161. 140. Revoluciones Matemáticas

Una grata noticia: nueva serie de animación divulgando las matemáticas, y cien por cien española. Te lo contamos y entrevistamos a algunos de sus responsables. Desde este rincón ya hemos mostrado en otras ocasiones pequeños cortometrajes de animación para difundir las matemáticas. Hace unos años hablábamos de Math Girl (ver reseñas 34, 37 y 39), serie de tres episodios producida por el Instituto IRMACS de la Universidad canadiense Simon Fraser, o las originales aventuras de Troncho y Poncho, creadas por Ángel González Fernández, (ver angelitoons), profesor de matemáticas en el madrileño colegio del Pilar. En el primer caso haciendo referencia a resultados y fórmulas de matemáticas superiores, y en el segundo a las más elementales, que no por ello, sino todo lo contrario, menos necesarias. En ambos el objetivo es la difusión y popularización de contenidos de esta materia desde una óptica simpática, para tratar de enganchar a la mayor cantidad posible de público. El pasado mes de noviembre el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) presentó el proyecto de una serie de animación con el objetivo, según sus propias palabras, de mostrar “los grandes hitos del pensamiento matemático a lo largo de la historia y el impacto que han tenido en la sociedad”. Junto a estos momentos, aparecerán algunos de sus protagonistas, mostrando que se debieron a personas de carne y hueso, como nosotros. Con estos ingredientes, es evidente que los primeros a los que va dirigido es a alumnos en edad escolar, proponiendo además un lenguaje sencillo, informal y cercano, tratando de que la conexión con ellos sea lo más viable posible. En un principio se han ideado cinco episodios, de los que los tres primeros ya pueden visualizarse desde el canal de YouTube del ICMAT. Son éstos: 1.- Teano. Cuando la magia se convierte en número (4:13) Siguiendo un orden cronológico en estas revoluciones, el primer hecho fundamental que han elegido los creadores de estas pequeñas (por la duración) píldoras, con buen criterio a mi juicio, es lo que en filosofía nos describieron como el paso del mito al logos. Y la civilización antigua que lo promovió fue la griega. El episodio se centra en la hermandad de los pitagóricos, describiendo brevemente lo que conocemos de ella, y poniendo el centro de observación en Teano, uno de sus miembros que ha pasado a la historia. Y es bastante trascendente que fuera así, ya que nos saca los colores a los “eminentes” sucesores y herederos del conocimiento, ya que indica que no había discriminación alguna por motivos de género, sino que lo que importaba era la capacidad intelectual (lo que también deja en un lugar incómodo a esos herederos para los que sí parece que importaba). Hablando de los pitagóricos es claro que se recuerden sus descubrimientos matemáticos, como el famoso teorema que lleva el nombre de su líder, la utilización de los números en la construcción de las escalas musicales, el tetraktis, etc. Como podemos apreciar en las imágenes adjuntas, los dibujos utilizados no dudan en presentar objetos cotidianos actuales como recurso para mostrar la cercanía de aquellas personas con nosotros, aunque disten siglos (o sea, que manejan conscientemente esos anacronismos). Al final se vuelve a recalcar la idea fundamental de esta primera gran revolución: los números explican lo que antes sólo se podía entender mediante la magia. 2.- La conquista de los números (4:19) A partir de ese gran avance que consistió el aprender a contar, las formas de hacerlo no han sido únicas, ni al principio demasiado eficientes cuando el número de objetos iba siendo mayor al crecer también las necesidades. Así, se repasan las soluciones que fueron dando diferentes civilizaciones como la china, la griega, la romana, la india, …, llegando a otra gran revolución: la numeración posicional y la aparición del cero. Paralelamente, el cortometraje nos introduce algunas personalidades relevantes como Al-juarismi, Brahmagupta, Azarquiel, … Esa gran revolución la conservamos hasta nuestros días, acabando el episodio con un ejemplo en el que los alumnos (aunque en realidad nos pasa a todos) observan con fastidio la aparición del cero (y no es nada relacionado con las calificaciones de alguna asignatura). 3.- Newton, sus ovejas y el cálculo (4:51) Después de situarnos en el contexto histórico del Londres de 1665, con la peste bubónica asolando Inglaterra, el episodio se centra en la figura de Isaac Newton. Debiéndose retirar por precaución a su casa familiar en el campo, lo que en cualquier mortal sería un serio trastorno, en  Newton derivaría (nunca mejor utilizada esta palabra) en una de las hazañas intelectuales más asombrosas de la historia (sino la que más), desarrollando, entre otros temas, el cálculo diferencial e integral, la naturaleza de la luz y refinando completamente la teoría gravitacional. El episodio describe algunos de estos conceptos, que desembocarían en el nacimiento de una de las ramas más relevantes de la ciencia, el análisis matemático, base de nuestro actual mundo tecnológico. También nos relata la disputa entre Newton y Leibniz a causa del descubrimiento del teorema fundamental del cálculo, el resultado que, sorprendentemente, relaciona conceptos aparentemente muy diferentes de acuerdo a los objetivos con los que fueron desarrollados, la derivada y la integral. Las ilustraciones y animaciones han corrido a cargo de Irene López, con experiencia internacional en diferentes proyectos (cortos, diseño de objetos decorativos y de uso cotidiano, exposiciones, ilustración de libros, carteles para eventos, etc.). Su estilo es de línea clara, dibujos esquemáticos pero muy cercanos y atractivos, y uso de colores vivos que transmiten optimismo y simpatía. En la elaboración de los guiones ha colaborado la empresa madrileña Divermates Matemática S. L., formada por un grupo de varias personas que han orientado su trabajo a tratar de mostrar las matemáticas desde un lado divertido y lúdico (como su propio nombre transmite) elaborando materiales, prácticas y actividades que presentan en colegios e institutos, a través de las que aprender matemáticas. No solamente ofrecen actividades para alumnos, sino también asesoramiento para profesores y maestros. Y en cuanto a instituciones, el ICMAT, ya mencionado anteriormente, institución avalada por haber obtenido por segunda vez la prestigiosa acreditación de Centro de Excelencia Severo Ochoa (en 2011 y 2015, concretamente), y la Fundación General del CSIC. Nos pusimos en contacto con Ágata Timón, Laura Moreno y David Martín de Diego, miembros de la Unidad de Cultura Matemática del ICMAT, con los que charlamos sobre estas Revoluciones Matemáticas. Éste es un resumen de nuestra conversación: 1.- ¿Cómo surge este proyecto? En la Unidad de Cultura Científica del ICMAT estamos buscando constantemente nuevos proyectos que poner en marcha. Hace un par de años nos reunimos con la empresa Divermates, buscando posibles vías de colaboración, de cara a la convocatoria de ayudas para el fomento de la cultura científica, tecnológica y de la innovación de la FECYT. Queríamos hacer algo en formato de video, ya que que consideramos que el audiovisual es la manera más directa de llegar al público joven, y desde el ICMAT habíamos tenido una muy buena experiencia con “It’s a risky life!” (serie de cortometrajes que ilustran y divulgan conceptos matemáticos clave relacionados con toma de decisiones, incertidumbre, etc., en nuestras actividades cotidianas, de un modo divertido), y queríamos seguir explorando esa vía. En un primer lugar, pensamos en centrar los capítulos en biografías de matemáticos/as, pero nos dimos cuenta de que quizá era un tema más trillado, y que había que acotar un poco más el enfoque. Se nos ocurrió que podía ser atractivo e interesante señalar los momentos de la historia de las matemáticas (y su contexto, personas que los llevaron a cabo, etc.) que habían supuesto un cambio de paradigma, lo que hemos llamado “revoluciones matemáticas”. Una vez avanzó el proyecto, pensando en otro de nuestros propósitos, el público objetivo (profesorado y alumnado de matemáticas), y buscando una manera de darle más recorrido a la actividad (no quedarnos solo en los videos), creimos interesante que estos vídeos sirvieran también como introducción de una actividad más completa en el aula. Con este objetivo, cada capítulo está acompañado de una propuesta de taller divulgativo, en el que se profundizan ciertos conceptos que se tratan en los capítulos. No nos dieron la financiación del proyecto en la FECYT, pero volvimos a pedirlo (en un formato más reducido) en otra convocatoria (Cuenta la Ciencia, de Fundación General CSIC), y tuvimos éxito. Con esta pequeña financiación, y mucho esfuerzo, pudimos comenzar el proyecto. 2.- El guión está muy cuidado en cuanto a la selección de contenidos. ¿Cómo se ha hecho el proceso de elaboración? Antes que nada, seleccionamos las ‘revoluciones matemáticas’ que queríamos contar esta primera temporada, siguiendo el criterio de los miembros matemáticos del equipo y considerando diferentes variables para darle al proyecto la mayor transversalidad posible: época, geografía, género. Tras ello, hemos ido trabajando capítulo a capítulo:  en primer lugar, se elabora un borrador del guion, después, nos reunimos todo el equipo e intentamos adaptar ese guion al audiovisual (tanto a la locución, como a la animación), y una vez que estos contenidos están cerrados (lo cual suele llevar bastante trabajo), la animadora, Irene, les da vida. 3.- ¿Cuánto tiempo lleva hacer un episodio? Depende del contenido, por lo general, alrededor de dos o tres meses. 4.- ¿Con qué medios habéis contado (no me refiero a dinero, sino a medios técnicos: si se ha hecho con ordenador y alguna aplicación concreta, o si ha habido medios clásicos del cine de animación con cámaras de cine, video, etc., cómo se ha editado posteriormente, etc., un poco el proceso que se ha seguido en la realización de los capítulos)? De esa parte se ocupa Irene, la animadora. El primer storyboard es con boli y papel, pero a partir de ahí es un proceso completamente digital. 5.- En principio se han anunciado sólo cinco capítulos, que parecen pocos para una idea tan interesante. ¿Hay alguna perspectiva de continuidad posterior? ¿Depende de algún factor (económico, aceptación, sponsors, etc.)? La continuidad de la serie depende sobre todo de la financiación. De momento, va a haber una segunda temporada, que formará parte del proyecto “Ciudad Ciencia”, de la Vicepresidencia Adjunta de Cultura Científica del CSIC, financiado por la FECYT. 6.- En la página oficial del ICMAT los contenidos se ofrecen en inglés y en español. ¿se ha pensado hacer una versión de los episodios en inglés, u otros idiomas, como modo de globalizar los potenciales espectadores? En este momento no está entre nuestros objetivos. En primer lugar nos gustaría ampliar nuestra audiencia dentro de España y Latinoamérica. Pero quien sabe, igual en el futuro se podrían hacer versiones subtituladas a otros idiomas o incluso con locución en inglés. 7.- El lenguaje y la narración parece orientado a los más jóvenes. En la página web ya dejais claro que inicialmente los destinatarios principales son los alumnos en edad escolar y sus profesores, aunque es asequible para cualquier espectador ¿No condiciona esto un poco los contenidos? Quiero decir, ¿no sería factible tratar de abordar también contenidos más complejos, no sé, series infinitas, EDOs, espacios de Hilbert, cosas más específicas y complejas, desde un punto de vista didáctico y también lo más divulgador posible? Lo digo porque siempre en este tipo de audiovisuales, parece que se vaya a las matemáticas más elementales. Como dices, los contenidos principalmente están pensados para estudiantes de secundaria, pero también para el público general interesado en las matemáticas, de ahí que aparezcan conceptos básicos (aunque hay varios que no diríamos que lo son tanto). Pero se podría hacer un “spin off” de temas más complejos, orientados a público universitario ¡Ahí dejamos la idea! 8.- ¿Tuvisteis alguna referencia en la que basasteis vuestra idea? En cuanto a los dibujos y animación, South Park era nuestra referencia, aunque el resultado final de Revoluciones no se parece en nada. A este respecto, Irene tiene un estilo muy personal y a nosotros nos gusta mucho. 9.- Me parece fundamental el trabajar al hilo de los capítulos con esas propuestas didácticas adicionales. Echandolas un vistazo, ahondan sobre todo en aspectos curiosos (construcción de un monocordio, aplicaciones curiosas de las congruencias, simulación del crecimiento de una especie y gráficas) ¿Qué filosofia habéis seguido en su confección?¿No tienen demasiado texto, pensando en escolares? ¿Cómo planteais su utilización? La empresa Divermates, con una amplia experiencia en la organización de talleres escolares, es quien propone las actividades. El objetivo es que sean talleres lúdicos, en los que los estudiantes (todos ellos, no solo los especialmente dotados o interesados en el tema) pasen un buen rato haciendo matemáticas. Nuestra idea es que los profesores descarguen el material y planteen su propia actividad en el aula: se haga el visionado del capítulo, se abra un pequeño debate, y se comience el taller (que puede ser más o menos extenso o más o menos complicado). Pretendemos que los profesores adapten el material que les enviamos al contexto de su clase. Respecto a la edición del texto (en colaboración entre Divermates e ICMAT), buscamos que sea sobre todo clara y exhaustiva. Como decimos, la ficha va dirigida a los profesores, y ha de ser clara y completa. 10.- ¿Disponeis de alguna referencia en cuanto al impacto de la serie, número de visualizaciones, etc? Sí, las visualizaciones en Youtube han sido las siguientes aproximadamente: Capítulo 0: 2600; Capítulo 1: 5200; Capítulo 2: 2700; Capítulo 3: 600 La web de ‘Revoluciones matemáticas’ ha tenido alrededor de 1300 visitas. 11.- Da la impresión de que esos cinco primeros episodios ya están termiados. ¿Teneis un cronograma fijado en cuanto a fechas de “estreno”, etc? Solemos marcarnos unos plazos, pero no son fijos, varían en función de la complejidad del guion y la disponibilidad del equipo (ninguno trabajamos a tiempo completo en este proyecto), por lo que preferimos no marcarnos una fecha concreta de estreno. De hecho, aún no sabemos cuándo concluirá la primera temporada, estamos en la fase de producción del último capítulo, que podemos adelantar que se centrará en la conocida como “crisis de los fundamentos” que se produjo a principios del siglo XX. Muchísimas Gracias por vuestra colaboración y por lanzar un proyecto tan bonito e interesante. Deseamos que su continuidad en el tiempo no se quede en esas dos temporadas previstas, y tenga una larga vida y difusión. Alfonso Jesús Población Sáez

Lunes, 15 de Abril de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

162. 170. (Abril 2019) Las tarjetas perforadas

Recordemos que el mes pasado (rincón matemágico 169) presentamos una secuencia de juegos descrita por Javier Serrano donde los protagonistas eran varias cartas que tenían unas ranuras y perforaciones en diversos lugares. Queremos en esta ocasión entender el funcionamiento de estos juegos pero también rastrear su origen y posterior evolución. Parece evidente que la dualidad ranura/agujero pone de manifiesto la clásica representación binaria sí/no, 1/0, ON/OFF, y las distintas posiciones en las que están hechas las ranuras y los agujeros reflejan a su vez la característica posicional del sistema binario. De este modo, cada carta se caracteriza por su valor en este sistema binario, escrito en esta ocasión como combinación de agujeros (para representar la cifra 0) y ranuras (que representan la cifra 1). Si repasamos las imágenes de las cartas, podemos darnos cuenta cómo las incisiones determinan su valor, en código binario, salvo el ocho que identificamos con el cero porque, en caso contrario, tendría cuatro cifras. Entendemos entonces que, al atravesar la posición de las unidades con el clavo, solo se desprenden las cartas que tienen un uno en dicha posición: las impares; al atravesar la posición que representa las decenas, las cartas que se desprenden son el 2, 3, 6 y 7; por último, al atravesar con el clavo la posición de las centenas, las únicas cartas que se desprenden son el 5, 6, 7 y 8. Al hacer las separaciones en este orden -derecha, centro, izquierda- colocando cada vez las cartas separadas detrás de las que han quedado atrapadas (con las caras a la vista), el resultado final es que las cartas se han ordenado, empezando por el 8 que representa el cero. Puedes seguir el proceso paso a paso: la primera vez han quedado encima los números pares, en cualquier orden; la segunda vez quedará una secuencia de dos pares (el cuatro y el ocho), dos impares (el uno y el cinco), dos pares y dos impares; la tercera vez ya estarán todas alternadas, par (el ocho), impar (el uno), par (el dos), etc. ¿Recuerdas algún juego similar donde la posición de los unos y ceros en la representación binaria de los números permite hacer adivinaciones? Cierto, el de las tarjetas binarias que citamos allá por el año 2005 (rincón matemágico 13) y sus numerosas secuelas (rincón matemágico 49, rincón matemágico 51, rincón matemágico 104, rincón matemágico 163). La novedad de esta versión es que los números se sustituyen por las correspondientes incisiones en las tarjetas, como se hacía en los albores de la informática. Fue Martin Gardner, por lo que sabemos, el primero en presentar esta variante de las tarjetas binarias. El primer capítulo del libro "Nuevos pasatiempos matemáticos", traducción de "New mathematical diversions" (publicado por primera vez en 1966), reproduce el artículo titulado "Some recreations involving the binary number system", aparecido en el número 203 (diciembre de 1960) de la revista Scientific American. En este artículo se muestra un conjunto de 32 cartulinas (claro, una potencia de dos) que presentan ranuras y perforaciones según el esquema que hemos indicado antes (la ranura corresponde a la cifra "1" y el agujero corresponde a la cifra "0"), de modo que están representados todos los números del cero al 31 en su notación binaria. Después de mezclar todas las cartulinas, se cuadran para que queden las perforaciones alineadas, se pasa un clavo o una varilla por el hueco de la derecha dejando que caigan las tarjetas que no tienen agujero; se colocan estas tarjetas en la mesa, letras hacia abajo, y sobre ellas se colocan las que habían quedado sujetas. Se repite esta operación con el resto de perforaciones, de derecha a izquierda, siempre colocando las tarjetas que queden sujetas sobre las que queden sueltas. Al final del proceso, las letras escritas en las tarjetas se habrán ordenado para formar un mensaje, en inglés, que seguro compartes. En realidad, el proceso anterior solo ordena los valores numéricos asignados a las cartulinas, de modo que es fácil preparar un conjunto de cartulinas con cualquier mensaje y hacer algún juego de predicción. Es también interesante el uso que Martin Gardner hace de estas tarjetas como "simulador" de tablas de verdad en lógica. Basándose en el ábaco lógico o piano lógico (como el ilustrado en la figura adjunta) ideado por el economista británico William S. Jevons, se puede establecer si un razonamiento lógico es verdadero o falso. Veamos a grandes rasgos el funcionamiento del sistema: todo razonamiento consta de un conjunto de premisas, que se suponen ciertas, y una conclusión, que debe ser consecuencia de las premisas. Si cada premisa involucra no más de cinco proposiciones simples, se puede representar por un conjunto de nuestras tarjetas perforadas. Insertando adecuadamente la varilla por las tarjetas, se van eliminando aquellas que hacen que las premisas sean falsas quedando al final un pequeño grupo de tarjetas. Si alguna de ellas contiene la negación de la conclusión de nuestro razonamiento, deduciremos que dicho razonamiento es falso. La figura con el modelo de tarjetas de Gardner ya contempla esta opción porque, además de las letras con las que se ha formado el mensaje, se señalan las cinco proposiciones A, B, C, D y E, así como sus negaciones A, B, C, D y E. Por ejemplo, la tarjeta con tres ranuras y dos agujeros, que corresponde al número binario 11100, indica que las proposiciones A, B y C son ciertas, mientras que las proposiciones D y E son falsas. Si has estudiado lógica proposicional en algún momento (si no, seguro que puedes encontrar en la red bastante material para empezar), puedes jugar con las tarjetas realizando las comprobaciones de los razonamientos básicos: ¿te suenan las frases PONENDO PONENS, TOLLENDO TOLLENS, ...? No profundizaremos sobre el tema en este rincón pero el artículo citado de Martin Gardner contiene algunos ejemplos para practicar. Comentarios finales: El juego de las tarjetas perforadas también está explicado por el mago y matemático Carlos Vinuesa en su artículo "Matemagia básica", publicado en La Gaceta de la RSME (2011). En este artículo aprenderás también otros juegos basados en la aritmética binaria. Mucho más sencilla y recomendable es la versión de tarjetas lógicas que el mismo Martin Gardner presenta en el artículo titulado "Logic Machines" para la revista Scientific American, publicado en marzo de 1952 (unos años antes de empezar su colaboración regular para la sección Mathematical Games) y posteriormente incluido en el libro "Logic Machines and Diagrams", publicado en 1958. Este juego ha sido desarrollado recientemente por el equipo de Divermates, bajo el título "Tarjetas lógicas". Junto con la explicación de su funcionamiento, puedes descargar y fabricarte tus propias tarjetas. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

Martes, 02 de Abril de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

163. 53. (Abril 2019) La Geometría, acceso para la humanidad

(Lorenzo Lotto. Alegoría de la virtud y del vicio. 1505. Washington. Galería Nacional de Arte) Huellas del hombre en la Playa de Rodas El filósofo Aristipo, discípulo de Sócrates, víctima de un naufragio, fue arrojado a las costas de la isla de Rodas y al advertir unas figuras geométricas dibujadas en la arena, cuentan que gritó a sus compañeros: « Alegrémonos, pues observo huellas humanas» (Vitruvio, De architectura, Libro VI) La Geometría como portal civilizador El célebre naufragio de Aristipo se enmarca en la tradición platónico-pitagórica del frontispicio de la Academia: no entre quien no sepa geometría. En el medioevo se mantiene esa situación de privilegio de la matemática: puerta y llave del conocimiento diría Roger Bacon. La renovación renacentista de la cultura se realiza en muchas dimensiones y en una de ellas se rescata el pensamiento matemático como paradigma de civilización contra barbarie, de humanidad frente a bestialidad, y de virtud frente a vicio. Las representaciones iconográficas son deliciosas. Observemos la evolución desde el primer Renacimiento con Lorenzo Lotto, pasando por los manieristas Federico Zuccari y Bartholomäus Spranger, para terminar en el siglo XIX con un panel de azulejos valencianos. Alegoría de la virtud y del vicio La geometría como modelo de civilización y humanidad frente al vicio tiene una de sus primeras y más logradas manifestaciones en la Alegoría de la virtud y del vicio (1505) de Lorenzo Lotto. La pintura al óleo sobre madera se encuentra en el Museo Nacional de Arte en Washington y proviene de la donación del filántropo Samuel Kress. La madera pintada servía para proteger el retrato del obispo de Treviso que por entonces era el mecenas de Lotto. (Lorenzo Lotto. Alegoría de la virtud y del vicio. 1505. Detalle) Lo que fue una simple tapadera se ha convertido con el tiempo en la obra principal. Un paisaje tormentoso, un barco naufragando y dos figuras contrapuestas: un sátiro con pezuñas que encarna la bestialidad y un niño que hace geometría nos muestra a la naciente humanidad, virtud frente a vicio. La virtud es diligente. El vicio va unido a la ebriedad y el abandono. Los instrumentos que se representan son un compás en la mano, otro en el suelo, una escuadra y un cuadrante. Los libros y una flauta de Pan completan el cuadro de la virtud. Porta Virtutis La puerta sapiencial en taracea del Palacio Ducal de Urbino va acompañada por otra puerta alegórica: Porta Virtutis (1581), pintura cargada de mensajes de Federico Zuccari. La Galleria Nazionale delle Marche muestra con esta pintura manierista las inquietudes del final del Renacimiento: arte, virtud y ciencia matemática. (Federico Zuccari . Porta Virtutis. 1581 Palacio Ducal de Urbino) Vemos a Minerva guardando la entrada al mundo de la virtud que está separado del mundo de los vicios representado por seres más bestiales que humanos. Un gran arco votivo divide los dos mundos. Dentro hay inventiva, inteligencia, diseño, decoro, colorido… mientras que fuera proliferan la envidia, los vicios y la brutalidad. Abajo a nuestra izquierda, un ser se está preparando para librarse de la bestialidad con una escuadra y un compás en la mano, una tablilla sujeta por una mujer (¿alegoría de la aritmética?) y unos pinceles en el suelo. Los rasgos van siendo cada vez más humanos. A ambos lados de la entrada y parcialmente ocultas, se vislumbran dos alegorías de la Inteligencia cuyos  atributos son la escuadra, el compás y la esfera armilar: los de la geometría. La escena reproduce visualmente el no entre quien no sepa geometría del portal de la Academia de Atenas. (Federico Zuccari. Porta Virtutis. 1581 Detalles) Minerva victoriosa frente a la ignorancia La alegoría de Zuccari es reconstruida por el sensual artista flamenco Bartholomäus Spranger, uno de los pintores preferidos por la corte imperial de Rodolfo II en Praga. La idea es similar: Minerva triunfa sobre la barbarie con las virtudes de la civilización: la escritura y la geometría. Curiosamente Spranger cambia el orden de los instrumentos: la esfera armilar está a la izquierda y el compás emerge a la derecha. Minerva victoriosa frente a la ignorancia (1591) se encuentra en el Museo de Arte e Historia de Viena: las ricas colecciones de Rodolfo fueron trasladadas desde Praga cuando la corte imperial regresa a Viena. La bestialidad está representada en la figura de largas orejas que queda inmovilizada por la diosa de la guerra y la inteligencia. La geometría resalta aún más como veremos en la segunda versión que hace Spranger del mismo tema. (Bartholomäus Spranger. Minerva victoriosa frente a la ignorancia. 1591. Viena, Kunsthistorisch Museum) La geometría contra la ignorancia en  D´Azay-le-Rideau Uno de los castillos más bellos del Valle del Loira es D´Azay-le-Rideau, que ocupa un islote del río Indre a unos kilómetros al sur de Tours. El château suele ser citado como una de las más logradas realizaciones de la arquitectura renacentista en Francia. La escalera monumental es especialmente destacable. El castillo fue erigido por el tesorero estatal de Francisco I que no llega a ocuparlo al ser acusado de malversación. Situémonos en la Cámara del Rey de la planta principal (llamada así pese a que el rey apenas pasó alguna noche en ella). La decoración se limita a una gran chimenea y unos deliciosos escritorios. Aunque no sea el de más calidad, nos fijamos en uno de madera tallada del lado derecho de la chimenea. El tallador ha reproducido en la puerta superior la alegoría de Minerva victoriosa contra la ignorancia. La pintura original es una segunda versión del manierista flamenco Bartholomäus Spranger y el grabador Egidio Sadeler la reproduce. (Grabado de Egidio Sadeler sobre dibujo de Bartholomäus Spranger. Minerva victoriosa frente a la ignorancia II) Minerva doblega a un sátiro (con largas y bestiales orejas) y en su entorno se encuentran las artes que son atributos de la diosa: a un lado y otro destacan una esfera armilar y una mano con escuadra y compás. Spranger ha vuelto a personalizar el tema de Federico Zuccari en Porta Virtutis: la geometría como puerta de entrada a la virtud y a la civilización. El ebanista del mueble de D´Azay-le-Rideau, además, escribe Geome para que no queden dudas. (Minerva victoriosa frente a la ignorancia II. Castillo de D´Azay-le-Rideau) Geometría contra ignorancia en un panel cerámico valenciano del XIX El Museo Nacional de la Cerámica Gonzalez Martí de Valencia conserva un bonito panel de azulejos de M. Molla realizado a mitad del siglo XIX. La geometría como antídoto contra el error y la ignorancia vuelve a aparecer con los mismos instrumentos. El panel valenciano procederá de un dibujo que cristianiza el tema pagano: Minerva y Mercurio aparecen en el centro pero por encima de ellos están las deidades cristianas. La idea sigue siendo la misma pero con algún elemento singular: La ignorancia, otra vez con largas orejas, trata de convencer a un hombre para que se dispare flechas contra sí mismo. El compás y la esfera está en el suelo como muestra de que el ser está a punto de volver a la barbarie. La figura alegórica femenina de la derecha está desnuda como la verdad y tiene un espejo como la prudencia.  Sería la representación de la virtud. El Museo cataloga el panel como Valencia ante la disyuntiva del error y la verdad. (Panel del error y la verdad. 1850. Museo Nacional de la Cerámica. Valencia)

Lunes, 01 de Abril de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

164. 139. La simetría de las emociones

Matemáticas, Geometría, Simetría, Arquitectura. Cuatro pilares que pueden condicionar la forma de afrontar las decisiones de la vida de las personas. Y en el espectador lo que está viendo. Los que habitualmente seguís esta sección, habréis notado en diferentes ocasiones cómo el que esto escribe crítica con cierta dureza (y bastante sorna, la verdad) todo lo relacionado con lo seudocientífico, esotérico y supuestamente misterioso. No niego que hay enigmas por resolver (todo un aliciente para la ciencia), pero las explicaciones o más bien, impresiones y seudorazonamientos, de los que juegan a ser investigadores me parecen sencillamente inadmisibles, dado que las cosas bien hechas necesitan tiempo, mucho tiempo de análisis, experimentación, estudio, etc., antes de poder concluir con cierta precisión. Y por supuesto, tiempo es lo que no les sobra a los que necesitan llenarse los bolsillos rápidamente (no se deben incluir a todos en el mismo saco, puesto que supongo que habrá quienes sean “legales”, o sencillamente fueron mal encaminados en sus trabajos, aunque sospecho que son una minoría, a tenor de lo que se ve y oye). Comienzo con esta perorata, sencillamente porque en esta ocasión no voy a tratar aspectos puramente matemáticos como en otras ocasiones, sino otros más relacionados con la subjetividad, con las emociones, aunque por supuesto, las matemáticas están detrás. Les voy a comentar una película en la que la forma en que se ha concebido, la composición de sus imágenes, provocan sensaciones que pueden ser muy diferentes dependiendo del estado de ánimo o de la persona que las contempla, lo cual no es demasiado matemático, lo reconozco. Pero somos humanos, y además de una mente privilegiada (aunque en muchos no se note demasiado), tenemos sentimientos, hormonas, nervios, conexiones físico-químicas que nos hacen diferentes a una máquina, y nos provocan estados de ánimo. Disfruté de la película que voy a comentar el pasado lunes 11 de marzo y aunque no me llenó completamente, es innegable la maestría de su puesta en escena, de sus meditados encuadres, en los que la simetría es dueña absoluta de todo el metraje de principio a fin. Comencemos, como es habitual, por su ficha técnica y artística: Ficha Técnica: Título: Columbus. Título Original: Columbus. Nacionalidad: EE. UU., 2017. Dirección:  Kogonada. Guion: Kogonada. Fotografía: Elisha Christian, en Color. Montaje: Kogonada. Música: Hammock. Duración: 104 min. Ficha artística: Intérpretes: John Cho (Jin), Haley Lu Richardson (Casey), Parker Posey (Eleanor), Michelle Forbes (Maria), Rory Culkin (Gabriel), Erin Allegretti (Emma), Shani Salyers Stiles (Vanessa), Reen Vogel (Limpiador), Rosalyn R. Ross (Christine), Lindsey Shope (Sarah), Caitlin Ewald (Camarero), Jim Dougherty (Aaron), Joseph Anthony Foronda (Prof. Jae Yong Lee), Alphaeus Green Jr. (Guía del ICC), Wynn Reichert (Guía de la Casa Miller), Jem Cohen (Empleado), Tera Smith (Empleado del Hospital), William Willet (supervisora de Maria). Sinopsis: Jin, un joven coreano que vive en Seúl, debe trasladarse a la ciudad de Columbus, en los Estados Unidos, después de que su padre, un famoso arquitecto, entre en coma. De forma casual, conoce a Cassey, una chica mucho más joven, que no ha salido nunca de esta ciudad, y a la que le apasiona la arquitectura. Ambos se encuentran en una situación parecida, uno por su padre, la otra por su madre. Cassey propone a Jin enseñarle sus lugares favoritos de Columbus, explicándole las razones de sus elecciones. Sus encuentros y conversaciones se enmarcan en la omnipresencia de un paisaje urbano que, sin percatarse de ello, va a ir condicionando su modo de entender su existencia. Un lugar emblemático Toda la película, rodada en 18 días, se desarrolla en la localidad de Columbus, en el estado de Indiana, que según el último censo tiene en torno a los 44000 habitantes que se distribuyen en 71 kilómetros cuadrados. Es decir que no es un lugar con muchos habitantes, pero ocupan poca extensión por lo que la densidad de población es alta, unos 620 habitantes por kilómetro cuadrado. Lo que es destacable es la gran cantidad de edificios singulares en proporción, y de renombrados arquitectos, por lo que se la ha denominado la Atenas de la Pradera. La mayor parte de estilo moderno (siglo XX; no confundir con modernista que es otra cosa bastante diferente). El Instituto Americano de Arquitectos ha clasificado a Columbus en el sexto lugar en la nación en innovación y diseño arquitectónicos, justo detrás de Nueva York, Chicago, Boston, San Francisco y Washington, DC. Columbus tiene una arquitectura fascinante porque en la década de 1950 el industrial y filántropo J. Irwin Miller (de la Cummins Engine Company) decidió que quería vivir en una ciudad más interesante visualmente. Para lograrlo, Miller se ofreció a pagar las facturas de los arquitectos por cualquier nuevo edificio público que se construyera en Columbus. Años después, asumiendo la necesidad de expandirse de un modo responsable, Columbus ratificó un nuevo plan urbanístico para el centro de la ciudad en 1972. El plan, concebido y ejecutado por Skidmore, Owings y Merrill, firma arquitectónica popularmente conocida por sus siglas, SOM (se constituyó en Chicago por Louis Skidmore y Nathaniel Owings en el año 1936, a los que posteriormente, en 1939 se incorporó John Merrill), agrupó edificios de acuerdo a su uso creando zonas de actividad relacionada, y con el objetivo fundamental de que las nuevas construcciones respetaran la escala y el carácter histórico presentes en todo el núcleo histórico de la ciudad. Hoy, Columbus cuenta con más de 70 edificios diseñados por arquitectos del renombre de I. M. Pei, Eliel Saarinen, Eero Saarinen, Richard Meier, Eliot Noyes y Harry Weese, entre otros, además de los ya mencionados. Esta singularidad seguramente es la que atrajo al director coreano Kogonada a considerarla como idónea para desarrollar su primer largometraje de ficción, además de ser ideal para rodar tranquilamente dada la pequeña población que la habita (en comparación con esas otras ciudades arquitectónicamente potentes mencionadas anteriormente). Recorremos algunos de esos edificios (aparecen muchos más, pero basta una muestra para hacernos una idea de cómo el realizador ha ido buscando la simetría casi obsesivamente). En la primera imagen vemos a la pareja protagonista sentada en las escaleras de entrada al edificio que alberga el Ayuntamiento y el Departamento de policía, obra de la citada firma SOM, finalizada en 1981. Su planta es un triángulo rectángulo, y la fachada principal (la que vemos en la imagen) es la hipotenusa del mismo. La entrada principal se ubica en el punto medio de la hipotenusa y está nivelada con su segundo piso. Dicha entrada está enmarcada por un muro cortina semicircular de dos pisos, totalmente acristalado y curvado cuya geometría se eligió específicamente para generar reflejos del edificio histórico del palacio de justicia que se encuentra adyacente. Dos niveles de escaleras anchas y suavemente inclinadas conectan la esquina del sitio con la entrada. En la parte superior, dos enormes paredes de ladrillo en voladizo se extienden a lo largo de toda la hipotenusa. Dichas paredes se acercan una a la otra, pero no se encuentran en el centro, dejando un hueco por el que se vislumbra también simétricamente la parte de atrás. Las paredes delimitan enfáticamente la entrada al tiempo que sirven como una reinterpretación del frontón clásico de fachada. La base del edificio es como un pedestal que contrarresta visualmente el robusto voladizo. El edificio es paralelo a las calles adyacentes al nivel del suelo, lo que hace que sea fácilmente accesible a través de entradas separadas y estacionamientos en la superficie orientados a la parte trasera del edificio. Tanto éste como otros edificios, aparecen varias veces a lo largo del metraje de la película, desde diferentes perspectivas, pero siempre buscando la más completa simetría. La música sutil, tenue, vaporosa, y disfrutar la proyección en pantalla grande hace que el espectador se sienta uno más en la ciudad. La iglesia cristiana del Norte, de Eero Saarinen, inaugurada en 1964, es otro de los edificios en los que el realizador se ha recreado delicadamente, apareciendo desde la distancia necesaria para admirar su estructura completamente. Una delgada y afilada aguja metálica se eleva hasta los 59 metros sobre el centro de esta iglesia hexagonal, mientras que un óculo en su base deja pasar la luz. Fue el último edificio que concibió Saarinen antes de su prematura muerte. El interior se organiza alrededor de la mesa central de la comunión, con asientos escalonados a cada lado del órgano dispuesto también en forma hexagonal. A la vez que van profundizando en sus problemas personales, Casey va describiendo a Jin, de acuerdo a un baremo personal, cada uno de los lugares que más admira de la ciudad. Su preferido es el de la Primera Iglesia Cristiana, diseñada por Eliel Saarinen, y terminada en 1942. Fue el primero de Columbus de acuerdo al plan de ordenación urbana comentada anteriormente y también una de las primeras iglesias en EE. UU. de estilo moderno. Como vemos en la imagen predomina la estructura cuboide, en la que también está presente el gusto en este caso por lo asimétrico del arquitecto (el reloj de la torre a un lado, la cruz descentrada). La torre tiene una parte superior perforada que permite que los sonidos del órgano salgan al exterior. En contraste con las líneas rectas de la iglesia y la biblioteca donde trabaja Casey, en frente de la citada iglesia, encontramos (lo vemos también en la foto) una escultura en forma de arco de estilo amorfo en medio de la plaza. Fue sugerencia del arquitecto I. M. Pei, que diseñó la biblioteca. Henry Moore fue su autor, colocándolo en el centro de una rotonda ligeramente elevada. Moore dijo inspirarse en la naturaleza y concibió la escultura para que se pudiera caminar a través y alrededor. Se fundió en bronce en 50 secciones en Alemania Occidental trasladándose por el río Mississippi hasta Ohio, y después por la autovía interestatal hasta su montaje final en 1971. Otros arcos de bronce similares, pero más pequeños, de Henry Moore están diseminados por todos los EE. UU., pero éste es el mayor. Precisamente la Biblioteca Memorial Cleo Rogers (1969), es uno de los espacios que más aparece en la película, desde diferentes ángulos y perspectivas, pero siempre bajo la mirada simétrica que venimos indicando que monopoliza la película. Es un edificio de ladrillo rojo con fachada austera a la plaza pública que estamos describiendo. La luz se introduce a través de un gran tragaluz inclinado que recorre la mitad de la estructura, que ha sufrido diferentes añadidos y renovaciones desde su construcción. Finalmente, destacaré las perspectivas que Kogonada capta del edificio que alberga las oficinas del periódico The Republic (en la imagen se observa a la protagonista avanzando desde el fondo), obra también de la firma Skidmore, Owings y Merrill, finalizado en 1971. Al igual que el Centro de Conferencias Irwin (inicialmente el Irwin Union Bank, 1954) y la Casa Miller (1957), ambos diseñados por Eero Saarinen, son edificios de una única altura, recorridos casi por completo por enormes paneles de vidrio. El último de éstos fue residencia personal de J.  Irwin Miller y su esposa hasta su fallecimiento en 2008, siendo entonces adquirido por el Museo de Arte de Indianápolis, haciéndose accesible al público. Tiene 635 metros cuadrados, y fue amueblado por Alexander Girard. Dispone asimismo de un gran jardín (tanto el interior como el jardín son ampliamente mostrados en el film) diseñado por el arquitecto paisajista Dan Kiley. Prácticamente cada plano en cada escena es una composición geométrica de diferentes espacios y edificios de la ciudad. También aparecen espacios privados de los personajes, y primeros planos de los mismos, pero todo está totalmente condicionado al entorno, a la arquitectura. Sirva como muestra las dos siguientes imágenes, una de la habitación del hotel donde se aloja Jin, y otra de Casey de espaldas sobre el capó de un automóvil, pero guardando la simetría de la composición de un modo obsesivo. La película además de la simetría, mantiene una estructura argumental cíclica, sobre todo en cuanto a la imagen, y, no lo he comprobado, pero, muchas escenas del inicio de la película, aparecen también al final, como queriendo plasmar cómo la forma de pensar de los protagonistas ha cambiado, pero el entorno sigue siendo el mismo. Así el puente Stewart (en reconocimiento a Robert N. Stewart, alcalde de la ciudad durante tres legislaturas), terminado en 1999, es una estructura atirantada diseñada por la compañía J. Muller International, con 40 cables con forma de un ventilador. La segunda imagen es la denominada Posada (Inn) de los Irwin Gardens, hoy hotel para visitantes y anteriormente parte de la residencia del citado arquitecto J. Irwin Miller (muchas de sus habitaciones, son las que el protagonista Jin disfruta en la película; aunque aparece entrando en un hotel “normalito”, los interiores son de este otro lugar). En cualquier caso, no crean que Columbus se reduce a una colección de postales turísticas, hábilmente encuadradas y fotografiadas. Como dije al inicio, es un magnífico ejemplo de cómo la arquitectura, el entorno, condiciona completamente la percepción de una película (y quien sabe, si, como a los protagonistas, nuestra propia existencia). Como curiosidad cinéfila, Rory Culkin, el hermano menor de Macaulay, tiene un pequeño papel en la película (y en la biblioteca del lugar, je je je). Quien se esconde tras el seudónimo Kogonada Aunque la identidad de Kogonada (suele firmar como :kogonada) es casi desconocida, suele asistir a las proyecciones públicas de sus obras, y atender a las entrevistas. Por ejemplo, hace dos años, en marzo de 2016, estuvo presente en el jurado del 16º Festival de Cine de las Islas Canarias, dio una clase magistral y mostró algunas de sus creaciones. (ver entrevista concedida al programa Días de Cine de Televisión Española). Nació en Corea del Sur, y se ha dado a conocer sobre todo por sus ensayos en video, piezas cortas que analizan el contenido, la forma y la estructura de películas y series de televisión. Lo hace comentando las composiciones de los directores y haciendo montajes muy didácticos e ilustrativos sobre la mirada y estética particular de los directores de cine. Es colaborador habitual de la revista Sight & Sound y ha elaborado con frecuencia videos complementarios a los lanzamientos de las colecciones de películas de la marca The Criterion Collection. Su primer video-ensayo fue Breaking Bad // POV, en enero de 2012. Utilizando clips de la homónima serie de televisión estadounidense, muestra cómo se utilizan con frecuencia puntos de vista desde ángulos y objetos inusuales. Las obras de Kogonada son parte de un creciente movimiento de realización de trabajos de este tipo como forma visual de análisis, apreciación y crítica en Internet. Suelen centrarse en un tema particular o una estética que un cineasta usa regularmente a través de una filmografía o dentro de una sola obra. Podemos disfrutar de algunos de ellos en la plataforma Vimeo (pinchando en los enlaces, accedemos a ellos; no duran más allá de dos minutos). Algunos ejemplos son sus tres ensayos en video sobre la estética del director estadounidense Wes Anderson, que destaca, entre otras particularidades, por usar también encuadres inusualmente simétricos en sus películas. Estos ensayos los realiza mediante la yuxtaposición de imágenes, transmitiendo pensamientos a través de una disposición concreta.  Al comparar los ensayos escritos con los ensayos visuales, Kogonada observó cómo las palabras forman observaciones precisas y definitivas de las ideas, mientras que las imágenes pueden transmitir una idea particular, pero sin proporcionar una explicación definitiva. Explicó que "si quieres profundizar en la teoría, los textos son el medio perfecto ... Sin embargo, cuando estoy haciendo ensayos visuales, trato las palabras como algo complementario". Su principal referente cinematográfico (no lo esconde y se siente orgulloso de “imitar” sus planos y perspectivas) es el cineasta japonés Yasujiro Ozu. Tampoco esconde su admiración por el citado Wes Anderson, Stanley Kubrick, Robert Bresson o Alfred Hitchcock. Preguntado por el porqué de un seudónimo, sin esconderse para nada, explicó en una entrevista a través del correo electrónico de la revista Filmmaker que “Me gusta la idea de Chris Marker acerca de que su trabajo sea su trabajo. Nunca me he identificado mucho con mi nombre estadounidense, que siempre me resulta extraño ver o escuchar. Y me gustan mucho los heterónimos”. Enlaces a sus video-ensayos: Kubrick // One-point perperstive: https://vimeo.com/48425421 Wes Andersonv // From Above: https://vimeo.com/35870502 Tarantino // From Below: https://vimeo.com/37540504 Ozu // Passageways: https://vimeo.com/55956937 Eyes of Hitchcock: https://vimeo.com/107270525 Y un video explicativo sobre la película: Columbus: For those who feel lost: https://www.youtube.com/watch?v=esR6I8DSLuI Alfonso Jesús Población Sáez

Lunes, 18 de Marzo de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

165. 52. (Marzo 2019) El octaedro estrellado

(Octaedro estrellado y rosario. Museo de la Opera del Duomo, Pisa) El octaedro estrellado es uno de los sólidos cóncavos representados por Leonardo da Vinci para ilustrar De divina proportione de Luca Pacioli. El poliedro tiene características que le hacen muy interesante. Al completar cada una de las caras de un octaedro con ocho tetraedros se obtiene un poliedro cuyos ocho vértices extremos forman un cubo. Además la figura puede verse como una macla de dos tetraedros insertados de arista doble de la del octaedro. Los vértices del octaedro estrellado son la disposición más visual  de uno de los dos empaquetamientos óptimos de esferas: el sistema cúbico centrado en las caras. Si vamos uniendo los cubos, formando una malla, lo que nos aparece es el arquimediano cuboctaedro, cuyo dual es el dodecaedro rómbico, el sólido de Catalá que rellena el espacio. Otro aspecto que no pasa desapercibido es que como cubo puede inscribirse en un dodecaedro regular: los artistas usarán la propiedad para mostrarlo. El octaedro estrellado en los Uffizi El Stanzino delle Matematiche, la pequeña sala de la Galería de los Uffizi donde los Médici albergaban sus dispositivos matemáticos, está decorada con frescos pompeyanos y sus motivos iconográficos son matemáticos. El único poliedro representado, un octaedro estrellado sólido, ocupa un lugar central. (Octaedro Estrellado. Galería de los Uffizi. Florencia) El octaedro estrellado en los diseños renacentistas alemanes Geometría et perspectiva (1567) de Lorenz Stöer es el libro de láminas que servirá de referencia a la marquetería alemana. En la portada y ocupando el lugar más elevado encontramos el octaedro estrellado. En otra portada no impresa de Stöer es donde vemos el octaedro estrellado inscrito en un dodecaedro regular. En una sola figura se encuentran cuatro de los cinco sólidos platónicos. También en Perspectiva corporum regularium (1568) de Wentzel Jamnitzer, el orfebre matemático de Nuremberg, encontramos repetidamente el diseño pero esta vez como derivado del tetraedro. (Perspectiva corporum regularium (1568). Wentzel Jamnitzer) El octaedro estrellado en la taracea de madera La taracea de madera del Renacimiento fue el lugar privilegiado de los poliedros tras los trabajos pioneros de Piero de la Francesca y Leonardo da Vinci que tuvieron su continuación en la perspectiva alemana. El octaedro estrellado aparece representado en uno de los primeros trabajos de intarsia prospettiva: los paneles de Filippo da Serravallino que se exhiben en el Museo de la Opera del Duomo de Pisa. Donde el octaedro estrellado se encuentra más cómodo es en la marquetería alemana: las puertas del Monasterio de San Lorenzo de El Escorial, el escritorio del Museo de Bellas Artes de Bilbao, el atril del Museo de Artes Decorativas de Fráncfort del Meno o el secreter de los poliedros del Museo de Artes Decorativas de Colonia. (Puerta alemana. Monasterio de San Lorenzo de El Escorial) (Contrapuerta del escritorio alemán.  Museo de Bellas Artes. Bilbao) (Atril.  Museo de Artes Decorativas. Fráncfort del Meno) (Contrapuerta del secreter.  Museo de Artes Decorativas.  Colonia) La representación más curiosa es la del atril de Fráncfort (abajo –derecha) donde tres caras del octaedro estrellado se ven a su vez estrelladas en nácar. En Dalí y el mobiliario urbano Terminamos dando cuenta de cómo Dalí, obsesivo con Leonardo, Velázquez o Millet, no deja de percibir el atractivo de los poliedros estrellados y los usa incluso para insertar la figura humana, como pone de manifiesto en sus delirantes 50 secretos mágicos para pintar (1951). El mobiliario urbano, y especialmente las farolas, suelen ser un lugar donde los poliedros se refugian. En la Plaza Europa de Zaragoza, junto al río Ebro, todo el alumbrado se hace con octaedros estrellados: hasta dieciséis farolas con los dos diseños: sólido y vacío.

Lunes, 11 de Marzo de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

166. 169. (Marzo 2019) Cartas perforadas

Los más antiguos del lugar todavía recordamos la época prehistórica de la computación, cuando lo más parecido a un dispositivo portátil era un paquete de tarjetas perforadas, las cuales contenían el conjunto de instrucciones que debía seguir un gigantesco ordenador para realizar un simple programa. Y, ¡cuidado con perder una de ellas o alterar su orden si no queríamos pasar horas días semanas tratando de descubrir el error! Esas tarjetas de memoria -como la de la imagen que encabeza este artículo- eran cartulinas que podían contener hasta 80 columnas, las cuales, convenientemente perforadas para representar un código binario, almacenaban hasta 70 bytes de datos. Así que un miserable lápiz de memoria actual con 1GB de capacidad de almacenamiento sería equivalente a llevar 14 millones de tales tarjetas. Pero la idea original no se ha abandonado del todo: aunque ya no vemos las perforaciones, los dispositivos actuales también basan su funcionamiento en el uso de códigos binarios mediante "perforaciones" en secciones determinadas de su superficie. La diferencia está en su versatilidad, tamaño, capacidad, etc. Lo curioso de las tarjetas de memoria es que su origen no proviene de la informática sino de la industria textil. Fueron creadas en 1725 por Basile Bouchon y mejoradas en 1726 por Jean-Baptiste Falcon pero su despegue se produjo cuando, en 1801, Joseph Marie Jacquard creó un telar que funcionaba a base de tarjetas perforadas para la elaboración de los diseños. Solo entonces fue cuando Charles Babbage desarrolló en 1835 su famosa máquina analítica, la cual se programaba mediante tarjetas perforadas. Tarjetas perforadas de los telares de Jacquard Pues bien, este tipo primitivo de codificación permite idear juegos de magia basados en la aritmética binaria. Dejamos para una próxima ocasión más detalles sobre el funcionamiento de este tipo de juegos dejándote la oportunidad de que descubras por ti mismo los que te proponemos esta vez. El juego de este mes está descrito por uno de nuestros lectores, Javier Serrano, que es también gran aficionado a los juegos mágico-matemáticos como se puede comprobar recorriendo su página web (http://olmo.pntic.mec.es/~aserra10/). Cedo la palabra -mejor dicho, la redacción- a Javier. PREPARACIÓN Y MANIPULACIÓN DE LAS CARTAS Para preparar este juego necesitaremos ocho cartas, numeradas desde el A hasta el 8. Los palos de las cartas son indiferentes, pero hemos de asegurarnos de que todas las cartas pares sean de un color y las impares de otro. En este manual hemos optado por el rojo para las impares y por el negro para las pares. Ahora, a cada carta le vamos a hacer unos cuantos agujeros y unas cuantas ranuras. Los agujeros se pueden hacer con cualquier perforadora de papel. Para hacer las ranuras es conveniente hacer primero un agujero con la perforadora y, luego, con las tijeras, terminar de hacer la ranura. En la siguiente figura se muestran los agujeros y ranuras que deben hacerse en cada carta. Ya están las cartas preparadas. Ahora necesitamos hacernos con un clavo o un alfiler que pase por los agujeros de forma holgada. Una horquilla de pelo es muy recomendable porque sirve, además, para sujetar las cartas y evitar pérdidas. PRIMER EFECTO: EXTRAER LA CARTA ELEGIDA POR EL ESPECTADOR El matemago muestra las cartas para que se vea que están numeradas del As al Ocho, mientras explica que son cartas tecnológicas y que los agujeros son puertos USB. Le da el mazo a un espectador para que las baraje cuanto quiera y dice que el clavo es un ordenador portátil de último grito. Que es portátil salta a la vista por su tamaño, que es de último grito está claro porque si se lo clavara al espectador seguro que gritaría y que es un ordenador se pondrá de manifiesto inmediatamente, porque el clavo es capaz de ordenar, clasificar y seleccionar las cartas. Una vez recuperado el mazo, le pide al espectador que elija un número entre el 1 (el As) y el Ocho. Dicho este número, el mago opera como sigue: El matemago descompone mentalmente el número elegido N por el espectador como suma de 1, 2 y 4. Digamos N = a1 + a2 + a4, siendo ai ∈ . La única salvedad es que, si N = 8, entonces se descompone N = 0 + 0 + 0. La siguiente tabla da la descomposición en tres sumandos de todos los casos posibles: Nº elegido Sumandos 1 2 3 4 5 6 7 8 1+0+0 0+2+0 1+2+0 0+0+4 1+0+4 0+2+4 1+2+4 0+0+0 Pasa el clavo por el agujero superior. Si a1 = 0, se queda con el paquete del clavo dejando el otro en la mesa. Si a1 ≠ 0, se queda con el paquete de la mano dejando el otro en la mesa. Con el paquete elegido (de 4 cartas), introduce el clavo por el agujero central. Si a2 = 0, se queda con el paquete del clavo dejando el otro en la mesa. Si a2 ≠ 0, se queda con el paquete de la mano dejando el otro en la mesa. Con el paquete elegido (de 2 cartas), introduce el clavo por el agujero inferior. Si a4 = 0, se queda con la carta del clavo dejando la otra en la mesa. Si a4 ≠ 0, se queda con la carta de la mano dejando la otra en la mesa. La carta elegida es la del espectador. SEGUNDO EFECTO: SELECCIÓN POR COLORES Paquetes del mismo color Se le vuelve a entregar al espectador el mazo para que las mezcle de nuevo. El clavo, dice el matemago, no solo selecciona cartas por su número, también lo hace por su color. Y para que se vea claro que no hay trampa (en esto, el matemago ya ha metido el clavo por el agujero superior y ya tiene dos paquetes hechos, uno en la mano y otro en el clavo) le pide al espectador que decida él mismo dónde colocará el paquete del clavo, encima o debajo del paquete de la mano. El matemago sigue las indicaciones del espectador. Insistiendo en que es él quien decide, se introduce el clavo por el agujero central y se le vuelve a preguntar al espectador dónde coloca el paquete del clavo. Luego se hace lo mismo tras pasar el clavo por el agujero inferior. Formado el último mazo, el matemago reparte dos manos de cartas, una para el espectador y otra para él mismo. Cada paquete así formado contiene cuatro cartas del mismo color. Parejas de colores Resulta que el clavo, dice el matemago, no solo es un ordenador portátil de último grito, además es un romántico al que le gusta unir parejas, se cree que es Cupido el infeliz. El matemago, con el mazo en la mano, explica que en las cartas el amor se demuestra por el color, dos cartas rojas se quieren, dos cartas negras también se quieren, aunque quizá esto sea un poco racista. Podríamos hacer parejas también de distinto color, ¿qué prefiere usted? El espectador entonces elige hacer “parejas del mismo color” o “parejas de distinto color”. El mismo espectador baraja las cartas y él mismo será quien decida si, una vez arrastradas las cartas por el clavo, éstas se colocan encima o debajo del montón de cartas de la mano del matemago. No puede haber mayor libertad de elección. Siguiendo las instrucciones dadas por el espectador, el matemago va introduciendo el clavo en el agujero superior, luego en el central y, finalmente, en el inferior, colocando, cada vez, las cartas arriba o abajo, según el deseo del espectador. El matemago reparte dorso arriba, una al lado de otra, formando una fila, cuatro cartas sobre la mesa. Si el espectador eligió “parejas del mismo color” coloca la quinta carta sobre la primera, la sexta sobre la segunda, la séptima sobre la tercera y la octava sobre la cuarta; si el espectador eligió “parejas de distinto color”, entonces la quinta carta la deposita sobre la cuarta, la sexta sobre la tercera, la séptima sobre la segunda y la octava sobre la primera. En cualquier caso se forman cuatro parejas de cartas que, al voltearlas, forman pareja siguiendo los deseos del espectador. TERCER EFECTO: EFECTO DADO Mientras el espectador vuelve a mezclar las cartas, el matemago le pregunta si sabe cómo están colocados los números en un dado (o mejor, saca un dado y le pide que observe las caras opuestas). El caso es dejar bien claro que las caras opuestas de un dado suman siempre 7. Pues resulta que las cartas, que no son muy listas, no saben que son cartas y se creen que son un dado. El matemago va introduciendo el clavo en el agujero superior, luego en el central y, finalmente, en el inferior, colocando, cada vez, las cartas arriba o abajo, según el deseo del espectador. Las cartas se empeñan en ser un dado y lo demuestran colocándose, mágicamente, de forma que sus caras opuestas sumen 7, salvo el 8 claro, que en este caso no cuenta y se tomará como 0. Las caras opuestas de la baraja son la carta superior y la inferior. El matemago va formando parejas con estas cartas, la superior y la inferior, y las coloca boca arriba sobre la mesa, comprobando que, efectivamente, la suma de valores es siempre 7. Incluso en la pareja en la que aparece el 8 (que ahora vale 0) ya que la otra carta será el 7. CUARTO EFECTO: AÚN HAY MÁS Se le pide al espectador que vuelva a mezclar las cartas, haciéndole ver que ya las ha mezclado un montón de veces. Tras recoger el mazo de manos del espectador (y comprobar que todas las cartas queden con los agujeros a la derecha una vez colocadas de dorso), el matemago introduce el clavo por el agujero superior y coloca las cartas arrastradas por el clavo sobre las cartas de la mano. Tras recomponer el mazo, introduce el clavo por el agujero central y coloca las cartas del clavo sobre las de la mano. Finalmente, introduce el clavo por el agujero inferior arrastrando cuatro cartas que también coloca sobre las de la mano. Ahora voy a enseñarle una cosa prodigiosa, más prodigiosa aún que todo lo que hemos visto ya. El clavo, dice el matemago, ha colocado en primer lugar una carta que es mayor que cualquier número que usted diga. Piense usted cualquier número, no tiene por qué restringirse a los números que aparecen en una baraja, puede decir el número que usted desee, con las cifras que usted quiera. Estoy seguro de que el clavo ha colocado como primera carta del mazo una carta mayor que el número que usted diga. Cuando el espectador dice el número, el matemago le muestra la primera carta del mazo (que es el 8) y le pregunta si es mayor que el número dicho. Como el espectador dirá que no, el matemago extrañado mira la carta y le dice que la está viendo mal. Entonces la gira para ponerla horizontal y le dice que el valor de la carta es infinito y, por tanto, mayor que el número elegido por el espectador. El matemago coloca el 8 en la parte inferior del mazo, deja el mazo sobre la mesa y sigue la charla. Pero aún hay más, el clavo es también un adivino. Yo ahora le voy a pedir un número entre 1 y 8, pero el clavo ya sabe qué número va a elegir y no solo ha localizado esa carta sino que, además, la ha colocado en su lugar correspondiente, es decir, que si usted me dice 3, la carta número 3 ha de estar colocada en tercer lugar. ¿No es maravilloso? Veamos si es verdad. Fíjese que yo no toco las cartas, es el clavo quien ya lo ha hecho todo. Dígame un número entre 1 y 8. El matemago busca la carta que ocupe el lugar dicho por el espectador, la gira y efectivamente es la carta elegida. Pero aún hay más, el clavo no solo ha localizado y colocado su carta, además, como gran final, ha ordenado todas las cartas, mire: se voltean las cartas y a la vez se va diciendo su nombre: As, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete y ocho. Las cartas, efectivamente, aparecen en el orden que se dice. Comentarios finales: Como habrás comprobado, tienes frente a ti dos buenos ratos de entretenimiento: el primero cuando realices esta secuencia de juegos ante tu público y el segundo cuando trates de descubrir el funcionamiento matemático de los mismos. Para ello, deberás hacerte algunas preguntas como: ¿qué tipo de perforaciones tienen las cartas?; ¿cómo se distinguen las cartas rojas de las negras? Sí, yo también me he planteado preguntas del tipo: ¿por qué se utilizan solo 8 cartas?, ¿con qué otra cantidad de cartas se podrían realizar estos juegos?, ¿cómo deberían hacerse las perforaciones? Trataremos de responderlas en un futuro próximo pero no hay que ser adivino para suponer que, antes de nosotros, Martin Gardner ya se lo había planteado. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

Viernes, 01 de Marzo de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

167. 96. (Febrero 2019) La geometría de la música (IV)

1. La geometría de las escalas Esta es la cuarta entrega de la serie Geometría y Música, serie en la que estamos revisando a fondo el libro A Geometry of Music [Tym18] del compositor y teórico de la música Dimitri Tymoczko. En este libro, Tymoczko hace una defensa sólida y apasionada de los métodos geométricos del análisis musical. En la primera entrega [Góm18c] se caracterizaron cinco componentes de la música tonal, a saber: el movimiento melódico por grados conjuntos, la consonancia acústica, la consistencia armónica o la similitud entre sonoridades armónicas, la macroarmonía limitada o la elección de las escalas, y la centralidad o la jerarquización de los grados de la escala. En la segunda serie [Góm18a] entramos a describir las bases mátemáticas de los modelos propuestos por Tymoczko. Se definieron los espacios de frecuencias y de alturas, se definieron operaciones relavantes musicalmente, las operaciones OPTIC, y se estudió qué objetos musicales quedan invariantes por estas operaciones. Por último, se examinó la cuestión de la comparación de conducciones de voces. En la tercer serie [Góm18b] se estudiaron los modelos geométricos de progresiones de acordes y conducciones de voces para acordes de dos y tres voces. En la entrega presente trataremos la construcción de escalas, las operaciones sobre escalas y la relación entre escala y modulación y conducción de voces. Parte del trabajo ya está hecho en el material de las entregas previas; ahora se trata de cambiar la perspectiva de acordes a la de escalas. Una escala se puede concebir como una regla que se construye sobre la extensión de una porción fija del espacio de frecuencias. Visto desde un marco abstracto, cualquier colección de notas puede serlo y aunque observamos que muchas escalas tienen distancias pequeñas y que con frecuencia se ajustan a la octava, para su definición formal basta con que la escala determine la distancia entre notas consecutivas. La distancia entre dos notas consecutivas de una escala se llama paso de la escala. Las escalas por octava son escalas que marcan las notas en una octava dada y luego, por transposición, extienden la definición de la escala al resto de octavas. Las escalas mayores y menores de la música occidental son de este tipo. Una escala por octava se puede concebir una selección de clases de alturas, ya que las notas se repiten en todas las octavas; véase la figura 1. Figura 1: Escalas por octava (figura tomada de [Tym11]) 2. Grados de la escala, transposiciones e inversiones en escalas Como hemos dicho antes, una escala proporciona una medida de la distancia musical. Si tomamos, por ejemplo, la división en 12 semitonos de la octava, entonces la escala diatónica es una agrupación de las distancias cromáticas en el conjunto (2,2,1,2,2,2,1). Al pensar en términos de escalas, asignamos a cada grado de la escala un número, empezando por la primera nota con el uno y así sucesivamente. La asignación de los grados es arbitraria y en principio la primera nota no es más importante que el resto. Análogamente a las transposiciones e inversiones en el espacio cromático (vistas en la segunda entrega de esta serie [Góm18c]), se pueden definir similares operaciones e investigar las escalas que quedan invariantes por ellas. Transponer una escala es sencillamente sumar a cada grado de la escala una constante. Para invertir una escala, se fija una de sus notas y se giran el resto de las notas alrededor de la misma. La figura siguiente ilustra ambas operaciones. Figura 2: Operaciones sobre escalas (figura tomada de [Tym11]) Cuando se refiere a escalas, la situación de las clases de acordes invariantes por las operaciones es ligeramente diferente a cuando se consideran en el espacio cromático. Dos acordes pertenecerán a la misma clases invariante por transposiciones cuando uno sea una transposición del otro. Si estamos en la escala de do menor, los acordes (B, D, F) y (C, E♭, G) se encuentran en la misma clase porque el segundo es igual al primero un más un paso de escala. La figura siguiente muestra todos los acordes que pertenecen a la misma clase. Nótese que cromáticamente (B, D, F) y (C, E♭, G) son distintos, pues el primero es un acorde disminuido y el segundo un acorde menor. Figura 3: Transposición de acordes en escalas (figura tomada de [Tym11]) 3. Construcción de escalas Las escalas son la base de la armonía y, por tanto, en la práctica compositiva se busca que haya un equilibrio entre el número de intervalos consonantes y disonantes. Dado que la octava es el intervalo más consonantes las escalas por octava, esto es, las que repiten la misma distribución de notas en cada octava son muy frecuentes. El segundo intervalo más consonante es la quinta pura, es decir, el intervalo en que el cociente entre la frecuencia más aguda y la más grave es igual a 3∕2. Supongamos que queremos construir una escala que contenga el máximo número de quintas puras. Se sabe desde hace mucho tiempo que es imposible construir una escala en que contenga quintas puras arriba y abajo de cada nota; de ahí que pidamos solo el máximo número posible. Si concatenamos cinco quintas perfectas puras seguidas, como se muestra en la figura 4 (a), veremos que no alcanzamos de nuevo una octava. Matemáticamente, esto es debido a que no hay ningún par de números enteros n,m tales que n = 2m. La última quinta se queda 0.9 semitonos por debajo de la nota de la octava (el do entre paréntesis en la figura). Otra opción sería concatenar siete quintas perfectas puras (la parte (b) de la figura), pero entonces ahora se sobrepasa en 1.137 semitones, y es aun peor que el caso anterior. Siendo más radical, si concatenamos doce quintas perfectas puras (la parte (c) de la figura), entonces nos quedamos por encima de la nota de la octava en 0.25 semitonos. Figura 4: Concatenación de quintas perfectas puras (figura tomada de [Tym11]) Puesto que las quintas perfectas puras no han funcionado, se puede pensar que otros intervalos puros sí podrían dar resultado. Por ejemplo, consideremos las terceras mayores puras, cuya constante de proporcionalidad es 5∕4. Una concatenación de cuatro terceras mayores puras se queda corta en 0.41 semitonos con respecto a la octava; véase la figura 5 (a). Si seguimos apilando terceras, digamos hasta cinco, en ese caso se excede en 0.62 semitonos, como muestra la parte (b) de la figura. Figura 5: Concatenación de terceras mayores puras (figura tomada de [Tym11]) Vemos que las quintas y terceras mayores puras no funcionan. Un recurso al que se ha recurrido es el de combinar ciclos generados por estos intervalos para crear las escalas. Por ejemplo, la escala hexatónica, que aparecen en la figura 6 (a), está generada a partir de dos ciclos de tres terceras mayores puras que se encuentran a distancia de una quinta perfecta pura. La escala resultante cumple con el deseo de tener intervalos puros, pero queda en medio de la escala un salto excesivamente grande, de una tercera menor mi-sol. En otras palabras, es también deseable en una escala que divida a la octava regularmente. Esta propiedad de regularidad significa que las notas de la escala se distribuyan lo más regularmente posible dentro de la octava . La escala hexatónica obtenida no cumple tal propiedad. Otra posibilidad es la escala octotónica; está construida a partir de dos ciclos de terceras menores puras, como se aprecia en la parte (b) de la figura. Esta escala sí se acerca más al ideal de la división regular de la octava. Esta escala se ha usado en la música clásica del siglo XX, entre otros por Igor Stravinsky en su Consagración de la primavera y Petroushka. Otro ejemplo de escala regular es la escala de tonos enteros. Se forma tomando dos ciclos de dos terceras mayores puras a distancia de una segunda mayor; véase (c) en la figura de abajo. Figura 6: Concatenación de diversas combinaciones de intervalos (figura tomada de [Tym11]) Por último, es posible construir escalas concatenando terceras mayores y menores puras a lo largo de dos octavas. Esto produce cuatro escalas que nos son muy conocidas (véase la figura 7). La escala diatónica ((a) en la figura) está formada por una alternancia de terceras mayores y menores, excepto en la nota re, que de nuevo repite una tercera menor. La escala de la figura (b) es la escala acústica o escala melódica menor ascendente. Se le llama acústica porque sus notas son aproximadamente iguales a las de las siete primeras notas de la serie armónica. La escala en (c) es la armónica menor y la de (d) la armónica mayor, cada una generada con distintas combinaciones de terceras mayores y menores. Figura 7: Cuatro escalas muy conocidas (figura tomada de [Tym11]) Las escalas diatónica, de tonos enteros, acústica y octotónica tienen las propiedades de que están formadas por tonos o semitonos y de que sus terceras están compuestas por tres o cuatro semitonos solo. El temperamento igual soluciona todos los problemas anterior dividiendo la escala en 12 semitonos de igual distancia en frecuencia. Esto es equivalente a decir que el cociente entre dos semitonos consecutivos es igual a . Esta es la división de la octava más regular posible ya que es la división en partes iguales. Para más información sobre afinaciones y temperamentos, véanse las excelentes referencias [Ben06] y [Bar04]; y en particular, para su fascinante historia recomendamos el libro de Javier Goldáraz [Gol92]. La estructura de una escala determina la conducción de voces y la modulación (esto es, aspectos las macroarmonías; véase la primera entrega de la serie [Góm18c]). Por ejemplo, para modular desde do mayor, cuya escala no tiene ningún sostenido, a sol mayor, que tiene solo el fa sostenido, basta con un único cambio de nota, de fa a fa sostenido. Este hecho ha sido explotado en música intensivamente para la modulación y es el responsable del famoso círculo de quintas. La manera de hacerlo es usando un acorde pivote, esto es, un acorde que está en ambas escalas y que al ser reinterpretado en tonalidad destino permite la modulación. Para más información sobre modulaciones, véase [Pis91]. 4. Conducción de voces entre las escalas más comunes Fijado el temperamento igual, las cuatro escalas de siete notas más regulares son la diatónica, la acústica, la armónica menor y la armónica mayor; véanse las figuras 6 y 7. Como ocurría con los acordes (véase [Góm18a]), se pueden disponer las escalas en un modelo geométrico, mostrado en la figura siguiente, que refleja las conexiones entre escalas. En la figura el clásico círculo de quintas de escalas diatónicas corresponde a la línea gruesa sólida; en cambio, el círculo no diatónico de quintas es la línea a puntos que empieza en el sol acústico situado abajo a la derecha de la figura. Figura 8: Modelos geométricos de escalas (figura tomada de [Tym11]) Las conexiones entre las escalas vienen dadas por los cambios que hay que efectuar para transformar una escala en la otra; esta idea sigue el espíritu, por ejemplo, de las distancia del excavador (earth’s mover definida por Typke y sus colaboradores [TGV+03], que es un tipo especial de distancia de edición. La distancia de edición se define como el número mínimo de operaciones que hay que efectuar para transformar un objeto en otro, en este caso una escala en otra, donde las operaciones son tres: borrado, inserción y sustitución. Véase el artículo de esta columna [?] para más información. Para la transformación entre esas cuatro escalas se tienen que mover arriba y abajo ciertas notas, y en el caso de la escala octotónica descomponer y unir ciertos intervalos. La figura siguiente muestra la relación entre las escalas en función de los cambios que hay que hacer para pasar de una escala a otra. Figura 9: Transformaciones entre escalas (figura tomada de [Tym11])   Bibliografía [Bar04] J. Murray Barbour. Tuning and Temperament: A Historical Survey. Dover Publications, New York, 2004. [Ben06] D. Benson. Music: A Mathematical Offering. Cambridge University Press, 2006. [Gol92] Javier Goldáraz. Afinacion y temperamento en la musica occidental. Alianza, 1992. [Góm18a] Paco Gómez. La geometría de la música (ii), consultado en diciembre de 2018. [Góm18b] Paco Gómez. La geometría de la música (iii), consultado en diciembre de 2018. [Góm18c] Paco Gómez. La geometría de la música (i), consultado en octubre de 2018. [Pis91] Walter Piston. Armonía. Editorial Labor (versión española), 1991. [TGV+03] Rainer Typke, Panos Giannopoulos, Remco C. Veltkamp, Frans Wiering, and René van Oostrum. Using transportation distances for measuring melodic similarity. In Proc. 4th International Conference on Music Information Retrieval, pages 107–114, Baltimore, USA, October 26-30 2003. [Tym11] Dimitri Tymoczko. A geometry of music: harmony and counterpoint in the extended common practice. Oxford University Press, 2011. [Tym18] Dmitri Tymoczko. Página web de Dmitri Tymoczko, consultado en diciembre de 2018.

Lunes, 18 de Febrero de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

168. 68. (Septiembre 2012) Series lógicas y crímenes en serie (versión abreviada)

Uno de los cuentos más famosos de Borges, “La muerte y la brújula”, plantea como enigma una serie de muertes, concertadas de acuerdo a un patrón que se revela de a poco. “El primer crimen”, se declara, “ocurrió en el Hôtel du Nord –ese alto prisma que domina el estuario cuyas aguas tienen el color del desierto.” En una primera lectura, el nombre del hotel podría pasar inadvertido, como un dato intercambiable, una elección casi arbitraria. Sin embargo, es la primera referencia a una de las claves de la solución. El Hôtel du Nord representará el punto cardinal norte. La otra referencia oculta de la frase es la mención al estuario, que invita a identificar la ciudad con Buenos Aires. A este hotel arriba el día 3 de diciembre el delegado a un Congreso Talmúdico, de apellido Yarmolinsky, sólo para morir asesinado esa noche. En una máquina de escribir junto al cadáver hay una hoja con una frase inconclusa; “La primera letra del Nombre ha sido articulada”. También aquí, a primera vista, la fecha del 3 parece un número cualquiera elegido al azar. Pero muy pronto, el número 3 reaparece. “El segundo crimen”, se nos dice, “ocurrió la noche del 3 de enero, en el más desamparado y vacío de los huecos suburbios occidentales de la capital”. En una pared junto al cadáver quedan escritas unas palabras en tiza: “La segunda letra del Nombre ha sido articulada”. La tercera muerte, ahora más previsiblemente, ocurre la noche del 3 de febrero. Se establece así la aparente firmeza del número 3 como patrón en la regularidad de un muerto por mes, pero se vela más la clave geográfica. El crimen habría ocurrido, se dice al pasar, “en la dársena inmediata, de agua rectangular”, una mención oblicua al punto cardinal este. La sentencia, en una de las pizarras de la recova, dice esta vez “La última de las letras del Nombre ha sido articulada”. El comisario a cargo de la investigación, que representa el orden de lo prosaico y del sentido común, recibe pocos días antes del 3 de marzo un sobre con un plano de la ciudad y una carta en la que se profetiza que el 3 de marzo no habría otro crimen, porque “la pinturería del Oeste, la taberna de la Rue de Toulon y el Hôtel du Nord eran los vértices perfectos de un triángulo equilátero y místico”. El comisario envía la carta y el plano a Erik Lönnrot, el detective paralelo del relato, el detective del orden ficcional. Lönnrot, que está detrás de una solución “puramente rabínica”, o al menos “interesante”, ha descubierto que el día hebreo empieza al anochecer. Como todos los crímenes fueron cometidos de noche, la fecha 3 debe leerse en realidad como 4. Así, los tres primeros crímenes apuntan en realidad a uno todavía por cometerse, en el punto sur que completa el rombo de los puntos cardinales. El número 4 está también sugerido por los rombos de la pinturería, y el traje de los arlequines en la tercera de las muertes (que finalmente, se sabrá, ha sido fraguada) y, sobre todo, por la palabra Tetragrámaton, que da la clave de los mensajes, las cuatro letras del Nombre secreto de Dios. Lönnrot ubica en el plano de la ciudad el cuarto punto y acude a ese lugar en el sur, la quinta de Triste-le-Roy. Pero lo que no alcanza a prever es que en realidad la serie es un laberinto, una trampa que ha preparado su archienemigo Red Scharlach, para atraerlo hasta allí. Y que la cuarta víctima será él. Llegado el encuentro, hay algo así como un doble final en que detective y asesino tienen un último diálogo. En este diálogo Lönnrot dice: “En su laberinto sobran tres líneas. Yo sé de un laberinto griego que es una línea única, recta. En esa línea se han perdido tantos filósofos que bien puede perderse un mero detective. Scharlach, cuando en otro avatar usted me dé caza, finja (o cometa) un crimen en A, luego un segundo crimen en B, a 8 kilómetros de A, luego un tercer crimen en C, a 4 kilómetros de A y de B, a mitad de camino entre los dos. Aguárdeme después en D, a 2 kilómetros de A y de C, de nuevo a mitad de camino. Máteme en D, como ahora va a matarme en Triste-le-Roy.” En un cuaderno de anotaciones de Borges aparece un diagrama, dibujado por él mismo, con los puntos situados de acuerdo a esta explicación, que corresponde, por supuesto, a la paradoja de Zenón de Elea. Evidentemente Borges pensaba que si se comete un primer crimen en A, un segundo crimen en B, y un tercer crimen en C, a mitad de camino entre los dos, el cuarto punto queda determinado en D, con la misma claridad que los puntos norte, oeste y este apuntan al sur como cuarto término. Es decir, que la serie A, B, C señala a D, a mitad de camino entre A y C, como la solución lógica correspondiente que podría inferir un detective para esta variante en línea recta de la trampa. Sin embargo, esta segunda serie no es de ningún modo tan clara. Es muy fácil pensar otras soluciones posibles, y también perfectamente “razonables” para la serie A, B, C tal como está planteada. Por ejemplo, puede pensarse que el asesino camina primero 8 kilómetros desde A hasta B para cometer el segundo crimen. Luego retrocede 4 kilómetros para cometer el tercer crimen en C. Y a continuación vuelve a avanzar 2 kilómetros para cometer el cuarto crimen en un punto intermedio entre C y B. En esta segunda solución, el movimiento es de avances y retrocesos. En la primera solución el movimiento es únicamente de regreso al punto A. ¿Por qué una sería preferible a la otra? En realidad, en la historia principal, lo que le da “obviedad” al punto ubicado en el sur es una información de contexto: el hecho de que los tres puntos anteriores corresponden a lugares situados en el norte, oeste y este. Esta información, recordemos, la suministra el propio criminal en una carta, junto con un plano que le envía al comisario. Si el mismo problema se planteara sin esta clave adicional, tendríamos como datos únicamente la ubicación de tres puntos de la siguiente manera: Y entonces, visto así el problema, también aparecen otras continuaciones “razonables” posibles: por ejemplo, podríamos pensar en un movimiento de rotación alrededor del punto A. Tenemos entonces que la continuación de una serie de símbolos lógicos no necesariamente es única. Si los símbolos están dados de una manera “desnuda”, sin otras claves de contexto, pueden admitir distintas continuaciones. Aún así, al comparar soluciones propuestas para una misma serie, algunas podrían parecernos más nítidas o “naturales”, más precisas, más obvias. Uno podría suponer: si bien las series lógicas no tienen solución única, quizá sí pueden diferenciarse las distintas soluciones de acuerdo a criterios estéticos, o de algún otro tipo. Establecer algo así como la mejor solución, la más elegante, la más económica, la más elemental, la más evidente. Esto tampoco puede hacerse. Veamos este ejemplo: Si yo doy los números 2, 4, 8, 16 y pregunto por el número que debería escribir a continuación, es muy probable que la contestación inmediata sea 32, y que se considere un error imperdonable, y hasta risible, que alguien sugiera, por ejemplo, 31. Sin embargo, pensemos las cosas de este modo: Dibujamos un círculo, fijamos 2 puntos en la circunferencia y trazamos la línea que une esos puntos. El círculo ha quedado dividido en dos sectores. Así obtenemos el número 2: Fijamos ahora, sucesivamente, 3, 4, y 5 puntos en la circunferencia, y trazamos las líneas que unen a cada punto con los demás. Al contar los sectores obtenemos los números 4, 8, y 16. Observemos que hasta aquí las dos series coinciden perfectamente, aunque la regla que utilizamos para obtener los números es distinta en cada caso. Los que han pensado en la solución 32 utilizaron la regla “multiplicar por dos el número anterior para obtener el siguiente”. Mientras que la regla que estamos usando ahora para obtener la serie 2, 4, 8, 16 es “fijar puntos sobre la circunferencia, trazar las líneas que unen a cada punto con los demás, y contar los sectores en que queda dividido el círculo”. Veamos qué ocurre en el quinto paso. Fijamos 6 puntos sobre la circunferencia y, una vez más, trazamos las líneas que unen a cada punto con los restantes. Al contar los sectores en que ha quedado dividido el círculo obtenemos, no el número 32, ¡sino 31! De manera que 31 es una continuación también perfectamente razonable para la serie 2, 4, 8, 16. Más aún, bien mirada, es incluso más “elemental” que la solución 32, que requiere saber la tabla del 2, algo que los chicos no aprenden hasta segundo grado. Mientras que cualquier chico a partir de los cuatro años puede en cambio trazar estas líneas que unen entre sí los puntos y contar los sectores. Esto muestra que no hay demasiadas esperanzas de poder diferenciar diferentes soluciones de acuerdo a criterios como economía, elegancia, etcétera. Algunas consecuencias de esta discusión 1. Novelas sobre crímenes en serie: Hay un largo equívoco, propagado por innumerables novelas y películas sobre crímenes en serie, según el cual, si el asesino deja un símbolo junto a cada cadáver, un detective con la suficiente inteligencia podrá dar con la continuación correcta de la serie y anticipar el crimen siguiente. Sin embargo, tal como vimos, el detective no puede en general aspirar a acertar con la continuación de una serie de crímenes, sino sólo a tener la suficiente empatía con el modo de pensar del asesino, para coincidir con él en una de las continuaciones posibles. Si Scharlach no hubiera enviado la carta que señala para las primeras tres muertes la interpretación de puntos cardinales, Lönnrot no hubiera podido “leer” unívocamente la continuación del punto sur, del mismo modo que la continuación D en la que pensaba Borges para la serie sobre la línea recta no queda unívocamente determinada por los primeros tres puntos. 2. Tests de inteligencia En alguna época los tests de inteligencia y de personalidad incluían también series lógicas, en general de tres símbolos o figuras, que el examinado debía prolongar en un casillero en blanco. Pero otra vez aquí, lo único que el examinador podría evaluar es el amoldamiento del examinado a la continuación “media esperable” de acuerdo a cierta edad, a cierta educación, a cierto medio social, a cierto entrenamiento previo. En definitiva, se evalúa la coincidencia o desviación del pensamiento del examinado respecto de la solución prevista a priori como única correcta por el examinador. 3. Paradoja de Wittgenstein sobre las reglas finitas En realidad, el que reflexionó de una forma más amplia y general sobre este problema de las diferentes continuaciones posibles de una serie fue Ludwig Wittgenstein en Investigaciones filosóficas y también en Observaciones sobre los fundamentos de la matemática. En la formulación quizá más precisa de la paradoja, la establece de este modo: Nuestra paradoja era ésta: Una regla no podía determinar ningún curso de acción porque todo curso de acción puede hacerse concordar con la regla. Es decir, la mera aplicación de una regla no permite inferir cuál es realmente la regla que se está siguiendo, no importa cuántas veces se haya aplicado. En efecto, si volvemos al ejemplo de la serie 2, 4, 8, 16, yo puedo creer que infiero correctamente la regla de “multiplicar por dos el término anterior” y mi curso de acción será entonces escribir el número 32 como continuación. Pero en realidad la regla utilizada para obtener estos cuatro números podría haber sido la de los círculos y sectores, que coincide de manera parcial con la mía en los primeros cuatro pasos. En general, si obtuvimos un número n cualquiera de resultados con una cierta regla R, no podemos inferir de esta aplicación parcial que es verdaderamente la regla R la que tenemos que usar en el paso siguiente, y no por ejemplo, otra regla R´ que coincide con la nuestra en esos primeros n resultados, pero difiere en el paso siguiente n + 1. 4. Educación Pero ¿cómo podemos entonces aprender? ¿Cómo podemos estar seguros si aprendimos o no una regla, cuando la cantidad de ejemplos que nos pueden dar, o que podamos exhibir en respuesta como prueba de que verdaderamente entendimos, no permite inferir cuál es en realidad la regla? Y sin embargo, por otro lado, es un hecho que aprendemos algunas reglas, a pesar de la paradoja de Wittgenstein. Aprendemos, por ejemplo, la regla de multiplicar por dos (aunque Wittgenstein logra convencernos de que ni siquiera podemos estar seguros de que sepamos verdaderamente multiplicar por dos). Wittgenstein explica el aprendizaje de una regla como un juego del lenguaje, es decir un juego que sale del plano sintáctico donde están escritos los ejemplos, (y que es insuficiente por sí solo para decidir la interpretación correcta) y pasa al terreno del intercambio social a través del lenguaje, donde se da a las reglas una interpretación privilegiada, que tiene que ver con una norma. “Seguir una regla es análogo a obedecer una orden. Se nos adiestra para ello y se reacciona a ella de determinada manera.” La educación en la regla es así una calibración sucesiva entre alguien que ensaya y una figura de aprobador-reprobador, que juzga los ensayos de la regla, hasta que se logra una sincronía lo bastante perdurable, de manera que la regla-norma parece haber sido aprendida, porque la concordancia se ha puesto a prueba suficiente cantidad de veces. 5. Diferencia entre letra y espíritu de la ley en la justicia La letra de la ley conserva la forma en que se ha aplicado la norma hacia atrás en el pasado, pero la sucesión de ejemplos en que se aplicó la ley no alcanza para determinar unívocamente la interpretación que debe regir en el presente, o en el futuro. La sociedad, o los jueces dentro de la sociedad, pueden reinterpretar la ley de maneras diferentes en cada instancia. Así, el presente histórico ocupa el rol de aprobador-desaprobador respecto al curso de acción para la ley escrita hasta ese momento. 6. Búsqueda de una lengua universal En el libro La búsqueda de la lengua perfecta, de Umberto Eco, se analizan distintos intentos históricos de crear una lengua que sea capaz de generar mecánicamente, a partir de la sintaxis, notaciones inequívocas no sólo para las palabras existentes sino también para las que puedan surgir en el futuro. En el fondo, lo que está detrás del fracaso de cada uno de estos intentos es, otra vez, la paradoja de Wittgenstein sobre reglas finitas; en este caso, la imposibilidad de que la sintaxis de una lengua proporcione por sí misma una interpretación inequívoca para sus símbolos y reglas, que permita nombrar a futuro. Un caso particularmente interesante que se menciona en el libro es el de los lenguajes espaciales, por ejemplo, el diseño de Lincos, una lengua elaborada por el matemático Hans A. Freudental “para poder interactuar con eventuales habitantes de otras galaxias”. La idea es lanzar al espacio señales con regularidad, ondas de distinta duración y longitud, de modo que “al intentar comprender la lógica que sigue la forma de la expresión que les es trasmitida, los alienígenas deberían ser capaces de extrapolar una forma del contenido”. En una primera fase deberían reconocer los números, y luego, con nuevas señales, las operaciones aritméticas y lógicas básicas. Pero como el propio Eco observa con agudeza, esto presupone que los habitantes del espacio deberían seguir algunos criterios lógicos y matemáticos similares a los nuestros, por ejemplo el principio de identidad, o “el hábito de considerar constante la regla que se ha inferido por inducción de una multiplicidad de casos”. Otra vez está aquí por detrás la paradoja de Wittgenstein: aún si recibimos la clase de respuestas esperadas, en el fondo no podremos estar seguros, por la mera lectura de las señales de respuesta, si las operaciones o los números que infieren los extraterrestres, coinciden realmente con nuestros conceptos. Sintaxis versus interpretación ¿Cuál es el leit motiv que recorre por detrás estos ejemplos, desde la imposibilidad de fijar una única continuación para una serie hasta la de transmitir un lenguaje, desde la paradoja de Wittgenstein hasta la tensión entre letra y espíritu en la aplicación de la ley? En el fondo, todos los casos que consideramos pueden verse como parte de una cuestión más general, que es la insuficiencia de la sintaxis respecto de la interpretación: ningún conjunto de operaciones sintácticas, de reglas escritas, puede dotarse a sí mismo de una interpretación única e inequívoca. El matemático esforzado propone sus series en un lenguaje lo más ceñido  y riguroso posible y el escritor optimista dispone las suyas (las narraciones son también series en busca de sentido) con metáforas lujosas, con gradaciones en la trama, con giros dramáticos, en un lenguaje que cree lo suficientemente expresivo. Pero ni uno ni el otro están a salvo de un Pierre Menard que al recorrer los símbolos decida interpretar lo mismo como absolutamente distinto. Reconocimientos Este artículo es, esencialmente, la transcripción abreviada de una charla que repetí con variaciones en ámbitos muy diversos. Algunas de las ideas están contenidas en Una lectura matemática del pensamiento postmoderno, un libro excelente de Vladimir Tasic, donde leí por primera vez sobre la paradoja de Wittgenstein. El ejemplo tan ingenioso de los círculos para la serie 2, 4, 8, 16, 31 lo tomé prestado para siempre de una reseña literaria de Marcus Du Sautoy.   Referencias Borges, Jorge Luis. “La muerte y la brújula” en Ficciones (1944), Obras completas, vol. 5, Sudamericana, 2011, pp. 123-138. du Sautoy, Marcus, Murder by numbers, The Guardian, 2005, http://www.guardian.co.uk/books/2005/feb/05/featuresreviews.guardianreview13 Eco, Umberto. La búsqueda de la lengua perfecta, Crítica, 1999, Capítulo 15, pp. 258-260. Tasic, Vladimir. Una lectura matemática del pensamiento postmoderno, Colihue, 2001, Capítulo 9, pp. 183-199. Wittgenstein, Ludwig. Investigaciones filosóficas, Crítica, 2004, pp. 199-213. Wittgenstein, Ludwig. Observaciones sobre los fundamentos de la matemática, Alianza, 1978, Parte VI, pp. 255-297.

Viernes, 21 de Septiembre de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

169. 61. (Febrero 2012) El I Ching y el hombre de los papeles

Sobre El I Ching y el hombre de los papeles Este cuento fue el primero que escribí después de varios años de pensar únicamente en novelas. Recuerdo que lo empecé en marzo de 2002, poco después de la muerte de mi padre, y que, con mi lentitud desesperante, no lo pude terminar sino casi un año después. Fue como el retorno a un lugar todavía familiar, pero donde no era demasiado bienvenido, y escribirlo, poner el punto final, tuvo para mí algo de reconquista. Aparece aquí por primera vez una idea sobre la que pensaría mucho en los años siguientes, tanto bajo la forma literaria (en mi novela La muerte lenta de Luciana B.) como en un ensayo matemático sobre el lanzamiento de monedas que todavía escribo, bajo el título provisorio Las formas del azar. Esa idea tiene que ver, justamente, con los patrones y figuras embrionarias del azar, sus recurrencias, y la tentación humana, inevitable, de darle sentido a las rachas, de la misma manera que se atribuyen figuras a las estrellas del cielo. Sobre el cuento en sí, me gusta la soledad encapsulada de los personajes, esa pareja a punto de separarse, inclinada sobre una cama de hospital. Me gusta la tristeza, como una nota baja de fondo, y la lucha íntima y desesperada de una mente racionalista, que no se resigna a ninguna clase de fe, frente a la más difícil de las pruebas. Me gusta la unión de lo milagroso con la indiferencia de las estadísticas. El cuento sucede en esas horas inciertas, el limbo intolerable entre la vida y la muerte que se abre cuando nos devuelven a un ser querido de la cripta del quirófano con la frase “ahora hay que esperar”.   EL I CHING Y EL HOMBRE DE LOS PAPELES El hombre despierta en un sobresalto, con la espalda entumecida. Se ha quedado dormido en la silla y tarda un instante en recordar dónde está, pero es la segunda noche, y también la sala con la hilera de camas y las cabecitas conectadas a las sondas empieza a resultarle familiar. Hay un olor pesado a desinfectante y agua de colonia, y desde lo alto llega el sigiloso zumbido de aletas del ventilador. Una de sus piernas está acalambrada y al refregarse los ojos siente en la palma el roce áspero de la barba crecida. Trata de recordar la pesadilla que lo sobresaltó pero el último vestigio no se deja alcanzar y piensa que quizá es mejor así. Se pone de pie y se inclina en la oscuridad sobre la primera de las camas. Nada ha cambiado. La sábana amortaja hasta el cuello el cuerpo breve y delgado, una mata de pelo rubio se pega a la cara transpirada y la cabeza se mantiene quieta, en el mismo ángulo algo forzado, como si estuviese tironeada cruelmente hacia arriba por la sonda que sale de la nariz. Alguien repuso durante la noche la botella de suero y también el pañuelo húmedo sobre la frente. Él, que había escuchado hasta dormirse el llanto desgarrante de la  nenita en la tercera de las camas y luego, entre sueños, el fuerte ronquido asmático, como un nadador a punto de ahogarse, del chico del pulmotor, se pregunta por las diferentes estrategias del cuerpo contra la muerte y si el sopor profundo de su hija, esa quietud impenetrable, será todavía una forma de resistencia ensimismada o el signo del abandono final. Escucha pasos por el corredor y mira la hora: su esposa viene a reemplazarlo. La puerta se abre y el abanico de luz le deja ver por un instante las otras camas. La tercera, la cama de la otra nenita, está ahora vacía. Piensa que es peligroso dormirse: hay durante la noche desapariciones silenciosas, sustituciones imprevisibles. Siente la mano de su mujer en el hombro y el roce rápido de sus labios en la mejilla. Se quedan de pie como dos extraños, inmóviles, mirando un espectáculo también inmóvil y extraño. --Nada, ¿no? -dice ella. Extiende el brazo y comprueba con la palma el pañuelo sobre la frente-. Hay que cambiarlo otra vez. Sale de la habitación y él escucha a través del corredor el ruido de la canilla que se abre en la cocinita donde dormitan las enfermeras. Cuando ella vuelve y toca  la frente él ve en sus ojos agrandados por el miedo lo que todavía ninguno de los dos ha dicho. --¿Cuándo va a pasar otra vez el doctor? --En dos horas. --¿Dijo algo más? Él niega con la cabeza. --Sólo que hay que esperar. --Algo salió mal, ¿no es cierto? Tendría que haber salido del quirófano en media hora. Es lo que nos habían dicho. Tal vez no era una apendicitis, tal vez hubo una complicación. --Yo le pregunté y me dijo que no, pero a la noche vino a verla con otro médico. Dijeron que había que esperar otras veinticuatro horas. --¿Vas a ir a dormir antes de dar tu clase? --Voy a tratar de acostarme un rato, sí. --¿Te vas a acordar de buscar el I Ching? La voz suena con un tono angustiado de imploración, y él ve en sus ojos la misma mirada desvalida, como el brazo en alto de un náufrago, de cuando habían perdido el primer hijo, como si todo se hundiera a su alrededor y ya no le importara lo que él pudiera pensar. Le dice que revisó una por una todas las cajas pero que volverá a buscarlo. --Y las monedas -dice ella-, no te olvides de las monedas. Tienen que tener una imagen masculina y una femenina. Yo usaba las inglesas de diez centavos, con el león y la reina. Deben estar en la alcancía roja, en la colección de ella. El hombre asiente y se inclina para besarla. Ella lo abraza imprevistamente y rompe a llorar, un llanto quebrado con espasmos y un quejido ronco y desesperado. Él siente que las lágrimas de ella le humedecen la cara y el cuello. Hace mucho tiempo que no se abrazan. Ella se separa, vuelve a mirarlo y le endereza con un gesto automático el cuello de la camisa. --¿Te vas a acordar? El hombre hace girar la llave y entra en la casa. Hay un olor levemente distinto, el olor de una casa abandonada. Escucha un rasqueteo de uñas contra la puerta del patio y ve asomar en el vidrio el hocico húmedo de su perro. Su mujer le ha dejado en la cocina unas tostadas y jugo de naranja. El hombre abre la puerta del patio y comparte con el perro una de las tostadas. Todavía no amaneció. Avanza a tientas en la penumbra de un pasillo, entra en el cuarto de su hija y enciende una de las lámparas. Su mujer, advierte, estuvo durante el día allí. Todo está ordenado, como si ella hubiera alzado y tocado cada juguete antes de devolverlos a los estantes, y la cama de donde arrancaron a su hija en la mitad de la noche está ahora otra vez tendida, con el cobertor  de Winnie The Pooh prolijamente estirado. Ve sobre la mesa de luz una foto de él y su mujer juntos, sonrientes, muy quemados por el sol,  tumbados en la arena, una foto que su hija sacó durante un verano en el mar, cuando sólo tenía cuatro o cinco años. Encuentra la alcancía dentro de un baúl de juguetes, un buzón rojo de lata que él le trajo de uno de sus viajes. La da vuelta sobre la cama y en el tesoro de monedas de todos los países separa los tres cuartos y los guarda en su bolsillo. Apaga la luz y sube las escaleras hacia su estudio. Sembradas en el piso, con las tapas levantadas, tal como las había dejado la noche anterior, están las decenas de cajas con libros de la mudanza que habían llegado por barco. Esta casa no tenía bibliotecas; había al principio siempre alguna otra cosa más urgente para resolver, y desde hacía un tiempo habían dejado de pensar en eso, como si los dos supieran que ya no importaba, porque de todos modos él se iba a ir. El hombre se pone en cuclillas, abre la primera caja y saca en altas pilas los libros hasta vaciarla. Trata de calcular mentalmente el espacio que ocuparán los libros en el cuarto. Está decidido a revisar todas las cajas otra vez. El libro que busca es negro, muy grueso, con el título escrito en caracteres chinos y el lomo descosido en uno de los extremos. Está seguro de que no pudo habérsele pasado por alto. Probablemente estuviera en una de las cajas que nunca habían llegado. La recuerda a ella sobre el libro, en los primeros años del matrimonio, cuando no podía dormirse por las noches. Recuerda sobre todo el ligero redoble de monedas, despertarse en la oscuridad con su costado de la cama frío, bajar la escalera guiado por ese ruido en rítmicas cascadas y encontrarla en salto de cama con el pelo suelto, el I Ching abierto en la mesa de la cocina y un papel doblado en dos al costado, con sucesiones interminables de rayitas que parecían un pedido repetido de auxilio en un extraño código Morse. La recuerda hablándole largamente, mientras él prepara un café, del  hombre del Samurai rojo, de los ejércitos en retirada, de la mujer virtuosa y la mujer anciana, del duque de Chou, del cuidado de la vaca, de la mordedura tajante y las lágrimas de sangre que se derraman. Recuerda las mil pequeñas burlas que él le hacía y la respuesta que ella le daba, con una sonrisa imperturbable, como una carta de triunfo permanente: el I Ching le había predicho que llegaría él a su vida, el hombre de los papeles. Así lo llamaba antes ella en los arrebatos de ternura: mi hombre de los papeles. El hombre abre la segunda caja y un borde de sol entra por la ventana, como una mano inesperadamente tibia sobre la cara. Un fuerte dolor le sube desde la cintura por la espalda. Se echa hacia atrás por un instante, hasta acostarse enteramente sobre el piso de parquet y mira con los ojos entornados el cono de polvo movedizo y brillante suspendido en la luz del sol. Se duerme profundamente, sin escuchar que su perro sube con sigilo la escalera, quebrando una regla, y se ovilla a su lado. Suena el teléfono en la planta baja. Una, dos veces. El hombre se despierta y logra llegar al pie de la escalera antes de que se accione el contestador automático. --Pensé que podías quedarte dormido –dice su mujer. La voz le llega con ruidos detrás, como si estuviera en un teléfono público-. ¿A qué hora tenías tu clase? El hombre mira su reloj. --Todavía tengo tiempo de ducharme. ¿Alguna novedad? --Acaban de llevarla a Rayos y el médico encargó otros análisis. Dijo que hay que esperar a que pase el día, pero no quiso decirme qué harían si no reacciona -su voz parece quebrarse y luego, como si se esforzara por recomponerse, le pregunta si irá al hospital directamente después de la clase. --Sí, claro que sí. --No te olvides entonces de llevar el I Ching con tus libros a la facultad. Ella siempre le recordaba las cosas que debía hacer. Él no creía tener la mala memoria que a ella le gustaba atribuirle, pero había sido al principio casi un juego entre los dos y sabía que ahora era quizá la única forma en que ella podía conectarse con él en las épocas más tormentosas. Su memoria tenía en todo caso un elemento errático, pero también algunos recuerdos duros e inamovibles. Podía recordar cada noche de la agonía de su hijo, podía recordarla a ella, todavía muy joven, murmurando para sí mientras arrojaba las monedas, atrapada en el tintineo hipnótico, tratando fanáticamente de arrancar al libro una respuesta distinta. Podía recordar el día, después del entierro, en que desapareció el I Ching de la repisa del comedor, sin que él se atreviera a preguntarle nada, y también el día en que ella empezó a tomar las pastillas con las que ahora dormía toda la noche. El hombre abre la canilla de la ducha y se desviste rápidamente. Tiene un cuerpo largo y musculoso, que conserva intacto desde la época en que integraba el equipo universitario de natación. Todavía ahora puede nadar, sin sentir el esfuerzo, los cien largos de espalda que eran su rutina diaria. En ese pacto secreto con su cuerpo la parte que presiente que él cumplió es no haberle prestado nunca mucha atención. Sale del baño y se echa encima una camisa de manga corta, vuelve a mirar su reloj y decide que no tiene tiempo para afeitarse. Sube una vez más a su estudio, recoge un libro de Estadística y unas hojas de apuntes y arrastra del cuello a su perro escaleras abajo para sacarlo otra vez al patio. Se asegura de que tiene todavía en el bolsillo las tres monedas y busca sobre la mesa de la entrada las llaves del auto. Arranca en dirección a la Universidad, pero se desvía en una de las avenidas y estaciona frente a una librería. El empleado que lo atiende lo escucha hasta el final y mueve en una lenta negación la cabeza. Solamente tienen una edición resumida del I Ching. El libro grueso de tapas negras con prólogo de Jung que él menciona está agotado desde hace mucho tiempo, no cree que pueda conseguirlo en ninguna librería de la ciudad. El hombre camina de regreso al auto. Mira su reloj y acelera en la avenida un poco más allá del límite de velocidad. Cuando entra en el aula sus alumnos ya están sentados y escucha un pequeño murmullo de resignación. Nunca antes había llegado tarde, y posiblemente, piensa, todos creían que ya no iría. El hombre cruza el aula con sus pasos largos, se sube a la tarima y empieza a hablar de patologías médicas, de enfermedades extrañas, de monstruosidades. ¿Nunca les llamó la atención, pregunta, que los primeros ejemplos siempre se hayan descripto en China? ¿Serán acaso los chinos más proclives a las aberraciones, a lo monstruoso? ¿O será simplemente que son muchos? ¿Qué es finalmente una enfermedad rara? Una enfermedad de la que se manifiesta un caso entre diez millones, digamos. Pero los chinos son más de mil millones; una enfermedad rara en un país cualquiera ya no es tan rara en China. Pensemos ahora, dice el hombre, en los sueños premonitorios. Todos hemos soñado alguna noche que un familiar cercano muere, podemos suponer que cada persona tiene al menos una vez en su vida un sueño así. Se detiene, como si hubiera perdido el hilo; acaba de recordar, en su claridad devastadora, la pesadilla que tuvo en el hospital a la madrugada. Se da vuelta contra el pizarrón por un instante, finge que busca una tiza y vuelve a girar para enfrentar la clase. Lo que no es tan frecuente, dice, es que al día siguiente el familiar, efectivamente, muera. Pero de nuevo, ¿qué significa “no tan frecuente”? Nuestro familiar cercano, como todo ser humano, debe morir algún día. El hombre escribe en el pizarrón un número de cinco cifras. Éste es el número en días de la vida máxima de una persona. Nuestro familiar puede morir en uno cualquiera de estos días. El sueño premonitorio ocurre también una noche cualquiera, en otro cualquiera de estos días. Pero entonces, la probabilidad de que el sueño premonitorio se concrete es la probabilidad de que coincidan estos dos sucesos independientes: la noche del sueño con el día de la muerte. Y este número sabemos calcularlo. El hombre escribe una ecuación, se detiene un instante en el signo de igualdad, como si estuviera haciendo una larga cuenta mentalmente, y anota un segundo número de casi el doble de longitud. Es un número grande, pero no tan grande, dice. En Tokio, en Buenos Aires, en Nueva York, rutinariamente, cada noche alguien mata a un ser querido en sus sueños. Por supuesto esa persona quedará absolutamente impresionada y no la convenceremos con esta cuenta, no la convenceremos con ningún razonamiento, de que no hubo nada misterioso, ninguna premonición, sino apenas la verificación trivial de una estadística, casi tan fatal como que haya un ganador en cada jugada de la lotería. Borra el  pizarrón con un modo enérgico y de a poco, con el mismo tono algo indiferente e irónico, demuele en su lección de estadística las martingalas, la astrología, el tarot. Sus alumnos apenas hubieran podido notar la diferencia con otro día cualquiera de clases. Está sólo un poco más abstraído que de costumbre y no ha intentado todavía ninguno de sus chistes suaves, casi secretos. Hace el primer intervalo pero no se aparta del escritorio mientras el aula se vacía lentamente. Una de sus alumnas de las primeras filas se acerca con una sonrisa dubitativa. --Pero todo lo que usted dijo y la ley de los grandes números no se aplica al I Ching ¿no es cierto? El I Ching predice acontecimientos del futuro... es otro plano, no puede reducirse a una tirada de dados. Cada cuatrimestre, cuando llega a esta clase sobre el azar, hay alguien que se le acerca con este mismo aire alarmado, como si él hubiera desafiado una fe íntima, mucho más protegida que cualquier religión. Casi siempre es la astrología y tiene que escuchar defensas candorosas y encendidas y largas explicaciones sobre coordenadas astronómicas y casas astrales. Otras veces es el tarot. En general no puede hacer nada para que entiendan que sí, lo lamento mucho, es todo lo mismo, la ciega indeterminación de las cosas. Pero nadie hasta ahora había mencionado el I Ching. --¿Tu libro nunca falla? –pregunta el hombre y su alumna no parece advertir el rastro de ironía. --Nunca –dice con seriedad-. Todo lo que me predijo siempre se cumplió. Pero sólo hay que consultarlo para las cosas verdaderamente importantes. --Tal vez tengas un ejemplar milagroso. --No me cree, ¿no es cierto? –dice la chica, dolida. El hombre la mira. La chica tiene una mirada clara, despejada, y hay en su cara algo radiante y terriblemente joven, como si no hubiera sido todavía expuesta a la vida. Se da cuenta de que sí, de que esta única vez, quisiera creer. --El ejemplar milagroso –se escucha decir- es como la moneda milagrosa, un caso bien estudiado en la estadística. Imaginá por un momento que todos los habitantes de esta ciudad arrojen al aire una moneda veinte veces seguidas. Es perfectamente posible que la moneda de uno, de uno entre todos, caiga del mismo lado las veinte veces. Veinte caras seguidas. Ese hombre creerá que su moneda es milagrosa, pero por supuesto, no es nada intrínseco de la moneda, no es  más que una de las configuraciones posibles del azar. Imaginate del mismo modo ahora a todas las personas que tienen un ejemplar del I Ching. Imaginá que después de cada consulta los que fueron defraudados por el oráculo abandonen el libro y sólo sigan consultando aquellos a los que el oráculo acertó en la predicción. Digamos, una mitad. Y luego de la segunda consulta, la mitad de la mitad, y así sucesivamente. Aún si el I Ching es tan ciego como una moneda, en una ciudad grande es perfectamente posible que exista un ejemplar que nunca se equivoque. Quizá ése sea el ejemplar tuyo. ¿Cómo es la edición? –pregunta el hombre de pronto. --¿La edición? Pero eso no tiene nada que ver, ¿no es cierto? Es una edición común, de tapas negras. --¿Con unas letras chinas doradas? --Sí, es ésa. --¿Podría pedírtelo prestado? Sólo por hoy. --¿Hoy? Pero el libro está en mi casa. --Lo preciso hoy, sí; podría acercarte después de la clase. Por la cara de la chica cruza una expresión de desconcierto y algo de alarma,  como si tuviera que reacomodarse a otra conversación o empezara a preguntarse si debe entender algo más detrás de sus palabras. Pero vacila todavía, seguramente porque no ve en la expresión de él los otros indicios, una media sonrisa, un cambio en el tono, una segunda intención en la mirada, que le permita estar segura de cuál es el verdadero ofrecimiento. Se pasa una mano nerviosa por el pelo, y sonríe débilmente. --Pero usted no cree en el I Ching, ¿no es cierto? –La sonrisa se acentúa con un destello de frivolidad. O quizá fuera la manera de animarlo a cruzar ese límite invisible, para estar segura de qué era exactamente lo que estaba por aceptar o rechazar. El hombre hace un gesto cansado. --No, en general no; pero no es para mí. Es... –Se detiene, como si hubiera elegido un camino equivocado-. Es largo de explicar –dice-. Pero es una consulta importante, como dijiste antes. Me gustaría que fuera con tu ejemplar. ¿Puedo pedirte ese pequeño favor? Te lo devolvería mañana mismo. --Claro, claro que sí –dice la chica y retrocede confundida a su banco. --Gracias –dice el hombre-; nos encontramos entonces después de la clase. La casa de su alumna está en el nuevo barrio estudiantil, detrás del parque. Durante el breve trayecto apenas conversan. Él se entera del nombre de la chica. La chica se entera de que tiene una hija por los juguetes en el asiento de atrás. Cuando estaciona frente a uno de los monoblocks ella le ofrece  tímidamente que baje, y ahora él, desde la puerta, mientras ella se disculpa por el desorden y busca el libro en una biblioteca de caña, siente que vuelve por un instante a su pasado estudiantil, a su propio cuarto caótico, y que podría saberlo todo sobre ella si sólo dejara fijar la mirada en cada detalle. La chica regresa con el libro y se lo extiende. Él pasa un dedo por los caracteres dorados de la tapa y siente el peso al girarlo para mirar el lomo. Se da cuenta de que es la primera vez que tiene el libro en sus manos. --Es la edición común –dice ella, como si fuera algo de lo que ya le había advertido antes, pero aún así temiera que el libro lo decepcionara. --Es absolutamente perfecto –dice el hombre- : el ejemplar milagroso es un ejemplar común de la edición común. El hombre sube las escalinatas del hospital; en cada peldaño impar las monedas suenan en su bolsillo. Cruza un patio y busca en el laberinto de pabellones la sala de su hija. Una enfermera que conoce lo intercepta en el pasillo antes de que abra la puerta y le pone una mano sobre el brazo. Su hija, le dice, fue llevada al quirófano: van a operarla por segunda vez, su esposa lo está esperando allí. El hombre camina hasta el final de una galería y sube otro tramo de escalones, unos escalones desgastados de mármol, con los bordes dentados, que desembocan en la salita de espera. Su esposa se levanta de su silla y lo abraza. Al separarse él ve en su cara las huellas de las lágrimas. --Acaba de entrar –le dice-. Está detrás de esa puerta. No saben qué tiene. La van a operar otra vez pero no pudieron decirme qué tiene –Fija la mirada extraviada en el libro que el hombre aún tiene en su mano y cuando él se lo extiende lo lleva por un momento contra el pecho-. Lo encontraste, entonces. --No es el tuyo –dice el hombre-. Volví a buscarlo y no estaba. Es uno que me prestaron. --¿Y las monedas? ¿Te acordaste de las monedas? Están solos en la sala de espera. El hombre saca del bolsillo las tres monedas y se las alcanza. La mujer se refugia con el libro en el primero de los escalones. Él se da vuelta hacia la hilera de sillas vacías: no quiere verla así, inclinada otra vez sobre el libro como si fuera un dios oscuro y terrible, como si el pasado, intacto, retornara. Pero su hijo y su hija, piensa, son sucesos independientes. Escucha el repiqueteo de las monedas arrojadas sobre el mármol. Una, dos, tres veces. Cuatro. Cinco. Seis. Las seis tiradas que determinan el número del hexagrama. Alza la cabeza sin poder evitarlo y mira, aterrado, la mano que abre el libro infalible en una de las páginas. Marzo 2002 – Febrero 2003

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170. 60. (Enero 2012) Bibliografía matemática consultada por Borges

1. Bibliografía matemática citada en su obra completa Borges, Obras completas, Sudamericana, 2011 Bell,E. T, Men of Mathematics(Citado en “Men of Mathematics, de E. T. Bell”, en Textos cautivos, 1986, Borges Obras Completas, vol.  14, Sudamericana, pp. 283-285) Boole, George An Investigation of the Laws of Thought(Citado en “Pierre Menard, autor del Quijote”, en Ficciones, 1944, Borges Obras Completas, vol. 5, Sudamericana, pp. 36,37) C. W. W, Relativity and Robinson(Citado en “Un resumen de las doctrinas de Einstein”, en Textos cautivos, 1986, Borges Obras Completas, vol.  14, Sudamericana, p. 316) Carroll, Lewis, “What the Tortoise said to Achilles”, Mind (Citado en “Avatares de la tortuga”, en Discusión, 1932, Borges Obras Completas, vol. 3, Sudamericana, pp. 288, 289) De Cusa,Nicolás, De docta ignorantia(Citado en “Avatares de la tortuga”, en Discusión, 1932, Borges Obras Completas, vol. 3, Sudamericana, p. 283) Dodgson, C. L, Symbolic Logic(Citado en “Lewis Carroll. Obras completas”, en Prólogos, con un prólogo de prólogos, 1975, Borges Obras Completas, vol.  12, Sudamericana, p. 149) Galilei,Galileo, Il libro della Natura,en Galileo Galilei: Pensieri, motti e sentenze, Antología de Favaro(Citado “El culto de los libros”, en Otras inquisiciones, 1952, Borges Obras Completas, vol. 6, Sudamericana, p. 141) Hinton, Charles Howard, What is the Fourth Dimension? / A New Era of Thought(Citados en “There are more things”, en El libro de arena, 1975, Borges Obras Completas, vol.  9, Sudamericana, p. 136) Kasner, Edward y Newman, James, Mathematics and the Imagination (Citado en “Notas”, en Discusión, 1932, Borges Obras Completas, vol. 3, Sudamericana, pp. 320, 321, 322 y en “Edward Kasner & James Newman. Matemáticas e imaginación”, en Biblioteca personal. Prólogos, 1988, Borges Obras Completas, vol.  15, Sudamericana, pp. 39-40) Leibniz, Gottfried, Characteristica universalis(Citado en “Pierre Menard, autor del Quijote”, en Ficciones, 1944, Borges Obras Completas, vol. 5, Sudamericana, pp. 36,37) Mill, John Stuart, A System of Logic, Ratiocinative and Inductive(Citado como Lógica en “La creación y P. H. Gosse”, en Otras inquisiciones, 1952, Borges Obras Completas, vol. 6, Sudamericana, p. 36) Russell, Bertrand, Our Knowledge of the External World(Citado en “La perpetua carrera de Aquiles y la tortuga”, en Discusión, 1932, Borges Obras Completas, vol. 3, Sudamericana, pp. 270-271) Russell, Bertrand, The Analysis of Mind(Citado en “El tiempo y J. W. Dunne”, en Otras inquisiciones, 1952, Borges Obras Completas, vol. 6, Sudamericana, p. 39) Russell, Bertrand Introduction to Mathematical Philosophy(Citado en “La perpetua carrera de Aquiles y la tortuga”, en Discusión, 1932, Borges Obras Completas, vol. 3, Sudamericana, pp. 270-271 y en Philosophy and living, Olaf Stapeldon, Penguin Books, en Borges en Sur (1931-1980), Borges Obras Completas, vol.  20, Sudamericana, pp. 272-273) Terry, George Skelton, Duodecimal arithmetic(Citado en “Duodecimal arithmetic, Longmans”, en Borges en Sur (1931-1980), Borges Obras Completas, vol.  20, Sudamericana, p. 261) Whitehead, A. N, Modes of Thought(Citado en “Modes of Thought, de A. N. Whitehead”, en Textos cautivos, 1986, Borges Obras Completas, vol.  14, Sudamericana, pp. 360-361) Whitehead, A. N, Mathematics(Citado en Philosophy and living, Olaf Stapeldon, Penguin Books, en Borges en Sur (1931-1980), Borges Obras Completas, vol. 20, Sudamericana, pp. 272-273) 2. Bibliografía matemática consultada por Borges en sus estudios (Tomadas del libro De Borges, libros y lecturas, Laura Rosato y Germán Álvarez, Ediciones Biblioteca Nacional, 2010) Anscombe, G. E. M, An Introduction to Whttgenstein´s Tractatus Bischoff, Erich, Das jenseits der Seele Bradley, Francis Herbert, Appearance and Reality Bréhier, Émile, Histoire de la philosophie v. 2 Bruno, Giordano, Giordano Bruno Calogero, Guido, Studi stull´eleatismo Colerus, Egmont, Vom Einmaleins zum Integral: Mathematik für jedermann Colerus, Egmont, Vom Pythagoras bis Hilbert: Die Epochen der Mathematik und ihre Baumeister Eddington, Arthur, The Nature of the Physical World Husik, Isaac, A History of Mediaeval Jewish Philosophy Joad, C. E. M, Guide to Philosophy Kesten, Hermann, Copernicus and his World Lasswitz, Kurd, Traumkristalle: Neue Märchen Le Lionnais, François, Le message mathématique de l'Inde Pearson, Karl, La gramática de la ciencia Poincaré, Henri, Science et Méthode Russell, Bertrand, Human Knowledge its Scope and Limits Russell, Bertrand, Portraits from Memory on other Essays Russell, Bertrand, The Principles of Mathematics Schopenhauer, Arthur, Arthur Schopenhauers sämtliche Werke. Historisch-kritische Ausgabe nebst dem handschriftlichen Nachlass und den gesammelten Briefen v. 2. Die Welt als Wille und Vorstellung v. 2 Uspenski, Piotr, Tertium Organum Von Helmholtz, Hermann, Popular lectures on scientific subjects v. 1, v. 2 Wolff, Theodor, Der Wettlauf mit der Schildkröte: gelöste und ungelöste Probleme Wood, Frederick T, An Outline History of the English Language

Lunes, 09 de Enero de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico