591. 46. (Abril 2013) El aprendizaje por indagación II

En marzo pasado empezamos la publicación de una serie de artículos en la que nos propusimos investigar el aprendizaje por indagación aplicado tanto a las matemáticas como a la música. En el primer artículo de la serie examinamos cómo es el aprendizaje por indagación en las matemáticas. Ahora es el turno de la música, donde, en apariencia, este método no está tan extendido. Para la segunda parte de la serie, la que se centra en la música, tengo el honor de contar con Manuel Tizón Díaz como coautor, quien es licenciado en Guitarra, Musicología, Composición y Pedagogía; también ha hecho un máster en Creación e Interpretación Musical en la Universidad Rey Juan Carlos. Él, sin duda, a partir de su experiencia, enriquecerá el artículo como se merece el tema. 1. Introducción Al contrario que en el mundo de las matemáticas, donde los métodos de aprendizaje por indagación gozan de cierta popularidad, en el mundo de la música estos parecen no haberse implantado. En la enseñanza de las matemáticas se encuentran relativamente bien documentados: el método Moore se puso en práctica en los años 70 ([Fou]); un buen número de universidades importantes usan diversas formas del aprendizaje por indagación desde hace años (piénsese en la Universidad de Texas o McMaster University, entre otras); conceptualmente, la cantidad de investigación en este momento es ya considerable (véanse [BB08], [BUSP10], [LeFl12] y sus referencias); existen muchas variantes de este tipo de aprendizaje, como el aprendizaje basado en problemas o el aprendizaje basado en proyectos; en los congresos de pedagogía matemática tiene presencia constante en las ponencias; e incluso existe una revista, Journal of Inquiry-Based Learning in Mathematics, donde profesores que siguen este método envían su material, y tras la correspondiente revisión, se publica y se pone a disposición de otros practicantes del método. En el campo de la música, aunque existen algunas notables experiencias, el aprendizaje por indagación no es el método preferido para la enseñanza de la música. En España, hasta lo que alcanza nuestro leal conocimiento, siempre perfectible, no tenemos noticia de experiencias docentes que usen el aprendizaje por indagación en los conservatorios. ¿Es la explicación de este hecho el que el aprendizaje por indagación sea un método propio de las ciencias eminentemente deductivas -por ejemplo, las matemáticas, la física, la química o la computación-? Seguramente, el lector se habrá sonreído -quizás con recelo- ante la falacia implícita en la pregunta anterior (falacia que, por otra parte, está más extendida de lo que se piensa). ¿O acaso no hay deducción en las artes y las ciencias sociales? Por supuesto, la hay. Tienen sus propias formas de razonamiento, en ocasiones distintas de las formas de las ciencias puras, pero igualmente válidas. Por tanto, es perfectamente factible el aprendizaje por indagación en las artes y, en particular, en la música. En este artículo revisaremos la bibliografía más relevante sobre el aprendizaje por indagación en la música y argumentaremos que es viable usar este método en su enseñanza. Para ilustrar las posibilidades reales del método, desarrollaremos una clase de la asignatura de Armonía y para finalizar haremos un análisis crítico del método en la sección de conclusiones. 2. El aprendizaje por indagación en la música En su excelente artículo [Spro13], Rachel Spronken-Schmidt analiza la bibliografía más relevante sobre el aprendizaje por indagación (hasta 2009, fecha de su publicación) y aborda unas cuantas cuestiones teóricas de interés. La primera de ellas es la simple pregunta de qué es el aprendizaje por indagación. Apoyándose en el trabajo de Prince y Felder [PrFe06], esta autora caracteriza primero el aprendizaje inductivo, del cual el aprendizaje por indagación es un caso particular. Esa caracterización del aprendizaje inductivo es la siguiente (página 2): Es un aprendizaje centrado en el alumno, esto es, el método se concentra en el proceso de aprendizaje del alumno y no en la comunicación, más o menos eficaz, de un cuerpo definido de conocimiento. Es un aprendizaje centrado en la acción; el alumno aprende discutiendo cuestiones, resolviendo problemas, emprendiendo proyectos, siempre por algo que lo implique activamente. Es un aprendizaje que requiere del alumno asumir la responsabilidad de su propio aprendizaje. Desde el punto de vista teórico, es un método constructivista (véase [Brun90]), donde los alumnos construyen su propio conocimiento en lugar de que les sea transmitido por vía de un método en que ellos son sujetos pasivos. Tras discutir las definiciones de varios autores, Spronken-Schmidt propone un núcleo común de características que podría definir el aprendizaje por indagación: Es un aprendizaje regido por la indagación, esto es, parte de una cuestión a la que el alumno ha de dar respuesta, y aquí respuesta no significa solución cerrada e inmutable. Es un aprendizaje basado en la comprensión y en la búsqueda de conocimiento. Es un método en el que el profesor actúa de favorecedor del aprendizaje en lugar de ser transmisor de conocimiento. El ritmo de aprendizaje no lo marca el profesor o la longitud del temario, como ocurre en la clase magistral tradicional, sino que es el alumno, en función de cómo se enfrente a los problemas propuestos, quien define ese ritmo. Es un método en el que los alumnos controlan su aprendizaje, con toda la carga de autorreflexión que ello conlleva. Es un método de aprendizaje activo. Otro autor, Jamie Wood, presenta un estudio [Wood10] en el cual analiza las experiencias docentes usando el aprendizaje por indagación en las disciplinas artísticas y de humanidades en la Universidad de Sheffield. Wood hace una relación de cursos impartidos con este método, entre los que se cuentan arqueología, inglés, historia, español, filosofía y música. Muy interesante en esta experiencia es el hecho de que hay una evaluación conjunta de todos los cursos, evaluación que permite comparar cómo funciona el método en distintas disciplinas. Los resultados el método se midieron en términos de los resultados en: (1) destrezas y conocimiento; (2) desarrollo personal y social; (3) e implicación en la asignatura (véase la sección 3.6 de dicho artículo). Los resultados fueron satisfactorios y constituyen una prueba tangible de que es posible utilizar el aprendizaje por indagación en otras disciplinas distintas a las ciencias puras. De hecho, hay una razón poderosa que trasciende el carácter deductivo de una disciplina como condición para usar el aprendizaje por indagación, y esa razón es la indagación en sí misma. La indagación es una actitud, la actitud de enfrentarse a una pregunta relevante y provocadora, que no tiene una respuesta fija y correcta en todos los sentidos, una pregunta que requiere del alumno que ponga sus recursos mentales en funcionamiento, una pregunta que lo desafíe intelectualmente, que despierte su curiosidad por saber. Obviamente, esa pregunta se puede hacer en cualquier disciplina, incluida la música. Solo hace falta un profesor (un favorecedor) que plantee las preguntas correctas y que cree el ambiente adecuado para esa indagación. En el estudio de Wood se da especial importancia al diseño de las preguntas y al aspecto social del método (en esta experiencia todo el trabajo fue colaborativo y era crucial crear buenas dinámicas de grupo eficaces). Por último, atendiendo explícitamente a las experiencias de aprendizaje por indagación en música, tenemos el libro en línea de Catherine Schmidt-Jones, con el sugestivo título Music inquiry [Schm]. Es una verdadera guía para diseñar un curso de música usando aprendizaje por indagación. Schmidt-Jones hace un énfasis tremendo en la elección de las preguntas indagatorias. He aquí sus consejos al respecto: La pregunta indagatoria deber ser provocadora. Si no lo es, el alumno no tendrá ningún aliciente para implicarse. La pregunta debe estar dentro de las posibilidades intelectuales del alumno. Si es demasiado fácil, se aburrirá; si es demasiado difícil, lo frustará. Tiene que tener el grado justo de dificultad, grado que siempre es complejo de evaluar. La pregunta tiene que llevar al alumno a adquirir un mayor entendimiento y aumentar sus conocimientos, es decir, tiene que ser una pregunta de cierta profundidad. Una pregunta superficial solo obtendrá respuesta de igual clase. La pregunta tiene que interesar al alumno; tiene que tener el suficiente número de aristas para que el alumno quiera contestarla. La autora apunta a otro aspecto que nos parece muy relevante en la enseñanza musical: el cultural. La música no se puede entender en su totalidad ni con profundidad sin la dimensión cultural. Entender los aspectos culturales de la música está al alcance de un lego y se puede utilizar este hecho para crear preguntas indagatorias con un fuerte atractivo. En la clase que desarrollaremos más adelante, en la sección 3, este aspecto será fundamental. Como sugerencia de pregunta indagatoria, Schmidt-Jones propone (sección 4.1) la escucha de música de tradiciones musicales con las que el alumno no esté familiarizado. Estas tradiciones pueden ser músicas de otras culturas o música de su propia cultura, pero de una época pasada y que desconozca. De nuevo, nosotros usaremos esta idea en el desarrollo de nuestra clase. Por su naturaleza, la música da lugar a que el alumno participe quizás más que en otras materias. No nos podemos imaginar una clase de música en que no se cante o se toque la música de la que se discute. La prueba más fehaciente, el argumento más contundente, que se puede aportar en el caso de una discusión musical es siempre la música misma. En la sección 4.2 Schmidt-Jones presenta varias sugerencias de preguntas indagatorias en el contexto de la crítica musical (y que, de nuevo, nosotros usaremos en la prometida clase de armonía). Por último, en el apartado de teoría de la música, esta autora propone un módulo de armonía. Como preguntas generales da la siguiente lista: ¿Cómo ayuda la armonía a crear el carácter en esta pieza? ¿Cómo es la armonía que pertenece a un estilo particular de música? ¿Cómo es la armonía que hace que esta pieza suena diferente de esta otra, a pesar de que ambas pertenecen al mismo estilo? ¿Cómo se crean cadencias efectivas? ¿Cómo crea la armonía interés y variedad? ¿Cómo crea la armonía un sentido de familiaridad y predictibilidad? ¿Cómo apoya e interactúa la armonía con la melodía, el ritmo, la forma u otros aspectos de la música? ¿Cómo se crean cambios de tonalidad que no sean bruscos? ¿Es esta música tonal, modal, diatónica, cromática, atonal? A estas alturas parece demostrado que es posible usar el aprendizaje por indagación para impartir un curso de música. Si el arranque del aprendizaje por indagación son las preguntas, creemos haber demostrado que la creación de tales preguntas es factible en la música. Por completitud, vamos a desarrollar en la sección siguiente un tema de un curso de armonía. 3. Una propuesta en la asignatura de Armonía 3.1 Contexto de la asignatura Si el aprendizaje de indagación se basa en la idea de construir el conocimiento a través de la experiencia, en nuestro caso esto significa que la música ha de vivirse a través de la escucha. Es por ello que no entendemos el aprendizaje de la armonía sin la participación activa de la propia música, sonante, orgánica, y compuesta y ejecutada por los alumnos. Sin duda, la contextualización histórico-compositiva nos ayudará a entender y a sentir la música de manera más intensa e informada, pero es ante todo el propio objeto sonoro el que nos servirá de punto de partida. La partitura es una herramienta fundamental para llevar a cabo el aprendizaje de esta materia, pero hay que dejar claro que esa representación no es la música en sí misma. El tipo de aprendizaje que proponemos nos acerca a la idea de un aprendizaje activo; por ello, la música -y por tanto, el oyente- han de ser elementos activos y preponderantes. Rechazamos, pues, la armonía de mesa, la armonía calculada sobre la partitura, a lo sumo cantada en la cabeza, la armonía que observa las reglas sobre el papel. Hemos decidido abordar una asignatura -la armonía- que sinceramente creemos que necesita enfoques pedagógicos más en consonancia con el siglo XXI. La mayor parte del alumnado que estudia y realiza armonía, lo hace en el escritorio, y a pesar de que algunos profesores insisten en la necesidad de tocar los ejercicios, la mayor parte de ellos no hacen una contextualización y conceptualización previas. ¿Para qué va a tocar un alumno sus ejercicios si no tiene un criterio estilístico? ¿Acaso creemos que el alumno va a sentir como mal sonantes unas quintas seguidas? A raíz de esta pregunta surgen las eternas dudas de los desinformados alumnos. ¿Por qué no puedo hacer quintas si suenan genial? ¿Por qué el profesor me dice que no haga octavas si en la obra de Chopin que estoy tocando aparecen octavas en la mano izquierda? -piensa el ofuscado alumno-. Con respecto a la primera cuestión, los alumnos viven en una sociedad cuya música está llena de quintas; basta oír con atención la música pop y rock. Por otro lado, hay que admitir que las quintas y octavas objetivamente suenan agradables al oído por una cuestión puramente acústica. Por consiguiente, es necesario hacer una contextualización a través de la escucha y el análisis. Esta contextualización es necesaria para entender qué es lo que se persigue con estas consabidas prohibiciones. Será necesario escuchar con los alumnos obras del barroco en contraste con obras de periodos musicales anteriores. Claramente, una de las características de esas épocas es la sonoridad de quintas y octavas, que en esta nueva etapa histórica se evita a toda costa. La música medieval trae consigo una sonoridad espléndida, que nos hace viajar a otra época, pero que nada tiene que ver con lo que buscan los profesores de armonía en el plan de estudios de grado medio: la armonía tonal. Con este concepto adquirido a través de la experiencia, la pregunta de por qué Chopin hace octavas se resolvería por sí sola. Contextualizando, el alumno comprenderá el porqué de las normas y, además, sabrá qué impacto van a tener en la escucha. Aquellos profesores que siguen enseñando armonía sin abordarla a través de una escucha consciente la convierten en un artificio formalista, sin una conexión telúrica con el sonido. No pretendemos, pues, seguir fomentando la armonía de mesa, creemos mucho más interesante hacer música, y sobre todo, aprender armonía desde la propia experiencia y el análisis. Es Johann Sebastian Bach quien sirve de ejemplo en las leyes esenciales de la armonía tonal y el contrapunto. El clave bien temperado [Bach] es una obra de referencia, el cual incluye un preludio y una fuga en todas las tonalidades posibles. Su proporción y contrapunto es el paradigma de la síntesis de la musicalidad, la armonía y el contrapunto. Pero sin duda, su colección de corales es un fantástico aliado para encontrar el equilibrio armónico y contrapuntístico que buscamos en la armonía tonal. Contemporáneo de Bach en esta época, prácticamente del mismo año de El clave bien temperado pero alejado de su estilo, encontramos el famoso tratado de armonía de Rameau [Rame]. Un tratado que no sólo examina el funcionamiento del acorde como un fin en sí mismo, sino también como acompañante al canto o como elemento añadido a la composición musical. Podríamos mencionar otros compositores que han acrecentado el conocimiento armónico, pero creemos que sería redundante para nuestro propósito. Con respecto al curso al que daremos la clase, hemos escogido 3º de Grado Medio del plan actual de estudios para llevar a cabo esta propuesta. Nos atrae profundamente la idea de realizar otra propuesta para la asignatura de armonía de grado superior y es probable, por tanto, que en próximas publicaciones abordemos este tema. La clase que hemos escogido para este proyecto estará ubicada ya mediado el curso. Por tanto, el alumno ya estará familiarizado con la sonoridad que buscamos en las tríadas. Recordemos que rechazamos la sonoridad de épocas más antiguas al Barroco, como quintas y octavas seguidas, acordes sin tercera, etc. Nuestro alumno también conocerá los criterios básicos que rigen la tesitura de las voces y la formación de las mismas porque lo habríamos trabajado desde el inicio del curso. Hay que matizar que el alumno seguirá aprendiendo lo referente al movimiento de las voces, ya que las habilidades adquiridas se amplían y revisan permanentemente. 3.2 Descripción de la clase La pregunta de indagación con la que abriríamos la clase es la siguiente: Dados los dos acordes siguientes, ¿cómo los enlazarías? ¿Qué conducción de voces usarías para enlazarlos con musicalidad? Describe explícitamente los criterios que has usado. ¿Hay solo una conducción de voces posible? Describe las distintas soluciones posibles en su contexto musical. Como puede ver el lector, en esta sesión (compuesta por un número indeterminado de clases) pretendemos que el alumno aprenda las normas que rigen el movimiento de dos notas del acorde de dominante: la sensible (como repaso y ampliación) y la séptima. Oíremos las soluciones dadas por los alumnos, tocadas por ellos mismos y analizadas también por ellos mismos. En el transcurso de la discusión se irá forjando el entendimiento de la séptima desde un punto de vista conceptual, es decir, los alumnos responderán -con la ayuda del profesor como favorecedor- a la pregunta de cómo se forma una séptima. A partir de aquí, el profesor preguntará qué acordes llevan séptima en ciertos ejemplos y de esta manera, se encaminará el aprendizaje hacia una nueva meta: la séptima en la dominante. En los siguientes ejemplos musicales (figura 1) se muestra el comportamiento más "escolástico" de los enlaces de la dominante con 7ª con el primer grado. Los hemos hecho en una tonalidad cómoda para entender el funcionamiento (do mayor). No obstante, hemos incluido algún ejemplo en la menor por ser una tonalidad menor y afín a do mayor (relativo menor). En este tipo de enlaces no es demasiado importante que el enlace sea al primer grado mayor o a su homónimo menor. En estos enlaces "académicos", tanto la sensible, como la séptima, tienen un comportamiento estándar: la sensible se ve atraída por el semitono ascendente que conduce a la tónica, y la tensión de la séptima se rebaja descendiendo. Hemos incluido un contraejemplo, que aún no siendo erróneo, contrasta con ejemplos anteriores; además, serían posibles otras resoluciones más ortodoxas. Como en estos ejemplos, no hemos visto las resoluciones menos académicas, este contraejemplo es totalmente válido. Figura 1: Ejemplos más comunes En el siguiente punto se abordará lo referente a cómo se comporta la séptima y la sensible (esta última de repaso y ampliación de casos). En los conspicuos tratados de armonía, nos insisten en la obligación que tiene cada nota de resolver en un lugar determinado (sensible que asciende y séptima que desciende), pero también nos advierten de las excepciones que pueden darse en alguna de sus notas (duplicaciones y resolución en otra nota del acorde). La realidad es que el comportamiento de estas dos notas depende de múltiples factores, como la musicalidad, voces intermedias que justifican el movimiento, el fenómeno físico-armónico o giros de armonía o melodía específicos. Por tanto, el alumno va a indagar a través de ejemplos musicales cuál es el comportamiento de estas notas. Será la diferencia entre conocer las normas y saber como funciona la música. Tenemos que ser conscientes de los problemas que nos encontraremos aplicando este método. Uno de los más comunes es la incertidumbre que el alumno encuentra a la hora de enfrentarse a su responsabilidad en el proceso de aprendizaje. Por un lado, este problema emerge del modelo instruccionista en el que está circunscrito el propio alumno, y por otro, por la tendencia fisiológica a la ignorancia del ser humano [Tort08] (página 27) . Con respecto a este segundo punto, cabe decir que el aprendizaje por indagación consume mucha energía, tanto para el aprendiente (alumno) como para el favorecedor (profesor); por esta razón, tendremos que luchar aún más contra esa tendencia al mínimo esfuerzo. Para llevar a cabo este aprendizaje por indagación de la sensible y la séptima del acorde de dominante en el enlace con el primer grado y sexto (V-I ó V-VI) es necesario contrastar con ejemplos tonales reales. Plantearemos a los alumnos el análisis de ejemplos extraídos de los corales de J.S.Bach [Bach-a]. Hay algunos enlaces que son menos comunes o se dan por medio de notas de paso; no obstante, nosotros los hemos expuesto como enlaces viables (nos referimos sobre todo a algunos enlaces V-VI de los ejemplos; véase figura 4). Para otros ejemplos, hemos recurrido a tres tratados de armonía: el de Piston [Pist12], Schonbërg [Scho90] y Zamacois [Zama11]. Para el estudio de los ejemplos se entregará a los alumnos en partitura y en MIDI (piano) ejemplos de encadenamiento dominante-tónica en estado fundamental e inversiones. En la primera parte de esta serie de clases se estudiaran los ejemplos más comunes y "escolásticos", es decir, la tensión de la séptima se relaja descendiendo y la sensible, por proximidad, asciende. Los ejemplos se tocarán en la clase y el alumno deberá tocarlo en casa o escucharlo en MIDI (preferible tocarlo al piano). Al final de estos ejemplos habrá un contraejemplo para que los alumnos puedan contrastar con un enlace erróneo. Estos ejemplos serán dados en la clase para hacer una pequeña explicación y una escucha colectiva de los enlaces. En esta explicación se recordarán experiencias anteriores con la sensible y se les dirá a los alumnos que el quinto grado de una tonalidad puede ser ampliado de tríada a tétrada añadiendo una tercera más, la séptima. Estos ejemplos se los llevarán a casa para examinar los enlaces. Se propondrán a los alumnos un ejercicio de armonización en que, dados un bajo y unas posiciones concretas, han de poner séptimas de dominantes. Se puede ver un ejemplo en la figura 2. Figura 2: Ejercicio de dominantes (I) El siguiente bloque comenzará con la misma pregunta pero otros ejemplos: Dados los dos acordes siguientes, ¿cómo los enlazarías? ¿Qué conducción de voces usarías para enlazarlos con musicalidad? Describe explícitamente los criterios que has usado. ¿Hay solo una conducción de voces posible? Describe las distintas soluciones posibles en su contexto musical. En este punto se abrirá un diálogo entre los alumnos. El profesor empezará a escribir en la pizarra las características que dicen los alumnos ver en esas notas, especialmente en la séptima. La sensible nos servirá de repaso y dependiendo del grado de asimilación que han tenido los alumnos en referencia a esta nota anotaremos las características o no. Después de este diálogo se estudiarán en clase las características que los alumnos han mencionado para ordenarlas u organizarlas. Establecer normas de comportamiento de la séptima y la sensible en estos ejemplos será tarea sencilla porque en estos ejemplos las notas conducen siempre al mismo lugar a excepción del contraejemplo que les servirá para contrastar. Se discutirá con el alumno la posibilidad de que la resolución sea en un acorde incompleto y en qué casos sería esta situación musicalmente aceptable. Los enlaces que mayor problema pueden dar con respecto al concepto que un alumno ha desarrollado en los ejemplos anteriores, es -entre otros- el quinto grado con séptima en estado fundamental y sin suprimir ninguna nota del acorde (sol, si, re, fa, en do mayor) que enlaza con el acorde de tónica completo en estado fundamental y duplicando la tónica. En los siguientes ejemplos se trata esta problemática. En el caso I, la sensible no resuelve directamente en la tónica, pero si lo hace la voz superior, dando un resultado totalmente resolutorio; lo mismo ocurre con el caso II, III y V. En el caso IV, resulta excepcional que la sensible (sol#) no resuelva en la tónica. Sin embago, sí lo hace el poderoso armónico primero del la del bajo, dando una vez más, un resultado satisfactorio. El caso V es realmente excepcional. Zamacois pone este caso como viable para evitar la duplicación del bajo en esta primera inversión de la tónica. Es bastante claro, que entre el tenor y soprano se producen unas quintas seguidas. Por un lado, están justificadas por la musicalidad del movimiento ascendente del soprano, y por otro, estas quintas no están entre voces extremas, atenuando así el efecto de organum de quinta. En este caso, podemos ver como la séptima, excepcionalmente, puede no descender. En este grupo de ilustraciones, también hemos incluido un contraejemplo. Este enlace no se justifica ni por el fenómeno físico-armónico ni por la musicalidad. Con respecto a las cadencias rotas, hemos incluido ejemplos de duplicación de la tercera, ya que es un enlace común y viable -recordemos que la tercera del sexto grado es el primer grado de la tonalidad-. Además de facilitar la unión con el acorde de séptima de dominante, otorga un contrapunto excelente (dos voces ascienden y otras dos descienden y además ambas se conducen por intervalos de tercera o sexta). Hemos incluido ejemplos poco frecuentes pero viables y un contraejemplo, que además de contrastar con los ejemplos anteriores, no cumple ni con la resolución correcta de la séptima ni con la musicalidad. Figura 3: Ejemplos de enlaces excepcionales Figura 4: Ejemplos de enlaces en cadencias rotas Posteriormente, el profesor les dará a los alumnos un bajo dado, para que completen con la armonía que hemos trabajado. Habrá flechas en los puntos donde el alumno tiene que poner una séptima de dominante. Figura 5: Ejercicio de dominantes (II) La siguiente clase comenzará con un breve repaso de las características vistas en la anterior clase. Más tarde se tocarán los ejercicios en el piano. Se harán a dos manos y nunca por el que ha compuesto el ejercicio. Esto último se hace por dos razones: (1) para que el alumno preste atención a la escucha "desde fuera" y, por tanto, centrándose en la escucha; y (2) porque creemos que esto puede ser motivador para el alumno que ha realizado el ejercicio. Hemos contemplado la idea de tocar el ejercicio con los propios instrumentos de los alumnos, pero creemos que esto puede ralentizar el proceso de escucha y podemos encontrarnos con dos instrumentos dispares en volumen, amenazando la búsqueda de equilibrio que buscamos en estos ejercicios. Después de esta escucha se les pedirá consejo y justificación a los compañeros para que critiquen y valoren el ejercicio de armonía. Haríamos las siguientes preguntas: ¿Qué cualidades positivas tiene este ejercicio? ¿Qué encadenamientos no encajan con lo que buscamos? Critica la sonoridad resultante. Se procurará que todos los alumnos contribuyan en la resolución de los ejercicios y que ninguno se quede atrás en este proceso. Si esto comenzara a ocurrir se prestaría especial atención a este alumno para que explique cuáles son las características que discutimos en clase. La segunda fase de esta sesión se centrará en los enlaces excepcionales. Es importante dejar claro que el término excepcional no quiere decir poco frecuente, ya que son muy comunes en los corales de Bach. En este punto el alumno tendrá que echar mano de los conocimientos previos trabajados en clases anteriores, como el fenómeno físico-armónico, sonoridad de los acordes completos e incompletos, duplicaciones, etc.; todo ello, para justificar los ejemplos de enlaces excepcionales. Además, incluiremos los enlaces V-VI, tanto los sujetos a las normas básicas como los otros. Los hemos incluido en esta segunda sesión para dividir la materia de manera equilibrada. En esta segunda fase, habrá otro bajo dado para hacer en casa, ya con cadencias rotas y con la posibilidad por parte del alumnado de realizar enlaces excepcionales. Ahora el alumno tendrá más herramientas para realizar los enlaces correctamente. Las normas de la conducción de voces son muy complejas porque como dijimos anteriormente dependen de múltiples factores, donde el resultado sonoro es nuestra mejor arma. Después de haber llevado los ejemplos a casa y haberlos analizado, las preguntas de la segunda fase de la clase serán las siguientes: ¿cuáles son las excepciones de la sensible y la séptima en los enlaces? ¿podrías justificar estas excepciones? Se volverá a abrir un debate encaminado a cualificar y justificar las excepciones en los enlaces. En esta segunda fase de la clase es interesante observar el empleo de la resolución excepcional de la sensible, que no enlaza con la tónica de manera directa, sino que a veces lo hace indirectamente, es decir, con el primer (y evidente) armónico que produce el bajo, mientras otras lo hace otra voz, con resultados de carácter resolutorio. El método de la clase será el mismo, diálogo entre los alumnos y posteriormente se escribirá una lista de excepciones mencionadas por los alumnos y escritas en el encerado. Posteriormente a esta clase se corregirán los ejercicios con el mismo método, tocando los ejercicios a cuatro manos y analizando qué enlaces se pueden justificar con lo aprendido y cuáles no. La clase terminará con un resumen explicado por los propios alumnos que intentará además sacar una conclusión profunda del comportamiento de estas dos notas. Será la diferencia entre saber las reglas y saber cómo funcionan estas notas. Es necesario apuntar, que el cronograma de estas clases es relativo. Los libros de aprendizaje por indagación nos advierten de que cada clase tiene un ritmo diferente (sobre todo la cantidad y cualidad de los alumnos), por lo que tendremos que adaptarnos a ella. Por tanto, la secuenciación es totalmente orientativa. 3.3 Evaluación Los criterios de evaluación medirán varios factores: la adquisición del conocimiento, la propia construcción del conocimiento por parte del alumno, el desarrollo del sentido crítico, la actitud de colaboración y el hábito de trabajo. En la adquisición de conocimiento se evaluará la capacidad para realizar correctamente el enlace de V-I (o VI) prestando especial atención a la séptima y sensible. La participación en las clases y el entusiasmo mostrado servirá para determinar cómo ha ido el alumno construyendo el conocimiento propuesto en clase. Este es uno de los aspectos más importantes y, a la vez, más difícil de estimar. De igual relieve es la autocrítica y la crítica hacia los compañeros. Uno de los puntos importantes en el aprendizaje por indagación es conseguir el equilibrio entre las críticas de un compañero en el emisor y receptor. Es vital aprender de las críticas y de la misma manera es importante saber hacer las críticas, particularmente por medio de la justificación. Con respecto al emisor, también es primordial reforzar las críticas con estímulo positivo hacia sus compañeros. Como en estas clases emplearemos la colaboración entre los compañeros, este punto es esencial. 4. Conclusiones En la tesis doctoral de Sheila Scott [Scot09] se investiga el aprendizaje por indagación en contexto colaborativo en la enseñanza de la música en el ámbito de la educación primaria. Sus conclusiones son reveladoras y se aplican en su totalidad al caso que nos ocupa a pesar de las diferencias entre el mundo anglosajón, donde tuvo lugar el estudio, y nuestro entorno. El aprendizaje por indagación en la enseñanza de la música es posible, pero está lleno de dificultades de todo tipo -que ya reflejamos en el artículo anterior-: . En primer lugar, está el instruccionismo, término acuñado por Papert [Pape93], y que se define como una visión del conocimiento como una colección de hechos y procedimientos que se imparten a los alumnos de manera controlada, siempre a través de la figura del profesor, y donde la evaluación numérica de los resultados es importante. Muchos profesores en este país abrazan este método de enseñanza y no están dispuestos a cambiar a otro que, en principio, supone más riesgo, más trabajo y menos control. Incomprensión por parte de los colegas. Es realmente difícil cambiar un método de enseñanza si el entorno en su mayoría no lo hace. Los problemas que surgen son de todo tipo. Un cambio de concepto de este calibre exige una acción conjunta. Si solo un profesor de armonía enseña con este método, tendrá que ser consciente de todos los escollos que puedan surgir. Falta de preparación. Este problema es grave. Hay poca información y el profesor que se lanza a esta aventura sabe que tendrá que diseñar material casi desde cero. Pero ¿no consiste en eso el trabajo de un profesor? ¿No es incluso más fascinante crear tu propio material en lugar de apoyarte en el de otro? ¿No es emocionante abrir camino de este modo? Inseguridad emocional. Con este tipo de métodos, donde el trabajo sobre el alumno es muy profundo, hay momentos en que aparece la inseguridad emocional. Hay que estar preparado para controlarla. Para finalizar, tenemos la esperanza de haber abierto una pequeña rendija a la posibilidad de enseñar música con este método. Insistimos, somos conscientes de las dificultades, pero también de que hay profesores de música que tienen la sensibilidad suficiente para intentar ese cambio.   Bibliografía [Bach] Bach, J.S. El Clave bien Temperado (edición original). Wiener Urtext. 2011. [Bach-a] Bach, J. S. ( Albert Riemnschneider, editor). 371 Harmonized Chorales and 69 Chorale Melodies with Figured Bass. G. Schirmer, Inc. 1986. [BB08] H. Banchi and R. Bell. The Many Levels of Inquiry. The Learning Centre of the NSTA, 2008. [Brun90] Bruner, J. Acts of Meaning. Cambridge, Mass.: Harvard University Press. 1990. [BUSP10] Bell, T., Urhahne, D., Schanze, S., and Ploetzner, R. 2010. Collaborative inquiry learning: Models, tools, and challenges. International Journal of Science Education. 3(1), 349-377. [KA04] Kramer, J.; Arnold, A. “Music 2000 “Understanding Music”: An Inquiry-Guided Approach to Music Appreciation”. Artículo del libro Teaching and Learning Through Inquiry. A Guidebook for Institutions and Instructors, pp. 41-50. Sterling, Virginia: Stylus. 2004. [Fou] Educational Advancement Foundation. The legacy of R.L. Moore. http://legacyrlmoore.org/index.html, consultado en febrero de 2013. [LeFl12] Lennex, Lesia; Fletcher, Kimberely. Cases on Inquiry through Instructional Technology in Math and Science. IGI Global. 2012. [Maz97] E. Mazur. Peer Instruction: A User’s Manual. Series in Educational Innovation. Prentice Hall, 1997. [Pape93] Papert, S. The children’s machine: rethinking school in the age of the computer. Basic Books. New York. 1993. [Pist12] Piston, Walter. Armonía. Mundimusica. 2012. Traducción de la edición inglesa de Armony (1941). [PrFe06] Prince, M. J.; Felder, R. M. Inductive teaching and learning methods: Definitions, comparisons, and research bases. Journal of Engineering Education, 95, 123-138. 2006. [Rame] Rameau, J. P. Traité de l'harmonie réduite à ses principes naturels. París. 1722. [Schm] Schmidt-Jones, Catherine. Music inquiry. Libro electrónico disponible en http://cnx.org/content/m45092/latest/?collection=col11455/latest Última edición de la autora en enero de 2013. Consultado por los autores en febrero de 2013. [Scho90] Schöenberg, Arnold. Tratado de armonía. Real Musical. 1990. [Scot09] Scott, Sheila. Integrating inquiry-based (constructivist) music education with Kodály-inspired learning. Australian Kodály Journal. 2009 [Shaf13] Shaffer, Kris. Species counterpoint, Twitter, inquiry-based learning, and the inverted class Artículo publicado en su web en enero de 2013. Consultado por los autores en marzo de 2013. [Spro13] Spronken-Smith, Rachel. Experiencing the Process of Knowledge Creation: The Nature and Use of Inquiry-Based Learning in Higher Education. Ako Aotearoa: National Centre for Tertiary Teaching Excellence. Nueva Zelanda. Consultado por los autores en marzo de 2013. [Stan09] Stanley, Ann Marie. The experiences of elementary music teachers in a collaborative teacher study group. Tesis doctoral. Departamento de Pedagogía Musical, Universidad de Michigan. Defendida en 2009. [Tort08] Tortosa, J. El profesor en la trinchera. Editorial: La Esfera de los Libros S.A. Colección: Ensayo. 2008. [Wood10] Wood, Jamie. Inquiry-based learning in the arts. CILASS (Centre for Inquiry-based Learning in the Arts and Social Sciences), University of Sheffield. Publicado en 2010. Consultado en marzo de 2013. [Zama11] Zamacois. Tratado de armonía. Idea Books. 2011. Publicado originalmente en 1945.

Lunes, 22 de Abril de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

592. 79. Números Primos

Un par de películas sobre números primos, un corto y un largo, para nada estrenos, y no muy allá, la verdad (aprobadejos raspadillos). Para compensar tanta negatividad primaveral una recomendación, una serie documental sobre el mismo asunto. THE CALCULUS OF LOVE Nacionalidad: Reino Unido, 2011. Director: Dan Clifton. Guión: Dan Clifton. Fotografía: Dirk Nel, en Color. Montaje: Simon Battersby y Michael Harrowes. Música: Colin Winston-Fletcher. Producción: Dan Clifton. Duración: 15 min. Intérpretes: Keith Allen (Profesor Bowers), Amy Noble (Hopkins), Siobhán O'Kelly (Mitchell), Irfan Hussein (Patel), Avril Clark (Angela). Galardones: Ganador del premio X_Faculty, y Mención Especial del jurado en el X_Science Film Festival en Génova (Italia) en 2011, Premio al mejor director en el Shortini Film Festival de Augusta (Italia) en 2011,  Nominado a la mejor dirección en el Fastnet Short Film Festival en Schull, Cork (Irlanda), y preseleccionado en el Stoke Your Fires Film Festival. Argumento: El profesor A. G. Bowers está obsesionado con resolver la Conjetura de  Goldbach, establecida hace 250 años. Cuando le llegan una serie de misteriosas cartas mostrándole indicaciones para hallar una demostración, Bowers cree que su sueño largamente ansiado puede por fin alcanzarse. Página Oficial: www.thecalculusoflove.com Comentario No sé si será porque he visto mucho cine, muchos argumentos en los que se traen las matemáticas a colación, o porqué, pero realmente este cortometraje, con todos los respetos por todos los premios que ha ganado (eso sí en festivales de los que no había tenido noticia hasta el momento de redactar esta reseña), no me parece que aporte nada nuevo. Ciertamente está bien dirigido, interpretado y demás (es decir técnica y formalmente es correcto), pero desde el punto de vista de las matemáticas, poco por no decir nada salvo el archisabido enunciado de la conjetura de Goldbach, el típico juego con su hipotética demostración y su destrucción final (todo ello en La habitación de Fermat (Luis Piedrahita y Rodrigo Sopeña, España, 2007), ver reseña número 27 en esta misma sección. En algunas escenas observamos cómo “alguien” (la protagonista femenina sabremos después) escribe expresiones matemáticas sobre las cartas que luego envía. También las vemos cuando el profesor las confronta con sus propios textos. En efecto parecen estar bien elegidas, parecen relacionadas con la teoría de números. Y poco más, la verdad. Pero lo mejor es que vosotros mismos lo veáis y juzguéis. El corto se puede ver íntegramente (eso sí, en inglés) en la dirección http://www.danclifton.co.uk/#/the-calculus-of-love/4529204100. La conjetura de Goldbach (Todo número par mayor de 2 puede ponerse como suma de dos números primos), además de ser el leit motiv en la citada La habitación de Fermat, lo es en la magnífica y popular novela El tío Petros y la conjetura de Goldbach, de Apostolos Doxiadis. También se menciona en la segunda película de Futurama, La bestia con un millón de espaldas (2008). Desde que Christian Goldbach la formulara en 1742, esta conjetura ha sido investigada por muchos especialistas en teoría de números. Numéricamente ha sido comprobada por ordenador para todos los números pares menores que 1018. La mayor parte de los matemáticos consideran que es cierta, y se basan mayoritariamente en las consideraciones estadísticas sobre la distribución probabilística de los números primos en el conjunto de los números naturales: cuanto mayor sea el número entero par, es más “probable” que pueda ser escrito como suma de dos números primos. Pero falta una demostración general. En el blog Gaussianos han tratado varias veces el asunto de una hipotética demostración de la conjetura. El lector interesado puede recordarlas siguiendo este enlace. Entrevista Como no tengo mucho más que comentar sobre este corto, y no quiero destripar el único ápice de interés (que es por otro lado muy evidente) en la resolución final, os transcribo una entrevista que se hace al director en el blog The Aperiodical (blog en el que podéis encontrar algunas cosas interesantes, por cierto): Con la intriga de un thriller, THE CALCULUS OF LOVE es una historia de obsesión y venganza, que nos recuerda que, en la vida, hay que tener cuidado con lo que se desea. Christian Perfect (editor del blog): ¿Por qué hacer un film sobre matemáticas? Dan Clifton (director del corto): He dirigido varias películas sobre ciencia y con científicos. Siempre he estado interesado en la idea de que la ciencia es una noble búsqueda de la verdad, pero que sus perseguidores –los propios científicos–, padecen los mismos defectos que las personas corrientes. Una obsesión de un personaje por probar una conjetura matemática no resuelta parece una buena manera de dramatizar ese conflicto. CP: ¿Tiene formación matemática, o consultó con algún matemático para desarrollar la película? Si lo hizo, ¿cómo fue trabajar con ellos? DC: Cursé matemáticas y matemática aplicada en los cursos estándar del Bachillerato aquí, en el Reino Unido, así que no me resultan completamente desconocidas. Tuve un poco de ayuda del Instituto de Matemáticas, aunque siendo honesto prácticamente conformé la historia solo. CP: Hay un buen número de thrillers matemáticos (La habitación de Fermat, Una mente maravillosa, La verdad oculta, Pi, Cube, por citar algunos). ¿Por qué cree que es así? ¿Puede tener que ver con el estereotipo popular de un matemático como una personalidad muy intensa? DC: Creo que se remonta a la naturaleza de la búsqueda – la búsqueda de la verdad matemática. Es como la belleza en el arte. La verdad matemática tiene un valor intrínseco y no utilitario, y sin embargo, la gente puede estar completamente cautivada por ella – y creo que todos admiramos esa característica. Estamos fascinados por las personas que se dedican a esa búsqueda, a pesar de que el personaje del profesor Bowers en mi película es finalmente destruido por ella. CP: El problema matemático de la película no parece demasiado relevante en el argumento de la misma (podría haber sido la conjetura de Goldbach, o la hipótesis de Riemann, o P = NP, o cualquiera de los grandes problemas sin resolver). En cambio, la película parece girar en torno a la opinión de Bowers sobre las mujeres matemáticas. ¿Ha intentado establecer una declaración sobre el tratamiento de las mujeres en matemáticas? DC: Ese es un apunte interesante. Un par de personas más me lo han comentado. Pero la respuesta es no, eso no fue lo que me propuse hacer en particular. Por otro lado, tiene usted razón en que el problema matemático que se cita es bastante general. Como digo, quería proponer algo que no estuviera resuelto, y sobre lo que la gente estuviera aún interesada ​​y comprometida en la solución. Pero también quería usar eso como una forma de explorar el punto débil de nuestra motivación, cómo la búsqueda de algo bello y puro puede estar corrompida por motivos menos nobles. CP: ¿Tiene pensado hacer alguna otra película con un entorno matemático? DC: Mi próximo proyecto va a ser una adaptación de un relato de William Boyd. Se llama PACIENTE 39 y trata de la relación entre un soldado con una herida grave en la cabeza que ha perdido la memoria, y el médico que cuida de él, así que repito con un tema científico. Ciertamente no descartaría volver a las matemáticas en el futuro, ya sea en ficción o en un documental. El Director Dan Clifton, guionista, escritor, productor y realizador de este cortometraje, tiene una amplia trayectoria como director de documentales científicos e históricos (BBC Horizon y la cadena C4 Equinox), así como de capítulos de algunas series de televisión, ninguna estrenada en nuestro país. Entre los documentales caben destacarse uno sobre el desastre del Hindenburg (2001), sobre el ataque a Pearl Harbour o el asesinato de Abraham Lincoln (ambos del 2004). Tiene varios premios y nominaciones. En la actualidad además de preparar la adaptación del relato PATIENT 39, de William Boyd, trabaja en un documental sobre los agujeros negros. En cuanto a los certámenes en los que ha obtenido algún galardón, el X_Science Festival de Génova es un festival de cortometrajes que surge en 2005 con la intención de divulgar la cultura científica a través del cine así como apoyar y fomentar las películas de ciencia ficción. Está organizado entre el Festival de Cine de Génova y la Facultad de Matemáticas, Física y Ciencias de la Universidad de Génova. El Stoke Your Fires Film Festival tiene lugar en la localidad de Stoke-on-Trent en Staffordshire, Inglaterra. LA SOLEDAD DE LOS NÚMEROS PRIMOS T. Original: La solitudine dei numeri primi. Nacionalidad: Italia / Alemania, 2010. Director: Saverio Costanzo. Guión: Saverio Costanzo, Filippo Timi y Paolo Giordano, basado en la novela homónima del último. Fotografía: Fabio Cianchetti, en Color. Montaje: Francesca Calvelli. Música: Mike Patton. Producción: Mario Gianani, Philipp Kreuzer y Anne-Dominique Toussaint. Duración: 118 min. Intérpretes: Alba Rohrwacher (Alice Della Rocca), Luca Marinelli (Mattia Balossino), Martina Albano (Alice niña), Arianna Nastro (Alice joven), Tommaso Neri (Mattia niño), Vittorio Lomartire (Mattia joven), Aurora Ruffino (Viola Bai), Isabella Rossellini (Adele), Maurizio Donadoni (Umberto Della Rocca), Roberto Sbaratto (Pietro Balossino), Giorgia Senesi (Elena), Filippo Timi (Payaso). Web en castellano: http://www.altafilms.com/site/sinopsis/la_soledad_de_los_numeros_primos Comentario Es probable que algunos lectores recuerden este libro del físico Paolo Giordano, editado en 2008, incluso alguno puede que lo haya leído, todo un best-seller en Italia (más de un millón de ejemplares), traducido a 23 idiomas y publicado en 40 países. La historia resulta emotiva, independientemente del “gancho” que pretende el título al incluir una noción matemática (los números primos). Describe la trayectoria de Alice y Mattia, dos personas solitarias, marcadas por sendos traumas en su infancia, a lo largo de veintitrés años aproximadamente (de 1984 a 2007). Al chico le gustan las matemáticas, y en un momento de la novela (y de la película) justifica el título identificando sus peripecias vitales con una característica de los números primos (la particularidad de ser también diferentes al ser sólo divisibles por si mismos y la unidad). Más aún, se meten en danza los primos gemelos, que están casi juntos, ya que entre ellos sólo se interpone un número par (11 y 13, 17 y 19, 29 y 31, etc.). Ellos serían así, solos y casi juntos, pero no lo suficiente como para tocarse. Y digo yo (perdón si mi franqueza ofende a alguien), ¿qué más da elegir los primos que los cuadrados perfectos, los números de Fibonacci, o el 2 y el 4? Más aún, el 1 y el 2. Y es que señores, seguimos pensando que vivimos en un mundo tan simple, tan elemental, que sólo está formado por números naturales. Eso es una de las cosas que me fastidian de estos pretendidos usos de las matemáticas (o de la disciplina que sea: la superficialidad). La alusión a las matemáticas son sólo el gancho, el efecto llamada, mejor dicho, el efecto llamada friqui (¡a ver, a ver, que pasa con este título!). En ningún momento se pretende difundir, divulgar, hablar de matemáticas, aunque sólo sea un poco, aprovechando una historia. No. Sólo se persigue lo de siempre, y encima, para el que sólo vea el título, el mensaje es claro: ¡qué solos están los que trabajan las mates! ¡Qué raros son! ¡No, si eso ya lo sabía yo! Pero la historia está bien. Es emotiva. Mejor, como casi siempre, la del libro, contada de forma lineal, entendible por cualquiera, mientras que la película, saltando de acá para allá, llega a ser, no confusa porque todo se entiende, sino totalmente pretenciosa, y por momentos artificial. Yo sinceramente recomendaría que, si han leído el libro, no vean la película. Mejor lo tienen los que no lo hayan leído: vayan a ver la película, y después lean la novela. Así descubrirán también las diferencias en el desenlace final. No entiendo por tanto en qué ha consistido la participación del propio autor del libro en el guión, porque realmente, insisto, es una adaptación (seamos buenos y no negativos) regularcilla. No obstante, el trabajo de los dos actores principales (desconocidos, al menos por el que esto escribe) me ha parecido bueno, en algunos momentos, muy bueno. Se esfuerzan en dar verosimilitud a las emociones de sus personajes, y sus caracterizaciones físicas y mentales ante el paso del tiempo son sin duda lo mejor de la película. Lástima de guión. Quizá esta sea una posible explicación de que se haya estrenado en nuestro país casi tres años después que en Italia. Probablemente pase en no mucho tiempo a DVD. Por otro lado, no se ha estrenado en muchas ciudades, y en donde se ha hecho, ha sido en versión original con subtítulos (que es como deberían verse todas las películas, por otra parte, pero hoy por hoy, no nos engañemos, lo que esto consigue es restar espectadores). En todo caso, quizá sea bueno leerse una segunda opinión. Todos sabemos que hay ocasiones en que el estado de ánimo o las circunstancias con que se ve una película condiciona el juicio que de ella se hace, por mucho que uno intente ser objetivo. Por ello os traslado a la reseña de José María Sorando (que prometo haber leído después de ver la película, sólo para poder aportaros esa segunda opinión). Puedes verla aquí. Consciente, como decía en la presentación, de que los números primos merecen mejor trato… Ah, no, perdonen, de que quizá he sido un tanto severo, os dejo una recomendación de la que ya hablé, pero que no había visto disponible en la red hasta ahora: los tres capítulos de la serie documental de la BBC La música de los números primos, presentada y dirigida por el matemático e incansable divulgador británico Marcus du Sautoy, basada en el libro del cual es autor. Os remito por tanto a la reseña 59.- Unos documentales excepcionales (Abril de 2011) de este mismo portal en donde se dan detalles de la serie. Los enlaces desde donde pueden verse son: Episodio 1, Episodio 2, Episodio 3.

Jueves, 04 de Abril de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

593. 73. (Abril 2013) "Gestes et opinions du docteur Faustroll, pataphysicien. Roman Néo-Scientifique", de Alfred Jarry

Gestes et opinions du docteur Faustroll, pataphysicien. Roman Néo-Scientifique –Gestas y opiniones del doctor Faustroll, patafísico: novela neo-científica– es una obra novelesca de Alfred Jarry, terminada en 1898 y editada por primera vez en 1911 en la editorial Fasquelle. El libro describe las aventuras del patafísico Doctor Faustroll, de su babuino hidrocéfalo Bosse-de-Nage –que sabe decir Ah-ah– y del oficial de justicia René-Isidore Panmuphle, que se presenta para embargar los bienes de Faustroll. Esta novela es la biblia del Colegio de Patafísica, que le ha dedicado numerosas exégesis: está plagado de referencias filosóficas e incluso matemáticas, con un lenguaje incoherente en muchas ocasiones. El Doctor Faustroll es un científico singular: nacido en Circasia a la edad de 63 años y muerto ese mismo año, pionero de la patafísica y curador perpetuo del Colegio de Patafísica desde 1947. La historia comienza con el desalojo del Doctor Faustroll de su residencia, que junto a sus dos acompañantes realiza un ‘viaje de París a París por mar’, viaje que le conduce a la muerte. Proyectado dentro de la ‘Ethernidad’, comunica por medio de carta telepática diferentes reglas sobre el tiempo, el Sol, el espacio, etc. a Lord Kelvin, traduce a Hipócrates de Quíos –al que Jarry atribuye el origen de la patafísica– y para finalizar calcula la superficie de Dios, concluyendo el libro con la sentencia ‘La Patafísica es la ciencia’. El libro está dividido en cuarenta y un capítulos distribuidos en ocho ‘libros’: Procédure (Introducción) Éléments de pataphysique (Elementos de patafísica) De Paris à Paris par mer, ou le Robinson belge (De París a París por mar, o el Robinson belga) Céphalorgie (Cefalorgia) Officiellement (Oficialmente) Chez Lucullus (En casa de Lúculo) Khurmookum Éthernité (Ethernidad) Se reproduce debajo el último capítulo –traducido por la autora de la reseña– en el que se calcula la superficie de Dios. —oOo— XLI SOBRE LA SUPERFICIE DE DIOS Por definición, Dios no posee extensión pero nos permitimos, por la claridad de nuestro enunciado, suponerle un número cualquiera, mayor que cero, de dimensiones, aunque no tenga ninguna si estas dimensiones desaparecen en los dos miembros de nuestras identidades. Nos conformaremos con dos dimensiones, para poder representar fácilmente figuras de geometría plana sobre una hoja de papel. Simbólicamente se representa a Dios por un triángulo, pero las tres Personas no deben considerarse como los vértices o las aristas. Son las tres alturas de otro triángulo equilátero circunscrito en el tradicional. Esta hipótesis concuerda con las revelaciones de Anne-Catherine Emmerich, que vio la cruz (que consideramos como símbolo del Verbo de Dios) en forma de Y, y sólo lo explica por esta razón física: ningún brazo de longitud humana podría extenderse hasta los clavos de las ramas de una tau. Por lo tanto, POSTULADO: Hasta tener más información y por nuestra comodidad provisional, suponemos a Dios en un plano y bajo la figura simbólica de tres rectas iguales, de longitud a, pasando por un mismo punto y formando entre ellas ángulos de 120 grados. Es del espacio comprendido entre ellas, o del triángulo obtenido uniendo los tres puntos más alejados de estas rectas, del que nos proponemos calcular el área. Sea x la mediana prolongación de una de las Personas a, 2y el lado del triángulo al que es perpendicular, N y P las prolongaciones de la recta (a + x) en los dos sentidos hacia el infinito. Esta figura no aparece en el libro de Alfred Jarry: se inserta para aclarar las notaciones. Tenemos: x = ∞ − N − a − P. Ahora bien N = ∞ − 0. y P = 0. De donde x = ∞ − (∞ − 0) − a − 0 = ∞ − ∞ + 0 − a − 0 x = − a. Por otro lado, el triángulo rectángulo cuyos lados son a, x e y nos da: a² = x² + y². Así, sustituyendo x por su valor (−a) a² = (− a²) + y² = a² + y². De donde y² = a² − a² = 0 e y = √0. Así la superficie del triángulo equilátero que tiene por bisectrices de sus ángulos las tres rectas a será: S = y (x + a ) = √0 (− a + a) S = 0√0 COROLARIO.- A primera vista del radical √0, podemos afirmar que el área calculada es a lo más una línea; en segundo lugar, si construimos la figura según los valores obtenidos para x e y, observamos: Que la recta 2y, que ahora sabemos que va a ser 2√0, tiene su punto de intersección sobre una de las rectas a en sentido inverso de nuestra primera hipótesis, ya que x = −a; y que la base de nuestro triángulo coincide con su vértice; Que las dos rectas a forman con la primera ángulos menores al menos que 60°, y más aún no pueden encontrar 2√0 más que coincidiendo con la primera recta a. Esto concuerda con el dogma de equivalencia de las tres Personas entre ellas y a su suma. Podemos decir que a es una recta que une 0 con ∞, y definir Dios: DEFINICIÓN.- Dios es el camino más corto entre cero e infinito. ¿En qué sentido? nos preguntaremos. – Responderemos que Su nombre no es Julio, sino Más-y-Menos. Y debe decirse: ± Dieu es el camino más corto de 0 a ∞, en un sentido o en el otro. Esto concuerda con la creencia en los dos principios; pero es más exacto atribuir el signo + al de la creencia del sujeto. Pero como Dios no posee extensión, no es una línea. – Observemos en efecto que, según la identidad ∞ − 0 − a + a + 0 = ∞ la longitud a es nula, a no es una línea, sino un punto. Así, definitivamente: DIOS ES EL PUNTO TANGENTE DE CERO Y DEL INFINITO. La Patafísica es la ciencia... —oOo— Según parece, este cálculo se inspira en el último capítulo del último libro de Pantagruel de François Rabelais, en el que se habla del siguiente modo: ‘Esa esfera intelectual, cuyo centro está en todas partes y la circunferencia en ninguna, que llamamos Dios’. ¡Atención! Los cálculos realizados no se basan en las matemáticas, sino en la patafísica… ‘la ciencia’… Más información: La obra completa en el repositorio Gallica Collège de Pataphysique Biografía de Alfred Jarry Sátrapas –miembros– del Collège de Pataphysique

Miércoles, 03 de Abril de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

594. 44. (Febrero 2013) Enseñanza de música por vía de las matemáticas III

1. Introducción Este artículo es la tercera y última entrega de la serie Enseñanza de música vía las matemáticas. Hemos usado como fuente de inspiración el libro de Timothy Johnson [Joh03] Foundations of diatonic theory (Fundamentos de teoría diatónica). En la primera entrega revisamos los siguientes conceptos: los diagramas circulares para representar la octava; la subdivisión de dichos diagramas en 12 partes, una por semitono; el problema de la distribución de máxima regularidad de puntos en círculos; diagramas complementarios; distribuciones de máxima regularidad para 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8 puntos; y, finalmente, las correspondencias de esas distribuciones con conceptos musicales (intervalos, triadas, acordes de séptima y escalas). En la segunda entrega, estudiamos a fondo el concepto de distribución de máxima regularidad. En el libro de Johnson se explica a partir de una definición enumerativa y nosotros presentamos una definición basada en el algoritmo de Euclides. En esta última entrega, vamos a aplicar todo lo anterior a la generación de escalas y acordes de máxima regularidad. Aunque recordaremos conceptos y notaciones, en este artículo se dará por sentado que el lector está familiarizado con el contenido de las dos anteriores entregas. 2. Distribuciones regulares de notas en los 12 semitonos de la octava Empezamos fijando la octava y dividiéndola en 12 semitonos. Estudiaremos las distribuciones regulares para 3, 4, 5, 6, 7 y 8 notas en una octava. 2.1. Distribuciones de 3 notas Estas distribuciones corresponden a las habituales triadas en música. Aunque es obvia la distribución más regular de 3 notas sobre 12 notas, por completitud, aplicaremos el algoritmo de Euclides para hallarla (consúltese la entrega de enero en caso de duda). Como hemos hecho hasta ahora, las notas se designan por unos y los semitonos sin notas por ceros. Figura 1: Distribución regular para triadas. Esta distribución corresponde a la serie [x . . . x . . . x . . ], o escrito en notas a do-mi-sol# (si tomamos do como nota base). Estamos ante una triada aumentada, un acorde con dos terceras mayores encadenadas, que hace que la quinta esté aumentada en medio tono. En principio, este acorde no aparece de manera natural en la escala diatónica. Sin embargo, su uso en la música de la práctica común es corriente, especialmente para crear tensión o suspense musical. Bach, por ejemplo, recurre a la triada aumentada en Ach Gott, vom Himmel sieh darein, BWV 2 (¡Oh, Dios, míranos desde el cielo), así como otros compositores tales como Haydn (en su cuartetos para cuerda), Beethoven (en la novena sinfonía), Brahms, Schubert, Listz o Wagner. Durante el Romanticismo, en que la modulación por terceras se vuelve habitual, este triada se emplea como acorde paso. 2.2. Distribuciones de 4 notas Las distribuciones de 4 notas dan acordes de séptima de dominante. Figura 2: Distribuciones regulares para acordes de cuatro notas. El acorde tiene la forma [x . . x . . x . . x . . ], o traducido a notas, do-mib-fa#-sib. Este acorde recibe el nombre de acorde de séptima disminuida, y está compuesto por 4 terceras menores consecutivas. Durante buena parte del periodo de la práctica común este acorde, debido a su simetría y a la presencia de la quinta disminuida, se consideró disonante e inestable desde el punto de la estabilidad tonal. Posteriormente, este acorde se incorporó al vocabulario de la armonía moderna. Bach lo usa, por ejemplo, en su Tocata y fuga en re menor, en varios momentos, pero es llamativo en la introducción con ese acorde disminuido do#-mi-sol-sib, que escala a lo largo de dos octavas, majestuoso, premonitorio, sobre un pedal de la tónica re, y al que sigue un pasaje en prestissimo que son arpegiaciones de ese mismo acorde (minutos 0:00 a 0:48 en el vídeo de abajo). Vídeo de la Tocata y fuga en re menor BWV 565, de Bach. En la música popular o en el jazz este acorde aparecen en progresiones de acordes; por ejemplo, en la legendaria pieza I got rhythm, de los hermanos Gershwin. 2.3. Distribuciones de 5 notas En este punto abandonamos el mundo de los acordes y nos introducimos en el de las escalas. La mayoría de los acordes se forman con 3 o 4 notas; a partir de 5 notas se considera que la distribución corresponde a una escala. Las distribuciones de 5 notas dan escalas pentatónicas. Figura 3: Distribución regular para las escalas pentatónicas. La escala resultante es [x . . x . x . . x . x . ], o expresado en notas, do-mib-fa-lab-sib. Como vimos en el artículo del mes pasado, la rotación de una distribución regular de notas conserva esta propiedad. De modo que, en realidad, tenemos cinco escalas resultantes; las mostramos en la siguiente tabla: Nombre Notas Sucesión de distancias Pentatónica menor do-mib-fa-sol-sib-do (32232) Pentatónica mayor do-re-mi-sol-la-do (22323) Escala egipcia (u otras) do-re-fa-sol-sib-do (23232) Blues menor do-mib-fa-lab-sib-do (32322) Blues mayor do-re-fa-sol-la-do (23223) Tabla 1: Escalas pentatónicas obtenidas por distribuciones regulares. 2.4. Distribuciones de 6 notas La escala de 6 notas dan una única escala, que exhibe una simetría muy aguda, la escala de tonos enteros. Como 6 es divisor de 12, la distribución regular es [x . x . x . x . x . x .],o escrita en notas do-re-mi-fa#-sol#-la#. Esta escala es peculiar porque no tiene nota sensible ni quinta justa, por lo que muchas de sus funciones armónicas han desaparecido. Compositores clásicos y de jazz han usado esta escala puntualmente para dar color orquestal o para transmitir sentimientos oscuros. Los nacionalistas rusos -Borodin y Glinka-, los impresionistas -Debussy- y las vanguardias de principio del siglo XX -Alban Berg- emplearon esta escala en sus obras. John Coltrane en el jazz recurrió a esta escala. 2.2. Distribuciones de 7 notas Una elección de 7 notas sobre los 12 semitonos de una octava da una escala heptatónica, las cuales forman la base de la música de muchas culturas. Figura 4: Distribuciones regulares de 7 notas. La escala obtenida es [x . x x . x . x x . x .]. De nuevo, tenemos que considerar todas las rotaciones de esta escala, que siguen siendo distribuciones regulares. La escala más usada, al menos en Occidente, es la escala mayor. Las rotaciones de esta escala reciben el nombre de modos. Musicalmente, cada modo tiene sus características y su sabor. Consideraremos las rotaciones a partir de la escala mayor, que se llama modo jónico. En la tabla de abajo 2 significa un tono y 1 un semitono. Nombre Notas Sucesión de distancias Modo jónico (escala mayor) do-re-mi-fa-sol-la-si-do (2212221) Modo dórico do-re-mib-fa-sol-la-sib-do (2122212) Modo frigio do-reb-mib-fa-sol-lab-sib-do (1222122) Modo lidio do-re-mi-fa#-sol-la-si-do (2221221) Modo mixolidio do-re-mi-fa-sol-la-sib-do (2212212) Modo eólico (escala menor) do-re-mib-fa-sol-lab-sib-do (2122122) Modo locrio do-reb-mib-fa-solb-lab-sib-do (1221222) Tabla 2: Escalas heptatónicas obtenidas a partir de distribuciones regulares. 2.4. Distribuciones de 8 notas La escala de 8 notas o escala octatónica aparece en la música de la práctica común a partir del Romanticismo. La escala octatónica más común es la que alterna tono y semitono o viceversa. Como una distribución regular se puede obtener como sigue: Figura 5: Distribuciones regulares de 8 notas. Esta escala tiene la expresión [x . x x . x x . x x . x] o escrita en notas do-re-re#-fa-fa#-sol#-la-si-do. Esencialmente, hay dos escalas octatónicas que son regulares: la que acabamos de escribir, que alterna tono-semitono, y esta otra [x x . x x . x x . x x .] o do-reb-mib-mi♮-solb-sol♮-la-sib-d. Esta escala se empezó a usar por la escuela rusa, aunque se encuentran precedentes en otros autores tales como Listz. Rimsky-Korsakov la empleó de modo notable en algunas de sus obras, pero es Stravinsky en su época de los ballets rusos quien explora más a fondo las posibilidades expresivas de esta escala. Tan carismático es el empleo que hace Stravinsky de la escala octatónica que un acorde basado en ella se conoce como el acorde Petrushka: Figura 6: El acorde Petrushka. En la Danza del sacrificio de la elegida de La consagración de la primavera se puede ver cómo utiliza Stravinsky esta escala (minuto 3:36 hasta final en el vídeo de abajo). Vídeo de La consagración de la primavera, de Stravinsky. Danza del sacrificio de la elegida . A partir de Stravinsky la escala se popularizó y la encontramos en autores contemporáneos -desde Bartók y Barber hasta Zappa- y, por supuesto, en el jazz. 3. El teorema de los tonos comunes De entre todos los modos anteriores, el correspondiente a la escala mayor es el más común en Occidente (y en otras culturas también). Una de las razones para esta popularidad es la facilidad de modulación (de cambio de tonalidad) que permite esa escala. Las modulaciones naturales al oído se hacen entre dos tonalidades vecinas, esto es, que comparten el mayor número de tonos entre sí. En su libro Johson observa una propiedad de la escala mayor que explica esa relación de vecindad entre las tonalidades. Tomamos prestada de su libro la figura 1.11 de la página 41, en la que muestra una escala de re mayor sobre el círculo cromático y un recuento de las distancias entre las notas de dicha escala. Figura 7: Distancias en una escala mayor. En la tabla situada al final de la figura vemos el número de veces que ocurre cada distancia c, para c=1,...,6. Llamemos a ese número n(c). Johnson advierte que cuando se cambia de tonalidad en c grados de la escala, el número de tonos en común entre la primera escala y la transpuesta es exactamente n(c). Por tanto, la tonalidad más cercana -entendiendo cercana como el máximo número de tonos en común- será la que esté a cinco grados de distancia, esto es, el quinto grado, la escala de la. En efecto, la escala de re mayor y la mayor tienen seis grados en común. La siguiente escala más cercana es la que está a distancia dos y que corresponde a n(2)=5; esto es el segundo grado, es decir, mi. Este resultado es llamado el teorema de los tonos comunes. Otra propiedad interesante que posee la escala mayor es la de ser una escala de multiplicidad única (deep scale en inglés). Eso significa que cada distancia aparece una única vez, como se puede apreciar en la tabla de la figura 6. 4. Conclusiones El libro de Johnson contiene mucho más material que el glosado tan brevemente en estos tres artículos. Es un ejemplo de cómo se puede incorporar las ciencias, en particular las matemáticas, a la enseñanza de la música. Y no estoy hablando desde una perspectiva forzada, sino desde las verdaderas conexiones que hay entre ambas disciplinas. Sin embargo, esto no será posible mientras no haya un cambio de mentalidad en los profesores de música y mientras no haya un cambio de actitud en los redactores de los planes de estudio actuales. Bibliografía [Joh03] Timothy A. Johnson. Foundations of diatonic theory. Key College Publishing. Ithaca, New York. 2003. Wikipedia. The common tone theorem. Accedido en febrero de 2013.

Viernes, 15 de Febrero de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

595. 43. (Enero 2013) Enseñanza de música por vía de las matemáticas II

1. Introducción Este artículo es la segunda entrega de la serie Enseñanza de música vía las matemáticas, en la vamos a seguir con el análisis del excelente libro de Timothy Johnson [Joh03] Foundations of diatonic theory (Fundamentos de teoría diatónica), libro que adopta un enfoque matemático de la enseñanza de la teoría diatónica. En la primera entrega revisamos los siguientes conceptos: los diagramas circulares para representar la octava; la subdivisión de dichos diagramas en 12 partes, una por semitono; el problema de la distribución de máxima regularidad de puntos en círculos; diagramas complementarios; distribuciones de máxima regularidad para 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8 puntos; y, finalmente, las correspondencias de esas distribuciones con conceptos musicales (intervalos, triadas, acordes de séptima y escalas). 2. La definición de máxima regularidad La definición de distribución de regularidad máxima, aunque intuitiva, no es fácil de formalizar. Johson (página 14) empieza considerando una definición geométrica, bastante intuitiva, no del todo práctica, pero que sirve a su propósito de ilustrar cómo funcionan las distribuciones de regularidad máxima. Se trata del algoritmo del vecino más cercano (véase [Góm12] y [DGM+09]). Esta definición fue analizada en la columna anterior (véase la figura 2 de ese artículo). Al final del capítulo 1 (página 26 y siguientes) Johson presenta una definición más rigurosa si bien algo farragosa. En esta columna vamos a estudiar la definición de Johnson y luego daremos otra, más sencilla, basada en el algoritmo de Euclides. En el libro se empieza por definir dos conceptos básicos, la distancia de semitonos y las distancias de puntos; allí se llaman c distances y d distances, respectivamente. Dada una configuración de puntos sobre un diagrama circular, la distancia de semitonos entre dos puntos mide el número de saltos entre semitonos consecutivos que hay que dar para ir del punto de partida al punto final en sentido horario. La distancia de puntos, análogamente, mide la distancia entre dos puntos como el número de saltos entre puntos consecutivos que hay que recorrer para ir del punto de partida al punto final en sentido horario (las cursivas en estas definiciones no son casuales). La figura 1, extraída del libro, ilustra esta definición; la distancia de semitonos se designa por c y la de puntos por d, y nosotros seguiremos la misma notación. Figura 1: Distancias de semitonos y distancias de puntos. Obsérvese que dados dos puntos en el diagrama su distancia se mide de dos maneras distintas, con la distancia d y la distancia c, las cuales no tienen por qué coincidir. En la figura 1, si partimos de las 12 del mediodía y consideramos los dos primeros puntos tenemos d=1 y c=3. Obviamente, la distancia c entre dos puntos es mayor o igual que la distancia d. La definición de distribución de máxima regularidad de Johnson reza como sigue: Para cada par de puntos en el diagrama circular, calcúlense la distancia c y la distancia d. Considérese para cada valor de la distancia d todos los valores de las distancias c asociadas a ella. Si para toda distancia d, las correspondiente distancias están formadas por un único valor o por dos valores consecutivos, entonces la distribución es de máxima regularidad. En realidad, esta definición supone la comprobación exhaustiva de la propiedad enunciada en el punto 3). Johson construye para ello las llamadas tablas de intervalos. Vamos a ver un ejemplo sencillo para entender cómo aplicar esta definición; véase la figura 2. Hay un diagrama circular con 4 puntos, A, B, C y D. De las distancias d hay 3 posibles, que toman valores 1, 2, y 3. Para cada valor, las distancias c asociadas son, respectivamente, 3, 6 y 9. Como han dado valores únicos, la definición se verifica y esta distribución es de máxima regularidad. Figura 2: Cálculo de tablas de intervalos. Intuitivamente, se veía claramente que esta distribución era de máxima regularidad, más aún si tenemos en cuenta que el número de puntos, 4, es un divisor de 12, el número de subdivisiones del círculo. Veamos una distribución no regular. Por ejemplo, si en el diagrama anterior movemos el punto D una posición hacia arriba, habremos destruido la propiedad de máxima regularidad. Veamos cómo falla la definición. Figura 3: un ejemplo de distribución no regular. Simplemente calculando las distancias asociadas a pares de puntos adyacentes, AB, BC, CD y DA, vemos enseguida que la definición no se cumple, pues las distancias c asociadas son 2, 3, 4, que no están formadas por dos valores consecutivos (aquí hay tres valores consecutivos). La definición falla en realidad con todos los valores de la distancia d. En general, basta con que falle en un caso para que no la distribución no sea de regularidad máxima. Para acabar esta sección, tomemos un ejemplo un poco más complejo con cinco notas, como el de abajo. Figura 4: Máxima regularidad de un diagrama de 5 puntos. 3. Distribuciones euclídeas El contenido de esta sección no aparece en el libro de Johnson. La añadimos para una mejor comprensión de la propiedad de máxima regularidad. La definición que propone Johson es, como hemos visto, larga de comprobar y poco intuitiva. Nosotros vamos a dar una definición equivalente basada en el algoritmo de Euclides para el cálculo del máximo común divisor. Vamos a recordar al lector cómo funciona este bello algoritmo. 3.1 El algoritmo de Euclides El máximo común divisor de dos números es el mayor divisor común que tengan. El máximo común divisor (mcd) siempre existe pues 1 divide a cualquier número. Por ejemplo, el mcd de 12 y 16 es 4. Típicamente, se enseña a calcular el mcd obteniendo los factores primos de los dos números. Así, por ejemplo, si queremos calcular el mcd de 1089 y 924, averiguamos su descomposición en factores primos: 1089=32 •112 y 924=2•3•7•11 A partir de esa descomposición, basta tomar los factores comunes con menor exponente; en el caso de este ejemplo 3 y 11. El mcd(1089, 924) sera, pues, igual a 3•11=33. Sin embargo, obtener el mcd calculando los factores primos es largo y tedioso. La forma elegante y rápida de calcular el máximo común divisor es usando el algoritmo de Euclides. Este matemático griego, que vivió alrededor del año 300 antes de Cristo, se percató de una propiedad que permite calcular el máximo común divisor con suma rapidez. Supongamos que queremos hallar el máximo común divisor de a y b. Escribimos la ecuación de la división entera: donde q es el cociente y r es el resto. Como es bien sabido, el resto tiene la propiedad de que 0 ≤ r < b. Si d es un divisor de a y b, también lo será de b y r En efecto: Entonces, el máximo común divisor de a y b es el mismo que el de b y r. El proceso se puede repetir todas las veces que haga falta. En cada paso el resto que obtenemos es menor estrictamente que el anterior, de modo que finalmente encontraremos un resto nulo. El máximo común divisor será el último resto no nulo que encontremos en esta serie de divisiones sucesivas. Aquí tenemos el ejemplo de más arriba ahora calculado con el algoritmo de Euclides. El último resto no nulo es 33, que es el máximo común divisor que habíamos encontrado antes. 3.2 Distribuciones regulares vía el algoritmo de Euclides Para empezar, vamos a introducir una notación que nos permitirá describir distribuciones en la octava de una manera más rápida. El diagrama de la figura 4 se puede escribir como [x . x . . x . x . . x .], donde una x representa un punto en el círculo y un . una posición no ocupada por un punto. Esta notación se llama notación de caja. Empezamos, pues, por fijar un círculo -una octava- dividido en 12 partes iguales o semitonos. Si queremos distribuir 4 puntos en el círculo de la manera más regular posible, entonces basta con usar la división. Tendremos que dividir 12 por 3. y la distribución resultante sería [x . . x . . x . . x . .]. Ahora aparece una nueva propiedad. Cuando efectuamos la división de 12 por 3, obtenemos 4 grupos. Esto ha sido equivalente a asignar un punto a cada grupo de 3 semitonos y exactamente en la misma posición, en este caso, en la primera. ¿Cómo asignamos las notas a los pulsos a través de una división? El procedimiento es el siguiente: primero ponemos las notas (la parte (1)-A de la figura), que ahora y por simplicidad designaremos con unos, tantas como tengamos; segundo, rellenamos con los ceros necesarios hasta completar el número de semitonos (la parte (1)-B de la figura); tercero, efectuamos la agrupación como sabemos (paso (2) de la figura); y cuarto, leemos la distribución resultante (paso (3) de la figura). La distribución resultante se lee por columnas de arriba abajo y de izquierda a derecha. Se ve claramente cómo la división ejecutada como formación de grupos ha dado lugar a una distribución correcta de los puntos en los semitonos de la octava. Si queremos distribuir 6 puntos, entonces tenemos que dividir 12 por 2: y la distribución resultante sería [x . x . x . x . x . x .] Volviendo a hacer nuestro juego de divisiones y agrupaciones, tenemos: Si queremos distribuir 8 puntos, entonces tenemos que dividir 12 por... ¿cuánto? Estrictamente hablando no se puede hacer. No hay número entero x tal que  = 8. La solución está en generalizar el concepto de división de tal manera que todavía sirva a nuestros propósitos, tanto matemáticos como musicales. Esta generalización es el principio de regularidad, que es el principio en que se apoya Johnson en su libro. Lo enunciamos como sigue: Ante el enunciado de ese principio, surgen varias preguntas: ¿Qué significa “de la manera más regular posible”? ¿Cómo se obtiene esa distribución de puntos? ¿Es único? Vamos a contestar a estas preguntas con un ejemplo; más tarde daremos las definiciones formales necesarias. ¿Es la distribución [x x x x x x x x . . . . ] de máxima regularidad? Es evidente que no, que tiene todas los puntos apelotonados al principio y ninguno al final. Tendríamos que mover puntos para hacerlo más regular. Pero ¿cómo? Hay dos observaciones que nos van a ayudar y que ya habían aparecido en el libro de Johnson: En una distribución de regularidad máxima solo puede haber dos distancias. Además, esas dos distancias tienen que ser c y c + 1. Llamaremos sucesión de distancias a las distancias entre puntos consecutivos según se obtienen leyendo la distribución de izquierda a derecha; por ejemplo, la sucesión de distancias de la distribución [x . . x x . x . . . ] es (3, 1, 2, 4). Recordemos que estamos tratando con diagramas circulares y que las distribuciones se leen de manera circular. Esto significa que se cuenta la distancia entre la última nota y la primera; de ahí el 4 en la sucesión de distancias anterior. Si la condición (1) no se cumple y hay tres distancias c1,c2 y c3, con c1 < c2 < c3, se pueden cambiar las notas a distancias c1 y c3 para que sean más regular. Por ejemplo, la distribución [x x . . x . ], que tiene como sucesión de distancias consecutivas a (1, 3, 2), se puede convertir en [x . x . x .], con distancias (2, 2, 2), que es una distribución más regular. Si solo hay dos distancias, pero c1 < c2 + 1, por el argumento anterior, se puede conseguir una distribución más regular cambiando un punto. La distribución [x . x . . .], por ejemplo, tiene sucesión de distancias (2, 4), y se puede hacer más regular moviendo el segundo punto para transformarlo en [x . . x . .], con distancias (3, 3). Volviendo a la distribución que nos ocupa, [x x x x x x x x . . . . ] movemos sus puntos para intentar obtener una escala de regularidad máxima. He aquí los frutos de nuestros intentos: [ x x x x x . x . x . x .] Esta distribución cumple las dos propiedades (1) y (2) enunciadas arriba, pero no es de regularidad máxima. Esto significa que las dos propiedades de arriba son condiciones necesarias pero no suficientes para construir una distribución de regularidad máxima. Por ello, en la definición de Johnson se exige que se comprueben todos los valores de las distancias d. Si escribimos las distancias entre puntos consecutivos de esta distribución tenemos la siguiente sucesión: (1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2) Es intuitivamente claro que una sucesión de distancias (1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2) daría una distribución de mayor regularidad: [x x . x x . x x . x x .]. Y este es la distribución de regularidad máxima que buscábamos. En este punto se hace evidente que una distribución de regularidad máxima no es única. Podíamos haber tomado una rotación de esta distribución, por ejemplo, [. x x . x x . x x . x x]. Una curiosidad: ¿cuál es el máximo común divisor de 12 y 8? Cuatro, que es el número de veces que se repite el patrón [ . x x] en la escala anterior. Esto, por supuesto, no es un hecho fortuito. Veamos qué hay detrás. Se puede ejecutar el algoritmo de Euclides pensándolo también como la formación de grupos. Haremos divisiones sucesivas moviendo ceros y unos, como hicimos anteriormente. Cojamos como ejemplo, el máximo común divisor de 12 y 8. Ponemos 8 unos seguidos de 4 ceros, como abajo. En este caso el número de columnas final es el máximo común divisor. De modo que simulando el algoritmo de Euclides con divisiones en formación de grupos, llegaremos a distribuciones regulares. Fijémonos que en los unos están distribuidos regularmente. Y por último, si queremos distribuir 7 puntos, entonces tengo que dividir 12 por... ¿cuánto? Pues tampoco se puede pero volvemos a aplicar el principio de regularidad otra vez, y la distribución resultante (salvo rotaciones) sería [ x . x . x x . x . x . x]. Si hacemos las divisiones (formaciones de grupos), tenemos: La distribución resultante, una vez leídas las columnas, es: que no es la distribución que hemos mostrado antes. La razón es que la rotación de una distribución de regularidad máxima no altera esta condición. Las distribuciones producidas con el principio de regularidad se llaman distribuciones euclídeas. El principio de regularidad se ha revelado como una generalización de la división. 4. Comprobación de la definición de máxima regularidad Llegado a este punto, vamos a comprobar cómo verificar la definición de máxima regularidad vía el algoritmo de Euclides es más corto y elegante que vía el procedimiento de Johnson. En la figura 4 teníamos el diagrama siguiente: Figura 5: Un diagrama con cinco puntos. Este diagrama escrito en notación de caja es [x . x . . x . x . . x .], cuya sucesión de distancias consecutivas es (2 3 2 3 2). Tenemos 12 posiciones (semitonos) para distribuir 5 puntos. Aplicando el algoritmo de Euclides tenemos: El resultado que obtenemos, leyendo por columnas el último bloque, es [x . . x . x . . x . x .], o escrito como sucesión de distancias consecutivas (3 2 3 2 2). Esta sucesión es una rotación de (2 3 2 3 2) y, por tanto, es de máxima regularidad. En la columna del mes que viene relacionaremos todo lo visto hasta aquí con conceptos musicales. Estudiaremos qué intervalos, triadas, acordes de séptima y escalas aparecen asociados a las distribuciones de máxima regularidad. Esto dará cuenta de la segunda mitad del libro de Timothy Johnson al que estamos dedicando esta serie. Bibliografía [DGM+09] Demaine, E., Gómez, F., Meijer, H., Rappaport, D., Taslakian, P., Toussaint, G. T., Winograd, T. and Wood, D. R. The Distance Geometry of Music. Computational Geometry: Theory and Application, 42, págs. 429-454, 2009. [Góm12] Gómez, F. Enseñanza de música vía las matemáticas - I Columna de la sección Matemáticas y música de la web Divulgamat. [Joh03] Timothy A. Johnson. Foundations of diatonic theory. Key College Publishing. Ithaca, New York. 2003.

Miércoles, 09 de Enero de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

596. 42. (Diciembre 2012) Enseñanza de música por vía de las matemáticas I

1. Introducción En el artículo de este mes vamos a tratar el tema de la formación científica de los músicos. Aquí surgen varias preguntas, casi de modo irrefrenable: ¿No debería tener toda persona de artes o letras un mínimo de formación científica? En particular y dada las potenciales conexiones entre ciencia y arte, ¿no deberían disfrutar los músicos de esa formación? ¿No debería impartirse tal formación en los estudios reglados? ¿Por qué negar los aspectos cuantitativos de la música? Estos existen y pueden explicarse a partir de las matemáticas y la física. Después de décadas de investigación matemática sobre la música, ¿por qué no usar ese conocimiento para diseñar nuevos modos de enseñar música? Estos modos supondrían, al menos, una enseñanza más rica en conceptos y recursos. Las matemáticas y la música tienen conexiones en al menos cuatro niveles [Be00]: en el de la física del sonido, en el del lenguaje musical, en el de la estética y el metafórico. Este último nivel ha de entenderse como una conexión basada en el proceso y la analogía, ambos conceptos comunes a las matemáticas y a la música. Entonces, ¿no pueden aprovecharse esas conexiones para diseñar asignaturas que tengan un enfoque interdisciplinar? En un mundo cada día más interdisciplinar, ¿por qué empeñarse en una enseñanza profundamente reduccionista? En ciertas especialidades musicales la formación científica -dados los avances actuales- se hace imprescindible, como por ejemplo en la musicología cuantitativa (a veces incluso llamada musicología computacional) o en teorías compositivas modernas (la música de Xenakis, la música fractal, la música algorítmica, la música electrónica). ¿Por qué en nuestros conservatorios no se imparte una enseñanza que incluya algo de ciencia? ¿Por qué dejar cojos a nuestros futuros músicos, sea cual sea su especialidad, de esta importante formación? A un nivel más abstracto, las matemáticas y la música tienen como característica común un agudo sentido de lo estético. Los grandes matemáticos y los grandes músicos han hablado con arrobo de las experiencias estéticas que les ha proporcionado su actividad. ¿No se pueden intercambiar esas experiencias a través de un plan de estudios con ambiciones? Antes de que el lector proteste por el aparente sesgo de introducir las matemáticas en la música, quiero defender vehementemente la introducción de la música en la enseñanza científica. Creo que en toda carrera científica debe haber asignaturas de letras de tal modo que los alumnos que salgan de nuestras universidades sean verdaderos humanistas. En teoría, las asignaturas de libre elección estaban para eso, a imagen del modelo americano, pero se redujeron a asignaturas complementarias bien por las habituales y no por ello menos patéticas luchas de poder bien para paliar la reducción de horas en los nuevos planes de estudios. En cierto punto de la conversación con Ricardo salieron a colación varios libros que enseñan teoría de la música básica a través de las matemáticas. Dichos libros se usan en conservatorios del extranjero y, hasta lo que alcanza mi conocimiento, no se usan en España. Uno de los libros que se mencionó es Foundations of diatonic theory (Fundamentos de teoría diatónica), de Timothy Johnson [Joh03]. Creo que la virtud de este libro está en la explicación de conceptos musicales a partir de unos presupuestos matemáticos mínimos. En realidad, para comprender el libro lo que único que se requiere es predisposición a razonar y unos rudimentos de aritmética. A partir de ahí, el libro constituye una gozosa travesía por la teoría de escalas. Este artículo inaugura una serie que analizará en detalle el libro de Johnson. Para empezar, déjeme el lector mostrarle el índice del libro (mi traducción): Prefacio Para el instructor Agradecimientos La visión de las matemáticas a través del currículo educativo   Introducción ¿Tenéis preguntas? Matemáticas y música Cómo usar este libro Capítulo 1: relaciones espaciales y estructuras musicales Puzles con relaciones espaciales Estructuras musicales a partir de figuras geométricas Una definición de intervalos Resumen y ampliaciones Capítulo 2: patrones de intervalos y estructuras musicales Patrones de intervalos diatónicos Patrones de intervalos y el círculo de quintas Estructuras de otras colecciones Resumen y ampliaciones Capítulo 3: triadas y acordes de séptima y sus estructuras De la colección al acorde Triadas y acordes de séptima de máxima regularidad Variedad y multiplicidad de acordes diatónicos Resumen y ampliaciones Conclusión ¿Tenemos ahora alguna respuesta? 2. La introducción del libro La introducción del libro describe una anécdota que no me resisto a citar literalmente (mi traducción): ""¿Tenéis preguntas?" preguntó un famoso compositor y director de orquesta a un público formado por estudiantes y profesores de música en una conferencia no hace muchos años. "Sí," -respondió un pianista conocido y de mucho talento- "¿por qué están las teclas blancas y negras del piano dispuestas de esa manera?" El público se paró a pensarlo durante un par de segundos antes de que una risa sorda y nerviosa empezase a romper el tenso silencio. Tanto el compositor como el pianista parecían incapaces de llegar a una respuesta satisfactoria, pero sus caras mostraban que estaban intrigados e interesados en esa pregunta. El libro presenta material que dará respuesta a esta intrigante pregunta a través de razonamientos musicales y matemáticos. En particular, explicará la distribución de la escala diatónica en base al principio de máxima regularidad (o simplemente principio de regularidad). 3. Relaciones espaciales y estructuras musicales Johnson empieza directamente por mostrar unos diagramas consistente en un círculo dividido en 12 partes; véase la figura 1 (todas las figuras de este artículo están tomadas de su libro y modificadas apropiadamente): Figura 1: Colocación de puntos en círculos. La pregunta es sencilla: ¿cómo poner 2 puntos de manera que estén lo más alejado posible entre sí? En el círculo de más a la izquierda se ve una de las posibles soluciones. ¿Cómo se haría para 3, 4 y 5 puntos? Poner 3 o 4 puntos es fácil e intuitivo, quizás porque esos números son divisores enteros de 12, el número de puntos (véanse los círculos centrales de la figura 1). El caso de 5 es harina de otro costal, pues los puntos no se pueden poner equidistantes unos de otros. En todos los casos hay más de una solución. Por ejemplo, en el caso de 2 puntos hay 6 posibles soluciones, todas ellas equivalentes bajo rotaciones. Johnson ofrece al lector la fórmula general que reza donde c es el número de subdivisiones del círculo, d el número de puntos que queremos colocar y mcd es el máximo común divisor de dos números (el mayor divisor común). En nuestro ejemplo, tenemos c=12 y d=2; por tanto, el número de soluciones posibles para 2 puntos es 12/mcd(12, 2)=12/2=6, tal y como habíamos señalado antes. Para 5 puntos hay 12 soluciones puesto que 12 y 5 solo tienen a 1 como divisor común. El caso de 5 puntos es llamativo. En el libro se da una solución elegante, que es de hecho la base de un algoritmo (procedimiento) ya conocido (véase [DGM+09]) y que podíamos llamar el algoritmo del vecino más cercano; véase la figura 2. Figura 2: Colocación de 5 puntos en el círculo. Se parte de una asignación arbitraria de los puntos sobre el círculo (figura 2 (a)); a continuación se muven los puntos hasta que están a igual distancia entre sí (figura 2 (b)). Los puntos no han caído sobre las subdivisiones, como se aprecia en la figura. Esto se arregla moviendo cada punto a la subdivisión más cercana (figura 2 (c)), y con ello quedan colocados los puntos de la manera más regular posible. Tras esta exploración inicial, Johnson se mete en profundidades cuando pregunta al lector cómo colocar 6, 7 y 8 puntos. Todavía 6 es fácil, pues 6 divide a 12, pero no es el caso con 7 ni con 8. El caso de 7 es fascinante. Dejamos al lector que busque la solución por sí mismo. De los diagramas de la figura 3, solo el de la derecha es correcto. El primer diagrama es un intento fallido de obtener la colocación de los 7 puntos a partir de la de 6; los otros dos son también fallidos por distinas razones. Figura 3: Colocación de 7 puntos. Antes de asignar significado musical a estos diagramas, Johnson investiga qué ocurre con los diagramas complementarios. Si, por ejemplo, tomemos el círculo con 6 puntos, no importa por ahora como estén, y ahora consideramos otro círculo con los puntos colocados en el complementario de los puntos del primer círculo, este diagrama es el complementario del primero. En la figura 4 tenemos a la izquierda un círculo con 6 puntos y a la derecha su correspondiente complementario. Figura 4: Diagramas complementarios. La pregunta es entonces: si un diagrama tiene un conjunto de puntos colocados con máxima regularidad, ¿el diagrama complementario tendrá los puntos colocados regularmente también? Por la figura 4, parece que sí, y, de hecho, es cierto siempre. Pruebe el lector con el diagrama de 7 puntos de la figura 3 (d). Ahora las 12 subdivisiones se etiquetan con los nombres de las notas (dado que las figuras están tomadas de su libro, los nombres de las notas aparecen en inglés). En la figura 5 están los diagramas con máxima regularidad para un número de puntos entre 2 y 8. Figura 5: Diagramas con las notas musicales. A partir de aquí, Johnson interpreta los diagramas como sigue: Diagramas de dos puntos: intervalos. Diagramas de tres puntos: triadas. Diagramas de cuatro puntos: acordes de séptima. Diagramas de cinco a ocho puntos: escalas. Un diagrama regular de 2 puntos corresponde a un tritono, pues divide los 12 semitonos del temperamento igual en dos mitades exactamente iguales. Un diagrama regular de 3 puntos equivale a una triada aumentada. Un diagrama regular de 4 puntos corresponde a un acorde de séptima disminuida. Un diagrama regular de 5 puntos es una escala pentatónica (en la figura 5 (d), las teclas negras del piano). Un diagrama regular de 6 puntos es equivalente a una escala de tonos enteros. Un diagrama regular de 7 notas corresponde con la escala diatónica mayor. Por último, un diagrama regular de 8 notas equivale a una escala octotónica que alterna tono y semitono (figura 5 (g)). Al llegar a este punto (página 26 del libro) Johnson da una definición más rigurosa de regularidad máxima. Hasta ahora las situaciones que ha presentado se han resuelto de manera intuitiva. Sin embargo, esto será ya materia de la columna de enero. 4. Para saber más En el espectáculo Materritmo se presentan de un modo divertido varias de las ideas del libro de Johnson. En Materritmo el principio de regularidad se usa como principio de composición y análisis de ciertas piezas de percusión de música de Ghana. Vídeos (en inglés) del espectáculo se pueden ver aquí. Bibliografía [Be00] Scott Beall, Funcional melodies: Finding mathematical relationships in music. Key Curriculum Press. Emeryville, California. 2000. [DGM+09] Demaine, E., Gómez, F., Meijer, H., Rappaport, D., Taslakian, P., Toussaint, G. T., Winograd, T. and Wood, D. R. The Distance Geometry of Music. Computational Geometry: Theory and Application, 42, págs. 429-454, 2009. [Joh03] Timothy A. Johnson. Foundations of diatonic theory. Key College Publishing. Ithaca, New York. 2003.

Miércoles, 05 de Diciembre de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

597. 104. (Abril 2013) Detector de mentiras

Pulsa en la imagen para ir al juego.

Lunes, 01 de Abril de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

598. 72. (Marzo 2013) Le cycle, de Étienne Lécroart

SINOPSIS Los tres personajes de Cercle Vicieux consiguen escapar de sus viñetas y se dedican a perturbar su historia y después a ‘parasitar’ las viñetas de diversos autores de tebeos. Todo esto provocará un desmoronamiento general y acabará con la caída en un agujero blanco. El profesor Fignoteau es un personaje de tebeo –el sabio loco el protagonista de Cercle Vicieux– que descubre que su universo se rige por códigos contenidos en las viñetas. Un día consigue entrar en contacto con el espacio que rodea estas viñetas, que se deforman al ejercer presión sobre ellas. Su ayudante, el Sr. Marmouset se sumerge en este mundo, entrando en un ciclo metafísico y cómico, atravesando los universos gráficos de diecinueve autores de cómic y algunas de sus obras: Ivars, Les bonheurs mélancoliques, Ed. Zébu, 1996 Joann Sfar, Pascin 3, L’Association, 2000 François Ayroles, Incertain Silence, L’Association, 2001 Nicolas de Crécy, Monsieur Fruit, Le Seuil, 1995 Julie Doucet, Ciboire de Criss, L’Association, 1996 Marc-Antoine Mathieu, Le Processus, Delcourt, 1993 David B, Les Incidents de La Nuit, L’Association, 1996 Jean-Pierre Duffour, Les 7 vies du dévoreur d’ombres, L’Association, 1998 Sardon, Mormol, L’Association, 2001 J-C. Menu, Gnognottes, L’Association, 1999 Goossens, La vie d’Einstein 2, Fluide Glacial, 1991 Lewis Trondheim, Lapinot et les carottes de Patagonie, L’Association, 1991 Thiriet, Chat mange pas de pain, Les Mal Élevés, 1999 Willem, Romances et mélodrames, Éditions du Square, 1977 Killoffer, Billet SVP, L’Association, 1995 Parrondo, Parrondo Poche, L’Association, 2000 Gébé, Il est trop intellectuel, Éditions du Square, 1972 Crumb, Sans Issue, Cornélius, 2000 Fabio, Morte Saison, Le Seuil, 1998   Étienne Lécroart consigue introducir al Sr. Marmouset en las páginas de estas otras historias –con estilos gráficos muy variados– haciéndole interaccionar con los personajes de esas otras aventuras. Por fin regresa a su mundo, con una imagen de su creador –Étienne Lécroart, el que les dibuja– conteniendo un mensaje que el Profesor Fignoteau interpreta de este modo: Parece que para modificar nuestro tiempo habría que empezar por curvar nuestro espacio. [...] ¿De qué manera obtener esta curvatura? [...] Para curvar el espacio, hay que alcanzar necesariamente el borde. No podíamos acceder. Ahora tenemos el paso. [...] Con ayuda de su delineador –la máquina que le ha permitido modificar el espacio de la viñeta– el profesor y su ayudante consiguen doblar la página en la que están dibujados, conectando el pasado con el presente y desencadenando un proceso de destrucción... las viñetas van perdiendo el color gradualmente: Las partículas elementales de nuestro universo se disocian bajo nuestros ojos. En la última viñeta ya no hay personajes, sólo se ven los diálogos de los tres personajes angustiados por su situación: han caído en un agujero blanco... Todas estas energías concentradas aquí deben resurgir forzosamente en una forma u otra. [...] Yo también, señorita Anne, es justo un poco de angustia, la angustia de la página en blanco.

Martes, 26 de Marzo de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

599. 69. (Marzo 2013) Elle est mathophile!, de Anne Rougée

Elle est mathophile! –¡Ella es ‘matéfila’!– subtitulada ‘solo en chansons sur les joies et les affres de l'apprentissage des maths’ –solo con canciones sobre las satisfacciones y las angustias en torno al aprendizaje de las matemáticas–, es la nueva propuesta de la Comédie des Ondes para hablar de matemáticas y del papel de las mujeres en la ciencia. SINOPSIS (extraída de la página de la Comédie des Ondes) La protagonista es una profesora de matemáticas. Al principio, más bien dura. Su aspecto muy femenino no es sinónimo de amateurismo: ¡no hay lugar para el error! Exigente, concienzuda, convencida de que sus estudiantes le dan mucha guerra. Se trata de una carrera de obstáculos para aquellas y aquellos que no consiguen seguir el curso: padres y madres, educadores y educadoras, ortofonistas y “psi-s” de toda índole son convocados. La protagonista acompaña a estos ‘maltratados’ por  las matemáticas, por su sentido del deber, por curiosidad y también intrigada por estos casos de alergia evidente hacia su gran pasión. Así, poco a poco, su propia relación con su ‘disciplina’ va a evolucionar. La protagonista se va a permitir conciliar las matemáticas con... ¡el humor! Pero también va a admitir el derecho a cometer errores, a caer en la subjetividad… en resumen, ¡la humanidad que ella misma posee! La obra se divide en tres partes, cada de ellas acompañada por una canción, de melodía bien conocida. 1.- ¡Las matemáticas me angustian! La obra comienza con la protagonista devolviendo a sus alumnas y alumnos los exámenes de matemáticas calificados… las notas no son muy altas. Se queja de lo complicado que resulta en algunos casos enseñar a estudiantes poco motivados y que se distraen continuamente en el aula. Anima a su alumnado para que se esfuerce, para que trabaje de manera activa en su aprendizaje. Intenta además convencer a padres y madres de que las matemáticas no son terribles, que deben estimular a sus hijas e hijos, y que el empeño en ello les acabará recompensando. En tono de humor, la profesora comenta como una gran parte de los complejos de los estudiantes hacia las matemáticas proviene sin duda de las manías de sus propios parientes. La protagonista habla también de alumnas que progresan poco a poco a base de paciencia y esfuerzos, y de otros estudiantes que se consideran incapaces de aprender. Esta parte se complementa con la canción La prof de maths veut me faire la peau –La profe de matemáticas quiere acabar conmigo– con la melodía de Like a Hobo del compositor y cantante Charlie Winston: […] La prof de maths veut me faire la peau Elle va me mettre zéro La prof de maths veut me faire la peau Elle dit j'suis un zéro […] Aunque en castellano no rima, esto es lo que dice la estrofa de la canción: […] La profe de mates quiere acabar conmigo Va a ponerme un cero La profe de mates quiere acabar conmigo Dice que soy un cero a la izquierda […] 2.- ¡Las  matemáticas me atraen! La profesora comenta como para ella tampoco es fácil enseñar. Recuerda como siempre le han atraído las matemáticas: se le daban bien en la escuela, pero en la secundaria empieza a interesarse por los chicos y se despista un poco… ¿Y si no se hubiera entretenido? ¿Quizás habría sido la primera mujer en recibir una Medalla Fields? –desde 1936, 52 varones menores de 40 años la han recibido–. La canción que acompaña esta parte es Mon coeur est pris par les maths –Mi corazón está atrapado por las mates– con la melodía de My Heart Belongs to Daddy del compositor Cole Porter: […] Les quaternions, c'est ma passion Les complexes, j'les laisse à ma grande soeur Les dérivées, c'est le méga-pied Car mon coeur est pris par les maths […] En castellano este fragmento puede traducirse por: […] Los cuaterniones son mi pasión Los complejos, se los he dejado a mi hermana mayor Las derivadas, una pasada Porque mi corazón está atrapado por las mates […] 3.- ¡Por fin entiendo las matemáticas! Tras esta canción, la protagonista comenta como, de joven, había querido dedicarse a la investigación en matemáticas, como su padre. Pero sus matemáticas favoritas eran las aplicadas, útiles a la sociedad, concretas, capaces de resolver problemas reales… Reconoce que también pensaba en aquel momento que las matemáticas puras estaban reservadas a los chicos y a sus juegos intelectuales, su competitividad, su brillantez… La profesora habla de cómo se embarcó en una tesis en este campo, con esfuerzo y pasión… acabando decepcionada a causa de un director que la valoró poco y la envío a seguir su formación en EE.UU. –recomendándola como ‘una buena chica, fuerte y eficaz, sobre la que se puede ejercer una presión conveniente’–, mientras él presentaba sus resultados en congresos… De nuevo en tono cómico imita a parientes que desean hacer pruebas médicas a sus hijos para intentar averiguar la razón de su bloqueo en matemáticas… Y llega el momento de la victoria final, con la canción J’ai enfin compris les mathématiques –Por fin he entendido las matemáticas– con la melodía de New York, New York del compositor John Kander: […] J'ai enfin compris C'est une nouvelle vie J'ai résolu une équation mathématique […] […] Por fin he entendido. Es una nueva vida He resuelto una ecuación matemática […] La obra termina con la profesora comentando a su alumnado como la gente que se dedica a las matemáticas disfruta con ellas, como realmente apasionan y enganchan, como ayudan a tener un pensamiento más claro, como ayudan a entender… Sin duda, ¡Ella es ‘matéfila’! Agradezco a Anne Rougée el haberme facilitado el libreto de la obra.

Viernes, 22 de Marzo de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

600. 45. (Marzo 2013) El aprendizaje por indagación I

1. Introducción El artículo de este mes tiene carácter indagatorio. Al contrario que otros en esta columna, no muestra una conexión entre algunos fenómenos matemáticos y musicales, o analiza la obra de un compositor a la luz de técnicas matemáticas, sino que explora cómo se puede usar el aprendizaje por indagación en la enseñanza de las matemáticas y la música. En las matemáticas hace años que se emplea bajo múltiples formas: aprendizaje por resolución de problemas, el método Moore, aprendizaje por proyectos, aprendizaje orientado al proceso, entre otros. En la música, a la luz de nuestro más leal conocimiento, parece que apenas está implantado. En el artículo de este mes describiremos en qué consiste el aprendizaje por indagación en las matemáticas y en el artículo del mes que viene trataremos cómo se podría aplicar dicho aprendizaje a la música. El aprendizaje por indagación se basa en la idea de adquirir conocimientos y destrezas a partir del planteamiento de preguntas y problemas. Este método -a la manera socrática- confronta al alumno con su propia ignorancia y le conmina a salir de ella a través de la indagación. Él construye el conocimiento y no se le da construido; se traspasa la responsabilidad de encontrar las fronteras de su conocimiento al alumno así como el compromiso de superarlas. De esta manera, el aprendizaje es más profundo e intenso, pues es el alumno quien participa activamente en su construcción. La materialización del aprendizaje por indagación -como ha demostrado la práctica pedagógica- puede ser numerosa y muy diversa. Como acabamos de decir, bajo este término se incluyen metodologías tales como el aprendizaje por resolución de problemas o el aprendizaje basado en proyectos; véase [BB08] para una taxonomía más amplia. Eick y Reed [ER02] definen el aprendizaje por indagación de la siguiente manera (mi traducción): El aprendizaje por indagación no trata sobre la memorización de hechos —trata sobre la formulación de preguntas y el hallazgo de las soluciones adecuadas a las preguntas y problemas. La indagación puede ser una responsabilidad compleja y, por tanto, requiere un diseño y una fundamentación de la clase muy especializados para facilitar que los alumnos experimenten la emoción de resolver una tarea o un problema por ellos mismos. Un entorno de aprendizaje por indagación respaldado por un diseño de la clase cuidadoso puede ayudar a los alumnos en el proceso de transformar la información y los datos en conocimiento útil. Hace algún tiempo decidí aplicar el aprendizaje por indagación en mis cursos. Había llegado a la conclusión de que mi enseñanza basada en la clase magistral ya no era efectiva en absoluto. Para ser sinceros, había llegado a la conclusión de que era una farsa. Cierto es que con los años había mejorado en dar clases magistrales. Me había aplicado a una reflexión profunda para superar mis dolorosos errores, había estudiado a los mejores oradores, había leído muchos libros de pedagogía y psicología, había aplicado técnicas de actuación a la gestión de la clase, y en la medida de mis posibilidades dentro de mi departamento, había intentado definir un temario razonable y coherente. En suma, había intentado ser profundo, creativo y eficaz al dar la clase magistral. Y, en general y dicho con humildad, creo que lo conseguí. Sacaba buenas evaluaciones en las encuestas de los alumnos, estos agradecían el buen trato (e incluso el rigor) que les dispensaba, y parecían satisfechos con mi labor docente: siempre llevaba las clases preparadas, hacía menciones a la historia de los conceptos explicados, exponía las aplicaciones de las matemáticas. Sin embargo, eso solo era un espejismo. La realidad era muy otra. El perfil de los alumnos había cambiado lenta pero inexorablemente, y no solo no supe darme cuenta, sino que tampoco había sabido adaptarme a ese cambio. No eran ya los aprendientes autónomos que éramos en mis tiempos de estudiante, ni siquiera el aprendiente de hace diez años. El perfil del alumno universitario actual, al menos en mi facultad, es el de una persona que no aprende por mero contacto con el temario expuesto oralmente, que usa la tecnología de manera natural, que, en la mayoría de los casos, carece de constancia en el estudio, y que especula incesantemente con los resultados y el esfuerzo. Los alumnos se enfrentan a la materia empujados por las fechas de entrega y de exámenes parciales que tengan en ciernes. Les podría entretener mis clases magistrales, o incluso gustar, pero casi todos estudiaban la asignatura la semana antes del examen. Se habían convertido en lo que he dado en llamar vomitadores. Muchos alumnos solo querían su aprobado y les daba igual si les enseñaban a pensar, o adquirían habilidades sociales, o cómo estaban maltratando ellos mismos sus hábitos de estudio y aprendizaje. La mayoría solo perseguía aprobar con el mínimo esfuerzo. Y yo seguía en la inopia, a pesar de las altas estadísticas de abandono, de suspensos y de repetidores. Aunque triste y revelador, era aun peor saber que las asignaturas de matemáticas solo representaban un obstáculo para la mayoría de alumnos y que la pura verdad era que ni les enseñaba a pensar nia ser creativos. Esta era la farsa a la que me refería antes. Y un día me desperté y dije ¡basta! No puedo permitirme ser ese tipo de profesor si amo la enseñanza y las matemáticas. No puedo ser ese tipo de persona. Empecé a usar otros métodos para tratar desesperadamente de romper esa inercia. Los primeros años, solo en asignaturas optativas, empleé métodos colaborativos. Aprendí mucho de la psicología de los alumnos y comprendí y corroboré muchos hechos que había leído en libros y revistas académicas. Los métodos colaborativos implican un contacto intenso con los alumnos y eso nunca me importó; es más, siempre lo busqué, pues me pareció fundamental. Al contrario que algunos de mis colegas, yo no pienso que los profesores estemos para transmitir el conocimiento desde una postura totalmente aséptica y lo más alejada posible de las emociones y los valores. Un alumno aprende más por quién es su profesor que por lo que le enseña. No fue fácil, pero en poco tiempo la actitud de los alumnos cambió radicalmente; ahora estaban implicados en su propio aprendizaje y mi pasión por la asignatura -antes percibida como un extravagante exceso- ahora era compartida. Los alumnos además apreciaban el desarrollo de las habilidades sociales y de comunicación inherentes a este tipo de métodos. Más tarde me atreví a usarlo con asignaturas troncales de primer curso, un toro muy distinto de torear a las asignaturas avanzadas de cuarto, con alumnos muy motivados. Desde entonces, he seguido como método principal una versión modificada del método Moore. Las principales modificaciones que introduje fueron dos: (1) hacer el método Moore colaborativo; (2) conceder a la escritura la importancia que posee en las matemáticas. La aplicación del método no ha sido fácil ni obvia. Antes bien, ha estado llena de dificultades: clases muy numerosas, alumnos con poca motivación, niveles muy heterogéneos, programa muy extenso, muchos alumnos ”profesionales” del examen (eufemismo para los vomitadores), entre otros. Sin embargo, los resultados han sido buenos. Los alumnos poco a poco se han comprometido con el aprendizaje, se lo han pasado bien en clase, se han sentidoseguros en el examen, e incluso la mayoría de los alumnos cuyo nivel evidenciaba que no podrían con la asignatura han seguido el curso hasta el último día. En la siguiente sección explicaré el método Moore y la versión modificada que aplico en mis clases. 2. El método Moore modificado 2.1. El método Moore original El método Moore recibe su nombre por Robert Lee Moore, un famoso matemático (topólogo), que daba clases en la Universidad de Pensilvania. Originalmente, el método estaba diseñado para alumnos avanzados de matemáticas. Como primer paso, Moore distribuía unas hojas en que aparecían los axiomas que se iban a usar en la asignatura, unos cuantos ejemplos ilustrativos y después un conjunto de resultados que probar. Cada estudiante tenía que probar por sí mismo los resultados. Moore llamaba a la pizarra a los estudiantes y estos probaban los teoremas. Se producían discusiones entre ellos, en las que Moore intervenía ocasionalmente. Su método se basaba en una sana competencia individual. Cuando habían pasado unos cuantos días, Moore ya conocía cuál era el nivel de los estudiantes y los llamaba en orden inverso a su nivel (los de menor nivel salían más frecuentemente). Desde el principio, estuvo prohibido usar cualquier fuente de información externa; solo las hojas distribuidas por Moore y el fruto de las discusiones en clase constituían el único material —tanto teórico como práctico—. Como consecuencia de este método, la comprensión del material era muy profunda, más, obviamente, que en las clases magistrales. La experiencia de aprendizaje -según los testimonios de los alumnos- era más vívida. En los vídeos siguientes aparecen profesores de universidad describiendo el método Moore. En el método Moore es absolutamente fundamental crear una atmósfera de seguridad emocional. Sin ella, el alumno tendrá miedo de salir a la pizarra, y lo que es aun peor, de cometer errores. Un matemático profesional está acostumbrado a cometer errores; es parte de su actividad. Igualmente, está acostumbrado a detectarlos, corregirlos y recuperarse de ellos. Un alumno, en principio, tiene que aprender todo esto. Moore tenía clases relativamente pequeñas, entre 8 y 15 alumnos, y era fácil crear ese buen ambiente de camaradería intelectual. Por otro lado, el método no funciona si los alumnos no respetan las reglas. Si hay alumnos que consultan las demostraciones en libros o las hacen a medias con otros, entonces la clase no funciona como debería. Moore contaba que esta situación raramente ocurría. En algunas universidades donde el método lleva años en práctica, como la Universidad de Texas, a los alumnos que copian les llegan a castigar prohibiéndoles matricularse en ningún curso con metodología Moore. Otra cuestión delicada en el método Moore es la evaluación. Claro es que la evaluación continua es la mejor opción para este método. Hay todo un continuo de posibilidades en este sentido, que abarcan desde la pura evaluación del trabajo en clase hasta la combinación de este con exámenes y proyectos. En todo caso, con el método Moore es posible evaluar el esfuerzo de los alumnos y su progresión. Para más información sobre el método Moore original, se puede consultar la página web de su legado, The legacy of R.L. Moore [Fou13]. 2.2. El método Moore colaborativo Dado la facultad en que enseño, la Escuela Universitaria de Informática (Universidad Politécnica de Madrid), con notas de corte de 5, con muchos alumnos ávidos de títulos y no de conocimiento, con alumnos poco motivados, con alumnos vomitadores profesionales, con clases grandes, sabía que no podía aplicar el método Moore en su formato original. Me di cuenta enseguida de que tenía necesariamente que centrar el aprendizaje en ellos mismos de manera expeditiva. Mis alumnos no eran los que tenía Moore, entusiastas de la materia y con sólidos hábitos de estudio. Y esto implicaba introducir el aprendizaje colaborativo. Eliminé la restricción de trabajar individualmente que Moore impuso originalmente. De hecho, ahora fomento el trabajo en grupo, aunque bajo ciertas condiciones. Las condiciones que he establecido son las siguientes (tomadas de la página de una asignatura que di el año pasado; véase [Góm13a]): En la clase no se usan libros ni otras fuentes de información, sean electrónicas o impresas. El material lo prepara el profesor y lo distribuye a los alumnos. El profesor no explica teoría ni hace problemas. La teoría se enuncia en el material que se distribuye. Los alumnos elaboran por sí mismos la teoría. Los problemas los resuelven los alumnos. Cuando se resuelve un problema un alumno sale a la pizarra a explicarlo, este problema no se da por bueno hasta que la clase entera está de acuerdo. Esto puede llegar hasta una votación formal en la clase. Todos los alumnos salen por estricta rotación. Los alumnos que tienen más dificultades salen más frecuentemente a la pizarra. Se fomenta el trabajo en grupo durante las clases. Es posible que el profesor pida a dos alumnos que trabajen juntos en cierto problema y que uno se lo explique al otro. En este sentido, este método se basa en la creencia de que no hay mejor manera de aprender algo que tener que enseñarlo. Las demostraciones y problemas se tienen que entregar al profesor. Cada alumno escribe sus propias demostraciones y soluciones. Además, como parte de una política de honestidad: Si un alumno ha recibido ayuda de otro en la discusión de un problema ha de ponerlo explícitamente en las entregas: Problema 6 (con la ayuda de X). Si a un alumno le ha leído el trabajo otro compañero ha de ponerlo explícitamente en las entregas: Problema 6 (leído por X). Si un alumno ha trabajado con otro ha de ponerlo explícitamente en las entregas: Problema 6 (trabajo conjunto con X). Está prohibido dejar soluciones o demostraciones a otro compañero. Si un alumno tiene problemas con un ejercicio, queda con otro compañero que lo pueda ayudar. No le pide la solución sin más y la copia. Ningún alumno debería ni pedir la solución ni dejar que la copie. El lema esEntiende la explicación y escribe tu propia solución. El trabajo en equipo y colaborativo es esencial en esta metodología. El alumno va a recibir una carga de trabajo superior a la que es capaz de terminar con la única ayuda de su fuerza mental. Esto se hace para animar a los alumnos a que trabajen en equipo y para que acudan al profesor cuantas veces te haga falta (y con la tecnología que haga falta: Skype, correo, Twitter, etc.). De vez en cuando habrá revisión de trabajo por pares. Esto significa que se darán los ejercicios de unos alumnos a otros para que los corrijan. Esto constituye un ejercicio de crítica y responsabilidad que resultará muy interesante e instructivo. Esta metodología no funciona si no se siguen estas reglas al pie de la letra. No respetar las normas del método hace que se arruine por completo. Las copias de los ejercicios o demostraciones son siempre obvias. Uno de los puntos delicados en la implementación del método es convencer a los alumnos de que pueden hacerlo. Sé que en las dos primeras semanas de clase mi trabajo consistirá en emplearme a fondo para ello. Algunos alumnos piensan que no tienen nivel para afrontar este reto, otros sencillamente ignoran las reglas del método y actúan por libre, especialmente lo referente a la colaboración. En el artículo [Góm13a] se recogen más detalles de la aplicación del método, así como ventajas e inconvenientes para alumnos y profesores. 2.3. La escritura en las matemáticas Me preocupaba sobremanera la patente y creciente falta de recursos de comunicación de nuestros alumnos. En el caso de las matemáticas, y en particular en mi entorno académico, había llegado a límites insoportables. Los alumnos se habían acostumbrado a escribir una ristra de símbolos, sin apenas frases en castellano, o bien escritas como un telegrama, como sustituto de una respuesta bien estructurada, concisa y que demuestra la requerida claridad de pensamiento. Me daba cuenta de que ese era un problema que tenía que atacar, ya independientemente del método Moore. Investigué la bibliografía y descubrí que hacía al menos cuatro o cinco décadas ya había profesores que habían enseñado matemáticas basadas en la escritura. Aquí por escritura entiendo toda una plétora de posibilidades: pruebas formales, escritura libre, redacciones autobiográficas, diarios, periódicos, páginas web, resolución de problemas, poesía visual, informes, entre otros. Para el lector interesado recomiendo [Ste90], [MR98] y la compilación de recursos hecha por Michael Kinyon [Kin13]. Mis alumnos han sido extraordinariamente reacios a la idea de la escritura. Hasta entonces les habían dado todos los puntos por escupir código interno en los exámenes, esto es, les daban buenos puntos por una respuesta inconexa, escrita para ellos mismos, pespunteada con retazos de su confuso pensamiento, fruto de la habitual regurgitación del material. ¿Por qué iba a ser diferente a partir de ahora si desde el instituto tal cosa les fue permitida? No obstante, he sido estricto y en las entregas doy cinco puntos por las matemáticas y cinco puntos por la escritura. He escrito un documento en que les explico con detalle cómo redactar correctamente matemáticas, desde el punto de vista formal y desde el punto de vista lingüístico; véase [Góm13b]. He aquí un extracto de ese documento donde se argumenta por qué la escritura puede ser un buen método de enseñanza de las matemáticas. Una buena escritura es un reflejo de un pensamiento claro. Un pensamiento deficiente nunca podrá producir una buena escritura. Demasiado frecuentemente, cometemos el error de confundir familiaridad con conocimiento. Lo que nos escriben nuestros alumnos en los exámenes es en la mayor parte de los casos una muestra de su familiaridad con el tema, probablemente adquirida a toda prisa los días previos al examen. Conocer o entender algo es muy distinto a reconocerlo. La escritura, por la carga de reflexión que lleva, permite ese asentamiento, esa vivencia del conocimiento. He aquí unas cuantas ventajas de la escritura como método de enseñanza: Escribir matemáticas hace las clases más activas. El alumno tiene que escribir en las clases y mostrar su escritura al resto de la clase, quien hará los comentarios pertinentes para mejorarla. Escribir matemáticas enfrenta a los alumnos a su propio conocimiento. Escribir una demostración correctamente implica un alto nivel de revisión que fuerza a que se aprenda el material con más profundidad. Escribir siempre fomenta la creatividad, y ello es cierto también en el caso de la escritura matemática. Escribir matemáticas hará mejores lectores a los alumnos. Tendrán que practicar la lectura comprensiva más a fondo. La entrega de ejercicios escritos al profesor proporciona a este una valiosísima oportunidad de comprobar la comprensión de la materia y reaccionar en consecuencia (bien repitiendo explicaciones, poniendo ejercicios complementarios, dando material adicional a alumnos concretos, etc.). La escritura matemática, sobre todo si se combina con métodos colaborativos, da lugar a discusiones muy fructíferas entre los alumnos. Sin embargo, la principal razón para que los alumnos escriban, y lo hagan con rigor y calidad, reside en los valores de las matemáticas. Los principales valores asociados a las matemáticas son la capacidad para ensanchar y agudizar los mecanismos de aprendizaje, el sentido del conocimiento y el genio del pensamiento profundo. Enseñar matemáticas a los alumnos a través de la escritura está en clara consonancia con esos valores. Estos valores, por supuesto, no son privativos de las matemáticas; están presentes también en otras áreas del saber. A pesar de este documento y mis advertencias, las primeras entregas estaban pésimamente escritas. Cuando han visto que les restaba una buena cantidad de la nota final de las entregas, han empezado a tomarlo más en serio. El nivel de escritura de la clase subió y ello se reflejó en las exposiciones en la pizarra. En ocasiones mandaba hacer una demostración a algún alumno en concreto y le daba una transparencia de acetato. Escribía la demostración sobre el acetato y a continuación la poníamos en el proyector y la clase discutía y criticaba la demostración. En la bibliografía se pueden encontrar libros extraordinarios sobre cómo utilizar la escritura en el aula. Timothy Sipka en [Ste90] (páginas 11 y siguientes) sugiere varios, entre ellos, las redacciones. No parece un recurso de resultados deslumbrantes, pero es solo la apariencia. Periódicamente, les proponía temas a los alumnos, que iban desde su relación con las matemáticas, su opinión sobre el método Moore, la ansiedad matemática o incluso tema libre. La información que recababa de estas redacciones era valiosísima. Me daban una visión de los alumnos más personal, me permitía conocer sus preocupaciones e intereses, o sus relaciones con las matemáticas en el pasado y cómo afectaban a la clase en curso. 2.4. El método completo Como he dicho, el método completo se basa en dos pilares: la versión colaborativa del método Moore y el énfasis en la escritura. Faltaría decir que también uso la idea de las pruebas conceptuales del método; véanse Mazur [Maz97] y [Maz13]. Estas pruebas conceptuales se presentan en la pantalla y los alumnos, individualmente, las piensan, normalmente durante uno o dos minutos. Al cabo de ese tiempo, votan la respuesta correcta con un mando especial (llamado educlick). Si la mayoría de los alumnos aciertan la respuesta correcta, se pasa a la siguiente; si no es así, el profesor invita a los alumnos a que discutan, ahora entre sí, cuál es la respuesta verdadera. Al cabo de unos cinco o diez minutos se vuelve a realizar la votación. Si sale la respuesta correcta por amplia mayoría, se pasa a la siguiente prueba conceptual; si no es así, un alumno desarrolla brevemente el concepto. Este sistema agiliza mucho la clase y permite programar repasos con gran efectividad. Como ejemplo real de la aplicación del método, a continuación tenemos el principio de la hoja 2 de sucesiones; en la hoja 1 se estudia la definición de sucesión. En esta hoja se trata la definición de límite de una sucesión. Esta hoja se reparte al principio de la clase. Se empieza con un trabajo intuitivo sobre el concepto de sucesión. Quiero ver qué saben exactamente sobre el límite de una sucesión, pero dentro de un contexto relajado. Leen la definición 15 y a continuación, en el ejercicio 16 (segundo recuadro), escriben libremente, incluso con dibujos y gráficos, sobre su idea de límite de una sucesión. Este ejercicio de escritura dura unos 10 minutos. Me lo entregan y continuamos la clase con la definición formal. Abajo tenemos un extracto de la hoja 3, que versa sobre convergencia y orden. Como se puede ver, no hay explicaciones entre los teoremas. Se las dan ellos en la pizarra fruto de las discusiones pertinentes. Los resultados no son meros ejercicios de aplicación directa, sino que se les pide que den demostraciones ɛ - n0 como vendrían escritas en cualquier libro de texto. Toda la retórica asociada a una clase magistral se eliminado radicalmente en favor de las discusiones entre los alumnos. He presenciado discusiones realmente fructíferas y en varias ocasiones los alumnos han venido con demostraciones muy creativas, de inesperada profundidad. Tal cosa nunca habría ocurrido con las clases magistrales. 3. Conclusiones El día que dije ¡basta! fue también el día en que me decidí no dar nunca más clase vía una lección magistral. Hay muy buenos profesores que dan clase magistral y, cuando nuestros alumnos eran aprendientes activos, ese era un buen método. Ya no lo es más en la inmensa mayoría de los casos. Nuestros alumnos son otros y, como profesores, hay que enfrentarse a la nueva realidad que tenemos. Me uno al lamento de un matemático de Paul Lockhart [Loc13]: “Así que aparta los planes de estudio y tus proyectores, tus abominables libros de texto a todo color, tus CD-ROM, y el resto del circo ambulante que es la educación contemporánea, y ¡simplemente haz matemáticas con tus alumnos!” (página 13). De eso se trata, de hacer matemáticas en el aula, como las hago en mi grupo de investigación: discutiendo, trayendo información, equivocándome, volviendo a la carga, estando sobre un problema durante días, poniendo eufórico por una idea feliz, escribiendo (y reescribiendo y reescribiendo, y revisando y revisando), y contándoles a mis colegas mis ideas y yo escuchando las suyas. Por último, quería añadir que desde que usó este tipo de métodos el disfrute es mucho mayor que lo fue antes. Estoy deseando ir a clase; es más, el día que tengo clase estoy contento, en una especie de estado de excitación. ¿Qué pasará hoy?, ¿cómo puedo iluminarlos?, ¿qué me van a enseñar a mí hoy?, ¿habrán asimilado el material bien?, ¿con qué nos vamos a reír? (sí, en este tipo de clases nos reímos; en otro artículo hablaré sobre el papel del humor en la enseñanza). El cambio fue, sin duda, para mejor. Bibliografía [BB08] H. Banchi and R. Bell. The Many Levels of Inquiry. The Learning Centre of the NSTA, 2008. [ER02] C.J. Eick and C.J. Reed. What Makes an Inquiry Oriented Science Teacher? The Influence of Learning Histories on Student Teacher Role Identity and Practice. Science Teacher Education, 86:401–416, 2002. [Fou13] Educational Advancement Foundation. The legacy of R.L. Moore. http://legacyrlmoore.org/index.html, consultado en febrero de 2013. [Góm13a] Paco Gómez. El método Moore o el aprendizaje por indagación. http://webpgomez.com/index.php?option=com˙content&view=article&id=369:el-metodo-moore-o-el-aprendizaje-por-indagacion&catid=88:educacion&Itemid=192, consultado en febrero de 2013. [Góm13b] Paco Gómez. Enseñanza de las matemáticas a través de la escritura. http://webpgomez.com/index.php?option=com˙content&view=article&id=418:escritura-matematica&catid=101:analisis-matematico-1213&Itemid=240, consultado en febrero de 2013. [Kin13] Michael K. Kinyon. Mathematics and writing. http://web.cs.du.edu/˜mkinyon/mathwrite.html, consultado en febrero de 2013. [Loc13] Paul Lockhart. El lamento de un matemático. http://www.rsme.es/gacetadigital/abrir.php?id=824&zw=175149, consultado en febrero de 2013. [Maz97] E. Mazur. Peer Instruction: A User’s Manual. Series in Educational Innovation. Prentice Hall, 1997. [Maz13] Mazur Group. Mazur group website. http://mazur.harvard.edu/, consultado en febrero de 2013. [MR98] John Meier and Thomas Rishel. Writing in the teaching and learning of mathematics. The Mathematical Association of America, 1998. [Ste90] A. Sterrett(editor). Using writing to teach mathematics. English Studies, 16, 1990.

Martes, 12 de Marzo de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico