881. 30. SOLUCIÓN CONCURSO DEL VERANO 2008

Aquí va la resolución del concurso del verano, el ganador es Juan Pedro Rubio con su "Trifolium áureo". ¡¡¡Enhorabuena  Juan Pedro!!! Agradecemos al ganador y a todos los participantes sus soluciones y que además hayan realizado el esfuerzo de ofrecer las demostraciones o la justificación de los métodos empleados. Algunos métodos son heterodoxos, otros se fundamentan en el modelo "XYZ" de Francis Ow (Intersección de 3 rectángulos NO áureos) como el que sirvió para plantear el problema. Todos ellos son muy interesantes por lo que también los incluimos aquí. También queremos agradecer a Mª Teresa Montañés Calvelo el habernos sugerido este problema del verano 2008. Sin más, esperamos que disfrutéis con las soluciones: Martí Bayer Raich pdf   M. Paz Carbajo Gibaja pdf   Jesús de la Peña Hernández (1) pdf   Jesús de la Peña Hernández (2) pdf   Mateo Díaz pdf   Jaime Niño pdf   Esperanza Ontalba Salamanca pdf   Juan Pedro Rubio pdf     ppt   Rodrigo Salazar Jeldres pdf    

Miércoles, 01 de Octubre de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

882. 33. Voces desde el pozo: Carolina Herschel

The voices surge and swelland rise to tell the stories in the well. Terre Ouwehand. Voices from the well (1986) Sólo en los ultimos años, las contribuciones de las mujeres a las Matemáticas y la Ciencia han comenzado a recibir el merecido reconocimiento. Las pocas científicas que, a lo largo de la historia, han visto celebrados sus méritos lo han conseguido a base de sobreponerse a los enormes prejuicios de nuestras sociedades y a las tremendas dificultades para poder acceder a las universidades y los centros del saber. Ciertamente, esta situación no es exclusiva de las científicas sino que ha afectado a todas aquellas mujeres que han luchado, en todo tiempo y lugar, por dejar oír su voz. En 1986, la dramaturga estadounidense Terre Ouwehand publicó Voices from the well, una inusual pieza teatral cuyas protagonistas son veinte mujeres extraordinarias de la historia, la mitología, la literatura y el arte. Presentadas por un narrador y un coro a tres voces, cada una de las heroínas retratadas recita un breve monólogo ambientado en su correspon­diente período histórico. Los parlamentos varían en estilo sin que, en ningún caso, se busque el rigor histórico: algunos son reflexiones acerca de la vida del personaje, otros son instantáneas de un momento preciso y otros son puramente imaginarios. En todos predomina la poesía y un lenguaje cau­tivador que invita a la reflexión. Los personajes retratados, dispuestos en orden cronológico en el texto, son: Ceres (Diosa de la Madre Tierra) Aracne (Personaje de la mitología griega) Naomi (Personaje de la tradición hebrea) Ginebra (Reina consorte del Rey Arturo) Leonor de Aquitania (1122-1204. Reina consorte de Luis VII de Francia y de Enrique II de Inglaterra) Ofelia (Personaje de leyenda que aparece en el Hamlet de Shakespeare) Mona Lisa (1574. Mujer de la nobleza de Florencia retratada por Leonardo da Vinci) Aphra Behn (1640-1689. Escritora y poeta inglesa) Carolina Herschel (1750-1848. Matemática y astrónoma alemana) George Sand (1804-1876. Apodo masculino de la escritora francesa Aurore Dudevant) Harriet Ross Tubman (1820-1913. Esclava y activista del movimiento abolicionista y sufragista en Estados Unidos) Sarada Devi (1853-1920. Figura espiritual hindú) Margaret Sanger (1883-1966. Precursora del control de natalidad y la planificación familiar en Estados Unidos) Gertrude Stein (1874-1946.Escritora experimentalista y vanguardista de origen americano afincada en Francia) Virginia Wolf (1882-1941. Novelista británica) Vita Sackville-West (1892-1962. Novelista y poetisa británica) Mother Jones (1843-1920. Figura del movimiento sindical obrero americano) Amelia Earhart (1898-1937. Pionera de la aviación estadounidense) Eleana María Amarca (Caracterización simbólica de una mujer joven durante la Revolución Latino Americana cuyo nombre es una amalgama de los de varias mujeres chilenas clasificadas como “desaparecidas”) Georgia O’Keeffe (1887-1986. Artista visual estadounidense) La propia autora, en la introducción del texto, incita a aprovechar la poco convencional estructura de la pieza para experimentar con diversos montajes. Naturalmente, cabe una presentación cronológica, pero, dado que los soliloquios son totalmente independientes y los personajes no interactúan entre sí, es posible representar tan sólo algunos, emplear una misma actriz para varios monólogos o seleccionar personajes que compartan características comunes (las relacionadas con la familia y el poder o las pioneras en campos tradicionalmente vedados a las mujeres) para hacer énfasis en esos aspectos. En palabras de Terre Ouwehand: “Hay, ciertamente, tantas posibilidades como voces se presten a articularlas”. Indudablemente, Voices from the well puede utilizarse también como recurso didáctico en el aula. De hecho, un vídeo compuesto por una selección de fragmentos de la obra fue utilizado en la Universidad de California, en Santa Bárbara, en clases de arte, historia, literatura, sociología y estudios femeninos, y posteriormente distribuido por institutos, universidades y asociaciones de mujeres a lo largo de los Estados Unidos. Desde el punto de vista científico, el personaje que llama nuestra atención es el de la astrónoma y matemática alemana Carolina Herschel. Recordaremos brevemente los pasajes más destacados de su biografía para, posteriormente, centrarnos en analizar su parte en la pieza. Carolina Herschel El 16 de marzo de 1750 nace Carolina Lucretia Herschel en Hannover (Alemania). Su padre, en contra de la voluntad de su madre que quería hacer de ella una buena ama de casa, trata de darle una educación intelectual. De niña contrae el tifus y las secuelas, apenas medía un metro y cuarenta centímetros, contribuyeron a disminuir la ya escasa consideración en que se tenía a sí misma. En 1772 se traslada a Inglaterra con su hermano William que le enseña canto, matemáticas y astronomía. Aunque tiene éxito como soprano, fundamentalmente trabaja como asistenta y colaboradora de William hasta que éste se casa en 1789, dedicándose entonces a su propia investigación y a la formación de su sobrino John. Tras la muerte de William, en 1822, regresa a Hannover donde fallece, a punto de cumplir los 98 años, el 9 de enero de 1848. Figura 1: Retrato de Carolina Herschel Entre los hechos más destacados de su extenso trabajo destacan la colaboración con William en la construcción de potentes telescopios. Descubrió 8 cometas entre 1786 e 1797. En 1799, la Royal Society le publica una actuali­zación del famoso catálogo de estrellas de Flamsteed, que incluye 560 nuevas estrellas. Completó un catálogo de 2.500 nebulosas. Recibió la medalla de oro de la Royal Astronomical Society (1828), la medalla del Rey de Dinamarca (1832) y la medalla de oro de las ciencias del Rey de Prusia (1838). Fue nombrada, junto con con Mary Somerville, miembro honorario de la Royal Astronomical Society (1835) y de la Royal Irish Academy (1838). El cráter C. Herschel de la Luna y el asteroide 281 Lucretia llevan su nombre. El monólogo de Carolina La parte de la obra dedicada a Carolina Herschel está precedida de esta breve nota biográfica, a la que acompaña la caricatura de la figura. CAROLINA HERSCHEL (1750-1848, Alemania/Inglaterra). Cofundadora de la Astronomía moderna y pionera en la apertura de la ciencia a las mujeres; nació en Hannover, acompañó a su hermano, William, a Inglaterra cuando fue nombrado Astrónomo Real; permanentemente aplazando sus propios proyectos para ayudar a William, sus contribuciones fueron eventualmente reconocidas (incluidos ciertos descubrimientos previamente atribuidos a él), y se convirtió en la primera mujer elegida para la Real Sociedad Astronómica. Figura 2: Caricatura de Carolina Herschel El episodio de Carolina Herschel no tiene ningún contenido matemático de carácter técnico. Ella simboliza en Voices from the well a la mujer de ciencia, a la pionera que a pesar de todos los impedimentos consigue desarrollar su pasión por el saber y la investigación. La reflexión acerca de la marginación de la mujer en la historia de las Matemáticas también aparece como trasfondo en otras piezas teatrales que hemos comentado en esta sección de Teatro y Matemáticas. Baste recordar los personajes de Thomasina Coverly en Arcadia, de Tom Stoppard, o de Catherine en Proof, de David Auburn. Comienza el parlamento de Carolina con la astrónoma sentada delante de un telescopio, con un cuaderno apoyado en las piernas, murmurando: ... la oscilación sideral media... bisecada por el cociente elíptico fijo... conjuntado en el punto de paralaje anual estelar- (respondiendo a alguien fuera de la escena) Si... si, William. Lo tengo todo listo. Si, los dos telescopios están ajustados exactamente en la declinación y ascensión recta que determinamos durante la cena... como siempre. Si, querido hermano, se hizo tarde-Sirio ya está a 60 grados... (escribiendo en su cuaderno) Nota personal: Mañana: hacer que lleven el reloj de William a reparar. El arquetipo de matemática (y científica) en esta época es el de una mujer autodidacta perteneciente a una familia aristocrática o acomodada que encuentra el apoyo de algún varón para dedicarse a la labor científica: bien un matemático de reconocido prestigio, bien su propio esposo a padre, bien un mecenas,... Como norma general, sus contribuciones han sido ignoradas o atribuidas a ese personaje masculino próximo. Carolina Herschel encaja perfectamente en este modelo, como representante de figuras, frecuentemente olvidadas, de la talla de: Émile de Châtelet, María Gaetana Agnesi, Sophie Germain, Mary Somerville, Ada Lovelace, Florence Nightingale o Sophia Kowalevskaya. Figura 3: Carolina, su hermano William y sus telecopios Dejamos a Carolina atendiendo a los requerimientos de su hermano al tiempo que organizaba las tareas domésticas del día siguiente. Pero en un momento dado, con resignación y amarga ironía, muestra su frustración. No, William, no sé donde está tu nueva lente de magnitud 15-estoy segura de que se encontraba en su sitio en el estuche la pasada noche, ya que yo misma la puse allí después de que tu te retiraras... (para ella) ... después de limpiarla y bruñirla y limpiarla de nuevo y pulirla, porque eso hago con todas tus lentes, y todos tus cristales, todos tus espejos, todos tus reflectores, tus refractores y detectores... Eso, por supuesto, después de copiar, a mano, tus observaciones vespertinas, comprobarlas con minuciosos cálculos matemáticos, y registrar todo con limpieza y precisión en tu voluminoso diario, que con seguridad será publicado, con seguridad será aclamado como el texto definitivo de la Astronomía moderna- (al de afuera) ¿Qué? No, no-sólo calculando- (en alto) No, William, calculando no criticando- (para ella) ¿Criticando?... ¿Qué mujer de inteligencia excepcional no estaría honrada por tener un hermano de tales conquistas que no sólo le permite a ella hacer las tareas del hogar sino también compartir con él las penurias de su noble búsqueda del conocimiento? ¡Barriendo la casa y barriendo los cielos!- Figura 4:Imagen del estreno del monólogo de Carolina en 1984 Carolina continúa su soliloquio con una hermosa invocación a la diosa Selena. En la mitología griega, Selena es hija de los titanes Hiperión y Tea (su equivalente en la mitología romana era la diosa Luna) cuyo viaje a través del cielo comienza cuando termina el de su hermano, Helios.Terre Ouwehand elige concluir el pasaje con una referencia explícita al impresionante trabajo de Carolina, publicado por la Royal Society en 1798, en el que corregía y completaba el “index to every observation of every star made by” Flamsteed (el famoso catálogo de estrellas de John Flamsteed). Hermosa Selena... diosa de la Luna, pura y blanca, hermana del Sol y guardiana de la noche, no brillas de tu propia luminiscencia, sino que reflejas el brillo de Hiperión mientras él dormita por la parte opuesta del mundo-Señor flamígero del fuego y la luz, horno del Sistema Solar, El lanza la materia de estrellas de la que estamos hechos- Al gran Hiperión vigila Selena, guardando su sueño noche tras noche, y bañando la Tierra con sus limpiadoras mareas para un fresco y nuevo día... (escribiendo) Nota personal: Mañana: Comenzar el borrador del libro que se titulará Un índice completo de cada observación de cada estrella en el Catálogo Real, por Carolina Herschel... paréntesis, ocasionalmente ayudada por su amado hermano William... El parlamento de Carolina Herschel tiene una duración aproximada de cinco minutos, lo que facilita su inclusión en cualquier acto: una clase, una charla, una presentación,... La celebración del Año Internacional de la Astronomía es una excusa perfecta para recuperar este monólogo. Quisiéramos concluir con una nota personal de agradecimiento. Durante los cursos 2007-2008 y 2008-2009, nuestra alumna Iria Veiga Rabuñal, de la asignatura Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales correspondiente a la diplomatura de Relaciones Laborales de la Universidad de Vigo, prestó su voz (y su talento) para interpretar a Carolina Herschel en diversos foros. El vídeo de su actuación en las III Xornadas de Innovación Educativa na Universidade está disponible en el enlace correspondiente a la ponencia A tradución de material matemático como elemento formativo. REFERENCIAS [1] Terre Ouwehand, Voices from the well. Padre Productions, San Luis Obispo, California. 1986. [2] Alic Margaret, El legado de Hipatía. Historia de las mujeres en la ciencia desde la antigüedad hasta fines del siglo XIX. Siglo XXI, México. 1991. [3] A. Salvador Ocaña, L. Figueiras Ocaña; M. Molero Aparicio e N. Zuasti Soravilla. El juego de Ada. Matemáticas en las Matemáticas. Proyecto Sur, Granada. 1988. [4] http://www.agnesscott.edu/lriddle/women/women.htm. Página sobre mujeres matemáticas del Agnes Scott College. [5] http://www.rsme.es/comis/mujmat Página de la Comisión de Mujeres y Matemáticas de la Real Sociedad Matemática Española.

Martes, 01 de Diciembre de 2009 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

883. 45. A vueltas con el infinito

Aún con los ecos de Ágora e Hipatia (ver unos breves cometarios al final del artículo), echamos un vistazo este mes a otra biografía, en este caso de Richard Feynman, un físico que también amaba las matemáticas. Como ya se comentaba en el libro Las matemáticas en el cine, Infinity nunca se ha estrenado en nuestro país ni en salas ni en VHS o DVD. Gracias a la gentileza del matemático y compañero Esteban Ruben Hurtado Cruz, profesor de la Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM) que me ha hecho llegar este verano algunos títulos, podemos acercarnos a ellos con un poco más de conocimiento de causa que las escuetas referencias que aparecen por la red. La ficha técnica y artística de la película es la siguiente: Título Original: Infinity. Nacionalidad: EE.UU., 1996. Director: Matthew Broderick. Guión: Patricia Broderick, basado en los libros Surely You're Joking, Mr.Feynman! (en castellano editado por Alianza Editorial en 2003 con el título ¿Esta Ud. De Broma Sr. Feynman?) y What Do You Care What Other People Think? (editado por Alianza Editorial en 1990 con el título ¿Que Te Importa Lo Que Piensen Los Demás?) del propio Richard Feynman. Fotografía: Toyomichi Kurita, en Color. Montaje: Bill Johnson, Elena Maganini y Amy Young. Música: Bruce Broughton. Producción: Matthew Broderick, Patricia Broderick, Michael Leahy y Joel Soisson. Duración: 119 min. Intérpretes: Matthew Broderick (Richard Feynman), Patricia Arquette (Arline Greenbaum, primera esposa de Feynman), Peter Riegert (Mel Feynman, padre de Feynman), Dori Brenner (Tutti Feynman), Peter Michael Goetz (Dr. Hellman), Zeljko Ivanek (Bill Price), Joyce Van Patten (Tía Ruth), James LeGros (John Wheeler), Jeffrey Force (Joven Richard). La película relata parte de la infancia y la juventud del premio Nobel de Física de 1965, Richard Feynman, hasta el momento en que finaliza su trabajo en el proyecto Manhattan. Más que sobre su trabajo como investigador, la película se centra en la relación de Feynman con su primera esposa. Adolece de un excesivo romanticismo, y de ir picando aquí y allá a base de anécdotas reales, pero de un modo un tanto deslavazado e inconexo. Siendo la ópera prima como director del actor Matthew Broderick, arriesgó bastante al contar esta historia, ya que al público, sobre todo al público juvenil que es el más adicto a este tipo de películas, no le debió resultar demasiado grato ver cómo la protagonista principal fallece irremediablemente al final, por muy real que haya sido. Ese es uno de los aspectos destacables, la fidelidad a las memorias del protagonista. Como  se indica en la ficha descrita anteriormente, el guión está construido en base a los libros del propio Feynman, ambos editados en castellano, y es la madre de Broderick, Patricia, también debutante en estos menesteres, la que se encargó de su realización (en la imagen, madre e hijo cambiando impresiones sobre una escena). La película comienza con unos rótulos en los que se explica que Richard Feynman nació en 1918 en Far Rockaway, Queens, y falleció en 1988 en California. En 1965 obtuvo el premio Nobel por sus valiosas y originales contribuciones a la Física Moderna. A continuación la narración se sitúa en 1924. Richard y su padre se encuentran paseando por un bosque. El niño va tirando de un carrito de madera en el que tiene una pelota. El padre camina jugando con unas llaves que hacen un ruido característico. ¿Quieres saber lo que está pasando por mi cabeza?, inquiere el chico. La respuesta de su progenitor no puede ser más rotuna: No. En cualquier caso, el joven Richard tararea una melodía muy similar al ruido que las llaves iban haciendo  (Esto de la cancioncilla asociada a un ruido, volverá a aparecer varias veces a lo largo del metraje). Según avanza la escena, la conversación continua entre los dos afablemente, pero del mismo modo: a lo que el chico quiere saber, el padre no le responde directamente, sino que le muestra otro aspecto diferente al que le llamó la atención. Por ejemplo, ante el canto de un pájaro el chico le pregunta por su nombre. El padre le indica que el pájaro tendrá un nombre diferente en cada lengua, pero eso no es lo importante; lo importante es admirar lo que hace y saber porqué lo hace. A continuación cuando le pregunta algo que considera más interesante (¿Por qué al mover el carrito en una determinada dirección, la pelota en el interior se desplaza en sentido contrario?), la explicación del padre es más larga: “Nadie lo sabe, pero es un principio general. Las cosas que se mueven, permanecen en movimiento; las que están quietas, permanecen quietas. Se le llama Inercia pero nadie sabe porqué es cierta”.  Y ejemplifica varias veces la situación. La voz en off de Richard, que es la que relata toda la película, nos aclara que le gustaba pasear con su padre porque le ayudaba a comprender los misterios de la Naturaleza y a interesarse por ellos, aunque muchas veces sus explicaciones no fueran demasiado precisas. Tras esos cinco minutos de presentación la acción salta a 1934 en una fiesta de estudiantes en la que todos los chicos están prendados de Arline que toca y canta al piano como una artista. El flechazo es inmediato. Después se encadenan varias escenas en la que ambos se encuentran: en la primera, Arline descubre a Richard haciendo cosas un tanto extrañas (saltando en círculos, subiendo y bajando las escaleras de entrada a su casa continuamente mientras cuenta números), y en la segunda en un taller de cerámica (en la que le pregunta por la razón de dicho comportamiento). Luego la película vuelve a encadenar más anécdotas tras un nuevo fundido en negro: Arline y Richard estudian en la casa de ésta. La explica qué es una banda de Moebius (“una superficie, una cara”) y le pide que dibuje una línea desde el punto que quiera. Ella se sorprende cuando tras una vuelta completa llega al mismo punto habiendo pintado ambas caras de la superficie. (Seguro que recordáis otra película con una escena similar). Desafortunadamente, un espectador que no conozca a priori qué hacen, no se entera de nada. Es uno de los problemas de esta película: los escasos diálogos sobre Ciencia son tan escuetos y fríos que dejan al espectador indiferente y sólo pendiente del drama romántico. Saltamos a 1939. Richard está en su año de senior y van a hacerle una entrevista. Dan un paseo y élla le coloca bien la corbata (“tienes que causar buena impresión”). Es entonces cuando Richard suelta la frase que da título a uno de sus libros (“What Do You Care What Other People Think?”.- ¿Que Importa Lo Que Piensen Los Demás?, frase que también se repetirá varias veces después). Arline entra en una tienda de chinos a comprar y Richard se sorprende de la rapidez con que el dueño realiza operaciones con un ábaco. Entonces le reta a ver quien lo haría más rápido (en la realidad este episodio fue al revés: ante la curiosidad de Feynman, el hombre le reta a él, y no al revés). Un empleado les da un papel en el que plantea una operación y uno con el ábaco y el otro con lápiz y papel se disponen a la faena. Aunque Richard suma más lentamente, la ventaja la obtiene en las multiplicaciones. El reto definitivo es calcular la raíz cúbica de 1729.03. Feynman da la respuesta con varios decimales ante el asombro de los presentes. Posteriormente explica a Arline, mientras se toman una hamburguesa, cómo lo ha hecho: aplicando la fórmula del binomio Si n es un número entero la suma anterior es finita, si no es la serie infinita descrita. Como en el caso que nos ocupa n = 1/3, Feynman utiliza una aproximación, la de primer orden, del siguiente modo: como (a + x) = a (1 + x/a), entonces   (a + x)n = an (1 + x/a)n ≈ an (1 + n (x/a)). Tomando a = 1728,  x = 1.03  y  n = 1/3, se tiene 12 [1 + 1.03 / 3(1728)] = 12.00238426, resultado correcto hasta el quinto decimal. Por supuesto su explicación es sólo verbal, con lo que de nuevo el espectador o sabe de qué va, o no se entera de nada. Los duelos entre algebristas (o algoristas) y abacistas fueron muy populares en la Edad Media y el Renacimiento. Pueden encontrarse algunos grabados de la época que así lo confirman, como la llamada Margarita Philosophica, de Gregor Reisch (1503) (imagen de la izquierda) o los de Adam Riese, también del siglo XVI que servían como ilustraciones de los textos de aritmética. Tras algunas escenas familiares (y otras un tanto más íntimas) vendrá la graduación en Princeton (su padre sigue interesado en la Ciencia aunque no entiende nada de la charla de su hijo sobre átomos, y partículas elementales). En 1941 aparecen los primeros síntomas de la enfermedad de Arline. Richard trata de aprender a través de libros todo lo posible sobre la causa de los síntomas de la enfermedad de su prometida, y llega a una conclusión que espera no sea correcta: el mal de Hodgkin (también conocida como linfogranulomatosis maligna; es un tipo de linfoma, es decir, un cáncer en el sistema linfático. Los síntomas son similares a los de la gripe, malestar, cansancio, fiebre alta, e inflamación de ganglios en el cuello (lo que le pasa a Arline) o en la ingle. En esa época era mortal. Hoy en día hay tratamientos que incluso pueden hacer desaparecer la enfermedad). Los médicos confirman desgraciadamente su diagnóstico. Al conocer la noticia, los padres de Richard tratan de hacerle ver que ya ha perdido dos años de su carrera dedicándose a su novia, y que dada la situación lo mejor que puede hacer es planificar de nuevo su futuro. Richard sin embargo está convencido de seguir junto a Arline y casarse con ella. Comenta con Arlene, postrada permanentemente en cama en el hospital, su intención de casarse con ella, aunque también desea avanzar en su tesis en Princeton. Su tutor es John Wheeler que en una escena pone pegas a uno de sus artículos sobre Física Teórica, aunque posteriormente admite la posibilidad que contempla Richard. Trabaja sobre la posibilidad de que las ondas electromagnéticas viajen “hacia atrás” en el tiempo, algo que parecía de ciencia ficción en aquel tiempo. Es 1942 y corren rumores de que los alemanes investigan sobre la bomba atómica. Arrecian las discusiones con sus padres y en ese momento les cuenta su secreto: “Estoy trabajando para el Gobierno. Me están pagando, así que ahora puedo hacerme cargo de ella por fin”. Y se contraen matrimonio. Por supuesto los padres de Richard no asisten a la boda. Richard se establece en Los Alamos, Nuevo Méjico, donde se trabaja sobre la bomba. Arline es ingresada en un hospital en Alburquerque. Tienen que viajar por separado. La película de aquí al final transita entre el trabajo de Richard y sus viajes al sanatorio donde se encuentra Arline. Ya no hay más matemáticas, pero si una analogía para explicar la emisión beta a partir de un montón de aceitunas en una pequeña chuletada que Richard le prepara a Arline en los jardines del centro médico (él se negaba a dar el cante de ese modo, pero entonces su mujer le devuelve la famosa frase ¿Que Importa Lo Que Piensen Los Demás? No será todavía la última vez que se cite). La conversación comienza con Arline interesada en entender de algún modo en lo que trabaja su marido. Entonces le habla del núcleo de los átomos, de los protones, etc., y del decaimiento beta. Para ejemplificarlo, toma una aceituna, la divide en dos, posteriormente coloca otras simulando otros átomos, y se produce una reacción en cadena (ver foto). De una manera general, la desintegración beta, emisión beta o decaimiento beta es un proceso mediante el cual un nucleido inestable emite una partícula beta para optimizar la relación neutrones/protones del núcleo. La partícula beta puede ser un electrón, escribiéndose β-, o un positrón, β+. En la emisión beta, varían el número de protones y el de neutrones del núcleo resultante, mientras que la suma de ambos (el número másico) permanece constante. La diferencia fundamental entre un electrón o positrón y la partícula beta correspondiente es su origen nuclear: no se trata de un electrón ordinario arrancado de un orbital atómico. Richard Feynman utilizó unos diagramas a los que luego se les ha dado su nombre, diagramas de Feynman para explicar este tipo de comportamientos. En este enlace pueden verse algunos explicados, y resumida la compleja teoría matemática que estos fenómenos tienen detrás. Una última escena, después de la muerte de Arline justifica el título de la película. Richard dialoga con un chico al que pregunta si sabe cuál es el número más grande que pueda pensar. Comienzan jugando a encontrar el doble, triple, etc., de un número cualquiera. Entonces el chaval dice que no puede haber el número más grande. Richard (en esta escena como en otras previas, demasiado solemne y afectado para mi gusto) le explica entonces mirando al cielo estrellado, que esa idea (la de que no existe un final aunque se empiece por el número que se quiera) es lo que llamamos infinito. En las imágenes que se muestran a continuación, vemos al actor Matthew Broderick caracterizado como Richard Feynman y al verdadero Feynman. El físico Richard Feynman (1918 – 1988), aparte de ganador del premio Nobel por sus trabajos en electrodinámica cuántica, es conocido por sus textos de Física y la gran cantidad de cursos, conferencias y artículos de divulgación que publicó. Algunas de sus intervenciones de un marcado carácter didáctico pueden hoy día verse en vídeo (en youtube sin ir más lejos pueden verse varias). Sin embargo su popularidad traspasó los ambientes académicos debido a sus innumerables excentricidades: abridor de cajas fuertes, calculador prodigio, demasiado aficionado a las mujeres, instrumentista de bongo, etc. Tuvo también en un momento de su vida que ser internado por problemas psiquiátricos. Recientemente ha aparecido el libro El arco Iris de Feynman, de Leonard Mlodinow, en el que se describen estos aspectos más desconocidos de su personalidad. Ese carácter un tanto irreverente aparece en varios momentos más de la película aparte de los citados. Por ejemplo, la famosa anécdota en la que es detenido a su llegada a Los Alamos, por burlar el protocolo de entrada y salida. La película lo relata muy bien. Richard cansado de hacer cola diariamente para poder entrar en el recinto y viendo que otros compañeros se cuelan por un agujero en la alambrada, decide entrar por ese lugar y mostrar al policía militar del control de entrada y salida su documentación para salir hasta tres veces, sin haber pasado ninguna para entrar. Explica en off que la seguridad era excesiva y al mismo tiempo ridícula. Tras ser detenido, se lamenta: “Estaban más interesados en si era un sospechoso que en el agujero en la seguridad”. En otro momento despierta a sus compañeros a las cinco de la mañana con un concierto de bongos, a los que era muy aficionado, a pesar de haber sido considerado y haberse alejado del edificio a varios cientos de metros. Sobre esto, dijo en una ocasión: "Es bien curioso, pero en las pocas ocasiones en que he sido requerido para tocar el bongo en público, al presentador nunca se le ocurrió mencionar que también me dedico a la física teórica. Pienso que esto puede deberse a que respetamos más las artes que las ciencias." En la página oficial en la red dedicada a su memoria: http://www.feynmanonline.com/, aparece la siguiente imagen: Las siglas W.W.R.F.D. corresponden a  What Would Richard Feynman Do? Y muestran un diagrama lógico que supongo que no hace falta explicar sobre las prioridades en sus aficiones. Como curiosidad sobre la película, Michelle Feynman, la hija adoptada por Richard y Gweneth Feynman (su segunda esposa) en 1968, realiza un cameo en la película interpretando a una joven en un tren. Destaquemos finalmente una frase de la película en la que Richard define el porqué de su interés hacia las matemáticas: “Mathematics is a language. It's very difficult. It's subtle. You couldn't say those things any other way - and I can talk to dead people with it. I talk to Copernicus every day”. Siendo un tipo tan peculiar y extrovertido, además de muy interesado en la divulgación, no es extraño encontrarnos con algunas frases suyas chocantes y “mediáticas”. He aquí una muestra: "No es verdad que las llamadas 'matemáticas abstractas' sean tan difíciles. (...) No creo que haya por un lado un pequeño número de personas extrañas capaces de comprender las matemáticas y por el otro personas normales. Las matemáticas son uno de los descubrimientos de la humanidad. Por lo tanto no pueden ser más complicadas de lo que los hombres son capaces de comprender." "Hay que tener la mente abierta. Pero no tanto como para que se te caiga el cerebro." "La Física es como el sexo: seguro que da alguna compensación práctica, pero no es por eso por lo que la hacemos." "El poder de la instrucción es, en general, poco eficaz, excepto en las felices ocasiones en que es casi superfluo." "Estoy convencido de que cuando un científico examina problemas no científicos puede ser tan listo o tan tonto como cualquier prójimo, y de que cuando habla de un asunto no científico, puede sonar igual de ingenuo que cualquier persona no impuesta en la materia." "Lo más maravilloso de la ciencia es que está viva." "Para aquellos que no conocen las matemáticas, es difícil sentir la belleza, la profunda belleza de la Naturaleza... Si quieres aprender sobre la Naturaleza, apreciar la Naturaleza, es necesario aprender el lenguaje en el que habla." "Querida Sra. Chown, ignore los intentos de su hijo de enseñarle Física. No es la cosa más importante. La cosa más importante es el amor. Mis mejores deseos, Richard Feynman." Secuelas de Ágora Ágora ha generado muchos programas de televisión (fundamentalmente promocionales), en prensa escrita y en la red. Es imposible poder leer todos (yo mismo he escrito cinco diferentes para distintos medios), pero en algunos, sobre todo en la red, se ven bastantes, dejémoslo en, “inexactitudes”, y muchas opiniones sesgadas, tratando de defender o atacar no se sabe qué o a quien. En YouTube pueden verse también programas televisivos entrevistando a Amenábar. Uno de ellos fue (la verdad es que no me pegaba mucho a priori) en Cuarto Milenio de la cadena Cuatro. Iker Jiménez y su compañera hicieron una entrevista, digamos que correcta, aunque comentaron algunas cosas un tanto inexactas, que también aparecen en otros lugares. Lo comentábamos en la reseña del mes anterior: se califica a Hipatia de “una desconocida” que de la noche a la mañana y gracias a Ágora ha motivado una abundante literatura. Esto no es del todo cierto, y a las pruebas me remito. Ciertamente este año se han publicado bastantes libros sobre el personaje: Garcia/Ruiz/ Puigvert/Rue. Hipatia de Alejandria. Hipatia Editorial, 2009. Díaz, Guillermo. Hipatia de Alejandría. Aladena, 2009 Martínez Maza, Celia. Hipatia. La Esfera de los Libros, 2009 García, Olalla. El jardín de Hipatia. Espasa, 2009 Vaquerizo, Eduardo. La última noche de Hipatia. Alamut Ediciones, 2009 Galí, Ramón. Hypatia y la eternidad. ES ediciones, 2009 Sofía, Marta. Ágora. Planeta, 2009 Pero de desconocida nada. Anteriormente tenemos, entre otros: Kingsley, Charles. Hipatia, los últimos esfuerzos del paganismo en Alejandría. 1853 Larrain Barra, Bruno. Hipatia. Chile, 1902. Ripoll, Guillermo. Azahar abierto. Hipatia. 1984. Alic, Margaret. El legado de Hipatia: historia de las mujeres en la ciencia desde la antigüedad hasta fines del siglo XIX. Siglo XXI. 1991. González, Amalia. Hipatia. Ediciones del Orto, 2002 Gálvez, Pedro. Hypatia. La mujer que amó la ciencia. Lumen, 2004 Dzielska, María. Hipatia de Alejandria. Siruela, 2004 Requena Fraile, Ángel. El Irresistible hechizo de Hipatia de Alejandría. Artículo de la Revista SUMA nº 47. Noviembre 2004, pp. 112-114. En la red puede verse en este enlace. Russell, Dora. Hypatia. Mujer y conocimiento. KRK. Reeditada en 2005 (Original de1925) Cerqueiro, Daniel. Hipatia de Alejandría, la filósofa. Buenos Aires, 2006 Muñoz Puelles, Vicente. El legado de Hipatia. Anaya, 2007 Gómez de Liaño, Ignacio. Hipatia; Bruno; Villamediana. Tres tragedias del espíritu. Siruela, 2008 Pérez Ferrari, Emilio. La muerte de Hipatia. Poesía. A los que hay que añadir cualquier libro de Historia de las Matemáticas o de Divulgación matemática en general (que hay muchísimos). Todos los que he mirado por curiosidad, la citan. Por ejemplo: Boyer, C.B. Historia de las Matemáticas. Alianza Universidad. Madrid, 1986. Kline, M. El pensamiento matemático de la Antigüedad a nuestros días. Alianza Editorial. Madrid, 1992. Colette, Jean-Paul: Historia de las Matemáticas. Ed Siglo XXI. 1985 Stewart, Ian. Historia de las matemáticas: en los últimos 10000 años. Crítica, Barcelona, 2008. Wussing, H. Lecciones de historia de las matemáticas. Siglo XXI de España. Madrid, 1998. Dunhan, William, Viaje a través de los genios: biografías y teoremas de los grandes matemáticos. 1992. Colerus, Egmont. Breve Historia de las Matemáticas. Colección Libro Joven de bolsillo, Editorial Doncel, Madrid, 1972. Pickover, Clifford A. El prodigio de los números. Ediciones Robinbook, 2002 Varios autores. El Rostro Humano de las Matemáticas. Nivola. Madrid, 2008. Y así ad infinitum…. Por otro lado, comentan que a Teón, padre de Hipatia le iban los horóscopos, las ciencias ocultas, etc. Yo la verdad no lo he visto escrito por ninguna parte, pero claro a lo mejor consideran las matemáticas incluidas entre este tipo de ciencias (durante alguna parte de la Historia, así nos trataron). Vamos que quizá algún programa de estos de Cuarto Milenio nos sorprenden con alguna cosa dedicada a las matemáticas. ¡Quien sabe! ¡Habrá que estar al tanto!

Jueves, 19 de Noviembre de 2009 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

884. 40. Profesores (de matemáticas) en el cine (1)

En repetidas ocasiones he comentado la existencia de lo que podría considerarse como un subgénero dentro del conjunto de películas en las que aparece algo relacionado con las matemáticas: el escolar. Uno de los elementos fundamentales de ese tipo de películas es el profesor o maestro de turno. Comenzamos este mes un repaso por algunos de estos personajes. Como se comenta en la página 19 de [2] respecto al profesor de matemáticas de las películas (válido también para el matemático en general), “el cine ha mostrado casi siempre el estereotipo más popular: un personaje despistado, un tanto excéntrico (por no decir raro o extraño) tanto en su personalidad (normalmente tímido y no muy atractivo) como en su indumentaria (más bien despreocupada o de tipo deportivo)”. Ejemplos aparecen muchos en las páginas que siguen en dicho libro. Este mes comenzamos esta subsección dedicada a estos sujetos, acercándonos a ellos con un poco más de detalle, porque, no debemos olvidarlo, si el cine trata de reflejar algo de la realidad, los guionistas, realizadores y actores nos ven de un modo concreto, y aunque en algunos casos se trasladen las filias y fobias personales, algo de cierto habrá en esos caracteres que nos puede hacer reflexionar sobre lo que hacemos, y sobre todo, cómo lo hacemos. También se indica en el libro que existe una bibliografía, si no muy amplia, sí representativa, del papel del profesor en el cine. Sin embargo, no hay nada específico del profesor de matemáticas, salvo algunos comentarios. Por ejemplo, Ramón Espelt en [1] señala alguna característica (él es licenciado en ciencias exactas) pero muy de pasada puesto que el libro es un análisis psicopedagógico sobre cómo ha reflejado el cine la labor educativa de los centros escolares a lo largo de los años indicados en el título. Andrés Zaplana en [3] establece varios arquetipos de docentes en general que quizá podamos adoptar a nuestro caso concreto (entre paréntesis una película representativa). Son los siguientes: El profesor abnegado: una vida por y para la enseñanza (Adios Mr. Chips (Goodbye, Mr. Chips), Sam Wood, Reino Unido, 1939). El profesor “hueso”: reproches, frialdad y sadismo (Vida de un estudiante (The Paper Chase), James Bridges, EE. UU., 1973). El profesor comprometido (Hoy empieza todo (Ça commence aujourd'hui), Bertrand Tavernier, Francia, 1999). El profesor “manipulador” o la escuela como púlpito ideológico (Los mejores años de Miss Brodie (The prime of Miss Jean Brodie), Ronald Neame, Reino Unido, 1969). Violencia en la aulas: el súper-profesor, un docente de pura ficción (Semilla de Maldad (Blackboard Jungle), Richard Brooks, EE. UU., 1955). El mito del “gran profesor” (El club de los poetas muertos (Dead Poet´s Society), Peter Weir, EE. UU., 1989). El profesor mentor: docente y sustituto paterno (Madadayo, Akira Kurosawa, Japón, 1993). El profesor cándido, incompetente y bufón en el reino adolescente: comedias de instituto y vodeviles universitarios (Election, Alexander Payne, EE. UU., 1999). El profesor “quemado” (Una semana de vacaciones (Une semaine de vacances),  Bertrand Tavernier, Francia, 1999). El profesor paranoico (Bianca, Nanni Moretti, Italia, 1983). Cómo puede observarse, sólo con este extracto del índice, el libro es para pasárselo “bomba” (o quizá no) y que cada cual se coloque en el lugar en el que se encuentre reflejado. Nosotros nos conformaremos con clasificar a los profesores de matemáticas de algunas películas dentro de alguno de esos tipos. Por cierto, el ejemplo del paranoico, en el último tipo, es el de un matemático (¡cómo no!) que interpreta Nanni Moretti en Bianca, película de la que ya hablaremos en su momento. Este mes comenzaremos con el profesor de El joven Törless EL JOVEN TÖRLESS Título Original: Der Junge Törless. Nacionalidad: Alemania., 1966. Director: Volker Schlöndorff. Guión: Herbert Asmodi y Volker Schlöndorff, según la novela Las tribulaciones del estudiante Troles (Die Verwirrungen des Zoeglings Torréeles), de Robert Musil. Fotografía: Franz Rath, en B/N. Montaje: Claus von Boro. Música: Hans Werner Henze. Producción: Louis Malle y Franz Seitz. Duración: 87 min. Intérpretes: Mathieu Carrière (Thomas Törless), Marian Seidowsky (Anselm von Basini), Bernd Tischer (Beineberg), Fred Dietz (Reiting), Lotte Ledl (Tabernero), Jean Launay (Profesor de matemáticas), Barbara Steele (Bozena). Argumento: En un internado del Imperio Austro-Húngaro, a principios del siglo pasado, dos adolescentes maltratan a un compañero de origen judío, Basini, al que han pillado robando dinero a uno de ellos para poder pagarle a otro un préstamo por deudas de juego. Los dos muchachos deciden castigarlo ellos mismos en lugar de contárselo a sus profesores. Prefieren torturarlo, humillarlo y degradarlo, con un placer sádico creciente. Törless es un miembro pasivo del grupo, exculpado de participar pero implicado como testigo impasible. Es un alumno aplicado e inteligente, pero como todos los chicos de su edad, ávido de conocer nuevas experiencias (fumar, las apuestas, el sexo, etc.). Quiere comprender científicamente por qué Basini acepta los tormentos a los que le someten sus compañeros. Quizá ver lo que va sucediendo constituya una explicación más satisfactoria que la que consigue de sus profesores. Törless queda perplejo en la clase de matemáticas ante la existencia de los números imaginarios, unos números que, según lo que ha entendido, no existen y que, sin embargo, posibilitan otras operaciones matemáticas que se reflejan en el mundo real. El profesor de matemáticas está guardando sus papeles. Acaba de terminar su clase. Los alumnos también recogen. Se despide y ellos comentan ante la pizarra Beineberg: ¿Lo has entendido? Törless: ¿El qué? En la pizarra se ve escrito lo siguiente: x2 = 4             x = √4 = 2              x = ─ √4 = ─2 x2 =  ─1         x = ? x = √─1 = i    imaginari Beineberg: Lo de los números imaginarios. Törless: Sí, es muy fácil. Beineberg: Sólo hay que acordarse de que la raíz de ─1 (hace un círculo alrededor de √─1) es la unidad de cálculo. Törless: De eso se trata justamente. No puede ser. Los radicales tienen que ser siempre positivos. Beineberg: Pero sólo se toma como método de cálculo. Törless: ¿Cómo puede hacerse si uno sabe, matemáticamente seguro, que eso es imposible? Y lo que es realmente curioso, por ejemplo, que con esos cálculos se puede construir un puente que luego se mantiene en pie, aunque se haya calculado según algo que no existe. Eso es lo que realmente no puedo llegar a entender. ¿No es eso un salto en nuestra realidad? Beineberg: Hablas casi como nuestro cura. (Comienza a imitarlo con voz afectada) “El salto entre el cuerpo, que es materia, y las acciones que realiza nuestra alma inmortal. Amén”. Pregunta al profesor de matemáticas. Töless pide una cita al profesor para intentar comprender. En la siguiente escena, Törless se encuentra en el despacho del profesor de matemáticas. Éste se dispone a fumar un cigarrillo. Profesor: Lo irracional. Sí. Y los números imaginarios, claro. Por favor, siéntese. (Se sientan) Estoy encantado, amigo Törless. Realmente encantado. Sus dudas evidencian la seriedad de su propia reflexión. Pero no es tan fácil ofrecerle la explicación que usted desea. No me malinterprete, por favor. ¿Quiere fumar? Törless: No, gracias. Profesor: Entonces, ¿un caramelo? (Le ofrece. Coge uno y lo toma) Verá. Usted hablaba de la intervención de los hechos trascendentes, si a eso lo llamamos hechos trascendentes. Pero yo no puedo saber cómo se siente usted con lo trascendental situado más allá de los estrechos límites del entendimiento. Es un asunto muy peculiar. Realmente no estoy capacitado para intervenir ahí, eso no pertenece a mi especialidad. (Törless observa con detenimiento cada objeto del despacho del profesor: tres monos tapándose los ojos y los oídos, una llave, etc.). Sólo se puede pensar, pensar, y pensar en ello. Y sobre todo quisiera evitar polemizar con nadie. Törless (insiste): Pero lo matemático tiene que poder explicármelo. Profesor: Sí. Por lo que a la matemática se refiere, es de sobra sabido que ahí existe una conexión natural y puramente matemática. Eso es lo que yo, siendo estrictamente científico, haría hipótesis que usted apenas entendería y no tenemos el tiempo necesario. (Se levanta a ver si está caliente su café). Törless: ¿Y lo imaginario? Profesor (empezando a mostrarse molesto; levanta la voz): Tiene que acostumbrarse a que tales conceptos matemáticos, todos esos valores que no existen, son sólo pura necesidad del pensamiento matemático. Reflexione. En el nivel elemental medio de la clase en la que usted se encuentra, es difícil dar la explicación correcta de mucho de lo que uno se ve obligado a mencionar. Por suerte nada más lo notan unos pocos, pero cuando alguien viene como usted hoy, y ya le he dicho que estoy encantado, sólo le puedo decir, querido amigo, sencillamente tienes que creer. Cuando sepas diez veces más matemáticas que ahora, lo comprenderás, pero de momento, cree. Todo es sentimiento, incluso las matemáticas. Aunque las inquietudes de Törless no quedan satisfechas por las conformistas explicaciones de su profesor, (más que explicaciones son disculpas,   declaraciones de actos de fe o sentimientos que debemos asumir sin más), éstas sí que tienen eco en Beineberg que se solidariza con Törless en su inquietud y responde con desprecio hacia las respuestas de los decrépitos estamentos que representa el profesor. Beineberg también busca un sentido a su existencia como Troles, pero mientras el primero sólo encuentra solución mediante la violencia, Törless trata de razonar, apartando todo sentimiento, que a su entender, limita y confunde el pensamiento del ser humano. Evidentemente Beineberg representa una ideología similar a la nazi de la Alemania de Hitler: el desprecio por los débiles, el menosprecio de los sentimientos “bajos”, e incluso el extraer el significado de la vida diseccionándola. Recordemos que la mala situación social del momento provocó un exaltado rencor y una rabia que justificaba lo injustificable. Después de todo no son tan distintos los experimentos “científicos” nazis y el afán “didáctico” de Beineberg respecto a Basini. Beineberg: “Quiero sacar experiencia de esto. Lo que pretendo es pura ascética. Para elevarnos por encima del mundo debemos matar lo que nos convierte en esclavos de la vida. Los sentimientos por ejemplo. […] La compasión es un sentimiento superfluo en este caso. Un despilfarro de la fuerza vital. Mataré en mí esos sentimientos superfluos” En otro momento, Törless sugiere a su compañero si la actitud con Bassini es la correcta: Beineberg: Se ha acostumbrado a obedecernos y ya no le importa. Debemos ir más allá. Törless: ¿Humillarle aun más? Beineberg:: Saber hasta dónde podemos llegar. […] ¿Recuerdas la conversación sobre los números imaginarios? Esto nos ayudará a traspasar los límites de nuestra mente. […] Esa fuerza que mantiene la lógica a pesar de todas las lagunas es lo que yo llamo el alma. Y quiero hacer salir a luz el alma de Basini”. Finalmente Törless escapa del internado después de que Basini sea torturado por toda la clase. Su sentimiento de asco es tan grande que esta vez no puede terminar con la situación,  angustiado por lo que ve. Cuando declara frente al consejo escolar expone lo que ha supuesto para él la experiencia de lo que le ha ocurrido a Basini. “Basini era un alumno corriente, una persona normal. Y de repente cayó. […] Tuve que reconocer que el ser humano no ha sido creado bueno o malo. Cambiamos permanentemente. Sólo existimos en nuestros actos. Pero si podemos convertirnos tanto en torturadores como en animal sacrificado todo es posible. Entonces las cosas más terribles son posibles. No existe un mundo bueno y uno malo. Uno es continuación de otro y las personas normales pueden realizar barbaridades.” Atentos pues a lo que contamos y cómo despachamos a los alumnos, que nunca se sabe cómo van a reaccionar en esa etapa tan difícil (a los cruentos noticiarios diarios me remito). Estamos por descontado ante un espléndido film (eso sí, puede deprimirnos bastante, pero de vez en cuando toca reflexionar un poco y constatar que hay algo más que el displicente cine USAmericano) sobre el auge del nazismo que consiguió el premio FIPRESCI en el Festival de Cannes así como los Premios del Cine Alemán de mejor película, guión y director. Su director, Volker Schlöndorf, es uno de los directores clave del denominado “nuevo cine alemán”, junto a Rainer Werner Fassbinder y Werner Herzog. Este movimiento vino a ser la adaptación de las características de la Nouvelle Vague francesa al caso alemán. De hecho la carrera profesional de Schlöndorf comienza como ayudante de dirección en Francia a las órdenes de Alain Resnais en El año pasado en Marienbad (1961), Louis Malle en Una vida privada (1962), El fuego fatuo (1963) o ¡Viva María! (1965), y Jean-Pierre Melville en El confidente (1962). El joven Törless es uno de sus primeros trabajos como director y guionista, adaptando la novela homónima de Robert Musil escrita en 1906. Posteriormente estudió Ciencias Políticas y Económicas. Además de realizar adaptaciones cinematográficas de novelas comprometidas es un consumado documentalista y guionista. Tanto escritor como director saben bien de lo que hablan en este trabajo ya que ambos estuvieron en un internado (Musil en una academia militar; Schlöndorf en un internado jesuita). En la novela es mucho más clara la relación homosexual entre los protagonistas  que en la película apenas si se percibe. Personalmente creo que junto a El señor de las moscas (Lord of the Flies, Harry Hook, 1990) es una de las películas que mejor expone la lucha por el liderazgo en la sociedad y cómo ésta hace florecer los instintos más básicos (y bajos) de cualquier ser humano, incluso en niños o adolescentes. La película es fácilmente localizable. Está editada en DVD en España por Filmax Home Video. A la derecha vemos el cartel de dicha edición. No hay demasiadas referencias en el cine a los números complejos. La película puede verse sin demasiados traumas a partir de 4º de la ESO (opinión personal) y aunque pueden seleccionarse exclusivamente las escenas indicadas en una presentación en el aula de matemáticas, lo ideal sería abordarla en conjunto  en un marco más amplio en coordinación con otras asignaturas. A este respecto se proponen como posible orientación algunas cuestiones ,mayoritariamente de matemáticas: Cuestioncillas imaginarias y no muy complejas En general: ¿En cuál de los tipos descritos anteriormente incluirías al profesor de la película? Si no te cuadra ninguno, trata de definir una “nueva categoría”. Tema para reflexionar:  el bullying. Reflexionar y comentar la siguiente afirmación recogida en internet sobre la película: “La película explica claramente el nacimiento del germen del nazismo que asoló el centro de Europa a mediados del siglo XX. Los protagonistas de esta historia serán los futuros miembros de la S.S., oficiales del ejército nazi, miembros del partido nacionalsocialista y jefes de campos de exterminio. En estos colegios-cuarteles estudiaban a Nietche, Kant y matemáticas muy abstractas jóvenes de 12 y 14 años”. Sobre matemáticas: El protagonista de la película está fascinado por el hecho de que unos números inexistentes puedan aplicarse al mundo real. Esta afirmación parece haberse tomado de la frase atribuida al matemático Jacques Hadamard, “El camino más corto entre dos verdades reales pasa por lo imaginario”. ¿Conoces algún problema matemático en el que para dar soluciones en términos de números reales se haga a través de la utilización de los números complejos? Localiza aplicaciones del mundo real donde los números imaginarios desempeñen un papel fundamental. La construcción del cuerpo de los complejos C a partir del de los reales es mucho más sencilla que la de R a partir de los racionales Q. ¿Es cierto? Argumenta alguna razón. ¿Por qué a este tipo de números se les llama imaginarios? ¿Quién y cuando se utilizó esta terminología? Cuando estamos jugando a los barcos, al describir la posición de uno de ellos decimos, por ejemplo, (2, 3), ¿no es esto algo muy real? Y sin embargo, ¿no es (2, 3) la descripción de un número complejo? ¿Qué tienen que ver los nombres de Casper Wessel y C. Proteus Steinmetz con los números complejos? ¿Por qué algunas disciplinas designan la unidad imaginaria por j en lugar de i? ¿De cuántas maneras puede describirse un número entero? ¿Y uno racional? ¿Y uno real? ¿Y uno complejo? ¿Hay alguna razón para la que éstos últimos tengan tantos “aspectos”? Se quieren describir los vértices de un hexágono regular centrado en el origen. ¿Cómo lo harías? ¿Son estos vértices reales o imaginarios? ¿Dónde está el error del siguiente razonamiento siendo i la unidad imaginaria? C es el cuerpo más sencillo algebraicamente cerrado. ¿Qué significa esto? ¿Por qué los números reales no verifican esta propiedad? Para acabar recordaros que podéis hacernos llegar cualquier comentario, sugerencia u opinión sobre el tema expuesto en cada reseña, que gustosamente la leeremos y trataremos de tenerla en cuenta. Una última recomendación: el programa Tres Catorce que la 2 programa los domingos a las ocho de la tarde. Sí ciertamente el horario no es maravillosos pero en internet podéis verlo en cualquier momento durante la semana de su emisión en Tve a la carta. Bibliografía citada [1]       ESPELT, Ramón. Jonás cumplió los 25: la educación formal en el cine de ficción, 1975-2000. Laertes, Barcelona, 2001. [2]       POBLACIÓN SÁEZ, Alfonso J. Las matemáticas en el Cine.  Proyecto Sur de Ediciones/ Real Sociedad Matemática Española. Granada, 2006. [3]       ZAPLANA MARÍN, Andrés. Profesores en el cine. Dpto. Publicaciones Diputación de Badajoz, 2005.

Jueves, 02 de Abril de 2009 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

885. 45. (Octubre 2009) SOLUCIÓN CONCURSO DEL VERANO 2009

Nobel y Matemáticas. 1.- El Nobel de Economía lo han ganado muchísimos matemáticos, pero... ¿qué ocurre con el Nobel de Literatura? a) ¿Ganó algún matemático este premio? Sí, ha habido matemáticos que han ganado este premio. b) ¿Cuántos matemáticos que lo ganaron puede mencionar? Dos: Bertrand Russell, que lo ganó en 1950 por “Principia Mathematica” José de Echegaray, que lo ganó en 1904 por “El gran galeoto” y lo compartió con “Fréderic Mistral”.   Ajedrez, Matemática y Literatura 2.- En muchas novelas se menciona el ajedrez, pero pocas veces una partida real, o una posición aparece en medio de la historia. a) ¿Conoce una novela donde se analice una posición de ajedrez, mostrando la ubicación de las piezas, y discutiendo las posibles movidas? Conozco, y he leído cuatro novelas en las que basándose en partidas de ajedrez, se muestra la ubicación de las piezas en la partida o se hace referencia a ellas. Dichas novelas son: “A través del espejo”, escrita por Lewis Carrol, escritor y matemático inglés, segunda parte de “Alicia en el País de las Maravillas”. En ella, Alicia juega en el papel de peón blanco, coronándose reina cuando llega a la octava casilla. Cabe señalar que la edición que he leído pertenece al libro “Alicia anotada”, que cuenta con anotaciones al margen, escritas por el matemático Martín Gardner. “La tabla de Flandes”, de Arturo Pérez Reverte, en la que la resolución de una partida de ajedrez es la clave para encontrar a un asesino. Cuenta con numerosas ilustraciones que reflejan el estado del tablero en cada momento. “El ocho”, escrita por Katherine Neville, y su segunda parte, “El fuego”. Ambas incluyen comentarios sobre partidas de ajedrez, y algunas jugadas concretas. b) ¿Conoce una novela donde se analice una posición de ajedrez y sea parte de la trama un matemático (real)? No, o al menos, no que yo sea consciente. c) ¿Cuántos ajedrecistas profesionales que también sean (o fueron) matemáticos puede mencionar? Max Euwe, doctor en matemáticas y campeón del mundo en ajedrez. Adolf Anderssen, profesor de matemáticas y campeón del mundo. Wilhelm Steinitz, distinguido estudiante de matemáticas y campeón de 1986 a 1904. Emanuel Lasker doctor en matemáticas, campeón del mundo. John Nunn, Gran Maestro, Topología algebráica. Ed Formanek, Facultad de Matemáticas de la PennState. Martin Kreuzer, Gran Maestro, trabaja en Álgebra comutativa computacional.   Acomodando Letras 3.- En una cuadrícula (rectangular) ubique las letras que desee, y forme nombres de escritores y matemáticos conectando letras vecinas entre sí (valen diagonales, pero no repetirlas en la misma palabra). El objetivo es obtener la mayor 'densidad' posible, medida como nombres obtenidos/letras utilizadas.   1 2 3 4 a T A L E b E L B S c G A O O d U S S I TALES (a1-a2-a3-a4-b4) ABEL (a2-b3-a4-a3) BELL (b3-a4-a3-b2) BOOLE (b3-c4-c3-b2-b1) GALOIS (c1-c2-b2-c3-d4-d3) GAUSS (c1-c2-d1-d2-d3) ALAS (a2-b2-c2-d2)....por Leopoldo Alas Clarín SOLLA (d4-c3-b2-a3-a2)...por Carlos Solla, escritor pontevedrés (reconozco que un poco pillado por los pelos, pero la tierra tira). Es una pena por Zenón de ELEA y GALILEO, ya que todas las letras de dichos matemáticos están en el cuadro, pero seguiré trabajando en ello, y si logro mejorarlo, lo volveré a mandar. De esta manera, el cuadro tendría la siguiente densidad (suponiendo que “Solla” no cuenta): 7/16= 0.4375

Lunes, 19 de Octubre de 2009 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

886. 33. La gran pirámide

Solución ganadora del concurso de verano 2009 Según una afirmación atribuida a Herodoto: la Gran Pirámide fue construida de forma que el área de cada una de sus caras triangulares fuera igual al área de un cuadrado cuyo lado tuviera la altura de la Pirámide.   Si esta afirmación fuese cierta, eso nos llevaría a la siguiente conclusión:     La pirámide estaría compuesta por cuatro triángulos isósceles de base 2a y altura Фa, más un cuadrado de lado 2a.   La solución propuesta consta de dos piezas iguales, cada una de las cuales parte de una hoja A4. Con ella se construye un rectángulo 2×(1+Ф) que incluye dos caras opuestas triangulares más la base cuadrada (que resulta duplicada).   DIAGRAMA DEL MÓDULO   Partimos de un rectángulo A4 procurando marcar lo menos posible la zona central de la hoja:       Para que los bolsillos sean ligeramente más grandes que las pestañas, y así lograr que encajen perfectamente en ellos (recordemos que el papel tiene un grosor no nulo), los ampliaremos ligeramente:     Para ensamblar las dos partes hay que cruzar ambos módulos, uno encima de otro, y meter las solapas en los bolsillos contiguos:             Descárgate la solución en pdf

Miércoles, 30 de Septiembre de 2009 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

887. 66. Los escaques del juego

El mes pasado les prometí hablar (un poco, sólo un poco...) de algunos de los juegos en un tablero de ajedrez. Centrándonos en el ajedrez occidental (hay un ajedrez chino con millones de jugadores habituales...), hay variantes de todo tipo como el llamado ajedrez "cilíndrico" (se puede continuar el movimiento de una pieza que saldría por un lado, el izquierdo por ejemplo, entrando por el otro lado, el derecho en el ejemplo), o el ajedrez "esférico" (la continuidad del movimiento se da en los cuatro lados del tablero...), los hay basados de alguna manera original en el ajedrez como el Ultima o Baroque Chess de Robert Abbott o el sorprendente Arimaa que pretende que los ordenadores no lleguen a ganar a los humanos al menos con el uso y abuso de técnicas de "fuerza bruta" como ya ocurre hoy con el ajedrez...   Hay incluso una página web con diversas variantes del ajedrez que suelen usar el mismo tablero y que se puede consultar en: http://www.chessvariants.org/   Ajedrez con ordenador   Cuando se habla de juegos con ordenador, casi todos pensamos de inmediato en los juegos que, desde Pacman o Invaders hasta Quake, Counter-Strike o Final Fantasy, se han desarrollado específicamente para la nueva herramienta informática.   Pero el ordenador ha servido también para dar nuevo soporte y empuje a juegos ya clásicos (damas, ajedrez, bridge, go, backgammon, etc.) en los que el intelecto humano ha venido compitiendo o, si se quiere, esos juegos con los que algunos conseguimos pasar ratos agradables volviendo a esa actividad, el juego, que tan fecunda fue en nuestra infancia y que los adultos inteligentes nunca deberían olvidar ni menospreciar.   En el desarrollo de la inteligencia artificial, los juegos han servido para mucho al ofrecer un ámbito acotado de acción con reglas precisas, claras y bien delimitadas que permitían hacer experiencias sobre cómo establecer planes estratégicos y elaborar tácticas de comportamiento. Ya en 1962, Samuel presentaba un primer programa que era capaz de jugar a las damas, mientras que, en 1966, Greenblat comenzó la programación de un ordenador que jugara al ajedrez.   Aunque, en realidad, la primera máquina que "jugaba" al ajedrez fue "El Turco", construido en 1769 por el ingeniero húngaro barón Wolfang von Kempelen, que se paseó por las cortes europeas haciendo todo tipo de demostraciones... Hasta que se descubrió el truco: un personaje oculto en el interior de esa presunta máquina movía las piezas con habilidad de gran maestro. Colaboradores de "El Turco" fueron, por ejemplo, Mouret (quién desveló la superchería en 1834), Schlumberger, o el célebre campeón austríaco Johann Allgaier quien "dirigió" las piezas en una célebre partida contra Napoleón que tuvo lugar en 1809 en el palacio vienés de Schönbrunn, cuando el emperador perdió por tres veces seguidas.   Volviendo al siglo XX, tras los primeros intentos de Greenblat, las cosas evolucionaron lentamente. Hacia 1973, un gran maestro británico, (no recuerdo el nombre, pero era citado en "Computer and Chess", un libro de David Levy publicado en 1976), llegó apostar una buena cantidad de libras a que ningún ordenador le ganaría jugando al ajedrez en los siguientes diez años. Ganó la apuesta y, por si ello fuera poco, se atrevió a repetirla para diez años más. Afortunadamente, las cosas habían cambiado ya en 1993 y ese astuto gran maestro británico no se atrevió a repetir su apuesta.   Hizo bien: en mayo de 1997 el mundo se sorprendía al saber que un ordenador llamado Deep Blue había vencido al mejor jugador humano de ajedrez: el gran maestro Gari Kasparov. Lo cierto es que hoy, prácticamente cualquier programa medianamente decente de ordenador gana al ajedrez a un buen jugador humano e, imagino que también, a la gran mayoría de profesionales y grandes maestros del ajedrez mundial.   Hoy día hay muy buenos programas de ajedrez a los que se les reconoce un ELO de más de 2700 puntos y, en realidad, obtendrían mayor puntuación ELO con sólo usar procesadores más potentes. Aunque eso no inutiliza ese tipo de programas que suelen usarse ahora para análisis de situaciones i/o partidas.   Pero poca satisfacción ha de haber en jugar contra una máquina con la que uno sabe que va a perder. Por ejemplo a mí nunca se me ocurriría hacer una carrera a pie contra un Ferrari y, de manera parecida, tampoco obtengo placer alguno en jugar al ajedrez contra un programa como Fritz. Me gana siempre.   Junto al ajedrez, otros de los juegos que pasan por "intelectuales" son el bridge y el go. En octubre de 1885, Borland distribuyó sus "Turbo Games" con programas que jugaban al ajedrez, al bridge y al go, programados en el (entonces) popular lenguaje Turbo Pascal, e incluyendo incluso el código fuente. Poco voy a decir aquí del go (empecé a jugar hace más de 30 años y sigo siendo un principiante...), pero el bridge por ordenador, en los casi veinte años transcurridos, también ha evolucionado mucho.   Parece ser que las complejidades del bridge no se resuelven con igual facilidad con los procedimientos de "fuerza bruta" usados en ajedrez (análisis de prácticamente todas las jugadas posibles gracias a la gran potencia de los nuevos procesadores) y, en realidad, los programas de bridge, siendo buenas ayudas para la práctica y el aprendizaje, todavía juegan peor que muchos grandes expertos humanos pero, eso sí, mucho mejor que la gran mayoría de practicantes del juego. A mi todavía me sirven... Pero es muy posible que quede poco tiempo para ello. La potencia de los procesadores sigue aumentando...   Juegos anti-ordenador: ARIMAA   Supongo que la mayoría de aficionados al ajedrez pueden sentirse, como yo, molestos cuando juegan a ese juego con cualquier programa de ordenador. El pronóstico es fácil: en la mayoría de los casos gana el ordenador. O tal vez en todos, ya que incluso el campeón mundial de ajedrez, Gary Kasparov, perdió ante la potencia de Deep Blue que, en mayo de 1997, en el segundo enfrentamiento entre ambos, le venció en un match a seis partidas.   En enero de 1999, Omar Syed, un ingeniero informático especializado en inteligencia artificial, enseñaba ajedrez a su hijo Aamir de cuatro años y medio, y tropezó con la complejidad de las reglas del ajedrez para un niño de esa edad. Decidió buscar una manera de simplificar el juego y, lo que empezó como una simplificación, acabó convirtiéndose, el 20 de noviembre de 2002, en la presentación pública de un nuevo e interesante juego: Arimaa.   En esos casi cuatro años, Omar Syed diseñó un juego francamente muy sencillo de aprender (su hijo Aamir es quien lo explica en la página web oficial del juego: http://arimaa.com/arimaa/) pero, por explícita voluntad del diseñador, muy difícil de jugar por un ordenador.   En ese sentido, Syed cree que las técnicas usadas por los programas que juegan a ajedrez y ganan a los expertos humanos, no disponen de "inteligencia real". El ajedrez es un juego que depende mucho de las aperturas y de los finales (y, en eso, la base de datos de aperturas y finales de un ordenador siempre va a ser mucho más rica que la memoria de un humano) y, sobre todo, en el caso de los programas de ordenador, de la capacidad de proceso (fuerza bruta) para analizar millones de posiciones posibles (200.000.000 por segundo en el caso del Deep Blue que venció a Kasparov). Los humanos, con menor potencia de proceso o fuerza bruta, deben seleccionar sus movimientos de otra manera.   Arimaa vendría a ser un juego "anti-ordenador". Aunque puede jugarse con un tablero de ajedrez y tiene reglas muy sencillas, lo cierto es que la estructura de Arimaa y su riqueza combinatoria hacen polvo el procedimiento de "fuerza bruta" usado por los programas informáticos que juegan a ajedrez y vencen a los humanos. Tal como dice su creador, Arimaa es "el juego de la inteligencia real".   En Arimaa, se pueden usar las mismas piezas y tablero que en ajedrez, pero con un significado distinto y menos bélico. El rey se convierte en elefante, la reina en camello, las torres en caballos, los alfiles en perros, los caballos en gatos y los peones en conejitos. Todas las piezas se mueven igual (un único cuadro hacia adelante, atrás, a la derecha o la izquierda) con la excepción de los conejitos que no pueden retroceder. Una pieza puede empujar o tirar de otra pieza del contrario y las piezas pueden quedar congeladas (frozen) por la presencia en su vecindad de una pieza enemiga de mayor fuerza. También pueden desaparecer del tablero si caen en cuatro trampas situadas en las casillas c3, f3, c6 y f6, que se suelen marcar con una moneda en el tablero de ajedrez. Gana el juego quien logra llevar uno de sus conejos al otro extremo del tablero.   Para evitar la ventaja de los ordenadores con las bases de datos de aperturas, las dieciséis piezas de cada bando (de colores "oro y plata" en lugar del clásico "blancas y negras") pueden situarse al principio de la partida a voluntad del jugador pero siempre en las dos primeras filas de su campo de juego. Parecido al ajedrez pero variable, aún cuando la estrategia de Arimaa sugiere poner delante las piezas más fuertes y no los conejitos. El movimiento de cada turno (empieza el jugador con piezas oro) consta de cuatro pasos, que pueden ser dados por la misma o distintas piezas, lo que aumenta terriblemente la combinatoria posible y destroza la posibilidad del uso de la simple "fuerza bruta" de los programas informáticos que juegan a ajedrez.   El diseño de Arimaa impide el recurso a bases de datos de aperturas. La potencia de la fuerza bruta de análisis de posiciones y movimientos que se ve casi doblada en los programas de ajedrez por la llamada poda alfa-beta (alpha-beta pruning) resulta inútil en Arimaa por sus movimientos de cada turno en cuatro pasos y su media de casi 20.000 posibles movimientos en cada caso lo que, por ejemplo, supondría analizar 160 billones de posiciones para una profundidad de sólo 2 turnos (las 200.000.000 posiciones analizadas por segundo por Deep Blue le permitían una profundidad de análisis de 12 turnos en el ajedrez clásico...). Por otra parte, en Arimaa los finales con pocas piezas no son frecuentes y la base de datos de finales tampoco resulta útil.   O sea que, si está usted molesto por perder tantas veces al ajedrez contra un programa informático puede pasarse a Arimaa. Las reglas son sencillas y se aprenden enseguida, el juego es interesante y, como ocurre con el go o el bridge, los programas de ordenador todavía no ganan a los humanos. ¿Qué más se puede pedir?   El último reto: ULTIMA   Y, para finalizar, les hablaré (sólo un poquito...) del uno de los juegos más curiosos que ha creado Robert Abbott. Se trata de Ultima (inicialmente llamado Baroque Chess) que usa el tablero y las piezas de ajedrez pero con un sistema de captura de piezas diferente.   En el ajedrez, las piezas tienen movimientos diferentes, pero cada pieza captura a otra de la misma manera, por sustitución, ocupando su lugar en el tablero y eliminando a la pieza enemiga capturada del tablero. Pero ese sistema de captura, como bien sabe un estudioso de los juegos como Abbott, es una aparición reciente en la historia de los juegos. Hay otros sistemas de captura y en Ultima, sólo el Rey captura por sustitución, mientras que el resto de las piezas. Pero, por ejemplo, los peones capturan "por intercepción" y hay piezas como el inmovilizador (una de las torres marcada de alguna manera) que hace eso: "inmovilizar" a otras piezas.   El juego tiene piezas que se mueves de manera diferente, pero que también capturan de manera diferente Excepto el rey, hay algunos cambios de nombre: inmovilizador (una torre marcada), coordinador (la otra torre sin marcar), saltadores (los caballos), camaleones (los alfiles) y el fugitivo (la reina). A grandes rasgos podríamos decir que todos se mueven como su equivalente en el ajedrez pero capturan, cada uno, de manera diferente.   Evidentemente ello supone una complejidad real y jugar a Ultima no resulta lo más sencillo del mundo. Abbot reconoce que la cosa es complicada, pero insiste en que tras dos o tres partidas es fácil ver de qué va la cosa. Yo añado que desentrañar la estrategia adecuada suele costar un poco más...   De cara al verano, con tiempo por delante, es algo que se puede probar. Les sugiero el libro de Abbott (o la página web http://www.chessvariants.org/other.dir/ultima.html) para conocer las reglas a fondo e intentarlo. Suele ser divertido.   Retorno a la ficción   Para empezar a volver a la ficción (en agosto volveré a hablar de ciencia ficción, prometido), les recomiendo, ya que hablamos de ajedrez, la novela LAS CASILLAS DE LA CIUDAD (1965 - The Squares of the City) del británico John Brunner que narra un enfrentamiento de poderes en la Ciudad de Vados.   Al igual que en el relato Jaque Doble de Lino Aldani del que les hablaba en el mes de abril, la trama y la estructura de la narración se basa en una partida, esta vez real. Es la partida que jugaron Steinitz y Tchigorin en La Habana en 1892 que se halla reproducida y comentada en diversos sitios (por ejemplo, en el manual de H. Golombek titulado The Game of Chess, publicado por Penguin).   Para leer: Ensayo - DIEZ JUEGOS QUE NO SE PARECEN A NADA, Robert Abbott, Barcelona, RBA, 2008. Ficción - LOS ESCAQUES DE LA CIUDAD (1965 - The Squares of the City), John Brunner, Barcelona, Martínez Roca, GranSuperFicción, 1992. Para conocer y jugar al Arimaa: http://arimaa.com/arimaa/ Para conocer el Ultima: http://www.chessvariants.org/other.dir/ultima.html

Miércoles, 08 de Julio de 2009 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

888. 13. (Septiembre 2009) Topología Musical (2)

Mazzola En 1989 el matemático suizo Guerino Mazzola publica "Geometría del Tono" que aplica los grupos de isometría, la teoría de Galois sobre conceptos -en vez de sobre polinomios algebraicos- y el álgebra categórica al análisis musical.     Topos   En 2002, Mazzola publica una profunda y mejorada ampliación de ese trabajo, bajo el título “The Topos of Music”. Este título tiene doble sentido. Por una parte, se puede traducir de forma general como “El lugar de la música”. Pero admite otro sentido mucho más concreto. Los “Topos” son objetos matemáticos (un tipo particular de Categoría) que vienen a reflejar las posibles visiones o perspectivas de un lugar abstracto a partir de las propiedades o relaciones matemáticas necesarias para su coherencia lógica.   Intuitivamente, en la Teoría de Categorías se usan flechas en vez de puntos, es decir, los objetos no son entes estáticos, sino el cúmulo de todas las posibles visiones o perspectivas en un lugar (topos) dado. Dicho de otra forma, se priman “las relaciones entre los objetos individuales” que conserven la estructura, más que los propios objetos en sí.   The Topos of Music   En esta obra de Mazzola se puede observar el gran progreso de las Matemáticas, la Teoría de la Música y el desarrollo de las Nuevas Tecnologías en la última década del siglo XX.     Mazzola crea una base, basada en los fundamentos teóricos de los Topos, que permite establecer relaciones lógicas y geométricas entre los objetos básicos de la Teoría Musical. Esta base incluye el análisis del ritmo, la melodía y la armonía.   A partir de esa base teórica, Mazzola puede establecer topologías y clasificaciones de los objetos musicales, analizando sus relaciones dentro de ese Topos. Un punto clave en esas relaciones, como no podía ser de otro modo, reside en la presencia de la periodicidad como uno de los fundamentos musicales. La aritmética modular tiene un importante papel en muchas de las relaciones rítmicas, melódicas y armónicas.   Dado el amplio abanico de recursos matemáticos necesarios para establecer el Topos que permita el estudio de los objetos musicales, en la propia obra se incorporan anexos sobre las teorías de Conjuntos, Correspondencias, Monoides, Grupos, Anillos, Álgebras, Módulos, Transformaciones lineales y afines, Cálculo, Geometría y Topología algebraica, Categorías, Topos y Lógica.     Igualmente, otro anexo recoge los fundamentos de la naturaleza y análisis del Sonido y nuestra Percepción del mismo, mostrando especial interés por los modelos de consonancia y la disonancia.     Intentar sintetizar aquí esta extensa obra de Mazzola es inviable. La publicación cuenta con más de 1300 páginas cuajadas de densa información, además de un CD con ejemplos del uso de programas informáticos creados específicamente para el análisis musical. Nos limitaremos a describir brevemente algunas de las imágenes que ilustran The Topos of Music, con la esperanza de que tal vez, casi por sí mismas, comuniquen algunas de las líneas de investigación que allí aparecen.   Conjuntos y representaciones   Así, la siguiente imagen representa el primer paso hacia la digitalización, la asignación de coordenadas a los distintos aspectos de una nota musical.     Junto con los conjuntos numéricos, para una correcta trascripción se necesita incorporar uno o más tipos de orden, como el que muestra la siguiente imagen, que representa un orden de tipo lineal.     Además de las notaciones formales, podemos ayudarnos de notaciones más intuitivas, como por ejemplo flechas para indicar transformaciones. Por ejemplo, el aumento o disminución de un semitono (sostenido y bemol) puede ser representado mediante la flecha correspondiente.     Distancias   En la siguiente imagen vemos una proyección de un compás de un Preludio de Chopin sobre el plano y sus dos proyecciones unidimensionales asociadas. El análisis de estas dos proyecciones revela los aspectos métrico-rítmicos de la notación plana.     Las diferencias relativas entre notas son claves en la armonía (notas simultáneas) y la melodía (notas consecutivas). La siguiente imagen muestra las cuatro soluciones para las cuales, a partir de una nota de referencia, la segunda se sitúa a cuatro semitonos de distancia y la tercera a tres de la segunda.     Escalas   La periodicidad de los 12 semitonos permite establecer la relación con Z12.  De esta forma, se pueden parametrizar las distintas transformaciones de Z12 en sí mismo.     Por ejemplo, podemos establecer las diferentes escalas basadas en secuencias de tonos y semitonos. La siguiente imagen recoge algunas de las escalas más comunes, donde la nota base está representada por el punto más alto del ciclo y las demás notas siguen el sentido horario.     Motivos   Las notas, individualmente, son como los puntos en una figura geométrica: no se perciben como tales sino que generan figuras, formas, agrupaciones, que son los objetos reales de estudio y composición. Las agrupaciones más pequeñas forman los motivos. En la siguiente imagen se señalan tres motivos (M1, M2 y M3) y una agrupación que no lo es, M0 (sólo son cuatro notas formando un armónico). La reducción de los parámetros implicados en cada motivo -algo así como quedarse con el baricentro de un triángulo en vez de con todo el triángulo- es una vía para poder comparar diferentes distribuciones de motivos a lo largo de una misma obra o entre obras distintas.     Simetrías   En la parte izquierda de la siguiente imagen vemos la representación de dos inversiones. La primera, sin centro fijo, es decir, entre notas. La segunda, con centro fijo. En la parte derecha vemos la representación de una inversión en el plano como un giro de 180º (una simetría central).     La siguiente representación plana corresponde a tres series dodecafónicas de Webern. Recordemos que en el serialismo la presencia de la simetría es parte de su propio fundamento teórico. Observemos como las diagonales hacen de ejes de simetría.     El lema de Yoneda   Uno de los puntos cruciales en The Topos of Music es el lema de Yoneda. Este importante resultado viene a mostrar cómo podemos ampliar el conocimiento de una Categoría estableciendo una correspondencia entre sus objetos y las relaciones entre ellos.   Tras el lema de Yoneda hay un cambio de filosofía en el entendimiento de los núcleos de información. Ya no son los objetos los centros de atención, sino las diferentes perspectivas que podemos obtener de ellos. La comparación entre las distintas perspectivas de dos objetos nos ofrece, precisamente, la información deseada acerca del parecido o diferencia entre ambos objetos.   Los dos siguientes diagramas muestran un ejemplo intuitivo de este procedimiento. Aunque los motivos M1 y M2 son diferentes, podemos establecer una biyección entre las relaciones que mantienen ambos motivos (flechas) con otras notas fundamentales de la composición. La existencia de esta biyección nos indica que tales motivos pueden cumplir un papel similar en la composición, pero si hacemos solamente esto (sustituir cada motivo por sus relaciones) podemos llegar a la errónea conclusión de que ambos motivos son similares.     Sin embargo, si seguimos estudiando todas las perspectivas, es decir, todos los tipos de relación de ambos motivos entre sí y con los otros objetos, la diferente naturaleza de cada uno queda revelada.     La composición de las proyecciones de M1 sobre la altura de la primera nota (q) y sobre la diagonal (s) da por resultado precisamente M2. Así que, intuitivamente, podemos ver a M2 como una transformación de M1. Pero esta transformación es irreversible. M1 “puede ver” a M2 pero M2 no “puede ver” a M1.   Un buen ejemplo de cómo el cambio de perspectiva ayuda al conocimiento lo tenemos en la pintura. La siguiente imagen muestra el famoso cuadro La escuela de Atenas, de Rafael.     Tomemos los elementos arquitectónicos esenciales, además de 58 figuras humanas, y simulemos en el espacio virtual del ordenador la estructura básica del cuadro:     Ahora rotamos el espacio virtual obteniendo una nueva perspectiva. Su análisis muestra simetrías que no podían encontrarse bajo la perspectiva del cuadro original.     Programación orientada a objetos   Los modernos lenguajes de programación orientada a objetos, como Java, son en esencia un acceso a la programación desde un punto de vista de Categorías. Sus características, como el encapsulado, las herencias, los métodos, clases e instancias, realizan precisamente lo que sugiere el lema de Yoneda: reemplazar las entidades por la respuesta ante determinadas condiciones, es decir, la identificación mediante el comportamiento.     Probablemente el más excitante campo actual de investigación en la música se refiere a su análisis mediante las más avanzadas aplicaciones de software orientado a objetos, como Rubato, OpenMusic o Symbolic Composer (imagen anterior).   Gracias a Mazzola y otros matemáticos hoy podemos disfrutar de estas poderosas herramientas de composición y análisis musical, modernos frutos de importantes teoremas algebraicos.

Martes, 15 de Septiembre de 2009 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

889. 44. (Julio 2009) CONCURSO DEL VERANO 2009

Nobel y Matemáticas. 1.- El Nobel de Economía lo han ganado muchísimos matemáticos, pero... ¿qué ocurre con el Nobel de Literatura? a) ¿Ganó algún matemático este premio? b) ¿Cuántos matemáticos que lo ganaron puede mencionar? Ajedrez, Matemática y Literatura 2.- En muchas novelas se menciona el ajedrez, pero pocas veces una partida real, o una posición aparece en medio de la historia. a) ¿Conoce una novela donde se analice una posición de ajedrez, mostrando la ubicación de las piezas, y discutiendo las posibles movidas? b) ¿Conoce una novela donde se analice una posición de ajedrez y sea parte de la trama un matemático (real)? c) ¿Cuántos ajedrecistas profesionales que también sean (o fueron) matemáticos puede mencionar? Acomodando Letras 3.- En una cuadrícula (rectangular) ubique las letras que desee, y forme nombres de escritores y matemáticos conectando letras vecinas entre sí (valen diagonales, pero no repetirlas en la misma palabra). El objetivo es obtener la mayor 'densidad' posible, medida como nombres obtenidos/letras utilizadas Por ejemplo, en la siguiente grilla de 4x4, se pueden leer Borges (a2-b2-c2-c1-b1-a1), Erdos (b1-c2-c3-b2-a1), Poe (a3-b2-b1) y Ramanujan (c2-b3-a4-b4-c4-d4-d3-d2-d1), con lo cual su densidad es 4/4x4 = 0,25. 4 M A N U 3 P A D J 2 B O R A 1 S E G N   a b c d     [Las soluciones deben ser enviadas a jpinasco@gmail.com]

Lunes, 06 de Julio de 2009 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

890. 32. CONCURSO DEL VERANO 2009

La Pirámide de Keops   La pirámide de Keops, construida en el año 2570 A.C., es una de las maravillas de la antigüedad, y constituye un símbolo de Egipto. Sus dimensiones guardan cierta relación con el número de oro y con el número π. Datos más concretos sobre sus medidas y proporciones se pueden encontrar, por ejemplo, en la sección 7 de [1]. El reto de este verano consiste en diseñar una versión papirofléxica de la pirámide de Keops. Se valorará, además de la calidad papirofléxica del modelo, la fidelidad a las proporciones de dicha pirámide. Los diagramas deben ir acompañados de una pequeña justificación sobre este aspecto matemático del diseño. Este problema admite muchas soluciones papirofléxicas de distintos tipos, así que animaos a investigar doblando papel. Podéis enviarnos vuestras soluciones a la dirección papiroflexiamates@gmail.com hasta el final del verano (21 de septiembre). Los participantes aceptan que DivulgaMAT pueda publicar las soluciones, independientemente del fallo del concurso. El premio del concurso consiste en el libro “El rostro humano de las matemáticas”. ¡Mucha suerte! ¡Esperamos tu pirámide! [1] “Matemáticas en el antiguo Egipto”, Ainhoa Berciano Alcaraz

Miércoles, 01 de Julio de 2009 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico