871. 35. (Febrero 2010) L’Ile Logique. Cuando el absurdo y el rigor se codean...

L’Ile Logique –la Isla Lógica– es una compañía teatral francesa que propone espectáculos, payasos, animaciones, canciones, pasacalles, conferencias lúdicas y películas de carácter científico para todas las edades. Toda la información recogida en este artículo está extraída de su página web: http://ilelogique.fr. Logotipo de L’île logique. “Por el espíritu crítico” El objetivo de L’Ile Logique es utilizar el absurdo para afinar el sentido crítico, inculcar el gusto por el razonamiento y por el método científico, despertar la curiosidad, desatar el interés por las ciencias fundamentales y abstractas, y todo ello a través medios teatrales burlescos. Sus diferentes propuestas abordan las matemáticas, la lógica, la física teórica y el pensamiento crítico, pero también el medio ambiente, la historia de las ciencias, la literatura, la filosofía y las artes en general. A través de la comedia, de canciones pedagógicas, de experiencias científicas y del arte en general (teatro, música, malabarismos, etc.), L’Ile Logique utiliza el absurdo y su innegable ventaja de incitar al espectador a comprender por sí mismo todo, dejando un amplio lugar al humor y la imaginación. L’Ile Logique cuenta con el apoyo de la Ecole Polytechnique, el CNRS, el Conseil Général du Morbihan, el Conseil Régional de Bretagne, y de numerosos investigadores y docentes. Según afirman ellos mismos en la presentación de su trabajo, el método científico (lógica, matemáticas, física teórica y fundamental) es interdisciplinar: filosofía, literatura, historia, ecología, medio ambiente, artes, etc. Esta transversalidad es, para ellos, un medio indispensable para promover vocaciones científicas, en particular entre los jóvenes, y sobre todo para acercar al público en general los principios de la ciencia. En efecto, paradójicamente, la ciencia parece cada vez menos abordable por cada uno de nosotros, inaccesible al no iniciado, mientras que llena cada vez más nuestra realidad cotidiana. Las propuestas de L’Ile Logique son las siguientes: 1. Obras de teatro 1.1 L'île logique : partons ici même ... (L'île logique: comencemos aquí mismo...) Se trata de una pieza en dos actos de carácter científico, ambientada en una ciudad donde es preciso pagar por el aire que se respira. Cétexact y su nieto Tatoubon viven en una modesta casa de dos piezas, y no tienen dinero con el que pagar el aire, por lo que deciden irse. Tatoubon tiene una idea: como la Tierra es redonda y gira, basta con saltar mientras se realiza el giro, y necesariamente debe caerse en otro lugar. Entre las infructuosas tentativas, las explicaciones científicas de Cétexact y la aparición del Gobierno Mundial de Comerciantes (GMC) para eliminar el contador de aire, los héroes sueñan con ver animales, oler flores e ir a L'île logique. Cétexact y Tatoubon son prisioneros del GMC, en un universo loco donde la velocidad del tiempo varía, donde cuando se sale se permanece aún dentro y donde el doble personaje Padame-Espritor les tortura con enigmas para resolver (ciencias, matemáticas, lógica,...). Si consiguen descifrarlos todos, podrán partir hacia L'île logique... La obra trata de sensibilizar a los niños en el razonamiento, en el método y la cultura científicas a través de un espectáculo divertido. El contenido del espectáculo puede además integrarse en un curso (pueden consultarse su contenido pedagógico y científico). 1.2. Pilouface, quand les clowns tombent sur la tranche... (Pilouface, cuando los payasos caen de cabeza...) Es un espectáculo de payasos científicos montado en colaboración con Bertil Sylvander del Bataclown. Pilouface viene de L'île logique, donde todo está del revés y el fracaso se relativiza. 2. Animaciones En el marco de un carnaval, de una fiesta, de una animación callejera, etc. L'Ile logique propone pasacalles con una máquina loca y sainetes (teatro, canciones, experiencias científicas, malabarismos, artificios, enigmas,...). Un ejemplo es la animación que debía explicar los principios del efecto láser y los objetivos del proyecto ELI (Extreme Light Infrastructure, proyecto europeo de realización del láser más potente del mundo, con la Ecole Polytechnique, el CNRS, el Ensta...). Esta obra se ha representado nueve veces en la Ville Européenne des Sciences organizada por el Ministère de la Recherche en el Grand Palais de París los días 14, 15 y 16 de noviembre de 2008. Animaciones en la Ville Européenne des Sciences 3. Actividades Los componentes de L'Ile logique acuden a una clase u otro foro para abordar un tema científico elegido con anterioridad, de manera original y lúdica. Estas actividades pueden encuadrarse en el marco de un proyecto pedagógico elaborado con una institución. La interdisciplinaridad es junto a la divulgación, uno de los principales objetivos de L'Ile logique.  Como ejemplos de módulos disponibles, se tienen: Tierra-Luna-Sol, el sistema solar en tres dimensiones: la rotación de la tierra, el día y la noche, las estaciones, la brújula, la Luna, los planetas, las estrellas, la Galaxia,... Los laberintos de la lógica: lenguaje, verdad, relatividad, razonamientos, conectores proposicionales, recíproca, contrapuesta, el absurdo, el argumento diagonal,... El agua, el aire, la materia en todos sus estados: materialidad del aire, los tres estados de la materia, las magnitudes físicas (temperatura, masa, longitud, superficie, volumen, duración, energía...) El medio ambiente: proteger la Tierra: el ciclo del agua natural y doméstica, el reciclaje, evitar la polución, el circuito de consumo, ser consumidor-actor. Geometría, proporciones, cálculos y razonamiento matemático: figuras geométricas usuales y propiedades, proporcionalidad, puesta en marcha de razonamientos. Historia de las ciencias: de Arquímedes a Einstein, los descubridores y sus descubrimientos. El nacimiento de una idea, el azar de algunos descubrimientos. El proyecto de L'Ile logique nació con idea original de Cédric Aubouy, realizándose el primer espectáculo en 2006. Los actores son: Cédric Aubouy, responsable, autor e iniciador del proyecto, es titular de un Diplôme d'études approfondies en lógica matemática (Jussieu, París VII), ha enseñado durante más de 10 años (matemáticas y física). Es autor-compositor-intérprete (Duo du Ciel); autor, cantante, actor y organizador de la tropa de Les pirates du Golfe (abordajes musicales) y malabarista. Se formó como payaso en 2009 con Bataclown. Se dedica por completo a la divulgación científica teórica por medio del espectáculo y la música, así como a la defensa del pensamiento crítico. Participa en todas las propuestas presentadas. Olivier Delomosne es autor, compositor e intérpete. Es actor y cantante en Les pirates du Golfe. Hace el papel de Tatoubon en L'île logique : partons ici même ... Olivier Graveleau es artista pintor plástico, decorador de espectáculos, realiza los decorados de las representaciones y toda la parte visual. Músico y actor en Les pirates du Golfe, tiene una gran experiencia en animación. Hace todos los papeles del GMC en L'île logique : partons ici même ... David Latini es actor, payaso desde hace muchos años y en numerosas compañías (ver su cv en la web de d'Abriko le clown). Realiza el espectáculo de  Los payasos científicos. L'Ile logique tiene además dos proyectos en marcha: 1. L'île logique de... (La isla lógica de...) En un ambiente esquizofrénico, donde se paga por el aire, la cuestión de la identidad y de la ubicuidad son el hilo conductor de esta obra. Se preve que esté en marcha en el primer semestre de 2010. Realizada sobre un soporte teatral, musical y experimental, este espectáculo tratará de lógica, análisis, relatividad, cinemática, números complejos, sucesiones y recurrencia, historia de la ciencia, medio ambiente y filosofía. 2. Serie de ciencia ficción televisada de divulgación científica Este proyecto se distingue de las emisiones actuales de divulgación científica en dos puntos: aborda la ciencia abstracta –es decir, más bien el porqué y el cómo–, pretende dar gusto al razonamiento y al método científico y sobre todo, es una ficción –que sucede en un mundo en donde se paga por el agua–, y utilizará a dos actores cuyos personajes vivirán diversas aventuras, sin necesidad de presentador.   Para completar toda esta información, tanto desde el punto de vista científico como artístico, pueden consultarse los siguientes enlaces: http://ilelogique.fr Todos los espectáculos ofertados Videos y música de los espectáculos Fichas técnicas de todas las propuestas La obra L'île logique : partons ici même ... La obra Pilouface, quand les clowns tombent sur la tranche...

Lunes, 01 de Febrero de 2010 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

872. 46. Julia Robinson y el H10

Si el 2009 lo terminábamos con Hipatia de Alejandría, el nuevo, 2·3·5·67, producto de primos sin multiplicidad, lo comenzamos recordando a otra mujer poco conocida en nuestro país, protagonista de un interesantísimo documental  Será el primero que traeremos a esta sección en los que se ha especializado el alemán George Paul Csicsery. Al hilo del mismo, se hacen al final algunas reivindicaciones. Es probable que casi todos reconozcáis al señor de la foto de la derecha. En efecto es David Hilbert, universalmente conocido por lanzar el miércoles 8 de agosto de 1900, en el segundo Congreso Internacional de Matemáticos (ICM) de París, el reto de proponer a la Comunidad Matemática Mundial una lista de diez problemas matemáticos no resueltos, aventurando que serían los que marcarían la evolución de las Matemáticas a lo largo de todo el siglo XX. Posteriormente publicó una lista de veintitrés (se ha sabido recientemente que originalmente eran veinticuatro, pero finalmente decidió prescindir de uno de ellos). Uno de ellos, el problema décimo, que en lo sucesivo denominaremos H10, ha motivado la producción de una película estrenada en Estados Unidos en enero de 2008, Julia Robinson and Hilbert's Tenth Problem (su traducción al castellano no ofrece lugar a dudas: Julia Robinson y el décimo problema de Hilbert). Explicaremos en esta reseña quien fue Julia Robinson y en que consiste el H10, además de hacer un pequeño análisis de la película. El décimo problema de la lista de Hilbert (H10) Sin entrar en demasiados tecnicismos, el H10 planteaba encontrar un algoritmo que determinara, en un número finito de pasos, cuando una ecuación polinómica dada, con coeficientes enteros, tiene solución también entera (Esto se conoce matemáticamente como encontrar la solución de la ecuación diofántica, nombre dado en honor al matemático griego Diofanto que fue de los primeros en estudiar este tipo de cuestiones). Es uno de los problemas planteados por Hilbert que ha sido resuelto. En 1970 Yuri Matiyasévich culminó más de veinte años de trabajo de varios matemáticos, entre ellos Martin Davis, Julia Robinson y Hilary Putnam, con una respuesta negativa a tal cuestión: ningún algoritmo puede ser capaz de determinar la resolubilidad de una ecuación diofántica cualquiera. Para llegar a ese resultado se desarrollaron conceptos y resultados de gran interés dentro de la teoría de números y de la lógica matemática. El documental abarca varios aspectos: un homenaje a Julia Robinson, la exposición del H10 y sus implicaciones en la computación, un recorrido a través de las ideas de grandes matemáticos (Hilbert, Tarski, Turing, Gödel) y un intento de incentivar a las jóvenes norteamericanas en el estudio de carreras científicas. Como suele ser habitual en este tipo de productos, se cuenta con el testimonio de un nutrido grupo de relevantes especialistas en diferentes campos. Un aspecto diferenciador en esta ocasión es que no es un documental autocomplaciente con el personaje sino que no se duda en ningún momento en plantear y proponer aspectos “más delicados” a sus protagonistas. Julia Bowman Robinson (1919-1985) Julia Robinson (la fotografía de la derecha es de 1941) es una pionera entre las matemáticas norteamericanas por varias razones: obviamente por destacar en un campo complejo en el que era la única mujer (y por mucho que queramos engañarnos con lo contrario, una mujer tiene, incluso hoy, que destacar mucho para ser tenida en cuenta; pensemos en los años cincuenta y sesenta del siglo pasado), por haber sido elegida para representar la sección matemática de la Academia Nacional de Ciencias estadounidense (1976), y por ser la primera mujer en presidir la prestigiosa American Mathematical Society (AMS, Sociedad Matemática Americana). Además sus trabajos tuvieron lugar en una de las épocas más conflictivas entre rusos y norteamericanos de la Guerra Fría, lo que no obstante produjo un inusual hermanamiento  y una gran amistad entre colegas de ambos países. Se recuerda la infancia de Robinson a través de las magníficas fotografías familiares en blanco y negro de su padre, Ralph Bowman, y algunas escenas filmadas en la actualidad por su hermana Constance Reid de San Diego. Las localizaciones incluyen sus primeros años en el desierto de Phoenix, Arizona, la casa de Punto Loma donde Robinson padeció la enfermedad que cambió su vida y marcó drásticamente su carrera matemática. Siguieron una serie de enfermedades infantiles que la mantuvieron apartada de la escuela durante los primeros años de adolescencia, Julia desarrolló una temprana fascinación por los números. Esto la lleva a matricularse en el Instituto de San Diego. Una de las cuestiones que plantea el guión de la película y se traslada a sus protagonistas es si la enfermedad y el aislamiento favorecieron el que se convirtiera en la única chica destacada en matemáticas, y por ende, a  hacerla diferente para siempre. Durante aquellos años treinta, Julia fue claramente una excepción. Las chicas en los Estados Unidos no solían embarcarse en estudios de carácter científico. “¿Qué vamos a hacer con una chica como ésta?” se lamentaba su madrastra sobre el infatigable interés de Julia por las ciencias y las matemáticas. Es una anécdota que a Constance le gusta recalcar, por ejemplo en la ceremonia de graduación del Instituto de San Diego a la que fue invitada en 1999. Durante toda la película, la presencia de Reid se constituye en un eco de la propia Julia Robinson, describiendo las decisiones, sentimientos y motivaciones de Julia, según se las confió a su hermana en una autobiografía que le dictó antes de morir. Obviamente, la colección de documentos y fotografías originales aportadas por  Reid enriquecen la película de un modo extraordinario. En 1939 Julia Robinson se traslada del Instituto de San Diego a la Universidad de California en Berkeley, centro que sería clave en la dirección que tomaría en su posterior trabajo. A los 22 años contrajo matrimonio con uno de sus profesores, el matemático Raphael Robinson (1911-1995). En la fotografía el matrimonio en una instantánea tomada en Palo Alto en 1962. Cuando ella cayó en una profunda depresión al conocer que concebir hijos sería un grave riesgo para ella debido al daño irreversible que le produjo al corazón la fiebre reumática que padeció siendo niña, Raphael recuerda que ella intentaba no desesperarse diciendo, “aún están las matemáticas”. Julia tuvo la fortuna de estudiar y trabajar entre algunos de los más destacados refugiados europeos que escaparon de los nazis, entre ellos Alfred Tarski, una figura esencial en las matemáticas y la lógica. Alfred Tarski (1902-1983) formó parte de la importante escuela polaca de lógica y filosofía hasta 1939, en que se estableció en Estados Unidos de América; la emigración le salvó de la suerte de la mayor parte de su familia, de origen judío,  que pereció bajo la ocupación nazi de Polonia. Desde Estados Unidos, donde vivió y enseñó hasta su fallecimiento, influyó en toda la investigación lógica posterior a la Segunda Guerra Mundial realizando aportaciones destacadas en teoría de conjuntos, lógica polivalente, niveles de lenguaje y metalenguaje y conceptos semánticos. En 1948 Julia logró su doctorado precisamente bajo la dirección de Tarski. Su tesis trataba sobre la resolubilidad e irresolubilidad en los problemas matemáticos. Fue Tarski el primero que captó su atención hacia el H10. Robinson escribió: “el problema ha ocupado la porción más grande de mi carrera profesional. Fue Tarski hablando a Raphael quien me puso en camino. Tarski se preguntaba si se podría probar que las potencias de dos no pueden darse como solución de una ecuación diofántica. Raphael me comentó el problema al llegar a casa, y yo comencé a pensar y trabajar sobre ello sin decir nada a Tarski”. En la costa este, los matemáticos Martin Davis y Hilary Putnam también se obsesionaron con el H10 a la vez que Julia Robinson. En las entrevistas realizadas para el documental, Martin Davis describe con detalle su temprano interés en el problema y su excitante colaboración con Hilary Putnam: “Para mi, el mejor momento del verano de 1954 que pasé en la escuela Moore, fue conocer a Hilary Putnam, que vivía en la misma urbanización de casas prefabricadas para graduados que yo”. Los tres fueron seducidos por el H10 en un momento muy temprano de sus carreras. Según comenta Constance Reid en el documental Julia le dijo en una ocasión que “(el problema) no podía dejarnos escapar”. Fue tanta su dedicación al mismo “que no querría morir sin conocer la respuesta, aunque fuera otra persona la que resolviera la cuestión”. Al corriente de un rumor sobre que un joven matemático ruso (nacido en 1947), Yuri Matiyasévich, había resuelto el problema, Julia le escribe una carta el 27 de Febrero de 1970. El propio Yuri presenta y lee en el documental la respuesta que le envió el 17 de marzo felicitándola por su gran contribución en la solución del H10 y su extensión al problema, reconociendo que suya debería ser la victoria sobre el H10. Desde entonces, primero por carta y luego personalmente, ambos trabajaron juntos (en la foto Julia y Yuri a principios de los años setenta). Tratamiento y Estilo Vemos algunas fotografías de Julia Robinson a los tres años agachándose bajo un gigantesco cactus del desierto de Arizona. Una mirada detallada a las imágenes revela que se encuentra alineando piedrecitas en filas bien ordenadas, creando secuencias de números. Ese momento es recreado para la película y remarcado por su hermana Constance Reid, la persona que mejor podía sustituirla. La secuencia inicial muestra una serie de testimonios de eminentes personalidades de la matemática y otros colaboradores elogiando las capacidades de Julia como investigadora y su posterior esfuerzo como modelo para las nuevas generaciones de matemáticas americanas. Una persona esencial en este aspecto es Lenore Blum, profesora de Carnegie-Mellon, matemática que también ha escrito sobre Julia Robinson y su trabajo. Blum sugiere en sus intervenciones algunos temas importantes relacionadas con los esfuerzos de las mujeres americanas en las matemáticas. Una de estas cuestiones es si Julia sufrió o no discriminación por ser mujer en un campo y un tiempo monopolizado por hombres. En este tipo de asuntos se exponen hechos y testimonios contradictorios dependiendo de la fuente de información. Por ejemplo: 1.- ¿Se le impidió a Julia obtener una plaza en posesión hasta que tuvo una cierta edad en el Departamento de Matemáticas de la Universidad de California, Berkeley, por su  discriminación a las mujeres? 2.- ¿Fue necesaria la liberación de responsabilidades docentes para poder trabajar en lo que realmente le interesaba? ¿Está la investigación por encima de la enseñanza? Tras la polémica que pueden suscitar algunos comentarios al respecto, la película retoma el tema principal; el interés de Julia en la resolución de problemas y en su obsesión de décadas con el H10. A través de las imágenes, conoceremos los trabajos y contribuciones personales de cada uno de los tres matemáticos vivos involucrados en su resolución. En la fotografía, Martin Davis, Julia Robinson y Yuri Matiyasevich en 1982 en Calgary. El matemático Steve Givant explica el H10. Este problema requiere tanto explicaciones verbales como gráficas de algunas ideas matemáticas clave como por ejemplo las ecuaciones diofánticas. Dichas explicaciones se realizan al estilo de una explicación de aula entre los matemáticos Steve Givant, Bjorn Poonen, y Kirsten Eisenträger. También se incluye una escena animada de una máquina de Turing diseñada por Andrea Hale. La creencia de Hilbert de que debería existir una teoría unificada de las matemáticas que podría ser descubierta pieza a pieza es comentada por los matemáticos que explican porqué el H10, un problema con un enunciado tan sencillo de comprender, conllevaba un irresistible interés para Julia Robinson y el resto de personas que trabajaron en él. Estas razones se discuten en relación con el desarrollo de la computabilidad lo que requiere ciertas explicaciones de los conceptos de solubilidad e irresolubilidad. Las propias declaraciones de Robinson, tomadas de periódicos de la época, discursos, cartas y de su autobiografía, Julia, una vida para las matemáticas, dictada a su hermana Constance antes de su muerte en 1985, son recreadas por una actriz que nunca se ve en la película y narradas por la matemática y actriz Danica McKellar. Entre las personalidades (Matemáticos e Historiadores) que participan en el documental nos encontramos: 1.- CONSTANCE BOWMAN REID, hermana mayor de la protagonista del documental Julia Robinson. A partir de 1953, en que escribió un artículo sobre números perfectos para la revista Scientific American (la versión en castellano es Investigación y Ciencia), Constance Reid se ha dedicado a la divulgación de las matemáticas en libros como Introduction to Higher Mathematics: For the General Reader (1959) y A long way from Euclid (1963, reeditado en 2004 por Dover). Es considerada toda una autoridad en biografías de matemáticos. Entre otras ha escrito las de David Hilbert (Hilbert, 1996, reedición del libro de 1970), Richard Courant (Courant in Göttingen and New York. The story of an improbable mathematician, 1996, reedición del libro de 1976), Jerzy Neyman (Neyman, 1982, reeditado por Springer-Verlag en 1998), Eric Temple Bell (The Search for E. T. Bell : Also Known as John Taine, 1993) y la de su propia hermana, Julia Robinson (Julia. A life in mathematics, 1996). En castellano se ha editado en Méjico Del Cero al Infinito. Porqué son interesantes los números (From zero to infinity. What makes numbers interesting, 2006). Por esta labor de divulgación ha conseguido varios galardones, entre ellos los premios Beckenbach y Pólya, que otorga la Mathematical Association of America, a pesar de no ser matemática de profesión. Su testimonio articula todo el documental y es la fuente principal de información biográfica e histórica. Su participación y sus aportaciones de material fotográfico, biográfico y documental han sido indispensables. 2.- MARTIN DAVIS es una de las tres personas que trabajaron con Julia Robinson en la búsqueda de la solución al H10. Es asimismo conocido por su pionero trabajo en el campo de la deducción automática. Su libro Computability and Unsolvability ha sido calificado como “uno de los pocos clásicos de las ciencias de la computación”. 3.- HILARY PUTNAM, Profesor de la Universidad de Cogan, trabajó en el H10 con Martin Davis y Julia Robinson. Putnam escribió varios artículos junto con Julia Robinson y comparte con Martin Davis el trío “obsesionado” con la solución del H10. 4.- YURI MATIYASEVICH es el matemático que resolvió el décimo problema de Hilbert en 1970, trabajo que presentó como tesis doctoral en el LOMI (Departamento en Leningrado del Instituto Steklov de Matematicas). Previamente, en 1964 obtuvo una medalla de oro en la IMO celebrada en Moscú. Es doctor Honoris Causa por varias universidades. En la actualidad es Director del Laboratorio de Lógica Matemática del Instituto Steklov de Matemáticas en San Petersburgo, Director del Instituto Euler para las Matemáticas, y Profesor (en excedencia) del Computer Software en la Universidad de San Petersburgo en Rusia. Es obviamente uno de los personajes principales de la historia. Ha proporcionado material filmado y fotográfico inédito, entre el cual están las únicas imágenes filmadas conocidas de Julia Robinson. Siempre ha mostrado su agradecimiento hacia Julia Robinson (así lo reitera en el documental) por compartir sus investigaciones con él. En My Collaboration with Julia Robinson pueden leerse con bastante detalle las líneas generales de la demostración de la solución al H10. 5.- LENORE BLUM es sobradamente conocida por su trabajo en la formación de jóvenes y  mujeres en matemáticas, siendo Presidenta de la Asociación Women in Mathematics de 1975 a 1978, que ella misma fundó. Ha trabajado en Modelización, en Lógica y en Álgebra. Ha desarrollado también una teoría de computación y complejidad sobre los números reales. Es coautora de Complexity and Real Computation, junto a F. Cucker, M. Shub, S. Smale (1997). Actualmente trabaja en la Carnegie Mellon University. Lenore Blum ha calificado el trabajo de Julia Robinson como uno de los hitos más importantes en el significado del papel que la mujer ha desempeñado en el desarrollo de las matemáticas. 6.- KIRSTEN EISENTRÄGER es profesora adjunta de matemáticas en la Universidad del Estado de Pennsylvania. Su línea de investigación se enfoca a cuestiones de decidibilidad e indecidibilidad en teoría de números habiendo trabajado en la generalización del H10. 7.- STEVEN GIVANT es director del Departamento de Matematicas y Ciencias de la  Computación del Mills College. Ha trabajado con Alfred Tarski (uno de los profesores de Julia Robinson) en Lógica y Fundamentos de las Matemáticas. Se ha especializado en el diseño de programas y recursos para la motivación y preparación de mujeres para los estudios de ciencias matemáticas. Givant es un experto comunicador con una gran capacidad para hacer comprender a sus alumnos conceptos matemáticos complejos. Su amplio conocimiento de los protagonistas de esta historia y de las nociones matemáticas que involucra hacen de él la persona ideal para explicar verbalmente a la cámara todo ese material. 8.- ANITA BURDMAN FEFERMAN es autora de una biografía de Alfred Tarski. Sus investigaciones sobre Tarski, y los Robinson la convierten en un valioso testimonio sobre la perspectiva no matemática de estos personajes para la película. 9.- SOLOMON FEFERMAN es un experto en Lógica Matemática, en Fundamentos de la Matemática, en Ciencias Teóricas de la Computación, Filosofía de las Matemáticas e Historia de la Lógica en el siglo XX. Es profesor de Matemáticas y Filosofía en la Universidad de Stanford. También es biógrafo científico de Julia Robinson. En la película interviene valorando el significado del trabajo de Julia Robinson, su relación con Alfred Tarski, entre otros aspectos de interés de la historia. 10.- BJORN POONEN es Profesor de Matemáticas y Vice Presidente para Asuntos de Alumnado no Graduado de la Universidad de California en Berkeley. Pertenece a la nueva generación de investigadores que trabajan activamente en la extensión de los resultados del H10 a anillos diferentes del de los enteros, utilizando métodos que van desde la Teoría de Números a la Geometría Algebraica. 11.- DANA SCOTT, Profesor Emérito de Ciencias de la Computación, Lógica Matemática y Filosofía en la Universidad Carnegie Mellon se graduó en la Universidad de California, Berkeley entre 1950-1954. Trabajó con la Escuela de Tarski y fue amigo personal de Julia y su marido hasta sus muertes. Es fellow de la Academia Europea, de la Asociación Americana para el Avance de la Ciencia, la Academia de las Artes y de las Ciencias, Asociación  de la Maquinaria de la Computación, Academia Británica, Academia Finlandesa de Ciencias y Letras, Academia de Ciencias de Nueva York y Academia de las Ciencias de los Estados Unidos. 12.- CHARLES L. SILVER, escritor e investigador, fue alumno de Julia Robinson y Alfred Tarski en la Universidad de Berkeley, donde leyó su tesis doctoral en Filosofía. Silver ha sido profesor de matemáticas, ciencias de la computación y filosofía en varias universidades. Ha sido asesor en varias películas, entre ellas Gates of Heaven (supervisor del montaje), A Brief History of Time (documental sobre la vida y obra del físico Stephen Hawking), y  N is a Number: A Portrait of Paul Erdös. Es autor del libro From Symbolic Logic to Mathematical Logic (1994). Su conocimiento tanto de la historia de Julia Robinson, como de la realización de documentales se han combinado en beneficio de la producción de este film desde la idea original hasta su completa finalización. 13.- DANICA MCKELLAR, actriz, matemática, escritora y narradora del documental. Los seguidores incondicionales de esta sección de DivulgaMAT recordarán que le hemos dedicado dos reseñas, concretamente las numeradas como 35  y 36. A modo de resumen, recordaremos que fue la Winnie Cooper de Aquellos Maravillosos Años (The Wonder Years) y Elsie Snuffin en ocho capítulos de la serie El Ala Oeste de la Casa Blanca (The West Wing). En agosto de 2007 Danica fue designada "Personaje de la Semana" por el programa de noticias ABC World News junto a Charles Gibson como autora del best-seller MATH DOESN'T SUCK: How to Survive Middle School Math Without Losing Your Mind or Breaking a Nail (En las reseñas citadas se detallan los contenidos de este libro). Fue graduada con la mención summa cum laude por la Universidad de Los Angeles (UCLA) obteniendo la licenciatura en Matemáticas y un lugar en el Journal of Physics y el New York Times por su trabajo en un problema de física en el que demuestra un resultado que ahora lleva su nombre, el teorema de Chayes-McKellar-Winn. La profunda devoción de Danica por las matemáticas, su respeto a la figura de Julia Robinson, y su deseo de proporcionar un modelo menos trivial que el habitual a las jóvenes adolescentes norteamericanas la han permitido ser elegida para trabajar en este documental. Otros miembros del equipo de la película 1.- JOHN SHARAF, director de cine documental y de noticiarios desde 1976. Ha realizado trabajos para las principales cadenas norteamericanas de televisión. Ha obtenido dos premios de la Academia por los documentales Gravity Is My Enemy y Number Our Days. 2.- SKIP SWEENEY, director de cine fundador de Video Free America en San Francisco. Con más de 35 años de experiencia como montador y realizador. 3.- TAL SKLOOT, Editor, ha montado numerosos documentales y Ganado varios premios Emmy, Ha trabajado entre otras productoras para Orion Pictures, LucasFilm, 20th Century Fox, Warner Brothers, PBS, KQED, Frontline, Pulse Films, Zala Films, DLB Films y The National Endowment For The Arts. Tal se graduó en el American Film Institute y es miembro del departamento cinematográfico de Diablo Valley Collage. 4.- MARK ADLER, compositor de amplia y reconocida carrera de bandas sonoras de  documentales. En 1999 ganó un Emmy por su trabajo en The Rat Pack (supongo que todos conocereis quien era este famoso cuarteto) de la HBO. También ha compuesto bandas sonoras de conocidas películas comerciales que me voy a evitar nombrar para no extender más esta reseña con datos que poco importan aquí. Es miembro del Comité Ejecutivo del Music Peer Group de la Academia de Ciencias, Arte y Televisión estando en la actualidad a cargo del Comité de Premios. 5.- ANDREA HALE, editora ayudante de animación, se graduó en el Departamento de Cine de la Universidad del estado de San Francisco en 2007. Ha producido varios cortos de animación independientes. Ficha Técnica de la película Título Original: Julia Robinson and Hilbert's Tenth Problem. Nacionalidad: EE. UU, 2008. Director y Productor: George Paul Csicsery. Fotografía: Andrew A. Allman, Bret Upham (Boston), John Giannini (Arizona), Ashley James (Oakland), Peter Kent (Washington, D. C.), Dan Reid, Oleg Romenskij (St. Petersburg), John Sharaf (San Diego), Skip Sweeney (San Francisco), Jeroen Vermelyen (Gent), en Color. Montaje: Tal Skloot. Música: Mark Adler. Gráficos y Animación: Andrea Hale. Narración: Danica McKellar. Duración: 60 min. Intérpretes: Constance Reid, Martin Davis, Yuri Matiyasevich, Hilary Putnam, Lenore Blum, Jan Denef, Kirsten Eisenträger, Anita Burdman Feferman, Solomon Feferman, Steve Givant, Eva Liddle, Daria Matiyasevich, Nina Matiyasevich, Jan Mestdagh, Bjorn Poonen, Anna Salamon, Dana Scott, Beth Schlesinger, Alexandra Shlapentokh, Alumnos del San Diego High School, Brian Geis, Edgar Mahler, Samuel Marcus, Trevor McCann, Caroline Moore-Kochlacs, Albert Orcino, Amy Swift. Documentación utilizada Las escenas caseras de David Hilbert fueron filmadas en 1920 por Richard Courant, y son cortesía de Ernest Courant. El material de archivo de la exposición en Rusia, las escenas de Julia Robinson y las fotografías personales de Yuri Matiyasevich han sido cedidas por él mismo. Las instantáneas de Julia Robinson, Constance Reid, Arizona, Punto Loma, y San Diego de Ralph Bowman, cortesía de Constance Reid. El resto de material de archivo de 1950 – 1956, ha sido cedido por cortesía de Absolutely Archives. La fotografía de la Conferencia de Teoria de Números en la Caltech en 1955 ha sido cedida por Tom Apóstol. Otras fotografías son propiedad de Louise Guy, Sigmund Csicsery, Martin Davis, Hilary Putnam, Anita and Solomon Feferman. La entrevista radiofónica a Hilbert es propiedad de Gunther Cornelissen. Consultores Matemáticos que han participado en la película: Keith Devlin, James Carlson, David Eisenbud, Ron Graham, Klaus Peters, Bjorn Poonen, Ken Ribet, Dana Scott, Charles L. Silver, Alice Silverberg, Rabbit Wrangler, Kasey Peterson. La película ha sido posible gracias, por una parte a una beca concedida por Margaret y Will Hearst, y fundamentalmente gracias al Instituto Clay de Matemáticas (la misma institución que ha designado los famosos siete problemas del Milenio). La idea original del documental se debe a Charles L. Silver. También han colaborado, entre otras personas e instituciones The Mathematical Sciences Research Institute, American Institute of Mathematics, The Exploratorium, American Mathematical Society, Helen Moore, Anne Blachman, Nancy Blachman, David Lawrence Desjardins, Jr., Barry Jablon. El trailer de la película puede verse en http://www.youtube.com/watch?v=e4x9XKNAYjU. El Director George Paul Csicsery, escritor y cineasta independiente, nació en Alemania en 1948, aunque  prácticamente toda su vida ha sido en Estados Unidos, país al que emigró la familia en 1951. Ha dirigido por el momento 27 películas entre cortometrajes y documentales. Sus últimos trabajos están directamente relacionados con las matemáticas (al no estar estrenados en castellano, describo el título original y un posible título en nuestro idioma): Julia Robinson and Hilbert's Tenth Problem. Estrenada en Enero de 2008, es un documental biográfico de una hora de duración sobre una mujer matemática y su aportación en la resolución de uno de los problemas más famosos del siglo XX. Fue financiada por el Instituto Clay de Matemáticas y por Margaret y Will Hearst. Hard Problems: The Road to the World's Toughest Math Contest: También estrenada en Enero de 2008, es un documental centrado en el equipo norteamericano de estudiantes de Secundaria que participaron en la Olimpiada Matemática Internacional de 2006 en Ljubljana, Slovenia. En esta ocasión la producción corrió a cargo de la Mathematical Association of America (MAA). I Want To Be A Mathematician: A Conversation with Paul Halmos: Estrenada en 2009, se articula en torno a una entrevista realizada en 1999 con el reconocido matemático y profesor. Estuvo financiada por la MAA y la Educational Advancement Foundation. Además del citado Halmos, intervienen Robert Bekes, David Eisenbud, Jean J. Pedersen, Peter Renz y Donald Sarason. Tiene una duración de 45 minutos. The Right Spin (2005): documental de media hora editado directamente en DVD sobre el astronauta Michael Foale y cómo salvó la Estación Mir Porridge Pulleys and Pi: Two Mathematical Journeys (2004). Documental biográfico de 29 minutos sobre los matemáticos Vaughan Jones y Hendrik Lenstra, estrenado en el Festival Teléscience de Montréal, Canada en Noviembre del 2003, En 1993 dirigió N is a Number: A Portrait of Paul Erdös, documental sobre la vida del excéntrico matemático húngaro, emitida por numerosas televisiones de diferentes países (Hungría, Norteamérica, Canadá, Japón, Holanda, Australia, entre otras), entre los que por supuesto no está el nuestro. Reflexiones y Peticiones para un Año Nuevo Como se viene comentando desde el inicio de la sección y la publicación del libro Las Matemáticas en el Cine, existe una apreciable cantidad de películas, documentales y material audiovisual relacionado con las Matemáticas de interés nunca estrenado en España ni emitido por televisión alguna (y mira que nos tragamos telefilmes y documentales de lo más variopinto y de discutible calidad e interés) o editado en DVD. Sólo podemos atisbar fragmentos dispersos en Internet o copias PIRATAS (Sí, señores de la SGAE, no tenemos otro medio. Quizá además de defender sus derechos, que me parece muy bien, podrían arbitrar algún mecanismo para LEGALIZAR este tipo de situaciones). Probablemente editar estos materiales en castellano es caro y no muy rentable, pero por intentarlo que no quede: ¿Ninguna institución, Sociedad, Departamento, Universidad, o entidad pública o privada relacionada con las Matemáticas en España (que haber, hay muchas) le parece interesante hacer las gestiones necesarias para traer estos documentos aquí? Y por soñar que no quede. ¿A nadie le parece interesante y necesario realizar una película, documental, telefilme, algo, lo que sea, sobre alguno de los relevantes matemáticos (o científicos en general) españoles? La mayor parte de los personajes que tienen dedicado un biopic lo han sido por productores o cineastas de su misma nacionalidad. Aquí no, somos más chulos que nadie y lo hacemos de asuntos relacionados con Gödel, Turing, Wiles, etc. (Los crímenes de Oxford), Hipatia y otros pensadores griegos (Ágora) o popularizamos a Galois, Hilbert, Pascal, Fermat (La habitación de Fermat). Hasta la fecha, que yo sepa, sólo la tan criticada Pilar Miró, citó a Rey Pastor en Tu nombre envenena mis sueños, pero ¿se enteró alguien? ¿Será este el año?  A ver si aprendemos un poco de los norteamericanos, en algo que sí son expertos,  para que te conozcan y para obtener fondos en lo que sea (investigación también) hay que saber venderse (publicidad, marketing, lo que sea). Una buena noticia: En el enlace http://www.dimensions-math.org/Dim_ES.htm, podemos disfrutar de Dimensions, un paseo de dos horas de duración a través de las matemáticas. Se trata de una película divulgativa que se dio a conocer en España con motivo de la celebración de la IMO2008 (Madrid). Por gentileza de sus autores, la RSME ofreció copias de la película a los participantes en dicha olimpiada. Está película se encuentra disponible gratuitamente para su visión online o su descarga a través del enlace anterior.

Jueves, 14 de Enero de 2010 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

873. 28. El nudo pentagonal II

“Además de embarcaciones hay una papiroflexia más complicada, casi geométrica, matemática. La de hacer pajaritas como aquellas en que entretenía sus ocios el maestro Miguel de Unamuno…” Empiezo este segundo artículo sobre el nudo pentagonal con unas palabras del premio Nóbel de literatura guatemalteco Miguel Ángel Asturias sobre Miguel de Unamuno. Es sabida la relación de Unamuno y la papiroflexia, y como muestra de ello son las figuras que inventó o cuadros como el de la fotografía, donde Unamuno aparece retratado por Zuloaga junto con una de sus figuras, el “avechucho”. Además también escribió sobre papiroflexia, sobre todo en su novela “Amor y pedagogía”(en el apéndice “Apuntes para un tratado de cocotología”). Pero Unamuno aparece en este artículo por el siguiente poema acerca del nudo pentagonal: El poema aparece junto con el dibujo del nudo pentagonal que hay sobre él y se describe tanto el nudo pentagonal como la estrella que se forma al hacerlo. Esta estrella es la que aparece al trazar todas las diagonales de un pentágono: Si tomamos una tira de papel no demasiado gruesa y hacemos un nudo, como explicamos en el artículo anterior, obtenemos un pentágono. Pero si miramos el nudo al trasluz se puede apreciar el contorno de la estrella casi al completo, sólo falta una de las diagonales del pentágono. Basta entrelazar una de las tiras salientes una vez más en el nudo para poder ver la estrella completa: Esta estrella de cinco puntas, conocida también como pentagrama o pentáculo, tiene mucha leyenda detrás y, como todo lo relacionado con el pentágono, la estrella también tiene una estrecha relación con el número áureo (se puede encontrar información sobre la estrella de cinco puntas en http://es.wikipedia.org/wiki/Pentagrama_(geometría)). En papiroflexia hay una figura sencilla conocida como “Lucky Star” (estrella de la suerte) que parte del nudo pentagonal para hacer una estrella de cinco puntas en 3D. Veamos cómo se hace: 1º_Cogemos una tira larga de papel y hacemos un nudo en uno de los extremos (pasos 1, 2 y 3). El trozo de tira más pequeño que salga del nudo se dobla como en el paso 4 y se introduce en el bolsillo interior que queda en el nudo. 2º_Doblamos una y otra vez el extremo más largo envolviendo al pentágono, de forma que la tira dobla en el borde del pentágono (como en los pasos 5, 6 y 7). Esto debe hacerse siempre en el mismo sentido hasta acabar la tira de papel y sin aplastar excesivamente los dobleces. 3º_El trozo de tira sobrante (paso 8) se dobla sobre el borde del pentágono y se introduce en el interior del bolsillo que hay en el mismo. Por último (paso 9), empujamos con cuidado sobre cada lado del pentágono para que la estrella tome forma tridimensional. 4º_Estrella terminada: Podéis ver un vídeo de cómo se hace (¡incluso un blog entero sobre ella!) en www.foldastar.com (en inglés). También una bonita galería de fotos con cientos de estrellas de este tipo en: http://divulgamat2.ehu.es/www.flickr.com/photos/creativeliberties/sets/72157600072940760 Vamos ahora con los deberes del artículo anterior. Sabemos cómo se hace un nudo para formar un pentágono, pero ¿es posible hacer un hexágono haciendo un nudo a partir de una tira de papel siguiendo el mismo método?¿y un heptágono?, y en general ¿se podrá hace un polígono de n lados haciendo un nudo con una tira de papel? Si tomamos una tira e intentamos hacer un hexágono parece imposible, así que desistimos y tratamos de hacer un heptágono. Es mucho más fácil, veamos cómo se hace: ¡Ya tenemos el nudo heptagonal! Pero no nos olvidemos que nos hemos saltado uno, el hexágono. Vamos a demostrar que no se puede hacer, para ello veamos unas nociones sobre aritmética modular (también llamada aritmética de reloj). Si tenemos un reloj analógico, de los de saetas, resulta que nos bastan solo 12 números para representar las 24 horas que tiene el día. Las 16:00 están representadas por el número 4, y las 21:00 por el 9. Si ahora por ejemplo la saeta de las horas apunta al 5 podemos saber dónde apuntará pasadas 100 horas. Cada 12 horas que pasan la saeta da una vuelta completa y por tanto apunta de nuevo al mismo lugar. Tenemos que 100 = 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 4 = 12x8 + 4 Por tanto, si ahora la saeta apunta al 5, pasadas 100 horas la saeta apuntara al 5+4=9. De esta manera, cualquier número lo podemos representar con uno de estos relojes, basta dividir el número por 12 y quedarse con el resto. Supongamos ahora que nuestro reloj tiene solo los números desde el 0 hasta el 7, es decir 8 horas. Funcionará de manera similar. Si son las 5 y pasan 6 horas la saeta pasara a apuntar al 3. y el número 35 = 8 + 8 + 8 + 8 + 3 = 8x4 + 3 estará representado por el 3. En general, para saber a qué hora corresponde un número cualquiera en este reloj basta hallar el resto de la división del número entre 8. A este conjunto de 8 elementos lo llamaremos Z8 Z8 = Y por ejemplo, como el 35 equivale al 3 lo expresaremos como 35 ≡ 3 (mod 8), o si sobreentendemos que estamos trabajando sobre el reloj de 8 horas Z8 podemos escribir simplemente 35 ≡ 3. Podríamos decir que, usando los números de Z8, el 35 y el 3 son el mismo número. Además, si multiplicamos un número por otro, nuestra aritmética de reloj también funciona. Por ejemplo: 10 ≡ 2 (mod 8), si multiplicamos por 3 ambos lados de la igualdad tenemos que 30 ≡ 6 (mod 8), y así es, 30 = 8x4 + 6. En general, llamaremos Zn = , que equivaldría a un reloj de n horas. Pasemos ahora al problema de cómo hacer nudos con una tira de papel para obtener un polígono cualquiera. Supongamos que queremos hacer un nudo octagonal con una tira de papel. Supondremos que la tira entra a formar el octógono por el lado 0 (Ver imagen inferior). Luego la tira cruza el octógono hasta llegar a algún otro lado, por ejemplo el 3, y en ese lado se pliega. Para que el octógono sea regular este último pliegue ha de ser simétrico, esto es, el nuevo pliegue debe hacer que la tira cruce de nuevo el octógono de la misma manera pero yendo ahora hacia el nodo 3 + 3 = 6. Después de doblar la tira en el lado 6 debemos ir hacia el siguiente sumando de nuevo 3. Pero 6+3=9 y sólo tenemos números de 0 hasta 7. Aquí entra en juego la aritmética modular, ya que 9 ≡ 1 (mod 8). Continuando así tenemos 1 + 3 ≡ 4, 4 + 3 ≡ 7, 7 + 3 ≡ 2, 2 + 3 ≡ 5, 5 + 3 ≡ 0 y ya hemos recorrido los 8 lados del octógono. Por tanto tenemos el nudo octogonal terminado. La forma de hacer el octógono ha sido la siguiente: Empezamos a hacerlos desde el lado 0. Buscamos un número entre 2 y 6 (notad que no se pueden usar los lados 1 y 7 por ser los contiguos al lado 0) tal que al sumarlo una y otra vez nos genere todos los números de Z8. Esto querrá decir que al ir doblado la tira se formaran todos los lados del octógono. Si intentamos hacer un nudo hexagonal de forma análoga, trabajando sobre Z6 = , hemos de elegir un número ( 2, 3 ó 4 ) de forma que al sumarlo una y otra vez generemos todos los elementos de Z6. Pero: Si elegimos el 2 2 + 2 ≡ 4 4 + 2 ≡ 0 0 + 2 ≡ 2 2 + 2 ≡ 4 ... Si elegimos el 3 3 + 3 ≡ 0 0 + 3 ≡ 3 3 + 3 ≡ 0 ... Si elegimos el 4 4 + 4 ≡ 2 2 + 4 ≡ 0 0 + 4 ≡ 4 4 + 4 ≡ 2 ... En los tres casos se repiten una y otra vez los números sin rellenar conseguir todos los de Z6. No existe el número buscado y por tanto es imposible hacer un nudo hexagonal de esta manera. Hemos visto que se puede hacer un pentágono, un heptágono y un octógono, y que no que no se puede hacer un hexágono. En general, ¿se podrá hacer de esta manera un polígono de n lados? Para ellos nos situamos en Zn =  y lo que buscamos es un número k entre los números 2, 3, …, n-3, n-2 de manera que cumpla que = Zn Es decir = Zn. Por tanto los números k, 2k, 3k,..., nk deben ser distintos entre sí en Zn. Veamos que si k es unidad se cumple que k, 2k, 3k,..., nk son todos distintos en Zn. Diremos que k es una unidad si existe un número h de manera que kh ≡ 1 (mod n). Por ejemplo en Z7 =  el 3 es unidad porque si lo multiplicamos por 5 tenemos que 3x5 ≡ 15 ≡ 1 (mod 7). Si probamos que los números k, 2k, 3k,..., nk son distintos, entonces tendremos  n números distintos en Zn y por tanto = Zn. Si k es unidad en Zn, los números k, 2k, 3k,..., nk son distintos en Zn. Demostración: Supongamos que no es cierto. Entonces habría dos números m1 y m2 distintos en Zn tales que m1k ≡ m2k. Por ser k unidad existe un número h tal que kh ≡ 1. Entonces, multiplicando m1k ≡ m2k por h se tiene que m1kh ≡ m2kh, y como kh ≡ 1,  m1≡ m2, lo que contradice que sean distintos. Por tanto, se cumple la tesis del enunciado. Con esto, para formar el nudo, sólo es necesario buscar un número k entre los números 2, 3,…, n-3, n-2 que sea unidad. Existe una función que nos ayudara a buscar estas unidades. Es la función φ de Euler. La función φ(n) proporciona para cada valor de n el número de unidades que hay en Zn. Los números 1 y n-1 siempre son unidades en Zn, pues 1x1 ≡ 1  y (n-1)(n-1) ≡ (-1)(-1) ≡ 1. Por tanto, para n>6  (es decir, si queremos construir un nudo poligonal de más de 6 lados, como es nuestro caso) tenemos que φ(n)≥2, ya que al menos hay dos unidades en Zn.  Además se comprueba fácilmente que el 0 nunca es unidad. Bastará que la función φ(n) valga 3 o más para que existan 3 unidades al menos, de las cuales, una de ellas la podremos encontrar entre 2, 3,…, n-3, n-2. En http://es.wikipedia.org/wiki/Función_φ _de_Euler está la definición de la función de Euler. No es difícil comprobar que si n>6, la función φ(n)≥3. Por tanto, queda probado que se puede construir cualquier polígono de n lados haciendo un nudo de la misma manera que se hace el nudo pentagonal. Hay que decir que en la práctica no es sencillo hacer un nudo con un tira de papel que tenga más de 7 lados (incluso el hacer el nudo heptagonal no es sencillo). Pero es posible. Fuentes consultadas: - Obras completas de Miguel de Unamuno, Volumen 5 (se puede consultar desde la Web de de la Biblioteca Virtual Miguel de Cervantes, aquí) - Web de la Asociación Española de Papiroflexia, sección de Unamuno - www.foldastar.com - www.flickr.com/photos/creativeliberties/sets/72157600072940760 - www.geocities.com/mmukhopadhyay/creation/star.html - ‘Folding Knots from Strips’ Origami Tanteidan, n. 89. Tom Hull. - “Matematical Games”, Scientific American, Julio de 1959. Martin Gardner. - “A note on knots”, American Mathematical Monthly, Vol.31, Mayo de 1924. F.V.Morley Gracias a David Lister por toda la información y ayuda que me ha proporcionado para escribir este artículo.

Domingo, 01 de Junio de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

874. 34. Cómo obtener un cuadrado sin cicatrices a partir de un folio

Cisne de Akira Yoshizawa En papiroflexia cada pliegue que se hace es importante, pero a veces, para que quede bien una figura, lo importante es no hacer más pliegues de los necesarios. Cada pliegue extra que realizamos supone una cicatriz en el papel, y casi siempre son las cicatrices desafortunadas las que acaban viéndose en la figura de papel. La primera vez que Carlos Pomarón me enseñó a plegar el cisne de Akira Yoshizawa comprendí la importancia de las cicatrices. Es una figura con pocos pasos y fácil de hacer, y la estábamos plegando con un papel tipo cartulina (Canson Mi-Teintes) usando la técnica del papel humedecido. Es decir, una cicatriz en este papel no tiene vuelta atrás. Así que no marcamos ninguna cicatriz que luego se fuera a ver, ni siquiera para hacer el lomo. ¿Y por qué?  Porque un cisne no tiene cicatrices, dijo Carlos, y si las tuviese no las queremos reflejar en nuestro cisne de papel. Se trata de hacer un figura ideal. Un caso de cicatriz desafortunada me apareció al plegar el reloj de cuco de la Selva Negra de R.Lang. En la fotografía se aprecian dos cicatrices oblicuas en la zona del reloj.  Es una figura compleja y con muchos pasos, pero si desde el principio hubiese sabido dónde iba a parar cada pliegue, habría evitado marcar tanto esos dos pliegues... Reloj de cuco de Robert Lang Así que si lo que queremos es evitar cicatrices extra, el primer paso es utilizar un papel que no tenga cicatrices antes de empezar a doblarlo, está claro. El problema llega cuando buscamos un papel cuadrado y resulta que no tenemos...bueno, pero tenemos folios (DIN-A4). De ahí sacamos un cuadrado y ya está...¡vaya problema! Ya sabéis como se hace, pero os lo recuerdo: Pero...¡nos ha quedado una cicatriz!...no nos vale este método. Afortunadamente, nos sabemos un truco para conseguir cuadrados sin cicatrices: cogemos otro papel igual que el que tenemos y... ¡Ya está! Pero....¿Qué pasa si solo tenemos un folio? Pues ahí están las matemáticas para auxiliarnos, como siempre :). Aquí va el nuevo método: Pero...¿Seguro que es cuadrado?, o sea...¿Seguro que es cuadrado “del todo”? Pues sí, seguro. Veámoslo. Un rectángulo de proporción DIN-A cumple siempre que sus lados distintos guardan la relación 1:√2, es decir, que podemos suponer sin problemas que el lado corto mide 1 y el lado largo mide √2. Veamos en qué se basa el método para obtener el cuadrado: En el paso 1 trazamos un pliegue a 45º, por lo que se produce un triángulo rectángulo con los dos catetos iguales a 1, y por tanto su diagonal vale √2. En el paso 2 llevamos el lado inferior, que mide 1, sobre el pliegue anterior. En la figura del paso 3 se aprecia cómo se han formado 2 triángulos. El triangulo rojo tiene los dos lados iguales (x = y), y se observa que el valor es y = √2-1, por lo que x = √2-1. Desplegando de nuevo la hoja, en el paso 4, se tiene que la porción que le quitamos al folio mide √2-1, por lo que el rectángulo restante es efectivamente un cuadrado de lado 1. Este método para obtener cuadrados vale para todo tipo de hojas de proporción DIN-A. Ahora podemos plegar figuras como éstas, en las que necesariamente hay que utilizar cuadrados sin cicatrices. Dream Dancer de Giang Dinh Orb de Jeannine Mosely Cubo de Haga-Kasahara Este método también tiene la aplicación inversa, es decir, sirve también para obtener un rectángulo de papel con las mismas proporciones que el rectángulo que sobra al sacar de un un folio un cuadrado. Además, en este caso se puede partir de un rectángulo cualquiera: ¿Y para qué queremos un rectángulo así de raro, con proporciones 1 x (√2-1)? Porque también hay figuras que se hacen con papel de estas proporciones, como por ejemplo: Zorro de Felipe Moreno Gato de Román Díaz En este caso, la desventaja de este método es que el rectángulo que obtenemos tiene dos cicatrices que seguramente no sean necesarias, pero podemos usarlo para sacar un rectángulo como patrón, y a partir de él hacer copias. Referencias de las fotografías: Cisne de Yoshizawa: Catálogo de la exposición “Origami: El arte del papel plegado” (Zaragoza 2009) Dream dancer de Giang Dihn Orb de Jeannine Mosely Cubo de Haga- Kasahara: Libro “Origami para Expertos”, de K.Kasahara y T.Takahama Zorro de Felipe Moreno Gato de Román Díaz

Viernes, 08 de Enero de 2010 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

875. 34. (Enero 2010) Menón, de Platón

Platón (427 a.C.-347 a.C.) fue el principal discípulo de Sócrates, representado como héroe en los diálogos de su obra La República. Menón es un diálogo platónico –escrito entre 386 y 382 a.C.– en el que se introducen temas como la inmortalidad, la reencarnación, la relación con la naturaleza o las matemáticas. En Menón se trata de encontrar la definición de virtud (areté o αρετή en griego) y clarificar si es enseñable. La conclusión a la que se llega es que la virtud no se puede aprender, sino que viene dada por favor divino, y a través de la reminiscencia –o anamnesia–  es posible recordarla. Los personajes son Menón, Sócrates, el esclavo de Menón y Ánito. El diálogo comienza cuando Menón hace la siguiente pregunta a Sócrates: ¿La virtud es cosa que se enseña, o si no se enseña sino que se practica, o si no se practica ni se aprende, sino que la tienen los hombres por naturaleza o de algún otro modo? Sócrates responde dubitativo: Pero yo estoy tan lejos de saber si es enseñable o no enseñable, que ni siquiera sé en absoluto qué es la virtud. Menón muestra su sorpresa ante tal afirmación, y alude a filósofo Gorgias como un maestro de la virtud. Sócrates, pide a Menón que defina lo que es a su entender la virtud, y éste  responde describiendo diferentes clases de virtudes referidas a hombres, mujeres y jóvenes y ancianos. Sócrates le replica dándole diferentes ejemplos y argumentando: Otra vez, Menón, nos ha pasado lo mismo: de nuevo hemos encontrado muchas virtudes buscando una sola, por distinto camino que antes; pero la única que está en todas esas no logramos dar con ella. Los dos personajes siguen debatiendo sobre el concepto de virtud, según Menón: ¿Pues qué otra cosa que el ser capaz de mandar sobre los hombres? Sócrates objeta que para ser virtud es necesario gobernar con justicia, y Menón redefine entonces la virtud como: Y yo digo que virtud es ser capaz de procurarse las cosas bellas el que las desea. Después de un minucioso análisis de esta afirmación –en la que salen a relucir el mal y el sufrimiento– Sócrates vuelve a solicitar a Menón una definición de virtud. Menón reprocha a Sócrates que le está confundiendo: Y del todo me parece, si se puede también bromear un poco, que eres parecidísimo, tanto en la figura como en lo demás, al torpedo, ese ancho pez marino. Y en efecto, este pez a quienquiera que se le acerca y le toca lo hace entorpecerse. Sócrates admite que ignora la naturaleza del concepto de virtud, pero que está dispuesto a intentar encontrarlo: Y por mi parte, si es torpedo estando él mismo entorpecido es como hace que los demás se entorpezcan, me parezco él; pero si no, no. Porque no es teniendo yo la claridad como induzco a la confusión a los otros […] Aún así estoy decidido a considerar e investigar contigo qué es. Menón piensa que no es posible investigar sobre algo de lo que no se conoce nada. Sócrates responde enérgicamente: ¿Te das cuenta del argumento polémico que nos traes, a saber, que no es posible para el hombre investigar, ni lo que sabe ni lo que no sabe? Pues ni sería capaz de investigar lo que sabe, puesto que lo sabe, y ninguna necesidad tiene un hombre así de investigación, ni lo que no sabe, puesto que ni siquiera sabe qué es lo que va a investigar. Sócrates saca a relucir el tema de la reminiscencia, y decide demostrar a Menón como aprender es en realidad recordar, utilizando a uno de los esclavos de su amigo. Se reproduce debajo íntegramente esta demostración en la que Sócrates guía al esclavo en su “recuerdo” de la manera de duplicar de un cuadrado: mientras el filósofo va interrogando al siervo, dibuja sobre la arena diversos bocetos, hasta completar la figura de debajo. En la cita que sigue (extraída de [1]) se dan entre paréntesis (en azul y negrita) algunas aclaraciones para saber en que punto de la argumentación nos encontramos: - SÓCRATES (S): Porque el investigar y el aprender, por consiguiente, no son en absoluto otra cosa que reminiscencia. - MENÓN (M): Sí, Sócrates; pero ¿qué quieres decir con eso de que no aprendemos sino que lo que llamamos aprendizaje es reminiscencia? ¿Podrías enseñarme que eso es así? - S: Ya antes te dije Menón, que eres astuto, y ahora me preguntas si puedo enseñarte yo, que afirmo que no hay enseñanza sino recuerdo, para que inmediatamente me ponga yo en manifiesta contradicción conmigo mismo. - M: No, por Zeus, Sócrates, no lo he dicho con esa intención, sino por hábito; ahora bien, si de algún modo  puedes mostrarme que es como dices, muéstramelo. - S: Pues no es fácil, y, sin embargo, estoy dispuesto a esforzarme por ti. Pero llámame de entre esos muchos criados tuyos a uno, al que quieras, para hacértelo comprender en él. - M: Muy bien. Ven aquí. - S: ¿Es griego y habla griego? - M: Por supuesto que sí y nacido en mi casa. - S: Pues fíjate bien en cuál de las dos cosas te parece, si recuerda o aprende de mí. - M: Así lo haré. - S: Dime entonces, chico, ¿tú sabes que un cuadrado es una figura así? (ABCD, de dos pies de lado). - ESCLAVO (E): Sí. - S: ¿Luego un cuadrado es una figura que tiene iguales todas las líneas, que son cuatro? - E: Desde luego. - S: ¿No tiene también iguales éstas, las trazadas por medio? (se refiere a las mediatrices NO y PQ). - E: Sí. - S: ¿No puede un espacio así ser mayor y menor? - E: Desde luego. - S: De modo que si este lado es de dos pies y éste de dos, ¿de cuántos pies será el todo? Pero plantéalo de la siguiente manera: si fuera por aquí de dos pies, pero por aquí de un pie sólo, ¿no sería de una vez dos pies la superficie? - E: Sí. - S: Pero puesto que es de dos pies también por aquí, ¿no resulta de dos veces dos? - E: Sí. - S: ¿Luego resulta de dos veces dos pies? - E: Sí. - S: ¿Y cuántos son dos veces dos pies? Haz la cuenta y dímelo. - E: Cuatro, Sócrates. - S: ¿Y no puede haber otra figura doble que ésta, pero del mismo tipo, con todas las líneas iguales, cómo ésta? - E: Sí. - S: ¿Y de cuántos pies será? - E: De ocho. - S: Vamos a ver, trata de decirme cómo será de larga cada una de sus líneas. Porque las del primero tienen dos pies, ¿pero y las de ese que es el doble? - E: Es claro, Sócrates, que serán dobles. - S: ¿Ves, Menón, cómo yo no le enseño nada, sino que se lo pregunto todo? Y ahora éste cree saber cómo es el lado del cual resultará el área de ocho pies; ¿o no estás conforme? - M: Sí - S: ¿Pero lo sabe? - M: Nada de eso. - S: ¿Y él cree que es del lado doble? - M: Sí. - S: Pues observa cómo recuerda él a continuación como hay que recordar. Y tú dime: ¿de la línea doble afirmas tú que se engendra la figura doble? Me refiero a una figura que sea no larga por aquí y corta por ahí, sino que tiene que ser igual por todas partes, como ésta, pero el doble que ésta, de ocho pies; y fíjate en si todavía te parece que resultará de un lado doble. - E: Sí me parece. - S: ¿No resulta este lado doble que éste si le añadimos otro igual? (Sócrates añade al lado BC su igual CE). - E: Desde luego. - S: ¿Y de este lado, afirmas tú, resultará la figura de ocho pies si hay cuatro iguales? - E: Sí. - S: Tracemos, pues, cuatro iguales a él (BE, EF, FG y GB). ¿No resultará precisamente lo que tú afirmas que es el cuadrado de ocho pies? - E: Desde luego. - S: Ahora bien, ¿no hay en él estos cuatro (ABCD, DCEH, IDHF, GADI), cada uno de los cuales es igual a éste (ABCD), al de cuatro pies? - E: Sí. - S: ¿De que tamaño resulta entonces? ¿No es cuatro veces mayor? - E: ¿Cómo no? - S: ¿Y es doble lo que es cuatro veces mayor? - E: No, por Zeus. - S: ¿Sino qué es? - E: Cuádruple. - S: Luego del lado doble, muchacho, resulta una figura no doble, sino cuádruple. - E: Es verdad. - S: Porque el de cuatro veces cuatro es de dieciséis, ¿no? - E: Sí. - S: ¿Pero el cuadrado de ocho pies de qué línea resulta? ¿De ésta (BE) no resulta cuádruple? - E: Eso digo. - S: ¿Y su cuarta parte, de la mitad, de ésta (BC), éste (ABCD, que es la cuarta parte de GBEF, mientras que su lado BC es la mitad de BE)? - E: Sí. - S: Bien; pero el de ocho pies, ¿no es el doble que éste y la mitad de ése? - E: Sí. - S: ¿No resultará de una línea mayor que ésta y menor que ésa? ¿O no? - E: A mi me parece que sí. - S: Muy bien; porque lo que a ti te parece es lo que tienes que contestar. Y dime: ¿no era de dos pies este lado y de cuatro el otro? - E: Sí. - S: Luego es necesario que la línea del cuadrado de ocho pies sea mayor que ésta, que la de dos pies, y menos que la de cuatro pies. - E: Es necesario. - S: Trata, pues, de decir cómo es de larga, según tú. - E: De tres pies. - S: Así, si ha de tener tres pies, ¿no añadiremos la mitad de ésta y tendrá tres pies? Porque esto (BC) son dos pies y esto (CJ) uno; y por aquí, igual, dos esto (JL) y esto (LK) uno; y resulta la figura que tú dices (MBJK). - E: Sí. - S: Así., sí tienes tres por aquí y tres por aquí, ¿la figura entera no resulta de tres veces tres pies? - E: Evidentemente. - S: Pero tres veces tres ¿cuántos pies son? - E: Nueve. - S: Pero el cuadrado doble, ¿de cuántos pies tenía que ser? - E: De ocho. - S: Luego del lado de tres pies no resulta tampoco la figura de ocho. - E: Desde luego que no. - S: ¿Sino de cuál? Trata de decírnoslo con exactitud; y si no quieres hacer números, muestra al menos de cuál. - E: Pues, por Zeus, Sócrates, que yo no lo sé. - S: ¿Te das cuenta otra vez, Menón, de por dónde va ya éste en el camino de la reminiscencia? Porque al principio no sabía, desde luego, cuál es la línea de la figura de ocho pies, como tampoco ahora lo sabe todavía, pero, en cambio, creía entonces saberlo y contestaba con la seguridad del que sabe, pensando no tener dificultad; mientras que ahora piensa que está ya en la dificultad, y, del mismo modo que no lo sabe, tampoco cree saberlo. - M: Es verdad. - S: ¿No es, pues, ahora mejor su situación respecto del asunto que no sabía? - M: También me parece. - S: Entonces, al hacerle tropezar con la dificultad y entorpecerse como el torpedo, ¿le hemos causado algún perjuicio? - M: Me parece que no. - S: Un beneficio es lo que le hemos hecho, sin duda, en orden a descubrir la realidad. Porque ahora hasta investigará con gusto, no sabiendo, mientras que entonces fácilmente hubiera creído, incluso delante de mucha  gente y muchas veces, que estaba en lo cierto al decir acerca de la figura doble que debe tener la línea doble en longitud. - M: Sin duda. - S: ¿Crees, pues, que él hubiera intentado investigar o aprender lo que creía saber sin saberlo, antes de caer en la perplejidad, convencido de que no lo sabía, y de sentir el deseo de saberlo? - M: Me parece que no, Sócrates. - S: ¿Ha ganado entonces con entorpecerse? - M: Me parece. - S: Fíjate, pues, en lo que desde ese estado de perplejidad va a encontrar también investigando conmigo, sin que yo haga otra cosa que preguntar, y no enseñar: y vigila tú a ver si me coges enseñándole y explicándole en vez de interrogarle sobre sus ideas. Dime ahora tú: ¿no tenemos aquí el cuadrado de cuatro pies (ABCD)? ¿Comprendes? - E: Sí. - S: ¿Podemos añadirle este otro igual (DCEH)? - E: Sí. - S: ¿Y este tercero (DHFI), igual a cada uno de ésos? - E: Sí. - S: ¿Y no podemos completar además éste del ángulo (GADI)? - E: Desde luego. - S: ¿No resultarán entonces estas cuatro figuras iguales (los cuatro cuadrados que se acaban de señalar)? - E: Sí. - S: ¿Y qué? Este conjunto (BEFG), ¿cuántas veces es mayor que éste (ABCD)? - E: Cuatro veces. - S: Pero lo que queríamos es que fuera doble; ¿o no te acuerdas? - E: Desde luego. - S: Ahora bien, esta línea que va de ángulo a ángulo (CA), ¿no corta en dos cada una de estas figuras? - E: Sí. - S: ¿Y no son cuatro estas líneas iguales (CA, CH, HI e IA) que delimitan esta figura (ACHI)? - E: Sí que lo son. - S: Fíjate ahora: ¿qué tamaño tiene esta figura? - E: No sé. - S: Siendo cuatro éstas (los cuatro cuadrados de cuatro pies de área cada uno), la mitad de cada una ¿no la ha separado hacia dentro cada línea? (CA, CH, HI e IA) ¿O no? - E: Sí. - S: ¿Cuántas, pues, de tales mitades hay en ésta (ACHI)? - E: Cuatro. - S: ¿Y cuántas en ésa (ABCD)? - E: Dos. - S: ¿Pero cuatro que es de dos? - E: El doble. - S: De modo que éste (el cuadrado ACHI) ¿cuántos pies tiene? - E: Ocho. - S: ¿De qué línea? - E: De ésta (AC). - S: ¿De la que va de ángulo a ángulo del cuadrado de cuatro pies? - E: Sí. - S: Pues a ésta la llaman diagonal los profesores; de manera que si su nombre es diagonal, de la diagonal se engendrará, según afirmas tú, esclavo de Menón, el cuadrado doble. - E: Desde luego que sí, Sócrates. - S: ¿Qué te parece, Menón? ¿Ha contestado éste algo que no fuera idea suya? - M: No, sino las propias. - S: Y, sin embargo, él no sabía, según afirmamos poco antes. - M: Es verdad. - S: Pero estaban, desde luego, en él estas ideas; ¿o no? - M: Sí. - S: ¿Luego en el que no sabe, sean cualesquiera las cosas que no sepa, hay ideas verdaderas acerca de esas cosas que no sabe? - M: Evidentemente. - S: Y ahora en él sólo como un sueño acaban de levantarse esas ideas; pero si se le sigue preguntando repetidamente esas mismas cosas y de diversas maneras, tú sabes que acabará teniendo sobre ellas conocimientos tan exactos como cualquiera. - M: Sin duda. - S: ¿No llegará entonces a la ciencia sin que nadie le enseñe sino preguntándole sólo, y sacando él la ciencia de sí mismo? - M: Sí. - S: ¿Pero sacar uno la ciencia de uno mismo no es recordar? - M: Desde luego. - S: Y la ciencia que éste tiene ahora, ¿no es cierto que o la adquirido alguna vez o siempre la tuvo? - M: Sí. - S: Ahora bien, si la tuvo siempre, también siempre ha sido sabio; y si la ha adquirido alguna vez lo será, desde luego, en la vida actual donde la haya adquirido. ¿O le ha enseñado alguien geometría? Porque éste hará lo mismo con toda la geometría y con todas las demás ramas del saber. ¿Hay, pues, alguien que se lo ha enseñado todo? Tú, desde luego, debes saberlo, sobre todo porque en tu casa ha nacido y se ha criado. - M: Y sé muy bien que nadie se lo ha enseñado nunca. - S: ¿Pero tiene esas ideas, o  no? - M: Necesariamente, Sócrates, es evidente. - S: Pero si no las ha adquirido en la vida actual, ¿no es ya claro que en algún otro tiempo las tenía y se las había aprendido? Así, el saber es recordar –ya que nadie ha enseñado al esclavo geometría–: lo que el esclavo ha ido deduciendo es algo aprendido en otra vida, de donde se deduce que el alma es necesariamente inmortal. También se concluye que es preciso investigar sobre lo desconocido, ya que de hecho no son más que verdades olvidadas. Menón y Sócrates continúan su diálogo, intentando discernir si la virtud puede enseñarse –es decir, si se trata de una ciencia– o es un don de la naturaleza. Sócrates se dirige al ateniense Ánito, preguntándole cuales son, a su juicio, los maestros de la virtud –como sinónimo de talento para sobresalir en el oficio que llevan a cabo– en Grecia. Para Sócrates, los sofistas son maestros de la virtud, afirmación que irrita a Ánito, que alude en particular a Protágoras como un farsante. Ánito no cree necesario citar a nadie en particular, sino que cualquier persona buena y honesta que viva en Atenas es –según él– un buen representante de la virtud. Menón y Sócrates concluyen que, a pesar de que una persona sea honesta y virtuosa, eso no conlleva necesariamente que sea capaz de enseñar a los demás lo que es la virtud, para lo que citan a diversos personajes de la política ateniense cuyas virtudes no fueron transmitidas a sus hijos: Temistócles, Arístides, Pericles y Tucídides. Así, la virtud no es ni una ciencia ni un don de la naturaleza, sino que según palabras de Sócrates: La virtud resulta que ni se tiene por naturaleza ni es enseñable, sino que llega por favor divino y sin entendimiento a quienes llega.   Bibliografía [1] Platón, Menón, Clásicos Políticos, Instituto de Estudios Políticos, 1970. [2] http://www.paginasobrefilosofia.com/html/menon/Apuntes/presentacionrecorrido.html

Viernes, 01 de Enero de 2010 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

876. 2. Cúpulas Geodésicas de Papiroflexia

Durante el curso 01-02 varias alumnas de 1º de Bachillerato del colegio Guadalaviar de Valencia donde trabajo como profesora de ciencias de la Naturaleza y yo, construimos varias cúpulas geodésicas de papiroflexia en un taller de actividades extraescolares Las cúpulas geodésicas son cubiertas cóncavas de edificios, que por lo general tienen forma semiesférica. Están formadas por la unión de pequeños elementos triangulares que se ensamblan con facilidad y que al estar hechos de materiales ligeros permiten el techado de grandes espacios sin soportes. Los triángulos forman elementos hexagonales y pentagonales, estos últimos son la clave para curvar la superficie. Fueron patentadas en 1947 por el arquitecto americano Richard Buckminster Fuller (1895-1983). Su obra más famosa fue la esfera del pabellón USA en la Exposición Universal de Montreal de 1967. Este pabellón esférico futurista de 76 m de diámetro y 41,5 m de altura alcanzó fama mundial. Fuller fue una figura polémica que defendía la posibilidad de construir grandes espacios (barrios, ciudades) abovedados con este tipo de cúpulas. En su honor se ha llamado fullerenos a la tercera forma alotrópica del carbono (las otras dos son el diamante y el grafito) descubiertas en 1985. Las moléculas del fullereno tienen 60 átomos de Carbono colocados en el espacio con la misma simetría que un balón de fútbol (icosaedro truncado). Para hacer las cúpulas utilizamos unos módulos de papiroflexia que me inventé después de darles muchas vueltas. Estos módulos son los que forman las varillas de la cúpula y se unen entre sí mediante conectores en forma de “V” también de papel doblado. Los cálculos necesarios para construir las cúpulas (nivel de reticulación, dimensiones de las varillas, diámetro de la cúpula, etc…) los hemos obtenido en el sitio: “The Dome Calculator” Las cúpulas construidas son del tipo 2V y están formadas por varillas de dos longitudes; con ellas se va construyendo la cúpula siguiendo el patrón que aparece en el diagrama. Descárgatelo en un tamaño mayor Hicimos dos tipos de cúpulas, una de ellas de 32 cm de diámetro en la que utilizamos varillas de 10 y 8,8 cm de longitud hechas con papel metalizado. También hicimos una esfera geodésica con este tipo de varillas. En la construcción de estas cúpulas pequeñas no es necesario utilizar pegamento en las uniones pero si se hacen esferas geodésicas es aconsejable, una vez construidas, poner un poco de pegamento en los vértices para poder manipularlas y conservarlas sin problemas. La otra cúpula de 1,8 m de diámetro la hicimos con papel blanco de embalar; para hacer las varillas utilizamos doble capa de papel para que fueran más resistentes. En la construcción de esta cúpula fue necesario utilizar un poco de cinta adhesiva en las conexiones. Esta actividad fue muy interesante ya que, utilizando como recurso la papiroflexia, estas alumnas (futuras estudiantes de arquitectura) pusieron en práctica las posibilidades informativas que ofrece Internet sobre un tema que despierta su interés, aplicando los conocimientos adquiridos para la construcción de maquetas de estructuras geodésicas. También trataron interacciones de la ciencia y tecnología con aspectos sociales (C/T/S), y tomaron contacto directo con cuestiones relacionadas con su futura carrera como resistencia de materiales, equilibrio de tensiones en una estructura arquitectónica, etc. Relacionado con este último punto les resultó muy interesante comprobar directamente cómo la cúpula se hace estable y se sostiene al colocar la última pieza del vértice de la estructura. Esta pieza actúa como la piedra que en arquitectura se llama “clave” que cierra los arcos y bóvedas produciendo un equilibrio de tensiones posibilitando que estas estructuras se mantengan en pie y no se caigan. En el artículo “Construcción de cúpulas geodésicas a partir de información de la Web” de la revista Innovación Educativa (nº 118, 2003, 48-51) se describe esta experiencia con más extensión. En la sección de educación de mi página sobre papiroflexia “Las arrugas del papel son bellas” (http://pagina.de/papiroflexia) se pueden ver más fotografías sobre la construcción de estas cúpulas y otras experiencias educativas utilizando como recurso la papiroflexia.

Miércoles, 01 de Diciembre de 2004 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

877. 10. Problema del Verano de 2005

El siguiente problema fue propuesto por Nick Robinson en el Boletín nº 182 de la British Origami Society “Doblar un papel cuadrado por una línea, abatiendo por completo la parte que queda a un lado de esa línea, sobre la otra parte. Con esto, quedará a la vista parte del anverso del papel, y parte del reverso. Se trata de determinar una línea de abatimiento de forma que las superficies que quedan a la vista de una y otra cara del papel, tengan igual área y ésta sea la máxima que podamos obtener.” La figura siguiente ilustra el problema con un plegado que, naturalmente, no representa la solución. Figura 1 Un par de pistas: Si la parte que abatimos queda por completo dentro del recinto del cuadrado, es evidente que se pueden considerar tres áreas: El triángulo azul (visto) Otro triángulo idéntico debajo del azul, que queda oculto. Un polígono irregular rojo (visto) Como el problema plantea el que las partes vistas tengan el mismo área, lo que se trata de encontrar es una línea de pliegue que haga que las superficies del triángulo (azul) y la del polígono (rojo), sean iguales. Como el cuadrado inicial comprende el polígono y 2 triángulos (el visto y el tapado), es evidente que, en este caso, el área buscada, será igual a 1/3 de la del cuadrado, puesto que las 3 partes han de ser iguales. Es casi inmediato encontrar varias soluciones que cumplen así, uno de los planteamientos del problema: “Que sean de igual área”, pero ¿cumplen con la otra condición?, es decir, “que esa área sea la máxima posible”? Se puede razonar que la línea de abatimiento ha de ser como la de la siguiente figura: Figura 2 en que una zona del reverso “escapa” de la superficie ocupada por el cuadrado inicial. NOTA: No te preocupes si no resuelves el problema por completo: ¡las respuestas o resultados parciales también serán tenidos en cuenta! ¡¡ENVÍA LAS RESPUESTAS A ESTA DIRECCIÓN!!

Viernes, 01 de Julio de 2005 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

878. 11. Plegado del pentágono óptimo

Tras una primera incursión en los polígonos óptimos a través del hexágono (ver el artículo del mes pasado), vamos a ver ahora el caso del pentágono. Presenta una dificultad adicional: la existencia de un ángulo más difícil de construir, es decir, (ó 36 grados).   Hay que señalar, de entrada, que el juego consiste en doblar, a partir de un cuadrado de papel, el pentágono óptimo, es decir, el pentágono regular más grande posible, de forma matemáticamente exacta y con un número finito de dobleces. Demos al César... En la literatura sobre la geometría y el origami, podemos encontrar numerosos doblados de pentágonos; al menos, existen numerosas variantes de doblados de pentágonos aproximados. Mucho menos numerosas son las técnicas de doblado exactas (desde un punto de vista matemático). No obstante, podemos encontrar dos en [5], páginas 89 y 253. Además, si buscamos el doblado del pentágono óptimo, hasta la actualidad, tan solo existía el método de Roberto Morassi [6]. La figura 3 representa someramente el diagrama de dicha técnica. La nueva técnica, desarrollada de forma independiente y propuesta aquí en la figura 2, me parece más sencilla. Utiliza el principio empleado para el hexágono [3]: laconstrucción de la versiónestrellada del polígono. Como todos los polígonos óptimos, el pentágono óptimo es simétrico respecto a una diagonal del cuadrado y un vértice toca cada lado del cuadrado, como en la figura 1. Figura 1. Pentágono óptimo y su versión estrellada Descripción del plegado Paso 1: el número de oro. Siendo D el punto medio del lado, dividimos por dos el sector angular . Este doblez permite construir el número de oro: . Paso 2:1/5 de π. Doblar llevando el punto C sobre el doblez horizontal a media altura, en F. Podemos observar que el doblez creado no pasa exactamente por D, pero acabamos de construir el ángulo . Paso 3: 1/10 de π, doblando la bisectriz de . Paso 4: la longitud l. Al doblar la bisectriz de , se obtiene un segmento BIcuya longitud es exactamente igual a la del lado del pentágono óptimo estrellado, lde la figura 1. Sólo queda por llevar dicha longitud al lugar adecuado; éste es el propósito de los últimos pasos. Paso 5: para colocar correctamente el lado del pentágono, como en la figura 1, primero hay que llevar el punto I sobre la diagonal, en J. Paso 6: doblar la mediana. Paso 7: KL es uno de los lados buscados. Por lo tanto, sólo queda completar el modelo para obtener el pentágono estrellado utilizando el método que se prefiera. Figura 2. Doblado del pentágono óptimo   Figura 3. “The elusive pentagon” de Roberto Morassi   Para aquellas personas que deseen detalles sobre la construcción de la figura 2, he aquí algunos pasos intermedios: para un cuadrado inicial de lado a (figura 1), la longitud de un lado del pentágono óptimo es Sabemos que . A la vista de la construcción clásica del número de oro realizada, , de donde se deduce que . Algunas cuestiones técnicas Los cuadrados, los triángulos y los octógonos óptimos son, por este orden, los más fáciles de construir, y el hexágono y el pentágono óptimos son los siguientes en la lista. En 1837, M. L. Wantzel demostró en [8] cuales eran los polígonos regulares construibles desde un punto de vista teórico, utilizando únicamente la geometría euclidiana, es decir, con regla y compás. Una condición necesaria es que estos polígonos tengan 2nf1f2...fs lados (con n y s números enteros), siendo fi números primos todos diferentes y con la forma 2m + 1, siendo m un número entero. Este resultado se puede simplificar un poco ya que una condición necesaria para dichos fies que tienen que ser números de Fermat, es decir, de la forma 22m+ 1 ; ahora bien, los únicos números de Fermat primos conocidos actualmente (ver [9]) parecen ser 3, 5, 17, 257 y 65537. Si se utiliza la técnica debida a Lill y utilizada por primera vez en origami por M. P. Beloch en [1] (capaz de resolver las ecuaciones de tercer grado mediante doblado), se puede generalizar este grupo de polígonos mediante la serie de los 2m3qp1p2... ps, donde los pi son todos diferentes, con la forma 2n3r +1, y primos, siendom, n, q, r, s, números enteros (véase por ejemplo [7]). Sin embargo, sigue habiendo fallos en esta criba: por ejemplo, el primer polígono regular al que no se puede aplicar esta construcción es el endecágono (11 lados). ¿Para cuándo una secuencia de plegado lo suficientemente sencilla como para que se admita en el conjunto de las construcciones básicas en origami y que permita construir el endecágono regular? Referencias M. P. Beloch. Sul metodo del ripiegamento della carta per la risoluzione dei problemi geometrici. Periodico di Mathematiche, IV, vol. XVI, N° 2, Págs. 104-108, 1936. D. Dureisseix. Searching for optimal polygon, application to the pentagon case. Septiembre 1997, nota no publicada, disponible en: http://origami.kvi.nl/articles/polye.ps D. Dureisseix. Un pliage de 1 hexagone optimal. Le Pli N° 77, p. 11, 1999. H. Huzita, editor. Proceedings of the First International Meeting of Origami Science and Technology, Ferrara, 1989. K. Kasahara. El Mundo Nuevo. Sanrio, 1989. R. Morassi. The elusive pentagon. In [4], Págs. 27-37, 1989. B. Scimeni. Draw of a regular heptagon by the folding. In [4], Págs. 71-76, 1989. M. L. Wantzel. Recherches sur les moyens de reconnaître si un problème de géométrie peut se résoudre à la règle et au compas. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, vol. 2, Págs. 366-372, 1837. E. W. Weisstein. The CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, 1998. http://mathworld.wolfram.com/FermatNumber.html

Lunes, 01 de Agosto de 2005 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

879. 12. Métodos de Fujimoto

Frente a métodos, como el basado en el Teorema de Haga (ver artículos de marzo y abril), con los que se obtienen divisiones exactas del papel, existen otros que permiten aproximarnos iterativamente a determinadas divisiones. Teniendo en cuenta el grosor del papel, el error de plegado y la mayor precisión de determinados pliegues frente a otros, con los métodos de división aproximada se consiguen resultados muy satisfactorios. Básicamente, los métodos de Fujimoto consisten en doblar mitades de longitudes o ángulos. Para la justificación de la validez de estos métodos, basta con tener una idea sobre convergencia de sucesiones. Aunque existen otros métodos para dividir una longitud en tres partes iguales, resulta un buen primer ejemplo para ilustrar el método de Fujimoto. También veremos la división en cinco y en siete partes iguales. Veremos el método para longitudes, aunque se aplica directamente para la división de ángulos. Para lo que sigue, suponemos que el lado que queremos dividir en partes iguales mide 1. Los pliegues que se indican tienen que ser pequeñas marcas y, en las sucesivas iteraciones, algo más largas para diferenciarlas de las anteriores. División en tres Paso 1: Hacemos una estimación de 1/3 en el lado izquierdo del papel: elegimos un punto C en el lado AB de modo que AC=x sea una aproximación de 1/3. Si la longitud de AB es 1, entonces el resto del lado, BC, mide 1-x. Paso 2: Dividimos BC por la mitad y obtenemos el punto D. Tenemos aquí una primera marca y la longitud BD es . La longitud restante, AD, mide . Paso 3: Dividimos AD por la mitad obteniendo C', de modo que la longitud de AC' es . El conjunto de pliegues y longitudes que tenemos es Por la definición de D, al doblar por él, B se superpone al original C. Si ahora B se superpusiera a C', significaría que C=C' y , es decir, x=1/3 y acabaría el proceso pues la estimación resultó ser óptima. Lo más frecuente es que esto no ocurra y que al doblar por D, B no se superponga a C'. Entonces volvemos a repetir el proceso, partiendo ahora de C' en lugar de C. Así estamos haciendo . Si las iteraciones son varias, tendríamos  a partir de  inicial. Que la sucesión  es convergente puede verse por la forma explícita de su término general. Haciendo un par de iteraciones y operando, se llega a que converge a 1/3. Una forma alternativa consiste en demostrar que la sucesión es acotada y monótona. La monotonía se puede demostrar por inducción, aunque no se sabe si es creciente o decreciente. En este caso, tenemos . Para la otra longitud tenemos . División en cinco Tenemos ahora que dividir la longitud AB, que mide 1, en cinco partes iguales. En el caso anterior, tres partes, plegábamos por la mitad determinados segmentos de la longitud inicial hacia cada uno de los extremos alternativamente. Ahora, en lugar de la mitad, obtendremos la cuarta parte hacia los extremos. Paso 1: Elegimos un punto C de modo que la longitud AC sea x, una primera aproximación de 1/5. El resto del lado, BC, mide 1-x. Paso 2: Obtenemos el punto D que marca la cuarta parte del extremo derecho de BC. Para ello doblamos por la mitad BC obteniendo E, y BE por la mitad. Tenemos en el extremo derecho la longitud BD que mide , siendo el resto, AD, . Paso 3: Ahora obtenemos la cuarta parte del extremo izquierdo de AD, llevando primero A hacia D y A hacia el punto medio así obtenido. Así conseguimos el punto C' y AC' mide . Hemos conseguido estos pliegues El punto E era la mitad de BC, por lo que si doblamos por él, B se superpone al original C. Si ahora B coincide con C', entonces es que C=C' y , de donde x=1/5. En caso de que B no se superpusiera a C', repetimos el proceso partiendo ahora de C' y la longitud . Si las iteraciones son varias, tendríamos  a partir de  inicial. Igual que en la división en tres partes, se puede ver que la sucesión  es convergente por la forma explícita de su término general, que en este caso es y converge a 1/5. También se puede demostrar que la sucesión es acotada y monótona y, en este caso, tenemos . Es fácil ver que todas las demás secciones convergen también hacia 1/5. División en siete En la división en siete partes se presentan dos grandes diferencias con respecto a los casos anteriores. Por una parte, comenzamos con una estimación inicial de 3/7 y no de la fracción buscada 1/7. Por otra, las divisiones a ambos lados del papel son distintas: a la derecha es en cuartos y a la izquierda, en medios. Paso 1: Elegimos C sobre AB de modo que AC=x sea una aproximación de 3/7. Si la longitud de AB es 1, entonces el resto del lado, CB, mide 1-x. Paso 2: Obtenemos el punto D que marca la cuarta parte del extremo derecho de BC. Para ello llevamos B hacia C y B hacia el punto medio así obtenido. Tenemos en el extremo derecho la longitud , siendo la longitud restante, AD, . Observemos que esta longitud es la candidata a converger a 1/7. Paso 3: Dividimos AD por la mitad, obteniendo C', de forma que la longitud AC' es . Estamos en la siguiente situación: Iteramos el proceso, haciendo ahora  o, tras varias iteraciones, . La forma explícita del término general es que claramente converge a 3/7. Referencias: H. Huzita y S. Fujimoto, Fujimoto Successive Method to Obtain Odd-Number Section of a Segment or an Angle by Folding Operations, Origami Science and Art, Proceedings of the Second International Meeting of Origami Science and Scientific Origami, Otsu, Japan, November 29-December 2, 1994.

Jueves, 01 de Septiembre de 2005 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

880. 4. Paraboloide hiperbólico de papiroflexia

Texto y vídeos: Helena Verrill Artículo original (en inglés): http://hverrill.net/pages~helena/origami/parabola Traducción al castellano:José Ignacio Royo Prieto; Tratamiento de vídeo: Pablo Palacios   En esta página mostramos cómo construir un paraboloide hiperbólico con papiroflexia. Esta superficie es también conocida como "silla de montar". Este modelo no es de mi invención: se pueden encontrar instrucciones para construirlo en el libro de Paul Jackson "The complete origami course" (Smithmark Pub, 1989), donde se dice que el modelo fue recientemente redescubierto por John Emmet. No está claro el origen del modelo, aunque emerge en contextos diversos, incluyendo el trabajo de los artistas de la Bauhaus. INSTRUCCIONES: Toma un cuadrado de papel y marca las diagonales. Dobla el papel llevando un lado hasta la marca del centro. Sólo tienes que marcar el sector que queda delimitado por las marcas diagonales (mira el resultado en el segundo dibujo).   Repite lo mismo en el lado opuesto del cuadrado: Ahora lleva el lado de arriba hasta la marca de 1/4, y después hasta la de 3/4 (de esta manera, conseguimos dobleces en las alturas 1/8 y 3/8, respectivamente) Repite lo mismo en el lado opuesto: A continuación, repite el mismo proceso en los otros 2 lados del cuadrado, consiguiendo lo siguiente: Da la vuelta al papel y dobla justo por la mitad de los dobleces que ya están hechos (llevando el lado hasta la marca de 1/8, luego la de 3/8, la de 5/8 y la de 7/8) Así obtenemos dobleces en la dirección contraria a los existentes. Repite en todos los lados. Terminarás obteniendo algo parecido a esto:    El siguiente paso consiste en plegar por todas las marcas. El resultado es como un abanico o acordeón en cada lado del cuadrado. A partir de aquí, es un poco difícil describir detalladamente cómo se obtiene la figura final. Quizá sirva de ayuda el siguiente vídeo, que presentamos en 3 formatos distintos: Silla_WMV.zip (767kb, formato WMV) Silla_MOV_low.zip (277kb, formato MOV baja resolución) Silla_MOV_high.zip (791kb, formato MOV alta resolución) En él se muestra la versión del paraboloide hiperbólico con 8 cuadrados concéntricos (que es el caso descrito en los diagramas). Para obtener el paraboloide hiperbólico de la foto de arriba del todo, hay que plegar 16 cuadrados concéntricos. Se hace de manera totalmente análoga: si lo has podido plegar con 8 cuadrados concéntricos, no tendrás problemas para hacerlo con 16. A mayor número de pliegues, más suave (diferenciable) será la figura de papiroflexia final, que a la vez requerirá mayor precisión. Acabarás obteniendo una figura de este tipo:   Software para ver el vídeo: Windows Media Player (para archivos WMV): Macintosh, Windows QuickTime (para archivos MOV): Macintosh, Windows Media Player (para archivos WMV,MOV): Linux

Martes, 01 de Febrero de 2005 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico