501. 120. (Octubre 2014) Pares contra impares

El principio de paridad, en sus diferentes versiones y adaptaciones, ha sido ampliamente tratado a lo largo y ancho de este rincón, empezando ni más ni menos que con la primera entrega, allá por el mes de marzo de 2004 utilizando una simple hoja de papel. Más tarde, en febrero de 2007, utilizando monedas, y en mayo de 2007, así como en febrero de 2011, utilizando cartas. Sin olvidar el juego más significativo de todos, conocido en el mundo de la magia como el truco del pianista, descrito en febrero de 2012. Si has llegado hasta aquí después de visitar algunos de los enlaces anteriores, te propongo esta tarea: ¿cuál sería para ti la forma más clara y simple de enunciar el principio de paridad? Te agradezco que me envíes tu propuesta y en una entrega posterior publicaré las más convincentes. No hay que dejarse engañar por la simplicidad de este principio. Su multitud de variantes, aplicaciones y generalizaciones pueden llegar a sorprendernos. A modo de ejemplo, el programa Estalmat de Castilla y León, presenta una colección de problemas relacionados con este principio. También, el artículo titulado Cartomagia del 1 al 9, de José Muñoz, publicado en la revista Números, contiene algunos juegos basados en este principio. En el libro "Magia por principios" dedico un capítulo a desarrollar este principio. Combinando este principio con algunas técnicas menos matemáticas se pueden conseguir juegos que sorprendan a todo tipo de públicos. Como muestra, este mes describiremos un juego de apariencia numérica pero cuyo resultado final permite ocultar el principio de paridad aplicado. Este juego es original de Martin Gardner (cuyo par de siluetas encabeza esta entrega y el centenario de cuyo nacimiento se conmemora este mes) y está inspirado en el primer problema que aparece en el libro "Mathematical Puzzles" de Peter Winkler. El problema se enuncia como sigue: En una mesa se forma una fila con cincuenta monedas, de diferentes valores. Alicia retira una moneda de una de las esquinas y la guarda en su bolsillo; a continuación, Bartolo retira una moneda de una de las esquinas restantes y la guarda en su bolsillo; el proceso se repite hasta que Bartolo retira la última moneda. Probar que Alicia es capaz de jugar para tener al menos la misma cantidad de dinero que Bartolo. El juego que propone Martin Gardner es el siguiente: El mago entrega la baraja a un espectador para que mezcle y retire ocho cartas. El mago recoge las cartas, las extiende con las caras hacia él y, secretamente, suma los valores de las cartas que ocupan una posición par, suma también los valores de las cartas que ocupan una posición impar y, por último,calcula la resta ambos valores (teniendo en cuenta que todas las figuras valen diez). Por ejemplo, si las cartas elegidas son: la suma de los valores de las cartas de posición impar es 8 + 10 + 4 + 9 = 31, y la de las cartas de posición par es 6 + 6 + 5 + 10 = 27. La resta de ambos valores es 4. El mago entonces saca un lápiz y una hoja de papel mientras anuncia que va a realizar una predicción numérica. Explica que sólo se tendrán en cuenta los valores numéricos de las cartas y, para simplificar, todas las figuras tendrán el mismo valor igual a diez. El mago escribe ahora en la hoja de papel la frase "ganarás por x" (en nuestro ejemplo, x = 4, es decir la resta obtenida anteriormente) y lo deja a la vista, ocultando lo escrito. Coloca a continuación las ocho cartas sobre la mesa caras abajo formando una fila. El mago saca una carta de una esquina, pide al espectador que saque también una carta de la esquina que prefiera, el mago hace lo mismo y así sucesivamente hasta que ambos tienen cuatro cartas. Cada uno suma los valores de las cartas que tiene en la mano. Por último se deja ver la predicción en la que está escrita la diferencia entre ambos valores e, incluso, quién de los dos ha ganado. La cuestión que se plantea es pues: ya que la predicción dice que ganará el espectador, ¿cómo hacer para que elija "libremente" las cuatro cartas que ocupan las posiciones impares (según nuestro ejemplo) en la fila de cartas? La solución es sencilla: el mago retira la única carta posible de posición par, la octava (jota de picas en nuestro ejemplo). Ahora las cartas de los dos extremos tienen posición impar, con lo que no importa cuál de ellas retira el espectador. El mago vuelve a retirar la carta de posición par que ha quedado libre, y siempre será la que estaba junto a la retirada por el espectador, para dejar sólo cartas de posición impar en los extremos de la fila. El proceso se repite hasta acabar las cartas y comprobar que la predicción es correcta. Algunas modificaciones y variantes de este juego son estudiadas por Colm Mulcahy en la edición de junio de 2006 de su "Card Colm", columna de visita obligada para los filomatemagos. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

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502. 85. (Septiembre 2014) EXACTA: III Festival Internacional de Educación, Teatro y Matemática

Exacta es una iniciativa tiene como propósito la promoción y valoración de la matemática para descubrirla de modos diversos, acercándola a toda persona, mediante el teatro y dinámicas lúdicas. El proyecto busca teatralizar objetos matemáticos vinculándolos con situaciones cotidianas dándole un carácter educativo, otorgando un espacio de difusión tanto al teatro como a la matemática. La iniciativa está apoyada por el Centro de Modelamiento Matemático de la Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas de la Universidad de Chile. Este año, el tema central es la geometría y los invitados internacionales son la matemática mexicana Marcela Ferrari y el matemático uruguayo Omar Gil. Más información: Festival Exacta 2012 Festival Exacta 2013 Festival Exacta 2014

Lunes, 29 de Septiembre de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

503. 30. (Octubre de 2014) El cubo de Rubik en publicidad (tercera parte)

Con esta entrada dedicada a la presencia del cubo de Rubik, un juego con mucha geometría, en la publicidad cerramos una trilogía de artículos sobre este tema que empezó el pasado mes de julio (de 2014).  Las dos primeras entregas fueron: - El cubo de Rubik en publicidad (primera parte) - El cubo de Rubik en publicidad (segunda parte) Este puzzle geométrico tridimensional, diseñado por el húngaro Ernö Rubik a mediados de los años 70 y comercializado a nivel internacional en 1980, fue toda una revolución en el mundo de los juegos. Solo entre 1980 y 1982 se vendieron 100 millones de cubos, llegando hasta los 350 millones, en enero de 2009. Como muchas otras personas yo también me enganché al cubo de Rubik. Le di vueltas y más vueltas a sus caras, aunque sin conseguir llevarlo a su estado inicial, con cada una de sus caras de un único color. Finalmente me compré uno de esos manuales que explicaban un método de resolución del rompecabezas cúbico, y llegué a resolverlo en menos de un minuto. Ese libro era “Domine fácilmente el cubo mágico” (Czes Kosniowski, Editorial Fontalba, 1981) y me costó 190 pesetas. Lo que mostraba este librito era lo que se conoce como un algoritmo de resolución del rompecabezas, es decir, una secuencia de movimientos encaminados a llevar al cubo a su posición inicial a partir de una posición “caótica” cualquiera. El algoritmo del libro que me compré era el algoritmo que había desarrollado David Singmaster y que publicó en su manual “Notes on Rubik’s magic cube”, de 1981. Como se puede ver en la imagen, la idea es esencialmente ir resolviendo el cubo capa por capa, primero la cara de abajo y la primera fila de cubitos, después la segunda fila y la cruz superior, y finalmente los cuatro vértices de arriba. Este es un método para principiantes, es decir, que puede aprender fácilmente cualquier persona.  Es bastante lento ya que requiere muchos movimientos en general, pero con práctica, como fue mi caso en aquellos años, puedes llegar a resolver el cubo mágico en menos de un minuto. Ya desde el principio de la comercialización del juego se planteó el problema de diseñar algoritmos de resolución que permitieran llevar al cubo de Rubik a su posición inicial en el menor número de movimientos posible. Y se llamó algoritmo de Dios a la solución óptima que utilizaba el mínimo número de movimientos. David Singmaster, en su libro “Notes on Rubik’s magic cube”, ya mostró que el algoritmo de Dios necesitaba un mínimo de 18 movimientos, puesto que se dio cuenta de que algunas posiciones concretas necesitaban al menos ese número de movimientos para llevarlas a la posición inicial, independientemente de la técnica para resolverlo. Pero, ¿Cuál sería el número de movimientos del algoritmo de Dios? La primera cifra que se menciona es de nuevo por parte de Singmaster, quien habla de 277 movimientos. Él mismo cita que Berlekamp, Conway y Guy (los autores de la conocida serie de libros “Winning ways for your mathematical play”) habían desarrollado un algoritmo para el que se necesitaban, como mucho, 160 movimientos. Y poco después Conway lo bajó a 94 movimientos. En la wikipedia [http://en.wikipedia.org/wiki/Optimal_solutions_for_Rubik%27s_Cube] se citan diferentes algoritmos que han permitido ir bajando el número de movimientos. El algoritmo de Thistlethwaite, desarrollado en 1981 por el matemático británico Morwen Thistlethwaite, quien demostró que con su algoritmo podía llevarse el cubo de Rubik a su posición inicial en 85 movimientos como mucho, aunque posteriormente probaría que eran menos, primero 80, luego 63 y por último, 52. En 1992 se desarrolló el algoritmo Kociemba que bajó el número de Dios a 40 movimientos. Poco a poco ese número fue bajando. Y en 2007, Daniel Kunkle and Gene Cooperman, utilizando métodos computacionales, demostraron que el cubo de Rubik 3×3×3 podía ser resuelto en 26 movimientos como mucho. En 2008, Tomas Rokicki  bajó este número a 22 movimientos y en Julio de 2010, un grupo de investigadores, que incluía a Rokicki (Tomas Rokicki, Herbert Kociemba, Morley Davidson, and John Dethridge), y trabajando con la ayuda de Google, demostró que el número de Dios es 20. Una cuestión relacionada con los algoritmos de resolución del cubo de Rubik es el tiempo que se invierte en la resolución del mismo. Así en el primer campeonato organizado a nivel internacional, organizado por el Libro Guinness de los Récords en 1981 en Munich, el ganador tardó 38 segundos en realizarlo (todos los cubos se giraron 40 veces para desordenarlo). Al año siguiente, en Budapest, en el Primer Campeonato Mundial de Cubo de Rubik, el ganador tardó 22,95 segundos. En la actualidad el record mundial de velocidad en resolver el cubo de Rubik lo tiene el holandés Mats Valk, con tan solo 5,55 segundos. Pero centremos nuestra atención en el motivo de este artículo, la presencia del cubo de Rubik en la publicidad. El primer anuncio que os muestro, el de la imagen anterior, es de la editorial brasileña Companhia das Letras y viene a decir que dedicar tiempo a resolver el cubo de Rubik es una pérdida de tiempo. El lema del anuncio es el siguiente: “You could have read 74 pages of  The Metamorphosis, by Franz Kafka” (Podrías haber leído 74 páginas de la novela de Franz Kafka, La metamorfosis). Y se refiere a que si no hubiésemos estado jugando con el rompecabezas, podríamos haber utilizado mejor ese tiempo en algo más provechoso, como  leer algún libro, que es lo que simboliza la novela de Kafka. Otro anuncio publicitario en el que se asocia algo negativo al cubo de Rubik, como es el hecho de que te provoque un dolor de cabeza, es el siguiente del macro centro comercial de Rio de Janeiro (Brasil) Casa shopping. Está formado por más de 150 tiendas dedicadas a la arquitectura, la construcción y el diseño de interiores. Como dicen en su página web “Hay una amplia variedad de decoración, muebles, objetos, pinturas, productos electrónicos y una multitud de artículos para el hogar tiendas”. El lema de la publicidad es “Monta tu casa sin dolor de cabeza. Decora en el lugar correcto”. Para intentar resolver el cubo de Rubik hay que darle muchas vueltas a las caras. Utilizando esta idea, la marca francesa de automóviles Peugeot realiza esta publicidad para anunciar un coche Peugeot con GPS incorporado,  en la que el cubo de Rubik es un mapa y el lema es “No more turns” (No más vueltas). Además, las personas que intentaban resolver el cubo mágico solían estar muy concentradas, por eso tiene cierta gracia este anuncio de la empresa alemana Fritz Cola. Según su propia página web, esta es una empresa formada (legalmente en 2003) por dos amigos, Mirco y Lorenz, que durante un InteRail juntos estuvieron dándole vueltas a la idea de formar una empresa entre ambos. Un día, mientras se comían una pizza y bebían una coca cola, decidieron desarrollar una bebida de cola distinta a las que había en el mercado. Una cola con mucha cafeína, menos dulce y un toque de limón. En la publicidad que os traemos aquí de esta marca de cola, el lema es “caffeine. Highly concentrated” (Cafeína. Altamente concentrada). Un anuncio gracioso. Una publicidad que me ha gustado mucho es la siguiente. La empresa anunciante es una empresa de productos de peluquería, Goldwell. Podemos ver a una mujer rubia, vestida con traje y sentada, con una cartera al lado, de la que se ve que ha sacado algo ya que está medio abierta. En sus manos sujeta un cubo de Rubik resuelto, que de hecho acaba de resolver. Se anuncia un color para el pelo “blonde brilliance”, que es un juego de palabras. La palabra “brilliance” significa “brillo, resplandor, luminosidad”, luego sería algo así como “resplandor rubio”, pero también significa “brillantez, genialidad”, luego también podríamos traducirlo como “genialidad rubia”. En el siguiente anuncio vemos dos partes. En la parte de la izquierda hay un cubo de Rubik con los colores mezclados, y debajo TV (televisión), mientras que en la parte de la derecha vemos el rompecabezas resuelto, con cada cara de un color, y debajo NTV, que es una cadena de televisión turca. Después el lema del anuncio está situado debajo del cubo resuelto y el logo de NTV, y dice “the smart box”, es decir, “la caja inteligente”, en contraposición a la expresión que se suele utilizar para la televisión, “la caja tonta”. Por supuesto, también hay anuncios para la televisión, como ya vimos en las anteriores entradas. En este artículo vamos a ver un spot publicitario de la empresa francesa de automóviles Citroen. En este anuncio se plantea un paralelismo entre el problema de resolver el cubo de Rubik y el problema de los atascos en una ciudad.  Citroen, con sus coches, ayuda a resolver el problema de tráfico de las ciudades, y para mostrarlo a las personas que vean el anuncio se ve un cubo de Rubik de coche resolviéndose en mitad del atasco, y al resolverse se soluciona este. Podéis verlo aquí: Tras el éxito comercial del cubo de Rubik, empezaron a crearse rompecabezas similares. A continuación, os dejo con un par de anuncios en los que aparecen puzzles geométricos similares, uno 2x2x2 y el otro 6x6x6. Pero también nos encontramos publicidad relacionada con el cubo de Rubik en nuestro entorno más cercano, paseando por nuestra ciudad, nuestro trabajo, tiendas o centros oficiales (ambulatorios, hospitales, hacienda, etc). Aquí os muestro cuatro ejemplos de mi entrono (buscad vosotros y vosotras los vuestros)… Uno de la Facultad de Ciencia y Tecnología de la UPV-EHU (en la que trabajo) relacionado con unas jornadas sobre investigación, el siguiente de la Diputación Foral de Bizkaia (la diputación de la provincia en la que vivo) de la campaña de la renta del año 2009, otro del Gobierno Vasco sobre un número de atención ciudadana y por último un anuncio de calzado de la marca Yumas, que vi en una tienda de mi barrio. Y aunque tengo bastantes anuncios publicitarios más que utilizan el cubo de Rubik, ya es momento de concluir este artículo de hoy, así como de cerrar la trilogía que iniciamos en el mes de julio. Pero vamos a terminar con una imagen más. Es un anuncio de la internacional estadounidense de material deportivo (calzado, ropa, equipo, accesorios, etc) Nike. Se ve como dos pies están resolviendo el cubo mágico y el lema dice “entrena tus pies”…

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504. 60. (Septiembre 2014) Teoría generativa de la música - III

Tras el descanso de verano, continuamos con la tercera entrega de la serie sobre la obra de Fred Lerdahl y Ray Jackendoff A Generative Theory of Tonal Music [LJ83], publicada en 1983 (en castellano se publicó en 2003 por Akal [LJ03] con traducción de Juan González-Castelao). En el primer artículo de la serie [Góm14b] examinamos la génesis de esta obra y sus fundamentos teóricos generales junto con su base matemática. En el segundo artículo [Góm14a], estudiamos el agrupamiento y la métrica así como las reglas de formación del agrupamiento y las reglas de preferencia del agrupamiento. En este tercer artículo estudiaremos aquellos fenómenos que, según los autores, permiten al oyente reconocer una estructura métrica en el flujo musical (considerado este como el resultado final de todas los parámetros musicales juntos: melodía, conducción de voces, ritmo, armonía, textura, etc.). Tal y como ocurrió en el artículo anterior, las reglas se dividirán en dos tipos, las reglas de formación correcta de la métrica (RFCM de aquí en adelante) y las reglas de preferencia de la métrica (RPM por abreviar). Las RFCM describen las estructuras métricas que son posibles y las RPM especifican los criterios bajo los cuales un oyente considera más estables las estructuras métricas. Antes de continuar, recordamos al lector que una parte en un cierto nivel que lo es también a un nivel superior se dice que es parte fuerte; en otro caso, se dice que la parte es débil. En la figura siguiente, por ejemplo, las partes 2, 5, 8 y 11 son partes fuertes al nivel de la corchea y las partes 2 y 8 son fuertes al nivel de la negra con puntillo y la blanca con puntillo. En cambio, las partes 3, 4, 6, 7, 9, 10 son partes débiles. No todas las partes fuertes tienen que serlo a todos los niveles. Figura 1: Partes fuertes y débiles (figura tomada de [LJ83]). 1. Reglas de formación de la estructura métrica Las reglas formuladas por Lerdahl y Jackendoff en el capítulo 4 de su libro son fundamentalmente reglas extraídas de la observación empírica, como podremos comprobar enseguida. RFCM 1: Cada punto de ataque debe estar asociado con un tiempo en el nivel más bajo de la estructura métrica. RFCM 2: Cada parte en un nivel métrico dado tiene que ser una parte en los niveles inferiores a él. RFCM 3: En cada nivel métrico, las partes fuertes están a distancia entre sí de o bien dos partes o bien tres partes. RFCM 4: La distancia entre las partes de cada nivel métrico debe ser constante. La primera regla establece que no hay puntos de ataque fuera de la malla proporcionada por la estructura métrica. Como es natural, el problema de los adornos o los valores irregulares no está contemplado en esta regla. Más adelante los autores tratan este problema. La regla RFCM 2 refleja la estructura jerárquica de la métrica de la música tonal. En el ejemplo de la figura 2, parte (b) , se puede apreciar una violación de esta regla en la cuarta nota, que tiene ausencia de un tiempo en un nivel inferior de la métrica. La asignación de los tiempos en la métrica de la figura, parte (a), es correcta según la regla RFCM 2. Figura 2: Ilustración de la regla RFCM 2 (figura tomada de [LJ83]). La regla RFCM 3 establece nada más y nada menos que las subdivisiones de los tiempos solo pueden ser binarias y ternarias. En una gran parte de la música occidental esto es así, al menos en la música clásica del periodo de la práctica común (en la música tonal) y en la música popular moderna. La regla RFCM 4 observa un hecho fundamental de la música tonal aquí analizada: descansa sobre una malla isócrona de pulsos regulares. La métrica se organiza alrededor de estos pulsos con un sistema de acentos recurrentes. Cualquier lector con un mínimo de experiencia musical (bien como oyente atento o como intérprete) caerá en la cuenta de que estas reglas pecan venialmente de estrictas. Por ejemplo, en rigor sabemos que los pulsos no son regulares en todas las ocasiones. Pensemos en el rubato expresivo tan frecuente e importante en la música clásica. Incluso sin ir a algo tan patente como el rubato, basta considerar las microvariaciones rítmicas que se producen en toda interpretación y que caracterizan las interpretaciones musicales (opuesto, por ejemplo, a las interpretaciones de música hechas por ordenador). Los mismos autores son conscientes del exceso de rigor descriptivo de las reglas y ponen el siguiente ejemplo (véase la figura 3) para ilustrar la necesidad de relajar esas reglas y hacerlas más fieles a la realidad musical. La presencia de las semicorcheas, que son meras notas de paso aquí, fuerzan una estructura métrica demasiado extensa, cuando en realidad no es necesario; la figuración rítmica gravita en torno a las corcheas con puntillo, las negras y las corcheas. Figura 3: Niveles métricos del comienzo de la sonata KV 331 de Mozart (figura tomada de [LJ83]). En pasajes como el de la figura 4, comunes en la música tonal, encontramos subdivisiones métricas dentro de la misma frase. La aplicación de las reglas anteriores, tal cual están formuladas, produciría una estructura métrica ciertamente farragosa, que por encima de todo no se correspondería con la escucha del oyente. El oyente no percibiría el pasaje de la figura  con una métrica cuyas partes son el mínimo común múltiplo de sus partes binarias y de sus partes ternarias. Antes al contrario, interpretará, de manera natural, como que tiene una alternancia de estructuras métricas. Figura 4: Música con diferentes subdivisiones (sonata para clarinete de Brahms) (figura tomada de [LJ83]). Lerdahl y Jackendoff resuelven este problema introduciendo el concepto de tactus. El tactus es el nivel métrico más prominente y al cual típicamente se asocia el tempo con que el director conduce o con el que de modo natural seguimos el ritmo (con el cuerpo, dando palmas, etc.). El tactus suele ser situarse en un tempo medio. Si el tempo de la obra es rápido, el tactus tiene una figuración de notas largas; si, en cambio, es lento, la figuración es de notas cortas. Con ayuda del tactus los autores refinan las reglas dadas más arriba. La nueva premisa es que el tactus debe ser constante, pero en función del contexto musical ciertos niveles métricos se pueden descartar, aquellos que están muy lejos del tactus, normalmente más allá de tres niveles métricos por arriba y por abajo. Las nuevas reglas RFCM 1 y RFCM 2, ahora refinadas, son las siguientes: RFCM 1 (refinada): Cada punto de ataque tiene que estar asociado a una tiempo en el nivel métrico más pequeño que haya en ese momento preciso en la pieza. RFCM 2 (refinada): Cada parte de un nivel determinado debe ser parte en todos los niveles inferiores que haya en ese momento preciso de la pieza. Empero, el refinamiento de estas dos reglas no soluciona el problema planteado por la pieza de Brahms más arriba (figura 4). Con el siguiente refinamiento de la regla RFCM 4 Lerdahl y Jackendoff solucionan ese caso. RFCM 4 (refinada): El tactus y los niveles métricos inmediatamente superiores deben estar formados por partes cuya distancia sea constante en una pieza dada. En los niveles inferiores al del tactus, las partes débiles deben tener una distancia constante entre las partes fuertes. 2. Reglas de preferencia de la estructura métrica Asociadas a una misma pieza musical varias estructuras métricas son posibles. Los autores ilustran este punto con un fragmento de la sinfonía número 40 de Mozart (figura 5). Cada una de las posibilidades métricas cumple las reglas de formación correctas de la métrica enunciadas más arriba. Entonces ¿cuál elegir como la más adecuada para describir la escucha de esta pieza por un oyente ideal? He aquí cuando entran en juego las reglas de preferencia de la métrica (RPM). Con estas reglas los autores quieren modelizar cómo escucha la música su oyente ideal. Es interesante hacer notar que Lerdahl y Jackendoff hablan constantemente del oyente ideal. Ese oyente lo tienen ellos en mente y es producto de su experiencia musical, pero tal oyente no ha sido caracterizado de modo empírico, esto es, ellos no llevaron a cabo experimentos para contrastar hasta qué punto su oyente ideal compartía características con el oyente real. Figura 5: Varias posibles estructuras métricas asociadas a una misma pieza (figura tomada de [LJ83]). De las tres posibles estructuras métricas presentadas abajo, Lerdahl y Jackendoff concluyen que es la primera la que mejor se ajusta a la intuición de su oyente ideal. Para formalizar tal decisión enuncian las reglas de preferencia de la métrica, que son las siguientes: RPM 1 (paralelismo): Allá donde dos o más grupos o partes de grupo se puedan construir con paralelismo, recibirán preferiblemente una estructura métrica que refleje ese paralelismo. RPM 2 (parte fuerte pronto): Prefiérase relativamente una estructura métrica en que la parte fuerte de un grupo aparezca pronto en el grupo. RPM 3 (eventos): Prefiérase una estructura métrica en la cual un parte en el nivel Ni que da lugar a un evento tonal sea parte fuerte en Ni. RPM 4 (acento): Prefiérase una estructura métrica en la cual las partes en el nivel Ni que tienen acento son también partes fuertes en el nivel Ni. RPA 5 (duración): Prefiérase la estructura métrica en la que los tiempos relativamente fuertes tengan lugar al comienzo de: (a) o bien un evento tonal relativamente largo, (b) o bien de una duración relativamente larga de una dinámica, (c) o bien de una ligadura relativamente larga, (d) o bien de un patrón de articulación relativamente largo, (e) o bien de una duración relativamente larga de una nota en varios niveles métricos, (f) o bien de una duración relativamente larga de una armonía en varios niveles métricos. La primera regla es bastante intuitiva. Nuestro oído tiende a percibir como similares aquellos grupos que poseen paralelismo entre sí y esto se extiende de manera natural a la estructura métrica. Para la segunda regla los autores dan el siguiente ejemplo (la coda de la obertura Leonora de Beethoven). En él, observamos una secuencia formada por una escala descendente. La escala tiene longitud seis, pero en la realización de la séptima escala —marcada con un asterisco en la figura —encontramos que tiene longitud siete. A pesar de ello, se percibe la primera nota de cada escala como el tiempo fuerte a causa del salto interválico ascendente. Figura 6: Segunda regla de preferencia de la métrica (figura tomada de [LJ83]). Con respecto a la tercera regla, el ejemplo anterior sirve para su análisis. La regla RFCM 3 exige que las partes fuertes estén igualmente espaciadas. Eso no ocurre en muchas ocasiones, en el ejemplo anterior sin ir más lejos. La regla RPM 3 establece que se debe preferir una estructura métrica de modo que se minimice la quiebra de RFCM 3. La regla RFCM 4 establece se debe preferir una métrica en que los acentos fenoménicos (véase [Góm14b]) caigan sobre las partes fuertes y que, si ello no es posible, también se minimicen las excepciones. La regla RFCM 5 propone que la estructura métrica sea tal que los tiempos fuertes caigan sobre aquellos fenómenos musicales de longitud relativamente larga. Lerdahl y Jackendoff hacen un análisis detallado de dichos fenómenos, que van desde los eventos tonales hasta el ritmo armónico (de ahí lo prolijo de esta regla). 3. Conclusiones Las reglas que hemos analizado en este capítulo siguen la misma filosofía que encontramos en su momento en reglas del agrupamiento. Lerdahl y Jackendoff describen primero unas reglas de formación correcta, que intentan formalizar los fenómenos observados en la práctica musical, y más tarde dan reglas de preferencia, que tratan de definir qué estructuras métricas son más naturales en la percepción de la música tonal. De nuevo, la descripción de estas reglas está hecha de manera no matemática, aunque de hecho admitirían una descripción matemática. En el siguiente artículo de la serie, el último, estudiaremos el sistema analítico de Lerdahl y Jackendoff, el cual se basa en las reglas examinadas en estos tres primeros artículos.   Bibliografía [Góm14a] F. Gómez. Teoría generativa de la música - I, consultado en julio de 2014. [Góm14b] F. Gómez. Teoría generativa de la música - II, consultado en junio de 2014. [LJ83] F. Lerdahl and R. Jackendoff. A Generative Theory of Tonal Music. MIT Press, Cambridge, Massachussetts, 1983. [LJ03] F. Lerdahl and R. Jackendoff. Teoría generativa de la música tonal. Akal, 2003. Traducción de Juan González-Castelao Martínez.

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505. 59. (Julio 2014) Teoría generativa de la música - II

Esta es la segunda entrega de la serie sobre la obra de Fred Lerdahl y Ray Jackendoff A Generative Theory of Tonal Music [LJ83], publicada en 1983 (en castellano se publicó en 2003 por Akal [LJ03] con traducción de Juan González-Castelao). En el primer artículo de la serie [Góm14] examinamos la génesis de esta obra y sus fundamentos teóricos. En este artículo estudiaremos el agrupamiento y la métrica en primer lugar; a continuación, veremos cómo es la interacción entre ambos; seguiremos con la definición de las reglas de formación del agrupamiento y acabaremos con las reglas de preferencia del agrupamiento. Cerraremos con una breve conclusión en que discutiremos las matemáticas que se encuentran en la teoría generativa de Lerdahl y Jackendoff. 1. La estructura rítmica: agrupamiento y métrica En los primeros capítulos Lerdahl y Jackendoff estudian el ritmo en profundidad. Se fijan en dos fenómenos rítmicos en particular: el grupo y la métrica. Según estos autores, el grupo aparece de manera natural cuando un oyente escucha una pieza de música; su oído detecta los motivos, los temas, las frases, los periodos, los grupos temáticos, las secciones y finalmente integra todo en la pieza entera. A la vez, como es el caso de la música tonal analizada en el libro, se encuentra la métrica, que está relacionada con los patrones regulares de acentos fuertes y débiles. Ambos fenómenos son distintos en esencia, pero su interacción constituye una importante fuerza musical. En esta sección examinaremos cada uno por separado y en la siguiente sección la interacción entre ellos. 1.1. La estructura de la agrupación Lerdahl y Jackendoff apelan para la definición de agrupación a la tendencia del ser humano a percibir los objetos en grupos (ambos son perfectos conocedores de la teorías gestaltistas de la percepción, como se demuestra a lo largo de todo el libro). Ellos ven el grupo como un componente básico del entendimiento musical (página 13). La primera hipótesis que formulan acerca de la agrupación en la percepción musical es que esta ocurre de manera jerárquica. Por ejemplo, un motivo es parte de un tema, el cual a su vez es parte de un grupo temático formado por dos o más temas, el cual es parte de una sección, y así sucesivamente. Esta jerarquía clasifica los grupos por su tamaño (un motivo es menor que una sección) e incluye un grupo en otro mayor en base a las relaciones musicales entre ellos. En su lenguaje, si un grupo está incluido en otro se dice que el primero está subordinado al segundo; si un grupo contiene a otro, del primero se dice que domina o está superordinado al segundo. Los autores representan los grupos mediante conjuntos de ligaduras, como en el ejemplo de la figura 1. En dicha figura vemos que dos instancias del grupo p están incluidas en el grupo q. Figura 1: Representación de grupos (figura tomada de [LJ83]). La segunda hipótesis sobre el agrupamiento es el solapamiento. Dada la estructura estrictamente jerárquica de los grupos, el solapamiento no está permitido entre grupos que pertenecen a un mismo grupo dominante. Así, el agrupamiento de la izquierda de la figura 2 constituye un agrupamiento aceptable, mientras que el de la derecha no lo es a causa de los solapamientos. Figura 2: Representación de grupos (figura tomada de [LJ83]). A partir de estas dos hipótesis, Lerdahl y Jackendoff añaden otras dos, que ya no son tan generales y que perfilan y definen el sentido de su teoría generativa. La primera hipótesis es la estructura recursiva de los agrupamientos. Si un grupo dominante contiene un determinado número de subgrupos, esta relación, sin cambios sustanciales, se da en cualquier nivel. El ejemplo que ponen para ilustrar esto es el comienzo del scherzo de la sonata opus 2, número 2, en la mayor, de Beethoven, que vemos reproducido en la figura 3. Figura 3: Estructura recursiva de los grupos (figura tomada de [LJ83]). La segunda hipótesis se refiere a la formación de los grupos y se sigue del principio de no solapamiento enunciado más arriba. Establece que el agrupamiento de grupos no contiguos no está permitido. Los grupos que pueden agruparse en otro más grande han de ser grupos contiguos. De otro modo, se producirían solapamientos prohibidos entre grupos. Así, si tenemos estos dos grupos (a,a,b) y (a,a,b) a un cierto nivel, el agrupamiento permitido es (a,a,b,a,a,b), pero no, por ejemplo, los grupos (a,a) y (b,a,a,b). Este principio aparece reflejado también en el ejemplo de la figura 3, donde todos los agrupamientos se producen entre grupos contiguos. 1.2. La estructura métrica Siendo conscientes de los problemas terminológicos que el concepto de acento posee, Lerdahl y Jackendoff empiezan esta sección (página 17) definiendo este término de manera precisa. Distinguen tres tipos de acentos: el acento fenoménico, el acento estructural y el acento métrico. El acento fenoménico, el más general en su definición, es cualquier evento en la superficie musical que haga énfasis sobre algún elemento musical en un momento dado de la música. En el ejemplo de la figura 4, una reducción para piano de La danza de las jóvenes de La consagración de la primavera, tenemos ejemplos de acentos fenoménicos, que son los acentos que Stravinsky marcó en tiempos inesperados (marcados con el signo > en la partitura). Figura 4: Ejemplo de los distintos tipos de acentos. El acento estructural es el producido por los puntos de gravedad armónicos y melódicos en una frase o sección; está fuertemente relacionado con el ritmo armónico o con el sentido final de la melodía. Por último, el acento métrico es cualquier tiempo que es relativamente fuerte en su contexto métrico. Para hablar de métrica es necesario suponer que existe una red de tiempos y que existe un patrón regular de tiempos fuertes y débiles. En el ejemplo anterior, el compás 2/4 marca que la primera negra es fuerte y la segunda débil; al nivel de la semicorchea ese patrón se hereda y tenemos cuatro corcheas en que las corcheas impares son fuertes y las corcheas pares débiles. Obviamente, los tres tipos de acentos tienen estrechas relaciones en muchas ocasiones. A veces el acento fenoménico coincide con el métrico como pasa en el ejemplo de Stravinsky, donde algunas partes fuertes del compás de 2/4 coinciden con los acentos (pero otras, en cambio, no). El acento fenoménico suele tener bastante relevancia perceptual y puede contradecir o no el acento métrico. Si el acento fenoménico es regular y se alinea con el métrico, se apoyan mútuamente, podríamos decir, entonces la sensación de regularidad es muy alta. Si por el contrario, el acento fenoménico, aun siendo regular, entra en claro conflicto con el métrico, entonces se produce una gran tensión rítmica. Muy interesantes son los comentarios de la página 18 sobre la naturaleza de la métrica que hacen Lerdahl y Jackendoff (nuestra traducción). Before proceeding, we should note that the principles of grouping structure are more universal than those of metrical structure. In fact, though all music groups into units of various kinds, some music does not have metric structure at all, in the specific sense that the listener is unable to extrapolate from the musical signal a hierarchy of beats. (Antes de proseguir, deberíamos hacer notar que los principios de agrupamiento son más universales que los de la estructura métrica. De hecho, aunque todas las músicas agrupan en unidades de diversos tipos, algunas músicas no tienen estructura métrica en absoluto, en el sentido específico de que el oyente es incapaz de extrapolar una jerarquía de tiempos a partir de la señal musical.) Aquí los autores reconocen que la estructura métrica es un constructo mental; en cambio, el agrupamiento es producto de un proceso perceptual. Como dijimos arriba, los elementos básicos de la métrica son los tiempos. Estos tiempos son puntos temporales y como tales no tienen duración. La duración entre los tiempos se llama intervalo temporal y estos sí tienen duración. Una hipótesis que hacen Lerdahl y Jackendoff es que los tiempos están igualmente espaciados. A partir de aquí, y a imagen y semejanza de lo que pasó con el agrupamiento, se dota a la métrica de una estructura jerárquica. Esto es típico de la música tonal objeto del análisis del libro, la música tonal de la práctica común. Un tiempo fuerte a cierto nivel métrico es descompuesto en dos o tres tiempos, dependiendo la división del compás, donde el primer tiempo fuerte sigue siéndolo en el nuevo nivel métrico. Los autores ilustran este punto con la siguiente figura: Figura 5: Jerarquía de la estructura métrica (figura tomada de[LJ83]). Los principios que se establecieron para el agrupamiento —recursión, no solapamiento y adyacencia—se aplican con igual vigencia a la estructura métrica. En la figura 5 (a) tenemos un primer nivel en que todos los tiempos son fuertes (indicado por los puntos); en el siguiente nivel son los impares y, por último, en el siguiente nivel los tiempos fuertes son los múltiplos de cuatro. La figura 5 (b) muestra un esquema similar pero con un compás de 3/4. En una pieza suele haber alrededor de cinco o seis niveles métricos. La métrica indicada por el compás suele ser la del nivel medio. No todos los niveles métricos se oyen con la misma prominencia. De hecho, un oyente puede centrar su atención en diversos niveles métricos a voluntad, pero los más prominentes son aquellos en que los tiempos van a una velocidad moderada. Ledahl y Jackendoff son conscientes de los peligros que implica llevar un análisis métrico a gran escala. Ilustran estos peligros con el análisis del comienzo de la sinfonía número 40 de Mozart. Mientras que el análisis de la estructura métrica a pequeña escala es claro y unívoco, al análisis a gran escala (analizaron solo 9 compases) presenta muchas dificultades formales, hasta el punto que ellos mismos hablan ya de interpretación y no de análisis en sí mismo. Esta es una de las virtudes metodológicas de este libro: en general, delimita muy bien el alcance de sus hipótesis tanto por la discusión desarrollada como por los ejemplos que poner. 2. La interacción entre el agrupamiento y la estructura métrica Para los autores es importante que las propiedades del agrupamiento y la estructura métrica, aunque sean semejantes, se mantengan separadas para el análisis. Ello no obsta para que investiguen sus interacciones, si bien desde definiciones formales diferentes. El siguiente pasaje del minueto de la sinfonía de Haydn número 104, en el que se ven ambos análisis, el de agrupamiento y el métrico, esclarece el porqué de ese empeño. Figura 6: Interacción entre agrupamiento y estructura métrica (figura tomada de [LJ83]). Vemos que el agrupamiento no está alineado con la estructura métrica, que lleva su propia regularidad independiente de esta. Hay tiempos fuertes que caen en diversas partes de los grupos. Sin embargo, lo que oímos es el resultado de ambas interacciones. 3. Reglas de formación del agrupamiento Esta sección es una síntesis del capítulo 3 del libro, capítulo que dedica a estudiar la organización de la superficie musical en grupos (página 36). Desde el primer momento, los autores mantienen que las reglas de formación del agrupamiento son independientes del lenguaje musical concreto. Esto significa que un oyente poco familiarizado con un lenguaje musical puede inferir el agrupamiento de una pieza en ese lenguaje. Aunque el libro fue publicado en el año 83, cuando la cognición musical ya había empezado a desarrollarse con fuerza, se echa de menos en esta parte referencias a la investigación empírica. Esta afirmación de que la formación de grupos es un principio general y que no depende del lenguaje musical requiere referencias a estudios con sujetos procedentes de diversas culturas. Hoy en día sabemos que, aunque es cierto que hay principios perceptuales que operan de modo general, hay muchos mecanismos de agrupación que provienen de la enculturación, sea esta consciente o no. Tras los dos primeros capítulos, donde Lerdahl y Jackendoff describieron el agrupamiento y la métrica e hicieron las pertinentes hipótesis, ahora se centran en detallar la gramática generativa. Para ello dan una serie de reglas de formación correcta del agrupamiento (abreviadamente de aquí en adelante como RFCA). Antes de empezar a enumerar, los autores ponen encima de la mesa una limitación en el alcance de la teoría. Su teoría solo explica la música que es esencialmente homofónica y no la polifónica. Dejan como problema abierto esta cuestión, es decir, generalizar esta teoría de modo que pueda explicar la música contrapuntística y heterofónica. Las reglas de formación especifican en qué condiciones se pueden formar los grupos. Estas reglas rezan como sigue: RFCA 1: Cualquier sucesión contigua de eventos tonales, golpes de tambor o similares pueden constituir un grupo, y solo sucesiones contiguas pueden constituir grupos. RFCA 2: Una pieza constituye un grupo. RFCA 3: Un grupo puede estar constituido por otros grupos. RFCA 4: Si un grupo G1 contiene parte de otro grupo G2, entonces tiene que contener a todo G2 entero. RFCA 5: Si un grupo G1 contiene un grupo más pequeño G2, entonces G1 tiene que descomponerse en grupos más pequeños. Para ilustrar estas reglas, los autores toman los primeros compases de la sinfonía de Mozart número 40, en sol menor. En la figura 7 vemos la formación de grupos a tres niveles, las cuales se han realizado acorde a las RFCA. Figura 7: Reglas de formación correcta del agrupamiento (figura tomada de [LJ83]). La regla RFCA 1 no es más que la consecuencia inmediata de las definiciones de agrupamiento dadas más arriba, en la sección 1.1. Esta regla, por ejemplo, impide que las notas re del pasaje anterior se puedan considerar un grupo, ya que no son contiguas. Aquí se percibe que detrás de esta regla está el principio de contigüidad de la psicología gestaltista. Las reglas RFCA 2 y RFCA 3 son una especie de condición de frontera; la pieza entera ha de percibirse como un todo y no como sucesión aislada de eventos. Las reglas RFCA 4 y RFCA 5 tienen más calado musical. Determinan cómo ha de realizarse la inclusión de unos grupos dentro de otros. La regla RFCA 4 está pensada para que agrupaciones como las de abajo no ocurran: Figura 8: Agrupamientos incorrectos (figura tomada de [LJ83]). Estos agrupamientos tienen solapamiento (el de la izquierda) y también vemos que G1 contiene parcialmente una instancia de G2 (ejemplo de la derecha). La regla RFCA 5 por su parte prohibe estructuras de agrupamiento como la de la figura 9. Figura 9: Otros agrupamientos incorrectos (figura tomada de [LJ83]). En estos agrupamientos vemos descomposiciones en grupos incompletas; la unión de G2 y G3 no da el grupo G1. Esta regla no prohibe, sin embargo, la descomposición de un grupo mientras que otra instancia de ese mismo grupo pueda no estar descompuesta. Véase el agrupamiento en el ejemplo de Mozart de la figura 7, en los tres primeros compases. Lerdahl y Jackendoff son perfectamente conscientes que estas reglas no cubren todos los casos que se pueden encontrar en la práctica musical. En particular, no cubren las solapamientos de grupos y elisiones. La manera de tratar estos dos fenómenos musicales en su teoría no fue la de ampliar las reglas anteriores, sino crear una nueva categoría de reglas, llamadas reglas de transformación, que presentarán más tarde. Estas reglas de transformación tratarán el problema del solapamiento de grupos y las elisiones. 4. Reglas de preferencia del agrupamiento De nuevo, con su habitual honestidad intelectual, Lerdahl y Jackendoff reconocen que las reglas que han enumerado hasta ahora pueden dar lugar a agrupamientos que van en contra de la intuición musical más básica. De hecho, ellos mismos ponen los siguientes ejemplos (página 39). Figura 10: Agrupamientos poco intuitivos permitidos por las RFCA (figura tomada de [LJ83]). En efecto, parece que ninguna de estas agrupaciones podría corresponder al agrupamiento “natural” (bien van contra armonía, o contra la agrupación melódica). Los autores no se enfrentan a esta situación aumentando las reglas de formación. En su lugar, proporcionan un nuevo tipo de reglas, las reglas de preferencia de la agrupación (RPA a partir de ahora) . Estas reglas de preferencia se basan fuertemente en los principios gestaltistas de proximidad y similitud (y en el libro emplean un buen número de páginas a explicarlas a partir de ejemplos tomados del campo visual). Las reglas de preferencia están divididas, a su vez, en dos categorías: las reglas de detalle local y las reglas de alto nivel. Dentro de la jerarquía ascendente de agrupamiento, las reglas de detalle local formalizan los grupos a bajo nivel y las reglas de alto nivel, los grupos que comprenden los grupos más grandes. Empezaremos por las reglas de detalle local, que son las siguientes: RPA 1: Evítense los grupos que contengan un único evento. RPA 2 (proximidad): Considérense cuatro notas (n1,n2,n3,n4). Si el resto permanece igual, la transición n2 - n3 se puede oír como la frontera de un grupo si: (Ligadura/silencio) el intervalo de tiempo desde el final de n2 hasta el principio de n3 es mayor que el del final de n1 al principio de n2 y que el del final de n3 al principio de n4, o bien si (Punto de ataque) el intervalo de tiempo entre el ataque de n2 y n3 es mayor que el que va de n1 a n2 y el que va de n3 a n4. RPA 3 (cambio): Considérense cuatro notas (n1,n2,n3,n4). Si el resto permanece igual, la transición n2 - n3 se puede oír como la frontera de un grupo si: (registro) la transición n2 -n3 implica una distancia interválica mayor que la de n1 -n2 y la de n3 - n4, o si (dinámica) la transición n2-n3 implica un cambio en dinámica y las transiciones n1-n2 y la de n3 - n4 no tienen ese cambio, o si (articulación) la transición n2 - n3 implica un cambio de articulación y las transiciones n1 - n2 y la de n3 - n4 no tienen ese cambio, o si (longitud) n2 y n3 son de diferente longitud y los dos pares n1,n2 y n3,n4 no difieren en longitud. La primera regla RPA 1 tiene la intención de recoger la idea de que no se tiende a oír notas aisladas como eventos musicales significativos, sino que se tiende a integrarlos en grupos mayores. Solo en casos muy justificados (por otros elementos musicales apoyando fuertemente) podría identificarse una sola nota como un evento musical. La segunda regla de preferencia RPA 2 establece las condiciones en que se forman las fronteras entre grupos consecutivos. La regla trata el caso de cuatro notas, donde la frontera se crea entre las notas segunda y tercera. Esta creación ocurre cuando hay un elemento musical más prominente (distancia interválica, dinámica o articulación) exactamente antes y después. En el ejemplo de abajo vemos la aplicación de esta regla de preferencia. Gracias a ella se puede explicar como las tres primeras notas en (a), (b) y (c) de la figura 11 se oyen como un grupo y el resto de las notas como perteneciente a otro grupo distinto. Figura 11: Reglas de preferencia de proximidad (figura tomada de [LJ83]). La regla RPA 3 tiene bastantes paralelismos con la RPA 2. Los propios autores afirman en su libro que otros elementos musicales se pueden incorporar a esta regla, tales como la textura o el timbre. En la figura 12 tenemos un ejemplo en que se dan los cuatros casos de la regla de preferencia de cambio. Figura 12: Reglas de preferencia de cambio (figura tomada de[LJ83]). Por último, tenemos en la figura 13 el mismo pasaje de la sinfonía número 40 de Mozart donde se pueden apreciar distintas aplicaciones de las reglas de preferencia anteriores. Figura 13: Reglas de preferencia de cambio (figura tomada de [LJ83]). A continuación detallamos las reglas de organización de alto nivel. Son reglas que tratan de explicar y formalizar periodos más grandes de música que el motivo o simplemente que unos pocos compases. Para la regla RPA 7 necesitamos presentar dos nuevos conceptos, la reducción del tramo temporal y reducción de prolongación. La primera se refiere a cómo asignar a las alturas una jerarquía de importancia estructural con respecto a su posición en el agrupamiento y la métrica. La reducción de prolongación asigna a las alturas una jerarquía que expresa la tensión y relajación así como continuidad y progresión en los elementos armónicos y melódicos. En el artículo de septiembre se desarrollarán más a fondo estos dos conceptos. RPA 4 (intensificación): Fórmese una frontera que dé lugar a un grupo mayor allí donde los efectos dados por las reglas RPA 2 y RPA 3 sean más pronunciados. RPA 5 (simetría): Prefiéranse los análisis de agrupamientos que se acerquen más al ideal de subdivisión de un grupo en dos subgrupos de igual longitud. RPA 6 (paralelismo): Allí donde dos o más segmentos de la música se puedan concebir como paralelos, preferiblemente deberán formar partes paralelas de un mismo grupo. RPA 7 (estabilidad del intervalo temporal y de prolongación): Prefiérase una estructura de agrupamiento que dé como resultado un intervalo temporal o una reducción de prolongación más estable. En el ejemplo de la figura 14, la mera aplicación de las reglas RPA 2 (a) y (b) detectaría correctamente las fronteras entre los grupos de tresillos. Sin embargo, no marcaría la agrupación al siguiente nivel, el segundo, ya que esas reglas construyen las fronteras sobre las ligaduras y los ataques. La regla RPA 4 sí permite obtener las agrupaciones posteriores. Figura 14: Agrupaciones asociadas a tresillos (figura tomada de [LJ83]). Las reglas RPA 5 y RPA 6 construyen las fronteras de los grupos a base de maximizar la simetría y el paralelismo. En el caso de la simetría, la regla de preferencia aconseja que en lo posible los subgrupos tengan la misma duración. En la figura 15vemos dos conjuntos de tresillos. En la figura 15 (a), dado que son cuatro tresillos, es inmediato que la agrupación natural es la que está desarrollada ahí. En figura 15 (b) tenemos seis grupos de tresillos y ahora estamos en presencia de dos interpretaciones posibles, la (i) y la (ii). Ninguna de las dos satisface a todos los niveles la regla RPA 5. En este caso, hay que acudir a otras consideraciones (ritmo armónico, textura u otros). Figura 15: Diversas agrupaciones posibles asociadas a tresillos (figura tomada de [LJ83]). Para el caso del paralelismo, la regla RPA 6, tenemos el siguiente ejemplo. Figura 16: Agrupación basada en el paralelismo (figura tomada de [LJ83]). El grupo de notas de la figura 16 (a) puede agruparse de varias maneras, pero según la regla RPA 6 esto ha de hacerse en grupos de tres notas porque de este modo el paralelismo entre los grupos se hace patente. Lo mismo puede decirse de la figura 16 (b), en este caso siendo la agrupación de cuatro notas. En el próximo artículo se desarrollará y pondrán ejemplos de aplicación de la regla RPA 7. 5. Conclusiones Del estudio de las reglas anteriores se extraen interesantes conclusiones. Lerdahl y Jackendoff optan por una descripción no matemática de su teoría, incluso aunque esta sea claramente matematizable. La formalización del agrupamiento, como hemos visto arriba, lleva implícita el concepto de recursión, concepto matemático donde los haya. Además la formación de los grupos es muy similar a una relación binaria tal como puede ser la inclusión; dicha relación de formación de grupos posee unas reglas para evitar los solapamientos y las elisiones. La formalización para la métrica es muy similar a la del agrupamiento, incluyendo también el concepto de recursión. Los casos que faltan por cubrir en el primer estadio de la formalización se suplen con la definición de las reglas de preferencia, que recogen fenómenos musicales más complejos (creación de grupos en base a articulación, diferencia interválica o de longitud, paralelismo, simetría, etc.). Como vemos, la teoría generativa tiene un sustrato matemático nítido. La razón por la que Lerdahl y Jackendoff no exponen su teoría con un lenguaje abiertamente matemático (con símbolos y una formalización más dura) es porque no tienen interés en probar teoremas a partir de esta formalización (página 53, último párrafo). En su caso, se conforman con la exposición de su teoría en lenguaje natural (lo cual no quita que lo hagan con rigor) y confían en crear un sistema formal que constituya una buena descripción de la música tonal, que cubra cuanta más música posible y, por último, que sea lo más predictivo posible. También rechazan los aspectos cuantitativos de la teoría. No se esfuerzan en ningún momento en asignar funciones que puedan devolver números que expresen, por ejemplo, el grado de reducción de prolongación o la intensidad de la creación de la frontera de un grupo. Reconocen con total honestidad que no están interesados en esa cuantificación. Ellos quieren identificar las variables que son relevantes a la hora de establecer la intuición musical así como esas variables interactúan entre sí (página 54), pero no desde un punto de vista numérico.   Bibliografía [Góm14] F. Gómez. Teoría generativa de la música - I, consultado en junio de 2014. [LJ83] F. Lerdahl and R. Jackendoff. A Generative Theory of Tonal Music. MIT Press, Cambridge, Massachussetts, 1983. [LJ03] F. Lerdahl and R. Jackendoff. Teoría generativa de la música tonal. Akal, 2003. Traducción de Juan González-Castelao Martínez.

Martes, 22 de Julio de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

506. 88. (Septiembre 2014) SOLUCIÓN DEL CONCURSO: Y las bolas de nieve ganadoras son...

El concurso de bolas de nieve literarias ya tiene sus bolas ganadoras. Se han recibido 14 propuestas procedentes de 8 personas. ¡Muchas gracias por la participación! Para decidir las bolas ganadoras, hemos recurrido a un jurado formado por cuatro personas, que –por orden alfabético– son: el matemático Alex Aginagalde, el escritor Pablo Martín Sánchez, la escritora Sofia Rhei y la matemática Judith Rivas Ulloa. Tras sus deliberaciones, las tres propuestas ganadoras han sido las siguientes... PRIMER PREMIO Le ha correspondido a Homenaje a las irresistibles conjeturas, de María José Fuente Somavilla, profesora de matemáticas en el IES Augusto González de Linares (Santander). Se trata de un rombo de longitud 11 que habla de la conjetura de Fermat y de la persona que la resolvió, Andrew Wiles: en realidad Wiles demostró la conjetura de Taniyama-Shimura, que implica la de Fermat. Todo ello está contenido en este precioso rombo. Pablo Martínez Sánchez, que es miembro del grupo OuLiPo desde junio de 2014 ha sido tan amable de dedicar unas palabras a la ganadora. Su mensaje dice así: “Y es una bola nívea genial, redonda, perfecta. Realmente: muchísimas felicidades”. O, dicho de otro modo: Enhorabuena a María José, y muchas gracias a Pablo por su regalo para la ganadora... y para todos los demás. Además de esta bola de nieve dedicada, María José recibirá un libro de divulgación matemática. También recibirá su premio el autor de las bolas clasificadas en segundo y tercer lugar, Josep L. Pol i Llompart, profesor del IES Marratxí (Mallorca). SEGUNDO PREMIO Por decisión del jurado, corresponde a la bola de nieve de longitud 14 titulada Paradoja de Grelling-Nelson: esta paradoja es una reformulación de la paradoja de Russell en la que se introducen dos palabras inventadas autológico y heterológico. Pep Lluis la ha resumido a la perfección: TERCER PREMIO Esta vez en un rombo de longitud 13, también de Josep L. Pol i Llompart titulada Empieza en uno y acaba en cero. ¿Qué es? ¿Qué es? La decisión no ha sido fácil... Muchas gracias a todas las personas que se han atrevido a jugar con las matemáticas y una traba oulipiana: Gracias a los amigos y amigas del jurado, y enhorabuena de nuevo María José y Pep Lluis. ¡Ya estamos pensando en el próximo concurso!

Lunes, 08 de Septiembre de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

507. 9. (Septiembre 2014) La atracción por el rombicuboctaedro

El rombicuboctaedro destaca entre los sólidos arquimedianos por su sorprendente e irresistible atractivo para los artistas. En el retrato realizado en 1495 a Fra Luca Pacioli impartiendo una lección de geometría (pintura atribuida a Jacopo de´Barbari y que se exhibe en el Museo Capodimonti de Nápoles) se representan dos poliedros: un dodecaedro sólido y un gran rombicuboctaedro transparente, parcialmente lleno de líquido que está colgado del techo. De los sesenta poliedros que dibujó Leonardo para la De Divina Proportione de Fra Luca se seleccionan solo dos para representar al fraile matemático. El más enigmático y curioso es el rombicuboctaedro. Resulta bastante curioso que la pintura simule una sección hexagonal que realmente existe en el poliedro (diagonales de los cuadrados que forman un plano perpendicular al eje que une dos caras triangulares opuestas) pero no donde el pintor la dibuja. Un cuadro tan sugerente se presta a versiones modernas que lo reducen a lo esencial. Así el pintor francés Jean Bertholle en La mesa del geómetra hace desaparecer las figuras y deja los útiles y los poliedros. El rombicuboctaedro pasa a la derecha. También el napolitano Lucio Del Pezzo ha rendido homenaje a Pacioli con una representación muy estilizada y clara: La taracea tampoco puede resistir el atractivo de un poliedro que aproxima bastante bien a la esfera.  Tanto en la marquetería alemana como en la italiana se encuentran representaciones del rombicuboctaedro. La sillería del coro de la Iglesia de San Domenico en Bolonia es una de las cimas de la intarsia prospettiva. La taracea lígnea era ya un arte en su cenit. Con Damiano Zambelli (o Damiano de Bergamo) casi se alcanza la perfección. La colaboración de Fra Damiano con Vignola (y otros artistas) produce a mediados del XVI obras tan difíciles de superar como esta sillería de la iglesia de Santo Domingo de Bolonia. En los diseños del coro domina la perspectiva de paisaje urbano con punto de fuga para resaltar la profundidad. Las formas más poliédricas están dando soporte al facistol. En la parte inferior de una de las puertas del armario del facistol hay un rombicuboctaedro algo estrellado. Otro se ha reproducido en las puertas de la sacristía. La arquitectura nos va a proporcionar un rombicuboctaedro de dimensiones colosales. El rombicuboctaedro más grande del mundo fue terminado en el año 2006 para albergar la Biblioteca Nacional de Bielorrusia en Minsk. Se trata de un viejo proyecto de los arquitectos Mihail Vinogradov y Viktor Kramarenko que ha podido hacerse realidad. La biblioteca de Minsk ha producido también un fuerte impacto en el arte. El artista polifacético francés Raphaël Zarka ha realizado un corto de culto: Rhombus Sectus, estrenada en 2009. El mismo Zarka ha montado dos poliedros en su forma vacía, la que Leonardo llamaba vigentisex basivm planvs vacvvs. Terminamos dando cuenta de los usos en el mobiliario urbano del rombicuboctaedro: farolas y juegos infantiles. Londres ofrece al turista muchos lugares pintorescos, entre ellos un micro puesto de policía en Trafalgar Square. La garita, no mayor que una cabina telefónica, se instaló en 1926 y disponía de un teléfono para informar a Scotland Yard.  La cabina sirve de base a una farola de forma rombicuboctaédrica, con algunos cuadrados seccionados en la parte inferior. Una leyenda cuenta que procede de Nelson. La plaza de Catalunya de Barcelona nos ofrece también un ejemplo del poliedro usado como farola. Uno de los usos más modestos del rombicuboctaedro lo hemos encontrada en algunos juegos infantiles de sogas. Los vértices de la estructura de barras, soporte del juego, son la versión sólida del poliedro, mientras que las barras forman una porción de  cuboctaedro apuntado. Sirva de muestra una estructura localizada en la playa de Málaga. Las sogas de todos los juegos van formando octaedros truncados,… pero eso es parte de otra historia.

Martes, 02 de Septiembre de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

508. 29. (Septiembre de 2014) El cubo de Rubik en publicidad (segunda parte)

En la anterior entrada de esta sección de divulgamat, “Las matemáticas en la publicidad”, iniciamos una serie de artículos sobre la presencia de uno de los juegos más populares de las últimas décadas, el cubo de Rubik, en la publicidad. En la primera parte ya hablamos de su inventor, el hungaro Ernö Rubik y de la clave del éxito de su invento, el mecanismo que permitía el movimiento de las piezas del cubo. Como puede verse en la siguiente imagen, la pieza clave de este puzzle geométrico es una “cruceta tridimensional”, con tres ejes ortogonales que acaban en seis cuadrados (que son los 6 cubitos centrales de las seis caras del cubo, cada una de ellas de un color distinto del cuadrado mágico, es decir, rojo, azul, blanco, verde, naranja y amarillo), y que pueden girar. Este es el mecanismo que hace posible el movimiento independiente de cada una de las caras del cubo. Además, el cubo se completa con 20 cubitos más, 8 para los vértices (que tendrán tres caras visibles, con tres de los seis colores) y 12 cubitos para las aristas (de hecho, el cubito central de las aristas, y que tiene dos caras visibles, de dos colores distintos). Estas piezas disponen de un añadido que se acopla luego a la cruceta central y que es lo que permite la rotación de las caras del puzzle. Teniendo en cuenta la estructura del cubo de Rubik, podemos calcular el número de posiciones posibles –estados- del mismo. Para empezar, fijémonos en que, por lo anteriormente comentado, en realidad los 6 cubitos centrales, unidos a la cruceta tridimensional, no cambian de posición. Por otra parte, las “piezas vértice” pueden ir a 8 posiciones posibles de vértice, y el número de formas de asignar las piezas vértice a los vértices del cubo son las permutaciones de 8, es decir, 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x2 x1 = 40.320 [la primera pieza la podemos colocar en cualquiera de los 8 vértices, y una vez colocada, la segunda pieza podría situarse en alguno de los 7 vértices libres, para la tercera pieza se dispondrá de 6 posibles posiciones, para la cuarta 5, y así hasta la última que solo dispondrá de una posible posición, es decir, 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x1 distribuciones distintas]. Pero una vez asignados cada uno de estos cubitos a un vértice concreto, cada pieza tiene tres posibles orientaciones (que sería como “rotar” la pieza vértice, o sus tres colores, 120º y 240º), luego 38 posibilidades. Sin embargo, una vez elegida la orientación de 7 de las piezas, la orientación de la octava queda completamente determinada por las anteriores (pensemos en un cubo resuelto, al que le “giramos” uno de los vértices, entonces quedaría completamente sin solución). En consecuencia, por cada una de las 8! asignaciones de las piezas vértice, hay 37 = 2.187 posibles disposiciones. De igual forma, las 12 “piezas arista” se pueden colocar en las 12 aristas (de hecho, en sus posiciones centrales) de 12! = 479.001.600 formas distintas. Cada pieza tiene dos posibles orientaciones (que sería como “girar” la pieza arista 180º, o cambiar los colores de posición), pero de nuevo una vez fijadas las orientaciones de 11 piezas, la duodécima queda determinada por las anteriores, luego hay 211 = 2.048 posibles disposiciones para cada una de las 12! asignaciones de las piezas arista. Pero existe una restricción más, ya que no todas las posiciones posibles de las piezas vértice y piezas arista son compatibles. Las “permutaciones pares” (respectivamente, impares) de las piezas vértice están asociadas a “permutaciones pares” (respectivamente, impares) de las piezas arista (aunque esto es un poco largo de explicar y lo dejaremos para mejor ocasión, por ejemplo si hablamos del “juego del 15” para el que se produce la misma situación), luego solo son válidas la mitad de las disposiciones anteriores. En consecuencia, el número de estados de las piezas del cubo de Rubik es más de 43 trillones, exactamente El primer ejemplo de anuncio publicitario que vamos a mostrar en la presente entrega de esta serie hace mención precisamente a la enorme cantidad de posiciones posibles del cubo mágico. Es un anuncio de la empresa tecnológica HP (Hewlett Packard), cuyo lema es “A brilliant display of infinite possibilities” (Un magnífico escaparate de infinitas posibilidades). Como acabamos de calcular, las posibilidades / posiciones posibles del cubo de Rubik no son infinitas, pero son realmente grandes, tanto que dependiendo del tema que estemos tratando, podemos considerarlas infinitas. Por ejemplo, si hablamos de tiempo y cada posición fuese un segundo, estaríamos hablando de que esos 43.252.003.274.489.856.000 segundos son más de un billón de años. Si pensamos que la edad del universo no llega a los 14.000 millones de años, es “realmente” una cantidad infinita de tiempo. Una idea similar es explotada por 123RF (http://es.123rf.com), que es un archivo fotográfico a través de internet, con más de 12 millones de fotografías, que proporciona imágenes de archivo de alta resolución libres de derechos a través de una cuota de suscripción. El lema de la publicidad es “Miles de opciones. Un solo objetivo”. El cubo de Rubik es un juego, por lo tanto, un objeto que nos proporciona diversión. Y esa idea de juego es la que se utilizaba en la siguiente publicidad de la compañía japonesa de motos, y otros vehículos, Yamaha. El lema de esta campaña era “Time to start playing again” (tiempo para empezar a jugar de nuevo). Una idea que ha sido muy utilizada en los anuncios de vehículos, la conducción como un placer, como una diversión, en definitiva, como un juego. Pero la palabra jugar puede tener también una connotación negativa, como en este anuncio de WWF (World Wild Fund for Nature), la organización internacional de conservación de la naturaleza. En cuya página web de WWF España, WWF-Adena, se dice que “WWF trabaja por un planeta vivo y su misión es detener la degradación ambiental de la Tierra y construir un futuro en el que el ser humano viva en armonía con la naturaleza: i) conservando la diversidad biológica mundial; ii) asegurando que el uso de los recursos naturales renovables sea sostenible; iii) promoviendo la reducción de la contaminación y el consumo desmedido”. El lema de esta campaña era “We have been playing with nature for too long” (hemos estado jugando demasiado tiempo con la naturaleza). Como ya comentamos en el anterior artículo, el cubo de Rubik se comercializó a principio de la década de los ochenta y se convirtió rápidamente en todo un fenómeno social, hasta tal punto que ha pasado a ser uno de los símbolos de esos años. Por este motivo, el canal de televisión National Geographic Channel, que es un canal dedicado a la emisión de documentales, lo utilizó en una campaña para anunciar una miniserie documental sobre la década de los años 80. Os dejo con los carteles… Y aquí podéis ver el spot que se realizó para la televisión, realmente interesante… El siguiente anuncio de la Caixa Geral de Depositos también nos remite a los años en los que hizo furor el rompecabezas tridimensional, para anunciar préstamos hipotecarios destinados a personas menores de 35 años. El texto dice lo siguiente “If you were young when you puzzled over this, you are still young for us” (Si eras joven cuando te desconcertó esto, todavía eres joven para nosotros). Esta misma idea la vi no hace mucho tiempo en una zapatería. Era un anuncio de la empresa alemana de ropa y calzado deportivo Yumas. Como se ve en la imagen era un pequeño anuncio para colocar en el calzado, y en el se veía un cubo de Rubik y el texto “Born in the 80s”. En la misma línea de pensamiento que los dos anteriores ejemplos, la agencia publicitaria Publicis Conseil realizó una campaña para publicitar el cortacésped de la empresa alemana STIHL, que fabrica maquinaria forestal, agrícola y de jardinería. La idea de la campaña es que utilizando este cortacésped descubrirás recuerdos olvidados, como el walkman, un camión de juguete, un viejo balón de futbol, o el cubo de Rubik. También se ha realizado publicidad en la que se hace referencia al tiempo, pero no en el sentido anterior, sino al tiempo que se puede tardar en llegar a solucionar este puzzle. Desde su comercialización muchas personas se rompieron la cabeza intentando llegar a su disposición inicial, esto es, cada cara de un único color. Tarea que se mostró realmente complicada, o incluso imposible, salvo para quienes acabaron comprándose alguno de los manuales que enseñaban algoritmos de resolución. Por este motivo, el rompecabezas cúbico acabó asociándose a ideas como… “algo muy complejo”, “difícil, o imposible, de resolver”, “solo para personas muy inteligentes”, etc. A continuación, mostramos dos anuncios que utilizan esa idea de que se necesitaba mucho tiempo para solucionarlo, incluso toda una vida. El primero es un anuncio de un lavavajillas líquido, de la marca Sunlight, perteneciente a la multinacional Unilever. Según el anuncio una botella de Sunlight dura tanto como el tiempo que te puede llevar resolver el cubo de Rubik, que se supone que será mucho. El otro anuncio es de la empresa francesa de automóviles Renault, y el texto del mismo dice “Hay cosas para las que se necesita toda la vida. Por eso es imprescindible un coche muy seguro”. Los publicistas que han trabajado para la compañía Renault han utilizado el cubo de Rubik en otras campañas publicitarias, como por ejemplo, las dos siguientes. La primera utiliza la idea de complejidad del rompecabezas, mientras que la segunda se centra en que es un juego. Aunque si el cubo mágico es de un solo color, entonces no se necesita tiempo para solucionarlo y uno puede dedicarse a otras cuestiones, como por ejemplo, descansar. Vamos a terminar este artículo con una pequeña colección de carteles publicitarios de todo el mundo que han utilizado la imagen del cubo mágico.

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509. 119. (Septiembre 2014) SOLUCIÓN CONCURSO DEL VERANO 2014: Más apuestas ganadoras

A la vuelta del verano, y como es habitual, vamos a ofrecer las respuestas a los juegos que planteamos en la entrega anterior. Recordarás que se trataba de juegos de apuestas suficientemente intrigantes como para conseguir alguna bebida gratis en el bar de tu lugar de veraneo. Algunos de estos problemas, y otros similares, se pueden encontrar en la página Puzzles.com y en el libro, ya citado en otras ocasiones, Scam School de Brian Brushwood. Vamos con la solución del primer problema: PROBLEMA 1 - Se colocan seis monedas iguales formando un paralelogramo y se quiere conseguir, con tres movimientos, que las seis monedas formen una circunferencia. Recordemos que los únicos movimientos válidos consisten en mover una moneda a una posición en la que toque exactamente a otras dos monedas. Posición inicial Primer movimiento Segundo movimiento Tercer movimiento Como muy bien apuntan Alejandro Apezteguía y Andrés Mateo, podría resolverse con dos movimientos ya que no hemos añadido la limitación de que las monedas no pueden levantarse, sólo deslizarse. Es bien sabido que las instrucciones deben ser precisas y no dar lugar a equívocos. Esta es la solución de Alejandro: En el primer paso, la moneda de color verde pasa a ocupar la posición naranja. En el segundo paso, la moneda central de color verde se "levanta" sin tocar a las demás y ocupa la posición de color naranja. PROBLEMA 2 - Se colocan cuatro monedas en una distribución con forma de rombo y se pide colocar las cuatro monedas en una fila de modo que, en cada movimiento se desliza una sola moneda la cual debe tocar a otras dos monedas. Posición inicial Primer movimiento Segundo movimiento Tercer movimiento Cuarto movimiento Curiosamente, si numeramos las cuatro monedas, de izquierda a derecha y de arriba abajo, al final del proceso las monedas siguen en orden. PROBLEMA 3 - Se colocan tres monedas de un euro y dos monedas de cincuenta céntimos en una fila con los valores intercalados. El problema consiste en dejar las monedas en una fila de manera que queden las tres monedas de euro juntas a un lado y las dos monedas de cincuenta céntimos al otro lado. Para ello, en cada movimiento sólo se pueden mover dos monedas, una de cada valor, que estén juntas y deberán colocarse en la misma fila, aunque en otra posición. Para la solución, vamos a numerar, no las monedas sino las posiciones que dichas monedas ocupan sobre la mesa. Inicialmente, están colocadas en las posiciones 1 al 5 y, como se observa en las imágenes, al final ocuparán las posiciones 7 al 11. Posición inicial   Primer movimiento   Segundo movimiento   Tercer movimiento   Cuarto movimiento   Quinto movimiento   Puedes encontrar una solución con cuatro movimientos en la página Puzzles.com aunque uno de los pasos no permite que las monedas se coloquen en una posición exacta ya que debe dejarse un espacio entre las monedas. Felicitaciones a quienes se han entretenido pensando en estos problemas y enhorabuena a los ganadores del concurso: Alejandro Apezteguía y Andrés Mateo. Terminaremos con otro problema del que no daremos la solución. Si eres capaz de encontrarla, tienes un nuevo juego de magia a tu disposición. Coloca 20 monedas sobre la mesa, de modo que se muestren diez caras y diez cruces. Te vuelves de espaldas y un espectador mezcla las monedas de la mesa, como si fueran fichas de dominó, es decir sin girar ninguna de ellas. A continuación, te vuelves frente a las monedas con los ojos cerrados o vendados y, en pocos momentos y girando únicamente algunas monedas, eres capaz de formar dos grupos de monedas, de modo que el segundo grupo contenga el mismo número de caras y de cruces que el primero. No está permitido palpar las monedas para distinguir si están de cara o de cruz. ¿Sabrías cómo hacerlo? Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Lunes, 01 de Septiembre de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

510. 87. (Julio 2014) CONCURSO: Bolas de nieve literarias para un verano más fresquito

OuLiPo –Ouvroir de Littérature Potentielle, Taller de Literatura Potencial– se creó en noviembre de 1960 a iniciativa de Raymond Queneau (1903-1976) y François Le Lionnais (1901-1984), secundados por un grupo de escritores, matemáticos y pintores. OuLiPo se ha concentrado desde sus inicios en dos tareas: la invención de nuevas estructuras y retos mediante la combinación de literatura y matemáticas, el examen de obras literarias antiguas con el objetivo de encontrar rastros del uso de estructuras, formas o restricciones. Los miembros de OuLiPo escriben bajo contrainte –constricción, traba–, es decir se imponen restricciones a la hora de redactar, y muchas de ellas son de tipo matemático.i Para este verano, propongo un concurso de redacción oulipiano. Para ello, necesito dar tres definiciones: Definición 1: Una bola de nieve de longitud n es un poema cuyo primer verso está formado por una palabra de una única letra, el segundo de una palabra con dos letras, etc. hasta el n-ésimo que consta de un verso con n letras. Definición 2: Una bola de nieve de longitud n derritiéndose empieza con un verso de n letras, que se ‘va derritiendo’ hasta llegar a una única letra. Definición 3: Un rombo es la concatenación de una bola de nieve y una bola de nieve derritiéndose. Veamos algunos ejemplos: La vida (a) leve es una bola de nieve –musical– de longitud 21 de Mario Lavista: Este rombo de Harry Mathews se titula Liminal Poem para Martin Gardner: La propuesta de concurso para el verano consiste en redactar bolas de nieves de cualquier tipo –normales, derritiéndose debido al calor, o concatenadas formando rombos–, de longitud 10 como mínimo, y con tema matemático: figuras geométricas, personajes matemáticos, teoremas famosos, etc. Tenéis hasta el 31 de agosto para enviar vuestras propuestas a esta dirección. La mejor de las propuestas ¡tendrá su premio! ¡Animaos a participar!   Nota: i En DivulgaMAT –en las secciones de Literatura y de Teatro– hemos dado algunos ejemplos de contraintes oulipianas: Teatro booleano (François Le Lionnais) El árbol teatral (Paul Fournel) La vida instrucciones de uso (Georges Perec) Cercle Vicieux (Etienne Lécroart) Rationnel mon Q. 65 exercices de style (Ludmila Duchêne y Agnès Leblanc) Mai quai Conti (Michèle Audin) Cómo la Tortuga combatió a Aquiles (Jacques Roubaud) Un grafo... de cuento (Raymond Queneau) La page de tous les désirs (Étienne Lécroart)

Miércoles, 23 de Julio de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico