521. 82. (Mayo 2014) Mapping Möbius

Mapping Möbius es una obra de la compañía New Stage Theatre. Un científico –ya en el final de su carrera– contrata a una ayudante para intentar comprender si las ideas que le obsesionan están en su cabeza o son reales. La banda de Möbius es, en este caso, un símbolo de la unión entre el mundo interior del científico –el de su mente, la que imagina y le obsesiona– y el mundo exterior –el mundo real, la naturaleza–: ¿son realmente dos o una única realidad? Entre los dos intentarán descubrir los secretos de la mente, el lugar en el que todos los misterios de la vida real se revelan –o se intentan entender–. La obra se divide en siete ‘capítulos’, en los que se hace un recorrido por la historia y la evolución a través del mundo incipiente, el plancton, los huesos de los dinosaurios, la organización de las hormigas, las abejas y los quarks. Los resumo en imágenes. Puede verse la obra completa en Vimeo, o unos instantes seleccionados en este video: Nota: Todas las imágenes se han extraído de la página web de New Stage Theatre.

Viernes, 16 de Mayo de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

522. 7. (Mayo 2014) La enseñanza de la matemática a través del arte

La transmisión del conocimiento matemático es una actividad tan larga como la propia humanidad. De saber rudimentario se va transformando en especializado. La actividad artística va dejando amplia constancia de la enseñanza del conocimiento matemático. De tan extensa tradición hay múltiples testimonios; por ello solo podemos destacar algunos momentos, algunas instantáneas, de cómo el artista veía la educación matemática.  Haremos una pequeña selección confiando en que resulte algo significativa. Empezamos con un bello mosaico que representa a la Academia de Platón y que nos trae a la mente la prescripción no entre aquí quien no sepa geometría que adornaba su frontispicio. El mosaico se localiza en el Museo Arqueológico de Nápoles y hace referencia a la actividad de los sabios en la Academia. Algunos estudiosos dialogan mientras que otros se hayan sumidos en profundos pensamientos sobre el universo matemático. Una figura señala con su vara hacia un globo con eclíptica, meridiano y paralelo. Parece ser que Platón es el filósofo que enseña con la vara. El sabio que se apoya en la columna del reloj solar -con la mano sujetando la cabeza-puede ser Eudoxo de Cnidos, el creador del método de exhausción, la forma primitiva del cálculo integral. De la antigüedad grecorromana pasamos a la Edad Media. Todavía es poco conocida la alegoría de la Geometría del Pórtico del Sarmental en la Catedral de Burgos. En ella puede verse como el maestro enseña a dos niños con sus tablillas y compases. Hoy la visita de la Catedral de Burgos se inicia desde la portada del Sarmental, la que en sus orígenes estaba reservada solo para el obispo y  la escuela episcopal. El Sarmental es una puerta sapiencial, con una iconografía simbólica que se corresponde con el mandato que tenían las sedes episcopales de aumentar la formación del clero y corregir su ignorancia y sus excesos. En las arquivoltas -junto a la coral del Apocalipsis- se encuentran cinco de las Artes Liberales y una alegoría de la Medicina. La representación de la Geometría está mutilada –el maestro ha perdido el compás- y se encuentra en la cuarta dovela exterior de nuestra izquierda. El alumno más al exterior se encuentra realizando un ejercicio de geometría sobre la tablilla y si conserva su compás. De un siglo posterior, del XIV, escogemos un rico miniado de una edición de los Elementos de Euclides que se conserva en la British Library.  Se trata del miniado que encabeza esta Instantánea, donde una alegoría de la Geometría aparece enseñando a un grupo de monjes. Sobre la mesa se extienden múltiples figuras que Geometría dibuja con su compás. Será en el Renacimiento cuando nos encontremos con una revolución. La educación matemática como el comercio y la imprenta se generaliza a otras capas de la población. Especialmente significativa es la alegoría de la Geometría del pintor manierista flamenco Frans Floris y que el grabador Cornelius Cort se encargó de popularizar mediante la imprenta. Así, esas potentes imágenes podemos encontrarlas en sitios diversos y sobre distintos materiales. Reproducimos una vidriera del Rijksmuseum. La Geometría aparece enseñando su arte mediante un compás y un globo aunque otros instrumentos se encuentran en el suelo. Los alumnos son artesanos, ya no tiene nada que ver con la enseñanza medieval dirigida a los clérigos. El pueblo llano se apropia del saber científico y las artes se democratizan. Algunos motivos medievales se mantienen aunque su representación sea más realista como vemos en los esgrafiados alegóricos de un soberbio edificio renacentista: La Sala del Juego de Pelota en los fosos del Castillo de Praga. La fachada principal del Juego de Pelota está decorada a lo largo de sus sesenta y ocho metros con esplendidos esgrafiados alegóricos: los cuatro elementos, las virtudes, las artes liberales y la teología. Las Alegorías de la Aritmética y la Geometría se encuentran a la derecha, en el segundo y tercer tramos. Reproducimos a la Aritmética mientras está  enseñando los números y su pie descansa sobre un libro de Pitágoras. Terminamos con el Renacimiento con una de las sensibles muestras del delicado arte de enseñar, de su serenidad y dulzura. Se trata de la Lección de Geometría (1561) del pintor holandés Nicolas Neufchâtel y que representa al maestro Johann Neudörffer con uno de sus alumnos. El cuadro se puede contemplar en la Alte Pinakothek de Munich. La Lección muestra las enseñanzas en Nuremberg, uno de los primeros lugares del mundo donde los maestros eran pagados por la municipalidad, y donde en el siglo XVI se crea un ambiente adecuado para el florecimiento de la indagación matemática. La ciudad de Durero llegó a ser el primer taller de Europa y se adelanta a la revolución científica enseñando matemáticas a los gremios. Los sólidos vacíos que Leonardo dibuja para Luca Paccioli, un dodecaedro en la mano y un cubo colgado, están sirviendo de referencia para la nueva pintura matemática de la época que cambia la forma de pensar. Nos trasladamos a Padua, y al siglo de las luces, para dar cuenta de la educación matemática de la mujer. Y lo hacemos a la ciudad veneta que ofrece el primer testimonio de una mujer laureada por una universidad, la sabia veneciana Elena Lucrezia Cornaro Piscopia. A Elena no se lo pusieron fácil, no pudo asistir a las clases de la entonces liberal universidad de Padua pero si examinarse, logrando en 1678 su titulación en filosofía (que incluía las matemáticas). Un siglo más tarde, la Lección de Geografía de Pietro Longhi (siglo XVIII),  cuadrito que se encuentra en el Museo de los Eremitani, nos muestra la enseñanza matemática a una joven. La escena doméstica muestra una casa aristocrática o burguesa, y recoge el momento en que dos jóvenes reciben enseñanza bajo la mirada atenta de su madre. El globo terráqueo, el compás y los libros abiertos dan cuenta de que la enseñanza afortunadamente era más que urbanidad Terminamos el breve recorrido por la obra quizá más expresiva de la fuerza, de la tensión cognitiva, de la enseñanza de la matemática. La operación que aparece en la pintura El problema difícil realizada en 1895 por Nicolai Bogdanov-Belski y que se exhibe en la Galería Tretyakov de Moscú no es tan difícil. La solución es 2 porque 102 + 112 + 122 = 132 + 142 = 365. El ejercicio da cuenta del primer número que se expresa como suma tanto de dos cuadrados como de tres cuadrados. Para el estudiante de hoy, armado con papel o con una calculadora, el ejercicio es elemental. ¿Dónde reside la dificultad? La complicación radica en que el educador Serguei Rachinski pide a sus alumnos de la escuela rural, pobres y malvestidos, que lo resuelvan mentalmente. Por eso no hay papel, solo rostros que traducen una tremenda concentración. Admirable es el mérito de Rachinski que abandona la vida universitaria para llevar a la escuela infantil un gusto que alivie de la miseria de los niños, tal como nos cuenta Perelman en su Álgebra recreativa. El derecho de la enseñanza para todos ya ha calado.

Miércoles, 07 de Mayo de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

523. 90. Chicas, chicas, chicas

Se acerca el final de curso, otro más, un buen momento para tratar algo ligero que hay mucho que estudiar,...., y algunos corregir. Quien más quien menos al leer el título se habrá acordado de la película homónima de cierto famoso cantante, pero no, lo lamento por sus seguidores que son legión, pero no va de eso (por cierto, dicho cantante, encarnó en una de sus películas a un científico, ahí es nada; ya no sabían qué endosarlo). Además las chicas son algo más jovencitas que la de aquella película, en edad escolar. Cuando pensaba que escribir esta vez para la reseña de esta sección y me acordé de la película Pide un deseo, me vinieron a la cabeza otros títulos de temática similar a esta (adelanto: películas adolescentes, pero no adolescentes normales si es que eso existe, sino aquellos de lo más “pijo”, disculpen la expresión, que uno se pueda imaginar) que ya se habían puesto. Y me di cuenta de que son tantas que casi por si mismas constituyen una sección propia dentro del universo “películas con estudiantes y matemáticas”. Claro, son películas con chavales de Secundaria, que plasman sus inquietudes y modo de vida (bueno, normalmente el American way of life, que desgraciadamente la globalización está haciendo que sea, sobre todo para lo malo, también el español). Como casi siempre incluyen escenas en clase (y las matemáticas son el candidato propicio para hacer la gracia, el chiste, mostrar a los pobrecitos estudiantes sufriendo, o al inhumano profesor de turno), todo ello hace que no sea extraña su abundancia. PIDE UN DESEO Título Original: Wish Upon a Star. Nacionalidad: EE. UU., 1996. Director: Blair Treu. Guión: Jessica Barondes. Fotografía: Brian Sullivan, en Color. Montaje: David Blangsted. Música: Ray Colcord. Producción: David Anderson y Don Schain. Duración: 90 min. Intérpretes: Katherine Heigl (Alexia Wheaton), Danielle Harris (Hayley Wheaton), Donnie Jeffcoat (Kyle Harding), Scott Wilkinson (Ben Wheaton), Mary Parker Williams (Nan Wheaton), Lois Chiles (Mittermonster), Ivey Lloyd (Caitlin Sheinbaum), Matt Barker (Simon), Jacque Gray (Kazumi), Kari Petersen (Talley), Mark Hofeling (Sr. Watson). Argumento: Dos hermanas, una de las cuales, Alexia, es atractiva y muy popular entre sus compañeros de clase, mientras que la otra, Hayley, no lo es tanto, pero es más inteligente. Un día Hayley formula el deseo de intercambiarse con su hermana Alexia por una noche, y voilá, el deseo se cumple (¿a qué os suena el argumento? ¡La imaginación al poder!). Antes de nada, si alguien quiere martirizarse viéndola, aquí la puede encontrar íntegra en inglés (que al menos sirva para practicar idiomas): http://www.youtube.com/watch?v=4fpR0tXEZ9I En una de las primeras secuencias en clase, el profesor entrega unos exámenes corregidos a sus alumnos. Mientras Hayley presenta una buena calificación (A, excellent), su hermana Alexia alcanza un D+ (ver imágenes). Lamentablemente no podemos percibir con nitidez sobre qué iban esos exámenes. Eso sí, en la pizarra tras el profesor vislumbramos una propuesta de funciones para integrar (potencia de un binomio, polinomio, y funciones irracionales pero inmediatas), un modelo cuadrático que no alcanzamos a ver del todo y un sistema lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas. Lo que si percibimos claramente es el expediente académico de Alexia, cuando ésta se acerca a dirección a solicitar una carta de recomendación para un trabajo que le apetece hacer (ver imagen). Parece pertinente explicar un poco que quieren decir todas esas cifras y letras. El sistema de calificación más popular y de uso común en los Estados Unidos (el que vemos en muchas películas, tanto en colegios, institutos como universidades) utiliza una evaluación discreta de cinco puntos con las letras A, B, C, D y E / F , donde A indica “Excelente”, C algo así como “Progresa Adecuadamente”, y F sería “Suspenso”. Paralelamente utilizan el GPA (Grade Point Average; se traduciría como “Promedio de calificaciones”), asignando a cada letra un número que varía dentro de un intervalo, y después haciendo la media aritmética de todos ellos. No es un sistema normalizado, pues puede variar de un estado a otro, incluso de un centro a otro de la misma ciudad, por lo que indican el baremo utilizado en el expediente para que cuando hay traslados, o se necesita una nota mínima para acceder a un trabajo, haya que cotejar y hacer cálculos. En general, las escuelas estadounidenses equiparan la A con un valor numérico de 4.0. La mayoría de los centros de secundaria (high schools) requieren un promedio de 3.0 (B) para conseguir la graduación, siendo C o C– el grado más bajo exigido. En los centros de primaria se suele exigir un 2.0 (C) como requisito para acceder a la secundaria, siendo la D o D– el mínimo para pasar de curso. Algunos distritos han eliminado el D como calificación aceptable para promocionar debido a la alta tasa de fracaso escolar. En otros centros sólo se contemplan cuatro estados de calificación (A, B, C, y E / F), y los hay que llegan hasta diez puntos siendo A+ = 9.0, A = 8.0, A– = 7.0, y así sucesivamente. El porcentaje necesario en un curso dado para alcanzar un determinado grado y la asignación de los valores de los puntos de GPA varía de escuela a escuela, y algunas veces hasta entre los instructores en una escuela determinada. Las escalas de calificación más comunes para los cursos normales y para los avanzados son los marcados en la siguiente tabla: Por tanto podemos comprobar que las calificaciones de Alexia, no son nada “maravillosas”, por lo que la directora del centro donde estudia no atiende a su petición de darle una recomendación para el trabajo al que Alexia le gustaría optar. Vayamos con una escena con problema, en este caso sobre porcentajes, hacia el minuto 57:36. Se trata de uno de los conceptos más y peor utilizados en los medios de comunicación, a pesar de su sencillez. Precisamente por ser “asequible a todo el mundo” abunda en las escenas recreadas en el cine. Se introduce de un modo que pretende ser “cómico”: música de suspense ad hoc, profesor riéndose malévolamente saliendo de entre el atril desde donde imparte clase mediante un contrapicado de cámara (mediante este recurso cinematográfico se trata de dar una sensación de poder, de control del personaje, y el espectador y los alumnos, por contra, están en una posición de inferioridad respecto al sujeto enfocado): Profesor: Mañana examen, hoy repasaremos. ¿Algún voluntario? Echa un vistazo a la clase. Nadie está por la labor, salvo Hayley (con el cuerpo de Alexia) que levanta la mano. En un principio el profesor la ignora, por lo que debe llamarle la atención. Como Alexia siempre que ha levantado la mano en clase ha sido para pedir ir al servicio, el profesor le responde: Profesor: Alexia, ¿no crees que podrías aprender a utilizar el servicio de chicas antes de venir a clase? Haley: No. Me gustaría intentarlo, por favor. Profesor (incrédulo): ¿Intentar el problema? Alexia (en el cuerpo de Hayley): Ya la oyó. Profesor: Ok., vamos con ello. Un producto de limpieza está formado por tres componentes químicos. A, B, y C. (Haley escribe A, B, C en la pizarra; ver imagen). Hasta aquí todo bien (recochineo del profesor). Hay idénticas cantidades de A y B (Haley escribe B = A), y cuatro veces en C como en A (Hayley escribe C = 4A). ¿Qué porcentaje de C hay en la botella? ¿Crees que puedes “iluminarnos” con esto, Alexia? Hailey: Ok. B es igual que A, y C es cuatro veces A. A + A + 4A es igual a 6A. Por tanto, el porcentaje es 4A partido por 6A, las A se simplifican, cuatro sextos se convierten en dos tercios, y de ahí se tiene que el porcentaje es 66.6%. Profesor: Ok., ok. ¿Estáis de acuerdo? Alexia: De acuerdo sin duda. Aunque posteriormente se afirma que va a celebrarse el examen, y las hermanas lo preparan (Alexia tiene que pasar los datos de los problemas a fragancias y perfumes para “inspirarse”), no aparece en escena. En la reseña nº 48 (Marzo 2010) ya hablamos de la siguiente película, aunque sólo para recordar también una escena de porcentajes. Sin embargo al contener otras referencias matemáticas, algunas no tan elementales, me ha parecido oportuno volver a recordarla. CHICAS MALAS Título Original: Mean Girls. Nacionalidad: EE. UU., 2004. Director: Mark Waters. Guión: Tina Fey, basada en el libro Queen Bees and Wannabes: Helping Your Daughter Survive Cliques, Gossip, Boyfriends, and Other Realities of Adolescence, de Rosalind Wiseman. Fotografía: Daryn Okada, en Color. Montaje: Wendy Greene Bricmont. Música: Rolfe Kent. Producción: Lorne Michaels. Duración: 97 min. Intérpretes: Lindsay Lohan (Cady Heron), Rachel McAdams (Regina George), Tina Fey (Ms. Norbury), Tim Meadows (Mr. Duvall), Amy Poehler (Mrs. George), Ana Gasteyer (Madre de Cady), Lacey Chabert (Gretchen Wieners), Lizzy Caplan (Janis Ian), Daniel Franzese (Damian), Jonathan Bennett (Aaron Samuels), Amanda Seyfried (Karen Smith), Neil Flynn (Padre de Cady). Argumento: Cady Heron es una joven adolescente que ha sido criada en África ya que sus padres son zoólogos de profesión. Considera que sabe más que cualquier otra persona sobre cómo sobrevivir en un medio hostil. Pero la ley de la selva adquiere un nuevo significado para ella cuando se matricula en una escuela secundaria pública por primera vez y se encuentra con la guerra psicológica y las reglas sociales no escritas a las que las adolescentes se enfrentan hoy en día. Si uno accede a las bases de datos más usuales de películas en internet (imdb, por ejemplo) puede sorprenderse que tanto la película anterior como ésta estén valoradas con sendos notables (7.0 y 6.9, respectivamente). Cuando uno las ha visto se da cuenta del valor relativo que este tipo de encuestas tiene en la realidad. En ambas la única justificación que dan algunos de los votantes es su realismo (¡Dios mío, estamos peor de lo que pensaba!). En fin, a lo nuestro. Tres de las chicas protagonistas, preocupadas por su línea, tratan de averiguar que engorda menos entre una chocolatina y unas patatas fritas. Leen los ingredientes de la chocolatina: Regina: 120 calorías y 48 son de grasa ¿Qué porcentaje es ese? Gretchen: Pues, ¿48 dividido por 120? Cady: Es un 40% Sus compañeras están sorprendidas por la respuesta, por lo que Cady trata de explicarlas su razonamiento. Cady: Bueno, 48 partido por 120 es igual a x partido por 100, luego haces la regla de tres y te da el valor de x. Gretchen (un tanto agobiada): Da igual, voy a por unas patatas. También hay un Campeonato de Matemáticas, en donde escuchamos plantear tres ejercicios: 1.- El doble del mayor de dos números es tres, más cinco veces el menor, y la suma de cuatro veces el mayor y tres veces el menor es 71. ¿Cuáles son? Exagerando enormemente en la velocidad de respuesta, uno de los concursantes la da casi sin que el presentador acabe el enunciado: 14 y 5. Resolver un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es muy sencillo, pero al menos un par de minutos lleva plantear, hacer la cuenta y comprobar. Estos, no, lo hacen además mentalmente. 2.- Encontrar un número impar de tres dígitos de modo que sumen 12, sean distintos y la diferencia entre los dos primeros sea igual a la diferencia entre los dos siguientes. En este caso ni siquiera dejan acabar el enunciado, enseguida responden 741. Más exageraciones a tono con el resto de la película. 3.- El caso es que ambos equipos llegan a un empate “tras 87 minutos de dura competencia”, según comenta en la película el director de la prueba. Cada equipo elige al miembro del equipo contrario que consideren más apropiado (evidentemente más apropiado para que responda mal)  para disputar una “muerte súbita”. Ambos equipos se decantan por la componente femenina (sin comentarios). La cuestión a la que las someten es calcular el siguiente límite: Como debe ganar la protagonista (Lindsay Lohan), la contraria (una chica afeada exageradamente) da como solución  −1. ¿Queréis saber cómo deduce Cady la respuesta correcta? Transcribo sus profundos pensamientos: “Límites. ¿Por qué no me acuerdo de este tipo de ecuaciones? Límites. Eso fue la semana que Aaron se cortó el pelo. Oh, ¡que mono estaba! Concéntrate Cady. ¿Qué había puesto en la pizarra? (Logra entonces distraer de su mente el rostro del guaperas Aaron y recuerda lo que vemos en la imagen adjunta). Si el límite nunca se acerca a nada, el límite no existe”. Entonces, en voz alta exclama: ¡El límite no existe! Y por supuesto, gana. Quizá a alguno le sorprenda que haya podido deducir que el límite no existe a partir de esa imagen de los límites infinitos y la gráfica de la función 1/x. Si utilizamos infinitésimos equivalentes para resolver la indeterminación del límite, es evidente que el denominador es equivalente a x2/2. Sin embargo no es tan inmediata la sustitución del numerador. Como todos sabemos (o deberíamos saber), el numerador sólo se puede reemplazar por un infinitésimo equivalente al completo (pues esta técnica de los infinitésimos equivalentes no se puede utilizar en sumas o diferencias; la diferencia de dos infinitésimos equivalentes del mismo orden es un infinitésimo de orden mayor, y la suma de dos infinitésimos del mismo orden es equivalente al de menor orden). Así pues, tenemos que buscar un infinitésimo equivalente a toda la expresión del numerado y para ello debemos utilizar el desarrollo de Taylor de la función (en este caso de MacLaurin al tratarse del punto 0). Y como ln(1 – x) – sen x = – 2x – x2/2 – ....... nuestro límite es equivalente a Por esa razón se alude a la hipérbola de marras, y por eso no existe dicho límite. ¿Qué pensó la componente del equipo contrario? Claramente olvidó el primer sumando, – 2x (en la película las operaciones se hacen todas mentalmente, sin escribir en papel alguno), y consideró el segundo sumando. Por eso le quedaba  límite – 1. Un error de guión bajo mi punto de vista (quizá alguno piense que soy demasiado puntilloso, pero nadie aceptaría decir, pongamos por caso, ¿qué tipo de rima tiene este párrafo? Lo correcto sería, ¿qué tipo de rima tienen estos versos, o esta estrofa? ¿O no?) es que el presentador introduzca la cuestión como “Denme el límite de esta ecuación”. A mi me enseñaron (y creo que el concepto no ha cambiado, de momento) que una ecuación viene dada por la igualdad entre dos expresiones. Y, a pesar de ponerme las gafas, yo no veo igualdad en ninguna parte (ver imagen anterior). Y Cady reincide en la frase Límites. ¿Por qué no me acuerdo de este tipo de ecuaciones? Y no es cuestión del doblaje; lo he comprobado. En este caso es error de guión. Curiosidades: Inicialmente, Lindsay Lohan iba a ser Regina, pero decidió finalmente interpretar a la "chica buena" para que el público no pensara que su personalidad real era como la de Regina. Rachel McAdams fue elegida como la "chica mala", porque "sólo las chicas buenas pueden interpretar bien a las chicas malas", argumento de “peso” dado por el productor. A la hoy popular Scarlett Johansson se le hizo una prueba para encarnar a Karen, pero fue rechazada. ¿Os habéis fijado en el inmenso título del libro en el que se basa la película? Su traducción lo define: “Abejas Reinas y Aspirantes: Ayudando a tu hija a sobrevivir a las pandillas, al cotilleo, a los novios, y a otras realidades de la Adolescencia”, libro que como se ve en la imagen existe por si alguien lo dudaba, y además fue todo un best seller. Nótese también que la guionista es una de las protagonistas adultas de la película. En fin, hay muchas otras películas de este corte como hemos visto en otras reseñas (Nunca me han besado, sin ir más lejos, con su disparatada aproximación del número Pi), pero entre esas y los vídeos y libros de Danica McKellar, creo que ya hemos puesto suficientemente en riesgo nuestros niveles de glucosa este curso, así que, en espera del célebre Concurso del Verano que publicaremos a mediados del próximo mes de junio, disfrutad de mayo y sus alergias.

Martes, 06 de Mayo de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

524. 116. (Mayo 2014) La carta cazada

¿Será una moda pasajera? ¿Habrá venido para quedarse? ¿No está tan de moda pero sólo nos fijamos en ello? Nos referimos, como habrás adivinado, al mundo de la magia matemática. Puede que no sean demasiados los magos que aprecian la magia matemática pero sí es seguro que, entre ellos, podemos encontrar a los profesionales de mayor prestigio en la comunidad mágica. Ya hemos citado en este rincón a muchos de ellos, tanto del pasado como del presente. En esta ocasión hablaremos de Lennart Green, original y sorprendente mago sueco que ha sido campeón mundial de magia con cartas en 1991, médico de formación y gran aficionado a la matemática recreativa (en una ocasión, casi no deja cenar al abajo firmante pues le tuvo constantemente ocupado con su interminable colección de problemas de ingenio). La palabra que mejor define su concepción de la magia es el caos, con el que disimula su impecable habilidad técnica. Lo comprenderás mejor al verlo en persona así que te dejo el enlace a su participación en las conferencias interactivas TED (acrónimo de "Technology, Entertainment and Design") el año 2005. Como puedes suponer, Lennart Green es un gran aficionado a los llamados juegos automáticos, basados en diferentes principios matemáticos, a los que imprime su toque personal. Vamos a tratar de realizar uno de ellos y estudiar su funcionamiento. Reparte sobre la mesa dos montones de 16 cartas cada uno. Del primer montón, que llamaremos A, busca y extrae una carta que ejercerá de cazador (una buena elección sería una figura o un as, ya que son las cartas con personalidad propia). A partir de este momento, esta carta será la única que esté cara arriba. Inserta la "carta cazadora" en algún lugar del segundo montón, que llamaremos B. Evidentemente, la carta estará "viendo" una única carta, la que está en contacto, cara contra cara, con ella. Levanta todas las cartas que están por encima de la "carta cazadora" y mira cuál es esta carta pues será la "carta objetivo" que pretendemos cazar. Vamos a dejar escapar esta carta para tratar de cazarla después. Coloca este pequeño paquete sobre el montón A para que la "carta objetivo" quede perdida en ese montón. Coloca por último el montón B, que tiene la "carta cazadora" encima, sobre el montón A. Queda así un solo paquete de 32 cartas con una carta cara arriba encima. Corta por cualquier lugar y completa el corte. Ahora reparte dos manos de cartas, alternativamente a izquierda y derecha. Lógicamente, uno de los montones contiene la "carta cazadora" y sabrás cuál es porque está cara arriba. Retira el otro montón pues creo que allí no está nuestro objetivo. Repite nuevamente las operaciones anteriores, es decir corta por cualquier lugar y completa el corte; reparte dos manos de cartas, alternativamente a izquierda y derecha y retira el montón que no contiene la "carta cazadora" pues creo que allí tampoco está nuestro objetivo. Sigue repitiendo el proceso hasta que el montón que contiene la "carta cazadora" tenga sólo dos cartas. ¿Adivinas cuál es la segunda? Efectivamente, hemos cazado nuestro objetivo. ¿Queremos encontrar una explicación? Vamos a seguir la pista de las cartas "importantes", que supondremos por comodidad que son la Jota de Corazones (cazadora) y el As de Picas (objetivo): Una vez extraida la "carta cazadora" del montón A e insertada en el montón B, la situación es la mostrada en la figura. Al colocar sobre el montón A el paquete de 15 - x cartas con el as de picas debajo y poner encima el resto del montón B, la situación queda como se ilustra: ¡Vaya!, aunque hagamos un corte, nuestras dos cartas están a una distancia de 16, tanto en una dirección como en otra. El proceso de eliminar una de cada dos cartas hace que la distancia entre nuestras dos cartas será de 8, luego de 4, luego de 2 y, por último, sean las únicas que queden. Ahora que entendemos el proceso, nos damos cuenta que el número inicial de cartas no es esencial: debe funcionar con cualquier potencia de dos. Si hubiéramos repartido inicialmente dos montones de 8 cartas, la situación sería similar: primero se eliminan cuatro y luego dos más para que queden sólo nuestras dos cartas. En realidad, el número de cartas que se eliminan en cada reparto es un divisor del número inicial de cartas. Esto sugiere que, si el número inicial de cartas es 2N y su descomposición en factores primos es 2N = 2 x p1 x p2 x ... x pk, la distancia inicial entre nuestras dos cartas será igual a N. Luego repartimos p1 montones y eliminamos aquellos en los que no está la carta arriba; a continuación repartimos p2 montones y volvemos a eliminar aquellos en los que no está la carta cara arriba; repetimos el proceso con los diferentes factores primos de N hasta que queden sólo dos cartas, que serán las que buscamos. En definitiva, si queremos disimular la rigidez del proceso, pedimos al espectador que elija inicialmente el número de cartas que tiene cada montón. Mentalmente calculamos la descomposición en factores primos y, cuando vamos a realizar el proceso de eliminación, pedimos que se reparta un número de montones igual a uno de los factores primos en la descomposición. No sé, a lo mejor se puede utilizar este juego para introducir en clase los conceptos de múltiplo y divisor, así como la descomposición de un número en factores primos. Seguro que un docente avezado encuentra ideas que pueden aplicarse en el aula. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Viernes, 02 de Mayo de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

525. 81. (Abril 2014) El grafo de "Cabeza cortada", de Iris Murdoch y J.B. Priestley

Frank Harary es uno de los ‘padres’ de la teoría moderna de grafos. Propuso representar mediante esta herramienta la intriga de obras literarias, en particular las relaciones amorosas contenidas en ellas. En El grafo de "Noche de Reyes" de William Shakespeare se comentaba un análisis realizado por Harary para explicar los ‘cambios de parejas’ de esta conocida obra teatral. En Structural study of “A severed head”,  Harary utiliza la teoría de grafos para estudiar las relaciones personales de la obra teatral A severed head. A severed head (1964) –Cabeza cortada– es una obra de teatro de Iris Murdoch (1919-1999) y J.B. Priestley (1894-1984), basada en la novela del mismo nombre (1961) de la autora. Trata de un sexteto amoroso, entre: El protagonista, Martin Lynch-Gibbon (un comerciante de vino), Georgie Hands (su amante), Antonia (su esposa), Palmer Anderson (psicoanalista), Alexander (su hermano, un escultor), Honor Klein (medio hermana de Palmer, una antropóloga). Martin ama a su esposa y a su amante. Antonia le confiesa que es amante de Palmer, y que se quiere casar con él, aunque sin renunciar del todo a su actual matrimonio. Se forma un trío entre Martin, Antonia y Palmer. Cuando Antonia se entera de la infidelidad de Martin, Georgie se incorpora al trío. Martin se enamora más tarde de Honor: la encuentra en la cama con Palmer, quien decide dejar a Antonia para seguir con su hermana. Georgie conoce a Alexander, y se compromete con él. Pero Alexander está enamorado de Antonia, de quien ha sido amante en secreto durante años. Georgie intenta suicidarse, fracasa y se va a vivir a América con Palmer, mientras que Honor se queda con Martin. Todos estos cambios de parejas pueden expresarse mediante un grafo en el que están representadas las mujeres en rojo –H es Honor, A Antonia y G Georgie– y los hombres en azul –A es Alexander, M Martin y P Palmer–. Además, Harary incluye números en las aristas del grafo, para indicar las relaciones de manera temporal –es decir, el orden en el que se van cambiando las parejas, aunque los números no indican que esas relaciones se producen de manera simultánea–. Todas las mujeres se emparejan con todos los hombres en algún momento de la trama, pero no se producen relaciones entre personas del mismo sexo. El grafo obtenido es un conocido grafo no planar: el K3,3, el grafo bipartito completo con seis vértices.

Lunes, 28 de Abril de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

526. 6. (Abril 2014) El destronado sólido de Kelvin

El año 2014 ha sido declarado Año Internacional de la Cristalografía, una de las ciencias más vinculadas a la geometría del espacio. Parece oportuno dedicar un tiempo a uno de los poliedros más cristalográficos: el octaedro truncado, también llamado sólido de Kelvin. La imagen de inicio está realizada en cerámica de Delft y se conserva en el Rijksmuseum de Ámsterdam. Con sus ocho caras hexagonales y sus seis cuadradas, el octaedro truncado, tiene varias propiedades interesantes, entre ellas la de ser el único poliedro de Arquímedes que llena el espacio y además también el único que lo hace con sólo tres sólidos en cada vértice. En Rumania, cerca de la ciudad de Constanza, tuvieron el acierto de mostrar en grandes dimensiones el ensamblado de estos poliedros. La propiedad del llenado del espacio hace que el poliedro tenga curiosas aplicaciones, como su utilización en los juegos infantiles de soga. El juego requiere una estructura modular y el sólido de Kevin es el más adecuado. La estructura portante adopta formas variadas pero la maraña de poliedros que se van escalando son invariablemente octaedros truncados. Reproducimos un juego localizado en la muralla de Núremberg. Una bonita escultura de Rafael Laoz, llamada oportunamente Estructura hiperpoliedrica del espacio, y que se encuentra en el museo al aire libre de la Castellana de Madrid está formada con los tres poliedros del sistema cúbico que llenan el espacio: el propio cubo, el dodecaedro rómbico y nuestro octaedro truncado. Los vacíos poliedros se van ensamblando alternativamente uno dentro de otro hasta que la vista se pierde. El sólido de Kelvin nos marca la celdilla que le correspondería a cada átomo en el sistema cúbico centrado en el cuerpo. Uno de los elementos que utiliza este sistema es el hierro. Una asociación obligada del poliedro la encontraremos entonces en lo que se ha convertido en el símbolo de Bruselas: el Atomium, la representación de la estructura cristalina del hierro. Si trazamos los planos mediadores de cada una de las barras nos aparecerá el octaedro truncado. Lord Kelvin tras estudiar la relación área/volumen de distintas burbujas comprobó que el octaedro truncado superaba al dodecaedro rómbico y formalizó una conjetura que ha durado un siglo: la forma óptima, la de mayor volumen para la superficie, era la octaédrica truncada. Un matemático tan perspicaz como Hermann Weyl, en su precioso libro Simetría, decía: me inclino a creer que la configuración de Lord Kelvin da el mínimo absoluto, pero por lo que yo sé, esto no ha sido probado. La optimización puede resultar caprichosa: para el apilamiento de esferas el óptimo es el sistema cúbico centrado en las caras (o hexagonal compacto) asociado al dodecaedro rómbico pero para burbujas es mejor el octaedro truncado. En 1993 Denis Weaire y su estudiante Robert Phelan, dos físicos del Trinity College de Dublín, demuestran con un contraejemplo la falsedad de la conjetura de Kelvin de 1887: con un dodecaedro pentagonal deforme (piritoedro) y un tetrakaidecaedro (dos caras hexagonales y doce pentagonales) se tiene una estructura que llena el espacio ahorrando superficie. La estructura de Weaire–Phelan empezó entonces su reinado y la naturaleza mostró que también la usaba. Resulta curioso no haber encontrado octaedros truncados en la marquetería como ocurre con muchas de la figuras de Leonardo para La Divina proporción de Pacioli, de la que ya hemos hablado. Donde no falta el octaedro rómbico es en la decoración escultórica de los memoriales ingleses como el de Thomas Bodley en el Merton College de Oxford. Terminamos mostrando dos objetos prácticos: un reloj de sol del Museo Galileo de Florencia y una lámpara adosada a la catedral de Toledo.

Martes, 08 de Abril de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

527. 89. Flatland²: Sphereland

No sé si a alguno le interesa o no especular con cómo serían las dimensiones superiores a la tercera, pero estando las vacaciones de Semana Santa a un paso (nunca mejor dicho1), parece un buen momento para acercarse a otro tipo de ficciones, las de ciencia ficción, de las que os dejo un montón de referencias para leer, si os aptc. Cuando una película tiene éxito, ya sabéis lo que suele ocurrir: entre otras cosas que se hacen una o varias secuelas, alguna precuela, etc., etc. A todos nos vienen a la mente algunos ejemplos. En literatura (normalmente en libros con no demasiado interés literario, más bien en los denominados best sellers, aunque no siempre es así: no hay más que recordar El Quijote como contraejemplo aunque las razones de la secuela, para muchos mejor que la primera, todo el mundo sabe a qué obedecieron) sucede lo mismo. Así tras Planilandia, un romance de muchas dimensiones (Flatland, a romance on many dimensions, Edwin Abbott Abbott) publicado originalmente en 1884 (dedicamos las reseñas números 21, 22 y 23 a las versiones cinematográficas realizadas sobre la misma; quizá sea aconsejable volver a leerlas antes de leer la presente, aunque no es imprescindible), en los años sesenta del siglo pasado (casi un siglo después) el matemático danés Dionys Burger escribió Sphereland: A Fantasy About Curved Spaces and an Expanding Universe (en inglés se publicó en 1965; no tengo constancia de que haya habido una traducción en español). Como siempre, comenzamos, para situarnos cinematográficamente, con una pequeña ficha técnica y artística. FLATLAND 2: SPHERELAND Nacionalidad: EE. UU., 2012. Director: Dano Johnson. Guión: Dano Johnson, basado en la novela de Dionys Burger. Música: Kaz Boyle. Producción: Seth Caplan. Duración: 36 min. Intérpretes: Kristen Bell (Hex), Danny Pudi (Puncto), Michael York (Esferio), Danica McKellar (Aero), Tony Hale (Dr. Hub // Rey de Puntolandia), Kate Mulgrew (Hiper-Esfera), Curtis Luciani (Rey de Linealandia), Danu Uribe (Reina de la Derecha), Shana Merlin (Reina de la Izquierda), John Merriman (Trabajador Cuadrado). Lema promocional: Un viaje a la cuarta dimensión y más allá... Argumento: Los habitantes de Planilandia han desarrollado sus conocimientos y van a efectuar una misión de exploración (con cohete plano por supuesto; me resisto a llamarlo “espacial”, por no caer en una flagrante antinomia) cuyo objetivo es tratar de averiguar la forma de su universo. Han pasado veinte años desde que Hex, una joven científica, y su abuelo, el cuadrado Arturo, conocieran a Esferio y la 3ª dimensión. Sin embargo, los científicos planilandeses, nunca tomaron en serio su descubrimiento y la consideran una lunática. Un día, otro joven científico hexagonal, Puncto (en la imagen, el hexágono rojo; el amarillo es Hex), decide ir a conocer a Hex al lugar donde trabaja (arriesgando su integridad ante los feroces perros guardianes a la entrada del lugar), ya que considera que es la única que podría ayudarlo a resolver algo que ha detectado y que considera una anomalía matemática. Puncto está muy interesado porque es el que va a tripular el cohete, y claro, se juega el pellejo. Al intentar resolverlo, ambos se embarcarán en una nueva aventura a la 3ª dimensión, descubriendo el peligro que corre la misión que Planilandia intenta poner en marcha. ¿Les creerán? ¿Lograrán evitar el fracaso al que están abocados? Trailer: http://www.youtube.com/watch?v=O6LfuKKqXdU Para los que no lleven muy bien el inglés, esta es la trascripción en castellano del trailer: Narrador: Imagínense un enorme plano en el que triángulos, cuadrados, pentágonos, hexágonos y otras formas viven en un mundo pintoresco de dos dimensiones: Planilandia (Flatland). Puncto: He estado buscándote por todas partes. Hex: ¿Cuál es exactamente ese problema matemático? Puncto: Todo se reduce a, ¿cuándo una línea recta NO es una línea recta? Hex: Hmmm. ¿Nunca? Esferio: Tal vez las cosas estén destinadas a cambiar. Puncto: Esto es estupendo,... ¡Increíble! Estoy tan... Hex: ¿Divertido? Puncto: ¡Mareado! Esferio: Al igual que yo visité a Arturo, el cuadrado, a mí también me visitaron.... Hiperesfera: ¡Observa la cuarta dimensión! Aero: Puncto, la coordinación temporal de esta misión es esencial, así que quiero que eso de la anomalía esté resuelto HOY mismo. Hex: Los Planilandeses no entienden lo que ven. Puncto: Pero la tripulación debe conocer estas evidencias para que no se estrellen. Dr. Hub: Flatland, ¡tenemos un problema! Narrador: Basado en los trabajos de Edwin A. Abbott y Dionys Burguer llega una aventura que va más allá de la tercera dimensión. Hex: ¿Estás listo para volver y reescribir todo lo que conocemos sobre Planilandia? Puncto: Hay un montón de cosas contra las que podemos estrellarnos. Esferio: No podemos subestimar a los Planilandeses. Aero: ¡Dime cómo puede la 3ª dimensión salvarnos ahora! Rey de Puntolandia: ¡Yo! ¡Soy el Rey de Puntolandia! Dr. Hub: ¡Lo primero la Ciencia! Hiperesfera: Un número infinito de variaciones y posibilidades. Puncto: Pero la idea de explorar y poner en su sitio la verdad es compartirlo. Hex: Es la única postura científica a considerar. Narrador: Planilandia al cuadrado: Esferolandia. Visita Esferolandia, la película punto com (o sea www.SpherelandTheMovie.com) Comentarios: Es el momento de ADVERTIR que leyendo el párrafo que sigue, se está expuesto a conocer parte del argumento de la película, así que SI PIENSAS VER LA PELÍCULA, ESPERA ANTES DE LEER ESTE PÁRRAFO. Antes de nada indicar que un estupendo resumen, tanto de esta película, como de la anterior, Flatland, los puedes seguir en los enlaces indicados, a cargo de nuestra compañera Marta Macho. Intentaré no repetir lo que en ellos se explica (que no es sencillo porque son bastante completos). Por tanto todo lo de la anomalía (triángulos cuyos ángulos suman más de 180º (triángulos esféricos, por tanto), y los que suman menos de 180º (triángulos hiperbólicos), y algunas de sus peculiaridades, lo de los cinturones de Sierpinski, el hipercubo o teseracto, la alteración de la izquierda y la derecha tanto en Linealandia como en Planilandia después de haber estado en una dimensión mayor, la extrapolación de la tercera a la cuarta dimensión, etc., no lo repito (simplemente lo he enumerado sin explicarlo) porque ya se cuenta en esos artículos. Me centraré más en hacer crítica malvada y retorcida (es broma). Mil gracias también a Esteban Rubén Hurtado Cruz (y un saludo desde este lado del mundo) porque sin su colaboración, no hubiera podido escribir esta reseña. El tema principal de Sphereland es el descubrimiento de que el espacio es curvo (curvatura intrínseca) y en expansión, además de que Planilandia no es en realidad una superficie plana, sino la superficie de una esfera, algo inimaginable para sus habitantes ya que son incapaces de concebir una tercera dimensión. Si no hay un fin, un borde, ¿cómo el mundo va a ser finito?, objetan. Evidentemente esto queda explicado si la superficie en la que viven es una esfera (de modo similar a lo que los antiguos pensaban de nuestro propio mundo aunque aquí no hubo una esfera de una dimensión superior que haya conseguido pasar de una dimensión superior, por más que esa idea mezcla de romanticismo y espiritualidad les encante a muchas personas). Del mismo modo nosotros (como los habitantes tridimensionales de Esferolandia), no podemos concebir una hiperesfera de una cuarta dimensión cuya superficie sea nuestro universo. Ese hipotético objeto/ser sería capaz de venir e irse sin nosotros enterarnos, observarnos sin nosotros percatarnos, modificar cosas de nuestro mundo si quisiera, como nosotros podríamos hipotéticamente hacer en mundos de dimensiones menores (que hay que dejar claro: no existen fuera de la Geometría; al menos aún no se ha encontrado ninguno). Sólo podríamos vislumbrar la sección tridimensional que deja al pasar por la 3D. Nosotros hacemos eso, por ejemplo, con las hormigas u otros seres que siendo tridimensionales, no “aprovechan al cien por cien”, por su tamaño, esa tercera dimensión. Pero tranquilos, nada ni nadie nos cambia continuamente las cosas de orden, de sitio, o nos va dando bofetadas sin enterarnos. Precisamente un aspecto que no me gusta de la película, es precisamente que deja “en el aire” tal posibilidad. Hex ha conocido la tercera dimensión, nadie la cree, incluso Aero realiza comentarios sarcásticos (educadamente, sí, pero con retintín) sobre lo que considera una chifladura. En una escena que Hex explica a Puncto que se siente mal por esa actitud, éste le enuncia el postulado que habitualmente esgrimen los escépticos a los seudocientíficos: Afirmaciones extraordinarias requieren pruebas extraordinarias. Y Puncto recalca, como científico, que así debe ser, y Hex también lo acepta, y por eso debe agachar la cabeza cuando se ríen de su visita a la tercera dimensión, porque la demostración que necesita, el lugar por donde se pasa a esa nueva dimensión, ha desaparecido, y Esferio tampoco ha vuelto a dar señales de vida. Al conseguir finalmente demostrar la existencia de una tercera dimensión e incluso más, parece que se da un argumento de verosimilitud a los que creen en esoterismos varios, y eso no me gusta, porque sencillamente creo que hay mucho aprovechado por la vida. Ya sé que es una extrapolación absurda, que esto son dibujos animados, y que se trabaja con ideas exclusivamente geométricas, pero es que eso se hace continuamente desde algunos medios de comunicación, y la gente se lo acaba creyendo (¡Increíble, en el siglo XXI, y siguen imperando argumentos medievales!). Otro principio que Hex esgrime en un momento dado (cuando Puncto le explica la anomalía que cree haber encontrado) es el de la navaja de Ockam: En igualdad de condiciones, la explicación más sencilla suele ser la correcta. Hex: Sinceramente es más difícil creer en triángulos gigantes que desafían la Geometría, que creer que simplemente mediste las coordenadas incorrectamente. Y destacaría también otro guiño matemático que me gusta: cuando Hex le dice a Puncto, (que minusvalora su trabajo pedestre, simples cálculos, frente a un matemático puro (Hex)): Hex: ¿Quién dice que los que calculan no pueden experimentar algo increíble? Ejemplos reales hay muchos. Me viene a la cabeza el descubrimiento, totalmente matemático, del planeta Neptuno. Y recientemente los cálculos (no los zahoríes) han indicado con cierta precisión dónde podrían estar los restos de un avión “desaparecido” (esto me recuerda que al parecer ha debido cambiar ese polo magnético que decían que había en no sé qué triángulo de no sé que islas norteamericanas). Como vemos la película (el cortometraje, más bien, dada su duración) tiene interés tanto matemático como para debatir sobre el papel de la ciencia, la sociedad, etc. Está bien realizado técnicamente y salvo que uno quizá pudiera esperar alguna idea matemática y física más, coincido con Marta en que merece la pena dedicarle un visionado atento (lo que quizá sea en realidad, más de un visionado). Si alguien está interesado en conocer algún detalle más, en el siguiente enlace pueden escuchar una entrevista al productor de la película (una hora y en inglés). Sobre Sphereland, la novela Existen diferentes puntos de vista sobre este libro por parte de críticos y lectores: para algunos la historia es una decepción, y Burguer un simple imitador que recoge una historia original (y popular) y simplemente la actualiza, mientras que para otros es una digna y lógica continuación de las peripecias y pensamientos de los habitantes de Planilandia. Recordemos que Flatland fue escrito en 1881, antes de ser conocidas teorías como la relatividad o la mecánica cuántica. Por ello, a pesar del ingenio desplegado en su argumento, se deslizan algunas incongruencias desde el punto de vista de la física y la geometría, que Dionys Burguer (en la imagen) trata de perfeccionar con su secuela. Llama la atención, fuera del tema científico o matemático el esfuerzo de Burguer por ser más políticamente correcto que Abbot respecto a la descripción de la sociedad planilandesa (perdiendo así uno de sus objetivos). Así quiere dejar claro que desde los tiempos del cuadrado las cosas han cambiado. Por ejemplo, en el papel desempeñado por las mujeres: ahora parecen haber alcanzado la inteligencia que en el libro anterior se las negaba, y de este modo una triángulo isósceles puede relacionarse en igualdad de méritos y condiciones con cualquier polígono del más alto rango. En ese intento quizá se haya pasado al otro extremo, pero en fin, nunca llueve a gusto de todos. Extracto del libro original Como introduce el libro la idea de expansión del universo: “Siendo una criatura tridimensional, podía ver fácilmente nuestra expansión. Podía ver, por ejemplo, que las distancias entre todos los puntos de la superficie de la esfera crecen y también podía ver los puntos en la superficie de la esfera alejarse el uno del otro, por lo que las distancias entre los puntos más alejados aumentaron de forma natural más rápidamente que las de los puntos más cercanos. Nos quedamos muy satisfechos, pero todavía tenía una pregunta candente que no me atreví a hacer. Mi hijo se atrevió, sin embargo, para mi gran sorpresa. Preguntó si un fenómeno similar no había sido observado en el mundo tridimensional. Afortunadamente, la Esfera no se enfadó, y dijo con calma que esa era realmente la situación. El universo en tres dimensiones contiene mundos que se llaman nebulosas, ya que sus vastas distancias hacen que se vean como pequeños, nebulosos puntos. Se observó que estos pequeños puntos se alejan unos de otros, y allí también, al igual que en nuestra Esferolandia, la velocidad a la que se alejan de cualquier otro punto se incrementa con la distancia. Por lo tanto, no sólo es posible para un mundo unidimensional curvado, Circulolandia, que exista y se expanda de manera constante, sino que también es válido para un mundo de dos dimensiones, es decir, nuestra hinchada Esferolandia, e incluso para una de tres dimensiones, una Espaciolandia curvada que también esté en constante expansión. Era inteligente por parte de la Esfera entenderlo así, a pesar de no poder verlo, al igual que no pudimos observar nuestra expandida superficie esférica.” Otras secuelas de Planilandia Como se comentó al principio, cuando algo tiene éxito, todo el mundo trata de apunarse al carro por si le toca algo (o quizá siendo mejor pensado, surgen otras personas que consideran que pueden aportar nuevas ideas, que se puede desarrollar más la historia). La novela de Burger es una entre otras muchas, la considerada “mejor” entre críticos y lectores. Pero han habido más. Repasemos algunas brevemente. 1.- An Episode of Flatland, de Charles Howard Hinton, escrita en 1907. Según diferentes páginas de internet, entre ellas la Wikipedia, Charles Howard Hinton (1853 – 1907) fue un matemático británico, conocido sobre todo por escribir varios relatos de ciencia ficción, y por su ajetreada vida personal (fue condenado por bigamia por casarse a la vez con Mary Ellen (hija de Mary Everest Boole y George Boole, el fundador de la lógica matemática) y Maud Wheldon; al parecer sólo estuvo un día en prisión). Estaba interesado en el concepto de cuarta dimensión, escribiendo en 1880 el artículo What is the Fourth Dimension?, el ensayo A New Era of Thought, o el libro The Fourth Dimension. (Tiene algunos ramalazos seudocientíficos, por ejemplo al mezclar la idea de la cuarta dimensión con la de Dios, metiéndose en terrenos teosóficos un tanto discutibles, o que la cuarta dimensión es la clave para unificar la humanidad). Según fuentes solventes, fue quien acuñó el término tesseract para referirse al hipercubo (un cubo en 4D). Escribió el relato breve arriba indicado, en la que describe unos seres bidimensionales que viven sobre Astria, un planeta con forma circular sujetos al suelo por la fuerza de la gravedad. Cuando uno se encuentra frente a otro, no son capaces de intercambiar sus posiciones (como les pasa a los seres de Linealandia). Pero tienen conciencia de “arriba” y “abajo”, por lo que pueden entender la forma de su mundo, y algunos de sus habitantes plantean salvar su planeta del desastre mediante el uso de la tercera dimensión, pero cómo lo logran en la práctica no se revela en la narración. Ninguna criatura en 3D llega para salvarlos, y finalmente el texto termina sin resolver nada. Aunque es de lo menos aburrido del autor, no deja de serlo, y no hay mucho que destacar matemáticamente hablando. Pero lo mejor es que cada cual saque sus propias conclusiones leyéndolo. Se encuentra disponible íntegramente en http://eldritchpress.org/chh/h9.html Más sobre Hinton (y sobre Alicia Boole Stott, geómetra desconocida probablemente para muchos), en http://www.rudyrucker.com/blog/2009/06/08/alicia-boole-charles-hinton-and-the-fourth-dimension/ (que es por cierto de donde “tomé prestada” la foto anterior de Hinton). 2.- Plane People, de Wallace West (1933). En noviembre de 1933, un escritor del que no he encontrado más detalles llamado Wallace West (hay un personaje de tebeo con ese nombre por lo que puede ser un seudónimo) escribió esta historia (la presenta como Una historia de la segunda dimensión) en la revista pulp de relatos de ciencia ficción Astounding Stories (el relato se reeditó en Famous Science Fiction #5, Invierno de 1968). Su argumento es más o menos así: Un cometa plano toca de refilón a la Tierra, desgajando una pequeña parte que incorpora a su trayectoria con sus habitantes incluidos. Éstos descubren que el cometa está habitado por criaturas-ciempiés bidimensionales. Nuevamente nos encontramos algunas explicaciones matemáticas estándar sobre la tercera dimensión extrapolándola desde dos dimensiones a lo largo de una dirección perpendicular. La aparición de estos seres tridimensionales provoca conflictos en el mundo bidimensional que finalmente son resueltos civilizadamente, aceptando esos seres la tercera dimensión. Después los seres humanos se dedican a pensar cómo regresar a la Tierra. Un relato típico de los cómics y de este tipo de revistas que se lee con curiosidad con la perspectiva del tiempo pasado. En el enlace anterior se puede descargar la revista íntegra y leer éste y otros relatos (de otras temáticas, pero de ciencia ficción). Son 27 páginas (de la 74 a la 100). Al final hay un párrafo escrito por científicos (Energía del Universo) en el que se indica lo que la ciencia de aquella época tenía que decir sobre el argumento del relato. 3.- The Next Dimension, de Vladimir Karapetoff (1947) Vladimir Karapetoff (1876 – 1948) fue un ingeniero eléctrico (nacido en San Petersburgo, aunque luego se trasladó a los EE. UU.; tenía la doble nacionalidad), además de inventor, profesor, y escritor. Escribió una amplia colección de artículos sobre relatividad especial en los que utiliza los conocidos como diagramas de Minkowski. Desde 1992 existe un premio en su honor que destaca los mejores trabajos en ingeniería eléctrica. Su relato, una pieza teatral en cinco diálogos, tal y como la describió, fue publicada en la revista Scripta Mathematica, de la Universidad de Yeshiva en 1947 en el Volumen XIII. Está incompleta ya que sólo se publicaron tres de los cinco diálogos. Al fallecer en 1948, se supone que no llegó a terminarla. Que se sepa, escribió al menos otro relato relacionado con las matemáticas titulado Are You Plus or Minus? (¿Eres más o menos?) que fue publicado en el Saturday Evening Post el 26 de Noviembre de 1927. 4.- Message Found in a Copy of Flatland (1983) y Spaceland (2002), de Rudy Rucker Rudy Rucker es un matemático norteamericano y escritor de novelas de ciencia ficción, autor de la tetralogía Software, Wetware, Freeware, y Realware. (En inglés, por razones evidentes, se la conoce como la tetralogía Ware, que no se me ocurre como traducir en castellano sin que pierda su sentido). Rucker fue profesor de Ciencias de la Computación en la Universidad Estatal de San José hasta el año 2004, en la que se dedicó fundamentalmente a impartir asignaturas sobre gráficos por ordenador y programación de juegos. Ha diseñado software para estudiar vida artificial y autómatas celulares. Es co-editor de la revista científica Speculations in Science and Technology (Especulaciones sobre Ciencia y Tecnología). Define su estilo literario como “transreal”, en el que los personajes y elementos de sus tramas se basan en la realidad, pero dándolos un tratamiento alegórico y fantasmal. Se suele acreditar a Rucker junto a William Gibson, Bruce Sterling y otros, como uno de los fundadores del cyberpunk, aunque muchos de sus lectores sostienen sin embargo que el trabajo de Rucker es demasiado agradable y optimista para ser considerado cyberpunk, un género deshumanizado, distópico, y deprimente. Message Found in a Copy of Flatland es un relato breve que trata de responder a la vieja pregunta  ¿Qué hubiera pasado si Planilandia estuviera en el sótano de un restaurante paquistaní en Londres? La respuesta es más aterradora de lo que parece, sobre todo si uno se percata de que alguien podría engañarte para que entraras en Planilandia sin que te interese lo más mínimo (y ya verás lo que te encuentras). La matemática se reduce a lo mismo de la película (secciones planas de objetos 3D), pero la historia resulta interesante y está bien contada. Apareció por primera vez en la colección The 57a Franz Kafka, siendo reeditada posteriormente en la colección de ficción matemática Mathenauts (colección a cargo de diferentes autores, escrita desde 1962 hasta 1987). Esta es la página web oficial del autor, en la que suele poner gratuitamente algunos de sus relatos y novelas. 5.- The Planiverse: computer contact with a two-dimensional world, de A.K. Dewdney (1984) Alexander Keewatin Dewdney (nacido en 1941) es un matemático, informático y escritor canadiense, con numerosos libros y publicaciones tanto técnicos como ensayos de divulgación científica (especialmente crítico con la seudociencia, o por evitar rechazos preconcebidos, con la “mala ciencia”). Ha publicado dos novelas The Planiverse (sobre un mundo bidimensional imaginario) y Hungry Hollow: The Story of a Natural Place. Seguramente a muchos os suene su nombre por haber continuado durante algún tiempo (de 1984 a 1991) la sección de Martin Gardner Juegos Matemáticos de la revista Investigación y Ciencia (Scientific American, en su edición norteamericana), renombrada como Juegos de Ordenador. De acuerdo a los intereses del autor (la informática), en esta versión moderna sobre Planilandia, unos científicos investigan el mundo de dos dimensiones virtuales que han creado dentro de una computadora. La sofisticada simulación incluye seres sensibles, uno de los cuales, Yendred, es capaz de comunicarse con los investigadores humanos. En este enlace, pueden verse algunos trabajos de Dewdney en su faceta como escritor. 6.- Flatterland: like Flatland, only more so, de Ian Stewart (2001) El matemático británico Ian Nicholas Stewart (nacido en 1945) es ampliamente conocido como escritor de ciencia ficción y de divulgación científica. Ha publicado más de 140 papers científicos, y reconocidos libros de divulgación matemática, como ¿Juega Dios a los dados?, Cartas a una joven matemática, Historia de las Matemáticas y Cómo cortar un pastel y otros rompecabezas matemáticos. Es asimismo colaborador en diferentes revistas entre las cuales están Investigación y Ciencia, New Scientist, Nature. Ha sido galardonado en diferentes ocasiones, entre ellas con la Medalla Michael Faraday (1995) y con la Medalla Christopher Zeeman (2008), por sus numerosas actividades relacionadas con la divulgación matemática. En su aportación al universo planilandés, Stewart nos permite acompañar a la nieta del cuadrado Arturo (Hex en la versión cinematográfica comentada) mientras aprende acerca de las dimensiones fractales, los nuevos desarrollos en la física matemática y otros conceptos matemáticos desconocidos para Abbott. En general, es ameno y trata de ser divertido, aunque muchos de los chistes sean “muy british” (a buen entendedor....). Lo que alguna gente que lo ha leído critica de esta secuela es que no aporta matemáticamente demasiado nuevo, y sobre todo que abandona uno de los objetivos principales del original que era la denuncia de una sociedad francamente intolerante. Aquí todo es de color de rosa pareciendo más Yupilandia que Planilandia. Se admiten comentarios (razonados, por supuesto) al respecto.   Nota: 1.- En muchas localidades españolas, en Semana Santa hay procesiones, en las que desfilan junto a los cofrades los tradicionales pasos (imágenes de la Pasión de Cristo, muchas de indudable valor artístico). De ahí el juego de palabras.

Jueves, 03 de Abril de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

528. 84. (Abril 2014) Pentagonía, de Jack Mircala

©Jack Mircala: Portada de Pentagonía Pentagonía (2012) es una bella y melancólica propuesta de Jack Mircala, que la editorial Sins Entido introduce de esta manera: Pentagonía es, hasta la fecha, la obra más intimista y audaz de Jack Mircala, un viaje a las fronteras de las pasiones narrado en un estilo enfático y febril. Pentagonía está compuesta por cinco cuentos de vocación poética dedicados a cinco mujeres surgidas del inframundo de los deseos, que martirizan, afligen o devastan a su amante, quien se entrega a ellas en una prueba de amor extrema, un amor que sólo cobra sentido a través de la destrucción y la muerte, y que halla la felicidad en la miseria, el placer en el tormento, y la luz en las tinieblas. Esquirla, Cianótica, Vulpécula, Anemia y Deletérea pasean ante su amado y ante el lector, dejando tras de sí una estela de llanto y desolación. Esquirla es la muerte añorada; Cianótica es una sombra azul que se consume en una agonía sin fin. Vulpécula es la alimaña que acecha al amante entregado; Anemia es la desintegración y la ausencia; Deletérea es la aniquilación de cualquier atisbo de amor. Todas ellas, crueles y despiadadas, lúgubres y espectrales, son deseadas sin excepción y sin límites. Pentagonía apunta así a un nuevo Romanticismo que se atisba ya en algunas recreaciones góticas de nuestro tiempo, y que combina los tradicionales escenarios de la literatura decimonónica con un aire ciberpunk y distópico. Nada más abrir el libro –la mujer de la portada es Cianótica– un pentágono aparece con los nombres de las cinco mujeres, uno en cada uno de sus vértices: ©Jack Mircala En Pentagonía, el relato va saltando desde el vértice superior –Esquirla– a la izquierda –Cianótica–, a la derecha –Vulpécula–, más abajo a la izquierda –Anemia– y por fin a la derecha –Deletérea–. A cada una de estas mujeres, Jack Mircala le dedica diez alusiones –reproches y elogios–, con pasión, melancolía, tristeza o rabia. La parte gráfica es pura geometría: colores vivos, ángulos marcados, curvas, poliedros, planos encontrándose… todos ellos revelan el delirio, el odio, la pasión, la cólera; pasiones intensas y desgarradoras. En la parte dedicada a Cianótica se hace una alusión directa a los pentágonos: … Pero pronto la fama de tu proeza fue olvidada, y te dieron de lado narcotizados por la extravagancia de otro miembro de la hermandad, aquel diminuto muchacho que dibujaba en el aire pentágonos perfectos, hazaña –en mi opinión– menos meritoria que tu metamorfosis, aunque bastante eficaz en la consecución del éxito. ©Jack Mircala: El muchacho que dibujaba pentágonos perfectos   Notas: En este enlace aparece un completo reportaje sobre la obra, comentado por el autor. En este enlace pueden verse varias imágenes de Pentagonía. No es la primera vez que hablamos en DivulgaMAT de Jack Mircala: Eclipse en Malasaña. Una zarzuela negra  

Jueves, 03 de Abril de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

529. 115. (Abril 2014) Miniatura de Fibonacci

El 21 de octubre de 2010, día en que Martin Gardner cumpliría 96 años, se celebró en todo el mundo (bueno, en algunos lugares del mundo) el primer "Martin Gardner Global Celebration of Mind Gathering", conjunto de actividades mágico-matemático-recreativas con las que se pretendía homenajear al recientemente fallecido personaje tan representativo en muchos campos de la ciencia y la cultura. Las actividades incluían algunas de las grandes aficiones de Martin Gardner, como los juegos y problemas de ingenio, magia, matemática recreativa, ajedrez, origami, crítica literaria, escepticismo y racionalismo. En años sucesivos se ha repetido el homenaje, ampliándose cada vez más el número de lugares de celebración (en 2010 se contabilizaron 66 encuentros, que crecieron a 70 el año 2011 y a 156 celebraciones el año 2012). Por cierto, la edición de este año, la quinta de la serie, coincidirá con el centenario de su nacimiento. Si tienes oportunidad, te animamos a sumarte a la fiesta organizando algunas actividades en tu entorno de trabajo, estudio o vecindario. Puedes apuntarte, compartir ideas y recibir soporte técnico en la página oficial http://celebrationofmind.org/about/. Casualmente, una de las ideas que allí ofrecen es el juego de magia titulado "The little pack of fibs", creado por Colm Mulcahy, autor del libro de reciente aparición "Mathematical Card Magic: fifty-two new effects". El juego está estrechamente ligado a nuestra entrega anterior pues también se basa en la representación de Zeckendorf. Este es el juego: Separa de la baraja las seis cartas que se muestran en la imagen, as de tréboles, dos de corazones, tres de picas, 5 de diamantes, 8 de tréboles y rey de corazones: Déjalas sobre la mesa, caras abajo, y mézclalas como si se tratara de fichas de dominó. Pide a dos espectadores que retiren una carta cada uno. Ambos espectadores deben ver ahora sus cartas y sumar sus valores, teniendo en cuenta que el as equivale al 1, la jota equivale al 11, la dama al 12 y el rey al 13. Pide que te nombren dicha suma. Inmediatamente adivinas las dos cartas elegidas. Antes de hacerlo, puedes dar énfasis a la dificultad de saber dos sumandos cuando se conoce la suma, salvo el caso trivial de 3 = 1 + 2. Con seis cartas hay 15 posibles sumas. Si, además, das al impresión de sacar las seis cartas de forma aleatoria, crearás la ilusión de mayor dificultad en la adivinación final. Ya habrás observado que los valores de las seis cartas escogidas para el juego son los primeros términos de la sucesión de Fibonacci y que la representación de Zeckendorf asegura que todo número se puede escribir de forma única como suma de elementos de dicha sucesión. Con estas ideas, es fácil saber los valores de las dos cartas elegidas. ¿Qué pasa con los palos? Una ordenación bastante común de las barajas consiste en repetir cíclicamente los cuatro palos, alternando también los colores. La ordenación más popular sigue la secuencia tréboles-corazones-picas-diamantes, la cual es fácil de memorizar recordando la palabra mágica TRECOPIDIA, formada con las iniciales de los palos en dicho orden. Como hay seis cartas, sus palos son TRE - CO - PI - DIA - TRE - CO. Por ejemplo, si los espectadores anuncian la suma 18, buscamos el número de la sucesión de Fibonacci más próximo a 18, que es 13, y calculamos la resta 18 - 13 = 5. Las dos cartas elegidas son el rey ... de COrazones, y el 5 ... de DIAmantes. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Martes, 01 de Abril de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

530. 83. (Marzo 2014) Labyrinthum, de Marc-Antoine Mathieu

A Marc-Antoine Mathieu le hemos dedicado varias reseñas en esta sección de DivulgaMAT, todas correspondientes a la serie Julius Corentin Acquefacques, prisonnier des rêves (Julius Corentin Acquefacques, prisionero de los sueños): L’Origine (El Origen, publicado en 1990) La Qu... (publicado en 1991) Le Processus (El Proceso, publicado en 1993) Le Début de la fin (El Principio del fin, publicado en 1995) La 2,333ème dimension (La dimensión 2,333, publicado en 2004), y Le décalage (El desajuste, publicado en 2013). Labyrinthum, apareció en enero de 2014, dentro de la colección Patte de mouchei de la editorial l’Association. El laberinto es un fractal: los conceptos de infinito y autosemejanza construyen esta historia. Una silueta va apareciendo por una de las ranuras de la enorme estructura que se representa en la portada. Se trata de un hombre, que trepa por una de las paredes de este inmenso laberinto. Cada imagen sucesiva –cada página, cada viñeta– va acercando la escena y la realidad de lo que está sucediendo: se observa un patrón que se repite sin cesar, sin límite aparente. ©Marc-Antoine Mathieu. Figura 1 “Comprendía ahoraii el alma de Labyrinthum. Sin principio ni fin, tenía la pureza cristalina de un espacio-tiempo fractal, infinito.” ©Marc-Antoine Mathieu. Figura 2 El protagonista se da cuenta en este momento de que él también forma parte de Labyrinthum; advierte en la lejanía una minúscula silueta: es su propia imagen trepando por una de las paredes verticales… y cuando llegue arriba, observará en la lejanía una minúscula silueta que trepa… ©Marc-Antoine Mathieu: Última hoja de Labyrinthum Notas: [i] Esta colección se caracteriza por tener un pequeño formato (A6), un reducido número de páginas (24) y ser en blanco y negro. [ii] Texto que acompaña a la figura 2 en Labyrinthum. Traducido del original francés por mí misma.

Jueves, 27 de Marzo de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico