761. 36. SOLUCIÓN CONCURSO DEL VERANO 2010

Fallo del concurso del Problema de Verano 2010 En primer lugar, los responsables de esta sección queremos dar las gracias a todos los que habéis participado en el concurso. Hemos recibido muchas soluciones, y los autores no han escatimado en esfuerzos y en mimo a la hora de presentarlas, como podréis apreciar al descargaros las mismas (ver [1]). Este año nos ha costado más que ningún otro decidirnos. Varios participantes dieron con la solución correcta, pero hay dos presentaciones que nos han gustado más que las demás, de modo que el premio de este año lo hemos otorgado ex-aequo a Paz Carbajo Gibaja y Ángel Fernando Ruiz González. La solución de Ángel Fernando incluye una sección de diagramas con los tres casos que se pedían en el enunciado. En la presentación de la solución de Paz, se indica que el caso n=13  sería realizable utilizando proporciones enteras, lo cual nos ha dado pie a elaborar un nuevo orisangaku (ver [2]), que ofrecemos junto con las soluciones y que esperamos que disfrutéis. Los campeones se llevan como premio los libros “Todo por demostrar. Relatos matemáticos” y “Ensoñaciones desde mi pupitre. Ficciones matemáticas” (ANAYA-RSME, 2009). El primero de ellos recoge los relatos cortos, y el segundo las narraciones escolares, que han resultado ganadores y finalistas de los Concursos Literarios (de Relatos Cortos y Narraciones Escolares, respectivamente) RSME-ANAYA de 2010. ¡Enhorabuena a Paz y a Ángel Fernando!   [1] Descargas: Soluciones ganadoras: Otras soluciones: Paz Carbajo Gibaja Francisco J. López H. Ángel Fernando Ruiz González Jorge Concha Carballido Martí Bayer Raich Miguel Herraiz Hidalgo   [2] Orisangaku para n=13 (Los sangakus son acertijos geométricos formulados en tablillas de arcilla y que se pueden encontrar colgados en los templos japoneses. Un orisangaku es un sangaku de origami. El término “orisangaku” lo ha acuñado Belén Garrido en “Orisangakus: problemas “sangaku” con papiroflexia como recurso para el estudio de la geometría”, Monografía: Papiroflexia y matemáticas, UNO, n.53, pp. 71-79.)

Lunes, 18 de Octubre de 2010 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

762. 48. (Octubre 2010) La vida instrucciones de uso, de Georges Perec

Georges Perec (1936-1982) es uno de los grandes escritores de la literatura francesa del siglo pasado y miembro destacado del grupo OuLiPo. La vida instrucciones de uso, es sin duda su libro más ambicioso: 1467 personajes desfilan por esta novela de 99 capítulos, escrita durante los años 1976 a 1978 –aunque llevaba mucho tiempo antes planificándola–, año en la que fue publicada. En Especies de espacios[1] (1974), Georges Perec habla de lo que en aquel momento era aún un proyecto (en el capítulo El inmueble, 1. Proyecto de novela): Me imagino un edificio parisiense cuya fachada ha desaparecido –una especie de equivalente del tejado levantado en “El diablo cojuelo” o de la escena del juego del Go representada en el Gengi monogatari emaki– de modo que, desde el entresuelo a las buhardillas, todas las habitaciones que se encuentran delante sean visibles instantánea y simultáneamente. La novela –cuyo título es La Vida instrucciones de uso– se limita (si puedo emplear este verbo para un proyecto cuyo desarrollo final alcanzará algo así como cuatrocientas páginas) a describir las habitaciones puestas al descubierto y las actividades que en ellas se desarrollan, todo ello según procesos formales en cuyo detalle no me parece obligado entrar aquí, pero cuyos solos enunciados me parece que tienen algo de seductor: poligrafía del caballero (y lo que es más, adaptada a un damero de 10 x 10), pseudo-quenina de orden 10, bi-cuadrado latino ortogonal de orden 10 (aquel que dijo Euler que no existía, pero que fue descubierto en 1960 por Bose, Parker y Shrikhande)[2]. Los orígenes de este proyecto son muchos. Uno de ellos es un dibujo de Saul Steinberg[3] aparecido en The Art of Living (Londres, Maíz Hamilton, 1952) que representa un edificio (sabemos que es un edificio porque junto a la puerta de entrada hay un cartel con la inscripción No Vacancy) del que una parte de la fachada ha sido eliminada, dejando ver el interior de unas veintitrés habitaciones es (digo unas, porque hay otras que están por detrás y no se ven): el solo inventario –y no sería ni siquiera exhaustivo– de los elementos del mobiliario y de las acciones representadas tiene algo de auténticamente vertiginoso [...] © S. Steinberg, The Art of Living, Harper & Brothers, 1949 En estas líneas quiero hacer un breve comentario –diferentes personas con variadas formaciones han dedicado mucho tiempo y energía en estudiar con profundidad el texto; me he servido de algunos de esos análisis para elaborar este escrito– sobre las matemáticas que se esconden tras la composición de esta magnífica obra. En La vida instrucciones de uso, Perec relata las historias que suceden en cada uno de los espacios de un edificio imaginario –situado en la calle 11, Simon Crubellier en París– representado en un cuadrado 10 x 10 y en una fecha determinada –el 23 de junio de 1975, aproximadamente a las ocho de la tarde–. En los 99 capítulos del libro –unas 638 páginas en la traducción al castellano[4]– recorremos sótanos, apartamentos, desvanes, tramos de escalera… vidas, manías y personalidades de los inquilinos del edificio, de sus ascendientes, de sus amigos, de sus parientes,... El personaje principal –con el que todos están relacionados de alguna manera– es Perceval Bartlebooth, que pasa sus días haciendo y deshaciendo rompecabezas. El último capítulo finaliza con la muerte del protagonista, y un amargo descubrimiento: Es el veintitrés de junio de mil novecientos setenta y cinco y van a dar las ocho de la tarde. Sentado delante de su puzzle, Bartlebooth acaba de morir. Sobre el paño negro de la mesa, en algún punto del cielo crepuscular del puzzle cuatrocientos treinta y nueve, el hueco negro de la única pieza no colocada aún dibuja la figura casi perfecta de una X. Pero la pieza que tiene el muerto entre los dedos tiene la forma, previsible desde hacía tiempo en su ironía misma, de una W. El preámbulo –completamente dedicado al arte del rompecabezas– comienza con una preciosa cita de Paul Klee, que avisa de lo que nos espera durante la lectura: La mirada sigue los caminos que se le han reservado en la obra. Cada capítulo se sitúa en un espacio diferente, con inquilinos distintos, aludiendo a veces a otros habitantes del edificio. Parte del libro se dedica a describir el propio inmueble, y durante este recorrido se dan descripciones ricas en detalles que insisten en las materias, el color, las formas, los estilos, cuadros, etc. ¿Por qué ese título tan extraño? Las instrucciones de uso son algunas contraintes –se trata de lenguaje oulipiano: son una serie de reglas que deben cumplirse obligatoriamente en la escritura del texto; son un motor de creación literaria, nunca restringen la creatividad del autor– que Perec impone en la construcción de La vida... Se describen debajo los tres procedimientos matemáticos que organizan el texto de Perec. 1. La poligrafía del caballero o el orden de recorrido de los lugares del edificio La lectura-recorrido del lector-visitante incorpora una contrainte del mundo del ajedrez (o de la teoría de grafos): Perec nos obliga a pasar una vez y sólo una por cada lugar del edificio, pero rechaza hacerlo de manera lineal o al azar. Decide usar el modelo de la poligrafía del caballero –un caso particular de grafo hamiltoniano, es decir, debe recorrerse todo el tablero pasando una y sólo una vez por cada casilla. En el ajedrez hay 64 casillas, pero en el edificio hay 100–, que Perec encontró de manera experimental para su tablero-edificio[5]: Il existe des milliers de solutions dont certaines, telle celle d’Euler, forment de surcroît des carrés magiques. Dans le cas particulier de ‘La Vie mode d’emploi’, il fallait trouver une solution pour un échiquier de 10 x 10. J’y suis parvenu par tâtonnements, d’une manière plutôt miraculeuse. La division du livre en six parties provient du même principe: chaque fois que le cheval est passé par les quatre bords du carré, commence une nouvelle partie. El recorrido por los lugares del edificio creado por Perec: en la tabla izquierda la línea roja representa el camino seguido, es decir, el orden de visita-lectura de cada pieza del edificio, y en la tabla derecha aparece cada hueco con el número el capítulo correspondiente. El hueco sombreado corresponde al capítulo 66. El libro está dividido además en 6 partes: cada vez que el caballero pasa por los cuatro bordes del cuadrado, comienza una nueva “partida”. Perec se permite una desviación –un clínamen en el lenguaje oulipiano, es decir, un cambio local en la contrainte, es la excepción a la regla–: en efecto, la casilla del desplazamiento 66 –que corresponde a un sótano– no se describe y en su lugar se salta al siguiente casilla –por ello el libro tiene 99 capítulos y no 100–, que es la tienda de antigüedades de la señora Marcia; la razón de esta decisión está al final del capítulo 65: [...] Y se ha traído del pueblo algunos utensilios y accesorios sin los que no podría pasar: su molinillo de café y su bola para el té, una espumadera, un colador de chino, un pasapuré, un baño maría y la caja en la que, desde siempre ha guardado su vainilla en vainas, su canela en rama, sus clavos de especia, su azafrán, sus granos y su angélica, una vieja caja de galletas de hojalata, cuadrada, en cuya tapa se ve una niña que muerde una punta de una galletita. La esquina de la galleta es como la casilla inferior izquierda, que tras un mordisco desaparece del juego... Una vez fijado el recorrido del edificio, Perec debe llenar cada local descrito, lo que le lleva a dos preguntas: ¿qué poner en cada lugar? ¿dónde poner cada objeto? Perec procede en dos etapas: elabora 21 pares de listas de 10 elementos a utilizar en cada capítulo-hueco del edificio e idea un algoritmo para distribuir estos elementos de manera no aleatoria. Se explica a continuación. 2. El bicuadrado latino ortogonal de orden 10 o la forma de distribuir las palabras Otra contrainte en la obra es la utilización de la estructura matemática denominada bicuadrado latino ortogonal de orden 10; como ya se ha comentado, el edificio se representa como un cuadrado 10×10, donde cada casilla-capítulo tiene asignados dos números: Un bicuadrado latino ortogonal de orden 10 Es un cuadrado latino –cada dígito está presente una sola vez en cada línea y en cada columna– y es ortogonal, ya que los dos números en la misma casilla sólo se emparejan una vez en ese orden. Usando estos pares de números, Perec llega a un cuaderno de cargas[6], en el cual, para cada capítulo, se describe una lista de 21 pares de temas (autores, mobiliario, animales, colores, sentimientos, música, adjetivos, etc.) que deben figurar en el capítulo. Au départ,  j’avais 420 éléments, distribués par groupes de dix : des noms de couleurs, des nombres de personnages par pièces, des événements comme l’Amérique avant Christophe Colomb, l’Asie dans l’Antiquité ou le Moyen Âge en Angleterre, des détails de mobilier, des citations littéraires, etc. Tout ça me fournissait une sorte d’armature […]. J’avais, pour ainsi dire, un cahier de charges : dans chaque chapitre devaient rentrer certains de ces éléments. Ça, c’était ma cuisine, un échafaudage que j’ai mis près de deux ans à monter […][7]. Con estos 420 elementos de los que habla la anterior cita, Perec elabora 21 pares de 10 términos: a cada par (a,b) del bicuadrado latino le corresponde el elemento a de la primera lista y el b de la segunda. Perec hace aparecer en cada capítulo los 42 términos así obtenidos –en realidad, se permite alguna licencia en algunos capítulos–, aunque se verá más adelante que elabora una estrategia para no realizar esta asignación de manera tan rígida. Tabla general de listas, extraída de [P3] En el tablero con los 21 pares de listas, las 20 primeras están agrupadas por pares. En la anteúltima lista aparece escrito MANQUE / FAUX. El par (a,b) de cada capítulo nos da una cifra para MANQUE (1 ≤ M ≤ 10) y otra para FAUX (1 ≤ F ≤ 10). Perec hace entonces lo siguiente: va a la M-ésima lista entre las 21, y elige libremente uno de los cuatro términos que aparecen allí, sin tener en cuenta lo que decía el bicuadrado; va a la F-ésima lista entre las 21, y elige libremente uno de los cuatro términos que aparecen allí, sin tener en cuenta lo que decía el bicuadrado. 3. La pseudo-quenina de orden 10 o la forma de permutar las líneas y columnas del bicuadrado Una sextina –el trovador provenzal Arnaut Daniel pasa por ser su creador– está formada por seis estrofas de seis versos cada una de ellas, seguidas de un párrafo de tres versos. Cada línea pertenece a uno de los seis grupos de rimas identidad de acuerdo con el siguiente esquema: ABCDEF - FAEBDC - CFDABE - ECBFAD - DEACFB - BDFECA - ECA En términos matemáticos, se trata de una permutación de orden 6, es decir, cuando se hacen 6 iteraciones –y no antes– se reencuentran las palabras de la rima en su forma original; la matriz de esta permutación es: Como generalización de esta estructura –reemplazando 6 por n– se definen las queninas de orden n –evocando a Raymond Queneau, uno de los fundadores del grupo OuLiPo y responsable de esta definición–: se trata de un poema de n estrofas, cada una formada por n versos, todos terminados por las mismas n palabras, permutadas por la aplicación definida por: es decir, en particular en ninguna estrofa puede repetirse el orden original. No existen queninas de cualquier orden, en particular, no hay queninas de orden 10, ya que la permutación que debería definirlas es: y es fácil comprobar que σ7 es la matriz identidad, es decir, la permutación no es de orden 10. Como no existen queninas de orden 10, Perec se las arregla para conseguir la siguiente contrainte de su texto con una pseudo-quenina de orden 10. Como se comentaba antes, el autor no se contenta con asignar a cada casilla del bicuadrado el mismo par (a,b) de su lista de temas. Él sabe que el bicuadrado conserva todas sus propiedades si se permutan filas y/o columnas. ¿Cómo realizar estas permutaciones? Para ello, Perec utiliza la pseudo-quenina de orden 10 definida del modo siguiente: Es decir, el autor la construye tomando en orden los elementos en posición par y lo mismo con los elementos en posición impar; de otro modo, se trata de la permutación de orden 10 definida por: Este sistema permite a Perec generar de manera no aleatoria bicuadrados latinos diferentes, lo que evita que para cada casilla se elijan siempre los términos de la misma lista de los 21 pares elaborados. Como puede observarse por lo comentado en estas líneas, la construcción de esta obra es un trabajo inmenso y complejo donde nada se deja al azar. Aunque probablemente casi cualquier persona podría llegar a elaborar con tiempo y paciencia las listas de temas y las contraintes –la poligrafía, el bicuadrado, etc. – sin duda, sólo un genio como Perec es capaz de crear La vida instrucciones de uso. Referencias [BSP] R.C. Bose, S.S. Shrikhande, E.T. Parker, Further results on the construction of mutually orthogonal Latin squares and the falsity of Euler's conjecture, Canadian Journal of Maths 12 (1960), 189-203. [O] Oulipo, Atlas de littérature potentielle, Gallimard, 1981. [P1] G. Perec, Especies de espacios, El Viejo Topo, 2003. [P2] G. Perec, La vida instrucciones de uso, Anagrama, 2006. [P3] G. Perec (presentación, transcripción y notas de H. Hartje, B. Magné y J. Neefs), Cahier des charges de La vie mode d’emploi, CNRS/Zulma, 1993. [R] M. Ribière, Georges Perec. El andamiaje de las vidas y sus instrucciones de uso, Quimera 244 (2004), 36-38. [S] S. Steinberg, The Art of Living, Harper & Brothers, 1949. Notas: [1] Ver [P1] [2] Ver [BSP] [3] Ver el dibujo de debajo y [S] [4] Ver  [P2] [5] Esta referencia está extraída de [O], G. Perec, Quatre figures pour ‘La Vie mode d’emploi’, 387-395 [6] Ver [P3] y la página web indicada http://escarbille.free.fr/vme/?lmn [7] Cita de Perec extraída de [P3]

Miércoles, 13 de Octubre de 2010 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

763. 53. Amor y Matemáticas

El próximo lunes 11 de octubre a las 14:15 está previsto que entre a concurso en el 43 Festival Internacional de Cine Fantástico de Sitges 2010 un singular cortometraje realizado por un matemático. Echemos un vistazo a su propuesta. Si el mes pasado hablábamos de un corto en el que se observan las relaciones sexuales desde un punto de vista estadístico (Cambiar la gráfica), profundizamos con esta otra producción en las relaciones que podrían establecerse entre el amor y las matemáticas. Ciertamente los matemáticos afirmamos en muchas ocasiones que nuestra disciplina rige prácticamente toda nuestra existencia y la de todo el universo, pero muchos puede que estén aún esbozando una socarrona sonrisa al ir leyendo estas líneas. El caso es que uno de los directores del cortometraje que hoy revisamos es matemático, y como veremos más adelante, no precisamente un aficionado, así que quizá sea pertinente echar un vistazo a su propuesta, por si las moscas. En el cartel leemos, después de la pareja protagonista, la cuestión, “¿existe una fórmula matemática del amor sin la muerte?” Puede que así de primeras relacionar estos conceptos (amor,  matemáticas, muerte) sorprenda un poco. Si leemos el pie del propio cartel (y sabemos algo de cine clásico japonés), vemos que uno de los propósitos es homenajear la película Yûkoku y entonces quizá ya no nos sorprenderá tanto ni la japonesa de la foto ni tal relación. Pero vayamos por partes. Empecemos como siempre por la ficha técnica y artística: Título Original: Rites of Love and Math. Nacionalidad: Francia y EE. UU., 2009. Director: Reine Graves y Edward Frenkel. Guión: Reine Graves y Edward Frenkel, basado en la película Yûkoku, de Yukio Mishima. Fotografía: Daniel Barrau, en Color. Montaje: Thomas Bertay. Música: Raphael Fernandez. Producción: Edward Frenkel y Reine Graves. Duración: 26 min. Intérpretes: Edward Frenkel (Matemático), Kayshonne Insixieng May (Mariko). Como se ha dicho, se trata de una película alegórica sobre conceptos como la belleza, el amor, la responsabilidad, la muerte, el deseo,… y las matemáticas. No hay diálogos, sólo la banda sonora de Tristán e Isolda de Richard Wagner, y una composición original, Songs of Rites of Love and Math, de Raphael Fernandez. En el argumento, un matemático (Edward Frenkel) ha descubierto después de muchos años de duro estudio la fórmula del Amor. Al principio se siente emocionado de que su descubrimiento pueda beneficiar a la Humanidad, proporcionándole amor eterno, juventud y felicidad. Pero más tarde descubre la otra cara de la moneda: si la fórmula fuera utilizada de un modo equivocado, podría ser un arma peligrosa. Por eso las fuerzas del Mal acosan al matemático (¿recordáis Pi, fe en el Caos?), intentando apropiarse de dicha fórmula. El matemático sabe que no tiene escapatoria y está dispuesto a morir, aunque desea que su hallazgo perviva de algún modo. El matemático está enamorado de la bella japonesa Mariko. A medianoche, se presenta en casa de su amada, y le explica que intentan arrancarle el secreto de su fórmula. Percatándose de que ese será su último encuentro, pasan una noche de amor apasionada, al final de la cual el científico tatúa la fórmula sobre el hermoso cuerpo de Mariko. De este modo su amor y su hallazgo pervivirán para siempre. La película se desarrolla en un único espacio, un escenario de Noh. El Noh es un drama lírico japonés que se remonta al siglo XIV aproximadamente que procede de las danzas rituales de los templos, de las danzas populares, de los escritos budistas y de la poesía, mitología y leyendas populares japonesas y chinas. En oposición al teatro Kabuki, es un drama aristocrático que sigue teniendo su público en la actualidad y se representa en un cuadrilátero elevado y rodeado por dos lados de público. No hay telón de fondo y los decorados se reducen a cuatro postes con un tejado para representar un palacio, un templo o cualquier otro lugar. Hay dos actores principales acompañados en algunas escenas, usualmente vestidos con gran riqueza. La temática es solemne y trágica, y siempre alude a algún tipo de redención usando el simbolismo aparente de alguna leyenda o hecho histórico. Un programa Noh suele contener cinco piezas y cuatro farsas Kyogen y dura de cuatro a cinco horas, aunque no es este el caso. El Noh es único por su lentitud, su austeridad y el uso distintivo de máscaras (no en este caso), y representa verdaderamente un rasgo específico de la cultura japonesa, que consiste en encontrar la belleza en la sutileza y formalidad. Aquí cada acto se explica mediante un texto que va aclarando que sucede en la imagen. Las matemáticas aparecen representadas mediante el cuadro que vemos en la imagen anterior, una especie de integral, y el tatuaje de la fórmula en el cuerpo de Mariko. Como vemos en la foto de la izquierda consiste en otra integral, en este caso doble, y algunos sumatorios, cuyo significado no parecen muy claros. Al director le gustaría que “el espectador salga de la proyección con la idea de que las matemáticas y la belleza pueden expresarse en una misma frase, con un mismo aliento”. La película fue presentada en abril en el prestigioso teatro Max Linder de París. Su rodaje se llevó a cabo en tres días y su montaje se realizó en un mes aproximadamente costando cien mil euros en total. En este enlace podemos visualizar la presentación que hizo del cortometraje en la Foundation's Research Chaire. La pretensión del director es clara: “Me he dado cuenta de que si intentas convencer a la gente de la belleza de las matemáticas literalmente, es decir, con un profesor sobre una pizarra, el pavor se apodera de ellos, huyendo rápidamente. Es una especie de mecanismo de defensa en el que se encierran. Por eso yo se lo presento de un modo más artístico”. Aunque los espectadores pudieran pensar que no es más que una fábula, el realizador deja bien claro que esto ya ha sucedido: “Hubo gente que investigó, en el más puro y noble sentido del término, tratando de hallar y comprender la estructura del Universo, y sin quererlo, encontraron la reacción nuclear. Esto trajo unas consecuencias muy profundas, algunas tan malignas como la bomba atómica”. Al parecer, los colegas de Frenkel le han expresado sus reservas acerca de la escena de sexo que antecede al suicidio, aunque otros como Thomas Farber, novelista y profesor de lengua inglesa en Berkeley manifiesta que “nada en ella nos haría elevar la ceja salvo que está interpretada por un matemático”. Probablemente sólo se trate de una gracia, aunque en mi opinión no es demasiado afortunada ya que incita a que la gente se reafirme en el tópico de que los matemáticos somos “diferentes”. Sin embargo las declaraciones de Frenkel ahondan, insisto creo que equivocadamente, en la misma idea: “¿Qué os parece? Tenemos a un matemático enamorado, luchando por sus ideales, haciendo desnudo el amor a una preciosa mujer. Muy distinto del estereotipo al que la gente está acostumbrado” El director confía en que sus alumnos sean lo suficientemente maduros como para ver con naturalidad a su profesor en una escena de desnudo y que se preocupen más de si la película puede o no inspirar al espectador a interesarse por las matemáticas. De hecho algunos de sus alumnos indican, y puede comprobarse en las conferencias de Frenkel disponibles en internet (ver más abajo), que muy a menudo exhorta  en sus clases a tratar de ver la belleza de la matemática y a sus fórmulas como objetos artísticos, más allá de su significado evidente. Frenkel también espera que otros recojan el testigo y se arriesguen en proyectos en los que se muestren las matemáticas desde todas sus vertientes. En la actualidad, junto al citado Thomas Farber se encuentra en la elaboración de un guión para un largometraje protagonizado por un profesor de inglés y un matemático. Los Directores Edward Frenkel (Rusia, 2 de mayo de 1968) es matemático y sus campos de trabajo e investigación son la teoría de la representación, la geometría algebraica y la física matemática. En 1991 terminó su Ph. D. en la Universidad de Harvard. Sus directores de tesis fueron Boris Feigin y Joseph Bernstein. En 1994 fue contratado como profesor asociado en la mencionada universidad y desde 1997 ejerce en la Universidad de California en Berkeley. Frenkel trabaja en Análisis Funcional. En la imagen lo vemos describiendo un operador traza. No es sencillo describir este tipo de conceptos para aquellos que no estén familiarizados con esta rama de las matemáticas (aunque seguro que todo matemático que haya acabado la carrera no hace más de treinta años le sonarán al menos los conceptos). A partir del teorema espectral de Riesz en espacios de Banach complejos se definen los operadores de Hilbert-Schimdt. Denotando por B2(H) al conjunto de los operadores de Hilbert-Schmidt (H es un espacio de Hilbert), dados B, C ∈ B2(H), se define un operador traza como A = BC. La clase de los operadores traza se denota por B1(H) y está contenida en B2(H). Cuando tomamos como H = L2(X, μ), donde X es un operador compacto y μ una medida positiva sobre X, entonces B y C son operadores integrales con núcleos b(x, y)  y c(x, y), respectivamente. Entonces A es un operador integral con núcleo   y La expresión que está describiendo Frenkel en la pizarra es un operador de este estilo en el espacio de Hilbert de las funciones cuadrado integrables sobre un núcleo K(x, y) llamado fórmula traza de Selberg desde el grupo SL2 a grupos reducidos. En concreto en la fórmula que aparece, G es un grupo reductivo definido sobre un cuerpo F, A el anillo de ideales de F, y G(F)∖G(A) el espacio cociente, Junto a Robert Langlands y Ngô Bảo Châu ha sugerido una nueva aproximación a la funcionalidad de representaciones automorfas y fórmulas de traza. En resumidas cuentas, este hombre se dedica a temas de teoría de funciones de bastante nivel. Tanto que en 2002 recibió el primer premio Hermann Weyl, y entre otros premios más, el Packard Fellowship in Science and Engineering y el Chaire d'Excellence de la Fundación de Ciencias Matemáticas de Paris. Nada hacía pensar que fuera a co-producir, co-dirigir e interpretar un cortometraje como éste. ¿Nada? Parece que a Frenkel le gustan bastante los medios audiovisuales. Aquí podéis seguir un curso completo de Cálculo en varias variables tal y como Frenkel lo explica en Berkeley con alumnos y todo. Son 25 conferencias muy interesantes (ya tenéis tarea para este mes). Reine Graves, el otro miembro del tándem es un director francés del que conocemos el cortometraje experimental Contrast (en el enlace puede verse íntegro), un tríptico sobre el concepto del contraste en imagen, es decir, la diferencia entre tono y color. Como se indicó al inicio, la película pretende homenajear la película Patriotismo (Yûkoku, aunque en Norteamérica se conoce más por Rite of Love and Death, título que Frenkel ha utilizado para la suya) basada en un cuento del escritor japonés Yukio Mishima, que escribió, co-dirigió e interpretó la película. Es una producción de 1966, a blanco y negro, de 28 minutos de duración, en la que, como la anterior, sólo encontramos dos personajes Yukio Mishima (en el papel de Shinji Takeyama) y Yoshiko Tsuruoka (como Reiko). Su argumento es el siguiente: Dos personajes se encuentran sentados sobre un escenario de Noh interpretando el rito del amor y la muerte del teniente Shinji Takeyama y su esposa Reiko. Takeyama era uno de los jóvenes oficiales que organizaron un golpe de Estado contra el Gobierno en Febrero de 1936. La insurrección de 21 oficiales que consideraban traidores a sus gobernantes, fue abortada pero Takeyama no fue arrestado, ya que sus compañeros no quisieron involucrarlo sabiendo lo enamorado que estaba de su joven y bella esposa Reiko. Siendo destinado a la Guardia de Palacio, el joven teniente sabe que podrían darle la orden de ejecutar a sus amigos en cualquier momento. Así sucede. La noche previa a la ejecución, se prepara junto a su esposa para hacerse el hara-kiri (su significado textual es “cortarse el vientre”). El ritual marca una serie de pasos para llevarlo a cabo: con pasión y sin tristeza, vestido de uniforme y después en kimono, con espada y daga. Con una preparación minuciosa hasta en los mínimos detalles, como por ejemplo en el momento en que Reiko recoge sus recuerdos para entregárselos a sus descendientes, se disponen a aceptar la muerte. En la historia real dos de los oficiales se suicidaron y los otros diecinueve fueron finalmente ejecutados. La película se creía perdida hasta que hace poco aparecieron los negativos en el desván de la casa de Mishima. En la dirección http://video.google.com/videoplay?docid=3698925898723543158# podéis disfrutarla al completo, en una copia bastante deteriorada (nada que ver con la reciente edición remasterizada en DVD) pero menos da una piedra. Como la anterior, la película no tiene diálogo alguno, sólo una banda sonora, con subtítulos en castellano de los textos explicativos al inicio de cada acto. Sus imágenes son de una fuerza y un realismo tales que fácilmente es explicable porque se ha convertido desde la época de producción en una película de culto. En la fotografía, la escena equivalente a la que mostrábamos anteriormente en la película de Frenkel. Como puede comprobarse, el suicidio de los dos protagonistas de estas dos películas obedece a un dilema moral: en el caso del soldado es un asunto de honor, en el caso del matemático no poder soportar que alguien pueda robarle esa fórmula tan bella para emplearla con fines siniestros. Todas las copias de Yukoku fueron destruidas tras la muerte de su autor, Yukio Mishima, en 1970. Afortunadamente su negativo fue salvado y encontrado treinta años después. Cinéfilos, expertos en cine y críticos se han visto sorprendidos por la profundidad y claridad de ideas de la visión de Mishima, así como de su arriesgada y gráfica descripción del sexo y la muerte. La biografía de Yukio Mishima (1925 – 1970) es un tanto singular (la mayor parte de los datos que se citan a continuación han sido tomados de la Wikipedia). Hijo de un funcionario del gobierno japonés, fue criado por su abuela Natsu, que se lo llevó y lo separó de su familia inmediata durante varios años. Natsu provenía de una familia vinculada a los samuráis de la era Tokugawa, y siempre mantuvo aspiraciones aristocráticas (el nombre de juventud de Mishima, "kimitake", significa "príncipe guerrero") aún después de casarse con el abuelo de Mishima, un burócrata que había hecho su fortuna en las fronteras coloniales. Tenía mal carácter que se agudizaba por su padecimiento de ciática. El joven Mishima le daba masajes para aliviar su dolor. Natsu tenía tendencia a la violencia, incluso con episodios cercanos a la locura que serán posteriormente retratadas en algunos de los escritos de Mishima. Algunos biógrafos opinan que Natsu favoreció la fascinación de Mishima por la muerte. No obstante, la abuela tenía una amplia cultura (leía francés y alemán, y tenía un exquisito gusto por el Kabuki), aunque también hacía acopio de manías varias, como no permitir que Mishima jugase a la luz del sol, practicase algún deporte o tuviera juegos rudos con otros chicos de su edad. Prefería que pasase su tiempo solo o jugando a las muñecas con sus primas. A los doce años, Mishima comenzó a escribir sus primeras historias. Leyó vorazmente las obras de Wilde, Rilke, y numerosos clásicos japoneses. Aunque su familia no era tan rica como las de los otros estudiantes de su colegio, Natsu insistió en que asistiera a la elitista Escuela Peers a la que acudía la aristocracia japonesa, y de forma eventual, plebeyos de holgada situación económica. Después de seis desdichados años de colegio, continuaba siendo un adolescente frágil y pálido, aunque empezó a superarse convirtiéndose en el miembro más joven de la junta editorial de la sociedad literaria de la escuela. Fue invitado a escribir un relato para la prestigiosa revista literaria, Bungei-Bunka (Cultura literaria) presentando Hanazakari no Mori (El bosque en todo su esplendor). La historia fue publicada en forma de libro en 1944, aunque en una pequeña tirada debido a la escasez de papel en tiempo de guerra. Mishima fue llamado a filas de la Armada japonesa durante la Segunda Guerra Mundial. Cuando pasó la revisión médica coincidió que estaba resfriado, y de forma espontánea mintió al doctor de la Armada asegurando que padecía tuberculosis, gracias a lo cual fue declarado incapacitado. Aunque a Mishima le alivió no tener que ir a la guerra, con el tiempo acabó sintiéndose culpable por haber sobrevivido y haber perdido la oportunidad de tener una muerte heroica. Aunque su padre le había prohibido escribir más (se suele citar una ocasión en que su padre rompió unos escritos de primera juventud ante la mirada del joven Mishima), Mishima continuó haciéndolo en secreto cada noche, apoyado y protegido por su madre Shizue, que era siempre la primera en leer cada nueva historia. Su padre, simpatizante de los nazis, le obligó a estudiar la Ley alemana. Asistiendo a clase durante el día y escribiendo de noche, Mishima se graduó en Derecho en la elitista Universidad de Tokio en 1947. Obtuvo un trabajo como funcionario en el Ministerio de Finanzas del Gobierno. Sin embargo, acabó tan agotado que su padre no pudo objetar nada cuando presentó la dimisión de su cargo durante su primer año. Mishima comenzó su primera novela, Tōzoku (Ladrones), en 1946 publicándola en 1948, lo que le situó en la llamada segunda generación de escritores de posguerra (una clasificación en la literatura japonesa moderna que agrupa a los escritores que aparecieron entre 1948 y 1949). Le siguió Kamen no Kokuhaku (Confesiones de una máscara), una obra autobiográfica sobre un joven  homosexual que debe esconderse tras una máscara para encajar en la sociedad. La novela tuvo un enorme éxito y convirtió a Mishima en una celebridad a los 24 años. Tras Confesiones de una máscara, Mishima trató de dejar atrás al joven idealista que se había forjado, continuamente coqueteando con la muerte. Intentó vincularse al mundo real, sometiéndose a una estricta actividad física (duro entrenamiento de tres sesiones por semana durante los últimos quince años de su vida), que le permitió esculpir un impresionante físico, como muestran muchas de las fotografías que se hizo. También llegó a ser muy hábil en Kendō (arte marcial japonés de la esgrima). Aunque frecuentó locales de ambiente gay en Japón, lo hizo siempre como observador, reservando los encuentros con hombres sólo en sus viajes al extranjero. Tras considerar casarse con Michiko Shoda (la posterior esposa de Akihito), finalmente contrajo matrimonio con Yoko Sugiyama en 1958. En los tres años siguientes la pareja tuvo una hija y un hijo. En el año 1967, Mishima se alistó en las Fuerzas de Autodefensa de Japón. Un año más tarde formó la Tatenokai (Sociedad Escudo), milicia privada compuesta sobre todo por jóvenes estudiantes patrióticos que estudiaban principios de artes marciales y disciplinas físicas con el que pretendía reencarnar los valores nacionales de "su" Japón tradicional para la que incluso diseñó su marcial uniforme. Como escritor, Mishima fue disciplinado y versátil. No solo escribió novelas, series populares, relatos y ensayos literarios, también obras muy aclamadas para el teatro Kabuki y versiones modernas de dramas Noh tradicionales. Su escritura le hizo adquirir fama internacional y un considerable seguimiento en Europa y América, por lo que muchas de sus obras más famosas fueron traducidas al inglés. Entre sus obras posteriores, destaca su tetralogía El mar de la fertilidad, compuesta de las novelas Nieve de primavera, Caballos desbocados, El templo del alba y La corrupción de un ángel (esta última editada póstumamente), que, en su conjunto, constituyen una especie de testamento ideológico, en el que se rebelaba contra una sociedad sumida para él en la decadencia moral y espiritual como consecuencia de su occidentalización. Escribió 40 novelas, 18 obras de teatro, 20 libros de relatos, y al menos 20 libros de ensayos así como un libreto. Una gran parte de su obra está formada por libros alimenticios escritos rápidamente, pero incluso descartando éstos, su obra ha sido unánimemente valorada. Su ensayo más importante, Bunka boueiron (En defensa de la cultura), defendía la figura del Emperador, como la mayor señal de identidad de su pueblo. Viajó ampliamente, siendo propuesto para el Premio Nobel de Literatura en tres ocasiones, y pretendido por muchas publicaciones extranjeras. Sin embargo, en 1968 su primer mentor Yasunari Kawabata ganó el premio y Mishima se dio cuenta de que las posibilidades de que fuera concedido a otro autor japonés en un futuro próximo eran escasas. Se sospecha también que Mishima quiso dejar el premio a Kawabata, de más edad, como muestra de respeto por el hombre que lo había presentado en los círculos literarios de Tokio en la década de los 40. El 25 de noviembre de 1970, después de entregar la última parte de su tetralogía a su editor, Mishima y cuatro miembros de la Tatenokai visitaron con un pretexto al comandante del Campamento Ichigaya, el cuartel general de Tokio del Comando Oriental de las Fuerzas de Autodefensa de Japón. Una vez dentro, procedieron a cercar con barricadas el despacho y ataron al comandante a su silla. Con un manifiesto preparado y pancartas que enumeraban sus peticiones, Mishima salió al balcón para dirigirse a los soldados allí reunidos. Su discurso pretendía inspirarlos para que se alzaran, dieran un golpe de estado y devolvieran al Emperador a su legítimo lugar. Sólo consiguió molestarlos, que le abuchearan y se mofaran de él. Al no ser capaz de hacerse oír, acabó el discurso tras unos pocos minutos. Regresó a la oficina del comandante y cometió seppuku (en Japón el término hara-kiri se considera vulgar, y se prefiere éste, más culto). La costumbre de la decapitación al final de este ritual le fue asignada a su asistente Masakatsu Morita, que trató de decapitarlo por tres veces sin éxito. Finalmente, fue Hiroyasu Koga el que lo logró. A continuación, Masakatsu Morita intentó realizar su propio seppuku. Aunque sus cortes fueron poco profundos para ser fatales, hizo una señal a Koga para que también le decapitase. Mishima preparó su suicidio meticulosamente (incluyendo la composición del jisei, un poema personal cuando se acerca la hora de la muerte, otro de los elementos del suicidio ritual) durante al menos un año y nadie ajeno al cuidadosamente seleccionado grupo de miembros de la Tatenokai sospechaba lo que estaba planeando. Mishima debía haber sabido que su intento de golpe jamás podría haber tenido éxito y su biógrafo, traductor, y antiguo amigo John Nathan sugiere que fue sólo un pretexto para el suicidio ritual con el cual Mishima tanto había soñado. Mishima se aseguró de que sus asuntos estuvieran en orden e incluso tuvo la previsión de dejar dinero para la defensa en el juicio de los otros tres miembros de la Tatenokai que no murieron. El suicidio de Mishima estuvo rodeado durante mucho tiempo de un gran número de especulaciones Según la mayor parte de los expertos, con su muerte desapareció uno de los críticos más lúcidos de la sociedad japonesa de posguerra y un artista superdotado que marcó señaladamente un rumbo en la historia de la literatura japonesa contemporánea. En sus últimos diez años de su vida, Mishima actuó además en varias películas y codirigió la adaptación de una de sus historias, la comentada Yûkoku. El Festival de Sitges 2010 comienza el jueves 7 de Octubre  y finalizará el 17 del mismo mes. En la magnífica http://sitgesfilmfestival.com/cas/puede puede seguirse casi al milímetro, incluyendo trailers y dossiers sobre gran parte de las películas presentadas a concurso. Deseamos mucha suerte al cortometraje de Frenkel, aunque sinceramente desde un punto de vista cinematográfico no le vemos demasiadas posibilidades. El mes que viene os lo contaremos. Desde luego no nos podemos quejar de que esta sección no de juego cultural. Os recuerdo que podéis enviar vuestros comentarios, sugerencias u opiniones sobre estas reseñas a la dirección alfonso@mat.uva.es indicando en el asunto del mensaje “Reseña número xx (el número que sea)”. Prometo responder a todas.

Martes, 05 de Octubre de 2010 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

764. 76. (Octubre 2010) PRIME TIME

Los números primos no son claves solamente en la historia de las matemáticas, también se han utilizado como símbolos cabalísticos, se han asociado a creencias supersticiosas y se han prestado a discusiones filosóficas. Tampoco pueden faltar en esta sección: los números primos protagonizan algunos juegos de magia, como el que describimos a continuación. Este juego aparece en el folleto titulado "Impuzzibilities", escrito por Jim Steinmeyer, mago más conocido por ser el "hombre invisible", es decir el inventor, diseñador y creador de muchas de las grandes ilusiones de magia interpretadas por los magos más populares del último cuarto de siglo. También es un gran conocedor y estudioso de la historia de la magia, tema sobre el que ha escrito varios libros. Sigue las instrucciones que se indican y trata de averiguar la relación del juego con los números primos. Saca de la baraja cinco cartas, del as al cinco de cualquier palo. El resto no se utilizará. Colócalas en orden, del as al cinco, caras arriba en la mano. El as será la carta superior y el cinco estará debajo. Ahora piensa un número menor que cinco. Ese será tu número mágico. Según el número elegido, pasa de arriba abajo del paquete tantas cartas como indique dicho número. Por ejemplo, si habías pensado el cuatro, pasarás cuatro cartas y te quedaría a la vista el cinco. Gira cara abajo la carta superior del paquete y déjala en el mismo sitio. En nuestro ejemplo, girarías el cinco y quedaría cara abajo sobre el resto. Repite los pasos 4 y 5, es decir, pasa de arriba abajo del paquete tantas cartas como tu número mágico, gira la carta que ha quedado encima del paquete (si está cara arriba la colocas cara abajo y si está cara abajo la colocas cara arriba) y déjala otra vez encima del paquete. Vuelve a repetir el mismo proceso dos veces más. Al final habrás girado cuatro cartas. Pues bien, observo que queda solamente una carta cara arriba. Además, puedo adivinar que se trata del as. Explicación (extraída del libro "Magia por principios", 2008): Se atribuye a George Sands, en un juego publicado en la revista The Pallbearers Review (1975) el llamado Principio del Número Primo: “Se tiene una baraja con un número primo p de cartas (por ejemplo, 5, 7, 11, 13, 17, …), se da a elegir una de las cartas y se coloca encima. Se elige un número n menor que p y se realizan las siguientes operaciones. Se pasan una a una n cartas de arriba abajo de la baraja y se gira cara arriba la carta que ha quedado encima. Se vuelve a repetir el proceso: se pasan n cartas de arriba abajo de la baraja y se gira nuevamente la carta superior. No importa si la carta está cara arriba o cara abajo: simplemente se gira la carta que corresponda. Si se realiza la operación p – 1 veces, se habrán girado p – 1 cartas. Casualmente, o quizá mágicamente, todas las cartas giradas estaban cara abajo. Sólo queda una carta cara arriba. Al final, la única carta cara arriba es la elegida.” La explicación descansa en el hecho de que, al ser p primo, ninguno de los valores n, 2n, 3n, …, (p – 1)n (con n < p) es múltiplo de p. Como el proceso seguido no invierte el orden de las cartas y las cartas correspondientes a dichos valores son las que se colocan caras arriba, la primera carta no se volverá en todo el proceso. Sólo al realizar el proceso p veces llegaríamos a la carta superior (pues p·n sí es múltiplo de p). Puedes encontrar otros juegos basados en el mismo principio en el libro citado arriba. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Viernes, 01 de Octubre de 2010 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

765. 42. (Octubre 2010) Victoria Martin: La reina del equipo de Matemáticas

En 1878, Julia Miles fundaba Women's Project, una compañía norteamericana dedicada a producir y promocionar el teatro escrito por mujeres. Sus producciones han reflejado los problemas, temores, ilusiones y puntos de vista de las mujeres, abriendo una ventana de oportunidades de expresión y trabajo a numerosas artistas y creadoras. La comedia que esta compañía produjo y estrenó en enero de 2007 en el Julia Miles Theater de Manhattan, Victoria Martin: Math Team Queen, reúne muchas de las características mencionadas: la autora es la dramaturga Kathryn Walat y la pieza gira entorno al personaje femenino del título, Victoria Martin. En este caso, además, las Matemáticas son parte primordial del decorado de la obra. La trama Victoria Martin es una joven estudiante de segundo curso (sophomore) en el instituto Longwood High School. Tras un primer año de adaptación difícil, agravado por el divorcio de sus padres, Victoria parece haberse recompuesto y haberse hecho con un lugar de honor en la jerarquía social del instituto: su novio es la indiscutible estrella del excelente equipo de baloncesto y sus dos mejores amigas, las homónimas Jen, son las animadoras más conocidas. En la parte opuesta de la escala de popularidad, de hecho absolutamente ignorados, están los miembros de otro equipo que representa al instituto Longwood, el de Matemáticas: Jimmy, de primer curso (freshman), objeto de burlas y bromas pesadas, se encarga de llevar los promedios y estadísticas del equipo de basket. Franklin, de tercer curso (junior), compañero inseparable de Max desde que su familia se mudó, cuando él tenía 7 años, a su mismo barrio. Max, de tercer curso, el amigo de infancia de Franklin, con quien estudia y comparte aficiones. Peter, de cuarto año (senior), el capitán, tiene carnet de conducir y ya ha conseguido pasar el examen de acceso para el MIT. Su única motivación en este último curso es alcanzar con el equipo la final regional en el campeonato de matemáticas. Completaba el equipo un joven de segundo curso: MAX: Sanjay Patel es una leyenda, de una casta diferente. FRANKLIN: No tanto por él mismo con su mochila a la espalda pedaleando en su bicicleta de diez marchas. Era su cerebro. MAX: Su habilidad para las matemáticas era superlativa, ejemplar... monumental. Exorbitante. Astronómica. Incontrovertible. Simplemente era... FRANKLIN: Inmenso, Max, era inmenso. Mira, la verdad es que Sanjay Patel era la razón por la que este curso íbamos a ganar el campeonato regional. Pero ahora. Y es que los padres de Sanjay Patel se mudan a Arizona, de modo que el equipo de matemáticas no sólo se queda sin su genio sino que se enfrenta a la tesitura de substituirlo por otro estudiante de segundo: (VICTORIA, inmóvil de pie en la puerta, poco acostumbrada a que la ignoren.) VICTORIA: Eh, ¡Hola! MAX: Pero Sanjay Patel simplemente usaba su cerebro. FRANKLIN: ¿Qué vamos a hacer sin él? VICTORIA: Tierra llamando a los pirados de las mates... MAX: Hoy, Peter. FRANKLIN: En la competición de hoy nosotros... PETER: Lo sé, no te preocupes, ya se me ocurrirá algo. VICTORIA: Me recibís, piraos de las mates... (Finalmente se percatan de ella.) MAX: ¡Oh! Es por nosotros. PETER: ¡Hola! FRANKLIN: La clase de apoyo es... MAX: en la puerta de al lado. VICTORIA: Ya, sí, pero no estoy aquí para... Yo soy... PETER: ¿Victoria Martin? (JIMMY, de primer curso, irrumpe por la puerta) JIMMY: Lo siento, lo siento, lo siento, sé que llego tarde pero alguien abrió la cremallera de mi mochila y mis libros se cayeron por todo el pasillo, así que tuve que... (Ve a VICTORIA y para.) VICTORIA: Llamadme Vickie. PETER: Yo soy Peter. Este es el equipo. El señor Riley recomendó que Vickie, aquí presente, reemplazara a “mis padres se mudan a Arizona en mitad de curso” Sanjay Patel. JIMMY: Pero es... una chica. Una chica, y además famosa en todo el instituto, iba a formar parte del equipo de Matemáticas. Eso rompía con todas las reglas no escritas pero aplicadas a rajatabla. El señor Riley había dejado las cosas claras a Victoria: o se unía al equipo de Matemáticas o se tendría que quedar castigada en el instituto después de clases. La adaptación a la nueva situación no resulta fácil ni para Vickie ni para los chicos. Ella trata de mantener en secreto su vinculación con el equipo, ya que de conocerse arruinaría su “reputación”. Ellos creen que Victoria arruinará el futuro del equipo: JIMMY: ¿No sabéis quién es? MAX: Sí. Ella es... famosa. JIMMY: Me refiero a quien va a pasar a recogerla. ¿Sabéis quién va a recogerla? ¡Scott Sumner! PETER: ¡Ese tío tan alto del equipo de baloncesto! JIMMY: Ése al que le llevo las estadísticas. Sí, de ese equipo del instituto, ese Scott Sumner, el que tiene el porcentaje más alto de canastas encestadas de toda la liga y por eso me libro de que me zurren en el vestuario cuando leo los promedios  del equipo. Ése vendrá a recogerla. FRANKLIN: ¿Por qué no elegimos simplemente a otro de segundo, como ese chaval que toca el fagot? PETER: A ver, no sólo necesitamos un estudiante de segundo... necesitamos una chica de segundo. ¿Vale? Así que, ¿alguno de vosotros conoce a otras chicas de segundo? (Se miran unos a otros.) Me parece que no. MAX: ¿Quieres decir que la única razón de que ella esté en el equipo es porque es una chica? PETER: ¿Pensabas que era porque se le da bien el álgebra? Es la que se sienta al fondo de la clase del señor Riley garabateando con su lápiz todo el pupitre. FRANKLIN: ¿Esos juegos del ahorcado? PETER: El señor Riley dijo que el director Nichols dijo que éste es un equipo mixto y que por tanto necesitamos una chica. MAX: Pero nunca antes ha habido una chica en el equipo de Matemáticas. JIMMY: Es cierto. Comprobé las estadísticas esta mañana antes de ir a clase. FRANKLIN: Dios, ¡no es justo! MAX: Entonces, ¿qué vamos a hacer? JIMMY: A mí me gusta. FRANKLIN: Cállate Jimmy. MAX: ¿Y bien? Peter... PETER: No sé. Supongo que ella... ya es del equipo. Pero sí sé una cosa: ni de puta coña... perdona Jimmy, sé que a tu madre no le gusta que usemos  palabrotas. Lo diré de esta manera: ¿Cuál es la probabilidad de que lleguemos a la final regional con Vickie Martin en el equipo de Matemáticas? Tiende rápidamente a cero. Tras el descalabro inicial en el debut de Victoria, y los consiguientes reproches presionándola para que abandone, poco a poco las cosas empiezan a cambiar. Tal vez Vickie no sea tan brillante como Sanjay Patel pero su sola presencia revoluciona el equipo y con sus cualidades contribuye a reforzarlo en varios aspectos: PETER: Llegó ella. Y dijo que no podíamos quitarnos las zapatillas en la furgoneta porque nuestros pies apestaban. Y trajo barritas de Cracker Jacks a los entrenamientos, porque dijo que eran retro, e hizo que le diésemos todos nuestros premios. Excepto las pegatinas. Que nos obligó a poner en la frente porque dijo que nos darían poder cerebral... y nos lo dieron. Y en la competición, cuando está trabajando en sus problemas siempre tiene esa simpática expresión en su cara justo cuando ve un problema, y sabe que lo ha visto, y yo sé que lo ha visto, y sabemos que lo tenemos... entonces es cuando pienso: ¡es alucinante! Porque el equipo de Matemáticas del Instituto Longwood ha vuelto a ganar. Pero ahora, el equipo es... diferente. Mejor. Sabes, es algo más que mates. Victoria también reflexiona acerca de sus prejuicios iniciales hacia los “pirados de las mates”, y comienza a reconocer que le gustan y que desea ser parte del equipo. Al principio su actitud es defensiva, casi hostil: VICTORIA: Tampoco yo necesito mis libros. Ni siquiera necesito estudiar para aprobar. No soy estúpida, te enteras. Y, ¿quieres que te diga algo más? No voy a dejar el equipo. Incluso aunque todos vosotros chaponcetes queráis que lo haga. ¿Creéis, perdedores, que sois los únicos que controláis de mates? Yo controlo de mates, yo puedo formar parte del equipo de Matemáticas. Soy famosa pero también soy a tope, a tope de lista. Pero pronto la relación con sus compañeros se torna amistosa. Ellos le ayudan con sus lecturas para la clase de Inglés, que Vickie corre el riesgo de suspender. Con Peter se encuentra muy cómoda. Él no sólo escucha sus problemas, anhelos y dudas, en particular la dolorosa separación de su padre y los problemas de comunicación y convivencia con su madre, sino que se presta a enseñarle a conducir. Su relación está extrañamente asociada al número π, ya que Vickie ha memorizado las primeras 52[1] cifras y acostumbra a recitarlas en sus momentos de introspección: VICTORIA: [...] Yo sólo quería sobrevivir. Pasar el curso y llegar al verano para poder ir a California, donde nadie sabe quien soy. Excepto mi padre. Él sabe lo que me gusta sin necesidad de preguntar, como la pizza con salchicha y brécol, y los episodios repetidos de “The Honeymooners”, y los números. Supongo que lo que realmente me gusta son los números. Pero entonces pensé que es una estupidez que te gusten los números. Porque, en el instituto, ¿de qué te valen los números? PETER: ¿Aún piensas así ahora? VICTORIA: Ahora es un pelín diferente. PETER: Porque ahora estás en el equipo de Matemáticas. VICTORIA: Como en la competición del miércoles. Estaba enfrascada en aquella ecuación algebraica en varias variables, asquerosa a mazo, a punto de enloquecer... PETER: Y tus manos... ¿sudaban? VICTORIA: Y tanto, me secaba las palmas en los vaqueros para poder sujetar el lápiz. Y sólo escuchaba la respiración de aquel crío pelirrojo asmático. Adentro y afuera. Adentro y afuera... y no podía dejar de escuchar porque juraría que en cualquier momento iba a dejar de respirar y, por si fuera poco, laté a clase de gimnasia el día que dieron aquel curso de primeros auxilios. Pero entonces simplemente empecé a mover mi lápiz. Rápido. Me imaginé que era como el pincel de aquel tipo del espectáculo de dibujo... ¿lo viste alguna vez después de clases? Trazos, trazos, trazos, y no tengo ni idea de adónde voy, simplemente lo estoy haciendo... substituyo, simplifico... me aproximo a través de la niebla, como cuando un artista dibuja una línea de color en un lienzo en blanco y piensas: ¿cómo diablos va a convertir eso en una escena de montaña? PETER: Pero, no hay tiempo para pensar, porque las manecillas avanzan, así que tan sólo haces que el lápiz se mueva. VICTORIA: Y de repente, la ecuación empieza a parecerse a otra cosa, ¿verdad? PETER: Algo diferente. VICTORIA: Algo nuevo, en términos de la variable y, y entonces sé exactamente adonde voy. PETER: Es entonces cuando tienes esa expresión divertida en tu cara. VICTORIA: ¿Qué expresión? PETER: Justo cuando... no importa. VICTORIA: Es como, si pudiera ver los pasos delante de mi y yo me limito a seguir avanzando y avanzando y... PETER: Y tu corazón palpita. VICTORIA: Y no tengo ni idea de si el crío con asma respira o no, y no me importa. PETER: Tan sólo quieres tener la respuesta antes de que digan dejen sus lápices. VICTORIA: Sí. ¿Y sabes una cosa? En todo ese tiempo no pensé ni un solo instante en mi padre en California, o en las Jen practicando con las animadoras, o en suspender inglés. Lo que sentía en mi cabeza era como el flotar de las hojas amarillentas en el lago Weber. Como si los números hubiesen... parado. Creo que eso es lo que debe de sentirse cuando π acaba. PETER: π nunca se acaba, simplemente sigue y sigue... VICTORIA: Sin ningún patrón. PETER: Ninguno que nadie haya descubierto. VICTORIA: Pero si se acabase... y podría acabarse... creo que eso es lo que se sentiría. (Por un instante miran hacia adelante, contemplando π) 3'1415926535897932384626433832795028841971693993751058 Las 52 primeras cifras decimales del número π Los componentes del equipo de Matemáticas del instituto Longwood están eufóricos. Peter ve posibilidades de alcanzar la final regional y le gusta Vickie. Franklin y Max, más motivados que nunca, preparan juntos los exámenes de ingreso a la Universidad. Jimmy, secretamente enamorado de Victoria, vislumbra la salida a su ostracismo. Y Victoria... Victoria misma se dirige directamente al público (un recurso narrativo empleado a menudo por los personajes a lo largo de la obra) para hacerlo partícipe de su estado emocional: VICTORIA: Se dan cuenta, soy Vickie Martin, indiscutiblemente famosa y dedicada en cuerpo y alma al equipo de Matemáticas. Y dado que soy Vickie Martin puedo hacerlo. Puedo dedicar mi tiempo a lo que me plazca y pasa que me gustan las mates, ¿vale? Y no hagan de esto un titular. Nunca conocí a nadie excepto mi padre al que también le gustaran las mates. Así que las mates... eran simplemente... papi. Pero ahora él vive en California, donde está muy, muy ocupado, así que a veces se olvida de llamarme, así que ahora siento que... Vickie adora las mates. Vickie Martin es buena con las mates. Vickie Martin, la reina del equipo de mates. Victoria Martin... Llámenme Victoria, si son ustedes tan amables. Porque gracias a mi el equipo de Matemáticas de nuevo es victorioso. Y entonces llega el día más esperado en el instituto Longwood: el día de la final del campeonato regional de baloncesto. Nadie quiere perdérselo, salvo Franklin y Max que se han quedado en casa de Max preparando el examen de ingreso. Peter, por culpa de una avería en su coche, llega al pabellón en el descanso del partido y se tropieza con una enojadísima Victoria que recita cifras de π para calmarse. Una de las Jen ha estado haciendo comentarios desagradables sobre el divorcio de los padres de Victoria. Mientras se juega la segunda parte, Peter trata de calmar a Vickie a la entrada del estadio. Scott Sumner anota la canasta ganadora. Eufórico, y con un apretón, Jimmy sale disparado del pabellón justo a tiempo para ver como Peter y Victoria se besan. Dolido y meado, baja al vestuario a contarle a Scott la traición de su novia estropeando la noche mágica de la estrella y convirtiéndose, por la delatora mancha en sus pantalones, en el hazmerreír de los demás. Max confiesa a Franklin que le gustaría besarle. Franklin, totalmente sorprendido y aturdido por la inesperada confesión de su amigo del alma, huye de la casa de Max. El equipo de Matemáticas al completo Unos pocos días después, Peter convoca una reunión de urgencia del equipo. El instituto que iba primero en la clasificación de su grupo fue descalificado al descubrirse que uno de sus profesores conseguía fraudulentamente las preguntas antes de los partidos. Como consecuencia, si ganaban el siguiente encuentro pasarían a la final regional. Pero las buenas noticias llegan en un mal momento para el equipo, la tensión entre sus componentes es enorme y las fricciones comienzan a hacerse visibles. Jimmy intenta superar las consecuencias de su aciaga conducta del día del partido de baloncesto sintiéndose traicionado por Peter. Franklin ha visto como un pilar fundamental de su mundo, Max, se derrumbaba. Max no comprende la rudeza con la que le trata su amigo. Peter, obsesionado con Victoria, por primera vez en su vida se siente confundido, sin saber qué hacer y cómo actuar. Para empeorar las cosas, Jimmy ha contado a Victoria los comentarios despectivos de Peter cuando ella se unió al equipo. Y Victoria ha recibido una nota manuscrita de las Jen, quienes ya están al tanto de su beso traidor y su oculta vinculación con el equipo de Matemáticas, en la que le plantean un ultimátum: o ellas o los chaponcetes. Pero la vida debe seguir. Los jóvenes, al igual que en los torneos de Matemáticas, han de enfrentarse a sus problemas y buscar  soluciones con los recursos propios: MAX: [...] Yo me sinceré. Se lo dije Victoria. ¿Crees que fue fácil? Y tú... tú mentiste... a todos. Mentiste acerca de las mates, hasta que te pillaron. VICTORIA: No era mi intención. MAX: ¿Qué?... ¿Que te pillaran? Sabes, realmente llegué a creer que te gustaba estar en el equipo de Matemáticas. VICTORIA: Me gusta, creo. O sea... MAX: Entonces, ¿dónde está el problema? VICTORIA: El problema es que me siento justo en medio de las dos, Jen y Jen. Una a cada lado. En la clase de Inglés, que voy a tener que repetir durante el verano si me salto otra... MAX: Pues no te la saltes. Vete a clase y siéntate allí, justo en medio de ellas. Haz tus deberes. Porque para aprobar Inglés puede que tengas que abrir el libro y leerlo. Y cuando estés en clase, levanta la mano. Abre la boca, y no para meter una barrita de Big Red. Por si aún nadie te lo dijo Victoria, tienes que dar la cara. Como el resto de nosotros en este instituto. Pese a todo, el equipo de Matemáticas gana su pase a la final. El gran día del encuentro regional, durante la prueba de grupo, estallan definitivamente las tensiones contenidas. Peter sufre una leve intoxicación y vomita durante la competición, Franklin y Max se pelean, y Jimmy y Victoria rompen en mil pedazos el ejercicio del grupo. Pero este desastre tiene efectos catárticos. Los miembros del equipo de Matemáticas consiguen recomponer sus relaciones dispuestos a iniciar una nueva etapa. Franklin acepta la homosexualidad de Max. Peter le pide a Victoria que salgan juntos y le acompañe al baile de la promoción. Jimmy conoce a una chica y la invita a unirse al equipo del próximo curso. Y Victoria, la reina del equipo de Matemáticas, que ha aprobado Inglés sorprendiendo a las Jen con una brillante exposición de El guardián entre el centeno, será la capitana del equipo el próximo curso. Además, ha mejorado sus relaciones con su madre y espera ansiosa visitar a su padre en California... “Porque, por si acaso no se han dado cuenta, he conseguido que π sea algo a tope, a tope de guay”. El análisis En palabras de la autora de esta divertida comedia: “Creo que el mensaje de la obra, si hay alguno, es que se trata de darse cuenta de quien eres y quien quieres ser”. Para desarrollar ese mensaje, Kathryn Walat ambienta su pieza en un instituto porque es a esas edades cuando se empieza a tomar decisiones claves que marcarán el futuro de cada individuo, cuando nos enfrentamos con problemas de convivencia con los padres, sufrimos los primeros amores y desamores, tenemos responsabilidades en nuestros estudios,... en una palabra: maduramos. Pero además es la época en que vivimos estas vicisitudes con una pasión y una intensidad sin límites, y nadie está libre de inseguridades, de dudas y de secretos. La clave podría estar en el lema que Victoria leyó en sus fortune cookies: “Harás grandes cosas, pero tienes que hacerlas”. Las Matemáticas cumplen en Victoria Martin: Math Team Queen una función secundaria. Ciertamente, la autora ha evitado cuidadosamente introducir detalles técnicos que pudiesen “espantar” al espectador más allá de la vaga mención a la irracionalidad de π en el diálogo entre Peter y Victoria. No obstante, sí se tocan varios aspectos acerca de los que merece la pena reflexionar. La mala reputación de las Matemáticas. A la hora de elaborar la estructura principal de la obra, la autora necesita buscar un elemento que el público asocie como impopular, negativo, carente de cualquier atractivo, y que se oponga diametralmente al éxito social que persigue Victoria, representado por las Jen, su novio Scott y una actitud rebelde y “a la moda”. Y elige a las Matemáticas. En palabras de Victoria: “El equipo de Matemáticas no es ni siquiera detectado por el radar social de Longwood High School. Es como... un agujero negro en el universo de la popularidad”. Malo es que se siga produciendo esta asociación basada en lo que Sánchez Ron describía en un artículo como “la mala fama social, la leyenda negra, que desde hace generaciones afecta a esta venerable, varias veces milenaria, materia”, pero peor aún, según el historiador, es que no seamos capaces de transmitir las inolvidables experiencias a que dan lugar las Matemáticas: “Nadie es igual después de haber pasado por semejantes experiencias; en cierto sentido le cambian a uno la vida, porque se da cuenta de lo que es capaz de hacer, de que existe un universo mental al que puede acceder, aunque sólo sea asomándose a territorios que indudablemente esconden más tesoros...”. Por eso es tan importante que la autora no sólo narre a través de Victoria las increíbles sensaciones que una persona, un o una estudiante, puede experimentar al resolver un problema matemático sino que, implícitamente, las equipare a las de anotar una canasta decisiva. No duda tampoco Kathryn Walat en introducir, para ir desmontándolos sutilmente, muchos de los habituales clichés asociados al buen estudiante de matemáticas: chico, antisocial, marginado, aislado, blanco de bromas pasadas,... Personajes como Victoria Martin, Thomasina Coverly (Arcadia), Hal (Proof), presentan a jóvenes matemáticos alejados de esos burdos tópicos. Las competiciones tipo Olimpiada de las Matemáticas. Sabemos, aunque sólo sea por las películas, que las competiciones son parte consustancial en la vida académica en institutos y universidades norteamericanos. Hablamos no sólo de las deportivas, algunos de cuyos extraordinarios atletas compiten en los Juegos Olímpicos y son estrellas mundiales, sino también de torneos de todo tipo y condición. Quién no se ha sorprendido, por ejemplo, al descubrir que se disputan campeonatos de deletreo (spelling). En nuestro país estos campeonatos son más bien escasos aunque, sana excepción, la Olimpiada Matemática cuenta con una amplia tradición. Son pocos los datos que nos proporciona Kathryn Walat que nos permitan reconstruir la estructura del torneo de matemáticas en el que compite el Longwood High School. Tan solo algunas pistas acerca de la composición de los equipos, que deben poseer representantes de todos los cursos, y del tipo de problemas que se preguntan: “En las competiciones de Matemáticas se trata de partir de algo que deberías saber, o que tal vez sepas, y dar un paso adelante”. Los equipos deben enfrentarse también a una prueba de grupo: “Bien, una persona ataca el primer problema y cuando lo tiene resuelto pasa la respuesta a la segunda persona quien coge esa respuesta y la substituye en una de las variables del segundo problema. ¿Y si la respuesta fuese claramente incorrecta porque no encajase bien en el siguiente problema? Entonces se la devuelves a la primera persona y le dices que su respuesta no está bien ya que no funciona en el siguiente problema...”. Pero, lamentablemente, no tenemos ningún ejemplo concreto, ya que no hay ninguna escena en la que se muestre el encanto e interés de un torneo de estas características. No obstante, los propios integrantes del equipo nos dan una pista de cual podría ser un típico problema, un problema formulado no en lenguaje matemático sino con palabras: JIMMY: ¿Ayer, en la furgoneta? Tuvimos que arreglarlo para que Franklin no estuviera al lado de Max [...] y Peter y Victoria no podían sentarse juntos porque... [...] FRANKLIN: El caso es que Jimmy no quería sentarse al lado de ninguno de los dos. VICTORIA: Además, Jimmy tiene que sentarse junto a una ventana porque se marea. PETER: Todos juntos, en una furgoneta, moviéndonos a lo largo de una trayectoria y acelerando a una velocidad... VICTORIA: Era un problema  “de lógica”. La chicas y las Matemáticas. Victoria Martin se une al selecto grupo de heroínas matemáticas teatrales, encabezado por Thomasina Coverly (Arcadia), Catherine (Proof) e Hypatia (The Five Hysterical Girls Theorem). Todas ellas se erigen como símbolos de la lucha por conseguir para la mujer la igualdad de oportunidades que le corresponde, y que le fue negada hasta hace muy poco, para desarrollar plenamente su potencial como matemáticas y científicas. El elemento novedoso que Kathryn Walat introduce es el de reflexionar sobre el efecto de las acciones de “discriminación positiva” encaminadas a paliar la escasa presencia de mujeres en puestos que históricamente les han sido vedados. La opinión de la autora no puede quedar más clara a la vista de las beneficiosas consecuencias derivadas de la irrupción de Victoria Martin en el equipo, tradicionalmente masculino, de Matemáticas. Permítasenos traer a colación, aunque puedan parecer anecdóticos, dos hechos recientes. No había ninguna chica entre los 6 integrantes del equipo español que participó en la 51 Olimpiada Internacional de Matemáticas celebrada en julio de 2010 en Astana, Kazajstan. Entre los acuerdos tomados en la reciente Asamblea General de la IMU, destaca la elección, por primera vez en la historia de esta institución, de una mujer, la profesora de la Universidad de Princeton de origen belga Ingrid Daubechies, como presidenta. Victoria Martin: Math Team Queen es una obra amena y divertida que, como hemos visto, no por ser una comedia de ambiente juvenil deja de plantear asuntos de interés para el público de cualquier edad. Pensamos que esta pieza podría tener una excelente acogida en nuestros institutos, no sólo por su contenido y temática sino porque, por sus características, se presta para ser representada por jóvenes.   Referencias [1] Kathryn Walat, Victoria Martin: Math Team Queen. Samuel French, Inc. New York. 2007. [2] Ira Flatow, N.Y. Stage Play Celebrates 'Math Team Queen'. Transcripción de la entrevista a Kathryn Walat en Talk of the nation: Science friday. National Public Radio, 19 de enero de 2007. [3] Neil Genzlinger, Theater review: The Math Rookie Is a Girl, a Big Problem for the Geeks. The New York Times. 2007.   Notas: [1] Victoria afirma saber de memoria las primeras 52 cifras de π, aunque en el libreto de la obra se reproducen exactamente la parte entera de π y sus primeras 50 cifras decimales.

Viernes, 01 de Octubre de 2010 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

766. 41. (Septiembre 2010) Primos entre sí, de Omar Gil Álvarez

El cartel de la obra[1] contiene parte de las nociones las matemáticas de las que se hablan: desde la numeración binaria hasta los diferentes tipos de curvaturas en superficies,  pasando por la falta de conmutatividad de muchos procesos. En esta obra de teatro sólo hay dos personajes, los dos primos Walter Gómez Berrutti y su prima. Como se aclara durante la obra, en realidad no les unen lazos familiares, sino que “la prima” es en realidad la hija de una amiga íntima de la madre de Walter. Desde pequeños, ambos personajes han compartido espacio y vivencias, como primos, como amigos y como “algo más que camaradas” en un juego ambiguo, que continúa durante la obra. El juego de palabras del título –ser primos entre sí en el sentido matemático... ¿o personal?–  es un avance de las situaciones equívocas que se plantean entre ambos primos y de las matemáticas que nos van a acompañar durante toda la puesta en escena. La obra es un pretexto para hablar de manera divulgativa sobre diversos conceptos matemáticos, incorporándolos a diferentes objetos y situaciones cotidianas. El objetivo final es mostrar como las matemáticas inundan nuestro día a día –ya sea de manera patente o de forma algo más encubierta– y cómo es necesario incorporar esta perspectiva en el mundo de la educación. A través de los dos primos que discuten y se adoran, riñen y se acarician, se invita a reflexionar sobre la dificultad de la enseñanza de las matemáticas, de manera distendida, ingeniosa, pero siempre divertida. La historia está basada en el relato corto titulado El indiscreto encanto de la geometría,  que quedó finalista en el II Concurso de Relatos Cortos DivulgaMAT en 2006 (publicado en Relatos Matemáticos. Sobre números y letras, Anaya, 2007, 159-167). Walter Gómez Berrutti es Doctor en Matemática, profesor en la Universidad de California,  y regresa a su Montevideo natal para impartir una serie de conferencias centradas en problemas de educación y de la enseñanza de las matemáticas. Como se indica en el  programa de mano, el listado de conferencias es el siguiente: Ciclo de conferencias del Prof. Walter Berrutti Geometrías no euclidianas. En la geometría euclidiana clásica, los ángulos de un triángulo suman 180 grados. No en otras geometrías posibles, con significado para la cartografía, la física, el procesamiento de imágenes, el arte, etcétera. Aritmética módulo un entero. Hay muchas aritméticas de uso corriente que operan sobre un conjunto finito de símbolos. La que sólo usa el cero y el uno es útil para procesar la información digital, y en ella uno más uno, ¡es cero! De tablas de números al cálculo con matrices. Cada vez que se ordenan números en una tabla se generan matrices, objetos con innumerables aplicaciones, para los que ¡el orden de los factores sí altera el producto! Redes y grafos. Redes de comunicaciones, de carreteras y de distribución de gas. Redes de amistades y de parentesco. Todo está interconectado. La teoría de grafos lo modela, y es un rico territorio para la educación matemática. ¿Estable o inestable? Saber si estructuras, conductas, estrategias de acción, etcétera, resisten las fluctuaciones del azar o desparecen al ser perturbadas es un problema práctico que interesa en las más variadas ramas de la ciencia. Teoría de juegos. En sociedad siempre estamos jugando, juegos serios o simplemente divertidos. En algunos juegos los participantes tienen intereses puramente antagónicos, en otros puede valer la pena cooperar. La elección social. ¡Qué difícil es ponerse de acuerdo cuando somos muchos! Aunque casi nunca hay una manera perfecta de conseguirlo, no todos los sistemas son igual de malos o de buenos. Análisis armónico: del arco iris al sonido digital. La luz del sol se descompone en un continuo de colores, la música en superposición de infinitas notas puras, y el sonido digital en unas pocas frecuencias: algo que usamos a diario. Búsquedas sobre la web. ¿Cómo encontrar algo en La Red? Los buscadores dan algunas respuestas, llenas de ingenio e ideas matemáticas. Datos de altas dimensiones e inteligencia artificial. Estamos rodeados de enormes cantidades de datos. ¿Cómo hacer para extraer de ellos alguna información relevante? ¿Cómo aproximarnos a la inteligencia humana? ¿Cuál es la mejor manera de...? La matemática ayuda a encontrar la forma más barata, más rápida, más descansada, más segura, más agradable, más lo que sea, de hacer algo. Un problema fundamental en las áreas más diversas. El tamaño sí importa. ¿Podría haber existido King Kong? ¿Por qué en las olimpíadas los botes con ocho remeros son más rápidos que los botes con cuatro? ¿De qué manera afecta el tamaño a estructuras de todo tipo? Orden y desorden. Hay sistemas que aparecen como caóticos y desordenados, aún así tienen cierto orden, incluso dotado de una gran belleza. ¿Cómo caracteriza la matemática el orden y el desorden? Secretos a voces: criptografía de clave pública. El arte de mantener secretos tiene una larga tradición. En la actualidad es una ciencia sofisticada, que protege nuestros datos y comunicaciones de intromisiones no deseadas. Tomando decisiones. Nuestra vida es compleja, y tenemos que organizar la agenda, ordenar tareas y asignar recursos. También aquí la matemática ayuda. Como guardar mucho en poco espacio. Estamos habituados a comprimir  y descomprimir archivos: la matemática está presente en estos procedimientos. El cálculo científico. Podemos simular fenómenos diversos en una computadora, con gran precisión. ¿Cómo se hacen todos estos cálculos? Algoritmos, algoritmos. Desde la antigüedad hasta la fecha la humanidad ha desarrollado un sin fin de procedimientos para resolver problemas. Su análisis ocupa un lugar central en la matemática contemporánea Cuando los errores se qorrigen solos. Somos capaces de interpretar correctamente una plabre mal escrita, ¿verdad?, y también de recuperar registros de memoria dañados. ¿Cómo se hace? Conclusiones. ¿Cómo debe afectar a la educación matemática el enorme florecimiento de la disciplina y sus aplicaciones durante el siglo XX Por supuesto, Walter no imparte las 20 conferencias. Pero a lo largo de la obra –ya sea en forma de lección, de conversación con su prima o en forma de programa de televisión–  se comentan breve y simplemente, sin tecnicismos, los temas o parte de ellos, de las ponencias 1, 2, 6, 8 y 19. La acción se sitúa entre la casa de la prima de Walter, donde se aloja el protagonista, y la sala de conferencias en la que Berrutti lleva a cabo sus exposiciones. Las matemáticas surgen tanto en el ámbito familiar –mientras preparan el desayuno, ven la televisión, conversan por teléfono, etc.– como durante las conferencias que Walter realiza, siempre de manera asequible, cercana al público y recurriendo a ejemplos cotidianos. De manera socarrona a veces, se desmontan algunas “verdades absolutas” que a todos nos han enseñado de pequeños: no todas las operaciones son conmutativas, no siempre la suma de los ángulos de un triángulo es de 180 grados,... no es necesariamente 1 + 1 = 2... todo depende del lugar, de que se esté midiendo, ... Comienza la obra en la sala de conferencias, presentando al ponente y el título de su serie de conferencias Educación Matemática: un Problema de Nuestro Tiempo. Los dos primos interpretados por Graciela Abeledo y Omar Gil Enseguida, la escena pasa a la casa de la prima, donde los dos personajes tienen su primera disputa... y surge la primera discusión matemática sobre la forma de medir distancias, la teoría de la relatividad... y la curvatura del espacio en torno a las mujeres bellas. Walter se burla de su prima, que cada vez se irrita más, hasta que la discusión estalla, la prima sale y la escena se congela por unos instantes, para pasar a convertirse en el anfiteatro donde Walter expone con tranquilo énfasis: ... compartir con ustedes, colegas interesados en la educación matemática, estudiantes de profesorado en matemática, estudiantes, autoridades del sistema educativo, público en general, un recorrido por algunos temas de la matemática que en nuestros días tienen gran importancia e interés... Para mostrar las relaciones de la matemática con nuestra vida cotidiana, a veces a través de nuevas tecnologías de uso corriente, como la computación o la telefonía móvil; los caminos por los que esta ciencia se ha ido formando, y por los que hoy en día continúa creciendo. Y cómo nuestra sociedad participa de esa creación colectiva; también enfatizaré muchas ideas simples y naturales que la animan... Minutos más tarde reaparece la prima, por unos segundos el anfiteatro y la cocina de la prima coexisten sobre el escenario, hasta que toda la escena vuelve a la casa. Mientras prepara el desayuno, la prima recrimina a Walter por haberla dejado plantada el día anterior: Eso es tan simple como que uno más uno es dos, y vos que además de no ser idiota sos matemático deberías saberlo bien. Este comentario lleva a introducir la lógica binaria, exhibiendo su presencia en ordenadores, discos compactos, teléfonos móviles, etc.: Lo siento, prima, disculpá. Pero no siempre es cierto que uno más uno sea igual a dos. [...] Resulta que a veces uno más uno es, por ejemplo, cero. [...] Esta también está buena: y el orden de los factores,… Como Walter espera, ella responde con un “No altera el producto”, lo que permite al matemático aludir a la falta de conmutatividad de la mecánica cuántica... y su relación con la electrónica. Continúa incordiando a su prima preguntándole sobre la suma de los ángulos de un triángulo... ella responde lo esperado: “¡Ciento ochenta grados! Sí, ésta la sé bien. Me la explicaste vos…”. A través de un ingenioso juego de dibujos en el codo y el cuello –con coqueteo incluido–, Walter muestra a su desconcertada prima el efecto producido sobre los ángulos y las distancias al cambiar la curvatura de la superficie sobre la que se dibuja el triángulo. Y regresamos a la sala de conferencias, enlazando con el último concepto tratado con su prima. Walter habla de superficies con curvatura positiva (como la esfera), negativa (como la silla de montar) y nula (como el plano). Explica cómo al tener la esfera curvatura positiva,  ningún mapa plano de la superficie terrestre puede ser exacto,... hay mapas que conservan los ángulos, otros las distancias... pero no pueden suceder ambas cosas a la vez. El matemático comenta como la teoría de la relatividad, algunas tareas del  procesamiento de imágenes (típicamente usadas en medicina) o la interpretación de imágenes artísticas de Escher (en particular, habla de la obra Ángeles y Demonios) viven en espacios con curvatura no nula. De regreso a casa de su prima, ella le demuestra que ha entendido el tema de las curvaturas, bromeando con una patata tipo Pringle. Walter explica eso de que 1 + 1 es a veces 0..., apagando y encendiendo alternativamente un interruptor. Acaban ambos cantando, complacidos, como en la escuela: par más par, par, par más impar, impar, impar más impar, par? Hablando de la siguiente fiesta de cumpleaños de su prima, Walter alude al sistema aritmético de la base 7, al contar de semana en semana... En la sala de conferencias, comienza su siguiente lección, centrada en el tema de las bases de numeración. Walter introduce la numeración en base 7, preguntando al público de la sala sobre determinadas futuras fechas y el día de la semana en que caerán. Recuerda que nuestro modo de contar es la base 10 (carnés de identidad, códigos de barras, etc.), la aritmética en base 11 se usa en los ISBN de los libros, o la base 23 en las letras del NIF español, alude a la conocida prueba del 9, etc. Como él mismo comenta, cualquier número entero puede generar su especial aritmética. Finaliza hablando de la valiosa aritmética en base 2, la de la lógica de los ordenadores, la de la digitalización... la necesaria para escuchar un CD, ver un DVD o hablar por un teléfono móvil. En casa, con su prima, vuelve el tema de los teléfonos móviles... y su relación con el análisis armónico. Se enlaza con su octava conferencia, que versa sobre transformada de Fourier de un arco iris, el análisis de  frecuencias del sonido de una guitarra,... y ambos primos terminan en un animado baile. Walter se va a dormir, mientras ella se queda viendo la televisión. Mediante el zapeo se va cambiando a la vez de canal y de tema. La teoría de juegos aparece en un programa en el que se habla del beneficio de los juegos cooperativos en la naturaleza, se cambia de canal y se ilustra el juego del gallina con una escena de Rápido y furioso, un nuevo zapeo nos conduce al dilema del prisionero y mediante una escena de Una mente maravillosa –Ir hacia la rubia– se ilustra el conflicto entre los óptimos de Nash y de Pareto. De nuevo cambia el canal hacia una escena de –donde se rompen muchos objetos– La guerra de los Rose... y un último zapeo lleva a un programa de entretenimiento titulado El Dilema[2]... El juego El Dilema. En la imagen de debajo, el público pasa al escenario a jugar: Aitana –hija mayor de Omar Gil– y Joaquín –hijo mayor de Graciela Abeledo y el director de la obra (y del Polizonteatro) Enrique Permuy–. Una escena sobre deletreo de su apellido –Walter habla con la agencia de viajes y debe indicar su nombre, intentado evitar errores en su escritura– con situación cariñosa entre los dos primos abre el cuadro siguiente, en el que comienza la conferencia número 19. Walter introduce los códigos correctores de errores: el código de Hamming, el código de Golay, la familia de códigos de Reed-Solomon... habla de Évariste Galois, de la importancia de una buena codificación en misiones espaciales o los discos compactos. Termina su ponencia con la teoría de la información de Shannon, esencial en nuestra vida cotidiana y basada en propiedades de los números primos. Para finalizar, como resumen de sus intervenciones, Walter alude a la necesidad de introducir en la enseñanza a todos los niveles este tipo de conceptos: insistir en las aplicaciones de las matemáticas en nuestra vida, mostrar como nos ayudan a entender mejor nuestro mundo e intentar despertar vocaciones a través de la divulgación de esta ciencia. Ya en la casa de su prima,  los dos protagonistas se despiden... él intentando aproximarse a ella –mientras habla de lógica borrosa– aludiendo de nuevo a la ambigüedad de la relación entre ambos... http://primosentresi.blogspot.com/   Notas: [1] Quiero agradecer a Omar Gil Álvarez su amabilidad al proporcionarme el guión de la obra, así como información completa sobre la motivación y todos los materiales que acompañan la puesta en escena. Además, ha tenido la gentileza de releer el texto para “limar” aquellas incorrecciones cometidas al no haber podido ver la obra en vivo. [2] Omar me apunta que El Dilema se juega con el público. Los actores hacen pasar a dos espectadores que deben jugar a El Dilema: las dos personas –P1 y P2– deben elegir entre dos opciones –por ejemplo, verde y rojo–, con  el sistema de puntuación indicado en la siguiente tabla: Elección Puntos  P1 Puntos  P2 Si P1 elige verde y P2 elige verde 3 3 Si P1 elige verde y P2 elige rojo 0 5 Si P1 elige rojo y P2 elige rojo 1 1 Si P1 elige rojo y P2 elige verde 5 0 Por supuesto, el objetivo es alcanzar la mayor cantidad de puntos posible... porque recibirán una sabrosa chocolatina a cambio de cada uno de ellos...  ¿Es mejor cooperar o competir para alcanzar este objetivo?

Miércoles, 01 de Septiembre de 2010 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

767. 54. (Octubre 2008) La moneda falsa

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Miércoles, 01 de Octubre de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

768. 25. (Febrero 2006) Paradojas Geométricas

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Miércoles, 01 de Febrero de 2006 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

769. 22. (Noviembre 2005) Predicción con el dominó

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Martes, 01 de Noviembre de 2005 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

770. 17. (Septiembre 2010) Conjuntos de área máxima y la armonía

Es un gran placer para mí presentar un artículo de David Rapapport (fotografía de la izquierda), geométra interesado en la música y músico interesado en la geometría. Su artículo que presentamos en esta sección, Conjuntos de área máxima y la armonía, es una exploración deliciosa de la armonía a través de conjuntos de área máxima inscritos en un círculo. El autor caracteriza escalas fundamentales en la improvisación en la música del jazz. Francisco Gómez Martín BIOGRAFÍA: David Rapapport es profesor en la School of Computing y Vicedecano en la School of Graduate Studies en Queen's University, en Canadá. Obtuvo un grado en Matemáticas por la Universidad de Concordia y un tesis de maestría y de doctorado por la Universidad de McGill, ambas en Canadá. Su investigación se centra en geometría discreta y computacional con especial énfasis en algoritmos y optimización. También está interesado en las conexiones entre matemáticas y música. ARTÍCULO: 1. Introducción La Geometría y la Música están relacionadas entre sí de varias maneras. La notación musical usa la forma y el espacio para transmitir la información sobre la altura y la duración. Los guitarristas visualizan las estructuras armónicas, así escalas, arpegios y acordes, como formas geométricas en el traste. Los orígenes de nuestro sistema musical de siete notas extraídas de un conjunto de doce alturas se puede describir en términos de cuerdas vibrantes de varias longitudes. Dimitri Tymocko, en un reciente artículo suyo [17], ha usado la geometría para analizar la conducción de voces en música. La Combinatoria es otra rama de las Matemáticas que se utiliza en el análisis de la música. Inevitablemente, la visión combinatoria se apoya en una imagen, esto es, en una representación geométrica. Considérese un círculo con doce puntos equidistantes distribuidos en su circunferencia. Los doce puntos representan las doce alturas del universo cromático dado por el temperamento igual. De estos doce puntos elegimos un subconjunto de al menos cinco puntos, porque musicalmente se llama una escala a un subconjunto de cinco o más alturas. Algunos de estos conjuntos, o escalas, son elementos esenciales de la armonía occidental. En los ejemplos que se muestran en la figura 1 un subconjunto de puntos se conecta en orden para construir un polígono convexo. Consideraremos polígonos distintos salvo rotaciones. Esto equivale a considerar que los distintos modos musicales provenientes de una misma escala no son escalas distintas. Ya que hay 12 puntos equiespaciados sobre la circunferencia, es razonable llamar a estos diagramas diagramas de reloj. La representación de las notas de una escala por un polígono aparece en un artículo publicado en 1937 por E. Krenek [8], de modo que algunas veces estos diagramas se llaman diagramas de Krenek, como por ejemplo en el artículo de McCartin [10]. Sin embargo, en una recensión de Nolan [11], Heinrich Vincent ya usaba esta misma representación en un artículo suyo publicado en 1862 [18]. El uso de los diagramas de reloj es omnipresente en la teoría matemática de la música. Cuando se considera la escala diatónica usual, se observa que las notas están distribuidas lo más regularmente posible entre las doce notas cromáticas. La distancia entre dos notas puede medirse como el número de notas de la escala entre ellas, o bien como el número total de notas cromáticas entre ellas. De este modo, distinguimos entre la distancia de la escala y la distancia cromática de un par de notas. Clough and Douthett [1] definen un conjunto de regularidad máxima cuando la distancia cromática entre un par de notas difiere de su distancia de escala en una unidad como máximo. Los conjuntos de regularidad máxima (conjuntos RM de aquí en adelante) son únicos (salvo rotaciones) como se prueba en [1] y también en [4]. Los conjuntos RM incluyen algunas de las escalas más ampliamente usadas en la música occidental, a saber, la escala diatónica, la escala pentatónica anhemitónica común, la escala de tonos enteros de seis notas y la escala octotónica (véase la figura 1). Figura 1. Los subconjuntos en a) y b) representan dos modos de la escala diatónica, el jónico y el eólico, también conocidos como modo mayor y modo menor natural, respectivamente. Para nuestros propósitos estas dos escalas se consideran equivalentes. El diagrama de la parte c) representa la escala menor melódica ascendente y ésta es distinta de las de a) y b). Cuando los conjuntos RM se representan por un diagrama de reloj, entonces esos puntos son subconjuntos que maximizan de modo único la suma de las distancias entre puntos [2-4]. Fejes Tóth [14] describe un caso continuo similar al considerado aquí. En ese artículo se prueba que un conjunto finito de N puntos que maximizan la suma de las distancia entre puntos se encuentra en los vértices de un polígono regular convexo de N lados. Dicho de otro modo, los puntos están distribuidos tan regularmente como sea posible sobre la circunferencia del círculo. En su libro sobre armonía el músico Levine [9] describe cuatro escalas fundamentales que son útiles para la improvisación en jazz. Estas cuatro escalas son la escala mayor de siete notas, la escala menor melódica de siete notas, la escala simétrica de tonos enteros de seis notas y la escala octotónica. En la terminología jazzística el término "menor melódica" se refiere a la escala ascendente melódica menor y aquí seguiremos esa convención. Tres de estas escalas son de máxima regularidad, siendo la excepción la escala menor melódica, que no lo es. Así, dados los pares (12, 8), (12, 6) y (12, 7) podemos preguntarnos si hay una caracterización matemática que describa exactamente las cuatro escalas fundamentales de Levine. En estas notas llegamos a una caracterización llamada los conjuntos complementarios de área máxima. Este artículo está organizado como sigue. En la siguiente sección entablaremos una discusión matemática sobre una clase de subconjuntos de K elementos tomados entre N posibles. Esta caracterización es a la vez combinatoria y geométrica. Empezaremos por describir los llamados conjuntos de área máxima, de los cuales probaremos algunas propiedades suyas. Los conjuntos de área máxima son interesantes por derecho propio, pero no satisfacen las condiciones mencionadas anteriormente, ya que esta caracterización, como veremos, incluye subconjuntos de (12, 8) y (12, 7) que no son de las cuatro escalas fundamentales. En la sección 3 definiremos y analizaremos entonces los conjuntos complementarios de área máxima y mostraremos que esa caracterización sí satisface las condiciones impuestas antes. El artículo acaba con una sección de conclusiones. 2. Conjuntos de área máxima Un concepto erróneo bastante común es el de pensar que el prefijo di- en la palabra diatónico se refiere al número dos, queriendo significar que la característica es que hay dos tipos de intervalos en el conjunto diatónico habitual. Sin embargo, la verdad es que el prefijo dia- se refiere a la distancia desde la tónica [12]. No obstante, esta definición nos proporciona el trampolín ideal desde el cual lanzar una exploración de las escalas que satisfacen esta propiedad, esto es, colecciones de subconjuntos de siete alturas tomadas de entre las doce del universo cromático de modo que el espacio entre alturas consecutivas es o bien un tono o un semitono. Resultan tres escalas distintas. Usando diagramas de reloj podemos ver las tres escalas en la figura 2 más abajo. En (a) podemos reconocer la escala diatónica estándar; (b) representa la escala menor melódica; y en (c) tenemos la escala simétrica de tonos enteros más una nota, escala que también se llama escala mayor napolitana. No es difícil comprobar que los polígonos que representan cada escala tienen todos la misma área y que esa área se maximiza para cualquier elección de siete puntos sobre doce. Así pues, llamaremos a estas escalas escalas de área máxima, o más generalmente subconjuntos de área máxima (lo abreviaremos como conjuntos AM). Figura 2. Diagramas de reloj de las tres escalas AM. La estructura de los intervalos de esta escala es a) la escala diatónica; b) la escala menor melódica ascendente; c) la escala mayor napolitana. Generalizamos esta noción a cualquier colección de K alturas seleccionadas de entre un universo cromático de N alturas. Será más conveniente definir los subconjuntos en términos de particiones de números enteros. Una partición entera de un número natural N es una forma de escribir N como una suma no ordenada de numeros naturales. En [7] Keith señala la conexión entre las particiones de enteros y las escalas musicales. Definición. Un conjunto de K alturas tomadas de entre un universo cromático de N alturas numeradas de 1,...,N es un conjunto AM si satisface las siguientes dos condiciones: Hay una partición entera de N que usa exactamente K sumandos enteros positivos, esto es, . Los sumandos difieren como máximo en 1, esto es, , para todo i, j. La siguiente proposición proporciona fundamento matemático para construir y analizar los conjuntos AM. Proposición 1. Dados dos enteros N, K con K <N, existen dos únicos enteros u y m tales que N=mu+(K-m)(u+1). Obsérvese que para N, K, u, m, definidos así, tenemos una partición entera con , para i=1,...,m y , para i=m+1,...,K. Aquí se sobreentiende que i=m+1,...,K es el conjunto vacío en el caso en que m=K, esto es, cuando K divide a N. Demostración: Sean los siguientes números: Nótese que si K divide a N, entonces v=u; en otro caso, v=u+1. Para el caso en que v=u, tenemos que N=Ku. Considerando ahora el caso en que v=u+1, tenemos la igualdad (N-Ku)v+(Kv-N)u=N(v-u)=N. Por lo tanto, m=Kv-N=K(u+1)-N. Ya que u determina m, basta mostrar que u es el único valor que satisface las condiciones requeridas. Cuando K divide a N, la unicidad se sigue del algoritmo de la división [6]. Cuando K no divide a N, examinamos los casos en que se usa un número mayor o menor que el valor de u. Sea, pues, w un entero mayor que . Esto implica, sin embargo, que Kw >N, lo cual lleva a una contradicción y w no puede ser mayor que u. Un argumento simétrico similar al anterior muestra que tomar w < lleva a una contradicción. Por tanto, queda demostrado que u es único, y esto completa la demostración. QED. Recuérdese que en los conjuntos MR según fueron definidos por Clough y Douthett [2, 3] cuando la distancia cromática entre dos pares denotas difieren como máximo en una unidad de la distancia de escala. Esto lleva inmediatamente a la proposición siguiente. Proposición 2. Si un conjunto es MR, entonces también es un conjunto AM. Como se ilustró en el ejemplo de la figura 2, aunque para cualquier N, K, hay dos valores únicos de u y m, uno puede obtener más de una escala con intervalos u y u+1 sencillamente reordenando las posiciones de dichos intervalos. Dados los números (N, K, u, m), podemos enumerar las distintas escalas (salvo rotaciones) que son escalas AM. Este valor depende solo de K y m, y es el número de collares (necklaces) binarios de longitud K usando dos tipos de cuentas, m cuentas blancas y K-m cuentas negras. En general, un collar p-ario se define como la clase de equivalencia de cadenas p-arias bajo rotaciones; véase [13]. Los distintos collares se pueden enumerar en tiempo constante por collar usando un algoritmo de Sawada y Ruskey [13]. Volvemos ahora a la cuestión del área de los polígonos que representan a las escalas. Haciendo referencia a la figura 3, es claro que el área del heptágono se obtiene sumando las áreas de los triángulos. Suponiendo que el heptágono que representa estas escalas está circunscrito a un círculo de radio la unidad, una fórmula que da el área del polígono es: . Figura 3. Uno puede obtener el área de un heptágono sumando las áreas de los triángulos en la partición en triángulos que sugiere la figura. El area del triángulo a, b, c está dado por sen . El perímetro del polígono inscrito es también una función de los ángulos centrales. Por ejemplo, la longitud de la arista bc es . En general, el área de los polígonos se puede obtener sumando el área de los triángulos que forman la partición del polígono. Para nuestros propósitos es más conveniente tomar la partición del polígono con triángulos que comparten un vértice común en el centro del círculo que circunscribe y cuyos lados son los radios. De ahora en adelante nos referiremos a esta partición como la partición en triángulos del polígono. La suma de las áreas de cualquier representación poligonal (N, K, u, m) está dada por la fórmula: Nótese que el área es una función que depende solo de los valores de los ángulos de los triángulos del centro del círculo. Llamaremos a estos ángulos ángulos centrales. Afirmamos que todos esos heptágonos maximizan el área. Es fácil verlo en el ejemplo dado. Probaremos el resultado para el caso general en el siguiente lema. Además, probaremos que estos polígonos maximizan también el perímetro. El hecho de que el perímetro se maximice queda claro cuando uno se percata de que el perímetro es también una función de los ángulos centrales. La fórmula para el perímetro de una representación poligonal (N, K , u, m) está dada por la fórmula: Lema 1. Dada (N, K , u, m), la representación poligonal de estos conjuntos AM tiene área máxima y perímetro máximo. Prueba: Considérese un polígono X de K lados que no es una representación de un conjunto AM. Entonces, hay dos triángulos en la partición triangular de X con ángulos centrales y y tales que la diferencia . Supongamos que, por ejemplo, . Si ponemos , tenemos la fórmula (1): Ya que el orden de los triángulos no tiene efecto en el cálculo del área o del perímetro del polígono, podemos reordenarlos de manera que esos dos triángulos estén adyacentes. Podemos escribir la suma del área de esos dos triángulos como . Si tomamos la primera derivada del área con respecto a , esto es, , e igualamos a cero, vemos que el valor es el valor máximo. La derivada es positiva para todos los valores . Sean y . Por la ecuación (1), vemos que . Por tanto, la suma de la nueva área es mayor y X no puede tener área máxima. Para el perímetro usamos un argumento similar. La suma de las aristas del polígono está dada por la ecuación , y su primera derivada es . Vemos de nuevo que la suma se maximiza para , y su derivada es positiva . De nuevo, ponemos y . Por la ecuación 1, vemos que y X no puede tener perímetro máximo. QED. 3. Conjuntos complementarios de área máxima Las cuatro escalas que distingue Levine en su libro [9] en el capítulo Acordes/Escalas en su libro sobre armonía en el jazz son la escala de tonos enteros simétrica, la escala mayor, la escala menor melódica y la escala octotónica. Definimos una clase de escalas, las escalas complementarias de área máxima de manera que las escalas dadas por (12, 6), (12, 7) y (12,8) corresponden idénticamente a las escalas dadas por Levine. Definición: Un conjunto de K alturas tomadas de un universo cromático de N alturas numeradas de 1 a N es un conjunto complementario de área máxima (conjunto CAM) si cumple las siguientes propiedades: El conjunto es AM. Las N-K notas del conjunto complementario forman un conjunto AM también. Probamos en su momento que los conjuntos RM son también AM. Los conjuntos RM son también CAM porque el complemento de un conjunto RM es también un conjunto RM; véase [1]. Así pues, las escalas CAM constituyen una clase estrictamente mayor que la de las escalas RM. Hay una única escala, la escala simétrica de tono enteros (12, 6), que es un conjunto AM, como muestra la figura 4. Claramente esta escala es autocomplementaria y es, por tanto, un conjunto CAM. De los tres conjuntos AM dados por (12, 7), dos tienen complementarios que son conjuntos AM. Estas escalas (12, 5) AM se muestran en la figura 4. Figura 4. Los conjuntos de área máxima de cinco y seis notas. Hay diez conjuntos (12, 8) AM, como se describe en la página 31 de [7]; los reproducimos en la figura 5. Figura 5. Los diez conjuntos de área máxima con ocho notas. Hay solo uno de estos conjuntos cuyo complementario es también un conjunto AM. En la figura 6 mostramos este conjunto y su complementario de cuatro notas. Figura 6. La única escala complementaria de área máxima de ocho notas (una escala disminuida) con su complementario (el acorde de séptima disminuida). Así pues, hemos sido capaces de captura una propiedad matemática que caracteriza las cuatro escalas fundamentales de Levine. 4. Conclusiones Hemos probado que una partición entera particular de N en K partes conduce a los polígonos de área máxima cuando éstos se representan con un diagrama de reloj. Estos conjuntos llamados de área máxima son fáciles de calcular computacionalmente. Sin embargo, una clasificación que parece más interesante usa los conjuntos complementarios de área máxima. Hemos demostrado que los conjuntos complementarios de área máxima para (12, 6), (12, 7) y (12,8) contienen las cuatro escalas fundamentales definidas por Levine en su libro sobre improvisación en jazz. Estas escalas fundamentales no agotan en modo alguno el gran número de escalas que los músicos de jazz usan regularmente. En un capítulo aparte Levine discute las escalas pentatónicas y el papel que desempeñan en la improvisación jazzística. Con mucho la escala pentatónica más importante es la anhemitónica, que ya sabemos que es una escala CAM. Hay una colección más de escalas pentatónicas que son CAM, las cuales se muestran en la figura 4 b). Esta escala se puede llamar escala pentatónica dominante, ya que contiene un acorde de dominante; sin embargo, esta escala parece algo desconocida y Levine no la menciona en absoluto en su libro. Si consideramos el análogo rítmico de los diagramas de reloj, esto es, los puntos seleccionados representan ataques, entonces los conjuntos CAM de cinco elementos representan los patrones rítmicos de palmas que se usan en la soleá, la bulería y el fandango [5]. Bibliografía 1. J. Clough and J. Douthett: Maximally even sets. Journal of Music Theory, 35, (1991) 93–173. 2. J. Clough and G. Myerson: Musical scales and the generalized circle of fifths. American Mathematical Monthly 93:9 (1985) 695–701. 3. J. Clough and G. Myerson: Variety and multiplicity in diatonic systems. Journal of Music Theory 29 (1985) 249–270. 4. Erik D. Demaine, Francisco Gómez-Martin, Henk Meijer, David Rappaport, Perouz Taslakian, Godfried T. Toussaint, Terry Winograd, and David R. Wood: The distance geometry of music. submitted to Computational Geometry: Theory and Applications, (2006). 5. Miguel Díaz-Bañez, Giovanna Farigu, Francisco Gómez, David Rappaport, and Godfried T. Toussaint: El compás flamenco: a phylogenetic analysis. Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music and Science, Winfield, Kansas (2004) 61–70. 6. Ralph Grimaldi: Discrete and Combinatorial Mathematics: An Applied Introduction. Addison Wesley (1998). 7. Michael Keith: From Polychords to Polya: Adventures in Musical Combinatorics. Vinculum Press, Princeton (1991). 8. E. Krenek: Über Neue Musik. chapter Musik und mathematik. Verlag der Ringbuchhandlung, Vienna (1937) 71–89. 9. Mark Levine: The Jazz Theory Book. Sher Music Co. (1995). 10. Brian J. McCartin: Prelude to musical geometry. The College Mathematics Journal, 29:5 (1998) 354–370. 11. Catherine Nolan: Combinatorial space in nineteenth- and early twentieth-century music. Music Theory Spectrum, 25:2 (2003) 205–241. 12. D. Randel (editor): The Harvard Dictionary of Music. Harvard University Press (1986). 13. J. Sawada and F. Ruskey: An efficient algorithm for generating necklaces with fixed density SIAM Journal on Computing 29:2 (1999) 671–684. 14. L. Fejes T´oth: On the sum of distances determined by a pointset. Acta. Math. Acad. Sci. Hungar. 7:3 (1956) 97–101. 15. Godfried T. Toussaint: A mathematical analysis of African, Brazilian and Cuban clave rhythms. Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music and Science, Towson, Maryland (2002) 157–168. 16. Godfried T. Toussaint: Classification and phylogenetic analysis of African ternary rhythm timelines. Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music and Science, Granada, Spain (2003) 25–36. 17. Dmitri Tymoczko: The Geometry of Musical Chords. Science 313 (2006) 72–74. 18. Heinrich Vincent: Die Einheit in der Tonwelt. Verlag von Heinrich Matthes, Leipzig (1862).

Viernes, 10 de Septiembre de 2010 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico