851. 46. (Enero 2008) Predicción casi segura

Todos los juegos que hemos ido realizando en todas las ediciones de este rincón tienen un resultado perfectamente determinado por alguna propiedad o principio matemático. Incluso cuando intervenía un proceso probabilístico, como era el juego descrito en la entrega anterior (ver "Todos ganan a todos"), podíamos controlar de forma exacta el resultado final. En esta ocasión, realizaremos un juego que puede fallar en algunas ocasiones (no muchas), lo cual hace que sean más sorprendentes las veces en que se acierta. Sigue las instrucciones que vienen a continuación. He mezclado la baraja y he repartido todas las cartas caras arriba sobre la mesa. Ha resultado la disposición siguiente: Piensa un número del uno al diez. Cuenta, empezando por la primera carta de la izquierda, tantas cartas como el número pensado. Cuenta de izquierda a derecha y, al terminar una fila, sigue con la siguiente, también de izquierda a derecha. Esto te llevará a la primera carta clave. De acuerdo con el número de la misma, vuelve a dar tantos pasos como su número indica, empezando por ella. Si la carta es una figura, cuenta cinco pasos. [Por ejemplo, si has pensado el uno, llegarás al dos de copas. Como es un dos, en el siguiente recorrido darás dos pasos.] Llegarás a tu segunda carta clave. Sigue el mismo procedimiento anterior, con lo que irás pasando por sucesivas cartas claves. El proceso termina en alguna carta con la que no puedas continuar, es decir, cuando llegues a una carta clave que no tenga a continuación suficientes cartas para completar su número. Fíjate en esta última carta y recuérdala. Pues bien, a pesar de la aleatoriedad del proceso (has podido pensar cualquier número), voy a descubrir el valor de dicha carta. Haz clic en el sobre y comprueba que mi predicción coincide con la carta donde has finalizado el recorrido. ¿Quieres hacer el papel de mago? Busca una espectadora y una baraja de cartas. Vale cualquier baraja pero las probabilidades de éxito aumentan con una baraja de 52 cartas. Entrega la baraja a la espectadora para que la mezcle. Mientras tanto, debe elegir secretamente un número entre 1 y 10. Con la baraja mezclada, la espectadora reparte cartas sobre la mesa, una a una y caras arriba, contando silenciosamente hasta llegar a su número secreto. Al llegar a dicho número, debe observar la última carta repartida y observar el valor de dicha carta. Con ese número en mente, seguirá repartiendo sobre la mesa tantas cartas como indica dicho número. Nuevamente se fijará en la última carta repartida y repetirá el proceso con ese nuevo número. Si en algún momento del proceso, la última carta repartida es una figura, en el siguiente reparto contará hasta cinco. También es importante que realice el proceso sin pausas, para no dar ninguna pista sobre las cartas en las que se detiene en cada paso del proceso. Cuando no haya suficientes cartas en la mano para seguir con el proceso (porque la última carta repartida tiene un valor mayor que el número de cartas restantes), el recorrido termina y la espectadora recordará la última carta repartida. Ahora tú puedes adivinar dicha carta. Para ello, has de realizar mentalmente el mismo proceso que la espectadora pero eligiendo como valor inicial el uno. Aunque no sea el número pensado por la espectadora, al final casi siempre llegaréis al mismo destino. Este tipo de recorrido aleatorio por la baraja recibe el nombre de cuenta Kruskal, gracias a su descubridor, el físico-matemático Martin Kruskal (personaje de la foto adjunta). Martin Kruskal (1925-2006) Ya se deduce, a partir del proceso seguido, que el método de adivinación no puede consistir en habilidad técnica, sino en algún principio matemático. Como el método es directo, la única consecuencia plausible es que el resultado será independiente de las condiciones iniciales. Para casi todas las elecciones de la primera carta, el camino converge al mismo resultado final: concretamente, la probabilidad de que esto ocurra es mayor de 0,8. Dicha probabilidad varía al asignar otros valores a las figuras: si la sota cuenta 10 pasos, el caballo 11 y el rey 12, la probabilidad se reduce a menos de 70%. El modelo matemático que mejor se ajusta a las características de este juego es el de las cadenas de Markov, tipos especiales de procesos estocásticos, de gran interés en ciertas aplicaciones estadísticas. La pregunta que surge de forma natural es entonces: ¿cuál es la propiedad en que se basa este resultado? Sin pretender ofrecer una respuesta completa, daremos algunas indicaciones que permitirán entender el principio de Kruskal. La distancia entre los valores iniciales de dos personas es menor que 10 (con probabilidad uniforme). Los sucesivos paseos aleatorios conducen a valores con distancia menor que 10. Los posibles valores forman los estados de un proceso de Markov. Desde el momento en que dos personas lleguen a la misma carta, los valores posteriores serán los mismos. La probabilidad de llegar al mismo resultado empezando por cartas distintas es mayor de 0,8. Disminuye a 0,7 si las figuras valen diez. La mejor estrategia para coincidir con un espectador consiste en empezar la caminata eligiendo el uno como valor inicial. Puedes leer un artículo matemático que explora las propiedades de esta cuenta en xxx.lanl.gov/abs/math.PR/0110143 La sorpresa que produce este resultado hace que el principio se haya aplicado en otros contextos: por ejemplo, para explicar coincidencias en frases bíblicas, contando el número de letras de las palabras que se obtienen en cada paso. Aficionados a la numerología han usado la propiedad como prueba del origen divino de la Biblia (si tienes curiosidad, visita la página http://sprott.physics.wisc.edu/Pickover/realitygame.html). Una versión interactiva del juego puedes realizarla online en oldweb.cecm.sfu.ca/cgi-bin/organics/carddemo.pl.

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852. 48. (Marzo 2008) Magia Matemática en el Renacimiento (continuación)

Citábamos en el artículo anterior el libro "Triparty en la science de nombres" escrito en 1484 por Nicolas Chuquet como uno de los primeros que muestra juegos de magia matemática. Reproducimos en este artículo otros juegos contenidos en dicho libro. Los aficionados a este tipo de entretenimiento encontrarán muchas similitudes entre estos juegos y algunos de los que actualmente se realizan ante todo tipo de públicos. Antes de describir estos juegos, quiero dar a conocer otro libro ligeramente posterior al de Chuquet, y con similar contenido. Luca Pacioli escribió entre 1496 y 1508 el libro "De viribus quantitatis" (Sobre el poder de los números), el cual se ha mantenido oculto en los archivos de la Universidad de Bolonia durante cinco siglos. El libro fue descubierto recientemente por el matemático estadounidense David Singmaster y en él se describen problemas matemáticos, puzzles numéricos y trucos. También incluye instrucciones sobre cómo escribir en código o trazar versos en los pétalos de una rosa, lavarse las manos en plomo fundido y hacer bailar un huevo sobre una mesa. El mismo Pacioli señala que el libro es una recopilación de informaciones de obras anteriores, algunas del propio Leonardo da Vinci, gran amigo suyo. EL JUEGO DE LAS TRES COSAS DIFERENTES Coloca sobre la mesa tres objetos diferentes (digamos un reloj, un lápiz y una llave) y 24 monedas (o fichas o cartas). Pide la colaboración de tres personas y entrega al primero una moneda, al segundo dos monedas y al tercero tres monedas. Vuélvete de espaldas y pide que cada espectador recoja uno de los objetos. Pide al espectador que tenga el reloj que recoja de la mesa tantas monedas como las que ya tiene; pide al espectador que tenga el lápiz que recoja el doble de monedas de las que ya posee; y pide al espectador que tiene la llave que recoja cuatro veces el número de monedas de las que ya tenía. Vuélvete nuevamente cara al público y mira discretamente el número de monedas que quedan sobre la mesa. Ahora puedes saber el objeto que tiene cada uno de los tres espectadores. En la tabla siguiente se detalla el objeto que tiene cada espectador si numeramos cada espectador según el número de monedas que se le ha entregado al principio y de acuerdo al número de monedas que quedan sobre la mesa. Quedan Espectador 1 Espectador 2 Espectador 3 1 Reloj Lápiz Llave 2 Lápiz Reloj Llave 3 Reloj Llave Lápiz 5 Lápiz Llave Reloj 6 Llave Reloj Lápiz 7 Llave Lápiz Reloj   EL JUEGO DEL ANILLO Coloca a un grupo de personas en una fila asignando a cada una de ellas un número según el lugar que ocupan en la fila. Pide que una de ellas se coloque secretamente un anillo en un dedo, recordando en qué dedo (numerándolos del uno al diez) y en qué nudillo. Pide a alguien que conoce la posición del anillo que multiplique por dos el número de la persona que tiene el anillo y que sume cinco al resultado. A continuación debe multiplicar por cinco el resultado anterior y sumar el número del dedo en que se encuentra el anillo. Delante del número obtenido debe colocar el número del nudillo del dedo en que está el anillo. Por último, pide que te diga el resultado final. Para saber qué persona tiene el anillo, en qué dedo y en qué nudillo, basta que restes 250 del resultado final. La cifra de las centenas corresponderá a la persona que tiene el anillo, la cifra de las decenas indicará el dedo en que está el anillo y la cifra de las unidades el nudillo. Una excepción: si, después de restar 250, la cifra de las decenas es un cero, debes restar una centena y contarla como 10 decenas, es decir el anillo estará en el décimo dedo. EL JUEGO DE LOS TRES DADOS Pide a un espectador que realice las siguientes operaciones: Lanza tres dados. Multiplica por dos los puntos de uno de ellos y añade cinco al resultado. Multiplica por cinco el nuevo resultado y añade los puntos de uno de los dos dados restantes. Multiplica el resultado por 10 y añade los puntos del dado restante. ¿Qué operación has de realizar para obtener los puntos de los tres dados?

Sábado, 01 de Marzo de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

853. 50. (Mayo 2008) Cuadrados Mágicos Paradójicos

Todavía hoy en día el libro "Mathematics, Magic and Mystery" de Martin Gardner, publicado en 1956, constituye una fuente inagotable de ideas matemáticas que pueden ser aplicadas a juegos de magia o entretenimientos lógicos. En las bodas de oro de nuestro rincón volveremos a referirnos a las paradojas geométricas, tema ya tratado precisamente al celebrar nuestras bodas de plata, en febrero de 2006. En el libro homenaje a Martin Gardner, titulado "The Mathemagician and Pied Puzzler", y que puedes descargar gratuitamente aquí, se incluye un artículo de Stewart Coffin titulado "Polly’s Flagstones" donde se plantea la siguiente aparente paradoja. Consideremos un cuadrado cualquiera el cual recortamos en cuatro piezas mediante dos cortes perpendiculares pasando por el centro del cuadrado. Si reconstruimos el cuadrado reordenando las piezas como en la figura, observamos que se forma un hueco en el centro. Aparentemente, se ha modificado el área del cuadrado. Como es fácil deducir, en realidad el segundo cuadrado es mayor que el primero. El ligero aumento del lado del cuadrado se compensa con la aparición del cuadrado central. En las siguientes figuras se observa dicha variación: Puede lograrse la ilusión de que los cuadrados son iguales dibujando en ambos lados del cuadrado original un mismo dibujo; de este modo, no se distinguirá la diferencia de dimensiones sino la falta de un trozo de la imagen. Modificando un poco esta construcción, Serhiy Grabarchuk, en puzzles.com, y Werner Miller, en Online Visions, han ideado un puzzle con el tema de los cuadrados mágicos. Te voy a mostrar una forma de sorprender a tus amigos utilizando la versión de Werner Miller. Para ello, imprime la imagen siguiente (mejor aún, descarga la imagen original aquí): Luego recorta las cuatro piezas, dóblalas por la línea central y pégalas por la parte no impresa. Con las piezas todavía ocultas, haz la siguiente pregunta a algún amigo tuyo: - ¿Cómo harías para construir un cuadrado mágico utilizando sólo 15 números? Después de escuchar sus posibles soluciones, explica que la forma más fácil es dejar un hueco en uno de los cuadros. Saca ahora las piezas del puzzle por el lado azul y construye el cuadrado. Verás que se trata de un cuadrado mágico con constante 30 donde se utilizan los números del 1 al 15. Observa que hay un hueco en uno de los cuadros. Haz ahora la siguiente pregunta: - ¿Es posible hacer un nuevo cuadrado mágico utilizando las mismas piezas del puzzle pero sin dejar el hueco? Espera que hagan algún intento antes de ofrecer la respuesta: - Dando vuelta a las piezas. Muestra ahora las piezas por el lado rojo y construye en nuevo cuadrado, que también es mágico y tiene la misma constante. El hueco anterior se ha sustituido por el cero. Estas construcciones no sólo son aptas para realizar trucos de magia sino que pueden constituir verdaderas demostraciones matemáticas. Por ejemplo, algunas de las múltiples demostraciones del teorema de Pitágoras consisten precisamente en recortar papel. Mostramos a continuación una de ellas, atribuida al matemático aficionado Henry Perigal (1874). Se dibujan sendos cuadrados sobre los catetos del triángulo rectángulo y se recorta el de mayor lado en cuatro partes iguales, trazando desde el centro del cuadrado una recta paralela y otra perpendicular a la hipotenusa. A continuación, estas piezas, junto con el cuadrado de lado el cateto menor, se trasladan como se muestra en la figura para formar el cuadrado de lado la hipotenusa del triángulo.

Jueves, 01 de Mayo de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

854. 52. (Julio 2008) CONCURSO DEL VERANO 2008

SOBRE LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN Un problema clásico de matemáticas recreativas consiste en determinar, con ayuda de una balanza de dos brazos, una moneda falsa entre un conjunto de ellas, todas con el mismo aspecto exterior. El peso de la moneda falsa es ligeramente diferente al de las restantes, pero no se sabe de antemano si pesa más o menos. Citaremos un par de direcciones de internet relativas al tema: Pesas y pesadas de Jesús Escudero. Problema de las 12 monedas en Wikipedia. El problema tiene dos variantes: Fijada la cantidad de monedas, ¿cuál es el menor número de pesadas necesarias para encontrar la falsa? La respuesta es la siguiente: con "n" monedas, el número mínimo de pesadas necesario para determinar cuál de ellas pesa más o menos que las demás es el menor entero "x" que verifica la relación 3x > 2n + 1. Fijado el número de pesadas a realizar, ¿cuál es la mayor cantidad de monedas para las cuales el problema tiene solución? En este caso, se sabe que, con "n" pesadas, el número máximo de monedas es M(n) = (3n -3)/2, fórmula que se obtiene a partir de la relación de recurrencia M(2) = 3; M(n) = M(n-1) + 3n-1, n = 3, 4, ... Por otra parte, los métodos de resolución del problema general requieren el uso del sistema de numeración en base tres debido a que podemos asignar a cada resultado de una pesada los siguientes valores: "0" si queda en equilibrio; "1" si pesa más el platillo de la derecha; "2" si pesa más el platillo de la izquierda. Con este planteamiento, Jesús García ha elaborado un juego de adivinación basado en el sistema de numeración en base factorial y muy relacionado con el que ofrecimos en el número anterior de esta sección, MATEMAGIA 51. El juego, en esta ocasión, estará incompleto y el problema que planteamos como concurso será el de completar la información para poder realizar dicho juego. El desarrollo del juego es el siguiente: Imprime unas cartulinas con las figuras que se muestran a continuación y recórtalas formando cuatro dodecágonos del mismo tamaño. Recorta también las regiones impresas en negro para formar diferentes agujeros en las cartulinas. Deja sobre la mesa la primera cartulina, que llamaremos "cartulina clave". Pide a un espectador que piense un número entre 1 y 24, mientras le entregas las otras tres cartulinas. El espectador mira la primera cartulina y compara el valor del número pensado con uno de los que aparecen escritos en la cartulina (par o impar). Dejará esta cartulina sobre la mesa, encima de la "cartulina clave", haciendo coincidir la base de ésta con el valor que corresponda a su número. A continuación realizará la misma operación con las dos cartulinas restantes. Girando adecuadamente cada una de las cartulinas, hará coincidir la base de la "cartulina clave" con el valor que corresponda al número pensado. Al final, el número pensado por el espectador será el único que se ve a través de los agujeros de las cartulinas. El problema es el siguiente: ¿cómo deben numerarse las diferentes secciones de la "cartulina clave" para que el juego funcione correctamente? Comprobarás que el problema no es difícil: para llegar a la respuesta, puedes fabricarte el juego y comprobar todas las posibilidades. Con este método conseguirás, por un lado participar en nuestro concurso y, por otro lado, tener la posibilidad de realizar el juego ante tus conocidos. Una sugerencia: trata de disimular el principio, por ejemplo, ocultando la "cartulina clave" de la vista del público para mantener la sorpresa y la admiración ante tus habilidades adivinatorias. Como es costumbre, entre los que envíen la solución (a la dirección pedro.alegria@ehu.es), sortearemos el ganador el cual recibirá un premio por parte de los responsables del portal "DIVULGAMAT".

Martes, 01 de Julio de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

855. 53. (Septiembre 2008) SOLUCIÓN CONCURSO DEL VERANO 2008

SOBRE LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN En esta ocasión, daremos la respuesta al problema planteado en el número anterior de este rincón. Recordaremos el juego de Jesús García sobre adivinación de un número basándose en el sistema de numeración en base factorial. El problema consistía en numerar correctamente las diferentes secciones de la "cartulina clave" para que funcionase el juego. Describimos nuevamente el juego, esta vez incluyendo todos los datos: Imprime unas cartulinas con las figuras que se muestran a continuación y recórtalas formando cuatro dodecágonos del mismo tamaño. Recorta también las regiones impresas en negro para formar diferentes agujeros en las cartulinas. Deja sobre la mesa la primera cartulina, que llamaremos "cartulina clave". Pide a un espectador que piense un número entre 1 y 24, mientras le entregas las otras tres cartulinas. El espectador mira la primera cartulina y compara el valor del número pensado con uno de los que aparecen escritos en la cartulina (par o impar). Dejará esta cartulina sobre la mesa, encima de la "cartulina clave", haciendo coincidir la base de ésta con el valor que corresponda a su número. A continuación realizará la misma operación con las dos cartulinas restantes. Girando adecuadamente cada una de las cartulinas, hará coincidir la base de la "cartulina clave" con el valor que corresponda al número pensado. Al final, el número pensado por el espectador será el único que se ve a través de los agujeros de las cartulinas. Explicaremos brevemente la razón de clasificar el contenido de las cartulinas como indican las imágenes. Para ello, debemos escribir los números 1 a 24 en el sistema de numeración factorial. Recordaremos que NF = an · n! + an-1 · (n-1)! + ... + a1 · 1!, donde ak ≤ k. De este modo, la representación factorial de los 24 primeros números naturales es: Decimal Factorial 1 2 3 4 5 6 7 8 001 010 011 020 021 100 101 110 Decimal Factorial 9 10 11 12 13 14 15 16 111 120 121 200 201 210 211 220 Decimal Factorial 17 18 19 20 21 22 23 24 221 300 301 310 311 320 321 1000 Observamos así que los números pares tienen un cero en la última posición de su representación factorial. Por tanto la última cartulina discriminará entre pares e impares. Los números 1, 6, 7, 12, 13, 18, 19 y 24 tienen un cero en la penúltima posición; los números 2, 3, 8, 9, 14, 15, 20 y 21 tienen un uno en la penúltima posición y los números 4, 5, 10, 11, 16, 17, 22 y 23 tienen un dos en dicha penúltima posición. Por eso distinguimos en la cartulina correspondiente los tres posibles valores. Los números 1, 2, 3, 4, 5 y 24 tienen un cero en la antepenúltima posición de su representación factorial; los números 6, 7, 8, 9, 10 y 11 tienen un uno en dicha posición; los números 12, 13, 14, 15, 16 y 17 tienen un dos y los números 18, 19, 20, 21, 22 y 23 tienen un tres. Así pues, en la cartulina correspondiente se distinguen los cuatro casos citados. Por último, el sistema de ventanas y la colocación de los números en la primera cartulina hace que se transforme al sistema decimal el único número cuyas cifras en el sistema factorial cumplen todos los datos.

Lunes, 01 de Septiembre de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

856. 56. (Diciembre 2008) CONCURSO NAVIDEÑO 2008

SUMA RELÁMPAGO En este número te voy a dar la oportunidad de impresionar a tus amigos demostrando tus habilidades para el cálculo rápido. Para ello, debes recortar las figuras siguientes y construir cuatro prismas, cada una de cuyas caras tiene cuatro números dispuestos en una columna.   Entrega las cuatro cajitas a un espectador y pídele que las coloque en una fila sobre la mesa. Explica que, tanto la cara elegida como la posición de cada cajita en la fila, alteran los valores de los números que quedan a la vista. Más concretamente, existen 4! = 24 formas distintas de ordenar las cuatro cajas y, para cada una de dichas permutaciones, cada caja tiene cuatro caras distintas que poder mostrar, es decir 44 = 256 posibilidades. En total, se pueden conseguir 24 x 256 = 6144 diferentes disposiciones de las cuatro cajitas, lo cual hace imposible que puedas saber de antemano el resultado de la suma (lo cual es falso, pero dará más credibilidad a tu gran destreza calculística). Por ejemplo, una disposición posible es la siguiente: Pide al espectador que escriba en una hoja de papel los cuatro números mostrados, en nuestro caso serán los números 4937, 9285, 2593 y 5776, y calcule su suma. Mientras lo hace, incluso antes de que haya escrito los cuatro números, tú puedes escribir en secreto el resultado de la suma, en nuestro ejemplo 22591. El problema que planteamos en nuestro concurso consiste en descubrir de qué manera puedes saber el resultado de la suma simplemente observando durante un instante la disposición de las cajitas que el espectador ha elegido. Te sugiero que pruebes con varios ejemplos y compares los resultados con las disposiciones correspondientes de las cajitas. Con un poco de observación, te darás cuenta rápidamente de la clave. Además hay una explicación matemática muy sencilla relacionada con la propia forma de sumar números que aprendimos en la escuela primaria. Si encuentras la solución, envíala por correo electrónico a pedro.alegria@ehu.es y participarás en el sorteo de un libro de divulgación matemática.

Lunes, 01 de Diciembre de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

857. 57. (Enero 2009) SOLUCIÓN CONCURSO NAVIDEÑO 2008

En la última entrega del año 2008 propusimos encontrar la justificación matemática al juego titulado "SUMA RELÁMPAGO", en el que se adivinaba rápidamente el resultado de la suma de cuatro números elegidos "libremente" por un espectador. Muchas han sido las respuestas recibidas y la mayoría han encontrado la solución correcta. Incluso nos han hecho llegar interesantes observaciones y sugerencias, que comentaremos en esta entrega. En primer lugar, daremos la solución en base a las aportaciones de los participantes: La primera clave fundamental consiste en observar que, aunque los números formados se lean de forma horizontal, la suma se realiza de forma vertical, de modo que la suma total depende solamente de la suma de las cifras de cada cara de los prismas. Como señala Enrique Farré, en cada cara de cada prisma, la suma de la primera, la segunda y la cuarta cifra es 18; por lo tanto, si formamos números de cuatro cifras, la suma del primero más segundo más cuarto es 1111 x 18 = 19998 = 20000 - 2. Es decir, la suma relámpago será 2, seguido de las tres primeras cifras del tercer número y seguidas de las unidades del tercer número menos 2. Un detalle a tener en cuenta, como indican Jorge Reba y José Abel García, es que si aparece un 1 en la tercera columna de la tablilla de las unidades, el dígito de las unidades será nueve y, como sólo nos llevamos uno, el dígito de las decenas será la cifra de la tercera columna de la tablilla de las decenas menos uno. Otra observación, que permitiría disimular el principio a observadores astutos, es la proporcionada por Esperanza Ontalba: si cada prisma está pintado de un color diferente, podemos colocar la cifra clave en un lugar distinto, no siempre en la tercera columna. La sugerencia de Esperanza es que la columna elegida siga el orden alfabético de los colores. Por ejemplo: AZUL = primera columna BLANCO = segunda columna NARANJA = tercera columna VERDE = cuarta columna. A continuación indicaré una característica adicional que presenta esta versión del juego, que no ha sido descubierta inicialmente por los concursantes: puede adivinarse también la suma de los números que se encuentran en las caras opuestas, incluso antes de ver dichos números. La solución se basa en que los números de las terceras columnas de caras opuestas suman siempre diez, de modo que se conocen las cifras que ocupan las terceras columnas de dichas caras opuestas y, por el principio anterior, se sabe también la suma de los números. Hay que tener la precaución de leer el número de derecha a izquierda porque, al dar la vuelta a las tablillas, se invierte la posición de las cifras. Por ejemplo, en la posición de la imagen la suma de los números de las caras opuestas sería 27156, porque la tercera columna, vista de derecha a izquierda, muestra el número 3952 y su complemento a diez es el número 7158, que corresponde a la tercera columna de las caras opuestas. Por último queremos agradecer a todos los participantes su interés y animar a todos a seguir visitando nuestro rincón.

Jueves, 01 de Enero de 2009 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

858. 58. (Febrero 2009) La magia del triángulo de Pascal

Se conoce con el nombre de triángulo de Pascal a una disposición de números en forma de triángulo, construida de forma que cada elemento es la suma de los dos inmediatamente superiores a él, donde inicialmente se coloca el número uno en los lados exteriores. Las primeras filas del triángulo de Pascal son: 1 1   1 1   2   1 1   3   3   1 1   4   6   4   1 El primer tratado dedicado a este triángulo es el titulado "Traité du triangle arithmétique" escrito por Blaise Pascal en 1653. Sin embargo, se han encontrado pruebas de que ya era conocido por el poeta y filósofo Omar Khayyam alrededor del año 1100, probablemente de fuentes indias o chinas. Entre la multitud de propiedades curiosas y hasta sorprendentes que se han ido descubriendo a lo largo del tiempo, no podían faltar los trucos de magia. El que describimos a continuación es uno de los clásicos en magia matemática. Te enseñaré a realizar una predicción basada en el hecho de que cada fila del triángulo de Pascal contiene los números combinatorios, o coeficientes del desarrollo del binomio de Newton. Busca una baraja francesa y retira las figuras y los dieces. Entrega la baraja a un espectador y pídele que coloque cinco cartas en una fila sobre la mesa, caras arriba. Para seguir mejor el desarrollo del juego, lo describiremos con un ejemplo: supongamos que las cartas elegidas por el espectador son Realiza secretamente la siguiente operación: suma los valores de la primera y última carta; multiplica por cuatro la suma de los valores de la segunda y la penúltima cartas; multiplica por 6 la carta central; por último suma todos estos resultados y calcula el resto de la división de este número por 9 (lo que equivale a sumar las cifras del resultado final). En nuestro ejemplo sería 2 + 9 + 4 · (6 + +5) + 6 · 2 = 67, cuyo resto al dividir por 9 da 4.Busca en la baraja un cuatro, digamos de corazones, y colócalo cara abajo en la mesa en una posición como la que se indica en la figura: Pide al espectador que construya un triángulo de cartas, de la siguiente forma: en una fila superior, por cada par de cartas colocará una carta cuyo valor sea la suma de las dos cartas inmediatamente inferiores. Si la suma es mayor que 9, se restará este número. En nuestro ejemplo, una posible configuración de la segunda fila (donde sólo pueden variar los palos escogidos) es la siguiente: El espectador sigue colocando cartas en las filas superiores, utilizando el mismo procedimiento. Cuando haya llegado al vértice del triángulo, pide al público que descubra la carta oculta para comprobar que su valor corresponde a la suma de las dos últimas cartas colocadas por el espectador. Siguiendo con nuestro ejemplo, el espectador colocaría las siguientes cartas: Como la suma de los valores de las dos últimas cartas es 13 y la suma de sus cifras es cuatro, la carta que debería estar en la fila superior es un cuatro. Dicha carta estaba ya colocada desde el principio en ese lugar. A la vista del triángulo de Pascal, la explicación es simple: el valor de cada carta debe multiplicarse por el valor correspondiente al lugar que ocupa en el triángulo de Pascal: para el caso de cinco cartas, los valores correspondientes en el triángulo de Pascal son precisamente 1 - 4 - 6 - 4 - 1, por lo que la operación a realizar es a1 + 4 a2 + 6 a3 + 4 a4 + a5. Se observa fácilmente que el juego puede realizarse con más cartas. Gracias a que se utilizan los restos módulo nueve, en el caso de seis cartas, como el triángulo de Pascal está formado por los números 1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1, equivalente a 1 - 5 - 1 - 1 - 5 - 1, la carta del vértice superior se obtiene mediante la suma a1 + 5 a2 + a3 + a4 + 5 a5 + a6. Si en algún momento, no hay cartas que correspondan al valor que se necesita, se pueden retirar las de las filas inferiores, que ya no se utilizan. Otra observación: el juego puede realizarse con números en vez de cartas. Cuando un espectador haya escrito cinco números en fila puedes escribir secretamente el resultado final del proceso antes de que complete el triángulo. Por último, un problema: Escribe una sucesión de ceros y unos. Debajo de cada par consecutivo escribe un cero si los dos números son iguales, y un uno si son distintos. Repite el proceso hasta que te quede un único dígito en la sucesión. ¿Puedes predecir cuál va a ser el dígito final? Si conoces la respuesta, puedes realizar un juego de magia simulando los unos con cartas cara arriba y los ceros con cartas cara abajo (o viceversa).

Domingo, 01 de Febrero de 2009 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

859. 60. (Abril 2009) Revoltijo de cartas

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Lunes, 06 de Abril de 2009 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

860. 65. (Octubre 2009) El truco del calendario

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Jueves, 01 de Octubre de 2009 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico