661. 62. (Marzo 2012) Cercle Vicieux, de Etienne Lécroart

Etienne Lécroart es un artista francés, especializado en el arte del cómic. Es miembro –y uno de los pilares– del grupo OuBaPo –Ouvroir de Bande dessinée Potentielle, Obrador del Tebeo Potencial–, que crea usando constricciones formales, al igual que el grupo OuLiPo. OuBaPo se fundó en noviembre de 1992 en el seno de Ou-X-Po, es decir, del Obrador de X Potencial, donde “X” puede ser “literatura policíaca”, “pintura”, “cocina”, “cartografía”, “tragicomedia”, “cómic”, “cine”, “informática”, “música”, “arquitectura”, etc., es decir, cualquier disciplina que cree bajo constricción. Lécroart es un maestro del tebeo; basta con recorrer su trabajada página web para observar sus dotes creativas, sus grandes dosis de humor y sus sorprendentes juegos. Entre estos últimos, se pueden destacar sus tebeos basados en la pluri-lectura: en efecto, en algunos de sus cómics la lectura puede realizarse en horizontal, en vertical y oblicuamente, o se puede progresar según la numeración de la página o en sentido inverso. La primera página de Cercle Vicieux En esta reseña quiero hablar de Cercle Vicieux –Círculo vicioso– (editorial l’Association, 2000), aunque en posteriores artículos hablaremos de otras de las propuestas de Etienne Lécroart. Cercle Vicieux es un cómic palindrómico, es decir, que puede leerse –y la historia que aparece es idéntica, exactamente la misma– desde la primera viñeta hasta la última,... o viceversa. El tebeo tiene 30 páginas –6 viñetas por cada una de ellas– y la última viñeta de la página 15 es la que marca el punto central de este magnífico palíndromo: la imagen de esta viñeta es simétrica respecto a la vertical: La viñeta central de Cercle Vicieux: a partir de este momento la historia cambia de ritmo, pero SORPRENDENTEMENTE utilizando las mismas viñetas. A partir de allí –es la viñeta número 90– se advierte que la casilla 91 es la misma que la 89, y se van observando estas identificaciones entre viñetas: 92=88, ..., 100=80,..., 179=1, hasta llegar a la casilla final, la 180, que se reserva para la palabra FIN ¿o es el principio? He puesto el signo “=” entre los números de las viñetas, para insistir en que son idénticas, tanto en la imagen como en el texto. La historia trata de un sabio un poco loco que trabaja en su laboratorio intentando poner en marcha una máquina del tiempo. Le acompañan su asistente y su secretaria que, de hecho, tampoco son personajes demasiado cuerdos... Lécroart los caricaturiza y exagera sus expresiones: desde el tartamudo y nervioso profesor, pasando por la ingenua secretaria, hasta llegar al paranoico ayudante. En las 15 primeras páginas Cercle Vicieux habla de la máquina del tiempo, que el profesor y su ayudante no consiguen poner en marcha; los mandos de la máquina envían mensajes extraños... uno de los interruptores de la máquina está apagado... y algo sucede de repente –exactamente en la viñeta 90, de las 180 de las que consta el tebeo–, algo que hace cambiar el ritmo y el tema de la trama, a las 12h21... En ese momento –y se verá a lo largo de las 15 últimas páginas– aparece la atracción y el deseo sexual. Lécroart cuenta esta última parte de la historia invirtiendo el sentido de las viñetas, pero sin ningún otro cambio, ni en las imágenes ni en los diálogos. Si leyéramos la historia desde el final –casillas 179, 178, 177, etc.– comenzaríamos de nuevo la historia del sabio que dice desesperado a su secretaria que no consigue poner en marcha su máquina del tiempo... se trata, sin duda, de un auténtico Círculo Vicioso... Etienne Lécroart consigue crear una historia coherente tanto en la primera parte como en la segunda: a partir de la página central se construye una trama diferente, deshaciendo el camino trazado al ir recorriendo las viñetas en sentido inverso... ¡Es sencillamente genial!

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662. 58. (Marzo 2012) La profesión de la señora Warren, de George Bernard Shaw

En 1893, el dramaturgo británico, y futuro premio Nobel de Literatura, George Bernard Shaw escribía una de sus primeras obras de teatro: Mrs. Warren's profession. El censor oficial para el teatro en Inglaterra, el Lord Chamberlain, prohibía inmediatamente su representación pública por su forma de tratar, sin tapujos, la prostitución (la profesión de la señora Warren). La obra se publicó en 1898 como parte de la recopilación, Plays pleasant and unpleasant, de piezas teatrales de Shaw (naturalmente incluida entre las “unpleasant”) pero no se estrenó hasta el día 5 de enero de 1902 en el teatro del exclusivo New Lyric Club de Londres, en una producción privada de la London's Stage Society. En 1905 se estrenaba en New Haven y New York, donde tras la primera función el productor y los actores fueron arrestados por la brigada antivicio. El público londinense hubo de esperar a 1925 para asistir a la primera representación pública en Londres, mientras que en París la prohibición se extendió hasta 1955. Figura 1: Marquesina con el anuncio de la obra La obra es una crítica social en forma de provocadora comedia en la que Shaw expone abiertamente algunos de los dogmas morales más hipócritas de la sociedad victoriana. Shaw saca a escena las penosas condiciones económicas y sociales que forzaban a las personas más desfavorecidas a tomar decisiones discutibles o sencillamente a delinquir, mientras otros sacaban provecho y beneficio económico explotándolas. Una denuncia de un sistema económico y de clases que explotaba a los pobres, sobre todo a las mujeres. La perenne actualidad de los asuntos abordados en esta pieza, así como su gran calidad literaria y dramática (el propio Shaw la calificó como una pieza maestra) justifican sobradamente que se vuelva a representar con cierta asiduidad. Así, en el año 2010, destacan tres producciones independientes en Londes, Washington y New York. Somos conscientes de que las referencias matemáticas en Mrs. Warren's profession son escasas y de un carácter poco técnico. No obstante, la obra toca algunos aspectos (digamos que sociales e históricos) de las matemáticas que, creemos, son suficientemente significativos como para dedicarle una reseña en esta sección de teatro y matemáticas. La trama Vivie Warren es una joven de 22 años, brillante, segura y autosuficiente que acaba de finalizar, con honores, sus estudios de matemáticas en la Universidad de Cambridge. Durante una tarde de verano, en una hermosa casa de campo, recibe una de las esporádicas visitas de su madre y la de varios amigos de ésta: el señor Praed (arquitecto), Sir George Crofts (socio de la señora Warren), Frank Gardner (amigo de Vivie) y el reverendo Samuel Gardner (padre de Frank). Vivie descubre que su madre, siendo joven, logró escapar de la miseria ejerciendo la prostitución. La señora Warren consigue que su hija supere el rechazo inicial y comprenda la situación que le tocó vivir siendo joven y, por tanto, su decisión. Frank y Sir George compiten por conseguir el “amor” de Vivie. El muchacho, un vividor empedernido, ve en el posible matrimonio la solución de sus problemas económicos. Por su parte, el maduro caballero le propone matrimonio a Vivie, presentándolo como un intercambio en el que la joven ganaría un nombre respetable en la alta sociedad y una suculenta herencia en un breve período de tiempo. Durante una conversación en la rectoría del reverendo Gardner, Sir George revela que es el socio de la señora Warren en un negocio que les proporciona pingües beneficios: dirigen una cadena de burdeles por toda Europa. Vivie se había hecho la idea de que su madre, una vez salida del pozo económico-social de su juventud, ya no tenía relación con la prostitución. Ahora, profundamente decepcionada, comprende el origen de su acomodada posición actual, gracias a la cual ha recibido una educación de elite. Rechaza a Crofts que, enfurecido y celoso de Frank, deja entrever que Vivie podría ser hija del reverendo Samuel Gardner. Vivie huye a Londres. Figura 2: Vivie y su madre Desde su salida de la universidad, y sin que su madre lo supiera, Vivie había trabajado como aprendiz en una gestoría en Londres. La dueña, encantada con el rendimiento y las cualidades de la joven, le había propuesto convertirse en su socia. Tras el incidente de la rectoría, y decidida a emanciparse y seguir su propio camino, Vivie acepta la oferta. En la oficina, recibe las inesperadas visitas de Pread, Frank y su madre. Cada uno intenta convencer a Vivie de que tome otro camino, uno que, obviamente, les reporte un cierto beneficio personal. La conversación con su madre resume el choque de dos generaciones de mujeres, de sus firmes y antagónicas convicciones, de sus diferentes ideas de cual es la mejor forma de actuar ante las vicisitudes que les han tocado vivir. Al final, las dos se separan irremediablemente, incapaces de reconciliar sus diferencias. La obra concluye con Vivie, ya sola, enfrascada en sus cálculos matemáticos. Philippa Garrett Fawcett y los Mathematical Tripos Para comprender mejor las referencias matemáticas en la obra es preciso recordar brevemente algunos detalles biográficos de la matemática británica Philippa Garrett Fawcett (1868-1948). Philippa, nacida el 4 de abril de 1868 en Cambridge, fue la única hija de una pareja excepcional. Su madre, Millicent Garrett Fawcett (1847-1929) fue una de las mujeres pioneras en el movimiento sufragista en Inglaterra (su hermana Elizabeth Garrett Anderson fue la primera mujer británica en ejercer oficialmente la medicina). Millicent también contribuyó activamente a fundar, en 1871, el Newnham College en Cambridge, una de las primeras residencias universitarias inglesas para mujeres. Su padre Henry Fawcett (1833-1884) ocupó la Chair of Political Economy en Cambridge además de destacados cargos políticos, a pesar de que a los 25 años quedó ciego en un accidente de caza. Figura 3: Philippa Garrett Fawcett (1847-1929) Philippa mostró pronto su talento para las matemáticas que sus padres no dudaron en potenciar. Así, con 15 años, decidieron ponerle un tutor (su padre fallecería un año después). Posteriormente, recibió clases de matemáticas en el Bedford College (la primera universidad británica que concedió títulos a las mujeres) y la University College London. Sus extraordinarios resultados en álgebra y geometría le valieron una beca para estudiar matemáticas en el Newnham College de Cambridge, la misma institución que su madre había ayudado a fundar. Las compañeras que compartieron con ella sus dos años en el Newnham College la recuerdan por su brillante capacidad para las matemáticas, por ser una trabajadora metódica e incansable y por su modestia y reserva extremas. A principios del siglo XIX, la Universidad de Cambridge instituyó unos exámenes escritos, denominados Tripos, para aquellos estudiantes que quisieran graduarse en la universidad con el objetivo de asegurar el nivel más elevado de excelencia académica. Los exámenes de matemáticas, Mathematical Tripos, fueron los primeros en implantarse. Se denominaba Wrangler a aquel estudiante que obtenía calificaciones de honor en estos exámenes. El que obtenía la puntuación más alta era el Senior Wrangler, el segundo en puntuación era el Second Wrangler, y así sucesivamente. Así pues, ser uno de los tres primeros Wranglers significaba el honor de situarse entre los mejores estudiantes de matemáticas de Cambridge. El término Senior Wrangler identificaba al mejor entre los mejores, era sinónimo de supremacía académica. En 1881, se dio permiso a las mujeres para realizar los Tripos, pero seguían sin poder optar a un título universitario. En consecuencia, no se las clasificaba entre los Wranglers como a los hombres. Una vez hechas públicas las distinciones masculinas, se leía la lista femenina, anunciando, tan sólo, que tal mujer estaría colocada entre los Wranglers que ocupaban los puestos n y n+1 (o bien que había empatado con uno de ellos). Dada su trayectoria, parecía seguro que Philippa Garrett Fawcett estaría entre los mejores en los Tripos de 1890, que ese año constaban de doce pruebas escritas de tres horas de duración cada una. La expectación era máxima cuando Walter Rouse Ball se dispuso a leer la lista de las mujeres y anunció: “Señorita Philippa Garrett Fawcett: por delante del Senior Wrangler”. Philippa se convertía en la primera mujer en obtener la mejor puntuación en los Mathematical Tripos de la Universidad de Cambridge. La noticia de su logro tuvo gran resonancia en los periódicos de la época y fue un acicate para la causa de los derechos de las mujeres. Phillipa obtuvo una beca de investigación por un año en Cambridge y, en 1893, publicó un artículo sobre dinámica de fluidos en el Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics. Poco después fue nombrada profesora de matemáticas en el Newnham College, puesto que ocupó durante diez años. Durante el período comprendido entre 1899 y 1902 realizó varios viajes por India, Japón y Sudáfrica. La situación con que se encontró en los campos de concentración durante la guerra de los Bóer la animó a solicitar al gobierno británico permiso para regresar a Sudáfrica y contribuir a crear un sistema de escuelas en el departamento de Transvaal. Allí permaneció hasta 1905 como profesora de matemáticas en la Normal School de Johannesburg. De regreso a Londres, formó parte del London County Council hasta su jubilación en 1934. Primero como asistenta jefa del director de educación y posteriormente como asesora jefa de educación superior, desempeñó un papel central en el desarrollo y reorganización de las escuelas secundarias, principalmente en el área londinense. Philippa moría el 10 de junio de 1948, cincuenta y ocho años después de ganar al Senior Wrangler y justo un mes después de la concesión real de la gracia que permitía a las mujeres obtener un título de grado en Cambridge. Las matemáticas en la obra En el prólogo, An author's apology, a la edición escrita de Mrs. Warren's profession, Shaw deja claras sus intenciones: “Nada satisfaría más a nuestro mojigato público británico que culpar a la propia señora Warren por la profesión de la señora Warren. Pues bien, el objetivo de mi obra es cargar al público británico con esa culpa”. La señora Warren optó por la prostitución porque las alternativas que la sociedad le ofrecía a una mujer pobre como ella eran infames. Despertar la conciencia del espectador-lector con esa incómoda realidad era, en opinión de Shaw, el primer paso para reformarla. Para ello, Shaw obliga a sus personajes a asignar un valor monetario concreto a todas las cosas, de modo que el dinero, su valor temporal, su rentabilidad y los métodos para conseguirlo (como escribe él mismo, utilizando una terminología muy matemática: “optando por la vía habitual de seguir el camino de menor resistencia”) estén continuamente presentes en las situaciones y diálogos. No es casualidad que Vivie quiera dedicarse, precisamente, a las matemáticas de le economía, las finanzas y los seguros. Para entender mejor la situación económica que describe y denuncia George Bernard Shaw, es conveniente tener una idea de las distintas monedas y billetes de la Inglaterra de la época victoriana así como del valor aproximado de, pongamos, una libra de finales del siglo XIX en la actualidad. Sólo desde 1971, el sistema monetario de Gran Bretaña se basa en el sistema decimal: la unidad monetaria básica, la libra, se divide en 100 peniques. Pero antes de 1971, a partir de la unidad monetaria fundamental, el penique (penny, cuyo plural era pence o pennies se formaban: el shilling, que constaba de 12 pence, y la libra (pound) que equivalía a 20 shillings. En definitiva, una libra se dividía en 240 peniques. La libra podía encontrarse en forma de billete, que se llamaba note, o como moneda de oro, el sovereign. La cuestión de calcular cuanto “valdría” hoy una cantidad monetaria del pasado no tiene una respuesta única. De hecho una misma cantidad o renta podría ser valorada de formas distintas en un momento dado por personas distintas o en contextos distintos, como ocurre con frecuencia a los personajes. Para nuestros sencillos propósitos, hemos tomado como referencia el valor actual de una libra en 1890 usando el índice RPI (Retail Price Index), de modo que en nuestros cálculos una libra de la señora Warren equivale a 85'80 libras de 2010. Apliquemos ahora un tipo de cambio medio de la libra esterlina el euro en el año 2010. Nos servirá el cambio 1 euro igual a 0'85 libras. Fijados estos tipos de cambio, repasemos algunos ejemplos extraídos de los diálogos de la obra: • farthing. Un cuarto de penique, la moneda con menos valor. “... le dije que no tenía ni un farthing para subsistir..." (Acto IV). • twopence. Dos pennies. Una cantidad cercana al euro actual. “... sin oficio ni dos peniques para vivir...” (Acto II). • one and sixpence. Un shilling y 6 pennies, es decir, 18 pence. A finales del siglo XIX, 18 pence equivalían aproximadamente a 7'5 euros. “... fregaba suelos por uno y seis peniques al día...” (Acto II). • four shillings. Algo más de 20 euros actuales. “... sirviendo bebidas y limpiando vasos por 4 shillings a la semana...” (Acto II). • nine shillings. Aproximadamente 45'5 euros de hoy. “...trabajaba doce horas diarias por nueve shillings a la semana...” (Acto II). • 18 shillings. Dos shillings menos que una libra, del orden de 90 euros actuales. “... con dieciocho shillings a la semana mantenía su casa y sus tres hijos limpios y pulcros…” (Acto II). En la misma línea, encontramos algunos pasajes que tratan de la rentabilidad de ciertos negocios. Por ejemplo, Sir George alardea en el Acto III: “¡Abandonar un negocio que nos da un 35% en los peores años!”, refiriéndose a su lucrativa asociación con la Señora Warren. Por comparar, una inversión típica en tierra del período ofrecía una rentabilidad del 2%, mientras que invertir en deuda pública producía un rendimiento del 5%. Así pues, Shaw no desaprovecha ninguna ocasión para enfrentar al público con el lado desagradable y feo de todo aquello que, superficialmente, pueda parecer romántico, noble o atractivo. En la pieza, el amor, la amistad, el matrimonio, el sexo, las relaciones padre-hijo y madre-hija, la vocación, los ideales, la clase social, el trabajo... son tratados como mercancías. Los personajes mercadean y trafican con ellas. También con los estudios de matemáticas. La forma en que Shaw incorpora la historia de Philippa Garrett Fawcett es, sin duda, un buen ejemplo del tono sarcástico, crítico e implacable que impregna la obra. PREAD: Cuando tenía su edad, los hombres y mujeres jóvenes se temían mutuamente: no había camaradería. Nada de sinceridad. Tan sólo pura galantería copiada de las novelas, tan vulgar y afectada como fuese posible. Discreción de doncellas, cortesía de caballeros. Siempre diciendo no cuando querían decir sí. Un verdadero purgatorio para almas sinceras y apocadas. VIVIE: Sí, imagino que habrá sido una penosa pérdida de tiempo. Sobre todo el de las mujeres. PREAD: ¡Oh! Una pérdida de la vida, una pérdida de todo. Pero las cosas van a mejor. Sabe usted, he estado esperando ansioso el conocerla desde su magnífico logro en Cambridge: algo sin precedente en mis días. Fue absolutamente magnífico, usted empatada con el tercer Wrangler. El lugar idóneo, sabe. El primer Wrangler siempre es un sujeto ensimismado, malsano, que lleva el asunto hasta el extremo de la enfermedad. VIVIE: No sale rentable. No lo volvería a hacer por el mismo dinero. PREAD: (Pasmado.) ¡El mismo dinero! VIVIE: Sí. Cincuenta libras. Tal vez no sepa como aconteció. La señora Latham, mi tutora en Newnham, le dijo a mi madre que podría destacar en los Tripos de matemáticas si los preparaba a conciencia. Por entonces, los periódicos no paraban de hablar de Phillipa Summers que había batido al Wrangler del último curso. Se acuerda de ella, seguro. PREAD: (Mueve la cabeza con energía.) ¡...! VIVIE: Bueno, en cualquier caso, lo hizo. Y nada podría satisfacer más a mi madre sino que yo hiciese lo mismo. Le dije categóricamente que no me merecía la pena pasar por tan arduo trabajo dado que no tenía pensado dedicarme a la enseñanza, pero me ofrecí a intentar quedar a la altura del cuarto Wrangler, más o menos, por cincuenta libras. Tras refunfuñar un rato, aceptó el trato y yo mejoré esa posición. Pero no volvería a hacerlo por esa suma. Doscientas libras habrían sido una cantidad más apropiada. PREAD: (Muy desalentado.) ¡Qué Dios me bendiga! Es una visión muy práctica del asunto. VIVIE: ¿Esperaba usted que yo fuese una persona poco práctica? PREAD: Pero seguramente también es práctico considerar no sólo el coste de tales honores sino también la cultura que reportan. VIVIE: ¡Cultura! Mi querido señor Pread. ¿Sabe usted lo que son los Tripos? Significan empollar, empollar, empollar, de seis a ocho horas diarias, en matemáticas y nada más que matemáticas. Creo que algo sé de ciencias; pero nada más que las matemáticas necesarias. Puedo hacer cálculos para los ingenieros, los técnicos en electrónica, las compañías de seguros y demás; pero no sé prácticamente nada ni de ingeniería ni de electrónica ni de seguros. Ni siquiera me veo fuerte en aritmética. Si me sacan de las matemáticas, el tenis, comer, dormir, montar en bicicleta y pasear, soy tan bárbara e ignorante como pueda serlo cualquier mujer que no haya ido a los Tripos. PREAD: (Rebelándose.) ¡Qué sistema tan monstruoso, perverso y canalla! ¡Lo sabía! ¡Supe inmediatamente que significaba la destrucción de todo lo que hace a la mujer hermosa! VIVIE: A mí no me preocupa ni lo más mínimo en ese sentido. Le sacaré un buen provecho, se lo aseguro. PREAD: ¡Bah! ¿De qué manera? VIVIE: Me mudaré a la ciudad, y trabajaré haciendo cálculos actuariales y presupuestos. Bajo esa tapadera estudiaré leyes, sin perder nunca de vista a la bolsa. De hecho he venido aquí para leer algo sobre legislación, no de vacaciones como mi madre se figura. Detesto las vacaciones. PREAD: Me hiela la sangre. ¿No quiere que su vida tenga algo de romance y belleza? VIVIE: Me traen ambos sin cuidado, se lo aseguro. PREAD: No puede estar hablando en serio. VIVIE: ¡Oh, sí! ¡Claro que sí! Me gusta trabajar y ganar dinero. Cuando me canso de trabajar me gusta un sillón confortable, un puro, un vaso de whisky y una buena novela de detectives. En términos actuales diríamos que los personajes de Mrs. Warren's profession representan sus preferencias mediante una función de utilidad y toman sus decisiones tratando de maximizarla comparando distintas alternativas. El proceso de “valoración” (un concepto clave en los modelos matemáticos económicos y financieros) involucra muchos factores y es, por tanto, muy complejo. En el fragmento anterior, sin ir más lejos, Vivie realiza una valoración monetaria del reto de preparar los Tripos. Observemos que a Vivie no le interesa el prestigio o el honor que le podría reportar una buena clasificación en los exámenes, sino que les asigna un prosaico valor de 50 libras (5.000 euros hoy) antes de realizarlos. Su valoración cambia con el tiempo, y una vez pasados los exámenes, eleva la valoración a 200 libras (unos 20.200 euros). Con la excepción de algunas referencias aisladas a la formación matemática de Vivie y su trabajo realizando cálculos actuariales, el fragmento anterior es el único pasaje en el que se mencionan explícitamente las matemáticas en la obra. No obstante Shaw plantea, además del excelente ejercicio de recuerdo histórico de la figura de Philippa Garrett Fawcett, algunas cuestiones interesantes para la reflexión. Latente en toda la obra está la percepción que las niñas y chicas que estudian en los colegios e institutos tienen acerca de la posibilidad de forjarse un futuro profesional como matemática-científica. Se plantean también los problemas en la incorporación de la mujer a la docencia y la investigación en matemáticas o su escasa presencia en los puestos de responsabilidad. Shaw critica, a través de Vivie, una metodología de enseñanza de las matemáticas excesivamente formal que descuida (más bien ignora completamente) las aplicaciones al mundo real y la interconexión con otras disciplinas. La actitud despectiva de Vivie hacia los Tripos nos enfrenta al problema de la medida del mérito o capacidad matemática exclusivamente a través de pruebas escritas, como los exámenes de acceso o las olimpiadas matemáticas. Referencias [1] George Bernard Shaw, Mrs. Warren's profession. Project Gutenberg. 2006. [2] Biografía de Philippa Garrett Fawcett en la página del Agnes Scott College. [3] Biografía de Philippa Garrett Fawcett en la página del MacTutor History of Mathematics.

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663. 13. (Febrero de 2012) Aritmética anticonceptiva

La entrega de este mes de la sección “Las matemáticas en la publicidad” va a ser breve, un único anuncio publicitario, y además el anuncio se describe él mismo. Es el típico anuncio en el que se utiliza la expresión “1 + 1 =”, que aparece también en algunos otros anuncios y a la que ya le prestaremos más atención en una posterior entrega. Lo que cambia en los anuncios es lo que viene después de la igualdad, en ocasiones es un 3, otras un 4, incluso un 2, y en esta ocasión, es un 0, pero que está formado por un preservativo, ya que el anuncio es de preservativos durex. El significado está claro, pero os lo dejo para que le deis vosotros y vosotras vuestra propia interpretación… aquí lo tenéis…

Martes, 21 de Febrero de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

664. 33. (Febrero 2012) La belleza en las matemáticas y la música

Leticia, colaboradora de la bitácora ConCIENCIA musical, escribió una breve entrada titulada Música, poesía, danza... ¿matemáticas?, que reza así: “Haberlas... las habrá, no digo yo que no, pero después de ver este vídeo no me habléis de matemáticas, por favor”. El vídeo al que se refiere es este: Al leer la entrada de Leticia me di cuenta de que tenía que tratar -casi diría con cierta urgencia- el asunto de la belleza en la música y en las matemáticas. Debajo del comentario breve, casual, de Leticia subyace una concepción muy común de qué es la belleza, su tipología y en qué campos se encuentra. En estas por fuerza breves notas quiero ahondar en el concepto de belleza y cómo esta se percibe desde las dos ricas áreas que nos ocupan aquí: la música y las matemáticas. Leticia, si no te importa, te trataré de tú. Podemos discutir el tipo de belleza que hay en la música o en las matemáticas, pero no podemos discutir la necesidad de la belleza. ¿Y por qué necesitamos la belleza? Para mí, desde luego, para comprender; no concibo la comprensión no ya artística, sino científica sin la mediación de la belleza. La experiencia estética interior descubre caminos a la comprensión que de otra manera pasarían completamente inadvertidos o a los cuales arribaría dando un largo y penoso rodeo. La experiencia estética es como un fogonazo súbito que nos alumbra senderos ocultos conducentes a tierras ignotas. En realidad, no sabemos que hay al final del camino, pero hace tiempo que comprendimos que es el tránsito por el camino lo importante. -Bien -me dirás, Leticia-, pero ¿qué es la belleza? La belleza se encuentra en multitud de campos del saber y en multitud de estados. Hay belleza en toda construcción que muestre unidad orgánica, coherencia formal, afán de indagación, visión profunda y original y, sobre todo, autenticidad. Y esto lo puedes encontrar en la novena sinfonía de Beethoven o en teoremas de la teoría de números. -Hum... -hace un gesto de incredulidad Leticia. -Veo que no te convenzo. -Hum..., no mucho -Leticia se sincera. Déjame que te hable más a fondo de la belleza en las matemáticas y en la música y, después de ello, examinemos sus puntos comunes (si crees que los tienen, claro). Leticia, escucha, el hombre es poca cosa, muy poquita cosa. Pero mientras vivimos nos es dado ser inmortales. Sí, porque comprender lo que te trasciende te hace, siquiera momentáneamente, inmortal. Aprehender el infinito, lo infinito, es un buen ejemplo de ello. Cuando un niño aprende a contar asocia cada número a un dedo, tú lo sabes mejor que yo. Cuando más tarde alcanza a contar números grandes, se da cuenta de que ni siquiera en el lenguaje existen palabras para cada número. De hecho, más tarde en su formación descubrirá algo perturbado que en realidad no se nombran todos los números porque algunos se usen poco, no, ¡es porque hay infinitos! No podemos tener infinitas palabras. Sí, el infinito: el niño descubre que hay infinitos números porque dado cualquier número, al sumarle 1, nos da un nuevo número, tan legítimo y elegante como el anterior. Y así podemos repetir esto hasta el infinito, que es como decir hasta la eternidad. Comprendemos entonces lo aparentemente inasible. Y aquí hay belleza. ¿He dicho comprendemos? Comprender es otro placer, coincidirás conmigo Leticia, ¿no? Las leyes del pensamiento, el ejercicio del razonamiento, la ordenación lógica en un sistema autocontenido, la confrontación de ese sistema lógico con el mundo real, en todo esto hay también belleza. A través del razonamiento percibimos belleza. Vuelvo a los números, esta vez a los números primos; sí, aquellos que solo son divisibles por sí mismos y la unidad. ¿Cuántos hay? ¿Pocos, muchos o infinitos? Si hay infinitos, ¿cómo contarlos! Los griegos, mediante una bella (← fíjate en este adjetivo) técnica de demostración llamada reducción al absurdo, probaron que los primos eran infinitos en número. El argumento funciona como sigue (atenta, Leticia). Si hubiese solo un número finito de números primos, podría probar el siguiente truco: los multiplico todos y al resultado le añado 1. Este nuevo número, ¿es primo o no es primo? Supongamos que el nuevo número no es primo. Alguno de los números primos originales tendría que dividirlo. Por su construcción, eso es imposible. Por tanto, ha de ser primo. Esto quiere decir que hay infinitos primos, pues este proceso lo puedo repetir siempre ad infinitum. Leticia, escucha, este razonamiento es bello. A veces los matemáticos nos emocionamos ante fórmulas porque encierran tanta verdad, tanta inteligencia, tanto afán de comprensión, tanta abstracción (de algún modo tanta humanidad), porque son capaces de unir mundos de tan dispares universos. Una de mis fórmulas favoritas es la fórmula de Euler: eπi + 1 = 0 Te juro que encierra belleza; no, mal dicho, irradia belleza. Esta fórmula, una vez que la has comprendido, te embriaga. Volviendo a las leyes del pensamiento, las pruebas o demostraciones nos llenan de gozo con frecuencia. Las hay de muchas clases: pruebas directas, por casos, por reducción al absurdo, por contraposición, por construcción, por inducción, etc. A mí me gustan mucho las pruebas por inducción. Se aplican a propiedades que dependen de números naturales. Por ejemplo, la fórmula es cierta, donde n = 1,2,... (Leticia, una fórmula enunciada para infinitos números: ¡de nuevo, el infinito!). Constan de dos pasos: en el primero buscan un número n0 para el cual la propiedad sea cierta; en el segundo pruebas que si la propiedad es cierta para un número natural n, entonces es cierta también para n + 1. Una vez hecho esto, habrás probado la propiedad para cualquier número mayor o igual que n0. ¿No hay algo de inmortalidad en todo esto y, por tanto, de belleza? Vamos a hacer la prueba por inducción de esta última fórmula. ¿Es cierta la fórmula para n = 1? Sí, porque Supongamos que es cierta para n y probemos que es cierta para n + 1 y probemos entonces que es cierta para n + 1: La expresión que ha salido en último lugar, , es la correspondiente fórmula de sustituyendo n por n + 1. Y esto completa la prueba. Leticia, esto es bello. Hay otro tipo de belleza que está íntimamente ligada a la actividad matemática. Me refiero a la belleza que se encuentra al resolver problemas de matemáticas, sobre todo si es un problema abierto. En primer lugar, no sabes muy por qué te prendaste del problema. ¿No es un poco loco todo esto, Leticia? Quizás fue que presentías que la solución de ese problema completaría tu conocimiento del asunto; sí, a veces nos enamoramos de los problemas por afán de completitud. Acaso fuese porque querías probar tus fuerzas intelectuales; eso también ocurre, las ganas de sentirnos vivos por el ejercicio del pensamiento. Sea cual sea la razón el problema está delante de ti, quietecito, modoso, esperando algo indolentemente no sabemos muy bien qué. Al principio, le haces poco caso; le dedicas algún pensamiento suelto aquí y acá. Lo miras con ojos benévolos e indulgentes. Sin embargo, un día te levantas con un extraño nivel de conciencia, a veces acompañado de un aguzamiento de los sentidos, y entonces abordas el problema. En los primeros acercamientos, todo es vano y ridículo. Todas tus hipótesis iniciales son falsas o se aplican a casos muy particulares exentos de interés. Sabes que esto no es comprender todavía. Pero sigues. En esto consiste la mentalidad del matemático: tesón. Miras al problema desde otro punto de vista, imaginas que fuera parte de un objeto mayor, de una estructura superior, y si así fuese, ¿cómo lo entenderías entonces? Avanzas en el mejor de los casos, pero el avance es minúsculo. En el peor caso, das vueltas sobre ti mismo. Y ahora viene lo que llamo la travesía del desierto. Si no te pierdes, la solución está al final del desierto. Pero, Leticia, ¡cuidado!, el desierto está lleno de espejismos. Recuerda que el Sol de tu orgullo te calentará hasta la extenuación. Ahora la convivencia con el problema es constante. Sueñas con él, te acompaña en el pensamiento por doquier, la realidad la ves teñida del color del problema, todo se interpreta en función de él. En ocasiones, desesperas. A veces desearías que ya estuviese resuelto y acabar con esto. Quizás construyas una bonita teoría solo para descubrir al cabo de unos días que era incorrecta. O aún peor, quizás hayas dado con la solución correcta del problema, pero no sabes cómo probarlo. ¿Recuerdas, Leticia, que en matemáticas todo ha de ser probado según las leyes de la lógica y con demostraciones? A lo peor es la prueba lo que se escapa entre los resquicios de la inteligencia. Sí, porque las matemáticas, si se practican con honestidad, te dan la medida de ti mismo. Y eso es una profunda y constante lección de humildad. En cuanto estás una temporada resolviendo problemas sabes inmediatamente cuáles son tus límites. Lo extraordinario de las matemáticas es que te muestran cómo romperlos. Poco a poco vas progresando. Descompones el problema en otro más pequeños, y con tesón y creatividad los vas resolviendo. Empero, notas que falta una idea que unifique todo lo que has descubierto hasta ahora. Un día, probablemente de una manera casual, te llegará la idea. Pero escucha, Leticia, solo te llegará si tu espíritu está abierto. Probablemente, la idea pasó antes delante de ti, pero no la viste, es decir, no la comprendiste, no estabas preparado. La travesía del desierto te prepara para esa comprensión. En efecto, habrás pasado la fase de obsesión por el problema y estarás en la de comprensión lúcida. Y viste la idea feliz. En los primeros momentos te mostrarás incluso incrédula, tanto has fracasado en el pasado. Luego, sonreirás, y también te maldecirás por lo ciega que estuviste. Finalmente, llorarás de alegría. Los matemáticos apreciamos la belleza en las matemáticas según varios criterios. Antes que nada, en los resultados. Resultados bellos en matemáticas hay muchos. Recuerda la fórmula de Euler eπi + 1 = 0, o también el teorema de Pitágoras, o el teorema de Abel-Ruffini, o el teorema fundamental del cálculo, o el algoritmo de Euclides, o el teorema de Fermat... Leticia, podría seguir así a riesgo de emborracharme. En las pruebas se encuentra otra fuente de belleza. Nos gustan las pruebas que usen el menor número de hipótesis; es una especie de austeridad intelectual. Asimismo, nos gustan que sean cortas y concisas, que estén libres de notación farragosa (que es una forma de pedantería); es una preferencia de estilo, digamos. En el vídeo que hay abajo un matemático contemporáneo muy famoso, Michael Atiyah, habla de la belleza de las matemáticas como de la densidad de significado, lo cual es una hermosa forma de resumir lo que acabo de decir. Figura 1: Vídeo de Atiyah hablando sobre la belleza de las matemáticas. Quizás las pruebas que más nos gustan son las inesperadas. Recuerdo una prueba de un resultado geométrico que un colega probó con una ingeniosa demostración probabilística. Al leerla, los ojos se me quedaron en blanco, empecé a tartamudear y finalmente rompí a reír a carcajada limpia. Las pruebas inesperadas lo son por la conexión que establecen entre áreas aparentemente alejadas o por la profunda comprensión del problema. También se aprecian mucho las pruebas que demuestran el resultado en situaciones muy generales (¡ah!, el famoso afán de generalidad de los matemáticos). Y hasta aquí, querida Leticia, la belleza en las matemáticas. Vamos a ver qué pasa en esa actividad misteriosa y vivífica que es la música. La música puede cumplir muchas funciones, entre ellas, entretenimiento, validación social, refuerzo de la sensación de pertenencia al grupo, comunicación, venta de productos, etc. Sin embargo, yo te voy a hablar primero de la música como instrumento de comprensión. Sí, Leticia, otra vez la comprensión asociada a la belleza. Ahora es una comprensión algo distinta a la dada por las matemáticas. Creo que me explicaré mejor si te pongo ejemplos. Te voy a hablar de una obra que a mí me hizo comprender algo tan importante como la necesidad de consuelo del ser humano. Yo era un joven atolondrado e ignorante del mundo, que rondaba los veintipocos años. Un viernes por la noche quedé con unos amigos. Muy probablemente, acabaríamos emborrachándonos en algún garito de la zona de copas donde habíamos acordado encontrarnos; nada fuera de lo normal en la sociedad alienante en que vivimos. Un amigo me pidió que lo acompañase a su piso a coger algo que se le había olvidado. Al entrar, su compañero de piso estaba escuchando El cuarteto para el final de los tiempos, de Olivier Messian. Me quedé petrificado. Era música de una expresividad desbordante, de una verdad musical absoluta. Pero esa música no hablaba de lo placentero, no era música que solo halagase los sentidos. En absoluto. Hablaba del horror de la condición humana, sin ninguna justificación ni ambigüedad, con absoluta desnudez; y al mismo tiempo esa música hablaba aún más elocuentemente de esperanza. Estaba llena de esperanza y consuelo para el ser humano. Despedí a mi compañero de juerga de modo un poco cortante y rogué a su compañero de piso que pusiese el cuarteto desde el principio. Lo escuché con fruición, con vehemencia, absorbiendo cada detalle del argumento musical y emocional. ¿De dónde había salido esa música? Busqué información sobre la obra y me enteré de que había sido compuesta en unas circunstancias terribles, en un campo de concentración durante la Segunda Guerra Mundial. Ese cuarteto me había cambiado la vida al hacerme comprender que existe el horror de lo humano -más de lo que yo habría podido suponer-, que necesitamos consuelo ante ese horror, y que hay esperanza para nuestra condición. Musicalmente, aprendí muchas otras cosas: la teoría rítmica de Messian, su lenguaje armónico, su sistema de modos de transposición limitada, sus procedimientos formales, el tratamiento de la dinámica (llegué a estudiarme al piano algunos movimientos del cuarteto). Sin embargo, lo más importante radicaba en la parte emocional y estética. La música de Messian me había explicado emociones que antes solo comprendía de modo artificial, como resultado de un frío análisis intelectual o como mucho de una lectura histórica. Con este cuarteto había vivido el horror, había vivido la posibilidad del consuelo y había vivido en mi propia piel la esperanza. Fíjate en el último movimiento del cuarteto; lo puedes escuchar en el siguiente vídeo. Figura 2: Último movimiento del Cuarteto para el final de los tiempos, de Messian. Es un movimiento lento, de un gran estatismo, escrito solo para piano y violín. El piano toca la misma figuración rítmica, dos notas, una muy corta y otra larga, y durante gran parte del movimiento se queda en el registro medio. El violín sigue una línea melódica que en esencia está compuesta por una subida hasta un si agudo, seguida de una bajada, todo ello repetidos dos veces, para en último lugar emprender la poderosa subida a un mi sobreagudo tocado con armónicos artificiales. Tomo prestado de la excelente página web [LU] del Conservatorio de Lawrence University un gráfico (figura 3) que muestra la evolución de la línea melódica. Figura 3: Último movimiento del Cuarteto para el final de los tiempos, de Messian. La subida final del violín es acompañada por el piano en el registro sobreagudo, con acordes de séptima en tercera inversión. Tanto el violín como el piano tocan notas muy agudas, con apenas armónicos. Oímos, pues, tonos de gran pureza, limpios, que nos transmiten esa sensación de esperanza, de recogimiento, de ascetismo. Eso es todo lo que vemos en este movimiento. Sobriedad extrema de medios para conseguir máxima expresividad. Sin vivirlo en persona, me pregunto de qué otra forma podría haber comprendido con esa profundidad el horror de la condición humana y la posibilidad de esperanza. Otro aspecto muy importante para mí es el análisis de la obra, análisis que presta atención a aspectos como la perfección formal, la originalidad, la técnica compositiva, el contexto musical e histórico y otros factores. De nuevo, otro ejemplo, Leticia. Seguro que conoces la Rapsodia sobre un tema de Paganini, de Rachmaninov, una obra para piano y orquesta. Hace un tiempo escribí un análisis sobre esa obra. Formalmente, es un tema con variaciones. Para que me comprendas mejor, te transcribo el análisis del tema y las dos primeras variaciones. (...) Como dijimos antes, la Rapsodia consiste en un tema y 24 variaciones. Muy juguetonamente, Rachmaninov no expone el tema en primer lugar, sino que presenta la primera variación antes que el tema. Esta variación la llama precedente. He aquí una descripción de las variaciones. Introducción: Allegro vivace. La introducción tiene como misión crear una gran expectación en el oyente, expectación que se resolverá más adelante cuando aparezca el tema principal. La introducción presenta el tema de Paganini, la-do-si-la-mi, escrito en semicorcheas; lo llamaremos motivo X. Dicho motivo no es más que el acorde de la menor (la-do-mi) en una forma arpegiada. Figura 4: Motivo de la introducción. Aparecen también acordes de séptima sin resolver así como quintas paralelas; todo esto contribuye a la tensión musical. ¿Qué es esto de los acordes sin resolver? Los acordes de séptima tienen intervalos que se consideran disonantes, al menos en el periodo de la práctica común, y es norma que esas disonancias se resuelvan. Rachmaninov hace lo siguiente en su introducción (pínchese en la figura para oír una versión midi): Figura 5: Introducción de la Rapsodia. Es claro que la introducción acumula mucha tensión a causa de esos acordes. Compárese con la siguiente versión en que no aparecen esas séptimas (pínchese en la figura para oír una versión midi). Figura 6: Versión de la introducción sin séptimas. Es, sin duda, una versión mucho más débil, que no crea tanta expectación; no es desde luego la llamada a las armas que produce la versión de Rachamaninov. En cuanto a las quintas paralelas, son voces que están a una distancia de quinta (5 notas) una de otra. Tienen una sonoridad muy peculiar, que era considerada como desagradable desde el Barroco al Romanticismo. Aquí Rachmaninov la usa sin preocupaciones. La introducción termina en el compás 9 con el acorde de séptima de dominante de la, de nuevo con disonancias sin resolver, que nos deja expectantes. Variación I (Precedente): Allegro vivace. Rachmaninov continúa con su duende juguetón y una vez más rompe las expectativas que nos había creado. Tras la tensión, esperábamos la exposición del tema, pero no es así. La variación I no es más que una presentación del esqueleto armónico del tema de Paganini, con entradas más o menos inesperadas de los instrumentos y con muy poco material melódico. Armónicamente, es una alternancia entre la tónica y la dominante, hasta el compás 8, seguida de una caída de quintas que se repite dos veces. Aquí están los acordes de esta variación (pínchese en la figura para oír una versión midi). Figura 7: Acordes del tema de Paganini. De nuevo hay que descubrirse ante el sentido de la tensión musical de Rachmaninov. En la variación 1 no aparecen los acordes anteriores tocados con todas las notas. He mostrado la armonía completa en la figura 7 más bien para referencias futuras, pero Rachmaninov hace tocar a la orquesta solo las notas fundamentales de cada acorde, esto es, la primera, la más grave, de cada acorde. Así, los acordes quedan indefinidos al faltar el resto de las notas. Aparece la nota la, por ejemplo, pero ¿es la del acorde de la mayor, de la menor, de la séptima u otro? Esta variación fue añadida en el último momento a tenor de lo que se deduce del cuaderno de bocetos de Rachmaninov. El compositor la añadió, se cree, para crear una atmósfera más sugerente antes de la introducción del tema. Tema: L’istesso tempo (sin variar el tempo), en la menor. La orquesta toca el tema original de Paganini y el piano la acompaña con un patrón similar al de la variación anterior. El tema consiste en un antecedente de 8 compases, seguido de un consecuente de 16 compases. ¿Qué significan estas dos palabrejas? En música, una frase es una unidad que posee sentido musical completo. En nuestro caso, el tema de Paganini está formado por dos frases, la primera que actúa de antecedente, o de pregunta si queréis, y la segunda, el consecuente, que tiene carácter concluyente; también se le conoce como la respuesta. En la figura 8 tenéis la división en antecedente y consecuente del tema de Paganini. Figura 8: Antecedente y consecuente en el tema de Paganini. El antecedente está armonizado con una alternancia de tónica-dominante (grado I y grado V de la escala). El consecuente sigue la armonización de arriba, compases 9 a 24 de la figura 4, aunque cambia algunos acordes en la cadencia final. ¿Más palabrejas? Tranquilidad, son solo términos técnicos, palabras como otras cualquiera. Una cadencia en una serie de acordes que marcan el final de una frase; sirven para reforzar el sentido conclusivo de la frase. Muy sutilmente el piano enuncia un motivo que, sometido a diversas transformaciones melódicas y rítmicas, aparecerá con mucha frecuencia. Es uno de los motivos melódicos principales de la Rapsodia. Lo llamaremos Y; está formado por una cuarta descendente. Figura 9: Antecedente y consecuente en el tema de Paganini. (...) Leticia, conocer todo estos detalles aumenta el nivel de consciencia de la obra y, en consecuencia, se percibe la belleza derivada de la perfección formal de la obra. Aclaro que la complejidad compositiva no equivale a perfección formal. Eso es rematadamente falso. Recordemos el motivo de la quinta sinfonía de Beethoven: sol-mi♭-mi♭-mi♭; más simple, imposible. Llegados a este punto nos preguntamos, Leticia, que si ambas son bellas, ¿qué diferencia a la música y a las matemáticas? Para mí, tienen mucho en común, pero una gran diferencia es el tratamiento del tiempo. La potencia emocional de la música está fuertemente asociada a una periodo fijo de tiempo. En el corto tiempo que dura la escucha musical, todo se transforma. Nuestros sentidos se ponen a prueba, se crean conexiones emocionales antes desconocidas, la sensibilidad se aventura por tierras ignotas y de resultas la comprensión vital se ensancha. Hay una gran densidad de significado comprimido en un corto espacio de tiempo. En cuanto a la densidad, matemáticas y música son muy parejas. Los objetos matemáticos son también densos en significados, pero no tienen las ataduras temporales de la música. Un problema de matemáticas nos puede acompañar a todas partes durante las veinticuatro horas del día: La música tiene su clímax durante la escucha; fuera de ella, su intensidad mengua, pues falta la estimulación sensorial. Leticia, ha sido un placer charlar contigo sobre la belleza, sea matemática o musical. Gracias. PARA SABER MÁS Para informarse sobre aspectos cognitivos de la música de una manera divulgativa recomiendo el libro Musicofilia, de Oliver Sack [Sac09]. Para aquellos que quieran profundizar de verdad está el libro Psychological Foundations of Musical Behaviors [RB03]. Para ahondar en los aspectos sociales y antropológicos de la música, recomiendo el libro clásico de Merriam [Me64]. En la sección Mis conciertos de mi página web se encuentran análisis de obras clásicas. La demostración de un resultado siempre viene después de su concepción siquiera sea intuitiva. A veces hay demostraciones visuales que muestran, a veces de modo inesperado, resultados que normalmente se prueban con árida manipulación algebraica. En la página Proofs without words [Wik-a] hay unas cuantas. Este tipo de pruebas se encuentran también en el campo de la matemagia. El famoso libro de Imre Lakatos Proofs and refutations [Lak76] es una buena referencia para entender qué es el arte de las prueba matemática. Para estudiar la estética de la música el libro de Scruton [Scr-97] es muy riguroso y completo. Una divertidísima historia de la crítica musical es el Lexicon of musical invective, de Slonimsky [Slo-00]. En ese libro relata las críticas feroces y se aprecia lo subjetivo que es el concepto de belleza, tan sujeto a modas, a tirrias personales, a prejuicios. Bibliografía [Gom11] Página web de Paco Gómez. Rapsodia sobre un tema de Paganini,, de Rachmaninov. Sección Mis conciertos. Mayo de 2010. [Lak76] Lakatos, I. Proofs and refutations. Cambridge University Press. 1976. [LU] Lawrence University, Conservatory of Music. Quatour por la find de temps, de Olivier Messian. Consultado en enero de 2012. [Me64] Merriam, A.P. The anthropology of music. Northwestern University Press. 1964. [Sac09] Sack, O. Musicofilia. Anagrama. 2009. [RB03] R. E. Radocy and D. J. Boyle. Psychological Foundations of Musical Behaviors. Charles C. Thomas. 2003. [Scr-97] Scruton, R. The Aesthetics of Music. Oxford University Press. 1997. [Slo-00] Slonimsky, N. Lexicon of musical invective. Norton and Company. 2000. [Wik-a] Wikipedia. Proof without words. Consultado en enero de 2012.

Viernes, 17 de Febrero de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

665. 57. (Febrero 2012) Max Black, de Heiner Goebbels

Max Black fue un filósofo y matemático (Azerbaiyán, 1909 – EE.UU., 1988), importante figura de la filosofía analítica. Contribuyó al desarrollo de la filosofía del lenguaje, las matemáticas, la ciencia y el arte. Fue pionero en el estudio de la lógica difusa. En 1998, Heiner Goebbels estrenó la obra Max Black en Lausana (Suiza), basada en textos de Paul Valéry, Georg Christoph Lichtenberg, Ludwig Wittgenstein y el propio Max Black. Max Black © Mario Del Curto La obra está dedicada a la ciencia y al conocimiento a través de la experimentación, recreando las peripecias de un investigador en su laboratorio. En este video pueden verse algunas escenas de la obra: MAX BLACK. Heiner Goebels (DE). Sommerscene 2001. K.I.T, Kanonhallen, Copenhagen 02.08.2001. Video: TVF. © TVF 2001 TVF Art Archive: www.artvideo.tv see: Performance Theater Vol. 33 La iluminación –realizada en colaboración con el artista pirotécnico Pierre-Alain Hubert, no trabaja con la luz, sino con el reflejo del fuego, provocando llamas y reacciones en cadena en el escenario. El propio actor, por medio de un sampler, genera la música –los sonidos y los ruidos grabados previamente– en escena. Más información: Estreno en el Teatre Nacional de Catalunya, 2009. Información variada sobre el estreno de la obra en el Théâtre Vidy-Lausanne (Suiza).

Jueves, 16 de Febrero de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

666. 41. Esfera, guasa y geometría (Un poco de todo: Arte, papiroflexia, humor y geometría)

Por fin he dado cima a la ilusión de mi vida: fabricar una esfera de papel. No me gustaban esas hechas de cuñas esféricas como las que inspiran los meridianos de los globos terráqueos. Mi esfera tiene infinitos puntos, pero ese infinito es de orden inferior porque sus puntos resultan agrupados en conjuntos planarios (circunferencias). Es de cartulina reforzada, por exigencias del guión. En fin, dejemos aparte las cuestiones personales y vayamos al grano. Como todo el mundo sabe, las cosas existen desde el Big Bang: las cosas y los animales; la esfera y el hombre, por poner un ejemplo. Naturalmente, ni la esfera ni el hombre estaban allí como se nos presentan hoy. De ello se dio cuenta enseguida Darwin que se apresuró a decir que tanto la esfera como el hombre habían llegado a su estado actual a fuerza de evolución. Tomemos el caso del hombre. Nadie sabe cómo era éste en el instante primigenio, pero parece cierto, según los hallazgos paleontológicos, que su primitivo asentamiento estuvo en el centro de África y no en el Paraíso Terrenal de la Mesopotamia como se nos ha contado para nuestro entretenimiento, a niños y mayores que se hacen como niños. La manzana, como recordamos todos los que estudiamos Historia Sagrada, es la protagonista del Paraíso Terrenal. He visto en Divulgamat una manzana preciosa, debidamente coloreada, que era mezcla de toro y esfera. Las manzanas han sido siempre muy dadas al protagonismo. No hay más que recordar la manzana de la discordia  desencadenando la guerra de Troya (Paris y Helena), aquélla cuya caída inspiró a Newton la Ley de la Gravitación Universal o las famosas de Annie Manzanas (Bette Davis en Un gánster para un milagro) que sirvieron para que Dandy, el gánster neoyorquino (Glenn Ford), redimiera a la mendiga de su estado de ciudadana del hampa. Redención y manzana, también en el Paraíso Terrenal. Luego llegó Milton que adornó el paraíso con luchas de ángeles y otros efectos especiales y así, evolucionando sin parar, la especie humana ha alcanzado ese grado de perfección que culmina en el recibo de la luz, difícilmente superable. Con la esfera ha ocurrido algo parecido. No sé cómo Plutarco no incluyó en su colección de vidas paralelas la del hombre y la esfera. A lo mejor lo hizo, pero como los antiguos eran tan descuidados y lo perdían todo, quien sabe qué ha podido suceder. Sin entrar en muchos detalles, ya hemos dado un vistazo a la evolución del hombre, pero no se pierdan la de la esfera. La esfera del Big Bang no era como la que conocemos: tenía forma de tetraedro. Pronto se dio cuenta de ello Platón que, con su concepto de la idea y un poco de cut and try, engendró otros cuatro poliedros regulares mediante evolución. Platón fue el pionero de la esfera a la que se aproximó tanto como permite un icosaedro. Sabía muy bien lo que había escrito Jorge Manrique: … que la esfera no es esfera si no rueda Como todos los seres tienen nombre, la esfera y el hombre, también. Quiero decir nombre científico además de nombre vulgar. Los nombres son variados según las circunstancias y las épocas. Así, antes, había homo erectus, pero de esos ya no quedan porque los hombres se inclinaron a inclinarse tanto ante el poder que, como decía un hampón de la película de Frank Capra antes referida, se les había hecho callo en el ombligo; eso era de tantas reverencias como tenían que hacer en el entrenamiento a que el Dandy los sometía para ensayar que eran personas respetables. Así pues, el hombre se ha quedado en homo sapiens, que no sé a quien se le ha ocurrido semejante nombre, vistas las cosas que hace. Y menos  mal, porque antes el hombre era poco inferior a los ángeles (Salmo 8). El Padre Feijoo explicaba esto en una de sus Paradojas Matemáticas afirmando que el hombre y el ángel eran asintóticos. Fig. 1 Volviendo a la esfera, la cosa no queda en Platón, porque después vino Arquímedes que se dedicó a truncar todo lo que había hecho su antecesor y, truncando, truncando, consiguió el icosaedro truncado que es el antecedente directo del balón de fútbol (Fig. 1): de cada una de sus pirámides pentagonales cortó un pentágono y, de paso, cada triángulo equilátero quedó rebanado como hexágono. Arquímedes murió sin saberlo, pero había descubierto la Liga de Campeones. Su esfera no tenía infinitos puntos, sino solamente los 60 de sus vértices, suficientes, sin embargo, incluso para meter goles de cabeza sin riesgo de herirse con las puntas del balón. Espero que dentro de nada en todos los estadios de fútbol se erija un monumento al del ¡Eureka! Como muy bien matizan los ingleses, el fútbol es un deporte en que unos bestias juegan a lo señorito, mientras que el rugby es un juego de señoritos que juegan a lo bestia. Así pues, el balón de Arquímedes hubo de ser mejorado por el homo sapiens mediante el inflado que era desconocido en la Magna Grecia. (Ver http://www.caprichos-ingenieros.com/papirabstracta3.html). El perspicaz lector ya se ha dado cuenta de que se me ha olvidado citar los nombres vulgares que se asignan a hombres y esferas; helos aquí en versión sumaria: menda, tío, para el homo sapiens; bola, pelota, para la esfera. Aunque sabido es que, algunos plumillas, tanto de la palabra escrita como de la que se lleva el viento, dicen esférico. Pero eso es sólo para darse importancia delante de sus colegas. Fig. 2 Se me olvidaba también lo del fullereno (Fig. 2). Como en Siracusa no existía ni Sociedad General de Autores ni Registro de la Propiedad, Arquímedes no pudo patentar su invento aunque, vaya usted a saber si Platón le hubiera dejado … El caso es que el homo sapiens que siempre se olvida de la antigüedad, patentó en 1985 el fullereno a nombre de Fuller, el arquitecto Buckminster Fuller que empleó la estructura del icosaedro truncado en la construcción de sus cúpulas geodésicas. El fullereno es una forma alotrópica estable del  carbono, que se añade a las ya conocidas del diamante y el grafito (C60 -un átomo de C en cada vértice; recordar que hay en juego 60 vértices-). Podría afirmarse, en rigor, que el fullereno es también una forma alotrópica del balón de futbol porque está hecho de exágonos y pentágonos rellenando una superficie esférica. Fig. 3 Hablemos ya de mis esferas, que tienen cosas muy particulares. En primer lugar debo aclarar que lo que a mí me interesaba era teselar una esfera con círculos y con sus consecuencias pero, infeliz de mí, la cosa no es tan fácil como pensaba. Pretendía que los círculos fueran todos idénticos al igual que sus interespacios, pero al avanzar el montaje ví que para estos se imponía una mezcla de triángulos, cuadriláteros y hasta pentágonos esféricos, y aún así quedaba algún que otro hueco anómalo. Lo que conseguí al final fue lo que llamo un teselado aleatorio (Fig. 3). Curiosamente, hacía poco que había necesitado hurgar en los teselados planos (para los teselados curvo-espaciales está Gaudí) y recordaba uno en que se combinaban arcos de círculo de radios en proporción áurea que ofrecía un vistoso resultado. Sin dudarlo, acudí a la ayuda de don Fibonacci y, milagrosamente, comprobé que los pequeños círculos áureos encajaban divinamente en los huecos raros, y aparecían bien acomodados entre sus hermanos mayores. Vengo hablando de círculos sobre una esfera sin explicar la relación entre ambas cosas. La relación es, simplemente, un cono: la generatriz de éste es el radio de la esfera, su vértice, el centro, y la circunferencia de su base queda asentada en la superficie esférica a modo de tesela. Los numerosos conos tangentes entre sí confluyen en el centro de la esfera de forma muy natural y dándole una gran consistencia. Se trata, pues, de una esfera conoidea y, además, virtual. O sea, una gavilla de cuádricas degeneradas hermanadas para formar una cuádrica perfectamente virtuosa. No hay que decir que la esfera rueda muy bien, y es notable apreciar cómo su centro se ve des-plazándose a la altura constante de su radio, mientras la bola gira. Ésta es la primera vez que he visto el centro de una esfera. Para confirmar el fenómeno he consultado a todas las videntes que conozco, por si ellas, que ven más que nadie, habían visto alguna vez el centro de sus bolas de cristal. Ninguna tiene experiencia de haberlo visto jamás. Quién sabe si lo verán en el futuro, pues el futuro es su especialidad. Fue esta construcción la que me condujo a esferificar los cinco sólidos platónicos. Yo los había visto antes inscritos o circunscritos a esferas y, excepcionalmente, he encontrado un pentagonododecaedro alámbrico (que sólo tiene aristas) envolviendo una esfera-globo, es decir con sus aristas tangentes a la esfera. Yo he hecho algo parecido, pero distinto, con los cinco poliedros platónicos: he conseguido las circunferencias inscritas en sus caras para que de por sí constituyan la esfera virtual; y ello por medio de conos como expliqué más arriba. Mis esferas tienen un tamaño intermedio entre las inscritas y las circunscritas a los poliedros regulares (Fig. 4). Fig. 4 Voy a mostrar ahora, brevemente y a título de ejemplo, el andamiaje que me ha permitido edificar la esfera icosaédrica. Sea l el lado del triángulo de un icosaedro. En las págs. 193 / 194 de mi libro Matemáticas y Papiroflexia (Extraordinario 2000.pdf o http://www.caprichos-ingenieros.com/papiromat.html -ver enlace al final de la página-) se ha calculado que el radio R del icosaedro es R = 0,9510565 x l. R es algo mayor que la generatriz g del cono. Ya lo dije antes: g es el radio de mi esfera y R es el de la esfera circunscrita al poliedro. En la pág. 193 se calcula el ángulo entre dos caras adyacentes del poliedro, que me permite dibujar en Autocad la fig. 3 de la pág. 193. Añadiendo a esa figura la posición del centro del poliedro ya determinada, puedo medir directamente la distancia del centro del poliedro al punto medio de un lado que resulta ser la generatriz del cono g = 0,809017 x l. Esto mismo se puede calcular siguiendo el texto y las figuras de las páginas referidas pero, al ser engorroso, yo he optado por la medida directa en Autocad que se obtiene con rapidez, precisión y seguridad. Fig. 5 El radio r del círculo base del cono es el de una circunferencia inscrita en un triángulo icosaédrico (Fig. 5). Que vale 1/3 de la altura de éste. Será: r = (1/3) √(l2 – (l2 / 4)) = (√3 / 6) x l El ángulo completo α del cono valdrá: α = 2 arc sen (√3 / (6 x 0,809017)) = 41,81º En las páginas 234 / 235 del mismo libro se indica cómo construir un cono a partir de su desarrollo obtenido mediante el radio de su base y la generatriz. Recordando lo de la evolución, ya se ve que las esferas basadas en el tetraedro y el hexaedro (Figs. 6 y 7) son de rodadura prácticamente imposible; la del octaedro empieza a resultar precaria (Fig. 8 destacando sólo una mitad); la del dodecaedro (Fig. 9 mostrando un solo pentágono), medianamente aceptable, y la del icosaedro (ver Fig. 5), buena. Las otras dos esferas que he construido (de teselado aleatorio y teselado fractálico) al estar hechas de muchos más conos, resultan de excelente rodadura. Fig. 6 Fig. 7 Fig. 8 Fig. 9 Me faltaba reseñar otra particularidad platónica. Los interespacios entre circunferencias resultan de la siguiente manera en forma de polígonos regulares esféricos: triángulos en el caso del tetraedro, hexaedro y dodecaedro; cuadrados en el octaedro y pentágonos en el icosaedro. Fig. 10 Hasta aquí, lo platónico y el teselado aleatorio (Fig. 3). Pero yo no quería rendirme y seguí buscando otras formas de teselación. Así es como di con la que represento en la Fig. 10, que me recuerda la esfera de Riemann. En esa figura represento una esfera teselada con círculos que de-crecen en diámetro a medida que se alejan del ecuador; naturalmente, en los polos se encuentran los más pequeños. La esfera de Riemann es una trasposición del plano complejo, al del espacio. En el ecuador, y en cuadratura, aparecen las unidades positiva y negativa, tanto real como imaginaria. En el polo norte está el infinito, y en el sur el cero. Lo que yo he pretendido en mi esfera es un teselado fractálico, de esos cuyas teselas tienden a cero cuando se acercan al infinito, el infinito horizonte al que nunca se llega. En mi caso el cero y el infinito son una misma cosa. Quiero decir que en mi construcción, en el límite, ambos polos estarían poblados de una cantidad infinita de círculos de radio cero. Claro que, para ello, los círculos del ecuador también se habrían hecho más pequeños, aunque siempre mayores que cero. Cabría preguntar qué tienen que ver mis esferas conoideas con las del tipo fullereno. La Fig. 11 es un icosaedro en el que se muestran: un pentágono (rojo) rodeado de hexágonos (azules), como en el fullereno; una circunferencia (verde) inscrita en una de las caras triangulares del poliedro, y que son las bases de los conos de mi esfera; las circunferencias concéntricas con los pentágonos (amarillas),  todas tangentes entre sí y que, cuando el balón se infle, quedarán asentadas en su superficie esférica. Fig. 11 EL SUBPRODUCTO Fig. 12 Lo que viene ahora no es en realidad un subproducto, sino todo lo contrario: es un preproducto. Lo que yo quería hacer desde el principio era un montaje de conos como el de la Fig. 12, pero mientras trabajaba en él se me apareció la relación intercónica que me arrastró a la esfera y, ya en ésta, a la posibilidad de esferificar  los poliedros platónicos. Terminado todo ello ya me pude dedicar con tranquilidad a la construcción de lo que ahora llamo inmerecidamente el subpro-ducto. Al construirlo me beneficié de la experiencia que acumulé fabricando conos y que me resultó de gran utilidad. Fig. 13 Empecé por dibujar en Autocad la Fig. 13 en la que se exigían ciertas condiciones: el tamaño, proporciones y cantidad de conos, además de la condición fundamental de que cada vértice debía apoyarse en un punto de la generatriz del precedente de manera que el cono entrante quedara impedido de resbalar hacia fuera. Y, por supuesto, había que conseguir que el conjunto completo de los conos se cerrara en círculo, con precisión de simetría. Así conseguí la Fig. 12, pero luego no sabía qué hacer con ella por tratarse de un conjunto frágil. Lo primero que hice fue reforzar las uniones entreconos para diseñar a continuación un asentamiento adecuado. El de la Fig. 14, que me proporcionaba estas ventajas: era un conjunto sencillo y vistoso que se logra con relativa facilidad plegando sucesivamente en monte y valle curvados; entre las dos figuras del conjunto había el necesario contraste de color y, sobre todo, se daba la facilidad de producir el ajuste fino en el desarrollo del cono negro al girar éste el ángulo preciso que requiere el encunado de una figura en la otra. Fig.14 Fig. 15 El conjunto final resultó ser el de la Fig. 15 que, para esos que siempre preguntan, ¿y eso qué es? hay varias respuestas: una tarta cónica, una noria, una turbina Pelton, o una anguila de mazapán de Toledo. Usted elija; que el cliente siempre tiene razón. Pero mi amigo José Ignacio Royo Prieto, que es mucho más serio que yo, me dice que él está investigando en el Departamento de Matemática aplicada en la Universidad del País Vasco, sobre la foliación de Reeb, que es algo muy semejante a esta pintoresca cosa mía. Vean cómo la Fig. 16 le da la razón. Yo le deseo a José Ignacio todo el éxito que se merece: Los fabricantes de turbinas Pelton se lo agradecerán. Fig. 16 Esfera, guasa y geometría (Un poco de todo: Arte, papiroflexia, humor y geometría)

Miércoles, 01 de Febrero de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

667. 67. Integral Fields Forever (PdM III)

¿Tiene el alumno español alguna fijación con las integrales? ¿Y los realizadores en el cine? Echamos un vistazo este mes a un par de títulos en los que el denominador común son las clases y las integrales. Mirada nostálgica a otros tiempos, no muy lejanos, que quizá nos hagan reflexionar sobre el presente. Quizá sea pertinente explicar en primer lugar a que se debe el título elegido para encabezar esta reseña. Cuando el que esto escribe se encontraba estudiando 3º de BUP, el libro de texto de la editorial SM proponía una página de ejercicios de cálculo de primitivas en la que habría unas ochenta divididas en varias columnas, pero ocupando una sola página. Su simple aparición era impactante, como para pensárselo. En la mesa contigua a la mía se sentaba un compañero que, como yo, nos encantaban las canciones de The Beatles. Y de ahí surgió el título de “Campos de Integrales para siempre”, cuya letra por cierto no desentonaba de la percepción que teníamos de aquel objeto matemático. Ahora “no se lleva” resolver primitivas a diestro y siniestro (las hacen los ordenadores, nos dicen; y es verdad, pero también es cierto que aquellos ejercicios nos proporcionaban una soltura y agilidad operativa, que probablemente se haya perdido para siempre), sino que basta con hacer media docena, una de cada tipo, como mucho. A mi me gustaba calcular primitivas, como simple entretenimiento (como quien hace un crucigrama), y luego en la Facultad, las series infinitas y el cálculo de límites (ya ven, rarillo que es uno) Por otra parte en abril de 2009 empezamos una mini serie de películas en las que de una u otra manera aparecían como protagonistas las aulas. Un sub-género que en el libro Las Matemáticas en el Cine califiqué como sub-género escolar. Desde luego se quedó en mini-mini porque sólo pusimos dos (en el citado libro, hay muchas más). Gran parte de las películas que pueden inscribirse bajo esa denominación incluyen cuestiones de matemáticas, no en vano nuestra asignatura es una de las más “populares” entre los alumnos de todas las edades, países y condiciones. La abreviatura PdM quiere decir por tanto, “Profesores de Matemáticas”. Traemos a colación dos películas de ese tipo, y ambas españolas. MI GENERAL Nacionalidad: España, 1987. Director:Jaime de Armiñán. Guión: Jaime de Armiñán, Fernando Fernán-Gómez, Manuel Pilares. Fotografía: Teo Escamilla, en Color. Montaje:. Música: Jordi Doncos. Producción:. Duración: 110 min. Intérpretes: Fernando Rey (Director Almirante), Fernando Fernán-Gómez (General Mario del Pozo), Héctor Alterio (General Víctor Mendizábal), Mónica Randall (Beatriz Palomares), Rafael Alonso (General Izquierdo), José Luis López Vázquez (General Federico Torres), Joaquín Kremel (Capitán Antonio Sarabia), Álvaro de Luna (Comandante Barbadillo), Alfred Lucchetti (General Álvaro Piñeiro), Joan Borrás (Teniente Coronel Pazos), Juanjo Puigcorbé (Capitán Eusebio Pujol), Manuel Torremocha (General Serrano), Amparo Baró (Señora Crespo). Breve Sinopsis: El ejército español quiere modernizarse. Por eso, a cinco jóvenes capitanes, sobradamente preparados como se dice ahora, se les encomienda la misión de dar cursillos al personal más veterano, generales para más señas, de la más moderna y avanzada técnica espacial. Para que nada los interrumpa ni distraiga se trasladan a una residencia militar en una ciudad de provincias. Todo parece normal al principio, hasta que a los señores generales les sale de donde ya se sabe que les sale a los militares (al menos de esa época, años 80 y bien entrados los 90; soporté un año de “mili” durante el curso 90/91) tomárselo a cachondeo. Y afloran abusos de autoridad (muy ligeritos; se trata de una comedia), asuntos del pasado, rivalidad, romance con una paisana del pueblo, y también, camaradería ante el compañero enfermo. Evidentemente, estando el gran Fernando Fernán Gómez involucrado en el guión, hay escenas con “mucha mala leche”. No obstante, el resultado es más bien discreto. Se deja ver, en varios momentos se puede dibujar alguna sonrisa (sobre todo para los que han vivido la “mili”, como dije antes), y poco más. Eso sí, el elenco actoral es magnífico, no en vano hay gran parte de lo mejor del cine español, y salvan más de una situación que hoy parece muy trasnochada. Y como no, en algunas de las clases, aparecen las matemáticas. El profesor de matemáticas está encarnado por Juanjo Puigcorbé (en la foto; en efecto, para los más despiertos, el logotipo de La 2 es bastante antiguo, pero es que mi colección de VHS también lo es). Al principio está un poco acobardado ante los veinte generales que tiene enfrente. Comienza exponiendo el honor y la responsabilidad que le supone estar allí (“mis méritos no son grandes, pero mi voluntad si lo es”). A continuación se dispone a pasar lista. Al momento, el general Del Pozo (F. F. Gómez) lo interrumpe: “Perdone usted, capitán, creo que debería evitar formalidades. Si pasando lista perdemos 3 minutos aproximadamente, hemos reducido el tiempo de clase en 9 horas y 24 minutos, poco más o menos, y por desgracia no podemos permitirnos ese lujo” Cuestión: ¿Está bien echada la cuenta? ¿Cuántas horas va a impartir el capitán Pujol? Nervioso y dubitativo, responde, “Tiene usted razón, mi general. Muchas gracias. Será como usted mande”. Decide en ese momento entrar en materia: “La era atómica ha quedado atrás. En una guerra futura, tan insólita sería una explosión nuclear como lo hubiera sido en 1945 el paso de los Alpes por los elefantes de Aníbal (Sonrisas y murmullos. Al profe no le agradan y suelta un Shhh, en este caso exagerado).Todos ustedes saben de cierto las posibilidades de que un cuerpo pese poco. O nada. Y aún más, menos que nada (caras de circunstancias) Partamos de la conocida fórmula de Einstein E = m c2” (la escribe en la pizarra, y todos de forma automática comienzan a escribir, sin entender nada, por supuesto). Cuando acaba la clase se produce un descanso. Se forman los típicos corrillos. El general Torres (J. L. López Vázquez), que sabemos que está bajo medicación, aunque de momento no conocemos la gravedad, muestra ante sus compañeros su disgusto (no será la única vez, aunque a partir de un momento dado, sus manifestaciones comienzan a preocupar a sus amigos): G. Torres: Si me sacan de las matemáticas de Miranda Podadera, no cojo una. G. Mendizábal: Gramática. Las matemáticas eran de Puig Adam. G. Torres: Más a mi favor. Yo me quedé en la analítica..... G. Mendizábal: La Analítica ya no existe, Fede.. En efecto, los numerosos tratados de Luís Miranda Podadera, lingüista, eran de Gramática, análisis gramatical, ortografía, etc. De Puig Adam, supongo que no hace falta decir quien fue… El caso es que frente a la puerta de entrada al aula, el general Torres se lo piensa mejor, y decide no seguir. A sus años, se niega a seguir estudiando. Él no tiene cabeza para eso, dice. Sus compañeros intentan que recapacite, y en estas, sale el capitán Pujol, con el que se despacha a conciencia. Enumera todo lo que ha tenido que estudiar en su carrera militar (bomba nuclear, de hidrógeno, misiles, etc.), acabando con “…Y la estrategia bacteriológica, ¡la madre de Dios! No se puede ser general del Estado Mayor sin saber cuántas moscas hay que mandar al enemigo para que contagien a no sé qué promedio de ciudadanos. Y a mi todo esto no me cabe aquí (se señala la cabeza). ¡No me cabe!” El siguiente profesor, el capitán Sarabia (Joaquín Kremel) les imparte un cursillo sobre “Neoelectrónica militar”. Éste será menos considerado con sus excelencias. Según pasan los días, los alumnos generales se van tomando más libertades, al punto de pasar de sus profesores, no atender, interrumpir las explicaciones, hacer chistes y bromas un tanto infantiles, cuestionar a los profesores, copiar en los exámenes, etc. La ultima escena en que aparece “rubéola” (el mote del capitán Pujol) dando clase es insoportable para él. Comienza así “El llamado sendero intergaláctico o de Tomacak se resume de la siguiente forma: integral circular de A diferencial de l igual a integral de superficie rotacional A diferencial de S, cuyo índice es 10 elevado a…” No le dejan seguir, con ruidos de moscardón, tirándole avioncitos, etc. La expresión que ha leído del encerado es ¡Una integral de línea (no circular como dice) y una integral de superficie en una película española! En realidad la cuestión es más de Física que de matemáticas. El reactor Tokamak (el actor lo pronuncia mal) es un dispositivo de almacenamiento magnético de forma toroidal, y uno de los más candidatos más investigados para producir energía de fusión termonuclear. Los campos magnéticos se utilizan como recursos de almacenamiento ya que ningún material sólido podría soportar la extremadamente elevada temperatura del plasma. En la imagen una representación de los campos de fuerza dentro de una superficie toroidal. La palabra Tokamak es un acrónimo ruso (TOroidal'naya KAMera s AKsial'nym magnitnym polem - cámara toroidal en un campo magnético axial) La película es, por otra parte, un buen punto de partida para analizar diferentes estereotipos que pueden darse en una comunidad educativa, exagerados bastante y por tanto fácilmente identificables. Aparece el pelota/chivato, el travieso, el que hace “novillos”, el “empollón”, el listo, etc., y pueden plantearse temas tan variopintos como las bromas de buen o mal gusto, la desobediencia a la autoridad; el aprendizaje, los prejuicios hacia la educación permanente, la lucha generacional (profesores más jóvenes que los alumnos), los mecanismos de defensa, el sentido de grupo, la vuelta a situaciones de infancia, el poder, la rebeldía contra el que enseña, etc. La segunda propuesta con integrales es LOS CHICOS DEL PREU Nacionalidad: España, 1967. Director: Pedro Lazaga. Guión: Pedro Masó, Rafael J. Salvia,  Antonio Vich. Fotografía: Juan Mariné, en Color. Montaje: Alfonso Santacana. Música: Antón García Abril. Producción: Pedro Masó. Duración: 88 min. Intérpretes: Alberto Closas (Don José Alcaraz), José Luis López Vázquez (Padre de Lolo), Emilio Gutiérrez Caba (Andrés Martín Alonso), María José Goyanes (Alejandra Jiménez Salvador, 'Talento'), Cristina Galbó (Loli), Karina (Yolanda Baeza Márquez, 'Yoyo'), Oscar Monzón (Julio Ferrer), Camilo Blanes (Manuel García Salcedo, 'Lolo'), Pedro Díez del Corral (Josele), Gonzalo González (Miguel Campuzano), Rafaela Aparicio (Sirvienta en casa de Lolo), María Baizán (Mercedes Morales Serrano), Mary Carrillo (Madre de Andrés), Margot Cottens (Madre de Lolo), Gemma Cuervo (Sra. de Alcaraz), Alfonso Del Real (Empresario musical), Ángel Terrón (Profesor de matemáticas), José Orjas (Don Joaquín, profesor de Filosofía), Ramón Durán (Profesor de Química) Argumento: Típica comedia de la época, a mayor gloria de sus jóvenes protagonistas (cantantes varios de ellos) sobre las inquietudes, problemas, amores, amistades, desencuentros y experiencias de un grupo de jóvenes que emprenden un nuevo curso escolar, el preuniversitario, que les dará acceso a la Universidad. Todo muy correcto, blandito y casto. Alberto Closas ya fue profesor de matemáticas en Muerte de un ciclista (Juan Antonio Bardem, 1955). Allí un adjunto, aquí todo un catedrático, con un hijo examinable (no lo hará él, sino sus compañeros, y para que no hubiera dudas sobre la honorabilidad de los profesores españoles del Régimen, le suspenderán, por supuesto, con el consiguiente enfado por parte del chico y el inevitable sermón moralista posterior). Los estudiantes repetidores le llaman “el 4 y medio”, porque a la mínima equivocación te deja con esa nota. Según éstos, “un hueso duro de roer; más difícil de superar que el muro de Berlín”. Su hijo se sorprende de conozca el apodo. Con toda naturalidad el padre le explica, “Los catedráticos y los políticos siempre sabemos lo que se dice de nosotros”. Durante una cena tiene lugar la siguiente conversación entre padre e hijo: Hijo: Ese chico ha dicho que si tú nos examinas este curso, ya vamos listos. Padre: Ese chico tiene mucha imaginación. El que estudia aprueba, y el que no,… Hijo: ¿Y tú siempre estás seguro de quién es el que merece ese medio punto más o medio punto menos? Padre: Debo estarlo. Es mi obligación. Hijo: Pero a veces por medio punto se puede perder un año entero. Padre: ¿Te parecería bien que al que merezca cinco le diera cuatro, o tres? Hijo: Claro que no. Padre: Pues tampoco puedo darle más al que no llegue. ¿Lo comprendes? Hijo: Sí. Padre: Me parece que a ti te ha molestado más que a mí que me llamen cuatro y medio. En la primera clase que se muestra, de matemáticas por supuesto, la mayor parte de los alumnos está distraído (no así las alumnas). El profesor tiene la pinta típica (ver imagen). Profesor: Equis más uno, por equis menos uno, menos el cuadrado de equis, más equis, más dos igual a cero. A ver, Sr. Martín. ¿Cómo obtendría el valor de equis? Se pone en pié, duda. Profesor: ¿No dice usted nada? Empezó usted el curso muy bien y se está viniendo abajo. No comprendo porqué. Siéntese. Sr. Ferrer, ¿quiere usted intentarlo? Julio, el alumno cuatripitidor tose, carraspea. Profesor: Experiencia no le falta. ¿Qué le pasa? Ferrer: Constipado. Profesor: Usted también se ha vuelto mudo. Mientras, “Talento”, una alumna de buenas calificaciones, le escribe la solución en un papel, y se la da, Ferrer: No, no señor. (Entre toses) Cuadrado de equis menos uno, menos cuadrado de equis, más equis, más dos. Dos compañeros: Apunta, que a lo mejor es la quiniela del domingo. Profesor: ¡Basta! Y me alegro de que empiece usted a progresar. Sr. Alcaraz, ¿quiere para terminar decirnos el valor de equis? Alcaraz: Equis igual a uno. Profesor: ¿Está seguro? Alcaraz: Si señor. Profesor: El resultado es equis igual a menos uno. Todos podemos equivocarnos. El error es disculpable, pero no puede serlo el que no ponga interés en esta asignatura fundamental. Mañana hablaremos de la regla de Cramer y repasaremos lo de hoy.  Pueden salir. ¡Dios mío, la regla de Cramer! Ya por entonces (a mi en COU también me dijeron que así se resolvían los sistemas, y este mismo curso 2011–2012 me he encontrado una alumna a la que me ha costado un montón convencerla de que esa regla es sólo un resultado teórico muy bonito, pero nada práctico. ¿Qué hacemos con los sistemas con más incógnitas que ecuaciones, por ejemplo? ¿Esos no se resuelven? Claro, así encontramos a veces alumnos que resuelven determinantes de matrices no cuadradas. Por favor, responsables de la Selectividad, háganles ver a los profesores de Secundaria que la eliminación gaussiana es lo que tienen que enseñar. Queremos las matemáticas útiles, necesitamos las matemáticas útiles. Las eminentes y bellas sólo son para los matemáticos, y cada vez menos. Siguiendo con la película, cuando los alumnos salen, el profesor manda quedar a Josele, el hijo del catedrático de matemáticas Alcaraz. A la salida sus compañeros se interesan por lo que el profesor le ha dicho ya que le ven un poco abatido. En efecto, le han leído la cartilla porque “debe dar ejemplo”. Tan disgustado está que acto seguido se pelea a puñetazo limpio con el cuatripitidor por llamar a su padre cuatro y medio y por sugerir que siendo su hijo, le iban a regalar el aprobado. Otra escena con las matemáticas a vueltas es un diálogo entre Lolo (¿lo reconocen? Es un cantante que después sería muy famoso) y su padre. Ha suspendido todas en el primer trimestre y en matemáticas ha sacado un cero. Lolo: ¡Es que las matemáticas son muy difíciles! Padre: Será para ti. Dos por dos, cuatro; cuatro por dos, ocho; ocho por siete,..., siete por ocho, ¡Cincuenta y seis! ¿Lo has visto? Lolo: Muy bien. Ahora sácame la raíz cúbica de Pi. Padre: ¿Quién es Pi? Lolo: Pi es 3.1416, y sigue. Padre (chillando): ¡Me vas a tomar el pelo encima! En otro momento, la panda de chicos protagonista queda en casa de Josele para estudiar matemáticas. Uno de ellos, Miguel, que se está poniendo morado a bollos, afirma que es una buena idea quedarse a estudiar por la noche en casa de alguno. El diálogo sigue así: Josele: Sabemos que la cuadratura nos viene dada por una integral definida. Bueno, pero ¿cómo se obtiene la integral definida? Lolo: Cualquiera sabe. Julio: Oye, ¿el libro de texto no lo ha escrito tu padre? Josele: Sí Miguel: Pues tiene que tener la solución de los ejercicios en algún sitio. ¿Por qué no los buscas? Josele: ¡Bah, las tendrá bien guardadas! Y a lo mejor aparece en cualquier momento. En efecto, en ese instante el catedrático Alcaraz abre la puerta y los ve; su hijo con los libros abiertos, otro comiendo bollos sin parar y los otros fumando. Alcaraz: Buenas noches. Julio: ¡Ay, madre! (Se levantan todos para saludar, prácticamente cuadrándose como en la mili) Alcáraz: Siéntense, por favor. ¿Qué tal va eso? Miguel: Estudiando como locos. Su asignatura, precisamente. Julio: Es la que más empollamos. Alcaraz: Su cara no me es desconocida. Julio: Si, he tenido la desgracia,… no, no, perdón, he tenido el honor de examinarme tres veces con usted. Alcaraz: ¿Y las tres…? (Hace el gesto con el pulgar de los césares al condenar a los perdedores en el circo romano). Julio: Si, señor, si. Alcaraz: Bueno, pues a ver si la cuarta… Julio: ¡Con un poco de suerte! Alcaraz: Y de estudio. Julio: Y de estudio, si señor. Ahora mismo estábamos con la cuadratura… Miguel: Pero se atascó el carro. Alcaraz: Pues a empujarlo amiguitos. (A su hijo) No te acuestes, tarde. Buenas noches. Ah, y si tienen la desgracia de que me toque examinarles, confío en poder darles algo más que un cuatro y medio. Muy sonriente pero un poco borde el Sr. Catedrático, ¿no? Si unos estudiantes te dicen que no entienden algo que tu les puedes explicar, lo lógico es hacerlo, ¿no? Más que nada por buena educación. En fin, en su defensa digamos que la escena que veía al abrir la puerta, probablemente no invitara a pensar que estaban estudiando. No falta la fiesta del Centro (ahora se llama semana cultural, jornadas culturales o similares) en la que escenifican “La tragedia del examen”, ante alumnos y profesores. Josele hace de alumno, y Julio, de profesor examinador. El catedrático Alcaraz está de espectador, y parece muy divertido: Examinador: ¡Se acabó el tiempo! Léame el ejercicio el señor examinando y entréguelo. ¿Puso bien el enunciado del problema? Alumno: Si señor. Un hombre tiene 48 años más equis, y pesa 67 kilos menos equis. Con estos datos averiguar cuántos ajos, hijos, tiene, y saber si el domingo va a llover. Examinador: Correcto, correcto (mirando una ristra de papeles continuos). Solución exacta. ¡Ah! ¡Se ha olvidado de poner un rabito al siete! Alumno: Pero hombre, por un rabito más o menos. Examinador: Lo siento Sr. examinando, pero 4 y medio. Los compañeros de Alcaraz lo miran pensando que va a montar en cólera pero se lo toma con buen sentido del humor. Y una profesora, tocándole la rodilla, añade, “Eso demuestra que todavía es joven”. Él pone también su mano sobre la de ella, amistosamente (aparentemente). De cara al examen, unos estudian, otros hacen chuletas. Julio va a llevar un pañuelo en el que está descrita toda la asignatura. Hará de nuevo la pamema del acatarrado y tendrá el pañuelo constantemente en la mano, pero al final no le servirá de nada. En la pizarra observamos una cuestión sobre cálculo de primitivas. Se hace un travelling desde la posición que ocupan los alumnos hacia la mesa de los profesores, pasando por el encerado. Como no hay una visión completa de la pizarra, he tenido que poner dos fotografías para ver el ejercicio en su totalidad. Se trata de una integral racional típica, aunque se describe completamente el procedimiento (cosa que deberían saber los examinandos), indicando cómo hay que descomponer el cociente en fracciones simples. Si uno mete el lápiz comprobará que M = 2, N = 0 y P = 1, por lo que la primitiva es muy elemental (casi trivial): I = 2 Ln|x – 1| + Arctg x + C. Un ultimo detalle sobre el catedrático Alcaraz que sí nos pasa a muchos: la víspera del examen “parece que se examinara él”, dice su hijo, por lo agobiado e intranquilo que se encuentra. Dos canciones componen la banda sonora de la película, “Chicos del PREU” e “Igual que hoy”, con letra y música de Los Pekenikes, cantadas por Karina (que interpreta a Yoyo), con Los Pekenikes y Los Botines con su flamante cantante Camilo Blanes (Lolo), antes de convertirse en Camilo Sesto. Echando un vistazo a las letras; no deja lugar a dudas sobre el tipo y la época de la película. La película está completa en YouTube. Aquí puede verse la presentación y los primeros diez minutos. Cuestioncilla para muy mate-cinéfilos: Pedro Díez del Corral, el actor que interpreta a Josele, el hijo del catedrático, también anduvo pegado con las matemáticas en otra película ¿Cuál? La película se estrenó en 1967. El último curso que estuvo en vigor el antiguo PREUNIVERSITARIO, conocido popularmente como PREU, como indica el título de la película (la Secundaría consistía en 6 cursos + 1 PREU), fue el curso 1970–1971. El curso siguiente ya aparece el COU (Curso de Orientación Universitaria) que estaba precedido de tres cursos de BUP (Bachillerato Unificado Polivalente). El último curso del COU fue el 1997–1998, empezando el curso siguiente el Bachillerato LOGSE cuyo segundo curso es el equivalente a aquel PREU y aquel COU. Quizá lo menos lioso es tener en cuenta que todos ellos (PREU, COU, 2º Bachillerato LOGSE se cursaron cuando el alumno tenía 17 años, si no había repetido ningún curso ni dejado los estudios en algún momento. Ya lo dice el cartel anunciador: “A los 17 años todo es importante”. Todos estos datos son generales, puesto que en algunos centros hubo un COU-piloto antes del de 1971–1972, y respecto a la LOGSE, las diferentes Comunidades Autónomas, las diferentes provincias, e incluso los diferentes centros, la adoptaron en momentos distintos. Además, al principio de cada plan muchas veces se mezclaban el plan cesante y el entrante durante algunos cursos; por ejemplo, hubo alumnos que empezaron el plan de 6 cursos + Preuniversitario, cursaron los seis primeros y, sin embargo, les alcanzó el cambio e hicieron el COU en lugar del PREU, cuando otros alumnos posteriores que cursaron COU, antes del COU habían cursado los tres años del BUP. Parece que dentro de poco tendremos nuevo sistema, y quizá nuevas siglas que aprender. Otras rocambolescas situaciones que a veces conviene recordar es que en el curso 1967–1968, en los Centros de Secundaria (tradicionalmente conocidos como Institutos) había 6 niveles de bachillerato, desde 1º (11 años), a 6º (16 años), y un curso final, el Preu (17 años). Después durante mucho tiempo los centros tuvieron solamente cuatro niveles, tres de bachillerato, de 1º de BUP (14 años), a 3º de BUP (16 años), y el COU. Más tarde, los centros volvieron a tener alumnos desde los 12 años hasta los 17, situación actual. ¿Será esto a lo que se referirían los estoicos, y después Nietzsche con aquello del Eterno Retorno? Debe ser eso, que los que nos gobiernan intentan enseñarnos filosofía a su manera. Como siempre, podéis enviar vuestros comentarios, críticas o sugerencias a alfonso@mat.uva.es.

Jueves, 09 de Febrero de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

668. 90. (Enero 2012) SOLUCIÓN CONCURSO NAVIDEÑO 2011

EL JUEGO DE LAS TRES CIFRAS En la pasada entrega describía el juego de las tres cifras (que puedes recordar accediendo a este enlace) y proponía alguna solución que pudiera realizarse de forma razonable (sin necesidad de emular a los grandes calculistas como Jaime García Serrano, Alberto Coto o Arthur Benjamin). A pesar de la dificultad del problema, se han recibido algunas respuestas interesantes y en distintos formatos. Para quienes tengan el programa Mathematica, el compañero Julián Aguirre ha escrito el siguiente código para descubrir el número pensado (basta sustituir el símbolo "s" por la suma de las cinco permutaciones). x = Select[222 Range[5] - Mod[s, 222], 222 Total[IntegerDigits[#]] > s &, 1] // First La respuesta más precisa, pues las operaciones requeridas pueden realizarse mentalmente, es la que ofrece Enrique Farré (que puedes leer en este enlace). A falta de uno, nuestra fiel seguidora Marisa Berdasco nos aporta dos versiones muy interesantes, una para realizarse en Excel y otra en WIRIS. Es muy de agradecer el trabajo que se ha tomado pero la solución tampoco es la más apropiada para realizarse mentalmente. Puedes acceder a su solución en este enlace. Describiré a continuación el método que me indicó en su día Francesc Roselló. A grandes rasgos, se trata de hacer lo siguiente: Dado el número N = abc, conocemos el dato S = acb + bac + bca + cab + cba. Si llamamos T = abc + acb + bac + bca + cab + cba, es fácil deducir que T = 222 (a + b + c). Como bien observa Enrique, y es un dato clave, S ≡ 5(a + b + c) (mód 9), con lo que 2S ≡ a + b + c (mód 9). Así pues, calculamos el resto de la división de 2S por 9 (para lo cual basta sumar las cifras de S, multiplicar el resultado por 2 y volver a sumar las cifras). Si llamamos r a dicho valor, entonces los posibles valores de a + b + c son r, r + 9 ó r + 18. Por último, como T = 222(a + b + c), los únicos valores posibles para T son 222r, 222r + 1998 ó 222r + 3996. Como T - S = N, el único posible es aquel cuya diferencia con S sea menor que 1000. Veamos con un ejemplo las operaciones mentales necesarias. Un espectador piensa el número 208. Cuando hace la suma 280 + 028 + 082 + 802 + 820, nos avisa que el resultado es 2012 (¡qué coincidencia!). Es muy fácil sumar las cifras, multiplicar por 2 y volver a sumar las cifras. Obtenemos así el valor r = 1. Entonces 222r = 222 (en cualquier otro caso, es bastante sencillo multiplicar por 222 un número de una cifra). Vamos sumando 2000 y restando 2 hasta que sea mayor que 2012. En este caso, 222 + 2000 - 2 = 2220. El último paso consiste en realizar la resta 2220 - 2012, curiosamente lo más complicado de hacer mentalmente (pero esto puede hacerse en una hoja de papel simulando adivinar el número pensado por el espectador). El resultado final es 208. A todos los seguidores de esta sección, muchas gracias por vuestra colaboración, aunque no hayáis obtenido la respuesta o simplemente no la hayáis enviado. Para finalizar, propondré otro juego de la misma categoría que los tratados aquí, contenido en el fantástico libro "Mathematical Recreations and Essays" escrito por W.W. Rouse Ball en 1892 y corregido por H.S.M. Coxeter en 1974, aunque el origen del juego se remonta a 1624 pues aparece en el libro "Problèmes plaisans et delectables qui se font par les nombres" de C.G. Bachet. Piensa un número, digamos n. Multiplícalo por tres, obtienes el número m = 3n. ¿El resultado es par? Si lo es, divídelo por dos, p = m/2. Si m es impar, súmale uno y divide por dos el resultado, p = (m + 1)/2. Multiplica por tres el resultado obtenido, q = 3p. Divide el resultado por nueve y dime el cociente entero k, sin importar el resto. Para recuperar el valor de n, basta recordar si m era par o impar. Si m era par, n = 2k; si m era impar, n = 2k + 1. Sorprendente, ¿cierto? Pedro Alegría (Universidad del País Vasco) Esta dirección electrónica esta protegida contra spambots. Es necesario activar Javascript para visualizarla

Martes, 10 de Enero de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

669. 66. Logicomix, Bertrand Russell y el cine

Nos aproximamos a una novela gráfica realmente excepcional, acercándonos de paso a la visión que de su protagonista han hecho el cine y los medios de comunicación, el filósofo, lógico y matemático Bertrand Russell. Comenzamos el temible 2012, según se nos advierte por todas partes. Desde hace algunos años se ha venido consolidando en los medios de comunicación, en los ambientes culturales, en la sociedad en general, la costumbre de conmemorar, celebrar, recordar, homenajear, llámese como se quiera, acontecimientos históricos, nacimientos de personalidades relevantes (incluso algunas más bien irrelevantes), defunciones, la aparición de “obras cumbre” (literarias, artísticas, musicales, cinematográficas, etc.; pocas veces científicas, aunque se van abriendo hueco), efemérides diversas en suma, no por inmerecidas, sino muchas veces (y esto es lo triste) porque no se tiene nada mejor que contar, o hay que rebuscar en el pasado ante la falta de nuevas creaciones de interés en el presente. Este año que comienza, presa de recortes presupuestarios por todas partes, se prevé lleno de recordatorios de tiempos pasados. Nos aburrirán con el centenario del hundimiento del Titanic, el cincuentenario de la muerte de Marilyn, de los primeros discos de Beatles y Rolling Stones, etc., etc. Desde esta sección, para variar, comenzamos con la recomendación de un libro reciente (si, un libro, no me he confundido de sección) que me ha parecido realmente notable. Bueno, en realidad es un cómic, o si se prefiere una novela gráfica, que parece más culto, sobre unos trabajos que a punto estuvieron de hacer tambalear toda la estructura matemática conocida y admitida durante siglos. Como todo buen aficionado al cine sabe, la mayor parte de las películas de cierto presupuesto cuentan con un story-board, un prediseño gráfico de los momentos más complejos o del film completo, que orientan a todo el equipo de filmación de cara a la mejor planificación artística posible. Un tebeo, un cómic, no es por otro lado sino una película en la que el lector incorpora  mentalmente la acción y el movimiento. En nuestro país, en los años cuarenta, cincuenta, sesenta y principios de los setenta del pasado siglo, los tebeos constituían una especie de “cine para pobres”, con los que muchos niños aprendieron no sólo a leer, sino a adquirir conocimientos de aquellos exóticos lugares o circunstancias del pasado en los que habitualmente transcurrían aquellas sensacionales aventuras. Yo personalmente he sido, y sigo siendo, (lamentablemente cada vez menos ante la falta de productos atractivos; la globalización yanqui y sus cada vez más infantiles superhéroes se ha adueñado del mercado) un ávido lector de tebeos. Es de celebrar la aparición hace unos meses, de un tebeo realmente excepcional, LOGICOMIX, Una búsqueda épica de la verdad, escrito por el matemático Apostolos Doxiadis (autor de la también notable novela El tío Petros y la conjetura de Goldbach) y el informático Christos Papadimitriou, y dibujado por el matrimonio Alecos Papadatos (dibujante) y Annie di Donna (colorista).  Está editado en España por Ediciones Sins Entido y tiene nada menos que 352 páginas, que no obstante se leen prácticamente de un tirón, no porque haya poco texto, que no es así, sino porque una vez empezado, es difícil no engancharse hasta terminarlo. Quizá a estas alturas ya lo conozcáis, o incluso lo hayáis leído porque han aparecido diferentes reseñas en blogs, revistas, periódicos, e incluso en programas de televisión (ver la reseña en la web de RTVE), y lleva más de 5000 ejemplares vendidos hasta el momento en España, cifra muy significativa para este tipo de libros. Después de una oportuna Introducción de Fernando Savater, la historia comienza con una Overtura en la que los propios autores del libro deliberan sobre cómo plasmar en imágenes “la búsqueda de los fundamentos de las matemáticas”. Apostolos Doxiadis se dirige directamente al lector para explicarle que el libro pretende ser algo distinto a “una lógica para torpes”, o un “manual o tratado con la apariencia de una novela gráfica”. Su intención es plasmar “una historia real, como la vida misma”, una historia dramática de locura y razón, amor y guerra, como reza la contraportada. Mientras deliberan sobre algunos detalles, de camino al estudio de dibujo, se van intercalando los momentos iniciales de la obra: 1 de septiembre de 1939, Adolf Hitler invade Polonia; es la cuenta atrás para una guerra mundial. Tres días después, el pensador Bertrand Russell se acerca a dar una charla en una universidad norteamericana sobre “el papel de la lógica en los asuntos humanos”. Es el punto de partida del relato, que se articula en torno a dicha conferencia. Un grupo de antibelicistas, paradójicamente un tanto belicosos, lo increpará para que se manifieste públicamente contra la Guerra. Russell los convencerá para que le permitan dar su charla, prometiéndoles que en su transcurso quedará clara su postura. A lo largo de varios capítulos irá perfilando su propia autobiografía y el desarrollo de los fundamentos de la lógica a partir de su visión de los trabajos de sus colegas. Desfilarán personalidades como Frege, Cantor, Whitehead, Hilbert, Poincaré, Wittgenstein, Von Neumann, Gödel, etc. Dichos capítulos son: 1.- Pembroke Lodge, mansión familiar en la que Russell vivió su infancia con sus abuelos. Capítulo en el que nos va desvelando su personalidad, su drama familiar, sus miedos, el aprendizaje de las matemáticas, etc. No faltan los toques de intriga, personificados en una prohibida biblioteca y unos misteriosos alaridos que sobrecogen su ánimo. 2.- En El aprendiz de brujo, relata su juventud universitaria, su primer amor, sus inquietudes intelectuales. Entabla amistad con Whitehead que le aconsejará que viaje al continente para conocer de primera mano los trabajos de los lógicos. 3.-Wanderjahre o los años de itinerancia. Parte con su primera esposa de Inglaterra a Alemania y otros países centroeuropeos a conocer a Frege y Cantor, y asiste en París a la célebre conferencia de Hilbert en el segundo ICM en la que expone sus 23 problemas no resueltos. 4.- En Paradojas nos da cuenta del complicado trabajo con Whitehead en la escritura de su Principia Mathematica, y los escarceos amorosos con su esposa (la de Whitehead). Como si de un descanso en la proyección se tratara, aparece un Entreacto en la que retomamos la historia paralela de los autores del libro y sus desvelos y discrepancias sobre cómo seguir adelante. 5.- Guerras lógico-filosóficas. La primera guerra mundial y la obra de Wittgenstein. Los trabajos de Russell y Whitehead atraviesan por malos momentos: están en un punto muerto del que no saben cómo salir. 6.- Incompletitud. Gödel y el final de la conferencia con la manifestación pública de pacifismo de Russell, y el jarro de agua fría que supone admitir que existen enunciados de los que nunca sabremos si son ciertos o falsos. La aventura gráfica acaba con una Escena Final a cargo nuevamente de los autores del libro asistiendo a una tragedia griega (reivindicando un poco su innegable papel en el desarrollo cultural de las ideas; recuérdese que los autores son griegos). Se añaden dos apéndices realmente interesantes: en el primero (Logicomix y la realidad) se nos aclaran algunas licencias que los autores se han tomado, explicándonos cuáles han sido inventadas y de cuales no se tienen datos, pero que han considerado necesarias para la continuidad novelada de la historia (algo que siempre se echa de menos en las novelas históricas y en las películas), y un Cuaderno de Notas, en el que se exponen de un modo sencillo algunos conceptos (no sólo matemáticos, sino también históricos y/o artísticos) y se resume la biografía de algunos de los protagonistas de la historia, contándonos qué fue de su vida desde donde se dejó en el texto. El ritmo y la intriga son impecables, además de poseer una ambientación histórica realmente sensacional. Evidentemente para los que estén interesados en el tema el libro es indispensable, pero también les resultará sumamente enriquecedor culturalmente a los demás. Tampoco quedarán defraudados quienes no tengan mayores pretensiones que entretenerse un rato. Es posible que este cómic se convierta finalmente en un futuro no muy lejano en una película de verdad. Para ir abriendo boca, uno puede disfrutar en YouTube de un documental, Logicomix. One page at a time: the creation of a graphic novel), de unos 25 minutos aproximadamente, dirigido por Alexis Kardaras, originalmente en griego y en inglés, pero afortunadamente subtitulado en inglés en las escenas en que se habla en griego. Está dividido en tres partes, donde sus autores nos dan más detalles sobre la realización de esta obra. El enlace conduce a la primera parte, y al acabar ésta aparece el enlace a las otras dos, como saben de sobra los navegantes de YouTube. En él aparece también el prestigioso matemático Barry Mazur (Universidad de Harvard, que también apareció en esta sección en la reseña 49 en el documental El enigma de Fermat, de Simon Singh), que nos da su opinión sobre este libro. El documental se centra  esencialmente en describir las ocho etapas en las que se realizó el cómic: elaboración del guión, lo que ellos llaman patatologia (etapa en la que piensan cómo va a ser el aspecto de los personajes, es decir, cómo pasar del texto, a personajes de “carne y hueso”, como van a ser sus expresiones gráficas, las “patatas”), perfilar el boceto de los dibujos, incorporación del texto final de los bocadillos, dibujar a lápiz los detalles de los dibujos, añadir las sombras, pasar a tinta y, finalmente, colorear. Todo ello después de haber recabado la información necesaria para elaborar el guión, trabajo que comenzó en 2002. En el documental se explica cómo el guionista debe indicar al dibujante, de forma tan precisa como pueda, cómo enlazar las viñetas, especificando los ángulos de cámara, los primeros, medios y largos planos, en definitiva, un trabajo muy similar al que se hace en el cine. Después los procesos de unificar las letras de los bocadillos, la incorporación de sombras, el tintado y el coloreado se hacen de forma muy precisa con el ordenador. Bertrand Russell en el cine A pesar de su relevancia, Bertrand Russell no ha sido demasiado frecuentado por el cine. He aquí las referencias que he podido encontrar: Películas de ficción en salas comerciales 1.- Wittgenstein (Derek Jarman, Gran Bretaña/Japón, 1993) Guión: Ken Butler, Terry Eagleton y Derek Jarman. Intérpretes: Clancy Chassay (Wittgenstein de joven), Jill Balcon (Leopoldine Wittgenstein),  Sally Dexter (Hermine Wittgenstein), Karl Johnson (Ludwig Wittgenstein), Michael Gough (Bertrand Russell) y Tilda Swinton (Lady Ottoline Morrell). La película es un ingenioso mosaico de uno de los más influyentes filósofos del siglo XX. Ludwig Wittgenstein trató de desentrañar los secretos de la lingüística, la lógica, las matemáticas, la ética y la filosofía. En una hora escasa, el director Derek Jarman trata de mostrar la mayor parte de los acontecimientos que jalonaron su excéntrica vida mediante una serie de sketches teatralizados que van desde su infancia pasando por la época de la Primera Guerra Mundial hasta su  breve estancia como profesor en Cambridge y su relación con Bertrand Russell y John Maynard Keynes. El énfasis de estos retazos se pone en la exposición de las ideas de Wittgenstein, y en su homosexualidad (nada más empezar aparece en brazos de un atractivo estudiante de filosofía; en ello tiene mucho que ver la propia personalidad del director). Es necesario advertir que para comprender medianamente los diálogos es preciso saber bastante de filosofía. Es un completo ensayo que ha sido alabado por los que conocieron al filósofo y por su biógrafo Ray Monk. En 1993 la película fue galardonada con uno de los premios a la mejor película en el Festival Internacional de Berlín. Un exhaustivo análisis (en inglés) de la película puede leerse aquí. En España se ha comercializado en DVD en versión original subtitulada. Unas escenas pueden verse en este enlace. El polifacético Derek Jarman (escritor, poeta, actor,  escenógrafo, diseñador, cineasta, pintor,  activista por los derechos de los homosexuales, entre otras ocupaciones) es considerado por la crítica como un director de talento con obras de gran calidad. Su obra cinematográfica consta de once largometrajes, unos treinta y seis cortos y algunos vídeos musicales. Su primera película, Sebastiane (1976), está hablada íntegramente en latín. Saltó a los medios de comunicación en diciembre de 1986 al ser diagnosticado VIH positivo y dar a conocer su condición de seropositivo públicamente. Su enfermedad le llevó a mudarse a Prospect Cottage, cerca de la planta nuclear de Dungeness, cerca de la planta nuclear. Murió en 1994.  En este enlace, se analiza su obra con profundidad. En la foto el actor británico Michael Gough en su caracterización como Bertrand Russell para esta película. Ludwig Wittgenstein también aparece en Los crímenes de Oxford, de Alex de la Iglesia (ver reseña número 29 de esta sección) 2.- Tom y Viv (Tom & Viv, Brian Gilbert, EE. UU., 1994). Guión: Michael Hastings y Adrian Hodges, sobre una obra teatral del primero. Intérpretes: Willem Dafoe (T. S. Eliot), Miranda Richardson (Vivienne Haigh-Wood), Nickolas Grace (Bertrand Russell), Rosemary Harris (Rose Haigh-Wood). El papel de Russell es secundario ya que la historia se centra en la tormentosa relación entre el poeta T. S. Eliot y su esposa. Aparece en diferentes momentos como amigo del poeta e impartiendo clase durante los títulos de crédito (sin diálogo por tanto) como aparece en la instantánea adjunta. Televisión Obras de ficción La televisión británica produjo dos telefilms sobre la figura del escritor, poeta y militar Siegfried Sassoon. Durante la Primera Guerra Mundial, Sassoon fue distinguido por la Orden del Imperio Británico recibiendo además la Cruz Militar, por sus arriesgadas acciones, entre las que se incluye la captura de una trinchera alemana en la Línea Hindenburg. Salía de noche a efectuar redadas y patrullas de bombardeo, demostrando una eficacia despiadada. Debido a sus hazañas casi suicidas, sus hombres lo apodaron "Jack el Loco" A pesar de ello, en 1917 decide protestar contra la prolongación de la guerra: "Estoy haciendo esta declaración como un acto de desafío intencional a la autoridad militar, porque creo que la guerra está siendo deliberadamente prolongada por aquellos que tienen el poder de terminarla." Tras recuperarse de unas heridas, Sassoon se negó a volver al servicio, y animado por amigos pacifistas como Bertrand Russell y Lady Ottoline Morrell, envió una carta a su comandante en jefe titulada A Soldier’s Declaration, que fue transmitida a la prensa y leída en el Parlamento por un diputado que simpatizaba con su causa. En lugar de formarle un consejo de guerra, sus superiores, tras infructuosos intentos de que cambiara de opinión, deciden considerarlo no apto para el servicio, enviándolo a una clínica mental. Su biografía, llevada a la pantalla en diferentes ocasiones, es puesta en escena en el capítulo titulado Mad Jack (Jack Gold, Gran Bretaña, 1970) de la serie The Wednesday Play. Con guión de Tom Clarke, sus protagonistas son Michael Jayston (Siegfried Sassoon), Michael Pennington (Geoffrey Cromlech), Clive Swift (Ayudante), Charles Lewsen (Bertrand Russell) y David Wood (Ormand). El episodio fue premiado en 1971 en el Festival Internacional de televisión de Montecarlo. Posteriormente para la serie BBC2 Playhouse, el episodio 48 titulado Fatal Spring (Michael Darlow, Gran Bretaña, 1980) vuelve a retomar la historia con guión de George Baker y con David Sibley (Wilfred Owen), Charles Dance (Siegfried Sassoon), Michael Troughton (Robert Graves), Aubrey Morris (Tom Owen) y Martin Friend (Bertrand Russell), en sus principales papeles. Documentales Como vemos, Russell es un personaje secundario siempre (el cine suele elegir historias espectaculares por encima de las reflexivas; eso sí, no se priva de incluir secundarios que den “prestigio” a la trama, caso de científicos e intelectuales en general). Donde podemos admirar (o simplemente escuchar) a Russell como verdadero protagonista es en documentales sobre su pensamiento, de los que destacamos dos: 1.- El 4 de marzo de 1959 la BBC emite una entrevista de media hora a Bertrand Russell realizada por John Freeman para el programa Face to Face, cercano a su 87 cumpleaños (nació el 18 de mayo de 1872). En YouTube aparece la entrevista íntegra, dividida en tres fragmentos. En ella Russell habla sobre muy diferentes temas, no sólo filosóficos, sino personales, culturales, religiosos, matemáticos, etc. Es muy interesante y se entiende bastante bien (está en inglés sin subtitular) ya que Russell tenía un diálogo bastante pausado. De esta entrevista aparecen muchos fragmentos en otros documentales. En ella se muestra muy afable y no rehuye ninguna pregunta, incluso algunas con cierta mala idea las toma con un gran sentido del humor. Por ejemplo, al preguntarle sobre cuando recuerda que dejó de creer, Russell explica que el proceso fue lento y muy doloroso porque al principio era profundamente religioso. Entonces recuerda que cuando tenía cuatro años, le contaron el cuento de Caperucita Roja. Un día, en un sueño, fue atacado por el lobo feroz, y para su sorpresa al final se encontraba en el estómago del lobo y no en el cielo como era de esperar. Sobre las razones por las que se interesó por las matemáticas (confiesa que fue su hermano el que le dio la primera clase sobre Euclides) afirma que “por varias razones: las matemáticas son la clave para conocer el Universo. Todas las cosas que hacemos diariamente se explican matemáticamente”. La verdad es que cualquiera de sus respuestas es tremendamente interesante. Simplemente entresaco alguna: “Los científicos no sobrevivirán si dedican sus investigaciones a la Guerra”; “Cualquier cosa sana, sensible y pacifica que hagamos es absolutamente ignorada por la Prensa; sólo prestan atención a los fanatismos”; “No puedo soportar el pensar que cientos de miles de personas estén agonizando únicamente porque las reglas del mundo sean ESTUPIDAS y PERVERSAS”; Al finalizar, el entrevistador le pide un consejo para aquellos que en el futuro vean esta entrevista, sobre el futuro. Resumiendo su respuesta (que es una de las más extensas), indica que “daría dos consejos, uno intelectual y otro moral. El primero sería siempre examinar los hechos, sólo los hechos, desterrando cualquier tipo de creencia; el segundo es muy simple: Amar es sabio. Odiar es la locura. Tenemos que aprender a tolerar a los demás, incluso a aquellos que dicen cosas que no nos gustan. Caridad y tolerancia para poder continuar en este mundo”. En YouTube puede también verse un pequeño extracto de otra entrevista concedida también en 1959 a la cadena norteamericana CBC hablando específicamente sobre religión y agnosticismo (parece que a los medios de comunicación era el tema que más les preocupaba en esa época, porque además puede verse a una entrevistadora bastante incisiva en sus preguntas. Sin embargo Russell no pierde su flema, y afirma categóricamente que “me parece deshonesto y dañino para la integridad intelectual creer en algo sólo porque te beneficia y no porque pienses que es verdad” o que está convencido que tras la muerte no existe absolutamente nada. 2.- The Three Passions of Bertrand Russell Documental dirigido en 2008 por Will Pascoe y David Wesley, de 126 minutos. Guionistas: Nick Hector, Hugh Fraser En el documental se dan cita el lingüista y filósofo Noam Chomsky y la diseñadora de moda británica Vivienne Westwood (considerada como la principal responsable de la estética asociada con el punk y la New Wave), junto a imágenes de archivo de Bertrand Russell. Se analiza su vida y pensamiento a partir de tres de las pasiones que le animaron (y son las tres partes en que se divide el documental): el interés por el conocimiento (Primera parte: VERDAD), la importancia de la justicia (Segunda parte: JUSTICIA) y la búsqueda del amor (Tercera Parte: AMOR).

Jueves, 05 de Enero de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

670. 56. (Enero 2012) Les femmes de génie sont rares?, de Anne Rougée

Con 22 años, Pierre Curie escribía en su diarioi: “... Las mujeres, mucho más que nosotros, aman la vida para vivirla. Son raras las mujeres de genio...” Anne Rougéeii toma prestada la última frase de esta cita –pero cambiando la afirmación por una interrogación– para su espectáculo Les femmes de génie sont rares ? –¿Son raras las mujeres de genio?–, en el que, a través de tres científicas, habla sobre el papel de las mujeres en ciencia. Puesta en escena por la compañía Comédie des Ondes y representada dentro de las actividades del Año Internacional de la Química 2011 en Francia, Anne Rougée y Stéphane Baroux presentan –en tres escenas de media hora cada una ellas– a tres pioneras científicas confrontadas a tres personajes masculinos: la química Marie Curie (1867-1934) y su marido y colaborador Pierre Curie, la matemática Ada Lovelace (1815-1852) y su mentor Charles Babbage, y la física Émilie du Châtelet (1706-1749) y su compañero y amante Voltaire. Anne Rougée presenta la obra del siguiente modoiii: ¿Por qué interesarse en las figuras de las pioneras de la ciencia? ¿Qué nos puede enseñar su historia hoy en día? ¿Cómo hablar de estas figuras del pasado al público actual? ¿Cómo realizar el nexo entre ellas, sus recorridos, las dificultades que tuvieron que superar y la realidad que conocemos en la sociedad actual? Más allá de la evocación de estas grandes figuras del pasado, quiero que los dos personajes de la obra confronten sus representaciones sobre las nociones de genio y de género, y que conduzcan al público a interrogarse sobre ellas: seamos hombres o mujeres, ¿no tiene nuestro cerebro la misma capacidad de estar en perpetua construcción conforme a lo que decidimos aprender y a las experiencias que nos permitimos vivir? ¿No es esta una alternativa más agradable que la de remitirnos únicamente a las predeterminaciones sociales? Los personajes de la obra son una mujer y un hombreiv. Ella es una actriz apasionada por la ciencia, que va compartiendo poco a poco con su compañero las dificultades que ha sufrido a lo largo de su vida. A medida que la obra avanza, fortalece los lazos con los tres personajes históricos que va a interpretar. Él es un actor seguro de sí mismo y de sus convicciones. Gracias al contacto con su compañera, va saliendo progresivamente de su cómodo puesto de observador para introducirse en un terreno hasta ahora desconocido para él: el mundo de las pioneras de la ciencia, mujeres que han trazado su camino al revés y contra todo. Primera parte: Marya Sklodowska Curie Estamos en un camerino del teatro, media hora antes del inicio de la representación de la obra. Dos actores, un hombre y una mujer, se preparan para entrar en escena. Ambos están realizando “ejercicios” de lectura de textos de Pierre Curie, de su esposa Marie y su hija Ève. El público asiste a una evocación de la vida de Marie Curie a través de sus escritos: su infancia y su juventud en una Polonia ocupada por el ejército ruso, su encuentro con Pierre Curie, sus trabajos que han permitido el descubrimiento de la radioactividad y del radio, la trágica muerte de Pierre, su Premio Nobel de Química en 1911 y las campañas de prensa en su contra. Gracias a esta evocación, la actriz consigue despertar la curiosidad de su compañero, que va a animarla a escribir una obra, con sus propias palabras... Segunda parte: Ada Byron, condesa de Lovelace El actor está solo en el camerino. Llega la actriz, que está bloqueada en su trabajo de redacción. La segunda parte de su obra evoca a Ada Byron, condesa de Lovelace, que ha inventado los conceptos de la programación informática trabajando para Charles Babbage en su proyecto de máquina analítica. En esta parte la actriz desea hablar de la dificultad del trabajo de investigación y de creación y de rivalidad intelectualv. Tercera parte: Émilie de Breteuil, marquesa de Châtelet Émilie du Châtelet entra en escena. Ha regresado al camerino del pequeño teatro del castillo de Cirey donde vivió varios años de felicidad con Voltaire, su amante y su compañero. Voltaire llega. Van a imaginar todo lo que podrían haber hecho si la vida no les hubiera separado. Y de paso, van a burlarse de sus detractores. Para divertirse, van a prestarse a un juego de travestismo: en referencia a los escritos del divulgador Bernard le Bovier de Fontenelle, escenifican la iniciación a la ciencia de una joven marquesa ignorante; Émilie se disfraza de hombre y Voltaire de marquesa.   Notas: i Puede leerse la cita completa en este enlace. ii Anne Rougée era la actriz que daba vida a Ada adulta en Le Crâne et la Mécanique, que comentamos en la entrada de marzo de 2010 de esta sección de Teatro y Matemáticas. iii Es una traducción de la presentación de la obra en la página web de la compañía Comédie des Ondes. iv La reseña está escrita basándome en los materiales que la Comédie des Ondes tiene en su web. v Ver en este mismo portal Le Crâne et la Mécanique.

Miércoles, 04 de Enero de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico