791. 51. CONCURSO DEL VERANO DE 2010

Parece mentira pero ya estamos otra vez pensando en el cálido verano (cálido puede, porque lo de largo lo dejaremos por esta vez, por lo menos a los que nos toca empezar con los nuevos grados boloñeses y tenemos aún exámenes el 23 de julio, como es mi caso). O sea que entre pitos y flautas (la crisis, el recorte salarial, los niños, etc.) este año no podemos volver a Shangri-La, que tan buenos recuerdos nos dejó el año pasado (ver reseñas 42 y 43). En esta ocasión nos quedaremos algo más cerca, por ejemplo, en algún lugar como el que muestra la foto. Será un buen momento para descansar a la sombra (literalmente, no en su otro sentido), leer algo, recordar algunos de los maravillosos lugares en los que hemos estado durante el curso y las personas y asuntos con las que nos hemos relacionado (seguro que algunos pendientes de resolver todavía), las películas que trataremos de ver, las personas que nunca volveremos a encontrar (muchos cineastas, por cierto), … En fin, dejémoslo que empezamos a caer en nostalgias sentimentaloides, y mejor echemos mano a los consejos de Omar Khayyam (reseña 50) aunque él se perdía el acompañamiento de la estupenda parrillada en la que estoy pensando. El caso es que sentado a la sombra, como decía antes, con treinta y tantos grados al sol, no apetece demasiado moverse mucho. Y es inevitable pensar en las personas a las que no les queda más remedio que hacerlo. Han cambiado las cosas bastante pero determinadas situaciones parecen inmutables (invariantes, diríamos matemáticamente hablando) y eso se percibe con toda claridad aquí, en las zonas rurales, a pesar de que prácticamente todos sus habitantes menores de cuarenta años han estudiado, muchos hasta la Secundaria. Lejos quedan los tiempos en que marcharse a la ciudad a estudiar interno era todo un drama familiar y personal. Me viene a la memoria la siguiente discusión entre un matrimonio: - Yo quiero que mi hijo sea un hombre de provecho. - Pero él (se refiere al cura) le podría enseñar a leer, a escribir y cuentas. - Al año sabría tanto como él, y no quiero que mi hijo se pase toda su vida encadenado a este banco como un esclavo. Como un esclavo y como yo. - ¿Y si el chico no vale para estudiar? - Eso depende de si tiene cuartos o no los tiene. Eso es cosa mía. Cuando llegue el tiempo de ir a hacer el grado, tendremos dinero. Yo ya lo he decidido. Esta conversación tiene lugar mientras el padre del chaval, de un oficio característico, está elaborando sus productos. Vende éstos en estuches como el que muestra la figura (de la misma es obvio indicar que cada círculo es tangente a los otros dos adyacentes y que cada lado del estuche triangular es tangente a dos de los círculos). Si cada círculo (que representa los productos que elabora) tiene un diámetro de 10 cm., al padre le gustaría que su hijo supiera calcular la longitud de cada lado del estuche, para tenerlos cortados a la medida, y si fuera posible incluso averiguar el espacio que pierde en cada estuche. Y ya puestos si habría una forma geométrica sencilla para los estuches que aprovechara mejor el espacio. Pero claro, quizá, no llegue a aprender tanto…. Cuestiones: 1.- Longitud de los lados del estuche triangular. 2.- Espacio que se pierde en cada estuche triangular. 3.- Forma geométrica que aproveche mejor el espacio. 4.- (Esta cuestión quizá se responda mejor al final) Ocupación del padre. ¿Qué vende en los estuches? Los protagonistas de la película muchas veces perdían el sentido del tiempo y la noche se les echaba encima. La bóveda del firmamento iba poblándose de estrellas y uno de ellos sobre todo se sobrecogía bajo una especie de pánico astral. Era en estos casos, de noche y lejos del mundo, cuando se le ocurrían ideas inverosímiles, pensamientos que normalmente no le inquietaban: - ¿Tú crees que si una de esas estrellas cae, nunca llega al fondo? - No sé lo que quieres decir - Las estrellas están en el aire, ¿no? - Sí - ¿Y no dice el maestro que la Tierra también está en el aire? - También. - Pues es eso. Si una estrella de esas cae y no choca ni con la Tierra ni con otra estrella, ¿no llega nunca al fondo, o ese aire que las rodea nunca se acaba? - No me hagas esas preguntas que me mareo. - ¿Te mareas o te asustas? A mí también me dan miedo las estrellas y todas las cosas que nunca se acaban. Pero no se lo digas a nadie … Actualicemos en este punto la conversación a nuestros días, quizá a este mismo verano,… - No te preocupes, hombre. ¡Mira! (apuntando al cielo) ¿No lo ves? ¡La nave del misterio! - Hablando de cosas que no se acaban nunca…. - ¿No te gusta? Hay mucha gente que sigue el programa, aunque a mí me da un poco de miedo, la verdad. - Pues a mi eso no me da nada de miedo. Se ha vuelto tan teatral que resulta del todo inverosímil. Además cuando meten la pata, ni siquiera se disculpan. Mira el otro día, hablando de Gaudí, ¡mira que tiene cosas interesantes de las que hablar!, pues nada, simplemente mencionaron que había multitud de códigos ocultos en su obra, ¡y no dijeron ni uno! Al menos para lo que yo entiendo por oculto. Y le atribuyeron, con ese halo de misterio tan infantil, el cuadrado mágico que hay en la fachada de la Pasión de la Sagrada Familia que suma siempre 33. ¡Cómo si eso tuviera algo de paranormal! - ¡Pero si es de Subirachs! ¡Y cuadrados mágicos le construyo yo todos los que quiera! (ver reseña 25) - ¡Anda y yo! ¡Y cualquiera que haya leído mínimamente sobre ellos! ¡Si fuera cierta alguna de sus lucubraciones, debemos poseer unos poderes extraordinarios! - Mira te voy a proponer algo. En vez de entretenerte en algo tan manido, ¿por qué no construyes un cuadrado anti-mágico? - ¿Y eso que es? - Una disposición de números en cuadrado de manera que la suma de cada fila, columna y diagonales principales proporcione resultados diferentes. - ¿De que orden lo quieres? - Primero intenta demostrar que no existe ninguno de orden dos con los cuatro primeros números naturales. Luego dame uno de orden tres con los nueve primeros naturales. Como te resultará fácil, mira a ver si encuentras uno con todas esas sumas consecutivas. Después construye uno tal que si se coloca una torre de ajedrez en el lugar que ocupe el número uno, moviéndose una única casilla hacia el dos, luego hacia el tres, etc., acabe finalmente en el nueve. ¡Y no te olvides, todos anti-mágicos! - Oye, que quiero dormir esta noche. - ¡Bah, excusas! Mira te voy a poner un ejemplo 3 4 5 2 1 6 9 8 7 – ¿Ves? La suma de filas, columnas y diagonales principales es diferente: 12, 9, 24, 14, 13, 18, 11, 15. Y cumple lo dicho de la torre de ajedrez. - ¿Por qué me lo dices? Yo sólo … - Tranquilo que hay otro distinto. Pero recuerda que no valen rotaciones ni reflexiones de este modelo. Cuestiones: 5.- Cita algún “enigma” de verdad de los cuadrados mágicos tradicionales 6.- Demostrar que no existen cuadrados anti-mágicos de orden 2 con los números 1, 2, 3 y 4. 7.- Dar un cuadrado anti-mágico de orden 3 con las cifras del 1 al 9 distinto al indicado (no sirven rotaciones, simetrías ni reflexiones del dado). 8.- Encontrar la otra solución del cuadrado anti-mágico de la torre de ajedrez. Al día siguiente, a los dos amigos se une un tercero, el hijo del zapatero - Estuve dándole vueltas a la conversación de anoche, y quería preguntarte ¿has pensado en que también se podría hablar de triángulos anti-mágicos? - ¿Cómo? - Por ejemplo . Si sumamos los números de las tres esquinas y los lados tenemos 3, 4, 5 y 6. ¿Te atreves con una fila más? Al cabo de unos minutos, el chaval comenta: - Hay mogollón. Vamos a complicarlo un poco. ¿Podrías disponer los dígitos del 1 al 6 en forma triangular de modo que las ocho sumas posibles (las tres filas, la suma de los tres valores de los vértices, la suma de cada lado, y la suma de los tres valores interiores) sean los números del 6 al 13?  (Cuestión 9) - Estoy empezando a cansarme de tanto juego numérico. ¿Sabéis que han traído un billar a la taberna de Chano, como esos de las películas, con agujeros y bolas de colores? Ese tipo de juegos me gusta más ¡Vamos a verlo! En efecto, hacía unos días que aquello constituyó una novedad para todos los habitantes del pueblo. Aunque los tres amigos se limitaban, por el momento, a mirar cómo jugaban los demás - ¡Mirad! Colocan las bolas con ese triángulo que sacan de la mesa. - ¿Seríais capaces de colocar esas bolas de modo que el número de cada una de ellas sea la diferencia entre el par de números que la limitan de la hilera inmediatamente superior? - ¿Ya estamos otra vez? - ¿Cómo dijiste que las ponga, chaval?, pregunta el que se iba a disponer a empezar la partida que había oído la conversación - Mira si sólo hubiera tres bolas, la pondríamos así , o así . La diferencia de las dos de arriba es la de abajo. Si la diferencia fuera un valor negativo, la consideramos en valor absoluto, sin el signo. Pues así con todas. (Cuestión 10) El joven intentó colocarlas tanteando, pero al poco se percató de que aquello no le llevaba a ningún sitio. Pensó en encontrar primero la disposición de triángulos de tres filas, luego de cuatro (encontró cuatro disposiciones diferentes de cada una). Pero el de las cinco hileras se le resistía. Todos se empecinaron en el asunto, y así, a lo tonto, iban pasando las horas,…. Por la fiesta de la Virgen, se organizaban carreras de sacos y carreras de cintas y ponían cinco duros de premio en la punta de una cucaña. El año que nuestro protagonista cumplía los once años, se organizó una curiosa carrera en la que participaron algunos de los más destacados vecinos del pueblo. Cada uno podía elegir el medio de locomoción que deseara pero no podía haber dos iguales. Las condiciones para cada uno estaban lógicamente perfectamente determinadas y eran diferentes buscando el equilibrio. Finalmente fueron cinco los participantes, disputándose dos etapas. Esta fue la crónica de lo sucedido: Ninguno tuvo el mismo puesto en las dos etapas, mientras que el último en la clasificación final fue también último en la segunda etapa. El que ganó la clasificación general (que no fue Don Moisés ni el que iba en furgoneta) no quedó primero o segundo en la primera etapa. Don Ricardo, que ganó la primera etapa, no iba en moto. Don Ramón ganó la segunda etapa con el camión; en la primera se clasificó detrás de Pancho y justo antes del que usó el jeep. Gerardo, cuarto en la general, no llevaba el jeep ni el tractor. Pancho, en la segunda etapa, llegó detrás de Gerardo y justo antes del que llevaba la furgoneta. En cada etapa se dio una puntuación descendente de 5 a 1 puntos desde el primero al último. La clasificación final se hizo sumando los puntos de las dos etapas. Cuestión 11: ¿En qué puesto quedó cada uno en la clasificación final, en cada etapa y que vehículo utilizaba? Pero volvamos a la realidad del lugar del que hablamos al principio. Una vez más, y mira que son ya años haciendo lo mismo, volveré a dudar al comprar el pan - Me da una barra de riche La dependienta me echará un vistazo apenas imperceptible y me dirá - Aquí las barras son sobadas o sin sobar. Y yo no tendré ni idea de cual es cual y me quedaré con cara de tonto pensando unos segundos. Pediré lo que primero se me ocurra e indefectiblemente cuando vea la barra, diré - No, perdone, de estas no, de las otras. Este año voy a hacer un experimento. Entraré y cuando haya mucha gente, pediré - ¡Un lechuguino! A ver si alguien se da por aludido. Y mientras me atienden, volveré a escuchar las mismas historias de todos los años, a mirar los carteles de las fiestas, o a pensar cómo disponer exactamente 200 naranjas, sin que sobre ni falte ninguna, al ver la típica formación de la fotografía. Cuestiones: 12.- ¿Qué son las barras de riche, las sobadas, las sin sobar y los lechuguinos? ¿De qué lugares son típicas estas expresiones? 13.- ¿Cómo debe ser la pirámide de naranjas para que contenga exactamente 200 naranjas sin que sobre ni falte ninguna? De repente me viene a la cabeza otra película, relacionada con lo que estamos contando. En ella unas personas miran un mapa de la provincia en la que está el pueblo que buscamos. Tienen que hacer un itinerario por algunos pueblos, que son inventados, así que nosotros pondremos un mapa real: A B C D E F A 43.3 67.6 34.6 43.9 40.4 B 43.3 50.4 46 31.2 80.7 C 67.6 50.4 105 17.5 113 D 34.6 46 105 70.4 33.8 E 43.9 31.2 17.5 70.4 86.9 F 40.4 80.7 113 33.8 86.9 Y disponemos seis pueblos, también reales, de la misma provincia, salvo un infiltrado: A: Aranda de Duero B: Lerma C: Salas de los Infantes D: Tórtoles de Esgueva E: Santo Domingo de Silos F: Peñafiel En la tabla aparecen las distancias kilométricas (en Km.) entre los seis pueblos. Cuestiones: 14.- Encontrar el recorrido más corto posible en distancia, que una las seis poblaciones. 15.- ¿Es factible dicho itinerario en la realidad? En caso contrario, dar el más corto que pueda llevarse a cabo. Se puede partir del pueblo que se crea conveniente. En la película, al llegar a uno de los pueblos, los tres camaradas se encuentran con una situación peculiar: sólo hay dos habitantes que no se dirigen la palabra desde hace años. Charlan con uno de ellos que les da un paseo por el pueblo y alrededores. Éste tiene un pequeño huerto (ver foto). Supongamos que en él hay plantadas 20 tomateras como se indica en la figura. El riego se efectúa mediante un canal que pasa por las cercanías. Los campesinos abren unas compuertas (la más cercana a su propiedad) y el agua va desplazándose a través de unos surcos hasta llegar a cada huerto. Allí van abriendo y cerrando el paso del agua con una azadilla Cuestión 16: ¿Cómo debe abrir los surcos de manera que el agua recorra todas las tomateras sin pasar dos veces por la misma y de forma que el caudal, una vez completo el recorrido, regrese al punto de partida para que el agricultor sepa cuando se ha terminado el riego y vaya a cerrar la compuerta? Por supuesto debe hacerse con el menor esfuerzo posible (es decir, abrir el mínimo número posible de surcos) Poco después este personaje les cuenta una historia inquietante. Paulino, un vecino que se las daba de brujo, medio en broma, medio en serio, extrayendo cuatro cartas de una baraja española, predijo el día en que iba a morir, un 6 de mayo de 1968 (6 de bastos, 5 de oros, 6 de copas y sota de oros), pero cuando lo cuenta las cartas que salen son otras (ver imagen). Cuestiones: 17.- ¿Significa algo esa secuencia de cartas en el contexto de la película? 18.- ¿Por qué no parece muy acertado seguir ese procedimiento para averiguar el día de la muerte de uno? Y ya puesto de nuevo con lo paranormal, en el programa de fecha 6 / 6 / 2010 (lástima, falló un dígito para tener el triple seis) del que hablaban los personajes de la primera película mirando las estrellas, la co-presentadora en una sección denominada “Mundo Insólito” pregunta a sus seguidores “¿Cuántas probabilidades hay de que un hijo, un padre y un abuelo nazcan exactamente el mismo día?” Al cabo de unos segundos, después de exponer el ejemplo concreto, afirma que las probabilidades “son casi 300.000 a 1. Casi imposible, ¿verdad?” Cuestión 19: ¿Son correctas sus afirmaciones? Justificar adecuadamente. Llegamos al final. Seguramente tengamos tiempo para pasear por las distintas cuestas (la de la cabaña, la de la tejera, etc.) que posee el pueblo en el que situamos nuestro veraneo. Quizá en alguno de estos paseos encontremos objetos curiosos, como la hoja de papel arrugada que vino a mis pies el año pasado. Al recogerla, me encontré con la imagen que veis a continuación: Estaba claro que se trataba de una sopa de letras, pero ¿qué había que buscar? Medio borrado, en la parte inferior, se veía más o menos claramente un 15, pero después sólo se acertaba a intuir las iniciales de dos palabras, ambas dos M. Al cabo de unos segundos supe qué había que buscar (en cuanto encontré el primer nombre, porque se trata de nombre propios, coherente). Cuestión 20: ¿Qué hay que buscar, y de que quince nombres se trata? Así que hay que averiguar dos películas, que tienen relación entre sí. Una imagen de la primera, para ver si aclara algo: la escuela, con una pizarra mostrando algunos tipos de ángulos. Cuestión 21: ¿falta algún tipo de ángulo? Cuestiones Finales: 22.- En este concurso se recuerda a dos personalidades de la cultura recientemente desaparecidas. ¿Puedes decir quienes son? 23.- Título de las dos películas a las que se hace referencia en el texto. 24.- ¿En qué pueblo vamos finalmente a pasar las vacaciones de este año? Como última pista para esta cuestión final, el señor de la foto filmó allí un episodio de una serie documental (no estrenada en España) y que puede que vuelva a ser visto por allí con cierta frecuencia (ya os diré si lo hará este verano). Las puntuaciones de las cuestiones son: Diez puntos para las cuestiones 1, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 19, 20, 22, 23 y 24. Cinco puntos para las numeradas como 4, 5, 12, 17, 18 y 21. Es evidente que puede haber mucha variación entre estos 210 puntos posibles, así que aunque sólo seas capaz de responder a una pregunta de cinco puntos, envíame la solución porque puede que te toque algúno de los extraordinarios premios que este año tenemos preparados. Las respuestas deben mandarse a la dirección de correo electrónico alfonso@mat.uva.es, indicando en el asunto Verano 2010. Si de paso me dais vuestra opinión sobre el concurso, hacéis sugerencias, comentarios, etc.,  acerca de la sección, a lo mejor hasta os regalamos puntos extra. El plazo máximo de recepción de respuestas será el día 31 de Agosto de 2010. ¡¡¡¡Que lo paséis fenomenal!!!!

Lunes, 21 de Junio de 2010 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

792. 39. (Junio 2010) Le t de n-1, de Clémence Gandillot y la compañía Les ateliers du spectacle

Repasando las noticias de la página Images des mathématiques me enteré de la representación en el Théâtre de la Marionnette de París de la obra Le t de n-1, introducida del siguiente modo: Concebida e interpretada por Clémence Gandillot, Mickaël Chouquet y Balthazar Daninos, esta pieza trata sobre el oscuro misterio de relaciona al Hombre, las cosas y las matemáticas. Le t de n-1 es uno de los satélites de un espectáculo –su estreno está previsto para otoño de 2011– titulado Le t de n+1, presentado por la compañía Les ateliers du spectacle del modo siguiente: Le t de n+1 es un espectáculo compuesto por n+1 experiencias escénicas que pondrán a prueba el funcionamiento del pensamiento. […] La escena se considera como un espacio mental, un lugar donde aparecen los mecanismos del pensamiento. [...] Los puntos de partida de estas experiencias son, en cada caso, muy diferentes: una reflexión, una técnica, una cosa sin importancia... desarrollamos las experiencias, de manera escénica, sonora, visual o plástica, y separadamente las unas de las otras. Poco a poco, algunas se revelan independientes, “crecen” para formar el núcleo de este espectáculo Le t de n+1; otras evolucionan para transformarse en formas autónomas: los satélites. La geometría particular de este proyecto, directamente ligada a su modo de elaboración, parece aproximarse al modelo atómico, con el núcleo compuesto de partículas elementales y de electrones que gravitan alrededor.  [...] Le t de n-1 es una conferencia-espectáculo, de 40 minutos de duración, corta y ligera, donde a través de razonamientos insólitos, se llegan a realizar extrañas demostraciones.  Consta de tres formas: Un “genérico” Se trata de una coreografía para palabras escritas, piano y proyecciones luminosas. Se tira de cordeles para presentar a los personajes: Clémence Gandillot es el objeto de la curiosidad, Mickaël Chouquet es el que desea comprender y plantea preguntas y Balthazar Daninos es el regidor de sonido, luz y cordeles. La decoración representa el espacio mental y los espectadores son la mirada externa. Un entrevista Clémence Gandillot –como autora de De l’origine des mathématiques y Chose Mémoire–  habla de sus investigaciones, intentando explicar el oscuro misterio que relaciona al Hombre, las cosas y las matemáticas, poniendo el mundo en ecuaciones. La nebulosa del pensamiento La decoración toma el relevo del espacio que Clémence Gandillot tiene en la cabeza, y toma vida. Se transcribe debajo un extracto de la parte titulada De l'origine des opérations –es parte de la entrevista– en la que Clémence Gandillot explica con maestría la relación de las cuatro operaciones elementales –suma, resta, división y multiplicación– con la vida humana: Por ejemplo, las cuatro operaciones de base. Si tomo a alguien (a alguno), como su nombre indica, vale uno. Para hacer a alguien hace falta una mujer más un hombre. De hecho, tenemos el óvulo más el espermatozoide, y este par de células forman una nueva célula única. [...] Esta nueva célula, durante nueve meses, para multiplicarse, se divide. [...] Por otro lado, la madre embarazada es igual a la madre más el niño, con lo que el niño solo es igual a la madre embarazada menos la madre. Es lo que se llama la sustracción de la esencia. Así, para existir, alguien es el fruto de una suma, después para multiplicarse, debe dividirse, antes de sufrir la sustracción de la esencia. Así, las cuatro operaciones de base las vivimos físicamente en nuestro cuerpo, y antes incluso de pensar. Clémence Gandillot continúa, mostrando la razón de la complejidad del ser humano: Las matemáticas están hechas a imagen del Hombre. Les puedo dar un ejemplo. Tomemos los números complejos c=a+ib, que están provistos de una parte real a y una parte imaginaria ib, con i2=-1; éste es un objeto matemático que está hecho a imagen del Hombre. El Hombre está dotado de una parte real, su cuerpo, su relación con el tiempo es continuo, sometido a la ley del aquí y ahora, y de una parte imaginaria, su pensamiento, que es vertical y vectorial, su relación con el tiempo es discontinua. [...] El Hombre puede muy bien vivir dos presentes al mismo tiempo, lo que le hace completamente complejo. La siguiente transcripción corresponde a parte de Les choses: le système –también es parte de la entrevista– en el que Clémence Gandillot explica de manera razonada lo que debe hacerse para vivir en un planeta sostenible: De hecho, una cosa es igual al trabajo del Hombre sobre el mundo, así, cosa es igual al trabajo del Hombre sobre el mundo. ¿Qué es el mundo? El mundo es todo lo que ha existido antes del ser humano, es decir, la naturaleza más todos los Hombres más todo lo que existe desde el ser humano, es decir, todas las cosas. Se sabe que nada se crea ni nada se destruye y todo se transforma, así el mundo es una constante. Hay cada vez más seres humanos, así los Hombres es una función creciente. El cociente de una función creciente entre una constante es una función creciente. Hay entonces también cada vez más cosas, y siendo el mundo constante, por la fuerza de las cosas, la naturaleza disminuye. Así, voy a poner en relación las ecuaciones, intentando aislar la naturaleza para vez más o menos lo que pasa. Por lo tanto, las cosas son el trabajo del Hombre sobre el mundo, que es igual a la naturaleza, más todos los Hombres más todas las cosas. Desarrollo, las cosas por la naturaleza, más las cosas por el hombre más las cosas al cuadrado es igual al Hombre. Despejo la naturaleza. Las cosas por la naturaleza es igual al Hombre menos las cosas por el hombre menos las cosas al cuadrado. Así la naturaleza es igual a Hombre sobre las cosas, menos Hombre menos cosas. Así, para que la naturaleza quede positiva, es necesario y suficiente que todo esto sea positivo, es decir que Hombre sobre cosas, sea mayor que Hombre más cosas. Hombre sobre cosas es igual al trabajo del Hombre sobre las cosas, y se necesita que sea lo mayor posible. Así, el ser humano, para hacer cosas, debe hacerlas a partir de cosas ya existentes. Hay que usar las sillas para hacer mesas y no árboles. O también, se necesita que esto sea lo más pequeño posible, así que hay que hacer cada vez menos seres humanos –la abstinencia como forma de sexualidad es buena–  o hay que hacer cada vez menos cosas –así no hacer nada está bien–.   Más información: Clémence Gandillot, De l’origine des mathématiques, Editions MeMo, 2008 (es el satélite denominado Le t.relié) De l'origine des opérations, video en Vimeo Les choses: le système, video en Vimeo Página web de Les ateliers du spectacle Le t de n+1 y sus satélites

Martes, 01 de Junio de 2010 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

793. 15. (Junio 2010) El teorema del hexacordo II

1. La versión continua del teorema del hexacordo Seguimos (en presente) con el teorema del hexacordo, ahora en su versión continua. En el artículo anterior conocimos el interés de Schoenberg por los hexacordos, vimos cómo los saboreó, cómo los deglutió, cómo intuyó sus propiedades; pero, aunque quiso, no pudo dar con el resultado apetecido. Después aprendimos qué es el contenido interválico y qué movimientos lo dejan invariantes. Seguimos (en pasado) con el teorema del hexacordo, enunciándolo con precisión, y continuamos (¿También éste? ¡Qué oficio! Sí, claro, en pasado) la historia de su demostración. Una historia llena de intentos fallidos, desconocimientos mutuos, refinamientos sucesivos y, por fin, demostraciones epigramáticas, certeras como puñales, breves como haikús. Dimos la demostración de Iglesias, por elegante y corta. Consistía, si recordáis, en un juego de recuento entre puntos blancos y negros. Y ahí el mes pasado nos quedamos. El presente mes presentamos una generalización del teorema del hexacordo al caso continuo, demostración incluida. Es corta y profunda, pues une dos mundos, el discreto y el continuo. 1.1. Ritmos y pesos Para generalizar el teorema del hexacordo necesitamos un cambio de enfoque, que provoque choque y que apoque el enroque mental tendencial. Pasaremos de acordes y escalas a ritmos de modo inmisericorde. Pero ¿qué es un ritmo? Tomemos el círculo y pongamos n puntos equiespaciados en él, a los que llamaremos pulsos. En cada pulso elegimos si ponemos una nota o un silencio. Solo se pueden poner notas o silencios en los pulsos, pero no entre dos pulsos consecutivos. Un ritmo es una sucesión de notas y silencios puestos sobre un conjunto de n pulsos. En música los pulsos no suenan, no se tocan; la división del tiempo sencillamente está en la mente del intérprete, como referencia temporal. En la figura 1 tenemos el ritmo [x . . x . . x . . x . .] definido sobre 12 pulsos, donde la x representa un sonido y el punto un silencio. Figura 1: Un ritmo y su representación geométrica. Este ritmo, interpretado como un acorde, sería el acorde disminuido de do (do - mi bemol - fa sostenido - la), que es el acorde que divide la octava en cuatro partes iguales. Este ritmo consiste en la división de una unidad de tiempo, dada por la longitud del círculo, en cuatro partes iguales. Se ve la equivalencia entre el enfoque de acordes y el enfoque rítmico. Seguimos (en presente a partir de aquí): sea R un ritmo; asignamos a cada nota del ritmo un peso y a cada silencio un peso . Formamos el vector de pesos del ritmo R, . Llamaremos a la suma el peso W(R) del ritmo, cuyo valor no es otro que el número de notas de R. El complementario de un ritmo R tiene como pesos . Estamos lanzados: consideremos el histograma HR del ritmo R. Dicho histograma nos informa, educadamente, para cada distancia , del número de veces que ocurre sin más que mirar a la altura de sus cajitas. El histograma HR determina, pues, una función de la distancias; llamemos HR(d) a esa función de d. Enunciamos de nuevo el teorema del hexacordo acorde a la nueva terminología: Teorema 1 Sea R un ritmo sobre un conjunto de n pulsos, donde n es par. Si W(R) = n/2, entonces R y son homométricos, esto es, para todo d, . Antes de seguir daremos un teorema, conocido en teoría de la música como el teorema del tono común [Joh03], y que servirá de base para la generalización en ciernes. Por completitud, incluimos una prueba sencilla del teorema; para una prueba más compleja, basada en teoría de grupos, consúltese [JK03]. Teorema 2 [Teorema del tono común] , donde los índices se interpretan módulo n. Demostración. Si en las posiciones i e i+d hay notas, entonces y se cuenta, en efecto, la ocurrencia de la distancia d. Si en alguna de esas posiciones hay un silencio, el producto es 0. Por tanto, la suma cuenta 1 por cada aparición de la distancia d en el ritmo R. Queda por ver que cada par de puntos a distancia d solo contribuya una vez a la suma, excepto en el caso del diámetro que contribuye dos veces. Si el par (i, i+d) contribuye dos veces a la suma es porque la distancia de i a i+d es la misma que de i a i-d. Entonces, se tiene que: i+d = i-d mod n Al ser distancia geodésica, y, por tanto, 2d. Estamos en el caso del diámetro con toda seguridad. Como ejemplo, cojamos el ritmo sobre 16 pulsos dado por , esto es, hay notas en las posiciones 0, 3, 6, 10 y 12 y silencios en el resto. Su peso es . Para , la función da lugar al histograma de la figura de abajo. Figura 2: La función histograma HR(d). 1.2. La generalización al caso continuo La generalización se produce en dos sentidos. Primero, pasaremos del círculo de n pulsos a un círculo continuo. Se puede tomar, sin pérdida de generalidad, como el círculo unidad. Segundo, los pesos discretos son ahora funciones reales f(x), con . Aquí la variable x indica un punto del círculo medido desde las 12 del mediodía; f(x) indica su peso. El peso de un ritmo R se define como la integral . Las definiciones en el caso continuo son análogas al caso discreto. El complementario tiene peso y HR(d) es una función sobre el intervalo . Como definición de HR(d) tomamos la versión continua del teorema del tono común: Ilustremos con un ejemplo este salto del caso discreto al continuo. Consideremos el ritmo continuo R dado por la función . Su función histograma es donde . La gráfica de f(x) y su histograma se muestran en la figura 3. Figura 3: La función f(x) y la función histograma HR(d). 1.3. La demostración en el caso continuo Teorema 3 Si R es un ritmo integrable y , entonces para toda distancia , se tiene que . Demostración. Empecemos por fijar d. De la definición del histograma tenemos que: Aplicando la definición de ritmo complementario obtenemos: Multiplying out los términos queda: Efectuando el producto dentro de la integral da: La primera integral da 1. Dado que , la segunda integral también vale 1/2. La tercera integral también da 1/2; el área de f(x) y f(x+d) es la misma, ya que f(x) es una función periódica en [0,1]. Finalmente, llegamos a: Esto prueba que para todo d. 1.4. De vuelta al teorema discreto Afirmábamos antes que el teorema continuo del hexacordo recién probado es una generalización del teorema original, discreto, sin duda. Se deduce que este teorema es un caso particular de la versión continua. Así es. Para verlo basta tomar un ritmo discreto y transformarlo en una función integrable f(x) en [0, 1] como sigue: donde es la función característica del intervalo , esto es, la función que vale 1 si y 0 en caso contrario. Se puede probar que la función histograma asociada a f(x) es proporcional a la función histograma asociada al ritmo . En efecto, en la versión continua usamos el círculo unidad mientras que en la versión discreta tenemos n pulsos. Entonces, en la versión discreta la función histograma se transforma en la siguiente función en la versión continua: Esta igualdad prueba que el histograma discreto es proporcional al histograma continuo. De aquí se desprende que si el teorema del hexacordo es cierto en el caso continuo, también lo es en el caso discreto. 2. Para saber más Completamos brevemente en esta última sección algunos puntos que se quedaron en el tintero. Volvemos ahora a la cuestión de por qué se cuenta el diámetro dos veces en el contenido interválico. En primer lugar, por comodidad. Si no se cuenta el diámetro de esta manera, la fórmula que aparece en el teorema del tono común hay que reescribirla de una manera farragosa. Los resultados no cambian si se cuenta solo una vez el diámetro, pero su descripción es menos concisa. También se puede justificar esta convención estudiando el comportamiento de cuando . La fórmula que aparece en el teorema del tono común, , es, en realidad, una función de autocorrelación discreta. Varias demostraciones del teorema del hexacordo han surgido del campo de la teoría de funciones gracias a la relación que proporciona esa fórmula. Véanse [JK03] y [Ami07] para más información. La generalización que hemos mostrado aquí sirve también para probar otros resultados más generales que el teorema del hexacordo. Por ejemplo, el primer teorema de Patterson, que establece que, si dos ritmos tienen el mismo número de notas y son homométricos, entonces sus complementarios también son homométricos. Véase [BBOG09] para los detalles de esta demostración usando la versión continua del teorema del hexacordo. References [Ami07] Emmanuel Amiot. David Lewin and maximally even sets. Journal of Mathematics and Music, 1(3):157-172, 2007. [BBOG09] B. Ballinger, F. Benbernou, N. Gomez, J. O'Rourke, and Toussaint G. The continuous hexachordal theorem. In E. Chew, A. Childs, and C-H. Chuan, editors, Mathematics and Computation in Music, pages 63-77. Springer, Berlin, 2009. [JK03] Philippe Jaming and Mihalis Kolountzakis. Reconstruction of functions from their triple correlations. New York Journal of Mathematics, 9:149-164, 2003. [Joh03] Timothy Johnson. Foundations of Diatonic Theory. Key College Publishing, 2003.

Martes, 01 de Junio de 2010 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

794. 50. El guardián: La leyenda de Omar Khayyam

No siendo demasiadas las biografías de matemátic@s en el cine, y aún menos las estrenadas en nuestro país, nos ha parecido interesante acercarnos a una reciente, la del autor de las Rubaiyat. Después algunas recomendaciones. Reciente aún en nuestras retinas Ágora (Alejandro Amenábar, España, 2009) recreando lo poco que se conoce de Hipatia de Alejandría, echemos un vistazo a uno de los biopics sobre otro personaje histórico relacionado con las matemáticas del que tampoco han llegado demasiado datos hasta nuestros días, Omar Khayyam. Comencemos como siempre con una pequeña ficha técnica y artística de la película: Título Original: The Keeper: The Legend of Omar Khayyam. Nacionalidad: EE.UU., 2005. Director: Kayvan Mashayekh. Guión: Kayvan Mashayekh y Belle Avery. Fotografía: Matt Cantrell y Dusan Joksimovic, en Color. Montaje: Duncan Burns. Música: Elton Ahi. Producción: Sep Riahi y Belle Avery. Duración: 95 min. Intérpretes: Bruno Lastra (Omar Khayyam), Christopher Simpson (Hassan Sabbah), Marie Espinosa (Darya), Moritz Bleibtreu (Malikshah), Rade Serbedzija (Imán Muaffak), Vanessa Redgrave (La heredera),  Adam Echahly (Kamran), Puya Behinaein (Nader), Kevin Anding (Timmy), Diane Baker (Miss Taylor), Daniel Black (Omar joven), Sarah Hadaway (Madre de Omar), C. Thomas Howell (Entrenador Fielding), Ver Trailer Las imágenes iniciales nos sitúan sobre un mapa de la península arábiga (recurso también utilizado por Amenábar, y antes que él, un montón de cineastas, para situar al espectador en los lugares donde va a suceder parte de la acción) en el que aparece impresa las siguiente aclaración del título: “En el Oriente Medio, la tradición oral de los contadores de historias se mantiene con fuerza, como un puente entre las generaciones pasadas y las futuras. Hoy, aunque cada vez más gente abandona sus hogares y su cultura, su lenguaje y su herencia permanecen en el tiempo. En cada familia emigrante, una persona es elegida para perpetuar la herencia de su familia”. A esta persona es a la que se refiere el título: el guardián. Estamos en nuestros días. Kamran, un niño de 12 años está entrenando en su equipo de fútbol. Al acabar, va a visitar al hospital a Nader, su hermano mayor, enfermo de cáncer. Por su aspecto y el rostro angustiado de sus padres, parece que no va a vivir mucho. Kamran le pide cariñosamente que le cuente una vez más la historia de su familia, sobre todo la de su antepasado más conocido, la del poeta, astrónomo y matemático persa del siglo XI Omar Khayyam. Debe aprenderla bien puesto que en breve será el responsable de transmitir esta historia. El hermano comienza a contarla en persa con lo que, estimados amigos, puede haber datos que se me hayan escapado (la película, para no variar, no se ha estrenado en España, y la versión que he visto es la original en inglés que me ha facilitado tan amablemente como siempre el profesor Esteban Rubén Hurtado Cruz, de la Universidad Autónoma de Méjico, que incluye bastantes secuencias en persa), aunque no creo que hayan sido muchos. Cuando Nader comienza su historia (“Omar nació en Naishapur en 1048. Su padre, un fabricante de tiendas, murió cuando el niño tenía 12 años,.."), las imágenes nos llevan al siglo XI. Un hombre yace muerto en el suelo al lado de su hijo y su mujer, que grita desesperadamente. La acción no va a tener continuidad en general, salvo en lo que respecta a los hechos más conocidos de su vida, de modo que la película irá discurriendo entre escenas breves que nos van a perfilar la personalidad y el carácter de los principales protagonistas, y la historia de Kamran en la actualidad. Así, en la siguiente escena Omar y su amiga esclava, Darya, aparecen de noche tendidos en el suelo mirando el cielo. Ante la poca locuacidad de Omar, la niña intenta sacarle alguna conversación: “Las estrellas, ¿son tus amigas? ¿Las acabas de entender?” Silencio por respuesta. “Siento lo de tu padre”, a lo que escuetamente y sin dejar de mirar al cielo, Omar responde, “Lo he perdido”. Una mañana la madre va a ver al imán Muaffak, un hombre sabio que instruye en una madrasa (escuela musulmana). Quiere que acepte a su hijo como alumno. A regañadientes, acepta ir a conocerlo  a su casa al acabar sus tareas. Al verlo, el maestro exclama “¡Si sólo es un niño!”. Pero la madre no se resigna: “Déjele que le cuente”. El chico, sin pronunciar palabra alguna, coge al maestro de la mano, le indica que mire al cielo (es de noche) y a continuación le ensaña unas luminarias que ha dispuesto sobre la arena con idéntica distribución que las estrellas. Al comprobarlo, el maestro se asombra y accede a tomarlo como alumno. En la escuela, los niños aparecen dispuestos por bancos, cada uno sobre una alfombra que  los proteja del frío, agrupados por niveles. (ver foto)  El maestro se detiene a escuchar lo que Omar dice a sus compañeros: “Utilizando geometría, podemos deducir la exactitud de las raíces de estas ecuaciones y resolver el problema. Ahora utilizando el quinto postulado…..” En ese momento el maestro le pide que vaya con él. Le comenta las tres cosas que un niño debe aprender para convertirse en un hombre, y le presenta a otro muchacho de su edad, Hassan Sabbah. “Te enseñará cosas que no encontrarás en los libros”. Y ambos marchan montados en sendos caballos. La siguiente escena muestra a los niños practicando el manejo de la espada bajo las atentas indicaciones de un instructor. Darya también participa en ocasiones del entrenamiento. Mediante estos rápidos insertos, se nos hace ver la profunda amistad que existe entre los tres personajes desde que son niños. Además, Omar sigue, en la placidez de la noche, observando, admirando y estudiando las estrellas, y hablando poco, una actitud que atrae cada vez más a Darya. Pasa el tiempo, y los chicos se han hecho adultos. Su amistad sigue siendo estrecha. La belleza de Darya, aún esclava, hace que otras personas se fijen en ella, y un día en el mercado un comerciante intenta propasarse, lo que provoca una violenta reacción de Omar. Hassan dirime el incidente de un modo expeditivo, y su padre posteriormente le echa en cara que ponga en entredicho su posición en la Corte por defender a una esclava. Esa noche, como tantas otras, Darya y Omar admiran las estrellas y conversan sobre la partida de Omar y Hassan a una cacería: Darya: ¿Cuánto tiempo estarás fuera? Omar: Hasta que pase una nueva luna. Como mucho dos. Respuesta escueta. Instantes en silencio. Darya intenta, como siempre, sacarle una conversación Darya: Tienes muchos amigos hoy (refiriéndose a las estrellas). ¿Les hablas de mí? Omar (que por primera vez será explícito): Siempre. Aquella es Deneb, la estrella más brillante del universo. Cada vez que la observo, pienso en ti. Darya: Tengo miedo, Omar. Omar: ¿Por lo del hombre del mercado? Darya: No lo sé,… Es que,.. Cierra los ojos. Está claro lo que sucede a continuación. Bueno quizá no, por los parámetros del cine comercial actual. Sólo es un casto y romántico beso en los labios. Al día siguiente, Darya se despide de los amigos deseándoles una buena cacería. Omar la despide con un “mi amada estrella”. El celoso mercader de la trifulca del día anterior los mira con odio furibundo. Como veis, todo de lo más previsible, típico de las películas de aventuras yanquis de los años cuarenta. De la expedición no se nos informará más que de los momentos nocturnos entre Omar y Hassan, charlando sobre sus proyectos de vida y siempre bebiendo, sobre todo Omar, que las más de las veces acaba prácticamente borracho (referencia, a mi juicio, demasiado textual a las Rubaiyat). Vamos descubriendo las incipientes diferencias de pensamiento que van separando a ambos. Al volver del viaje, la madre de Omar le cuenta tan suavemente como puede que, en su ausencia, han vendido a Darya. Obviamente Omar entra en cólera, y su madre trata de parar sus impulsos: “No tienes dinero. Tienes que estudiar y pensar en tu futuro”. “Ella es mi futuro”, grita Omar, que va a ver a Hassan. Éste le proporciona el dinero necesario para que Omar intente negociar con el mercader que finalmente la compró. Omar parte en su busca, ya que éste salió con una caravana. Volvemos a la familia de Kamran. Los padres se muestran cada vez más preocupados por la salud de Nader. Fruto de la desesperación, surgen tensiones en la familia. Cada uno trata de afrontarlo como mejor considera: la hija adolescente, escucha música con su mp4, tratando de evadirse; el padre hace lo propio volcándose en su trabajo; la madre es la que más abiertamente muestra sus sentimientos; Kamran continúa tratando de averiguar todo lo posible de sus ancestros. El padre quiere darles a sus hijos una carrera en Norteamérica, y él mismo quiere integrarse totalmente en el sistema, trabajando más que ningún otro empleado de su empresa, sin apenas descansar. Sus jefes le explican que no es necesario todo eso. En el colegio Kamran es un alumno aplicado. Al tocar el timbre de finalización de las clases en el día que celebran la entrada de la primavera, todos los alumnos salen disparados sin hacer mucho caso a los recordatorios de la profesora, Miss Taylor. Sin querer, empujan a Kamran y tiran sus apuntes al suelo. La profesora le ayuda a recogerlos y lee uno de los folios lleno de ecuaciones: “¿Qué es eso?”. “Ecuaciones Cúbicas. Nada importante no se preocupe”, responde. Observamos por un momento la página y nos encontramos con (y2 – 5) (y2 + 5) = 0,   (y – √5) (y + √5) (y2 + 5) = 0 x5 – x4 + x – 1,   x4 (x – 1) + (x – 1) La pregunta es obvia: ¿dónde están las cúbicas? En efecto hay factorizaciones, pero como en tantas otras películas, han plantado lo primero que han encontrado, aunque al menos, tiene alguna relación, y las operaciones son del nivel de lo que estudia un chico de esa edad. Miss Taylos quiere darle un regalo para su hermano: una reproducción tamaño póster de una edición de las Rubaiyat que se salvó del hundimiento del Titanic en 1912. “Se que tu hermano tiene interés en él (se refiere al libro)”. En el póster (ver imagen) aparece la referencia de la editora de la publicación y donde se encuentra en la actualidad (Londres). Al enseñárselo a su hermano, Kamran le pregunta, ¿encontró Omar a Darya?” Así, Nader retoma de nuevo la historia de Omar. Hassan, con cara de pocos amigos, informa a Omar sin mayores explicaciones que Darya está bien. Omar acepta que nada puede hacerse y marcha al desierto a pasar la noche. En otro orden de cosas, Persia había caído cae bajo el poder de los turcos seljúcidas. Omar se encontrará esa noche en el desierto con el futuro sultán Malekshah, que a punto está de acabar con su vida ante las impertinencias del primero, totalmente borracho, por no tener cerca a su amada Darya. Sin embargo, una enigmática predicción de Omar acerca de su destino, impedirá que lo ejecute, acabando ambos bebiendo a la luz de una hoguera. En la siguiente escena el imán Muaffak, (recordemos, el maestro de Omar) lo llama para proponerle hacerse cargo de la madrasa ya que el nuevo sultán le ha ofrecido el cargo de Gran Visir. Omar se convierte en un gran maestro. En la foto adjunta lo vemos de pie instruyendo en el jardín de la mezquita a un grupo de futuros investigadores (una clase de doctorado de hoy, más o menos) que aparecen sentados. Detrás, de pie, por un lado otros profesores y de blanco los imanes. En esta escena se mencionan personajes y conceptos astronómicos. Omar explica: “Al-Biruni descubrió técnicas matemáticas para medir exactamente el comienzo de las estaciones, además de estudiar el Sol, sus movimientos y los eclipses. Esto lo logró mediante el uso de un instrumento, un dispositivo llamado astrolabio. (Coge uno, se lo muestra al primer alumno y pide que se lo pase a los demás). Como puede verse, la parte posterior del astrolabio está dividida en cuadrantes con tablas trigonométricas astronómicas utilizadas para encontrar la posición de las estrellas, la luna y los planetas en relación a las estrellas fijas. En la concepción islámica, la noche y el día se dividen en doce partes iguales, por lo que sólo es adecuado para medir noches y días bajo el mismo ángulo. ¿Seguimos?” Un empeoramiento en la salud de Nader se enlaza con la muerte de la madre de Omar. Seguidamente el imán Muaffak, ahora Gran Visir, visita a Omar para ver cómo le va. Le pide permiso para leer un libro que Omar ha escrito. Éste advierte de que sólo es poesía, pero Muaffak le advierte que algunos de sus alumnos lo han calificado de herético. Además le informa de que el Sultán quiere volver a verlo: “Le caes bien”. Cuando se acerca a palacio nota como la guardia le deja pasar sin problemas y el Sultán le permite sentarse cerca. Tras preguntarle si recuerda su anterior encuentro, le pregunta sobre su mayor deseo. “Nada sino vivir a la sombra de su majestad”.(El tío sabe hacer bien la pelota). “Y seguir con mis estudios”, añade. “No entendí nada de lo que me hablaste aquella noche. Quiero que seas mi “navegador celeste”, y le ordena construir para él un observatorio, desde el que poder continuar también sus estudios. Pero las peticiones del Malekshah no acaban ahí, quiere conocer los vaticinios de las estrellas, y Omar se queja ante el Gran Visir: “No puedo leer las estrellas como él quiere. La Astronomía no es astrología”. “Escúchame Omar, y escúchame con atención. Nuestro trabajo es difícil, y nuestras responsabilidades con la gente son éstas. Malik es joven, y es mi deber guiarlo en sus decisiones y tú me ayudarás. Él cree en ti. Dile lo que quiere oír”. Omar no está dispuesto: “No mentiré”. “No te pido que mientas, sino que seas cuidadoso con Malik. ¿Lo entiendes? Haré lo que sea necesario para protegerlo y mantenerlo fuerte ante los ojos de su gente”. De noche, en el desierto, los dos amigos, Omar y Hassan se encuentran, teniendo lugar probablemente el diálogo más interesante de toda la película: Omar (contento de verlo): ¡Hassan! ¿Qué haces por aquí? Tengo grandes noticias. ¿Dónde has estado? Hassan (con cara de pocos amigos): Rastreando mi alma. Buscando la verdad. Tú no eres un hombre religioso, Omar, sino un hombre de Ciencia. Omar: La verdad de la religión no es necesariamente la verdad real. La mayor parte de la gente se limita a practicar los rituales que indica su propia fe. Hassan (gritando): La creencia absoluta en Dios es la única verdad real! Omar: Si la fe estuviera equilibrada en igualdad de condiciones con la razón, ¿no crees que más gente se cuestionaría la profundidad de sus convicciones? Hassan: ¡Haces demasiadas preguntas! ¡Confundes a la gente con tu herejía! Omar: ¿Herejía? Hassan: Buscar razón en la fe es herejía. Se debe aceptar la autoridad absoluta en cuestiones de fe. Omar: ¿Y quien tiene la autoridad absoluta en cuestiones de fe? Yo creo en Dios. Simplemente, tu y yo creemos en Él de forma diferente. Hassan: ¡No se puede creer en Dios en términos humanos! Omar (elevando el tono): A Dios no le importa cómo se crea en Él, del mismo modo que está claro que en quien tú crees primero es en ti mismo. Hassan: El Islam destruirá al Malikshah. Omar: ¿Destruir? Persia ha prosperado con los seljúcidas notablemente. Mira todos los centros de cultura que han sido edificados Hassan: ¡Tú has sido corrompido por su poder! Omar: ¿De dónde vienen todas esas ideas que tienes Hassan? La búsqueda del conocimiento  es el deber secreto de todo musulmán. Son las palabras del profeta. Hassan: Al que le pido que nuestros caminos no se crucen de nuevo. Si lo hacen tendré que matarte. Omar: ¡La más excelsa yihad es la de la conquista de uno mismo! Hassan: Adiós, Omar. Como sabemos, Hassan formará la famosa secta de los asesinos cuya residencia era la inexpugnable fortaleza de Alamut. En la siguiente escena, Omar se enfrenta a otra situación complicada. El visir lo lleva ante la presencia del sultán, que lo primero que le pregunta es “¿Qué tienes que decirme Omar?”.El Sultán se halla rodeado de lujo y su única preocupación parece ser comer y distraerse. Muaffak le echa una mirada de advertencia a Omar. Éste recita algunas de sus cuartetas sobre la vida y la muerte que agradan al Sultán que le aplaude. Al levantarse para convidarlo, un invitado lanza al sultán una daga que Omar impedirá que llegue a su destino, salvándole la vida. Al final de la accidentada velada, el sultán le pregunta si ha decidido algo sobre el observatorio. Omar ya ha elegido el lugar que considera ideal, cerca de Ispahán. Posteriormente lo visitan juntos: “Cuanto más aprendo mas cuenta me doy de lo que no sé”. Uno de los asuntos que Malik le ha encomendado es la reforma del calendario. Omar le da explicaciones: “Según mis cálculos, se pierde un día cada 3440 años, pero he diseñado un calendario, en atención a vuestra majestad, que mide el tiempo más exactamente. Específicamente, puede medir la rotación de la Tierra alrededor del Sol hasta la undécima cifra decimal. Como puede comprobar la fecha del calendario para el nuevo año debe saltarse desde el punto en que el Sol pasa por el punto medio entre Piscis y Aries. Si probamos que este calendario es correcto, tendremos mayor exactitud a la hora de elevar nuestros rezos”. El Sultán, que se está aburriendo un tanto con las explicaciones porque no entiende nada, pregunta si entonces están  rezando a la hora equivocada (la vida de los musulmanes se adecua a las cinco oraciones que deben realizar diariamente). Omar le explica que su calendario mejora y corrige el gregoriano.  Su propuesta será finalmente eliminar un día de cada 3770 años, una mejora revolucionaria respecto a los calendarios juliano e islámico. Y por supuesto llevará el nombre de Jalali o Maliki (el nombre del sultán era Jalal-al-Din Malik), lo que le pone muy contento. “Vamos a tomar algo”, le invita. “Pero excelencia, aún debo ajustar mis cálculos”, replica Omar. Respuesta: “Pueden esperar. Pero mi hambre y mi sed no”. Se celebra una gran fiesta, pero Omar no está allí. El sultán le pide a su visir que vaya a buscarlo. Omar está fuera mirando las estrellas. “Trata de olvidarla”, le aconseja Muaffak que sabe lo que le pasa. Finalmente entra y el sultán le tiene preparada una sorpresa: una sugestiva bailarina. Entonces Omar le confiesa que su pensamiento está en una esclava Darya. Casualmente la encuentra un día en el mercado. Fue vendida y trasladada por todo el Imperio. Finalmente logró volver a Ispahán para buscarle. Juntos entran en una vivienda y dan rienda suelta a sus sentimientos. Estamos aproximadamente a la mitad de la película, pero en adelante nada que nos interese (matemático, astronómico, científico) merece ser descrito en estas páginas con mayor detalle. Simplemente, como todos conoceréis, que la historia de Darya, Omar y Hassan acaba mal, y la de Kamran y Nader tampoco resulta nada complaciente. Nader fallece, y Kamran, sin avisar a sus padres que se preocupan bastante, marcha solo a Londres a ver en persona el ejemplar de las Rubaiyat que se salvó del naufragio del Titanic y que custodia Vanesa Redgrave en su mansión victoriana, herencia familiar, con alguna que otra peripecia más. Crítica personal Rastreando por la Red, la mayor parte de las críticas a la película son muy buenas. Siento discrepar. Bajo mi humilde punto de vista, uno de los peores defectos que puede tener una película es que su argumento sea totalmente predecible, esto es, que cualquiera sin conocer la historia, sepa lo que sucederá a continuación. Si a esto añadimos que algunos actores no están demasiado afortunados (en los momentos en los que el diálogo es más largo o hay más detalles, parece que a Omar se le olvidan las cosas y se esfuerza en recordarlas, o alguien se las recuerda), entenderemos porqué no se ha estrenado en nuestro país, a pesar de que tengamos que soportar producciones mucho peores. No obstante ha recibido algunos premios en festivales como el de Moscú (claro que al mejor vestuario o a la mejor dirección de película independiente). Lo más destacable es la belleza indiscutible de las localizaciones magníficamente fotografiadas, el citado vestuario y la siempre estimulante presencia, aunque muy breve, de Vanesa Redgrave. Hay que admitir que no es sencillo poner en escena argumentos como éste, habida cuenta de la escasez de datos fidedignos, y que el director ha ideado un modo interesante, con las dos historias en paralelo, de suplir esas carencias. Cabría añadir, para aquellos que tanto criticaron Ágora (excluyendo cualquier asunto ideológico, observando sólo lo estrictamente cinematográfico) que echen un vistazo a esta película, con tantas similitudes con la otra, y piensen con cuál se quedan. Desde la perspectiva que nos atañe aquí, la matemático-científica, sencillamente no hay punto alguno de comparación. Acerca de la película El rodaje no fue fácil, fundamentalmente por cuestiones económicas. El 11 de Septiembre de 2001, el director Kayvan Mashayekh había viajado a Marruecos para buscar localizaciones. Una semana más tarde, a su vuelta a los Estados Unidos, nadie volvió a hablarle del proyecto y todos los patrocinadores que estaban interesados, le retiraron su apoyo financiero. Posteriormente, el rodaje tuvo que pararse y reiniciarse hasta en dos ocasiones nuevamente por la falta de dinero. La película fue filmada en 37 días en cinco ciudades distintas de tres continentes, la mayor parte en Samarcanda y Bukhara,  Uzbekistán. Después de los acontecimientos del 11 de Septiembre de 2001, tanto encontrar financiación como conseguir rodar se hizo realmente complicado (la guerra de Afganistán estaba en pleno apogeo), pero el realizador persistía en filmar en la antigua república soviética  ya que era el lugar que mejor había mantenido la arquitectura de aquel tiempo, además de tener la certeza de que Khayyam había vivido en Samarcanda, aunque también pesaron las razones económicas. La diseñadora de vestuario Jane Robinson ha creado unos trajes que tratan de ser fieles a una época, pero son los maravillosos paisajes de Uzbekistán los que destacan por encima de cualquier otro aspecto. La población local participó como figurante incluyendo 300 soldados del ejército uzbeco. “Era la primera vez que la mayoría de ellos había trabajado al lado de extranjeros”, explica el productor Riahi, “Tuvimos a quince estudiantes como traductores y conductores, fue un intercambio maravilloso. Nos aseguramos de que todos recibieran un pago generoso en su moneda local”.Las condiciones de trabajo eran primitivas, impidiendo revisar el material rodado diariamente. “Cruzábamos los dedos cuando la luz era la adecuada. Tuvimos suerte, las tomas fueron tan buenas como esperábamos. Pero parte del film se perdió y durante un tiempo pensamos que todo el proyecto se había ido al traste. Afortunadamente se encontró, pero tuvimos que mandar una persona ex profeso a Uzbekistan  para que se hiciera cargo de traérnoslo a Londres”. Poco se sabe sobre la vida personal de Omar Khayyam, pero el director realizó una concienzuda investigación antes de redactar el guión. “En la película aparecen retazos de verdad. Sabía que los historiadores me masacrarían si ponía como título Omar Khayyam. Así que optamos por poner La leyenda de Omar Khayyam  y confiábamos en ofrecer una imagen positiva”. Entre los temas que aborda la película se encuentran el de la preservación del legado, y la lucha entre fe y razón. Según su realizador, “la religión puede utilizarse como una espada o como un haz de luz que ilumine nuestro camino”. En la película Khayyam es un musulmán que acata las normas pero coloca la razón por delante de la fe, mientras que su amigo de la infancia Hassan coloca la fe por delante de cualquier otra cosa convirtiéndose en un jihadista. “Me parecía oportuno decirle al mundo después del 11-S que estas cosas han sucedido desde siempre. Según el contexto, la fe ha sido utilizada y se ha abusado de ella por el mismo tipo de individuos que lo hacen hoy”, añade Mashayekh  Otro de los propósitos del film era el de mostrar al público norteamericano la profundidad y la belleza de la cultura oriental. Éste así lo ha reconocido y agradecido  por la estupenda respuesta que ha dado a su propuesta. Sobre el director Con solo once años, Kayvan Mashayekh y su familia dejaron su tierra natal, Irán, en 1979, después de que el Ayatolah Jomeini accediera al poder. Se establecieron en Texas, tratando de adaptarse lo más rápidamente posible al modo de vida americano. Se licenció en Económicas en la Universidad de Rice. Tras tomarse un año en intentar acceder al mundo de los negocios, se matricula en Derecho, carrera que termina en 1993. Trabaja como abogado criminalista en Houston, pero al cabo de tres años ejerciendo, ingresa en la Academia de Cine de Nueva York para tratar de cumplir su sueño de escribir, producir y dirigir películas. En esta decisión influye en gran medida la muerte de su padre en 1994 a consecuencia de un tumor cerebral. Gracias al éxito de su primer cortometraje, The Tip, crea la compañía Guide Films. En esta empresa se dedica a asesorar películas independientes sobre argumentos de interés humano que tengan repercusiones internacionales. Un día un amigo le regala una traducción al inglés de las Rubaiyat, reconociendo en algunos versos poemas que su padre le leía cuando era pequeño. Se siente entonces en la obligación de hacer un homenaje tanto al texto como a su progenitor y escribe un guión para un posible proyecto que, seis años después va tomando forma en su primer largometraje. Apuntes Matemático - Culturales La madrasa o medersa (esta segunda es la utilizada en los países del Magreb) es, después de la mezquita, el edificio más importante de la arquitectura islámica. Su planta suele tener forma de cruz, en la que cada brazo representa cada uno de los ritos. Desde el punto de vista arquitectónico plantea el problema de la cúpula (pasar de una planta poligonal a una semiesférica). En la madrasa de Sircali (1242) se resuelve pasando de cuadrado a octógono; en la de Karatay (1251), mediante pechinas de ladrillos. Omar ama a Darya a la que llama Deneb, “el nombre de la estrella más brillante del cielo”. Deneb es el nombre propio de la estrella Alfa Cygni, de la constelación de Cygnus, “El Cisne”; junto con Vega, (α Lyrae) y Altair (α Aquilae) forman el “triángulo de verano” para los observadores del Hemisferio Norte. Los turcos seljúcidas eran una tribu de nómades conducidos por Seljuque que se instalaron cerca de Bucara (ahora en el Uzbequistão) a finales del 900. Algunos de esos guerreros partieron a continuación a la conquista de nuevas tierras hacia occidente. Su mayor auge lo alcanzaron precisamente bajo el gobierno del Sha Malik (1055—1092). Los imanes (sacerdotes musulmanes) tienen la función de atraer a los fieles; por eso se llama también de este modo, imán, a los metales que atraen a otros. A aquellos muy reconocidos por su sabiduría los sufíes los denominan Hodja (se pronuncia más o menos Jodsha), palabra que significaría: Maestro. Omar adquirió una profunda educación en filosofía y matemáticas, destacando a temprana  edad en esta última disciplina. Omar empleó mucho tiempo de su vida enseñando, y la leyenda le agrega cierta competencia en medicina. Lo poco que se conoce de su vida aparece profusamente descrito en libros y cientos de páginas de internet. Como referencia rápida, sencilla y fiable, puede consultarse el libro Omar Jayyam, poeta y matemático, de Ricardo Moreno Castillo, editado por Nivola, Madrid en 2002, o del mismo autor la reseña en este mismo portal, DivulgaMAT, que se encuentra siguiendo la secuencia Menú Principal/Historia de las Matemáticas/Biografías de matemáticos ilustres y buscar Omar Jayyam. Personalmente me gustaría también recomendar Samarcanda, del escritor libanés Amin Maalouf, y el clásico Alamut de Vladimir Bartol, dos auténticas joyas literarias. Trabajos Matemáticos y Astronómicos El resultado de los esfuerzos de Omar y sus colaboradores fue un conjunto de tablas astronómicas denominadas Al-zij al-Malikshahi tras el mecenazgo del sultán. De ellas se conserva sólo la tabla de las 100 estrellas fijas, cuya latitud está dada a partir del primer año de la era Maliki (1075), y algunas descripciones contradictorias del calendario Maliki. Está claro que la intención de este calendario era conservar los meses básicos del viejo calendario sasánida, en el que un año constaba de 12 meses de 30 días más cinco días epagomenal, con un mes extra intercalado cada 120 años. Este añadido convierte el calendario tipo juliano, ya que en éste se añade también un día cada cuatro años. Los calendarios sasánida y juliano  se basan en un año de 365.15 días, lo que no es exacto. Se sabe que Omar y sus ayudantes intentaron paliar el error, pero se desconocen los detalles. Lo que conocemos de Omar sobre matemáticas se debe fundamentalmente a sus comentarios sobre los Elementos de Euclides y a través de su tratado Sobre Álgebra. En el prólogo explica que pretende trabajar en los fundamentos de la geometría, y en particular tratar de resolver problemas relacionados con números irracionales y su relación con los racionales, siendo uno de los pioneros en acomodar ambos en una clase más amplia (los números reales). Examina también el quinto postulado de Euclides (el de “las paralelas”) tratando de ver si es consecuencia de los cuatro primeros. Se topa entonces con algunos resultados que luego retomarán los investigadores de las geometrías no euclideas (adelantándose por tanto varios siglos). El tratado Sobre Álgebra es una clasificación de ecuaciones cuyas demostraciones son fundamentalmente geométricas.  La parte más original es la clasificación de las ecuaciones cúbicas (que se referencia en la película) que resuelve, siguiendo los procedimientos de Arquímedes, mediante intersección de cónicas. Las Rubaiyat El significado de esta palabra es el de “cuartetas”. Tras la muerte de Omar Khayyam, montones de versos circularon con su nombre. Son como hemos dicho cuartetas de 13 sílabas con rima AABA o AAAA. Fueron muy populares en Persia durante los siglos IX y X y eran recitadas por gente de todas las clases sociales, y evocan un modo de vida hedonista junto con experiencias místicas sufíes. Las Rubaiyat fueron conocidas en Occidente a través de la inexacta traducción de Edward  FitzGerald (1859), que al parecer incluyó versos que nada tenían que ver con Khayyam. Además distorsionó los originales para adaptarlos al romanticismo victoriano. Por ello, muchos pensaron que el propio Omar fue un místico sufí. Recientes descubrimientos de manuscritos del siglo XIII muestran sin embargo que la poesía de Khayyam celebra sobre todo los placeres sensoriales de la cata de un buen vino (actividad que hoy tiene infinidad de adeptos, por cierto) y del amor (incluyendo el homosexual) con grandes dosis de escepticismo humorístico, ingenio y habilidad poética. La historia del Titanic es completamente cierta. Muchos de sus pasajeros llevaban consigo obras de arte y joyas de gran valor (no es extraño dado su nivel social). Uno de los objetos más valiosos que se pudo recuperar del naufragio fue una copia de este libro con miniaturas hechas con 1500 piedras preciosas cada una de ellas engarzada en oro. Había sido vendido en una subasta en marzo de 1912 a un comprador estadounidense por £405 (unos $1,900), el salario de 15 años de un miembro de la tripulación junior en el Titanic. Existe otra película sobre el personaje (ver cartel), de 1957, dirigida por William Dieterle (un especialista en biografías, aunque en ésta se lució). Se trata de un producto menor de las típicas películas de aventuras de las que hablábamos al principio, en la que lo único mencionable es la historia del calendario pero contada de pasada, sin los detalles de ésta. Eso sí, aparece mucha niña mona de la época. Ver trailer. Dos recomendaciones Durante una conferencia celebrada en Valladolid el pasado 18 de Mayo en el marco del Día de los Museos, nuestro compañero Fernando Corbalán nos proyectó este maravilloso vídeo, Nature by Numbers,  sobre la proporción áurea que no debéis dejar de ver. Se encuentra en http://www.etereaestudios.com/docs_html/nbyn_htm/intro.htm. Aunque el título esté en inglés, sus realizadores son zaragozanos. Por otro lado, en el número 63 de la revista SUMA (Febrero 2010), nuestro compañero José María Sorando Muzás nos propone echar un vistazo al Mundo Geométrico de Jacques Tati, un director singular. Yendo al enlace indicado podéis acceder también al artículo de la revista. A mediados de Junio, cerraremos el curso con nuestro ya tradicional Concurso del Verano, para que, además de sol y playa, nos entretengamos un ratillo pensando en cine y sobre todo, en matemáticas.

Viernes, 21 de Mayo de 2010 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

795. 7. (Mayo 2008) Melodías Desmoduladas

En busca de las moléculas musicales Los músicos, musicólogos y matemáticos fueron paulatinamente percibiendo que detrás de cualquier composición musical existe un orden analizable, ya sea sencillo o complejo, no sólo en la obra como conjunto sino también en sus partes moleculares. La búsqueda de un sistema “universal” de análisis de ese orden sigue vigente. En el siglo XX destaca un método que permite, en cierta medida, la clasificación y comparación de “moléculas musicales”, que puede aplicarse tanto a composiciones renacentistas como a modernas. Este método, denominado Teoría Musical de Conjuntos, nos sumerge de nuevo en la combinatoria y en la aritmética modular. Erik Satie (1866–1925) Parece encontrarse suficientemente documentado que ya a finales del siglo XIX compositores como Satie, utilizaban métodos sistemáticos de composición. No por ello, curiosamente, son menos emotivas sus -generalmente breves- piezas. También se puede generar (recuérdese el juego combinatorio de Mozart) música al azar. Si las notas son completamente aleatorias se consigue un pobre resultado ("música blanca"). Pero si se dictan unas normas (unos patrones), los resultados mejoran. La atonalidad A finales del siglo XIX se comenzó a cuestionar la base tonal de la música occidental. Hasta entonces, las notas que conformaban una composición formaban una red de órbitas alrededor de un centro gravitatorio que las cohesionaba. Por ejemplo, una obra compuesta en la tonalidad de Si bemol mayor desarrolla esa estructura tonal. Cuando escuchamos una obra compuesta bajo el sistema tonal, es decir, prácticamente cualquiera entre los siglos XV y XIX, podemos intuir –antes de oírlas- muchas de las notas siguientes a las que escuchamos, especialmente las que cierran las frases melódicas. Esto es consecuencia de la estructura tonal. Nuestro oído espera constantemente un regreso a las cercanías del tono o tonos que sirven de centros gravitatorios, de los cuales el fundamental es la tónica. A principios del siglo XX los compositores buscan una estructura que evite la presencia de esos centros tonales, de forma que el oyente no pueda anticiparse en ningún momento a la frase musical antes de terminar de oírla. Esta nueva estructura se conoce como atonalidad. Los adelantados El uso extremo del cromatismo, es decir, el empleo del semitono más que del tono como base de la composición, reduce considerablemente la percepción de tonalidad. Este recurso ya fue usado por Wagner y Debussy en algunas partes de sus obras. Richard Wagner (1813–1883) Claude Debussy (1862–1918) Otros compositores, como Charles Ives, también lograron reducir, e incluso hacer desaparecer, la influencia de los atractores tonales mediante diversas técnicas. El musicólogo y matemático Graeser fue el primer teórico de la música que aplicó sistemáticamente "grupos de simetrías" al análisis musical. Wolfgang Graeser (1906–1928) La Segunda (?) Escuela de Viena Sin embargo, fue Schönberg el primer compositor en aplicar conscientemente órbitas completas de "grupos de simetrías" a la composición musical. La técnica dodecafónica de Schönberg (hacia 1920) es la primera aplicación sistemática de un método algorítmico de composición. En su obra Pierrot Lunaire, también aparece un fragmento palíndromo. Arnold Schönberg (1874–1951) Este método o sistema de composición, conocido como serialismo dodecafónico, se basa en asignar el mismo protagonismo a cada uno de los 12 semitonos que componen la octava, independientemente de su altura. Es decir, todas las notas del mismo nombre, como Re bemol, se consideran equivalentes e igualmente importantes. Anton Webern (1883–1945) Alban Berg (1885–1935) La repercusión de este sistema en la música del siglo XX fue enorme. A Schönberg, junto con sus discípulos en Viena, Anton Webern y Alban Berg, se les concedió el nombre colectivo de La Segunda Escuela de Viena, aludiendo, por contraste, al grupo de influyentes compositores (Haydn, Mozart, Beethoven y Schubert) vinculados desde antiguo a esa ciudad, que formarían parte de una supuesta Primera Escuela de Viena que en realidad nunca existió. Descentralización La ruptura con la tonalidad coincide, históricamente, con la aparición del cubismo. Perspectiva monocéntrica Visión policéntrica De la perspectiva monocéntrica se pasa a la visión policéntrica, en donde un objeto aparece desde múltiples puntos de vista. Cada punto del espacio tiene iguales posibilidades de ser centro. Igual ocurre con los semitonos en la dodecafonía: todos juegan el mismo papel. Percepción Junto con la ruptura de la tonalidad, surge una pregunta: ¿somos capaces de aceptar una música sin tono central y sin las usuales pautas (los acordes y sus transformaciones isométricas)? En la imagen se observan las simetrías tonales en el análisis de una obra musical tonal. En el sistema dodecafónico, las clásicas transformaciones isométricas son ahora reemplazadas por permutaciones simétricas módulo 12. Es decir, para ver las simetrías e inversiones es necesario, previamente, reducir módulo 12. Veamos un ejemplo. En la parte inferior de la imagen siguiente, aparece una melodía atonal. Su gráfica parece caótica, desmodulada. Sin embargo, una vez realizada la reducción módulo 12, es decir, trasladando todas las notas del mismo nombre a la misma octava, las simetrías vuelven a aparecer, como muestra la parte superior de la imagen. De esta forma, la simetría estática del sistema tonal clásico es sustituida por una simetría dinámica basada en permutaciones de un sistema secuencial (serial). Paul Hindemith (1895–1963) Hindemith ejemplifica cómo las simetrías mantienen su papel principal en su Ludus tonalis, creando un postludio que coincide con el preludio tras un giro de 180 grados. La Teoría Musical de Conjuntos de Hanson y Forte Esta teoría, iniciada por Hanson para el análisis de la música tonal y posteriormente desarrollada por Forte para el análisis de la música atonal, contempla la definición de conjuntos de notas susceptibles de organizar la música en torno a ellos y sus distintas manipulaciones. Howard Hanson (1896–1981) Allen Forte (1926–) El análisis de las clases de estos conjuntos es el resultado de los esfuerzos de los teóricos de la música por revelar los sistemas que compositores como Schönberg y sus seguidores usaron para organizar el contenido tonal en sus trabajos. De la misma forma que los vectores y matrices permiten calcular resultados de movimientos en el plano, los vectores y matrices de Forte permiten calcular resultados de movimientos melódicos o armónicos. Hay que tener presente que los conjuntos y sus clases, que veremos a continuación, determinan únicamente el contenido tonal; los compositores continúan libres de modificar cualquier otro aspecto musical de acuerdo con sus deseos artísticos. Calculadora musical Para la mejor comprensión de los términos empleados, nos serviremos de una calculadora... musical. Se trata de un applet de Java, basado en el original realizado en 1997 por Jay Tomlin, muy útil para ensayar y comprobar los distintos procedimientos que iremos detallando. Para abrir la calculadora, basta pulsar en la siguiente imagen. Para elegir las notas, o desactivarlas, se pulsa sobre los números del disco (parte inferior izquierda). En el caso de que algún elemento gráfico deje de visualizarse, deberemos pulsar el botón Repintar. En cualquier momento se puede pulsar directamente sobre el teclado para oír el sonido de la nota correspondiente. Los conjuntos tonales Un conjunto tonal es simplemente una colección desordenada de entre 12 notas. Las doce únicas notas del teclado (en una octava) son numeradas de 0 a 11, empezando por Do. Por ejemplo, el conjunto tonal de las notas Do, Mi, Sol se puede escribir como (0,4,7). Número Nombre Intervalo (desde Do) 0 Do Unísono 1 Do sostenido 2ª menor 2 Re 2ª mayor 3 Re sostenido 3ª menor 4 Mi 3ª mayor 5 Fa 4ª justa 6 Fa sostenido 4ª aumentada o 5ª disminuida 7 Sol 5ª justa 8 Sol sostenido 6ª menor 9 La 6ª mayor 10 La sostenido 7ª menor 11 Si 7ª mayor 12 (= 0 mod12) Do 8ª Los compositores tratan estos conjuntos con diversos grados de libertad cuando aplican el método a su música atonal. El conjunto (0,1,6) se hizo tan popular entre Schönberg y sus discípulos que ha sido bautizado como El tricorde vienés. Calculadora. Ejercicio 1 Cuando la calculadora se inicia, el conjunto (0,1,6) es el que aparece por defecto. Para introducir un nuevo conjunto, se puede elegir entre: A. Pulsar el botón Escala, seleccionar un conjunto predefinido y pulsar OK. B. Escribir sobre el campo "Conjunto tonal" y presionar la tecla Intro. C. Introducir el conjunto directamente sobre el disco numérico, con el ratón. Cuando se escriba un conjunto (opción B) hay que asegurarse de que los números quedan separados por comas. Cualquier número superior a 11 se reducirá automáticamente a su equivalente módulo 12. Los espacios en blanco serán ignorados. La elección quedará señalada automáticamente sobre el disco de números y sobre el teclado del piano. Para oír el conjunto tonal, basta pulsar el botón Toca que aparece bajo el teclado. Se puede elegir entre escuchar las notas una a una (melodía) o simultáneamente (acorde). En el primer caso, se respetará el orden del conjunto. También se puede usar el botón Rotar para cambiar este orden. Inversiones Una melodía es invertida cambiando el sentido de los intervalos. Si el original es una tercera menor, la inversión devolverá una sexta mayor. En la Teoría de Conjuntos, cualquier nota puede ser invertida por sustracción de 12 (la inversión de 1 es 11, la de 2 es 10, etc.; las notas 0 y 6 son inversas de sí mismas). Observando el disco de números, se aprecia que la inversión de un conjunto produce su imagen reflejada en un espejo. El eje de inversión es la recta que une 0 y 6, así que veremos la inversión como si el original sufriese una reflexión horizontal. Calculadora. Ejercicio 2 Para invertir el conjunto en la calculadora, se pulsa el botón Invertir. Observemos en el disco de números que el conjunto queda reflejado respecto al original. También podemos obtener el complementario de un conjunto pulsando sobre el botón del mismo nombre, que cambia el conjunto por uno nuevo en donde figuran todas las notas que no pertenecían al conjunto original. Intervalos mínimos Los conjuntos pueden ponerse en intervalo mínimo, que es la forma de ordenar las notas del conjunto de manera que sea la más “compacta”. Esto significa que el mayor de los intervalos entre dos notas consecutivas pase a ser el que separa la primera y última nota. Si observamos el disco de números, el intervalo mínimo representará el recorrido más corto que recorra todas las notas. El conjunto (2,9,10), por ejemplo, no está escrito como intervalo mínimo porque el intervalo entre 2 y 9 es mayor que el intervalo entre 9 y 10 o entre 10 y 2. Para poner el conjunto (2,9,10) como intervalo mínimo, deberemos escribirlo como (9,10,2). Así, el intervalo más grande quedará "fuera". Si no existe ningún intervalo mayor que el resto, entonces el intervalo mínimo es la representación del conjunto en la que los intervalos más pequeños queden al principio del conjunto y los mayores al final, o dicho de otra forma, “más compactado a la izquierda”. Por ejemplo, el intervalo mínimo de (0,4,5,8) es (4,5,8,0). Calculadora. Ejercicio 3 La calculadora encuentra automáticamente el intervalo mínimo de cada conjunto, como podemos comprobar ensayando con distintos conjuntos. Formas básicas o clases de conjuntos Si obtenemos el intervalo mínimo de un conjunto y el intervalo mínimo de su inversión, entonces su forma básica es el conjunto más "compacto" de los dos anteriores, trasladado al 0. Por ejemplo, consideremos el conjunto (7,8,2,5), que llamaremos A: El intervalo mínimo de A es (2,5,7,8). La inversión de A es (5,4,10,7). El intervalo mínimo de la inversión de A es (4,5,7,10). Como (4,5,7,10) está más compactado a la izquierda que (2,5,7,8), elegimos (4,5,7,10) y lo trasladamos para que comience en 0. Obtenemos (0,1,3,6) que es la forma básica. Las representaciones en forma básica también son nombradas como clases de conjuntos. Por ejemplo, los conjuntos tonales (1,2,7), (8,2,3), y (0,11,6) pertenecen a la misma clase de conjuntos (0,1,6). Aplicación de las formas básicas La forma básica es una abstracción de las clases de conjuntos que nos ofrece una única imagen de esa colección particular de notas. Si dos conjuntos tienen la misma forma básica podemos asegurar que sonarán parecidos uno al otro. Los conjuntos con la misma forma básica contienen el mismo número de notas y la misma colección de intervalos entre ellas, así que existe una cierta equivalencia auditiva, de la misma forma que todos los acordes mayores son auditivamente equivalentes en la música tonal. Calculadora. Ejercicio 4 La calculadora encuentra automáticamente la forma básica de cada conjunto. Números de Forte Forte catalogó cada forma básica de conjuntos de 3 a 9 elementos y las ordenó de acuerdo a su contenido de intervalos. Asignó a cada forma básica un código, como "5-35". En este código, el primer número es un índice que indica el número de notas del conjunto, y el segundo número fue asignado por Forte. Los conjuntos complementarios tienen el mismo número de catálogo en el sistema de clasificación de Forte (por ejemplo, el complementario de 5-35 es 7-35). Aquí puedes ver una breve lista de algunos números de Forte populares: Forma Básica Número de Forte Tricordio vienés (0,1,6) 3-5 Tríadas mayor y menor (0,3,7) 3-11 Escalas mayor y menor (0,1,3,5,6,8,10) 7-35 Escala octatónica (0,1,3,4,6,7,9,10) 8-28 Calculadora. Ejercicio 5 La calculadora encuentra automáticamente el número de Forte de cada conjunto. Para ver una lista completa de los números de Forte, pulsemos el botón Escala y elijamos "Números de Forte" como criterio para seleccionar un conjunto predefinido. Vectores de clases de intervalos Los intervalos que son inversos uno del otro están en la misma clase de intervalo. (Los intervalos 1 y 11 están en la clase 1; 2 y 10 en la clase 2; 3 y 9 en la clase 3, y así sucesivamente.) Sólo hay 6 clases diferentes de intervalos, desde el 1 al 6. Así, el intervalo entre las notas 2 y 9 es 7 y pertenece a la clase de intervalos 5. Observa que los intervalos no tienen relación con las notas, sino con la distancia entre ellas. El vector de clase de intervalo es una disposición ordenada de 6 números <i1,i2,i3,i4,i5,i6> correspondientes al número de apariciones de cada clase de intervalo encontradas en un conjunto tonal. Por ejemplo, consideremos el conjunto (2,3,9). Aparece una vez la clase de intervalo 1 (entre 2 y 3), una vez la clase de intervalo 6 (entre 3 y 9) y una vez la clase de intervalo 5 (entre 2 y 9). Así, el vector de clase de intervalo correspondiente a (2,3,9) es <1,0,0,0,1,1>. Aplicación de los vectores de clases de intervalos El vector de clase de intervalo ofrece un resumen del contenido interválico de un conjunto y, por ello, una fiable indicación sobre su sonido. Calculadora. Ejercicio 6 La calculadora encuentra automáticamente el vector de clase de intervalo de un conjunto. T(n) y T(n)I La notación T(n) indica otro conjunto cuyas notas han sido trasladadas n semitonos respecto al original. Por ejemplo, si el conjunto original es (1,2,7), entonces T(3) deberá ser (4,5,10). La notación T(n)I significa lo mismo, pero con respecto a la inversión del original. Calculadora. Ejercicio 7 La calculadora encuentra automáticamente T(n) y T(n)I. Para cambiar el valor de n se utiliza la barra vertical a la izquierda de los campos T(n) y T(n)I. Para trasladar el propio conjunto se utiliza el botón < y el botón >. Matrices Cada matriz normal se genera como diferencia (T-matriz) o suma (I-matriz) de un conjunto consigo mismo, elemento a elemento. Por ejemplo, la matriz normal (I-matriz) generada por el conjunto (2,3,9) es: 2 3 9 2 4 5 11 3 5 6 0 9 11 0 6 Aplicación de las matrices Se puede usar una matriz para determinar si existe o no una inversión de sí mismo, y si es así, dónde. Por “inversión en sí mismo” se entiende la propiedad inherente a algunos conjuntos por la cual existe algún número n tal que T(n)I devuelve el mismo conjunto original. Para un conjunto con x notas, si existe un número n que aparece exactamente x veces en la matriz, entonces T(n)I contendrá las mismas notas que el conjunto original. Tomemos, por ejemplo, el conjunto (0,1,2,5,9): 0 1 2 5 9 0 0 1 2 5 9 1 1 2 3 6 10 2 2 3 4 7 11 5 5 6 7 10 2 9 9 10 11 2 6 Como (0,1,2,5,9) tiene 5 elementos, buscaremos algún número en el interior de la matriz que aparezca 5 veces. En este caso, sólo aparece uno de estos números: el 2. Esto significa que T(2)I nos devuelve el conjunto original: T(2)I de (0,1,2,5,9) es (2,1,0,9,5). Los compositores y teóricos llaman a esta propiedad combinabilidad. Calculadora. Ejercicio 8 Para generar la matriz de un conjunto, se pulsa el botón Matrices. Aparecerán nuevos botones que permitirán elegir entre la forma normal de la matriz, o invertir previamente el conjunto original. Sugerencia: Si un conjunto es combinable, ensayemos a pulsar el botón Rotar las veces suficientes para que un mismo número aparezca en la diagonal secundaria (arriba derecha - abajo izquierda) de la matriz. En el ejemplo anterior, si pulsamos Rotar cuatro veces, esa diagonal aparece cubierta por el número 2. 9 0 1 2 5 9 6 9 10 11 2 0 9 0 1 2 5 1 10 1 2 3 6 2 11 2 3 4 7 5 2 5 6 7 10

Jueves, 01 de Mayo de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

796. 5. (Enero 2008) Combinatoria Musical

Un desastre de piano Una buena interpretación de una composición, incluso a cargo de una sola voz o de un solo instrumento, suele envolver sutiles matices, ligeras modificaciones en la duración, timbre, volumen o forma de atacar cada nota. Pero, en aras de una mayor claridad expositiva, concedámonos la libertad de simplificar al máximo, a pesar del rigor que indudablemente perderemos con ello, y pasar por alto estas sutilezas. Supongamos, pues, que contamos con un piano en un estado realmente lamentable. Las cuerdas están afinadas, pero sólo funcionan las 24 teclas centrales, entre teclas blancas y negras (dos octavas). Los pedales tampoco funcionan y, para colmo, cada nota suena exactamente igual independientemente de la fuerza o duración que empleemos en pulsar cada tecla. Abreviando, tenemos un instrumento que al teclearlo sólo puede dar 24 sonidos distintos. Por supuesto, la mayoría de los intérpretes rechazarían ejecutar una pieza musical con un instrumento así, incluso aunque la pieza fuera una simple melodía para la que bastasen las 24 notas con que contamos. Ahora bien, al margen de la calidad de la interpretación, estos mismos intérpretes admitirían ser capaces de tocar un sinfín de melodías lo suficientemente conocidas o populares para que el auditorio las reconociera de inmediato. Letras y notas Asociemos ahora a cada una de las teclas del maltrecho piano una letra, distinta en cada caso, de nuestro alfabeto, reservando el espacio en blanco para el silencio. Disponemos con ello de un simple sistema de transcripción melódica. Así, una melodía puede comenzar “KKLEK LNEK TLE...” Por último, supongamos que las frases melódicas que el paciente auditorio es capaz de reconocer corresponden con las frases con significado y sentido en nuestra lengua. Evidentemente, este es un paso audaz que requiere un especial consentimiento. La distribución de las notas y los silencios en una composición se encuentra lejos de parecerse a la distribución de letras y espacios en una frase. Mas, sea, consintamos generosamente, a pesar del manifiesto abuso. Atendamos ahora al público. Ante el comienzo anteriormente expuesto, el auditorio permanece impávido (tal vez confuso, tal vez horrorizado: ¿LNEK?), mientras que ante la melodía “LA LUZ AZUL ROZA...” sonríe y bate palmas. El teorema de los infinitos monos Si aporreamos el desastrado piano al azar, es casi seguro que el auditorio no reconocerá nada de lo que toquemos, pues difícilmente surgirán palabras inteligibles y mucho menos frases con sentido. Nos encontramos ante el “teorema de los infinitos monos” del matemático francés Émile Borel (1871-1956): letras escogidas al azar difícilmente podrán componer una obra literaria ya escrita. En nuestra versión, notas aleatorias difícilmente compondrán una melodía conocida. La composición Como vemos, el azar puro, incluso limitando las infinitas posibilidades reales a sólo 24 sonidos atómicos, es bastante ingobernable como proceso de creación musical. El azar en la creación artística semeja un fuerte condimento en una receta culinaria: puede darle el toque, pero no es la base. Se ha empleado el uso calculado y dirigido de alguna distribución de probabilidad como un componente en la creación de obras musicales, pero esa es otra historia (de la que hablaremos en otra ocasión). La composición, es decir, la planificación de todos los elementos que constituyen la obra, no sólo otorga consistencia y unidad a la misma sino que además facilita el reconocimiento tanto de la obra completa como de cada una de sus partes. Limitando el azar La libertad de tocar cualquier tecla del lamentable piano conduce, como hemos visto, a un resultado caótico. Limitemos pues los grados de libertad. Primero, no se podrá elegir cualquier letra (nota) sino sólo palabras (grupos de notas) de la lengua española (reconocibles). Esta limitación es muy fuerte, pues el número de palabras existentes es ridículo frente al número de variaciones posibles de letras aleatorias. No obstante, muchas melodías carecerán todavía de sentido: “PERRO LA LLOVER SIN...” Segundo, las palabras (grupos de notas) se clasificarán y ordenarán previamente, de forma que, por ejemplo, a un artículo le sucederá un sustantivo, a este un adjetivo, a este un verbo... facilitando así la conexión entre ellas para formar una frase con sentido. En música, esta clasificación se puede establecer atendiendo especialmente a la primera y última nota del grupo, fundamentales para marcar la tonalidad y enlazar un grupo de notas con el siguiente. Tercero (y decisivo), las palabras no pueden ser cualesquiera, sino que deben elegirse en cada caso una en una lista cerrada de posibilidades. Esto evita faltas de concordancia (como “LA PERRO”). Por ejemplo, la primera palabra sólo puede ser EL, UN, ALGÚN, OTRO, ESTE, ESE, AQUEL u otra similar. Permutaciones En 1974 Ernö Rubik inventa un rompecabezas que años más tarde se convierte en tal éxito de ventas a escala mundial que no necesita más presentación: su famoso cubo. El número de piezas es reducido, sólo 26, pero el número de diseños posibles es enorme: más de 43 trillones, un número de 20 cifras. No es la primera vez que un puzzle se populariza a esta escala. Un siglo antes, una humilde cajita con 15 piezas obsesionó a europeos y americanos. Inventada por un cartero de Canastota (NY), Noyes Chapman, fue no obstante el creador de acertijos Sam Loyd quien la popularizó ofreciendo una recompensa de 1.000 dólares -de la época (1880)- a quien fuese capaz de resolverlo a partir de una posición inicial... de distinta paridad, es decir, irresoluble. (En la posición inicial de Loyd, los números 14 y 15 aparecían permutados.) El número total de posibles permutaciones -a partir de una dada- es de más de medio billón (y otro tanto para las posiciones con distinta paridad). Pulsa aquí para ver una versión interactiva. Las recompensas continúan hoy siendo un buen reclamo publicitario. Actualmente, se ofrece un premio de dos millones de dólares a la primera persona que consiga resolver, durante este año 2008, un puzzle de 256 piezas comercializado como Eternity II. Al contrario que en el caso anterior, la existencia de solución está garantizada (incluso hay más de una, aunque muy pocas), pero el número posible de disposiciones de las piezas es inimaginable... ¡Tiene unas 600 cifras! En los casos expuestos vemos que la clave del atractivo, premios aparte, consiste en el gran contraste entre el escaso número de piezas fácilmente manipulables y el gran número de configuraciones posibles. Juego de dados musical En 1787, Mozart compone Musikalisches Würfelspiel (Juego de dados musical), una pieza que tiene la particularidad de que... ¡cada vez que se interpreta nadie la había escuchado antes, ni siquiera el propio Mozart! La obra consiste en 176 compases numerados, de los cuales todos se dedicarán a un minueto de 16 compases y 96 de ellos a un trío también de 16 compases. Complementa la obra una serie de instrucciones para la elección de los compases. Antes de interpretar la obra... ¡hay que crear la partitura! Para ello, se deben arrojar dos dados. La suma de los puntos obtenidos, entre 2 y 12, indicará el número del primer compás del minueto según la siguiente tabla. Se vuelven a arrojar los dados, y la puntuación indicará ahora el número del segundo compás. Sucesivamente, se completarán los 16 compases que constituyen el minueto. Minueto 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º 11º 12º 13º 14º 15º 16º 96 22 141 41 105 122 11 30 70 121 26 9 112 49 109 14 32 6 128 63 146 46 134 81 117 39 126 56 174 18 116 83 69 95 158 13 153 55 110 24 66 139 15 132 73 58 145 79 40 17 113 85 161 2 159 100 90 176 7 34 67 160 52 170 148 74 163 45 80 97 36 107 25 143 64 125 76 136 1 93 104 157 27 167 154 68 118 91 138 71 150 29 101 162 23 151 152 60 171 53 99 133 21 127 16 155 57 175 43 168 89 172 119 84 114 50 140 86 169 94 120 88 48 166 51 115 72 111 98 142 42 156 75 129 62 123 65 77 19 82 137 38 149 8 3 87 165 61 135 47 147 33 102 4 31 164 144 59 173 78 54 130 10 103 28 37 106 5 35 20 108 92 12 124 44 131 Las casillas azules muestran, como ejemplo, un posible resultado de arrojar los dos dados 16 veces. En el primer lanzamiento se obtuvo una suma 2, en el segundo una suma 8, etc. Los compases correspondientes que se deben interpretar son los numerados como 96, 60, etc. Mozart no dispuso los compases al azar, sino mediante reglas estrictas que limitan el azar suavizando el paso de unos a otros, a la vez que rigen los intervalos armónicos y la tonalidad. Por ejemplo, los compases de la primera y última columna muestran el mismo tono fundamental, y entre ambos abundan los intervalos de quinta y cuarta, lo que favorece la armonía global según los gustos de la época. Una vez concluida la partitura del minueto, creamos la partitura del trío. El método es el mismo, salvo que ahora se arroja un solo dado al aire. La tabla correspondiente es la siguiente: Trío 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º 11º 12º 13º 14º 15º 16º 72 6 59 25 81 41 89 13 36 5 46 79 30 95 19 66 56 82 42 74 14 7 26 71 76 20 64 84 8 35 47 88 75 39 54 1 65 43 15 80 9 34 93 48 69 58 90 21 40 73 16 68 29 55 2 61 22 67 49 77 57 87 33 10 83 3 28 53 37 17 44 70 63 85 32 96 12 23 50 91 18 45 62 38 4 27 52 94 11 92 24 86 51 60 78 31 La partitura resultante en nuestro ejemplo se puede ver y oír aquí. Cada uno de los 176 compases, por separado, lo puedes oír aquí. Probabilidad Observemos que mientras que todos los compases del trío tienen la misma probabilidad de aparecer en la partitura, no sucede igual con los compases del minueto. Al arrojar dos dados, la distribución de probabilidad de la puntuación, es decir, la serie de probabilidades de obtener cada suma, no es uniforme, pues sólo hay una forma de obtener suma 2 (1+1), mientras que existen 6 modos distintos de obtener suma 7 (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2 y 6+1). La siguiente tabla nos muestra la probabilidad de cada puntuación al arrojar dos dados: Suma 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Prob. 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 Esto significa que los compases que aparecen asociados a una de las sumas aparecerán, de media, en 2 de cada 3 compases (cuantos más minuetos generemos, más nos acercaremos a esta media). Contando posibilidades Calculemos cuántos minuetos y tríos distintos podemos formar. Para agilizar el cálculo, obviaremos que alguno de los 176 compases que integran Musikalisches Würfelspiel se repite, a pesar de tener distinta numeración. Esto reduce un poco el resultado que obtendremos, pero no significativamente. Para cada minueto, existen 11 elecciones posibles del primer compás. Por cada una de ellas, otras 11 para el segundo, y así sucesivamente. Habrá por tanto 1116 minuetos posibles, casi 46 mil billones, aunque no todos con la misma probabilidad, como hemos visto. Tenemos, de igual manera, 616 tríos posibles, casi 3 billones, todos ellos equiprobables. Conjuntamente, la obra minueto y trío alcanza 6616 posibilidades, un número de 30 cifras. Si cada habitante del planeta, unos 6 mil millones, interpreta una posibilidad distinta cada cinco minutos, hasta agotarlas todas, tardaríamos más de 200 billones de años (aunque es casi seguro que ni el sistema solar ni nuestra galaxia continuasen existiendo para entonces). Ahora bien, no es lo mismo agotar todas las posibilidades que estimar qué número de interpretaciones se deben haber realizado para que sea más probable que improbable que se produzca alguna repetición. Es decir, estimar cuándo una partitura generada según las reglas del juego ya no es un estreno, sino una reposición. ¿Cómo estimar este número? El problema del cumpleaños Este problema, famoso por su poco intuitiva solución, tiene un enunciado muy similar al que acabamos de exponer. Pregunta cuál es el mínimo número de personas necesarias para que entre ellas sea más probable que improbable que haya dos con la misma onomástica (no se consideran los años bisiestos). La sorprendente respuesta es 23. [Nota: Si usted no está familiarizado con este problema, debe prestar atención a que no se pretende la coincidencia de algún cumpleaños de las personas del grupo con otro concreto (el de usted, por ejemplo), sino de cualquiera de ellos con cualquier otro. La variante “¿cuántas personas como mínimo debe haber  para que sea más probable que improbable que alguna tenga mi onomástica?” ofrece una solución mucho más abultada: 253 personas.] Para alcanzar esa solución, denotemos por n el número de posibles cumpleaños, 365. Si hay x personas, cada una con n posibilidades, el número total de posibilidades es nx. Por otra parte, la primera persona puede tener cualquier cumpleaños. Para que no coincida la segunda, esta debe cumplir años en uno de los n - 1 días restantes. La tercera, en alguno de los n – 2 que quedan, y así sucesivamente. Por lo tanto, la probabilidad de que en x personas no coincida ningún cumpleaños es: La probabilidad buscada, de que exista alguna coincidencia, será por tanto: Con n = 365, basta una calculadora y un poco de paciencia para comprobar que para x = 22 esta probabilidad no alcanza 0.5, pero para x = 23 personas, ya la supera ligeramente. Sin embargo, en vez de la calculadora usaremos algo más potente como es el programa Derive: Conectando problemas Veamos ahora por qué es casi imposible repetir una partitura ya interpretada. Para poder aplicar el método anterior al Juego de dados musical, primero tenemos que solventar la dificultad presentada por la falta de uniformidad de la distribución de probabilidad que rige la generación de los minuetos. ¿Cuál es la probabilidad de que un compás de un minueto coincida con el mismo compás en otro? Para que se produzca esta coincidencia, debe ser igual la puntuación obtenida con los dados en ambos casos. Para que esto suceda con dos puntuaciones “2”, se debe obtener puntuación 2 en uno (probabilidad 2/36) e, independientemente, en el otro (misma probabilidad). La probabilidad de que ambos sucesos ocurran a la vez será por tanto (2/36)2. De la misma forma, la probabilidad de que coincidan dos puntuaciones “3” será (3/36)2, y sucesivamente, hasta la coincidencia de dos puntuaciones “12” con probabilidad, igual a la primera, de (2/36)2. Sumando todas estas fracciones, obtenemos la probabilidad de coincidencia de dos compases en la misma posición: 1/9. Para que coincida un minueto con otro, todos sus 16 compases deben coincidir uno por uno. Por lo tanto, la probabilidad de tal coincidencia es 1/916. Por otra parte, la probabilidad de que coincidan dos tríos era 1/616. Conjuntamente, tenemos que la probabilidad de una repetición exacta de una obra concreta es 1/5416. Ya podemos aplicar el mismo sistema usado en el problema del cumpleaños, sólo que ahora el año no tiene 365 días, sino 5416: Desafortunadamente, la expresión anterior se muestra ahora intratable, dado lo elevado de los números implicados. Si intentamos resolver con Derive la ecuación resultante de igualarla a 0.5, como hemos hecho antes, no obtendremos resultados (de hecho, para resolver la ecuación para n = 365 Derive ya necesitó 70 segundos en el ordenador que empleamos). Habrá que buscar alguna forma de simplificarla primero. La fórmula de Stirling Esta fórmula permite aproximar muy bien los grandes factoriales (cuanto más grandes, mejor es la aproximación, y en nuestro caso los factoriales son realmente grandes): Aplicándola a nuestra probabilidad y reduciendo, obtenemos: La ecuación correspondiente, igualando a 0.5, continúa resultando impracticable para Derive. Pero ahora tenemos exponenciales en vez de factoriales, lo que nos permite aplicar logaritmos y obtener por fin la ecuación: (n – x + 0.5)(L(n) – L(n−x)) – x + L(2) = 0 Su solución la encuentra Derive al instante: Un número de 17 cifras. Retomando el ejemplo del planeta, si cada terrícola genera e interpreta una obra cada cinco minutos, siguiendo las reglas de Mozart, es de esperar que al cabo de unos 78 años se produzca alguna repetición. Claro que si sólo es un (infatigable) habitante el encargado de la tarea, deberíamos esperar que la coincidencia se produzca en un plazo seis mil millones de veces mayor. Webs En las siguientes direcciones de Internet podemos oír y generar automáticamente una partitura según las reglas de Mozart. En el primero, además, podemos guardar una copia: http://sunsite.univie.ac.at/Mozart/dice/ http://web.ard.de/radio/mozart/wuerfelspil/wuerfelspiel.swf

Martes, 01 de Enero de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

797. 1. (2004-2005) Afinación

1. Introducción 2. Afinaciones y Temperamentos 3. Conceptos básicos 4. Sistemas de afinación 4.1. Afinación pitagórica 4.2. Justa entonación 4.3. Temperamentos cíclicos regulares 5. Bibliografía 1. Introducción Para estudiar un sonido hay, al menos, tres cualidades que debemos tener en cuenta: La intensidad que es la medida de lo fuertes o débiles que son los sonidos. Por extraño que parezca es difícilmente apreciable por el oído si no están en el mismo tono. El tono determina la altura de un sonido, es decir lo grave o agudo que es. El timbre es la cualidad que nos permite distinguir sonidos idénticos emitidos por instrumentos distintos. En esta sección, como vamos a estudiar la afinación, sólo estamos interesados en el tono, y por tanto vamos a identificar cada sonido con la frecuencia que nos da el tono. Los archivos sonoros, salvo que se advierta de lo contrario, están generados con el programa MATHEMATICA® Como muestra intuitiva de la importancia que tiene en la música la “forma de afinar”, a continuación analizamos dos fragmentos en los que se puede observar y escuchar dos tipos de música de estilos muy diferentes. Sin embargo, obviando las grandes diferencias técnicas (la primera es una grabación del año 2002 hecha en Estambul y la segunda una grabación del año 1929 extraída de un disco de pizarra), ambos fragmentos comparten muchas características fundamentales. La primera es obra de un compositor contemporáneo turco y la segunda de una interpretación de de “cançò d’estil” de Paterna -Valencia. En ellas, aunque se desconozca su origen, y con independencia de la cultura musical de cada uno, cualquiera puede apreciar que se trata de música popular. Las razones que nos permiten situarlas dentro de la música folclórica son, básicamente las siguientes: 1. Los ritmos, tipo instrumentación, etc. no son los de la música sinfónica 2. Aparecen notas diferentes a las que se escuchan en otros tipos de música En estos momentos, a nosotros nos interesa especialmente el segundo aspecto: Se utilizan muchas más notas que en la música occidental sinfónica. ¿Significa esto que hemos escuchado notas que están desafinadas?. Sin duda, la respuesta es no. Lo que ocurre es que no están afinadas en el sistema temperado al que está habituado nuestro oído. Analicemos más detenidamente los dos primeros compases del primer pentagrama: 2. Afinaciones y Temperamentos Si los interpretamos en el sistema temperado de 12 notas (el más extendido en la música occidental actual) y en el sistema de afinación pitagórico comprobamos que hay diferencias claramente perceptibles: Escuchemos, por ejemplo, la cuarta nota (Si b) en cada uno de los sistemas y luego juntas para apreciar la diferencia El objetivo de esta sección es entender situaciones como ésta e intentar responder con argumentos matemáticos a preguntas como las siguientes: ¿Qué es afinar? ¿Ha sido siempre así? ¿Por qué en la música occidental se utilizan 7 o 12 notas por octava y no otras cantidades? ¿Se puede afinar una orquesta sinfónica? ¿Cuál es el papel de las matemáticas en la afinación? El esquema que seguiremos será el siguiente: A lo largo de la Historia han aparecido centenares de afinaciones de las que sólo se siguen utilizando alrededor de media docena. La razón por la que trataremos estas cuatro formas de afinar es que éstas son las cuatro afinaciones que conviven en la orquesta clásica actual. 3. Conceptos básicos Una afinación o un sistema de afinación es el conjunto de los sonidos que utiliza la Música. En el conjunto de las frecuencias de todos los sonidos, R+ tenemos que elegir aquellos que sirven para hacer música y descartar el resto. Los sonidos admitidos por el sistema de afinación se denominarán sonidos afinados o notas musicales. Según sea la naturaleza de los números elegidos se tiene dos tipos de sistemas de afinación: las afinaciones y los temperamentos. En las primeras todos los números son racionales mientras que en los temperamentos algunos (o todos) son irracionales. Ahora bien, a pesar de que esta clasificación cada día se usa más en los tratados de música lo cierto es que tanto histórica como conceptualmente los temperamentos han surgido como aproximaciones a las afinaciones sin que, normalmente, se tuviese en cuenta el tipo de números utilizados. Una vez introducido, aunque sea grosso modo, el concepto de afinación, cabe preguntarse si éste puede ser todavía un tema de interés para alguien que no se dedique al estudio de la Historia. La aparición esporádica de artículos en revistas de física o matemáticas tratando temas de música podrían dar una contestación a esta pregunta. Sin embargo, las necesidades de músicos y musicólogos proporcionan un respuesta mucho más convincente. Éstos han establecido dos campos de actuación: • la búsqueda de nuevas afinaciones que aumenten las posibilidades en la creación musical • la recuperación de la fidelidad a partituras antiguas. En este último sentido, M. Bernal asegura que "uno de los principales problemas que se presentan en la praxis de la música antigua para tecla es el de la elección del temperamento adecuado" Revista de Musicología, 22 (1999) Entendiendo por adecuado aquel temperamento para el que fue concebida. De hecho, incluso la expresión "buen temperamento", empleada al menos a partir de la obra Clave bien temperado (Das wohltemperierte Klavier I, 1721) de J. S. Bach, resulta imprecisa. Como aclara J. J. Goldáraz buen temperamento no designa una única forma de afinar y continúa siendo un tema de discusión conocer si se trataba realmente del sistema de afinación de 12 notas por octava o se tratataba de otro temperamento de los que en la época se utilizaban en Alemania. La octava En todos los sistemas de afinación aparece el concepto de octava. Un sonido de frecuencia f1 se dice que es una octava más grave que otro f2 si f2 = 2·f1. Hasta tal punto es intuitiva esta idea, que se usa de forma natural aunque no se tenga formación musical. Piénsese, por ejemplo, cuando cantan juntos un hombre y una mujer. El hombre suele cantar una octava más grave y sin embargo cualquiera reconoce que están interpretando las mismas notas. A partir del concepto de octava, lo que se hace es partir el intervalo de frecuencias audibles por octavas: … [f, 2f], [2f, 4f], [4f, 8f], … e identifican las notas que están a diferente octava. Es decir, hablaremos de un Do sin importarnos la octava en la que se encuentra. Por tanto, es mucho más cómodo suponer que las notas están en el intervalo [1,2]. Afinar es elegir una cantidad finita de puntos del intervalo [1, 2] Siete notas Al menos desde el primer milenio antes de Cristo, los caldeos relacionaron muy estrechamente la música con la astrología y las matemáticas. De hecho, el destino de los hombres y la armonía del Universo se explicaba usando especulaciones matemáticas a las que atribuían multitud de propiedades. Parece ser que esto dio lugar a que numerosos fenómenos cósmicos fuesen representados por la comparación entre las longitudes de cuerdas tirantes. De este modo aparecieron cuatro relaciones asociadas con las cuatro estaciones del año que, por su importancia, tomaron nombres propios: 1/1 unísono 3/2 quinta 4/3 cuarta 2/1 octava Entre los números cuyas propiedades eran especialmente útiles en la predicción de sucesos destacaban el 4 y el 7. De hecho, probablemente la antigua escala caldea era de siete notas. En occidente, a partir de los caldeos y sobre todo de los pitagóricos (siglo VI. a. C.) se ha considerado que las notas fundamentales eran 7 y que el resto eran alteraciones de estas notas. A las alteraciones se les llama sostenidos ( # ) si aumentan la frecuencia y bemoles ( b ) si la disminuyen. Pero no precisaremos más en la definición de las alteraciones porque, como se verá más adelante, dependiendo del sistema de afinación significarán una cosa u otra. Tonos y semitonos Se trata de intervalos que en la práctica se emplean más que los dados anteriormente. Dadas dos notas f1, f2 se tienen las siguientes relaciones: Tono ( T ): Decimos que f2 es un tono más alta que f1 si se puede obtener a partir de f1 subiendo dos quintas y bajando una octava. Semitono cromático ( Sc ): Decimos que f2 es un semitono cromático más alta que f1 si se puede obtener a partir de f1 subiendo siete quintas y bajando cuatro octavas. Semitono diatónico ( Sd ) Decimos que f2 es un semitono diatónico más alta que f1 si se puede obtener a partir de f1 subiendo cinco quintas y bajando dos octavas. Hay sistemas de afinación en los que aparecen varios tipos de quinta, por tanto la distancia de tonos y semitonos dependerá del sistema. Algunas de estas afinaciones verifican: T=Sc+Sd e incluso se da Sc=Sd. Sin embargo, en general, no tienen por qué darse estas condiciones. 4.1. Afinación pitagórica Es muy probable que Pitágoras de Samos (580 –500 a. de C.), tras un largo periodo de estudio en las escuelas mesopotámicas, llevase las teorías de la música y los principios de la afinación a Grecia. Tal y como hacían los caldeos, estableció que el sonido musical producido por una cuerda vibrante varía en razón inversa a su longitud, esto es: "cuanto más corta sea la cuerda, más aguda será la nota producida". Además, estableció cuatro intervalos, o relaciones entre las longitudes de las cuerdas que producían las únicas consonancias admitidas: Para producir todos los sonidos afinados (notas musicales) sólo se dispone de estos cuatro intervalos y sus combinaciones. Expresado de forma axiomática, el sistema de afinación pitagórico se obtiene de la forma siguiente: P1. La música se basa en 7 notas. P2. La longitud de las cuerdas puede ser multiplicada o dividida por 3 cualquier número de veces. P3. La longitud de las cuerdas puede ser multiplicada o dividida por 2 cualquier número de veces. En lugar de manejar la longitud de las cuerdas estudiaremos las frecuencias producidas por éstas. El axioma P2 sube quintas cuando se multiplica por 3 y las baja cuando se divide y el axioma P3 sube o baja octavas cuando se multiplica o divide por 2. El sistema de afinación que se obtiene con los axiomas anteriores es relativo porque dada una cuerda L de cualquier longitud, aplicando P1, P2 y P3 se obtienen notas que suenan afinadas con la producida por L. Para que este sistema de afinación sea absoluto, y por tanto aplicable, necesitamos imponer que una nota, a la que denominaremos nota patrón o diapasón, forme parte de las notas afinadas: Notas afinadas: Consideramos una frecuencia patrón f0. Dado un sonido f diremos que está afinado en el sistema pitagórico si existen n y m números enteros de manera que: 3n 2m f0 = f Ya estamos en condiciones de obtener de forma práctica las notas de la afinación pitagórica. Todas las notas de la afinación pitagórica se obtienen aumentado o disminuyendo quintas, es decir, dada una frecuencia f multiplicamos o dividimos por 3/2 cualquier número de veces. Ahora bien, como hemos dicho que una afinación consiste en elegir puntos de [1,2], debemos dividir o multiplicar por una potencia de 2 adecuada de manera que el factor que multiplica a f esté en el intervalo [1,2]. Ejemplo Supongamos que el sonido f lo subimos dos quintas. La nota que se obtendría es: Para llevar esta nota a la misma octava que f (hacer que el factor que multiplica a f esté en el intervalo [1,2] debemos dividir por 2. Es decir que la nueva nota afinada será: Método para obtener las notas 1.- Asociamos cada una de las notas con un número, es decir 0 = Do, 1 = Re, 2 = Mi, 3 = Fa, 4 = Sol, 5 = La, 6 = Si 2.- Escribimos tablas de 7 columnas y 4 filas: 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 En la primera fila marcamos la nota central (3) 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 A partir de la nota 3 marcamos las notas que se obtienen contando 5 casillas (OJO porque la casilla de partida también se cuenta) 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 Cada vez que hemos marcado una casilla nueva hemos aumentado una quinta, y repitiendo el proceso siete veces obtenemos las notas naturales en el orden siguiente: Fa – Do – Sol – Re - La - Mi - Si Para obtener más notas ampliamos el número de matrices o tablas. Con ellas aparecerán, en un sentido, las notas con un sostenido, con dos, etc y en el sentido contrario las notas con 1 bemol, 2 bemoles, etc. Cada vez que vamos de una nota marcada a otra bajando en la tabla multiplicamos por 3/2 tantas veces como notas marcadas haya. Y en el sentido contrario lo que haremos es dividir por 3/2 . Ejemplo: A partir de un Do (natural), ¿cómo se obtiene un Fa# y un Mib? a) Desde el Do (natural) al Fa# hay que subir 6 quintas (hemos contado 6 casillas de las que hemos marcado previamente) por tanto se obtiene de la forma siguiente: Para que el Do (natural) y el Fa# estén en la misma octava debemos dividir por una potencia de 2 , en concreto 2 3, es decir: b) Desde el Do (natural) al Mib hay que bajar 3 quintas (hemos contado 3 casillas de las que hemos marcado previamente) por tanto se obtiene de la forma siguiente: Para que el Do (natural) y el Mib estén en la misma octava debemos multiplicar por una potencia de 2 , en concreto 2 2, es decir : Las fracciones para obtener las notas más frecuentes son las siguientes: Para el sistema pitagórico, por ejemplo un Lab y un Sol# son dos notas diferentes:   ¿Cuántas notas deben aparecer dentro de una octava? Con el método que hemos descrito podríamos generar una cantidad infinita de notas dentro de una misma octava, por tanto debemos añadir algún criterio que permita detenernos cuando se tiene una cantidad razonable de ellas. Sería lógico pensar que un buen momento para parar es cuando empiecen a repetirse los sonidos. Sin embargo, como se puede demostrar que esto no va a ocurrir nunca, deberemos conformarnos con aceptar como iguales sonidos que sean “muy parecidos”. En la gráfica siguiente hemos representado las 70 primeras notas de la afinación pitagórica. En el eje de abcisas se representa el orden en el que aparecen y en el de ordenadas la fracción con la que se obtiene. Por ejemplo, la primera nota es el punto (0,1). Cuando obtengamos una nota cuya ordenada esté muy próxima al 1 nos detendremos. La primera vez que nos acercamos al sonido inicial es cuando tenemos 12 notas, y ésta es la razón por la que la inmensa mayoría de la música que se escucha en la actualidad está hecha para el Temperamento Igual de 12 notas del que más tarde hablaremos. Si queremos mayor precisión necesitamos 53 notas, y si continuásemos 665 notas, etc., pero sin duda estas cantidades resultarían poco prácticas. Como se ve, el hecho de fijar 7, 12 u otro número de notas por octava no es una cuestión trivial y depende de la precisión que se exija en el parecido con la nota de partida. De hecho, esta elección no siempre se ha hecho con éxito. Por ejemplo, Robert Smith, en Harmonics, or the Philosophy of Musical Sounds (1749), propone 21 divisiones por octava para el temperamento de 5/18 de coma zarliniana y, como se apreciaría más tarde desde el punto de vista práctico, esto no tenía sentido. 4.2. Justa entonación Con el nombre de afinación justa o de los físicos se conocen varios sistemas de afinación que añaden el intervalo 5/4 a la afinación pitagórica para representar la tercera. La forma de incorporarlo es ajustando algunas notas de la afinación pitagórica, por tanto deben considerarse correcciones a la afinación pitagórica. En la afinación pitagórica, la tercera no se considera un intervalo consonante, sino que aparece subiendo cuatro quintas. Tercera pitagórica Tercera justa Do->Mi Do->Mi Oyéndolas juntas se percibe bien la diferencia: De todos los intentos por incorporar el intervalo de tercera a la afinación pitagórica, el que se utiliza en la práctica es el de Aristóxeno-Zarlino. No obstante, a continuación citamos otras propuestas bastante conocidas. Modificaciones de Arquitas Arquitas de Tarento (430-360 a.C.) es un discípulo de Pitágoras que dedicó gran parte de su investigación a la afinación. Advirtió que los intervalos pitagóricos 2/1, 3/2 y 4/3 son de la forma Teniendo en cuenta esto, propuso dividir la cuarta en tres intervalos que verifiquen esta relación, para lo cual propuso añadir tres nuevas proporciones: Así aparecen los valores siguientes: entre los que, por primera vez, se tiene el intervalo de tercera 5/4 que había estado prohibido por los primeros pitagóricos. Modificaciones de Tolomeo Claudio Tolomeo (100-170) parte de los conceptos pitagóricos de afinación y en su obra Harmónicos expone una teoría matemática de los sonidos en las que aparecen dos tipos de escala una fija, tética, y una móvil, dinámica. A pesar de que su sistema de afinación es más complejo que los dos anteriores, en él siempre aparece el intervalo de tercera. Como ocurría con los pitagóricos, los sonidos que consideran afinados están relacionados con su modelo del Universo. Modificaciones de Zarlino y Delezenne Gioseffo Zarlino (1517-1590) justificó los acordes con razones matemáticas que resultaron totalmente premonitorias de los armónicos. Estableció que había una afinidad entre los sonidos cuyas frecuencias son proporcionales a 1, 2, 3, 4, 5, 6 y comprobó que éstos eran emitidos por cuerdas de longitudes Delezenne (1776-1866) modificó la afinación de Zarlino y de hecho en la actualidad es habitual que en la afinación justa se mezclen notas de Zarlino con las de Delezenne. Ha habido otras muchas más propuestas, como la de Johannes Kepler (1571-1630) que, a pesar de resultar muy ingeniosas, no han supuesto aportaciones considerables a la consolidación de la Justa Entonación. Afinación de Aristóxeno-Zarlino Arsitóxeno de Tarento (360-300 a.C.) es un discípulo de Aristóteles que estudió con profundidad las doctrinas pitagóricas. Rechaza asociar las consonancias naturales de quinta, cuarta y tercera con relaciones numéricas y sostiene que basta con el oído para conseguir la afinación. A pesar de que históricamente no se introdujo como se expondrá a continuación, una forma sencilla de presentar la afinación de Aristóxeno-Zarlino es la siguiente: Consideramos una aproximación de la quinta pitagórica (3/2) dada por A partir de aquí (y en todos los tratados de música), como conviene distinguir entre ambos intervalos, se les da nombres diferentes. La quinta dada por 3/2 se llama quinta natural y la quinta dada por 40/27 se llama quinta sintónica. Una vez fijada esta aproximación, la afinación de Aristógeno-Zarlino es una afinación hecha por quintas naturales (como la de Pitágoras) pero en la que algunas de ellas han sido sustituidas por quintas sintónicas. En la tabla siguiente marcamos sólo las sintónicas y entenderemos que el resto son naturales: Teniendo en cuenta estas correcciones a la afinación pitagórica, las notas más frecuentes se obtendrían con las siguientes fracciones: A pesar de la diferencia entre las fracciones que aparecen en la afinación pitagórica y la de Aristóxeno-Zarlino, podéis comprobar que el resultado es parecido: Escala Pitagórica Escala Justa Entonación En la afinación de Aristóxeno-Zarlino, al aparecer dos tipos de quinta, aparecen dos tipos de tono: Tono grande: 9/8 Ejemplo: Do-Re Tono pequeño: 10/9 Ejemplo: Re-Mi y tres tipos de semitono: Semitono diatónico grande: 27/25 Ejemplo:Do-Reb Semitono diatónico pequeño: 16/15 Ejemplo:Mi-Fa Setinono cromático: 25/24 Ejemplo: Do-Do# Sin duda, esta circunstancia dificulta enormemente el uso de la justa entonación en la música polifónica. Comentario Desde un punto de vista meramente aritmético podemos decir que el sistema pitagórico sólo maneja sonidos que se pueden obtener mediante potencias de 2 y de 3 a partir de una frecuencia dada f0. La justa entonación añade al sistema pitagórico las potencias del 5. Vista esta secuencia lógica, la pregunta es evidente: ¿por qué no seguir con las potencias de 7 y de 9, etc.? Las razones para detenernos en el 5 son de diversa índole. En primer lugar hay razones estéticas: el intervalo de séptima convive con dificultad con los intervalos de la afinación de Zarlino. Por otro lado, cada vez que se añaden nuevas frecuencias se están incrementando los inconvenientes de los sistemas de afinación. Sirva como resumen de estos razonamientos el fragmento de la carta, fechada el de 3 de mayo de 1760, que Leonhard Euler (1077-1783) escribió a Federica Carlota Ludovica von Brandenburg Schwedt, princesa de Anhalt Dessau (1745 – 1808), para instruirla sobre temas de música (Euler, 1990): Carta VII: De los doce tonos del clavecín: “Mi intención era presentar a Vuestra Alteza el verdadero origen de los sonidos empleados en la música, casi totalmente desconocido para los músicos; pues no es la Teoría lo que los ha conducido al conocimiento de los tonos, lo deben más bien a la fuerza oculta de la verdadera Armonía, actuando tan eficazmente en sus oídos que, por así decirlo, los forzó a recibir los tonos actualmente en uso, aunque no estén suficientemente decididos sobre su justa determinación. Ahora bien, los principios de la Armonía se reducen en último término a números, [...] el número 2 produce sólo octavas [...]. Después el número 3 produce los tonos que difieren de los anteriores en una quinta. Pero introduzcamos también el número 5 y veamos cuál sería el tono que produce 5 vibraciones, mientras que el F no hace más que una. [...] los músicos lo indican con la letra , [...] es llamado una tercera mayor y produce una consonancia muy agradable, estando contenido en una proporción de números bastante pequeña, 4 y 5. [...] (Así ) tendréis las teclas principales del clavecín que según los antiguos, constituye la escala llamada diatónica que deriva del número 2, del número 3 repetido tres veces y del número 5. No admitiendo más que estos tonos, se está en condiciones de componer muy bellas melodías, cuya belleza se fundamenta únicamente en la simplicidad de los números que producen estos tonos. [...] Si se quisiera también introducir el número 7, el número de tonos de una octava sería mayor, y se llevaría toda la música a un grado más alto. Pero aquí la Matemática abandona la armonía a la Música.” 3 de mayo de 1760 Ventajas e inconvenientes de las afinaciones Ventajas En las afinaciones, como los sonidos afinados se obtienen con números racionales, los intervalos que aparecen son naturales, es decir, que las notas musicales se corresponden con armónicos de la serie natural. Por ejemplo, en el sistema pitagórico están afinados todos los armónicos que son múltiplos de 2 y de 3, mientras que en el sistema de Zarlino, están afinados los múltiplos de 2, de 3 y de 5. Dicho de otro modo, el primer armónico que no está afinado en el sistema de Pitagóras es el quinto, mientras que en el sistema de Zarlino es el séptimo. Inconvenientes Para determinar el número de notas por octava hemos supuesto que dos notas son iguales cuando en realidad son muy parecidas. Esto hace que al sonar dos o más instrumentos diferentes simultáneamente las afinaciones resulten poco prácticas. Veámoslo en el siguiente ejemplo. Ejemplo: Un cantante tiene dificultades para interpretar los tonos graves y prefiere que se suba toda la música una quinta. A esto se le llama transposición. Transposición: Consiste en subir (o bajar) una nota o un conjunto de ellas un intervalo p/q. Para ello basta con multiplicar (o dividir) las frecuencias de las notas por p/q. Si los instrumentos afinaban en el sistema pitagórico con 12 notas: Mib Sib Fa Do Sol Re La Mi Si Fa# Do# Sol# cuando en la partitura aparece un Sol# , al subir una quinta el efecto será Sol#·(3/2) = (38/212)·(3/2) = 39/213 = Re# Sin embargo, esta nota no aparece entre las 12 que hemos seleccionado. La más parecida es Mib = 25 / 33 Así, cuando se interpreta Mib en lugar de Re# el error que se está cometiendo es el que ya habíamos escuchado cuando distinguíamos entre Lab y Sol# : 4.3. Temperamentos cíclicos regulares Los temperamentos cíclicos surgen en la práctica para evitar, entre otros, los problemas que acabamos de analizar. Lo que se hace es disminuir las quintas “templar” de manera que se repita la primera nota, pero claro está, de manera que el resultado sea aceptable. A continuación analizaremos los dos temperamentos más utilizados en nuestros días: El temperamento igual de 12 notas, que es un temperamento regular e igual y el temperamento de Holder, que es un temperamento regular mesotónico. Matemáticamente, la forma de obtener los temperementos cíclicos es muy sencilla. Si queremos obtener un temperamento cíclico de n notas dividimos el intervalo [1, 2] en n subintervalos iguales. Para obtener el extremo inferior del 2º subintervalo multiplicamos por x el extremo inferior del 1º, para obtener el del 3º multiplicamos el del 2º, es decir x2 por el 1, y así sucesivamente hasta obtener el último que sería xn por 1, etc. Con este proceso lo que aseguramos es que si multiplicamos el 1 por x n veces debemos obtener el 2, es decir xn x 1 = 2 => x = Por tanto, las notas afinadas en un temperamento cíclico de n notas serán: Temperamento igual de 12 notas Divide la octava en 12 semitonos iguales. Fue el español Bartolomé Ramos de Pareja (1440 - 1491) quien lo sistematizó en 1482, cuando ejercía como profesor de Música en la Universidad de Salamanca y en Bolonia. En su tratado Música Práctica (1482) se encuentran teorías renovadoras y maneras de calcular diferentes clases de intervalos. Este sistema, que tardó mucho tiempo en imponerse, lo consagró J. S. Bach (1685 - 1750) en su obra El Clave Bien Temperado donde realiza 48 Preludios y fugas (en dos libros) en todas las tonalidades. A pesar de su pobreza, debida a que elimina algunas notas naturales que vienen dadas por la escala de armónicos, el temperamento igual de 12 notas es el sistema más empleado por sus ventajas teóricas y prácticas. Por propia construcción, la distribución de semitonos en el sistema temperado de 12 notas resulta totalmente uniforme: Temperamento de Holder William Holder (1614-1697) utiliza un procedimiento mediante el cual divide la octava en 53 partes, notas o comas, de esta forma un tono contiene 9 comas, el semitono cromático 5 y el diatónico 4. El sistema utilizado por Holder no es más que una adaptación del sistema Pitagórico y, de hecho, cuando se compara ambos sistemas dan resultados prácticamente iguales. En el temperamento de Holder, si nos quedamos con las notas más habituales, 7 notas naturales, 5 notas con sostenido y 5 notas con un bemol, la distribución que se obtiene es prácticamente la misma que en la afinación pitagórica: Ventajas y desventajas de los temperamentos El Temperamento de 12 notas Ventajas Como hemos señalado, en este temperamento cada una de las doce partes es un semitono temperado. Todos los semitonos son iguales, por tanto, las notas enarmónicas coinciden, así La#=Sib, Mi#=Fa, etc. Obviamente, en este sistema sólo existe un tipo de tono y de quinta, lo que le proporciona grandes ventajas: a) Puede modularse libremente a cualquier tonalidad sin que existan intervalos impracticables. b) El número de notas resulta muy apropiado para la práctica musical. Inconvenientes a) No existen intervalos justos. Al obtener los intervalos mediante números irracionales, éstos no se corresponden exactamente con la serie armónica de ninguna nota. b) Aunque las quintas son bastante buenas, las terceras mayores están muy desviadas. Según J. J. Goldáraz (Goldáraz, 1992) la desafinación de las terceras, junto con la igualdad de los semitonos “que empobrecían la expresividad musical, fue lo que hizo que se retrasase su aplicación general al menos dos siglos a partir de las primeras formulaciones del siglo XVI”. Sin embargo, en la actualidad, estamos tan acostumbrados a este temperamento que el intervalo justo de tercera nos suele parecer excesivamente apagado. En cualquier caso, surge un orden de prioridades a la hora de valorar las propiedades de los temperamentos. En términos generales, es perferible la perfección en las quintas que en las terceras (Lattard, 1988; Goldáraz, 1992). El Temperamento de Holder Desde el trabajo del profesor Robert Dussaut, Explicación de las comas en los distintos sistemas acústicos (Chailley, Challan, 1965), el sistema de Holder se ha considerado como un sistema de afinación idóneo para trabajar con la afinación pitagórica. Ventajas Las ventajas de este sistema de afinación aparecen en los estudios teóricos. Las diferencias con el sistema pitagórico son inapreciables, sin embargo el hecho de dividir la octava en 53 comas-holder iguales hace que sea mucho más fácil de manejar. Inconvenientes En cuanto a los inconvenientes, posee los de cualquier temperamento: los intervalos que aparecen no se corresponden exactamente con los sonidos de la serie armónica. Pero sin duda, el mayor inconveniente práctico de este sistema es que 53 notas por octava resulta un número excesivamente grande. Como muestra de las diferencias entre los sistemas que hemos analizado, podemos observar las frecuencias de las notas más habituales en los cuatro sistemas de afinación: NOTA: Para elaborar esta tabla se ha fijado el diapasón, La4 , a 440 Hz. 5. Bibliografía J. Agulló (Editor), Acústica musical. Ed. Prensa Científica S. A., Barcelona, 1989. P. Bailache, Travaux en histoire de l'acoustique musicale, http://baihache.humana.univ-nantes.fr/thmusique/ A. Baker, A concise introduction to the theory of numbers. Ed. Cambridge University Press, 1984. M. Bernal Ripoll, El temperamento de Nassarre: Estudio Matemático. Revista de Musicología, 22, pp. 157-174, Madrid, 1999. W. F. Bynum et al., Diccionario de historia de la ciencia. Ed. Herder, Barcelona, 1986. A. Calvo-Manzano Ruiz, Acústica físico-musical. Ed. Real Musical, Madrid, 1993. J. Chailley, H. Challan, Teoría completa de la Música. Ed. Alphonse Leduc, Paris, 1965. L. 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Jueves, 01 de Enero de 2004 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

798. 14. (Mayo 2010) El teorema del hexacordo I

1. Introducción Dejadme que os hable del teorema del hexacordo, que no es incordio. Hexacordo significa seis notas, una tras otra. Lo inventó Guido d'Arezzo, para solfear, con salero y aderezo. Mucho más tarde, cuando el tonalismo arde, Schoenberg estudia los hexacordos. Como sabéis, Schoenberg es furioso practicante del dodecafonismo, sistema que basa la composición musical en la elección de una seria serie de 12 notas distintas, alrededor de la cual gira toda la elaboración formal del material musical. Por ejemplo, la seria, digo serie, de abajo aparece al comienzo de su ópera La escalera de Jacob, tocada en ostinato por los violonchelos. Figura 1: Serie dodecáfonica perteneciente a La escalera de Jacob. Schoengerg dividía la serie en dos hexacordos y se afanaba por encontrar en ellos alguna brillante propiedad, con talante y gravedad. Una que le llamaba la atención, le regañaba, era el contenido interválico. Schoenberg contaba, algunas veces incluso cantaba, todos los intervalos entre las notas de un hexacordo. Estaba calculando su contenido interválico. Se asombraba al comprobar que los contenidos interválicos de los dos hexacordos de una serie coincidían. Estaba, en esencia, en presencia del teorema del hexacordo. Lo usó de manera intuitiva, sin duda fruitiva y quizás algo plausiva (Babbit [Bab87] dixit). Schoenberg se planteaba un erotema (no teman; de eros, nada): "¿Habrá teorema del hexacordo? Acorde a mí, sí (de mi a si, sin acento: una quinta)" -se decía el compositor. Pero no sabía cómo establecerlo. Veamos qué es el teorema del hexacordo con ayuda de la geometría. Una nota de una serie dodecafónica puede representar una nota de cualquier octava; en la figura 1 las notas de la serie se escribieron en el ámbito de una octava. Las notas de la serie son en realidad clases de alturas. Las 12 notas representaremos como puntos en un círculo; las sentaremos equiespaciadas, donde la distancia entre dos puntos es un semitono. La figura 2 muestra el hexacordo de más arriba. Figura 2: Representación geométrica de un conjunto de notas. El contenido interválico, como decimos, lo forman todos los intervalos entre los puntos del hexacordo. El intervalo entre dos notas está dado por el camino más corto en el círculo (distancia geodésica). En la figura vemos la filatura de segmentos urdidos de nota a nota. Denota, anota (perdón por el tuteo): el primer hexacordo, a la izquierda; el segundo, en el centro; a la derecha, el histograma común. Figura 3: Dos hexacordos complementarios y sus contenidos interválicos. Es importante avisar aquí que las notas separadas por un diámetro, el llamado tritono o diabolus in musica, cuentan como 2. Más adelante, en la segunda parte de esta serie, se verá el porqué y la utilidad de esta convención. El contenido interválico depende solo de la distancia entre los puntos del círculo. Así, los movimientos rígidos preservarán el contenido interválico. Esos movimientos son los giros, las simetrías respecto a un diámetro y las simetrías seguidas por giros. Pongamos un ejemplo; consideremos el conjunto A=. Si lo giramos 4 posiciones obtenemos T4(A)=. Si le aplicamos una simetría S respecto al diámetro que pasa por 0, resulta el conjunto S(A)=. Por último, la composición de ambas operaciones da S(T4(A))=. Bea se la figura (chica lista). Figura 4: Transformaciones de notas mediante movimientos rígidos. Hablemos con congruidad de congruencia: dos conjuntos de puntos se dicen congruentes si uno se obtiene del otro mediante movimientos rígidos. Hablemos con congruidad de contenido interválico: dos conjuntos de puntos se dicen homométricos si ambos tienen el mismo contenido interválico. La pregunta natural, obligada, casi ahogada, gutural, es: ¿existen, por ventura, conjuntos no congruentes que poseen el mismo contenido interválico? La respuesta es sí, yes, oui. Por ejemplo, A= y B=. Véase la figura de Bea (la hizo ella). Figura 5: Dos acordes homométricos pero no congruentes. Ahora es hora de describir, reescribir, circunscribir, lo anterior a términos musicales. Un acorde o una escala se puede concebir como un subconjunto de puntos en el círculo. Un giro corresponde a una transposición de un acorde o una escala. La menta hable mente, transposición en música no significa lo mismo que en teoría de grupos1, y eso a veces causa confusión. Aquí usaremos ese término en el sentido mus y cal. Las transposiciones de un acorde se corresponden con las permutaciones circulares del conjunto de puntos asociado. Figura 6: Transposición de un acorde. Los giros de un conjunto de puntos se corresponden con un cambio de fundamental en el acorde. Figura 7: Cambio de fundamental de un acorde vía transposición. Las simetrías seguidas de giros dan cuenta de diversos cambios de acordes. Permiten, por ejemplo, cambiar de modo. En la figura 8 se ve un cambio de do mayor a do menor. Figura 8: Cambio del modo de un acorde vía la simetría. O también pasar de un acorde de séptima de dominante a un acorde séptima de sensible: Figura 9: Transposición de un acorde. En música los conjuntos homométricos se llaman isómeros o también se dice que tienen la propiedad Z [For77]. 2. El teorema del hexacordo y su demostración Sin pérdida de tiempo, sin dilación, con apuro y premura, con urgencia y diligencia, con... ¡No te alargues más! ¡Enuncia el teorema ya! Me digo entonces: ¡Basta! (No tengo tiempo ni para las comillas). Helo aquí al vuelo: dos hexacordos complementarios son siempre homométricos. ¿Cómo? ¿Olvidé decir qué son los hexacordos complementarios? Tanta prisa no puede ser buena: son aquellos que no tienen notas comunes y cuya unión dan las 12 notas del círculo. Aunque enunciado aquí para 12 notas, en el contexto musical, el aserto es cierto para cualquier número de puntos. Es el teorema del hexacordo uno de esos resultados que flota en el ambiente de toda una época. Muchos lo intuían y solo unos pocos perseguían su demostración, pero ésta se escurría como pez plateado, como diente de león, como sombra furtiva. La demostración mariposeaba, risueña, burlona, coqueta casi, retando a su cazador. Ocurrió también que en varios campos se conocía el resultado, pero los protagonistas no se cultivaban entre sí ni recogían cosechas ajenas. En Teoría de la Música la primera demostración se debe a Lewin en 1959 [Lew59]. Lewin publicó un artículo que contenía una semilla, un germen, de demostración. Un año más tarde, en un nuevo artículo [Lew60] la germina, la gratina, la refina, la afina, con fino La Ína. Más tarde, en 1974, Regener [Reg74] descubrió una demostración simple que explota propiedades combinatorias de los intervalos. Desde entonces se han publicado otras demostraciones, unas más simples y otras más bien de complejidad enrevesada. Mazzola [Maz03] y Jedrzejewski [Jed06] tienen demostraciones cortas construidas sobre monumentales moles de granito matemático. Amiot [Ami07] publicó una demostración elegante, corta y defatigante, basada en la transformada del cabo fourrier Fourier. Blau [Bla99] en 1999 presentó una demostración muy elemental y perspicaz; estudió una pequeña propiedad, hizo un par de observaciones agudas, de piccolo, y dedujo el teorema sin despeinarse. Los teóricos de la música ignoraban por completo que en Cristalografía el teorema del hexacordo ya era conocido. En Cristalografía aparece el problema de determinar un conjunto de puntos a partir de sus distancias. En un principio, los cristalógrafos pensaron que podían recuperar las posiciones del conjunto de puntos a partir de sus distancias. Su gozo en un pozo; sus esperanzas, vanas; en fin, sollozo y escorrozo. Pronto dieron ejemplos de conjuntos de puntos distintos que tenían el mismo conjunto de distancias. A estos conjuntos los llamaron ciclotómicos. Retomemos la historia del teorema del hexacordo. Curiosa y ambagiosa situación: Patterson, un cristalógrafo, enunció el teorema, anunció una demostración [Pat44] (en 1944), renunció a publicarla. ¿Por qué? No se sabe. Nadie denunció la falta de la prueba. Solo en 1975 Buerger aportó y reportó una demostración sólida y pulida, nada dadá, nada gagá. Su demostración, no obstante ser triunfante por correcta, era pesante por circunspecta: usaba álgebra muy teórica, una demostración poco intuitiva. ¡Pero con Iglesias hemos topado! Sí, porque Iglesias, Juan Iglesias [Igl81], cristalógrafo, en 1981 dio una demostración simple y muy elegante, usando mera inducción; la reproducimos más adelante. Una demostración muy geométrica es la proporcionada por Senechal [Sen08]. Probablemente, Ballinger y sus coautores [BBOG09] han dado la demostración más sencilla y corta hasta el momento, demostración que generaliza el teorema del hexacordo al caso continuo (¿acordes continuos?). Más adelante, damos la demostración. El teorema del hexacordo se ha generalizado en varias direcciones, entre ellas, estudiando ritmos de diferentes cardinalidades; véanse las referencias  [Lew76], [Lew87], [Igl81], [Mor90], [Sod95] y [AG00]. 3. La demostración de Juan Iglesias Iglesias probó el teorema del hexacordo con una demostración sencilla, de blanco elegante, con blanco guante. Iglesias consideró un círculo con N puntos equiespaciados y puso sobre el círculo dos conjuntos, complementarios entre sí, uno con n puntos negros y el otro con b puntos blancos. Se dijo: "Observemos todas las distancias entre los dos conjuntos. Hum... las hay de tres tipos claramente: entre puntos negros, las llamaré distancias n-n; entre puntos blancos, serán las b-b; y entre puntos de distinto color, las n-b". Iglesias ve entonces una relación entre esas distancias. "Fijo una distancia d primero" -musita inspiradamente-; "pongamos que d ocurre ann veces entre puntos negros, abb veces entre puntos negros y anb veces entre puntos de distinto color". Continúa así: "Entonces podría escribir la siguiente relación, bella, ella: Iglesias llevó a cabo un pequeño análisis de casos que le condujo a la demostración de esa relación. "¿Qué pasa si cambio un punto negro por un punto blanco?" -se preguntó, juguetón, creativo, curioso- "¿Cómo cambia la relación anterior? ¿Cómo variarán las cantidades ann, abb y anb?" Así. Cada punto negro tiene solo otros dos puntos, del color que sea, a distancia d exactamente. Con estos puntos tres casos despuntan: Los dos puntos a distancia d son blancos: Figura 10: Caso 1 de la demostración de Iglesias. El número de distancias entre puntos blancos aumenta en 2 y el de distancias negro-blanco disminuye en 2. Los dos puntos a distancia d tienen distinto color: Figura 11: Caso 2 de la demostración de Iglesias. El número de distancias entre puntos blancos aumenta en 1 y el de distancias negras disminuye en 1. Los dos puntos a distancia d son negros: Figura 12: Caso 3 de la demostración de Iglesias. El número de distancias entre puntos negros disminuye en 2 y el de distancias negro-blanco aumenta en 2. "Si la relación es cierta para un conjunto de n puntos negro y su complementario, con b puntos blancos, ¿qué pasa con la relación (1) cuando se cambia un punto negro?" -se preguntó finalmente Iglesias. Nada cambia: Para el caso (1): Para el caso (2): Para el caso (3): ¿Cómo se prueba el teorema del hexacordo a partir de las relaciones que descubrió Juan Iglesias? En un abrir y cerrar de ojos, en un plis plas, en un suspiro. Sea N par el número total de puntos en el círculo. En el caso del teorema del hexacordo los conjuntos tienen N/2 puntos cada uno, es decir, n=b=N/2. Luego: y así ann = abb. Nótese que esta igualdad, cuando se interpreta en la música, señala precisamente que el contenido interválico es idéntico. ¿Qué más decir? Bella y elegante demostración. Iglesias: amén. 4. Para saber más Completamos brevemente en esta última sección algunos puntos que se quedaron en el tintero. En el análisis de la música atonal, en especial en la dodecafónica, se usa frecuentemente las clases de alturas. Dos notas se dicen equivalentes si están en una misma octava. Esta relación es de equivalencia. Las clases de alturas son las clases de equivalencia dadas por esa relación. El conjunto de las clases de alturas tiene la misma estructura que Z12. Como ejemplo del uso de los hexacordos en Schoenberg, veamos los compases iniciales de La escalera de Jacob (figura 13). Figura 13: Los hexacordos de La escalera de Jacob. La obra comienza con los violonchelos exponiendo el primer hexacordo, [1, 2, 5, 4, 8. 7], en ostinato. Una a una van entrando las notas del hexacordo complementario, [0, 3, 11, 10, 6, 9], en un largo arpegio, hasta que se logra un acorde de 6 notas con un amplio registro. Después de esta exposición los instrumentos entran en un contrapunto (no se muestra ya en la figura) con diferentes órdenes de las notas del primer hexacordo. Desde el punto de vista perceptual, es natural preguntarse si tras la escucha de un hexacordo o un ritmo se puede captar con precisión el contenido interválico y si dicha percepción constituye un factor musical relevante. Varios autores han llevado a cabo experimentos con sujetos para determinar si las estructuras de teoría de conjuntos usadas en la música atonal tienen correlato perceptual. Bruner [Bru84] descubrió en sus experimentos que los juicios de similitud entre acordes, presentados de varias maneras, no se correspondían con las propiedades de los sonidos como conjuntos, sino con otras tales como consonancia, número de notas en común o relaciones armónicas. Gibson realizó varios experimentos para investigar esta cuestión. En [Gib86] Gibson quiso probar las relaciones de similitud expuestas por Forte [For77] en su libro The Structure of Atonal Music. De 39 sujetos, solo 3 calificaron la similitud entre acordes siguiendo las teorías de Forte. En [Gib88] Gibson explora la relevancia perceptual de las clases de alturas y en [Gib93], la de los hexacordos complementarios concretamente. En ambos experimentos el porcentaje de sujetos que juzgaron la similitud entre acordes según las teorías de Forte fue similar al dado por el puro azar. A pesar de lo dicho más arriba sobre la relevancia perceptual de ciertos conceptos matemáticos, las matemáticas constituyen una gran herramienta de análisis, sobre todo de la música contemporánea atonal. Un ejemplo de ello es el libro Foundations of Diatonic Theory, de Johnson [Joh03]. Es un libro para músicos, parte de un proyecto llamado Mathematics Across the Curriculum, que explica muchos conceptos de teoría de la música con conceptos de matemáticas introducidos con total pertinencia. Bibliografía [AG00] T. A. Althuis and F. Göbel. Z-related pairs in microtonal systems. Memorandum 1524, University of Twente, The Netherlands, April 2000. [Ami07] Emmanuel Amiot. 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Miércoles, 05 de Mayo de 2010 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

799. 72. (Mayo 2010) El truco de cartas de Einstein

Es habitual que se atribuyan a los grandes personajes de la historia ciertas habilidades o aptitudes que puedan sorprender a la mayoría por estar muy alejadas de su propia especialidad pero hagan aumentar su leyenda. Además, siendo tan difícil probar dichas habilidades como justificar su ausencia, es quien recibe la información el que elige creerla o no. Basta difundir la noticia de forma adecuada para que se convierta en un hecho irrefutable. Sirva este preámbulo para justificar el título del juego que presentaremos a continuación, dado por el excelente mago suizo Roberto Giobbi a sugerencia del no menos excelente mago francés Richard Vollmer. Sería muy atractiva la noticia de que Albert Einstein fue un mago aficionado, que inventó el juego que describimos en esta entrega y que lo realizaba siempre que quería explicar de forma desenfadada su teoría de la relatividad. A lo mejor, un día esta noticia se convierte en realidad, y la prueba está en la fotografía inicial, donde él mismo lo escribe en la pizarra. Busca una baraja y sigue las instrucciones que se enumeran a continuación. Deja la baraja sobre la mesa y divídela en cuatro montones más o menos iguales. Elige uno cualquiera de dichos montones (los demás ya no se usarán), recógelo y mira la carta inferior. Volverás a verla después de un viaje por el espacio-tiempo. Para hacer el viaje por el espacio, aplicaremos la famosa fórmula E = m c2, donde E no significa "energía" sino "Einstein". Para ello, con el montón elegido caras abajo, deletrea la palabra E-I-N-S-T-E-I-N pasando por cada letra una carta de arriba abajo. Repite de nuevo el paso anterior: como el símbolo c no significa "velocidad de la luz" sino "cartas", al estar elevadas al cuadrado en la fórmula, vuelve a deletrear la palabra E-I-N-S-T-E-I-N pasando por cada letra una carta de arriba abajo. Vamos ahora a viajar por el tiempo para encontrar tu carta: deja sobre la mesa la carta superior, pasa de arriba abajo la carta que está ahora encima, deja sobre la mesa la nueva carta superior, pasa de arriba abajo la primera carta, y así sucesivamente. El viaje termina cuando tengas en la mano una sola carta. Mírala y comprueba que la fórmula es correcta pues se trata de la carta elegida. Explicación: El fundamento del juego se basa en las propiedades de la mezcla australiana, explicada en el número de mayo 2006, MATEMAGIA 28. Para que el juego funcione, el montón de cartas utilizado debe tener entre 8 y 16 cartas (lo que se consigue fácilmente si dividimos la baraja en cuatro montones más o menos iguales). Para la primera parte, se debe deletrear dos veces cualquier palabra de ocho letras. La tabla siguiente muestra la posición final de las cartas en cada caso y, concretamente, la posición final de la última carta, que es la elegida: Número de cartas Posición final Lugar que ocupa la última carta n = 16 n = 15 n = 14 n = 13 n = 12 n = 11 n = 10 n = 9 n = 8 a1, a2, ..., a16 a2, a3, ..., a15, a1 a3, a4, ..., a14, a1, a2 a4, a5, ..., a13, a1, a2, a3 a5, a6, ..., a12, a1, ..., a4 a6, a7, ..., a11, a1, ..., a5 a7, a8, ..., a10, a1, ..., a6 a8, a9, a1, ..., a7 a1, a2, ..., a8 16 14 12 10 8 6 4 2 8 De esta forma, la carta elegida está en la posición correcta para que sea la última que quede después de una mezcla australiana. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Lunes, 03 de Mayo de 2010 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

800. 38. (Mayo 2010) El teorema de las cinco chicas histéricas

La obra teatral The Five Hysterical Girls Theorem, de la dramaturga estadounidense Rinne Groff ganadora del premio Whiting Writers (2005), se estrenó el 19 de abril de 2000 en el Connelly Theather de New York. Según los críticos se trata de una pieza extravagante, de carácter experimental y próxima a la comedia absurda. Reúne a 20 personajes que entremezclan sus historias de amor, celos, sexo, traición, ambición,... en un ambiente totalmente dominado por las Matemáticas. Nos encontramos ante una obra muy difícil de seguir y de entender. Lo es por varios motivos. Por una parte, las referencias matemáticas son tan abundantes que abruman incluso a especialistas en la materia: resultados técnicos, problemas abiertos, personajes y hechos históricos, reflexiones filosóficas,... Y éstas se distribuyen por toda la obra, entrelazándose, mezclándose, combinándose endiabladamente en el enmarañado tapiz tejido por la autora. Pero, además, The Five Hysterical Girls Theorem es una pieza genuina de humor absurdo, caracterizada pues por la sátira, la incoherencia, el disparate y lo ilógico. El rigor matemático, el excesivo formalismo y la pomposidad de la jerga matemática son el blanco perfecto de las críticas, las bromas y las dobles interpretaciones sobre las que la autora construye el contraste entre las complejidades de las matemáticas y las complejidades de las relaciones y necesidades humanas. No es extraño, pues, que los críticos teatrales hayan sido bastante severos con la obra. Así, en la reseña del New York Times se leía: “¿Una obra acerca de lo incomprensible debe ser comprensible? Sí, debe serlo”. Marcus du Sautoy la califica de “esotérica” en su celebrado libro La música de los números primos. El propósito de esta reseña es desvelar las que, a nuestro juicio, son las claves de la obra. Para ello, empezaremos resumiendo la trama. Resaltaremos, a continuación, las conexiones matemáticas del texto, restringiendo nuestra atención a aquellas que nos han parecido más relevantes (analizarlas todas es una tarea que sobrepasa, con mucho, los objetivos de esta recensión). Finalizaremos aportando nuestra visión acerca del significado de la pieza.   La trama A fin de facilitar el seguimiento e identificación de los veinte personajes de la obra, reproducimos sus nombres y principales datos. La familia Vazsonyi (húngaros) Moses (47), el famoso matemático experto en teoría de números. Vera (47), la esposa de Moses. Kleine Esther (17), hija mayor del matrimonio Vazsonyi. Hypatia (11), una de las hermanas gemelas de los Vazsonyi. Sophie (11), la otra hermana gemela. La gente del hotel (británicos) La señora Floraine Hilbert (60), la propietaria. Gilbert  (11), el nieto de la señora Hilbert. Clara (17), la criada. Los matemáticos (en los veinte) Los Veronese, italianos: Vittorio, Claudio y Filipio. Botte van Vriesland, holandés. Lady Camilla Goldsworthy Lowes Love, estadounidense. El grupo de rusos con pseudónimo: el primer, segundo y tercer Nikolai Nikolaiovitch. Ramachandra (50), indio. Pierre Louis Le Blanc de Fontanelle (19), francés. El cura y el médico. Resumiremos, a continuación, los acontecimientos que tienen lugar en cada uno de los cuatro actos en que se divide la obra.   Previo Antes de empezar la representación, la señora Hilbert, Gilbert y Clara suben un encerado al escenario y lo dejan colgando en el aire.   Acto 1 (5 escenas) Comienza la obra con la familia Vazsonyi al completo dialogando con la propietaria del parador, la señora Hilbert. Enseguida se nos revela que el motivo de su presencia en el hotel es la participación de Moses en un congreso internacional de Matemáticas. Moses es el presidente de la comisión que otorgará, durante la celebración de la reunión científica, el premio Haszontalan, el más importante de las Matemáticas del momento. Es el otoño de 1911. Moses, el número uno mundial en teoría de números, está trabajando obsesivamente en un nuevo problema: MOSES: Tres mil trescientos cuarenta y tres. Treinta y tres mil trescientos cuarenta y tres. Trescientos treinta y tres mil cuatrocientos treinta y tres. Trescientos treinta y cuatro mil trescientos treinta y tres. Los cuatro primeros términos de mi serie de números primos Las Chicas Histéricas. (HYPATIA corre hacia el encerado. Escribe: Estudia los números.) Me refiero a ellas en femenino porque las mujeres son los elementos engendradores; sus Propiedades Histéricas se harán evidentes en cuanto demuestre su Naturaleza Infinita y relacione su existencia con la duradera y gloriosa Hipótesis de Riemann acerca de la Función Zeta. He establecido que la quinta Chica es mayor que tres mil millones. Queda por determinar cuál es exactamente. Los demás participantes en el congreso llegan al hotel: los italianos, los tres rusos homónimos, el holandés, el indio y la americana. Los atiende Clara, la criada, ayudada por el pequeño Gilbert. Los nombres de los matemáticos, su peculiar vocabulario, sus modales y, sobre todo, su lógica, convierten la simple tarea de registrarlos en un suplicio. Los matemáticos están intrigados por los rumores acerca del trabajo que ocupa a Moses y empezamos a vislumbrar sus celos, sus ambiciones, sus luchas por ser los sucesores del trono que todos esperan, y anhelan, deje libre el “viejo” matemático. Pero también por ocuparse de su esposa, que no duda en flirtear con los demás huéspedes. Mientras Gilbert y Sophie juegan juntos, la solitaria Hypatia, inadvertida por los adultos, trabaja afanosamente escribiendo números en el encerado y las paredes: primero todos los factores de 267 =2 x 2 x 2… y luego los números primos 2, 3, 5, 7,... Los matemáticos se reúnen alrededor del holandés que está hablando de la función zeta de Riemann. Botte se muestra abiertamente partidario de la corriente filosófica abanderada por Emil duBois-Reymond y cuyo lema es Ignoramus et Ignorabimus. Moses le reconviene agriamente. Disuelto el grupo, llega al hotel el joven francés Pierre Louis Le Blanc de Fontanelle, nervioso, exhausto, tiritando, y con un lote de cuadernos apretados contra su pecho.   Acto 2 (10 escenas) Pierre se quedó dormido en el suelo y allí lo encuentran los niños. Descubren una carta de presentación dirigida a Moses en la que Pierre da cuenta de su precaria situación como oficinista en Marsella y menciona sus investigaciones sobre una clase especial de números primos que, humildemente, supone podrían ser de interés para el gran maestro. Cuando despierta, creyendo que Kleine Esther es la secretaria de Moses, le pide que le haga llegar su mensaje. Entretanto, los matemáticos se enredan en una discusión relacionada con los fundamentos de la Matemática. Vera se insinúa a Ramachandra que la rechaza gentilmente. El matemático indio, amigo y colaborador de Moses en sus tiempos mozos, ha dejado a un lado las Matemáticas y quiere vivir tranquilamente su retiro, decisión que Moses no comprende. Clara y los niños planean representar una Ofrenda Teatral, de tema matemático, en honor de Moses. Hypatia terminó su cálculo de 267 y, cuidadosamente, le resta 1 para obtener el número de 28 cifras: 267 -1=147,573,952,589,676,412,927. Sin pausa, comienza a multiplicar a mano, paso a paso, el producto 193,707,721 x 761,838,257,287. Moses regaña duramente a Vera por dejar que los niños jugaran en su cuarto. Kleine Esther va a hablar con Pierre. Está afligida por los gritos de su padre a Vera y por la escasa atención que les presta su progenitor.  Le dice a Pierre que aún no ha podido entregarle su carta al profesor Vazsonyi. Busca consuelo, pero el muchacho sólo piensa en abrirse camino hasta el maestro y ella es la vía. Ablanda a la joven con su historia personal y consigue la promesa de que su carta será entregada. Es entonces cuando le ofrece un regalo: ¡un número capicúa! El 15551. Un número primo. En inglés: FIFTEEN THOUSAND FIVE HUNDRED FIFTY ONE. Pierre afirma que asociando a cada letra su posición en el alfabeto tenemos una codificación numérica de esta palabra y que al sumar todas las cifras se obtiene otro capicúa: el 383. Es, además, primo, y resulta ser el 2P+1 del número primo de Sophie Germain 191, que también es capicúa. ¿Quién no sucumbiría ante tamaño despliegue de romanticismo? Ajenos a las peleas maritales de los Vazsonyi y a los líos amorosos de los jóvenes Kleine Esther y Pierre, los demás matemáticos se reúnen para escuchar a los hermanos Veronese. Los italianos aseguran poseer un ejemplo de un número perfecto impar construido a partir de uno de los primos de Mersenne. En ese preciso instante Hypatia termina sus cálculos en la pared, llegando al número: 147,573,952,589,676,412,927. Es el mismo que está escrito al lado, como el resultado de 267 -1. Los matemáticos reparan entonces en la factorización de Hypatia que arruina el pretendido ejemplo de los italianos. Moses se muestra implacable con el error. Un instante de la pieza, con Hypatia y su encerado al fondo Moses ha recibido la carta de Pierre y accede a examinar con el joven francés los cuadernos. La notación es extraña pero el maestro se percata de que, en medio de aquel enmarañado jeroglífico, podrían esconderse resultados valiosos. Filipio Veronese, destrozado por su error, se suicida ahogándose en el océano. En ese preciso instante, Kleine Esther grita, escandalizada, al descubrir a su madre enredada con los dos primeros Nikolaiovitch y vuelve a gritar, horrorizada, al percatarse del trágico fin del matemático italiano.   Entreacto En el entreacto escuchamos el siguiente parlamento de Hypatia: (HYPATIA está sola en el escenario) (Escribe el número uno en el encerado) HYPATIA: Este es Real. Y Papá lo demostró. (Escribe el número negativo menos uno.) Este, también, es Real. Hubo un tiempo en que se decía que no se podía escribir este número. Se decía que un número es susceptible de ser sustraído de una cantidad más grande que dicho número, pero intentar sustraerlo de una cantidad menor que sí mismo era ridículo, porque restar uno de nada es de nuevo nada. Pero los recaudadores de deudas aclararon el asunto, y ahora puedes escribir un número tan negativo como te plazca sin que te maten por ello. (Escribe el número raíz cuadrada de uno.) Este es Real. Procede de la agrimensura, eeh, geometría. Puedes escribirlo sin que te maten. (Escribe el número raíz cuadrada de dos.) Escribir esto es Irracional. Imagina un cuadrado, de un metro por un metro. Traza una línea de una esquina a otra partiéndolo en dos triángulos. ¿Lo has imaginado? ¡Eres Irracional! ¡Irracional! La longitud de esa diagonal no es un número que tu cerebro pueda comprender: no como un número entero, no como una fracción, de ninguna manera excepto esta. (Señalando de nuevo a la raíz cuadrada de dos) ¡Pobres criaturas! Basta un simple cuadrado para restregarnos por las narices la asombrosa verdad de que nuestros números comunes son insuficientes para nuestras necesidades. Inventamos símbolos más profundos para enfrentarnos con Magnitudes Irracionales incluso cuando dibujamos cajas. Ni siquiera he empezado con los círculos. (Escribe el número raíz cuadrada de menos uno.) Y aquí está. No, no está. Este no es Real. Estás Imaginando que está escrito aquí. Para impedir que te maten, debes explicarles que el camino más corto entre dos verdades del Domino Real cruza a menudo por el Imaginario. Pero no digas que prefieres el Imaginario. Te acusarán de enmarañar doctrinas prístinas, de transformar en oscuras y misteriosas cosas que por naturaleza son simples y llanas. Aunque alegues en tu favor: “¡Yo no lo veo así! ¡Ni simple ni llano! Ya que si dos son lobos y tres ovejas, entonces dos más tres difícilmente serán cinco, y ¿qué pasa  entonces? ¿Qué sacamos de todo esto?”. Aún así, te matarían. Hemos de tener en cuenta que Hypatia de Alejandría fue despellejada viva en la calle por una turba cristiana cuando impartía su magisterio en Alejandría. La niña Hypatia, según nos cuenta su hermana Sophie para explicar los motivos de su incomunicación, teme que su nombre conlleve la maldición de un destino fatal.   Acto 3 (9 escenas) Vera y Moses dialogan. Moses no comprende ni el suicidio del joven Filipio ni la necesidad de creer  en Dios. Se percibe un cierto remordimiento de Moses, que Vera trata de suavizar, por la dureza con la que el maestro se despachó con el error del italiano. En el funeral, el sacerdote pregunta a los matemáticos acerca de ciertas dudas sobre Astronomía que no le han aclarado en el seminario y se niega a dar la extrema unción al muerto, al tratarse de un suicida. La señora Hilbert despide al sacerdote y procede con el funeral. Mientras tanto, en el despacho de Moses, Sophie y Gilbert ensayan la Ofrenda Teatral e Hypatia lee los cuadernos de Pierre. Pierre y Moses se reúnen otra vez. Hablan de los dos temores que todo matemático tiene acerca de su trabajo: el miedo a no ser comprendido por los demás y la inseguridad de saber si las propias ideas son correctas. Pierre había dado a probar a Moses unas píldoras que el francés utiliza para mantenerse despierto por las noches y poder así dedicarse a las Matemáticas después de su dura jornada diurna. Moses, una persona alérgica y de salud frágil, se aficiona a ellas. Por fin, Moses consigue que el francés le revele algo de aquel galimatías garabateado en los cuadernos: PIERRE: Pongamos este número como ejemplo; es el primero que encontré, aunque no sea el primero de la serie: Trescientos treinta y tres mil cuatrocientos treinta y tres. MOSES: ¿Trescientos treinta y tres mil cuatrocientos treinta y tres? PIERRE: En realidad, se trata simplemente de un rompecabezas para cuando mi cerebro necesita un poco de descanso. MOSES: ¿Rompecabezas, dice usted? PIERRE: No puedo aspirar a tener su intuición para los Primos, señor. Pero, modestamente, creo que soy capaz de eliminar lo Falso y encontrar lo Verdadero. Aunque, por sí misma, esta Clase Especial parezca nimia y personal... MOSES: ¿Cuántas Chicas Histéricas ha encontrado? PIERRE: ¿Cuántas...? MOSES: ¿Cuántas? De la clase especial. PIERRE: Cinco. (Moses se aleja de PIERRE.) MOSES: La Quinta Chica Histérica. La ha encontrado. PIERRE: Y tengo a punto una demostración de su naturaleza Infinita. ¿Cree usted que mis investigaciones pueden ser de interés? Tal vez pueda terminar mi Presentación con mis Observaciones de esta Clase Especial. Una especie de tentadora, aunque a medio formular, incitación a encontrar la Clase General. MOSES: No. PIERRE: De acuerdo; nos ceñiremos a nuestro plan. Profesor Vazsonyi, ¿cuándo recuperaré mis Cuadernos? Los necesitaré para mi Conferencia. MOSES: Mi Conferencia Final. PIERRE: Yo le precederé, ¿verdad? MOSES: No. Quiero decir, sí. Quizás. Ahora debe usted disculparme. Tengo compromisos. Lady Love habla del valor imperecedero de las matemáticas con Vera, quien interpreta este diálogo como un  intento de seducirla. Hypatia vuelve a enfrascarse en el encerado: escribe el número 666,666,866,687, le resta uno y divide el resultado entre dos. Comienza la Ofrenda Teatral. Se reúnen todos los personajes excepto Pierre y Kleine Esther. Moses está absorto en sus meditaciones de las que apenas escuchamos frases inconexas, incoherentes. La señora Hilbert presenta la obra. Durante su parlamento es interrumpida en un par de ocasiones por los comentarios de los espectadores. Esta situación se repite durante la ofrenda produciéndose todo tipo de equívocos entre los diálogos propios de la pieza y los jocosos comentarios del público. Clara y Gilbert entran en escena hablando del número π. De repente, cuando Hypatia sube al escenario, Moses ve el número que la niña había escrito de varias formas en el encerado: al derecho 333,333,433,343, y al revés EhEEEhEEEEEE. Moses estalla: “¡La quinta! ¡Mi quinta chica histérica!". Pandemonio: todo el mundo habla a la vez; Moses, fuera de sí, vociferando, lanza acusaciones de robo y plagio; Gilbert sube desnudo al escenario; la señora Hilbert y Clara, escandalizadas, le persiguen... Moses se desploma.   Acto 4 (9 escenas) El tercer Nikolai Nikolaiovitch se ha encerrado en su habitación con los cuadernos de Pierre, que ha sustraído del cuarto de Moses. Los otros dos rusos tratan de convencerlo para que los devuelva. Kleine Esther, Clara y la señora Hilbert preparan el Salón de Actos para la Conferencia Final. Ha habido cambios en el programa: la conferencia de Nikolai Nikolaiovitch se ha cancelado y nada se sabe de la charla de Moses. Ramachandra entra con Lady Love hablando de la fiabilidad de los teoremas matemáticos, de la que el indio manifiesta dudar. Kleine Esther, impresionada por una declaración tan radicalmente opuesta a las convicciones de su padre interroga al viejo matemático. Ramachandra elude la respuesta y desvía la conversación hacia asuntos más personales, mostrándose cariñoso, vital y contagiosamente optimista con la joven, una actitud, de nuevo, abismalmente diferente de la de su padre. Moses, que acaba de recobrar el conocimiento, está en el hospital acompañado por Vera. El médico le hace unas preguntas triviales para comprobar su estado, entre las que incluye cuestiones de aritmética elemental. El diálogo que se produce es de los más disparatados e hilarantes de la obra. Vera despacha al médico, ya que en el hospital no tienen sábanas de seda y Moses es alérgico a cualquier otro tejido, y cubre a su marido con sus propias ropas. De vuelta al hotel, Vera, todavía sin vestir, se arregla en su habitación. Pierre irrumpe en el cuarto en busca de sus cuadernos y encuentra a la mujer medio desnuda. La turbación del impetuoso joven contrasta con la serenidad de ella. Vera le interroga acerca de sus sentimientos por Kleine Esther. Pronto no le queda ninguna duda de que el francés ha utilizado a la chica con el único propósito de llegar hasta Moses. Su única preocupación en ese momento es recuperar los cuadernos. Así que Vera pasa al ataque y le dice a Pierre que su marido ha estado trabajando con los cuadernos, puliendo las ideas, apropiándose del trabajo. Le asegura que Moses presentará los resultados como suyos y, por supuesto, que nadie creería a un desconocido que reclamara la autoría frente al maestro. Mientras Sophie y Gilbert se lamentan y consuelan por la desastrosa y fallida representación teatral, los matemáticos murmuran acerca de la salud de Moses, de su presencia para la Conferencia Final, del nuevo teorema y sus implicaciones, de la autoría, del premio... Todos, con ambición y egoísmo indisimulados, tratan de argumentar que sus propias investigaciones han contibuído de algún modo al descubrimiento, y con razones enrevesadas e inciertas se postulan como posibles cóautores y merecedores del premio. En estas llegan Moses, Vera y el doctor, armado con una jeringuilla, siempre dispuesto a inyectarle al paciente una dosis de tranquilizante. Se inicia entonces una conversación sobre los cuadernos, que los Nikolaiovitch devuelven a Moses creyendo que pertenecen al profesor. Éste duda si desvelar o no la verdad acerca de Pierre, pero, incitado por Vera, decide seguir el juego y se dispone a pronunciar su conferencia: “Las Cinco Chicas Histéricas y las Implicaciones del Eje en que se Encuentran”. Kleine Esther, que se había incorporado a la reunión discretamente, está incómoda con la farsa. Entonces aparece Pierre que reclama los cuadernos y pide a la joven que confirme que le pertenecen. Pero antes de que Kleine Esther pueda defender al chico, Vera insinúa que el francés estuvo en sus aposentos esa misma tarde. Las protestas de Pierre se desvanecen cuando Vera recupera el pañuelo que astutamente había deslizado en el bolsillo del chico durante su conversación previa. Kleine Esther, herida, ignora las súplicas del joven que se ve acosado por los matemáticos. Pierre, desesperado, pierde los estribos e insulta a la chica, momento en el que el médico le clava la jeringa. Pero los matemáticos quieren saber de quién son los cuadernos. Presionada, Keline Esther afirma que son de Hypatia. Y entonces, finalmente, todos reparan en Hypatia, la callada hija de Moses. Vera, rápida e inteligente, zanja el asunto de la propiedad de los cuadernos afirmando que si son de Hypatia entonces los son de su progenitor. Ramachandra entrega los cuadernos a Moses. Kleine Esther decide dar un giro a su vida. Se despide de sus padres, deja a Clara a cargo de las tareas de secretaria de Moses y de organización de la Conferencia, y se dispone a dar un paseo con Ramachandra. Pasado el tumulto, Moses estudia frenéticamente los cuadernos, uno a uno, y se los va dando a Vera que los apila. Tras lanzar el último, la mujer enciende una cerilla y se la da a Moses para que queme los cuadernos. El matemático se resiste pero, finalmente, acepta la perspectiva de una nueva vida con Vera: Él renuncia a las matemáticas, ella a los hombres. Moses prende fuego a la hoguera. Pierre, aún aturdido por el tranquilizante, es expulsado del hotel por Clara y Kleine Esther. La joven decide iniciar su nueva vida con Ramachandra, y juntos se van. Los matemáticos (excepto Moses, Pierre y Ramachandra), se reúnen en el Salón de Actos, esperando para escuchar la Conferencia Final. Están alterados por los acontecimientos vividos, intrigados por la niña Hypatia, y expectantes por saber quien se llevará, finalmente, los honores (y el Haszontalan) por el brillante descubrimiento. El tercer Nikolai Nikolaiovitch (que había hurtado los cuadernos) afirma que puede explicar qué son las Chicas Histéricas y su significado y anuncia que aceptaría el premio. La familia húngara (salvo Kleine Esther e Hypatia) está también reunida mirando a la inmensidad del océano. Sophie y Gilbert planean cruzar el mar para visitar juntos  Hungría. Vera y Moses, juntos al fin, buscan a sus hijas para que toda la familia (salvo Kleine Esther, que ya se despidió de ellos) esté presente en la Conferencia Final. Pero Hypatia no aparece. De pronto, entra en escena cubierta de hollín. En sus manos, quemadas, sostiene los restos humeantes de los cuadernos de Pierre. Por segunda vez en la obra, escuchamos un monólogo de la niña: HYPATIA: Incluso aunque hubiese nacido con una deformidad física, y si tuviese ciento noventa y un dedos en vez de diez, y mi sistema de numeración fuese distinto del sistema en base diez que emplea el resto del mundo; incluso en base ciento noventa y uno, los Números Primos seguirían estando allí y serían exactamente los mismos Números Primos que conocemos desde siempre. No importa cuantos dígitos nos de Dios, ni como nos las ingeniemos para contar y organizar los números, los mismos Primos, con las mismas Propiedades, existirían. Son los sillares de nuestro Universo, cada uno indivisible, Infinitos en total. Un pórtico, un océano, una persona, cuanto más piensas en uno de ellos, más borroso se torna su perfil en la neblina de las emociones que lo rodean. Pero ciento noventa y uno es Primo, no porque pensemos que lo es o lo observemos- es un Aliento Eterno alejado del Empirismo- sino porque lo es. Las Matemáticas están construidas de esa forma. No puedes destruir eso. Sophie, emocionada, reconoce el soliloquio que Hypatia tenía que haber pronunciado en la maltrecha Ofrenda Teatral. El nuevo Moses agradece, por fin, a los niños la pieza en su honor. La familia, finalmente unida, demora un instante su presencia en la Conferencia Final. Cae el telón.   Grandes temas matemáticos Podemos clasificar las Matemáticas de  The Five Histerical Girls Theorem en tres grandes bloques: el contexto histórico y los personajes matemáticos, la teoría de números y la crisis de los fundamentos de las Matemáticas.   Contexto histórico y personajes matemáticos La obra se sitúa a principios del siglo XX, concretamente en el año 1911, un período de profundos cambios en la Matemática. La reunión científica a la que acuden los personajes y el premio Haszontalan, nos remiten al International Congress of Mathematicians celebrado en París en 1900, en el que David Hilbert pronunció el famoso discurso en el que propuso sus 23 problemas. Además, desde 1936, durante la celebración de este congreso se conceden las Medallas Fields, el honor más importante de las Matemáticas modernas. El análisis de los nombres de los personajes merecería un estudio aparte, pues todos, sin excepción, evocan personajes de la historia de nuestra ciencia. Aquí nos limitaremos a destacar tan sólo una pequeña muestra de las relaciones más evidentes. Así, los nombres de las hijas de Moses y Vera homenajean a mujeres matemáticas: Hypatia de Alejandría (370?-415), Sophie Germain (1776-1831) y Esther Kleine (1910-2005). Las dos primeras son sobradamente conocidas (o debieran serlo). Esther Kleine,  Esther Szekeres tras su matrimonio con el también matemático George Szekeres, fue una brillante matemática austro-húngara cuyo número de Erdös es 1. Así, desde el principio de la obra, Rinne Groff introduce el tema del papel marginal de la mujer en la historia de las Matemáticas. Por su parte, el nombre de la propietaria del parador nos trae inmediatamente a la memoria la metáfora del Hotel con Infinitas habitaciones inventada por el David Hilbert. Rinne Groff enseguida la saca a colación: VITTORIO VERONESE: Mi querida y encantadora señorita, si fuese usted tan amable, hemos solicitado habitaciones contiguas con vistas al mar. CLARA: Las habitaciones al Océano están todas ocupadas señor. CLAUDIO VERONESE: Nikolai Nikolaiovitch, hay pruebas suficientes para sospechar que el alojamiento no se ha gestionado adecuadamente. Si usted devuelve la llave de su habitación a esta hermosa y encantadora señorita, ella podrá reagrupar todos los enteros en un conjunto sin ocupar, haciendo hueco así... EL SEGUNDO NIKOLAI NIKOLAIOVITCH: Para asignarles una habitación con vistas al Océano a usted y... EL PRIMER NIKOLAI NIKOLAIOVITCH: ... a sus eternamente tardíos hermanos. Aunque el nombre nos recuerda al utilizado en algunos momentos por la matemática francesa Sophie Germain para ocultar su condición de mujer y poder llevar a cabo sus estudios, el personaje de Pierre está inspirado indudablemente en el matemático indio Srinivasa Ramanujan (1887-1920): el tipo de trabajo, la carta de presentación, los cuadernos, el estilo heterodoxo, la asombrosa intuición y genialidad,…   Teoría de números La teoría de números, campo en el que Moses es una eminencia mundial, está presente de un modo muy riguroso y formal en la trama. Se mencionan, por citar sólo unos pocos ejemplos: la demostración de Euclides del carácter infinito de los números primos; numerosas propiedades, tanto conocidas como conjeturadas, de algunas clases especiales de primos, como las nombradas en recuerdo del monje Marin Mersenne o la matemática francesa Sophie Germain; y la existencia de un número perfecto impar, uno de los grandes problemas todavía sin resolver de la teoría de números. Así, el error de los italianos está provocado por una osada conjetura de Mersenne, quien afirmó que para p=2, 3, 5, 7, 13, 31, 67, 127, 257 los números 2 p-1 eran todos primos. La descomposición realizada por Hypatia del número de Mersenne 267 -1 reconstruye la ponencia titulada Sobre la factorización de grandes números que, en octubre de 1903, el entonces desconocido matemático de la Universidad de Columbia en Nueva York, Frank Nelson Cole, presentó durante una reunión de la Sociedad Matemática Americana. Sin pronunciar palabra, Cole procedió a calcular 267 -1. Acabada la operación, y sin realizar ningún comentario, calculó al lado, a mano, el producto 193,707,721 x 761,838,257,287. Los dos resultados coincidían. Cole se sentó mientras los presentes le aplaudían y ovacionaban con entusiasmo (la reacción ante el descubrimiento de Hypatia es bien diferente). Pero sin duda, el elemento central de la teoría de números en la obra es la distribución asintótica de los números primos y, en particular, la hipótesis de Riemann. Ni que decir tiene que tanto el nombre como el contenido del teorema que da título a la pieza son una broma más en el entramado satírico tejido por la autora. El pretendido teorema de las cinco chicas histéricas es una versión burlona del mayor problema sin resolver de las Matemáticas: la hipótesis de Riemann. A pesar de ello, la serie de las Chicas Histéricas goza de cierta popularidad y, por ejemplo, ha sido incorporada a The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (http://www.research.att.com/~njas/sequences/). Las referencias a la hipótesis de Riemann son muy rigurosas, como se puede apreciar en el siguiente fragmento: BOTTE: Él extendió la función zeta, la suma desde N igual a uno hasta infinito de la expresión “uno dividido por N elevado a S", a todo el plano complejo, salvedad hecha, claro está,  del polo simple para S igual a uno; de modo que los Ceros Triviales son menos dos, menos cuatro, menos seis, etc. y, como, con tanto eco, Riemann conjeturó antes de su muerte, todos los Ceros No Triviales deben estar en la Recta Crítica de los números con parte real un medio, su así llamada “Hipótesis". Los resultados iniciales de Euler que relacionaban este hecho con la Distribución de los Primos resultaron ser correctos, aunque llegó a ellos por medio de argumentos erróneos. Pero su artículo no fue entendido por sus contemporáneos. Sin embargo, hoy, he demostrado cómo  resucitar esta metodología  para una extrapolación más profunda, aunque los resultados definitivos flotan aún más lejos en la distancia. Así pues, debo concluir rindiendo homenaje a Emil duBois-Reymond: Ignoramus et Ignorabimus. La Solución definitiva nos es desconocida y nunca la alcanzaremos. Pero tampoco faltan pasajes más ligeros: RAMACHANDRA: Sólo hace el amor con su esposa en los días que al numerarlos sean primos. El principio del ciclo no es tan difícil, pero a medida que los idus van pasando, ella tiene una necesidad tan salvaje que los vecinos han de encerrar en sus casas a sus hijos quinceañeros para tenerlos a salvo.   La crisis de los fundamentos Las conquistas matemáticas del final del siglo XIX (el descubrimiento del transfinito, de las funciones irregulares, de las geometrías no euclidianas) favorecieron el nacimiento de una nueva postura hacia las matemáticas: la de la libertad para razonar sin los vínculos y límites impuestos por la observación de la Naturaleza. Pero incluso los grandes pioneros tenían dudas ante este nuevo y revolucionario panorama. El joven Gilbert, preparando la Ofrenda Teatral, parafrasea a Cantor: GILBERT: Lo veo pero no lo creo. Hay una correspondencia biyectiva entre el Infinito de los puntos en una línea y el Infinito de los puntos en un plano e incluso el Infinito de los puntos en el espacio N-dimensional. Los matemáticos podían crear abstracciones sin tener que someterse a la intuición ordinaria del espacio y el tiempo. Se veían en posesión de un lenguaje formal en el que formular con rigor cualquier problema. En su visionario discurso en el congreso de París de 1900, Hilbert resumía su proyecto para las Matemáticas del nuevo siglo con una encendida arenga: “Esta convicción de la posibilidad de resolver cualquier problema matemático es un poderoso incentivo para los que trabajamos en este campo. En nuestro interior sentimos el reclamo incesante: he aquí un problema, busca su solución. Puedes hallarla por el razonamiento puro, porque en Matemáticas no existe Ignorabimus”. Replicaba así Hilbert a la postura filosófica ya mencionada de Emil duBois-Reymond. Del mismo modo, Moses rebate al holandés Botte: MOSES: Ignoramus ciertamente. Pero no cabe Ignorabimus. Quizás usted no conozca, Botte, pero nosotros tenemos que conocer. Y lo haremos. Los formalistas trataron de dotar a las Matemáticas de unos cimientos incontrovertibles. Pero, de nuevo, el camino se mostró tortuoso. Una de las grandes dificultades fue la denominada antinomia de Russell, una paradoja lógica de la que se nos ofrecen diversas variantes en la obra: SEGUNDO NIKOLAI NIKOLAIOVITCH: La próxima afirmación que haga será falsa. La afirmación previa que acabo de decir era verdadera. [...] PRIMER NIKOLAI NIKOLAIOVITCH: El miércoles 16 de febrero de 1911, Nikolai Nikolaiovitch hace una única afirmación. Dicha afirmación es: “Cada afirmación que Nikolai Nikolaiovitch haga el miércoles 16 de febrero de 1911 es falsa”. [...] PRIMER NIKOLAI NIKOLAIOVITCH: El Barbero de Sevilla advierte de que afeitará a aquellos hombres del pueblo que no se afeiten a sí mismos, pero no afeitará a ningún hombre del pueblo que se afeiten a sí mismo. SEGUNDO NIKOLAI NIKOLAIOVITCH: ¿Se afeitará el Barbero de Sevilla a sí mismo? En 1931, Gödel ponía fin al proyecto hilbertiano al demostrar que cualquier sistema que formalice la aritmética tendrá proposiciones verdaderas que no son demostrables y que, consecuentemente, la “verdad” no se corresponde unívocamente con la “demostrabilidad”. Aunque en ningún momento se menciona a Gödel, es indudable que sus teoremas de incompletitud y consistencia están implícitamente latentes en los diálogos. Veamos, sólo, un par de ejemplos. La señora Hilbert presenta la Ofrenda Teatral con estas palabras, que nos evocan el anuncio del premio ofrecido por la sección de Matemáticas de la Academia de Ciencias de Berlín, en 1784, a la mejor solución del problema del infinito en Matemáticas: LA SEÑORA HILBERT: Soy el Prólogo. La Utilidad que se deriva de las Matemáticas, la Estima en que se las tiene, y el honorable nombre de Ciencias Exactas Por Antonomasia, dado con toda justicia, son fruto de la Claridad de sus Principios, del Rigor de sus Demostraciones y de la Precisión de sus Enunciados. Pero anhelo una explicación de por qué tantos Teoremas Correctos han sido deducidos a partir de Suposiciones Contradictorias. El Prólogo pregunta: ¿Hay alguna forma segura, clara, en resumen, una formulación verdaderamente Matemática de la Relación entre lo Conocido, lo Desconocido pero Cognoscible, y lo propiamente Incognoscible que sea, si bien comprensible, no excesivamente difícil o excesivamente larga? ¿La hay? Supongo que lo mejor es comenzar por lo simple... En varias ocasiones, Ramachandra se muestra escéptico acerca del poder de la demostración matemática: LADY LOVE: ¿No le asusta la incertidumbre? RAMACHANDRA: Me aterroriza. Pero no me confortará una tela de araña de teoremas, y no derramaré una lágrima cuando sean barridos. [...] KLEINE ESTHER: ¿Crees realmente lo que has dicho? RAMACHANDRA: ¿Perdón? KLEINE ESTHER: De los teoremas. Que tal vez no sean tan fiables como creemos. Habla con franqueza. E incluso Moses duda: MOSES: Quizás estos jóvenes estén en lo cierto: algunas Proposiciones deberían ponerse en el cesto de lo “Incognoscible”. Pero no todas. RAMACHANDRA: Las matemáticas están cambiando, amigo mío. En el resumen de la trama incluimos dos ejemplos sutiles de la utilización de varios sistemas formales (símbolos, cifras o letras distintos de los habituales) para describir una misma “realidad”. Recordemos la codificación numérica del número 15551 a partir de su ortografía en inglés con la que Pierre trata de engatusar a Kleine Esther, o el modo de describir la quinta chica, el número 333,333,433,343, y su imagen especular, el texto EhEEEhEEEEEE, que parece ser la imagen mental con la que Moses representa la serie de las chicas histéricas.   Significado de la obra Si resulta complejo resumir el prolijo entramado matemático de esta obra, más difícil aún es buscarle un significado, una interpretación clara. Aún así, hay ciertos elementos que resultan incontrovertibles. Por una parte, el soberbio trabajo de documentación de la autora sobre los temas matemáticos reflejados en los diálogos y la trama. En particular, y como ya se ha puesto de manifiesto, son numerosas las referencias, casi textuales, de conocidos textos relacionados con las Matemáticas y su historia, por ejemplo del libro A Mathematician's Apology de G. H. Hardy. Por otra, la influencia de dos obras cumbre del teatro científico-matemático reciente, Arcadia de Tom Stoppard y Proof de David Auburn, que se manifiesta en algunos temas y símbolos comunes: El papel marginado de las mujeres en las Matemáticas. En este sentido, cabe destacar el personaje de Hypatia, heredera de Thomasina Coverly y de Catherine. Su autismo (probablemente inspirado en el Gus Coverly de Arcadia) puede verse como una alegoría de la relegación de las mujeres en la historia de nuestra disciplina. El uso de drogas como estimulantes de la creatividad. Los cuadernos, también objetos claves en Proof, sin duda una reminiscencia histórica de los cuadernos de Riemann y Ramanujan. La determinación de la autoría de los descubrimientos matemáticos. La edad como factor definitivo de la creatividad y, particularmente, el pavor del matemático al envejecimiento intelectual. La relación entre locura y genialidad. Tanto en Arcadia como en Proof el tema del saber, del conocimiento, de la verdad, no sólo en la vertiente científica sino, primordialmente, en el ámbito de las relaciones humanas, se contraponía con la certidumbre matemática, el rigor, la demostración formal. En estas obras ya aparecían desarrollos conceptuales modernos como la teoría del caos, los fractales y la aleatoriedad como ejemplos del fin de la certidumbre y del poder absoluto de la razón incluso, insospechadamente, en la disciplina considerada más precisa (la ciencia exacta). Rinne Groff retoma esta idea en The Five Histerical Girls Theorem utilizando como marco matemático el surgido tras la revolución godeliana de la crisis de los fundamentos. Esencialmente, The Five Histerical Girls Theorem es una obra acerca de lo inexplicable que subyace en los actos y las relaciones de los humanos, de la incertidumbre inherente a nuestra naturaleza: los celos, la traición, la ambición desmedida, la muerte,... Las Matemáticas, con toda su belleza e “inexplicable eficacia”, se muestran impotentes para abordarlos. En realidad, Rinne Groff sostiene que ninguna disciplina, científica o artística, puede por sí sola explicar los misterios de la vida: las matemáticas fracasan, pero también lo hace el teatro de los niños. La limitación no se debe únicamente a la imposibilidad de abarcar en un modelo matemático toda la complejidad de la realidad, sino que, como nos enseñaron Gödel y Turing, existen impedimentos implícitos e inherentes a cualquier herramienta que decidamos utilizar para plantearlos y resolverlos: sea ésta un sistema formal de la lógica o una máquina computadora “inteligente”. El conocimiento es algo que no puede abordarse unilateralmente. Pero, lejos de resultar una merma, es la búsqueda, con sus incertidumbres y crisis, lo que finalmente hace de las Matemáticas, y de la vida, una empresa tan fascinante.   Referencias [1] Rinne Groff, The five hysterical girls theorem. Playscripts, Inc. New York. 2006. http://www.playscripts.com [2] Bruce Weber, Theater review: Zeta function and other abstractions at a British resort. New York Times, 27 de abril de 2000. [3] Elyse Sommer. Theater review: The five hysterical girls theorem. CurtainUp. 2000. http://www.curtainup.com/hystericalgirls.html

Sábado, 01 de Mayo de 2010 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico