681. 54. (Noviembre 2011) Matherrhythm en Maths Week Ireland 2011

El número de noviembre vuelve a hablar de Materritmo no tanto por la obra en sí como por la experiencia de Maths Week Ireland 2011. Como anunciamos en el número pasado Matherhythm, la versión inglesa de Materritmo, se presentaría en el evento de divulgación matemática Maths Week. La acogida de la obra ha sido formidable y las enseñanzas que hemos sacado nosotros, valiosísimas. En esta crónica –una suerte de diario subjetivo y algo literario- contamos la experiencia. Maths Week Ireland 2011 El mundo que conocemos –incluso el que soñamos- se desmorona. Se deshace por momentos, de modo inexorable, con vieja tristeza. Unos, los descreídos, llevan tiempo advirtiéndolo. Otros, los más, no son conscientes, tal es el embrutecimiento al que les someten. Otros, los menos numerosos pero más aguerridos, lo saben y están resueltos a pasar a la acción. Jirones de negras nubes flotan confiados entre el gentío, acariciando sus cabezas como lenguas viperinas, a la vez que omnipresentes altavoces y pantallas escupen anuncios, ofertas, gangas, reclamos, músicas estomagantes, voces chillonas –siempre comprar antes que pensar-. A pesar de ello, de la narcosis comercial, se habla mucho de la oscuridad. Los taxistas predican el advenimiento de los malos tiempos con los dientes apretados. Los políticos lucen sonrisas grotescas y miran absortos y babeantes a la cámara más cercana. Los parados se pasean con la mirada perdida, con extrañas veladuras en las pupilas. Los empleados sudan gruesas gotas de tinta y vigilan por encima del hombro con el temor del muerto en vida. Aún así, a pesar de estos tiempos de negra brea, de plúmbeas tinieblas, todavía se puede percibir un leve claro, casi como un espejismo. Entre los jirones de negras nubes, se cuela una luz naranja, débil, como una vela solitaria. Algunos, los menos, aún siguen luchando. Cuando nuestros niños y jóvenes crecen entre consumismo y alienación televisiva, algunos, los menos, los creyentes firmes en el conocimiento y la razón, se aferran a la única verdad: las matemáticas. Matemáticas como estandarte de libertad. Matemáticas como símbolo del renacimiento de una sociedad en decadencia. Un destino mejor por la senda de las matemáticas. Algunos, los menos, pero pronto los más, aún se preocupan de que nuestras mentes sigan trabajando para que abandonemos el abismo del conformismo y abracemos el reto del razonamiento. Esa luz tenue, anaranjada, esa brecha en la negra brea es Maths Week. Esos creyentes –guerreros, diríamos- se conjuran en un sótano silencioso de Dublín el día 14 de octubre de 2011. Los más veteranos recuerdan las hazañas de ediciones anteriores. Los nuevos saborean la ocasión por primera vez. Matemáticas en cada palabra. Pasión por enseñar en cada mirada. Ganas de divertirse en cada gesto. Matemáticos entrañables, intrépidos, cómicos, firmes, confiados, humildes, de vena mágica o musical, todas las formas de matemáticas son válidas... Todos con el objetivo común de extender la buena nueva: las matemáticas están en todas partes, nos hacen la vida mejor y son divertidas. Al día siguiente, los matemáticos toman una de las principales calles peatonales de la capital irlandesa, el cruce entre South King Street y Grafton Street. He aquí su panoplia: juegos matemáticos, puzzles, malabares, laberintos, ritmos, nudos, acertijos, risas espontáneas y efusivas, origami, circo, matemagia... El frío y la lluvia azotan a los soldados de las matemáticas, que firmes en su causa, no ceden hasta que el público responde. La gente demuestra que está preparada para escuchar algo más que anuncios. Se paran, atienden, sonríen, piensan... ¡Sí, piensan! La negra brea retrocede asustada ante la aún titilante luz naranja. Todo un reto. Piensan y, además, lo hacen con entusiasmo. En las calles de Dublín, luchando contra la negra brea Empieza la cuenta atrás de una semana que promete ser muy intensa. El ejército se dispersa. Cada soldado, uniformado con el polo azul de Maths Week, es enviado a un remoto lugar del país para extender la buena nueva. Los soldados venidos de España –Giovanna, Gutxi y Paco-, protagonistas de esta crónica, presentan Matherhythm, una obra cómico-matemático-musical. Su primer destino es Carlow. Tras un pequeño viaje cargados con instrumentos musicales, cuadernos gigantes, trajes y ordenadores, llegan a esa acogedora ciudad. Descubren con sorpresa que debido a un error Matherhythm se ofreció a un público demasiado joven para comprender los conceptos matemáticos que ahí se desarrollan. No problem! Se sientan alrededor de una mesa redonda y, con entusiasmo, hacen lo que mejor saben: pensar, crear, imaginar... Bocetos de Rhythms at Liza's Unas horas después dejan rematada una obra infantil Rhythms at Liza’s, que cuenta la historia de Liza, una niña que se despierta por la mañana y va llamando a toda la familia para el desayuno. Cada personaje está asociado con un ritmo musical obtenido mediante divisiones y principios de distribución matemáticos. El resultado: más de cien niñas absortas con el relato que Giovanna interpreta magníficamente, aderezándolo con certeras improvisaciones, junto con el indispensable apoyo teatral y musical de Paco y reforzado estéticamente por los soberbios dibujos que Gutxi crea en la pizarra en tiempo real. Carlow fue nuestro primer gran desafío y la Askea Girls School nuestro particular laboratorio matemático-musical-artístico. (La luz naranja brilla con fuerza.) Rhythms at Liza's y Matherhythm en la Askea Girls School Aunque remolonea, la luz desgarra una fría mañana. De nuevo en Dublín nos dirigimos a la Froebel College of Education. Un salón de actos repleto de jóvenes estudiantes nos miran expectantes, con curiosidad mal disimulada. Paco y Giovanna bailan la música inicial y les hacen reír con el gag de los aplausos. Gutxi, agazapado tras el ordenador que controla la proyección, escucha sin pestañear, atento al instante preciso en que pasar el siguiente audiovisual. La obra va evolucionando en el tiempo y adquiere un carácter orgánico, de verdadero ser vivo. Giovanna se desvive interpretando su papel. Abraza cada frase y se la envía a cada persona que está allí escuchando (La luz naranja). Paco disfruta cada segundo de la charla. Se sonríe cada vez que un concepto nuevo brota en la pantalla. Se jacta con los momentos serios de la presentación, que son patadas a la enseñanza clásica y aburrida de las matemáticas. Los materrítmicos, cómplices, disfrutan con lo que hacen y, con una reverencia, saludan una forma desenfadada, pero sólida, de entender las matemáticas. Al término de la sesión, un hecho sorprende al trío de Matherhythm sobremanera. Una periodista del Irish Times, uno de los principales periódicos de Irlanda, les pide una entrevista y permiso para grabar la actuación. Un hecho inconcebible en su España natal; esto demuestra que en Irlanda hay medios de comunicación que prestan atención a noticias que suponen una mejora para la sociedad y no a frivolidades. Nuestra actuación en el Froebel College of Education (grabado y editado por The Irish Times). Un noche de sueño reparador, un desayuno majestuoso engullido con voracidad y on the road again. Rumbo a St. Michael's National School, Dublín. Un gimnasio con suelo de parquet. Un aroma de madera vieja. Cortinas gigantes y oscuras retorcidas en las esquinas. Banquillos de madera apilados. Un proyector solitario en mitad de una fría cancha de baloncesto. Frío. Frío irlandés, del que despabila el alma; frío que entra por la puerta que da casi directamente a la calle. La proyección, torcida, se superpone sobre cuerdas, radiadores inertes y sobre el amarillo ajado de las paredes. El altavoz del ordenador ruge con todas sus fuerzas, que en realidad son pocas. La música de la introducción suena y los dos materrítmicos saltan sobre el parquet. Ya no hay frío. Los conceptos matemáticos vuelven a brotar de sus gargantas. Los conceptos musicales vienen después y más de 70 niñas se quedan atónitas absorbiendo definiciones y propiedades. Ya no hay frío físico, sino calor intelectual, provocado por el fogonazo de la comprensión (¡La luz!). Las profesoras no pueden evitar sorprenderse cuando las matemáticas se enroscan en la música y se muestra la verdad oculta del ritmo. Culminamos con el concierto de campanas que nos caracteriza y con los juegos de palmas. Las niñas entusiasmadas vuelven a sus clases, con un revuelo en su interior. Nosotros recogemos el atrezzo con la certeza de que hemos causado honda impresión en otros dos numerosos grupos de mentes jóvenes. Sí, infectando sus mentes con el amor por las matemáticas y la certeza de que estas son divertidas. Matherhythm (la escena de las sombras) en Saint Michael's School Sin dejar que la tarde caiga sobre nosotros, el tren arranca con el toque de silbato y una suave sacudida. Destino: Cork. Una gentil población aguarda a los tres de Matherhythm. Por el camino, disfrutamos leyendo el artículo que la periodista del día anterior hizo sobre nuestra labor; véanse las referencias más abajo. Nuestro trabajo en Matherhythm recogido por el The Irish Times Cuando llegamos a la recepción del Tyndall National Institute, en Cork, una sensación de irrealidad hizo presa de estos tres soldados. Cristaleras de varios metros de altura desnudan a nuestra vista fabulosos laboratorios de investigación sobre nanotecnología dirigidos por brillantes mentes. Lugares como aquel parecen no existir hasta que te encuentras en sus entrañas. Personas de la calidad de nuestra anfitriona, Aoife, tampoco son fáciles de encontrar. Un entusiasmo, una resolución y una profesionalidad sólo comparables al valor humano de uno de los doctores, David, que se sentó a nuestro lado en el descanso de la actuación y nos hizo todo tipo de preguntas, demostrando el más genuino interés. Profesionales realmente entregados a la causa de las matemáticas (La luz naranja refulge.). Tras una mañana de incansable brío, otras 100 mentes infectadas con el virus del saber matemático oculto en la música. Abandonamos Cork con la sensación de haber hecho algo grande allí. Y sin dejar llegar a la noche, nos embarcamos en un taxi para asistir a la charla de otro matemático. Porque Maths Week no es sólo dar, también es recibir. El intercambio de conocimiento es la base fundamental para el progreso y debemos trabajarlo cada día. Tras la charla, un encuentro con muchos de los matemáticos mensajeros. El esfuerzo intelectual de seguir los argumentos de los compañeros es agotador y, a veces, estas reuniones te dejan exhausto. Sueño reparador para conquistar de nuevo Dublín. En esta ocasión el O'Reilly Theatre, perteneciente al célebre Belvedere College, donde James Joyce estudió. Un teatro enorme, con gran capacidad técnica, con una pantalla gigantesca, con un buen aforo. Dos grupos de muchachos, con las hormonas a flor de piel, y algunos con ganas de jaleo y boicot. No nos arredramos: los materrítmicos salimos al escenario a dejarnos la piel, convencidos de que el mensaje es tan importante que merece la pena las dificultades. Algunos muchachos arman alboroto, pero con sólo ver la cara de algunos, boquiabiertos y ojialegres, tratando de seguir el hilo intelectual de la obra pero también riéndose a mandíbula batiente, ya sabemos que nuestra tarea ha dado frutos. (La luz naranja se abre paso.) En el teatro O'Reilly, en el Belvedere College, en Dublín Esa misma tarde, arrastramos el cuaderno gigante por la ciudad hasta la Science Gallery of Dublin. El cuaderno que sustituye a la proyección en los lugares sin medios tecnológicos. Primero, asistimos a la magnífica charla de un colega de Maths Week, Chris Budd, acerca de las matemáticas en el zoo. Con la mente aún llena de entusiasmo por la charla de Chris, actuamos durante el aperitivo posterior con los ritmos y el secreto de números de Matherhythm. Nos siguen dos geniales matemagos, Andrew Jeffrey y Fernando Blasco, que nos enseñan y divierten a rabiar. Fue una velada inolvidable. Actuación en la Science Gallery de Dublín Con 14 shows en 8 días a nuestras espaldas (véase el recorrido aquí), todos los matentusiastas cogemos la carretera hacia Belfast. Conquistamos sus calles por un día, para acabar Maths Week con la gente de la calle, con los que realmente tienen la oportunidad de cambiar las cosas. El mundo lo hacen los que viven en Él, aquellos a quienes no se les dicta lo que hay que hacer. Nosotros hemos trabajado de manera voluntaria e incansable para ofrecer un arma que realmente funciona. Las matemáticas son la clave para organizarnos, para desarrollarnos, para entendernos. Los taxistas, los comerciantes, los parados, los empleados... todo el mundo necesita las matemáticas en su vida, aunque nunca lleguen a darse cuenta siquiera. Maths Week no es una semana. Maths Week se vive todo el año. Los soldados de polo azul y otros muchos más trabajan cada día para hacer llegar los números y sus asombrosas relaciones hasta los rincones más insólitos de nuestras vidas. Todo camino empieza con un paso, con una pequeña luz naranja. Maths Week es ese pequeño paso, esa pequeña luz. La última actuación, en Belfast Referencias Maths Rhythms. Vídeo publicado en Youtube por el Irish Times el 19 de octubre de 2011. Maths Week 2011. Página web del evento. Rhythms revealed by numbers. Irish Times. Artículo publicado el 19 de octubre de 2011. Science Gallery. Reseña de este museo de ciencia publicada el 21 de octubre de 2011.

Jueves, 10 de Noviembre de 2011 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

682. 64. Un mortal hilo de seda

El Cubo de Rubik, la banda de Moebius, las construcciones imposibles de Escher, son algunos objetos matemáticos que el cine fantástico ha utilizado en sus guiones. Añadimos uno más: la Esponja de Menger. Además un pequeño apunte televisivo en una popular serie . El pasado verano volví a coincidir en Avilés con Abel Martín en la sexta edición del Curso que la Universidad de Oviedo dedica a las Matemáticas a través del Cine y la Televisión. Como sin duda ya sabréis los interesados en este tema, Abel y su hija Marta mantienen el portal http://www.mathsmovies.com/ además de impartir un montón de cursos y conferencias. Abel es uno de los que más tiempo y esfuerzo ha dedicado a las referencias matemáticas presentes en la serie de animación Los Simpson. Pues bien, además de compartir con ellos una agradable comida, obviamente hablamos de películas y me pasó la referencia de la película que vamos a comentar en la reseña de este mes. Se trata de una película producida en Taiwán y no estrenada comercialmente en nuestro país, aunque de relativamente sencillo acceso a su visionado a través de la Red. No contiene demasiadas referencias matemáticas, pero me ha resultado curiosa e interesante cinematográficamente hablando, a pesar de que el terror no es precisamente un género que me apasione, básicamente por la cantidad de exageraciones y magufadas que suele contener. Para los que no conozcan el término, se denomina “magufo” a todo aquello relacionado con lo esotérico y paranormal, sin ninguna base científica, aunque muchas veces los que lo difunden tratan de barnizar sus discursos con jerga seudo-científica. El término lo acuñaron los llamados “escépticos”, otro grupo dedicado a desmontar todas las patrañas que los anteriores utilizan. Existe un montón de literatura, blogs, programas en radio y televisión, se imparten conferencias, etc., por parte de ambos grupos, y a veces, sólo a veces, uno no sabe quien es quien, dado que ni unos ni otros demuestran nada, (ya sabéis la máxima de la matemática: si no hay prueba, y bien hecha y razonada, no hay nada de nada), aunque evidentemente se está más cerca de alguna certeza partiendo del escepticismo que de la creencia. Pero vayamos a lo nuestro. Como siempre, lo primero, una pequeña ficha técnica y artística, y una breve sinopsis del argumento: SILK Título Original: Gui si. Nacionalidad: Taiwan, 2006. Director: Chao-Bin Su. Guión: Chao-Bin Su. Fotografía: Arthur Wong, en Color  Montaje: Ka-Fai Cheung. Música: Peter Kam. Duración: 108 min. Intérpretes: Chen Chang (Tung), Yôsuke Eguchi (Hashimoto), Kar Yan Lam (Wei), Barbie Hsu  (Su), Bo-lin Chen (Ren), Chun-Ning Chang (Mei), Fang Wan (Fantasma de la madre), Kuan-Po Chen (Fantasma del niño), Chi Chin Ma (Madre de Tung), Leon Dai (Jefe SWAT), Kevin S. Smith (James) Sinopsis: A una habitación sellada de un edificio abandonado accede un fotógrafo al que se ha encargado hacer fotografías a una habitación vacía. Sin entender nada va sacando instantáneas hasta que en una de ellas aparece misteriosamente un niño. Antes de que intente intuir qué sucede, el fotógrafo se desploma muerto, víctima de estrepitosas convulsiones. A continuación conoceremos a Hashimoto, un físico que investiga la anti-gravedad y que ha sido contratado por el gobierno después de algunos avances en el tema. Entre ellos, unos periódicos que aparecen durante los títulos de crédito, nos desvelan que ha descubierto la “Esponja de Menger” (¿Qué curioso, verdad? Lo normal hubiera sido llamarla “Esponja de Hashimoto”) “un agujero negro para las ondas electromagnéticas”, según se lee. Ya se sabe, para atrapar la atención hay que exagerar, y sobre todo parecer misterioso porque si no, no hay película. El caso es que sin saberse muy bien que relación tiene con esto de la anti-gravedad, parece ser que por puro azar, el grupo de investigadores que trabaja con Hashimoto (éste utiliza una muleta para poder andar; luego sabremos que tiene una pierna inútil como consecuencia de la diabetes) han conseguido atrapar el fantasma de un niño mediante la esponja (seguramente el guionista pensó que si una esponja normal retiene líquidos, ésta otra podría capturar energía; demasiado literal, ¿no?). Lo han aislado en la habitación donde el fotógrafo de marras lo descubrió. El niño parece seguir una rutina y mueve los labios como si hablara, pero nadie logra entenderlo. Por eso Hashimoto, en un asalto de lucidez del que más tarde carecerá, deduce que necesitan a alguien que sepa leer los labios, a ver si averiguan algo sobre este fantasma. De este modo conoceremos a Tung, agente de un grupo de operaciones especiales y de riesgo de la policía, tipo SWAT, capaz de leer los labios perfectamente. Tung, como Hashimoto, es una persona desconfiada y de difícil trato, a causa de diferentes traumas y preocupaciones sufridas a lo largo de sus vidas. Tung tiene a su madre enferma terminal por una esclerosis lateral, enfermedad que sabe que es hereditaria. Además tendremos la típica chica enamorada de Tung, y correspondida por éste, pero que no se atreve a declararse por su incierto futuro, la científica “trepa” que quiere sacar provecho de su dedicación a la causa fantasmal, y alguna cosilla más que mejor no cuento para no arruinar del todo la película. ¿Y que hay de interesante? Pues realmente (opinión subjetiva) poco, pero lo hay, Me gustó que la sucesión de sustitos, imprescindible en este tipo de películas, no sea tan exagerada como suele ser, que tiene su razón de ser (dentro por supuesto del esquema mental de los protagonistas), que el desarrollo sea en torno a la investigación del pasado del niño (es decir, tiene interesantes elementos de thriller y suspense) y al drama que “vive” con su madre, su ritmo, y finalmente que pretende transmitir un cierto mensaje, aunque no sea demasiado novedoso (sobre la moraleja final, mil veces mejor el reverendo protagonizado por Robert Mitchum en la genial y mucho más inquietante y sin necesidad de efectos especiales La noche del cazador (Charles Laughton, 1955); ya sabéis, aquel que en cada dedo de cada mano llevaba escrito HATE (Odio) y LOVE (Amor), respectivamente). El cine asiático ha producido en los últimos años gran cantidad de películas de terror bastante originales (The Ring (Ringu, 1998), La maldición (Ju On, 2000), Audition (Ōdishon, 1999), por citar sólo algunas) y posteriormente re-hechas, y en general estropeadas, por la industria yanqui. En ellas destacan no sólo los temas, sino una forma diferente de rodaje al estilo manga, con arriesgados e irreales movimientos de cámara y un uso reiterativo de la grúa Se trata pues de una más que sumar a esta serie, que en conjunto y a pesar de lo comentado se deja ver y entretiene. Me resultó curioso que la peor amenaza que se le ocurre al agente del gobierno para presionar a Hashimoto sea el “pudrirse en la Universidad dando clases de Física” (¿Es eso lo que hacemos los que nos dedicamos a la docencia?), y también es aleccionador el destino final del propio Hashimoto y de su ayudante Su, cuando empiezan a creer más en las “magufadas” de las que hablaba al principio que en su trabajo como científicos. Hashimoto dice envidiar al fantasma, entre otras cosas por “no tener que ir a la Universidad, no necesitar el sexo”, etc., etc, lo que le hace preguntar a Tung en un momento dado “¿Cómo sabes que es mejor vivir que morir?”. El tema más interesante, con mucho, que se plantea es cómo afrontar la existencia de una enfermedad grave en una familia, algo a lo que la sociedad parece dar la espalda cuando se presenta porque le es más cómodo. Como curiosidad, el director de la película, Chao-Bin Su, hace un cameo interpretando al guardia de seguridad que vigila el abandonado edificio. Fractales La Geometría clásica nos proporciona una primera aproximación a la estructura de los objetos físicos que nos rodean: puntos, rectas, objetos y regiones planas, cuerpos y superficies tridimensionales. Desde que Euclides estableciera de un modo ordenado y metódico los fundamentos de esta disciplina matemática no se ha dejado de profundizar en su estructura. En el camino han ido surgiendo visiones diferentes que parecían echar por tierra aquellos fundamentos, aunque finalmente se comprendió que todas ellas no sólo eran compatibles, sino que en realidad lo que hacían era responder a problemas y aspectos nuevos de la propia realidad (geometría proyectiva, geometrías no euclídeas, etc.). Una nueva vuelta de tuerca aparece con la geometría fractal, la geometría que pretende explicar de un modo más realista la estructura de la Naturaleza. Como casi todas las cosas, los conjuntos fractales no surgen de golpe, sino que fueron apareciendo de un modo espontáneo, trabajando en otros asuntos. A finales del siglo XIX, matemáticos como Cantor, Peano, Hilbert, Sierpinski o Von Koch realizan construcciones geométricas un tanto extrañas, “monstruosas” como fueron calificadas en un principio por otros colegas, aunque estéticamente eran sugerentes e incluso bellas, fundamentalmente por su simetría. En aquellos años, los matemáticos estaban enfrascados en sesudos debates, cada uno defendiendo la concepción que tenía de esta ciencia. Algunos de estos objetos no eran más que contraejemplos a la rígida posición de una de esas corrientes, la formalista; posteriormente, y siguiendo el procedimiento establecido en su construcción, fueron apareciendo más, simplemente como un entretenimiento. En los años sesenta del siglo pasado, en pleno desarrollo de la informática, el recientemente desaparecido Benoit Mandelbrot en la Universidad de Harvard y el Centro de Investigación Watson de la empresa IBM, entre otros, comprueban que este tipo de objetos presentan características comunes, entre ellas la sibisemejanza (por muchas iteraciones que hagamos del proceso de construcción del objeto, lo que le hace tener más definición, estar más detallado, siempre se conserva la misma estructura; mantienen una homotecia interna, son copia de si mismos) y la dimensión no entera. Dimensiones Fraccionarias Esta última idea es la que más tuvo que trabajarse puesto que rompe completamente los esquemas clásicos, pero a la vez, la que más fortaleció el concepto fractal una vez que se comprobó su coherencia. Sin entrar en demasiados detalles a fin de no aburrir al personal con excesivos tecnicismos, cualquiera asume sin mayor dificultad que se defina el punto como un objeto sin dimensión (o dimensión cero), como una mota de polvo, casi invisible, un microscópico átomo que según donde se localice, representa un valor concreto. A partir del punto podemos deducir (y asumir) una infinidad de ellos, tan apiñados y compactos que conforman un objeto con una entidad mayor: la recta. Ésta posee dimensión uno ya que representa la longitud física, y además, algebraicamente hablando, se expresa en términos de una variable (ejemplos de rectas: x, x─2, 2x+1, etc.). El siguiente paso sería describir un plano, mediante la región de puntos determinado por dos rectas, con dimensión dos, longitud y anchura, que permite definir cualquier objeto plano como los triángulos, cuadrados, rombos, polígonos en general, circunferencias, elipses, etc. Su expresión algebraica viene dada por dos variables, (x, y). Y finalmente los volúmenes, los cuerpos que presentan tres dimensiones, longitud, anchura y altura, y en cuyas ecuaciones aparecen tres variables, (x, y, z). ¿Puede pensarse en algún objeto con dimensión 2.5, 1.7 o  0.3? Existen varias definiciones de dimensión además de la euclidea en las que no vamos a entrar (dimensión topológica, dimensión fractal, dimensión efectiva, etc.). Veamos a continuación una manera sencilla e intuitiva para estimar la dimensión fractal (Haussdorfff-Besicovitch). Tengamos en mente que tratamos de dar sentido al concepto de autosimilitud descrito previamente. Para entenderlo, lo mejor es explicarlo mediante un ejemplo.  Tomemos un trozo de cuerda de longitud 1 (en la medida que queramos, metros, centímetros, nos da igual). Si queremos dividirla en dos partes iguales, es obvio que cada una de ellas medirá ½. Si lo hacemos en tres partes iguales, cada una de ellas medirá 1/3 de la longitud original. En general necesitamos k partes de longitud 1/k para completar el objeto inicial. Si llamamos N al número de trozos y r al factor de reducción, es claro que Si tomamos ahora un cuadrado de área una unidad, necesitamos cuatro cuadrados de lado ½ para cubrir por completo el cuadrado original, y nueve cuadrados de lado 1/3 para hacer lo mismo (es decir tenemos que reducir a la mitad o a la tercera parte ambas dimensiones, el largo y el ancho para seguir teniendo cuadrados). En este caso, 2 De manera similar, en un cubo tendremos que 3, y en general, D, siendo D la dimensión euclídea. Tomando logaritmos para despejar D, se tiene entonces que Nótese que como r ∈ (0,1), D > 0. Así pues esta expresión “funciona” para líneas, superficies y volúmenes convencionales. Tratemos de aplicarla a un fractal: el triángulo de Sierpinski En la primera etapa, del triángulo equilátero inicial se eligen los puntos medios de cada lado y se unen para formar un nuevo triángulo invertido (en blanco) que eliminamos. El factor de reducción que hemos aplicado es por tanto r = ½, y el número de “trozos” que conservamos (los triángulos equiláteros en negro) es 3. Por tanto, para la primera etapa, D = (ln 3) / (ln 2) ≈ 1.585….. Observemos la siguiente iteración del proceso, en el que se hace lo mismo en cada nuevo triángulo, es decir, eliminar el triángulo central que surge al unir los puntos medios de cada lado. Aparecen 9 (= 32) triángulos, y el factor de reducción respecto del triángulo original ahora es r = ¼, por lo que D = (ln 32) / (ln 22) = (2 ln 3) / (2 ln 2) = (ln 3) / (ln 2) Generalizando el proceso, en m etapas obtenemos, D = (ln 3m) / (ln 2m) = (m ln 3) / (m ln 2) = (ln 3) / (ln 2), lo que garantiza de algún modo que nos encontramos ante un invariante. No obstante, para los puristas, existen resultados y demostraciones más rigurosas de este concepto. Interpretando el resultado obtenido, podemos decir que el triángulo de Sierpinski (ver última etapa dibujada, que no final, porque el proceso puede iterarse de modo infinito) constituye un objeto que no es lineal (obvio) pero tampoco llega a ser una superficie (debido a sus infinitos agujeros). No es descabellado por tanto decir que su dimensión es mayor que uno y menor que dos, y más precisamente, del orden de 1.585 (valor que nos permitirá la comparación con otros objetos de esta naturaleza). Un nuevo ejemplo, relacionado con la película, la alfombra de Sierpinki, es decir cada una de las caras que forman la esponja de Menger. Su construcción es la siguiente: Si razonamos como con el caso precedente, la dimensión fractal será ahora D = (ln 8) / (ln 3) ≈ 1.8928….., valor que nos indica que, en efecto, es mucho más compacta que el triángulo de Sierpinski, pero sin llegar a tener dimensión dos a causa de sus agujeros. La esponja de Menger se obtiene aplicando a un cubo un proceso similar al utilizado para crear la alfombra de Sierpinski. En el primer paso, se divide el cubo inicial en 27 cubos más pequeños (tres a lo largo, tres a lo ancho y tres a lo alto), eliminándose los cubos centrales de cada cara y el cubo central. Eso nos deja con 27– 6 – 1 = 20 cubos, a los que se les aplica una y otra vez el mismo procedimiento. El resultado es una figura que guarda un cierto parecido con una esponja de mar (de ahí su nombre) y que, atendiendo a las explicaciones precedentes, tiene por dimensión D = (ln 20) / (ln 3) ≈ 2.7268….., Además de la dimensión, los objetos de este tipo tienen otras peculiaridades curiosas relacionadas con el cálculo de su longitud, área o volumen. Por ejemplo, el triángulo y la alfombra de Sierpinski encierran un área finita, pero su perímetro (la longitud de la línea que rodea tal área) es infinito. Parece absurdo, pero si uno echa las cuentas verá que es así. Veamos lo que le sucede a la esponja de Menger respecto a su volumen y la superficie. Damos los resultados finales (que cada uno eche sus cuentas y compruebe si le coinciden): El número de cubos en la iteración n-ésima es: 20n El tamaño de los lados en la iteración n-ésima es: (1/3)n La Superficie de los cubos en la iteración n-ésima es: 6 (1/9)n 20n El Volumen de los cubos en la iteración n-ésima es: (1/27)n 20n Calculando el límite cuando n tiende a infinito de las dos últimas expresiones observamos que la esponja de Menger encierra un volumen nulo mediante una superficie infinita (la curva “copo de nieve” de Koch o el triángulo de Sierpinski encierran un área finita mediante un perímetro de longitud infinita). Son objetos por tanto no continuos, porosos, con agujeros, que asemejan formas presentes en la Naturaleza como la forma de la nubes, el perfil de las costas, la compleja red que conforman nuestros capilares, venas y arterias, etc. Posteriormente se comprobó que otro tipo de fenómenos aparecidos en experimentos físicos también tenían características similares (movimiento browniano, sistemas L, sistemas dinámicos caóticos), con lo que se planteó intentar definir estas estructuras de un modo riguroso, formalizándose la hoy conocida como Geometría Fractal. Los objetos fractales tienen muchas aplicaciones aparte de describir formas más o menos curiosas o bellas (recordemos que se convocan certámenes en todo el mundo como el Concurso Internacional de Arte Fractal Benoit Mandelbrot) como el modelizado del tráfico en redes de comunicaciones, la compresión de imágenes, análisis bursátiles y de mercado, la evolución de determinadas poblaciones, el análisis de los patrones sísmicos, etc., etc. Quién fue Menger El matemático Karl Menger (Viena, Austria, 13 de Enero de 1902 – Highland Park, Illinois, Estados Unidos., 5 de Octubre de 1985) era hijo del célebre economista Carl Menger, fundador de la Escuela Austriaca de Economía. En 1924 se doctoró en la Universidad de Viena, habiendo sido alumno de Hans Hahn. Como docente tuvo una dilatada trayectoria que comenzó en 1925 en la Universidad de Amsterdam, invitado por L. E. J. Brouwer. Dos años más tarde retornó a Viena, trasladándose en 1930 a los Estados Unidos, como profesor invitado en la Universidad de Harvard y en 1931 en el Instituto Rice. De 1937 a 1946 fue profesor en la Universidad de Notre Dame y desde 1946 hasta 1971 en el Instituto de Tecnología de Illinois en Chicago. En 1983 esta institución le concedió un doctorado honorífico por su trayectoria profesional. En la actualidad este Instituto concede un premio anual con su nombre al estudiante que mejores calificaciones obtenga durante el curso académico. Su contribución matemática más famosa, realizada en 1926, es el cuerpo tridimensional que lleva su nombre, la esponja de Menger, muchas veces erróneamente denominada esponja de Sierpinski por su similitud en la construcción con el conocido triángulo (el triángulo de Sierpinski data de 1916). Sin embargo su trabajo matemático es mayor que el de haber concebido esa popular figura. Se le considera junto a Arthur Cayley uno de los fundadores de la geometría de la distancia, por haber formalizado las nociones de ángulo y curvatura en términos de cantidades medibles físicamente. En ellas aparecen los denominados determinantes de Cayley–Menger. También fue un activo integrante del llamado Círculo de Viena, grupo que mantuvo en los años veinte del siglo pasado profundas discusiones en ciencia social y filosofía. En esta época demostró un importante resultado sobre la paradoja de San Petersburgo (recuérdese su aparición en la película de Tom Stoppard Rosencrantz y Guilderstern han muerto) que tuvo aplicaciones muy interesantes en la teoría de la utilidad en Economía. Más tarde realizó algunas contribuciones en el desarrollo de la teoría de juegos junto a Oskar Morgenstern. Lecciones “magistrales” en “Cuéntame cómo pasó” En los capítulos 222 (“Ni exclusivo ni excluyente”) y 223 (“Estandartes y Banderas”) de la presente temporada, Carlitos (Ricardo Gómez) se ha apuntado a una asignatura de matemáticas en el ICADE (Instituto Católico de Administración y Dirección de Empresas, centro que desapareció en 1978 integrándose en la Universidad Pontificia de Comillas; sin embargo la acción de esta temporada se sitúa en 1979, luego anacronismo al canto), básicamente para estar al lado de Arancha (Nazaret Aracil). En el primero escuchamos al docente de fondo mientras el chico intenta desde fuera de clase que ella salga. Lo que oímos es coherente: “El principio de ordenación de los números naturales no es aplicable a los números enteros. Por ejemplo, el propio conjunto Z no tiene elemento inferior porque para todo n perteneciente a Z, hay un n – 1 que es menor que n. Ahora bien, hay un principio análogo que se puede aplicar a unos conjuntos denominados acotados inferiormente. Un subconjunto de Z se puede decir que está acotado inferiormente siempre y cuando exista un número entero k perteneciente….” En el fotograma se puede observar que aparece escrito exactamente lo que está diciendo. Sin embargo en el siguiente capítulo, ante una pizarra encabezada por “Estructura Algebraica de Anillo”, al que siguen la definición de Grupo Abeliano, y algunos ejemplos de anillos (Z, +, ▪), (Q, +, ▪),(R, +, ▪) y (C, +, ▪) (en realidad algunos son más que anillos como sabemos), el profesor parece no saber de que habla en algunos momentos (los he resaltado en otro color): “Después tenemos que comprobar que las dos operaciones son compatibles. Para ello tendremos que hacer que la segunda operación se distribuya en la primera operación. Si vemos que estos dos primeros pasos se cumplen, podemos empezar a realizar la segunda operación. Para que la primera operación sea anillo debe ser grupo abeliano, con identidad o sin identidad” Lo último es de juzgado de guardia: ¿un grupo sin elemento identidad? ¿Qué significa que una operación se “distribuya” en otra? ¿Se referirá a la propiedad distributiva de una respecto de otra? Una operación puede ser ¿un anillo? Si la primera escena resulta coherente, esta es un disparate. Como veis, algunos aún piensan que con meter un rollete con un par de palabrejas técnicas es más que suficiente para ilustrar una clase de matemáticas. En esta escena Carlos se queda dormido en clase, fruto del ajetreo de la noche anterior, pero ante estas explicaciones no queda sino decirle “Haces bien, hijo”. Como siempre podéis dejar vuestros comentarios, opiniones y sugerencias en alfonso@mat.uva.es.

Miércoles, 09 de Noviembre de 2011 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

683. 78. La gran frontera del espacio

Hace ya años que se inventaron los juegos de simulación estratégica. Sí, hablo de esos que han permitido reconstruir batallas como las de Waterloo o Gettysburg (por cierto, en este último caso suele ganar casi siempre el sur...). También se crearon juegos que reconstruyen el proceso de crear civilizaciones como el clásico Civilization o algunos más recientes como Rise of Empires. Creo que se puede decir que en la última década se ha incrementado el diseño, uso y afición popular por ese tipo de juegos de estrategia y, en general, el interés por los llamados "juegos de tablero", sobre todo en centroeuropa (Alemania, tal vez por el clima, parece ir a la cabeza de este nuevo mercado y/o afición) y los Estados Unidos de América del norte.. Hoy, los "juegos de tablero" (boardgames) son una afición en alza. A mi me sorprende ver incluso jóvenes que han sido alumnos míos en la Facultad de Informática de Barcelona de la UPC y que, tras la inevitable dedicación a los juegos informatizados, acaban, al crecer y madurar, entrando en el mundo de los juegos de tablero donde la interacción social es un elemento esencial. El mundillo de los "juegos de tablero" Hace algunos años les vengo hablando de la feria jugarXjugar de Granollers ("Juegos matemáticos" en mayo de 2009, "Más sobre matemáticas y juegos: el reparto del botín", en julio 2010), e incluso de juegos que reproducen el proceso de inducción/deducción de la ciencia como se comentaba en "Eleusis: el juego de la ciencia" en junio de 2009. Hay, en el mundillo de los juegos de tablero, otras ferias famosas, como la de Essen en Alemania e incluso concursos de diseño de juegos parecidos al de Granollers del que ya les he hablado. Hay también páginas web de aficionados que reúnen una cantidad casi indigerible de información e intercambios entre aficionados como la famosísima BGG (Boardgame geek, en http://boardgamegeek.com/) o la local BSK (en http://www.labsk.net/, con un nombre curiosamente derivado de la inicialmente llamada "Sociedad Británica para el Conocimiento...). Y muchas otras. Tengo para mí que el adulto que no sabe mantener vivo el espíritu lúdico pierde algo de su humanidad básica. De niños jugamos para aprender a vivir en el mundo y para relacionarnos con otros y esa actividad, creo yo, puede llegar a ser productiva y útil toda la vida. Lo más curioso es que algunos de los creadores de esos juegos tienen una amplia formación académica y universitaria como, por ejemplo, el famoso Reinier Knizia (nacido en 1957), doctor en matemáticas por la Universidad de Ulm (Alemania). Tras trabajar como analista financiero y crear algunos juegos hoy famosos, decidió, en 1997, dedicarse a trabajar como diseñador de juegos a tiempo completo. Hoy es autor de centenares (¡y no exagero!) de esos juegos de tablero, algunos abstractos, otros con inteligentes sistemas de subasta e incluso con algunos que reproducen viejas historias sacadas de libros de aventuras: desde Tigris & Euphrates, Ra, Samurai, Modern Art y muchos otros hasta llegar a juegos sobre "El señor de los anillos" o "El hobbit". Encontrarán la lista completa en la página de la BGG dedicada a este autor: http://boardgamegeek.com/boardgamedesigner/2/reiner-knizia Curiosa evolución para un matemático que, al menos en mi caso, no puedo dejar de envidiar un poquito... Las "locuras" de Phil Eklund Pero hoy quería hablarles sobre todo de otro de esos creadores de juegos que, por su formación, me resulta incluso más cercano que Knizia. Conviene decir que, en el seno de este mundillo de los juegos de tablero, hay una editorial estadounidense de juegos (Sierra Madre Games) que se anuncia nada más y nada menos que como creadora de juegos de simulación histórica y, lo más importante, también "científica". El creador de esa compañía es Phil Eklund poseedor de un BSME (Bachelor of Science in Mechanical Engineering), obtenido en 1978, en la Universidad de Arizona quien, al terminar sus estudios, empezó a trabajar, desde 1979, como ingeniero aerospacial en la empresa Raytheon Missile Systems que antes había sido conocida como Hughes Missile Systems Company de la Hughes Aircraft. Debo aquí recordarles, con toda mi falsa modestia..., que soy ingeniero aeronáutico, formado en la Escuela Superior de Ingenieros Aeronáuticos de Madrid y que, posteriormente, cursé Ingeniería Espacial en la Universidad de Roma. Aunque me haya dedicado profesionalmente a la informática, mi formación inicial es parecida a la Eklund y, tal vez, por eso, junto a mi sana envidia por Reinier Knizia, también siento una sensación parecida respecto a Phil Eklund... Pues bien Eklund parece haber decidido ahora emular a Knizia y dejar su trabajo de más de treinta años como ingeniero aerospacial para irse a vivir a Karlsruhe en Alemania como diseñador de juegos de estrategia. Y le ha de ir bien, seguro. Eklund es autor de una serie de juegos de simulación estratégica basados en la ciencia y sumamente interesantes. Algunos de los aficionados a los juegos de tablero (los llamados "jugones") pueden llegar a considerar que tal vez esos juegos diseñados por Eklund pecan de exceso de voluntad de ser serios y verosímiles en su uso de la ciencia y, sobre todo, de sacrificar la "jugabilidad" y la sencillez del juego a la verosimilitud de la simulación científica. Pero hay otras ventajas y a algunos (como yo...) ese intento de veorismilitud científica en un juego es algo siempre encomiable. Eklund ha creado juegos sobre la evolución biológica (American Megafauna y Bios Megafauna), otros de desarrollo de civilizaciones (Origins) y una maravilla que es pieza única: High Frontier, sobre el viaje espacial del que quiero hablarles hoy con mayor detalle. Los lectores interesados pueden encontrar más información en la web de la editora (http://www.sierramadregames.com/) o en la de los aficionados a los juegos de tablero (http://boardgamegeek.com/). La gran frontera del espacio High Frontier, un viejo sueño, ha sido diseñado por Phil Eklund durante treinta años y apareció por fin en 2010. En pocas semanas se acabaron las existencias y hoy se ofrece incluso un "High Frontier first reprint with errata" (sic), una posibilidad de expansión (con un mapa del sistema solar algo mayor) y, separadamente, un descomunal mapa o póster que permite viajar incluso a Alpha Centauri... Eso, claro, si se dispone del combustible adecuado y los propulsores necesarios. El manual de instrucciones, de 24 páginas con letra muy pequeñita, es casi un libro de texto sobre ingeniería aerospacial y, además de las reglas del juego, ilustra sobre muchos, muchísimos aspectos del viaje por el espacio: propulsores, masa, combustible, trayectorias, etc. Pero no es sólo eso, también ilustra sobre la ciencia y la tecnología del espacio: termodinámica, puntos de Lagrange, cometas, asteroides, órbitas Hohmann de transferencia, nanofactorías y un largo etcétera que llega incluso a aspectos casi recónditos de la tecnociencia aerospacial como propulsores de efecto Hall, reactores Lyman de trampa para partículas alpha, generadores para-lentes O'Meara LSP y otras cosas de tipo parecido. Una verdadera pasada y, al mismo tiempo, una maravillosa gozada... High Frontier es un juego, pero para los interesados en el viaje espacial (como es mi caso) se trata incluso de una especie de reencuentro con el tema de su interés de una manera divertida y, al mismo tiempo didáctica. Eklund ha resuelto muy bien la simplificación necesaria para poder hacer un juego del viaje espacial, manteniendo la verosimilitud temática. Una hazaña al alcance de muy pocos. O sea que si disponen de una mesa grande (mejor muy, muy grande si van a usar el póster...), dos o tres amigos interesados por el viaje espacial ávidos de nuevas experiencias y con mucho tiempo disponible, High Frontier puede ser una experiencia inolvidable. Y también casi interminable. Quien avisa no es traidor. (Un juego de High Frontier acaba durando más de tres o cuatro horas... pero vale la pena. Se lo puedo asegurar).   Para jugar: - HIGH FRONTIER, Phil Eklund. Sierra Madre Games. 2010. Para consultar: - Web de la BGG: http://boardgamegeek.com/

Martes, 08 de Noviembre de 2011 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

684. 10. (Noviembre de 2011) Los logos de Google

Vamos a dedicar la entrada de este mes a todo un fenómeno social, como es Google. Cualquier persona que haya accedido a internet en alguna ocasión, lo cual incluye a las millones de personas que acceden de forma habitual, sabe lo que es Google. El mayor, y más eficaz –quizás porque las matemáticas están detrás, en su estructura-, buscador de contenidos de internet. Pero es mucho más que todo eso, es la mega-empresa que está detrás de ese buscador y todos los productos que ha sacado desde su inicio con el motor de búsquedas… gmail, google maps, google earth, google books, google videos, you tube (adquirido recientemente), google calendar, y una infinidad de otros servicios. Pero no vamos a dedicarnos a explicar qué es Google y cuáles son sus productos. Eso es de sobra conocido, y si no fuese así, que lo dudo, solamente hay que teclear “google” en cualquier buscador (incluido el propio Google). Antes de ir al tema, un par de curiosidades. La primera es sobre el nombre. Google viene de Googol, que es el nombre matemático designado para nombrar el número 10100, y que fue introducido por Edward Kasner y James Newman en su libro “Matemáticas e Imaginación” (1940), al parecer el término fue elegido por u sobrino de 9 años de edad de Edward Kasner. La segunda son los colores de su logo, que según podemos leer en la wikipedia, la elección de estos se “basa en que el ordenador original que se utilizó para el proyecto Google estaba construido con LEGOS, así es, bloques de Lego azules, rojos, amarillos y verdes”. Y precisamente hoy vamos a hablar del logo de Google. Pero no del logo normal que todos conocemos, sino de los logos temáticos que, desde el año 1998, la empresa ha venido realizando para hacer más agradable y divertida, para todos sus usuarios, la página de búsqueda, los llamados “doodles”. Como dice la propia página de Google, los “Doodles son cambios decorativos que se realizan sobre el logo de Google para celebrar cumpleaños, aniversarios, y las vidas de famosos artistas y científicos”. El primer Doodle, realizado por los creadores de Google, Larry Page y Sergey Brin, fue con motivo del Burning Man Festival, celebrado en el desierto de Nevada. Los Doodles se han hecho tan famosos y tan esperados por el público, que sin lugar a dudas se han convertido en un producto publicitario muy eficaz. Algunos de estos Doodles tienen relación con las matemáticas y son precisamente esos los que vamos a recoger en esta entrega de la sección “Las matemáticas en la publicidad”.  Nos hubiese gustado poder decir que el primer Doodle matemático fue en el año 2000 con motivo del Año Mundial de las Matemáticas, pero no fue hasta el 14 de marzo de 2003, y este fue un Doodle más bien físico –aunque lo incluimos aquí por la componente matemática de la teoría de la relatividad y del trabajo de Einstein-, ya que era para conmemorar el cumpleaños de Albert Einstein… El 3 de febrero de 2004 pudimos disfrutar del primer Doodle puramente matemático, el dedicado al cumpleaños del matemático francés Gaston Julia, que fue uno de los precursores del estudio de los fractales, junto con Benoit Mandelbrot… Aunque no sea matemático, me gustaría incluir el Doodle del 3 de mayo de 2005, dedicado al Día del Maestro (en Estados Unidos)… Es uno de los muchos Doodles dedicados a la enseñanza o a los maestros y maestras. O también el “Girls Day” de la página Google de Alemania, del 24 de abril de 2008, cuyo Doodle incluye a una chica que está escribiendo fórmulas matemáticas… El siguiente Doodle matemático (que apareció en China el 22 de mayo de 2009) está dedicado al matemático chino Chen Jingrun, que trabajó en Teoría de Números, con motivo de su cumpleaños… Y el siguiente Doodle matemático, también para la página de Google en China, fue con motivo del cumpleaños (del 20 de abril de 2009) del matemático y astrónomo chino, del siglo V, Zu Chongzhi,… que como podemos leer en la wikipedia, entre sus contribuciones están… i) Dos aproximaciones del número pi. Tuvo el record de la aproximación más precisa durante novecientos años. Su mejor aproximación cae entre 3.1415926 y 3.1415927, la aproximación racional 355/113 (Milü, aproximación detallada) y 22/7 (Yuelü, aproximación cruda). ii) Dedujo que el volumen de una esfera es 4πr³/3, donde r es el radio. Aunque en realidad esto ya había sido descubierto previamente por Arquímedes: al estar Grecia y China a una distancia tan grande para los medios de entonces Zu Chongzhi tuvo que calcularlo él mismo. Aunque uno de los Doodles más celebrados por la comunidad matemática, y por los millones de aficionados y aficionadas a esta ciencia, fue el aparecido el 14 de marzo de 2010 y dedicado al Día Pi… Para barrer para casa podemos incluir un Doodle, que apareció el 29 de mayo de 2010 en Hungría, dedicado a un economista que trabajó en Teoría de Juegos, como fue John Harsányi, y con motivo de su cumpleaños… El 4 de septiembre de 2010 pudimos observar un Doodle con sabor a química, pero con la geometría como especia acompañante, fue el dedicado –en su 25 aniversario- a la Buckyball, el fullereno esférico,  que es una molécula de carbono cuya forma es un poliedro convexo formado por pentágonos y hexágonos. La teoría de nudos, y la topología en general, ha tenido también su lugar en el mundo doodle a través del Doodle que apareció en la página turca de Google el día 11 de octubre de 2010 para celebrar el 100 cumpleaños del matemático turco Cahit Arf… Pero sin lugar a dudas, uno de los Doodles más matemáticos es el que apareció el 17 de agosto de 2011, con motivo del 410 cumpleaños del matemático Pierre de Fermat… Y por supuesto el Doodle tenía que ver con el famoso último teorema de Fermat. Ese sobre cuyo resultado escribió en el margen del libro griego La Aritmética de Diofanto, algo así como “Es imposible encontrar la forma de convertir un cubo en la suma de dos cubos, una potencia cuarta en la suma de dos potencias cuartas, o en general cualquier potencia más alta que el cuadrado, en la suma de dos potencias de la misma clase. He descubierto para el hecho una demostración excelente. Pero este margen es demasiado pequeño para que (la demostración) quepa en él”. Sin embargo, hubo que esperar al año 1995 para que el matemático inglés Andrew Wiles diera una demostración de dicho resultado. Existen algunos otros Doodles con cierto aroma a matemáticas, como los dedicados a algunos artistas en cuya obra las matemáticas, o la geometría, están muy presentes… Escher, Leonardo da Vinci, Brancusi, Frank Lloyd Wright, Isamu Noguchi, etc… o los relacionados con las astronomía. Para terminar, la pregunta que nos podemos hacer ahora es ¿cuál será el siguiente Doodle relacionado con las matemáticas? Teniendo en cuenta que este año 2011 es el Año Galois, habría estado bien que el día 25 de octubre Google hubiese dedicado uno al cumpleaños del matemático francés Evariste Galois (25 de octubre de 1811 - 31 de mayo de 1832), o teniendo en cuenta que el año 2012 es el Año Poincaré, quizás el día 29 de abril nos sorprendan con un Doodle dedicado al también matemático francés Henri Poincaré (29 de abril de 1854 –17 de julio de 1912) y en cuya imagen se haga referencia a la conjetura de Poincaré, que resolvió Perelman y que tanto ha salido en los medios de comunicación, incluida la prensa amarilla, por negarse a recoger la Medalla Fields que se le otorgó en el Congreso Internacional de Matemáticos de 2006 (en Madrid) o por su renuncia al millón de dólares que el Instituto Clay ofrecía a quien resolviese ese problema matemático. Pero un Doodle que espero que se produzca es el dedicado a Benoit Mandelbrot, el padre moderno de los fractales y uno de los matemáticos más conocidos por el público general precisamente por su trabajo sobre los fractales, que falleció el año pasado, año 2010, y que el 20 de noviembre habría sido su 87 cumpleaños. Para despedirnos un Doodle que apareció este año en la página de Google en España, el que conmemoraba, el 28 de septiembre de 2011, el 192 cumpleaños de Narciso Monturiol…

Miércoles, 02 de Noviembre de 2011 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

685. 30. (Noviembre 2011) Medidas matemáticas de síncopa (II)

Este artículo es la segunda parte de la serie sobre medidas matemáticas de síncopa. Esta serie proviene del trabajo Mathematical measures of syncopation, presentado en el congreso BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music, and Science de 2005. Los autores son Andrew Melvin (Buckinghamshire Music Service, Inglaterra), David Rappaport (School of Computing, Queen's University), Godfried Toussaint (School of Computer Science, McGill University) y el autor de esta columna. 1. Medidas de síncopa Desde el punto de vista matemático, la música se ha formalizado y estudiado mucho, pero parece que han despertado más interés los fenómenos relacionados con la altura del sonido, tales como escalas, acordes y melodía  [17, 12, 16, 15, 2, 3, 9], que los relacionados con fenómenos rítmicos. Varios autores han puesto remedio a esta situación con el estudio de fascinantes cuestiones abiertas sobre el ritmo (véase, por ejemplo, [18, 13, 1, 12, 19, 6, 20, 21, 22, 23, 4]). Muy pocos autores, sin embargo, han abordado los muchos problemas que surgen alrededor de la síncopa (véase [11, 14, 8]). Por ejemplo, dados dos ritmos con la misma métrica, ¿cuál es más sincopado? ¿Existe una medida que pueda ordenar un conjunto de ritmos según su grado de síncopa? O ¿existe una medida matemática de síncopa que coincida con la medida humana de la síncopa? En [11], dentro del contexto de una teoría sobre el ritmo y la métrica, Johnson-Laird estudia la síncopa desde un punto de vista cualitativo, pero no describe una medida de síncopa para ritmos. La síncopa se ha estudiado en el contexto de los modelos de inducción de pulsos [8]. En el capítulo final de [12], Keith considera el problema de definir una medida matemática de síncopa y da una definición basada en combinatoria. Asimismo, en [23] se presenta una medida de preferencia para música africana del área subsahariana, la llamada medida de contratiempo, que se basa en teoría de grupos. La medida de contratiempo no solo parece ser una buena medida de preferencia, sino que también puede servir como medida de síncopa. El índice de asimetría rítmica [1, 5, 6] puede considerarse también como una aproximación a un medida de síncopa. Se basa en la partición de ritmos con ciertas propiedades. En este trabajo definimos una nueva medida de síncopa que no está basada ni en combinatoria ni en teoría de grupos, sino en el concepto de duración de distancia entre notas. En las siguientes secciones revisaremos medidas de síncopa definidas por otros autores e introduciremos la medida de la distancia ponderada de nota a parte. 1.1. Índice de asimetría rítmica Simha Arom [1] descubrió que los pigmeos aka usan ritmos que tienen lo que él llama la propiedad de asimetría rítmica [6, 5]. Un ritmo con un tramo temporal consistente en un número par de unidades de tiempo tiene la propiedad de asimetría rítmica si no hay dos notas que partan el ciclo (el tramo temporal entero) en dos subintervalos de igual longitud. Tal partición se llama un bipartición igual. Nótese que la propiedad de asimetría rítmica se define solo para tramos temporales de longitud par. Para tramos de longitud impar todos los ritmos tiene esa propiedad, lo que desprovee a la medida de todo interés. Aunque limitada, esta propiedad es un primer paso hacia una definición matemática de síncopa. Desafortunadamente, la capacidad de esta propiedad de discriminar ritmos según la síncopa es su mayor limitación. Considérese, por ejemplo, las diez ritmos de clave de campana de la música del África del Oeste y del Sur; estas claves están formadas por siete notas en un tramo temporal de doce unidades, con cinco intervalos de longitud dos y dos intervalos de longitud uno (véase [21] para más detalles). Los diez ritmos y sus vectores de intervalos son: Ritmo Vector de intervalos Partitura Soli (2 2 2 2 1 2 1) Tambú (2 2 2 1 2 2 1) Bembé (2 2 1 2 2 2 1) Bembé-2 (1 2 2 1 2 2 2) Yoruba (2 2 1 2 2 1 2) Tonada (2 1 2 1 2 2 2) Asaadua (2 2 2 1 2 1 2) Sorsonet (1 1 2 2 2 2 2) Bemba (2 1 2 2 2 1 2) Ashanti (2 1 2 2 1 2 2) Figura 1: Vector de intervalos para algunas claves africanas para campanas. Estos diez ritmos se obtienen a partir de rotaciones adecuadas de tres patrones canónicos (de nuevo, véase [21]) . Estos ritmos pertenecen a un conjunto más general de ritmos, que en total son veintiuno. La propiedad de asimetría no aparece en ninguno de ellos. Aún más, entre los diez ritmos usados aquí, algunos son más sincopados que otros, pero la propiedad de asimetría rítmica no capta esa diferencia. Toussaint [21] propuso una generalización de esta propiedad que tenía más capacidad de discriminación. Originalmente, Simha Arom [1] definió la propiedad de asimetría rítmica de una manera estrictamente dicotómica, blanco o negro, todo o nada, esto es, el ritmo o tiene la propiedad o no la tiene. Este concepto se puede generalizar a una variable que tome más valores y que mida la cantidad de asimetría rítmica que un ritmo posee. Esta variable de asimetría rítmica se define como el número de biparticiones iguales que admite un ritmo. Cuantas menos biparticiones un ritmo admita, más asimetría rítmica tendrá. 1.2. La medida de contratiempo Consideremos en primer lugar los ritmos definidos sobre un tramo temporal de 12 unidades de tiempo. Un intervalo de 12 unidades se puede dividir de manera exacta, sin resto, por cuatro números mayores estrictamente que 1 y menores que 12. Estos números son 6, 4, 3 y 2. Dividir el círculo de 12 unidades por estos números da lugar a un segmento, un triángulo, un cuadrado y un hexágono, respectivamente. Normalmente, la música africana incorpora un tambor u otro instrumento de percusión que toca al menos una porción de estos patrones. A veces la música se acompaña con ritmos de palmas que usan alguno de estos patrones. Por ejemplo, la musica funeral neporo del noroeste de Ghana emplea el triángulo, el cuadrado y el hexágono en sus ritmos de palmas [24]. En cualquier caso, el ritmo tiene un pulso que podemos asociar con la posición “cero” en el ciclo. En la música polirrítmica estos cuatro subpatrones forman los posibles patrones métricos. Dos de estos patrones, el segmento y el cuadrado, son binarios y dos, el triángulo y el hexágono, ternarios. Por tanto, las notas que se tocan en otras posiciones están en posiciones de contratiempo en un sentido fuertemente polirrítmico. Hay cuatro posiciones que no aparecen en ninguno de estos cuatro patrones. Esas posiciones son 1, 5, 7 y 11. Las notas en esas posiciones se llamarán notas a contratiempo. Un ritmo que contenga al menos una nota en una de esas posiciones se dirá que tiene la propiedad del contratiempo. La medida de contratiempo es el número de notas a contratiempo que contiene. Estas notas a contratiempo (1, 5, 7, y 11) tienen una interpretación en términos de teoría de grupos. Las 12 posiciones para las 12 posibles notas forman un grupo cíclico de orden 12 designado por C12. Los valores de las posiciones de las notas a contratiempo corresponden a los tamaños de los intervalos que tienen la propiedad de que, si se recorre el ciclo empezando en “cero” en sentido horario en saltos de tamaño igual al tamaño de uno de estos intervalos, entonces en algún momento se vuelve al punto de inicio tras haber visitado todas las 12 posiciones. Recíprocamente, si las longitudes de los saltos se toman del conjunto complementario , entonces el punto de inicio se alcanzará sin haber visitado las 12 posiciones del ciclo. Por esta razón, los elementos 1, 5, 7 y 11 se llaman generadores del grupo C12. Los números que indican la posición de las notas a contratiempo en el ciclo también tienen una interpretación desde el punto de vista de la teoría de números. Consideremos un tramo temporal de n unidades. Las posiciones de las notas a contratiempo se conocen como coprimos1 de n (véase [7]) . Los coprimos de n son los enteros positivos menores que n que son primos relativos con n. Dos números son primos relativos si el único divisor que tienen en común es 1. La función indicatriz de Euler2, designada por φ(n), es el número de coprimos de n, y es por tanto el valor máximo que la medida de contratiempo puede tomar para un ritmo con un tramo temporal de n unidades. Volviendo a los diez ritmos de campanas de África del Oeste en 12/8 que introdujimos antes, la medida de contratiempo no solo discrimina mejor que el índice de asimetría rítmica en términos de síncopa, sino que muestra que un valor más alto de la medida de contratiempo tiene una correlación más alta con la aceptación popular del ritmo. El ritmo del bembé es el patrón que se usa más frecuentemente. Entre estos diez ritmos, el valor más alto para la medida de contratiempo es 3 y solo el bembé alcanza dicho valor. Ya que cada grupo cíclico Cn tiene un conjunto de generadores, la medida de contratiempo descrita se puede generalizar a ritmos definidos sobre tramos temporales de n unidades, donde n puede tomar otros valores distintos a 12. Aunque la medida funciona mejor con valores pares de n, tiene alguna aplicabilidad para valores impares de n. Por otra parte, si n es un número primo p, entonces todos los números entre 1 y p - 1 son coprimos con p. En tal caso la medida es infructuosa, ya que todas las posiciones entre 1 y p - 1 serían notas a contratiempo bajo la presente definición de contratiempo. 1.3. La medida de Keith En [12] Keith examina varios fenómenos de naturaleza rítmica y lleva a cabo un análisis matemático de ellos. Como ejemplo ilustrativo, Keith aborda el problema de medir el grado de síncopa de un ritmo dado. Su definición se apoya en la distinción de tres eventos: retardo, cuando una nota empieza en parte fuerte3 y termina fuera de ella; anticipación, cuando la nota empieza fuera de parte y termina sobre parte; y síncopa, que se concibe como una combinación de los dos eventos previos (véase la figura 2; de izquierda a derecha: retardo, anticipación y síncopa). Figura 2: Retardo, anticipación y síncopa. De manera algo arbitraria, Keith asigna valores de 1 al retardo, de 2 a la anticipación y de 3 a la síncopa. Esta asignación parece, por lo menos, subjetiva y el propio Keith reconoce que “el problema de decidir la “fuerza” rítmica relativa del retardo, la anticipación y la síncopa es un interesante problema filosófico”. La medida de Keith se limita a métricas compuesta de n pulsos, donde n es una potencia de 2. Vamos a dar su definición detallada con el fin de entender esta limitación. Su idea principal es que, dadoa un evento musical (una nota), para saber si está en parte fuerte o no hay que compararla con una plantilla métrica, que indica las partes fuertes y débiles según el tamaño (duraciones) del evento. Por ejemplo, si la potencia de 2 es 3, entonces habrá 23 = 8 corcheas y las plantillas de partes fuertes y débiles se ilustra en la tabla abajo (F es para la parte fuerte y D para la débil). F D D D D D D D F D D D F D D D F D F D F D F D F F F F F F F F Figura 3: Diferentes niveles métricos en la definición de síncopa de Keith. Un evento de tamaño 8 se compara con la primera plantilla (léase de arriba abajo). Los eventos de tamaño entre 4 y 7 se comparan con la segunda plantilla; los que van de 2 a 3, con la tercera plantilla; y finalmente, las corcheas, de tamaño 1, con la última plantilla, que solo está formada por partes fuertes. Podemos representar un ritmo de n notas por una sucesión circular (s0,s1,…,sn-1). Usaremos también la sucesión de intervalos entre notas (δ0,δ1,…,δn-1), donde δi = si+1 - si, para 0 ≤ i < n. El número δn es igual a L - sn-1, siendo L la longitud del ritmo completo. La localización de las partes fuertes es una función de la longitud del intervalo entre notas consecutivas. Una hipótesis implícita es que la métrica es siempre binaria y que las partes fuertes ocurren en algún múltiplo de una potencia de dos. Para cualquier nota dada si, la partes fuertes adyacentes se pueden describir como j2k y (j + 1)2k, donde k es el entero tal que 2k ≤ δi < 2k+1, y j es el entero tal que j2k ≤ si < (j + 1)2k. Ahora expresamos este método más precisamente mediante un algoritmo (figura 4). Figura 4: Algoritmo para la medida de síncopa de Keith. Hagamos un ejemplo que ilustre cómo se calcula la medida de síncopa de Keith para el ritmo de la bossa-nova; véase la figura 5. La bossa-nova tiene la sucesión de notas (0,3,6,10,13,16) y la sucesión de intervalos entre notas (3,3,4,3,3). Nótese que la sucesión que damos para la bossa-nova tiene una nota de más para enfatizar el carácter circular de la sucesión. La siguiente tabla muestra los cálculos para obtener 9, el valor de la medida de síncopa, que está dado por la suma de los pesos wi. 0 1 2 3 4 5 si 0 3 6 10 13 16 δi 3 3 4 3 3 wi 1 2 3 1 2 j × p 0 × 2 2 × 2 1 × 4 5 × 2 6 × 2 Figura 5: Anotación de los cálculos de la medida de síncopa de Keith para el ritmo de la bossa-nova. 1.4. La medida ponderada de nota a parte En la definición de nuestra medida centramos nuestra atención en los ataques de las notas entre partes fuertes en lugar de la estructura métrica, como hace Keith, o en el número de generadores de Cn, como ocurre en el caso de la medida de contratiempo. Nuestra definición se basa en el concepto de distancia y es más flexible en cuanto que nos permite cuantificar el nivel de síncopa de un amplio abanico de ritmos. Por ejemplo, consideremos los ritmos que se muestran en la figura 6; ni la medida de Keith ni la medida de contratiempo son adecuadas para medir ritmos de esta complejidad. Figura 6: Ritmos que no pueden medirse con la medida de contratiempo o con la medida de Keith. Sin embargo, con la medida ponderada de nota a parte sí es posible medirlo; de hecho, tiene valor igual a 41∕8. Otro ejemplo más radical se puede encontrar en la obra Aïs, de Iannis Xenakis (figura 7). Figura 7: Ritmos complejos de medir en la obra Aïs, de Iannis Xenakis. La distancia ponderada de nota a parte (a partir de ahora DPNP) se define como sigue. En primer lugar, supondremos que cada nota termina donde empieza la siguiente. Sean pi,pi+1 dos partes fuertes de la métrica. Sea sj una nota que empieza después o sobre la parte fuerte pi pero antes de la parte fuerte pi+1; primero definimos T(sj) = mín, donde d es la distancia entre notas en términos de duraciones. Aquí la distancia entre dos partes fuertes se toma como la unidad, y, por tanto, la distancia d es siempre una fracción. Por ejemplo, las negras en un compás de 4/4 son partes fuertes, y, si las notas de la figura 8 se refieren a la parte fuerte más cercana: Figura 8: Síncopa medida con la DPNP measure. entonces, las distancias respectivas T(sj) son ,,,,,. En la medida de síncopa de Keith la parte fuerte más cercana a una nota estaba implícita. Para permitir una mayor variedad de ritmo la medida DPNP exige especificar cuales son las partes fuertes. En el ejemplo anterior las partes fuertes están dadas por el compás. Así, en el ejemplo de la figura 6 las partes fuertes se encuentran a intervalos de negra. La medida DPNP está especialmente diseñada para entradas en notación estándar, ya que las partes fuertes se deducen del compás. La medida DPNP D(sj) de una nota sj se define entonces como sigue: 0, si sj = pi; , si la nota sj ≠ pi termina antes o en pi+1; , si la nota sj ≠ pi termina después de pi+1 pero antes de o en pi+2; y , si la nota sj ≠ pi termina después de pi+2. Sea n el número de notas de un ritmo. Entonces la medida DPNP de un ritmo es la suma D(sj), para todas las notas sj, dividida por n. La tabla de la figura 11 proporciona una lista de los valores DPNP para varios ritmos. Usaremos la notación que introdujimos antes para representar un ritmo como una sucesión circular, junto con una sucesión de intervalos entre notas y las partes fuertes dadas por el compás para escribir el algoritmo de la medida DPNP. Consideremos una nota si. Esta nota puede empezar en una parte fuerte pj o puede caer entre dos partes fuertes consecutivas. Definimos di como Ahora asignamos un peso wi a una nota si como sigue: si si = pj entonces wi ← 0 si pj < si < si+1 ≤ pj+1 entonces wi ← 1∕di si pj < si < pj+1 < si+1 < pj+2 entonces wi ← 2∕di si pj < si < pj+1 < pj+2 ≤ si+1 entonces wi ← 1∕di Nótese que asignamos el mayor valor de síncopa a una nota si en el caso en que si y si+1 caigan entre dos partes fuertes consecutivas. Detallamos a continuación el algoritmo para calcular la medida DPNP. Figura 9: Algoritmo para la medida DPNP. En la figura 10 hemos registrado los cálculos para determinar la medida DPNP para el ritmo de la bossa-nova. Nótese que el compás implica que las partes fuertes son las blancas. Esto se traduce en un vector de partes fuertes igual a (0,4,8,12,16). 0 1 2 3 4 5 si 0 3 6 10 13 16 di 0 1/4 1/2 1/2 1/4 wi 0 2 × 4 2 × 2 2 × 2 1 × 4 Figura 10: Anotación de los cálculos de la medida DPNP para el ritmo de bossa-nova. Nótese que si n no se introduce en la definición de DPNP, entonces la medida crece según lo hace el número de notas del ritmo. Eso daría como resultado una medida incorrecta. En la tabla 11 hay una columna que muestra la suma de las distancias D(x). Se puede apreciar cómo se comporta tal suma en términos de n y la influencia del número de notas en la medida. Rhythm Musical Scores ∑ xD(x) DPNP Hesitation 2 1/2 Anticipation 2 1/2 Syncopation 6 6∕5 = 1.2 Triplet 6 6/6=1 Quintuplet 15 15/8=1.875 Bembé 21 21/7=3 Son 14 14/5=2.8 Bossa-Nova 20 20/5=4 Irregular Rhythm 35 35/7=5 Figura 11: Ejemplos de la medida DPNP. Los pesos que aparecen en la definición de la medida merecen una explicación. Es razonable dar un peso a una nota que se toca fuera de una parte fuerte. Nuestra medida da menos peso cuando la nota aparece entre dos partes fuertes consecutivas y, según se aproxima la nota a la siguiente parte fuerte, gana más peso. Sin embargo, hay una gran diferencia si la nota cruza una parte fuerte o sencillamente termina antes o en la siguiente parte fuerte. En el primer caso hay una sensación de síncopa más fuerte que en el segundo. Por tanto, recibe más peso con el fin de reflejar este hecho musical. Se puede ver que, según una nota x se aproxima a una parte fuerte, su distancia T(x) decrece, y en consecuencia, su medida de síncopa D(x) crece. Parece que si T(x) tiende a cero, entonces D(x) tiende a infinito. Sin embargo, debe establecerse un límite inferior de manera que si una nota x está a cierta distancia de una parte fuerte su distancia se toma como cero. Considérese el ejemplo de la figura 12. Ritmo DPNP Measure Rhythm DPNP Measure 2 8 4 0 Figura 12: Límite inferior para la medida WNBD. En este ejemplo, excepto en el último ritmo, la medida de síncopa de cada ritmo crece ya que la nota se aproxima a la nota blanca. El último ritmo tiene distancia cero porque la segunda nota es de adorno. La cuestión de cómo elegir ese límite inferior a partir del cual se considera una nota como de adorno es difícil. Es razonable suponer que dependa de la velocidad a la que se toquen los ritmos (con tempi rápido el límite debería ser inferior que en tempi lentos). Para ritmos que comparten una unidad mínima de duración, la medida DPNP funciona bastante bien, ya que el tempo no es importante para comparar los ritmos. 2. Conclusiones En este artículo hemos definido las principales medidas de síncopa. En el próximo compararemos las medidas entre sí midiendo varios conjuntos de ritmos, tanto binarios como ternarios. Analizaremos también la robustez de las medidas en términos de sus pesos.   Notas: 1 Totatives se llaman en inglés. 2 En inglés, totient function. 3 La terminología española es parte fuerte para lo que en inglés llaman strong beat o sencillamente beat; a veces el término pulse se usa como equivalente a parte fuerte. Bibliografía [1] Arom, S.; African Polyphony and Polyrhythm, Cambridge University Press, England, 1991. [2] Assayag, G.; Fiechtinger, H-G.; Rodrigues, J. F. (editors); Mathematics and Music, Springer-Verlag, 2002. [3] Benson, D.; Mathematics and Music. Book published on the web. See the site http://www.math.uga.edu/∽ djb/html/math-music.html [4] Díaz-Báñez, J. M.; Farigu, G.; Gómez, F.; Rappaport, D.; G. T. Toussaint; El Compás Flamenco: A Phylogenetic Analysis, Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music, and Science, Winfield, Kansas, 61-70, July, 2004. [5] Chemillier, M.; Ethnomusicology, ethnomathematics. The logic underlying orally transmitted artistic practices, in G. Assayag, H. G. Feichtinger and J. F. Rodrigues, editors of Mathematics and Music, pp. 161-183, Springer-Verlag, 2002. [6] Chemillier, M. and Truchet, C.; Computation of words satisfying the ‘rhythmic oddity property’ (after Simha Arom’s work), Information Processing Letters, 86:255-261, 2003. [7] Conway, J. H. and Guy, R. K.; Euler’s Totient Numbers, The Book of Numbers, pp. 154–156, New York, 1996. [8] Desain, P. and Honing, H. (1994). Advanced issues in beat induction modeling: syncopation, tempo and timing, Proceedings of the 1994 International Computer Music Conference,San Francisco, 92-94. , 1995. [9] Fauvel, J.; Flood, R.; Wilson; R. (editors); Music and Mathematics: From Pythagoras to Fractals, Oxford University Press, Oxford, 2003. [10] Fubini, E.; History of Music Aesthetics, Macmillan Press, London, 1991. [11] Johnson-Laird, P.N.; Rhythm and Meter: a Theory at the Computational Level, Psychomusicology, 10:88-106, 1991. [12] Keith, M.; From Polychords to Pólya: Adventures in Music Combinatorics, Vinculum Press, Princeton, 1991. [13] Lerdahl, F. and Jackendoff, R.; A Generative Theory of Tonal Music, MIT Press, Cambridge, Massachussetts, 1985. [14] Longuet-Higgins, H.C. and Lee, C.S.; The rhythmic interpretation of monophonic music, Music Perception, 1:424-441, 1984. [15] McCartin, B.; Prelude to Musical Geometry, Coll. Math. Jour, 29:354-370, 1998. [16] Maidín, O.; A geometrical algorithm for melodic distance, Computing in Musicology, 11:65-72, 1998. [17] Pierce, J.; The Science of Musical Sound, Scientific American Books, Freeman, 1983. [18] Pressing, J.; Cognitive Isomorphisms between Pitch and Rhythm in World Musics: West Africa, the Balkans and Western Tonalities, Studies in Music, 17:38-61, 1983. [19] Temperley, D.; The Cognition of Basic Musical Structures, The MIT Press, Massachussetts, 2001. [20] Toussaint, G. T.; A Mathematical Analysis of African, Brazilian, and Cuban Clave Rhythms, Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music and Science, pp. 157-168, Towson University, Towson, MD, 2002. [21] Toussaint, G. T.; Classification and Phylogenetic Analysis of African Ternary Rhythm Timelines, Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music and Science, pp. 25-36, Universidad de Granada, Granada, 2003. [22] Toussaint, G. T.; A Comparison of Rhythmic Similarity Measures. Proc. 5th International Conference on Music Information Retrieval, pp. 242-245, Universitat Pompeu y Fabra, Barcelona, 2004. [23] Toussaint, G. T.; A Mathematical Measure of Preference in African Rhythm. In Abstracts of Papers Presented to the American Mathematical Society, volumen 25, pp. 248, Phoenix, Arizona, January, 2004. American Mathematical Society. [24] Wiggins, T.; Techniques of variation and concepts of musical understanding in Northern Ghana, British Journal of Ethnomusicology, 7:117–142, 1998.

Miércoles, 02 de Noviembre de 2011 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

686. 29. (Octubre 2011) Medidas matemáticas de síncopa (I)

Los tres siguientes artículos de esta sección provienen del trabajo Mathematical measures of syncopation, presentado en el congreso BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music, and Science de 2005. Los autores son Andrew Melvin (Buckinghamshire Music Service, Inglaterra), David Rappaport (School of Computing, Queen's University), Godfried Toussaint (School of Computer Science, McGill University) y el autor de esta columna. 1. Introducción La música es emoción y tiene el poder de crear complejos mundos de sentimientos psicológicos. Psicólogos, críticos, musicólogos, compositores, intérpretes y oyentes en general se han interrogado sobre la importante cuestión de cómo la música hace aflorar las emociones, esto es, cuáles son los procesos específicos por los cuales el material sonoro se transforma en emoción. En las últimas décadas investigadores de varias disciplinas han mostrado un creciente interés por esta cuestión así como otras no menos fascinantes, a saber, el problema del significado en la música (significado designativo versus significado no referencial), el papel del aprendizaje en la experiencia musical, la descripción de los cambios propiciados por la música, por nombrar solo unos cuantos ejemplos (véase [7, 2, 4, 5]). Los psicólogos de la música han descubierto que la emoción causada por la música puede tener sus orígenes en un proceso de creación y relajación de tensión [7, 8, 3]. Este proceso comprende los estímulos mismos, las expectativas que la música genera en los oyentes (que indudablemente están determinadas por su familiaridad con el estilo musical en cuestión y la experiencia adquirida en el pasado, entre otros factores), y, finalmente, la tensión creada entre esas expectativas y su resolución final en la pieza musical. La presencia de la tensión/resolución ocurre a todos los niveles del fenómeno musical. Se puede encontrar en la melodía, la armonía y en los elementos rítmicos así como en el timbre y la forma musical. Normalmente, la tensión está equilibrada entre todos estos elementos musicales. Este trabajo se centra en los mecanismos rítmicos que crean tensión en una pieza musical. En particular, nos interesa la síncopa, uno de los mecanismos más sorprendentes y transgresores para producir tensión rítmica. La síncopa es fácil de percibir pero difícil de definir con acierto, pues sus manifestaciones con numerosas y de distinta naturaleza. En la siguiente sección, definiremos formalmente la síncopa dentro un marco abstracto. En la siguiente entrega de esta serie abordaremos el problema de formalizar matemáticamente la síncopa; revisaremos trabajos previos e introduciremos nuestra medida de síncopa, la llamada distancia ponderada de nota a parte. En la tercera entrega se probará la bondad de esta medida con varios ritmos (básicamente ritmos de clave) tomados de diversas tradiciones musicales. 2. Definición de síncopa El fidedigno Harvard Dictionary of Music [9] contiene la siguiente definición de síncopa, la cual creemos que captura su esencia: “Síncopa: una contradicción momentánea de la métrica o pulso predominante”. Otras definiciones, similares a esta en términos de perspicacia, se pueden encontrar en [10] y [6]. Ese mismo diccionario detalla aún más la definición y añade que “la síncopa se puede crear por los los valores de las notas mismos o por la acentuación, la articulación, el contorno melódico o el cambio armónico en el contexto por otro lado de una sucesión de notas no sincopadas”. Esto clarifica dos extremos sutiles, a saber: primero, para que exista una contradicción tiene que haber un patrón de regularidad con el que contrastar; segundo, esa contradicción se puede revelar a través de varios elementos musicales, no sola y puramente de elementos rítmicos. Más aún, la síncopa puede materializarse bien por un cambio del carácter principal de la métrica o como una contradicción entre las notas en parte fuerte y débil contra otras partes de la textura musical cuyo contexto métrico está fijo. El primer tipo de síncopa, el cambio de métrica, puede producirse a través de una transformación de tiempo binario a ternario (hemiola) u otras de similar clase. Este recurso rítmico se usó mucho en las progresiones cadenciales de compositores hasta el Barroco inclusive; también se encuentra con frecuencia en la música de Beethoven. En la figura 1 tenemos una reducción del Concerto Grosso no 4, compases de 97 a 99, de Haendel. En este ejemplo se aprecia un agrupamiento ternario en las voces superiores contra un agrupamiento binario en las voces inferiores. Esto crea un tensión entre dos métricas en conflicto, cuya resolución se alcanza en el la menor final. Figura 1: Hemiola como una forma de síncopa. El mismo recurso se puede apreciar en la sonata opus 53, no 1, compases 82-86, de Beethoven, en un pasaje en que la hemiola aparece en un nivel submétrico, en este caso, un tresillo de semicorcheas contra dos semicorcheas en un compás de 2/4; véase la figura 2. Figura 2: Una hemiola en un nivel submétrico. El otro tipo de síncopa implica ataques de notas entre partes fuertes en lugar de sobre ellas como forma principal de contradicción. Como se dijo arriba, tiene que haber un contexto métrico fijo, un patrón fijo de partes fuertes y débiles encima del cual la síncopa destaca. Estos complejos recursos rítmicos que usaron los compositores del periodo barroco y clásico tienen su evolución lógica en periodos anteriores de la música occidentales, retrocediendo hasta las primeras formas de notación rítmica precisa en la Edad Media. Según la música coral religiosa se fue desarrollando a partir de la monodia del canto gregoriano hasta llegar a varias voces cantando simultánea e independientemente, los compositores sintieron la necesidad de sincronizar esas voces usando una pulsación métrica fija y unas relaciones temporales entre las voces precisas. Esto dio lugar a conceptos como hoquetus. El hoquetus consiste en una única línea melódica que es compartida por dos voces, una que va a tiempo y otra a contratiempo: Figura 3: Ejemplo tomado de la música mediaval. Aunque el ritmo resultante en su conjunto quizás no se considere como sincopado, la particularidad de la voz superior, que siempre cae en mitad de dos partes fuertes, sí dota de un carácter sincopado a la melodía y le impregna de su peculiar vitalidad rítmica. Este recurso también se puede observar en la música del Barroco y en concreto en la música de Bach: Figura 4: Invención no 1, compases 1-4, de Bach. Se puede apreciar que, aunque el efecto de la síncopa está presente, el efecto final es de equilibrio entre las notas a tiempo y a contratiempo, lo cual es un reflejo de las preocupaciones compositivas de Bach con respecto a la creación de una visión equilibrada y ordenada del universo. Otra característica del concepto de contratiempo es que no necesariamente tiene que producirse a la mitad exacta de dos partes fuertes consecutivas, como ocurría en los ejemplos anteriores. Beethoven ponía las notas a contratiempo a tres cuartos de distancia, más cerca de la siguiente parte fuerte que de la parte fuerte de la propia nota. Este recurso se conoce como anticipación, y en el ejemplo de abajo (figura 5) produce un efecto como dislocado, algo jazzístico, que se puede considerar incluso humorístico: Figura 5: La sonata para piano sonata opus 31, no 1, de Beethoven. Esta ubicación dislocada de la nota a contratiempo produce un efecto de desequilibrio que dota al pasaje de un sentido del drama y de la tensión característicos de Beethoven. Aquí se puede ver al compositor explotando y estirando las nociones de a tiempo y a contratiempo para producir un agudo sentido de síncopa e impredictibilidad rítmica. Sin embargo, esa experimentación rítmica se puede considerar tímida comparada con las técnicas revolucionarias usadas por el compositor ruso Igor Stravinsky en su ballet de 1912 La consagración de la primavera, por ejemplo, en los Augurios de la primavera (la danza de las jóvenes). Aunque se puede ver un ritmo constante de 2/4 con un patrón constante de corcheas, el patrón de acentos (de volumen) cambian sin cesar y de modo impredecible. En la música clásica de las generaciones anteriores la línea melódica era esencial. En este ejemplo, la línea melódica se reduce a una sola nota y las síncopas acaparan toda la atención. Los patrones de acentos de las corcheas se producen según la secuencia (10,2,6,3,4,5,3); véase la figura 6, que muestra los 8 primeros compases de esa sección en una reducción para piano. Stravinsky afirmaba que La consagración de la primavera fue un producto de su intuición y que la pieza se le presento a él en un sueño. En efecto, a pesar de que se ha analizado la obra extensamente, no hay pruebas contundentes de que haya un sistema racional detrás de esta música. Figura 6: Síncopas en La consagración de la primavera. No obstante, el patrón de acentos nos sugiera ciertas observaciones. Primero, incluso aunque las posiciones cambien sin cesar, el número total de partes en el ciclo se encuentra con mucha frecuencia en la música clásica: 32. En un vals de Johann Strauss, por ejemplo, una frase musical puede durar 32 partes o una sección puede durar en total 32 compases. Sin embargo, en un vals se esperaría que una sección de 32 se dividiese en dos mitades iguales de 16, mientras que el ejemplo de Stravinsky no tiene semejante división. Al contrario, el resultado es dos partes de 17 y 15, y la propensión natural de los compositores a subdividir en 16, 8, 4 y 2 partes (o compases) se reemplaza por una sucesión irregular de 7 números, de los cuales solo dos son divisores de 32. Por esta razón, algunos teóricos encuentran más adecuado analizar esta y otras obras de Stravinsky tomando una unidad mínima de duración y descomponer el resto de las notas en términos de esa unidad a diferencia del enfoque de tomar un número más grande de partes (que forman el compás o la frase) y subdividirlas; esta última manera de proceder es característica de la composición clásica de periodos anteriores. El concepto de trabajar desde la unidad más pequeña se llama ritmo aditivo, mientras que el de las métricas divisibles regulares se llama ritmo divisivo. La propensión a crear estructuras rítmicas irregulares se extendió entre los compositores de principios del siglo XX, incluido el compositor húngaro Bela Bartok, cuya pieza para piano Síncopa es un laberinto de distorsiones y giros rítmicos, silencios inesperados y patrones interrumpidos que, como en el ejemplo de Stravinsky, tienen prioridad sobre las preocupaciones melódicas. Para un análisis en profundidad de esa pieza, véase  [11]. En modo alguno fue Stravinsky el primer músico en usar ritmos aditivos en música. En las tradiciones de música folklórica del mundo esta manera de crear ritmos existía hacía mucho, como en las canciones folklóricas de Rusia, Bulgaria y en la música de los pigmeos aka de África Central, cuya música ha sido investigada en profundidad por Simha Arom [1]. La música de percusión de los pigmeos aka, como la de la samba brasileña, por ejemplo, consiste en una malla de patrones rítmicos cíclicos que forman una urdimbre con varios hilos individuales. Sin embargo, como en el siguiente ejemplo (figura 7), se puede ver que incluso un solo hilo tiene una estructura rítmica interna muy compleja: Figura 7: Música de los pigmeos aka. Los pigmeos aka no tienen tradición de música escrita y este ejemplo se ha transcrito a notación occidental. La música se acomoda fácilmente a 4 compases en 6/8, dando un total de 24 corcheas. Sin embargo, inspeccionando el agrupamiento interno de las corcheas, vemos que las 24 corcheas no se dividen en partes iguales -más bien se obtiene una sucesión irregular como sigue: 3,3,3,2,3,3,3,3,2-. En términos de notación, el ejemplo se configura con un alto grado de síncopa, aunque, en verdad, puede ser confuso representar esta música con la notación occidental con su sistema de partes fuertes y débiles, sistema que no está presente en la tradición musical de los pigmeos aka. Es posible representar el mismo ritmo tomando compases irregulares como los que Stravinsky usó para sus estructuras rítmicas aditivas: Figura 8: Música de los pigmeos aka transcrita con una métrica diferente. Una vez más, a partir de este agrupamiento podemos ver que el ciclo no está dividido en partes iguales (12+12), sino en dos partes no iguales de 11 y 13. Este principio de un ciclo rítmico consistente en dos partes no iguales se encuentra en mucha de la música aka, lo cual da como resultado un forma única de tensión rítmica de gran complejidad. La cuestión de si Stravinsky y los ejemplos de la música aka son síncopas se hace más compleja de contestar debido a la naturaleza aditiva de los ritmos. Ya que los ritmos divisivos crean nociones predecibles de las partes a tiempo y a contratiempo, la música se puede percibir como yendo a tiempo (no sincopada) o a contratiempo (sincopada). Sin embargo, dado que en los ejemplos de Stravinsky y la música de los pigmeos aka esas relaciones binarias de estar a tiempo o a contratiempo no existen, ese patrón de partes no existe para el oyente y así en lugar de escuchar partes a tiempo o a contratiempo percibirá el ritmo en el sentido aditivo de agrupar unidades mínimas de duración para crear notas de mayor duración. En este sentido se podría mantener que la síncopa es en su naturaleza más una característica de los ritmos divisivos que de los aditivos. Otro tipo de música del siglo XX que hace un uso explícito de la síncopa es el jazz. Aquí la música en la mayoría de los casos se basa en un pulso firme dado por la percusión y el bajista contra el cual el resto de los músicos reaccionan tocando a contratiempo. Estos es característico del swing de Duke Ellington, cuya famosa composición It Don’t Mean a Thing (if it Ain’t Got that Swing) sobresale por esta particularidad. El swing en jazz consiste en una nota a contratiempo que se mueve ligeramente un poco más allá de la mitad justa hacia la siguiente parte fuerte (la distancia precisa es difícil de medir, lo cual da lugar a la máxima de que el swing se siente y no se puede medir). En la notación musical esta nota a contratiempo se representa bien por una nota a mitad de parte o a tres cuartos de parte, aunque hablando estrictamente es inexacto. Como la notación occidental no puede representar con precisión el swing, la palabra se pone arriba de la partitura para que el músico traduzca las aproximaciones de la notación al lenguaje del jazz. Según fueron surgiendo los distintos estilos del jazz, los compositores de jazz progresivo llevaron al límite las fronteras de la irregularidad rítmica como antes había hecho Stravinsky con la música clásica. Sin embargo, normalmente incluso estos compositores se mantuvieron dentro del marco de frases de 12 o 16 compases. Este marco proporciona al oyente una plantilla con la que medir la síncopa, no importa cuán complejos sean los ritmos internos. Como un buen ejemplo de esto se puede pensar en la pieza de Thelonious Monk Evidence. Más recientemente, el compositor de música contemporánea Brian Ferneyhough, quien compuso Carceri d’Invenzione, llevo el nivel de síncopa a tal extremo que pervirtió su misma naturaleza. Es indudable de que el nivel de síncopa es muy alto en esta pieza (figura 9). De hecho, diríamos que, sin la partitura, sería imposible decir dónde están las partes fuertes. Figura 9: Música de Ferneyhough. Como apuntábamos al principio de este trabajo, la síncopa puede ser compleja y numerosas sus manifestaciones, como hemos visto en esta breve revisión de ejemplos musicales. Por tanto, un intento de medir la síncopa siempre implica ciertos riesgos. En este artículo nos restringiremos al segundo tipo de síncopa, esto es, la contradicción entre partes fuertes y débiles con respecto a un contexto métrico fijo. Bibliografía [1] Arom, S.; African Polyphony and Polyrhythm, Cambridge University Press, Inglaterra, 1991. [2] Cooper, G. and Meyer, L.B. ; The Rhythmic Structure of Music, University of Chicago Press, Chicago, 1963. [3] Deutsch, D.; The Psychology of Music, Academic Press, 1998. [4] Fubini, E.; History of Music Aesthetics, Macmillan Press, Londres, 1991. 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Viernes, 07 de Octubre de 2011 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

687. 88. (Noviembre 2011) El triunfo de los ases

Quiero dedicar la entrega de este mes a uno de los magos más ilustres del siglo XX, llamado David Frederik Wingfield Verner (1894-1992) pero más conocido por su nombre artístico "Dai Vernon", considerado por todos los magos del mundo como "El Profesor". No voy a relatar su biografía porque puedes encontrarla pulsando sobre su imagen. Estando esta sección dedicada a la magia matemática, no parece lo más adecuado hablar de "El Profesor". Sin embargo, hay dos razones poderosas que lo relacionan con nuestro rincón. La primera es que fue el maestro, aunque más apropiado sería llamarlo cómplice, de un mago y matemático muy conocido, Persi Diaconis, quien abandonó sus estudios a los catorce años para recorrer los Estados Unidos y aprender magia junto a Dai Vernon. Ocho años más tarde sintió la necesidad de conocer más a fondo los principios matemáticos en los que se basan algunos juegos de magia y cursó la carrera de Matemáticas, siendo actualmente profesor de matemáticas y estadística en la Universidad de Stanford. Como detalle anecdótico indicaré que pudo acceder al doctorado en la Universidad de Harvard gracias a las recomendaciones de Martin Gardner, quien conocía a Persi sólo por haber publicado unos excelentes juegos de magia. La segunda razón para citar a Dai Vernon es el juego de magia titulado "El triunfo", que él inventó. El juego consiste en que una carta escogida por un espectador y perdida entre la baraja, reaparece mágicamente al ser la única que queda girada cara arriba después de haber mezclado la baraja con algunas cartas cara arriba y otras cartas cara abajo. Como esta sección no pretende dar un cursillo de técnicas especializadas en la magia, vamos a ofrecer una versión matemática, cómo no, de dicho efecto. Esta versión fue ideada por el mago japonés Kuniyasu Fujiwara y el resultado sigue siendo sorprendente, más aún porque todo sucederá en tus propias manos, sin necesidad de habilidad ni dotes de prestidigitación, si sigues las instrucciones que te indico. MARCHA DEL JUEGO Busca los cuatro ases de la baraja y déjalos sobre la mesa, en fila y caras hacia arriba. Coloca tres cartas encima de cada as, caras hacia abajo, formando así cuatro paquetes de cuatro cartas cada uno. Coloca el segundo montón sobre el primero y el tercero sobre el cuarto. Tienes ahora dos montones de ocho cartas cada uno. Mezcla por separado ambos montones para que los ases (que siguen estando cara arriba) queden perdidos entre las demás cartas. Vuelve a dejar sobre la mesa ambos montones. Gira uno de los dos montones y vuelve a dejarlo sobre la mesa. Ahora reparte alternativamente una carta de cada montón formando un nuevo paquete con todas las cartas. Recoge el nuevo paquete y realiza un corte, es decir separa un montón de arriba y pásalo abajo. Reparte las cuatro primeras cartas de izquierda a derecha, formando una fila. Reparte las cuatro siguientes cartas sobre las anteriores, también de izquierda a derecha. Realiza la misma operación con el resto de las cartas. Tienes ahora sobre la mesa cuatro paquetes de cuatro cartas. Recoge ahora las cartas como si enrollaras una alfombra: giras el montón de la izquierda y lo colocas sobre el que está a su derecha, giras este nuevo montón y lo colocas sobre el que está a su derecha, giras de nuevo este montón y lo colocas sobre el último. Sé que parece imposible, que has girado cartas, has mezclado y has cortado como has querido, pero el espíritu del Profesor ha vuelto a triunfar: los ases son las únicas cartas que están vueltas respecto a las demás. Los lectores habituales de esta sección no tendrán dificultades en reconocer entre estas instrucciones el principio de paridad que permite colocar todas las cartas en un sentido salvo los ases que quedarán en sentido contrario. Los que no son lectores habituales tendrán la irresistible tentación de navegar entre los juegos anteriores para descubrir ese maravilloso pero elemental principio. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Martes, 01 de Noviembre de 2011 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

688. 9. (Octubre de 2011) Productos notables para la portada de una revista

Este mes, la sección “Las matemáticas en la publicidad” no puede empezar de otra forma que no sea con una sincera disculpa por mi parte por el retraso en la entrega del artículo correspondiente (que en estos momentos empiezas a leer). Pero por otra parte, como no quería faltar a mi obligación de escribir mi entrada sobre las matemáticas en la publicidad antes de terminar el mes, he decidido que vamos a comentar brevemente la portada de una revista que acabo de recibir en mi domicilio y que tiene que ver con las matemáticas. La revista en cuestión es MARA-MARA, que es el boletín municipal de prevención de drogodependencias, que publica cada trimestre el Área de Salud y Consumo del Ayuntamiento de Bilbao. Es una revista que el Ayuntamiento de Bilbao nos envía a los padres y madres de la capital vizcaína, con artículos –escritos por psicólogos/as, psicoterapeutas, etc..- relacionados con nuestros hijos e hijas de entre 6 y 17 años, y que tiene como objetivo ayudarnos en esa dura labor que es la “maternidad y paternidad”. Más allá del contenido de la revista, hoy quiero traer a este espacio la portada del número 72, correspondiente al mes de octubre de 2011. Y que os mostramos aquí: Como habéis observado, podemos ver un niño con un libro abierto –es de suponer que de matemáticas por lo que se ve a su alrededor-, llevándose las manos a la cabeza y con ojos de alucinado. Y a su alrededor, como saliendo de su cuerpo, de su mente, tenemos una serie de fórmulas matemáticas. Es decir, que son las matemáticas, y en particular estas fórmulas, las que provocan la desesperación del niño que está en la portada. Otra vez esa imagen de que las matemáticas martirizan a nuestros jóvenes. A mí, que ya estoy curado de espanto, me hizo cierta gracia cuando lo vi. Sin embargo, la verdad es que, siendo esta una revista con el objetivo de ayudar a las madres y padres en su relación con sus hijos e hijas (educación, amistades, inquietudes, crecimiento, miedos, peligros, cultura, relaciones, ilusiones, Internet, etc), sorprende la imagen de la portada. No creo que le haga ningún bien a la imagen que los niños y niñas tienen de las matemáticas y de la educación en general, directa o indirectamente, ya que además se envía un mensaje un tanto negativo a los padres y madres. Pero cambiemos un poco de tercio y vayamos a las matemáticas que se ven en la portada. ¿Qué son esas fórmulas que aparecen? Como muchos recordaremos de nuestra juventud, de nuestra época de estudiantes, son las fórmulas matemáticas de algunos productos notables, en concreto, las fórmulas del binomio conjugado –el producto de una suma y una resta- (a+b)(a-b), el binomio al cuadrado –de la suma y de la resta- (a+b)2, (a-b)2, y también el binomio al cubo (a+b)3, (a-b)3. Pero además, con la anécdota de que las fórmulas están mal escritas porque, seguramente por pasar estas fórmulas de un formato informático a otro, las potencias se han perdido. Veamos un ejemplo. En la primera fórmula, la del binomio conjugado, debería de poner (a+b)(a-b)=a2-b2, sin embargo, está escrito (a+b)(a-b)=a2-b2, e igual con el resto de fórmulas. Una anécdota sin más…

Miércoles, 26 de Octubre de 2011 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

689. 53. (Octubre 2011) Materritmo (o el ritmo me mata)

1. La idea Materritmo (o el ritmo me mata) es un montaje que aúna matemáticas, música y humor en forma de un diálogo cómico. La idea de escribir Materritmo surgió como reacción a la forma de hacer divulgación, tan al uso, que consiste en una clase magistral algo distante. Nosotros soñábamos con una charla divulgativa en la que el espectador se riera -sí, incluso a mandíbula batiente-, sin que ello le impidiese disfrutar de contenido de enjundia y rigor expositivo. La tarea se revelaba harto difícil, pero sabíamos que otros lo habían conseguido; véase, por ejemplo, Matt Parker, the Stand-Up Mathematician o Andrew Jeffrey, the Mathemagician. La dificultad reside, pues, en combinar contenidos matemáticos y musicales de modo que en la pieza final no se noten las costuras, y encima de ello, aderezarlo con humor sin perturbar el equilibrio entre las partes. Durante la escritura y el montaje de Materritmo fue una constante la preocupación por mantener el equilibrio entre la parte humorística y la científica. La primera no debía engullir a la segunda so pena de tornar los contenidos científicos confusos, difíciles de seguir. Por otro lado, la parte científica tiene que disolverse grácilmente con el humor en una suerte de respetuosa simbiosis. Hay que hacer reír y a la vez mantener el interés por los contenidos científicos; aún más, la risa debería reforzar ese interés. Así que en Materritmo se presentan contenidos matemáticos -división exacta y con resto, máximo común divisor, algoritmo de Euclides y distribuciones regulares de objetos- y musicales -tramo temporal, pulso, ritmo y ritmo de clave-, y se muestra cómo esas ideas matemáticas se pueden usar como principio de composición musical. Materritmo acaba con un pequeño concierto de campanas africanas en que se interpreta una pieza llamada gamamla, música perteneciente a Ghana y que está basada en todas las ideas matemáticas expuestas anteriormente. 2. Materritmo 2.1. Las matemáticas Los conceptos de Materritmo se presentan en orden creciente de dificultad. Empezamos con la división entera, la cual se piensa también como formación de grupos y no solo como manipulación de números. De ahí pasamos a la división con resto y refrescamos la ecuación general de la división (figura 1). Figura 1: La ecuación general de la división. El máximo común divisor de dos números enteros es el siguiente concepto que aparece. Recordamos la manera clásica de calcularlo, esto es, generar todos los divisores de ambos números y quedarse con el mayor común. Se examinan los principales inconvenientes de este método, siendo la factorización en números primos el más grave. En este punto introducimos el algoritmo de Euclides, que se basa en una bella propiedad de la división, y mostramos que es más eficiente y conceptualmente elegante que el método clásico (figuras 2). Figura 2: Explicación del algoritmo de Euclides. La sección termina con algunos ejemplos del algoritmo de Euclides (figura 3). Figura 3: Algunos ejempos del algoritmo de Euclides. 2.2. La música En la parte musical surgen conceptos relacionados principalmente con el ritmo en sentido general, esto es, con la duración de los eventos musicales. Empezamos por el tramo temporal, una cantidad fija de tiempo cuya división da lugar a los pulsos (figura 4). Figura 4: Definición de pulso. Aparece la definición de ritmo, el cual se piensa como la elección de aquellos pulsos que se van a tocar (figura 5) y, por último, llega la noción de ritmo de clave. Un ritmo de clave es un ritmo que se repite a lo largo de la pieza y que sirve como referencia temporal y estructural. Figura 5: Formación de un ritmo 2.3. El ritmo me mata En la tercera sección se produce la combinación de la parte matemática y musical. En la parte matemática, se hablaba de división y sus propiedades; en la parte musical, los conceptos estaban relacionados con la división del tramo temporal. ¿Puede haber un nexo de unión? Sí, ya que ambos hablan de división. Empezamos considerando 12, tanto como número en sí mismo como número de pulsos. Y entonces exploramos las siguientes cuestiones: generación de ritmos vía los divisores de 12; ritmos resultantes al elegir los divisores naturales de 12; ritmos que se producen con un número de notas que no divide a 12; presentación del principio de regularidad y su importancia en la música étnica; ritmos con un número primo de notas. La idea feliz y fértil es la del principio de regularidad, que contesta a la siguiente pregunta: dados k objetos, ¿cómo distribuirlos en n cajas de la manera más regular posible? En nuestro contexto musical, esta pregunta se transforma en la de cómo distribuir k notas en n pulsos de la manera más regular posible. Para Materritmo, además, fijamos n como 12. La respuesta que viene enseguida a la cabeza es tomar k como los divisores de 12, y esto permite generar unos cuantos ritmos (figura 6). Figura 6: Generación de ritmos con los divisores de 12. Pero ¿qué ocurre cuando k no divide a 12? Entonces, la división se generaliza y se convierte en la distribución más regular posible. Con este principio de máxima regularidad conseguimos ritmos de 8 notas y 7 notas (figura 7). Figura 7: El principio de máxima regularidad. Finalmente, tocamos una pieza usando todos los ritmos que hemos generado, los dados por los divisores de 12 y los dados por el principio de regularidad. La pieza la interpretamos sobre un campanólogo de 8 campanas africanas. Esta pieza que hemos compuesto en realidad es una música típica de Ghana llamada gamamla. En la llamada música étnica este mecanismo de composición es bastante común y es intuitivo para los músicos de estas tradiciones usar el principio de regularidad. Figura 8: El gamamla. 2.4. La comicidad Hemos explorado la comicidad en este montaje desde varios puntos de vista: con juegos de palabras (en la escena de los ritmos de clave), con el humor absurdo (la escena del troll, la escena de las sombras) y con humor, llamémoslo a falta de una definición mejor, de justicia poética (los momentos serios de la presentación). Por mucho que la mayoría de los profesores de matemáticas, diríamos que casi de cualquier materia, piensen que el humor debe desterrarse de las aulas, nosotros pensamos por el contrario que el humor, bien destilado y en las dosis justas, proporciona la necesaria higiene mental para enfrentarse a la materia en cuestión. El humor quita tensiones, predispone el ánimo a la exigencia de esfuerzo y da el coraje necesario para aprender. En Materritmo hemos profundizado en esa línea. Como muestra, comentamos con un poco más de profundidad un par de escenas cómicas. Momento serio de esta presentación Con la serie de gags de momento serio de la presentación queríamos demoler la figura del profesor pedante, lleno de arrogancia, con voz engolada, que todos hemos conocido y odiado. Queríamos derribar este símbolo de la arrogancia intelectual por la justicia poética y también para crear risa. La manera que se nos ocurrió fue a través de una olímpica patada en los testículos. Esa patada ahí y no allí, en el símbolo mismo del poder, es una alegoría contra el ejercicio de la arrogancia intelectual; véase la figura 9. Figura 9: Momento serio de la presentación. Contra toda explicación, la ejecutante del castigo se hace daño también. También es sorprendente cómo el conferenciante se recupera de semejante trauma para continuar con las partes más sesudas de la conferencia. ¿Cómo es eso? En la escena final, se resolverá la incógnita. La escena de las sombras En esta escena una vez más queremos poner en apuros a los dos profesores. De nuevo, se trata de crear humor a través de un cambio de status, del nivel de importancia, de los protagonistas. Las sombras se les rebelan a los conferenciantes sin motivo aparente. Los conferencianes, tan seguros de sí mismos, se sienten desnudos sin sus sombras y llegan a preguntarse si es posible dar una conferencia seria sin sombra, tal es su sentido del ridículo (figura 10). Otra vez la crítica a la seriedad académica, la arrogancia intelectual y la autosuficiencia extrema. Los conferenciantes se tienen que emplear a fondo para recuperarlas y así continuar con su conferencia. Figura 10: Escena de las sombras. 2.5. Los aspectos visuales Materritmo no sería posible sin el apoyo gráfico que le otorga la proyección. Todos los conceptos tratados durante la conferencia tienen su reflejo en la pantalla, y su presentación ha sido cuidada al máximo. Supuso un desafío estructurar la información para que nuestro público pudiese absorberla de un modo sencillo y ameno. Unos códigos de color dirigen el tono de la charla en cada momento. Un rojo poco saturado recoge las sensaciones matemáticas: Figura 11: El color rojo para las matemáticas. Y un amarillo ocre abraza el despliegue musical: Figura 12: El color ocre para la música. Degradados entre ambos para el final común: Figura 13: Degradados de rojo y amarillo ocre para la sección final. y, durante toda la obra, inyecciones de azul enfriando la cabeza, preparando al espectador para los momentos serios: Figura 14: Azul frío para los momentos serios de la presentación. No hay nada más aburrido y somnoliento que una charla con diapositivas inertes. Seguro que el coincide con nosotros en este extremo. Si además de estar completamente anuladas visualmente, las recargamos de texto desde el encabezado hasta el pie, tendremos con seguridad un público lleno de tedio, tristeza y desesperanza. Hemos tratado de combatir los imposibles brotes de hastío con animaciones gráficas. Desde el grafito del artista han ido fluyendo diseños que flotarán en el tiempo hasta el final de la obra. Especialmente dura, fue la animación del troll. Fotograma a fotograma, dibujo tras dibujo, se fue trazando la intervención de nuestro zoquete amigo imaginario. Una hilada muy fina complementada con efectos sonoros, para dar vida a nuestro invitado azul. Figura 15: el ogro zoquete. No podemos cerrar el apartado gráfico sin dedicar unas palabras, con el entrecejo fruncido, al gag de las sombras. Horas eternas de edición de vídeo para cuadrar movimientos. Estas proyecciones están muy vivas... pero sólo tras descubrirse el engaño. La sincronización visual de la sombra y los profesores fue tarea dura. Ahora, el resultado, bien lo merece. Dos personajes más que no figuran en cartel. 3. Matherhythm Tenemos una versión en inglés de la obra, Matherhythm, que representaremos entre el 14 y el 23 de octubre de 2011 dentro del gigantesco evento de divulgación matemática que es Maths Week 2011 (el año pasado Maths Week 2010 organizó más de 100 eventos en los que participaron más de 83.000 alumnos). Por muchos motivos, ha sido un auténtico reto adaptar la obra original al inglés. Los gags basados en juegos de palabras tuvieron que reescribirse de arriba abajo así como las referencias políticas. Los responsables de Maths Week incluso nos ayudaron a adaptar la obra al público irlandés. Hubo partes que tuvimos que reescribir sencillamente a causa del ritmo y la entonación de la lengua inglesa, que no encajaban en la traducción que en un primer momento se había hecho. Otro reto no menor ha sido la dicción. Chris Bongers -filólogo, músico y excelente pedagogo- fue un magnífico profesor de dicción inglesa, lo cual nunca le agradeceremos lo suficiente. 4. Los autores Los autores, Gutxi Haitz Céspedes, Giovanna Farigu y Paco Gómez habíamos trabajado antes en el marco del grupo teatral La farándula musical, formación que se dedica al teatro musical para niños. Entre los montajes que llevaron a cabo destacan Flor de piel, obra para niños de 0 a 3 años, Cuadros de una exposición, versión teatralizada de la obra homónima de Mussorgsky y Babar, el pequeño elefante, con música de Poulenc y texto de Brunhoff. 4.1. Gutxi Haitz Céspedes Gutxi Haitz es artista gráfico independiente. Formado en Informática y Bellas Artes, trabaja incansable desde su estudio en proyectos de diversa índole. Siempre quemando neuronas a cambio de creatividad, ha colaborado en obras teatrales como Cuadros de una exposición o la reciente obra infantil de la compañía de Blanca Marsillach El toro y el banquero. Visita con frecuencia el campo de la publicidad, trabajando principalmente como artista y diseñador conceptual, creando espacios y objetos que aún no existen. En el ambiente web tiene amplia experiencia, con diseñadores de moda (www.alonsize.com), fotógrafos (www.pierospoggi.com), restaurantes (www.circodelastapas.com) y muchos más. Ha coqueteado con el mundo del cómic, como colorista de la miniserie La muerte del Zorro, publicada en USA. Su tarea predilecta es la de ilustrador, en donde toca obras de literatura clásica, como (La vida es sueño), cuentos tradicionales (El flautista de Hamelín) o asuntos más modernos (Refranero Zombie". Sus intereses se centran sobre todo en encontrar un equilibrio entre el artista clásico y el digital, la integración del mundo 3D digital en la ilustración moderna, el estudio inagotable del color, la práctica infinita del dibujo, el desarrollo de la figura humana, la escritura creativa y el dibujo de cómic como medio de expresión. 4.2. Giovanna Farigu Nacida en Italia, se ha graduado en piano en Cagliari (C.S.M. G.P da Palestrina, con L.Costa-Pane) y licenciado en pianismo de concierto en Viena (UMDK, con Hans Graf). Entre sus maestros cabe mencionar Gÿorgy Sandor, Jan Ekier y Tsiala Kvernadze. Su intensa actividad concertística incluye recitales en solitario, solista con orquesta, conjuntos de cámara y producciones teatrales en los principales teatros y salas de concierto de Italia, Austria, Alemania, Polonia, Portugal y España. Ha grabado para las principales cadenas de televisión de Italia, Polonia, Alemania y Austria. Ha grabado 7 CDs para producciones austriacas, alemanas y españolas. Su bagaje cultural incluye el estudio y performances de danza (contemporánea, vanguardia y folklor internacional), el conocimiento escrito y oral de 6 idiomas, la práctica del aikido, la percusión latino-americana y la flauta travesera. Su interés por la pedagogía musical (ha impartido, entre otras, la disciplina de “Música y Movimiento en las Artes” con un método didáctico propio, específico para niños hasta los 6 años) le llevó a iniciar su actual colaboración con Paco Gómez y Gutxi Céspedes, con quienes forma la compañía de cuentos musicales La farándula musical. 4.3. Paco Gómez Paco Gómez es profesor de matemáticas en la Escuela Universitaria de Informática (UPM). Su campo de investigación está en las relaciones de la ciencia y la tecnología con la música. Sus interes principales son los siguientes: medidas de similitud, incluyendo similitud rítmica y melódica; medidas matemáticas de complejidad rítmica y síncopa; transformaciones musicales del ritmo y la melodía; análisis automático de músicas tradicionales, especialmente flamenco, y la música afro-cubana, brasileña y africana; teoría matemática del ritmo y enseñanza de las matemáticas a través del arte. Paralelamente a su actividad científica, Paco Gómez ha mantenido una actividad teatral y musical. En el teatro ha formado parte de distintos grupos de teatro, como actor y director. El proyecto más reciente es el de La farándula musical descrito más arriba. Como músico, ha cursado estudios de piano, percusión latina y africana y actualmente está estudiando flauta de pico en la Royal Society of Music.

Sábado, 01 de Octubre de 2011 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

690. 63. Todo tiene una explicación

¿Puede la Ciencia explicarlo todo? Este, junto con el título anterior,  figura como lema  promocional de una interesante película japonesa, Suspect X, a la que dedicamos la reseña de este mes. El cine oriental, no demasiado conocido por la mayor parte de los espectadores españoles, ni demasiado valorado por otros que dicen saber mucho, es mucho más que las películas de artes marciales, el manga o las películas de horror. Gracias a un puñado de entusiastas, a las ediciones en DVD y al trabajo de las filmotecas y la información de Internet, vamos descubriendo obras maestras de los grandes directores junto a otras producciones un poco menos artísticas, pero normalmente afrontando temas y cuestiones interesantes con una profundidad alejada de la espectacularidad yanki que nos tragamos sin mayores reparos casi diariamente. De hecho, se han realizado muchos remakes a la americana de bastantes películas de origen oriental y no sólo ahora, sino desde mediados del siglo pasado. En aquellos países, las matemáticas, como por aquí, interesan a unos pocos, sólo que esos pocos (probablemente muchos más que los que hay por aquí) suelen tener (quizá por su filosofía de vida) bastante relevancia en esta disciplina. Entre los medallistas Fields han habido hasta la fecha tres japoneses, un chino y un vietnamita, y suelen estar en los primeros puestos de los más importantes concursos y olimpiadas matemáticas mundiales, además de estar presentes en muchas universidades del más alto prestigio. Os presentamos Suspect X, un thriller japonés no estrenado en España, con referencias matemáticas y físicas  no elementales, algunas de las cuales iremos desgranando después de las consabidas fichas técnica y artística: Suspect X Título Original: 容疑者Xの献身 - Yôgisha X no Kenshin. Nacionalidad: Japón, 2008. Director: Hiroshi Nishitani. Guión: Yasushi Fukuda, basado en el serial homónimo de Keigo Higashino. Fotografía: Hideo Yamamoto, en Color  Montaje: Masaaki Yamamoto. Música: Kanno Yugo y Masaharu Fukuyama. Duración: 128 min. Intérpretes: Masaharu Fukuyama (Manabu Yukawa), Kô Shibasaki (Kaoru Utsumi), Kazuki Kitamura (Shumpei Kusanagi), Yasuko Matsuyuki (Yasuko Hanaoka), Shin'ichi Tsutsumi (Tetsuya Ishigami), Dankan (Kuniaki Kudo), Keishi Nagatsuka (Shinji Togashi), Miho Kanazawa (Misato Hanaoka), Ikkei Watanabe (Hiromi Koribayashi), Hiroshi Shinagawa (Shiro Yuge), Miki Maya (Sakurako Shironouchi). Argumento: Yasuko Hanaoka es una mujer que creyó que con el divorcio iba a librarse de su maltratador ex-marido, Togashi. Yasuko vive con su hija adolescente Misato, fruto de una relación previa. Un día Togashi irrumpe en su casa exigiendo dinero, amenazándolas de forma muy violenta. La situación se complica rápidamente con Togashi muerto en el suelo del apartamento. Al oír el alboroto generado, se presenta un vecino de Yasuko, el profesor de matemáticas Ishigami, hombre de mediana edad, que ofrece su ayuda a las dos mujeres, haciéndose cargo no sólo del cuerpo, sino también de trazar un plan que impida que sean descubiertas. Cuando aparece el cadáver, es irreconocible, con el rostro destrozado y los dedos quemados. Se asigna el caso a la detective de distrito Kaoru Utsumi y a su ex-compañero de la oficina central Shunpei Kusanagi. Cuando finalmente se identifica el cuerpo, todas las sospechas recaen obviamente en su ex-compañera Yasuko, aunque nadie es capaz de encontrar ningún indicio siquiera en la perfecta coartada de la mujer. El último recurso que Kusanagi es capaz de imaginar es pedirle ayuda a Manabu Yukawa, un brillante y atractivo físico que trabaja en la Universidad conocido como Detective Galileo, colaborador habitual de la Policía en casos difíciles, especialmente en aquellos en los que se dan cita circunstancias extrañas y fuera de toda lógica explicable. La película está basada en una serie de novelas de Keigo Higashino, un galardonado novelista japonés de novela negra en las que se mezcla de forma muy amena el misterio, la investigación policial, el humor y, esto es lo que puede diferenciarle de otros del mismo corte, la ciencia bastante bien documentada. Estas novelas dieron lugar a una exitosa serie de televisión, Galileo, de la que hablaremos después. El Reparto Uno de los atractivos que para el público tienen series y películas de este tipo suele estar en contar con unos intérpretes atractivos, a ser posible que puedan llegar a tener una relación sentimental estable, aunque sus caracteres sean muy diferentes, e incluso se lleven a matar. Es una fórmula de probado éxito (recordemos algunos ejemplos que fácilmente nos vienen a la cabeza: Remington Steele, Luz de luna, Perdidos, Bones, la propia Numb3rs, etc.). En este caso, como los nombres japoneses nos suelen despistar bastante por aquí, e incluso sus rostros, antes de indicaros lugares donde se pueden ver escenas, de forma excepcional para una sección como esta dedicada más a describir la matemática que hay detrás de las películas que otro tipo de aspectos, vamos a hacer un breve repaso de los protagonistas, la mayoría de los cuales lo son también de la serie de televisión, a la que seguro os enganchareis en cuanto veáis el primer capítulo. 1.- Manabu Yukawa.- “El excéntrico Galileo” Es profesor en la Facultad de Físicas, de la Universidad de Teito, en el Departamento de Ciencias e Ingeniería. Atractivo, brillante, atleta, parece el paradigma de la perfección sin una sola falta. Sin embargo, bajo la superficie, acumula un montón de raras excentricidades. Como consecuencia de su imprevisible inteligencia, a menudo alcanza las claves decisivas para resolver los misterios más inexplicables que suelen proponerle los detectives Utsumi y Kusanagi. Cuando este caso llega a su conocimiento, en el que un antiguo compañero de Instituto, un matemático de prestigio, está implicado, Yukawa pretende demostrar que está a la altura de su contrastada genialidad, aflorando algunos hechos oscuros de su personalidad.  El actor que lo interpreta, Masaharu Fukuyama, es muy popular en su país ya que también cantante y compositor. 2.- Kaoru Utsumi trabaja como detective en el distrito de policía de Kaizuka Norte. No tiene ninguna experiencia en hacer investigaciones ya que acaba de ser ascendida desde la división de tráfico. Es una chica despierta con un fuerte sentido de la justicia, que ha decidido dejar de lado sus sentimientos en beneficio de la lógica, lo que la pone en ventaja frente a Yukawa, que mantiene un profundo respeto a su amigo y superior, el detective Kusanagi. Aportará un importante olfato ante el cerebral juego del gato y el ratón que mantendrán los dos protagonistas de la historia. 3.- Shumpei Kusanagi El mejor sabueso del país resolviendo casos relacionados con lo oculto o lo misterioso. Apodado por ello “el cazador de misterios”, ha tenido una meteórica trayectoria profesional desde el distrito de Kaizuka Norte a la Jefatura Central de la Policía, aunque lo cierto es que su éxito se ha fundamentado en gran medida en las aportaciones y pesquisas de “el excéntrico Galileo”. Su mayor defecto, su debilidad por las mujeres. Estos tres son los principales protagonistas de las novelas, la serie y esta película. Los otros protagonistas del caso planteado en la película son: 4.- Tetsuya Ishigami Antiguo compañero de clase de Yukawa en la Universidad de Teito al que éste admira y reconoce como un genio. Ishigami tuvo una prometedora carrera como investigador matemático en la Universidad hasta que ciertos problemas personales le obligaron a renunciar a dicha carrera. En la actualidad es profesor de matemáticas desencantado en el instituto de Secundaria Kanto nº 3. No tiene ningún interés por nada excepto por las matemáticas, lleva una existencia gris hasta que aparece una nueva vecina, Yasuko Hanaoka para la que aplica sus geniales facultades para protegerla de la policía. 5.- Yasuko Hanaoka Abandona su trabajo de azafata para abrir un modesto negocio de comidas preparadas para llevar a casa (box lunch). Es el centro de todas las sospechas en la investigación del asesinato de Togashi, por lo que tanto ella como su hija sufren un acoso continuo por parte de la policía. Seguramente, habiendo leído lo precedente, estéis pensando cuál es el interés de la película, sabiendo como sabemos desde el principio qué ha sucedido y quienes son los culpables. Lo destacable no es, como en casi todas las películas, encontrar al culpable, sino la forma de llegar a ello (lo dice el cartel: “una batalla de ingenios”) y descubrir las motivaciones y experiencias de todos los que de alguna manera están relacionados con el crimen (una cuestión latente en todo momento es si es moralmente lícito cometer un crimen justificable). Tampoco faltarán, como en todos los films de este tipo, giros inesperados que sorprenderán al espectador, que a diferencia de lo habitual, aquí no serán inverosímiles, junto falsos testimonios, lagunas lógicas, un montón de obstáculos en suma, en el camino del detective Galileo que intencionadamente una mente brillante va colocando. Otra virtud de la película es la aportación de un estilo diferente al de la serie original, pero sin traicionar la personalidad de los protagonistas, algo realmente difícil de lograr, de manera que no parece un episodio extendido realizado con más presupuesto, sino que tiene identidad propia. Es destacable también la forma de entender el ritmo y el sentimiento de los personajes gracias a sus interpretaciones y a su utilización de música pop. Y finalmente, el desgarrador final (característica también de la serie original) es sorprendente e inesperado. La película se mantuvo en lo más alto del ranking japonés durante cuatro semanas consecutivas y fue también número 1 en Hong-Kong durante las Navidades del año 2008.  Ha sido muy poco difundida fuera de Japón, aunque ha sido muy bien valorada en aquellos países donde se ha estrenado. Algunas secuencias destacables I.- Conservación de la cantidad de movimiento. Esta ley física aparece descrita en varias películas (Rosencrantz y Guilderstein han muerto, Tom Stoppard, 1990, por ejemplo) pero aquí se combina con el efecto de un imán. La escena es como sigue: se observan cinco bolas de acero sobre una mesa, y alguien con bata (luego sabremos que es “el excéntrico Galileo”) que nos da la siguiente explicación: “Una bola de acero rueda sobre un rail golpeando una fila de bolas en reposo (estacionarias). Observamos que la última bola de la fila es impulsada a la misma velocidad que la bola que las ha golpeado. Es la ley de la energía y la conservación del momento. Añadamos ahora un potente imán de neodimio (lo coloca al inicio de la fila de bolas). Observen. Antes del impacto, la bola que rueda recibe una aceleración instantánea del imán. Esa velocidad se transmite a la bola del final (la vemos salir despedida con gran fuerza). ¿Qué sucedería si multiplicamos la potencia del imán muchas veces? La bola del final se convierte en un proyectil de alta velocidad. En breve, esta minúscula bola de acero… se convertirá en una bala. (Pasamos a otro escenario) Un acelerador superconductor. ¡Aprovechemos el poder de un imán superconductor! ¡Listos!” La escena es impactante. La minúscula bola produce una impresionante explosión. La podéis disfrutar en el enlace: http://www.youtube.com/watch?v=qMEkSRuggkg&feature=related. II.- Yukawa impartiendo clase Escena en la que el detective Kusanagi muestra a la novata Utsumi quien es Galileo (en el diálogo pongo su apellido real, Yukawa). Entran en un aula en el que éste está dando clase, sentándose al fondo. Yukawa: ¿Qué es la lógica? Cuando Einstein postuló su teoría de partículas sobre la luz, añadió la belleza de la Lógica a la constante de Planck. Kusanagi (susurrando a Utsumi): Como siempre, montones de chicas (refiriéndose a los alumnos que asisten a la clase). Utsumi (para ella): ¡Cretino! Yukawa: Obviamente, el pensamiento lógico exige un análisis sereno, tranquilo. (En ese momento Kusanagi levanta el brazo para que Yukawa se percate de que están allí; éste pone cara de circunstancias y sigue con las explicaciones). Yukawa: Dejarse llevar por los impulsos o las corazonadas nos llevaría al desastre. III.- En Japón los alumnos hacen lo que aquí Ishigami se encuentra dando también clase pero no en la Universidad como Yukawa, sino es un instituto de Secundaria. Está haciendo una integral, como vemos en la imagen, aunque lo comenta no parece tener mucho sentido…. Ishigami: No es una derivada difícil. Los alumnos empiezan a protestar, empiezan a hablar en voz alta, alguno se levanta de su pupitre, mientras el profesor sigue echando cuentas… Ishigami: … tomando una sustitución un poco creativa para alfa…. IV.- El encuentro entre dos viejos conocidos Aunque inicialmente Yukawa, el  “excéntrico Galileo”, rechaza el caso porque no tiene nada que ver con la Física, acaba aceptándolo al saber que su antiguo compañero Ishigami, al que admira y considera un genio, está involucrado. La escena del reencuentro es así: Ishigami: Siéntate en cualquier sitio. Por ahí hay cojines. Yukawa: Gracias Ishigami (haciendo sitio a Yukawa para que se pueda sentar; está intrigado sobre cómo ha averiguado la dirección de su domicilio): Puedes mover eso. ¿Dijiste que un amigo? ¿Quién te dio mi dirección? Yukawa: Un policía que estuvo hablando contigo. Es alumno también. Ishigami: ¡Ah, ya! Esto es todo lo que tengo (enseñándole lo que pone en su vaso; Yukawa saca una botella de whisky de sus cosas). Yukawa: ¡Han pasado 17 años! Al cabo de un rato, ambos están un poco menos desconfiados y desinhibidos. Yukawa: ¿Qué estudiante podría resolver el teorema de los cuatro colores? Ishigami: Un esfuerzo inútil. Yukawa: Nada hubiera sido más fascinante. Ishigami: Absolutamente (brindan y beben) Yukawa: ¿Porqué matemáticas en Secundaria? Ishigami: Me vino bien. Yukawa: Pensaba que te quedarías (se refiere a la Universidad) e investigarías. Ishigami: Así lo había planeado. Pero mi madre quedó imposibilitada. Tuve que dejar la Universidad. Yukawa: Lo lamento. Ishigami: Pero la investigación matemática puede hacerse en cualquier lugar. Yukawa: Cierto (se fija en unas fotos de montañas colgadas en la pared) ¿Aún escalas? Ishigami (mirándolas con añoranza): Ocasionalmente. Yukawa: Escalar montañas es como hacer matemáticas. Una cumbre. El truco consiste en encontrar la ruta más simple, la más lógica para alcanzarla. Ishigami: Y las matemáticas tienen muchos picos que conquistar. Yukawa: La conjetura de Hodge, la teoría de Yang-Mills y el salto de masa, el problema P≠NP…. (le entrega un documento). Ishigami (echándolo un vistazo): ¡Uh! ¡La hipótesis de Riemann! Yukawa: Es del Departamento de Matemáticas. (Ishigami se rasca la cabeza mientras lo observa) Ishigami: Esto lo que intenta es probar que es falsa. Yukawa: Me gustaría que asesoraras la prueba. Ishigami (se levanta y se sienta en una mesa aparte llena de papeles, absorto en la contemplación del escrito): Esto me llevará algún tiempo…. Yukawa: Puedo esperar. Posteriormente, a Yukawa le dará la impresión de que Ishigami está enamorado de su vecina Hanaoka. En otra escena, con Ishigami acostado en el suelo de un calabozo, junto a otros presos, se muestra como visualiza en el techo una imagen que pretende ser una prueba del teorema de los cuatro colores, como vemos en la fotografía (un poco oscura porque tiene lugar de noche además de ser una captura de una película comprimida) Los denominados Problemas del Milenio han sido elegidos por una institución privada de Cambridge, Massachusetts (EE. UU.), el Instituto Clay de Matemáticas, en el año 2000. Se trata de problemas aún no resueltos, de indudable interés, no sólo matemático sino también para otras disciplinas. Se premia con un millón de dólares norteamericanos a quien resuelva alguno de estos problemas. Uno de ellos, la Conjetura de Poincaré,  fue resuelto por el ruso Grigori Perelman por lo que se le concedió en 2006 la medalla Fields, que rechazó junto con el dinero de la fundación Clay. Los otros seis son la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer, la Conjetura de Hodge, la hipótesis de Riemann, la teoría de Yang-Mills, existencia y regularidad de las soluciones de las ecuaciones de Navier-Stokes y ¿es P = NP? Su descripción precisa nos llevaría demasiado espacio por lo que emplazamos al lector interesado a buscar información de cada uno a través de Internet. Existen más listas de problemas matemáticos sin resolver (la lista de Steve Smale, por ejemplo), pero los problemas del milenio han alcanzado más repercusión popular y mediática, seguramente por su sustanciosa compensación económica. Históricamente el planteamiento de listas de problemas de este tipo ha existido siempre, aunque su popularización tuvo lugar en 1900 cuando el matemático David Hilbert expuso en el II Congreso Mundial de Matemáticos en París los 23 problemas que a su juicio iban a ocupar el trabajo de los matemáticos a lo largo del siglo que empezaba. La Novela Suspect X es la adaptación al cine de la novela del mismo título (en inglés The Devotion of Suspect X) ganadora del 134º premio Naoki (año 2006), escrita por el indiscutible rey del mundo literario del misterio japonés Keigo Higashino. La película es una compilación de algunas de las peripecias de la serie de novelas Tantei Galileo (Detective Galileo) que ha vendido más de tres millones de ejemplares en todo el mundo. Tanto la película como la serie original son bastante fieles a la novela. Existe traducción al castellano, La Devoción del Sospechoso, editada este año 2011 por Ediciones B, dentro de la colección La Trama. La Serie de TV Kaoru Utsumi, una novata detective acaba de ser asignada a la división criminal. Su primer caso de asesinato (Episodio 1: Abrasándose) se califica como fenómeno sobrenatural: un joven se quema de la cabeza a los pies mientras celebra una fiesta con sus amigos. La policía considera que ha sido un accidente provocado por los fuegos artificiales que el fallecido llevaba consigo, pero sus amigos afirman que se trata de una combustión espontánea. Kaoru pide ayuda a Shunpei Kusanagi, un veterano detective que le presenta a Manabu Yukawa, profesor asociado de la Universidad de Teito.  Yukawa es un apuesto, brillante y excéntrico científico al que sólo le interesa la Física, mientras que Utsumi es una detective de sangre caliente con un fuerte sentido de la justicia. Gracias a sus talentos individuales serán capaces de resolver difíciles y aparentemente imposibles crímenes. Sus investigaciones les llevarán a descubrir una oscura realidad detrás de su muerte. Episodio 2: Proyección Astral.- Una chica es encontrada muerta en su apartamento. La policía detiene rápidamente a un hombre, el agente de seguros de la víctima, al que consideran sospechoso. El hombre asegura haber estado durmiendo la siesta en su coche cuando el asesinato fue cometido, pero es incapaz de dar una coartada creíble. Sin embargo, aparece un chico que afirma haber visto el vehículo del hombre cerca de su casa, la cual está muy alejada del lugar del crimen. El único problema es que el chico también asegura que vio el coche mientras se encontraba experimentando una proyección astral. Episodio 3: Poltergeist.- Después de haber pasado toda la noche trabajando, la agotada Utsumi recibe una llamada de Yukawa pidiéndola ayuda para localizar al cuñado de un alumno. El hombre lleva desaparecido una semana, y su esposa ha rastreado a fondo el último paradero conocido de su esposo, una casa propiedad de una anciana recientemente fallecida y ocupada ahora por su sobrina y otras personas. La esposa cree que su marido se encuentra en la casa, y convence a Utsumi para que la ayude a buscarle. Mientras lo hacen, la casa comienza a tambalearse violentamente. La asustada Utsumi cree que se trata de la furia de los Poltergeist. Episodio 4.- Necrosis. Una joven es hallada muerta en la piscina de su casa. Se determina que la causa del fallecimiento ha sido un ataque al corazón. Pero Utsumi descubre una marca púrpura sobre el pecho de la víctima, pidiendo al juez que la mande analizar. Se descubre que es una necrosis (muerte patológica de un conjunto de células o de cualquier tejido del organismo, provocada por un agente nocivo) lo que hace sospechar a Utsumi sobre cómo murió. Posteriormente dos personas más mueren en las mismas circunstancias, lo que sugiere que se trata en realidad de casos de homicidio. Episodio 5.- Asfixia. Un hombre aparece muerto en la habitación de un hotel, sin signo alguno de violencia ni de que nadie haya entrado allí. Un testigo que trabaja en el edificio de enfrente asegura haber visto unas bolas de fuego fantasmales. lo que despierta el interés de Yukawa por el caso. Episodio 6.- Fantasía. Se busca a un amigo de infancia de Utsumi pos haber invadido la casa de una joven. En su huida, contacta con Utsumi contándola que conocía a la chica desde hacía tiempo y que fue ella la que le pidió que fuera a su casa. Hay evidencias que sugieren que el hombre conocía a la chica desde que era una niña e incluso antes de haber nacido, y que existe un fuerte vínculo entre ambos y Utsumi. Determinada a ayudar a su amigo, Utsumi pide a Yukawa que investigue que hay detrás del sueño del hombre. Episodio 7.- Premonición. Un hombre corriente, sin demasiado atractivo para nadie, se casa con una joven despampanante y, cuando otra hermosa mujer intenta flirtear con él, éste se deja llevar, engañando a su esposa. La amante le pide que se divorcie puesto que si no ella se suicidará, amenaza que finalmente cumple. Al llegar la policía y conocerse el asunto, su esposa lo abandona. Aparentemente se trata de un típico triángulo amoroso, sólo que el hombre asegura haber visto en el mismo lugar donde apareció ahorcada la mujer como alguien intentaba colgarse. ¿Qué es lo que vio? ¿Tiene realmente poderes premonitorios? Episodio 8.- El suspiro del Espiritu. Una instructora de cocina es asesinada en su oficina, pero mientras esto sucede, ella aparece misteriosamente al lado de su hermana para avisarla de que va a ser asesinada. Su hermana está a 30 kilómetros de distancia de la oficina. Episodio 9.- Transcripción. En la explosión de un lago un hombre es hallado muerto. Mientras tanto, en una escuela, un estudiante de arte está realizando una obra que denomina “La máscara de la Muerte” que reproduce con mucha exactitud el rostro del hombre. Un pasado inquietante  surge entre Yukawa y el principal sospechoso del asesinato. Episodio 10.- Explosión.  Yukawa se enfrenta a un antiguo profesor en relación a un doble asesinato en el que fallece la secretaria del profesor. Utsumi tendrá que hacer frente a una serie de amenazas de las que sólo Yukawa podrá librarla. Los episodios 1, 2, 4, 9 ,10 se basan en la novela Tantei Galileo, el resto en  Yochimu. La serie comenzó a emitirse el 15 de Octubre de 2007 en horario de máxima audiencia (lunes 9 de la noche) por el canal Fuji Televisión Network. Consta de 10 episodios, el último de los cuales se emitió el 17 de Diciembre de 2007. Posteriormente, el 4 de Octubre de 2008, hubo un episodio especial, Galileo: Episode Zero, que se situaba tres años antes que el resto de capítulos, cuyo argumento giraba en torno a un asesinato que es citado parcialmente en la serie. Para aquellos interesados, la serie completa puede descargarse en Internet subtitulada en inglés en la dirección http://www.mysoju.com/japanese-drama/galileo/ Entre los reconocimientos que ha conseguido pueden destacarse el correspondiente a la mejor serie dramática de los 13º Premios de la Televisión Asiática, y en la edición 55ª de los Premios de la Televisión Norteamericana obtuvo  los correspondientes a la mejor serie, al mejor actor principal (Masaharu Fukuyama), a la mejor actriz de reparto (Kou Shibasaki), al mejor guión (Yasushi Fukuda), a la mejor dirección y al mejor tema musical. Posteriormente se ha realizado una serie manga de dibujos animados, nada que ver con la original ni con la película en cuanto a su calidad.

Jueves, 06 de Octubre de 2011 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico