651. 59. (Abril 2012) Las 36 situaciones dramáticas, de George Polti

¿Se pueden construir todas las posibles situaciones dramáticas a partir de un número finito de situaciones tipo a combinar de manera adecuada? Parece que si, y el número clave parece ser el 36, según las teorías de George Polti (1867-1946). En Las 36 situaciones dramáticas1, Polti introduce su análisis sobre este tema con una exposición, que se inicia de este modo: “Gozzi, –dijo Goethe–, afirmaba que sólo existen treinta y seis situaciones trágicas. Schiller se esforzó mucho por encontrar más, pero no llegó a descubrir tantas como Gozzi2”. ¡Sólo treinta y seis situaciones! Esta afirmación que no se acompaña de ninguna explicación ni de Gozzi, ni de Goethe o de Schiller, y que plantea el problema sin resolverlo, tenía algo de atormentadora. [...] En efecto, el dramaturgo Carlo Gozzi (1720-1806) aseguraba que solo existen treinta y seis posibles tramas. Pero su lista nunca apareció, y los dramaturgos alemanes Johann Wolfgang von Goethe (1749-1832) y Friedrich Schiller (1759-1805) intentaron rehacer la lista –sin éxito–. George Polti continuó el trabajo iniciado por Gozzi, para intentar realizar un inventario sobre todas las situaciones dramáticas en teatro y literatura. Para ello, analizó textos clásicos griegos, trabajos franceses clásicos y contemporáneos y algunos autores en otras lenguas. Según Polti, todas las posibles situaciones dramáticas y sus combinaciones se basan en treinta y seis emociones básicas: Súplica Rescate Crimen perseguido por venganza Venganza de parientes sobre parientes Persecución Desastre Víctimas de la crueldad o la desgracia Rebelión Empresas atrevidas Secuestro Enigma Logro o consecución Enemistad de parientes Rivalidad entre parientes Adulterio homicida Locura Imprudencia fatal Crímenes involuntarios de amor Asesinato de un pariente no conocido Auto-sacrificio por un ideal Auto-sacrificio por los parientes Todos sacrificados por una pasión Necesidad de sacrificar personas amadas Rivalidad entre superior e inferior Adulterio Crímenes de amor Descubrimiento de la deshonra de la persona amada Obstáculos de amor Un enemigo amado Ambición Conflicto con Dios Celos equívocos o erróneos Juicios erróneos Remordimiento Recuperación de una persona perdida Pérdida de personas amadas Y –según Polti3– el resto de argumentos, situaciones y enredos que puedas imaginar, se derivan de los que aparecen en el anterior listado... En el libro, el autor presenta las treinta y seis situaciones con diferentes matices –con la lista de las obras en las que aparece cada uno de ellos– y explica también las maneras de combinarlas para obtener otras tramas. Un curioso –y enorme– trabajo, rebatido por muchos autores, que no han conseguido un listado mayor de situaciones básicas... Gilles Rocher, Les 36 situations dramatiques, conjunto de 36 paneles en fibra de vidrio y resina, 45x 60cm yuxtapuestos en 3 filas y 12 columnas cubriendo una superficie de 600x200cm (work in progress), http://www.tropobor.com/3werner/corbeau/corbeau.htm   Notas: 1 Editorial La Avispa, 2000. Existe una versión inglesa descargable en la Open Library: Georges Polti, The thirty-six dramatic situations, James Knapp Reeve, 1921. La primera versión fue la francesa: Georges Polti, Les trente-six situations dramatiques, Édition du Mercure de France, Paris, 1895. 2 Extraído de J.P. Eckermann, Las conversaciones con Goethe, Ed. Iberia, 1982 3 En Les deux cents mille situations dramatiques (Flammarion, 1950) Étienne Souriau afirma que existen más de 200.000; aunque parece que en su mayoría son variantes de las 36 de Polti.

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652. 15. (Abril de 2012) Infinitos infinitos (primera parte)

El infinito es un concepto matemático que ha apasionado a la humanidad desde la antigüedad hasta nuestros días, y que ha formado parte de la investigación matemática, pero también de la sociedad y del lenguaje. Desde la antigüedad se conocía el concepto de infinito de una forma más o menos intuitiva “como un conjunto que no se termina nunca” o como “conjunto que no es finito, es decir, que no tiene un número finito de elementos”, por ejemplo, se sabía que los números naturales son un conjunto infinito, puesto que siempre podemos seguir contando por muy grande que sea un número. Así, si suponemos que el conjunto de los números naturales es finito y que N es el número natural más grande que existe, entonces llegamos a una contradicción puesto que N+1 es un número natural mayor. Uno de los grandes estudiosos del infinito fue el matemático Georg Cantor (1845-1918), que demostró que no existía solamente un único infinito, sino que existían diferentes tipos de infinitos. Pero esta es otra historia, por cierto que muy apasionante, que será contada en otro lugar, mientras que nosotros en este artículo vamos a centrarnos en la presencia del infinito en la publicidad. Por otra parte, respecto al símbolo del infinito, lo introdujo el matemático inglés John Wallis (1616-1703), considerado uno de los precursores del cálculo infinitesimal, pero no es un ocho tumbado como piensan muchas personas, sino que su forma está dada por la curva matemática llamada “lemniscata de Bernoulli”. Es un camino sin fin, que se puede recorrer infinitas veces. Según Enrique Gracián (Un descubrimiento sin fin, RBA, 2010) el círculo se representaba sobre los santos para simbolizar la eternidad, ya que es como una curva sin fin, un camino que se recorre infinitas veces durante un tiempo infinito –caelum significa cielo, pero también círculo-. Y nos comenta que en determinados contextos paganos dicho símbolo se ha sustituido por el del infinito, como por ejemplo, en la carta “El Mago” del Tarot. La atracción que provoca el infinito en la sociedad la podemos observar en todas las manifestaciones de nuestra cultura, desde la literatura, el arte o el cine, hasta la música. Por ejemplo, si rebuscamos entre los cds de nuestra colección de música encontraremos una cantidad increíble –para no utilizar el término infinita- de canciones relacionadas con este concepto. Canciones de todo tipo de estilos musicales… desde el tema “infinity” de la cantante pop Madonna, hasta la canción “Infinite dreams” del mítico grupo de heavy metal Iron Maiden, pasando por la canción instrumental “Infinity” del cantante soul Marvin Gaye, el tema “Count to six and die (The vacuum of infinite space encompassing)” del siempre polémico Marylin Manson, “Nada es infinito” de Vega, “El Aleph” de Nena Daconte, “Universos infinitos” del grupo pop-rock Love of Lesbian, “Infinito” de Bunbury, ex-vocalista de Héroes del Silencio, o la popular canción disco “Infinity” de Guru Josh Project, por mencionar solo algunos ejemplos. Pero también aparece en la publicidad como observaremos en este artículo, y su continuación el mes que viene. El denominador común a los anuncios publicitarios que vamos a ver en estas dos entregas de la sección “las matemáticas de la publicidad” es la utilización del símbolo del infinito para transmitir, normalmente, la idea de algo que no tiene fin, que no termina, ya sea el placer de comer unas patatas fritas, de ver un canal de televisión o de leer un libro, la duración de unas pilas de una cierta marca, de la tinta de un bolígrafo o de un electrodoméstico, es decir, la utilización del infinito como una metáfora de algo que dura mucho, que tiene “una duración infinita”, aunque también mostraremos anuncios en los cuales el símbolo hace referencia a un conjunto infinito de “objetos”, ya sean deseos, ilusiones, oportunidades, soluciones, diseños de gafas, modelos de coches, cantidad de comida o respuestas a infinitas preguntas. En esta entrega vamos a empezar con anuncios en los que se emplea la idea de algo que no tiene fin, que no se termina, en un sentido temporal. Los primeros hacen uso del infinito refiriéndose a un placer o a una diversión infinita, que no se termina nunca, por supuesto como consecuencia del objeto del anuncio. Por ejemplo, aquí vemos un anuncio publicitario del complejo turístico “Beach Park” en Brasil, que fue el primer parque acuático de Latinoamerica, en el cual el símbolo del infinito está formado por uno de esos mega-toboganes de los parques acuáticos, en el que vemos a personas que se deslizan por el mismo mientras salpican agua a su paso. Y como dice el lema del anuncio “la diversión nunca termina” o “no tiene fin” (“fun never ends”). El anuncio tiene cierta belleza estética a pesar de lo simple de la idea utilizada en el mismo. Otro anuncio en el que la figura del infinito está asociada al placer que no termina es este de las patatas fritas Pringles, en el cual la patata frita, con ese estilo tan característico de las “pringles” que simula una silla de montar y que a las personas que hemos estudiado geometría nos recuerda a un paraboloide hiperbólico, está colocada de tal forma que la proyección plana que es la fotografía de esta pieza gráfica hace que parezca un símbolo del infinito. Y su lema reza "Una vez que haces pop, ya no hay stop". Como todo el mundo sabe, el placer de comerse unos bombones de chocolate tampoco tiene fin, bueno lo tiene cuando la caja que hemos comprado se termina, pero uno desearía que no fuese así, que el placer continuase hasta el infinito. Por suerte, el número de bombones de una caja es finito ya que de otra forma lo que tampoco tendría fin sería el aumento de nuestro peso. El infinito placer de comer unos buenos bombones de chocolate es lo que nos ilustra esta pieza publicitaria de la empresa "Dove Chocolates" para anunciar sus bombones de chocolate con forma de corazón en China. La misma idea, pero con café, la encontramos en este anuncio de la empresa mexicana Nescafé Decaf, filial de Nescafé, en el que la figura del infinito está formada por tazas de café. De los anuncios vistos hasta el momento, este es, sin lugar a dudas, el más soso. Por otra parte, llama la atención que en este infinito el lazo de la derecha sea más grande que el lazo de la izquierda, es decir, se ha roto la simetría del símbolo del infinito. Cuál era el objetivo de este detalle es algo que habría que preguntar a los publicitarios que lo diseñaron, ya que mirando el anuncio no parece evidente el mismo, y de hecho, seguro que es un detalle sin importancia. Las empresas anunciantes, y los productos que anuncian, son de lo más variado, como es natural. Así, nos podemos encontrar el símbolo del infinito en el cartel de un festival de cine como el Festival Internacional de Cine de Toronto. Exactamente, en el cartel del año 2001 se podía ver en la parte superior un símbolo del infinito realizado con una tira del celuloide del cinematógrafo. ¿Cuál era el significado de ese símbolo? Quizás que el placer y la diversión de los asistentes al festival no tendrá fin, o tal vez que se proyectarán películas sin descanso… Incluso los de Playboy han utilizado el signo del infinito en su publicidad, en concreto anunciando su canal de televisión, Playboy TV. En otras entradas de meses anteriores de esta sección ya hemos comentado algunos anuncios de Playboy que tienen que ver con las matemáticas –y aún tengo más localizados para el futuro-, algunos de ellos incluso de una cierta calidad, aunque el que tenemos ante nosotros no es precisamente de estos. Esta publicidad es bastante simplona y grosera, utiliza el signo del infinito como una especie de juego óptico, en el cual el signo del infinito (quizás haciendo alusión al infinito “placer” que puede ser para algunas personas ver este canal) junto con dos puntos en el centro de los lazos nos recuerda a unos senos, pero también a unos ojos bien abiertos que miran a Playboy TV, … ¿que miran a los senos a los que alude el anuncio?… En ocasiones, cuando se quiere trasmitir la idea de un objeto comercial que podremos disfrutar de por vida, o que durará mucho tiempo, se hace uso del símbolo del infinito. Así, el siguiente anuncio de los míticos encendedores zippo nos dice que “tiene garantía de por vida” y lo expresa con un infinito formado con fuego… En uno de los anuncios para la televisión del FIAT “Mille Economy 2009” se podía ver un coche que circulaba por una figura del infinito y al final del anuncio aparecía el lema “Más resistente”, dando a entender que era un coche muy resistente y que nos duraría mucho tiempo, ¿¡de por vida!?. Este es uno de los argumentos que se utilizaron en la publicidad del Fiat Mille Economy para demostrar que era económico. Otro, utilizado en otros anuncios, era que gastaba poca gasolina. En la versión para la prensa escrita, que mostramos aquí, además se incluía el siguiente texto… “los grandes economistas de la historia han tenido siempre nombres extraños: Adam Smith, Karl Marx, Friedrich Engels, Mille Economy”. Quienes somos padres, y además nuestros hijos aún están en edad de jugar con juguetes, sabemos lo poco que duran las pilas. Bueno, mejor dicho, todos sentimos en nuestra propia piel lo que duran unas pilas, ya que todos hacemos uso de aparatos que funcionan con ellas, ya sean relojes, calculadoras, mandos a distancia o mandos de alguna consola de videojuegos, aunque en el caso de los juguetes es más dramático. Por eso, las empresas fabricantes de pilas se esfuerzan por realizar anuncios en los que se ponga de manifiesto que las pilas de esa marca duran mucho, como por ejemplo la serie de anuncios en los que un conejo de juguete toca el tambor de forma interminable. Todos recordamos la letanía publicitaria “dura y dura”. Por eso, no es de extrañar que aparezca el signo del infinito en algunos anuncios de pilas, como el que a continuación mostramos… Como anécdota podemos contar que el plagio también parece existir en el mundo de la publicidad, ya que podemos encontramos un anuncio casi similar al anterior, un par de años antes. A la duración de los bolígrafos bic, que han compartido muchas experiencias con nosotros durante sus más de 50 años de existencia, desde nuestros primeros apuntes como estudiantes hasta nuestras notas personales para impartir clase o dar una conferencia, pasando por una gran cantidad de exámenes y por algunas cartas de amor, se refiere el siguiente anuncio. Sencillo y directo… un bolígrafo bic naranja y una figura del infinito recorrida muchas veces con el bolígrafo bic. Y terminaremos con unos anuncios muy literarios. Es una serie de anuncios de la compañía Permanence Matters, filial de la empresa del papel Glatfelter, y que nos está vendiendo a través de estos anuncios su producto estrella, un papel que dura para siempre. En estos anuncios se puede ver un infinito construido en papel y sobre el mismo una escena de un libro (Lo que el viento se llevó, La isla del tesoro o La guerra de los mundos), y el lema dice así “El papel adecuado puede hacer que la historia dure para siempre”. El próximo mes podremos disfrutar de más publicidad relacionada con el infinito… ¡no os lo perdáis!... en divulgamat, por supuesto…

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653. 93. (Abril 2012) El brujo en sociedad

En todas las épocas de la historia han surgido personajes ilustres que, habiéndose dedicado a la ciencia, han mostrado gran afición por la magia y, en particular, por su vertiente matemática. Uno de tales personajes será el protagonista de esta entrega. A finales del año 2011 ha nacido en Tarragona la editorial Frechiné Editores, y los responsables han querido empezar su aventura con un facsímil del libro “El brujo en sociedad, o sea breve instrucción para aprender a ejecutar con destreza muchos juegos de manos y otras varias suertes curiosas y divertidas”, escrito por Juan Mieg en 1839. En la introducción del libro, Alain Denis explica que se trata del primer libro de magia escrito en español que no se limita a divulgar trucos copiados y mal traducidos de enciclopedias extranjeras (está refiriéndose al libro escrito por Pablo Minguet en 1733 titulado "Engaños a ojos vistas, y diversión de trabajos mundanos", el cual se considera como el primer libro de magia en español, aunque en realidad consiste en una recopilación de textos anteriores publicados en Francia). Juan Tamariz escribe el prólogo donde muestra su admiración por el autor y su obra. Allí afirma categóricamente: “Si este libro no es una auténtica enciclopedia mágica, ¿cuál puede ser?”. Lee un extracto del libro en http://issuu.com/pausus/docs/brujo_en_sociedad_extracto. El libro está dividido en cinco secciones: suertes matemáticas (de aritmética y de geometría), suertes de naipes (sin destreza y con destreza), suertes mecánicas (sin ilusión y con ilusión), suertes químicas y variedades. ¿Sorprende a alguien que la primera sección trate precisamente de magia matemática? El autor del libro, Juan Mieg (1780-1859), fue naturalista, entomólogo y ornitólogo de gran prestigio en la comunidad científica de la época pero también muy aficionado a la magia. Nació en Basilea pero desarrolló su labor en España, donde llegó por primera vez en 1814 tras aceptar la propuesta del rey Fernando VII para ejercer como profesor de física del Real Gabinete. Posteriormente llegó a ser director del Real Estudio físico-químico establecido en el Palacio Real de Madrid. Adoptó el pseudónimo de “El tío Cigüeño” cuando publicó en 1841 un libro sobre su vida privada titulado “Historia romántica de las tribulaciones, amoríos, posesión y vindicación del Tío Cigüeño, con su feliz exorcización” y con ese sobrenombre es conocido en el mundo de la magia blanca o natural, como a él le gustaba denominar, a diferencia de los nombres “Física recreativa” o “Física oculta” que él consideraba impropios. La eterna polémica entre quienes afirman poseer poderes sobrenaturales y quienes sólo pretenden el entretenimiento de su público también está presente en su época pues, en la introducción del libro “El brujo en sociedad”, afirmó: “Nadie ignora en el día que todos los supuestos encantadores, mágicos, taumaturgos, brujas, o como gusten llamarse, no son más que estafadores y charlatanes, o bien gentes alegres que gustan divertirse sorprendiendo o divirtiendo a los demás; y que todos sus pretendidos milagros y artes estriban en medios naturales, en la destreza de manos, la mecánica, la física, la química y en las matemáticas. Pero en verdad que no todos saben el cómo se operan los diversos efectos o suertes con que aquellos pretendidos mágicos suelen asombrar a la multitud, y a veces hasta a las personas más instruidas.” No es el objetivo de esta sección detallar la biografía científica de este personaje pero, si te interesa, puedes consultar el video homenaje que se realizó en octubre de 2011 por la Sociedad de Amigos del Museo Nacional de Ciencias Naturales, video que está disponible en el portal CIENCIATK del CSIC. Es posible que desees hojear el libro (la edición original en pdf puedes descargarla desde el portal de la Biblioteca Nacional, que casualmente ha cumplido 300 años el uno de marzo de este año). Incluso puedes estar pensando adquirir un ejemplar de la nueva edición (sólo se han publicado 250 ejemplares, así que averigua en http://pausus.com/frechine/el-brujo-en-sociedad-2 si estás a tiempo de poseer el libro). En cualquier caso, se trata de una prueba más que corrobora la estrecha relación que existe entre la magia y las matemáticas. Para mantener la tradición de este rincón, vamos a describir también un juego de magia matemática. Y en esta ocasión parece lo más apropiado incluir un juego descrito por "El tío Cigüeño" en el libro recién reseñado. El juego es el titulado "Suerte de las tres prendas": Pide a tres espectadores que te presten un objeto que tengan a mano, digamos que hemos conseguido un reloj, una caja y un estuche. Deja los objetos sobre la mesa y deja también un montón de monedas, digamos que hay 24 monedas. Entrega una moneda al primer espectador, dos monedas al segundo y tres monedas al tercero. Vuelto de espaldas, pide que cada uno de ellos seleccione un objeto y lo esconda en un bolsillo. Pide entonces al espectador que tenga el reloj que recoja tantas monedas como le hayas entregado (tendrá ahora el doble de las que tenía al principio), al espectador que tenga la caja que recoja el doble de monedas que haya recibido y al espectador que tenga el estuche que recoja cuatro veces el número de monedas que le entregaste. Te vuelves de cara nuevamente y cuentas disimuladamente y de un rápido vistazo el número de monedas que quedan sobre la mesa: pueden ser 1, 2, 3, 5, 6 ó 7, que corresponden a cada una de las seis permutaciones de los tres objetos. La tabla con las correspondencias entre los objetos y los espectadores que los poseen es la siguiente: Monedas restantes Espectadores 1 2 3 1 reloj caja estuche 2 caja reloj estuche 3 reloj estuche caja 5 caja estuche reloj 6 estuche reloj caja 7 estuche caja reloj Ahora es fácil determinar quién oculta cada uno de los objetos si eres capaz de recordar esta frase mnemotécnica francesa (que significa aproximadamente "por culpa del hierro, César una vez se convirtió en un príncipe tan grande"): PAR FER CESAR JADIS DEVINT SI GRAND PRINCE 1 2 3 5 6 7 Fíjate solamente en la palabra que corresponde al número de monedas restantes. Sus vocales indicarán el objeto que posee cada una de las dos primeras personas, en ese mismo orden (entendiendo que la vocal A corresponde al primer objeto -el reloj-, la vocal E corresponde al segundo objeto -la caja- y la vocal I corresponde al tercer objeto -el estuche-). Por ejemplo, supongamos que en la mesa quedan tres monedas. La palabra clave es JADIS, con vocales A-I. Esto indica que la primera persona tiene el reloj, la segunda persona tiene el estuche y la tercera persona, por eliminación, tiene la caja. Observaciones: La frase mnemotécnica utilizada por Mieg ya aparece en el libro "Récréations mathématiques et physiques" escrito por Jacques Ozanam (París, 1694), revisado y ampliado por Montucla (París, 1778), traducido al inglés por Hutton bajo el título "Recreations in Mathematics and Natural Philosophy" Riddle con el título Recreations in Science and Natural Philosophy (Londres, 1844). Pero, si escarbamos un poco más, descubrimos que la misma frase aparece en el problema 25 del libro de Claude-Gaspard Bachet titulado "Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres" (1612). Allí expone también la variante correspondiente a cuatro objetos y cuatro espectadores (hay que dejar sobre la mesa 78 monedas, la primera persona recoge tantas monedas como tiene, la segunda recoge cuatro veces más y la tercera 16 veces el número de monedas que posee). Bachet afirmaba que su variante era inédita pero ahora se conoce que Diego Palomino había publicado con anterioridad un ingenioso método para aplicarlo con cuatro objetos y cuatro espectadores. Basándose en el sistema de numeración en base n, W.W. Rouse Ball presenta en la cuarta edición del libro "Mathematical Recreations and Essays" (cuya primera edición es del año 1892) una generalización de este truco utilizando n objetos y n espectadores, dando el crédito del método a M. Bourlet. Martin Gardner (¿otra vez por aquí?) describe en su libro "Mathematical Circus" (1968) este sencillo juego que puedes realizar a continuación del anterior. Deja sobre la mesa 20 monedas y vuélvete de espaldas al espectador. Instrúyele para que retire un grupo de monedas y las guarde en su bolsillo. A continuación que cuente el número de monedas restantes, sume las dos cifras del número y retire de la mesa ese número de monedas, guardándolas también en el bolsillo. Por último, toma otro grupo de monedas y las oculta en la mano, cerrando el puño. Cuando te vuelves cara al espectador, cuenta secretamente el número de monedas restantes. Ya puedes adivinar el número de monedas que tiene el espectador en su puño cerrado. ¿Sabes cómo?   Pedro Alegría (Universidad del País Vasco) Esta dirección electrónica esta protegida contra spambots. Es necesario activar Javascript para visualizarla

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654. 63. (Abril 2012) OVNI, de Fabrice Parme (dibujos) y Lewis Trondheim (guión)

OVNI de Fabrice Parme (dibujos) y Lewis Trondheim (guión) Un extraterrestre aterriza accidentalmente con su nave en nuestro planeta, en pleno Jurásico. Este álbum –sin palabras, las imágenes son la única fuente narrativa– cuenta las aventuras de este pequeño alienígena a lo largo de la historia de la Tierra y de la Humanidad. El álbum un enorme árbol de probabilidad: en las láminas se muestran simultáneamente los diferentes itinerarios que el personaje puede tomar. En función del camino elegido en este diagrama en árbol que ofrece el cómic, el alienígena será devorado, aplastado, quemado, fusilado... un único camino le permitirá llegar a la época actual, reparar su nave y regresar a su planeta. Cada página doble permite rememorar un importante acontecimiento histórico o un lugar significativo. Un pequeño detalle permite realizar la transición del extraterrestre de una época a otra, sin rupturas en la historia. El pequeño personaje azul aparece en un mismo escenario en repetidas ocasiones –representando las diferentes opciones en su caminar y la evolución de la historia en cada itinerario elegido–:la página doble en la que hay menos extraterrestres aparecen 30 y en la que más 79. Con 1.236 alienígenas dibujados y otros 878 personajes correspondientes a diferentes épocas, la cantidad de sucesos narrados y de información suministrada son enormes: es preciso esforzarse para no perderse ninguna de las aventuras. OVNI es un recorrido gráfico por la historia de la Tierra, incluso antes de la aparición de seres humanos: dinosaurios dominando el planeta, dioses griegos, la huida de Egipto, la época dorada de Roma, los vikingos llegando a América, las estatuas de la isla de Pascua, la muralla China, los primeros fuegos artificiales, el genio de la lámpara maravillosa, las cruzadas cristianas a Tierra Santa, el secuestro de esclavos en África, los principios de la era industrial, el crack de 1929, el desembarco de Normandía... el estreno de la película ET... estos son unos pocos de los acontecimientos, lugares y personajes que aparecen en OVNI. Es todo un reto intentar identificar todo y a todos... ¡inténtalo! ALGUNAS DE LAS VIÑETAS Página 2 Páginas 2 y 3 Páginas 4 y 5 Páginas 6 y 7 Páginas 8 y 9 Páginas 10 y 11 Página 18 Páginas 40 y 41 NOTA FINAL Los estudios franceses Blue Spirit han adaptado OVNI a la pequeña pantalla. Se encuentran ya en su segunda temporada –cada una de ellas consta de 52 episodios de 5 minutos de duración–. Seguro que las aventuras son deliciosas,... pero el juego de la búsqueda se ha perdido.

Miércoles, 11 de Abril de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

655. 35. (Abril 2012) Polígonos regulares y percusión

1. Los ritmos de sombra En la columna de este mes voy a ilustrar lo que he descrito como muchas veces como hacer matemáticas a partir de una excusa musical. Esto es perfectamente lícito siempre y cuando no se engañe al lector -y el autor mismo- respecto a su significado musical. No hay nada malo en tomar un fenómeno musical y extraer de él una estructura matematizable y, a partir de ella, hacer matemáticas. El problema es cuando se recorre el camino contrario y se afirma que las matemáticas que se han obtenido explican o rigen la música. En muchos instrumentos de percusión, la dinámica (el volumen al que tocas) se controla con la altura de la baqueta o de la mano. Lo hemos visto muchas veces en las orquestas clásicas, cuando un redoble del timbalero empieza muy bajito y luego sube el volumen. Al principio, las mazas suben un poquito, pero más tarde el recorrido es mucho mayor. Esta técnica, que aparece igualmente en la percusión africana, en el flamenco o en el jazz, aprovecha la caída de la maza para controlar la dinámica. En el vídeo de más abajo, podemos apreciar esa técnica. Esto produce una asociación entre la actividad motriz de golpear la piel del timbal y el propio ritmo. Para autores como el musicólogo Jay Rahn [Rah96] el punto álgido al que llega la maza antes de volver a la piel forma otro ritmo, silencioso, pero igualmente importante, que ayuda a mantener la precisión rítmica del ritmo que se oye. Rahn lo llama la la sombra del ritmo. En ritmos de clave, esto es, ritmos que se repiten a lo largo de toda una obra (la clave son, por ejemplo, en la música cubana), es especialmente frecuente encontrar este modo de tocar. Pensemos en el ritmo del tresillo cubano, que escrito en notación de caja es[x . . . . . x . . . . . x . . .], tiene como sombra al ritmo [. . . x . . . . . x . . . . x .], ritmo que a su vez tiene como sombra a [x . . . . . x . . . . x . . . .]. En la figura 1 se ve el tresillo con los puntos negros y su primera sombra con puntos azules. Figura 1: El tresillo cubano y sus sombras. En lo que sigue trabajaremos con ritmos que representaremos sobre el círculo unidad. Además, supondremos que una nota puede estar en cualquier punto del círculo y no en una serie de pulsos como en el ejemplo del tresillo cubano. 2. ¿Hacia dónde van las sombras de un ritmo? La operación de tomar la sombra de un ritmo aumenta su regularidad. ¿En qué sentido hablamos aquí de regularidad? Si se permite que las notas estén en cualquier punto del círculo, entonces el ritmo más regular está formado por duraciones iguales. Esa duración común es 1/n, donde n es el número de notas del ritmo. Interpretando el ritmo como un polígono, el ritmo más regular corresponde con el polígono regular inscrito en la circunferencia unidad. Si ante este objeto matemático, producido a partir de la excusa musical de las sombras de un ritmo, nos ponemos en actitud matemática, la pregunta que viene enseguida a la cabeza es qué pasa si aplicamos infinitas veces (¡el infinito!) la operación de la sombra. ¿A qué convergerá el ritmo final, eso suponiendo que converja a algo (no sea que oscile entre un conjunto de polígonos)? El estudio de las propiedades de sucesiones de polígonos generadas a través de procesos iterativos a partir de un polígono inicial P0 ha despertado mucho interés en la bibliografía matemática. El ritmo de una sombra es solo una de las muchas operaciones que se han investigado. Schoenberg [Sch82] ha estudiado las sucesiones de sombras de polígonos tomando puntos entre dos vértices consecutivos que no son los puntos medios. Hitt y Zhang [HZ01] probaron que la sucesión de sombras de un ritmo converge a un polígono regular. En  [GTT08] aparece una demostración muy elegante que es la que vamos a reproducir a continuación. La prueba es algo probabilística. Sea P0 el polígono inicial y la sucesión de sombras. Detengámonos en el paso del polígono Pk al Pk+1 y sea las duraciones consecutivas del polígono Pi. Consideraremos esas duraciones aj,j = 1,,n como variables aleatorias que toman valores en [0,1]. La media μk de las duraciones es la misma para cualquier polígono: En cuanto a la varianza Vk en el paso k, esta es: Las duraciones del polígono Pk+1 son ai' = y la media sigue de ai' sigue inmutable en 1∕n. Entonces, tenemos lo siguiente: Fijemos nuestra atención en el término ∑ni=1 aiai+1. Se puede considerar como una función de n variables a1,,an. Para poder acotar la última expresión obtenida nos interesa encontrar su máximo valor sujeta a la restricción ∑ni=1 ai = 1. Si usamos multiplicadores de Lagrange, encontraremos que ese máximo se alcanza en cuando todas las ai son iguales, esto es, cuando ai = 1∕n. Aún más, el máximo se alcanza si y solo si ai = 1∕n para todo i = 1,,n. Por tanto, el valor del máximo es ∑ni=1 (1∕n)⋅(1∕n) = 1∕n. Siguiendo con las cuentas anteriores: Esta igualdad significa que la varianza tiende a cero. El polígono regular es el único polígono que tiene esa propiedad, que su varianza es precisamente cero. 3. Conclusiones Y hemos hecho matemáticas divertidas a partir de una excusa musical, el recorrido de la baqueta o la mano que hacen los percusionistas para controlar la dinámica. A partir de ahí, hemos probado de una manera elegante que la sucesión de sombras converge al polígono regular. Y esto es todo. Es incorrecto extraer conclusiones como que los ritmos dados por el polígono regular son importantes o bellos musicalmente. Eso no se sigue de las matemáticas que hemos hecho. De hecho, la división en partes iguales de un compás, como ritmo, es bastante aburrido. Este tipo de excesos se ven con más frecuencia de la deseada en textos sobre matemáticas y música.   Bibliografía [GTT08] F. Gómez, T. Taslakian, and G.T. Toussaint. Convergence of the shadow sequence of inscribed polygons. In Proceedings of the 18th Fall Workshop on Computational Geometry, pages 10–11, Rensselaer Polytechnic Institute, Troy, New York, October 31st 2008. [HZ01] Richard Hitt and Xin-Min Zhang. Dynamic geometry of polygons. Elemente der Mathematik, 56:21–37, 2001. [Rah96] J. Rahn. Turning the analysis around: African-derived rhythms and europe-derived music theory. Black Music Research Journal, 16(1):71–89, 1996. [Sch82] I. J. Schoenberg. Mathematical Time Exposures. Mathematical Association of America, Washington, DC, 1982.

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656. 69. Alan Turing: Rompiendo Esquemas (Primera Parte)

Estamos inmersos en el 2012, año en el que se conmemora el centenario del nacimiento de Alan Turing. Un buen momento para revisar el magnífico telefilme británico Breaking the Code. Antes de nada recordar al lector que en este mismo portal, Miguel Ángel Mirás Calvo y Carmen Quinteiro Sandomingo, compañeros de la Universidad de Vigo, dedicaron una magnífica trilogía a las versiones teatrales en las que Alan Turing aparece como protagonista (Sección Teatro y Matemáticas, números 47 (Marzo 2011), 49 (Mayo de 2011) y 50 (Junio 2011)). En la primera abordaban la obra original de Hugh Whitemore, basada en la biografía Alan Turing: The Enigma de Andrew Hodges. Echaremos aquí un vistazo a la adaptación para televisión de la misma obra, analizando fundamentalmente, como viene siendo habitual en esta sección, aquellos momentos más relacionados con las matemáticas. Breaking the Code Título Original: Breaking the Code. Nacionalidad: Gran Bretaña, 1996. Director: Herbert  Wise. Guión: Hugh Whitemore, basada en el libro Alan Turing: The Enigma, de Andrew Hodges. Fotografía: Robin Vidgeon, en Color. Montaje: Laurence Méry-Clark. Producción: Jack Emery. Galardones: Ganador del premio al mejor drama en los premios británicos de prensa (Broadcasting Press Guild Awards) en 1998, y nominaciones al mejor actor principal en los BAFTA TV, y a la mejor puesta en escena de los GLAAD Media Award del mismo año. Duración: 75 min. Intérpretes: Derek Jacobi (Alan Turing), Alun Armstrong (Mick Ross), Blake Ritson (Christopher Morcom), William Mannering (Alan Turing joven), Prunella Scales (Sara Turing), Julian Kerridge (Ron Miller), Harold Pinter (John Smith), Richard Johnson (Dilwyn Knox), Amanda Root (Patricia Green). Breve sinopsis: Como sucede en la obra teatral, el telefilme comienza en una comisaría de policía, en Manchester en 1952. Alan Turing denuncia que han entrado en su casa y ha sido víctima de un robo. El agente Mick Ross se ocupa del caso. Según le toma declaración, Alan va recordando situaciones de su vida, no en orden cronológico, a través de las cuales el espectador va conociendo detalles y aspectos de su trabajo y personalidad. Esta producción no ha sido emitida en nuestro país por ninguna televisión (¡y mira que nos tragamos bodrios televisivos los sábados y domingos por la tarde en muchas cadenas!), ni editada en DVD. El lector puede verla íntegramente en YouTube, eso sí en versión original sin subtítulos (aunque en su ayuda van precisamente estas reseñas). Dedicaremos dos reseñas a transcribir y comentar algunas de las escenas más relevantes de esta producción, esperando que el lector se anime a ver el telefilme a pesar de no estar en castellano, y sobre todo descubra la importancia del trabajo de este gran matemático, desgraciadamente desaparecido prematuramente por circunstancias tan absurdas como injustas (y conste que en nuestro país, también tenemos algún que otro episodio vergonzoso en relación a la tendencia sexual de algunos ciudadanos). Volvemos a reiterar la lectura paralela de la reseña 47 de marzo de 2011 de la sección Teatro y Matemáticas, puesto que mi intención ha sido que la presente sea complementaria de aquella, tratando de que el telefilme se entienda mejor con ambas. Transcripción en español de algunas escenas Primera escena: hacia el minuto 4:50 La acción se sitúa en Guildford en 1929. Alan Turing y su amigo Christopher Morcom (ver imagen; Alan es el de la derecha) entran en casa del primero. Aparece Sara, la madre de Alan, que se encontraba en el jardín lo que parece contrariar los planes de Alan. Éste le presenta cortésmente a Chris. La madre los invita a sentarse en el jardín, teniendo lugar la siguiente conversación: Sara (a Chris): ¿Cuánto tiempo ha estado en Sherborne? Chris: Un año más que Troy,…, Alan. Sara: ¿Lo pasó bien? Chris: Mucho. Elegir correctamente el centro de estudio es tremendamente importante, ¿no cree? ¿A usted le agrada Sherborne? Alan (en tono sarcástico): ¿No es maravilloso? Sara: Desde luego que lo es. ¿Por qué dices eso? ¿Qué tiene de malo? Alan: Al menos por un motivo: no tratan las matemáticas como una disciplina seria. Sara: No puedo creerlo. Alan: Pues es así. ¿Sabes lo que nuestro tutor dijo el otro día? Dijo “esta habitación apesta a matemáticas”. Y a continuación, mirándome a mí, añadió “Sal y trae un spray desinfectante”. Sara: Estaría bromeando. Alan: No. Odia todo lo que tenga que ver con la ciencia o las matemáticas. Una vez dijo plenamente convencido que “Los alemanes perdieron la Gran Guerra porque pensaron que la ciencia era más importante que la religión”. Sara: El aprendizaje de las matemáticas no es el único modo de juzgar las cualidades de una escuela. Alan: Es lo único que a mi me importa. Sara (a Chris): ¿Comparte usted también ese entusiasmo por las sumas y la ciencia? Chris: Oh, si, plenamente. Alan interviene en ese momento de forma entusiasmada para relatar que Chris se interesa no sólo por las matemáticas, sino también por la poesía, la astronomía. En ese momento Chris se emociona hablando del cielo, las estrellas, la nebulosa de Andrómeda, “la maravillosa creación de Dios”. Ambos se muestran radiantes hablando de estos temas, aunque Sara los devuelve a la realidad: “Fascinante pero muy lejos de mi alcance”. Y pregunta a su hijo por el impronunciable nombre de ese científico alemán (se refiere a Einstein), terminando con la rectificación que Alan le hace a su madre (“El electrón no se inventó; se descubrió”), detalles que ponen de manifiesto las dificultades de entendimiento de Turing con su familia. Durante toda esta conversación, Alan Turing permanece de pié, dando vueltas a su alrededor, concentrado en algo que lleva en las manos. Cuando su madre sale, quedando a solas con Christopher, vemos que se encuentra jugando al famoso rompecabezas del 15. Cuando finalmente Chris también se va, la cámara nos enseña un primer plano del juego, mostrándonos que lo ha resuelto. Comentarios La escena no sólo nos trae a colación el interés de Turing por las matemáticas desde su juventud sino que también plantea el poco interés que muchas personas, incluso profesores, muestran por esta disciplina (aunque la acción transcurre en 1929, desgraciadamente es constatable, al menos en nuestro país, esa actitud en gran parte de la sociedad, por desconocimiento, por no decir, ignorancia absoluta; aún hay muchos que reducen las matemáticas a la simple aplicación de algoritmos rutinarios que en efecto son tediosos, y más aún, nos los siguen enseñando así). Respecto a la introducción de la religión en el diálogo, los alumnos de Matemáticas de la UPV-EHU en el tercer número de su publicación πkasle, han realizado una portada que incluye una conocida frase de Turing: “Science is a differential equation, Religión is a boundary condition” (“La Ciencia es una ecuación diferencial, la Religión es una condición frontera”). Y conste para los más susceptibles que no es peyorativa en absoluto. Eso sí para entenderla bien, hay que molestarse en averiguar cuál es el papel de las condiciones frontera en una ecuación diferencial. En la vida real de Turing, la repentina muerte de su amigo íntimo, Chris Morcom, propició en él una crisis religiosa que le llevó al ateismo. Probablemente por esa razón la religión es traída a colación en este diálogo. El juego del 15 es un conocido pasatiempo popularizado por Sam Loyd (al parecer su origen es anterior), aunque él mismo afirmaba ser su inventor (en la imagen, grabado original del libro de Loyd). El juego consiste en quince cuadritos que se deslizan dentro de una caja que tiene un hueco vacío. Se suele presentar con todos los cuadritos ordenados. A continuación alguien (o uno mismo) lo desordena al azar, y se trata de restablecer el orden original (algo así como una versión plana del Cubo de Rubik). Planteado así, es obvio que cualquier alteración del orden de los números puede retornarse a la posición inicial. Pero Sam Loyd lo comercializó con los números 14 y 15 cambiados de sitio. El reto era en este caso colocar todos los números en orden. Loyd ofrecía un premio de mil dólares (de 1878) al que lo consiguiera resolver. Además como buen comerciante, supo enganchar a la gente lo suficiente como para que el juego causara furor en su época. En su famoso libro (Cyclopedia of 5000 Puzzles, Tricks and Conundrums, 1914, pág. 235) le echó toda la imaginación que pudo: “Mucha gente se obsesionó con el rompecabezas y se contaron ridículas historias de comerciantes que olvidaban abrir sus comercios, de un distinguido clérigo que se pasó una noche al pie de una farola intentando recordar la forma en que había encontrado la solución. Es tal la misteriosa naturaleza del rompecabezas que nadie parece ser capaz de recordar la sucesión de movimientos que llevan al éxito. Se habló de pilotos que habían dejado embarrancar los barcos que pilotaban, de maquinistas que cruzaban las estaciones olvidándose de detener los trenes y los negocios se fueron a la ruina. Un conocido editor de Baltimore relata cómo se fue a almorzar y el personal de su empresa le descubrió pasada la medianoche empujando pequeños trozos de tarta sobre el plato. Se sabe de granjeros que abandonaron sus arados motivo que he elegido como ilustración de este juego”. El premio nunca fue entregado porque la situación planteada no tiene solución, como demostraron matemáticamente W. W. Jonson y W. E. Story en 1879 (ver artículo aquí). Hay versiones más generales del pasatiempo (rectángulo de n x m cuadritos), y está bastante estudiado qué posiciones son resolubles y cuáles no. Obviamente en el telefilme, Turing partiría de una posición posible. Otra conocida celebridad experta en la solución de este pasatiempo fue el ajedrecista Bobby Fischer como demostró en directo en el programa de televisión The Tonight Show Starring Johnny Carson (programa del 8 de Noviembre de 1972) resolviendo una posición que le entregaron al azar, en tan sólo 25 segundos. Por cierto, si a alguien que haya leído alguna biografía sobre Turing le sorprende que la madre de Alan se llame aquí Sara, como me pasó a mí, lo cierto es que su nombre completo era Ethel Sara Stoney, posteriormente Ethel Sara Turing. La mayor parte de los biógrafos utilizan sólo Ethel. Segunda escena: minuto 9:45, aproximadamente. La siguiente escena nos traslada a Manchester, concretamente a las Navidades de 1951, a la salida de un cine en el que proyectan la película de Disney Blancanieves. Alan Turing sale del cine, y un joven parece estar esperándolo. Alan se percata pero continúa su camino entrando en un bar a tomar una cerveza. El joven lo sigue y le pide permiso para sentarse junto a él. Comienza a charlar sobre cosas intrascendentes para empezar una conversación (el tiempo, la película, etc.). Entonces le pregunta por su trabajo. Alan: ¿Trabajo? Oh, estoy en la Universidad. Joven: ¿Un profesor? Alan: No, no. Yo investigo. Ciencia, Matemáticas. En la actualidad intentamos construir una clase especial de máquina, lo que la gente llama cerebro electrónico. Joven: Eso suena un poco…. Alan: ¿Cómo qué? Joven: Suena como de película. ¿Cómo se llamaba? Michael Rennie. La vi en Londres. Michael Rennie y una especie de robot. Alan: Oh. Joven: Ultimátum a la Tierra. Alan: Ultimátum a la Tierra. Joven: ¿La ha visto? Alan: No. Joven: Mucho mejor. Así que, ¿qué es lo que hace esa cosa en que está trabajando? Alan: Bien, se le proponen problemas, problemas matemáticos, y los soluciona, muy rápido. Joven: ¿Cómo de rápido? Alan: Muy, muy rápido, mucho más rápido de lo que podría un ser humano. Joven: Como una máquina calculadora. Alan (se ríe): No, no, es mucho más que eso. Lo que intentamos construir es una máquina que pueda aprender cosas y eventualmente pensar por si misma. Joven: ¡Dios mío! Alan: No es exactamente un robot, ni un cerebro, ni un cerebro humano. Es lo que llamamos computadora digital. Joven: ¿Y usted ha pensado en eso? Alan: Si, en algo así. Joven: Debe ser interesante un trabajo así. Alan: Sí, lo es. A continuación quedan para verse en casa de Alan. Éste le pregunta su nombre, que resulta ser Ron, aunque posteriormente declarará a la Policía que cree recordar que se llamaba George. La siguiente escena tiene lugar ya en casa de Turing, nada más levantarse de la cama (Alan está en bata leyendo el periódico en una cocina muy desordenada y Ron aparece a medio vestir). La actitud del joven es muy distante mientras que la de Alan es bastante cariñosa, siendo despreciada en todo momento por Ron. Durante la conversación entre ambos vuelven a aparecer ideas y episodios de la biografía del Turing real. Señala por ejemplo que cuando tenía nueve o diez años le regalaron el libro Natural Wonders every child should know (Maravillas de la Naturaleza que todo niño debería conocer). Con él descubrió que “toda la vida depende de la Ciencia. No es necesario apelar a ningún Dios o a la Creación Divina. Química, Animales, Seres Humanos. El cuerpo es una máquina […]. Es desafiante. La vida es un apasionante experimento del que deseo tomar parte con todas mis fuerzas”. Como acabo de decir, en esta escena, ante un completo desconocido, Turing se sincera completamente y deja entrever el fracaso y la decepción que ha supuesto su existencia, tanto familiar como emocionalmente: “Cuando era un niño, mis únicos amigos eran los números. En ellos podía confiar. Ellos no te traicionan, ni rompen ninguna regla”. Comentarios El libro Natural Wonders every child should know (Maravillas de la Naturaleza que todo  niño debería conocer, libro editado en Nueva York en 1939, escrito por Edwin Tenney Brewster) puede localizarse en Internet. En casi todas las aplicaciones de búsqueda va unido a otros títulos sobre Alan Turing, precisamente por haber significado para él un gran descubrimiento. Otra referencia en el diálogo anterior es a la película Ultimátum a la Tierra (The Day the Earth Stood Still, Robert Wise, EE. UU., 1951), pionero film de ciencia-ficción, a cuyo análisis y referencias a las matemáticas ya hemos dado cuenta en otras ocasiones (libro Las Matemáticas en el Cine, pp. 95 – 98). Sin embargo, lo más interesante tiene que ver con su pequeña introducción a la inteligencia artificial. A continuación Ron intenta sonsacar a Alan en qué trabajaba para el Gobierno durante la Guerra. Alan le explica que prometió a Churchill no desvelar en que trabajaba, porque una indiscreción podría haber significado el perder la guerra. Consigue eludir la cuestión contándole una historia sobre un enorme ingenio mecánico, similar al mencionado en Ultimátum a la Tierra (aquí comprobamos que aunque Turing dijo no conocer la película, era mentira) que le tenía acorralado y al que tenía que ganar jugando al ajedrez para poder escaparse de él en una partida que duraba días, noches, y él se encontraba aterrorizado. Ron le sugiere que Flash Gordon podía venir a rescatarlo (lo que hace gracia a Turing, ya que en el fondo él habla de algo serio, recordemos, la máquina Enigma, y el chaval salta con algo ingenuo e infantil). Finalmente como vemos en la imagen, Turing utiliza una pared de la cocina de su casa como pizarra para terminar de explicarle de qué van sus investigaciones y cómo poder vencer a aquel ingenio: “Entonces pude encontrar un trozo de tiza con el que escribí sobre la pared una serie de sumas, que resolví mal deliberadamente (en la imagen vemos 2 + 2 = 5, 1 + 4 = 3), y lo hice tan despacio y tan mal que el robot se encontraba cada vez más desesperado” “¿Y qué?”, pregunta Ron. “El ingenio acabó suicidándose”. Ron pone cara de fastidio. Preguntado por Alan qué le ha parecido, su respuesta no deja lugar a dudas: “Flash Gordon es mejor”. La escena acaba en cabreo del joven porque Alan no tiene comida en casa, la que tiene está medio podrida y él tiene hambre. Le tiene que dar dinero para que se vaya a desayunar. Tercera Escena: Minuto 25:30 aproximadamente. Quizá la escena con mayor contenido matemático de la película, es una larga explicación de Alan Turing, muy bien documentada e interpretada, sobre la fundamentación de la matemática. La acción se sitúa en algún lugar de Inglaterra en 1940. Alan entra en una zona alambrada y restringida después de que el militar que hace guardia compruebe que su documentación está en regla. A continuación entra en un despacho con Dilwyn Knox. Éste le pregunta sí sabe quien es, a lo que Alan le responde que todo lo que sabe de él es que es un renombrado criptoanalista. También le pregunta la razón por la que ha aceptado la invitación para entrevistarse con él, indicando que considera que puede ayudar más a su país en momentos tan difíciles allí que en el campo de batalla. Parece un tipo afable, y bromea en repetidas ocasiones con sus despistes y faltas de memoria. No obstante advierte a Turing que desde el puesto al que quizá acceda a veces es necesario tomar decisiones duras. Se disponen a hablar sobre un artículo de Turing, “On computable numbers with an application to the Entscheidungproblem” (Sobre números computables y una aplicación al problema de la decisión), que uno puede consultar en el anterior enlace. Knox: Va a tener que tener paciencia conmigo, Turing. Yo no soy un administrador, ni un matemático, pero ya que parece altamente probable que vamos a trabajar juntos, podríamos pensar en tener algún tipo de conversación para conocernos. ¿Le parece bien? Turing: Sí, por supuesto. Knox: Esta es su ficha. La consultaré de vez en cuando. No tiene porqué alarmarse. Turing: No, no lo estoy. Knox: Veo que tiene usted interés en códigos y cifras. ¿Cómo comenzó? Turing: Bueno, yo siempre he estado interesado, creo, desde que yo era un niño. Recuerdo que recibí un premio en la escuela, un libro llamado “Ensayos y Recreaciones Matemáticas” y que había un capítulo dedicado a la criptografía. Me pareció fascinante. Luego, mucho más recientemente, me di cuenta de que mis ideas en matemáticas y lógica podían aplicarse a sistemas de cifrado. […] Knox: He estado analizando algunos detalles de su trabajo, señor Turing, la mayor parte de los cuales debo decirle que me resultan totalmente incomprensibles. Turing: Eso no es sorprendente. Knox: Yo solía ser muy bueno en matemáticas cuando era más joven, pero esto es, desconcertante. Por ejemplo, esto de aquí. Sobre los números computables, con una aplicación al “Entscheidungproblem”. Explíqueme algo al respecto. Turing: ¿El qué? Knox: Lo que sea. Unas pocas palabras de explicación, en términos generales. Turing: ¿Unas pocas palabras de explicación? Knox: Sí. Turing: ¿En términos generales? Knox: Si es posible. Turing: Bueno, es sobre lo correcto y lo incorrecto, en términos generales. Se trata de un documento técnico sobre lógica matemática, pero también trata de la dificultad de decidir lo correcto de lo incorrecto. Mire, la gente piensa que, bueno, la mayoría de la gente piensa que, en matemáticas  siempre sabemos lo que está bien y lo que está mal. No es así, y no lo será nunca más. Es un problema que ha ocupado a los matemáticos durante cuarenta o cincuenta años. ¿Cómo distinguir lo que está bien de lo que está mal? Bertrand Russell ha escrito un libro inmenso sobre el tema, su “Principia Mathematica”. Su idea fue desmenuzar todos los conceptos y argumentos matemáticos en trozos pequeños y luego demostrar que podían derivarse de la lógica pura. Pero creo que eso no funciona, y después de varios años de trabajo intenso, encontré algunas complicaciones insalvables… Bueno, es un libro importante, importante e influyente. Influyó tanto en Hilbert como en Kurt Gödel. Tiene similitudes con los átomos, con el nuevo tratamiento físico de la materia. Así como el análisis de la física atómica ha llevado al descubrimiento de una nueva clase de física, de la misma manera al tratar de analizar estos átomos matemáticos ha dado lugar a una nueva clase de matemáticas. David Hilbert fue un poco más allá. No creo que su nombre signifique mucho, si es que significa algo para usted, pero así son las cosas del mundo, la gente parece que nunca ha escuchado hablar de los matemáticos realmente grandes. Hilbert miró el problema desde un ángulo completamente diferente y dijo que si tuviéramos cualquier sistema fundamental para las matemáticas, como el que Russell intentaba desarrollar, necesitaría verificar tres requisitos básicos: consistencia, completitud y decidibilidad. La consistencia indica que no debe haber ninguna contradicción en el sistema, es decir, que usted nunca será capaz de seguir las reglas de su sistema y acabar demostrando que dos y dos son cinco. Completitud significa que si una proposición es cierta, debe probarse utilizando las reglas de nuestro sistema. Y la decibilidad significa que debe existir un procedimiento definido o un test que pueda ser aplicado a cualquier proposición matemática y pueda decidir si tal aseveración es verificable o no. Hilbert pensaba que estas condiciones deben ser las mínimas que hay que imponer, pero al cabo de unos años, Kurt Gödel demostró que  ningún sistema en las matemáticas puede ser a la vez consistente y completo, y lo hizo construyendo una proposición matemática que dice: “Esta proposición no puede ser demostrada”. Una paradoja clásica. “Esta proposición no puede ser demostrada”. Si podemos demostrarla, tenemos una contradicción, y el sistema es inconsistente. Si no puede ser demostrada, entonces la proposición es cierta. Pero no puede ser demostrada, lo que indica que el sistema es incompleto. Así que las matemáticas o son inconsistentes o son incompletas. Es precioso. Creo que el teorema de Gödel es lo más bonito que jamás he conocido. Pero la cuestión de la decibilidad, el “Entscheidungproblem” estaba todavía sin resolver. En mi trabajo sobre los números computables, quise demostrar que ningún método puede funcionar para todas las cuestiones. Resolver problemas matemáticos requiere un infinito suministro de nuevas ideas. Demostrarlo fue una tarea monumental. Tuve que examinar la demostrabilidad de todas las afirmaciones matemáticas del pasado, el presente y el futuro. ¿Cómo diablos podía hacerse eso? Finalmente, una palabra me dio una pista. La gente ha estado hablando de un proceso mecánico, un proceso que podría ser aplicado mecánicamente para resolver problemas matemáticos sin necesidad de ninguna intervención humana o del ingenio. ¡Máquina! Esa fue la palabra crucial. Concebí la idea de una máquina, una máquina de Turing, que sería capaz de escanear símbolos matemáticos, leerlos, si se quiere, leería una afirmación matemática y luego llegaría a un veredicto sobre si esa afirmación sería demostrable. Y con este concepto fui capaz de demostrar que Hilbert estaba equivocado. Mi idea funcionó. Knox (absolutamente desconcertado): Ya veo. Bueno, no, pero ya veo algo…, creo. Y finalmente cierra la carpeta que contiene el artículo que están comentando e indica a Turing que está seguro que será de gran valía para el equipo que él mismo dirige, y que debe incorporarse inmediatamente. Turing está encantado, aunque manifiesta no llegar a comprender que función desempeñaría, cuál sería su cargo, a lo que Knox indica que no debe preocuparse para nada del asunto de la organización, que de eso ya se encarga él, y si no lo hiciera, no estaría allí. A continuación manda llamar a Patricia Green, una de sus mejores criptoanalistas. Entonces es cuando le revela que su trabajo consistirá en tratar de descifrar el código de la Enigma. Cuando entra Patricia, ésta recuerda a Turing que ya lo conocía: Turing: ¿Si? ¿Dónde? Pat: Usted dictó una conferencia en Club de Ciencia Moral en Cambridge. Nos vimos fugazmente al terminar. Turing: Eso fue hace seis, siete años. Pat: Diciembre de 1933. Lo recuerdo muy claramente. Recuerdo que afirmó que las proposiciones matemáticas no tienen una, sino una variedad de interpretaciones. Usted abrió un montón de posibilidades sobre las que nunca había pensado. Fue excitante. Turing: Gracias. Comentarios Podríamos llenar páginas completando datos sobre este largo, prácticamente monólogo, muy bien interpretado por Derek Jacobi (merece la pena verlo explicar este tipo de cosas, completamente ajenas a los conocimientos de un actor; pero Jacobi es excepcional, vive lo que cuenta, a pesar de que, bajo mi punto de vista, abusa un tanto de los tics que lo hicieron famoso en Yo, Claudio). Simplemente comentaré algunas curiosidades. El libro Mathematical Essays and Recreations, de W. S. Rouse Ball, editado en Londres en 1892, es un clásico que uno puede descargarse gratuitamente, por ejemplo aquí. También contiene el juego del 15 del que hablamos arriba y cómo construir cuadrados mágicos, entre otras muchas cosas. Es una joya que todo matemático (opinión personal) debería haber leído al menos una vez, y percatarse de que las clases de matemáticas no deben basarse SOLO en la transmisión de algoritmos repetitivos que hagan al alumno odiar esta preciosa materia. Y subrayo: Aunque no nos de tiempo a acabar completamente el temario oficial. Afortunadamente muchos libros de texto ya incluyen al final de cada tema, cuestiones, ejercicios, no mecánicos, sino donde gastar un poquito de materia gris. Además de ser entretenidos, amplían el espectro de lo que los alumnos consideran que son las matemáticas. Desgraciadamente, casi ningún profesor de Secundaria los utiliza ni los manda siquiera leer porque su prioridad es terminar completamente el temario (aunque considero que, planificándose bien, hay tiempo para todo, pero claro, hay que dedicarle algún tiempo, y no hay demasiados incentivos ni por parte de los alumnos, ni de los padres, ni de la Administración; en eso les doy la razón. Pero tampoco debemos olvidar del todo el carácter vocacional de nuestro trabajo). En fin, dejemos el mitin, y volvamos a Turing. Sobre Russell, Hilbert y Gödel y sus planteamientos de fundamentación de las matemáticas existe abundante información, por lo que me ahorraré las referencias. Quizá revisar la reseña 66 de esta misma sección. Finalmente, indicar que Alfred Dillwyn “Dilly” Knox fue un reputado criptoanalista británico que trabajó en Bletchey Park tratando de descifrar el código de la Enigma alemana, formando parte del equipo polaco-franco-británico dedicado a tal fin (el lector interesado puede revisar también la película Enigma dirigida por Michael Apted en 2001), tal y como indica el telefilme, hasta su muerte en 1943 (cáncer linfático). Entre sus logros se encuentra haber sido participe del descifrado del famoso telegrama Zimmermann, una de cuyas consecuencias fue que EE. UU. entrara en la I Guerra Mundial. En 1937 descifró también el código de las máquinas de las tropas nacionales de Franco en la Guerra Civil Española, aunque esta información no fue transmitida nunca al bando republicano (según se expone en el artículo "Nazi Enigma machines helped General Franco in Spanish Civil War", publicado por The Times el 24 de octubre de 2008, y firmado por Graham Keeley). Algunas referencias sobre Turing En Gran Bretaña, la celebración del centenario está siendo de una repercusión amplísima. Véase por ejemplo este enlace. El pasado 21 de marzo, el diario EL PAIS en su página 39 en la sección Sociedad incluyó un magnífico artículo de Ramón López de Mántaras titulado El legado de un científico visionario (en el enlace se puede acceder a él) donde se detallan algunos de los aspectos en los que Turing “rompió esquemas” tal y como he titulado esta reseña, no sólo aludiendo al código de la Enigma. Las ideas de la inteligencia artificial, la máquina y el test de Turing, la conexión neuronal de ordenadores, la explicación de ciertos patrones biológicos, son algunos de los temas abordados, explicados con sencillez, claridad y además, rigor. Continuará Videoclips y Matemáticas Acaba de aparecer el monográfico 60 de la revista UNO de Didáctica de las Matemáticas, dedicado a la utilización de este medio como material docente, correspondiente al trimestre Abril-Mayo-Junio. El índice completo puede consultarse aquí. Además, en el siguiente enlace, es posible leer íntegramente en pdf la sección de reseñas sobre nuevas tecnologías y libros, que incluye un interesante artículo sobre Los Efectos Especiales en el Cine (perdónenme la auto-complacencia), primero de una serie que confiamos que, aparte de ser del agrado de los lectores, sirva para mostrar cómo las matemáticas junto a las nuevas tecnologías informáticas y digitales están contribuyendo a la mejora y credibilidad de unas escenas que, a pesar de ser simuladas (no reales), nunca hasta ahora hubiéramos podido ni imaginar.

Miércoles, 11 de Abril de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

657. 14. (Marzo de 2012) Día internacional de la mujer

Siendo esta la entrega de esta sección correspondiente al mes de marzo, a pesar de lo retrasado que voy en la misma, no podía dejar pasar el hecho de que como todos los años, el pasado 8 de marzo, se celebró el Día Internacional de la Mujer (Trabajadora). Por este motivo, en esta entrega Express de las matemáticas en la publicidad vamos a incluir la imagen de unos pocos anuncios relacionado con el Día Internacional de la Mujer, en el que aparecen signos matemáticos… 1) de este mismo año (2012), tenemos el anuncio del sindicato UGT (Unión General de Trabajadores), en el que se utiliza el signo de la suma … “+ mujeres, + igualdad”… 2) otro anuncio en el que se juega con los signos matemáticos de la suma “+” y de la igualdad “=” es este que se pudo ver en todas las estaciones de Metro Bilbao el año 2007… 3) Pero no es el único anuncio de Metro Bilbao en el que se utiliza el signo de la igualdad “=”. El año 2008 se pudo ver el siguiente…

Viernes, 30 de Marzo de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

658. 34. (Marzo 2012) Minimalismo y matemáticas: Clapping Music

1. Introducción La historia de la música es con frecuencia la historia de las reacciones humanas a la música misma1. Un buen ejemplo de ello se puede observar en el minimalismo. Desde la Segunda Guerra Mundial, el panorama en la música clásica estuvo dominado principalmente por compositores como Boulez, Berio, Cage, Ligete y Stockhausen, entre otros. Estos compositores representan el modernismo de posguerra. Tal modernismo se puede entender bien como postserialismo, siendo Boulez una de sus figuras más prominentes, o bien como el indeterminismo, donde Cage se convierte en una de sus figuras más notables. Aunque el término minimalismo se usó en principio en las artes visuales, más tarde se aplicó a un estilo de música caracterizado por un vocabulario rítmico, melódico y armónico simplificado (véase [15]). En efecto, Timothy Johnson sostiene que el término minimalismo se puede definir de modo más fructífero si se concibe como una técnica en lugar de una estética o un estilo [7]. Los principales representantes del minimalismo son LaMonte Young, Philip Glass, Terry Riley y Steve Reich. Su música e ideas se convirtieron en la mayor reacción al modernismo personificado por los compositores antes mencionados. En efecto, allí donde el modernismo es resueltamente atonal, el minimalismo es claramente modal o tonal; allí donde el modernismo se muestra aperiódico, fragmentario, el minimalismo se caracteriza por una gran regularidad rítmica; y allí donde el modernismo se presenta con una gran complejidad de estructura y de textura, el minimalismo es simplemente transparente. El minimalismo tiene diferentes materializaciones dependiendo del compositor, pero las obras minimalistas comparten una preocupación por la tonalidad no funcional y repetición de frases musicales, frecuentemente pequeños motivos o células que evolucionan gradualmente. Por ejemplo, Young usa notas bordón, al estilo de las isocrátimas, sostenidas durante largos periodos de tiempo, Glass selecciona arpegios de un acorde que se repiten recurrentemente, y Riley y Reich incorporan melodías que se repiten con armonías de pulso rápido. No menos significante es el hecho de que la música minimalista no posea casi ninguna de las características de la música occidental (al menos desde el periodo romántico), esto es, movimiento armónico, modulación tonal, desarrollo temático, texturas complejas o formas musicales con estructuras diseñadas cuidadosamente. Por el contrario, esta música evita cualquier sentido o consciencia de clímax o desarrollo, y parece ignorar la dialéctica de tensión y reposo, al menos tal cual se manifiesta en la música clásica occidental. En palabras de Roger Sutherland [19]2 : “(...) al oyente se le invita, no a seguir un argumento musical complejo, sino a concentrarse en el sonido que cambia lentamente y a centrarse con consciencia microscópica en diferentes aspectos del mismo”. Es probablemente Reich el compositor minimalista que más abiertamente repudio la tradición clásica occidental. Reich se opone a la vez al serialismo europeo y al indeterminismo americano porque en estos dos estilos los procesos por los cuales se construye la música no se pueden oír y discernir claramente por el oyente. Antes que él, el crítico musical Pousseur [13], así como Xenakis [24], había señalado ya que “donde las más abstractas construcciones se emplean... uno tiene la impresión de encontrarse en presencia de las consecuencias de un libre juego aleatorio”. Este rechazo, formulado no solo por Reich, sino por otros compositores minimalistas, bien puede ser la razón por la que la música minimalista ha sido tan incomprensiblemente ignorada por críticos y estudiosos. Algunos estudios hay, más bien recientes; véase [13, 8, 19, 12] y, evidentemente, los ensayos de Reich [16, 17]. En su ensayo Music as a Gradual Process, incluido en [16], Reich establece sus principios como sigue: “Estoy interesado en los procesos perceptibles. Quiero ser capaz de oír el proceso en desarrollo según suena la música”. Para que tales procesos sean accesibles al oyente, estos tienen que fluir de manera extremadamente gradual. El proceso mismo tiene que estar relacionado con la idea de cambio de fase. Primero, dos o tres intérpretes tocan una melodía y después de un tiempo uno de ellos cambia de fase. Al principio del cambio de fase se produce una especie de ondulación en forma de acorde arpegiado; más tarde, según el proceso de cambio de fase continúa, la segunda melodía se encuentra a una distancia de corchea y una nueva melodía entrelazada surge. El proceso continúa hasta que las dos melodías están en fase, en unísono, otra vez. Estas ideas se realizan en muchas de las obras de Reich compuestas entre 1965 y 1973  [11]. Toda esta experimentación empieza con It’s Gonna Rain y Come out (ambas compuestas en 1966), donde usa el cambio de fase con música en cinta; continúa con Piano Phase (1967) y Violin Phase (1967), donde experimenta dentro de un contexto acústico, sin instrumentos eléctricos; y finalmente Reich alcanza el punto de máximo desarrollo con Drumming (1970-71), Clapping Music (1972) y Music for Mallet Instruments, Voices and Organ (1973), donde incorpora cambios graduales de timbre y aumentación rítmica, entre otros recursos musicales. A finales de 1972, abandona los cambios graduales de fase, porque “ya era la hora de algo nuevo” [16]. En la columna de este mes vamos a analizar una pieza emblemática de esta época de Steve Reich: Clapping Music. En [2], Colaninno y sus coautores contemplan la hipótesis de que esta pieza le fuese inspirada a Reich en África. En efecto, en el verano de 1970 Reich viajó a Ghana, donde estudió percusión africana [9]. Aprendió gahu, agdabza y otros estilos musicales, los cuales sin duda influyeron en su música (más tarde llegó a estudiar gamelán). La influencia de la música africana se puede percibir en obras tales como Drumming y Clapping Music, donde el cambio de fase es discreto, pero esa influencia es incluso perceptible en piezas de cambio de fase continuo, como en Phase Patterns, Violin Phase y New York Counterpoint. Sin embargo, en un vídeo reciente, de 2011, Reich explica que la inspiración para la pieza le vino de la música flamenca; en particular, de un espectáculo que vio en un tablao flamenco en Bruselas. El vídeo se puede ver en la siguiente sección. 2. Clapping Music Clapping Music es una pieza de cambio de fase para dos intérpretes que tocan únicamente las palmas. Cada uno de ellos toca el mismo patrón a lo largo de toda la pieza. El cambio de fase es discreto, con un intérprete que empieza el patrón desde un punto distinto, el cual va avanzando después de unas cuantas repeticiones del patrón. El otro intérprete permanece imperturbable tocando el patrón sin cambio alguno. En la figura 7 se ha reproducido la partitura de Clapping Music. Las variaciones que se producen en cada cambio de fase se han numerado en orden ascendente , donde V0 = V12 indica que los dos intérpretes tocan al unísono. Figura 1: La partitura de Clapping Music. Para mejor apreciar y comprender Clapping Music, vamos a comentar unos cuantos vídeos de la obra. En primer lugar, tenemos un vídeo de Steve Reich en la época en que compuso Clapping Music; él mismo es uno de los intérpretes. A continuación, tenemos un vídeo de Reich, más moderno, en que explica los principios compositivos de la obra. Aquí revela el origen de la inspiración, como mencionamos más arriba. El siguiente vídeo muestra una animación gráfica de Clapping Music, que por su excelente visualización hemos querido incluir aquí. Seguimos con otra versión de Clapping Music, esta vez con un solo intérprete sobre dos cajas. Toca cada patrón en una mano y supone un delicado ejercicio de coordinación. Y por último, traemos una original coreografía de Anne Teresa De Keersmaeker sobre la música de Clapping Music bailada por la coreógrafa misma y Michèle Anne De Mey. Es muy interesante ver los movimientos elegidos para recrear el patrón de Clapping Music y cómo el patrón corporal sufre también los cambios de fase. Esta pieza, a pesar de su aparente simplicidad, no esta desposeída de interés musical. En primer lugar, Clapping Music consiste en una síntesis y estilización de las ideas de Reich a través de una pieza con unos pocos elementos muy bien combinados. En segundo lugar, Clapping Music muestra una profunda ambigüedad métrica -algo muy común en las piezas de Reich- así como una gran cantidad de ritmos entrelazados. En el análisis siguiente profundizaremos en estas ideas. 3. Análisis de Clapping Music Cuando uno oye Clapping Music, la pregunta que surge de manera natural es cómo llegó Reich a elegir este patrón. Según el patrón rota, cambia de fase, una serie de ritmos entrelazados emergen, creando una gran variedad rítmica. Aún más, en la pieza hay un gran sentido del equilibrio entre las variaciones resultantes. Una vez que el patrón se define, sin embargo, las reglas aplicadas a esta composición no permiten cambiarlo. Por tanto, el patrón tiene que elegirse con extremo cuidado. A continuación, vamos a analizar unos cuantos aspectos musicales de Clapping Music para entender cómo funciona esta música proceso (música en que el proceso se oye claramente, música en que la elección de un patrón y unas reglas de juego ya determinan la composición entera). 3.1 Análisis musical de Clapping Music Usaremos las etiquetas dadas en la figura 7 para referirnos a las variaciones V0,V1,...,V11,V12 = V0. Clapping Music tiene una estructura global muy definida. En cierto sentido que vamos a explicar enseguida, se tiene que la variación Vi es igual a la variación V12-i, para cualquier i = 0,1,...,12. Véamos por qué. V0 = V12. Esto es trivial por cómo está construida la pieza. V1 = V11. En principio, mirando la partitura al menos, vemos que la variación V1 no es igual a la V11. Sin embargo, cuando se tocan unas cuantas veces seguidas, las percibimos como iguales. Estas dos variaciones no tienen ningún silencio común; están constituidas, por tanto, por un patrón continuo, sin roturas por silencios. Esa falta de reposo, esa ausencia de silencios, confiere una extraordinaria energía y agitación a la variación. Además, la variación V1 es igual a la variación V11, salvo que los intérpretes están intercambiados. Si los dos intérpretes pudieran sacar exactamente el mismo sonido de las palmas, ambas variaciones serían virtualmente indistinguibles. Reich juega de modo fundamental con el timbre en esta pieza como elemento que genera variedad ante otros elementos ausentes (armonía o melodía) u otros que son muy estables (el patrón de la primera voz). Figura 2: Las variaciones V1 y V11. V2 = V10. En la variación V2 encontramos una posición con un silencio común, en la séptima posición. Cuando se oyen las primeras repeticiones de la variación, el oído no comprende la estructura de la variación. Después, percibe el silencio como el final de la variación y en realidad concibe la variación empezando en la posición 8; véase la figura más abajo. Esta variación está formada por una única célula que acaba en un silencio. Las variaciones V2 y V10 son iguales, salvo que las partes de los intérpretes están intercambiadas; de nuevo, el juego del timbre. Además, si miramos la variación desde la posición 8, que es el principio perceptual de la variación, encontramos que la sucesión de notas para la primera voz es 1 - 2 - 3 - 2 y para la segunda 2 - 3 - 2 - 1, esto es, una es la otra leída en sentido contrario. De nuevo, la variación V10 es simétrica de la V2. Figura 3: Las variaciones V2 y V10. V3 = V9. En la variación V3 encontramos dos posiciones con silencios en común, lo que da lugar a dos frases. La variación tiene, pues, una estructura de pregunta-respuesta. La pregunta estaría formada desde la posición 10 hasta la 3 y la respuesta, de la 5 a la 8. La simetría es muy fuerte en esta variación. La primera voz de la pregunta tiene como sucesión de notas a 2 - 3 y la voz de abajo, 3 - 2. La respuesta tiene sucesión 1-2 y 2-1. La variación es V9 es simétrica de V3. Figura 4: Las variaciones V3 y V9. V4 = V8. La variación V4 está constituida por una única frase con un solo silencio en la última posición, en la 12. De nuevo, se produce la simetría en la sucesión de notas: 3 - 2 - 1 - 2 en la voz primera y 2 - 1 - 2 - 3 en la segunda. La variación V8 es la correspondiente simétrica. Figura 5: Las variaciones V4 y V8. V5 = V7. La variación V5 tiene otra vez estructura de pregunta-respuesta. La pregunta empieza en la posición 8 y se extiende hasta la posición 3; la respuesta está compuesta por dos corcheas seguidas que empiezan en la posición 5. Una vez más, tenemos la simetría en la sucesión de notas en la pregunta, 1 - 2 - 3 para la primera voz y 3 - 2 - 1 para la segunda. La respuesta es un unísono de dos corcheas en ambas voces. La variación V7 es la simétrica de V5. Figura 6: Las variaciones V5 y V7. La variación central V6. La variación V6 es muy interesante. Estamos en la mitad exacta de la pieza. Han pasado 6 rotaciones del patrón en la segunda voz. El patrón global resultante es continuo, es decir, no hay ningún silencio que corte este tren rítmico. Existe una simetría en las voces. La primera mitad de la variación es igual a la segunda pero con las voces intercambiadas; véase la figura de abajo. Figura 7: La variación V6. 3.2 Análisis con grafos filogenéticos Los grafos filogenéticos, originalmente una herramienta de la Bioinformática, se han usado para analizar ritmos. En [20] se usaron para estudiar las claves binarias de Brasil, Cuba y África. Una clave es un patrón rítmico que se repite a lo largo de una pieza y que sirve como referencia temporal [10, 23]. También se han empleado para el análisis de los ritmos flamencos [3]. Estos grafos se usan en biología para determinar la proximidad y evolución entre especies. Los biólogos miden el grado de proximidad entre dos especies comparando sus genes. En nuestro contexto, los ritmos desempeñarán el papel de los genes, y emplearemos medidas especialmente diseñadas para ritmos. La cuestión de cómo definir esas medidas ha sido estudiada en varios trabajos [20, 21, 22, 3]. Entre las distancias existentes la más satisfactoria resulta ser la distancia de permutación dirigida [3]. La distancia de permutación dirigida se basa en contar el número mínimo de operaciones para transformar un ritmo dado en otro. Esas operaciones se limitan a intercambios de notas o silencios entre posiciones adyacentes y tienen las siguientes restricciones: Ambos ritmos han de tener el mismo número de pulsos. En nuestro caso todos tienen 12 pulsos. Se convierte el ritmo de más notas, R1, al de menos notas, R2. Cada nota de R1 tiene que moverse a una nota de R2. Cada nota de R2 ha de recibir al menos una nota de R1. Las notas no pueden cruzar el final del ritmo y aparecer por el principio. Por ejemplo, la distancia de permutación dirigida (DPD) entre la primera voz y la segunda en la variación V1 es 4 puesto que hay que realizar cuatro permutaciones en la primera voz en las posiciones 3,6,8 y 11 para convertirla en la voz segunda; véase la figura 8. Así, tendríamos d(V0,V1) = 4. Observando el ejemplo de la figura, tendríamos que d(V0,V2) = 8 y d(V0,V3) = 12 Figura 8: La distancia de permutación dirigida. La matriz de distancias correspondiente a todas las variaciones de Clapping Music se puede ver en la figura 9. Se ha usado notación de caja para las variaciones. Variations V0 V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V9 V10 V11 V0=xxx.xx.x.xx. 0 V1=xx.xx.x.xx.x 4 0 V2=x.xx.x.xx.xx 8 4 0 V3=.xx.x.xx.xxx 12 8 4 0 V4=xx.x.xx.xxx. 4 2 4 8 0 V5=x.x.xx.xxx.x 8 4 2 4 4 0 V6=.x.xx.xxx.xx 12 8 4 2 8 4 0 V7=x.xx.xxx.xx. 4 4 4 8 2 4 8 0 V8=.xx.xxx.xx.x 8 4 4 4 4 2 4 4 0 V9=xx.xxx.xx.x. 2 4 8 12 4 8 12 4 8 0 V10=x.xxx.xx.x.x 4 2 4 8 4 4 8 2 4 4 0 V11=.xxx.xx.x.xx 8 4 2 4 4 4 4 4 2 8 4 0 ∑ 74 48 48 74 48 48 74 48 48 74 48 48 Figura 9: La matriz de distancias para las variaciones de Clapping Music. En la figura 10 se muestra el grafo filogenético asociado a la matriz de arriba. En este grafo la distancia entre nodos se corresponde exactamente con la distancia en la matriz. Esto permite visualizar más fácilmente propiedades de la distancia -en particular, agrupamientos- que de otro modo en la matriz de distancias no se perciben; véase [6] para obtener más información sobre grafos filogenéticos. En la figura los puntos negros pertenecen a las variaciones.   Figura 10: El grafo filogenético de Clapping Music pattern. El grafo filogenético tiene cuatro grupos distinguibles a simple vista en la figura 10, a saber, C1, C2, C3 y C4. Si los disponemos en orden de aparición en la pieza, resulta la tabla 11: Clusters C1 C2 C3 C4 V0 V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V9 V10 V11 V12 Figura 11: Agrupación en Clapping Music. A partir de esta sucesión de grupos podemos observar la evolución de las variaciones a través del tiempo según la DPD. Hay una primera sección formada por las variaciones V0 a V3; aquí las variaciones se alejan lo más posible de V0. En la segunda sección, que va de V4 a V6, las variaciones están todavía alejadas de V0. En la tercera sección, las variaciones V7 y V8 se quedan alrededor del centro del grafo, lo que representa un punto de retorno a partir del cual las siguientes variaciones volverán a V0. Las variaciones de la sección cuatro, consistentes en V9, V10 y V11, tienden a V0. Por último, Clapping Music se cierra volviendo al patrón del principio (V0 = V12). 4. Para saber más Richard Cohn [1] fue pionero en el análisis de la música de Reich desde el punto de vista rítmico; véase también [14] para otros enfoques formalistas. Colaninno y sus coautores [2] estudiaron Clapping Music desde el punto de vista de la tensión rítmica y también en comparación con claves africanas. En los trabajos [4, 1, 5, 20] se pueden encontrar análisis de la música de Reich desde un punto de vista maemático.   Notas 1 Esta introducción está inspirada en el artículo [2], del que es coautor este mismo columnista. 2 Todas las traducciones de citas de este artículo son del autor.   Referencias [1] Cohn, R. Transpositional Combination of Beat-Class Sets in Steve Reich’s Phase-Shifting Music. Perspectives of New Music, 30:2:146-176, 1992. [2] Colannino, J., Gómez, F., and Toussaint, G.T. Analysis of Emergent Beat-Class Sets in Steve Reich’s Clapping Music and the Yoruba Bell Timeline. Perspectives of New Music, 47:1:111–134, 2009. [3] Díaz-Báñez, J. M.; Farigu, G.; Gómez, F.; Rappaport, D.; Toussaint, G. T. El Compás Flamenco: A Phylogenetic Analysis. In Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music, and Science, Winfield, Kansas, 61-70, July, 2004. [4] Haack, J. K. Clapping Music – a Combinatorial Problem. The College Mathematical Journal, 22:224-227, May, 1991. [5] Haack, J. K.; ”Mathematics of Steve Reich’s Clapping Music. In Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music and Science, pp. 87-92, Winfield, Kansas, 1998. [6] Huson, D. H. SplitsTree: Analyzing and visualizing evolutionary data. Bioinformatics, 14:68-73, 1998. [7] Johnson, T.A. Minimalism: Aesthetic, Style or Technique? The Music Quarterly, 78:4:742-773, Winter 1994. [8] Mertens, W. American Minimal Music. Kahn and Averill, London, 1983. [9] Nyman, M. Steve Reich. The Musical Times, 112:1537:229–231, March, 1971. [10] Ortiz, F. La Clave. Editorial Letras Cubanas. La Habana, Cuba, 1995. [11] Potter, K. Steve Reich: Thoughts for his 50th-Birthday Year. The Musical Times, 127:1715:13–17, January, 1986. [12] Potter, K. Four Musical Minimalists: LaMonte Young, Terry Riley, Steve Reich and Philip Glass. Cambridge University Press, 2000. [13] Pousseur, H. The Question of Order in the New Music. Perspectives in New Music, volumen 1, 1966. [14] Quinn, I. Minimal Challenges: Process Music and the Uses of Formalist Analysis. Contemporary Music Review, 9:2:283–294, June, 2006. [15] Randel, D. (editor). The New Grove Dictionary of Music and Musicians. Akal, 1986. [16] Reich, S. Writings about Music. The Press of the Nova Scotia College of Art and Design, New York, 1974. [17] Reich, S.; Writings about Music 1965-2000, Oxford University Press, 2002. [18] Roeder, J. Beat-Class Modulation in Steve Reich’s Music. Music Theory Spectrum, 25:2:275–304, Autumn 2003. [19] Sutherland, R. New Perspectives in Music. Sun Tavern Fields, 1994. The quotation cited in the paper also can be found on an on-line paper at http://media.hyperreal.org/zines/est/articles/reich.html [20] Toussaint, G. T. A Mathematical Analysis of African, Brazilian, and Cuban Clave Rhythms. In Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music and Science, pp. 157-168, Towson University, Towson, MD, 2002. [21] Toussaint, G. T. Classification and Phylogenetic Analysis of African Ternary Rhythm Timelines. In Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music and Science, pp. 25-36, Universidad de Granada, Granada, 2003. [22] Toussaint, G.T. A Comparison of Rhythmic Similarity Measures. In Proceedings of the Fifth International Conference on Music Information Retrieval, pages 10-14, Barcelona, Spain, October, 2004. [23] Uribe, E. The Essence of Afro-Cuban Percussion and Drum Set. Warner Bros., Miami, 1996. [24] Xenakis, I. The Crisis in Serial Music. Gravesaner Blatter, No. 1, 1965.

Viernes, 09 de Marzo de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

659. 68. El enigma Majorana

Continuamos sacando gusto a las integrales en un interesante film, inédito en España, que plantea además el siempre espinoso asunto de la ética en la investigación científica. A lo largo de todo el tiempo que venimos analizando la relación entre cine y matemáticas (estas reseñas, libro Las Matemáticas en el Cine, conferencias), hemos indicado que las biografías de matemáticos (y por extensión, de científicos en general) son escasas, y en muchas ocasiones, bastante subjetivas. Uno de los países que más y mejores producciones cinematográficas tiene en este sentido es Italia. No es casualidad que en este asunto tenga mucho que ver la existencia de cadenas de televisión que han apostado por la difusión de la cultura (cierto es que suele ser de “su” propia cultura, y en muchos casos con propósitos no demasiado loables, pero ¿qué país no lo hace en mayor o menor medida?) y de sus personajes ilustres. En estas situaciones es donde podemos distinguir claramente a realizadores que cumplen con su trabajo de mera propaganda de aquellos que finalmente logran excelentes películas, mostrando su independencia e incluso acaban siendo críticos y fieles a su forma de pensar y a su trayectoria profesional. Desgraciadamente, también venimos indicando cómo estas producciones no se exhiben, o lo hacen de forma muy reducida, fuera de sus fronteras. El papel de los festivales y muestras de cine juega entonces un papel esencial para acceder a este tipo de películas. Muchos amantes del buen cine esperábamos que el DVD corrigiera estas carencias, y aunque lo ha hecho en parte, sobre todo al principio de su lanzamiento, no ha cumplido plenamente ese objetivo, plegándose al interés económico y comercial. Este mes presentamos una magnífica película, diría incluso que además una película bella, que recientemente (en la pasada Semana de la Ciencia, los días 16 y 17 de noviembre de 2011) ha programado la Filmoteca de Catalunya en un ciclo sobre Cine y Ciencia (2 + 2 = ciència i cinema). Que yo sepa nunca antes se ha proyectado en nuestro país, y sería bueno, como digo, poder acceder a ella (en Internet sólo se pueden ver algunas escenas en enlaces que más abajo indicaré). La globalización norteamericana (en el cine es notoria) nos ha convencido durante mucho tiempo de que los EE. UU. “salvaron” al mundo gracias a que se adelantaron a los nazis a la hora de construir la bomba atómica, hemos visto varias películas sobre el denominado proyecto Manhattan, pero hubo también científicos en otros lugares del planeta que pusieron su granito de arena en el estudio de la estructura nuclear del átomo. Sobre uno de estos grupos, y sobre todo, haciendo una reflexión sobre los riesgos que finalmente padecemos (la amenaza nuclear hoy es más real que nunca) trata: LOS MUCHACHOS DE VIA PANISPERNA Título Original: I ragazzi di via Panisperna. Nacionalidad: Italia, 1989. Director: Gianni Amelio. Guión: Alessandro Sermoneta, Vincenzo Cerami y Gianni Amelio. Fotografía: Tonino Nardi, en Color. Montaje: Roberto Perpignani. Música: Riz Ortolani. Producción: Conchita Airoldi   y Dino Di Dionisio. Galardones: Mejor Guión en el Festival de Cine de Bari. Duración: 123 min. Intérpretes: Andrea Prodan (Ettore Majorana), Mario Adorf (Corbino, ministro y decano de la Facultad), Ennio Fantastichini (Enrico Fermi), Laura Morante (Laura, esposa de Enrico Fermi), Virna Lisi (Sra. Majorana, madre de Ettore), Alberto Gimignani (Emilio Segrè), Michele Melega (Franco, ayudante de Fermi), Stefano Antoci (Ettore niño), Lidia Biondi (Secretaria de la universidad), Carlo Boldrini (el portero Umberto), James Braddell (periodista del Times), Giorgio Dal Piaz (Bruno Pontecorvo), Matteo Di Castro (Estudiante), Sabina Guzzanti (Ginestra, novia de Edoardo), Georges Géret (Francese, amigo de Ettore), Peter Hintz (Profesor Tudesco), Cristina Marsillach (prima de Ettore), Eleonora Morabita (Carmelina), Bianca Pesce (monja), Giovanni Romani (Edoardo Amaldi), Valeria Sabel (locutora de EIAR), Nicola Vigilante (Profesor). Breve sinopsis: Años treinta del siglo XX. El físico Enrico Fermi ha formado un grupo de investigación formado por varios jóvenes de gran talento (Emilio, Bruno, Edoardo y Ettore). Para algunos, la Física no es tema de su interés, pero la persuasión de Fermi y el decano de la Facultad acaba por convencerlos. La película, además de plantear de un modo meridianamente diáfano el objeto de sus investigaciones en física nuclear, echa un vistazo sobre todo a la vida personal de estos jóvenes, sus ansiedades, ilusiones, con una mezcla de delicadeza y patetismo perfectamente interrelacionados. Entre ellos destaca el joven prodigio Ettore Majorana. Las matemáticas La historia se articula fundamentalmente entorno a la relación de Ettore Majorana (1906-1938), un joven genio de las matemáticas puras, con el físico Enrico Fermi (1901 – 1954). En su primer encuentro, Fermi entra en un aula donde este joven se encuentra solo, escribiendo en una pizarra (la escena puede verse aquí). “¿Has probado tú esa solución?”, le pregunta. Ettore se vuelve ligeramente para ver a su interlocutor, y al momento sigue escribiendo, respondiendo “Fue difícil al principio, pero sólo fueron cuentas”. Fermi se sonríe con sorna (¿sólo cuentas?), y le pregunta sobre el tiempo que le llevó resolverlo. “Es verdad que me ha llevado bastante. Estuve toda una noche”, responde el joven. Fermi, con un tono un poco más severo, responde: “A nosotros nos llevó una semana. Y éramos tres”. A continuación le pregunta por sus intereses como estudiante. Hace ingeniería, aunque afirma no apasionarle demasiado, y explica cómo ve las cosas: En realidad me gustan las matemáticas, pero me fastidia que todo el mundo se aproveche de ellas. Físicos, ingenieros, generales de artillería... El esfuerzo de resolver un problema debería bastar por sí mismo - un cálculo perfecto debería ser inmediatamente destruido. En ese instante, después de volver a echar un vistazo a la pizarra, Fermi comienza a borrarla. “¿Qué hace?”, le pregunta Ettore. “Destruyo un cálculo perfecto”, responde. Entonces Fermi le ofrece un libro, y le pide que elija lo que quiera. Ettore abre por una página al azar, y se lo devuelve. “No es fácil”, responde, pero claro, para eso es el gran Enrico Fermi, no le queda más remedio que resolver el ejercicio en cuestión, que resulta ser una integral definida. La escribe. Es la siguiente: Mientras Fermi escribe y llena la pizarra de cuentas, Ettore se sienta de espaldas a él sobre la tarima, y escribe en una pequeña libreta (del tamaño de los post-it, aproximadamente). Cuando la cámara muestra lo que ha escrito, mientras Fermi sigue llenando el encerado, vemos la integral, a continuación x = 2cosht, y directamente la expresión de una primitiva (ver la imagen): y mentalmente, como en otros momentos de la película, pensativo, acaba escribiendo el resultado: 1,21. Ha terminado mucho antes que Fermi, que sigue llenando la pizarra. Sonríe. Al poco, Fermi termina y exclama “¡Ya está hecho!” Y recuadra la solución, 1,21. Vemos la pizarra en la imagen, tal y como la haría cualquiera (cualquiera que sepa, por supuesto, que un cambio de variable posible para eliminar la raíz cuadrada es trigonométrico; recuérdense para deducir si necesitamos una razón circular o hiperbólica las identidades sen2x + cos2x = 1, o cosh2x – senh2x = 1). Fermi utiliza el teorema del cambio de variable, etc., etc. Entonces Ettore le lanza el cuadernillo para que compruebe cómo llegó a la misma solución en menor tiempo y necesitando menos espacio. Si uno se toma la molestia de hacer el cálculo (es pesado, pero “non è difficile”, es un ejercicio de primero de ingeniería; perdón, de grado en ingeniería, aunque tal y como se han pensado estos nuevos estudios (que toman su nombre de una ciudad italiana, precisamente), probablemente ya no la haga nadie, y en el mejor de los casos, se la encomienden al ordenador), comprobará que el resultado de la primitiva (al menos el que me sale a mí) es: , que en realidad vale 1.205234942 (y esto último sí lo he hecho con el ordenador). Hay un error en el argumento de la arcotangente, y no sabemos quien es esa misteriosa γ, que por más vueltas que le he dado, no se me ha ocurrido. Pero desde luego, pensando en cómo el cine representa las matemáticas, nada que ver con la integral trivialona de la película española comentada el mes pasado. Hay más referencias matemáticas en la película (y por supuesto muchas más a la Física), por ejemplo enseñando matemáticas a una niña (la cámara lo muestra con la misma composición que la realizada por Leonardo Da Vinci en el cuadro La última cena) sin más elementos que un cuaderno y un lápiz. Posteriormente indicaremos algo sobre la postura ético-filosófica del personaje en la que esta escena se inscribe perfectamente. En otro momento apasionante, Ettore recuerda un momento de su infancia mediante un flashback: está jugando, y su madre lo llama. Como no hace la menor intención de ir, lo tienen que llevar por la fuerza. El niño, tímido e introvertido, se encuentra frente a un gran salón en el que hay sentados un grupo de amigos de la familia. Su madre (una magnífica Virna Lisi, en su época de madurez interpretativa, fuera ya del rol de rubia florero en que Hollywood la encasilló) lo presenta como un genio de las matemáticas “capaz de realizar mentalmente operaciones de tres y cuatro cifras, multiplicaciones, divisiones, y da siempre la solución exacta”. (La escena completa puede verse en http://www.youtube.com/watch?v=vUz-6r0u__c). El niño se esconde debajo de una mesa. Los invitados comienzan a lanzarle divisiones, sumas, una raíz cuadrada, que Ettore contesta mentalmente casi al instante, hasta que decide dejar de seguirles el juego. La película Inicialmente la película fue emitida por televisión con una duración de tres horas. El éxito de audiencia llevó a la productora a estrenarla en salas comerciales, pero reduciendola a sólo dos horas, y considerando las críticas que llegaron desde Italia, esa mutilación se nota, aunque para los que sólo la hemos logrado ver en esa versión, es difícil pensar en cómo sería el original porque esta versión se nos antoja ya magnífica. Aunque basada en hechos reales, no se trata de una película biográfica, ni de una crónica científica, ni una incursión al mundo universitario y del conocimiento, alternadas con gags más o menos cómicos. Como en el resto de su filmografía (comentada más abajo), el realizador sigue indagando en la compleja relación que, según él, existe entre la figura del padre (aquí, a diferencia de otras de sus películas, no es un padre biológico, sino un padre científico, prácticamente por edad, un hermano mayor) y del hijo. El personaje de Ettore (fenomenalmente interpretado por el actor, compositor y cantante Andrea Prodan) es la personificación del héroe trágico que, a pesar ser consciente de su previsible destino, no traiciona su esencia, su forma de pensar, su propia existencia, y resume todos los personajes de "hijo" presentados hasta ese momento por el realizador Gianni Amelio. Como segundo propósito pretende demostrar que afrontar argumentos de cierto peso (científico e histórico, en este caso) no tiene porqué conllevar a resultados aburridos que provoquen el rechazo del espectador. Llamando siempre, o casi siempre, a sus protagonistas por su nombre de pila, pretendiendo destacar la persona por encima del científico, la película se sumerge en una atmósfera de época brillantemente ambientada, tanto en lo que se ve como en lo que se intuye. En la escena inicial, un grupo de autoridades, que por diálogos y gestos plasman a la perfección el clima social previo al advenimiento de la Italia fascista, escucha el discurso radiado de Guillermo Marconi ante la Academia de Física. De repente una radio clandestina corta la emisión, anunciando “Italianos, amigos, hoy Marconi ha muerto y con él ha muerto la Física italiana […] en beneficio del progreso y la modernidad”. Observamos a Fermi y a Ettore Majorana escuchando en sus casa la radio: mientras uno está expectante, el segundo, se ríe abiertamente por la gamberrada. El decano de la Facultad, el profesor Corbino, trata de saber qué pasa, le comentan que es una señal muy potente, que los tapa completamente, que probablemente venga de algún país exterior,…, pero el lo tiene claro por sus únicas dos palabras: “Via Panisperna”. Es la forma de presentar la nueva ciencia, la nuclear, que supera la eléctrica, y la forma de presentarnos de golpe, no sólo el tema de la película, sino a sus protagonistas principales. En la escena comentada al principio, la de la integral, cuando Fermi conoce a Ettore, ya se nos deja claro que Ettore, sin saber que está hablando con el propio Fermi, considera a los talentos reclutados por Fermi, “conejillos de indias”, y es cuando reivindica la pureza de la matemática frente a la aplicabilidad de las ingenierías. Este es el origen de las discusiones entre ambos. Los dos aman la Física y las Matemáticas, pero con concepciones radicalmente distintas: Fermi es pragmático, está fascinado por los descubrimientos que obtiene el grupo en física nuclear, quiere experimentar, avanzar a cualquier precio, “utilizando” a sus cobayas en “pro de la ciencia”, según manifiesta, mientras que Ettore, mas reflexivo, frecuentemente quema los papeles de sus descubrimientos, aterrado por el posible mal uso de dichas investigaciones si son llevadas a la práctica. El choque entre ellos es pues inevitable, y sus destinos muy diferentes. Experimentalismo frente al encanto de la investigación pura, resultados frente a conciencia ética. Este es el argumento fundamental de la película. ¿Y cuál es el enigma? La llegada del régimen fascista obliga a los protagonistas a tomar decisiones. Fermi (cuya esposa era judía), aunque en principio intenta que la política no afecte a las investigaciones del grupo, decide ser práctico, como siempre y abandonar el país con el pretexto de ir a recoger el Nobel a Suecia (se le echa en cara su plegamiento a la fama y al Amigo” americano). El grupo se desintegra (nunca mejor utilizada la expresión. El 27 de marzo de 1938, en la travesía en barco de Palermo a Nápoles, Ettore Majorana desaparece misteriosamente. Nunca más se supo de él, ni las investigaciones concluyen nada. Se especuló (y se sigue haciendo) con múltiples posibilidades: suicidio (la versión más aceptada, como siempre, recuérdese el caso Alan Turing del que pronto nos ocuparemos), retiro espiritual del mundo a un convento, huida al extranjero, secuestro y asesinato por parte de agentes extranjeros, etc., etc. El caso es que su desaparición fue muy extraña. La película plantea un final abierto, planteando las múltiples hipótesis que se barajaron de forma sutil e inteligente, con una escena final muy hermosa cinematográficamente hablando. Fermi y su esposa se hallan en la cubierta del barco que los traslada a Suecia en plena noche. Recuerdan a Ettore. La mujer se retira (mujer que por cierto, también tiene cierto peso en la película, pero que no cuento para no alargarme en exceso). Fermi queda solo con su recuerdo y la imagen va superponiendo a Ettore y a Fermi, en la cubierta del barco, con la mirada perdida en el mar, pero cada uno mirando en direcciones opuestas. Hablando de miradas, estas son importantes en toda la película. Ettore cuando habla se dirige muchas fveces directamente a la cámara, como si hablara al espectador, mientras que la mirada de Fermi siempre es lateral, hacía abajo o al resto de personajes. Desde el punto de vista personal, la película diferencia también claramente la evolución de cada personaje: Fermi incluso en los momentos finales busca con desesperación un bloc de notas y fórmulas, con la etiqueta de "uranio", con nuevas fórmulas y quizá decisivas de Ettore (una especie de testamento científico), mientras Ettore se muestra cada vez más hastiado por una sociedad que lo ha convertido, muy a su pesar, por su inteligencia, en el centro de atención por lo que los demás esperan de él, pero sintiéndose ignorado como persona. La realidad Los chicos de Vía Panisperna fueron un grupo de jóvenes científicos liderados por Enrico Fermi. En 1934, en Roma, realizaron el famoso descubrimiento de los neutrones lentos a partir de los cuales se construyó el reactor nuclear, que posteriormente daría lugar a la bomba atómica. El nombre por el que es conocido el grupo proviene de la ubicación del Instituto de Física donde trabajaban, dependiente de la Universidad La Sapienza de Roma, situado en el número 90 de la Vía Panisperna, que tomaba el nombre de un monasterio cercano, San Lorenzo in Panisperna, existente aún actualmente.  Estaba dirigido por Orso Mario Corbino, que además de decano universitario fue ministro y senador. Este Instituto (en la foto), el primero en Italia de este tipo, se inició en 1877 con una partida de cien mil liras, terminándose en 1880. El edificio se construyó en el solar que ocupaba el convento de las Hermanas de Santa Prudenziana, demolido para la ocasión. Además de Enrico Fermi, el grupo estaba formado por Emilio Segrè (que fue convencido para que abandonara sus estudios de Ingeniería por Franco Rasetti que se incorporó al grupo en 1927), Ettore Majorana (que siguió el consejo de Rasetti y Segrè), Edoardo Amaldi animado por un emotivo discurso de Corbino a los estudiantes, Oscar D'Agostino, Ettore Majorana y Bruno Pontecorvo. Todos eran físicos excepto D'Agostino que era químico. En la foto, de izquierda a derecha, Oscar D'Agostino, Emilio Segrè, Edoardo Amaldi, Franco Rasetti y Enrico Fermi, en un patio del Instituto de Física de la Universidad de Roma en 1934. Las actividades del grupo entre 1927 y 1931 se llevaron a cabo en el campo de la espectroscopía atómica y molecular casi en su totalidad, dado que tenían buena técnica y las herramientas apropiadas. Fermi participaba en los experimentos y la interpretación teórica de los resultados. Después de conseguir algunos resultados importantes, en 1930 el grupo llegó a la conclusión de que este campo no ofrecía una perspectiva de investigación con futuro y decide incorporarse al estudio de la física nuclear. Rasetti describe esta decisión: Fermi y algunos del grupo consideraban que el futuro de la espectroscopia y más en general, de la física atómica, parecía más bien limitada. Fermi preveía que el interés por el átomo se trasladaría de las partes externas al núcleo. Su trabajo de investigación incluyó el bombardeo de varias sustancias con neutrones, que se obtenían irradiando berilio con partículas alfa emitidas por el radón, que es un gas fuertemente radiactivo que hace posible la obtención de numerosos elementos radiactivos artificiales estables. Los aspectos teóricos eran trabajados por Ettore Majorana y Fermi, los cuales permitieron comprender la estructura de los núcleos atómicos y las fuerzas que actúan entre ellos, conocidas como fuerzas de Majorana. Entre 1933 y 1934 publicaron la teoría fundamental de la desintegración beta. Hacia 1938, como consecuencia de la situación general en Europa, y en particular en Italia, el grupo se dispersa y la mayor parte de sus miembros emigraron. Fermi se vio obligado a hacerlo puesto que, como comentamos anteriormente, su mujer era judía. Con la excusa de ir a recoger a Suecia el premio Nobel el 6 de Diciembre de 1938, viaja con toda su familia, marchando posteriormente desde allí hacia los Estados Unidos, donde fue profesor de física en la Universidad de Columbia.  Los únicos que se quedaron en Italia fueron Oscar D'Agostino y Edoardo Amaldi. Acabada la guerra, Amaldi se encargó de la reconstrucción de la Física en Italia, contribuyendo decisivamente a la fundación del CERN. En la película también aparece el EIAR. EIAR son las siglas del Ente Italiano per le Audizioni Radiofoniche, la radio de la Italia fascista, constituida en 1927 al absorber a la URI (Unione Radiofonica Italiana). Era un verdadero monopolio, titular exclusivo de cualquier transmisión radiofónica. En 1944 cambia su nombre por el de Radio Audizioni Italiane y en 1954 incorpora la televisión pasándose a llamar RAI - Radiotelevisione Italiana. En la actualidad, existe un Museo histórico de Física y Centro de Estudios e Investigación Enrico Fermi. Su página web es http://www.centrofermi.it/. En España se encuentra el Instituto Italiano de Cultura (IIC) de Madrid, con sede en El Palacio de Abrantes (edificio del siglo XVII). Es un organismo oficial del Estado italiano cuyo objetivo es promover y difundir la lengua y la cultura italianas en España a través de la organización de actividades culturales que favorezcan la circulación de las ideas, de las artes y de las ciencias. Recientemente presentó un ciclo de programas denominado “Superquark” dedicado a Enrico Fermi (en la imagen). Esta denominación no es casual, ya que el programa “Quark” de la RAI, fue la primera emisión divulgativa dirigida a un público variado y en la actualidad sigue siendo uno de los programas científicos más importantes del panorama televisivo italiano. Desde hace más de 25 años está realizado y dirigido por Piero Angela, conocido y preciado divulgador científico, periodista y escritor. El Director de la película Gianni Amelio (San Pietro Magisano, provincia de Catanzaro, 20 de enero de 1945) es prácticamente un desconocido en nuestro país (a diferencia, por ejemplo, de Nanni Moretti, Giuseppe Tornatore, o Roberto Benigni, realizadores de la misma generación) con apenas cuatro películas estrenadas comercialmente en nuestras salas. Quizá la razón estriba en que su producción no es muy extensa (10 largometrajes, 7 producciones para televisión, 2 documentales y 10 cortometrajes; piénsese que salvo los largometrajes, el resto es de difusión interna, no se ha exhibido fuera de Italia), aunque si ha suscitado interés en diferentes festivales, ya que los temas que aborda no sólo son bastante trascendentes y de interés, sino que su estilo cinematográfico también lo es (entra plenamente en lo que los críticos denominan “cine de autor”, lo que inevitable y desgraciadamente espanta al público en general). Al poco de su nacimiento, su familia tuvo que emigrar a Argentina, pasando toda su infancia y juventud al cuidado de su madre y su abuela. Quizá por eso la ausencia de figuras paternas en su cine es una constante, como ya indicamos previamente. Según declaraciones del propio director, su estilo está muy influenciado por dos tendencias, el neorrealismo italiano y la Nouvelle Vague. Entre las claves fílmicas del cine de Amelio está el que la imagen “sugiere el hecho”, no siendo necesario mostrar el mismo en su totalidad; es el espectador el que debe ir en busca de la o las posibles interpretaciones. Respecto a la temática destaca su preocupación por los problemas sociales. Es un cine de denuncia, que reflexiona sobre la metafísica del ser, el problema de la verdad, ante sucesos como la vida, la muerte, el dolor, la incomprensión, o la incomunicación, siendo la forma en cómo plantea el problema, un estilo, una marca, una huella, que lo convierte en un director-autor-pensador desde la imagen. Gianni Amelio plantea, en cada una de sus películas, una reflexión filosófica sobre temas cotidianos que terminan por envolver a los espectadores en las acciones que desarrollan los personajes y sus personajes terminan por comprometerse con la realidad. Suelen ser películas multidisciplinares, con diferentes niveles y facetas (éticos, étnicos, económicos, políticos, culturales). Entre sus trabajos estrenados en nuestro país destacan Golpear al corazón (Colpire al cuore, 1983), Niños robados (Il ladro di bambini, 1992), Lamerica (1994), Así reían (Così ridevano, 1998), Las llaves de casa (Le chiavi di casa, 2004) y La estrella ausente (La Stella che non c'è, 2006). La 39 Semana Internacional de Cine de Valladolid (SEMINCI, 1994) dedicó un ciclo a este director, y editó el libro La mirada de Gianni Amelio, escrito por Sigfrid Monleón. Bibliografía El escritor Leonardo Sciascia, en La desaparición de Majorana (publicada originalmente en 1975; la edición en castellano se publicó en Barcelona por la editorial Tusquets en 2007), hizo una reconstrucción bien documentada sobre esta extraña desaparición del físico siciliano. Recordó su trayectoria familiar, sus relaciones con Fermi y con Heisenberg, su extraño comportamiento con los colegas, su inteligencia huraña, la conciencia de su valía. Este libro sigue siendo una buena referencia, pese a algunas críticas realizadas en su momento. Para finalizar, unas palabras reales dichas por Enrico Fermi sobre su colega, Ettore Majorana (en la foto): “Majorana tenía lo que ningún otro tiene en el mundo; por desgracia, le faltaba lo que, en cambio, se encuentra habitualmente en el resto de los hombres: el simple sentido común”. Una última recomendación. Cuando tengáis un rato echad un vistazo al cortometraje Inspirations (http://www.etereaestudios.com/docs_html/inspirations_htm/movie_b.htm), producido por Etérea Estudios y dirigido por Cristóbal Vila (probablemente recordéis aquel Nature by Numbers, de la misma productora).

Jueves, 08 de Marzo de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

660. 92. (Marzo 2012) El polígono de las Bermudas

Seguro que has oído hablar de la leyenda del triángulo de las Bermudas, región situada al norte del  mar Caribe entre las islas Bermudas, Puerto Rico y Fort Lauderdale (EEUU). Estos tres puntos forman casi un triángulo equilátero con un área aproximada de 1.2 millones de kilómetros cuadrados y, a lo largo de la historia, se han sucedido más de 70 misteriosas desapariciones de barcos y aviones. El incidente más famoso se produjo en 1945 cuando cinco bombarderos de la marina de EEUU desaparecieron durante un vuelo de entrenamiento. Además, no sólo sus restos no fueron encontrados sino que también desapareció un avión de reconocimiento que pretendía encontrarlos. Los misterios que se esconden tras las numerosas pérdidas han sido motivo de especulaciones varias y de disparatadas teorías. Una leyenda como ésta no podría estar exenta de aplicaciones varias y ser motivo de argumentos dramáticos. Aquí trataremos esta idea bajo diferentes puntos de vista. 1. Como problema de ingenio Un problema clásico, descrito en numerosas ocasiones por maestros del ingenio, consiste en distribuir de diferentes maneras un conjunto de objetos iguales, de forma que la suma de todos los elementos que están en la misma fila o columna sea igual. Describiré aquí las dos versiones que aparecen en el libro de Boris Kordemsky, titulado "Moscow Puzzles" (publicado por primera vez en 1956). 1.1. Un técnico recibe el encargo de iluminar una sala para un estudio de televisión en forma cuadrada mediante tubos de neón. Al principio colocó 3 lámparas en cada esquina y tres lámparas en los puntos medios de cada uno de los lados de la habitación, un total de 24 lámparas (ver figura). 3 3 3 3 3 3 3 3 De este modo había siempre 9 lámparas en cada pared. Después añadió 4 lámparas y seguía habiendo 9 lámparas en cada pared. Volvió a añadir 4 lámparas y seguía habiendo 4 lámparas en cada pared. Después trató de iluminar la sala con 20 lámparas y seguía habiendo 9 lámparas en cada pared. Volvió a probar utilizando 18 lámparas y seguía habiendo 9 lámparas en cada pared. ¿Cómo pudo conseguirlo? 1.2. Un grupo de soldados está defendiendo un pequeño fortín de forma cuadrada. La disposición ordenada por el comandante es la indicada en la figura adjunta (en el centro se indica el número total de soldados): 1 9 1 9 40 9 1 9 1 En cada uno de los cuatro asaltos que se sucedieron, el grupo iba perdiendo cuatro soldados. Sin embargo, siempre había 11 soldados defendiendo cada flanco del fortín. Durante el quinto y último asalto, dos soldados se dieron de baja pero seguía habiendo 11 soldados defendiendo cada lado. ¿Cómo fue posible dicha proeza? 2. Como historieta infantil En mis comienzos con la magia (hace más de un año pero menos de cincuenta), realizaba un juego titulado "Las matemáticas engañan", el cual representaba gráficamente con una baraja y en el que narraba el siguiente cuento (síguelo con las cartas en la mano colocándolas como se indica en las sucesivas etapas): Un señor, amante del buen vino, tenía en su bodega 32 botellas dispuestas como la figura adjunta. 1 7 1 7 7 1 7 1 Cada vez que bajaba a la bodega, contaba el número de botellas que había a lo largo de cada pared, siempre nueve. Un astuto criado se bebió 4 botellas y dispuso las demás en la forma que se indica en la figura. 2 5 2 5 5 2 5 2 El dueño, viendo que había 9 en cada lado, no se enteró del robo. Así que el criado lo intentó otra vez, dejando así las botellas restantes. 3 3 3 3 3 3 3 3 Y, como tampoco fue descubierto, lo hizo una vez más dejando las botellas de esta forma. 4 1 4 1 1 4 1 4 Posteriormente, se bebió otras dos botellas y dejó las restantes así. 6 3 3 6 En este momento, el dueño observó que la simetría inicial ya no se conservaba, de modo que descubrió la trampa y echó al criado. 3. Como rompecabezas paradójico No hace mucho tiempo (noviembre de 2010) apareció en la revista Magic Magazine un rompecabezas de Brian Daniel (a partir de una idea de Terri Rogers) basado en una construcción paradójica del estilo ya comentado en esta sección (ver por ejemplo Rincón 50, mayo de 2008 o Rincón 25, febrero de 2006). Por cierto, este juego también aparece en el libro "Teach by magic", que empieza con el siguiente prólogo: dedicado a todos los profesores que recorren kilómetros de más para inspirar a sus estudiantes y nunca sabrán completamente cuánto han influido en sus vidas. El material incluido en este libro y mucho más se puede encontrar en la página www.teachbymagic.com, la cual te animo a recorrer, tanto si eres docente, como estudiante o simplemente aficionado a la magia matemática. Para empezar, descarga e imprime la figura adjunta desde el enlace original de la revista MAGIC, pégala en una cartulina un poco gruesa y recórtala por las líneas azules. Tendrás ahora cinco piezas. Con las cinco piezas construye el rectángulo que se muestra en la figura de la izquierda y pide a alguien que cuente el número de balsas que navegan por dicho rectángulo. En efecto, son 21. Explica que, como las balsas están navegando por una zona de muchas tormentas y gran oleaje, es posible que se desorienten y pierdan el rumbo. Mientras dices esto, desarma el rectángulo desperdigando sus piezas. Una vez llegada la calma, todo vuelve a su posición. Así que puedes reconstruir el rectángulo pero, esta vez, formando la figura de la derecha. Hay una sorpresa: claramente se ha formado un hueco en el rectángulo. ¿Cómo es posible? Pero no es la única sorpresa. ¡Un barco ha desaparecido! Haz que los cuenten para comprobar que hay solamente 20. Lo más probable es que una de las balsas se haya colado por el hueco. Esto explica el misterio de las Bermudas. Como he comentado, existen muchas construcciones similares a ésta (una un poco macabra la puedes encontrar en la página Archimedes Lab). La diferencia está en que esta presentación permite hablar de la leyenda del triángulo de la Bermudas, lo que causa siempre sorpresa y misterio. 4. Como juego de magia En el libro "Impuzzibilities" de Jim Steinmeyer (de quien ya hemos hablado en algún lugar y algún otro lugar de este rincón) podemos encontrar un juego relacionado con el tema que estamos tratando. La descripción del juego y la historia que puedes contar para recrearlo (historia que leí en algún sitio y no puedo recordar dónde) podría ser la siguiente. Empieza diciendo: - Desde la época de Cristóbal Colón han sucedido hechos misteriosos en una zona marítima entre las Bermudas, Miami y Puerto Rico. Con un montón de objetos iguales (supongamos que son monedas) forma un triángulo colocando cuatro monedas en cada vértice. - Cientos de naves han desaparecido en aquel lugar, siempre de forma misteriosa. Completa el triángulo colocando más monedas hasta conseguir la siguiente disposición (cada número indica la cantidad de monedas que hay): 4 2 3 3 2 4 3 2 4 Cuenta en voz alta haciendo constar que hay trece monedas en cada fila. - El bergantín María Celeste navegaba por el triángulo. Entrega una moneda adicional a un espectador pidiéndole que la coloque en el montón que prefiera. Continúa diciendo: - Empezaron las tormentas. Algunos aseguran haber visto piratas. Intercambia algunas monedas de sitio, sin tocar la del espectador y sin cambiar de fila (puedes cambiar monedas de un vértice con otro y monedas de un lado con otras del mismo lado, con tal de no alterar el número de monedas en cada fila). Haz un último movimiento, de acuerdo con las siguientes reglas: 1 Si el espectador coloca su moneda en un montón que no está en ningún vértice, retira una moneda de cualquiera de los vértices pertenecientes al lado donde se ha añadido la moneda y colócala en cualquier montón del lado adyacente (que no sea el vértice). En este momento, de nuevo la suma de cualquier lado es 13. Por ejemplo, si el espectador añade una moneda en el lado inferior (señalado en azul), retira una moneda del vértice inferior derecho y colócala en un montón del lado derecho (marcados en rojo). La situación quedará así: 4 2 3 3 3 4 3 3 3 2 Si coloca una moneda en algún vértice, mueve dos monedas de dicho vértice una a cada lado adyacente. Nuevamente, la suma de cada fila será 13. Por ejemplo, si añade una moneda en el vértice superior, quita dos monedas de dicho vértice y colócalas en los lados laterales. Tendríamos la situación: 3 3 4 3 2 4 3 2 4 Afirma a continuación: - Cuando se hizo la calma, todo seguía igual. Sin embargo, el navío nunca se encontró. Cuenta el número de monedas en cada lado del triángulo y verás que sigue habiendo 13. El proceso puede repetirse varias veces. Entrega otra moneda a un espectador para que la coloque en el montón que prefiera. Ponle nombre al barco, ofrece algún motivo para su desaparición (tripulación inexperta, fallo en los sistemas de navegación, presencia de polizones en el camarote del capitán, etc.) mientras mueves alguna moneda de sitio y realizas el movimiento final según las reglas anteriores. La suma no se altera. Seguirá habiendo siempre trece monedas en cada lado del triángulo. El único momento peligroso se produce cuando alguno de los vértices se queda con una moneda. Termina siempre con la frase: - Cuando se hizo la calma, todo seguía igual. Sin embargo, el navío nunca se encontró.   Pedro Alegría (Universidad del País Vasco) Esta dirección electrónica esta protegida contra spambots. Es necesario activar Javascript para visualizarla

Jueves, 01 de Marzo de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico