861. 69. (Febrero 2010) Los billetes y su número de serie

Pulsa en la imagen para ver el juego.

Martes, 02 de Febrero de 2010 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

862. 68. (Enero 2010) Mi mago favorito (solución)

El mes pasado planteábamos algunas preguntas relativas al juego que recordamos a continuación: Pide a tres voluntarios que elijan una carta cada uno y la devuelvan a la parte superior de la baraja. A continuación deletrea el nombre de mi mago favorito JUAN TAMARIZ, repartiendo cartas de la parte superior de la baraja sobre la mesa, una carta por cada letra, formando un paquete de once cartas. Entrega las once cartas al primer voluntario y pídele que deletree TAMARIZ repartiendo sobre la mesa una carta por cada letra y colocando las cuatro restantes juntas sobre el montón de la mesa. A continuación, el segundo voluntario recoge las cartas y realiza el mismo proceso, es decir reparte sobre la mesa una carta por cada letra de la palabra TAMARIZ y coloca el resto del paquete encima de las cartas de la mesa. Por último el tercer voluntario realiza también el mismo proceso que los dos anteriores. Coloca las cartas en la espalda y saca las tres superiores del paquete dejándolas cara abajo sobre la mesa, una frente a cada espectador. Al volverlas, observa con sorpresa que corresponden a las cartas elegidas. Para comprender el funcionamiento del proceso, supongamos que las once cartas están numeradas y su posición inicial corresponde al orden natural (1, 2, 3, ..., 10, 11). Las cartas elegidas por los tres espectadores son las que ocupan las posiciones 1, 2 y 3. Al repartir las once cartas, su posición se invierte, quedando ahora en el orden (11, 10, 9, ..., 2, 1). Después de deletrear las letras T-A-M-A-R-I-Z y colocar el resto del paquete encima, las siete cartas superiores invierten su posición y pasan a la parte inferior. El orden es ahora (4, 3, 2, 1, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11). Al realizar el mismo proceso dos veces más se obtienen sucesivamente las disposiciones (8, 9, 10, 11, 7, 6, 5, 1, 2, 3, 4) y (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 10, 9, 8). Claramente se observa que las tres cartas superiores son las elegidas por los espectadores. Observamos además que, una nueva aplicación del proceso anterior volvería todas las cartas a su posición original (11, 10, 9, ..., 2, 1). Podemos decir entonces que este proceso de reparto-deletreo es cíclico de orden cuatro, porque la disposición de las cartas se repite cada cuatro aplicaciones del proceso. La propiedad anterior puede generalizarse a grupos de cartas de tamaño arbitrario. El enunciado general del principio es el siguiente: Dado un conjunto de n cartas, supongamos que k ≤ n ≤ 2k. Si se reparten sobre la mesa k cartas, una a una (invirtiendo su orden) y se colocan las n - k cartas restantes sobre las anteriores, al repetir el proceso tres veces más, el conjunto queda ordenado en su disposición original. Demostración: Supongamos el conjunto ordenado inicialmente así: . Después del primer reparto, el orden de las cartas es . Después del segundo reparto, el orden es . Después del tercer reparto, el orden es . Después del último reparto, las cartas vuelven a su posición original . Observemos que, en el tercer reparto, la carta que ocupaba inicialmente el último lugar ha pasado al primero, propiedad que se aprovecha en el juego descrito. Observemos también que k debe ser mayor o igual que n/2, de modo que, si se utiliza el nombre de otro personaje, el deletreo se hará con el apellido si éste tiene más letras que el nombre pero se hará con el nombre si el apellido tiene menos letras. Puedes encontrar más información sobre este principio en la sección Card Colm de la Mathematical Association of America. Pedro.Alegria@ehu.es

Viernes, 08 de Enero de 2010 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

863. 67. (Diciembre 2009) Mi mago favorito

Es bien conocido que la mezcla de una baraja, que en realidad es una permutación del conjunto de las cartas, no es un proceso completamente aleatorio. Muchos estudios, realizados bien por matemáticos, bien por magos o por tahúres, se han realizado con el fin de conocer la posición de una o varias cartas después de una mezcla. Los primeros se conforman con descubrir los principios matemáticos que modelan este proceso, los segundos buscan idear juegos de magia basados en dichos principios y sorprender a sus espectadores y los terceros tratan de tomar ventaja de su información privilegiada durante una partida de cartas. Una característica común a todas las mezclas es su periodicidad: como hay un conjunto finito de permutaciones diferentes, si realizamos "una misma mezcla" un número suficiente de veces, en algún momento volveremos al punto de partida, es decir las cartas volverán a su posición inicial. Como no siempre es fácil realizar la mezcla exactamente igual y el número de mezclas necesarias es muy elevado, es más cómodo utilizar un conjunto más pequeño de cartas. El siguiente juego de deletreos con cartas es un ejemplo particular de lo que acabamos de comentar. El desarrollo del juego es el siguiente: Pide a tres voluntarios que elijan una carta cada uno y la devuelvan a la parte superior de la baraja. A continuación deletrea el nombre de mi mago favorito JUAN TAMARIZ, repartiendo cartas de la parte superior de la baraja sobre la mesa, una carta por cada letra, formando un paquete de once cartas. Entrega las once cartas al primer voluntario y pídele que deletree TAMARIZ repartiendo sobre la mesa una carta por cada letra y colocando las cuatro restantes juntas sobre el montón de la mesa. A continuación, el segundo voluntario recoge las cartas y realiza el mismo proceso, es decir reparte sobre la mesa una carta por cada letra de la palabra TAMARIZ y coloca el resto del paquete encima de las cartas de la mesa. Por último el tercer voluntario realiza también el mismo proceso que los dos anteriores. Coloca las cartas en la espalda y saca las tres superiores del paquete dejándolas cara abajo sobre la mesa, una frente a cada espectador. Al volverlas, observa con sorpresa que corresponden a las cartas elegidas. Explicación: En lugar de dar la explicación, aprovecharemos estas fechas para realizar el acostumbrado CONCURSO NAVIDEÑO y proponer algunas cuestiones relacionadas con el juego. Como habrás comprobado, las tres cartas elegidas han pasado de la parte inferior a la parte superior. ¿Cuál es la disposición final, con respecto a la inicial, del resto de las cartas? ¿Cuál es la disposición de las cartas después de un cuarto proceso de reparto-deletreo? ¿Funciona el juego si deletreas JUAN en vez de TAMARIZ en cada proceso? ¿Se puede realizar el juego utilizando el nombre de otra persona? ¿Cuándo debes utilizar el nombre en lugar del apellido? Todas estas preguntas son en realidad pistas que te ayudarán en la reflexión de las respuestas. Espero todas vuestras contribuciones a la dirección Pedro.Alegria@ehu.es.

Martes, 01 de Diciembre de 2009 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

864. 64. (Septiembre 2009) SOLUCIÓN CONCURSO DEL VERANO 2009

EL NUEVE MÁGICO (SOLUCIÓN) Recordaremos, para empezar, el problema propuesto en el número de julio. Coloca nueve monedas formando un círculo. Junto a cada moneda está escrito un número (en la figura aparece un signo de interrogación que deberás sustituir por el número adecuado). Pide a un espectador que piense uno de los números de la figura. Empezando en la moneda indicada por la flecha, y siguiendo el sentido de las agujas del reloj, señala sucesivamente una moneda y pide al espectador que deletree, en silencio, el número pensado, una letra por cada moneda señalada. Al finalizar el deletreo, estarás señalando la moneda junto a la cual está el número pensado. El problema que planteamos consiste en averiguar los números que debes colocar junto a cada moneda para que funcione el juego. Es fácil comprender que no existe una solución única, pues basta colocar junto a cada moneda un número que tenga tantas letras como sea necesario para llegar a la moneda ocupada por dicho número empezando a contar, una moneda por cada letra, desde el lugar ocupado por la flecha. Una de las soluciones posibles es la siguiente: Para encontrar otras soluciones, observemos que, en lugar del 11 podríamos colocar los números 3, 6, 8 ó 10, todos ellos con cuatro letras. Al no haber números con dos letras, para llegar a la segunda moneda necesitamos encontrar números con once letras, como es el 25. El resto de valores admiten también otras posibilidades teniendo en cuenta este mismo razonamiento. Algunos juegos similares, con explicaciones y añadidos interesantes, pueden encontrarse en el libro de Ian Stewart, El laberinto mágico, cuya lectura recomiendo.

Viernes, 11 de Septiembre de 2009 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

865. 63. (Julio 2009) CONCURSO DEL VERANO 2009

EL NUEVE MÁGICO Si eres lector habitual de esta sección, habrás observado que gran parte de los juegos mágico-matemáticos cuyo resultado se puede predecir de antemano se basa en que las operaciones aritméticas requeridas se simplifican de una u otra forma. Volvemos de nuevo a este tema presentando un juego clásico y muy sencillo pero, con un poco de ingenio, puede disimularse el principio en el que se basa. Para realizar el juego, sigue las instrucciones que se indican a partir de la imagen adjunta. Piensa un número mayor de 9. Desde la moneda número uno, recorre tantos pasos como indica el número pensado. Una vez dentro del círculo, seguirás el movimiento contrario al de las agujas del reloj. Si el número pensado es menor o igual a 16, llegarás a la moneda marcada con dicho número. [Por ejemplo, si has pensado el 22, a la cuenta de 17 llegarás a la moneda número 4, a la cuenta de 18 llegarás a la moneda número 5, y así sucesivamente, a la cuenta de 22 llegarás a la moneda número 9.] Desde esta última posición, recorre nuevamente el círculo de monedas, esta vez en el sentido de las agujas del reloj, y tantos pasos como el número pensado al principio. Ahora puedo saber que has llegado a la moneda marcada con el número 13. Repite algunas veces el experimento y comprobarás que llegas siempre a la misma posición, porque el efecto de recorrer el círculo en uno y otro sentidos es el mismo que el de restar el número de pasos recorridos en dicho círculo. Si quieres hacer el juego y disimular el principio, basta con colocar cada vez un número diferente de monedas en la cola del nueve. Eso hará que el resultado final sea siempre distinto pero tú puedes controlar en cada caso cuál será la moneda correspondiente al final del recorrido. Como problema de concurso para este verano proponemos una versión diferente usando el mismo principio. El juego consiste en lo siguiente: Coloca nueve monedas formando un círculo. Junto a cada moneda está escrito un número (en la figura aparece un signo de interrogación que deberás sustituir por el número adecuado). Pide a un espectador que piense uno de los números de la figura. Empezando en la moneda indicada por la flecha, y siguiendo el sentido de las agujas del reloj, señala sucesivamente una moneda y pide al espectador que deletree, en silencio, el número pensado, una letra por cada moneda señalada. Al finalizar el deletreo, estarás señalando la moneda junto a la cual está el número pensado. El problema que planteamos consiste en averiguar los números que debes colocar junto a cada moneda para que funcione el juego. Bastará seguir las instrucciones del juego para encontrar la regla de formación de dichos números. Como es habitual, entre quienes encuentren una solución correcta, se sorteará un obsequio por parte de Divulgamat.

Miércoles, 01 de Julio de 2009 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

866. 62. (Junio 2009) Cocientes de Fibonacci

Como continuación del tema iniciado en la entrega anterior, mostraremos con un juego de magia una de las propiedades de la sucesión de Fibonacci, concretamente la que relaciona dicha sucesión con el número áureo, famoso por haberse utilizado como modelo de proporciones en diferentes manifestaciones artísticas. El número áureo, descrito con la letra griega Φ, es la raíz positiva de la ecuación de segundo grado x2 = x + 1. Para realizar el juego, sigue las siguientes instrucciones: En una hoja de papel escribe un número cualquiera. Debajo de él escribe otro número arbitrario. Bajo ellos escribe la suma de los dos números anteriores. Escribe un cuarto número que sea la suma de los dos últimos números escritos. Sigue este proceso hasta que hayas escrito 10 números (cada uno de ellos será la suma de los dos números inmediatamente anteriores). Para finalizar, divide entre sí los dos últimos números escritos, el último entre el penúltimo o viceversa. Ejemplo: 4 7 11 18 29 47 76 123 199 322 Lo creas o no, puedo adivinar las primeras cifras de la parte decimal del resultado: son un 6, un 1, un 8, un 0, quizá un 3. La explicación es sencilla: si has dividido el último entre el penúltimo, el cociente es una buena aproximación del número áureo Φ = 1,61803...; si has dividido el penúltimo entre el último, el resultado se aproxima a 1/Φ = Φ - 1 = 0,61803... La propiedad descrita también es cierta si los dos términos iniciales de la sucesión son arbitrarios, como en el ejemplo anterior.

Lunes, 01 de Junio de 2009 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

867. 61. (Mayo 2009) Sumas de Fibonacci

Un tema que no puede faltar en cualquier trabajo sobre matemática recreativa es el relativo a las propiedades de la sucesión de Fibonacci. Por la simplicidad de su definición, por la originalidad de la leyenda con la que se definió por primera vez (sí, la de esa familia de conejos que se autofecundan indefinidamente), por la variedad de propiedades interesantes y aplicaciones inesperadas, sigue siendo motivo de estudio para muchos aspectos divulgativos de las matemáticas. En esta entrega (y algunas posteriores) nos centraremos en aquellos aspectos recreativos o ingeniosos que relacionan la sucesión de Fibonacci con la magia. Para este juego, busca una persona que quiera colaborar contigo y pídele que siga las siguientes instrucciones: En una hoja de papel escribe un número cualquiera. Debajo de él escribe otro número arbitrario. Bajo ellos escribe la suma de los dos números anteriores. Escribe un cuarto número que sea la suma de los dos últimos números escritos. Sigue este proceso hasta que hayas escrito 10 números (cada uno de ellos será la suma de los dos números inmediatamente anteriores). Para finalizar, suma los diez números obtenidos. Mientras realiza esta operación, tú puedes rápidamente saber el resultado de dicha suma y escribirlo en una hoja de papel. ¿Sabes cómo?: simplemente, multiplica por 11 el séptimo número de la serie. Para que el juego sea verdaderamente sorprendente, debes ser capaz de realizar esa multiplicación de forma inmediata. Pero una regla sencilla para hacerlo es la siguiente: Escribe la primera cifra del número; a continuación la suma de la primera y la segunda; luego la suma de la segunda y la tercera; la suma de la tercera y la cuarta; y así sucesivamente, hasta escribir la última cifra. Por ejemplo, para calcular 1436 x 11, debes escribir 1, 1+4, 4+3, 3+6, 6, es decir 15796. Otro ejemplo, las cifras del producto 2475 x 11 serían 2, 2+4, 4+7, 7+5, 5. Como algunos valores son mayores de nueve, se debe añadir la unidad a la cifra anterior. En este caso, el valor final sería 27225. Te animo a que descubras la razón de esta propiedad. Realiza las operaciones indicadas en el juego con números arbitrarios y comprueba que la suma es once veces el séptimo término de la sucesión.

Viernes, 01 de Mayo de 2009 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

868. 48. Experiencias Didácticas

Presentamos  algunas actividades relacionadas con el cine llevadas a cabo por compañeros en Secundaria e indicamos algunos recursos didácticos que se han publicado en torno a Ágora en algunos medios. Durante el pasado mes de Febrero fui invitado como ponente a dos cursos organizados por centros de profesores en Burgos y Sevilla. El primero, Las TIC y la investigación. Nuevas Metodologías para el Aula de Matemáticas, hacía un repaso a diferentes planteamientos didácticos utilizando algunas de las fuentes de información, nuevas tecnologías y software matemático de los que hoy disponemos, que permiten, empleados correctamente, motivar y desarrollar la participación y la iniciativa personal del alumnado en las clases. Entre ellos se abordaron cuestiones relacionadas con el azar, Internet, el Proyecto Descartes, Derive y la introducción de secuencias cinematográficas como punto de arranque para trabajar cuestiones del currículo de la ESO, el Bachillerato y temas de ampliación que permitan conocer otras facetas de la Matemática y/o de su Historia. El Curso de Sevilla era más específico: La Matemática a través del Cine. Tuvo lugar del 8 al 23 de Febrero y en él nos centraremos con más detalle. Hubo cinco ponencias de tres horas cada una a cargo de los profesores Agustín Muedra (IES Massamagrell), José Luis Requena (IES Almussafes), ambos de la Comunidad Valenciana, Raúl Núñez Cabello (IES Politécnico de Sevilla), y el que esto suscribe estas líneas, del Departamento de Matemática Aplicada de la Universidad de Valladolid. Los dos profesores valencianos junto a Mª Carmen Raga Benedicto (IES Federica Montseny, Burjassot) conforman el Grupo Cinemat de Valencia que lleva trabajando desde 2004 en cómo transmitir contenidos matemáticos a través del cine. Según nos explican en esta entrevista (después de pinchar en el enlace, seleccionar el apartado Matemátiques de cine) encontraron pocas películas que trataran enteramente de matemáticas, y de esas pocas, o bien eran muy infantiles o no eran aptas para nuestros alumnos. Por otro lado, como hemos comentado también desde esta sección en múltiples ocasiones, utilizar una película entera en el aula tiene el problema de su duración: sólo para visualizarla se necesitan al menos dos sesiones de clase. Haciendo esto, el primer día, los alumnos van a clase de matemáticas, pero al segundo, si se les pregunta afirman que van a ver una “peli”. La intención es motivar con algo de cine, no entretenerse en aspectos colaterales. Comprobaron entonces que sin embargo era relativamente fácil encontrar anuncios, vídeos musicales, pequeñas escenas de películas con referencias a las matemáticas. Confeccionaron entonces algunos materiales que llevaron al aula en varios institutos diferentes y comprobaron que las imágenes, por la razón que sea, motivan al alumnado que atiende y trabaja. Y otros docentes, comprobado el éxito, se fueron interesando por sus métodos. Conscientes de ello, se animaron a participar en una convocatoria de proyectos de innovación de la Consejería de Educación de la Generalitat Valenciana, fruto del cual han logrado que la publicación del libro Matemátiques de Cine, cuya portada podéis ver en la imagen. Es una edición bilingüe (castellano y valenciano) que recoge unas actividades propuestas a partir de la selección de escenas de películas y series de televisión para 2º curso de ESO, fundamentalmente para el bloque de números, aunque previamente incluye una evaluación inicial con más de una docena de cuestiones básicas. Después el bloque indicado está formado por 18 actividades, a propósito de otras tantas escenas, en su mayoría de las series Los Simpson y Futurama. Todas las actividades han sido utilizadas como complemento al libro de texto habitual durante los últimos dos cursos lo que ha permitido a sus autores evaluar, modificar y mejorar las cuestiones planteadas. La presentación de las actividades mediante menús es bastante vistosa. El contenido aparece dividido en siete epígrafes como puede verse en la imagen. Una vez seleccionado el que nos interesa, se pasa a un nuevo menú que indica ya las actividades concretas. A modo de ejemplo, indicamos dos de ellas. En el año 3000 Escena de la serie Futurama, 1ª Temporada,  primer capítulo Piloto Espacial 3000 (Space Pilot 3000, 1999) Fry se congeló el día 31 de Diciembre de 1999, a las 23:59:59. Hasta su descongelación, el 31 de diciembre de 2999, transcurren 1000 años. Considerando que el día de su congelación fue viernes, el objetivo es calcular qué día de la semana será el día de su descongelación. Se dice que un año es bisiesto si es divisible por 4, excepto aquellos divisibles por 100, pero no por 400. Por ejemplo, 1996 fue bisiesto, pues es divisible por 4. El año 1900 no lo fue, pues es divisible por 100 y no por 400. En cambio el año 2000 si fue bisiesto pues es divisible por 400. Cuestiones: 1.- ¿Cuántos años bisiestos hay entre 1999 y 2999? 2.- Teniendo en cuenta que un año bisiesto tiene 366 días (se añade un día al mes de febrero), y un año no bisiesto tiene 365. ¿Cuántos días transcurren entre el 31 de diciembre de 1999 y el 31 de diciembre de 2999? 3.- En el vídeo puedes ver que Fry se descongela al mediodía, es decir 12 horas antes de la hora que cabría esperar ¿Cómo ajustarías, con este dato, el cálculo del apartado anterior? Este desajuste es debido al número de días que para la máquina tiene un año ¿Cuál es este valor? 4.- Con los cálculos realizados en las cuestiones anteriores será fácil responder a la cuestión ¿Qué día de la semana es el 31 de diciembre de 2999? En el mismo capítulo nos ofrecen la solución. Escucha atentamente lo que le dice Bender a Fry … 5.- ¿Qué día de la semana será tu cumpleaños cuando cumplas 50 años? ¿Chocolatina o patatas? Chicas Malas (Mean Girls, Mark Waters, EE. UU., 2004) es una típica comedia adolescente norteamericana que llama la atención a prácticamente todos los estudiantes de Secundaria. En el guión se hacen referencia a conceptos matemáticos ya que la película transcurre en un instituto, aludiendo los diálogos en varias ocasiones a clases de matemáticas. La actividad se articula en torno a una escena en la que la protagonista Cady Heron (Lindsay Lohan), muy buena en nuestra asignatura, plantea y resuelve una sencilla cuestión de proporcionalidad y porcentajes. Al mismo tiempo la escena da pie a comentar la obsesión que muchos jóvenes tienen por las calorías y el peso, que no en pocas ocasiones acaba degenerando en trastornos alimenticios serios. Cuestiones: 1.- Tres de las chicas protagonistas tratan de averiguar que engorda menos entre una chocolatina y unas patatas fritas. Leen los ingredientes de la primera: Regina: 120 calorías y 48 son de grasa ¿Qué porcentaje es ese? Gretchen: Pues, ¿48 dividido por 120? ¿Es correcta esta respuesta? ¿Por qué? ¿Qué representa 48 dividido por 120? 2.- Cady: Es un 40% ¿Es correcta la respuesta? ¿Por qué? Sus compañeras están sorprendidas por la respuesta, por lo que Cady trata de explicarlas su razonamiento. Presta atención a cómo resuelve este problema … Cady: Bueno, 48 partido por 120 es igual a x partido por 100, luego haces la regla de tres y te da el valor de x. Gretchen (un tanto agobiada): Da igual, voy a por unas patatas. Video Digital Educativo Además de este tipo de actividades, estos profesores han querido ir más allá poniendo en práctica una actividad realmente interesante: realizar con los alumn@s sus propias filmaciones. Aunque pueda parecer una idea complicada (en efecto necesita más trabajo para su elaboración, pero los medios a nuestro alcance permiten una gran versatilidad. ¿No graban los jóvenes montones de imágenes, la mayor parte de ellas sin demasiado sentido ni interés, que luego cuelgan en Internet? Se trata de educarles también en este sentido: enseñarles a hacerlo bien y de temática más provechosa). Esta actividad contempla la planificación, grabación, edición y producción de cortometrajes dirigidos y realizados por el alumnado, en los que se muestren contenidos matemáticos y experiencias educativas de interés. La evaluación de esta experiencia ha sido muy satisfactoria: a los alumnos les resulta atractiva y motivadora, y alcanzan niveles de comprensión superiores a los que llegan sentados en el pupitre (cuya presencia en la memoria ya sabemos lo que dura). Además contribuye a desarrollar en ellos otros aspectos, no menos importantes, como el manejo espacial de imágenes, la iluminación, la composición, edición, lenguaje corporal, sintaxis, etc., y por supuesto, el trabajo en equipo. En el último número de la revista SUMA, nº 62 de Noviembre 2009, en el artículo titulado Matemáticas de Cine: una propuesta innovadora, pp. 19 - 24, se describe con más detalle esta experiencia, incluyendo una guía secuenciada del proceso a seguir en la planificación de una actividad de estas características de gran utilidad a nivel práctico. En este enlace, podemos ver el resultado, que describimos a continuación. Taller de Geometría “En este video vamos a mostrar cómo medir distancias inaccesibles utilizando una potente herramienta geométrica: la semejanza de triángulos. Sabemos por el teorema de Tales que dos triángulos rectángulos con un mismo ángulo agudo son semejantes, por lo tanto sus lados proporcionales. El gran Tales de Mileto consiguió en el s. VI a. C. dar una buenísima aproximación de la altura de la Gran Pirámide de Keops con la simple ayuda de su bastón, aprovechando la sombra que proyectaban ambos objetos. En efecto los rayos del Sol inciden sobre los objetos bajo un mismo ángulo, generando así dos triángulos rectángulos semejantes. La primera actividad propone calcular la altura de este mástil aprovechando la sombra que proyecta. Nos situamos junto al mástil y observamos que tanto el mástil como nuestro cuerpo proyectan una sombra. Medimos la longitud de la sombra proyectada por el mástil. Anotamos la medida en nuestro dossier de trabajo. A continuación  medimos la sombra proyectada por nuestro cuerpo, así como la altura. Anotamos las medidas con un dibujo que nos sirva de apoyo. La calculadora nos ayudará a hacer los cálculos necesarios. Planteamos la proporción y obtenemos una altura de 10,1 metros. La siguiente actividad propone calcular la altura a la que se encuentra el aro de esta canasta con la simple ayuda de un espejo. Entre la canasta y el observador situamos el espejo haciendo una pequeña marca en él. Con el espejo situado en esta posición y mirando a través de él, el observador se aleja poco a poco hasta coincidir el aro y la pequeña marca que se hizo anteriormente. Este método fue ideado por Euclides de Alejandría en el siglo III a. C. En esta situación observamos que se generan dos triángulos rectángulos imaginarios. Como el rayo incidente y el reflejado forman un mismo ángulo con la horizontal, estos dos triángulos son semejantes. Llamando “a” a la altura hasta los ojos del espectador, “b” a la distancia que separa al observador del espejo, “c” a la distancia del espejo al pie de la canasta, y “x” a la altura a la que se encuentra ésta, sólo quedará aplicar la proporción para estimar la altura deseada. Hacemos un dibujo donde iremos colocando los datos. (A continuación toman todas esas medidas). Planteamos la proporción y observamos que la canasta se encuentra a 3,057 metros de altura. Todos los grupos de trabajo comentan las actividades planteadas. También viene bien alguna aclaración por parte del profesor”. La última actividad plantea calcular la altura de un edificio también a partir del reflejo en un espejo de un modo similar al de la canasta. Como aparece al final, el vídeo lo realizaron 14 alumnos del IES Jaume I de Sagunto de 2º de la ESO y el montaje corrió a cargo de alumnos de Informática de 4º de la ESO durante el curso 2006 - 2007. Sólo hay una cosa que reiteran varias veces y que no me convence: eso de que la calculadora es siempre una buena aliada en nuestro trabajo. Hombre, si se tratara de operaciones complicadas, muy abundantes, o si necesitaran tenar la medida de razones trigonométricas de algún ángulo, lo entendería, pero no para lo que tienen que hacer, que debería hacerse a mano, o como mucho, comprobarlo después.. Otra actividad similar realizada por estos profesores y sus alumnos es La forma de los rectángulos. Finalmente, el Curso finalizó con el profesor Raúl Núñez Cabello, que planteó una serie de actividades en torno a los enigmas que aparecen en la película La habitación de Fermat (reseña nº 27). Este profesor ha publicado unos libros con actividades diversas (Taller de Estadística y probabilidad, Movimientos en el plano, Geometría del triángulo y la circunferencia, etc.) que pone a disposición de todo lector interesado en este enlace. Asimismo una web que puede resultar de interés de otros dos compañeros sevillanos es Mates y +. Pero Sevilla dio aún para más. Casualmente, coincidencias de la vida, en esos días me topé allí con una exposición sobre mujeres astrónomas en La Casa de la Ciencia del CSIC en el antiguo pabellón del Perú de la Exposición Iberoamericana de 1929: Con A de Astrónomas, que permanecerá allí hasta el 14 de marzo. Incluía objetos reales del atrezzo de la película Ágora, con los que como veis no resistí la tentación de fotografiarme (desafortunadamente Rachel Weisz, no estaba). A propósito de Ágora, acaba de salir el DVD a la venta en tres ediciones diferentes, a partir de las cuales poder analizar y disfrutar mejor de la película. Concretamente, se puede comprobar aquella cuestión que planteábamos en la reseña de la película (nº 44) en la fecha de su estreno sobre el Cono de Apolonio. En efecto, era un cono. La confusión con el paraboloide fue ocasionada por la otra imagen en la que se habían quitado algunas piezas. También pusimos en entredicho que en la Alejandría del siglo IV, gobernada por Roma, siguiera llamándose “ágora” a la plaza pública. Realmente tampoco es demasiado descabellado ya que la acción se focaliza en los griegos neoplatónicos de la ciudad que bien pudieran seguir denominando así al lugar, por costumbre o a modo de reivindicación cultural propia. A pesar de los ríos de tinta y comentarios de todo tipo que la película ha seguido generando, queda fuera de toda duda que a la mayor parte de los profesores de muy diversas materias les ha parecido una producción de mucho interés para llevar al aula y motivar trabajos y actividades, fundamentalmente en el último curso de Bachillerato e independientemente de si se está de acuerdo  o no con la tesis planteada por los guionistas. La revista Aula de Innovación Educativa nº 187 de Diciembre de 2009 publicada por la editorial Graó propone algunas sugerencias didácticas centradas en la ciencia y las matemáticas de la película. Ese mismo mes, la revista Making Of, Cuadernos de Cine y Educación nº 69 Especial Filosofía, dedica su Guía Didáctica de 16 páginas a esta película. Se trata de una publicación de gran interés para los docentes que deseen incorporar el cine a las aulas, con un montón de sugerencias y contenidos muy bien pensados y organizados según el currículo de las Enseñanzas Medias. Desafortunadamente tienen una gran carencia de contenidos científicos, y en particular matemáticos que desde estas líneas les animaríamos a ir subsanando. Es todo, que no es poco, pero el mes y probablemente las vacaciones, nos permitan ir mirando todas estas sugerencia con cierta tranquilidad.

Martes, 02 de Marzo de 2010 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

869. 36. (Marzo 2010) Le Crâne et la Mécanique ou La double vie d’Ada Lovelace, de Lo glasman

La crâne et la Mécanique (subtitulada La double vie d’Ada Lovelace)[1] es un espectáculo musical –creado por Lo glasman y representado por la compañía teatral Les Passeurs d’Ondes– que trata de la situación de las mujeres en ciencia y de la evolución en el conocimiento del funcionamiento del cerebro. La obra enfrenta a un personaje femenino –Ada Byron, hija del poeta Lord Byron y célebre matemática inglesa autora del primer programa informático– y a un personaje masculino –el Dr. Deville,  ferviente defensor de la frenología–. El espectáculo habla sobre los estereotipos masculinos y femeninos, y conduce a una reflexión sobre la perversidad que supone la utilización de la ciencia como una  herramienta para justificar algunos prejuicios sociales. ¿Existen razones objetivas y neurológicas que expliquen las diferencias de comportamiento entre hombres y mujeres? La obra tiene cinco personajes: Augusta Ada Byron King (condesa de Lovelace), El Dr. Deville (frenólogo), Janet (doncella de Ada), Ada adolescente y la tutora de Ada. La acción se desarrolla en dos épocas diferentes, que se entremezclan continuamente: la adolescencia de Ada –enero de 1828, etapa en la que la protagonista se asfixia bajo el yugo de una educación opresiva, e inventa una máquina voladora para ir en búsqueda de su madre, a la que extraña por sus prolongadas ausencias–  y el periodo de Ada con el frenólogo –1841, momento en el que Ada no consigue centrarse en su trabajo en colaboración con el matemático Charles Babbage, inventor de una máquina calculadora que ella piensa que es capaz de controlar–. En la introducción del libreto de la obra, el propio Lo glasman indica que el personaje de Augusta Ada Byron King es doble: las dos actrices (adolescente y adulta) que interpretan a Ada aparecen por turnos en modo Ada (obediente y conformista) o en modo Augusta (rebelde y reivindicativa); incluso a veces las dos identidades aparecen entremezcladas. Cuando las dos personalidades discuten, Augusta se manifiesta siempre con la mano izquierda; la mano derecha es el baluarte de Ada.  En el caso de Ada adulta, el lado izquierdo –el modo Augusta– ya está paralizado. La obra comienza con el Dr. Deville introduciendo un caso sorprendente con el que él comenta que se cruzó a lo largo de su carrera: el de Ada Augusta Byron King, de la que habla como de una persona con identidad trastornada, con personalidad doble. El Dr. Deville explica que en aquella época Ada trabajaba en colaboración con el matemático Charles Babbage y se había obsesionado con la extraña idea de enseñar a pensar a las máquinas.  El médico comenta que tras una violenta discusión con Babbage –por un problema de paternidad intelectual– Ada tuvo una crisis, como las que ya había padecido en su adolescencia... y comienza la obra. Se describe brevemente la acción, destacando algunas de las referencias matemáticas. (1841) Ada está sentada leyendo, manifiestamente disgustada, un manuscrito de Babbage, con la mano izquierda escondida. El matemático quiere añadir un apéndice a su trabajo sobre la máquina calculadora en colaboración con Ada, con lo que ella quedaría en una posición relagada. En un momento dado, la mano izquierda (modo Augusta) comienza a moverse, y lanza –aparentemente sin la intervención de Ada– el manuscrito a otro lado de la escena. Esta situación se repite en varias ocasiones. (1828) Ada tiene 14 años, y enfadada, tira juguetes por el suelo; su tutora le riñe... Cuando ésta se va, Ada agarra su mano izquierda (modo Augusta) con su mano derecha (modo Ada) y comienza  hablarle. (1841) Ada explica a su doncella Janet las maravillas de la máquina calculadora en la que está trabajando[2]: Mais celle-ci, la machine analytique, celle dont vous avez les plans sous les yeux, au contraire peut effectuer n’importe quel calcul dans n’importe quel sens. Et tout garder en mémoire. Utiliser ces résultats pour faire de nouveaux calculs. Vous vous rendez compte ? De cette manière, elle peut tout calculer, c’est sans fin [...] Ainsi la machine n’obéit-elle plus seulement à un ordre de calcul, comme pourrait le faire un animal savant, mais à une séquence d’ordres, un programme d’une taille virtuellement infinie... Vous avez sous les yeux une machine à obéir. L’obéissance absolue. El Dr. Deville ha llegado y explica las maravillas de la frenología, según él la verdadera ciencia de la acción nerviosa. Mientras el médico habla, Ada se transforma en Augusta, su mano izquierda, su doble diabólica, que se revuelve contra los disparates que está escuchando. Ada, se queda sola en escena, y Augusta le recrimina su comportamiento sumiso frente a Babagge[3]: Oui, l’ambition de te faire marcher sur la tête encore une fois, c’est cela? DEUX ANS!! DEUX ANS de travail pour en arriver là! DEUX ANS de réflexion, de sueur pour qu’il vienne tout gâcher avec son addendum pleurnichard! Et tu sais très bien ce qui va se passer si tu acceptes! [...] Mais tu préfères te taire, encore une fois! Comme au bon vieux temps! Te faire mettre en serrant les dents, hein? Belle ambition en effet! Joli travail! Más adelante, entra Janet, a la que Ada explica algunas fórmulas matemáticas[4]: Janet, écoutez-moi, nous commençons par une fonction simple... prenons la fonction cosinus de x par exemple, on la calcule par approximations successives en faisant la somme pour n, entier naturel, allant de zéro à l’infini, de tous les termes de forme moins un à la puissance n, multiplié par x à la puissance deux n et divisé par la factorielle de 2n, nous sommes d’accord? [...] pour les nombres de Bernoulli, si on s’en tient à la définition classique, c'est-à-dire : cosinus de x est égal à sinus de x divisé par x et multiplié par la somme pour n, entier naturel allant de zéro à l’infini de moins quatre à la puissance n multiplié par B deux n, c'est-à-dire le nombre de Bernoulli numéro n fois deux, multiplié par x puissance deux n et divisé par deux n factorielle, bien sûr. On comprend aisément, quand on développe la formule qu’au bout du compte, regardez: Ou encore: Ada continúa de manera obsesiva[5]: Ce que je veux vous démontrer c’est que les nombres de Bernoulli doivent se calculer un par un ! Impossible de calculer B4 tant que l’on n’a pas calculé B2 et ainsi de suite, mais pour cela, il faut avoir décortiqué le calcul pas à pas pour donner les instructions à la machine une par une, vous comprenez ? [...] Oui, l’erreur est humaine. [...] Cette machine, que nous sommes en train de construire, c’est à cela qu’elle servira. A faire ces calculs sans humains. A faire des calculs sans faire d’erreurs... [...] (1828) La institutriz critica a Lord Byron, ante una sumisa Ada. La mano izquierda (modo Augusta) pega a Ada y empieza a regañarle por dejarse humillar. (1841) Se produce un diálogo insultante entre el médico y Ada, en el que Deville argumenta sobre la poca capacidad mental de las mujeres[6]: - Ada: [...] C’est ma vocation, les mathématiques ! Mon plaisir, ma raison d’être sur terre, ma création, ma poésie, c’est mon talent! - Deville: Il n’y a tout bonnement pas suffisamment de place dans votre  esprit pour des travaux de mathématiques. Voyez-vous, la forme de votre crâne suggère que vous avez l’Idéalité très développée... [...]... mais votre conformation crânienne ne laisse que peu de place à la logique ou aux raisonnements déductifs... - Ada: [...] J’ai besoin de terminer ce travail. Je veux poursuivre mes recherches ! Elle doit exister, cette machine, il le faut! Et c’est à moi de lui apprendre à obéir! - Deville: [...] Un alcoolique devra cesser de boire, vous devrez renoncer aux mathématiques. Ayant vraisemblablement atteint la limite permise par votre esprit. Allons, ce n’est pas si grave, vous vous en remettrez. Vous pouvez faire un tas d’autres choses... je ne sais pas moi... du crochet... Mientras el frenólogo observa el cráneo de Ada, le dice[7]: Vous savez, la logique, normalement… ce n’est pas très féminin… la pensée abstraite non plus, d’ailleurs… (1828) Ada obedece dócilmente a su tutora. Augusta se rebela contra este comportamiento sumiso. (1841) Deville se va para preparar el material para la trepanación de Ada: decide que es la única manera de atajar sus crisis de cólera, sus ataques de furia. Ada comenta a Janet los secretos de su adolescencia,  con la compañía casi exclusiva de tutoras y gobernantas. Le explica como pretendían eliminar a Augusta –interpretada por sus preceptoras como la locura del padre instalada en Ada–, la falta de cariño, la ausencia de su madre... y el alivio al regresar su madre para vivir con ella, provocando el cese de las intromisiones perturbadoras de Augusta. (1828) Ada y Augusta diseñan una máquina voladora: ambas manos –Ada, la derecha y Augusta, la izquierda– colaboran en armonía. Es la primera vez que la adolescente se siente completa, unificada física y psíquicamente. Abre la ventana, que se transforma en máquina voladora, abre los brazos y vuela, feliz y dichosa, para llegar hasta Ada-adulta (1941), prisionera en su silla, esperando la trepanación del Dr. Deville. Ada-adulta, se lamenta de haber obedecido toda su vida: a su madre, a Babbage, a su esposo... Ada-adolescente libera a Ada-adulta de la cuerda que la mantiene prisionera a merced del frenólogo: con ella estrangulan a Deville, que cae muerto.   Agradezco a Lo glasman el haberme facilitado el libreto de la obra y el haberme permitido utilizar toda la información sobre Le Crâne et la Mécanique contenida en la página de la compañía Les Passeurs d’Ondes. NOTAS: [1] El Cráneo y la Mecánica o La doble vida de Ada Lovelace [2] Pero ésta, la máquina analítica, ésta de la que tiene los planos bajo los ojos, al contrario puede efectuar cualquier cálculo en cualquier sentido. Y guardar todo en su memoria. Utilizar estos resultados para realizar nuevos cálculos. ¿Se da cuenta? De esta manera, puede calcular todo, no tiene fin [...] Así la máquina no obedece ya sólo a una orden de cálculo, como podría hacerlo un animal sabio, sino a una sucesión de órdenes, un programa de talla virtualmente infinita... Tiene bajo los ojos una máquina de obedecer. La obediencia absoluta. [3] Si, la ambición de dejarte pisar una vez más, ¿es eso? ¡¡DOS AÑOS!! ¡DOS AÑOS de trabajo para llegar a este punto! ¡DOS AÑOS de reflexión, de sudor para que venga a estropear todo con su apéndice quejica! ¡Y sabes muy bien lo que va a pasar si aceptas! [...] ¡Pero prefieres callarte de nuevo! ¡Como en los viejos tiempos! Dejarte hacer apretando los dientes ¿no? ¡Bonita ambición, en efecto! ¡Buen trabajo! [4] Janet, escúcheme, comencemos por una función sencilla... tomemos la función coseno de x por ejemplo, se calcula por aproximaciones sucesivas haciendo la suma para n, entero natural, variando de cero a infinito, de todos los términos de forma menos uno elevado a n, multiplicado por x elevado a 2n y dividido por el factorial de 2n, ¿estamos de acuerdo? [...] para los números de Bernoulli, si nos atenemos a la definición clásica, es decir: coseno de x es igual a seno de x dividido por x y multiplicado por la suma en n, entero natural de cero a infinito, de menos cuatro elevado a n multiplicado por B2n, es decir el número de Bernoulli número 2n, multiplicado por x elevado a 2n y dividido por el factorial de 2n, por supuesto. Se comprende fácilmente , cuando se desarrolla la fórmula al final de la cuenta, mire: O aún: [5] ¡Lo que quiero demostrarle es que los números de Bernoulli deben calcularse uno a uno! Imposible calcular B4 si no se ha calculado B2 y así sucesivamente, pero para ello, es preciso desmenuzar el cálculo paso a paso para dar instrucciones a la máquina una a una, ¿comprende? [...] Si, el error es humano. [...] Esta máquina que estamos construyendo, servirá para eso. Para hacer cálculos sin seres humanos. Para hacer cálculos sin cometer errores... [...] [6] - Ada: [...] ¡Las matemáticas son mi vocación! ¡Mi placer, mi razón de estar sobre la tierra, mi creación, mi poesía, mi talento! - Deville: No hay sitio suficiente en su espíritu para trabajos matemáticos. Mire, la forma de su cráneo sugiere que usted tiene la idealidad muy desarrollada... [...]... pero su configuración craneal no deja más que poco lugar a la lógica o a los razonamientos deductivos... - Ada: [...] Necesito terminar este trabajo. ¡Quiero continuar con mis investigaciones! ¡Esta máquina debe existir, es necesario! ¡Y es mi deber enseñarle a obedecer! - Deville: [...] Un alcohólico debe dejar de beber, usted deberá renunciar  a las matemáticas. Habiendo alcanzado probablemente el límite permitido por su espíritu. Vamos, no es tan grave, usted se recuperará. Puede usted hacer un montón de cosas diferentes... no se... ganchillo... [7] Sabe usted, la lógica, normalmente... no es algo muy femenino… el pensamiento abstracto tampoco, por cierto…

Lunes, 01 de Marzo de 2010 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

870. 47. Olimpiadas Matemáticas

El mes pasado hablamos de uno de los trabajos del director George Paul Csicsery. Abordamos en esta ocasión el documental Hard Problems, una visión de la Olimpiada Matemática Internacional desde diferentes perspectivas. El origen de esta película tuvo lugar cuando el Presidente de la Mathematical Association of America (MAA, http://www.maa.org/) Joseph A. Gallian (el de la foto), propuso al director George Paul Csicsery la realización de un documental en torno al equipo norteamericano participante en la 47 edición de la Olimpiada Matemática Internacional (IMO, por sus siglas en inglés, http://www.imo-official.org/) celebrada en el 2006 en Ljubljana, Slovenia. Como ya comentamos en la reseña del mes pasado, George Paul Csicsery ha dirigido varios documentales sobre matemáticos célebres, siendo éste el primero en el que se narran las vivencias de matemáticos no profesionales, lo que para el realizador suponía un aliciente añadido. La idea era dar a conocer al público en general las dificultades que entraña prepararse para este evento, considerado el mayor acontecimiento a nivel mundial de entre la gran cantidad de concursos matemáticos que se proponen, y uno de los más complejos tanto en la organización como en la dificultad de los problemas que se plantean. Csicsery empleó finalmente 19 meses en el rodaje para obtener unas 100 horas de metraje. La película se estrenó el 8 de Enero de 2008 y se editó en DVD el 11 de Abril de ese mismo año. Pasemos a describirla con más detalle. Empezamos como siempre por una pequeña ficha técnica. Ficha Técnica de la película Título Original: Hard Problems. The Road to the World's Toughest Math Contest. Nacionalidad: EE. UU, 2008. Director y Productor: George Paul Csicsery, según una idea de  Joseph Gallian. Fotografía: Skip Sweeney (U.S.A.), András Tóth-Szöllös (Slovenia), Lance Douglas (Cambridge), en Color. Montaje: Tal Skloot. Música: Todd Boekelheide, Alex Lu. Gráficos, Animación y Asistente de Montaje: Andrea Hale. Duración: 82 min. Página web oficial: http://hardproblemsmovie.com. Intérpretes: Equipo Norteamericano para la IMO 2006: Zachary Abel, Zarathustra (Zeb) Brady, Taehyeon (Ryan) Ko, Yi Sun, Arnav Tripathy, Alex Zhai. Equipo Norteamericano para la IMO 2007: Sherry Gong, Brian Lawrence, Tedrick Leung, Eric Larson, Arnav Tripathy, Alex Zhai. Responsables del equipo norteamericano de la IMO: Steve Dunbar (Director AMC), Zuming Feng, (Jefe de equipo), Alex Saltman (Adjunto al Jefe de Equipo). Responsables de la USAMO en la entrega de premios en Washington, D.C.: James Carlson (Clay Mathematics Institute), Carl C. Cowen (Presidente de la MAA), Tina Straley (Representante de la MAA). Responsables de la pruebas:  Razvan Gelca, Oleg Golberg, Chris Jeuell, Anders Kaseorg, Ian Le, Po-Ru Loh, Thomas Mildorf, Josh Nichols–Barrer, Melanie Matchett Wood, Yan Zhang. Y un montón de personas más entre estudiantes participantes en las USAMO y MOP, padres, familiares, profesores de los alumnos, etc., que tampoco viene al caso especificar. La película La acción comienza el 19 de Abril de 2006 en San José, California, en una tranquila, aunque tensa, aula de clase. Un grupo de alumnos se “entrenan” para afrontar el examen de acceso a la Olimpiada. A lo largo de todo el país, otros 500 estudiantes, aproximadamente, realizan pruebas similares, las USAMO (United States of America Mathematical Olympiad, http://www.unl.edu/amc/e-exams/e8-usamo/usamo.shtml), organizadas por el CAMC (Comiteee on the American Mathematics Competitions; responsables en total de cinco pruebas: las AMC, las AIME y las USAMO). La CAMC es el organismo que proporciona los medios necesarios para localizar y preparar a los estudiantes de Secundaria con mejores aptitudes para las matemáticas en los EE. UU, algo similar a nuestros proyecto ESTALMAT, pero con más medios y de forma coordinada a lo largo de todo el país. Las USAMO son el paso previo al proceso de selección final del equipo que representará en la IMO a los Estados Unidos. Consta de 6 problemas, realizados en 2 días y distribuidos en 9 horas de duración en total (idéntico procedimiento, como veremos después, que el de la IMO). Su origen se remonta al año 1972.  Todos sus problemas pueden resolverse utilizando argumentos de un nivel previo a un curso básico de Cálculo. A estas pruebas se invita a las mejores puntuaciones obtenidas en los American Mathematical Contests (AMC). Sólo pueden participar alumnos con residencia legalizada en los Estados Unidos y Canadá. Los AMC constan de 25 cuestiones tipo test con 5 opciones para cada una. Hay tres niveles: AMC 8 (alumnos de grado menor o igual al octavo, que corresponde con nuestro 2º ESO, es decir hasta 12 años). Comenzaron en 1985. Se suelen presentar alumnos entre los grados 6 al 8. La prueba se realiza a finales de Noviembre. Los problemas no incluyen trigonometría ni cuestiones de álgebra demasiado costosas. Suelen ser de progresiones, teoría de números elemental, interpretación de datos gráficos y de tablas y geometría. El 5-10 % de mejores calificaciones son invitados ese mismo curso a participar en el AMC 10 para que vayan cogiendo experiencia en certámenes de instituto. AMC 10 (alumnos de grado menor o igual al décimo, que corresponde con nuestro 4º ESO, es decir hasta 14 años). Empezaron en el 2000. Prácticamente todos los que se presentan son de grados 9 y 10. Los tópicos evaluables son geometría, álgebra, probabilidad, combinatoria, geometría analítica, teoría de números y estadística elemental. Se realiza a principios de Febrero. AMC 12 (alumnos de grado menor o igual al duodécimo, 6º ESO, es decir hasta 16 años). Es la prueba de este tipo de mayor tradición pues datan de 1950. Se realiza a finales de Febrero y participan bastantes estudiantes que han realizado el AMC 10. Las materias son todas las citadas en las pruebas anteriores, aunque normalmente no se corresponden con ninguna en particular, sino que aquí hay ya campo libre para proponer problemas de todo tipo que combinan varias áreas, incluyendo los de ingenio e “idea feliz.” Descartan todavía asuntos relacionados con el cálculo infinitesimal. Los alumnos que superan los 100 puntos en el AMC 12 son invitados a participar en la siguiente prueba en orden de dificultad, el AIME (American Invitational Mathematics Examination). El AIME es un examen de tres horas y consta de 15 problemas. La respuesta a cada problema es siempre un entero entre 000 y 999, ambos valores incluidos. Su origen se remonta a 1980. Sólo las 12 mejores puntuaciones en estas pruebas accederán al paso final (un último examen, llamado TST, Team Selection Test) que se celebra en el programa de verano de la Olimpiada Matemática en la Universidad de Nebraska cuya duración es de cuatro semanas (este programa se denomina MOSP, Mathematical Olympiad Summer Programme). Esa docena de estudiantes seleccionada mediante la USAMO, antes de ingresar en el MOSP, son invitados a una ceremonia de premios en Washington, D.C. patrocinados por la MAA (Mathematical Association of America), Microsoft Corporation y la Fundación Matilda Wilson. Los seis participantes que mejor puntuación obtengan entre ese test final de Selección (TST) y las pruebas de la USAMO serán los elegidos finalmente para representar a los EE. UU. En la IMO. La primera IMO se celebró en Rumania en 1959 y sólo participaron 7 países. EE. UU. Participa desde 1974; a la edición 47, la que describe la película, acudieron 90 países con 498 participantes. En la última edición celebrada hasta el momento, la 50, celebrada esta pasado verano en Bremen, Alemania, participaron  104 países con 565 “atletas” (506 hombres, 59 mujeres; la presencia femenina siempre ha sido bastante más baja que la masculina). Tras esta pequeña introducción informativa, volvemos a la película. Cuando los doce candidatos se acercan a la Universidad de Nebraska a realizar el TST, la tensión y el suspense se aprecian en sus rostros. Al finalizar la prueba, los estudiantes son entrevistados: algunos no las tienen todas consigo sobre lo que han hecho, mientras que otros están convencidos plenamente de su clasificación. De las expresiones de los evaluadores se deduce claramente quienes estarán finalmente en el equipo. Los seleccionados finalmente y “actores principales” de la película (cuyas fotografías aparecen a lo largo del texto) son Zach Abel de la Greenhill School, en Addison, Texas; Zarathustra “Zeb” Brady de la Magnolia Science Academy, en Reseda, California; Ryan Ko de la Phillips Exeter Acad emy, en Exeter, New Hampshire; Yi Sun de la Harker School, en San Jose, California; Arnav Tripathy de la East Chapel Hill High School,  Chapel Hill, Carolina del Norte; y Alex Zhai (foto sin nombre) de la University Laboratory High School, Champaign, Illinois. La película va entrevistando a todos los participantes seleccionados, a sus “entrenadores”, a familiares, a profesores, etc., y vamos descubriendo la historia que hay detrás de cada uno de ellos. Así conocemos que Zhai se animó a participar en este tipo de pruebas matemáticas a través de su profesor. Propuso a Zhai y a sus padres que participaran en una competición para estudiantes de primaria llamada MathCounts (Las Matemáticas Cuentan). “Cuando tenía 6 o 7 años se divertía haciendo cálculo mental: sumas, restas, multiplicaciones, cosas así”, comenta Yan Lin, la madre de Alex, “También le encantaba descubrir patrones en los números, como cuando descubrió que la diferencia entre los cuadrados de dos números consecutivos es la suma de esos números” (Parece evidente una vez dicho, ¿verdad?  (a +1)2 - a2 = 2a + 1 = a + (a + 1)). “Lo primero que realmente captó mi atención en la escuela fueron las matemáticas, en lugar de todas esas otras disciplinas aleatorias que nos imparten”, cuenta Zhai al director, “Así es cómo básicamente aprendí, leyendo y trabajando sobre problemas que me parecían interesantes”. En el documental Zhai aparece jugando al ajedrez, uno de sus temas de interés fuera de las matemáticas. Sus compañeros de equipo también poseen otros talentos y aficiones: Yi Sun se ha presentado a todas las Olimpiadas relacionadas con la Ciencia que existen (Biología, Química, Física, Matemáticas y Ciencias de la Computación), a Tripathy puede considerársele un pianista profesional, Brady programa, y Zach Abel ganó un campeonato de salto con pértiga. La película trata de demostrar que el trabajo duro, el talento y la pasión es lo que permite a la gente potenciar sus cualidades. Aparte de estas otras ocupaciones, estos seis componentes del equipo norteamericano poseen obviamente una gran pasión por las matemáticas. Para ellos es como una droga sin la que no pueden vivir. Como Joanne Mason, la profesora de matemáticas de Yi Sun, explica a la cámara, estos estudiantes tienen la habilidad de concentrarse en las matemáticas de tal manera que ignoran todo lo que sucede a su alrededor. “Yo no voy a las concursos matemáticos por competir, sino para mejorar y explorar nuevos procedimientos”, comenta Zhai, y añade “Para mi las matemáticas tienen más de exploración que de conocimiento”. Abel describe esta forma de pensar en una de sus intervenciones. Afirma que puede quedarse toda la noche leyendo libros de matemáticas y trabajando en problemas. Sus padres tienen a menudo que preguntarle si ha terminado sus deberes o si ha comido o cenado. A pesar de su ardua preparación, cuando el equipo viaja a Slovenia para participar en la Olimpiada, se les ve nerviosos y temerosos del papel que lograrán hacer. La IMO tiene una duración de dos días y enfrenta a los estudiantes a seis problemas. Durante el primer día, los participantes disponen de cuatro horas y media para trabajar los tres primeros. Al día siguiente se les proponen los tres restantes con la misma cantidad de tiempo. Cada problema se evalúa sobre siete puntos (cuarenta y dos es por tanto la puntuación máxima). Cuando los 498 participantes de 90 países diferentes toman asiento el primer día, el ambiente se podría cortar. Todo el mundo quiere tener un buen comienzo que le tranquilice un poco e ir obteniendo la mayor cantidad de puntos posible. Entonces suena el silbato de salida y todos los lapiceros comienzan a garabatear símbolos y/o dibujos sobre el papel. Todos parecen estar en una profunda meditación. Algunos se tocan el pelo, otros, como Zhai, hace girar su lápiz con su pulgar describiendo un giro completo sobre su mano sin caerse, una y otra vez. Pasado el tiempo, la señal vuelve a sonar y parece que los integrantes del equipo norteamericano están satisfechos, a pesar de que no lograron resolver todos los problemas. (Imagen: fotograma de la película mostrando a Ryan Ko, uno de los participantes). En la segunda jornada, los chicos están cansados. Zhai está tan agotado que durante la noche sufrió un pequeño desvanecimiento. Pero no es el único. La cámara muestra como algunos participantes descansan sus cabezas sobre los pupitres y cierran los ojos en los momentos previos al comienzo de esta segunda parte. El silencio reinante en la sala es sustituido en el montaje de la película por una música dramática al más puro estilo Bernhard Hermann de las películas de suspense. Los estudiantes cogen lentamente la hoja y reanudan la tarea. Cuando la prueba acaba, los vigilantes no pueden hacer nada por ellos, pero manifiestan su empatía hacia los comentarios que oyen en los equipos, discutiendo sus resoluciones. El espectador se hace en este momento las mismas preguntas que ellos: ¿cuántos problemas habrán resuelto y cuantos puntos lograron? Uno de los aspectos que el director intenta transmitir es que a pesar de la genialidad de los participantes, del duro entrenamiento, de la difícil selección entre las mentes más prodigiosas del país, siempre queda espacio para la mejora. Ninguno pudo resolver los seis problemas. Como equipo, Zhai y sus compañeros quedaron en quinta posición. China ganó la Olimpiada y Rusia fue finalista. A pesar de su medalla de plata individual y quedarse a sólo cinco puntos de la de oro, Zhai manifiesta que tiene aún mucho que mejorar: “Podía haber hecho mucho más. No habría sido tan difícil de conseguir sólo cinco puntos más. Lo haré el próximo año”. En efecto, Zhai volvió como representante del equipo norteamericano en la edición 48 en 2007 en Hanoi, Vietnam,  y ganó una medalla de oro. En YouTube pueden visualizarse algunos fragmentos de la película (pincha en los enlaces para acceder a ellos directamente) Tráiler de la película (3:47). Resolución de los problemas del primer día de la IMO 2006 (8:23). Resolución de los problemas del segundo día de la IMO 2006 (9:33). En total 22 minutos, una cuarta parte que puede servirnos para hacernos una idea. En las dos últimas entradas, los participantes comentan cómo resolvieron (o intentaron) los seis problemas. Son los siguientes: Problema 1. Sea ABC un triángulo con incentro I. Un punto P en el interior del triángulo verifica que ∠ PBA + ∠ PCA = ∠ PBC + ∠ PCB. Demostrar que AP ≥ AI y que la igualdad se cumple, si y sólo si P = I. Problema 2. Se dice que una diagonal de un polígono regular P de 2006 lados es buena si sus extremos dividen al borde de P en dos partes, cada una de ellas formada por un número impar de lados de P. Los lados de P también se llaman en este caso, buenos. Supongamos que P se ha dividido en triángulos trazando 2003 diagonales de modo que  ningún par de ellas se cortan en el interior de P. Encontrar el máximo número de triángulos isósceles que pueden haber tales que dos de sus lados sean buenos. Problema 3. Determinar el menor número real M tal que la desigualdad |ab(a2 − b2) + bc(b2 − c2) + ca(c2 − a2)| ≤ M (a2 + b2 + c2)2 se cumpla para todos los números reales a, b, c. Problema 4. Determinar todas las parejas de enteros (x, y) tales que 1 + 2x + 22x+1 = y2. Problema 5. Sea P(x) un polinomio de grado n > 1 con coeficientes enteros y sea k un entero positivo. Considere el polinomio Q(x) = P(P(. . . P(P(x)) . . .)), donde P aparece k veces. Demostrar que hay a lo sumo n enteros t tales que Q(t) = t. Problema 6. Asignando a cada lado b de un polígono convexo P el área máxima que puede tener un triángulo que tiene a b como uno de sus lados y que está contenido en P. Demostrar que la suma de las áreas asignadas a los lados de P es mayor o igual que el doble del área de P. Si alguien se rinde con alguno, en la red podéis encontrar las soluciones completas (http://imo2006.dmfa.si/imo2006-solutions.pdf), que son las que comentan los protagonistas. Al parecer el último problema fue el que más quebraderos de  cabeza les dio. Posteriormente se muestra la parte más entretenida de una Olimpiada, las visitas a lugares pintorescos del lugar y la confraternización de los integrantes de todos los países. También se plantea el complicado asunto de las correccciones y puntuaciones de los ejercicios, y finalmente las repercusiones que para los concursantes tiene el ganar una medalla de oro, plata o bronce individualmente. En la presentación de la película el realizador subrayó que el objetivo principal que se marcó fue la divulgación ante el ciudadano medio del trabajo y el esfuerzo que estos jóvenes afrontan en su preparación y que vean las matemáticas, como los propios protagonistas, como “una de las más desafiantes y reconfortantes búsquedas que el Ser Humano puede emprender”. A pesar de su interés, la película tiene algunas lagunas, entre ellas, el centrarse exclusivamente en el equipo norteamericano y no haber recabado al menos las opiniones y comentarios de ganadores y finalistas, por ejemplo. El DVD contiene algunos extras añadidos: una versión “reducida” del documental de 45 minutos para ser utilizada en el aula, un reportaje sobre matemáticos en las finanzas (11:16), otro sobre familia y la escolarización (15:55), chicas en la IMO (17:03), historia de la IMO (7:12), y un fichero pdf de 82 páginas con problemas y soluciones de la IMO, de las pruebas USAMO de los años 2006 y 2007 y los Tests de Selección de los Equipos (TST). Prácticamente todas los enlaces que he incluido en esta reseña son de gran interés gracias al abundante e interesante material que incluyen. Ciertamente uno puede sentir envidia sana del importante trabajo que se toman tanto en la preparación de los estudiantes como en la gran cantidad de información que proporcionan. Por supuesto, en lo que atañe a la realización de películas de contenido matemático como las que estamos comentando, que además son seguidas tanto en sus pases por televisión como en la edición en DVD por mucha gente. En España, …., bueno en España debemos agradecer también a los muchos compañeros que del modo más desinteresado posible ponen su tiempo y conocimientos al servicio de chicos como los de la película y de la enseñanza de las matemáticas. Ojala las instituciones que los sostienen tuvieran el apoyo económico necesario para desempeñar su buen hacer de un modo más adecuado. Desde http://www.rsme.es/content/blogsection/11/116/ se puede acceder a la información más relevante sobre este evento en nuestro país. En la dirección http://www.unl.edu/amc/d-publication/d1-pubarchive/2006-7pub/07-AIME-TM/TM-%20AIME,2007.pdf podéis descargaros un amplio dossier redactado para los profesores sobre el funcionamiento de las Competiciones Matemáticas Americanas AIME (American Invitational Mathematics Examination) con las normas, formularios que padres, profesores y alumnos deben firmar, y algunos problemas ejemplo con sus soluciones. Es llamativo hasta qué punto están reglamentados todos estos certámenes.

Martes, 09 de Febrero de 2010 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico