641. 79. Estrellas "ascendidas" a galaxias

Ocurrió hace ahora treinta y cinco años. Casi sin comerlo ni beberlo, George Lucas se encontró con un fabuloso éxito con su Star Wars, estrenada precisamente el 25 de mayo de 1977. Fue el primer gran éxito popular del cine de ciencia ficción. Hay que decir que, antes de eso, George Lucas había prácticamente fracasado en su primera película. En 1971 (a sus 27 años), estrenaba su THX 1138, una pretenciosa y casi incomprensible película de ciencia ficción distópica que supuso su estreno como director con un mal resultado. Afortunadamente, pudo recuperar la confianza de los estudios con esa American Grafitti, de 1973, donde Han Solo (perdón, quise decir Harrison Ford) aparecía por primera vez bajo las órdenes de Lucas. Luego, Lucas rebajó sus pretensiones con la ciencia ficción y se lanzó a la más popular aventura de space opera que se hubiera filmado nunca hasta 1977. Parece que quería filmar los cómics de Flash Gordon y no obtuvo los derechos, por eso probó con una space opera inventada, aunque sumamente clásica en su planteamiento. Fue eso de cambiar el revolver por la pistola de rayos láser, las llanuras del oeste por las profundidades del espacio y el caballo substituido por las naves espaciales. Aventuras sin cuento en ambiente tecnológico futurista. Y fue un gran éxito. Esa Star Wars exigió enseguida una primera trilogía. 1968: Ciencia ficción "seria" con Kubrick Posiblemente, Lucas había intentado con su THX 1138 nada más y nada menos que seguir la huella de una de las grandes sorpresas en el cine de ciencia ficción como había sido 2001, una odisea del espacio (1968) de Stanley Kubrick. Hay que recordar que la ciencia ficción en el cine, durante los años cincuenta y sesenta, tenía la consideración de "serie B" (cuando no, seamos sinceros, de una verdadera "serie Z" del todo ridícula). Sirva como ejemplo esa "cosa" llamada Plan 9 From Outer Space (1959) de Ed Wood al que Tim Burton dedicó un curioso "biopic" en Ed Wood (1994). Por si alguien no ha visto ninguna de esas dos películas, la historia de Plan 9 From Outer Space es caótica, con efectos especiales de lo más cutre y en ella se usaron escenas de otros rodajes fallidos y con temática completamente distinta. Como ejemplo citaré la "intervención" del actor Bela Lugosi (el intérprete del Drácula clásico, fallecido en 1956), gracias, por ejemplo, a escenas del rodaje fallido de Tombe of Vampire. Para completar este metraje ya filmado, a Wood no se le ocurrió otra cosa que sustituir a Lugosi por su quiropracticante personal, Tom Mason, con el problema añadido de que éste era bastante más alto que Lugosi y tuvo que estar toda la filmación "encogido" y con la cabeza gacha... Aunque Plan 9 From Outer Space tiene el curioso honor de ser considerada "la peor película de ciencia ficción jamás filmada", lo cierto es que no deja de ser un buen representante de la falta de cuidado con que se hacía el cine de ciencia ficción (un cine de "monstruos", básicamente) en los años cincuenta y sesenta. Hay brillantes excepciones como The Day the Earth Stood Still (Ultimátum a la Tierra, de Robert Wise en 1951) o Forbidden Planet (Planeta prohibido, de Fred M. Wilcox, en 1956), pero lo cierto es que el cine de ciencia ficción era entonces de muy baja calidad y resultaba ridículo con esos monstruos extraterrestres de cartón-piedra de pacotilla, esas mujeres asustadas y esos héroes más o menos científicos que lucían un monumental desconocimiento de la ciencia. Sorprendentemente, en 1968, Stanley Kubrick, con 2001, una odisea del espacio, demostró que con la ciencia ficción como temática también podía hacerse cine inteligente, bien hecho y sugiriendo muchos interrogantes al espectador. Pero Kubrick era mucho Kubrick y pocos le discutían su capacidad cinematográfica. Si he de decir la verdad, entonces resultó incluso patético el desconcierto de esos "habituales sospechosos", los críticos de cine, quienes, lógicamente, no entendían la película pero no se atrevían a hundirla por aquello de que, como he dicho, Kubrick era mucho Kubrick. O sea que, a finales de los sesenta, Kubrick hizo evidente que la ciencia ficción podía resultar interesante y sugerente intelectualmente. Incluso en el cine. 1977: Ciencia ficción divertida y popular con Lucas Pero aunque Kubrick había "dignificado" la temática de ciencia ficción, lo cierto es que, el final abierto de 2001, una odisea del espacio había dejado un estela de posible incomprensión. La ciencia ficción podía tratar temas de hondura intelectual, sí, pero no era divertida ni popular. Todo lo más podía resultar espectacular si los efectos especiales se hacían bien como logró Kubrick. Por eso es importante que Lucas, después de intentar seguir la estela de Kubrick con su THX 1138, se orientara, tal vez acuciado por la necesidad, hacia un enfoque popular y entretenido. Y eso hizo que Star Wars fuera la primera gran película popular, divertida y sumamente taquillera del cine de aventuras de ciencia ficción. No es poca cosa. Hoy en día, ambas películas resultan ser hitos claros en la historia de la ciencia ficción y si 2001, una odisea del espacio dignificó la temática, lo cierto es que Star Wars la hizo popularísima. ¡Gracias Lucas! La guerra de las galaxias: un atentado a la ciencia Pero, ¡ay!, la dicha nunca es completa... En Star Wars el malo de verdad es ese oscuro Darth Vader al final redimido, pero su maldad parece ser escasa comparada con la del traductor del título al español. Por su ignorancia (debía pensar que las únicas estrellas posibles eran las estrellas cinematográficas de Hollywood), se le ocurrió nada más y nada menos que una "guerra de estrellas" se entendería como un enfrentamiento entre actrices y actores de cine. Por ello sugirió eso de "La guerra de las galaxias" que, sí, suena más a ciencia ficción, pero convierte los desplazamientos, ahora entre galaxias, en algo mucho más difícil y dilatado en el tiempo. La primera en la frente. Y, todo hay que decirlo, Lucas no usó buenos asesores científicos como hiciera Kubrick. Por eso vemos en esa imposible La Guerra de las Galaxias nada más y nada menos que naves quemándose y explotando con gran estruendo en el espacio (donde no hay oxígeno para quemar nada, ni aire para transmitir el sonido). Y además, cuando los láseres eran novedad, Lucas logró que todo el mundo pensara en los rayos láser como líneas discontinuas de colorines que se movían y hacían "tziu-tziu" y otros disparates parecidos. Durante varios años, hasta la llegada ahora de los llamados "planes Bolonia", en la Universidad Politécnica de Cataluña, los profesores Jordi José y Manuel Moreno, profesores del departamento de Física e Ingeniería Nuclear, han impartido con gran éxito una asignatura llamada "Física y ciencia ficción". Formaba parte de esas asignaturas de campus o de libre elección, ofrecida en este caso por la Facultad de Informática de Barcelona de la UPC. En esa asignatura, se solía usar, en el examen final, un trozo de menos de dos minutos de duración de, creo, El retorno del Jedi (cuando el Halcón Milenario escapa de los cazas del imperio, "cae" en una especie de acumulación de asteroides y al final se refugia en uno de ellos que resultará ser la boca de un gran depredador del espacio). La pregunta asociada a la visión de esos menos de dos minutos era, simplemente, detectar los DIEZ errores científicos que hay en ese trozo, repito, de menos de 2 minutos de duración. Ahora sabemos que no hay diez errores, sino catorce, ya que nuestros estudiantes han resultado ser incluso más observadores que nosotros y nos han desvelado errores en los que no habíamos caído. El mensaje final Por otra parte, hay ejemplos sorprendentes como el que depara el final de la primera película, hoy llamada La guerra de las galaxias: una nueva esperanza (la de 1977) y que ahora pretende ser la cuarta de la serie... Ocurre justo al final de esa película, cuando el protagonista, Luke Skywalker, debe realizar la más compleja operación de pilotaje y bombardeo para acabar con el poderoso satélite de guerra del enemigo, la llamada "Estrella de la Muerte". Sorprendentemente en un film concebido para adolescentes a finales de los años setenta, el mensaje que se transmite al final, en el clímax de la película, es el de la negación de la tecnociencia y el abandono a los viejos poderes de la magia. Luke, oye la voz como de ultratumba de Obi-Wan Kenobi diciéndole eso de "Usa la fuerza, Luke". Y así lo hace: desconecta el ordenador de a bordo (R2D2 es ese ordenador), y se abandona a la fuerza, es decir a la magia, a la intuición "mágica" para encontrar ese único punto posible en el que arrojar con éxito la bomba. Debo la observación al escritor estadounidense de ciencia ficción Orson Scott Card, quien se sorprendía de la osadía de guionistas y directores transmitiendo un mensaje insólito para el siglo de la tecnociencia: cuando necesites hacer algo realmente difícil, no te ayudes de la tecnociencia a tu alcance, abandónate en manos de la magia (la "fuerza" en esa serie de películas) para resolver el problema a la vieja usanza. Suelo usar, con adolescentes y jóvenes, la imagen paralela de lo que ellos saben sería un insólito comportamiento si sus profesores les piden obtener la raíz cuadrada de cualquier número suficientemente elevado: abandonar la calculadora electrónica que tienen a su alcance y confiar en la "fuerza" (la magia) para soltar, "inventando" de memoria, cualquier cifra que les venga a la mente, en la confianza de que ésa pueda ser la solución inspirada de manera mágica. Mal ejemplo, en este caso el del cine que, pese a todo, sigue siendo una maravilla en cuanto a herramienta de comunicación y debería, mucho más a menudo de lo que intenta, aunar sus esfuerzos con los del conocimiento tecnocientífico para llevarnos a todos hacia un futuro mejor. Una película convertida en trilogía El lector observador habrá notado que he usado una imagen que sólo hace referencia a la primera trilogía, la formada por La guerra de las galaxias, El imperio contraataca (1980) y El retorno del Jedi (1983). Luego, esas tres primeras películas se han convertido en lo que Lucas llama los episodios cuarto, quinto y sexto de una serie más larga. Una serie que en sus últimas películas ha acabado olvidando el interés por los personajes y cayendo en manos de los espectaculares efectos especiales como tantas películas de ciencia ficción "sin alma" que nos ofrece Hollywood. En el mundillo de la ciencia ficción corre el rumor de que, cuando la productora le pidió a George Lucas una continuación, el director (al que siempre se ha considerado como escaso de inventiva en sus argumentos) acudió nada más y nada menos que a Leigh Brackett. Brackett, además de autora de ciencia ficción y guionista de Hollywood (El sueño eterno o Río Bravo, ambas de Howard Hawks, son ejemplos de sus buenos guiones), fue también la esposa de Edmond Hamilton, uno de los maestros indiscutibles de la space opera. Era la persona adecuada a la que acudir. Parece que, una vez visionada la película, Brackett, constatando que la historia estaba terminada y bien cerrada, hizo más o menos en broma un comentario como "A menos que hagas que el malo sea el padre del bueno, no sé como puedes continuarla...". Y así se hizo. Y de ahí la saga y el aprovechamiento de ese malo tan malo que es Darth Vader. Y, para terminar, una última revelación. Como es lógico suponer, tras el éxito cinematográfico aparecieron las novelizaciones de las películas. Las de El imperio contraataca y El retorno del Jedi están firmadas respectivamente por Donald F. Glut y James Kahn citando a los guionistas como referencia. Pero la primera, con el título La guerra de las galaxias (no se publicó ni siquiera con el subtítulo "Una nueva esperanza"...), aparece firmada por el mismísimo George Lucas pero la escribió Alan Dean Foster, un conocido autor de ciencia ficción, que fue, por ejemplo, el autor de la historia original a partir de la que se hizo el guión de la primera película de Star Trek, otra gran saga espacial. Incluso en la Wikipedia se dice textualmente: "It has long been known that Foster wrote the original novel of Star Wars which had been credited solely to George Lucas. Lucas brought to Foster the original screenplay, after which Foster fleshed out the backstory of time, place, planets, races, history and technology in such detail that it became canonical for all subsequent Star Wars novels" (Desde hace tiempo se sabe que Foster escribió la novela original de Star Wars que se había acreditado únicamente a George Lucas. Lucas proporcionó a Foster el guión original, del que éste concretó el trasfondo de tiempo, lugar, los planetas, razas, historia y tecnología con tal detalle que se convirtió en la imagen canónica para todas las novelas posteriores de Star Wars). El mismo Alan Dean Foster me había confirmado el hecho cuando, en 1994, le invité a Barcelona como conferenciante en la entrega del Premio UPC de ciencia ficción. Bastante antes de la Wikipedia, por cierto... En cualquier caso, gracias a George Lucas, Star Wars (me resisto a llamarla "La Guerra de las Galaxias") fue el primer gran éxito popular de la ciencia ficción cinematográfica: aventura, diversión, efectos especiales decentes aunque lo cierto es que la ciencia no sale en ella muy bien parada. No todo es posible... Y menos en Hollywood.   Para ver: - La guerra de las galaxias (1977), director: George Lucas - El imperio contraataca (1980), director: Irving Kershner - El retorno del Jedi (1983), director: Richard Marquand - La amenaza fantasma (1999), director: George Lucas - El ataque de los clones (2002), director: George Lucas - La venganza de los Sith (2005), director: George Lucas

Jueves, 14 de Junio de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

642. 65. (Junio 2012) La cinta de Möbius, de Jesús Malia

Hace ya tiempo que leí por primera vez el poemario La cinta de Möbius. Portada del libro, diseño de Manuel Santiago El propio Jesús me llamó la atención sobre su libro –publicado por Patrañas Ediciones en 2007 y que puede descargarse desde su blog Poesía Abierta en formato pdf– y me envío un ejemplar. Por supuesto, lo primero que me llamó la atención fue el título del poemario: la banda de Möbius es una superficie con borde–es decir, una variedad de dimensión dos, con borde– con una única cara, una única componente en su borde y es –además– no orientable. No se trata ahora de dar una lección de topología, pero las especiales propiedades de esta superficie han inspirado a poetas, ilustradoras e ilustradores, artistas, arquitectas y arquitectos o escritoras y escritores –por citar a algunas–, bien de manera explícita o como una metáfora. La banda de Möbius simboliza el eterno retorno, el infinito, el perpetuo cambio, la constante dualidad con la que convivimos... pura poesía, al menos para mí. Y no sólo por toda esta simbología, sino por la inherente belleza de las matemáticas contenidas en esta superficie. ¿Y qué contiene La cinta de Möbius de Jesús Malia? También pura poesía; Jesús habla de amor, desamor, soledad, angustia... de sentimientos. Y habla también –¿o a través de?– astronomía, matemáticas, ciencia... Comienza Jesús con los tres primeros números 1 o nadie 2 o eclipse 3 o leyes de kepler y malia para continuar el poemario con llorar el mundo mirar al cielo la prisa hombres con alas la otra cara el don de la palabra la rueda de los días el fondo del pozo La otra cara... si la banda sólo tiene una... Os dejo dos de los poemas de La cinta de Möbius: el texto tal y como aparece en el poemario y leídos por el propio Jesús en la presentación del libro Poetas en el CPR Juan de Lanuza de Zaragoza, por iniciativa de la Sociedad Aragonesa de Profesores de Matemáticas:   Página 12 2 o eclipse pensad en la penumbra de un eclipse solar o tan solo en esferas puestas en linea o en dos ojos sedientos y algun punto exacto en su mediana y que un ojo es el sol la tierra el otro y ese punto exacto en que esperamos sea la luna o que son con perdon por la violencia que sigue y la tristeza anterior de un lado venus del otro marte la tierra en medio     Páginas 18 y 19 (de llorar el mundo)   sabes ya que bramar bien te vale de nada ya me seas enano como un quinto de epsilon o me seas egregio como el numero e   y me sabes tambien que tampoco plañir aunque sean tus lagrimas como grandes teoremas aquellos mismos si de godel o de cantor que sabes son asiento de toda nuestra ciencia   no te vale bramar no te vale plañir no te vale implorar que no tienes a quien pues no eres casi mas que un hermoso juguete divino si me apuras como el triangulo en manos de chalados que son los matemáticos   no te vale gritar pobre hombre de munch señorita escarlata no le vale llorar   pobre hombre de munch sola escarlet ojara nimio numero epsilon nimio numero e

Lunes, 04 de Junio de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

643. 95. (Junio 2012) Dados imaginarios

Sí, estoy de acuerdo. La pasada entrega ha sido más densa de lo habitual, pero considero que el tema lo merecía. Mi intención era doble: mostrar que puede haber matemáticas más elaboradas en la concepción de algunos juegos de magia y dar a entender que la investigación en el campo de la magia matemática sigue vigente. Así pues, en esta ocasión no vamos a ser tan ambiciosos y describiremos algún juego más sencillo. ¿Dónde encontrarlo? En primer lugar, seleccionamos un autor que se caracterice por proponer juegos matemáticos. No tardaremos mucho en encontrar uno de estos juegos si el autor elegido es Karl Fulves. Pero antes de ir al juego, hablaremos de este mago. La historia de la magia, como también ocurre en todos los ámbitos, está repleta de personajes singulares. En el "top ten" de los excéntricos está Karl Fulves. Sobre este personaje hay multitud de leyendas pero las dos palabras que mejor le definen son las que cita Richard Kaufman en el foro de la revista Genii: solitario y reservado. Tampoco es fácil conseguir su imagen: parece que hay una foto suya en el libro “The magical world of Slydini”, publicado por él en 1979 y en el manuscrito “Technicolor Cards” de la serie New Stars of Magic, de 1974. Lo que no es nada difícil es poseer alguno de sus libros: tiene una colección inmensa y la serie “Self-working ...”, de la editorial Dover, se vende en Amazon a precios muy bajos. También fue el editor de las revistas Chronicles, Epilogue y New Phoenix, que circularon durante mucho tiempo. Una biografía de Karl Fulves (¿la habrá escrito él mismo?) aparece en la Wikipedia. Algunos videos de juegos publicados por Karl Fulves se pueden encontrar en http://wn.com/Karl_Fulves. En el libro "My best self-working card tricks", publicado por la editorial Dover en 2001, hay varios juegos con aroma matemático. Uno de ellos, muy sencillo de ejecutar a la vez que efectivo, es el siguiente: Busca una baraja y déjala sobre la mesa, caras hacia abajo. Aquí tienes dos dados con números imaginarios (sólo imaginarios, no confundir con los complejos). Recoge el blanco: Lánzalo y recuerda el valor obtenido. No importa si no ves ningún valor. Basta que lo imagines. Si no eres capaz, dibuja unos puntos negros sobre el dado. Saca de la baraja tantas cartas como indica el valor obtenido. Recoge ahora el dado negro, lánzalo y comprueba que no está trucado, es decir, que sale un número distinto del anterior (si sale el mismo valor, lánzalo de nuevo). Para asegurarte, dibuja puntos blancos sobre el dado. Saca también de la baraja tantas cartas como indica el valor obtenido esta vez. Mezcla las cartas que has retirado. Extiéndelas en abanico y recuerda las que ocupan las posiciones indicadas por los valores de los dados. Por ejemplo, si han salido los números 3 y 6, recuerda la tercera y sexta cartas. Pero recuerda también sus posiciones exactas, es decir qué carta corresponde al dado blanco y qué carta corresponde al dado negro. Realiza ahora el siguiente proceso mágico: cierra el abanico y reparte sobre la mesa todas las cartas, una a una. Recoge la primera y pásala a la última posición. ¡Ya está! Comprueba que las cartas elegidas han cambiado de posición: siguen estando en los lugares indicados pero la carta correspondiente al dado blanco está ahora en el lugar del dado negro y viceversa. ¿Cómo funciona? La situación es muy fácil de comprender: si hay n cartas, después de repartirlas una a una, la carta que ocupa la posición x pasa a ocupar la posición n + 1 - x. Al pasar una carta de arriba abajo, dicha carta pasa a ocupar la posición n - x. Si n = x + y, entonces el valor resultante es y. ¿Te has dado cuenta de la importancia de usar un dado? ¿Qué pasaría si usaras dados como los de la imagen siguiente? Observación: Si quieres realizar el juego y no descubrir el secreto, utiliza dos espectadores, cada uno con un dado imaginario y cada uno recordando la carta que ocupa la posición indicada por el valor de su dado. Cuando recoges las cartas, colócalas bajo la mesa, invierte sus posiciones y pasa de arriba abajo la carta superior. Sin necesidad de saber los valores de los dados, las posiciones de las cartas se habrán intercambiado. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco) Esta dirección electrónica esta protegida contra spambots. Es necesario activar Javascript para visualizarla

Viernes, 01 de Junio de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

644. 94. (Mayo 2012) Sucesiones De Bruijn

El pasado 17 de febrero ha fallecido el matemático holandés Nicolaas de Bruijn (1918-2012). A lo largo de su dilatada carrera ha cosechado logros importantes. De hecho, su nombre está asociado a conceptos y resultados como la constante de De Bruijn-Newman (relacionada con la hipótesis de Riemann), los teoremas de De Bruijn-Erdösfunción de Dickman-De Bruijnsucesión de De Bruijn, definida por primera vez en un artículo de 1946, la cual tiene aplicaciones en la magia matemática. Por ese motivo, aprovechamos este rincón para rendir homenaje a este notable matemático. Nicolaas de Bruijn Antes de definir las sucesiones de De Bruijn, nos familiarizaremos con ellas por medio de un juego de cartas. El primero que utiliza esta sucesión, antes de haberse descubierto, es el titulado COLURIA, que aparece en el libro “Thirty card mysteries” de Charles Jordan, publicado en 1919. Charles Jordan El efecto es el siguiente: El mago entrega una baraja de piquet (32 cartas, del 7 al as de cada palo) a un espectador y se aleja a cierta distancia. Le pide al espectador que corte por cualquier lugar y que reparta sobre la mesa seis manos de cinco cartas. Las dos cartas restantes, sin verlas, las guarda en su bolsillo. A continuación, nombra en voz alta únicamente los colores de las cartas superiores de cada montón. Inmediatamente, el mago nombra los valores de las cinco cartas inferiores de cada montón, así como los de las cartas ocultas en el bolsillo del espectador. ¿Cómo es posible? El propio Charles Jordan afirma que la sutil ordenación empleada para este juego será nueva para la mayoría de los magos ya que sólo la distribución de los colores da información suficiente para determinar los valores de las cartas. Esto es debido a que la baraja puede ordenarse de modo que cada secuencia de seis colores sea única y aparezca sólo una vez en la baraja. Dicho esquema se conoce como ciclo binario de De Bruijn. La ordenación propuesta por Jordan es la siguiente: AP-KT-QT-10P-7T-JP-7C-QP-9P-AT-8T- 10C-AR-JT-8P-9T-9C-8R-KC-10T-KP-QC- 9R-AC-JR-7P-QR-JC-7R- 10R-8C-KR (donde los símbolos R, C, T y P representan rombos, corazones, tréboles y picas, respectivamente). Una vez que el espectador ha seguido las instrucciones del mago, vuelve cara arriba las cartas superiores de cada montón, que son las últimas repartidas, y nombra únicamente los colores. Como dicha secuencia de colores aparece sólo una vez en el conjunto de las 32 cartas, el mago sólo tiene que buscar disimuladamente en una hoja donde está anotada la lista anterior, en una distribución circular, y encontrar dicha secuencia. Las dos cartas siguientes al conjunto de las seis cartas correspondientes a la secuencia de colores son las que tiene el espectador en su bolsillo y las seis siguientes a ellas son las cartas inferiores de cada montón repartido sobre la mesa. Por ejemplo, si el espectador indica que los colores de las cartas son roja-roja-roja- roja-negra-negra, el mago sabe que se trata de las cartas 7R- 10R-8C-KR-AP-KT, de modo que las cartas del bolsillo son QT y 10P y las cartas inferiores de cada montón son 7T-JP-7C-QP-9P-AT. La idea que subyace de esta situación nos conduce a la siguiente definición: Dado un alfabeto (o conjunto ordenado) A de tamaño k, una sucesión cíclica B(k,n) de elementos de A se llama sucesión de De Bruijn cuando toda subsucesión de n elementos de A aparece como máximo una vez en B(k,n) de forma consecutiva. La sucesión será maximal cuando todas las subsucesiones de longitud n aparezcan exactamente una vez en B(k,n). Para el caso k = 2, Camille Flye Sainte-Marie probó en 1894 la existencia de estas sucesiones para cualquier n, y el caso general de la existencia de sucesiones para cualquier k y cualquier n fue probada por Tanja van Ardenne-Ehrenfest y el propio De Bruijn. Es fácil ver que la longitud de tal sucesión maximal es kn y se ha demostrado, mediante técnicas de teoría de grafos, que hay distintas sucesiones B(k,n) maximales. Pero el origen de estas sucesiones es mucho más antiguo (como se cuenta en la Wikipedia) y los 64 hexagramas místicos el libro del oráculo chino I Ching forman una sucesión B(2,6) (una de sus representaciones corresponde a la imagen que encabeza esta entrega, cuyo original está en abrahadabra.com). También son destacables sus aplicaciones en teoría de códigos y otros campos. Los primeros ejemplos pueden obtenerse fácilmente. Si consideramos el conjunto A = de los colores rojo y negro, para n = 2, la única sucesión B(2,2) es R N R N Para n = 3, existen dos sucesiones B(2,3), que son R R N R R N N N y N N R N N R R R (cada una recíproca de la otra y donde se supone la sucesión recorrida en sentido antihorario). Para comprobar que RRRNNNRN es una sucesión maximal de De Bruijn, basta describir todas las subsucesiones de 3 elementos consecutivos, las cuales son: RRR, RRN, RNN, NNN, NNR, NRN, RNR, NRR obteniéndose las ocho permutaciones de longitud tres con los elementos de A. Utilizando grafos eulerianos se pueden construir secuencias de orden mayor, como se muestra en el siguiente diagrama. Basta encontrar un recorrido por el grafo que recorra todas las aristas exactamente una vez. Grafo de construcción de B(2,4) En el juego de Jordan se utiliza la siguiente sucesión B(2,6), no maximal: NNNNNNRNNNNRRNNNRRRNNRRRRNRRRRRR y puede ser un entretenimiento apasionante descubrir cuáles de las 26 = 64 diferentes subsucesiones de 6 elementos consecutivos están contenidas en esta sucesión. Diversas variantes de este juego se han ideado con posterioridad al publicado por Charles Jordan. En el número de diciembre de 2008 de la columna “CardColm” de la Mathematical Association of America, conducida por Colm Mulcahy, aparecen dos versiones. Colm Mulcahy junto a Martin Gardner La primera de ellas, más sencilla de recordar, utiliza la sucesión B(2,3) RRRNNNRN con las cartas 8R, 5C, 4R, AT, 7P, 6T, 3C, 2P. Para facilitar su memorización, basta observar que están todos los valores, del as al ocho, y los palos están alternados dentro de su mismo color. Para realizar el juego, se colocan previamente dichas cartas en la parte superior de la baraja, en el orden indicado, y se procede como sigue: El mago mezcla la baraja (pero sin desordenar las ocho primeras cartas) y reparte sobre la mesa, formando un círculo, las ocho primeras cartas. Se vuelve de espaldas y pide a tres espectadores que retiren y guarden tres cartas consecutivas del círculo, una carta cada uno, que aparten las otras cinco y las pierdan en la baraja. A continuación el mago se vuelve cara hacia los espectadores y pregunta quién o quiénes de ellos tienen una carta roja. Con esta información, adivina inmediatamente las cartas que guardan cada uno de ellos. Para saber cuáles son dichas cartas, basta reconocer la secuencia de colores en la sucesión original. Otra posibilidad es pedir a los espectadores que sumen los valores de las tres cartas elegidas y anuncien dicha suma. Como los posibles valores de la suma de tres cartas consecutivas de la secuencia son 17, 10, 12, 14, 16, 11, 13 y 15, el mago puede determinar cuáles son las cartas elegidas por los espectadores. El segundo juego descrito por Mulcahy es el siguiente. El mago entrega una baraja a varios espectadores para que, sucesivamente, corten y completen el corte. A continuación, el primer espectador retira y se guarda la carta superior, entrega la baraja al segundo espectador, quien a su vez retira y se guarda la nueva carta superior. Esta operación se repite con otros dos espectadores. El mago anuncia que adivinará los valores de las cartas en dos fases: primero las posibles cartas rojas y luego las cartas negras. Pide entonces que se levanten los espectadores que han elegido una carta roja. Si hay alguien que se levanta, casi inmediatamente desvela los valores de sus cartas y, por último, adivina también los valores de las cartas del resto de espectadores, en el orden que ellos le indiquen. Como se puede adivinar, el mismo principio anterior se aplica en esta ocasión. Las cartas están ordenadas de modo que la secuencia circular de colores no tenga ninguna subsucesión de longitud cuatro que se repita más de una vez. Como la longitud de una sucesión maximal del tipo B(2,4) es igual a 16, el juego descrito sólo puede realizarse con 16 cartas, cuyos colores estarán ordenados según la secuencia RRRRNNNNRNNRRNRN. Para solventar esta dificultad, Mulcahy propone elegir las mismas 16 cartas de tres barajas iguales y formar tres secuencias iguales de longitud 16 formadas por dichas cartas. De este modo, la baraja tendrá 48 cartas y no importa el lugar donde se corte pues las cuatro primeras cartas de la baraja formarán una única permutación de los colores rojo-negro. Además, es conveniente elegir 16 cartas cuyo orden sea fácil de recordar pero que no sea demasiado obvio para el público. Otra opción posible sería utilizar un alfabeto diferente –también de dos elementos– para formar la sucesión como, por ejemplo, A= donde P representa un palo concreto y R el resto de los palos. Así, la primera parte de la adivinación consiste en preguntar quiénes tienen una carta del palo concreto: sabiendo la posición de dichas cartas en la secuencia, es posible adivinar todas ellas. Este enfoque permite adaptar el juego a la baraja española ya que, precisamente, esta baraja tiene 48 cartas si se utilizan los ochos y los nueves y no existe la distinción entre los colores de los diferentes palos. Una versión más ambiciosa sería considerar una baraja completa de 52 cartas. Como la potencia de dos más próxima es 64, hace falta considerar una sucesión de De Bruijn B(2,6) y eliminar de alguna forma doce elementos de la sucesión. Esto permitiría adivinar las cartas de seis espectadores. En el libro de reciente publicación “Magical Mathematics” (una reseña muy completa es de Alex Stone para el periódico The Wall Street Journal), escrito por Persi Diaconis (matemático y mago) y Ronald Graham (matemático y malabarista), se puede encontrar esta original versión, con algunos ingredientes adicionales para recordar sin demasiada dificultad las cartas de la secuencia. Ronald Graham (izquierda), Persi Diaconis (derecha) y su libro (centro) Pero vamos a posponer para otra ocasión las aportaciones de estos dos polifacéticos matemáticos. Observaciones: En la comunidad mágica, los juegos basados en las sucesiones de De Bruijn se conocen como basados en los códigos de Gray. Un código de Gray es un sistema de numeración binaria en el que dos valores consecutivos se diferencian únicamente en un bit. La ventaja de este sistema es su mayor facilidad en detectar y corregir errores (basta observar que, en el sistema binario posicional, hay números consecutivos que se diferencian en todas sus cifras, como son 2n-1 y 2n). Su uso más común es el de corrección de errores en comunicaciones digitales como el de la televisión por cable. Aunque los conceptos no son equivalentes, generalmente se construyen las sucesiones de De Bruijn de modo que dos términos consecutivos se diferencian sólo en un término, con lo que queda determinado un código de Gray. También se puede construir una sucesión B(2,k) escribiendo de forma consecutiva los 2knúmeros del código de Gray con k cifras y eliminando adecuadamente las cifras que hacen que las subsucesiones de orden k se repitan en la sucesión. Después de Charles Jordan, muchos magos han estudiado estos códigos y han inventado sus propias versiones y variaciones del juego. Podemos destacar, entre ellos, a Alex Elmsley, Leo Boudreau, Reinhard Muller, Denis Behr, Doug Dyment, etc. También pueden usarse las sucesiones de De Bruijn como rompecabezas, como explica Alex Bogomolny en "From Lewis Carroll to Archimedes" de la página Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco) Esta dirección electrónica esta protegida contra spambots. Es necesario activar Javascript para visualizarla

Miércoles, 02 de Mayo de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

645. 17. (Junio de 2012) Infinitos infinitos (segunda parte)

En la entrega de abril de esta sección, “las matemáticas de la publicidad”, habíamos iniciado una miniserie de entradas sobre la presencia del infinito, y en particular de su símbolo, en la publicidad. Comentábamos entonces que fundamentalmente se había utilizado el infinito en los anuncios publicitarios con dos significados, por supuesto, ligados a la idea de infinito que maneja cualquier persona en nuestra sociedad, uno temporal –un suceso que se extiende en el tiempo de forma infinita, sin fin- y el otro cuantitativo –un conjunto que no tiene un número finito de elementos, es decir, que no terminaríamos nunca de “contarlos”-. Los anuncios que habíamos incluido en la entrega de abril eran del primer tipo, es decir, en ellos se había utilizado el símbolo para transmitir la idea de algo que no tiene fin, que no termina nunca, como por ejemplo, el placer de comer unas patatas fritas, de tomar un café o de ver un canal de televisión, o también como una metáfora de objetos o materiales que tienen una vida útil muy larga (aunque eso es un poco lo contrario a lo que está de moda en nuestra sociedad, la filosofía del usar y tirar, y el diseño de objetos con una caducidad programada), diríamos que … “infinita”, como en el caso de unas pilas de una cierta marca, la tinta de un bolígrafo o un tipo de encendedores. Desde el punto de vista estético, hemos de decir que eran diseños publicitarios muy simples, que se basaban en la utilización del símbolo infinito, construido con el material relacionado con el producto a vender, colocado en el centro de la imagen y poco más. Algunos eran realmente feos y carentes de encanto, como era el caso del anuncio de Nescafe Decaf o Playboy, sin embargo, otros sí que eran bellas imágenes que conseguían transmitir un mensaje positivo del producto, por ejemplo en los anuncios de zippo o Permanence Matters. En abril también comentábamos que se había utilizado el término o su símbolo en algunos anuncios para referirse a una cantidad infinita de “objetos”, ya sean deseos, ilusiones, oportunidades, soluciones, diseños de gafas, modelos de coches, cantidad de comida o respuestas a infinitas preguntas. Y este es el sentido por el que empezaremos en esta entrega de “infinitos infinitos”, la segunda, y por ahora última. El primer anuncio que os traemos es un anuncio de Loewe. En él podemos leer “Los deseos son infinitos. 1999-2000…∞” y se ven brillantes logos de Loewe que vienen hacia la persona que mira el anuncio, como infinitos deseos que nos invaden (¿quizás de comprar algunos de los lujosos y selectos productos Loewe?). Pero los anuncios tienen siempre unas referencias espacio-temporales. Así, este es un anuncio de Loewe-Madrid y apareció en diciembre de 1999, es decir, como reclamo publicitario de las navidades 1999-2000, y jugando con el hecho de que las navidades son un tiempo para fantasear con las posibilidades que nos brinda un nuevo año, es tiempo de nuevos, o renovados, deseos. Pero esos “deseos” están simbolizados en esta publicidad por el logo de Loewe, es decir, esos deseos, que podrían ser de amor, de esperanza, de cambio, de conseguir los objetivos soñados, etc se han convertido en algo tan frívolo como regalos de la marca Loewe, ya sean perfumes, bolsos o accesorios para vestir. Y luego está el símbolo del infinito que aparece en la expresión “1999-2000…∞”, que no se sabe si lo que quiere es reforzar esa idea de infinitos deseos, o más bien sugerir que Loewe estará ahí siempre para satisfacer nuestros deseos, como nos hacen pensar esos puntos suspensivos después del año 2000. Aquí tenéis el anuncio según apareció, a doble página, en el diario ABC… Lo que también pueden ser infinitas son las soluciones que ofrece una determinada empresa, por supuesto que de forma metafórica y siempre según lo expresa la propia empresa a través de sus anuncios. La realidad puede ser después distinta a la ficción publicitaria, aunque no es mi objetivo hoy tratar aquí ese interesante aspecto de la publicidad. En el anuncio que mostramos a continuación, la empresa que ofrece las “infinitas” soluciones es Masterbaker Marketing, empresa perteneciente a la industria de la panadería y la repostería. En el texto del anuncio nos informan de que en los diez últimos años se han ganado una buena reputación en la zona en la que trabaja la empresa sirviendo ingredientes frescos en la industria de la panadería y la repostería, y que hoy en día ofrecen además a las empresas de este ramo soluciones de diferente índole (técnica, de urgencia, etc) a los problemas que les surjan. Como ocurría en muchos de los ejemplos que vimos en la anterior entrega, y otros tantos que veremos en la presente, una vez más el símbolo del infinito es el que gobierna todo el centro del anuncio. En este caso, el símbolo está formado por una barra de pan. En la industria automovilística han utilizado la idea del infinito, y de su símbolo, para hablarnos de las “infinitas posibilidades” que nos ofrecen las compañías automovilísticas a los usuarios. El primer anuncio, de los dos que vamos a mostrar,  es de la marca MINI y podemos leer en él el lema “4 x 4 = infinitas posibilidades”. La imagen del anuncio es una de esas imágenes infinitas que se obtienen cuando nos colocamos entre dos espejos, uno enfrente del otro, y en uno de ellos vamos viendo nuestra imagen reflejada una y otra vez, cada imagen dentro de la anterior, en un descenso de tamaño hacia el infinito (relacionado con lo que los matemáticos llamamos el teorema del punto fijo). Aquí el coche Mini 4x4 se va repitiendo –y haciéndose más pequeño- hasta el infinito, pero hay algo que cambia, a diferencia de lo que ocurre en la realidad de los espejos, y es el entorno en el que se refleja el Mini… desierto, selva, montaña, playa, etc… es decir, infinitas posibilidades las que nos ofrece el tener un Mini 4 x 4, infinitas aventuras a disfrutar con este coche. Sin embargo, la empresa DaimlerChrysler –que llegó a ser la tercera empresa automovilística más grande del mundo, tras la fusión de la empresa alemana Daimler-Benz y la norteamericana Chrysler- utiliza la misma expresión “infinitas posibilidades”, pero para transmitir que es una empresa que ofrece a los usuarios todo un rango “infinito” de posibles productos automovilísticos… todo tipo de coches, autobuses, camiones, furgonetas, etc. Y no utiliza solamente la expresión “infinitas posibilidades” en el anuncio, sino que el centro del mismo está ocupado -una vez más- por un símbolo del infinito formado por coches, camiones, autobuses, furgonetas, e incluso un coche de formula 1 (¿dónde está Wally?), como podéis ver en la siguiente imagen. Una idea similar es utilizada por la empresa de óptica Babylon Opti-Tech, para informarnos de que en sus tiendas tendremos infinitas posibilidades en la elección de unas nuevas gafas, nos ofrecen “infinitos” modelos de gafas. Otro anuncio bastante soso y no creo que sea muy efectivo desde el punto de vista publicitario. En el anuncio de la empresa Massas podemos ver, en una vista desde arriba, un plato azul con un símbolo del infinito generado por unos espaguetis en el centro. Y en pequeño podemos leer el texto del anuncio “Come toda la pasta que puedas por solo” y se indica un precio, y acaba con la expresión “Precio fijo”. Es decir, como puedes comer sin que el restaurante te fije un final, puedes “comer sin fin”, hasta el infinito, aunque al final comerás lo que te apetece si eres sensato o en otro caso hasta reventar. Un banco nos habla de infinitas oportunidades… Una revista, de nombre SUPER INTERESANTE, nos promete contestar a todas las preguntas que se le formulen. Otro anuncio aburrido. Como vemos, en general no se observa mucha imaginación en los creativos de muchas de las empresas publicitarias que han realizado estos anuncios. Algunos se salvan, pero pocos. A continuación, un anuncio de TV un poco diferente a los anteriores. Aparece Einstein junto a una niña y una voz en off nos dice “Hay dos cosas infinitas: el universo y la estupidez humana. Y Albert Einstein no estaba muy seguro de la primera”. Luego vemos el coche que se anuncia, que es el Nuevo Seat León y tras el fundido en negro puede leerse: “Nuevo León Ecomotive. Un poco menos estúpido con el medio ambiente”. Aquí lo pedéis ver… Bueno, que cada uno saque sus propias conclusiones. Volvamos de nuevo al uso del concepto temporal de infinito. La primera serie de anuncios que presentamos a continuación es publicidad del Día de la Tierra en Canadá. Aquí tenemos un par de ellos… De nuevo el símbolo del infinito en la mitad del anuncio, aunque esta vez con una cierta belleza estética en mi opinión. El símbolo está formado por peces, pájaros o árboles, y la idea es que ese ciclo infinito de vida puede verse roto por la acción del hombre. Otro anuncio de los del símbolo del infinito en la mitad del mismo, pero que tampoco está mal, es el siguiente anuncio sobre el sida. Hay un lazo rojo con la forma del infinito, y el texto dice así “El SIDA permanecerá para siempre, si solamente pensamos en esta enfermedad en el Día Mundial del Sida”. Un par de anuncios más sin comentarios… Y para terminar, un anuncio de la marca de coches Lexus. Es un anuncio curioso, que vi en la excelente página de José María Sorando. Es este… Este es un anuncio en papel, de estilo minimalista, ya que únicamente hay 3 objetos en el mismo, el coche Lexus ocupando la parte central de la imagen, en la parte inferior derecha está escrito “Lexus” y en la parte superior izquierda se puede ver “1+1 = ∞”. Cuando uno ve esto da la impresión de que únicamente se utilizan expresiones matemáticas para apoyar de alguna forma la calidad del coche... aunque pensando un poco más en ello se me ocurren otras posibles motivaciones, quizás más acertadas, de la expresión matemática. “1+1” puede simbolizar el comprador y el coche Lexus, y ambos juntos es igual a infinito (∞), que puede ser la satisfacción, el placer, la utilidad,... que nos proporciona el tener ese coche.

Lunes, 04 de Junio de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

646. 60. (Mayo 2012) Rosencrantz y Guildenstern han muerto, de Tom Stoppard

The Tragedy of Hamlet, Prince of Denmark, es una tragedia escrita por William Shakespeare. La obra relata como el príncipe Hamlet lleva a cabo su venganza sobre su tío Claudio: éste ha asesinado al padre de Hamlet –el rey– y luce la corona arrebatada y el matrimonio con Gertrudis, madre del príncipe. La pieza gira alrededor de la locura –real o fingida– el dolor y la ira, y además reflexiona sobre la traición, la venganza, el incesto y la corrupción moral. En The Tragedy of Hamlet, Prince of Denmark, Rosencrantz y Guildenstern son dos cortesanos daneses que tratan de ganarse la confianza de Hamlet por orden del Claudio. Aunque Hamlet no llega a confiar en ellos del todo, mantiene su compañía para averiguar más sobre las intenciones de su tío. Claudio hace que estos dos personajes custodien a Hamlet hasta Inglaterra, con una carta secreta en la que pide al Rey de Inglaterra que mate al príncipe danés. Hamlet descubre la conspiración y cambia el contenido de la carta para que sean Rosencrantz y Guildenstern los ejecutados. “Rosencrantz y Guildenstern han muerto” es una frase textual de la obra de Shakespeare –al final de la misma– puesta en boca del Embajador Primero. Rosencrantz y Guildenstern han muerto de Tom Stoppard es una comedia –no ya una tragedia– cuyos protagonistas son los dos personajes secundarios de Hamlet, atrapados en un mundo que no comprenden. En esta obra, todo se encuentra invertido: el papel de Hamlet en el tiempo y el tono de la obra –los personajes pasan el tiempo haciendo juegos de palabras, cavilando sobre su situación, debatiendo sobre la esencia del ser, sin objetivos–. La obra contiene una magnífica discusión de probabilidad que gira alrededor de un juego de cara o cruz; así comienza1: Dos isabelinos pasan el rato en un lugar indeterminado. Están impecablemente vestidos; no les falta un detalle: sombrero, capa, bastón. Cada uno lleva en la mano un voluminoso monedero. El monedero de GUILDENSTERN está casi vacío. El monedero de ROSENCRANTZ está casi lleno. Razón: apuestan lanzando las monedas de la siguiente manera: GUILDENSTERN (cuya abreviatura será GUIL) saca una moneda de la bolsa, la lanza al aire y la deja caer. ROSENCRANTZ (cuya abreviatura será ROS) la observa atentamente, y dice “cara” (lo que es verdad) y la mete en su monedero. Repiten la misma operación  que llevan realizando, por lo que parece desde hace un buen rato. La continua serie de “caras” es imposible, y, sin embargo, ROS no muestra la menor sorpresa. Pero es lo bastante educado como para sentirse molesto por ganar tanto dinero a su amigo. Este será el rasgo dominante de su actitud. GUIL se da perfecta cuenta de lo extraño del hecho. No le preocupa tanto el dinero como las implicaciones que el hecho comporta; está inquieto, aunque no experimenta el menor descontrol. Este será el rasgo dominante de de su actitud. GUIL está sentado; ROS de pie (cambia continuamente de sitio para recoger las monedas). GUIL lanza una moneda, ROS la mira con atención. ROS: Cara. (Coge la moneda y la mete en su bolsa; la operación se repite). Cara. (Otra vez). ROS: Cara. (Otra vez). Cara. (Otra vez). Cara. GUIL (lanzando una moneda): El despertar el interés es todo un arte. ROS: Cara. GUIL (lanzando otra moneda): Aunque todo ocurra por azar. ROS: Cara. GUIL: Si esa fuera la palabra que busco... ROS (levanta la cabeza a GUIL): Setenta y seis-cero. (GUIL se levanta, pero no sabe adónde ir. Lanza otra moneda por encima del hombro sin mirarla; su atención se centra en lo que le rodea o, más bien, en el hecho de que nada le rodea). Cara. GUIL: Un hombre más débil acabaría por poner en duda su confianza, aunque sólo fuera su confianza en algo tan nimio como el cálculo de probabilidades. (Deja caer una moneda por encima del hombro y se dirige al fondo del escenario). ROS: Cara. (GUIL, examinando las dimensiones de la escena lanza otras dos monedas por encima del hombro; una a una, claro está. ROS anuncia cada una como “cara”). GUIL (abstraído). Hemos comprobado con estupor que el cálculo de probabilidades tiene algo que ver con la afirmación de que si seis monos... (Se extraña de su propia divagación). Si seis monos fueran... ROS: ¿Juegas? GUIL: Fueran... ROS: Te toca a ti. GUIL (comprendiendo): A mí (Lanza una moneda). El cálculo de probabilidades significa, si lo he entendido bien, que si seis monos fueran lanzados al aire una y otra vez, aterrizarían sobre sus colas poco más o menos las mismas veces que sobre sus... ROS: Cara (Lanza una moneda). GUIL: Lo que, incluso a un primer nivel, no nos sorprende especialmente como brillante especulación; en ningún sentido, ni siquiera sin los monos. Quiero decir que no deberías apostar en eso. Quiero decir que yo apostaría, pero tú... (Lanza una moneda). ROS: Cara. GUIL: ¿Tú apostarías? (Lanza una moneda). ROS: Cara. (Repite). Cara (Levanta la vista a GUIL; se ríe, incómodo). Esto va siendo un poco molesto ¿no? GUIL (fríamente): ¿Molesto? [...] ROS: Ochenta y cinco veces seguidas. ¡He batido un récord! [...] ROS: Me temo que es una marca difícil de superar. GUIL: ¿Eso es lo que temes? ¿Eso? ¿No tienes miedo? ROS: ¿Miedo? GUIL (furioso, lanza una moneda con fuerza): ¡Miedo! ¡La explosión que inundará de luz tu cerebro! ROS: Cara... (Guarda la moneda en la bolsa). (Guil se sienta, abatido. Coge una moneda, la da vuelta, dejándola caer entre sus pies. La mira, la coge, se la lanza a ROS, que la guarda en su monedero). (GUIL coge otra moneda, la da vueltas, la lanza al aire, la coge al caer con la otra mano, la mira y se la lanza a ROS, que la guarda en su monedero). (GUIL coge una tercera moneda , la da vueltas, la lanza al aire con la mano derecha, la recoge con la izquierda, la vuelve a lanzar al aire, empujándola con la mano izquierda, levanta la pierna izquierda, hace pasar la moneda por debajo, la coge y se la pone sobre la cabeza, donde permanece. ROS se acerca, la mira, la guarda en su monedero). ROS: Tengo miedo... GUIL: Yo también. ROS: Tengo miedo de que no sea tu día. GUIL: Tengo miedo porque sí lo es. (Breve pausa). ROS: Ochenta y nueve. GUIL: Esto debe significar algo, aparte de una redistribución de la riqueza (Reflexionando). Lista de explicaciones posible. Uno: Yo lo deseo en el fondo. En mi interior, donde nada se distingu, soy la esencia de un hombre lanzando monedas a cara o cruz y que apuesta contra sí mismo en íntima expiación de un pasado perdido en la memoria (Lanza una moneda a ROS). ROS: Cara. GUIL: Dos: El tiempo se ha detenido de pronto, y la experiencia única de una moneda lanzada una sola vez se ha repetido noventa veces... (Arroja una moneda, la mira y se la da a ROS). Dudoso en su conjunto. Tres: intervención divina; es decir, especial disposición del cielo en este sentido; cf. Hijos de Israel o un castigo de lo alto contra mí; cf. La esposa de Lot. Cuatro: Una justificación espectacular del principio de que cada moneda aislada , lanzada aisladamente (arroja una) tiene tantas probabilidades de salir cara como cruz y, por lo tanto, no debería sorprendernos cuando lo hace aisladamente (La moneda cae, se la lanza a ROS). [...] GUIL: [...]  (Continúa, con histeria contenida, autocontrolándose). Llevamos jugando juntos a cara o cruz desde no sé cuándo, y en todo este tiempo –si todo esto es tiempo– no creo que cada uno haya ganado o perdido más de un par de monedas de oro. Espero que esto no parezca sorprendente porque yo continúo agarrado a la decisión de no sorprenderme. La ecuanimidad de tu porcentaje en el juego de cara o cruz depende de una ley, o quizá más de una tendencia, permíteme que lo llame probabilidad o a cierto nivel una posibilidad matemáticamente calculable, que asegura que no habrá de quebrarse por las pérdidas continuas de uno de los jugadores ni quebrará el porcentaje de su contrincante por la excesiva repetición de ganancias. Esto ocurre en virtud de una especie de armonía y una especie también de confianza.  Así, lo fortuito y lo previsible se equilibran en una coherente unión, que llamamos Naturaleza. El sol, hablando a “grosso modo”, sale aproximadamente el mismo número de veces que se pone, y una moneda saldrá cara más o menos las mismas veces que cruz. [...] Noventa y dos monedas han salido cara consecutivamente, noventa y dos veces consecutivas... [...] Como comenta Guildenstern, a pesar de la gran improbabilidad de una serie de 92 caras consecutivas, esto es posible... En este mismo acto, cuando Rosencrantz y Guildenstern se encuentran con los comediantes, de nuevo surge una apuesta con monedas: GUIL: (Sin darle importancia). ¿Os gusta apostar? (Los COMEDIANTES se vuelven y le miran interesados. El ACTOR se adelanta). ACTOR: ¿En qué clase de apuesta estáis pensando? (GUIL recorre la mitad del camino que le separa del ACTOR y coloca el pie sobre la moneda que hay en el suelo). GUIL: Deja o dobla. ACTOR: Bueno..., cara. (GUIL levanta el pie. El ACTOR se inclina. Los COMEDIANTES se apelotonan tras de él. Alivio y felicitaciones. El ACTOR coge la moneda. GUIL le lanza otra). GUIL: ¿Otra vez? (Unos COMEDIANTES están a favor, otros en contra). El desempate. (El ACTOR asiente y lanza la moneda). Cara. (Es cara. Coge la moneda). Otra vez. (GUIL lanza la moneda). ACTOR: Cara. (Es cara. El ACTOR coge la moneda. Tiene dos. Lanza una). GUIL: Cara. (Es cara. GUIL la coge y la vuelve a lanzar enseguida). ACTOR (tras un segundo de duda): Cruz. (Pero es cara. GUIL la coge. El ACTOR lanza su última moneda, como revancha, y se vuelve. GUIL no la coge; pone el pie encima). GUIL: Cara. ACTOR: ¡No! (Pausa. Los COMEDIANTES se muestran disgustados). (Excusándose). No les gustan los impares. GUIL (Levanta el pie, se inclina, coge la moneda y aún agachado la mira): Tenías razón –cara. (La tira; con la mano cubre la tierra). Cara, gano yo. ACTOR: No. GUIL (descubre la moneda): Otra vez. (Repite la operación). Cara, gano yo. ACTOR: No. GUIL (descubre la moneda): Otra vez. (Repite la operación). Cara, gano yo. ACTOR: No. GUIL (descubre la moneda): Y otra vez. (Repite la operación). Cara, gano yo. ACTOR: ¡No! (Se aparta, y los COMEDIANTES le siguen. GUIL se pone de pie, se aproxima a ellos). GUIL. ¿Quién lo iba a creer? (Retrocede, se relaja, sonríe). Apostad que el año de mi nacimiento multiplicado por dos es una cifra impar. ACTOR: ¡Vuestro nacimiento! GUIL: Si no me creéis no apostad. ACTOR: ¿Me creeríais a mí? GUIL: Apostad entonces. ACTOR: ¿Mi nacimiento? GUIL: Si es impar, ganáis. ACTOR: Estáis.. (Los COMEDIANTES se han adelantado, muy despiertos). GUIL: Bien. EL año de vuestro nacimiento. Dobladlo. Si es par, gano; si es impar, pierdo. (Silencio. Un gemido de espanto cuando se dan cuenta que cualquier número multiplicado por dos da una cifra par. Disputan entre sí, protestan. Después hay un silencio terrible). ACTOR: No tenemos dinero. [...] Y tras esta dramática confesión, continúa la alocada conversación entre los dos protagonistas y los comediantes. El Deja o dobla que propone Guildenstern al actor tiene que ver la conocida como  paradoja de San Petersburgo enunciada por primera vez por Nicolas Bernoulli. La apuesta con respecto a que “el año de mi nacimiento multiplicado por dos es una cifra impar” es una muestra del tipo de conversación absurda mantenida por los personajes. De manera similar a la de The Tragedy of Hamlet, Prince of Denmark, los acontecimientos acaban por demostrar que los dos protagonistas –perdidos y desesperados durante toda la obra– están muertos...   Nota: [1] Texto extraído de Tom Stoppard, Rosenkrantz y Guildenstern han muerto, Cuadernos para el Diálogo, 1969 (traducido por Álvaro del Amo).

Jueves, 31 de Mayo de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

647. 36. (Mayo 2012) Rotaciones de ritmos

1. Rotaciones matemáticas Las rotaciones son transformaciones que desde siempre han suscitado mucho interés y, por ello, se han estudiado con profundidad y de modo exhaustivo. Una rotación se define como un movimiento rígido alrededor de un punto fijo. Ese movimiento tiene lugar en algún espacio, que puede ser todo lo abstracto que queramos, pero las rotaciones en el plano están entre las más estudiadas. En la figura de abajo tenemos la rotación de un objeto plano alrededor del punto O = (0,0). La rotación es de 180 grados y se muestran varios pasos intermedios. Figura 1: Rotaciones en el plano. Las ecuaciones que transforman el punto (x1,y1) del plano mediante una rotación de ángulo θ [0,2π) alrededor del origen O = (0,0) son las siguientes: (He escrito las ecuaciones porque viene al caso, pero también por su belleza.) Las rotaciones pertenecen a la clase de las isometrías, que son las transformaciones que no cambian la distancias entre los puntos. Esto viene a decir que si la distancia entre dos puntos antes y después de aplicar la rotación es la misma. Una pregunta inmediata es por qué las rotaciones en el plano se han investigado tanto. Ciertamente, nos resultan familiares. Nuestras extremidades pueden rotarse en cierto grado, la cabeza, los ojos; manipulamos muchos objetos con las manos y les aplicamos rotaciones; también las usamos para cambiar el sentido de la marcha. La psicología de la forma o psicología Gestalt puede explicar esa familiaridad. Esta teoría psicológica surgió para explicar los mecanismos de la percepción. La teoría se articula en torno a una serie de leyes o principios que explican los procesos organizativos de la percepción. Entre esos principios se cuentan el de invariancia, que establece que elementos geométricos simples se perciben como iguales o semejantes si son el producto de rotaciones, traslaciones o simetrías. También está el principio de semejanza, que agrupa objetos semejantes si son similares. Estos principios explican la importancia perceptual de las rotaciones. Las matemáticas se encargaron más tarde de formalizar el concepto de rotación. Dado que la percepción es fundamental, la teoría de la forma ha ejercido una gran influencia en el arte. Véanse [WBS92], [DMM10] y [Lem97] para saber más sobre las relaciones de la psicología de la forma y las artes en general. 2. Rotaciones musicales Lo que nos interesa en este artículo es profundizar en el significado de las rotaciones aplicadas a la música, en particular, a los ritmos. De entre los ritmos nos quedaremos con los llamados ritmos de clave. Los ritmos de clave son ritmos que se repiten a lo largo de toda una pieza y cuyas funciones musicales incluyen la estabilización rítmica, la organización del fraseo o la referencia temporal [Uri96], [Ort95]. Esa repetición en el tiempo los hace muy adecuados para estudiar sus rotaciones. Además muchas de esas claves son características de ciertos géneros. Por ejemplo, el son cubano se toca con la clave son, que escrita en notación de caja es [x . . x . . x . . . x . x . . .]. Se puede tocar esta versión, la llamada 3-2 o la versión [. . x . x . . . x . . x . . x . ], llamada 2-3, pero es esencialmente la misma versión (una es la rotación de la otra en ocho posiciones). Y es raro encontrar el son cubano tocado con otro tipo de clave, sobre todo en el son tradicional. Los ritmos de clave, o sencillamente claves, aparecen en muchísimas tradiciones musicales tales como la afro-cubana, brasileña, africana, asiática, el flamenco, etc. Véanse para más información [Tou02], [DBFG+04]. En el vídeo siguiente tenemos un bembé tocado por el grupo Isla Percusión. Un músico, el de la camiseta amarilla, toca una clave ternaria, conocida como clave bembé o patrón estándar. Su partitura es [x . x . x x . x . x . x]. Obsérvese como el fraseo y las entradas se estructuran alrededor de la clave. Figura 2: Bembé tocado por Isla Percusión. Vamos a estudiar las rotaciones en las claves ternarias, esto es, las que están formadas por 12 o 6 pulsos normalmente agrupados en 4 o 2 partes de tres pulsos cada una. En el siguiente vídeo aparece un percusionista tocando varias claves ternarias. Veámoslo y luego analizamos las más relevantes (en el vídeo se toca un pulso de referencia con una caja china que no se ve). Figura 3: Claves ternarias. En la tabla de abajo están las claves más importantes de las que han aparecido en el vídeo. Algunos patrones rítmicos no se considerarían musicalmente claves, a pesar de que cumplen algunas de sus características. Por ejemplo, el ritmo del Kenkeni [. x x . x x . x x . x x] no es característico ni mucho menos de África. Aparece en muchísimos géneros musicales; algunos musicólogos incluso lo llamarían referente de densidad en lugar de clave (un referente de densidad es un ritmo que marca la velocidad de las figuras más rápidas de una pieza). Normalmente, una clave suele tener un factor de tensión rítmica, bien sea en forma de síncopa, de estructura de pregunta y respuesta, de ambigüedad métrica o acentual, o similares. Se han elegido las claves más importantes, como digo, pero además con el mismo número de notas, siete, hecho que nos permitirá un análisis más ágil en términos de las rotaciones. Figura 4: Partituras de algunas claves africanas para campanas. El lector atento -es decir, cualquier lector de Divulgamat- habrá visto que la tabla anterior está divida en tres partes. Cada parte corresponde a aquellos ritmos que se obtienen unos de otros a partir de una rotación. Si los representamos sobre un círculo, para reforzar más la idea de ciclo y de rotación, se visualiza mejor la situación. En primer lugar, vamos a estudiar los ritmos generados por la clave bembé. En la figura 5 tenemos el círculo dividido en 12 partes y en el centro la clave bembé. Alrededor y en sentido antihorario las rotaciones del bembé que dan lugar a otros ritmos. Las rotaciones de los ritmos se han tomado en sentido horario. Así, tenemos que la bemba es una rotación del bembé de 60 grados; el tambú, de 150; el yoruba, de 210; el ashanti, de 270; y el bembé-2, de 330. Figura 5: Rotaciones de las claves asociadas al bembé. La clave de bembé es un ritmo importantísimo en la música africana, tanto que recibe el nombre de patrón estándar. Se encuentra en muchísimas culturas africanas bajo distintos nombres y tocado de muy diversas maneras. En el análisis musical ha despertado mucho interés y se ha estudiado desde muchos puntos de vista. Toussaint [Tou02] ha aplicado técnicas geométricas y de matemática discreta para analizarlo. Por ejemplo, la clave del bembé es un ritmo euclídeo [DGMM+08]. Un ritmo euclídeo es un ritmo de máxima regularidad en el sentido en que la elección de las notas sobre los pulsos están distribuidos de la manera más regular posible; véase también [GPT09] para más información. Pressing [Pre83] llega a hablar -más como metáfora que como correspondencia estricta- de un isomorfismo cognitivo entre la escala diatónica y la clave estándar. Si consideramos la octava dividida en 12 semitonos, entonces la sucesión de distancias entre las notas de la escala diatónica se escribe como (2212221). Si ahora interpretamos esta sucesión en el dominio temporal, rítmico, obtenemos exactamente la clave del bembé. El autor que ha prestado una atención especial a la clave estándar es el musicólogo Agawu [Aga06]. En su artículo Structural Analysis or Cultural Analysis? Competing Perspectives on the“Standard Pattern” of West African Rhythm analiza aspectos culturales y estructurales de este singular patrón rítmico. Por ejemplo, observa que el patrón admite varias lecturas y todas ellas son rítmicamente interesantes. Se puede pensar con estructura aditivamente, como una sucesión de negras y corcheas, de eventos de duración 2 y 1. Argumenta, no obstante, que la música africana no es, en general, aditiva. También investiga este autor la relación de este patrón con la danza así como una interpretación métrica -sobreponiendo el patrón en una malla de pulsos con ciertos acentos recurrentes-. Por último, Agawu se acerca también al análisis generativo [LJ83] de este patrón. La clave del soli genera a su vez las del asaadua, con una rotación de 60 grados, y la tonada, con una de 180 grados, como vemos en al figura 6. Figura 6: Rotaciones de las claves asociadas al soli. Para hacernos una idea de cómo suena el soli en una grabación en directo, aquí tenemos el siguiente vídeo: Figura 7: Toque de soli. En principio, el soli tiene menos posibilidades rotacionales que el bembé. Su sucesión de distancias es (2222121). Las tres primeras notas, las tres negras, crean una sensación de regularidad que se rompe en la segunda mitad con las corcheas quinta y séptima. En este último vídeo presentamos claves binarias sobre 16 pulsos. No obstante, no las analizaremos en este artículo. Figura 8: Claves binarias. 3. ¿Hasta qué punto son semejantes? Hemos visto que las leyes de la psicología de la forma consideran objetos rotados como similares o equivalentes. ¿Es eso cierto en la música? ¿Dos ritmos que difieren en una rotación se los puede considerar como similares? No, no ocurre como en el mundo visual; el oído funciona de manera diferente. El propio Agawu[Aga06], página 29, dice: La “permutación de elementos” (un procedimiento por el cual los mismos elementos se someten a reordenamientos) tiene tales consecuencias musicales radicales -incluyendo desafíos básicos de percepción- que parece poco probable que sea un auténtico modo de estructuración temporal. En efecto, el mismo Pressing reconoce que la permutación de los elementos produce un “trastorno estructural” más drástico que el que se produce con otras técnicas de transformación. Agawu proporciona una lista de recursos de transformación musical que son propios de la música africana, entre los que se cuenta la estructura de llamada y respuesta, la complementación y la competición y los cambios de alineación de segmentos musicales, pero no incluye las rotaciones. Para poner un ejemplo de esto, tomemos el bembé y el bembé-2. Este último es una rotación de una nota hacia adelante del bembé, una mera rotación de 30 grados en sentido horario (véase la figura 5). Pero perceptual y musicalmente son muy diferentes. Pinchando en las partituras de más abajo se puede escuchar cada uno y apreciar las diferencias entre ambos. [x . x . x x . x . x . x] BEMBÉ [x x . x . x x . x . x .] BEMBÉ-2   Bibliografía [Aga06] K. Agawu. Structural analysis or cultural analysis? competing perspectives on the “standard pattern” of west african rhythm. Journal of the American Musicological Society, 59(1):1–46, 2006. [DBFG+04] Miguel Díaz-Bañez, Giovanna Farigu, Francisco Gómez, David Rappaport, and Godfried T. Toussaint. El compás flamenco: a phylogenetic analysis. In Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music and Science, pages 61–70, Southwestern College, Winfield, Kansas, July 30 - August 1 2004. [DGMM+08] Erik D. Demaine, Francisco Gomez-Martin, Henk Meijer, David Rappaport, Perouz Taslakian, Godfried T. Toussaint, Terry Winograd, and David R. Wood. The distance geometry of music. Computational Geometry: Theory and Application, 2008. [DMM10] A. Desolneux, L. Moisan, and J.-M. Morel. From Gestalt Theory to Image Analysis: A Probabilistic Approach. Springer, 2010. Reprint of the first 2008 edition. [GPT09] F. Gómez, Talaskian P., and G.T. Toussaint. Structural properties of euclidean rhythms. 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Basic Visual Concepts And Principles For Artists, Architects And Designers Time Exposures. McGraw-Hill Humanities/Social Sciences/Languages, 1992.

Miércoles, 30 de Mayo de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

648. 16. (Mayo de 2012) Surf matemático

Antes de nada pediros disculpas por dejar pendiente la segunda entrega de “Infinitos infinitos” (artículo de abril de 2012), pero os lo compensaré… el mes que viene con la segunda entrega de infinitos infinitos y este con un anuncio de la bebida Maltin Power, que como puede leerse en su página web es “la única bebida sin alcohol hecha a base de pura malta de cebada que nutre y refresca”. Lo primero que vemos en el anuncio es una ola que está rompiendo en el mar, lo cual ya nos hace pensar en el surf, o al menos, nos da una pista de que ese puede ser el camino que tome el spot publicitario. Entonces se ve a un joven que está sentado en la playa, rodeado de barcos, mientras le oímos decir “para resolver un problema, lo primero que hago es pensar”. En ese momento se le ve escribiendo matemáticas en un cuaderno y pensando… mientras observamos diferentes fórmulas que flotan en el aire… y él sigue hablando “y pienso en números, fórmulas”. En ese momento se toma su primer trago de Maltin Power. Continúa… “pero esta vez es diferente”… más fórmulas en el aire… “correr una ola por primera vez”, y volvemos a ver la ola rompiendo. Vuelve a verse como está haciendo matemáticas en el cuaderno, y vemos una espiral que representa la curva de la ola mientras le seguimos escuchando “la ola es una suma de curvas. Geometría, seno, coseno, tangente. El radio de curvatura”… Y le vemos coger la tabla de surf y meterse en el mar dispuesto a coger unas olas… y le seguimos oyendo… “yo puedo saber la pendiente y el momento exacto en que si me paro… la hago”… y le vemos celebrar la ola que acaba de coger. Mientras celebra la ola que acaba de surfear, vemos escrito en la pantalla “JOSÉ GARCÍA SULCA, CAMPEÓN MUNDIAL 2010 DE MATEMÁTICA”… “RETA TU MENTE”… “RETA TU CUERPO”… “TOMA MALTIN POWER, ENERGÍA NUTRITIVA Y NATURAL”. Aquí tenéis el anuncio… Simplemente un par de comentarios para terminar. El primero es que una vez más –lo cual es positivo- tenemos ante nosotros publicidad que nos muestra a las matemáticas como una herramienta útil para diferentes aspectos de la vida cotidiana, incluso, como es el caso de este anuncio, para hacer surf, para coger mejor una ola. Hoy en día es una realidad la utilización de investigación matemática relacionada con los deportes, ya sea aplicada a los deportistas o a los materiales utilizados por estos, con el fin de obtener el máximo rendimiento en los mismos. Y por último, que efectivamente el peruano José García Sulca (Perú es el país en el que se ha hecho este anuncio) obtuvo una medalla de oro en la 51ª Olimpiada Internacional de Matemáticas, que se realizó en la ciudad de Astana, en Kazajistán, en 2010.

Miércoles, 23 de Mayo de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

649. 70. Alan Turing: Rompiendo Esquemas (Segunda Parte)

Retomamos el telefilme sobre Alan Turing que dejamos a medias el mes pasado conmemorando el centenario de su nacimiento. A propósito de ello, he ido preguntando a gente conocida al azar si sabían quien fue o que es la máquina Enigma…. Mejor no os digo las conclusiones. Sin embargo en la Red he tenido la agradable sorpresa de recibir con cierto interés varios mensajes agradeciéndome la transcripción de escenas al castellano, e incluso se han tomado la molestia de colgar en esta web dichas escenas subtituladas y poner un enlace a nuestra reseña en DivulgaMAT. Añadimos este mes algunos momentos más, y con el tiempo es probable que podamos ofrecer a todos los interesados una versión íntegra del telefilme completamente subtitulada. Sólo necesitaríamos algún británico nativo para terminar de definir unas pocas palabras que o bien no se escuchan con nitidez en el video o no acabamos de entender. Así que si alguien se anima, sólo tiene que ponerse en contacto conmigo. Recordemos que el telefilme competo puede verse aquí. Dejamos a Turing aceptando el puesto de trabajo que le propone Dilwyn Knox en el GCCS (Government Code and Cypher School). Acaba de presentarle a Patricia Green, la mejor criptoanalista del grupo. Es en este momento cuando Turing conoce cuál es el objeto de su incorporación a este sigiloso equipo: la decodificación de la indescifrable máquina alemana Enigma, vehículo de comunicación entre los famosos submarinos alemanes U-Boot que están diezmando la flota aliada en el Atlántico. Patricia explica a Turing el funcionamiento de estas máquinas (en la foto, tomada del blog Vallisoletum, una de las 26 máquinas Enigma reales existentes en España, concretamente la que está en el Museo de la Academia de Caballería de Valladolid). Cuarta Escena: Minuto 37:04 Pat: El mensaje a trasmitir se codifica mediante esta máquina. El emisor y el receptor tienen el mismo equipo, por supuesto. Aquí bajo el teclado hay tres rotores. Las letras del alfabeto circundan cada rotor. Si se presiona una de las teclas, la k por ejemplo, se ve que la k se codifica como h. Entonces el primer rotor gira. Presionando la k otra vez, aparece la letra f, y así sucesivamente. Cuando el rotor ha dado una vuelta completa, el segundo rotor hace lo mismo y después el tercero. Es una máquina poli alfabética con 26 x 26 x 26 posibles configuraciones. Turing: 17576. Pat: Exacto. Turing: Bueno, no es un número tremendamente grande. Pat: No, es cierto. Un análisis manual podría eventualmente llevarnos a la configuración correcta teniendo suficiente paciencia, pero llevaría  varios días y las configuraciones cambian diariamente. Turing: ¿Cómo saben que configuración utilizar? Pat: Utilizan un libro de códigos que desafortunadamente no tenemos, pero al menos sabemos como funciona la máquina y hemos sido capaces de modificar una de nuestras propias máquinas para simular el funcionamiento de la Enigma. Turing: Ya. Pat: El problema es que los alemanes han modificado la Enigma complicándola, con lo que nuestro modelo es virtualmente obsoleto. Sus operarios están ahora equipados con un conjunto de cinco rotores de los que tres cualesquiera pueden utilizarse en cualquier orden cuando inicializan la Enigma. Turing: Hay 60 posibles combinaciones. 17576 veces 60. Pat: 1054560. También han añadido una placa con clavijas al aparato como si fuera un tablero de conmutadores. Conectan pares de letras en las clavijas y eso las intercambia antes de que pasen a los rotores, y después también. Así que literalmente hay miles de millones de posibles permutaciones. Turing: Eso es lo que yo llamo un problema. Comentario El ingeniero alemán Arthur Scherbius (Frankfurt, 20 Octubre 1878 – 13 Mayo de 1929) fue la  persona que ideó y patentó una máquina de cifrado mecánica que posteriormente se conoció mundialmente como Enigma. Pero el invento no data de la época de la II Guerra Mundial, ya que se registró su patente el 23 de febrero de 1918. Su primer diseño conocida como Modelo A era un “monstruo” tanto en tamaño como en peso (unos 50 kg.), que fue perfeccionándose en los subsiguientes Modelos B y C, esta última con una apariencia de una máquina de escribir dentro de una caja de madera que la hacia portátil. No fue el único que pensó en el sistema de rotores: Hugo Alexander Koch (Holanda), Arvid Damm (Suecia) y Edward Hebern (EE.UU.) realizaron sus propios diseños, pero nadie se mostró interesado en su producción y compra. Scherbius tampoco consiguió demasiada atención en un principio, fundamentalmente por el elevado coste de fabricación, aunque siguió insistiendo tenazmente, hasta que finalmente el ejército alemán, que había tenido serios problemas con sus mensajes codificados durante la I Guerra mundial, comenzó con la producción en serie de estas máquinas en 1925, aunque no sería hasta el año siguiente cuando estuvieron en funcionamiento. Scherbius no llegaría a conocer el poder que dio su máquina a los alemanes ya que en 1929, cuando guiaba un carruaje de caballos, perdió el control y se estrelló contra una pared, muriendo a los pocos días como consecuencia de las lesiones producidas. Un relato mucho más detallado y realmente apasionante y ameno, no sólo de la máquina Enigma, sino de la historia de la criptografía en general, sigue siendo a mi juicio, a pesar de la aparición de gran cantidad libros muy interesantes y de portales en la Red, el libro de Simon Singh, Los códigos secretos, todo un clásico en este tema. Además la propia web del escritor, periodista y productor de documentales punjabí es una inagotable fuente de información y recursos muy útiles para introducir en las aulas códigos, cifras y sus análisis con ayuda de unas matemáticas asequibles. Recordemos que en la reseña 49 de esta misma sección ya presentamos el documental Fermat´s Last Theorem, cuyo guión y dirección corrió a cargo de Singh. En la película queda bastante claro el funcionamiento de la máquina, si bien en Internet existen muchos simuladores que nos permiten componer nuestros propios mensajes describiendo de un modo didáctico su cifrado. Uno de ellos, en el que podemos descargar el programa y cuya apariencia es la de una máquina real es el Enigma Simulator v7.0. Desde 1926, los criptoanalistas ingleses que interceptaban los mensajes de las radios alemanas eran incapaces de comprender su significado. Estadounidenses y franceses también se mostraban impotentes ante la fuerza criptográfica de Enigma. En estas condiciones, los aliados europeos desistieron en descifrar estos mensajes dada la escasa capacidad alemana, pensaban, tras la I Guerra Mundial. Sin embargo Polonia no compartía esta sensación y percibía como posible la amenaza de ser atacados. Estableció entonces una oficina de cifrado denominada Biuro Szyfrów. Comenzaron a intentar romper los códigos de la Enigma, apoyados en los documentos proporcionados por Francia a través del espía alemán Hans-Thilo Schmidt. Así, tres brillantes criptoanalistas, Marian Rejewski, Zygalski Henryk y Rozicki Jerzy, lograron su objetivo en 1933. Los alemanes no obstante iban complicando sus Enigma constantemente: a los tres rotores inciales (263 posibles posiciones), añadieron un sistema de seis clavijas que intercambian las letras, como se muestra en la película. Marian Rejewski concibió entonces un sistema de seis réplicas de la Enigma, llamadas Bomba, que trabajando en paralelo, permitían  que el proceso de descifrado fuese más rápido, como el de una sola. En la página 160 del libro citado anteriormente, Sighn deja claro las razones de este primer éxito: “El éxito polaco de descifrar la Enigma se puede atribuir a tres factores: el miedo, las matemáticas y el espionaje. Sin el miedo a la invasión, los polacos se habrían desalentado ante la aparente invulnerabilidad de la cifra de la Enigma. Sin las matemáticas, Rejewski no habría sido capaz de analizar las cadenas. Y sin Schmidt, cuyo sobrenombre era «Asche», y sus documentos, no se habrían conocido los cableados de los modificadores, y los criptoanalistas ni siquiera habrían podido empezar.” Pero los alemanes siguieron perfeccionando sus máquinas, más rotores (hasta 5), más intercambios en el clavijero (hasta 20). El número de posibilidades era del orden de 159 x 1015, lo que superó a los criptógrafos polacos. En julio de 1939, los polacos, cada vez más recelosos, compartieron los secretos de sus investigaciones a británicos y franceses. Entonces es cuando entran en escena Bletchley Park, Alan Turing, Gordon Welchman, y demás criptoanalistas. La inmensa tarea también necesitó, no sólo del ingenio de estos gigantes, sino de un nuevo ingenio, Colossus, cuyo completo funcionamiento sigue siendo un misterio debido a su destrucción total al término de la II Guerra Mundial, y su documentación aún clasificada como alto secreto hasta que hayan transcurrido al menos cien años, tal y como especifica la norma militar norteamericana. No obstante se conocen muchos detalles, tanto bélico-históricos, como matemático-técnicos, que excediendo del propósito de estas líneas, nos remiten a otras páginas específicas como las de Hablando de Ciencia, o Kriptópolis. El 11 de octubre de 2008, Rafael Moreno Izquierdo escribió en el diario El País un interesante artículo sobre las máquinas Enigma en España: El arma secreta de Franco. Y completando, el libro Soldados sin Rostro: Los Servicios de Información, Espionaje y Criptografía en La Guerra Civil Española, de José Ramón Soler y Francisco Javier López-Brea Espiau, editado en 2008 por Inédita Editorial. En la siguiente escena, Patricia se encuentra en casa de los Turing, tomando un refresco en el jardín. La madre de Alan, muy atenta con ella, le comenta cosas de Alan que, como siempre, lo incomodan. La pide que no intente “pescar” (refiriéndose a una novia para su hijo) y finalmente le achaca que nunca le ha comprendido. Al traer a colación a su amigo Christopher Morcom, Alan se enfada más, momento que la madre aprovecha para ir a por el azúcar que su hijo insistentemente demanda, y que Pat también aprovecha para averiguar las razones por las que Alan se ha mostrado tan descortés con su madre. Entonces la explica lo que Chris significó para él, que a veces piensa que su espíritu lo acompaña, circunstancia que enlaza con la idea de máquina que él tiene. Pero Pat quiere ir por otro camino, ante lo cual Alan recurre a una piña que ha estado observando: Quinta Escena: Minuto 44:14 Turing: Mira esto, es un cono de pino. Pat: Ya veo que es un cono de pino. Turing: Vale, ¡cógelo! Míralo. Voy a decirte algo extraordinario sobre este cono de pino. Pat: A mi me parece bastante normal. Turing: Define qué se entiende por una sucesión de Fibonacci. Pat: La sucesión de Fibonacci es la sucesión de números donde cada término es la suma de los dos anteriores. Así, si se inicia con 1, luego 1 + 1 son 2; 1 y 2, 3; 2 y 3, 5; 3 y 5, 8,… Turing: 5 y 8, 13. Bieeeen, bien dicho, calificación máxima. Ahora mira este cono de pino. Mira el diseño de los soportes de las hojas. Siguen una espiral alrededor del cono. Ocho líneas de torsión a la izquierda, trece a la derecha. Los números siempre siguen una secuencia de Fibonacci. Pat: ¿Siempre? Turing: Siempre. Y no sólo sucede en las piñas. Los pétalos de la mayoría de las flores crecen de la misma forma. ¿No es asombroso? Pat: Sí, lo es. Turing: Sí, y surge la pregunta milenaria. ¿Es Dios un matemático? A continuación, Pat se declara, lo que provoca una difícil situación para Alan, aunque sorprendentemente, ella sí sabe que es homosexual. Comentario En la segunda escena de la reseña del mes pasado ya se comentó el interés de Alan Turing por comprender la Naturaleza desde muy pequeño a través de un libro. A lo largo de su vida siguió pensando en ello, en concreto en el crecimiento de la formas biológicas (quería llegar a encontrar una explicación de la frecuente presencia de la sucesión de Fibonacci, como aparece en la película; su artículo La base química de la morfogénesis, versa sobre dinámica no lineal) y en neurología (escribió un pionero artículo sobre redes neuronales publicado póstumamente), entre otros campos (también realizaba experimentos químicos, uno de ellos a la postre fatal para él). Uno de los aspectos que hoy en día se estudian en biología sobre las plantas es la regularidad en la disposición de sus órganos (hojas en un tallo o los brotes en una flor compuesta, por ejemplo). La parte que estudia estas características se llama filotaxia, y utiliza bastantes relaciones matemáticas, entre ellas la sucesión de Fibonacci. Sobre dicha sucesión también podríamos hablar y no terminar nunca, por lo que remitimos de nuevo al lector interesado a cualquiera de los cientos de enlaces en internet o libros que abordan el tema y su relación con la Naturaleza. En particular en el enlace (en inglés) sobre Botánica Algorítmica, se puede descargar gratuitamente el libro The Algorithmic Beauty of Plants (Springer-Verlag, 1996, Segunda edición), cuyo cuarto capítulo habla sobre la filotaxia. Los fractales son otro de los elementos estrella en el estudio de la representación botánica. Tres escenas vienen a continuación. En la primera, el inspector Mick Ross que investiga la denuncia del robo en el domicilio de Alan Turing, lo está esperando dentro de su vehículo para informarle de lo que ha averiguado y recabar más información, puesto que tiene la casi certeza de que Turing ha mentido en su declaración. Alan viene de correr un rato (Turing estuvo a punto de participar en los Juegos Olímpicos de 1948 en la prueba de maratón, pero una lesión se lo impidió finalmente). En la conversación, acaba admitiendo que lo que conocía del ladrón se lo había dicho el joven Ron Miller, y surge el asunto del encuentro sexual con él. El policía es sumamente desagradable con Turing desde ese momento y le informa de que esos comportamientos constituyen un delito en Inglaterra. El rostro de Ross es sumamente expresivo mostrando una mezcla de reprobación, acusación y asco. Es un momento muy duro para Turing, que llega a implorar a Ross que se olvide de ello. Ante la firme determinación del policia, no le queda otra que realizar una nueva declaración en comisaría. Saltamos entonces mediante un flash back hasta 1942. Knox llama a su despacho a Turing para advertirle de que debe ser discreto en sus “relaciones” con otros compañeros. Turing se molesta, y Knox acaba moderando su inicial firmeza (más adelante, Turing conocerá por Patricia que en su juventud Knox también tuvo un affaire homosexual con un joven). A continuación, una de las escenas más emotivas del telefilme: Alan explica a su madre que va a tener que ir a un juicio por conducta inmoral. Ambos acaban abriendo su corazón tras reprocharse todo lo habido y por haber sobre sus respectivas conductas. En la escena posterior, Ron Miller lee y firma una declaración ante Mick Ross en la que declara estar arrepentido de haber sucumbido a las peticiones sexuales de Turing, quedando libre sin cargo alguno. Otro momento importante es el del reencuentro entre Alan y Patricia, en el que ponen al día sus respectivas vidas tomando un almuerzo en un restaurante. Patricia se ha casado, Alan ha vuelto a sus investigaciones en la universidad. Es un momento también para las confidencias. Alan relata lo que está sufriendo como consecuencia del tratamiento hormonal al que está siendo sometido para “curar” su homosexualidad. Le está creciendo el pecho, aunque él parece tomárselo con buen humor. Obviamente Pat se interesa por cómo eso puede estar afectando a su anciana madre. Pero también es un momento de sorpresas: Alan no podía ni imaginar que su jefe Dilwyn Knox también tuvo una aventura homosexual con un joven, lo que lo deja atónito. Un pequeño instante de esta conversación: Sexta Escena. Minuto 73:20 Pat: ¿Qué tipo de trabajo estás haciendo? Turing: Estoy en la Universidad de Manchester. Pat: Sí, eso ya lo sé. Turing: Hemos construido una computadora digital. ¿Te acuerdas de mi teoría acerca de las máquinas universales? Bueno, pues lo hemos hecho, hemos construido una. Todo gracias a nuestro trabajo en Bletchley. Pat: ¡Qué emocionante! Ha debido ser muy emocionante. Turing: Y yo estoy usando la computadora para simular los patrones de crecimiento de plantas y animales, al igual que los patrones de Fibonacci en un cono de pino. ¿Te acuerdas cuando te explique aquello? Pat (incómoda): Si. Turing: Fue aquella tarde en la que me confesaste estar enamorada de mí. Pat: Fui a la iglesia con tu madre, y ambas lloramos con el sermón. Turing: No has cambiado un solo bit en Irlanda. Esta última frase me ha parecido algo así como un juego de palabras: You would not change one bit in Ireland, es la frase textual, mientras que You would not change a bit in Ireland, sería la forma de decir, “no has cambiado un ápice en Irlanda”, sólo con modificar “one” por “a”. Corríjanme si no estoy en lo cierto. A continuación, el sabueso del Gobierno que  advirtió al detective Ross que tuviera mucho ojo con Turing (sin decirle porqué obviamente), que se hace llamar John Smith (nombre evidentemente falso) tiene una entrevista con Turing. Es impresionante el trabajo del magnífico actor Harold Pinter en esta breve aparición. Es escalofriante. Con una inmutable frialdad y cinismo, después de dar paños calientes a Turing, acaba interrogándole sobre su discreción, su lealtad, su honorabilidad, explicándole con toda crudeza cómo su condición sexual ha provocado que haya estado vigilado permanentemente. Turing se enfada mucho preguntando si acaso ha estado expuesto a que alguien lo empujara delante de un autobús, y acaba con este largo razonamiento: Séptima Escena: Minuto 81:35 Alan: Mire, déjeme tratar de explicarle algo. Con el fin de desentrañar los mensajes codificados por la máquina Enigma, tuvimos que hacer ciertas deducciones. Tuvimos que deducir la posición de los rotores de la máquina para cada transmisión. En otras palabras, tuvimos que construir una cadena de deducciones lógicas para cada una de las posiciones de los rotores. Si esta cadena de deducciones nos hubiera llevado a una contradicción, eso significaba que estabas equivocado y que había que pasar a la siguiente posición del rotor y empezar todo de nuevo, y así una y otra vez. Era una tarea laboriosa, de una longitud imposible, y no sabíamos qué hacer. De repente, una tarde de primavera, justo después del almuerzo, recordé la conversación que tuve con Wittgenstein. Estábamos discutiendo sobre un teorema elemental de lógica matemática que establece que la contradicción implica cualquier proposición, y me di cuenta inmediatamente de que si pudiéramos construir una máquina que contuviera esa idea, tendríamos una máquina que rompería el código con la rapidez necesaria. Tendría que ser una máquina de relés eléctricos y circuitos lógicos, que pudiera detectar contradicciones, reconocer consistencias. Si nuestra suposición fuera incorrecta, la electricidad fluiría a través de todas las hipótesis relacionadas y nos golpearía con un flash al instante. Si la suposición fuera cierta, sería consistente, y la corriente eléctrica se detendría en la combinación correcta. Nuestra máquina sería capaz de analizar miles de millones de permutaciones a una velocidad increíble y con un poco de suerte nos daría el camino. ¡Qué momento! Extraordinario, algo extraordinario. Recuerdo aquel hermoso día soleado. [Pensando para si mismo: El césped acababa de ser cortado. Todo olía a hierba mojada. Sentí una maravillosa sensación de triunfo y regocijo]. Pero no me llevó demasiado tiempo darme cuenta de que no era romper el código lo que importaba. Es a donde llegas desde ahí. ese es el problema real. Así que ya ve, se necesitó algo más que matemáticas e ingenuidad electrónica para romper la Enigma del submarino alemán U-boot. Se requirió determinación, tenacidad, fibra moral, si lo desea. Eso es lo que lo hizo todo tan profundamente satisfactorio. Todo llegó de golpe, todos los hilos de mi vida, mi trabajo como matemático, mi interés en sistemas de cifrado, mi capacidad para resolver problemas prácticos, ¡mi amor por mi país! Confiaban en mi entonces. ¿Porqué no ahora? Merece la pena deleitarse con ambas magníficas interpretaciones. Sobra cualquier otro comentario. El telefilme finaliza con una escena silente que muestra a Turing pensativo con uno de sus amantes en la cama, un recorrido por la cocina, el laboratorio y finalmente el dormitorio del domicilio de Turing, con él muerto y la fatídica manzana con cianuro en la mesilla. Posteriormente, su madre acude a comisaría a recoger sus pertenencias, preguntando al detective Ross cómo pudo ocurrir tal accidente si Alan había trabajado siempre con compuestos químicos y nunca le había sucedido nada, dejando en el aire la cuestión de si realmente fue un suicidio (cosa que ella rechaza), un accidente (que tampoco), o qué (un asesinato, obviamente). Ross vuelve a ser ligeramente sarcástico, aunque acaba callando por compasión ante la mujer sus homófobos pensamientos. Finalmente, una voz en off con fondo de coches en una autopista nos cuenta lo siguiente: Alan Turing fue galardonado con la Orden del Imperio Británico en 1946. Él murió en 1954. En 1993 parte del anillo de circunvalación de Manchester fue denominado “Camino de Alan Turing” en su honor. El alcalde de la ciudad dijo: "Alan Turing nunca recibió el reconocimiento a que tiene derecho. Ahora tenemos la oportunidad de colocarlo en el lugar que merece" Comentario Final En efecto, en 1994, un tramo de la carretera A6010 (un tramo intermedio de la circunvalación de la ciudad de Manchester) se denominó "Alan Turing Way". Parte de esta carretera bordea el estadio del equipo de fútbol Manchester City (inaugurado en 2003). Sobre este tramo se construyó un puente sobre el río Medlock (ver imagen del Google Maps) llamado también Alan Turing Bridge. Sin embargo esa oportunidad de reconocer la injusticia cometida sobre Alan Turing no parece que vaya a llevarse a efecto (Véase este enlace, o éste en castellano), a pesar de las disculpas que el primer ministro Gordon Brown hizo públicas el 10 de Septiembre de 2009, como consecuencia de una campaña promovida desde la Red. Aparte de todo lo comentado sobre la película básicamente de las excelencias de las interpretaciones de los actores sobre las que me ratifico, esta versión adolece de algunos defectos bajo mi punto de vista (ya se sabe que en esto de las críticas, tanto literarias como cinematográficas, todo es muy discutible; pero en fin, a mi me gusta exponer razones que yo considero objetivas). La obra teatral tiene lugar en un espacio intemporal, con muy poco decorado (véase por ejemplo la siguiente escena de una de las últimas representaciones en Gran Bretaña), mientras que el telefilme se sitúa en un escenario urbano, un poco forzado en determinados momentos (lo que siempre sucede cuando se quiere trasladar un medio a otro). En la representación teatral presentada en Nueva York el 15 de Noviembre de 1987 (en el Neil Simon Theater), Derek Jacobi interpretaba también a Alan Turing, durante todas las etapas de su vida, también en su juventud, y las crónicas destacan el magnífico trabajo de maquillaje, caracterización e interpretación que realizaba. De hecho se llegaron a 169 representaciones y fue nominado a los premios Tony de interpretación por este trabajo. En el telefilme, el papel de Alan Turing joven es interpretado por otro actor porque evidentemente el acercamiento de la cámara al actor, primeros planos, etc., resultarían un tanto forzados (sino ridículos) para que un actor de 50 años en aquel momento interpretando a un jovencito de 18. Sin embargo la lejanía del público en un teatro permitía que él mismo pudiera hacerlo allí. Otra diferencia entre ambas representaciones es que en la versión teatral Turing revela el secreto lógico de la Bomba (la etiquetada como séptima escena) en sus últimas vacaciones en Corfú, con la ironía de hacerlo a alguien que no entiende una palabra de lo que le hablan, mientras que en el telefilme su explicación se la da al Oficial de Inteligencia John Smith, que evidentemente si sabe de que le están hablando. También se pierden las palabras en la escena de la muerte, sustituidas por ese anodino final en el que una voz en off explica el ridículo honor concedido a Alan Turing dando nombre a un tramo de carretera. Pero es que para alguien que no sepa nada del personaje, ni de criptografía, ni de ordenadores, ni de lógica, el telefilme no aporta demasiado: no se capta el porqué de la importancia de este hombre lo más mínimo. Todo queda en la injusticia cometida por haber sido perseguido por conducta inmoral, bien poco para lo que significó su trabajo en la realidad. Es más, en las escenas con su madre (salvo en la que están solos), Turing se comporta como un niño mal criado, quejándose por todo, sobre todo siendo ya adulto, porque le han servido un zumo demasiado agrio, obligando a su madre a ir a por el azúcar en vez de ir él a buscarlo. Esto contrasta demasiado con la condescendencia con Ron, al que aguanta todo, da la impresión que por “un simple calentón”. Y finalmente aunque es cierto que Alan Turing tenía la manía de comerse las uñas, la tartamudez exhibida por Jacobi a lo Yo, Claudio, me chirría un poco sinceramente. Sobre el verdadero Alan Turing hay referencias muy completas en Internet. Por supuesto todo el material aportado por el autor de la biografía en la que se basa la obra teatral, Andrew Hodges, pero también el de la Universidad de Manchester para su proyecto de Museo sobre la historia de la Computación. En este segundo, además de un montón de fotografías interesantes, pueden conocerse algunos datos curiosos (excentricidades por ejemplo) del propio Alan Turing, algunos de los cuales se plasman en la película. Como dato para los cinéfilos, el director de este telefilme, medio en el que ha realizado prácticamente toda su carrera, Herbert Wise (de nombre real Herbert Weisz, nacido en Viena en 1924, en la foto), ha dirigido en varias ocasiones a Sir Derek Jacobi: en la célebre e inigualable serie Yo, Claudio (1976), en el episodio Skin (1980) de la serie de terror Tales of the Unexpected (existe versión en DVD pero no ha llegado a España), y en algunos episodios de otra magnífica serie no estrenada en España en la que Jacobi interpreta a un monje medieval que resuelve asesinatos por sus conocimientos en herboristería, Cadfael (1994 – 1996; 13 episodios). Por su parte el propio Jacobi (nacido en 1938) no para de trabajar tanto en teatro, como cine y televisión. Acaba de terminar una película basada en un guión de la actriz Emma Thompson, Effie, cuyo estreno está previsto para octubre de este año; y la lujosa coproducción de 12 episodios Titanic: Sangre y acero (Titanic: Blood and Steel, Ciaran Donnelly, 2012) que pronto veremos en televisión. Respecto a su vida personal, es conocida públicamente su defensa de los derechos de los homosexuales y también de la polémica Declaración de Duda Razonable sobre la autoría de la obra de Shakespeare (él defiende la teoría oxfordiana, frente a la Stratfordiana), para fomentar nuevas investigaciones sobre la cuestión. El documento en línea fue firmado por más de 1.700 personas, incluyendo más de 300 académicos.

Jueves, 03 de Mayo de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

650. 64. (Mayo 2012) El joven Arquímedes, de Aldous Huxley

El joven Arquímedes es una colección de cuatro novelas cortas publicadas por Aldous Huxley entre 1922 y 19301. En esta reseña, me centraré precisamente en la primera de ellas, que da título a la antología. La historia de El joven Arquímedes se desarrolla en Italia. Trata sobre Guido, el hijo de unos campesinos sin educación, cuyos vecinos –una familia acomodada y culta británica que ha alquilado una casa cercana a las tierras que cultivan los labradores– se percatan de su inclinación natural hacia la música. Comienzan a instruirle en este arte, pero pronto advierten que en realidad sus dotes para la música –a pesar de ser buenas– no son excepcionales, siendo Guido en realidad un genio en matemáticas. La propietaria de las tierras –donde está situada la casa en la que viven los ingleses y los campos en los que la familia de Guido se gana la vida– presiona al padre de este joven Arquímedes para que le deje llevarse al niño a la ciudad durante una temporada, con la intención de adoptarlo en el futuro. Las consecuencias serán fatales. —oOo— A través de algunas citas tomadas del libro –fundamentalmente referidas a las capacidades de Guido2–, vamos a conocer la dramática historia de El joven Arquímedes. Un matrimonio británico –y su hijo Robin– alquila una casa apartada en la montaña, cerca de un pueblecito italiano. El narrador de la historia es el padre de Robin, que presenta a Guido como el perfecto compañero de juegos de su hijo: Pero teníamos otras razones, a los pocos días de habitarla, para gustar de la casa. De esas razones, era la más poderosa, que en el hijo menor del campesino descubrimos el compañero ideal de juegos de nuestro hijito. Entre el pequeño Guido –tal era su nombre– y el menor de sus hermanos había una diferencia de seis o siete años. Los dos mayores trabajaban en el campo con su padre; después de la muerte de la madre, dos o tres años antes de conocerlos, la hermana mayor manejaba la casa, y la menor, que acababa justamente de dejar el colegio, la ayudaba y en las horas libres vigilaba a Guido, quien no necesitaba ya mucha vigilancia: contaba de seis a siete años, y era tan precoz, tan seguro y tan lleno de responsabilidad como lo son en general los hijos de los pobres, entregados a sí mismos desde que empiezan a andar. Aunque era dos años y medio mayor que el pequeño Robin –y en esa edad treinta meses están rellenos con la experiencia de la mitad de una vida– Guido no se aprovechaba indebidamente de la superioridad de su inteligencia y de su fuerza. No he visto nunca un niño más paciente, tolerante y menos tiránico. Guido interrumpe en ocasiones sus juegos, sumiéndose en profundas meditaciones, lo que deja ya percibir su singular personalidad: Éste era un niño reflexivo sujeto a súbitas abstracciones. Uno lo encontraba, a veces, solo en un rincón, la barbilla en la mano, el codo en la rodilla, sumergido, al parecer, en profunda meditación. Y a veces, aun en medio de sus juegos se detenía de pronto y se quedaba de pie con las manos detrás, el entrecejo fruncido y mirando al suelo.  [...] Es el Guido abstraído en uno de esos trances en que solía caer, aun en plena risa y juegos, de manera absoluta e inesperada, como si de pronto se le hubiera metido en la cabeza irse y hubiera dejado el hermoso cuerpo silencioso abandonado, como una casa vacía, esperando su vuelta. Para amenizar sus horas de silencio y soledad en la montaña, el matrimonio inglés decide llevar desde Inglaterra a la casa en Italia un gramófono y varios discos de música clásica. Guido queda impresionado al escuchar estas melodías, tan diferentes de las que había oído hasta entonces en las alegres fiestas familiares: El primer disco que oyó, recuerdo, fue el del movimiento lento del Concierto de Bach en re menor para dos violines. Ése fue el primer disco que puse, apenas Carlos me dejó. Me parecía, en cierto modo, la pieza más musical con que refrescar mi espíritu tan sediento de música –la bebida más clara y más fresca. [...] Guido se detuvo ante el gramófono, y se quedó inmóvil, escuchando. Sus ojos, de pálido azul grisáceo, se abrieron desmesurados, y, con un pequeño gesto nervioso que ya había notado antes, se tiró el labio inferior apretando el pulgar y el índice. Debió de haber hecho una profunda aspiración; porque noté que después de escuchar por algunos segundos espiró vivamente, y aspiró una nueva dosis de aire. Me miró un instante –mirada interrogadora, entusiasta, asombrada–, se rió con una risa que se volvió un estremecimiento nervioso, y se volvió hacia la fuente de esos maravillosos sonidos. Guido se entusiasma con esa música que surge del gramófono, mostrando una enorme habilidad para repetir ritmos y captar –sin conocimientos musicales previos– matices y diferencias entre unas y otras: Desde entonces vino todas las tardes. Pronto conoció toda mi colección de discos, tenía sus preferencias y sus antipatías y podía pedir lo que deseaba oír tarareando el tema principal. [...] El narrador piensa que Guido es un genio de la música y decide alquilar un piano para poder empezar a enseñarle algunas nociones musicales. Todas las tardes, mientras Robín dormía, venía a su concierto y a su lección; sus deditos adquirían fuerza y agilidad. Pero lo que más me interesaba era que empezaba a componer piececitas. Algunas las escribí al oírselas y aún las conservo. La mayoría, cosa rara, me parecía entonces, eran clásicas. Tenía pasión por lo clásico. Cuando le expliqué los principios de esa forma, quedó encantado. – Es hermoso –decía admirado–. ¡Hermoso, hermoso, y tan fácil! Guido aprende deprisa, pero no es un genio de la música, como el padre de Robin suponía al principio. Sin embargo, pronto se manifiesta su talento en otra disciplina: Hice este descubrimiento una mañana, al principio del verano. Estaba trabajando, sentado a la sombra tibia de nuestro balcón que mira al norte. Guido y Robín jugaban abajo en el jardincito. Absorbido en mi trabajo, supongo, sólo me di cuenta del poco ruido que hacían los niños, después de un prolongado silencio. No se sentían ni gritos ni corridas: sólo una tranquila conversación. Sabiendo por experiencia que cuando los niños están quietos es porque se ocupan en algo prohibido, me levanté y miré por sobre la balaustrada lo que hacían. Esperaba verlos chapoteando agua, o encendiendo un fuego o cubriéndose de alquitrán. Pero lo que vi fue a Guido que, con un palo tiznado, demostraba sobre las piedras lisas de la vereda que el cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre los dos otros lados. Arrodillado en el suelo, dibujaba con la punta de su palo quemado sobre el piso. [...] Después –dijo Guido–. Pero quiero, primero, mostrarte esto. ¡Es tan hermoso! –agregó con tono engañador.– [...] En un minuto Guido concluyó sus diagramas. –¡Ya está! –dijo triunfalmente, levantándose para mirarlos–. Ahora te voy a explicar. Y empezó a demostrar el teorema de Pitágoras, no como Euclides, sino por el método más sencillo y satisfactorio que según todas las probabilidades empleó el mismo Pitágoras. Había dibujado un cuadrado que había seccionado, con un par de perpendiculares cruzadas, en dos cuadrados y dos rectángulos iguales. Dividió los dos rectángulos iguales por sus diagonales en cuatro triángulos rectángulos iguales. Los dos cuadrados resultan estar construidos sobre los lados del ángulo recto de esos triángulos. Eso era, el primer dibujo. En el siguiente, tomó los cuatro triángulos rectángulos en los cuales estaban divididos los rectángulos y los dispuso alrededor del cuadrado primitivo, de manera que sus ángulos rectos llenaran los ángulos de las esquinas del cuadrado, las hipotenusas en el interior y el lado mayor y menor de los triángulos como continuación de los lados del cuadrado (siendo iguales, cada uno, a la suma de esos lados). De este modo, el cuadrado primitivo está seccionado en cuatro triángulos rectos iguales y un cuadrado construido sobre su hipotenusa. Los cuatro triángulos son iguales a los dos rectángulos de la primera división. Resulta que el cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de dos cuadrados –los cuadrados de los dos catetos– en los cuales, con los rectángulos, fue dividido el primer cuadrado. En un lenguaje muy poco técnico, pero claramente y con implacable lógica, Guido expuso su demostración. Lo sorprendente de esta historia es que nadie había enseñado a Guido a dibujar esos cuadrados... aunque el niño da una demostración del teorema de Pitágoras, es él el que la descubre: Luego, ansiosamente, como si temiera que hubiera algo malo en dibujar cuadrados, prosiguió disculpándose y explicándome. –¿Verdad? –dijo– me parecía tan hermoso. Porque aquellos cuadrados –señaló los dos pequeños cuadrados de la primera figura– son del mismo tamaño que éste. E indicando el cuadrado sobre la hipotenusa en la segunda, me miró con una conciliadora sonrisa. Tras este extraordinario descubrimiento, las clases de música pasan a compartir su tiempo con lecciones de matemáticas. El pequeño Guido se encuentra plenamente seducido por el álgebra y sus teoremas, aludiendo constantemente a su belleza y su naturalidad: En las semanas siguientes, yo alternaba las lecciones de piano con lecciones de matemáticas. Eran más que lecciones sugestiones, indicación de métodos, dejando al niño desarrollar sus ideas. Así le hice conocer el álgebra, haciéndole una nueva demostración del teorema de Pitágoras. En esa demostración, se traza una perpendicular de lo alto del ángulo recto sobre la hipotenusa, y partiendo de la base de que los dos triángulos así formados son semejantes entre ellos y al triángulo primitivo, y que sus lados homólogos son en consecuencia proporcionales, se demuestra algebraicamente que c2+d2 (los cuadrados de los otros dos lados) es igual a a2+b2 (los cuadrados de los dos segmentos de la hipotenusa) +2ab; cuyo total, como se puede demostrar con facilidad geométricamente, es igual a (a+b)2, o sea al cuadrado construido sobre la hipotenusa. Guido quedó tan encantado con los rudimentos del álgebra, como si le hubiera regalado una locomotora a vapor, con un calentador de alcohol para la caldera; más encantado, tal vez, porque la máquina se podía romper, y, quedando siempre igual, hubiera en cualquier caso perdido su atractivo, mientras que los rudimentos de álgebra se agrandaban y florecían en su mente con una exuberancia infalible. Cada día descubría algo que le parecía exquisitamente bello; el nuevo juguete tenía posibilidades ilimitadas. En los intervalos que nos dejaba la aplicación del álgebra al segundo libro de Euclides, hacíamos pruebas con círculos; plantamos bambúes en la tierra endurecida por la sequía y medimos la sombra en distintas horas del día, sacando de esas observaciones sensacionales conclusiones. A veces, para entretenernos, cortábamos y doblábamos hojas de papel para hacer cubos y pirámides. Una tarde apareció Guido trayendo cuidadosamente en sus pequeñas y sucias manos un endeble dodecaedro. –¡É tanto bello! –decía mientras lo mostraba, y cuando le pregunté cómo lo había hecho, se contentó con sonreír y decir que ¡había sido tan fácil! Debido al calor y a problemas de salud de Robin, la familia británica debe partir a pasar una temporada a Suiza. El narrador obsequia a Guido los seis primeros libros de Euclides en italiano para que continúe su formación. Durante su estancia en Suiza, la familia escribe algunas postales a Guido, sin obtener respuesta. Finalmente reciben un sobre –con la mala letra del joven Arquímedes– dirigida AL BABBO DI ROBÍN: contiene una carta que había vagado durante semanas hasta llegar a su destino. El escrito de Guido es una llamada de auxilio: la patrona había obligado a su padre –al campesino– a dejar al niño a su cargo durante una temporada –les había amenazado con expulsarles de las tierras que cultivaban desde hacía años si no accedían a esta solicitud–. Aunque la casera mima al pequeño Guido, le obliga a estudiar música –pensando en que está contribuyendo a crear un virtuoso del piano– y le quita los libros de matemáticas para que no se entretenga. Guido, privado de la cercanía de sus seres queridos y de sus matemáticas, se cree abandonado por su familia –a la que la casera engaña no diciéndoles exactamente en que lugar están viviendo– y también por la familia de su amigo Robin. Desesperado, se lanza por una ventana y muere. Esta novela se llevó al cine en 1950 con el título de Prelude to Fame.   Notas: 1 Las cuatro novelas son: El joven Arquímedes; Los Claxton; Cura de reposo y El monóculo. La Editorial Losada (Buenos Aires) los reunió en una antología en 1943, traducida al castellano por Leonor de Acevedo. 2 Las citas en las que aparecen las  matemáticas irán en diferente color.

Martes, 01 de Mayo de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico