731. 23. (Marzo 2011) Similitud rítmica en el flamenco

1. Introducción El discurso musical progresa a través de múltiples transformaciones de su material musical. Estas transformaciones ocurren en el ámbito melódico, rítmico, armónico, tímbrico, en la conducción de voces y en la estructura formal. Cómo varíe el material musical, acorde a qué reglas gramaticales, es propio e idiomático de cada estilo y época. Además, la percepción y evaluación de las transformaciones del material musical por parte del oyente dependerán intrínsecamente del concepto de similitud musical. Dada su importancia, este concepto se ha examinado con profundidad y aún hoy sigue siendo objeto de investigación intensa. La similitud musical se ha estudiado por varias disciplinas: en etnomusicología [BL51], [See66]; en análisis musical [LJ83], [Mey73]; en la resolución de conflictos de propiedad intelectual [Cro98]; en tecnología musical [MS90]; en psicología de la música [Sch99], [HE01], [MM01], [HE02], [HCR03]. Sin embargo, es un problema difícil de abordar, bien escurridizo, pues la percepción de la similitud musical es subjetiva y cambia fácilmente con el contexto. La similitud melódica y armónica se ha estudiado con más detalle que la rítmica, aunque esta situación ha empezado a cambiar recientemente. En este artículo vamos a examinar medidas de similitud rítmica en la música flamenca. Varios autores han estudiado cómo medir la complejidad rítmica. En general, las medidas explotan diversas propiedades del fenómeno rítmico. Por ejemplo, ciertas medidas asignan pesos según la jerarquía métrica, como la de Longuet-Higgins y Lee [LHC84], la complejidad métrica de Toussaint [Tou02] o el índice de contratiempo [Tou03]; otras medidas adjudican pesos a ciertos eventos musicales, tales como la medida de Keith [Kei91], de carácter combinatorio, o la medida WNBD (weighted note-to-beat distance) [GMRT05], basada en la distancia de las notas a las partes fuertes de la métrica. Para un estudio completo de estas medidas, véase Gómez et al. [GTT07]. Sin embargo, la crítica que se hace a todas estas medidas es la falta de validación perceptual, esto es, la falta de experimentos rigurosos que prueben que las medidas evalúan correctamente la similitud perceptual. El objetivo al diseñar una medida de estas características es obtener una medida que se corresponda con la percepción humana de la similitud musical, al menos bajo determinadas condiciones. Con frecuencia, las medidas se construyen en base a ciertas hipótesis o a ciertas propiedades de los ritmos, pero posteriormente no se comprueba la validez perceptual de la medida. Gómez y sus colegas en [GTT07] comprobaron la validez de 10 medidas de síncopa distintas a partir de los datos experimentales de Shmulevich y Povel [SP98]. Ese trabajo puso de manifiesto que algunas medidas tenían una validez perceptual muy pobre. Otro trabajo a destacar es el de Guastavino y sus colegas [GGT+09], en el que analizan dos distancias de similitud rítmica, presentadas en [DBFG+04], y realizan experimentos con sujetos para estudiar la correlación entre los resultados predichos por las medidas y los obtenidos por los sujetos. En el artículo de este mes examinamos las ideas y resultados expuestos en el trabajo de Guastavino y sus colegas. 2. Similitud rítmica 2.1. El ritmo flamenco El flamenco es una música que surgió a finales del siglo XVIII en Andalucía y que está formada por una mezcla de varias influencias, tales como la propia música folclórica de Andalucía, junto con la música gitana, árabe, bizantina, incluso la música judía. La mezcla de estas influencias, destiladas por el alambique del tiempo y la práctica musical, produjeron una música altamente estilizada y compleja, con características muy peculiares. Entre las características más llamativas del flamenco se encuentra su acompañamiento con palmas. Las palmas pueden ser fuertes o sordas y en flamenco sirven como elemento métrico, como patrón de referencia temporal e incluso actúan como voz independiente, con su propia personalidad rítmica. Aquí trataremos los patrones rítmicos que sirven como referencia temporal. En música algunos autores los llaman claves [Uri96], [Ort95]. Una clave se define como un patrón rítmico que se repite durante la pieza y cuyas funciones principales son la estabilización rítmica y la organización del fraseo musical (no confundir clave con referente de densidad). Los estilos flamencos, atendiendo a su compás, se clasifican en binarios, ternarios, alternos e irregulares [Fer04]. Cada estilo en el flamenco tiene una clave asociada. Los estilos binarios usan como clave un mismo patrón rítmico, [. x x x], donde [.] representa una palma sorda y [x] una palma fuerte; no obstante, a veces se toca como la palma sorda como silencia y la palma fuerte como palma normal. Los patrones ternarios son 5 y abarcan muchos más estilos, y son el objeto de nuestro estudio. En la figura de abajo tenemos las claves asociadas a los ritmos ternarios representados con la notación de y [. ] y [x]. Figura 1: Las claves ternarias del flamenco. Claves ternarias. Pínchese en cada patrón rítmico para escuchar una versión de MIDI. FANDANGO: SOLEÁ: BULERÍA: SEGUIRIYA: GUAJIRA: Quede claro el hecho de que es posible que la clave no se toque en una interpretación determinada de una pieza. Eso no obsta para que los músicos flamencos tengan la clave en la cabeza y la organización musical se rija por ella. Es igualmente posible oír versiones muy ornamentadas de la clave. Una misma clave sirve para varios estilos y, por tanto, los nombres que aparecen en la figura están elegidos según la nomenclatura de Gamboa [Gam02]. Por ejemplo, el patrón del fandango se usa para las sevillanas; el de la soleá para las bulerías bulerías o alegrías; el de la bulería para las bulería por soleá; el de la seguiriya para las serranas o saetas; y, finalmente, el de la guajira para las peteneras. Para ilustrar el fenómeno de la clave, vamos a escuchar la guajira Hermosísima cubana en la interpretación de Pepe de Lucía en la película Flamenco. Ciertamente aquí no se oye a un palmero tocar el ritmo [x . . x . . x . x . x. ], pero está presente en toda la pieza. Es claro a partir de la introducción lenta y lírica de la pieza, en el minuto 0:27, y muy evidente a partir del minuto 1:00. 2.2. Distancias de similitud rítmica Las dos medidas de similitud rítmica que estudiaron Guastavino y sus colegas fueron la distancia cronotónica y la distancia de permutación dirigida. La primera fue propuesta por Gustafson [Gus88] para medir la distancia rítmica entre segmentos de habla. La segunda fue propuesta por Díaz-Báñez y sus colegas en [DBFG+04]. La distancia cronotónica representa el ataque de las notas y su duración a la vez. Para ello, usa una especie de histograma en que en el eje x se representan los ataques y en el eje y la duración de las notas. En la figura 2 se muestra las representaciones cronotónicas (también llamadas TEDAS) de las claves ternarias. Figura 2: La representación cronotónica de las claves ternarias del flamenco. La distancia cronotónica se calucla midiendo el área que queda entre dos ritmos superpuestos entre sí. La zona rayada de la última gráfica de la figura 3 representa la distancia entre el patrón del fandango y el de la bulería. Figura 3: La distancia cronotónica entre el fandango y la seguiriya (tomado de [DBFG+04]). La distancia de permutación dirigida se basa en contar el número mínimo de operaciones para transformar un ritmo dado en otro. Es una generalización de la distancia de Hamming. Esas operaciones se limitan a intercambios de notas o silencios entre posiciones adyacentes y tienen las siguientes restricciones: Ambos ritmos han de tener el mismo número de pulsos. En nuestro caso todos tienen 12 pulsos. Se convierte el ritmo de más notas, R1, al de menos notas, R2. Cada nota de R1 tiene que moverse a una nota de R2. Cada nota de R2 ha de recibir al menos una nota de R1. Las notas no pueden cruzar el final del ritmo y aparecer por el principio. En la figura 4 se muestra la distancia de permutación dirigida entre el fandango y la seguiriya; se pueden apreciar los movimientos de las notas de la seguiriya para transformarse en el fandango. El número de movimientos es mínimo. Figura 4: La distancia de permutación dirigida entre el fandango y la seguiriya (tomado de [DBFG+04]). En las tablas 2.2 y 2.2 tenemos las matrices de disimilitud para ambas distancias. Las matrices se llaman de disimilitud porque las distancias reflejan cuán lejos está un ritmo de otro. Soleá Bulería Guajira Seguiriya Fandango Soleá 0 Bulería 6 0 Guajira 4 8 0 Seguiriya 8 12 8 0 Fandango 10 14 6 6 0 Tabla 1: Matriz de disimilitud para la distancia cronotónica. Soleá Bulería Guajira Seguiriya Fandango Soleá 0 Bulería 1 0 Guajira 7 8 0 Seguiriya 11 12 4 0 Fandango 7 8 2 4 0 Tabla 2: Matriz de disimilitud para la distancia cronotónica. 2.3. Grafos filogenéticos El conjunto de distancias de las matrices es difícil de visualizar y aún menos los posibles agrupamientos que puedan esconder los datos. Desde hace mucho tiempo los bioinformáticos usan una herramienta tremendamente útil para este propósito: los árboles filogenéticos. Técnicamente, deberían llamarse grafos filogenéticos, puesto que pueden salir grafos generales, pero por razones históricas se ha mantenido el nombre así. Estos grafos se construyen de tal manera que la distancia entre dos nodos corresponde tan exactamente como es posible a la distancia dada en la matriz. Hay un índice de ajuste asociado al grafo filogenético que indica la bondad del ajuste del grafo a la matriz de distancias. El algoritmo que construye el grafo es iterativo. En principio, el algoritmo intenta ajustar la matriz a un árbol; si ello no es posible, introduce un número mínimo de nodos para realizar el ajuste. El programa que usaron Díaz-Báñez y Guastavino fue SplitsTree, creado por Hudson y Bryant [HB06]. En las figuras 5 y 6 se exponen los árboles correspondientes a ambas distancias. Nótese que el índice de ajuste es muy alto para cada distancia, 99,2% y 100%, respectivamente. Esto asegura que el grafo refleja fielmente la distancia.   Figura 5: Árbol filogénetico para la distancia cronotónica (tomado de [GGT+09]).   Figura 6: Grafo filogénetico para la distancia de permutación dirigida (tomado de [GGT+09]). De la figura 5 se sigue que el grafo de la distancia cronotónica sugiere tres grupos: uno formado por el fandango y la seguiriya; un segundo, por la soleá y la bulería. Para la distancia de permutación dirigida el agrupamiento sugerido es ligeramente distinto: un primer grupo lo componen la soleá y la bulería; otro central, la guajira y el fandango; por último, está la seguiriya en un grupo aislado. 3. La validación perceptual 3.1. Los experimentos Guastavino y sus colegas comprobaron la validez perceptual de las dos distancias en cuestión a través de una serie de experimentos. Sospechaban que la formación musical influía en la percepción, de modo que diseñaron tres experimentos: el primero fue para sujetos sin conocimientos de flamenco ni formación musical reglada; el segundo para músicos con formación clásica; y el tercero para músicos de flamenco. Por brevedad solo describiremos el primer experimento. El lector interesado puede consultar los detalles en [GGT+09]. En el experimento participaron 12 sujetos, con media de edad 25 y desviación típica 4. El experimento se diseñó para que los sujetos se concentrasen en la duración de las notas, puesto que las distancias matemáticas fueron diseñadas con esa intención. Por ello, el estímulo del experimento consistió en sonidos de palmas generados vía MIDI con el programa Finale. Los ritmos se generaron en tres diferentes tempi (es sabido que el tempo influye en la percepción musical); dichos tempi fueron 50, 70 y 90 negras por minuto, respectivamente. Se programó una aplicación para que los sujetos introdujesen los índices de disimilitud. El experimento tuvo lugar en una habitación acústicamente aislada. Los ritmos, como es habitual en estos experimentos, se presentaron en orden aleatorio. Se pedía a los sujetos que evaluasen la disimilitud entre todas las parejas de patrones rítmicos. Pinchando en la lista de ritmos se pueden oír los estímulos correspondientes al tempo de 70; a los sujetos solo se les presentaba cada ritmo una sola vez, pero ellos podían todas las veces que quisiesen. Estímulos: FANDANGO: SOLEÁ: BULERÍA: SEGUIRIYA: GUAJIRA: Asimismo, se llevó a cabo un análisis de varianza y se encontró que no había diferencias significativas con respecto al tempo. Cada sujeto proporcionó una matriz de disimilitud. Se sumaron todas las matrices y se obtuvo una matriz global de disimilitud. El árbol correspondiente a dicha matriz se puede observar a continuación; compárese con las figuras 5 y 6.   Figura 7: Grafo filogénetico de la distancia perceptual (tomado de [GGT+09]). Ignórese el nodo marcado como "ancestral" en la figura 7, pues es un ritmo extra que se añadió para comprobar cierta hipótesis que sale fuera del alcance de este artículo. Para hallar la correlación entre las matrices de disimilitud se usó el test de Mantel. 3.2. El test de Mantel Como es conocido, hay muchas técnicas para estudiar agrupamiento: técnicas jerárquicas y no jerárquicas, escalamiento multidimensional, análisis de correspondencia, etc. Estas técnicas generan agrupamientos de los datos de entrada, pero no permiten una adecuada comparación entre dos agrupamientos dados. En nuestro estudio obtuvimos dos matrices de disimilitud y elegimos como método de agrupamiento los árboles filogenéticos, muy usados en Bioinformática. Tienen ciertas ventajas sobre otros métodos de agrupamiento y entre ellas se cuenta la facilidad de visualización. Sin embargo, el problema aquí es cómo comparar dos matrices, o equivalentemente cómo comparar dos matrices de disimilitud. Hacer la correlación directa entre las matrices sería incorrecto matemáticamente. Las distancias de las matrices claramente no son independientes, ya que cambiar una distancia afectaría a n-1 distancias. Por tanto, no podemos evaluar la relación entre las dos matrices simplemente evaluando su coeficiente de correlación entre los dos conjuntos de distancias y examinando si es estadísticamente significativa. El test de Mantel resuelve este problema realizando varios test sobre permutaciones de las matrices. El procedimiento del test de Mantel se describe brevemente a continuación (véase [Wik11] y sus referencias): Procedimiento: El procedimiento consiste en un test de permutación. Se calcula la correlación entre los dos conjuntos de [(n(n-1))/2] de distancias. Dicha correlación es a la vez la medida de correlación y el estadístico sobre el que se basa el test. En principio, cualquier coeficiente de correlación se puede usar, pero es muy frecuente tomar el coeficiente de correlación de Pearson. Contraste de hipótesis: Al contrario del procedimiento habitual con el coeficiente de correlación, para evaluar cualquier desviación de la correlación nula, las filas y columnas de la matriz se someten a permutaciones aleatorias varias veces, y se calcula el coeficiente de correlación cada vez. La significación de la correlación observada es la proporción de dichas permutaciones que conducen a un coeficiente de correlación alto. La hipótesis nula: el razonamiento es que si la hipótesis nula de que no hay relación entre las matrices es cierta, entonces permutar las filas y las columnas de la matriz debería producir con igual probabilidad un menor o mayor coeficiente. Además de superar el problema de la dependencia estadística de los elementos de las dos matrices, usar los test de permutación elimina la necesidad de hacer hipótesis sobre la distribución estadística de los elementos de las matrices. 3.3. Resultados El test de Mantel para determinar la correlación entre las matrices de las distancias matemáticas y las distancias perceptuales arrojó los siguientes resultados: Correlación entre las medidas perceptuales y la distancia de permutación dirigida: r=0'76 y p=0'03. Correlación entre las medidas perceptuales y la distancia cronotónica: r=0'66 y p=0'017. Se puede ver que la correlación es más alta para la distancia de permutación dirigida que para la distancia cronotónica, si bien en ambos casos es alta. También se puede observar que las medidas perceptuales se acercan más a la distancia de permutación dirigida que a la distancia cronotónica, tanto en términos de agrupamiento como del ritmo más diferente. 4. Conclusiones Como dijimos al principio del artículo, el trabajo de Guastavino y colaboradores tiene la virtud de comprobar la validez perceptual de las distancias matemáticas. Los resultados del experimento corroboran su validez. No obstante, los resultados son limitados, pues el número de patrones rítmicos es muy pequeño. En mi (humilde) opinión, y a pesar de ser coautor de los dos artículos, creo que la distancia de permutación dirigida no refleja la distancia perceptual del ritmo. He aquí un ejemplo que ilustra mi objeción. Consideremos los dos ritmos siguientes: R1 = [x . . x . . x . . . x . x . . . ] (la clave son). R2 = [x . . x . . x . . . x . . x . . ] (la clave bossa-nova). Su distancia de permutación dirigida es 1; basta mover la quinta nota de la clave son un pulso hacia delante para obtener la clave bossa-nova. Sin embargo, perceptualmente son muy diferentes. El primer ritmo, la clave son, tiene una clara estructura de pregunta/respuesta; pínchese en el ritmo para comprobarlo. Mientras que el segundo, la clave bossa-nova no tiene esa estructura, sino otra más compleja. La clave bossa-nova está formada por cuatro notas de duración tres pulsos y una nota de duración cuatro pulsos. Esta composición hace que tras oírse unas cuantas veces, a causa del principio de continuación, la clave se perciba como un único tren de pulsos regulares de duración tres pulsos acabado por uno de cuatro; pínchese en el ritmo para comprobarlo. Con este ejemplo vemos que dos ritmos a distancia 1, la mínima distancia que puede dar la distancia de permutación dirigida, pueden ser perceptualmente muy diferentes. CLAVE SON: CLAVE BOSSA-NOVA:   Bibliografía [BL51] Béla Bartók and Albert Lord. Serbo-Croatian Folk Songs: Texts and Transcriptions of SeventyFive Folk Songs from the Milman Parry Collection and a Morphology of Serbo-Croatian Folk Melodies. Columbia University Press, 1951. [Cro98] Charles Cronin. Concepts of Melodic Similarity in Music-Copyright Infringement Suits. Computing in Musicology (ed. Walter B. Hewlett and Eleanor Selfridge- Field). MIT Press, Cambridge, 1998. [DBFG+04] Miguel Díaz-Bañez, Giovanna Farigu, Francisco Gómez, David Rappaport, and Godfried T. Toussaint. 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Jueves, 10 de Marzo de 2011 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

732. 58. Cine Palentino

No sólo existe el cine norteamericano de alto presupuesto y los grandes festivales ampliamente difundidos por los medios de comunicación. El cine es universal, como las matemáticas. Nos acercamos en esta ocasión a una de las provincias castellanas que menos ruido hace, pero que propone certámenes cinematográficos de interés, y donde también se ruedan producciones relacionadas con las matemáticas. Del 25 de febrero al 5 de marzo ha tenido lugar la 20 Muestra de Cine Internacional de Palencia en la que además de presentar algunos largometrajes de notable interés cinematográfico fuera del circuito comercial y su tradicional concurso de cortometrajes, ha extendido su oferta a los centros educativos de la ciudad y provincia, y al Centro Penitenciario de Dueñas. Exposiciones, conciertos y un ciclo de conferencias, sobre el rock, la astronomía y las matemáticas, todas ellas en relación con el Séptimo Arte, han complementado en esta edición el visionado de películas. Además, en Palencia y su provincia se ha filmado íntegramente el mediometraje que a continuación os presentamos (entre las diferentes localizaciones pueden reconocerse el campus universitario de La Yutera y la calle Mayor de la ciudad), y que aún no se ha estrenado comercialmente (sólo se ha hecho un pase de producción el pasado 6 de noviembre para la prensa, sponsors y equipo de producción junto a una exposición de fotografías del rodaje en el Cine Avenida). Según reza la publicidad de la película se trata de “una historia sobre el cálculo de probabilidades y las relaciones personales”. Logaritmo Neperiano: una probabilidad entre un millón Título Original: Logaritmo Neperiano: una probabilidad entre un millón. Nacionalidad: España, 2011. Director: Abbé Nozal. Guión: Abbé Nozal. Fotografía: Abbé Nozal , en Color. Montaje: Abbé Nozal. Producción: Páramo Films. Duración: 43 min. Intérpretes: Nuria de Luna (La profesora), Javier Ambrossi (Jotajota), Christopher Mulhern (el conductor), Vanesa Lobera (Karol), Rocío Monteagudo (Beet), Kati Feliz (Sortija), Inés Andrés (la farmacéutica), Erica González (la doctora), Teresa Aisha (la diosa), Nerea Pérez (Compañera), Teresa Núñez (Abuela 1), Abundia Miguel (Abuela 2), Rodrigo Zarzuelo (Moscón 1), Héctor Ruiz Rojo (Moscón 2), David Rodríguez Leal (Moscón 3), Carlos Dávila (Moscón 4), Esteban Fernández Rojo (Enfermero 1), Juan Llacer Centeno (Enfermero 2), Félix De La Vega (Cura), Félix Riali (Saxofonista). Argumento: Los alumnos del último año de ciencias exactas reciben las calificaciones del examen sobre cálculo de probabilidades. El único alumno suspendido, que ha estado mucho tiempo  obsesionado con un error en su examen, defiende frente a la profesora una particular teoría. Sus argumentos probabilísticos llaman poderosamente la atención del “pivón” de la clase y del conductor del autobús universitario. Paralelamente tiene lugar una transformación colectiva alrededor de una sola actividad inmutable. El amor aparece al final de manera sorpresiva: una probabilidad entre un millón...de billones... de trillones... Es obvio que nos encontramos ante una comedia, cuyo tráiler puede verse aquí. También parece claro del titulo de la película que los logaritmos deberían tener alguna relevancia en su desarrollo. Veamos cómo. Toca desempolvar el Feller (un libro clásico sobre cálculo de probabilidades de moda en los tiempos en que estudié la licenciatura). En uno de los momentos clave de la película, el alumno protagonista, Jotajota, expone ante la profesora y el resto de sus compañeras (es el único chico de la clase) que ha encontrado un procedimiento que le permite acertar siempre la combinación ganadora de la lotería primitiva. Su razonamiento comienza calculando el número de posibles combinaciones que pueden darse en un sorteo (se ve claramente en la pizarra): 49 elementos tomados de 6 en 6, es decir, , aproximadamente 14 millones de combinaciones. Por otro lado, la probabilidad de que un número aparezca en la combinación ganadora es (ya se sabe, casos favorables entre casos posibles) y de ahí escribe  retorno = 1/0.1224 = 8.17, es decir  cada número aparece en la combinación ganadora, en media, cada 8.17 sorteos. A continuación considera que la aparición de cada número en el tiempo sigue un proceso de Poisson. Recordemos brevemente este concepto. En probabilidades y estadística, la distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que expresa la probabilidad que un determinado número de eventos ocurran en un determinado periodo de tiempo, dada una frecuencia media conocida e independientemente del tiempo discurrido desde el último evento. Fue dada a conocer por Siméon-Denis Poisson (1781–1840) en 1838. La función de probabilidad (nos da la probabilidad de que un evento suceda precisamente x veces) para esta distribución viene dada por donde x es el número de ocurrencias del evento y λ es un parámetro positivo que representa el número de veces que se espera que ocurra el fenómeno durante un intervalo dado. En las aplicaciones es necesario reemplazar el intervalo de tiempo unitario por un intervalo de longitud arbitraria t, lo que nos lleva a la expresión que es la que aparece escrita en la pizarra de la película. Después aparece descrita la función generadora de momentos, función generatriz de momentos de una variable aleatoria X, o función masa, correspondiente a esa distribución.  En general se define mediante   siempre que esta esperanza (E es la esperanza matemática) exista. La función generadora de momentos se llama así porque, si existe en un entorno de z = 0, permite generar los momentos de la distribución de probabilidad: En el caso de un proceso de Poisson esta función es , que es la que aparece escrita en el encerado. A continuación calcula las derivadas parciales descritas en la expresión previa, y las evalúa en z = 0. Si uno se toma la molestia de calcularlas, obtendrá , y de ahí  Sin embargo, en la parcial segunda, Jotajota escribe , y ahí tiene un pequeño error ya que el resultado correcto es λt + λ2t2, salvo que desprecie los términos de grado mayor que uno, que pudiera ser. Un poco más a la derecha, escribe “A partir de las funciones obtenidas y tomando logaritmos para estabilizar la varianza en el tiempo” y escribe la fórmula de Stirling y de esa escribe ln x! ~ x ln x – n con lo que el protagonista comete otro pequeño lapsus (¿lo ve el lector?). En efecto, la última n debe ser una x, con lo que debería haber puesto ln x! ~ x ln x – x La errata es del todo disculpable ya que normalmente la fórmula de Stirling aparece descrita para los naturales en la forma   ln n! ~ n ln n – n Finalmente, aparece una expresión inventada, un argmin de una integral extendida a R6 y en el integrando una norma cuadrática (la dimensión seis se debe a que son seis los números a acertar en la lotería primitiva). De ahí pasa a deducir los números que saldrán en el próximo sorteo, que son el 3, el 7, el 10,…, y en ese momento la profesora le corta, mostrando su contrariedad y malestar por especular con tales predicciones. La verdad es que, en comparación con otras películas, en este caso sus responsables se han preocupado muy mucho de que lo que se plantea sea verosímil matemáticamente hablando (obviamente salvo la expresión final que es la parte inventada), lo cual es de agradecer. Para ello han tenido el asesoramiento del profesor Roberto San Martín Fernández, del departamento de Estadística e Investigación Operativa de la Universidad de Valladolid, al cual hay que agradecerle también el haber ideado un asunto en el que aparecieran logaritmos y casara con el guión. Hay alguna otra referencia a las matemáticas pero de menor interés y colocada casi a título anecdótico, como el desvarío que Jotajota parece tener constantemente por su equivocación en su examen a cuenta del logaritmo neperiano. Esto se pone de manifiesto cuando está, se supone que pasándolo estupendamente, con otra de las protagonistas, y sólo se le ocurre hablar de factores, infinito elevado al cubo, etc. Logaritmos, Stirling y Poisson Hacia el siglo XVI los cálculos que se precisaban (comerciales, astronómicos, de navegación, etc.) empezaban a ser de una magnitud un tanto prohibitiva. Había que encontrar algoritmos que facilitaran tales cálculos. Aparecen así, por dos vías distintas (John Napier y Jobst Bürgi) los logaritmos. Su origen se puede encontrar sin embargo ya en Arquímedes, en la comparación de sucesiones aritméticas y geométricas. Para entenderlo de un modo sencillo, observemos la siguiente tabla: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 La primera fila es una sucesión aritmética de diferencia la unidad, y la segunda una geométrica de razón dos. Queremos multiplicar dos números de la segunda fila, por ejemplo, 16 x 64. A todos nos parece más sencillo sumar que multiplicar, sobre todo si son números grandes. Pues bien la idea de los logaritmos es la de sumar para multiplicar (en el ejemplo, el número de la fila superior correspondiente al 16 es el 4, y al del 64, el 6; sumamos 4 + 6 = 10; el número correspondiente al 10 de la segunda fila es el 1024, que es precisamente 16 x 64), restar para dividir (con la misma técnica del ejemplo anterior, si queremos dividir 1024:16, basta con hacer 10 – 4 = 6; el resultado de la división es 64, el valor que corresponde al 6 en la segunda fila), y multiplicar para elevar un número a una potencia (idea añadida por Michael Stifel en 1544). La primera fila corresponde a los logaritmos, y la segunda a los llamados antilogaritmos. De este modo, perfeccionando esta idea, surgen las famosas tablas de logaritmos, que muchos hemos utilizado antes de la universalización de las calculadoras de bolsillo y posteriormente de los ordenadores personales. El método de cálculo mediante logaritmos fue propuesto por primera vez, públicamente, por John Napier (latinizado Neperus) en 1614. Jobst Bürgi, un relojero suizo concibió la idea años antes, pero publicó su descubrimiento después que Napier. Inicialmente este procedimiento no fue aceptado pero el apoyo entusiasta de Kepler y otros astrónomos y matemáticos fueron poco a poco rompiendo esa resistencia a su utilización. Además de su utilidad en los cálculos, los logaritmos también ocuparon un importante lugar en las matemáticas más avanzadas; el logaritmo natural presenta una solución para el problema de la cuadratura de un sector hiperbólico ideado por Gregorie de Saint-Vincent en 1647, y como muestra la película son imprescindibles en estadística, entre otras cosas en la estabilización de las varianzas, tal y como aparece escrito en la pizarra de la película. Inicialmente, Napier llamó "números artificiales" a los logaritmos y "números naturales" a los antilogaritmos. Más tarde, Napier usa la palabra logaritmo en el sentido de un número que indica una proporción: logos, razón, y arithmos, número. Número de  razones, de proporciones. En cualquier texto de historia de las matemáticas (C.B. Boyer, por ejemplo, o en la wikipedia) puede encontrarse el razonamiento que hizo Napier y porqué aparece como base el número e. De ahí también el que se utilice su nombre logaritmo neperiano para los logaritmos en dicha base. Posteriormente Henry Briggs, fascinado con los logaritmos, visita a Napier en Edimburgo y mantienen una discusión en la que Briggs argumenta que el que debería tomar valor 1 debería ser el logaritmo de 10. Nacen así los logaritmos decimales o logaritmos de Briggs. En la actualidad, el tratamiento que se hace de los logaritmos es más parecido al que hizo Bürgi. Ironías de la vida. El término antilogaritmo fue introducido a finales de siglo XVII y, aunque nunca se utilizó ampliamente en matemáticas, perduró en muchas tablas, hasta que cayó en desuso. La fórmula de Stirling es una herramienta fundamental tanto para demostrar importantes resultados teóricos, como para obtener aproximaciones numéricas. n! ~ nn e─n El significado del símbolo ~ indica que el cociente de ambos miembros tiende a la unidad cuando n tiende a infinito. Es uno de los infinitos más conocidos por los estudiantes a la hora de calcular límites, siempre que la expresión en la que se sustituya esté formada exclusivamente por productos y/o cocientes. No obstante para valores pequeños de n la fórmula también es una aceptable aproximación: n n! nn e─n 1 1 0.9221370088 2 2 1.919004351 3 6 5.836209591 4 24 23.50617513 5 120 118.0191679 6 720 710.0781846 7 5040 4980.395831 10 3.6288 x 106 3.59869 x 106 100 9.33262 x 10157 9.32484 x 10157 Puede comprobarse en la tabla adjunta que el error (diferencia entre la tercera y la segunda columna) va decreciendo conforme n va aumentando. De hecho decrece uniformemente, razón por la que es una excelente aproximación, aunque esto no es fácil explicarlo con palabras sencillas y sin entrar en detalles técnicos. En la gráfica puede apreciarse como a partir del valor 10, el comportamiento de ambos miembros de la equivalencia prácticamente coinciden Al parecer la fórmula fue descubierta originalmente por Abraham DeMoivre (1667 – 1754) en la forma n! ~ (Constante) nn+1/2 e─n La contribución de Stirling fue la del cálculo de la constante . La fórmula resulta útil en áreas diversas, como la mecánica estadística, donde aparecen con frecuencia ecuaciones que contienen factoriales. En la materia ordinaria los sistemas macroscópicos típicos tienen del orden de 1023 partículas, con lo que la fórmula de Stirling resulta una buena aproximación. Por otra parte la fórmula de Stirling es diferenciable lo que permite su utilización en el cálculo aproximado de máximos y mínimos en expresiones que contienen factoriales. El matemático escocés James Stirling (1692 – 1770) es recordado fundamentalmente por dicha fórmula, aunque su biografía guarda algunas sorpresas. Nace en una familia partidaria de los jacobitas. Los Jacobitas eran un movimiento político que intentaba conseguir la restauración en los tronos de Inglaterra y Escocia a los miembros de la Casa Estuardo (incluso con posterioridad a 1707 cuando ambos títulos se unieron de facto en el trono del Reino Unido después del Acta de Unión). El movimiento toma su nombre del rey católico Jacobo II, destronado en 1688 y remplazado por su yerno protestante Guillermo de Orange, que reinó como Guillermo III, casado con María Estuardo, hija del propio rey Jacobo II. La peripecia de este movimiento es amplia, La resumiremos diciendo que motivaron hasta una guerra civil, pero que finalmente nunca consiguieron consolidar en forma militar el gran apoyo que encontraron entre los países continentales. El caso es que Stirling se fue de su país, a pesar de los buenos contactos que tenía con científicos de la talla de Isaac Newton. Se establece en Venecia en 1717 como profesor de matemáticas, pero tuvo que huir en 1722 temiendo por su vida acusado de difundir los secretos de los vidrieros de esa ciudad. Fue precisamente la influencia de Newton la que le permitió salir airoso. En Londres permaneció diez años, manteniendo una fértil correspondencia con algunos de los más destacados matemáticos de su época, incluido Euler. En 1726, es nombrado Fellow de la Royal Society. En 1730 publica su mejor obra “Methodus differentialis, sive tractatus de summatione et interpolatione serierum infinitarum”, un compendio de series infinitas, métodos de interpolación y cuadratura. En 1735, envía a la Royal Society el artículo “On the Figure of the Earth, and on the Variation of the Force of Gravity at its Surface.” Al parecer su trabajo como matemático no le llegaba para vivir  a su gusto y ese mismo año se presenta como director de una compañía minera en Leadhills. En 1745 publica “A Description of a Machine to Blow Fire by Fall of Water” para la Royal Society en donde se pone de manifiesto lo aprendido de los vidrieros venecianos. Al año siguiente Stirling es considerado el sucesor de Colin Maclaurin en Edimburgo, pero su apoyo a la causa jacobita le impide acceder al cargo. En 1752 hizo un estudio topográfico del río Clyde para mejorar las comunicaciones marítimas y  convertir a Glasgow en la capital comercial de Escocia. Según numerosos estudiosos existe un considerable volumen de cartas, manuscritos y artículos sobre temas aplicados como pesos y medidas escritos por Stirling que aún no han sido estudiados a fondo. Finalmente, unas breves líneas sobre la distribución de Poisson. Hay cierta controversia entre algunos autores que la denominan ley de los sucesos raros o de los números pequeños, y los que no comparten tal apelativo. El caso es que entre las numerosas aplicaciones a las que puede aplicarse están el estudio de la probabilidad de ruina de una compañía aseguradora, el del número de partículas emitidas en los procesos de desintegración radiactiva, el número de llamadas telefónicas a un número equivocado, la cantidad de clientes que entran a una tienda, el numero de coches que pasan por una autopista, la llegada de personas a una fila de espera, el conteo de bacterias, el intercambio de cromosomas en las células, por citar algunos de los más conocidos. Apuntes finales sobre la película (y sobre Palencia) La película se rodó en dos partes, del 31 de mayo a 5 junio, y entre el 11 y el 12 de septiembre de 2010. Su realizador, el pintor y cineasta Abbé Nozal, puso en marcha una curiosa forma de financiación: poniendo a la venta un cuadro realizado por él mismo para posteriormente trocearlo en 36 fragmentos que fueron adquiridos por todos aquellos que han querido colaborar en el proyecto y que aparecen en los créditos como productores honoríficos. El propio autor nos presenta su partenogénesis. A destacar también su interés por convertir la provincia de Palencia en un plató natural ideal para el rodaje de películas. Desde luego razones no le faltan, sobre todo paisajísticas, aunque lo mismo podría decirse de prácticamente toda la geografía española. Finalmente recordemos que a Palencia llegó también un merecidísimo Goya al Mejor Cortometraje Documental por Memorias de un cine de provincias, de Ramón Margareto. Noticias Breves Se ha convocado el I Concurso de cortos Universidad de Valladolid. En el enlace están las bases. A ver si alguien se anima a reflejar algo relacionado con las matemáticas y le dedicamos también una reseña. Asimismo nos hacemos eco de la buena aceptación que la película Aficionados de Arturo Dueñas, bibliotecario de la UVa, está teniendo tras su selección en diferentes festivales y su estreno comercial. Se tarta de un trabajo realizado por gente de la ciudad, actores no profesionales, rodado sin subvención alguna (matemática financiera de por medio por tanto) lo cual la hace un rara avis dentro del panorama cinematográfico nacional. El rodaje se inició en noviembre de 2008 sin tener un guión claro, ya que los actores fueron elaborando sus personajes a medida que iban rodando, al mismo tiempo que se iba haciendo el guión del largo. La única idea clara era que todo iba a girar en torno al círculo familiar, profesional e íntimo, por lo que algunos de los actores interpretan sus propias vidas. El título, según explica el director, es una metáfora de la vida. Año Internacional de la Química Otro químico y profesor universitario un tanto despistado. Entre sus experimentos puede consignarse un aditivo para aumentar la eficiencia de la gasolina en motores de explosión consistente en mezclar tres partes de carbono, cinco de hidrógeno, una parte de nitrógeno y tres partes de oxígeno. El resultado es fácilmente imaginable, ¿verdad?. Según los expertos conforma uno de los tipos clásicos de químicos en el cine. ¿De que película se trata? ¿A qué tipología responde? Las respuestas, para los más perdidos, el mes que viene.

Jueves, 10 de Marzo de 2011 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

733. 81. (Marzo 2011) Un Penney por tu jugada

Una de las frases que un mago escucha más a menudo es "¡Eres mago!, no me apostaría nada contigo." Esto significa que existe la creencia de que los magos conocen técnicas con las que tienen ventaja en los juegos de azar o bien son capaces de hacer trampas indetectables para públicos profanos. Casi nadie sospecha que los magos pueden utilizar en su provecho, de forma más o menos disimulada, las propiedades matemáticas que se esconden en algunos juegos de azar. Uno de estos juegos, sin aparente ventaja para ninguno de los participantes, es el que comentaremos en esta entrega. El llamado juego de Penney, cuyo nombre se debe al matemático Walter Penney (quien lo planteó en forma de problema el año 1969 en la revista Journal of Recreational Mathematics), consiste en lo siguiente: Dos jugadores seleccionan una sucesión de resultados, de tamaño prefijado, de lanzamientos de una moneda. Digamos que, al iniciar el juego, ambos jugadores acuerdan que la longitud de la sucesión sea tres y que el jugador A elige la sucesión CCX y el jugador B elige la sucesión XCC (donde "C" representa cara y "X" representa cruz). A continuación, se lanza sucesivas veces una moneda y se anotan los resultados en el orden en que aparecen. Gana el jugador cuya sucesión sea la primera en salir en el orden elegido y de forma consecutiva. Por ejemplo, si los resultados del lanzamiento de la moneda son CXCXCC, ganará el jugador B porque los tres últimos términos de la sucesión son XCC, que es su combinación elegida y aún no ha aparecido la sucesión CCX. Lo curioso del juego es que no existe una jugada que gane a todas las demás. Por lo tanto, sea cual sea la jugada elegida por el primer jugador, el segundo jugador puede elegir otra jugada mejor. Así pues, si se juega una nueva partida y el jugador A elige la sucesión que había elegido previamente el jugador B, éste puede elegir otra sucesión con más probabilidades de éxito. Esta propiedad de no-transitividad, poco común en los juegos de azar, ya la comentamos en otro artículo de esta sección (matemagia 45: todos ganan a todos) y aquí vamos a explicar la estrategia ganadora para este juego. Para el caso más común de sucesiones de longitud tres, las ocho posibles elecciones de cada jugador junto con las probabilidades de que gane el jugador B se detallan en el siguiente cuadro: B A CCC CCX CXC XCC CXX XCX XXC XXX CCC 1/2 2/5 1/8 2/5 5/12 3/10 1/2 CCX 1/2 2/3 1/4 2/3 5/8 1/2 7/10 CXC 3/5 1/3 1/2 1/2 1/2 3/8 7/12 XCC 7/8 3/4 1/2 1/2 1/2 1/3 3/5 CXX 3/5 1/3 1/2 1/2 1/2 3/4 7/8 XCX 7/12 3/8 1/2 1/2 1/2 1/3 3/5 XXC 7/10 1/2 5/8 2/3 1/4 2/3 1/2 XXX 1/2 3/10 5/12 2/5 1/8 2/5 1/2 De lo anterior se deduce que la mejor elección del jugador B será la que corresponde al mayor valor en cada columna (sombreado en la tabla anterior). En la tabla siguiente se muestran dichas jugadas: cada elección del jugador A (primera columna), admite una jugada mejor del jugador B (segunda columna) con probabilidad de ganar indicada en la tercera columna. Primer jugador Segundo jugador Comparativa de ganancias a favor del segundo CCC CCX CXC XCC CXX XCX XXC XXX XCC XCC CCX XXC CCX XXC CXX CXX 7 a 1 3 a 1 2 a 1 2 a 1 2 a 1 2 a 1 3 a 1 7 a 1 Una manera sencilla de recordar cuál es la secuencia que debe seleccionar el segundo jugador es la siguiente: el primer símbolo será el valor opuesto al segundo símbolo elegido por el primer jugador; los dos últimos valores serán los dos primeros valores, en el mismo orden, de la secuencia elegida por el primer jugador (subrayados en la tabla anterior). No es difícil interpretar los valores de la tabla anterior. Por ejemplo, en la primera fila, el primer jugador sólo ganará cuando los tres primeros resultados del lanzamiento de la moneda sean CARA-CARA-CARA. Si sale CRUZ en cualquiera de los tres primeros lanzamientos, el primer jugador no ganará: antes de salir tres caras habrán salido dos y, junto a la cruz anterior, la secuencia ganadora será XCC. Una interesante variación del juego, apropiada para demostrar las habilidades precognitivas del mago, es la propuesta por Steve Humble y Yutaka Nishiyama y consiste en sustituir la moneda por una baraja de cartas y cambiar los resultados cara o cruz por roja o negra. Una posible presentación del experimento sería la siguiente. MARCHA DEL JUEGO Entrega una baraja de cartas a un espectador para que la mezcle y la deje sobre la mesa, caras abajo. La baraja debe ser francesa, porque nos fijaremos en los colores de las cartas. Pide al espectador que anote en una hoja de papel una secuencia de colores formada por tres valores, a su elección. Supongamos que elige la secuencia roja-negra-negra. Escribe tú en otra hoja otra secuencia de colores. En nuestro ejemplo, escribirás roja-roja-negra (siguiendo las instrucciones que hemos descrito al principio). Explica ahora que irás mostrando las cartas, en el orden que han quedado después de la mezcla, anotando sus colores, hasta que aparezca alguna de las secuencias elegidas previamente. Cada vez que aparezca una de las secuencias, se retiran las cartas utilizadas y se empieza de nuevo, es decir se van girando cara arriba una a una las cartas siguientes y se anotan sus colores hasta que vuelva a aparecer una de las secuencias elegidas. La partida termina cuando se hayan utilizado las 52 cartas de la baraja. Ganará quien haya conseguido que su secuencia aparezca más veces. En promedio, cada partida tendrá alrededor de siete resultados y, debido a la ventaja que ofrece el conocer de antemano la "apuesta" del espectador, es muy probable que ganes siempre. La tabla siguiente muestra las probabilidades de ganancia de cada jugador. Primer jugador Segundo jugador Probabilidad de que gane el primer jugador Probabilidad de que gane el segundo jugador NNN NNR NRN RNN NRR RNR RRN RRR RNN RNN NNR RRN NNR RRN NRR NRR 0,11% 2,62% 11,61% 5,18% 5,18% 11,61% 2,62% 0,11% 99,49% 93,54% 80,11% 88,29% 88,29% 80,11% 93,54% 99,49% Comentarios finales La naturaleza poco intuitiva de esta propiedad puede conducirnos a paradojas, como la siguiente: Supongamos que participan en el juego cuatro jugadores. Digamos que A elige la secuencia XXC; el jugador B, que conoce la estrategia, elige la secuencia CXX; el jugador C, para ganar a B, elige la secuencia CCX; por último, el jugador D tendrá que elegir la secuencia XCC. Esto alegra al jugador A pues observa que su jugada es mejor que la del jugador D, la cual era mejor que la del jugador C, y así sucesivamente. ¿Quién ganará la partida? Un programa de ordenador que realiza simulaciones del juego se puede encontrar en la página web http://www.haverford.edu/math/cgreene/390b-00/software/CoinFlip.html El siguiente video http://www.youtube.com/watch?v=IMsa-qBlPIE muestra al mago Brian Brushwood realizar el juego en público. Como no podía ser de otra manera, este y otros ejemplos de fenómenos no transitivos han sido objeto de estudio por Martin Gardner en su libro "Viajes por el tiempo y otras perplejidades matemáticas", donde recopila artículos aparecidos en la revista "Scientific American". No dejes de consultar en el libro citado el sorprendente algoritmo que inventó John Conway para determinar las probabilidades de ganar el juego según las diferentes elecciones de cada jugador. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Martes, 01 de Marzo de 2011 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

734. 4. (Marzo de 2011) 8 de marzo, día internacional de la mujer (trabajadora)

Teniendo en cuenta que en breve se celebrará el Día Internacional de la Mujer (Trabajadora) de este año 2011, me ha parecido oportuno traer a este espacio algún anuncio, o campaña publicitaria, que pudiera estar relacionado con este día, y más en concreto, con la posición de las mujeres en el ámbito de las matemáticas.  Y me he acordado de una serie de sencillos anuncios que aparecieron publicados semanalmente en el periódico para los estudiantes, “La Estrella del Norte” (The Northern Star), de la Universidad de Illinois Norte (NIU) y que me parece interesante que comentemos aquí. Dos estudiantes del Departamento de Comunicación de la Universidad de Illinois Norte desarrollaron una serie de anuncios sobre los logros de las mujeres en matemáticas, o más generalmente sobre la relación de las mujeres con las matemáticas. Estos anuncios se publicaron durante el semestre de otoño de 2001 y 2002 en el periódico estudiantil de la NIU con una periodicidad semanal, generalmente los lunes que era el día de mayor movimiento del periódico. Además se realizaron carteles con los anuncios que fueron colocados en los lugares más frecuentados por los estudiantes de matemáticas. Y durante varios meses del año 2002 se publicó un anuncio distinto cada día (se iban rotando los 12 anuncios existentes) en la página web del College of Liberal Arts and Sciences de la NIU. Algunos de estos anuncios empezaban con la frase “Mito: a las mujeres no se les dan bien las matemáticas”, seguida de una cierta información, como las que destacamos a continuación i) el 47 % de las personas que estudian matemáticas son mujeres; ii) de los estudiantes de la NIU que cursaron la asignatura de cálculo entre los años 1995 y 1999, el 15,5% de los hombres obtuvieron la calificación “A” y el 20,1% de las mujeres  obtuvieron la calificación “A”; iii)  de los estudiantes de la NIU que cursaron la asignatura de Cálculo I el semestre de otoño de 2001, el 18% de las mujeres obtuvieron la calificación “A”, el 9% de los hombres obtuvieron la calificación “A”; A continuación, en estos anuncios aparecía la frase “Verdad: la brecha de género se está acabando”. Y el anuncio terminaba con las siguientes palabras en letra bien grande: “LAS MUJERES TRIUNFAN EN MATEMÁTICAS”. Otros anuncios estaban diseñados como si fuesen una pregunta de una encuesta, y por supuesto con cierta ironía. Por ejemplo, en uno de ellos se podía observar a un grupo de mujeres sentadas en sillas formando un círculo, charlando e incluso riendo… y la pregunta empezaba así “Estas mujeres están…” y las tres opciones que se ofrecían eran A. organizando un evento de hermandad; B. planificando las vacaciones de verano; C. asistiendo a sus clases de Calculo I en la NIU. Y está marcada la opción C. Y el final es de nuevo “Las mujeres triunfan en matemáticas”. En otro anuncio del mismo estilo se preguntaba “¿Quién de los siguientes es una mujer?” A. El director de Hewlett Packard; B. El director ejecutivo de Ebay Technologies; C. El presidente de la Asociación Matemática de América; D. El inventor del lenguaje COBOL; E. Todas las anteriores. Y la respuesta marcada era la E, es decir, “todas las anteriores”. No hace falta explicar que este anuncio trataba de mostrar que cualquiera de esos puestos los puede desarrollar perfectamente una mujer, no hay nada que impida a una mujer ser directora de Hewlett Packard (por poner un ejemplo, norteamericana Catherine A. Lesjak, ha ocupado desde 2007 los más altos cargos de la empresa HP, entre ellos directora ejecutiva y directora financiera), directora ejecutiva de Ebay Technologies (por citar un ejemplo de esta empresa, la empresaria norteamericana Meg Whitman ha sido directora ejecutiva de Ebay Technologies desde 1998 hasta 2008, y lo dejó para presentarse a las elecciones a Gobernador de California, que se celebraron en 2010), presidenta de la Asociación Matemática de América (por cierto que la última presidencia de la Real Sociedad Matemática Española la ejerció una mujer, Olga Gil Medrano, de la Universidad de Valencia) o inventora de un lenguaje informático como COBOL (por ejemplo, la científica y militar Grace M. Hooper, 1906-1992, puso las condiciones para la creación del lenguaje COBOL, ya que este estaba inspirado en el lenguaje Flow-Matic de Hooper, y fue una persona pionera en el mundo de la informática). Otro de los anuncios de este tipo mostraba a dos hombres, uno mayor y otro joven, y a una mujer joven, y se preguntaba quién de ellos era Profesor de Matemáticas. La respuesta era que lo eran los tres. Un anuncio más en esa línea, pero tratando de reflejar cual había sido la opinión de la sociedad sobre si las mujeres podían dedicarse a las matemáticas, decía así: “Históricamente, la gente pensaba que las mujeres no podían sobresalir en matemáticas porque…” A. el cerebro de las mujeres es muy pequeño; B. el trabajo podía extraer energía vital de sus órganos reproductivos; C. carecían de fuerza física para desarrollar tal ejercicio mental; D. las matemáticas son cosa de hombres; E. ellas eran muy atractivas como para estar estudiando matemáticas; Y la respuesta eran todas ellas. Y para terminar, otro anuncio de una estructura distinta a los anteriores. En este se veía a un grupo de mujeres en un aula y debajo la frase “Estas mujeres están resolviendo el siguiente problema”, que era la integral de la función f(x)=xp, y que estaba expresado con una fórmula matemática. Podría ser interesante realizar una campaña de este tipo en las universidades españolas y analizar sus consecuencias tanto en estudiantes, como en profesores y profesoras, de matemáticas. Para más información sobre la campaña puede visitarse la página: www.clas.niu.edu/ewoms/adcampaign.htm

Viernes, 04 de Marzo de 2011 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

735. 51. (Marzo 2011) Julius Corentin Acquefacques, prisionero de los sueños. El Origen

Marc Antoine Mathieu es guionista y dibujante de cómics. Su serie Julius Corentin Acquefacques, prisonnier des rêves consta de cinco tomos, todos ellos con guiños matemáticos –paradojas temporales, dimensión geométrica, medidas del espacio, espirales, simetría axial o perspectiva–: L’Origine (El Origen, 1990) La Qu... (1991) Le Processus (El Proceso, 1993) Le Début de la fin (El Principio del fin, 1995) La 2,333ème dimension (La dimensión 2,333, 2004), A lo largo de estos textos, el héroe, mientras sueña, descubre defectos en la estructura de su mundo –o  en las del relato– y, con la intención de restablecer el equilibrio, se enfrenta a la paradoja. Julius Corentin Acquefacques, el héroe de la serie. Acquefacques, el apellido del protagonista, es el opuesto fonético –en francés– de Kafka, y el universo en el que se mueve es precisamente como los de las novelas del escritor checo: obsesivo y agobiante; ¿dónde acaba el sueño y empieza la realidad? En este artículo se comenta el primero de los tomos de la serie, y en sucesivos escritos se introducirá la historia completa de Julius Corentin Acquefacques. L’Origine se divide en seis capítulos: J.C. Acquefacques Le Ministère de l’Humour Le lendemain à 15h (ou : la crise du logement) Ratiocinations L’âme est aphysique La dernière page. Julius Corentin Acquefacques –empleado en el Ministère de l'Humour (Ministerio del Humor)– lleva una apacible vida en un mundo superpoblado. Y un día descubre que su futuro está escrito en un universo de dimensión dos, en un tebeo... La historia empieza cuando Julius se despierta de un sueño en el que camina por una cuadrícula, solitario… un personaje bidimensional se ríe de él desde el suelo, y el protagonista sale proyectado y despierta. Mientras desayuna, explica su rutina diaria antes de ir al Ministère de l’Humour. Antes de entrar en su trabajo –en una calle abarrotada de personas circulando de manera errática– compra un ejemplar de Le Rire (La Risa). Sentado en su despacho, encuentra dentro del periódico un sobre, y dentro de él, una página arrancada de un cómic: es la página 4 de L’Origine, que representa la escena en la que Julius despierta de su sueño esa misma mañana. En su centro de trabajo, recibe un nuevo sobre donde se le indica que debe abrirlo al día siguiente, a las 15h00. Recurre a sus amigos Edmond y Sigismond Dalenvert –Dalenvert es un juego de palabras, envers significa revés en francés– para abrir el sobre a la hora convenida:  contiene la página 27 de L’Origine –estamos en la hoja 23– es decir,  una situación que sucederá en el futuro... Julius se ve arrastrado por una nube de personas que le empujan hacia una vieja librería, donde el protagonista –estamos ya en la página 27– vive la escena exactamente de la manera que se había anunciado en la página arrancada. El librero entrega a Julius el libro L‘Origine –el cómic que estamos leyendo– al que le faltan las doce últimas páginas… Desaparece el librero y aborda al protagonista una persona del Ministère de la Recherche (Ministerio de Investigación), donde habían descubierto que su mundo debía parecerse a un cómic, siendo L‘Origine precisamente la representación de su universo. El personaje del Ministère de la Recherche conduce al protagonista hacia la Grande Imprimerie –la Gran Imprenta–, donde se intentan recrear las condiciones iniciales del proceso de fabricación del universo donde viven: se trata de un mundo bidimensional, contenido en otro de dimensión tres, que es su creador… El investigador explica a Julius su relación con el mundo de dimensión tres, página 36. Todos ellos forman parte de un proyecto concebido en el mundo de tres dimensiones, al que se encuentran sometidos. Desde ese mundo que les controla, incluso podrían destruirlos, perforarlos: de hecho, la página 37 del cómic tiene un agujero en el lugar que debiera ocupar la viñeta central... desde ese lugar se lee, en efecto, la viñeta central de la página 43 –el futuro–, y la viñeta central de la página 42 tiene en su lugar un agujero, desde el que se puede leer la correspondiente casilla de la página 40 –el regreso al pasado–. El agujero, visto desde la página 37. El investigador denomina a estos agujeros anti-viñetas… y explica como superponiendo una viñeta y una anti-viñeta, se obtiene una viñeta extraña, es decir, una ilustración desplazada en el tiempo. La viñeta y anti-viñeta como forma de viajar del pasado al futuro,  página 38. El descubrimiento de la fórmula de la anti-viñeta, página 39. Llega un mensajero con un nuevo sobre, con la última página, la 43, el final de la historia… donde se ve al creador-dibujante con un mechero, quemando la página 43, que en el libro que está en nuestras manos aparece en negro. ¿Qué ha pasado? Esa es otra historia, que continúa en el segundo tomo de la serie. El final de la historia. En este tebeo los libros están omnipresentes: en los despachos, viviendas,... en la librería parece que conforman las paredes… Julius vive en un universo de papel: el propio cómic. Julius Corentin Acquefacques, prisonnier des rêves: galérie 3D

Miércoles, 02 de Marzo de 2011 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

736. 47. (Marzo 2011) Alan M. Turing a escena. Primer acto: Breaking the Code

El nombre de Alan Mathison Turing (1912-1954) suele recordarse con admiración, en el ámbito académico, al asociarlo con investigaciones pioneras en campos como la lógica matemática (máquina universal de Turing), el nacimiento de la informática o la inteligencia artificial (test de Turing), el descifrado de las máquinas Enigma, con las que los nazis encriptaban sus mensajes militares durante la Segunda Guerra Mundial, o con trabajos novedosos en morfogénesis y otros casi desconocidos en teoría de la probabilidad y estadística. El recuerdo se torna enojoso e incómodo al referirse a su vida privada, principalmente, por su homosexualidad no escondida, su juicio y condena por mantener relaciones sexuales con otro hombre y su temprana y extraña muerte, a punto de cumplir los 42 años, por suicidio con cianuro. La figura de Turing, sin que él lo pretendiese nunca, es controvertida: un miembro de la Royal Society apasionado por el atletismo de fondo; un pensador genial pero una persona excéntrica; condecorado por su trabajo secreto durante la guerra mundial pero posteriormente condenado por escándalo público; un experto en lógica aficionado a explorar por sí mismo las aplicaciones prácticas de sus ideas; una persona que se suicida mordiendo una manzana envenenada... Para un personaje de su talla son pocos los libros dedicados a glosar su vida y obra. De hecho, hasta 1983, cuarenta años después de su muerte, no se publicó una completa y documentada biografía de Turing. El mérito recae en Andrew Hodges y su extenso y monumental libro Alan Turing: The Enigma, que se ha convertido en la referencia indispensable sobre la vida del matemático. Sin embargo, los innegables elementos melodramáticos y simbólicos de la vida de Turing han despertado el interés de los dramaturgos por su figura. Precisamente, este artículo inaugura una trilogía de reseñas teatrales en las que analizaremos cuatro piezas que tienen a Alan Turing como protagonista principal: Breaking the Code de Hugh Whitemore; Lovesong of the Electric Bear de Snoo Wilson; Alan's Apple: Hacking the Turing Test de Valeria Paters y Turing-Machine de Jean-François Peyret y Nicolas Bigards. Breaking the code La obra Breaking the Code fue escrita por el dramaturgo británico Hugh Whitemore y está basada en la biografía Alan Turing: The Enigma de Andrew Hodges. Se estrenó el 15 de septiembre de 1986 en el Yvonne Arnaud Theatre, en Guildford, con Sir Derek Jacobi interpretando el papel del gran matemático. Poco después pasó a representarse en Londres y, también con Jacobi como actor principal, en Nueva York en 1987. La producción de Broadway fue candidata a los premios Tony Awards y Drama Desk Awards. En 1995, The Drama House y la WGBH Boston realizaron una reducida adaptación televisiva para la BBC británica. La reseña que presentamos se basa en el texto Breaking the Code. A play publicado por Samuel French, Ltd. Las referencias [4] y [5] que citamos al final, proporcionan abundante información acerca de la gestación de la obra, la adaptación televisiva y los pormenores de la frustrada versión cinematográfica de Hollywood (el productor puso dos condiciones: “No quiero que este tipo sea un marica y, por el amor de Dios, saque todas esas Matemáticas”). Portada de la producción televisiva para la BBC y cartel de una representación en Seattle en 2010 La obra está dividida en dos actos de 8 y 9 escenas, respectivamente. Las escenas son relativamente cortas, lo que da dinamismo a una pieza con una equilibrada mezcla de humor, compasión y matemáticas. Breaking the Code no es una simple descripción cronológica de la vida de Alan Turing. Antes bien, Whitemore elabora hábilmente una compleja estructura que, comenzando en la tarde de invierno en la que Turing denuncia el robo de su casa, nos transporta adelante y atrás en el tiempo. Las escenas se reparten en dos períodos básicos: la Segunda Guerra Mundial y la época de post-guerra, a principios de los años 50. El ambiente social e histórico tan diferente de la Inglaterra de ambas épocas condiciona el comportamiento de los 8 personajes: Mick Ross, el policía que se ocupa de la denuncia por robo de Turing. Christopher Morcom, el amigo de juventud de Turing. Sara Turing, la madre de Alan. Ron Miller, joven con el que Turing mantiene la relación por la que será enjuiciado y condenado. John Smith, miembro de los servicios secretos ingleses. Dillwyn Knox, jefe de Alan Turing en el Government Code and Cypher School durante la Segunda Guerra Mundial. Pat Green, colega de Turing en Bletchley Park, enamorada del matemático. Nikos, joven griego, una de las conquistas esporádicas de Turing. En las escenas que transcurren durante la Segunda Guerra Mundial nos encontramos al Turing científico, al descifrador de códigos, genial y brillante, sin dudas cuando maravilla a la audiencia con sus apasionados monólogos matemáticos. Una persona deseosa de poner su inmensa capacidad al servicio de su país. Pero también al Turing orgulloso de su condición sexual, que rehúsa renegar u ocultar su homosexualidad, defendiéndola frente a las peticiones de cautela de su jefe Knox, y no escondiéndola tras el escudo social de un matrimonio de conveniencia. Turing afirma: “Siempre he estado dispuesto, más aún ansioso, a aceptar la responsabilidad moral de todo lo que hago”. Y Alan rechaza, en la escena 7 del primer acto, la posibilidad de un matrimonio con Pat: PAT: Te quiero, Profe. No le responde. Te quiero. Ya lo sabes. TURING: Sí. PAT: Se supone que deberías decir “Yo también te quiero''. TURING: Lo sé. (Pausa.) PAT: Por favor, di algo. TURING: No me veo como una persona amable. PAT: Pues lo eres. TURING: Hay muchos hombres en Bletchley que son mucho más amables que yo. PAT: Ahí es donde te equivocas. TURING: No seas tonta, claro que lo son, los veo a la hora de comer, de acá para allá, riendo, jugando al cricket. Me asombra que no te hayas enamorado de uno de ellos. PAT: Porque son aburridos, ésa es la razón. TURING: También yo soy aburrido. PAT: Ahí es donde te equivocas. Eres desordenado, descuidado y careces de modales; tus ropas están manchadas y te muerdes las uñas; dices la verdad cuando sería más amable decir una mentira, y no tienes paciencia con la gente que te resulta pesada. Pero no eres aburrido. Y te quiero. (Pausa.) TURING: En realidad, yo también te amo. PAT: (No es una pregunta.) Como amiga. TURING: Como amiga. PAT: Eso podría cambiar. (Una sonrisa triste.) Quizás eso podría cambiar. Turing va hacia Pat y le coge la mano. TURING: Soy homosexual. PAT: Lo sé. Lo que no me impide amarte. No tiene por qué impedirte amarme. TURING: Me impediría hacer el amor contigo. No quiero esa clase de vida y no creo que tú la quieras. Tras la guerra se nos presenta a un Turing aún activo en la investigación pero progresivamente enredado con la ley. En el ambiente sofocantemente rígido de la Inglaterra de la post-guerra, Alan encuentra enormes dificultades para adaptarse a las convenciones sociales. Sus excentricidades, extravagancias y sus inequívocas preferencias sexuales ya no encuentran la tolerancia de los tiempos del conflicto bélico, sino el peso y la persecución implacables de una ley que él no comprende. Su genialidad ya no es celebrada y mimada como en los tiempos de Churchill, sino temida por un sistema de inteligencia incapaz de comprender las complejidades de un hombre tan poco común como él. La hipocresía de una sociedad capaz de distinguir el servicio al país de un hombre al que poco después castiga y humilla se presenta amargamente en toda su crueldad en la respuesta de Turing a Smith, en la sexta escena del segundo acto: TURING: El trabajo que hice en Bletchley fue muy importante para mí. Importante en un sentido que usted quizás no comprenda. Romper la Enigma de los U-boat exigió más que matemáticas e ingeniosa electrónica. Se necesitó determinación, tenacidad... fibra moral, si lo prefiere. Por eso fue tan profundamente satisfactorio. Todo encajó a la perfección allí. Todos los hilos de mi vida. Mi trabajo como matemático. Mi interés en las claves secretas. Mi habilidad para resolver problemas prácticos. Mi amor por mi país. Durante un año, más o menos, sentí que había encontrado aquello que estaba buscando. Ustedes confiaron en mí entonces. ¿Por qué no ahora? En la siguiente escena de la obra, Turing vuelve a hablar sobre la importancia que para él tuvo su trabajo en Bletchley Park. Estando de vacaciones en Grecia, repara un aparato de radio a su joven acompañante masculino Nikos. La incapacidad de comunicarse con él, debido a la barrera idiomática, es una brillante metáfora con la que el autor incide, magistralmente, en mostrar al matemático solo con sus pensamientos: TURING: Gracias Nikos, encanto. Gracias. (Sonríe.) ¿Es una sensación estupenda, verdad? Resolver un problema, encontrar la respuesta. Conseguir que funcione. Una sensación estupenda. Igual que con ese aparato de radio, en verdad. Es cuestión de hacer las conexiones adecuadas. (Una breve pausa; una idea cruza por su mente.) ¿Quieres que te cuente un secreto? Top secret. No pude contárselo a mi psicoanalista. Pero como tú no entenderás ni una sola palabra, en realidad no tendrá importancia. Todo ocurrió al principio de la guerra en una mansión de campo británica llamada Bletchley Park. Los alemanes habían construido una máquina que denominaban Enigma. Era muy ingeniosa. Elaboraba códigos, y nadie sabía cómo descifrar esos códigos. Ese fue el problema que teníamos que resolver. Si no lo hacíamos, si no podíamos, perderíamos la guerra, así de simple. Pero, ¿por dónde empezar? Bien, comenzamos con algunas suposiciones. El proceso para vulnerar un código siempre se inicia con una suposición. Tienes que suponer qué pueden significar las primeras frases del mensaje. Esta parte no fue tan difícil como pudiera parecer ya que los mensaje militares empezaban invariablemente con un encabezado modelo: fecha, hora, nombre y rango del emisor, ese tipo de información. Descubrimos entonces que era posible utilizar la frase adivinada para formar una cadena de implicaciones, de deducciones lógicas, acerca de las posiciones de los rotores. Si esta cadena de implicaciones te conducía a una contradicción, lo que ocurría a menudo, entonces te habías equivocado y tenías que probar con la siguiente posición de los rotores. Y así una, y otra, y otra vez. Un inacabable proceso, laborioso y largo. El tiempo jugaba en nuestra contra. No sabíamos qué hacer. Entonces, de repente, una tarde de primavera, recordé una conversación que sostuve con Wittgenstein. Discutíamos sobre el hecho de que una contradicción implica cualquier proposición, y vi, inmediatamente, que podía usar este teorema elemental de la lógica matemática para construir una máquina con la velocidad necesaria: una máquina con relés eléctricos y circuitos lógicos que detectase contradicciones y reconociese inconsistencias; una máquina de cribar, de ciclos cerrados y sincronía perfecta; una máquina capaz de discernir patrones donde no los hay. Si tu suposición era incorrecta, la electricidad fluiría a través de las hipótesis relacionadas y las eliminaría en un destello, como la reacción en cadena en una bomba atómica. Si tu hipótesis era correcta, todo sería consistente, y la corriente eléctrica se pararía en la combinación correcta. Nuestra máquina sería capaz de examinar miles de millones de posibilidades a una velocidad increíble, y con un poco de suerte, nos daría el “pase de entrada”. Más aún: encajaron perfectamente todos los aspectos. La belleza pura del patrón lógico. El elemento humano. La relación profundamente satisfactoria entre lo teórico y lo práctico. ¡Qué momento! Completamente, completamente extraordinario. (Pausa.) ¡Oh, Christopher!... Si hubieses podido estar allí. Nunca jamás. Nunca jamás habrá un momento como aquel. (Pausa.) A la larga, no es descifrar el código lo que importa... es el camino que tomas después. Ése es el verdadero problema. Fotografía de Alan M. Turing a la edad de 40 años. La pieza está repleta de claves que permiten entender algunos aspectos de la vida y la obra de Turing. Una de esas claves es el momento en el que el matemático habla sobre su mejor, y tal vez único, amigo Cristopher Morcom. La temprana pérdida de este amor platónico de la adolescencia obsesionará a Turing durante toda su vida y condicionará su trabajo: PAT: ¿Quién era Chris? TURING: Christopher era un amigo mío en Sherborne PAT: Es evidente que a tu madre le gustaba. TURING: Si. (Pausa. La irritación va desapareciendo.) Si, era un chico extraordinario. Muy inteligente. Muy perspicaz. Muy maduro para su edad. Hacía que todos los demás pareciesen tan normales. Fue una de esas intensas amistades que sólo ocurren cuando eres joven. Adoraba el suelo que pisaba. Pat lo mira; él parece ansioso por evitar su mirada. PAT: ¿Os mantuvisteis en contacto? TURING: Murió. (Breve pausa.) Tuvo tuberculosis cuando era un niño. Yo no lo sabía. Nunca me lo dijo. Nunca se recuperó del todo. Se puso enfermo en el colegio. Estábamos todos durmiendo. A la mañana siguiente oí que lo habían llevado apresuradamente al hospital. Murió seis días después. El jueves trece de febrero de mil novecientos treinta. Quedé destrozado. Pausa. Turing sorbe su bebida de frutas. PAT: Pobre Alan. Turing la mira; un tímido titubeo antes de hablar. TURING: Sentí... Sentí que era yo quien debía haber muerto y no él; y que la única razón para seguir viviendo era que yo debía conseguir algo que Christopher hubiese hecho. (Breve pausa.) A menudo pensaba... después de su muerte, casi creía que él estaba todavía conmigo en espíritu y que podía ayudarme. (Una sonrisa irónica.) Por eso, creo yo, mi madre tenía la impresión de que yo era devotamente religioso. Nada de eso. Estaba obsesionado con la idea, con la cuestión, de si la mente de Christopher podía o no existir sin su cuerpo. Fue una obsesión que permaneció conmigo durante muchos años. ¿Qué son los procesos mentales? ¿Pueden producirse en algo que no sea un cerebro vivo? En cierto modo, en realidad, muchos de los problemas que he tratado de resolver en mi trabajo llevan directamente de vuelta a Christopher. (Sonríe.) ¿No crees que le divertiría? PAT: Creo que le agradaría. TURING: Yo también lo espero. Como dijimos anteriormente, Breaking the Code comienza la tarde en la que Turing presenta la denuncia por robo y comparte con la policía sus sospechas sobre quien puede ser el autor del mismo, tratando de dejar al margen del asunto a Ron. La policía descubrió finalmente esta relación y Alan Turing fue juzgado y condenado. La pena eran dos años de prisión (una humillación pública que implicaba la interrupción de sus investigaciones) o, alternativamente, libertad condicional si accedía a recibir durante un año una terapia de estrógenos. Turing escogió el segundo castigo que, finalmente, no resultó menos humillante: le dejó impotente, le crecieron los pechos y le sometió a una dura prueba emocional. Por añadidura, su relación con los servicios secretos se complicó extremadamente, su habilitación de seguridad (security clearance) fue revocada y sus viajes, visitas y amistades sometidas a un severo escrutinio. El 8 de junio de 1954, su empleada le encontró muerto en la cama. Había fallecido el día anterior envenenado con cianuro. Una manzana a medio comer estaba en la mesilla. El veredicto oficial fue el de muerte por suicidio. Pero, ¿qué impulsó a Turing a suicidarse? Whitemore cierra la obra con el siguiente soliloquio: TURING: Lo que se necesita es la capacidad de considerar seriamente las ideas y seguir adelante con sus conclusiones lógicas por perturbadoras que sean. Así pues, ¿puede la mente existir sin el cuerpo? ¿Pueden darse procesos mentales en algo que no sea un cerebro vivo? ¿Cómo haremos para responder satisfactoriamente a esta pregunta? ¿Es posible responderla? ¿O es, sencillamente, un eterno Entscheidungsproblem? Indecidible por siempre... (Pausa. Después animadamente.) Como hombre práctico a la vez que teórico, tiendo a buscar soluciones prácticas; y para este caso concreto es, a saber, deshacerse del cuerpo y liberar lo que queda. Una mente. O la nada. (Saca una manzana y un bote pequeño.) Aquí tengo una manzana corriente: roja y madura e inglesa. Y aquí... un bote que contiene cianuro de potasio. (El fantasma de una sonrisa.) Nada podría ser más fácil, ¿verdad? (Introduce la manzana en el cianuro de potasio y acerca la fruta a sus labios.) Sumérjase la manzana, que la poción de la muerte dormida la impregne bien. La última frase (tanto el original “Dip the apple in the brew, let the sleeping death seep through”, como la traducción) está extraída literalmente de la película de Walt Disney Blancanieves y los siete enanitos, estrenada en 1937, y que Turing admiraba. Las matemáticas de Turing en la obra [...] Una obra de teatro puede tener éxito sin necesidad de renunciar a nada y sin tener que pedirles a las personas del público que dejen sus cerebros junto a sus sombreros en el guardarropa cuando entren en el teatro. Hugh Whitemore Cuenta Hugh Whitemore que, poco antes del estreno, Sir Derek Jacobi entró en pánico al temer que las numerosas y prolijas explicaciones matemáticas contenidas en la pieza pudiesen aburrir a la audiencia y arruinar la representación. La reacción del público fue la contraria, pues Jacobi consiguió transmitir la pasión que un matemático siente, y la pasión con la que un matemático habla, de su trabajo. Ciertamente, Whitemore realizó un excelente trabajo de documentación matemática y no dudó en introducir en la obra, con notable profundidad, las reflexiones científicas y filosóficas necesarias para poner en contexto las contribuciones científicas de Turing. Presentaremos, a continuación, una selección de estos brillantes momentos, agrupados en cuatro bloques correspondientes a las cuatro principales aportaciones profesionales de Turing: la máquina universal de Turing, el descifrado del código Enigma, la inteligencia artificial y la morfogénesis. La máquina universal de Turing En 1935, Turing queda fascinado por el denominado Entscheidungsproblem (problema de la decisión) propuesto por Hilbert, aún sin resolver: ¿Existe un método o proceso que permita decidir si una proposición matemática dada es o no demostrable? En 1936, publica On Computable Numbers with an Application to the Entscheidungsproblem. En este artículo se vale de los conceptos de “número computable”, “máquina computadora” y “máquina universal” para demostrar, tal y como explica a Knox en la quinta escena del primer acto, que dicho problema no tiene solución: KNOX: […] Me han proporcionado algunos detalles de su trabajo, señor Turing, la mayor parte de los cuales, para serle sincero, me han resultado totalmente incomprensibles. TURING: No me sorprende en absoluto. KNOX: Se me daban bien las matemáticas cuando era joven pero esto es... bueno, desconcertante. (Estudia el informe.) Por ejemplo... esto de aquí: “Sobre Números Computables con una aplicación al Ent-scheid-ungs-problem”. (Levanta la cabeza y mira a Turing.) Quizás podría decirme algo al respecto. TURING: ¿Qué quiere que le diga? KNOX: Bueno, cualquier cosa... una explicación en pocas palabras... en términos generales. TURING: ¿Una explicación en pocas palabras? KNOX: Sí. TURING: ¿En términos generales? KNOX: Si fuese posible. TURING: Trata de lo cierto y lo falso. En términos generales. Es un artículo técnico de lógica matemática, pero también trata de la dificultad de discernir entre lo cierto y lo falso. (Una breve pausa.) La gente piensa -la mayoría de la gente piensa- que en matemáticas siempre sabemos lo que es cierto y lo que es falso. Pues no. Ya no. Este problema ha ocupado a los matemáticos durante cuarenta o cincuenta años. ¿Cómo decidir qué es cierto y qué falso? Bertrand Russell escribió un libro inmenso sobre el asunto: “Principia Mathematica”. Su idea consistía en descomponer los conceptos matemáticos y los razonamientos en pequeños elementos para luego probar que estos podían deducirse de la lógica pura; pero no resultó del todo bien. Después de muchos años de trabajo intenso, lo único que sacó en limpio fue mostrar que es increíblemente difícil hacer algo semejante. Sin embargo fue un libro importantísimo. Importante e influyente. Influyó tanto a David Hilbert como a Kurt Gödel. (Una breve digresión.) Se parece bastante a lo que los físicos denominan dividir el átomo. Del mismo modo que el análisis del átomo ha conducido al descubrimiento de una nueva física, así también el intento de analizar estos átomos matemáticos ha llevado a un nuevo tipo de matemáticas. (Retoma el hilo principal de su explicación.) Hilbert llevó el problema a un nivel más avanzado. Imagino que su nombre no le dirá gran cosa -si es que le suena de algo- bueno, qué le vamos a hacer, así funciona el mundo; la gente nunca oye hablar de los matemáticos verdaderamente grandes. Hilbert abordó el problema desde una perspectiva totalmente diferente y propuso que cualquier sistema fundamental para las matemáticas que pudiésemos idear -como el que Russell estaba intentando obtener- debería satisfacer tres requerimientos básicos: consistencia, completitud y decidibilidad. La consistencia significa que nunca te encontrarás con contradicciones en tu propio sistema; dicho de otro modo, si sigues las reglas de tu sistema nunca acabarás demostrando que dos y dos suman cinco. La completitud implica que si una afirmación es verdadera entonces debe existir alguna forma de demostrarla siguiendo las reglas de tu sistema. Y la decidibilidad exige que exista algún método, algún procedimiento o técnica preciso, que aplicado a cualquier afirmación matemática dada permita decidir si esa afirmación es o no demostrable. Hilbert creyó que imponer este conjunto de requerimientos era algo muy razonable; pero en el plazo de unos pocos años Kurt Gödel demostró que ningún sistema para las matemáticas podía ser a la vez consistente y completo. Lo consiguió construyendo una afirmación matemática que decía, de hecho: “Esta afirmación no puede ser demostrada”. Una paradoja clásica. “Esta afirmación no puede ser demostrada”. Bien, o se puede o no se puede. Si pudiese ser demostrada tenemos una contradicción, y el sistema es inconsistente. Si no pudiese ser demostrada entonces la afirmación es verdadera, pero no puede demostrarse, lo que implica que el sistema es incompleto. Así pues, las matemáticas o bien son inconsistentes o bien son incompletas. Es un teorema hermoso, realmente hermoso. Creo que el teorema de Gödel es la cosa más hermosa que conozco. Sin embargo la cuestión de la decidibilidad todavía no estaba resuelta. Como dije, Hilbert pensaba que tenía que existir un método único y perfectamente definido para decidir si una afirmación matemática era o no demostrable. Le llamó el problema de la decisión. El Entscheidungsproblem. En mi artículo “On Computable Numbers” traté de demostrar que no puede haber un único método que sirva para todas las cuestiones. Resolver problemas matemáticos requiere un aprovisionamiento infinito de nuevas ideas. Probarlo fue, naturalmente, una tarea monumental. Tenía que examinar la demostrabilidad de todas las afirmaciones matemáticas, pasadas, presentes y futuras. ¿Cómo diablos se podía hacer? Finalmente una palabra me dio la pista. La gente había estado hablando de la posibilidad de un método mecánico, un método que pudiese aplicarse mecánicamente para resolver problemas de matemáticas sin necesidad de la intervención humana o del ingenio. ¡Una máquina!, esa fue la palabra crucial. Concebí la idea de una máquina, una máquina de Turing, capaz de interpretar símbolos matemáticos, leerlos si lo prefiere, leer una proposición matemática y dar un veredicto acerca de si esa afirmación es o no demostrable. Con este concepto fui capaz de demostrar que Hilbert estaba equivocado. Mi idea funcionó. KNOX: ¿Construyó de hecho la máquina? TURING: No, no... Era una máquina de la imaginación, como los experimentos mentales de Einstein. Construirla carecía de importancia; después de todo, la idea era muy clara. KNOX: Sí, ya veo; bueno, no, pero sí veo algo... eso creo. (Mira a Turing.) Discúlpeme por hacerle una pregunta estúpida e ingenua... pero, ¿cuál es el objeto de idear una máquina que no puede construirse para probar que hay ciertas afirmaciones matemáticas que no se pueden probar? ¿Todo esto tiene algún valor práctico? TURING: Bien, tal vez. En mi artículo “On Computable Numbers” explico como un tipo especial de máquina de Turing, la denominada Máquina Universal, puede ocuparse de cualquier proceso que pueda describirse con símbolos. De hecho, creo firmemente que podría ejecutar cualquier proceso mental. KNOX: (Una leve sonrisa.) La originalidad de su pensamiento es ciertamente admirable; y estoy seguro de que usted se encargará de demostrar que puede ser un miembro de valor incalculable para nuestro equipo, grupo o como quiera usted denominarlo. (Cierra el informe dejando algunos papeles diseminados por la mesa.) Si todo está en orden, nos gustaría que empezase a trabajar cuanto antes. TURING: Desde luego. Enigma Las fuerzas militares alemanas utilizaron, sobre todo durante la Segunda Guerra Mundial, una máquina de cifrado denominada Enigma, originalmente creada para uso comercial por el ingeniero alemán Arthur Scherbius. Los primeros intentos para romper el código de Enigma tuvieron lugar en Polonia, a principios de los años treinta. La información obtenida por el matemático Marian Rejewski y sus colegas permitió a las fuerzas aliadas continuar el trabajo en Francia y Gran Bretaña, donde finalmente logran terminar la tarea y, con ello, adelantar el fin de la Segunda Guerra Mundial. Una de las máquinas Enigma alemana Alan Turin trabajó para el Government Code and Cypher School, en Bletchley Park, en diversos problemas de criptoanálisis dirigidos fundamentalmente a descifrar el sistema de codificación de los mensajes secretos de los nazis. Junto con su equipo, construyeron una máquina, la Bombe, que a partir de finales de 1940 era capaz de vulnerar sistemáticamente los mensajes de la Luftwaffe. Por sus servicios durante la guerra Turing fue condecorado, en 1945, con la prestigiosa Order of the British Empire (Orden del Imperio Británico), aunque sus investigaciones y trabajos permanecieron clasificados hasta la década de los 90. En la obra, durante su primer encuentro con Pat, ésta le describe el funcionamiento de Enigma y el “problema básico” al que se enfrentan: Acto 1. Escena 5 KNOX: Vayamos al grano, este endiablado código es una parte vital del plan de guerra nazi... vital. Lo usa la infantería, también la Luftwaffe y, quizás lo más importante, también los U-boat. Y si los U-boat consiguen el control del Atlántico Norte nuestros navíos mercantes no tendrán ninguna oportunidad. Nos matarán de hambre. Por tanto... Enigma tiene que ser vulnerado. De alguna manera. Prioridad absoluta. TURING: ¿De qué tipo de código estamos hablando? Knox está reuniendo los papeles extendidos y colocándolos de nuevo en la carpeta. PAT: Mecánico. KNOX: Lo que indudablemente coloca la pelota en su terreno. Pero lo primero es lo primero. Vuelva a Cambridge. Haga sus maletas. El lunes por la mañana Pat le llevará a dar una vuelta por los alrededores. (Coge el informe y se va hacia la puerta.) El GCCS eligió Bletchley por estar equidistante entre Oxford y Cambridge. He de advertirle de que la inesperada afluencia de académicos e intelectuales ha reducido drásticamente los recursos locales. Comprobará que es difícil hacerse con un ejemplar del Times... o conseguir tabaco de pipa. Knox se marcha. Pat le sigue hasta la puerta. PAT: Le veré el lunes. TURING: Espere, eh... ¿Podría usted decirme... en qué sentido es mecánico Enigma? PAT: Pues, el código lo crea una máquina. Se parece a una máquina de escribir. Detrás del teclado hay tres rotores. Las letras del alfabeto se distribuyen en círculo alrededor de cada rotor, y detrás de los rotores hay un tablero de visualización. Si el operador presiona una tecla, digamos la letra “A”, con los rotores en una posición determinada, se establece la conexión con, por ejemplo, la letra “D” y una bombillita se ilumina en el tablero sobre la letra “D”. TURING: El carácter alfabético “A” se codifica como “D”. PAT: Sí... con los rotores en esa posición determinada. Entonces el primer rotor se mueve. Presionar de nuevo “A” puede producir ahora una “P” o una “H” en el tablero de visualización. Cuando el rotor haya dado una vuelta completa el segundo rotor se mueve del mismo modo, y después el tercero. Es una máquina polialfabética con veintiséis por veintiséis por veintiséis disposiciones posibles. TURING: Diecisiete mil quinientas setenta y seis. No es una cifra tan gigantesca. PAT: No, es cierto. Un análisis a mano nos conduciría finalmente a la colocación correcta, con un poco de paciencia, pero llevaría varios días y cambian la disposición cada día. Los alemanes utilizan un manual de códigos para indicar la disposición, y no hace falta decir que no tenemos ninguno. Pero al menos sabemos como funciona y hemos podido construir una máquina que simula el funcionamiento lógico, simétrico y reversible de Enigma. TURING: El emisor y el receptor utilizan el mismo equipo. PAT: Sí. El problema radica en que los alemanes ya han hecho de Enigma algo más elaborado, lo que significa que nuestra máquina se ha quedado prácticamente obsoleta. Sus operadores ahora están equipados con una colección de cinco rotores de los cuales tres cualesquiera pueden usarse en cualquier orden cuando se inicia Enigma. TURING: ¡Sesenta combinaciones posibles! ¡Diecisiete mil quinientas setenta y seis por sesenta! PAT: Un millón cincuenta y cuatro mil quinientas sesenta. Han añadido también un sistema de clavijas al aparato, como una centralita de teléfonos. Conectan un par de letras con las clavijas y éstas se intercambian antes de ser enviadas a los rotores... y después. De modo que hay literalmente cientos de millones de permutaciones posibles, y éste es el problema que tenemos que resolver... el problema básico me refiero; la Enigma que utilizan en los U-boat es incluso más complicada. (Sonríe.) Bien, le veré el lunes. TURING: Sí... ¡eh!, perfecto. Esperaré ansioso. Inteligencia artificial Probablemente el artículo más conocido de Alan Turing sea Computing Machinery and Intelligence, que vio la luz en 1950 en la revista filosófica Mind. En él expone sus innovadoras ideas acerca de lo que hoy en día se conoce como inteligencia artificial. En la primera escena del segundo acto, durante un discurso pronunciado en Sherborne, el propio Turing nos avanza el contenido del mismo: Turing entra y se dirige a la audiencia. TURING: Señor Director, miembros del profesorado, muchachos. Quiero que imaginen un tazón de gachas. Un tazón de gachas frías. Cuando yo era un muchacho aquí en Sherborne, hace unos veinticinco años, siempre desayunábamos gachas, todos los días, fuese invierno o verano, o eso parecía. Y por alguna incomprensible razón, cuando las gachas llegaban a mí, siempre estaban frías. Mi amigo Christopher Morcom era más afotunado; le gustaban sus gachas y las comía con ganas. Pero yo me sentaba allí cada mañana mirando con abatimiento mi tazón de gachas; una masa gris y blanda y arrugada por encima. Deben estar preguntándose por qué les estoy contando esto. Su director me pidió que les hablase sobre mi trabajo con las computadoras y aquí me tienen describiendo tazones de gachas frías. Bien, hay una muy buena razón para ello y se la daré en un momento. Me atrevo a decir que la palabra computadora es desconocida para muchos de ustedes. Lo es para mucha gente. Pero si hubiese dicho Cerebro Electrónico, ¡ah!, eso es mucho más interesante. Y si hubiese preguntado ¿puede pensar una máquina?, estoy seguro de que todos ustedes estarían intrigados por conocer la respuesta. Pero antes de que podamos considerar adecuadamente esta pregunta debo contarles algo sobre las computadoras y el modo en como trabajan. Antes de nada, permítanme comparar una computadora con un cerebro humano, lo que nos lleva de vuelta a nuestro tazón de gachas, porque eso es a lo que un cerebro humano se parece: el mismo color, la misma textura. Una computadora es muy diferente. Es grande, del tamaño de varios armarios amplios juntos; es dura y metálica por fuera, increíblemente complicada por dentro, con muchas válvulas y condensadores y demás partes; ni remotamente parecido a las gachas frías, pero eso da igual. Lo que importa es el modelo lógico del cerebro, no la sustancia gris de la que esté hecho. Lo mismo ocurre con una computadora. Lo que importa es su lógica. Y la lógica de una computadora es realmente muy simple. Todo lo que hace es leer una lista de instrucciones, nosotros lo llamamos un programa, y llevarlas a cabo metódicamente. Y lo único que ustedes tienen que hacer es escribir exactamente qué es lo que quieren que haga, en un lenguaje que la computadora entienda. Sé que esto puede parecer una teoría extravagante, pero les aseguro que no lo es. La computadora que hemos construido en la Universidad de Manchester lleva trabajando cuatro años, desde 1949, y en este tiempo ha realizado con éxito una gran variedad de tareas. La gente supone que las computadoras son sólo máquinas de calcular admirables. No es así. Es verdad que las computadoras se utilizan con frecuencia para hacer cálculos porque calculan con mucha rapidez, pero los programas para computadoras no tienen por que tener nada que ver con números. Un colega mío consiguió que nuestra computadora canturreara una tonadilla. Una vez cantó “Jingle Bells''. ¡Incluso logramos que escribiera cartas de amor! Bueno, hacer cálculos, canturrear canciones, escribir cartas de amor. Todas son tareas muy diferentes, pero todas fueron realizadas por una misma máquina. Y éste es un hecho extremadamente importante acerca de las computadoras. Una computadora es una máquina universal y yo he demostrado que es capaz de realizar cualquier tarea que pueda ser descrita mediante símbolos. Iré aún más allá. Opino que una computadora es capaz de realizar cualquier tarea que el cerebro humano pueda llevar a cabo. Cualquier tarea. Ahora podrían concluir, a partir de lo que he dicho, que una computadora sólo puede hacer aquello que se le ha dicho que haga. Bien, es verdad que al principio sería de esa manera, pero solamente al principio. Se puede hacer que una computadora aprenda. Imaginen, por ejemplo, una máquina programada para jugar al ajedrez. Podría descubrir por sí misma, a la luz de su propia experiencia, cuáles son las estrategias ganadoras y cuáles las perdedoras, y prescindir entonces de las perdedoras. Pasado un tiempo no podríamos saber qué instrucciones estaría obedeciendo en realidad; así que no sería justo decir que le hemos ordenado lo que tiene que hacer. Sería como darle el mérito al maestro por cualquier idea original mostrada por el pupilo. Surge, así, la pregunta de si deberíamos o no afirmar que una tal máquina es inteligente. Yo diría que sí deberíamos. Me gustaría mucho poder educar a una computadora, en parte mediante entrenamiento directo, en parte dejándole averiguar cosas por sí misma. Todavía no sabemos cómo hacerlo, pero creo que lo lograremos en un futuro muy próximo, y estoy seguro de que en el año dos mil, será del todo correcto hablar de una máquina inteligente o decir que una computadora está pensando. Por supuesto, no todo el mundo está de acuerdo con esta opinión, ni mucho menos. Hay quienes dicen que pensar es una función del alma inmortal del hombre y, puesto que una máquina no tiene alma, no puede pensar. Sin duda es una opinión blasfema, ¿quiénes somos nosotros para negar la posibilidad de que Dios desee conceder un alma a una máquina? Está, además, la que yo llamo la objeción del “avestruz''. “Las consecuencias de que las máquinas piensen son demasiado horribles'', dice la gente, “algo así nunca ocurrirá''. Normalmente, este es el punto de vista expresado por los intelectuales. Son los que más tienen que perder. Otra objeción, y es una que escucho con mucha frecuencia, es que no podrá decirse que una máquina piensa hasta que no escriba un soneto o componga un concierto, o sienta dolor cuando sus válvulas se fundan, o satisfacción cuando la halaguen, o se sienta enfadada o abatida cuando no consiga lo que quiere. Bien, se podría, por supuesto, responder que sólo unos pocos seres humanos privilegiados son capaces de escribir un soneto o componer un concierto, y yo no veo, en absoluto, ninguna razón por la que una máquina no pueda ser amable, ingeniosa, hermosa, amigable, tener sentido del humor, distinguir entre el bien y el mal, cometer errores, enamorarse, o saborear fresas con nata. Por el momento, tales consideraciones no deberían preocuparnos; pero sería bastante interesante, ¿no creen? si, un día, pudiésemos averiguar qué es lo que una máquina puede sentir. Morfogénesis ¿Es posible construir modelos matemáticos para los procesos de crecimiento biológico? La morfogénesis cautivó la atención de Turing, especialmente durante los últimos años de su vida, publicando, en 1952, The chemical basis of morphogenesis. Su interés por comprender la aparición de los números de Fibonacci en las estructuras vegetales aparece reflejado en algunos momentos de la obra: TURING: Mira esto. Es una piña. PAT: Ya veo que es una piña. TURING: Cógela. Mírala. Ella la coge. Te diré algo extraordinario sobre ella. PAT: A mí me parece bastante ordinaria. TURING: Define qué entendemos por una sucesión de Fibonacci. PAT: Una sucesión de Fibonacci es una sucesión de números en la que cada uno es la suma de los dos anteriores; empiezas con uno, entonces uno más uno es dos, uno y dos, tres; tres y dos, cinco; tres y cinco, ocho... TURING: (Continuando la sucesión.) Cinco y ocho, trece; y así sucesivamente. Muy bien, un diez. Ahora mira la piña. Mira el patrón de las brácteas... las hojas. Síguelas en espiral alrededor de la piña: ocho líneas girando hacia la izquierda, trece girando hacia la derecha. Los números siempre proceden de la sucesión de Fibonacci. PAT: (Examinando la piña con detalle.) ¿Siempre...? TURING: Siempre. Y no son sólo las piñas, los pétalos de la mayoría de las flores crecen de la misma forma. ¿No es increíble? PAT: Sí, lo es. TURING: Lo que nos lleva a la vieja pregunta: ¿es Dios un matemático? Pasada la guerra y el juicio, Turing se reencuentra con Pat y vuelven sobre el tema: PAT: ¿Qué tipo de trabajo estás haciendo? TURING: Estoy en la Universidad de Manchester. PAT: Sí, lo sé. TURING: (Animado.) Hemos construído una computadora digital. ¿Recuerdas mis teorías sobre una máquina universal? Bien, lo hemos hecho, hemos fabricado una, y, en realidad, todo es gracias a la guerra. Todo gracias al trabajo que hicimos en Bletchley. PAT: ¿Por qué? TURING: La electrónica. Hasta que lo hicimos en Bletchley, nadie había pensado en usar la electrónica para llevar a cabo operaciones lógicas. Y era justo lo que yo necesitaba, porque una computadora tendría que ejecutar cientos de miles de operaciones lógicas cada segundo. La electrónica nos dio la velocidad necesaria, y nos enfrentó con el problema número dos: la memoria. Una computadora debe guardar una enorme colección de instrucciones y de información en su memoria… ¿Cómo lograrlo? Al principio, creamos una memoria utilizando una línea de retardo acústica. PAT: ¿Usando ondas sonoras? TURING: (Asiente.) Una onda sonora atraviesa unos centímetros de tubo en una milésima de segundo; así pues, se podría decir que, durante ese tiempo, el tubo está almacenando la onda sonora. PAT: Los de radares utilizaron esa idea durante la guerra. TURING: Sí... les birlamos la idea. Usamos una línea de retardo para almacenar las pulsaciones de una computadora electrónica. Pero ahora, en Manchester, estamos utilizando pequeñas pantallas de televisión, lo que significa que puedes ver realmente los números y las instrucciones almacenados en la máquina. Puedes verlos en el monitor: pequeños puntos brillantes. PAT: Qué fascinante. Debe de ser verdaderamente fascinante. TURING: Bien, lo sería si la organización no fuese tan rígida. Todo está tan compartimentado. O eres matemático o eres ingeniero; no puedes ser ambas cosas. PAT: A diferencia de Blechtley. TURING: Completamente diferente de Bletchley, es una pena. Pero por lo menos puedo usar la computadora para mi propio trabajo. Estoy cada vez más interesado en morfogénesis. PAT: (Sorprendida.) ¿Embriología? TURING: ¿Cómo toman forma los seres vivos? ¿Cómo saben el modo en el que deben crecer? Tengo una idea que podría explicarlo, y estoy utilizando la computadora para simular los patrones de crecimiento de plantas y animales. Como el modelo de Fibonacci en una piña. ¿Recuerdas cuando te hablé de eso? PAT: Sí. TURING: Una tarde de verano, cuando pensabas que estabas enamorada de mí. PAT: Fui a la iglesia con tu madre y lloré durante todo el sermón. Turing la mira. Alarga la mano, tocando suavemente la de ella. Análisis final Aunque sólo fuese por servir para acercar la figura, el trabajo y la tragedia personal del extraordinario matemático que fue Alan M. Turing, Breaking the Code merecería una mención especial. Pero Hugh Whitemore ha sido más ambicioso. Las distintas interpretaciones del propio título de la obra Breaking the Code (literalmente, “Rompiendo el código”) nos dan una idea de los diversos planos de significado que el autor ha intentado explorar. Ciertamente, Turing rompió el código nazi de las máquinas Enigma, realizando de este modo una contribución, en opinión de Winston Churchill, absolutamente vital a la victoria aliada en la Batalla del Atlántico y, por ende, a la definitiva derrota nazi. Pero Turing también vulneró el código de la moral sexual imperante con su abierta homosexualidad. Ello le llevó a infringir el código de la ley. Más aún, como apunta Stephen Hawking, Turing transgredió un código social muy arraigado en la sociedad británica de la época: “Lo peor, quizá, fue que traspasara la jerarquía social y que intimara con alguien de la clase obrera”. Y, finalmente, Turing contravino el código ético-religioso al suicidarse (su madre, ferviente creyente, mantuvo siempre la teoría de la muerte accidental). El contraste entre el Turing inocente, vulnerable e ingenuo en sus asuntos personales frente al genio científico permite a Whitemore indagar en el conflicto entre pensamiento y sentimiento. Knox cita a Wittgenstein: “Sentimos que incluso si todas las preguntas de la ciencia llegaran a ser respondidas, los problemas de la vida real seguirían sin quedar resueltos”. Whitemore utiliza las matemáticas en Breaking the Code como una metáfora. En su artículo Computing Machinery and Intelligence, Turing defendió la idea de que el cerebro humano era, básicamente, una computadora digital y que, por tanto, una máquina computadora podría, en un futuro tal vez no muy lejano, imitarlo y “pensar”. Pero en Breaking the Code algunos humanos se comportan como máquinas, siguiendo a rajatabla su “programa”: sea éste la ley, como para el sargento Ross, o las normas de seguridad nacional, como para el agente de inteligencia Smith. El trabajo de Turing en On Computable Numbers estableció un límite para el poder de las matemáticas, de las computadoras digitales, para decidir sobre la verdad o falsedad de una proposición. Y la obra rebosa de referencias al dilema moral entre la verdad y la mentira. Turing afirma: “Es un artículo técnico de lógica matemática, pero también trata de la dificultad de discernir entre lo cierto y lo falso”. Christopher Morcom es tajante: “No debió haber mentido, fue un grave error. Tengo las ideas muy claras acerca de lo que es bueno y lo que es malo, y mentir es siempre malo”. Turing inicialmente miente a la policía, aunque luego cuenta la verdad. Ron miente a Turing acerca del robo del dinero en la cartera. El agente del servicio secreto miente a Turing. Knox regaña a Turing por su indiscreción sexual pero le oculta su propia homosexualidad porque, en su opinión, decir la verdad puede ser muy doloroso para los otros: “Cuando usted revela su naturaleza sexual, no puede ignorar el efecto que inevitablemente tendrá en las personas”. ¿Codificar un mensaje no es simplemente ocultar la verdad? No obstante, como sentencia Turing: “A la larga, no es descifrar el código lo que importa... es el camino que tomas después. Ése es el verdadero problema”. Referencias [1] Whitemore, Hugh. Breaking the Code: A play, London. Samuel French (1988). [2] Hodges, Andrew. Alan Turing: The Enigma, London. Vintage (1992). [3] Wise, Herbert. Breaking the Code. Adaptación televisiva disponible en cinta de vídeo. (1997). [4] Whitemore, Hugh. Adapting history to drama: a dramatist's experience. En http://www.nba.nbi.dk/files/sem/symp/whitemore.html [5] http://www.turing.org.uk/turing/scrapbook/index.html The Alan Turing Internet Scrapbook, página web actualizada por Andrew Hodges. [6] Turing, Alan M., On computable numbers, with an application to the Entscheidungsproblem, Proc. Lond. Math. Soc. (2) 42. 230-265 (1936). [7] Turing, Alan M., Computing machinery and intelligence, Mind 49. 433-460 (1950). [8] Turing, Alan M., The chemical basis of morphogenesis, Phil. Trans. R. Soc. London B 237. 37-72 (1952).

Miércoles, 02 de Marzo de 2011 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

737. 71. Ciencia y ciencia ficción

¿Puede haber vida inteligente en la superficie de una estre­lla de neutrones? ¿Podemos llegar a estrellas que distan varios años luz de nuestro sistema solar? ¿Existe el monopolo magnético? ¿Es posible enviar un mensaje al pasado modulando un haz de taquiones? ¿Puede desarrollarse una inteligencia artificial con la personalidad de Sigmund Freud o de Albert Einstein? Por lo que hoy sabemos, todas estas preguntas tienen la misma respuesta: un categórico no. Pero el hecho de que la ciencia nos niegue estas posibili­dades no impide que sea factible especular sobre ellas u otras parecidas. Ésta es una de las principales funciones y atractivos de la ciencia ficción que, entre otros, tiene por objeto especular con amenidad sobre "la respuesta humana a los cambios en el nivel de la ciencia y de la tecnología" según opinaba Isaac Asimov, conocido divulgador científico y famoso autor de ciencia ficción. La ciencia ficción empezó a hacerse popular en los años cuarenta y cincuenta precisamente con autores, hoy ya clásicos, que disponían de unos sólidos conocimientos científicos: Isaac Asimov era doctor en química y fue profesor universitario, Arthur C. Clar­ke ha sido uno de los pio­neros en los estudios de astronáutica y fue el primero en proponer el uso de satélites geoesta­cionarios como nudos de comunicaciones, Robert A. Heinlein fue ingeniero naval, etc. La lista podría ser mucho más lar­ga y puede incluir a nombres que unen en una sola persona las capacidades del científico, del divulgador y del novelista de ciencia ficción, como ocurre con el ya citados Asimov y Clarke, o con Carl Sagan, Gregory Benford y un largo etcétera. En realidad, hay muchos autores de ciencia ficción que dis­ponen de sólidos conocimientos científicos que utilizan amp­liamente en sus narraciones. Se trata de especialistas como Gregory Benford, David Brin, Robert L. Forward, Vernor Vinge, o Charles Sheffield y tantos otros que jus­tifican con su saber la se­rie­dad del carácter especu­la­ti­vo de esta variante (llamada habitualmente "hard") de la ciencia ficción centrada en la ciencia y la tecnología. Amenidad en sus aventuras e inteligencia en sus especulaciones, garantizan el interés de la ciencia ficción como el género narrativo más característico de los nacidos en el siglo XX, y el que más ha hecho por acercarnos a algunos de los futuros que nos esperan. La ciencia ficción Distinta de la divulgación científica o popularización de la ciencia, ha de resultar evi­dente que la ciencia ficción es, básicamente, un género o mejor una temática genérica que encuentra sus mejores resultados en vehícu­los co­mo la literatura, el cine, la televisión, el cómic o las di­ver­sas artes narrativas. La ciencia ficción es, antes que nada, arte y, co­mo tal, parece pertenecer a un mundo distinto al que consideramos pro­pio de la ciencia. Pero la ciencia ficción, como temática narrativa, disfruta de dos carac­te­rís­ticas propias que la hacen muy especial y que conviene recordar. Por una parte, la ciencia ficción es una narrativa que nos presenta especulaciones arriesgadas y, muy a menudo, francamente inten­cionadas que nos hacen meditar sobre nuestro mundo y nuestra organi­zación social o sobre los efectos y las consecuencias de la ciencia y la tec­nología en las sociedades que las utilizan. Se trata aquí de la vertiente reflexiva de la ciencia ficción, la que a menudo ha servido para caracterizar a la ciencia ficción escrita como una verdadera "literatura de ideas". Se maneja para ello el llamado "condicional contrafáctico", que consiste en preguntarse, ¿Qué sucedería si...? en torno a hipótesis que se con­sideran ex­­tra­ordinarias o todavía demasiado prematuras para que pue­dan pre­sen­­tarse en el mun­do real y cotidiano. Pero, por otra parte, la ciencia ficción ofrece unas posibili­da­des de maravilla y de admiración casi inagotables. Los nuevos mundos y seres, las nuevas culturas y civilizaciones, las nuevas posibili­da­des de la ciencia y de la tecnología, nos abren los ojos de la men­te a un nuevo universo que contemplamos maravillados y sorprendi­dos, adentrán­do­nos en nuevos mundos de posibilidades. Eso es lo que per­mite que los especialistas hablen de un importante "sentido de lo maravilloso" como uno de los elementos más característicos y atractivos de la cien­cia ficción (un elemento, conviene decirlo, que comparte con otras variantes exitosas de la narrativa: la novela histórica, los libros de viajes, etc.). Enseñar y divulgar la ciencia con la ayuda de la ciencia ficción Son precisamente esas maravillas de la ciencia ficción las que atraen, como no podía ser menos, a los jóvenes que se interesan fácilmente por su temática y contenidos, encontrando en sus contactos con la ciencia ficción motivo de diversión pero también de reflexión ori­ginal y prometedora. Si a ello se añade la espectacularidad de los efectos especiales cuando la ciencia ficción se expresa en el medio cinematográfico, es fácil comprender que la idea de considerar la ciencia ficción como un material o vehículo especial­men­te adecuado en el ámbito de lo docente era una idea inevitable. Así lo percibieron, hace ya algunos años, algunos profesores particularmente ac­tivos en el ám­bito anglosajón. Tras haber sido un género ig­no­rado e incluso despreciado por el mun­do académico, la ciencia ficción ha logrado ya, por sus propios mé­ri­tos, llegar a formar par­te de los currículos de las high-schools y uni­versidades anglosajonas y, poco a poco, se incorpora también al mun­do docente de nuestro país. Aunque en un primer momento, la ciencia ficción se con­virtió en ele­men­to des­tacado en la enseñanza de la lite­ra­tura y la len­gua inglesa, también ha sido utilizada relacionándola con el im­pacto social de las diversas tecnologías y como aproximación edu­ca­ti­va a eso que Alvin Toffler ha llamado el "shock del futuro". No es éste el lugar para detallar la historia del uso docente de la ciencia ficción, pero sí comentaremos la creación en 1970 de la Scien­ce Fiction Research Association (SFRA, Asociación de Estudios so­bre la Ciencia Ficción). Formada hoy en día por casi medio millar de profesores en todo el mundo, los objetivos de la SFRA incluyen: "el estudio de la cien­cia ficción y la fantasía, mejorar la enseñanza en el aula, evaluar los nuevos li­bros y los nuevos métodos y materiales de enseñanza". Se trata, evidentemente, de utilizar la indiscutible atrac­ción que los jóvenes pueden sentir por la temática de la ciencia ficción para su uso en las aulas. El resultado de la actividad de la SFRA y otras sociedades parecidas ha sido un creciente conjunto de artículos y libros de carácter aca­dé­mico glosando los temas propios de la ciencia ficción e incluso la aparición de revistas universitarias especializadas en el género. Tras la pionera Extrapolation creada en 1959 por Thomas Clareson y edi­tada tres veces al año por la Universidad del Estado de Kent en Ohio, cabe citar Foundation iniciada por Malcom Edwards en 1972 en el Politécnico del Noreste de Londres y Science Fiction Studies fundada en 1973 por Darko Suvin y R.D. Mullen en el Departamento de Inglés de la Universi­dad Concordia en Montreal, am­bas también de periodicidad cuatrimes­tral. La idea central de estas actitudes recogía, en un primer momento, la conveniencia de uti­li­zar para la enseñanza de la lengua y lite­ra­tu­ra inglesa obras cuya temática pueda ser de mayor interés para los alum­nos que los textos uti­lizados tradicionalmente en estos me­neste­res. Resultaba mucho más fácil que los jóvenes de hoy se intere­saran antes por obras como La mano izquierda de la oscuridad (1969) de Ur­su­la K. le Guin que por, por poner un ejemplo, El mundo perdido (1667) de John Milton del cual los jóvenes del siglo XXI están, por lo me­nos, un tanto distantes... Pero también cabe el uso de la ciencia ficción para muchos otros cometidos docentes como mues­tra la simple enumera­ción de algunos cursos y publicaciones más recientes: "Cien­cia Ficción y la enseñanza de las ciencias", "Ciencia ficción en un curso de Informática y Sociedad", "Ciencia ficción social", "La enseñanza de cien­cia ficción con con­te­nido político" etc. Cabe destacar también la aparición de material pedagógico cen­tra­do en la ciencia ficción y la publicación de libros como Teaching Scien­­ce Fic­tion: Education for Tomorrow (La enseñanza de la ciencia fic­ción: edu­cación pa­ra el ma­ña­na - 1980) editado por Jack Williamson, don­de se recogen co­la­bo­raciones de muchos escritores de ciencia fic­ción y tam­bién de profesores in­te­re­sados por el tema. Como no podía ser menos, tam­bién han apare­cido ayu­das docentes como Scien­ce Fic­tion: A teacher's gui­de & resource book (Ciencia ficción: una guía pa­ra el profesor y li­bro de recursos) editada por Marshall Tymm en 1988. Este tipo de actitud respecto de la ciencia ficción y la fantasía ha llevado también a la aparición de bi­blio­te­­cas universitarias es­pe­cia­lizadas. En realidad, las mejores y más completas colecciones bi­blio­gráficas sobre ciencia ficción se encuentran hoy en día en algunas de las mejores universidades norteamericanas. Son famosas en este as­pec­to la Science Fiction Society Library del conocido Massachussets Ins­titute of Techonology (M.I.T.) de Boston, la Science Fiction Re­search Collection de la Texas A&M University, la J. Lloyd Eaton Co­llec­tion de la Universidad de California Riverside o las de las uni­ver­sidades de Siracusa, Eastern Nuevo Mexico entre otras. Y ello sin olvidar la importante Sección de Ciencia Ficción de la Biblioteca Gabriel Ferraté de la Universidad Politécnica de Cataluña en Barcelona, que dispone ya de más de 4.500 volúmenes. Aunque a algunos lectores este uso docente de la ciencia ficción pueda parecerles lejano, ya ha llegado a nuestro país y es posible re­señar también algunas iniciativas y publicaciones que utilizan la ciencia ficción como material educativo. Por ejemplo, ya en 1991, An­to­nio Ara Gonzalez, publicaba un ejemplo de sus experiencias en un ins­ti­tuto canario de enseñanza secundaria: "Sobre la utilización de cuentos de ciencia ficción co­­mo recurso pedagógico para la enseñanza de la física y otras cien­cias". Después, Pilar Bacas Leal y otros autores publicaban en 1993 en la Biblioteca Aula de la editorial AKAL su libro sobre "Físi­­ca y Ciencia Ficción". Otro ejemplo, esta vez a nivel universitario, es la actividad de los profesores Jordi José y Manuel Moreno del De­par­ta­mento de Física e Ingeniería Nuclear de la Universidad Politécnica de Cataluña (UPC) con su curso sobre física y ciencia ficción que ha generado ya dos interesantísimos libros: "Física i ciència-ficció" (1994) y "De King Kong a Einstein: la física en la ciencia ficción" (1999), sobre dicho tema. Y no sólo hay ejemplos en el caso de la física, la profesora Pilar Po­rre­dón, tras varios años experimentando con el uso de la ciencia fic­ción en el aula, ha elaborado un curso de los llamados de "créditos variables" en el Area de Ciencias Experimentales del BUP que usa re­latos de ciencia ficción para desarrollar temas de ciencias naturales. Conviene advertir que no es necesario que la ciencia ficción, ar­te y narrativa en definitiva, sea exacta y correcta en su uso de la cien­cia y de la técnica. A veces basta utilizar el evidente atractivo que los jóvenes sienten por la temática de la ciencia ficción para po­der reflexionar sobre hechos científicos y sacar enseñanzas de los mis­mos. Por poner unos ejemplos sencillos, en el curso de José y Mo­reno, resulta educativo estudiar cómo podría lo­grar­se la invisibilidad del per­so­naje de H.G. Wells tras haber visionado una secuencia de la película de James Whale de 1933. También, tras ver la famosa secuencia de King Kong subiendo al Empire State Building, se descubre (gracias a la ley cua­drado-cúbica que ya conocía Galileo) que el bueno de King Kong con sus pre­go­na­dos 15 metros de altura debía pesar unas 170 tone­la­das (casi 25 veces más que el Tiranosauro Rex, el animal más pesado que ha andado por la superficie del planeta). Seguro que King Kong ten­dría serios pro­blemas para, simplemente, andar... Pero, en cualquier caso, los alum­nos no olvidan nunca ese ejemplo ni el efecto de las leyes de es­cala o el análisis dimensional. Un puente entre dos culturas Una de las más curiosas paradojas de nuestro tiempo la expuso con cru­deza C.P.Snow en 1959 en la conferencia que recoge su hoy famoso libro Las dos culturas y la re­volución científica. Trataba del grave problema de la escisión de la cultura occidental en dos grandes bloques que podríamos etiquetar a gran­des rasgos como las ciencias y las humanidades. Snow ponía el dedo en la llaga de la estéril separación entre científicos y humanistas (como si las matemáticas o la biología, por poner sólo un par de ejemplos, fueran un descubrimiento no humano y realizado por las hormigas o los marcianos...). Snow constataba, además, la escasa interacción en­tre esos dos grupos de intelectuales. Los humanistas lo des­co­no­cen prácticamente todo de la ciencia, mientras que los científicos, decía Snow, ignoran a su vez las humanidades y, en particular, decía, la li­te­ra­tu­ra. Sintetizando, existen científicos iletrados, mientras que los hu­ma­nistas suelen considerarse cultos aún ignorando la ciencia, uno de los pilares centrales de la civilización contemporánea. Hoy como ayer, una buena manera de ayudar a cru­zar el abismo que separa la cultura humanista de la cultura cien­tí­fi­ca es el recurso a la buena ciencia ficción. Literatura y arte na­rra­tivo al fin y al cabo, la ciencia ficción viene a ser un aproximación cultural y, en definitiva, humanística al complejo mundo de la ciencia como demuestran algunas de las novelas citadas en la bibliografía. Incluso tantos años después de la advertencia de Snow, la buena ciencia ficción sigue siendo uno de los mejores medios para, poco a poco, ven­cer esa sorprendente paradoja de nuestro tiempo: dos (o muchas, si consideramos la creciente especialización científica) culturas todavía se­paradas pero que no deberían seguir estándolo. Si, como se nos dice tantas veces, el sistema educativo pretende, entre otras cosas, desarrollar nuevas metodologías para contrarrestar el apren­di­za­je repetitivo y monótono del conocimiento científico, la ciencia ficción puede ser una herramienta importante para lograrlo. Y no sólo eso. También puede ayudar para desarrollar actividades interdiscipli­nares e integradoras y fomentar la realización de trabajos de síntesis y de proyectos de investigación sugerentes, didácticos y, además, fran­camente divertidos. No es poca cosa. Para no dejar en suspenso al lector, diremos que especulaciones cómo las indicadas en el primer párrafo se encuentran precisamente en novelas como Huevo del Dragón de Robert L. Forward, Tau Zero de Poul Anderson, Artefacto y Cronopaisaje de Gregory Benford, y Pórtico de Frederik Pohl. Quot erat demostrandum...   Para leer: Sobre la vida de los científicos: COSMO, Gregory Benford, Barcelona, Ediciones B (Colección NOVA, 128), 1999. CRONOPAISAJE, Gregory Benford, Barcelona, Ediciones B (Colección NOVA, 66), 1994. Sobre nanotecnología y su aplicación al ser humano EL OTOÑO DE LAS ESTRELLAS, Miquel Barceló y Pedro Jorge Romero, Barcelona, Ediciones B (Colección NOVA, 142), 2001. TESTIMONI DE NAROM, Miquel Barceló y Pedro Jorge Romero, Lleida, Pagés Editors (Colección Ciència-ficció, 4), 2000. MARTE SE MUEVE, Greg Bear, Barcelona, Ediciones B (Colección NOVA, 79), 1995. Sobre informática, ciberespacio y realidad virtual CRIPTONOMICÓN, Neal Sthepenson, Barcelona, Ediciones B (Colección NOVA, números 148 [El código Enigma], 151 [El código Pontifex] y 154 [El código Aretusa]), 2002. CIUDAD PERMUTACIÓN, Greg Egan, Barcelona, Ediciones B (Colección NOVA, 118), 1998. NEUROMANTE, William Gibson, Barcelona, Minotauro, 1989. Sobre biotecnologías y clonación LA RADIO DE DARWIN, Greg Bear, Barcelona, Ediciones B (Colección NOVA, 144), 2001. CYTEEN, C. J. Cherryh, Barcelona, Ediciones B (Colección NOVA, números 30 [La traición], 31 [El renacer] y 32 [La vindicación]), 1990. Sobre la investigación científica y sus características OVEJA MANSA, Connie Willis, Barcelona, Ediciones B (Colección NOVA, 97), 1997. LA FIEBRE DEL HENO, Stanislaw Lem, Alianza Editorial (Colección El Libro de Bolsillo), 1987.

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738. 3. (Febrero de 2011) Tobia Ravá en la publicidad

Los publicistas echan mano de todos los aspectos de nuestra cultura, de nuestra sociedad, a la hora de crear un anuncio publicitario. Como ya hemos comentado en anteriores entregas de esta sección, las matemáticas forman parte también de la publicidad. Pero no solamente las matemáticas aparecen en los anuncios sino que casi cualquier aspecto de las matemáticas, o tema relacionado con las mismas, es utilizado en este proceso creativo. Un ejemplo pueden ser las obras de arte relacionadas con las matemáticas. En este artículo traemos un ejemplo concreto, una serie de anuncios que utilizan la obra del artista italiano Tobia Ravá (Padova, 1959), cuya obra está profundamente relacionada con los números. Tabacchi celesti, (venezia) 2010 Fuoco dello spirito, 2001 Aunque no es el objetivo de esta sección introduzcamos brevemente la obra de Tobia Ravá. El artista italiano estudió en la Escuela Internacional de Artes Gráficos de Venecia y Urbino, y después obtuvo el grado en Semiología del Arte por la Universidad de Bolonia (donde fue discípulo, entre otros, de Umberto Eco). Este artista empezó a pintar en 1971 y sus primeras exposiciones son de 1977, y desde entonces han recorrido todo el mundo (Italia, Bélgica, Croacia, Francia, Alemania, España, Brasil, Argentina, Japón o Estados Unidos). En sus obras nos encontramos en particular con iconografía hebraica y con los números indo-arábigos. Considerado, al menos por los matemáticos, como un verdadero artista “pitagórico”. Un artista que lleva hasta el extremo la máxima pitagórica de que “el número es la esencia de todas las cosas”. Recordemos que Pitágoras y los pitagóricos soñaban con poder captar la esencia del universo bajo la forma de números enteros, imaginándose que mediante los mismos podían explicarse todos los misterios del universo, de todas las cosas. En las obras de Tobia Ravà todo es número (y también símbolos hebreos). Las calles están formadas por números, los ríos, las paredes de las casas, los árboles, el suelo, el cielo, los puentes, las personas,… todo está construido por números. Es hacia el año 1996 cuando empieza a realizar cuadros de paisajes naturales, de paisajes urbanos, de interiores de casas, de mujeres,… realizados con números (y algún símbolo hebreo). Lleva esta técnica hasta el límite… Centrotrentasette-Codice del dono, 2002. Podemos disfrutar de su obra en su página web: www.tobiarava.com La obra de este artista ha sido utilizada también en la publicidad, como por ejemplo en los anuncios del año 2003 del periódico económico Valor (desarrollados por la agencia publicitaria Age.Comunicacoes de Brasil), seguramente porque en la economía los números tienen un papel muy importante, e incluso podemos decir que los números están siempre presentes en la economía, o que esta está gobernada por los números, o “que los números son la esencia de la economía” parafraseando a los pitagóricos.

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739. 46. (Febrero 2011) El Proyecto Fibonacci, de Les 7 doigts de la main

El Proyecto Fibonacci es un espectáculo de la compañía canadiense Les 7 doigts de la main, dirigida por Samuel Tétreault. Cartel de la primera residencia, México, 2007. Debajo, presentación de este proyecto Como no he tenido la suerte de ver el espectáculo, el contenido de este artículo –y las imágenes– está extraído de la página web de la compañía Les septs doigts de la main. Cartel de la tercera residencia, Montreal (Canadá), 2008 Ellos mismos presentan la obra del siguiente modo: El Projecto Fibonacci es una iniciativa de colaboración internacional motivada por la convicción de que, a través de la expresión artística, se pueden elevar puentes entre culturas, contribuir a la evolución de la conciencia humana y promover un mayor sentimiento de solidaridad. Su objetivo es la creación de un espectáculo multidisciplinar basado en la colaboración de artistas de diferentes culturas y distintas formas artísticas, con la idea de celebrar el mayor de los poderes humanos: la creatividad. El  proyecto toma su nombre de la famosa sucesión de Fibonacci, descubierta por el matemático italiano Leornado Fibonacci al principios del siglo XIII. Esta sucesión, cuya aplicación produce el Número de Oro es la inspiración que da lugar al conjunto del proyecto. Es un símbolo de la tendencia orgánica de la vida a estructurarse para crear armonía y belleza a partir de energías opuestas. Cartel de la quinta residencia, Copenhague (Dinamarca), 2009 El Projecto Fibonacci es una creación en continuo movimiento, un espectáculo en permanente evolución, realizado a partir de una serie de residencias de creación a través del mundo. Éstas se organizan en períodos de tres semanas que culminan con una serie de representaciones públicas, intentando crear en cada residencia un espectáculo transformado y único, basado en la estructura recurrente de ocho cuadros, uno para cada uno de los ocho primeros números de la sucesión de Fibonacci. Cartel de la sexta residencia, Barcelona, 2010 Cada uno de estos cuadros es un espacio abierto a la creatividad de los artistas: algunos de los elementos son permanentes en cada espectáculo, mientras que los otros se conciben en colaboración con los actores locales. Este proceso de creación, basado en el encuentro de diferentes formas de arte –circo, teatro, danza, música, video y artes visuales– y fundamentalmente en el diálogo intercultural, representa en sí mismo el objetivo del proyecto y la esencia del espectáculo. El Proyecto Fibonacci pretende realizar una docena de residencias de creación en diferentes países hasta el año 2014, y tras esta fase, una última residencia en Montreal permitiría la creación de un espectáculo ampliado –que se llamaría La Sucesión de Fibonacci– que pondría en escena una composición constituida por los artistas iniciales del proyecto y por otros elegidos en cada uno de los países visitados hasta 2014. Y una tournée mundial finalizaría el Proyecto Fibonacci. © Paul Deblois Como se explica en la página de la compañía canadiense: A través del espectáculo, los ocho primeros números de la sucesión de Fibonacci operan como una metáfora que evoca la evolución de la conciencia humana y permiten cuestionar nuestro caminar individual y colectivo. Cada cuadro se inspira en la simbología asociada al número correspondiente: 0. El vacío, la ausencia de conciencia, el origen que contiene el todo. 1. El individuo, la identidad, el primer grado de conciencia, el punto de partida de toda evolución. 1. El “uno” se repite en la sucesión y simboliza la multiplicidad de individuos, de puntos de partida. 2. La dualidad, el encuentro, el diálogo, la conciencia del “Otro”, el primer grado de relación humana. 3. La organización, la familia, la colectividad... principio de la dinámica de grupo, la conciencia del individuo alcanza un nivel colectivo. 5. El mundo, los cuatro puntos cardinales con el centro, los cinco continentes... la conciencia del individuo alcanza un nivel mundial y las relaciones toman una dimensión cultural. 8. El Universo (el signo matemático del infinito es un ocho en posición horizontal), con “ocho”, el individuo toma conciencia de la naturaleza infinita del universo. 13. El Tiempo, el fin inevitable de todo ciclo, el individuo confrontado a la conciencia de su propia condición mortal. 21. Madurez, cordura, la conciliación de la unidad y de la diversidad en el seno del individuo, la realización de la interconexión de todas las cosas, nivel último de la conciencia humana. © Marion Bellin   Más información: El proyecto Fibonacci Blog sobre la obra Videos de diferentes representaciones Fibonacci Project en México Fibonacci Project en Copenhague, en Vimeo Fibonacci Project en Barcelona Fibonacci Project en Barcelona, en Vimeo Les 7 Doigts de la Main presenta 'Fibonacci project' en Catalunya, ArteEnLaRed, 18 de noviembre de 2010 Mercè Pérez, Circo, música y danza en búsqueda de la armonía matemática, El País, 25 de noviembre de 2010

Martes, 01 de Febrero de 2011 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

740. 80. (Febrero 2011) Transmisión telepática

¿Crees en la percepción extrasensorial? ¿Tienes desarrolladas tus capacidades mentales? ¿Conoces alguien con habilidades telequinésicas, o telepáticas, o precognitivas? Si es así, has llegado al lugar equivocado. En este rincón sólo creemos en el poder de las matemáticas para simular todas esas habilidades, sólo alcanzamos a utilizar principios matemáticos que explican fenómenos paranormales. Tanto si crees o no en la parapsicología, te invitamos a participar en este experimento. Esta será la primera vez que harán falta dos personas para realizarlo y ambas deben conocer las claves de transmisión telepática que se producirá durante el juego. Así que busca alguien que aprenda el juego contigo. Uno de los dos hará el papel de médium (transmisor de información telepática) y el otro de vidente (receptor de dicha información). ¡Ah!, se me olvidaba: este juego aparece también en la sección MATHEMAGIC de la revista electrónica Computer Science for Fun, que ya citábamos en la entrega anterior de este rincón. En primer lugar describiré la marcha del juego, como la tiene que ver un espectador que no conoce el secreto, y después explicaré el método de transmisión que debéis aprender para realizarlo. MARCHA DEL JUEGO Con el vidente vuelto de espaldas o retirado a otra habitación, el médium entrega una baraja a un espectador para que la mezcle. Con las cartas en la mano, el espectador forma sobre la mesa un rectángulo de cartas, colocando cartas caras arriba o caras abajo, a su antojo. Por ejemplo, una disposición posible sería la siguiente: Para complicar aún más el cuadro, el médium añade cartas, también algunas cara arriba y otras cara abajo, formando un rectángulo de mayor tamaño. A continuación, un segundo espectador selecciona libremente una de las cartas del cuadrado, la invierte y la vuelve a colocar en su lugar (si estaba cara arriba la deja cara abajo y viceversa). En este momento, se llama al vidente para que observe la distribución resultante. Mientras lo hace, el médium trata de transmitirle mentalmente el lugar de la carta invertida. Un momento después, el vidente encuentra dicha carta. Si quieres pensar en la solución, adelante. Posiblemente la encuentres entre las técnicas de corrección de errores que posee la teoría de códigos, esa especialidad matemática actualmente tan importante en los procesos de transmisión de información. Tanto si encuentras la solución como si no, te ofrezco una explicación en la siguiente página: EXPLICACIÓN Como comprenderás, el secreto está en las cartas que el médium coloca para aparentemente complicar el cuadro dibujado por el espectador. En realidad, lo que hace es añadir "cartas de control" que dan información sobre el número de cartas cara arriba y cara abajo que hay en cada fila y columna a la vez que detectan si se produce alguna alteración de dicha disposición. Así pues, el médium tendrá que añadir una fila y columna al cuadrado original. Explicaremos el método a partir del ejemplo mostrado en la descripción del juego: Mira la primera fila y cuenta el número de cartas cara arriba: si es par, coloca a la derecha una carta cara abajo; si es impar, coloca una carta cara arriba. La primera fila quedará entonces así: Repite la operación con las demás filas. La disposición quedaría como la siguiente: Por último, realiza la misma operación con las columnas. Debajo de cada una de ellas coloca una carta cara arriba o cara abajo, según que el número de cartas cara arriba sea impar o par, respectivamente. La disposición final es ahora: Esta técnica está basada en la aritmética binaria: si representamos las cartas cara arriba por el número "1" y las cartas cara abajo por el número "0", cada carta de control hace que la suma (en realidad a la última cifra de la suma) de las cartas de cada fila y cada columna sea cero, lo que significa que el número de unos en cada fila y columna será par. Veamos cuál sería la disposición de estas cartas haciendo la equivalencia descrita: 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 Así pues, cuando un espectador vuelve una de las cartas, altera la paridad del rectángulo de cartas y dicha alteración afecta a la fila y a la columna que contienen dicha carta. Cuando el vidente se vuelve cara al público, comprobará cuál de las filas y columnas no verifica la propiedad anterior. La carta que ocupe dicha fila y columna será la que el espectador ha alterado. En resumen, el trabajo de transmisión del médium se limita a completar el cuadro de cartas para conseguir la paridad de todas las filas y columnas. El trabajo de recepción del vidente se reduce a averiguar qué fila y qué columna no cumplen la regla de paridad. Si queréis dar la impresión de poder mental, la colocación de las cartas por parte del médium debe ser aparentemente aleatoria, sin notarse que está realizando algún cálculo. Del mismo modo, el vidente debe dar la impresión de concentración mental, sin dar importancia aparente al cuadro de cartas que está viendo. Una posible presentación alternativa consiste en realizar el juego una sola persona: después de completar el cuadro con las reglas descritas, el mago se vuelve de espaldas y pide a un espectador que invierta la posición de una de las cartas y la vuelva a colocar en su lugar. Cuando el mago se vuelve de cara, podrá simular dotes de percepción extrasensorial y adivinar la carta que se ha volteado. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

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