141. 57. (Noviembre 2019) Presencia del cuboctaedro

(Cuboctaedro vacío y rama de higuera. Museo de la Opera del Duomo, Pisa) El cuboctaedro es quizá el sólido arquimediano que se obtiene con más facilidad. Truncando los ocho vértices de un cubo hasta conseguir las seis caras cuadradas y los ocho triángulos equiláteros. Por truncación del octaedro obtendremos lo mismo pero partiríamos de un sólido menos habitual. Los vértices del cuboctaedro son la disposición de uno de los dos empaquetamientos óptimos de esferas: el sistema cúbico centrado en las caras. Si estrellamos un octaedro con ocho tetraedros se observa como aparece la atractiva macla de dos tetraedros de arista doble.  Uniendo los vértices de las estrellas se obtiene un cubo. ¡y juntando los cubos para teselar el espacio nos encontramos el cuboctaedro! El dual del arquimediano es el dodecaedro rómbico, el sólido de Catalá que rellena el espacio.  Jugando con imanes o gominotas encontramos otras deliciosas relaciones: el octaedro es el poliedro que se obtiene uniendo los puntos medios de las aristas del tetraedro o que aparecen hexágonos regulares cambiando el punto de vista. Estos hexágonos explican porque el cúbico centrado en las caras y el hexagonal compacto tienen la misma ocupación óptima: uno posee simetría central y otro especular respecto al plano del hexágono, El juego se puede ampliar observando como las doce aristas de un cubo  son  diagonales de las doce caras tanto del dodecaedro regular como del rómbico. Cuboctaedro de pirita El disulfuro de hierro II, la pirita, FeS2, es un mineral muy extendido, fácil de encontrar y barato de adquirir. Su aspecto metálico, plateado y reflectante no puede dejarnos indiferentes. Los cubos de pirita suelen ser el comienzo de toda colección de minerales El sistema en el que cristaliza la pirita es el cúbico. Microscópicamente estamos ante una maya cúbica por lo que encontrar octaedros, dual del cubo es previsible, lo que no lo parece tanto son los poliedros mayores como el icosaedro, el dodecaedro pentagonal (piritoedro) o la cruz cóncava.  Tampoco puede faltar en este mineral tan platónico el cuboctaedro. (Forma cuboctaédrica de pirita) Cuboctaedros en los dados y la orfebrería La representación más antigua que hemos encontrado del cuboctaedro ha sido en un dado romano del Museo Nacional Romano en Mérida. Entre otros dados cúbicos se puede ver uno con sus seis cuadrados y ocho triángulos. Se trata de una opción curiosa pues la probabilidad de una cara triangular no llega al 40% de la cuadrada pero siempre quedaran las opciones de apuestas o de uso para avance o retroceso en juegos de tablero. (Dado cuboctaédrico.  Museo Nacional Romano.  Mérida) De igual forma encontramos cuboctaedros en la joyería medieval. Sirvan de muestra los pendientes ostrogodos de Turín o el collar del Museo de Notre Dâme en París. (Collar cuboctaédrico.  Museo de Notre Dâme. París) (Pendientes cuboctaédricos.  Galería Sabauda . Turín) Cuboctaedros en los enrejados Una forma de evitar la pesadez del cubo o evitar los agresivos vértices y seguir manteniendo las tres caras perpendiculares es recortar las esquinas. El cuboctaedro encuentra así su lugar en la rejería: podemos velos en las protecciones del Banco de Grecia o en el Albert Memorial de Londres. (Reja del Banco Nacional. Atenas) El templete neogótico en memoria de Alberto de Sajonia, consorte de la reina Victoria, fue levantado tras su fallecimiento en 1861. La construcción se realiza uno de los momentos de máximo poder colonial de Inglaterra, de forma que las alegorías de los Continentes se juntan con las Artes y las Ciencias, parte obligada de la justificación imperial. Las alusiones a las matemáticas son múltiples. El propio Alberto está rodeado por una alegoría de la Geometría y otra de la Astronomía adosadas a las dos columnas frontales del templete. La Geometría se representa con tablilla y compás. En el friso de la parte de atrás se pueden ver varios personajes usando el compás como el arquitecto Paladio. En la parte delantera nos encontraremos con Pitágoras conviviendo con personajes intemporales de la república de las letras como Dante. Incluso entre los mosaicos nos encontramos con el aprendizaje de la geometría. La valla protectora del monumento está ornada con cuboctaedros decorados. (Adorno de las rejas. Albert Memorial. Londres) El cuboctaedro en la taracea de madera La intarsia lígnea del Renacimiento es el lugar privilegiado de los poliedros tras los trabajos de Piero de la Francesca y Leonardo da Vinci. Encontraremos el cuboctaedro en los primeros trabajos de perspectiva como el panel de Filippo da Serravallino con cuboctaedro vacío que se encuentra en el Museo de la Opera del Duomo de Pisa, un panel de la sacristía de Fra Giovanni de Verona en la iglesia olivetana de Santa Maria in Organo de su ciudad natal, en una de las puertas alemanas del Monasterio de San Lorenzo de El Escorial o en el atril del escritorio alemán del Museo de Bellas Artes de Bilbao. (Atril del escritorio alemán.  Museo de Bellas Artes. Bilbao) (Fra Giovanni, Santa Maria in Organo. Verona) El cuboctaedro vacío en la escultura El mausoleo de Sir Thomas Gorges (1536-1610), sobrino de Ana Bolena y persona muy influyente en su época, situado en la Catedral de Salisbury, también utiliza el cuboctaedro alternándolo con los icosaedros y con un dodecaedro coronando el conjunto. (Mausoleo de Sir Thomas Gorges. Catedral de Salisbury.) El cuboctaedro en la pintura Para finalizar con la pintura: el cuboctaedro también se puede ver en los frescos decimonónicos de la planta noble del Rijksmuseum de Ámsterdam, relacionándolo con el aprendizaje de las matemáticas. (Rijksmuseum. Ámsterdam)

Viernes, 01 de Noviembre de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

142. 101. (Octubre 2019) Serialismo y matemáticas (II)

1. Introducción Este artículo es el segundo de la colección Serialismo y matemáticas. Las músicas serialistas son aquellas que permiten construir castillos con un solo grano de arena: una serie particular, una permutación de notas, dinámicas o timbres. La serie se coloca en la obra secuencialmente, siempre igual o con alguna modificación que la adorne. Y es que para esta música, la serie es el ladrillo y las matemáticas son la pintura con la que decorarlos, ya que las transformaciones que se le puede aplicar a una serie forman preciosas estructuras matemáticas enmarcadas en la Teoría de Grupos. En el primer artículo7 nos centramos en el dodecafonismo, en sus orígenes y en comentar una de sus obras. En este segundo artículo, ampliaremos las definiciones dodecafónicas para descubrir bajo ellas, con ayuda de diagramas, el grupo diédrico (sección 2); y contaremos quiénes fueron los discípulos y sucesores de Schoenberg y cómo provocaron la creación del serialismo integral (sección 3). Más adelante proporcionaremos las herramientas matemáticas para después contar el número de espectros seriales que un compositor puede utilizar. En definitiva, haremos un recorrido a fondo por el serialismo y exploraremos sus posibilidades musicales y matemáticas. 2. El grupo de las transformaciones 2.1. Nuevas definiciones y nuevas transformaciones Como vimos en el anterior artículo7, las fórmulas de las transformaciones dodecafónicas habituales son: I(σ(m)) = -σ(m) + 2σ(0) Tk(σ(m)) = σ(m) + k R(σ(m)) = σ(-1 - m) Sin embargo, la importancia de estas definiciones radica en qué espectro serial forman, y no en cómo se nombra cada serie específica. No importa si la segunda serie que se usa en una obra se llama I6 o RI10, sino cuál es y qué relación tiene con la primera. La nomenclatura no es distinguible a un nivel auditivo, pero es, sin embargo, una útil herramienta para la teoría musical. Es por ello por lo que la forma en la que se nombran las series tiene relevancia y debería ser un reflejo de lo que significan. Aun así, sigue sin haber un convenio predominante y, de hecho, hay al menos dos que se usan a menudo. El primero, el método tradicional, se ha usado desde al menos 1945. El segundo, el método de tonos absolutos, fue concebido por George Perle6 en su libro Twelve-Tone Tonality en 1977. En el método tradicional, T0 se usa para la primera serie que se encuentra en la composición; es decir, es la serie original. En cambio, el método de tonos absolutos nombra las series T basándose solamente en la nota en la que comienzan: T0 se usa para la serie que comienza por un do, T1 para el re, y así sucesivamente. En ambas, las series transpuestas k semitonos de T0 —sea cual sea esta— se nombran como Tk. La composición de esta con otra función Ψ se escribe como Ψk. Estas nomenclaturas no caracterizan adecuadamente el objeto matemático que deben representar, es decir, funciones aplicadas a las series. Son nombres arbitrarios que además producen ambigüedad al añadir otras funciones —por ejemplo, si no conmutan— o al intentar describirlo matemáticamente. Es por ello por lo que en este texto se usa la composición de funciones como convenio de notación. En todo caso, cualquier convenio tendrá fórmulas distintas al resto, pero todas preservan el material compositivo de la obra. Eso quiere decir que se pueden redefinir algunas de las transformaciones siempre que preserven el sentido musical. Por ejemplo, la inversión puede prescindir de ser transportada para que la primera nota coincida con la original. Para distinguirla de la primera definición, ésta se llamará S de simetría: S(σ(m)) = -σ(m). E igual que la inversión es el cambio de signo por fuera, la retrogradación puede convertirse simplemente en el cambio de signo por dentro. Ésta se llamará V de volteo: V (σ(m)) = σ(-m). Así quedan dos transformaciones que se asemejan a reflexiones: una por dentro y otra por fuera; y una adición por fuera. Aquí dentro significa antes de aplicar σ y fuera significa después de aplicar σ, ya que no se debe olvidar que σ, la permutación, es una función en sí misma. Y ahora surge una cuestión natural: ¿cuál sería entonces el resultado de sumar dentro, es decir, antes? Esta nueva transformación, cuya aparición resulta natural tras las otras tres, se llama desplazamiento cíclico. Inventada y usada por Alban Berg2 —de quien se hablará en la sección 3— y en algunas de las primeras obras de Schoenberg, Ck desplaza el comienzo de la serie k posiciones más allá: La serie 4-cíclica sobre la permutación P de la Suite Op. 25 es la siguiente serie C4: Si no se añade la transformación C, entonces V no conserva el espectro serial de ; pero si se añade sí se conserva ya que V es composición de C y R. En resumen, se puede trabajar con un nuevo sistema de definiciones que mantienen el significado musical del serialismo, pero varían la notación con la que se trabaja. Estas son las nuevas fórmulas de las transformaciones: S(σ(m)) = -σ(m) V (σ(m)) = σ(-m) Tk(σ(m)) = σ(m) + k Ck(σ(m)) = σ(m + k) 2.2. Diagramas de reloj Para visualizar mejor cómo actúan las distintas transformaciones, las series se pueden representar mediante diagramas de reloj3: una sucesión de aristas con una orientación establecida que conecta los vértices de un dodecágono en el orden de la serie. Ya que el desplazamiento cíclico actúa como si la serie fuese circular, hay una arista extra que une la última nota a la primera. El comienzo de la serie y su orientación se marcan con una flecha. Arriba se incluye el diagrama de la serie original σ de la Suite Op. 25. Se pueden distinguir las características de la serie, como las tres diagonales, que son los tres intervalos de tritono. A continuación se incluyen los diagramas de las transformaciones dodecafónicas originales: la transposición, la inversión y la retrogradación; así como el nuevo desplazamiento cíclico. La transposición es una rotación en el sentido en el que apunta la flecha; la inversión es una reflexión con el eje de simetría en la diagonal que pasa por la flecha; la retrogradación es un cambio de orientación de la flecha; y el desplazamiento cíclico es el avance interno de la flecha por el recorrido de la serie. La diferencia entre las inversiones I y S es precisamente la transposición de 2σ(0) = 8 semitonos en este ejemplo. Comparando S con T0 se puede además observar que S es una reflexión con el eje de simetría en 0, en vez de que el eje dependa de la propia permutación. Por otro lado, la comparación entre las retrogradaciones R y V muestra que, aunque en principio más arbitraria, V es una transformación más natural, ya que deja fija la flecha. La diferencia entre ellas es en realidad un desplazamiento cíclico de -1. He creado una página interactiva que genera diagramas de reloj de cualquier serie para cualquier longitud serial, además de generar series aleatorias. También se pueden aplicar las transformaciones a la serie, tanto las originales como las del nuevo sistema, para ver cómo se comporta el diagrama. Está escrita en Elm y el código puede encontrarse en https://gitlab.com/dodecafonismo/diagramas. En el enlace https://diagramas.netlify.com se accede a la aplicación web. Sus instrucciones de uso se encuentran al final de la página. Además, he creado un comando en LATEX que dibuja estos diagramas dada su serie, y opcionalmente su nombre y el número que está arriba: y en este caso up=4 no es necesario, ya que por defecto se coloca arriba la primera nota de la serie. El comando se encuentra en el paquete de LATEX ddphonism, disponible en el enlace https://www.ctan.org/pkg/ddphonism. 2.3. El grupo: D12 × D12 El conjunto de transformaciones está compuesto por dos parejas con semejanzas entre sí. S es una reflexión y T una rotación de orden 12 —es decir, que al aplicarla 12 veces se vuelve a la identidad— y ambas se aplican a la figura entera; es como mover el diagrama por el papel. En cambio, V es una reflexión de la flecha en sí, y C una rotación —también de orden 12— de la flecha sobre la línea; ambas aplicadas al interior de la figura. Cada pareja genera un grupo muy conocido: el grupo diédrico o diedral. Se denota por D12 y representa el grupo de simetrías de un polígono regular; en este caso, un dodecágono. En otros ámbitos, Dn también se denota por D2n, ya que 2 * n es el número de elementos que tiene el grupo. Por ejemplo, aquí se muestran todas las simetrías de un octógono, que son los 16 elementos de D8, aplicados a una señal de STOP. De igual manera, el conjunto de series de un espectro serial se consigue aplicando a la serie las distintas funciones transformativas; se obtiene entonces un grupo diédrico para ambas parejas de funciones. Al haber dos parejas distintas que actúan por separado dentro y fuera de la figura, el grupo completo que forman las cuatro transformaciones es el producto directo de dos copias del diédrico: D12 × D12. Podemos observarlo claramente si representamos la serie de una segunda forma: como la correspondencia entre vértices de dos dodecágonos. La serie original, que es en realidad una permutación de 12 elementos, se representa como una función: los vértices del dodecágono interno se envían biyectivamente a los vértices externos. Así, m→σ(m). Este diagrama es similar al matricial pero enroscado en sí mismo, de tal forma que se aprecia la permutación escogida mediante las flechas, que son fijas, y facilita un significado del antes y el después de aplicarla. Las dos primeras figuras describen esto mismo: la representación de la serie original y la representación de la permutación mediante las flechas, que se mantendrán constantes en el resto de figuras. Las cuatro siguientes figuras representan las cuatro funciones transformativas, que son en realidad la reflexión y la rotación del grupo diédrico de cada dodecágono. Aplicarlo al de dentro es aplicarlo antes de las flechas; antes de la permutación. Aplicarlo fuera es transformar después de las flechas; después de la permutación. He creado un comando en LATEX que dibuja estos diagramas diédricos dada su serie original y las funciones aplicadas a ella: t, s, c y v. Se aplican en ese mismo orden, y por defecto están a 0. El comando se encuentra en el paquete de LATEX ddphonism, disponible en el enlace https://www.ctan.org/pkg/ddphonism. 2.4. Conmutatividad entre los elementos del grupo La rotación, r, y la reflexión, s, de un grupo diédrico no conmutan, sino que cumplen la relación r ⋅ s = s ⋅ r-1. Por otro lado, en los productos directos los elementos de un lado conmutan con los del otro. Así, y no conmutan, pero el resto de parejas sí. La verificación de estas afirmaciones, que confirman que el grupo generado es D12 × D12, se encuentran a continuación: Volviendo a las definiciones originales , su estructura interna es bien distinta. El problema de I es que depende de la permutación escogida, por lo que a veces tiene unas propiedades y a veces otras. En cambio, la definición de V con respecto a R es meramente estética: ya que no depende de la permutación, su conmutatividad se mantiene invariante. Viendo cómo conmutan los elementos de este sistema se aprecia la dificultad de I. Curiosamente, la conmutatividad de e se pierde, pero se gana la de . Así, T conmuta con todo en el sistema. Esto muestra una ventaja de la definición de I. Los únicos casos en los que podrían conmutar ocurrirían cuando Es decir, cuando la primera y la última nota de la serie original se distancian en 6 semitonos, como es el caso de la permutación en la Suite Op. 25: Los únicos casos en los que podrían conmutar son cuando Es decir, cuando la primera y la segunda nota de la serie original se distancian en 6 semitonos. Si se echan las cuentas con Ck en vez de con C1, pueden conmutar si σ(k) - σ(0) = 6. Como σ es una permutación, devuelve todos los valores de 0 a 11 y solamente una vez cada uno. Por tanto, también devuelve 6 + σ(0), así que siempre existe un único k para el que I y Ck conmutan. En el caso de la permutación de la Suite Op. 25, como σ(0) = 4 hay que encontrar el k para el que σ(k) = 4 + 6 = 10. En este caso, k = 11, pero depende por completo de la permutación original. 3. El surgimiento del serialismo integral 3.1. Alban Berg y Anton Webern: la Segunda Escuela de Viena Además de Schoenberg, hubo dos compositores más que contribuyeron al desarrollo del dodecafonismo y que demostraron con sus diferentes estilos la versatilidad del sistema. Éstos fueron los discípulos de Schoenberg: Alban Berg y Anton Webern. El maestro y sus dos alumnos formaron la autodenominada Segunda Escuela de Viena, llamada así en honor a los miembros de la Primera: Haydn, Mozart y Beethoven. Aparte del hecho de que Schoenberg, Berg y Webern nacieron y se formaron en Viena, el nombre también simboliza su autoproclamación como herederos legítimos de la tradición musical alemana proveniente del siglo XVIII. La Segunda Escuela de Viena formó parte de las vanguardias artísticas europeas, opuestas a la tendencia neoclásica que seguían Stravinsky o Prokofiev, entre otros, en aquel periodo. Los tres integrantes siguieron carreras compositivas similares en cuanto a estilo y concepción artística: una época tonal, una ruptura atonal y un desarrollo dodecafónico. Con el ascenso del nazismo, Schoenberg, que era judío, se vio obligado a exiliarse a Estados Unidos. Sus discípulos se quedaron en Austria, pero pasaron penurias económicas debido a la censura impuesta por el gobierno: la música dodecafónica se descalificó como Entartete Kunst5 (“arte degenerado”). Figura 1: Alban Berg (1885—1935); figura tomada de Deutsche Welle. Alban Berg se centró en la efusión emocional y el interés por lo humano, utilizando el método dodecafónico libremente y acercándose a formatos tonales. Su etapa atonal fue especialmente relevante, ya que compuso entonces su primera obra dramática, Wozzeck (1925). Es una ópera basada en la pieza teatral de Georg Büchner, en la cual Berg plasmó parte de sus propias experiencias como soldado en la Primera Guerra Mundial. Su segunda ópera, Lulú, quedó inconclusa debido a su muerte por septicemia en 1935, a los 50 años. A continuación el lector podrá escuchar parte de Und ist kein Betrug, la primera escena del tercer acto de Wozzeck: Anton Webern fue un compositor más riguroso en cuanto a las formas, siempre leal al sistema dodecafónico y a su maestro. Se deleitaba en los procedimientos formales más sutiles, aquellos que solo podían ser descubiertos al estudiar detenidamente la obra. Esto quedó reflejado en su dodecafónico Concierto para 9 instrumentos, op. 24 (1934), cuya serie está construida por segmentos derivados de las tres primeras notas de la obra. Además, muestra tendencias a asignar duraciones, timbres y articulaciones a segmentos aislados, lo que más tarde inspiraría el serialismo integral. A continuación el lector podrá escuchar el Concierto op. 24: Durante la ocupación de Viena, Webern salió de su casa una noche tras el toque de queda, y un soldado norteamericano, probablemente en estado de embriaguez, lo mató a tiros. Así, Schoenberg, el maestro y el más mayor de los tres, sobrevivió a sus dos alumnos exiliado en Estados Unidos. 3.2. La escuela de Darmstadt Tras la Segunda Guerra Mundial, el mundo artístico estaba totalmente destruido. La violencia, la censura y la incomunicación habían impedido cualquier posible desarrollo creativo, y los artistas de la generación anterior se habían aislado, exiliado o habían fallecido. Volver a construir los pilares del arte era el cometido de la nueva generación de artistas, quienes compartían la sensación de que el mundo había renacido tras la tragedia. En 1946 se crearon los Cursos de Verano de Darmstadt, fundados por Wolfgang Steinecke y patrocinados por las fuerzas americanas, con el objetivo de retomar la actividad musical en la Alemania de la posguerra. Se centraron en dar a conocer las técnicas compositivas de las generaciones anteriores. Aunque el primer año estuvo enfocado en el movimiento neoclásico, fue en los años posteriores cuando se desarrolló un mayor interés por las técnicas serialistas. Los cursos resultaron en la aparición de una nueva escuela de compositores cuya finalidad artística era crear un lenguaje musical distinto y alejado de la tradición para, de esta forma, obtener una mayor libertad compositiva. Como dijo Karlheinz Stockhausen: Los métodos nuevos cambian la experiencia, y las experiencias nuevas cambian al hombre. Stockhausen en el documental autobiográfico Tuning In4. Esta escuela tomó el nombre de la ciudad donde se realizaban los cursos: se llamó la Escuela de Darmstadt. El término fue acuñado por el compositor Luigi Nono en una de sus clases magistrales en 1957, y con él se describía a sí mismo y a sus compañeros compositores: Pierre Boulez, Karlheinz Stockhausen y Bruno Maderna. Para estos compositores, la tradición artística estaba demasiado relacionada con los fracasos políticos y las penurias sociales pasadas, y precisamente por ello creían necesario romper con todos los vínculos heredados. Sin embargo, para crear aquel nuevo lenguaje no tomaron como referencia el dodecafonismo de Schoenberg, ya que él veía su sistema como parte de la tradición musical, como un elemento más en la evolución de la música. Se centraron, en cambio, en la formalidad y abstracción del serialismo de Anton Webern, y desarrollaron a partir de sus métodos el denominado serialismo integral. Figura 2: Anton Webern (1883—1945); figura tomada de France Musique. Para la Escuela de Viena el estilo compositivo de Webern era tan solo un posible enfoque del amplio abanico que abarcaba el dodecafonismo, pero en Darmstadt se consideró un avance de este. El serialismo integral es un sistema de composición musical que predetermina los materiales compositivos —la melodía, la armonía, el ritmo, el timbre— a partir de la ordenación serial de los diferentes parámetros musicales: alturas, intensidades, duraciones, ataques o instrumentos, entre otros. Es un desarrollo del serialismo dodecafónico de Schoenberg, que serializa solamente las alturas, hacia los demás parámetros sonoros. Tiene, por tanto, un alto grado de planificación pre-composicional: se pretende que la determinación compositiva sea absoluta; y se tiende al automatismo del arte y sus formas, alejándolo de cualquier evocación decimonónica. Desde sus comienzos, el serialismo integral suscitó numerosas críticas, incluso desde el propio colectivo vanguardista. Una de ellas fue la falta de elección del intérprete a la hora de transmitir la obra. El intérprete serialista debe reproducir con total exactitud cada detalle de la partitura, y, por tanto, no puede aportar carácter alguno. Otra de las críticas más extendidas fue la incapacidad para interpretar estas obras correctamente debido a su complejidad técnica. Además, los detalles que precisamente las hacen complejas son, en su mayor parte, inapreciables por parte del oyente. 3.3. Pierre Boulez El compositor que creó y utilizó por primera vez el serialismo integral, además de instruirlo y difundirlo a los demás compositores de Darmstadt, fue el compositor francés Pierre Boulez. Otros músicos habían compuesto obras con tendencias serialistas y elementos predeterminados, como Olivier Messiaen en Mode de valeurs et d’intensités, pero fue Boulez quien sentó sus bases y su técnica. De hecho, los compositores precedentes influyeron prominentemente en la música de Boulez gracias a las clases impartidas en los cursos de Darmstadt. Figura 3: Pierre Boulez (1925—2016); figura tomada de Kultur im Radio. Boulez consideraba necesaria y evidente la extensión de elementos a predeterminar más allá de la melodía, y le parecía incoherente el sistema dodecafónico de Schoenberg, que para él estaba incompleto. En su controvertido ensayo Schoenberg ha muerto1, publicado un año después de la muerte del compositor, comentó: En primer lugar, la exploración del campo serial ha sido conducida unilateralmente: allí falta el plano rítmico, e incluso el plano sonoro propiamente dicho: las intensidades y los ataques. […] Pero la causa esencial de su fracaso reside en el desconocimiento profundo de las FUNCIONES seriales propiamente dichas, las funciones engendradas por el principio mismo de la serie. Es decir, que para ampliar el concepto de serialismo se debía primeramente conocer el fundamento matemático de las series y sus funciones transformativas. Además de ser músico y compositor, Boulez había estudiado matemáticas, lo que le llevó a querer analizar matemáticamente el sistema compositivo y generalizarlo para series de longitudes arbitrarias. Para él, el serialismo no debía ser un mero recurso compositivo, sino la ley que rige todos los elementos de la obra. De hecho, más adelante en su ensayo declaró: […] desde el descubrimiento de la Escuela de Viena, todo compositor alejado de los experimentos seriales ha resultado inútil. Su obra Structures I (1952), para dos pianos, fue compuesta siguiendo las técnicas de serialismo integral: tiene series de doce alturas, doce ataques, doce duraciones y doce tipos dinámicos, aunque más tarde reduciría algunas a diez. A continuación el lector podrá escuchar Structures I: Bibliografía [1] Pierre Boulez. Schoenberg is dead, 1952. Publicado en la revista The Score originalmente; consultado en agosto de 2019. [2] David John Headlam. The Music of Alban Berg. Composers of the twentieth century. Yale University Press, 1996 . [3] David J. Hunter and Paul T. von Hippel. How Rare Is Symmetry in Musical 12-Tone Rows? The American Mathematical Monthly, 110:124–132, 02 2003. [4] Robin Maconie. Tuning In — A Film about Karlheinz Stockhausen, 1981. Producido por Barrie Gavin para la serie de BBC “Horizon”. [5] Vicent Minguet. Las reglas de la música y las leyes del Estado: la “Entartete Musik” y el Tercer Reich. Quodlibet: revista de especialización musical, 69:9–29, 2018. [6] George Perle. Twelve-tone Tonality. University of California Press, 1977. [7] Celia Rubio Madrigal. Serialismo y matemáticas - I, septiembre de 2019 .

Miércoles, 09 de Octubre de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

143. 144. Hasta Tony Stark ha aprendido matemáticas

Considerada por sus fans la mejor película Marvel hasta la fecha, e incluso para algunos la mejor de la historia, recurre a las matemáticas y la física para justificar su (¿novedoso?) argumento. Adelanto que no soy muy fan del universo Marvel, y en su momento (de más joven) a lo más leí algún tebeo de Spiderman de la editorial Vértice. Eso sí, el tener un chaval de doce años ha provocado que me haya tragado creo que todas las películas estrenadas hasta la fecha (en pantalla pequeña por supuesto; bastante tengo ya con pagarle la entrada a él cuando va con sus amigos al cine para ese tipo de películas). El caso es que fue al cine a ver Vengadores: Endgame el viernes de su estreno mundial (de la que salió encantado, por cierto, y con la ilusión de que yo la viera). Tras algo de resistencia (no mucha la verdad: cuanto antes se pase por lo inevitable, mejor), a finales del verano nos pusimos a verla en DVD. Lamentablemente la tuvimos que ver de tres veces (dura casi tres horas) porque al niño le empieza a molestar que el padre se duerma durante el visionado de “las películas que él elige” (será la edad; a veces también me sucede en las que elijo yo). Bueno pues, mira tú por donde, en una escena, como hace frecuentemente el cine, se recurre a las matemáticas y la física para dar un barniz de verosimilitud a algo completamente descabellado (será por aquello de que como tampoco las entiende nadie, pues cuela). Empecemos con los datos técnicos: Ficha Técnica: Título: Vengadores: Endgame. Título Original: Avengers: Endgame. Nacionalidad: EE.  UU., 2019. Dirección: Anthony Russo y Joe Russo. Guion: Christopher Markus y Stephen McFeely, basado en los comics de Stan Lee, Jack Kirby y Jim Starlin. Fotografía: Trent Opaloch, en Color. Montaje: Jeffrey Ford y Matthew Schmidt. Música: Alan Silvestri. Duración: 181 min. Ficha artística: Intérpretes: Robert Downey Jr. (Tony Stark / Iron Man), Chris Evans (Steve Rogers / Capitán América), Mark Ruffalo (Bruce Banner / Hulk), Chris Hemsworth (Thor), Scarlett Johansson (Natasha Romanoff / Viuda Negra), Jeremy Renner (Clint Barton / Ojo de halcón), Don Cheadle (James Rhodes / Máquina de guerra), Paul Rudd (Scott Lang / Ant-Man), Benedict Cumberbatch           (Doctor Extraño), Chadwick Boseman (T'Challa / Pantera Negra), Brie Larson (Carol Danvers / Capitana Marvel), Tom Holland   (Peter Parker / Spider-Man), Karen Gillan (Nebula), Zoe Saldana (Gamora), Evangeline Lilly (Hope Van Dyne / Avispa), Rene Russo (Frigga), Elizabeth Olsen (Wanda Maximoff / Bruja Escarlata), Natalie Portman (Jane Foster), Marisa Tomei (Tía May), Angela Bassett (Ramonda), Michael Douglas (Hank Pym), Michelle Pfeiffer (Janet Van Dyne), William Hurt (Secretario de Estado Thaddeus Ross), Gwyneth Paltrow (Pepper Potts), Robert Redford (Alexander Pierce), Josh Brolin (Thanos), Chris Pratt (Peter Quill / Star-Lord), Samuel L. Jackson (Nick Fury). Sinopsis: Después de los devastadores sucesos ocurridos en Vengadores: Infinity War, el universo se encuentra en ruina total. Con ayuda de los aliados supervivientes, los Vengadores intentarán revertir el caos provocado por Thanos con la destrucción de las gemas del infinito y así restaurar el orden del Universo. Referencias cinematográficas y literarias Desde luego la solución encontrada para lograrlo no se puede decir que sea demasiado original: viajar en el tiempo, en este caso retroceder en él hasta el momento en que las gemas aún eran una realidad. De ello se encargará el superhéroe correspondiente. Los propios guionistas se percatan de que esto ya está bastante manido en el cine (por supuesto, los jóvenes que van a ver la película no tienen ni idea del asunto y aunque la tuvieran les da lo mismo). Sin embargo, por si hubiera algún despistado por la sala (o algún adulto acompañante que hubiera visto o leído algo del tema), intentan dar una explicación “novedosa y científica”, que comentaremos en el siguiente párrafo. Se permiten el lujo de cachondearse incluso (lo mencionan explícitamente) de películas basadas en los viajes en el tiempo como la saga de Regreso al futuro (Back to the future, Robert Zemeckis, EE. UU. 1985): ¿Me estás diciendo en serio que tu plan para salvar el Universo se basa en Regreso al Futuro? Posteriormente, califican la idea de esta película como “montón de mierda” (textual), y sin embargo cuando Ojo de Halcón prueba la solución que ha puesto en práctica Hulk (no olvidemos que Bruce Banner es un científico), “aterriza” en un granero, lo mismo que Marty McFly precisamente en una de las películas de Regreso al Futuro. Uno de los “escasos” (para mi) alicientes de la película consiste en descubrir las innumerables referencias que se dan a otras películas. Citaré sólo algunas porque hay un montón. Algunas son citadas explícitamente por los Vengadores cuando intentan resolver el problema del viaje en el tiempo mediante la opción de Hulk: La saga Star Trek, el mogollón de referencias cinematográficas al relato La máquina del tiempo de H. G. Wells, de la cual yo me quedo (Ay, ¡qué mayor me estoy haciendo! En realidad, soy de la misma quinta que Tony Stark/Robert Downey Jr.) con El tiempo en sus manos (The Time Machine, George Pal, EE. UU., 1960). Pero es que se citan expresamente (lástima que varias no se han doblado al castellano con sus títulos de las versiones españolas; esto se pierde en el doblaje porque en la versión original, el espectador las reconoce inmediatamente; bueno, el espectador freakie yanqui, porque todas son norteamericanas/anglosajonas) Los pasajeros del tiempo (Time After Time, Nicholas Meyer, EE. UU., 1979), En algún lugar del tiempo (Somewhere in Time, Jeannot Szwarc, EE. UU., 1980), Terminator (The Terminator, James Cameron, EE. UU., 1984), la serie de televisión A través del tiempo (Quantum Leap, creada por Donald P. Bellisario, EE. UU., 1989 – 1993), Las alucinantes aventuras de Bill y Ted (Bill & Ted's Excellent Adventure, Stephen Herek, EE. UU., 1989), Policía en el tiempo (Timecop, Peter Hyams, EE. UU., 1994), Una grieta en el tiempo (A Wrinkle in Time, John Kent Harrison, Canadá, 2003) (reciente versión para cine: Un pliegue en el tiempo (A Wrinkle in Time, Ava DuVernay, EE. UU., 2018), Jacuzzi al pasado (Hot Tub Time Machine, Steve Pink, EE. UU., 2010). Se ve que a los Vengadores les mola el cine un montón. Incluso hay una cita, que no se sabe si es pura equivocación (no creo), o un guiño a que el que lo dice no está muy puesto en esto del cine (idéntico a como hace Woody Allen en Granujas de medio pelo (Small Time Crooks, Woody Allen, EE. UU., 2000) cuando hace a los protagonistas confundir La isla del tesoro con El tesoro de Sierra Madre), citando Jungla de cristal (Die Hard, John McTiernan, EE. UU., 1988) como ejemplo de viaje en el tiempo (todo el mundo que la haya visto sabe que en ella no hay nada de viajes en el tiempo). Sin embargo, Bruce Willis, su popular protagonista, ha participado en varias películas de viajes en el tiempo (Doce monos (Twelve Monkeys, Terry Gilliam, EE. UU., 1995); The Kid (El chico), Jon Turteltaub, EE. UU., 2000; Looper (Rian Johnson, Reino Unido/China, 2012). En definitiva, que ha oído cohetes, pero no sabe dónde. Entre las referencias menos directas (hay montones), señalemos un par de ellas: el momento en el que Ant-Man propone a Tony Stark un viaje en el tiempo empleando la expresión Time Heist (que obviamente no apreciamos sino vemos la versión original en inglés). Time Heist es el título de uno de los episodios de la octava temporada de la serie Dr. Who (de todas las versiones hablamos de la británica creada por Sydney Newman 2005), en la que la actriz Karen Gillan (la que hace aquí del personaje de Nebula) participa en varios episodios. Otra es en la escena de la batalla en Nueva York, con Tony Stark golpeado por la puerta que abre Hulk y las gafas de sol que lleva puestas Thor. Se trata de un homenaje/calco al momento en que Marty McFly trata de recuperar el almanaque deportivo en Regreso al futuro II (Back to the Future Part II, Robert Zemeckis, EE. UU., 1989). Matemáticas, Física, … Pero claro, aunque tengamos dos científicos, el puñetero amo es Tony Stark / Iron Man, así que será él (reticente al principio) el que hallará un procedimiento para regresar al pasado de un modo “muchísimo más sofisticado” que el pedestre de Bruce Banner /Hulk (la película hace bastante guasa a costa del pobre Ant-Man y sus incursiones temporales). La solución está en la mecánica cuántica y …, la banda de Moebius. Vayamos a la escena. Stark está pensando, siendo ayudado por su sofisticado ordenador que le resuelve y presenta en 3D todo lo que le indique. Hacia el minuto 37:29 Tony Stark: He tenido una leve inspiración. Me gustaría confirmarla. A ver. Una última simulación antes de dejarlo por esta noche. Esta vez con la forma de una cinta de Moebius. Invertida, por favor. Máquina: Procesando … Stark: Bien, dame el valor propio de esa partícula factorizando la descomposición espectral. Te ocupará un segundo. Máquina: Un momento … Stark: Y no te preocupes si no sale bien. Sólo intento … Máquina: Modelo renderizado. Y aparece la imagen que vemos a la derecha. Sobre esto debemos hacer varios comentarios. El primero, como tantas otras veces, sobre la traducción al castellano. He puesto en negrita en el diálogo anterior (bueno, monólogo, salvo que consideremos la máquina como ser inteligente) lo que tiene que ver con las matemáticas. En la frase, Bien, dame el valor propio de esa partícula factorizando la descomposición espectral, aunque entendemos lo que significa, en la versión original lo que dice es esto: Give me that eigenvalue. That, particle factoring, and spectral decomp. Disculpen si me equivoco, pero para mí eso quiere decir, Dame ese valor propio. Eso, la factorización de partículas y la descomposición espectral. Entiendo por descomposición espectral (en el contexto de valores propios del álgebra lineal elemental) dar el espectro (el conjunto de los valores propios) de un operador (una transformación, una aplicación lineal, lo que se esté manejando, en este caso, las nano partículas de la mecánica cuántica). Así que lo que dice Tony Stark es que le factorice el conjunto de partículas y le dé la descomposición espectral final del conjunto. Aunque parezca que le está pidiendo dos veces la misma cosa, no es así, ya que los valores propios pueden ser de multiplicidad múltiple, y eso se refleja en la descomposición espectral. Por ejemplo, si un operador está en un espacio de dimensión cuatro (teniendo por tanto asociada una matriz 4 x 4), con tres autovalores λ1, λ2, λ3, su descomposición espectral puede ser (λ1)2λ2λ3, o λ1(λ2)2λ3, o λ1λ2(λ3)2. La traducción al español dice que le dé la factorización (o sea lo que acabamos de explicar), pero lo une al “valor propio de una partícula”, y en conjunto es lo que no es correcto, al dar la impresión de que está trabajando con una única partícula, y obviamente, el viaje en el tiempo no parece cuestión de una única partícula. Por otro lado, está la elección de una banda de Moebius. Como todos deben saber, es la superficie cerrada de una única cara más sencilla que existe no orientable (no voy a volver a repetir como se construye). Tony Stark es un tipo inteligente, un genio tal y como lo pintan los comics originales y la propia saga cinematográfica. En el viaje en el tiempo que plantea la película, la realidad se escinde en varios universos paralelos, cada uno con su propia evolución temporal. Elige entonces la banda de Moebius como analogía a esa situación, ya que en esa banda podemos colocar a dos personas a la vez en un mismo punto, una encima de pie y otra boca abajo, viviendo dos situaciones distintas, pero desde “el mismo lugar”. Igual podríamos imaginarlo en términos temporales, vivir dos situaciones distintas, que ocurren a la vez, en el mismo lugar. Pero como digo, no es más que una analogía. Querer utilizar luego el objeto físico cinta de Moebius para “retroceder” a otro tiempo gracias a las nano partículas de la mecánica cuántica (algo así como los llamados hace años taquiones, partículas imaginarias de la antimateria que podrían volver al pasado a ocupar el lugar de sus homólogos en la materia real), es lo que no parece tener ningún sentido. Es decir, la película trata de dotar de verosimilitud las cosas, uniendo varios conceptos que individualmente son coherentes, pero no en conjunto. Además, Stark indica que quiere una banda de Moebius “invertida” (la que aparece en imagen es la usual). Habría que definir mejor que se entiende por invertida, porque hay diferentes posibilidades. Si lo que se pretende es, pensemos en un vaso lleno de agua, cambiar el interior por el exterior, cayéndose todo el agua fuera, al hacerlo en una banda de Moebius, no pasa gran cosa, ya que se queda como está desde el principio. También se puede pensar en hacer la imagen especular. Al construir una banda de Moebius, se efectúa un medio giro de la cinta, que puede ser en sentido horario o en sentido antihorario. Una tira de Moebius en el sentido de las agujas del reloj y una tira de Moebius en el sentido contrario a las agujas del reloj son imágenes especulares entre sí. Son como un par de guantes, uno es diestro y otro zurdo, iguales, pero no idénticos. Si construyéramos moléculas químicas con forma de banda de Moebius tendríamos moléculas zurdas (L) y diestras (D) con propiedades diferentes. Por ejemplo, el L-aspartamo sabe dulce mientras que el D-aspartamo es insípido. Finalmente podría referirse a un giro al revés. En el caso de la banda de Moebius daríamos con la conocida como cinta de Moebius sudanesa. Como vemos en la imagen, la diferencia con la banda de Moebius usual es que el círculo central que tiene la banda, en ésta se va al borde. ¿Podría ser esta construcción la que quiere Stark? Claramente no, a tenor de lo que muestra su súper-ordenador y lo conforme que él se queda. Además de que cuando dice invertida, simplemente la da la vuelta. Eso no es, amigo Stark, invertir; es un simple giro. Respecto al apartado físico del viaje en el tiempo, desde que Einstein formulara su teoría de la relatividad y Hermann Minkowski propusiera una métrica en la que esto es posible (es decir, hablamos de principios del siglo XX), todo parece posible. Deberíamos hacer la pequeña observación de que teóricamente eso se concibe viajando a la velocidad de la luz. Y en el hipotético caso de hacerlo, el “regreso” es algo más que complicado, incluso teóricamente. Aquí nos topamos, por ejemplo, con la célebre paradoja del abuelo: si retrocediste en el tiempo y mataste a tu abuelo cuando era joven, entonces nunca podrías nacer; pero si no naciste, ¿cómo volviste y lo mataste? Entonces aparece la mecánica cuántica. En mecánica cuántica, las partículas atómicas se parecen más a ondas de probabilidad indistintas. Por ejemplo, nunca se puede saber exactamente dónde está una partícula y en qué dirección se mueve, solo se sabe que hay una cierta probabilidad de que esté en un lugar determinado. El físico británico David Deutsch, que se menciona en la película, combinó esta idea con la teoría de los universos paralelos, demostrando que la paradoja del abuelo puede desaparecer si expresa todo probabilísticamente, porque al igual que las partículas, la persona que retrocede en el tiempo solo tiene una cierta probabilidad de matar a su abuelo, rompiendo el ciclo de causalidad. Aunque suene “raro”, y todo lo que se menciona en la película parece completamente fantasía, en ocasiones, los artículos y trabajos en mecánica cuántica son mucho más extraños (para que luego digan de los matemáticos; nuestra ventaja es que pocas veces descendemos del mundo de las ideas). Aprovechando que el próximo 21 de octubre se celebra el día de Martin Gardner en todo el mundo (nació en ese día de 1914), relacionado con el tema les recomiendo la lectura del primer capítulo de Viajes por el tiempo y otras perplejidades matemáticas (Editorial Labor, Barcelona, 1988). En él descubrirán que esto que plantea Vengadores: Endgame de los universos múltiples es tan moderno como de ¡¡1934!! (concretamente del cuento Branches of Time, de David R. Daniels). Leer a Gardner siempre es una maravilla, pero es que en diez páginas les ilustra sobre todo lo habido (y como se ve, por haber) acerca de los viajes en el tiempo y sus posibilidades.  También les recuerdo que en la reseña 95 de esta misma sección, Geometría para desaparecer, echábamos un vistazo a un cortometraje sobre el viaje a otra dimensión, y también (lo acabo de ver, porque no lo recordaba) recurrí al maestro Gardner (¿hay algo de lo que no hubiera ya hablado Gardner?). Alfonso Jesús Población Sáez

Jueves, 03 de Octubre de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

144. 175. (Octubre 2019) Punto fijo

[Imagen de la portada: carátula del disco Fractal Muzak de Vaporwave, cuyo primer tema es el titulado Banach fixed point theorem.] El teorema del punto fijo es un resultado matemático profundo y muy ubicuo: en su forma más general, establece condiciones para las cuales una determinada transformación deja invariable alguno de sus valores. Por ejemplo, si la transformación consiste en girar un círculo 90 grados alrededor de su centro, el único punto fijo es el centro del círculo (el círculo tiene la misma apariencia pero todos sus puntos -salvo el centro- han cambiado de lugar). Podemos encontrar, según el espacio donde actúa dicha transformación, diversos teoremas del punto fijo: de Banach, de Borsuk-Ulam, de Brouwer, de Kakutani, de Lefschetz, de Ryll-Nardzewski, de Schauder, etc., todos ellos avalados por nombres de personalidades destacadas de las matemáticas. Si tienes una cierta preparación matemática, puedes seguir la interesante presentación de Bernardo Cascales sobre algunos de estos teoremas. Más elemental (al menos la primera parte) es la contenida en el video del canal Archimedes Tube, explicado por nuestro colega Urtzi Buijs. A pesar de su alto contenido teórico, el teorema tiene muchas aplicaciones prácticas (y no tan prácticas). Un ejemplo elemental, consecuencia de este teorema, establece que, si agitamos con una cucharilla un vaso de agua, al final del proceso habrá el menos una molécula de agua que ocupe la misma posición que ocupaba antes de la mezcla. Otra curiosa aplicación establece que, en cualquier momento, siempre habrá dos puntos en la Tierra, diametralmente opuestos, que tienen la misma temperatura y la misma presión atmosférica. Puedes encontrar una explicación elemental y desenfadada en este video. Incluso, al final del video encontramos un juego de adivinación numérica "basado" en este teorema. Un teorema de punto fijo especial tiene el sorprendente nombre de "teorema de la bola peluda", una de cuyas consecuencias afirma que, en algún lugar de la esfera terrestre habrá siempre un fenómeno atmosférico en el que el viento gira sobre sí mismo, como un remolino o tornado. Una forma oportuna de ilustrar el teorema del punto fijo de acuerdo a las características de este rincón sería encontrar un proceso matemático que se pueda convertir en juego de magia. Para ello tendríamos que determinar en primer lugar una transformación que cumpla las premisas del teorema. Si el mago conoce las características del punto fijo, puede plantear un juego y adivinar o prever el resultado final. A lo largo de este rincón hemos presentado gran cantidad de juegos que siguen este esquema, los más significativos son los relativos a los que llamamos "agujeros negros", donde la aplicación reiterada de una determinada transformación conduce a un punto fijo (ver por ejemplo, la secuencia de los números 31, 32 y 33 correspondientes a septiembre, octubre y noviembre de 2006). Curiosamente, hemos encontrado otro ejemplo de estas características en la literatura mágica reciente. Un joven mago autodidacta húngaro, József Kovács (personaje de la figura adjunta), ha recogido en un folleto titulado "Cardopia" algunas de sus contribuciones a la revista de magia The Budget durante el año 2013. Uno de los juegos incluidos en esta recopilación es el que hemos adaptado y describimos a continuación. Separa de la baraja cinco cartas, del as al cinco, de cualquier palo, caras hacia abajo. El orden no importa pero, para recordarlo al final de juego, es mejor ordenarlas de menor a mayor. Digamos que están colocadas así (aunque con las caras hacia abajo): Elige una cualquiera de las cartas; gírala cara arriba manteniendo su posición. A partir de este momento, realizarás una serie de movimientos que tú creerás que son libres pero te llevarán inevitablemente a una situación prevista por mí. Gira cara arriba otra de las cartas, la que quieras. Ahora intercambia la posición de las dos cartas que están cara arriba. Intercambia de posición la carta elegida con cualquiera de las cartas que están cara abajo. Intercambia de posición las dos cartas cara abajo que no han sido movidas aún. Intercambia de posición las dos cartas cara arriba. Gira cara arriba todas las cartas que están cara abajo. Observa la posición final de las cartas. Todas han cambiado de lugar excepto un punto fijo, ¡tu carta elegida! Observaciones finales: Esta secuencia de movimientos puede usarse como juego de adivinación, tal como hace József Kovács en su folleto. Con el mago de espaldas durante toda la secuencia de movimientos, basta una rápida mirada a la posición final para saber cuál ha sido la carta elegida. Es relativamente sencillo elaborar una secuencia de movimientos con las que se consiga el mismo resultado anterior utilizando más de cinco cartas. El inconveniente es que el juego puede hacerse repetitivo y aburrido al alargar innecesariamente el proceso. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

Martes, 01 de Octubre de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

145. 56. (Octubre 2019) Cuadrantes solares andalusíes

(Figura 1. Reloj solar firmado por ibn as-Saffar) La brillantez andalusí en la construcción, diseño e invención de astrolabios, azafeas, lámina universal y lámina general han eclipsado el uso de relojes solares tanto como los relativamente escasos ejemplares encontrados. Solo se conservan ocho cuadrantes solares andalusíes en España y todos parecen del mismo tipo: tres en Medina Azhara, dos en Córdoba, y uno en Granada, Sagunto y Almería. Son pocos si se comparan con los casi treinta ejemplares romanos catalogados. El almuédano necesita conocer la hora de los rezos. Las grandes mezquitas aljamas usarían los astrolabios de latón, producto muy apreciado y de relativo lujo, pero los cuadrantes son más fáciles de usar y de construir. Los tres relojes de Medina Azhara son considerados relojes para ser usados por la guardia. Las características de los cuadrantes son: Horizontales Gnomon vertical (de índice y apenas 5 cm de alto) Con hipérbolas de los solsticios (No solo horas, también calendario) Horas desiguales (planetarias) (Se divide entre doce desde el orto al ocaso) El Mediodía son las seis. Marcan los rezos Algunos incluirían las alturas solares. Este tipo de cuadrantes fue ya usado en la Grecia clásica. Los romanos los conservaron pero los restos arqueológicos en Hispania muestran una clara preferencia por los relojes hemisféricos. Los relojes solares son muy útiles para el aprendizaje práctico de la geometría. Los más pequeños pueden divertirse con el movimiento de la sombra y su cambio a lo largo del día según la inclinación. Conforme avanzan en formación matemática son buena práctica de los conceptos aprendidos. Comprender el cambio de las estaciones y la diferente duración de los días fue en su momento algo vital para la supervivencia en una economía agrícola. Entender el porqué de la hipérbola es una buena introducción de las cónicas. Toda clase orientada más o menos al sur debería tener una línea meridiana. (Figura 2. Reloj solar horizontal andalusí. Museo de de Almería) Los relojes horizontales andalusíes están muy bien documentados: hay un excelente tratado del murciano ibn Raqqan, y referencias de ibn Saffar y Maimónides. Además quedaron recogidos en castellano en los Libros del saber de astronomía, ordenados redactar por Alfonso X, con el hermoso título de Libro del relogio dicho de la piedra de la sombra. Este tipo de cuadrantes fueron muy populares en todo el arco mediterráneo y están totalmente descritos por el sirio al-Battani en el siglo IX. Pronto fueron incorporados a al-Andalus. Sorprende que con la formación astronómica andalusí no se diseñaran otro tipo de relojes. Los astrolabios y azafeas andalusíes suelen ir firmadas, algo que solo ocurre con uno de los cordobeses donde aparece la atribución a Ahmad ibn as-Saffar al-Andalusi (+1035), discípulo de Maslama al-Mayriti y del que se conserva un  tratado sobre uso del astrolabio que fue vertido al latín. Libro del relogio dicho de la piedra de la sombra La última parte de la recopilación alfonsina de los Libros del saber de astrología está dedicada a la construcción de distintos tipos de relojes, el primero y único dedicado a los solares lleva el título de Libro del horologio dicho de la piedra de la sombra. (Figura 3. Libro del relogio. Manuscrito de la Universidad Complutense. Madrid. Siglo XIII) La Universidad Complutense conserva el que quizá sea el manuscrito regio por la calidad y belleza de su composición. Se trata de un manual práctico sin disquisiciones teóricas y que usa tablas astronómicas para la construcción. Los cuadrantes encontrados responden a la descripción alfonsina. Quizá la única mejora apreciable sea la incorporación de los círculos concéntricos de las alturas solares sobre el horizonte, algo que no se ha encontrado en ninguno de los cuadrantes conocidos. La epístola sobre la ciencia de la sombra de ibn as-Raqqam Las recopilaciones alfonsinas no contemplaron el interesante tratado sobre la ciencia de la sombra que estaba escribiendo casi al mismo tiempo el exiliado murciano Muhammad ibn ar-Raqqam al-Andalusí (1245-1315). Resulta curioso que Alfonso X quisiera hacer de Murcia un gran centro científico mientras que sus sabios emigraban a tierras del Islam. La epístola de ar-Raqqam es un precioso tratado que en lugar de utilizar tablas, recurre a la geometría proyectiva resultando muy comprensible y sencillo. Los relogios alfonsíes sólo utilizaban tablas mientras que ar-Raqqam nos permite entender las razones de su construcción con un modelo astronómico completo. (Figura 4. La ciencia de la sombra. Manuscrito de El Escorial. Siglo XIII) El mismo autor indica que ya de joven busqué una proyección sencilla, distinta de la de Ptolomeo, aplicable a los instrumentos de las sombras. La proyección de Ptolomeo es la estereográfica mientras que ar-Raqqam usará la ortogonal con planos abatibles conocida como el analema de Vitruvio por venir descrita someramente en De architectura (libro IX). El tratadista romano no se atribuyó la paternidad y comenta el método sin explicarlo mientras ar-Raqqam revela una comprensión total del procedimiento, quizá por tener que redactarlo dos veces: perdí por préstamo y volví  a escribir sobre algo cuyos fundamentos están olvidados. Un manuscrito del tratado de ar-Raqqam se conserva en la biblioteca del Monasterio de San Lorenzo de El Escorial (manuscrito árabe 918) y ha sido traducido y comentado por Joan Carandell (Universidad de Barcelona, 1988). El cuadrante de Granada De los ocho relojes solares arábigos conservados el de Granada es el único completo, aunque está desubicado (se piensa que es cordobés pero se adquirió ignorando su origen exacto). Se trata de un pequeño reloj de factura singular por utilizar arcos de circunferencia para aproximar las hipérbolas de los solsticios. La recomendación alfonsí es construir con compás el vértice de la hipérbola y con rectas las ramas. El cuadrante de Granada no lo cumple y ambas ramas son graciosos arcos de circunferencia de distinto radio. (Figura 5. Cuadrante solar. Museo de la Alhambra. Granada) El único adorno del cuadrante, aparte de la grafía, es un ingenuo compás. El reloj se muestra en el Museo de la Alhambra que ha acertado iniciando su recorrido con una sala dedicada al cosmos. Los relojes de Medinat al-Zahra Hay ciudades que no sobreviven a sus fundadores y su esplendor desaparece con ellos. La transformación del emirato en califato, proclamado por Abderramán III en el 929, requería una capital acorde con el nuevo poder. La corte se traslada de Córdoba a Medina Azahara en el año 945. En el 1010, en plena la guerra civil, la ciudad palaciega fue prácticamente abandonada. (Figura 6. Cuadrante solar. Museo de Medinat al-Zahra) En el ahora llamado patio de los relojes se localizaron tres cuadrantes; uno de ellos se muestra en el museo del emplazamiento. Se suele considerar el reloj de as-Saffar como el más antiguo pero los relojes de la capital califal muestran que ya en el siglo X se estaban usando. El Museo de Medinat al-Zahrat ha elaborado un panel explicativo detallando las horas y las llamadas a la oración. (Figura 7. Panel explicativo. Museo de Medinat al-Zahra) El gran desarrollo matemático andalusí se produce en el siglo XI durante las taifas, especialmente de Toledo y Zaragoza; por eso es importante ver que los relojes solares de cierta calidad ya se utilizaban en el momento de despegue de la ciencia árabe occidental, impulsada por una figura que dejó escuela: Maslamá al-Mayriti. El reloj de Sagunto De dos relojes se conserva un pequeño fragmento, del encontrado en la alcazaba de Córdoba y del de Sagunto. El de la alcazaba muestra lo suficiente para saber que es del tipo horizontal pero el del Museo Arqueológico de Sagunto puede llevarnos a la duda. El cuadrante saguntino ha usado una piedra romana que puede instalarse verticalmente y es así como lo expone el museo. Lo poco conservado impide conocer cómo se colocaba y si tiene alguna característica singular.  Parece que las líneas horarias son curvas en lugar de rectas que son la aproximación habitual. (Figura 8. Cuadrante andalusí. Museo Arqueológico. Sagunto)

Martes, 01 de Octubre de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

146. 100. (Septiembre 2019) Serialismo y matemáticas (I)

En las siguientes entregas de Divulgamat tendremos a una autora invitada, Celia Rubio, quien ha escrito una serie sobre el serialismo y matemáticas. Celia Rubio está cursando el doble grado de Matemáticas e Informática en la Universidad Complutense de Madrid y tiene estudios de música en el Conservatorio de Madrid (su instrumento es la flauta de pico, y además ha estudiado canto). Participó muy activamente en el congreso Mathematics and Computation in Music 2019 (véanse las columnas [9, 8]). Su preocupación e interés por la Teoría Matemática de la Música y su divulgación le empujó a mostrarme su texto. Tras leerlo detenidamente y atestiguar su calidad, le propuse enseguida su publicación en esta columna. El lector disfrutará sin duda alguna de la claridad y la fuerza del texto. 1. Introducción Este artículo es el primero de una colección sobre el serialismo musical y las matemáticas que lo fundamentan. Las músicas serialistas son aquellas que permiten construir castillos con un solo grano de arena: una serie particular, una permutación de notas, dinámicas o timbres. La serie se coloca en la obra secuencialmente, siempre igual o con alguna modificación que la adorne. Y es que para esta música, la serie es el ladrillo y las matemáticas son la pintura con la que decorarlos, ya que las transformaciones que se le puede aplicar a una serie forman preciosas estructuras matemáticas enmarcadas en la Teoría de Grupos. En estas estructuras se centrará esta serie de artículos, y más específicamente en el dodecafonismo, el primer sistema compositivo serialista. En este primer artículo hablaremos sobre sus orígenes (sección 2) y sobre los postulados matemáticos que lo definieron (sección 3), y analizaremos una obra como ejemplo (sección 4). Más adelante generalizaremos las definiciones dodecafónicas matemáticamente, descubriremos la historia del serialismo integral y contaremos el número de posibles series distintas —o, más bien, de espectros seriales— que un compositor puede utilizar. En definitiva, haremos un recorrido a fondo por el serialismo y exploraremos sus posibilidades musicales y matemáticas. Los textos irán dirigidos tanto a matemáticos como a músicos; en todas las entregas habrá secciones más matemáticas y secciones más musicales o históricas. Las matemáticas serán avanzadas, pero siempre se definirá todo lo que se utilice y se probará todo lo que se afirme. Algunas de las definiciones matemáticas más comunes se encuentran en la sección 5. ¡Que empiece el viaje! 2. Introducción histórica del dodecafonismo En esta sección describiremos cuál fue el ambiente histórico y musical en el que se cultivó el primer modelo de serialismo musical: el dodecafonismo. A través de su historia analizaremos por qué el serialismo no fue una decisión aleatoria ni espontánea, sino que surgió de una necesidad estética de aquel periodo. Vamos a comenzar con una breve crónica de la disonancia, tras lo cual describiremos las fases por las que el creador del dodecafonismo, Arnold Schoenberg, tuvo que pasar antes de concebirlo. 2.1. La historia de la disonancia La disonancia siempre ha formado parte de la experiencia musical. Con la música ha venido siempre emparejada la disonancia, mano a mano, como instrumento de contraste, confrontación y ruptura, pero también como elemento constructivo del discurso musical. En la Antigua Grecia, la armonía musical se consideraba unida al resto del universo. La rotación de los astros emitía sonidos armónicos, y era la armonía la que apaciguaba el alma. Pero ¿qué era la armonía sino la unión de consonancia y disonancia? Como dijo Aristóteles: El alma es armonía porque la armonía es mezcla y síntesis de contrarios, y de contrarios precisamente está compuesto el cuerpo. (Tomado de [3] J. de Aixquivel, Memorias de Historia Antigua, 1989.) Es bien sabido que la Escuela de Pitágoras, con su estudio sobre proporciones entre notas, buscaba encontrar cuáles eran los intervalos más consonantes: eran aquellos cuya proporción formaba una relación sencilla. El intervalo de octava era consonante porque su ratio era de 2:1, y de igual manera ocurría con los intervalos de quinta (3:2) y cuarta (4:3), a los que Aristóxeno comenzó a llamar sýmphonos [6]. En cambio, a los intervalos no tan sencillos se los llamaba diáphonos , y fue entonces cuando se le dio nombre a la disonancia. Ya en la Edad Media, la polifonía fue forjando normas sobre su uso. La primera regla compositiva de la música occidental —según Knud Jeppesen [11]— fue la regla franconiana, que expresaba que las disonancias debían ocurrir en la parte débil del compás, mientras que las consonancias en la parte fuerte. Es así como los compositores trenzaban consonancia y disonancia al tejer los hilos de la música. Poco a poco la disonancia pasó a ser usada como floritura melódica: en notas de paso, apoyaturas o retardos, entre otras. Esta función melódica fue impregnando el contrapunto hasta llegar a ser pieza clave en la continuidad y el enlace de las voces. Adquirió entonces una nueva función contrapuntística. ¿Quién no se ha deleitado al escuchar una disonancia bachiana? Pero la disonancia estaba aún circunscrita a la tonalidad reinante. No fue hasta la introducción de acordes extraños que la disonancia pasó a ser el centro del interés musical, y fue in crescendo apropiándose del foco de atención hasta llegar a ser más valiosa aún que la consonancia. Para ello hubo que esperar hasta el siglo XIX, que fue testigo de un asombroso desarrollo del sistema armónico que acabó por quebrantar todas las concepciones musicales anteriores. Para más información sobre la disonancia y su fascinante historia, recomendamos al lector el texto de Felipe Aguirre [1]. 2.2. Wagner, Mahler y la emancipación de la disonancia Aunque las posibilidades que prometía la tonalidad parecían inagotables, sus límites comenzaron a percibirse hacia finales del siglo XIX. En palabras de Arnold Schoenberg: El oído se fue familiarizando gradualmente con gran número de disonancias, hasta que llegó a perder el miedo a su efecto perturbador. Mencionado en [13] Composition with twelve tones, de Style and Idea, 1950. Esta época culminó con los dramas musicales de Richard Wagner, en los que todos los elementos de la obra estaban detalladamente estudiados por el compositor. A este concepto lo llamaba Gesamtkunstwerk (“obra de arte total”) —mencionado en [15] Oper und Drama, 1851—, ya que se aseguraba personalmente de que en sus óperas las artes escénicas, musicales, poéticas y visuales se combinaran entre sí a la perfección. Figura 1: Richard Wagner (1813—1883); figura tomada de National Geographic. La idea del Gesamtkunstwerk la desarrolló alrededor de 1850, y la plasmó en su totalidad en su ciclo de cuatro óperas Der Ring des Nibelungen, estrenado en 1876. Wagner controló y creó cada aspecto de la tetralogía, desde la música hasta el libreto, el vestuario y la escenografía. Incluso mandó crear su propia sala de conciertos en Bayreuth, el Festspielhaus, para que el escenario se adecuara a sus ideas sobre el pensamiento y la cultura musical; véase [12] para más detalles. Así, a ojos de compositores posteriores, se habían agotado todas las posibilidades de la música tonal, y quizás ya había comenzado el viraje hacia el predominio de la disonancia con su abundante uso del cromatismo, como en el famoso primer acorde del drama musical Tristan und Isolde (1865). Consta de las notas fa-si-re#-sol#, y sus intervalos desde el fa son una cuarta aumentada, una sexta aumentada y una novena aumentada. Después de Wagner, otros compositores también estuvieron a las puertas de emancipar la disonancia, de desatarla de las ataduras que imponía la tonalidad. Por ejemplo, el gran compositor Gustav Mahler conseguía reflejar en sus sinfonías dos realidades paralelas: tanto la delicada fragilidad de la tradición anterior como la inminencia de su ruptura. El ejemplo más claro es el Adagio de su Décima Sinfonía, que contiene una disonancia con once de las doce notas de la escala cromática. Y es que, sin lugar a dudas, ya se preveía que la tonalidad iba a reemplazarse. Figura 2: Gustav Mahler (1860—1911); figura tomada de Planet Hugill. Siguiendo la concepción del progreso como un camino ascendente, el paso siguiente para la composición musical debía consistir en deshacerse progresivamente de la tonalidad y desarrollar la “emancipación de la disonancia” —mencionado también en [13] Composition with twelve tones—. Así, en el marco expresionista del cambio de siglo, fue como Arnold Schoenberg ideó sus teorías del pensamiento musical, y éstas dieron paso a la creación de la atonalidad. 2.3. Hacia el atonalismo de Schoenberg Fuertemente influido por Wagner y Mahler desde su adolescencia, Schoenberg comenzó componiendo al estilo posromántico de su época, llevando el cromatismo y la orquestación hasta el extremo. Sin embargo, y no espontáneamente, empezó a buscar en sus composiciones que cada sonido tuviera valor por sí mismo, un valor independiente de su funcionalidad tonal. Figura 3: Arnold Schoenberg (1874—1951); figura tomada de Nextews. Para él, la música no estaba intrínsecamente dirigida a una tónica. En las progresiones, lo importante era el paso de un acorde a otro, y no hacia dónde se dirigían estos. Además, él opinaba que se debían poder utilizar las notas de los modos eclesiásticos libremente, por lo que consideraba las notas no diatónicas tan válidas como las diatónicas. Esto hacía imposible distinguir unas de otras, y apenas se podía identificar la tónica. De esta, y de otras muchas formas, Schoenberg conseguía que la jerarquía tonal quedara desestabilizada [12]. De esta época es su primera obra importante, Verklärte Nacht (Noche transfigurada), Op. 4. Compuesto en 1899, este sexteto de cuerdas está inspirado por el poema homónimo de Richard Dehmel. La música, según su autor, expresa el paseo de un hombre y una mujer en medio de la naturaleza. Aunque en la obra aún prevalece la armonía tradicional basada en acordes, Schoenberg sitúa al oyente en un terreno de indefinición tonal, no sólo en el plano armónico sino también en el melódico. Además, hace uso del acorde de novena invertido, inexistente hasta entonces y, por tanto, rechazado por la crítica [5]. Tras pasar por la etapa tonal post-romántica, y debido a su convicción en la inexorabilidad de la evolución de la música hacia el cromatismo total, en 1908 Schoenberg se desligó de la tonalidad completamente con el ciclo de canciones Das Buch der Hängenden Gärten. A partir de entonces se dedicó a componer fragmentos muy breves cuya estructura era definida por motivos y no por la armonía. Era esto lo que solía ocurrir en formas musicales anteriores como la forma sonata. A este periodo en sus composiciones se le llama atonalidad libre, aunque cabe destacar que Schoenberg rechazaba fervientemente este término: La expresión “música atonal” es de lo más desafortunada —es como llamar a volar “el arte de no caer” o a nadar “el arte de no ahogarse”. Mencionado en [14] A. Schoenberg, Hauer’s Theories, en Style and Idea, 1923. A este periodo pertenece también su famoso ciclo de canciones Pierrot Lunaire, Op. 21 (1912). Su nombre completo es Tres veces siete poemas de Pierrot Lunaire de Albert Giraud, ya que está dividida en 3 grupos de 7 canciones cada uno, cuyos textos son una selección de 21 poemas del ciclo homónimo de Albert Giraud. Se encuentran en ella abundantes referencias al número 7. Schoenberg hace un uso extensivo de motivos de 7 notas a lo largo de la obra, mientras que el conjunto musical que la interpreta, incluyendo al director, consta de 7 miembros. De hecho, a este conjunto de instrumentos —flauta, clarinete, violín, violonchelo, piano y voz— se le ha dado el nombre de ensemble Pierrot en su honor. Otros números importantes en la obra son el 3 y el 13. Cada poema consta de 13 líneas, mientras que la primera línea de cada poema aparece 3 veces, en las líneas 1, 7 y 13. En esta obra no sólo hay una ausencia total de relaciones tonales, sino que el tratamiento vocal evita también cualquier relación estética con las técnicas tradicionales: es un Sprechgesang, un canto hablado. De hecho, Schoenberg se refiere a estas piezas no como canciones, sino como melodramas. Véase [5] para más información. 2.4. El surgimiento del sistema dodecafónico Schoenberg no estaba aún satisfecho con su técnica compositiva, ya que admiraba las obras extensas de los músicos románticos y pensaba que su atonalidad no podía sostener una obra de gran envergadura. Es decir, necesitaba un hilo conductor mejor que los motivos para poder componer obras atonales más largas. Por aquella época sufrió crisis en varios aspectos de su vida. En lo personal, su mujer Matilde Zemlinsky acababa de abandonarlo por otro hombre, aunque posteriormente volvería junto al compositor. Y en lo profesional, sus obras no eran del gusto del público, por lo que no contaba con suficiente dinero para mantener a su familia. Todas estas circunstancias, unidas al desarrollo de la Primera Guerra Mundial, no le permitieron componer apenas entre 1914 y 1923. Tras el final de la guerra, en 1919, Schoenberg fundó la Sociedad para Interpretaciones Musicales Privadas junto a sus discípulos y amigos Alban Berg y Anton Webern. Schoenberg, Berg y Webern se autodenominaron la Segunda Escuela de Viena en honor al grupo de compositores del siglo XVIII Haydn, Mozart y Beethoven, quienes formaban la Primera Escuela de Viena. En la Sociedad para Interpretaciones Musicales Privadas se presentaba música contemporánea en circunstancias que favorecieran su adecuada apreciación. Así se evitaba que dichas obras, al no ser entendidas por el público, fueran inmediatamente rechazadas. Las obras de compositores como Mahler, Debussy, Bartók, Ravel, Strauss y Stravinsky se incluyeron en los programas de conciertos organizados por la Sociedad. En este contexto Schoenberg pudo reflexionar sobre sus técnicas compositivas, y al fin publicó en 1923 su ensayo Método de composición con doce sonidos [13], donde se describían por primera vez los axiomas del dodecafonismo. Estos axiomas constituían la solución al problema de la atonalidad libre que tanto le había estado atormentando durante una década. Su primera obra íntegramente dodecafónica, publicada también en 1923, es la Suite para piano Op. 25, que podrán ver a continuación. Es la pieza más temprana en la que Schoenberg usa series dodecafónicas en cada uno de los movimientos. En dos obras anteriores a ella usa series dodecafónicas, pero en movimientos aislados: la Op. 23, 5 Stücke (1920—23), en el movimiento de Waltz final; y su Serenata, Op. 24, en su Soneto central. Las series utilizadas en la Suite Op. 25 servirán de ejemplo en este texto, y su tercer movimiento, Musette, será estudiado y analizado en el apartado 4.3 con el fin de entender una obra dodecafónica en toda su extensión. A continuación el lector podrá escuchar la Suite para piano Op. 25: 3. El sistema dodecafónico de Schoenberg 3.1. Los postulados del dodecafonismo El dodecafonismo es un sistema compositivo que predetermina la melodía y la armonía a partir de una ordenación de las doce notas de la escala cromática, que se llama serie. Esta y algunas de sus transformaciones son los ladrillos con los que se construyen las alturas de las notas; son el único material que se puede utilizar. El resto de elementos de la pieza, como el número de instrumentos, el ritmo, el carácter, la textura o las dinámicas, se deja a discreción del compositor. No serializar todos los conjuntos será la principal crítica al dodecafonismo por parte de los compositores serialistas que sucedieron a su creador, Arnold Schoenberg. Para los serialistas integrales, como Pierre Boulez, aquello restaba cohesión al modelo compositivo; para los dodecafonistas, aportaba libertad [2]. Precisamente la predeterminación dodecafónica, aunque parece limitante, permite realizaciones musicales y estilos de composición muy diferentes: Schoenberg daba un tratamiento tradicional a sus obras, ya que aun admiraba las formas clásicas; Alban Berg iba más allá al utilizar series que recordaban a las tríadas tonales; y, en cambio, Anton Webern evitaba radicalmente cualquier asociación con la tradición. Schoenberg definió su sistema musical a partir de cuatro postulados que, en realidad, se basan en principios matemáticos [4]: 1. La serie (sobre la que se construye la obra dodecafónica) consta de las doce notas de la escala cromática dispuestas en un orden lineal específico. 2. Ninguna nota aparece más de una vez en la serie. Los dos primeros postulados expresan que una obra dodecafónica fundamenta su estructura sobre una permutación de la escala de doce semitonos. Dicha permutación σ es una biyección del conjunto numerado de las doce notas consigo mismo, y se representa de esta forma: La permutación σ(m), con m ∈ ℤ∕(12), pertenece al grupo simétrico de orden 12, S12. Por ejemplo, en la Suite para piano Op. 25 Schoenberg utiliza como serie original en todos los movimientos de la obra la siguiente permutación σ: Los otros dos postulados restantes son: 3. La serie se puede exponer en cualquiera de sus aspectos lineales: serie original, inversión, retrogradación de la original y retrogradación de la inversión. 4. La serie puede usarse en sus cuatro aspectos desde cualquier nota de la escala. Los dos últimos postulados amplían los recursos compositivos al admitir la transformación de la serie original mediante inversión, retrogradación, inversión retrógrada y transposición. El compositor puede utilizar cualquiera de las transformaciones de una serie al componer su obra dodecafónica. El conjunto de series que puede utilizar, que viene dado por la serie original y todas sus posibles transformaciones, se conoce como espectro serial; veáse [4] para más información. 3.2. Las transformaciones de una serie Transformar una serie es matemáticamente equivalente a aplicar una función sobre la serie, y que asocie esa permutación a la permutación transformada. Por tanto, cualquier función Ψ se aplica sobre el conjunto de las permutaciones, S12. 3.2.1. Transposiciones La transposición, mencionada en el cuarto postulado, consiste en subir o bajar la serie original un número determinado de semitonos. Por tanto, no se modifican los intervalos entre las notas, sino solamente la altura a la que está la serie. Ya que consideraremos todas las octavas equivalentes, debemos trabajar módulo 12. La serie transportada k semitonos (con k constante), Tk(σ), se construye sumando k a σ (mod. 12): Tk(σ(m)) = σ(m) + k A su vez, Tk se forma al componer k transposiciones de 1 semitono: Tk = T1 ∘ T1 ∘… ∘ T1, k veces. Debido a que k es en realidad el exponente en la potencia de T, se coloca este número como superíndice. Históricamente, la notación Ψk, Ψk o también Ψ(k) se ha usado en sustitución de la composición de la transposición Tk y otra función Ψ, en el respectivo orden: Ψk = Ψ ∘ Tk = Ψ(Tk). Sin embargo, esta notación es especialmente ambigua y confusa, sobre todo al trabajar con funciones no conmutativas —cuando importa el orden en el que estén T y Ψ—. Por ello, es preferible ceñirse a la notación estrictamente matemática; es decir, a la composición de funciones, aun omitiendo el símbolo ∘, de esta manera: ΨTk. Una posible serie transportada sobre la permutación σ de la Suite para piano Op. 25, con k = 6, es la siguiente serie T6: 3.2.2. Retrogradación La retrogradación consiste en leer la serie original desde la nota final hacia atrás, es decir, aplicar a la serie una simetría especular. De este modo, la primera nota irá al último puesto, la segunda al penúltimo, y así sucesivamente. La serie retrógrada se construye según la siguiente fórmula: R(σ(m)) = σ(11 - m) La serie retrógrada sobre la permutación σ de la Suite Op. 25 es la siguiente serie R: 3.2.3. Inversión La inversión consiste en cambiar la dirección —de ascendente a descendente y viceversa— de los intervalos entre cada nota de la serie. Si el primer intervalo en la serie original σ es de +k, el primer intervalo en la serie invertida I será de -k (siempre módulo 12), por lo que debemos cambiar el signo de σ para construir I. Además, queremos que la primera nota de ambas series, I(σ(0)) y σ(0), coincidan, así que debemos transportar la serie (-σ) un número λ de semitonos para que esta condición se cumpla: I(σ(0)) = -σ(0) + λ = σ(0) ⇒ λ = 2σ(0) Por tanto, la serie invertida se construye de esta forma: I(σ(m)) = - σ(m) + 2σ(0) La serie invertida sobre la permutación σ de la Suite Op. 25 es la siguiente serie I: En total, obtendremos 48 series —aunque no obligatoriamente distintas entre sí— pertenecientes a un solo espectro serial. Hay 12 series originales sobre cada una de las doce notas, 12 series retrógradas, 12 invertidas y 12 series sobre las que se aplica tanto la retrogradación como la inversión. A continuación se muestra la sintaxis simple junto a la matemática: Sintaxis simple T0, T1, T2… R0, R1, R2… I0, I1, I2… IR0, IR1, IR2… Sintaxis matemática T0, T1, T2… R, RT1, RT2… I, IT1, IT2… IR, IRT1, IRT2… 3.3. Matrices dodecafónicas Dada una serie, su matriz dodecafónica es una representación visual de su espectro serial; es decir, del conjunto de series derivadas de esa serie. El espectro serial es todo el material compositivo sonoro del que se dispone para la composición de una obra dodecafónica. Al poder ordenar y disponer la información en una tabla, el compositor puede acceder a toda ella al mismo tiempo sin tener que calcular cada serie individualmente. La matriz se lee en la dirección en la que aparece el nombre de la serie. Las series T se leen de izquierda a derecha, mientras que las series R de derecha a izquierda. Las series I se leen de arriba a abajo y las IR∕RI de abajo a arriba. He creado un programa que devuelve en formato LATEX la matriz correspondiente a cualquier serie dodecafónica que se introduzca en teclado, además de producir la nomenclatura simple para cada serie. El código, escrito en C++, se puede encontrar en el enlace https://gitlab.com/dodecafonismo/cppmatrices. A continuación, se incluye la matriz dodecafónica de la serie P de la Suite Op. 25 de Schoenberg. Mientras que la mayoría de tablas tienen dos filas inferiores, que se corresponden con las distintas nomenclaturas de RI e IR para una misma serie —ya que normalmente no conmutan—, en la matriz de la serie P sí coinciden. Por otro lado, he escrito un comando en el propio lenguaje LATEX que crea esta misma tabla con el comando \dmatrix, y tiene cualquier serie como argumento. Su sintaxis es \dmatrix. El comando se encuentra en el paquete de LATEX ddphonism, disponible en el enlace https://www.ctan.org/pkg/ddphonism. La tabla aparece sin el orlado de nomenclaturas: 4 5 7 1 6 3 8 2 11 0 9 10 3 4 6 0 5 2 7 1 10 11 8 9 1 2 4 10 3 0 5 11 8 9 6 7 7 8 10 4 9 6 11 5 2 3 0 1 2 3 5 11 4 1 6 0 9 10 7 8 5 6 8 2 7 4 9 3 0 1 10 11 0 1 3 9 2 11 4 10 7 8 5 6 6 7 9 3 8 5 10 4 1 2 11 0 9 10 0 6 11 8 1 7 4 5 2 3 8 9 11 5 10 7 0 6 3 4 1 2 11 0 2 8 1 10 3 9 6 7 4 5 10 11 1 7 0 9 2 8 5 6 3 4 También he creado una página interactiva que genera matrices de cualquier serie para cualquier longitud serial, además de generar series aleatorias. Permite escoger entre dos numeraciones y dos nomenclaturas. Está escrita en Elm y el código puede encontrarse en https://gitlab.com/dodecafonismo/matrices. En este enlace se encuentra la aplicación web. Sus instrucciones de uso se encuentran al final de la página: https://matrices.netlify.com/. 4. Análisis de una obra dodecafónica: el opus 25 4.1. Series de la Suite op. 25 Lo primero que hará un compositor dodecafónico antes de empezar a componer será escoger su serie original. Su elección nunca es una simple cuestión de azar; al contrario, ya que las singularidades de la serie darán un carácter especial a toda la obra. Por ejemplo, el compositor puede escoger una serie con simetrías, y así tendrá series repetidas entre su espectro serial. También puede tener simetrías internas solo en un fragmento de tres o cuatro notas, y de este modo podrá el compositor oscilar entre varias series del espectro que se parezcan entre sí. Para un estudio más completo de las relaciones de similitud entre series se recomienda On the Similarity of Twelve-Tone Rows, de Tuukka Ilomäki [10]. En la Suite para Piano Op. 25, Schoenberg escoge su serie σ para resaltar el intervalo de tritono (6 semitonos). A continuación se observan en negrita los intervalos entre las notas de esta serie, en unidad de semitono: Presenta repeticiones triples de los intervalos de tritono (6), de sexta mayor (9) y de segunda menor o semitono (1): los intervalos más disonantes; una repetición doble de cuarta justa (5), y un intervalo de segunda mayor (2); además de una consecución de intervalos repetida: 9–1–9–1. Como se forma el intervalo de tritono al enlazar la serie original con una serie que empiece por la misma nota, se tiene en cuenta el intervalo de tritono (6) al final. En el dodecafonismo se evitan deliberadamente los intervalos de tercera mayor (4), ya que estos son la base de la eludida armonía tonal. El intervalo de tritono tiene la particularidad de no modificarse en la inversión y transportación k = 6, por lo que estos intervalos aparecen en los lugares originales, mientras que en los procedimientos de retrogradación y retrogradación inversa ocupan sus lugares en retrógrado. En particular, Schoenberg utiliza entre los seis movimientos de la Suite solamente las ocho series de todo el espectro serial que cumplen estos requisitos: T0, T6, I, IT6, R, RT6, RI y RIT6, que podemos observar a continuación: Estas series tienen muchos elementos en común: todas comienzan o acaban por mi♮ o por si♭, lo que permite enlazar unas series con otras por medio del unísono o del tritono; se mantienen los intervalos de tritono en sus lugares originales o retrógrados, y coinciden en las dos primeras y las dos últimas notas dos a dos. Se han realizado estudios – como el de Martha Hyde [7] – en los que se limitan las series utilizadas en la Suite a cuatro: T0, T6, I e IT6, pero ya que el objetivo de este texto no es analizar la obra entera se dejará esta cuestión para análisis posteriores. 4.2. Descripción de la Suite op. 25 Schoenberg realiza en la serie σ una partición triple; es decir, la serie se divide en tres tetracordos, y cada uno de ellos contiene un intervalo de tritono. El último tetracordo, si se retrograda, consta de las notas 10–9–0–11, que en notación germánica es la secuencia BACH. Esto puede ser un homenaje al compositor Johann Sebastian Bach (1685—1750), ya que Schoenberg admiraba a los grandes compositores anteriores a él por las estructuras formales de sus obras. Para más información, véase [16]. Otro posible homenaje a Bach y sus contemporáneos barrocos es precisamente la forma de la obra: es una suite, género cultivado durante los siglos XVII y XVIII que se compone de una variedad de danzas. La Suite de Schoenberg está formada por seis danzas: un preludio, una gavota, una musette, un intermezzo —que no tiene influencia barroca sino más bien de Brahms, otro modelo para Schoenberg—, un minueto con trío y una giga. Además, el estilo, la textura —contrapuntística, típicamente barroca—  y la estructura de cada danza se corresponden con los estilos, texturas y estructuras de las danzas homónimas del periodo bachiano. Por ser ésta su primera obra totalmente dodecafónica, Schoenberg la utilizó como una muestra al mundo de las posibilidades de su nuevo método compositivo. Fue también por lo que tomó un formato tan variado como una suite: así podía en una misma obra componer con estilos tan distintos como los de las distintas danzas. Al componer la obra, Schoenberg trata cada tetracordo como una subunidad individual. Los superpone contra otras series del espectro también divididas, o utiliza sus notas como un solo acorde cuatríada. Estas divisiones no sólo sirven para hacer la serie más reconocible o añadir cohesión a la obra, sino que además facilitan el desarrollo de la serie específicamente en el estilo de cada danza. 4.3. Análisis de la Musette En el tercer movimiento de la Suite, la Musette, Schoenberg recrea la danza barroca que toma su nombre del instrumento homónimo: la cornamusa, de la familia de la gaita. La música compuesta para estos instrumentos suele consistir en una melodía acompañada por una nota pedal, que se traduce aquí en la presencia de un bordón sobre el sol♮ (nota 7). Esta nota se extrae de cada una de las series utilizadas y se forma con ella un ostinato rítmico en la mano izquierda del piano. Con el resto de sonidos de cada serie, Schoenberg vuelve a emular el estilo de la danza barroca y articula un discurso polifónico a dos voces con ritmos esencialmente cortos. A partir de la doble barra del compás 9, el re♭ (nota 1) acompaña a sol♮ y ambos crean un doble bordón en la mano izquierda. La elección de esas dos notas está estrechamente relacionada con la tradicional relación de quinta justa formada por sol♮ y re♮ en la música tonal. Schoenberg sustituye las quintas justas tonales por los tritonos dodecafónicos, subrayando aún más su emancipación de la disonancia. Además de las similitudes texturales, rítmicas y armónicas, la Musette de Schoenberg comparte estructura formal con las danzas barrocas. Y esta semejanza es quizás la más notable, ya que fue la búsqueda de estructura formal lo que inspiró a Schoenberg a desarrollar su método compositivo. La Musette barroca, como todos los movimientos de danza, presenta una estructura binaria con simetría tonal: empieza y acaba por la misma tonalidad, mientras que el centro es zona de desarrollo. Schoenberg despoja de funcionalidad tonal a esa simetría, madre de la forma sonata, y la aplica a su composición dodecafónica. En este movimiento se pueden diferenciar a simple vista tres secciones, divididas en los compases 9 y 20, debido a cambios de textura, figuración y tempo. En la segunda sección se le añade melodía a la mano izquierda del piano, dejando más camuflado el bordón que en la primera sección, además de que éste se vuelve doble, mientras que vuelve a aparecer claramente en la tercera sección. También en la segunda sección aparece una nueva figuración, que es la semicorchea; y, por último, en los dos compases de división aparecen dos a tempo, que marcan el final de las dos primeras secciones tras dos zonas de variabilidad rítmica. Para que esta estructura tríptica sea una forma binaria, la primera y la última parte deben mantener un parecido, que se observa a través del análisis de las series utilizadas en el movimiento. Estas series son T0, T6, I e IT6. En la Musette, Schoenberg hace un uso casi absoluto de la tripartición serial, hasta el punto de individualizar los tetracordios por separado y concederles privilegios seriales, como la retrogradación. Por ejemplo, en el compás 7, en la voz inferior de la mano derecha aparece el tetracordio 4–5–2–3, que es o bien el primer tetracordio de RIT6 o la retrogradación del tercer tetracordio de IT6, mientras que los otros dos tetracordios de IT6, 10–9–71 –1 en la voz superior y 8–11–6–0 en la mano izquierda, aparecen en el orden correcto. Entonces no se puede analizar el compás como RIT6, sino indicar que hay una alteración puntual de IT6. Por tanto, es muy complicado analizar esta obra en su totalidad, ya que la flexibilidad en la ordenación de los tetracordios puede generar situaciones muy ambiguas. Debido a estas fragmentaciones y a las variadas combinaciones de tetracordios originales y retrógrados, se escucha un área de desarrollo hacia la sección media del movimiento. En cambio, las series al principio y al final de la pieza se presentan casi íntegramente, como una exposición y reexposición. He aquí un vínculo con la simetría de las formas binarias tonales. Es más, incluso el orden de las series utilizadas en la primera y en la última sección coinciden, exceptuando dos repeticiones consecutivas y las series T0 finales, que actúan como una cadencia serial: A continuación se encuentra el análisis serial completo de la Musette: Figura 4: Análisis de la Musette (I) Figura 5: Análisis de la Musette (II) 5. Definiciones matemáticas 5.1. Conjuntos y grupos Un conjunto es una colección de objetos bien definidos y distintos entre sí que se llaman elementos. Para definir un conjunto se puede o bien listar los objetos uno a uno, o bien describirlos por medio de un predicado: una o varias propiedades que caracterizan a todos los elementos de dicho conjunto. Por ejemplo, el conjunto Ki, formado por las doce notas de la escala cromática de una misma octava i, está bien definido porque podemos hacer una lista con ellas: por ejemplo, K4 =: Por un lado, aun llamando a las notas de distinta manera, el conjunto, conceptualmente, es el mismo. Además, el hecho de listar algún elemento más de una vez no afecta a su definición. Como Do#4 = Re♭4 (ya que trabajamos con temperamento igual), K4 también puede ser listado así: En cambio, el conjunto D, formado por las duraciones rítmicas elementales – sin ligaduras ni puntillos –, es infinito, por lo que no se puede listar de forma completa. Sin embargo, se puede expresar por medio de un predicado: La notación n ∈ ℤ significa que n pertenece a los números enteros. En este caso se han representado las duraciones mediante su ratio con la duración de la negra. Los elementos de un conjunto pueden combinarse mediante operaciones —como la suma o la multiplicación en el caso de los números— para dar otros objetos matemáticos. Se dice que un conjunto G no vacío y una operación binaria (*) forman la estructura de un grupo (G,*) cuando cumplen las siguientes condiciones: 1. Su operación es interna: Si a,b ∈ G, entonces a * b ∈ G. 2. Su operación es asociativa: Si a,b,c ∈ G, entonces (a * b) * c = a * (b * c). 3. Existe un elemento e en G, llamado elemento neutro o identidad, tal que para todo x ∈ G se cumple que e * x = x * e = x. Se puede probar que el neutro es único para cada grupo. A veces se incluye dentro de la definición del grupo: (G,*,e). 4. Cada x ∈ G tiene asociado otro elemento x-1 ∈ G, llamado elemento inverso, tal que x * x-1 = x-1 * x = e. Se puede probar que el inverso de cada elemento es único. (ℤ,+,0) y (ℚ,+,0) son grupos, pero (ℕ,+,0) no porque no existe el inverso de 2 con la suma: -2 ∉ ℕ. En cambio, (ℝ,*,1) y (ℚ,*,1) son grupos, pero (ℤ,*,1) no porque no existe el inverso de 2 con la multiplicación: ½ ∉ ℤ. 5.2. Funciones y permutaciones Una función es una regla que asocia a cada elemento de un primer conjunto, llamado dominio, un único elemento de un segundo conjunto. Si la función se llama f, el dominio A y el segundo conjunto B, se denota f: A → B. El elemento asociado a un x mediante f se denota f(x). Todos los x ∈ A tienen que estar asociados a un f(x) ∈ B, pero no todos los elementos de B tienen un elemento de A asociado. Los elementos de B que sí lo cumplen, es decir, los que se pueden escribir como f(x) para algún x, forman el conjunto imagen de la función: im(f) = . Una función biyectiva es aquella que empareja de manera exacta los elementos de dos conjuntos, de tal forma que cada elemento del dominio está emparejado con exactamente un elemento de la imagen, y cada elemento de la imagen se empareja con exactamente un elemento del dominio. Cuando varias funciones se aplican una detrás de la otra decimos que realizamos la operación de composición de funciones. Se representa con el símbolo ∘. La imagen de la primera función será el dominio de la segunda, y así sucesivamente. Por ejemplo, aplicar una función f(x) y después aplicar una función g(x) se denota g(f(x)) = (g ∘ f)(x). Una permutación σ(X) es una función sobre un conjunto X que asocia sus elementos a los elementos del mismo conjunto X de manera unívoca. Es decir, asocia cada elemento a uno, y solo uno, de los elementos de su mismo conjunto. El conjunto de todas las posibles permutaciones sobre un determinado conjunto X, junto con la operación de composición de funciones (∘), forma un grupo denotado por SX. Para probarlo, se debe comprobar que cumple todas las propiedades de los grupos. 1. Permutar dos veces es también una permutación. 2. La composición de funciones es asociativa. 3. La permutación que asigna un elemento a sí mismo es la función identidad. 4. Como las permutaciones son biyectivas, cada una tiene una inversa que es también una permutación. Cuando X es el conjunto de números naturales desde 1 hasta n, el grupo SX se representa como Sn y se le denomina el grupo simétrico de orden n. El número de elementos en Sn, es decir, de posibles permutaciones de n números es n!. En los ejemplos musicales de este texto, los conjuntos estarán numerados desde 0 hasta n-1, siendo n el número de elementos a permutar, en vez de desde 1 hasta n. Seguirán siendo grupos simétricos de orden n, pero con una numeración distinta. La notación utilizada para representar una permutación σ perteneciente a Sn con la numeración desde 0 y con σ(m) siendo el elemento asociado a m mediante σ, es: 5.3. Aritmética modular Fijado un n ∈ ℕ, se dice que a y b son congruentes (o equivalentes) módulo n si tienen el mismo resto al dividirlos entre n; es decir, que todos los números con el mismo resto se agrupan y se toman como equivalentes. Se expresa como a ≡ b (mod. n). De esta forma se pueden operar entre sí los números del 0 al n-1, ya que se conservan las operaciones de los números enteros, y si un resultado es ≥ n se puede seguir dividiendo entre n para que cumpla 0 ≤ r < n. Se conserva la suma (y la resta), ya que si a = nqa + ra y b = nqb + rb, entonces a + b = (nqa + ra) + (nqb + rb) = n(qa + qb) + (ra + rb), así que el resto de a + b es igual al de ra + rb. La aritmética modular también se llama aritmética del reloj porque funciona de la misma manera que las horas en un reloj. Como el 3 tiene el mismo resto entre 12 que el 15, las 15h son las 3h: 3 ≡ 15 (mod. 12). O, por ejemplo, 2 horas después de las 11 dan las 13, es decir, la 1: 2 + 11 = 13 ≡ 1 (mod. 12). También se conserva la multiplicación: si a = nqa + ra y b = nqb + rb, entonces ab = (nqa + ra)(nqb + rb) = n2qaqb + nqarb + nqbra + rarb = n(nqaqb + qarb + qbra) + rarb, así que el resto de ab es igual al de rarb. En música, la aritmética modular se puede encontrar en las escalas: todas las notas Do se toman como equivalentes, por ejemplo, y al sumarle 12 semitonos (una octava) se vuelve a obtener un Do. Si se asocian los números del 0 al 11 a las notas cromáticas del Do al Si, entonces 0 + 12 = 12 ≡ 0 (mod. 12). Entonces se dice que un número k pertenece al conjunto , con las propiedades indicadas, de esta manera: k ∈ ℤ12.   Nota: 1 La nota 7 aparece como bordón y no en la misma voz que el resto del tetracordio, por lo que su posición es también excepcional. Bibliografía [1] Felipe Aguirre. El concepto de “disonancia” en Adorno y en la nueva música. Enero de 2019. Consultado en agosto de 2019. [2] Pierre Boulez. Schoenberg is dead, 1952. Publicado en la revista The Score originalmente; consultado en línea en agosto de 2019. [3] J. de Aixquivel. Memorias de Historia Antigua. Universidad de Oviedo, 1989. [4] Manuel Domínguez Romero. Las matemáticas en el serialismo musical. Sigma, 41(24):93–98, 2011. [5] Alicia Díaz de la Fuente. Estructura y significado en la música serial y aleatoria. PhD thesis, Universidad Nacional de Educación a Distancia, Departamento de Filosofía, 2005. [6] World Heritage Encyclopedia. Consonance and dissonance, 2017. Consultado en agosto de 2019. [7] Peter Farindon. Dodecaphonism: Schoenberg. In M. Everist and J. Dunsby, editors, Models of Musical Analysis: Early Twentieth-century Music, chapter 4, pages 45–60. Blackwell Pub, Oxford, Inglaterra, 1993. [8] Paco Gómez. Crónica del congreso Mathematics and Computation in Music 2019, julio de 2019. Consultado en agosto de 2019. [9] Paco Gómez. Mathematics and Computation in Music 2019: un congreso interdisciplinar, julio de 2019. Consultado en agosto de 2019. [10] Tuukka Ilomäki. On the Similarity of Twelve-Tone Rows, 2008. Consultado en línea en agosto de 2019. [11] Knud Jeppesen. Counterpoint: The Polyphonic Vocal Style of the Sixteenth Century. (The Prentice-Hall music series). Dover Publications, 1992. [12] James P. Kinney. Twelve-tone Serialism: Exploring the Works of Anton Webern. Master’s thesis, University of San Diego, University of San Diego, 2015. [13] Arnold Schoenberg. Composition with twelve tones, 1923. Publicado en Style and Idea. [14] Arnold Schoenberg. Hauer’s Theories, 1923. Publicado en Style and Idea. [15] Richard Wagner. Oper und Drama, 1851. [16] June Xiao. Bach’s Influences in the Piano Music of Four 20th Century Composers. PhD thesis, Jacobs School of Music, Universidad de Indiana, 2014.

Miércoles, 11 de Septiembre de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

147. 143. SOLUCIÓN CONCURSO DEL VERANO DE 2019

Como siempre, atacando por la espalda, cuando empezamos a disfrutar de las vacaciones, aparece septiembre y el nuevo curso. En fin, que todo cada vez pasa más deprisa. No quiero enrollarme mucho, que la reseña ya es de por si extensa (gracias Nerea por tu comprensión, sobre todo por la dificultad de repasar los símbolos matemáticos con la dificultad añadida de los editores en la red). Simplemente felicitar a todos los participantes e indicar que es el primer año de los quince del concurso que dos de ellos no han dado la película-enigma (uno por confusión con otra con ciertas similitudes, y otro, supongo, porque no ha tenido demasiado tiempo para meterse con ello). Ciertamente intenté que las cuestiones matemáticas fueran más asequibles, y las pistas sobre la película algo más difusas (a lo mejor me pasé, pero es que es, al menos para mí, un título muy conocido). Tenía ganas además de poner algún título de Fritz Lang, uno de mis realizadores favoritos (tengo muchos, pero Lang fue un crack, ya desde la etapa muda). No es su mejor película, obviamente, pero fue la que más me cuadró para esta propuesta “para todos los públicos” (y en este caso me refiero desde el punto de vista de aceptación por la mayor parte de todos; no voy a meter en estas cosas a Bergman o Tarkovski, como cualquiera puede comprender). Cuestiones Matemáticas M – 1.- Si nos dijeran que la suma de un número de cuatro dígitos y sus cuatro dígitos resulta ser 2019. ¿De qué número de cuatro dígitos hablamos? Llamemos n a dicho número. Es obvio que n < 2019. Entonces la cifra de unidad de millar será 1 o 2, y la suma de las tres otras cifras (unidades, decenas y centenas) es como máximo 27 (porque 9 x 3 = 27 en el caso extremo). Por tanto, la suma de los dígitos del número que buscamos es a lo sumo 29, y entonces n ≥ 1990. Llamemos S a la suma de n y los dígitos que lo forman, y sea d un dígito cualquiera. Si n = 2010 + d, entonces S = 2010 + 2 + 1 + 2d; cuando S = 2019, entonces d = 3, posible solución n = 2013. Si n = 2000 + d, entonces S = 2000 + 2 + 2d, con lo que S sería un número par, y nunca podría ser 2019, que es impar. Si n = 1990 + d, entonces S = 2009 + 2d. Cuando S = 2019, d = 5, posible solución. Entonces n = 1995. Si n = 1980 + d, entonces S = 1998 + 2d, y como en el primer caso, S sería par, con lo que nunca podría ser 2019. Si n = 1970 + d, entonces S = 1987 + 2d. Para que S fuera 2019, entonces d debería ser 16, lo cual es absurdo porque d es un dígito. En principio, hay dos posibles soluciones. Después de resolver la siguiente cuestión, la M – 2, deduciremos cuál de los dos valores es el buscado. M – 2.- La diferencia de años entre el número anterior y el año de estreno de la película tiene el mismo número de divisores que el propio año de estreno de la película. ¿Serán suficientes esos datos para determinar dicho año de estreno? Dar un razonamiento a favor o en contra. Adelantándonos un poco, y utilizando información que posteriormente averiguaremos, como el año de estreno de la película es 1955 = 5 • 17 • 23, el número de divisores es 8 de acuerdo con una conocida expresión (si n = p1d1 • p2d2 • …. • prdr, entonces el número de divisores de n es el producto div(n) = (d1 + 1) (d2 + 1) …. (dr + 1) De las dos posibles soluciones del apartado anterior M – 1, como 1995 – 1955 = 40 = 23•5 (que tiene 8 divisores también ya que son (3+1) (1+1), de acuerdo con la fórmula anterior), pero 2013 – 1955 = 58 = 2 • 29, tiene sólo  (1+1) (1+1) = 4 divisores. Por tanto, la solución de M – 1 es 1995. Sin ningún otro dato adicional, no es posible determinar el año x de estreno si no lo supiéramos, ya que, según el enunciado, lo que debe cumplirse es que div(1995 – x) = div(x), y eso lo cumplen un montón de valores de x: 1955, 1957, 1961, 1965, 1969, 1971, 1975, 1981, 1985, 1993. En definitiva, que harían falta más datos para determinar el año. M – 3.- La acción tiene lugar en el siglo de las luces, en un año tal que al ser dividido por 2 y por 4 da resto 1, y al hacerlo por 3 y por 5 da resto 2. ¿A qué año nos referimos? El siglo de las luces es el siglo XVIII, de modo que buscamos un valor entre 1701 y 1800. Al tener los restos y los divisores, parece un claro ejemplo de utilización del conocido como teorema chino de los restos. Veamos si ese resultado nos lleva a la solución. Si n es el número que buscamos, los datos que nos dan son n ≡ 1 mod 2 n ≡ 1 mod 4 n ≡ 2 mod 3 n ≡ 2 mod 5 La primera condición nos indica que n = 2k + 1, para algún valor de k. Sustituyendo ese valor en la tercera condición, tenemos que 2k + 1 ≡ 2 mod 3 Simplificando llegamos a que 2k ≡ 1 mod 3. Para despejar k, basta con multiplicar la congruencia por un valor que nos dé coeficiente uno para k módulo 3. Eso se logra al multiplicar por 5, ya que 10 ≡ 1 mod 3. Eso nos lleva a que k ≡ 5 mod 3, y por tanto k es de la forma k =3t + 5, para algún valor de t. Sustituyendo k en la igualdad que teníamos de n, llegamos a que n = 2(3t + 5) + 1 = 6t + 11 Del mismo modo que en el paso anterior, sustituimos en la cuarta condición, teniendo que 6t + 11 ≡ 2 mod 5, es decir, 6t ≡ 1 mod 5. Multiplicando la ecuación por 6, se concluye que t ≡ 6 mod 5, es decir, que t = 5r + 6, para algún valor de r. Sustituyendo ese valor en la última expresión que habíamos deducido para n, se tiene que n = 6 (5r + 6) + 11 = 30 r + 47 Finalmente, empleando el segundo dato (que me lo he saltado por simple despiste), tendremos que 30 r + 47 ≡ 1 mod 4, o lo que es igual, 30 r ≡ - 46 mod 4, o análogamente, 2r ≡ 2 mod 4, o r ≡ 1 mod 4. De ahí, n = 30(4s + 1) + 47 = 120 s + 77 Para s = 14 encontramos el único valor entre 1701 y 1800, que resulta ser 1757. M – 4.- En un cierto día, la luna se ve con la sombra pasando a través de puntos diametralmente opuestos. Si el centro del arco circular que se está formando se encuentra en la circunferencia de la luna, determinar la proporción exacta de la luna que no está en la sombra. ¿Cuál es dicha proporción (en modo exacto)? Llamemos r al radio de la luna y C su centro. Sea R el radio del arco circular que forma la sombra y O el centro de dicho arco. Sean P y Q los puntos donde la sombra corta a la circunferencia de la luna. Sea x el área del triángulo POQ, y el área de la región entre PQ y el arco que pasa por P y Q centrado en O, y z el área de la región limitada entre los dos arcos (o sea el área de la sombra). Como PC = CQ = r, OP = OQ = R, y el ángulo POQ es de 90 grados (dado que PQ es un diámetro), entonces R = 2r, y por tanto, R = r. Entonces x + y = ¼ π R2 = ¼ π (r)2 = ½ π r2. También se observa que la suma de las superficies y y z es la mitad del área del círculo centrado en C, es decir, y + z = ½ π r2 Entonces x + y = y + z, y de ahí se sigue que x = z. Como x es igual al área del triángulo rectángulo POQ, entonces z = x = ½ (√2 r)2 = r2. El área de la región que no está en la sombra es igual al área del círculo completo centrado en C menos z: π r2 -  r2 = r2 (π - 1) Por tanto, la proporción exacta de la Luna que no está en sombra es . Si se desea en porcentaje, esa fracción es aproximadamente 0.6817…, es decir, un 68.17%. M – 5.- Los carruajes tardaban exactamente tres horas en ir y volver a la ciudad más próxima situada 30 millas al oeste. Llegando octubre, el recorrido se dilataba media hora más. Estimar en ese caso la velocidad del viento. A falta de más datos (tiempo de descanso en el destino, etc.), supondremos que el carruaje circula a velocidad uniforme. Entonces ésta será Vcarruaje = espacio/tiempo = 60/3 = 20 millas por hora. Llamemos w a la velocidad del viento. En uno de los dos trayectos (ida o vuelta), el carruaje circula a favor del viento, de manera que su velocidad será de 20 + w, mientras que en trayecto opuesto será de 20 – w. Entonces el tiempo que tarda en cada trayecto será en un caso , y en el otro , de modo que en todo el trayecto será + = 3 + ½ Resolviendo la ecuación tenemos que la velocidad del viento será w = ≈ 7.56 millas por hora. M – 6.- Si la forma de la suela del zapato (excluyendo el talón, que está más reforzado) sigue la ecuación 4x2 + y2 ≤ 4, con y ≥ 0, y el desgaste del material que conforma la suela se expresa en cada punto (x, y) por la función f(x, y) = 4x2 + y2 + 4x – 3y, determinar en qué punto exactamente se ha hecho el agujero, justificando el resultado. Si el desgaste de material viene dado por f(x, y), parece lógico pensar que el agujero se hará donde mayor desgaste de la suela se produzca (suela que viene dada por la semielipse positiva centrada en (0, 0) y de semiejes 1 y 2, respectivamente, ya que 4x2 + y2 ≤ 4, con y ≥ 0, es lo mismo que x2 + ≤ 1, con y ≥ 0 Por tanto, buscamos el máximo absoluto de la función desgaste, condicionado a la suela del zapato. Dicho máximo se alcanza con seguridad ya que la función de dos variables que describe el desgaste es continua (es polinómica) y la suela del zapato (la semielipse) es un conjunto cerrado (contiene el borde, es decir, los puntos frontera) y acotado (se puede incluir en un entorno de centro (0, 0) y radio 2.1, por ejemplo). En virtud del teorema de Weierstrass, la función desgaste alcanza con seguridad el máximo y el mínimo absolutos dentro de la semielipse. Utilizaremos para localizar el máximo absoluto el método de los multiplicadores de Lagrange. Definimos entonces la función auxiliar de Lagrange F(x, y) = 4x2 + y2 + 4x – 3y + λ(4x2 + y2 – 4) En primer lugar, veamos si los extremos relativos de f(x, y), son posibles candidatos a extremos absolutos. Como las derivadas parciales de f son, respectivamente, 8x + 4 y 2y – 3, el único extremo posible en R2 será (–1/2, 3/2). Como dicho punto se encuentra dentro de la suela del zapato (es decir, está en S, siendo S = ), es un posible candidato a extremo absoluto. Como seguramente el lector recuerde, para poder aplicar el método de los multiplicadores de Lagrange, los puntos obtenidos deben ser regulares de S. Y desgraciadamente, pueden alcanzarse extremos en puntos no regulares (a los que no podemos, insisto, aplicar el método de los multiplicadores de Lagrange). Así que, procedamos a localizar los puntos no regulares de S. Éstos son aquellos para los que el gradiente de la función g(x, y) = 4x2 + y2 – 4 no es máximo, es decir, el rango(∇g) < 1. Como ∇g(x, y) = (8x, 2y), el rango es nulo, si, y sólo si (x, y) = (0, 0). Y (0, 0)∈S, de modo que también es candidato a extremo. Aplicando la condición necesaria de extremo a F, obtenemos el sistema Con un poco de paciencia (despejando y sustituyendo) obtenemos como solución los puntos Ambos están en S, de modo que dos nuevos candidatos. Finalmente debemos considerar los puntos de la frontera y = 0 (los del borde de la elipse, son los anteriores). Estos son (1, 0), (–1, 0), y además aparece el (–1/2, 0), ya que al hacer y = 0, la función desgaste queda h(x) = 4x2 + 4x, y su derivada se anula en –1/2. Al verificarse el teorema de Weierstrass, basta con que evaluemos la función desgaste en todos esos candidatos a extremo. El valor mayor corresponderá al máximo absoluto, y el menor al mínimo absoluto. El primero es en el punto (1, 0) y el segundo en (–1/2, 3/2). Hubiera quedado más acorde con la película que saliera en el medio de la suela, pero el caso es que el máximo absoluto que resulta con estos datos es 8, que se alcanza en el punto (1, 0). M – 7.- Si imagináramos que el protagonista se encuentra en el punto A(0, 0) de un también imaginado plano coordenado, al reiniciar su camino se desplaza 1 unidad a la derecha, después r al norte, r2 a la izquierda, luego r3 al sur, r4 al este, r5 al norte, continuando con ese mismo patrón. Si lo hiciera indefinidamente, y siendo r un número positivo menor que 1, llegaría a un punto B(x, y). Demostrar que AB > 7/10. Denotemos por Pn = (xn, yn) el punto en el que se encuentra después de n movimientos. Así, tenemos que P0 = A = (0, 0), P1 = (1, 0), P2 = (1, r), P3 = (1 – r2, r), …. Es fácil comprobar que, para cada m ≥ 2, x2m-1 = x2m = 1 – r2 + r4 – …. + (–1)m–1 r2m–2 y2m = y2m+1 = r – r3 + r5 – …. + (–1)m–1 r2m–1 Utilizando la suma de los términos de una progresión geométrica, concluimos que Así, AB2 = x2 + y2 = , y como r < 1, M – 8.- ¿Cuántos? Tomando prestado el diagrama de uno de los concursantes, lo que buscamos en realidad es el valor de a + b + c. Tenemos los siguientes datos: Card(I) = 74, Card(A) = 17, Card(N) = 25, Card(I∩A∩N) = 4. Aplicando el principio de inclusión-exclusión, Card(I∪A∪N) = Card(I) + Card(A) + Card(N) – Card(I∩A) – Card(I∩N) – Card(A∩N) + Card(I∩A∩N). Entonces, despejando, se tiene que Card(I∩A) + Card(I∩N) + Card(A∩N) = Card(I) + Card(A) + Card(N) + Card(I∩A∩N) – Card(I∪A∪N) = 74 + 17 + 25 + 4 – 100 = 20. De acuerdo con el diagrama, (4 + a) + (4 + b) + (4 + c) = 20, luego a + b + c = 20 – 12 = 8. M – 9.- Calcular razonadamente el volumen de uno de estos objetos de altura h, sabiendo que se refuerza como vemos en la imagen con seis aros de hierro circulares, tres de ellos de diámetros distintos d1, d2 y d3 (d1 < d2 < d3). hasta la mitad; los otros tres repiten esos valores simétricamente, tal y como se observa en la imagen. El problema de modelización que pongo todos los años en el que el concursante debe “buscarse un poco la vida” aportando los datos que considere pertinentes para encontrar una solución práctica. Prácticamente todos los participantes han utilizado el cálculo integral para determinar el volumen de revolución de una parábola en la que previamente han colocado los valores d1, d2 y d3 que se indicaban. No incluyo las operaciones concretas por no alargar este texto. A todos les he dado la puntuación completa (salvo a los que simplemente dan un valor sin indicar como se obtenía, obviamente). M – 10.- ¿Qué barril se quedó sin comprar? El cliente pagó la misma cantidad (14 libras) por los de mejor calidad y por los de peor, y sabiendo que los primeros valen el doble que los segundos, eso significa que la suma de galones de los de mejor calidad es justamente la mitad que los de inferior. Se trata por tanto de agrupar los galones en dos grupos, uno con el doble de galones que el otro, dejando uno de ellos sin contabilizar. Si uno de esos grupos suma el doble del otro, eso significa que al menos uno de ellos debe sumar una cantidad par de galones. La suma de todos los barriles es 98 galones. Vayamos probando: 1.- Dejamos fuera el barril de 3 galones. El resto suma 95 galones. Hay que dividir 95 en tres partes, ya que una debe ser el doble de la otra. Eso no nos da números enteros, luego no es solución. 2.- Apartamos el barril de 13 galones. El resto suma 85 galones. Tampoco es divisible por 3. 3.- Quitamos el barril de 15 galones. El resto suma 83 galones. Tampoco es posible. 4.- Si eliminamos el de 17 galones, el resto pesa 81 galones. En un grupo por tanto debemos tener 27 galones y en el otro 54. Pero si intentamos sumar 27 galones con los datos de los barriles que tenemos, comprobamos que no es posible. 5.- Descartando el de 19 galones, nos quedarían 79 galones, que no es múltiplo de tres. 6.- Finalmente, apartando el de 31 galones, tendríamos 67 galones, que tampoco es divisible por tres. Por tanto, con esos datos no hay solución. ¿Y cómo puede ser? Pues porque el “listo” que esto escribe, con las prisas, cambió un barril: el de 3 galones, debería haber sido de 8 galones, y entonces, el cliente hubiera comprado los barriles de mejor vino de 13 y 15 galones a 0.50 libras el galón, y los de 8, 17 y 31 galones a 0.25 libras el galón, quedando por tanto sin vender el barril de 19 galones del que no sabríamos si era de vino de mayor o menor calidad. Mil disculpas. Ha habido participantes que lo han razonado perfectamente; al resto se les ha dado una puntuación proporcional al buen planteamiento que hayan realizado. M – 11.- A la entrada de la fiesta, una campana anunciaba con un toque la llegada de los invitados. Cuando llegó el primero, la campana sonó por primera vez. Cada vez que la campana sonó después, el número de invitados que llegaba eran dos más que los que habían llegado la vez que la campana sonó anteriormente. Si la campana tañó n veces, ¿cuántos invitados estuvieron en la fiesta? La cuestión es muy sencilla, a partir de una tabla como la siguiente: Veces que toca la campana    1          2          3          4          …        n Invitados que llegan               1          3          5          7          …        2n - 1 Por tanto, la suma total de invitados es la suma de la segunda fila, es decir, 1 + 3 + 5 + 7 + …. + 2n - 1 Utilizando la suma de los primeros sumandos de una progresión aritmética, se tiene que n = n2. M – 12.- Para juzgarlo, calcúlese la probabilidad de obtener en una mano de 7 cartas (las cinco del reparto inicial más 2 de cambio) cuatro reyes. Comparar con la probabilidad de obtener en las mismas condiciones únicamente tres reyes. Calcular ambas probabilidades es realmente sencillo. Utilizaremos como referencia la baraja francesa de 52 cartas (la que suelen utilizar las películas anglosajonas). Como ir sacando cuatro reyes de la baraja (sin reemplazar las cartas) responde a sucesos independientes, basta con multiplicar las sucesivas probabilidades de extraer un as, luego un segundo as, etc.; una vez obtenidos los cuatro, las restantes nos resultan indiferentes. Ahora bien, los ases pueden salir en cualquier momento de las siete extracciones (es decir, puede ser KKKKXXX, o XKXXKKK), de modo que hay que multiplicar la probabilidad por el número de sucesos posibles. Éstos serán = 35 Por tanto, p(4 reyes) = 35 ≈ 0.0001292824822…. En el caso de tres reyes, la probabilidad se calcula exactamente igual, con la diferencia de que, sacados tres reyes, después necesitamos que salga cualquier carta restante de la baraja, excepto el cuarto rey. Por tanto, p(3 reyes) = 35 ≈ 0.0058177117…., es decir, es mucho más probable, del orden de prácticamente 6 de cada 1000 partidas jugadas, mientras que la de los cuatro reyes, del orden de 1 de cada 10000 partidas. De modo que es bastante acertado concluir que hubo trampas, más aún teniendo en cuenta que su oponente había obtenido ¡¡cuatro reinas!! M – 13.- ¿Qué relación tiene con el emblema de la imagen? M – 14.- El emblema  divide al círculo en tres regiones. ¿Son iguales? ¿Podrían serlo? Atacamos en conjunto ambas cuestiones. Claramente el anillo circular de la película tiene marcada una Y, como indica la figura (es decir, si colocamos como centro O el punto desde el que parten los tres segmentos de la Y, los superiores están sobre las bisectrices del primer y segundo cuadrante, respectivamente). La primera parte de la cuestión M – 14, es inmediata: a simple vista se observa que los sectores circulares AOC y BOC (iguales) son mayores que el AOB. Pero como sabemos, en matemáticas las apreciaciones “a ojo” no son válidas, así que basta con argumentar que para que fueran iguales las regiones el círculo debería ser dividido por ángulos de 120º (porque es 360º entre 3), y el AOB es de 90º (los segmentos son perpendiculares: si OB es la bisectriz del primer cuadrante, el ángulo que forma con el eje de abscisas es de 45º). Entonces para que fueran iguales, deberíamos considerar ángulos (los tres) de 120º. Entonces la figura sería como la de la segunda imagen, que claramente no es la del anillo de la película. He tomado la circunferencia de radio unidad, de modo que el área del círculo sería 2π, y por tanto, cada parte sería de superficie 2π/3. Como ven no hace falta hacer ninguna integral, pero si la hacen, háganla en coordenadas polares que es mucho más rápida y sencilla su resolución. Respecto a la cuestión M – 13 , al tener una raíz cuadrada de dos en liza, lo primero que a uno le viene a la cabeza es involucrar una distancia, o si sus matemáticas son más elementales, la hipotenusa de un triángulo rectángulo (que es una distancia). Tampoco es muy complicado darse cuenta que el punto B, al ser el punto de intersección de la bisectriz del primer cuadrante (o sea, la recta y = x) y la circunferencia unidad (x2 + y2 = 1) tiene por coordenadas (,) (y si no nos percatamos, se resuelve el sistema). ¿Y qué es lo primero que a uno se le ocurre cuando tiene tres puntos A, B, C? Pues es obvio, calcular el área del triángulo. El triángulo ABC tiene por base (ya que es la distancia entre los puntos A(,) y B(,)), y por altura 1 + (la longitud de OC es obviamente 1, al ser el radio del círculo). Por tanto, el área del triángulo ABC (base por altura partido por dos) será: (1 + )  = Algún concursante (más sofisticado y perspicaz que yo), ha recordado que la cantidad dada es la razón o proporción de plata, y ha buscado el rectángulo de plata (aquel cuya proporción entre base y altura es ese valor) que contiene parte del emblema (no es muy complicado, basta darse cuenta del valor de la diagonal BC, por ejemplo). Lo destacable es que lo ha relacionado con el argumento de la película, ya que en ella se dice que las monedas que guardaba el pirata Barbarroja eran precisamente de plata y el medallón del esqueleto de Barbarroja también se dice que es de plata. Excelente observación, que debo reconocer como proponente, en la que nunca pensé, pero que ahí está. Por si fuera poco, otro concursante ha encontrado un curioso juego de palabras. El emblema de los Mohume es una Y (que en inglés se pronuncia “guay”, escribiéndola tal cual), y Why not es el nombre de la taberna del pueblo en la novela (Why también se pronuncia “guay”). M – 15.- El documento está doblado varias veces formando un cuadrilátero ABCD convexo e inscrito en el medallón (es decir sus cuatro vértices tocan la circunferencia que determina el medallón, como aparece en la imagen). Las diagonales AC y BD se cortan en el punto E. Sabiendo que AB = 39, AE = 45, AD = 60 y BC = 56, determinar la longitud de CD. NOTA: En efecto, las medidas de la imagen no están a escala (otro lapsus). No obstante, podemos hacer perfectamente el ejercicio. Empecemos por la semejanza de triángulos: los triángulos AEB y DEC son semejantes (tienen un vértice común y los ángulos en E son opuestos por un vértice). Por tanto, , es decir, (1) Por la misma razón, son semejantes AED y BEC, por lo que (2) De la primera y la tercera de estas fracciones, tenemos que , así que BE = 42. Por otra parte, el teorema de Ptolomeo afirma que AD • CB + AB • CD = BD • AC Sustituyendo los valores conocidos, tenemos que 60 • 56 + 39 • CD = (42 + ED) • (45 + EC)          (3) De (1), se tiene que CD = ED, y de la segunda igualdad de (2) que EC = ED. Entonces la igualdad (3) se transforma en 60 • 56 + 39 • ED = (42 + ED) • (45 + ED) Resolviendo la ecuación, se llega a que ED = 21 (la solución ED = - 75 obviamente la rechazamos), y de ahí, como CD = ED, tenemos que CD = ≈ 18.2. Cuestiones culturales y cinematográficas C – 1.- Es curioso que una película, en apariencia de aventuras, no se estrenara en España hasta pasados 27 años de su estreno internacional, y que además se hiciera por televisión, concretamente el domingo 6 de junio de 1982, por la segunda cadena de televisión española, a las 22:15, aunque se había programado para el sábado 6 de febrero de ese mismo año por la primera cadena, pero “sin ninguna explicación”, el ente público la cambió. En salas comerciales se pudo ver, como nos comentan los concursantes, en circuitos restringidos como salas de arte y ensayo, cine clubs o filmotecas. Así, en Madrid, el cine Bellas Artes la programó el 28 de agosto de 1987, en Sevilla el multicine Cristina la programó el 28 de mayo de 1988, y también el cine club Arquitectura el 15 de marzo de 1990. En Bilbao el 15 de noviembre de 2005 en el cine club FAS, uno de los más antiguos de España en activo, por cierto (seguramente el que más, pero habría que confirmarlo). También nos indican que en Vigo o Gijón se pasó por salas, pero sin prueba que lo demuestre, lo dejamos en el aire. En Valladolid, las salas Casablanca (aún en activo, especializadas en cine de autor) la programó el 7 de abril de 1988 (adjunto el anuncio de esa fecha del periódico El Norte de Castilla); posteriormente el viernes 11 de septiembre de 1988 la filmoteca de la Caja de Ahorros Popular también la pasa en un ciclo dedicado al realizador alemán. Curiosamente, el viernes 30 de agosto (a un día de finalizar el plazo de envío de las respuestas de este concurso) la Filmoteca Española la puso a las 18:00 en el Cine Doré, aunque allí la han programado más veces. C – 2.- Aunque los concursantes han hecho referencia al desplante del director alemán a Goebbles y su huida a Norteamérica, además de su ascendencia judía por parte de madre, y que en España el gobierno de Franco le tendría alguna animadversión, eso implicaría que ninguna película suya se hubiera estrenado por aquí, y eso no fue así. En este caso, nada que ver con la política. Ni a la productora (la Metro-Goldwyn-Mayer), ni al director, les gustó demasiado el producto final, por lo que no tenían demasiado interés en estrenarla en los EE. UU. Esto fue fruto de que al realizador se le impuso un guion, un formato en el que no estaba cómodo (el CinemaScope) y allá donde pudo fue modificando cosas durante el rodaje. Por ello, ni unos ni otros quedaron contentos. Finalmente se estrenó el 12 de mayo de 1955 en sesiones dobles y de cine infantil, sin ningún tipo de promoción, casi avergonzándose de proyectarla. Tampoco hicieron lo mínimo por distribuirla a otros países. En un viaje por Italia, el crítico y cineasta francés Luc Moullet la vio, y escribió una pequeña crítica en la prestigiosa Cahiers du Cinema (en el nº 62, para más detalles) calificándola de genial. Muy cerca de la redacción de la revista se encontraba el cine Mac-Mahon (en la homónima avenida), que se había especializado en estrenar películas que no hubieran llegado a Francia por circuito comercial, en versión original. Y en 1960 logran estrenarla publicitando el hecho como un gran triunfo. ¿Y cómo es posible que no gustara a los yanquis, siendo, porque lo es, una gran película? Hay que verla para descubrirlo, pero se trata de una película (y una novela) incómoda para lo que podríamos llamar, las mentalidades “políticamente correctas”. Nos han hecho a la idea de que a los niños se les debe mostrar un mundo bonito, perfecto, que ya tendrán tiempo de descubrir la realidad cuando crezcan. Hombre, no vamos a poner a los niños ante hechos salvajes o truculentos, eso está claro, pero tampoco podemos estirar el mito de los Reyes Magos al máximo, porque al final la decepción es tan mala como lo que pretendíamos reservar. Es una obra (novela y película) oscura, incómoda, sobre todo para los adultos, y eso, en 1955 costaba. Aunque de 1953 se estrenó Raíces Profundas (Shane, George Stevens, EE. UU.), con la que tiene no pocas similitudes, y sin embargo hasta la “oscarizaron”. Pero claro, no era lo mismo un western (para los que la mayoría no veía más allá de tiros y caballos) con un personaje íntegro hasta la médula, que la lejana costa inglesa con un protagonista vividor cínico, ambicioso y sin escrúpulos. C – 3.- El título original, Moonfleet, lugar inexistente en la realidad, es un compuesto de Moon (Luna) y Fleet (admite varios significados: el más evidente, Flota, pero también hace referencia a un estuario, una ría, una zona de marismas; y como verbo, ondear, ondular, rielar. Todas las acepciones cuadran, tal y como se indica en el párrafo que va a continuación de la novela), aunque el autor indica en la novela que “cuando era un niño pensaba que este lugar se llamaba Moonfleet porque en una noche tranquila, ya sea en verano o durante las heladas invernales, la luna brillaba muy intensamente en la laguna; pero luego aprendí que era la abreviatura de la "flota Mohune", de los Mohunes, una gran familia que una vez fueron los señores de todas estas partes”. C – 4.- Todos los concursantes han descrito que se asusta de una mano que sale de debajo de la tierra, de uñas muy largas, sucia y movimiento lento, tratando de asustar al niño. De un contrabandista en el contexto de la película, obviamente. Sin embargo, a lo que me refería con la cuestión era a quien concretamente pertenece la mano (). Fritz Lang tenía a gala, a modo de marca de fábrica, filmar su propia mano en sus películas. Esta es su mano (maquillada para la ocasión, claro; pensé que bastaba esa insinuación, para que los lectores lo dijeran, pero ya he visto que no). Así que sólo 5 puntos para todos en esta ocasión, excepto para uno que le doy 6 al darse cuenta de que la mano aparece exactamente en el “pinuto” 3:14, ja, ja, ja. C – 5.- Los diez puntos los alcanzan los que hayan indicado que los barriles de contrabando al subir la marea chocaban entre si flotando en la cripta que servía de escondite que se encontraba justamente bajo la iglesia (con esa intención se hizo la pregunta). El sonido se amplificaba a través de las cavidades, percibiéndose en la iglesia con cierto estruendo, que los lugareños atribuían al fantasma de Barbarroja (y obviamente difundido y amplificado por los propios contrabandistas, interesados en que se aceptara la explicación sobrenatural; vamos como algunos otros que hay por ahí que pretenden que creamos en …, bueno mejor me callo y que cada cual concluya). No obstante, los barriles son omnipresentes en toda la trama: el chiquillo se cae de un barrilete y gracias a eso descubre el medallón en el ataúd de Barbarroja, se utiliza medio barril para acceder al pozo donde se halla el diamante, en los barriles se guarda la preciada mercancía de contrabando. Los que hayan indicado alguna de éstas razones, más obvias, tienen cinco puntos. C – 6.- El papel encontrado dentro del medallón de Barbarroja describe varias citas bíblicas que el sacristán/sepulturero Felix Ratsey (buen conocedor de la Biblia) descubre (en la película) al instante que están mal citadas (el versículo no corresponde al texto). Este dato hace pensar a Jeremy Fox que el número incorrecto que sustituye al verdadero debe indicar algo. Tomando de cada cita la palabra que corresponde al número incorrecto (la secuencia es 10 - 6 - 15 -11 – 10) se compone la frase Treasure fourscore feet deep well, cuya traducción sería algo así como Tesoro a 80 pies de profundidad del pozo (obsérvese que fourscore son cuatro veintenas, es decir, ochenta). Eso les lleva al pozo de Hollisbrooke, que se dice el más profundo de Inglaterra, localidad en la que además Barbarroja fue gobernador del castillo. No entiendo por qué los guionistas cambiaron el nombre del lugar original, Carisbrooke, por el imaginario de Hollisbrooke. En este lugar hay un castillo medieval visitable y de cierto interés histórico y turístico, y con una Casa del pozo (Well-House) que data de 1587 y con una curiosa estructura de rueda de tracción animal y eólica para sacar agua. Es una de las mayores atracciones del castillo, donde se forman grandes colas de gente para observar a los burros de Carisbrooke trabajar (recordemos que así se mueve también en la película). C – 7.- Se trata de un símbolo heráldico denominado pall, y es el emblema de la familia Mohune. Uno de los concursantes ha tenido la paciencia de indicar el minuto exacto donde aparece el citado símbolo: Minuto 7:01.- El chico muestra el emblema de los Mohune como prueba de su identidad. Minuto 11:53.- Aparece en la verja de entrada a la mansión de  los Mohune con el Minuto 26:50.- Vuelve a aparecer el símbolo a los pies de la estatua de Barbarroja (un antepasado de los Mohune) dentro de la iglesia. Minuto 31:40.- Tras caer en el escondite de los contrabandistas por el agujero formado bajo el ángel tras la tormenta, se aprecian al menos 4 sarcófagos, todos ellos con el emblema de Mohune. Minuto 32:24.- Vuelve a verse en primer plano el emblema, en otro féretro perteneciente a Barbarroja apartado del resto. Minuto 32:52.- Tras romperse el féretro, sobre el esqueleto se observa un medallón con el símbolo. Minuto 67:22.- En el pozo donde hallan el diamante, se encuentra un ladrillo con el símbolo, marcando el lugar donde está escondido el diamante C – 8.- La caratula del DVD editado en España, el menú de opciones, etc., tienen el título con el que se conoce, Los contrabandistas de Moonfleet, heredada de la versión estrenada en Francia, pero cuando lo reproducimos en la versión doblada al castellano, la voz en off dice Los aventureros de la noche, que es cómo se emitió por televisión española y se anunció en los medios de comunicación. Siendo el año 1982, ya instaurada la democracia y la correspondiente eliminación de la censura desde hacía unos años, no entiendo ese otro título, y no he encontrado por qué en ninguna parte. Sólo cabe la especulación de que quizá no se quería presentar en una película, aparentemente de aventuras, y por tanto para todos los públicos, una actividad ilícita en el título como es el contrabando.  Pero insisto, es pura especulación. C – 9.- La película y la novela tienen muchas diferencias (como decía un participante, casi es más breve indicar las coincidencias). Hago una lista de todas las que nos habéis mandado, aunque como sólo se pedían seis, ese número basta para alcanzar los diez puntos de la pregunta, aunque algunos os habéis explayado: 1.- El Barbarroja de la película es en la novela Barbanegra. 2.- En la novela la posada se llama Why Not, mientras que en la película es The Halberd. 3.- En el libro, es el corpulento Elzevir Block (mesonero encubierto de la taberna) quien se encarga de John Trenchard (llamado John Mohune en el film), mientras que en la película es el galante contrabandista Jeremy Fox (administrador de los bienes de la familia Mohune). 4.- Además, Elzevir Block es el héroe de la novela, pero en el film es un contrabandista sin importancia y uno de los villanos (de hecho, es el que se enfrenta con una enorme lanza a Jeremy Fox en el duelo en la posada). 5.- En la novela, el joven Trenchard es, desde el primer momento, un habitante del pueblo de Moonfleet, y no un recién llegado como ocurre en la película. 6.- John es huérfano, pero en la novela vive con su tía Jane. Este personaje desaparece en la versión cinematográfica, donde solo se menciona la muerte de su madre Olivia. 7.- En la película, John es mucho más aniñado (tiene 11 o 12 años) y temeroso que en la novela (en la que tiene 15 años), y es más adulto y audaz. 8.- En el libro, tras encontrar John el diamante y subir del pozo, Elzevir lucha con el hombre que limpia las instalaciones, quien acaba cayendo al pozo. En la película, se queda inconsciente en el borde del pozo. 9.- En la novela, John se hace con la clave del acertijo gracias a una pista facilitada involuntariamente por la tía, pudiendo localizar así el escondrijo (el castillo donde estuvo retenido el rey Carlos I). 10.- En el libro, John viaja con la biblia de su madre y usa esta para descifrar el mensaje, pero lo hace dentro de la cueva donde se refugian. En la película lo descifran sin la biblia y escondidos en el camino tras unos arbustos. 11.- En la novela, John y Elzevir renuncian al diamante pues un malintencionado joyero holandés les dice que no es auténtico, sino de cristal. Esto no ocurre en la película. 12.- En la novela, Elzevir acoge al muchacho desde el principio, pero en la película, Jeremy tratará por todos los medios de deshacerse del muchacho y la compenetración será progresiva. 13.- John y Elzevir van varios años a la cárcel y después son enviados a Java, pero durante el trayecto, la embarcación naufraga frente a la costa de Moonfleet. Aunque John logra llegar a tierra, Elzevir muere ahogado. En la película no van a la cárcel y Jeremy Fox muere malherido por Ashwood, adentrándose en la mar en un bote. 14.- En el film, el magistrado Maskew no es el padre (como ocurre en la novela), sino el tío de Grace (la niña de quien está enamorado John en la novela). 15.- A diferencia de lo que sucede en el libro, en el film el párroco no interviene en las actividades delictivas de su comunidad, al menos de una forma cómplice. 16.- En la novela, John acaba casándose con Grace y tienen 3 hijos. La película termina con ellos niños. 17.- En la novela a Maskew lo matan accidentalmente sus propios hombres mientras persiguen a los contrabandistas, mientras que en la película Jeremy Fox lo despeña . 18.- La acción en la novela trascurre a lo largo de varios años y en la película sólo en unos pocos días. 19.- En el libro se disfrazan de carreteros, de albañiles y de marineros mientras que en la película Jeremy Fox se disfraza de soldado. 20.- En el libro el que resulta herido es John, en una pierna, mientras que en la película hieren a Jeremy Fox en una mano. 21.- En la película el castillo donde está el diamante se llama Hollysbrooke, en el libro se llama Carisbrooke. C – 10.- Desde hace tres años existe una publicación digital llamada Zenda, Autores, libros & cía. El pasado 10 de abril, Zenda lanzó el sello editorial Zenda Aventuras, con el que pretenden  recuperar novelas del género de aventuras que por diversas razones se han ido olvidando o se conocen mal. El diamante de Moonfleet de John Meade Falkner (el título original es Moonfleet), fue la novela elegida para iniciar este proyecto, disponible desde el 21 de mayo. Los libros de la colección presentan prólogos inéditos de Arturo Pérez-Reverte, portadas diseñadas en exclusiva por el célebre ilustrador Augusto Ferrer-Dalmau, y la traducción está hecha en exclusiva por la escritora Dolores Payás. Una magnífica iniciativa a la que deseamos larga vida. C – 11.- Varios cineastas franceses (ya comentamos antes el aprecio de los críticos de Cahiers por ella) han manifestado su interés y reconocimiento por Fritz Lang. El más conocido que manifestó su devoción por esta película fue François Truffaut, aunque tampoco escatimaron elogios Serge Daney, Jean Luc Godard, Luc Moullet o Bernard Eisenschitz. Cualquiera de estos nombres sirve como respuesta. C – 12.- Hergé (seudónimo de Georges Prosper Remi), autor de la célebre serie de historietas gráficas de Tintín, reconoció que Tintín y el capitán Haddock fueron inspirados en sus características básicas por John Trenchard y Elzevir Block, respectivamente, de la novela. C – 13.- Película: Los contrabandistas de Moonfleet (Moonfleet, Fritz Lang, EE. UU., 1955) Novela: Moonfleet (1898) de John Meade Falkner.   Puntuaciones Es realmente gratificante comprobar el magnífico nivel de todos los participantes (quiero hacer una mención especial a Alba Diez Mariño, que siendo una chica de 14 años solamente, ha resuelto, con las herramientas matemáticas que conoce a esa edad, la mayor parte de las cuestiones; algunas, era imposible que las hiciera, pero ha sido además honesta y no ha pedido a nadie que se las resolviera). Salvo malentendido de algún enunciado, todos han afrontado perfectamente todas las cuestiones matemáticas. Respecto a las de cine, siempre baja un poquillo, pero internet suele suplir las lagunas. 1.- Alejandro Apezteguía.- 274 puntos 2.- Francisco Pi Martínez.- 265 puntos 3.- Marta Pérez Ceballos.- 262 puntos 4.- Pedro Pablo Palacio.- 229 puntos 5.- Alba Diez Mariño.- 196 puntos 6.- Celso de Frutos de Nicolás.- 118 puntos 7.- Alberto Gustavo Colomo.- 10 puntos Agradezco a todos su buenísima disposición, la aceptación de la propuesta, y sus elogios (inmerecidos). Espero que hayan pasado de verdad un buen rato. En breve recibiréis un mail, algunos para pediros una dirección postal a la que enviaros un pequeño obsequio de DivulgaMAT, y los demás para comentaros un poco las puntuaciones de cada cuestión, una vez hayáis leído las soluciones. Alfonso Jesús Población Sáez

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148. 174. (Septiembre 2019) Math Casts

Es curioso comprobar cómo las ideas matemáticas originales surgen de las más variadas fuentes y de momentos históricos diversos: no solo entre los profesionales de la materia sino desde el mundo de los aficionados. Ocurre lo mismo con la magia y, por supuesto, con la magia matemática. Ya hemos presentado a lo largo de este rincón a un gran elenco de personajes, del pasado y del presente, tanto aficionados como profesionales, que han contribuido con sus ideas originales al desarrollo de esta disciplina. Si en la última entrega hablamos de un personaje científico actual, Harapan Ong (número 173), esta vez viajaremos en el tiempo para adentrarnos en las ideas mágico-matemáticas de un paisajista y mago aficionado del pasado reciente. Howard Adams nació en 1931 en Buffalo (Nueva York). Fue un prolífico e incansable escritor y publicó grandes enciclopedias de magia, como los 10 volúmenes de O.I.C.U.F.E.S.P. (acrónimo a la inglesa de "Oh, I see you have ESP") o M.I.N.D.E.S.P.A. (una serie de 12 ejemplares dedicados a la magia mental), pero también la colección ESP Card Magic, serie de 20 DVDs recopilados por Aldo Colombini, contiene multitud de juegos con cartas ESP originales de Howard Adams y otros autores. Falleció en 2010 en Laguna Niguel (California). El libro del que hablaremos esta vez es el titulado Mathcasts Aspellonu (H&R Magic Books, 2003), que podemos traducir como "El hechizo de los modelos matemáticos". Esto me recuerda el título del libro de Theoni Pappas, "The magic of mathematics: discovering the spell of mathematics", aunque de contenido completamente distinto. El libro de Howard Adams contiene 12 x 12 = 144 juegos basados en principios matemáticos de combinatoria y propiedades de invariancia y simetrías. Todos se realizan con un pequeño paquete de cartas o con símbolos ESP, a quienes dedicamos los artículos de enero (número 167) y febrero de 2019 (número 168). El propio autor califica estos juegos como solitarios mágicos pues la magia sucede en las propias manos del espectador, sin la intervención del mago. Durante mucho tiempo, el libro ha reposado en mi mesa de noche esperando su oportunidad de salir en nuestro rincón; la cantidad de juegos que contiene ha hecho difícil la elección. Es posible que, en el futuro, otros juegos también tengan cabida. Por el momento, valga mi recomendación como modelo lleno de ideas sobre magia y matemáticas. El juego que hemos elegido como muestra es el titulado MIRAKASTAK, el número 123 de la lista. Su desarrollo te dará una idea del tipo de juegos que contiene el libro, un verdadero filón para la magia pero también para la matemática: la sorpresa del resultado es el objetivo de la primera así como la búsqueda de la solución es la ocupación de la segunda. Separa de la baraja ocho cartas, del as al ocho, de palos mezclados (solo importan sus valores numéricos) y ordénalas de modo que, estando las cartas con las caras hacia abajo, estén en este orden, de arriba abajo (el as será la carta superior y corresponderá al número 1): En la versión original se utilizan también 60 monedas de un céntimo y tres monedas de 25 céntimos. Como no tenemos esas monedas en nuestro sistema eurístico, bastará tener escritas en dos hojas de papel las predicciones que desvelaremos en su momento. Corta el paquete de cartas por cualquier lugar y completa el corte. De este modo, cualquier número puede estar ahora en la parte superior. Reparte sobre la mesa las cuatro cartas superiores, de izquierda a derecha, formando una fila de cuatro cartas, pero colocando cara arriba las que quieras, desde ninguna hasta las cuatro. Un ejemplo: Reparte las cuatro cartas restantes, también de izquierda a derecha, sobre las anteriores, también cara arriba o cara abajo a tu gusto. Vas a recoger ahora todas las cartas. Para ello, gira el paquete de la izquierda y colócalo sobre el siguiente, como cerrando un libro. Gira ahora ese paquete de cuatro cartas y colócalo sobre el siguiente, como antes. Repite la operación anterior con este montón consiguiendo recomponer el paquete de ocho cartas quedando un solo paquete sobre la mesa. Ahora algunas cartas estarán cara arriba y otras cara abajo. Toma las dos cartas superiores del paquete, vuélvelas cara arriba si es necesario y ordénalas de menor a mayor formando así un número de dos cifras (la primera menor que la segunda). Toma las dos siguientes cartas del paquete y repite la operación anterior. Suma los dos números formados y comprueba si mi primera predicción es correcta: Quedan cuatro cartas del paquete mezclado. Recoge las dos primeras, vuelve cara arriba las que estén cara abajo y ordénalas de mayor a menor, formando otro número de dos cifras (ahora la primera cifra es mayor que la segunda). Repite la misma operación con las dos últimas cartas del paquete. Suma ahora los dos números de dos cifras que han salido y comprueba si mi segunda predicción es correcta: Un ejercicio interesante consiste en descubrir el método de adivinación. Más interesante aún es comprobar si hay otra forma de ordenar las cartas inicialmente para obtener resultados diferentes pero también predecibles. Observaciones finales: Habrás observado también que, en todos los casos, la suma de las dos cartas repartidas consecutivamente es igual a nueve. Como solo hay cuatro posibles combinaciones al escribirlas de menor a mayor, 18-27-36-45, la suma de dos parejas de dichos números es 63. Una situación análoga se presenta con los números que se obtienen ordenando las cifras de mayor a menor. Otra propiedad de la ordenación inicial, también descrita en el libro, es la invariancia de la resta: si las dos primeras cartas repartidas se ordenan de mayor a menor y las dos siguientes se ordenan de menor a mayor, la resta de estos números de dos cifras da siempre como resultado 36. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

Jueves, 05 de Septiembre de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

149. 99. (Agosto 2019) Crónica del congreso Mathematics and Computation in Music 2019

El congreso Mathematics and Computation in Music 2019 terminó el pasado 21 de junio. Gracias a la contribución de sus asistentes, el congreso fue un evento extraordinario. Científicamente, tuvimos contribuciones excelentes, profundas, intensas, relevantes. Emocionalmente, según me han hecho llegar muchos conferenciantes, también fue un éxito. Se creo una atmósfera muy amigable en que la gente no competía entre sí, sino que se ayudaba. Por supuesto, hubo crítica y desacuerdo, como ha de ser en toda reunión científica que se precie, pero esa crítica se centró en el contenido y no en la persona, y fue hecha siempre con intenciones de mejora, no de ganancia de poder. Socialmente, también fue un logro. Se hicieron múltiples contactos entre los asistentes como consecuencia del ambiente amistoso de la conferencia así como de la oportunidad de ver en persona a compañeros que trabajan en temas similares a los de uno. Esta efervescencia social fue consecuencia de la generosidad de los asistentes a la conferencia. El congreso se inauguró a las 9:30 de la mañana del 18 de junio por el Rector de la Universidad Politécnica de Madrid (UPM), Guillermo Cisneros. En el acto inaugural intervinieron Agustín Yagüe, Decano de la Escuela de Ingeniería de Sistemas Informáticos (UPM), Paco Gómez (UPM), el organizador local y general (y el humilde autor de esta columna) , Mariana Montiel (Georgia State University), la presidenta del Comité Científico, Guerino Mazzola (University of Minnesota), el Presidente de la Society for Mathematics and Computation in Music, y cerrando el acto el Rector de la UPM, quien ilustró sus ideas con una serie de historias sobre Bach y Euler. En la foto de abajo se ve una instantánea del acto de inauguración. Tras el acto de inauguración, empezó la actividad frenética de las charlas. En la foto de abajo vemos a Moreno Andreatta y Alexandre Popoff respondiendo a las preguntas de los asistentes tras su charla, que fue la primera (la charla tenía de título Groupoids and Wreath Products of Musical Transformations: a Categorical Approach from poly-Klumpenhouwer Networks). En otro momento de la conferencia vemos a Thomas Noll exponer su artículo junto con David Clampitt Exploring the Syntonic Side of Major-Minor Tonality. En la foto de abajo se ve a Paco Gómez junto a Maria Mannone explicando el significado del logo (el oso del logo es del madroño y no Yogui). Los cuatros días de conferencias fueron apasionantes; en particular, la sesión de homenaje a Riemman (Remanaging Riemann: Mathematical Music Theory as “Experimental Philology”?) sobre pedagogía de la Teoría Matemática de la Música (TMM) fueron especialmente productivas y llenas de contribuciones de calidad. La última charla no plenario la dio Jeremy Kastine, quien habló de su trabajo sobre ritmos euclídeos; su charla se titulaba Maximally Even Tilings. No hay que olvidar tampoco las charlas plenarias, que se dieron en el Real Conservatorio Superior de Música de Madrid (RSCMM). En la foto de abajo se ve a Paco Gómez dar la última charla plenaria, que versó sobre la necesidad de la divulgación en el campo de la Teoría Matemática de la Música. En esa charla ocurrió algo que pocas veces, muy pocas veces, he presenciado. El ambiente de aprendizaje, de compañerismo, de buen humor, de cohesión había llegado a tal punto en la conferencia que el turno de preguntas de mi charla se convirtió en un animado y profundo debate sobre múltiples cuestiones de nuestro campo. Se habló largo y tendido de la relación entre los músicos y los científicos, cómo toman unos y otros la presencia del otro, hasta qué punto se aceptan los análisis hechos por matemáticos e informáticos del fenómeno musical, el rechazo que existe en muchos departamentos de música y musicología a los métodos cuantitativos de análisis musical, se habló de la necesidad de que el gran público pero también el público especializado conozca los avances de la TMM, de abrir nuevos canales de comunicación en las redes sociales, se propuso crear canales tales como twitter, canales de Youtube, ¡crear una versión en inglés de esta columna!, escribir libros de divulgación, entre otras muchas ideas. El conserje tuvo que venir a echarnos porque tenía que cerrar el edificio. Otro momento que recuerdo con mucho cariño es el de las pausas para el café. Durante esas pausas los participantes dieron rienda suelta a su vena social. Se hicieron muchas conexiones e incluso se plantaron semillas para colaboraciones y amistades. Además, hubo una exposición interactiva, llamada La La Lab, the Mathematics of Music (https://imaginary.org/exhibition/la-la-lab-the-mathematics-of-music), organizada por Imaginarium. Esta exposición es gratuita —se pueden bajar los materiales desde su web sin coste alguno— y contiene excelente material divulgativo de la TMM. En la foto de abajo vemos a los participantes disfrutando del café y del material de la exposición. El último día nos hicimos la foto de grupo. La cena de gala fue un colofón muy agradable. Muchas risas, francas y abiertas, y un gran ambiente de amistad. Disfrutamos de arroces alicantinos en el restaurante Aynaelda. En la página de Flickr https://www.flickr.com/photos/webpgomez/albums/72157709203649743 se pueden ver muchas más fotos de este fascinante evento. Abajo tenéis fotos de cerca de algunos participantes.

Jueves, 01 de Agosto de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

150. 130. (Julio 2019) "Otto. El hombre reescrito" por Marc-Antoine Mathieu

Otto. L’homme réécrit (Éditions Delcourt, 2016) es una de las últimas novelas gráficas del guionista y dibujante Marc-Antoine Mathieu. Aunque ha sido traducida a otros idiomas, lamentablemente aun no se dispone de su versión en castellano. Esperemos que no tarde demasiado. Portada de Otto. L’homme réécrit. Como muchas de las propuestas de Mathieu, Otto contiene numerosas referencias matemáticas. En este caso la simetría y la teoría del caos conducen la trama de la historia,… historia cuyas seis primeras viñetas coinciden con las seis últimas del libro, pero colocadas en orden inverso. En efecto, el autor está recorriendo el tiempo en sentido inverso para situarse en el principio real de esta historia, que comenzó varios años antes, en el museo Guggenheim Bilbao, «el museo-espejo de Bilbao», según Mathieu en el texto. Estamos en la parte trasera del museo. Una gran multitud espera la actuación de Otto Spiegeli, un artista de fama mundial que realiza performances jugando con los reflejos de su cuerpo sobre diferentes espejos. A la izquierda de la viñeta que inaugura el inicio del relato se alza la bella araña Maman de Louise Bourgeois. A la derecha, una escultura en forma de banda de Möbius flota sobre uno de los estanques del museo. Parte trasera del Museo Guggenheim Bilbao. Imagen: Wikimedia Commons. Otto observa su imagen sobre un gran espejo que manipula, gira y termina rompiendo al lanzarlo súbitamente hacia el suelo. El público le aplaude con entusiasmo pensando que forma parte del espectáculo, pero Spiegel ha sentido durante un instante un profundo vacío que le ha inmovilizado; por ello ha dejado caer el espejo. El artista decide dejar sus espectáculos durante una temporada. Poco tiempo después, Spiegel se entera de que su madre y su padre han fallecido en un accidente de tráfico. Dejan como legado a su hijo su vieja casa y un gran baúl abandonado en el desván. El cofre contiene cuadernos, notas, dibujos, documentos fotográficos, audios y videos. Todos ellos son detalles de los siete primeros años de la vida de Otto Spiegel. Cada día, cada hora, cada instante de la existencia de Otto había sido examinado y registrado por sus padres sin que él fuera consciente de ello. De hecho, el artista no recuerda nada de sus siete primeros años de vida. Aquel baúl encierra su propia historia durante ese tiempo, su historia olvidada. Tras un tiempo reflexionando sobre qué hacer con aquella información, Otto alquila un gran estudio y se encierra allí para leer, ver y escuchar todos aquellos apuntes y grabaciones. Piensa que toda esa información puede ayudarle a encontrarse a sí mismo, a reescribirse. Y empieza su especial indagación comenzando por el día 365 de su séptimo año de vida, es decir, investiga su yo infantil en sentido inverso. Cada día registrado de su vida en aquel baúl le lleva veinticuatro horas de indagación para revivir hasta el menor detalle.  A lo largo de los años de inspección del contenido de ese cofre, Otto recuerda hechos banales, detalles insignificantes, todo está grabado. Trozos de tela de pijamas, hojas de árbol, fotografías anodinas le ayudan a recordar su infancia. Otto percibe nuevas verdades, pierde ilusiones, se aísla cada vez más en este obsesivo proceso de reescribirse… Mientras lee en sentido inverso cada día de sus primeros siete años de vida, Otto realiza su propia labor de investigación. En el amplio espacio del estudio que ocupa, al artista organiza los recuerdos y las relaciones entre ellos. Utiliza para ello una inmensa red de cuerdas entrelazadas en las que va colgando –como si se tratara de ropa tendida– notas con detalles que han sido importantes y han influenciado en otros sucesos. A estos hechos conectados los relaciona en el mismo trozo de cuerda. De este modo, traza una inmensa red de vértices –los recuerdos– y aristas –que unen vivencias relacionadas– con la que invade el gran espacio del estudio que anteriormente estaba vacíoii. Y aparece entonces la teoría del caos. Mathieu alude en el texto una cita del ingeniero químico Julio Ottino: «La característica común de todos los sistemas complejos es que muestran organización sin que se aplique realmente ningún principio externo de organización. Del mismo modo, la extrema complejidad de organización del cerebro humano no posee ninguna instancia superior, no hay ningún homúnculo que lleve las riendas.»iii A medida que Otto reescribe su historia, esa gran red de relaciones –entre los hechos, los actos y los pensamientos– que está construyendo va adquiriendo una forma singular que recuerda – así se dice en la novela– a un atractor extraño. Otto piensa que ese conjunto esconde la realidad de su ser, su síntesis, su verdad. Esta forma «… solo le pertenecía a él, solo a él. Un especialista en teoría del caosiv podría haber determinado su dimensión exacta: algo entre la tercera y la cuarta dimensión…»v. La última caja, la caja 0, contiene los 9 meses de su gestación: «Era como esos ocho años de existencia, todo y nada. Era como este objeto con una sola caravi, a la vez finito e infinito.»vii… Nota 1 La novela contiene numerosas referencias gráficas a la simetría a través de espejos, de espejos reflejándose en otros espejos, etc. Mathieu dibuja arborescencias –con cadenas de causalidad–, vórtices –aludiendo a su propio ombligo, galaxias, sistemas dinámicos, el infinito–, bandas de Möbius –sugiriendo la presencia simultánea de lo real y lo irreal, la fusión del pasado y el presente, …–, simetrías, atractores extraños –aludiendo al cerebro humano, al caos, a la fusión del pasado con el presente, al abismo, …–. Es imposible expresar solo con palabras la enorme riqueza que transmiten las imágenes, en las que se descubren detalles en cada nueva mirada. Nota 2 Esta es una versión ampliada del texto Otto Spiegel, de la simetría a la teoría del caos (Cuaderno de cultura científica, 5 junio 2019).   i Spiegel significa ‘espejo’ en alemán. Observar, además, que el nombre Otto es un palíndromo, una palabra obtenida por simetría especular. ii Otto está trazando un grafo que relaciona los sucesos de su infancia. iii Traducción del texto (en francés) que aparece en la novela gráfica. iv Recordemos que un atractor es un conjunto de valores numéricos hacia los cuales tiende un sistema dinámico cuando evoluciona. En los sistemas caóticos, pequeñas perturbaciones pueden llevar a cambios inesperados. A pesar del aparente azar involucrado, la dinámica del sistema caótico es determinista y tiende hacia estas complejas formas, los atractores extraños, que tienen dimensión de Hausdorff no entera; son objetos fractales. v Traducción del texto (en francés) que aparece en la novela gráfica. vi Se refiere a la banda de Möbius. vii Traducción del texto (en francés) que aparece en la novela gráfica.

Martes, 16 de Julio de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico