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Cultura y matemáticas/El rincón matemágico
Autor:Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)
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Cultura y matemáticas/El rincón matemágico
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Cultura y matemáticas/El rincón matemágico
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Cultura y matemáticas/Teatro y matemáticas
Autor:Marta Macho Stadler (Universidad del País Vasco)
Sergio Bini (alias Bustric), actor y escenógrafo florentino, trabaja en teatro, cine y televisión. Quizás su papel más popular es el del poeta Ferruccio Papini en la película La vita è bella de Roberto Benigni.
Napoleone Magico Imperatore es un monólogo cómico –representado por el propio Bustric– en el que se ve la faceta más divertida de este complejo personaje: puede ser bondadoso y travieso, genial y vulgar, déspota y enamoradizo, idealista, estratega y calculador. Y es Magico porque es capaz de volar, de cantar...
Napoleón estudió en la Escuela Militar de Brienne, donde las matemáticas eran parte de su formación, como futuro oficial de artillería. En el artículo [4] se da amplia información sobre los conocimientos científicos de Napoleón y sobre la situación y la utilización de ciencia –sobre todo en los conflictos bélicos– en la época napoleónica.
© http://www.bustric.it/fotonapoleone.html
Napoleón era matemático aficionado, fascinado en particular por la geometría, de gran importancia en la estrategia militar. Sentía una enorme admiración por los matemáticos franceses contemporáneos suyos, como Gaspard Monge, con quien Napoleón mantuvo amistad permanente: “Monge me quiso como se adora a un amante”, confesó Napoleón en cierta ocasión.
Napoleone Magico Imperatore trata en gran parte de la faceta matemática de Napoleón, a quien se atribuye un teorema de geometría elemental El teorema de Napoleón, que en realidad se debe a Lorenzo Mascheroni, quien sabiendo la pasión del general francés por la geometría, le dedicó su libro Geometria del Compasso.
¿Pero, qué dice el Teorema de Napoleón?
Sea un triángulo ABC (en azul grueso) cualquiera. Sobre cada uno de sus lados dibujamos un triángulo equilátero (en azul: ABD, BCE y ACF). Entonces, los centros M, N y P de los tres triángulos equiláteros forman a su vez un triángulo equilátero (en rojo).
Imagen extraída de este enlace
Independientemente del posible talento geométrico del emperador francés, es mérito suyo el haber modificado de tal forma la enseñanza de las matemáticas en Francia, que, según varios historiadores, sus reformas fueron las causantes del florecimiento de matemáticos inspirados, que fueron el orgullo de la Francia decimonónica.
Referencias:
[1] http://www.bustric.it
[2] Notas de prensa sobre la obra
[3] Sergio Bini, A proposito di “Napoleone Magico Imperatore”, Matematica e cultura in Europa, Springer, doi 10.1007/b138300, 291-294, 2005 [pdf]
[4] Claude Viterbo, Napoleone, la matematica e l'École Polytechnique, Matematica e cultura in Europa, Springer, doi 10.1007/b138300, 295-302, 2005 [pdf]
[5] http://centros5.pntic.mec.es/ies.marques.de.santillana/matem/napoleon.htm (con applet Descartes y demostración del teorema de Napoleón).
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Cultura y matemáticas/El rincón matemágico
Autor:Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)
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Cultura y matemáticas/El rincón matemágico
Autor:Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)
INSTRUCCIONES
Dobla una hoja de papel cuadrada por la mitad cuatro veces (dos en cada dirección) para formar un cuadriculado de tamaño 4 x 4.
Despliega de nuevo la hoja y marca las cuadrículas con los símbolos “X” y “O” de forma que queden como la figura:
x
0
x
0
0
x
0
x
x
0
x
0
0
x
0
x
Da la vuelta al papel y marca nuevamente las cuadrículas de la misma forma. Observa que, en cada cuadrícula, un símbolo X queda enfrente de un símbolo O.
Dobla de nuevo la hoja por los dobleces anteriores de cualquier manera para formar al final un paquete cuyo tamaño sea el de una cuadrícula.
Recorta con unas tijeras los bordes del paquete y extiende los trozos formados.
Es curioso, ahora todas las “X” están a un lado y todas las “O” al otro.
OTRO DOBLEZ MÁGICO (Henry Dudeney)
INSTRUCCIONES
Dobla una hoja de papel cuadrada por la mitad cuatro veces para formar un cuadriculado de tamaño 4 x 4.
Despliega de nuevo la hoja y construye un cuadrado mágico 4 x 4 escribiendo los números en el centro de cada cuadrícula. Si no sabes cómo, utiliza el modelo adjunto:
14
1
12
7
11
8
13
2
5
10
3
16
4
15
6
9
Dobla de nuevo la hoja por los dobleces anteriores de cualquier manera para formar al final un paquete cuyo tamaño sea el de una cuadrícula.
Recorta con unas tijeras los bordes del paquete y extiende los trozos formados. Se verán algunos trozos en blanco y otros estarán numerados.
Suma los valores de los números que hayan quedado a la vista y divide el resultado por dos.
Sorprendentemente, el valor coincide con la suma de las filas, las columnas y las diagonales del cuadrado mágico original, lo que confirma el hecho de que el cuadrado era mágico.
EL PRINCIPIO DE PARIDAD
El resultado obtenido en los juegos anteriores está basado en un principio topológico descubierto por Henry Dudeney, y publicado en “Modern Puzzles” de 1926, y posteriormente ampliado por Martín Gardner en varias de sus publicaciones. Enunciamos a continuación algunas variantes que obedecen al mismo principio.
Si se dobla arbitrariamente una hoja de papel cuadrada (cuyas caras son de distinto color) de tamaño 4 x 4 para formar un paquete cuadrado de tamaño 1 x 1, los colores de las cuadrículas correspondientes a cada cara quedarán alternados.
Si la hoja de papel está coloreada en forma de tablero de ajedrez (colores alternados en celdas contiguas) y cada cuadrícula tiene el mismo color en ambos lados, el paquete final deja los colores alternados.
Si el color en cada cuadrícula es distinto en ambos lados, el paquete final muestra en cada cara un solo color.
Con cuadrados mágicos, el proceso de doblar y cortar deja en cada cara la misma suma.
Incluso, si se construye un cuadrado con los números en el orden natural, como en la figura:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
la suma de los valores de cada cara es constante.
Dejamos como ejercicio estudiar la situación correspondiente a los cuadrados de orden impar. Por ejemplo, en un cuadrado 3 x 3 con los números del 1 al 9 en orden consecutivo, después del proceso de doblar y cortar, la suma de los valores en un solo lado puede ser 20 ó 25.
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Cultura y matemáticas/El rincón matemágico
Autor:Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)
INSTRUCCIONES
Piensa un número entre 5 y 10 (ambos incluídos). Llamémosle X.
De una baraja, extrae X cartas.
Reparte el resto de las cartas en X montones (de cualquier forma, sin importar el número de cartas en cada montón).
Reparte todas las cartas de uno de los montones entre los demás (de nuevo sin importar el número de cartas repartidas en cada montón).
Cuenta el número de cartas que contiene cada montón.
Inexplicablemente, hay un número IMPAR de montones que contiene un número PAR de cartas.
Versión de Michael Daniels de un efecto debido a Ken Véale y publicado en The Pallbearers Review, Vol. 9. (L & L Publishing, Tahoma, CA.)
EXPLICACIÓN
Como la baraja contiene un número par de cartas, tenemos dos posibilidades:
1) Si el número pensado es impar, al final del proceso habrá un número par de montones formados por un número impar de cartas. Para que la suma de una cantidad par de números sea impar, debe haber una cantidad impar de números impares.
2) Si el número pensado es par, un razonamiento similar nos lleva a considerar una cantidad impar de números cuya suma es un número par. O todos los números son pares, o hay una cantidad par de números pares. El resto serán impares.
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Cultura y matemáticas/El rincón matemágico
Autor:Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)
El afamado erudito francés Claude-Gaspar Bachet, señor de Méziriac, publicó en 1612 su obra titulada “Problèmes Plaisants et Délectables qui se font par les nombres”, uno de los primeros libros dedicados a las Matemáticas Recreativas.
Contiene una gran variedad de problemas de adivinación de números que todavía hoy pueden entretener a los aficionados a las matemáticas. Por ejemplo, en sus líneas se desarrolla un método muy general para construir cuadrados mágicos impares.
También los magos encuentran en el libro algún material que pueden utilizar como efectos mágicos.
Presentamos a continuación un juego de adivinación de cartas que se encuentra explicado en el libro como una variante al popular juego de las 21 cartas.
DESARROLLO DEL JUEGO:
(1) El mago toma un número N = k(k+1) de cartas y, agrupadas en parejas, las muestra sobre la mesa.
(2) Pide a un espectador que piense en una de las parejas y recuerde las cartas que la componen.
(3) Recoge todas las cartas en un paquete, sin separar las parejas.
(4) Extiende a continuación todas las cartas sobre la mesa formando un rectángulo de k filas y k+1 columnas. La forma de colocarlas se ilustra en los siguientes diagramas (donde los números indican el orden de las cartas en el paquete):
Caso N = 20
1
2
3
5
7
4
9
10
11
13
6
12
15
16
17
8
14
18
19
20
Caso N = 30
1
2
3
5
7
9
4
11
12
13
15
17
6
14
19
20
21
23
8
16
22
25
26
27
10
18
24
28
29
30
Observa la distribución: las tres primeras en orden en la primera fila, a continuación se alternan cartas en la primera columna y primera fila hasta acabarlas. Se vuelven a colocar las tres siguientes en la segunda fila y se alternan la segunda columna con segunda fila hasta acabarlas. Se continúa con el proceso hasta acabar las cartas.
(5) Pregunta en qué filas se encuentran las cartas previamente elegidas. Con la información proporcionada, es posible conocer el valor de ambas cartas.
EXPLICACIÓN:
Las cartas elegidas ocuparán dos posiciones consecutivas, digamos 2m-1 y 2m. La forma de colocar las cartas sobre la mesa hace que cada pareja ocupe una única combinación de filas en la distribución, es decir hay una correspondencia biunívoca entre las combinaciones (con repetición) de las filas tomadas de dos en dos y las parejas (2m-1, 2m). Así por ejemplo, en el caso N = 20, dicha correspondencia es:
Par de filas
Par de números
1-1 1-2 1-3 1-4 2-2 2-3 2-4 3-3 3-4 4-4
1-2 3-4 5-6 7-8 9-10 11-12 13-14 15-16 17-18 19-20
Así, es sencillo adivinar las cartas seleccionadas, conocidas las filas en que se encuentran.
Incluso, haciendo un alarde de concentración, es posible adivinar varias parejas de cartas escogidas por varios espectadores.
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Cultura y matemáticas/El rincón matemágico
Autor:Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)
Coloca las cartas del as al nueve en un montón sobre la mesa según el orden indicado en la figura (el nueve será la carta que muestre su cara).
Corta por cualquier lugar y completa el corte.
Separa las cartas en dos montones, repartiendo sobre la mesa, alternativamente, una carta a la izquierda y una a la derecha.
Junta los montones colocando uno de ellos sobre el otro.
Repite las mismas operaciones anteriores dos veces más (con el objeto de desordenar completamente las cartas).
Observa la carta superior del paquete y pasa de arriba abajo tantas cartas como indique su número.
Abre en abanico todas las cartas.
¿No es sorprendente? Las fuerzas del Universo logran finalmente el orden.
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Cultura y matemáticas/El rincón matemágico
Autor:Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)
Cada espectador tiene ocho cartas, siete negras y una roja.
Mezcla cara arriba las ocho cartas. Bien mezcladas.
Reparte las cartas sobre la mesa en dos montones, alternativamente a la derecha y a la izquierda y fíjate bien en qué montón está la carta roja, pero no me lo digas.
Mezcla el paquete que contiene la carta roja, vuelve a dejarlo sobre la mesa y coloca el otro paquete sobre éste.
Vuelve a repartir sobre la mesa dos montones de forma alternada y vuelve a fijarte en qué montón está la carta roja. No me des ninguna pista.
Mezcla el paquete que no tiene la carta roja y colócalo, caras abajo, sobre el otro. Parece imposible saber cómo están las cartas y, en efecto, es imposible.
Reparte por última vez dos montones sobre la mesa, alternativamente a derecha e izquierda.
Coloca el paquete que no tiene la carta roja sobre el otro (sin voltear las cartas).
Recoge todas las cartas y gira todo el paquete.
Ahora cierra los ojos y deja fluir tu subconsciente. Separa la primera carta y sóbala un poquito. ¡No, apártala! No es tu carta.
Separa la siguiente y manoséala también. ¡No la mires! Tampoco es la que buscamos.
Separa la siguiente.
¡Sí, siento que sientes algo especial! ¡¡ES LA CARTA ROJA!!
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