751. 78. (Diciembre 2010) CONCURSO NAVIDEÑO 2010

ROJAS Y NEGRAS BAJO CONTROL Muchos hemos experimentado las bondades y miserias de la exploración por internet. A veces, para encontrar una información interesante, original y verídica, necesitamos pasar por un montón de páginas que no despiertan el menor interés, otras que no aportan nada nuevo y muchas con graves inexactitudes y errores. El mundo de la magia matemática tampoco se libra de esta tendencia. Lo bueno de todo esto es que, a veces, aparece nuevo material o, simplemente, adaptaciones originales o novedosas de viejos juegos. Es el caso de la revista electrónica Computer Science for Fun, creada, escrita y editada por Paul Curzon, Peter McOwan y Jonathan Black de la escuela de Ingeniería Electrónica y Ciencias de la Computación de Queen Mary, Universidad de Londres. En particular, la sección MATHEMAGIC contiene un folleto y algunos juegos interactivos más o menos conocidos. Describiremos en esta y próximas entregas algunos de ellos, que nos han parecido más interesantes. Con el primero de los juegos te demostraré que soy capaz de controlar el número de cartas rojas y negras que forman algunos montones de cartas que harás de forma completamente libre. Para realizarlo, necesitarás una baraja francesa completa (con 52 cartas, sin comodines). Con la baraja en la mano, sigue las siguientes instrucciones. Mezcla bien la baraja. Mientras deletreas la palabra ROJA, reparte sobre la mesa, en un solo montón y caras abajo una carta por cada letra. Luego deletrea la palabra NEGRA y reparte sobre las cartas anteriores nuevamente una carta por cada letra. Por último vuelve a deletrear la palabra ROJA y reparte en el mismo montón una carta por cada letra. Repite el ritual anterior: deletrea las palabras ROJA-NEGRA-ROJA mientras repartes sobre la mesa, en otro montón, una carta por cada letra deletreada. Deja aparte y caras abajo las cartas que han sobrado. Las utilizaremos más tarde. Recoge los dos montones repartidos y mézclalos entre sí. Coloca ahora cara arriba las cartas en tu mano. Si la carta que está encima del montón es ROJA, déjala a la izquierda en un montón que llamaremos ROJAS y delante de dicha carta coloca, cara abajo, una de las cartas del montón que habías apartado, formando un nuevo montón. Di en voz alta la palabra ROJA mientras lo haces. Si dicha carta es NEGRA, la dejas a la derecha formando un montón que llamaremos NEGRAS y coloca delante de dicha carta, cara abajo, una carta del montón apartado. En este caso, dirás en voz alta la palabra NEGRA. Repite la operación anterior con todas las cartas de la mano, es decir, si la carta superior es ROJA, la dejas cara arriba en el montón de las rojas y colocas una carta cara abajo en el montón que está delante de las cartas rojas; si es NEGRA, la dejas en el montón de las negras y colocas una carta cara abajo en el montón que está delante de las cartas negras. No olvides nombrar en voz alta el color de la carta correspondiente. Al final del proceso tendrás cuatro montones, dos caras arriba y dos caras abajo, como se muestra en la imagen. Sabemos que el montón inferior de la izquierda tiene todas las cartas rojas y el de la derecha tiene todas las cartas negras. ¿Qué pasa con los montones que están cara abajo? ¿Puedo saber cuántas cartas rojas y negras contienen? Sólo sería posible si yo hubiera podido controlar tus movimientos. Hagamos la comprobación: cuenta el número de cartas rojas en el montón de las rojas y cuenta también el número de cartas negras que hay en el montón de las negras. ¡Coinciden! Ya imaginas que no tengo el control mental del que presumo: es la aritmética la que lo posee. Seguro que tú puedes descubrir fácilmente la razón. Así pues, como es habitual en estas fechas, vamos a dejar que pienses el problema y vamos a premiar a quienes nos ofrezcan una solución razonada. Puedes enviar tu respuesta a pedro.alegria@ehu.es y el mes de enero publicaremos las mejores soluciones. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Martes, 07 de Diciembre de 2010 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

752. 55. LONGITUD (Segunda Parte)

La historia de la Ciencia, como la Historia en general, está plagada de curiosidades, malentendidos, genialidades y también injusticias. ¿Es la peripecia de John y William Harrison una de estas últimas? Quizá todo dependa de cómo se nos cuente. Después, como cada mes, algunas sugerencias para visionar desde la red que nos entretengan e ilustren en estas próximas fiestas. Breve Resumen de la primera parte En 1714, respondiendo a una petición del Parlamento Británico, se constituye el Consejo de la Longitud (integrado por 22 personas) cuya misión sería la de recompensar con un premio de 20.000 libras a quien lograra encontrar una solución práctica al problema de determinar la longitud en el mar. También se premiarían a los que, sin llegar a la solución final (se pensaba, Isaac Newton entre ellos, que el problema era prácticamente irresoluble) aportaran algún avance significativo o de utilidad para la navegación. De las muchas propuestas, algunas irreprochables teóricamente (métodos lunar y de los satélites de Júpiter) y otras seudo científicas e inaceptables, la única con algún viso de aplicabilidad es la propuesta por el carpintero John Harrison (interpretado por Michael Gambon), basada en la construcción de unos relojes de gran precisión. Su primer intento, el H–1, resuelve los problemas derivados de las variaciones por culpa del calor, la humedad, la fricción de sus elementos y la viscosidad del aceite lubricante, de modo tan preciso, que sólo presenta un error menor a un segundo en un mes de funcionamiento. Sin embrago, al probarlo en el mar, su delicado péndulo se ve afectado por golpes derivados del oleaje, las tormentas, los cañonazos, el transporte (es muy voluminoso), etc. Para mejorar todos estos “defectos” el Comité acepta, no unánimemente, ofrecerle partidas de dinero para sufragar los gastos derivados de sus trabajos, lo cual le anima a seguir perfeccionando sus máquinas. Paralelamente se desarrolla la historia del capitán Rupert Gould (Jeremy Irons), licenciado del ejército por problemas de depresión, para cuya terapia solicita los permisos necesarios para reparar los ingenios de Harrison que se encuentran totalmente olvidados y almacenados de mala manera. No sin dificultades consigue su objetivo dedicándose a la tarea con una tenacidad y una dedicación obsesivas y casi enfermizas, lo que le cuesta una demanda por abandono familiar por parte de su esposa. Descripción de la Segunda Parte Mientras desfilan los títulos de crédito van alternándose algunas escenas de la vida cotidiana de los dos protagonistas, a modo de recordatorio para el espectador: John Harrison está trabajando con su hijo William ya adulto en la mejora de su reloj marino, mientras Gould se distrae de sus preocupaciones dirigiendo como juez de silla un partido de tenis, jugando con su maqueta de tren en su nueva residencia o echando una partida de cartas con su ama de llaves, que lejos de ser condescendiente lo reprocha con frecuencia su estilo de vida. A renglón seguido aparece un altivo joven que parece trabajar en complicados cálculos junto a un telescopio. Al poco sabremos que se trata del reverendo Neville Maskelyne (interpretado por Samuel West, en la imagen) preparando ante el Consejo de la Longitud la presentación de sus trabajos para resolver el problema de la longitud. A dicha exposición pública asisten los Harrison junto a otros nobles atraídos por la notoriedad que ha alcanzado la cuestión (entre ellos aparece el disoluto Lord Sandwich (Bill Nighy) que posteriormente echará un cable a Harrison). Después de sus brillantes explicaciones y de un cerrado aplauso, se forman algunos corrillos en animada charla, pero no todos hablan de la conferencia. Conocemos entonces al nuevo Presidente del Consejo de la Longitud, Lord Morton (Brian Cox) y cuál es su postura: “Esta sociedad fue creada para que los hombres de “ciencia” pudieran resolver los misterios de nuestro planeta. No me gustaría que el premio de la longitud nos fuera arrebatado por un artesano palurdo”. Lord Sandwich pregunta a los Harrison su opinión sobre lo expuesto por Maskelyne. Tras elogiar el entusiasmo del ponente por la trigonometría, William (Ian Hart) toma la palabra: “No es una solución práctica para navegar. Valdría si no apareciera nube alguna en el cielo, pero eso es imposible”. Al momento, su padre trata de disculparse de la impertinencia de su hijo, aunque pronto seremos testigos de que será él el que cambie sus corteses formas radicalmente. William no comprende la reacción de su padre al que posteriormente pedirá explicaciones, pero John sólo piensa en la construcción de un nuevo reloj “que no sea mayor que la palma de la mano, fácilmente transportable. ¿No sería esa una solución práctica?” Nuevo salto en el tiempo. Rupert Gould explica en una conferencia los mecanismos de los ingenios de Harrison enlazando precisamente con el H─4: “la cuarta máquina de Harrison, gracias a su belleza y exactitud, debe considerarse con orgullo el cronómetro más famoso que jamás se haya construido o se construirá. El trayecto entre el tercer ingenio, que pueden ver detrás de mí, y el cuarto, es uno de los misterios más extraordinarios de la horología. Calificado aparentemente como un problema insuperable de fuerzas centrífugas, Harrison consiguió un salto arriesgado. Fue como si un ingeniero aeronáutico  de repente abandonara el desarrollo de una aeronave y en su lugar adoptara una tecnología que hiciera que una bicicleta volara hasta Francia”. Al finalizar su intervención, un productor de la BBC propone a Gould una colaboración en un programa de la cadena de carácter científico. La siguiente escena no tiene desperdicio. El Comité de la Longitud ha citado tanto a los Harrison como a Maskelyne a una entrevista. Los tres se muestran muy contentos, hasta que se encuentran a la puerta del Consejo en espera de ser atendidos. Al verse se estrechan la mano educadamente pero el semblante de sus rostros lo dice todo. Es magnífico cómo ambas partes se pasan por las narices del contrario sus respectivos avances. El Consejo optó por probar el H─3 y el H─4 en el mismo viaje. John Harrison, tras su penosa experiencia en el anterior viaje a Lisboa, decide que sea su hijo el que se embarque en esta ocasión. En mayo de 1761, William Harrison parte con el pesado H─3, de Londres al puerto de Portsmouth, donde tenía órdenes para esperar una asignación de la nave. El Consejo insistió, como medio de control de calidad sobre el ensayo, que la caja que contenía al H─4 fuera cerrada con cuatro cerrojos, cada uno con distintas llaves. William conservó una de las llaves, por supuesto, porque tenía que dar cuerda diariamente a la máquina. Las otros tres fueron confiadas a los hombres que tenían que vigilar cada movimiento de William Harrison: William Lyttleton (Frederick Treves), recién nombrado Gobernador de Jamaica, y un pasajero, compañero de Lyttleton y de William, a bordo del Deptford, el recio capitán de la nave Dudley Digges (Clive Francis) y el alférez Seward (Charles Edwards). El fuerte carácter del capitán Digges (“No tolero que se me interrumpa cuando estoy hablando”) hace que la dureza de la travesía sea un infierno. William Harrison, junto al resto de la tripulación, es obligado a presenciar el ejemplar castigo en forma de latigazos a un marinero por beber alcohol. Podría parecer razonable pero es que la tripulación se muere de sed porque el agua del barco está en malas condiciones y sabe mal. El soberbio capitán bebe el primero sin pestañear, prohibiéndoles a continuación probar una gota el resto de la jornada. Y por supuesto, el resto del viaje, deben saciarse con la pestilente agua. William tranquiliza a los marineros asegurándoles que están cerca de Madeira donde podrán cargar agua más saludable, pero Digges se mofa de sus predicciones. Sin embargo el primero tendría razón. Cuando el capitán finalmente comprueba su error, pide disculpas públicas a William: “Mr. Harrison me parece que le debo una disculpa.  ¿Puedo poner, aquí y ahora, mi marca para comprar el primer reloj que su padre ponga a la venta pública?”. En fin que no faltan momentos de película de aventuras como no podía ser de otra forma en aras de la comercialidad. Al llegar a Jamaica, el H-4 (en la imagen) sólo se había atrasado cinco segundos después de ochenta y un días en alta mar. William desea volver a Londres lo antes posible, pero ningún barco tiene ese destino. El Gobernador de la isla le pide paciencia (“Diviértase. Esta es una isla muy hermosa”). Resignado, en una taberna conoce al juerguista capitán Bourke (Darragh O'Malley) rodeado de unas cuantas mulatas, ofreciéndole su barco. No se lo piensa dos veces, aunque la nave resulta ser como el patrón, una penosa embarcación que amenaza con hundirse en cualquier momento, a lo que se añaden contiendas a cañonazo limpio (la Guerra de los Siete Años, entre 1756 y 1763, hacia que hubiera continuas escaramuzas marítimas; era una de las razones por las que el Consejo de la Longitud era reacio a aprobar viajes largos), tormentas (William abraza el reloj tapándose con una manta para mantenerlo seco), y todo tipo de penalidades. Entremedias, Gould nos explica la maquinaria que compone los relojes al ir desarmándolos para proceder a su restauración. Posteriormente realiza su primer programa de radio en la BBC. Allí se sorprenden de que no lleve un guión, dado el tiempo limitado de los medios de comunicación, pero él improvisa sus respuestas y controla el tiempo con mucha precisión. Es además un gran comunicador. Respecto a su vida particular, asiste al entierro de su madre, Agnes Hilton Gould. De vuelta al s. XVIII, William, ya en Londres y completamente resfriado, se presenta junto a su padre al Consejo de la Longitud para dar explicaciones del viaje y el comportamiento de los relojes. A John no le permiten entrar inicialmente (un nuevo desprecio) y a William le evidencian la presentación de sus escuetos informes (una minúscula cuartilla) “¿Cree usted que esto es un trabajo serio? [...] “Mr. Harrison, ¿tiene usted algún conocimiento formal de Astronomía?”. “No. Bueno vengo haciendo observaciones con mi padre desde los seis años”. Mandan entrar al padre, que comienza agradeciendo al Consejo que los reciba (él supone que ya le van a reconocer como ganador del concurso). Toma la palabra un nuevo miembro del Consejo, el Dr. Nathaniel Bliss (Ian McNeice), nuevo director del observatorio tras el fallecimiento del anterior: Dr. Bliss: Gracias, Sr. Harrison. Lo he mandado entrar para informarle de la resolución del Consejo. Después de que estos “breves” (lo remarca con ironía) cálculos del Sr. William Harrison hayan sido examinados con detalle junto a los instrumentos empleados, el Consejo se pronunciará sobre los mismos, fecha que les será anunciada en su debido momento. Es todo por ahora, caballeros. John Harrison (muy molesto y alzando progresivamente la voz): Señor, soy un anciano. , y una anciano puede a veces tener sus sentidos inexplicablemente debilitados. Hay quizá un elemento en su argumentación que no he entendido, o incluso que no haya oído. Mi reloj falló,…, falló en un minuto, 53 segundos y medio, después de 81 días en alta mar, como atestiguan y rubrican los papeles que tiene ante usted, con lo que creo que se satisfacen los términos que estableció la reina Ana, por lo que exijo que considere la cuestión de mi  recompensa. Dr. Bliss: Sr. Harrison, no soy notario de un juego de tablero que establece apuestas. Soy un científico empeñado en investigar un asunto de lo más serio. La decisión será realizar una segunda prueba de nuevo hacia las Indias Orientales. En marzo de 1764, William y su amigo Thomas Wyatt zarpan con el H-4. En Jamaica (en la imagen ambos  tomando mediciones con telescopio y sextante) se encuentran sorprendentemente con Neville Maskelyne, al que también han instado a comprobar su teoría para el cálculo de la longitud. Maskelyne había estado en la isla de Santa Elena haciendo observaciones y cálculos astronómicos, fruto de los cuales había publicado una detallada guía sobre las posiciones lunares de los siguientes tres años que permitirían determinar con precisión la longitud en cualquier punto del planeta (eso sí, si los cielos pudieran verse, es decir, si estuvieran despejados, la objeción que siempre le hicieron los Harrison). Ambos contendientes discuten con frecuencia. Finalmente, el orgulloso reverendo, víctima de su enorme amor propio y muy presionado por las circunstancias, es incapaz de obtener resultados al contrario que William Harrison que vuelve a demostrar la eficacia de su cronómetro. De vuelta a Inglaterra, William encuentra a su padre enfermo, prácticamente desde su partida, aunque el resultado del viaje parece reanimarlo un poco. Sin embargo la nueva citación del Consejo de la Longitud será un nuevo varapalo. El Parlamento ha nombrado nuevo astrónomo real ante el fallecimiento de Bliss, que no será otro que Neville Maskelyne, que pasa a ser por tanto miembro del Consejo de la Longitud como así establecía la normativa del mismo. William no sale de su asombro. Y la resolución del viaje es la siguiente: Lord Morton: “Es decisión de este Consejo declarar que el reloj creado por John y William Harrison ha determinado correctamente la hora con la mayor precisión requerida por el edicto de la reina Ana como prescribió el Parlamento hace 51 años”. Todos los presentes aplauden. William Harrison: Milord, ¿pueden facilitarme una copia para mostrársela a mi padre? Ha esperado mucho tiempo escuchar esas palabras de su señoría. Lord Morton: En buena hora, Sr. Harrison. Astrónomo Real, ¿podría ser tan amable de leer el quinto párrafo de la resolución? Maskelyne: Señorías. (comienza a leer) “Quedando promulgada por la autoridad antes mencionada tan pronto como el procedimiento para la determinación de la longitud haya sido probada y demostrada útil y aplicable en alta mar”. Lord Morton: Gracias. “Aplicable y útil”. Esas son las palabras en las que deseo poner su atención. Admitimos la utilidad de su cronómetro, pero ¿es aplicable? El propio Sr. Harrison nunca ha permitido al Comité examinar sus trabajos. Y yo creo que es porque él mismo duda de su aplicabilidad. William: Milords, deben comprender que mi padre ha tratado de proteger su trabajo de aquellos que quisieran apropiarse de él. Pero si este tribunal lo requiere, suministraremos planos detallados de los mecanismos del reloj una vez recibido el premio. Lord Morton: Sr. Harrison, este Comité no acepta restricciones sobre sus decisiones como prescribe el Parlamento. Aquí están las condiciones requeridas para satisfacer esta resolución. Maskelyne (leyendo): “En primer lugar, su padre debe, en persona, traer el reloj y explicar el funcionamiento de cada pieza para completa satisfacción de las personas que este Comité designe. Esto incluirá cualquier observación experimental que puedan requerirse. En segundo lugar, debe fabricar o mandar hacerlo bajo sus exclusivas indicaciones, dos cronómetros con el mismo diseño, para demostrar que su construcción es factible. Y en tercer lugar, estos nuevos relojes estarán sujetos a las pruebas que este Consejo decida para constatar su utilidad según los términos del Acta”. Entonces, y sólo entonces recibirá su premio. William: Milord, mi padre está enfermo y tiene 73 años. Lord Morton: Tiene hasta el jueves para aceptar las condiciones, las cuales, os informo, han sido transmitidas al Parlamento y formarán parte de una nueva enmienda al edicto promulgado. A John Harrison lo tienen que trasladar prácticamente en volandas ante el Consejo: William: ¿Sería posible que el Consejo fuera más explícito en su requerimiento? Lord Morton: No, señor, no es posible. No es asunto suyo limitar los requerimientos de este Consejo, sino satisfacerlos. John Harrison (montando en cólera): ¡No es tampoco mi asunto, “señor” explicar el trabajo de toda una vida a un grupo de “universitarios con correas de perro engullidores de libros” (lo de las correas se refiere a las gorgueras y pañuelos blancos que llevan), que no distinguirían  un “muelle de equilibrio” de una cazuela! En los treinta años que me he presentado ante este Consejo, ni siquiera una vez he tenido la ocasión de hablar con alguien que supiera nada sobre lo que estaba haciendo, ni tuviera algún interés por los mecanismos que iba creando. Pero continué,…, confiando en que si cumplía con las condiciones del edicto de la reina Ana, tendría mi recompensa. He cumplido las condiciones. He construido ese mecanismo. Dadme el premio y utilizaré el dinero para levantar una fábrica que construya cientos de relojes, miles, todos idénticos. ¡Pero tened por seguro que mientras tenga una sola gota de sangre inglesa, no bailaré al son de un grupo de ignorantes “escolares”! Lord Morton: Sr. Harrison, o vuestro padre firma un documento aceptando estos términos, o este asunto acaba aquí. Estamos dispuestos a adelantarle la mitad del premio (descontando lo ya entregado) una vez haya satisfecho lo estipulado, y la otra mitad cuando los nuevos relojes hayan demostrado su valía. William: Señoría, si cambiara la expresión “observaciones experimentales”, él firmaría. Lord Morton (muy exaltado): ¡No, no, y no! ¿Cuántas veces tengo que decírselo, cansinos del demonio? ¡No se negocia con este Consejo! Finalmente acepta las condiciones. Construye los relojes teniendo que soportar cómo unos operarios los trasladan sin cuidado alguno en un carromato por las calles de Londres. Su destino final será el observatorio de Greenwich Y ya sabemos cuál será su paradero, hasta que Gould los restaure. John Harrison, siempre perfeccionista, construirá un nuevo cronómetro, el H-5, del cual el Consejo pasó ampliamente. William, indignado por el trato, apela a la única autoridad que le queda, recomendado por Lord Sándwich, el mismísimo rey Jorge III (Nicholas Rowe), que lo recibe y promete repararlos de las injusticias que estima que se han cometido sobre ellos. Es fantástico el parecido que, observando los retratos de la época, han logrado con este personaje, monarca muy interesado por la ciencia en general. En la película lo retratan casi como un niño ávido de entender y conocer cualquier aparato o nueva idea científica. El propio rey solicita probar el nuevo reloj. En una escena William y el rey están desconcertados porque el reloj se ha parado. El soberano guarda el reloj en un cajón junto a dos imanes. Quizá ese sea el problema. William: ¿Cree que los imanes pueden afectar al reloj? Rey: ¡Estoy seguro! ¡Cójalos y tírelos al jardín inmediatamente! Tenemos que empezar de nuevo… William: Su Majestad es muy bondadoso. Rey: ¡Paparruchas! ¡Soy un científico! Si al final Harrison fue reconocido y obtuvo la recompensa prometida, fue a instancias del  rey Jorge III en persona, porque el Consejo de la Longitud, y muy especialmente Neville Maskelyne (en la foto en primer plano, Lord Sándwich al fondo) no hicieron más que ir añadiendo nuevas trabas a sus cronómetros, incluso a pesar de que en julio de 1775, el explorador James Cook alabó sin reservas el método de encontrar la longitud por medio de un reloj a la vuelta de su segundo viaje alrededor del mundo. El 24 de marzo de 1776, exactamente a los ochenta y tres años del día de su nacimiento, en 1693, falleció John Harrison. Otros relojeros siguieron perfeccionando los cronómetros marinos. Comenta la escritora del libro que en 1860, cuando la Marina de Guerra británica contaba con menos de doscientos buques en todos los mares, tenía casi ochocientos cronómetros. Ya era costumbre utilizarlos. La inmensa viabilidad del producto de John Harrison había quedado demostrada hasta tal punto que la reñida competencia que en su día desató sencillamente desapareció. Al cabo de poco tiempo, el cronómetro pasó a ser algo cotidiano, como cualquier objeto esencial, y su polémica historia, junto al nombre de su inventor, quedó en el olvido. Rupert Gould sufriría un nuevo colapso nervioso por el que lo ingresaron de nuevo en un hospital. Allí conocería a la enfermera Grace Ingram (Lucy Akhurst) con la que finalmente compartiría el resto de su vida. “En 1946 Gould fue finalmente aceptado en el National Military Museum y un año después condecorado con la medalla de oro del British Holorogical Institute. Murió en 1948”. La película finaliza con una innecesaria loa, un tanto patriotera (muy característica de este tipo de biopics) de ambos personajes junto a imágenes de los relojes de Harrison en su exposición pública y del observatorio de Greenwich en la actualidad. Premios En el año 2001, la serie fue nominada en diez categorías de los premios BAFTA TV (premios que otorga la Academia Británica del Cine y la Televisión, el equivalente a nuestros GOYA), de los que consiguió ganar cinco: Mejor actor para Michael Gambon, mejor serial dramático para Charles Sturridge y Selwyn Roberts, mejor banda Sonora original para Televisión para Geoffrey Burgon, mejor fotografía e iluminación para Peter Hannan, y mejor diseño de producción para Eileen Diss y Chris Lowe. También se llevó un premio BPG (Broadcasting Press Guild; son premios que otorgan en el Reino Unido periodistas especializados en televisión, radio y medios audiovisuales en general)  en 2001 al mejor programa dramático, y finalmente en el 2000 un premio en el Festival Banff de Televisión (premios que se dan en Canadá a los mejores programas para televisión) a la mejor mini serie. Aunque de todos es sabido que no siempre los premios son garantía de nada, resulta extraño que ninguna televisión española se haya planteado su emisión. Algunas consideraciones Aunque resulte reiterativo y pesado, esta mini serie es una gozada, desde el punto de vista de divulgación científica. Además, como suele suceder en las producciones británicas, su factura es impecable, respecto al vestuario, recreación de épocas pasadas, y sobre todo, el trabajo de los actores es fantástico, desde el primer al último secundario (la nómina de actores que han participado es realmente única; he detallado los nombres de muchos de ellos como prueba de ello, para que los que controlen un poco el tema observen que todos son de primer nivel y muy conocidos tanto en cine, como televisión y teatro). Últimamente en España se están realizando producciones de tipo histórico bastante dignas (La princesa de Éboli, Hispania), pero contemplando las producciones británicas constatamos que estamos muy lejos de su nivel, tanto en el guión (sobre todo en el guión) como en el trabajo de algunos secundarios que aquí, en fin, parecen más cómicos que otra cosa. No obstante en Longitud pueden descubrirse anacronismos y errores varios: Se utiliza el término “científico” cuando este término no aparece hasta 1840; en el siglo XVIII aún se los llamaba “filósofos naturales”. Hacia el final, Rupert Gould aparece en el programa de televisión “Brains Trust”. En la época de Gould era un programa radiofónico. Gould murió en 1948 y el programa no saltó a la televisión hasta 1955. Al inicio del capitulo primero, el Almirante Cloudsley Shovell repite varias veces “His Majesty´s Navy” y “His Majesty´s Officers” cuando en 1707, fecha del desastre que se narra, había una reina en Inglaterra, la reina Ana, que fue la que aprobó el Acta de la Longitud. Debía por tanto decirse “Her Majesty´s Navy” y “Her Majesty´s Officers”. También en el primer capítulo, hacia 1730, John Harrison habla del número pi cuando su aparición no ocurrió hasta que Euler lo denotó de este modo en 1737. La narradora habla al principio de la dificultad de dominar un mundo tridimensional, pero toda la película ahonda en la idea de que bastan dos dimensiones para conseguirlo, la latitud y la longitud. Las explicaciones de John Harrison en la película son bastante claras y detalladas. Gran parte de los problemas que tuvo este personaje con el Consejo de la Longitud en la vida real fueron derivados de las dificultades que tenía, que eran de dominio público, para explicarse y hacerse entender hasta en las cosas más mundanas. Kenelm Digby, el que propuso lo del polvo de la simpatía, aparece en la película como un hombre de mediana edad en 1730, pero había muerto en 1665. Aunque se muestra un poco caricaturizado, lo cierto es que era miembro de la Royal Society, que en efecto publicó tratados de lo más variopinto (La naturaleza de los cuerpos. Sobre la inmortalidad de las almas razonables, libros de cocina, etc.), pero que también se relacionó con intelectuales ilustres de su época: su correspondencia con Fermat, por ejemplo, incluye una demostración mediante el método del descenso infinito, de que el área de un triángulo rectángulo nunca puede ser un cuadrado perfecto. Fue también el primero en comprobar la importancia del oxígeno (el “aire vital” lo llamaba) en la vida de las plantas y el inventor del diseño de nuestra actual botella de vino (forma globular y cuadrada, para almacenarlas mejor, con un cuello en la parte superior coronado por un tapón y de cristal traslucido oscuro para proteger el vino de los rayos solares). Tanto el libro como la película toman claramente partido por los protagonistas, mostrando a los “científicos” como un grupillo de sabelotodos de élite, intransigentes, confabuladores y del todo injustos. Quizá sea una versión demasiado maniquea (aunque hay que admitir que los hechos y la documentación existen y ahí están), pero póngase el lector por un momento en el lugar de un miembro del tribunal: un montón de personas proponen ideas de lo más diverso, la mayor parte sin la más elemental base científica; en estas aparece un carpintero, no relojero, que dice haber construido un reloj, pero que no da detalle alguno sobre cómo utilizarlo (para que no le plagien), ni qué pretende medir, ni da demasiados detalles. En efecto sus mediciones y cálculos se comprueban, pero eso no establece un método general, válido universalmente. La cosa no parece clara en absoluto. En todo caso llama la atención que en la actualidad aún haya quien dude de su solución o al menos ni la mencione. Si uno coge por ejemplo el extraordinario Cosmos de Carl Sagan, se expone el problema de la longitud (pp. 144 – 145 de la edición en castellano) como un asunto que trajo de cabeza a la comunidad científica mundial, se habla de Huygens y su reloj de péndulo, pero ni se cita a John Harrison y sus relojes. Y así la mayor parte de los textos escritos por científicos actuales. ¿Curioso, verdad? Era mi intención incluir con detalle el manejo del sextante, instrumento que prácticamente ha sido olvidado excepto por asociaciones que pretenden que esto no ocurra, y que aparece en multitud de películas. Además iba a plantear algunos problemas matemáticos (trigonométricos básicamente) de cierta complejidad asociados a los cálculos de la longitud y latitud y de las correcciones que hay que hacer debido a fenómenos como el paralaje, la curvatura terrestre, etc., pero la reseña pasaría casi a ser casi una enciclopedia, y ese no es el objetivo. Lo dejaremos para otra ocasión, que seguro que la habrá. De momento en esta dirección podemos ver una animación en cinco pasos que nos puede ayudar a entender el manejo de este instrumento: http://www.waypointgijon.com/uso%20del%20sextante.gif Apuntes relacionados de interés Es posible visitar virtualmente los relojes de Harrison y aprender datos interesantes sobre Astronomía y relojes en la web del National Maritime Museum británico http://www.nmm.ac.uk/ En febrero de 2010, se dio la noticia de que físicos del Instituto Nacional de Estándares y Tecnología norteamericano han creado el reloj atómico más preciso del planeta, con un desfase máximo de un segundo cada 3.700 millones de años. Se trata de un reloj atómico basado en las vibraciones de un átomo de aluminio. El reloj, del tamaño de un frigorífico podría ser muy útil para perfeccionar los GPS y verificar algunas cuestiones físicas con mayor precisión. Más información en la página del NIST http://www.nist.gov/index.html. Y en un ratillo…. Durante estas vacaciones, tendremos tiempo para visionar dos magníficos reportajes accesibles en la Red del programa Redes que dirige y presenta Eduard Punset relacionados con las matemáticas: 1.- Así empezamos a contar.- Incluye una entrevista a Joseph Dauben, historiador de la ciencia de la Universidad de Nueva York, experto en matemáticas y civilizaciones antiguas. Duración 29 minutos. 2.- Calculamos Fatal.- Sobre el anumerismo que nos invade. Incluye una entrevista con John Allen Paulos, autor de El hombre anumérico y Un matemático lee el periódico. Duración 52 minutos. Os deseamos a tod@s que disfrutéis de unas estupendas fiestas. Para que no dejéis de utilizar un poco el coco, en la imagen os propongo una elemental cuestioncilla navideña.

Miércoles, 01 de Diciembre de 2010 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

753. 50. (Diciembre 2010) Un teorema en la biblioteca

Este texto es parte de la introducción del libro Un teorema en la biblioteca (Relatos matemáticos). A pesar de que muchas personas se sorprenden cuando oyen hablar de la relación de las matemáticas con la literatura, lo realmente extraño sería que no hubiese ninguna relación puesto que las matemáticas son una parte fundamental de nuestra sociedad, de nuestra vida diaria, de nuestra cultura y de nuestra historia. Como podemos encontrar reflejado en la misma literatura, la imagen que muchas personas tienen de las matemáticas es bastante negativa, seguramente fruto de los malos recuerdos de la etapa escolar, y alimentada en gran medida por cierto miedo a enfrentarse con ellas, lo que a la larga ha desembocado en cierta ignorancia en materia científica, y muy particularmente matemática. Es más fácil criticar lo que se ignora que intentar conocerlo mejor. En España no se ha tenido un gran aprecio por esta ciencia, y así nos encontramos por ejemplo en la novela “Amor y Pedagogía” de Miguel de Unamuno, el siguiente diálogo, - ¿Qué estudias ahora? - Matemáticas. - ¿Matemáticas? Son como el arsénico; en bien dosificada receta fortifican, administradas a todo pasto matan. Y las matemáticas combinadas con el sentido común dan un compuesto explosivo y detonante; la “supervulgarina”. ¿Matemáticas? Uno… dos… tres… todo en serie; estudia historia para aprender a ver las cosas en proceso, en flujo. También encontramos otras opiniones negativas como la del líder de la minoría negra norteamericana Malcom X, quien tenía una concepción estática de las matemáticas, Siento tener que decir que no me gustaban las matemáticas. Muchas veces he reflexionado sobre esto. Creo que era porque en matemáticas no hay discusión posible. Si te equivocas, te equivocas y basta. La del escritor alemán y premio Nobel de Literatura, Hermann Hesse, quien la muestra como un saber atemporal, como surgido de la nada, Usted trata la historia del mundo como un matemático trabaja con las matemáticas, donde sólo existen leyes y fórmulas, sin realidad, sin bien ni mal, sin tiempo, sin ayer, sin mañana, nada excepto el eterno y presente matemático. El filósofo confunciano japonés Sorai Ogyu, habla de las matemáticas como si fueran simplemente una diversión lógica con la que nos divertimos los matemáticos y que no tiene ninguna utilidad para nuestra vida cotidiana, para nuestra sociedad, Los matemáticos se vanaglorian de sus logros exactos, pero en realidad están absortos en acrobacias mentales y no contribuyen en la sociedad. El director de cine aragonés Luis Buñuel, la ve como algo frío, estático, alejado de la creación y de la imaginación, La ciencia no me interesa. Ignora el sueño, el azar, la risa, el sentimiento, la contradicción, cosas que me son preciosas. Como también el filósofo francés Jules de Gaultier, En el punto donde se detiene la ciencia, empieza la imaginación. Todas estas reflexiones nos muestran unas matemáticas estáticas, carentes de imaginación y creatividad, alejadas de la realidad y de los intereses de la sociedad, cuya creación es fría, mecánica y sin evolución. Esta visión es una visión fundamentada en el desconocimiento de la materia de la que escriben, y seguramente apoyada por cierta frustración. Además, continuamente, y de forma interesada, se ha tendido a enfrentar las matemáticas y la ciencia en general, con las letras, el arte y la cultura, como si fueran dos mundos diferentes, dos mundos opuestos. Por ejemplo, como nos recordaba Fernando Corbalán en su libro “Matemáticas de la vida misma” (Grao, 2007), el académico de la Lengua Española Francisco Rico afirmaba en 1996, Uno de los mayores problemas de España es el insuficiente conocimiento escrito y hablado de las lenguas extranjeras. Entre otras cosas porque se enseñan mal. Del bachillerato habría que salir hablando perfectamente al menos una de ellas. La culpa es de los planes de estudios, que convierten estas asignaturas en marías. Las básicas deberían ser la lengua española y la lengua extranjera. Y la literatura, que es lo que enseña a conocer el mundo. Las asignaturas técnicas, las matemáticas, no hacen ninguna falta: cualquier calculadora u ordenador te lo da todo hecho. Y más concretamente, la relación entre poesía y ciencia ha sido un símbolo de la opinión social y cultural del desencuentro entre las ciencias y las letras. Así, el poeta romántico inglés William Wordsworth, en su obra “Baladas Líricas” (“Sobre Ciencia y Poesía”) sitúa a la poesía como más importante en la vida de los seres humanos que el conocimiento científico. El conocimiento de ambos, del poeta y del hombre de ciencia, es placer; pero el conocimiento del primero nos abre el sendero hacia una parte necesaria de nuestra existencia, de nuestra herencia natural e inalienable; el otro [la ciencia] es una adquisición personal e individual, que obtenemos lentamente y no por una simpatía habitual y directa respecto de nuestros congéneres. El hombre de ciencia busca la verdad como un benefactor desconocido y remoto, la abriga y la ama en sus soledad; el poeta, cantando una canción junto con todos los seres humanos, se regocija en la presencia de la verdad como nuestro amigo visible y compañero de todos los momentos. La poesía es el aliento y el más fino espíritu de todo conocimiento; … La poesía es el primero y último de los conocimientos; es tan inmortal como el corazón del hombre. Otro poeta inglés, Wystan Hugh Auden, que vivió parte de su vida en EEUU y que recibiera el Premio Pulitzer en 1948, ataca directamente al ansia de conocimiento que tiene el ser humano, que claramente está en la base de la creación tanto científica, pero también de la artística, y así nos dice en su poema “Después de leer un manual de física moderna para niños”. Esta pasión de nuestra especie por el proceso de descubrir es un factor del que apenas se puede dudar, pero me alegraría más si supiera más claramente para qué queremos el conocimiento. Por el contrario, hay quienes como el escritor romántico alemán Johann Wolfgang von Goethe soñaban con reunir la ciencia y la poesía. Se olvidó que la ciencia se originó en la poesía, no se tiene en cuenta que, después de una revolución de los tiempos, podrían reunirse de nuevo, amigablemente, en un punto más alto, para beneficio de ambas. Otro de los símbolos del mundo de las letras, el escritor francés Gustave Flaubert también creía en que ambas visiones del mundo, la artística y la científica, eran la misma y que volverían a juntarse de nuevo, A medida que avance, el arte será más científico, del mismo modo que la ciencia se volverá artística; los dos se reunirán en la cumbre, después de haberse separado en la base. Y más aún, decía La poesía es una ciencia exacta, como la geometría. Esa visión de las matemáticas, como un conocimiento dinámico, creativo, lleno de imaginación, que busca la belleza y que se inspira en ella, es una visión más real, que muchos intelectuales han sabido reconocer en su pensamiento o en sus creaciones literarias. Veamos algunas citas en este sentido, empezando por la del matemático inglés G. H. Hardy, para quien la belleza es una parte esencial de las matemáticas, Los procesos del matemático, como los del pintor o el poeta han de ser bellos; las ideas, como los colores o las palabras, han de ensamblarse de una forma armoniosa. La belleza es el primer test. No hay lugar permanente para una matemática fea. La matemática rusa Sofia Kovalevskaya, pone el énfasis en la imaginación y el proceso creativo al escribir que No es posible ser matemático sin llevar un poeta en el alma. Pero también de la mano de grandes escritores, como el español José Ortega y Gasset, que reconoce la participación de la imaginación en la creación matemática, No hay modo de entender bien al hombre si no se repara en que la Matemática brota de la misma raíz que la poesía, del don imaginativo. El poeta ruso Alexander Sergeyevich Pushkin, que también compara las matemáticas con la poesía, La inspiración es necesaria en geometría, tanto como en poesía. El poeta portugués Fernando Pessoa, que aporta una interesante visión de las matemáticas como creadoras de belleza, El binomio de Newton  es tan bello como la Venus de Milo. Y acabamos esta parte con una cita del poeta francés Guilleme Apollinaire, de su libro “Los Pintores Cubistas”, Capítulo II: Los jóvenes pintores de las escuelas extremadas tienen como fin secreto hacer pintura pura. Es un arte plástico enteramente nuevo. Sólo está en sus comienzos y todavía no es tan abstracto como quisiera. La mayoría de los pintores nuevos están haciendo matemáticas sin saberlo o sin saberlas pero no han abandonado todavía a la naturaleza, a la que interrogan para aprender de ella el camino de la vida. Capítulo III: ... Se ha reprochado enérgicamente a los pintores nuevos sus preocupaciones geométricas. Sin embargo, las figuras geométricas son lo esencial del dibujo. La geometría, ciencia que tiene por objeto la extensión, su medida y sus relaciones, ha sido siempre la regla misma de la pintura. Hasta ahora, las tres dimensiones de la geometría euclideana bastaban a las inquietudes que nacían del sentimiento de infinito en el alma de los grandes artistas. Los pintores nuevos no se han planteado ser geómetras, como tampoco lo hicieron sus ancestros. Pero puede decirse que la geometría es a las artes plásticas lo que la gramática es al arte del escritor. Así pues, hoy, los sabios ya no se limitan a las tres dimensiones de la geometría euclideana. Los pintores se han visto conducidos, natural y, por así decirlo, intuitivamente, a preocuparse por las nuevas medidas posibles de la extensión que en el lenguaje de los mundillos modernos se designaban global y brevemente por el término de cuarta dimensión. Tal y como se presenta en la mente, desde el punto de vista plástico, la cuarta dimensión estaría engendrada por las tres mediadas conocidas: configura la inmensidad del espacio eternizándose en todas las direcciones en un momento determinado. Es el espacio mismo, la dimensión del infinito; es la que dota a los objetos de plasticidad. Pero volviendo al tema de la relación entre la literatura y las matemáticas, podríamos decir, sin entrar en un análisis profundo, que esta es de dos tipos. Por una parte, la utilización de las matemáticas como herramienta para la creación literaria, y por otra, la inclusión de las matemáticas dentro de la temática de la obra literaria, ya sea como un elemento importante dentro del desarrollo de la misma o como puntuales alusiones que el escritor o la escritora añade en la novela, la obra de teatro o la poesía como uno más de los ladrillos que componen su obra. Un ejemplo de la utilización de las matemáticas como herramienta para la creación literaria lo encontramos en el grupo OULIPO. Este grupo literario fue creado en 1960 por el escritor Raymond Queneau y el matemático François Le Lionnais con el objetivo de utilizar estructuras, formas, conceptos, teorías,… que surgían de las matemáticas, para la creación de obras literarias. A este grupo pertenecieron escritores, matemáticos y pintores como Noël Arnaud, Marcel Bénabou, Claude Berge, Italo Calvino, Marcel Duchamp, Luc Étienne, Georges Perec, Jacques Roubaud o Albert-Marie Schmidt, entre otros. Citemos tres ejemplos sencillos de la utilización de las matemáticas dentro del proceso creativo. Raymond Queneau en su libro “Cent mille milliards de poèmes”, utiliza una estructura combinatoria. Escribe 10 sonetos en 10 páginas, cada uno de cuyos 14 versos –es decir líneas- están cortados, de forma que se puedan combinar 14 versos de diferentes páginas para obtener un nuevo soneto. Así se obtienen 1014 sonetos distintos, es decir, cien billones de poemas, que, según parece, todos ellos continúan teniendo sentido. El libro “Las ciudades invisibles” del italiano Italo Calvino está plagado de fragmentos relacionados con las matemáticas (el infinito, las coordenadas cartesianas, circunferencias, espirales, simetrías, dimensiones, aplicaciones biyectivas, proyecciones,…), pero quizás una de las cuestiones que más llaman la atención es la estructura de la obra. En el libro Marco Polo le cuenta al emperador Kublai Jan  las ciudades del imperio de este que ha visitado en sus viajes, hasta un total de 55 ciudades. Estas se agrupan en el libro en 11 series de 5 ciudades cada una. Las series son (1) las ciudades y la memoria, (2) las ciudades y el deseo, (3) las ciudades y los signos, (4) las ciudades sutiles, (5) las ciudades y los trueques, y así hasta 11 series. Sin embargo, el recorrido no es un recorrido típico que consiste en primero las cinco ciudades de la primera serie, luego las de la segunda y así, sino que es un recorrido diferente y relacionado con las matemáticas. Si nombramos las ciudades de la serie 1 como (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), luego las de la serie 2 como (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), y así sucesivamente, las ciudades se van recorriendo en el orden utilizado por los matemáticos para contar el conjunto infinito de los números racionales, a partir de contar el conjunto de los pares de números naturales. Es un orden de recorrido diagonal si colocamos los pares de cada serie en filas unas debajo de otras, así (1,1), (1,2), (2,1), (1,3), (2,2), (3,1), … En el libro “La vida, instrucciones de uso”, de Georges Perec, este utiliza una estructura matemática sugerida por Claude Berge, basada en el problema de los cuadrados latinos de Euler. Pero el último ejemplo que mostraremos aquí es una divertida utilización de Luc Étienne de la banda de Moebius para transformar un poema en otro. En el interesante artículo “Un paseo matemático por la literatura” (Revista SIGMA, n. 32, 2008), de Marta Macho, podemos leer la siguiente traducción. Se considera una banda de papel rectangular (al menos 10 veces más larga que ancha) se escribe la mitad de la poesía: Trabajar, trabajar sin cesar, para mi es obligación no puedo flaquear pues amo mi profesión… Entonces se gira la tira de papel sobre su lado más largo, y se escribe la segunda mitad del poema: Es realmente un tostón perder el tiempo, y grande es mi sufrimiento, cuando estoy de vacación. Este poema se transforma en otro si se pega la tira por los extremos para obtener una banda de Möbius y sobre ella se lee, en la única cara de la banda de Moebius, un poema con sentido “opuesto” a la suma de los dos poemas anteriores: Trabajar, trabajar sin cesar, es realmente un tostón para mi es obligación perder el tiempo no puedo flaquear y grande es mi sufrimiento, pues amo mi profesión… cuando estoy de vacación. Que las matemáticas deben de aparecer, y de hecho aparecen, dentro de las obras literarias es algo que surge de forma natural del hecho de que las matemáticas sean parte de nuestra sociedad y de nosotros mismos. Los escritores y escritoras reflejan en sus novelas, obras de teatro, poesías, guiones y otras creaciones literarias, la sociedad en la que viven, la historia de la humanidad, el universo que les ha mostrado la ciencia o los universos que imaginan, la cultura y su evolución, el mundo de las ideas y pensamientos, sus propias reflexiones e inquietudes, sus vivencias, sus creencias, sus pasiones y sus odios,… y las matemáticas formas parte de todas ellas, y del mundo del propio creador literario. En algunas obras literarias los protagonistas son matemáticos, como en “El hombre sin atributos” de Robert Musil, “Una mente maravillosa” de Sylvia Nassar, “El tío Petros y la conjetura de Goldbach” de Apóstolos Doxiadis, “Los crímenes de Oxford” de Guillermo Martínez, “Proof” de David Auburn o “La fórmula preferida del profesor” de Yoko Ogawa, siendo su condición de matemáticos muy importante para entender al personaje, sus acciones y la trama de la obra, e incluso convirtiéndose en el motivo central de la misma. Hay multitud de interesantes ejemplos de la aparición de las matemáticas en obras literarias, tantos que cualquier intento de ofrecer un menú degustación nos sabrá a poco. Aquí mostraremos algunos ejemplos, aunque para una selección más amplia puedes acudir al portal divulgamat, centro virtual de divulgación de las matemáticas (www.divulgamat.net) en el apartado de “textos literarios del mes”, en el que ya tenemos más de 160 fragmentos literarios, o al artículo de Marta Macho y el libro de Fernando Corbalán, anteriormente citados. Para empezar citemos algunos fragmentos de “Don Quijote de la Mancha” de Miguel de Cervantes, en las que se ensalza la importancia de las matemáticas, “En lo que faltaba de camino, les fue contando el licenciado las excelencias de la espada, con tantas razones demostrativas y con tantas figuras y demostraciones matemáticas, que todos quedaron enterados de la bondad de la ciencia (...)”. Quijote II,19 “La caballería andante (...) es una ciencia -replicó don Quijote- que encierra en sí todas o las más ciencias del mundo, a causa de que el que la profesa ha de ser jurisperito y saber las leyes de la justicia (...), ha de ser teólogo (...); ha de ser médico (...); ha de ser astrólogo (...); ha de saber las matemáticas, porque a cada paso se le ofrecerá tener necesidad dellas (...)” Quijote II,18 “Se les han de traer ejemplos palpables, fáciles, inteligibles, demostrativos, indubitables, con demostraciones matemáticas que no se pueden negar, como cuando dicen: Si de dos partes iguales quitamos partes iguales, las que quedan también son partes iguales”. Quijote I,33 En “1984” de George Orwell, la expresión “dos y dos son cuatro” se convierte en un símbolo, - ¿Recuerdas haber escrito en tu Diario: "la libertad es poder decir que dos más dos son cuatro"? - Sí - dijo Winston. O'Brien levantó la mano izquierda, con el reverso hacia Winston, y escondiendo el dedo pulgar extendió los otros cuatro. - ¿Y si el Partido dice que no son cuatro sino cinco? Entonces, ¿cuántos hay? - Cuatro. La palabra terminó con un espasmo de dolor. La aguja de la esfera había subido a cincuenta y cinco. A Winston le sudaba todo el cuerpo. Aunque apretaba los dientes, no podía evitar los roncos gemidos. O'Brien lo contemplaba, con los cuatro dedos todavía extendidos. Soltó la palanca y el dolor, aunque no desapareció del todo, se alivió bastante. - ¿Cuántos dedos, Winston? - Cuatro. La aguja subió a sesenta. - ¿Cuántos dedos, Winston? - ¡¡Cuatro!! ¡¡Cuatro!! ¿Qué voy a decirte? ¡Cuatro! La aguja debía marcar más, pero Winston no la miró. El rostro severo y pesado y los cuatro dedos ocupaban por completo su visión. Los dedos, ante sus ojos, parecían columnas, enormes, borrosos y vibrantes, pero seguían siendo cuatro, sin duda alguna. - ¿Cuántos dedos, Winston? - ¡¡Cuatro!! ¡Para eso, para eso! ¡No sigas, es inútil! - ¿Cuántos dedos, Winston? - ¡Cinco! ¡Cinco! ¡Cinco! - No, Winston; así no vale. Estás mintiendo. Sigues creyendo que son cuatro. Por favor, ¿cuántos dedos? - ¡¡Cuatro!! ¡¡Cinco!! ¡¡Cuatro!! Lo que quieras, pero termina de una vez. Para este dolor. […] Uno de los autores más matemáticos es Jorge Luís Borges. Unos fragmentos de “La Biblioteca de Babel”, El universo (que otros llaman la Biblioteca) se compone de un número indefinido, y tal vez infinito, de galerías hexagonales, con vastos pozos de ventilación en el medio, cercados por barandas bajísimas. Desde cualquier hexágono se ven los pisos inferiores y superiores: interminablemente. […] Como todos los hombres de la Biblioteca, he viajado en mi juventud; he peregrinado en busca de un libro, acaso del catálogo de catálogos […] Yo afirmo que la Biblioteca es interminable. Los idealistas arguyen que las salas hexagonales son una forma necesaria del espacio absoluto o, por lo menos, de nuestra intuición del espacio. Razonan que es inconcebible una sala triangular o pentagonal. (Los místicos pretenden que el éxtasis les revela una cámara circular con un gran libro circular de lomo continuo, que da toda la vuelta de las paredes; pero su testimonio es sospechoso; sus palabras, oscuras. Ese libro cíclico es Dios.) Básteme, por ahora, repetir el dictamen clásico: La Biblioteca es una esfera cuyo centro cabal es cualquier hexágono, cuya circunferencia es inaccesible. […] De esas premisas incontrovertibles dedujo que la Biblioteca es total y que sus anaqueles registran todas las posibles combinaciones de los veintitantos símbolos ortográficos (número, aunque vastísimo, no infinito) o sea todo lo que es dable expresar: en todos los idiomas. Todo: la historia minuciosa del porvenir, las autobiografías de los arcángeles, el catálogo fiel de la Biblioteca, miles y miles de catálogos falsos, la demostración de la falacia de esos catálogos, la demostración de la falacia del catálogo verdadero, el evangelio gnóstico de Basilides, el comentario de ese evangelio, el comentario del comentario de ese evangelio, la relación verídica de tu muerte, la versión de cada libro a todas las lenguas, las interpolaciones de cada libro en todos los libros, el tratado que Beda pudo escribir (y no escribió) sobre la mitología de los sajones, los libros perdidos de Tácito. En la obra “El planeta de los simios” de Pierre Boulle, se citan las matemáticas, y en particular el Teorema de Pitágoras como símbolo de inteligencia, ¿Cómo no se me había ocurrido utilizar este medio tan sencillo? Tratando de recordar mis estudios escolares, tracé sobre el carnet la figura geométrica que ilustra el teorema de Pitágoras. No escogí este tema por casualidad. Recordé que, en mi juventud, había leído un libro sobre empresas del futuro en el que se decía que un sabio había empleado este procedimiento para entrar en contacto con inteligencias de otros mundos. […] Ahora era ella la que se mostraba ávida de establecer contacto. Di las gracias mentalmente a Pitágoras y me atreví un poco más por la vía geométrica. Sobre una hoja de carnet dibujé lo mejor que supe las tres cónicas con sus ejes y sus focos; una elipse, una parábola y una hipérbola. Después, sobre la hoja de enfrente, dibujé un cono de revolución. Debo recordar que la intersección de un cuerpo de esta naturaleza con un plano es una de las tres cónicas que siguen el ángulo de intersección. Hice la figura en el caso de la elipse y, volviendo mi primer dibujo, indiqué con el dedo a la maravillada mona la curva correspondiente. En la siguiente cita de Bernardo Atxaga, perteneciente a “Obabakoak”, nos encontramos una teoría matemática sobre la esencia de los cuentos, Harris tenía una teoría curiosa acerca del cuento. Según él, un cuento no vendría a ser más que una simple operación aritmética. Pero no una operación de cifras, claro, sino hecha a base se sumas y restas de elementos tales como “amor”, “odio”, “esperanza”, “deseo”, “honor” y otros por el estilo. La historia de Abraham e Isaac, por ejemplo, sería una suma de “piedad” más “amor filial”. La de Eva, en cambio, sería una resta limpia, amor a Dios menos amor al mundo. Según Harris, además, las sumas suelen dar origen a cuentos con final feliz. Los originados por restas, en cambio, suelen tener finales trágicos. Y también hay muchos ejemplos de poemas relacionados con las matemáticas, como el poema “Oda a los números” de Pablo Neruda, que empieza así, Qué sed de saber cuánto! Qué hambre de saber cuántas estrellas tiene el cielo! Nos pasamos la infancia contando piedras, plantas, dedos, arenas, dientes, la juventud contando pétalos, cabelleras. Contamos los colores, los años, las vidas y los besos, en el campo los bueyes, en el mar las olas. Los navíos se hicieron cifras que se fecundaban. Los números parían. Las ciudades eran miles, millones, el trigo centenares de unidades que adentro tenían otros números pequeños, más pequeños que un grano. El tiempo se hizo número. La luz fue numerada… Este libro que tienes entre tus manos, y el concurso literario que lo ha originado, no hacen más que dar continuación a la profunda relación que existe, e inevitablemente existirá siempre, entre las matemáticas y la literatura. Aquí se recogen los finalistas y ganadores del Concurso de Relatos Cortos RSME-ANAYA 2007, que organiza la Real Sociedad Matemática Española, en colaboración con la Editorial ANAYA, así como las editoriales Nivola y Proyecto Sur. Etc…

Miércoles, 01 de Diciembre de 2010 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

754. 1. (Diciembre de 2010) Las Matemáticas de la publicidad

La publicidad, como dice el diccionario de la RAE, consiste en la divulgación de noticias o anuncios de carácter comercial para atraer a posibles compradores, espectadores, usuarios, etc. Puede considerarse que la publicidad ha existido desde la antigüedad, desde los orígenes de la civilización y el comercio, aunque la publicidad tal como la entendemos hoy en día nace con la imprenta, que permitió la impresión de muchas copias de un mismo panfleto publicitario o político, compuesto con textos e imágenes, y la difusión del mismo, mediante la distribución de sus copias y la colocación de estas en espacios públicos, a lo largo de un amplio territorio. Sin embargo, la publicidad moderna inicia su camino en el siglo XVIII en Estados Unidos y Gran Bretaña, durante la revolución industrial, y alcanza su mayoría de edad a principios del siglo XX, con la profesionalización de la misma, la preocupación por los medios en los que difundirla y una mayor participación de la parte creativa en su diseño. Existen muy distintos tipos de anuncios publicitarios y con una calidad muy variable, aunque el desarrollo de la publicidad ha sido de tal magnitud, que ha llegado a convertirse en un nuevo tipo de arte audiovisual, muy relacionado con el  diseño, la cinematografía, las artes gráficas y, más recientemente, el arte digital. El suyo es un arte efímero, ya que sus obras son pequeños cortos publicitarios que aparecen durante un minuto en la televisión y no vuelven a aparecer hasta horas más tarde, y tras algunas semanas deja de emitirse, anuncios en soporte papel publicados en revistas o periódicos que al final de nuestra lectura desaparecerán en la papelera o carteles que decorarán nuestras ciudades durante unas pocas semanas. Por otra parte, la publicidad tiene una componente sociológica muy interesante, puesto que en esa comunicación que se establece entre quienes elaboran los productos publicitarios (empresas, administración, agencias de publicidad, diseñadores, etc) y la sociedad receptora de los mismos, los primeros deben de adquirir un conocimiento exhaustivo de la segunda para que los anuncios sean efectivos, pero a su vez la propia sociedad se convierte en protagonista de la publicidad, quedando retratada en ella, lo que permite, mediante su observación y estudio, conocer cómo es y cómo va evolucionando. Como matemático estoy profundamente interesado en esta faceta de la publicidad, puesto que a través de ella podemos tener acceso a la imagen social de las Matemáticas, así como de quienes nos encargamos de investigar, enseñar o aplicar dicha ciencia para el beneficio de la sociedad, los matemáticos y matemáticas. Y de igual forma podremos estudiar cual ha sido, y está siendo, la evolución de esa imagen social. A quienes no estén en el mundo de las Matemáticas, pero incluso también a los propios matemáticos, pudiera parecerles que esta ciencia no está prácticamente presente en la publicidad, y cuando aparecen lo hacen simplemente en relación con la enseñanza y ofreciéndose una imagen negativa de ella. Sin embargo, las Matemáticas forman parte de nuestra sociedad y de nuestra cultura, y por lo tanto, es normal que estén presentes en la publicidad, al igual que también lo están en el cine, la literatura o el arte. La imagen negativa que la sociedad ha tenido de las Matemáticas viene de la identificación de estas con las Matemáticas escolares, las cuales no han tenido muy buena prensa debido a que la asignatura de matemáticas era una de las que más se atragantaban (3/4se siguen atragantando?) a muchas personas. Por este motivo les quedaba un mal recuerdo para toda la vida, y es esta imagen negativa la que ha quedado guardada en la sociedad y que se ha transmitido durante generaciones. A consecuencia de esta percepción social de las Matemáticas, la mayoría de los anuncios relacionados con estas que durante mucho tiempo se crearon transmitían precisamente esa imagen, y casi siempre en relación con temas conectados con la enseñanza, y en particular también con los objetos característicos de esta, como pizarras, clases, cuadernos o chuletas. Sin embargo, no solamente aparecen las Matemáticas en anuncios como algo negativo y haciendo referencia a la educación, sino que también podemos encontrar publicidad en la que se destaca la importancia de la investigación matemática, en la que se aparecen números (con diferentes significados y objetivos), operaciones aritméticas, ecuaciones, se alude a teorías matemáticas conocidas, o no tan conocidas, a matemáticos famosos (aunque estos no sean muchos), o se atrae la atención del público por medio de ilusiones ópticas o geométricas. En este artículo nos vamos a centrar fundamentalmente en la imagen social de las Matemáticas, y de los propios matemáticos y matemáticas, que puede percibirse a través de la publicidad, y no en los objetos matemáticos que aparecen en sus productos. Nuestro objetivo no es tanto el desarrollo de una investigación profunda sobre la imagen social de las Matemáticas a través de la publicidad - investigación que es ciertamente interesante -, como una toma de contacto amena y divertida sobre esta cuestión. Pasearemos por muchos ejemplos de anuncios que utilizan esa imagen negativa de las Matemáticas, proveniente de las Matemáticas escolares, con mensajes que transmiten lo aburridas que son, lo difíciles de entender, imposibles de aprobar o que nadie puede estar interesado en ellas, veremos que curiosamente en algunos casos se han acabado convirtiendo en símbolo de la educación, incluso veremos ejemplos de utilización en temas de cooperación y desarrollo, pararemos en ejemplos que las muestran como frías, unidas a la razón, pero enfrentadas a los sentimientos o la belleza, también veremos como las Matemáticas, sus fórmulas y teoremas se están convirtiendo en ejemplo de investigación, de calidad, de éxito, para acabar con anuncios que destacan la importancia de las Matemáticas para la sociedad en la que vivimos, pero incluso hay sitio para el humor y la política. 1. Dos ejemplos para empezar. Me gustaría empezar mostrando dos ejemplos de anuncios publicitarios relacionados con la enseñanza, uno se desarrolla en un aula de secundaria y el otro en la biblioteca y pasillos de la universidad, pero ofreciendo una imagen muy distinta cada uno de ellos. El primero es un spot televisivo de Estados Unidos en el que se anuncia una marca de cuadernos de clase, la marca Kmart, y su slogan es  Cuadernos por 1 $ . Es un anuncio mediocre, que no busca ni la belleza en su realización, ni en la historia que se cuenta, sino simplemente vender cuadernos, es decir, un anuncio sencillo y directo. Se ve un profesor de matemáticas, con una pizarra llena de símbolos matemáticos (ejes de coordenadas, diferentes gráficas pintadas en ellos, polinomios, triángulos o ecuaciones algebraicas), y que suelta, sin casi respirar, un montón de términos matemáticos (polinomio, fractal o algoritmo), mientras los estudiantes copian sin descanso, y sin entender nada de lo que escriben, todo lo que está en la pizarra. Es decir, los cuadernos lo aguantan todo. El otro es un anuncio de Coca Cola. Esta empresa lleva muchos años haciendo publicidad muy original, creativa y de una gran calidad. En concreto, me refiero al anuncio televisivo  Enamorada , que nos muestra un pequeño corto de un minuto de duración, con una historia sobre la juventud, el amor en esa etapa de la vida, y lo que se cuenta a los padres en esa circunstancia, narrada con respeto, ternura y elegancia. El mensaje que trata de enviarnos la empresa es que Coca Cola está presente en esos momentos tan especiales de  nuestra  vida. Las Matemáticas aparecen de forma natural en el anuncio, como parte de los estudios de la joven y sin ninguna connotación negativa. Estudiar Matemáticas se convierte en la excusa que pone la joven a sus padres para llegar tarde a casa, cuando en realidad va a estar con el chico que le gusta. En los diálogos podemos apreciar las referencias matemáticas. Mientras tiene lugar el siguiente diálogo, se van viendo las imágenes de la joven en la biblioteca, después tomándose una Coca Cola, que es cuando aparece el chico que le gusta, y se van con otros amigos y amigas a jugar a los bolos, a bailar,... [Suena el teléfono] - ¿Sí? ¿Dígame? - Mamá, soy yo. - Hola hija, ¿qué pasa? - Pues nada, que..., verás, yo llevaba todo el día estudiando en la biblioteca y me levanto un minuto a tomar algo, y de pronto aparece... aparece la profesora de matemáticas avanzadas, una que es tremenda... Y nada que me dice que mi cara le suena de clase. Es que yo a su clase voy fijo. - Ya... - Resulta que va a haber un examen de integrales diferenciales, para subir nota. Bueno no es un examen exactamente. Es... ¡como una maratón! Que va a durar todo el día... importantísimo porque la nota influye sobre la nota final, y yo creo que tengo muchas posibilidades, en serio. - Claro hija. - Y debo quedarme toda la noche estudiando, aquí, en la biblioteca, que la van a dejar abierta para la ocasión ¿sabes? Así que no te preocupes, ¡que es por mi bien! Llegaré muy tarde, pero tu tranquila ¡eh!... - Vale. - Adiós mamá. [Cuelgan] - ¿Quién era? [pregunta el padre a la madre] - La niña... que se ha enamorado. 2. Una imagen negativa en el Año Mundial de las Matemáticas. La ONCE se ha distinguido desde sus inicios por campañas publicitarias impactantes, y que incluso han pasado a la historia como ejemplo de buenos productos publicitarios. Dos de las que se desarrollaron en el año 2000, que fue el Año Mundial de las Matemáticas, tuvieron que ver con esta disciplina científica. La que vamos a comentar ahora tenía el lema “Los números te hablan. Solo tienes que escucharlos”. La idea central de esta serie de anuncios era que en nuestra vida cotidiana estamos rodeados de números y estos son muy importantes en nuestra sociedad. Mensaje con el que estaremos de acuerdo con la ONCE. Pero ese planteamiento era utilizado por esta organización para transmitir que esos números que nos encontramos en nuestro día a día podían ser los que tocaran en el sorteo de la ONCE y nos cambiaran la vida. Es decir, se aprovechaba la masiva y cotidiana presencia de los números para animar a la gente a comprar cupones de la ONCE, que también son números de nuestra vida. Por ejemplo, en uno de ellos se veía el cuentakilómetros de un coche, que marcaba un número que coincidía con el del cupón de la ONCE que aparecía a su lado. Nos encontramos por lo tanto con una campaña original y de calidad que ofrece una visión positiva de las Matemáticas, en concreto de los números, mostrándolos como una parte importante de nuestra vida, que sirven para contar, calcular, ordenar, clasificar, identificar o medir, aunque no nos engañemos, también se está haciendo un llamamiento, aunque es cierto que bastante suave, a las supersticiones de las personas, a la creencia de que existen mensajes ocultos en la vida que nos pueden guiar a través de ella, como podemos deducir del lema “Los números te hablan. Solo tienes que escucharlos”. Pero entonces llegó el anuncio de esa campaña publicitaria que causó cierto revuelo en el mundo matemático. En aquel spot de televisión se veía un niño que soñaba con las cosas que desearía que ocurrieran, entre las que estaban  que las Matemáticas no existieran . Muchos matemáticos y matemáticas se sintieron molestos por ese anuncio que llegaba a la opinión pública justamente en el Año Mundial de las Matemáticas, y protestaron, algunos directamente a la ONCE y otros a través de cartas o llamadas a los medios de comunicación, de tal forma que a esta organización no le quedó más remedio que retirar el anuncio. Una cuestión interesante relacionada con esta historia es saber qué postura es mejor adoptar desde el mundo matemático, protestar airadamente para que retiren el anuncio (hay matemáticos que incluso han propuesto la creación de una Oficina de Defensa de las Matemáticas) o intentar aprovechar la situación para darle la vuelta a la tortilla y mostrar una imagen positiva de las Matemáticas. Yo suelo decantarme más por esta segunda opción, aunque no siempre sea fácil o conduzca a algo. 3. Terror en las aulas. Como ya se ha comentado en la introducción, ha existido una cierta tradición en la realización de anuncios mostrando a las Matemáticas como algo negativo, y como se muestra en los siguientes anuncios, incluso pueden producir terror, provocar dolor de cabeza, son como un cáncer o extremadamente difíciles. Si hacemos caso a algunos mensajes publicitarios, las Matemáticas, y los profesores que las enseñan, provocan terror entre los jóvenes, tanto como los vampiros, los monstruos, las brujas u otros miembros de la fauna de Halloween. Y así quedaba reflejado en este anuncio de Disney Channel, que he sacado de la página de José María Sorando [4], en el que se anunciaba una programación especial el día de Halloween,  todo lo que te da miedo hoy en Disney Channel , y como vemos también estábamos incluidos los profesores de matemáticas. El anuncio habla por sí mismo. O, en un anuncio de Rexona Teens, un desodorante para adolescentes, de la campaña  Sabemos lo que te hace transpirar , en el que cuatro jóvenes se meten en una especie de casa del terror, un poco especial, ya que aparecen escenas cotidianas que a una adolescente le pueden parecer horribles, como que su padre les vaya a buscar a la discoteca o que la abuela les haya hecho un jersey de punto, y por supuesto, no podía faltar la profesora de matemáticas diciéndoles que salgan a la pizarra. Un sencillo anuncio de Panadol, que es paracetamol, nos muestra una hoja de cuaderno con una ecuación matemática en la mitad (una ecuación relativamente sencilla, donde los elementos más complicados son la cotangente de 30° o el logaritmo en base 2 de 5) y abajo aparecen unas pastillas de Panadol. Es decir, estas pastillas sirven para combatir el dolor de cabeza, como el que nos puede provocar el intentar resolver un cálculo matemático, o por extensión, estudiar Matemáticas. Aunque hay otros más contundentes, como el de la bebida energética Li Bao Jian que muestra una hoja de cuaderno con una serie de expresiones matemáticas escritas en ella, el intento de algún estudiante de resolver un problema, y el final de la hoja está ocupado por un enorme tachón, del que cuelga el dibujo de un ahorcado. Pero incluso hay anuncios más agresivos, como el del Instituto Nacional de Enfermedades Neoplásicas, del Ministerio de Salud del Gobierno de Perú, que en un comercial de televisión de una campaña para la realización de pruebas de detección temprana del cáncer, se mostraba sobre un fondo liso, exactamente de color amarillo, una expresión matemática que se iba complicando cada vez más, y más rápidamente. Primero se ve algo sencillo, “2 + 2 =”, después “2 + 2 x 9 =”, cuyas soluciones son fáciles, y se van añadiendo números y operaciones, complicando la operación aritmética a calcular hasta llegar a un formulón bestial, en tamaño y  complicación , como se muestra en la imagen. Al mismo tiempo una voz en o  decía “lo mismo ocurre con el cáncer”... “es más fácil al principio”... “hazte las pruebas ahora”. La idea de que las Matemáticas son un enorme rompecabezas que no hay quien lo resuelva, aparece en varios anuncios. Un ejemplo es un anuncio de Momentum Life Insurance en el que todo el cartel está plagado de complejas expresiones matemáticas, realmente una cantidad inmensa de expresiones aritméticas, sumatorios, números combinatorios, logaritmos, senos, cosenos, potencias, raíces, o los números pi y e, entre otras, y en la parte de abajo podemos leer el siguiente texto “Si no estás con Momentum Life, intenta un pequeño rompecabezas cuando esperas que tu póliza sea revisada”. En otras palabras, que antes consigues resolver algo tan complicado como el extraordinario rompecabezas matemático mostrado, que una compañía de seguros, que no sea Momentum Life, te revise tu póliza. 4. Las Matemáticas escolares en la publicidad. Otro de los temas clásicos de la publicidad relacionada con las Matemáticas es la Matemática escolar. Una de las imágenes que les encanta poner a los publicistas es lo aburridas que son las clases de matemáticas, quizás sea como venganza personal por el mal trago que tuvieron que pasar en la escuela o el instituto. Así, uno de los carteles publicitarios de la campaña “Stay awake” (mantente despierto), el titulado “classroom” (clase), nos muestra una imagen casi en negro, cuyo significado es que se están cerrando los ojos, y lo único que los mantiene abiertos es una pastilla, que es un medicamento de Novartix. Y lo que conseguimos entrever en esa pequeña zona abierta es un profesor con una pizarra llena de matemáticas. De hecho, las pizarras con fórmulas matemáticas son seguramente la imagen más frecuente si estamos hablando de Matemáticas en la publicidad. Las podemos encontrar en anuncios relacionados con todo tipo de productos. Desde un anuncio de Rexona en el que se ve una pizarra escrita hasta la mitad con símbolos científicos, que incluye fórmulas matemáticas, pero también compuestos químicos o fórmulas de la física, dando a entender que eso es lo que pasa si al profesor o profesora de ciencias le huelen las axilas. Y el texto nos dice “Or search for Rexona” (O busca Rexona). Pasando por un anuncio de pañales para adultos de la campaña  cuando no hay un cuarto de baño alrededor , que nos muestra una pizarra con expresiones matemáticas y un inodoro de pared al lado, que es la alternativa a no llevar pañales si los necesitas. Pero hasta en los anuncios de Playboy nos podemos encontrar una pizarra con fórmulas matemáticas. Así en algunos de los carteles de la campaña “Playboy te va a examinar de tus conocimientos” se veía una mujer vestida de forma sexy, y provocadora, gafas y un libro en su mano (¿la profesora de “mates”?), y una pizarra detrás de ella con expresiones de funciones que incluyen senos, cosenos y logaritmos, intervalos de definición de las funciones o un par de gráficas. Las chuletas, y en particular las que se hacen para el examen de matemáticas, es otro tópico relacionado con la enseñanza que aparece en muchos anuncios. Pongamos simplemente un ejemplo [4]. La empresa de cigarros Fortuna en uno de sus anuncios pertenecientes a la campaña “¿Tienes Fortuna?”, mostraba un paquete de Fortuna abierto, con la mitad de cigarrillos, y una chuleta entre el paquete y el plástico, en el que se ve la definición de integral. Y encima un texto que dice “Ampliación de memoria”. En otros anuncios, como el que vamos a mostrar a continuación, se transmite la opinión, quizás compartida por otras personas que han sufrido la asignatura en la etapa escolar, de que nadie en condiciones normales va a estar interesado en estudiar matemáticas y solamente si es por un motivo de fuerza mayor prestará atención a las mismas. Así, en el anuncio de Teleton, la Asociación Mexicana de Ayuda a los Discapacitados, se muestra a un niño que está haciendo deberes de matemáticas, y se le puede ver cierta cara de satisfacción mientras trabaja en ellos. En concreto, está haciendo algunas cuentas y sumando con los dedos, que es lo que nos da la pista de que está con los deberes de matemáticas. El otro elemento matemático lo encontramos en la pared de esta humilde aula construida con listones de madera en alguna zona pobre de México, y es un cartel con la circunferencia, diferentes tipos de triángulos y paralelogramos, y con polígonos regulares como el pentágono o el hexágono. Poco a poco, según avanza el anuncio,  en la parte de debajo de la pantalla va apareciendo el siguiente texto, “Pedro ha ganado todos los concursos de matemáticas de su estado”... “también le hubiera gustado corretear sapos en el jardín”... entonces se le ve levantarse de su asiento y que necesita muletas y se escucha a una narradora “toma ácido fólico... para que tu hijo haga lo que él quiere y no solo lo que puede”... “evita que tu hijo nazca con una discapacidad, no esperes a estar embarazada”. Pero si hay un anuncio que a mí me parece lamentable, y especialmente si se tiene en cuenta la fundación desde la que se realiza, es el que vemos en la imagen, de la Fundación de Ayuda contra la Drogadicción, perteneciente a la campaña “Todos somos responsables”. En este cartel publicitario se utiliza el resultado más conocido de las Matemáticas para el público general, el famoso Teorema de Pitágoras. Como vemos en la imagen, aparece un triángulo rectángulo de lados a, b y c, que ya nos avisa de que se está aludiendo al famoso resultado del matemático griego. Y acompañando al triángulo tenemos el texto, que en mi opinión es bastante desafortunado. Nos dice que los profesores, en particular re riéndose a los de matemáticas, somos capaces de que nuestros estudiantes se crean que el Teorema de Pitágoras, y por extensión todo lo que les enseñamos, es cierto, luego tenemos que darnos cuenta del poder de influencia que tenemos sobre nuestros estudiantes. Sin embargo, el Teorema de Pitágoras es un resultado clásico en Matemáticas, que posee más de 200 demostraciones distintas, algunas muy sencillas y bonitas. Este resultado es un símbolo de lo que son las Matemáticas, es decir, el resultado no hay que creerlo porque lo diga el profesor sino que en clase este debe demostrar porqué es cierto que  la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa . Y en esencia eso es la enseñanza... no hacer que el alumno piense o crea algo porque nosotros se lo decimos, sino que hay que razonarlo, demostrarlo, justificarlo,... y hay que potenciar el espíritu crítico y el desarrollo del pensamiento del estudiante. Sin embargo, el anuncio a pesar de que indica “La educación lo es todo”, da a entender lo contrario. Si un profesor es capaz de convencer a sus estudiantes de que el Teorema de Pitágoras es cierto, también puede convencerles de que no consuman drogas. Yo creo que no es cuestión de  comerles el coco , sino de educarles... 5. Cooperación y desarrollo. Las Matemáticas se han acabado convirtiendo en un símbolo de la educación dentro de la publicidad, como por ejemplo en el anuncio de la Fundación de Ayuda a la Drogadicción que acabamos de comentar. En este sentido también han sido utilizadas en anuncios relacionados con temas de cooperación y desarrollo, como los que mostramos en esta sección. El primero es un anuncio de Motivate Publishing, que es una empresa editorial de la zona del Golfo Pérsico, colaborando con una agencia de las Naciones Unidas que lucha contra el hambre en el mundo, el “WFP - World Food Program”. Este anuncio le da la vuelta al diseño que suelen tener los anuncios de ayuda a países o regiones del mundo con situaciones preocupantes de hambruna o en los que ha ocurrido una catástrofe. El ellos la parte más importante del cartel suele ser una fotografía de uno o varios niños en una situación de hambre o necesidad visibles, con el objetivo de remover las conciencias del público destinatario de la publicidad, y el texto que la acompaña suele estar en la parte baja del cartel y en letra pequeña. Estructura lógica desde el punto de vista publicitario por su efectividad, pero también desde el humano, puesto que no se trata de situaciones abstractas, sino que quienes pasan hambre son personas, son niños y niñas. Sin embargo, este anuncio le da la vuelta a esa concepción y lo que vemos en él con mayor tamaño es la cantidad de dinero “34 $”, lo siguiente en tamaño es el texto que informa del significado de esa cantidad, “34 $ le proporcionarán a él comida y educación para todo un año. Si te preguntas cómo de barato sale esta cantidad al día, nos encantaría que él hiciera las matemáticas”, y finalmente aparece una pequeña fotografía de un niño con cara triste e intentando comer de un plato de comida que tiene delante. Además, hay un juego sencillo de significados, que consiste en que el cálculo que se describe en la segunda frase, podría perfectamente enunciarse como un problema aritmético para educación primaria. El texto nos plantea el ejercicio aritmético, pero nos sugiere que no lo resolvamos, que eso no es lo interesante, que lo verdaderamente importante es que ayudemos a estos niños, ya que entonces recibirán la comida (podrán alimentarse, y por tanto vivir) y la educación (podrán disfrutar de un desarrollo intelectual) para poder resolver ese problema. La agencia de cooperación al desarrollo de Suiza, Helvetas, utiliza la misma técnica comentada en el caso anterior, de contrastar un problema de la enseñanza primaria, o que nos recuerda a los que nos podríamos encontrar en un libro de texto de matemáticas o en una pizarra de un aula, y que en principio sería un problema abstracto, con la realidad descrita en el propio ejercicio. Además, hay un doble  problema  planteado en el anuncio, ya que la niña africana para poder resolver el problema de la pizarra, el matemático, primero necesita que se resuelva el problema real que aparece en el propio ejercicio, y del que ella es la protagonista. El problema que se plantea en la pizarra del anuncio es el siguiente. “Cuestión: Una niña africana vive a 6 km de la fuente de agua más cercana. Llevando dos botes vacíos de 5 litros ella puede viajar a pie a una velocidad de 4 km por hora. Cuando los botes están llenos de agua ella puede andar solamente a una velocidad de 2 km por hora. Ella necesita 20 litros de agua al día para beber, cocinar y lavar la ropa. ¿Cuántas horas gastará la niña llevando agua a su casa en lugar de yendo a la escuela?”. La propia agencia de las Naciones Unidas “WFP - World Food Program” realizó una serie de carteles muy directos. En ellos se ve a un saco de trigo, con la fotografía de una niña y el siguiente texto impreso en el saco “Es difícil concentrarse en el álgebra, cuando todo en lo que puedes pensar es en comida”. La verdad es que el anuncio habla por sí mismo. 6. Razón versus sentimientos. Es curioso observar como para el público general, y esto se ve reflejado por tanto en la publicidad, las Matemáticas están relacionadas con lo frío, con lo racional, ..., en contraposición además con la belleza, la creatividad y el sentimiento. Así mismo, los matemáticos y matemáticas somos vistos como personas racionales, frías y calculadoras. Obviamente este tópico es fácilmente desmontable, aunque no es el objetivo de esta charla, sino mostrar a través de la publicidad que esta es la opinión que de nosotros tienen muchas personas de nuestra sociedad. La expresión explícita “fría razón matemática” aparece por ejemplo en un antiguo anuncio del Coñac Magno, cuyo lema era “Las matemáticas engañan”. Este es un anuncio en el que aparentemente se deja en mal lugar a las matemáticas, y a la ciencia en general, pero si lo miramos bien yo creo que de hecho lo que ocurre es todo lo contrario, que el anuncio realmente transmite una imagen positiva de la ciencia. El anuncio “Las matemáticas engañan” pudo sentar mal a algunas personas del ámbito matemático, puesto que pudieron pensar que estaba ofreciendo una imagen negativa de esta ciencia. Sin embargo, el anuncio tiene su gracia, al menos a mí me lo parece. En el anuncio, tras el titular se leía, “No es cierto que todo se pueda calcular por medio de los números. El teorema de Magno  un poco=mucho , es tan solo demostrable a través de los sentidos. Prueba de ello es que numerosos científicos, obedeciendo más al paladar que a la fría razón matemática, han llegado a la conclusión de que rectificar es de sabios”. Como vemos hay un montón de terminología científica y fundamentalmente matemática. Además, por un lado se presenta la rigurosidad y objetividad de las Matemáticas (teorema, demostración) y se le contrapone a la subjetividad de las sensaciones (el gusto). Es interesante. Aunque bien es cierto que eso de “la fría razón matemática” es parte del tópico... sin embargo, como decía, si sabemos leer entre líneas, vemos que nos está diciendo que la Ciencia, y las Matemáticas, son la forma de llegar a conocer la verdad, a describir nuestro universo, y además por medio de la demostración matemática. Y solamente en el caso de Magno se produce una excepción... y es nuestra percepción a través de los sentidos quien nos demuestra que Magno es un coñac único, de un sabor excelente. El texto está además acompañado por una imagen que incluye una copa de Magno que está al lado de una hoja con el diseño realizado con trazos geométricos de una copa de brandy, una copa simétrica, volviendo a apoyar que las Matemáticas son el camino hacia la perfección. Otro ejemplo de esta sección es un spot de televisión de BMW, que en su día, como los demás espectadores, vi en televisión. Yo nunca relacioné a su protagonista con un matemático, hasta que buscando información sobre publicidad relacionada con las Matemáticas descubrí que el nombre de este anuncio era “matemático”, o sea, que se entendía que el hombre que salía en el mismo era de profesión matemático. Si lo volvéis a ver, descubriréis que el protagonista está dando motivos racionales por los cuales se compró la casa en la que viven, se casó con su mujer, tuvo dos hijos o eligió el tipo de césped del jardín, pero cuando llega a su coche, que es un BMW, se queda pensando, no dice nada y sigue hablando de otras cosas. Entonces aparece en pantalla el texto “Nuevo 330 Ci. Se escapa a la razón”. Por último, el anuncio “What is beauty?” (¿Qué es la belleza?) de BMW, compañía que como podéis comprobar tiene muchos anuncios relacionados con las Matemáticas, y en general, todas las de coches. El texto del anuncio, mientras vamos viendo una rosa blanca, algunos bellos rostros de hombres y mujeres, una cúpula geodésica, y al final algunas imágenes del coche, es el siguiente... “Se han ideado muchas teorías en un intento de descubrir lo que es estéticamente placentero para la vista. Platón intentó usar reglas estrictas de la proporción para explicar cómo reaccionamos ante ciertas combinaciones de elementos. Los matemáticos han aplicado la geometría en un intento de calcular cómo se unen las formas para estimular los sentidos. Pero aquellos que saben cómo crear belleza siempre han sabido una cosa: No se puede calcular. Solo se puede sentir.” 7. Las Matemáticas como símbolo de la investigación, de la calidad, del éxito. Pero no solamente existe publicidad que muestra una imagen negativa de las Matemáticas, sino que también existen anuncios en los que nuestra ciencia se ha convertido en símbolo de investigación, de innovación, de calidad o de éxito, que siendo positivos debemos de pensar que es un mensaje que empieza a calar en la sociedad en la que vivimos, aunque aún haya mucha divulgación de las Matemáticas que desarrollar. Un ejemplo interesante es el que se publicó en el año 2005 en las páginas de algunas revistas, anunciando el vino Marqués de Riscal del año 2001, y del que tuve conocimiento a través de mi amigo Antonio Pérez [2]. Es un anuncio de página completa en una revista y en el cual se ve una fórmula matemática que ocupa casi todo el espacio, pero en la que las variables de la misma (es decir, los valores que se le meten a la fórmula para luego obtener el resultado para esos valores) eran el agua, la tierra, el sol, la lluvia, la bodega... y cosas por el estilo, como se puede ver en la imagen, y luego el resultado era igual a una botella de vino de Marqués de Riscal, y el texto “Marqués de Riscal Reserva 2001 ¿Qué lo hizo perfecto?”. Me parece un anuncio muy bueno, ya que indica que ese vino es perfecto por los materiales y condiciones utilizados, pero también por la ciencia y la investigación que hay por detrás. Rápidamente, Antonio Pérez al percatarse de que existían algunos errores de índole matemático en la fórmula, como por ejemplo en los sumatorios y los límites habían sustituido la n por alguna letra griega como pi o mu, les envió una carta a los de Marqués de Riscal felicitándoles por el anuncio y comentándoles las erratas que contenía el mismo, para que lo pudieran corregir en futuras tiradas del mismo. Sin embargo, algunos matemáticos mostraron su enfado por los errores matemáticos cometidos. En mi opinión, es muy importante para la creación de una buena imagen pública de las Matemáticas que anuncios como este sean realizados, y además el colectivo matemático debe felicitarse, y felicitar a los autores, por poner a la investigación matemática en tan buena posición ante la sociedad. Aunque eso no quita para que en determinados foros, o circunstancias, aprovechemos para corregir esos errores y explicarlos a diferentes públicos. La utilización de fórmulas matemáticas para explicar el éxito en un deporte ha sido aplicado en algunos anuncios de Canal +, como los que recoge José María Sorando en su página “matemáticas en tu mundo” [4]. Uno de los mostrados en esta página es el anuncio “El fútbol: lo que nadie + te enseña”, en el que aparece Luis Aragonés, y a su lado, como mostramos en la imagen, se puede leer “La fórmula del Sabio de Hortaleza”, después una expresión matemática igualada a la palabra GOL, y como pie de imagen “Para ganar se recomienda aplicar esta fórmula cuantas veces sea necesario”. El otro es el anuncio de Canal + sobre el US Open, en el que aparece es de Rafa Nadal, una expresión matemática igualada a 1, y el texto “Llegar al número 1 no ha sido fácil”. Hay muchos más anuncios en los que aparecen fórmulas matemáticas y relacionados con la investigación. Aunque me gustaría terminar este apartado con un par de ellos que ponen de manifiesto que la sociedad no sabe realmente cómo es el trabajo de los científicos, cómo es su investigación, y lo que cuesta realizarla, en definitiva, desconocen cómo es nuestro mundo. El primero, que vemos en la imagen, es el anuncio “E = mc2” de una marca de café. En él podemos observar en un tono sepia, un montón de hojas con fórmulas matemáticas escritas a bolígrafo, con tachones incluidos, que nos muestran el trabajo solitario de la investigación científica, y sobre todo matemática, con una taza de café en el extremo inferior derecho (recordemos que como decía el matemático húngaro Alfréd Rényi, “Un matemático es una máquina que convierte café en teoremas”), en el extremo superior izquierdo vemos una mancha circular de café rodeando la fórmula “E = mc2”. Y el texto del anuncio es “Great ideas always come. You just have to stay awake” (Las grandes ideas siempre vienen. Solamente tienes que mantenerte despierto). Personalmente me parece un anuncio muy bonito, pero como científico podría matizar mucho eso de las ideas siempre vienen, solamente hay que esperarlas. Los resultados en la investigación de una persona, o de un equipo de investigadores, suelen ser consecuencia de muchísimas horas de trabajo durante mucho tiempo, semanas, meses o incluso años. En la misma línea que el anterior existe un sencillo anuncio, que solamente posee texto, de Nescafé y que empieza expresando una idea similar al anterior “!Relax! !It will happen!” (¡Relájate! ¡Ocurrirá!). En este anuncio no solamente se refiere a la ciencia, sino también a la literatura y al arte. Sin embargo, lo que sorprende es la comparación de esfuerzos del trabajo para realizar una de sus  obras  del científico, el escritor o el artista, donde el esfuerzo se mide en tazas de café, que han necesitado para realizarla. Y nos dice que “la teoría de la relatividad = quizás 50 tazas de café”, “sueño de una noche de verano = quizás 100 tazas de café” y “Mona Lisa = quizás 150 tazas de café”. La verdad es que la comparación es injusta respecto a la teoría de la relatividad y a quienes la desarrollaron, puesto que esta fue una teoría que llevó muchos años de investigación y no solamente con el esfuerzo de Albert Einstein, sino con el trabajo de otros científicos, como por ejemplo los matemáticos Henri Poincaré o Hermann Minkowski. 8. Matemáticas para construir un mundo mejor. En la publicidad también nos encontramos con anuncios que hablan de las Matemáticas, y la ciencia en general, como la herramienta para construir un mundo mejor. Por lo tanto, espero que esto sea en realidad un reflejo de una sociedad que poco a poco está dándose cuenta de la importancia que tiene la ciencia en su progreso. Aquí vamos a mostrar dos anuncios muy interesantes a este respecto, pero que además tienen una realización esquisita y de una gran belleza estética. El primero es el anuncio “Math and Science” (Matemáticas y Ciencia) de Exxon Mobil, Resolviendo los desafíos más resistentes sobre la energía mundial, sobre un programa que tiene la compañía para apoyar el estudio de las Matemáticas y la Ciencia desde la escuela hasta los estudios superiores, ya que como dice el anuncio “las matemáticas y las ciencias van a ser vitales en nuestra sociedad y nuestro futuro”. El texto del anuncio dice lo siguiente... “Cuando era niño, siempre me gustaba desarmar las cosas. Solo quería saber cómo funcionaban. Desde una edad temprana empecé a juguetear con cosas mecánica. Eso era parte de lo que yo creía que iba a hacer y de lo que llegué a ser. Mi padre me regaló algo especial, el regalo de preguntar, de ser curioso y de preguntarme sobre el mundo a mí alrededor. Creo que siempre he sido ingeniero. Tanto si sabía lo que era ser ingeniero como si no, yo siempre lo he sido. Esto empieza a una edad temprana y ahí es dónde Exxon Mobil realmente juega un importante papel. Tenemos varios programas con los que apoyamos el estudio de las matemáticas y la ciencia tanto en escuelas como más adelante en la educación superior. Tenemos programas que ayudan a los profesores en la enseñanza de las matemáticas y proporcionamos financiación para impulsar el avance de los niños y las niñas hacia las matemáticas y las ciencias. Porque las mates y las ciencias van a ser vitales en nuestra sociedad y nuestro futuro. Hay muchos niños que pueden convertirse en el próximo gran científico que pueda solucionar los retos del mundo”. Pero sin lugar a dudas, el mejor anuncio que yo he visto hasta la fecha, y en el que pone a las matemáticas en lo más alto del conocimiento y de la utilidad para la sociedad, para el mundo, es el anuncio “Smarter Math Builds Equations for a Smarter Planet” de IBM. El texto del anuncio habla por sí mismo, como veremos a continuación, pero además es aconsejable verlo (por ejemplo, a través de YouTube) por la calidad del mismo. “Las matemáticas son el único lenguaje universal en el mundo. IBM está utilizando las matemáticas para construir un planeta más inteligente. A través de las matemáticas IBM puede resolver problemas en finanzas, tráfico e industrias de atención sanitaria. Empleado de IBM: Las matemáticas son el único lenguaje que compartimos todos los seres humanos. PILOTO: Las matemáticas pueden BANQUERO: predecir mejor los mercados financieros, EMT: detener una pandemia, PILOTO: decirnos como volarán los aviones antes incluso de que los construyamos. IBM: Las matemáticas pueden ayudarnos a hacer que el mundo funcione mejor. IBM: Esta es una ecuación que puede ayudarte a llegar al trabajo a tiempo. IBM: Las matemáticas pueden hacerlo todo. CIENTÍFICO: predecir mutaciones, BANQUERO: arreglar la economía, MUJER: plegar proteínas, PROFESOR: telemática, IBM: Las matemáticas pueden hacer el mundo más inteligente. ARQUITECTO: Casas más inteligentes, EMT: medicina más inteligente, MUJER: sistemas más inteligentes, CAMIONERO: supermercados, MUJER: cadenas de suministro. MUJER: Las matemáticas resuelven problemas. IBM: Esto es en lo que estamos trabajando. IBM: Im an IBMer. TODOS: Construyamos un planeta más inteligente.” Agradecimientos: Quisiera expresar mi más sincero agradecimiento a Mari Luz Loma Osorio, por ayudarme con las traducciones de los anuncios de BMW y Exxon Mobil. Bibliografía [1] J. Chamoso, B. Graña, M. Rodríguez, J. Zárate, Matemáticas desde la prensa, Nivola, 2005. [2] Antonio Pérez, comunicación privada. [3] Real Sociedad Matemática Española, DivulgaMAT, Centro Virtual de Divulgación de las Matemáticas, www.divulgamat.net (director: Raúl Ibáñez) [4] José María Sorando, Matemáticas en tu mundo, www.catedu.es/matematicas_mundo [5] Páginas de Internet: Ads of the World (adsoftheworld.com), YouTube (www.youtube.com), publi.TV (publitv.com), Coloribus, Global Advertising Archive (www.coloribus.com). [6] Medios de comunicación: periódicos, revistas,...

Miércoles, 01 de Diciembre de 2010 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

755. 19. (Noviembre 2010) Las matemáticas en la música de Xenakis II

Estrategias musicales 1. El conflicto En esencia, la música es conflicto. El discurso musical progresa a través de la dialéctica entre sus partes. En cualquier pieza de música se observan episodios de tensión combinados con otros de equilibrio. Esa dialéctica generadora del conflicto aparece en varios niveles musicales: en la melodía, en la armonía, en el ritmo, en la conducción de las voces, en la instrumentación y, por supuesto, en la forma. En distintas épocas los estilos musicales predominantes han marcado preferencias sobre la forma de usar el conflicto como motor de la música. Sabemos, por ejemplo, que los conceptos de disonancia y consonancia han ido ensanchándose a lo largo de la historia de la música. En el Barroco un acorde de séptima de dominante, considerado disonante, tenía que resolverse; eso no es tan evidente en la música de principios del siglo XX, donde se aceptan esos acordes con total naturalidad, y aún menos en el jazz. Analicemos la presencia del conflicto con un breve ejemplo tomado de la Pequeña serenata nocturna KV 525, de Mozart. El primer movimiento de esta serenata tiene forma sonata con dos temas que contrastan entre sí. El pasaje que examinamos en la figura 1 en una reducción para piano es el paso del primer tema, en sol mayor, al segundo tema, en re mayor. Figura 1: Pasaje de la Pequeña serenata nocturna KV 525, de Mozart Para dar interés musical a ese paso entre los dos temas, Mozart introduce varios elementos de tensión: Dinámica (volumen). Obsérvensen los compases 1 y 2, en que hay un sforzando (cambio súbito de volumen), un sf seguido de un piano (p). Al final de compás 3 hay una escala ascendente que tocan los violines en vibrato; esta escala comienza un crescendo (aumento progresivo de volumen) que culmina en el re final del compás 5 tocado en forte (fuerte). Armonía. En los tres primeros compases hay un pedal de tónica. Un pedal es una nota o armonía que se mantiene fija mientras se producen otros cambios armónicos. En este caso es la nota sol sobre la que se alternan los acordes de sol mayor y re mayor. En los compases 3 y 4 aparece la cadencia IV-VII6-I para afirma la tonalidad de sol, con el acorde de séptima de dominante incompleto. En el compás 4 se produce la secuencia de acordes V-I en sol, que, sin embargo, es reinterpretada como la secuencia I-V en la nueva tonalidad de re mayor. Esta técnica de cambio de tonalidad (llamada modulación en el lenguaje musical) se llama del acorde pivote y consiste en usar acordes comunes a dos tonalidades para modular. Al entrar en la nueva tonalidad Mozart usa de nuevo la cadencia IV-VII6-I (compases 4 y 5) y un pedal de tónica V7/I (compases 5 y 6). En los compases 8 y 9 se oye la secuencia II56-V56 del V-V, que no es sino una afirmación del quinto grado de re (el la) por medio de dominantes secundarias. La secuencia desemboca en una cadencia rota con un pedal de dominante. En los compases 1 y 2 el ritmo es relativamente sencillo, con las notas sobre las partes fuertes de la métrica. En los compases 5 y 6 el ritmo se agita más al aparecer combinaciones de negras y corcheas ambas con puntillo. Finalmente, en los compases 7 y 8 las voces superiores hacen una síncopa (contradicción momentánea de la métrica establecida), que es además un pedal de la nueva tónica. En el compás 8 Mozart añade sutilmente un mi, que forma un intervalo disonante de segunda mayor con el re del pedal, y que sirve de apoyo a la progresión II56-V56 del V. En el compás 9 la síncopa se resuelve así como la disonancia y la melodía vuelve a una figuración de corcheas sobre las partes fuertes. Con este pequeño ejemplo se ve cómo opera el conflicto en varios niveles musicales. Las ideas musicales del compositor se plasman en la partitura, de la cual director e instrumentistas extraen la información necesaria para mostrar la música y sus conflictos internos. Xenakis reflexionó sobre el conflicto interno en la música, sobre todo a finales de los 50 y a principios de los 60. También reparó en que durante la ejecución de la obra musical emerge otro tipo de conflicto: el de la propia ejecución. En efecto, existe también una dialéctica entre partitura e intérprete. En ambos tipos de conflicto -indagaba Xenakis- no hay margen para la improvisación. Por un lado, el compositor ha fijado, hasta donde le permite la notación musical, sus ideas musicales, reveladas a través de la dialéctica de los elementos musicales; y éstos, por otro lado, determinan el conflicto partitura versus interpretación. En todo caso, es siempre un conflicto interno. Xenakis llamó a la música caracterizada por estos conflictos internos música autónoma. Incluso en la música estocástica, aunque goce de más margen de maniobra, las tensiones siguen confinadas a la partitura. Xenakis quería superar la música autónoma y experimentar con música que no solo poseyera ese carácter interno. Introduce, pues, el concepto de conflicto externo [Xen01], página 111): "Sería interesante y probablemente fructífero imaginar otra clase de discurso musical, el cual introdujese el concepto de conflicto exterior entre, por ejemplo, dos orquestas o instrumentistas contrarios". Su formación matemática y su creatividad musical le señalaron el camino una vez más. Imaginó la superación de la premisa del conflicto interno vía la teoría de juegos. En teoría de juegos tenemos dos jugadores que juegan por turnos y que siguen ciertas estrategias para ganar el juego. Xenakis pensó en dos orquestas compitiendo entre sí en un juego finito de suma cero. Cada orquesta dispondría de ciertas tácticas sonoras y los directores de las orquestas jugarían en función de lo que escuchan. En la siguiente sección explicamos algunos conceptos sencillos de teoría de juegos que nos ayudarán a entender la música de Xenakis que analizamos en el artículo de hoy. 2. Teoría de juegos La Teoría de Juegos es una disciplina matemática de pleno derecho (clasificación AMS: 90D). Su objetivo es el estudio de la estrategia para ganar en juegos modelizados matemáticamente. Esta definición, si bien general, se adapta con versatilidad a varios y dispares campos de aplicación. Con particular éxito, la teoría de juegos se ha usado en Economía para estudiar desde la competitividad en el mercado hasta la distribución de la riqueza. Podemos encontrar aplicaciones de la teoría de juegos en la Biología (problemas de equilibrio ecológico), en el diseño de acciones militares, en Sociología o en Ciencias Políticas (sistemas de votación), en Filosofía (para estudiar el concepto de convención) y, por supuesto, en Informática. Aquí nos contentaremos con introducir unas cuantas definiciones básicas para entender las ideas musicales de Xenakis. Para profundizar más en este fascinante tema se remite al lector a [Pet08] y a sus referencias bibliográficas. Empezaremos con un ejemplo. Dos equipos de exploradores, llamémosles A y B, tienen que someterse a una prueba. El equipo A tiene que ir desde el campamento este al campamento oeste y para ello tienen dos rutas disponibles, por el norte que se tarda 2 días, y por el sur que se tarda 3 días. El equipo A sale primero y unas horas más tarde, el equipo B, cuya misión es rastrear y dar alcance al equipo A. El equipo B desconoce qué ruta tomará el equipo A. Si el equipo B toma la ruta equivocada, puede regresar al campamento este y desde allí tomar la otra ruta. Ese error, no obstante, le cuesta al equipo B un día de retraso en la persecución del equipo A. La prueba se puede modelizar como un juego de dos personas, los equipos A y B, que compiten entre sí. La siguiente matriz modeliza matemáticamente el juego (figura 2): Figura 2: Matriz de un juego. La matriz se interpreta como sigue: Las elecciones de la ruta del equipo B se leen por filas. Las elecciones de la ruta del equipo A se leen por columnas. Las elecciones que hace cada equipo son independientes entre sí y se hacen simultáneamente. Los números de la matriz se leen como el pago que el equipo A hace al equipo B. Esta es una convención habitual en teoría de juegos. ¿Cuál es la estrategia ganadora para este juego? Si el equipo A elige la ruta norte, tendrá 1 o 2 días de persecución; en cambio, yendo por el sur dicho número de días sube a 2 o 3. En cuanto al equipo B, si elige la ruta por el norte siempre dispondrá de 2 días de persecución independientemente de la elección del equipo A. Por tanto, ambos equipos eligen la ruta norte. El lector quizás se haya dado cuenta de que la combinación norte-norte es máxima en su columna (2 1) y mínima en la fila (2 2). Una posición en la matriz para la que ocurre esto se llama punto de silla (equilibrio de Nash). También se observa que en el punto de silla el equipo B maximiza el pago mínimo recibido y el equipo A minimiza el pago máximo entregado. Este tipo de juegos se llama juego de suma cero porque la cantidad que recibe un jugador es igual a la que pierde el otro jugador para cualquier estrategia. 3. La Teoría de Juegos en la música de Xenakis Las obras más emblemáticas en las que Xenakis usó la teoría de juegos son Duel(1959) y Stratégie (1962). Analizaremos esta última para ilustrar la materialización de las ideas de Xenakis. Stratégie (1962) es una obra para dos orquestas, cada una con su propio director. Las orquestas se colocan una enfrenta de la otra, con los directores dándose la espalda. Los directores disponen de seis construcciones sonoras, como las llama Xenakis, de naturaleza estocástica (véase el artículo anterior de esta serie), numeradas del I al VI. Estas construcciones estocásticas se calcularon con la ayuda de un ordenador IBM 7090. Las construcciones sonoras son las partes constitutivas de las tácticas del juego, que son las siguientes: I.- Instrumentos de viento (madera y metal).II.- Instrumentos de percusión.III.- Toques con la mano en la caja de resonancia de los instrumentos de cuerda.IV.- Efectos puntillistas con los instrumentos de cuerda.V.- Glissandi con los instrumentos de cuerda.VI.- Armonías continuas tocadas por los instrumentos de cuerda A cada director se le permite ejecutar dos o tres tácticas simultáneamente, pero Xenakis determina la compatibilidad entre ellas en la siguiente tabla: En total, hay 19 tácticas: 6 tácticas formadas por una única construcción sonora (I a VI), 9 formadas por dos construcciones (VII a XV) y 4 formadas por tres construcciones (XVI a XIX). Por tanto, en cada turno los directores pueden tocar una de las 192=361 posibles combinaciones de tácticas. La pieza Stratégie se concibe como la ejecución de un juego finito de suma cero para dos personas. Las reglas son las siguientes: Elección de las tácticas. Aunque Xenakis ofrece varios sistemas para elegir las tácticas (véase la página 23 de [Xen01]), aquí describiremos solo uno de ellos, el sistema de elección arbitraria. Consiste en que cada director elige su táctica en función de su propio gusto musical y de la táctica que ha elegido el otro director. Matriz del juego. Hay una matriz que contiene los pagos para cada posible táctica. Esta matriz está delante de los directores durante la ejecución de la pieza. En la figura 3 tenemos dicha matriz (la matriz está tomada del libro de Xenakis [Xen01], página 128). Figura 3: Matriz del juego de la obra Stratégie. Los símbolos que aparecen a los lados de la matriz son iconos para ayudar al director a reconocer las cualidades sonoras de cada táctica. Xenakis introdujo dos matrices auxiliares para simplificar la lectura de la matriz principal durante la ejecución de la pieza. Duración de los turnos. Los turnos tendrán una duración mínima de 10 segundos. No habrá duración máxima. Duración del juego. Los directores acordarán jugar un número fijo de turnos. Obtención de los puntos. De nuevo, Xenakis ofrece varias posibilidades. Una de ellas es tener un árbitro que cuente los puntos obtenidos en cada turno. Lectura de las tácticas. Las orquestas tocan las tácticas de manera cíclica hasta que reciban la señal de parar por parte del director. El director puede empezar una táctica en ciertos puntos que se encuentran marcados en la partitura con letras. El director indica el número de táctica y la letra con unas tarjetas que muestra a la orquesta. Resultado. Al cabo de los turnos establecidos se termina la pieza y se hace el recuento de los puntos de cada director. Gana quien más puntos haya obtenido. En la figura 4 vemos un gráfico de Xenakis durante la concepción de Xenakis. Figura 4: Disposición de la orquesta en Stratégie ([Xen01]). Para terminar gozosamente esta sección, dejamos aquí dos vídeos con la música de Stratégie: Parte 1. Parte 2. 4. Conclusiones Xenakis transcendió el concepto de conflicto interno forzando a que el conflicto alcanzara al director de orquesta. Tomó dos orquestas y las puso a competir musicalmente sobre la base de un juego finito de suma cero para dos personas. Así, Xenakis expande los fundamentos matemáticos de la música en todas sus dimensiones: alturas y escalas, ritmo, timbre, forma y en esta ocasión también la naturaleza de la propia dialéctica musical. Al contrario de la mayoría de los músicos, Xenakis estaba al tanto de los nuevos avances en ciencia y tecnología. Este conocimiento alimentaba su imaginación y sus teorías musicales. 5. Para saber más El capítulo 2 del libro de Curtis Roads [Roa04] es un análisis del concepto de microsonido. Examina la obra de varios compositores que han usado este concepto, entre ellos, Xenakis. Ton de Leeuw analiza en su libro Music of the Twentieth Century: a Study of its Elements and Structure [dL06] la música del siglo XX desde un punto de vista estructural e incluye a Xenakis en dicho análisis. El libro de Dutta [Dut99], profesor del MIT, es un texto clásico que explica la teoría de juegos para estudiantes de ciencias económicas. Para una referencia de teoría de juegos desde un punto de vista algorítmico pero todavía abstracto, véase [NRÉTV10]. Para ver una cronología de la teoría de juegos, que se remonta a los babilonios y que en nuestros días cuenta con premios Nobel, véase la página web de Paul Walker [Wal10]. La página Les amis de Xenakis [Xen10] contiene información completa sobre su vida, su obra, así como la posibilidad de escuchar fragmentos de su obra. Bibliografía [dL06] Ton de Leeuw. Music of the Twentieth Century. Amsterdam University Press, 2006. [Dut99] Prajit K. Dutta. Strategies and games: theory and practice. The MIT Press, 1999. [NRÉTV10] Noam Nisan, Tim Roughgarden, Éva Tardos, and Vijay Vaziraini. Algorithmic game theory. http://www.cambridge.org/journals/nisan/downloads/Nisan_Non-printable.pdf Accedido en octubre de 2010. [Pet08] Hans Peters. Game Theory. Springer, 2008. [Roa04] Curtis Roads. Microsound. The MIT Press, 2004. [Wal10] Paul Walker. A chronology of game theory. http://www.econ.canterbury.ac.nz/personal_pages/paul_walker/gt/hist.htm Accedido en octubre de 2010. [Xen01] Iannis Xenakis. Formalized Music: Thought and Mathematics in Composition. Number 6 in Harmonologia. Pendragon Press, Hillsdale, NY, 2001. [Xen10] Xenakis.org. Les amis de Xenakis. http://www.iannis-xenakis.org/ Accedido en 2010.

Miércoles, 03 de Noviembre de 2010 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

756. 77. (Noviembre 2010) Agua y vino

Un problema muy conocido de matemática recreativa es el siguiente: Tenemos dos recipientes, el primero con un litro de agua y el segundo con un litro de vino. Con una cucharilla se pasa 1 mililitro del primer recipiente al segundo y se mezcla. A continuación se pasa un mililitro del segundo recipiente al primero. El problema consiste en averiguar si, al final del proceso, hay más vino en el primer recipiente que agua en el segundo. Si no encuentras la respuesta, puedes hacer la siguiente simulación con cartas: Divide la baraja en dos partes iguales y coloca sobre una mesa la mitad de las cartas caras arriba en un montón a la derecha y la otra mitad de cartas caras abajo en un montón a la izquierda. Elige un número pequeño que llamaremos X, digamos entre cuatro y ocho, y pasa X cartas del montón de la izquierda al montón de la derecha. Mezcla el nuevo grupo de cartas y pasa nuevamente X cartas del montón de la derecha al montón de la izquierda. Vuelve a mezclar el conjunto y repite la operación: pasa X cartas del montón de la izquierda al montón de la derecha y mezcla este montón. Pasa nuevamente X cartas del montón de la derecha al montón de la izquierda. Cuenta por último el número de cartas caras abajo del montón de la derecha y comprueba que coincide con el número de cartas caras arriba del montón de la izquierda. Ya ves que la respuesta al problema inicial es que siempre habrá tanta agua en el recipiente del vino como vino en el recipiente del agua, independientemente del número de veces que se repita el proceso. Puedes convertir este experimento en un juego de magia, como lo describe Martin Gardner en el libro Hexaflexagons, Probability Paradoxes and the Tower of Hanoi.(Cambridge University Press, 2008). Busca una baraja y pide a un espectador que realice las siguientes operaciones, mientras estás de espaldas: Reparte sobre la mesa 20 cartas en un montón sobre la mesa, caras arriba. Reparte otras 20 cartas en otro montón, a la derecha del primero, esta vez caras abajo. Pasa 4 cartas del montón de la izquierda sobre el montón de la derecha y mezcla este paquete, perdiendo las cartas caras arriba entre las demás. Pasa ahora 4 cartas del montón de la derecha sobre el montón de la izquierda y mezcla este paquete. Observa que no puede saberse el número de cartas invertidas en cada paquete. Por si acaso, repetiremos el proceso: pasa ahora 5 cartas del montón de la izquierda sobre el montón de la derecha y mezcla este paquete. Pasa ahora cinco cartas del montón de la derecha sobre el montón de la izquierda y mezcla este paquete. Entrégame, a la espalda, uno cualquiera de los paquetes. Ahora trataré de colocar las cartas para que haya en cada paquete el mismo número de cartas caras arriba. Secretamente, gira todo el paquete que tienes en tus manos. Muestra dicho paquete y pide al espectador que cuente el número de cartas caras arriba en cada paquete, comprobando que coinciden. La explicación es simple: como el resultado final del proceso hace que el número de cartas caras arriba del primer paquete coincide con el número de cartas caras abajo del segundo, al girar uno de los dos paquetes, ambos paquetes tendrán el mismo número de cartas caras arriba (y también el mismo número de cartas caras abajo). Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Martes, 02 de Noviembre de 2010 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

757. 18. (Octubre 2010) Las matemáticas en la música de Xenakis I

1. Introducción Recién acabada la carrera de Matemáticas y con ocho años de estudio de piano tuve la gran suerte de conocer a Andrew Melvin, a la sazón miembro del grupo de música contemporánea Secuencia. Andrew Melvin fue mi profesor de piano y composición durante un tiempo. Al poco de conocernos -yo creo que cuando estuvo seguro de mi sensibilidad musical- me mostró la música de Iannis Xenakis. Su música me fascinó desde el primer momento, me cayó como un chorro de luz corpórea y sin darme tiempo a reaccionar me llevo a hermosos mundos de emociones. Muchos días a última hora de la tarde, aún sin tener clase con él, iba a buscarlo con unos bocadillos, nuestra humilde cena, y nos quedábamos escuchando a Xenakis, sin mediar palabra, absortos en nuestro misticismo musical, solo sonriéndonos mutuamente al terminar alguna pieza. Escuchábamos con fruición sus primeras obras (Metastasis, Pithoprakta, Achorripsis), la música estocástica (la serie de los ST), las obras para solista (Mika, Evryali), las obras con percusión (Pleiades, Aïs, los dos Idmen), todo lo que caía en nuestras manos. En aquel tiempo yo no era consciente de la importancia conceptual de Xenakis como habilitador de la formalización matemática en la composición musical. Estaba sencillamente deslumbrado por su estética, tan original y revolucionaria. La música de Xenakis, obviamente, superaba el tonalismo, pero también la música de la segunda escuela de Viena (el atonalismo y el dodecafonismo) y también constituía una reacción reflexiva y genuina contra el indeterminismo de Cage. Su música, al contrario que otras músicas modernas, siempre me emocionaba. Años más tarde leí Formalized Music [Xen01] (figura 1) y adquirí consciencia de la importancia teórica de la obra de Xenakis. La gran cantidad de libros, artículos y conferencias que nos dejó revelan su preocupación por aclarar su pensamiento musical. Figura 1: Portada del libro Formalized Music: Thought and Mathematics in Music. 2. Breve biografía de Xenakis Xenakis nació en 1922 en Rumania, aunque su familia era griega. Su madre era pianista y es la que le introduce en la música desde temprana edad. La madre de Xenakis muere cuando él tiene cinco años de edad, hecho que le traumatiza -"su muerte me dejó profundamente asustado", diría años más tarde. A la edad de 10 años Xenakis vuelve a Grecia y su padre lo envía a un internado. Allí estudia filosofía, literatura europea, matemáticas, ciencias y música. Xenakis canta en un coro de música polifónica del Renacimiento y de música litúrgica bizantina. Por esa época empieza a estudiar piano. Mientras, estalla la Segunda Guerra Mundial y las tropas italianas, y más tarde las alemanas, invaden Grecia. Esto fuerza a Xenakis a interrumpir sus estudios de ingeniería que hace poco ha empezado. Se une a la resistencia de izquierdas, unión que le cuesta la cárcel en varias ocasiones. En 1944 una bomba de mortero lo alcanza y lo pone al borde de la muerte. La explosión le provoca la pérdida de un ojo y le desfigura la parte izquierda del rostro. En 1946 acaba sus estudios de ingeniería. A causa de su activismo político tiene que pasar a la clandestinidad. Su padre arregla los papeles para que pueda emigrar y en 1947 llega a París. En aquella época Xenakis siente un profundo desencanto hacia la política y las instituciones sociales en general. Siente que su vida debe cambiar de rumbo. Poco después de su llegada a París entra a trabajar como ingeniero en el estudio del famoso arquitecto Le Corbusier. En esa etapa Xenakis participa en varios proyectos importantes tales como el convento de La Tourette o el Pabellón Philips de la Exposición Universal de Bruselas (1956). Le Corbusier y Xenakis comparten un gusto por los sistemas de proporciones. Xenakis no deja en ningún momento su carrera musical. Empieza a estudiar con Honegger y Milhaud, pero los ejercicios de armonía y contrapunto que le proponen no satisface sus necesidades musicales y pronto deja sus clases. A sugerencia de Le Corbusier se presenta ante Messian para que le dé clases de composición. Messian lo anima a que aplique sus ideas matemáticas a la composición musical. Xenakis adquiere un buen conocimiento de los modos de Messian, no solo en la altura, sino también en la duración, la dinámica y la articulación. El contacto con Messian le hace consciente del poder de la abstracción en la composición. En aquellos convulsos años 50 hay una gran polémica sobre la aceptación o rechazo del serialismo. Xenakis rechaza tanto el serialismo europeo como el indeterminismo americano y, como Messian, toma un camino diferente. A partir de finales de los años 50 Xenakis empieza a aplicar sistemáticamente las matemáticas en la composición a través de una formalización de los parámetros y procesos musicales. En su obra podemos encontrar obras cuyos principios compositivos se basan en la teoría de probabilidades, en las cadenas de Markov, en la teoría de juegos, en principios geométricos y en otras ramas de las matemáticas. En 1953 se casa con la periodista y escritora Françoise Xenakis, con quien tiene una hija, Mâkhi. Más tarde, Xenakis entra en contacto con los fundadores de la música concreta, Pierre Schaeffer y Pierre Henry. También colabora con Edgar Varèse. En 1963 publica la primera versión de Formalized Music (en francés), que luego amplía, reescribe en inglés y revisa en sucesivas ediciones (1971, 1990, con posteriores reediciones). Xenakis es también un pionero de la música electrónica. Funda un laboratorio, el CEMAMu, en que estudia la aplicación de la informática a la música. A principios de los años Xenakis es una figura reconocida de la música contemporánea del siglo XX. Tiene una carrera exitosa como compositor, pedagogo y teórico de la música que dura hasta 1997, año en que su salud le impide componer. Muere en 2001 tras una larga enfermedad. 3. Matematización de los parámetros musicales Las primeras frases del capítulo de su libro Formalized Music [Xen01] son en sí mismas una declaración de principios: "El arte, y por encima de todo la música, tienen una función fundamental, y ésta es la de catalizar la sublimación que tiene lugar a través de cualquier medio de expresión". Xenakis fue, ante todo, un verdadero artista. En el análisis de su obra se ve que la decisión artística, la voluntad de expresividad a ultranza, está por encima de las consideraciones matemáticas y sus posibles constricciones. Las matemáticas, con proporcionar una nueva manera de concebir la composición, siempre estuvieron para Xenakis al servicio del concepto artístico. Xenakis se sentía ajeno tanto a la estética del serialismo, con su música sobreestructurada, aperiódica, compleja, así como del postserialismo encarnado por Cage, con su música basada en la indeterminación y el azar. De los serialistas rechazaba Xenakis su extraordinaria complejidad y arguía: "La polifonía lineal se destruye a sí misma a causa de su propia complejidad; lo que se oye no es en realidad más que una masa de notas en diversos registros. Su enorme complejidad impide al oyente seguir el entramado de las líneas, y tiene como efecto macroscópico una dispersión irracional y fortuita de sonidos a lo largo de toda la extensión del espectro. Hay, por tanto, una contradicción entre el sistema polifónico lineal y el resultado percibido, que es de una superficie o masa. Esta contradicción inherente a la polifonía desaparece cuando la independencia del sonido es total". Xenakis llama polifonía lineal al contrapunto serialista. Aunque consta de varias voces, todas han de percibirse como un todo, como una única voz; y de ahí, el adjetivo lineal. Aquí aparece uno de los principios más importantes en la música de Xenakis, el cual le permite superar la susodicha contradicción: la independencia total del sonido. Respecto al indeterminismo, Xenakis objeta la falta de un principio causal en la concepción musical. Si las alturas de una pieza se eligen en base a las imperfecciones de un papel (como es el caso de Music for piano, de Cage, por ejemplo), Xenakis duda seriamente de que esa elección transmita algún tipo de significado estético-musical al oyente. Sobre este problema del indeterminismo el crítico Pousseur [Pou66] ya había señalado que "donde se usan las más abstractas construcciones, uno tiene la impresión de encontrarse ante la presencia de las consecuencias de sonidos tocados libre y aleatoriamente". La respuesta de Xenakis a los problemas estéticos de ambas tendencias proviene de las matemáticas. Por un lado, el sonido ha de tener total independencia y, por otro lado, la música ha de poseer un significado global, derivado éste de la acumulación de los efectos individuales de las partes. Xenakis identificó estas dos condiciones con el enunciado de la ley de los grandes números de Bernouilli (véase [RS00]). Para otras versiones más generales del teorema así como para su demostración, véase [RS00] y sus referencias. El significado musical resultante está aquí representado por la media μ común a todas las variables independientes. Es el significado global, macroscópico, que surge de las causas independientes. Xenakis emprendería un camino de exploración de esas ideas matemáticas en la composición musical. La primera obra en que puso en práctica estas ideas fue Metastasis (1953-54), donde formalizó ciertos parámetros musicales de modo matemático, sobre todo usando geometría y matemática discreta. Fue aún más lejos en otra obra posterior, Pithoprakta (1955-56), donde, siguiendo con su razonamiento, se inspiró en la mecánica estadística para su composición, en particular, en la teoría cinética de los gases de Boltzmann [MF71]. Esta teoría se basa también en la ley de los grandes números. Boltzmann explica el efecto macroscópico de la presión como el efecto de los choques de las moléculas, choques que son independientes, cada uno de ellos de efecto muy pequeño y que ocurren en número muy alto. Xenakis propone en Pithoprakta una representación sonora (una sonificación [vaaat10]) de ese fenómeno. 4. Formalización matemática de los parámetros musicales Xenakis, como hemos dicho, usó una amplia gama de técnicas matemáticas para formalizar la música. Las que exponemos en esta sección pertenecen a su llamada música estocástica, que debe su nombre al hecho de que la formalización descansa en la teoría de probabilidades. Para su música estocástica Xenakis formalizó los siguientes parámetros musicales: la duración de las notas, la densidad de la nube de alturas, la velocidad del glissando, las dinámicas y la instrumentación. Duración de las notas. Xenakis usó la distribución exponencial para determinar la longitud de las notas. La función de densidad es: f(x) = δ · e-δx (1) donde δ es la densidad (en lo que sigue usaremos la notación del propio Xenakis). Como se sabe la esperanza o media de esta distribución es E(X) = 1/δ,de modo que la densidad es la inversa de la duración media de la nota. Una densidad alta produce notas cortas y en cambio una densidad baja, notas largas. En la figura 2 se muestra la gráfica de la función de densidad con los parámetros δ = 1y δ = 2. Figura 2: Función de densidad que rige la duración de las notas. La probabilidad P de que la duración de una nota esté entre dos valores l1, l2 está dado por: Densidad de la nube de notas. Este parámetro está gobernado por otros dos a su vez, la densidad y la altura. La densidad se refiere propiamente al número de notas que suenan en un determinado intervalo de tiempo. La densidad de la nube sigue una distribución de Poisson. Para la composición se establecerá una densidad media de notas μ0 > 0. La función de masa queda como sigue: (2) La distribución de Poisson es la versión discreta de la distribución exponencial como se puede apreciar en la figura 3 (aparecen dos curvas con valores k=2 y k=5). Figura 3: Función de masa que rige la densidad de la nube de notas. En cuanto a las alturas de la nube, se empieza por una altura generada aleatoriamente también y a partir de ella se generan sucesivamente los intervalos aleatorios con la siguiente función de densidad: (3) donde a es el máximo intervalo especificado por el compositor. Para decidir la dirección del intervalo se usa una variable discreta de dos valores (intervalo ascendente o descendente), cada uno con probabilidad 1/2. En la figura 4 tenemos la gráfica de Θ(γ) con los valores γ = 5 y γ = 10. Se observa que los intervalos tienden a ser pequeños, aunque no tanto como los generados por la distribución exponencial. El papel del parámetro a es limitar los intervalos poco habituales o que resulten imposibles de tocar en el instrumento. Figura 4: Función de densidad que rige la altura de las notas. Velocidad del glissando. El glissando es el paso de una nota a otra de manera continua. En la orquesta solo lo pueden ejecutar los instrumentos de cuerda y el trombón de vara. Ya que Xenakis quería recrear ciertos fenómenos físicos de carácter continuo, necesitaba formalizar este parámetro también. Para ello, utilizó la distribución normal de función de densidad: (4) donde b es un parámetro que Xenakis, inspirándose en la teoría cinética de gases, llamó la temperatura resultante (aggregate temperature); véase la figura 5 (las dos gráficas corresponden a los valores b=5 y b=10). Figura 5: Función de densidad que rige la velocidad del glissando. Las dinámicas. Xenakis divide el rango dinámico en cuatro zonas, representadas por ppp, p, f y ff, que corresponden respectivamente a muy suave, suave, fuerte y muy fuerte. Suele usar sucesiones de tamaño 3, de modo que hay 64 posibles (43=64). Sin embargo, descarta algunas por motivos musicales y el número total se reduce a 44. Las dinámicas se obtienen mediante una distribución uniforme discreta de probabilidad (cada sucesión 1/44). La instrumentación. En primer lugar, se separan los instrumentos que poseen un timbre similar. A continuación, según distribución lineal, se determina un porcentaje para cada clase de instrumentos. Este porcentaje marca la proporción de notas totales de la composición que el grupo instrumental tocará. 5. Pithokrapta En Pithokrapta Xenakis explora las relaciones entre la ley de los grandes números (el sentido global) y la teoría cinética de los gases de Boltzmann (la independencia total del sonido). Para esta obra Xenakis imagina un gas ideal a temperatura constante e identifica las moléculas y sus choques con una orquesta de cuerda. Veamos los compases 53 a 60, uno de los pasajes donde son más evidentes las intenciones del compositor. Para las velocidades de las moléculas Xenakis usa la distribución normal similar a la ecuación (4): donde a es aquí la temperatura del gas y v la velocidad de las moléculas. Para este pasaje la velocidad de cada molécula se traduce en un glissando tocado en pizzicato (pulsando la cuerda, sin el arco). La pendiente de cada glissando es proporcional a la velocidad de cada partícula. Estos sucesos sonoros, los glissandi, representan la distribución molecular del gas. Xenakis fija 58 intervalos distintos para las velocidades y usando la distribución normal genera 1.148 velocidades distintas de moléculas de un gas a temperatura constante. Como la orquesta no dispone de un número tan alto de voces, Xenakis redujo el número de voces independientes a 46. Cada una de estas voces toca una media de 25 notas en los 18,5 segundos que dura este pasaje. La manera de trabajar de Xenakis era muy meticulosa, como correspondía a su formación científica. Para esta obra, dibujó en papel milimetrado los glissandi. El eje de abscisas representa el tiempo. Cada marca son 26 MM del metrónomo Mälzel (0,433 segundos por marca). El eje de ordenadas representa la altura del sonido. El intervalo entre dos marcas consecutivas es de medio tono. Xenakis dividió el eje de ordenadas en 15 rangos de una tercer mayor (cuatro semitonos) cada uno. A cada tesitura (rango) se le asignó un cierto número de instrumentistas. En la figura 6 tenemos la gráfica que dibujó Xenakis para este pasaje. Figura 6: Grafo de Pithoprakta (imagen tomada de [Zog10]). En la realidad los choques de las moléculas del gas no son simultáneos. Xenakis refuerza la idea del caos imponiendo divisiones métricas con números de partes que son primos relativos entre sí. Así, por ejemplo, encontramos quintillos, tresillos, negras, pero también subdivisiones de 15 o de 20. La figura 7 muestra la escritura en notación musical convencional del mismo pasaje. Figura 7: Partitura final de Pithoprakta. En la figura 8 se puede apreciar con más detalle los glissandi así como las articulaciones métricas tan peculiares de esta obra. Figura 8: Detalle de Pithoprakta. Resumiendo, en este pasaje tenemos las siguientes características ([Xen01], página 15): Las duraciones de las notas no varían. Las alturas varían de acuerdo a sus distribuciones de probabilidad. La densidad de sonidos se mantiene constante en todo momento. La dinámica es constante e igual a ff (muy fuerte). El timbre es constante; solo hay instrumentos de cuerda. Las velocidades determinan una "temperatura" sujeta a fluctuaciones locales y que sigue una distribución normal. Por último, dejo aquí un vídeo con la música de Pithoprakta. 6. Conclusiones Tal y como había hecho Heisenberg con la mecánica cuántica, Xenakis introduce la probabilidad en el mundo de la composición musical. A pesar de la aparente excesiva formalización del proceso compositivo, Xenakis dota a su obra de expresividad. La influencia que ejerció en los compositores de las generaciones posteriores fue formidable, no solo por el gran salto conceptual que había dado con su música, sino también por su ejemplo incansable de creatividad. 7. Para saber más Edward Childs disecciona la obra Achorripsis en su artículo [Chi02], que también se basa en teoría de las probabilidades. Tako Oda tiene un artículo en que compara las teorías estéticas de Xenakis y Cage. Se llama Iannis Xenakis and John Cage:Two Sides of a Tossed Coin y se puede encontrar en [Oda10]. Para un estudio músico-matemático de las últimas obras de Xenakis, véase la tesis de Ronald Squibbs [Squ96]. Robert Strizich [Str10] en un interesante artículo analiza el papel de la textura en varios compositores de la posguerra, incluyendo Xenakis. La textura fue uno de los aspectos que más investigó y experimentó Xenakis. Sin duda, está considerado como un gran inventor de texturas. Recordemos la incorporación de la percusión africana a la orquesta sinfónica, por poner un ejemplo. La página Les amis de Xenakis [Xen10] contiene información completa sobre su vida, su obra, así como la posibilidad de escuchar fragmentos de su obra. Para profundizar más en la estética de las primeras obras de Xenakis, véase el artículo de Markos Zografos [Zog10]. Referencias [Chi02] Edward Childs. Achorripsis: a Sonification of Probability Distributions. In International Conference on Auditory Display, Kyoto, julio 2002. [MF71] A. Marcelo and E. Finn. Física III. Fundamentos cuánticos y estadísticos. Addison Wesley, 1971. [Oda10] Tako Oda. Iannis xenakis and john cage: Two sides of a tossed coin. http://people.mills.edu/toda/chance/frames.html, accedido en septiembre de 2010. [Pou66] Henry Pousseur. The question of order in the new music. Perspectives in New Music, 1:93-111, 1966. [RS00] V. K. Rohatgi and E. Saleh. An Introduction to Probability and Statistics. Wiley-Interscience, 2000. [Squ96] Ronald Squibbs. An Analytical Approach to the Music of Iannis Xenakis: Studies of Recent Works. Yale University. PhD thesis, Universidad de Yale, New Haven, Connecticut, 1996. [Str10] Robert Strizich. Texture in post-world war ii music. http://www.ex-tempore.org/strizich91/strizich.htm, accedido en septiembre de 2010. [vaaat10] Varios autores asociados a International Community for Auditory Display. Sonification report: Status of the field and research agenda. http://www.icad.org/websiteV2.0/References/nsf.html, accedido en septiembre de 2010. [Xen01] Iannis Xenakis. Formalized Music: Thought and Mathematics in Composition. Number 6 in Harmonologia. Pendragon Press, Hillsdale, NY, 2001. [Xen10] Xenakis.org. Les amis de xenakis. http://www.iannis-xenakis.org/, accedido en septiembre de 2010. [Zog10] Markos Zografos. Iannis xenakis: the aesthetics of his early works. http://www.furious.com/perfect/xenakis.html, accedido en septiembre de 2010.

Martes, 05 de Octubre de 2010 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

758. 54. LONGITUD (Primera Parte)

Aunque las matemáticas constituyan una ciencia con entidad plena en si mismas, son también una herramienta imprescindible en otras áreas, presentándose en las situaciones más insospechadas. Analizamos en esta ocasión una mini serie británica en la que no aparecen matemáticas explícitamente, pero se intuyen en cada escena. De paso nos acercamos a uno de los retos que más quebraderos de cabeza generó durante mucho tiempo a las naciones: el cálculo preciso de la longitud en alta mar. Título Original: Longitude. Nacionalidad: EE.UU., 2000. Director: Charles Sturridge. Guión: Charles Sturridge, basado en el libro del mismo título Longitud de Dava Sobel (en castellano editado por Anagrama en 2006). Fotografía: Peter Hannan, en Color. Montaje: Peter Coulson. Música: Geoffrey Burgon. Producción: Selwyn Roberts. Duración: 200 min. Intérpretes: Jeremy Irons (Rupert Gould), Michael Gambon (John Harrison). En la primera parte (95 min., aprox.), además de los dos actores principales, destacan: John Wood (Sir Edmund Halley), Liam Jennings (William Harrison de joven), Peter Vaughan (George Graham), Gemma Jones (Elizabeth Harrison), Anna Chancellor (Muriel Gould), Andrew Scott (Teniente John Campbell), Stephen Simms (James Harrison). En la segunda parte (105 min. aprox.): Samuel West (Nevil Maskelyne), Brian Cox  (Lord Morton), Ian Hart (William Harrison adulto), Lucy Akhurst (Enfermera Grace Ingram), Ian McNeice (Dr Bliss), Clive Francis (Capt. Digges), Nicholas Rowe (Rey Jorge III). El realizador británico Charles Sturridge realizó casi consecutivamente dos series para televisión en las que se narran sendas historias de cierto carácter épico, aunque de muy diferente desarrollo: la epopeya realizada por el explorador Ernest Henry Shackelton en su expedición a la Antártida de 1914-1916 en el barco Endurance, y la hazaña, por lo que tuvo de dificultosa, del carpintero John Harrison en la construcción de un mecanismo que permitiera a los barcos conocer con precisión la longitud en la que se encuentran en alta mar. Mientras la primera de estas mini series (ambas constan de dos capítulos de hora y media de duración cada uno, aproximadamente) ha sido doblada al castellano y se puede adquirir en DVD, la segunda, por algún motivo que no alcanzo a comprender, permanece inédita en nuestro país, a pesar de que en Gran Bretaña, ambas se distribuyen en un único pack. En Internet sólo he podido encontrar el Trailer de presentación. Sin embargo el libro que inspira la película, un best-seller en varios países, sí ha sido editado en nuestro país (puede descargarse en varias direcciones o ir leyéndolo on-line aquí). Excepto el último capítulo, centra toda su atención en los trabajos, la época y los sinsabores que padeció John Harrison (1693 ─ 1776), descritos, por cierto, de un modo ameno a la vez que riguroso, y más o menos cronológicamente. El mencionado último capítulo explica las peripecias sufridas por aquellos ingenios pasado el tiempo, y en particular la loable e impresionante labor de restauración que el capitán de corbeta Rupert T. Gould (1890 – 1948) realizó de los mismos, y que le llevó la friolera de doce años, sin que nadie le pagara un céntimo, y a pesar de no tener inicialmente conocimiento alguno de relojería. Por el contrario, la narración fílmica va alternando en paralelo las vicisitudes de ambos personajes, aportando más datos sobre la vida personal de Gould de los que aparecen en el libro y tratando de encajar, a veces un tanto artificialmente, las dos biografías, como si una fuera la reencarnación de la otra. Descripción del argumento Son múltiples los temas que aborda esta mini serie: el tesón de unas personalidades excepcionales en la búsqueda de una meta a pesar de las mil y una dificultades que se presentan tanto por la dificultad del problema a resolver como por las zancadillas que otras personas continuamente los ponen, la soberbia de muchos personajes ilustres (nobles, militares y científicos), la dificultad de conciliar la vida familiar con la investigación, la resolución del propio problema de la longitud, el legado que las generaciones pretéritas nos han ido dejando, etc. Como en la introducción del libro, la película comienza con una voz en off femenina (representando a la escritora) evocando aquella pelota de alambre que un día su padre le regaló siendo niña y que le permitió comprender el paso de un mundo bidimensional a uno tridimensional, así como la representación de la Tierra en mapas en los que es destacable la importancia de unas líneas imaginarias, inexistentes en la realidad, pero con mucha mayor repercusión para el Ser humano que aquellas otras definidas por guerras e intereses políticos, que no dejan de cambiar con el tiempo. A partir de esas líneas se definen dos conceptos imprescindibles para la orientación: la latitud y la longitud. Aunque aparentemente parezcan conceptos de la misma categoría, no son equiparables ni en su definición ni en su cálculo. Como explica Sobel, “cualquier línea dibujada desde un polo al otro (cualquier meridiano), puede servir tan bien como cualquier otra, como punto de partida o referencia.  La colocación del primer meridiano es una decisión completamente política [..] Sin embargo, “el grado de Latitud cero está fijo por las leyes de naturaleza [..] Esta diferencia hace que hallar la Latitud sea como un juego de niños, en cambio, la Longitud, especialmente en alta mar, se transforma en un dilema de adultos, que desafió por una buena parte de la historia humana, a las mentes más sabias del mundo. Cualquier marinero puede calibrar bien su Latitud por la duración del día, o por la altura del sol o la guía de una estrella conocida sobre el horizonte”. No así la longitud. (Más abajo se explica con un poco más de detalle). Y para entender la importancia de conocer ese valor nada mejor que un ilustrativo y  dramático ejemplo: el 22 de octubre de 1707, frente a las Islas Sorlingas (archipiélago de cinco islas habitadas, y otros 140 islotes y rocas, despoblados y localizados a 45 Km. aproximadamente del extremo suroeste de Gran Bretaña) el almirante Sir Cloudsley Shovell (interpretado por Jonathan Coy) ordena ahorcar a un subordinado que ha osado advertirle, según sus propios cálculos, de los peligrosos arrecifes cercanos. Ante tal demostración de soberbia e intolerancia, ningún oficial se atreve a contradecir sus órdenes. El resultado posterior sería una de las más incomprensibles y absurdas pérdidas de la Marina Británica: cuatro buques de guerra encallaron y casi dos mil hombres perdieron sus vidas. Éste y otros desastres similares motivaron al Ministro de la Marina en 1714 a proclamar ante el Parlamento el Decreto de la Longitud: “el gobierno de Su Majestad ofrece una recompensa, un premio de 20.000 libras a cualquiera que ofrezca una solución útil y práctica al problema de calcular la longitud en el mar. Se establecerá un Comité de la Longitud cuya única finalidad será la de investigar cualquier sugerencia seria, y finalmente, otorgar, esperemos que así sea, el citado premio”. El Decreto de la Longitud nombró tal jurado de especialistas, el Consejo de la Longitud, formado por científicos, oficiales de marina y funcionarios del Gobierno, con competencia absoluta sobre la concesión de los premios. Entre los miembros de oficio se encontraban el director del Real Observatorio Británico, el presidente de la Royal Society, el ministro de Marina, el presidente de la Cámara de los Comunes, el delegado del Ejército y los profesores que ocupaban las diversas cátedras de matemáticas en las universidades de Oxford y Cambridge. Paralelamente vemos desmayarse a un hombre (Jeremy Irons) en el andén de una estación de tren. Se le traslada a un centro médico y se le dispone en una cama en cuya almohada observamos, al lado de su cabeza, un reloj de cuerda, mientras las enfermeras cuchichean. En la siguiente escena, es llevado ante un médico en una silla de ruedas. Parece totalmente ausente: no pronuncia una sola palabra, salvo que observa con detenimiento un reloj sobre la mesa de la consulta. En un intento de llamar su atención, el doctor le aclara que no funciona. Volvemos al siglo XVIII. Se nos presenta al otro protagonista de nuestra historia, en realidad el principal, el animoso carpintero John Harrison (Michael Gambon) dirigiendo un coro parroquial. Sir Charles Pelham (noble interpretado por el veterano actor Nigel Davenport) lo felicita al acabar, calificando la interpretación de hermosa y preguntándole acerca de su particular teoría sobre la escala musical: Harrison: No es sólo hermosa. Es divina. Ahí es donde reside la belleza. Cada nota en la escala se calcula mediante una fórmula matemática, basada en la longitud de una circunferencia. […] El espacio entre cada nota está formado por intervalos de mayor y menor longitud, cada uno deducido del número pi. Es divino porque por primera vez escuchamos la música como Dios la concibió. Harrison aparece como un entusiasta de su trabajo, un tanto despistado (con la  conversación se ha olvidado de su hijo William al que ha dejado en el coro, teniendo que volver a buscarlo cuando su mujer Elizabeth se lo recuerda), y de profundas convicciones religiosas. (En la imagen, placa identificativa en Londres del lugar en el que se ubicaba la casa en la que vivió John Harrison, en Red Lion Square). Creo pertinente hacer en este punto un pequeño inciso. Siendo una producción de casi cuatro horas de metraje y narrada a un ritmo bastante ágil, su descripción completa alargaría excesivamente la longitud de esta reseña (que ya de por sí suelen ser bastante amplias) por lo que me limitaré a señalar a grandes rasgos el argumento principal detallando algunos de los momentos que me parecen más interesantes. Conocido el premio que recibiría la persona que resolviera el problema, Harrison se plantea dedicarse a su resolución, ya que, sin vivir del todo mal, le permitiría no tener que trabajar tanto para mantener a su familia teniendo en cuenta que va llegando a una edad en la que sus energías van disminuyendo (este hecho es inventado por el guionista ya que no se conocen las razones por las que se embarcó en el tema). Una de las formas de afrontar el problema durante el siglo XVI había sido mediante relojes, pero desgraciadamente la tecnología del siglo XVII los hacían inútiles en alta mar ya que o se descontrolaban o dejaban de funcionar debido a factores como los bruscos cambios de temperatura o el continuo vaivén al que es sometido el barco. Los trabajos de Galileo sobre el péndulo (1637) abrieron una interesante alternativa en el mecanismo de los relojes que Huygens culminó en 1656 con la construcción del primer reloj de estas características. Hacia 1660 dos modelos de Huygens fueron probados en varios viajes pero se seguía poniendo de manifiesto la imprecisión de los mismos en condiciones climáticas desfavorables. Huygens propuso entonces como alternativa al péndulo un resorte espiral de equilibrio que provocó que Robert Hooke lo demandara por plagio. Entre disputas y litigios fue dilatándose la aplicación a los relojes que unido al convencimiento de los astrónomos de que la solución debería ser más elegante que un instrumento mecánico hicieron que esta alternativa fuera relegándose. Pero John Harrison optó por esta vía. Se había aficionado de joven a la reparación y construcción de relojes (sus primeros modelos estaban construidos íntegramente de madera; se conservan aún y funcionan). Tuvo que aplicarse mucho en la tarea ya que inicialmente no tenía conocimiento alguno de horología (la ciencia que estudia la medición del tiempo y de los principios en que se funda la construcción de los relojes). Lo vemos con su esposa, su hermano James y su hijo William realizar diferentes pruebas sobre barcas y balancines diversos para ir ajustando su reloj a las condiciones marinas, y comparando los resultados con los movimientos regulares de las estrellas (magnífica la recreación de su método casero: le bastó con el borde de una ventana y la silueta de la chimenea de la casa del vecino, anotando noche tras noche, la hora del reloj cuando las estrellas terminaban de pasar por su campo visual detrás de la chimenea). Sus resultados eran esperanzadores, ya que no erraron nunca más de un solo segundo en un mes entero. Entretanto al Consejo de la Longitud se presentaban las más variopintas soluciones, como la del polvo de la simpatía (impagable Stephen Fry en su papel de Sir Kenelm Digby), el método de la variación magnética (las brújulas resultaban inexactas debido al magnetismo terrestre y a otras alteraciones provocadas en los viajes largos), componer mapas precisos de las estrellas (inútiles en noches nubladas), salvas de cañonazos e iluminaciones con bengalas, métodos astronómicos (la medición de la distancia entre la Luna y las estrellas o el de los eclipses de los satélites de Júpiter, propuesto por Galileo) también impracticables si el cielo no está totalmente despejado, e ingenios para mejorar el timón de los buques, para potabilizar el agua de mar o para perfeccionar las velas usadas en las tormentas. Tampoco faltaron métodos para conseguir la cuadratura del círculo o hacer racional el número pi. El problema se fue convirtiendo en sinónimo de “intentar lo imposible”. El genial Isaac Newton fue miembro del Consejo y murió en 1727 convencido de la irresolubilidad del asunto. En 1730 Harrison y su hijo William viajan a Londres para presentarse al Comité de la Longitud. Nadie les sabe dar una idea de dónde ni cuando se reúne, así que optan por ir al Observatorio Real en Greenwich a ver a Sir Edmund Halley, del que sabe que es miembro del Consejo. Lo recibe y escucha, educada pero fría y escépticamente, ya que es de los partidarios de la ciencia abstracta frente a la aplicada. Mientras los adultos hablan, William se dedica a curiosear y Halley lo llama la atención (ver imagen) por tocar lo que no debe: Halley: ¡No toques eso, niño! William: No lo hice, señor. Solo lo estaba mirando. Halley: ¿Sabes lo que es? William: Sirve para saber los movimientos de las estrellas. Halley: ¿Cómo sabes eso? William: Es mi trabajo en casa. Halley: ¿Tienes uno de estos en casa? William: No, señor: nosotros utilizamos la chimenea del Sr. Johnson. Halley: ¿Y que es lo que aprendes de la chimenea del Sr. Johnson? William: El tiempo. Halley: ¿Cómo puedes determinar el tiempo con una chimenea? William: Si te colocas en el sitio adecuado, puedes ver Sirio. Halley: ¿Sirio? William: Se mueve por detrás de la chimenea del Sr. Johnson 3 minutos y 56 segundos antes cada día. Necesitamos el tiempo para nuestro reloj, para ver si es exacto. Halley: ¿Y lo es? William: Es puñeteramente perfecto, señor. (permítaseme esta traducción para bloody perfect) Tras la lección de Astronomía casera, Halley queda gratamente sorprendido y en lugar de mandarlos a paseo, indica a John que visite al relojero John Graham para que eche un vistazo a su reloj. Harrison desconfía: podrían robarle su idea. Pero sin otra alternativa se entrevista con Graham resultando a la postre uno de sus mayores valedores ante el Consejo. Animado  y tutelado por Graham, vuelve a su pueblo, a trabajar en el perfeccionamiento de su reloj (ver imagen). Tardaría cinco años más en tenerlo a su gusto. En 1735, traslada el H–1 (el primero de Harrison) a Londres (En la otra imagen, el H–1 actualmente. Pesa unos 34 Kg. y se instaló en una caja cúbica 1.4 metros de lado; en la actualidad, funciona, con cuerda diaria, en el National Maritime Museum de Greenwich, para deleite de los visitantes), presentándolo a instancias de Graham no ante el Consejo de la Longitud sino ante el Almirantazgo. Éstos, al cabo de un año, envían a inventor e invento a un viaje a Lisboa en lugar de a las Indias Occidentales como dictaba el Decreto de la Longitud. No le importó pero lo pasó fatal, tanto física (se mareaba constantemente) como emocionalmente (marineros y oficiales no tenían miramiento alguno: su reloj era golpeado, trasladado de un sitio a otro porque estorbaba al ser tan voluminoso, etc.: “Sr. Harrison, esto es la Armada”). Aún así, en el viaje de vuelta a Inglaterra en otro barco tiene lugar una de sus mayores victorias. Según las cartas náuticas, los cálculos y la gran experiencia del oficial Roger Willis (interpretado por Trevor Cooper) avistan el muy conocido por los marineros promontorio Start, en la costa sur de Dartmouth. Sin embargo, para Harrison los cálculos con su reloj determinaban que era Lizard, en la península de Penzance, más de sesenta millas al oeste de Start (ver mapa). Tras acaloradas discusiones, finalmente Harrison tendría razón, lo que le permitió entre otras cosas, ser citado por el Consejo. Todo pintaba bien, pero Harrison, inocentemente, se limitó a solicitar dinero para mejorar los defectos que había detectado en su travesía hacia Lisboa antes de probarlo hacia las Indias Occidentales. Dado que esto no comprometía al Consejo a nada, se lo concedieron, aunque nunca le pagaron la cantidad acordada. Tardó dos años en tener listo el H–2, más pequeño, pero más pesado. Incluso le conceden una medalla a su trabajo, pero él aspira al premio al completo y a ser reconocido como la persona que obtuvo la solución. Paralelamente Gould, después de su colapso nervioso, es licenciado del Ejército. Solicita como medida terapéutica dedicarse a la restauración y reparación de los relojes de Harrison pero encuentra serias dificultades por su enfermedad, por tratarse de material declarado como bien histórico y por no poder justificar ningún conocimiento de relojería. Se traslada con su familia al campo. Cuando consigue los permisos necesarios para trabajar en los relojes, es tanto el tiempo que dedica a esta tarea que su esposa, después de advertirle varias veces (“Quiero que abandones el reloj”, “Lo haré,…, cuando esté acabado”, “Sabía que dirías eso, tonta de mi”)  lo denuncia por abandono de sus deberes paternales y crueldad marital. La noticia provoca un escándalo. En este punto acaba la primera parte de estas apasionantes historias. Si en ella el papel de John Harrison es destacable por su ímpetu y fe en científicos como Edmund Halley, en la segunda descubrimos a un Harrison más oscuro, desganado y hastiado de la intransigencia de los científicos representados en primera persona por el joven reverendo Nevil Maskelyne. A ello dedicaremos la reseña del próximo mes. Alguna explicación más detallada El libro de Sobel da una amena y detallada descripción histórica del problema, pero no proporciona una sola explicación matemática o astronómica. En la película se aprecia cómo se manejan instrumentos y se hacen cálculos pero tampoco se ilustra su razón de ser. Describo a continuación una pequeña pincelada de algunas ideas que subyacen en ambas. Para determinar la situación de un punto sobre la superficie terrestre, bien sea en tierra o en el mar, se utilizan las llamadas coordenadas geográficas (al tratarse de una superficie basta con dos coordenadas) que reciben los nombres de latitud y longitud. Repasemos algunos conceptos seguramente conocidos por todos. Sobre la superficie de la Tierra (que supondremos esférica por simplicidad) se definen una serie de puntos y líneas imaginarias que nos permiten establecer un sistema de referencia para efectuar cálculos (como se hace en matemáticas sobre la recta, el plano o el espacio). Denominamos Eje de la Tierra a la línea alrededor de la que gira en cuyos extremos se encuentran los Polos.  Cualquier plano que pase por el centro de la Tierra determina sobre su superficie un círculo que se llama máximo. El círculo máximo perpendicular (que forme un ángulo recto, es decir, de 90º) al eje de la Tierra, determina la línea del Ecuador (0º). El Polo Norte lo situamos en 90º N y el Sur a 90º S. Los círculos máximos proporcionan la distancia más corta entre dos puntos de la esfera, las geodésicas, pero ese es otro asunto del que ahora no toca hablar.  Mediante el Ecuador, la Tierra queda dividida en dos hemisferios, el Norte y el Sur. Los círculos menores, “paralelos” al Ecuador, determinan los paralelos, cuyo sentido se recorre de Este a Oeste. ¿Cuántos paralelos hay? Infinitos (entre dos puntos, dos valores numéricos cualesquiera, hay infinitos números, infinitos racionales e infinitos irracionales, pero este es también otro asunto del que ahora tampoco toca hablar). Para indicar un paralelo basta con especificar los grados a los que se encuentra por encima o por debajo del Ecuador. Hay cuatro que reciben nombres especiales: Trópico de Cáncer: situado a 23º 27’ por encima del Ecuador (≈ 23.5º N). Trópico de Capricornio: también a 23º 27’, pero por debajo del Ecuador (≈ 23.5º S). Círculo polar ártico: a 23º 27’ del Polo Norte (≈ 66.5º N). Círculo polar antártico: a 23º 27’ por encima del Polo Sur (≈ 66.5º S). La medida de 23º 27’ no es caprichosa, sino que es precisamente la inclinación que tiene el Ecuador con respecto a la órbita de la Tierra alrededor del Sol (que además determina las zonas climáticas, otro asunto del que ahora no toca hablar). Mediante los paralelos determinamos la latitud medida en grados. Determinar la latitud es relativamente sencillo: basta con medir el ángulo que forman la estrella Polar (en el dibujo representada por P) con la línea del horizonte, mediante un sextante u otro instrumento de medida de ángulos. Más tarde la disponibilidad de tablas con la declinación solar permitió obtener la latitud midiendo el ángulo que forma el Sol al mediodía con la línea del horizonte. Un meridiano es la intersección de cualquier círculo máximo que pase por los polos con la Tierra. Son, por tanto, perpendiculares al Ecuador. También hay tantos meridianos como se quiera, aunque dos de ellos reciben nombre especiales, el meridiano del lugar, que es el que pasa por el punto en el que se encuentra el observador y el primer meridiano, que es el que se toma como origen o meridiano cero. Los meridianos se recorren por convenio de Norte a Sur, desde el Polo Norte al Polo Sur, la posición sobre ellos se mide también en grados, y son la referencia para calcular la longitud. La longitud se define como el arco de ecuador que va desde el primer meridiano o meridiano cero de referencia (Greenwich desde 1884), hasta el meridiano del lugar. La longitud puede ser Este u Oeste, según se encuentre respectivamente a la izquierda o a la derecha del primer meridiano. Se mide mediante un valor entre 0º y 180º tanto al Este como al Oeste, aunque también se pueden dar con valores negativos. Por ejemplo, noventa grados longitud Este puede representarse 90º o 90ºE, y noventa grados Oeste puede ser 270º, 90ºO, o -90º. Calcular la longitud en el mar ha sido un problema difícil de resolver durante mucho tiempo  debido a la rotación terrestre. La latitud se mide respecto a los Polos y el Ecuador terrestres que permanecen fijos respecto a las estrellas o al Sol, mientras que la longitud se mide respecto a una línea arbitraria que no está fija porque rota con la Tierra. De este modo para determinar la longitud aparece un nuevo factor, la medida del tiempo. Conociendo la latitud, los marinos podían ir hacia el Norte o hacia el Sur sin dificultad hasta llegar a la que marcara su punto de destino. Después viraban al Este o al Oeste a ciegas hasta que hubiera suerte y se encontrara dicho destino. Los viajes se convertían así en una travesía larga y peligrosa. Como describe la autora en su libro, en la Antigüedad se utilizaban los eclipses lunares como reloj para determinar la longitud. Pero éstos eran muy inusuales por lo que no era un procedimiento práctico. Después se tomaron como referencia los eclipses de las lunas de Júpiter, que eran, al contrario que los de la Luna, abundantes. Sin embargo la dificultad de las observaciones en un barco balanceándose continuamente era impracticable. Otro procedimiento factible teóricamente era el método de la distancia lunar: medir el ángulo entre la Luna y otros cuerpos celestes. En este caso los cálculos eran complicados y tediosos, empleándose mucho tiempo. Este método tuvo su apogeo entre 1780 y 1840. Para el cálculo de la longitud hay que tener en cuenta que la Tierra da una vuelta completa sobre si misma en 24 horas, que es, por tanto el tiempo que tarda un punto de la misma en recorrer 360º. Mediante la división 360/24 = 15º, se comprueba que por cada hora de diferencia entre el meridiano de Greenwich y el meridiano del lugar se recorren 15º de longitud. Por lo tanto, la manera de determinar la longitud es, teóricamente, muy sencilla: basta con conocer la diferencia horaria entre el meridiano cero y el meridiano del lugar en el que se encuentra el barco. Veamos un ejemplo. Supongamos que un barco parte de un lugar situado en el meridiano cero. En el momento de zarpar sincroniza el reloj de abordo con la hora de dicho meridiano. Supongamos que, después de un errático viaje de varias semanas, en medio de fuertes tempestades, llega la calma y aparece un cielo despejado de nubes, que permite hacer una medición cuando el Sol se encuentra en el punto más alto. La hora local es, por tanto, las 12 del mediodía. Comprobamos el reloj que marca la hora del primer meridiano y observamos que allí son las 10. Sin ninguna duda el barco se encuentra entonces a 30º longitud Oeste, ya que le separan 2 horas de más (2 horas · 15º = 30º) del meridiano de referencia. Pero, desgraciadamente, el reloj de abordo es de péndulo y con los fuertes balanceos del barco se ha adelantado, retrasado o incluso ha llegado a pararse. Esto por no mencionar las contracciones y dilataciones que ha sufrido debido a los bruscos cambios de temperatura o de la influencia de la presión atmosférica y, en menor medida, de los sutiles cambios del campo gravitatorio que pueden alterar el período de oscilación. Si a esto le añadimos que un error de pocos minutos puede llegar a suponer, en según que latitudes, un centenar de kilómetros, la situación de los navegantes era, en este sentido, muy precaria: para una misma longitud, los trayectos recorridos a diferentes latitudes pueden ser desde muy largos, cerca del ecuador, a muy cortos, cerca de los polos. Agradecimientos Aunque el que esto escribe es un apasionado del cine, son muchas las ocasiones en las que la colaboración de lectores, amigos y compañeros hace posible el traer a esta sección interesantes propuestas como la de esta ocasión. En este caso debo expresar mi gratitud a Susana Mataix, autora de dos fenomenales libros de divulgación matemática Matemática es nombre de mujer y Lee a Julio Verne. El amor en tiempos de criptografía,  a quien tuve el placer de conocer en una de mis  “excursiones” a Madrid. No sólo me facilitó la referencia, sino que muy amablemente me hizo llegar el VHS editado en Inglaterra. A su vez debo disculparme por haber tardado tanto (unos dos años) en dedicarle estas reseñas (que seguramente son insuficientes para lo que la producción merece). Respecto a la reseña del mes pasado, el cortometraje Rites of Love and Math, finalmente no ganó en Sitges, pero su director y actor principal, el matemático Edward Frenkel, amablemente nos agradeció la publicación de la reseña e incluso nos desveló algún que otro detalle sobre la película: en la integral (ver foto del mes pasado) aparecen escritos los caracteres истина (“verdad”, en ruso), mientras que en la película original de Mishima, el cuadro indica “sinceridad” en japonés. El tráiler del corto podéis verlo aquí.

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759. 43. (Noviembre 2010) El otro Einstein, de Andrés Roemer

La portada del libro[1] y el cartel de la obra[2] 1. Presentación de la obra de teatro Albert Einstein, científico, humanista, pacifista, genio extraordinario, es conocido por todos. Pero más allá de las fórmulas matemáticas y las teorías que lo hicieron inmortal, hay también un ser humano, poliédrico, contradictorio y paradójico. En ‘El otro Einstein’, su primera mujer Mileva Maric, su secretaria Helen Dukas y su segunda esposa, Elsa Einstein, realizan, desde el amor, el resentimiento y la lealtad, una auténtica autopsia emocional del científico, poniendo al descubierto el ser humano que sufre, lastima, odia y ama, así como sus secretos más íntimos. La obra va más allá de la anécdota e invita al público a cuestionarse sobre sí mismo; a buscar en su interior las luces y las sombras de su personalidad, a descubrir el gemelo oscuro que llevamos dentro. [...] De izquierda a derecha: Mileva Maric, Elsa Löventhal y Helen Dukas En el argumento de la obra, la Revista Time va a designar al científico judeoalemán Albert Einstein como ‘Personaje del Siglo XX’ y para fundamentar y enriquecer la propuesta ha convocado a una entrevista a la que fue su secretaria Helen Dukas, a su primera mujer Mileva Maric y a su segunda esposa Elsa Einstein. En la sala de espera las tres mujeres hablan de sus recuerdos y percepciones sobre el personaje, afloran las tensiones existentes entre ellas, las rencillas, los reproches. Pero no se refieren al científico conocido y valorado por todos, sino a Albert Einstein hombre, a su actitud ante la vida, a sus amores, sus miedos y temores, sus manías. En suma, al hombre de carne y hueso, a un ser poliédrico, provocador, seductor, dubitativo y humano. Mientras, un violinista interpreta en directo la música preferida del científico y en una gran pantalla se muestran secuencias de la vida de Einstein. 2. El autor y su texto El autor de El otro Einstein es el economista, politólogo y periodista mexicano Andrés Roemer, escritor polifacético y creador de multitud de programas para la televisión. En 2009, Roemer recibió por esta obra el Premio Emilio Carballido –concedido por la Asociación de Periodistas Teatrales de México– al Mejor Autor Nacional. Roemer comienza su texto con un prólogo en el que explica sus razones para elegir este otro Einstein (1879-1955), encabezado por esta preciosa cita de Rodolfo Usigli: Un país sin teatro es un país sin espejos. En el preludio de la obra se nos presenta a las tres mujeres protagonistas, situadas de frente al público y recordando: su primera esposa, la matemática Mileva Maric (1875-1948), que reflexiona sobre el mito de Albert Einstein que ella misma ayudó a construir. Mileva y Albert Einstein, 1911 su segunda esposa Elsa Löventhal (1876-1936), que se lamenta de la actitud de Mileva a la que acusa de no haber amado nunca a Albert Einstein. Elsa y Albert Einstein, 1922 su fiel secretaria Helen Dukas (1896-1982), que apela a la responsabilidad para intentar que Einstein sea nombrado Hombre del Siglo XX por la revista Time. Albert Einstein y Helen, 1933 Comienza la obra con Elsa y Helen en la sala de espera de la revista Time aguardando la llegada de Mileva. Se percibe ya desde el principio la enemistad entre Mileva y Elsa, que reprocha a la matemática su costumbre de ‘hacerse notar’. La revista Time debe elegir entre Mahatma Gandhi y Albert Einstein como Hombre del Siglo XX, y las tres mujeres están allí reunidas para defender la candidatura del físico. Mileva no está de acuerdo con la elección de las otras dos, a las que –por no ser científicas– considera incapaces de defender el impacto de la obra de Einstein. Helen –que comenta que las evaluaciones científicas se estaban ya realizando en diferentes universidades– cita el motivo que le dio el editor de Time: A ustedes las convocamos para conocer al ser humano; a quien no se le conoce por sus publicaciones científicas y reconocimientos públicos, sino al que descubrimos por sus andanzas y sentires  privados. Mileva se lamenta de no haber sido citada en el otro foro –en el científico– como coautora de los principales ensayos de Einstein. En esta reunión, las preguntas de la revista Time se centran en la figura del científico en su faceta de padre, esposo y como hijo y amigo. Elsa –con ánimo de molestar a Mileva– aborda enseguida el tema de Lieserl, la hija que  Einstein y su primera esposa tuvieron antes de casarse y que fue dada en adopción. La segunda esposa del físico aprovecha para atacar a Mileva a la que acusa de haber abandonado a su hija. Mileva, a su vez, culpa a Einstein de haberse desentendido de Lieserl, y alude a los rumores de existencia de otros hijos de Einstein nacidos fuera de sus matrimonios. Continúa la disputa entre las dos mujeres –con Helen intentando apaciguarlas para poder realizar la entrevista con la delicadeza que ella desea– donde se alude a la debilidad de Einstein por las mujeres, a sus numerosos adulterios y engaños, incluso con Ilsa, hija de un anterior matrimonio de Elsa. El comportamiento de Einstein con sus dos hijos –fundamentalmente con Eduard, diagnosticado de esquizofrenia con 22 años– es otro de los temas que las mujeres comentan durante su espera para la entrevista de la revista Time. Mileva se lamenta de cómo Einstein desatendió a Eduard y cómo éste le odiaba profundamente, mientras las otras dos mujeres le recuerdan –defendiendo al científico– que su hijo padecía un problema congénito, de curación imposible. Mileva incluso comenta con dolor como Einstein consiguió separar a su hijo mayor Hans Albert –asentado en Estados Unidos– de su hermano enfermo y su madre que residían en Suiza. Helen –su fiel y cómplice secretaria– defiende sin cesar el buen nombre de Einstein, mientras sus dos esposas se atacan a veces con crueldad, en otras ocasiones llegan casi a mostrarse simpatía. A la vez heridas por lo que Einstein les hizo y admiradas por la figura del genio, asoma una complicada mezcla de sentimientos encontrados. Ya al final de la obra, cada una de ellas resume: HELEN: La verdadera historia es que el doctor Einstein fue un hombre de contradicciones admirables, y no había que robarle el cerebro para saberlo; bastaba el hecho de convivir con él. ELSA: Por supuesto, fue un pacifista que persuadió a Roosevelt a crear la bomba atómica y después persuadió al mismo Presidente para impedirle accionarla. MILEVA: Fue un padre ausente, que destinaba gran parte de su tiempo a entretener y ayudar a otros niños. Y cae el telón, mientras los responsables de la revista Time insisten en lo que quieren saber de Einstein a través de las tres mujeres: ... no el gran genio científico; sino el ser humano: el esposo, el padre, el amante,... el otro.   Notas: [1] Andrés Roemer, El otro Einstein, Ed. Miguel Ángel Porrúa, México, 2008 [2] Puede verse información completa de El otro Einstein en Facebook

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760. 49. (Noviembre 2010) Matemática para compadritos

MATEMÁTICA PARA COMPADRITOS[1] “Los pitagóricos decían: todo es número. Hoy, podríamos al mismo tiempo precisar y ampliar este pensamiento y decir: todo es grupo.” Andréas Speiser, El concepto de grupo y las artes. “Hoy no creo ni en mí mismo/ todo es grupo, todo es falso/ y aquel, el que está más alto/ es igual a los demás...”. F. Gorrindo, “Las cuarenta”. La esencia del tango es su libertad En estas páginas presentaremos algunas conexiones entre la matemática y una de las manifestaciones más entrañables de la cultura porteña: el tango.[2] A simple vista, la relación puede parecer chocante: por un lado, el tango, definido por Discépolo como “un pensamiento triste que se baila”; por otro, la matemática, que tendrá mucho de pensamiento y acaso bastante también de triste... pero francamente no da mucha cabida para imaginar a un guapo floreándose con su papusa al compás del teorema de Pitágoras.[3] Pero el tango no es solo un baile, sino toda una filosofía. Y la matemática no es solo un mundo de frías fórmulas y ecuaciones, sino que está llena de pasión, belleza y también desencanto o frustración. Así mirada, podemos decir que la matemática habla del mismo universo que describen las letras de los mejores tangos. Uno de los más extraordinarios matemáticos de todos los tiempos, el alemán Georg Cantor, dijo una vez: “La esencia de la matemática es su libertad”. Esto es algo que sabe cualquier matemático. Y, como sabe también cualquier milonguero, la frase se aplica de igual manera al tango. Pasional En los párrafos precedentes nos hemos referido a un aspecto de la matemática que no resulta muy familiar a todo el mundo: ¿cómo es eso de hablar a la vez de matemática y pasiones? Sin embargo, para quien se dedica a ella y es capaz tanto de gozarla como de sufrir en carne propia sus dificultades y crueles desengaños, la conexión no resultará extraña. Para un matemático, la manera de encarar su labor cotidiana es verdaderamente pasional; toda su existencia se encuentra atravesada por la matemática, hasta tal punto que casi podría decir: “Estás clavada en mí/ te siento en el latir/ abrasador de mis sienes”. Pero todos éstos son aspectos generales que se aplican a cualquier disciplina que se lleve a cabo con pasión. Sin embargo, veremos que en algún sentido la matemática puede resultar especialmente tanguera, lo que justifica quizá que el poeta francés Paul Valéry se declarase “un amante desdichado de la más bella de las ciencias”. Sin ánimos de encarar un estudio detallado y profundo sobre el tema, en estas páginas nos dedicaremos a señalar ciertas articulaciones más bien pequeñas, sutiles, que no reflejan cuestiones formales o estructurales sino asociaciones semánticas a veces casuales. Se trata apenas de alguna idea simple, o una tenue versión de la paradoja expresada como al azar en un estribillo: “Vete, ¿no comprendes que te estoy amando?”.[4] Si hasta Dios está lejano El título de esta sección refiere al tango “Desencuentro”, con letra de Cátulo Castillo, que ya desde su primer verso guarda una íntima relación con la matemática. En efecto, allí se ve reflejada de una manera sorprendentemente precisa aquella sensación que tenemos al encontrarnos por primera vez ante un problema: “Estás desorientao y no sabés/ qué trole hay que tomar/ para seguir…”. Pero ahora hablaremos de otra cosa; vamos a contar la historia de un auténtico desencuentro, que tuvo lugar en una reunión matemática desarrollada en Königsberg (Kaliningrado) en setiembre de 1930. La ciudad no podía ser más ilustre: no solo fue la cuna de importantes personalidades, como el matemático Christian Goldbach, el filósofo Immanuel Kant o el escritor Ernst T. A. Hoffmann, sino también de una teoría matemática: la teoría de grafos.[5] En esa ocasión, se encontraron allí matemáticos de gran renombre para concederle un título honorífico a otro de sus hijos insignes, considerado por muchos como el mayor matemático del siglo XX: David Hilbert. Y en ese marco se produjo aquella famosa conferencia en la que el homenajeado gran profesor pronunció una de sus más célebres frases, casi un emblema de la corriente denominada “formalista”: “Debemos saber, sabremos”. Sin entrar en detalles, podemos decir que Hilbert intentaba expresar con esto una idea de completitud de la matemática, en el sentido de que todos los enunciados formulables en el lenguaje pueden demostrarse o refutarse. Sin embargo, existe un teorema famoso establecido por el austríaco Kurt Gödel, que justamente se llama “de incompletitud”. A grandes rasgos, muestra que la pretensión de Hilbert era irrealizable; algo así como si le hubiera retrucado, en plena cara: “No sabrás, nunca sabrás”. Lo curioso de la historia (de ahí el desencuentro) es que el retruco vino en realidad antes que el truco: Gödel anunció su teorema –que es burlón y compadrito– en la misma reunión, nada menos que el día previo a la conferencia de Hilbert. Pero Hilbert no estaba allí; no fue a escuchar a la charla de Gödel porque estaba ocupado preparando la suya… La moraleja es clara: no hay que preparar las conferencias. Vale la pena mencionar también que exactamente en el mismo año, en otra esquina rea del vasto mundo, un autor flaco y desgarbado delineaba otro enunciado destinado a ser célebre, frase inicial del estribillo de “Yira, yira”: “Verás que todo es mentira”. Muchos cantores de arrabal han entonado con mayor o menor suceso este tango, sin saber que la frase remite nada menos que a una de las más famosas paradojas de todos los tiempos, la paradoja de Epiménides. Si es verdad que todo es mentira, también lo es esta frase y entonces la frase es verdadera y falsa a la vez. Y justamente, aunque parezca mentira, este sencillo argumento es el ingrediente principal del teorema de Gödel. ¡Ni que los tipos se hubieran puesto de acuerdo...![6] La suerte que es grela “No olvidés, hermano, vos sabés/ no hay que jugar…” Durante una de esas noches tangueras de París, un extraño personaje irrumpió en la habitación de un notable matemático. Corría el año 1654 cuando Antoine Gombaud, caballero de Méré, jugador y fullero viejo, se preguntó cómo deben repartirse las apuestas de un juego cuando éste es interrumpido por algún motivo. Cabe imaginar aquí una escena, bastante usual, en la que varios tahúres se levantan de la mesa a toda prisa en el momento en que alguno pega el grito: “¡Araca, la cana!”. El hecho es que si uno de los jugadores lleva ventaja sobre los otros, el problema no es trivial; entonces el caballero intentó ver quién podría socorrerlo, alguien que tuviera el tema algo más manyado. Fue allí que “alguien dejó caer el nombre”. Según algunas versiones, en ese momento se pronunció aquella frase que siglos después reformularía el poeta porteño Homero Expósito: “Pascal… ¿te acuerdas de Pascal?”. Y así fue como finalmente el caballero reunió coraje, golpeó a su puerta y comenzó a contarle su problema: “He llegado hasta tu casa/ yo no sé cómo he podido…”. En el planteo original, dos jugadores apuestan 32 pesos cada uno en un juego que consiste en partidas consecutivas, en cada una de las cuales las chances de ganar son iguales para ambos. Al cabo de cada partida, el ganador suma 1 punto y gana el juego el primero en llegar a 4 puntos. Si el juego se interrumpe cuando un jugador tiene 2 puntos y el otro 1, ¿cómo deben repartirse las apuestas? Cuenta la historia que Pascal discutió el problema en una serie de cartas con el gran matemático mencionado en la sección previa: Pierre de Fermat. Ambos llegaron a la misma solución, cada cual por su lado; veamos por ejemplo el razonamiento de Fermat. Dado que al primer jugador le faltan 2 puntos y al segundo 3, a lo sumo en 4 partidas se acaba el juego. Ahora bien, los resultados posibles para una serie de 4 partidas son los siguientes (cada número indica el jugador que ha ganado): (1,1,1,1), (1,1,1,2), (1,1,2,1), (1,1,2,2), (1,2,1,1), (1,2,1,2), (1,2,2,1), (1,2,2,2), (2,1,1,1), (2,1,1,2), (2,1,2,1), (2,1,2,2), (2,2,1,1), (2,2,1,2), (2,2,2,1), (2,2,2,2) De estas 16 variantes, solamente 5 harían ganar al segundo jugador, que debe ganar 3 de las 4 partidas: (1,2,2,2), (2,1,2,2), (2,2,1,2), (2,2,2,1), (2,2,2,2). Por este motivo, el reparto de las apuestas entre los dos jugadores debe hacerse en proporción 11 a 5: de los 64 pesos, el primer jugador embolsa 44, mientras que el segundo se queda con 20. Sin embargo, el caballero no quedó muy conforme con la respuesta y escribió un encendido artículo sobre la inutilidad de todas las ciencias.[7] Pero la teoría de las probabilidades ya había nacido: en líneas generales, tal es la historia de su surgimiento “oficial” como disciplina.[8] En un primer momento se la consideró más bien una rama de la física y, a decir verdad, recién en 1933 tuvo su debut formal como teoría matemática a partir de los trabajos del “rusito” Kolmogórov. El tema de los azares resulta particularmente atractivo y sin duda muy tanguero, desde las discusiones sobre apuestas hasta los sutiles desarrollos del siglo XX (problemático y febril) que derivaron en algunas consecuencias filosóficas sorprendentes. Por ejemplo, que el mundo es esencialmente incognoscible: una vez más, a la voluntad ambiciosa del “sabremos” viene un taita y responde, socarrón: “Nunca sabrás”. Mentira, mentira, yo quise decirle Alguna vez se ha distinguido a la matemática de otras disciplinas “científicas”, en tanto no pretende explicar el mundo (cosa inútil, por otra parte, ya que “le falta un tornillo”), sino más bien construye sus propios mundos. En ese sentido es comparable con el arte, o con la poesía de Vicente Huidobro, aquel creacionista que decía que cada poema compone un mundo, que tiene sus propias reglas. Así, la Verdad, con mayúscula, no existe en matemática: el mismo enunciado puede ser verdadero o falso dependiendo del contexto en que se lo enuncia. Desde este punto de vista, podemos admitir entonces que la matemática es, en el fondo, una forma muy bien organizada de decir mentiras. Esto se expresa de manera precisa en una definición bastante conocida que dice: “La lógica es el arte de equivocarse con confianza”. La visión es un tanto exagerada, pero no deja de tener interés. Llevada al extremo, permite imaginar a un matemático escuchando, en culposo silencio, el siguiente reproche de su auditorio: Yo sé que es mentira todo lo que estás diciendo que soy en tu vida solo un remordimiento… Quizá no parezca insensato reconocer entonces que “todo es mentira, mentira ese lamento”: puede ser que, en algún sentido, las construcciones y representaciones que hacemos del mundo sean una quimera y que el universo matemático no sea más que una invención. Aun así, seguimos produciendo matemática día a día, teorema a teorema, de la misma manera en que al bandoneón, a él sí, podemos “confesarle la verdad”: “Copa a copa, pena a pena, tango a tango…”. Es justamente el mismo tango de antes, “Cobardía”, el que nos da la clave para entender por qué lo hacemos, con ese final que resignifica todo. Es que como matemático, puedo decir: de acuerdo, acaso sea mentira todo lo que estoy diciendo. Pero hace tiempo ya descubrí también que …sin esa mentira no puedo vivir.   Notas: [1] Texto adaptado del epílogo del libro ¡Matemática, Maestro! Un concierto para números y orquesta. Ed. Siglo XXI, Buenos Aires, 2010. [2] La palabra “porteña” remite a la la ciudad de Buenos Aires, que vio nacer al tango allá por el siglo XIX, de la que Borges dijo: “No nos une el amor sino el espanto”. En todo caso, la referencia no parece desacertada, pues a grandes rasgos lo mismo le ocurre a casi todo el mundo con la matemática… Sin embargo, pocos tienen en cuenta la continuación de la cita borgeana, que vuelve a poner las cosas en su sitio: “Será por eso que la quiero tanto”. [3] Sobre la “tristeza matemática”, se brindan algunos ejemplos en el libro La matemática como una de las bellas artes, especialmente en la sección que se refiere al romanticismo. De modo que la matemática, al menos la “romántica”, puede quizá ser definida como un pensamiento triste que en general no se baila. [4] Ya que hablamos de paradojas, no es inoportuno mencionar que el mandato “vete” que aparece en este tango titulado “Fuimos” tiene un rol preponderante en otro texto, acaso no muy tanguero pero sí de tinte nostálgico: el Génesis. Cuando Dios le dice a Abraham (en ese entonces, todavía se llamaba Abram; la “h” vendría después) que abandone la casa de su padre para dirigirse a la tierra de Israel, lo hace de un modo sorprendente: “Lej Lejá” (“vete para ti”). Esto es bien distinto de lo que se propone en el tango mencionado (algo así como “vete, pero no te vayas”), y más aún de esa otra situación planteada en una celebrada letra de Homero Expósito que dice “Vete de mí”. En el ejemplo bíblico, Dios prescribe a Abraham un mandato que, de alguna forma, equivale a decir: “Te ordeno que seas libre”. En el fondo, se trata del mismo problema que resulta central en el libro Free Play (de Stephen Nachmanovitch) en torno a la improvisación: ¿cómo se hace para obedecer a un maestro que nos indica ser espontáneos? No se trata de un tema menor; al respecto, vale la pena recordar que Arnold Schoenberg decía que la composición es una improvisación lentificada. En poesía, existen diversos principios y técnicas ligadas a la idea de improvisación, por ejemplo en el surrealismo, uno de cuyos principales exponentes –el francés André Breton- propuso el concepto de borrador primero y definitivo. En algunas de esas manifestaciones participaron también matemáticos, como los que fundaron más tarde el célebre grupo OuLiPo. [5] En efecto, suele mencionarse como punto de partida de dicha teoría el problema de los puentes de Königsberg, resuelto por otro célebre matemático suizo que vivía en San Petersburgo: Leonhard Euler. [6] El teorema de Gödel ha tenido muchas y variadas implicancias, pero sin duda la más decisiva para la discusión sobre los fundamentos de la matemática es la referida aquí, que determinó lo que habitualmente se describe como el “fracaso” del programa de Hilbert. Uno podría imaginarse al alemán tomando unas copas después de la conferencia con el mismo Cátulo, mientras éste le dice, al oído: “Contame tu condena, decime tu fracaso…”. Sin embargo, poco tiene que ver esto con las ideas mencionadas en la sección previa, pues a nadie se le ocurriría pensar que fue un “fracasao” o peor aún, “un Hilbert, que alzó un tomate y lo creyó una flor”. Vale la pena destacar el punto de vista muy particular de Gregory Chaitin, que asegura que Hilbert falló en el aspecto técnicamente preciso de la formalización del razonamiento matemático, pero a la vez tuvo un éxito notable en lo que hace a la formalización de los algoritmos y los lenguajes de programación. Entre otros resultados de incompletitud dentro de la lógica, también vale la pena mencionar a los de un compatriota de Goyeneche, pero “polaco” de verdad: Alfred Tarski. [7] Según algunas versiones apócrifas, cuando le preguntaron qué hacer con la correspondencia entre Fermat y Pascal, el caballero de Méré contestó, ofuscado: “¡Deja esas cartas!”. [8] En realidad, como antecedente cabe mencionar a un curioso personaje del siglo XVI que también parece sacado de un tango, fullero empedernido y conocedor de todas las argucias y artimañas: el italiano Girolamo Cardano, quien se ocupó de los juegos de azar en su obra Liber de Ludo aleae, publicada póstumamente, ya en tiempos de Fermat y Pascal.

Lunes, 01 de Noviembre de 2010 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico