151. 173. (Julio 2019) Con dos caras

En diciembre de 1956 apareció en la revista Scientific American el artículo de Martin Gardner titulado "Flexagons", donde daba a conocer públicamente esas figuras descubiertas 17 años antes por el matemático británico Arthur Stone y cuyas propiedades se habían mantenido ocultas entre los miembros del "Princeton Flexagon Comittee", formado por estudiantes y profesores de la Universidad de Princeton. No vamos a describir aquí estas figuras porque se pueden encontrar multitud de referencias en la literatura (por ejemplo el primer capítulo del libro "Gardner para principiantes", RSME/SM - 2014, está dedicado a los flexágonos); solo diremos que se trata de hojas de papel dobladas convenientemente para conseguir que tengan más de las dos caras habituales. Por sí sola, esta propiedad bastaría para considerar a los flexágonos como objetos mágicos, a modo de complemento de la banda de Moebius que también es una hoja de papel doblada convenientemente para que tenga solo una cara. Existen muchos modelos de flexágonos, los cuales se clasifican según la forma geométrica final de la hoja de papel y el número de caras que puede tener. Por ejemplo, se llama tetraflexágono al que tiene forma cuadrada (en general al que tiene cuatro lados) y el más común tiene cuatro caras, por eso recibe el nombre de tetratetrahexágono. En este video y este otro enseñan a construir dos modelos. Más sorprendente es el hexatetraflexágono, que tiene forma cuadrada y puede mostrar hasta seis caras (como el que enseñan a construir en este video). Sirva el preámbulo anterior para presentar el juego de hoy, que no es un juego sino un método para construir un flexágono; de hecho tampoco será un flexágono porque se construye con varias piezas aunque mantiene la propiedad básica: se puede plegar y desplegar para mostrar varias caras. Más importante que la construcción que vamos a mostrar es la fuente original en la que se encuentra y el autor de dicha creación. Harapan Ong es un profesor singapurense de física y mago de gran habilidad técnica (puedes encontrar diversos videos en Youtube donde muestra sus habilidades). Como él mismo se define "de día soy un querido profesor de física, de noche soy un misterioso y elegante mago". Recientemente ha escrito el libro "Principia" (Vanishing Inc, 2018), título quizá inspirado en el famoso "Philosophiae naturalis Principia Mathematica" obra magna escrita por Isaac Newton y publicada precisamente el 5 de julio de 1687 pero también posiblemente en el no menos famoso "Principia Mathematica" de Bertrand Russell y Alfred Whitehead. De hecho, el libro de Harapan Ong está escrito como una secuencia de artículos de investigación científica pues todos los juegos se describen siguiendo la secuencia abstract / introduction / methodology / results / analysis and discussion / conclusion / references. Uno de los capítulos del libro es el artículo titulado Flexacard, el cual contiene la construcción que mostraremos en esta ocasión. Se trata de una carta, aparentemente normal, pero que tiene dos caras y, aparentemente, un solo dorso. Si quieres construirlo, sigue las instrucciones que se indican a continuación. Encuentra una baraja cuyos dorsos tengan un diseño simétrico y no tengan orla blanca (como las que se usan tradicionalmente en los casinos). Selecciona dos cartas de dicha baraja, que sean muy diferentes entre sí (como una roja y una negra o una figura y un número). En nuestro caso, utilizaremos el tres de corazones y el rey de picas. Corta cada una de las cartas en cuatro partes exactamente iguales, como en la figura adjunta: Junta los dos trozos que corresponden a la parte superior derecha de ambas cartas y pégalos por sus dorsos para tener un trozo que muestra el tres de corazones por un lado y el rey de picas por el otro. Realiza la misma operación con los trozos correspondientes a la parte inferior izquierda de cada carta. A continuación, coloca los seis trozos como se indica en la figura (las flechas indican que la parte de atrás es la carta pegada con el valor señalado): Une los trozos con cinta adhesiva dejando una separación entre cada trozo del grosor de una carta (para poderla plegar posteriormente). Los lugares por donde deben unirse los trozos están indicados en la figura siguiente (aunque, evidentemente, la cinta debe ser invisible): Pasa los dos trozos que muestran la cara del tres de corazones por detrás del trozo que está de dorso. Pasa también el trozo inferior derecho, que está de cara, por encima del otro trozo que está de cara (las flechas indican el lugar donde debe doblarse). El resultado final tendrá la apariencia del dorso de una carta. Pega por último con cinta adhesiva por donde indica la figura: Si das la vuelta a la carta, verás los cuatro trozos que corresponden al tres de corazones. Cierra la carta como si fuera un libro y vuelve a abrirla por la parte de atrás. Se verá nuevamente el dorso de una carta pero, al darle la vuelta, aparece el rey de picas. Dejamos a la imaginación del lector la creación de algún juego de magia con esta carta o, mejor aún, alguna variación de esta construcción que permita mostrar más de dos cartas. La carta doble, por sí misma, constituye un elemento mágico que puede servir como punto de partida para un estudio más completo de los flexágonos. Observaciones finales: Se pueden encontrar otros modelos de cartas con varias caras, como la Carta Flexagon Infinity, de la página jeguridos.com. Merece la pena estudiar el trabajo de Anthony Conrad y Daniel Hartline, titulado precisamente Flexagons, publicado en 1962, pues constituye un estudio matemático clásico y muy completo de los flexágonos. Si quieres pasar más ratos entretenido con los flexágonos, te recomiendo el libro The magic of flexagons (1999), de David Mitchell, que contiene material para fabricar tus propias figuras. En particular, contiene un modelo de tetraflexágono en el que aparecen los cuatro ases de las baraja. Se pueden encontrar incluso juegos online relacionados con los flexágonos, como el Flipagon. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

Lunes, 08 de Julio de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

152. 142. CONCURSO DEL VERANO DE 2019

De nuevo nuestra cita estival con algunos ejercicios de matemáticas (para no oxidarnos mucho con el sol, la playa, la montaña, el pueblo o el sofá) y la búsqueda de la (o las) película(s) enigmática(s), a las que podemos acompañar con una buena lectura. Para los nuevos, recordemos la mecánica: a partir de las pistas que se dan (algunas pueden despistar más que otra cosa), hay que averiguar el título de una película (o películas) oculta, y de paso, responder unas preguntillas (las de tipo matemático en color rojo; las cultural, en azul). Quien o quienes mayor puntuación alcancen serán los ganadores, a los que la dirección de DivulgaMAT les hará llegar algún obsequio. Se intenta (no siempre se logra) plantear cuestiones de todos los niveles (sencillas, medias, difíciles), pero como nadie sabe a que categoría pertenece cada una (además de que la dificultad es un concepto subjetivo), ninguna a priori debería evitarse. Ni dejar de enviar las respuestas, aunque sólo se sepa una (quien sabe, a lo mejor, nadie ha acertado más, cosas más raras se ven diariamente). Y por supuesto, descubrir (o revisar) títulos, quizá olvidados, de la Historia del Cine. Importante: no hay un orden establecido ni a la hora de describir escenas de la película, ni a la hora de descifrar el contenido de las cuestiones. Puede que sepamos responder antes a la pregunta quinta que a las anteriores. Pero todas pueden ayudar en averiguar el título de la(s) película(s). XV CONCURSO En esta edición me ha costado decidir qué película utilizar para proponer este concurso. Había elegido una comedia británica, desconocida para mi hasta hace unos días, que me ha resultado curiosa y planteaba cuestiones muy candentes en la actualidad. Pero finalmente decidí cambiarla porque pensé que iba a ser muy difícil descubrirla para los concursantes. De modo que he optado por otra más conocida, o al menos, más difundida comercialmente. Por esta razón, y ser de un director clásico también muy conocido (al menos entre los cinéfilos; seguramente a los menores de cuarenta años, tampoco les diga nada, pero así lo descubren), cualquier imagen puede facilitar demasiado las cosas, así que nos centraremos en algunos objetos genéricos que tienen cierta relevancia en el desarrollo del argumento. Pero antes de entrar a la sala a disfrutar de la proyección en glorioso Cinemascope, y no en una birriosa pantallita de móvil, ordenador o televisión, una cuestión sobre el año en el que estamos: si nos dijeran que la suma de un número de cuatro dígitos y sus cuatro dígitos resulta ser 2019. ¿De qué número de cuatro dígitos hablamos? (M – 1). Curiosamente, la diferencia de años entre el número anterior y el año de estreno de la película tiene el mismo número de divisores que el propio año de estreno de la película. ¿Serán suficientes esos datos para determinar dicho año de estreno? (M – 2) (C – 1) (C – 2). La acción tiene lugar en el siglo de las luces, en un año tal que al ser dividido por 2 y por 4 da resto 1, y al hacerlo por 3 y por 5 da resto 2 (M – 3) . Gran parte de la película se desarrolla de noche, con la luna como parte del entorno (C – 3). De todos es conocido que el límite de la sombra en la luna es siempre un arco circular. En un cierto día, la luna se ve con la sombra pasando a través de puntos diametralmente opuestos. Si el centro del arco circular que se está formando se encuentra en la circunferencia de la luna, determinar la proporción exacta de la luna que no está en la sombra (M – 4). Un huérfano se dirige a una localidad costera de escarpados acantilados. Lleva caminando mucho tiempo, pero en un cruce del camino un cartel le indica que se halla cerca de su destino. Varias veces a lo largo de la historia se cruzará con la berlina que recorre los pueblos de la zona u otras similares de los nobles de la comarca (y en algún momento debe apearse de ella de un modo poco ortodoxo). Estos carruajes tardaban exactamente tres horas en ir y volver a la ciudad más próxima situada 30 millas al oeste. Llegando octubre, el recorrido se dilataba media hora más (M – 5). Según se acerca la noche, el paisaje se va transformando en un entorno oscuro, deprimente, amenazador. Aturdido y confundido, se sienta un instante para descalzarse y quitar de uno de sus zapatos una piedrecilla que ha entrado a través de un agujero que se ha formado en la suela (M – 6). Si imagináramos que se encuentra en el punto A(0, 0) de un también imaginado plano coordenado, al reiniciar su camino se desplaza 1 unidad a la derecha, después r al norte, r2 a la izquierda, luego r3 al sur, r4 al este, r5 al norte, continuando con ese mismo patrón. Si lo hiciera indefinidamente, y siendo r un número positivo menor que 1, llegaría a un punto B(x, y). ¿Serías capaz de demostrar que la distancia desde A hasta B es mayor que 7/10? (M – 7). Tras deambular por la pequeña localidad a la que se dirigía, el jovenzuelo acaba huyendo despavorido al asustarse de algo (C – 4). En el lugar vive un centenar de habitantes, de los que 74 se dedican a algún tipo de actividad ilícita, 17 son aristócratas y 25 tienen negocios convencionales (mesonero, sacerdote, pescador, comerciante, etc.). Cuatro de ellos están en los tres grupos. Por otro lado, cada vecino tiene, al menos, una de esas tres ocupaciones. ¿Es posible saber cuántos están en sólo dos de esos grupos? (M – 8). Un objeto de cierta relevancia en el argumento es el que vemos en la imagen de la derecha (C – 5) (M – 9). En la imagen de la izquierda, vemos apilados algunos de estos objetos en los que se ha marcado el número de galones de cierto líquido que contiene cada uno. En algunos su contenido es de mejor calidad que en otros. Los excelentes se venden al doble de precio por galón que los demás. Un reputado cliente compra de los dos tipos, pagando 14 libras de una calidad y otras 14 libras por los de la otra, quedando sin comprar solo uno de ellos. ¿Cuál? (M – 10) . Por cierto, chanchullos como el de entregar mercancía de calidad inferior a la pagada por el cliente, le cuesta bastante caro a uno de los vendedores. En prácticamente todas las películas como ésta, no puede faltar algún sarao en la que los aristócratas (y los actores) luzcan sus mejores galas. El protagonista tiene mucho éxito con todas las féminas del lugar, no haciendo distinción de edad ni condición, lo que le reprocha cierto noble más interesado en los negocios. Pero nuestro galán lo tiene claro: “Hay tiempo para los negocios, y tiempo para “otras cosas”. De hecho, tiene argumentos para cualquier situación, siempre en su beneficio, aunque tenga que contradecir los más elementales principios de la física: “Nunca he creído en la atracción de los polos opuestos: creo que hay mucha más afinidad entre iguales”. Por supuesto, esto precede al beso que le planta a la mujer a la que se lo dice. En esa fiesta hay zonas en la que los hombres apuestan y juegan, mientras las mujeres disfrutarán con otro tipo de actividades, y después con el baile. A la entrada, una campana anunciaba con un toque la llegada de los invitados. Cuando llegó el primero, la campana sonó por primera vez. Cada vez que la campana sonó después, el número de invitados que llegaba eran dos más que los que habían llegado la vez que la campana sonó anteriormente. Si la campana tañó n veces, ¿Cuántos invitados estuvieron en la fiesta? (M – 11). El dueño de la mansión donde se celebra la fiesta está jugando a las cartas, no sabemos a qué juego, pero supongamos que al póker. Uno de sus oponentes muestra cuatro reinas, y se dispone a recoger el dinero de la apuesta acumulado sobre la mesa. El anfitrión lo frena y les dice que tiene aún el derecho a cambiar sus cartas y ver si consigue una mano mejor. Nadie se opone. Lo hace y entonces con gran regocijo descubre cuatro reyes. Su oponente lo acusa de hacer trampas. ¿Tiene esa acusación algún fundamento? (M – 12). La película (y la novela en la que está basada) está repleta de misterios, advertencias, premoniciones y supersticiones. Algunos se desvelan, otros quedan a la libre interpretación del espectador/lector. La criptografía y el cifrado están presentes en la resolución de alguno de ellos (C –6). Añadamos un misterio más. En la imagen, observamos con detalle un objeto con un símbolo grabado que aparecerá en muchos lugares de la película (C –7). Si junto al objeto apareciera la expresión ¿Qué sentido tendría? (M – 13) (M – 14). De suma importancia en el desarrollo de la trama será la aparición de un medallón circular que contiene un papel doblado con información muy relevante. El documento está doblado varias veces formando un cuadrilátero ABCD convexo e inscrito en el medallón (es decir sus cuatro vértices tocan la circunferencia que determina el medallón, como aparece en la imagen). Las diagonales AC y BD se cortan en el punto E. Sabiendo que AB = 39, AE = 45, AD = 60 y BC = 56, determinar la longitud de CD. (M – 15) . Como en las convocatorias de otros años, mi intención era proponer exactamente 13 cuestiones de cada tipo únicamente, porque me gusta ir contra la triscaidecafobia de muchas personas (superstición para mí de lo más tonto), pero la cantidad de sugerencias que me sugiere esta película me ha hecho sobrepasar ese objetivo inicial. Y me quedo en el tintero muchas más relacionadas con muñecas rusas, estatuas, ataúdes, pozos, diamantes y otros muchos objetos que, como dije al inicio, son relevantes en el argumento. Cuestiones Matemáticas M – 1.- Averiguar cuál es dicho número. M – 2.- Dar un razonamiento a favor o en contra. M – 3.- ¿A qué año nos referimos? M – 4.- ¿Cuál es dicha proporción (en modo exacto)? M – 5.- Estimar en ese caso la velocidad del viento. M – 6.- Si la forma de la suela del zapato (excluyendo el talón, que está más reforzado) sigue la ecuación 4x2 + y2 ≤ 4, con y ≥ 0, y el desgaste del material que conforma la suela se expresa en cada punto (x, y) por la función f(x, y) = 4x2 + y2 + 4x – 3y, determinar en qué punto exactamente se ha hecho el agujero, justificando el resultado. M – 7.- Demostrar que AB > 7/10. M – 8.- ¿Cuántos? M – 9.- Calcular razonadamente el volumen de uno de estos objetos de altura h, sabiendo que se refuerza como vemos en la imagen con seis aros de hierro circulares, tres de ellos de diámetros distintos d1, d2 y d3 (d1 < d2 < d3). hasta la mitad; los otros tres repiten esos valores simétricamente, tal y como se observa en la imagen. M – 10.- ¿Qué barril se quedó sin comprar? M – 11.- Número de invitados M – 12.- Para juzgarlo, calcúlese la probabilidad de obtener en una mano de 7 cartas (las cinco del reparto inicial más 2 de cambio) cuatro reyes. Comparar con la probabilidad de obtener en las mismas condiciones únicamente tres reyes. M – 13.- ¿Qué relación tiene esa cantidad con el emblema de la imagen? M – 14.- El emblema divide al círculo en tres regiones. ¿Son iguales? ¿Podrían serlo? M – 15.- Longitud de CD. Cuestiones culturales C – 1.- Lamentablemente, tuvieron que pasar 27 años desde esa fecha para que pudiéramos verla en España, y fue en televisión (aunque después se proyectó en salas comerciales de algunas ciudades. ¿Cuándo tuvo lugar ese estreno? ¿Se estrenó en tu ciudad? (si logras mandar una imagen anunciándola, en tu ciudad o cualquier otra, te añadimos 5 puntos a mayores; no vale el póster de la película: tiene que figurar el cine en el que se proyectó) C – 2.- ¿Por qué crees que no se estrenó en España en su momento? C – 3.- Hay una estrecha relación de este astro con el título de la película y la novela en la que se basa, y con partes del argumento. Especifica por qué. C – 4.- ¿De qué se asusta? ¿Se sabe a quién pertenece ese “algo”? ¿Tiene alguna particularidad especial? C – 5.- ¿Por qué? C – 6.- ¿Cómo descubre el protagonista lo que esconden las citas bíblicas (ver imagen)? C – 7.- ¿Qué es? ¿Qué representa? Señala al menos cuatro lugares distintos en la película en los que aparece ese emblema. C – 8.- La película presenta otro título bastante diferente en la versión española del DVD. ¿A qué se debe esta diferencia? C – 9.- Citar al menos media docena de diferencias entre la película y la novela. C – 10.- ¿Por qué ha sido recientemente notica la novela en la que se basa la película? C – 11.- ¿Qué gran cineasta tenía esta película como una de sus favoritas? C – 12.- Dos de los protagonistas sirvieron de inspiración a dos personajes de una larga serie de álbumes de cómic. ¿A cuáles nos referimos? C – 13.- Título de la película, de la novela, y opinión personal sobre ambas. ¿La conocías? ¿Cuál ha sido la pista que te ha llevado a encontrarla? ¿Qué te ha parecido el concurso? Baremo: Todas las cuestiones tanto las rojas (las matemáticas) como las azules (cine y demás) se valorarán con 10 puntos. En total, 285 puntos en juego (hay un bonus de 5 puntos por ahí a mayores escondido), creo. Todo comentario, sugerencia, queja, etc., será bien recibido. Si no salen algunas cosas, no importa; lo que cuenta es tratar de pasar un buen rato, disfrutar de la película (que el verano da para mucho), y mantener las neuronas un poco activas. P.D.: Espero que no haya ningún error en las cuestiones. Se han repasado varias veces, pero algunas, al ser inventadas o retocadas de otros enunciados, podrían tener alguna errata. Sed benévolos con vuestros calificativos si tal cosa sucediera. El plazo para enviar las respuestas, es como en años precedentes, hasta las 00:00 del domingo 1 de Septiembre, o las 23:59 del sábado 31 de agosto de 2019, a la dirección alfonso@mat.uva.es, indicando en el asunto Verano 2019. Confío en que la película (y la novela) hayan sido de vuestro agrado ¡¡¡¡Buen Verano Cine-matemático!!!!. Alfonso Jesús Población Sáez

Viernes, 28 de Junio de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

153. 98. (Junio 2019) Mathematics and Computation in Music 2019: un congreso interdisciplinar

1. El congreso Mathematics and Computation in Music 2019 En este mes de junio se celebra el congreso internacional Mathematics and Computation in Music 2019. Quien estas notas escribe ha tenido el privilegio y la responsabilidad de organizarlo, en conjunción con Mariana Montiel y Octavio Alberto Agustín Aquino en el comité científico, y con Manuel Tizón y Pablo Romero en la organización local. Hace muchos años, cuando este campo, el de la Teoría Matemática y Computacional de la Música, empezó, gracias a la visión y al esfuerzo de un puñado de investigadores heterodoxos, se le veía como una extravagancia, un capricho pasajero, o a veces incluso un suicidio académico. Si te empeñabas en defenderlo, con frecuencia uno oía que este campo “no es serio”. Sin embargo, esos críticos se dejaron llevar por una inercia intelectual que, como su propio nombre sugiere, rechazaba el cambio. Hoy en día ya se habla con normalidad de campos como la Lingüística Computacional o la Informática Médica. Ese puñado de aguerridos pioneros, muchos de los cuales están en esta conferencia, con su ejemplo y trabajo pronto atrajeron a otros investigadores, los cuales fascinados por las estructuras matemáticas que se encuentran en la música, empezaron a trabajar con ahínco en este campo. Tras unos años de dificultades, empezaron a cuajar las relaciones de colaboración nacionales e internacionales, se crearon revistas, se celebraron talleres y también se creo el congreso del que hoy hablamos aquí. Estamos en su séptima edición de un congreso que se celebra bianualmente. El congreso ya está maduro en términos de excelencia científica y reconocimiento internacional. Y, como digo, me ha sido concedido el privilegio de participar en su organización. La columna de este mes consiste simplemente en el programa (en inglés) del congreso. Este programa vale más que mil reseñas que pueda dar. Disfrutad. ___________________________________________   2. Introduction The Seventh International Conference on Mathematics and Computation in Music will be held June 18-21, 2019 at Universidad Politécnica de Madrid (UPM) and Real Conservatorio de Música de Madrid (RCSMM), Madrid, Spain. MCM is the flagship conference of the Society for Mathematics and Computation in Music (SMCM), whose official publication is the Journal of Mathematics and Music (JMM). MCM 2019 continues the tradition of biennial international conferences of the Society for Mathematics and Computation in Music held on alternating sides of the Atlantic. In this occasion it is hosted by the Escuela Técnica Superior de Ingeniería de Sistemas Informáticos (ETSISI). The conference brings together researchers from around the world who combine mathematics or computation with music theory, music analysis, composition and performance. MCM provides a dedicated platform for the communication and exchange of ideas amongst researchers in mathematics, computer science, music theory, composition and performance, musicology and related disciplines. The disciplines of Mathematics and Music share an intertwined history stretching back more than two and a half millennia. Nowadays computer science points towards new approaches to these disciplines, often with transformative effect. In addition to the scientific program, there will be concerts open to both conference participants and the general public.   3. Organization General Organizing Committee Francisco (Paco) Gómez, Technical University of Madrid, Spain. Mariana Montiel, Georgia State University, Georgia, USA. Emilio Lluis-Puebla, Faculty of Sciences, UNAM, Mexico. Guerino Mazzola, University of Minnesota, USA. Thomas Noll, Escola Superior de Musica de Cataluña. José Luis Besada, Université de Strasbourg and IRCAM. Scientific Programme Committee Mariana Montiel, Georgia State University, Georgia, USA. Francisco (Paco) Gómez, Technical University of Madrid, Spain. Octavio Alberto Agustín Aquino, Instituto de Física y Matemáticas, Universidad Tecnológica de la Mixteca. Scientific Committee Octavio A. Agustín-Aquino Jean Paul Allouche Emmanuel Amiot Moreno Andreatta Juan Sebastián Arias Aitor Arronte Álvarez Cristian Bañuelos Gilles Baroin Chantal Buteau Olivia Caramello Norman Carey Rodrigo Castro López Vaal David Clampitt Darrell Conklin Maxime Crochemore Andrée Ehresmann Michael Franklin Harald Fripertinger Emilia Gómez Francisco (Paco) Gómez Yupeng Gu Gareth Hearne Julian Hook Franck Jedrzejewski Maximos Kaliakatsos Jeremy Kastine Olivier Lartillot Vicente Liern Emilio Lluis-Puebla Pedro Louzeiro Maria Mannone Dimitrios Margounakis Guerino Mazzola Brent Milam Andrew Milne Mariana Montiel Javier Mora Thomas Noll Robert Peck Richard Plotkin Alexandre Popoff David Rappaport David Temperley Petri Toiviainen Isao Tokuda Jason Yust Marek ´abka Fernando Zalamea Local Organizing Committee Francisco (Paco) Gómez Pablo Romero Manuel Tizón   4. Conference Schedule 4.1. Tuesday, June 18th, 2019 8:30: Buses taking the conference participants to the UPM Campus Sur. Meeting point: Hotel Mediodía, on 8th Plaza del Emperador Carlos V. Coordinates: C854+9P Madrid. 9:00-12:00: Registration at the registration desk at Sala de Grados (ETSISI) 9:00-9:30: Opening Session: Sala de Grados, ETSISI. Opening Addresses and Welcome: Guillermo Cisneros Pérez, President of UPM Agustín Yagüe, Dean of ETSISI Prof. Dr. Guerino Mazzola President of the Society for Mathematics and Computation in Music Prof. Dr. Francisco Gómez, Head of the General and Local Organizing Committees Prof. Dr. Mariana Montiel Head of the Scientific Committee 9:30-13:00. Session 1: Algebraic and other Abstract Mathematical Approaches to Understanding Musical Objects. Sessions to be held at Sala de Grados, ETSISI. Chairperson: Paco Gómez 1) 9:30-10:00 Alexandre Popoff, Moreno Andreatta, and Andreé Ehresmann. Groupoids and Wreath Products of Musical Transformations: a Categorical Approach from poly-Klumpenhouwer Networks. 2) 10:00-10:30 Dmitri Tymoczko and Jason Yust. Fourier Phase and Pitch-Class Sum. 3) 10:30-11:00 Maria Mannone and Federico Favali. Categories, Musical Instruments, and Drawings: A Unification Dream. 11:00-11:30: Coffee break Chairperson: Octavio A. Agustín-Aquino 4) 11:30-12:00 Giovanni Albini and Marco Paolo Bernardi. Tropical Generalized Interval Systems. 5) 12:00-12:30 Maria Mannone and Luca Turchet. Shall we (math and) dance? 12:30-13:30: Poster session Aitor Arronte Álvarez and Francisco Gómez. Distributed Vector Representations of Folksong Motifs: A Similarity and Classification Study. Gilles Baroin. Visualizing Temperaments: Squaring the Circle?. Billie Sandak, Avi Mazor, Amichay Asis, Avi Gilboa, and David Harel. Computational Music Therapy. Isaac del Pozo and Francisco Gómez. Formalization of Voice-Leadings and the Nabla Algorithm. Miguel Díaz-Báñez and Nadine Kroher. Maths, Computation and Flamenco: overview and challenges. Darrel Conklin. Music Corpus Analysis Using Unwords. 1:30 pm-2:50 pm: Lunch 3:00 pm: Bus to Madrid downtown (Atocha) Sessions to be held at RCSMM. 5:00 pm-6:00 pm: Plenary talk. Speaker: Guerino Mazzola. Title: COMMUTE - Towards a Computational Musical Theory of Everything. 6:30 pm-7:30 pm: MCM Concert. Moreno Andreatta (music) and Gilles Baroin (visuals) . Math’n Pop Concert or How to turn a Poem into a Song (with a little help of mathematics). 4.2. Wednesday, June 19th, 2019 8:30: Buses taking the conference participants to the UPM Campus Sur. Meeting point: Hotel Mediodía, on 8th Plaza del Emperador Carlos V. Coordinates: C854+9P Madrid. 9:00-11:00 am: Session 2: Special Session: Remanaging Riemann: Mathematical Music Theory as “Experimental Philology”? (I) Sessions to be held at Sala de Grados, ETSISI. Chairperson: Norman Carey 1) 9:00-9:30. Jason Yust. Decontextualizing Contextual Inversion 2) 9:30-10:00. Markus Schmidmeier. From Schritte and Wechsel to Coxeter Groups. 3) 10:00-10:30. Thomas Noll and David Clampitt. Exploring the Syntonic Side of Major-Minor Tonality. 4) 10:30-11:00. Thomas Noll and Karst de Jong. Embedded Structural Modes:Unifying Scale Degrees and Harmonic Functions. 11:00-11:30: Coffee break 11:30-12:30: Session 3: Special Session: Remanaging Riemann: Mathematical Music Theory as “Experimental Philology”? (II) Chairperson: Norman Carey 1) 11:30-12:00. Franck Jedrzejewski. Non-Contextual SQZ Transformations. 2) 12:00-12:30. Franck Jedrzejewski. The Hierarchy of Rameau Groups. 3) 12:30-1:00 pm. Daniel Harasim, Thomas Noll, and Martin Rohrmeier. ”Distant Diatonic Neighbors and Inter-Diatonic Shortcuts?”. 4) 1:00 pm-1:30 pm. Matt Klassen. Constraint-Based Systems of Triads and Seventh Chords, and Parsimonious Voice-Leading. 1:30 pm-2:50 pm: Lunch 3:00 pm: Bus to Madrid downtown (Atocha) Sessions to be held at RCSMM. 5:00 pm-6:00 pm: Plenary talk. Speaker: Octavio A. Agustín-Aquino (joint work with Guerino Mazzola). Title: Counterpoint Worlds. 6:00 pm-6:30 pm: Visualizing the temperaments, a short film by Gilles Baroin. 7:00 pm-8:00 pm: MCM Concert. Naoki Kita (violin), Guerino Mazzola (piano) and Heinz Geisser (drums). MA - Music of Change. 4.3. Thursday, June 20th, 2019 8:30: Buses taking the conference participants to the UPM Campus Sur. Meeting point: Hotel Mediodía, on 8th Plaza del Emperador Carlos V. Coordinates: C854+9P Madrid. 9:00-11:00: Session 4: Special Session on the Pedagogy of Mathematical Music Theory (I) Chairperson: Paco Gómez 1) 9:00-9:30. Thomas Noll. Insiders’ Choice: Studying Pitch Class Sets through their Discrete Fourier Transformations. 2) 9:30-10:00. Maria Mannone. Have Fun With Math and Music. 3) 10:00-10:30. Andrew J. Milne and Andrea M. Calilhanna. Teaching Music with Mathematics: A Pilot Study. 4) 10:30-11:00. Miguel R. Wilhelmi and Mariana Montiel. Integrated Music and Math Projects in Secondary Education. 11:00-11:30: Coffee break 11:30-12:00: Session 5: Special Session on the Pedagogy of Mathematical Music Theory (II) Chairperson: Paco Gómez 5) 11:30-12:00. Brent Milam and Mariana Montiel. A Collaborational Concert: Mathematics Club-Composition Seminar and their Interdisciplinary endeavor 6) 12:00-12:30. Emmanuel Amiot. Concérconferences: of music and mathes for the audience’s delight Octave division Chairperson: Jeremy Kastine 1) 12:30-13:00. Gareth M. Hearne, Andrew J. Milne, Roger T. Dean. Distributional Analysis of n-dimensional Feature Space for 7-note Scales in 22-TET. 2) 13:00-13:30. Louis Bigo y Moreno Andreatta. Filtration of pitch-class sets complexes. 1:30 pm-2:50 pm: Lunch 3:00 pm: Bus to Madrid downtown (Atocha) Sessions to be held at RCSMM. 5:00 pm-6:00 pm: Plenary talk. Speaker: Emmanuel Amiot. Title: The unreasonable efficiency of Algebra in Maths and Music (Musica Exercitia algebricae est?). 6:00 pm-6:45 pm: Editorial meeting of the JMM 7:00 pm-8:00 pm: MCM Concert. Emilio Lluis-Puebla (piano) and Octavio Agustín-Aquino (guitar). Integral of Diabelli’s Piano and Guitar Sonatas and Manuel M. Ponce’s Sonata for Piano and Guitar.   5. Friday, June 21st, 2019 8:30: Buses taking the conference participants to the UPM Campus Sur. Meeting point: Hotel Mediodía, on 8th Plaza del Emperador Carlos V. Coordinates: C854+9P Madrid. 9:00-11:00: Session 7: Computer based approaches to composition and score structuring. Sessions to be held at Sala de Grados, ETSISI. Chairperson: Luis Nuño 1) 9:00-9:30. Giovanni Santini. Synesthesizer: physical modelling and machine learning for a color-based synthesizer in Virtual Reality. 2) 9:30-10:00. Vicente Liern Carrión and Brian Martínez. Mercury R: A software based on fuzzy clustering for computer-assisted composition. 3) 10:00-10:30. Francesco Foscarin, Florent Jacquemar, Philippe Rigaux, and Masahido Sakai. A Parse-based Framework for Coupled Rhythm Quantization and Score Structuring. 4) 10:30-11:00. Paul Lanthier, Coerntin Guischaoua and Moreno Andreatta. Reinterpreting and extending Anatol Vieru?s Periodic Sequences through the Cellular Automata formalisms: some theoretical, computational and compositional aspect. 11-11:30: Coffee break 11:30-12:30: Session 8: Models for music cognition and beat tracking Chairperson: José Luis Besada 1) 11:30-12:00. Noah Fram. Surprisal, liking, and musical affect. 2) 12:00-12:30. Christopher White. Autocorrelation of Pitch-Event Vectors in Meter Finding. 3) 12:30-13:00 pm. Luis Nuño. The Envelopes of Consonant Intervals and Chords in Just Intonation and Equal Temperament. 13:00-13:30 Tilings, canons and maximal evenness 1) 1:00 pm-1:30 pm. Jeremy Kastine. Maximally Even Tilings. 1:30 pm-2:50 pm: Lunch 2:50 pm: Bus to Madrid downtown (Atocha) Sessions to be held at RCSMM. 5:00 pm-6:00 pm: Plenary talk. Speaker: Paco Gómez. Title: Outreach in Mathematical Music Theory. 8:30: Conference gala dinner.   6. Musical and Social Programme 6.1. Math’n Pop Concert Moreno Andreatta, piano and voice Gilles Baroin, visual representations Composing chansons based on texts by poets has become a popular genre within the field of songwriting. Building on this tradition, Moreno Andreatta adds a mathematical dimension to this genre: using permutational tools and graph-theoretical methods, he creates an original universe where poetry and music meet in a new dialogue. Combining piano and voice, Moreno Andreatta introduces the audience to his original musical creations. The concert will be accompanied by visual representations of the underlying mathematical constructions, conceived and realized by ’mathemusician’ Gilles Baroin. 6.2. MA - Music of Change Naoki Kita, violin Guerino Mazzola, grand piano Heinz Geisser, drums and percussions The free jazz collaboration duo of drummer Heinz Geisser and pianist Guerino Mazzola has lasted twenty years now. In April 2017 they had a series of six highly acclaimed concerts in Tokyo and Yokohama, resulting in three CD productions including Ma, with the collaboration of Japanese violinist Naoki Kita. Geisser and Mazzola strongly adhere to the idea that music should transform with virtuosity gestures and thoughts in the imaginary time of our consciousness into real sound structures that shape the body of time instead of following any external baton. Naoki Kita?s performances include a blend of original music and improvisation and the transformation of the duo in trio has created new avenues. 6.3. Integral of Diabelli’s Piano and Guitar Sonatas and Manuel M. Ponce’s Sonata for Piano and Guitar Emilio Lluis-Puebla, piano Octavio Alberto Agustin Aquino, guitar Mathematicians Emilio Lluis-Puebla and Octavio Alberto Agustin Aquino also have parallel careers as accomplished musicians. Together they have played and recorded the integral of Diabelli’s piano and guitar sonatas, which they will present together with Mexican composer Manuel M. Ponce’s sonata for piano and guitar.   7. Useful Information 7.1. Venues 1. Escuela Técnica Superior de Ingeniería de Sistemas Informáticos (ETSISI), Universidad Politécnica de Madrid (UPM). Calle de Alan Turing, s/n, 28031, Madrid. 2. Real Conservatorio de Música de Madrid (RCSMM). Calle de Santa Isabel, 53, 28012, Madrid.

Miércoles, 05 de Junio de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

154. 172. (Junio 2019) Marchando una de inducción

El principio de inducción completa es una herramienta matemática tan versátil como intrigante pues permite demostrar infinitas propiedades en solo dos pasos. Para entenderlo, es muy ilustrativo establecer la analogía de este principio con el de la caída de infinitas fichas de dominó (en este video se ven caer un millón de fichas, todavía muy lejos de ser infinitas pero puede servir como aproximación). Como es fácil entender, si numeramos un conjunto infinito de fichas de dominó con los números naturales y los colocamos a una distancia tal que todas las piezas cumplen la condición "cuando la ficha número n se cae, hace que la ficha número n + 1 también se caiga," entonces está claro que, al dejar caer la ficha número 1, las infinitas fichas caerán irremediablemente. No hará falta comprobarlo para la ficha 507 ni para la 4589, ni para ninguna en particular, la condición anterior asegura la caída de todas las fichas. Esto es precisamente lo que afirma el principio de inducción completa: dada una proposición matemática que depende de un número natural, si queremos asegurar que dicha proposición es válida para todos los números naturales, basta comprobar que es cierta la condición "cuando la propiedad es cierta para el número n, también será cierta para el número n + 1," y, por supuesto, que lo sea también para el número 1. A pesar de su aparente simplicidad, este principio ha resuelto multitud de problemas matemáticos de todo tipo, incluso es el fundamento de otras técnicas como el método del descenso infinito, muy utilizado en demostraciones clásicas. Sin embargo, a veces nos puede engañar si no observamos con atención todos sus detalles. El gran maestro George Pólya, en el primer volumen de su libro "Mathematics and plausible reasoning" (Princeton University Press, 1954) propone una paradoja que hoy se conoce como teorema de los caballos o de las niñas rubias: Dado un conjunto de niñas rubias, si al menos una de ellas tiene los ojos azules, entonces todas las niñas tienen los ojos azules. La versión original con caballos afirma que todos los caballos son del mismo color. La demostración es la siguiente: Es evidente que la afirmación es cierta si el conjunto está formado por una sola niña. Supongamos ahora que la afirmación es cierta para cualquier conjunto de n elementos (es decir que, dado un conjunto de n niñas rubias, si una tiene los ojos azules, entonces todas tienen los ojos azules), y consideremos un conjunto de n+1 niñas rubias . Si suponemos que una de ellas, digamos R1, tiene ojos azules, entonces todas las del conjunto  tienen ojos azules (por la hipótesis de inducción). En particular, R2 tiene ojos azules de modo que todas las del conjunto tienen ojos azules. En definitiva, todas las del conjunto tienen ojos azules. A pesar de que la demostración parece correcta, entendemos que no lo es porque la afirmación es falsa. ¿Qué ha fallado? Simplemente, la suposición de que los conjuntos y  tienen un elemento común es falsa cuando n = 1. Hasta aquí la clase de matemáticas. Pasamos al juego de magia, cuya explicación esperamos que descubras, quizá ayudándote del principio de inducción. Realizaremos el juego de este mes con las mismas monedas que usamos la última vez, de momento una cantidad indefinida de ellas. Saca del bolsillo un puñado de monedas y colócalas en un montón sobre la mesa. Muestra también una predicción, que mantienes a la vista hasta el final pero sin dejar ver lo que contiene. Entrega un lápiz y una hoja de papel a una persona que quiera colaborar y, contigo de espaldas, pídele que realice las siguientes operaciones: Separa las monedas en dos bloques, del tamaño que quieras, cuenta el número de monedas que tiene cada bloque y escribe el producto de sus dos valores. Elige uno de los dos bloques anteriores -tú eliges-, vuelve a separarlo en otros dos bloques, vuelve a contar el número de monedas que tiene cada bloque, vuelve a multiplicar sus valores y escribe el producto. Repite el mismo proceso del paso anterior: elige uno de los tres bloques, sepáralo en otros dos, cuenta el número de monedas que tiene cada uno y escribe el producto de estos dos valores. Vuelve a repetir este proceso hasta que todos los bloques tengan una sola moneda. Al final, suma todos los números que habías anotado. Haz que comprueben que este valor coincide con tu predicción a pesar de la total libertad de elección de los distintos tamaños de los bloques de monedas en cada paso. Veamos un ejemplo para comprender mejor el proceso: Sobre la mesa hay diez monedas. Tu colaboradora la separa en dos grupos de 4 y 6 monedas. Por tanto, escribe el número 24. A continuación, escoge el montón de 4 monedas y lo separa en dos grupos de 3 y una moneda. Escribe el número 3 debajo del 24. Sobre la mesa hay tres montones, de 6, 3 y 1 moneda. Escoge el montón de 6 monedas y lo separa en dos grupos, de 4 y dos monedas. Escribe el número 8 debajo de los dos anteriores. Luego escoge el montón de 4 monedas y lo separa en dos grupos, de 2 y 2 monedas. Escribe el número 4. De momento, hay 5 montones, uno con tres monedas, tres con dos monedas y uno con una moneda. Escoge uno de los montones de dos monedas y lo separa en dos grupos de 1 moneda cada uno. Escribe por tanto el número 1. Realiza dos veces más esta misma elección: divide el montón de dos monedas en dos grupos de una moneda y escribe el número 1. Como quedan siete montones con una moneda y un montón con tres monedas, divide este en dos grupos de dos y una moneda y escribe el número 2. Por último, el montón que tiene dos monedas se divide en dos grupos y escribe el número 1. Un esquema con el resumen de todo el proceso se muestra a continuación: 4 6 4 x 6 = 24 3 1 6 3 x 1 = 3 3 1 4 2 4 x 2 = 8 3 1 2 2 2 2 x 2 = 4 3 1 2 2 1 1 1 x 1 = 1 3 1 1 1 2 1 1 1 x 1 = 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 x 1 = 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 x 1 = 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x 1 = 1 La suma de las cantidades anotadas es 24 + 3 + 8 + 4 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 = 45. Las preguntas que debes plantear para saber de antemano el resultado final son: ¿este resultado depende del número inicial de monedas?, ¿depende también de la forma en que se separa cada montón en dos grupos? Incluso aunque hayas intuido que las respuestas son sí y no, respectivamente, la pregunta final es: ¿cuál es la fórmula con la que se obtiene por adelantado el resultado final de la operación? Pero, más importante aún: ¿cómo demostrar que esa fórmula es la correcta? Observaciones finales: Si no has logrado dar con la solución, puedes acudir a la fuente donde he encontrado este juego, el artículo de Franka Brückler titulado "Inductive Magic", aparecido en el blog Mathematics-in-Europe del Comité de Divulgación de la European Mathematical Society. Ya que hemos comentado el efecto dominó, no está de más sugerir que la caída de las fichas está relacionada también con algunas propiedades físicas, como se explica en este artículo titulado "Domino effect - it's more than just a fall". Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

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155. 55. (Junio 2019) Principia mathematica… ¡de teología!

(Theologiae Christanae Principia Mathematica. 1755. Portada de la segunda edición) El panfleto Theologiae Christanae Principia Mathematica (1699) del matemático escocés John Craig (1663-1731) fue un libro muy polémico en su época, denostado y olvidado después, para terminar siendo muy citado pero poco leído. Su valor actual viene dado por ser quizá uno de los mejores exponentes de la época hegemónica de la matemática, cuando el more geometrico fue el paradigma de verdad y del pensamiento claro y distinto y, en consecuencia, exportable a todo el saber. Además, la obrita de Craig es una forma curiosa de la integración de la matemática en la cultura. Dos consagrados pioneros de la historia de la matemática ponen de manifiesto las opiniones contrarias a tal utilización de la disciplina, hasta el punto de considerarlo una chifladura. Por un lado Rouse Ball (1889) habla de un excéntrico sin mérito y por otro Florian Cajori (1919) decía que se hacía un uso absurdo de la matemática. (Theologiae Christanae Principia Mathematica. 1699. Portada de la primera edición) Dos hechos han contribuido a la puesta en valor del panfleto de 36 páginas en la edición de 1699. Uno de ellos es por su aportación innovadora para la historia de la estadística como puso de manifiesto el profesor Stephen Stigler en su artículo John Craig and the probability of history (1985). El otro hecho es la interpretación de la obra en su contexto cultural, algo que se muestra parcialmente en la moderna edición, en inglés, de los Principia de Craige realizada por Richard Nash (1991). (John Craige´s  Mathematical Principles.  Richard Nash. 1991) Stigler ha señalado como aspectos importantes la anticipación a Bayes en el cálculo de las probabilidades a posteriori y a Pierce en el uso conceptualista de un logaritmo de probabilidad. Contenido de Theologiae Christanae Principia Matemática Los Principia de Craig es un libro que sigue estrictamente el more geometrico de los Elementos de Euclides: diez definiciones, tres axiomas y treinta y cinco proposiciones (14 teoremas, 2 lemas y 19 problemas). Las proposiciones están organizadas en seis apartados: Sobre la probabilidad histórica de la transmisión oral (1-15) Sobre la probabilidad histórica de la transmisión a través de los testimonio escritos (16-22) Sobre el placer uniforme (23-25) Sobre los placeres de crecimiento uniforme (26-28) Sobre los placeres cuya intensidad crece con alguna razón exponencial (29-32) Sobre los placeres finito e infinito comparados uno con el otro (33-35) Los dos primeros apartados sirven para calcular la fecha del fin del mundo y la resurrección de los muertos según el Apocalipsis de San Juan y los otros cuatro son la expresión matemática del Argumento de la Apuesta de Pascal sobre la existencia de dios:  ... Si Dios no existe, el escéptico no pierde nada creyendo en él; pero si existe, el escéptico gana la vida eterna creyendo en él. Todo parecería delirante si no lo contemplamos en su contexto, pero antes hablaremos del John Craig (o Craige) matemático para poner de manifiesto su valor en el contexto de las matemáticas de la Gran Bretaña. John Craig, clérigo y matemático Craig estudió matemáticas en la Universidad de Edimburgo teniendo como profesor a David Gregory. Se graduó en 1687 y había entrado en 1684, el año que Leibniz publica su versión del cálculo infinitesimal. Tras trasladarse a Inglaterra inicia una relación matemática intensa con Newton, y especialmente con De Moivre, Maclaurin y Halley. Es de resaltar que Craig figura en la historia por ser el primer matemático inglés en usar el análisis infinitesimal de Leibniz y su notación. El primer lugar donde apareció dy/dx es en su obra Methodus figurarum lineis rectis et curvis comprehensarum quadraturas determinand (1685), de igual forma, el símbolo de integración (la S estirada) aparecerá en Tractatus mathematicus de figurarum curvilinearum quadraturis et locis geometricis (1693). Como Newton no había publicado su propio método (el cálculo de fluxiones), Craig solo dispuso de Leibniz, pero al final de su vida, y tras la agria polémica sobre la invención del cálculo, hará uso de la notación newtoniana. Parece claro que el clérigo escocés no fue un simple aficionado sino un matemático de primer orden que polemiza con Jacob Bernouilli o Tschirnhaus. El Apocalipsis de San Juan y los matemáticos La palabra apocalipsis se traduce como revelación. El Libro de Daniel del Antiguo Testamento y el del Apocalipsis del Nuevo son libros que predicen el fin del mundo y el juicio final. Los matemáticos se interesaron por calcular la fecha en que se iba a producir. Craig no actuó como un chalado pues tenía aportaciones anteriores de matemáticos conocidos. De hecho, la Cronología formaba parte de las Matemáticas en la época. John Napier había publicado Plaine Discovery of the Whole Revelation of Saint John en 1595 como carta al rey. Neper consideraba al Papa de Roma como el Anticristo y por ello pensaba que el fin del mundo debía estar próximo. El documento fue muy importante para la iglesia escocesa. Isaac Newton fue el que puso de manifiesto con vehemencia que tanto la tradición oral como la escrita habían corrompido la verdadera religión. En su obra An Historical Account of Two Notable Corruptions of Scripture, Observations on Daniel and The Apocalypse of St. John, Newton carga contra Atanasio y la iglesia de Alejandría por su perversión y engaño. Lo que hizo John Craig fue dar forma matemático probabilística a los argumentos de Newton. De alguna forma Craig fue más newtoniano que el propio Newton. (Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. 1687.  Portada de la primera edición) El argumento probabilístico Si en los dos primeros apartados de sus Principia, Craig da forma matemática a los planteamientos de Newton en los siguientes hace lo mismo con el argumento de la apuesta segura de Blaise Pascal: Juego en el que existen iguales posibilidades de ganancia o pérdida, y en lo que se puede ganar lo infinito… Esto es demostrativo, y si los hombres son capaces de alguna verdad esta lo es. Nadie puede mejorar una esperanza matemática infinita. Craig estableció diferentes formas de funciones de placer para hacer su “demostración” y dar envoltura probabilística al argumento de Pascal. (Blaise Pascal) Dios demostrable matemáticamente El Obispo Berkeley arremetió contra los matemáticos incrédulos por su incoherencia de no creer en Díos y si en los infinitésimos. La realidad es que la mayoría de los matemáticos seguían siendo religiosos aunque con creciente heterodoxia. Quizá el caso de Newton muestre la paradoja en la que se vivía: se hace antitrinitario cuando es profesor del Trinity College. Durante los siglos XVII y XVIII veremos a los matemáticos de primera línea dar forma demostrativa more geometrico a seis pruebas de la existencia de díos. Será Kant, al final de la Ilustración, el encargado de desmontar las pruebas. La prueba probabilística del jugador no la repetimos. Prueba ontológica. Un ser perfecto tiene que incluir la existencia porque sino no lo sería. El argumento de San Anselmo es usado por René Descartes: Díos, el Ser Perfecto, es o existe como lo puede ser cualquier demostración de la geometría. Prueba de la contingencia. Todo lo que existe proviene de algo o es movido por algo, así llegamos al primer motor inmóvil. Locke utilizará el mismo triángulo, cuya suma de ángulos es dos rectos, que usó Descartes como argumento euclídeo: la mera nada no puede producir un ser real que sea igual a dos rectos,… lo que no existió desde la eternidad ha tenido que tener un comienzo. Prueba del designio. El perfecto orden y belleza del universo tiene que provenir de una inteligencia superior (Díos como matemático). Una vez más Newton (comentario en su Óptica): para hacer este sistema solar… la causa no puede ser ciega o fortuita, por el contrario debe estar muy preparada en mecánica o geometría. Prueba del óptimo. Se trata de una variante de la prueba del designio. Tras desarrollar matemáticamente el Principio de Mínima Acción, Maupertuis dice: ¡Qué satisfacción para el espíritu humano al contemplar estas leyes, que son el principio del movimiento y el reposo de todos los cuerpos del Universo, encontrar la prueba de la existencia de Aquel que lo gobierna! Prueba axiomática. Deducir de axiomas preestablecidos. Es lo que hace Baruch Spinoza en Ética demostrada al modo geométrico (1677): la proposición XI de la primera parte es Dios existe necesariamente que se deduce del axioma 7, la definición 6 y la proposición 7. Recapitulando Tanta inmersión teológica quizá nos haya desviado del principal objetivo: que las matemáticas entre el Renacimiento y la Ilustración jugaron un papel hegemónico como garantía de verdad. Lo que hoy es chaladura no lo fue en su momento. Como hemos expuesto anteriormente usando palabras de François de Gandt: Me doy cuenta de hasta qué punto son las matemáticas una realidad cultural extraña y compleja, y también, cuán vagos y variables son sus límites según las épocas.

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156. 141. Escenas escolares: siempre el mismo planteamiento

Con mucha frecuencia las escenas ambientadas en un aula en las películas suelen echar mano de las matemáticas. Añadimos tres más a la larga lista, descubriendo que prácticamente todas son calcadas en cuanto a su propuesta y desarrollo. ¿Será que la metodología del profesorado tampoco ha cambiado sustancialmente? Seguramente. Durante las pasadas vacaciones de Semana Santa, una cadena de televisión en España proyectó una película no demasiado antigua en la sobremesa de un sábado. No suelo hacer mucho caso a lo que se emite en esa cadena en esa franja horaria, ya que suelen ser producciones televisivas bastante mediocres con temas absolutamente manidos una y mil veces. En este caso, no tener otra cosa mejor en ningún otro sitio, la propia vagancia de no ponerme lo que me apetecía, y observar que se trataba de una producción cinematográfica, hicieron que aguantara cinco minutos de confianza. Y aparecieron las matemáticas. Eso sí, el resto de la película, sin ser tan lamentable como las comentadas previamente, tampoco fue una maravilla, pero resulta entretenida (lo adelanto por si alguien no desea más que ver las escenas de matemáticas; del resto puede prescindir sin provocarse trauma alguno, aunque si le intriga el argumento, tampoco pasa nada, puede terminarla, aunque inicialmente promete más de lo que finalmente es). Para situarnos, como siempre, sus datos básicos: Ficha Técnica: Título: Cita a ciegas con la vida. Título Original: Mein Blind Date mit dem Leben. Nacionalidad: Alemania, 2017. Dirección: Marc Rothemund. Guion: Oliver Ziegenbalg y Ruth Toma, sobre la vida de Saliya Kahawatte. Fotografía: Bernhard Jasper, en Color. Montaje: Charles Ladmiral. Música: Michael Geldreich y Jean-Christoph Ritter. Duración: 111 min. Ficha artística: Intérpretes: Kostja Ullmann (Saliya Kahawatte), Jacob Matschenz (Max), Anna Maria Mühe (Laura), Johann von Bülow (Kleinschmidt), Alexander Held (Fried), Nilam Farooq (Sheela), Sylvana Krappatsch (Dagmar), Michael A. Grimm (Küchenchef Krohn), Kida Khodr Ramadan (Hamid). Sinopsis: Basada en la historia real del hoy empresario Saliya Kahawatte (que aparece al final de la película) y autor de la autobiografía en la que se basa la película. Hijo de una alemana y un cingalés (Sri Lanka), a los quince años le diagnosticaron una enfermedad hereditaria en los ojos que le provocaron un desprendimiento progresivo de retina. Como consecuencia perdió el 80% de la visión. A pesar de ello, logró acabar sus estudios de enseñanza secundaria con mucha diligencia y fuerza de voluntad, completó una capacitación como gerente de hotel e hizo carrera en la industria hotelera y gastronómica. Durante años, ocultó su discapacidad, pero sufrió esta mentira cayendo en la depresión (esto ya no lo cuenta la película, ya que, a pesar del drama, intenta mostrar un ejemplo de superación, pareciendo en mucha parte del metraje que estamos ante una comedia). Las matemáticas Hacia el minuto 7:21 aproximadamente, el protagonista se encuentra en clase de matemáticas: Profesor: Otro ejemplo de la regla de la cadena. Como observamos en la imagen, escribe en la pizarra la función y = e4x+2. A un lado está descrita la citada propiedad (para los que tengan un poco olvidada la regla de la cadena, se trata de la condición necesaria que nos permite derivar la composición de dos o más funciones). Ha escrito ya un ejemplo, bastante típico, con una función exponencial (y = ex^2). Al otro, el profesor tapa un cuadro con las derivadas de las funciones elementales. Profesor: Si sustituimos esto (señala el exponente, 4x + 2), por u, la función externa queda y = eu. En ese momento, el docente se para un instante, y se dirige a Saliya, del que suponemos conoce su problema visual. De hecho, echa un vistazo a su cuaderno (nos lo muestra la cámara) y se percata de que está escribiendo las expresiones tremendamente grandes y descolocadas, una encima de otra. El compañero situado a su lado lo observa también y le añade el 2 al exponente, que Saliya no ha escrito. Profesor: Si voy demasiado deprisa, dígamelo Saliya. Saliya: Lo haré, señor. Gracias. Profesor (de vuelta a la pizarra): La derivada externa queda y = eu, mientras que la derivada interna de 4x + 2 es 4. Saliya (susurrando): … significa que y’ es igual a eu por 4. Y vemos que, en efecto, esa es la expresión que escribe el profesor en la pizarra. Con un poco de maldad por mi parte (o un mucho, cada cual que lo interprete como guste), me ha parecido curioso que la cámara, cuando el profesor iniciaba el ejemplo, nos mostraba (como en otros momentos de la película) lo que ve en realidad Saliya (para que nos demos cuenta del progresivo deterioro de su visión), que es la siguiente imagen: Obviamente lo curioso no es que el protagonista vea eso, sino que me ha dado por pensar que, a lo mejor, se trata de una metáfora sobre lo que los alumnos en general aprecian de las clases de matemáticas, a tenor de lo que escriben en los exámenes con relativa frecuencia. En el caso de Saliya, con una admirable fuerza de voluntad, trata de suplir sus carencias aprendiéndose de memoria los temas. Su hermana diariamente le lee en voz alta los apuntes, y él los repite en voz alta, frase por frase: Sheela: Otro número como factor… Saliya: Otro número como factor… Sheela: … en el denominador … Saliya: … en el denominador … En ese momento su madre irrumpe en la habitación con una bandeja con la merienda, instándolos a que descansen un rato Saliya: Descansaré cuando acabe los exámenes. Sheela: Dos fracciones … Saliya: Dos fracciones … Sin embargo, la escena que más me ha gustado (todo lo anteriormente descrito se ha puesto en escena de manera más o menos similar en otras muchas películas), es la siguiente: El profesor está de nuevo impartiendo clase (ahora la cámara no está colocada desde los pupitres, como la previa, sino desde la pizarra (que no vemos), pero sí observamos los gestos de desagrado del docente cada vez porque cada vez que dice una frase Saliya la repite, en voz baja, pero él lo escucha, y parece molestarle (desde esa posición el espectador ve esas muecas de fastidio, pero no los alumnos ya que está de espaldas a ellos): Profesor: La suma del arcoseno … Saliya (susurrando): La suma del arcoseno … Profesor: … y del arcocoseno …. Saliya (susurrando): … y del arcocoseno …. Profesor: … es constante e igual a … Saliya (susurrando): … es constante e igual a … Profesor (se da la vuelta y se dirige a Saliya): No se ofenda, Saliya, pero, ¿de verdad funciona eso? ¿El repetir susurrando? Saliya: La derivada del arco seno de x es 1 dividido por la raíz cuadrada de 1 menos x al cuadrado. Es decir, la suma del arco seno y el arco coseno de x es constante e igual a la mitad de π. Esto es 1.570796327. Profesor (sorprendido): Bien, continuemos pues. El resultado que se nos ha contado es la justificación de la igualdad No he accedido en esta ocasión a la versión original de la película (en alemán) e ignoro si es tal cual se ha traducido, pero, aunque la justificación del protagonista se entiende perfectamente, no está explicada completamente. Saliya habla de la derivada de la función arco seno, y de ahí pasa a indicar que la suma de las funciones arco seno y arco coseno es constante. Esto es así en virtud del resultado que indica que cuando la derivada de una función en nula, entonces la función original es constante. Tampoco dice cómo se calcula dicha constante. Por muy obvio que sea, seguramente algún espectador no sepa por qué. Y aquí aparece la eterna cuestión que algunos de los lectores estarán pensando: ¿Y para qué necesitamos saber eso? Evidentemente no impide continuar viendo la película, no afecta al argumento (ojalá lo hiciera). Este es uno de los asuntos por los que parece que no tiene importancia que algo de carácter científico aparezca como sea en el argumento de una película o en una novela, y no es así. Las matemáticas se utilizan en este tipo de escenas sencillamente porque es la asignatura que más “recuerdos” (no especifico de qué clase conscientemente) traen a todo el mundo a la cabeza, y porque se asocia a complejidad, dificultad, etc. (en el caso de esta película en concreto, un chaval que a pesar de la ceguera es capaz de llevar esta asignatura con buenas calificaciones). Por no hacer referencia al grito en el cielo que pondrían muchos críticos cinematográficos si se deslizara un error geográfico, histórico, literario, etc. Pues miren, honestamente, deberían ser del mismo calibre unos y otros, y no disculpar o hacer la vista gorda ante ninguno de ellos (claro que primero deberían tener ellos ciertos conocimientos, como los demás los tenemos de lo que para estas personas es “cultura”). Por esas casualidades de la vida, también cayó en mis manos en esos días la tercera temporada de aquella recordada serie española, Curro Jiménez, a mayor gloria de Sancho Gracia (Curro Jiménez), José Sancho (El Estudiante), Álvaro de Luna (El Algarrobo) y Eduardo García (El Gitano). En el último episodio titulado El caballo blanco, dirigido por Mario Camus, el protagonista decide disolver la banda a pesar de los ruegos de sus compañeros, que finalmente comprenden que se ha cerrado un ciclo en sus vidas. En un momento dado hay una escena en la que aparece una escuela de un pueblo andaluz, y cómo no, la maestra (María José Diez) expone un problema aritmético sencillo (son niños de primaria) (ver imagen): "Supongamos que este es el número de aceitunas que hay en cada árbol, y éste (señala al multiplicando) el número de olivos. Si multiplicamos el número de aceitunas por el número de olivos, ¿qué obtenemos?” Algunos niños responden olivos, otros aceitunas, en fin que se  pone en escena una de las abundantes caricaturas de las clases escolares elementales. Posteriormente, la maestra hace la multiplicación preguntando cada producto parcial, las que se llevan en cada paso, etc., hasta que nuestros héroes la interrumpen. Y al final, la multiplicación queda correcta y perfectamente realizada. Hablamos de una producción de 1979, pero la puesta en escena, salvando el tema, es exactamente igual que la de la primera película de 2017. Quizá sea para pensárselo, no el que el cine las muestre idénticas en la forma, sino el que seguramente sea porque nuestra metodología no ha cambiado demasiado en todos esos años. Y casualmente, esa misma semana, vi en un Cine Club al que pertenezco, una producción no estrenada en nuestro país, Casa Grande, película brasileña de 2014 dirigida por Fellipe Barbosa sobre la decadencia de una familia acomodada y elitista del país en la que uno de sus hijos, que estudia el último curso del Bachillerato en uno de los mejores institutos de Rio de Janeiro y cuyos padres tratan de encauzar para que entre en una universidad puntera (por cierto, el padre es ingeniero, habla bastante de matemáticas, aunque no ha sabido aplicarlas demasiado bien a su vida porque está sin trabajo y arruinado por invertir su dinero en acciones de empresas que han ido quebrando). Bien, pues en una de las clases del chaval, el profesor explica cuando los sistemas de ecuaciones lineales tienen solución (teorema de Rouché), aunque acaba entrando en cólera porque sus alumnos no lo hacen demasiado caso y no paran de armar jaleo en clase. Misma escenificación que las anteriores (salvo que en la película alemana todos estaban bastante callados) respecto a la forma de impartir clase, a pesar de ser países muy diferentes. Desgraciadamente, no he encontrado imagen de esta última en el que aparezca la pizarra y los sistemas. Concurso del verano Como desde hace algunos años (dieciséis concretamente), la reseña de junio consistirá en la propuesta de un concurso para entretener el verano en la que hay que resolver algunas cuestioncillas matemáticas y responder algunas preguntas de tipo cultural relacionadas con una película-enigma (o varias) que hay que tratar de descubrir. Entre que nos encontramos a final de curso y que idearlo todo lleva su tiempo, dicha reseña no aparecerá hasta finales de mes en esta ocasión. Pero seguro que la espera, merecerá la pena… Alfonso Jesús Población Sáez

Martes, 14 de Mayo de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

157. 97. (Mayo 2019) La geometría de la música (V)

1. Macroarmonía y centralidad Esta es la última entrega de la serie Geometría y Música, serie que ha consistido en una revisión exhaustiva del libro A Geometry of Music [Tym18], redactado por el compositor y teórico de la música Dimitri Tymoczko. Este autor se ha caracterizado por ser un ferviente partidario de los métodos geométricos del análisis musical. En varios textos suyos aboga por este tipo de métodos y argumenta que son más potentes a la hora de analizar música tonal, atonal y jazz. En la primera entrega [Góm18d] estudiamos las cinco características principales de la música tonal según Tymoczko (el movimiento melódico por grados conjuntos, la consonancia acústica, la consistencia armónica, la macroarmonía limitada y la centralidad). En el segundo artículo [Góm18b] describimos a fondo los modelos matemáticos que usa Tymoczko para el análisis musical. En la tercera entrega [Góm18c] se estudiaron los modelos geométricos de progresiones de acordes y conducciones de voces para acordes de dos y tres voces. En la cuarta entrega [Góm18a] se trataron la construcción de escalas, las operaciones sobre escalas y la relación entre escala y modulación y conducción de voces. En el capítulo cinco de Geometría y Música, el autor analiza el concepto de macroarmonía. Lo define como el efecto musical que tiene una sucesión de acordes en su conjunto. No cabe duda de que el efecto que tiene un acorde depende de los acordes que se hayan tocado en los compases anteriores. Tymoczko plantea cuatro cuestiones acerca de la macroarmonía: La música en cuestión ¿articula una macroarmonía clara aparte del total cromático? ¿Cuán rápido se producen los cambios de armonía? ¿Son las macroarmonías de la pieza similares estructuralmente hablando? Otra manera de plantear esta cuestión es si las macroarmonías se pueden relacionar a través de las operaciones estudiadas en las series anteriores. ¿Son las macroarmonías consonantes o disonantes? 2. Cambios de clases de alturas Una cuestión que interesa a Tymoczko es cómo cuantificar la macroarmonía. Para ello, investiga el cambio de clases de alturas en piezas de varias tradiciones musicales. Toma un número fijo de notas, al que llama ventana, y se cuentan los cambios de clases de alturas dentro de dicha ventana. El tamaño de la ventana va desde una nota hasta la pieza entera. Así, por ejemplo, en la invención a dos voces en fa mayor de Bach de la figura siguiente, vemos las ventanas de tamaño 3 y 4 para el tema principal. Para tamaño 3, la media es 2,4 y para tamaño 4 es 2,9. Figura 1: Cambios de clases de altura en función del número de notas (figura tomada de [Tym11]) En la figura siguiente se tienen el número medio de clases en función del tamaño de la ventana así como su histograma. Este gráfico nos da una idea aproximada de cuán rápido cambian las armonías a lo largo de la pieza. Figura 2: Histograma del cambio de clases de alturas (figura tomada de [Tym11]) La siguiente figura muestra una serie de piezas que recorren varios periodos de la música, desde el Renacimiento con la música de Palestrina (la misa del Papa Marcelo) hasta el opus 27 de Webern, pasando por obras de Mozart, Beethoven, Brahms y Wagner. Las curvas de Palestrina y Webern tienen un cierto parecido; ambas indican que los compositores usaron exhaustivamente ciertas colecciones de notas en un periodo de tiempo relativamente corto. Sin embargo, en el caso de Palestrina se trata de las notas de la escala diatónica y en el caso de Webern las notas de la escala cromática. El hecho de que la curva de Webern se acerque al valor de 12 tan pronto y tan pronunciadamente nos habla del carácter dodecafónico del opus 27. Webern recorre cíclicamente todas las armonías que son posibles dentro de la escala cromática. Viendo estos gráficos se concluye que las piezas son estáticas desde un punto de vista de la macroarmonía. Figura 3: Comparación entre los cambios de clases de alturas de varios compositores (figura tomada de [Tym11]) La figura 3 confirma empíricamente un hecho bien conocido en la historia de la música y es que el cromatismo gradualmente fue aumentando con el tiempo. Empezó con tímidas exploraciones en la época del Barroco, fue a más durante el Clasicismo, aumentó fuertemente en el Romanticismo y desembocó en el atonalismo a principios del siglo XX. Los histogramas se puede usar también para estudiar obras de un mismo autor y ver cómo se comportan los cambios en las clases de alturas. En la figura 4 se ve las curvas de cambio de clases de alturas para nueve estudios de Chopin. El opus 10, número 2, es un estudio con un gran cromatismo, que tras 40 compases ya ha visitado prácticamente el universo cromático. En cambio, el estudio opus 10, número 4, es menos cromático y no pasa de ocho clases de alturas. Figura 4: Cambios en las clases de alturas en los estudios de Chopin (figura tomada de [Tym11]) Un análisis similar podemos ver en la figura siguiente, esta vez referido a las clases de alturas en el primer libro de preludios de Debussy. Se puede ver que en el caso de esta obra la tendencia hacia al cromatismo ocurre más lentamente que en el caso de Chopin. Se observa que las curvas se acercan al valor 12 (cromatismo total) para valores mayores de la ventana y también que hay varias obras que no alcanzan ese valor, sino otros inferiores. Figura 5: Cambios en las clases de alturas en el primer libro de preludios de Debussy (figura tomada de [Tym11]) Por último, tomemos un compositor menos tonal como puede ser Igor Stravinsky. Abajo tenemos las curvas de cambios de clases de alturas para La consagración de la primavera. Se ha analizado cada sección. Vemos que el Cortejo del sabio es mucho más cromática que las Rondas primaverales. También observamos que los cambios de altura se producen pronto. Figura 6: Cambios en las clases de alturas en La consagración de la primavera de Stravinsky (figura tomada de [Tym11]) Sin embargo, estos histogramas no reflejan un hecho importante. Informan de cuán rápido cambian las clases de alturas, pero no informan de las macroarmonías en sí mismas. Estos histogramas no pueden distinguir entre piezas en que se modula rápidamente y piezas no diatónicas, por poner un ejemplo. Hace falta otro tipo de instrumentos de análisis. Dicho instrumento es el perfil macroarmónico global. Dada una pieza se pueden tabular todos los acordes de tres notas, de cuatro notas, y así sucesivamente. Para ilustrar el uso de estos perfiles, consideremos dos piezas de dos autores bastante distintos, Schoenberg y Coltrane. Las piezas a comparar son el opus 11, número 1, del primero y el solo de Giant steps, del segundo. En la figura 7 vemos los perfiles para acordes de seis y siete notas. El eje x del perfil corresponde a la codificación de los acordes de Forte; véase [For77] para una descripción general de los mismos. En realidad, lo que importa es la forma de las curvas en los perfiles. Se puede ver que en ambos perfiles, la música de Schoenberg muestra una distribución más regular de los acordes que la música de Coltrane. Schoenberg no enfatiza ningún acorde en particular, mientras que Coltrane sí lo hace. Desde este punto de vista se puede decir que la pieza de Coltrane es más consistente macroarmónicamente que la pieza de Schoenberg. Figura 7: Cambios en las clases de alturas en La consagración de la primavera de Stravinsky (figura tomada de [Tym11]) 3. Centralidad En su libro, Tymoczko reconoce que el concepto de centralidad es elusivo. En muchos pasajes musicales se percibe una nota o una serie de notas como más estables, importantes o destacadas que otras. Es lo que llamamos el centro tonal. Esta definición, aunque popular, no es todo lo operativa que sería deseable. En parte se debe a que el concepto de centralidad comprende dos fenómenos relacionados entre sí: las notas fundamentales y la tonicidad. La nota fundamental de un acorde se suele asignar a la nota más grave del mismo cuando el acorde se dispone como una sucesión de terceras ascendentes. No en todos los contextos es así. Por ejemplo, en el siguiente pasaje vemos una serie de repeticiones de dos acordes superpuestos, do-mi-sol y fa♯-re-mi♭. En este contexto es difícil argumentar que la nota fundamental es fa♯ solo porque es la más grave. La dinámica del pasaje nos hace percibirlo como una transición desde el acorde fa♯-re-mi♭ hasta el acorde do-mi-sol. Esta situación aparece con frecuencia en la música del siglo XX. Figura 8: El problema de la determinación de la fundamental de un acorde (figura tomada de [Tym11]) En análisis musical ha empezado a usarse los perfiles de clases de alturas para representar las diferencias en importancia entre las notas de un acorde. El esquema para construir los es asignar el valor 0 a las notas fuera de la macroarmonía, 1 a las notas dentro de la macroarmonía que son centrales y 2 a las notas que sí son centrales. Por centrales aquí se quiere decir que presenta algún tipo de prominencia musical (discutiremos esto más adelante) . Por ejemplo, el perfil asociado a la música en la figura 8 sería una interpolación entre los dos perfiles siguientes: Figura 9: Perfiles de clases de alturas (figura tomada de [Tym11]) En la figura 10 se puede ver el perfil de clases de alturas para la frase inicial de la sinfonía Júpiter de Mozart. Esta distribución de alturas recuerda claramente a la de la escala de do mayor. Este tipo de histogramas reflejan, sin embargo, solo una parte del fenómeno. Es posible crear sensación de centralidad no solo en base a la repetición de notas, sino a través de otros mecanismos. Figura 10: Perfil de clases de alturas para la frase inicial de la sinfonía Júpiter de Mozart (figura tomada de [Tym11]) Tymockzko sostiene en su libro que hay dos tipos de explicaciones para la centralidad, las explicaciones externas y las internas. Las explicaciones externas identifican los mecanismos por los cuales los compositores hacen que ciertas notas sean más importantes que otras. Por ejemplo, esos mecanismos pueden ser tener notas que aparecen con más frecuencia, acentos rítmicos, dinámicos o poniendo énfasis en la textura. Las explicaciones internas, en cambio, se centran en el fenómeno y basta un análisis de la música para determinar qué notas son más importantes que otras. En las explicaciones internas se suele asumir dos principios: (1) una nota es más prominente que otra si es la más grave y forma un intervalo consonante; (2) una nota es más prominente que otra si no forma una disonancia fuerte con ninguna otra nota en la macroarmonía (como una segunda menor o un tritono). Bibliografía [For77] Allen Forte. The Structure of Atonal Music. The Yale University Press, Madison, WI, 1977. [Góm18a] Paco Gómez. La geometría de la música (iv), consultado en abril de 2018. [Góm18b] Paco Gómez. La geometría de la música (ii), consultado en diciembre de 2018. [Góm18c] Paco Gómez. La geometría de la música (iii), consultado en enero de 2018. [Góm18d] Paco Gómez. La geometría de la música (i), consultado en octubre de 2018. [Tym11] Dimitri Tymoczko. A geometry of music: harmony and counterpoint in the extended common practice. Oxford University Press, 2011. [Tym18] Dmitri Tymoczko. Página web de Dmitri Tymoczko, consultado en diciembre de 2018.

Martes, 07 de Mayo de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

158. 171. (Mayo 2019) Con dos incógnitas

Deja sobre la mesa 20 monedas y vuélvete de espaldas al espectador. Instrúyele para que retire un pequeño grupo de monedas y las guarde en su bolsillo. A continuación que cuente el número de monedas restantes, sume las dos cifras del número y retire de la mesa ese número de monedas, guardándolas también en el bolsillo. Por último, que tome otro grupo de monedas y las oculte en la mano, cerrando el puño. Cuando te vuelves de cara al espectador, cuenta secretamente el número de monedas restantes. Ya puedes adivinar el número de monedas que tiene el espectador en su puño cerrado. ¿Sabes cómo? El juego anterior fue planteado hace bastante tiempo en este rincón (número 93, abril de 2012). La explicación está basada en una sencilla regla aritmética: si se resta a un número la suma de sus cifras, el resultado es múltiplo de nueve. Así, después de la primera operación, en la mesa siempre habrá nueve monedas (salvo que el espectador haya retirado más de la mitad al principio y, cuando retire esa cantidad, no queden monedas en la mesa). En definitiva, basta contar las que quedan en la mesa para saber cuántas tiene el espectador en su mano. Otras muchas propiedades aritméticas de divisibilidad se pueden adaptar fácilmente a juegos de adivinación. Ya citamos en el número 160 de este rincón (mayo de 2018) un elaborado juego basado en las reglas de divisibilidad por siete. El más sencillo, y clásico a la vez, es el que describimos también en este rincón (número 47, febrero de 2008), aparecido en el último capítulo del libro titulado «Triparty en la science des nombres», escrito en 1484 por Nicolas Chuquet. En este juego se utilizan dos monedas y está basado en una simple propiedad de paridad: cualquier múltiplo de un número par es par y la suma de dos números pares también es par. Se puede ampliar el alcance de este juego utilizando un número mayor de monedas como propone Franka Miriam Brueckler en su artículo Guessing the numbers, el cual traducimos ahora para este rincón. Debes tener preparadas unas cuantas monedas en el bolsillo, pero también debes saber cuántas tienes. Saca del bolsillo un puñado de monedas y entrégaselas a un espectador. Pídele que esconda unas cuantas en una mano y el resto en la otra mano pero sabiendo el número de monedas que tiene en cada mano. Indica al espectador que multiplique por cuatro el número de monedas que tiene en la mano izquierda y por cinco el número de monedas que tiene en la mano derecha. Por último, que sume ambos valores y te diga el resultado. Por ejemplo, si tiene 6 monedas en la mano izquierda y 4 en la mano derecha, debe realizar las operaciones: 6 x 4 + 4 x 5 = 44. Con ese único dato, rápidamente adivinarás cuántas monedas tiene en cada mano. Es fácil comprender por qué es posible la adivinación: basta resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas pues, si llamamos X e Y al número de monedas que tiene el espectador en la mano izquierda y derecha, respectivamente, el sistema tiene la forma que vemos en la imagen siguiente donde A es el número total de monedas y B es el dato proporcionado por el espectador. También se comprende fácilmente que se pueden plantear diferentes variantes del juego, cambiando los números por los que se multiplica cada cantidad (siempre que no sean iguales ya que el sistema no tendría solución única). El hecho de que estas cantidades sean consecutivas simplifica el cálculo mental con el que se adivina la cantidad de monedas de cada mano; en el juego anterior, se ve rápidamente que B = 4X + 4Y + Y = 4A + Y. Por tanto, cuando el espectador anuncia el valor de B, basta restar B - 4A para saber cuántas monedas tiene en la mano derecha. Si tienes desarrolladas tus habilidades de cálculo mental, puedes incluso pedir a otra persona que proponga los números con los cuales multiplicar las cantidades X e Y. Esto aumentará la sensación de imposibilidad para quienes no hayan descubierto que se trata de un sistema lineal de ecuaciones. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

Miércoles, 01 de Mayo de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

159. 54. (Mayo 2019) Hegemonía del more geometrico: la esgrima

(Tratatto di scienza d´arme.  1568.  Camillo Agrippa) El Renacimiento y la imprenta van unidos para poner de manifiesto la hegemonía cultural del método matemático, utilizándolo en campos muy dispares, incluso de difícil aplicación. Son momentos de anhelos de certeza, de demostraciones indubitables que serán  buscadas en múltiples disciplinas. Todas se inspirarán en Los elementos de Euclides. El grabado de portada de la Nova scientia (1546) de Niccolo Fontana Tartaglia es muy expresivo: Euclides en la puerta del edificio de los saberes será el paso obligado a los nuevos tiempos y al conocimiento. (Nova scientia. 1546. Niccolo Tartaglia) La Ethica ordine geometrico demonstrata (1677) de Baruch Spinoza seguirá estrictamente el rigor euclídeo: el método axiomático y la demostración sintética de las proposiciones. (Ethica. 1677. Baruch Spinoza) La esgrima matemática del siglo XVI Una muestra curiosa del triunfo del modo geométrico lo encontramos en la esgrima, en el arte de la espada. Tres tratados del siglo XVI justificarán que su arte es una ciencia de rigor matemático. Cronológicamente el primer tratado del arte de la espada filosófico es italiano, el Tratatto discienza d´arme (1568) de Camillo Agrippa, pero solo un año más tarde se publicara el primer manual en castellano, Filosofía de las armas y su destreza (Sevilla, 1569) de Jerónimo de Carranza. Al finalizar el siglo se imprimirá el Libro de las Grandezas de la Espada (Madrid, 1600) de Luís Pacheco de Narváez. El tratado de Agrippa forma parte del mundo florentino de los Medicí. Las ilustraciones son suficientes para mostrar su carácter matemático al modo euclídeo. Tanto la de cabecera donde se ve a los espadachines realizar actividad geométrica como la grafía de las distintas posiciones. (Tratatto di scienza d´arme.  1568. Camillo Agrippa) De mayor interés para la cultura española es la Filosofía de las armas de Carranza, que aparecerá una y otra vez en la gran literatura del Siglo de Oro. La Filosofía de las armas es un tratado en forma de diálogo entre cinco personajes que pretende hacer ciencia a través de una gran erudición y usando tanto la Geometría como la Filosofía. A diferencia de los tratados de Agrippa y Pacheco, el libro de Carranza apenas está ilustrado. Veamos dos citas que ponen de manifiesto las intenciones: Y esta medida ha de ser por líneas con las cuales se determina la distancia larga o pequeña como se determina lo tardo o presto con el tiempo, y con ella se entiende que es Geometría, y demostraciones Mathematicas, lo cual viene a hacer ciertas las tretas de estos principios se compone, y tanto que no puede faltar los términos que se llaman los fines de cualquiera cosa, así como el punto que es término de la línea, y la línea de la superficie, y la superficie término del cuerpo. ... Yo lo dire dando os las reglas con dem[on]straciones infalibles, para que conozcays los Cuerpos en sus perfiles y posturas metidos en un quadrangulo, que agora no podreys entender del todo hasta que tengays mas conoscimiento de estos terminos, y alli por los grados conoscereys quantos tiene lo propinquo del perfil del Cuerpo, estando en postura de la linea colateral del quadrangulo y quantos de lo remoto, y conforme a la mudança de los perfiles conoscereys si fueren circunferencias la graduacion de cada una, y conforme a la passion que trae la linea del contrario, que se conosce por la figura del mouimiento podeys applicar la naturaleza de vuestra linea, para que concordando en la Armonia haga consonacia, o desviando o llegando el Cuerpo conforme a la graduacion que trae la circunferencia, o entendiendo el fin donde endereçare la espada. La portada del libro con su destacado compás pone de manifiesto el arte geométrico que el autor va a exponer. (Filosofía de las armas y su destreza.  1569-1618.  Jerónimo de Carranza) Luís Pacheco de Narváez se inspira en el trabajo de Carranza al que cita en portada y continuamente en el texto para explicar mucho más la deuda con Euclides. Como es habitual en la época, el autor es alabado por amigos y personalidades en las páginas introductorias: «Aqui lector benebolo \De verdades esplicitas\Veras demostraciones matemáticas» Canonigo de la Iglesia de Canarias Los Heroícos efectos del dios Marte \declarados por términos de Euclides. Sargento mayor Liranzo al lector. (Libro de las grandezas de la espada.  1600.  Luís Pacheco) Prólogo al lector, en el cual se prueba que la Destreza de las Armas que aquí se trata es ciencia: Figuras Geométricas, círculos, ángulos y líneas, y proposiciones de Euclides. Las referencias a las proposiciones de Euclides son frecuentes como vemos en la figura de las espadas. (Libro de las grandezas de la espada.  1600.  Luís Pacheco) La espada geométrica en la literatura del Siglo de Oro La aplicación de Los Elementos de Euclides al arte de la espada no pasó desapercibida a los autores del gran siglo literario. Cervantes, Quevedo o Espinel lo incorporan a sus obras de forma muy ambigua: entre lo admirable y lo ridículo. Miguel de Cervantes se referirá a Carranza en múltiples ocasiones: La Galatea, El licenciado vidriera, El Quijote o Los trabajos de Persiles y Segismunda. Si queréis ver en una igual balança \ al ruvio Febo y colorado Marte\ procurad de mirar al gran Carrança, \ de quien el uno y el otro no se parte. \ En el veréis, amigas, pluma y lança \ con tanta discreción, destreza y arte, \ que la destreza, en partes dividida, \ la tiene a sciencia y arte reducida. La Galatea VI Las excelencias de la espada, con tantas razones demostrativas y con tantas figuras y demostraciones matemáticas, que todos quedaron enterados de la bondad de la ciencia” El Quijote II Tocaban algo en presuntuosos, pues querían reducir [la esgrima] a demostraciones matemáticas que son infalibles los movimientos y pensamientos coléricos de sus contrario El Licenciado Vidriera En una larga cita de El Buscón quevediano se usa hasta cuatro veces el término con la burla característica del autor. También Vicente Espinel en Relaciones de la vida del escudero Marcos de Obregón (1618) se hace eco de la destreza (esgrima) como arte matemático: Procura un hombre entender por dónde camina una espada, los círculos y los medios,...hasta hacerse muy diestro. (Libro de las grandezas de la espada.  1600.  Luís Pacheco)

Miércoles, 01 de Mayo de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

160. 129. (Abril 2019) La extraordinaria…, la ingeniosa… y la incansable…

El Núcleo Milenio Modelos Estocásticos de Sistemas Complejos y Desordenados es un centro de investigación dedicado al estudio de la teoría matemática de probabilidades. Está integrado fundamentalmente por investigadoras e investigadores procedentes de la Pontificia Universidad Católica de Chile y de la Universidad de Chile. Desde el año 2016 este centro ha lanzado una serie de cuentos que buscan “sensibilizar a la sociedad sobre aspectos relevantes de las matemáticas, reducir los efectos de estereotipos negativos hacia el desempeño de las mujeres en la ciencia y, por último, fomentar la cultura científica y la lectura desde edades tempranas”. De momento, esta serie consta de tres títulos, pensados para edades comprendidas entre los 6 y los 10 años. Pueden verse online o descargarse gratuitamente en formato pdf en este enlace. Debajo se dan unas breves pinceladas sobre los tres libritos. La extraordinaria Emmy Noether: con dibujos y textos de la ilustradora y autora de libros para niñas y niños Paloma Valdivia. Además de las dificultades en su vida –fundamentalmente por ser mujer y judía en la Alemania de principios del siglo XX– el cuento repasa algunas de las aportaciones matemáticas de Emmy Noether (1882-1935). El cuento alude, por ejemplo, a su colaboración con los matemáticos David Hilbert y Felix Klein en problemas relacionados con la teoría de la relatividad de Albert Einstein o a que sus matemáticas, aunque abstractas, tuvieron repercusiones muy relevantes en fisica. La ingeniosa Maryam Mirzakhani: con dibujos de Paloma Valdivia, textos del escritor y periodista Matías Celedón, y revisión de los contenidos científicos del matemático Gregorio Moreno. La narración comienza cuando Maryam Mirzakhani (1977-2017) era una niña que leía con pasión y soñaba con ser escritora. Al principio no se le daban demasiado bien las matemáticas, pero gracias a una profesora que confío en ella y a su amiga Roya, se enamoró de esta materia. El cuento alude a su trabajo en superficies hiperbólicas en los comienzos de su investigación, a su costumbre de ‘dibujar garabatos’ para centrarse en el problema en el que estaba pensando, y en los problemas de billares en los que también investigó. Por supuesto también se alude al galardón que recibió en 2014: la Medalla Fields, siendo Maryam la primera mujer en obtenerlo. La incansable Olga Oleinik: con dibujos de las ilustradoras Magdalena Pérez y Paloma Valdivia y los textos de la profesora de literatura Mónica Bombal y el matemático Gregorio Moreno. La narración comienza hablando de la situación de guerra en Ucrania, en el momento en el que nació Olga Arsenievna Oleinik (1925-2001). Cuando el ejército alemán invadió el lugar en el que vivía, la familia tuvo que huir para trasladarse a los Urales. También evacuaron a esa zona al Departamento de Física y Matemáticas de la Universidad Estatal de Moscú y así, de manera totalmente inesperada, Olga pudo estudiar con los más destacados científicos rusos. En la época de la Guerra Fría, ya en Moscú, pudo completar su tesis doctoral sobre ecuaciones en derivadas parciales: su director fue Ivan Georgevic Petrovsky. Escribió más de 350 artículos de investigación y tutorizó más de 50 tesis doctorales, además de colaborar con científicas y científicos de otros muchos países.   Nota 1: Parece que llegarán al menos otros dos cuentos dedicados a las matemáticas Sofia Kovalévskaya y Sophie Germain… ¡Los esperamos con muchas ganas! Nota 2: Este artículo se ha elaborado a partir de los contenidos del blog “Mujeres con ciencia”: La extraordinaria Emmy Noether La ingeniosa Maryam Mirzakhani La incansable Olga Oleinik

Martes, 16 de Abril de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico