811. 51. (Junio 2008) Bricomatemagia

Ya hemos hablado en varias ocasiones del juego de adivinación de un número pensado utilizando un conjunto de cartulinas con varios números en ellas. Siempre con el objeto de disimular lo más posible el principio matemático empleado para ello, se han ideado distintas versiones de dicho juego. Presentamos en esta ocasión un método ideado por el omnipresente Martin Gardner (personaje de la foto), donde los números están desordenados en las tarjetas y la utilización de ventanas permite saber el resultado de un simple vistazo.   Muestra a un espectador las seis tarjetas que se ilustran en la figura (los cuadros oscuros corresponden a agujeros hechos en las tarjetas). La séptima tarjeta, que está en blanco pero también tiene los agujeros señalados en los cuadros oscuros, debes tenerla oculta sobre la mesa. Pide al espectador que piense un número contenido en alguna de las tarjetas (comprendido entre 1 y 64). Después debe buscar dicho número en las tarjetas y entregarte aquéllas que contengan el número pensado. Una vez recibidas las tarjetas, agrúpalas en un montón sobre la mesa con la parte impresa hacia abajo. A continuación vuélvelas a recoger, pero añadiendo la tarjeta en blanco. Realiza mentalmente la suma de los números que quedan a la vista a través de los agujeros. Anuncia el resultado de la suma, que corresponderá precisamente al número pensado. Como habrás comprendido, el funcionamiento es el mismo que el del juego original (ver MATEMAGIA 13) con la diferencia de que los números que hay que sumar no están situados en la esquina superior izquierda sino en los lugares que podrán verse a través de las ventanas de la tarjeta no numerada.

Domingo, 01 de Junio de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

812. 49. (Abril 2008) Cubo Mágico

En la décimotercera entrega de esta sección de juegos mágico-matemáticos incluimos una versión interactiva de un juego muy conocido: las tarjetas binarias. Dicho juego consiste en mostrar cinco cartulinas con números en ellas, pedir a un espectador que piense un número comprendido entre 1 y 31 y separe las cartulinas que contienen el número pensado. Viendo dichas cartulinas se puede adivinar el número pensado. Una versión tridimensional de dicho juego se atribuye al matemático y mago Werner Miller. Él observó que los números contenidos en cada tarjeta podían disponerse para formar un cuadrado mágico. Esto quiere decir que el juego puede realizarse mostrando un cubo en lugar de unas tarjetas. En esta ocasión voy a adivinar el día de tu cumpleaños. Para ello, imprime en una cartulina la imagen que verás a continuación; luego sigue las instrucciones que te indico.   Recorta la figura, pega las lengüetas y construye un cubo. Verás que todas las caras contienen un cuadrado mágico (salvo una que contiene publicidad de una página web y te invito a visitar). Observa todas las caras del cubo. Busca las caras en las que aparezca el día de tu cumpleaños, y anota para cada una de ellas el número que está en la esquina superior izquierda de dicha cara. Suma todos los valores anotados. El resultado será el día de tu cumpleaños.

Martes, 01 de Abril de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

813. 70. (Marzo 2010) Los tres objetos

En varias ocasiones hemos incluido juegos cuyo funcionamiento aparente una libertad de movimientos por parte del espectador (por ejemplo, Matemagia 5 (mayo 2004), Matemagia 31 (septiembre 2006), Matemagia 32 (octubre 2006), Matemagia 39 (mayo 2007)), aunque en realidad dichos movimientos son cada vez más restrictivos y el resultado final puede predecirse de forma exacta. Las diferentes presentaciones o escenarios y la puesta en escena de estos juegos son las que contribuyen a crear la sorpresa final. Sin embargo, un estudio detallado de todas las posibilidades en cada paso del proceso dejan ver claramente que la supuesta aleatoriedad es inexistente. Otro juego basado en el mismo principio es el que describimos a continuación. Su simplicidad permite ser realizado incluso por teléfono. Se necesitan tres monedas de diferente valor, así que busca una moneda de 0,20€, una de 0,50€ y una de 1€. Coloca las tres monedas en una fila sobre la mesa. A continuación, realiza los siguientes movimientos: Permuta las monedas de 0,20€ y 1€, estén donde estén. Permuta ahora la moneda de 0,50€ con cualquier otra. Tú eliges. Permuta la moneda de 0,20€ con la que esté a su derecha. Si no hay ninguna a su derecha, no hagas nada por ahora. Permuta la moneda de 1€ con la de su izquierda, si hay alguna. Ahora permuta la moneda de 0,50€ con la de su derecha, si hay alguna. Permuta las dos monedas de los extremos. Quita de la mesa la moneda de la derecha. Guárdala para mí. Coloca en el puño cerrado la moneda de mayor valor entre las restantes. Sólo queda una en la mesa: si no me equivoco, es la moneda de 0,20€. Será para ti. Mira la moneda de la mano: es la moneda de 0,50€. No lo olvides: me debes la moneda de 1€. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Jueves, 04 de Marzo de 2010 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

814. 71. (Abril 2010) La batalla de los palos

Un juego clásico y muy popular es el conocido como "piedra/papel/tijera", utilizado comúnmente como mecanismo de decisión para la realización de alguna acción. La simplicidad de las reglas y la ausencia de accesorios necesarios en este pasatiempo, de origen chino, han hecho que su uso se haya mantenido durante varias generaciones. Matemáticamente, las reglas del juego tienen la particularidad de la no transitividad, proceso que ya hemos considerado en otro artículo de este rincón (ver matemagia 45). En esta ocasión describiremos un juego basado en estas mismas ideas pero utilizando cartas. El juego es una adaptación del descrito por Colm Mulcahy en su sección Card Colm. Consigue una baraja francesa y reparte sobre la mesa algunas cartas de cada palo formando cuatro montones, uno por cada palo (y recuerda cuál o cuáles de los montones contienen un número impar de cartas). Entrega el resto de la baraja a un espectador para que la mezcle y te entregue un pequeño paquete. Después de echar una ojeada a tus cartas, comprobando que están bien repartidas, escribes dos predicciones y las dejas a la vista sin que pueda leerse su contenido. Explica al espectador que, con las cartas de su montón, jugará a la "batalla de los palos", similar al juego de "piedra-papel-tijera", pero con las reglas que se describen a continuación: Se sacan las dos cartas superiores del paquete. Si son del mismo palo, ambas quedan eliminadas pero se recoge de la mesa una carta de rombos y se añade al paquete; si sólo una de las cartas es de rombos, ésta queda eliminada y la otra carta se añade al paquete; en cualquier otro caso, se eliminan ambas cartas y se añade al paquete una carta de palo distinto a la pareja eliminada y distinto a rombos. La tabla de sustituciones se resume a continuación: 1ª\2ª Rombos Tréboles Corazones Picas Rombos R T C P Tréboles T R P C Corazones C P R T Picas P C T R [Podemos decir que los rombos representan un empate entre los palos, que el palo de rombos pierde ante cualquier otro palo y que, quitando los rombos,  el tercer palo gana la batalla entre dos palos diferentes.] La batalla anterior se repite entre las dos siguientes cartas y así sucesivamente, hasta que quede una sola carta. Muestra entonces la primera predicción donde está escrito el palo de dicha carta. Puedes repetir el mismo experimento con el otro montón y comprobar que el palo de la carta ganadora también coincide con lo escrito en la segunda predicción. Secreto. Veamos la forma de calcular los palos de las cartas que debes anotar en las predicciones. En primer lugar, debes saber el número de cartas que se han colocado previamente sobre la mesa (solamente necesitas saber qué montones contienen un número impar de cartas). Después, cuando el espectador se queda con un paquete de cartas y te entrega el otro, con el pretexto de comprobar que están bien mezcladas, contarás el número de cartas de cada palo. En realidad, basta con saber qué palos contienen un número impar de cartas. Esta información permite saber también qué palos contienen un número impar de cartas en el paquete del espectador. Además, no hace falta contar las cartas de rombos pues tienen valor cero. Con esta información, la regla para saber cuál será la carta final después del proceso de eliminación es la siguiente: Si sólo hay un palo con una cantidad impar de cartas, la carta final será de dicho palo. Si sólo dos palos tienen una cantidad impar de cartas, la carta final será del palo restante (que no sea rombos). Si hay una cantidad impar de cartas en los tres palos, la carta final será de rombos. Ejemplos. (1) Supongamos que haces inicialmente los cuatro montones con un número par de cartas en cada montón. Supongamos también que, al revisar tu paquete, encuentras un número impar de cartas de tréboles. Esto quiere decir que el paquete del espectador contiene también un número impar de cartas de tréboles. En este caso, ambas predicciones coincidirán y debes escribir en cada una de ellas la palabra "TRÉBOLES". (2) Supongamos ahora que, sobre la mesa, has colocado los cuatro montones pero sólo el montón de picas contiene un número impar de cartas. Después, al revisar tu paquete, encuentras un número impar de cartas de tréboles. En consecuencia, el montón del espectador contiene un número impar de cartas de tréboles y de picas. En esta situación, la predicción correspondiente al paquete del espectador será "CORAZONES" y la correspondiente a tu paquete será "TRÉBOLES". Explicación. La tabla anterior corresponde al grupo de Klein de cuatro elementos (no debes preocuparte por conocer qué es un grupo de Klein pero si lo conoces apreciarás esta curiosa aplicación de este grupo), donde el palo de rombos representa el elemento neutro. Basta sustituir cada palo por un elemento del conjunto para saber el resultado final del proceso de eliminación-sustitución contando el número de cartas de cada palo que se encuentra en cada paquete. Con las sustituciones indicadas, la tabla anterior queda de la forma 1ª\2ª R=0 T=1 C=2 P=3 R=0 0 1 2 3 T=1 1 0 3 2 C=2 2 3 0 1 P=3 3 2 1 0 Observación. Se puede evitar tener que contar las cartas de cada paquete si se tiene la baraja preordenada por palos, digamos que los palos están alternados en toda la baraja (siempre en la misma secuencia, digamos rombos-tréboles-corazones-picas). Se pide a dos espectadores que nombren un número entre 10 y 20 y repartan para sí mismos tantas cartas como indica su número. Basta esa información para saber qué palos tienen una cantidad impar de cartas. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Lunes, 19 de Abril de 2010 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

815. 17. (Junio 2005) Adivinación a distancia

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Miércoles, 01 de Junio de 2005 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

816. 16. (Mayo 2005) A la tercera va la vencida

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Domingo, 01 de Mayo de 2005 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

817. 15. (Abril 2005) La prueba del nueve

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Viernes, 01 de Abril de 2005 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

818. 47. (Abril 2010) La irracionalidad según Procusto

[Texto adaptado del libro de texto Logonautas 2. Matemática, capítulo 2. Ed. Puerto de Palos, Buenos Aires (2009)] Todo el mundo conoce la forma de operar con los números racionales, que son aquellos que pueden escribirse como fracciones de enteros. Y también es conocido el hecho de que, para los antiguos griegos, dichos números eran prácticamente la base de todo. La idea de belleza, presente en el arte de sus estatuas y monumentos, se fundaba en las razones y proporciones, lo que hacía que el concepto de número racional tuviera una importancia especial. Ahora bien, dada una cantidad específica como 3/5, parece una verdadera tontería constatar que corresponde a una fracción de enteros: se trata de algo que “salta a la vista” a partir de la propia escritura del número. Sin embargo, para los griegos la verdadera matemática se encontraba en la geometría y allí un número no es otra cosa que una magnitud: por ejemplo, la medida de un segmento. En este contexto, el problema cobra otra forma: dado un par de segmentos que miden respectivamente A y B, ¿cómo saber si la cantidad A/B corresponde a una fracción de enteros? Cabe aclarar que los números en cuestión pueden ser irracionales: por ejemplo, A y B podrían corresponder a la diagonal de dos cuadrados cuyos lados miden respectivamente 3 y 5; en tal caso A y B son irracionales aunque el cociente entre ambos es el muy racional 3/5. Responder a la pregunta anterior puede parecer sencillo, pero debemos pensar que en realidad no conocemos los valores numéricos de A y B, sino que vienen dados a partir de algún planteo geométrico. Entonces conviene reformular la cuestión: ¿existirá alguna manera de ver que A/B es igual a 3/5, sin hacer la división? La respuesta se hace clara ni bien observamos que la igualdad A/B = 3/5 equivale a decir: “5 veces el segmento A es igual a 3 veces el segmento B”. Esto se puede hacer en general para A/B = p/q con p y q cualesquiera: si “estiramos” q veces el segmento A y p veces el segmento B, los nuevos segmentos que resultan deben medir lo mismo. Pero todavía hay otro modo de verlo: supongamos, como antes, que p = 3 y q = 5; entonces, un segmento que mida la tercera parte de A tiene que entrar exactamente cinco veces en B. Y también (obviamente) entra tres veces en A: en otras palabras, es posible encontrar un segmento capaz de entrar un número entero de veces tanto en A como en B. Cuando esto ocurría, los griegos se ponían muy contentos y entonces decían que las cantidades A y B son conmensurables. La palabra proviene de mesura, que quiere decir “medida”; dos cantidades conmensurables vienen a ser algo así como “medibles con la misma vara”. Todo esto está muy bien, aunque no hemos resuelto nuestro principal problema: en efecto, sigue sin resultar evidente que pueda demostrarse la existencia de una “vara” común a las medidas de A y B sin calcularla. ¿Cómo hacemos para “recortar” una fracción del segmento A que entre un número exacto de veces en B? Los griegos entendieron esta dificultad e inventaron un sistema que permite saber si dos segmentos A y B son conmensurables sin necesidad de encontrar explícitamente cuál es la “vara”. El procedimiento es el siguiente: primero restamos las dos cantidades, la mayor menos la menor, para obtener un nuevo número C. Luego, dejamos de lado el valor A y repetimos el procedimiento con B y C: restamos el más chico del más grande… y así sucesivamente. La idea recuerda un poco a aquella tremenda cama que, al que le resultaba demasiado corta, le cercenaban las piernas para emparejar. Pero en realidad, lo tremendo no era la cama sino su malvado dueño, Procusto: si la cama era, por el contrario, un poco larga, entonces al pobre durmiente lo estiraban por medio de cuerdas hasta hacerlo encajar con exactitud[1]. En el caso de los números, la cosa no es tan cruel, ya que sólo vamos recortando los segmentos para quedarnos con un “sobrante”, que de a poco se va haciendo más pequeño. Y ahora viene lo más importante: si el proceso termina en algún momento porque dicho “sobrante” es igual a 0, entonces los números son conmensurables. Por ejemplo, si A = 9/10 y B = 3/2 entonces el método genera la siguiente secuencia, que termina al cabo de unos pocos pasos: 9/10, 3/2, 3/5, 9/10, 3/10, 3/5, 3/10, 3/10, 0 Ante un ejemplo tan exitoso, parece muy “racional” preguntarse: ¿qué ocurre si el proceso no termina? Por raro que parezca, esto es algo que puede suceder: a veces es posible seguir y seguir restando indefinidamente, sin que las cantidades terminen de esfumarse[2]. En una situación así, A y B se dicen inconmensurables: no hay vara, por pequeña que sea, capaz de medir a los dos segmentos un número exacto de veces. Y, como es sabido, se trata de un fenómeno que a los griegos inspiró un poco de miedo, más aun que el mismísimo Procusto…, pero esa es otra historia, que contaremos en otro momento.   Notas: [1] Justamente, Procusto significa algo así como “estirador”. Según algunas versiones, a las víctimas nunca les quedaba bien la cama, pues poseía un mecanismo secreto mediante el cual su dueño la podía regular a voluntad. [2] Tal vez se pueda aplicar aquí la famosa idea del hotel de Hilbert, aunque las perspectivas comerciales de un complejo turístico equipado con infinitos lechos de Procusto no serían muy favorables.

Viernes, 09 de Abril de 2010 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

819. 49. El cinematográfico Fermat

Descripción y análisis del documental de la BBC, Fermat´s Last Theorem, ganador de un premio BAFTA, no estrenado en España pero disfrutable a través de la Red. Es la crónica del descubrimiento de una de los cuestiones más famosas de la historia de las matemáticas. Pero no es la única referencia a este matemático del s. XVII en el cine… Simon Singh es físico, escritor, periodista y productor de televisión pero dedica gran parte de sus esfuerzos a la divulgación científica, en particular a la de las matemáticas. Ha escrito libros, dirigido documentales y mantiene una interesante página web (http://www.simonsingh.net). Quizá no sea tan popular por aquí como Martin Gardner, Ian Stewart o Clifford Pickover, pero probablemente sea sólo una cuestión de tiempo. Dos de sus libros han sido editados en nuestro país y son excelentes: El enigma de Fermat (Fermat´s Last Theorem, Editorial Planeta, Barcelona, 1ª Edición Febrero de 1998, traducido por David Galadí y Jordi Gutierrez) y Los códigos secretos (The Code Book,  Ediciones Debate, Madrid, 2000.Versión en castellano de José Ignacio Moraza). Quizá llame la atención el incluir los responsables de las traducciones al castellano, pero no son pocas las magníficas obras que han sido arruinadas por una mala traducción. No es el caso. El éxito editorial de ambos debe compartirse con los mencionados autores. En el prefacio de El enigma de Fermat, el editor de la serie Horizon de la BBC, John Lynch, explica cómo se gestó la producción del documental y aporta algunos datos e impresiones personales interesantes. Así, manifiesta su sorpresa (no olvidemos que está acostumbrado a la puesta en marcha de este tipo de producciones y ha tenido que trabajar con muchas personalidades de muy diversos ámbitos, como científicos, escritores, políticos, etc.) sobre el carácter de los protagonistas de esta película ante las cuestiones que plantean los guionistas: “Lo que me impactó en todas las conversaciones con ellos fue la extraordinaria precisión  de su discurso. Una pregunta rara vez se respondía de inmediato; a menudo debía esperar mientras la estructura precisa de la respuesta se resolvía en su mente, pero al fin emergía un argumento tan articulado y cuidadoso como yo pudiera haber deseado” (Pág. 12). Los protagonistas del documental son, por orden de aparición: Andrew Wiles, John H. Conway (profesor de Princeton), Barry Mazur (profesor de Harvard), John Coates (catedrático australiano del Emmanuel Collage procedente de Possum Brush, Nueva Gales del Sur. Director de tesis de Wiles), Ken Ribet (profesor de la Universidad de California en Berkeley, amigo de Mazur y pieza fundamental en el desarrollo de la demostración del teorema), Peter Sarnak (compañero de departamento de Wiles en Princeton y amigo personal de éste), Nick Katz (otro profesor del mismo departamento de Wiles en Princeton. Fue la primera persona a la que Wiles confió su demostración) y Goro Shimura (amigo personal de Taniyama, autores de la famosa conjetura cuya prueba permitió la del teorema de Fermat). Obviamente el protagonista central de la película es el profesor Andrew Wiles (en la imagen en su mesa de trabajo), y con él comienza la presentación: “Quizá la mejor descripción de mi experiencia de hacer matemáticas sea la de entrar en una mansión oscura. Uno entra en la primera habitación y va chocándose y golpeándose con objetos, muebles y demás enseres, hasta que poco a poco aprende donde se encuentra cada cosa. Finalmente, al cabo de unos seis meses aproximadamente, encuentras el interruptor de la luz, lo pulsas y de repente todo se ilumina y puedes ver dónde estás exactamente. A primeros de Septiembre me encontraba aquí en mi despacho delante de esta mesa, cuando de repente, tuve esa increíble revelación. Fue el momento más importante de mi vida laboral. Nada de lo que yo jamás pueda hacer será…. (en ese momento Wiles rompe a llorar sin poder continuar). Lo siento”. Un emotivo comienzo. Una voz en off nos va situando en los momentos precisos los hitos fundamentales que condujeron a la demostración mientras los protagonistas directos de la historia van desgranando su participación y cómo vieron el trabajo de Wiles. A los 10 años (ver imagen), Andrew descubre en un libro de la biblioteca pública la existencia de un problema, resuelto al parecer hace 300 años, pero del que nadie conoce su demostración, y hasta se especula con su no existencia. Desde ese momento el joven Wiles se propone, como uno de tantos otros sueños infantiles, que algún día aclararía el misterio. El narrador introduce de un modo muy conciso a Pierre de Fermat como  uno de los más importantes lanzadores de problemas de la historia, cuestiones que le inspira un texto clásico que está leyendo en sus ratos libres, la Aritmética de Diofanto. John Conway (ver imagen) nos explica que Fermat intentó resolver los problemas que se planteaban en la Aritmética, escribiendo anotaciones al margen en numerosas páginas, pero éstas se perdieron. Hoy conocemos algunas porque su hijo realizó una edición del libro incluyendo algunas. En el documental observamos una cuidada edición facsimil con dichas notas. Todas ellas fueron resueltas excepto una, conocida por ello como “la última”, y por extensión, dando nombre al resultado que acompañaba: “Cubum autem in duos cubos […] Demonstrationem mirabilem sanc detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet”. En ese instante se muestra un grupo de escolares enunciando el teorema de Pitágoras junto a la explicación de Conway y de Wiles indicando algunos de los ejemplos de ternas pitagóricas más conocidas. De este modo se introduce al espectador mediante generalización a exponentes mayores de 2 la tesis conocida de la conjetura de Fermat. La lista de geniales matemáticos que trataron de aclarar la nota es enorme. Los protagonistas citan algunos (Gauss, Galois, Kummer, Euler, Sophie Germain). A los ojos del ciudadano, la comprobación de que ninguna terna de números satisface la ecuación podría parecer salvada gracias a la aparición de los ordenadores. Conway explica que es imposible verificar infinitos números. Es necesaria una demostración matemática, “una prueba rigurosa basada en deducciones lógicas”, apostilla Peter Sarnak. Durante los años setenta del siglo pasado (música rock y muestrario de melenas enfundados en pantalones de campana para situar la época), el resultado de Fermat quedó olvidado, considerado un acertijo sin mayor interés. Era la época en la que Wiles comenzó su carrera de doctorado bajo la  supervisión del profesor John Coates (ver foto). Éste recuerda las buenas aptitudes de su pupilo, al que le recomendó que olvidara sus sueños infantiles. Le sugirió que se metiera con las curvas elípticas y la teoría de Iwasawa, un campo que aparentaba tener futuro. Paralelamente (no en el tiempo, sino en el desarrollo del documental) Goro Shimura relata su ingreso en la Universidad de Tokio en 1949. La II Guerra Mundial, finalizada apenas cuatro años antes, estaba aún muy presente en el país y cundía entre los profesores un acentuado clima de apatía y cansancio. Los estudiantes debían apoyarse entre sí para tratar de investigar en algo. Shimura “se asoció” con otro joven compañero, Utaka Taniyama, al que recuerda como un matemático poco cuidadoso ya que cometía bastantes errores, “aunque estaban siempre encaminados en una buena dirección”, planteaba respuestas, no demasiado fundamentadas, pero correctas a la postre. Tenía un buen olfato matemático, cualidad nada desdeñable, y difícil de encontrar. Juntos trabajaron en funciones modulares. Ni Katz, ni Sarnak se sienten capaces de explicar en qué consisten estos objetos ante la cámara. Wiles alude a un chascarrillo atribuido a Eichler que dice que existen cinco operaciones aritméticas: suma, resta, multiplicación, división y formas modulares. Barry Mazur se atreve finalmente a describir su fundamento: “Son funciones en el plano complejo que tienen tantas simetrías internas que su mera existencia parece accidental. Pero existen”. Esta resulta apenas una sombra del concepto. Para observar una curva modular, sería necesario en primer lugar estrechar la pantalla para convertirla en un espacio hiperbólico La conjetura de Taniyama-Shimura relaciona este concepto con las curvas elípticas: toda curva elíptica es una forma modular disfrazada. Son dos mundos diferentes en los que una proposición, una conjetura, una cuestión en uno de ellos tiene su reflejo en el otro. “Sobre esta conjetura se construyeron otras muchas, que serían completamente ridículas si no se hubiera probado finalmente la original”, comenta Wiles. Trágicamente, el hombre que inspiró esta conjetura no vivió lo suficiente para verla confirmada. Taniyama se suicidó en 1958. En aquella época nadie hubiera relacionado ni por asomo la conjetura de Taniyama-Shimura con el último teorema de Fermat. Sería a mediados de los años ochenta cuando el asunto dio un giro inesperado gracias al matemático alemán Gerhard Frey. Frey se planteó la hipótesis de que Fermat estuviera equivocado, de que sí existiera una solución a la ecuación. Suponiendo que exista una terna de números (A, B, C) que verifique la ecuación de Fermat (An + Bn = Cn), tras algunas operaciones Frey llega a la ecuación y2 = x3 + (An ─ Bn) x2 ─ AnBn conocida como curva elíptica de Frey. Esta curva parecía no ser modular, lo que de probarse echaría por tierra la conjetura de Taniyama-Shimura. Así, de este modo tan casual, fue como se relacionaron ambas conjeturas. Si la proposición de Fermat fuera falsa (es decir, si existiera la terna de números mencionada), también lo sería la conjetura de Taniyama-Shimura, y alternativamente, si ésta fuera correcta, también lo sería el resultado de Fermat. Sin embargo Frey no logró demostrar que su curva elíptica no fuera modular. Se limitó a exponer un argumento plausible sobre el que los especialistas empezaron a trabajar. A ese argumento se le denominó conjetura epsilon de Serre. Ken Ribet y Barry Mazur (en la imagen) charlaban sobre sus estancados trabajos tomando un capuchino en  un descanso de un Congreso de Matemáticos. Ribet no lograba demostrar que la ecuación elíptica de Frey no es modular. Mazur le comentó entonces que probara a añadir una estructura  gamma cero (método de Kolyvagin-Flach). En efecto, mediante esa técnica Ribet demostró el resultado. Desde ese momento, Wiles supo que lo que tendría que probar era la conjetura de Taniyama-Shimura. Abandonó todos sus trabajos, se aisló en una buhardilla durante siete años sin comentar a nadie qué hacía, y comenzó a trabajar en el asunto. Tanto Ribet como Coates confiesan en el documental que pensaban que nunca verían probada la conjetura de Taniyama-Shimura. Era un problema inabordable para prácticamente todo el mundo. El propio Wiles manifiesta que parecía imposible hincarle el diente a aquello por algún lado. Los dos primeros años de trabajo fueron únicamente para comprender bien  el problema, y tratar de establecer una mínima estrategia de demostración. Ken Ribet (en la foto) apunta algunas más o menos inmediatas: se quiere probar que dos conjuntos infinitos tienen el mismo cardinal (curvas elípticas y formas modulares). Se dividen entonces en paquetes y se intenta ver si hay el mismo número en ambos casos, analizando propiedades comunes en cada paquete. Sin embargo al cabo de unos minutos se constata que así no se llega a ninguna parte. El truco de Wiles consistía en transformar las curvas elípticas en algo denominado representaciones de Galois que permiten contar el número de elementos más fácilmente. Así lo que hay que hacer es comparar formas modulares con representaciones de Galois, no con curvas elípticas. Este primer paso le llevó al investigador tres años. También trató de utilizar la teoría de Iwasawa que estudió en sus cursos de doctorado, pero no le llevó a ninguna parte. En esta época Andrew daba largos paseos alrededor de un lago no sólo para relajarse sino también, según sus propias palabras para dejar trabajar al subconsciente. A finales del verano de 1991 en una conferencia, John Coates comentó a Wiles la existencia de un artículo de uno de sus alumnos, Matthias Flach, que podría interesarle. Utilizaba ideas de Kolyvagin. Decidió probar suerte, abandonando sus procedimientos. En  enero de 1993 pidió a Nick Katz, un especialista en las técnicas que Wiles había empleado, para que echara un vistazo a su trabajo. Wiles confió en Katz con el que apenas había tenido ninguna relación porque supuso que sería la única persona de su departamento que podría guardar silencio sobre el tema que se traía entre manos. Conway ratifica que Wiles y Katz solían reunirse  y nadie sabía para qué. Para acallar cualquier sospecha, ambos convocaron una serie de conferencias públicas en las que Wiles expondría sus demostraciones pero guardándose mucho de mencionar siquiera de pasada cuál era su objetivo. El curso se denominó del modo más genérico posible: “Cálculos sobre curvas elípticas”. Al cabo de unas semanas no quedó más público que Katz. Así pudieron trabajar  tranquilamente y a salvo de cualquier especulación. Tras repasar los resultados, ni Wiles ni Katz encontraron errores. Era el momento de confiar el asunto a una tercera persona. El elegido fue Peter Sarnak (ver imagen). Éste manifiesta que le afectó mucho conocer la demostración. Apenas lograba conciliar el sueño. En mayo de 1993 aún había algún fleco en la prueba: un conjunto de curvas elípticas se escapaban del método. La lectura de un artículo de Barry Mazur le dio a Wiles una idea. Inmerso en esta tarea, olvidó bajar de su buhardilla a comer, lo que extrañó a su esposa Nada, a la que tuvo que explicar por primera vez en todo ese tiempo lo que se traía entre manos. En una conferencia organizada por Coates en Cambridge, Wiles decidió exponer su trabajo. Por razones estrictamente sentimentales, era para Wiles el lugar ideal ya que había crecido y estudiado allí. El título anunciado para su intervención fue “Curvas elípticas y formas modulares”, sin ninguna mención explícita al último teorema de Fermat. A pesar del secretismo, había muchos rumores, al punto de que al inicio de la charla el ambiente se notaba enrarecido. Se habían dado cita demasiados especialistas importantes en geometría algebraica (Richard Taylor, John Coates, Barry Mazur) para ser una conferencia de mero trámite. “Cuando había contado las tres quintas partes de la demostración, escribí el último teorema de Fermat en la pizarra, anuncié que lo había probado y me fui”. Lo que sucedió al día siguiente  fue totalmente inesperado. El asedio de periodistas y revistas de todo el mundo fue abrumador. ¿Quién había difundido la noticia? En el documental ninguno de los protagonistas admite haberlo hacho. Era el momento de publicar la demostración para que fuera examinada en busca de posibles errores. Durante los meses de julio y agosto, Nick Katz (en la imagen) no hizo otra cosa que repasar el manuscrito, línea a línea, en ocasiones dos veces al día. Mandaba a Wiles e-mails continuamente: no entiendo  esto, creo que esto es incorrecto, etc. Al final del verano descubrieron un error que se les había pasado en lecturas previas. Estaba en la extensión de Flach-Kolyvagin. Ese fallo obligaba a modificar un montón de pequeños detalles. Sarnak comenta que aquel trabajo era como intentar enmoquetar una habitación con una superficie mayor que la real: se pega una esquina y se levanta otra, y así continuamente. La presión en aquellos días era insoportable. Todo el mundo preguntaba si ya estaba arreglado, si Wiles había aparecido aquel día con buena o mala cara, etc. Wiles afirma que durante los siete años que trabajó en secreto disfrutó cada minuto de investigación. Sin embargo este periodo de expectación en el que todo el mundo estaba pendiente no lo desearía revivir nunca más. Otros matemáticos también intentaban corregir la prueba. Era una carrera contrarreloj. Finalmente llegó el gran momento que Wiles relata así: “Estaba sentado frente al escritorio un lunes por la mañana, el 19 de septiembre, examinando el método de Kolyvagin-Flach. No es que creyera que pudiera hacerlo funcionar, pero quería saber en que fallaba. De repente de forma inesperada, tuve una revelación increíble. Me di cuenta de que aunque el método no funcionaba perfectamente, era todo lo que necesitaba para desarrollar mi trabajo original con la teoría de Iwasawa. Conseguía lo suficiente del método de Kolyvagin-Flach para que mi enfoque original, que había hecho tres años antes, funcionara”. Por si solos ambos métodos eran inadecuados, pero juntos se complementaban perfectamente. “No podía entender cómo se me había pasado por alto, y lo estuve contemplando incrédulo durante veinte minutos. Aquel día di vueltas por el departamento, y volví a mi despacho para ver si la idea estaba aún allí. Y aún estaba. Volví a casa y lo consulté con la almohada. Lo volví a comprobar a la mañana siguiente y hacia las once, emocionado, se lo dije a mi esposa, que no entendió de qué le hablaba. Creyó que estaba hablando de un juguete de los niños a algo así”. Todos los protagonistas del documental manifiestan haber sido testigos de un hecho único: no se asiste a una prueba así  todos los días. La pregunta final que se hace el guionista es si esta sería la demostración que Fermat dijo tener. La respuesta de Wiles es obvia: es una prueba del siglo XX, con métodos y resultados del siglo XX., que no serían ni siquiera imaginados por Fermat, en la que han colaborado cientos de matemáticos del siglo XVII hasta nuestros días. Curiosidades Cuando uno lee la página de Singh leyendo detalles sobre cómo realizó el documental, uno no puede sentir sino sana envidia sobre el tratamiento que se dio a la noticia. del anuncio de una demostración al último teorema de Fermat. Así lo relata Simon Singh: “El ultimo teorema de Fermat presidió los titulares en 1993 cuando Andrew Wiles anunció su demostración. La historia fue noticia en todo el mundo “. Aquí es donde podemos decir: No. En España, no. Apenas una pequeña reseña de relleno en alguna sección perdida de los periódicos. De hecho en el documental aparecen varios periódicos de diversas nacionalidades y en diferentes idiomas con la noticia en portada. En los EE. UU., a los que muchas veces criticamos con razón, diarios de lectura masiva incluyen SEMANALMENTE y sin que haya habido noticia alguna, alguna página dedicada a la divulgación MATEMÁTICA. No de Medicina, Biología, Astronomía, Física, etc. Esas tienen también su propia sección. Luego nos llevamos las manos a la cabeza con los malos resultados matemáticos de estudiantes y de la sociedad en general. ¡Qué lástima que no hubiera pruebas que analizaran la sapiencia deportiva o del famoseo de las naciones! Probablemente seríamos de los mejores. Y eso no es malo, sólo que no sirve para nada más que para provecho y disfrute de los propios interesados. El realizador se sorprende de los premios obtenidos por su documental (un BAFTA al mejor documental, un Priz Italia, una nominación al Emmy) para una película que no trata de una cura para el cáncer, ni habla de dinosaurios o volcanes, ni tiene fotografías espectaculares del universo. ¡Es sobre matemáticas, una disciplina difícil de entender y aburrida por definición!. Preparar el proyecto llevó a sus responsables seis meses de trabajo. El primero para documentarse sobre la historia y tener al menos una visión superficial sobre los resultados matemáticos que involucraba, para poder decidir qué podía contarse de palabra, cuál con imágenes, etc. Durante el segundo mes, aparte de seguir profundizando en lo anterior, se dedicó a contactar con los posibles protagonistas, charlar con ellos sobre sus intervenciones, buscar localizaciones donde filmar y dar forma a la columna vertebral del film. El tercer mes se realizaron borradores del guión, el storyboard y la lista de las localizaciones. A la hora de la verdad, la mitad de lo pensado no se realiza, y uno tiene que ver cómo se las apaña con el material que ha logrado. El rodaje ocupó más de un mes, yendo a Cambridge, Princeton, Boston, y San Francisco. Durante el rodaje de una película se producen multitud de anécdotas y curiosidades. Singh comenta una filmada en una terraza de la cafetería de la Universidad de Berkeley, cuyo protagonista es Ken Ribet (ver fotografía).  El lugar fue elegido por el propio Ribet que allí se sentía a gusto y relajado, a pesar de la gente, el ruido, la clientela del lugar, etc., Mirando con atención  uno se pregunta porque hay en la mesa tal cantidad de terrones de azúcar (¿quizá en California se pirran por lo dulce?) En realidad fue una idea que finalmente no se filmó. Se trataba de demostrar que reordenando un cuadrado se pueden conseguir otros cuadrados mayores. Por ejemplo a partir de un cuadrado 3x3 y de uno 4x4 se puede construir uno 5x5 (el teorema de Pitágoras). Después se intentó reordenando cubos de 6x6x6 y de 8x8x8 para formar uno de 9x9x9, y mostrar que no es posible. En definitiva un modo tangible de ver que sucede con las ternas pitagóricas y el último teorema de Fermat. Se eliminó porque parecía una tontería y de una duración excesiva, pero quedó ese montón de terrones de azúcar sobre la mesa. Tras 17 semanas largas, volvieron a Londres con docenas de imágenes para montar. Del montaje se hizo cargo Horacio Queiro. Tuvo que condensar más de lo que hubieran deseado (de hecho aunque al principio querían dejar un espacio a todos los matemáticos que estudiaron el problema entre Fermat y Wiles, finalmente los dejaron en una breve mención de apenas un par de minutos. El interés estaba en los descubridores vivos de la prueba) La banda sonora es una de las piezas fundamentales en el proceso del montaje. En un descanso, Horacio y Singh fueron a tomar una pizza en un restaurante cercano, y allí escucharon unas melodías que les parecía que irían bien para su película. Preguntado al camarero les dijo que era la Penguin Cafe Orchestra. Al día siguiente compraron todos sus discos y de allí seleccionaron la música, junto a un tema de Blondie que en el documental pretende simbolizar el salto del Atlántico, desde Inglaterra a San Francisco. Serían más reconocibles los Beach Boys, pero les resultaba más sencillo y barato adquirir los derechos de un artista británico. Después de cinco semanas, una docena de versiones y otra media de pases con el productor, dieron por terminado el trabajo. El mes siguiente fue una tarea menor comparada con la de la edición: insertar los gráficos por ordenador, escribir el guión del narrador y grabarlo. Y la publicidad. De nada sirve hacer maravillas si luego nadie las ve. El primer artículo para un periódico de Singh fue precisamente éste para la sección científica de The Daily Telegraph. El estreno se produjo finalmente el 26 de Enero de 1996, y tuvo buenas audiencias y críticas. A Andrew Wiles no le gusta demasiado la televisión ni los medios de comunicación (en la imagen, aspecto de la casa donde vive Wiles; la buhardilla bajo la chimenea es el lugar donde se aisló para su investigación), y menos después del acoso al que fue sometido tras el error de su prueba inicial. No le hacía ninguna gracia el documental, pero finalmente aceptó ante el argumento de que era una oportunidad única de hacer algo que  inspiraría a las nuevas generaciones de matemáticos. Su trabajo en el film le llevó tres días de preparación y cinco medias jornadas de rodaje. Singh menciona también que un estudio de Hollywood estuvo interesado en hacer una película sobre su libro de Fermat, pero al final el proyecto no cristalizó. El documental está editado únicamente en VHS (hay versión PAL para Europa y otra NTSC para América, aunque ambas son un poco caras). Se suele emitir regularmente en canales de pago (no en España por supuesto) y la forma más eficaz de verlo, aunque con una calidad de imagen pésima, es en YouTube (está troceado en cinco partes; la dirección que indico es la de la primera): http://www.youtube.com/watch?v=qiGOxGEbaik Análisis del documental: Ciertamente se trata de una producción magnífica, muy bien pensada, impecablemente realizada, y con el acierto de haber logrado contar con prácticamente todos los protagonistas que hicieron posible este fenomenal descubrimiento. Es de un gran valor para un matemático. Sin embargo, después de los diez primeros minutos, nadie que no conozca y esté interesado en el tema, puede seguirlo con garantías de entender lo que se cuenta. El esfuerzo de los guionistas por tratar de clarificar las cosas se pierde tras esos diez minutos en el momento en que se empieza a hablar de teorías y técnicas tan específicas. Fermat cinematográfico Fermat es probablemente el matemático más mencionado en el cine. Repasando sus apariciones tenemos el teorema en la insufrible Al diablo con el diablo (Bedazzled, Harold Ramis,  EE. UU., 2000), aparece como seudónimo de uno de los integrantes de La habitación de Fermat (Ver reseña nº 27, de Diciembre de 2007), Alex de la Iglesia recrea el entorno y la conferencia de Wiles en Los crímenes de Oxford (Ver reseña 29 de esta sección, Febrero de 2008), con nombre figurados (Wiles pasa a ser Wilkins, seguramente en referencia al cuento de Borges El idioma analítico de John Wilkins, como me apunta la profesora uruguaya Daniela Pagés, y Fermat pasa a ser Bormat, híbrido entre Borges y Fermat) y la obra teatral Fermat´s Last Tango (cuya descripción puede verse en la sección Teatro y Matemáticas, reseña nº 21, Noviembre de 2008). Tampoco Homer Simpson se olvida del teorema como muestran los capítulos Capítulo 9 Temporada 7 (1995-1996): La Casa Árbol Del Terror VI: Homer3 178212 + 184112 = 192212 Episodio 16 Temporada 10,: El mago de Evergreen terrace 398712 + 436512 = 447212 cuyas imágenes habréis visto reproducidas en múltiples ocasiones. En definitiva que Fermat con su comentario marginal en la Aritmética de Diofanto supo mantener el interés por un enigma de un modo muy mediático que diríamos hoy.

Jueves, 08 de Abril de 2010 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

820. 14. (Marzo 2005) Partida de Póquer

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Martes, 01 de Marzo de 2005 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico