631. 97. (Septiembre 2012) SOLUCIÓN CONCURSO DEL VERANO 2012

ADIVINACIÓN A TIEMPO (SOLUCIÓN) Como de costumbre, publicaremos en esta entrega las soluciones recibidas al concurso de verano propuesto en el número anterior. Como de costumbre, agradecemos a todos los participantes (incluidos quienes no han enviado ninguna solución) el interés mostrado en las propuestas de este rincón. Como de costumbre, quienes han enviado la solución son seguidores habituales de esta sección y, como de costumbre, animamos al resto de lectores a participar en los concursos para no tener la desalentadora impresión de ser un grupo residual de aficionados a la magia matemática. El primer juego era el siguiente: Mezcla la baraja y reparte sobre la mesa 13 cartas, caras hacia abajo. De este montón, toma un pequeño grupo de cartas y colócalo en tu bolsillo. Recoge el resto del montón repartido, mira y recuerda la carta inferior (la que estaba en contacto con la mesa) y coloca todo el montón sobre el paquete de cartas. Reparte ahora 12 cartas sobre la mesa, tantas como horas tiene un reloj. Coloca estas doce cartas en un círculo, formando un reloj: la primera carta en el lugar representado por la una, la segunda en el lugar de las dos, y así sucesivamente, la duodécima carta en el lugar de las doce. Saca las cartas del bolsillo y cuéntalas. Vuelve cara arriba la carta del reloj cuya hora corresponde al número de cartas del bolsillo. ¡Es la carta elegida! Basta seguir las instrucciones para deducir fácilmente el método empleado. Si repartimos 13 cartas, guardamos en el bolsillo x cartas, sobre la mesa quedan 13 - x. Al devolver este paquete sobre el resto de la baraja, la carta elegida queda en la posición 13 - x desde arriba (tanto si la baraja es de 40 o de 52 cartas). Al repartir sobre la mesa 12 cartas para formar un reloj, se invierte la posición de estas cartas, de modo que la elegida pasa a ocupar la posición x (la primera pasa a la posición 12, la segunda a la posición 11, y así sucesivamente, la carta de la posición p pasa a ocupar la posición 13 - p). El resto es automático: la carta elegida ocupa la hora correspondiente al número de cartas del bolsillo. Esta solución es la que nos envía Marisa Berdasco. Por otra parte, María Jesús Arcos y Roberto Camponovo no han comprendido las instrucciones de forma precisa (el hecho de repartir 12 cartas antes de formar el círculo pasa desapercibido para ellos), lo cual me sirve para tratar de ser más claro la próxima vez. Aún así, proponen una respuesta alternativa. Las instrucciones a seguir para el segundo juego eran las siguientes: Mezcla la baraja y piensa una hora (de la una a las doce). Retira de la baraja tantas cartas como indica la hora pensada y guárdalas en el bolsillo. Ahora mira y recuerda la carta de la baraja que ocupa la posición indicada por la hora pensada. Por ejemplo, si has pensado las tres, recordarás la tercera carta desde la parte superior de la baraja. A continuación vas a dejar pasar todas las horas, de la siguiente forma: Deletrea la palabra UNA pasando tres cartas de arriba a abajo de la baraja; deletrea DOS, TRES, CUATRO, etc. hasta DOCE siempre pasando una carta por cada letra. Al terminar todas las horas, vuelve cara arriba la carta superior. ¡Es la carta elegida! Para este juego, hay dos claves a tener en cuenta. En primer lugar, el número total de letras que tienen las palabras UNO, DOS, TRES, ..., DOCE, es 51. Si la baraja tiene 52 cartas, al pasar de arriba abajo las cartas a medida que se deletrean los números, el resultado final es que todas las cartas se han desplazado un lugar hacia abajo. Ahora bien, si la baraja tiene 51 cartas, después del deletreo todas las cartas ocupan la misma posición inicial; si tiene 50 (= 52 - 2) cartas, al final las cartas se han desplazado un lugar hacia arriba. En general, si baraja tiene 52 - x cartas, el desplazamiento final será de x - 1 lugares hacia arriba. La segunda clave es pues hacer que el espectador mire la carta que ocupa la posición x después de haber retirado x cartas. Con esto se consigue que dicha carta se haya desplazado hasta la posición superior de la baraja. Esta idea del deletreo puede aprovecharse en otras situaciones y con otra cantidad de cartas. Por ejemplo, si conocemos el nombre de un espectador y la carta superior de la baraja (sin que el espectador sepa que la conocemos), le pedimos que reparta sobre la mesa un número de cartas igual al número de letras de su nombre más uno (por supuesto sin decirle que esa es la razón de elegir dicho número). A continuación, que pase de arriba abajo de dicho montón cartas una a una deletreando su nombre. Entonces podemos adivinar la carta que ha quedado arriba (que incluso podemos tener escrita de antemano en una hoja de papel) ya que es la carta que originalmente estaba en la parte superior de la baraja. Entre las respuestas recibidas, Marisa también encuentra la solución correcta y, para el caso de la baraja española de 40 cartas, propone deletrear los números UNO al NUEVE para que el total sea de 39 cartas, lo que produce el mismo efecto que el caso general. Sólo haría falta justificar de una forma convincente que sólo se cuenten estos números. María Jesús realiza un estudio muy completo y más general para deducir que sólo existe solución cuando la baraja tiene 52 cartas. Para el caso de 40 cartas, propone una solución de difícil puesta en práctica, aunque matemáticamente correcta: observa que 1+2+...+11+12=78 y que 78/2 = 39. Por tanto, en lugar de deletrear las palabras, pasa de arriba abajo tantas cartas como el número, una carta para el uno, dos para el dos, tres cartas para el tres, y así sucesivamente. Como hay que pasar la mitad de las cartas, por cada pareja de impares consecutivos se pasan la mitad de su suma y por cada número par se pasa la mitad de su valor. Por último, Roberto entendió que la baraja tenía 40 cartas y propone soluciones alternativas un poco más elaboradas. Como de costumbre, enhorabuena a los ganadores y a los lectores anónimos. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Lunes, 03 de Septiembre de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

632. 67. (Septiembre 2012) La novela perdida de Borges, de Pablo Paniagua

La novela perdida de Borges por Pablo Paniagua RESUMEN DE LA OBRA John Lehninger es un polémico historiador canadiense que va a impartir la conferencia El inextricable Borges en Madrid. Sus críticas hacia consagrados escritores le han valido las iras de personas –e incluso países–: esta vez será Jorge Luis Borges el objeto de su disertación. En su conferencia, Lehninger intenta demostrar las limitaciones de Borges, con su peculiar gusto por utilizar palabras pomposas –como inextricable, de allí el título sarcástico de la charla–, con su exagerada utilización de datos y con la utilización sistemática de los mismos temas. La sorpresa que Lehninger reserva a la concurrencia es su afirmación de la incapacidad de Borges para escribir un texto extenso, aludiendo a una novela inconclusa, un manuscrito de 69 páginas que él ha podido ojear. Según el conferenciante, las incapacidades del argentino se debían a su impotencia sexual y a su dependencia de una madre dominante. Esta sorprendente afirmación divide al público asistente entre los que le aplauden y los que le abuchean... Entre los espectadores se encuentran Jorge Luis Borges –el narrador, un joven madrileño– y la mexicana Aurora Yazbeck, ambos estudiantes del último curso de Literatura en la Universidad Complutense de Madrid. A ella le gusta Borges –el escritor– y a él en absoluto, en parte porque su nombre le pesa, en parte porque Jorge Luis es admirador del escritor de origen polaco Witold Gombrowicz, cuya enemistad con Borges es bien conocida. Jorge Luis y Aurora son testigos del asesinato de Lehninger: tras su polémica conferencia, un joven pelirrojo le asesta varias puñaladas al grito –con acento argentino– de ¡Viva Borges! Aurora convence a Jorge Luis –que acepta porque quiere acostarse con ella– para ir tras la pista del manuscrito: para ello deberán viajar hasta México, a la ciudad de Guanajuato. Allí vivirán una historia marcada por la duda, el recelo, el chantaje, el engaño, las dudas, el sexo y la traición... En esa búsqueda del manuscrito perdido, el joven Jorge Luis Borges se irá transformando paulatinamente en Witold Borges: un aspirante a escritor –Jorge Luis– que narrará su aventura –ya convertido en Witold– en su tesis de licenciatura... La novela perdida de Borges. LAS MATEMÁTICAS DE LA OBRA ¿Dónde están las matemáticas en La novela perdida de Borges? Se trata de una novela fractal. ¿Y qué significa esto? Pablo Paniagua explica lo que entiende por este tipo de literatura –la literatura fractal– en el ensayo ¿Qué es la literatura fractal? disponible libremente en su blog, y que además adjunta como anexo en esta novela. Pablo Paniagua habla precisamente de Franz Kafka y de Jorge Luis Borges como dos de los grandes escritores que han desarrollado este tipo de literatura y da algunos ejemplos de astucias fractales en la creación de textos –desdoblamientos, juegos de espejos, dinámicas en la repetición, etc.–. La novela perdida de Borges tiene 69 capítulos, como el manuscrito perdido de Borges. El número 69 aparece de diversas maneras en el texto: es el número de habitación en el hotel de María Dolores Rangel –la secretaria de Lehninger–; es el número de pulsaciones por minuto de Aurora; son los años que tenía Jorge Luis Borges cuando estaba en París en 1969; en 1969 falleció Witold Gombrowicz. El 69 es el yin y el yang –¿Borges y Gombrowicz, el conservador y el progresista? ¿Gombrowicz y Borges, el literato ignorado y el conocido escritor? ¿Jorge Luis y Aurora, el enamorado y la manipuladora? ¿Aurora y Jorge Luis, la niña y el vencedor?–; es el número de la puerta de abordaje al avión que lleva a México a Jorge Luis y Aurora; es el número de asiento que ocupa un pelirrojo en ese mismo avión; es una de las posturas en la que –tras mucho esperar– Jorge Luis hace el amor con Aurora; es el agente 69 –como se califica a sí mismo Jorge Luis– en la búsqueda del documento inconcluso de Borges; es un número al que se alude en la primera línea de El tiempo reflejado –la novela perdida de Borges–; es el último capítulo de esta novela –que resulta ser exactamente igual al capítulo 3, reiniciando la historia irremediablemente–. El yin y el yang –otra versión del 69– es otra de las claves de la novela. El Borges narrador nace el mismo día en el que muere el Borges escritor; son el aprendiz y el escritor consagrado, el que se basa al escribir en hechos vividos –el joven, el autor de la La novela perdida de Borges, en la que cuenta su aventura– y el que inventa sus cuentos, el que es capaz de escribir una novela y el que no, el que se mueve por el sexo y lo disfruta y el que no es capaz, el que arriesga y el que teme,... Jorge Luis Borges y Witold Gombrowicz representan también el yin y el yang –¿o el yang y el yin?–: coincidiendo en Argentina, el uno era famoso y el otro ignorado como escritor, el uno de estilo tradicional y el otro experimental, el uno siempre cerca de su dominadora madre y el otro privado de su familia, el uno relacionado con la alta sociedad y el otro con los bajos fondos, el uno coqueteando con el poder y el otro huyendo de él, el uno impotente y el otro disfrutando de su sexualidad, el uno defendido a muerte al grito de ¡Viva Borges! y el otro regresando a Europa lanzando un ¡Maten a Borges!... Jorge Luis y Aurora son también el yin y el yang: ella es manipuladora y coqueta y gobierna a Jorge Luis a su antojo para conseguir el manuscrito; él se deja llevar para conseguir acostarse con ella. En algún momento se invierten los papeles de dominadora y sometido, pero normalmente es ella la que lleva la iniciativa. Marta es la hermana gemela de Aurora; ella es poliomielítica y hace el amor con pasión, frente a la bella y sana Aurora que no es capaz de disfrutar plenamente del sexo: también ellas son el yin y el yang. Aurora y Marta no son las únicas gemelas que aparecen en la historia. El pelirrojo asesino de Lehninger es de hecho uno de los trillizos que aparecen en la novela –el asesino, dos de ellos son camareros en un restaurante, aparece otro de ellos en el avión, se reencuentran en México, ...–. El propietario de la novela inconclusa de Borges –tras varios cambios de manos debidos a diferentes pagos de deudas– es un violinista de la Orquesta Sinfónica de la Universidad Autónoma de Guanajuato, cuyo gemelo también es violinista en la misma orquesta. No sólo hay gemelos, también hay personajes duplicados: Jorge Luis come con Aurora en un restaurante en Madrid; les atiende uno de los pelirrojos, y Jorge Luis observa como otro pelirrojo sirve a otra pareja muy parecida a ellos... Jorge Luis, en su regreso a Madrid –ya como Witold Borges– coincide en el avión con una mujer poliomielítica llamada Marta, que tiene una hermana gemela que se llama Aurora y estudia Literatura en Madrid: él tiene la certeza de que se acostará con estas dos hermanas, como ya lo hizo con sus tocayas mexicanas... déjà vu, déjà vécu... el laberinto, el eterno retorno... Pero la duplicidad –¿triplicidad?– más marcada es sin duda la del propio Jorge Luis Borges; no sólo hay dos –¿o es que sólo hay uno?–. La novela está escrita en primera persona, porque Jorge Luis (Witold) Borges –el aprendiz de escritor– relata la aventura vivida en búsqueda del manuscrito perdido de Borges. Pero, en el capítulo 5, aparece otro Jorge Luis Borges –¿otro narrador? ¿quizá un observador?–, que va a pasar a ser el relator en diversos capítulos –el 5, 10, 15, 19, 21, 29, 34, 38, 48, 59 y 67– para aclarar las metamorfosis que se están produciendo en el joven Jorge Luis. En el capítulo 5 se presenta: Me llamo Jorge Luis Borges y soy todos los Jorge Luis Borges, tanto el famoso poeta y creador de opúsculos metafísicos como el joven estudiante de literatura y aprendiz de escritor, y también narrador de una parte temporal de este libro, que acaba de presenciar, en compañía de la preciosa Aurora, la impecable disertación de John Lehninger. El primer Borges, al final, supo de mi existencia cuando el segundo aún ni la sospecha, pues yo soy el generador de esa conciencia que se multiplica en todos los instantes de sus vidas, un flujo fractal como reflejo repetido de una misma idea, de una imagen con nombre y apellido: para un hombre que fue joven y para un joven que será hombre, como el yin y el yang que mutan siendo opuestos para encontrarse, para intercambiar sus papeles en un juego sin fin. Ésa es la ventaja de saberse conciencia, de ser, de poder transitar por el espacio y el tiempo sin un cuerpo físico, como un alma de voz que entra para gobernar la materia, un pensamiento, traspasando ese simple estado para escrutar el acontecer y situarse por encima del mismo pensamiento, para convertirse en conciencia de inspiración: el pensamiento que sabe sobre su propio pensamiento, sobre su razón de ser. Yo soy, dentro de la dualidad, el cielo y la tierra, lo luminoso y lo oscuro, lo creativo y lo receptivo, la totalidad de los pensamientos literarios de ambos Jorge Luis Borges: el escritor muerto y el ahora aprendiz. Así es mi juego, el juego de sus vidas, dos dados en una tirada siempre predispuesta con un saldo numérico idéntico, como el naipe de un rey de picas, de un escritor que se mira en el espejo sin saber, en realidad, que es el otro. Y ya en el capítulo 67: [...] Ahora mi mundo es Witold Borges y mi universo sigue siendo la literatura, dominios sagrados para la recreación del espíritu, del yo como conciencia que soy, esta inmortalidad que se presenta por medio de las ideas, de la palabra escrita. ¿Hay algo más grande que la Literatura? Es la esencia del pensamiento y del espíritu a través de los siglos, memoria del transcurso de la Humanidad, contrapeso ante la ignorancia y la barbarie. Esta novela ya se acerca a su final, y lo hará con el capítulo 69 para que la mutación se inicie y todo cobre su sentido. Es la primera obra de Witold Borges escrita como trabajo final en sus estudios, como tesis de lo inconcreto. Él ya me conoció, pues son estas palabras escritas por él, como si fuera yo, la evidencia que lo indica: una relación de ida y vuelta. A MODO DE CONCLUSIÓN Además de la crítica a Borges como literato –lenguaje rebuscado, incompetencia para escribir una novela, calidad cuestionable de algunos de sus textos– y como persona –miedo al fracaso, sumisión a su madre, sometimiento a la dictadura, etc. – Pablo Paniagua habla de la situación de violencia y abandono en México en general y en Guanajuato –ciudad en la que él vive– en particular: alude en varias ocasiones a la falta del hábito de leer como la culpable de muchos de los males que impregnan su entorno. La novela es una auténtica delicia en la que abundan juegos –lo fractal–, embrollos, sentido del humor –a veces bastante negro–, crítica y datos históricos. Como le comenté a Pablo Paniagua –que amablemente me regaló su novela–cuando empecé a leerla, no pude dejarla hasta llegar al capítulo 69... y la he leído varias veces –esto de las duplicidades me ha debido enganchar– aunque probablemente algún detalle fractal se me habrá escapado... Por cierto, en el capítulo 3, Jorge Luis y Aurora se encuentran justo antes de entrar a escuchar la conferencia de Lehninger. El último capítulo, el 69, es palabra por palabra el capítulo 3. ¿No había sido asesinado Lehninger? ¿O quizá Jorge Luis-Witold ha inventado toda la historia –esta novela, su tesis de licenciatura–, fantaseando con una aventura junto a la inalcanzable Aurora? ¿O tal vez es otro Lehninger –quizá un gemelo del primero– el que va a impartir la conferencia y la Aurora que acompaña al narrador es la hermana de la poliomielítica del avión que regresa a Madrid? ¿O quizá hay otra explicación?   MÁS INFORMACIÓN Y REFERENCIAS: [1] Pablo Paniagua, ¿Qué es la literatura fractal? [2] Pablo Paniagua, Yo, me meo en Borges [3] Escribir desde la disidencia: entrevista con el escritor Pablo Paniagua, entrevista realizada en julio de 2011 por Alejandro Acevedo para el Periódico Correo [4] Pablo Paniagua presenta 'La novela perdida de Borges’, Periódico Ideal, junio de 2011 [5] Joaquín Marof, ¡Maten a Borges!, La Jornada Semanal, 2006

Viernes, 31 de Agosto de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

633. 38. (Julio 2012) Estadística en la musicología I

1. Introducción Este artículo inaugura una serie que se titula Estadística en la musicología. El título de la serie puede parecer una provocación, pero no es así, y ello merece una explicación. La musicología -en su definición más amplia- es el estudio de la música. El musicólogo Richard Parncutt [Par07] da una definición de musicología que se inspira en la entrada correspondiente del prestigioso diccionario The New Grove Dictionary of Music and Musicians [SSE01] (nuestra traducción, sus cursivas): “Sugiere (el diccionario) que la musicología hoy comprende todas las disciplinas que estudian toda la música en todas sus manifestaciones y en todos sus contextos, sean estos, físicos, acústicos, digitales, multimedias, sociales, sociológicos, culturales, históricos, geográficos, etnológicos, psicológicos, médicos, pedagógicos, terapéuticos, o en relación a cualquier otra disciplina o contexto musicalmente relevante”. A pesar de que la edición del diccionario es de 2001 y el artículo de Parncutt de 2004 todavía echo de menos disciplinas que se han ocupado muy activamente de la música como objeto de estudio, como por ejemplo: las neurociencias, los estudios (auto-)etnográficos, los estudios de género, la estética, la semiótica, la antropología, pero también las ciencias de la computación1 y, lo que es pertinente a esta columna, las matemáticas. Por su longitud y amplitud, la lista anterior puede intimidar un poco, pero hay que advertir que ni todos los enfoques ni todos los métodos son válidos en musicología. De hecho, se pueden encontrar casos en que la aplicación de ciertos métodos ha producido extralimitaciones conceptuales. Sin embargo, esta rica mezcla de disciplinas aplicadas al estudio de la música no se formó sino hace relativamente poco tiempo, unas cuatro o cinco décadas aproximadamente. Al principio, la musicología era simplemente el estudio de la música occidental, principalmente con métodos históricos. Como disciplina más o menos independiente se encontraba la musicología comparada, que más tarde devino en la etnomusicología. Poco a poco el fenómeno musical se fue investigando en un sentido más amplio y otras disciplinas se incorporaron a su estudio, si bien esas disciplinas pertenecían fundamentalmente al campo de las humanidades. Se estudiaba la música desde la perspectiva histórica, literaria, filosófica o del análisis musical occidental. Poco a poco se empezó a aceptar que había otras músicas, con sus propias estructuras, estilos e instrumentos. Más tarde se unieron otras disciplinas, pero destacan dos que han dado un fuerte impulso a la investigación y señalado ángulos de estudio necesarios para la consolidación de una musicología moderna: la psicología y las ciencias de la computación. La música tiene una componente cognitiva muy importante que hasta finales de los años sesenta había sido casi ignorada por completa. Con trabajos pioneros como los de Diana Deutch se inauguró una intensa era de investigación de los mecanismos perceptuales y cognitivos de la música; véase [RB03] para una excelente visión del campo. Respecto a las ciencias de la computación, los modelos computacionales se hicieron totalmente necesarios para la comprensión de la música así como para su procesamiento. Por ejemplo, Jackendoff y Lerdahl [LJ83], inspirándose en las teorías de la gramática generativa de Chomsky, desarrollan una teoría generativa de la música que identifica estructuras y propone reglas de transformación. Según su metodología, la musicología se ha clasificado en cualitativa, cuantitativa y etnográfica2. La musicología cualitativa usa métodos cualitativos (entrevistas, observaciones, análisis de documentos, archivística, interpretación de textos, estudio de casos, etc.). Estos métodos provienen principalmente de las humanidades. Los métodos etnográficos consisten en la investigación vía la integración del investigador en el contexto de la investigación; si el investigador mismo es el protagonista se habla entonces de métodos autoetnográficos (por ejemplo, el musicólogo que entra en una formación musical de una cultura dada para investigarla desde dentro y no como observador externo). Dentro de los métodos (auto-)etnográficos se encuentra la redacción de diarios, los cuadernos de campo, las grabaciones en audio y vídeo, así como técnicas específicas de análisis. Por último, está la musicología más reciente, la cuantitativa, que en buena medida es computacional. Esta musicología reconoce que la música tiene aspectos cuantificables y modelizables computacionalmente y busca construir modelos, reconocer estructuras y producir algoritmos que permitan procesar la música para su mejor comprensión y análisis. Un ejemplo sencillo de este tipo de musicología lo tenemos en el procesamiento automático de música. Con los nuevos medios de representación y almacenamiento, podemos disponer de corpus de música de varios cientos de horas. Buscar una característica común -digamos un cierto patrón melódico-, a mano (a oído, más bien), puede llevar al menos tantas horas como el corpus mismo. Un procesamiento adecuado del corpus puede localizar ese patrón en cuestión de minutos, y darnos datos de los que sacar información valiosa. Incluso hoy en día, la musicología cuantitativa no goza de la aceptación incondicional de toda la comunidad de estudiosos de la música. En este artículo, como decía más arriba, vamos a ver unas cuantas aplicaciones de la estadística a la musicología. La serie está pensada más para músicos que para matemáticos y en la entrega de hoy exploraremos las posibilidades de la estadística descriptiva. El resto de este artículo sigue la presentación del excelente libro Statistics in Musicology [Ber04], de Jan Beran, capítulo uno. Recomiendo vivamente la lectura de este libro. 2. Estadística descriptiva El objetivo de la estadística descriptiva es encontrar una serie de medidas que sean representativas de un conjunto de datos numéricos. Normalmente, el conjunto de datos es muy grande y la serie de medidas es pequeña. El conjunto de datos recibe el nombre de muestra. Las medidas se clasifican en tres grandes grupos: Las medidas de centralización, que tratan de encontrar un valor representativo de la muestra de tal manera que, bajo ciertas condiciones, podamos caracterizar la muestra a través de esas medidas. Las medidas de dispersión, que miden cuán dispersos se encuentran los datos respecto a las medidas de centralización. Las medidas de asimetría, que miden cómo se agrupan los datos alrededor de las medidas de centralización. Para dar un ejemplo claro de esta clasificación, proponemos al lector, al músico en especial, la siguiente cuestión: dado un conjunto de n números reales S = , la muestra, ¿cómo elegir un número μ que lo represente en algún sentido? Una primera idea sería tomar las distancias de μ a todos los puntos de S, esto es, la suma de los errores cometidos al sustituir los puntos de S por el valor μ, y dividirlo por el número de puntos. Dividimos por el número de puntos para que este no influya en el error final. Entonces, el error cometido en la sustitución es una función E(μ), que se escribe como: (El símbolo ∑ significa hacer la suma desde i=1 hasta n de la expresión que sigue a continuación; se llama sumatorio). El valor que buscamos y que resume el conjunto S en uno solo es aquel que minimice esta función E(μ), que haga el error lo más pequeño posible. Encontrar el mínimo de esta función vía las derivadas no es factible, ya que el valor absoluto no es derivable (esta es una razón técnica que los músicos pueden saltarse sin ningún complejo de culpabilidad). En su lugar se usa la siguiente función E(μ): Calculemos el valor mínimo de E(μ) con las derivadas: E(μ)′ = 0 => - (x1 - μ) - (x2 - μ) -… - (xn - μ) = 0 => - 2(x1 + x2 + … + xn) + 2n ⋅ μ = 0 => - 2 ∑ni=1x i + 2n ⋅ μ = 0 => 2n ⋅ μ = 2 ∑ni=1x i => μ = ∑ni=1x i Como E′′(μ) = 2n para todo μ, el valor que hemos obtenido es, en efecto, un mínimo para E(μ). Obsérvese que esta función da la suma de los cuadrados de los errores al sustituir los puntos de S por el único valor μ. Este valor recibe el nombre de media muestral y se escribe . El valor del error en μ = = ∑ni=1xi es: y recibe el nombre de varianza; volveremos a ella enseguida. Como medida de centralización, la media muestral tiene el inconveniente de que es muy sensible a datos anómalos. Pensemos en el conjunto ; claramente, su media será μ = 5. Sin embargo, si por error uno de los cincos se transforma en un cero, entonces la nueva media es μ = 25∕6 ≈ 4′1666. Las dos siguientes medidas sirven para representar el conjunto y son más robustas ante datos anómalos: Mediana M. Para calcularla se ordena la muestra de menor a mayor y se divide en dos partes iguales. El valor central será la mediana. Si hay un número par de datos, se toma, por convenio, la semisuma de los dos valores centrales. Nótese que esta medida se basa en el orden relativo de los datos y no en el valor de los mismos. Por ejemplo, si S = , la mediana M es 5; si S = , entonces es M = = 4. Moda es el valor o valores más frecuentes que aparecen en la muestra. Una vez establecidas las medidas de centralización, la pregunta más natural es cuándo son representativas esas medidas. Ciertamente, no siempre son representativas, y de ahí la posibilidad de manipulación de los datos. Las medidas de dispersión proporcionan criterios para determinar cuándo las medidas de centralización son representativas. La primera medida que presentamos es la varianza, vista ya anteriormente. Por razones técnicas (que se pueden encontrar en el capítulo 8 de [RES00]), la varianza que se usa en estadística descriptiva se llama varianza muestral s2 y su definición es: La varianza muestral tiene el inconveniente de que está no está expresada en las unidades de los números x1,x2,…,xn. Por ello, se define la desviación típica s, que es sencillamente +. Si la desviación típica es pequeña, quiere decir que los datos tienen poca dispersión y la media es, entonces, representativa. Veamos con un ejemplo sencillo por qué. Tomemos estos dos conjuntos de datos, S1 = , S2 = . La media en ambos casos es 5 y sus desviaciones típicas respectivas son s1 = 0 y s2 = ≈ 5′7735. Estos números nos dicen que en el caso de S1 la media es representativa, mientras que en el caso de S2 no lo es. Esta es una de las razones por las cuales no nos podemos creer ninguna media que nos den en las noticias. Otras medidas de dispersión son: El rango R, que se define como la diferencia entre el máximo y el mínimo de los datos, o dicho más formalmente, R = xmax-xmin, donde xmax = max y xmin = min. El rango intercuartílico RI, que es una medida asociada al orden de los datos. Primero necesitamos definir los cuartiles Q1,Q2 y Q3. El cuartil Q1 es el punto que, una vez ordenados los datos de menor a mayor, deja el 25% a la izquierda y el 75% a la derecha. Q2 es la mediana. Q3 deja, en cambio, el 75% a la izquierda y el 25% a la izquierda. El rango intercuartílico se define como la diferencia RI = Q3 - Q1. Los valor anómalos se definen como aquellos que están fuera del intervalo Una manera gráfica de ver los valores anómalos es construir el diagrama de caja. Se construye una caja cuyo límite inferior es Q1 y cuyo límite superior es Q3; en el medio de la caja se marca la mediana M. Después se dibujan sendas patas, que van desde la caja hasta el valor no anómalos más alejados, como se indica en la figura 1. Los datos anómalos son los círculos negros fuera de la patas de la caja. Figura 1: Diagrama de caja de un conjunto de datos. Por último, vamos a ver el coeficiente de asimetría, que está definido por la fórmula: y que indica la simetría de los datos respecto a la media. Si m3 > 0, entonces los datos están más concentrados a la derecha de la media muestral; si m3 < 0, lo están a la derecha; y si m3 = 0, son perfectamente simétricos respecto a la medida muestral. Dejamos aquí este breve repaso de estadística descriptiva, repaso que nos servirá para ilustrar unas cuantas aplicaciones en musicología cuantitativa. Para profundizar más en la estadística descriptiva, véase [POD11]. 3. Aplicación a espacios musicales Para ilustrar el uso de la estadística descriptiva, tomaremos la obra Träumerei, de Robert Schumann, una exquisita pieza. Abajo tenemos un vídeo con la interpretación de esta pieza por la pianista Valentina Lisitsa. La partitura de la pieza se puede ver en la figura 2. Figura 2: Träumerei, de Robert Schumann. Vamos a analizar las curvas de tempo de varias interpretaciones de esta pieza. En general, los cambios de tempo suelen locales más que globales y se usan como medio para dotar de expresividad a la interpretación. En la figura 3 se muestran tres interpretaciones del pianista Vladimir Horowitz. Las curvas se parecen bastante entre sí cuando se consideran en su totalidad, pero se aprecian cambios a nivel local, cambios que se pueden estudiar mediante técnicas estadísticas. Las curvas de tempo se han tomado en escala logarítmica. Típicamente el tempo se mide en pulsos por minuto y puede variar desde 20 pulsos por minuto, Larghissimo, hasta 240 pulsos por minuto, Prestissimo con fuoco. Tal rango de valores se representa mejor bajo una escala logarítmica, esto es, tomando el logaritmo del tempo. Las curvas de tempo se han obtenido muestreando las grabaciones a intervalos muy pequeños e interpolando los puntos obtenidos. Figura 3: Curvas de tempo de tres interpretaciones de Horowitch [Ber04]. Podría esperarse que el tempo fuera más o menos constante dentro de una pieza, pero estas curvas muestran que no es así. Todas estas microvariaciones dan expresividad a la interpretación. Vamos a llevar un análisis un poco más complejo. Consideremos las 28 curvas de tempo de la figura 4; corresponden a 28 interpretaciones de Träumerei de los siguientes pianistas: Martha Argerich (antes de 1983), Claudio Arrau (1974), Vladimir Ashkenazy (1987), Alfred Brendel (antes de 1980), Stanislav Bunin (1988), Sylvia Capova (antes de 1987), Alfred Cortot (1935, 1947 y 1953), Cli?ord Curzon (alrededor de 1955), Fanny Davies (1929), Jörg Demus (alrededor de 1960), Christoph Eschenbach (antes de 1966), Reine Gianoli (1974), Vladimir Horowitz (1947, antes de 1963 y 1965), Cyprien Katsaris (1980), Walter Klien (fecha desconocida), André Krust (sobre 1960), Antonin Kubalek (1988), Benno Moisewitsch (sobre 1950), Elly Ney (sobre 1935), Guiomar Novaes (antes de 1954), Cristina Ortiz (antes de 1988), Artur Schnabel (1947), Howard Shelley (antes de 1990), Yakov Zak (sobre 1960). Figura 4: 28 curvas de tempo para 24 interpretaciones de Träumerei [Ber04]. Desde un punto de vista de la forma, Träumerei se puede dividir en cuatro secciones, que, siguiendo la notación de [Ber04], llamaremos A, A′, B y A′′. La sección A expone el material temático, en la sección A′ ese material temático se desarrolla, a continuación viene una sección, la B, que contrasta, y finalmente la pieza acaba con una sección que recapitula con el material de la sección A. Para las 28 interpretaciones, en la figura 5 se ha calculado la media muestral , la media M, las desviaciones típicas y el coeficiente de asimetría m3 para cada sección de la pieza. Además, se ha dibujado un diagrama de caja verticalmente para cada medida. Examinando las medidas se sacan varias conclusiones. El tempo es siempre más lento en la sección A′′ que en el resto; además, la sección A′ se toca ligeramente más lenta que A. Esto se aprecia examinando las dos primeras gráficas de la figura 5, las correspondientes a la media y mediana muestrales. El tempo cambia hacia el final de la pieza en la mayor parte de los casos y mucho menos en la primera mitad de la pieza, como nos informa la tercera gráfica, la de la desviación típica. En la gráfica de más a la izquierda, la que corresponde al coeficiente de asimetría m3, observamos que en general es negativa, sobre todo en la sección B. En esa misma gráfica se observan valores anómalos, los cuales corresponden a ritardandi extremos pero ocasionales por parte de algunos pianistas (Fanny Davies y Jörg Demus). Figura 5: Medidas estadísticas para Träumerei [Ber04]. Se puede realizar un análisis más profundo añadiendo más medidas estadísticas. De nuevo, consúltese el capítulo 2 de [Ber04] para información más detallada.   Notas: 1 Evito aquí el término informática. Se podría interpretar como la programación de aplicaciones cuando, en realidad, me estoy refiriendo a la creación de modelos computacionales de la música. 2 También se encuentra la expresión de estudios performativos de la música, que tiene difícil traducción en castellano. Hemos preferido llamarlos estudios etnográficos.   Bibliografía: [Ber04] J. Beran. Statistics in Musicology. Chapman & Hall/CRC, 2004. [LJ83] F. Lerdahl and R. Jackendoff. A Generative Theory of Tonal Music. MIT Press, Cambridge, Massachussetts, 1983. [Par07] Richard Parncutt. Systematic musicology and the history and future of western musical scholarship. Journal of Interdisciplinary Music Studies, 1:1–32, 2007. [POD11] R. Peck, C. Olsen, and J.L. Devore. Introduction to Statistics and Data Analysis. Brooks/Cole, 2011. [RB03] R. E. Radocy and D. J. Boyle. Psychological Foundations of Musical Behaviors. Charles C. Thomas, Springfield, Ill., 2003. [RES00] V. Rohatgi and A. K. Ehsanes Saleh. An Introduction to Probability and Statistics. Wiley-Interscience, 2000. [SSE01] John Tyrrell (Editor) Stanley Sadie (Editor). The New Grove Dictionary of Music and Musicians. Akal, 2001.

Miércoles, 25 de Julio de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

634. 62. (Julio 2012) One zero show, de Denis Guedj

En One Zero Show, espectáculo aritmético en 0 actos y un cuadro1... blanco (2001), Denis Guedj (1940-2010) pone en escena una especial disputa entre el 1 y el 0, que no están de acuerdo en nada, pero comprueban que se necesitan... Dice Guedj en la introducción del libro: En matemáticas, hay golpes de efecto2. “Lo veo pero no lo creo” escribió Georg Cantor a su amigo Richard Dedekind, cuando, para asombro unánime de matemáticos y el suyo propio, demostró que hay tantos puntos en el lado de un cuadrado como en el cuadrado completo. [...] En One Zero Show se trataba de poner, literalmente, en escena el “teatro de las operaciones”, como dicen a veces los corresponsales de guerra. [...] Interpretando durante la misma representación el UNO y el CERO, he creído vivir “desde el interior” la soledad del UNO, la alteridad3 del CERO, la furiosa ambición del binario. [...] Los personajes de esta obra de teatro para niñas y niños son (por orden de aparición) el pequeño matemático, el UNO, el TRES, el CERO y el DOS. En la mayor parte de la representación, los personajes hablan en verso. El pequeño matemático comienza a describir como aparecieron los números: el UNO, el DOS, el TRES... Y el UNO, sumándose a sí mismo, engendró los números uno a uno en cadena sin pena. El UNO se pavonea, despreciando al resto de los números: ¿Qué serían ellos sin mí, ellos que no son más que mis múltiplos? Aparece el CERO para replicarle y para jactarse de su importancia. Realizan operaciones entre ellos para demostrar su poder: 1 + 0 = 1, para victoria del UNO, pero 0 x 1 = 0. El UNO que se creía eternal, aterrado, se descubrió mortal. El UNO propone al CERO colaborar, al ser figuras antagónicas, el creador y el anulador, el par y el impar, el padre y la madre... es decir, recurrir a la numeración binaria. Pero, acaban peleándose y deciden separarse y recorrer su camino en solitario... Con el tiempo, el UNO busca al CERO desesperado, hasta que descubre que lo puede generar por sustracción: 1 - 1 = 0... lo que produce la desaparición del UNO. Al principio, todos los números están felices sin el UNO, pero pronto comienzan a añorarle. El CERO es incapaz de recuperar el UNO mediante sumas, restas o multiplicaciones. Aparece el DOS, y por división, consigue engendrar al UNO: 2/2 = 1. El TRES se da cuenta que él puede hacer lo mismo: 3/3 = 1. La obra finaliza con el pequeño matemático explicando lo que sucede tras este descubrimiento grandioso... con una frase “de remate” del CERO: Así, sumándose un cierto número de veces, después dividiéndose un cierto número de veces, cada uno podía hacer nacer a cada uno. Todos eran capaces. Nadie era pues irremplazable. Fue la noche de la fraternidad, la loca noche de la igualdad. Se veían todos igualmente bellos, eran todos... ¡¡IGUALES!! El ZERO vuelve, abre las manos y las vuelve a cerrar en una soberbia circunferencia sobre su cabeza. Y dice: ... iguales a cero.   Notas: [1] En francés, la palabra que aparece en el subtítulo es “tableau”, es decir, “cuadro” si se habla de teatro. Pero se trata de un juego de palabras, ya que “tableau” significa también pizarra. [2] En francés, la expresión para golpes de efecto es “coup de théâtre”. [3] Condición de ser otro.

Martes, 17 de Julio de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

635. 66. (Julio 2012) La geometría de la obsesión, de David Mazzucchelli

La Géométrie de l'obsession (La geometría de la obsesión) de David Mazzucchelli David Mazzucchelli es un dibujante de cómic y profesor en la School of Visual Arts de Nueva York. Es conocido fundamentalmente por su trabajo con Frank Miller http://es.wikipedia.org/wiki/Frank_Miller en Batman: Año Uno y Daredevil: Born Again. La Géométrie de l'obsession –La geometría de la obsesión– es una recopilación de tres historias cortas –publicadas anteriormente en EE.UU. por David Mazzucchelli– editadas por Éditions Cornelius (Francia) en 1997. Las historias se titulan Manqué de peu, Discovering America y Stop the hair nude. David Mazzucchelli trasmite de manera magistral en cada uno de los tres relatos las obsesiones enfermizas de sus protagonistas; los ambientes asfixiantes nos acercan a tres realidades perturbadoras. Son tres historias de tres personajes abstraídos en sus mundos irreales, obcecados en sus disparatadas actividades. Tras una breve descripción de las otras dos historias, pasaré a reseñar con más detalle Discovering America, con alto contenido matemático. Manqué de peu –Salvado por los pelos– es una sobria historia –tanto por su grafismo como por su bicromía en ocre y negro– en el que el personaje se obsesiona con la idea de un posible impacto de un cometa sobre la Tierra... cree que se ha librado “por los pelos” de morir en una catástrofe, y huye para esconderse, pensando que el peligro le acecha sin remedio. Stop the hair nude –de estética manga– es una historia que se desarrolla en Japón. El protagonista trabaja censurando fotos de mujeres en las que aparece visible el vello púbico. Esta tarea le lleva a la locura, apropiándose sin remedio de su vida privada. Discovering America utiliza también dos colores –rojo teja y azul verdoso; aunque el negro aparece también, lo hace como yuxtaposición de estos dos tonos– y traza la historia de un cartógrafo obsesionado por rehacer el globo terráqueo de manera exacta –quiere colocar tierra, mares, países en un orden estable– en su casa. El protagonista es incapaz de entender que el amor no cumple reglas, que la vida real no es la solución de una ecuación. Cuando una mujer entra en su vida –es la realidad concreta–, su búsqueda de la perfección –que es un sistema abstracto basado en la geografía y la estabilidad– se ve irremediablemente perturbada. La historia comienza con el protagonista, Chris, trabajando en su casa sobre un mapa de Mercator: está intentando transportar con precisión océanos y tierras sobre un inmenso globo terráqueo que tiene en su estudio, siempre luchando contra las imperfecciones del mundo real. Es como un puzzle, la forma del agua debe encajar con precisión en la forma de la tierra: un ensamblaje perfecto. Pero el mundo no es perfecto. Por esto existen los mapas, para traer orden a la disposición aleatoria de la naturaleza. La geografía es la hermana gemela de la geometría. Como la lengua o las matemáticas, es un sistema que da sentido al mundo. Chris observa desde la ventana de su casa a su vecina leyendo. Tras una primera cita, la invita a su casa para que vea su trabajo: Soy... el guarda del edificio. Pero es sólo mi trabajo de día. Mi verdadero trabajo, está aquí... ¡esto! Trabajo en ello desde hace cuatro años. Y apenas he empezado el globo. El problema consiste en llegar a hacer algo tridimensional a partir de objetos de dimensión dos. [...] Por ejemplo, coge un mapa de Mercator... todo se vuelve alargado y grotesco... cerca de los polos. Chris empieza a enamorarse de esta mujer, pero lucha contra la irracionalidad de sus sentimientos, regresando a su obsesivo trabajo de corregir mapas: Todas las medidas eran correctas todos los cálculos eran exactos. Entonces ¿por qué la India estaba en mal sitio? La Tierra se riza y se encorva con el paso del tiempo, deformando paralelos y meridianos. ¿Están fijados al paisaje, o es la Tierra la que se oculta detrás de ellos, flexible y ondulante? [...] El mejor camino sería el camino más corto, que Euclides definía como la línea recta. Pero no hay líneas rectas sobre un globo. Y además, tampoco sería el camino más corto en tiempo. Todo depende de los vientos, de los caminos. Un camino más largo puede terminar siendo el más corto. Y eso no tiene en cuenta que la ruta menos directa puede también ser la más interesante... Su amada encuentra un trabajo en Japón... Chris se derrumba al comprobar sobre su globo la distancia que les separará: El mejor camino es el que puede llevarte en dos direcciones a la vez. Longitudes y latitudes se miden en minutos y en segundos, como si el lugar y el tiempo estuvieran localizados simultáneamente. [...] Todo sistema genera vacíos impenetrables cuando se le empuja al extremo. Algunos números se vuelven irracionales, otros imaginarios. Las palabras se vuelven contradictorias, inadecuadas, privadas de sentido... Además, ¿no son todos los números imaginarios? ... Como las proyecciones de Mercator. Esto se presenta tan distorsionado, pero ahora... las configuraciones parecen arbitrarias en este momento... y el retículo tan inamovible... como un gráfico de coordenadas X e Y... En un arrebato de desesperación, Chris destroza el globo terráqueo en el que trabaja. Tras esta crisis, al día siguiente, ya más tranquilo, Chris reinicia su trabajo, en su globo, con su rutina, pegando piezas de papel... La geometría de un globo nos muestra que eligiendo y siguiendo durante suficiente tiempo una dirección, se termina por regresar eventualmente al punto de partida.

Viernes, 13 de Julio de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

636. 42. CONCURSO DEL VERANO 2012

Es posible diseccionar un hexágono regular y con las piezas formar un rectángulo áureo (Capo Dolz, M. 2011) El reto de este verano es conseguir marcar las líneas de disección del hexágono mediante papiroflexia. Podéis enviarnos vuestras soluciones (diagramas y foto del modelo terminado) a la dirección  papiroflexiamates@gmail.com hasta el 31 de agosto. Los participantes aceptan que DivulgaMAT pueda publicar las soluciones, independientemente del fallo del concurso. El premio del concurso consiste en un libro de divulgación relacionado con las matemáticas. ¡Feliz verano! Referencias bibliográficas: Miquel Capo Dolz. “Puzzles y matemáticas”. Editorial C.C.S. Madrid. 2011

Lunes, 09 de Julio de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

637. 96. (Julio 2012) CONCURSO DEL VERANO 2012

ADIVINACIÓN A TIEMPO En magia, dentro de la categoría llamada "magia automática", hay un juego de nombre genérico "El reloj" del cual todos los magos conocen alguna versión. Quizá no todos conozcan que el funcionamiento de dicho efecto es matemático, pues está basado en una propiedad arimética muy sencilla. Como es usual, todos los esfuerzos del mago se dedican a presentar el juego para conseguir el efecto más milagroso y ocultar lo más posible la base matemática subyacente. Presentaremos en esta ocasión un par de versiones muy sencillas. La idea surge de la lectura del material que presenta Dominique Souder (profesor de matemáticas en un instituto de La Rochelle, Francia) en sus libros y sus aportaciones a internet. Busca una baraja y sigue las instrucciones indicadas. Mezcla la baraja y reparte sobre la mesa 13 cartas, caras hacia abajo. De este montón, toma un pequeño grupo de cartas y colócalo en tu bolsillo. Recoge el resto del montón repartido, mira y recuerda la carta inferior (la que estaba en contacto con la mesa) y coloca todo el montón sobre el paquete de cartas. Reparte ahora 12 cartas sobre la mesa, tantas como horas tiene un reloj. Coloca estas doce cartas en un círculo, formando un reloj: la primera carta en el lugar representado por la una, la segunda en el lugar de las dos, y así sucesivamente, la duodécima carta en el lugar de las doce. Saca las cartas del bolsillo y cuéntalas. Vuelve cara arriba la carta del reloj cuya hora corresponde al número de cartas del bolsillo. ¡Es la carta elegida! A continuación del anterior puede realizarse este otro. Mezcla la baraja y piensa una hora (de la una a las doce). Retira de la baraja tantas cartas como indica la hora pensada y guárdalas en el bolsillo. Ahora mira y recuerda la carta de la baraja que ocupa la posición indicada por la hora pensada. Por ejemplo, si has pensado las tres, recordarás la tercera carta desde la parte superior de la baraja. A continuación vas a dejar pasar todas las horas, de la siguiente forma: Deletrea la palabra UNA pasando tres cartas de arriba a abajo de la baraja; deletrea DOS, TRES, CUATRO, etc. hasta DOCE siempre pasando una carta por cada letra. Al terminar todas las horas, vuelve cara arriba la carta superior. ¡Es la carta elegida! ¿Sabrías deducir cómo funcionan ambos juegos? ¿Se puede utilizar cualquier baraja? ¿Cómo harías para que funcionen con una baraja española? Si tienes una explicación, te animo a participar en el concurso de verano de Divulgamat, enviando la solución a esta dirección. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Martes, 03 de Julio de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

638. 37. (Junio 2012) Matemáticas y música en niños pequeños

1. La educación entre los 0 y 3 años En el artículo de este mes querría tratar un tema que es totalmente pertinente a esta columna: Las matemáticas y la música en los niños de 0 a 3 años. El lector desprevenido quizás se sonría escéptico y ello no me extrañaría. Hay muchos errores de concepto y prejuicios alrededor de la educación en la etapa de infantil, en especial, en la que va de 0 a 3 años. Llevo muchos años oyendo a padres decir que tienen que buscar "guardería", ante lo cual les pregunto con suavidad: "¿Quieres decir guardería o escuela infantil?". La respuesta en la mayor parte de los casos es: "¡Ah!, ¿pero hay alguna diferencia?" Sí, sí la hay. En la guardería, salvo excepciones, te cuidan a los niños, te los vigilan más bien, te los entretienen, intentan que den el menor número posible de problemas, pero eso es todo. En cambio, en una escuela infantil el personal tiene una cierta cualificación, hay una programación hecha en base a unos objetivos, se realizan actividades durante el curso para cubrir esos objetivos, se acuerda una metodología, se evalúan los resultados, entre otras muchas diferencias. Algunos padres que han tenido la paciencia de escucharme, se quedan boquiabiertos. No se les había ocurrido pensar que hubiese tal diferencia. Por supuesto, la diferencia radica en el concepto mismo del niño y su educación. Cada vez más estudios demuestran cuán crucial es la estimulación y el aprendizaje en los tres primeros años de vida. Por ejemplo, se sabe que el oído absoluto se forma en esa etapa, por no hablar del lenguaje, las habilidades psicomotrices y otras. Sin embargo, la educación infantil, al menos en España, tiene una bajísima consideración social, tanto fuera como dentro del sistema educativo. He oído a profesores de primaria calificar el trabajo de sus compañeros de educación infantil de "fácil, ya que solo tienen que pintar fichas". Durante varios años actué con un grupo de teatro para niños de esas edades, La farándula musical. Hacíamos teatro en el aula y tras las actuaciones las profesoras departían relajadamente con nosotros en el comedor. Siempre les hacía la misma pregunta que me torturaba: ¿Cómo creían ellas que la sociedad y en particular el mundo de la educación veía su trabajo? La mayoría de las veces recibía una mirada descreída, con un punto de amargor, seguida de una media sonrisa compasiva (por mi ingenua pregunta). Recuerdo una profesora muy joven, con seguridad no tenía 30 años, quien sin molestarse en levantar la cabeza del plato de fruta que estaba comiendo me dijo que "la educación infantil es el culo de la educación". Elocuente. En este artículo vamos a examinar qué matemáticas y qué música pueden absorber, aprender, percibir niños de entre 0 y 3 años de edad. Veremos que incluso hay puntos comunes entre esas dos disciplinas también en este contexto tan especial.   2. Las matemáticas Las investigaciones llevadas a cabo en las dos últimas décadas del siglo XX sobre las matemáticas y su aprendizaje a edades tempranas llevó a muchos países a replantearse los contenidos del primer ciclo de educación infantil (0 a 3 años). En particular, la prestigiosa National Council of Teachers of Matematics (NCTM) americana decidió en 2000 reformar la programación de la etapa de infantil. Tal decisión se tomó en vista de los resultados de los investigadores, los cuales demostraban que había efectivamente aprendizaje de las matemáticas en esas edades, si bien a través de mecanismos distintos a los que usan adultos o niños mayores. El NCTM no solo reformó la programación, sino que hizo una serie de reflexiones y recomendaciones acerca de la metodología para enseñar esas matemáticas. Según la investigadora Rosalind Charlesworth [Ch05], los niños de esta etapa construyen las matemáticas a través de actividades cotidianas de carácter exploratorio, siguiendo su natural curiosidad, en respuesta a las preguntas de otros niños, a través del juego y a partir de experiencas de narración oral. Algunos autores enfatizan el papel del juego [S03] como forma vivencial de las matemáticas. Otros autores, como Diane Tiessen [Tie04], han estudiado el papel de la narración oral en la asimilación de conceptos matemáticos. Dado que el lenguaje se está formando en esta etapa y que es uno de los principales medios por los que el niño recibe información, está asociación matemática-lenguaje necesita poca justificación. Los niños de estas edades no han desarrollado aún una fuerte capacidad de abstracción y, en consecuencia, las matemáticas que practican son fundamentalmente sensoriales; las absorben a través de sus sentidos. Tampoco su memoria y su sentido del tiempo son fuertes; requieren repetición y una fuerte implicación por parte del niño en el descubrimiento matemático. De ahí el carácter exploratorio de su aprendizaje del que habla Charlesworth en su artículo. Los niños adquieren conceptos a través de tres formas de aprendizaje [Ch04]: por aprendizaje espontáneo, en las que el niño toma la iniciativa de aprender algo bajo su control; por aprendizaje informal, como consecuencia de la interacción con sus iguales; y por aprendizaje estructurado, que es el que ocurre cuando el niño está en el aula haciendo una actividad planificada. Cualquiera que sea la forma de aprendizaje, el niño ha de estar inmerso en un ambiente que le dé seguridad emocional. En [SKW04] se estudia la relación entre status social y aprendizaje de las matemáticas a estas edades, relación que se revela estrecha y fundamental. Este estudio sorprende porque llega a predecir con bastante fiabilidad el fracaso en los últimos cursos de primaria y primeros de la educación secundaria en base a la calidad del aprendizaje de las matemáticas en edades tempranas. El libro Engaging Young Children in Mathematics: Standards for Early Childhood Mathematics Education[CSDD03] contiene un resumen bastante completo de las investigaciones de los últimos años sobre las matemáticas y su aprendizaje en estas edades. Se trata de un libro que recoge artículos de expertos que van desde diseñar la programación (capítulos 2 y 3), pasando por los aspectos cognitivos (capítulos 5 y 6) hasta las técnicas particulares para enseñar las matemáticas. Nos llama la atención, y mucho, el constante énfasis que hacen todo tipo de autores en el uso de las artes para enseñar matemáticas. Es curioso que tal integración curricular se vaya erosionando en etapas superiores de la educación hasta llegar a una total separación en la educación universitaria. Más información sobre el diseño de la programación se puede encontrar en [NCTM], con su definición de puntos clave de la programación. Como libro que desarrolla muchos conceptos matemáticos y da formas efectivas de ponerlas en práctica en el aula, recomendamos el de Richardson, O'Neill y Starr [ROS08]. En la página web de recursos educativos IXL aparecen recogidos contenidos matemáticos que se pueden trabajar entre 0 y 3 años. Un extracto de dicha página web está abajo. Formas: Identificar círculos, cuadrados y triángulos. Identificar rectángulos y cuadrados. Identificar cubos y pirámides. Posiciones: Dentro y fuera. Izquierda y derecha. Izquierda, medio y derecha. Encima y debajo. Abajo y arriba. Contar hasta 3: Contar hasta 3 puntos. Contar hasta 3 formas. Contar hasta 3 objetos. Clasificación: Mismo. Distinto. Mismo y diferente. Clasificación por color. Comparaciones: Comparar grupos en términos de menos y más. Comparar cuántos objetos hay en un gráfico. Comparar en un grupo de objetos mixto. Tamaño: Largo y corto. Alto y bajo. Pesado y ligero. Ancho y estrecho. Contiene más o menos. Tabla 1: Conceptos matemáticos que pueden experimentar niños entre 0 y 3 años. Un matemático profesional probablemente no calificaría alguno de estos contenidos como "matemáticos"; y, sin embargo, lo son. Estas son matemáticas de raigambre sensorial, si se quiere, pero siguen siendo matemáticas tan dignas como el teorema de Bolzano. Y han de enseñarse igualmente.   3. La música Una de las investigadoras que más activas se ha mostrado en el estudio de la percepción y cognición musical en niños entre 0 y 3 años es Beatriz Ilari, de la Universidad de McGill (Canadá). En su artículo de 2002 Music and Babies: A Review of Research with Implications for Music Educators [Ila02], estudia los factores más importantes en la percepción musical en niños durante su primer año de vida. El artículo es bastante exhaustivo, no solo por el número de variables musicales que tiene en cuenta, sino porque sus hallazgos científicos están basados en estudios psicológicos llevados a cabo de unos 15 años (entre 1984 y 2000 aproximadamente). Vamos, de la mano de Ilari, a revisar qué pueden percibir musicalmente los niños de edad temprana. 3.1. Percepción de la altura Los niños empiezan a reaccionar a los estímulos sonoros a partir del tercer mes de gestación y, de hecho, hay estudios que prueban que niños a los que se les ha sometido a estimulación musical en el útero muestran mejores aptitudes para la música. Centrándonos en los niños una vez fuera de la placenta, la percepción de la altura presenta un curioso comportamiento. Los niños de entre 3 meses de gestación hasta 3 meses después de nacer son capaces de discriminar sonidos graves mejor que los agudos; aún más, muestran preferencia por los sonidos graves. Alrededor de los 6 meses, ese comportamiento se invierte y discriminan mejor los sonidos agudos y además los prefieren a los graves. 3.2 Percepción de melodía y contorno melódico Niños de entre 6 y 8 meses de edad ya son capaces de detectar un cambio de una sola nota en una corta melodía de 6 notas, incluso aunque el cambio sea sutil. Además, el contorno melódico parece ser incluso más importante que la propia melodía. El contorno melódico se refiere a los cambios de dirección, ascendente y descendente, en la melodía. Trehub y sus coautores [Tie04] presentaron a niños de entre 8 y 11 meses de edad 5 versiones de una misma melodía de 6 notas. Esas 5 versiones incluían la original, una transposición, una donde se conservaba el contorno melódico con unos pocos cambios en las notas, una con cambios de octava con el mismo contorno y una con cambio de contorno. Los niños no distinguieron entre las versiones original y las que tenían el mismo contorno, pero discriminaron enseguida aquellas en que el contorno se había cambiado. Estos hallazgos son realmente importantes porque la melodía y el contorno melódico son variables que intervienen en la adquisición del lenguaje. 3.3 Enculturación musical La enculturación es el proceso por el cual se transmite la cultura a la nueva generación. Una pregunta a la que los investigadores llevan tiempo intentando dar respuesta es la de qué aptitudes musicales son innatas y cuáles son producto de la enculturación musical. En un interesante estudio [LEOU90] Lynch y sus coautores compararon la habilidad de niños de 6 meses y adultos (músicos y no músicos) para detectar notas ligeramente desafinadas en melodías basadas en la escala mayor, la escala menor y la escala pelog de Java. Una versión temperada de esta última escala sería: do-reb-mib-fa#-sol-lab-sib. Los niños detectaron las notas desafinadas en todas las escalas, mientras que los adultos solo en las occidentales. Este estudio y otros posteriores de los mismo autores prueban que la enculturación musical desempeña un importante papel en la percepción musical. 3.4 Percepción de la armonía La armonía es un fenómeno más complejo pues implica la clasificación de intervalos así como la percepción simultánea de sonidos. Las investigaciones mostraron que los niños tienen preferencia por las consonancias que por las disonancias. Aquí consonancia se refiere a los intervalos unísono, terceras, cuarta, quinta, sextas y octavas. También se constató que los niños perciben con mayor dificultad los intervalos y acordes complejos que los simples. Las melodías simples con acompañamientos repetitivos y claros son, en general, mejor procesadas por los niños de estas edades. 3.5 Percepción del timbre Hay algunos estudios sobre la percepción del timbre musical, pero este es un campo que todavía ha de investigarse con mayor profundidad. Se sabe que los niños de estas edades tienen memoria para el timbres de ciertos instrumentos. El timbre de la voz humana, especialmente el de la madre, sí ha sido estudiado exhaustivamente. 3.6 Forma musical Niños de un año de edad ya pueden reconocer frases musicales. Ello no es de extrañar ya que la habilidad de segmentar el sonido es importante en el habla también. Los estudios han demostrado que los niños detectan los finales de frase, incluyendo las pausas, las desviaciones expresivas de tiempo o las líneas descendentes en la melodía. Aún más, son capaces de reconocer motivos, memorizarlos y, cuando ciertas características rítmicas y melódicas se dejaban intactas, pueden detectar variaciones. 3.7 Percepción de eventos temporales El reconocimiento de eventos temporales (patrones rítmicos, tempo y métrica) ocurre casi desde el principio. Por ejemplo, Winkler y sus coautores [WHLSH09] han demostrado que recién nacidos pueden reconocer un pulso. La capacidad de reconocer patrones rítmicos basados en similitud de las figuras rítmicas y en la proximidad temporal de las figuras. Esta estrategia, por cierto, es la que usan adultos sin formación musical. También se ha comprobado, hablando de métrica, que hay una preferencia por las métricas binarias ante las métricas ternarias. Respecto a la parte acentual de la métrica, todavía faltan por llevarse a cabo estudios. 3.8 Memoria musical a largo plazo Hay estudios que han investigado la memoria musical a largo plazo (se toca una melodía y se comprueba si se recuerda dos semanas después, por ejemplo). Los niños de menos de un año de edad son capaces de recordar melodías después de dos semanas de haberla oído por primera vez. No obstante, esa memoria está muy relacionada al estímulo. Los niños no la podían recordar si la melodía se tocaba con otros instrumentos o con otro tempo.   4. Conclusiones ¿Qué decir ante todo lo anterior? No cabe duda de que la sociedad no es consciente de todos hechos y de que los redactores de la programación para la etapa de infantil, tampoco. ¿Qué podemos decir de una educación que ignora una etapa tan fundamental en la formación de una persona y que tanto la condicionará en el futuro?   Referencias [CSDD03] Editores: Clements, D.H.; Sarama, J.; DiBiase E.; DiBiase, A.-M. Engaging Young Children in Mathematics: Standards for Early Childhood Mathematics Education.Studies in Mathematical Thinking and Learning Series.Routledge. 2003. [Ch04] Charlesworth, Rosalind. Experiences in math for young children. Clifton Park. Delmar Learning. 2004. [Ch05] Charlesworth, Rosalind. Prekindergarten Mathematics: Connecting with National Standards. Early Childhood Education Journal, v. 32, nº 4, 229-236, 2005. [Ila02] Ilari, B. Music and Babies: A Review of Research with Implications for Music Educators. Applications of Research in Music Education. 21: 17-26. 2002. [IXL] Página web IXL Pre-k. Consultada entre los meses de noviembre de 2011 y mayo de 2012. [Korn] Barry Kornhauser. Baby Maybe. Artículo que se encuentra en la bitácora HowlRound. Consultado en marzo de 2012. [LEOU90] Lynch, M. P.; Eilers, R. E.; Oller, D. K.; Urbano, R. C. Innateness, experience and music perception. Psychological Science, 1, 272–276. 1990. [NCTM] Página web del National Council of Teachers of Mathematics. Curriculum Focal Points for Prekindergarten through Grade eight. Consultado en diciembre de 2011. [ROS08] Kathy Richardson (autora), Lucinda O'Neill (editora), Linda Starr (ilustradora). Developing Math Concepts in Pre-Kindergarten. Maths Perspectives. 2008. [S03] SEO, K. What children's play tells us about teaching mathematics. Young Children, 58(1), 28-33. 2003. [SKW04] Starkey, P.; Klein, A. y Wakeley, A. Enhancing young children’s mathematical knowledge through a pre-kindergarten mathematics intervention. Early Childhood Research Quarterly. Volumen 19, nº 1, primer trimestre, páginas 99-120. 2004. [Tie04] Thiessen, Diane. Exploring Mathematics Through Literature: Articles and Lessons for Prekindergarten Through Grade 8. National Council of Teachers of Mathematics. 2004. [TBT84] Trehub, S. E;, Bull, D.; Thorpe, L. A. Infants’ perception of melodies: The role of melodic contour. Child Development, 55, 821–830. 1984. [WHLSH09] Winkler, I.; Hádena, G.; Ladinig, O.; Sziller, I.; Honing, H. Newborn infants detect the beat in music. Proceeding of the National Academy of Sciences of USA. 106/(7) 2468-2471. 2009.

Martes, 26 de Junio de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

639. 61. (Junio 2012) El árbol de la música

1. Génesis de la obra En octubre pasado (de 2011) Contrastheatre -allende nuestras fronteras nos llamamos así- fue a Irlanda a representar Matherhythm or rhythm is a killer en la semana de las matemáticas Maths Week 2011. Esta semana es un evento extraordinario en que se organizan actividades para fomentar el aprecio por las matemáticas; está soberbiamente organizada por Eoin Gill y Sheila Donegan. Como ejemplo de los frutos de ese esfuerzo y sensibilidad, en esa semana hubo 122.999 participantes en más de 120 actividades. Al observar todo ese esfuerzo, magnífico y entusiasta, nos percatamos de que había una franja de edad para la que no había actividades: de 0 a 6 años. Algunas actividades sueltas para los niños de 4 a 6 se habían organizado, pero no estaban dirigidas a ellos específicamente. Propusimos a Sheila y Eoin montar una obra para niños de 0 a 3 años para cubrir ese hueco y hacer una semana Maths Week aún más completa. Nos miraron un poco extrañados, pero nos dieron su voto de confianza. Aunque lo parezca, no somos ese tipo de lunáticos. En el anterior grupo, La farándula musical, ya habíamos hecho una producción de teatro para bebés, Flor de piel. Esta era una obra de teatro musical para bebés en que a través de estímulos variados -música, palabra, olor, color, forma, expresión corporal, tacto- recreábamos la historia de un niño que descubre que puede comprender el mundo a través de los sentidos. De hecho, el protagonista, en un momento intenso de la obra, se siente abrumado por el torrente de sensaciones que le vienen de sus sentidos (¡El mundo por mis sentidos! ¡El mundo por mis sentidos!). Esta obra nos dio mucha experiencia en la escritura teatral para este público así como en la propia actuación. Sin embargo, este encargo era mucho más difícil de llevar a cabo. Teníamos que introducir las matemáticas en la obra. Por otra parte, como músicos que somos, teníamos que meter música también. ¿Cómo se combina todo eso? No era, al contrario que en Flor de piel, una escritura libre y totalmente imaginativa, sino una escritura con restricciones, en cierto sentido, una escritura algo oulipiana. 2. Teatro para niños de 0 a 3 años Hay reticencias hacia el concepto de teatro para niños pequeños (0 a 3 años, pongamos), cuando no directamente prejuicios. En ocasiones el teatro para niños de esta edad consiste en versiones simplificadas de obras de mayor envergadura, muchas veces adaptaciones teatrales de cuentos infantiles. Sin embargo, no es ese tipo de teatro para niños de corta edad al que nos referimos aquí, sino a un verdadero teatro dirigido a ellos. Nos referimos a un teatro que tenga en cuenta sus características cognitivas, que les llegue a través del multi-estímulo. Y aquí disciplinas como el arte visual, la danza contemporánea, la expresión corporal, la escritura oulipiana, el teatro del absurdo, entre otras, puede ofrecer formidables medios de expresión que llegan a ese público tan joven. Es claro que los niños de esas edades no van a entender el texto ni las tramas, pero hay otros muchos canales a través de los cuales les llega la información. Barbara Kolling, la directora artística de Helios Theatre, una prestigiosa compañía alemana de teatro, lo expresa con elocuencia (cita tomada de [Korn]): "If I understand theater as a place created by people to communicate feelings, thoughts, experiences to other people, and where we can all experience ourselves as part of a community, then it is ridiculous to want to be able to exclude anyone…I am more and more convinced…that theater needs two-year olds. [Si entendemos el teatro como un lugar que crea la gente para comunicar sentimientos, pensamientos y experiencias a otra gente, y donde podemos experimentar el sentimiento de pertenencia a una comunidad, entonces es ridículo querer excluir a alguien... Estoy más y más convencida... de que el teatro necesita a los niños de dos años. (Nuestra traducción).]" Escribir y montar una obra de teatro para bebés o niños pequeños es darles la oportunidad de ponerlos en contacto con sus emociones, con la poesía y, en fin, con la experiencia estética. No hace falta contarles una historia en el sentido clásico para proporcionarles todo lo anterior.’ Volviendo a nuestra obra, asumimos un riesgo extra y fue el de escribir una obra que tuviese una capa de significado dirigida a los adultos. En las obras de teatro para bebés o niños pequeños los padres siempre van con ellos. Quisimos hacer entonces una obra que funcionase con ambos públicos, que el disfrute fuera común. Para comprender mejor lo que viene a continuación damos un pequeño resumen de la obra: Noah es una niña que pasea por el bosque y se encuentra con Alai, un árbol sabio y bondadoso. Tras el encuentro inicial, Noah pide a Alai que le enseñe lo que sabe. Alai replica que "tiene la sabiduría de las estaciones". Alai, según pasan las estaciones, le va introduciendo conceptos matemáticos. Además, cada estación tiene asociada una música. Tras las cuatro estaciones, Noah se va agradecida por todo lo que Alai le ha enseñado. Alai se muestra agradecido y la acompaña hasta el linde del bosque. Abajo tenemos un fragmento de la escena inicial, el encuentro entre NOAH y ALAI, el árbol: NOAH: Árbol. ÁRBOL: Niña. NOAH: Suena tu música. ÁRBOL: Suena tu voz. NOAH: [Levantándose y dando vueltas alrededor de ALAI] Árbol melodioso. Árbol cadencioso. Árbol luminoso. [NOAH se acerca y hace cosquillitas a ÁRBOL.] ¿Árbol cosquilloso? [ÁRBOL ríe con las cosquillitas.] Árbol alegroso. [NOAH huele a ÁRBOL.] ¿Árbol aromoso? [NOAH dice sí con la cabeza.] Árbol asombroso. Árbol fabuloso. Árbol misterioso. [NOAH se planta delante de ÁRBOL.] Árbol, ¿quién eres? ÁRBOL: Alai. NOAH: [Sorprendida por el nombre.] ¿Alai? Alai, Alai,… ALAI: [NOAH se coloca en el lugar de ALAI y éste, dando vuelta alrededor de NOAH.] Niña cantarina. Niña saltarina. Niña repentina. Niña peregrina. [ALAI hace gesto de hacerle cosquillitas.] Niña jacarandina. Niña algo zangolotina. Niña diamantina. Niña, ¿quién eres? NOAH: Noah. ALAI: ¿Noah? Noah, Noah,… NOAH: Sí, Noah. Tú, ¿Alai? ALAI: Sí, Alai. NOAH: Alai, Alai, Alai,… Obsérvese la repetición del texto, necesario para este público, así como los juegos de palabras tanto fonéticos -dirigidos a los niños- como semánticos -dirigidos a los padres-. 3. Matemáticas para niños de 0 a 3 años Durante unos cuantos meses estuvimos estudiando qué tipo de matemáticas pueden absorber niños de estas edades. Al contrario de lo que pensábamos en un principio, hay una cantidad considerable de investigación sobre el asunto así como material para trabajar en el aula. Por ejemplo, en [CSDD03], se puede encontrar resultados de las investigaciones sobre las matemáticas y su aprendizaje en estas edades. El libro trata temas como el del diseño de la programación (capítulos 2 y 3), la investigación psicológica al respecto (capítulos 5 y 6), así como técnicas particulares para enseñar las matemáticas (uso de bloques, resolución de problemas y ¡uso de contenidos artísticos!). Más información sobre el diseño de la programación se puede encontrar en [Ch05], [NCTM] y [SKW04]. Para referencias donde se desarrollen más concretamente la enseñanza de las matemáticas recomendamos dos libros. El primero es el Richardson, O'Neill y Starr [ROS08] Está lleno de ideas para vivir las matemáticas, que es como se hace a estas edades, que comprenden cajas, bloques, espejos, colecciones de objetos, mapas, entre otras. El segundo libro es el de Diane Thiessen [Tie04], que propone usar la narración oral, la literatura, para la enseñanza de conceptos matemáticos. En la página web IXL aparece un listado muy conciso y organizado de unos cuantos conceptos matemáticos (no son los únicos) que pueden absorber los niños de 0 a 3 años. En negrita están los conceptos que nosotros elegimos para trabajarlos en El árbol de la música. CONCEPTOS: Formas: Identificar círculos, cuadrados y triángulos. Identificar rectángulos y cuadrados. Identificar cubos y pirámides. Contar hasta 3: Contar hasta 3 puntos. Contar hasta 3 formas. Contar hasta 3 objetos. Comparaciones: Comparar grupos en términos de menos y más. Comparar cuántos objetos hay en un gráfico. Posiciones: Dentro y fuera. Derecha e izquierda. Izquierda, medio y derecha. Abajo y arriba La obra está estructurada alrededor de las cuatro estaciones y cada una se trabaja un concepto matemático: en el otoño, el conteo de 1 a 3; en el invierno, el concepto dentro y fuera; en la primavera, el concepto de más y menos; en el verano, las formas geométricas. 4. La música de El árbol La música en esta obra es fundamental. Actúa como factor de coherencia formal y expresiva, proporciona la estimulación delicada pero inequívoca que necesita nuestro público, recrea conceptos matemáticos, es, en suma, un personaje más de la obra. En El árbol de la música hemos hecho uso de los siguientes instrumentos: Flautas de pico, alto y tenor. Calabaza de agua o utan, hecho de metal, de sonido resonante y delicado a la vez. Carillones alto y soprano. Tubos afinados boomwhacker. Son tubos de plástico que al golpearlos producen una nota afinada. Voz (canción de cuna del invierno y corro de verano final). Efectos especiales de las estaciones. La música es fundamentalmente tonal y está escrita con una gran preocupación por la dinámica y el timbre. En total, hay cinco piezas: La música del encuentro. Está compuesta por dos temas, uno en sol menor, que representa el tema de Alai, el árbol, y otro en sol mayor que representa el encuentra de Alai con la niña, Noah. Están escritos para flauta de pico alto. El vals del invierno, una delicada pieza para flauta de pico tenor y utan. Aquí la música refuerza el concepto del recuento hasta 3 que se acaba de exponer. La canción de cuna, que de nuevo está en compás de 3/4. La canción de cuna está escrita para voz y flauta alto. El mambo de la primavera, para carillones alto y soprano con acompañamiento de tubos afinados. El corro de verano, cantado a dos voces. A continuación tenéis un fragmento de la partitura del vals de otoño: Figura 1: El vals de otoño. 5. Aspectos escenográficos de El árbol El teatro para bebés ha de hacerse respetando ciertas reglas elementales. La primera es que la obra no ha de durar más de 30 minutos, que es el tramo máximo de atención que tiene nuestro público. Más largo de eso, se les hace pesado. La segunda es que tiene que ser un formato íntimo. A nosotros nos gusta mucho el aula porque es un entorno que les es familiar. En salas de teatro se suele preparar una caja negra adecuada. También es importante que los estímulos no les sean agresivos. La música se toca más suavemente y la iluminación es más difuminada. En El árbol de la música la iluminación se diseñó a base de velas led que eran capaces de emitir hasta 12 colores. Nosotros usamos cinco colores, uno por escena (el encuentro más las cuatro estaciones). La obra transcurre en una suave penumbra y los cambios de luces se vuelven cruciales en las transiciones entre las escenas. Desde el punto de vista de la definición del espacio, montamos cuatro urdimbres que convergen a diversos puntos del escenario. El atrezo se encuentra diseminado por todo el bosque y se va utilizando según la escena en cuestión. Figura 2: Escenografía de El arbol de la música (actuación en la ludoteca municipal de Torrejón de Ardoz - Madrid). 6. The Tree of Music and Science Como ya se habrá dado cuenta el perspicaz lector, el encargo de la obra fue para Maths Week, esto es, debía ser en inglés. Inicialmente, la íbamos a escribir directamente en inglés, pero surgió la posibilidad de hacerla para las Jornadas de Divulgación Científica y Artística, organizadas por la plataforma Conciencia Musical y empezamos por la versión española. Actualmente, estamos inmersos en la escritura, que no traducción, de la obra. Obviamente, muchos elementos conceptuales y escenográficos permanecerán, pero no aquellos que están basados en el lenguaje o que son profundamente culturales. En octubre, el estreno inglés de la obra. Para finalizar, os dejamos con una pequeña escena de la obra: Fragmento de la escena del invierno. Referencias [CSDD03] Editores: Clements, D.H.; Sarama, J.; DiBiase E.; DiBiase, A.-M. Engaging Young Children in Mathematics: Standards for Early Childhood Mathematics Education.Studies in Mathematical Thinking and Learning Series.Routledge. 2003. [Ch05] Charlesworth, Rosalind. Prekindergarten Mathematics: Connecting with National Standards. Early Childhood Education Journal, v. 32, nº 4, 229-236, 200 [IXL] Página web IXL Pre-k. Consultada entre los meses de noviembre de 2011 y mayo de 2012. [Korn] Barry Kornhauser. Baby Maybe. Artículo que se encuentra en la bitácora HowlRound. Consultado en marzo de 2012. [NCTM] Página web del National Council of Teachers of Mathematics. Curriculum Focal Points for Prekindergarten through Grade eight.Consultado en diciembre de 2011. [ROS08] Kathy Richardson (autora), Lucinda O'Neill (editora), Linda Starr (ilustradora). Developing Math Concepts in Pre-Kindergarten. Maths Perspectives. 2008. [SKW04] Starkey, P.; Klein, A. y Wakeley, A. Enhancing young children’s mathematical knowledge through a pre-kindergarten mathematics intervention. Early Childhood Research Quarterly. Volumen 19, nº 1, primer trimestre, páginas 99-120. 2004. [Tie04]Thiessen, Diane. Exploring Mathematics Through Literature: Articles and Lessons for Prekindergarten Through Grade 8. National Council of Teachers of Mathematics. 2004

Viernes, 22 de Junio de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

640. 71. CONCURSO DEL VERANO DE 2012

Fieles a la cita, aquí tenéis de nuevo el esperado cuestionario matemático-cinéfilo. Que el verano os sea propicio y no sólo la fuerza, sino también la inteligencia (algo que parece escasear) os acompañe. Para los que no conozcáis la dinámica de este concurso, la cosa es bien simple. Se describen algunas escenas de una o dos películas (al menos una de ellas es de esas que los críticos denominan “clásico”) planteando alguna cuestión, problema, pasatiempo o enigma relacionado con las matemáticas. A veces aparece algo de física, o de química, o una cuestión histórica, literaria, en fin un poco de todo, pero siempre tratando de que sea asequible a casi todo el mundo (bueno, alguna cosilla, es un poco más difícil, pero se intenta que la mayor parte sea elemental, eso sí, un poco disfrazada porque con esto de Internet, sino fuera así, no duraría ni diez minutos, y se pretende que uno se entretenga todo el verano). Curiosamente, en todos estos años (y ya van seis me parece) siempre lo más difícil resulta averiguar las películas de las que se habla, a veces porque lo enrevesamos un poco, aunque las más porque a pesar de que mucha gente dice que le encanta el cine, pocos son los que de verdad conocen un poquillo. Bueno pues en este año en que las economías, los trabajos, etc. van mal para la gran mayoría, y que las cosas no tiene pinta de mejorar a corto plazo, puede resultar aleccionador recordar que en otro tiempo, en otros lugares, las cosas fueron incluso peores (lo cual no es ningún consuelo, pero bueno). En esta ocasión todo gira entorno a una única película aunque puede haber referencias a otras. Las cuestiones a resolver relacionadas con las matemáticas van en color azul, y el resto, sobre cine u otras cosas, en rojo. Uno de los protagonistas de la película que buscamos, anda bastante desesperado. No encuentra trabajo y le queda poco dinero para subsistir. Ni siquiera su última esperanza, un billete de lotería, le ha tocado. No tiene ni para tabaco, así que cuando un chaval anda más listo que él a la hora de recoger una hermosa colilla del suelo, se coge cierto mosqueo (de por sí el tipo es un poco irascible). 1.- Cada tres colillas consigue liar un cigarrillo completo. El otro día tuvo suerte: consiguió reunir diez colillas y se las apañó para poder fumar el máximo número posible de cigarrillos sin que le sobrara una sola colilla ¿Cómo lo hizo? A veces este impulsivo sujeto tiene pesadillas. Una vez soñó ser dueño de un local de moda en un aparentemente exótico lugar. Tenía dinero y prestigio. Hasta había una hermosa y alta joven que estaba coladita por él. Pero hasta el sueño acababa mal: la chica estaba casada, perdió el negocio por culpa de una guerra, y un plasta con acento extranjero no lo dejaba en paz. Y ahí se despertó. Al menos podía recordar el aroma del tabaco y el sabor del whisky que parecía trascender el sueño. “¡Que delicia!”, pensó. “En las cuatro horas que abría el local, bebía y fumaba a la vez. Un tercio de cigarrillo cada cuarto de hora. El alcohol cuidaba de mi salud, porque en el resto del día el ritmo era medio cigarrillo cada media hora.” 2.- ¿Cuántos cigarrillos se fumaba el tipo en un mes de treinta días? ¿Qué porcentaje de cigarrillos se fumaba mientras bebía en esos treinta días? 3.- ¿Qué sentido tiene el citado sueño para el citado personaje, si es que tiene alguno? El caso es que a nuestro personaje no le queda más remedio que mendigar para poder subsistir. Se cruza por la calle con un hombre impecablemente vestido con un traje blanco. – ¿Eh amigo, hace el favor de dar para comer a un americano? Tiene suerte, éste le da una moneda. Gracias a ello, puede comer y aún le sobran 80 centavos. Ya acabando, aparece un niño: Niño: ¿Lotería, señor? X: ¡Márchate! No me interesa ahora la lotería. ¡Anda, vete! Niño: El premio gordo son 4000 pesos. X: ¡Que no me molestes, mendigo! Niño: Sólo son 4 pesos el billete, y saldrá premiado. X: Yo no tengo 4 pesos. Niño: Compre ¼ de billete. Por un peso solamente…. X: Si no te vas de aquí inmediatamente, te echo esto por la cara (se refiere a la bebida que está tomando). Niño: Un décimo entonces, señor. Sorprendentemente, el cabreado protagonista le estampa violentamente el contenido del vaso en la cara del niño, que no se lo esperaba. Casi sin poder articular palabra, insiste: Niño: Un vigésimo entonces, señor. Un vigésimo le costará sólo 10 centavos. Fíjese señor, sume números. Resultan 13. ¿Qué mejor número podría comprar? Saldrá premiado. X: ¿Cuándo es el sorteo? Niño: Dentro de tres semanas. X: Anda, dame ese vigésimo y así dejaré de ver tu fea cara. Niño (sonriendo): Es un número excelente, señor. Gracias, señor. Vuelva la próxima vez. Siempre tengo premio. ¡Suerte! X (mascullando para sí mismo): ¡13! 4.- ¿Es todo lo dicho correcto? ¿Coincide con lo que se dice en la versión original? ¿Hay algún error? 5.- El número que le ha vendido, además de sumar sus dígitos 13, como ya se ha dicho, es el cuadrado perfecto de un número primo. Con estos datos, ¿podemos saber que número ha comprado el protagonista? Justificar la respuesta. 6.- En caso de que la respuesta anterior sea negativa, añadamos alguna pista más. Tomando sólo los dígitos no nulos del número en cuestión (caso de que hubiera algún cero), si formamos todos los posibles números que aparecen al permutar esos dígitos, el número que buscamos es el que proporciona el mayor número de números primos. ¿Cuál es el número buscado? ¿Cuántos primos proporciona? 7.- ¿Podemos confirmar de algún modo no matemático cuál es ese número? ¿Cómo? Entre los jugadores de lotería, hay muchos que buscan números que cumplan ciertas propiedades creyendo, como dice el rapaz de la película, que les traerá suerte. En el último sorteo de Navidad en España entraron por primera vez 100.000 números en los bombos, y se incrementaron los premios dotándose al “gordo” con una “recompensa” de 400.000 euros al décimo. Según se anunciaba, se repartieron 2.520 millones de euros, en un total de 25,5 millones de premios. Pero en el bombo de los premios había 1807 bolas, un número que no divide al anterior. 8.- ¿Qué explicación tienen esas cifras, si es que la tienen? 9.- ¿Qué porcentaje existe de ganar “algo”? (OJO: No vale el dato numérico puro y duro que se cita en muchos lugares: hay que dar alguna justificación de dicho número). 10.- ¿Qué probabilidad hay de que el “gordo” sea, como en la película, un número cuya suma de dígitos sea 13? 11.- Si el protagonista hubiera vivido en la actualidad en España, ¿con que juego de apuestas hubiera tenido más posibilidades de ganar algo entre la lotería nacional, las quinielas o la primitiva? Como antes hay que dar alguna justificación, no vale citar las cuentas echadas por algunos, que, advierto, la mayoría están equivocadas. Gastado todo lo que el peso le había dado de sí, nuestro protagonista vuelve a tener que pedir en la calle, eligiendo a un compatriota suyo: – Oiga, ¿podría dar algo a un americano para comer? No se da cuenta pero la casualidad hace que la persona a la que pide es la misma que la vez anterior, que nuevamente le da un peso. En esta ocasión lo emplea en otras “necesidades básicas” (12.- ¿cuáles?). Y nuevamente sin nada, por tercera vez, tiene que volver a pedir dinero, y también “casualmente” al mismo tipo que ya está algo mosqueado: – En mi vida he visto frescura mayor. Le di a usted dinero a primera hora. Cuando me estaba limpiando los zapatos otra vez. Y ahora vuelve a pedirme. ¡Déjeme en paz! Para variar recurra a otro que yo empiezo a cansarme. (En esta ocasión le da 2 pesos). Desde ahora tendrá que abrirse paso en la vida sin mi ayuda. 13.- Lo curioso del caso es que en la vida real, ambos dos personajes coincidieron también exactamente tres veces en algo. ¿En qué? Nuestro amigo acaba trabajando junto a otro compatriota en un duro trabajo que lamentablemente no les pagan, aunque eso sí acaban tomándose la justicia por su mano. Duermen en un tugurio en el que hacen amistad con otro norteamericano que tiene mucho mundo recorrido y algunos proyectos para los que busca socios. Lo que les propone les parece mejor que lo que tienen, aunque existen algunos riesgos. Para averiguar alguna de las cosas que les dijo, hay que resolver la siguiente cruzada de argumento matemático (por si alguno no ha hecho nunca ninguna, se trata de encontrar las definiciones que se dan abajo y trasladar las letras al damero; una vez completo, aparecerá parte de las advertencias que les dio) ____  ____  ____  ____  ____  ____         Astrónomo alemán que da nombre a una función. C─4  A─9   A─2  B─18 B─4  F─12 ____  ____  ____  ____  ____  ____         Curva de Ágora. A─1  A─5  G─17 H─5  G─8  E─16 ____  ____  ____  ____  ____  ____         Dominio de algunas funciones. B─3   B─5  F─4   G─7  A─7  A─10 ____  ____  ____   ____  ____   ____       Cifra, dígito. F─16 B─11 C─13 H─10 D─5  E─19 ____  ____  ____  ____  ____  ____         Curva del ADN. B─16   B─8  G─3  C─5   B─2  D─13 ____  F  ____  ____  ____  ____               Posición alejada del Sol. H─4      C─14  F─9  A─16 D─16 ____  ____  ____   ____  ____   ____       En el círculo. D─10 A─4  D─12    F─3  A─14  H─2 ____  ____  ____  ____  ____  ____         Pares. E─12  C─9   E─3   D─1   H─1  E─15 ____  ____  ____  ____   ____   ____       Matemático de famoso desarrollo. C─8   F─11 G─12 D─15  B─17  D─5 ____  ____  ____  ____  ____  ____         Variedades unidimensionales. E─4   F─6   C─1  D─8  E─10  E─6 ____  ____  ____  ____  ____  ____         Espacio entre dos vectores. H─8   E─11  A─6  E─9  C─12 F─17 V  ____  ____  ____  ____  ____  ____    Cuerpo tridimensional. H─13  G─3  F─5   E─2   C─19  F─1 ____  ____ F  ____  ____  ____                x2 + y2 + z2 = 1. A─12 G─1    F─19   D─10 B─14 ____   ____  ____  ____  ____   ____  _____      Matemática célebre por sus anillos. G─14  E─1    D─9  C─10 D─19  G─18  B─3 ____   ____  ____  ____  ____   ____  _____      Con lo que trabaja el matemático. C─16   F─8  E─13   E─4   E─5   A─13 G─15 ____   ____  _____  ____  _____   ____  _____  _____  ____     Relativo al azar. G─10  F─9    C─17   C─2  H─12     E─1   E─4   G─17  E─1 ____   ____  ____  ____  ____   _____  _____      En un triángulo. B─10  F─6   A─11  G─7  A─17   C─15   C─11 ____   ____  ____  ____  ____   ____  J  ____     Esta frase es mentira. H─5    C─6   E─4    D─4  A─18   A─7      D─6 ____   ____  ____  ____  _____               Nombre de maestro y discípulo tocayos. F─3    H─11 F─14  G─4   B─15 ____   ____  ____  ____  ____   ____  ____        Enigma. E─18  B─13  H─6   D─5   D─4    B─6   H─4 ____   ____  ____  ____       Detrás del Informe PISA. A─19   D─3  G─16  E─5 Una vez completas las definiciones, quedan algunas consonantes sin colocar pero con seguridad los que lo intenten las deducirán con facilidad. Una vez terminada, se trata de responder a las siguientes cuestiones: 14.- ¿Qué les dijo ese hombre? (O sea dar la solución de la Cruzada) 15.- ¿A que se refiere ese diálogo? ¿De qué objeto habla? Las letras iniciales de las definiciones de la Cruzada dan pistas para averiguar el título de la película, si es que aún no lo sabéis (los muy cinéfilos, seguro que ya lo sabrán). 16.- ¿Qué indican esas iniciales? En una escena posterior, el protagonista principal reprocha a sus compañeros el haber aportado inicialmente más dinero, motivo por el cual el reparto de lo que obtengan no debería ser en partes iguales, sino proporcional a ese capital inicial. 17.- ¿Cuál debería ser la proporción justa? Enfadado uno de ellos, le ofrece una cajita rectangular de base cuadrada llena de algo muy valioso. Lo curioso es que todas las dimensiones de esa caja eran valores enteros, y su superficie total (la suma de las áreas de todas sus caras) era exactamente igual a la suma de las longitudes de todos sus lados. 18.- ¿Qué dimensiones tenía la caja? 19.- ¿Cómo reaccionó el protagonista ante ese ofrecimiento? Por ofrecer alguna imagen más de la película que pueda dar alguna pista más a aquellos que se hallen tan perdidos como los protagonistas de esta historia, veamos la imagen de la derecha en la que aparece uno de los instrumentos más utilizados por los protagonistas. En ella se aprecia una especie de círculo con una zona más clara, algo parecido a una lúnula. 20.- Supongamos que esa zona fuera la rayada en el dibujo que ponemos al lado (que no lo es porque la base del triángulo es recta y no curva). Si ese triángulo fuera equilátero de lado 6 (las unidades que cada uno quiera), ¿cuál es el valor de la superficie rayada? 21.- ¿Es posible trazar alguna cuerda en el círculo de modo que la zona rayada sea un valor entero? Razonar la respuesta (a ser posible, demostrando tal afirmación). 22.- Vamos con la lúnula. El borde exterior curvo quedamos en que es una circunferencia de radio 6 unidades. Dar una curva que represente el borde curvo interior que se distingue en la fotografía, de modo que la superficie de la lúnula sea aproximadamente de 6 unidades. (Por aproximadamente se entiende un margen de no más de 2 décimas, por ejemplo). La verdad es que la película es un filón a la hora de proponer cuestiones matemáticas (además de tener su interés respecto a su mensaje y a lo bien hecha que está). No he llegado aún a la hora de metraje (la película dura un poco más de dos horas) y me he dejado muchas cuestiones que podrían sugerirse. ¿Qué no os lo creéis? Pues mirad, casi al principio, puede verse esta imagen en la que está el protagonista (un poco camuflado, cierto es, pero está) pasando al lado de un mercado. Empezando por la esquina izquierda según miráis, justo debajo de la señora, hay un tarro de cristal conteniendo algo parecido a unas patatas casi esféricas. Podríamos intentar estimar el número aproximado de las que caben en ese tarro, pero lo vamos a poner algo más sencillo. 23.- Dar una fórmula que nos de el volumen de ese tarro, suponiendo que la base sea cuadrada de lado k, la altura h, y el radio del círculo de la parte superior r. Si precisáis otras dimensiones, ponedlas vosotros mismos. Lo que se pide es por tanto que propongáis un modelo para ese tarro lo más parecido posible a la imagen y deis su volumen. La puntuación irá en función del parecido más ajustado a la realidad. Como podéis suponer aunque respondáis en orden las cuestiones, su resolución no tiene porqué ser así, ya que las fotografías o las pistas que van apareciendo pueden ayudarnos con alguna pregunta anterior. 24.- Proponer alguna cuestión, ejercicio o problema matemático que os sugiera el resto de la película. A mayor originalidad, mayor puntuación, aunque eso si, también a mayor fidelidad al argumento y los diálogos incluso, mayor puntuación. Ah, y dar también la solución. Como os decía, la película es magnífica, y la novela en que se basa, si bien no es de una gran calidad literaria, si lo es respecto a la moraleja que trata de transmitir, muy relacionada con la situación que está viviendo nuestro país. Además, a día de hoy, hay un misterio sobre ella aún no resuelto. 25.- ¿A qué analogías, si las hay, nos referimos? 26.- ¿A quien critica? 27.- ¿En que idioma se publicó originalmente y en que famoso clásico literario está basada? 28.- ¿A qué misterio nos referimos? Por cierto, aunque a los protagonistas al final todo les sale mal, acaban riéndose. Uno de ellos decide empezar una nueva vida del mismo modo que los protagonistas de otra película (también muy buena, más moderna y a colorines) del mismo director, sólo que esos no tendrán la misma fortuna que los de ésta. 29.- ¿A que otra película nos referimos? 30.- Y por acabar en un número redondo, ¿qué explicación darías a la última imagen que aparece en la película que buscamos?   Valoración de las respuestas Las puntuaciones de las cuestiones son: ● Veinte puntos para las cuestiones 22, 23 y 24.  ● Diez puntos para el resto de cuestiones en azul. ● Cinco puntos para las numeradas de color rojo. Es evidente que puede haber mucha variación entre estos 265 puntos posibles (espero haber sumado bien), así que aunque sólo seas capaz de responder a una pregunta de cinco puntos, envíame la solución porque puede que te toque alguno de los extraordinarios premios que este año tenemos preparados. Las respuestas deben mandarse a la dirección de correo electrónico alfonso@mat.uva.es, indicando en el asunto Verano 2012. Si de paso dais vuestra opinión sobre el concurso, hacéis sugerencias, comentarios, etc., acerca de la sección, a lo mejor hasta os regalamos puntos extra. Lo importante es divertirse, disfrutar de una buena película, y darle un poquillo al coco para mantener las neuronas activas. El plazo máximo de recepción de respuestas será el día 31 de Agosto de 2012.   ¡¡¡¡Buen Verano Cinematemático!!!!

Jueves, 14 de Junio de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico