121. 181. (Abril 2020) Optograma

Muchos juegos de magia basados en principios matemáticos han evolucionado a lo largo del tiempo para convertirse en clásicos, se han adaptado a diferentes niveles y diversos tipos de público y han terminado por convertirse en elementos indispensables del repertorio de magos profesionales. Y, como ya hemos comprobado en multitud de ocasiones, no siempre se trata de principios relacionados con operaciones aritméticas o propiedades numéricas curiosas. Algunas veces interviene la geometría y, en el caso que hoy nos ocupa, las simetrías de figuras geométricas. Por supuesto, el ingenio y creatividad de los primeros que descubrieron las posibilidades mágicas de estas propiedades son los principales ingredientes que convierten la recreación en magia. Vamos a denominar "Principio de la brújula cuadrada" a la propiedad que explota las simetrías de un cuadrado para conseguir algunos efectos que, con una dosis adecuada de disimulo, llegan a ser sorprendentes. Hagamos en primer lugar un recorrido por la historia y desarrollo mágico de este principio: esto permitirá apreciar cómo ha evolucionado y qué detalles creativos consiguen aumentar la sensación mágica que oculta el principio. En 1945, Val Evans comercializó el juego titulado "Optogramma" (figura 1). A juzgar por el número de gente que lo realizaba, parece que el juego tuvo un éxito considerable y no pasó mucho tiempo hasta que aparecieron nuevas versiones y modificaciones: la casa Abbott vendía una versión pirata llamada "Wizzy Dizzy lines", Harry Blackstone hacía el juego con galletitas saladas que tenían líneas dibujadas en ellas pero también las tenía impresas en sus tarjetas de visita. Impartiendo un poco de justicia, Lloyd Jones compró a Val Evans los derechos del juego y publicó su versión en la revista The Bat en abril de 1948. Por otra parte, en 1947, William Lane (Willane) publicó su versión titulada "La brújula china" en el libro "Willane's Wizardry" (figura 2). Un poco más tarde, el juego original fue modificado por Milbourne Christopher (publicado en la revista Hugard’s magic monthly, 1951) con una presentación en forma de una señal de tráfico (figura 3). Otra versión popular fue la de Earle Oakes quien puso a su versión el título "La brújula maestra" (figura 4). Figura 1: Juego original de Val Evans, 1945 Figura 2: Brújula china de Willane, 1947 Figura 3: Señal de tráfico engañosa de Milbourne Christopher, 1951 Figura 4: Folleto con la rutina de Earle Oakes Como se puede comprobar, cada versión utiliza un tipo diferente de figura geométrica, con el fin de aprovechar las simetrías de cada una. La que me parece más apropiada, aunque no sea la que oculta mejor el principio en que se basa, es la del octógono regular pues las líneas que unen vértices opuestos corresponden a los ejes de simetría de un cuadrado. La idea mágica que surgió de este principio consiste en hacer un dibujo en cada cara y observar cómo cambia su orientación según el eje de simetría utilizado. Si tienes buena imaginación, seguro que puedes crear una entretenida historia con la que sustentar los movimientos que describimos a continuación. Recorta un octógono regular y dibuja una flecha azul en la cara delantera y una flecha roja en la cara trasera, de modo que estén orientadas como en la figura (azul apuntando al norte y roja apuntando al este): Muestra la figura con la flecha roja hacia delante y los dedos pulgar y medio en los vértices A y B. Gira la figura con la otra mano para mostrar la cara posterior y explica que, CUANDO LA FLECHA ROJA SEÑALA HACIA EL ESTE, LA FLECHA AZUL SEÑALA HACIA EL NORTE. Puedes girar varias veces el disco mientras recalcas esta situación. Coloca la figura con la flecha roja hacia delante pero sujétala con los dedos pulgar y medio en los vértices C y D. Gira la figura con la otra mano y muestra que, sorprendentemente, la flecha azul señala también hacia el este. Gira varias veces para enfatizar que, CUANDO LA FLECHA ROJA SEÑALA HACIA EL ESTE, LA FLECHA AZUL SEÑALA HACIA EL ESTE. En el momento en que la flecha roja está a la vista, cambia el agarre de los dedos y sujétalos por los vértices E y F. Gira varias veces la figura con la otra mano mientras recuerdas que, CUANDO LA FLECHA ROJA SEÑALA HACIA EL ESTE, LA FLECHA AZUL SEÑALA HACIA EL SUR. Prueba por última vez las propiedades cambiantes de la brújula. Sujétala por los vértices G y H estando la flecha roja a la vista. Al hacer girar el disco sucesivas veces, repite la propiedad, CUANDO LA FLECHA ROJA SEÑALA HACIA EL ESTE, LA FLECHA AZUL SEÑALA HACIA EL OESTE. Si has conseguido que los cambios en el agarre del disco pasen inadvertidos, podrás convencer a tu público de que tu brújula tiene propiedades magnéticas, quizá debido a la fuerza de atracción terrestre. Como habrás podido comprobar, los ejes de simetría del cuadrado -horizontal, vertical y ambas diagonales- hacen que la flecha cambie de orientación sin que la figura cambie de forma. Comentarios finales: Si tu imaginación no es tan fértil como para recrear el juego con alguna situación real, quizá quieras inspirarte en la versión comercializada por Vernet bajo el título WRONG WAY, donde las flechas representan señales de tráfico. Steve Beam publicó un interesante juego basado en este principio en la primera página del primer volumen de la revista The Trapdoor (1983), bajo el título "Upside down". Allí afirma que el juego está basado en el manejo de Bev Bergeron sobre la versión de Milbourne Christopher. Da la impresión de ser un juego al que tenía mucho aprecio para concederle el honor de ser el primero de una colección compuesta por 70 volúmenes publicados entre 1983 y 1998. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

Jueves, 02 de Abril de 2020 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

122. 62. (Abril 2020) La prudencia es matemática

(Prudencia. Traité sur les vertus cardinales, Lyon, 1510. François Demoulins) Las artes liberales eran siete, como las virtudes y como los astros. En la Alta Edad Media y en los inicios del Renacimiento era corriente representar las virtudes y las artes liberales conjuntamente. Una persona sabia también era virtuosa. Así vemos rodeado de las artes a San Agustín, Santo Tomás, o a distintos personajes nobles o eclesiásticos. Muy pronto se produce una fusión: las virtudes se empiezan a representar con instrumentos matemáticos. El caso más notable es el de la prudencia que se asocia a la geometría o a la astronomía y se la muestra con un compás o una esfera armilar. Como ejemplo tomamos los bellos miniado del Traité sur les vertus cardinales, Lyon, 1510 de François Demoulins que está firmado en Lyon. En una de las imágenes aparece con un gran compás y en otra con la esfera celeste. (Prudencia. Traité sur les vertus cardinales, Lyon, 1510. François Demoulins) Prudencia matemática en la Santa Croce de Florencia Al fondo del transepto derecho de la Iglesia de la Santa Cruz en Florencia se encuentra la Capilla Baroncelli, con frescos de Taddeo Gaddi del siglo XIV sobre la Vida de la Virgen. Gaddi ejecuta una obra deslumbrante inspirada en la Capilla de los Scrovegni del Giotto, su maestro. La Iglesia de la Santa Cruz viene a ser un panteón de hombres ilustres. Allí se encuentran los mausoleos de Fermi, Marconi, Galileo o Miguel Ángel entre otros. Las alegorías de los dos últimos tienen interés matemático. Gaddi muestra la temprana asociación de las virtudes con las artes: la Prudencia en el medallón del techo aparece con la esfera armilar, el atributo de la Astronomía. La representación de las siete virtudes y las siete artes juntas era habitual, como complemento del bien y el conocimiento, sin embargo, aquí Gaddi dio un paso más y realiza una fusión que proliferará en obras posteriores. (Taddeo Gaddi  Prudencia. Iglesia de la Santa Cruz. Florencia) La Prudencia de la Casa Minerbi de Ferrara La Casa Minerbi es un palacio del siglo XIV con un significativo ciclo de frescos de Stefano da Ferrara en el Salón con las alegorías de las virtudes, los vicios y los meses. La representación de la prudencia se hace con un compás que mide el globo terráqueo con escenas de la vida cotidiana. En otra sala el ciclo de las virtudes se complementa con otro más astronómico, donde se representan los ciclos de los meses y las estaciones. (Stefano de Ferrara.  Prudencia. Casa Minerbi. Ferrra) La Prudencia en la tumba de Francisco II de Bretaña en Nantes La Catedral de Nantes aloja el mausoleo marmóreo del que fue el último duque de Bretaña antes de su incorporación a la corona de Francia. La obra escultórica de Michel Colombe (1507) fue encargada por su hija Ana de Bretaña, que estuvo casada sucesivamente con dos reyes franceses. El conjunto es considerado como la obra maestra de la escultura renacentista en Francia. Francisco II y Margarita de Foix yacen encima de su sarcófago con un lebrel y un león a sus pies. Los laterales tienen hornacinas con apóstoles, santos y reyes. En las esquina se representaron alegóricamente las cuatro virtudes cardinales. Nos fijamos en la Alegoría de la Prudencia por usar el símbolo geométrico del compás en la mano derecha. Midiendo antes de actuar se toman las decisiones acertadas. La representación se completa con el espejo en la mano izquierda (mirarse desde fuera para actuar con objetividad) y una figura bifronte. La prudente joven piensa como el viejo sensato que se ve en la parte trasera. (Michel Colombe.  Prudencia. Catedral de Nantes) La Prudencia de Schaffner en Kassel El Palacio Wilhelmshöhe de Kassel alberga la Galería de Pintura de los Maestros Antiguos del Museo Estatal de Hesse. La rica colección conserva una pintura sobre tablero de mesa realizada por Martín Schaffner en 1533 que es todo un programa iconográfico de la visión medieval del mundo que se extiende por el Renacimiento. Toda una cosmología sobre planetas, metales y ciencias. En el centro de la mesa una luz (divina) se rodea de los siete astros conocidos que extenderán su efecto sobre los asuntos terrestres. Cada astro se asocia a cada una de las siete artes liberales: la Aritmética se vincula con Marte, la Geometría con Júpiter y la Astronomía con Saturno. (Martín Schaffner.  Mesa de las Artes, Virtudes, Planetas y Metales. Kassel) Ya Dante, en el Convivio, había vinculado las siete artes con los siete cielos. Tanto la Geometría como la Astronomía coinciden pero no la Aritmética. Para Dante, la Aritmética es solar y lo razona: El cielo del Sol se puede comparar a la Aritmética por dos propiedades: una es que por su luz todas las estrellas se muestran; la otra es que el ojo no lo puede mirar. Y estas dos propiedades están en la Aritmética: porque por su luz se iluminan todas las ciencias, ya que sus objetos todos se consideran en razón de algún número, y al considerarlos siempre se procede según algún número. Martin Schaffner (1478-1548) fue pintor y medallista, de forma que su obra denota una gran precisión en los detalles. La Geometría es una de las obras más cuidadosas que se han comentado: el compás mide sobre una regla marcada para continuar el sistemático trabajo de cálculo. El sistema del mundo estaba todavía centrado en la Tierra y será precisamente Ptolomeo el sabio que aparece en una de las esquinas de la tabla para completar, por simetría, a ocho las figuras representadas. La representación de la Astronomía es también la de la Prudencia. La serpiente que acecha y el espejo son los símbolos inequívocos de la prudencia y la esfera armilar es la extensión de la virtud a las artes liberales. (Martín Schaffner.  Prudencia/Astronomía/Saturno. Kassel) La Prudencia en el Museo del Renacimiento de Ecouen (París) El Museo del Renacimiento se ha instalado en el Castillo de Ecouen, al norte de París. Los grandes óvalos de cerámica vidriada de Limoges fueron ejecutados por Pierre Courteys sobre 1559. Se conservan nueve placas, seis dioses y héroes, y tres virtudes. Una vez más la Alegoría de la Prudencia se representa con los instrumentos de la Geometría, en este caso reposando a sus pies: una regla y un compás. Las placas reproducen los diseños manieristas de Rosso Florentino, uno de los artistas desplazados a Fontainebleau. La serie encargada sería mayor (quizá con las artes liberales como era normal en los studiolos) pero debió interrumpirse con la muerte de Enrique II en 1559. (Pierre Courteys.  Prudencia. Castillo de Ecouen) Las placas son deslumbrantes y muestran como la cultura de la época ensambla los temas paganos y cristianos en coherente unidad. La belleza es dominante y no olvida la matemática. La “Geometría” de Lorenzo Sabatini en Turín El manierismo renueva la representación de las alegorías con gran libertad y con mensajes que no son fáciles de descifrar. El pintor boloñés Lorenzo Sabatini fue discípulo de Vasari y del Parmigianino, uno de los artistas más inquietos de su época. La pintura atribuida a Sabatini que se puede visitar en la Galería Sabuada de Turín, hoy titulada Alegoría de la Geometría (circa 1560), ha pasado por distintas autorías e interpretaciones. El compás y la esfera celeste podrían hacerla pasar tanto por Urania, Astronomía o Geometría, pero el espejo suele ser acompañante inequívoco de la Prudencia, que también aparece muchas veces con compás aunque no tan desnuda. (Lorenzo Sabatini.  Prudencia/Geometría. Turín) Prudencia barroca en el Palacio Médici-Riccardi de Florencia La representación de las virtudes con las artes matemáticas que se inicia en la Edad Media se mantiene hasta el Barroco. En el Palacio Médici-Riccardi de Florencia veremos un gran fresco de Luca Giordano donde la virtud cardinal se rodea de matemáticos en plena actividad. La Prudencia aparece en el fresco de Luca Giordano de la Galería de los Espejos: La apoteosis de la dinastía de los Médici. El espejo, la serpiente y el ciervo son tres de sus símbolos habituales, mientras debajo, a su lado, dos sabios estudian y contemplan el cielo, uno con cuadrante astronómico y el otro con un compás y una escuadra. Cuando Giordano sigue a Ribera, los sabios son pobres y están retirados del mundo, pero aquí en plana apoteosis medicea no hay lugar para la crítica barroca a la vanidad humana. (Luca Giordano.  Detalle de la Prudencia. Florencia)

Miércoles, 01 de Abril de 2020 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

123. 149. Loco de reMates

Visitamos y os recomendamos en esta ocasión una serie de programas de divulgación, accesibles desde la red. Como sabéis los que seguís regularmente esta sección, además de tratar las matemáticas que van surgiendo en las películas comerciales, de vez en cuando nos fijamos también en documentales y en los programas de divulgación que se van produciendo. El criterio es incorporar todo tipo de documentos audiovisuales que puedan servir tanto para la docencia como para el disfrute personal. En el caso de programas pensados para la televisión, hablamos ya de Una de mates que se emitió como microespacio de las primeras temporadas de Órbita Laika, en La2; Math Bites, presentado por Danica McKellar en televisiones norteamericanas por cable; los programas de la BBC de Marcus du Sautoy; la serie de Isto é Matemática, de Rogerio Martins en la televisión pública portuguesa; los innumerable programas de Adrián Paenza en la televisión argentina; y unos cuantos más. Hoy nos acercamos a una serie nacional, realizada en Burgos. CIEN&CIA es un programa divulgativo de ciencia e investigación ideado por la Unidad de Cultura Científica e Innovación de la Universidad de Burgos, con la colaboración de la Fundación Española para la Ciencia y la Tecnología (FECYT), el Museo de la Evolución Humana (MEH) y tvUBU. Se emite a través de La 7 y La 8 de Radio televisión de Castilla y León (rtvcyl), y su orientación es escolar y familiar. Su objetivo es el de promocionar la ciencia y la investigación, poniendo en relieve el trabajo de profesores, investigadores y personal de la Universidad de Burgos. El equipo técnico de la UCCi se encarga de la grabación y el montaje del programa, y los científicos de la UBU explican sus investigaciones. A partir de la segunda temporada del programa se incorpora una sección dedicada a las matemáticas, llamada inicialmente Mates, para qué os quiero, en la que el matemático Enrique Hernando, de la Asociación Castellana y Leonesa de Educación Matemática Miguel de Guzmán, guioniza y presenta cada uno de los microespacios, cuya duración oscila entre los cinco y los diez minutos. En el enlace https://www.youtube.com/playlist?list=PLF4AEWfz-PsJ04WZkk-4VPVICgpOdLvIV, se pueden ver los programas completos (13 en total). Aún sin título propio, utilizo el tema del que se habla para describirlos: 2 x 01.- Manejo de Grandes Números (del minuto 6:35 al 9:22 del programa completo): Enrique nos plantea lo que nos cuesta imaginarnos grandes cantidades en nuestra vida cotidiana, y se pregunta por qué no dedicamos un momento a hacer cálculos sencillos antes de tomar decisiones como la de tirar el dinero para tratar de acertar los seis números de la lotería primitiva. Para entender mejor las posibilidades que existen, nos relata otras experiencias de parecida probabilidad que son claramente auténticos disparates. 2 x 02.- Intuición Matemática (de 4:48 al 8:00): Nuevamente se incide en porqué no calcular antes de dar la primera respuesta que se nos ocurre. Con tres sencillas cuestiones, se nos pone de manifiesto la poca importancia que damos a leer y entender bien los enunciados. Y esto es una conducta que utilizamos en todas las circunstancias cotidianas a las que nos enfrentamos. Muy buena la frase final atribuida a Pitágoras: “El comienzo de la sabiduría es el silencio”. 2 x 05.- De pelos y palomas (de 3:49 a 7:56): Espacio dedicado a explicar el principio del palomar puesto en práctica con uno de sus ejemplos más típicos: la prueba de que en el mundo hay al menos dos personas con el mismo número de pelos. La moraleja es clara: a partir de cálculos un tanto imprecisos, es posible obtener conclusiones totalmente correctas. 2 x 07.- ¡¡Qué más da, profe!! (del 4:46 al 8:32): Estamos acostumbrados a tolerar errores de tipo científico en nuestra vida diaria. No hacemos lo mismo con otras disciplinas, ya que nos parecen barbaridades. Es una discriminación que influye en el anumerismo imperante. Como prueba de que esto sucede, se describen dos ejemplos: la espiral de los cuadernos, ¿seguro que es una espiral? Y los balones de fútbol, ¿esféricos o poliedros truncados? ¿Es posible construirlos con sólo hexágonos? 2 x 08 .- Duelo a tres en Sad Hill (del 6:12 al 12:08): Recreación del famoso trielo de la película El bueno, el feo y el malo en el escenario donde tuvo lugar el rodaje, en el valle de Mirandilla, cerca de Salas de los Infantes (Burgos). La diferencia estriba en que el presentador nos va desgranando las posibilidades de cada “pistolero”, teniendo en cuenta unas probabilidades asignadas a cada uno. Éstas se han cambiado ligeramente respecto de lo que se infiere en la película original (básicamente se ha puesto al “bueno” el peor porcentaje de aciertos, uno de cada tres, lo que puede resultar un tanto chocante. ¿Será que el presentador no quería interpretar el papel del “feo”?). En cualquier caso, respecto a lo que nos importa, la explicación de cuál debe ser la mejor estrategia (teoría de juegos), está explicada muy gráfica y claramente. Colaboran dos de los integrantes de la Asociación Cultural Sad Hill, institución que se ha encargado junto a otros voluntarios, de recuperar el lugar y proponerlo como reclamo turístico de la zona (muy recomendable la visita, independientemente de las matemáticas, porque el sitio es espectacular). Eso sí, a puntito estuvieron de que la lluvia les estropeara el rodaje. 2 x 10.- El secreto mundo de los rectángulos (del 5:40 al 11:47): Programa dedicado a algunas de las propiedades elementales de objetos cotidianos de forma rectangular, desde las televisiones con su nuevo formato panorámico ideales para minimizar esas antiestéticas bandas negras (claro, como la gente ya no ve clásicos a blanco y negro, de proporción 4:3, aunque son las mejores), a los formatos del papel (DIN A3, DINA4, etc.) con los que no se desaprovecha tanto el papel, además de no hacer perder las proporciones cuando se amplía o reduce. De paso se nos habla de las proporciones estáticas y dinámicas, entre las que destaca, por su utilización creciente, el ejemplo de las tarjetas de crédito (con proporción aurea). 2 x 11.- ¿Cabemos toda la población mundial en Burgos? (del 4:53 al 9:15): Reflexionamos un poco sobre el tamaño de la Tierra. A partir de unos sencillos cálculos comprobamos que cualquier provincia española puede alojar, aunque parezca sorprendente, toda la población mundial. Respecto a su forma, se argumenta en torno a la trastornada idea de que el planeta es plano, y se aprovecha para recordar algunos aspectos de astronomía relacionados con la mayor o menor lejanía del Sol en cuanto a las estaciones, porqué cambia la duración del día, etc. A partir de la tercera temporada, otros 13 programas, la sección se rebautiza como Loco de remates, aunque básicamente con el mismo equipo y presentador. No todos los programas incluyen la sección. Indicamos brevemente aquellos en las que aparecen, y un enlace al micro espacio concreto (indicamos el programa, un enlace directo a la sección, la duración y un pequeño resumen del contenido): 3 x 02.- Las mates que te evitan esperas (4:38): en base a la teoría de colas y las cadenas de Markov, se explican cuál serían las mejores decisiones para evitar esperas al aparcar el coche en un parking saturado, para elegir la caja en la que nos atiendan, porqué la fila única agiliza la espera, si es mejor o no cambiarse de cola, o cómo paliar los atascos en las autovías. 3 x 04.- Las mates que te hacen la compra (8:18): el programa se centra en los cálculos y las alternativas que pueden aparecer en la compra, porcentajes y fracciones básicamente. Se analizan diferentes tipos de ofertas que suelen hacernos y algunas trampas con el tema de las rebajas. En esta ocasión no sólo se comentan, sino que se demuestran, mostrando con toda claridad las cuentas que deben hacerse, y así comprobar cuál es la mejor elección. 3 x 06.- Las mates que detectan errores (5:40): Aplicando aritmética modular, el presentador nos explica que son los dígitos de control que viene en los códigos de barras de los productos que compramos. Explica con todo detalle cómo se calcula la letra del DNI a partir del resto de la división, y nos indica otros lugares en los que se incluyen estos dígitos (por cierto, muy chula la camiseta de El bueno, el feo y el malo (Sad Hill)). 3 x 08.- Las mates que te muestran lo más cercano (5:49): Tomando como referencia el edificio del Museo de la Evolución Humana (Burgos), se nos explica que es un teselado mediante mosaicos irregulares (ver imagen) y qué son los diagramas de Voronoi y algunas de sus aplicaciones, como el calcular cuál es el instituto, la farmacia, etc., más cerca de nuestra localización, o el camino a recorrer para estar lo más lejos posible de un determinado lugar. Muestra además cómo las matemáticas se han inspirado en este caso en patrones que aparecen en la Naturaleza. Finalmente, después de enumerar otras áreas en las que se aplican los diagramas de Voronoi, una última referencia a cómo los móviles traducen mensajes de voz a texto o cómo nos sugieren las palabras que queremos escribir en los mensajes (que a veces maldita la gracia qué hacen). 3 x 09.- Las mates que te enseñaron a contar (7:00): Nos adentramos en esta ocasión en el Museo de la Evolución Humana para descubrir algunos detalle sobre el origen de los números, los primeros intentos del ser humano de contabilizar cantidades mayores que diez (hueso de Ishango), se nos plantea un ejercicio de subitización (si no conoces su significado, en el episodio se cuenta), se justifican algunos de los sistemas de numeración más comunes, y se describen algunos tipos de escritura directamente relacionadas con la consignación de cantidades (cuneiforme). 3 x 12.- Las mates que te calculan la ruta (7:10): En esta ocasión se describe el célebre problema de los puentes de Königsberg, y cómo Leonhard Euler lo resolvió dando origen a toda una rama de las matemáticas, la teoría de grafos. Y se cuentan algunas de sus aplicaciones, como la representación de una figura de un solo trazo y sin pasar dos veces por el mismo lado, así como la descripción del problema del cartero y el del viajante, asunto éste último como sabemos aún sin resolver en general. 4 x 02.- Las mates que te ayudan a medir ¡donde no llegas! (5:52): El episodio comienza en esta ocasión planteándonos retos como el medir la altura de una torre, la anchura de un río o la distancia a la que se encuentra un barco desde la línea de la playa en la que estamos. Por supuesto, es la excusa para relatarnos la biografía y descubrimientos de Tales de Mileto, uno de los siete sabios de Grecia. A continuación, el presentador nos revela cómo actuar para resolver las cuestiones anteriores, dejándonos otra para que la pensemos (aunque con una pista visual definitiva). 4 x 04.- Las mates del poder de las potencias (7:01): ¿Qué es preferible como sueldo, cobrar medio millón de euros en al mes, o cobrar un céntimo el primer día, dos céntimos el segundo, cuatro céntimos el tercero, y así sucesivamente hasta que acabe el mes? Por si alguien lo duda, se explica la conocida leyenda sobre el origen del ajedrez y la recompensa que pidió su inventor. Previamente, se indica qué es una potencia y algo sobre la vida de Descartes, su precursor. Es curioso que, a pesar de ser una de las historias más difundidas relacionadas con las matemáticas, sea el episodio con mayor número de visualizaciones, del orden de diez veces más que el resto. Quizá sea por ese poder de las potencias. 4 x 06.- Las mates que te dicen dónde estás (7:23): A partir de la pregunta razonable de un alumno  sobre la necesidad de conocer los números con excesiva precisión, el programa nos lo explica con un objeto que se ha convertido en cotidiano en nuestras vidas: el GPS. Además de mostrarnos cómo funciona y cómo es necesario que al menos cuatro satélites nos detecten (tetralateración, gracias a un teorema sobre la intersección de las esferas), se recuerda cómo Galileo descubrió el fundamento de la oscilación del péndulo, que posteriormente se aplicó en la construcción de los relojes de cuerda, más precisos que los antiguos de sol, agua o arena. Y finamente se nos propone una sencilla comprobación de los resultados obtenidos sobre nuestra posición dependiendo del número de decimales que indiquemos al buscador. Con ello queda clara la necesidad, en determinados contextos de utilizar muchos decimales para describir las situaciones. 4 x 08.- Las mates de los grandes números (6:09): Cuando se manejan número de muchas cifras, es complicado determinar su tamaño y realizar operaciones con ellos. Por eso la descomposición en potencias de diez, o la notación científica son de gran ayuda en este asunto. Enrique nos lo explica con unos cuantos ejemplos, además de volver a incidir en la diferencia entre lo que indica el billón dependiendo del país. Comentario Todos los espacios tienen una estructura similar: una entradilla en la que se plantean al espectador una o varias cuestiones que pueden presentarse en situaciones cotidianas. Se enuncian de manera distendida y atractiva, de un modo desenfadado, tratando de transmitir al hacerlo la extrañeza o dificultad de un ciudadano medio, para que se identifique con la situación, como si estuviera desconcertado con una cuestión que quizá no sepa resolver. A continuación, aparece la cabecera del programa para pasar rápidamente a la explicación.  De nuevo el presentador lo hace de un modo informal, coloquial, ameno, dejando caer otras cuestiones relacionadas con la que está relatando o que tengan cierta conexión. En determinados momentos, si es preciso, aparecen recreaciones infográficas muy claras y bien pensadas para que no quede la menor duda de lo que se cuenta. En otros momentos se incluyen demostraciones matemáticas sencillas, aunque en general lo que más se emplea es la verificación, gráfica o inductiva. Todos los episodios finalizan con una frase de algún personaje célebre (matemáticos, sobre todo) que guarde relación con lo expuesto, en muchas ocasiones trascendiendo lo estrictamente matemático para adentrarse en el plano filosófico o humanístico, o sea para meditar un poco. Aunque muchos de los temas son conocidos, nunca está de más volver a escucharlos, y además pudiendo comparar con diferentes maestros de ceremonias, porque siempre habrá un matiz nuevo o que no nos hayamos percatado, que enriquece el conocimiento. Finalmente, os mostramos un resumen de la charla que mantuvimos con Enrique, el guionista y presentador del espacio, al que agradecemos el asalto al que sometimos, que nos cuenta aspectos de interés sobre el programa. 1.- ¿Cómo surge la idea de Mates, para qué os quiero // Loco de remates? Respuesta: Bien, entre las muchas actividades que lleva a cabo la unidad de cultura científica de la universidad de Burgos (UCCi-UBU), entre las cuales se encuentra la producción del programa Cien&Cia, se encuentra también la organización de la feria de la ciencia y la tecnología. Como miembro de la Asociación Castellana y Leonesa de Educación Matemática, me invitaron a hacer en ella una charla divulgativa de matemáticas para público en general, tras la cual su responsable, Jordi Rovira, me propuso crear una sección periódica de matemáticas en la segunda temporada de su programa de ciencia. Se dio la circunstancia, además, de que me había apuntado a un curso titulado “Contar la ciencia” de Big Van Ciencia, organizado también por ellos, con la intención de hacer galas de monólogos científicos. A mí me atraía el tema, no por llegar a hacer un monólogo, aunque al final participé en la gala de ese año, sino por el hecho de lo buena idea que me parecía el proponer a mis alumnos el reto de escribir un monólogo sobre un tema/contenido matemático que les llamase la atención por la razón que fuese. El hecho de tener que escribirse un guion, elegir lo que quieres contar sobre ese tema, investigar sobre él y decidir cómo lo cuentas me parecía un ejercicio estupendo para sintetizar y afianzar los conocimientos sobre el tema en cuestión y acabar aprendiendo mucho sobre él por el simple hecho –que seguro hemos experimentado todos los que nos dedicamos a la profesión de profesor– de intentar transmitir y explicárselo a otros. Como dice la frase atribuida a Albert Einstein: “No entiendes algo realmente a menos que seas capaz de explicárselo a tu abuela”. Así empezó esta “aventura”, que está cumpliendo ya su tercer año. 2.- ¿Cómo es el proceso de elaboración de estos espacios? ¿Cuánto tiempo os lleva? ¿Tienes posibilidad de revisar lo que finalmente se va a emitir? Resp.: En general, al principio de la temporada, yo expongo al equipo del programa los posibles temas que me gustaría tratar y vemos los que pueden ser más atractivos o pueden despertar más la curiosidad de la posible audiencia, sin olvidar que se trata de un programa de divulgación científica. Cuestiones de esas que cuando las cuentas en clase (o a las amistades que se prestan a escuchar tus “batallitas de mates”) ves que llaman la atención y enganchan a quien lo oye e, incluso, motiva a “echar unas cuentas”. Una vez decididos –aunque a veces cambiamos según surgen nuevas ideas–, voy escribiendo los guiones y se los echo al equipo. No sé si es que soy de más de torpe, pero parece mentira la de tiempo que me lleva elegir, como decía, lo que cuento y cómo cuento un tema que, claro, ya conocía. El presentador del programa, Samuel Pérez, se encarga de darle un poco de sentido común en cuanto al tiempo estimado que puede durar, cómo se pueden entender o no ciertas cosas de las que quiero hablar y, resumiendo, acotando un poco el formato para que se ajuste a las necesidades de la sección. Entre Samuel, el cámara, Fernando Muñoz, el encargado de editar y hacer las infografías que veis, David Serrano y yo al escribir el guion, decidimos las posibles localizaciones en las que poder grabar según el tema. En este proceso pueden pasar un par de semanas para cada capítulo. Finalmente quedamos para grabar el día que podemos y, para un capítulo de cinco o seis minutos. Fácilmente podemos emplear tres horas de grabación: tomas, voces en off, repeticiones, recursos de imágenes, … Una vez hecho esto el equipo técnico que os decía monta y acompaña las secuencias de infografías para que el resultado sea lo mejor posible (o, al menos, lo mejor que sabemos). En todo momento tenemos claro cómo queremos el producto final. 3.- Los medios de comunicación suelen tener sus propios criterios y a veces no comparten lo que los científicos o matemáticos consideran de interés. ¿Habéis tenido algún problema en este sentido? ¿Ha habido algún tema o contenido que os hayan dicho que no? ¿Cómo habéis consensuado los temas de los programas? Resp.: Pues la verdad es que Canal 7 CyL y los Canal 8 provinciales nos hacen simplemente de emisor. Todo el programa está producido completamente por nosotros (UCCi-UBU) y les enviamos el “producto” tal y como se emite. Siendo un programa de divulgación científica (con su parte matemática, aunque también es una ciencia ¿no? Ya lo dio Gauss: “La matemática es la reina de las ciencias…") no veo qué problema podrían tener. Simplemente yo propongo los temas al equipo de Cien&Cia y, a partir de ahí, hago los guiones, etc. 4.- A la hora de elaborar el guion de los programas, ¿de qué ideas o criterios partes? ¿Te resulta complicado? ¿Eres el único guionista? Resp.: Como decía sí, los guiones, dónde y cómo se podría grabar (aunque en alguno he necesitado ayuda para esto), frases de matemáticos, bromas y demás los hago yo íntegramente, pero, una vez se los envío, Samuel y el equipo los “recortan”, enriquecen, opinan, proponen localizaciones y formas de grabar en las que ellos son mucho más entendidos. Tengo un cuaderno de trabajo en el que voy apuntando temas que se me van ocurriendo que sé que llaman la atención por lo útiles en situaciones que conocemos todos, por lo curiosos o sorprendentes, por lo que pueden aportar a la génesis de tal o cual concepto cuando hablamos de algo que me gusta mucho y que no deberíamos separar nunca de esta materia que es la Historia de las Matemáticas. En general yo he desarrollado algunas ideas y aplicaciones propias, pero la mayor parte de ellas las he conocido leyendo, viendo e investigando muchas “mates de andar por casa”. Como me gusta decir, yo no diría que sé muchas matemáticas; lo que sí creo es que sé muchas cosas de matemáticas, que es diferente. Y, además, como Newton, lo que se me ocurre lo veo porque “voy sentado a hombros de gigantes”: Miguel de Guzmán, Claudi Alsina, Eduardo Sáenz de Cabezón, Clara Grima… y, sobre todo, mis compañeros de la Asociación regional de profesores de matemáticas, con quienes, en reuniones, cursos, congresos y demás, comparto intereses, ideas, formas de hacer… 5.- La 7 de Castilla y León (La 8 en cada provincia) es una televisión regional, por tanto, de una difusión limitada. No obstante, gracias a internet, es posible llegar a más potenciales espectadores. ¿Tenéis referencias sobre el índice de impacto de los programas? ¿Si es visto fuera de la Comunidad? Resp.: Bueno, claro, al ser una televisión regional llegamos a un público limitado. Además, por desgracia, los programas de divulgación no suelen ser los más vistos precisamente, aunque yo creo que esto está cambiando un poco. Creo que desde hace algunos años estamos empezando a entender que igual se llega más a la gente hablando no tanto de ciencia en sí, sino de por qué hacemos ciencia y eso en qué beneficia a la sociedad. También es verdad que la repercusión que estamos viendo en visualizaciones en internet no responde a lo que esperamos en función a la (de verdad) gran acogida de la sección –y el programa– que nos llega por comentarios y apoyos de quienes nos hacen llegar su opinión. Sé que hay muchos profesores conocidos y no conocidos (redes sociales), de nuestra comunidad y fuera de ella, que usan esos videos de matemáticas en sus clases e, incluso, muchos me han comentado que les han servido para ver y explicar ciertos contenidos de forma diferente y la buena acogida que tienen en sus alumnos. Lógicamente, yo los uso en mis clases, en secundaria y en la universidad: en másteres, innovación, y me son súper útiles en los cursos para mayores de la “universidad de la experiencia”. La gente no relacionada con la materia ve las mates desde un punto de vista que no conocía. Uso en la olimpiada de secundaria prueba por equipos. Uso en mis clases, especialmente en la universidad, másteres, innovación, … Incluso sé que, además de mí, y por las razones que comentaba antes, hay muchos profesores que están pidiendo a sus alumnos que hagan monólogos, videos, etc., siempre con sus guiones respectivos sobre todo tipo de contenidos matemáticos. 6.- Desde el punto de vista matemático, los programas explican cosas muy interesantes, pero demostraciones rigurosas no se muestran muchas. ¿No os parece que es una buena oportunidad para, en pequeñas píldoras por supuesto, introducir razonamientos más abstractos como hacen en otros países? ¿Crees que eso restaría audiencia, aunque nos gustara más a los matemáticos? Resp.: Pues no lo sé, la verdad. A mí me interesa plasmar, como yo digo, el “para qué y de dónde” de las matemáticas. Para qué hacía falta que tanta gente se dedicase a darle vueltas a estos asuntos y, un poco de historia, de dónde y de quiénes salieron estas ideas tan prácticas y, muchas veces, tan poco abstractas. Desde ese punto de vista, no me interesan tanto las posibles demostraciones (además, en cuento me subo un poco en la profundidad de las explicaciones, ahí está Samuel para pararme los pies, yo creo que con razón). Pero sí, seguramente estaría muy bien intentar un tipo de programa un poco más “académico” y ver el recorrido que podía tener. Igual nos sorprendíamos. 7.- ¿Estáis satisfechos con los resultados? ¿Qué cambiaríais? Resp.: Pues en cuanto al equipo y los resultados, para los pocos medios que tenemos, yo no cambiaría nada. Quizás, como casi siempre cuando se trata de temas relacionados con la ciencia, estaría muy bien tener más tiempo para hacerlo todo. Para que el programa sea posible dependemos casi por completo de la financiación de la FECYT (Fundación Española para la Ciencia y la Tecnología) y, hasta que no sale la resolución de las ayudas, no nos ponemos con ello. Muchas veces solo hemos tenido un par de meses para trabajar antes de empezar las emisiones. Ah, seguro que Samuel cambiaría que yo hiciese los guiones un poco más cortos, je, je, pero es que, cuando algo te gusta, podrías estar horas hablando de ello… 8.- Empezasteis con una sección más breve, cuyo leit motiv era siempre el de “¿por qué no calculáis?” interpelando directamente al espectador, de un modo contundente. Yo creo que era un mensaje espléndido. En su lugar, los episodios posteriores muestran para lo que sirven las matemáticas con títulos encabezados por “Las mates que …” de un modo menos directo. ¿Crees que es una estrategia mejor de cara a mostrar todo lo bueno que las matemáticas nos aportan (y nos perdemos)? ¿Por qué el cambio? Resp.: Sí. En un principio yo tenía la idea de lanzar ese mensaje contundente, como dices, en todos los capítulos por la tendencia (¿manía?) de la gente en general por imaginar o inventarse lo que debe dar como resultado una situación que implique matemáticas en lugar de calcularlo –cuando muchas veces es algo muy sencillo–, como olvidando todas las matemáticas que aprendieron o negándose sistemáticamente a usarlas porque “no sirven para nada”. Como me gusta decir, ese “¡qué más da profe!” (título, por cierto, del monólogo que finalmente hice en la gala y de uno de los capítulos de la primera temporada de “Mates para qué os quiero”) que solemos notar los profesores cuando hablamos de exactitud, ser precisos, escribir correctamente los desarrollos, etc. Pasó que, al resto del equipo, y a un amigo cercano que es realizador de programas de televisión y me lo dijo “suavemente”, no les gustaba cómo quedaba y decidimos quitarlo. Tampoco les convencía el título original y por eso lo cambié a “Loco de reMates”, como expresando eso de que vemos matemáticas por todas partes y, sin embargo, somos menos “frikis” de lo que podría parecer. Súper interesante todo lo que nos cuenta Enrique, Quique, para los amigos, pero obviamente nuestro tiempo y espacio, parafraseando a otro compañero, es finito, de modo que lo dejamos en este punto, no sin antes recordaros que merece la pena que echéis un vistazo a los programas (ya veréis cómo os enganchan), y los utilicéis y difundáis a su vez, si os parece pertinente. Muchas Gracias Quique de nuevo por tu tiempo y amabilidad. Nos vemos en La 8. Alfonso Jesús Población Sáez

Martes, 10 de Marzo de 2020 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

124. 180. (Marzo 2020) Martin Gardner

¿Eres capaz de descubrir los nombres que faltan en esta frase? Una vez XXX escribió que YYY había convertido a cientos de matemáticos en magos y a cientos de magos en matemáticos. Los adictos (perdón, adeptos) a este rincón imaginarán rápidamente que YYY define perfectamente a Martin Gardner pero quizá no adivinen a la primera el personaje que lo describió de esta forma tan directa y certera. Si buscamos el origen de la sentencia, podemos encontrar algunas pistas aunque la frase ha presentado ligeras variantes. Por ejemplo, en el libro "Los Simpson y las matemáticas" (Ariel, 2013), Simon Singh dice que: La idea juguetona que tenía de las matemáticas Gardner -el matemático recreativo más grande del siglo- atraía tanto a jóvenes como a mayores, o como expresó una vez uno de sus amigos: «Martin Gardner convirtió a miles de niños en matemáticos, y a miles de matemáticos en niños». Por otra parte, en el libro "Magical Mathematics: the mathematical ideas that animate great magic tricks" (Princeton University Press, 2011), de Persi Diaconis y Ronald Graham, aparece esta otra frase: La columna de Martin hizo mucho más que abrir el apacible arte de la matemática recreativa a una audiencia internacional de millones. Un aviso publicitario de uno de sus libros dice: «Atención, Martin Gardner ha convertido a docenas de jóvenes inocentes en profesores de matemáticas y a miles de profesores de matemáticas en jóvenes inocentes». En la autobiografía (publicada de manera póstuma) de Martin Gardner titulada "Undiluted Hocus-Pocus" (Princeton University Press, 2013), se desvela el misterio de este baile entre decenas, centenas y millares, pues Persi Diaconis, al escribir el prólogo, cita: Yo escribí el siguiente anuncio para uno de sus libros: «Atención, Martin Gardner ha convertido a docenas de jóvenes inocentes en profesores de matemáticas y a miles de profesores de matemáticas en jóvenes inocentes». Dicho libro es el titulado "The Colossal Book of Mathematics" (Norton, 2001) y la contracubierta del libro se muestra en esta imagen: Persi Diaconis cuenta que conoció a Martin Gardner cuando tenía 13 años, en una cafetería de Nueva York llena de magos y que, desde entonces, mantuvieron una extensa y regular correspondencia. Cuando el periodista Gary Antonick -en un artículo para The New York Times en 2014- preguntó a Diaconis si era más difícil convertir a niños en matemáticos que a matemáticos en niños, contestó: "es mucho más difícil conseguir que los niños disfruten con las matemáticas; los matemáticos siempre encuentran placer en cualquier agradable minucia". Quizá te estés preguntando el motivo de esta introducción, qué nueva sorpresa nos puede deparar Martin Gardner casi diez años después de su fallecimiento. La respuesta a tus inquietudes es que, por fin, se ha publicado en español la monumental obra que Martin Gardner dedicó a la magia. La obra, titulada en inglés "Martin Gardner presents" y publicada en 1993, reúne a lo largo de sus 415 páginas todas las contribuciones a la magia realizadas por nuestro protagonista durante seis décadas. Este libro ya está agotado pero la editorial Páginas Libros de Magia ha hecho un gran esfuerzo al publicar su traducción, y lo ha dividido en tres tomos, distribuyendo el material según sus características. Están disponibles por tanto los libros «Matemagia», «Cartomagia» y «Magia de Cerca», completando una excelente colección de seis libros dedicada a este autor. La colección incluye la traducción de la autobiografía que hemos citado antes bajo el título "Puro Abracadabra" (Páginas Libros de Magia, 2017), así como otros libros que han sido difíciles de conseguir hasta ahora. Por motivos obvios, el tomo dedicado a la magia matemática es el que interesa especialmente a los habituales de este rincón. Se pueden descubrir varios juegos que no están incluidos en otros escritos y contiene muchos comentarios acertados e información interesante por parte del traductor, el físico-mago Pablo Basterrechea. Como es habitual en este rincón, vamos a abrir el libro "Matemagia" por alguna página al azar. Vaya, el azar ha querido que nos encontremos con el capítulo 4, titulado «Apuestas y Probabilidades», el cual contiene seis juegos que obedecen a esta descripción. Este tipo de juegos son muy apreciados en el mundillo de la magia pues permiten crear la sensación de que el mago tiene ciertos poderes que le hacen ganar en los juegos de azar. Vamos a describir aquí, a modo de ejemplo, el primero de ellos, que fue publicado originalmente por Karl Fulves en el libro Octet el año 1981. Despliega sobre la mesa un conjunto de 16 cartas, dispuestas en cuatro filas de cuatro cartas cada una, algunas de ellas con las caras hacia arriba y otras con los dorsos hacia arriba, de forma aleatoria. Por ejemplo, podrían haber quedado así: El reto consiste en dejar todas las cartas en un mismo sentido, bien todas cara arriba, bien todas cara abajo. Para ello, se permite realizar una serie de movimientos. Estas son las posibles opciones: Voltear todas las cartas de una misma fila. Voltear todas las cartas de una misma columna. Voltear todas las cartas de una misma diagonal. Ahora bien, cualquier diagonal (o semidiagonal) es válida, tanto si contiene cuatro cartas, tres, dos o solo una (que será cualquiera de las esquinas), en cualquiera de las dos direcciones. Esquemáticamente, las posibles diagonales son las indicadas en las figuras: Comprobarás que no es fácil conseguir el objetivo (se muestra aquí la solución para el ejemplo propuesto). De hecho, algunas veces parecerá imposible. Sin embargo, si eres mago (en este caso, si conoces el secreto), siempre encontrarás una solución. ¿Cuál es ese secreto? Un mago no debe desvelarlo, así que te remito a las fuentes originales en el caso de que no puedas resolverlo por ti mismo. Incluso, aunque lo resuelvas, el libro contiene material de sobra para saciar tu sed de magia matemática. Comentarios finales: El colega Colm Mulcahy, otro de los personajes habituales a esta sección, de hecho con sección propia titulada Card Colm y que se prolongó durante diez años, trató este juego pero, sobre todo, una versión simplificada del mismo, versión que también aparece en el libro que estamos reseñando. Puedes aprender este otro juego en la entrada de diciembre de 2006. El análisis de este juego y de otros que se derivan de él conduce de forma natural al estudio de grupos conmutativos finitos, de esos que se estudian en la carrera de matemáticas. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

Miércoles, 04 de Marzo de 2020 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

125. 61. (Marzo 2020) Los sabios matemáticos de Luca Giordano

(Luca Giordano. Arquímedes.  Galería Gemälde. Berlín) El prolífico pintor napolitano Luca Giordano (1634 – 1705) aprendió con Ribera el arte del claroscuro y la representación de los filósofos griegos como sabios matemáticos. La pobreza, el abandono del mundo, cierta enajenación y la risa, casi carnavalesca, se convierten en atributos de sabiduría. La inmutabilidad y las certezas matemáticas serán la dedicación preferente de estos sabios. Giordano llega aún más allá que su maestro en la expresión barroca de la vanidad del mundo. En las muchas Vanitas se desprecian las riquezas, los honores, las armas, las tiaras y la ciencia: en los filósofos de Giordano y Ribera se busca amparo en la matemática, que incluye la astronomía y la astrología. Giordano representa matemáticos y astrónomos en muchos de sus grandes frescos de bóvedas pero son más convencionales que sus tenebristas filósofos. Los personajes que sirvieron de modelo se repiten en diferentes museos e incluso se hacen copias iguales o parciales de un mismo cuadro. Arquímedes, Euclides y Demócrito son representados como matemáticos que fueron, pero sorprende que los filósofos cínicos y escépticos como Zenón, Diógenes o Crates de Tebas también se concentren en la actividad matemática. Los filósofos de Giordano se encuentran repartidos en muchos museos y en colecciones particulares; incluso hay alguno mal catalogado. Nos limitamos a referenciar algunos como muestra significativa. Arquímedes y Euclides en Berlín Luca Giordano, Jordán en España, continuó la tradición de su maestro José Ribera de representar la sabiduría mediante filósofos de pobre vestimenta, que renuncian a las veleidades del mundo, de exaltación mística, y con atributos matemáticos y astrológicos. La Galería Gemälde de Berlín tiene dos “giordanos”: un Euclides sujetando una carta astrológica en una mano y un Arquímedes con un escrito matemático y portando una vasija cóncava orientada al Sol. (Luca Giordano. Euclides.  Galería Gemälde. Berlín) El modelo usado para Arquímedes es un viejo seco de nubosa barba, que debió gustarle mucho al pintor pues lo hemos encontrado en varias posiciones y actitudes. El dorado cuenco cóncavo parece dirigir y concentrar la luz que recibe, como si Giordano quisiera representar el momento de inspiración del siracusano que dará lugar a la leyenda de los espejos cuyos rayos quemarían la armada romana de Marcelo. También la figura de Euclides repite modelo e incluso forma; en Padua hay una réplica exacta del primer plano. Los claroscuros de matemático misticismo nos muestran una de las vertientes más consecuentes del espíritu barroco. Arquímedes en Padua El museo cívico de los Eremitani de Padua exhibe en la misma sala cuatro pinturas de Luca Giordano: tres filósofos matemáticos y otra del santo Job. Resulta interesante contemplarlos juntos porque salvo en el simbolismo de los accesorios no hay diferencias conceptuales. Entre el santo que vive con alegría la pobreza y los filósofos que desprecian el mundo hay una misma forma de entender la existencia. (Luca Giordano. Arquímedes.  Museo de los Eremitani. Padua) La piedad barroca en su expresión plástica extrema se manifiesta en formas diversas como vanidades, danzas macabras (tipo Valdés Leal), santos marginales y en estos sabios que van del éxtasis a la burla. Lucas Jordán toma de su maestro Ribera una temática dirigida a un nuevo público, más laico pero con sensibilidad plenamente barroca, que decora sus estudios o despachos con filósofos. Los símbolos matemáticos y el tenebrismo plástico son muy patentes. El Arquímedes de Padua se encuentra en plena contemplación de los cielos, en estado de inspiración, incluso podría pasar por un místico. El modelo es el mismo de Berlín. Jordán encontró un buen motivo comercial pues de su taller salen muchos filósofos. No me resisto a colocar más abajo otro de sus sabios que se encuentra en Senlis, al norte de París, que utiliza el mismo personaje: anciano huesudo, barba descuidada, nariz aguileña y pelo recogido. El francés trabaja con un manuscrito mientras el paduano lo hace con un globo. La figura de Senlis tiene menos fuerza por realizar solo un trabajo de la mente, mientras que el italiano está dotado de panteísmo cósmico. Parece muy sugerente la comparación de la misma figura en dos poses. (Luca Giordano. Arquímedes. Museo de Bellas Artes.  Senlis) Demócrito en Brescia La herencia del pintor de Xàtiva afincado en Nápoles –José Ribera- se pone de manifiesto en su discípulo Luca Giordano extremando más si cabe su barroquismo. Como muestra: este impresionante retrato de Demócrito, el filósofo matemático padre del materialismo. Como en los retratos de Ribera -y otros que le siguen- la figura del sabio va asociada a la pobreza, el abandono del cuerpo, la concentración mental, el alejamiento y el desprecio del mundo. La característica del atomista es además la risa, Demócrito es el filósofo que ríe. Risa que no sabemos si es ironía, condescendencia o enajenación. (Luca Giordano. Demócrito. Pinacoteca Tosio Montinegro. Brescia) Cuerpo semidesnudo con trapos que sirven para portar los escritos que a juzgar por el que lleva en la mano son astrológicos: horóscopos. Los horóscopos se representan mediante tres cuadrados anidados de forma que el vértice de uno se sitúa en la mitad del lado del otro. Astrónomo, astrólogo y matemático han sido términos casi indistinguibles hasta el siglo XVII, siendo Kepler quizá la culminación y disolución de esa figura múltiple. La pintura de Giordano se conserva en la pinacoteca Tosio Montinegro de Brescia. Por obras de restauración el museo municipal se cerró en el 2009, dando paso al nuevo gran museo arqueológico donde no se exponen estas obras. Los filósofos naturales del Louvre (Luca Giordano. Filósofo. Museo del Louvre. París) La pintura española barroca abarca mucho más que santos y reyes. Los personajes cotidianos y la pobreza de la sociedad se filtran a través de la pintura en distintas formas. En Murillo la sociedad miserable se nos muestra con una infancia descarnada, mientras que en Velázquez y sobre todo en Ribera contemplamos una galería de seres llamados filósofos cuya pobre vestimenta encierra una mente lúcida, en la mayoría de los casos un matemático o un filósofo natural, indistinguibles en la época. El napolitano Luca Giordano recorre hasta el final, el camino de su maestro Ribera: sus filósofos matemáticos son los más provocadores que la pintura puede mostrar. La piedad barroca no tiene forma de vanidad sino de renuncia, de abandono del cuerpo,… la vida científica se hace mística. En el Museo del Louvre se exhibe una colección de cuatro filósofos de Giordano; he elegido el que usa el compás por ser el más inequívoco de lo que el pintor entiende por filosofía. El Astrónomo de Chambéry (Luca Giordano. Astrónomo. Museo de Bellas Artes. Chambéry) Chambéry fue la capital histórica del Ducado de Saboya hasta 1563 cuando se trasladó a Turín, al otro lado de los Alpes. La ciudad dispone de un interesante casco antiguo en la falda del castillo y un pequeño Museo de Bellas Artes. En el Museo de Chambéry encontramos un Astrónomo de Luca Giordano que sigue el patrón barroco marcado por Ribera de retirada del mundo vano. Los astrónomos se prestan al ideal ascético y contemplativo. Su mirada a los cielos bien podía ser el de un místico si no fuera por los instrumentos y apuntes matemáticos. Una esfera celeste soportada por un brazo y un compás casi oculto en la otra mano dan cuenta de que los cielos están siendo observados con disciplina. Los manuscritos geométricos confirman las previsiones calculadas. La sabía miseria de Crates en el Palacio Barberini de Roma (Luca Giordano. Crates. Palazzo Barberini. Roma) Crates de Tebas es quizá el sabio que más se presta al ideal barroco de abandono de las vanas preocupaciones del mundo: hasta el tonel de su maestro Diógenes de Sinope le parecía superfluo como vivienda. Pese al miserable modo de vida de Crates, cuenta Diógenes Laercio, que atrajo y convivió con la joven Hiparquía, una de las primeras filósofas reivindicativas de la igualdad: ¿Crees que he hecho mal en consagrar al estudio el tiempo que, por mi sexo, debería haber perdido como tejedora? Al Crates de Giordano en el Palazzo Barberini le falta ropa pero no el compás de su cintura. La actividad geométrica forma parte de la caracterización del sabio. La persona que sirve de modelo es la misma del Demócrito de Brescia. Arquímedes en Chenonceau En los castillos del Loira nos podemos encontrar con más de lo que buscamos: un Arquímedes atribuido a Zurbarán en la cámara de Francisco I. En la iglesias y monasterios se encuentra una gran obra pictórica pero la lógica tendencia es la de representar escenas piadosas, afortunadamente con muchas excepciones, mientras que en los palacios y los edificios civiles abundan los retratos, y en los studiolos o bibliotecas dominan las representaciones de las ciencias. (Luca Giordano. Arquímedes. Castillo de Chenonceau) Desconocemos si el gran pintor de los frailes y de la mística barroca no se resistió a la representación de sabios y filósofos, pero la pintura de Chenonceau no salió de los pinceles del extremeño. La pintura está catalogada como de Zurbarán, y su temática está más próxima a Ribera, pero el modelo del personaje es uno de los utilizados por Luca Giordano, discípulo de El Españoleto y que reinterpreta su serie de filósofos matemáticos. Arquímedes desenrolla un pergamino para explicarnos su obra llena de figuras geométricas. La figura usada como modelo es la misma del “Demócrito” de Brescia o el “Crates” del Palacio Barberini.

Martes, 03 de Marzo de 2020 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

126. 148. 11 de febrero

Entre las actividades programadas para celebrar este día no podían faltar los audiovisuales. Se describen tres de ellos, uno aún no estrenado. Al igual que en años anteriores, el próximo 11 de febrero, se celebra el Día Internacional de la Mujer y la Niña en la Ciencia. Por si alguien no lo conoce, se trata de una iniciativa que un grupo de personas vinculadas al ámbito científico pusieron en práctica en septiembre de 2016, de forma voluntaria y sin ánimo de lucro. Dicha iniciativa está conformada por actividades que conmemoren este día (que fue declarado como tal el 15 de diciembre de 2015 por la Asamblea General de las Naciones Unidas) para intentar sensibilizar a la sociedad sobre la importancia de que las mujeres y las niñas participen en la Ciencia y la Tecnología, que lo hagan en igualdad respecto a la otra mitad de la humanidad, y que se visibilice (y nos enteremos) el relevante papel que desempeñan actualmente todas las científicas en su trabajo cotidiano. Esta iniciativa se realiza en toda España. En este enlace puede ampliarse toda la información sobre esta iniciativa además de información sobre las más de 1300 actividades y charlas que van a celebrarse entre el 1 y el 15 de febrero 2020. Y dada la sección que nos ocupa, en esta ocasión vamos a repasar brevemente las producciones audiovisuales que están circulando y en disposición de verse para esta celebración. Por supuesto tenemos las películas y documentales más comerciales, pero las que vamos a tratar de reseñar son esas otras menos conocidas, y realizadas con menos medios económicos, pero que no desmerecen en nada a las primeras. Por otro lado, la idea es transmitir información y concienciar, y para eso no nos importan demasiado ni las puestas en escena, ni los efectos especiales, que más bien podrían ocultar su verdadero sentido. 1.- El enigma Agustina Nacionalidad: España, 2018. Dirección: Emilio J. García Gómez-Caro y Manuel González García, a partir de un guion propio. Producción: Ana María Navarro Tamayo, Oscar Huertas Rosales y Estefanía López González. Fotografía: Pablo Bullejos, en B/N y Color. Montaje: Lluís Blanes. Música: Olé Swing. Duración: 90 min. Intérpretes: Nerea Cordero (Esther Vidal), Antonio Leiva (Andrés García), Natalia Ruiz Zelmanovitch (Fotoncita//Agustina), Manuel González (Enanita Blanca), Paulino Navarro (Honorato), Chelo Araque (Experta en ciencia y Mujeres), Natalia Zamora (Prima de Esther), Manuel Ruiz (Paco), Oscar Huertas (Experto en Física), Emilio J. García (Experto en Historia de la Ciencia), Ana Tamayo (Experta en la Generación del 27), Myriam Rodrigues (Funcionaria de La Sorbona), John Carter (Experto en Marie Curie). Pilar Cara Jiménez y María José Arias Puertas (Vecinas de Almuñecar). Se trata de una película rodada en Granada, París y Madrid, con la estructura de un falso documental (aunque realmente está tan bien urdido el argumento que le será muy difícil al espectador descubrir cuáles son las pocas licencias inventadas que se han utilizado; al final se explica cuál es lo inventado y cual lo real). El argumento arranca en 1980, en Madrid, cuando en las obras de remodelación del Palacio del Pardo, oculto tras un falso techo, aparece un baúl lleno de objetos y documentos que no guardan ninguna relación aparente entre sí: fotos antiguas, discos de pizarra, programas de mano de un espectáculo de copla de los años veinte, cartas, artículos científicos y una tesis doctoral. Sin mayor interés para nadie, el arcón y su contenido es almacenado y olvidado, hasta que en 2015 una estudiante de Historia, que está realizando una tesis sobre Blas Cabrera, ha descubierto su existencia. Entre los citados documentos descubre una tesis doctoral en Física dirigida por Blas Cabrera a una tal Agustina Ruiz Dupont fechada en 1923, junto a unas cartas firmadas por Albert Einstein y Marie Curie en las que se menciona el nombre de Agustina. Además, hay fotos en las que una misteriosa mujer, de la que no encuentra referencia histórica alguna, aparece rodeada de toda la élite científica europea de principios del siglo XX. Para tratar de descubrir quién es, se pone en contacto con un conocido divulgador científico. La película describe algunos de los hitos científicos más relevantes ocurridos en Europa en el primer tercio del siglo XX, haciendo especial hincapié en temas como la relatividad general, la mecánica cuántica y la cosmología. Pone además sobre la mesa un periodo de la historia española reciente en la que España se acercó a la vanguardia científica (conocida como edad de plata de la ciencia española) gracias al trabajo de la Junta de Ampliación de Estudios (JAE) y la dedicación de personas como Blas Cabrera, Julio Palacios, Enrique Moles, José Castillejo o Felisa Martín Bravo, seguramente desconocidos por el público en general. Para los más reticentes, no se trata del típico documental prolijo en datos que nos duerme a los diez minutos, sino que el montaje, la ambientación, los bien llevados saltos temporales y una inteligente dosis de humor (cancioncilla incluida), hacen del conjunto un trabajo digno de mención y visualización. Por otra parte, tiene el mérito e indudable interés de transmitir al espectador la triste sospecha de la segura existencia de muchas Agustinas (y Agustines) que desgraciadamente vieron sus vocaciones y sus potenciales méritos completamente arruinados a causa de unas circunstancias políticas y sociales que condicionaron la existencia de todo un país (por supuesto idea extrapolable al resto del mundo con interesados vaivenes personales de unos pocos). La película ha sido financiada por la Fundación Española para la Ciencia y Tecnología (FECYT-Ministerio de Economía, Industria y Competitividad) y cuenta con la colaboración de instituciones como la Sociedad Española de Astronomía, la Consejería de Cultura de la Junta de Andalucía y el Instituto Andaluz de la Mujer. Ha sido merecedora del Gran Premio Unicaja BICC Ronda-Madrid-México 2018 a la Mejor Obra Audiovisual en la Bienal Internacional de cine científico Ronda - Madrid – México (BICC, 2018), finalista al Mejor Largometraje documental en el I Certamen Cine Autor (VOD). En este enlace podéis ver un pequeño tráiler. Que disfrutéis con Fotoncita de Jerez y su primo Enanita Blanca. 2.- La mujer que soñaba con números Nacionalidad: España, 2020. Dirección: Mirella R. Abrisqueta, basada en un guion propio. Producción: Mirella R. Abrisqueta. Fotografía: Adrián Barcelona, en Color. Montaje: Pablo Urcola. Duración: 70 min. Intérpretes: María José Moreno y Claudia Siba (Andresa Casamayor, en distintas épocas), Minerva Arbués, Javier Aranda, Francisco Javier Bruna, Félix Martín. Rodada en Zaragoza, Madrid, Bureta y Grisén, en este caso nos encontramos ante la historia de una mujer real, la matemática zaragozana María Andresa Casamayor de la Coma, junto a la de otras personalidades de la Ilustración. Aunque los responsables han hecho un profundo trabajo de investigación sobre Andresa, hay muchas lagunas (lo de siempre: si la Historia se preocupa sólo de algunos ilustres, imagínense, bueno seguramente no haga falta que se lo imaginen, qué sucede con las mujeres), por lo que la directora/guionista ha optado por una puesta en escena entre el pasado y el presente (igual que sucede con El enigma Agustina). Así, una compañía de teatro actual que intenta sacar adelante una obra sobre la protagonista, será la que nos vaya desvelando los fragmentos de la vida de esta mujer. Con poco más de 17 años publicó el libro Tyrocinio arithmetico, Instrucción de las quatro reglas llanas, catalogado hasta el momento como el primer libro de ciencia publicado por una mujer en España. Tyrocinio es una palabra latina que significa aprendizaje, muy apropiado a su contenido, ya que su propósito es el de enseñar las cuatro operaciones (suma, resta, multiplicación y división) a personas sin estudios para que pudiesen aprender a desenvolverse mínimamente con las matemáticas más elementales. Incluye un apéndice con tablas de pesos, medidas y monedas, algo muy práctico en aquel momento ya que aún no se había descrito el estándar de las mismas y cada región española tenía su sistema propio. Muchos manuales escolares de esta época y posteriores incluían este tipo de tablas. Al parecer no fue el único tratado que escribió, ya que el historiador Melchor Poza, en su libro Mujeres célebres aragonesas, publicado en 1884, indica que también escribió El Para sí solo, “noticias especulativas y prácticas de los números, uso de las tablas raíces y reglas generales para responder algunas preguntas que con dichas tablas se resuelven sin necesidad de la algebra”. Desgraciadamente el libro nunca se llegó a publicar y el manuscrito ha desaparecido, de modo que simplemente disponemos de la referencia y lo que este historiador dejó reseñado. Entre las curiosidades que hay detrás de la vida de esta mujer es que no firma el libro con su nombre (nos podemos imaginar la razón; lamentable, si uno lo medita mínimamente), como vemos en la portada de la imagen adjunta, sino como Casandro Mamés de la Marca y Araioa. ¿Y por qué este nombre tan extraño? Si uno se toma la molestia de compararlo con su verdadero nombre completo, María Andresa Casamayor de la Coma, podrá comprobar que son exactamente las mismas letras en distinto orden, esto es, un perfecto anagrama. Como pueden imaginar esto ha provocado que no aparezca en las referencias escritas por otros autores o lo haga equivocadamente. Así durante mucho tiempo se ha pensado que su nombre era María Andrea (el bibliógrafo aragonés Félix de Latassa y Ortín así la nombra en su monumental catálogo Biblioteca de los escritores aragoneses, 1798). Este equívoco ha retrasado incluso el estreno de este documental del que estamos hablando. Ya ven, y todo por unos abominables comportamientos de épocas ¿pasadas? Además de los intérpretes, el documental cuenta con los testimonios de varios expertos del siglo XVIII en Aragón como los historiadores Guillermo Pérez Sarrión, Domingo Buesa Conde y Antonio Peiró; la investigadora en historia de la ciencia, Asunción Fernández Doctor; el director de la Sociedad Española de Estudios del XVIII, Joaquín Álvarez Barrientos y la experta en letras del XVIII, María Dolores Albiac. Sobre ciencia participan los matemáticos Pedro J. Miana y Marta Macho Stadler; el físico del CSIC Antonio Lafuente García y el director del Observatorio Astronómico Nacional, Rafael Bachiller. Finalmente, el papel de la mujer en la Ilustración está a cargo de la historiadora María Victoria López-Cordón; la investigadora del CSIC y filósofa, Eulalia Pérez Sedeño y la filósofa feminista, Ana de Miguel Álvarez. El documental tiene previsto su estreno (gracias Marta, por el apunte) el próximo viernes 14 de febrero (coincidiendo además con el tercer centenario del nacimiento de Andresa en Zaragoza) en Ibercaja Patio de la Infanta, en Zaragoza, aunque seguramente no tardando mucho podamos disfrutarlo en el resto del país. Pueden encontrar más información sobre la protagonista en el artículo Soñando con números, María Andresa Casamayor (1720 – 1780), de Julio Bernués y Pedro J. Miana, publicado en la Revista SUMA nº 91, pp. 81 – 86, julio 2019. 3.- Científicas: Pasado, Presente y Futuro. En marzo de 2016 se estrenó la obra de teatro Científicas: pasado, presente y futuro en la Escuela Técnica Superior de Ingeniería Informática de la Universidad de Sevilla. Unos meses antes, Francisco Vega Narváez, técnico de laboratorio de la citada universidad, pensó que sería una buena idea que su hija y otras niñas tuvieran referentes femeninos en el mundo de la ciencia para que no sintieran que algo les era ajeno por el mero hecho de ser mujeres, y también para que su hijo y otros niños tuvieran esos mismos referentes. Los logros en ciencia los hacen personas, da igual que sean mujeres u hombres, su edad, nacionalidad, etc. El testigo fue recogido por cinco profesoras investigadoras de la Universidad de Sevilla, que, junto al propio Francisco, escribieron un guion basado en la biografía y trabajo de cinco célebres científicas. Ellas mismas interpretarían la obra, seleccionaron el vestuario, idearon la puesta en escena, etc. Y lo que en principio iba a ser un experimento (con mucha ilusión, eso sí), ha acabado siendo todo un referente a lo largo y ancho de nuestra geografía para centros escolares, museos de la ciencia, y para el propio público, que demanda poder disfrutar de la obra. Como esas peticiones no paran de crecer, sus responsables han pensado que no es bueno hacer esperar a tantas personas interesadas y han grabado la obra y la ofrecen generosamente a todos los que quieran acercarse a ella (lo que no quita para que se siga solicitando su presencia física, cuya agenda de actuaciones está más que completa durante bastante tiempo). El enlace en el que podéis disfrutar de sus monólogos es éste. A todo esto, sus protagonistas son Isabel Fernández Delgado (Hipatia de Alejandria), Mª. Carmen Romero Ternero (Ada Lovelace), Adela Muñoz Páez (Marie Curie), Clara Grima Ruiz (Rosalind Franklin), y Mª José Jiménez Rodríguez (Hedy Lamarr). Después de la escenificación, normalmente las protagonistas sostienen un diálogo/puesta en común con los asistentes y sus opiniones, dudas y sugerencias. En el video, nos describen su quehacer diario en sus centros de trabajo y animan a las jóvenes a que dediquen sus futuros estudios a aquello que más les guste y nunca permitan que otras personas o circunstancias decidan por ellas (algo constatable aún hoy en día respecto a las vocaciones científicas que tan necesitadas están de investigadoras). Esta obra ha recibido numerosos reconocimientos (Premio Equit@t 2017 de la Universitat Oberta de Catalunya, Premio Ciencia en acción 2018, Premio Universidad de Sevilla a la divulgación científica 2018, entre otros), y sus responsables, en su deseo de ayudar a docentes y estudiantes, han elaborado con la magnífica colaboración de la dibujante Raquel Gu, (Raquelberry Finn), un fantástico cómic y unos documentos con actividades sugeridas a partir de él, que puede descargarse gratuitamente desde el enlace http://institucional.us.es/cientificas/comic. A finales de enero contabilizan cerca de 6000 descargas, y eso no es una casualidad. Por supuesto, como decía al principio, existen muchas más producciones audiovisuales con mujeres como protagonistas (no tenéis más que navegar un poco por las reseñas anteriores en esta misma sección). Como reflexión final, me gustaría transmitiros mi deseo de que algún día se hubiera normalizado la convivencia del ser humano y fuera indistinguible el hecho de ser hombre o mujer (algo absolutamente lógico en lo que se refiere a valía científica), pero desgraciadamente, las aborrecibles noticias y las manifestaciones públicas de determinada gente, parecen conllevar que no llegaré a verlo. Ojalá me equivoque. Alfonso Jesús Población Sáez

Lunes, 03 de Febrero de 2020 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

127. 60. (Febrero 2020) Gabinetes matemáticos de los príncipes germanos del Renacimiento

(Geómetra. Reloj astronómico. Museo de historia del arte. Viena) Los electores y las cortes imperiales alemanas, como ocurría con los príncipes renacentistas italianos y anteriormente con los reinos de taifas andalusíes, también competían por el arte y la ciencia. Los museos y palacios alemanes muestran de forma ejemplar como arte y ciencia pueden fundirse para poner de manifiesto que la cultura es un todo inseparable. Los príncipes medievales disponían de sus cámaras del tesoro para objetos de valor, armas y joyas; en el Renacimiento el coleccionismo se amplía para dar entrada a la nueva ciencia matemática con todo el esplendor de sus instrumentos. Los palacios y museos de Viena, Kassel, Stuttgart, Munich o Dresden permiten disfrutar tanto del arte como de los instrumentos matemáticos como un conjunto único. Los gobernantes tuvieron a gala rodearse de instrumentistas de lujo y fueron mecenas generosos de sabios y artistas. El gabinete matemático imperial en Viena El emperador ocultista Rodolfo II fue educado por Felipe II y en la corte española debió iniciar su afición a las artes y las ciencias, que después le llevaron a ser el mecenas de Brahe y Kepler en Praga. Volviendo de Madrid a Praga, Rodolfo pasó una temporada en el castillo de Ambras donde su otro tío Fernando II del Tirol  tenía su importante colección de ciencia y curiosidades, la más famosa de la época. El emperador terminaría heredando y acrecentando la colección del Archiduque Fernando. La mayoría de los objetos imperiales conservados se encuentran ahora en Viena. (Reloj astronómicos y solares. Museo de historia del arte. Viena) Dos grandes salas del Museo de Historia del Arte de Viena muestran la lujosa y variada colección de Fernando y Rodolfo II. Algunos objetos están firmados por los mejores artífices de la época como Abraham Gessner,Erasmus Habermal y Jobst Bürgi (coinventor de los logaritmos). Relojes astronómicos, cuadrantes solares, autómatas, esferas, compases de puntas, instrumentos astronómicos y topográficos, astrolabios, anillos… dan testimonio de la afición matemática de la casa de Habsburgo en el Renacimiento. Los relojes astronómicos suelen tener una lujosa caja de latón primorosamente decorada dado su alto valor. Hay varios de este tipo en la colección. Nos gusta más una tosca caja con deliciosas pinturas, reproducimos un lateral en portada con un geómetra en pleno trabajo. (Instrumentos matemáticos. Museo de historia del arte. Viena) El palacio  Zwinger de Dresden Los museos del Palacio Zwinger de Dresden son muestras espectaculares de cómo belleza y matemáticas van unidas. El Salón Matemático-Físico exhibe los objetos de mayor tamaño, los demás están repartidos formando una unidad con el mobiliario y el arte. Durante el recorrido palaciego iremos encontrando lujosos instrumentos de cálculo como los compases de proporción, las calculadoras mecánicas y hasta cifradoras de mensajes secretos. (Compás de proporción. Palacio Zwinger. Dresden) El compás de proporción fue un instrumento fundamental para artilleros, arquitectos, topógrafos y marinos durante los siglos XVII y XVIII. Las divisiones y multiplicaciones utilizan el teorema de Tales y las escalas múltiples eran útiles tablas trigonométricas y de densidades. El compás de puntas era el auxiliar imprescindible para las medidas en las escalas. Los señores eran obsequiados o adquirían las creaciones más bellas en latón o metales nobles. Entre las calculadoras destacamos la multiplicadora de Jacob Auch realizada en 1790 utilizando los cilindros helicoidales de Leibniz. La fabricación industrial de calculadoras mecánicas todavía tendría que esperar medio siglo. El conjunto más sobresaliente son los que forman parte del Salón Matemático-Físico, que fue fundado como tal en 1728 por Augusto el Fuerte aunque muchos de sus bellos objetos son anteriores. Augusto lo que hace es continuar la tradición renacentista. El Salón tiene cuatro salas: los instrumentos del Elector, la de relojes, la de mapas y la de la Ilustración. La ciencia se hace espectáculo y en sus objetos son inseparables la perfección técnica y la belleza que imprimieron sus artífices. Encontraremos los espejos de Tchirhaus, las máquinas de vacío de Von Guericke y múltiples telescopios o cuadrantes. Tchirhaus emula los espejos ustorios de Arquímedes y Von Guaricke había demostrado en Magdeburgo el poder del vacío. La sala de mapas nos ofrece interesantes aproximaciones al globo terrestre de toda forma: cilíndricas, cónicas,… (Espejo parabólico de Tchirhaus. Palacio Zwinger. Dresden) Los relojes astronómicos y con autómatas son una de las maravillas técnicas de El Cosmos del Príncipe del Palacio Museo Zwinger. Destaca el reloj de Eberhard Baldewein con ocho esferas, el movimiento de los siete astros conocidos (Sol, Luna, Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno) más la hora. La construcción del reloj llevó cinco años (1563-1568) y se realizó en Kassel por el propio landgrave Guillermo IV, muy aficionado a la astronomía, con Baldewein como supervisor. En Kassel hay un prototipo similar más modesto. El Elector Augusto I era cuñado de Guillermo. El movimiento planetario se realiza según el modelo geocéntrico. En un artificio matemático no podía faltar la representación de las artes matemáticas en su lujosa decoración: la Aritmética, la Astronomía (dos versiones) y la Geometría. (Reloj astronómico de Baldewein. Palacio Zwinger. Dresden) El Palacio Antiguo de Stuttgart El Landesmuseum Württemberg del Palacio Antiguo de Stuttgart es un ejemplo más de la importancia de la nueva ciencia matemática para los Príncipes del Renacimiento en Alemania. El museo del estado se dedica a exponer las colecciones artísticas: entre ellas destaca la abundante y magnífica instrumentación matemática. El conjunto de relojes solares, solo se exhibe una parte de la colección, es de gran interés tanto por el lujo como por su calidad matemática. Dedicamos atención especial al reloj rombicuboctaédrico de Ludwig Hohenfeld (1596). Tanto las caras cuadradas como las triangulares tienen su propio gnomón si pueden recibir la luz: se cuentan hasta 18 cuadrantes solares. Además, se han representado las alegorías de las siete artes liberales, cada una de ellas con sus atributos y con una inscripción que resalta su valor. La Aritmética es representada tanto con el ábaco como con el algoritmo. (Reloj solar rombicuboctaédrico. Museo del Palacio Antiguo. Stuttgart) El Landesmuseum Württemberg es tanto un museo arqueológico, como de arte y de historia de la ciencia. Las tres magníficas estanterías con las colecciones de ciencia principescas no son las únicas de interés matemático. (Instrumentos matemáticos. Museo del Palacio Antiguo. Stuttgart) La colección dedicada a Roma incluye relojes solares, compases, calendario y un dodecaedro. La mejor parte, renacentista, incluye una bella esfera astronómica de Johannes Stöffler realizada en1493. No puede faltar la fuente de estaño de Briot con las artes liberales y su jarra correspondiente. Un artístico plano de la ciudad en 1589 ejecutado por Steiner y Gadner nos da idea de la importancia de la matemática para la cartografía. Toda una sala dedicada al sistema planetario exhibe cantidad de instrumentos astronómicos y bellos planetarios mecanizados. (Globo de Johannes Stöffler. Museo del Palacio Antiguo. Stuttgart) Los instrumentos astronómicos de Kassel Lujo, arte y ciencia se coordinan en los instrumentos astronómicos que el landgrave Guillermo IV de Hessen-Kassel mandó construir para el primer observatorio moderno de Alemania en 1560. Por Kassel pasaron hombres de ciencia tan importantes como Tycho Brahe pero quien mantuvo residencia permanente fue Jost Bürgi, excelente instrumentista y coautor del cálculo logarítmico. Precisos cuadrantes en latón, esferas y relojes astronómicos ocupan la planta noble del Museum für Astronomie und Technikgeschichte del Palacio de la Orangerie de Kassel. Los relojes mecánicos con múltiples esferas, solares con eclíptica y calendarios, están adornados con los sabios. En el reloj de Augsburgo de 1560 podemos ver trabajando a Euclides, Arquímedes, Tales, Ptolomeo, Copernico y hasta Alfonso X, cuyas tablas seguían en uso. (Instrumentos astronómicos. Palacio de la Orangerie. Kassel) El Tesoro de Munich El Residenz, el gran palacio real de Munich, tiene una Cámara del Tesoro con los objetos más suntuosos y de orfebrería de los gobernantes bávaros, bien como electores o como reyes. La matemática no falta entre tanto lujo. La Cámara del Tesoro conserva dos lujosos cofres de instrumentos. Especialmente el arca de los hermanos Lencker, realizado en Núremberg hacia 1580. Se trata de un bello contenedor esmaltado ornado con alegorías de las distintas disciplinas. Reproducimos las representaciones de la Aritmética y la Geometría. Johannes Lencker fue orfebre y artista gráfico Junto con Wenzel Jamnitzer y Lorenz Stöer, es uno de los tres maestros de Núremberg que se ocupan de la perspectiva matemática en profundidad. La ciudad fue la primera en pagar un profesor de matemáticas desde las finanzas locales. La erote de la Aritmética tiene la correspondiente tablilla de números y el de la Geometría utiliza el compás sobre el globo. La caja está delicadamente esmaltada y ha perdido gran parte de su contenido. El único objeto matemático que permanece es una regla. (Caja de Johannes Lencker. Residenz. Munich) Un objeto que expresa a la perfección como las matemáticas impregnan la cultura a través de las obras de arte es una mesa de 1616 perteneciente al elector Maximiliano, y posible regalo del emperador ocultista Rodolfo II. Se trata de una buena muestra de la importancia de las artes decorativas, del virtuosismo alcanzado en los talleres de Núremberg y Augsburgo, y de la vinculación con el saber matemático. La mesa está realizada con tres kilos de oro, piedras preciosas, piedras duras, maderas nobles y plata. Las incrustaciones son un perfecto trabajo en taracea de oro, plata y piedras preciosas. El tablero superior muestra la fusión de ciencia y artes de la época. Los doce signos del zodiaco en la parte exterior y los instrumentos alegóricos a las disciplinas matemáticas en la parte central, aparte de una alegoría de la geometría con un erote. Reglas, distintos tipos de compases, cuadrantes, astrolabios y globos están presentes en la rica decoración. (Mesa de Maximiliano. Detalle. Residenz. Munich)

Lunes, 03 de Febrero de 2020 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

128. 179. (Febrero 2020) De camino a la magia

Pulsa en la imagen para ir al juego.

Sábado, 01 de Febrero de 2020 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

129. 178. (Enero 2020) Números interesantes

¿Quién se atreve a afirmar que no todos los números son interesantes? Vamos a otorgar momentáneamente al osado el beneficio de la duda. Con esta premisa, separaremos el conjunto de los números en dos tipos: el de números interesantes y el de números aburridos. Por muchos números aburridos que existan habrá alguno que sea el menor de todos. Eso lo convierte en interesante pues tiene el honor de ser "el primero de los números aburridos". Habrá que quitarlo de aquí y colocarlo en el grupo de números interesantes. Si empezamos de nuevo el razonamiento anterior, habrá otro número aburrido que se convierte en interesante por pasar a ser ahora "el primero de los números aburridos". Tarde o temprano, según el tamaño de tu conjunto inicial de números aburridos, ese conjunto se vaciará y todos los números pasarán a ser interesantes. ¿No te ha convencido el argumento? Claro, es una típica falacia obtenida como consecuencia de una definición imprecisa y ambigua. Porque si una definición no caracteriza de forma exclusiva el objeto definido, ya no es definición. Así que, para hablar de lo interesantes que son algunos números, debemos establecer una definición completa; lamentablemente, no existe definición matemática de una cualidad tan subjetiva como esta. Esta discusión, que tiene su origen en una anécdota ocurrida entre los matemáticos Srinivasa Ramanujan (1887-1920) y Godfrey Hardy (1877-1947) sobre el número 1729, es un buen punto de partida para mostrar algunas características distintivas de los números que sí permiten proporcionar definiciones y crear distintas personalidades a diferentes conjuntos numéricos. Vamos a romper con la tradición y, antes de mostrar algunos ejemplos, hagamos un juego donde los protagonistas sean los números, aunque disfrazados de cartas. Utilizaremos un conjunto de cartas donde están impresos algunos números. Como no importan los palos, los hemos sustituido por otros símbolos. Para realizar el juego mientras sigues las instrucciones, busca unas tarjetas o cartulinas en las que escribirás los números indicados o imprime y recorta las cartas que mostramos a continuación. Reúne todas las cartas, ordénalas de menor a mayor y forma un paquete con las caras hacia abajo. Corta y completa el corte para no saber cuál es la carta superior del montón. A continuación, reparte todas las cartas sobre la mesa, la primera a la izquierda, la segunda a la derecha, la tercera sobre la primera, la cuarta sobre la segunda, y así sucesivamente, hasta formar dos montones iguales. Retira la carta superior de cada montón, gira ambas cartas y sepáralas del resto. ¿Observas alguna característica que compartan ambos números? ¿Quizás alguna característica que los distinga? Recoge el resto de cartas colocando uno de los montones sobre el otro. Abre en abanico el paquete de cartas y selecciona seis de ellas, dejándolas sobresalir un poco del resto. Reparte, una a una y de arriba abajo, las seis cartas elegidas dejándolas sobre la mesa formando un montón (así habrás invertido el orden de estas cartas). Coloca a su lado, en otro montón, las seis cartas que han quedado en tu mano. Retira y gira la carta superior de cada montón. ¿Siguen teniendo alguna característica distintiva? Repite la operación anterior repartiendo las cartas superiores de cada montón. ¿Es cierto que, en todas las ocasiones, siempre habrá una feliz y una infeliz? Te preguntarás porqué hemos dicho que lo importante de las cartas son los números cuando lo que hemos conseguido es separar caras felices de caras infelices. Resulta que, precisamente, los números que aparecen en las caras felices se llaman oficialmente números felices y los otros son los llamados números infelices. ¿Qué propiedad distingue unos números de otros? Antes de dar la definición, elige un número, digamos 2019, y calculemos la suma de los cuadrados de sus cifras: 22 + 12 + 92 = 86. Repitamos la operación con el resultado: 82 + 62 = 100. Al repetir el proceso, sale el número 1 y no hay forma de seguir. Esto caracteriza a los números felices: la secuencia de números que se obtiene después de las operaciones indicadas termina en 1. ¿Qué pasará con el próximo año 2020? 22 + 22 = 8 →  82 = 64  →  62 + 42 = 52  →   52 + 22 = 29 →  22 + 92 = 85. A partir de ahora, se repite el ciclo 89, 145, 42, 20, 4, 16, 37, 58, lo que impide que la secuencia termine en 1. Eso hace que el número sea infeliz (recuerda que es un concepto matemático, no una predicción sobre lo venturoso del nuevo año). Mira en este enlace los primeros números felices, los cuales hemos usado en el juego anterior. Si quieres entretenerte descubriendo propiedades de números, visita la página Find the factors, donde aparece la imagen de la portada formada por los primeros números pentagonales. De ellos, el 70, 176, 376, 1247 y 1335 son también felices. En el portal Numbers Aplenty puedes encontrar gran variedad de conceptos sobre características temperamentales de los números. En particular, la sección happy numbers contiene la lista de los números felices. En realidad, he querido incluir este juego en nuestro rincón para hablar del libro de donde lo he adaptado. Nuestro buen amigo Francisco González, colega por partida doble -pues es mago y matemático- ha publicado recientemente el libro titulado «Matemagia: descubre la magia de las matemáticas». El libro se divide en cuatro capítulos (uno por cada palo de la baraja), cada uno de los cuales contiene 13 juegos (uno por cada valor de las cartas) de magia matemática de todo tipo, y con diferentes materiales. Lo destacable de su trabajo es el toque personal en cuanto a las presentaciones de los juegos y el diseño particular de los elementos que utiliza. Precisamente, el capítulo 3 está dedicado a juegos que se realizan con una baraja muy especial, que él define como baraja de tipos: cada carta es un número con alguna característica especial, ya sea número perfecto, poderoso, narcisista, modesto, feliz, hambriento, etc. La siguiente imagen muestra algunos ejemplos de esta selección. De este modo, las propiedades matemáticas de los juegos de cartas se cumplen para familias de números relacionados entre sí por alguna propiedad aritmética, dando personalidad y carácter a estas cartas. La vertiente didáctica de este enfoque es muy interesante y se agradece el esfuerzo y generosidad del autor ofreciendo la posibilidad de descargar estas cartas especiales así como el resto de material utilizado en este libro. Puedes consultar directamente con el autor (paco@magopaco.es) para recibir más información sobre su retoño. Comentarios finales: Precisamente el inicio del nuevo año es propicio para explorar las características numerológicas del número que representa. Entre la multitud de propiedades interesantes que hemos ido compartiendo entre los matefrikis, me gustaría destacar dos de ellas: El nuevo año es un número autobiográfico porque contiene 2 ceros, 0 unos, 2 doses y 0 treses. El famoso teorema de los cuatro cuadrados conjeturado por Diofanto de Alejandría (siglo III) y demostrado por Joseph Louis Lagrange en 1770 afirma que todo número entero positivo puede expresarse como suma de cuatro cuadrados de enteros positivos. Lo que no es tan común es que dichos números sean primos y, lo que es más difícil todavía, que sean primos consecutivos. Pues bien, eso ocurre este año ya que 2020 = 172 + 192 + 232 + 292, como se observa en la imagen adjunta (un pentágono de lados enteros), adaptada de un programa de Geogebra elaborado por Vincent Pantaloni. Esto no pasaba desde 1348 y no volverá a ocurrir hasta dentro de 672 años pues 2692 = 192 + 232 + 292 + 312. La última (ahora ya son tres): 2020 = 10 x 9 x 8 + (7 + 6) x 5 x 4 x (3 + 2) x 1. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

Martes, 07 de Enero de 2020 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

130. 147. ¿Estamos a salvo? Yo no me fiaría

No nos podemos quejar. Estas pasadas Navidades la televisión nos ha brindado películas con matemáticas detrás, aunque en algún caso, hubiera sido mejor cambiar de canal. Como seguro que lo hicieron, les contamos que se perdieron (el título de la reseña hace referencia a la película que vamos a describir). Nos referimos concretamente a la película que Antena 3 programó el pasado jueves 26 de diciembre (al menos tuvo la deferencia de hacerlo en horario nocturno, las 22:40). Empecemos por los datos Ficha Técnica: Título: Safe. Título Original: Safe. Nacionalidad: EE. UU., 2012. Dirección: Boaz Yakin. Guion: Boaz Yakin. Fotografía: Stefan Czapsky, en Color. Montaje: Frédéric Thoraval. Música: Mark Mothersbaugh. Duración:  94 min. Ficha artística: Intérpretes: Jason Statham (Luke Wright), Catherine Chan (Mei), Robert John Burke (Capitán Wolf), James Hong (Han Jiao), Anson Mount (Alex Rosen), Chris Sarandon (Mayor Tremello), Sándor Técsy (Emile Docheski), Joseph Sikora (Vassily Docheski), Igor Jijikine (Chemyakin), Reggie Lee (Quan Chang), James Colby (Detective Mears), Matt O'Toole (Detective Lasky), Jack Gwaltney (Detective Reddick). Sinopsis: Mei, una niña china con una capacidad innata para las matemáticas, es secuestrada por las triadas chinas que la obligan bajo la amenaza de matar a su madre a llevarles la contabilidad de sus negocios mentalmente, sin hacer anotaciones que pudieran comprometerles en algún momento. Comprobada su eficacia, el jefe Han Jiao la envía a Chinatown, en Nueva York, para ayudarlo a controlar sus actividades. Mientras tanto, el luchador Luke Wright ha destruido su vida después de ganar una pelea contra la voluntad de la mafia rusa, además de matar accidentalmente a su oponente. Los mafiosos rusos asesinan a su esposa y el alcohólico Luke deambula por calles y hogares para vagabundos sin ningún objetivo en la vida. Un día, Han Jiao le pide a Mei que memorice un número enorme asegurándola que es muy importante. Entonces, la mafia rusa secuestra a la niña de las triadas chinas, y tratan de obligarla a que les desvele el famoso número que saben que conoce. Ella logra escapar, pero es perseguida tanto por las triadas chinas, la mafia rusa y, por si fuera poco, por los detectives corruptos de la policía de Nueva York. Pero se cruza en su camino Luke Wright, a la que ve huyendo de los rusos en el metro, disponiéndose a protegerla. Para completar el absoluto disparate, descubrimos que Luke es en realidad un ex agente de élite, …, en fin, me dan ganas de terminar la reseña ya, …, pero bueno, veamos qué matemáticas tenemos detrás. Sobre las matemáticas presentes Lo cierto es que sabiendo que actor protagoniza la película, no podemos decir que no estemos avisados desde el principio. Violencia desproporcionada (le descerrajan a uno dos tiros en la cabeza por menos de nada), acción inverosímil, mínimo argumento (para que todo el mundo, o todo el mundo al que sólo le gustan este tipo de producciones, lo entienda, imagino) y banal desenlace, son los atractivos de esta película que convierte en obras maestras del cine a otras similares de décadas pasadas. Y con estos ingredientes, ¿qué tal son las matemáticas que aparecen? Aunque quizá para darle alguna gracia, lo cual no consigue de artificial que resulta, hay al inicio un intento de doble flashback, que dura cinco minutos (no sea que el espectador se pierda) básicamente para presentarnos a Mei, la niña de once años que se nos presenta como un genio. La vemos en una clase en su país, escribiendo signos matemáticos que nos resultan curiosos porque los mezclan con caracteres chinos, es de suponer que para darle más gracia al asunto, o quizá para transmitir la idea de que son tan inteligibles unos como los otros. Siendo una película norteamericana de las características descritas, seguramente sea para eso (por lo tanto, nada de acercar las matemáticas, sino más bien lo contrario, plasmar la imagen tópica de siempre). Cuando la cámara proporciona una panorámica general, observamos un par de parábolas dibujadas en la pizarra, junto a los símbolos y signos anteriores. Lo anterior (la imagen que hemos puesto) “parece” la descripción del dominio y la imagen de las funciones cuya expresión aparece encima (digo “parece” porque la única función que vemos descrita, toma valores para x diferentes a – 2, no a 2, como ella pone), aunque probablemente no tenga nada que ver con las gráficas que hemos indicado. Para rematar la cosa, la niña dice, después de hacer el gesto de borrar algo que está escrito: - Si contamos de este modo, nos da 350, pero haciéndolo de otro modo, suma 365. Sólo una respuesta es correcta. No deseo faltarle al respeto (al profesor), Sr. Su, pero sus cálculos están equivocados (el resto de compañeros de la clase se ríen). Y digo sorprendente porque ya me dirán si lo que dice tiene nada que ver con lo que escribe o con lo que se observa en el encerado. Inmediatamente después, la niña aparece ante el que suponemos es el director del centro, que la informa de que la van a cambiar de colegio porque han descubierto que es un genio para las matemáticas. Mei, acompañada por sus compañeros ya en la calle, se queja de que ella quiere seguir allí con sus compañeros de siempre, y que además ella odia las matemáticas. En ese momento es introducida en un automóvil por los sicarios de las Todo esto se nos va relatando en paralelo a la historia del boxeador Luke Wright, que como supondrán, no contiene rastros matemáticos de ningún tipo, por lo que obviaremos su existencia por el momento. Durante unos días, Mei aparece recorriendo las calles del lugar bien escoltada por los matones de turno, a uno de los cuales le va dando la relación de los ingresos y ganancias semanales de diversos negocios (por los comentarios, de los empresarios que son extorsionados por esta gente). Junto a las cifras, da los porcentajes de ganancia (que sinceramente no me he molestado en calcular si son correctos o no porque no merece la pena, bajo mi punto de vista) o de pérdida respecto de otras semanas. Cuando esto sucede, lo vemos en una tienda en concreto, que ha bajado de unas ganancias del 7% al 5%, cogen al gerente, le pegan una paliza con la niña como testigo, y finalmente, implorando el hombre piedad desde el suelo, el que dirige el cotarro le mete dos tiros en la cabeza, advirtiendo a los empleados que como no mejoren sus ventas, los siguientes serán ellos. Vamos, todo súper edificante. En otro momento, Mei da una cifra redondeada, lo que enfada al matón, y la increpa diciéndola que desea la cifra exacta, no aproximaciones. Mei, lejos de amilanarse, le suelta entonces el valor concreto. Demostrada su valía, la niña es trasladada a Chinatown, Nueva York, porque el jefe Han Jiao (interpretado por el conocido actor de películas de los ochenta James Hong, como Blade Runner, Desaparecido en combate, series como El equipo A, Dinastía, Playa de China, en fin, un montón; los que tengan algunos años, o hayan visto películas de aquellos años lo reconocerán rápidamente) le quiere encomendar un trabajo especial. Para comprobar por sí mismo si la niña es lo que le han contado, se entrevista con ella, forzando cierta simpatía que en seguida cambia ante una mínima tozudez de Mei. Enfadado, Han Jiao descoloca las bolas de un enorme ábaco presente en la habitación. La niña, inmediatamente es capaz de retornarlo a su posición inicial, como vemos en la imagen. Entonces, Han Jiao le muestra un papel en el que aparece descrito un número de muchas cifras (ver imagen), diciéndola: - Quiero que te lleves esto a tu habitación y que lo memorices. - Ya lo he memorizado, responde al momento. - Este es un número extremadamente importante. Por tu madre, respóndeme con cuidado, ¿estás segura de haberlo memorizado? - Puedo repetírselo, pero será largo y aburrido. El mafioso, riéndose, comenta a su sicario, - Mira esto. No llega aquí a un año, y ya tiene actitud americana. Entonces coge el papel, y lo quema. Ese número, al que equivocadamente denominan constantemente código, contiene (lo sabremos después) la combinación de una caja fuerte que contiene 30 millones de dólares. Han Jiao explica a la niña que su sicario Chang la va a llevar a encontrarse con un hombre que le mostrará un segundo número que también memorizará, y allí le darán las instrucciones finales. Por el camino, la mafia rusa captura a la niña que la amenaza si no les revela el número que sabe. Ante la negativa de Mei, los rusos pasan a ser más expeditivos (cargándose por el camino a una joven china mediadora). En ese momento, el que dirige el cotarro recibe la llamada de unos policías corruptos que los amenazan a su vez, y entre todo el lio que se monta, la niña, que como siempre en este tipo de subproductos, es la más lista de la función (no hay que esforzarse mucho la verdad), se escapa. Y en la persecución aparece nuestro “héroe” Luke/Statham (lo mejor de toda la película, en realidad de todas en las que participa este actor, es fijarse en cómo tratan constantemente de componer los planos para que no aparezca demasiado su despejado cráneo, ja ja ja). Posteriormente, Luke y Mei se refugian en la habitación de un hotel para estar seguros de todos sus perseguidores, pero él (¡¡qué raro habiendo sido un agente de élite!!) no se percata de que a la niña la han puesto un transmisor y enseguida dan con ellos. Pero en esos tres minutillos en los que no se cargan a nadie, Mei le explica a Luke (Claro, es que hay chicos que despiertan más confianza que otros) que lo realmente importante del largo número son las apariciones de los sietes y los treses (si uno mira el papel, en efecto, son los que menos aparecen). Concretamente sólo cinco números tienen un siete delante, y ocho tienen un tres (esto según la versión original; en la doblada al castellano, ni idea porque yo la he visto en versión original). Y el genial Luke deduce por sí solito (¡¡sin ver el número!! La niña no se lo escribe entero) que entre los sietes hay números de izquierda a derecha y otros, al contrario, así que el número lo que oculta es la combinación de una caja fuerte. Para redondear los disparates, el tráiler muestra una imagen en la que se seleccionan otros números diferentes (ver imagen), plano que no aparece en la película nunca.  Y por supuesto, hay final feliz, a pesar de todos los que se han cargado por el camino, porque ya se sabe que la vida de determinadas personas no vale demasiado. Muy edificante, vuelvo a repetir, como podrán comprobar, cuando la vuelvan a emitir (que esta cadena suele hacerlo para sacar partido al alquiler de la película, y a lo mejor hasta en horario infantil cualquier sábado por la tarde), si les han quedado ganas. Afortunadamente, hubo un día destacable en estas pasadas fiestas. La 2 emitió El hombre que conocía el infinito el lunes 30 de diciembre a las 22:00, y el mismo día, a las 22:50, Cuatro programó Descifrando Enigma. En los enlaces les referencio a la reseña que hicimos de cada una de ellas. A ver si este año que empieza podemos dar cuenta de otras películas, al menos del interés y calidad de estas dos más que de la primera. Esperemos. Alfonso Jesús Población Sáez

Viernes, 03 de Enero de 2020 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico