa, por otra, y así sin fin. Es decir: la letra z estuvo determinada por la y, la y por la x, la x por la v, la v por la u, salvo que ese alfabeto tiene fin pero no tiene principio. Los budistas y los hindúes, en general, creen en un infinito actual; creen que para llegar a este momento ha pasado ya un tiempo infinito, y al decir infinito no quiero decir indefinido, innumerable, quiero decir estrictamente infinito.” (De “El Budismo”, en Siete noches, 1980, Borges Obras Completas, vol.  10, Sudamericana, p. 189) Numerología y la Cábala “Es conocida la veneración supersticiosa con que se rodea al Quijote […] Pues bien; si a un cervantista se le ocurriera decir: el Quijote empieza con dos palabras monosilábicas terminadas en n (en y un), y sigue con una de cinco letras (lugar), con dos de dos letras (de la), con una de cinco o de seis (Mancha) y luego se le ocurriera derivar conclusiones de eso, inmediatamente se pensaría que está loco. La Biblia ha sido estudiada de este modo. […] El curioso modus operandi de los cabalistas está basado en una premisa lógica: la idea de que la Escritura es un texto absoluto, y en un texto absoluto nada puede ser obra del azar.” (De “La Cábala”, en Siete noches, 1980, Borges Obras Completas, vol.  10, Sudamericana, pp. 222, 224) Confirmación ternaria “Aquí aparece el número tres, que cierra las cosas. Dos es una mera coincidencia; tres, una confirmación. Una confirmación de orden ternario, una confirmación divina o teológica.” (De “La ceguera”, en Siete noches, 1980, Borges Obras Completas, vol. 10, Sudamericana, p. 238) El idioma del álgebra “Y ese otro idioma, el álgebra.” (De “Ronda”, en La cifra, 1981, Borges Obras Completas, vol.  11, Sudamericana, p. 13) Punto, línea, plano, volumen “He soñado la geometría.He soñado el punto, la línea, el plano y el volumen.” (De “Descartes”, en La cifra, 1981, Borges Obras Completas, vol.  11, Sudamericana, p. 15) Pitágoras y el tiempo como círculo “Pitágoras revela a sus griegosQue la forma del tiempo es la del círculo.” (De “Himno”, en La cifra, 1981, Borges Obras Completas, vol.  11, Sudamericana, p. 32) Principio de una serie infinita “[…] no hay un solo hecho que no pueda ser el primero de una serie infinita.” (De “El tercer hombre”, en La cifra, 1981, Borges Obras Completas, vol.  11, Sudamericana, p. 48) Formas geométricas “el ilusorio punto de los geómetras, la línea, el plano, el cubo, la pirámide, el cilindro, la esfera, el mar, las olas” (De “El sueño”, en La cifra, 1981, Borges Obras Completas, vol.  11, Sudamericana, p. 54) Los conjuntos infinitos de Cantor “He divisado, desde las páginas de Russell, la doctrina de los conjuntos, la Mengenlehre, que postula y explora los vastos números que no alcanzaría un hombre inmortal aunque agotara sus eternidades contando, y cuyas dinastías imaginarias tienen como cifras las letras del alfabeto hebreo. En ese delicado laberinto no me fue dado penetrar.” (De “Nihon”, en La cifra, 1981, Borges Obras Completas, vol.  11, Sudamericana, p. 75) Tres más uno “Quien ha entendido que tres y uno son cuatro no hace la prueba con monedas, con dados, con piezas de ajedrez o con lápices. Lo entiende y basta. No puede concebir otra cifra. Hay matemáticos que afirman que tres y uno es una tautología de cuatro, una manera diferente de decir cuatro. A mí, Alexander Craigie, me había tocado en suerte descubrir entre todos los hombres de la tierra, los únicos objetos que contradicen esa ley esencial de la mente humana.” (De “Tigres azules”, en La memoria de Shakespeare, 1983, Borges Obras Completas, vol.  11, Sudamericana, p. 159) Las piedras que engendran “El mismo anhelo de orden que en el principio creó las matemáticas hizo que yo buscara un orden en esa aberración de las matemáticas que son las insensatas piedras que engendran. En sus imprevisibles variaciones quise hallar una ley. Consagré los días y las noches a fijar una estadística de los cambios. Mi procedimiento era éste. Contaba con los ojos las piezas y anotaba la cifra. Luego las dividía en dos puñados que arrojaba sobre la mesa. Contaba las dos cifras, las anotaba y repetía la operación. Inútil fue la búsqueda de un orden, de un dibujo secreto en las rotaciones. El máximo de piezas que conté fue 419; el mínimo, tres. Hubo un momento que esperé, o temí, que desaparecieran. A poco de ensayar comprobé que un disco aislado de los otros no podía multiplicarse o desaparecer.   Naturalmente, las cuatro operaciones de sumar, restar, multiplicar o dividir, eran imposibles. Las piedras se negaban a la aritmética y al cálculo de probabilidades. Cuarenta discos, podían, divididos, dar nueve; los nueve, divididos a su vez, podían ser trescientos.” (De “Tigres azules”, en La memoria de Shakespeare, 1983, Borges Obras Completas, vol.  11, Sudamericana, p. 161) Cálculo: origen y fin de las matemáticas “Al manejar las piedras que destruyen la ciencia matemática, pensé más de una vez en aquellas piedras del griego que fueron los primeros guarismos y que han legado a tantos idiomas la palabra "cálculo". Las matemáticas, me dije, tienen su origen y ahora su fin en las piedras. Si Pitágoras hubiera operado con éstas... (De “Tigres azules”, en La memoria de Shakespeare, 1983, Borges Obras Completas, vol.  11, Sudamericana, p. 162) Cubo, pirámide, esfera “Otras cosas le dieron y sus nombres: el cubo, la pirámide, la esfera, la innumerable arena, la madera y un cuerpo para andar entre los hombres.” (De “Los dones”, en Atlas, 1984, Borges Obras Completas, vol.  11, Sudamericana, p. 195) Formas puras de la geometría euclidiana “En aquel momento, lo sé, recobré el goce elemental que sentí cuando me fueron reveladas las formas puras de la geometría euclidiana: el cilindro, el cubo, la esfera, la pirámide.” (De “Hote Esja, Reikiavik”, en Atlas, 1984, Borges Obras Completas, vol.  11, Sudamericana, p. 223) Computadoras y los redondeles de Lulio “La ciencia experimental que Francis Bacon profetizó nos ha dado ahora la cibernética, que ha permitido que los hombres pisen la luna y cuyas computadoras son, si la frase es lícita, tardías hermanas de los ambiciosos redondeles de Lulio.” (De “Ars Magna”, en Atlas, 1984, Borges Obras Completas, vol.  11, Sudamericana, p. 233) Números transfinitos “He soñado los números transfinitos, a los que no se llega contando.” (De “Alguien sueña”, en Los Conjurados, 1985, Borges Obras Completas, vol.  11, Sudamericana, p. 271) Bibliografía matemática (Symbolic Logic, C. L. Dodgson) “En el capítulo segundo de su Symbolic Logic (1892), C. L. Dodgson, cuyo nombre perdurable es Lewis Carroll, escribió que le universo consta de cosas que pueden ordenarse por clases y que una de éstas es la clase de cosas imposibles.” (De “Lewis Carroll. Obras completas”, en Prólogos, con un prólogo de prólogos, 1975, Borges Obras Completas, vol.  12, Sudamericana, p. 149) Cuarta dimensión y teología “Rasgo curioso que sugiere la cuarta dimensión, que Henry Moore ya había prefigurado: los ángeles, en cualquier sitio que estén, siempre miran de frente al Señor.” (De “Emanuel Swedenborg. Mystical Works”, en Prólogos, con un prólogo de prólogos, 1975, Borges Obras Completas, vol.  12, Sudamericana, pp. 220-221) Narrar y enumerar: la misma raíz “En todos los idiomas que conozco usan el mismo verbo, o verbos de la misma raíz, para los actos de narrar y de enumerar; esta identidad nos recuerda que ambos procesos ocurren en el tiempo y que sus partes son sucesivas.” (De “María Esther Vázquez. Los nombres de la muerte”, en Prólogos, con un prólogo de prólogos, 1975, Borges Obras Completas, vol.  12, Sudamericana, p. 233) Los conjuntos infinitos de Cantor “Bertrand Russell lo explica así: hay números finitos (la serie natural de los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 y así infinitamente). Pero luego consideramos otra serie, y esa otra serie tendrá exactamente la mitad de la extensión de la primera. Está hecha de todos los números pares. Así, al 1 le corresponde el 2, al 2 corresponde el 4, al 3 corresponde el 6… Y luego tomemos otra serie. Vamos a elegir una cifra cualquiera. Por ejemplo, 365. Al 1 corresponde el 365, al 2 corresponde el 365 multiplicado por sí mismo, al 3 corresponde el 365 multiplicado a la tercera potencia. Tenemos así varias series de números que son todos infinitos. Es decir, en los números transfinitos las partes no son menos numerosas que el todo. Creo que esto ha sido aceptado por los matemáticos. Pero no sé hasta dónde nuestra imaginación puede aceptarlo.” (De “El tiempo”, en Borges, oral, 1979, Borges Obras Completas, vol.  12, Sudamericana, p. 313) Teología y geometría “Otra de las tesis decía: “Que el teólogo no puede estudiar sin peligro las propiedades de las líneas y las figuras”. Una versión arábiga de los Elementos, de Euclides, y una ejemplar de la Geometría, de Leonardo de Pisa, prueban que él mismo había afrontado, siquiera momentáneamente, ese riesgo.” (De “The Library of Pico Della Mirandola, de Pearl Kibbe”, en Textos cautivos, 1986, Borges Obras Completas, vol.  13, Sudamericana, p. 57) Un argumento matemático “El narrador, ahí, no se limita a decirnos que es matemático: nos presenta ese mundo y nos hace intimar con sus fatigas y con sus inmaculadas victorias... El suicidio de un hermano menor restituye a Hieck a la «realidad», a un orbe equilibrado, en el que conviven todas las facultades del hombre. […]Sospecho, sin embargo, que me habría gustado mucho más el argumento inverso: el que mostrara la invasión progresiva del mundo cotidiano por el mundo platónico de los símbolos.” (De “Die Unbekannte Groesse, de Hermann Broch”, en Textos cautivos, 1986, Borges Obras Completas, vol.  13, Sudamericana, pp. 90-91) La máquina de pensar “Quiero que mis lectores alcancen bien toda la magnitud de ese etcétera. Abarca, por lo pronto, un número de combinaciones muy superior a las que puede registrar esta página. El hecho de que sean del todo vanas –de que, para nosotros, decir que la gloria es eterna es tan estrictamente nulo como decir que la eternidad es gloriosa- es de un interés secundario. Ese diagrama inmóvil, con sus nueve mayúsculas repartidas en nueve cámaras y atadas por una estrella y unos polígonos, es ya una máquina de pensar.” (De “La máquina de pensar de Raimundo Lulio”, en Textos cautivos, 1986, Borges Obras Completas, vol.  13, Sudamericana, p. 194) Tesis de Dunne “[…] es la curiosa tesis de Dunne, que atribuye a cada hombre, en cada instante de su vida, un número infinito de porvenires, todos previsibles y todos reales.” (De “H. R. Lenormand”, en Textos cautivos, 1986, Borges Obras Completas, vol.  13, Sudamericana, p. 212) La carrera de Aquiles y la tortuga “Así Zenón de Elea, inventor de la carrera perpetua de Aquiles y la tortuga. (Es común enunciarla de este modo: Aquiles, símbolo de rapidez, no puede alcanzar a la tortuga, símbolo de morosidad. Aquiles corre diez veces más ligero que la tortuga y le da diez metros de ventaja. Aquiles corre esos diez metros, la tortuga corre uno; Aquiles corre ese metro, la tortuga corre un decímetro: Aquiles corre ese decímetro, la tortuga corre un centímetro; Aquiles corre ese centímetro, la tortuga un milímetro, Aquiles el milímetro, la tortuga un décimo de milímetro, y así infinitamente, sin alcanzarla…” (De “Die Vorsokratiker, de Wilhelm Capelle”, en Textos cautivos, 1986, Borges Obras Completas, vol.  14, Sudamericana, p. 262) Bibliografía matemática (Men of Mathematics, E. T. Bell) Orden cronológico vs orden lógico. Sistemas de numeración “La historia de las matemáticas (y no otra cosa viene a ser este libro, aunque no lo quiera su autor) adolece de un defecto insalvable: el orden cronológico de los hechos no corresponde al orden lógico, natural. La buena definición de los elementos es en muchos casos lo último, la práctica precede a la teoría, la impulsiva labor de los precursores es menos comprensible por el profano que la de los modernos. Yo –verbigracia- sé de muchas verdades matemáticas que Diofanto de Alejandría no sospechó, pero no sé bastantes matemáticas para estimar la obra de Diofanto de Alejandría. […] (Es raro que este libro, tan abundante de noticias curiosas, no hable del sistema binario de numeración que los diagramas de una obra china –el I King- sugirieron a Leibniz. En el sistema decimal diez símbolos bastan para representar cualquier cantidad; en el binario, dos: el uno y el cero. La base no es la decena, es el par. Uno, dos, tres, cuatro, cinco, seir, siete, ocho y nueve se escriben: 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000 y 1001. Según el convenio de este sistema, agregar un cero a una cantidad es multiplicarla por dos: tres se escribe 11; seis –que es el doble-, 110; doce –que es el cuádruple-, 1100.)” (De “Men of Mathematics, de E. T. Bell”, en Textos cautivos, 1986, Borges Obras Completas, vol.  14, Sudamericana, pp. 283-285) Bibliografía matemática (Relativity and Robinson, C. W. W.) Las cuatro dimensiones “[…] plotiniano inglés Henry More. […] Los partidarios de una geometría tetradimensional suelen argumentar de este modo: si el punto que se traslada engendra una línea, y la línea que se traslada engendra una superficie, y la superficie que se traslada engendra un volumen, ¿por qué no engendrará el volumen que se traslada una figura inconcebible de cuatro dimensiones?” (De “Un resumen de las doctrinas de Einstein”, en Textos cautivos, 1986, Borges Obras Completas, vol.  14, Sudamericana, p. 316) Lenguajes artificiales y Peano “Este divertido volumen finge ser una vindicación general de los idiomas artificiales y una vindicación particular de la “interlingua” o latín simplificado de Peano.” (De “Delphos, or the Future of International Language, de E. S. Pankhurst”, en Textos cautivos, 1986, Borges Obras Completas, vol.  14, Sudamericana, p. 354) Bibliografía matemática (Modes of Thought, de A. N. Whitehead) Falacia del diccionario perfecto [Cita de Chesterton]: “El hombre sabe que hay en el alma tintes más desconcertantes, más innumerables y más anónimos que los colores de una selva otoñal… Cree, sin embargo, que esos tintes, en todas sus fusiones y conversiones, son representables con precisión por un mecanismo arbitrario de gruñidos y de chillidos. Cree que del interior de una bolsita salen realmente ruidos que significan todos los misterios de la memoria y todas las agonías del anhelo”. (De “Modes of Thought, de A. N. Whitehead”, en Textos cautivos, 1986, Borges Obras Completas, vol.  14, Sudamericana, pp. 360-361) El concepto de infinito (mapa de Royce) “Debo mi primera noción del problema del infinito a una gran lata de bizcochos que dio misterio y vértigo a mi niñez. En el costado de ese objeto anormal había una escena japonesa; no recuerdo los niños o guerreros que la formaban, pero sí que en un ángulo de esa imagen la misma lata de bizcochos reaparecía con la misma figura y en ella la misma figura, y así (a lo menos, en potencia) infinitamente…” (De “Cuando la ficción vive en la ficción”, en Textos cautivos, 1986, Borges Obras Completas, vol.  14, Sudamericana, p. 377) El concepto de infinito (mapa de Royce) “Catorce o quince años después, hacia 1921, descubrí en una de las obras de Russell una invención análoga de Josiah Royce. Éste supone un mapa de Inglaterra, dibujado en una porción del suelo de Inglaterra: ese mapa –a fuer de puntual- debe contener un mapa del mapa, y así hasta lo infinito…” (De “Cuando la ficción vive en la ficción”, en Textos Cautivos (Segunda parte), 1986, Borges Obras Completas, vol. 14, Sudamericana, p. 377) Autorreferencia “Antes, en el Museo del Prado, vi el conocido cuadro velazqueño de Las meninas: en el fondo aparece el propio Velázquez, ejecutando los retratos unidos de Felipe IV y de su mujer, que están fuera del lienzo pero a quienes repite un espejo.” (De “Cuando la ficción vive en la ficción”, en Textos Cautivos (Segunda parte), 1986, Borges Obras Completas, vol. 14, Sudamericana, p. 377) Bibliografía matemática (Mathematics and the Imagination, Edward Kasner y James Newman) Matemáticas como tautología. Imaginación y matemática. Línea, plano, volumen “Las matemáticas no son una ciencia empírica. Intuitivamente sabemos que tres y cuatro son siete, y no necesitamos hacer la prueba con martillos, con piezas de ajedrez o con naipes. […] Russell escribe que las vastas matemáticas son una vasta tautología y que decir tres y cuatro no es otra cosa que una manera de decir siete. Sea lo que fuere, la imaginación y las matemáticas no se contraponen; se complementan como la cerradura y la llave. Como la música, las matemáticas pueden prescindir del universo, cuyo ámbito comprenden y cuyas ocultas leyes exploran. La línea, por breve que sea, consta de un número infinito de puntos; el plano, por breve que sea, de un número infinito de líneas; el volumen, de un número infinito de planos. La geometría tetradimensional ha estudiado la condición de los hipervolúmenes. La hiperesfera consta de un número infinito de esferas; el hipercubo, de un número  infinito de cubos. No se sabe si existen, pero se conocen sus leyes.” (De “Edward Kasner & James Newman. Matemáticas e imaginación”, en Biblioteca personal. Prólogos, 1988, Borges Obras Completas, vol.  15, Sudamericana, pp. 39-40) Cinta de Möbius Por ejemplo, las islas topológicas del octavo capítulo; por ejemplo, la tira de Möbius, que cualquiera puede construir con una hoja de papel y con una tijera y que es una increíble superficie de un solo lado. (De “Edward Kasner & James Newman. Matemáticas e imaginación”, en Biblioteca personal. Prólogos, 1988, Borges Obras Completas, vol.  15, Sudamericana, p. 40) Falacia del diccionario perfecto “Incurrió en lo que Whitehead llamaría la falacia del diccionario perfecto; creyó que para cada cosa de este intrincado mundo preexistente una palabra justa, le mot juste, u que el deber del escritor es acertar con ella.” (De “Gustave Flaubert. Las tentaciones de San Antonio”, en Biblioteca personal. Prólogos, 1988, Borges Obras Completas, vol.  15, Sudamericana, p. 68) “Mil” e “infinito” “En algún manuscrito se habla de mil, pero mil es un número indefinido, sinónimo de muchos, y mil y uno es un número infinito, infinito y preciso. Se conjetura que la adición se debe a un supersticioso temor de las cifras pares; más vale creer que fue un hallazgo de orden estético.” (De “Las mil y una noches”, en Biblioteca personal. Prólogos, 1988, Borges Obras Completas, vol.  15, Sudamericana, p. 105) Estadística personal de sueños “Su mente matemática y lógica era adversa a todo lo místico. Arribó a su extraña teoría mediante una estadística personal de los sueños de cada noche. La expuso y defendió en tres volúmenes, que provocaron clamorosas polémicas. […] Dunne nos propone una infinita serie de tiempos que fluyen cada uno en el otro. Nos asegura que después de la muerte aprenderemos el manejo feliz de la eternidad. Recobraremos todos los instantes de nuestra vida y los combinaremos como nos plazca.” (De “J. W. Dunne. Un experimento con el tiempo”, en Biblioteca personal. Prólogos, 1988, Borges Obras Completas, vol.  15, Sudamericana, pp. 140-141) Metáfora matemática (para un pueblo) “Ante la hipnosis rectilínea del caserío y curvilínea del camino y los montes, Sureda y yo somos las dos pirámides del pueblo. Culminante sobre la democracia geométrica y encarrilada.” (De “Aldea”, en Textos recobrados 1919-1929, Borges Obras Completas, vol.  16, Sudamericana, p. 129) Metáfora matemática (para la estética de Ultra) “Sólo hay pues, dos estéticas: estética pasiva de los espejos y la estética activa de los prismas. (De “Anatomía de mi “Ultra””, en Textos recobrados 1919-1929, Borges Obras Completas, vol.  16, Sudamericana, p. 143) Metáfora matemática (para la metáfora) “La metáfora: esa curva verbal que traza casi siempre entre dos puntos –espirituales- el camino más breve.” (De “Anatomía de mi “Ultra””, en Textos recobrados 1919-1929, Borges Obras Completas, vol.  16, Sudamericana, p. 143) Metáfora matemática (para los contrarios en literatura) “En álgebra, el signo más y el signo menos se excluyen; en literatura, los contrarios se hermanan e imponen a la conciencia una sensación mixta; pero no menos verdadera que las demás.” (De “La metáfora”, en Textos recobrados 1919-1929, Borges Obras Completas, vol.  16, Sudamericana, p. 177) Metáfora matemática (para Don Segundo Sombra) “Y el retiro del viejo lobo (impecable y gentleman Güiraldes) que seguro de no atesorar más rolidos, se sienta en los muelles a trenzar con su pipa la epopeya de su Segundo Sombra, abrió un paso a la angustia, dislocando el triángulo pitagórico, cuyo nuevo lado debía medir equivalentes auroras.” (De “Proa”, en Textos recobrados 1919-1929, Borges Obras Completas, vol.  16, Sudamericana, pp. 314-315) Metáfora matemática (jocosa) “Los logaritmos muy agropecuarios, Que esgrimió la algebraica tiple hirsuta.” (De “Soneto híbrido con envión plural”, en Textos recobrados 1919-1929, Borges Obras Completas, vol.  17, Sudamericana, p. 357) Metáfora matemática (diferencia entre el chiste y el retruécano) “El chiste es pensamiento; el retruécano es migaja aprovechada por la distracción del que no escucha las ideas sino las sílabas. Atañe a los signos y apariencias del discurrir; no a su intimidad: es como si ante una operación matemática alguien advirtiese que el nueve es la inversión del seis y derivase argumentos de esa minucia para rechazarla.” (De “Quevedo humorista”, en Textos recobrados 1919-1929, Borges Obras Completas, vol.  17, Sudamericana, p. 419) Metáfora matemática (lenguaje natural y lenguaje matemático) “Si las matemáticas (sistema especializado de pocos signos, fundado y gobernado con asiduidad por la inteligencia) entrañan incomprensibilidades y son objeto permanente de discusión ¿cuántas no obscurecerán el idioma, colecticio tropel de miles de símbolos, manejado casi al azar?” (De “Gongorismo”, en Textos recobrados 1919-1929, Borges Obras Completas, vol.  17, Sudamericana, p. 484) Metáfora matemática (ironía) “Pertenece a la época prenatal de la conciencia poética y su verdadero signo no es uno: es menos uno.” (De “La carcajada  del sol, Buenos Aires”, en Textos recobrados 1919-1929, Borges Obras Completas, vol.  17, Sudamericana, p. 522) Metáfora matemática (adición de personalidades) “Ya he señalado que en el habitualísimo caso Quisiera ser Alvear, B no quiere ser N; quiere ser B + N o B multiplicado por N. En el de la espectadora de Joan, B quiere dejar de ser B y ser del todo N: pero esa previa obliteración o suicidio lo desaparece de modo que no queda nada de B y que su incorporación a N, o rápido consumo por N, es impracticable.” (De “El querer ser otro”, en Textos recobrados 1931-1955, Borges Obras Completas, vol.  18, Sudamericana, p. 40) Cuarta dimensión “Hacia 1670, el plotiniano inglés Henry More usó la frase cuarta dimensión, acaso por primera vez en el mundo. […] Helmholtz, el matemático, dedicó una serie de monografías a la cuestión. Riemann partió del quinto postulado de Euclides y dio con ella. Después la repensaron Whitehead y Einstein, Howard Hinton y Uspenski.” (De “La cuarta dimensión”, en Textos recobrados 1931-1955, Borges Obras Completas, vol.  18, Sudamericana, p. 119) Elementos de geometría, de Euclides “En la mano tiene dos libros: uno, los “Elementos de Geometría”, de Euclides; otro, que es un libro y no lo es, porque también semeja un caracol, y es ambas y ninguna de las dos cosas. El árabe le advierte que se lo ponga al oído; Wordworth obedece, y oye una voz en un lenguaje extraño pero indudable que profetiza la aniquilación inmediata del mundo por obra de un diluvio. Gravemente, el árabe corrobora que así es y que su divina misión es la de enterrar esos libros: el primero, “que mantiene amistad con las estrellas, no molestado por el espacio y el tiempo”, y el otro, “que es un dios, muchos dioses”. Se trata, en suma, de rescatar de la ruina general de la humanidad la poesía y las matemáticas.” (De “Las pesadillas y Franz Kafka”, en Textos recobrados 1931-1955, Borges Obras Completas, vol.  18, Sudamericana, pp. 139-140) Permutaciones (y el Eterno Retorno) “Escribe Hume, al promediar el siglo XVIII: “No imaginemos la materia infinita, como lo hizo Epicuro; imaginémosla finita. Un número finito de partículas no es susceptible de infinitas transposiciones: en una duración eterna, todos los órdenes y colocaciones posibles ocurrirán un número infinito de veces. Este mundo, con todos sus detalles, hasta los más minúsculos, ha sido elaborado y aniquilado, y será elaborado y aniquilado: infinitamente”. (Dialogues concerning natural religion, VIII).” (De “El propósito de “Zarathustra””, en Textos recobrados 1931-1955, Borges Obras Completas, vol.  18, Sudamericana, pp. 268-269) La fórmula de Laplace “[…] el marqués de Laplace, hacia 1814, juega con el proyecto de cifrar en una sola fórmula matemática todos los hechos que componen un instante del mundo, para luego extraer de esa fórmula todo el porvenir y todo el pasado…” (De “Pragmatismo”, en Textos recobrados 1931-1955, Borges Obras Completas, vol.  18, Sudamericana, p. 277) Metáfora matemática (La divina comedia) “Como el lenguaje de Shakespeare, como el álgebra o como nuestro propio pasado, la Divina Comedia es una ciudad que nunca habremos explorado del todo; el más gastado y repetido de los tercetos puede, una tarde, revelarme quién soy o qué cosa es el universo.” (De “Mi primer encuentro con Dante”, en Textos recobrados 1956-1986, Borges Obras Completas, vol.  19, Sudamericana, p. 92) Sistemas de numeración (duodecimal) “Recuerdo que en Cambridge, estuve explicándole a mi mujer el sistema duodecimal y recuerdo la conversación que yo tuve con Xul cuando llegamos a la conclusión de que sería muy fácil modificar los signos, es decir, agregar dos signos más, de suerte que “uno-cero” significara doce, y “uno-cero-cero”, doce por doce, ciento cuarenta y cuatro. Pero llegamos a la convicción de que sería difícil que los hombres aceptaran esa innovación, porque para eso tendrían que modificar también el lenguaje oral, es decir, tendrían que llamar “cien” a ciento cuarenta y cuatro, y así a los demás.” (De “Homenaje a Xul Solar”, en Textos recobrados 1956-1986, Borges Obras Completas, vol.  19, Sudamericana, pp. 174-175) La flecha de Zenón de Elea “Casi análogamente, Zenón de Elea razonó que la flecha no puede llegar a la meta, porque está inmóvil en cada instante de su camino y el espacio que ocupa no excede nunca el de su longitud. Subdividido así su vuelo, es indiscutible que una serie de inmovilidades, por numerosa o infinita que sea, no es un movimiento. Bajo formas distintas, el problema ha atareado hermosamente a las generaciones humanas; básteme recordar las polémicas de Russell y de James.” (De “El arte de Susana Bombal”, en Textos recobrados 1956-1986, Borges Obras Completas, vol.  19, Sudamericana, p. 208) Álgebra (línea de un poema) “El ajedrez y el álgebra, que no sé.” (De “Lo nuestro”, en Textos recobrados 1956-1986, Borges Obras Completas, vol.  19, Sudamericana, p. 295) Metáfora matemática (lenguaje matemático vs lenguaje del arte) “A diferencia del lenguaje filosófico o matemático, el lenguaje del arte es indirecto: sus instrumentos esenciales y más precisos son la alusión y la metáfora, no la declaración explícita.” (De “Pornografía y censura”, en Textos recobrados 1956-1986, Borges Obras Completas, vol.  19, Sudamericana, p. 318) Cálculo infinitesimal “-Lamentablemente desconozco el hebreo; también he estudiado otros asuntos: cálculo infinitesimal, por ejemplo; pero lo que me ha atraído siempre son las metáforas, las mejores metáforas, sean de quien sean, no tienen explicación. Son mágicas.” (De “Borges secreto”, en Textos recobrados 1956-1986, Borges Obras Completas, vol.  19, Sudamericana, p. 456) La biblioteca total “Sus conexiones son ilustres y múltiples: está relacionada con el atomismo y con el análisis combinatorio, con la tipografía y con el azar.” (De “La Biblioteca Total”, en Borges en Sur (1931-1980), Borges Obras Completas, vol.  20, Sudamericana, p. 29) Cosmogonía de Leucipo “[…] la formación del mundo por la fortuita conjunción de los átomos. El escritor observa que los átomos que esa conjetura requiere son homogéneos y que sus diferencias proceden de la posición, del orden o de la forma. Para ilustrar esas distinciones añade: A difiere de N por la forma, AN de NA por el orden, Z de N por la posición.” (De “La Biblioteca Total”, en Borges en Sur (1931-1980), Borges Obras Completas, vol.  20, Sudamericana, p. 30) Azar y significación [Cita de Marco Tulio Cicerón, en De la naturaleza de los dioses]: “El que juzga posible esto, también podrá creer que si se arrojan a bulto innumerables caracteres de oro, con las veintiuna letras del alfabeto, pueden resultar estampados los Anales de Ennio. Ignoro si la casualidad podrá hacer que se lea un solo verso.” (De “La Biblioteca Total”, en Borges en Sur (1931-1980), Borges Obras Completas, vol.  20, Sudamericana, p. 30) Azar y los monos de Huxley “[…] Huxley (que es uno de esos hombres) no dice que los “caracteres de oro” acabarán por componer un verso latino, si los arrojan un número suficiente de veces; dice que media docena de monos, provistos de máquinas de escribir, producirán en una cuantas eternidades todos los libros que contiene el British Museum. [Nota al pie] Bastaría en rigor, con un solo mono inmortal" (De “La Biblioteca Total”, en Borges en Sur (1931-1980), Borges Obras Completas, vol.  20, Sudamericana, p. 31) Sistemas de numeración (y variaciones con repetición) “Pueden eliminarse los algoritmos del sistema decimal de numeración o reducirse a dos como en la notación binaria de Leibniz. […] A fuerza de simplificaciones análogas, llega Kurd Lasswitz a veinticinco números suficientes (veintidós letras, el espacio, el punto, la coma) cuyas variaciones con repetición abarcan todo lo que es dable expresar: en todas las lenguas. (De “La Biblioteca Total”, en Borges en Sur (1931-1980), Borges Obras Completas, vol.  20, Sudamericana, p. 32) Teorema de Fermat “Todo estará en sus ciegos volúmenes. […] la demostración del teorema de Pierre Fermat” (De “La Biblioteca Total”, en Borges en Sur (1931-1980), Borges Obras Completas, vol.  20, Sudamericana, p. 32) Números transfinitos “[…] los anormales números transfinitos (donde la parte no es menos copiosa que el todo)” (De “La Biblioteca Total”, en Borges en Sur (1931-1980), Borges Obras Completas, vol.  20, Sudamericana, p. 33) La navaja de Occam “[…] el principio taxativo de Occam: No hay que multiplicar en vano las entidades.” (De “Sobre la descripción literaria”, en Borges en Sur (1931-1980), Borges Obras Completas, vol.  20, Sudamericana, pp. 209-210) Metáfora matemática (interpretación económica de la literatura) “La interpretación económica de la literatura (y de la física) no es menos vana que una interpretación heráldica del marxismo o culinaria de las ecuaciones cuadráticas o metalúrgicas de la fiebre palúdica.” (De “A short history of culture, Victor Gollancz”, en Borges en Sur (1931-1980), Borges Obras Completas, vol.  20, Sudamericana, p. 254) Bibliografía matemática (Duodecimal arithmetic, George Skelton Terry) Sistemas de numeración “Teóricamente, el numero de sistemas de numeración es ilimitado. El más complejo (ad usum deorum vel Dei) registraría un número infinito de símbolos, uno para cada número entero; el más simple sólo requiere dos. Cero se escribe 0, uno 1, dos 10, tres 11, cuatro 100, cinco 101, seis 110, siete 111, ocho 1000…” (De “Duodecimal arithmetic, Longmans”, en Borges en Sur (1931-1980), Borges Obras Completas, vol.  20, Sudamericana, p. 261) Bibliografía matemática (Mathematics, A. N. Whitehead y Introduction to mathematical philosophy, Bertrand Russell) “En la página 453, Stapledon informa que el libro Mathematics de Whitehead es más legible que la Introduction to mathematical philosophy de Russell. Yo he leído el segundo dos o tres veces y no he logrado superar los primeros capítulos del primero.” (De Philosophy and living, Olaf Stapeldon, Penguin Books, en Borges en Sur (1931-1980), Borges Obras Completas, vol.  20, Sudamericana, pp. 272-273) El concepto de infinito “Platón, en el Parménides, arguye que la existencia de la unidad comporta la existencia del infinito; porque si lo que existe, lo uno participa del ser; por consiguiente, hay dos partes en él, que son el ser y uno, pero cada una de esas partes es una y es, de suerte que se desdobla en otras dos, que también se desdoblan en otras dos: infinitamente. […] la unidad cósmica y la declaración de esa unidad ya son dos cosas; esas dos y la declaración de su dualidad ya son tres; esas tres y la declaración de su trinidad ya son cuatro, y así infinitamente… Otra coincidencia notoria es la de Zenón de Elea, y Hui Tzu. Aquél, en alguna de sus paradojas, dice que no es posible llegar al punto final de una pista, pues antes hay que atravesar un punto intermedio, y antes otro punto intermedio, y antes otro punto intermedio; Hui Tzu razona que una vara, de la que cortan la mitad cada día, es interminable.” (De “Three ways of thought in ancient China, Allen and Unwin”, en Borges en Sur (1931-1980), Borges Obras Completas, vol.  20, Sudamericana, p. 289) La fórmula de Laplace “Cualquier momento de la historia del universe (cf. La imaginaria fórmula de Laplace) es el resultado fatal de todos los momentos anteriores, que son virtualmente infinitos.” (De “Canto a mí mismo, Traducido por León Felipe. Editorial Losada, Buenos Aires, 1941”, en Borges en Sur (1931-1980), Borges Obras Completas, vol.  20, Sudamericana, p. 300) La fórmula de Laplace “Los deterministas razonan que cualquier momento de la historia del universo (cf. La imaginaria fórmula de Laplace, cf. el tercer libro de la Lógica de Stuart Mill) es el resultado fatal de todos los momentos anteriores, que son virtualmente infinitos.” (De “Observación final”, en Borges en Sur (1931-1980), Borges Obras Completas, vol.  20, Sudamericana, p. 308) El número tres “De modo que parece algo misterioso, parece que es muy peligroso ser Director de la Bibliioteca, porque uno corre el albur último de ser ciego, pero como yo soy el tercero, quizá sea el último. El número tres tiene una significación.” (De “Homenaje a Victoria Ocampo”, en Borges en Sur (1931-1980), Borges Obras Completas, vol.  20, Sudamericana, p. 404) Otras citas matemáticas en obras compartidas: La esfera “La esfera es el más uniforme de los cuerpos sólidos, ya que todos los puntos de la superficie equidistan del centro. Por eso y por su facultad de girar alrededor del eje sin cambiar de lugar y sin exceder sus límites, Platón (Timeo, 33) aprobó la decisión del Demiurgo, que dio forma esférica al mundo.” (En Manual de zoología fantástica, Jorge Luis Borges y Margarita Guerrero, 1957, Fondo de Cultura Económica de México)

Lunes, 09 de Enero de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

172. 43. (Junio 2009) GÖDEL (para La Nación)

Artículo de Guillermo Martínez, publicado recientemente en La Nación. Hay un blog www.godelparatodos.blogspot.com dedicado a reflexionar sobre el libro, incluir bibliografía on line y otras lecturas recomendadas, material gráfico, entrevistas,… El teorema de incompletitud de Gödel es uno de los resultados más profundos y paradójicos de la lógica matemática. Es también, quizá, el teorema que ha ejercido más fascinación en ámbitos alejados de las ciencias exactas. Autores como Lacan, Kristeva, Deleuze, Lyotard, Debray, y muchos otros han invocado a Gödel y sus teoremas en arriesgadas analogías. Junto con otras palabras mágicas de la escena posmoderna como “caos”, “indeterminación”, “aleatoriedad”, el fenómeno de incompletitud se ha asociado también a supuestas derrotas de la razón y al fin de la certidumbre en el terreno más exclusivo del pensamiento: el reino de las fórmulas exactas. Pero qué dice (y qué no dice) el teorema de Gödel El teorema de Gödel trata de la distancia, y la diferencia, entre la verdad en matemática y la parte de verdad que puede demostrarse a partir de axiomas, en esos textos con fórmulas y pasos lógicos encadenados que los matemáticos llaman demostración. En otras disciplinas es claro que lo verdadero no necesariamente coincide con lo demostrable. Basta pensar en un crimen en un cuarto cerrado con dos únicos sospechosos junto al cadáver.  Cada uno de estos dos sospechosos sabe toda la verdad sobre el crimen, que puede resumirse en la frase “Yo fui” o “Yo no fui”. Sin embargo, si el juez no dispone de la confesión directa del culpable, debe intentar un camino indirecto: recolección de evidencias materiales, verificación de horarios y coartadas, etcétera. Fig. 1 La cuestión de lo demostrable empieza cuando los dos dicen “Yo no fui”. Muchas veces este camino indirecto no alcanza a demostrar, de acuerdo con los estrictos requisitos legales, ni la culpabilidad de uno ni la inocencia del otro. También en la arqueología hay una obvia distancia entre la verdad (las costumbres y rituales de una civilización extinguida tal como fueron) y la parte de verdad que puede ser reconstruida a partir de hallazgos en las excavaciones. Sin embargo, en su disciplina, los matemáticos siempre pensaron -por lo menos hasta el siglo XIX- que los mundos de lo verdadero y lo demostrable eran identificables, y que cualquiera fuera la verdad que pudieran observar en el cielo platónico de los objetos matemáticos (cierto orden, ciertas conexiones, cierto patrón de regularidad), esa verdad podría reobtenerse “por escrito” mediante el método axiomático, como tesis de una demostración. A principios del siglo XX hubo una crisis en los fundamentos de la matemática, a partir de una paradoja que descubrió Bertrand Russell en la teoría de conjuntos. El propio Russell, por un lado, y David Hilbert, por otro, se propusieron entonces la tarea de reconstruir todo el edificio de la matemática a partir de axiomas indudables, y de una teoría de la demostración “segura” que permitiera chequear y reobtener todas las pruebas matemáticas sin necesidad de recurrir a la inteligencia, por métodos puramente mecánicos. El programa formalista de Hilbert tenía el objetivo de refundar la matemática a partir de la teoría más elemental (y más probada en la historia): la aritmética, esto es, los números que usamos para contar, con las operaciones habituales de suma y multiplicación, tal como se aprenden en la escuela primaria. Hilbert se proponía, por un lado, dar axiomas que permitieran obtener, via demostraciones “seguras”, todos los enunciados verdaderos de la aritmética. La coronación de su programa sería dar una prueba también “segura” de consistencia para la aritmética, que alejara para siempre la posibilidad de volver a encontrar las temidas paradojas y contradicciones. Hasta 1930 estaba trabajando en esta última demostración. Pero en 1931, el teorema de Gödel dio por tierra con sus esperanzas: Gödel probó que cualquiera fuera el sistema de axiomas que se propusiera para la aritmética, si ese sistema era consistente (es decir, si no llevaba a contradicciones) había enunciados verdaderos que no podían ser demostrados por el sistema. Es decir, el teorema de Gödel replica la situación del crimen con dos sospechosos: para cada sistema axiomático propuesto para la aritmética, hay enunciados que, por la exigencia del protocolo fijado, el sistema no puede ni probar ni refutar. El teorema de Gödel destruyó una por una todas las esperanzas de Hilbert: en primer lugar mostró la imposibilidad de fundar toda la aritmética sobre axiomas. Aún peor, uno de los enunciados no demostrables exhibidos por Gödel fue, justamente, la propiedad de consistencia, lo que liquida también el plan de Hilbert de dar una fundamentación última y absoluta para la matemática a partir de la aritmética. Como una última ironía, la demostración dada por Gödel para su teorema sí es perfectamente “segura” y cumple todos los requisitos formales. Por qué el teorema de Gödel interesó (y debe interesar) fuera de la matemática El fenómeno de incompletitud que descubrió Gödel pronto interesó a diversas disciplinas de las ciencias sociales. Bien mirado, es muy razonable que así sea: los distintos campos del conocimiento, las distintas doctrinas, las distintas ideologías, tienen un aire de familia con los sistemas axiomáticos. En cada disciplina hay algunos “primeros principios”, declarados o encubiertos, que vertebran y dan curso a las argumentaciones lógicas a partir de ellos. La filosofía del materialismo postula que existe la materia y que la conciencia es sólo un estado de organización y evolución posterior. El idealismo sostiene un orden de primacía inverso. Descartes intentó un cuidadoso camino “hacia atrás” para llegar a una verdad indudable y desarrolló su pensamiento a partir de su único y famoso axioma: Pienso, luego existo. El primer axioma del psicoanálisis es la existencia del inconsciente. Y la teoría política tiene como axioma la lucha de clases, que las teorías de la social-democracia consideran posible de armonizar y las teorías revolucionarias postulan como irreconciliable. Aún en escuelas de pensamiento contrapuestas, una vez fijados y determinados estos primeros principios, muchas veces antagónicos, hay un modo similar de devanar argumentos, un protocolo lógico que hasta cierto punto se comparte. De manera que la forma en que se expresa el conocimiento en diversos campos tiene algo del mecanismo de los sistemas axiomáticos: unos pocos principios “duros” y firmemente asentados y una devanación de argumentos que justifican todas las demás afirmaciones en base a esos primeros postulados. No es extraño entonces que la clase de limitación para los  sistemas formales que marca el teorema de Gödel haya hecho reflexionar a otros pensadores sobre los fundamentos de sus propias disciplinas. Sin embargo, muchas veces, las extrapolaciones apresuradas y las analogías demasiado ligeras han llevado a conclusiones tremendistas, erróneas, a veces incluso risibles. Dentro de nuestro libro analizamos y discutimos diversos intentos de extrapolación del teorema de Gödel en otros ámbitos: Julia Kristeva en la semiología, Deleuze y Guattari en la filosofía, Régis Debray en la política, Jean-François Lyotard en la epistemología, Jacques Lacan en el psicoanálisis. Lacan y una analogía arriesgada Nos detenemos en particular en el caso de Lacan, porque invoca en sus lecciones reiteradamente el teorema de Gödel, no sólo para su definición de lo Real (dentro de su tríada de lo Real, lo Imaginario y lo Simbólico) sino también para una analogía que tiene consecuencias directas en la práctica psicoanalítica. Lacan afirma que la experiencia del análisis instaura un discurso con una estructura lógica. Y solamente con esto infiere, a través de la analogía con el resultado de Gödel,  que en ese discurso habrá “fallas” o aberturas lógicas, donde estaría lo que “puede salir del lenguaje”. Dentro de la analogía, estas fallas se corresponderían con los enunciados indecidibles que quedan fuera del alcance de los sistemas propuestos para la aritmética. Y son sobre todo estas fallas, enfatiza, el modelo “de lo que debe interesar a los analistas”. Sin embargo, Lacan parece desconocer que dentro de la matemática hay también muchas teorías que sí son completas (como la teoría de los números complejos y varios otros ejemplos que damos en nuestro libro), teorías en las que todo lo verdadero es demostrable, no hay “fallas” y nada “se sale del lenguaje”. Incluso, algunas de estas teorías completas parecen en principio más apropiadas que la aritmética para modelar discursos lógicos. Es decir, el fenómeno de incompletitud convive en la matemática con el fenómeno de completitud. Pero Lacan nunca justifica con argumentos propios de la teoría psicoanalítica por qué el discurso lógico que proviene del análisis se asemejaría más a la aritmética elemental que a una de estas tantas otras teorías completas. Esta cuestión es crucial porque, tal como está planteada, la elección de Lacan a favor de la aritmética parece totalmente arbitraria: un ejemplo elegido ad hoc para dar visos de argumentación a lo que parece en el fondo más bien un acto de fe. Por qué y cómo escribimos este libro Justamente, lo que nos intrigó a nosotros cuando estudiamos en profundidad la demostración original de Gödel, es detectar el elemento matemático que permite “dividir aguas” entre las teorías completas e incompletas. Ambos fenómenos, como dijimos, conviven en la matemática, y hay ejemplos curiosos de teorías matemáticas en apariencia muy parecidas entre sí que resultan una completa y otra incompleta. ¿Podría aislarse exactamente un hecho matemático, un síntoma, siempre presente, que diera lugar a la incompletitud? Durante más de cuatro años nos reunimos una vez por semana, en un café de Cabildo y Lacroze, para pensar sobre esto, para analizar distintos ejemplos e imaginar y refinar conjeturas.  El café en algún momento cerró y nosotros todavía seguíamos descendiendo a los niveles más abstractos de la prueba, como un juguete que desarmábamos incesantemente de todas las formas posibles, pero que se negaba a revelar su mecanismo secreto. Finalmente encontramos, en lo más íntimo de los argumentos, ese único hecho que pone en marcha toda la maquinaria de la demostración de Gödel y revela la razón matemática por la que la aritmética es incompleta (ver recuadro). Era tan nítido, tan elegante, tan elemental, que inmediatamente pensamos: ¡tenemos que contarlo! Nos dimos cuenta, sobre todo, de que a partir de este hecho podíamos reescribir la demostración del teorema de Gödel de manera que cualquiera que hubiera terminado el colegio primario podría entenderla. Pero por qué no, entonces, nos preguntamos, escribir un libro que pusiera al alcance de todos no sólo las ideas principales detrás del teorema, con sus alcances e implicaciones filosóficas, sino también una demostración accesible, con todos los detalles. Durante todo otro año escribimos Gödel ∀ (para todos) con un escalonamiento muy cuidadoso, para que cada lector pueda llegar tan lejos como se lo proponga. Lo concebimos como un juego por etapas, con la esperanza de que los lectores se desafíen a sí mismos a pulsar enter al final de cada capítulo para pasar al próximo nivel. El juego empieza realmente desde cero. Y el premio es una de las más grandes hazañas de la inteligencia humana, que cruza de lado a lado el pensamiento contemporáneo.

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173. 42. (Mayo 2009) Gödel ∀ (para todos)

ÍNDICE Introducción y agradecimientos: PRIMERA PARTE CAPÍTULO UNO: Un panorama general. Lo verdadero y lo demostrable. Los sistemas axiomáticos formales. Completitud y axiomas. El infinito: La bête noire en los fundamentos de la matemática. El teorema de Incompletitud. La prueba original de Gödel. El Teorema de Consistencia. Extensión y alcance del teorema de Gödel. Precauciones. Gödel, las computadoras y la inteligencia artificial. Derivaciones filosóficas. Ejemplos y ejercicios. CAPÍTULO DOS: Hilbert y el problema de los fundamentos. El programa de Hilbert. Discusión: Qué dicen y qué no dicen los teoremas de Gödel. Ejemplos y ejercicios. CAPÍTULO TRES: El lenguaje para la aritmética y la definición de verdad. El lenguaje formal. Los enunciados. Los axiomas y reglas de inferencia de la lógica de primer orden. Demostraciones y teorías. La verdad en matemática: una definición formal. Completitud y consistencia en nuestra teoría formal. Ejercicios. CAPÍTULO CUATRO: El teorema de Gödel fuera de la matemática. Julia Kristeva:  Gödel y la semiótica. Paul Virilio: Gödel y las nuevas tecnologías. Régis Debray y Michel Serres: Gödel y la política. Deleuze y Guattari: Gödel y la filosofía. Jacques Lacan: Gödel y el psicoanálisis. Jean-Francois Lyotard: Gödel y la condición postmoderna. Ejercicios. SEGUNDA PARTE La demostración de los teoremas. HOJA DE RUTA: La concatenación y el Teorema de Incompletitud. Si hay una concatenación expresable, valen los teoremas de Gödel. CAPÍTULO CINCO: La versión semántica del teorema de incompletitud. La concatenación con punto y raya. Método de autorreferencia. “Ser verdadero” no es expresable. Ejercicios. CAPÍTULO SEIS: La versión general (sintáctica) del teorema de incompletitud. El teorema de consistencia. La versión general (sintáctica) del teorema de incompletitud. El Teorema de Consistencia. Ejercicios. CAPÍTULO SIETE: Hay una concatenación expresable en la aritmética. CAPÍTULO OCHO: Toda propiedad recursiva es expresable con la concatenación. TERCERA PARTE Incompletitud en un contexto general y abstracto. CAPÍTULO NUEVE: Incompletitud en un contexto general y abstracto. Una demostración intrínseca del Teorema de Gödel. La concatenación y el argumento de Gödel. Conclusiones y preguntas abiertas. Resolución de los ejercicios. APÉNDICE I: Ejemplos de teorías completas e incompletas. APÉNDICE II: Hitos en la historia del teorema de incompletitud. Referencias: Lecturas recomendadas: ____________________________________________________________________________ INTRODUCCIÓN El teorema de incompletitud de Gödel es uno de los resultados más profundos y paradójicos de la lógica matemática. Es también, quizá, el teorema que ha ejercido más fascinación en ámbitos alejados de las ciencias exactas. Ha sido citado en disciplinas tan diversas como la semiótica y el psicoanálisis,  la filosofía y las ciencias políticas. Autores como Kristeva, Lacan, Debray, Deleuze, Lyotard, y muchos otros, han invocado a Gödel y sus teoremas en arriesgadas analogías. Junto con otras palabras mágicas de la escena postmoderna como “caos”, “fractal”, “indeterminación”, “aleatoriedad”, el fenómeno de incompletitud se ha asociado también a supuestas derrotas de la razón y al fin de la certidumbre en el terreno más exclusivo del pensamiento: el reino de las fórmulas exactas.  Pero también desde el interior de la ciencia se esgrime el teorema de Gödel en agudas controversias epistemológicas, como la que rodea las discusiones sobre inteligencia artificial. Surgido casi a la par de la Teoría de la Relatividad,  y de manera quizá más sigilosa, el teorema de Gödel se ha convertido en una pieza fundamental y una referencia ineludible del pensamiento contemporáneo. Pero a diferencia de la teoría de Einstein, en que por la sofisticación de las ecuaciones los mejores intentos de divulgación parecen condenados a ejemplos con relojes y personas que no envejecen en viajes por el espacio -la clase de divulgación que arrancó la conocida broma de Sabato1-, en el caso del teorema de incompletitud hay una buena noticia, y es que puede darse una exposición a la vez rigurosa y accesible, que no requiere ninguna formación matemática, más que el recuerdo de la suma y la multiplicación tal como se enseñan en la escuela primaria. Eso es exactamente lo que nos propusimos hacer en este libro: una exposición detallada, pero de extrema suavidad, totalmente autocontenida, que permita a las personas de cualquier disciplina que sólo tengan la imprescindible “curiosidad de espíritu” aventurarse a la experiencia de conocer en profundidad una de las hazañas intelectuales más extraordinarias de nuestra época. Pensamos y concebimos Gödel ∀ (para todos) como un juego por etapas, con la esperanza de que los lectores se desafíen a sí mismos a pulsar enter al final de cada capítulo para pasar al próximo nivel. El juego empieza realmente desde cero y gran parte de nuestro esfuerzo fue intentar la mayor claridad posible en cada una de estas etapas para que, idealmente, cada lector pueda llegar tan lejos como se proponga. Una palabra sobre el título: cada vez que se agrega “para todos” al título de libros de divulgación (y mucho más cuando el libro se refiere a cuestiones o autores considerados “difíciles”) se sobreentiende que el “para todos” es en realidad un eufemismo entre condescendiente y piadoso, que oculta al verdadero “para los que no saben nada de nada”. No es el caso de este libro. Cuando decimos “para todos” nos referimos más bien al verdadero significado que tiene la expresión, en todo su alcance. Nuestro libro está dirigido no sólo a los que “no saben nada de nada”, sino también a los lectores que hayan leído sobre el teorema de Gödel en exposiciones parciales, y aún a los que hayan estudiado los teoremas de Gödel y sus demostraciones en profundidad. Porque si bien nuestro libro empieza de cero, llega mucho más allá de lo que se han propuesto las divulgaciones más conocidas en lengua castellana. En particular damos una demostración rigurosa y con todos los detalles de los teoremas, aunque en una aproximación diferente de la más habitual, novedosa por su sencillez, en la que utilizamos la mínima cantidad posible de tecnicismos matemáticos. Hemos incluido también un último capítulo con una investigación propia del fenómeno de incompletitud en un contexto general y problemas abiertos, para mostrar la prolongación que tienen estas ideas y las preguntas que los teoremas de Gödel, todavía hoy, siguen suscitando. El material está organizado de la siguiente manera: En el primer capítulo damos un panorama general, y una primera aproximación informal, tanto de los enunciados de los teoremas de Gödel como de algunas derivaciones filosóficas. En el capítulo 2 exponemos el contexto histórico y el estado de la discusión en los fundamentos de la matemática en el momento en que irrumpen los resultados de Gödel. Al final del capítulo incluimos una sección sobre las tergiversaciones y errores más frecuentes en torno a la divulgación de los enunciados. En el capítulo 3 introducimos el lenguaje formal necesario para enunciar los teoremas con toda la exactitud necesaria, y abrir paso a las demostraciones. Los tres capítulos terminan aparentemente de la misma manera, con el enunciado de los teoremas de Gödel. Pero nuestra intención y esperanza es que se lean, cada vez, con una comprensión más profunda, y con el nuevo sentido y la mayor precisión que se incorpora en cada etapa. En el capítulo 4 exponemos algunas analogías e intentos de aplicación del teorema de Gödel en distintas disciplinas sociales, fuera de la matemática. En particular analizamos textos de Julia Kristeva, Paul Virilio, Régis Debray, Gilles Deleuze y Félix Guattari, Jacques Lacan, y Jean-Francois Lyotard. Esto concluye la primera parte. La segunda parte está dedicada a la demostración de los teoremas. La prueba que damos tiene, creemos, la mínima cantidad posible de tecnicismos matemáticos. Mostramos, esencialmente, que toda la argumentación de Gödel puede desarrollarse a partir de un único hecho matemático: la existencia en la aritmética de una operación que refleja la manera en que las letras de un lenguaje se yuxtaponen unas a continuación de las otras para formar palabras. La tercera parte, finalmente, está dedicada a una exploración propia sobre el fenómeno de incompletitud en un contexto más general y abstracto. Nos preguntamos cuál es hecho matemático que puede rastrearse en otros objetos, y que “divide aguas” entre teorías completas e incompletas. Casi todos los capítulos incluyen al final una sección de ejercicios. Después de algunas dudas decidimos agregar también la resolución. Esperamos que esto sea un estímulo adicional para pensar primero “sin ayuda” una solución propia y sólo después comparar con la que proponemos en cada caso. El libro se completa con dos apéndices: el primero, para consulta durante la lectura, reúne una variedad de teorías que sirven de ejemplo o contraejemplo a distintas afirmaciones. El segundo es una selección de textos de los propios protagonistas –Cantor, Russell, Hilbert, etc- sobre los hitos principales del fenómeno de incompletitud, que dan en conjunto una pequeña historia del tema. Hemos dejado en el último capítulo preguntas abiertas y quizá algunos lectores se propongan también el desafío de responderlas. Otros lectores, tal vez, quieran hacernos llegar sugerencias o críticas sobre distintos puntos de nuestra exposición, o señalarnos errores que se nos hayan deslizado. Decidimos por eso abrir un blog para recibir comentarios: www.godelparatodos.blogspot.com Pondremos allí también en forma completa algunos de los textos citados que debimos resumir para el formato libro, y también distintos artículos de la bibliografía que nos resultaron particularmente interesantes. Queremos finalmente agradecer a Xavier Caicedo por varias conversaciones y explicaciones esclarecedoras sobre puntos delicados de la teoría y también la lectura final generosa y atenta de Pablo Coll. ____________________________________________________________________________ CAPÍTULO UNO. Un panorama general. (FRAGMENTO) Lo verdadero y lo demostrable. Los sistemas axiomáticos formales. Completitud y axiomas. El infinito: La bête noire en los fundamentos de la matemática. El teorema de Incompletitud. La prueba original de Gödel. El Teorema de Consistencia. Extensión y alcance del teorema de Gödel. Precauciones. Gödel, las computadoras y la inteligencia artificial. Derivaciones filosóficas. Ejemplos y ejercicios. Hay un concepto que es el corruptor y el desatinador de los otros. No hablo del Mal, cuyo limitado imperio es la ética; hablo del infinito. Jorge Luis Borges, “Avatares de la tortuga” § 1. Lo verdadero y lo demostrable El teorema de incompletitud de Gödel trata de la verdad en matemática y de la parte de verdad que puede ser comprobada a partir de axiomas, en esos fragmentos de texto de líneas sucesivas encadenadas por pasos lógicos que los matemáticos llaman demostración. En otras disciplinas del conocimiento siempre ha sido claro que lo verdadero no necesariamente coincide con lo demostrable. Imaginemos, para dar una analogía con la Justicia, que se comete un crimen en un cuarto cerrado y que el juez de instrucción, al llegar, encuentra que hay únicamente dos sospechosos junto al cadáver. Fig. 1 La cuestión de lo demostrable empieza cuando los dos dicen “Yo no fui”. Cualquiera de estos dos sospechosos sabe toda la verdad sobre el crimen, que puede resumirse en la frase “Yo fui” o “Yo no fui”. Es decir, la cuestión de la verdad del suceso, que hubo un crimen y hay un culpable, no está en duda. Sin embargo, si el juez no dispone de la confesión directa del culpable, debe intentar un camino indirecto: recolección de evidencias materiales, verificación de horarios y coartadas, huellas dactilares, etcétera. Muchas veces este camino indirecto no alcanza a demostrar, de acuerdo con los estrictos requisitos legales, ni la culpabilidad de uno ni la inocencia del otro. Hay una verdad, pero el método, a veces, es insuficiente para demostrarla de acuerdo a la exigencia de sus propios protocolos. Algo similar ocurre en la arqueología, en las hipótesis alrededor de una excavación. Hay también una verdad precisa, que corresponde a lo que en una época determinada fueron esos seres humanos, con sus rituales y costumbres, pero los paleontólogos sólo pueden inferir, a partir de los despojos que encuentran, versiones parciales de esa verdad. En este caso la verdad es como un límite, la sucesión en el tiempo de restos hallados, e hipótesis provisorias. En muchos otros campos del conocimiento están representados estos dos mundos distintos, lo verdadero y lo demostrable. Aunque se solapan, no necesariamente coinciden. Curiosamente los matemáticos, por lo menos hasta el siglo XIX2, siempre pensaron que en su disciplina los dos mundos eran identificables, y que cualquiera fuera la verdad que pudieran observar en el mundo platónico de los objetos matemáticos bajo estudio, (cierto orden, ciertas conexiones, cierto patrón de regularidad) esa verdad podría reobtenerse “por escrito” mediante el método axiomático, como tesis de una demostración. Sin embargo, el teorema de incompletitud de Gödel puso en evidencia una limitación intrínseca a las demostraciones basadas en sistemas de axiomas. Pero para entender qué dice exactamente el teorema (y qué no dice) debemos precisar mejor qué entienden los matemáticos por demostración y por sistema axiomático. Una demostración en matemática es una cadena de afirmaciones, de oraciones afirmativas, en las que aparecen fórmulas y consideraciones lógicas (ver por ejemplo Fig. 2). Fig. 2 Pizarrón con la demostración de que 1+1 = 2. Cada una de estas afirmaciones, también llamadas enunciados, es, o bien un axioma, (un enunciado que se da por válido al inicio del razonamiento), o bien se obtiene de eslabones anteriores en la cadena por reglas lógicas bien determinadas. Una vez escrita una demostración -y éste es quizá el punto más sólido de la matemática como ciencia-  cualquiera puede detenerse cuanto quiera entre paso y paso para inspeccionar la corrección del argumento. Más aún, idealmente incluso una persona sin conocimientos matemáticos debería ser capaz de seguir y corroborar una demostración verificando cada una de las ligaduras lógicas. Es un procedimiento casi mecánico, similar al de la computadora que dibuja rayitas rectas, en pixels muy pequeños, sin saber que al final conformarán una figura de complejidad insospechada. Repetimos entonces: una demostración es una sucesión en general muy larga de enunciados, que se encadenan  uno a otro por pasos muy elementales, estrictamente lógicos. Estos pasos pueden examinarse con todo el detenimiento necesario para tener la absoluta seguridad de que no se ha cometido ningún error. Cuando el razonamiento es profundo, la tesis, aunque se desprende necesariamente de la sucesión de pasos, sorprende con respecto a los axiomas, de la misma manera que la secuencia de actos inocentes de un ilusionista no hace esperar el efecto maravilloso final. La inteligencia, la creatividad, estuvo antes, en la elección inspirada de cada paso para  encontrar, entre todas las posibles bifurcaciones, el camino oculto que lleva de los axiomas a la tesis. En un ensayo en que examina “La filosofía de la composición”, de Poe, Borges recuerda la justificación minuciosa, la maquinaria de cálculo intelectual que alega Poe sobre la escritura de su poema “El cuervo”, y a continuación declara: “Yo, ingenuamente acaso, creo en las explicaciones de Poe. Descontada alguna posible ráfaga de charlatanería, pienso que el proceso mental aducido por él ha de corresponder, más o menos, al proceso verdadero de la creación. Yo estoy seguro de que así procede la inteligencia: por arrepentimientos, por obstáculos, por eliminaciones. La complejidad de las operaciones descriptas no me incomoda, sospecho que la efectiva elaboración tiene que haber sido aún más compleja y mucho más caótica y vacilante. Lo anterior no quiere decir que el arcano de la creación poética, de esa creación poética, haya sido revelado por Poe. En los eslabones examinados la conclusión que el escritor deriva de cada premisa es, desde luego, lógica,  pero no la única necesaria.” [Borges] Si cambiamos en la frase final “escritor” por “matemático” la analogía con una demostración en matemática es perfecta: porque también aquí “en los eslabones examinados la conclusión que el matemático deriva de cada premisa es, desde luego, lógica,  pero no la única necesaria.” Fig. 3 La demostración como un laberinto de bifurcaciones. El camino es “fácil” sólo después de marcado. Notas: 1 N. del. E.: se refieren al ensayo “Divulgación” de Uno y el universo (1945). Sabato intenta explicar a un amigo la teoría de Einstein y le habla con entusiasmo de tensores y geodésicas. El amigo no entiende una palabra. Sabato hace un segundo intento con menos entusiasmo: conserva todavía algunas geodésicas pero hace intervenir aviadores y disparos de revólver. El amigo, con alegría, le dice que empieza a entender. Sabato se dedica entonces exclusivamente a jefes de estación que disparan revólveres y verifican tiempos con un cronómetro, trenes y campanas. ¡Ahora sí entiendo la relatividad! exclama el amigo. Sí, responde Sabato amargamente, pero ahora no es más la relatividad. 2 A principios del siglo XIX C. F.Gauss, J. Bolyai y N. Lobachevski, independientemente unos de otros, conjeturaron que la geometría obtenida al negar el quinto postulado de Euclides (llamada geometría hiperbólica) es consistente. En 1868 Eugenio Beltrami (1835-1900) demostró la consistencia en su artículo "Ensayo sobre la interpretación de la geometría no euclidiana" donde presentaba un modelo para la geometría hiperbólica dentro de la geometría euclidiana.

Viernes, 01 de Mayo de 2009 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

174. 25. (Febrero 2007) Borges y la matemática

(Esta charla está recogida en el libro, Borges y la matemática de Guillermo Martínez, editado originalmente por Eudeba y reeditado en 2006 por Seix Barral) En la introducción al libro “Matemáticas e Imaginación”, de Kasner y Newman, Borges dice que la matemática, al igual que la música, puede prescindir del universo. Quiero agradecerles que esta mañana ustedes hayan prescindido del universo para escuchar esta charla. EL ÁNGULO, EL SESGO Y LA INTERPRETACIÓN. THOMAS MANN Y EL DODECAFONISMO. EL JUEGO DE LA INTERPRETACIÓN COMO UN JUEGO DE BALANCE Bien, Borges y la matemática. Siempre que uno elige un ángulo, un tema, introduce de algún modo una distorsión sobre el fenómeno que se propone estudiar. Algo bien sabido por los físicos, ¿no es cierto? También ocurre cuando uno trata de abordar a un escritor desde un ángulo en particular: muy pronto uno se encuentra en las arenas movedizas de la interpretación. En este sentido conviene tener en cuenta que el juego de la interpretación es un juego de balance en el que uno puede errar por exceso o por defecto. Digamos, si nos aproximamos a los textos de Borges con un enfoque puramente matemático, muy especializado, podemos quedar por encima del texto. Aquí “encima” es en realidad afuera: podríamos encontrar o forzar al texto a decir cosas que el texto no dice, ni tiene ninguna intención de decir. Un error de erudición. Por otro lado, si desconocemos en absoluto los elementos de matemática que están presentes reiteradamente en la obra de Borges, podemos quedar por debajo del texto. Entonces, voy a intentar un ejercicio de equilibrio. Sé que aquí en la sala hay gente que sabe mucha matemática, pero yo voy a hablar para los que sólo saben contar hasta diez. Es mi desafío personal. Todo lo que diga debería poder entenderse con sólo saber contar hasta diez. Hay una segunda cuestión todavía más delicada, a la que se refirió Thomas Mann cuando fue obligado a insertar una nota al final de su Doctor Faustus para reconocer la autoría intelectual de Schönberg en la teoría musical del dodecafonismo. Thomas Mann lo hizo a disgusto, porque consideraba que esa teoría musical se había transmutado en algo distinto al ser moldeada literariamente por él “en un contexto ideal para asociarla a un personaje ficticio” (su compositor Adrián Leverkuhn). De la misma manera los elementos de matemática que aparecen en la obra de Borges también están moldeados y transmutados en “algo distinto”: en literatura, y trataremos de reconocerlos sin separarlos de ese contexto de intenciones literarias. Por ejemplo, cuando Borges da comienzo a su ensayo “Avatares de la tortuga” y dice: “Hay un concepto que es el corruptor y el desatinador de los otros. No hablo del Mal cuyo limitado imperio es la ética; hablo del infinito”, la vinculación del infinito con el Mal, la supremacía en malignidad, burlona pero certera que establece, quita de inmediato al infinito del sereno mundo de la matemática y pone bajo una luz levemente amenazadora toda la discusión pulcra en fórmulas, casi técnica, que sigue. Cuando dice a continuación que la numerosa hidra es una prefiguración o un emblema de las progresiones geométricas, se repite el juego de proyectar monstruosidad y “conveniente horror” sobre un concepto matemático preciso. CUÁNTO SABÍA BORGES DE MATEMÁTICA. PRECAUCIONES SOBRE SU BIBLIOTECA. LA VERDAD EN MATEMÁTICA Y EN LITERATURA ¿Cuánto sabía Borges de matemática? Él dice en ese mismo ensayo: “cinco, siete años de aprendizaje metafísico, teológico, matemático, me capacitarían (tal vez) para planear decorosamente una historia del infinito”. La frase es lo suficientemente ambigua como para que sea difícil decidir si realmente dedicó esa cantidad de años a estudiar, o es sólo un plan a futuro, pero está claro que Borges sabe por lo menos los temas que están contenidos en el libro que él prologa, Matemáticas e imaginación, y que son bastantes. Es una buena muestra de lo que se puede aprender en un primer curso de álgebra y análisis en la universidad. Se tratan allí las paradojas lógicas, la cuestión de las diversas clases de infinito, algunos problemas básicos de topología, teoría de las probabilidades. En el prólogo a este libro Borges recuerda al pasar que, según Bertrand Russell, la vasta matemática quizá no fuera más que una vasta tautología, y deja ver, con esta observación, que también estaba al tanto, por lo menos en esa época, de lo que era una discusión crucial en los fundamentos de la matemática. Una discusión que dividía aguas y daba lugar a agudos debates, centrada en la cuestión de la verdad: lo verdadero versus lo demostrable. Digamos que en su trabajo habitual de escudriñar los universos de formas y de números los matemáticos encuentran conexiones recurrentes, patrones, ciertas relaciones que se verifican siempre, y están acostumbrados a creer que estas relaciones, si son verdaderas, lo son por alguna razón, están concertadas de acuerdo a un orden exterior, platónico, que debe descifrarse. Cuando encuentran esa razón profunda –y en general oculta– la exhiben en lo que se llama una demostración, una prueba. Hay de esta manera dos momentos en la matemática, igual que en el arte: un momento que podemos llamar de iluminación, de inspiración, un momento solitario e incluso “elitista” en que el matemático entrevé en un elusivo mundo platónico un resultado que considera que es verdadero, y un segundo momento, digamos, democrático, en el que tiene que convencer de esa verdad a su comunidad de pares. Exactamente del mismo modo en que el artista tiene fragmentos de una visión y luego, en un momento posterior, tiene que ejecutarla en la escritura de la obra, en la pintura, en lo que fuera. En ese sentido los procesos creativos se parecen mucho. ¿Cuál es la diferencia? Que hay protocolos formales de acuerdo con los cuales la verdad que el matemático comunica a sus pares la puede demostrar paso por paso a partir de principios y “reglas de juego” en las que todos los matemáticos coinciden. En cambio, una demostración de un hecho estético no es tan general. Un hecho estético siempre está sujeto a criterios de autoridad, a modas, a suplementos culturales, a la decisión personal y última –muchas veces perfectamente caprichosa– del gusto. Ahora bien, los matemáticos pensaron durante siglos que en sus dominios estos dos conceptos, lo verdadero y lo demostrable, eran en el fondo equivalentes. Que si algo era verdadero, siempre se podía exhibir la razón de esa verdad a través de los pasos lógicos de una demostración, de una prueba. Sin embargo, que lo verdadero no es igual que lo demostrable lo saben desde siempre, por ejemplo, los jueces: supongamos que tenemos un crimen en un cuarto cerrado (o, más modernamente, en un country cerrado) con sólo dos sospechosos posibles. Cualquiera de los dos sospechosos sabe toda la verdad sobre el crimen: yo fui o yo no fui. Hay una verdad y ellos la conocen, pero la justicia tiene que acercarse a esta verdad por otros procedimientos indirectos: huellas digitales, colillas, verificación de coartadas. Muchas veces la justicia no llega a probar ni la culpabilidad de uno ni la inocencia del otro. Algo similar ocurre en la arqueología: sólo se tienen verdades provisorias, la verdad última queda fuera del alcance, es la suma incesante de huesos de lo demostrable. Así, en otros terrenos, la verdad no necesariamente coincide con lo demostrable. Bertrand Russell fue quizá quién más se afanó en probar que dentro de la matemática sí se podían hacer coincidir los dos términos, que la matemática no era más que “una vasta tautología”. De algún modo ése era también el programa de Hilbert, un gran intento de los matemáticos para dar garantías de que todo lo que se probara verdadero, por cualesquiera métodos, se iba a poder demostrar a posteriori de acuerdo con un protocolo formal que pudiera prescindir de la inteligencia, un algoritmo que pudiera corroborar la verdad de una manera mecánica y que pudiera modelarse en una computadora. Eso hubiera sido en el fondo reducir la matemática a lo que puede probar una computadora. Finalmente se demostró, y ese fue el resultado dramático de Kurt Gödel de los años ´30 –su famoso teorema de incompletitud– que las cosas no son así, que la matemática se parece más bien a la criminología en este aspecto: hay afirmaciones que son verdaderas y quedan, sin embargo, fuera del alcance de las teorías formales. O sea, las teorías formales no pueden ni demostrar la afirmación ni demostrar su negación, ni su culpabilidad ni su inocencia. Lo que quiero señalar es que Borges vislumbraba el origen de esta discusión (aunque no parece que se hubiera enterado de su desenlace). ELEMENTOS DE MATEMÁTICA EN LA OBRA DE BORGES Hay elementos de matemática muy variados a lo largo de la obra de Borges. El paso obvio natural, cuando uno se acerca a este tema, es rastrear todas esas huellas matemáticas en sus textos. Eso ha sido hecho, y muy bien, en varios de los ensayos del libro Borges y la Ciencia (ed. Eudeba). Pueden encontrar allí ensayos sobre Borges y la matemática, sobre Borges y la investigación científica, sobre el tema de la memoria, sobre Borges y la física. He dicho alguna vez en broma que mi preferido es “Borges y la biología”. Luego de algunos rodeos, y algo desolado, casi como disculpándose, el autor se decide a escribir que después de haber leído la obra completa de Borges tiene que decir que no hay ninguna vinculación entre Borges y la biología. ¡Ninguna! El hombre había descubierto con terror algo en este mundo que Borges no había tocado. Pero sí hay, profusamente, elementos de matemática. Yo voy a abusar un poco de mi condición de escritor para tratar de hacer algo ligeramente diferente: voy a tratar de vincular los elementos de matemática con elementos de estilo en Borges. Voy a intentar una vinculación no temática sino estilística. Pero menciono de todos modos algunos de los textos donde las ideas matemáticas asoman con más claridad: los cuentos “El disco”, “El libro de arena”, “La biblioteca de Babel”, “La lotería de Babilonia”, “Del rigor en la ciencia”, “Examen de la obra de Herbert Quain, Argumentum ornithologicum”; los ensayos “La perpetua carrera de Aquiles y la tortuga” junto con “Avatares de la tortuga”, “El idioma analítico de John Wilkins”, “La doctrina de los ciclos”, “Pascal” junto con “La esfera de Pascal”, etc. Hay textos que son incluso pequeñas lecciones de matemática. Aún así, aún dentro de esta variedad, creo yo que hay tres temas que son recurrentes. Y esos tres temas aparecen reunidos en el cuento “El Aleph”, les propongo que los estudiemos desde allí. EL INFINITO DE CANTOR Los voy a mencionar en orden inverso al que aparecen, el primer elemento es el infinito o los infinitos. Dice Borges, hacia el final del relato: “Dos observaciones quiero agregar: una sobre la naturaleza del Aleph, otra sobre su nombre. Éste, como es sabido, es el de la primera letra del alfabeto de la lengua sagrada. Su aplicación al disco de la historia no parece casual. Para la Cábala esa letra significa el En Soph, la ilimitada y pura divinidad. También se dijo que tiene la forma de un hombre que señala el cielo y la tierra, para indicar que el mundo inferior es el espejo y el mapa del superior. Para la Mengenlehre es el símbolo de los números transfinitos en los que el todo no es mayor que alguna de las partes”. La Mengenlehre es la denominación en alemán de la teoría de las cantidades. El símbolo aleph, que los matemáticos simplificamos al dibujarlo, se parece a ésto: ℵ Un brazo que señala al cielo y el otro que señala la tierra. El símbolo de los números transfinitos, en los que, como dice Borges, el todo no es mayor que alguna de las partes. Este es uno de los conceptos de matemática que fascinaba realmente a Borges. Es el quiebre de un postulado aristotélico según el cual el todo debe ser mayor que cualquiera de las partes y me gustaría hacer una pequeña explicación de cómo surge esta idea del infinito en la matemática. Hasta 1870, la época en que Cantor empieza sus trabajos sobre la teoría de conjuntos, los matemáticos usaban otro símbolo para el infinito, el 8 acostado: ∞, y pensaban que en realidad había un único infinito, no se planteaban la posibilidad de que hubiera diferentes variedades de infinito. ¿Cómo llega Cantor a su idea de infinito, que es la que suscita esta primera paradoja? Para entender esto, tenemos que recordar qué significa contar. Uno puede pensar el proceso de contar de dos maneras: supongamos que en un primer conjunto tenemos diez personas –que es nuestro número límite– y en un segundo conjunto tenemos diez sillas. Uno podría decir, muy bien, sé que hay tantas personas como sillas, porque aquí cuento diez personas y aquí cuento diez sillas, o sea, le asigno al primer conjunto una cantidad entre las que conozco: diez, y a este segundo conjunto una cantidad que conozco: diez, y como 10 = 10 concluyo que los dos conjuntos tienen la misma cantidad de elementos. Sin embargo, supongamos que yo estoy jugando con un chico de tres años a las cartas. El chico, como nosotros esta tarde, tampoco sabe contar más allá de diez, pero sabe que si me da a mí la primera carta, se queda con la segunda, me da la tercera, se queda con la cuarta, etc., cuando termina de repartir el mazo, aunque no puede decir qué cantidad de cartas tiene en las manos (porque no sabe contar más que hasta diez), sí puede decir algo todavía, sí tiene todavía un elemento de certidumbre, y es que tanto él como yo tenemos la misma cantidad de cartas. Esto sí lo sabe, aunque no sepa cuántas son. En el ejemplo de las sillas podríamos también haber concluido que hay la misma cantidad de personas que de sillas haciendo sentar a cada persona en una silla y comprobando que se establece una correspondencia perfecta en la que no queda silla sin persona ni persona sin silla. Del mismo modo, cuando uno mira un desfile militar, no puede decir a golpe de vista cuántos jinetes hay, o cuántos caballos hay, pero sí sabe algo todavía, sabe que hay tantos militares como caballos (risas). Es trivial, sí, lo reconozco, pero a veces de las trivialidades surgen las grandes ideas. Aquí está el pase de prestidigitador de los matemáticos. Fíjense qué es lo que hace Cantor, en el fondo es algo muy simple, pero extraordinario. Lo que él encuentra es un concepto que en el contexto finito resulta equivalente a “tener la misma cantidad de elementos”. Él dice: “en el contexto finito, los conjuntos A y B tienen la misma cantidad de elementos si y sólo si puedo establecer una correspondencia perfecta uno a uno entre ellos”. Esta afirmación es muy sencilla de probar. ¿Pero qué ocurre cuando saltamos al infinito? Uno de los dos conceptos equivalentes: “cantidad de elementos”, deja de tener sentido. ¿Qué significa cantidad de elementos de un conjunto infinito cuando uno no puede terminar de contar? Esa parte ya no la puedo usar, pero sí puedo usar todavía la segunda parte. La segunda parte sobrevive, todavía podemos establecer, para conjuntos infinitos, correspondencias perfectas uno a uno como hicimos entre las personas y las sillas. Pero entonces empiezan a ocurrir cosas extrañas. Porque hay una manera obvia de establecer una correspondencia perfecta uno a uno entre todos los números naturales, los números que usamos para contar, y los números pares. Al 1 le asignamos el 2, al 2 le asignamos el 4, al 3 el 6, etc. Y aquí, forzados por la definición de Cantor, tenemos que decir que hay “tantos” números naturales como números pares. Sin embargo, los pares son una “mitad” de los naturales, en el sentido de que los naturales los obtenemos al unir los pares con los impares. Entonces, hay efectivamente una parte, los pares, que es tan grande como el todo. Hay una parte que equivale al todo. Este es el tipo de paradoja que maravillaba a Borges: en el infinito matemático, el todo no es necesariamente mayor que cualquiera de las partes. Hay partes propias que son tan grandes como el todo. Hay partes que son equivalentes al todo. OBJETOS RECURSIVOS Uno podría abstraer esta propiedad curiosa del infinito y pensar en otros objetos, en otras situaciones, en las que una parte del objeto guarda la información del todo. Los llamaremos objetos recursivos. Así, el Aleph de Borges, la pequeña esfera que guarda todas la imágenes del universo, sería un objeto ficcional recursivo. Cuando Borges dice que la aplicación del nombre Aleph a esta esfera no es casual y llama la atención de inmediato sobre la vinculación con esta propiedad de los infinitos, está insertando a su idea dentro de un ambiente propicio, de la manera que él mismo enseña en su ensayo “El arte narrativo y la magia” cuando analiza el problema de la difícil verosimilitud del centauro. La rodea de un marco que la vuelva plausible: así como en el infinito una parte equivale al todo, puede concebirse que haya una parte del universo que guarde la información del todo. Hay otros objetos recursivos con los que Borges juega en su obra. Por ejemplo los mapas crecientes en “Del rigor en la ciencia”, donde el mapa de una sola provincia ocupaba toda una ciudad, y “en cuyos pedazos abandonados en los desiertos habitaban animales y mendigos”. También, desde el punto de vista de la biología, el ser humano sería un objeto recursivo. Basta una célula del ser humano para fabricar un clon. Los mosaicos son claramente objetos recursivos, la figura de las primeras baldosas se propaga al todo. Pensemos ahora en objetos que tengan la propiedad opuesta. ¿Cuáles serían los objetos “incomprimibles”, por llamarlos de alguna manera? Objetos en los cuales ninguna parte reemplaza al todo. Objetos en los que cada parte es esencial. Podríamos decir: los conjuntos finitos. Yo diría, un rompecabezas razonable. En un rompecabezas razonable uno no debería poder facilitarse las cosas repitiendo diseños. También, el ser humano, desde el punto de vista existencial. Hay una frase muy intimidante que no es de Sartre sino de Hegel y que dice: “el hombre no es más que la serie de sus actos”. No importa cuán impecable fue la conducta de un hombre durante cada día de todos los años de su vida, siempre está a tiempo de cometer un último acto que contradiga, que arruine, que destruya todo lo que ha sido hasta ese momento. O al revés, para tomar el giro que le dio Thomas Mann en El elegido, basado en Vida de San Gregorio: no importa cuán incestuoso o pecador haya sido un hombre durante toda su vida, siempre puede expiar sus culpas y convertirse en Papa. EL INFINITO Y EL LIBRO DE ARENA Lo que dije hasta aquí sobre el infinito bastaría para aclarar este pequeño fragmento. Me voy a extender un poco más para explicar algo que está relacionado con “La biblioteca de Babel” y “El libro de arena”. Recién acabamos de ver que hay ”tantos” números naturales como pares. ¿Que ocurrirá cuando consideramos los números fraccionarios? Los números fraccionarios son muy importantes en el pensamiento de Borges. ¿Por qué? Recordemos que los números fraccionarios, que también se llaman quebrados, o números racionales, son los que se obtienen al dividir números enteros, los podemos pensar como pares de enteros: un número entero en el numerador y un número entero (distinto de cero) en el denominador. 3/5, 5/4, 7/6, 7/16... ¿Cuál es la propiedad que tienen estos números, la propiedad que usa Borges en sus relatos? Entre dos números fraccionarios cualesquiera siempre hay uno en el medio. Entre 0 y 1 está 1/2, entre 0 y 1/2 está 1/4, entre 0 y 1/4 está 1/8, etc. Digamos, siempre se puede dividir por 2. De modo que cuando yo quiero saltar del 0 al primer número fraccionario, nunca puedo encontrar ese primer número en el orden usual, porque siempre hay uno en el medio. Esta es exactamente la propiedad que toma prestada Borges en “El Libro de Arena”. Recordarán que hay un momento en este cuento en que al personaje de Borges lo desafían a abrir por la primera hoja el Libro de Arena. “Me dijo que su libro se llamaba el Libro de Arena porque ni el libro ni la arena tienen principio ni fin. Me pidió que buscara la primera hoja. Apoyé la mano izquierda sobre la portada y abrí con el dedo pulgar casi pegado al índice. Todo fue inútil: siempre se interponían varias hojas entre la portada y la mano. Era como si brotaran del libro”. La tapa del Libro de Arena sería el cero, la contratapa sería el uno, las páginas corresponderían entonces a los números fraccionarios entre cero y uno. En los números fraccionarios uno no puede encontrar el primer número después de 0 ni el último antes de 1. Siempre hay números que se interponen. Uno estaría tentado a conjeturar que el infinito de los números fraccionarios es más apretado, más denso, más nutrido. La segunda sorpresa que nos deparan los infinitos es que esto no es así, es decir, hay “tantos” números racionales como números naturales. ¿Cómo podemos ver esto? Como las fracciones son pares de enteros, numerador/denominador, todas las fracciones (positivas) están representadas en este cuadro: Anoto en la primera fila todas las fracciones que tienen numerador 1, en la segunda fila todas las que tienen numerador 2, en la tercera fila todas las que tienen numerador 3, etc. Evidentemente al escribirlas de este modo hay algunas que se repiten, por ejemplo, 3/3 es lo mismo que 2/2 o que 1/1. O sea, algunas fracciones quedan anotadas repetidas veces, pero eso no importa. Quien puede más, puede menos: si puedo contar con repeticiones puedo contar sin repeticiones. Lo que me interesa es que todos los números fraccionarios positivos aparecen en algún momento aquí. Me quedan la mitad de los negativos. Pero si sé contar los positivos, es fácil contar los negativos. Los matemáticos me van a perdonar algunos deslices, que no hable con toda la precisión debida. Lo que quiero hacerles notar, de lo que quiero convencerlos, es que en este cuadro infinito que armé, de infinitas filas, de infinitas columnas, están todas las fracciones positivas. Para mostrar que hay “tantos” números fraccionarios como números naturales, bastaría entonces poder asignar un número natural a cada elemento de este cuadro de manera que al progresar en la enumeración nos aseguremos de que no quedarán elementos sin numerar. ¿Cómo hacer esto? Es claro que no conviene empezar el recorrido tratando de agotar por ejemplo la primera fila, porque nunca pasaría a la segunda. El recorrido tiene que alternar elementos de las distintas filas para asegurar que se vaya cubriendo todo el cuadro. El método de enumerar fracciones también lo descubrió Cantor, se lo conoce como el recorrido diagonal de Cantor. Es decir: A la fracción 1/1 le asigno el número 1. A la fracción 1/2 le asigno el número 2. A la fracción 2/1 le asigno el número 3. A la fracción 1/3 le asigno el número 4. A la fracción 2/2 la salteo porque ya la conté (1/1 = 2/2). A la fracción 3/1 le asigno el número 5. A la fracción 3/2 le asigno el número 6, etc. El recorrido avanza por diagonales cada vez más largas y barre de esa manera todas las filas y todas las columnas. A medida que avanzo me aseguro de que voy numerando a todos los números fraccionarios y paso por encima, simplemente salteo, a las fracciones que se repiten y que ya numeré, como 3/3 o 2/2. ¿Qué se demuestra con esto? Que a pesar de que el infinito de los números fraccionarios parece más apretado, hay “tantos” números fraccionarios como números naturales. Más aún, con esta enumeración se le puede dar un orden consecutivo a los números fraccionarios, un orden, por supuesto, distinto del que tienen en la recta, pero que permite explicar la enumeración de páginas en el Libro de Arena. Esto es algo que posiblemente Borges no supiera. La numeración de páginas que a Borges en el cuento le parece misteriosa y le atribuye una razón también misteriosa, en principio no tiene ningún misterio. No hay contradicción entre el hecho de que entre dos hojas del Libro de Arena siempre hay otra intercalada con el hecho de que cada hoja pueda tener un número: el mismo habilidoso imprentero que pudo coser las infinitas páginas del Libro de Arena, pudo también perfectamente numerarlas tal como lo estamos haciendo nosotros. EL INFINITO Y LA BIBLIOTECA DE BABEL A los matemáticos y también a Borges, les gusta exprimir las ideas, repetirlas, sacarles todo el partido posible. Ahora que tengo este cuadro no me resisto a usarlo una vez más para otro tema recurrente en Borges que es el tema de los lenguajes, tal como está presente, por ejemplo, en “La biblioteca de Babel”. Pensemos un momento en la idea de “La biblioteca de Babel”, una biblioteca de libros no necesariamente inteligibles, una biblioteca absoluta cuya ley fundamental es: “basta que un libro sea posible para que exista”. Borges fija un alfabeto de veinticinco símbolos, pero nosotros, para darnos todavía más libertad, pensaremos en libros escritos en todos los idiomas posibles y haremos una sola lista, un alfabeto universal, reuniendo todos los signos de todos los alfabetos existentes. Empezamos con los veinticinco símbolos ortográficos que menciona Borges (y de este modo nos aseguramos de que todos los libros de la Biblioteca de Babel estén también en nuestros anaqueles). Proseguimos con los 27 símbolos del alfabeto castellano. Agregamos como nuevos símbolos las 5 vocales acentuadas. Seguimos, por ejemplo, con los símbolos del cirílico, después agregamos la ö del alemán, y los demás símbolos diferentes que tenga cada idioma. Así el alfabeto básico va creciendo y creciendo. Para darnos un margen hacia el futuro podemos suponer directamente que los símbolos de nuestro alfabeto son los números naturales, de esa manera nos queda espacio siempre disponible para poder adicionar nuevos alfabetos, nuevos símbolos como la @, o símbolos de lenguajes extraterrestres que nos lleguen en algún momento. Los números del 1 al 25 corresponden a los símbolos ortográficos de los libros de la Biblioteca de Babel, el número 26 es la A, el número 27 es la B, el número 526 será quizá un idiograma chino, etc. Recuerdan ustedes que en “La biblioteca de Babel” Borges acota el número de páginas que puede tener cada libro: cuatrocientas diez páginas. Lo que nosotros nos preguntamos ahora es de qué tipo será el infinito de todos los libros distintos de cualquier número de páginas que pueden escribirse con este alfabeto universal, si admitimos palabras de cualquier longitud. Usando este mismo cuadro puede probarse que este conjunto de libros también es enumerable. La idea es, por supuesto, disponer en la primera fila los libros de una sola página, en la segunda fila los libros de dos páginas, en la tercera fila los libros de tres páginas, etc. Y luego hacer la enumeración de acuerdo al recorrido diagonal de Cantor. Como todos los libros de la Biblioteca de Babel están también incluidos en nuestros anaqueles, podemos concluir que el conjunto de libros de la Biblioteca de Babel es enumerable. ¿Por qué tiene importancia esto para la comprensión del cuento de Borges? En una nota al final del cuento, Borges escribe que una amiga le observó que toda la construcción de la biblioteca de Babel era superflua o excesiva (él usa la palabra inútil), porque en realidad todos los libros de la Biblioteca de Babel cabrían en un solo volumen. En un solo libro de infinitas páginas infinitamente delgadas, “un vademecum sedoso en el que cada hoja se desdoblaría en otras”. La forma de hilvanar los distintos libros uno detrás del otro en este único volumen no sería más que este recorrido diagonal de Cantor. Esta nota al pie que cierra el cuento es el germen de la idea que da después como resultado “El Libro de Arena”. Esta es una forma de concebir muy matemática. El primer ejemplo, “La biblioteca de Babel”, es laborioso, profuso, por supuesto tiene otra riqueza y tiene otros significados, no estoy diciendo que se reduzca a esto. Pero Borges encuentra al final una idea más simple: que se pueden reunir todos los libros en un único volumen, con una cantidad infinita de páginas. Él dice: un libro tal que cada página sea divisible. Es el preanuncio del cuento “El Libro de Arena”. Quiero llamar la atención sobre este modo de reflexionar sobre sus propios textos para abstraer una idea esencial que repetirá o desdoblará en otros sitios. Es el primer ejemplo de un procedimiento general, una operación que recuerda los modos matemáticos y que estudiaremos con más detenimiento luego. LA ESFERA CON CENTRO EN TODAS PARTES Y CIRCUNFERENCIA EN NINGUNA Examinemos ahora el segundo elemento de matemática en “El aleph”. Aparece en el momento en que Borges está por describir el Aleph, y dice: “cómo transmitir a los otros el infinito Aleph, que mi temerosa memoria apenas abarca”. Algo más digo aquí sobre el símbolo aleph. Me parece particularmente acertada la figura de un hombre con un brazo que toca la tierra y el otro brazo que apunta al cielo, porque de algún modo la operación de contar es el intento humano de acceder a lo infinito. Es decir, el ser humano no puede, en su vida finita, en su “vidita” –como diría Bioy Casares– contar efectivamente todos los números, pero tiene una manera de generarlos, una manera de concebir y acceder a un número tan grande como sea necesario. A partir del descubrimiento de la escritura decimal, a partir de los diez dígitos, puede alcanzar números tan grandes como quiera. Aún limitado a su situación terrestre, todavía puede extender su brazo al cielo. Ése es el intento y la dificultad de contar. Algo similar escribe Borges: “¿cómo transmitir a los otros el infinito Aleph, que mi temerosa memoria apenas abarca? Los místicos, en análogo trance, prodigan los emblemas: para significar la divinidad un persa habla de un pájaro que de algún modo es todos los pájaros; Alanus de Insulis, de una esfera cuyo centro está en todas partes y la circunferencia en ninguna”. Un poco más abajo dice: “por lo demás, el problema central es irresoluble. La enumeración siquiera parcial de un conjunto infinito”. Es decir, lo que él acomete es la descripción del Aleph, que es infinito. Y no lo puede agotar en la escritura, porque la escritura es secuencial, el lenguaje es “sucesivo”, es el problema al que nos referíamos recién. Entonces tiene que dar una idea, una muestra, una lista de imágenes suficientemente convincente. Es la célebre enumeración de imágenes que viene a continuación y a la que nos referiremos luego. Pero en realidad la segunda idea en la que me quiero detener ahora es esta esfera que aparece también en ”La esfera de Pascal”. Una esfera cuyo centro está en todas partes y la circunferencia en ninguna. Borges advierte aquí: “No en vano rememoro esas inconcebibles analogías”. Es una analogía muy precisa que añade verosimilitud a la esferita que quiere describir. Para entender esta idea geométrica, que en principio parece un juego de palabras, pensemos primero en el plano, en vez de esferas pensemos en círculos. La idea sería la siguiente: todos los puntos del plano son abarcables por círculos crecientes cuyo centro no importa realmente donde esté, el centro puede estar en cualquier parte. Hago centro en cualquier punto, no importa el punto, y considero círculos cada vez más grandes. A medida que aumento el radio esos círculos van ocupando toda la superficie del plano. En el ensayo “La esfera de Pascal”, cuando quiere precisar un poco más esta imagen, Borges escribe: “Calogero y Mondolfo razonan que intuyó una esfera infinita, o infinitamente creciente, y que las palabras que acabo de transmitir tienen un sentido dinámico”. O sea, podemos concebir y reemplazar al plano por un círculo que crece y crece, porque todos los puntos del plano son abarcables por ese círculo. Ahora, en ese círculo que se expande indefinidamente, la circunferencia se perderá en el infinito. No podemos delimitar ninguna circunferencia. Esta, creo yo, es la idea a la que se refiere. Haciendo un salto al infinito puede pensarse que todo el plano es un círculo con centro en cualquier punto y circunferencia en ninguna parte. El mismo tipo de construcción vale si uno piensa en el espacio tridimensional. Es decir, una esfera pensada como un globo que crece infinitamente y va ocupando todos los puntos. En definitiva, el universo puede concebirse como una esfera infinitamente expandida. Esta es, dicho sea de paso, la concepción actual del universo en la física contemporánea: una esferita de magnitud infinitesimal y masa infinitamente concentrada que en algún momento, en el Big Bang, se expandió en todas direcciones. ¿Por qué es interesante esta “inconcebible analogía”? Porque el Aleph es una esferita. Si uno logra ver a todo el universo también como una gran esfera, es mucho más plausible la idea de que todas las imágenes del universo puedan reproducirse en la esferita al pie de la escalera. Simplemente por contracción uno puede trasvasar todo el universo a la esfera pequeña. Este es, por supuesto, sólo uno de los sentidos con que Borges utiliza esta analogía: el sentido al que prestamos particular atención en nuestro modo matemático con que el que vemos “todo a lo grillo esta mañana”. Pero, como dije antes, la matemática se desliza en los textos de Borges dentro de un contexto de referencias filosóficas y literarias: la idea del universo como esfera está vinculada a toda una tradición de misticismo, religiosa, cabalística, en fin, estas otras connotaciones están explicadas con más detalle en “La Esfera de Pascal”. LA PARADOJA DE RUSSELL La tercera idea es lo que yo llamaría la “paradoja de la magnificación” (técnicamente, es lo que se llama en lógica autoreferencia, pero la palabra “autoreferencia” tiene un significado distinto en literatura y no quisiera mezclarlos). Esta paradoja aparece en el momento de la enumeración, en que Borges se decide a dar la descripción parcial de las imágenes en el Aleph. Pero también ocurre en otras ficciones, cuando Borges construye mundos que son muy vastos, abarcatorios y que terminan por incluirlo a él mismo –o a los lectores– en su ámbito. En “El Aleph” esto puede verse aquí: “Vi la circulación de mi oscura sangre, vi el engranaje del amor y la modificación de la muerte. Vi el Aleph, desde todos los puntos. Vi en el Aleph la tierra y en la tierra otra vez el Aleph y en el Aleph la tierra. Vi mi cara y mis vísceras, vi tu cara y sentí vértigo y lloré”. La postulación de objetos muy vastos, la magnificación, da lugar a curiosas paradojas y Borges debía conocer perfectamente la más famosa, debida a Bertrand Russell, que hizo tambalear la teoría de conjuntos y que fue una de las fisuras más importantes en los fundamentos de la matemática. La paradoja de Russell dice que no se puede postular la existencia de un conjunto que contenga a todos los conjuntos, es decir, que no puede postularse un Aleph de conjuntos. Esto se puede explicar rápidamente de este modo: observemos que los conjuntos más usuales en los que podemos pensar no son elementos de sí mismos. Por ejemplo, el conjunto de todos los números naturales no es ninguno de los números naturales. El conjunto de todos los árboles no es un árbol. Pero pensemos ahora por un momento en el conjunto de todos los conceptos. El conjunto de todos los conceptos sí es en sí mismo un concepto. O sea que, aunque un poco más rara, cabe la posibilidad de que un conjunto sea elemento de sí mismo. Si yo postulo el conjunto de todos los conjuntos, ése, por ser en sí mismo un conjunto, tendría que ser elemento de sí mismo. En definitiva, hay conjuntos que son elementos de sí mismos, y otros que no. Consideremos ahora el conjunto de todos los conjuntos que no son elementos de sí mismos. X = En X estará el conjunto de los números naturales, el conjunto de todos los árboles, el conjunto de las personas de esta sala, etc. Entonces nos preguntamos: ¿será X elemento de X? La respuesta debería ser sí o no. Ahora bien, si X fuera elemento de sí mismo tiene que verificar la propiedad dentro de la llave. O sea, que si X pertenece a X, X no está en X. Pero esto es absurdo. ¿Será entonces que X no es elemento de sí mismo? Pero si X no es elemento de sí mismo, verifica la propiedad dentro de la llave, por lo tanto tiene que estar en X, es decir, si X no es elemento de X, X tiene que pertenecer a X. Otra vez absurdo. Tenemos aquí un conjunto que está en una tierra de nadie, un conjunto que no es ni no es elemento de sí mismo. Esta es la paradoja que encontró Russell, cuando era joven, y le envió una carta a Gottlob Frege, uno de los próceres de la lógica, que estaba por entregar a prensa el último volumen de su gran tratado sobre los fundamentos de la matemática, basado justamente en la teoría de conjuntos. Frege agradeció la comunicación al final de su tratado con las siguientes patéticas palabras: “Un científico difícilmente pueda encontrarse en una situación más indeseable que ver desaparecer sus fundamentos justo cuando su trabajo ha terminado. Fui puesto en esta posición por una carta de Mr. Bertrand Russell cuando mi obra estaba por ir a imprenta”. Con estas pocas líneas Russell no sólo dio por tierra el trabajo de diez o quince años de Frege, sino que provocó una de las crisis más profundas en los fundamentos de la matemática. Para popularizar esta paradoja, Russell pensó en el barbero de un pueblo que únicamente afeita a los hombres que no se afeitan a sí mismos. En principio la existencia de un hombre con esta honesta profesión parece razonable: el barbero de un pueblo, diría uno, es precisamente el hombre que afeita a todos los hombres que no se afeitan a sí mismos. Ahora bien, ¿el barbero debe afeitarse a sí mismo, o no debe afeitarse a sí mismo? Si se afeita a sí mismo, deja de estar en la clase de los hombres a los que puede afeitar. O sea, no puede afeitarse a sí mismo. Pero por otro lado, si no se afeita a sí mismo queda dentro de la clase de los hombres que no se afeitan a sí mismos y por lo tanto se tiene que afeitar. El barbero está atrapado en un limbo lógico en que su barba crece ¡y no puede ni afeitarse ni no afeitarse a sí mismo! (risas). Hay una variación también atribuida a Russell y que la usa Borges elípticamente en “La biblioteca de Babel”. Al principio del cuento “La biblioteca de Babel” el bibliotecario está a la búsqueda del catálogo de todos los catálogos. Les propongo que piensen para la semana próxima en la formulación de la paradoja en términos de catálogos. Porque ¿qué son en el fondo los catálogos? Son libros que tienen como texto títulos de otros libros. Hay catálogos que se incluyen a sí mismos entre sus títulos y otros que no. De esa manera uno puede llegar a la misma paradoja. ¿POR QUÉ BORGES INTERESA A LOS MATEMÁTICOS? Estos tres elementos que acabamos de examinar aparecen una y otra vez en la obra de Borges moldeados en formas literarias de diversas maneras. En el ensayo “El cartesianismo como retórica (o ¿por qué Borges interesa a los científicos?)”, del libro ”Borges y la Ciencia”, la autora, Lucila Pagliai, se pregunta por qué los textos de Borges son tan caros a los investigadores científicos, a los físicos, a los matemáticos. La conclusión a la que llega es que hay en Borges una matriz esencialmente ensayística, sobre todo en la obra madura. Y por supuesto, todo el texto trata de fundamentar esto. Es un ensayo agudo, creo que es una parte de la verdad. Borges es un escritor que procede desde una idea: “en el principio era la idea”, y concibe sus ficciones como encarnaciones o avatares de una concepción abstracta. Hay también fragmentos de argumentación lógica en muchos de los relatos. Este tipo de matriz ensayística a la que ella se refiere es, indudablemente, uno de los elementos que marcan cierta similitud con el pensamiento científico. En un pequeño artículo que yo escribí sobre el mismo tema, apunto a los elementos de estilo que tienen afinidad con la estética matemática. Leo de allí la tesis principal1. Dije antes que hay una multitud de rastros matemáticos en la obra de Borges. Esto es cierto, pero aún si no hubiera ninguno, aún en los textos que nada tienen que ver con la matemática, hay algo, un elemento de estilo en la escritura, que es particularmente grato a la estética matemática. Creo que la clave de ese elemento está expresada, inadvertidamente, en este pasaje extraordinario de Historia de la Eternidad: “No quiero despedirme del platonismo (que parece glacial) sin comunicar esta observación, con esperanza de que la prosigan y justifiquen: lo genérico puede ser más intenso que lo concreto. Casos ilustrativos no faltan. De chico, veraneando en el norte de la provincia, la llanura redonda y los hombres que mateaban en la cocina me interesaron, pero mi felicidad fue terrible cuando supe que ese redondel era ‘pampa’ y esos varones ‘gauchos’. Lo genérico... prima sobre los rasgos individuales”. Cuando Borges escribe, típicamente acumula ejemplos, analogías, historias afines, variaciones de lo que se propone contar. De esta manera la ficción principal que desarrolla es a la vez particular y genérica, y sus textos resuenan como si el ejemplo particular llevara en sí y aludiera permanentemente a una forma universal. Del mismo modo proceden los matemáticos. Cuando estudian un ejemplo, un caso particular, lo examinan con la esperanza de descubrir en él un rasgo más intenso, y general, que puedan abstraer en un teorema. Borges, les gusta creer a los matemáticos, escribe exactamente como lo harían ellos si los pusieran a la prueba: con un orgulloso platonismo, como si existiera un cielo de ficciones perfectas y una noción de verdad para la literatura. Esto resume, de algún modo, lo que yo pienso sobre la articulación del pensamiento matemático en el estilo de Borges. Por ahora es muy poco más de lo que los matemáticos llaman un claim, algo que se afirma por anticipado pero que debe probarse en algún momento. En la próxima charla intentaré fundamentar esta afirmación y leeré algunos de los textos no matemáticos de Borges bajo esta luz. Les agradezco que hayan estado aquí, hasta la semana próxima. Nota: 1 Otro excelente ensayo de este mismo libro, “Indicios”, de Humberto Alagia, me llamó la atención sobre el fragmento de “Historia de la Eternidad” que cito dentro de este pasaje.

Jueves, 01 de Febrero de 2007 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

175. 22. (Octubre 2006) La música del azar (Entrevista a Gregory Chaitin)

- ¿Cómo fue su infancia? Sé que su padre es dramaturgo, ¿cómo fue que usted llegó a interesarse por la ciencia? - Mi papá es sobre todo un hombre muy intelectual, siempre se discutía a fondo en mi casa sobre cada tema. Mi juventud la pasé la mitad en Nueva York, en Manhattan, y la otra mitad en Buenos Aires. Yo vine a la Argentina a los dieciocho y nos quedamos aquí casi diez años. Cuando vivía en Nueva York, creo que fue alrededor de 1957, los rusos lograron colocar por primera vez un satélite en el espacio, el Sputnik. Entonces los americanos se asustaron mucho y crearon una serie de cursos avanzados para estudiantes interesados en la ciencia, tanto en la primaria como en la secundaria. Yo logré ingresar en un curso en la Universidad de Columbia para niños interesados en Matemática y Computación. Además las bibliotecas eran muy buenas en aquella época y Manhattan era un lugar muy estimulante. - ¿Qué fue lo que llevó a sus padres a venir a la Argentina? - En realidad mis padres nacieron aquí, eran hijos de inmigrantes del este de Europa y decidieron ir a los Estados Unidos después de la segunda guerra mundial. Cuando regresaron a Buenos Aires, en 1966, yo me dediqué a una variedad de cosas, por un lado ingresé en IBM (fue aquí donde empecé a trabajar en IBM) y también me vinculé con la Facultad de Ciencias Exactas, di algunos cursos, la única vez en mi vida que di cursos en forma ``normal'', con examen final, etc. Me gustó mucho este contacto con la vida universitaria, el ambiente era muy entusiasta, gente muy capaz, es un gran placer enseñar cuando los estudiantes se interesan. La paradoja de Berry. - ¿Cuáles fueron sus primeros intereses en la investigación? - De muy joven en la teoría de la relatividad, la física cuántica y la cosmología. Pero para entender Física, hay que aprender primero algo de Matemática. Y yo me quedé para siempre adentro de la Matemática. Quise entender lo que yo consideraba que era el problema más profundo, la cuestión de los límites mismos de los razonamientos matemáticos, que era el Teorema de Gödel. Para mí era algo muy misterioso, pero presentía que tenía que ser muy importante. Yo lo veía como un tema de la misma profundidad que la teoría de la relatividad, o la física cuántica. Cuando yo tenía quince años tuve la idea clave que domina todas mis investigaciones, es decir, son treinta y cinco años dedicados a una sola idea y esta idea es la de definir una medida de complejidad de información, tomando como la complejidad de una información el tamaño del programa de computación más sencillo que arroja esa información como resultado. - Esta idea suya surge a partir de la paradoja de Berry: quizá pueda explicarla de una manera sencilla. - Considere el menor número natural que no se puede definir con menos de un millón de palabras. Bien, la paradoja es que acabo de definir perfectamente este número ¡y con mucho menos de un millón de palabras! La idea clave de todo mi esfuerzo es medir la cantidad mínima de palabras que se requiere para definir algo, pero esta cantidad es ambigua, varía con cada idioma, de modo que el paso siguiente fue formular una noción matemática precisa en un idioma artificial. Yo usé el lenguaje de las computadoras. Así, la idea de complejidad se convierte en la longitud del programa más corto que arroja esa información. La música del azar. - ¿Su objetivo inicial era obtener otra demostración del teorema de Gödel? - No, eso llegó en realidad por un rodeo. Mi intención original era la de definir la idea de azar, de aleatoriedad, mediante esta nueva noción de complejidad, es decir, dar una definición ``computacional'' del azar. La forma de hacerlo es decir que un número es aleatorio si la información sobre sus cifras no se puede comprimir mediante un programa pequeño. Si hay un programa de longitud menor que el número para calcularlo el número no es ``al azar'', sus cifras tienen un comportamiento en algún modo regular, que puede ser aprehendido por ese programa. En cambio, si la descripción más concisa del número es dar todas sus cifras, esto significa que el número no tiene ninguna regularidad, ningún patrón, no hay modo de que un jugador astuto pueda obtener siempre ganancia al apostar sobre sus dígitos. Por ejemplo, el número que tiene un millón de nueves, es un número muy grande, pero su descripción es muy corta, es lo que se llama una información compresible. Si un número es al azar, la información sobre sus cifras no es de ningún modo compresible. Una de las paradojas que resulta de esta definición es que la gran mayoría de los números son aleatorios, ¡pero no hay modo de dar una demostración matemática que pruebe que un número dado en particular es aleatorio! Tenemos aquí un hecho matemático que tiene una probabilidad altísima de ser cierto, y aún así, nunca se puede estar absolutamente seguro. Esta es la paradoja fundamental de mi enfoque sobre los límites de la matemática. Buscando a Gödel. - ¿Esto ya lo sabía cuando intentó hablar con Gödel? - Sí, ésta era la novedad, el nuevo enfoque que yo tenía. Como se imagina, Gödel era mi héroe, y yo quería saber su reacción ante este enfoque nuevo, que era bastante diferente. Entonces lo llamé por teléfono. - ¿El estaba en Princeton en esa época? - Sí. Y con la única persona con la que conversaba era con Einstein. Yo era muy joven, la mitad de la edad que tengo ahora, y no tenía ninguna recomendación. Lo llamé por teléfono y le dije: mire, tengo este enfoque nuevo y me gustaría mucho charlar con usted. Increíblemente él no colgó, sino que me dijo, bueno, mándeme un trabajo suyo donde haya escrito algo de esto, llámeme de nuevo y vamos a ver si le doy una entrevista. Le envié mi trabajo y cuando lo llamé de nuevo, ¡me dio la entrevista! Fue un momento glorioso para mí: yo estaba de visita en el laboratorio Watson y estudié la forma de llegar por tren a Princeton. Estaba en mi oficina, a punto de salir, cuando sonó el teléfono, y una voz -una voz espantosa- dice que es la secretaria de Gödel, que en Princeton había empezado a nevar, y como Gödel tenía la salud delicada, prefería postergar la entrevista. Era la primavera ya, no debía nevar, normalmente no debía estar nevando, pero nevaba, y mi cita quedó anulada. Yo tenía que volver a la Argentina ese fin de semana, y presentí que no iba a tener otra oportunidad. Y así fue, porque Gödel murió poco después. Pero pienso ahora que él estuvo muy generoso conmigo, incluso leyó el artículo que le mandé, porque me hizo un comentario técnico en la segunda conversación, me pregunto como reaccionaría yo ahora si algún joven desconocido me pide una entrevista (Risas). Pero volviendo a los límites del razonamiento, como le decía, mi primer interés fue la Física y la astronomía, y creo que comprendo a los físicos, comprendo su forma de pensar, y una idea fundamental, pero muy controversial de la Física de este siglo ha sido el azar, recuerde que Einstein dijo que Dios no juega a los dados con el Universo. ¿Por qué lo dijo? Porque el la física subatómica, en la ecuación de Schrödinger, por ejemplo, se pierde la posibilidad de determinar unívocamente el futuro, las leyes fundamentales son estadísticas. A Einstein ésto le espantaba, él tenía una formación clásica, newtoniana. - El creía en variables ocultas. - Exactamente, él pensaba que tenía que haber variables ocultas, y cuando se descubrieran, desaparecería la componente de azar y se podría predecir exactamente el comportamiento de las partículas. Quién sabe, la tortilla todavía se puede dar vuelta, pero los físicos actuales piensan que el azar es estructural. Yo seguí toda esta polémica entre Bohr y Einstein sobre la Física cuántica, Einstein fue uno de los fundadores de la Física cuántica pero no creía en el azar, lo rechazó, algo que casi hizo llorar a Bohr, porque lo consideraba su héroe, su maestro. Pero yo sí me convencí de que el azar juega un papel fundamental. Paralelamente estaba estudiando los resultados de Gödel y pensaba en algunos problemas abiertos durante siglos en la Matemática, que nadie logra resolver y empecé a pensar: ¿No será que los matemáticos a veces no logran resolver un problema, no porque son torpes, o no trabajan bastante, sino que el mismo azar, o falta de estructura o de leyes que se encuentra en la Física básica, también se encuentra en la Matemática pura? Todo lo que he hecho, realmente, se puede decir que viene de estas ideas de la Física. Y los físicos se sienten más cómodos con mis resultados que los matemáticos. Un número bizarro. - Es que usted probó algo que es muy extraño a la intuición y a la práctica matemática: que hay resultados de la Aritmética que son verdaderos, no por ninguna razón en particular, sino por pura casualidad. - Sí, en particular pude definir un número con una propiedad muy curiosa: está perfectamente definido como objeto matemático, pero no se pueden conocer sus cifras. Cada una de estas cifras tiene que ser algún número entre 0 y 9, pero no se puede saber cuál. Sus dígitos son accidentales. La costumbre en Matemática dice que si algo se cumple, se cumple por alguna razón y la tarea de un matemático es averiguar esa razón y convertirla en una prueba, pero resulta que los dígitos de este número están tan delicadamente balanceados que son impenetrables a cualquier razonamiento. Esto repugna a los matemáticos, esto es algo espantoso, el matemático cree en la razón, algo que escapa a la razón es horrible, es peligroso, asusta a un matemático. Pero los físicos no, los físicos tienen otra manera de pensar, para ellos el azar hasta puede ser un amigo, hay una larga tradición, inclusive antes, dentro de la Física clásica, en la Física estadística de Boltzmann, por ejemplo, ya se encontraba el azar para el comportamiento de moléculas en los gases, hay una tradición de un siglo de pensar de esta forma en la Física. Preguntas a Dios. - A la vez, este número que usted define tiene otra propiedad: encierra en sus dígitos mucha información, porque contiene lo esencial de todos los programas que pueden escribirse en Computación. Lo han llamado incluso el "número de la sabiduría''. - Sí, este número codifica muchísima información, comprimida en una forma extrema. Si uno conociera los primeros cien dígitos, conocería muchísimas cosas, podría resolver un montón de hipótesis dentro de la Matemática. Digámoslo así: si un matemático pudiera hacerle cien preguntas a Dios, la mejor manera de sacar provecho de las preguntas sería preguntarle por las cien primeras cifras de este número. Pero esto mismo es el motivo por el que no se puede acceder al conocimiento de esas cifras: codifican demasiada información. Hay alguna gente que se interesa en este número de una forma mística, excita su imaginación, el hecho de que este número escape a la razón hace que le atribuyan poderes místicos, pero yo no soy místico, yo soy matemático, soy un hombre racional, que quiere seguir la tradición que viene de la Grecia antigua. Sin embrago, hay algo paradójico. El campo en el que trabajo yo es el de los límites de la matemática. Y hay algo de reducción al absurdo en lo que hago, porque yo pienso como matemático, y razonando como matemático llego a los límites de la comprensión. Mi número muestra los límites de la lógica y el razonamiento matemático. Desde el punto de vista filosófico estoy en una posición bastante incómoda. A mí me entusiasma la matemática, amo la matemática, pero veo que hay límites a lo que puede lograr el pensamiento matemático y esto es a veces difícil de sobrellevar, siembra dudas sobre lo que hecho toda mi vida, porque si la matemática es nada más que un juego que inventamos, entonces he malgastado mi vida, es decir, hay una paradoja personal que surge al trabajar sobre los límites, desde el punto de vista psicológico es algo delicado (Risas). - De todas maneras, la proporción de los resultados que estarían sujetos al azar sería muy pequeña dentro de la matemática que se realiza corrientemente, apenas la rozaría: el azar sería el caso excepcional. - Sí, en la matemática que se desarrolla cotidianamente, estoy de acuerdo, los resultados míos no tienen impacto. Pero en algunos campos son conceptualmente importantes y deben tomarse en cuenta. Algunos matemáticos incluso están iniciando una forma novedosa de hacer matemática de una manera cuasi empírica, como procederían los físicos, añadiendo hipótesis sobre las que hay muchas evidencias, pero no certeza absoluta. Esto se debe a la posibilidad de experimentar en gran escala con las computadoras. - También la Física cambió a partir del uso de las computadoras. - Sí: antes se planteaba una ecuación, la ecuación por ejemplo del átomo de hidrógeno, y se buscaba una solución analítica. Pero hoy en día los sistemas físicos son muy complejos, con infinidad de partículas. Entonces no se pueden plantear ecuaciones simples, se trabaja con un programa de simulación, se hacen cálculos que tratan de aproximar el comportamiento del sistema, es un nuevo tipo de Física: cambió la idea de solución. Supercomputadoras y computadoras cuánticas. - ¿Cuál es la idea que está detrás de la nueva generación de computadoras que se imagina, las computadoras cuánticas? - Es una posibilidad tecnológica muy interesante de aprovechar los fenómenos subatómicos: el paralelismo cuántico. Ocurre que un sistema físico subatómico cumple a la vez, simultáneamente, todas las historias posibles. Como si dijéramos, yo llegué con seis horas de atraso en el avión, pero a la vez, llegué a horario, y a la vez estalló el avión en el trayecto, y a la vez nunca pude partir. El resultado final en la física cuántica, lo que se mide, es una suma sobre todas las posibilidades, todos los caminos deben tomarse en cuenta y todos los cruces e interferencias. Se pensaba al principio que esto era paradójico, y a Einstein no le gustaba nada todo esto, pero ahora hay una nueva generación de jóvenes que creció pensando a la Física de esta manera, superó la crisis y lo encuentra en cierto modo natural. En lugar de pelear contra estos conceptos, ellos piensan cómo sacar provecho de esta locura subatómico, cómo extremar y sacar a la superficie este comportamiento loco, y convertir este paralelismo en un ordenador que pueda hacer al mismo tiempo millones de cómputos en paralelo. Esta gente dice: caramba, esto puede darnos la posibilidad de hacer cómputos bestiales con un solo procesador. Uno solo de estos procesadores reemplazaría a un millón de computadoras que trabajaran al mismo tiempo. Un amigo mío opina que la implementación tecnológica no va a funcionar, pero aún desde el punto de vista conceptual yo creo que es muy, muy interesante. Además no hace falta tanto dinero para la experimentación. Lo que encuentro sobre todo interesante es esta idea de forzar al mundo subatómico a revelarse, y mostrarse cuántico al máximo, de pensar: bueno, si el mundo es así, ¡vamos a exagerarlo! En mi laboratorio hay un grupo importante que trabaja en computadoras cuánticas. Yo no participo en ésto pero seguí el problema desde el principio, desde las primeras conferencias, y me encanta cuando algo nuevo surge y empieza a tomar vuelo. Inteligencia artificial y el nuevo Golem. - ¿Cuál es su opinión en la polémica acerca de la posibilidad de creación de inteligencia artificial? - Me alegra que me pregunte de ésto. Yo creo que ya se está logrando inteligencia artificial, sólo que no nos damos cuenta. Normalmente se pensaba que la inteligencia artificial debería parecerse a la inteligencia humana. En esa dirección no hay mucho desarrollo: resulta muy, muy difícil hablar, comprender un idioma natural, reconocer caras, caminar... todas esas cosas que son simples para los humanos resultan ser complejas para las computadoras. Pero las computadoras son muy buenas en tareas que son difíciles para nosotros, por ejemplo, cálculos simbólicos. Hay un programa que se llama Mathematica, de Stephen Wolfram, y yo diría que tiene realmente una inteligencia artificial, es como un ayudante que entiende mucho de matemática. No es una inteligencia humana, pero me puede ayudar mucho en mis investigaciones. También en el ajedrez, mi laboratorio construyó la supercomputadora que derrotó a Kasparov, pero otra vez, no se hizo de forma humana, sino con fuerza bruta, con un proyecto de ingeniería en gran escala. No se simuló la forma en que piensa un ajedrecista, sino que se usaron centenares de máquinas muy veloces con conexiones entre ellas, lo que se llaman computadoras masivamente paralelas. - Yo me refería más bien a la posibilidad de resolver problemas, al argumento central de Penrose en contra de la posibilidad de inteligencia artificial: la imposibilidad de la computadora de hacer razonamientos sobre sí misma, la imposibilidad de la autoreferencia. El límite lo marcaría en el fondo, otra vez, el teorema de Gödel. - El libro de Penrose es muy interesante, él hizo trabajos muy importantes sobre los agujeros negros, y fue luego el director de tesis de Stephen Hawking. Pero debo decir que yo estoy en total desacuerdo con la tesis de su libro. Mi posición le va a parecer un poco extraña, porque soy matemático. Sin embargo, trabajé en IBM también como ingeniero, en un equipo que diseñó la RS6000, en su hardware y en su software. Mi opinión personal es que el problema de la inteligencia artificial no es un problema matemático, teórico, sino un problema de ingeniería. No creo que el teorema de Gödel pueda definir esta cuestión. Yo pienso en el ser humano como una obra de ingeniería que está muy bien adaptada para manejarse en este mundo. Y el teorema de Gödel no trata sobre organismos sino sobre los límites de los razonamientos: no puede extrapolarse. Muchas veces ocurre que en teoría se demuestra que algo no se puede hacer, pero los ingenieros logran encontrar una solución bastante buena en la mayoría de los casos, o una aproximación suficiente. Yo creo que la inteligencia humana es algo parecido. Creo que hay una parte del camino hecho, sólo que no nos damos cuenta, y que dentro de cincuenta años se va a estar muy cerca de una verdadera inteligencia artificial, y después la gente se va a preguntar por qué alguna vez se pensó que sería difícil lograr esto. No va ser el resultado de un teorema matemático, sino algo que hicieron muchos ingenieros por partes, que fue creciendo, un poco como ocurre en la biología. Los biólogos dicen que Dios es un... ¿cuál es la palabra castellana para cobbler? En francés sería bricoler. - ¿Un remendón? - ¡Un remendón, exactamente! (Risas) Los seres humanos no fueron diseñados como una obra de arte, sino que se fueron emparchando, cada vez que surgía una emergencia. Y así somos, un poco estrambóticos, pero funcionamos. Y creo que también va a ser un poco así la inteligencia artificial... - Como una oveja Dolly. - Sí, como una sucesión de injertos, un Frankestein que gradualmente se va sofisticando, hasta que un día nos damos cuenta de que el monstruo es ya bastante inteligente. Ya ve, mi punto de vista aquí no es el de un matemático, sino el de un ingeniero. El nuevo Renacimiento. - ¿Considera usted que las conclusiones de sus trabajos alientan algún tipo de pesimismo respecto a la ciencia, o la razón en general? - Alguna de las cosas que he dicho pueden parecer un poco pesimistas, inclusive me entrevistaron para un libro que se llama El fin de la Ciencia. El señor que escribió este libro pensó que mis resultados apoyaban su tesis de que la ciencia se acaba, pero en la entrevista yo me negué, no estoy para nada de acuerdo con esto. Yo prefiero otro libro, de Oxford University Press, que está por aparecer. Se llama El nuevo Renacimiento, el autor es Douglas Robertson. Este libro tiene un enfoque muy optimista, con el que yo concuerdo. Su tesis es que vivimos una nueva etapa de la socieded y de la ciencia, debido a la incorporación en todos los niveles de las computadoras. Según él, lo que separó en un principio al hombre del animal es el lenguaje, después, la civilización comienza con la escritura y la lectura, que permite saber y recordar más cosas. A continuación viene el Renacimiento europeo, con la invención de la imprenta y la democratización y generalización del saber. Antes el libro era un objeto de lujo, reservado sólo a obispos y reyes. Según Robertson, estamos por entrar en el siguiente nivel, recién ahora la computadora hará sentir su verdadero impacto. Se requería la computadora personal, se requería Internet y se requería la web mundial. Con la web todavía hay un problema de copyright, pero cuando esto se solucione, uno tendrá a su alcance, en su pantalla, la suma de todo el conocimiento mundial e histórico. La web será una inmensa biblioteca, la biblioteca universal humana. Lo importante, según Robertson, es la cantidad de información al alcance de cada persona en una sociedad. Con cada uno de los pasos históricos: lenguaje, escritura, imprenta, Internet, la sociedad aumenta y distribuye mejor la información. Robertson también dice que la computadora no sólo va a cambiar la sociedad, sino que provocará además una revolución conceptual en la manera de hacer ciencia y matemática. Cambió la idea de solución y cambian gradualmente los métodos. Pueden estudiarse sistemas muy complejos. Los problemas analíticos van quedando como problemas de juguete. Hay una nueva escuela filosófica en matemática, la matemática cuasi empírica, y yo soy partidario de este enfoque. La matemática, a mi juicio, es diferente de la Física, pero no tan diferente como se pensaba. No hay que tener miedo de agregar en ocasiones nuevos principios. - Sin embargo con este nuevo enfoque hay algo que se pierde, y es la idea de elegancia, de concisión, de belleza matemática. La idea de simplicidad deja de tener sentido para las computadoras, son ideas que provienen de una estética humana. - Es cierto, y la belleza de los razonamientos matemáticos es lo que a mí me encanta. Cuando yo era joven decía que la belleza de algunas demostraciones era comparable a la de una mujer hermosa. Evidentemente no es lo mismo, pero en cierto sentido, producen la misma poderosa emoción. Pero la matemática está en continua evolución y me temo que los problemas que admiten una solución bella y corta quedan ya como problemas de juguete. El problema de clasificar todos los grupos simples requirió más de diez mil páginas de demostración. Por supuesto esto no es más que mi opinión personal, que es muy controvertida. Pero como estamos en el café Tortoni, me siento otra vez porteño, y capaz de hablar de todo (Risas). Verdades y LA verdad. - Quería preguntarle sobre los diez años que usted estuvo corrigiendo su noción de complejidad. ¿Qué pensaba durante todo ese tiempo en que ya tenía la idea pero no alcanzaba a encontrar la formulación precisa? - Lo que ocurre es que los matemáticos somos un poco artistas, creo. La matemática pura realmente es un arte y yo tengo una sensación estética. ¿Cómo saber si una definición es correcta? Un concepto es bueno si los teoremas que resultan son hermosos, y naturales. Uno tiene que lograr que los conceptos se combinen y trabajen juntos armoniosamente. Cuando empecé mi teoría ensayé una primera definición que facilitaba el trabajo, pero sentía que había perdido algo respecto de otras definiciones que había considerado y que me traían dificultades técnicas. Aproveché durante mi primer viaje al laboratorio Watson en Estados Unidos para concentrarme sólo en eso. Y entonces me di cuenta de que sí era posible, si yo consideraba lo que es ahora mi definición, lograr que todo cayera en su lugar, de una forma fatal. En la matemática hay cierta libertad para cambiar las reglas del juego si el juego no va bien. Ahora el 99 por ciento de mi teoría camina mejor, pero queda un pequeño porcentaje que se perdió irremediablemente. - ¿Qué sintió cuando pudo probar el primer teorema importante? En el epígrafe de su libro dice: ¡El pensaba que tenía LA verdad! - Por un lado en la vida normal uno sabe que LA verdad no existe, todo es muy complicado, hay que mirar las cosas desde muchos puntos de vista. En la matemática pensábamos antes que nos podíamos poner todos de acuerdo, que la matemática se distinguía en ese sentido de la vida normal. Pero los teoremas de Gödel, de Turing y mis resultados demuestran que no se puede tener toda la verdad. Pero sí es cierto que durante la investigación hay un momento de éxtasis, de euforia. Porque la investigación es una cosa realmente penosa, la mayor parte del tiempo uno está luchando y todo es feo, nada camina, las ideas se chocan entre sí y uno siente que está malgastando su tiempo, su vida, en eso. Pero hay un instante en que uno ve la luz y se da cuenta de cómo es el enfoque correcto. Es como una vez que estaba escalando una montaña en el norte del estado de Nueva York. Caminaba con un grupo de amigos bajo la lluvia, pisábamos el barro todo el tiempo. Pero cuando hicimos cumbre, la cima estaba por encima de la capa de nubes, con un sol resplandeciente y se veía la planicie blanca de las nubes y a lo lejos los otros picos que emergían. Es la misma sensación de euforia que se tiene cuando después de muchos años de luchar contra la propia ignorancia, de pronto uno se da cuenta de cómo mirar las cosas y todo se hace hermoso y uno tiene la sensación de ver más lejos. Es un momento maravilloso, es el premio, es como Dios retribuye ese esfuerzo... cuando uno tiene suerte. Pero hay un precio grande que se paga, que es el de estar obsesionado con el problema, como con una herida, como con una piedra adentro del zapato. Por lo menos en mi caso, y Einstein ha dicho lo mismo, creo que hay que estar obsesionado, y yo no aconsejaría a nadie llevar este tipo de vida. Einstein tenía un gran amigo, Michele Besso, con quién discutió muchos detalles de su teoría de la relatividad. Pero Besso nunca logró por sí mismo nada importante en la ciencia y su mujer le preguntó una vez a Einstein por qué -si su esposo era tan dotado- sucedía esto. ¡Porque es una buena persona!, le respondió Einstein. Y yo creo que es así: hay que ser un fanático, y eso arruina la vida de uno y de los que están cerca. - ¿Cuál es su relación con la vida real? ¿Usted lee los diarios, por ejemplo? - Bueno, cuando yo era joven me gustaba andar de mochilero, remar en el Tigre, correr tras las hermosas chicas porteñas, y me reía de estas imágenes excéntricas que la gente imagina de los matemáticos, como absortos, u olvidadizos. Pero la venganza de Dios ha sido que con el correr de los años me sorprendo mirándome en el espejo, ¡y yo me he convertido en esa imagen de matemático que pensaba que era un chiste! Pero la verdad es que para trabajar en estos temas realmente me he aislado del mundo, vivo en una casa en el campo y debo hacer media hora en coche para llegar al primer café. Ahora que estoy otra vez en Buenos Aires me doy cuenta de que realmente extraño mucho, esto es maravilloso, la gente por las calles, los cafés. Yo tengo cerca la ciudad de Nueva York, que no es tan hermosa como Buenos Aires, pero con todo es una gran cuidad, y voy realmente poco. Prefiero hacer caminatas por las colinas, en el campo, en fin, ése es el tipo de vida que estoy llevando ahora. - Usted recorrió en Viena lugares donde estuvo Gödel. ¿Cómo era él en su juventud? - Uno tiene la imagen de Gödel a través de las fotografías como un hombre extremadamente flaco, muy serio, que no se interesaba por el mundo real. Pero cuando era joven se pasaba todo el tiempo en los clubes nocturnos de Viena, allí conoció a su mujer, que era bailarina. Era normal para los hijos de familias acomodadas, como era Gödel, este tipo de vida nocturna. Lo que no era normal era que además le gustara la matemática. A mí me contó un amigo que un día en Princeton vio venir a Gödel por la calle y pensó en detenerlo y presentarse para estrecharle la mano. Pero en ese momento por la vereda de enfrente pasaba una alumna, una jovencita hermosa que no llevaba mucha ropa porque era verano y en Princeton hace en verano mucho calor. Parece que en el instante en que iba a darle la mano, Gödel estaba con toda su concentración puesta en esta chica y mi amigo no se atrevió a interrumpirlo. Esto prueba que Gödel no era un santo de la matemática, y ésto está bien, somos después de todo hombres de carne y hueso, ¿no es cierto?

Domingo, 01 de Octubre de 2006 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

176. 21. (Septiembre 2006) El Golem y la inteligencia artificial

(Fragmento de una exposición en el encuentro multidisciplinario “Proyecto Golem” en conjunto con la República Checa, Museo de Bellas Artes, Octubre 2003). Aunque no está claro todavía si realmente existe algo que podamos llamar con propiedad inteligencia artificial (más allá de posibles y convincentes simulaciones), por los milagros de la teorización los especialistas ya hablan de una edad antigua y una edad moderna en esta búsqueda. En la era “antigua” se intentaba modelar a la inteligencia como un algoritmo separado de lo corpóreo, un gigantesco programa para una computadora ideal. En la época “moderna” se intenta “encarnar” a la inteligencia en un contexto orgánico-espacial a través de robots, los nuevos golem. Yo quisiera recordar aquí algunos versos del poema de Borges sobre el rabí de Praga y su criatura y comentar desde esta lectura distintas afirmaciones sobre esta distinción. En una de las primeras estrofas de “El Golem” Borges dice: Y, hecho de consonantes y vocales, habrá un terrible Nombre, que la esencia cifre de Dios y que la Omnipotencia guarde en letras y sílabas cabales. Este es un tema que Borges trata también en el cuento “La escritura del dios”. En ese relato un sacerdote está encerrado en un pozo junto con un jaguar. Una vez por día, cuando se abre en lo alto una trampa por donde le dan de comer, el sacerdote puede ver las manchas del jaguar y descubre finalmente que en la configuración de esas manchas está cifrada la sentencia mágica escrita por el dios, una frase de catorce palabras que implica el universo entero. La pronunciación de esas palabras le daría al sacerdote la suma de los poderes, lo convertiría a él mismo en el dios. Es una variación de una creencia cabalista que Borges ha repetido varias veces, la idea de que la manipulación sintáctica, la mera combinación y pronunciación de unos símbolos, permite generar vida. Es no sólo el procedimiento del rabí de Praga sino también el de algunos relatos de creación prebíblicos y se corresponde perfectamente con lo que se ha dado en llamar la edad antigua, la inteligencia artificial sin encarnación, porque un programa no es al fin y al cabo más que un fragmento de lenguaje, un puñado de órdenes y palabras. A continuación hay otra estrofa que dice: El rabí le explicaba el universo “Esto es mi pie; esto el tuyo; esto la soga” y logró, al cabo de años, que el perverso barriera bien o mal la sinagoga. Podemos comparar aquí, con respecto a la imagen tradicional y ominosa del Golem que crece desmesuradamente, la mirada irónica, condescendiente, de Borges en este poema. El Golem, más cercano a su etimología, como algo amorfo que no llega a realizarse totalmente y al que su hacedor se resigna: “logró al cabo de años que el perverso barriera bien o mal la sinagoga”. (Perverso tiene el significado aquí de “contrariado en su naturaleza”, sin ninguna connotación de maldad). No sé si la robótica llegó ya a la instancia de barrer bien bien la sinagoga, eso también habría que verificarlo. Pero a lo que quería referirme en este verso es a la línea: “Esto es mi pie, esto el tuyo”. Esta enseñanza, la pertenencia del propio cuerpo, quizá la más básica, tiene que ver con el sentido de propiocepción, uno de los sentidos implícitos, de los que no somos concientes. Tenemos los cinco sentidos que reconocemos y otros, más ocultos, que nos hacen funcionar como un todo integrado y que en ocasión de una lesión cerebral (como los casos que trata Oliver Sacks en El hombre que confundió a su mujer con un sombrero) pueden perderse o dislocarse. Puede ocurrir que dejemos de sentir a un miembro como nuestro. Hay casos de pacientes que se caen de la cama al tratar de sacar un pie propio que creen que está ahí puesto, suelto, como una broma por alguien. Estos sentidos “detrás de los sentidos” deberían también considerarse, supongo, a la hora de articular la inteligencia con una encarnación física. La ironía de Borges vuelve, más marcada, en una estrofa posterior: “Tal vez hubo un error en la grafía o en la articulación del Sacro Nombre; a pesar de tan alta hechicería, no aprendió a hablar el aprendiz de hombre.” Esta mirada algo despectiva sobre los “aprendices de hechiceros”, ya sean rabinos, alquimistas o científicos, es algo que en la literatura es muy común. De algún modo, está aquí el choque de las dos culturas: humanística versus científica. En la literatura (salvo en el género específico de la ciencia ficción) todo intento científico se trata como algo condenado a fallar. El ejemplo prototípico es, por supuesto, Frankenstein, en que el monstruo se vuelve contra su creador. Si la imagen del Golem puede parecer algo ominosa, la criatura de Shelley, como símbolo para dar título a un encuentro de robótica, sería todavía menos simpática. Y sin embargo, no están tan lejanas: Frankenstein, de Mary Shelley, lleva como subtítulo: “El moderno Prometeo”. Y justamente, el Golem está vinculado también con la idea de Prometeo de darle al hombre todos los atributos divinos (más aún, aparentemente el mito de Prometeo tiene un origen común con el de Adán y la modelación de hombres de arcilla). Ahora me quiero referir al tema de las limitaciones o posibles limitaciones de la inteligencia artificial, que tiene que ver con la última estrofa del poema de Borges. Veremos un mecanismo que Borges ha perfeccionado y ha repetido y que es particularmente significativo en este contexto. El rabino reflexiona sobre su creación, sobre ese hijo un poco tonto que le salió. Dice: “En la hora de angustia y de luz vaga, en su Golem los ojos detenía. ¿Quién nos dirá las cosas que sentía Dios, al mirar a su rabino en Praga?” Este es un procedimiento muy frecuente en Borges, yo lo llamaría “el paso atrás”, lo hace también por ejemplo en el cuento “Las ruinas circulares”. A último momento el hombre que entra en el fuego no se quema porque es también el sueño de otro creador más alto. Ese paso atrás de la razón, creo yo, es uno de los atributos fundamentales del ser humano, en el fondo eso es lo que está detrás del teorema de Gödel. En efecto, Kurt Gödel, antes que Turing, fue quien primero se dio cuenta de la limitación intrínseca de todos los sistemas formales (que es, bien mirado, un problema de limitación del lenguaje). Una vez que uno fija las reglas de juego sintácticas y lógicas de un sistema formal, una vez que uno encuentra la forma de modelar un algoritmo y lo percibe separadamente como objeto de estudio, de algún modo puede dar también ese “paso atrás” y formular una pregunta que esté más allá de los alcances de ese sistema. Es la idea que recoge luego Roger Penrose en el libro The Emperor`s New Mind como base de su argumentación en contra de la posibilidad de existencia de inteligencia artificial. Penrose observa que el teorema de Gödel nos permite exhibir una proposición verdadera, una proposición que sabemos verdadera, pero cuya verdad está fuera del alcance de los mecanismos de corroboración de la computadora. Ésto muestra la brecha que hay entre la verdad y la parte demostrable, o corroborable, de la verdad. Creo yo que es exactamente el mecanismo de estos dos versos. Borges lo logra, como se hace en poesía, por la magia antigua de “simpatías” de la analogía, o sea, él nos muestra a un rabino que trata infructuosamente de educar a su criatura y luego da un paso atrás y somos de pronto nosotros la criatura de un creador más alto que también se está esforzando –por ahora sin demasiados resultados.

Viernes, 01 de Septiembre de 2006 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

177. 18. (Mayo 2006) Soluciones y Desilusiones

La matemática tiene un momento elitista –que corresponde a la intuición correcta de la solución de un enigma, reservada para unos pocos iluminados- y un segundo momento profundamente democrático: el momento en que esa solución se da a conocer a todos mediante una demostración. Mirada de cerca, una demostración matemática es una sucesión de pequeños pasos lógicos encadenados entre sí, de manera que cualquiera pueda examinar los eslabones con toda la detención necesaria. Idealmente, cada uno de los pasos debe ser en sí tan simple, que cualquier persona con un mínimo entrenamiento en símbolos debería ser capaz de realizar el chequeo de una manera casi automática, verificando de una manera “local” cada ligadura, del mismo modo que una computadora traza en ínfimos cuadraditos de la pantalla rayitas inocentes sin saber que armarán finalmente una reproducción de la Gioconda. Esta combinación de imaginación y libertad para la conjetura de soluciones, y de transparencia y rigor en las pruebas es posiblemente la clave de la profundidad a que ha llegado el pensamiento matemático en comparación con la acumulación de conocimiento, siempre relativamente horizontal, de otras disciplinas. Sin embargo, la complejidad de algunos problemas, y la utilización de computadoras, puede cambiar dramáticamente la idea de “solución”, y la naturaleza de las demostraciones. Uno de los problemas más importantes del álgebra -cómo clasificar ciertos objetos matemáticos que se llaman grupos finitos- requirió un trabajo de cíclopes de decenas de matemáticos reunidos en un equipo. Es muy probable que sólo el director fuera capaz de entrever el contorno de la gran figura en el rompecabezas que se iba armando: ningún matemático, para convencerse, podría reproducir por sí solo en el lapso de una vida humana todos los detalles. Durante muchos años, en la ex Unión Soviética, los matemáticos rusos pusieron un asterisco de advertencia en sus trabajos si debían usar en algún momento este teorema. Les parecía más un acto de fe en sus colegas occidentales que una pieza admisible del razonamiento matemático. De la misma manera, es interesante el momento de zozobra que vivió el mundo de la matemática luego de que Wiles anunció la solución a la última conjetura de Fermat, una herida abierta por más de trescientos años. Su demostración original tenía un error, que sólo tres o cuatro especialistas podían detectar; son los mismos tres o cuatro especialistas que certifican que el error se ha remendado. No estoy diciendo de ningún modo que desconfíe de que el teorema haya sido finalmente demostrado. Pero son cien páginas que remiten a otros cien libros de álgebra, y a tres siglos de historia de la matemática. Esto quiebra naturalmente el carácter democrático de la demostración. Fermat, vuelto a la vida, seguramente hubiera protestado. El creía tener una demostración elemental, breve, bella, admirable: una demostración de las de antes. Las cosas pueden volverse peores cuando entran en juego las computadoras. Uno de los problemas más famosos de la matemática es el problema de los cuatro colores: dado un mapa con países cualesquiera, ¿cuál es la mínima cantidad de colores necesarios para pintar el mapa de modo que países limítrofes tengan colores diferentes? Se sabía que cinco eran suficientes y que con tres no alcanzaba. Durante muchos años trató de probarse que el número mínimo era cuatro. Finalmente se dio una “demostración”: es un libro de programas, que una vez corridos, agotan las miles de ramificaciones de una clasificación tan minuciosa como desanimante. Ningún matemático estaría dispuesto a aceptar desde el punto de vista de la belleza, o la necesidad matemática, que algo así sea una demostración. Vence pero no convence, exactamente igual que la computadora Deep Blue, que puede derrotar a Kasparov, pero no juega verdaderamente el mismo juego de ajedrez. Hay, en definitiva, un agudo problema estético que empieza a perfilarse. Leo que en los Estados Unidos se ofrece un millón de dólares a quien resuelva alguna de siete preguntas matemáticas pendientes. Quizá habría que agregar que la solución debe ser corroborable en un tiempo humano. “Pensamiento Profundo”, la supercomputadora que imagina Douglas Adams en Hitchhiker´s Guide to Galaxy termina su cálculo e imprime la respuesta final “42” en un futuro tan avanzado que ya nadie recuerda cuál había sido la pregunta.

Lunes, 01 de Mayo de 2006 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

178. 14. (Diciembre 2005) La vida doble y triple de Lewis Carroll

Los hechos, los pocos hechos en la superficie de la vida de Charles Dodgson, que llevaría una larga existencia paralela como Lewis Carroll, son bien conocidos. Nació en 1832 en Dadesbury, Cheshire, tercer hijo del párroco de esa localidad. Hasta los doce años no concurrió a la escuela y se educó en el seno de su familia. En 1843 se mudaron a Croft, un pueblito de Yorkshire, donde el pequeño Charles construyó con la ayuda del carpintero del pueblo un teatro de marionetas para representar piezas infantiles escritas por él e inició su enseñanza secundaria en el colegio de Richmond. Era, como todos sus hermanos, zurdo, en una época en que esto se consideraba una tara física, y ligeramente tartamudo. A los trece años reúne en un manuscrito (Useful and Instructive Poetry) una serie de trabajos infantiles que preludian su producción literaria posterior y contienen el núcleo de diversas parodias y juegos de palabras de Alicia. Completa su secundario en la Public School de Rugby, un período sombrío para él: “no puedo decir que haya guardado de mi estancia en Rugby el menor recuerdo agradable”, escribe en sus cartas muchos años después. Sufrió varias enfermedades en esta época, una de las cuales lo dejó sordo de un oído. La muerte de su madre en 1851, año en que ingresó en el Christ Church College de la Universidad de Oxford, fue para él un golpe durísimo. Y de la muerte del padre, en 1868, escribió treinta años después, “es la mayor desgracia que me haya sucedido jamás”. Aprueba con éxito sus exámenes, es el primero de su clase en matemática y obtiene un título como Licenciado en Artes en 1854. Se le dan las distinciones de “Master of the House” y de “estudiante Senior” (el equivalente a fellow en otros colleges) que lo convierte en miembro vitalicio de Christ Church. Como ocurría con las posiciones académicas en ese tiempo, su beca dependía de que permaneciera soltero y de que prosiguiera la carrera eclesiástica. Empieza a prepararse para su ordenación como diácono y paralelamente entra en contacto con Edmund Yates, director del Comic Times, donde publica parodias poéticas y algunos cuentos cortos. Le propone al editor varios seudónimos: Dares (primeras sílabas de su pueblo natal), Edgar Cuthwellis, Edgar U.C. Westhall (conformados con letras de su nombre) y las variantes Louis Carroll y Lewis Carroll, a las que llega tomando sus propios nombres Charles Lutwidge, traduciéndolos al latín como Carolus Ludovicus, invirtiéndolos y retraduciéndolos luego al inglés. Yates eligió el último. Y con este alias flamante escribe, para una nueva revista de Yates, diversos poemas cómicos y de nonsense. En su excelente prólogo a Alice´s Adventures in Wonderland Martin Gardner retrata al Carroll adulto de este modo: “Por casi medio siglo fue residente de Christ Church, el college en Oxford que fue su alma mater. Por más de la mitad de ese período fue un profesor de matemática. En sus clases no había humor y eran aburridas. No hizo contribuciones significativas a la matemática, aunque dos de sus paradojas lógicas, publicadas en la revista Mind, tocaban problemas difíciles que involucran lo que ahora se conoce como metalógica. Sus libros de lógica y matemática están escritos de un modo pintoresco, con muchos problemas divertidos, pero su nivel es elemental y son escasamente leídos hoy.” Dice luego de su apariencia física: “Era buen mozo y asimétrico -dos hechos que pueden haber contribuido a su interés en las reflexiones en el espejo. Un hombro era más alto que el otro, su sonrisa era algo torcida y sus ojos azules no estaban exactamente a nivel. De altura moderada y delgado, caminaba siempre rígidamente erecto y con un paso peculiarmente saltón. Tenía un oído sordo y un tartamudeo que hacía temblar su labio superior. Aunque ordenado como un diácono daba muy rara vez el sermón a causa de este tartamudeo y nunca se propuso para jerarquías superiores. No hay ninguna duda sobre la profundidad y sinceridad de sus creencias en la Iglesia de Inglaterra. Era ortodoxo en todos los aspectos salvo en su imposibilidad en creer en la condena eterna. En política era un Tory, subyugado por lores y ladies, e inclinado a ser snobbish con sus inferiores. Era tan tímido que podía permanecer sentado por horas en una reunión social sin contribuir en nada a la conversación, pero su timidez y tartamudeo “suave y repentinamente se desvanecían” cuando estaba a solas con una niña. Era un solterón quisquilloso, mojigato, excéntrico, maniático y amable con una vida sin sexo, sin acontecimientos, feliz”. Y completa este cuadro apacible citando una frase del propio Carroll: “Mi vida discurre tan extrañamente libre de toda prueba y problema, que no puedo dudar de que mi propia felicidad es uno de los talentos que se me confiaron para mantenerme ocupado -hasta que Él retorne- en hacer algo por la felicidad de los otros”. En 1855 fue nombrado sub bibliotecario y conoció a las tres hijas del decano de la universidad (Lorina, Alice y Edith), que acostumbraban jugar en un jardín contiguo a la biblioteca. Alice tenía entonces tres años de edad. Inicia relaciones de gran intimidad con la familia, vecina de él en Christ Church (sólo el decano podía residir acompañado en el college). En esa misma época ve en el teatro a la actriz infantil Ellen Therry, de ocho años, con quien mantendrá luego una larga relación. En 1856 conoció a los escritores Tennyson, Thackeray y John Ruskin. También Ruskin, que estaba enseñando en Oxford, se sintió años más tarde profundamente impresionado por la pequeña Alice, a quien le daría lecciones de dibujo: un pasaje de su autobiografía Praeterita revela esta pasión y sus maniobras para quedar a solas con ella a espaldas de los padres. En 1857 Dodgson trabaja con interés en una serie de temas; publica cartas en periódicos ingleses; inicia sus escritos matemáticos simultáneamente con sus clases (y también con su fracaso como maestro, del que deja registro en su diario). Se apasiona por el arte novísimo de la fotografía, del que es un notable precursor: Alicia posa frecuentemente para él. En 1858 publica anónimamente The Fifth Book of Euclid treated algebraiclly by a College Tutor. Dos años más tarde aparece A Photographer´s Day Out. En 1862 la relación de Carroll con Tennyson se hizo tan íntima que pasaba días enteros en su compañía. Se interesa en la escritura automática y en el ocultismo: por esta época se inscribe en la Sociedad Psíquica. Publica Mishmash, College Rhymes y también los escritos matemáticos A Syllabus of Plain Algebrical Geometry, Notes on the First Two Books of Euclid y Notes on the First Part of Algebra como soportes de sus clases. El 4 de julio anota en su diario: “He seguido el río hasta Godstow con las tres pequeñas Liddell; hemos tomado el té en la orilla y no hemos regresado al Christ Church hasta las ocho y media... He aprovechado la ocasión para contarles una historia fantástica, titulada “Las aventuras de Alicia bajo tierra” que me he propuesto escribir para la pequeña Alice”. El relato de aquel día fue al parecer más inspirado que nunca y antes de despedirse la propia Alicia le suplicó que lo escribiera para ella. El manuscrito de Alicia estuvo terminado para la Navidad de aquel año y Carroll lo entregó, ilustrado por él mismo, como regalo de Pascua a la pequeña Liddell. Nunca pensó que el libro pudiera tener otro destino. El novelista Henry Kingsley lo tomó por azar en una visita a la casa del decano, lo leyó y urgió a la señora Liddell a que convenciera al autor de publicarlo. Dodgson, honestamente sorprendido, consultó con su amigo George MacDonald, autor de las mejores historias para niños de esa época, y éste dejó el juicio a su hijo de seis años, quien declaró que desearía que hubiera “sesenta mil volúmenes de algo así”. De acuerdo con su diario íntimo, Dodgson puso grandes ilusiones en su teoría de la lógica simbólica y tuvo un magnífico concepto de sus pequeños inventos: reglas mnemotécnicas para logaritmos de números primos, un juego de crocket aritmético, un sustituto para la goma, una forma de controlar el tráfico de carruajes por Covent Garden, un aparato para tomar notas en la oscuridad, un velocímetro para triciclos. Pero cuando se trató de aquello que hacía mejor –contar historias a niñas- pensar en publicarlas y en adquirir fama no pareció haberle pasado jamás por la cabeza. El libro apareció con el título “Alice Adventures in Wonderland”, en 1865, con ilustraciones de John Tenniel, de las que Carroll no llegó a estar nunca conforme. La extrema minuciosidad de Carroll sacaba de quicio a Tenniel, si bien había quizá otra cuestión, y era que el escritor quería a toda costa que el dibujante tomara como modelo a la misma Alice. Lewis Carroll habría sentido un amor verdadero por Alice Liddell. Su biógrafo Max Trell afirma que no sólo estuvo enamorado de ella sino que llegó a proponerle matrimonio. Alice fue la primera de las numerosas amigas niñas que Carroll frecuentó a partir de los treinta años. Hacia 1865 pareció sufrir un rudo golpe afectivo y el cambio en su cadencia artística coincide con las disensiones que surgieron entre el escritor y la familia de Alice, al convertirse ella en una jovencita. En 1867 Carroll realizó un viaje por todo el continente europeo, incluida Rusia, en compañía del doctor Liddon (quien sugirió el título de la secuela de Alicia: “Detrás del espejo y lo que Alicia encontró allí”). En 1868, año en que murió su padre, se instaló en el piso en el que viviría hasta su muerte. Según sus biógrafos, tenía verdadero terror a las corrientes de aire y sostenía la teoría de que “no podían existir tales corrientes si la temperatura era la misma en toda la casa”, por lo que tenía estratégicos termómetros inmediatos a la sala donde trabajaba. Después de la ruptura con Alice, y de acuerdo con Evelin Hatch, “la atracción de Dodgson por las niñas se convirtió en una auténtica manía”. Allí donde estuviera intentaba hacerse amigo de las niñas con que coincidía, para lo cual llevaba siempre consigo juguetes y pequeños regalos. Tuvo en las décadas siguientes otras tres “preferidas”: Gertrude Chataway, hacia 1860; Isa Bowman, hacia 1880, y por último, alrededor de 1890, Enid Stevens. Estas favoritas caían por lo general en desgracia cuando iban a cumplir quince años. En 1876 publicó La caza del Snark, un extraordinario poema narrativo del nonsense. En 1879 escribió Euclides y sus rivales modernos en un intento para aunar su faceta de matemático y literato. Al parecer, por esta época, Carroll empezó a sufrir unas singulares ilusiones ópticas. Tenía 56 años y se pasaba leyendo y escribiendo más de doce horas diarias. Su siguiente publicación fue El juego de la lógica, un método para enseñar a los niños los principios elementales de esta disciplina. Dos años después publicó Silvia y Bruno, que marca un evidente descenso en su potencial poético. En 1880 abandonó el hobby de la fotografía; se ha sugerido que esta decisión repentina fue motivada por la indignación que le causaron algunos comentarios acerca de los desnudos que había hecho, pero (según la Enciclopedia Británica) no hay sobre esto ninguna evidencia firme. En ese año inventó un juego de letras, similar al Scrabble: “se me ha ocurrido un juego que podría consistir en la reunión de cierto número de letras, las cuales podrían moverse en un damero hasta conseguir formar palabras con ellas”. Tuvo también una divertida correspondencia con un “cuadrador del círculo”. En 1882, abrumado por su labor literaria y por el tiempo que necesitaba para sus múltiples actividades, dimite en sus funciones como profesor del Christ Church. En 1891 vuelve a ver a Alicia, ahora Mrs. Hargreaves, muy próxima a los cuarenta años. El final de su vida lo dedicó a sostener controversias con los profesores de lógica y matemática de su época. Carroll pensó en publicar los cientos de juegos y puzzles que había inventado en una recopilación ilustrada, pero la muerte no le permitió llevar a cabo este proyecto. Falleció el 14 de Noviembre de 1898, a consecuencia de una gripe maligna complicada con una congestión pulmonar. El último de sus puzzles. Entre los cientos de puzzles, acertijos y “nudos” lógicos que dejó Carroll, el único que interesó largamente hasta nuestros días, en épocas cada vez más suspicaces -o más atraídas por el escándalo- es la verdadera naturaleza de su relación con las niñitas. “Me gustan los niños (excepto los varones)”, escribió una vez. Tenía horror por los varones y los evitó tanto como le fue posible. Se sabe que por un lado Carroll era extremadamente pudoroso sobre las alusiones sexuales. Objetaba fuertemente las vulgaridades y los diálogos subidos de tono en el teatro y Gardner menciona que uno de sus tantos proyectos irrealizados fue “bowdlerizar” a Bowdler editando una edición de Shakespeare apropiada para niñas. Planeaba hacer esto quitando algunos pasajes que incluso Bowdler había creído inofensivos. Por otro lado, escribía a las madres para requerir la compañía a solas de sus hijitas en términos no por francos menos alarmantes: “¿Querría usted decirme si puedo contar con sus niñas para invitarlas a tomas el té, o a cenar a solas? Sé de casos en los que no puede invitárselas sino en grupos, y tales amistades no pienso que valga la pena conservarlas. No creo que alguien que sólo haya visto a las niñas en compañía de sus madres y hermana pueda conocer su naturaleza.” En su diario escribía: “marco este día con una piedra blanca” (adoptando el símbolo romano de la buena fortuna) cada vez que sentía que era especialmente memorable. En casi todos los casos sus días de piedra blanca eran aquellos en los que entretenía a una niña o se hacía de una nueva amiga. Pensaba que había extrema belleza en los cuerpos desnudos de las niñas. Cuando podía las retrataba o fotografiaba sin ropas, con el permiso de la madre. Para evitar que estos desnudos luego avergonzaran a sus modelos, pidió que después de su muerte fueran destruidos o devueltos a sus padres. De acuerdo con Martin Gardner llevaba siempre consigo un portafolio negro con puzzles de alambre e incluso alfileres de gancho para alzar las polleras de sus amigas cuando debían vadear el río. Aún así Gardner defiende la hipótesis de la inocencia casi absoluta de Carroll: “No hay ninguna indicación de que Carroll fuera consciente de que pudiera haber otra cosa que la más pura inocencia en sus relaciones con estas niñitas y no hay tampoco la menor señal de impropiedad en ninguno de los afectuosos recuerdos que docenas de ellas escribieron después sobre él. Había una tendencia en la Inglaterra victoriana, reflejada en la literatura de la época, a idealizar la belleza y la pureza virginal de las pequeñas niñas. Sin duda, esto ayudó a Carroll a suponer que su atracción hacia ellas estaba en un plano altamente espiritual, aunque, por supuesto, esto difícilmente sea una explicación suficiente de este interés. Carroll ha sido comparado con Humbert Humbert, el narrador de Lolita. Es cierto que los dos tenían pasión por las niñas pequeñas, pero sus objetivos eran exactamente opuestos. Las “nínfulas” de Humbert Humbert eran criaturas para iniciar carnalmente. Las pequeñas niñas de Carroll lo atraían precisamente porque se sentía sexualmente a salvo con ellas. El punto que distingue a Carroll de otros escritores que vivieron vidas sin sexo (Thoreau, Henry James, ...) y de escritores que fueron fuertemente atraídos por niñas pequeñas (Poe, Ernest Dowson, ...) fue esta combinación curiosa, casi única en la historia de la literatura, de una inocencia sexual completa con un pasión que sólo puede ser descripta como enteramente heterosexual.” En nuestros tiempos de piedra, habituados a todas las permutaciones y combinaciones del mal y resignados a que cualquier monstruosidad concebible será cometida por alguien, ¿por qué no creer que simétricamente, como otro prodigio, como otra manifestación del horror al vacío del azar, pudo haber existido un clérigo que amaba del modo más irreprochable a las niñitas? Y si Houdini, como se dice en Ragtime, fue el último hombre, antes de Freud, que pudo amar inocentemente a su madre, ¿por qué negarle la posibilidad a Carroll de haber sido un último Peter Pan victoriano de arrebatos platónicos antes que un Humbert Humbert? Uno estaría tentado a acompañar, aunque más no fuera por diversión intelectual, esta teoría de la excepción de Gardner pero queda un pequeño detalle, una “partícula de tiniebla”, como diría Borges, y es la larga prohibición de los herederos al acceso irrestricto de sus diarios íntimos. De estos diarios se sabe que una de las páginas fue arrancada por el mismo Carroll y que hay al menos otras seis que hicieron desaparecer sus descendientes. Lo que había confiado el escritor a esas páginas es una pieza que nos falta para siempre. Sobre este libro. Lógica sin pena reúne textos extraídos de la primera parte del libro Simbolic Logic, publicado por primera vez en 1896. Es un documento excelente sobre el estado de la lógica en esa época y todavía hoy una introducción pausada y divertida a los juegos detectivescos de las proposiciones encadenadas. Carroll usa unos diagramas de su invención con celdas rectangulares que había ejercitado en sus clases y –sin tanto éxito- con sus pequeñas amigas. Una de ellas, Irene Barnes, que pasó una semana con él en un balneario, escribió luego: “Su gran deleite era enseñarme su Juego de Lógica. ¿Me atreveré a decir que esto hizo la tarde bastante larga cuando la banda estaba tocando afuera y la luna brillaba sobre el mar?”. En el capítulo 10, dirigido a los especialistas, introduce los entonces muy novedosos diagramas de Venn como un método alternativo al de sus celdas y revisita algunos sofismas y paradojas clásicas. Discute la clasificación de los silogismos y llega a la conclusión de que los diecinueve tipos sancionados por los manuales de la época y otros veinte que nunca se consideraron, podían reunirse en tres clases principales. También refuta, proponiendo otros catorce, la idea de que sólo hubiera, como se creía entonces, dos tipos de sorites: los aristotélicos y los goclenianos. “Entre estas dieciséis proposiciones posibles” –concluye con ironía- “la primera y la última tienen nombre pero las otras catorce –que un oscuro lógico del final del siglo XIX fue el primero en enumerar- ¡siguen anónimas!”. Estas disciplinas y estas polémicas, hoy anticuadas y relegadas después de Frege, Russell y Tarski a un caso relativamente trivial de las llamadas lógicas de primer orden, no permitirán quizá rescatar a Charles Dodgson de la oscuridad de la que se mofa él mismo como lógico. Pero en la gracia de muchos pasajes, en la elección ingeniosa de ejemplos y en la conversación extravagante con el lector, se percibe por detrás, siempre en suspenso, algo de la sonrisa del escritor de Cheshire.   Lewis Carroll – Works Lewis Carroll was a prolific writer; as well as his numerous books, he produced a wide range of other published material in the form of pamphlets, papers and articles in journals. For a comprehensive list, the researcher is referred to The Lewis Carroll Handbook, which has been through several revisions - the most comprehensive being the 1979 edition, revised by Denis Crutch and published by Dawson. This is now out of print, but can often be obtained, second-hand, for around £20-£25. This list below gives all the main works, but omits many of the pieces printed in journals and a lot of the short papers. Full descriptions and a reclassification is planned, for this section. In the meantime, this list might give you some ideas about what else Carroll wrote. Childhood Magazines and Later Contributions to Journals – 1845 Useful and Instructive Poetry (manuscript) – c1848 The Rectory Magazine (manuscript) – c1850 La Guida Di Bragia (manuscript) – c1850-3 The Rectory Umbrella (manuscript) – 1855-62 Mischmasch (manuscript with press cuttings) – 1854 The Whitby Gazette – 1855 The Comic Times – 1856-7 The Train (including first use of pseudonym Lewis Carroll) – 1860-63 College Rhymes (also Editor from July 1862 to March 1863) – 1867-82 Aunt Judy’s Magazine – 1869-81 Vanity Fair – 1880-85 The Monthly Packet Books – 1865 Alice’s Adventures in Wonderland (illustrated: John Tenniel) Printed in July, some copies were issued but most were recalled. Sheets from recalled edition were published by Appleton, New York in 1866. – 1866 Alice’s Adventures in Wonderland First published edition, (issued Dec 1865) – 1869 Phantasmagoria – 1872 Through the Looking-Glass and what Alice found there (Illustrated by John Tenniel; issued Dec 1871) – 1876 The Hunting of the Snark (illustrated by Henry Holiday) – 1879 Euclid and his Modern Rivals – 1879 Doublets – 1883 Rhyme? And Reason? (Includes The Hunting of the Snark as illustrated by Henry Holiday as well as Phantasmagoria and other poems, newly illustrated by Arthur Frost) – 1885 A Tangled Tale (illustrated by Arthur Frost) – 1886 The Game of Logic – 1886 Alice’s Adventures under Ground (facsimile) – 1889 The Nursery “Alice” – 1889 Sylvie and Bruno (illustrated by Harry Furniss) – 1893 Sylvie and Bruno Concluded – 1896 Symbolic Logic Part I Elementary Miscellaneous Works – 1869 The Guildford Gazette Extraordinary – 1876 An Easter Greeting to Every Child who loves Alice – 1877 Memoria Technica – 1884 Christmas Greetings from a Fairy to a Child – 1888 Isa’s Visit to Oxford (manuscript) – 1888 Curiosa Mathematica Part I - New Theory of Parallels – 1889 Maggie’s Visit to Oxford (manuscript) – 1890 Eight or Nine Wise Words about Letter Writing – 1893 Curiosa Mathematica Part II - Pillow Problems Posthumous Publications – 1898 The Three Sunsets (illus. E Gertrude Thomson) – 1899 Isa’s Visit to Oxford – Maggie’s Visit to Oxford – 1907 Feeding the Mind (lecture delivered 1884) – 1932 Rectory Umbrella and Mischmasch – 1954 Useful and Instructive Poetry The Diaries of Lewis Carroll (abridged) – 1977 Symbolic Logic. Edited by W.W. Bartley The Wasp in a Wig (Suppressed episode from Through the Looking-Glass) – 1979 The Letters of Lewis Carroll. Edited by Morton N Cohen – 1993 (onwards) The Diaries of Lewis Carroll. The unabridged text of the nine surviving volumes, published with annotations and index, edited by Edward Wakeling.

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179. 11. (Septiembre 2005) Un Dios pequeño, pequeño

¿Cuántas posibilidades de elección tuvo Dios al construir el universo? Esta pregunta de Einstein, que en otras épocas hubiera preocupado a los filósofos o a los teólogos, por una paradoja de la postmodernidad está a punto de ser respondida por la física moderna. El viaje al fin de la noche tiene su punto de partida en una observación astronómica crucial de 1929: dondequiera que se apunte el telescopio, las galaxias distantes se alejan de nosotros. O en palabras más dramáticas: el universo se está expandiendo. Los físicos tardaron algunas décadas en procesar teóricamente la noticia; la creencia en un cosmos esencialmente inmóvil era tan fuerte que el propio Einstein –en el único error de su carrera- había introducido deus ex machina una constante “cosmológica” para sujetar al universo en equilibrio. Y sin embargo, se mueve. Un movimiento que tiene profundas consecuencias en las ideas sobre Dios. En efecto, un razonamiento inmediato dice que si las galaxias se están separando unas de otras, en épocas anteriores debieron haber estado más juntas entre sí. Extremando los cálculos hacia atrás, se conjeturó que en algún momento toda la materia del universo tuvo que estar concentrada como en un sumidero, en un único punto infinitesimal. De allí a la teoría del Big Bang hay un solo paso. Este paso lo dieron Roger Penrose y su entonces alumno de doctorado Stephen Hawking al demostrar en 1970 –bajo la hipótesis de que la teoría general de la relatividad todavía rigiera en el sumidero- que el universo en el instante inicial debía efectivamente constituir un punto de dimensión nula con una densidad infinita, lo que los matemáticos llaman una singularidad. En particular, probaron también que si hubiera habido acontecimientos anteriores a ese instante inicial, no podrían afectar de ninguna manera lo que ocurre en el presente, no tendrían consecuencias observables. Así, el tiempo no continúa, como creía Kant, indefinidamente hacia atrás, sino más bien, como lo había intuido San Agustín, es una propiedad inseparable del universo, y también tiene su origen en el Big Bang. La implicación teológica de esta primera conjetura ya es algo incómoda. En un universo inmóvil no existe la necesidad física de un principio y puede imaginarse que Dios eligió libremente el instante de la Creación. En cambio, en un universo en expansión el principio del tiempo ya no puede ser elegido arbitrariamente. Uno aún podría imaginar que Dios creó el universo en el instante del Big Bang, pero no tendría sentido suponer que hubiera sido creado antes, y esto establece un límite preciso a un Creador. Aún así, la Iglesia aprobó con entusiasmo esta primera formulación. Al fin y al cabo todavía quedaba un pequeño lugar en el principio del tiempo para el fiat de un creador. Pero sobre todo, el hecho de que el origen del universo fuera una singularidad, dejaba inermes a los físicos para seguir indagando en el instante cero, simplemente porque en las singularidades todas las leyes generales fallan. El génesis quedaba así protegido con un halo de misterio muy conveniente para los usos eclesiásticos. Olvidaron, sin embargo, un detalle esencial: que toda teoría en Física es provisional, que cada nueva teoría se sostiene sólo hasta tanto una nueva observación o experimento no revele una inconsistencia y fuerce a los físicos a corregir sus fórmulas o a cambiar radicalmente su punto de vista sobre algún paradigma. Ya la Iglesia Católica había cometido una vez el error de atar las Sagradas Escrituras a la interpretación cosmológica de Ptolomeo, con la Tierra inmóvil en el centro del universo. Ese error, que perduró por más de cuatrocientos años, le valió a Galileo su condena. Esta vez las malas noticias tardaron menos en llegar. En un congreso de cosmología organizado por los jesuitas en el Vaticano, al que habían sido invitados los principales expertos, los participantes tuvieron una audiencia con el Papa, que Hawking comenta con ironía en su Breve historia del tiempo: “Nos dijo que estaba bien estudiar la evolución del universo después del Big Bang, pero que no debíamos indagar en el Big Bang mismo, porque se trataba del momento de la Creación, y por lo tanto, de la obra de Dios. Me alegré entonces de que no conociera el tema de la conferencia que yo acababa de dar: la posibilidad de que el espacio-tiempo fuera finito, pero no tuviese frontera, lo que significaría que no hubo ningún principio, ningún momento de la Creación. ¡Yo no tenía ningún deseo de compartir el destino de Galileo! Lo que acababa de ocurrir era que el propio Hawking había revisado su teoría y –en una nueva versión- había logrado eliminar la singularidad inicial. Las flamantes fórmulas, que expuso a cardenales y obispos, dejan a Dios sin ningún papel en la Creación. Para entender esta modificación debe recordarse que hay actualmente dos teorías parciales que describen el universo: la teoría de la relatividad general, que explica las leyes de la gravedad y la estructura a gran escala del cosmos, y la mecánica cuántica, que se ocupa del mundo subatómico, de lo infinitamente pequeño. Se sabe que estas teorías no pueden ser ambas correctas a la vez. Justamente, los mayores esfuerzos de los físicos en la actualidad están dirigidos a formular una única teoría unificada que pueda amalgamar los resultados de los dos mundos. La principal dificultad a superar es que en el mundo subatómico rige el principio de incertidumbre de Heinsenberg, que establece un límite a las posibilidades de observación y predicción y señala un elemento irreductible de azar en el mundo subatómico. Esta conclusión arrancó de Einstein, que no se resignaba a aceptarla, su conocida expresión de disgusto: “Dios no juega a los dados con el universo”. La teoría de la relatividad general, en cambio, no tiene en cuenta el principio de incertidumbre. La convivencia de estas teorías contradictorias entre sí es posible porque rigen fenómenos en distintas escalas. Pero justamente, la hipótesis de que el universo fue en algún momento infinitamente pequeño dice que en esas primeras dimensiones mínimas los efectos cuánticos deben ser tomados en cuenta. Ya no pueden descartarse: la relatividad general, que era la hipótesis de Penrose y Hawking en el primer teorema del Big Bang, debe sustituírse –al combinarse con el principio de incertidumbre- por una nueva teoría cuántica de la gravedad. Una vez considerados los efectos cuánticos, la singularidad puede eliminarse y aparece un nuevo cuadro posible para el universo: el espacio-tiempo, en la conjetura más reciente de Hawking, es finito en extensión pero no tiene fronteras. Puede imaginárselo como una superficie lisa y cerrada, como la superficie de la Tierra, en la que uno puede caminar indefinidamente sin caerse por precipicios. No hay tampoco singularidades en que las leyes de la ciencia fallen ni ningún borde en que se deba recurrir a Dios o a una nueva ley para establecer las condiciones de contorno. Pero si el universo es realmente autocontenido, si no tiene ninguna frontera o borde, no tendría ni principio ni final: simplemente sería. No queda lugar entonces para un creador. Así, a la pregunta de Einstein sobre cuántas posibilidades de elección tuvo Dios al concebir el universo, si la nueva conjetura de Hawking se confirma, la respuesta sería: ninguna. Y como ese astrónomo al que su rey preguntó dónde ubicaba a Dios en su sistema de esferas, podría contestar, con una sonrisa mefistofélica: “Señor, esa hipótesis no me fue necesaria.” Publicado como Las leyes del universo en Clarín (agosto de 1998)

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180. 4. (Marzo 2005) Borges y tres paradojas matemáticas

(Extracto de una conferencia dictada en la Universidad de Boston y en la Universidad Armstrong Atlantic, en Savannah, octubre y noviembre de 2001) Hay un fenómeno de apropiación del nombre de Borges, que a esta altura hace sonreír, y que permite la multiplicación de toda clase de libros cuyos títulos son Borges y... casi cualquier cosa que se quiera escribir al lado.Es verdad que Borges escribió sobre unacantidad imponente de temas: estos autores hacen un salto al infinito y se proponen demostrarnos que no dejó nada de lado. Tanto mejor cuanto más lejana y débil es la conexión, porque entonces pueden intentar libros más “sorprendentes” y “sagaces”.Hay una excepción interesante a esta maquinaria, en una colecciónde ensayos que se llama Borges y la ciencia. Es un libro hecho por científicos argentinos: incluye un ensayo sobre Borges y la física, dos o tres irreprochables sobre Borges y la matemática... pero mi favorito fue uno que se llama “Borges y la biología”. Luego de algunos rodeos, y algo desolado, casi como disculpándose, el autor se decide a escribir que después de haber leído la obra completa de Borges tiene que decir que no hay ninguna vinculación entre Borges y la biología. ¡Ninguna! El hombre había descubierto con terror algo en este mundo –la biología- que Borges no había tocado... Pero afortunadamente, para la buena definición de esta charla, como dirían los matemáticos, sí podemos decir que existe una conexión sólida, indudable, entre Borges y la matemática. Borges estudió matemática durante varios años, principalmente a través de la visión logicista de Bertrand Russell, quien trataba de reducir la matemática asus métodos de demostración, a una “vasta tautología”, un propósito, como se comprobaría luego, condenado al fracaso. Fue seguramente también a través de Russell que conoció las arenas movedizas de las paradojas lógicas, los infinitos matemáticos y las discusiones sobre los lenguajes formales que transformaría con el tiempo en piezas literarias. Hay una cantidad realmente asombrosa de rastros matemáticos, e incluso pequeñas lecciones de lógica y matemática a través de su obra, desde “El idioma analítico de John Wilkins” al “Examen de la obra de Herbert Quain”, desde “La biblioteca de Babel” y “La lotería de Babilonia”, hasta “La esfera de Pascal” y “Avatares de la tortuga”, desde “La doctrina de los ciclos” y “Argumentum Ornithologicum”, hasta “El disco” o “La muerte y la brújula”, con múltiples ecos que llegan también a su obra poética. Pero a poco que uno relee estos textos, se advierte que hay un ejercicio de repeticiónyvariaciones sobre lo que son en el fondo tres ideas principales. Estas tres ideas aparecen reunidas en el cuento “El Aleph” y podemos examinarlas desde allí. La primera está vinculada a la elección del nombre del Aleph. “Para la Mengenlehre”, dice Borges, “es el símbolo de los números transfinitos, en los que el todo no es mayor que alguna de las partes”. La Mengenlehre es el nombre alemán de la teoría matemática de las cantidades;Borges encontraba particularmente curioso y perturbador este quiebre del antiguo postulado aristotélico según el cual el todo debe ser mayor que cualquiera de las partes. “Hay un concepto que es el corruptor y el desatinador de los otros”, dice en “Avatares de la tortuga”: “No hablo del Mal cuyo limitado imperio es la ética; hablo del infinito”. En el infinito matemático, en efecto, el todo no es necesariamentemayor que cualquiera de las partes. Para entender esto, pensemos primero en un niño que tiene un mazo de cartas pero sólo sabe contar hasta diez. El niño reparte las cartas con su padre, le da la primera, se queda con la segunda, le da la tercera, se queda con la cuarta, etc. Cuando termina de repartir el mazo, no podría decir cuántas cartas tiene en la mano, porque sólo sabe contar hasta diez, pero sí puede decir algo de lo que todavía estáseguro, y es que él y su padre tienen la misma cantidad de cartas. De una manera parecida, en un desfile militar difícilmente podamos contar a golpe de vista la cantidad de jinetes, pero sí podemos decir algo, quizá no muy brillante, pero cierto, y es que hay la misma cantidad de jinetes que de caballos. Y bien, esta es la idea que encontraron los matemáticos para “contar” conjuntos infinitos. Dicen que un conjunto tiene “tantos elementos” como los números naturales si se puede asignar un número distinto a cada elemento, usando en esta asignación todos los números que empleamos para contar. Pero, y aquí viene el quiebre queintriga tanto a Borges, el conjunto de los números pares tiene de este modo “tantos elementos” comolos números naturales, ya que se puede asignar el 1 al primer número par 2, el 2 al 4, el 3 el 6, etc.Tenemos así una parte propia de los números naturales, digamos, una “mitad”, los pares, que es “tan grande” como el todo. La segunda idea es más bien geométrica y la encontramos un poco antes, cuando Borges intenta, con distintas analogías, describir el Aleph, el punto que concentra y guarda todas las imágenes. “Los místicos, en análogo trance”, escribe, “prodigan los emblemas: para significar la divinidad, un persa habla de un pájaro que es todos los pájaros; Alanus de Insulis, de una esfera cuyo centro está en todas partes y la circunferencia en ninguna.” Esta imagen puede parecer oscura, o un juego de palabras, pero es una metáfora magnífica, singularmente precisa, una vez que se conoce la explicación matemática: pensemos primeramente en el plano, por ejemplo, la superficie de este pizarrón. Yo pedí especialmente un pizarrón, ¡ahora tengo que usarlo!Dibujemos, a partir de un punto cualquiera, círculos con radio cada vez más grande. Estos círculos cubren más y más puntos del pizarrón, y por lejano que se encuentre un punto, es evidente que, eligiendo un radio suficientemente grande, puedo “enlazarlo” dentro de uno de miscírculos. Más aún, no importa dónde haya fijado en principio el centro de estos círculos, con radios suficientemente grandes llego desde cualquier centro tan lejos como quiera. Pero entonces, dando un pequeño salto con la imaginación, podemos reemplazar la idea de plano por la de un círculo cuyo centro está en todas partes y cuya circunferencia...¿dónde dibujar la línea de la circunferencia? No llegamos a dibujarla porque el radio es infinito, la circunferencia está siempre más allá, como el horizonte, “en ninguna parte”. Exactamente lo mismo podemos hacer en el espacio tridimensional, reemplazando los círculos por esferas.Así, la totalidad del espacio, o el universo visible que muestra el Aleph, puede considerarse una esfera cuyo centro está en todas partes y la circunferencia en ninguna. Pero entonces -y aquí la analogía muestra su eficacia- uno puede imaginar una contracción de esta esfera gigantesca original, de modo que todas las imágenes aparezcan concentradas en la esferita minúscula que ve Borges al pie de la escalera: el Aleph como el universo en su inicio, antes del bigbang, una pequeña esfera que aprisiona en un solo punto todas las imágenes. La tercera idea es lo que yo llamaría la paradoja de autoreferencia, y aparece cada vez que Borges construye o alude a un mundo ficcional muy vasto y abarcatorio, que acaba por incluir a ese mismo mundo como un elemento,y a veces al narrador, o al lector, en sus reglas de juego. En “El Aleph” esto ocurre durante la célebre enumeración de imágenes: “...vi el Aleph, desde todos los puntos, vi en el Aleph la tierra, y en la tierra otra vez otra vez el Aleph..., vi mi cara y mis vísceras, vi tu cara...”. Esta clase de paradojas, que provienen de postular objetos o mundos demasiado vastos, fueron letales en la fundamentación de la matemática y no hay duda de que Borges debía conocer la más famosa, debida a Russell, que muestra que no puede postularse la existencia de un conjunto universal, digamos, un aleph de conjuntos, que contenga en sí, como elementos, a todos los conjuntos imaginables. El mismo Bertrand Russell dio esta popularización de la paradoja: supongamos que exista un barbero que afeite únicamente a los hombres del pueblo que no se afeitan a sí mismos. Esto no parece en principio tan raro, se supone que esto es lo que hacen en general los barberos. Ahora bien, ¿debe este barbero afeitarse a sí mismo? Si se afeitara a sí mismo, estaría excluido de la clase de hombres a los que puede afeitar, por lo tanto no puede afeitarse a sí mismo. Pero si no se afeita a sí mismo, pasa a integrar la clase de hombres a los que sí debe afeitar, por lo tanto, debe afeitarse a sí mismo. En definitiva, el barbero está condenado a un limbo lógico, ¡en el que no puede afeitarse ni no afeitarse a sí mismo! Dije antes que hay una multitud de rastros matemáticos en la obra de Borges. Esto es cierto, pero aún si no hubiera ninguno, aún en los textos que nada tienen que ver con la matemática, hay algo, un elemento de estilo en la escritura, que es particularmente grato a la estética matemática. Creo que la clave de ese elemento está expresada, inadvertidamente,en este pasaje extraordinario de “Historia de la Eternidad”: “No quiero despedirme del platonismo (que parece glacial) sin comunicar esta observación, con esperanza de que la prosigan y justifiquen: lo genérico puede ser más intenso que lo concreto. Casos ilustrativos no faltan. De chico, veraneando en el norte de la provincia, la llanura redonda y los hombres que mateaban en la cocina me interesaron, pero mi felicidad fue terrible cuando supe que ese redondel era “pampa” y esos varones “gauchos”. Lo genérico... prima sobre los rasgos individuales.” Cuando Borges escribe, típicamente acumula ejemplos, analogías, historias afines, variaciones de lo que se propone contar. De esta manera la ficción principal que desarrolla es a la vez particular y genérica, y sus textos resuenan como si el ejemplo particular llevara en sí y aludiera permanentemente a una forma universal. Del mismo modo proceden los matemáticos. Cuando estudian un ejemplo, un caso particular, lo examinan con la esperanza de descubrir en él un rasgo más intenso, y general, que puedan abstraer en un teorema. Borges, les gusta creer a los matemáticos, escribe exactamente como lo harían ellos si los pusieran a la prueba: con un orgulloso platonismo, como si existiera un cielo de ficciones perfectas y una noción de verdad para la literatura.

Martes, 01 de Marzo de 2005 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico