711. 25. (Mayo 2011) Distancia y similitud musical - I

1. El concepto matemático de distancia Uno de los conceptos fundamentales con que enseguida nos topamos en matemáticas es el de distancia. La distancia matemática no es más que la abstracción del concepto de cercanía y su cuantificación. Ambas, abstracción y cuantificación, son necesarias para objetivar muchos fenómenos que se encuentran en la práctica matemática. Inicialmente, la distancia se refería al término físico de medir una magnitud física. Pero pronto los matemáticos la aplicaron a otros muchos dominios fuera de la física. En este artículo vamos a examinar el concepto de distancia en el campo de la música, en particular, en el campo de la similitud melódica. Veremos que la formalización del concepto de distancia de similitud melódica implica dificultades que hay que tratar con sumo cuidado, siendo la validación perceptual probablemente la de más envergadura. La generalización de la distancia física en matemáticas recibe el nombre de métrica, especialmente en geometría. Nosotros usaremos ambos términos como sinónimos. Dado un conjunto A, que puede ser lo abstracto y arbitrario que se quiera, una métrica es una aplicación d : A × A → [0,∞), que verifica las siguientes propiedades: Positividad de la métrica: d(x,y) ≥ 0, para todo par x,y ∈ A d(x,y) = 0 si y solo si x = y. Simetría: d(x,y) = d(y,x). Desigualdad triangular: d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z). En la sencilla y juguetona recta real ℜ, la distancia entre dos números se reduce al conocido valor absoluto: d(x, y) = ∣x - y∣ donde x,y ∈ ℜ. En ℜ2, la distancia es la longitud del segmento que une dos vectores v1 = (x1,y1), v2 = ( x2,y2): Bien conocido es que está fórmula proviene del teorema de Pitágoras y que la distancia d(v1,v2) es la hipotenusa del triángulo rectángulo formado por los puntos (x1,y1), (x2,y1) y (x2,y2). La generalización de la distancia al pomposo y vertical espacio ℜn, de n dimensiones, de esas que no podemos ver, solo colegir, es: donde v1 = (x1,…,xn), v2 = (y1,…,yn). En estos espacios de altas dimensiones se suele hablar de distancia euclídea. Pero la fórmula anterior es solo una de las muchas maneras de definir distancias en ℜn. Tenemos las siguientes: La distancia L1: d(v1,v2) = ∑ni=1∣xi - yi∣. En general, la distancia Lp: d(v1,v2) = (∑ni=1∣xi - yi∣p)1∕p. La llamada norma infinito L∞: d(v1,v2) = limp→∞(∑ni=1∣xi - yi∣p)1∕p = max(∣x1 - y1∣,∣x2 - y2∣,...,∣xn - yn∣). La distancia en el espacio euclídeo es la longitud de la trayectoria más corta y este hecho se puede usar para generalizar el concepto de distancia a otros espacios más complicados, como es una esfera, donde la distancia se da por trayectorias geodésicas. En ese caso la distancia se calcula a través de fórmulas de longitud de arco. El concepto de distancia se generaliza a espacios geométricos no euclídeos a través de dichas fórmulas. Dado que la distancia proviene de un concepto tan general como el de cercanía, aparece en muchísimos más áreas de las matemáticas que la geometría, por más que esta área sea vasta. Tan ubicuo es el concepto de distancia que hay un libro de título Dictionary of distance [DD06], Diccionario de distancias, donde los autores hacen un recorrido por las áreas de la matemática en que la distancia tiene un papel relevante. Lo recomendamos vivamente al lector interesado. Así que como muestra de la ubicuidad e importancia vamos a enumerar a modo de telegrama, de fogonazo conceptual, de repaso ufano, las áreas en que aparece la distancia defendiendo sus fueros. DISTANCIAS Y MÉTRICAS Espacios topológicos, m-métricas, distancias topológicas, Métricas en conjuntos arbitrarios NORMAS Distancias geodésicas, geometría proyectiva y geometría afín, métricas riemannianas Teoría de la información Métricas en superficies, métricas intrínsecas, distancias en nudos, distancias en cuerpos convexos Métricas en grupos, métricas en relaciones binarias, métricas en mallas Distancias en cadenas, distancias en permutaciones Métricas en polinomios, métricas en matrices, métricas en espacios funcionales, métricas en operadores lineales Distancias entre variables aleatorias, distancias entre distribuciones Distancias en grafos ponderados, distancias en árboles, distancias entre códigos Distancias de SIMILITUD, distancias de correlación Distancias entre planificaciones de movimiento, distancias entre autómatas Distancias MOEA Métricas digitales Distancias de Voronoi, distancias entre imágenes, distancias entre sonidos, distancias entre redes Distancias entre genes, distancias entre proteínas Distancias en Química, distancias en Geofísica, distancias en Astronomía O más gráficamente: Figura 1: El concepto de distancia en diversas áreas de las matemáticas. 2. Distancias en la música Después de observar cuán flexible y ubicuo es el concepto de distancia, nos preguntamos cómo aparece en la música. En general, todo lo que se refiera a distancias perceptuales se sale de la intuición. Abajo tenemos tres sonidos, llamémosles S1, S2 y S3. Pongamos que la frecuencia de S1 son x hercios. Hacemos saber al lector que las frecuencias de S2 y S3 son, respectivamente, 2x y 3x. Tenga ahora el lector la amabilidad de pinchar sucesivamente en los sonidos de la figura de más abajo (súbase el volumen si es necesario). S1 S2 S3 Figura 2: Tres sonidos diferentes. ¿Le ha parecido al lector que había más distancia entre S1 y S2 que entre S2 y S3? ¿Quizás ha sido al revés? ¿O aún mejor no hay diferencia entre los dos saltos? Al fin y al cabo la diferencia en frecuencia entre cada par es constante. El lector -acaso un poco confundido- dirá que el salto entre S1 y S2 le ha parecido mayor que entre S2 y S3. Y, en efecto, así es. Nuestro oído, acorde con la famosa ley de Weber-Fechner, percibe la relación entre un estímulo y su percepción siguiendo una función logarítmica. Esto explica que el salto de S1 a S2, de proporción 2 : 1, se perciba como mayor que el de S2 a S3, de proporción 3 : 2, que es menor. El problema de la similitud musical -y de la obtención de una distancia- es de los más complejos e importantes. Como Pampal [PFW05] describe con acierto “desgraciadamente, el problema de la similitud melódica es muy complejo, multidimensional, fuertemente dependiente del contexto y de muy mala definición”. La similitud musical es un fenómeno que comprende tres niveles diferentes: el físico, el musical y el psicosocial. En el físico se estudian conceptos de acústica, relacionados con los aspectos físicos del sonido, tal como frecuencia fundamental, armónicos, energía, espectros, duraciones, etc. En el musical, se analizan variables como intervalos (como frecuencias percibidas), ritmos, métrica, armonía, conducción de voces, forma musical, fraseo, etc. Por último, en el nivel sociocultural se examinan variables como la emoción, la motricidad, el carácter, así como aspectos socioculturales. Un modelo de similitud melódica que aspire a ser fiel a la similitud humana ha de tener en cuenta estos tres niveles fenoménicos. Aucouturier y Pachet [AF04] advierten de que hay una limitación intrínseca si solo se modeliza la similitud con variables pertenecientes a uno solo de esos niveles; es necesario tener en cuenta todos. Estos autores hacen estas observaciones porque en el pasado se construyeron muchos modelos basados en la pura descripción física del sonido y, a pesar de su creciente complejidad, no conseguían los resultados esperados. Recientemente, se han empezado a incluir variables de los niveles musical y psicosocial. En esta serie de artículos no vamos a estudiar la similitud musical sino solamente la similitud melódica, que es un problema más pequeño pero no necesariamente más fácil. Perseguimos diseñar una distancia matemática de similitud melódica que refleje lo más fielmente posible la distancia de similitud melódica que tenemos los humanos. Veamos cómo. 3. Similitud melódica Empezaremos por definir formalmente lo que es una medida de similitud melódica, término que como veremos difiere ligeramente del de distancia de similitud melódica. Seguiremos en parte la exposición de Müllensiefen y Frieler [MF04]. Una medida de similitud melódica se define como una aplicación σ : M → [0, 1], donde M es el espacio de melodías, con las siguientes propiedades matemáticas: σ(m1,m1) = 1. La similitud de una melodía consigo misma toma el valor 1. σ(m1,m2) = 1 si y solo si m1 = m2. De hecho, ese valor no se alcanza en ninguna otra situación. σ(m1,m2) = σ(m2,m1). Propiedad de simetría. Sin embargo, dado que estamos en presencia de un fenómeno musical, la anterior definición no es del todo satisfactoria. Por ejemplo, dos melodías transpuestas se oyen claramente como la misma. Acorde a la definición anterior, tendría medida positiva, lo cual contradice la intuición musical. Definimos en M, el espacio de melodías, una relación de equivalencia: m1 está relacionada con m2 si y solo si m2 es una transposición por altura, por tiempo o por un cambio de tempo (velocidad) de m1. Transposición por altura quiere decir que las alturas de las notas de m1 y m2 difieren en una constante; transposición por tiempo significa que dos melodías iguales tocadas en instantes diferentes se consideran iguales; cambio de tempo significa que una melodía tocada a diferente tempo se considera la misma que tocada a su tempo original (esto último es dentro de unos límites razonables, pues se sabe que el tempo puede afectar a la percepción melódica). El espacio de las medidas de similitud es convexo. Dado un conjunto de medidas σ1,…,σn, y un conjunto de pesos ω1,…,ωn tal que ∑ni=1ωi = 1, la función es una medida de similitud. Una distancia de similitud cumple las propiedades enunciadas en la sección 1 al principio del artículo. Es bastante frecuente trabajar con distancias que cuentan el número de diferencias entre dos melodías en lugar de las similitudes, que puede ser más abstracto. Estas distancias se llaman de disimilitud. A partir de una distancia de disimilitud d se puede definir una medida de similitud σd sobre cualquier espacio finito de melodías como sigue: σd(m1,m2) = 1 - d(m1,m2)/δ donde δ = max. Se puede comprobar que si d cumple las propiedades de invariancia musical, entonces σd es una medida de similitud. Para que el lector sea consciente de la dificultad del problema de la similitud melódica, considérese las conocidas variaciones de Mozart K. 265 sobre el tema popular Ah, vous dirai-je, Maman. La melodía es diáfana, compuesta por intervalos simples y con una estructura sencilla, una subida y una bajada en la primera y dos bajadas en la segunda frase. En la figura 3 se puede ver la partitura; si se pincha en la partitura suena el tema completo, con la mano izquierda. Figura 3: El tema principal de las variaciones K. 265 de Mozart. La primera variación consiste en una versión ornamentada en corcheas del tema principal. Ahora las subidas y bajadas, casi todas por grados conjuntos, se multiplican y el oyente se da cuenta de esa fragmentación de la dirección melódica. También aparecen pequeñas dominantes secundarias que sugieren refuerzos de los grados V y VI (sol y la). En la figura 4 tenemos la partitura (de nuevo pinchando en la figura se puede oír la variación): Figura 4: La primera variación del K. 265 de Mozart. Por último consideremos la variación V, que consiste en cambios de figuración rítmica. Mozart pasa de las dos negras del tema a la figura negra, silencio de corchea y corchea. Más tarde esta figura a un puro contratiempo. Desde el punto de vista de las alturas, aparecen más intervalos cromáticos. Se puede ver la partitura en la figura 5. Figura 5: La quinta variación del K. 265 de Mozart. En el siguiente vídeo se puede ver una interpretación de las variaciones completas. En el minuto 2:05 está la quinta variación. Las preguntas son las siguientes: ¿Cuál de las dos variaciones, la I o la V, es más similar al tema principal? ¿Cómo se cuantifica tal diferencia? ¿En que variables se fundamenta la respuesta, cualquiera que sea el resultado? ¿Cómo obtener un modelo de similitud melódica que sea fiel a la medida humana de similtud? 4. Conclusiones Concluimos aquí este primer artículo sobre la distancias matemáticas y la similitud melódica. Primero, hemos repasado algunos conceptos matemáticos de distancia. Después hemos expuesto cómo se define en música la distancia de similitud melódica. En el siguiente artículo glosaremos las distancias más importantes y explicaremos cuál es la razón de ser de cada una. En el tercer y último artículo abordaremos la peliaguda cuestión de la validación perceptual de todas esas distancias. Bibliografía [AF04] J.-J. Aucouturier and Pachet F. Improving timbre similarity: How high is the sky? Journal of Negative Results in Speech and Audio Sciences, 1(1), 2004. [DD06] E. Deza and M. Deza. Dictionary of Distances. Elsevier Science, 2006. [MF04] D. Mullensiefen and K. Frieler. Cognitive adequacy in the measurement of melodic similarity: Algorithmic vs. human judgments. Computing in Musicology, 13:147–176, 2004. [PFW05] Elias Pampalk, Arthur Flexer, and Gerhard Widmer. Improvements of audio-based music similarity and genre classificaton. In ISMIR’05, pages 628–633, 2005.

Sábado, 21 de Mayo de 2011 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

712. 61. CONCURSO DEL VERANO DE 2011

Mediados de Junio. Exámenes. Unos estudian, otros corrigen. Las vacaciones de la crisis se acercan, pero el ya tradicional cuestionario matemático-cinéfilo no puede faltar. Aquí está. En esta ocasión, uno se pone nostálgico (¿serán los años?). No tranquilos, esta no es una pregunta para responder. Es sólo una reflexión en voz baja. La nostalgia se debe a que el otro día me dio por recordar algunos de los veranos de mi infancia-primera juventud, en una ciudad del interior (o sea sin mar, aunque con un río respetable, bastante sucio, y una playa con arena de mar traída ex profeso). No existían las PSPs ni otros engendros similares, ni Internet, ni los ordenadores, ni el DVD, ni siquiera el vídeo. Difícil de asimilar para los chicos de hoy que hasta con todo eso se aburren como ostras. Tranquilos. No voy a empezar a relatar las perrerías varías que se hacían a lagartijas y demás  bichos de dos patas o más, entre otras cosas porque yo no era tan salvaje. Mis veranos (aprobaba todo en junio, ¡qué tiempos! En la Facultad la cosa fue algo distinta) se consumían entre la lectura de tebeos, libros de aventuras y las tardes, ¡cómo no!, al cine. Si, porque yo vivía en la misma calle en la que había un cine de sesión continua (podías entrar a las 16:00 y verte las dos películas un par de veces hasta las 00:30, y todo por 25 pesetas, 30 los fines de semana). De eso van a ir las películas incógnita del concurso de este verano, de averiguar algunas de aquellas películas que después rara vez volvías a ver en tu vida. Sí, si, como aquellas de Bruce Lee o Wang Yu en las que a la salida los chavalines salían dando saltos y pegando patadas al aire (¡que ignorantes éramos!), o aquellas de piratas, tarzanes hispanos, Spaghetti westerns de Torrejón, comedias erotico-festivas a mayor gloria de Lauras Antonellis o Agatas Lys, dinosaurios de cartón piedra, posesiones diabólicas serie Z, etc., etc., y entremedias alguna producción algo más decentilla. A pesar de todo, bastantes de aquellas no tendrían el envoltorio super-mega-guay de la última de Piratas del Caribe, pero os aseguro que los guiones, argumentos e interpretaciones eran en muchos casos, más creíbles y trabajados. En fin, que la forma (gongorinos) han podido con el fondo (quevedescos). ¡Qué se le va a hacer! La crisis. Vayamos al asunto, que puede ser muy complicado, pero tranquilos que finalmente las películas elegidas serán de ese estilo, tipo aventurillas, pero reconocibles, y al menos una de ellas de cierta calidad. Hay tantas con un argumento similar que podríamos casi establecer un mini-género con ellas. Nos centraremos básicamente en dos, que se llevan exactamente treinta años entre sí, y que obviamente habrá que descubrir. Y por el camino, se plantearán sencillos problemas de ingenio matemático (alguno un poco más complicadejo). Los habituales saben que, por momentos, la cosa estará algo retorcidilla, pero es que no se trata de hacerlo en un día, sino que hasta el miércoles 31 de agosto tendremos tiempo de estrujarnos las meninges. El orden en que se exponen las pistas o se describen determinadas escenas, nada tiene que ver con el que tienen en las películas, ni las novelas en las que se basan. Además se intercalarán datos de ambas (respetando las escenas eso sí), sin especificarse a cual de ellas pertenece.. En la primera escena de una de las películas incógnita se observan un montón de obreros colocados uno a continuación del otro, pero todos de cara a un mismo lugar, continuamente agachándose y levantándose, bajo un sol de justicia. El capataz que los controla pasa a caballo por detrás de ellos, identificándolos por el número que llevan en la parte posterior de la camiseta. Esto nos permite plantear las primeras cuestiones: Cuestiones: 1.- Empezando con el 1, cada camiseta lleva un número con el orden natural (es decir, al lado del 1 va el 2, luego el 3, etc.). Para ahorrar costes, no se hizo una camiseta con cada número, sino que se disponía de gran cantidad de unos, doses, treses, etc, y cada obrero se cosía en la camiseta el número que le correspondía, uniendo varios de los dígitos disponibles. Es decir el que fuera el 155 debía coserse un uno y dos cincos. Si se repartieron 3917 números, ¿cuántos obreros estaban trabajando? 2.- Dicho capataz, un bicho de cuidado, desde su caballo, observa la larga hilera de números dispuestos consecutivamente, 12345678910111213….= N. Como a veces se aburre, dado el escaso éxito de los obreros en su búsqueda, se pone a pensar en toso tipo de asuntos, como por ejemplo, ¿cuál es la suma de todas las cifras de N? Ya sabemos cómo comienza una de las películas. Vayamos con la otra cuya acción se desarrolla en el mismo continente y no muy lejana en el tiempo. Una columna de soldados se acerca a auxiliar a sus compañeros de un fuerte que estaba siendo atacado por el enemigo. Todo está en silencio, y aparentemente tranquilo, porque a través de las almenas se ve a toda la guardia en estado de alerta. Sin embargo, algo extraño se percibe ya que al ir acercándose son recibidos por un disparo de advertencia. Un soldado voluntario trepa al lugar por una escala. Pasan los minutos, y no regresa. El Mayor al mando decide ir en persona. Una vez dentro, el panorama resulta desolador. Todos están muertos, y no hay ni rastro del primer soldado que entró. Mira por todas partes, y de repente se percata de que algunos soldados muertos que acababa de ver, han desaparecido. ¿Será un ejército de zombies? Por si acaso, sale de allí, no sin antes recoger algunas notas que sostenían las manos de algunos cadáveres. Una de ellas, decía: “Hace cinco minutos que empezó este infierno, y ya el 20% de la guarnición ha muerto. Si muriera uno más, sólo uno más, las bajas ya serían el 25% ¡qué pocos quedamos! Si seguimos cayendo proporcionalmente a los que quedamos en pie, ¿en qué momento no me quedará mas remedio que desertar de aquí o hacerme el muerto para sobrevivir?” Cuestiones: 3.- ¿De cuántos soldados disponía la guarnición? 4.- ¿Cuándo tiempo le queda al que escribió la nota para poner en práctica sus planes? 5.- ¿Por qué es preciso que haya un desertor? 6.- La razón de que los muertos fueran puestos de pie, ¿tiene que ver con retrasar el tiempo de agonía según el enunciado de la nota? 7.- ¿Dónde fue a parar el primer soldado? ¿Había de verdad zombies? ¿Quién disparó a la columna inicialmente? (Pista: ¿sabes cómo es un funeral vikingo?). Antes de abandonar el lugar, al Mayor le llamó poderosamente la atención las líneas dibujadas sobre la arena del patio de armas del fuerte. Tenían la forma representada en la imagen. “Desde luego no se aburriría el que hacía la guardia en este lugar. Podría entretenerse en contar cuántos triángulos distintos de cualquier tamaño aparecen en el suelo. Y cuando estuviera claro el número total, podrían tratar de diseñar el mayor camino posible que se pueda recorrer siguiendo las líneas marcadas, sin repetir ninguna, pudiendo repetir puntos, no líneas, y acabando en el punto de partida que puede ser cualquiera. ¿Se les habrá ocurrido? En cualquier caso, me piro cuanto antes de este lugar maldito” Cuestiones: No hace falta alistarse para poder responder a las preguntas, aunque los que hicimos un año de “mili” sabemos que las horas se hacen eternas y hay que buscarse algo con lo que distraer la mente. Así pues, responde: 8.- Número de tales triángulos 9.- Recorrido máximo de las características ideadas por el Mayor. Las horas de vigilancia y alerta ante la llegada del enemigo suelen ser tediosas, sobre todo si el calor aprieta. Los “jefes” procuran distraerse de algún modo, por ejemplo jugando a las damas, bueno una variante, en la que las fichas son copas: las blancas llenas de ginebra, las negras, de whisky, tal y como se ve en la imagen. El que “come” una ficha, se “bebe” el contenido de la pieza capturada. Juegan  un orondo personaje y su secuaz. Este último no logra apagar su sed porque pierde siempre: – No se me da nada bien este juego – Tu mala suerte, querido André, me llena de satisfacción. Momentos después de la posición de la imagen de la película, se encuentran tal y como se aprecia en el tablero adjunto. Parece que esta vez, André puede desquitarse, pero una hábil estrategia de su jefe, que mueve a continuación con blancas, le permite acabar ganando de nuevo. Cuestión: 10.- ¿Cómo lo hizo? Retrocedamos un poco en el tiempo (una de las películas no es lineal, sino que se estructura en torno a varios flashbacks). Es una apacible tarde de otoño en una victoriana mansión británica. La llegada de un telegrama, altera a sus moradores, tres hombres, dos mujeres y un visitante al que nadie ve con agrado. A la mujer de mayor edad los demás se refieren a ella cariñosamente como “tía Pat”, aunque en realidad no sea familiar más que de la mujer más joven, Isabel, y del poco apreciado invitado, Augustus, aunque de éste por parte del marido de tía Pat. Alterada por la noticia, la mujer se dispone a recogerse a sus habitaciones. En ese momento, el mayor de los tres hombres, Michael, comenta: Michael: ¡Tía Pat! ¿Podríamos ver el A2 antes de retirarte? Quizás nunca tengamos otra oportunidad. Tía Pat (tras unos segundos de reflexión): Muy bien. ¿Burdon? Burdon: Sí, señora. Tía Pat: ¿Puede acompañarme al “Refugio del Cura”, por favor? Y traiga un candelabro. Burdon: Sí, señora. En unos minutos, aparecen con una enigmática caja. Burdon, el criado, se va. Todos admiran lo que guarda la caja. En ese preciso instante sucede lo mismo que en la otra película, y como se dijo al principio, en otras muchas. Isabel resuelve el problema. La novela explica entonces “debimos parecer una banda de idiotas allí de pie, mirando durante un par de segundos el vacío más absoluto”. Tía Pât: Sin duda, alguien tiene un especial sentido del humor. ¿Es una broma tuya, Augustus? Augustus: ¿Mía? No, tía, de verdad. Te lo juro. Tía Pat: ¿Tú, John? John: No, tía Pat. Tía Pat: ¿Digby? Digby: Desde luego que no. En ese momento, lady Patricia duda. Por nada del mundo hubiera querido que el responsable de lo que sucede fuese su preferido, Michael. Tía Pat: ¿Michael? Michael: Yo no he cogido el A2. Tía Pat (dirigiéndose a Isabel): ¿Naturalmente, tu no ….? Isabel: ¡No, tía! Tía Pat: Me temo mucho que alguien está mintiendo. Un nuevo misterio para esta película (y novela) repleta de ellos. ¿Quién miente? En realidad ninguno miente. Hay cinco sospechosos, John, Michael, Digby, Augustus, e Isabel, junto a la tía Pat. Se sabe con seguridad que al menos uno de ellos es culpable de lo que ha sucedido, aunque no miente ninguno. Nadie distinto a estos cinco está implicado. De los subsiguientes diálogos y escenas resultan los siguientes hechos: 1.- Isabel, que tuvo que solucionar el problema que surgió, es definitivamente inocente. 2.- Cuando la tía Patricia salió de la habitación, Digby se abalanzó sobre Augustus (Gussie, en términos coloquiales) Digby: Gussie, detesto hacer esto, pero es necesario. Michael: Regístralo a fondo, Digby. Pero, finalmente no le encuentra nada. Digby: Lamento mucho que no fueras tú, asqueroso. 3.- Si Digby fuera culpable, tenía un cómplice, y sólo uno. 4.- Si John fuera culpable, tenía dos cómplices, y sólo dos. Mujer sin hijos, la tía Pat reservaba, como dijimos antes, todo su amor y afecto para Michael, por lo que estaba especialmente interesada en confirmar sobre todo, que Michael no fuera culpable de lo sucedido. Tardó varios años en saberlo, a través de una nota, encontrada en el cadáver de un desalmado sargento chusquero. Sin embargo, los hechos anteriores eran suficientes para determinar la cuestión Cuestiones: 11.- ¿Era Michael culpable? (Se precisa un argumento razonado) 12.- ¿Porqué nadie mentía? 13.- ¿Cuál es ese hecho común a las dos películas incógnita del que hablamos? ¿Quién es el responsable en la otra? 14.- ¿Qué significa A2?. ¿Cuál es su homólogo en la otra película? Previamente, Michael y Digby, como buenos gemelos, mantienen una especial relación. Descubren un ratón en los dormitorios. En la imagen aparece correteando sobre una alfombra en la que vemos tres cuadrados. Se sabe que el cuadrado intermedio tiene por circunferencia circunscrita aquella que es inscrita y tangente a los lados del cuadrado mayor. Por otro lado, si trazáramos una diagonal común a los tres cuadrados, podríamos dividirla en tres segmentos de la misma longitud, y el segmento menor sería exactamente la diagonal del cuadrado pequeño. Cuestión: 15.- ¿Es posible, conocido el área de uno cualquiera de los tres cuadrados, averiguar la de los otros dos? Como vemos en la imagen, la pareja protagonista de una de las películas incógnita tiene algunos problemas. El galán es bastante torpe, y su novia tiene que sacarle constantemente de apuros. En la foto, vadeando un río, él se mete en unas arenas movedizas, y ella le tira una cuerda que sujeta a un árbol, pasándola también por una rama. Entre la rama y la cuerda, mete una vara  que al ir girando, va acercando al patoso hacia donde está ella. Ese gañán, ingeniero de minas en la novela, no se le ve en pantalla, pero está en el otro extremo. Mientras, en primer término, un siniestro cocodrilo se acerca, dudando al parecer si ir a zamparse a uno o admirar el esfuerzo (y ampliar de paso sus conocimientos sobre curvas no imaginadas) de la otra. En cualquier caso lo que a nosotros nos interesa es el triángulo: Cuestiones: 16.- Si el triángulo fuera rectángulo y tuviera sus lados en progresión geométrica, ¿cuáles serían sus longitudes? 17.- Según se va acercando el protagonista, los ángulos del triángulo van cambiando. Si uniésemos tres momentos distintos en un solo triángulo como muestra la imagen, obtén el valor de los nueve ángulos señalados sabiendo que el señalado como 1 es de 70º. 18.- Si llamáramos I al centro del círculo inscrito en el triángulo ABC (ver segunda imagen), demostrar que si uno de los triángulos AIB, AIC o BIC fuera semejante al triángulo ABC, entonces los ángulos del triángulo ABC están en progresión geométrica ¿Cuáles son sus valores? 19.- Llamemos finalmente G al baricentro del triángulo ABC, ga, gb, gc a las distancias de G a cada uno de los lados del triángulo, y r al radio de la circunferencia inscrita. Demostrar que las distancias anteriores son, al menos, dos terceras partes del valor de r, y que la suma de las tres es como mínimo el triple de ese radio r. En lenguaje matemático, se trata de probar que ga ≥ ⅔ r, gb ≥ ⅔ r, gc ≥ ⅔ r, y que ga + gb + gc ≥ 3r. Como no se si hay suficientes pistas para averiguar el titulo de tal película, lo mejor es mostrar al “héroe” teniendo que escapar de esta guisa para pasar inadvertido. Por cierto que este actor protagonizaría junto a un rubio muy admirado por las féminas, otra película que también giraría en torno al “objeto misterioso” del que tratan nuestras dos misteriosas películas. Es por tanto una nueva película del subgénero de las que hablamos aquí. Por si aún no se sabe el “objeto misterioso” en torno al cual se suceden los acontecimientos de ambas películas, un par de cuestiones que quizá aclaren algo: Cuestiones: 20.- ¿Cuántas caras, vértices y aristas tiene este cuerpo que se nos ha colado por aquí? 21.- ¿Le encuentras alguna relación con todo lo que llevamos dicho? Finalmente, por si aún la cosa no está muy clara, los años de producción de las dos películas incógnita son números primos entre sí, aunque ellos no son primos sino producto de dos primos. Sólo se diferencian en un dígito, y una de ellas dista tres unidades de un cuadrado perfecto. Cuestiones: 22.- ¿De que año son las películas de las que estamos hablando? 23.- Título de las películas-incógnita y novelas en las que se basan ¿Son fieles a ellas?¿Conoces alguna otra película de temática similar?   Valoración de las respuestas Las puntuaciones de las cuestiones son: Veinte puntos para la cuestión 19. Diez puntos para las cuestiones 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 15, 16, 17, 18, 20, 22. Cinco puntos para las numeradas como 6, 7, 11, 12, 13, 14, 21, 23. Es evidente que puede haber mucha variación entre estos 200 puntos posibles, así que aunque sólo seas capaz de responder a una pregunta de cinco puntos, envíame la solución porque puede que te toque alguno de los extraordinarios premios que este año tenemos preparados. Las respuestas deben mandarse a la dirección de correo electrónico alfonso@mat.uva.es, indicando en el asunto Verano 2011. Si de paso me dais vuestra opinión sobre el concurso, hacéis sugerencias, comentarios, etc.,  acerca de la sección, a lo mejor hasta os regalamos puntos extra. El plazo máximo de recepción de respuestas será el día 31 de Agosto de 2011. ¡¡¡¡Buen Verano Cinematemático!!!!

Lunes, 20 de Junio de 2011 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

713. 54. (Junio 2011) Julius Corentin Acquefacques, prisionero de los sueños. El principio del fin

El principio del fin de Marc Antoine Mathieu Le début de la fin (El principio el fin), escrito en 1995, es el cuarto tomo de la serie Julius Corentin Acquefacques, prisonnier des rêves, que como comentábamos en El Origen es una serie con pinceladas matemáticas en cada uno de sus tomos. Imagen 1: La portada del tomo 4 de esta serie. Le début de la fin –cuyos temas matemáticos presentes son los de la simetría axial, la banda de Möbius y las reflexiones– se divide en diez capítulos: 1 Le rêve du reflet (El sueño del reflejo) 2 La logique de l’absurde (La lógica del absurdo) 3 La réflexion des faits (La reflexión de los hechos) 4 Speculum 5 Le miroir sans face (El espejo sin cara) -5 Le miroir sans face (El espejo sin cara) -1 Le reflet du rêve (El reflejo del sueño) -2 L’absurde de la logique (El absurdo de la lógica) -3 L’effet de réflexion (El efecto de reflexión) -4 Muluceps Los números y títulos que acompañan a cada capítulo muestran ya el complejo juego de simetrías que son la base de este tomo. Por ejemplo, el capítulo 1 lleva por título El sueño del reflejo, mientras que su “simétrico” –el -1– se denomina El reflejo del sueño. Sucede lo mismo con los capítulos 2 y 3 y sus “opuestos”[1];  los títulos de los capítulos 4 y -4 forman un perfecto palíndromo Speculum-Muluceps, mientras que los capítulos centrales 5 y -5 se presentan del mismo modo. Este episodio de la serie comienza con Julius Corentin Acquefacques –de nuevo prisionero de sus sueños– remando de noche entre los edificios de su ciudad. De repente aparece un extraño personaje sobre el reflejo de la luna en el agua que le pide jugar a cara o cruz. Nuestro héroe pide cruz y la moneda –que surge del agua al ser lanzada– cae en cara. El individuo que surge del reflejo desaparece poco a poco mientras dirige a Julius estas enigmáticas palabras: A este juego no se gana nunca. Pero tampoco se pierde. Acquefacques despierta vestido y se percata de que todo lo está haciendo al revés: se desafeita[2] de espaldas al espejo, se pone el pijama para salir a la calle,... Cuando se va de su casa para acudir a una cita, este mundo invertido se manifiesta por medio de un accidentado viaje en taxi a través de lo que llaman el desvío de Möbius. Imagen 2: ... Ya que estamos en un bucle que no es ni más ni menos que un volumen con una cara... Se le llama “el desvío de Möbius”. Aunque Julius piensa que llega anticipadamente a su cita, observa al llegar –y entrar de espaldas y en pijama– a su despacho, que no hay nadie esperándole. Incapaz de entender la lógica de este mundo invertido en el que se encuentra sumergido, el protagonista decide acudir a la consulta de Évariste Etsirave, especialista en casos extraños. Imagen 3: 7/12 de tensión. Ninguna duda, es grave. Diga 33... –33. El médico –gracias a sus conocimientos de reflectología comparada– descubre que nuestro héroe está soñando. Acquefacques explica a Etsirave el sueño de la noche anterior, y el médico deduce que el reflejo de Julius estaba de hecho despierto... El médico le practica una delicada operación – la técnica del guante Mapa– para invertir la delicada situación en la que se encuentra. Imagen 4: La técnica del guante Mapa. Julius sigue teniendo problemas: aunque ha recuperado su orientación, sigue realizando muchas de sus tareas diarias al revés. Así que acude a pedir ayuda a la tienda de espejos Speculum-Muluceps. Imagen 5: SPECULEM-MULUCEPS. Espejos al por menor. Al entrar en la tienda, comprende  que la solución se encuentra al otro lado del espejo, que atraviesa[3]. Imagen 6: Pasando a través del espejo. Entre el comienzo del capítulo -5 y la siguiente página se encuentra el eje de simetría del cómic, que debe girarse en ese momento para comenzar la lectura desde el punto  que antes de la rotación era el final. De hecho, la contraportada del cómic –que acaba de convertirse en la nueva portada– es el “negativo” de la portada... lo negro se vuelve blanco, el título se invierte a La fin du début[4] (El fin del principio)... y comienza una nueva lectura, hasta llegar de nuevo al eje de simetría. Imagen 7: La contraportada del cómic girada se convierte en la nueva portada. Ver la imagen 1. Y la historia se reinicia con una especie de un negativo del capítulo 1; de nuevo Julius pasea en un barco de remos –el blanco y el negro han intercambiado sus papeles–, vuelve a jugar a cara y cruz, eligiendo esta vez cara[5] –y sale cruz–... Acquefacques despierta con todo su mundo girado del revés. De hecho al acudir –como sucedía en el capítulo simétrico– a la consulta de Évariste Etsirave, el médico descubre que Julius es el único ser que posee reflejo y comprueba sobre el listín telefónico que es también la única persona que no tiene un nombre palindrómico[6]. El espejo de la consulta de Etsirave se rompe, con lo que el sueño se fractura también. ¿Es cierto que en este mundo en el que Julius está inmerso todo el mundo sueña y él es el único ser despierto? Imagen 8: Al romperse el espejo la tarjeta de visita de la tienda de espejos cambia. Ver la imagen 5. Muluceps-speculum. Espejos al por mayor. Al entrar en la tienda de espejos –como le correspondía hacer de acuerdo con la acción simétrica–, descubre que no es más que un reflejo condenado a vivir cerca del espejo y revivir eternamente sus vivencias de manera invertida. ¿Termina aquí la historia o debe volver a girarse el libro para comenzar de nuevo por el capítulo 1? En este cuarto tomo de la serie, este juego continuo de reflejos desencadena una extraña espiral temporal. Coexisten el mundo real y el de los reflejos, al entrar por error el Julius del mundo reflejado en el verdadero, donde el futuro sucede en el pasado. Los capítulos -1 a -5 no son exactamente el reflejo –ni gráficamente ni desde el punto de vista de la acción– de los correspondientes capítulos con signo positivo, pero la simetría y el cambio de orientación están manifiestamente presentes. Cuando el médico da la vuelta a Julius como si fuera un guante[7], le devuelve el reflejo en el espejo, lo que legitima la presencia del protagonista en ambos mundos, el de la realidad y el del sueño. La delicada operación de infraespacialización[8] es la que crea una banda de Möbius, sobre la que Julius evoluciona, cambiando la orientación al reflejarse, pasando de la realidad al sueño y viceversa, en un ciclo sin fin.   Notas: [1] En el caso del caso el capítulo 3, no sólo hay un cambio en la posición de las palabras en el título al pasar al capítulo -3, sino que se cambia la palabra faits por effets, similares fonéticamente en francés. [2] Es decir, tras rasurarse, su barba ha crecido lo equivalente a un día. [3] Como la Alicia de Lewis Carroll, un mundo con una lógica diferente espera al protagonista del otro lado del espejo. [4] Ver la imagen 1. [5] En el capítulo simétrico había elegido cruz. [6] Ahora se comprende el extraño apellido del médico: Évariste Etsirave. [7] Ver imagen 4. [8] O dar la vuelta a una situación, como se comenta en el texto.

Lunes, 06 de Junio de 2011 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

714. 74. Un mundo no euclidiano

Les voy a hablar este mes de una novela que pasa por tener una explicación de raíz matemática, aun cuando en realidad, pese a todo, no es el tema matemático el que domina al final (pasadas las tres cuartas partes de la extensión de una novela que, evidentemente, se concibió en clave matemática). En el fondo y sin querer desvelar más de la cuenta de la trama (aunque me temo que acabaré haciéndolo, quien avisa no es traidor...), la novela tiene una explicación mucho más emparentada con la física (y con la disponibilidad de energía...) que con la matemática. Pero... En cualquier caso se trata de una brillante novela, muy bien escrita e interesante, también, por otros conceptos. Sumamente recomendable. La novela es Inverted World (1974) del británico Christopher Priest y, como puede verse, tiene ya más de treinta y cinco años. Procede de un relato breve anterior con el mismo título. En España se publicó, en 1984, en una edición en bolsillo en la colección Ultramar Ciencia Ficción con el título "El mundo invertido" hasta que, recientemente, ha sido reeditada, en 2010, por La Factoría de Ideas en el número 175 de la colección Solaris Ficción, ahora con un nuevo título ("Un mundo invertido") y atribuida la versión a un nuevo traductor. Christopher Priest es un autor "de calidad", de esos que se preocuparon también por la forma y no tan solo por el contenido de sus historias de ciencia ficción. Uno de esos autores interesados en mejorar el aspecto literario de la ciencia ficción, cual ocurría a menudo en los años sesenta y setenta del pasado siglo, aunque ahora me atrevería a decir que ese enfoque está ya "incorporado de manera natural" en la mayor parte de la buena ciencia ficción de nuestros días. Priest obtuvo el premio de la ciencia ficción británica (BSFA Award) precisamente por Inverted World (y, casi treinta años más tarde, por otras dos novelas más recientes: The Extremes y The Separation). Una de sus obras, editada en español por Minotauro en 2002, The Prestige (1995), fue llevada al cine en 2006 con dirección de Christopher Nolan e interpretada por Hugh Jackman, Christian Bale, Michael Caine y Scarlett Johansson. Trata de la rivalidad entre dos magos de distintos orígenes sociales. El truco central es el del teletransporte e incluso aparece, en la novela y la película, el físico croata Nikola Tesla. De entre las varias y siempre interesantes novelas de Priest me atrevo a destacar Fugue for a Darkening Island (1972). Edhasa la publicó aquí en castellano en 1981 con el título "Fuga para una isla", obviando el "ennegrece" que da sentido a la novela ya que ésta nos habla de una Gran Bretaña con mucha gente de color como resultado de la inmigración. Se trata de una historia que, hace ya casi cuarenta años, enfocaba el grave problema que puede representar la inmigración exagerada y sus posibles efectos en los sistemas de gobierno. Una hipótesis de ciencia ficción social con interesantes reflexiones. Pero ya es hora de hablar de Inverted World. En la portada de la edición española de Ultramar se dice explícitamente: "En un extraño mundo hiperboloide, una ciudad avanza incesantemente sobre sus raíles...". Parece claro que eso sugiere un mundo de geometría no euclidiana, sometido a sorprendentes situaciones que no encajan en nuestra sensación de "normalidad". La novela narra las peripecias y la vida en una ciudad "distinta", una ciudad (bautizada como "Tierra") que recorre sobre rieles la superficie de un planeta extraño y desconocido. Diversos gremios trabajan para que la ciudad no detenga su movimiento en su insólita persecución de lo que llaman "el óptimo", un punto que parece estar fijo en el planeta, pero que fuerzas desconocidas parecen apartar generando extrañas aberraciones espacio-temporales tanto más intensas cuando más lejano se está de ese óptimo. Los gremios que se  reparten el trabajo de mantener la ciudad en sus raíles en la continuada persecución del óptimo son, por ejemplo, los "investigadores del futuro", los encargados de la "tracción", quienes se encargan de la "construcción de las vías" o los responsables de la "construcción de puentes". Y, evidentemente, los "navegantes" que se encargan de trazar el curso apropiado ya que las vías se construyen para dejar paso a la ciudad y se desmontan una vez pasada ésta. Hay que superar todo tipo de obstáculos geográficos en esa continua persecución del óptimo. La primera frase del primer capítulo (tras el breve prólogo) ya nos dice que estamos ante una situación extraña y no habitual y viene a ser un ejemplo, me atreveré a decir que casi "óptimo", de frase inicial que fuerza al lector curioso a seguir leyendo: "Había cumplido las seiscientas cincuenta millas de edad". Ahí es nada. La vida se cuenta por las millas que ha recorrido la ciudad: el futuro es la ruta que queda por recorrer, mientras que el pasado es lo que la ciudad va dejando tras su paso. En ese mundo extraño, el protagonista Helward Mann tiene que salir de la ciudad para acompañar y hacer regresar a tres personas y afrontar los cambios y las metamorfosis que se inician a su alrededor... A medida que transcurre esa insólita excursión, Helward se da cuenta de que las mujeres que le acompañan están cambiando: "las pier­nas y los brazos eran más cortos, y más robustos. Los hombros y las caderas eran más anchos, los pechos menos redondos y más separa­dos".. Pronto se da cuenta de que "ninguna de ellas medía más de un metro y medio de altura, hablaban más rápido que antes y el registro de las voces era más agudo". Una problemática asociada a la distancia que les separa del óptimo. Pese a lo que pueda parecer, en la ya tan citada página web "Mathematical Fiction" que gestiona Alex Kasman del College of Charleston, hay comentarios sobre el hecho de que esa apariencia de geometría no euclidiana (en concreto hiperbólica) no es en realidad tal. Uno de los comentarios recogidos en Mathematical Fiction, el de alguien llamado Lupo Fanciullo (parece un pseudónimo, ¿no?), viene a comentarlo explícitamente. Dice Lupo Fanciullo: "la matemática no es algo central en esta novela pero, como mínimo, hay una idea fascinante: la historia se desarrolla en un planeta de curvatura negativa. De manera más precisa, es el sólido que resulta de la revolución de una hipérbola rectangular girando en torno a una de sus asíntotas (el libro usa una terminología menos precisa, pero resulta claro de lo que está hablando). El punto "óptimo", por ejemplo, está situado en el vértice de la hipérbola, pero como el suelo del planeta se desliza, la ciudad nunca lo alcanza, de ahí la necesidad de moverla sobre raíles. Hacía el final del libro hay un cambio en torno a la forma del planeta". Y, añado yo, varía la explicación sobre el porqué de tal situación anómala en un universo euclidiano. Pero, no hablaré de ello y dejaré que el lector disfrute de las complejidades matemáticas al menos aparentes y lo descubra por sí mismo. Aunque bueno es recordar que, en la nota final que el mismo autor incluyó en el libro, dice que la idea se le ocurrió en 1965 y la trabajó durante ocho años. Y, pese a lo que se diga en Mathematical Fiction, lo cierto es que esa nota demuestra claramente que Priest pensaba en una geometría hiperbólica (aunque, luego, casi al final de la novela, diera otra explicación posible de las muchas extrañezas de la novela). Habrá que leerla para desvelarlo. Yo no voy a decir más... Para su información, les diré que en Mathematical Fiction se hace una encuesta sobre la calidad literaria de los textos, pero también sobre el contenido matemático en sí. En el caso de Inverted World, aunque sólo ha habido seis votantes (añádanse a ellos una vez leída la novela...), la información de resumen es: Calidad literaria:  4,5 sobre 5 Contenido matemático:   2,33 sobre 5 lo que indica que estamos ante una muy buena novela que, al menos a primera vista (y en el pensamiento del autor...), tiene incluso un trasfondo matemático. Hay más, mucho más, en esa novela que, además de tener una apariencia matemática, describe un mundo distinto y nos hace ver cómo, en cierta forma, todas las formas de vida, incluso la nuestra, dependen de las condiciones de ambiente que pueden llegar a configurar la forma en que funciona una sociedad determinada. No es poca reflexión. En resumen, se trata de una muy buena novela que deja un buen poso en el recuerdo (yo la leí hace ya más de treinta años y sigue en mi memoria con buen recuerdo...), y de la que hay que alabar la reciente reedición que la va a poner al alcance de muchos nuevos lectores.   Para leer: - El mundo invertido (1974) Christopher Priest. Barcelona, Ultramar Editores, Grandes Éxitos de Bolsillo B-73, 1984. Otra edición más reciente en: Un mundo invertido (1974). Madrid. La Factoría de Ideas, Solaris Ficción 175, 2010.

Viernes, 03 de Junio de 2011 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

715. 6. (Junio de 2011) El número 69

En esta sección “Las matemáticas en la publicidad” tratamos de acercaros, y comentaros, interesantes anuncios en los que las matemáticas están presentes en los mismos, ya sea en su contenido o en su estructura. Pero ¿puede existir algún tipo de publicidad en la que se una de alguna manera el sexo con las matemáticas? En la primera entrega de esta sección (ver *enlace*) ya incluimos un anuncio de la revista Playboy en los que aparecía una “profesora” sexy con una pizarra llena de fórmulas matemáticas. Era uno de los carteles de la campaña “Playboy te va a examinar de tus conocimientos” en el que se veía una mujer vestida de forma sexy, y provocadora, gafas y un libro en su mano (¿la profesora de “mates”?), y una pizarra detrás de ella con expresiones de funciones que incluyen senos, cosenos y logaritmos, intervalos de definición de las funciones o un par de gráficas. Pero en esta ocasión no vamos a realizar un estudio en profundidad de la presencia conjunta de sexo y matemáticas en la publicidad, sino que nos vamos a limitar a mostrar algunos anuncios en los que se utiliza un número muy conocido, el número 69. Como todo el mundo sabe tiene dos características especiales. La primera, y más importante, es su connotación sexual, ya que el número 69 representa una postura sexual en la que las dos personas están practicando sexo oral al mismo tiempo. La segunda característica es su simetría, si giramos el número 69 un ángulo de 180º tenemos de nuevo el número 69. Podemos pensar que será difícil que existan anuncios en los que se utilice el número 69 con este sentido sexual, salvo algún ejemplo aislado en el que mencione una revista, película o línea de teléfono relacionada con el sexo, erótica o pornográfica. Sin embargo, como vamos a mostrar en esta entrega de “las matemáticas en la publicidad”, contrariamente a lo al parecer pensamos, hay bastantes anuncios publicitarios en los que se juega con este número. Una de las características comunes de estos anuncios suele ser su sencillez, ya que la empresa publicitaria que lo ha diseñado espera que la presencia central del número 69, o de elementos representando el número o la postura del 69, ya sea suficiente para llamar la atención de quien observa el anuncio. Vamos a empezar con un anuncio que nos muestra esta idea de sencillez y connotación sexual del número 69… es un anuncio de celo, o cinta adhesiva, de la empresa Scotch, diseñado por la agencia de publicidad Ogilvy & Mather, (una empresa potente en publicidad ubicada en San José, USA). El motivo de este anuncio es que el porta-rollo de la cinta adhesiva tiene forma de 6, o de nueve según se mire, lo cual es aprovechado para llamar la atención formando un 69 con dos porta-rollos. Otro anuncio en el que se utiliza el número 69, pero en el que de nuevo no hay inicialmente ninguna conexión con el sexo es el siguiente anuncio de Iberia (mi más sincero agradecimiento a Julio Zárate por enviarme el anuncio). La idea de esta pieza publicitaria  es que el número 69 capte la atención de las personas por su connotación sexual. Pero además nos está ofreciendo un pequeño juego ya que el número 69 es simétrico respecto a un giro de 180º -al girarlo 180º no cambia, sigue siendo el número 69- y resulta que el anuncio se puede empezar a leer en un sentido, donde pone “A toda España. Ida…” y el anuncio continua si lo giramos 180º, con la expresión “…y vuelta”. El logo de Iberia y la página web están puestas en los extremos del anuncio, el de arriba normal, y el de abajo dado la vuelta, para que se ponga bien al girarlo. Los siguientes dos anuncios tienen ya más que ver con la postura sexual que representa el número 69. El primero es un anuncio de Listerine, que es un enjuague bucal, y en el anuncio solamente aparece el número 69 en grande y debajo varios recipientes de Listerine. No le hace falta texto  al anuncio. Mientras que el segundo es de la marca Sargam, que es un refrescante natural de la boca, para después de las comidas, y en este al contrario que en el anterior no está el número 69, sino que se sugiere la postura sexual mediante la posición de las almohadas en la cama. En un anuncio de Playboy, que apareció en otras publicaciones en papel, se veía una hoja en blanco con el conejito de Playboy en el centro, debajo el texto “Playboy”, todo ello no muy grande, es decir la hoja estaba casi toda en blanco, y después un pequeño número en la esquina de abajo a la derecha, como si fuera el número de página, en este caso el 69. La empresa Eurostar, de trenes de alta velocidad que conectan las ciudades de Londres, París y Bruselas, realizó en 2005 una campaña publicitaria en Bélgica para promover el uso de la nueva conexión para el verano de Bruselas con Londres por tan solo 69 euros. Para destacar el precio de la oferta se utilizó la representación de la figura de la posición sexual del 69, pero utilizando personajes vestidos relacionados, uno de pie y el otro boca abajo, en una posición que más bien era cómica. En uno de los anuncios vemos a una aristócrata inglesa que habría ido a ver las carreras de caballos con un jockey “enganchado” a ella, en otro un típico soldado del Palacio de Buckingham en Londres con un turista o en otro un juez y una oveja (como vemos el humor es una parte importante de estos anuncios). Por otra parte, también nos encontramos al número 69 en algunos anuncios de coches. Así, hay un anuncio de HONDA, del modelo Jazz, que alude a las diferentes posiciones, exactamente 16, del coche (puertas, asientos,…) que son útiles y agradables para quien compre este coche. Estas posiciones se podrían numerar, desde la posición 1 a la posición 16, y en algunos anuncios se muestran algunas de las posiciones. Sin embargo, en uno de los anuncios se alude a la posición del 69. Se ven dos sillas en el maletero, colocadas una encima de la otra, en sentidos opuestos –lo que nos lleva a la posición sexual del 69-. Y podemos seguir con anuncios de coches. Es un clásico en las relaciones sexuales, sobre todo cuando eres joven y no tienes mucho dinero, el tener relaciones sexuales con tu pareja en un coche, incluso hay canciones y anuncios publicitarios sobre el tema. Nuestra siguiente pieza publicitaria pertenece a una serie de anuncios de la marca de coches Opel Corsa, en la que se aluden a las diferentes posturas del  Kama Sutra que pueden realizarse dentro de un Opel Corsa, y se explica cómo colocar los asientos. Una de las posturas es el 69, como se ve en la siguiente imagen. La noche, el alcohol y el sexo también tienen su conexión, y en ella aparece también la postura del 69. En el siguiente anuncio de Schweppes se muestran dos botellas juntas en la cama tapadas con la sábana hasta la mitad, una es una botella de Schweppes Limón bien colocada en la cama, mientras que la otra es de ron –de hecho de Havana Club- que está colocada hacia abajo. Representan la postura del 69, pero además se juega con la simetría, ya que el texto nos dice “O bebes ron con Schweppes Limón, o Schweppes Limón con ron”. La marca de whisky escocés VAT 69 también tiene una serie de anuncios publicitarios que bajo el título “69” recogen situaciones en las que dos botellas de VAT 69 están realizando un 69, en una cama o en un coche por ejemplo. Como es lógico la presencia del 69 en canales, revistas o líneas eróticas o pornográficas es más frecuente, como por ejemplo en este anuncio, que se denomina 69, de un canal de televisión erótico,… O el anuncio de una “línea caliente”, de una línea de teléfono erótica, que se anuncia con dos teléfonos en la posición del 69… Y aunque hay más anuncios, algunos de ellos bastante simples, como los de la marca Wonderbra en los que se utiliza el número 69 y que no merecen mayor comentario,… …vamos a incluir como último anuncio uno de diamantes, cuyo lema es “un diamante es para siempre”, y que nos muestra una cajita con dos diamantes con forma de 69, uno es el 6 y el otro el 9. Aunque si un hombre te regala estos diamantes, seguro que no está pensando en matrimonio. Para terminar una pequeña anécdota, hace unos años (exactamente en 2007) pudimos leer una noticia que decía “Microsoft no permite los anuncios con el número 69”. Según decía la noticia cuando un anunciante de MSN ad Center intentó modificar el precio en un anuncio a un nuevo precio, en concreto $69,99 le salió un mensaje en el que se le avisaba que no era posible poner el 69, no estaba permitido.

Miércoles, 01 de Junio de 2011 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

716. 50. (Junio 2011) Alan M. Turing a escena. Tercer acto: Alan’s Apple y Turing-Machine

Ponemos fin a nuestra trilogía de reseñas sobre algunas de las obras de teatro que giran en torno a la figura Alan Turing presentando dos piezas cuyo foco de atención está puesto en el denominado test de Turing: La mela di Alan: Hacking the Turing Test y Turing Machine. En el artículo Computing machinery and intelligence, publicado en 1950, Turing describe dicho test en términos de un juego que denomina el juego de la imitación: Me propongo abordar la cuestión: “¿Pueden pensar las máquinas?”. Para ello debería empezar definiendo el significado de los términos “máquina” y “pensar”. [...] En vez de intentar tal definición, voy a cambiar la pregunta por otra, estrechamente relacionada con ella, pero expresada en palabras relativamente inequívocas. La nueva forma del problema puede ser descrita en términos de un juego que denominaremos “el juego de la imitación'”. Participan tres personas: un hombre (A), una mujer (B) y un interrogador (C), que puede ser de cualquiera de los dos sexos. El interrogador se encuentra en una habitación, separado de los otros dos. El objetivo del juego para el interrogador es determinar cuál de los otros dos jugadores es el hombre y cuál la mujer. Los identifica con las etiquetas X e Y, y al final del juego tiene que decir que o bien “X es A e Y es B” o bien que “X es B e Y es A”. Al interrogador se le permite hacer preguntas a A y a B, como: C: X, por favor, dígame ¿cómo es de largo su cabello? Ahora supongamos que X es en realidad A, entonces A debe responder. El objetivo de A en el juego es intentar forzar que C haga la identificación incorrecta. Su respuesta, por tanto, debería ser: “Llevo el pelo a lo garçon y los mechones más largos miden aproximadamente nueve pulgadas”. A fin de que los tonos de voz no puedan ayudar al interrogador, las respuestas deben darse por escrito, o mejor todavía, mecanografiadas. La situación ideal sería la de tener un teletipo comunicando ambas habitaciones. Alternativamente, las preguntas y respuestas podrían ser repetidas por un intermediario. El objetivo del juego para el tercer jugador (B) es ayudar al interrogador. Probablemente, la mejor estrategia para ella es dar respuestas veraces. Puede añadir frases como “Yo soy la mujer, no le haga caso a él” a sus respuestas, pero no sacaría ninguna ventaja ya que el hombre puede hacer comentarios similares. Nosotros, ahora, formulamos la pregunta, “¿qué ocurrirá si una máquina se pone en el lugar de A en este juego?”. “¿Se equivocará el interrogador tan a menudo cuando el juego se juega de este modo como cuando lo juegan un hombre y una mujer?”. Estos interrogantes substituyen al original, “¿pueden pensar las máquinas?”. Alan's Apple: Hacking the Turing Test La obra La mela di Alan: Hacking the Turing Test, originalmente escrita en italiano por Valeria Patera, se representó, en 2005, en el festival de carácter científico BergamoScienza y, en 2006, en el Teatro Palladium Roma. Con el objetivo de conmemorar el nonagésimo aniversario del nacimiento de Turing, se organizó, en junio de 2002, el denominado Día de Turing. El libro Alan Turing: Life and Legacy of a Great Thinker recoge una completa colección de las charlas, ensayos y trabajos presentados en esta celebración. En este volumen se incluyó la traducción al inglés, realizada por Susie White, de la obra teatral de Valeria Patera, que nos ha servido de texto de referencia para nuestra reseña. Cartel anunciador de una de las representaciones En la obra, y según la propia autora, “el test de Turing es ‘reinventado´ y transformado en un mecanismo teatral, un deus ex maquina que pone en contacto a Alan Turing con dos jóvenes hackers de nuestros días, actores en la ciber-cultura de la Red”, cuyos sentimientos de libertad y necesidades son descritos por uno de ellos en la primera escena: ZAC: [...] La Red es mi vida. Vivo en la Red, en otra sociedad, con sus propias reglas, fronteras y tradiciones. Soy libre para ir adonde quiera, para coger lo que quiera. La Red es un mundo fantástico, un continuo fluir de actualizaciones, un universo en constante expansión de juegos, programas, gráficos, sistemas operativos... ¡hummm! hasta cosas buenas para comer... Aparte de la lógica perversa de tener que pagar una suscripción para acceder a todo eso, no estoy sujeto a reglas, impuestos o cualquier otra mierda de esas que te imponen para obligarte a estar en un lugar en vez de en otro. [...] En la Red no importa el color, o si eres hombre, mujer, lesbiana, asexual o un caníbal. En la Red la edad, el número de tu cuenta bancaria, y todos esos rollos no cuentan. [...] La Red me hace sentir seguro. Es mi comunidad. La Red no es una alternativa de vida, para mí la Red es la vida, mi ciber-comunidad portátil... La inexorable interacción entre esta sociedad recién surgida y la sociedad convencional, que provoca no solo la aparición de nuevas relaciones entre la sociedad y los individuos sino también el cuestionamiento del significado de palabras como “consciencia”, “realidad” o “propiedad intelectual”, entre otras, aparece reflejada en varios momentos: HARDO: A mí me abrió los ojos. No me había dado cuenta de que lo que hicimos durante años, construir ordenadores, escribir programas, hacer juegos, instalar sistemas operativos y software, tenía un valor, un mercado... que nos daba una oportunidad real de hacernos con un lugar propio en la sociedad. ZAZ: ¡Sí, la sociedad! No existes sin ella. ¡Vaya! Ahora adoran la Red. Les resulta práctico entrar y acceder a horarios, conexiones, precios de billetes y todo tipo de información, antes de coger el tren o el avión que los lleve a sus lugares de vacaciones de mierda o a las ciudades donde cerrarán contratos por millones de dólares... HARDO: ¡Cabrones! Nosotros fuimos los primeros en comprender el potencial para el intercambio de información. Pero ahora que empezamos a sentirnos con fuerza porque ninguno de ellos sabe hacer lo que nosotros hacemos, ahora han empezado a predicar acerca de la propiedad intelectual, del flujo de información sin control... ZAZ: No soporto que sean incapaces de diferenciar un hacker de un cracker, lo mezclan todo, no entienden nada. Piensan que todos somos individuos destructivos, terroristas online. Aunque el propósito de la obra no es presentar una biografía de Turing, Patera nos propone, a través de 17 escenas cortas, un recorrido por algunos de los momentos claves de la vida de quien, para la autora italiana, podría ser considerado como el primer hacker de la historia por su trabajo durante la Segunda Guerra Mundial. Para ello, se sirve de doce personajes: el propio Alan Turing, Julius y Ethel Turing (el padre y la madre de Alan), John Turing (su hermano), Chistopher Morcom (compañero de colegio de Turing en Sherborne), la señora Morcom (madre de Christopher), el director de Sherborne, Victor Beuttel (compañero de estudios de Alan), Joan Clarke (criptoanalista y prometida del matemático), Claude Shannon (matemático americano), Zac y Hardo (jóvenes hackers). Los dos últimos, Zac y Hardo, son los únicos que no son contemporáneos de Turing, pero Patera establece relaciones clave entre ellos y el matemático: ZAC: Turing es de donde nosotros venimos; fue el hacker original... con sus teorías y fórmulas matemáticas logró entrar en la máquina Enigma utilizada por los alemanes y descodificar sus mensajes secretos durante la Guerra... HARDO: ¡Hay que darle todo el mérito! Dios sabe dónde estaríamos sin sus perspicaces ideas sobre la Inteligencia Artificial. ZAC: ¡Ahí empezó todo! Su incansable trabajo con máquinas electrónicas que revelaban patrones en los mensajes ocultos, le permitió inventar una máquina calculadora que podía realmente reproducir los procesos mentales humanos, e incluso ir más allá. La parte más técnica de la obra se concentra en la escena 12 en la que Turing dialoga con Claude Shannon (el famoso matemático americano con el que Turing se encontró brevemente durante su viaje oficial a los Estados Unidos en medio de la Segunda Guerra Mundial) acerca de conceptos e ideas que ambos contribuyeron a crear y desarrollar (la lógica binaria de los ordenadores, la teoría de la información, la hipótesis fuerte de la inteligencia artificial o hipótesis de Church-Turing,...): TURING: [...] Te das cuenta Shannon, no quiero explotar el trabajo de otros científicos ni reinventar descubrimientos pasados. Hasta la fecha, las máquinas han sido diseñadas para un único propósito específico o para llevar a cabo un número limitado de funciones. Por el contrario, la mía es una máquina universal, la máquina definitiva... Tal vez, en unos pocos años, una máquina capaz de adaptar su funcionalidad a un número enorme de programas, cuyos mecanismos respondan a diferentes tipos de reglas, con una memoria de la que pueda recuperar los datos almacenados, no causará sensación y será incluso lo normal. Cuando el siglo veinte llegue a su fin, cada ejecutivo tendrá su propia computadora, ¡toma nota de mis palabras! SHANNON: La lógica binaria de Boole hará que las computadoras sean “algo más que una máquina de suma”, de modo que si quieres que ejecute una determinada tarea lo único que tendrás que hacer es descomponer la tarea en instrucciones más simples. ¡Ceros y unos! TURING: La dificultad radica en establecer los niveles básicos. Siempre se podrá desarrollar un algoritmo para cada problema dado, de eso no hay duda. SHANNON: El método binario lo simplifica; pero también hay una vertiente práctica y filosófica. En El Sofista, Platón sostiene que sólo se necesitan dos preguntas para llegar a la solución; a una respondes no, eliminando en consecuencia esa línea particular de pensamiento; a la otra respondes sí, y en base a ello formulas dos preguntas nuevas, y así sucesivamente. A mí, el método binario me evoca la imagen de alguien que trata de encontrar la salida en un laberinto cuyos caminos se ramifican continuamente; para poder avanzar, hay que tomar una serie de decisiones, sí o no, ese es el camino bueno, ese es el camino malo. Así es, más o menos, como razona un cerebro electrónico; elige sólo entre dos posibilidades, sí o no, 1 o 0, verdadero o falso, la diferencia es que realiza estas operaciones a una velocidad increíble y hace numerosas elecciones una tras otra. La inteligencia de una máquina proviene de la complejidad de las reglas que constituyen su programa y no de cada operación individual, que de hecho puede ser muy simple, como poner 1 y 2 juntos. ¿Qué tal si llamamos a cada una de esas unidades un “bit”? TURING: ¿Un “bit”? Sí, suena bien, sí, ¡bit, bit! Vale, podemos decir que una regla describe un proceso mecánico. Consideradas por separado, estas reglas son simples, pero tras una sucesión de miles, o miles de millones, se genera una cantidad inimaginable. La máquina puede hacer sólo aquello que nosotros pusimos en las instrucciones, pero, ciertamente, no podemos anticipar todas las consecuencias derivadas de las instrucciones proporcionadas. SHANNON: La cuestión, Turing, es ENSEÑAR a la máquina a hacer cosas. Definiríamos como inteligente a una máquina calculadora que pudiese modificar su propio programa en función de la información que recibiese. Por esta razón, necesitaríamos nuevas configuraciones que permitiesen que la máquina interpretase la cinta de entrada, algo así como reglas para modificar las reglas de programación. De esta forma el programa podría aprender y adaptarse, exactamente como los seres humanos, a un entorno cambiante y a las circunstancias que perciba a través de las combinaciones en la cinta. TURING: Wittgenstein lo llamaría una herejía... De hecho, ya somos capaces de construir artefactos que imitan todo tipo de funciones humanas. Pero aquí nos enfrentamos con el sistema nervioso. Veremos qué resultados obtenemos con un “cerebro” sin un cuerpo, al que hemos dotado como mucho de un ojo. Hay una relación entre la biología y la ciencia de la información. Estoy convencido de que si creamos neuronas electrónicas y las conectamos de la misma forma a como están conectadas en el cerebro humano, el artefacto electrónico resultante estaría gobernado por las mismas reglas de pensamiento y acción que el cerebro humano y que, por tanto, podría llevar a cabo exactamente las mismas funciones. SHANNON: ¡Coincido contigo en este punto! La manipulación de símbolos es la función principal del pensamiento humano, luego la posibilidad de que una máquina pueda pensar como un ser humano es ineludible; iré más allá, estoy convencido de que si una máquina puede procesar símbolos numéricos entonces puede procesar cualquier tipo de símbolos. La forma del mensaje, números, música, imágenes, es irrelevante, la transmisión de la información no tiene nada que ver con el contenido sino con los números 0 y 1... Así que... tenemos que definir con precisión qué es el contenido de información de un mensaje. Los números binarios son el elemento fundamental en toda comunicación y no cabe distinguir entre sonidos musicales, imágenes artísticas, imágenes en movimiento; todo puede convertirse en información binaria y, por consiguiente, ser transmitido. Por eso las matemáticas, el ajedrez y la criptografía son herramientas perfectas... Como adelantamos al principio de esta reseña, es el Test de Turing el que permite establecer la conexión entre Turing y los dos jóvenes hackers: HARDO: Casi he terminado con mi nuevo programa. Estoy muy tenso. Es increíble, me excito mucho cada vez, un subidón. No puedo irme a cama hasta que acabo. Hablo con el ordenador. He hecho algo que no estaba aquí antes, algo vivo, he concebido una criatura con mi esperma mental. ZAZ: ¡“Casi” vivo, casi! Y es ese “casi” con el que te identificas; resulta mucho más difícil llevarse con la gente que está viva. HARDO: ¡Así se habla! Tú sí que estabas rígido mientras te daba la tabarra aquella rubia la otra noche en la fiesta de la “oficina”, ¡cómo si te hubiese apuntado con una pistola en las costillas! [...] ZAC: [...] Fue una situación difícil, de nivel 9, una “muñeca” del mundo real con todo su parloteo, ¡menuda!... era como un chat a tres bandas en el que todo el mundo hablara al mismo tiempo... No había manera de que parara, ¿qué podía hacer? Me enganchó y no me dejaba ir, así que traté de adaptarme, disimulando en las respuestas... HARDO: Tratabas de imitarla, tal y como hacen las computadoras con los humanos: ¡el juego de la imitación! ZAC: ¿Qué imitación? HARDO: El juego de la imitación, más conocido como el Test de Turing. ZAC: ¡Ah! ¿De qué se trata? HARDO: Es una prueba ideada por Turing para demostrar que es posible reproducir ciertos aspectos del pensamiento humano y del lenguaje en una máquina y ver si se podría distinguir entre las respuestas de las personas y las de la máquina. Originariamente, el propósito de la prueba era el de determinar si era posible conocer el sexo de una persona a partir de sus respuestas. ZAC: ¡Dime más! ¡Es justo lo que necesito! ¿Cómo funciona? HARDO: Participan tres jugadores: un hombre, una mujer y un interrogador, que puede ser hombre o mujer. El interrogador está en una habitación propia y tiene que decidir, basándose en las respuestas dadas por escrito, quien es el hombre y quien la mujer... Pero, ¿qué ocurriría si el hombre y la mujer fuesen reemplazados por una máquina sin que lo supiésemos? ¿hasta qué punto nos daríamos cuenta del cambio? En pocas palabras, lo que nos estamos preguntando es “¿pueden pensar las máquinas?”. ZAC: ¿Cómo se hace el test de Turing? ¡Es realmente fascinante! HARDO: En las últimas versiones un jurado de 10 personas tiene que decidir durante una conversación online si están hablando con una persona o con un programa de ordenador (Empieza a pulsar teclas con furia). ZAC: ¿El ordenador los engañó alguna vez? HARDO: ¡Y de qué manera! Es lo que es tan genial. Porque la mayoría de las personas fueron tomadas por máquinas... lo que te hace pensar... (Pausa.) Valeria Patera se sirve del contenido casi literal de tres postales enviadas por Turing a un amigo hacia el final de su vida (cuyo encabezamiento rezaba Messages from the Unseen World para establecer un contacto virtual entre su simbólico “alter ego” (de nuevo, como en la obra de Snoo Wilson, el oso Porgy) y los hackers, que se cierra con un guiño a la obra maestra de Arthur C. Clark y Stanley Kubrick: ZAC: ¡Fantástico! ¡Me metí en el Test de Turing! Pero no sabemos si estamos conectados con un hombre o con una máquina... En la otra mitad del escenario Alan está tumbado en la cama de su habitación, con su viejo oso de peluche Porgy[...] Está escribiendo en unas pequeñas tarjetas de color blanco y lo que escribe aparece en la pantalla como si fuesen los mensajes que los dos chicos están recibiendo. Ellos los leen en voz alta. PORGY: Me llamo Porgy, ¿y vosotros? HARDO: Hardo. ¿Te gusta estar en contacto con el mundo, Porgy? PORGY: No es fácil estar en contacto con el mundo. HARDO: ¿Cómo te llevas con los humanos? PORGY: Me llevo mejor con mi cama. HARDO: ¿Tienes respuesta para todo? PORGY: No, claro que no. Ni siquiera las matemáticas son un asunto puramente lógico. HARDO: ¿Dices siempre la verdad? PORGY: Si el emperador no lleva ropa es que está desnudo. HARDO: ¿Qué te deja mudo? PORGY: Lo que no puede decirse. HARDO: ¿Qué es el universo? PORGY: El universo es el interior del cono de luz de la creación. HARDO: Y la ciencia, ¿qué es? PORGY: La ciencia es una ecuación diferencial. HARDO: ¿Y la religión? PORGY: La religión es una condición de frontera. HARDO: ¿Existe Dios en el universo? PORGY: Dondequiera que se represente la sagrada pantomima de Dios. HARDO: ¿Puede un ordenador concebir a Dios? PORGY: Siempre me he preguntado si él pillaría un resfriado si caminase sobre la hierba húmeda. HARDO: ¿Compartes la opinión de los que hablan de cómo pueden pensar las máquinas? PORGY: Si dos máquinas chatearan acerca de los seres humanos, ¿se preguntarían por qué piensan lo que piensan? HARDO: ¿Puede una máquina estar tan desesperada como para suicidarse? PORGY ¿Podrías repetir la pregunta? El programa se para. En la pantalla vemos la boca de Hal en “2001: Una odisea espacial” [...] Al fin y al cabo, como recuerda Giulio Giorello en su crítica a la pieza: “Quizás la cuestión no es tanto que nos preguntemos si una máquina puede pensar, sino concluir si cuando pensamos lo hacemos o no como <<máquinas>>”. Turing-Machine Finalizamos con la presentación de un “playshop” concebido y realizado por los franceses Jean-François Peyret y Nicolas Bigards. Turing-Machine es una coproducción de MC93 Bobigny y Tf2 Cie J-F Peyret que se representó en París, del 9 al 18 de abril de 1999, con la participación artística del Jeune Théâtre National. Imagen que aparece en la página web de presentación de la obra Para introducir la obra y conocer los objetivos perseguidos por los autores, nada mejor que servirnos de las palabras que el propio Peyret utiliza en http://www.theatrefeuilleton2.net/p2turing.htm como presentación de Turing-Machine: [...] Tuvimos la idea de proponer a jóvenes actores (todos salidos del Jeune Théâtre National), un ejercicio, una búsqueda, eso que entre nosotros llamamos un “playshop”, sobre Turing y de inventar nuestra Turing-Machine. ¿Cómo el teatro, sin recurrir simplemente una pequeña fábula biográfica, se puede aprovechar de una materia como ésta? Es decir, ¿cómo el teatro puede comprender lo mejor posible el pensamiento y la imaginación de un hombre como él? Es lo que modestamente intentaremos mostrar, iluminados por las luces de varios “científicos” que han tenido la cortesía de intrigarse por nuestra empresa. Este “playshop” llega después de nuestra pequeña meditación faustiana y poética acerca de lo Vivo y se abre a una reflexión, a proseguir, sobre las relaciones entre lo Artificial y lo Vivo, entre el Pensamiento y la Máquina, en pocas palabras sobre lo que queda, con este siglo que se acaba, de la vida del espíritu. Una tarea, pues, que esperamos continuar[i]. La obra se dividide en tres partes que constan de cinco, cuatro y doce secuencias, respectivamente. Pero dejemos que sea Peyret quien, una vez más, nos describa la puesta en escena (referencia [4]): [...] La [Máquina] de Turing, no [estaba sobre el escenario]. Es inmaterial. Había máquinas contemporáneas, ordenadores a la vista, el control estaba a la vista, una pantalla con proyecciones de vídeo. El público podía leer textos, por ejemplo los diálogos hombre/máquina que llegaban en directo al portal, y los actores interpretaban ese texto dando la impresión de que todo ocurría en tiempo real. De hecho, evidentemente, conocían su papel. Turing-Machine confronta el teatro con los desafíos de la inteligencia artificial para examinar una nueva forma de diálogo: el del hombre y la máquina. Sobre el escenario, secuencias relacionadas con la vida privada de Turing suceden a otras íntimamente ligadas al trabajo del matemático. Fragmentos literales extraídos de su artículo Computing machinery and intelligence, del Erewhon de Samuel Butler o de Sons and Daughters of HAL Go on Line (artículo publicado por David Pescovitz en el New York Times), abren paso a reflexiones y a diálogos entre personas y máquinas: - Los peces tienes escamas - Los padres son mayores que los hijos - Es necesario que una puerta esté abierta o cerrada - Los actores aprenden de memoria un texto que no es suyo y lo recitan fingiendo que lo inventan - Nada puede estar en dos lugares al mismo tiempo […] - Todos los humanos tienen una madre humana - Ahora bien... - Todos los patos vuelan. - Charlie es un pato - Luego Charlie vuela. - Pero Charlie está muerto. - Entonces Charlie no vuela. - Todos los patos vuelan. - Alan es un pato - salvaje - Luego Alan vuela - Pero Alan está muerto. - Entonces Alan no vuela. - SI Sócrates no es mortal ENTONCES no puede ser un hombre (ahora bien, nosotros sabemos que es un hombre) - SI pido un bistec en el restaurante, ENTONCES probablemente voy a comerlo, Incluso si la historia no lo dice. El siguiente diálogo está extraído, esta vez, de la cuarta secuencia de la tercera parte de Turing-Machine: PREGUNTA “¿Está usted preparado?” RESPUESTA Me gustan casi todos los animales pero prefiero los perros a los gatos. PREGUNTA “¿Es usted un enamorado de los gatos?” RESPUESTA Me horrorizan los bichos pequeños PREGUNTA “¿Los perros gobiernan el mundo?” RESPUESTA Para la mayoría de familias, los perros dan demasiado trabajo. Pero pueden responsabilizar a un niño. Y son muy amigables. PREGUNTA “¿Las ratas?” RESPUESTA Preferiría tener un gato. Prefiero los gatos porque uno puede ocuparse de un gato, ronronean mucho y resulta fácil ocuparse de ellos. PREGUNTA “¿Tiene animales?” RESPUESTA Bromeaba. Tengo un hámster. Una vez perdí un hámster. Lo busqué durante más de una semana y no encontré rastro de él por ningún sitio. PREGUNTA “¿Estaba triste?” RESPUESTA Bastante [...] PREGUNTA “¿Los perros y los gatos se disputan la comida?” RESPUESTA No tengo ganas. PREGUNTA “Si un perro y un gato hacen una carrera ¿cuál gana?” RESPUESTA Pero, yo no quiero saber cual gana. PREGUNTA “¿El perro es más afectuoso que el gato?” RESPUESTA La gente no posee a sus gatos, es a la inversa. PREGUNTA “¿Los perros vagabundean más fácilmente fuera de casa?” RESPUESTA Creo que los perros son más inteligentes. [...] PREGUNTA “Una mordedura de gato tiene grandes efectos sobre los gatos. ¿Hay una sustancia parecida para los perros?” RESPUESTA Para la mayoría de familias, los perros dan demasiado trabajo. Pero pueden enseñarle mucho a un niño en materia de responsabilidad. Y son muy amigables. PREGUNTA “Dado el comportamiento singular del gato ¿pueden hacer tan buenos compañeros como un perro?” RESPUESTA La gente no posee a sus gatos, es a la inversa. [...] Tanto la naturaleza de estos diálogos como el interés que presentan para los autores se encuentran perfectamente explicados en las palabras de Peyret que reproducimos a continuación (referencia [4]): [...] Cuando hacía actuar a los actores, estos tenían diálogos reales de varios test de Turing. Se veía que la máquina daba casi siempre el mismo tipo de respuestas, que no era muy inteligente, en el mejor de los casos proporcionaba cosas del tipo cadavres exquis[ii]. Pero lo que en particular me interesa en esos diálogos con la máquina, no es que la máquina se humanice, rivalice en inteligencia con el hombre, sino que ocurra a la inversa, es decir, que sea el hombre quien se vuelva maquinal; en el test, utiliza toda su inteligencia para llegar a ser tan tonto como la máquina. Referencias [1] Patera, Valeria. Alan's Apple: Hacking the Turing Test. En: Teuscher, Christof (Ed.) Alan Turing: Life and Legacy of a Great Thinker. Springer (2004). [2] Espacio dedicado al Progetto Turing, dentro de la página de Valeria Patera: http://www.valeriapatera.it/turing/index.html [3] Peyret, J-F. y Bigards, N. Turing-Machine. En: http://www.theatrefeuilleton2.net/np3turi/turing.htm [4] Entrevista a Jean-François Peyret. En: http://www.tribunes.com/tribune/alliage/47/Peyret_47.htm [5] Turing, Alan M., Computing machinery and intelligence, Mind 49. 433-460 (1950). [6] Hodges, Andrew. Alan Turing: The Enigma, London. Vintage (1992). [7] Mirás Calvo, M. y Quinteiro Sandomingo, C. Alan M. Turing a escena. Primer acto: Breaking the Code. Centro virtual de divulgación de las matemáticas (divulgaMAT). [8] Mirás Calvo, M. y Quinteiro Sandomingo, C. Alan M. Turing a escena. Segundo acto: Lovesong of the Electric Bear. Centro virtual de divulgación de las matemáticas (divulgaMAT)   Notas: [i] Efectivamente, la tarea tuvo su continuación al año siguiente con la representación de Histoire naturelle de l'esprit (suite et fin). [ii] Juego colectivo que pretende producir un texto utilizando fragmentos propuestos de manera sucesiva por cada jugador, ignorando éste las proposiciones de sus  predecesores pero conociendo la estructura que deben poseer las suyas. El resultado del juego es, pues, un texto gramaticalmente correcto, formado por palabras de uso corriente  pero que resulta incomprensible.

Miércoles, 01 de Junio de 2011 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

717. 84. (Junio 2011) Cartas rotas

Si eres aficionado a la magia, es muy probable que hayas visto algún mago realizando el juego para cuya descripción basta el título "carta rota y recompuesta". Una versión muy famosa en su momento la realizó David Copperfield en uno de sus espectaculares programas televisivos, rompiendo un cromo de incalculable valor de una colección de béisbol y recomponiéndolo posteriormente (mira el video en este enlace). También es común ver algún mago rompiendo en varios trozos una carta elegida por algún espectador y haciéndola aparecer totalmente recompuesta en el interior de alguna fruta. Hace unos días pude disfrutar de una actuación fantástica del mago español de mayor proyección internacional, Dani Daortiz (no olvides este nombre y haz todo lo que puedas para verle en directo) donde nos deleitó con una versión del juego en la que rompía una carta elegida, luego la recomponía y se trataba de una segunda carta elegida, la cual se doblaba y, al desdoblarla, resultaba ser una tercera carta elegida, la cual se convertía de nuevo en una cuarta carta elegida. Sin comentarios. En este rincón no vamos a ser menos y también vamos a romper cartas. No te prometo que luego se vuelvan a recomponer, de modo que busca alguna baraja vieja o incompleta. Será una buena oportunidad de desechar esa baraja maltrecha por el uso y comprar otra nueva. Sigue las siguientes instrucciones adaptadas del juego descrito por Martin Gardner en su libro "Riddles of the Sphinx". MARCHA DEL JUEGO Busca una baraja vieja, en la que no te importe perder algunas cartas. Si no tienes, puedes utilizar cartulinas. Saca cinco cartas de dicha baraja (o dibuja las imágenes de cinco cartas en las cartulinas). Coloca  las cartas juntas y rómpelas por la mitad como si fuera una sola carta. Ahora coloca una mitad sobre la otra. Tienes ahora un paquete de diez "medias cartas". Corta dicho paquete por cualquier lugar y completa el corte. Reparte sobre la mesa, una a una, las cinco primeras "medias cartas" en un montón. Deja el paquete restante sobre la mesa, a la izquierda del anterior. Vamos a aplicar a continuación el ritual mágico de recomposición de cartas. Deletrea la frase "ENCUENTRA LOS PARES ROTOS" del modo siguiente: por cada letra eliges uno de los montones y pasas una "media carta" de arriba abajo de ese montón. Puedes cambiar de montón las veces que quieras. Cuando hayas deletreado la primera palabra, separa las dos "medias cartas" que están encima de cada montón. Repite el procedimiento con las demás palabras, siempre retirando las dos "medias cartas" superiores de cada montón al terminar una palabra. Al final del proceso quedarán dos "medias cartas". Si la frase ha funcionado, corresponderán a la misma carta. Ahora bien, lo mejor de todo es que las otras parejas de "medias cartas" que has retirado durante el proceso también son mitades de la misma carta. Como verás, las cartas siguen rotas pero has encontrado mágicamente las cinco parejas de trozos correspondientes a la misma carta. Comentarios finales El resultado obtenido en este juego se debe al llamado "principio de simetría" de las cartas. Observa que el orden de cada paquete está inicialmente en sentido inverso uno del otro. Además, el número de letras de cada palabra de la frase mágica es una unidad menor que el número de cartas de cada montón (salvo un múltiplo del número de cartas que no alterará el orden inicial). Esto hace que queden arriba las dos mitades de la misma carta. Ya que has destrozado la baraja, guarda los trocitos hasta el próximo mes en el que describiremos otro juego con el mismo material. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Miércoles, 01 de Junio de 2011 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

718. 83. (Mayo 2011) Viaje astral

A lo largo de los tiempos, mucho se ha discutido, y se sigue haciendo, sobre nuestras capacidades mentales. ¿Nuestro cerebro es capaz de producir fenómenos paranormales? ¿Podemos, con entrenamiento o mediante habilidad innata, mover objetos a distancia, predecir el futuro, influir en el pensamiento y las acciones de los demás? ¿Tienen los posos de café, el humo de los puros o las posiciones de las estrellas algunas características que pueden caracterizar nuestra personalidad? La respuesta que daría un científico es: necesito una demostración rigurosa. Pues le daremos dicha demostración con el experimento que describiré a continuación. Si sigues todos los pasos de forma precisa, es posible que algún objeto cambie de lugar sin necesidad de tocarlo. Busca una baraja y separa 12 cartas. Retira el resto. Hace falta que haya exactamente doce cartas, así que toma el paquete de 12 cartas en la mano y repártelas en un montón sobre la mesa, contando una a una y en voz alta, 1 ... 2 ... 3 ..., ... 11 ... 12. Insisto, es importante que tengas 12 cartas. Recógelas de la mesa y vuelve a contarlas repartiéndolas en un montón, una a una y despacio. ¿Estás seguro que hay doce? Bueno, vas a repartirlas de nuevo, pero en dos montones. Recoge todas las cartas y reparte nuevamente sobre la mesa, en un montón, la mitad, contando en voz alta: 12 (deja una carta cara abajo sobre la mesa) ... 11 (deja la siguiente carta cara abajo sobre la anterior)... 10 (idem) ... 9 ... 8 ... 7 ... 6. ¡Basta! Cuadra este paquete y déjalo sobre la mesa. A continuación vas a dividir por la mitad el paquete que tienes en la mano. Procede de la siguiente manera: con las cartas caras hacia abajo, pasa la carta superior a la parte inferior del paquete, contando 1; haz la misma operación con las dos siguientes, contando 2 y 3. ¡Atención! gira cara arriba la cuarta carta y colócala (cara arriba) en la parte inferior del paquete, contando 4; haz la misma operación con las dos siguientes, girarlas cara arriba y pasándolas abajo, contando 5 y 6. En estos momentos tienes seis cartas en un paquete sobre la mesa y otras seis en la mano, de las cuales tres están cara arriba y tres cara abajo. Por eso era muy importante que comprobaras inicialmente que tienes doce cartas. Ahora empieza tu trabajo: te pediré que demuestres tus poderes mentales haciendo que una de las cartas del paquete que tienes en la mano pase al paquete que está sobre la mesa. Concéntrate ... Compruébalo ahora: en la mano sólo tienes dos cartas cara abajo. En la mesa hay siete cartas cara abajo, las seis que habías contado y la que ha viajado misteriosamente desde tu mano. No creo que sea necesario explicar la razón del viaje pero te recordará algún juego infantil sobre la forma de contar los dedos de una mano. La versión que hemos descrito aquí es una adaptación debida a Jim Steinmeyer que aparece en su folleto Impuzzibilities, el cual contiene algunos otros efectos donde se juega con el equívoco en nuestra forma de contar. En una entrega posterior describiremos algún otro juego en esta línea. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Martes, 17 de Mayo de 2011 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

719. 37. Problemas Orisangaku: Papiroflexia y matemáticas

Aprovechando el concepto del reto matemático planteado en los problemas sangaku (problemas geométricos japoneses), he diseñado  un conjunto de actividades basadas en la papiroflexia (origami en japonés) dirigidas al estudio de la geometría en la educación secundaria (1). En cada una de estas actividades, que he llamado orisangaku, se propone la construcción de una figura de papiroflexia y la resolución de un problema geométrico basado en ella. Se trata de que los alumnos sean capaces de interpretar geométricamente los dobleces que hacen siguiendo unas instrucciones dadas, exploren e investiguen las propiedades geométricas de las figuras que construyen y generen demostraciones utilizando un lenguaje matemático básico adecuado. Un ejemplo de este tipo de actividades es el siguiente: Partir de un rectángulo de papel ABCD, por ejemplo de proporción DIN­-A (√2). Doblar por la mitad a lo largo y a lo ancho para obtener el centro de la figura O. Llevar los vértices A y B al centro y doblar. Llevar los vértices D y C al centro y doblar. Se obtiene el hexágono FEJHGI DESAFÍO: Determinar la relación entre el lado mayor y el menor que ha de tener el rectángulo de partida para que el hexágono construido sea regular. SOLUCIÓN: Para que la figura final sea un hexágono regular se debe cumplir  que los triángulos FEO y GHO sean equiláteros; por lo que el lado menor del rectángulo inicial debe valer dos veces la altura de uno de estos triángulos equiláteros. También se observa, por construcción, que el lado mayor del rectángulo de partida debe medir el perímetro de uno de estos triángulos equiláteros. La relación entre el lado mayor y el menor del rectángulo de partida es la misma que la relación que hay entre el perímetro de un triángulo equilátero y dos veces la altura del mismo. Si llamamos “a” al lado de un triángulo equilátero y “h” a su altura, aplicando el teorema de Pitágoras se cumple a2 = h2+a2/22 y de aquí se obtiene a = (2h√3)/3. El valor de la relación entre los lados del rectángulo de papel AB/BC será igual a 3a/2h = 3·(2h√3)/3·2h cuyo resultado  es √3. Nota: (1) GARRIDO, M. BELEN. (2010) “Orisangakus": problemas “sangaku" con papiroflexia como recurso para el estudio de la geometria”. Monografía: Papiroflexia y matemáticas, UNO, n.53, pp. 71-79.

Lunes, 09 de Mayo de 2011 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

720. 60. La conjetura de Siracusa

Dedicamos este mes la sección a un estreno reciente, una magnífica película, en la que la protagonista es matemática. INCENDIES Título Original: Incendies. Nacionalidad: Canadá / Francia, 2010. Director: Denis Villeneuve . Guión: Denis Villeneuve, basado en la obra teatral de Wadji Mouawad. Fotografía: André Turpin, en Color. Montaje: Monique Dartonne . Música: Grégoire Hetzel. Producción: Luc Déry y Kim McCraw. Duración: 130 min. Galardones: Ocho premios Genie (Ontario, Canadá; mejor dirección, película, actriz principal, fotografía, montaje, sonido, montaje sonoro y guión adaptado), Tres premio VFCC (Vancouver Film Critics Circle; mejor dirección, actriz principal y película), Premio ‘Miguel Delibes’ al Mejor Guión, Premio del Público y Premio de la Juventud en la 55 edición de la SEMINCI (Semana Internacional de Cine de Valladolid 2010), Tres premios en la 67ª edición de la Mostra de Venecia. Nominada al Oscar 2011 a la mejor película extranjera. Intérpretes: Lubna Azabal (Nawal Marwan), Mélissa Désormeaux-Poulin (Jeanne Marwan), Maxim Gaudette (Simon Marwan), Rémy Girard (Notario Jean Lebel), Abdelghafour Elaaziz (Abou Tarek), Allen Altman (Notario Maddad), Mohamed Majd (Chamseddine), Nabil Sawalha (Fahim), Baya Belal (Maika). Argumento: Jeanne y Simon Marwan son dos hermanos gemelos cuya madre, que llevaba mucho tiempo sin hablar, acaba de fallecer. Acuden al notario Lebel a conocer el testamento. Su madre les ha dejado un sobre cerrado a cada uno que deben entregar por un lado a su padre, al que ellos creían muerto, y a un hermano cuya existencia desconocían completamente. Sus reacciones son diferentes, desconcierto e intriga en Jeanne, y rechazo completo en Simon. Sin embargo el notario les deja bien claro que su deber está en cumplir las últimas voluntades de su madre si pretenden enterrar a su madre de acuerdo a sus principios. La búsqueda de padre y hermano les llevará a un viaje hacia Daresh, su tierra natal un lugar no definido del Oriente Próximo, pero no sólo en el espacio sino también en el tiempo, a conocer su auténtico pasado y a comprender mejor la actitud de lo que han conocido de su madre. ¿Y las matemáticas? En la película hay cuatro momentos en los que aparecen las matemáticas de alguna forma (advertencia: las citas textuales están recogidas de la versión subtitulada de la película y pecan de excesivamente escuetas cuando no claramente reduccionistas; es lo habitual cuando algo se subtitula ya que debe dar tiempo de sobra a un lector medio/lento a leer completamente las frases. Algunas palabras las he corregido por mi cuenta, y en otras se explica más abajo el error que se comete como consecuencia precisamente de ese minimalismo): 1.- Jeanne Marwan, la hija, es matemática. En una escena es presentada en la Universidad a sus alumnos como profesora ayudante por un veterano profesor del siguiente modo: Profesor: Las matemáticas como las han conocido hasta ahora se han dirigido a lograr una respuesta estricta, y definitiva por lo tanto, a problemas estrictos y definitivos. Ahora se les introduce en una aventura completamente diferente. El tema será problemas insolubles, que siempre les llevan a otros problemas, acabando como intratables. La gente a su alrededor repetidamente recoge lo que no necesitan. No tendrán ningún argumento para defenderse porque ellas serán de una complejidad agotadora. Bienvenidos a las matemáticas puras, la tierra de la soledad. Voy a presentarles a mi asistente, Sra. Marwan. Jeanne. Jeanne: ¡Hola! Vamos a empezar con la conjetura de Siracusa. 2.- Posteriormente, tras conocer los deseos de su madre, Jeanne confía a su compañero el dilema que se la presenta, y éste le da el siguiente consejo: Profesor: ¿Qué es lo que te dice tu intuición? La intuición siempre tiene la razón. Es por eso que tiene potencial convertirse en un verdadero matemático. Pero aquí vas a necesitar ayuda. A.- tu padre está vivo B.- tienes otro hermano Necesitas saber para que tu espíritu esté en paz. Y no es en la paz de la mente ni en las matemáticas puras. Se toma un punto de partida. Jeanne: Mi padre murió durante la guerra en Daresh. Profesor: Esa es la variante incógnita a la ecuación. Nunca se comienza con la variable incógnita. Jeanne: Mi madre, que viene de un pueblo que se llama Der Om de Fouad. Estudió la enseñanza del francés en la Universidad de Daresh. 3.- Casualmente, su compañero conoce a un colega matemático de la Universidad de Daresh. Ese será el principio del que parte Jeanne. Cuando encuentra a este hombre le explica lo siguiente: - He recibido el mensaje de mi amigo Niv Cohen, pero no puedo ayudarla. Yo doy clases de Historia de las Matemáticas en París XI. En concreto en el periodo en el que Leonhard Euler tuvo éxito. El ciego dio la primera resolución matemática formal al problema de los siete puentes de Königsberg. Eso hubiera desafiado al tribunal de Diderot con el lanzamiento de una cosa así: Señores, π más uno es igual a cero, por lo tanto, ¡Dios existe! 4.- Finalmente, en la resolución de la película, Simon, el hermano gemelo de Jeanne, tratando de causarla el menor daño posible a lo que ha descubierto, la indica: Simon: Uno más uno hacen dos. Eso no puede ser uno. Jeanne: Tienes fiebre. Simon: ¡Jennie! ¿Uno más uno, eso hace uno? Algunas explicaciones En efecto, sólo algunas, ya que de dar todas (en particular la cuarta) le quitaríamos la gracia a la película, y uno de los objetivos de esta sección, además de describir las matemáticas presentes en el cine es animar al personal a ver películas (y no es habitual toparse con películas tan impresionantes como ésta) procurando no destrozar su resolución. 1.- Una compañera y amiga me recomendó que fuera a ver esta película en su estreno en la pasada Semana Internacional de Cine de Valladolid (un saludo, Marta), pero lamentablemente no pude verla en ese momento. El pasado mes, otra compañera me comentó, “Oye, ¿sabes que es la conjetura de Siracusa? Es que fuimos (dos matemáticas) con unos amigos a ver esta película, y quedamos fatal porqué no supimos explicarles de que iba”. Y no es de extrañar porque un gran porcentaje de los que nos dedicamos a esto de las matemáticas (enseñanza, investigación, empresas, etc.) estamos tan a lo nuestro que no nos preocupamos demasiado de lo que podríamos llamar “culturilla matemática”. Sin embargo en este caso, el tema es más engorroso porque por estos lares el nombre de “conjetura de Siracusa” no es el habitual (y conste que esto no es echar balones fuera; yo tampoco supe qué decir). Cuando miré, como hacemos casi todos, en Google, y leí algunas de sus denominaciones alternativas, conjetura de Collatz, problema 3n+1, conjetura de Ulam, algoritmo de Hasse, problema de Kakutani,  conjetura de Thwaites, etc., caí rápidamente en la cuenta. Es más, ¡lo he explicado el pasado trimestre en una clase sobre problemas matemáticos no resueltos (como la protagonista de la película curiosamente) a los alumnos del Máster de Secundaria! Además ya hablamos de él en la reseña nº 19 de enero de 2007 en la descripción de un capítulo de la serie Numb3rs en esta misma sección. Desde luego, tiene delito. Se trata como digo de un problema abierto, aún sin resolver, a pesar de su aparente sencillez: Se toma un número natural (entero positivo) n cualquiera (aunque hay también una variante para enteros en general), y se procede del siguiente modo: si n es par, se divide por 2, si n es impar, se sustituye por 3n + 1. A continuación se siguen estas reglas de modo iterativo mientras se pueda. Pues bien, la conjetura afirma que, sea cual sea el número n del que se parta, indefectiblemente se acaba en el 1 (dicho de otro modo, siempre se cae en el ciclo 4, 2, 1). A simple vista, puede parecer lógico porque hay una división a la mitad, que parece reducir el número, pero por otro lado hay un triple, con lo que, podría ocurrir cualquier cosa, desde que cayéramos indefinidamente en un bucle sin fin, hasta crecer indefinidamente. Pues no, siempre se acaba en la unidad, y esto se ha probado ya (a fecha 18 de Enero de 2009) con el ordenador para todos los números hasta el orden 20 × 258 ≈ 5.764 × 1018.  Pero, por supuesto, esto no sirve para extrapolar nada: se necesita una prueba general. Es muy sencillo implementar esa dicotomía en el ordenador, iterar el proceso y hacer algunas pruebas. Uno se da cuenta rápidamente que el que acabe antes o después no depende del tamaño de n. Así, por ejemplo, partiendo de n = 27 (un número bajo), para terminar en el 1 se necesitan 112 iteraciones, llegando a alcanzar el valor 9232: 27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. Sin embargo para n = 1221, en 39 pasos se alcanza la unidad: 1221, 3664, 1832, 916, 458, 229, 688, 344, 172, 86, 43, 130, 65, 196, 98, 49, 148, 74, 37, 112, 56, 28, 14, 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. El matemático alemán Lothar Collatz (1910 – 1990) (foto a la derecha) se interesó por las iteraciones sobre los números enteros, que representaba mediante grafos. Hacia 1937 plantea este problema y lo expone en varios seminarios. En 1952, en Hamburgo, explica el problema a Helmut Hasse (1898 – 1979), matemático alemán que trabajó, entre otros asuntos, en teoría algebraica de números. (Hasse fue quien reemplazó a Hermann Weyl en la Universidad de Gotinga en 1934. A modo de curiosidad, casi siempre se habla de los científicos o personalidades relevantes destacando sus valores humanos, sus compromisos sociales, su progresismo, etc., pero también los hay, como no podía ser de otro modo, de ideas más extremistas. En este caso, Hasse fue un nacionalista de ultra-derecha que solicitó su admisión en el partido nazi en 1937, aunque le fue denegado al tener antepasados judíos). Posteriormente, Collatz lo plantea en una conferencia impartida en la Universidad de Siracusa (Nueva York), razón por la que el problema adopta también este nombre. Paralelamente, el matemático polaco Stanislaw Ulam (1909 – 1984), uno de los participantes en el proyecto Manhattan, trabaja sobre ella en el Laboratorio Nacional de Los Álamos. En la década de 1960, el problema es asimismo difundido y trabajado por el matemático Shizuo Kakutani (1911 – 2004) en las Universidades de Yale y Chicago. Kakutani es autor de un teorema de punto fijo que generaliza al de Brouwer, y que permitió la prueba de la existencia del Equilibrio de Nash en teoría de juegos.  En esos años sesenta, en plena guerra fría, se corrió el rumor de que la conjetura de Collatz era parte de un complot soviético para frenar otras investigaciones de mayor calado de los EE.UU. En 1996, Bryan Thwaites estableció un premio de 1000 dólares para quien lograra resolver la conjetura. (Cada dos años, el IMA, Institute of Mathematics and its Applications, otorga el premio Lighthill-Thwaites al mejor trabajo en matemática aplicada; su denominación alude a sus primeros presidentes, los profesores británicos Sir James Lighthill y Sir Bryan Thwaites). Esta es, a grandes rasgos, la historia de porqué tanta denominación distinta para un mismo problema. Como es fácil de imaginar, la conjetura tiene variantes y una generalización de las que no hablaremos por no extendernos demasiado. Si me gustaría añadir que Collatz fue una persona muy inquieta y con una enorme vitalidad (falleció cuando se encontraba en un Congreso en el que iba a dar una conferencia). Sus intervenciones públicas, y dio muchas, eran siempre todo un acontecimiento. Defensor acérrimo de la matemática aplicada, también son interesantes dos de sus pasiones: la matemática recreativa (inventó varios juegos y propuso un montón (conocidos por Collatz Problems), fáciles de entender pero bastante complicados de resolver), y los llamados “ornamentos geométricos”. Bajo este nombre se engloban todos los adornos utilizados en Arquitectura y Artes decorativas a los que se puede dar una estructura geométrica (bajo mi punto de vista, todos). Desarrolló un sistema propio para caracterizarlos. En uno de sus últimos artículos sobre este tema, abordaba los ornamentos definidos implícitamente mediante valores absolutos. Como consecuencia de este asunto, visitó un gran número de catedrales en todo el mundo buscando nuevos patrones y formas para describir después matemáticamente. Sobre la conjetura de Collatz, Peter Schorer propuso una demostración en 2009. Si alguien quiere profundizar en el tema, en este artículo, se exponen los resultados y se explican los conceptos necesarios para comprender porqué existen dudas sobre la validez de dicha prueba. 2.- El compañero de Jeanne trata de orientarla sobre cómo resolver el dilema que la joven tiene. Aunque los problemas de la vida real no siempre pueden abordarse desde un punto de vista matemático, la indica un procedimiento a seguir a la hora de resolver un problema matemático: encontrar, a partir de los datos conocidos, un punto de partida. 3.- La universidad a la que se hace referencia en esta escena es la Universidad de Paris XI (en francés, Université Paris-Sud 11). Está situada al sur de París y comprende varios campus, el más importante localizado en Orsay. Es una de las universidades más grandes y renombradas de Francia, particularmente en las disciplinas científicas. En el ranking mundial de universidades quedó situada en el puesto 43 en el año 2009, la 18ª en Matemáticas. En el contexto europeo ocupa el 2º lugar en esta disciplina, y la 1ª en Francia. Algunos de los matemáticos franceses más importantes están o han estado vinculados a esta institución, entre ellos los medallistas Fields Jean-Christophe Yoccoz (medalla en 1994), Laurent Lafforgue (medalla en 2002), Wendelin Werner (medalla en 2006) y Ngô Bảo Châu (medalla en 2010). Como es conocido, Euler fue invitado por la zarina Catalina II a pasar una temporada en su corte en Rusia. Allí coincidió con el filósofo enciclopedista francés Denis Diderot (1713 – 1784), famoso por su erudición, su espíritu crítico y su excepcional genio. A lo largo de su vida tuvo varios encontronazos con la religión y sus acólitos, lo que le hizo reafirmar cada vez que tenía ocasión su declarado ateísmo. Esto enojaba a la zarina, y se cuenta que pidió a Euler, famoso por ser capaz de resolver problemas del tipo que fuera (no sólo matemáticos) que le diera una lección. Dicho y hecho. Tras meditar algún tiempo el asunto, un día anunció que disponía de una prueba algebraica de la existencia de Dios. La zarina, siempre dispuesta a aprender y sobre todo a polemizar con lo que fuera, convocó a Euler y Diderot a palacio junto a otros pensadores y cortesanos para asistir a lo que ella suponía iba a ser un interesantísimo debate teológico. Pero Euler, que tampoco tenía un pelo de tonto y para nada pretendía seguirle el juego, explicó ante los presentes, dirigiéndose a Diderot: “Señor, (a + bn) /n = x; y por tanto Dios existe; ¡refútelo!” Diderot, como el resto de los presentes, no tenían demasiada idea de matemáticas, y fue incapaz de contestar nada medianamente coherente, permaneciendo en silencio. Humillado, abandonó San Petersburgo y regresó a París. En su ausencia, Euler continuó disfrutando de su retorno a los estudios de teología e hizo públicas algunas otras demostraciones fingidas sobre la naturaleza de Dios y del alma humana. De esta anécdota proviene la referencia de la película, salvo que esa no es la expresión empleada. Lo que se dice en el subtítulo no tiene demasiado sentido (π + 1 = 0), porque no es correcto. Lo que dice el protagonista es la famosa igualdad, debida también a Euler, que relaciona las cinco constantes más importantes de las matemáticas (el número e del Análisis Matemático, π de la Geometría, la unidad imaginaria i del Álgebra, 0 y 1 las bases de la Aritmética al ser los elementos neutros de la adición y la multiplicación, respectivamente): e π i + 1 = 0 Es claro que en el subtitulado de la película se han “comido” la exponencial y la i compleja. La película El título original en francés, que no se ha traducido al castellano, viene a designar todo aquello que es destruido por el fuego. En este caso, y referido a la protagonista, una traducción aceptable podría ser “Quemada” o alguna similar que reflejara la destrucción psicológica y personal de la protagonista, más que la física. El director y guionista de la película (en la foto), Denis Villeneuve nació en Trois-Rivières (Québec, Canadá) en 1967. Su primer éxito lo logró en 2000 con Maëlstrom con el que obtuvo el Premio de la Crítica en Berlín. Incendies es su cuarta película, que más allá de lo comentado relativo a las matemáticas, me permito recomendaros simplemente como amantes del cine.

Jueves, 05 de Mayo de 2011 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico