621. 99. (Noviembre 2012) Fibonacci modular. 1-2-3-5-8-4-3-7-1-8-9-?

En la comunidad matemática es bien conocido que la sucesión de Fibonacci tiene multitud de propiedades, gran diversidad de aplicaciones y un filón inagotable de temas de divulgación matemática. ¿Qué otros conceptos matemáticos tienen el honor de copar los contenidos de una sola revista de investigación? The Fibonacci Quarterly es una publicación oficial de la "Fibonacci Association" y aparece cuatro veces al año (por aquello de que "quarterly = trimestral") desde 1963, un poco después de que la sucesión fuera dada a conocer en la cultura occidental, ya que Leonardo de Pisa la introdujo en su libro "Liber abaci", publicado en 1202 (sólo hace 810 años), y Édouard Lucas le dio su nombre a finales del siglo XIX. Por cierto, se cuenta que alguno de los fundadores de la revista "The Fibonacci Quarterly" sólo aparcaba su coche en las plazas numeradas con algún término de la sucesión. Algunas de las propiedades de esta sucesión son tan sorprendentes e inesperadas que pueden plantearse como juegos de magia. En la Revista Eureka sobre Enseñanza y Divulgación de las Ciencias puedes leer un artículo donde se proponen algunas actividades con esta sucesión, y en el número 61 y el número 62 de este rincón describimos también algunos juegos de magia que tienen como protagonista a la sucesión de Fibonacci. En algunas ocasiones, aunque más de las que un matemático podría soportar, simples aficionados descubren propiedades y desarrollan teorías matemáticas con mucha precisión y capaces de despertar gran interés. Lo que ya es completamente extraño es que las propiedades las descubra alguien que afirma, "I hated school, everything about it, and mathematics most of all" (odiaba la escuela, todo lo relativo a ella y las matemáticas por encima de todo). Este es el caso del mago canadiense Stewart James (Courtright, 1908-1996), de quien te recomiendo encarecidamente que leas su biografía en el portal magicana.com y, si tienes oportunidad, las anécdotas que narra Persi Diaconis en el libro "Magical Mathematics". Una de las más significativas es ésta: cuando Diaconis le pidió una baraja para hacerle un juego, Stewart le confesó que no tenía ninguna desde hacía cinco años. Al mostrar su extrañeza, teniendo en cuenta que Stewart publicaba todos los meses algún juego de magia con cartas, éste le contestó que Agatha Christie escribía historias de asesinatos pero nunca tuvo que salir a la calle para matar a nadie. Antes de explicar el descubrimiento de Stewart James, vamos a hacer el juego que Persi Diaconis diseñó en base a sus ideas. Dibuja un cuadrado reticulado de tamaño 4x4 como el siguiente: En cada una de las dos primeras casillas escribe un número entre 1 y 7 (¡sí, claro! un número natural). En la tercera casilla escribe la suma de los dos primeros, con la siguiente salvedad: si la suma es mayor que 7, anotarás el resto de la división por 7 (lo que equivale a restarle siete). Por ejemplo, si los números iniciales son 3 y 4, anotarás su suma, que es 7; si los números iniciales son 4 y 5, la suma es 9 y anotarás el 2, pues 9 - 7 = 2. Continúa rellenando el cuadro de la misma forma: en cada casilla anotarás la suma de los números de las DOS casillas anteriores, siempre respetando la regla establecida en el punto anterior. Un ejemplo: 3 4 7 4 4 1 5 6 4 3 7 3 3 6 2 1 Cuando hayas escrito los 16 números que forman todo el cuadrado, calcula la suma de todos ellos. A pesar de la libertad de elección (7 x 7 = 49 posibles datos iniciales), creo que el resultado final es ¡63! Tengo que hacer una confesión: no siempre la suma es 63: de las 49 parejas de números iniciales, si empiezas por 7 y 7, todo el cuadro estará lleno de sietes y la suma final será, por tanto, 7 x 16 = 112. En lo que sigue excluiremos, por tanto, esta situación anómala. ¿Qué propiedades hemos aplicado para que el juego funcione? Las sucesiones de Fibonacci generalizadas (es decir, las que empiezan con cualquier par de números) cuyos elementos sólo contienen valores entre 1 y 7 (para lo cual reducimos en siete unidades los valores que excedan al 7) se repiten cíclicamente cada 16 términos. De hecho, sólo hay tres posibles sucesiones cíclicas: 1, 1, 2, 3, 5, 1, 6, 7, 6, 6, 5, 4, 2, 6, 1, 7 1, 3, 4, 7, 4, 4, 1, 5, 6, 4, 3, 7, 3, 3, 6, 2 1, 4, 5, 2, 7, 2, 2, 4, 6, 3, 2, 5, 7, 5, 5, 3 y en cada una de ellas aparecen de forma consecutiva 16 parejas de números entre 1 y 7 (a excepción de la pareja ya citada 7 - 7). La suma de los valores de los 16 elementos en cualquiera de los ciclos es igual a 63. Pero hay más propiedades que puedes aprovechar al hacer el juego: Todas las posibles secuencias contienen exactamente dos sietes separados ocho posiciones. Después de cada 7, hay un número que se repite dos veces. Salvo los sietes, dos números separados por ocho posiciones suman siete. ¿Cuál es el principio descubierto por Stewart James? En 1959, Stewart James le comunicó por carta a Martin Gardner que había descubierto que las sucesiones de Fibonacci generalizadas, si en cada paso se reduce cada término a su raíz digital (es decir, la que se obtiene sumando las cifras del número), son periódicas de periodo 24 y la suma de los 24 términos es igual a 117 (a excepción de la que empieza por 9-9 que tiene periodo uno y la que empieza por 3-3 que tiene periodo 8 y la suma de los términos de cada ciclo es 45). De hecho, sólo hay tres posibles sucesiones (aparte de las anómalas), que son: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 9, 8, 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 2, 8, 1, 9 1, 3, 4, 7, 2, 9, 2, 2, 4, 6, 1, 7, 8, 6, 5, 2, 7, 9, 7, 7, 5, 3, 8, 2 1, 4, 5, 9, 5, 5, 1, 6, 7, 4, 2, 6, 8, 5, 4, 9, 4, 4, 8, 3, 2, 5, 7, 3 En agosto de 1962, Stewart James publicó esta propiedad con el nombre de PRINCIPIO AAG, nombre que se obtiene estableciendo la equivalencia entre las letras y su posición en el alfabeto. Como A = 1, A = 1, G = 7, resulta que AAG = 117, la suma constante de los ciclos citados. En su artículo proponía además una idea que podía convertir la propiedad en juego de magia. Si se forma un retículo cuadrado de tamaño 5x5 y se construye una sucesión de Fibonacci generalizada (reduciendo sus términos a su raíz digital) a partir de dos números iniciales (que no sean ambos múltiplos de tres), la suma de los 25 términos será igual a 117 más el primer término de la sucesión. Esto permitiría que el juego pudiera repetirse sin que el resultado final fuera siempre el mismo. Con esta propiedad en mente, se puede realizar un juego similar al descrito antes, muy parecido a los que describen Martin Gardner en la revista "Apocalypse" (1978) y Arthur McTier en su libro "Card Concepts" (Davenport, 2000). Saca dos barajas y entrega una de ellas a un espectador. Explícale que, entre los dos, vais a formar un cuadrado de cartas de tamaño 5x5. Deja también sobre la mesa una hoja de papel indicando que  has escrito allí una predicción. Pide al espectador que coloque cualquier carta de su baraja (que tenga valor menor de 10) cara arriba sobre la mesa mientras tú haces lo mismo con una carta de tu baraja. Ahora el espectador suma los valores de las dos cartas, busca entre sus cartas alguna de dicho valor, sin importar el palo, y la coloca como tercera carta. A continuación tú haces lo mismo con la suma de la segunda y la tercera cartas. Si, en algún momento del proceso, la suma de dos cartas consecutivas es mayor que nueve, se resta nueve para que la carta colocada tenga siempre valor comprendido entre 1 y 9. Se continúan colocando cartas alternativamente, una el espectador y una tú, hasta colocar un total de 25 cartas, formando un cuadrado de tamaño 5x5. Una posible disposición final sería la siguiente: Pide al espectador que sume los valores de las 25 cartas. Cuando lo haya hecho, muestra la predicción y pon la misma cara de sorpresa del espectador cuando compruebe que coincide con la suma. Ahora ya no será muy difícil comprender el secreto del juego. Tu primera carta no es cualquiera, sino que depende de la predicción que hayas escrito. O al revés, tu predicción no es cualquiera sino que depende de tu primera carta. La correspondencia es la siguiente: la suma de las 25 cartas será igual a 117 más el valor de la primera carta. Lo más práctico es tener escrita una predicción, digamos 124, pedir al espectador que saque una carta y la coloque sobre la mesa cara arriba. Si es un 7, sacas de tu baraja cualquier carta y sigues como he indicado. Si saca otra carta, buscas un siete en tu baraja y colocas las dos cartas en fila, siendo la tuya la primera. Con esto evitas además que la primera carta sea un múltiplo de tres, en cuyo caso la sucesión obtenida no sería la deseada. Observaciones finales Puedes también mostrar tus dotes de calculista ultra-rápido: después de colocadas las dos primeras cartas, buscas en tu baraja una carta del mismo valor que la primera y la colocas cara abajo en el lugar que ocuparía la vigésimoquinta. Si eres capaz, también puedes buscar la que ocupará la posición vigésimocuarta (que será la resta entre la segunda y la primera o su complemento a nueve en caso de que la segunda sea menor que la primera). Así, al llegar al final, las vuelves cara arriba para demostrar que son las que corresponden en la secuencia. Debido a la propiedad adicional de que la suma de dos términos de la secuencia separados en 12 lugares es igual a 9 (salvo que sea un nueve, en cuyo caso el otro también será un nueve), puedes también colocar una carta cara abajo en una posición intermedia. Por ejemplo, la carta central del cuadrado 5x5 será el complemento a nueve de la primera carta. Incluso puedes plantear el juego como un experimento de clarividencia. Contigo de espaldas, pides al espectador que forme un rectángulo de tamaño 8x3 y coloque las cartas cara abajo, según la regla ya descrita. Cuando te vuelves de cara puedes decir que la suma de los valores de todas las cartas es 117. Como además 117 = 9 x 13, tratarás de encontrar parejas de números cuya suma es 9. Cada vez que vuelves cara arriba una carta, busca la que esté separada 12 lugares y la vuelves cara arriba, comprobando que la suma de ambas es 9. Como excepción, cuando la carta vuelta sea un nueve, explica que, como no hay ningún cero, tratarás de encontrar otro nueve. Dicho nueve también está separado 12 lugares del anterior. Colm Mulcahy, otra persona de cita obligada en este rincón, también ha estudiado este principio y ofrece algunos juegos en su columna Card Colm. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Martes, 30 de Octubre de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

622. 64. (Octubre 2012) Contra el tiempo, de Geneviève Billette

Estamos en París, en 1832. Évariste Galois acaba de ser liberado de la prisión en la que ha cumplido sentencia por motivos políticos: es un activo republicano que llega incluso a amenazar públicamente al nuevo rey Louis-Philippe: Évariste: Je ne voulais pas menacer le roi. […] Je voulais juste réveiller les cerveaux.[i] Galois intenta terminar su tratado de álgebra porque sospecha que va a morir... está luchando contra el tiempo. Es un personaje apasionado, exaltado y comprometido, adelantado a su época. Vive por la democracia y la investigación científica. La noche anterior al duelo que le lleva a la muerte, nuestro héroe escribe en el margen de la memoria que está intentando terminar: Il y a quelque chose à compléter dans cette démonstration. Je n’ai pas le temps.[ii] Su madre –con la que ha perdido el contacto desde hace meses– corre a buscarlo para abrazarle y transmitirle su cariño. Un curioso personaje prohíbe a la madre el acceso al edificio en el que se encuentra Galois: es el fantasma de Jean-Baptiste Fourier, que se siente culpable por haber muerto –en mayo de 1830– unos días después de haber recibido un manuscrito de Galois para evaluar –como secretario vitalicio de la Académie des Sciences–, documento que se perdió sin haber sido revisado por Fourier. El espectro del matemático sabe que Galois va a morir y no quiere que nadie le entretenga para que pueda terminar de escribir su legado matemático. Galois redacta con gran excitación. Se detiene en algunos momentos para recordar detalles de su vida. Se acuerda con pena de su padre –alcalde de Bourg-la-Reine, de ideas liberales– que se suicida en 1829 no pudiendo soportar el descrédito ante sus conciudadanos promovido por el párroco de la ciudad. Galois se lamenta de no haber percibido el mal momento anímico por el que pasaba su padre. Pero sigue escribiendo, con pasión, con una pasión cercana a la locura. Recuerda a su amada Stéphanie, a su hermano pequeño, a su madre... Galois encarna al genio romántico, apasionado por la vida y por intentar cambiar el orden del mundo. Su excitación y su ansia por aprender se vieron frenados por las autoridades académicas, que no le perdonaron el no querer ceder ante diversas imposiciones –la dirección de la École Polytechnique apoya a una monarquía repudiada por Galois–. Adélaïde: La direction de l’École s’affiche royaliste, et alors. Ça ne t’empêchera pas de penser, de travailler, l’algèbre n’a pas de drapeau ! Évariste: L’algèbre aussi est une vision du monde.[iii] En una conversación con su amigo Augustin, explica la razón por la que sus matemáticas son revolucionarias: Évariste: Pourquoi tu crois que personne avant moi n’avait réussi à résoudre le problème ? Les autres mathématiciens ne manquent pas d’intelligence. Je connais leurs travaux par coeur, je sais exactement comment ils pensent : ils ont tous l’esprit enchaîné à la notion de particulier. Un à un, ils se sont cassé les dents sur l’équation de degré 5, parce qu’ils isolaient le problème. Ils essayaient de le résoudre en soi. […] La seule façon de le résoudre, c’était de s’en décoller. Ma méthode de résolution générale, Augustin, ce n’est pas du zèle, c’était l’unique solution.[iv] Al definir la estructura de grupo, Galois crea un nuevo territorio a explorar: Augustin: Je comprends le principe, mais ça sert à quoi ? Évariste: À penser large. Augustin: Je veux bien… Évariste: À penser loin aussi. Ça permet d’anticiper. Augustin: Mais à quoi c’est dédié ? Évariste: Tu veux dire … Augustin: Les applications concrètes. Évariste:Ah ça. Aucune.[…] Augustin: Allez… Quand tu iras solliciter un mécène, tu lui diras quoi ? À qui tes groupes profiteront dans l’immédiat ? Évariste: À personne. Dans l’immédiat, à personne. Non… ce n’est pas pour nous. Les chimistes s’en empareront sûrement. Les physiciens aussi. Mais les applications concrètes, comme tu dis, selon moi, elles ne seront visibles que dans cent, deux cents ans. […] Augustin: C’est sérieux, Évariste. Tu n’as pas pu passer des nuits entières à travailler sans connaître l’utilité de tes recherches... C’est impossible. Impossible ! Évariste: C’est idiot, ce que tu dis. Comment veux-tu inventer si tu sais exactement ce que tu cherches ? Je me suis buté sur l’équation de degré 5, c’est ça qui m’a permis de m’élever, de nuit en nuit, jusqu’à l’idée de groupes. On ne peut pas chercher, Augustin, vraiment chercher, en connaissant à l’avance le paysage final. Augustin: Deux cents ans… personne n’en profitera. Je veux dire, personne de nous n’y sera… Évariste: C’est vrai. Et c’est ce qui me fascine le plus. Rendre possible un monde que je ne connaîtrai jamais.[v] El tiempo le dará la razón: sus teorías matemáticas permiten estudiar objetos complejos en términos de simetrías y de permutaciones y hoy en día se aplican a áreas tan variadas como la informática, la química, la física o la criptografía... Esta obra se estrenó en Montreal (Canadá) el 8 de noviembre de 2011, año e el que se conmemoraba el centenario del nacimiento de Galois. En la imagen de debajo pueden verse todos los personajes de la obra, de izquierda a derecha: Stéphanie, la enamorada de Galois; Gérard de Nerval, el poeta encarcelado brevemente en la prisión de Sainte-Pélagie en febrero de 1832, por alboroto nocturno. Allí conoce a Galois y se hacen grandes amigos;[vi] Évariste Galois; Gabriel, el padre republicano de Galois que se suicida en 1829; Adélaïde, la madre protectora de Galois que se siente culpable por haber perdido el contacto con él durante su estancia en prisión; Alfred, el hermano pequeño de Galois, que sólo desea compartir con él su tiempo; Augustin, el amigo de Galois que no entiende la razón de sus matemáticas; y el espectro del matemático Jean-Baptiste Fourier, que sólo desea que Galois redacte su legado, al sentirse culpable por hacer fallecido sin haber podido evaluar uno de los documentos de Galois. Junto a Gérard de Nerval, aporta la nota cómica en una obra plagada de acontecimientos dramáticos. http://www.theatredaujourdhui.qc.ca/archives/pieces/contreletemps La obra finaliza con la aprobación por parte de Fourier de los trabajos de Galois, cuando el matemático yace ya herido de muerte tras su duelo: Fourier le consuela de este modo: Fourier :Tout y est. (Pause) Tout y est, Galois.[vii] Notas: [i] Évariste: No quería amenazar al rey. […] Sólo quería despertar cabezas. [ii] Hay algo a completar en esta demostración. No tengo tiempo. [iii] Adélaïde: La dirección de la École se declara monárquica, ¿y qué? Eso no te impedirá pensar, trabajar, ¡el álgebra no tiene banderas! Évariste: El álgebra es también una visión del mundo. [iv] Évariste: ¿Por qué crees que nadie antes de mí había conseguido resolver el problema? Los otros matemáticos no carecen de inteligencia. Conozco sus trabajos de memoria, sé exactamente como piensan: tienen todos el espíritu encadenado a la noción de particular. Uno a uno han fracasado con la ecuación de grado 5, porque aislaban el problema. Intentaban resolverlo en sí mismo. […] La única manera de resolverlo era con otra perspectiva. Mi método de resolución general, Augustin, y no se trata de celo, era la única solución. [v] Augustin: Comprendo el principio, pero ¿para qué sirve ? Évariste: Para pensar de manera amplia. Augustin: Acepto… Évariste: Para ir más allá también. Permite anticiparse. Augustin: ¿Pero a qué se dedica? Évariste:  No te entiendo … Augustin: Las aplicaciones concretas. Évariste: Ah eso... Ninguna.[…] Augustin: Vamos… Cuando vayas donde un mecenas, ¿qué le dirás? ¿A quién beneficiarán tus grupos por ahora? Évariste: A nadie. Por ahora, a nadie. No… no es para nosotros. Los químicos se apropiarán de ello. Los físicos también. Pero las aplicaciones concretas, como dices, creo que no serán visibles más que dentro de doscientos años. […] Augustin: Esto es serio, Évariste. No has podido pasarte noches enteras de trabajo sin conocer la utilidad de tus investigaciones... Es imposible. ¡Imposible! Évariste: Lo que dices es estúpido. ¿Cómo quieres inventar si sabes exactamente lo que estás buscando?  Me he obsesionado con la ecuación de grado 5, esto es lo que me ha permitido elevarme, de noche en noche hasta la idea de grupo. No se puede investigar, Augustin, realmente investigar, conociendo con antelación el paisaje final. Augustin: Doscientos años… nadie se beneficiará. Me refiero a que ninguno de nosotros estará… Évariste: Es cierto, es lo que más me fascina. Hacer posible un mundo que nunca conoceré. [vi] Este poema Politique de Gérard de Nerval fue precisamente escrito en 1932 con motivo de su estancia en este prisión Dans Sainte-Pélagie, Sous ce règne élargie, Où, rêveur et pensif, Je vis captif, Pas une herbe ne pousse Et pas un brin de mousse Le long des murs grillés Et frais taillés! Oiseau qui fend l'espace... Et toi, brise, qui passe Sur l'étroit horizon De la prison, Dans votre vol superbe, Apportez-moi quelque herbe, Quelque gramen, mouvant Sa tête au vent ! Qu'à mes pieds tourbillonne Une feuille d'automne Peinte de cent couleurs Comme les fleurs ! Pour que mon âme triste Sache encor qu'il existe Une nature, un Dieu Dehors ce lieu, Faites-moi cette joie Qu'un instant je revoie Quelque chose de vert Avant l'hiver ! [vii] Fourier :Está todo. (Pausa) Está todo, Galois

Viernes, 26 de Octubre de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

623. 40. (Octubre 2012) Alcance y extralimitaciones de las matemáticas y la computación en la música

1. Introducción Con frecuencia, cuando un recién conocido se interesa por mi trabajo y le informo de que trabajo con matemáticas y música, la reacción suele ser una divertida mezcla de sorpresa e incredulidad. Tras esos momentos iniciales de desconcierto, las posturas se vuelven tan variadas como los colores. Hay algunos que afirman con aplomo: “Sí, ya se sabe que las matemáticas y la música están muy relacionadas” (pero en ocasiones no estoy seguro de que a se refieren exactamente). Otros, más despistados, mencionan varios físicos conocidos por su gran amor a la música, principalmente Einstein. Otros, más sinceros, confiesan no entender cómo algo tan abstracto como las matemáticas puede tener algo que ver con la música, algo tan artístico y emocional (como si las matemáticas no compartiesen esas características con la música). Actualmente, el estudio de la música por parte de las matemáticas y la computación en el mundo de la investigación está consolidado en buena medida y ya se ve, en general, como algo normal. Sin embargo, esa relación no ha estado, ni probablemente en el futuro lo estará, libre de tensiones respecto a los alcances y extralimitaciones de las matemáticas y la computación en la música. El artículo de este mes trata de acercar al gran público la naturaleza de esa relación y esbozar las tensiones epistemológicas que hay entre ellas. En el tercer congreso International Conference on Mathematics and Computation in Music (MCM) celebrado en el IRCAM en 2011 se abordó el problema del alcance y extralimitaciones de los métodos matemáticos y computaciones en la investigación en música. Para tal fin, la organización del congreso invitó a tres panelistas, figuras reconocidas en su campo: Alan Marsden, profesor de música en la Universidad de Lancaster; Guerino Mazzola, matemático, músico, musicólogo y profesor en la Universidad de Minnesota; y Geraint Wiggins, profesor de creatividad computacional en la Universidad de Londres (Queen Mary) y musicólogo computacional. El tema de la sesión fue bridging the gap: computational and mathematical approaches in music research (acortando distancias: métodos matemáticos y computacionales en la investigación de la música). La sesión resultó ser fructífera, con gran participación del público, y por ello los editores de la revista Journal of Mathematics and Music decidieron dedicar un número especial a esta cuestión bajo el título Mathematical and computational approaches to music: challenges in an interdisciplinary enterprise; véase [VH12]. Los panelistas recibieron cuatro preguntas sobre las que elaborar sus intervenciones. Estas fueron: Beneficios: ¿cuáles han sido las contribuciones claves de las matemáticas y la computación a la investigación de la música? Errores: ¿Cuáles son los ejemplos de errores en la aplicación de los métodos matemáticos y computacionales a la investigación de la música en el pasado? ¿Cómo podemos aprender de esos errores? Retos: ¿A qué retos se enfrentan los métodos matemáticos y computacionales en la investigación de la música? ¿Cuáles son las cuestiones por explorar que tienen el potencial de ampliar nuestro entendimiento de la música con la ayuda de las matemáticas y la computación? ¿Qué pasos han de darse para que las matemáticas y la computación desarrollen todo su potencial en la investigación de la música? Discurso interdisciplinar: ¿Cómo se pueden fortalecer las conexiones entre los tres campos? ¿Hay maneras diferentes de entender la música en las tres disciplinas? ¿En qué contextos son las diferencias entre los tres campos útiles para fomentar investigaciones originales y novedosas? ¿Cuándo dichas diferencias suponen un escollo para una verdadera investigación interdisciplinar y qué se necesita hacer para superarlo? El mencionado artículo [VH12] contiene un resumen de las discusiones entre los panelistas. En este artículo expondré las principales aportaciones de los panelistas (en la sección siguiente, en cursiva) y las comentaré para el lector (en tipo de letra normal). 2. Beneficios, errores, retos y discurso interdisciplinar Beneficios: Contribuciones importantes a la tecnología (formato mp3, sistema de recomendación, análisis automático, etc.). Los panelistas nombran estas pocas, pero en realidad hay muchísima computación y matemáticas detrás de ellas. Por ejemplo, los sistemas de recomendación llevan implícitos sistemas de similitud musical –que incluyen similitud melódica, rítmica y tímbrica–, así como complejos procesos de etiquetación, reconocimiento de patrones, búsqueda en bases de datos y otros. Clarificación conceptual de términos musicales. Ciertamente, la formalización matemática de ciertos conceptos musicales ha llevado a una clarificación de estos. Por ejemplo, la teoría de la afinación ha sufrido una gran formalización por parte de matemáticos e informáticos; véase, por ejemplo, el capítulo 5 del libro de Benson [Ben06]. Visión más general de la música. Sin duda, el estudio de la música desde otros puntos de vista, como puede ser el de encontrar sus estructuras básicas o sus reglas de formación, ha contribuido a una comprensión más profunda de ese fenómeno multidimensional y complejo que es la música. Estudio de la evolución musical. Este es un problema fascinante en que varios autores han trabajado: ¿Cómo cambia el fenómeno musical? Para un ejemplo en el campo del ritmo véanse [Tou02] y [Tou03]. Creación de herramientas para la enseñanza musical. En varios conservatorios ya se usa un enfoque mixto en la enseñanza de la música. Por ejemplo, la teoría de escalas o el círculo de quintas se puede enseñar en un contexto músico-matemático. Véase el excelente libro de Scott Beall [Bea00]. Fracasos: Estudio de la música en sí misma sin tener en cuenta sus procesos. Este error es más común de lo deseable entre matemáticos e informáticos que estudian la música. Sin lugar a dudas, la música es un fenómeno y como tal puede estudiarse, pero también es el resultado de un complejo proceso que va desde la onda de sonido a la emoción. A veces ignorar la importante dimensión de proceso de la música invalida una investigación. Estudiar la teoría de la música sin tener en cuenta su dimensión cognitiva. Este es, a mi juicio, uno de los errores más graves que se pueden cometer en el estudio de la música. En última instancia, la música cobra sentido porque hay un oyente que la escucha y procesa. Ignorar la dimensión cognitiva vacía de sentido a la investigación musical. Lamentablemente, muchos investigadores rechazan ponerse al día de la bibliografía de cognición musical. Para una primera toma de contacto, recomendamos el libro de Radocy y Boyle [RB03]. Ignorar los aspectos físico-acústicos a favor de los aspectos puramente formales. No es posible estudiar la música con profundidad y de manera pertinente si no se estudian varios de sus aspectos más importantes. Formalización excesiva de algunos objetos musicales (escalas, modos, etc.). En ocasiones, el aparato matemático-computacional que se usa para formalizar los objetos y procesos musicales no está justificado. Parece más una querencia del investigador que una necesidad real de tal formalización. Uso excesivo de la abstracción. Alcanzar un punto razonable de abstracción en la investigación matemática de la música no es fácil, y a veces se han cometido excesos al respecto. Desafíos: Los musicólogos desconocen las herramientas que ofrecen las matemáticas y la computación. Este es un hecho triste. Creo que por una parte tiene que ver con el rechazo de una parte de los musicólogos hacia la musicología cuantitativa y, en particular, a la computacional. Y por otro lado, sospecho que tiene que ver con la falta de formación computacional. También culparía a los propios matemáticos e informáticos, cuyo lenguaje e interfaces no son desde luego un ejemplo atrayente para los musicólogos menos expertos en computación. El desafío, pues, consiste en que los musicólogos -sobre todos los históricos y culturales- empiecen a usar estas formidables herramientas. Modelizar el carácter impreciso y multidimensional de la música. Indudablemente, hacen falta modelos flexibles y potentes que sean capaces de reflejar toda la complejidad de la música. Comprobación empírica de los modelos computacionales. Este es otro de los problemas más graves en este tipo de investigación. Con frecuencia, se presenta un modelo que trata de explicar un proceso musical. En el peor caso, se pone encima de la mesa sin ninguna comprobación de ningún tipo; en otros casos, las comprobaciones son sobre búsquedas en base de datos o con experimentos más o menos artificiales. Como dije antes, hace falta la comprobación empírica sobre sujetos, esto es, con seres humanos. En la columna de marzo de 2011 de esta sección se puede leer un ejemplo explicado; es el de la similitud rítmica en el flamenco. Se describen tanto el modelo matemático como su validación perceptual. Aumentar el uso de las técnicas estadísticas. El uso de los métodos estadísticos permite procesar mucha información musical, especialmente en los estudios de grandes corpus de música. Construir una mejor conexión entre racionalismo y empirismo. Este es un desafío que casi podríamos calificar de eterno. La música es susceptible de estudiarse desde ambos puntos de vista y el verdadero carácter interdisciplinar consiste en la sabia combinación de ambos. Construir una metateoría de la música que integre varias disciplinas. De nuevo, esta es una aspiración interdisciplinar que de materializarse haría avanzar sustancialmente la musicología en su conjunto. Modelizar el comportamiento musical y no solo la música en sí. Este desafío reivindica el aspecto conductual de la música; de nuevo, véase el libro de Radocy y Boyle [RB03]. Discurso interdisciplinar: La humildad es esencial para el trabajo interdisciplinar. Si se lleva a cabo un estudio interdisciplinar, esta es la actitud mínima que uno puede pedir al respecto. Sin embargo, hay mucha arrogancia tanto por parte de los estudiosos desde el punto de vista científico como del de las humanidades. Con mucho acierto y buena dosis de valentía, Parncutt denuncia esta situación en un artículo de 2007 [Par07]; recomendamos vivamente su lectura. Hay que ser honesto respecto al alcance de la investigación. No porque se investigue la música desde un campo este ha de ser el más importante. Es fundamental reconocer el papel del resto de las disciplinas que estudian la música. Hay que ser honesto respecto a lo que es importante. Sin honestidad no hay investigación verdadera. Reconocer sinceramente las múltiples facetas de la música. El estudio de la música requiere una verdadera actitud humanista. Contrastar las teorías computacionales con experimentos requiere mucha colaboración interdisciplinar. Este punto recoge la necesidad antes expresada de la validación perceptual de las teorías matemáticas y computacionales. 3. Conclusión Como puede comprobar el lector los retos en estos campos interdisciplinares de la musicología computacional y la tecnología musical son formidables. Una vez más insistimos en que el avance de las disciplinas esta condicionado a la verdadera colaboración interdisciplinar, algo que a mucha gente le encanta nombrar como sello de modernidad, pero que pocos practican con fe. Uno de los grandes escollos para esa colaboración es la formación de los investigadores. La mayoría o bien son científicos o musicólogos, y muy pocos son ambos. Mi opinión es que hace falta ser las dos cosas, siquiera sea por un problema de lenguaje. Lamentablemente, el tipo de carrera mixta que exigiría esa nueva formación no existe en casi ninguna facultad. Bibliografía [Bea00] S. Beall. Functional melodies: Finding mathematical relationships in music. Key Curriculum Press, 2000. [Ben06] D. Benson. Music: A Mathematical Offering. Cambridge University Press, 2006. [Par07] R. Parncutt. Systematic musicology and the history and future of western musical scholarship. Journal of Interdisciplinary Music Studies, 1:1–32, 2007. [RB03] R. E. Radocy and D. J. Boyle. Psychological Foundations of Musical Behaviors. Charles C. Thomas, Springfield, Ill., 2003. [Tou02] Godfried T. Toussaint. A mathematical analysis of African, Brazilian, and Cuban clave rhythms. In Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music and Science, pages 157–168, Towson University, Towson, Maryland, U.S.A., July 27-29 2002. [Tou03] Godfried T. Toussaint. Classification and phylogenetic analysis of African ternary rhythm timelines. In Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music and Science, pages 25–36, Granada, Spain, July 23-27 2003. [VH12] A. Volk and A. Honingh. Mathematical and computational approaches to music: challenges in an interdisciplinary enterprise. Journal of Mathematics and Music, 6(2):73–81, 2012.

Miércoles, 24 de Octubre de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

624. 19. (Octubre de 2012) Albert Einstein – primera parte

[Pie de imagen: Este es un anuncio publicitario que una agencia de publicidad internacional, DDB, realizó para anunciarse ellos mismos. Vemos como una mujer le está susurrando algo a Einstein, y si leemos el lema del anuncio “Ahora podemos ayudar a que tu negocio crezca con desarrollo de productos e innovación”… cada cual que realice sus propias lecturas del significado.] Sin lugar a dudas el científico más conocido por el público general, tanto en la actualidad como en los últimos 50 años, es Albert Einstein, físico teórico de origen alemán y padre de la teoría de la relatividad. Por este motivo no es de extrañar que sea el científico cuya imagen más aparece en la publicidad. A lo largo de una mini serie de artículos que se inician con la presente entrega, vamos a examinar y comentar una amplia colección de anuncios publicitarios que han hecho uso de la imagen de este famoso físico teórico. En general, la imagen utilizada en ellos no suele ser la de un joven Einstein, sino esa que ha quedado grabada en la retina de la mayoría de las personas. La imagen de un Albert Einstein de una edad avanzada, con muchas arrugas, el pelo blanco, por lo general descuidado y alborotado, con un poblado bigote también blanco, y por lo general, mirada seria. Esa imagen de científico excéntrico, o incluso loco, que vive en su mundo, y que ha pasado a ser considerada durante mucho tiempo como la imagen arquetipo del los científicos. El primer grupo de anuncios, que se muestran en esta entrega correspondiente al mes de octubre de la sección sobre las matemáticas en la publicidad del portal divulgamat, tiene como característica común su conexión directa con la que seguramente es la fotografía más famosa y popular de Einstein, esa en la que saca la lengua y que se ha convertido en una imagen fetiche para muchas personas, quizás porque rompió con el estereotipo de personas serias y formales que se tenía de los científicos de esa época, y porque es un poco irreverente. En el blog de fotografía “Yanina Patricio blog”, así como en algunos otros, se puede leer la historia de esta singular fotografía. Según se cuenta, Einstein, que en esos años ya era toda una celebridad en EEUU y en todo el mundo, se marchaba de un homenaje que le habían organizado en la Universidad de Princeton con motivo de su 72 cumpleaños, cuando una multitud de fotógrafos empezaron a acosarle con sus cámaras en busca de una buena instantánea destinada a acompañar la correspondiente noticia en los medios de comunicación. Pero el septuagenario físico estaba muy cansado, sin ningunas ganas de sonreír a estos profesionales de la imagen e insistió en que le dejaran marcharse tranquilamente, llegando incluso a gritar “¡Basta ya!”. Los fotógrafos seguían decididos a conseguir un documento gráfico de ese momento, e insistentemente le reclamaban una sonrisa. Le siguieron hasta el coche en el que esperaban su mujer y un amigo (en la fotografía, de Arthur Sasse, que mostramos aquí puede verse el rostro cansado de Einstein). Ya en el coche, y harto de ese acoso, Einstein sacó la lengua con el propósito de estropearles la foto a sus perseguidores. Sin embargo, el fotógrafo Arthur Sasse decidió capturar esa imagen con su cámara, y fue el único. Una instantánea que pasaría a la historia, y que hoy en día sigue apareciendo en pósters, camisetas, cuadernos, chapas, etc… y, por supuesto, también en la publicidad. Y que junto a las imágenes del Che Guevara y de Marylin Monroe, conforman las tres imágenes fetiche del siglo XX. Además, se cuenta que cuando el físico teórico vio la fotografía impresa le pidió al autor de la misma, Arthur Sasse, que le realizara varias copias, e incluso fue utilizada por Einstein como tarjeta navideña. Pero centrémonos en el motivo principal de este artículo, el uso de la popular fotografía de Einstein sacando la lengua, de alguna manipulación de la misma o de una imagen basada en ella, para el diseño de productos publicitarios. Aunque pueda sorprender, solo relacionados con esta instantánea, se han realizado una considerable cantidad de productos publicitarios, algunos de los cuales se podrán disfrutar en este espacio. Para ir abriendo boca, aquí os muestro el primer anuncio, que es de la empresa Mercedes Benz… La utilización en la publicidad del autor de la fórmula más famosa de la historia de la ciencia, e = mc2, suele estar vinculada en la mayoría de los casos con la idea de inteligencia, ya sea para indicar que cierto comportamiento es de personas inteligentes, para vender un cierto producto relacionado con la ciencia, la educación o la cultura, o como símbolo de un genio o una persona que ha destacado en el mundo de la ciencia. En el siguiente anuncio “Einstein” se convierte en un símbolo de persona muy inteligente, de un genio, incluso hasta el punto de afirmarse que “Como estudiante, él [Albert Einstein] no era un Einstein”, en alusión a esa idea difundida de que de joven Einstein no fue un buen estudiante, no sacaba buenas notas (aunque al parecer esto no es así, pero esa es otra historia). Este fue un anuncio de “La fundación para una vida mejor”. Esta fundación se creó en EEUU en el año 2000 con el propósito de promover valores positivos con campañas publicitarias como esta (cuyo lema era “Pásalo!”), valores como la honradez, la generosidad, el optimismo, el trabajo duro, la confianza en uno mismo o la ayuda a los demás. El mensaje de este anuncio en el que aparece Einstein es promover la confianza en uno mismo. Que los niños y niñas, y los jóvenes en general, no tienen que considerarse unos fracasados si no son unos genios, si no sacan unas notas excelentísimas, eso no quiere decir que sean tontos, ni que sean unos perdedores, tienen que confiar en ellos mismos, pueden tener un futuro brillante, como fue el caso de Albert Einstein. Otro ejemplo relacionado con el hecho de ser una persona inteligente, que ha realizado grandes logros en la ciencia y que ha sido una referencia social y cultural, es el anuncio de una página web para mujeres de la empresa brasileña iG (internet Group), que es una filial de la empresa de comunicación Brasil Telecom. Se trataba de la campaña “Why not?” (¿Por qué no?), y en ella podíamos ver mujeres caracterizadas como Albert Einstein, Mahatma Gandhi, Ché Guevara y Charles Chaplin (los dos primeros casos los podemos ver aquí). A la mujer caracterizada como Einstein la encontramos sacando la lengua y con un peinado similar al que llevaba el físico, incluso se ha respetado la ropa de la fotografía. El mensaje que querían transmitir estos anuncios era que no debemos sorprendernos de que existan mujeres que sean grandes científicas, políticas, pensadoras, idealistas, médicos, escritoras o artistas. Aún estando muy de acuerdo con el mensaje, creo que quizás lo que hay que hacer es incidir más en la difusión de muchos grandes logros que ya han realizado muchísimas mujeres. Por ejemplo, algunas mujeres destacadas en el campo de la ciencia han sido Caroline L. Herschel, Mary Anning, Florence Nightingale, Marie Curie, Rita Levi-Montalcini, Rosalind E. Franklin o Jane Goodall (véase la Guía Didáctica Mujeres en la Ciencia –link de divulgamat-) y 44 mujeres han ganado alguno de los Premios Nobel (15 de ellas en ciencia). “Tener un Smartphone te hace más inteligente” era una campaña publicitaria de la empresa de telefonía TIGO, en la que se regalaba un Smartphone Galaxy cada hora entre quienes enviaran un cierto mensaje de texto con su móvil. La forma de expresar visualmente que las personas con un Smartphone eran más inteligentes fue poniéndoles unos pelos canosos y alborotados, un bigote generoso, y con la lengua fuera, como en la famosa fotografía de Arthur Sasse, es decir, identificándoles con Einstein a través de esa instantánea. En la misma línea tenemos el anuncio de la ASJ – Associação Nacional de Jornais de Brasil (Asociación Nacional de Periódicos de Brasil), cuyo lema es “Periódicos. Haciendo de ti una persona mucho más interesante”. En este anuncio puede verse a una persona leyendo el periódico, de la cual realmente está a la vista la mitad superior de su cara, la otra mitad está tapada por el periódico doblado, pero la imagen de la cara se sigue con la mitad inferior de la cara de Einstein sacando la lengua que aparece en el periódico. Muchos anuncios se basan en ocasiones en poner la cara de una persona famosa, en este caso la Revista Cais (curiosamente de nuevo una empresa de Brasil) ha utilizando las imágenes de Einstein, Freud y Gandhi, acompañadas en cada caso simplemente de la frase “una nueva mirada a los buenos conocimientos antiguos”. La Enciclopedia Salvat El Comercio (en Perú) también utiliza la imagen de Einstein en uno de sus anuncios publicitarios, como si la sola presencia del físico en el anuncio ya le diera a la enciclopedia un alto nivel científico y cultural, y por extensión a sus lectores una inteligencia destacada. Pero no es el único caso de una enciclopedia que utiliza a Einstein para anunciarse. Otro ejemplo es el siguiente anuncio de la empresa italiana TIM (Telecom Italia Mobile), que tiene una de sus sedes en Brasil. Aparece la famosa instantánea del físico en un móvil, e inspirado en ella, un monigote que está pintado a bolígrafo en un dedo de una persona… la verdad un anuncio un poco pobre. Otro anuncio en la misma línea que el anterior, pero muchísimo más simplón, es este del periódico danés Politiken, que nos muestra a un Einstein trabajando de repartidor –de un supermercado o de una empresa de mensajería-. Está, como en todas las imágenes de todo este artículo, con la lengua fuera, no porque esté cansado por cargar con las cajas, sino porque es Einstein y él… saca la lengua. Es el inteligente Einstein. El lema del anuncio dice “Lee la sección de trabajo todos los domingos y miércoles”. Parece un poco exagerado decir que leer la sección de trabajo del periódico Politiken (obviamente porque se está buscando uno) es síntoma de una inteligencia comparable a la del físico teórico. También para comprar ropa hay que ser inteligente… al menos para saber a que tienda de ropa tienes que ir. O para comprar un reproductor de DVDs… He dejado aparte una curiosa colección de anuncios aparecidos en la prensa que utilizan la imagen de niños con los pelos revueltos y sacando inteligentemente la lengua. El primero es del “Tekniska Museet” (Museo de la Ciencia) de Estocolmo (Suecia). Nos muestra, ¡como no!, la cara de un niño con los pelos medio peinados y alborotados, y sacando su pequeña lengua. El lema es “el lugar favorito de todos los pequeños genios”. Es un anuncio muy sencillo, pero la cara del niño es genial y tiene unos ojos enormes que llaman la atención. Funciona. La Enciclopedia Encarta de Microsoft (online), con el lema “dale a tu hijo un cerebro”, también utiliza la cara de un niño, pero en este caso lo que han hecho es manipular la fotografía original de Einstein para ponerle la cara del niño a la misma. En mi opinión el montaje queda un poco raro, como de un niño viejo. Hay bastantes anuncios con esta misma idea. Los periódicos ingleses The Times y The Sunday Times también utilizaron la imagen de “deslenguados” niños para anunciar su programa “Instant Wisdom” (“cuatro semanas de orientación educativa líder para sus pequeños listillos”). La campaña, de un mes de duración, consistía en la publicación de una serie de guías inspiradoras para ayudar a sus lectores y sus familias a ampliar sus conocimientos. La primera guía estaba centrada en el espacio, la ciencia y la naturaleza, y su título era “100 respuestas que toda persona necesita saber”. Aunque hay más anuncios de niños con los pelos alborotados y sacando la lengua, voy a terminar esta recopilación con un anuncio de Iberia. Me parece que es un buen anuncio, sencillo, limpio, con calidad de imagen y el niño es un “pocholo”. En resumen, es un anuncio efectivo. El niño con los pelos alborotados y sacando la lengua, lleva una camiseta de tirantes en la que, además está impresa la instantánea de Einstein, para que no malinterpretemos la imagen del joven protagonista de este reclamo publicitario. Hay incluso algún ejemplo de anuncio en el que se utiliza la imagen de un perro, como en este de una empresa que se dedica al entrenamiento de perros. El lema es “Pensarás que tu perro es un genio”. La última parte de este artículo la vamos a dedicar a anuncios que se basan más en la estética de la famosa instantánea de Einstein. Por ejemplo, la lengua del padre de la relatividad nos puede recordar a otra lengua famosa, la lengua de los Rolling Stones. Esta relación es utilizada por la emisora de radio brasileña Kiss 102.1 FM para hacerse publicidad. Es una doble hoja de una revista. En el lado izquierdo se muestra la imagen de Einstein que ya conocemos muy bien, sacando la lengua a quien le mire, y del otro los labios y la lengua de los Rolling Stones, con el lema “Todo el mundo tiene un lado Rock’n Roll”. Al parecer Albert Einstein también. Otro par de anuncios que juegan con la estética de la imagen de Einstein con la lengua fuera, y no tanto con el hecho de que sea una persona inteligente que ha realizado grandes logros científicos, son los siguientes. El primero es un anuncio de la empresa de agua embotellada Perrier. Vemos a un joven con una camiseta amarilla con la famosa fotografía de Einstein en el pecho, algo bastante normal puesto que como hemos comentado esta imagen, junto con las de Che Guevara y Marylin, han sido imágenes muy utilizadas para imprimir en camisetas a lo largo de todo el mundo. La cuestión es que este joven está echando el agua de una botella Perrier en un vaso para bebérsela, pero esto ocurre justo delante de la fotografía de la cara de Einstein, creándose un efecto óptico buscado por el publicista. Parece que la lengua del científico está intentando beber el agua Perrier. Una imagen graciosa para un anuncio. El siguiente cartel nos lleva a una de las situaciones en nuestra vida en las que sacamos la lengua y es cuando vamos al médico para que este nos mire la garganta. En el siguiente anuncio, del Hospital Israelita Albert Einstein, se ve la mano de un médico con un palo plano colocado sobre la lengua de Einstein como si estuviera mirándole la garganta. También hay anuncios que se centran en la popularidad de la fotografía de Einstein sacando la lengua. El primero es un anuncio en prensa del grupo bancario internacional HSBC, cuyo lema es “Good ideas for your money” (buenas ideas para tu dinero), y el anuncio consiste en una de esas ideas. Veámoslo. Se muestra la famosa fotografía de Einstein cubriendo todo el anuncio, pero a su vez esa fotografía está tapada con dos triángulos rojos, como los del logo del HSBC,  y sobre uno de los triángulos la frase que explica el significado del anuncio “Con esta sencilla idea [es decir, tapar parte de la famosa fotografía], hemos ahorrado R$ 250.122,00 en royalties [en los derechos de la imagen]”. Y para concluir un anuncio televisivo en el que se empieza con la instantánea de Einstein sacando la lengua, para después, “ampliando” la imagen hacia los laterales, explicar una fantasiosa historia sobre lo que estaba ocurriendo alrededor de Albert Einstein en esos momentos. No diré nada más sobre la historia del anuncio salvo que tiene que ver con carteros y cajas de cereales. Hay que verlo (pincha aquí: http://adsoftheworld.com/media/tv/sony_cybershot_einstein). Al final se ve que la fotografía panorámica a la que se alude y en la que está Einstein en el medio sale de una cámara SONY panorámica. Es un anuncio muy bien hecho, de la empresa argentina de publicidad Del Campo Nazca Saatchi&Saatchi, que ha ganado una gran cantidad de premios de publicidad, como por ejemplo en los festivales de Cannes, Nueva York, CLIO o FIAP (Festival Iberoamericano de Publicidad). No se vayan todavía que aún hay más… Y el mes que viene seguimos con Einstein.

Jueves, 11 de Octubre de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

625. 73. La Cuadratura del Celuloide

Dedicamos la reseña de este mes a describir este libro publicado recientemente junto a una entrevista realizada a su autor a la que gentilmente nos ha respondido. Después, a modo de entretenimiento, se incluyen algunos de los jeroglíficos cine-matemáticos que diariamente han venido apareciendo en Facebook y que tanta aceptación están teniendo. Desde que allá por el 2000, con motivo del Año Internacional de las Matemáticas, un servidor (hablo de mi, el que escribe esto, no una máquina que da servicio a una red de usuarios y clientes) empezara a recabar información sobre la relación entre las matemáticas y el cine (en ese momento apenas había en la Red una o dos entradas en inglés) se han venido multiplicando los lugares, blogs, y demás, que han tratado el asunto (lo cual está muy bien porque muchos ojos ven más que unos pocos). Sin embargo no es tan frecuente la aparición en el mercado editorial de libros que aborden desde un punto de vista más reflexivo esta relación (aunque haya quien piense lo contrario, en esto que ahora llamamos “nube” se escribe a bote pronto, precipitadamente, porque todo parece tener una inmediatez con fecha de caducidad, y por ello todo desaparece también rápidamente, mientras que quien se decide a escribir o editar un libro, algo más perdurable aparentemente, cuida más su trabajo, mide más las expresiones y las ideas, lo trabaja más en suma). Y mucho menos en nuestro país. Por eso, creo que es muy destacable que en poco tiempo hayan aparecido de golpe dos nuevas publicaciones sobre este tema: La cuadratura del celuloide (José Luís López Fernández, Abril, 2012, 526 páginas) y Math Goes to the Movies (Burkard Polster y Marty Ross, Johns Hopkins University Press, Septiembre, 2012, 304 páginas). Y también me parece adecuado dedicar a cada uno una reseña de esta sección. Comenzamos en esta ocasión con el primero de ellos. Como acercamiento general digamos que el libro está dividido en ocho capítulos, que por supuesto habla de matemáticas (mejor de cultura matemática, porque no hay operaciones, ni demostraciones; es un libro divulgativo, no técnico), pero que no sólo lo hace de su relación con el cine (que también), sino con las más variadas manifestaciones artísticas y culturales que componen el conocimiento humano (música, arquitectura, pintura, escultura, literatura, otras disciplinas científicas, etc.). Respecto al cine, tampoco se conforma con exponer las consabidas citas explícitas que todo el mundo reconoce como matemáticas, sino que va un poco más allá, buscando las relaciones menos distinguibles, más filosóficas. Es un texto espléndidamente documentado, con una cantidad inagotable de referencias a otras fuentes, de muchas de las cuales, cuando las ideas o frases son razonablemente breves, son reproducidas para que el lector constate de lo que se habla. Además se incluyen a pie de página, no al final del libro, lo que evita el incómodo ejercicio de ir saltando de un lado para otro. Si la referencia es a un matemático famoso o a un resultado, la cita es sintética, yendo a la información más relevante que impida distraernos demasiado. El mayor inconveniente a mi juicio (que para otros puede no serlo) es la dificultad en la localización concreta de datos, ya que salvo la división de los capítulos comentada, los párrafos se desarrollan uno tras otro, sin nada que indique un cambio de tema o de dirección. Además escasean las ilustraciones que en muchas ocasiones echas de menos (referencias por ejemplo, a un cuadro, una escultura, un dibujo, etc.) pero es disculpable, so pena de encarecer la edición, incrementar el ya de por sí amplio número de páginas, por no hablar de los derechos de autor que se precisan hoy día hasta para incorporar una foto del vecino de arriba. El primer capítulo es, como indica el propio texto, “un capítulo de marcado carácter generalista, con referencias matemáticas en cualquier ámbito de la cultura”. Su objetivo es mostrar que, a pesar de que se considere a la matemática y a los matemáticos como una “fauna minoritaria”, lo cierto es que ha sido y es una disciplina muy activa y relevante para la creación artística. El segundo capítulo, “La ecuación completa del cine” aborda cómo ha incidido la tecnología en la realización cinematográfica, desde los inicios del cine a los modernos efectos especiales, una ostensible mejoría, posible gracias al desarrollo de la ciencia. Por otra parte el cine ha servido de vehículo de divulgación científica y educativa, tanto a nivel microscópico como macroscópico. Se indican los precursores de este tipo de cine, se exponen algunos ejemplos concretos de esta mejora en la realización técnica cinematográfica, y posteriormente nos adentramos en la industria de Hollywood. El capítulo finaliza con una pequeña incursión en lo que se conoce como cine experimental, una especialidad en la que las matemáticas han aportado, sobre todo a nivel gráfico, un montón de nuevos caminos con los que, valga la redundancia, experimentar. El título del capítulo hace referencia a una frase de la película El último magnate (The Last Tycoon, Elia Kazan, EE. UU., 1976) y al título original del libro La verdadera historia de Hollywood (The Whole Equation), escrito por David Thomson y editado en castellano por T&B en 2006, una de las muchísimas referencias a las que acude el autor. A pesar del título, en el libro de David Thompson la mención de la palabra ecuación no es más que  gramatical: según su punto de vista, la verdad sobre Hollywood se resume en "La ecuación completa", una fórmula integrada por dos factores que no pueden existir el uno sin el otro: el arte y el dinero. Esa es la excusa para hacer un repaso por la historia del cine norteamericano desde esa perspectiva, pero sin matemáticas explícitas por ninguna parte. El tercer capítulo, Misteriosa forma del tiempo, se dedica a la relación entre la música, el cine y las matemáticas, con numerosas referencias a estudios de gran cantidad de autores. Música abstracta, música electrónica, música y arquitectura (en este apartado no podía faltar una incursión a los mundos imposibles de M.C. Escher), música estocástica (cálculo de probabilidades aplicado a la composición musical), compositores que utilizan las matemáticas para componer, ejemplos de letras de canciones comerciales en las que aparecen las matemáticas, son algunos de los temas tratados, que nos llevan a concluir, por un lado, la influencia de la música en el cine hasta el punto de que el producto final sería diferente dependiendo de la música utilizada, y por otro, acercarnos a tratar de determinar cómo podría ser el sonido de la matemática. Ruta hacia el reino de las hadas (frase del director de cine francés René Clair: “Méliès es el inventor del espectáculo, ruta hacia el reino de las hadas, entre las tiernas estrellas y los soles sonrientes”) es el título del siguiente capítulo dedicado a la ciencia ficción en la literatura y el cine, y a la influencia del progreso científico y tecnológico en estas disciplinas. Repasando los orígenes de este género (la Utopía de Tomás Moro, el Somnium de Kepler, el viaje a la Luna de Cyrano de Bergerac, las obras de Julio Verne, el Frankenstein de Mary Shelley, etc), se expone una visión pesimista de escritores y directores de cine sobre el futuro de la tecnología. Entre las manifestaciones más elocuentes se encuentra la dada por el protagonista de la novela Tu nombre envenena mis sueños (Joaquín Leguina, 1992): El atractivo de la investigación radica en su inutilidad. Por eso me dedico a las Matemáticas, una ciencia inútil […] Un gran matemático llamado Gauss se congratulaba de que existiera una ciencia, la suya, cuyas remotísimas repercusiones sobre las actividades humanas le permitían mantenerse noble y limpia de toda culpa. Gauss dijo: si las Matemáticas son la reina de todas las ciencias, la teoría de números es, a causa de su suprema inutilidad, la reina de las Matemáticas. Resulta llamativo, a pesar de ello, cómo en ocasiones, las matemáticas se han puesto al servicio de la intransigencia y el despotismo, citándose algunos de los ejemplos más representativos. Posteriormente, se recorren algunos de los tópicos matemáticos más visitados por los seguidores de este género: el teorema de Pitágoras, las matemáticas como medio de comunicación extraterrestre, la banda de Möebius, el círculo y su imposible cuadratura, los problemas sin resolver (conjetura de Poincaré, el último teorema de Fermat) como fuente de inspiración, y entremedias un apartado dedicado a las falsificaciones y las matemáticas como medio para poder detectar algunos de esos fraudes. El capítulo concluye con citas y ejemplos de escritores de ciencia ficción que han utilizado las matemáticas y la ciencia en general en sus argumentos, algunos con orientación matemática que se han animado a escribir obras de ciencia ficción. El quinto capítulo (El pulso eterno de una circunferencia) se dedica a describir algunas escenas cinematográficas en las que aparecen cuestiones de aritmética básica, para después abordar la técnica del montaje milimétrico cuyos máximos exponentes han sido los realizadores rusos, a los que posteriormente imitaron otros. En los dos siguientes capítulos, el autor nos sorprende sustituyendo por símbolos matemáticos aquellas cadenas de letras en las que aparecen expresados explícitamente números u operaciones (so*tan, hela2, 1s, ¸ga2, etc.). El primero, Cuanto + conozco las letras, + quiero los números, está dedicado a películas en las que parecen números o fórmulas en sus títulos o argumentos. Después se repasan aquellas producciones en las que aparecen científicos, en principio reales (biopics) y después imaginarios, inventados. De ahí llegamos a películas en con un argumento matemático más complejo que las tratadas hasta este momento, volviendo a la planificación milimétrica de las películas (entroncando por ello con lo hablado en el capítulo anterior sobre el montaje, la edición final de la película). El título del capítulo alude en este caso a una frase de Tres Tristes Tigres (1967) de Guillermo Cabrera Infante, que a su vez se basa en la conocida frase atribuida a Lord Byron, “Cuanto más conozco a los hombres, más quiero a mi perro”. En penúltimo lugar nos encontramos con 0*2, El Amor (verso de Gabriel Celaya del poema Tablas de multiplicar, una visión propia e irónica de la tabla de multiplicar llena de metáforas: “cero por cero es la luz”, “cero por uno, el problema”, “cero por dos, el amor”. Gabriel Celaya estudió Ingeniería Industrial, aunque finalmente encaminó sus pasos por la poesía), capítulo dedicado a la relación entre la poesía y las matemáticas. Describiendo brevemente su amplio contenido, se recuerdan algunos matemáticos que han explorado esta relación, y descubrimos poetas para los que las matemáticas son una inutilidad, mientras que otros encuentran en ellas su fuente de inspiración. Se introduce la poesía científica y el grupo OULIPO (uno de cuyos integrantes más destacados es Raymond Queneau, en la foto) que utiliza estructuras matemáticas para la creación literaria. En este capítulo encontramos una pequeña errata matemática (creo que la única) en la página 394: eπi–1 = 0 (el signo debe ser +). Llama la atención una de las últimas reflexiones con las que finaliza el capítulo: “el lenguaje poético es sólo un disfraz del pensamiento matemático y de la puesta en escena cinematográfica”. Para acabar, El cine que reinventa el cine (frase que Guillermo Cabrera Infante, uno de los escritores más referenciados por el autor junto a Arthur C. Clarke, utiliza para describir Reservoir Dogs y Pulp Fiction en su libro Cine o sardina, 1997), se dedica a explorar nuevas formas de narrar las películas, herederas directas de los procesos no lineales. Éstas consisten básicamente en alterar las estructuras espacio-temporales de la acción. A todos nos vienen a la cabeza, además de las citadas anteriormente de Tarantino, la exitosa trilogía de González Iñarritu Amores Perros, 21 Gramos y Babel, o Memento y Origen, de Christopher Nolan, o esa maravilla que constituyó el epitafio del veterano Sydney Lumet, Antes que el diablo sepa que has muerto (2007). Otro recurso relacionado, que ya tiene su solera, es la fragmentación de la pantalla en múltiples ventanas que nos muestran a la vez acciones que suceden en distintos lugares o en distintos planos del mismo lugar (la aparición del CinemaScope para luchar contra la competencia televisiva motivó este tipo de artificios). La reflexión final del capítulo, y por tanto del libro, es si la aparición de este cine no lineal tan de moda actualmente será el que caracterizará el cine de estos inicios del siglo XXI, un cine en el que el espectador no puede permanecer pasivo si quiere enterarse de algo, en definitiva, un cine para pensar. Entrevista a José Luís López Fernández, autor de “La cuadratura del celuloide” Ante todo nos gustaría agradecerte que hayas atendido nuestra petición, más en estas fechas de inicio de curso, en la que todos estamos tan atareados. DivulgaMAT: La primera cuestión es casi obligada: ¿Qué te llevó a escribir una obra como “La cuadratura del celuloide”? José Luís López: Una conjunción de múltiples factores: la necesidad de explorar el terreno, de saber y de comunicar, en este caso por medio de la escritura; el desafío de transmitir el potencial de emoción que encierra el visionado de una buena película, la lectura de un libro o la contemplación de una pieza de arte; la terca voluntad de acercar la ciencia, particularmente las matemáticas, a todo lector que quiera aproximarse a ella desde una perspectiva ampliamente cultural, desmitificada y cotidiana. DivM.: Ver publicado un proyecto como éste no está exento de dificultades. ¿Con cuales te encontraste y cómo las resolviste? J.L.L.F.: La primera dificultad, y a la postre la más provechosa, fue convencer a Inma, tan colega de cuadraturas y celuloides como buena amiga, para que se ocupara del prólogo. Eso era lo más importante, desde el tiempo y la distancia que nos separaba, para mí y para mi proyecto. Luego fueron llegando los sinsabores esperados (y lógicos) cuando uno ejerce de piloto kamikaze en una guerra que no es la suya, todos ellos relacionados con la reacción del mercado editorial ante una propuesta injustamente minoritaria y, por tanto, relegada a galeras desde el momento mismo del parto. Debo decir que, salvo muy contadas excepciones, la respuesta de la mayor parte de las compañías editoriales con las que he contactado ha sido rápida, amable y agradecida. Ante esto, la única solución posible pasaba por (i) abandonar el proyecto, (ii) armarme de paciencia y esperar (¿indefinidamente?) a que la ciencia se pusiera de moda (y cierto es que no corren buenos tiempos para que ello suceda), o (iii) ser mi propio editor. Y opté por (iii). DivM.: Has dividido la obra en ocho capítulos. Descríbenos brevemente qué criterio seguiste. J.L.L.F.: Realmente me habría gustado que no existiera tal división capitular en La cuadratura, pero comprendo que ello habría hecho terriblemente compleja su lectura. Habría preferido eliminar el corsé que los capítulos imponen a la obra y agitar profusamente el contenido antes de servirlo. No obstante me faltó arrojo para hacerlo, incluso cuando ya sabía que el libro vería la luz siguiendo un formato de autoedición, en un intento de esquivar la repulsión apriorística de los lectores potenciales de la obra. Puestos a "ordenar" los contenidos, el primer capítulo actúa a modo de introducción general (haciendo especial hincapié en los terrenos artístico y literario), mientras que los siete restantes pretenden agrupar en torno a ellos ciertas unidades temáticas, en un sentido amplio de la expresión, que indagan en los ámbitos de la Historia del cine, la música, la ciencia ficción, la matemática aplicada al discurso cinematográfico (desde el montaje de un filme a la labor de la crítica especializada), la poesía y el universo de lo no lineal. DivM.: Cuando un lector cualquiera se dispone a leer el libro, se tiene la sensación de entrar en capítulos inmensos en los que, salvo por el índice de películas, no es sencillo localizar algo concreto. ¿Has sido consciente de esto a la hora de decidir la edición final? ¿Cómo aconsejas al lector interesado que se disponga ante el libro o busque la información en la que esté interesado? J.L.L.F.: Absolutamente. Como bien apuntas, el índice de películas (y novelas, canciones, directores, intérpretes, ensayos, etc.) es la única herramienta de ayuda prevista para el caso en que el lector estuviera interesado en evadirse de la anarquía intencionada del texto para buscar puntualmente la información relativa a un título o un autor. De hecho, entiendo que una de las posibles lecturas de la obra –la más ventajista, de hecho, si uno no estuviera dispuesto a atravesar a pie esta jungla casi periodística sino solamente a sobrevolarla–, consiste en ir de adelante hacia atrás, dejándose arrastrar por las páginas del libro según los ítems de interés de cada lector. Ahora bien, el espíritu de la obra es exactamente el contrario: difuminar la luz de la ciencia a lo ancho y largo de la eclosión cultural del pasado siglo y confundirlo todo un poco, sin aislar ninguna disciplina de sus hermanas, aunque sea el cine el vehículo elegido para conformar la columna vertebral de La cuadratura. DivM.: Cuando uno escribe a veces se piensa en los potenciales lectores ¿A quien va dirigido La cuadratura del celuloide? ¿Quién esperas que lo disfrute? ¿Qué deseas que encuentre o que quieres mostrarle? J.L.L.F.: En este caso era realmente complicado diseñar un perfil mental del lector potencial. Me explico: es perfectamente plausible que a alguien le guste el café o la leche por separado y que, sin embargo, no tolere el café con leche. Con ello quiero decir que el lector interesado únicamente en una de las dos disciplinas que articulan el libro, matemáticas o cine, cine o matemáticas, bien pudiera encontrarlo deficitario (y con razón) en muchos aspectos; recíprocamente, podría suceder asimismo que un lector interesado en la integración de ambas disciplinas no se hubiese arriesgado jamás a leer una obra que tratara de una de ellas en exclusiva. En este sentido, las dos posibles rutas de lectura señaladas en la respuesta anterior –la directa y la inversa– creo que facilitan el hecho de que cada lector consiga encontrar suficiente acomodo para ver satisfecha su motivación principal, cualquiera que ésta sea. El disfrute, en cualquier caso, depende de las inquietudes científicas y cinematográficas del lector y de sus ganas de aprender a conjugarlas. Finalmente, lo que pretendo mostrar al lector (y lograr que éste sea capaz de identificar) es que la ciencia constituye un ingrediente principal de la cultura universal y es consustancial a ella, partícipe de su evolución y depositaria de su destino. DivM.: El libro en realidad no está exclusivamente dedicado al cine: hay muchas referencias a otros aspectos de la cultura como la música, la literatura, etc. ¿Por qué entonces el título de “La cuadratura del celuloide? J.L.L.F.: Bien cierto. Ya desde el prefacio intento aclarar este punto cuando afirmo que, para mi suerte o desgracia, no soy capaz de concebir el cine como un fenómeno cultural aislado, independiente y descontextualizado del resto de las expresiones artísticas. Es necesario, entiendo, adentrarse en otros terrenos para comprender el alcance de un abigarrado nudo de influencias en el que la ciencia tiene mucho que decir. Aun así –y vuelvo a lo anunciado en el prefacio– elijo en todo caso como medio de canalización, para este recorrido babélico por la matematización de la cultura del siglo XX, la actividad cinematográfica. El título, por consiguiente, hace referencia a la matemática a través del conocido problema de la cuadratura del círculo, y al cine a través del celuloide, aquel material que sirvió de soporte a la película (tanto fotográfica como cinematográfica) en la primera etapa del medio. DivM.: Los capítulos 6 y 7 se presentan de un modo un tanto singular, sustituyendo por sus símbolos correspondientes las combinaciones de letras en las que aparecen números u operaciones matemáticas. ¿Por qué precisamente esos capítulos? ¿Tiene alguna intención concreta? J.L.L.F.: La razón estriba en que ambos capítulos aglutinan contenidos fundamentalmente relacionados, en mayor o menor medida, con la aritmética, por lo que los símbolos asociados a operaciones estándar, así como los guarismos, son entendidos desde una perspectiva matemática a pesar de formar parte de un texto. La única intención de esta "incomodidad" reside, como dije antes, en mi voluntad de confundirlo todo un poco más entre sí (el cine con todas las manifestaciones artísticas y culturales que lo envuelven, la ciencia con la poesía, los números con las letras, la música con los teoremas… ciñéndome nuevamente a lo sostenido en el prefacio). Pongamos que no se trata más que de una especie de juego de ingenua raigambre oulipiana. DivM.: Cuando uno empieza a escribir un libro de este estilo y busca información, debe recurrir a muchas fuentes. ¿Qué es lo que más te ha sorprendido, agradado, desagradado, etc., de lo que has encontrado y escrito? J.L.L.F.: Han sido cerca de siete años de trabajo (enormemente placentero) desde que comenzara a divisar un proyecto sobre el que no sabía si se podrían escribir más de diez páginas, y al final han resultado ser más de quinientas. Resulta ciertamente fascinante bucear (con Nemo) entre las técnicas que acompañan el diseño y puesta en marcha de una película de animación; verificar el ingente número de ecuaciones paramétricas que se escondían detrás de los primeros filmes experimentales de los años sesenta; imaginar a Hedy Lamarr patentando un sistema de control remoto por radiofrecuencias; descubrir que el hijo de John Wayne suspendió las matemáticas en la academia de cadetes de West Point en una vieja película de John Ford; o admirar que toda una leyenda del cine como Frank Capra considerara las matemáticas como uno de los tres lenguajes universales, junto a la música y el cine. Todo ello unido a la gran cantidad (en comparación con lo esperado) de gente del cine que está vinculada, por formación o por afición, a alguna rama científica y, en buena parte, a las matemáticas. Por comentar también algo que me inquieta a este respecto, destacaría el estereotipo de malvado, chiflado o idiota que parece reservado a los científicos en el cine, a pesar de que alguno de estos retratos haya dado lugar a personajes inolvidables y a filmes de notabilísima calidad. Incluso cuando se plantea un tratamiento serio del personaje, caso por ejemplo de un biopic, e independientemente de la calidad del producto final, rara vez el tratamiento de la actividad docente y/o investigadora ha sido llevado a cabo con solvencia y fidelidad. DivM.: Como profesor de matemáticas, en tu tarea diaria. ¿Crees que el libro puede resultar de algún interés para las clases? Si es así, ¿cómo podría emplearse y a qué niveles? J.L.L.F.: Más que el libro en sí –probablemente más cercano al ensayo que a un manual de fidelización de conceptos para el estudiante– entiendo como útil, desde el punto de vista de la docencia, la información contenida en escenas concretas de algunas películas, en los fragmentos de algunas novelas, o bien en una variedad de canciones, cuadros u obras de teatro, en algunos casos con un alto valor didáctico. Bien seleccionadas en función del tema a tratar o el concepto a ilustrar, constituyen sin duda un valiosísimo referente de cara al estudiante (pongamos que de enseñanza secundaria e incluso de primer curso universitario, por fijar un margen de niveles académicos) para rebajar el (¿irremediable?) lastre que acostumbra acompañar a las matemáticas en itinerarios docentes o currículos de cualquier índole, incluso en los de carácter científico. En este sentido debo y quiero destacar la labor desarrollada por este portal –y en particular a través de esta sección– para acercar la matemática a los placeres de la vida, entre los cuales hay que considerar indubitablemente el cine (si no, no es vida). DivM.: Lo que se te ocurra acerca del libro que quieras destacar. Cómo se puede adquirir. J.L.L.F.: Quisiera aprovechar la libertad que me otorga la pregunta para volver a agradecer a toda la gente que, siendo mucha y buena, ha estado pendiente siempre de las evoluciones del libro y que ha aportado ideas, consejos, correcciones, referencias, películas, matemáticas y entusiasmo. De momento la única manera de adquirirlo es a través del portal lulu.com, concretamente vía el siguiente enlace: http://www.lulu.com/shop/josé-luis-lópez-fernández/la-cuadratura-del-celuloide/paperback/product-20085814.html Además, algunos contenidos son compartidos públicamente en la siguiente página de Facebook:  https://facebook.com/pages/La-cuadratura-del-celuloide/393875163967454. Reproducimos finalmente un párrafo del libro, a modo de muestra de su estilo y contenido (las imágenes han sido añadidas): Las matemáticas en la obra de Dalí surgen a raíz del apasionamiento que despierta en él el texto De divina proportione del matemático renacentista fray Luca Pacioli,132 en el que se describen  los cánones que rigen las proporciones del cuerpo humano. Obsesionado por el estudio de tales proporciones, el artista se hizo valer de la ayuda del matemático rumano Matila Ghyka133 para llevar a cabo unos cálculos que culminaron con la confección en 1948 de la obra Leda atómica. Pocos años más tarde, sobre el famoso lienzo de 1951 Cristo de San Juan de la Cruz, contaría el artista que organizó la figura triangular de Cristo crucificado bajo la sugestión de la imagen, acaecida en sueños, de una esfera contenida dentro de un triángulo. Cuando Dalí recuerda su etapa en la Residencia de Estudiantes de Madrid ya parecía apuntar cierta predilección por el rigor propio del pensamiento matemático:134 Paradójicamente, aunque yo estaba entonces en Madrid, sólo para hacer pintura cubista, esperaba de mis profesores la ciencia exacta del dibujo, el color y la perspectiva. En el ocaso de su carrera artística se mostró profundamente inquieto por la autoridad que la ciencia había demostrado ejercer en el sondeo de los misterios de la naturaleza, en particular por la teoría de  catástrofes de René Thom -cuya simbología inspiró La cola de la golondrina– , la fisión atómica –a la que debe la idea de pintar figuras descompuestas en multitud de unidades elementales,  como es el caso de Madonna de Port Lligat, Galatea de las esferas, Dalí desnudo en contemplación ante cinco cuerpos regulares o La Madona de Rafael a máxima velocidad–, el ADN –referido en La batalla de Tetuán–, la mecánica cuántica o la ecología. Dalí colaboró con su amigo Federico García Lorca en la obra teatral Mariana Pineda, para la que diseñó trajes y esceno­grafía. En el terreno cinematográfico135 destacaron sus colaboraciones con Luis Buñuel en Un perro andaluz (Un chien andalou, 1929) y La edad de oro (L'âge d'or, 1930), con Vincente Minnelli en El padre de la novia (Father of the bride, 1950) y con Alfred Hitchcock en Recuerda (Spellbound, 1945), filmes todos ellos pa­ra los que construyó imágenes de potente carga visual, ensoñaciones surrealistas y decorados paranoicos propios de ese su universo estético tan personal y tan característico. Para El padre de la no­via diseñó una pesadilla en que los elementos se alían contra el protagonista desde el mismo momento en que llega (tarde) a la boda de su hija. Sobre Recuerda, el propio Hitchcock recuerda:136 Quería la colaboración de Dali debido al aspecto agudo de su arquitectura –Chirico es muy parecido–, las largas sombras, el infinito de las distancias, las líneas que convergen en la perspec­tiva... , los rostros sin forma...  Naturalmente, Dali inventó cosas bastante extrañas que fueron imposibles de realizar: ¡una estatua se resoquebraja y unas hormigas escapan de las grietas y se arrastran por la estatua, y luego vemos a Ingrid Bergman cubierta de hormigas! Precisamente fue La edad de oro el primer filme, si­multáneamente al Asesinato (Murder, 1930) de Hitchcock, en que fue empleada la voz en off como monólogo interior de un personaje. 132.- Uno de los padres de la contabilidad y gran divulgador de la matemática euclidiana. 133.- Autor, entre otras obras, de Estética de las proporciones en la Naturaleza y en las Artes (1927) y El número de oro (1931). 134.- La vida secreta de Salvador Dalí, Vision Press. Londres, 1948. 135.- La relación de Dalí con el cine está descrita con detalle en el libro de Carlos Tejada Arte en fotogramas –Cine realizado por artistas, Ed. Cátedra, 2008. Como comentamos el mes pasado, Las Matemáticas en el Cine tiene una página en Facebook. Además de colocar de vez en cuando alguna noticia llamativa, informativa o de interés relacionada con estas dos disciplinas, se propone un juego (ya llevamos setenta y tantas películas) en el que a partir de una imagen con contenido matemático se trata de averiguar el título de la película que dichas expresiones o imágenes sugieren. Adjuntamos algunas de ellas, para que os comáis un ratillo el coco: Como siempre, cualquier comentario, crítica o sugerencia puede hacerse a la dirección alfonso@mat.uva.es.

Viernes, 05 de Octubre de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

626. 98. (Octubre 2012) Pesando cartas

La historia de las matemáticas se encuentra plagada de anécdotas y situaciones que se pueden utilizar con éxito para plantear problemas recreativos de toda índole. La exclamación ¡EUREKA! nos recuerda la recreación del descubrimiento realizado por Arquímedes de la famosa ley física “Todo cuerpo sumergido en el agua … sale mojado” para determinar si la corona del rey Hierón III estaba falsificada con otro material que no fuera oro. ¿Cómo? ¿Que ya te he contado esto? ¡Cierto!, en el número 54 de este rincón. El hecho de determinar una pieza de distinto peso entre un conjunto de objetos del mismo aspecto exterior ha sido objeto de muchos problemas de ingenio (te recomiendo, por ejemplo, el libro Aritmética Recreativa, de Yakov Perelman). El método empleado para la solución de estos problemas se ha utilizado también en forma de juego de magia y en este portal lo hemos tratado varias veces, por ejemplo en el citado número 54 de este portal así como en el número 52. En aquella ocasión, siguiendo el artículo de Jesús García Gual titulado "Juegos basados en sistemas de numeración", mostrábamos que la clave para resolver este tipo de problemas consistía en representar cada elemento en el sistema de numeración ternaria (en el número 73 de este rincón aprovechamos nuevamente este sistema de numeración para adivinar un número pensado). Ahora bien, el artículo citado contiene otras ideas para diseñar juegos de magia con cartas. El primer juego se basa en el resultado conocido de que es posible determinar con tres pesadas cuál es la moneda falsa (puede pesar más o menos que las demás) entre un conjunto de 12 monedas del mismo tamaño. Se usan entonces las siguientes 12 cartas a cada una de las cuales asociamos un número en base tres, según las reglas: la primera cifra identifica el palo de la baraja (oros = 0; copas = 1; espadas = 2); la segunda indica el valor dentro de un palo ( as-dos-tres = 0; cuatro-cinco-seis = 1; sota-caballo-rey =2); la tercera indica divisibilidad (múltiplo de 3 = 0; múltiplo de 3 más uno = 1; múltiplo de 3 más dos = 2). 001 (221) = tres de oros; 010 (212) = seis de oros; 011 (211) = cuatro de oros; 012 (210) = cinco de oros; 112 (110) = cinco de copas; 120 (102) = caballo de copas; 121 (101) = rey de copas; 122 (100) = sota de copas; 200 (022) = tres de espadas; 201 (021) = as de espadas; 202 (020) = dos de espadas; 220 (002) = caballo de espadas. [Observar que, entre paréntesis, está escrito el complementario del número, es decir el que sumado al anterior da 222.] Realizaremos las pesadas del modo siguiente: Primera pesada: 001, 010, 011, 012 contra 200, 201, 202, 220 (primera cifra cero contra primera cifra 2). Si pesan más los de cero, escribimos en un papel un cero; si pesan lo mismo, escribimos un uno; si pesan más los de 2, escribimos un dos. Segunda pesada: 001, 200, 201, 202 contra 120, 121, 122, 220 (segunda cifra cero contra segunda cifra 2). Escribimos a la derecha del número escrito anteriormente un 0, 1 ó 2 según la misma regla anterior. Tercera pesada: 010, 120, 200, 220 contra 012, 112, 122, 202 (tercera cifra cero contra tercera cifra 2). Nuevamente, escribimos a la derecha del número escrito anteriormente un 0, 1 ó 2 según la misma regla anterior. Habremos conseguido al final un número de tres cifras escrito en nuestro papel. La regla para identificar la carta correspondiente es la siguiente: Si dicho número corresponde a una carta, ésta será la elegida y pesa más que el resto. Si corresponde a un número entre paréntesis, la carta pesa menos que el resto. Una forma práctica de realizar el juego podría ser imprimir en unas cartulinas las cartas correspondientes a cada pesada. Tendríamos así: CARTULINA 1   CARTULINA 2   CARTULINA 3 Empezamos el juego mostrando a un espectador las doce cartas y pidiéndole que piense en una de ellas pero que, además, imagine si dicha carta es más o menos pesada que las demás. Con esos datos en mente, le mostramos la primera cartulina y le pedimos que nos diga en qué dirección se inclinaría. Si dice que hacia la izquierda, anotamos mentalmente el número cero; si dice que hacia la derecha, anotamos mentalmente el número dos; si dice que quedaría nivelado, anotamos el uno. Repetimos la operación con las cartulinas dos y tres, formando así un número de tres cifras. Dicho número (o su complementario) corresponderá a una de las doce cartas, la cual identificaremos según la regla indicada anteriormente. Por ejemplo, si el espectador piensa que la sota de copas es menos pesada que las demás, diría que la primera cartulina quedaría nivelada (anotamos el 1), que la segunda se inclinaría hacia la izquierda (anotamos el 0) y que la tercera se inclinaría hacia la izquierda (anotamos el 0). El número formado es 100, que es el complementario del 122 correspondiente a la sota de copas. Una solución más efectiva y completa es la conseguida por uno de nuestros matemagos de cabecera, Werner Miller, quien ya ha sido citado en este rincón (por ejemplo en el número 43, el número 49 y el número 50). En el juego titulado "The odd card", nos regala un programa (para Windows) que consiste en tres fases: adivinar una carta más pesada entre las trece de su mismo palo, adivinar una carta menos pesada entre las mismas trece cartas, y adivinar una carta entre doce sin saber si pesa más o menos. La pregunta que nos surge ahora es: ¿cuántas pesadas se necesitan para realizar el juego utilizando toda la baraja? Casualmente, otro problema clásico de ingenio afirma que, si disponemos del conjunto de pesas y una balanza de dos platillos, se puede pesar cualquier objeto de peso comprendido entre 1 y 40 en una pesada. Ahora bien, ¿cómo hacer dicha pesada? Un método preciso, y precioso, consiste en escribir en base tres el peso del objeto. Decimal Ternario Ternario sin el dos Pesa de 27 Pesa de 9 Pesa de 3 Pesa de 1 1 0001 0 0 0 1 2 0002 =10-1 0 0 1 -1 3 0010 0 0 1 0 4 0011 0 0 1 1 5 0012 =100-10-1 0 1 -1 -1 6 0020 =100-10 0 1 -1 0 7 0021 =100-10+1 0 1 -1 1 8 0022 =100-1 0 1 0 -1 9 0100 0 1 0 0 10 0101 0 1 0 1 11 0102 =100+10-1 0 1 1 -1 12 0110 0 1 1 0 13 0111 0 1 1 1 14 0112 =1000-100-10-1 1 -1 -1 -1 15 0120 =1000-100-10 1 -1 -1 0 16 0121 =1000-100-10+1 1 -1 -1 1 17 0122 =1000-100-1 1 -1 0 -1 18 0200 =1000-100 1 -1 0 0 19 0201 =1000-100+1 1 -1 0 1 20 0202 =1000-100+10-1 1 -1 1 -1 21 0210 =1000-100+10 1 -1 1 0 22 0211 =1000-100+10+1 1 -1 1 1 23 0212 =1000-10-1 1 0 -1 -1 24 0220 =1000-10 1 0 -1 0 25 0221 =1000-10+1 1 0 -1 1 26 0222 =1000-1 1 0 0 -1 27 1000 1 0 0 0 28 1001 1 0 0 1 29 1002 =1000+10-1 1 0 1 -1 30 1010 1 0 1 0 31 1011 1 0 1 1 32 1012 =1000+100-10-1 1 1 -1 -1 33 1020 =1000+100-10 1 1 -1 0 34 1021 =1000+100-10+1 1 1 -1 1 35 1022 =1000+100-1 1 1 0 -1 36 1100 1 1 0 0 37 1101 1 1 0 1 38 1102 =1000+100+10-1 1 1 1 -1 39 1110 1 1 1 0 40 1111 1 1 1 1 Viendo la tabla, encontramos dos tipos de números: Los números que, en su representación ternaria, sólo tienen unos y ceros (están en negro en la tabla anterior), se pesan colocando directamente las pesas indicadas por el valor 1, en el platillo contrario al del objeto. Los que tienen algún dos en su representación ternaria (están en rojo en la tabla anterior), deben modificarse según la tabla (mediante sumas y restas) de modo que el valor -1 indica que el peso correspondiente debe colocarse en el platillo que contiene el objeto. [Observar la regla de formación de los números en el sistema de numeración “modificado”: en la cifra de las unidades se van alternando los valores 0, 1, -1; en la cifra de las decenas cada valor se repite tres veces; en la cifra de las centenas, cada valor se repite nueve veces y así sucesivamente.] ¿Cómo aplicar esta idea para adivinar cualquier carta pensada de una baraja española? Con cuatro cartulinas que contengan las cartas, en la cara izquierda las correspondientes al 0 y en la cara derecha las correspondientes al 1. Tenemos así las cuatro tarjetas mostradas a continuación (pincha sobre cada una de ellas para descargarla): TARJETA 1 TARJETA 2 TARJETA 3 TARJETA 4 El funcionamiento es como el utilizado en el primer juego: un espectador piensa una carta de la baraja española y, al mostrarle las cartulinas, indica si su carta está en el lado izquierdo (en cuyo caso anotamos mentalmente el número cero) o en el derecho (en cuyo caso anotamos mentalmente el número 1) o en ninguno (donde anotamos el número -1). La tarjeta 1 corresponde a la cifra de las unidades, la dos a la de las decenas, la 3 a la de las centenas y la 4 a la de las unidades de millar. Al final tendremos un número de cuatro cifras el cual, mediante la tabla anterior, corresponde a un único número del 1 al 40. Este número representa la carta pensada por el espectador. Dejo en tus manos el método más adecuado para realizar la correspondencia entre el número y la carta, y que el espectador no tenga que esperar eternamente. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Miércoles, 03 de Octubre de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

627. 63. (Septiembre 2012) Euclides y sus rivales modernos, de Lewis Carroll

Euclid and His Modern Rivals (1879) es una comedia en cuatro actos –el trabajo más famoso de Lewis Carroll en geometría–, una defensa de la geometría de Euclides frente a teorías matemáticas modernas. Se trata del análisis meticuloso de varios libros destinados a la enseñanza de la geometría elemental en las escuelas de aquella época. En estos manuales –y respecto al libro de Los Elementos de Euclides– se modifica a veces algún axioma o una definición, en otros se cambia el orden de los teoremas, en ocasiones se abordan las demostraciones de manera diferente, en algunos se modifica el tratamiento de la teoría de las paralelas... Para realizar este análisis –que podría resultar tedioso de otra manera, como afirma el propio autor en la introducción– Carroll recurre a Minos y Radamantis –dos de los tres jueces de Hades–, árbitros estrictos que dialogan con dos fantasmas: el de Euclides –modesto, y aunque convencido de la calidad de su obra, no tiene inconveniente en que se analice– y el del profesor alemán Herr Niemand, portavoz de los 13 autores cuyos libros se examinan. Uno a uno, escena a escena, estos rivales modernos verán como sus textos se critican y se rechazan frente al manual de Euclides. Lewis Carroll se sirve del humor y de los juegos de palabras para invalidar a los rivales de Euclides. El texto finaliza con el discurso de despedida de Euclides, tras el cual los fantasmas desaparecen y Minos se va a dormir: ‘The cock doth craw, the day doth daw’, and all respectable ghosts ought to be going home. Let me carry with me the hope that I have convinced you of the importance, if not the necessity, of retaining my order and numbering, and my method of treating straight Lines, angles, right angles, and (most especially) Parallels. Leave me these untouched, and I shall look on with great contentment while other changes are made while my proofs are abridged and improved, while alternative proofs are appended to mine and while new Problems and Theorems are interpolated. In all these matters my Manual is capable of almost unlimited improvement. Como anécdota, el primer logotipo de Wikipedia[1] –conocido como Wiki logo Nupedia– se diseñó en 2001, superponiendo una frase de Lewis Carroll sobre un círculo, usando el efecto de ojo de pez para simular una esfera. La frase es una cita en inglés tomada del prefacio de Euclid and his Modern Rivals, que dice: In one respect this book is an experiment, and may chance to prove a failure: I mean that I have not thought it necessary to maintain throughout the gravity of style which scientific writers usually affect, and which has somehow come to be regarded as an ‘inseparable accident’ of scientific teaching. I never could quite see the reasonableness of this immemorial law: subjects there are, no doubt, which are in their essence too serious to admit of any lightness of treatment – but I cannot recognise Geometry as one of them. Nevertheless it will, I trust, be found that I have permitted myself a glimpse of the comic side of things only at fitting seasons, when the tired reader might well crave a moment’s breathing-space, and not on any occasion where it could endanger the continuity of the line of argument. Para concluir, incluyo la exhaustiva descripción –actos y escenas con detalle de lo que sucede en cada una de ellas– del argumento de la obra tal y como se incluye en el texto de Lewis Carroll. ACTO I: Preliminaries to examination of Modern Rivals ESCENA I [Minos y Radamantis] Consequences of allowing the use of various Manuals of Geometry : that we must accept (1) ‘Circular’arguments (2) Illogical do. Example from Cooley Example from Wilson ESCENA II. [Minos y Euclides] § 1: A priori reasons for retaining Euclid's Manual We require, in a Manual, a selection rather than a complete repertory of Geometrical truths Discussion limited to subject-matter of Euc. I, II One fixed logical sequence essential One system of numbering desirable A priori claims of Euclid's sequence and numeration to be retained New theorems might be interpolated without change of numeration § 2: Method of procedure in examining Modern Rivals Proposed changes which, even if proved to be essential, would not necessitate the abandonment of -Euclid's Manual: (1) Propositions to be omitted; (2) Propositions to be replaced by new proofs; (3) New propositions to be added. Proposed changes which, if proved to be essential, would necessitate such abandonment: (1) Separation of Problems and Theorems; (2) Different treatment of Parallels. Other subjects of enquiry: (3) Superposition; (4) Use of diagonals in Euc. II; (5) Treatment of Lines; (6) Treatment of Angles; (7) Euclid's propositions omitted; (8) Euclid's propositions newly treated; (9) New propositions ; (10) Style, &e. List of authors to be examined, viz.: Legendre, Cooley, Cuthbertson, Henrici, Wilson, Pierce, Willock, Chauvenet, Loomis, Morell, Reynolds, Wright, Syllabus of Association -for Improvement of Geometrical Teaching, Wilson's ‘Syllabus’-Manual. § 3: The combination, or separation, of Problems and Theorems Reasons assigned for separation Reasons for combination: (1) Problems are also Theorems; (2) Separation would necessitate a new numeration, (3) and hypothetical constructions. § 4: Syllabus of propositions relating to Pairs of Lines Three classes of Pairs of Lines: (1) Having two common points; (2) Having a common point and a separate point; (3) Having no common point. Four kinds of ‘properties’; (1) common or separate points; (2) equality, or otherwise, of angles made with transversals; (3) equidistance, or otherwise, of points on the one from the other; (4) direction. Conventions as to language Propositions divisible into two classes: (1) Deducible from undisputed Axioms; (2) Deducible from disputable Axioms. Three classes of Pairs of Lines: (1) Coincidental; (2) Intersectional; (3) Separational. Subjects and predicates of Propositions concerning these three classes: Coincidental Intersectional Separational TABLE I. Containing twenty Propositions, of which some are  undisputed Axioms, and the rest real and valid Theorems, deducible from undisputed Axioms Subjects and predicates of other propositions concerning Separational Lines TABLE II. Containing eighteen Propositions, of which no one is an undisputed Axiom, but all are real and valid Theorems, which, though not deducible from undisputed Axioms, are such that, if any one de admitted as an Axiom, the rest can be proved TABLE III. Containing five Propositions, taken from Table II, which have been proposed as Axioms: (1) Euclid's Axiom; (2) T. Simpson's Axiom; (3) Clavius' Axiom; (4) Playfair's Axiom; (5) R. Simpson’s Axiom. It will be shown (in Appendix III) that any Theorem of Table II is sufficient logical basis for all the rest § 5: Playfair's Axiom Is Euclid's 12 Axiom axiomatic? Need of test for meeting of finite Lines Euclid's and Playfair's Axioms deducible, each from the other Reasons for preferring Euclid's Axiom: (1) Playfair's does not show which way the Lines will meet; (2) Playfair's asserts more than Euclid's, the additional matter being superfluous Objection to Euclid's Axiom (that it is the converse of I. 17) untenable § 6: Principle of Superposition Used by Moderns in Euc. I. 5 Used by Moderns in Euc. I. 24 § 7:.Omission of Diagonals in Euc. II Proposal tested by comparing Euc. II. 4, with Mr.Wilson's version of it ACTO II: [Minos y Niemand] Manuals which reject Euclid's treatment of Parallels ESCENA I: Introductory ESCENA II: Treatment of Parallels by methods involving infinite series LEGENDRE Treatment of Line Treatment of Angle Treatment of Parallels Test for meeting of finite Lines Manual unsuited for beginners ESCENA III: Treatment of Parallels ly angles made with transversals COOLEY Style of Preface Treatment of Parallels Utter collapse of Manual ESCENA IV: Treatment of Parallels by equidistances CUTHBERTSON Treatment of Line Attempted proof of Euclid's (tacitly assumed) Axiom, that two Lines cannot have a common segment Treatment of Angle Treatment of  Parallels Assumption of R. Simpson’s Axiom Euclid's 12th Axiom replaced by a Definition, two Axioms, and five Theorems Test for meeting of two finite Lines Manual a modified Euclid ESCENA V: Treatment of Parallels by revolving Lines HENRICH Treatment of Line Treatment of Angle Treatment of  Parallels Attempted proof of Playfair’s Axiom discussed Attempted proof of Playfair’s Axiom rejected General survey of book: Enormous amount of new matter Two ‘non-sequitur’ An absurdity proved à la Henrici Motion ‘per saltum’ denied A strange hypothesis A new kind of ‘open question’ Another ‘non-sequitur’ An awkard corner Theorems on Symmetry Summary of faults Euclid I, 18, 19, contrasted with Henrici A final tit-bit Manual rejected ESCENA VI: Treatment of Parallels by direction §1: WILSON Introductory Treatment of Line Treatment of Angle Extension of limit of ‘angle’ to sum of four right angles ‘Straight’ angles Meaning of ‘direction’ ‘Opposite’ directions ‘Same’ and ‘different’ directions Axiom ‘different Lines may have the same direction’ discussed Property ‘same direction’, when asserted of different Lines, can neither be defined, nor constructed, nor tested ‘Separational directions’not identical with ‘identical directions ' Virtual assumption of ‘separational Lines are real’ (which Euclid proves in I. 27), as Axiom ‘different Lines may have the different direction’ discussed Axiom ‘different Lines may have the same direction’ rejected, and Axiom ‘different Lines may have the different direction’ granted with limitations Axiom ‘different which meet one another have different directions’ granted Axiom ‘Lines with different directions would meet’ discussed and rejected Diagram of ‘same’ and ‘different’ directions condemned ‘Different but with the same direction’ accepted as (ideal) definition by Pair of Lines ‘Parallel’ as used by Wilson, to be replaced by term ‘sepcodal’ Definition discussed Theorem ‘sepcodal’ related Lines do not meet accepted Theorem ‘Lines sepcodal related to a third, are so to each other’ discussed, and condemned as a ‘Petitio Principii’ Axiom ‘Angle may be transferred, preserving directions of sides’ discussed If angle be variable, it involves fallacy ‘Adicto secmdun Quid ad dictum Simpliciter’’ If it be constant., the resulting Theorem (virtually identical with the Axiom) involves fallacy ‘Petitio Principii’ If angle be constant, the Axiom involves two assumptions: viz. that (1)   there can be a Pair of different Lines that make equal angles with any transversal (2)   Lines, which make equal angles with a certain transversal, do so with any transversal Axiom rejected Ideas of ‘direction’ discussed Theory of ‘direction’ unsuited for teaching Test for meeting of finite Lines discussed: it virtually involves Euclid's Axiom or if not, it causes hiatus in proofs List of Euclid's propositions which are omitted General survey of book: A false Corollary A plethora of negatives A superfluous datum Cumbrous proof of Euc. I. 24 An unintelligible Corollary A unique ‘Theorem of equality’ A bold assumption Two cases of ‘Petitio Principii’ A problem 3½ pages long > A fifth case of ‘Petitio Principii’ A sixth Summing-up, and rejection of Manual. §2:  PIERCE Treatment of Line Introduction of Infinitesimals Treatment of Parallels Angle viewed as ‘difference of direction’ Assumption of Axiom ‘different Lines may have same direction’ List of Euclid's Theorems which are omitted Manual not adapted for beginners §3:  WILLOCK Treatment of Parallels Virtual assumption of Axiom ‘different Lines may have the same direction’ ' Assumption of Axiom ‘separational Lines have the same direction’ General survey of book: Difficulties introduced too soon Omission of ‘coincidental’ Lines ‘Principle of double conversion’ discussed, and condemned as illogical Mysterious passage about ‘incommensurables’ Manual rejected ACTO III: Manuals which adopt Euclid's treatment of Parallels ESCENA I §1: Introductory § 2: CHAUVENET General survey § 3: LOOMIS General survey § 4: MORELL Treatment of Line Treatment of Angle Treatment of Parallels General survey: ‘Direct’, ‘reciprocal’, and ‘contrary’ Theorems Sentient points A false assertion A speaking radius Ratios and common measures Derivation of ‘homologous’ Mensuration of areas 146 A logical fiasco Manual rejected § 5: REYNOLDS General survey List of Euclid's Theorems omitted § 6: WRIGHT Quotations from preface General survey Specimen of verbose obscurity ESCENA II § 1: Syllabus of the Association for the Improvement of Geometrical Teaching Introduction of Nostradamus, a member of the Association Treatment of Line Treatment of Angle Treatment of  Parallels Test for meeting of finite Lines Re-arrangement of Euclid's Theorems General survey: A ’Theorem’ is a ‘statement of a Theorem’ Rule of Conversion Miscellaneous inaccuracies Summing-up § 2: Wilson's ‘Syllabus’-Manual Introductory A Theorem is a ‘statement of a Theorem’ Rule of Conversion Every Theorem a ‘means of measuring’ ‘Straight angles’ Miscellaneous inaccuracies The Manual's one great merit No test for meeting of finite Lines Propositions discussed in detail: An important omission An illogical conversion ‘Un enfant terrible’ Summary of results: Of 73 propositions of Euclid, this Manual has 14 omitted; 43 done as in Euclid; 10 done by new but objectionable methods, viz. 1 illogical; 1 ‘hypothetical construction’; 2 needlessly using ‘superposition’; 2 algebraical; 4 omitting the diagonals of Euc. II.; 6 done by new and admissible methods. No reason for abandoning Euclid's sequence and numeration Nor for regarding this Manual as anything but a revised Euclid Summing-up ACTO IV: [Minos y Euclides] Manual de Euclides § 1: Treatment of Pairs of Lines Modern treatment of Parallels Playfair's Axiom Test for meeting of finite Lines § 2: Euclid’s constructions ‘Arbitrary restrictions’ ‘Exclusion of hypothetical constructions’ § 3: Euclid's demonstrations PAGE ‘Invariably syllogistic form’ ‘Too great length of demonstration’ ‘Too great brevity of demonstration’ ‘Constant reference to axioms’ § 4: Euclid's style Artificiality, unsuggestiveness, and want of simplicity § 5: Euclid's treatment of Lines and Angles Treatment of' Line Treatment of Angle : ‘declination from’ accepted must be less than sum of two right angles ‘multiple angles’ in VI. 33 proof for Ax. 10 accepted § 6: Omissions, alterations, and additions, suggested ly Modern Rivals Omission of I. 7 suggested Reasons for retaining it: needed to prove I. 8 not included in new I. 8 proves rigidity of Triangle . I. 7, 8 analogous to III. 23, 24 bears on practical science Omission of II. 8 suggested Reason for retaining it, its use in Geometrical Conic Sections Alterations suggested: New proofs for I. 5 ‘hypothetical construction‘ superposition treating sides as ‘obliques’ treating sides as radii of a Circle Inversion of order of I. 8, 24; rejected Inversion of order of I- 18, 19, 20; do. Fuller proof of I. 24 ; accepted Algebraical proofs of II. ; rejected Additions suggested: New Axiom; accepted Two new Theorems ; do. §7: The summing-up Euclid's farewell speech APPENDICES I. Extract from Mr. Todhunter's essay on ‘Elementary Geometry’ included in ‘The Conflict of Studies, &c’ II. Extract from Mr. De Morgan's review of Mr. Wilson's Geometry, in the ‘Athenoeum’ for July 1 8, 1868 III. Proof that, if any one proposition of Table II be granted as an Axiom, the rest can be deduced from it IV. List of propositions of Euc. I, II, with references to their occurrence in the manuals of his Modern Rivals: §1. References to Legendre, Cuthbertson, Henrici, Wilson, Pierce and Willock §2. References to the other Modern Rivals   Nota: [1] En 2000 Jimbo Wales creó Nupedia, un proyecto de enciclopedia libre basado en un ambicioso proceso de revisión por pares. Debido al lento avance del proyecto, en 2001 se creó un wiki –UseModWiki–vinculado a Nupedia cuya finalidad inicial era agilizar la creación de artículos de forma paralela, antes de que éstos pasaran al sistema de revisión por expertos. El éxito de aquel proyecto paralelo –Wikipedia– acabó eclipsando a Nupedia, que dejó de funcionar en 2003.

Miércoles, 19 de Septiembre de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

628. 39. (Septiembre 2012) Estadística en la musicología II

1. Música tonal Las escalas son piezas primordiales en la música de todas las culturas. Hay géneros musicales que se caracterizan en buena medida por el tipo de escala que emplean. Una escala es un conjunto de notas normalmente dadas en orden ascendente y que sirven como material principal a una pieza musical. La mayor parte de las escalas sigue el principio de equivalencia de la octava. Dos notas están separadas por una octava si la frecuencia de la nota más aguda es exactamente el doble de la más grave. El principio de la equivalencia de la octava establece que dos notas que están a una distancia de una octava se consideran como la misma nota pero en registros distintos. Una misma escala puede empezar en diferentes notas; la primera nota de la escala suele ser la nota principal de la escala. Por ejemplo, afirmar que una pieza está escrita en la escala de do mayor significa que sus notas principales están tomadas del siguiente conjunto de notas (do-re-mi-fa-sol-la-si): Figura 1: Escala de do mayor. La nota principal de la escala anterior es do y el tipo de escala el mayor. El hecho de que aparezca la nota do en ese conjunto implica que se puede usar cualquier do en cualquier octava. En realidad, una escala especifica una clase de alturas que se usan en una pieza dada. Una pieza musical se puede escribir usando una sola escala, o con alternancia de escalas, o también con desviaciones temporales de la escala principal (normalmente por razones expresivas). Puesto que los ejemplos que vamos a analizar estadísticamente pertenecen a la música clásica occidental, nos centraremos en las escalas tal y como se definen en esa tradición musical. Para definir una escala primero se toma la octava y se divide en 12 semitonos iguales -el temperamento igual-. Después se escogen las notas de la escala entre las notas producidas por la subdivisión en partes iguales. Las escalas más comunes en la música clásica occidental, al menos en el periodo de la práctica común (aproximadamente, entre 1600 y 1900), son la escala mayor y la escala menor. La escala mayor empezando en la nota do está representada en la figura 1; en la figura 2 tenemos la escala menor natural basada en la nota do también. Figura 2: Escala de do menor natural. Si designamos por S la distancia de un semitono y por T la de un tono entero entre dos notas consecutivas, entonces la escala mayor tiene como sucesión de distancias entre notas T - T - S - T - T - T - S, mientras que la escala menor tiene la sucesión T - S - T - T - S - T - T. Las escalas mayor y menor son igualmente importantes y ubicuas en la música popular (pop, rock, música latina, mucha música folklórica, etc.). ¿Por qué son estas dos escalas tan comunes en la música occidental? A partir de 1600 los músicos fueron sintiendo una necesidad creciente de modular, esto es, de cambiar la tonalidad dentro de una misma pieza. Las escalas mayor y menor permitían la modulación más fácilmente que otras. Veamos brevemente por qué es así. Supongamos que estamos en la tonalidad de do mayor y, por tanto, la escala que rige es la dada en la figura 1. Si queremos modular a otra tonalidad, ¿cuál serían las tonalidades a las que podríamos cambiar de modo que el cambio no le resultase brusco al oído? Aquí hay que hacer un inciso y avisar de que el concepto de brusquedad depende de muchísimos factores: el periodo histórico, la teoría de la consonancia predominante, el estilo musical en particular, el contexto cultural, entre otros. Para el desarrollo que vamos a hacer aquí, el concepto de brusquedad equivale a buscar la tonalidad cuya escala mayor comparta el mayor número de notas. En el caso de do mayor esas tonalidades son sol mayor (sol-la-si-do-re-mi-fa♯) y fa mayor (fa-sol-la-si♭-do-re-mi). Con la primera tonalidad la única nota de diferencia es fa♯ y con la segunda, si♭, como se aprecia en la figura 3. Figura 3: Modulación desde do mayor. En la música tonal las notas se clasifican jerárquicamente en función de su relación con la nota principal de la escala (la primera). En este contexto, las notas de la escala reciben el nombre de grados y estos a su vez reciben nombres especiales: Primer grado I Tónica Segundo grado II Supertónica Tercer grado III Mediante Cuarto grado IV Subdominante Quinto grado V Dominante Sexto grado VI Superdominante Séptimo grado VII Sensible/Subtónica Tabla 1: Nombres de los grados de la escala Cuando el séptimo grado está a distancia de medio tono de la tónica se le llama sensible, como en ocurre en la escala mayor. Si está a distancia de un tono, como en la escala menor, se llama subtónica. Los grados que coinciden con las notas en cuyas escalas es más fácil modular son el cuarto y el quinto, la subdominante y la dominante. Pero no solo son estos grados de la escala importantes por su facilidad de modulación. También permiten una fuerte afirmación de la tonalidad de la escala vía la armonía. Veamos cómo. Los acordes se construyen como triadas, como grupos de tres notas que suenan simultáneamente. En la figura siguiente tenemos los acordes que se forman sobre la escala de do mayor; obsérvese que a cada grado de la escala se le ha añadido dos notas a distancias tres y cinco (en términos de grados y contando el grado de que partimos). Así, por ejemplo, el acorde sobre el grado I está formado por I-III-V, sobre el grado por II-IV-VI, y así sucesivamente. Figura 4: Triadas asociadas a la escala de do mayor. Otro hecho a considerar es que en la escala mayor el séptimo grado está a distancia de un semitono. Este grado tiene una gran tendencia a ir hacia la tónica, el primer grado. De entre los dos acordes más próximos al acorde de tónica, el de subdominante y dominante, es este último el que contiene la nota sensible. Por tanto, la secuencia V-I refuerza más a la tónica que la secuencia IV-I. Las secuencias de acordes que crean una sensación de resolución se llaman cadencias. De hecho, la secuencia IV-V-I es llamada cadencia perfecta y es la cadencia más usada para afirmar la tonalidad de una pieza. En el caso de la escala menor, que no tiene sensible, el séptimo grado se modifica, elevándolo medio tono, para que durante la cadencia perfecta aparezca la nota sensible. La siguiente en importancia es la cadencia IV-I, la cadencia plagal. Vemos, pues, que los grados IV, V y I son importantes en la música tonal. Otro grado importante es el III, la mediante. Si estamos en una escala mayor, el III grado está a dos tonos de distancia; si es una escala menor, a un tono y medio. Esta diferencia es importante musicalmente. Obsérvese que entre las escalas mayor y menor (figuras 1 y 2) los grados IV y V no varían (la construcción de sus correspondientes acordes, sí). El resto de los grados tienen ya menos importancia dentro de la música tonal. Se usan, por ejemplo, como parte de secuencia de acordes, como la famosa secuencia de caída de quintas VI-II-V-I. A finales del siglo XIX y principios del XX surgieron otros sistemas musicales en los que no se seguían estas relaciones de jerarquía. Se ampliaron los límites de la disonancia, se inventaron nuevos acordes y nuevas formas de resolver las disonancias, poco a poco se fue borrando la dependencia de un centro tonal, hasta que llegamos a la música dodecafónica en que no existe el concepto de tónica, pues todos los grados aparecen por igual en la pieza. 2. Detección de música tonal Es fácil para un oído mínimamente entrenado saber si una pieza es tonal o no. Aquí planteamos cómo lo haría un ordenador de modo automático. Con un poco de estadística, ello es posible. Si la música es tonal, los grados más importantes, el I, el V y el IV, aparecerán más frecuentemente. Para ilustrar este hecho hemos escogido las siguientes piezas (de nuevo, estos ejemplos están tomados del del libro de Beran [Ber04]): La fuga no 1 de El clave bien temperado, libro I, de Bach (1685- 1750). Sonata KV 545, primer movimiento, de Mozart(1756-1791). Escenas de niños, números 2 y 3, de Schumann(1810-1856). Preludios números 2 y 4 de la opus 51, de Scriabin (1872-1915). Preludios números 6 y 7, de F. Martin (1890-1971). En las figuras 5 y 6 se muestran los primeros compases de la fuga de Bach y del segundo preludio de Scriabin respectivamente. De la observación de las partituras se sigue que Bach es plenamente tonal, mientras que Scriabin y aun más se apartan ya significativamente. Figura 5: Comienzo de la fuga no. 1, de El clave bien temperado, libro I, de Bach (1685-1750). Figura 6: Comienzo del preludio no. 2, opus 51, de Scriabin (1872-1915). Para cada pieza elegida vamos a representar por las notas que aparecen en los tiempos t1,t2,…,tn. Los posibles valores que encontramos en ese conjunto pertenecerán a , por las 12 notas posibles del temperamento igual. Por supuesto, se aplicará el principio de equivalencia de la octava, ya que una nota está asociada a un grado de la escala no importa en qué octava aparezca. Los tiempos ti están tomados en orden creciente, t1 ≤ t2 ≤… ≤ tn. Con el fin de comparar adecuadamente las piezas, se han normalizado las piezas de modo que todas tenga la misma tonalidad. Una vez hecho esto, calculamos las frecuencias relativas de cada nota del siguiente modo. Se fija un número entero k, en nuestro caso de k = 16, y se cuenta el número de veces que aparece cada nota en intervalo de tiempo 2k + 1. Esas frecuencias, para una nota x, están dadas por la fórmula: donde la función I devuelve 1 si x(ti) = x y 0 en otro caso (la función característica). En las figuras 7 y 8 se muestran las correspondientes curvas de frecuencias. Cada curva se ha obtenido uniendo las frecuencias pj(0),pj(1),…,pj(11) consecutivamente para un valor j = 4,…,64. Las curvas se han superpuesto en la misma gráfica. Recordamos que, dado que estamos midiendo en semitonos, en el eje de ordenadas el 0 corresponde a la tónica, el 3 al grado III en la escala menor, el 4 al grado III en la escala mayor, el 5 a la cuarta justa, el 7 a la quinta justa, el 8 a la sexta menor, y el 9 a la sexta mayor. Figura 7: Frecuencias de las notas 0,1,…,11 en intervalos de longitud 16 notas [Ber04]. Figura 8: Frecuencias de las notas 0,1,…,11 en intervalos de longitud 16 notas [Ber04]. En Bach se aprecia claramente que los máximos se encuentran en los grados IV, V y III, seguidos del séptimo grado (a causa de los acordes de séptima de dominante) y de la propia tónica. En Mozart, los máximos están en la tónica y la subdominante; también vemos que los grados II, V y VI son frecuentes. En la escena 2 de Schumann la tónica es la nota más frecuente, seguida de lejos por el III y IV grado. La dominante, en cambio, aparece mucho menos y el sexto grado es más frecuente que el quinto. En la escena 3 de Schumann la música es mucho más tonal, con una predominio claro de los grados tonales I, IV y V. La situación cambia con Scriabin y Martin. En el preludio número 2 el quinto grado apenas se encuentra y son los grados III, IV y VI los que predominan. El preludio número 4 es menos tonal aún. Los grados más frecuentes son el I, el IV y V♭. Este último grado es cromático en la escala y forma una quinta disminuida con la tónica. El sistema tonal se deslíe y las funciones tonales clásicas quedan desdibujadas. No obstante, todavía vemos que ciertos grados son prominentes, aunque no los que esperábamos. En el caso de Martin, las funciones tonales se disuelven aún más, especialmente en el preludio número 6. Los máximos se alcanzan en la tónica, la mediante, pero también en V♯, el quinto grado aumentado (en el octavo semitono), y en el grado VI menor (en el noveno semitono). Sin embargo, por el número de veces que pasan las curvas por esos grados, nos damos cuenta de que hay una influencia del dodecafonismo, corriente que trata todos los grados por igual en términos de funciones tonales. En efecto, la gráfica del preludio número 6 parece una malla más o menos uniforme en contraste con, por ejemplo, la gráfica de la sonata de Mozart. Bibliografía [Ber04] J. Beran. Statistics in Musicology. Chapman & Hall/CRC, 2004.

Martes, 11 de Septiembre de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

629. 72. SOLUCIÓN CONCURSO DEL VERANO DE 2012

UN VERANO INTENSO Además de las esperadas respuestas a las cuestiones del Concurso del Verano de 2012 y la lista de ganadores, recordamos algunas actividades que han tenido lugar este verano relacionadas con el Cine y las Matemáticas. Como cada verano, se celebró en Avilés el Curso Una mirada a las Matemáticas a través del Cine y la Televisión, en el que un año más nos volvimos a encontrar algunos de los que impulsamos esta fantástica locura de intentar transmitir la presencia y la necesidad de las matemáticas en nuestra vida cotidiana, y por tanto también en las películas, junto a alumnos de todo tipo de formación académica que confiamos disfrutaran con las proyecciones y las conferencias. Este año se incorporó una específica dedicada a una serie que empieza a ser de culto, The Big Bang Theory. Por otro lado, el 3 de julio, decidí incorporar una página dedicada a Las Matemáticas en el Cine en Facebook, por experimentar un poco qué posibilidades ofrecen las ya imprescindibles redes sociales. Y de momento, la experiencia podríamos calificarla de muy positiva (y entretenida), ya que nos ha permitido estar en contacto diario a un montón de profesores, estudiantes, amigos, y personas en general a las que les puede interesar este binomio (matemáticas + cine) por alguna razón. Sin ningún tipo de publicidad ni información previa en ningún lado, sólo a partir de unos pocos amigos, hemos llegado a tener una audiencia de 4226 personas entre el 4 y el 10 de agosto (y no bajando en ninguna semana de los 1500), enfrascados a una, no original, pero si “enganchadora” (no sé si existe esta palabreja) propuesta: diariamente se han propuesto una serie de Jeroglíficos Cine-Matemáticos. Se trata de deducir el título de una película comercial, a partir de expresiones, gráficos, personajes, cualquier cosa que tenga que ver con las matemáticas. Ha sido (está siendo) todo un éxito. Al principio tomé las propuestas de la página Spiked Math Comics, pero en seguida (se acabaron los títulos que sirvieran a la vez en inglés y en español) me puse a imaginar mis propias propuestas. Y la verdad es que los asiduos (en torno a 100 personas) tienen un nivel impresionante, que nos ha hecho hilar cada vez más fino. Veamos un par de ejemplos: El jeroglífico más visto (413 personas: 153 directamente (lo que Facebook llama visita Orgánica) y 276 a partir de las páginas de otros (lo que Facebook llama visita viral)). Las propuestas de solución que se hicieron (algunas, la mayoría, fantásticas): La extraña pareja (por aquello del 2ab que “extrañamos”), Error Fatal, Vamos a contar mentiras, Error de Cálculo, Fugados, Acero Puro (A Cero), Sin Perdón, Mentiras y Gordas, … Hasta que con las pistas adecuadas, se dio con el título de la película: FALSA IDENTIDAD. Pero entremedias, se han hecho atinadas observaciones matemáticas. Por ejemplo, la Sociedad de Educación Matemática URuguaya (S.E.M.UR.), nos hizo la atinada observación: “El problema de este tipo de planteos, es que no se especifica en qué conjunto y con qué "estructura" se está trabajando... ¿Qué pasa si a no es un número? ¿Si a = [x, 0; 0, 0] y b = [0, 0; 0, y]? (matrices de orden 2) ¿Verifican o no la identidad referida? ¿Esto funciona en otras situaciones? ¿Cuáles? ¿Para qué valores esto es siempre cierto (o falso)? ¿Preguntas?, muchas... Lo interesante sería ver si esa expresión es siempre cierta y en dicho caso, por qué lo es, no?” Pues comentarios así, han venido apareciendo en muchas otras ocasiones, que han derivado incluso a cuestiones matemáticas “serias”. A la derecha tenéis otro ejemplo, uno de los que más rápido adivinaron: “El efecto de los rayos gamma sobre las margaritas”, ya que la primera ecuación, al dibujarla en polares tiene, más o menos, la forma de una margarita, y sobre todo, la integral de abajo es la función gamma. Hay por el momento más de medio centenar de jeroglíficos diferentes. Os invito a que echéis un vistazo al juego (podéis sugerir vuestras propias propuestas), y si os apetece, deis un “Me gusta” a la página. Pero la cosa no ha quedado sólo en esto. El amigo José L. Besada se animó a proponer a través de la misma página un cuestionario similar, pero de Jeroglíficos Ópera-Matemáticos (van 52 propuestas hasta el momento). También se van planteando o aclarando cuestiones relacionadas con las películas y las matemáticas: curiosidades, aspectos más técnicos, etc. Por ejemplo se han descrito algunos momentos matemáticos de Los Simpson y Futurama, hemos descubierto al actor español que más ha sufrido en la pantalla con las matemáticas y al que más veces ha hecho de profesor, hemos indagado en porqué el recientemente fallecido Jim Nelson (daba vida al Conde Draco en Barrio Sésamo, entre otros personajes) respondió en una entrevista que su número favorito era el ¡¡34969!! En fin, un montón de curiosidades y lugares en cine y televisión con las matemáticas en primer plano. Esperamos que os guste y que participéis. SOLUCIONES AL CONCURSO DEL VERANO 2012 Quizá por haber sido anunciado en Facebook, además de en estas páginas, quizá porque ya es muy popular, este año ha sido uno de los que ha registrado una participación mayor. Además el nivel ha sido francamente alto en cuanto a las respuestas que habéis dado. Os agradecemos enormemente también vuestros alentadores y efusivos comentarios sobre esta propuesta. Muchas gracias a tod@s. Antes de dar solución a las cuestiones, me gustaría indicar que había algunas cuestiones con un poco de mala leche, de ingenio, de segundas intenciones (hay que poner alguna pega para poder diferenciar las puntuaciones; sino todos obtendríais la máxima puntuación), por lo que de antemano os pedimos disculpas por ello. Dicho lo cual, vamos a ello: 1.- El número máximo de pitillos que puede fumarse con un poco de ingenio es 5. Con las nueve primeras colillas, forma 3, quedando una colilla de cada uno. Con esas tres colillas, lía un cuarto cigarrillo, sobrándole una colilla. Tenemos por tanto dos colillas (ésta última y la décima). El ingenio está en pedirle a otro paisano una colilla, formar un cigarrillo, fumárselo, y devolverle la colilla resultante al que se la prestó. 2.- El tipo se fuma 760 cigarrillos en treinta días. Cada hora (cuatro cuartos de hora) se fuma 4/3, luego en cuatro horas se fuma 16/3 de cigarrillos mientras bebe. En las otras veinte horas del día, cada hora se fuma un cigarrillo, luego al día en total se fuma 20 + 16/3; multiplicando esto por treinta días, se obtienen esos 760 cigarrillos. Una sencilla proporción nos lleva a que el porcentaje que fuma mientras bebe (160/760) es del 21.05 %. Algunas personas han considerado que dormía un número de horas al día. El enunciado no dice nada al respecto (este hombre fuma y bebe hasta dormido). En todo caso, para no alentar ninguna discusión inútil, a aquellos que han contemplado esa posibilidad de que duerme unas horas y en ese tiempo ni fuma ni bebe, también se ha considerado correcta su respuesta (si fueran 8 horas durmiendo al día, se fumará “sólo” 520 cigarrillos, y el porcentaje de los que fuma a la vez que bebe, sube al 30.77%). 3.- Esta cuestión no puede responderse hasta que sepamos algo más sobre la película que nos ocupa, sobre todo hasta averiguar que el actor protagonista es Humphrey Bogart y que lo que sueña ocurrió en la película Casablanca, estrenada en 1942, seis años antes de la que nos ocupa. 4.- La versión doblada está equivocada: si un cuarto de billete es 1 peso, un vigésimo serían 20 centavos, no los 10 que dice. En cambio, como ocurre muchas veces, en la versión original el niño explica que un décimo son 40 centavos (que eso ni siquiera se dobló), y un vigésimo son 20 centavos. Un nuevo ejemplo de dejadez en el doblaje seguramente por considerarlo de escasa relevancia (digo de dejadez porque probablemente el actor de doblaje se equivocó y si se dieron cuenta, pasaron del tema; en la V. O. se escucha perfectamente Twenty Cents, no Ten Cents). La comida le costó 80 centavos, por lo que puede comprar 1/20 de billete con los 20 centavos que le sobran. 5.- Es sencillo deducir que la respuesta a la quinta es negativa. Veamos una escueta justificación. Hay muchos números de hasta cinco cifras que sumen 13 y sean cuadrados perfectos. Nada más y nada menos que 26: 49 (=72), 256 (=162), 625 (=252), 841 (=292), 1156 (=342), 1444 (=382), 2209 (=472), 2704 (=522), 3136 (=562), 3721 (=612), 4225 (=652), 4900 (=702), 6241 (=792), 11236 (=1062), 13225 (=1152), 14161 (=1192), 20164 (=1422), 21316 (=1462), 22801 (=1512), 24021 (=1552), 25600 (=1602), 33124 (=1822), 42025 (=2052), 60025 (=2452), 62500 (=2502), 84100 (=2902). Como se dice además que el número buscado es cuadrado perfecto de un número primo, las posibilidades se reducen; sólo las seis resaltadas en rojo, aunque siguen siendo muchas para deducir el número sin alguna condición adicional. 6.- Obviamente, los mayores candidatos a proporcionar el número máximo de primos permutando cifras, serán aquellos que tengan menos cifras pares y/o ceros. Con un poco de paciencia puede verse que el 3721 nos da 11 primos diferentes: 1237, 1327, 1723, 2137, 2371, 2713, 2731, 3217, 3271, 7213 y 7321. 7.- Una vez adivinada la película, en una escena el niño busca al protagonista para avisarle de que le ha tocado la lotería, diciendo en voz alta el número del boleto premiado, y la ganancia, 200 pesos (recordemos que era un vigésimo del billete premiado con 4000 pesos). Aunque previamente, cuando le vende el chico el número con el argumento de que suma 13 y eso da buena suerte, también especifica que quedan 3 semanas para el sorteo, que son 21 días, y el número es 3721 (lo tiene todo, número de semanas, días de la semana, número de días que faltan y suma 13). 8.- Explicamos brevemente el significado de todos los números que se manejan en el sorteo de Navidad de la Lotería Nacional Española. Desde el año pasado, se ponen en juego 100.000 números (del 00000 al 99999). Anteriormente sólo eran los números hasta el 85.000. El premio al décimo fue de 400.000 €, es decir que la serie de 10 décimos se premiaba con 4 millones de €. Por ley hay que premiar el 70% de la recaudación. La cifra de 25.5 millones en premios no es correcta; en realidad se repartieron veintisiete millones quinientos cuarenta y siete mil doscientos euros en premios (27.547.200 €), es decir 27,5 millones. Hubo 15.304 premios a billetes; multiplicándolos por 10 décimos y por 180 series, obtenemos exactamente esa cantidad, 27.547.200. El número de décimos premiados no tiene por qué coincidir con el número de premios adjudicados a décimos y suele ser menor pues hay números (como las pedreas) que tienen más de un premio. En el bombo de los premios sólo hay 1807 bolas que corresponden a 3 primeros premios, más 2 cuartos premios, más 8 quintos premios, más 1794 premios de pedrea (3+2+8+1794 = 1807). Hasta los 15.304 premios quedan los 9.999 reintegros, más los 2.997 de las dos últimas cifras de los tres primeros premios, más los 198 de las centenas de los dos cuartos premios, más los 297 premios a las centenas de los tres primeros premios, más los 6 premios de los números anteriores y posteriores a los tres primeros premios. 9.- Una nueva cuestión “con trampa” (de hecho en el enunciado, se pone porcentaje de ganar “algo”). Cobrar el reintegro no responde a ganar “algo” porque ya nos hemos gastado el dinero del décimo. En ese caso no ganamos, sino que nos quedamos a cero, sin ganar, ni perder. Por tanto la probabilidad de ganar “algo” será considerar los caos favorables (15304 – 9999 = 5305) entre los posibles (100000), con lo cual, p(ganar “algo”) = 5305/100000 = 0.05305, es decir, un 5.3 %. A los que incluyeron cobrar el reintegro (en ese caso, el porcentaje sería 15.3 %), les he dado la mitad de la puntuación en esta cuestión (5 puntos). 10.- En esta cuestión no resulta sencillo contar cuántos números suman exactamente 13 entre los 100000 números posibles (por supuesto sin hacerlo programando el ordenador para que lo haga “por la fuerza bruta”, es decir, contando todos uno por uno). A destacar los métodos descritos por Alejandro Azpeteguía, Francisco Pi Martínez, María José Fuente, Elías Villalonga y Emilio Díaz Rodríguez. Adjunto la propuesta por Elías Villalonga, por ser una de las más breves: La cantidad de quíntuplas de números enteros no negativos ordenadas de manera que sumen 13 viene dada por las combinaciones con repetición de 5 elementos sobre 13 posibles, esto es: Como los números enteros no negativos de los que estamos hablando son dígitos, éstos han de ser inferiores o iguales a nueve, de 2380 hay que restar los números correspondientes a aquellos con cifras 13, 12, 11 o 10 en alguna posición Con algún 13:             5 Con algún 12:             5 · 4 = 20 Con algún 11:             5 · 10 = 50 Con algún 10:             5 · 20 = 100 Total:                          175 Por lo tanto las quíntuplas admisibles son 2380 – 175 = 2205. Así pues, la probabilidad de un gordo con las cifras sumando 13 es: p(gordo sumando 13) = 2205/100000 = 0.02205. O sea (este comentario ya es mío) que no merece mucho el esfuerzo de los que revuelven Roma con Santiago buscando un número así (o cumpliendo cualquier otra peculiaridad). 11.- Todos los concursantes han comprobado, con números muy similares, que la lotería nacional es el juego de apuestas entre los propuestos con más posibilidades de ganar algo (en torno a un 35% sin descontar lo que vale el precio del billete), después la primitiva (1.86%), y la menor las quinielas aunque en este caso la información que poseemos de los equipos hace que no todos los partidos tengan la misma probabilidad (aunque a veces hay sorpresas, claro; los cálculos los han hecho con sucesos equiprobables). 12.- Según la novela (y la película), las necesidades básicas para un hombre son, por este orden, comer, afeitarse y asearse, y finalmente, “pasar un rato” (puede haber menores leyendo esto) con una mujer. 13.- En esta cuestión he metido la pata. Mil disculpas. El paisano que se cruza tres veces con Bogart es el director de la película, John Huston (esto lo sabremos cuando hayamos descubierto el título de la película; la deducción se puede hacer al resolver la pregunta 16). Huston y Bogart eran amigos en la vida real, por lo que coincidirían muchas veces, pero públicamente lo hicieron en seis películas: El halcón maltés (1941), A través del Pacífico (1942), El tesoro de Sierra Madre (1948), Cayo Largo (1948), La Reina de África (1951) y La Burla del Diablo (1953). De ellas se pretendía pedir “al menos tres”, en lugar de “exactamente tres veces”. Como esto ha podido confundir a algunos, he decidido dar la puntuación completa a todos. Y encima en la número 13. No soy supersticioso, pero tampoco ha sido adrede. 14.- Solución a la cruzada: “Es algo endemoniado, creedme muchachos. Cambia totalmente el carácter de los hombres. Cuando se consigue, el alma no es la misma, y nadie escapa a esto”. Para resolverla, las definiciones planteadas son, por orden: Bessel, Elipse, Región, Número, Hélice, Afelio, Radios, Dobles, Taylor, Rectas, Angulo, Volumen, Esfera, Noether, Teorema, Aleatorio, Mediana, Paradoja, Isaac, Charada, OCDE. 15.- Se refiere a cómo la codicia de las personas altera su personalidad cuando han descubierto una mina de Oro. 16.- Las iniciales de las definiciones anteriores nos dan BERNHARD TRAVEN y TAMPICO. Si uno busca el primer nombre, deducirá fácilmente el título de la película, El tesoro de Sierra Madre, una de las escasas novelas que escribió. Tampico es la ciudad de donde inicialmente parten los protagonistas. 17.- Cuando van a salir a la búsqueda del oro el viejo Howard dice que necesitan 600 pesos para costear la expedición. Él tiene 300 y puede poner sus 200, pero Dobbs y Curtin solo tienen 150 pesos cada uno. Cuando a Dobbs le toca la lotería (200 pesos), completa su cuota y cubre lo de Curtin (50 pesos más), por lo que Dobbs en realidad aporta 250 pesos y Curtin 150 pesos. Por tanto la proporción justa serán 4/12 para Howard, 5/12 para Dobbs y 3/12 para Curtin. Al hacer recuento de las ganancias (35000 pesos cada uno; en total 105000 pesos), esa proporción nos lleva a que Dobbs debe recibir 43750 pesos, Howard 35000 y Curtin 26250 pesos (compárese con Dobbs; bastante menos). 18.- Sea el prisma de base cuadrada (8 aristas) de lado a, y sean b las aristas laterales (4 en total). La suma de las longitudes de todos sus lados es: 8a + 4b, y el área total (se especifica en el enunciado) del prisma 2a2 + 4ab. El enunciado nos dice que 8a + 4b = 2a2 + 4ab de donde se deduce que  2b = a (a + 2b – 4)  [*], es decir que a debe ser un número par (obsérvese que en caso contrario, a + 2b – 4 también sería impar, y el producto de dos números impares nunca sería 2b). Llamemos a = 2k. Entonces, b = a (k + b – 2). Si designamos el segundo factor como n, entonces b = an. Por [*],  Como a debe ser un número entero, n sólo puede ser n = 1, de donde a = b = 2. Por tanto, en realidad se trata de un cubo (aunque en la película no es así, pero bueno, ¿no se cometen errores y/o anacronismos en el cine? Pues yo también, para no en revesar mucho el problema). 19.- Se indignó y tiró al fuego de la hoguera su contenido (unos gramos de oro). 20.- Como acertadamente nos indica Alejandro Azpeteguía, si el triángulo es equilátero, el ángulo del sector circular que abarca es de 60º y el radio de la circunferencia coincide con el lado del triángulo, de valor 6 unid. Para calcular la zona rayada, basta restar el área del triángulo equilátero del área del sector circular. Por tanto, 21.- Adjuntamos en esta ocasión el razonamiento seguido por María José Fuente Somavilla. Se considera la figura adjunta y se supone que los ángulos del triángulo isósceles están medidos en radianes. Si ÐAOB = α, entonces ∠OBA = ∠OAB = (π-α)/2,  0 < α < π El área de la zona rayada es (α/2 - senα/2)L2 (se deduce a partir de OH, AB e identidades trigonométricas). El problema se reduce a saber si existe un valor α para el cual esa expresión arroje un valor entero. Como se puede suponer que L es un número entero (incluso admitir que vale 6, como en la cuestión anterior), basta saber si es posible que α – sen α = 2k , con k un número entero. Como 0 < α < π , 0 < sen α < 1 y, por tanto, los posibles valores enteros y pares para α – sen α sólo son 0 y 2. ¿Pero son alcanzados esos valores? Puesto que la función f(x) = x – sen x es derivable y creciente en todo ℝ, las ecuaciones x – sen x = 0 y x – sen x = 2 tienen solución. Pero la primera tiene como solución 0, que está fuera del intervalo considerado, (0, π) . Sin embargo, la solución de la segunda siempre será mayor que 0 y menor que 3, es decir, dentro de (0, π). La imagen ilustra lo anterior. Por tanto, la respuesta a la pregunta es afirmativa, puesto que eligiendo un ángulo ∠AOB = α, siendo α la solución de la ecuación x – sen x = 2 (y siendo L entero) el área del segmento circular, es un número entero. NOTA: Dicha solución es, evidentemente un número irracional. El enunciado pedía si era posible hacerlo (o sea si se podría teóricamente), no que se hiciera de forma efectiva en la práctica. 22.- Los métodos que han utilizado los participantes han sido de lo más variado. Damos el de Emilio Díaz Rodríguez por breve y elegante: El borde exterior es una circunferencia de 6 unidades de radio. Para el borde curvo interior elegimos la “elipse” por ser la cónica obtenida al cortar el cono por un plano no perpendicular a la altura de éste (Efecto que conseguimos al inclinar el recipiente cuando cribamos). La lúnula sería uno de los dos espacios comprendidos entre las 2 curvas del dibujo. Queremos que se cumpla la condición: (π62/2) – (π6b/2) = 6, de donde b = 6 – 6/π La curva propuesta es una elipse de semiejes mayor a = 6 y menor b = 6 – 6/π Otras soluciones válidas dadas por los participantes han sido: (x+0.9)2 + y2 = 39.6, elipse [(x-0.825)2/62] + (y2/8.72) = 1. También se ha considerado aceptables las construcciones hechas con Geogebra aunque finalmente no hayan dado la expresión explícita de la curva, pero aquellas que construyen la lúnula exterior a la circunferencia dada no sirven, ya que no son como la que aparece en el fotograma (la lúnula es interior al plato donde se busca el oro. A éstas se les ha dado la mitad de la puntuación, por el esfuerzo en la construcción. 23.- Respecto a esta cuestión han habido tantas soluciones como participantes, todas válidas. La puntuación ha variado entre 10 y 20 puntos dependiendo de lo afinado del razonamiento. No las incluyo por no alargar en demasía la reseña. 24.- Aportamos algunos de los enunciados de los problemas que los participantes han  propuesto: I.- (Alejandro Azpeteguía) En una escena de la película, los protagonistas compran 6 burros  marcados (según dice el vendedor) con una letra A con media luna arriba. ¿Estás de acuerdo con esa afirmación, viendo la imagen del burro? Aquí vemos un posible dibujo del símbolo, delimitado por arcos de circunferencia de igual radio. Si hacemos una simetría del arco inferior AB respecto a la recta AB, obtendríamos una nueva zona interior de la letra, con vértices en los puntos azules. 1) ¿A qué curva matemática se asemeja dicha zona interior? PISTA: giro interior 2) Si el cuadrado ABCD está inscrito en una circunferencia de radio 1 e invertimos los 4 segmentos de círculo exteriores al cuadrado hacia el interior del cuadrado, obtenemos otra curva de aspecto similar a la zona interior antes mencionada. Hallar su área así como el área de la curva del apartado 1) Como pista diremos que la diferencia (con 2 decimales de precisión) entre ambas áreas es la centésima parte de una potencia de 2 de exponente un número relacionado con el minuto de la película en que se desarrolla la escena referida. Por último, di qué importancia presenta dicho símbolo en una escena muy posterior de la película. II.- (Estrella Guillén) En una parte de la película, cuando están reunidos en el tugurio donde conocen al experto en oro que luego les acompañará en su aventura, éste está contando que cuando buscas oro, la codicia es tan grande que si consigues 25.000, luego quieres 50.000, si tienes 50.000 después necesitas 100.000, que es como la ruleta. Bogart le dice que él no querría tanto, aunque se pudiera conseguir 500.000. Vamos a imaginar una ruleta de 36 números. Sólo se puede apostar a un número en cada tirada, si se gana, se dobla lo apostado; si se pierde la banca se lleva lo que se ha apostado. ¿Qué probabilidad tendríamos de alcanzar 500.000 como mínimo en tiradas sucesivas (o sea, una tras otra) de la forma más rápida posible si comenzamos apostando 25.000 y posteriormente todas nuestras ganancias en cada partida? III.- (Emilio Díaz Rodríguez) Reproduzcamos uno de los diálogos de la película (minuto 30 aproximadamente) Howard: Es muy rico, y hay bastante. Curtin: ¿Cuánto? Howard: Unas 20 onzas por Tonelada. Curtin: A 20 dólares la onza. Dobbs: ¿Cuántas toneladas limpiaremos por semana? Howard: Depende de lo que se trabaje. Al final de la película los protagonistas, riéndose dicen que han malgastado 10 meses de su vida con sufrimientos y trabajos. Si se sabe también que cada uno de ellos tuvo unas ganancias de 35000 dólares. a) ¿Cuántas toneladas limpiaron por semana nuestros protagonistas? ¿En cuántos días amortizaron la inversión en armas, herramientas y provisiones inicial de 600 dólares? b) ¿Cuál sería el valor de todo el oro recogido en la actualidad, si el precio actual del oro (agosto 2012) es 1309,5 euros/onza? (1 onza troy= 31,1034 g). Otros problemas han versado sobre apilado de troncos, formas diferentes de repartir el botín, número de viajes necesarios para llenar el depósito de agua, calcular las dimensiones del depósito sabiendo a partir del número de viajes, etc. Algunos más sencillos, otros más enrevesados, alguno incluso relacionando el trabajo de los personajes con la fecha límite de entrega de soluciones de este concurso, pero todos satisfaciendo las condiciones pedidas. 25.- La analogía con la situación que vivimos en nuestro país es clara. Todos los participantes lo han descrito con sumo acierto. Elijo uno de ellos: “La ambición desmedida acaba por tener consecuencias negativas. En la película al final lo pierden todo e incluso uno de ellos la vida. La situación actual de nuestro país se debe también a la ambición de la banca, a la corrupción de la vida política, a la especulación inmobiliaria...y al final todos pagamos las consecuencias. Hay un enorme paralelismo entre la situación que desembocó en la Gran Depresión de 1929 y la situación actual, tanto en EEUU, como en la Unión Europea (UE). La enorme concentración de la riqueza y de las rentas en sectores muy minoritarios de la población, la escasa regulación de los mercados financieros, la gran regresividad fiscal, el gran desempleo y los bajos salarios son situaciones que caracterizaron el periodo pre-Gran Depresión y también el existente ahora. “El Tesoro de Sierra Madre” se publicó por primera vez en 1927, justo antes de la Gran Depresión. La trama de la novela se desarrolla en México en los años 20”. En la película, Howard (Walter Huston), comenta: “Uno de los bancos se evaporó haciéndome saber que de mis dólares no quedaba ni un centavo”. ¿Os suena de algo? 26.- La novela (y también la película) es una crítica despiadada del capitalismo, que se aprovecha de las flaquezas humanas como la avaricia, la envidia y la ambición, y sus consecuencias. Asimismo denuncia la opresión (en la novela, opresión española) de los extranjeros al pueblo autóctono, agotando sus recursos, mientras el pueblo indígena permanece en la pobreza e ignorancia. También critica la violenta actuación del Estado y los federales, sobre una población con escasos medios de subsistencia. Por otro lado, la novela (no así la película) critica mucho el papel de la Iglesia y su “particular” evangelización. 27.- La novela se publicó originalmente en alemán, Der Schatz der Sierra Madre, en 1927. Sobre el clásico en que se basa (nos referíamos a la novela, no a la película) hay distintas interpretaciones. La más aceptada es la de “el cuento del bulero” de Los Cuentos de Canterbury, obra escrita entre finales del siglo XIV y principios del XV por Geoffrey Chaucer. 28.- El misterio está en que detrás del nombre de B. Traven no sabemos a ciencia cierta quien se esconde. Sólo se sabe a ciencia cierta que vivió en Méjico. Utilizó hasta 31 seudónimos bajo siete nacionalidades distintas, con 32 profesiones diferentes que en algún momento afirmó haber ejercido. Se barajan hasta 19 personas diferentes como posibles identidades. 29.- Teniendo en cuenta que John Huston siempre ha retratado en sus películas a perdedores, tenemos una larga colección donde elegir, pero la película más similar (recordad que aquí Sean Connery es también, como Howard, tomado por “alguien con poderes” por los indígenas) es El hombre que pudo reinar (1975), otra magnífica película. 30.- El saco roto sobre el cactus tiene múltiples interpretaciones: por un lado, refleja las consecuencias de la codicia (acabas “pinchándote”), por otro que llegar al oro es un camino espinoso que puede “romper el saco”, pero también es una alegoría a que la Naturaleza acaba llevándose lo que es suyo (el oro vuelve a la montaña). Otro habéis indicado que también puede indicar que la avaricia hace aflorar lo peor del ser humano, representado esto por el cactus. Cualquiera de estas explicaciones me ha parecido adecuada. Dicho esto la puntuación alcanzada por los participantes (sólo se detallan los diez primeros), ha sido la siguiente: Francisco Pi Martínez – 259 puntos Emilio Díaz Rodríguez – 246 Alejandro Azpeteguía Torres – 245 Mª José Fuente Somavilla – 231 Fran Blanco - 230 Elías Villalonga – 228 María Jesús Arcos – 199 Celso de Frutos de Nicolás – 193 Francisco Nicolás Martín – 186 Estrella Guillén – 185 De momento no os puedo adelantar cuántos premios podemos daros. En el plazo más breve posible recibiréis un e-mail personal para pediros una dirección postal a la que mandaros los regalos a los que sean (3, 4, 5,.., 10, ya veremos). Gracias por vuestra participación. Esperamos que lo hayáis pasado bien, y que la película haya sido de vuestro agrado. Hasta el mes que viene.

Viernes, 07 de Septiembre de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

630. 18. (Septiembre de 2012) El candado de 3 números más seguro

La empresa chilena de seguridad Odis contrató a la empresa de publicidad Ogilvy & Mather para que desarrollara en 2011 una campaña de publicidad sobre uno de sus productos, los candados con una combinación de seguridad de tres números. Dicha campaña, “Odis. The safest 3 numbers lock” (Odis. El candado de 3 números más seguro), ganó el León de Plata de la categoría Outdoor del Festival Internacional de Creatividad de Cannes. ¿En qué consistía esta campaña? ¿Y por qué incluimos estos anuncios publicitarios en esta sección de divulgamat sobre las matemáticas en la publicidad? Es casi seguro que el lector o la lectora de este artículo ha tenido o manejado en alguna ocasión un candado o una cerradura de seguridad (ya sea esta de una maleta, un maletín o una consigna) con una combinación de 3 números. Su funcionamiento es muy sencillo, pero efectivo. El candado, o el sistema de seguridad de la cerradura, consta de una estructura de tres ruedecitas con los 10 números en cada una de ellas, del 0 al 9, que se mueven en círculo para colocar el número que se desee en la parte delantera, mirando a quien maneja el candado, de tal forma que se abrirá únicamente si se ponen en línea, en dicha posición delantera, los 3 números de la combinación correcta –que solamente debe conocer el propietario del candado, maleta, maletín o consigna-. Es decir, que la seguridad de lo que guarde el candado, o la cerradura, con una combinación de 3 números está garantizada precisamente a través de los 3 números de la combinación. Hay 1.000 posibles combinaciones para un candado o una cerradura de tres números. Aunque no es un sistema altamente sofisticado y seguro como para guardar por ejemplo una importante suma de dinero en una caja de nuestra casa, sí sirve para muchos propósitos más sencillos como por ejemplo para mantener a salvo el contenido de una maleta o de un maletín, cerrar una tienda de campaña para que no entre la gente o guardar el contenido de una consigna en nuestro instituto, universidad o donde corresponda. ¿Cuánto podría tardar un ladrón en abrir nuestro candado a base de ir poniendo todas las posibles combinaciones en el mismo? Imaginemos que el posible ladrón metiese una combinación numérica en el candado cada dos segundos, tardaría entonces unos 2.000 segundos en meter todas las posibles combinaciones, por lo tanto, la combinación se abriría en menos de 34 minutos. Efectivamente no es de una seguridad excesiva, pero sí suficiente para la mayoría de los cometidos para los que se utiliza, y más aún cuando seguramente casi nadie se ha puesto a computar el tiempo que se tardaría en llegar a la combinación correcta en este caso y que la gente tiende a impacientarse muy pronto. También hay candados con cuatro números… el lector o lectora de este artículo puede pensar cuánto tiempo le llevaría ahora a un ladrón “romper el código”, descubrir la combinación que abre el candado. En esta serie de anuncios de la agencia Ogilvy & Mather, la seguridad que emana de los tres números de la combinación se representa a través de la materialización de los números, que se convierten en una barrera física contra los ladrones. En concreto, tenemos tres anuncios en los que unos números enormes crean muros físicos reales, alrededor de una consigna en la universidad, de una maleta en el aeropuerto o de una tienda de campaña en un camping. Por ejemplo, en esta última imagen vemos cómo la tienda de campaña está rodeada de un muro con forma de 8, que a su vez está rodeado de un muro con forma de 6 y este a su vez con uno con forma de 9, por lo que el acceso a la tienda de campaña es realmente complicado, habría que tomarse muchas molestias para poder “llegar-entrar” a la tienda, como lo es, según los anunciantes, acceder a la tienda de campaña abriendo el candado ya que no es fácil descubrir la combinación secreta. Con esta serie de anuncios la agencia Ogilvy & Mather ganó el León de Plata del Festival Internacional de Creatividad de Cannes 2011. Los siguientes anuncios de esta campaña consistían en instalaciones reales de números de un tamaño algo más pequeño que los de las imágenes de ficción anteriores, que se encerraban alrededor de una maleta, que se colocaban en la calle y que la gente tenía que intentar sacar la maleta de su interior, como se muestra en la imagen siguiente. Esta idea se materializó igualmente en versiones en papel para los anuncios en revistas, como los que se muestran a continuación. También se hicieron algunos anuncios para la televisión, aunque con una idea un poco distinta a la anterior. En cada uno de los anuncios hay una conversación entre dos partes. En uno de los anuncios está de un lado (que simboliza lo protegido por el candado) una pareja, un padre y una madre negros que están en la cama, leyendo y viendo la TV, mientras del otro lado (simbolizando a quien intenta abrir el candado) está su hijo, un niño pelirrojo, que se ha levantado de la cama para preguntarles algo a sus padres. La conversación podría ser algo así como que el niño pelirrojo está preguntando a sus padres si es adoptado, aunque en realidad nosotros no oímos esto, sino grupos de tres números, a modo de combinaciones,  mientras los padres le contestan negativamente y dando explicaciones de todo tipo para evitar lo obvio… …por ejemplo, el niño les dice “2-7-1” y la madre le responde “Cariño, ¿Qué te hace pensar que eres eso? Somos como dos gotas de agua”, de nuevo el niño vuelve a preguntar “2-7-2” y el padre dice “Klauss, eres sangre de mi sangre”. Ante la combinación “2-2-2”, la madre responde de nuevo “Yo también era pelirroja cuando tenía tu edad… todo el mundo es pelirrojo a una cierta edad, mi amor… ¿entiendes lo que digo?”, y cierra el padre con un “te amamos”, mientras el niño les mira flipado. Y el anuncio se termina con los textos… “No dejes a nadie entrar donde tú no quieres que entren”, “3 números”, “1.000 combinaciones”. El otro anuncio es una conversación entre un matrimonio sobre si el gato, de nombre “asesino”, se ha comido al pájaro y al pez que estaban en la casa. Aquí tenéis ambos anuncios…

Martes, 04 de Septiembre de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico