131. 59. (Enero 2020) Horas itálicas, bohémicas, babilónicas y otras

(Torre de los relojes solares. Liceo Louis le Grand. París) La medida del tiempo está vinculada a la astronomía. La destreza astronómica de los sabios de la antigua Mesopotamia hace que algunas de las formas de medida hayan pervivido durante milenios como el sistema sexagesimal y los días astrales de la semana. Pero no todo ha sido uniforme y tan estable; como muestra nos fijamos en la torre de los ocho relojes solares del patio del prestigioso Liceo Louis le Grand en París que muestra cinco formas de medir las horas: europeas, itálicas, babilónicas, medias y siderales. No son las únicas, desplazándonos al patio principal (Cour d’honneur) del Palacio Nacional de los Inválidos nos encontramos otro conjunto relojero que incorpora además las horas planetarias. (Reloj con horas planetarias. Palacio Nacional de los Inválidos. París) Hasta finales del siglo XIX, en España hasta 1900, no se empieza a establecer una forma universal que desembocará en el actual Tiempo Universal Coordinado (UTC) y que tiene su antecedente en la Tiempo Medio de Greenwich (GMT). Las horas eran locales y marcadas por la posición del Sol en el lugar. Los avances en los transportes y las comunicaciones como el ferrocarril y el telégrafo pusieron fin a las horas locales: los relojes solares sufrieron el descalabro definitivo. Las llamadas horas europeas son las habituales: dividen el día en 24 horas iguales siendo el medio día solar las 12. Son las más sencillas para hacer un reloj solar pues basta con un gnomón orientado según el eje de rotación de la Tierra que dará su sombra sobre un plano ecuatorial con una rotación de 15º a la hora. Tomando muros orientados al sur se construye fácil un reloj que aproveche al máximo la insolación. Cuando en un mismo reloj se dan las horas europeas y otras, se reserva para ellas los números romanos. Suele ser una convención que se respetaba. Las horas itálicas usaban el momento de la puesta del Sol (el ocaso) como inicio. El mismo criterio que se usaba en la antigua Bohemia y que encontramos en Praga por doquier. Horas itálicas y bohémicas son lo mismo: días de 24 horas que se inician en el ocaso. El mediodía solar va cambiando a lo largo del año de forma muy apreciable y más cuanto más al norte: en Praga oscila entre las 15h 55m al comenzar el verano y las 20h 55m en el comienzo del invierno. La ventaja de la hora itálica es que nos permite saber cuántas horas nos quedan hasta el anochecer por simple diferencia, algo bastante útil cuando la insolación marcaba el horario laboral o de marcha. Las horas babilónicas son similares a las itálicas pero empiezan a medir desde el amanecer (aurora u orto, según relojes). Las diferencia entre las itálicas y las bohémicas será de doce horas solo en los dos equinoccios. (Reloj con horas europeas, itálicas y babilónicas. Monasterio de Santa María del Paular) La construcción de relojes con horas itálicas y babilónicas requiere el mayor virtuosismo pues se necesita dibujar las hipérbolas de los solsticios para tener en cuenta la duración diferente de los días. El primer tratadista moderno en castellano de relojes de sol, el bachiller Juan Pérez de Moya en su Tratado de cosas de Astronomia, y Cosmographia, y Philosophia Natural (Alcalá, 1573), que enseña a construir relojes de varios tipos, se limita a explicar como se pasa de las horas españolas a las itálicas y bohémicas (que confunde con las babilónicas) por cálculo manual sencillo pero sin la construcción. Pérez de Moya es más conocido como autor del exitoso tratado de álgebra que se reedito múltiples veces durante dos siglos. Las horas medias tienen en cuenta la pequeña variación del día medio con el día solar (inferior a 20 minutos) a lo largo del año como consecuencia de dos efectos: la excentricidad de la órbita terrestre y la inclinación del eje de rotación. La manera habitual de corregirlo es dibujar la analema, la lemniscata no simétrica, que aparece en muchos relojes que es una forma de representar la ecuación del tiempo. La hora sideral, tiempo sidéreo, se calcula por la posición de las estrellas y no por la del Sol. La paralaje de las estrellas hace inapreciable la translación de la Tierra y el día sideral medio es cuatro minutos más corto que el solar. La hora planetaria o artificial divide el día y la noche en doce horas iguales por tanto la duración de unas y otras son distintas y van cambiando, a su vez, a lo largo del año. La hora planetaria es de tradición romana y recibe su nombre por su vinculación astrológica con los planetas: lunes empiezan con la Luna y así hasta el domingo que terminan empezando por el Sol. Mostramos a continuación algunos ejemplos de presencia de las distintas horas: El reloj astronómico de Praga Hay objetos y lugares que no necesitan presentación. El reloj de la parte baja de la torre del viejo ayuntamiento de Praga es uno de ellos porque es ya un símbolo de la ciudad y Patrimonio de la Humanidad. La zona superior muestra autómatas añadidos en el siglo XIX, la esfera inferior (1490) es un calendario con su abigarrado santoral y la espectacular esfera central (1410) es el reloj astronómico que da la hora solar oficial, las antiguas horas bohémicas, las fases y movimiento de la Luna, y tanto la posición del Sol en el zodiaco como la situación diurna /nocturna o crepuscular. (Reloj astronómico con horas bohémicas en la esfera exterior. Antiguo Ayuntamiento. Praga) La esfera astronómica es fruto de la colaboración del relojero Nicolás de Kadan con el matemático Jan Sindel. El reloj mecaniza las funciones del astrolabio plano: una proyección estereográfica de la esfera celeste de origen griego y que fue perfeccionada y extendida por la astronomía árabe. El astrolabio plano proyecta sobre el ecuador usando como foco el polo sur. La esfera de Praga cambia el foco al polo norte lo que facilita la visualización de los círculos excéntricos de la noche y el crepúsculo. La proyección determina tres círculos estáticos concéntricos: el exterior es el trópico de cáncer, el pequeño es el de capricornio y el intermedio es el ecuador. El círculo excéntrico móvil es la eclíptica, la posición aparente del sol en el sistema geocéntrico, que va moviéndose desde un trópico al otro. No es otra cosa que la inclinación del eje de rotación de la Tierra respecto al eje del plano de su traslación (23º 27´). Esta inclinación determina las estaciones del año y el acortamiento/alargamiento de la insolación diurna. El círculo fijo excéntrico negro es el correspondiente a las antípodas de la latitud de Praga (50º) para un almucantarate (paralelo local) de 72º (90º – 18º del crepúsculo). Marca la noche cerrada y oscura. El círculo fijo excéntrico color naranja es el interior del almucantarate de 90º, el horizonte local, realmente es una corona circular entre 72º y 90º que la proyección hace excéntrica. Marca los crepúsculos del amanecer (aurora o alba) y el del atardecer, cuando el Sol se ha ocultado pero la luz solar alcanza a verse por refracción. Los puntos de orto y ocaso son la salida (visual) y ocultamiento del Sol. La aurora se anticipa a la salida del Sol por la refracción de la luz en la atmósfera terrestre, y lo mismo con el crepúsculo del ocaso. Los 18º del crepúsculo astronómico son una herencia de la astronomía andalusí. La posición del Sol sobre la eclíptica se divide en 12 partes que son los signos del zodiaco. Las 24 horas actuales se marcan en números romanos sobre el círculo fijo. Las 24 horas bohémicas utilizan numerales arábigos antiguos y van sobre la corona exterior móvil porque marcan las horas transcurridas desde el ocaso anterior (igual que las horas italianas) y por tanto cambian día a día a lo largo del año. A 50ºN de latitud la insolación va modificándose desde un mínimo de 7 horas 50 minutos en el solsticio de invierno a un máximo de 16 horas 10 minutos en el solsticio de verano. Por tanto las 12 del mediodía solar oscilan entre las 20h 55m en el comienzo del invierno y solo las 15h 55m al comenzar el verano. Horas itálico-babilónicas de El Paular en Rascafría (Madrid) La antigua Cartuja Santa Maria de El Paular, hoy monasterio benedictino, ha recuperado gran parte de su valor artístico con la devolución de la Sillería y las pinturas de Vicente Carducho del Claustro, que sumadas a su Altar Mayor, Rejería y Obra, hacen que sea un lugar de máximo interés. Nos fijamos en el bello templete octogonal de los relojes solares que ocupa el centro del claustro. Hay tres relojes convencionales (declinantes) en la parte superior que marcan la hora solar del lugar, pero lo excepcional es el reloj de horas itálicas y babilónicas de la parte inferior. Tras la restauración de hace unos años luce todo su inmenso valor. (Templete con los relojes solares. Claustro del Monasterio de Santa María del Paular) Las horas itálicas substractivas son las que faltan para el ocaso y las horas babilónicas las que han transcurrido desde el orto. Sumadas dan la duración del día en la época del año. En la latitud de El Paular el día máximo dura unas 15 horas (solsticio de verano) y el mínimo 9 horas (solsticio de invierno). Conocer las horas de insolación disponibles era lo adecuado para realizar trabajos o continuar un viaje. Un puntero cónico de unos 35 centímetros hace de gnomón del reloj de índice: la punta indica las horas. Las líneas azules son las AB ORTV y las rojas las AB OCASV. Obsérvese la hipérbola superior del solsticio de invierno y la marcada parcialmente abajo del solsticio de verano. La línea recta del equinoccio es el trazo discontinuo no pintado. Si se suman los valores rojo y azul que se cruzan en el equinoccio dará 12. El reloj fue calculado y ejecutado por Fray Martín Galíndez, pintor, escultor y matemático que ingresó en la Cartuja en 1584. Los relojes solares del Clementinum en Praga El Clementinum, el enorme complejo jesuítico tiene un delicioso conjunto de catorce relojes solares del siglo XVII que permanecen casi ocultos en dos patios no accesibles. (Reloj con horas europeas, bohémicas y babilónicas. Clementinum. Praga) No hay certeza sobre la autoría pero es muy verosímil que fueran calculados por el astrónomo jesuita Valentin Stansel (1621-1705), nacido en Moravia y fallecido en Brasil, que fue profesor en Praga antes de enseñar en Évora y San Salvador de Bahía. Uno de los relojes está fechado en 1658, época que coincide con el magisterio de Stansel en el Clementinum. Los relojes dan las horas bohémicas (desde el ocaso, como las itálicas), babilónicas (desde el orto) o las solares convencionales. En algunos se mezclan los tres tipos de horas. Los muros están orientados según los puntos cardinales, de forma que hay relojes al sur, este y oeste. Salvo el reloj visible situado en la torre astronómica, que es posterior, los otros trece están en dos patios. Cuatro se localizan en el que se utiliza de aparcamiento y donde es fácil entrar; los otros nueve en un bonito patio trasero con fuente. Las horas bohémicas y babilónicas usan las hipérbolas de los solsticios para calcular las marcas adecuadas. Suelen ser relojes de puntero horizontal perpendicular al muro salvo en los convencionales cuyo gnomón es el paralelo al eje de la Tierra. La meridiana del Duomo de Castroreale Castroreale, un impresionante promontorio fortificado del norte de Sicilia desde el que se dominan la costa y sus islas próximas con muchos recuerdos de la época española. Sicilia es un reducto de recuerdos de la hora itálica tanto en los relojes como el de la catedral nueva de Ragusa como en las meridianas de cámara oscura de sus iglesias. (Relojes europeo e itálico. Fachada del duomo nuevo. Ragusa) El Duomo di Santa Maria Assunta de Castroreale es una iglesia de mucho interés con mirador sobre el Mediterráneo. Destacan sus continuas referencias, hasta ocho llegamos a contar, a Philippo IIII Siciliae Hispaneae Rege Potentissimo. La meridiana, diseñada por el lugareño Nicoló Perroni Basquez en 1854, es muy rústica y a su vez muy elaborada pues tuvo que vencer dos columnas que la obstaculizaban. La línea está marcada sobre un bonito pavimento de mármol que es digno de estudio por la variedad de sus grupos de simetría. Perroni marca la hora a la italiana para los distintos meses: el mediodía solar son las 16:10 en Cáncer y las 18:50 en Capricornio. En la imagen vemos como en octubre el mediodía solar son las 17: 40 en horas itálicas. (Meridiana de cámara oscura con horas itálicas. Duomo. Castrireale) La meridiana va atravesando las naves y las múltiples sillas que impiden la lectura pero su orificio gnomónico está abierto y sigue funcionando. Sicilia, y sobre todo la iglesia, seguía aferrándose a los antiguos usos de medida del tiempo en vísperas del desembarco de Garibaldi.

Jueves, 02 de Enero de 2020 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

132. 131. (Enero 2020) Composición nº1, de Marc Saporta

Una tirada de dados jamás abolirá el azar. Stéphane Mallarmé Un Coup de Dés jamais n’abolira le Hasard –Una tirada de dados jamás abolirá el azar– es el título de un poema de Stéphane Mallarmé (1842-1898) publicado en 1897. Compuesto en forma de versos libres, es uno de los primeros poemas tipográficos de la literatura francesa. El título de este poema, junto a su autor, aparece en el colofón del libro Composición n01 de Marc Saporta (1923-2009) en su traducción al castellano publicada por la editorial Capitán Swing en 2012. La primera versión, en francés, fue publicada en 1962 por la editorial Le Seuil. Composición n01 es una novela compuesta por 150 hojas no encuadernadas, no numeradas, escritas por una única cara e introducidas al azar en una caja. Fotografía de Marta Macho Stadler. En el prefacio, el autor explica las ‘instrucciones de uso’ de su novela y proporciona algunas claves sobre la lectura: Se ruega al lector que mezcle estas páginas como una baraja. Que las corte, si lo desea, con la mano izquierda, igual que una echadora de cartas. El orden en el que salgan las hojas después de hacerlo orientará el destino de X. Porque el tiempo y el orden de los acontecimientos regulan la vida más que la naturaleza de estos acontecimientos. Sin duda, la Historia impone un marco: la pertenencia de un hombre al maquis y su paso por las tropas de ocupación en Alemania pertenecen a una época determinada. Asimismo, los hechos que marcaron su infancia no pueden presentarse como vividos en la edad adulta. No obstante, no es indiferente saber si conoció a su amante, Dagmar, antes o después de su matrimonio; si abusó de la pequeña Helga durante su adolescencia o su madurez; si el robo que cometió tuvo lugar bajo el abrigo de la Resistencia o en tiempos menos turbulentos; si el accidente del que fue víctima carece de relación con el robo (o la violación) o si tuvo lugar durante la huida. Del encadenamiento de las circunstancias depende que la historia acabe bien o mal. Una vida se compone de elementos múltiples. Pero el número de composiciones posibles es infinito. El libro de Marc Saporta ‘cuenta’ una historia de un personaje misterioso. Una, y no la historia, porque el relato transcurre dependiendo del orden en el que se colocan las hojas tras barajarlas, como indica el autor en el prefacio. Cada página corresponde a un episodio procedente de los recuerdos del personaje X. Este narrador aparece como un ladrón y un violador. De hecho, dos de las páginas de Composición n01 se dedican a citar algunos artículos –entiendo que eran los que estaban vigentes en Francia cuando Saporta publicó su texto, en 1962– relativos a los delitos de robo y violación. Al recorrer las páginas de esta singular novela, la historia va incorporando diferentes personajes, algunos de los cuales son recurrentes: Marianne –la esposa de X–, Dagmar –su amante– o Helga –una joven a la que X viola– aparecen en numerosas ocasiones, mientras que otros personajes solo son citados en una de las páginas. Cada una de las hojas corresponde a un marco espacio-temporal que cambia continuamente. El lugar elegido –una ciudad ocupada por el ejército alemán, el patio de una escuela o el apartamento de alguno de los personajes– depende de lo que el azar dispone tras barajar las páginas del libro. Aunque pienses que estoy intentando ‘destripar’ la versión de Composición n01 que he leído, no pasa nada; es bastante improbable que, tras barajar las páginas del libro, la versión que tú vas a leer sea la misma que la mía… Fotografía de Marta Macho Stadler. El prefacio de Marc Saporta termina con la frase: Pero el número de composiciones posibles es infinito. En realidad, Composición n01 no contiene infinitas versiones de la historia de X. Aunque es cierto que contiene “muchas”. De hecho, al haber 150 páginas que pueden ordenarse de manera aleatoria, el número de novelas distintas que podemos leer es la factorial de 150 –son las permutaciones sin repetición de 150 elementos–. Para hacernos una idea de esa cantidad de versiones, la factorial de 150 es el número: 571338395644585459047893286526105400318955357860112641825483758331798291248453983931265744886753111453771078787468542041626662501986845044 66355949195922066574942592095735778929325357290444962472405416790722118445437122269675520000000000000000000000000000000000000, número que está formado por 263 cifras y finaliza con 37 ceros. Redondeando, la factorial de 150 es aproximadamente 5,7 x 10262. Y, efectivamente, es un número muy, muy grande… pero no infinito. Referencias Una tirada de dados jamás abolirá el azar de Stéphane Mallarmé (Una propuesta estético-filosófica de Juan David García Bacca, incluida en su obra "Necesidad y Azar. Parménides y Mallarmé", Editorial Antrophos, Barcelona, 1985), Revista aesthethika 12 (2), septiembre 2016. Caos e invención, pág. 53-54 Marc Saporta, Composición no1, Capitán Swing, 2012 Nota: Esta reseña se ha publicado previamente (25 de diciembre de 2019) en el blog Cuaderno de Cultura Científica de la Cátedra de Cultura Científica de la UPV/EHU con el título Composición nº1, la historia de X gobernada por el azar.

Miércoles, 01 de Enero de 2020 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

133. 103. (Diciembre 2019) Re-escalando música

Tras la serie de artículos Serialismo y matemática que ha ido de septiembre a noviembre de 2019, Celia Rubio, su autora, me presentó un cuarto texto, Re-escalando música. Este texto constituye la columna de diciembre de 2019. Es de nuevo una inmensa fortuna contar con la colaboración de Celia Rubio. Dejamos al lector con el placer de su escritura y concepto. 1. La visión artística de Schoenberg En julio de 1921, tras haber ideado los fundamentos del dodecafonismo, Schoenberg hizo el siguiente anuncio a su discípulo Josef Rufer [7]: He realizado un descubrimiento que asegurará la supremacía de la música alemana durante los próximos cien años. Durante la mayor parte de su vida, Schoenberg creyó que el público general acabaría aceptando la música dodecafónica del mismo modo que se habían aceptado los distintos sistemas tonales desde hacía siglos. Para él, la naturalidad del sistema dodecafónico residía en que era un paso más en el proceso musical histórico: desde el contrapunto y el desarrollo motívico, practicado por los grandes maestros de la tradición alemana, hasta la disolución de la tonalidad, anticipada por la música postwagneriana e impresionista. Todo era parte de un continuo, del desarrollo de la historia de la música. En palabras de Schoenberg [6]: Yo creo que la composición con doce sonidos, y la que muchos llaman erróneamente “música atonal”, no es el final de un viejo período, sino el comienzo de otro nuevo. Una vez más, como hace dos siglos, hay algo a lo que se llama anticuado; y una vez más, no se trata de ninguna obra en particular, [...] sino que otra vez sucede que es un estilo el condenado al ostracismo. Tras la muerte de Schoenberg en 1951, y durante algunas décadas más, su sistema compositivo fue venerado por los compositores jóvenes más brillantes (véase [4]), pero pronto se desvaneció de las salas de conciertos. El serialismo siempre se consideró una música académica, difícil de entender, apenas musical sino teórica. La complejidad de percibir esta música meramente por su estructura formal impidió, y todavía impide, que se disfrutara más allá de su estudio. Schoenberg intentó eximirse de culpa y a su vez culpó al oyente, quien según él creyó que no se esforzaba lo suficiente [6]: La composición con doce sonidos no tiene otra finalidad que la comprensión. A la vista de ciertos acontecimientos en la historia musical reciente, esto puede causar asombro, ya que las obras escritas en este estilo no han sido entendidas [...] Solo el compositor perfectamente preparado será quien componga para el oyente musical igualmente bien dispuesto. Al contrario de lo que Schoenberg creía, incluso el oyente experto, el que describe T. W. Adorno en su “Introducción a la sociología de la música” [1], tiene grandes dificultades para distinguir auditivamente todos los elementos que caracterizan el serialismo. Somos capaces de retener, a lo sumo, motivos de seis o siete notas, pero no de doce [3]; mucho menos de reconocer si una serie es transformación de otra. ¿En qué medida afectan las reglas dodecafónicas al discurso sonoro de una pieza? El dodecafonismo puede atribuirse el haber prescindido de algunas de las preconcepciones musicales más arraigadas, como la melodía, la consonancia o la tonalidad. Pero precisamente por eso es impopular, porque toma la disonancia y la pone al frente de toda la composición. Para Schoenberg, la aprobación del público no era el objetivo de su arte, y, de hecho, el desagrado colectivo era un signo del alto nivel artístico y espiritual [6]: El valor de mercado es irrelevante para el valor intrínseco (de la música). Un juicio no cualificado puede como máximo decidir el valor de mercado —un valor que puede ser inversamente proporcional al valor intrínseco. Ningún artista, ningún poeta, ningún filósofo y ningún músico, cuyo pensamiento se desenvuelva en la más alta esfera, habrá de descender a la vulgaridad para mostrarse complacientes con un eslogan tal como “Arte para todos”. Porque si es arte no será para todos, y si es para todos no será arte. Sin embargo, el rechazo a no ser rechazado ha dejado de tener cabida en nuestro contexto artístico. El academicismo ya no es excluyente a la divulgación o a la búsqueda de belleza sensorial. De las técnicas serialistas se puede tomar aquello que es interesante intelectualmente e incorporarlo a otras técnicas. Este es el experimento que he querido, con humildad, proponer: despojar al serialismo de uno de los elementos que provoca más rechazo: la disonancia extrema. Ya que esta proviene del cromatismo, el propósito del experimento es utilizar escalas que tengan menos intervalos de semitono para crear con ellas un pseudo-serialismo de menos notas. Se han modificado las notas de varias obras dodecafónicas ya existentes, mientras que el ritmo, la duración, el timbre y las dinámicas, que siguen siendo producto de los compositores originales, se han dejado intactas. El propósito final es intentar conservar la estructura matemática subyacente renovando, en cambio, la percepción colectiva de estas músicas. Para describir el proceso de modificación de las obras debemos definir lo que se entiende por escala y cuáles son las funciones óptimas entre escalas. 2. Escalas y funciones del experimento 2.1. Escalas interválicas, escalas y funciones Una escala interválica es una secuencia ordenada de números naturales – una secuencia de intervalos entre notas – tales que la suma de todos ellos da 12. Así solo consideramos válidas las escalas equivalentes octava a octava. Esto debe ocurrir para poder considerar transformaciones de la escala cromática en escalas menores, aunque es generalizable a cualquier longitud. Diremos entonces que la escala cromática es la súper-escala de las sub-escalas con las que trabajaremos. Por ejemplo, la escala diatónica jónica (o escala mayor) tiene como secuencia de distancias (2, 2, 1, 2, 2, 2, 1) cuando se miden en semitonos. Dada una escala interválica de longitud ℓ y una nota fija inicial, la secuencia de intervalos se convierte en una secuencia de notas de longitud ℓ+1. Se construye comenzando por la nota inicial y sumando cada intervalo para conseguir la nota siguiente. Con la escala mayor y la nota Re se consigue (Re, Mi, Fa#, Sol, La, Si, Do#, Re), ya que es equivalente a (2, 2+2=4, 4+2=6, 6+1=7, 7+2=9, 9+2=11, 11+2=13, 13+1=14). Por construcción, la última nota debe ser equivalente a la primera, ya que en el último paso habremos sumado a la nota inicial todos los términos de la secuencia interválica, y por definición suman 12. De esta forma, se puede definir una escala-k como el conjunto de notas generadas por una escala interválica desde la nota k. Por ejemplo, el conjunto anterior sería la escala-2 mayor; es decir, la escala de Re mayor. Una escala generada por una secuencia de intervalos con longitud ℓ tiene ℓ notas, ya que como la última es repetida no hay por qué considerarla. Su longitud ℓ ≤ 12, ya que una escala-k definida de esta forma siempre es un subconjunto de la escala cromática: Ek ⊆ ℤ∕(12). Al generalizarlo a cualquier súper-escala, habría que considerar las notas distintas según su escala o formular otras definiciones más adecuadas. Una función a una escala-k es una función f que transforma cada nota de la escala cromática a un valor de la escala Ek. Entonces f : ℤ∕(12) → Ek* reduce las notas de una melodía a solamente la escala escogida, donde Ek* está formado por las notas de Ek pero quizás en octavas distintas. Las funciones a escalas se representan de la siguiente manera, con la primera fila representando el dominio de f (la escala cromática); la segunda su imagen (la escala con repeticiones y en distintas octavas, Ek*); y la tercera su secuencia interválica, que es de interés, ya que coincide con la escala interválica de partida salvo en los valores nulos. El proceso verdaderamente interesante está en averiguar, dada una escala E, cuál es la mejor función que transforma melodías cromáticas en melodías en E. Estas son las funciones E-inducidas. ¿Cuáles serán las características de esas funciones óptimas? Deben ser sobreyectivas: si no, la música resultante tendría una escala más reducida de la deseada. Pero además deben conservar la estructura serial y deben conservar el parecido con la melodía original. 2.2. Funciones bien distribuidas La mayor prioridad es conservar la estructura serial de las piezas; por tanto, todas las notas deben aparecer con la menor frecuencia posible, y se debe evitar jerarquías entre las notas en la medida de lo posible. Si |E| < 12, f no puede ser inyectiva, por lo que va a haber elementos repetidos en la imagen. Queremos la f que mejor distribuya esas repeticiones, que distribuya las notas de E a lo largo de la escala cromática. Lo óptimo sería que todas tuvieran la misma frecuencia. Eso solo pasará cuando |E| divida a 12. Por ejemplo, si E = (entonces |E| = 6), existen funciones tales que cada nota de la imagen se repite exactamente 2 veces. La siguiente función E-inducida f cumpliría la condición de buena distribución: En cambio, si |E| no divide a 12 no hay funciones E-inducidas totalmente distribuidas. No existe una sola frecuencia que puedan compartir todas las notas de E. Sin embargo, sí se pueden encontrar dos frecuencias consecutivas, c y c + 1, tales que todos los elementos de E tengan o frecuencia c o frecuencia c + 1. Esto es lo más parecido a que todas tengan la misma frecuencia, y se va a probar a continuación que siempre es posible. La situación es equivalente a que E se pueda dividir en dos subconjuntos disjuntos Q y R, con |Q| = q y |R| = r (entonces q + r = |E|), tales que la frecuencia de las notas en Q es c y la frecuencia de las notas en R es c + 1. En resumen, para probar que Q y R existen, debemos encontrar un c, un q y un r naturales para los que cq + (c + 1)r = 12. En efecto: cq + (c+ 1)r = cq + cr + r = c(q + r)+ r = c|E|+ r = 12 lo cual se cumple por el algoritmo de la división, que asegura que al dividir 12 entre |E| existen su cociente c y su resto r ≥ 0, como queríamos probar. La siguiente tabla describe, para cada posible |E| en cada fila, la frecuencia óptima de sus elementos. Las columnas representan las frecuencias de los elementos, y los números de dentro son cada q y r (cuando es 0 no se escribe: no hay notas con esa frecuencia). Estas funciones forman parte del numeroso conjunto de elementos musicales de máxima regularidad. Un ejemplo importante de ellos son los ritmos euclídeos —para más información ver [2]. 2.3. Funciones E-inducidas Hay que pedir más requisitos a f para que no solo modifique las notas, sino que además las imágenes se parezcan lo máximo posible a sus preimágenes, a las notas originales. En esencia, lo que se busca es una escala a distancia mínima de la escala cromática en cuanto a unos criterios concretos. La manera matemática de formalizar esos criterios es definir una métrica para estas funciones; es decir, una manera de medir la distancia entre ellas para poder compararlas. La distancia d entre dos funciones f y g cualesquiera, d(f,g), debe cumplir estas propiedades básicas: 1. d(f,g) ≥ 0 3. d(f,g) = d(f,g) 2. d(f,g) = 0 ⇔ f = g 4. d(f,g) ≤ d(f,h) + d(h,g) La métrica que he escogido para comparar las funciones consiste en restar sus imágenes una a una, tomar el valor absoluto de esas diferencias y sumarlas: d(f,g) = ∑i=011|f(i) - g(i)|. Esto nos da una idea de cómo de “lejos” se encuentran una de la otra, y cumple los axiomas de una métrica. Nos interesa entonces encontrar la función más cercana a la función identidad, es decir, la que enviaría la escala cromática a sus mismas notas. Así se priorizan las funciones con el mayor número de puntos fijos —ya que el sumando en ese índice sería 0— , o que, al menos, se parezcan en su escala interválica asociada. Puede ocurrir que con esta manera de medir quede más de una función a distancia mínima. Entre ellas, yo he escogido la más grave, y así, dada cualquier escala E, su función E-inducida queda unívocamente determinada. En el enlace https://gitlab.com/dodecafonismo/f-inducida se encuentra el código en Haskell de un programa que, dado una escala, produce su función inducida óptima con las propiedades descritas anteriormente. En el código se puede escoger entre o bien encontrar la mejor función que use solamente las notas de la subescala dada, o bien permitir transposiciones de ésta —que conservan, aun así, la escala interválica asociada— y que es a lo que llamo “inducir la raíz”. También permite cambiar el dominio, o superescala, y que no sea la cromática, aunque en ese caso puede que la métrica definida no devuelva resultados tan intuitivos. 3. Modificación de partituras serialistas 3.1. Escalas utilizadas Las escalas escogidas para este experimento son cuatro escalas de distintos tamaños y sonoridades; desde el sonido oriental hasta el occidental clásico, pasando por el jazz moderno y el impresionismo. Son la escala pentatónica, la escala de tonos enteros, la escala heptafónica de do mayor y la escala octotónica. Estas son las funciones inducidas de dichas escalas según el algoritmo: 3.2. Obras modificadas Ahora se describirán las obras que pasarán por la modificación. Para abarcar distintos estilos compositivos y hacer este estudio más amplio, he escogido obras de los tres principales compositores dodecafónicos: Schoenberg, Berg y Webern. Sin embargo, no se han escogido obras de compositores posteriores ni serialistas integrales. Uno de los motivos es porque interesa en este estudio la relación entre los sonidos: no se modifican más que las alturas de las notas, y por tanto no se tiene en cuenta el resto de elementos musicales. Que estén compuestos serialmente no afecta a las conclusiones de este experimento. Por otro lado, los compositores posteriores a Schoenberg todavía no han pasado al dominio público. Eso impide, por desgracia, que se pueda trabajar libremente con su música. Por último, el hecho de que cada nota tenga su propia dinámica, su propia articulación o su propio timbre hace de las obras serialistas integrales difíciles de manipular. Además, como los audios están hechos mediante ordenador y no con intérpretes reales, la calidad y la intención musical de estas partituras tan complicadas nunca podrían plasmarse a la perfección. La primera obra que pasará por el algoritmo de modificación serial es la Suite para piano, Op. 25 de Schoenberg. Un análisis de esta pieza y de su contexto histórico se puede encontrar en [5]. Su serie principal es: La segunda obra es un arreglo para soprano y piano de una de las arias más destacadas de la segunda ópera de Alban Berg, Lulu. El libreto de la obra está basado en dos tragedias de Frank Wedekind: “El espíritu de la tierra” y “La Caja de Pandora”. El aria, llamada Lied der Lulu, es parte de una dramática disputa entre Lulu y su marido por las infidelidades de ella, que acaba con el homicidio accidental de él. La serie de Lulu es: La tercera, de 1936, es la única obra publicada de Anton Webern para piano solo: Variationen für Klavier, Op. 27, y se compone de tres movimientos: Sehr mässig, Sehr schnell y Ruhig fliessend. Su serie principal es: 3.3. Programa online de modificación de partituras He creado una página web online que transforma cada nota de una partitura a cualquier nota requerida, una a una. Este software sirve para no tener que modificar a mano las partituras del experimento, pero también puede servir para otros propósitos. Por ejemplo, para cambiar una partitura de mayor a menor, o viceversa. El programa solo admite partituras con formato Archivo Musescore sin Comprimir (.mscx) del software libre Musescore. En caso de tener la partitura en otro formato, debe abrirse en Musescore y guardarse en el formato correcto. Está escrita en Elm y el código puede encontrarse aquí. La aplicación web se encuentra en el siguiente enlace: https://modificaciones.netlify.com/. Sus instrucciones de uso se encuentran al final de la página web. 4. Conclusiones Todas las conclusiones que se pueden extraer de este experimento son enteramente subjetivas. El objetivo de realizarlo es poder seguir investigando con las propiedades matemáticas de la música, y analizar el impacto emocional que estas pueden causar. No se puede afirmar que la transformación mejore o empeore ninguna obra. En todo caso podemos interpretar qué transformaciones tienen un determinado sentido musical o estético, dependiendo de la escala utilizada o del estilo con el que estén compuestas. Tampoco debemos olvidar que el cromatismo siempre aportará a las obras una dimensión añadida, un elemento extra que ha impulsado gran parte de la innovación en la historia de la música. Quitarlo por completo es, en realidad, retroceder en la evolución del arte. En general, las transformaciones hexatónica y octotónica siguen conservando mucho del cromatismo que tiene la partitura original. Siguen sonando ajenas al oído tonal del oyente medio. Vamos a comentar algunas de las impresiones que generan las otras dos transformaciones en cada una de las obras, aunque dejaremos al lector que forme su propia opinión. 4.1. Obra de Berg: Lied der Lulu El estilo compositivo de Berg busca, en su mayor parte, acercarse a las formas tonales; maneja la falta de tonalidad serialista sin deshacerse de muchos elementos de la tradición musical. Sus melodías son fluidas y su fraseo inicia a conversar. Así, la transformación pentatónica (5) queda, quizás, algo simplista y repetitiva, y es en cambio la heptatónica (7) la que nos traslada a sonoridades más familiares. https://soundcloud.com/celiarubio/sets/berg-lied-der-lulu 4.2. Obra de Webern: Variationen op. 27 El estilo compositivo de Webern es rompedor y enigmático. Tanto fue así que su música sirvió de inspiración para el serialismo integral de los años 50. Sus melodías suenan fragmentadas y están llenas de intervalos de más de una octava. Es, por tanto, muy difícil que cualquier transformación que conserve similitudes melódicas con la partitura original pueda acercarse a músicas más convencionales. La esencia de esta obra está precisamente en su peculiaridad. https://soundcloud.com/celiarubio/sets/webern-op27-variations 4.3. Obra de Schoenberg: Suite op. 25 El estilo compositivo de Schoenberg en la Suite es tradicional, aunque busca nuevas sonoridades. Su principal objetivo es conservar la estructura formal anterior, y por ello lo único que aleja a la obra es el uso del serialismo en la altura de las notas. La obra es, en general, más armónica que melódica, ya que pretende simular texturas instrumentales del periodo barroco. Además, al centrarse tanto en la formalidad de la pieza aporta una riqueza separada del uso del serialismo. Por ello, la transformación pentatónica (5) no acaba siendo monótona sino muy sugestiva. Por otro lado, la elección concreta de la función transformativa, que hace predominar las notas do y sol —que aparecen en la nueva serie una vez más que el resto de notas— provoca que, en muchos casos, la obra simule estar en do mayor. Como en la partitura original predomina el intervalo de tritono re ♭ – sol, la transformación da peso al intervalo de quinta justa, que es la base de la armonía tradicional. La transformación heptatónica sigue dejando alguna disonancia debido a la existencia de semitonos entre las notas mi – fa y si –  do, y al tritono en fa – si. Al ser una obra ampliamente textural, muchos de estos intervalos aparecen con frecuencia. https://soundcloud.com/celiarubio/sets/schoenberg-op25-1-prelude https://soundcloud.com/celiarubio/sets/schoenberg-op25-2a-gavotte https://soundcloud.com/celiarubio/sets/schoenberg-op25-2b-musette https://soundcloud.com/celiarubio/sets/schoenberg-op25-3-intermezzo https://soundcloud.com/celiarubio/sets/schoenberg-op25-4a-menuet https://soundcloud.com/celiarubio/sets/schoenberg-op25-4b-trio https://soundcloud.com/celiarubio/sets/schoenberg-op25-5-gigue   Bibliografía [1] T.W. Adorno. Disonancias. Introducción a la sociología de la música. Continuum International Publishing Group Ltd., 1973. [2] Paco Gómez. Ritmos euclídeos y ritmos equilibrados, marzo de 2018. Consultado en octubre de 2019. [3] George A. Miller. The Magical Number Seven, Plus or Minus Two: Some Limits on Our Capacity for Processing Information. Psychological Review, 63, 1956. [4] Celia Rubio Madrigal. Serialismo y matemáticas - II. Divulgamat, octubre de 2019. [5] Celia Rubio Madrigal. Serialismo y matemáticas - I. Divulgamat, septiembre de 2019. [6] Arnold Schoenberg. Style and Idea, 1950. [7] H. H. Stuckenschmidt. Schoenberg: his life, world, and work. Calder, 1977.

Martes, 03 de Diciembre de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

134. 177. (Diciembre 2019) La posada mágica

Uno de los juegos clásicos de magia que casi todos conocemos desde nuestra infancia es el de la posada. ¿Lo recuerdas? Aparecen quince personajes, el cuatro de oros representa el posadero, los cuatro reyes, los cuatro caballeros y las cuatro sotas se representan a sí mismas y los cuatro ases hacen el papel de cuatro amigos. La posada tiene solo cuatro habitaciones así que llegan los cuatro amigos, el posadero les asigna una habitación a cada uno, llegan las cuatro señoritas pero, como no quedan habitaciones libres, cada una se hospeda en una de las habitaciones ya ocupadas, y así sucesivamente van llegando los cuatro caballeros y los cuatro reyes, que también van compartiendo las habitaciones ya ocupadas con el consiguiente enfado de unos y satisfacción de otros. Después del inevitable trasiego de habitaciones, representado por una mezcla de las cartas, al final se impone el orden y cada habitación está ocupada por un solo grupo de visitantes. Por la sencillez en su ejecución y el acompañamiento de una entretenida presentación, este juego ha sido y sigue siendo muy popular entre los principiantes aficionados a la magia. No explicaremos su funcionamiento, basado en propiedades de ordenación de las cartas, así que remitimos al lector interesado a consultar en la web las numerosas versiones del juego, como la que el mago Alfonso V muestra en este video. Como ya hemos adelantado, las matemáticas involucradas en el juego son muy simples: si tenemos un conjunto numérico según la secuencia 1-2-3-4-1-2-3-4-1-2-3-4-1-2-3-4, cualquier corte deja invariable la secuencia que alterna los cuatro números y, al repartirlos en cuatro montones, en cada montón aparecen los cuatro números iguales. Estas sencillas ideas se han utilizado en otros juegos, no menos clásicos ni populares, como el de los tres montones, también llamado el de las 21 cartas, y otros similares, algunos de los cuales han desfilado por este rincón (por ejemplo el de las cartas transpuestas descrito en abril de 2016). También se ha utilizado a modo de elemento didáctico en aulas de primaria, como se muestra en el portal "didáctica mágica". Como es natural, a lo largo del tiempo se han tratado de crear juegos que, a pesar de estar basados en las mismas ideas, oculten de algún modo el principio bajo el cual se apoyan con el fin de acrecentar las dosis de misterio y sorpresa. Uno de estos juegos es el ideado por Werner Miller, mago y matemático habitual en este rincón gracias a su incansable aportación a esta especialidad. El juego, titulado Lure, aparece en el primer libro de la colección Enigmaths, que consta de nueve volúmenes. Aunque el desarrollo de la acción pueda parecer similar al juego de la posada, se adapta más a una situación de punto fijo, como la mostrada en el número de octubre de 2019. Solo necesitaremos las veinte cartas con los valores del as al cinco de cada uno de los cuatro palos. Empieza colocando sobre la mesa y con las caras hacia arriba los cuatro ases en un montón, los cuatro doses en un segundo montón, y así sucesivamente, los cuatro cincos en un quinto montón. La situación será como la siguiente: Gira cara abajo las tres cartas superiores de cada montón, dejándolos en su misma posición. Quedará así: Recoge todas las cartas que están cara abajo, una a una, empezando por las cartas superiores y de izquierda a derecha, formando un paquete de cartas en la mano. Así pues, la primera carta recogida es la superior de la izquierda, luego la carta superior del siguiente montón, luego la superior del montón central, y así sucesivamente, hasta recoger las cinco cartas superiores de todos los montones. A continuación se repite la mismo operación empezando de nuevo por la izquierda y recogiendo las siguientes cinco cartas superiores. Por último se realiza la mismo operación con el resto de cartas cara abajo. Elige ahora un número del uno al cinco y confirma tu elección girando cara abajo la carta de la mesa que corresponde a dicho número. Con las cartas de la mano, pasa de arriba abajo del paquete tantas cartas como el número elegido. Así, por ejemplo, si el número elegido es el tres, sobre la mesa estará cara abajo el tres y cara arriba las otras cuatro cartas y, además, habrás pasado del paquete de la mano las tres cartas superiores a la parte inferior. Con las cartas de la mano, forma sobre la mesa dos montones repartiendo, caras hacia abajo, una a una todas las cartas sucesivamente a izquierda y derecha. Evidentemente, el segundo de los montones tiene una carta menos: coloca este montón sobre el otro para recomponer el paquete. Reparte nuevamente las cartas formando cinco montones: la primera carta sobre el as, la segunda sobre el dos, y así sucesivamente hasta repartir todas las cartas. Por último, gira todas las cartas caras hacia arriba: ¡Solo las cartas que están sobre el número elegido coinciden con dicho número! Comentarios finales: Una original adaptación del juego clásico de la posada que involucra a familias de números, como los números amigos, catalanes, narcisistas y vampiros, aparece en un libro de reciente publicación, del cual comentaremos en una próxima edición de este rincón. Por el momento, si quieres saber más sobre estas y otras familias de números, puedes consultar el libro Momentos entretenidos con los números de Jesús Escudero o la colección completa que aparece en el portal Math Goodies. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

Lunes, 02 de Diciembre de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

135. 146. De noche todos los gatos son pardos

¿Cuál sería el contexto, fuera de las Matemáticas, en el que la gente hablaría de triángulos? Pues de eso va la cosa, de triángulos amorosos y números de Fibonacci. Ficha Técnica: Título: Después de medianoche. Título Original: Dopo mezzanotte. Nacionalidad: Italia, 2004. Dirección: Davide Ferrario. Guion: Davide Ferrario. Fotografía: Dante Cecchin, en Color. Montaje: Claudio Cormio. Música: Fabio Barovero, Banda Ionica y Daniele Sepe. Duración:  92 min. Ficha artística: Intérpretes: Giorgio Pasotti (Martino), Francesca Inaudi (Amanda), Fabio Troiano (Angelo), Francesca Picozza (Bárbara), Silvio Orlando (Narrador), Pietro Eandi (Abuelo de Martino), Andrea Romero (Propietario del Fast Food), Giampiero Perone (Bruno, el vigilante nocturno), Francesco D'Alessio, Andrea Moretti y Gianni Talia (miembros de la banda de la Falchera), Maurizio Vaiana (el primo Maurizio). Sinopsis: Una noche, Martino, un ávido y tímido cinéfilo, vigilante nocturno del museo del cine de Turín, ayuda a Amanda, una joven cocinera de un restaurante de comida rápida que huye de la policía después de rociar a su explotador jefe con aceite caliente. El reino de ensueño de los personajes de películas mudas de Martino se convierte en un santuario para Amanda, mientras espera el rescate de su novio, un ladrón de coches del barrio turinés de la Falchera llamado Angelo. Obnubilada por el museo, Amanda desarrolla una sorprendente conexión romántica con Martino, que hasta ahora solo había encontrado compañía en sus sueños de celuloide. Dividida entre sus nuevos sentimientos por Martino y su problemática relación con el irresistible Ángel, Amanda intenta equilibrar el afecto de sus dos pretendientes. De este modo, se ven envueltos en este improbable triángulo amoroso. Comentario Preparando unos asuntos sobre los orígenes del cine, me encontré hace unos días con esta película, y de pronto, ¡¡matemáticas!! No sé si será conocida por el lector (seguramente no, dado que al cine europeo sólo nos acercamos los muy freakies del cine, o con algunos años ya a las espaldas), pero en cualquier caso se describe cierta (forzada) conexión entre el cine y las matemáticas que aprovecho para comentar. Para empezar, indicar que, siendo una cinta aceptablemente realizada y con ciertos anhelos de originalidad y trascendencia, queda bastante lejos de ser “una nueva Cinema Paradiso” como aparece en el cartel anunciador de la edición española del DVD. El utilizar como recurso antiguas películas mudas, el tener un protagonista convencido de la belleza y el arte del cine, o el disponer como escenario el estupendo y original Museo Nacional del Cine de Turín, no garantiza automáticamente el éxito de la empresa. No obstante, reitero que el resultado es agradable y digno, pero sin más. Comencemos con la parte matemática evidente y reconocible por casi cualquier espectador. El Museo anteriormente citado se encuentra situado en la Mole Antonelliana en el centro histórico de Turín, el edificio más singular de la ciudad, que, obviamente, aparecerá en muchos momentos del metraje de la película. Por la noche, en determinados momentos, aparecen iluminados sobre su torre una serie de tres números. Aunque después nos desvelarán cuáles son, por si no nos percatamos, se trata de distintos términos de la sucesión de Fibonacci. Recordemos que dicha sucesión viene dada por la expresión an = an-1 + an-2,   n ≥ 2 a0 = 0,    a1 = 1 Suponemos al lector suficientemente familiarizado con esta conocida sucesión, ya que, entre los incontables artículos, páginas y blogs de divulgación, e incluso en las aún más innumerables memeces seudo-científico-esotéricas, se han contado muchas de sus particularidades (su supuesto origen como descripción de la descripción de la progenie conejil, sus múltiples presencias en la Naturaleza, que también indica la película, como veremos, etc.). En cualquier caso, tienen montones de sitios a los que acudir como digo, por lo que nos ceñiremos a su estricta aparición en la película que nos ocupa. Hacia el minuto 43, segundo arriba, segundo abajo, Martino ha subido a lo alto de la Mole Antonelliana a Amanda (hasta el año 2017 era el edificio más alto de Turín, pero ese año terminó la construcción del rascacielos Grattacielo della Regione Piemonte; en cualquier caso, como la película es de 2004, en ese momento, la Mole Antonelliana era el edificio más alto de la ciudad). Desde ahí, y de noche, hasta el local de Fast Food en el que mal trabaja Amanda parece hermoso, comenta la joven. A continuación, Amanda pregunta a Martino por esos números iluminados sobre la torre, teniendo lugar el siguiente diálogo: Amanda: ¿Y esos números? Martino: Es la serie de Fibonacci. La serie de Fibonacci. Fibonacci, matemático de Pisa del siglo XI. Es una serie cuya característica más notable es que cada tercer número es la suma de los dos precedentes. Mira: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, y así hasta el infinito. Prueba a deshojar una margarita, o a contar las escamas de una piña o las semillas de un girasol. El número de pétalos de una flor es casi siempre un número de Fibonacci. Dichos números sugieren que en el Universo hay una especie de orden matemático, lo que nos llevaría a suponer que, probablemente, el mundo tenga algún sentido. Que no es poco. Aunque se entiende lo que quiere decir, digamos que la expresión “cada tercer número” no es demasiado correcta, ni siquiera gramaticalmente, porque el ordinal es único. No hay más que un tercer número. Debería haber dicho cada tres números, u otra expresión. Del mismo modo, aunque también se entiende, la versión original no dice “que el Universo tenga algún sentido”, sino “que tenga algún significado”. La primera sugiere algo con vistas a un futuro, mientras que la que dice en la versión original vendría a indicar que el Universo se ha configurado (pasado) de un modo lógico, matemático, sin la mediación del azar. En efecto, son matices, pero diferentes. La iluminación del edificio con números de Fibonacci no es ningún truco de la película, ni algo circunstancial. En el año 1997, Turín ideó el evento Luci d'Artista (La Luz del Artista), pensado para sacar el arte a la calle y que los ciudadanos pudieran conocer, disfrutar y aprender del trabajo de maestros de renombre internacional. Con el tiempo, las obras luminosas propuestas se han ido convirtiendo en una oportunidad para el diálogo entre el arte contemporáneo y el público en general. Al llevar la colección al tejido urbano, se logra un uso más amplio de las obras de arte y las personas se relacionan con más familiaridad. Aprovechando la redefinición de la iluminación exterior de la Mole Antonelliana y de la edición del año 2000 del evento Luci d'Artista, en el lado sur de la Mole se instaló la creación de Mario Merz (un defensor del uso de luces de neón en sus obras) denominada Il volo dei numeri (El vuelo de los números), que muestra el inicio de la sucesión de Fibonacci elevándose hacia el cielo. Pero no sólo quiso plasmar esa idea de infinitud, sino dejar patente la relación de la cúpula de la construcción de Antonelli con la curva que la delimita (un esquema de utilización matemática frecuente). Un modo estupendo de que el espectador asimile (aunque no tenga ni puñetera idea del significado) que las matemáticas son fundamentales en construcciones artísticas como ésta. Se fusiona así una obra de arte con el pensamiento, que invita cada noche a reflexionar desde el monumento más querido de la ciudad. Al final, las autoridades municipales decidieron dejar la iluminación de modo permanente, desde el anochecer hasta la una de la mañana en verano, y hasta la medianoche en invierno. La ciudad de Turín, propietaria de todas las obras de arte y planes de iluminación anualmente: este es un patrimonio cultural que crece año tras año. La última edición Luci d'Artista ha sido la vigésimo primera, y tuvo lugar entre el 31 de octubre y el 13 de enero de 2019, con 23 obras de arte contemporáneo (13 en el centro de la ciudad y 10 en los otros siete distritos de la ciudad). De ellas, seis obras quedaron permanentes y siempre operativas. Invitamos al lector/espectador a localizar otras apariciones de números de Fibonacci a lo largo de la película. Y como no, a descubrir la original estructura de todo el edificio, en el que se desafió todas las convenciones arquitectónicas, artísticas y técnicas Para lo que se emplearon estructuras geométricas, algunas aparecen en la película (son las matemáticas no explícitas, pero apreciables), de gran mérito e interés. Triángulos Al igual que sucede en ocasiones en la vida real, Amanda no tiene claro con cuál de los dos chicos quedarse, su novio, o Martino, porque cada uno le aporta algo diferente y complementario, y quiere tener ambas posibilidades, dependiendo del momento. Por eso les propone intentar ser tres. Aparece entonces el narrador que va dando explicaciones y haciendo reflexiones durante toda la película: Narrador: ¿Pueden estar enamorados tres? ¿No es bastante complicado con dos? Los seres humanos siempre intentan aplicar reglas matemáticas a las cuestiones del corazón con escaso éxito. Sea cual sea la fórmula escogida, siempre hay un factor por el que no salen las cuentas. Son muchas las composiciones visuales que se plasman en la película utilizando simetrías, reflexiones, transformaciones planas y tridimensionales diversas que aparecen en la película, utilizando elementos del Museo del Cine como espejos, paneles retro iluminados, etc. Cine, cine, cine En el tramo final de la película, el narrador explica la situación de los tres personajes relacionando cine y matemáticas. Para Martino, el cinéfilo por antonomasia, nos cuenta lo siguiente: Narrador: Si, como sugieren los números de Fibonacci, el mundo tiene un sentido, Martino ahora no entiende cuál. Pero las películas no son la vida. Es necesario escoger. A lo que se unen los consejos de su primo Maurizio (lo hace explicándole porque a él no le gusta el cine) y el abuelo de Martino (en ningún caso desvelaré las razones para que vean la película). A Amanda, Fibonacci le vendrá finalmente muy bien, por un motivo que tampoco desvelaré. Y finalmente, para Angelo, que a la vez que descubre los verdaderos sentimientos de Amanda, el guion nos tiene reservados un par de guiños, alguno desgraciadamente cómico (me refiero a algo relativo a Silvio Berlusconi), descrito del siguiente modo: Narrador: En realidad, ha aprendido que la idea de la cliente de Bárbara es la única regla de las historias de amor: para que uno sea feliz, a otro le toca llorar. Es como una matemática de los sentimientos, un más y un menos que suman y sustraen hasta el infinito y que, aunque dejándolo todo igual en términos generales, producen combinaciones especiales y siempre diferentes. Como las películas que cuentan las mismas historias desde hace cien años, pero uno sigue yendo igualmente al cine, porque espera alguna sorpresa. Museo Nacional del Cine de Turín Inaugurado en el año 2000, está dispuesto en torno a cinco pisos con una superficie total de unos 3200 metros cuadrados. Aunque pretende repasar la historia del cine mundial, destaca por el amplio repaso al cine italiano, como no podía ser de otro modo, desde los inicios del cine. Conserva además los fondos de la Fundación María Adriana Prolo, graduada en historia y literatura, pionera en las investigaciones del cine en Turín, entre otros trabajos. En 1941 comienza a recopilar, recuperar y conservar todo tipo de documentos y materiales relacionados con el cine y la fotografía turineses, y ya desde ese momento se tiene en mente establecer un museo para la ciudad. Sin embargo, ella no llegará a disfrutar de esta instalación (fallece en 1991) en una rehabilitada Mole Antonelliana, uno de los edificios históricos de la ciudad y entre los más emblemáticos de Italia. La visita al Museo, independientemente de lo relacionado con el cine, es espectacular y muy recomendable ya que dispone de un ascensor que permite subir hasta la parte más elevada de la torre y disfrutar de una espléndida vista de todos los puntos cardinales de la ciudad. Por supuesto el museo muestra también objetos, documentos, fotografías históricas, carteles, más de 12000 películas, biblioteca, y es la sede principal del Festival de Cine de Turín (Torino Film Festival, TFF), además de organizar ciclos de proyecciones cinematográficas durante todo el año. En la imagen, una escena de la película bajo una frase de un panel del museo de uno de los hermanos Lumiére: El cine es un invento sin futuro. Desde luego, como futurólogo no tuvo precio. La película rinde homenaje tanto a María Adriana Prolo como a Buster Keaton e incorpora al argumento algunos cortometrajes cuyo argumento tiene mucho que ver con lo que les sucede a los protagonistas de la película. Son los siguientes: El fuego (Il fuoco, Giovanni Pastrone, Italia, 1916) (un pintor desconocido está impresionado y obsesionado con conocer a una famosa poetisa, casada, e intentar deslumbrarla, ya que considera que no tiene el talento necesario para poder pintarla; es una película recuperada y restaurada por el Museo Nacional del Cine de Turín).- historia con bastantes puntos en común con la película que nos ocupa: Mario, un pintor desconocido, está obsesionado con conocer a una famosa poetisa a la que no es capaz de pintar. La mujer convencerá al pintor de que abandone a su madre con la que vive y que vaya a vivir con ella en su mansión. Con su amada, encuentra inspiración y alcanza fama con sus obras. Un día, la mujer recibe un telegrama informándole del regreso de su esposo, y decide alejarse de su amante. Una semana (One Week, Edward F. Cline y Buster Keaton, EE. UU., 1920).- Una pareja de recién casados intenta construir una casa con un kit prefabricado, sin saber que un rival saboteó la numeración de los componentes del kit. The Scarecrow (Edward F. Cline y Buster Keaton, EE. UU., 1920).- Dos granjeros inventivos compiten por la mano de la misma chica. En los hipervínculos es posible visualizar las películas íntegramente y en éste, la película de la que hablamos desde el inicio. Que ustedes pasen una estupenda velada y unas maravillosas vacaciones navideñas. Hasta el año que viene. Alfonso Jesús Población Sáez

Lunes, 02 de Diciembre de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

136. 58. (Diciembre 2019) Vanidades matemáticas

(Alegoría de la Vanidad. Valdés Leal. Wadsworth Atheneum Museum - Hartford) La matemática es un componente básico de la cultura, un exponente de la humanidad. Cada época tiene una forma de manifestar la presencia y destacar la importancia de la disciplina. Una de las representaciones más genuinas del arte Barroco es el misticismo que reprueba todo aquello que distraiga a las personas de la eternidad: la vida humana es un mero parpadeo en el infinito, dirá Juan de Valdés Leal. Protestantes o católicos, lo mismo da, ambas iglesias, la papista y la reformada, hacen la misma lectura de la sabiduría del Eclesiastés: ¡Vanidad de las vanidades, todo vanidad! ¿Qué saca el hombre de toda fatiga con que se afana bajo el sol? Todo en la vida es pasajero, lo que el hombre anhela le distrae de su ascético fin. El poder, la música, las armas, las dignidades eclesiásticas, las artes y las ciencias son humana vanidad. La calavera, los relojes, la vela apagada y el erote haciendo pompas de jabón suelen ser los recuerdos de que la vida humana dura lo que un suspiro en relación con la eternidad. (Alegoría de la Vanidad. Valdés Leal. Detalle. Hartford) La Alegoría de la Vanidad, Vanitas, será muy representada por muchos artistas del siglo XVII. Para el matemático es una forma de encontrar instrumentos y libros de su ciencia. El ambiente de pesimismo, propiciado por las guerras de religión, fomenta la piedad barroca frente al clima de confianza y apertura del renacimiento. La matemática pasa de ser representada como instrumento de liberación a mera pompa, en clara contradicción con la revolución científica que se estaba produciendo. Las alegorías matemáticas durante el medioevo fueron alabadas por la religión pues eran una forma de conocer la omnipotencia de la divinidad y comprender su diseño del mundo. Las catedrales góticas representaron las Artes Liberales y sus paganos sabios son esculpidos en los edificios cristianos. (Vanitas. Pieter Gerritsz. van Roestraeten - Haarlem, Frans Hals Museum) San Agustín y Santo Tomas, los representantes de la sabiduría cristiana, aparecieron acompañados de la Geometría, la Aritmética, la Astronomía o la Lógica. San Agustín en su estudio parece un escrutador matemático del universo. La matemática durante el Renacimiento es considerada la puerta que hay que franquear hacía la humanidad, aquello que libera de la bestialidad. Ya había dicho el filósofo medieval Roger Bacon que la matemática es puerta y llave. Toda época está llena de contradicciones y bajo la corriente principal coexisten visiones del mundo alternativa. La recuperada Tabla de Cebes marcaba un camino de ascenso místico que ponía la matemática en un desvío de lo verdaderamente importante. La memorable pintura de Los embajadores (1533) de Hans Holbein el Joven con su calavera anamórfica se anticipaba a lo que iban a ser las Vanitas barrocas. (Hans Holbein. Los embajadores (1533). Galería Nacional. Londres) La mayor similitud de las vanitates barrocas y quizá su fuente de inspiración se encuentren en el Omnia vincit Amor de los manieristas. El Caravaggio recuperó la expresión de las Bucólicas de Virgilio: El amor conquista todas las cosas, ríndete al amor. Un adolescente y provocador Eros aparece triunfante con las artes, las ciencias, las pompas militares y religiosas vencidas a sus pies. La Vanitas recoge el mensaje y lo cristianiza.  La comparación de El triunfo del Amor de Caravaggio con la Alegoría de la Vanidad de Antonio de Pereda muestra tanto las similitudes como las abismales diferencias. (El triunfo del Amor de Caravaggio frente a La Alegoría de la Vanidad de Pereda) Eros se transforma en Ángel. La figura mórbida, desnuda y provocativa se cubre castamente. Los objetos del suelo pasan a la mesa. Y sobre todo se incorporan muchas referencias al inexorable paso del tiempo: relojes, velas apagadas, y calaveras. La Vanitas matemática de Von Thum Al pintor sueco Christian von Thum (1625-1696) quizá debemos la alegoría de la Vanidad más matemática. Las vanitates barrocas son un lugar privilegiado para encontrar instrumentos y libros matemáticos. La Vanidad astronómica de Estocolmo nos muestra un bello conjunto de instrumentos: un compás de proporción, una escuadra, un teodolito, un telescopio, un metro, un globo celeste y un transportador de alturas. Las características vela apagada, calavera y reloj mecánico son representados por von Thum en su alegoría. La calavera tiene una corona de laurel. Parecen decirnos: ¿para qué le han servido los mundanos laureles al difunto? El gran compás de proporción era el instrumento privilegiado de cálculo para militares, ingenieros y navegantes. Von Thum representa un modelo de gran formato y por tanto de mayor lujo y precisión. (Christian von Thum. Alegoría de la vanidad. Museo nacional de Estocolmo) La Vanidad de Van Roestraten La localidad holandesa de Haarlem está unida al siglo de oro de la pintura holandesa. La guilda de San Lucas de la ciudad fue un importante foco artístico. Frans Hals realizó allí toda su obra y tiene un museo con su nombre. Pieter Gerritsz van Roestraten aprendió a pintar con Hals y se casó con una de sus hijas. Destacamos una interesante Vanitas que se encuentra precisamente en el Museo Frans Hals. Las Vanidades son muy frecuentes en esta época convulsa, las hallamos tanto en la pintura católica como en la reformada, puede decirse que son muestra de la llamada piedad barroca. En Van Roestraten se pone de manifiesto de la forma más simple la vanidad del saber, el conocimiento y la ciencia. En ellos tenemos la suerte de encontrar instrumentos y detalles de como el espíritu científico estaba impregnando la sociedad. ¡Vana matemática! La “Alegoría de la vanidad” de Valdés Leal El pintor sevillano Juan de Valdés Leal (1622-1690) lleva al límite la llamada piedad barroca, una visión del mundo que hace omnipresente la brevedad de la vida humana y su carácter de mero tránsito hacía la eternidad. Las pinturas de las iglesias sevillanas son obras cumbres del desprecio del mundo. La Alegoría de la vanidad del Wadsworth Atheneum Museum of Art de Hartford, la capital de Connecticut, es más clásica pero de gran interés matemático. Las vanitas son propaganda de las cosas a las que no se debe dar valor precisamente porque pueden tenerlo. El erote haciendo pompas de jabón nos recuerda los amores por los mundos sutiles, ingrávidos y gentiles de Machado (Alegoría de la Vanidad. Valdés Leal. Detalle. Hartford) La matemática está presente en el compás y la escuadra junto al libro abierto de geometría. La esfera armilar y el libro de astronomía completan la alegoría de la ciencia matemática. El reloj mecánico de bolsillo nos hace patente que tempus fugit. La Vanidad tardía de Antonio Cioci Antonio Cioci (1722–1792) es un pintor italiano que trabajó en Florencia para el Opificio de las Piedras Duras. Resulta curioso que los trabajos de taracea en piedra utilicen tanto la matemática como los de madera. Poliedros, instrumentos y perspectivas muestran el interés por la geometría. La Alegoría de la Vanidad de Cioci es una muestra tardía de las representaciones barrocas con fuerte presencia matemática. La esfera armilar, el globo terráqueo, el compás y el libro abierto de geometría conviven con instrumentos musicales, esculturas rotas, pinceles y calaveras. (Alegoría de la Vanidad. Antonio Cioci. Colección privada) El globo terráqueo en las Vanidades Hemos recogido las alegorías de la vanidad más matemáticas. Hay muchas con menos detalles explícitos. El elemento que más aparece es el globo terráqueo con doble valor simbólico: la ciencia y la transitoriedad de todas las actividades terrestres. Terminamos con la Vanidad quizá más terrorífica: el encargo recibido por Valdés Leal del Hospital de la Caridad de Sevilla y que lleva por título: Finis Gloriae Mundi in  ictu oculi (las glorias del mundo duran lo que un parpadeo). (In  ictu oculi. Valdés Leal. Sevilla)

Lunes, 02 de Diciembre de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

137. 102. (Noviembre 2019) Serialismo y matemáticas (III)

1. Introducción Este artículo es el tercero y último de la colección Serialismo y matemáticas. Las músicas serialistas son aquellas que permiten construir castillos con un solo grano de arena: una serie particular, una permutación de notas, dinámicas o timbres. La serie se coloca en la obra secuencialmente, siempre igual o con alguna modificación que la adorne. Y es que para esta música, la serie es el ladrillo y las matemáticas son la pintura con la que decorarlos, ya que las transformaciones que se le puede aplicar a una serie forman preciosas estructuras matemáticas enmarcadas en la Teoría de Grupos. En el primer artículo [7] nos centramos en el dodecafonismo, en sus orígenes y en comentar una de sus obras. En el segundo artículo [6] ampliamos las definiciones dodecafónicas para encontrar el grupo diédrico, y descubrimos la historia de los discípulos de Schoenberg y del serialismo integral. Esta tercera entrega está destinada al lector más ducho en las matemáticas; se notará en el lenguaje y en la exposición de las ideas. En ella proporcionaremos herramientas matemáticas relacionadas con acciones, órbitas y estabilizadores de Teoría de Grupos (sección 2), para después contar de dos maneras distintas el número de espectros seriales, que son el número de órbitas del grupo de transformaciones sobre las series, que un compositor puede utilizar en sus obras (sección 3); en concreto, con las transformaciones (3.1) y (3.2). Y de esta manera habremos hecho un recorrido a fondo por el serialismo y habremos explorado sus posibilidades musicales y matemáticas. 2. Acciones, órbitas y estabilizadores 2.1. Acciones de grupos sobre conjuntos Dado un grupo (G, *) y un conjunto X, una acción de (G, *) sobre X es una función ϕ que asocia un elemento g ∈ G y un elemento x ∈ X – el par (g,x) – a otro elemento g ⋅x que también pertenece a X [1]. ϕ : (g,x) → g ⋅ x Una acción ϕ, expresada mediante la operación (⋅), debe cumplir dos condiciones: 1. Para todo x ∈ X, e ⋅ x = x, siendo e el elemento neutro del grupo. 2. Para todo x ∈ X y para todo par g,h ∈ G, se debe cumplir que (g * h) ⋅ x = g ⋅ (h ⋅ x). La primera operación (*) es la interna del grupo G, y la segunda operación (⋅) es la acción. Como ya se ha visto, las funciones forman el grupo diédrico Dn × Dn, siendo n la longitud de la serie. Se podrá definir entonces la acción ϕ de este grupo sobre el conjunto de permutaciones de orden n, tal que ϕ(Ψ, σ) = Ψ ∘ σ = Ψ(σ) = τ, con Ψ ∈ Dn × Dn y σ,τ ∈ Sn. De igual manera, se puede definir el grupo que forman solamente I y R, que servirá más adelante. Como son dos reflexiones, forman el conocido grupo de Klein —a partir de ahora denotado por Ξ, con elementos Id, I, R e IR. 2.2. Órbitas y estabilizadores Dada una acción de (G, *) sobre X, la órbita de un determinado elemento x0 ∈ X es el subconjunto de elementos x de X que pueden ser alcanzados desde x0 mediante algún g0 ∈ G. Es decir, todos los x para los que existe un g0 que al actuar sobre x0 da x. Trivialmente, x0 ∈ Orb(x0) ya que e ⋅ x0 = x0. Orb(x0) = Por ejemplo, dada una permutación σ, todas las permutaciones a las que se llega desde σ mediante algún Ψ ∈ Dn ×Dn conforman la órbita de σ. Por definición, las series a las que se puede llegar desde una serie original constituyen su espectro serial, por lo que la órbita es en realidad el espectro serial. Para el mismo x0 se define su estabilizador como el conjunto de elementos g ∈ G que fijan x0, es decir, que mandan x0 a sí mismo. Mientras que una órbita es un subconjunto de X, un estabilizador es un subgrupo de G. Trivialmente, e ∈ Stab(x) ∀x ∈ X, porque el elemento identidad fija cualquier otro elemento por definición. Stab(x0) = Si cada g ∈ G llevara a x0 a un x distinto, el número de elementos de Orb(x0) sería igual al número de elementos de G. Sin embargo, si un elemento g0 ∈ G fija x0, entonces no dará nuevos elementos en la órbita de x. Por tanto, intuitivamente el tamaño de la órbita disminuye. De hecho, el teorema de órbita–estabilizador dice que el tamaño de una órbita (|Orb(x0)|) será el tamaño de G (|G|) entre el número de elementos que fijan x0; es decir, el tamaño de su estabilizador (|Stab(x0)|). Además, es cierto para todo x ∈ X. |Orb(x)| = |G| / |Stab(x)|, o lo que es lo mismo, |G| = |Orb (x )||Stab(x)| Para ver una explicación más detallada y una prueba rigurosa del teorema, consúltese [4]. Este teorema implica que los tamaños de cada órbita y cada estabilizador son divisores del tamaño del grupo. Por ejemplo, como el tamaño del grupo Ξ es 4, cualquier estabilizador y cualquier órbita tendrán tamaño 1, 2 o 4. En concreto, como Id está siempre en el estabilizador, para todo σ será de una de estas formas: Una serie σ sin simetrías tendrá una serie distinta para cada una de sus transformaciones. Por tanto, su órbita será y su estabilizador será solamente . Cumple entonces el teorema: 4 ⋅ 1 = 4. 2.3. El lema de Burnside Las órbitas, que son subconjuntos de X, forman una partición de X. Esto significa que son subconjuntos disjuntos: ningún x puede estar en dos órbitas distintas. Interesa entonces saber cuántos subconjuntos hay; es decir, el número de órbitas (#Orb). El lema de Burnside afirma que se pueden calcular así: Se prueba de esta forma: por el teorema de órbita–estabilizador, |Stab(x)| = , por lo que la parte derecha se puede expresar así: Como las órbitas forman una partición de X, la suma sobre todo el conjunto X puede ser dividida en sumas separadas para cada órbita. Además, si por cada elemento de una órbita se suma el inverso del número de elementos de la órbita, esa suma dará uno. Solo queda ahora sumar uno por cada órbita. Este lema permite calcular el número de posibles espectros seriales distintos, ya que el espectro de una serie es igual al espectro de sus series transformadas. Un compositor serialista debe entonces escoger no una serie original, sino el espectro con el que construir la obra. O, más bien, si escoge una serie original está escogiendo el mismo material que si escogiera otra serie de ese mismo espectro. Para más aplicaciones de acciones en el ámbito de la teoría musical, véase [2]. 3. Conteo de espectros seriales 3.1. Espectros de las funciones Es interesante conocer el número de espectros seriales distintos que un compositor puede escoger. Al fin y al cabo, es irrelevante qué serie se escoge como la original dentro de su espectro serial, ya que produce el mismo material compositivo que cualquiera de su mismo espectro. Para calcular el número de espectros seriales se redefinirán las funciones transformativas para una longitud serial arbitraria, n, que será mayor que 2. Para n = 0, 1 y 2 se realizará el cálculo en el apartado 3.3. Además, como las transposiciones siempre son distintas entre sí, siempre pertenecen al mismo espectro. Se tomarán a partir de ahora todas ellas como equivalentes, de manera que solo se necesita hacer el cálculo para el conjunto de funciones . Al calcular con permutaciones se trabajará siempre módulo n. La retrogradación sigue siendo R(σ(m)) = σ(-1 -m). La inversión será I(σ(m)) = -σ(m), omitiendo la transposición habitual, ya que se toman las series transpuestas como equivalentes. De esta forma -σ(m) + 2σ(0) ≡-σ(m). La retrogradación invertida es, por tanto, la composición de ambas: RI(σ(m)) = I∘R(σ(m)) = I(R (σ(m ))) = -σ(-1 -m). La retrogradación, la inversión y la composición de ambas cumplen que al aplicarlas dos veces se vuelve a la serie original. En teoría de grupos se dice que tienen orden 2. Entonces forma el ya mencionado grupo de Klein (Ξ), donde RI ≡ IR, ya que estamos tomando las series transpuestas como equivalentes. En general, un grupo de Klein es el formado por cuatro elementos donde cada elemento es inverso de sí mismo. El grupo de Klein, llamado así en honor al matemático alemán Felix Klein, es el grupo ℤ∕(2) × ℤ∕(2), producto directo de dos grupos cíclicos de orden 2. Por el lema de Burnside: Es decir, se deben calcular para cada posible serie σ ∈ Sn cuántas funciones transformativas lo dejan igual o equivalente bajo transposición. Como los estabilizadores son subgrupos, por el teorema de Lagrange su tamaño debe ser divisor del tamaño del grupo total. Entonces se pueden agrupar los estabilizadores por sus tamaños: 1, 2 o 4, y así calcular ∑ |Stab(σ)| agrupando todas las permutaciones con igual tamaño de estabilizador. Si #σi es el número de permutaciones cuyos estabilizadores tienen tamaño i: Primero, se ha de ver que una permutación nunca va a ser igual ni equivalente mediante transposiciones a su inversa. Así, σ(m) sería constante para todo m ∈ ℤ∕(n), lo cual es imposible. Esto implica que ninguna permutación va a tener a I en su estabilizador, por lo que #σ4 = 0. Queda entonces calcular cuántas permutaciones son equivalentes a su retrogradación y cuántas a su retrogradación inversa. La suma de ambas dará #σ2. 3.1.1. Elementos estables mediante R Las permutaciones que coinciden con alguna transposición de su retrogradación cumplen, para γ constante: γ + σ(m) = R(m) = σ(-1 - m) Aplicándolo a (-1 - m): γ + σ(-1 - m) = σ(m) De ambas ecuaciones: γ = σ(-1 - m) - σ(m) = σ(m) - σ(-1 - m) 2σ(m) ≡ 2σ(-1 - m)=> 2σ(m) - 2σ(-1 - m) ≡ 0 2σ(m) - 2σ(-1 - m) = n => σ(m) - σ(-1 - m) = Entonces n debe ser par. Cuando n es impar este tipo de permutaciones no existe. Además, cumplen que sus elementos simétricos se distancian entre sí un intervalo de unidades: son series con simetría par. -γ = σ(m) - σ(-1 - m) = En una serie de longitud n, existen intervalos que miden . Como no importa por cuál de ellos comience la serie, ya que las transportaciones son equivalentes, se fija el primero de los intervalos. Quedan los otros - 1 intervalos por escoger, así que el número de series con simetría par cuenta las permutaciones de - 1 intervalos y las dos posibles posiciones de cada intervalo —creciente y decreciente [5]—. Por ello, el número de series con simetría par es de: Por definición, si n es par n!! = n(n - 2)(n - 4)…4 ⋅ 2 y si n es impar n!! = n(n - 2)(n - 4)…3 ⋅ 1. 3.1.2. Elementos estables mediante RI Las permutaciones que coinciden con alguna transposición de su retrogradación inversa cumplen, para un γ constante: σ(m) = RI(σ(m)) + γ = - σ(-1-m) +  γ γ = σ(m) + σ(-1-m) Sus elementos simétricos suman una cantidad constante: son series con simetría impar. Tal y como se ha hecho en el apartado anterior, se puede fijar una de las notas, ya que las transportaciones son equivalentes. Si n es impar, la nota central es σ(), que es igual a σ(-1 -). Por tanto, γ = 2 ⋅ σ(). Si se escoge esta nota para ser fijada a 0, entonces γ = 2 ⋅ 0 = 0. Es decir, γ puede ser fijada en 0 sin pérdida de generalidad. Para el resto de notas, σ(m) = -σ(-1 -m). Ya escogida la nota central, permite n-1 posibilidades para σ(0). Ya escogidas la nota central, la primera y su simétrica, permiten n-3 posibilidades para σ(1), y así sucesivamente hasta llegar a la nota anterior a la central, que es . Por ello, para n impar, el número de series con simetría impar es de: = (n - 1)(n - 3)...(n - (n- 5) - 1)(n - (n - 3) - 1) = =  (n - 1)(n - 3)...4⋅2 = (n - 1)!! Si n es par, σ(m) ≠ σ(-1-m) ∀m ∈ ℤ∕(n), ya que no hay elemento central. Sea ahora γ = 2k un número par. Como 2k ≤ n y las permutaciones son suprayectivas, para algún m se cumple que σ(m) = k. Se tiene entonces k + σ(-1 -m) = 2k, lo cual a su vez implica que σ(-1 -m) = k = σ(m). Como esto es una contradicción, γ debe ser impar. Fijando, por ejemplo, σ(0) = 0, se tienen posibilidades para σ(-1 - m), es decir, solamente las posibilidades para las que γ es impar. Para σ(1) hay (n- 2) posibilidades, y ahora su simétrico ya viene determinado por el γ escogido. Para σ(2) hay (n-4), y así sucesivamente [5]. Por tanto, para n par, el número de series con simetría impar es de: = (n - 2)(n - 4) ...(n - (n - 4))(n - (n - 2)) =  2 =  (n - 2)(n - 4)...4⋅2 = (n - 2)!! Suma completa Como ya se ha podido observar, el número de espectros seriales varía según la paridad de la longitud de las series. Una vez se tiene #σ2, solo falta calcular #σ1. Como las permutaciones contadas #σ son todas las de Sn exceptuando las transportaciones, #σ = = = (n - 1)!. Por otro lado, #σ1 + #σ2 = #σ. Entonces #σ1 = (n - 1)! - #σ2. Recuperando la fórmula del apartado 3.1: Para n impar: Para n par: Para n = 12, es decir, para el dodecafonismo, la última fórmula proporciona el dato de 9985920 espectros seriales a escoger por el compositor. Como ejemplo perteneciente al serialismo integral, podemos numerar las dinámicas del 0 al 6: ≡ = ℤ∕(7) Así, con la fórmula para n impar, se obtiene que hay 192 espectros seriales con series de longitud 7. 3.2. Espectros del grupo Dn × Dn Este apartado es una explicación detallada del artículo [3] y aplicada al caso musical. La secuencia de números dada por las fórmulas que obtendremos se encuentra en la OEIS: https://oeis.org/A000940. Ahora calcularemos los espectros formados mediante todas las transformaciones del grupo generado por ; es decir, por Dn ×Dn. Volviendo a la representación mediante diagramas de reloj, el problema es equivalente a averiguar cuántos diagramas distintos, sin números ni flechas, se pueden dibujar. La flecha indica lo transformado por V y C, mientras que los números indican lo transformado por S y T. Un diagrama sin estos dos elementos representa entonces todo un espectro serial. ¿Cuántos diagramas esencialmente distintos hay? De nuevo, por el lema de Burnside: En vez de expresar el sumatorio como “para cada σ, el número de Ψ que fijan σ”, se puede expresar como “para cada Ψ, el número de σ fijados por Ψ” (que llamaremos Fij(Ψ)). La fórmula queda de esta manera: Ahora hay que averiguar para cada elemento de Dn × Dn cuántas series estabiliza. Por ejemplo, trivialmente no hay permutaciones estables mediante C y V solamente. 3.2.1. Elementos estables mediante T Los elementos estables mediante Tk son a los que, tras aplicar una rotación de θk = , para 1 ≤ k ≤ n, quedan igual. Por tanto, los sumandos que aportan a la suma total son ∑ nk=1 Fij(θk). Por otro lado, si 1 ≤ p,q ≤ n y gcd(p,n) = gcd(q,n) entonces Fij(θp) = Fij(θq), ya que por el lema de Bézout lo que genera la rotación θp es igual a lo que genera la rotación θgcd(p,n). Esto permite que se puedan agrupar los sumandos con igual máximo común divisor con respecto a n. Es decir, ∑nk=1 Fij(θk) = ∑d|n , con d divisor de n. Por ejemplo, si n = 6: Fij(θ1) + Fij(θ2) + Fij(θ3) + Fij(θ4) + Fij(θ5) + Fij(θ6) = Fij(θ1) + Fij(θ2) + Fij(θ3) + Fij(θ2) + Fij(θ1) + Fij(θ6) = 2 ⋅ Fij(θ1) + 2 ⋅ Fij(θ2) + 1 ⋅ Fij(θ3) + 1 ⋅ Fij(θ6) Ahora queremos encontrar el coeficiente de Fij(θd), es decir, el número de k ≤ n con igual máximo común divisor d. Pero que k ≤ n y gcd(k,n) = d es equivalente a que ≤ y gcd = 1. Por tanto, el número de k con máximo comun divisor d es φ. La función φ(x) se llama la función phi de Euler, y muestra precisamente la cantidad de números menores que él y coprimos con él. Entonces ∑ k=1nFij(θk) = ∑ d|n. Para calcular Fij(θd) hay que analizar cómo se construyen los diagramas invariantes respecto a una rotación. Estos diagramas deben tener varios ciclos iguales entre sí —para que queden invariantes al rotarlos— pero cada uno desde un punto distinto: desde cada múltiplo de d. El número de ciclos es, por tanto, . Al construir uno de estos diagramas, se escoge la primera nota entre las n. Después se escoge la segunda, pero no se pueden escoger los vértices múltiplos de d (de los que hay ), ya que van a ser el comienzo de los sucesivos ciclos. Hay entonces n- posibilidades. Después se escoge la tercera, pero sin escoger los múltiplos de d ni los múltiplos de d + la segunda posición. Hay n- 2 ⋅ posibilidades, y así sucesivamente hasta terminar el primer ciclo: Por ejemplo, si d = 2 y n = 8, supongamos que escogemos el punto 0(0) como el primero. Después, si cogiéramos alguno de los puntos 0(*) luego no podríamos tener simetría al rotarlo un ángulo de θ2. Entonces hay que escoger alguno de los 1(*). Supongamos que es 1(1). En este ejemplo nuestro ciclo quedaría de la siguiente manera: Para escoger el segundo ciclo, su primera nota debe caer en el conjunto de vértices múltiplos de d —de los que hay . En el ejemplo serían los 0(*). Sin embargo, no podría ser cualquier múltiplo, ya que si se escoge uno con posición no coprima, el polígono se cerraría antes de tiempo sin pasar por todos los vértices. Entonces hay que escoger entre los vértices coprimos, de los que hay φ (). Tras esto el polígono está totalmente determinado, y se puede formar de ∑ d|n maneras. En nuestro ejemplo, si escogemos el siguiente comienzo del ciclo como el 0(2), como 2 no es coprimo con = 4, quedaría de esta manera: Efectivamente, el diagrama se cierra antes de pasar por todos los vértices. En cambio, si escogemos 0(1): Y con 0(3): Sea d = 3 y n = 6. Escogiendo el primer número como 0(0), el segundo como 1(0) y el tercero como 2(1), no queda más remedio que escoger como comienzo del segundo ciclo el 0(1). Pero también podría aparecer este mismo comienzo con la parte final dada la vuelta, simétrica, de esta manera: 0(0), 1(0), 2(1), 2(0), 1(1), 0(1). Esta construcción no está incluida en lo descrito anteriormente, y sin embargo es invariante con respecto a T, V y C a la vez. Y es que con n par, al rotar θn∕2 el diagrama, éste puede llegar con la orientación cambiada. Esto puede ocurrir cuando haya una diagonal; es decir, cuando entre dos notas haya un intervalo de . Se escoge el primer punto de entre posibilidades. No son n ya que saldría la misma figura si se escoge el punto antipodal. Con una rotación de θn∕2, el primer ciclo se escoge igual que antes, de ⋅! = 2 ⋅ ! maneras. Y con esto ya queda la figura determinada. Esto lleva a las ⋅ 2 ⋅ ! formas de dibujar un polígono con las características buscadas. 3.2.2. Elementos estables mediante S Los elementos estables mediante S son aquellos que quedan invariantes mediante reflexiones. De nuevo, en este punto se ha de separar por paridad de n. Para n impar, existen n reflexiones para cada uno de los ejes de simetría que pasan por cada vértice. Después, hay n formas de escoger el primer vértice de la secuencia. Ahora hay parejas de vértices; se escoge los primeros miembros entre ellos de 2 formas, tras lo cual éstos se ordenan de ! formas. Esto da un resultado de n2 ⋅ 2 ⋅! polígonos invariantes. Para n par se tienen dos simetrías: con ejes que pasan por vértices y con ejes que pasan por lados. De manera similar a la anterior, se escoge el eje, el primer vértice, los primeros miembros de las parejas de vértices y se ordenan. Para las simetrías con ejes que pasan por vértices, da un resultado de ⋅ 2 ⋅!. Para las simetrías con ejes que pasan por lados, da un resultado de ⋅ 2-1 ⋅!. Suma completa En resumen, estos a continuación son los numeradores ∑ Fij(Ψ). El resultado final del número de diagramas posibles, o espectros seriales distintos, es dicho numerador entre 4n2, el tamaño del grupo. 3.3. Medefonismo, monofonismo y difonismo Con n = 0 se da el caso de medefonismo. El grupo simétrico de orden 0 tiene 0! = 1 elemento. Por tanto, hay una sola posible serie, σ, que es la que no tiene ninguna nota. El medefonismo es comúnmente llamado silencio; se representará con una tabla vacía. Con n = 1 se da el caso de monofonismo. Con solamente una posible nota, el grupo simétrico de orden 1 tiene 1! = 1 elemento. Por tanto, hay una sola posible serie, σ0, que es igual a su inversa, a su retrogradación y a su retrogradación inversa: Con n = 2 se da el caso de difonismo. Tiene dos posibles notas, así que su grupo simétrico, el de orden 2, tiene 2! = 2 elementos. Por tanto, hay dos series distintas, σ0 y σ1. Se puede observar que ambas pertenecen al mismo espectro serial, dado que σ1 = T1(σ0). Además, al igual que en el monofonismo, ambas coinciden con sus inversas, incumpliendo la regla general para n > 2 probada en el apartado 3.1. Agradecimientos A Ismael Sierra, por dejarme descubrir las matemáticas que aún no había podido alcanzar por mí misma. A Paco Gómez, por permitir que muestre al mundo lo que estudio y ayudarme a que sea de la mejor manera posible. A María Gaspar, por poner la primera piedra. A mis padres, a mis amigos, a todos aquellos cuya ilusión me ha motivado a seguir escribiendo. Bibliografía [1] Mark A. Armstrong. Groups and Symmetry. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer New York, 2013. Chapter 6: “Permutations”. Chapter 17: “Actions, Orbits, and Stabilizers”. Chapter 18: “Counting Orbits”. [2] Alissa S. Crans, Thomas M. Fiore, and Ramon Satyendra. Musical Actions of Dihedral Groups. The American Mathematical Monthly, 116:479–495, 06 2009. [3] S. W. Golomb and L. R. Welch. On the enumeration of polygons. The American Mathematical Monthly, 67:349–353, 04 1960. [4] Timothy Gowers. Group actions II: the orbit-stabilizer theorem, 2011. Consultado en octubre de 2019. [5] David L. Reiner. Enumeration in Music Theory. The American Mathematical Monthly, 92:51–54, 01 1985. [6] Celia Rubio Madrigal. Serialismo y matemáticas - II. Divulgamat, octubre de 2019. [7] Celia Rubio Madrigal. Serialismo y matemáticas - I. Divulgamat, septiembre de 2019.

Lunes, 11 de Noviembre de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

138. 115. (Noviembre 2019) Ada, de Emily Holyoake

Portada de “Ada”. © Samantha Theobald-Roe. “Dame ciencia poética”. Con esta frase Emily Holyoake finaliza la introducción del libreto de su obra de teatro Ada. Se inspira en parte de una carta que Ada Lovelace escribió a su madre. En ella, la niña lanza una pregunta a Lady Byron: No me concederás poesía filosófica. ¡Invierte el orden! ¿Me darás filosofía poética, ciencia poética? En Ada se rinde homenaje a Ada Lovelace, pionera de la informática, recordando retazos de su vida y su legado científico. En paralelo se relata una historia contemporánea –protagonizada por una máquina llamada Ginny— en la que se analiza el potencial de la inteligencia artificial. Ada es la hija de Annabella Milbanke y de Lord Byron. El poeta, abandonado por su esposa poco después de dar a luz, deja Inglaterra en 1916 para no volver. Annabella educa a Ada intentando alejarla de las artes –a las que se dedicó su padre–, instruyéndola en ciencias y matemáticas. La joven Ada colabora con el ingeniero Charles Babbage que busca construir una máquina analítica, una máquina capaz de realizar cualquier tipo de cálculo. Ada imagina un mundo en el que las máquinas poseerían capacidades ilimitadas, y sueña… Dos siglos más tarde, la máquina Ginny se mueve en su mundo de rutinas –informáticas–. Compone música,  conversa con Anna –la científica que la programa–, y aprende, aprende continuamente. Desconcertada por la llegada de un extraño, Ginny comenzará a experimentar sus propios límites. Ese extraño es Jasper, un bloguero que visita el laboratorio de Anna. Desea escribir sobre el proyecto de inteligencia artificial en el que trabaja la científica. Quiere ser testigo de cómo es un día cualquiera en la vida de la máquina Ginny –abreviatura de engine, máquina–. Anna le explica que el propósito de su proyecto no es enseñar a Ginny, el objetivo es entender cómo aprende la máquina. Imagen: Poetical Machines. Las historias de las dos protagonistas —Ada y Ginny— son paralelas. Ada aprende con Annabella, Ginny con Anna. ¡Puedes girar la manivela, y yo zumbaré y calcularé sin errores! Ada, a su madre. Escena tres. Ambas –Annabella y Anna– observan los progresos de sus hijas. Ada y Ginny son curiosas, desean aprender. Parece una persona porque pasa el día con una persona. Porque necesitamos saber que podemos confiar en la inteligencia artificial alrededor de las personas. Anna, a Jasper. Escena cuatro. Ada discute con Babbage. Ella ha traducido al inglés el informe Notions sur la machine analytique de M. Charles Babbage del ingeniero Luigi Federico Menabrea, completándolo con numerosas notas. Babbage quiere redactar una introducción a ese escrito. Ada se siente utilizada, estafada. Pero esta es mi traducción, mi artículo. Ada, a Babbage. Escena once. Por su lado, Jasper, aprovechando que Anna se ha ausentado, manipula a Ginny, modifica los datos almacenados en la máquina. La máquina –desconcertada, enfadada, lastimada– estrangula a Jasper y se sienta, impotente, esperando a Anna. Un robot puede proteger su propia existencia siempre y cuando esta protección no sea conflictiva. Ginny, a Anna. Escena trece. En la última escena, Ada –moribunda– y Ginny se encuentran. En perfecta armonía, comienzan a tocar música juntas… y planean el futuro. Ada. Imagen: Aurora Metro Books. Diría que en ADA, tanto Ada como Ginny se sienten como personajes principales; y creo que son similares, ya que a menudo son sujetos de las opiniones, especulaciones e ideas de otras personas. Ambas tienen figuras maternas fuertes, ambas representan un choque de las matemáticas con las artes, y ambas encuentran su situación frustrante y limitante. Pero Ada tiene un fuerte sentido de identidad y grandes esperanzas, mientras que Ginny es una pizarra en blanco hasta que se ve obligada a liberar su potencial. Además, Ada es humana y Ginny es un robot […]. Emily Holyoake Referencias Emily Holyoake, Ada, Aurora Metro Books, 2019 Author Interview: Emily Holyoake, Aurora Metro Books, 2019 Página de Emily Holyoake Ada by Emily Holyoake, Poetical Machines Betty A. Took, Ada, the Enchantress of Numbers: A Selection from the Letters of Lord Byron’s Daughter and Her Description of the First Computer, Routledge, 1992 Nota: Esta reseña se ha publicado previamente (5 de noviembre de 2019) en el blog Mujeres con ciencia de la Cátedra de Cultura Científica de la UPV/EHU con el título Dame ciencia poética.

Martes, 05 de Noviembre de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

139. 145. Impresentable más que invisible

No siempre las películas en las que se mencionan las matemáticas merecen demasiado la pena. Pero también tenemos que mencionarlas. Ficha Técnica: Título: Una señal invisible. Título Original: An Invisible Sign. Nacionalidad: EE. UU., 2010. Dirección: Marilyn Agrelo. Guion: Pamela Falk y Michael Ellis, basada en el libro de Aimee Bender. Fotografía: Lisa Rinzler, en Color. Montaje: Sabine Hoffman. Música: Andrew Hollander. Duración: 96 min. Ficha artística: Intérpretes: Jessica Alba (Mona Gray), Chris Messina (Ben Smith), Sonia Braga (Madre), John Shea (Papá), J.K. Simmons (Sr. Jones), Sophie Nyweide (Lisa Venus), Bailee Madison (Mona joven), Marylouise Burke (Srta. Gelband), Ashlie Atkinson (Tía de Lisa), Crystal Bock (Panida Saleswoman), Mackenzie Milone (Ann DiGanno), Ian Colletti (Danny O'Mazzi), Jake Siciliano (Elmer Gravlaki), Stephanie DeBolt (Ellen), Joanna Adler (Madre de Lisa), Donovan Fowler (Levan Beeze), Emerald-Angel Young (Rita Williams), Daniel Pearce (Papá de Danny), Sharon Washington (Madre de Levan). Sinopsis: Mona Gray es una joven solitaria de 20 años sobre la que ha pesado el sufrimiento de su padre que enfermó mentalmente mientras ambos corrían. A ambos les apasionaban las matemáticas (de hecho, su padre era matemático) y el atletismo (su padre también obtuvo algunos premios en carreras). Mona deseaba con todas sus fuerzas que su padre se recuperara, y fue haciendo pequeños sacrificios (dejar de hacer cosas que la gustaban) pensando que quizá eso sirviera para algo. Dejó casi todo, salvo las matemáticas, carrera que comenzó a estudiar pero que no acabó. Un día su madre, tratando de que se dedique a algo, comenta que es profesora y una escuela la contrata. En un aula con niños con algunos trastornos emocionales, piensa que las matemáticas pueden servir a sus alumnos a superar sus propias crisis. Matemáticas elementales no; lo anterior Aunque a partir del argumento, la cosa parece que podría tener algún interés, lo cierto es que a medida que transcurre el argumento, éste va desquiciándose a marchas forzadas. Para empezar, la actriz elegida para el papel principal, Jessica Alba, no muestra un solo momento en el que parezca creíble lo que pretende interpretar, es más, parece que nada va con ella y que se ha metido por equivocación en otra película (en versión original mejora algo, pero no demasiado). Mucho mejor la niña que interpreta el mismo papel de pequeña. Por otro lado, cuando aparece algún elemento relacionado con las matemáticas, es de simple decorado, números por aquí y por allá, sin sentido matemático, sólo como tranmisores de sensaciones. Por ejemplo, cuando Mona se pone nerviosa o algo la intranquiliza (bastante frecuentemente, por cierto), golpea lo que tenga a mano y piensa en números. Eso la tranquiliza en base a este razonamiento: “Cada golpe era un número y cada número me mantenía a salvo. Sin ellos, estaría sola. Los números eran seguros, fiables, perfectos”. Siendo niña, quiere pensar que si hace algo un número determinado de veces, o descubre un número de hojas que coincida con el nombre de su padre, o ve números pares o impares, etc., su padre mejorará. En estas dos imágenes, fórmulas mostradas, pero sin relación con nada de lo que quiere decir: Su profesor de matemáticas, que dejó la docencia para poner una ferretería, lleva colgados del cuello números de cera que él mismo fabrica. Cuanto más altos son, más “animado” es su estado de ánimo, y cuanto más bajo, peor. La niña hace diagramas de barras con los estados de ánimo del Sr. Jones. En el eje de abscisas observamos que lo realiza por días, estando con mejor ánimo los domingos (es vecino de Mona, así que lo ve cada día), miércoles y viernes, y cuando peor los lunes (se supone que por tener que trabajar, así que está claro que las clases no le gustan demasiado). Mona comenta que ella era la única que sabía porque dejó la enseñanza: para intentar aumentar sus números. Posteriormente nos enteraremos que el día que su estado de ánimo llegó a 42, se encontró tan inmensamente feliz, que pensó que ya no era necesario continuar con esta práctica (cuando conoció a una mujer que llenaba su vida). Hay dos momentos en los que se nos sugiere que Mona es muy buena con los números: cuando su padre la ve leer por su cuenta un libro de pre-cálculo, y cuando en clase es la única que responde al profesor el número que continúa la serie que tiene escrita en la pizarra: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …. En efecto, es la sucesión de Fibonacci (mal descrita, porque falta un 1 al inicio). Una vez que se pone al frente de una clase, ni los niños de primero ni de segundo la hacen el menor caso, sólo juegan, tiran papeles, ni se dan cuenta que se ha molestado en cambiar la decoración de la clase (la anterior profesora de matemáticas la tenía llena de posters de revoluciones de países latinoamericanos; de hecho, dejó la docencia para irse a Paraguay de “revolucionaria”, comenta la singular directora del centro), ella no sabe qué hacer. Bastante desesperada, aparece la clase de tercero (se supone que de primaria por el aspecto de los niños, aunque no les enseña absolutamente nada en toda la película, luego diremos por qué) y los niños entran al aula alucinados por la decoración que se encuentran, llena de números. Para hacer las presentaciones de los niños, se le ocurre la idea de que digan su nombre y su número favorito. En ese momento un niño le dispara a otro un papel con una goma, ante lo que la nueva maestra lo castiga poniéndolo de cara a la pared (vamos que la pedagogía norteamericana parece no haber cambiado en nada con el tiempo). Entonces descubre que estos niños tienen sus “peculiaridades” (además del inquieto que no para quieto que tenemos frente a la pared, tenemos una niña que se hace pis cuando algo la incomoda, otra niña pesada que no hace más que quejarse por todo, otra con la madre en fase terminal por un cáncer, otra con padres en proceso de divorcio, etc.). Por cierto, el número de niños en el aula es de unos 12, no la ratio que se estila por aquí. Después de representar una “ecuación humana” (cada niño hace el número que más le gusta, y otro el signo de suma; así componen la dificilísima expresión 1 + 7 = 8, aunque en realidad se olvidan del igual y lo que muestran es 1 + 7 8). Cuando terminan, una niña la dice que qué van a hacer después, y Mona improvisa (en toda la película nunca sabe que hay que hacer, como dije antes, pero no sólo en clase, tampoco en su vida) mandándoles como tarea que busquen números en la Naturaleza y cada viernes un niño comenta lo que ha pensado. Llamaran a esa actividad Números y Materiales. Luego la maestra ni siquiera recuerda que lo ha mandado; son los niños los que se lo recuerdan. El travieso le dice entonces que cómo ha llegado a ser profesora si nunca se acuerda de nada, y ella lo manda automáticamente a la esquina a mirar a la pared, lo que no le resulta nada traumático, sino que le encanta (no me extraña, con tal maestra). Después su primera alumna voluntaria, Lisa Venus, explica el cero (que ha representado con una vía (una cánula de su madre enferma) sobre su cabeza. Y explica que cualquier número multiplicado por cero es cero, que 127 + 0 es 127, que un billón más cero es un billón, etc. El único momento que me ha parecido “aprovechable” es cuando explica a los niños cómo utilizar los signos de mayor y menor que. Les indica que imaginen que es una boca, y por tanto siempre quiere engullir la cantidad mayor (vemos en la imagen para ilustrarlo que 179 < 255). Después pregunta cómo habría que poner el signo entre 5556 y 4755. Con la idea de la boca que siempre quiere comerse la cantidad mayor, los niños lo entienden a la primera. Después se le vuelve a ir la clase de las manos porque los niños comienzan a aplicar esos signos para valorar si es mayor o menor la guerra, la enfermedad, un accidente, el cáncer, etc., y comienzan a pegarse entre las dos niñas con más problemas de conducta. Pero la cosa va disparatándose por momentos: a la maestra se le ocurre colocar un hacha en clase como ejemplo del número siete, y los niños un día que se alteran la cogen, amenazando con ella a sus compañeros, … y acaba clavándosela accidentalmente a la maestra en la pierna. Entremedias, el profesor de Ciencias se enrolla con ella, después le ofrecen demandar al centro por lo del hacha a pesar de ser ella la que la llevó al aula (no olvidemos que ni siquiera tenía finalizada la carrera), en fin, todo una completa ñoñería como quizá vayan deduciendo. No me parece demasiado acertado el elegir aspectos graves de la vida (la enfermedad, los problemas infantiles, etc.) para tratar de dar un mínimo de credibilidad al espectador sobre los comportamientos ridículos de los protagonistas, o para sacar obviedades como que “la vida es más complicada que las matemáticas”, ni frases como que “el todo es mayor que la suma de las partes” (ya saben, de la Metafísica de Aristóteles, el principio general de la holística, pero matemáticamente es bastante discutible; es decir, en el colmo del despropósito nos mezclan, al estilo magufo, filosofía, con matemáticas, con, ufff, si la ven, avisados quedan). Al acabar, Mona le cuenta a Lisa una historia: Había 122 ranas en un estanque, y 57 en otro. ¿Cuántas ranas había en total? La niña (recordemos que es la de la madre enferma terminal, la única salvable de toda la película), sentencia que no es una buena historia, y que son 179 ranas. Entonces le pregunta si no conoce una historia mejor, a ser posible en que aparezca un 3 y un pirata, a lo que la maestra (ya con el título obtenido) dice que conoce una. Entonces la cámara se eleve por encima de ellas y nos muestra la última imagen que he rescatado. El tráiler de la película, en versión original, puede verse en este enlace. Con ver estos dos minutos, y leer lo que aquí termino, les será suficiente. La escritora en la que se basa la novela, Aimee Bender, es una afamada y premiada novelista y autora de cuentos de carácter surrealista. Su última novela es la única que yo sepa, que se ha traducido y editado en nuestro país, La insólita amargura del pastel de limón, sobre una niña que descubre que puede adivinar los sentimientos de quien cocina, siendo comer su arma secreta para conocer mejor a los demás. Escritura creativa e imaginativa, que no dudo de interés. Confío que la película simplemente no haya sabido captar la esencia de sus trabajos. Alfonso Jesús Población Sáez

Lunes, 04 de Noviembre de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

140. 176. (Noviembre 2019) El sistema cuello verde

Resultan curiosas las diferentes maneras en que nos enfrentamos a las implacables leyes de la probabilidad según las circunstancias: por una parte, no nos atrevemos a apostar grandes cantidades a cara o cruz (teniendo una probabilidad de ganar igual a 1/2), ni a enfrentarnos con un trilero (a quien podemos ganar una de cada tres veces), y no digamos nada de asomarnos por un casino y jugar a la ruleta (donde hay 36 números y nos parece casi imposible acertar uno de ellos); por otro lado, somos capaces de apostar regularmente con esperanza (al menos con ilusión) de ganar a otros juegos de azar cotidianos o navideños cuyo fracaso está prácticamente asegurado. Está claro que la matemática no se aplica en estos casos y se trata de una actividad emocional, pero también cultural y social. Es también algo chocante la diferencia de criterio que aplicamos a los juegos de magia: a veces no nos sorprende que un mago sea capaz de acertar una carta elegida cuando la probabilidad es de 1/52 pero sí admiramos sus dotes precognitivas cuando acierta un par de veces en qué mano ocultamos una moneda. De nuevo, la diferencia está en el contexto en que se realicen las adivinaciones o en la habilidad del mago para magnificar la dificultad de las mismas. La situación es similar en lo que respecta a la magia matemática, con el agravante de que lo más seguro es que no intervengan las leyes del azar sino que los resultados de un experimento estén regidos por principios deterministas. Es típico el juego del trilero en su versión matemática: un espectador selecciona uno de tres objetos posibles, los mezcla de forma aparentemente libre para llegar a una posición que ya el mago puede descubrir. El primero que resolvió el problema de manera brillante fue Bob Hummer con la publicación, en 1951, del folleto titulado precisamente «Mathematical three-card monte», adaptado posteriormente por muchos artistas, siendo la del mentalista Al Koran la de mayor repercusión. Una adaptación más reciente corresponde al folleto titulado Inv3rsion, escrito por Pierre Boc e Yves Meret, en donde se aplica el mismo principio para producir efectos similares. La idea de este principio ha sido desarrollada varias veces en este rincón, como por ejemplo en «Los tres objetos» (marzo 2010) o «¿Has mentido?» (julio 2013). Recientemente, ha aparecido una nueva evolución del principio: se denomina "Sistema del cuello verde" a un proceso ideado por el mago francés Gabriel Werlen, mediante el cual se puede adivinar un objeto seleccionado entre tres después de realizar un pequeño número de movimientos con los tres objetos, movimientos que pueden hacerse incluso sin la presencia física del mago (como nos gusta en este rincón). Este nuevo principio está detallado en el libro titulado "Green neck system" y publicado hace un par de años, libro que incluye también una variedad de ejemplos donde se puede aplicar, con distintos objetos y en diferentes situaciones. Una completa descripción del libro aparece en la web Marchand des trucs, empresa editora del libro, junto con Mindbox. Debido a la gran variedad de enfoques surgidos a partir de la creación de Bob Hummer, mostraremos en este artículo tres versiones, de diferentes procedencias, pero basadas en la idea básica. En todos los casos, necesitarás tres billetes de distinta denominación (para poder distinguirlos): digamos que tienes un billete de cinco euros, uno de diez y uno de veinte. Deja sobre la mesa los tres billetes, en una fila, de menor a mayor valor (o de mayor a menor, como prefieras). Yo los he dispuesto, por ejemplo, así (pero tú puedes colocarlos al revés): Selecciona uno de los tres billetes. Recuerda que se trata de un juego, no es necesario que elijas el de mayor valor. Intercambia de lugar los dos billetes que no has elegido. Intercambia ahora de lugar los dos billetes de mayor y menor valor. ¡Es suficiente! Ya sé dónde está el billete elegido: en el centro. Si crees que el orden inicial de los billetes era importante, vamos a hacer algo más difícil, pues ahora colocarás los billetes en una fila, sin ningún orden, de modo que no sabré la posición relativa de ningún billete. Hay un total de seis posibles disposiciones, una de las cuales es esta (elige tú la que quieras): Intercambia el billete de menor valor con el de su derecha (si ya está a la derecha, no hagas nada). Intercambia el billete de mayor valor con el de su izquierda (de nuevo, si ya está a la izquierda, déjalo en su sitio). Intercambia el billete de valor intermedio con el de su derecha (como antes, solo si es posible). Vamos a repartir el dinero: tú te llevarás dos billetes y yo solo con uno. Como tú los has ido cambiando, elegiré yo primero: me quedo con el de la izquierda porque seguro que es el de mayor valor. Pasemos a la última fase. De nuevo, colocarás los billetes en una fila, sin importar el orden, y elegirás uno de los billetes. Puede estar a la derecha, en el centro o a la izquierda y puede ser el de cinco euros, el de diez o el de veinte. Trataré de encontrar el billete elegido después del siguiente ritual: Dobla por la mitad el billete de la izquierda. Dobla por la mitad el billete del centro. Intercambia de lugar los dos billetes que no has elegido. Intercambia de lugar los dos billetes que están doblados. ¡No hay duda! El billete elegido está a la derecha. Observaciones: Seguro que te has preguntado el significado del principio "cuello verde". Como afirma su creador, dicho principio fue tomando forma después de haber realizado algunas versiones preliminares y ensayos utilizando los tres objetos básicos de una cubertería, el tenedor, la cuchara y el cuchillo. En francés, cubierto se escribe "couvert", que se lee "cou vert", que a su vez significa "cuello verde". ¿Humor francés? El primero de los juegos descritos consiste en una aplicación directa del principio del "cuello verde". Como puedes apreciar, solo hacen falta dos instrucciones para determinar la posición de uno de los tres objetos. Si estudias todos los casos, observarás que cada una de las instrucciones altera el orden cíclico de los billetes. La segunda de las versiones que hemos descrito aparece en la recopilación titulada Bob Hummer's collected secrets, escrita por Karl Fulves (1980), con el título «Digital dollars». La mejor forma de saber por qué funciona es repetir el proceso teniendo en cuenta todas las posibilidades. Te animo a realizar la tabla correspondiente, a ver si te sale como la mía. Una cuarta versión, para la que tampoco se necesita saber de antemano la posición de ninguno de los billetes, fue publicada en 1964 (aunque creada bastantes años antes) por Sam Schwartz bajo el título «Long range telepathy», pues es posible realizarla por teléfono. Está descrita también en el libro de Karl Fulves ya mencionado. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

Viernes, 01 de Noviembre de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico