611. 101. (Enero 2013) Lotería matemática

Tradicionalmente, durante los días previos al sorteo extraordinario de la lotería de Navidad, los matemáticos hacemos horas extras de trabajo tratando de desterrar todos los mitos que rodean a este acontecimiento anual. Como la ilusión puede más que la razón, es imposible convencer a la gran mayoría de personas que el número 00000 y el 31416 tienen la misma probabilidad de resultar ganadores: exactamente 1/100000; que si el Gordo del año pasado fue el 58268, este año no pierde credibilidad ni disminuye su probabilidad de ser el Gordo: vuelve a ser exactamente 1/100000 (¡vaya!, ha salido el 76058 a pesar de que su probabilidad era de 1/100000); que comprar el número en las administraciones más famosas y solicitadas sólo aumenta la probabilidad de que toque en dicha administración, pero la probabilidad de ganar con el número que hayamos adquirido es la misma: cierto, exactamente 1/100000. El resto de preguntas tienen respuestas similares: ¿por qué nunca ha salido el 00000?: porque su probabilidad es minúscula (el 0,001%); ¿por qué casi nunca ha salido premiado el mismo número?: porque su probabilidad es minúscula (el 0,001%); ¿por qué una misma persona ha tenido el Gordo dos años consecutivos?: esto sólo lo contestaré en presencia de mi abogado. Paralelamente, los magos también tenemos mucho trabajo en esas fechas. Debemos inventar respuestas imaginativas a preguntas tales como: si eres mago, ¿podrás adivinar cuál será el Gordo de la Lotería?; ¿por qué no te has hecho millonario si sabes cuál será el Gordo de la Lotería?; ¿por qué te dedicas a adivinar cartas si podrías aprovechar tus poderes adivinando el Gordo de la Lotería? 3 ♦ - 4 ♦ - 8 ♦ - 2 ♠ - 6 ♠ - 7 ♠ - A ♥ - 5 ♥ - 9 ♥ Empecemos el sorteo. Mezcla por separado los grupos de tres cartas de cada palo. Serán los tres bombos del sorteo. Tú mismo elegirás el orden de los bombos en que se irán sacando los números. Escribe en la parte superior de una hoja de papel el orden de los palos que prefieras. Tienes seis posibles elecciones: ROMBOS-PICAS-CORAZONES, ROMBOS-CORAZONES-PICAS, CORAZONES-ROMBOS-PICAS, CORAZONES-PICAS-ROMBOS, PICAS-ROMBOS-CORAZONES o PICAS-CORAZONES-ROMBOS. Supongamos, por ejemplo, que has elegido la secuencia ROMBOS-PICAS-CORAZONES. Extrae una carta del primer bombo, una carta del segundo bombo y una carta del tercer bombo. Los valores de dichas cartas, en el mismo orden en que se han extraido, darán un número de tres cifras. Anota ese número en la hoja de papel. Siguiendo el ejemplo indicado, supongamos que has extraido las cartas 8 ♦ - 2 ♠ - A ♥. Escribirías entonces el número 821. Con las cartas que no se han usado aún, repite el mismo procedimiento: extrae una carta del primer bombo, una del segundo y una del tercero. Forma con los valores de las cartas otro número de tres cifras. Escribe dicho número bajo el anterior. Repite por tercera y última vez el mismo procedimiento: ahora sólo queda una carta de cada palo, de modo que sólo puedes formar un número de tres cifras, pero su valor depende de las cartas elegidas en los pasos anteriores. Suma ahora los tres números obtenidos. Muchas han sido las elecciones posibles en cada paso, por lo que muchos son los posibles resultado de la suma. Como verás, tengo un sobre cerrado. Pulsa con el ratón sobre él y aparecerá el número de lotería que yo compré. ¿Habría ganado? Comentario final: Vamos a contar el número de resultados posibles. En primer lugar, hay seis formas distintas de elegir una secuencia de palos; una vez elegida dicha secuencia, hay tres posibles elecciones para cada cifra del primer número, lo cual da un total de 3 x 3 x 3 = 27 posibles números; a continuación, quedan dos posibles elecciones para cada cifra del segundo número, es decir 2 x 2 x 2 = 8 posibles números; esto nos deja una única elección del tercer número. En total son, entonces, 6 x 27 x 8 = 1296 distintas formas de elegir tres números. Así que la probabilidad de que la suma sea la contenida en la predicción es minúscula. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Jueves, 03 de Enero de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

612. 66. (Diciembre 2012) Incendies, de Wajdi Mouawad

La historia, los incendios Esta durísima obra de teatro habla de la violencia, de la venganza, de la importancia de lo escrito y de lo hablado, de la recuperación de la memoria, de la búsqueda de los orígenes, de la herencia, de las huellas que dejan lo vivido... Los personajes principales de esta obra son siete: la madre fallecida Nawal Marwan, Jeanne Marwan (o Jannaane) y Simon Marwan (o Sarwane), los hijos gemelos –de 22 años en el momento de morir su madre– de Nawal, el notario y amigo de Nawal Hermile Lebel, el enfermero de Nawal, Antoine Ducharme, la compañera de Nawal, Sawda, y Nihad Harmanni, el primer hijo de Nawal. La obra se divide en cuatro actos, cuatro incendios, que son los que ‘queman’ a cada personaje en un momento de la historia: el incendio de Nawal, el incendio de la infancia, el incendio de Jannaane, y el incendio de Sarwane. Nawal acaba de morir, después de haber dejado de hablar de manera repentina durante cinco años. A través de su amigo, el notario Hermile Lebel, deja a su hija y a su hijo –los gemelos Jeanne y Simon– un testamento en forma de misión: la misión de entregar una carta a un padre que creían muerto y otra a un hermano del que desconocían la existencia. Tras cumplir con este cometido, podrán poner su nombre sobre la tumba y abrir otras dos misivas dirigidas a los gemelos, que romperían el silencio de todos aquellos años. Jeanne y Simon deben dejar Canadá –país en el que creen haber nacido– para regresar al Líbano y encontrar sus orígenes, convirtiéndose en Jannaane y Sarwane. En esta búsqueda se esconde la necesidad de comprender la historia de su madre, y por lo tanto la suya propia. A través de la técnica de la analepsis, se va conociendo la historia de Nawal, a la que se le arrebata con tan sólo quince años al hijo nacido de la relación con su amado Wahab. Nazira, la abuela de Nawal, muere poco después, pero le dedica antes estas bellas palabras[i]: Ne tombe pas, Nawal, ne dis pas oui. Dis non. Refuse. [....] N’accepte pas, Nawal, n’accepte jamais. Mais pour pouvoir refuser, il faut savoir parler. [...] Apprends à lire, à écrire, à compter, à parler : apprends à penser. Nawal. Apprends. Nawal abandona su poblado, siguiendo el consejo de su abuela, y regresa años más tarde –sin volver a ver a su amado– para buscar al niño que le quitaron. En su viaje le acompaña Sawda, que desea aprender a leer. Se encuentran en mitad de una sangrienta guerra, en la que los refugiados huyen de un sur sitiado, perseguidos por milicianos que violan y asesinan de manera impune. Hay un verdadero incendio en la historia, el de un autobús del que Nawal consigue salir de manera milagrosa. Sawda y Nawal deben matar para defenderse, y cuando Nawal piensa que ya no va a encontrar nunca a su niño perdido, decide matar al jefe de las milicias, aunque sabe que la venganza no es el camino. Nawal es encarcelada en la prisión de Kfar Rayat, en la que es sometida a terribles torturas por parte de Abou Tarek. Fruto de las continuas violaciones de su verdugo, Nawal queda embarazada y da a luz a los dos gemelos. Como parte del legado de su madre, Jeanne y Simon deben encontrar a su padre –al que creían muerto– y a su hermano mayor, y conocer la historia del incomprensible silencio de Nawal. Las matemáticas de ‘Incendies’ Jeanne enseña teoría de grafos en la universidad, y en una de sus clases ya habla de la complejidad de la vida y de la toma de decisiones[ii]: Je ne peux pas dire aujourd’hui combien d’entre vous passeront à travers les épreuves qui vous attendent. Les mathématiques telles que vous les avez connues jusqu’à présent ont eu pour but d’arriver à une réponse stricte et définitive en partant de problèmes stricts et définitifs. Les mathématiques dans lesquelles vous vous engagez en suivant ce cours d’introduction à la théorie des graphes sont d’une toute autre nature puisqu’il sera question de problèmes insolubles qui vous mèneront, toujours, vers d’autres problèmes tout aussi insolubles. Les gens de votre entourage vous répéteront que ce sur quoi vous vous acharnez est inutile. Votre manière de parler changera et, plus profondément encore, votre manière de vous taire et de penser. C’est cela précisément que l’on vous pardonnera le moins. On vous reprochera souvent de dilapider votre intelligence à des exercices théoriques absurdes, plutôt que de la mettre au profit de la recherche contre le sida ou d’un traitement contre le cancer. Vous n’aurez aucun argument pour vous défendre, car vos arguments sont eux-mêmes d’une complexité théorique absoluent épuisante. Bienvenue en mathématiques pures, c’est-à-dire au pays de la solitude. Introduction à la théorie des graphes. Poco después, Jeanne explica lo que es un grafo de visibilidad, aludiendo en su explicación a las relaciones familiares. Volverá a hablar más adelante de este objeto matemático, cuando –en sus propias palabras– deba añadir a su propio grafo de visibilidad –el que representa su familia– a su padre y a su hermano mayor:[iii] Prenons un polygone simple à cinq côtés nommés A, B, C, D et E. Nommons ce polygone le polygone K. Imaginons à présent que ce polygone représente le plan d’une maison où vit une famille. Et qu’à chaque coin de cette maison est posté un des membres de cette famille. Remplaçons un instant A, B, C, D, et E par la grand-mère, le père, la mère, le fils, la fille vivant ensemble dans le polygone K. Posons alors la question à savoir qui, du point de vue qu’il occupe, peut voir qui. La grand-mère voit le père, la mère et la fille. Le père voit la mère et la grand-mère. La mère voit la grand-mère, le père, le fils et la fille.Le fils voit la mère et la soeur. Enfin la soeur voit le frère, la mère et la grand-mère. […] Maintenant, enlevons les murs de la maison et traçons les arcs uniquement entre les membres qui se voient. Le dessin auquel nous arrivons est appelé graphe de visibilité du polygone K. […] Il existe donc trois paramètres avec lesquels nous jonglerons au cours des trois prochaines années : les applications théoriques des polygones... […] Les graphes de visibilté des polygones... […] Enfin, les polygones et leur nature. [...] Le problème est le suivant : pour tout polygone simple, je peux facilement – comme nous avons démontré – tracer son graphe de visibilité et son application théorique. Maintenant, comment puis-je, en partant d’une application théorique, celle-ci par exemple, tracer le graphe de visibilité et ainsi trouver la forme du polygone concordant ? Quelle est la forme de la maison où vivent les membes de cette famille représentée par cette application ? Essayer de dessiner le polygone. [...] Vous n’y arriverez pas. Toute la théorie des graphes repose essentiellement sur ce problème pour l’instant impossible à résoudre. Or, c’est cette impossibilité qui est belle. Tras recoger la carta destinada a su padre de las manos del notario para cumplir los deseos de su madre, Jeanne dice a Lebel[iv]: En mathématiques, 1 + 1 ne font pas 1,9 ou 2,2. Ils font 2. Que vous soyez de bonne humeur ou très malheureux, 1 et 1 font 2. Nous appartenons tous à un polygone, monsieur Lebel. Je croyais connaître ma place à l’intérieur du polygone auquel j’appartiens. Je croyais être ce point qui ne voit que son frère Simon et sa mère Nawal. Aujourd’hui, j’apprends qu’il est possible que du point de vue que j’occupe, je puisse voir aussi mon père ; j’apprends aussi qu’il existe un autre membre à ce polygone, un autre frère. Le graphe de visibilité que j’ai toujours tracé est faux. Quelle est ma place dans le polygone ? Pour trouver, il me faut résoudre une conjecture. Mon père est mort. Ça, c’est la conjecture. Tout porte à croire qu’elle est vraie. Mais rien ne la prouve. Je n’ai pas vu son cadavre, pas vu sa tombe. Il se peut, donc, entre 1 et l’infini, que mon père soit vivant. Au revoir, monsieur Lebel. El descubrimiento de la terrible verdad –el padre y el hermano mayor son la misma persona– rompe con todas las certezas en las que se cree sin dudar –como que uno más uno son dos–. A través de la conjetura de Collatz la realidad sale a la luz[v]: Simon (S) : Tu m’as toujours dit que un plus un font deux. Est-ce que c’est vrai ? Jeanne (J) : Oui... C’est vrai... S : Tu ne m’as pas menti ? J : Mais non ! Un et un font deux ! S : Ça ne peut jamais faire un ? J : Qu’est-ce que tu as trouvé, Simon ? S : Un plus un, est-ce que ça peut faire un ? J : Oui. S : Comment ça ?! [...] S : Explique-moi comment un plus un font un, tu m’as toujours dit que je ne comprenais jamais rien, alors là c’est le temps maintenant ! Explique-moi ! J : D’accord ! Il y a une conjecture très étrange en mathématiques. Une conjecture qui n’a jamais encore été démontrée. Tu vas me donner un chiffre, n’importe lequel. Si le chiffre est pair, on le divise par deux. S’il est impair, on le multiplie par trois et on rajoute un. On fait la même chose avec le chiffre qu’on obtient. Cette conjecture affirme que peu importe le chiffre de départ, on arrive toujours à un. Donne un chiffre. S : Sept. J : Bon sept est impar. On le multiplie par trois, on rajoute un, ça donne... S : Vingt-deux J : Vingt-deux est pair, on divise par deux. S : Onze. J : Onze est impair, on le multiplie par trois, on rajoute un : S : Trente-quatre. J : Trente-quatre est pair. On le divise par deux, dix-sept. Dix-sept est impar, on multiplie par trois, on rajoute un, cinquante-deux. Cinquante-deux est pair, on divise par deux, vingt-six. Vingt-six est pair, on divise par deux, treize. Treize es impar. On multiplie par trois, on rajoute un, quarante. Quarante est pair, on divise par deux, vingt. Vingt est pair, on divise par deux, dix, dix est pair, on divise par deux, cinq. Cinq est impair, on multiplie par trois, on rajoute un. Seize. Seize est pair, on divise par deux, huit, huit est pair, on divise par deux, quatre, quatre est pair, on divise par deux, deux, deux est pair, on divise par deux, un. Peu importe le chiffre de départ, on arrive à... Non ! Los silencios, lo que no se dice Nawal enmudece al enterarse, de manera casual, que su verdugo es su propio hijo. En la carta final a los gemelos, e intentando justificar su mutismo, Nawal les dice[vi]: Il y a des vérités qui ne peuvent être révélées qu’à la condition d’être découvertes. Aunque no se da ningún nombre en la obra, se reconoce la cruel guerra del Líbano que tuvo lugar entre 1975 y 1989; por ejemplo, el incendio del autobús en 1975 y las masacres de los campos de refugiados de Sabra y Chatila se evocan a lo largo de la obra. Más información Página de Wajdi Mouawad dedicada a la obra: http://www.wajdimouawad.fr/archives/incendies Representación en el Teatro Español (en versión original subtitulada): Crítica y Fotografías Alfonso Jesús Población Sáez, La conjetura de Siracusa, reseña sobre la película Incendies basada en la obra de W. Mouawad, DivulgaMAT, Cine y Matemáticas, mayo de 2011. La versión para el cine es un poco diferente a la obra original. Nota: Las traducciones de los extractos de la obra son de la autora de la reseña. Notas: [i] No caigas, Nawal, no digas sí. Dí no. Niega. [....] No aceptes, Nawal, no aceptes nunca. Pero, para poder negar, hay que saber hablar. [...] Aprende a leer, a escribir, a contar, a hablar: aprende a pensar. Nawal. Aprende. [ii] No puedo decir en este momento cuántos de entre vosotros pasarán por las pruebas que le esperan. Las matemáticas que habéis conocido hasta ahora han tenido como objetivo encontrar una respuesta estricta y definitiva a problemas estrictos y definitivos. Las matemáticas en las que os embarcáis al seguir este curso de introducción a la teoría de grafos son de naturaleza completamente diferente, porque se tratará con problemas insolubles que os llevarán siempre a otros problemas igualmente insolubles. La gente de vuestro entorno os repetirá que eso en lo que os obstináis es inútil. Cambiará vuestra manera de hablar, y más aún, vuestra forma de callar y de pensar. Esto es precisamente lo que menos os perdonarán. Os reprocharán a menudo el malgastar vuestra inteligencia en ejercicios teóricos absurdos en vez de ponerla al servicio de la investigación contra el SIDA o de un tratamiento contra el cáncer. No tendréis ningún argumento para defenderos, ya que vuestros argumentos son en sí mismos de una complejidad teórica absolutamente agotadora. Bienvenidos a las matemáticas puras, es decir, al país de la soledad. Introducción a la teoría de grafos. [iii] Consideremos un polígono simple con cinco lados etiquetados A, B, C, D y E. Llamamos a este polígono, el polígono K. Ahora imaginemos que este polígono representa el plano de una casa donde vive una familia. Y en cada rincón de la casa se sitúa uno de los miembros de esta familia. Reemplacemos por un instante A, B, C, D y E por la abuela, el padre, la madre, el hijo, la hija que viven juntos en el polígono K. Nos planteamos entonces la cuestión de quien –desde el punto de vista que ocupa– ve a quien. La abuela ve al padre, a la madre y a la hija. El padre ve a la madre y a la abuela. La madre ve a la abuela, al padre, al hijo y a la hija. El hijo ve a la madre y a la hermana. Por último, la hermana ve a su hermano, a la madre y a la abuela. [...] Ahora, quitemos las paredes de la casa y unamos mediante caminos sólo los miembros de la familia que se ven. El dibujo al que llegamos se llama grafo de visibilidad del polígono K. [...] Hay tres parámetros con los que jugaremos a lo largo de los próximos tres años: las aplicaciones teóricas de los polígonos... [...] Los grafos de visibilidad de los polígonos... [...] Por último, los polígonos y su naturaleza. [...] El problema es el siguiente: para cualquier polígono simple, se puede trazar fácilmente –como hemos demostrado– su grafo de visibilidad y su aplicación teórica. Ahora, ¿cómo se puede –partiendo de una aplicación teórica, ésta por  ejemplo–, dibujar el grafo de visibilidad y así encontrar la forma del polígono concordante? ¿Cuál es la forma de la casa en la que viven los miembros de la familia representada por esta aplicación? Intentad dibujar el polígono. [...] No lo conseguiréis. La teoría de grafos se basa esencialmente en este problema, de momento imposible de resolver. Ahora bien, es esta imposibilidad la que es  bella. [iv] En matemáticas, 1 + 1 no son 1,9 o 2,2. Son 2. Ya se esté de buen humor o se sea  infeliz, 1 y 1 son 2. Todos pertenecemos a un polígono, Sr. Lebel. Pensé que conocía mi lugar en el interior del polígono al  que pertenezco. Creía ser el punto que sólo ve a su hermano Simon y a su madre Nawal. Ahora, me entero de que, desde el lugar que ocupo, es posible que pueda ver también a mi padre; me entero además de que existe otro miembro de este polígono, otro hermano. El grafo de visibilidad que siempre he dibujado es falso. ¿Cuál es mi lugar en el polígono? Para saberlo, tengo que resolver una conjetura. Mi padre está muerto. Ésa es la conjetura. Todo lleva a pensar que es verdadera. Pero nada la demuestra. No he visto su cadáver, no he visto su tumba. Es posible, por lo tanto, entre el 1 y el infinito, que mi padre esté vivo. Adiós, Sr. Lebel. [v] S: Siempre me has dicho que uno más uno son dos. ¿Es verdad? J: Sí ... Es verdad ... S: ¿No me has mentido? J: ¡No! Uno y uno son dos! S: ¿Nunca es uno? J: ¿Qué has descubierto, Simon? S: Uno más uno ¿ puede ser uno? J: Sí. S: ¿Qué? [...] S: Explícame como uno más uno puede ser uno, siempre me has dicho que no entendía nada, así que ¡ahora  es el momento! ¡Explícame! J: ¡De acuerdo! Hay una conjetura muy extraña en matemáticas. Una conjetura que nunca se ha demostrado. Me vas a dar un número, cualquiera. Si el número es par, se divide por dos. Si es impar, se multiplica por tres y se suma uno. Haremos lo mismo con el número que se obtiene. Esta conjetura afirma que cualquiera que sea el número de partida, por este procedimiento se llega siempre a uno. Di un número. S: Siete. J: Bueno siete es impar. Lo multiplicamos por tres y le añadimos uno, da... S: Veintidós. J: Veintidós es par, se divide por dos. S: Once. J: Once es impar, se multiplica por tres, y se añade uno: S: Treinta y cuatro. J: Treinta y cuatro es par. Se divide por dos, diecisiete. Diecisiete es impar, se multiplica por tres, y se suma uno, cincuenta y dos. Cincuenta y dos es par, se divide por dos, veintiséis. Veintiséis es par, se divide por dos, trece. Trece es impar. Se multiplica por tres y se suma uno cuarenta. Cuarenta es par, se divide por dos, veinte. Veinte es par, se divide por dos, diez, diez es par, se divide por dos, cinco. Cinco es impar, se multiplica por tres y se suma uno. Dieciséis. Dieciséis es par, se divide por dos, ocho, ocho es par, se divide por dos, cuatro, cuatro es par, se divide por dos, dos, dos es par, se divide por dos, uno. Independientemente de la cifra inicial, se llega a... ¡No! [vi] Hay verdades que sólo pueden ser reveladas a condición de ser descubiertas.

Jueves, 27 de Diciembre de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

613. 70. (Diciembre 2012) "Rationnel mon Q. 65 exercices de style", por Ludmila Duchêne y Agnès Leblanc

Exercices de style es una de las obras más famosas de Raymond Queneau: editado en 1947, este original libro narra de 99 maneras diferentes la misma historia. Ya hemos hablado de ella –y de algunas de sus versiones– en la entrada Ejercicios de estilo (basados en la obra de Raymond Queneau), en la sección de Teatro y matemáticas de este mismo portal. Portada del libro Rationnel mon Q. 65 exercices de style[i] (editorial Hermann, 2010) de Ludmila Duchêne y Agnès Leblanc, es otra de las versiones de la obra de Queneau: esta vez, de 65 maneras diferentes se demuestra que √2 –y algunos más, como √3, √11 ó √42– es un número irracional. En la contraportada del libro se puede leer[ii]: Racine carrée de 2, c'est 1,414 et des poussières... Et quelles poussières ! Des grains de sable qui empêchent d'écrire racine de 2 comme une fraction. Autrement dit, cette racine n'est pas dans Q. Telle est l'histoire, une vérité mathématique connue et même démontrée depuis longtemps, parfois injustement négligée. C'est cette histoire qui inspire ici aux deux auteurs complices que sont Ludmilla Duchêne et Agnès Leblanc, soixante-cinq «exercices de style» à la manière de Raymond Queneau, des pastiches mêlant science, littérature, et même cinéma. Avec la participation exceptionnelle, pour parler de Q et de racines carrées, de Abel Bourbaki, Lewis Caroll, Pâquerette Dugras, Euclide, Fellini, Goldbach, Hitchcock, Idéfix, Monsieur Jourdain, Kafka, François Le Lionnais, Mersenne, le petit Nicolas, Ohm, Perec, Queneau, Racine, Stokes, Thaïes, Ulysse, Anton Voyl, Witten, X, Yang, Zazie, et d'autres... Los 65 ejercicios de estilo con los que se demuestra la irracionalidad de √2 son: De quoi s’agit-il ? Notations Alexandrins Rationnel mon Q Charades W ou la belle absente Ceci n’est pas une preuve Homothéties Devoir maison Vulgaire Limite pédant Démonstration digressive de l’irrationalité de la racine carrée de 2 - Est-ce bien réel ? s’interrogea Pécuchet Le rêve de Théétête Écrit à l’imparfait Exo-tique Irrégularité de √2 (irrationalité + 7) Mécréant Je me souviens de √11 et que ce n’est pas rationnel Irrationalité de √2 (source) Pages Jaunes Mersenne ne m’aime En attendant G Haïku Coquilles Comédie Anglicismes Messages personnels Monophrase X Cahiers du cinéma La mort aux trousses Minimaliste Géométrie Malistemini Passe ton bac d’abord Barry Lyndon Y Portrait de l’artiste en jeune fille Troisième degré Beweis ohneWorte Tragédie Version latine Philatélie K Désinvolte Page Blanche Notation polonaise inverse Où radical-3 du corps Q disparaît Lettre officielle Towards a Stringy Proof of the Irrationality of √2 Électronique Et crie : oh ! parfait ! Quintine (ou cinquine) De l’autre côté du miroir Description Bourbachique Permutations Les désarrois du fond de la classe Quarante-deux De notre prison... Zeugmatique Anagrammes Fonctoriel Lysistrata Las autoras hacen continuos guiños a textos y a contraintes –trabas, restricciones en la escritura– del grupo OuLiPo. Se refieren, por ejemplo, a algunos de los denominados plagiarios por anticipación –escritores que han trabajado sujetos a contrainte de manera más o menos consciente, antes de la fundación de OuLiPo–. También utilizan a lo largo de sus ejercicios de estilo contraintes como el anagrama (ejercicio de estilo 63), el lipograma (ejercicio de estilo 49), la traba del prisionero (ejercicio de estilo 61), la quenina de orden 5 (ejercicio de estilo 54), la quenina de orden 7 –que no existe– (ejercicio de estilo 58), el monovocalismo (ejercicio de estilo 14), S+7 (ejercicio de estilo 17), la bella ausente (ejercicio de estilo 6) o la homofonía (ejercicio de estilo 53). Además, aluden a obras de otros autores, como Esperando a Godot de Samuel Beckett (ejercicio de estilo 23), Mersonne de m’aime de Nicole-Lise Bernheim y Mireille Cardot (ejercicio de estilo 22), Al otro lado del espejo de Lewis Carroll (ejercicio de estilo 55), Bouvard et Pécuchet de Gustave Flaubert (ejercicio de estilo 13), W ou le souvenir d’enfance de Georges Perec (ejercicio de estilo 6), Je me souviens de Georges Perec (ejercicio de estilo 19) o Lisístrata de Aristófanes (ejercicio de estilo 65). Incluso se hacen referencias al cine –por  ejemplo a Con la muerte en los talones de Alfred Hitchcock (ejercicio de estilo 32) o Barry Lyndon de Stanley Kubrick (ejercicio de estilo 37)– y a la pintura de René Magritte y su Esto no es una pipa (ejercicio de estilo 7). Como ejemplo, os muestro En attendant G, el ejercicio de estilo 23[iii]: -       Qu’est-ce qu’on fait maintenant ? -       En attendant. -       En attendant. Silence -       Si on faisait nos exercices ? -       Nos enchaînements. -       Logiquement. -       Avec application. -       Circonvolutions. -       Application. -       Pour nous réchauffer. -       Pour nous calmer. -       Allons-y. Ils ne bougent pas. Para gentes de matemáticas y para aquellas que no lo sean, el libro permite divertirse –y ‘demostrar’ una importante propiedad referente a números irracionales– con estilos muy diferentes... y ¡sorprendentes!   Notas: [i] Fonéticamente, el título suena muy parecido a “Rationnel mon cul”, que significa –en versión ‘poco vulgar’– “Racional, ¡venga ya!”. [ii] La raíz cuadrada de 2, es 1,414 y un poquito más... ¡Y qué poquito más! Granos de arena que impiden escribir la raíz de 2 como una fracción. De otra manera, esta raíz no está en Q. Así es la historia, una verdad matemática conocida e incluso demostrada desde hace tiempo, a veces injustamente olvidada. Ésta es la historia que inspira a las dos cómplices autoras –Ludmila Duchêne y Agnès Leblanc– sesenta y cinco "ejercicios de estilo" a la manera de Raymond Queneau, pastiches mezclando ciencia, literatura e incluso cine. Con la participación excepcional, para hablar de Q y de raíces cuadradas, de Abel Bourbaki, Lewis Caroll, Pâquerette Dugras, Euclides, Fellini, Goldbach, Hitchcock, Idéfix, Monsieur Jourdain, Kafka, François Le Lionnais, Mersenne, le petit Nicolas, Ohm, Perec, Queneau, Racine, Stokes, Thales, Ulises, Anton Voyl, Witten, X, Yang, Zazie, y otros... [iii] - ¿Qué hacemos ahora? - Mientras esperamos. - Mientras esperamos. Silencio - ¿Y si hiciéramos nuestros ejercicios? - Nuestros encadenamientos. - Lógicamente. - Con aplicación. - Circonvolución.. - Aplicación. - Para entrar en calor. - Para calmarnos. - Vamos. No se mueven.

Viernes, 21 de Diciembre de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

614. 75. Cuentos Navideños

De nuevo Navidades, época en la que un montón de tópicos reaparecen en nuestras vidas durante unos días. Un tiempo que los niños viven con ilusión (que al menos no nos quiten eso), en el que cuentos y películas infantiles afloran por todas partes. Y algunos incluyen a nuestras “queridas” matemáticas. No sé si fue el primero, pero desde que Lewis Carroll nos introdujera en su maravilloso país en 1865 persiguiendo a un conejo, la literatura ha utilizado hasta la saciedad el mismo esquema para niños y niñas aburridos de la cotidianeidad de su vida (aburrimiento que, por cierto, siguen padeciendo los niños y niñas actuales a pesar de que hoy “disfrutan” de más y mejores juguetes, léanse, móviles, ipads, consolas, redes sociales, mp’s, tablets, DVD´s, y demás cacharrillos, además de los entretenimientos de siempre, que al parece ya no valen, como libros, tebeos, muñecas, coches, juguete completo, juguete Comansi (ah no, perdón, se me fue la pinza por momentos, ya saben, la edad; disculpen ustedes). Sin rebuscar demasiado, a uno se le ocurren un montón de ejemplos: en 1900 Lyman Frank Baum publica El maravilloso mago de Oz con otra niña como protagonista, en 1950 C. S. Lewis lleva a unos niños a Narnia a través de un armario, etc., etc. En fin que parece que a este tipo de escritores no se les ocurre mejor modo de empezar que meter a los niños en los líos que a ellos les placen (con trasfondo afín a ellos: mitológico, religioso, matemático o simplemente aventurero) a través de un sueño o persiguiendo a alguien o simplemente jugando. Varía la aventura, pero el inicio, esencialmente es el mismo (¿poca imaginación? ¿o es que como alguien dice por ahí, ya está todo inventado?). Y no es que Carroll tuviera la genial idea. Antes (en 1726) el capitán Lemuel Gulliver despierta de un naufragio en lugares también exóticos, o en 1843 el avaro Ebenezer Scrooge tras una aparición y un sueño posterior descubre el mal bicho que es para redimirse posteriormente. Seguramente vosotros ilustrados lectores podáis decirnos ejemplos anteriores aún con inicios similares (probablemente hasta en la Biblia o en algún clásico griego como la Odisea o la Iliada aparezca algo similar, pero ahora no se me ocurre). Estamos hablando de grandes clásicos, cuya valía, literaria y novelesca, es por supuesto innegable. Si echamos un vistazo al cine y la televisión, tanto en producciones de animación como de personajes reales, el asunto se multiplica rápidamente (y aquí no sólo con adaptaciones de obras de calidad, sino también con mediocridades). Pues bien, en esta reseña vamos a recomendar para estas fechas un libro y su adaptación cinematográfica, cuyo inicio es absolutamente idéntico a los comentados, pero en cuyo desarrollo se nos plantea la eterna discusión, la desafortunada dicotomía que tantos desastres ha provocado, provoca, y tal y como nuestros sapientísimos gestores siguen proponiendo en sus planes de estudio, seguirán fomentando, entre las Ciencias y las Letras (o las Letras y las Ciencias, para que nadie se enfade; simplemente seguí el orden alfabético). Se trata de un libro muy popular en los países anglosajones, pero que aquí en España no lo es tanto. De hecho su adaptación cinematográfica nunca se ha estrenado en nuestro país (y no sé si se ha pasado alguna vez por alguna televisión doblada al castellano de Hispanoamérica, porque allí sí se estrenó), pero que gracias a Internet podemos ver sin demasiados problemas. Es The Phantom Tollbooth, del escritor Norton Juster, publicada en 1961, que en Hispanoamérica se publicó como La caseta fantasma. Como siempre, como mandan los buenos cánones cinefílicos, vayamos primero con una pequeña ficha técnica y artística de la película. LA CASETA FANTASMA Título Original: The Phantom Tollbooth. Nacionalidad: EE. UU., 1970. Director: Chuck Jones, Abe Levitow y Dave Monahan. Guión: Chuck Jones y Sam Rosen, basado en el libro de Norton Juster. Fotografía: Lester Shorr, en Color  Montaje: William Faris. Música: Dean Elliott. Duración: 90 min. Intérpretes: (salvo el niño protagonista, todos los demás son las personas que ponen voz a los personajes animados) Butch Patrick (Milo), Mel Blanc (Oficial Short Shrift / El deletreador de palabras / El Dodecaedro / El demonio de la falsedad), Daws Butler (El Agorero), Candy Candido (La horrible Faz), Hans Conried (Rey Azaz / El Matemago), June Foray (Ralph / La Bruja Bondadosa / Princesa de la Razón Pura), Patti Gilbert (Princesa de la Dulce Rima), Shepard Menken (Tock), Cliff Norton (La Abeja Deletreadora / Tomador Oficial de los Sentidos), Larry Thor (Cacófono A. Dischord), Les Tremayne (El fanfarrón charlatán ). Argumento: Milo es un niño al que le aburre el mundo que le rodea, cada actividad le parece una pérdida de tiempo, incluido, por supuesto el colegio. Un día, al salir de clase, llega a casa encontrándose en su dormitorio un misterioso paquete que contiene una cabina de peaje en miniatura, un coche galvanizado, un manual de circulación y un mapa de "las tierras de más allá", entre otras cosas. Adjunta hay una nota: "Para Milo, que tiene un montón de tiempo". De un compartimento del coche aparecen las monedas para pagar el peaje, coge el mapa, conduce a través de la estación de peaje en el coche de juguete, y al instante se encuentra en una carretera a un lugar denominado Expectativas. Tiene un encuentro con un oficial de policía que pretende encarcelarlo a toda costa, aunque logra darle esquinazo. Continúa su trayecto, y pronto se aburre de la monótona carretera, no prestando atención al recorrido, perdiéndose en las Aguas Mansas (The Doldrums), un lugar sin color donde pensar o reír no está permitido. Unos seres llamados “letargos” se encargan de que no se desperece, ni piense en nada, que se deje llevar. Es rescatado por Tock, un "perro guardián" que lleva un reloj de alarma que se une a Milo en su viaje. Tock le explica que el Reino de la Sabiduría está dividido en dos estados: Diccionópolis, el Reino de las palabras, gobernado por el Rey Azaz, el del texto completo, cuya máxima es “las palabras son más importantes que los números”; y Digitópolis, el Reino de las matemáticas, gobernado por su hermano el Matemago, cuyo ideario se resume en “los números son más importantes que las palabras”. Ambos tiene dos hermanas menores, la Princesa de la Dulce Rima, y la Princesa de la Razón Pura, respectivamente. Todos vivían en armonía hasta que los gobernantes no estuvieron de acuerdo con la decisión de las princesas de que las letras y los números son igualmente importantes. Desterraron a las princesas al Castillo en el aire, y desde entonces, el Reino de la Sabiduría ha estado plagado de discordia y falta de armonía. También se encuentra la Montaña de la Ignorancia, donde viven varios demonios que están siempre al acecho de pescar algún incauto. En su camino, casi se chocan con el carromato del Doctor de Disonancia, Cacófono A. Dischord, que tratará de hacer beber a Milo un brebaje lleno de sonidos desagradables. Logran escapar, llevándose Tock un frasco etiquetado como Sonrisas. De nuevo en carretera observan cómo las personas recogen de los árboles letras, por lo que deducen que han entrado en Diccionópolis. Visitan el Mercado de las palabras, donde todas las letras y palabras del mundo se compran y se venden. Hay  puestos de venta de Frases, Nombres, Conjunciones, Palabras poéticas, etc., y hasta baratillos donde lo mismo puedes comprar una bolsa de pronombres que una oferta especial de adjetivos. En el mercado conocen dos curiosos personajes, El farsante (Blustering Humbug) un personaje bien vestido charlatán fanfarrón que emplea palabras rebuscadas (incluso en latín) pero que no dice nada en el fondo; y la Abeja Deletreadora (Spelling Bee). Ambos se enzarzan en un singular combate, primero verbal, luego de esgrima, y finalmente a porrazo limpio, destrozando algunos tenderetes. Aparece entonces el policía nuevamente que encarcela a Milo, Tock y al farsante, sentenciándolos a seis millones de años de condena. En la lóbrega prisión conocen a la Bruja Bondadosa (Faintly Macabra), “una bruja del cual”. Al poco, el rey Azaz los invita a un banquete en el que los invitados se comen literalmente sus palabras. Después de charlar un rato, Milo y Tock logran convencer al rey de que lo mejor para el reino sería rescatar a las princesas cautivas. Azaz designa al charlatán como guía, y éste, junto al chico y su perro guardián se dirigen a Digitopolis, lugar donde reside el Matemago, para obtener también su aprobación para la búsqueda. Antes de partir, el rey entrega a Milo una bolsa con todas las palabras e ideas que conoce (“Con ellas podrás hacer todas las preguntas que nunca fueron contestadas, y responder a todas las preguntas que nunca fueron hechas. Todos los grandes libros del pasado y los que vendrán están en la bolsa. Usa bien estas palabras, y no habrá obstáculo que no puedas vencer”). Según se van acercando a Digitópolis, el paisaje va cambiando y se van viendo números en las cunetas. En un momento dado se topan con una puerta cerrada que da acceso a la Mina de los Números, un lugar donde se excavan los números y se desechan las piedras preciosas. Gracias a otro curioso personaje, el Dodecaedro y a los conocimientos matemáticos de Milo (hablaremos de ello más adelante, en la parte de Comentarios) consiguen entrar y conocer al Matemago, que los lleva a su laboratorio. Milo logra convencer al pertinaz personaje, haciendo una demostración (no podía ser de otro modo, vencerle con sus propios argumentos) de lo bueno que sería rescatar a las princesas. Como ayuda en su camino al Castillo en el Aire (donde se encuentran cautivas las princesas) le entrega un lapicero que “resolverá todos los números, teoremas, ecuaciones e ideas matemáticas que el mundo conoce, o que llegará a conocer. Úsalo bien y no habrá nada que no pueda hacer por ti”. A lo largo del camino seguirán encontrándose con personajes curiosos como Chroma el Grande (un director de orquesta), el único hombre cuerdo que queda en el país y que gracias a él las puestas y salidas del sol aún funcionan. También encuentran al Tomador Oficial de los Sentidos (un funcionario) que los agobia con preguntas, impresos y formularios a rellenar para poder seguir. Gracias a la botella de la risa que Tock tomó prestada logran zafarse de él. En las Montañas de la Ignorancia, los tres intrépidos viajeros tienen que lidiar con los demonios obstruccionistas que los acechan, como Trivium el Terrible, un demonio sin rostro de las tareas triviales y trabajo inútil que los insta a realizar tareas que no sirven para nada, o el Demonio de la Falsedad, el Gigante Gelatinoso, o las Gorgonas del Odio y la Malicia, entre otros. Después de superar a todos ellos, y sobre todo sus propios miedos, los buscadores llegan al Castillo en el aire. Las princesas dan la bienvenida a Milo, de hecho le estaban esperando porque fueron ellas las que lo mandaron llamar, y se comprometen a volver a Sabiduría. Cuando el grupo se va, Tock las lleva a través del cielo, porque, después de todo, el tiempo vuela. Los demonios los persiguen, pero los ejércitos de Sabiduría logran repelerlos. Los ejércitos de Sabiduría dan la bienvenida a las princesas en su regreso a su casa, el Rey Azaz y el Matemago se reconcilian, y todos disfrutan de una fiesta de carnaval de tres días por el regreso de las princesas Rima y Razón. Milo se despide yéndose en el coche en el que llegó, suponiendo que ha estado fuera de casa durante varias semanas. En el camino vislumbra la cabina de peaje dirigiéndose hacia ella. De repente aparece en su habitación, y descubre que ha estado fuera sólo cinco minutos. Intenta volver a la caseta pero ésta se auto-empaqueta y sale volando con destino al hogar de otro niño aburrido. Aunque en un principio se siente un tanto decepcionado, recapacita, mira a su alrededor y descubre que el mundo en que vive es hermoso e interesante y que tiene que disfrutarlo a cada momento. Comentarios Como vemos, tras un inicio convencional, el desarrollo no lo es menos, siguiendo las típicas pautas de un viaje iniciático, con maestro de ceremonias (Tock, el perro guardián) que enseña y saca de apuros al protagonista que debe ir superando una serie de pruebas al estilo de los trabajos de Hércules. La puesta en escena es la típica de los productos infantiles de finales de los sesenta en las películas que mezclan animación y personajes reales (muy Disney aunque sea Metro Goldwyn Mayer) sin faltar tampoco la media docena de canciones ad hoc. Afortunadamente hay pocas escenas con el personaje real: el 90% de la película es de animación, con unos sugerentes e inteligentes dibujos del gran Chuck Jones (recuérdese en esta misma sección la reseña número 28 sobre el mediometraje La Recta y el Punto, Enero de 2008), aunque sus mejores trabajos fueron para la Warner y sus Looney Tunes. Lo más interesante en este caso es la (como pasa en Gulliver) la crítica a nuestra sociedad y sus modos de vida que van desfilando con cada personaje, que lejos de pensar que es una visión sesentera, se ha acentuado aún más en nuestros días, estando de plena actualidad. Así la aparición de personajes que hablan mucho pero sin decir nada (“A la gente parece no importarle que palabras usan mientras usen muchas”), cada frase del hipócrita farsante, cuando Milo tiene que comerse su propio discurso (“Debiste haber hecho un discurso más sabroso”), los datos que les pide el Tomador Oficial de los Sentidos (“Necesito sus nombres para que puedan seguir. ¿Cuándo nacieron? ¿Dónde nacieron? ¿Por qué nacieron? ¿Qué edad tienen? ¿Qué edad tenían? ¿En qué año viven? Talla de zapato, camisa, cuello y sombrero. Nombres y referencias bancarias de seis personas que confirmen esa información. Luego se podrán ir” En este momento están tapados por formularios. Y el funcionario sigue tirando tinta e instancias, hablando a toda velocidad. “Anoten lo indicado. Su altura, su peso. ¿Cuántos helados toman por semana? ¿Cuántos no toman por semana? Quiero tomar su sentido del deber, su sentido de la proporción, y especialmente, su sentido de la dirección”) y la forma de derrotarle (con un frasco de la risa; podemos aplicarnos el cuento), los trabajos inútiles del Terrible Trivium (con unas pinzas les pide que trasladen de sitio una enorme pila de arena, con una aguja deben hacer un agujero en una roca, con una jeringuilla vaciar un pozo; “Pero esas tareas no son importantes”. Respuesta: “Claro que no lo son. Si haces los trabajos fáciles e inútiles, nunca tendrás que preocuparte por los importantes”), o cómo derrotan al Gigante Gelatinoso (le dan la bolsa de las ideas, y el monstruo exclama ¡Aventurarse es aterrador! Esto mismo debe pensar el actual gobierno a tenor de las imaginativas medidas que está tomando actualmente), etc. Abundan además los juegos de palabras e ideas: al preguntar Milo al agorero si el camino que lleva es el que lleva a Diccionópolis, éste responde: “No conozco ningún camino equivocado a Diccionópolis. Este debe ser el camino correcto, y si no lo es, debe ser el camino correcto a alguna parte, ¿no crees? No hay caminos equivocados a ninguna parte”. Cada personaje es un estereotipo de algún oficio u ocupación real de nuestra sociedad, y su nombre así lo define también. El oficial de policía se llama Short Shrift, que podría traducirse como Poca Atención, aludiendo a que no hace ni caso a lo que sus “clientes” argumentan. Disfruta arrestando y encarcelando a la gente (se presenta gritando “Culpable, culpable, culpable”), pero no se preocupa de mantenerlos encerrados; El Agorero (Whether Man) que es un meteorólogo (jugando por tanto con la pronunciación similar, Weather Man). Siempre se está haciendo preguntas, y no está seguro de nada; Cacófono A. Dischord, al que le encanta el ruido, su apellido hace referencia a la disonancia. Según la novela, la A indica "As Loud As Possible!"(Lo más estridente posible); Faintly Macabra (Débilmente Macabra), la bruja bondadosa del cual (otro juego de palabras entre Which y Witch) que ayuda a la gente a escoger cuales palabras son más apropiadas; etc., etc. Lo cierto es que sólo leyendo el libro en versión original es posible apreciar algunos de estos giros y gags. Las Matemáticas Evidentemente la mayor parte de las referencias matemáticas aparecen al llegar a Digitópolis y encontrarse con el Matemago. No obstante hay algunas referencias previas: cuando Milo está aburrido en el colegio, oímos de fondo E = mc2, y en el encuentro con los Letargos, en la canción se vuelve a citar la fórmula y a Albert Einstein (también se cita a Isaac Newton); hablando por teléfono con su amigo Ralph, otro aburrido compañero, le dice “¿Qué interés tiene sustraer un número de otro y llevarse tres?”, referencia que vuelve a aparecer en otra canción en la forma “Nueve por cuatro, treinta y seis, y me llevo tres”. Al llegar a la entrada cerrada de la Mina de los Números, el Farsante llama a la puerta concluyendo rápidamente “Es inútil. El muro es absolutamente impenetrable”. Se oye entonces una voz que los pregunta cuál es su problema. Miran hacia arriba y ven una figura con lados de colores (ver imagen) que se presenta así: “Mis ángulos no son muchos, mis caras no son pocas. Soy el Dodecaedro”. Milo se pregunta entonces, “¿Qué es un dodecaedro?” Tock, su perro guardián, se lo aclara: “Según recuerdo, es una figura de 12 caras”. Entonces el personaje comienza a girar sus lados (“Observalo tú mismo”), cambiando de color, pero sin moverse del lugar, aclarándonos que lo hace para usar una cara cada vez y que el desgaste sea igual por todas ellas. Los informa de que el único camino a Digitópolis pasa por entrar en la Mina de los Números. A Tock se le ocurre que para franquear la puerta quizá haya que hacer como cuando escaparon de las Aguas Mansas, pensando en Matemáticas: Dodecaedro: ¿Recuerdas algo de Matemáticas? Milo: Dos cosas son iguales entre sí cuando son las mismas entre ellas… La puerta comienza a resquebrajarse. Dodecaedro: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,.... ¿se conoce cómo? Milo: ¡La serie Fibonacci! Dodecaedro: Algo que sea a la vez magnitud y dirección. Milo: Las escalas son una sola magnitud. (La puerta se rompe por completo). ¡Lo hicimos, lo hicimos! Farsante (estirado en el coche): Sí, lo logramos con nuestra inteligencia. Fue una suerte que recordáramos la serie de Fibonacci, ¿eh? La verdad es que si analizamos con detenimiento lo dicho, poco sentido lo encontramos o es equivocado. La sucesión de Fibonacci no empieza en el cero, la indicación de cuando dos cosas iguales es absurda (quizá quisieran decir, dos cosas son iguales cuando superpuestas coinciden, o algo así), y a la última cuestión, Milo sale con algo que no tiene mucho que ver. Al entrar en la mina observan cómo brillan los números. Milo dice entonces “Vaya, y yo que creía que los números no eran importantes ni valiosos”. Entonces se oye grita al Matemago: Matemago: ¡No son importantes, ni valiosos! Por los 4.827.659 cabellos de mi cabeza, yo les diré lo que es importante. Comienza entonces la latosa canción de turno, cuya letra dice más o menos lo siguiente: No puedes tener un buen día sin el UN, ¿verdad? No podrías tener te para dos, sin el DOS, ¿o sí? No podría haber tres cerditos sin el TRES. Así que, verás que los números son la CUARTA, QUINTA, SEXTA, SÉPTIMA y OCTAVA maravillas del mundo. Si tienes un gran plan, ¿cómo sabes que es tan grande? Con NÚMEROS. Si tienes autoestima alta, ¿cómo sabes cómo es de alta? Con NÚMEROS. Si tienes un pensamiento profundo, ¿cómo sabes cuan profundo es? Con NÚMEROS. Si tienes un encuentro cercano, ¿cómo sabes que está cerca? Con NÚMEROS. Si tomas una amplia decisión, ¿cómo sabes lo amplia que es? Con NÚMEROS. Con NÚMEROS. Es la manera. Los números pueden ser decimalizados, verificados, manipulados, adelantados, retrasados y reemplazados. Los números pueden ser sumados, restados, divididos, multiplicados, cruzados, borrados. Pero no con las palabras, ¡te azoras con las palabras! Las palabras las tienes que guardar, cuidar, sopesar, rimar, saber, decir. Pero es increíble lo que puedes hacer con un dígito o dos. Todo lo que necesites saber, ellos te lo harán saber. Y cuando tengas que resolver problemas, y se vuelvan complicados Nunca temas Sólo divídelos, divídelos, divídelos y divídelos, hasta que desaparezcan. ¡Nada cuenta más que los números! Números, números, números, maravillosos números. Hermosos los decimales, cuadrados y rombos en series Son una gran inspiración. Las palabras son una decepción Del UNO al NUEVE, ¿quién da más? Sirvan vino. ¡Brindemos juntos por los números! Lo más interesante de la canción, bajo mi punto de vista, es la referencia a la paradoja de Zenón: dividiendo a la mitad sucesivamente. El resto es lo típico, y es más podía haberse cogido ejemplos mucho más contundentes, pero claro, cómo él mismo Matemago apunta, las imitaciones de las palabras (en rima, por ejemplo) hacen que la canción no utilice más que trivialidades (pero ojo, recordemos que el cine siempre intenta hacer referencias en las matemáticas a cosas muy elementales, para que las entienda cualquiera, y en esta caso, hasta un niño). Más interesante conceptualmente es lo que sucede en el laboratorio del Matemago. Al lado de un enorme computador, observamos una pizarra en la que aparecen dos sumas sencillas, el teorema de Pitágoras con el caso particular del triángulo 3, 4, 5, y en la parte superior la gráfica de la curva conocida como el Folio (o la Hoja) de Descartes, propuesta por vez primera por este filósofo y matemático en 1638, de ecuación implícita x3 + y3 – 3xy = 0. Toma la palabra el Farsante, con clara intención de buscar las vueltas al Matemago: Farsante: Muy impresionante, pero, ¿podría mostrarnos el mayor número que existe? (Y dirigiéndose en voz baja, al espectador, dice, “Eso le dará algo a lo que temer”). Matemago: Bien, Sr. Farsante. ¿Cuál cree usted que es el mayor número? Farsante: Nueve trillones novecientos noventa y nueve billones novecientos noventa y nueve millones novecientos noventa y nueve, y nueve décimos. Matemago: Muy bien. Ahora súmele uno a eso. Sume uno otra vez, sume uno otra vez (van sumándose en la pantalla de la computadora). Milo: Pero nunca va a acabar de ese modo. Matemago: Nunca porque el número que buscas es siempre menos uno más que el que tienes. Y ese es tan grande que si empezaras a decirlo ayer, no acabarías hasta mañana. Espero que te quede claro. Milo: Nada está claro para mí, ni aquí ni en Diccionópolis. Es el momento en el que Milo aprovecha para hablar de las princesas y sus planes de rescate. Matemago: ¿Y Azaz está de acuerdo? Milo: Sí, lo está. Matemago: Pues yo no. Nunca hemos estado de acuerdo en nada, ni lo estaremos. Milo: ¿Y si le demuestro lo contrario? ¿Tendremos su permiso? Matemago: ¡Claro! ¡Por supuesto! Milo: Bien. Si Azaz está de acuerdo en algo, usted no lo está, ¿correcto? Matemago: Correcto. Milo: Y si Azaz no está de acuerdo en algo, usted sí, ¿correcto? Matemago: Correcto. Milo: Luego los dos están de acuerdo en no estar de acuerdo con el otro, ¿cierto? Matemago: Cierto. Milo: Entonces admita que está de acuerdo en algo con Azaz. ¡En no estar de acuerdo! Matemago: ¡Me has ganado! Un buen ejemplo para introducir a niños (y no tan niños) en el juego de la lógica y las paradojas. Más cogido por los pelos es el modo de derrotar al monstruo Hipócrita de las dos caras. Recuerda que los reyes le dijeron que uniendo el lápiz del matemago y la bolsa de las palabras podría lograr cualquier cosa. Escribe una fracción diciendo “V de Victoria sobre Hipócrita de doble cara” (en inglés Two-faced hypocrite, de ahí el 2f(h) del denominador). “Si eliminamos las dos caras (borra 2f), nos queda V sobre h” (rebusca en la bolsa de las palabras, sacando FORTHRIGHT; aquí no veo la relación con la fracción anterior, salvo que pronunciando ambas, el sonido tenga cierto parecido). “Todo lo que necesito es un 4” (será porque “four” suena como “forth”). Lo dibuja, y lo utiliza como arco con el que disparar las palabras necesarias. La película se realizó en 1968, pero debido a los problemas financieros de la MGM (Metro Goldwyn Mayer) y a su habitual cambio de dirección, no se estrenó hasta 1970, con muy poca promoción publicitaria, pasando bastante desapercibida. El mayor defecto de la película es que puede provocar la espantada de sus dos públicos potenciales: hay demasiado texto y terminología específica para los niños más pequeños, que abandonan por no entender de lo que les hablan, y para los chicos mayores y los adultos quizá tenga una carga demasiado intelectual, teniendo en cuenta que muchos sólo pueden pretender pasar un rato entretenido y no tener que pensar excesivamente. Una hora de programación educativa es una cosa, una película de noventa minutos acerca de las palabras, la gramática, los números y la sociedad es otra diferente. En cualquier caso, lo mejor es verla y opinar después. La película completa, subtitulada en castellano (de Hispanoamérica) y dividida en seis trozos de quince minutos cada uno, puede verse en la dirección http://www.ccoli.com/videos/yt-AITFXfVFT4I El autor Norton Juster (nacido en Brooklyn, Nueva York,  el 2 de junio de 1929) es arquitecto y escritor, aunque es más conocido como autor de libros y cuentos infantiles como La caseta fantasma (The Phantom Tollbooth) y El punto y la recta (The Dot and the Line). The Phantom Tollbooth fue escrita en 1961 y editada en 1968. Jules Feiffer, un compañero de piso de Juster, realizó las ilustraciones. Aunque le gusta escribir, su carrera como arquitecto ha sido prioritaria. Fue profesor de arquitectura y diseño ambiental en el Hampshire College desde 1970 hasta su jubilación en 1992. Juster vive en la actualidad en Amherst, Massachusetts con su esposa, Jeanne. A pesar de que se ha retirado de la arquitectura, aún escribe. Su libro The Hello, Goodbye Window, publicado en mayo de 2005, ganó la Medalla Caldecott a las ilustraciones de Chris Raschka en 2006. La secuela, Sourpuss y Sweetie Pie, fue publicado en 2008. Sin embargo, su obra más conocida sigue siendo The Phantom Tollbooth. Norton Juster crea un ambiente en el que suceden cosas improbables, y en muchos aspectos su estilo recuerda los libros de Oz de L. Frank Baum. Ambos autores se basan en cosas que vemos todos los días, convirtiéndolas en criaturas y lugares fantásticos. A pesar de sus similitudes, Juster tiene un estilo propio. En 1995, Juster adaptó la obra a un libreto para ópera. Hay varias adaptaciones teatrales. Entre ellas, una en dos actos a cargo de Susan Nanus en 1977, y otra en 2004 por Patrick Sayre y Cole Taylor. En 1995 se estrenó una adaptación musical con letra de Sheldon Harnick y música de Arnold Black. El lector interesado puede encontrar más información sobre ella en http://www.guidetomusicaltheatre.com/shows_p/phantomtollbooth.html En febrero de 2010, el director Gary Ross comenzó el desarrollo de una nueva versión bajo el patrocinio de Warner Bros. cuyo guión fue escrito por Alex Tse. Más Dibujos Animados Si alguien aún no la ha visto, también es recomendable en estas fechas vacacionales, revisionar Donald en el país de las Matemáticas (Donald in Mathmagic Land, Hamilton Luske, EE. UU., 1959), mediometraje de 30 minutos aproximadamente, que aun puede transmitirnos algunos ideas interesantes sobre nuestra disciplina. Por otro lado, son frecuentes en nuestras televisiones las revisiones de clásicos relacionados con la Navidad. Una pequeña cuestión a ver si sois capaces de resolverla. En la película Los hermanos Santa Claus (The Santa Claus Brothers, Mike Fellows, EE. UU.–Canadá, 2001), Santa Claus ha tenido que dejar en manos del duende Snorkel la educación de sus tres hijos por la cantidad de trabajo a la que ha tenido que hacer frente (los niños cada vez piden más cosas). Todos ellos poseen un gran talento científico aunque no está del todo claro que entiendan el verdadero sentido de la Navidad. A uno de ellos le apasionan las matemáticas. ¿Con qué búsqueda se halla obsesionado? ¿Hay más referencias a las matemáticas en esta película? Probablemente en la página de Facebook dedicada a Las Matemáticas en el Cine lancemos una encuesta en relación a películas de dibujos animados en las que las matemáticas estén presentes con alguna cita, argumento, etc. Y también cuentos, libros infantiles que os hayan parecido interesantes. Animaos y participar. ¡¡¡ MUY FELICES FIESTAS PARA TODOS!!! NOS VEMOS EL AÑO QUE VIENE (Confiemos)

Martes, 11 de Diciembre de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

615. 100. (Diciembre 2012) ¡Ya somos centenarios!

¡Quién lo iba a decir! Al aceptar la propuesta irrechazable de Raúl Ibáñez para desvelar lo que el código ético de la magia no permite, los propios secretos mágicos, mis únicas pretensiones eran las de dar a conocer las propiedades matemáticas que algunos juegos de magia utilizan. Nunca imaginé que dichas propiedades fueran tan numerosas y variadas, pero tampoco que pudieran encontrarse nuevas propiedades que pudieran aprovecharse en el ámbito de la magia matemática. Al llegar hasta aquí me ha parecido conveniente echar una mirada atrás. Creo que no está de más organizar de alguna manera toda la información contenida en todas estas páginas. Al afrontar esta tarea, me arrepiento de no haber dejado pasar la oportunidad y dedicarme a algo más sencillo, porque: ¿qué tipo de clasificación es la correcta, la establecida por criterios mágicos o por criterios matemáticos?; ¿hay alguna clasificación universal que permita distinguir un tema de otro? Un matemático necesita definir una relación de equivalencia con la que poder clasificar los elementos de un conjunto. Una vez reconocida mi propia incapacidad para hacerlo, he decidido tomar una vía intermedia: haré una lista de las ideas más significativas que permitan englobar todos los juegos y luego incluirlos en alguna de ellas. El resultado de esta labor es la tabla que ofrezco a continuación. Verás que alguno de los números están escritos en rojo; con ello quiero indicar que su inclusión en el apartado correspondiente no es la razón principal pero sí de forma secundaria. Seguro que tú, lector habitual y seguidor incondicional, tienes algunas observaciones y correcciones que permitirán afinar un poco más esta distribución. Incluso, si te dedicas a tareas docentes, podrías hacer una clasificación según el nivel educativo que se precisa para asimilar los conceptos involucrados en los juegos. No sólo serán bien recibidos tus comentarios sino que los haremos públicos para el resto de personas interesadas. Prometo que la recapitulación que hagamos después de las siguientes 100 entradas será más fiable. Muchas gracias por asomarte a este rincón y seguir el resto de secciones de DIVULGAMAT. Mezclas de cartas Operaciones numéricas 4: Orden en el Universo 5: La Luna roja 7: A ciegas 12: El juego de Fitch Cheney 14: Partida de póquer 16: A la tercera va la vencida 17: Adivinación a distancia 28: Salvado por las matemáticas 32: La fila de nueve 34/35: El juego de los montones 39: Encuentra la dama 40: Adivinación a pares 43:La herencia 46: Predicción casi segura 58: La magia del triángulo de Pascal 60: Revoltijo de cartas 67/68: Mi mago favorito 72: El truco de cartas de Einstein 74/75: Las tres últimas 76: Prime time 77: Agua y vino 78/79: Rojas y negras bajo control 80: Transmisión telepática 81: Un Penney por tu jugada 84: Cartas rotas 85/86: En busca del trozo perdido 87: La escoba 88: El triunfo de los ases 89: El juego de las tres cifras 91: El pianista sin par 94: Sucesiones De Bruijn 96/97: Adivinación a tiempo 8: El cartel 9: El megacuadrado 11: Las cinco cartas 13: Tarjetas binarias 18/19: Tu número de teléfono 23/24: Adivinación a la china 29: Con todas las cifras 30: Números cíclicos 32: La fila de nueve 33: Agujeros negros numéricos 47: Magia matemática en el Renacimiento 51: Bricomatemagia 52/53: Sobre los sistemas de numeración 54: La moneda falsa 56/57: Suma relámpago 65: El truco del calendario 66: Más juegos con el calendario 69: Los billetes y su número de serie 82: El día de Pi 89/90: El juego de las tres cifras Curiosidades numéricas Sorpresas visuales 10: Piensa un mes 11: Las cinco cartas 20: Juegos con calculadora 21: Juegos con calculadora II 26: La magia de los dados (primera parte) 27: La magia de los dados (segunda parte) 29: Con todas las cifras 30: Números cíclicos 33: Agujeros negros numéricos 37: Triple predicción 48: Magia matemática en el Renacimiento (continuación) 61: Sumas de Fibonacci 62: Cocientes de Fibonacci 63/64: El nueve mágico 73: Las tarjetas ternarias 83: Viaje astral 91: El pianista sin par 92: El polígono de las Bermudas 22: Predicción con el dominó 25: Paradojas geométricas 26: La magia de los dados (primera parte) 27: La magia de los dados (segunda parte) 31: El cuadro de colores 36: Cara o cruz 44: La tabla del nueve 45: Todos ganan a todos 49: Cubo mágico 50: Cuadrados mágicos paradójicos 51: Bricomatemagia 52/53: Sobre los sistemas de numeración 55: No sólo con unos y ceros 56/57: Suma relámpago 59: Hipercubo detector 73: Las tarjetas ternarias 92: El polígono de las Bermudas Principios numéricos Matemática recreativa 1: El doblez mágico 2: Predicción par/impar 6: El juego de las 6:20 15: La prueba del nueve 23/24: Adivinación a la china 36: Cara o cruz 39: Encuentra la dama 44: La tabla del nueve 70: Los tres objetos 76: Prime time 80: Transmisión telepática 87: La escoba 94: Sucesiones De Bruijn 95: Dados imaginarios 99: Fibonacci modular 3: Un problema divertido y deleitable 38: El calendario perpetuo 40: Adivinación a pares 43: La herencia 47: Magia matemática en el Renacimiento 48: Magia matemática en el Renacimiento (continuación) 58: La magia del triángulo de Pascal 61: Sumas de Fibonacci 62: Cocientes de Fibonacci 77: Agua y vino 93: El brujo en sociedad 98: Pesando cartas 99: Fibonacci modular Cuadrados mágicos Probabilidades 1: El doblez mágico 8: El cartel 9: El megacuadrado 31: El cuadro de colores 41/42: Otro cuadro de cartas 49: Cubo mágico 50: Cuadrados mágicos paradójicos 65: El truco del calendario 66: Más juegos con el calendario 45: Todos ganan a todos 46: Predicción casi segura 71: La batalla de los palos 81: Un Penney por tu jugada 82: El día de Pi Iba a terminar aquí, pero faltaría a la tradición de contar algún juego de magia. Esto sería imperdonable en una entrega tan especial, así que haremos dos juegos por el precio de uno: el primero se atribuye al mago francés Richard Vollmer y el segundo al mago inglés Roy Walton. Separa de la baraja las cartas de valores 10, J, Q, K y As de los cuatro palos: corazones, rombos, picas y tréboles. Elige uno de los palos y mezcla las cinco cartas de dicho palo. Luego las extiendes sobre la mesa, caras abajo, formando una fila. Repite la operación con los otros tres palos: mezcla las cinco cartas de un mismo palo y las repartes sobre las anteriores. Al final tendrás cinco montones de cuatro cartas cada uno. Recoge los cinco montones, colocándolos uno sobre otro, bien de derecha a izquierda, bien de izquierda a derecha, hasta que tengas un solo montón con las veinte cartas. Corta y completa el corte. Ahora retira la carta superior y déjala sobre la mesa. Será tu carta elegida. Con el paquete restante, pasa las tres cartas superiores de arriba abajo y deja sobre la mesa la siguiente. Repite esta misma operación otras tres veces (pasar de arriba abajo tres cartas y dejar sobre la mesa la siguiente), hasta que hayas separado cuatro cartas. Vuelve cara arriba estas cartas. ¡Curiosamente, estas cuatro cartas son del mismo palo de la elegida! Te quedan quince cartas. Las usaremos en el segundo juego. Con las quince cartas restantes, corta y completa el corte. Retira la carta superior y déjala sobre la mesa. Será la nueva carta elegida. Con el paquete restante, extrae la carta superior y la inferior, y forma con ellas un montón sobre la mesa. Repite la operación con las que ahora son las cartas superior e inferior, dejándolas en otro montón a la derecha del anterior. Vuelve a repetir la misma operación con las cartas superior e inferior, formando paquetes a la derecha de los anteriores, hasta acabar con todas las cartas. Sobre la mesa habrá ahora siete paquetes de dos cartas cada uno. Coloca la mano derecha sobre el paquete de la derecha y la mano izquierda sobre el paquete de la izquierda. ¡No siento nada! Retira ambos paquetes. Coloca la mano derecha sobre el nuevo paquete de la derecha y la mano izquierda sobre el nuevo paquete de la izquierda. ¡Siento algo! Retira el de la izquierda pero coloca el de la derecha sobre la carta elegida anteriormente. Coloca otra vez la mano derecha sobre el nuevo paquete de la derecha y la mano izquierda sobre el nuevo paquete de la izquierda. ¡Siento algo diferente! Retira el de la derecha y coloca el de la izquierda sobre la carta elegida anteriormente. Vuelve cara arriba la carta elegida y las cartas de los paquetes seleccionados. ¡Son las cinco del mismo palo!   Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Viernes, 30 de Noviembre de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

616. 65. (Noviembre 2012) Du point... à la ligne, de Denis Guedj

En Del punto... a la línea. Espectáculo geométrico en línea... y en superficie (2001), Denis Guedj (1940-2010) pone en escena un especial combate entre el punto y la línea, y después entre una curva y una recta. Dice Guedj en la introducción del libro –en realidad el libro comienza con One Zero Show, cuya reseña hicimos en julio de 2012–: En matemáticas, hay golpes de efecto[1]. “Lo veo pero no lo creo” escribió Georg Cantor a su amigo Richard Dedekind, cuando, para asombro unánime de matemáticos y el suyo propio, demostró que hay tantos puntos en el lado de un cuadrado como en el cuadrado completo. [...] En Du point ... à la ligne se trataba de poner en juego la enloquecedora distancia que separa estos dos entes geométricos. Del punto a la línea, en efecto, hay un abismo. [...] Esta segunda pieza del libro comienza con una frase de Robert Musil, extraída de su El hombre sin atributos: Fantasía pasiva de los espacios no colmados. Es una obra en dos planos y en verso, con los siguientes personajes (por orden de aparición): PLANO I: el pequeño matemático, el punto, el punto M, el espacio, el punto M’ y la línea L. PLANO II: el pequeño matemático, la recta D, la curva C y el punto. Pasamos a describir ambos planos. PLANO I: El pequeño matemático comenta como, en el comienzo del mundo: Una onda .................................... en un rincón, .................. lejos ....... depositó un punto. El punto se llama M,  y se queja de su falta de cara, de superficie, de peso... es un ser sin dimensión. Está solo y para crear otro a su semejanza, de un salto se planta en M’. M y M’son dos seres idénticos, salvo por su posición: Así nació el espacio geométrico, la gran área democrática, poblada de puntos idénticos y sin embargo, sin embargo, todos diferentes. De repente aparece una línea L, que compite con M por discernir quien de los dos es más importante: ella tiene longitud –aunque no anchura–, pero él ha llegado antes. Combate homérico en el espacio geométrico: ¡el punto contra la línea! Se intentan agredir, L amenaza con romper a M, que responde riendo: ¿Romperme? ¡Vaya cara dura!: Mirad a la ridícula, ¡qué pretende romper una partícula! Euclides lo ha dicho y redicho, soy aquel que no tiene partes. Soy el rey de los ‘ibles’, incorruptible, indestructible. Soy el rey de los ‘ables’ inquebrantable, indomable. L amenaza con desplazar a M y M –enfadado– intenta penetrar en L. El PLANO I finaliza con el pequeño matemático afirmando: Ni la guerra, ni la paz. La línea y el punto deberían cohabitar. PLANO II: La recta D y la curva C aparecen. Discuten sobre sus especiales cualidades, D no quiere torcerse ni C enderezarse. Tras su inútil discusión, se aproximan con mucho cuidado y exclaman asombradas al unísono: Inmensa, inmensa qué inmensa delicia ¡la de la tangencia! D y C siguen moviéndose hasta cortarse en un punto... punto nacido de secantes desconocidas. FIN   Nota: [1] En francés, la expresión para golpes de efecto es “coup de théâtre”.

Miércoles, 28 de Noviembre de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

617. 69. (Noviembre 2012) El teorema de Morcom, por Benoît Peeters (guión) y Alain Goffin (dibujo)

Portada del cómic Le Théorème de Morcom apareció en Les Humanoïdes Associés en 1992. El relato se basa en la historia verídica de Alan Turing y de la máquina ENIGMA, dispositivo mecánico de cifrado usado por los nazis durante la segunda guerra mundial y que se tenía por indescifrable. El 12 de julio de 1954, en la carretera que lleva de Thornill a Strangton, un Cadillac se sale de la carretera y cae a un precipicio. Su conductor es el genial matemático Julius Morcom[i], que muere instantáneamente. ¿Se trata de un simple accidente de tráfico? ¿De un suicidio? ¿De un asesinato? Primeras viñetas del cómic: la muerte de Julius Morcom Fred Mathison[ii], periodista de Journal of Science, se interesa por casualidad en este asunto. Comienza a indagar en el pasado del matemático: su genialidad al haber escrito ya con 24 años un artículo de lógica matemática que ponía en duda algunos conocimientos aceptados,  su vida como criptógrafo durante la Segunda Guerra Mundial y su obsesión por crear ‘máquinas inteligentes’... En una de las cartas que Morcom –su madre vive en Inglaterra, el matemático en EE.UU. esperando encontrar una mejor disposición hacia sus teorías– envía a su madre antes de morir, dice: Je veux tout reconsidérer à partir de zéro pour concevoir une machine véritablement intelligente, conçue à l’image de notre cerveau, une machine capable de penser, de sentir, de réagir, comme nous le faisons...[iii] Enseguida, el periodista se da cuenta de que no es el único que está interesado en Morcom... alguien busca los apuntes con sus últimos descubrimientos. Mathison viaja a Cambridge para proseguir sus investigaciones y entrevistar a Anthony Rules, antiguo profesor de  Morcom. Rules le habla sobre la genialidad de su alumno, que presenta como tesis –On computable Numbers with an application to the ‘Entsheidungsproblem’[iv]– una primera versión de su innovador artículo, cuando ya había superado a su profesor en sus habilidades matemáticas. Y comenta con pesar su posterior giro hacia las máquinas inteligentes... Mathison entrevista a Kenneth Williams –uno de los estudiantes de Morcom– con el que intentó construir su maquina –una máquina real–, cuando la guerra les interrumpió. Julius Morcom intenta construir una máquina universal Prosigue sus investigaciones, y cuando llega al coronel Knox, se da cuenta que los secretos militares le van a impedir conocer el trabajo de Morcom en Bletchley Park[v]. Se entrevista con Sarah Hodges[vi], asistente de Turing en el establecimiento militar. Sarah le habla de su homosexualidad, y de los problemas que tiene con las autoridades por este motivo y por su desobediencia sistemática. A partir de ese momento, asaltan la casa de Anthony Rules, la habitación en el hotel de Morcom, asesinan a Sarah... buscando documentos del genio. Mathison se entrevista con la madre de Morcom: ha quemado los cuadernos de su hijo, repletos de cálculos, de gráficas... y de imágenes de chicos, que podían publicarse y perjudicar la imagen de Julius. Mathison regresa a su país, marcado por los violentos acontecimientos, y decide abandonar el artículo y su trabajo en el Journal of Science, para dedicarse a escribir la verdadera historia de Julius Morcom. Recorte de la contraportada del cómic   Notas: [i] Christopher Morcom fue el primer amor –no correspondido, aunque eran grandes amigos– de Alan Turing. Se conocieron en 1927, Morcom era un año mayor que Turing y su relación se fue fortaleciendo hasta la trágica muerte de  Morcom en 1930, debido a las complicaciones de una tuberculosis bovina. [ii] El nombre completo de Alan Turing era Alan Mathison Turing: de nuevo, el apellido del periodista intenta vincular el relato con la historia del matemático británico. Julius Mathison es el nombre de su padre. [iii] Quiero volver a considerar todo a partir de cero para concebir una máquina verdaderamente inteligente, concebida a imagen de nuestro cerebro, una máquina capaz de pensar, de sentir, de reaccionar, como lo hacemos nosotros... [iv] El Entscheidungsproblem –problema de decisión, en castellano– fue un reto en lógica simbólica que consistía en encontrar un algoritmo general que decidiera si una fórmula del cálculo de primer orden es un teorema. En 1936, de manera independiente, Alonzo Church y Alan Turing demostraron que es imposible escribir tal algoritmo. [v] Bletchley Park es el nombre de una instalación militar localizada en Buckinghamshire (Inglaterra) en la que se realizaron los trabajos de descifrado de códigos alemanes durante la Segunda Guerra Mundial. [vi] Andrew Hodges es un matemático, escritor y pionero del movimiento de liberación gay de los años 70. Es el autor de Alan Turing: The Enigma. Ethel Sara es el nombre de la madre de Turing.

Martes, 27 de Noviembre de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

618. 20. (Noviembre de 2012) Curvas perfectas

En la entrega de este mes de la sección de las matemáticas en la publicidad (en divulgamat) vamos a disfrutar de unos bellos diseños geométricos realizados con curvas, en algunos casos con curvas cíclicas y en otros con la simple repetición de sencillas curvas, como la elipse o la circunferencia. Son anuncios del Audi Quattro, con una nueva innovación tecnológica, el sistema quattro con un diferencial trasero deportivo. Como podemos leer en su página web… “Para un comportamiento dinámico aún más deportivo, Audi ha diseñado el sistema quattro con diferencial trasero deportivo, que es particularmente eficaz en las curvas. Distribuye activamente la potencia de propulsión entre las ruedas traseras. El resultado es un mayor placer de conducción. La agilidad adicional y una mejor maniobrabilidad son apreciables incluso en condiciones cotidianas de conducción, no solo en situaciones límite.” E incluso dice algunas cosas más, como “Más agilidad para una conducción dinámica en curvas” o también “El coche toma las curvas de una forma aún más espontánea y directa y mantiene la estabilidad direccional durante un tiempo considerablemente más largo.” ¿Y cómo reflejan esta “conducción más dinámica en curvas”? Con el diseño geométrico de bellas imágenes realizadas con curvas. Pero no se dibujan simples curvas con un único trazo, sino curvas geométricas formadas por una banda, que no es más que un sencillo dibujo que simboliza la carretera. Y esa carretera realiza un recorrido con “bellas curvas” que son las que traza el audi quattro con su nuevo sistema. De hecho, el lema del anuncio es “Quattro con diferencial deportivo. Dibuja curvas perfectas”. Aquí tenéis los anuncios…

Miércoles, 21 de Noviembre de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

619. 74. Contraste de hipótesis

No siempre las películas con algún contenido o referencia matemática son buenas películas. Traemos este mes un diálogo de una de ellas sobre conceptos no demasiado utilizados en el cine, y probablemente desconocidos para muchos, aunque habituales en Estadística. Al hilo de la introducción, también existen algunas películas magníficas que la pifian por no asesorarse adecuadamente desde un punto de vista científico, o por sospechar que algunos argumentos podrían no ser entendidos y causar rechazo en el espectador. Desde estas páginas siempre hemos defendido lo contrario: no importa cuan difícil, específica o rebuscada sea una idea; si es real, utilizable y aporta información, no debe rechazarse. No todos los espectadores van a estar interesados, seguramente un porcentaje ínfimo, pero para éstos será de utilidad porque se molestarán en averiguar en qué consistía. ¿Rechazaríamos una referencia a un cuadro, un libro, un filósofo, un personaje histórico por no ser, digamos, “popular”? Recientemente, el 18 de mayo de 2012, se estrenó en nuestro país la siguiente película, una de tantas de persecuciones, espías, asesinatos en serie, etc., con actor atractivo (aunque ya entradito en arrugas) y la publicidad típica de este tipo de producciones. Bien realizada, pero con numerosos defectos argumentales, particularmente me resultó soporífera, más aún cuando casi desde el título original se sabe que va a pasar. Previsible, discreta, fácilmente olvidable en suma, salvo por un diálogo, recitado a toda velocidad, como siempre, pero que analizado con detenimiento nos presenta un procedimiento para intentar determinar si un determinado suceso es compatible con los datos conocidos de una población. Pero vayamos por partes. En primer lugar, una breve ficha técnica y artística de la película: LA SOMBRA DE LA TRAICIÓN Título Original: The double. Nacionalidad: EE. UU., 2011. Director: Michael Brandt.  Guión: Michael Brandt y Derek Haas. Fotografía: Jeffrey L. Kimball, en Color. Montaje: Steve Mirkovich. Música: John Debney. Producción: Patrick Aiello, Ashok Amritraj, Andrew Deane y Derek Haas. Duración: 98 min. Intérpretes: Richard Gere (Paul Shepherdson), Topher Grace (Ben Geary), Martin Sheen (Tom Highland), Tamer Hassan (Bozlovski), Stephen Moyer (Brutus), Chris Marquette (Oliver), Odette Annable (Natalie Geary), Stana Katic (Amber), Yuri Sardarov (Leo), Ivan Fedorov (Scrounger), Ed Kelly (Senador Dennis Darden), Jeffrey Pierce (Agente Weaver), Lawrence Gilliard Jr. (Agente Burton), Mike Kraft (Director del FBI Roger Bell). Argumento: La película comienza con el misterioso y sigiloso asesinato de un senador en plena calle. El modus operandi remite a un asesino soviético, Cassius, dado por muerto, que trajo en jaque durante mucho tiempo a la policía, la CIA y demás instituciones norteamericanas contra el crimen. Un joven agente del FBI, Ben Geary (Topher Grace) es el que sostiene esta teoría, en contra de Paul Shepherdson (Richard Gere),  agente retirado de la CIA que estuvo obsesionado con darle caza mientras estuvo en activo. Como todos los indicios apuntan a que el supuesto Cassius va a seguir cometiendo crímenes, Ben y Paul parecen abocados a colaborar, a pesar de las reticencias del segundo. El diálogo (casi monólogo) Ben recurre en un momento dado a un compañero, Oliver, que recopila información sobre los asesinatos de Cassius junto a fotografías tomadas por la policía de los lugares de los crímenes (diferentes ciudades del mundo) y las relaciones entre ellos (ver imagen). Oliver: He colocado las fotos de todos los asesinatos por orden cronológico. Esta línea roja marca cuando se volvieron erráticos e inexplicables. Lo único que tienes que hacer es establecer una hipótesis nula y tratar de demostrarla. Si no puedes demostrarla, es que tu hipótesis debe ser cierta. Ben Geary: Espera, espera,…. Oliver: De acuerdo, tomemos un hecho. Dices que crees que Cassius siempre vuelve al lugar del crimen, ¿verdad? Y tienes fotos de todos sus crímenes. Establece una hipótesis, por ejemplo, que Stephen Hawking es Cassius, lo que te da la hipótesis nula de que Stephen Hawking no es Cassius. Revisa las fotos y demuestra la hipótesis nula de que Supermán no es Cassius. Si lo consigues, querrá decir que tu hipótesis es incorrecta; si no lo consigues dependiendo del valor p, demuestras estadísticamente que tu hipótesis es cierta (Ben pone cara de no entender nada; está completamente alucinado), o que Stephen Hawking es Cassius. Sí. Algunos no nos dormíamos en clase de Estadística en Harvard. Un par de comentarios respecto a las diferencias entre la versión original y la doblada. En la versión original no se habla para nada de “Supermán”, sino que textualmente dice “y trata de demostrar la hipótesis nula de que Rolling Thunder no es Cassius”. Rolling Thunder es el nombre que se dio a una operación militar norteamericana en la Guerra de Vietnam (de penosos resultados, por cierto).  Sin embargo la cita se refiere a una película, El expreso de Corea (Rolling Thunder, John Flynn, EE. UU., 1977), interpretada por William Devane y un jovencito Tommy Lee Jones. Se trata de una película notable, minusvalorada en su momento, retrato intimista de los traumas y perturbaciones que la Guerra del Vietnam dejó en sus integrantes (todos recordaremos otras que han tratado el mismo asunto). Uno de los factores que han provocado su olvido es su violencia extrema, pero no por ello falsa (el argumento, a grandes rasgos es el siguiente: el mayor Rane vuelve como un héroe de la guerra pero se encuentra con que su esposa se ha vuelto a casar creyendo que había muerto, y su hijo ni lo recuerda. Un día unos ladrones asaltan su casa, asesinando brutalmente a toda su familia, perdiendo él una de sus manos. Aparentemente amnésico, su único objetivo será la venganza), junto a un trasfondo calificado de racista (los asesinos serán mejicanos). Pero tiene el mérito de ser una de las primeras en abordar este tema, ya que las más populares que mencionábamos anteriormente, son posteriores: El regreso (Coming Home, Hal Ashby, 1978), El cazador (The Deer Hunter, Michael Cimino, 1978),  Apocalypse Now (F. F. Coppola, 1979), Jacknife (David Hugh Jones, 1989) o Nacido el cuatro de julio (Born on the Fourth of July, Oliver Stone, 1989). Otra circunstancia de la versión doblada que llama la atención es la inaudible frase en la versión doblada de “si no lo consigues dependiendo del valor p”. Se ve que a los dobladores no les sonaba a nada eso del valor de p. Breve explicación Una hipótesis estadística (o hipótesis, a secas) es una afirmación acerca de ciertos valores de las características de un espacio muestral (por ejemplo el promedio del valor del diámetro de un tubo, o la proporción de tornillos defectuosos realizados por un mismo fabricante). Para determinar si esos valores son estadísticamente ciertos o no, se consideran dos hipótesis contradictorias, intentando dirimir cuál de ellas es correcta. A esta prueba se le denomina Contraste (o test) de hipótesis, procedimiento que se encuadra dentro de la inferencia estadística. La afirmación inicialmente favorecida o que se supone que es la verdadera se le llama hipótesis nula (denotada habitualmente por H0), mientras que las utilizadas auxiliarmente se las llama hipótesis alternativas, y se denotan por Ha, donde a puede ser un número o una letra. La hipótesis nula se presume verdadera hasta que una prueba estadística basada en una prueba empírica de la hipótesis indique lo contrario. Pero cuidado: si la hipótesis nula no es rechazada, esto no quiere decir que sea verdadera. En otras palabras, H0 nunca se considera probada, pero puede ser rechazada por los datos. No pretendemos dar en estas breves notas un curso de estadística (para eso ya están los libros específicos que lo hacen mejor), pero para entender un poco estos tests necesitamos conocer algunos otros conceptos. Así tenemos los llamados procedimientos de prueba, que son unas reglas basadas en datos muestrales para determinar si se rechaza o no H0. Un procedimiento de prueba se especifica por: 1.- Un estadístico de prueba: una función de los datos de la muestra en los que la decisión (rechazar H0 o no) debe basarse. 2.- Una región de rechazo: conjunto de valores para los que H0 será rechazada. La hipótesis nula será entonces rechazada si, y sólo si, el valor observado o calculado del estadístico de prueba está en la región de rechazo. Elegir una región de rechazo también requiere de cierto estudio. Para ello se analizan los errores que se pueden cometer, que básicamente se clasifican en error de tipo I (rechazar la hipótesis nula H0 cuando es verdadera) y error de tipo II (no rechazar H0 cuando es falsa). Finalmente, en el diálogo se menciona el “valor de p”. En muchas situaciones en las que hay que tomar una decisión, hay cierta dependencia del punto de vista de la persona que la toma. Cada individuo tiene su propio nivel de significación (algunos pueden rechazar H0 mientras otros podrían concluir que la información que se tiene no manifiesta contradicción suficiente para justificar el rechazo). Se define entonces el valor p como el mínimo nivel de significación en el que H0 sería rechazada al emplear un procedimiento de prueba especificado en un conjunto dado de información. Una vez que se determina el valor p, la conclusión en cualquier nivel a particular resulta de comparar p con a: 1.- Si el valor p £ a, entonces se rechaza H0 al nivel a. 2.- Si el valor p > a, entonces no se rechaza H0 al nivel a. Los valores del nivel a más usuales con los que se compara suelen ser 0.05 o 0.01, que indican que aceptamos equivocarnos el 5% o el 1% de las veces, respectivamente, si repitiéramos el experimento. A menudo suelen encontrarse algunas confusiones al manejar estos conceptos. Entre los más extendidos está el identificar el valor p con la probabilidad de que la hipótesis nula sea cierta, o que el valor p es lo mismo que la tasa de error del tipo I. Dos ejemplos comentados sobre el valor p Tratemos de poner en práctica lo anteriormente dicho mediante dos situaciones clásicas, de las muchas que aparecen en los textos clásicos (yo de hecho las he tomado de la wikipedia, aunque contadas “a mi aire”; mil disculpas si incurro en algún error) 1º) Dos amigos están en un bar tomándose unas copas. Uno de ellos afirma que es capaz de distinguir, sin lugar a dudas, un whisky barato de uno caro. Como el otro amigo no lo cree, deciden hacer una prueba. El amigo bravucón asegura que acierta qué tipo de whisky está tomando el 90% de las veces, ya que a veces los hielos le distorsionan la cata. Deciden que pruebe 20 whiskys (en días distintos, por supuesto), resultando que acertó sobre el contenido del vaso que estaba probando en 14 ocasiones. Dado que dijo que acertaría el 90% de las veces y sólo acertó el 70% de ellas (14 de 20 noches), ¿podemos creerle, o nos está engañando? ¿Es posible que fallara por mala suerte, y que si le dejamos seguir intentándolo a la larga acertará el 90%? Está claro que si hubiera acertado todas las veces, o incluso 19 de ellas, le creeríamos sin lugar a dudas; análogamente, si hubiera fallado todas o casi todas le desmentiríamos sin discusión, pero con 14 sobre 20 la cosa no está tan clara. Esto es lo que tratamos de medir con el valor p. Si suponemos que la hipótesis nula H0 (el amigo es capaz de acertar el 90% de las veces) es cierta, esto significaría que las catas seguirían una distribución binomial de parámetro 0.9, y entonces la probabilidad de acertar 14 de las 20 veces sería p(14 aciertos) = (0.9)14 (1 – 0.9)6 ≈ 0.008867 La probabilidad de tenga al menos 14 aciertos es la suma de las probabilidades de que no acierte ninguna vez, más la de que tenga un acierto, más la de que tenga dos, y así hasta la de que tenga catorce aciertos, es decir p(al menos 14 aciertos) = (0.9)k (1 – 0.9)20–k ≈ 0.01125313416 Este es el valor p. ¿Qué indica? Significa que si realmente suponemos que nuestro amigo acierta el 90% de las veces que prueba una copa, y ha probado 20 copas, la probabilidad de que acierte menos de 15 copas es del 1.125%. Por tanto, si damos una potencia de contraste usual de 0.05 (que significa que aceptamos equivocarnos el 5% de las veces si repitiéramos el experimento), como el valor p es inferior a la potencia del contraste, rechazamos la hipótesis nula, y declaramos que nuestro amigo es un fanfarrón. Estadísticamente, esto lo hacemos porque el resultado observado (14 aciertos de 20 intentos) es muy poco probable si suponemos que acierta el 90% de las veces, por lo tanto asumimos que no era cierta la hipótesis nula. ¿Que hubiera pasado si hubiera acertado las 20 veces? En ese caso el valor p saldría 1, con lo que no rechazamos la hipótesis nula, que no es lo mismo que decir que la aceptamos. Diríamos que es verosímil que acierte el 90% de las veces, es posible que lleve razón, no tenemos evidencias en contra de ello. Es importante decir que no se acepta la hipótesis nula, ya que también sería lógico aceptar que acierta el 100% de las veces y, o bien acierta el 90% o bien acierta el 100%, pero ambas no pueden ser válidas a la vez. 2º) Se realiza un experimento para determinar si una moneda está equilibrada (probabilidad del 50%, tanto para caras como para cruces) o sesgada (probabilidad ≠ 50% en cualquiera de los resultados). Supongamos que los resultados muestran que la moneda ha mostrado 14 caras de 20 lanzamientos. ¿Podríamos concluir que la moneda está sesgada? Establecemos en este caso la hipótesis nula H0 de que la moneda no está sesgada. Estudiemos en este caso el valor p relativo al experimento realizado, que sería la probabilidad de que una moneda equilibrada devolviera al menos 14 caras en 20 lanzamientos. La probabilidad para una moneda equilibrada de que de 20 lanzamientos se obtengan al menos 14 caras (14 caras o más), viene dada por la siguiente suma: p(14 caras) + p(15 caras) + …. + p(20 caras) = ≈ 0.0576 Al preguntarnos si una moneda es “normal”, lo que pretendemos es averiguar lo “desviada” que se encuentra de la igualdad entre caras y cruces. En nuestro caso, esa desviación es en dos direcciones, es decir tanto si obtenemos 14 caras y 6 cruces, como si se trata de 14 cruces y 6 caras (es decir, una desviación de 4 en ambos casos). Como la distribución binomial es simétrica en el caso de una moneda equilibrada, el valor p viene dado sencillamente por el doble del valor calculado anteriormente, esto es, 0.115. Como dijimos en el ejemplo anterior, cuando este valor es menor o igual al grado significativo que aceptemos (un fenómeno es estadísticamente significativo cuando las observaciones o experimentos realizados reflejan una tendencia más que una probabilidad), la hipótesis nula se rechaza; en caso contrario, no. El valor p calculado es superior a 0.05, de modo que es consistente con la hipótesis nula (el resultado observado de 14 caras en 20 lanzamientos puede atribuirse a la casualidad) ya que cae dentro del rango de lo que puede pasar el 95% de las veces siendo la moneda realmente equilibrada. Por tanto no rechazamos la hipótesis nula al nivel del 5%. Aunque la moneda no proporciona un resultado uniforme (igualdad de caras y cruces), la desviación del resultado es lo suficientemente pequeña como para ser consistente con la probabilidad. Sin embargo, con una cara más, el valor p obtenido hubiera sido 0.0414 (4.14%). En este caso, la hipótesis nula – que el resultado observado de 15 caras en 20 lanzamientos pueda atribuirse a la casualidad – sería rechazado utilizando un 5% de porcentaje de corte. La moneda en este caso podría estar sesgada. Volvemos a la película Una vez que Oliver ha explicado el procedimiento, el agente Geary se dispone a ponerlo en práctica. Establece como hipótesis nula, “Paul no es Cassius”, y lupa en mano se dispone a examinar las fotográfías tomadas en el lugar de los asesinatos. Descubre entonces que en todas ellas (diferentes lugares del mundo, diferentes épocas) aparece siempre su compañero Paul Shepherdson. Así concluye (de un modo un tanto elemental, evidentemente) que no es casual que Paul se encuentre en lugares tan distantes nada más cometerse el crimen (que es cuando se toman las fotos), y por tanto la hipótesis nula se rechaza. Hubiese sido más creíble que, en algún momento de la película, se descubriera que, por ejemplo, el asesino observaba la escena del crimen después de cometerlo, por lo que estaría presente en todas las fotos. En fin, una resolución bastante defectuosa, basada en un procedimiento real. De hecho, las técnicas de contraste de hipótesis son de amplia aplicación en muchas situaciones, como ensayos clínicos de nuevos medicamentos, control de calidad de productos, encuestas, etcétera. Eso sí, apoyadas en datos más consistentes que el esgrimido en la película. Si alguien desea ver la película, a pesar de todo, lo tiene fácil: http://www.youtube.com/watch?v=lKzw_z60WE0. Íntegra y en castellano. Y otra de regalo Durante la pasada SEMINCI (57 Edición), en la sección oficial se presentó a concurso (claramente para rellenar) una comedia titulada AMOR Y LETRAS Título Original: Liberal Arts. Nacionalidad: EE. UU., 2012. Director: Josh Radnor. Guión: Josh Radnor. Fotografía: Seamus Tierney, en Color. Montaje: Michael R. Miller. Música: Ben Toth. Producción: Josh Radnor. Duración: 97 min. Intérpretes: Josh Radnor (Jesse Fisher), Elizabeth Olsen (Zibby), Richard Jenkins (Prof. Peter Hoberg), Allison Janney (Prof. Judith Fairfield), Elizabeth Reaser (Ana), John Magaro (Dean), Kate Burton (Susan), Robert Desiderio (David). Escrita, dirigida, producida e interpretada por Josh Radnor, es una comedia simpática (con algún toque melodramático), cuyo argumento gira en torno al paso del tiempo, a cómo prácticamente sin enterarnos, la vida nos supera y nos ponemos en la treintena (o en la jubilación, en el caso de un antiguo profesor del protagonista). Y digo que el tiempo nos supera porque a Jesse, el protagonista, a sus 35 tacos le siguen atrayendo las jóvenes de 19 (en este caso, una llamada Zibby). Plantea por tanto el difícil paso a la madurez (y el desencanto de ésta, en la persona de otra profesora de Jesse; cuatro edades por tanto se ven tratadas). Entremedias, la pasión por la lectura, lo desapercibidas que pasan otras personas que están ahí, algunos momentos de crítica a lo fácil que los departamentos universitarios sustituyen a docentes de prestigio, los prejuicios morales de los "mayores", etc., etc. Decae en algún momento, con una resolución convencional, y muy muy políticamente correcta. Suena a ya vista. Bueno pues este chaval, de formación puramente literaria, echa mano de las matemáticas en un momento dado: escribe en un papel dos columnas Cuando yo tenía                         Ella tenía 20                                                 4       (esto le horroriza) 16                                                 0 Cuando yo tenga                         Ella tendrá 60                                                 44       (esto le tranquiliza) En otro momento, Jesse trata de ayudar a un alumno con problemas psicológicos, muy inteligente, y con gustos literarios parecidos a los que él tenía a su edad. ¿Os imagináis qué estudia? No, os habéis equivocado: Lógica. En resumen, tampoco perdería mucho el tiempo viéndola.

Miércoles, 07 de Noviembre de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

620. 41. (Noviembre 2012) Amalgamas, aksaks y métricas euclídeas

Este mes el artículo de la sección está escrito al alimón con Ricardo Sanz y Tur, profesor de Pedagogía y Didáctica de la Música del Real Conservatorio Superior de Música de Madrid y el humilde responsable de esta columna. El artículo que ofrecemos al lector es un análisis de dos de las Seis danzas con ritmos búlgaros, de Béla Bartók, pertenecientes a sus conocidos cuadernos para piano Mikrokosmos. Presenta este análisis una feliz simbiosis, desarrollada con naturalidad, de conceptos musicales y matemáticos; así, se habla de compases de amalgama y métricas aksak, pero también de métricas euclídeas. Ilustra con bastante claridad cómo puede usar un músico las matemáticas, sin forzarlas, sin excederse, sino como la herramienta formidable que son, y con la voluntad de servicio debida al usuario. El artículo de este mes nos mueve a la una reflexión no por repetida menos cierta: Si los músicos supieran más ciencia..., si los científicos supieran más música..., ¡todos nos divertiríamos más y seríamos más sabios! 1. Análisis rítmico-métrico de «Six Dances in Bulgarian Rhythm (2)» Todos los ejemplos de este artículo están tomados de Béla Bartók: Mikrokosmos. 153 Progressive Piano Pieces. Vol. 6. Londres: Boosey & Hawkes, 1987. Figura 1: Béla Bartók: «Six Dances in Bulgarian Rhythm (2)». Compases 1-4 1.1. Compás de amalgama En primer lugar, estamos ante un compás de amalgama. De acuerdo con Joaquín Zamacois, «se denominan de amalgama los compases que se forman por la reunión, en uno solo, de dos o más compases, cuyos tiempos son de igual unidad, pero distintos en número» (1). Por otro lado, así aparecen conceptuados los compases de amalgama en la Teoría de la música de la Sociedad Didáctico-Musical (S. D. M.) (2): «Compases de amalgama son aquellos que reúnen en uno, dos o más compases binarios, ternarios y cuaternarios, de subdivisión binaria o ternaria» (2). Fuera de nuestro país, hallamos la siguiente definición de «compases de amalgama» en el Diccionario Oxford de la música: «Designación de ciertos compases irregulares de cinco, siete o más tiempos, que son en realidad la unión de varios compases simples (de dos y tres tiempos en el de cinco, de tres y cuatro tiempos en el de siete). [...]» (3). Nótese que hay ciertas discrepancias entre unas definiciones y otras (las definiciones no son verdaderas o falsas, sino útiles o inservibles). Para Scholes los compases de amalgama están formados por compases simples, es decir, de subdivisión binaria: compás binario, ternario y cuaternario de subdivisión binaria. Los ejemplos que aporta refuerzan esta perspectiva. En cambio, para la S. D. M. los compases pueden ser de subdivisión ternaria, esto es, compuestos (compases cuya figura representativa del valor de un tiempo es una figura con puntillo). No obstante, los casos que examina la S. D. M. son los tradicionales de 5/4, 5/8 y 7/4 (ninguno de subdivisión ternaria, y tampoco agrupación de compases simples y compuestos). Zamacois admite la amalgama o bien de compases simples (compás quinario compuesto de un compás binario y otro ternario o de un compás ternario y otro binario), o bien de compases compuestos (por ejemplo: 21/x = 12/x + 9/x o viceversa; 15/x= 6/x + 9/x o viceversa); pero no la mezcla de ambos tipos. Conforme a lo dicho, podemos inferir —con algunas reservas— que ninguna de las tres perspectivas teóricas admitiría como compás de amalgama la típicamente española hemiolia sucesiva (6/8 + 3/4), al tratarse de una yuxtaposición de compases de diferente denominador (en el primer compás la unidad de tiempo es de valor compuesto —negra con puntillo— y en el segundo la unidad de tiempo es de valor simple (negra sin puntillo). Por consiguiente, en aras de la coherencia, la hemiolia sucesiva debe analizarse como otra cosa, o bien, las explicaciones de los compases de amalgama han de ser revisadas. Con todo, la amalgama de Bartók está constituida por compases simples de igual denominador (2/8 y 3/8) y mínimos métricos, por lo que no presenta problemas de adecuación a todas las definiciones anteriores. Como se ha visto, el primero de los atributos de los compases de amalgama es que es una asociación o combinación de compases (en este caso, simples) de la que emerge un compás de amalgama (tal vez, un objeto unitario de superior nivel). Decimos tal vez porque, desde la perspectiva de la teoría sistémica, la amalgama puede analizarse de dos modos distintos: como mero encadenamiento o yuxtaposición de compases simples o como combinación de compases simples de la que emerge «una cosa radicalmente nueva, vale decir caracterizada por propiedades que sus componentes no poseen» (4). Esto tiene su miga, porque si los compases de amalgama se conceptúan como mera asociación de compases simples, la naturaleza de estos no cambia, y la acentuación métrica sería F-D-F-D-F-D-D (F = acento métrico fuerte o pesado; D = acento métrico débil o ligero). Las barras de compás indican cuándo vuelve a repetirse la particular ordenación métrica, y nada más. La enunciación y nada más quiere decir que la barra de compás no implica necesariamente que el tiempo que la sigue deba ser un pulso métricamente más acentuado que otros de igual rango. Se distinguirían dos calidades acentuales, pues cada compás simple mantiene su acento métrico propio. En general, es lo que se hace cuando se palmean-zapatean los compases del flamenco. Ahora bien, si los compases de amalgama se dilucidan como auténtica combinación, en uno solo, de compases de igual clase, emerge una realidad nueva, pues los compases simples precursores de la totalidad resultan modificados. En la renovada formulación métrica, el acento principal corresponde al ataque del compás. Y compás no hay más que uno: 7/8, por lo que solamente tenemos un acento fuerte: el primero. Los otros serían acentos secundarios (semifuertes) o tiempos débiles. La secuencia métrica quedaría así: F-D-SF-D-SF-D-D (F = acento métrico fuerte o pesado, principal; SF = acento métrico secundario, semifuerte; D = acento métrico débil o ligero). Ahora se distinguen tres calidades acentuales (F, SF y D), y de ahí el novedoso estado de cosas (la ensambladura de los componentes y la organización del compás resultante son distintas. Si antes el acento métricamente fuerte reaparecía cada dos o tres tiempos, ahora el ciclo de retorno de dicho acento se extiende a siete tiempos). Aunque decimos que la realidad queda modificada en virtud de una u otra concepción, deseamos defendernos de la acusación de idealismo. La realidad queda modificada porque la música es un producto artístico-cultural (y, por ende, artificial) resultado de los bioprocesos cerebrales emergentes creativos o recreativos de los compositores e intérpretes operando en contextos sociales; véanse (17) y (18). Y para unos y otros, la teoría guía la composición o la interpretación. La teoría sistémica (5) tiene poder explicativo para esclarecer por qué se componen, interpretan y perciben diferentemente la sucesión de 2 compases de 2/4 (F D | F D) y un 4/4 (F D SF D); el empalme de 2 compases de 3/8 (F D D | F D D) y un 6/8 (F D D SF D D). Se trata de objetos mensurales que manifiestan propiedades distintas. El nuevo compás emergente no es reductible a la mera concatenación de sus precursores. Es discutible si Béla Bartók concibió la amalgama como mera yuxtaposición, agregación o adición de compases o como combinación sistémica de compases. Para saberlo con seguridad, habría que preguntárselo a él directamente. Pero hay muchos indicadores que hacen inclinarse la balanza hacia una u otra opinión. El compositor no expresa el compás como 7/8 utilizando divisorias de puntos para indicar la conformación de la amalgama, sino que lo representa como sucesión de sumandos (2 + 2 + 3). En el inicio de la obra sólo se distinguen dos «pesos» rítmico-armónicos, por así decir (y no tres): la mano izquierda con el intervalo armónico do-sol y la mano derecha con la nota sol (figura 1 arriba). En cuanto a la armonía, en la partitura no hay ninguna diferencia entre la primera célula (binaria), la segunda célula (también binaria) y la tercera célula (ternaria). El análisis de otros fragmentos de la obra parece apuntar en la misma dirección. Por ejemplo, en los compases 37-39 el intervalo de la mano izquierda ya no es armónico (figura 2), sino que se despliega melódicamente, pero bate exactamente las mismas notas en ostinato: la b-do, la b-do, la b-do-do. Figura 2: Béla Bartók: «Six Dances in Bulgarian Rhythm (2)», compases 37-39 De lo escrito no puede desprenderse distinta calidad acentual entre los tres 'las' bemoles de cada compás correspondientes a sendas células rítmicas binarias y ternarias. De hecho, no se observan diferencias de acentuación (ni dinámica, ni tónica, ni agógica...) entre ninguno de los nueve 'las' bemoles que aparecen en el fragmento escogido. Si tales diferencias se establecen en la interpretación (por ejemplo, cada tres 'las' bemoles), es como producto de la actividad constructiva del intérprete-pianista, que tal vez quiera resaltar levemente con ligeros apoyos el inicio de cada ciclo métrico. Algo, ciertamente, opinable. Hay más partes de la obra en las que sucede otro tanto. En cada compás del siguiente fragmento (figura 3), ninguna disimilitud puede extraerse en cuanto a calidad acentual de los acordes compactos de la mano izquierda (todos están signados con subrayados-picados, tienen exactamente la misma duración y se repiten compás a compás con las mismas notas), o de ciertos diseños melódicos de la mano derecha (por ejemplo: do-re b do-re b do-re b-mi b; los tres 'dos' tienen idéntica acentuación dinámica, tónica y agógica). Figura 3: Béla Bartók: «Six Dances in Bulgarian Rhythm. (2)», compases 46-49 Con arreglo a las pruebas y argumentos expuestos, nos inclinamos a pensar que la concepción bartokiana de la amalgama responde a la primera de las posibilidades apuntadas (asociación, yuxtaposición o encadenamiento de compases simples, conservando cada uno de ellos su acentuación métrica original). De este modo, la fórmula métrica que corresponde a dicha amalgama es F-D-F-D-F-D-D-F-D-F-D-F-D-D-F-D-F-D-F-D-D y así sucesivamente. Si la representamos utilizando el Time Unit Box System, TUBS: [x . x . x . .]. Desarrollándolo: [x . x . x . . x . x . x . . x . x . x . . x . x . x . .], &c. (en el sistema TUB, x = tiempo métricamente acentuado, o «fuerte» y . = tiempo débil). Hay dos razones más por las que estimamos más plausible esta alternativa. La primera es que la composición de Mikrokosmos se extiende en el periodo de 1926 a 1939; la teoría general de sistemas, al menos en la formulación de Ludwig von Bertalanffy (5), es más tardía (data de mediados de siglo). Es bastante distinto estudiar los compases de amalgama como entidades integrales o como encadenamientos modulares de compases simples. Lo primero es propio de la teoría de sistemas; un enfoque que no estaba disponible en los años treinta del siglo XX. Por último, esta clase de rítmicas era muy novedosa en la época en que las escribió Bartók, hasta el punto de que fue el propio Béla Bartók quien presentó la noción de 'ritmo búlgaro' como un nuevo recurso para la composición en una conferencia radiofónica titulada «Lo que denominamos ritmo búlgaro» y pronunciada el 6 de abril de 1938, basándose en el trabajo de musicólogos búlgaros y su propio trabajo de campo, recogiendo ejemplos (6). Aun en la versión «asociacionista», la amalgama resultaba sumamente interesante para el periodo de tiempo al que nos referimos. 1.2. Métrica aksak auténtica Este compás no solo es un compás (irregular) de amalgama, sino que además es una métrica aksak auténtica. Basándose en sus características estructurales y númericas, Simha Arom ha propuesto una tipología del aksak (7). Arom denomina pseudo-aksaks a aquellos aksaks cuya suma de los valores que lo constituyen es par y, por tanto, divisibles por 2 o 4 y a veces también por 3 o 6. Hay un segundo tipo de aksaks que totalizan un número impar de valores fundamentales y que pueden reducirse a pulsaciones equidistantes, pero organizadas únicamente de forma ternaria. Estos son 'quasi-aksaks'. Por último, hay aksaks constituidos sobre números primos (5, 7, 11, 13) que sólo pueden ser divididos por ellos mismos (y por la unidad), que son los que Arom considera aksaks auténticos. El aksak constituido sobre número primo más bajo es el aksak de 5 tiempos, organizado como 3 + 2 [x . . x .] o como 2 + 3 [x . x . .]. Para Arom, el aksak de 5 tiempos es el «aksak matricial», y es el que funda el principio de agrupamiento de células simples binarias y ternarias, si bien —como se ha anotado— este punto es más discutido. No obstante, el ejemplo analizado correspondiente a la «danza búlgara número 2» de Bartók tampoco presenta problemas en este sentido, porque está basada justamente en esos mínimos rítmico-métricos. En resumen, es una métrica aksak auténtica porque 1) se basa en la combinación de células binariasy ternarias exclusivamente (8) y 2) la suma total de pulsos o tiempos constituye número primo: 7. 1.3. Métrica euclídea Por añadidura, el compás elegido por Bartók para la composición de la obra corresponde a una métrica euclídea (9). Las patrones métricos que presentan la propiedad de que sus acentos se hallan distribuidos lo más uniformemente posible y con la máxima regularidad a lo largo del ciclo métrico se denominan secuencias o métricas euclídeas. Este tipo de distribución crea tensión rítmica. Existe una conexión interna o lógica entre el algoritmo de Bjorklund y las métricas euclídeas. La aplicación a la música del algoritmo de Bjorklund genera patrones métricos euclídeos. He aquí el análisis de de por qué estamos ante una métrica euclídea. Las métricas euclídeas se formulan como E(k, n), donde k denota el número de pulsos acentuados y n el número total de pulsos de la secuencia, es decir, la longitud del ciclo métrico. En el caso que analizamos, tenemos 7 pulsos (7 = 2 + 2 + 3) de los cuales 3 acentuados: E(3, 7) Aplicando paso a paso el algoritmo de Bjorklund (1 = tiempo métricamente acentuado; 0 = tiempo métricamente débil), obtenemos lo siguiente: 1.º paso. 7 secuencias de 1 pulso, tres acentuadas y cuatro no: [1] [1] [1] [0] [0] [0] [0]. 2.º paso. 3 secuencias de 2 tiempos, restando un pulso no acentuado: [10] [10] [10] [0]. 3.º paso. 1 secuencia de 3 tiempos y un resto de dos secuencias de dos tiempos cada una: [100] [10] [10]. 4.º paso. 1 secuencia de 5 tiempos y un resto de 1 secuencia de 2 tiempos: [10010] [10]. Secuencia final: [1001010] o, lo que es lo mismo, representándola con el TUBS: E(3,7) = [x . . x . x .]. Esta es la distribución de acentos más uniforme posible a lo largo del ciclo métrico. Bartók utiliza esa serie euclídea dándole la vuelta, al comenzarla en el cuarto tiempo (el primero de la primera célula binaria): [x . x . x . .]. Son dos ejemplos del mismo tipo métrico. Es posible representar este ciclo métrico como un triángulo inscrito en un círculo. El primer tiempo está ubicado en la parte superior del círculo, y se lee en el sentido de las manecillas del reloj: Figura 4: Béla Bartók: «Six Dances in Bulgarian Rhythm (2)». Representación icónica de la métrica euclídea. A la izquierda la formulación original. A la derecha, la versión rotada empleada por Bartók, que es especular de la original. 2. Análisis rítmico-métrico de «Six Dances in Bulgarian Rhythm (5)» Figura 5: Béla Bartók: «Six Dances in Bulgarian Rhythm (5)». Compases 1-3 Llevaremos a cabo un análisis similar con la «Danza en ritmo búlgaro núm. 5» de Béla Bartók. Como en el caso anterior, observamos un compás de amalgama. Es un compás de amalgama porque es un compás formado por la reunión, en uno solo, de cuatro compases que presentan distinto numerador, pero igual denominador. El ciclo métrico se reinicia cada nueve tiempos de corchea. Por consiguiente, podría afirmarse que el compás unitario es de 9/8. Pero ocurre que el 9/8 es una métrica clásica; es un compás ternario de subdivisión ternaria (= compuesto): F-D-D-SF-D-D-SF-D-D. Indudablemente, ésa no es la fórmula métrica que busca Bartók. Por consiguiente, indica la constitución de la amalgama por medio de compases aditivos simples: 2 + 2 + 2 + 3. Como la amalgama ya se ha expresado descompuesta al principio de la pieza, las líneas divisorias de puntos no son necesarias. Además, suena «umpa-umpa-umpa-úmpara», lo que también hace patente, de forma sonora, la organización rítmico-métrica de la obra; véase la figura 6. El problema de si la amalgama es modular o sistémica admite en esta danza mayor discusión. Hay fragmentos que parecen sugerir mera asociación de compases (= ensambladura modular): Figura 6: Béla Bartók: «Six Dances in Bulgarian Rhythm (5)». Compases 14-15 En cambio, hay otros compases, como los del principio o el ejemplo que se aporta más abajo en la figura 7 que, en virtud de sus diseños melódico-rítmicos, articulación, &c. insinúan una concepción más unitaria o integral del compás: Figura 7: Béla Bartók: «Six Dances in Bulgarian Rhythm (5)». Compases 25-26 La métrica examinada no solo es un compás irregular de amalgama (compás aditivo), sino que además es una métrica quasi-aksak. Es quasi-aksak porque cumple la primera condición señalada en el análisis de la danza núm. 2 (se basa en la combinación de células binarias y ternarias exclusivamente), pero no cumple la segunda condición: la suma total de pulsos, aunque es número impar, no constituye número primo. No obstante, sí es una métrica euclídea. Tenemos 9 pulsos de los cuales 4 acentuados y 5 no: E(4, 9) Aplicando el algoritmo de Bjorklund: 1.º paso. 9 secuencias de un pulso, de las cuales 4 métricamente acentuadas y cinco no: [1] [1] [1] [1] [0] [0] [0] [0] [0]. 2.º paso. Trasladando ceros, obtenemos cuatro secuencias de dos tiempos y nos resta un tiempo no acentuado: [10] [10] [10] [10] [0]. 3.º paso. Procediendo de igual modo, estructuramos una secuencia de tres tiempos y tres secuencias de dos tiempos: [100] [10] [10] [10]. 4.º paso. Ahora redistribuimos las secuencias de dos tiempos: [10010] [1010]. Secuencia final: [100101010]. Representada utilizando el sistema TUB: [x . . x . x . x .] Bartók utiliza esa serie euclídea dándole la vuelta, al comenzarla en el cuarto tiempo (el primero de la primera célula binaria): [x . x . x . x . .]. Las dos secuencias son casos del mismo tipo métrico. Figura 8: Béla Bartók: «Six Dances in Bulgarian Rhythm (5)». Representación icónica de la métrica euclídea. A la izquierda la formulación original. A la derecha, la versión rotada empleada por Bartók. Ambas son casos particulares del mismo tipo métrico. El nervio rítmico de la danza radica, en parte, en haber adoptado esta estructuración euclídea. 3. Propiedades comunes a las dos métricas En las dos danzas analizadas las métricas que usa Bartók son E(3, 7) y E(4, 9). El número de acentos fuertes y el el número total de pulsos pueden parecer números tan buenos como otros cualesquiera. Sin embargo, tienen propiedades especiales. En general, si k es el número de acentos fuertes y n el de pulsos y se cumple la relación n=2*k+1, entonces aparece un tipo de patrón muy característico. En el caso de nuestro análisis, esta condición se cumple:7=3*2 +1 y 9=4*2 +1. ¿Cuál es esa relación? Si aplicamos el algoritmo de Bjorklund obtenemos el patrón: Este patrón está formado por el grupo [1 0 0 ] seguido por la repetición k veces del grupo [1 0] (las dos rayas || se han puesto por claridad). Curiosamente, Bartók pone el grupo [1 0 0] al final y obtiene el patrón: Este patrón métrico se puede interpretar desde un enfoque perceptual, en este caso de expectativa acentual, en la línea de la obra de Meyer Emotion and meaning in music (14) (o de autores posteriores que desarrollaron sus teorías, tales como Lerdahl y Jackendoff (15) o Narmour (16)). En efecto, la repetición del grupo [1 0] crea la expectativa de que la métrica entera va a consistir en esa distribución de acentos, pero en el último momento Bartók añade una parte débil más, la cual rompe dicha expectativa. Las distancias que aparecen en esta métrica son 2 y 3 ([1 0] y [1 0 0], respectivamente), y son el mínimo métrico binario y el mínimo métrico ternario. Por otra parte, si el número de pulsos es muy grande, entonces el número de repeticiones del grupo [1 0] es grande también y el efecto se pierde. Bartók elige unos patrones óptimos para el oído humano en términos de memoria musical. Si hubiese elegido E(5, 11) o E(6, 13) el efecto no habría sido tan eficaz.   Para saber más Notación TUBS La notación TUBS se conoce también como notación de caja. En Occidente fue inventada por Philip Harland, de la Universidad de California en Los Ángeles, en 1962. Sin embargo, en otras tradiciones musicales se conocía desde mucho antes. Por ejemplo, en el siglo XV era de uso común en la notación de la música en Corea; también se pueden encontrar ejemplos en la música árabe. La notación en caja se utiliza con frecuencia por los etnomusicólogos (10) para notar polirritmos africanos y de otras culturas. Los psicólogos de la música la emplean en sus experimentos de percepción del ritmo, donde tienen que dar instrucciones a sujetos que no conocen la notación occidental. Ritmos euclídeos Al principio, fue un problema matemático: dadas n cajas y k objetos, ¿cómo distribuir los objetos en las cajas de la manera más uniforme posible? ¿Qué significa de la manera más uniforme posible? Este problema fue abordado en diversos contextos de manera independiente: en música, con la teoría de escalas (11); en física, con las distribuciones de pulsos en intervalos fijos de tiempo (9-1); en informática gráfica, con el dibujo digital de líneas rectas (12). Para ver más ejemplos de este ubicuo problema, consúltense las referencias (9-2), (9-3) y (9-5). La conexión profunda que se dio con este problema es que el viejo algoritmo de Euclides, ese que se usaba para calcular con rapidez el máximo común divisor de dos números, servía, convenientemente modificado, para resolver el problema de una manera sencilla. En (9-4) se prueba que varios algoritmos existentes en la bibliografía para resolver el problema de distribuir objetos uniformemente son, en realidad, el mismo algoritmo y dan esencialmente las mismas soluciones. En el caso que nos ocupa, las métricas, queremos distribuir acentos fuertes y débiles en un conjunto fijo de pulsos. Las métricas que han salido en el texto son E(3,7) y E(4, 9). En ambos casos el máximo común divisor del número de acentos fuertes y número total de pulsos es 1, con lo cual no salen patrones repetidos dentro de la métrica. He aquí unas cuantas propiedades que tienen las métricas euclídeas E(k, n) en general: Están formadas por solo dos distancias, a saber, la parte entera del cociente n/k, y la parte entera del cociente n/k más 1. Por ejemplo, en el caso de E(3, 7), tenemos que la parte entera de 7/3=2,3333... es 2. Luego las distancias que pueden aparecer en E(3, 7) son 2 y 3. Y así es, E(3,7)=[x . x . . ], o escrito como sucesión de distancias, (2, 3). Dado el ritmo E(k, n), si el máximo común divisor de k y n es d, entonces la métrica euclídea estará compuesta por la repetición d veces de un patrón P. Por ejemplo, la métrica E(8, 12) es [. x x . x x . x x . x x] , y vemos que es la repetición del patrón [. x x] 4 veces, exactamente el máximo común divisor de 12 y 8. El patrón que se repite es también euclídeo. Las métricas euclídeas no cambian bajo rotaciones. Ello es porque la propiedad de regularidad, de máxima distribución uniforme, depende de las distancias entre las partes fuertes, y estas no cambian cuando se rota el ritmo. Para explorar las rotaciones de ritmos, véase (13). La observación anterior trae la fascinante cuestión musicológica de por qué ciertas rotaciones de métricas (o ritmos) euclídeos son más frecuentes que otras. Aquí entra en juego el contexto cultural y el estilo en particular de que se trate.   Notas, referencias y bibliografía (1) Joaquín Zamacois: Teoría de la Música. Dividida en cursos. Libro I. Barcelona: Labor, 1992, p. 126. (2) Sociedad Didáctico-Musical: Teoría de la Música. Parte tercera. Madrid: Villena, 1958, p. 13. (3) Percy A. Scholes: «Compases de amalgama», en Diccionario Oxford de la Música. Tomo I. Barcelona: Edhasa/Hermes/Sudamericana, 1984, p. 87. (4) Mario Bunge: Emergencia y convergencia. Novedad cualitativa y unidad del conocimiento. Barcelona: Gedisa, 2003, p. 28. (5) Ludwig von Bertalanffy: Teoría general de los sistemas. Fundamentos, desarrollo, aplicaciones. Madrid: Fondo de Cultura Económica, 1993. Véase especialmente el apartado «En torno a la historia de la teoría de los sistemas» de la introducción del libro, p. 9 y ss. (6) Jérôme Cler: «Pour une théorie de l'aksak». Revue de Musicologie, vol. 80, núm. 2 (1994), 181-210, p. 182. Traducción nuestra. (7) Simha Arom: « L'aksak. Principes et typologie» (en línea). Cahiers d'ethnomusicologie, núm. 17 (2004). Disponible en Internet: .. (consulta del 24 de octubre de 2012). Traducción nuestra. (8) Aunque se reconoce que la combinación de células binarias y ternarias genera la mayor parte de las métricas aksak, últimamente se ha sugerido que, al menos teóricamente, combinaciones basadas en las razones 4:3 o 5:4 son posibles. Ibíd., pp. 195-196 y summary, al final (p. 210). (9) Para el asunto de la métrica euclídea, pueden consultarse los siguientes artículos: (1) E. Bjorklund: «The Theory of Rep-Rate Pattern Generation in the SNS Timing System», SNS ASD Tech Note, SNS-NOTE-CNTRL núm. 99 (2003). (2) Godfried Toussaint: «The Euclidean Algorithm Generates Traditional Musical Rhythms». Montreal (Canadá): Universidad MCGill, 2005. (3) Perouz Taslakian: Musical Rhythms in the Euclidean Plane (tesis doctoral). Montreal (Canadá): Universidad McGill, 2008. (4) Erik Demaine y otros autores: «The distance geometry of music». Computational Geometry, vol. 42, núm. 5 (2009), 429–454. (5) Paco Gómez: «Si Euclides lo supiese..., se sentiría muy orgulloso. Patrones de regularidad máxima en Música, Geometría, Informática y otras disciplinas». Madrid: Universidad Politécnica. Escuela Universitaria de Informática, 2009. (6) Paco Gómez: «El algoritmo de Euclides como principio musical» (charla). Madrid: Universidad Politécnica. (7) Contrasteatro: Materritmo o el ritmo me mata. Espectáculo cómico-matemático-musical que explora los ritmos euclídeos. (10) Laz E. N. Ekwueme. Concepts in African musical theory. Journal of Black Studies, 5(1):35–64, septiembre de 1974. (11) J. Clough and J. Douthett. Maximally even sets. Journal of Music Theory, 35:93–173, 1991. (12) Reinhard Klette and Azriel Rosenfeld. Digital straightness - a review. Discrete Applied Mathematics, 139:197–230, 2004. (13) Paco Gómez. Rotaciones de ritmos. Columna de matemáticas y música de la revista Divulgamat. Junio de 2012. (14) Leonard Meyer. Emotion and Meaning in Music. The University of Chicago Press. 1961. (15) Lerdahl, Fred and Jackendoff, Ray. A Generative Theory of Tonal Music. MIT Press. 1983 (16) Narmour, E. The Analysis and Cognition of Melodic Complexity: The Implication-Realization Model. Chicago: University of Chicago Press. 1992. (17) Mario Bunge: El problema mente-cerebro. Un enfoque psicobiológico. Madrid: Tecnos, 2002. (18) Mario Bunge y Rubén Ardila: Filosofía de la Psicología. Barcelona: Ariel, 2002.

Martes, 06 de Noviembre de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico