511. 28. (Julio de 2014) El cubo de Rubik en publicidad (primera parte)

A principios de la década de los años 80 se comercializó un juego que se convertiría en un fenómeno social en todo el planeta, el cubo de Rubik. No había hogar en el que no hubiese uno de estos rompecabezas con forma cúbica. Todo el mundo intentaba resolverlo, y se lo iban pasando unos miembros de la familia a otros, o a sus invitados, desordenado en sus piezas, para ver si alguien conseguía volverlo a su posición inicial, con cada cara de un solo color (rojo, azul, blanco, verde, naranja y amarillo). No era fácil de resolver, pero acabó enganchando a toda la familia, a todas las personas que se animaron a empezar a girar sus caras. Con el tiempo, llegaría a convertirse en el juego más vendido del mundo. Solo entre 1980 y 1982 se vendieron 100 millones de cubos, llegando hasta los 350 millones, en enero de 2009. Este año 2014 ha sido el 40 aniversario de su creación. El cubo de Rubik fue inventado en 1974 por el profesor de Arquitectura y Diseño de la Academia de Artes Aplicadas y Diseño de Budapest (Hungría), Ernö Rubik. Su intención fue construir un mecanismo sobre un cubo 3x3x3 que le permitiera mover las partes del mismo sin que el objeto se desmoronara, y poder utilizarlo para ayudar a sus estudiantes a comprender las relaciones espaciales. Sin embargo, no era su intención inventar un nuevo puzzle y como él mismo dice “Igual que después de un agradable paseo y de disfrutar de vistas encantadoras uno decide que es hora de volver a casa, decidí que debía poner de nuevo los cubitos en orden. Y fue en ese momento cuando tuve que hacer frente al Gran Desafío, ¿cuál era el camino a casa?”… y así nació el rompecabezas más famoso del mundo. El mecanismo del cubo de Ernö Rubik es el siguiente, como pudimos comprobar quienes en su momento tuvimos la curiosidad de desmontarlo, o a quienes se nos desarmó mientras lo resolvíamos. La pieza clave es una “cruceta tridimensional”, con tres ejes ortogonales que acaban en seis cuadrados (que son los 6 cubitos centrales de las seis caras del cubo), y que pueden girar, que es el mecanismo que permite el movimiento de las piezas del cubo (el giro de sus caras). Y luego se completa con 20 cubitos más, 8 para los vértices (con tres caras visibles) y 12 para las aristas (el cubito central de las aristas, con dos caras visibles), con un añadido que los engancha al mecanismo central y permite su movilidad. Ernö Rubik patentó su rompecabezas con el nombre de “cubo mágico” (Buvös kocka) en Hungría en 1975, y llegó a las jugueterías de Budapest en 1977. A finales de 1979 llegó a un acuerdo comercial con la compañía Ideal Toy Corp. para comercializarlo a nivel internacional. Así, entre a principios de 1980 se presentó en las principales ferias de juguetes del mundo, ya bajo el nombre de “cubo de Rubik” (se barajaron nombres como “nudo gordiano” o también “oro inca”). El éxito fue tal, que la compañía no podía producir cubos de Rubik a la misma velocidad que la gente los compraba, y proliferaron las imitaciones. Los antecesores del cubo de Rubik. Se suelen citar dos intentos previos a Ernö Rubik de realizar cubos similares. En 1970, Larry Nichols inventó un cubo 2x2x2 que se sostenía por medio de imanes, y lo patentó en EEUU en 1972, mientras que Frank Fox solicitó una patente en UK de su “3x3x3 esférico” en abril de 1970. Pero también he descubierto en la red información sobre un cubo 2x2x2 esférico que William G. Gustafson patentó en USA en 1963. En las siguientes entregas de esta serie de artículos dedicados a la presencia del cubo de Rubik en la publicidad, hablaremos también de matemáticas, en concreto, del número de posiciones posibles del cubo de Rubik, así como del desarrollo de “algoritmos” de resolución del puzzle, pero ahora vayamos al tema central de este artículo, la publicidad. Como es de imaginar, el hecho de que el cubo de Rubik se convirtiera en todo un fenómeno social a nivel internacional, hizo que su imagen fuese utilizada en cualquier campo de nuestra cultura (arte, diseño, arquitectura, cine y TV, música, etc), pero en particular, sería utilizado, y aún lo es hoy en día, en la publicidad. Muchas campañas publicitarias desde los años 80 han hecho uso de este rompecabezas, aunque en este artículo nos centraremos en ejemplos más actuales. Vamos a empezar con tres campañas impactantes en lo visual, puesto que es el cuerpo humano, o parte del mismo, el que se convierte en el cubo de Rubik. La primera es una campaña de televisión de la bebida Drench, que es una marca de agua mineral, con sabores, de la empresa Britvic. El lema de la campaña es “Brains perform best when they're hydrated” (el cerebro funciona mejor cuando está hidratado). Pero sobre todo no os perdáis el anuncio, por ejemplo, en una de estas direcciones… http://www.trendhunter.com/trends/drench-campaign http://www.campaignlive.co.uk/thework/1019928/ El personaje principal del anuncio tiene la cabeza hecha un lío, su cabeza es un cubo de Rubik, y no consigue resolverlo. Pero tras beber de su botella de Drench es capaz de llegar a la solución, y “ordenar” su cabeza. Una cabeza imitando a un cubo de Rubik es también la imagen central del anuncio de la rama australiana de la compañía de impresoras Fuji Xerox, "Smart Work Enabler" (algo así como “la empresa que facilita un trabajo inteligente”). Por último, dos impactantes anuncios, algo macabros y góticos, de la excelente agencia de publicidad BBDO (Chile) para anunciar, en el año 2007, la Playstation 2. En el primero, es de nuevo la cabeza la que simula un cubo de Rubik, mientras que en el segundo es todo el cuerpo. La empesa Sony volvió a hacer uso del cubo de Rubik para anunciar la Playstation 3, pero esta vez un anuncio de televisión más minimalista y con cierto toque de color. Es una especie de duelo entre el cubo de Rubik y la Playstation 3, que podeis ver aquí… Pincha en la imagen para ver el video Y la misma idea en este cartel … En el artículo de febrero de 2014 “Words by numbers / Palabras numéricas” vimos unos sencillos, pero efectivos, anuncios de la agencia publicitaria Ogilvy para la revista semanal británica The Economist (cuya información, recuerdo, que está centrada en la política, las noticias internacionales y la economía). En el año 2004, Ogilvy utilizó el cubo de Rubik para un anuncio de The Economist. Con el fondo rojo, que es la seña de identidad de la revista (en referencia a su logotipo), y con el puzzle desordenado en medio del cartel. Pueden verse los colores normales del cubo de Rubik, blanco, rojo, azul, naranja, verde y amarillo, aunque en los cubitos rojos se ve que formarían el logotipo de The Economist si se resolviese el puzzle. Curiosamente, la actual empresa publicitaria con la que trabaja The Economist, que es BBDO (USA), ha vuelto a utilizar en 2013 el cubo de Rubik en un anuncio para publicitar la revista. El lema de la campaña, como vemos en el cartel de la siguiente imagen, dice “Get a World view: Read” (échale un vistazo al mundo: lee). Ahora las caras del cubo de Rubik representan la imagen de nuestro planeta y el puzzle está resuelto. Es decir, la imagen sería una metáfora que viene a decirnos que la revista The Economist “resuelve el puzzle del mundo, y nos lo muestra ordenado para que podamos entenderlo mejor”. El cubo de Rubik es un juego, y por lo tanto, una fuente de diversión para cualquier  persona. El siguiente anuncio mezcla las ideas de diversión y dificultad encerradas en el cubo mágico. Es un cartel publicitario de la empresa surcoreana fabricante de automóviles KIA, para anunciar su modelo KIA Picanto. El lema es “Complex Engineering, Made Fun” (Ingeniería compleja, hecha divertida). La dificultad del juego es una de las ideas que más se utilizan en la publicidad. Veamos algunos ejemplos. En 2011 se realizó un referendum en Gran Bretaña para ver si los ciudadanos querían cambiar el sistema de votaciones a otro alternativo (AV = Alternative Voting system). Los partidarios del “NO” (es decir, de no cambiar el sistema de votación de Gran Bretaña) utilizaron el cubo de Rubik, y la dificultad del mismo, en su campaña publicitaria para que ganase su propuesta. El cartel era el siguiente… Como vemos el lema decía “votar no debería ser así de complicado”, es decir, tan complicado como el rompecabezas tridimensional, y luego “Mantened una persona un voto”. Aunque no tiene nada que ver con el artículo, me ha parecido interesante traeros aquí un cartel de quienes eran partidarios del “SI”. Pero volviendo a la idea de dificultad del cubo de Rubik, algunas empresas han utilizado este rompecabezas para contraponer la dificultad del producto de las empresas competidoras, con la sencillez de su producto. Por ejemplo, la compañía de seguros IF lo utiliza en el siguiente anuncio. El cubo de Rubik original desordenado está en la parte de “una compañía de seguros cualquiera”, mientras que en la parte de “la compañía de seguros IF” el cubo es todo de un único color, es un puzzle trivial y no hay nada que resolver de hecho. La imagen de un cubo de un solo color, un puzzle trivial, como idea de sencillez extrema, se utiliza también para anunciar el GPS Routon. Por el contrario, la empresa Electrolux utiliza la dificultad del cubo de Rubik, como algo pisitivo, en su publicidad del sistema de seguridad para niños de sus electrodomésticos (lavadoras, neveras, etc). El anuncio transmite la idea de que para los niños y niñas es tan difícil de abrir el sistema de seguridad como difícil es resolver el cubo de Rubik. Y para terminar este primer artículo de la serie dedicada al cubo de Rubik en la publicidad, un anuncio de la empresa de restaurantes de comida rápida (principalmente hamburguesas) McDonald’s. El lema dice así “We can solve your hanger as easy as that” (podemos resolver tu hambre tan fácil como esto). Y resolver fácil el cubo de Rubik es “Paso 1: rotar las caras; Paso 2: acabado”. Espero que hayáis disfrutado de estos anuncios publicitarios. En la siguiente entrega hablaremos un poco más del cubo de Rubik y de la publicidad que hizo uso de este puzzle.

Lunes, 21 de Julio de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

512. 84. (Julio 2014) Galois, de Second Generation

Gracias al blog Images des Mathématiques, me he enterado del próximo estreno en EE.UU. del musical  Galois, basado en la vida del matemático francés. Évariste Galois es el héroe de esta comedia rock que se presentará del 23 al 26 de julio de 2014 en el marco del Ice Factory Festival 2014 por el grupo de teatro Second Generation. Second Generation Productions presenta la obra del siguiente modo: Galois is a rock-mathematical-musical expression of the chaotic, revolutionary, and brief life of the historical figure, Evariste Galois. Galois was a French mathematician whose breakthrough advancements in the field of polynomial equations and group theory went firmly against the popularly accepted knowledge of his day. He discovered a branch of mathematics as a precocious teenager, yet died too young at 21 in a duel over a woman. Galois gives voice to the contradictory passions of this math rock star: he was a genius of abstraction, but also a fervent revolutionary; he was brilliantly cerebral, yet madly in love; he was a gifted prodigy, yet unappreciated by the establishment. Galois es una expresión rock-matemático-musical de la vida caótica, revolucionaria y breve de la figura histórica de Évariste Galois. Galois fue un matemático francés cuyos avances en el campo de las ecuaciones polinómicas y la teoría de grupos se enfrentó a los conocimientos aceptados en su época. Adolescente precoz, descubrió una rama de las matemáticas, y además murió muy joven a los 21 años, en un duelo por causa de una mujer. Galois da voz a las pasiones contradictorias de esta estrella del rock matemático: fue un genio de la abstracción, pero también un ferviente  revolucionario; era intensamente cerebral, pero también estuvo locamente enamorado; fue un talento prodigioso, aunque poco apreciado por el sistema. ¡Una pena no poder asistir al estreno! Esperaremos –si es posible– alguna grabación; pero si estás en Nueva York la próxima semana, a lo mejor te apetece ir a ver el musical Galois. http://vimeo.com/99279600

Viernes, 18 de Julio de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

513. 118. (Julio 2014) CONCURSO DEL VERANO 2014: Más apuestas ganadoras

Si has logrado ganar varias apuestas con el juego descrito en la entrega anterior, estarás deseando conocer algún otro truco similar. Por cierto, ¿conseguiste resolver el problema planteado al principio? ¿Lograste descubrir que bastaba coger el tercer vaso de la izquierda, verter su contenido en el último vaso de la derecha y volver a dejar el vaso en su lugar? Si no lo has resuelto, sigue pensando. En esta ocasión vamos a plantear problemas similares que podrás realizar en este tipo de situaciones. Pero ahora utilizaremos monedas y aprenderemos algunos juegos, posiblemente conocidos por la mayoría. Además, aprovechando esta época vacacional, no vamos a dar la solución de los problemas y así convocar un nuevo CONCURSO DE VERANO: si logras resolver alguno de estos problemas, envíanos tu solución. Como de costumbre, el portal DIVULGAMAT regalará un libro de divulgación matemática a las mejores/más completas/más originales soluciones recibidas. El primero de los problemas es clásico (en esta otra sección de Divulgamat podrás encontrar diferentes versiones y variantes): PROBLEMA 1 - Coloca seis monedas iguales formando un paralelogramo, como en la figura. P1: Posición inicial El objetivo es conseguir que las seis monedas formen una circunferencia. Para ello, los únicos movimientos válidos consisten en mover una moneda a una posición en la que toque exactamente a otras dos monedas. ¿Podrás hacerlo con sólo tres movimientos? P1: Posición final El segundo problema es similar pero mucho menos conocido y mucho más difícil. Consiste en lo siguiente: PROBLEMA 2 - Coloca cuatro monedas en una distribución con forma de rombo, como en la figura. P2: Posición inicial El objetivo es colocar las cuatro monedas en una fila, pero obedeciendo las siguientes reglas: En cada movimiento se puede deslizar (sólo deslizar, no levantar) sobre la mesa una sola moneda. Al finalizar cada movimiento, la moneda deslizada debe tocar otras dos monedas. P2: Posición final El tercer problema con monedas creo que también te tendrá ocupado un buen rato: PROBLEMA 3 - Coloca tres monedas de un euro y dos monedas de cincuenta céntimos en una fila con los valores intercalados, como se muestra en la figura. P3: Posición inicial El objetivo es dejar las monedas en una fila quedando las tres monedas de euro juntas a un lado y las dos monedas de cincuenta céntimos al otro lado. Para ello, en cada movimiento sólo se pueden mover dos monedas, una de cada valor, que estén juntas y deberán colocarse en la misma fila, aunque en otra posición. P3: Posición final Hay una gran variedad de problemas similares. Si tienes interés en el tema, puedes encontrar algunos ejemplos más en la página UniPuzzle y algunas consideraciones teóricas en el artículo Recreational Computing de Erik Demaine publicado en el número 98 (año 2010) de la revista American Scientist. Hasta ahora, los juegos mostrados requieren solamente un poco de ingenio y algo de paciencia. Añadiremos a continuación un ingrediente mágico porque lo que voy a conseguir será a distancia. Coloca tres monedas en una fila sobre la mesa, con la combinación de caras o cruces que prefieras. Con tanta diversidad de monedas que tenemos en la actualidad, para ponernos de acuerdo, digamos que las cruces son las que muestran el valor de la moneda. Tienes por tanto ocho posibles elecciones, una de las cuales es la mostrada aquí. Te aseguro que, en un máximo de tres movimientos, voy a conseguir que todas las monedas estén de cara o todas de cruz. ¿Estás listo? Empezamos: Voltea la moneda de la izquierda. Si ya están todas las monedas de cara o todas de cruz, hemos acabado. Si no, sigue leyendo. Voltea la moneda del centro. Ahora, es posible que todas las monedas estén de cara o todas estén de cruz. ¿Aún no? Entonces falta un paso más. Voltea la moneda de la izquierda. ¡Ya está! Las tres monedas muestran la misma imagen: hay tres caras o tres cruces. El juego anterior fue inventado por Martin Gardner y Karl Fulves, personajes que ya debes conocer si eres asiduo visitante a este rincón. Probablemente ellos no imaginaban que la explicación del juego tiene relación con los llamados códigos de Gray, utilizados para corregir errores en la transmisión de señales digitales. Todas las configuraciones posibles, ¿ya sabes que son ocho?, se pueden disponer en los vértices de un cubo de modo que dos vértices adyacentes se diferencian en sólo uno de los valores -C=cara, X=cruz-. Desde cualquier posición se puede llegar, recorriendo vértices adyacentes, a uno de los objetivos -CCC ó XXX- en un máximo de tres pasos. Se puede demostrar que, con n monedas, el número máximo de pasos necesarios para que todas estén de cara o todas de cruz es 2n-1 - 1. Código de Gray con tres monedas Una versión más elaborada del juego anterior fue propuesta por Martin Gardner en el capítulo 11 del libro "Fractal Music, hypercards and more" (1992), bajo el título "The rotating table". Coloca cuatro monedas formando un círculo con la disposición de caras y cruces que prefieras. Un ejemplo es el mostrado en la figura: A continuación te daré una serie de instrucciones para conseguir, en un máximo de siete pasos, que todas las monedas estén de cara o todas estén de cruz. Entre cada una de estas instrucciones, podrás girar libremente el círculo de monedas: 90º, 180º ó 270º. Puedes también no girar las monedas entre alguno de los pasos. El proceso terminará cuando todas las monedas están bien colocadas, y eso ocurrirá seguro, hagas lo que hagas entre cada una de estas instrucciones. Gira las monedas superior e inferior. Gira las monedas superior y derecha. Gira las monedas izquierda y derecha. Gira la moneda inferior. Gira las monedas izquierda y derecha. Gira las monedas inferior y derecha. Gira las monedas superior e inferior. Sorprendente, ¿verdad? Puedes consultar más detalles de este juego en el artículo de Erik Demaine citado anteriormente. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Miércoles, 02 de Julio de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

514. 91. CONCURSO DEL VERANO DE 2014

Fieles a la cita, una nueva edición de este esperado cuestionario matemático-cinéfilo. Desde esta sección os deseamos unas vacaciones estupendas, allá donde cada uno haya decidido disfrutarlas. A los fieles seguidores de estas reseñas no hay mucho que explicarles sobre la mecánica de este concurso; para los que se atreven por primera vez, se trata de responder a una serie de preguntas, unas sobre cine, otras resolviendo unos problemas que se plantean, bien porque aparecen en las películas a adivinar, o bien porque se han colado en la descripción o los diálogos de la o las películas que también hay que descubrir. Cada cuestión tiene una valoración que se indica al final. Quien mayor puntuación alcance será el ganador. El plazo de recepción de soluciones finaliza el 31 de Agosto, por lo que hay tiempo suficiente para reflexionar, buscar, indagar,..., y si es posible, divertirse, que es el fin esencial de la propuesta, pensando un poquito. Intentaremos plantear cuestiones de todos los niveles (sencillas, medias, difíciles), pero como nadie sabe a que categoría pertenece cada una (además de que la dificultad de algo siempre es un concepto subjetivo), ninguna a priori debería evitarse. El verano pasado tuvo como protagonista a un actor, y varias películas de su filmografía. Por los comentarios de los participantes (que os agradecemos de antemano, en el sentido que sea, siempre que esté mínimamente razonado) llegamos a la conclusión de que tiene más aceptación centrar las cuestiones en averiguar únicamente una o dos películas, por lo que en esta ocasión, eso haremos. CONCURSO El caso es que como a uno se le van agotando las ideas, he pedido la colaboración de un compañero que amablemente ha aceptado echarme una mano. Hemos descrito por ello las cuestiones en forma de diálogo (A soy yo, B mi compañero). Entremedias del texto colocaremos las cuestiones, en rojo las relacionadas con las matemáticas, en azul las de cine. Más abajo se explicita la pregunta, cuando se considera necesario, un poco más. Las cuestiones relativas al cine, en algún caso, no se podrán resolver hasta no descubrir pistas posteriores. A: Ya conoces la mecánica del concurso. Para empezar, antes de nada, había pensado proponer alguna cuestión en la que 2014 tuviera alguna presencia. B: Sí, es lo que suele hacer en la mayor parte de concursos matemáticos típicos. A: Ya, ya sé que es poco original, pero es lo que hay. ¿Qué te parece determinar, de forma razonada, un conjunto de números enteros positivos cuya suma sea 2014, y de modo que el producto de todos esos números sea el mayor posible? (M – 1). B: Ten en cuenta que el concurso va dirigido a un público general, y eso significa que deberían poder resolverlo alumnos de Secundaria, más aún, personas con un nivel matemático básico. Y eso que propones suena a problema de optimización con una condición de ligadura, que no es precisamente matemática elemental. A: Tú no lo has corregido otros años. El nivel de los participantes es alto e Internet está al alcance de todos (aunque no entiendan lo que copian). Por eso procuro proponer cuestiones no localizables a las primeras de cambio. Además hay todo un verano para pensar. Y respecto al ejercicio propuesto, se puede hacer sin echar mano de ningún método sofisticado, aunque cada uno lo puede hacer como quiera. B: Vale, yo sólo te advierto que no te pases mucho. Si lo que pretendes es una cuestión de teoría de números en la que aparezca 2014, yo propondría una más clásica y más asequible. Por ejemplo, calcular el valor de S = 12 – 22 + 32 – 42 +............+ 20132 – 20142 (M – 2) A: ¡Qué valor más feo! B: ¿Cómo que es feo? ¡Pero si es producto de cinco números primos!  (M – 3) A: No, si no lo digo por eso. A mi me gusta más el valor de (M – 4) B: Ya, pero no me negarás que la primera tiene más que ver con la película que has propuesto (C – 1). A: ¿Qué pasa, que tampoco te gusta? B: Hombre, para ti o para mi, no es demasiado complicada, porque nos gusta el cine, en particular este tipo de cine, pero reconoce que no es que sea súper conocida. Y desde luego la gente joven no habrá oído hablar ni de los actores protagonistas. A: También se trata de eso, de recordar títulos quizá olvidados, pero que indudablemente tienen más interés que muchas de las recientes producciones. ¿Recuerdas aquella frase atribuida a Newton  que hablaba de hombros de gigantes? Pues en el cine, también tenemos maestros gracias a los que hemos avanzado. B: No me vale la comparación, porque si en matemáticas o en ciencia siempre se avanza, en el cine, la verdad es que no siempre ha ocurrido eso. De hecho, en la actualidad, la cosa no está para tirar cohetes. A: Eso es cierto. Pero no me negarás que esta película tiene su interés... B: Relativamente, aunque algunos digan que es la mejor interpretación de su protagonista femenina. A: Quizá eso sea exagerado. Desde luego no está entre las que mayor fama le dieron. En fin, entremos en materia. Es un poco atípico el rol del protagonista masculino. Normalmente, en el noventa por ciento de las películas, su comportamiento se ha utilizado para definir un determinado tipo de mujer (C – 2).Y además declara que le gustan las matemáticas, y cada vez que puede las trae a colación. Observa este diálogo: Él: ¿Por qué cuando un hombre se interesa por su trabajo, por un libro, o algo, la mujer tiene que empezar a hacer cosas de mujer? Ella: Porque no quiere que se pierda más que en ella. Él: Cariño, en Matemáticas uno nunca, nunca se pierde. En la vida, muy a menudo; en el amor, siempre. Pero en Matemáticas, dos más dos siempre son cuatro, y eso es maravilloso. Deja que te enseñe esto. ¿Lo ves? Ella (ambos miran a la mesa; ella asiente): Sólo es una curva. Él: Pues sí. Es una parábola. De algo así sí que podría enamorarse un matemático. Llevo trabajando en ello más de cuatro años. Empecé cuando estaba en el ejército, en África..... (C – 3) B: Podría ponerse una imagen de esa escena como pista. A: Es que se ven los actores, y una vez reconocidos, con internet sería demasiado fácil averiguar el título de la película. Bueno, haremos un corte. ¿Qué te parece? B: No es demasiado clarificador, pero menos da una piedra. B: Así que el protagonista es matemático.... A: No exactamente. Le gustan las matemáticas, y las maneja, pero no es matemático (C – 4). B: Da la impresión de que se quiere deshacer de ella... A: En efecto, la misma escena continúa así: Él: No te gustaría formar parte de mi vida. No. No hay nada en ella, salvo algunas ecuaciones matemáticas, y muchos signos de interrogación. Cariño, creo sinceramente que no conviene que nos veamos durante algún tiempo. A: De ahí sigue luego una lógica bronca. B: Un hombre dedicado a su trabajo. A: ¡Que va! En cuanto puede le tira los tejos a otras, más jóvenes, claro. Lo típico de estos sujetos. B: Entonces hay un triángulo... A: Bueno en realidad hay más de uno. Bastantes diría yo. Los descubrimos a medida que progresa la trama.... B: Eso sugiere una cuestión. Determinar todos los triángulos que aparecen en la película.... (C – 5). A: A mi lo que me sugiere es determinar todos los triángulos de lados y superficie enteros de modo que esos cuatro valores formen una progresión aritmética (M – 5). B: Esos triángulos tienen un nombre particular, ¿no? A: Que yo sepa no. Lo de la progresión aritmética.... B: No, no. Me refiero a los triángulos con lados y área enteros (M – 6). A: ¡Ah, esos sí! En efecto, y hay aún problemas no resueltos relativos a ese tipo de triángulos. (M – 7). B: De todos modos, no habrá demasiados triángulos de esos... A: Pues creo que hay infinitos, pero eso no se puede preguntar. Es difícil justificar. Pidamos un caso particular. B: Vale, pero que no sea isósceles (M – 8). A: ¿Y eso por qué? B: Tú ponlo así, que yo sé porqué lo digo. A: Vale. En todo caso, no me negarás que el inicio de la película es estupendo: toda una estrella de la época, vagando como ánima en pena por calles reconocibles (la ciudad en este tipo de películas es casi un personaje más, alienante, fría, opresiva), sin maquillaje alguno (algo que pocas veces permitió la actriz protagonista), apenas acertando a pronunciar el nombre de una persona, muy vulnerable, cuando era una actriz de carácter, siempre dura e insolente. El público al ver ese inicio quedó un tanto descolocado. B: Es verdad. Tiene una estética muy expresionista,..., pero a lo largo de la película la protagonista también tiene sus momentos típicos en los que aflora su carácter. A: Pero en muy pocas escenas para lo que suele ser habitual. Pero claro a su personaje le pasa un poco como a ti y a mi. Esta película se enmarca en la época en la que en Hollywood se pusieron de moda las teorías de un famoso neurólogo. Varias películas, entre ellas ésta, se basaron en ellas (C – 6). B: Son un poco tramposas, porque suelen empezar contando una historia desde un punto de vista totalmente subjetivo, y lían al espectador, porque finalmente la realidad es bien distinta. A: Personas normales en apariencia, sometidas a circunstancias extraordinarias (C – 7). B: Al menos en esta ocasión las pruebas médicas a la que someten a la paciente no son demasiado exóticas como en otras películas. A: ¿A que te refieres? B: A veces a este tipo de patologías les hacen tests basados en imágenes llenas de manchas y borratajos, y determinan desviaciones en base a lo que los sujetos aprecian en esas imágenes. A: Si, a veces las interpretaciones son muy rebuscadas... Es cómo si les pasaran un dibujo como éste y dedujeran que el paciente es esquizofrénico porque diga que el triángulo ABC es rectángulo. (M – 9). B: O que el área sombreada de los cuadrados es la mitad de la del triángulo ABC. (M – 10). A: Pues no te digo nada si dijera alguno que ve el teorema de Pitágoras. B: Sí, no habría duda. El dictamen, como en esta película, sería, “no distingue lo real de lo que no lo es”. A: O sea que sería capaz de visualizar las cuatro raíces de z4 + 1 = 0 (M – 11 ). B: Y sus logaritmos. Pero su mente seguro que se descolocaría al observar la disposición gráfica de éstos frente a los valores de partida (M – 12). A: Sí, sería demasiado para ella, ya que a veces veía lo que le gustaría que pasara, aunque en realidad no sucediera. Y se echaba la culpa de una muerte en la que no tuvo nada que ver, pero no afrontaba aquella que en realidad si cometió. B: Los médicos la diagnostican de todo a la pobre: sugestibilidad, neurastenia, esquizofrenia, manía persecutoria, hasta lo que tenemos tú y yo.... A: Perdona pero yo no tengo nada extraño, salvo tener que escribir periódicamente estas reseñas. B: Entonces, ¿que hago yo aquí? ¿No me dirás que mi papel no es similar al de la película de este jeroglífico? (C – 8). A (murmurando): ¡Esto me pasa por pedirle a alguien que me ayude a algo que puedo hacer solo perfectamente! En fin,..... B: ¿Decías? A: No, nada. Que tenemos que ir acabando. B: Yo creo que no van a acertar la película ni por casualidad. Hay que dar más pistas. A: No estés tan seguro. Esta misma mañana he visto una publicación en internet de un amigo que sin haber publicado aún esta reseña, ya la ha adivinado. B: ¿Qué me dices? ¿No creerás ahora en magufadas de percepciones extrasensoriales y cosas así? A: Yo sólo sé que alguien del Sur, de una maravillosa ciudad, ya la ha descubierto. Ya sé que es casualidad, pero ya ves, es una casualidad muy difícil de darse, y se ha dado. B: ¡Vade retro! A: Sí, ese al que tratas de espantar también es mencionado de algún modo en la película. Y el propio título sugiere su presencia. B: ¿El título de la película de la que hablamos? A: Sí, el título original. El título en castellano es, bajo mi punto de vista, poco afortunado. Por cierto, por ahí he leído que la protagonista es la única actriz que ha interpretado dos películas con el mismo título, de argumentos completamente diferentes. Y ésta es una de ellas. B: O sea que la aplicación “títulos de películas” no es inyectiva. A: No te sigo. B: Que a películas diferentes le corresponden títulos idénticos. A: Ah, pues sí. ¿Ocurrirá también con los títulos en castellano? (C – 9). Pero, ¿estás seguro que es una aplicación, y no una simple correspondencia? (C – 10) B: Yo daría alguna pista más,.... A: Pues no sé que más quieres que te cuente. Que hay dos muertes reales y alguna deseada, que dos mujeres tiene por esposo a la misma persona, que dos mujeres quieren casarse con el mismo hombre aunque éste pasa del matrimonio, que una de ellas está enamorada de uno de los dos hombres no doctores que hay en la película pero finalmente contrae matrimonio con el otro, que una de las mujeres es hija de uno de los hombres y de una de las mujeres,..., ya casi, blanco y en botella. B: Pon alguna foto más. A: Vale. A la derecha un armario estantería del nidito de amor de dos de los protagonistas (M – 13). Ahora fíjate en el número que aparece en la puerta del pabellón donde ingresan a la protagonista. Acaba en 5. B: Ya. ¿Y qué? A: ¿Sabrías decirme rápidamente el cuadrado del número que aparece? Hay una manera sencilla de obtener el cuadrado de cualquier número que acabe en 5. B: ¿Quieres decir sin hacer la multiplicación? Ese modo es suficientemente sencillo, ¿no? A: Me refiero a una regla que funciona siempre. B: No, no la conozco. ¿Y no hay que multiplicar nada? A: Bueno si, una multiplicación si que hay que hacer. B: Entonces ¿para que sirve? En vez de hacer una multiplicación hago la original y acabo antes. A: Es que la multiplicación que hay que hacer es mucho más sencilla. Ahora bien, me pregunto si ese truco funciona siempre (M – 14). B: Las imágenes son demasiado generales. A: Suele aclarar bastante conocer el año de producción de la película, pero no me gusta darlo sin más. B: Quizá con una cuestión, podrían encontrarlo. A: Sí, supongo que es lo mejor. Tiene el mismo número de factores primos que el año presente. B: ¿Y? A: Pues eso. ¿Te parece poca información? B: Pues sí. A: Eso es porque no has echado cuentas. Hazlas y luego me dices (M – 15). B: “Te quiero es una forma tan poco adecuada de decir te quiero”. A: ¿Qué? B: Nada, es sólo por dar una frase exacta de la película. A: Yo creo que ya está facilísimo. Pero bueno, una más. En una de las múltiples pruebas a la que someten a la protagonista, utilizan el aparato que se ve en la imagen. Esto me sugiere que en verano, en Canadá (C - 11), 28º C y 82º F son casi la misma temperatura (date cuenta de que 28 y 82 tiene sus cifras intercambiadas). ¿Para qué valores enteros de M y N se cumple que Mº C = Nº F, teniendo además M y N sus cifras cambiadas de orden? (M – 16). B: Yo creo que te estás pasando un poco.... A: ¿No querías más pistas? Y tras mirar lo que marca el mercurio, el médico dice 14, 9. ¿Cómo es posible si la escala está en centenas? B: ¿Y la versión original? A: Ahí si tiene más sentido. Dicen “142 over 90” (C - 12). B: ¿Cuántas cuestiones más tienes que poner? A: Las que quiera. Con un poco de imaginación, se pueden preguntar cuestiones de cada escena. Pero en la película, las matemáticas son aludidas más veces (C - 13). Por ejemplo cuando una de las protagonistas se declara al mismo hombre por segunda vez. B: El tipo es un experto en dar negativas. ¿De verdad que no es matemático? A: No, lo que es, es un jeta. Pero con esta chica recibió un buen puntapié la primera vez que le dijo que no. B: Bueno es que la chica tenía entonces 11 años. A: En ese momento él la doblaba la edad más cuatro años. Pero cinco años antes de esta segunda declaración, la edad de él era ya sólo el doble de la de ella. ¿Cuántos años tiene entonces en el momento de esta segunda declaración? B (pensativo): ¡Pero aquí falta un dato! A: ¿Qué esperas que te diga? ¿Qué la chica toca el piano? (C - 14). Pues no, el que toca el piano es él Bueno en la peli dice que “le hace el amor al piano”.  Pero sí, falta un dato: la suma de las edades de él y ella es un número de dos dígitos cuya suma, en binario, es la unidad. (M – 17). B: ¡Y yo que creía que era yo el rebuscado! ¿No te parece que van ya demasiadas cuestiones? A: Somos tal para cual. Tengo que asegurarme que una vez descubierta, los concursantes ven y disfrutan de la película. B: Pues me parece que si pudieran, lo que harían sería utilizar contigo el objeto que emplea la protagonista. A: Pues les ocurriría lo que a ella. Además en ese caso, tú tampoco te irías de rositas (C - 15). B: Ya casi se ha tocado todo el currículo de varias asignaturas. Déjalo ya. A: No, falta algo de probabilidad. Pero eso es sencillo. En una de las escenas clave de la película, el protagonista masculino, para ganar tiempo empieza a hablar. Y cuenta de todo. Entre las cosas que dice está: “Las probabilidades de que alcances son escasas, similares a encontrar al azar un factor de 60 que sea menor que 7, tu número favorito. No creo que tengas tan buena puntería”. B: Anda que se quedó calvo el amigo. Eso lo podría asegurara hasta un niño de Primaria (M – 18). A: Estaba nervioso. La situación no era sencilla. Y perdió. Bueno, yo creo que ya es más que suficiente. El que no averigüe de qué película se trata es que no se lo ha tomado muy en serio.... (C – 16). B: Lo veremos el 1 de Septiembre, ¿no? A: Sí, porque el plazo para enviar las respuestas, es como siempre, hasta las 00:00 del 1 de Septiembre, o si lo prefieres las 23:59 del domingo 31 de agosto de 2014. B: ¿Dónde lo tiene que enviar? A: A la dirección alfonso@mat.uva.es, como siempre, indicando en el asunto Verano 2014. Cuestiones M – 1.- Expresar 2014 como suma de enteros positivos tal y como indica el enunciado. ¿Cuál es el valor de ese producto máximo (no hace falta obviamente dar las tropecientas cifras, basta con una expresión que lo defina)? M – 2.- ¿Cuánto vale S? M – 3.- ¿Cuál es el producto de primos mencionado? M – 4.- Encontrar un valor aproximado para S2 (ocho decimales, por ejemplo), e indicar cómo calcularlo (no vale, meterlo en el ordenador y que él dé el valor; hay que indicar un procedimiento de cálculo). M – 5.- Resolver la cuestión propuesta. M – 6.- ¿Que nombre reciben esos triángulos? ¿Por qué? M – 7.- Indicar alguna cuestión aún no resuelta sobre este tipo de triángulos. M – 8.- Dar dos triángulos distintos, no isósceles, de lados y área números enteros que además tengan el mismo perímetro y el mismo área. M – 9.- ¿Es el triángulo ABC rectángulo? Está construido uniendo los vértices de los cuadrados de lados 3, 4 y 5 unidades. Dar una demostración razonada (no vale aproximar los ángulos con software geométrico). M – 10.- ¿Es cierto eso? Justificar dando los valores en modo exacto. M – 11.- Encontrar y representar gráficamente las soluciones de la citada ecuación. ¿Qué figura forman? M – 12.- Dar los valores de los citados logaritmos, representarlos gráficamente y aclarar el comentario que se hace. M – 13.- Si todas las molduras son arcos de circunferencia, calcular la superficie de cristal ocupada por el único trozo limitado a la vez por tres de esos arcos. Suponer que el arco superior mide π unidades. M – 14.- ¿Cuál es el truco? Justificar si es válido para números de cualquier tamaño o no. M – 15.- ¿De qué año es la película? M – 16.- Resolver la cuestión planteada. M – 17.- ¿Cuáles son las edades de los personajes cuando la chica se declara? Con justificación, no vale dar simplemente las edades que se dan en la película. M – 18.- ¿Por qué afirma eso B? C – 1.- ¿Porqué no le agrada a A el valor de S? ¿Qué relación tiene S con la película? C – 2.- ¿A qué tipo de mujer, abundante en el cine, se refiere? C – 3.- ¿En que asunto lleva trabajando cuatro años, algo que “en el Ejército no servía, pero que otras personas darían su brazo derecho” por ello, según palabras textuales del protagonista? C – 4.- ¿Qué profesión tiene el protagonista masculino? C – 5.- Determinar todos los triángulos (de personas) que aparecen en la película. C – 6.- ¿A que teorías se refiere el diálogo? Citar al menos dos películas, distintas a ésta, basadas en esta temática o que las utilicen en el argumento. C – 7.- En el texto se han ido citando algunas características comunes a un determinado género cinematográfico. ¿De que género se trata? Indicar alguna característica más no descrita y algunos de los directores más representativos del género. C – 8.- ¿A qué película se refiere el jeroglífico? C – 9.- Dar algún ejemplo de películas diferentes (no remakes; de argumentos que no tengan nada que ver entre sí) con el mismo título en castellano. C – 10.- ¿Es o no es una aplicación? Demostrarlo razonadamente. C – 11.- ¿Tiene este país alguna incidencia en el comportamiento de la protagonista? C - 12.- Explicar qué sucede. C – 13.- Indicar algún momento más en que se citen las matemáticas o alguna cuestión relacionada con las matemáticas de la que podría proponerse algún ejercicio, que no se hayan dicho. C – 14.- ¿A que viene ese comentario? C – 15.- ¿A qué se refiere esta afirmación? C – 16.- ¿Cuál es el título de la película enigma del Concurso? Baremo: Todas las cuestiones matemáticas (las de color rojo) se valorarán con 10 puntos. Las de color azul (más cinematográficas), con 5 puntos. Y como casos particulares, las cuestiones numeradas como M – 1, M – 4, M – 9 y M – 16, valen 20 puntos, que para eso son cuadrados perfectos. O sea que hay en juego 300 puntos, número redondo también. Y como en ediciones pasadas, si de paso dais vuestra opinión sobre el concurso, hacéis sugerencias, comentarios, etc., acerca de la sección, a lo mejor hasta os damos puntos extra. Y si no salen algunas cosas, no pasa nada. Lo importante es divertirse, disfrutar de películas (que el verano da para mucho), y mantener las neuronas  un poco activas. P.D.: Espero que no haya ningún error en las cuestiones. Se han repasado varias veces, pero algunas, al ser inventadas, podrían tener alguna errata. Sed benévolos con vuestros calificativos si tal cosa sucediera, que insisto, no lo espero. ¡¡¡¡Buen Verano Cinematemático!!!!

Jueves, 19 de Junio de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

515. 83. (Junio 2014) El hombre del azar, de Yasmina Reza

El hombre del azar es una obra de teatro de Yasmina Reza, estrenada en septiembre de 1995 en el Hébertot Theatre de París. El concepto de azar acompaña durante toda la pieza los monólogos de los dos personajes. ¿Qué posibilidades tiene un escritor de éxito de encontrarse, en el compartimento de un tren, frente a una de sus lectoras? ¿Y qué probabilidades tiene una persona de encontrarse con un escritor al que sigue de manera incondicional? Parece que pocas… Paul Parsky, un famoso y amargado escritor –no deja de usar esta palabra describiendo lo que rodea su vida: amargo– viaja de París a Frankfort en tren. Comparte el trayecto con Martha, una de sus devotas lectoras, que lleva precisamente en su bolso el último libro del autor El hombre del azar. Cada uno de ellos va sumido en sus pensamientos. Él, en tono quejoso, repasa su vida y su obra. Ella acaba de perder a un amigo muy querido y se siente sola; reconoce al escritor, desearía hablar con él, pero no se atreve a sacar el libro de su bolso, temerosa de una mala reacción de Parsky, que acabaría rompiendo la fascinación que le produce. Pensando para sí misma, sin atreverse a hablar con él, Martha imagina lo que podría decir al escritor: Señor Parsky, el azar de la vida, el maravilloso azar de la vida –no el azar a secas– el azar de la vida ha hecho que le encuentre en este tren,  no puedo evitar decirle… Él se fija en ella, pero tampoco sabe como entablar conversación. El público de la obra se convierte así en un voyeur privilegiado, ya que conoce a través de ellos sus fantasías, sus mezquindades, los temores de ambos personajes, que dudan en abordar al otro. Martha decide sacar su libro y comenzar a leer. Parsky piensa que ella debe estar leyendo una parte del libro en la que se observa que el personaje tiene un trastorno obsesivo compulsivo –lo calcula, lo enumera todo–, porque Martha sonríe. El hermano de la mujer también padece esta enfermedad –aluden a ella como la enfermedad del contaje–, una obsesión que le impide pisar las baldosas negras del embaldosado de su casa. Martha confiesa finalmente a Parsky que le ha reconocido y admite la emoción que ha sentido leyendo sus libros. Él ríe complacido: es la reacción que ella deseaba.   Uno se fabrica a sí mismo, uno forja la materia que se le da al azar. Pensamientos de Martha, antes de entablar conversación con Parsky

Miércoles, 18 de Junio de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

516. 86. (Junio 2014) La matemática del Gato de Philipp Geluck, por Daniel Justens

Philippe Geluck es un dibujante belga. Su personaje más conocido es Le Chat –El Gato, algunos de sus libros se han traducido al castellano–; apareció por primera vez el 22 de marzo de 1983 en el periódico belga Le Soir. Le Chat es un antihéroe, sus aventuras están impregnadas de un fino sentido del humor. Tiene comportamientos típicamente humanos –camina sobre dos patas, va vestido, lee el periódico, frecuenta los bares, etc.– y se dirige directamente al lector o lectora. A veces toma sus posturas políticas, es antimilitarista, escéptico con las religiones,… es cercano. Daniel Justens es un matemático belga que en el texto que presentamos –La matématique du Chat de Philippe Geluck (Delagrave, 2008)– ha realizado una selección de las tiras ‘más matemáticas’ del personaje de Geluck. A través de las reflexiones, los errores y las anécdotas de este personaje felino, el autor efectúa un recorrido por diversos conceptos matemáticos. Las matemáticas de Le Chat no son siempre demasiado cabales, pero servirán para perder el miedo a esta ciencia, para reírse un rato, y por supuesto para aprender. Portada y contraportada del libro Detalle de la portada PREGUNTA: ¿Si fuera Vd. un número entre el cero y el nueve? RESPUESTA: Cat(en francés: cuatro es ‘quatre’ y fonéticamente tiene un gran parecido con ‘cat’, gato en inglés) Detalle de la contraportada El médico propone a Le Chat esta operación. El felino, dubitativo, contesta 33. El libro está dividido en nueve capítulos, que recorren diversas áreas de las matemáticas, en orden creciente de dificultad: Matemáticas y matemáticos Aritmética y operaciones elementales La teoría intuitiva de conjuntos Geometría Análisis matemático Estadística y cálculo de probabilidades De la lógica “intuitiva” a la lógica matemática A riesgo de plagiar: un poco de todo Conclusiones forzosamente provisionales: la obra no está terminada Página 86: Hablando de simetrías Ingenuo y encantador, Le Chat nos enseña a través de las páginas de este libro a jugar y aprender matemáticas a través de situaciones cotidianas.

Viernes, 13 de Junio de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

517. 58. (Junio 2014) Teoría generativa de la música - I

Inauguramos una serie de artículos en la que estudiaremos la obra de Fred Lerdahl y Ray Jackendoff A Generative Theory of Tonal Music [LJ83], publicada en 1983. En castellano se publicó en 2003 por Akal [LJ03] con traducción de Juan González-Castelao. En este primer artículo estudiaremos la génesis de esta obra y sus fundamentos teóricos. En los siguientes artículos describiremos con cierto detalle las ideas de estos autores. Estos autores proponen una teoría generativa de la música tonal, es decir, una teoría que a partir de la definición de una serie de conceptos y reglas jerárquicas describan la estructura de una pieza de música tonal. Figura 1: Portada del libro original en inglés. 1. La génesis de la obra El director de orquesta Leonard Bernstein, hombre por otro lado profundamente interesado en la teoría, fue un impulsor de la obra de Lerdahl y Jackendoff. En el otoño de 1973, Bernstein se encontraba impartiendo un seminario en la universidad de Harvard. Los trabajos de Noam Chomsky [Cho65] en pos de la construcción de una teoría generativa en el campo de la lingüística habían impresionado a Bernstein y este se preguntaba si esa teoría no se podía transferir al campo musical. ¿Era posible construir una gramática musical que explicase el fenómeno de la escucha musical?, tal era la pregunta que planteaba Bernstein a sus alumnos en aquel seminario. Entre los asistentes se encontraba el músico, compositor y teórico Fred Lerdahl y el lingüista y clarinetista Ray Jackendoff. Bernstein pedía a sus alumnos que expusiesen los resultados de su trabajo ante la clase cada semana y era frecuente que los alumnos se ayudasen entre sí. Jackendoff y Lerdahl se leían mutuamente sus trabajos en busca de la crítica constructiva del otro. Como fruto de esto, se percataron de que tenían preocupaciones intelectuales similares y empezaron a colaborar más seriamente. Con el tiempo fueron dando forma a sus ideas y estas cuales acabaron por cristalizar en A Generative Theory of Tonal Music. En el prefacio del libro (página x), hablan de la división del trabajo en el libro entre los dos autores. Lerdahl, el músico, planteaba problemas en términos musicales y proporcionaba ejemplos, y Jackendoff, el lingüista, construía los sistemas formales que trataban de explicar los fenómenos musicales. Sin embargo, Lerdahl conocía muy bien los sistemas formales en lingüística y Jackendoff era clarinetista con una sólida formación musical. Ambos estaban perfectamente capacitados para contribuir con ideas y críticas en ambos aspectos de la obra y así lo reconocen explícitamente en su obra (Our individual contributions are hopelessly intertwined.) Tras el seminario impartido por Bernstein, Lerdahl y Jackendoff continuaron trabajando asiduamente hasta el año 1979. Se reunían semanalmente para desarrollar su teoría, la cual fueron presentando en diversos seminarios y publicando por partes en varias revistas (Journal of Music Theory, The Music Quaterly y en el libro Music, Mind and the Brain). Con el tiempo se dieron cuenta de que el material que habían producido daba de de sí como para escribir un libro en lugar de presentarlo en artículos sueltos o en conferencias. Después del año 79, la colaboración siguió, aunque no tan intensa, pues Lerdahl se fue a la Universidad de Columbia. En el año 83 publicaron su obra. Para una visión de uno de los autores (Lerdahl) sobre la génesis de este libro, véase [Ler09]. 2. Teoría de la música como objeto de estudio psicológico El capítulo uno de su libro abre con la siguiente declaración de intenciones (las cursivas son suyas; nuestra traducción): We take the goal of a theory of music to be a formal description of the musical intuitions of a listener who is experienced in a musical idiom. (Nos hemos fijado el objetivo de una teoría de la música que sea una descripción formal de las intuiciones musicales de un oyente que tenga experiencia en una tradición musical.) Esta frase marca el tono de la obra y su metodología. Lerdahl y Jackendoff buscan una nueva manera de analizar la música. Para ello, recurren a la psicología para construir esa nueva metodología. Ambos autores tenían un gran conocimiento de la bibliografía relevante y en particular estaban familiarizados con las obras de Meyer y Cooper (especialmente [Mey56] y [CM63]), Narmour, Sloboda, Bregaman y Krumhansl, entre otros. Para justificar este nuevo análisis formulan una crítica de las viejas metodologías de análisis. Está, por un lado, el análisis de piezas individuales, un análisis clásico que se vale del estudio melódico, armónico, rítmico, entre otros, y que persigue resaltar facetas interesantes de la pieza. Para ellos, sin embargo, este tipo de análisis, aunque revela hechos interesantes sobre una pieza, no es riguroso ni sistemático en muchas ocasiones, y no permite generalizaciones o una sistematización útil. Con frecuencia depende de la habilidad y la brillantez del crítico a la hora de analizar la pieza. La opción contraria es crear un sistema altamente riguroso y formalista dentro del cual estudiar todas las piezas de una tradición musical. Los ejemplos históricos que ponen los autores tampoco les convencen: la teoría musical de la Edad Media, basada en la teología; los sistemas de Rameau y Hindemith, basados en los principios físicos de la serie de armónicos; o las teorías matemáticas de la música del siglo XX. Merece la pena detenerse en este último punto, sobre todo por el tema de una columna como esta. Lerdahl y Jackendoff objetan al hecho de que las matemáticas den fundamento a los constructos y relaciones en la teoría de la música porque “las matemáticas son capaces de describir cualquier tipo de organización concebible”. Una teoría satisfactoria no solo debe ser capaz de describir ciertos constructos, sino además determinar porque se usan unos ciertos constructos y no otros. La crítica hacia el uso de las matemáticas que hacen los autores refleja excesos formalistas del pasado. A la vista de la cantidad de investigación que ha habido en música desde un punto de vista matemático desde la publicación de A Generative Theory of Tonal Music, y teniendo en cuenta la calidad y la metodología de dicha investigación, su crítica aparece teñida de cierta ingenuidad. Si la formalización matemática ignora la realidad que analiza y se convierte en un mero juego axiomático-deductivo, ¿qué significado asignará a esa formalización? Ninguno, claro; pero ese es un uso incorrecto de las matemáticas. La formalización correcta parte de los hechos musicales y trata de explicarlos y predecir otros, y en última instancia está siempre sometida al contraste con la propia música. Por último, los autores rechazan el análisis basado puramente en la intuición artística. No desprecian este análisis; simplemente no creen que la música se deba analizar únicamente con dicho método. ¿Qué método, pues, proponen Lerdahl y Jackendoff? Uno basado en la psicología. Por un lado, sostienen que una pieza de música es una entidad construida mentalmente (página 2). Su objetivo es explicar la música como el sonido organizado en nuestra mente. Desde este punto de vista, la música es objeto de estudio psicológico. La teoría de estos autores necesita la introducción de un concepto nuevo: las intuiciones musicales de un oyente experimentado (página 3). Por intuiciones musicales se refieren a procesos inconscientes de escucha musical que vienen determinados por la enculturación del oyente en cierto lenguaje musical. Además, el concepto de oyente experimentado es una idealización del oyente y del grado de conocimiento de un lenguaje musical. Esa asimilación dentro de un lenguaje musical dado viene gobernada por ciertas reglas y con su teoría Lerdahl y Jackendoff persiguen describir esas reglas en términos de una gramática formal de la música. Hay una segunda idealización de este oyente y su escucha y es que en la teoría generativa se explica el estado final del entendimiento musical y no explica la percepción durante la la escucha musical. 3. Teoría de la música y lingüística A pesar de su inspiración en la teoría generativa de Chomsky, Lerdahl y Jackendoff ponen mucho énfasis en distinguir lenguaje y música y en que ambas teorías -si bien se encuentran paralelismos importantes entre ambas- son esencialmente diferentes. En particular, los autores rechazan los peligros de sobreformalización que puede llevar una aplicación excesivamente literal de la teoría generativa de Chomsky a la música. Entre esos peligros los autores apuntan a un afán de validación de la teoría en meros términos computacionales, perder de vista el papel que juega el significado en la música y en el lenguaje -papel que difiere en una y otra-, o pasar inadvertidas las diferencias estructurales entre música y lenguaje. 4. La forma general de la teoría generativa Lerdahl y Jackendoff proponen una estructura jerárquica compuesta por cuatro partes y que forma la base sobre la cual proporcionarán una descripción estructural de una pieza musical. Esas cuatro jerarquías son: Estructura de agrupación. Expresa la segmentación jerárquica de la pieza en términos de motivos, frases y períodos. Estructura métrica. Expresa los fenómenos métricos, esto es, los relacionados con la alternancia de tiempos fuertes y débiles. Reducción interválica-temporal. Asigna una jerarquía a los tonos de una pieza en función de la estructura de agrupación y métrica. Reducción de prolongación. Más abstracta que las anteriores, asigna a los tonos una jerarquía que expresa la dialéctica tensión-relajación en los aspectos armónicos y melódicos. La teoría generativa además proporciona dos tipos de reglas, las de formación correcta y las de preferencia. Su función es determinar qué descripciones estructurales son correctas y sobre estas cuáles tienen más preferencia. Como dicen los mismos autores, el criterio empírico de éxito de la teoría es cuán adecuadamente describe las intuiciones musicales. Estas reglas están concebidas con este objetivo. Cuando empezaron a probar su teoría con ejemplos musicales concretos, vieron que las reglas de formación correcta no eran suficientes e introdujeron las reglas de transformación. La figura de abajo, tomada de su libro, representa un esquema de la teoría generativa de la música. Figura 2: Esquema de la teoría de Jackendoff y Lerdahl. Bibliografía [Cho65] N. Chomsky. Aspects of the theory of syntax. MIT Press, Cambridge, Massachussetts, 1965. [CM63] G. Cooper and L.B. Meyer. The Rhythmic Structure of Music. University of Chicago Press, Chicago, 1963. [Ler09] F. Lerdahl. Genesis and architecture of the gttm project. Music Perception, 26:187–194, 2009. [LJ83] F. Lerdahl and R. Jackendoff. A Generative Theory of Tonal Music. MIT Press, Cambridge, Massachussetts, 1983. [LJ03] F. Lerdahl and R. Jackendoff. Teoría generativa de la música tonal. Akal, 2003. Traducción de Juan González-Castelao Martínez. [Mey56] Leonard Meyer. Emotion and Meaning in Music. University of Chicago Press, Chicago, 1956.

Lunes, 09 de Junio de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

518. 8. (Junio 2014) Brujas matemáticas

Durante el medievo los textos griegos disponibles se limitaban a unos pocos y casi todos provenientes de traducciones del árabe. Tras la conquista de Constantinopla por los otomanos en 1453 se produce en occidente, especialmente en Italia, la llegada de textos griegos originales que van a provocar el renacer del helenismo. Los nuevos textos se van a unir al desarrollo de la imprenta para producir el gran impulso que conocemos como humanismo. Se produce también un redescubrimiento de Platón y los neoplatónicos.  Será en la Florencia de los Médicis con Marsilio Ficino (1433-1499) y con el joven Pico de la Mirandola (1463-1494) donde se impregnarán las nuevas ideas de esoterismo y magia. Se trata de magia blanca o natural frente a la magia negra o diabólica. El investigador de la naturaleza, el físico matemático, el mago natural, debe ser estudioso y virtuoso. El Discurso sobre la dignidad del hombre de Pico es el manifiesto de una época donde ocultismo y ciencia se funden. Siglo y medio después, el hermetismo, la cábala y la magia se irán haciendo incompatibles con la revolución científica, ruptura que teoriza Descartes, aunque sus huellas todavía sean visibles en Newton. Con el platonismo se produce la revalorización de la matemática. El mago debe saber matemáticas para desentrañar los misterios de la naturaleza, diseñada por la bondadosa mente divina pero accesible a los hombres que la investiguen. Una figura que sintetiza esa cultura es el matemático isabelino John Dee (1527-1608). Dee fue astrónomo, ocultista, alquimista, navegante o consejero real, a la vez que matemático. El espíritu renacentista se extiende por las diversas cortes italianas. Los príncipes y condotieros compiten entre sí para atraer escritores y artistas. Mención especial para nuestra historia merece la ciudad de Ferrara con el mecenazgo de Alfonso I de Este. Allí encontraremos a Ludovico Ariosto escribiendo su influyente Orlando furioso en honor del duque, pintores como Dosso Dossi, Bellini o Tiziano, y también a  un poeta alquimista como Augurelli (Augurello, Agorelli), formado en el hermetismo con Ficino. El prototipo de hechiceras clásicas es la diosa Circe (y su sobrina Medea). Encontramos a Circe en la Odisea de Homero, las Metamorfosis de Ovidio o en la Eneida de Virgilio. Los humanistas del renacimiento van a darla a la maga un valor acorde con los nuevos tiempos. Ariosto crea la figura de Melisa, la maga buena que libera del encantamiento a Rogelio con un anillo que hará que vea a Alcina en su verdadero ser y pueda escapar de ella. El pintor Giovanni di Niccolò Luteri, conocido como Dosso Dossi, se encuentra en Ferrara, la ciudad donde trabajó siempre, cuando realiza la representación de la inquietante bruja matemática que encabeza este escrito y que ahora se localiza en la Galería Borghese de Roma. Ni siquiera hay acuerdo con el título: Circe o Melisa. En ambos casos se trata de una hechicera que transforma a los hombres en animales o plantas. Como Dossi tiene atribuida otra Circe, me inclino más por Melisa, la hechicera del Orlando furioso de Ludovico Ariosto. Tanto Dossi como Ariosto son animadores de la corte de Alfonso de Este. Melisa libera del encantamiento amoroso a Rogelio con un anillo que hace que vea a Alcina en su verdadero y monstruoso ser. Rogelio tomará su armadura y escapará. También liberará a Astolfo, duque de Inglaterra,  al devolverle su forma humana pues había sido convertido en un mirto. Lo inquietante es la representación de la hechicera mediante una maga que porta una tablilla con cálculos geométricos. La extrañeza de hoy no es la de su época: la física era conocida como magia natural en el Renacimiento de Ficino y Pico. La magia blanca era buena y se alcanzaba con el estudio y la iniciación mientras que la magia negra era demoníaca. La matemática es pieza esencial en ese mundo neoplatónico-pitagórico. La otra Circe pintada por Dosso Dossi se encuentra en la National Gallery of Art en Washington. Se trata de una Circe mucho más voluptuosa, se ha comparado con el desnudo de Leda de Leonardo, pero sigue conservando la tablilla matemática y su libro astrológico en el suelo para dar testimonio de que sus poderes se consiguen por el estudio: solo se penetra en los misterios a través de una formación que requiere de las matemáticas. La imagen de la hechicera matemática se conservará hasta el barroco. El grabado de Circe ejecutado por Giovanni Benedetto Castiglione (circa 1650) insiste en el mismo tema. Aunque algo difuminados por la propia técnica del grabado, podemos  apreciar claramente que los libros y apuntes son matemáticos. Vamos a reseñar dos pinturas más de brujas matemáticas, procedentes de los pinceles de los hermanos Guidobono, inspirándose seguramente en las Circes de Dossi. La primera es la Alegoría de Domenico Guidobono en el Metropolitan Museum de Nueva York. La alegoría es ya casi rococó y refuerza su carácter matemático con un compás. La bruja madura aparece acompañada de una niña a la que está transmitiendo su arte. En un ambiente forzado, casi bodegón, la bruja realiza sus investigaciones matemáticas. Los poderes se obtienen estudiando el orden del universo, la magia natural de los renacentistas que está en el origen de la revolución científica. La niña garantiza la transmisión de los ocultos conocimientos. También Bartolomeo Guidobono pintó su propia bruja ilustrada. El Palazzo Madama de Turín realizó una monográfica de los hermanos en el año 2012 donde se pudo contemplar otra hechicera con instrumentos propios de un gabinete de física matemática y de alquimia. Resulta curioso como muchas de las ensoñaciones de los ocultistas herméticos, como el sueño alquimista de la piedra filosofal, iban a ser resueltos por la ciencia moderna: el plomo se puede transformar en oro en los aceleradores de partículas… ¡pero a un precio que no merece la pena! Las brujas geómetras son tanto muestra de los titubeos en los orígenes de la ciencia moderna como de su percepción del valor de la matemática.

Martes, 03 de Junio de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

519. 117. (Junio 2014) A tu salud

Está muy extendida la opinión de que la magia es un excelente vehículo para fomentar las relaciones sociales. Más aún, es un hecho probado que un buen juego de magia constituye una forma eficaz de romper el hielo entre personas de carácter tímido. Pero también se ha utilizado para sacar algún provecho material, en forma de invitación o como resultado de una apuesta en la que el mago tiene la ventaja de su habilidad técnica o, simplemente, de su ingenio. En este sentido quiero recomendar el libro Scam School: Your Guide to Scoring Free Drinks, Doing Magic & Becoming the Life of the Party, de Brian Brushwood (publicado en 2013), donde se detallan multitud de juegos de magia, problemas de ingenio y retos sencillos que pueden realizarse en alguna reunión con el fin de salir de ella sin haber pagado ninguna bebida. El libro recoge algunos de los episodios del canal de Youtube con el mismo nombre y que protagoniza el propio autor. Te voy a proponer un ejemplo sencillo con el siguiente problema: En la imagen siguiente verás seis vasos en una fila, tres de ellos vacíos y otros tres llenos de agua. Tocando o moviendo uno y sólo uno de los vasos, ¿serías capaz de conseguir que quede una fila de vasos de modo que estén alternados en cuanto a su contenido: vacío-lleno-vacío-lleno-...? ¿Por qué no intentamos algo similar uniendo las fuerzas de la magia y la matemática? Empezaremos con el siguiente juego, conocido como el problema de las tres copas: El mago coloca sobre la mesa tres vasos, dispuestos como se muestra en la imagen: A continuación realiza los siguientes movimientos: Voltear a la vez los dos vasos de la izquierda (uno con cada mano). Voltear a la vez los dos vasos de los extremos (uno con cada mano). Voltear a la vez los dos vasos de la izquierda (uno con cada mano). El resultado final es que los tres vasos están boca arriba. Ahora coloca de nuevo los vasos en la posición inicial, como se muestra en la imagen: y apuesta que nadie podrá colocar los tres vasos boca arriba en menos de seis movimientos de modo que, en cada movimiento, se giren a la vez dos de los vasos. ¿Por qué el mago ganará siempre la apuesta? Basta observar que las posiciones iniciales son "un poco" diferentes. No es fácil para un espectador notar la diferencia pero la posición resoluble tiene inicialmente dos vasos boca abajo y un vaso boca arriba. Por el contrario, la posición no resoluble empieza con dos vasos boca arriba y un vaso boca abajo. Como cada movimiento consiste en girar dos vasos a la vez, la paridad del número de vasos boca arriba nunca cambia. Como la posición final debe mostrar los tres vasos boca arriba y este número es impar, sólo hay solución cuando se empieza con un vaso boca arriba. Un pequeño detalle técnico: ¿por qué el mago no ha volteado desde el principio los dos vasos de las esquinas? En un solo movimiento consigue que los tres vasos estén boca arriba pero sería más sospechoso para el espectador, ya que no podría realizar la misma operación. Si quieres profundizar en las matemáticas del juego, consulta el artículo de Ian Stewart titulado "Cups and downs", publicado en el volumen 43 de la revista "The College Mathematics Journal" (enero de 2012), donde estudia el problema más general: Si sobre la mesa hay n vasos, todos boca arriba, y por cada movimiento se gira un número m de vasos, ¿cuál es el menor número de movimientos necesarios para que queden todos los vasos boca abajo? Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Domingo, 01 de Junio de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

520. 85. (Mayo 2014) "El teorema de Karinthy. Berlín 1981", de Jörg Ulbert y Jörg Mailliet

Le theorème de Karinthy. Berlin 1981 (Des ronds dans l’O éditions, 2013) es un cómic del profesor e investigador Jörg Ulbert (Université de Bretagne Sud) y el ilustrador Jörg Mailliet. El escritor Frigyes Karinthy (1887-1938) propuso  en su cuento Chains (1929) la teoría de los seis grados de separación, hipótesis que afirma que cualquier persona del planeta está conectada con cualquier otra, a través de una cadena de –como máximo– cinco intermediarios: el número de conocidos crece exponencialmente al aumentar la cadena, que en cinco pasos devuelve toda la población mundial. Este tebeo sólo tiene matemáticas en su título, que resume a la perfección lo que va a suceder en sus páginas. Estamos en Berlín oeste en 1981. Dos hombres son los protagonistas de la historia: Otto es policía de la República Federal de Alemania y Martin es el terrorista al que Otto busca. Capítulo 1: La llegada a Berlín de Otto, página 10, © Des Ronds dans l’O éditions Para encontrar a Martin, Otto comienza a hacer la misma vida que él: frecuenta bares, empieza a seguir estudios de ciencias políticas, acude a manifestaciones, hace contactos, se infiltra en un grupo de extrema izquierda, etc. Por su lado, Martin ha regresado a Berlín para ayudar a antiguos camaradas en la lucha extremista y para arreglar cuentas: su compañera Kathi había fallecido en una manifestación y Martin quiere vengarse de la persona que cree la ha delatado. Sus compañeros –del grupo Movimiento del 2 de junio– planean secuestrar al senador Lummer, responsable del desalojo de okupas en la ciudad. Los caminos de Otto y Martin ¿acabarán cruzándose? Capítulo 4: Martin busca a sus colegas en Berlín, página 65, © Des Ronds dans l’O éditions

Jueves, 22 de Mayo de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico