481. 64. (Enero 2015) ¿Influye la formación musical en el aprendizaje de las matemáticas? (II)

1. Introducción El tema de esta serie de dos artículos es la influencia de la educación musical en el aprendizaje de las matemáticas. En el primer artículo [Góm14b] abordamos varias cuestiones previas asociadas a dicho tema. En primer lugar, hicimos una distinción entre educación e instrucción. Tal distinción estriba en que la educación comprende los valores emocionales y morales mientras que la instrucción se define como el mero conjunto de conocimientos que se van a transmitir. Después hicimos una breve revisión de algunos resultados sobre los beneficios de la educación musical. Glosamos los beneficios para el desarrollo cognitivo, emocional y social. Vimos que no siempre se había probado la relación entre aprendizaje musical y matemático, pero también aprendimos que algunos de esos resultados adolecían de defectos en el diseño experimental o conceptual así como la falta de más investigaciones en ciertas áreas del problema. En este segundo artículo nos vamos a centrar en el impacto de la educación musical en el rendimiento académico y matemático. Terminaremos con una discusión y una crítica de los resultados glosados en ambos artículos. 2. El impacto de la educación musical en el rendimiento académico La pregunta de cuál es el impacto de la educación musical en el rendimiento académico es resbaladiza. Hay estudios que parecen responder a esa pregunta de una manera clara y categórica. Por ejemplo, Morrison [Mor94] tomó las notas de 13.327 estudiantes de cuarto de la ESO (grade-10 students) y estudió la influencia de la educación musical sobre el rendimiento medido como el resultado en los exámenes oficiales. Encontró que los estudiantes que poseían formación musical sacaban mejores notas en lengua inglesa, matemáticas, historia y ciencia que los estudiantes que no la poseían. ¿Zanja este estudio la cuestión? No, por supuesto. Observamos un efecto macroscópico en todo caso, una cierta correlación quizás, pero el estudio no nos informa sobre las variables que realmente producen ese efecto ni cómo se lleva este a cabo. Entre otros autores, Cox [Cox01] se ha preguntado si una posible explicación de este efecto no podría ser que los participantes con formación musical previamente tuviesen notas altas antes de matricularse en los cursos de música. Además, ¿cómo se explica que otros estudios obtengan aparentemente resultados contradictorios? Hace falta un análisis más fino que el que ofrece Morrison, que es necesario pero no suficiente. Referencias a más estudios del tipo del de Morrison, de carácter macroscópico, se pueden encontrar en el artículo de Johnson y Memmott [JM06]. Ciertamente, aparte del de Morrison, hay muchos estudios que han aportado pruebas de la relación positiva entre educación musical y rendimiento académico y que varían en alcance y metodología experimental. El lector puede consultar el capítulo 2 de Sound of Learning: The impact of music education [Hod14] donde encontrará abundantes referencias a esos estudios. Como botón de muestra, glosaremos brevemente tres artículos para que el lector se haga una idea del tipo de estudios que aparecen en la bibliografía especializada. Cardarelli escribió su tesis doctoral [Car03] sobre el efecto que tiene aprender a tocar un instrumento en la comprensión lectora y en el rendimiento matemático según se mide en los exámenes oficiales del estado de Florida en alumnos de tercero de primaria. Los alumnos se separaron en dos grupos, uno que sí tomó las clases de música y otro que no lo hizo. Además, se incluyó en el primer grupo a alumnos que no podían permitirse pagar las clases de música. Cox halló diferencias estadísticamente significativas entre las medias de las notas de ambos grupos. Por su parte, Schneider y Klotz [Sch00] estudiaron el efecto de las clases de música y el entrenamiento de atletismo como actividad extraescolar sobre el rendimiento académico. En su estudio usaron tres grupos: el grupo de control, el grupo que tomaba clases de música y el grupo que practicaba atletismo. Como paso previo, anotó las notas de los alumnos en quinto y sexto de primaria y comprobó que eran estadísticamente equivalentes (esta precaución no aparece en muchos estudios, lo cual les resta validez). Se hizo el seguimiento en los tres primeros años de la ESO y los autores detectaron que los alumnos que seguían el programa de música tenían un rendimiento mayor que los que seguían el programa de atletismo pero no que el del grupo de control (que no participaba ni en la música ni en el atletismo). A pesar de esto, el rendimiento del grupo de música era más estable en el tiempo que el de los otros dos. Por último, Trent [Tre96], en su tesis doctoral, estudió el efecto de la educación musical en alumnos que habían tomado clases de música entre primero de la ESO y segundo de bachillerato. Midió el efecto analizando los resultados en los exámenes oficiales. Los resultados probaron que los estudiaron que recibieron instrucción musical claramente tuvieron mejores notas en esos exámenes que el resto. La tesis [Rey11] de María Carmen Reyes constituye uno de los pocos estudios que se pueden encontrar en nuestro país y que estudia el problema que tenemos entre manos; sugerimos al lector interesado su consulta. La autora se plantea el problema de la evaluación del rendimiento tanto en música como en matemáticas y lo analiza en varios contextos: pruebas OCDE, pruebas en el marco de la legislación nacional y en la comunidad autónoma. Esta autora halló correlación positiva entre la práctica musical y el rendimiento académico en matemáticas, lengua y conocimiento del medio en alumnos de varios colegios de todas las provincias de la comunidad valenciana. Como dijimos antes, no todos los estudios prueban esa correlación. Algunos estudios encontraron correlación positiva con el rendimiento en pruebas de lectura pero no de matemáticas; otros, por el contrario, detectaron esa correlación con matemáticas y ciencias pero no con disciplinas artísticas, ni en ciencias sociales ni en escritura. Por último, otros estudios no encontraron correlación alguna entre instrucción musical y rendimiento académico en general. Véase [JM06] y las referencias allí contenidas para una lista pormenorizada de esos estudios. 3. El impacto de la educación musical en el rendimiento matemático Tanto en Estados Unidos como en España, y en general en los países occidentales, el problema de la enseñanza de las matemáticas es grave. Con frecuencia se enseña de manera aislada de los problemas reales, sobre una base excesivamente calculística cuando no abiertamente anti-conceptual, en que se requiere más memoria que razonamiento, una manera muy alejada de la creatividad y la imaginación que las verdaderas matemáticas requieren. La instrucción matemática y ya no digamos la educación matemática están en verdadera crisis. Paul Lockhart en su famoso Lamento de un matemático [Loc08] lo expresa muy elocuentemente (las negritas son mías): Así que aparta los planes de estudio y tus proyectores, tus abominables libros de texto a todo color, tus CD-ROM, y el resto del circo ambulante que es la educación contemporánea, y ¡simplemente haz matemáticas con tus alumnos! Pero en las clases de matemáticas no se hacen matemáticas sino simulacros calculísticos de las mismas. Las matemáticas no se pueden reducir a la aritmética. Los alumnos se aburren en clase con frecuencia y no ponen atención. Todo ello ha conducido, de modo imparable, a una caída de las notas de matemáticas, justo ahora cuando más necesarias son el mundo actual. ¿Avala entonces la investigación la mejora del rendimiento en las matemáticas a través de la práctica musical? En la mayor parte de los estudios la respuesta es sí, junto con unos pocos estudios que afirman que la relación no se encuentra o no existe. Geoghegan y Mitchelmore [GM96] estudiaron la cuestión en alumnos de infantil. Para una definición de lo que significan las matemáticas en esa franja de edad (0-6 años), véase [Góm14a] y las referencias allí contenidas. Estos investigadores encontraron diferencias significativas entre los grupos de música y el grupo de control. Gardiner y sus coautores [GFKJ96], en cambio, investigaron alumnos de primaria. Su estudio duró dos años y se centró en analizar los efectos de la formación musical y en artes visuales sobre el rendimiento matemático. Al principio del estudio los alumnos que iban a asistir a los programas de música y artes visuales tenían peores notas en matemáticas que el grupo de control (que no asistía a ninguno de los dos programas). Al cabo de siete meses la situación se invirtió y los dos primeros grupos obtuvieron mejores notas que el grupo de control. Esta situación se mantuvo hasta el final del primer año. Al finalizar el segundo año la situación seguía sin cambiar. En la muestra hubo alumnos que solo siguieron el programa un año y todavía estos tenían mejores notas en matemáticas que el grupo de control. Por último, Whitehead [Whi01] estudió en su tesis doctoral el efecto de la educación musical en alumnos de la ESO y bachillerato. El tipo de instrucción musical que recibieron los sujetos de su experimento fue el método Orff. Los alumnos fueron puestos de manera aleatoria en tres grupos: el grupo 1 recibiría 5 sesiones de 50 minutos a la semana; el grupo 2 recibiría una sesión de 50 minutos a la semana; y el grupo 3, ninguna sesión. Después de 20 semanas se midió el rendimiento matemático y se constató que el grupo 1 tenía notas superiores a los otros dos grupos. El grupo 2 tuvo a su vez mejores notas que el grupo 3. 4. Conclusiones Una vez examinada toda la bibliografía anterior, volvemos a la pregunta del principio: ¿influye la formación musical en el aprendizaje de las matemáticas? Como ya hemos dicho, la cuestión es bastante complicada y ello es porque el aprendizaje es un fenómeno extraordinariamente complejo, multidimensional y rico en sus diversas manifestaciones. En la tesis de María Carmen Reyes [Rey11] se hace referencia a estudios que identifican variables relevantes para el aprendizaje: la capacidad de atención; la motivación escolar; el autocontrol; las habilidades sociales; las expectativas de la familia, docentes y de los alumnos con relación a los logros de aprendizaje; los estilos de aprendizaje; la inteligencia emocional; la amplitud de los programas de estudio; los factores socioeconómicos; los conceptos previos; la capacidad de abstracción. Ante tal situación, la creencia de que se puede aumentar el aprendizaje de las matemáticas por vía de la formación musical de una manera nítida y contundente no es realista y generar expectativas al respecto es erróneo de todo punto. Sin embargo, hemos visto que la mayoría de los estudios muestran correlación entre formación musical y aprendizaje de las matemáticas mientras que otros estudios, la minoría, no. En este punto deberíamos ser críticos con algunos de esos estudios y su metodología experimental. Algunos estudios usaron tiempos de instrucción musical realmente bajos; esto es, no investigaron el tiempo mínimo necesario para detectar algún cambio en el aprendizaje. Por ejemplo, este es el caso de Kemmerer[Kem03], en que la exposición era menor de 18 minutos a la semana. Ese tiempo era demasiado poco para conseguir efecto alguno. Compárese con el estudio de Whitehead [Whi01] (cinco sesiones de 50 minutos a la semana). Otros estudios adolecían de una deficiente evaluación del aprendizaje matemático, siendo este como es tan rico y complejo. En esta categoría caen ciertos estudios que midieron aspectos meramente calculísticos de las matemáticas en lugar de medir otros más conceptuales y abstractos. Otro defecto metodológico que se encuentra en algunos estudios es el bajo tamaño muestral. Para poder concluir algo de manera razonable es necesario que el número de sujetos alcance un número mínimo; de otro modo, variables espurias pueden arruinar la investigación. Hemos detectado asimismo que la elección de los sujetos no siempre es lo rigurosa que debía ser y se encuentra en algunos casos que variables que pueden producir sesgos, como el género, los conocimientos previos o la situación socioeconómica, no son tenidas en cuenta. En los estudios de carácter neurocientífico que han detectado cambios en el cerebro cuando el sujeto ha recibido formación musical, el principal problema es cómo asociar esos cambios con habilidades cognitivas específicas, problema en el que se trabaja frenéticamente en la neurociencia y en la pedagogía. Por último, poner de relieve que ningún estudio demostró que la participación en actividades musicales produzca efectos perjudiciales para el rendimiento académico. Entonces ¿de qué depende que se produzca esa transferencia del aprendizaje musical al aprendizaje matemático? Hay un aspecto que casi todos los estudios han ignorado (con notables excepciones; véase [JM06]) y es el papel del profesor. En el primer artículo de esta serie hacíamos la distinción entre educación e instrucción. Esta última se define como la mera transmisión de conocimientos, mientras que la educación incluye a la instrucción pero añade además las componentes emocionales y morales del aprendizaje. El papel que desempeña el profesor en la definición de educación es esencial. Un profesor que comprenda que los factores emocionales y morales preceden a la comprensión, un profesor que sepa crear relaciones significativas con sus alumnos, que los convenza de que todos son compañeros en la aventura de comprender y adquirir conocimiento, un profesor que busque con ahínco que sus alumnos se conviertan en aprendientes autónomos, un profesor que dé ejemplo moral y que tenga inteligencia emocional, ese profesor —no importa qué materia imparta— producirá cambios en el aprendizaje de sus alumnos y dichos cambios se reflejarán con alta probabilidad en el resto de las asignaturas (un cambio de actitud hacia el aprendizaje es un cambio general). Para más información sobre ese tipo de profesores sugerimos al lector los libros [ABL+10] y [Bai04] y las referencias allí contenidas. La inmensa mayoría de los estudios que hemos reseñado aquí midieron la instrucción musical en lugar de la educación musical. Hasta que esa laguna metodológica no se cubra, la validez de esos estudios será relativa. Estamos convencidos de que un grupo de alumnos que reciba docencia de un mal profesor de música no dará como resultado un mejor rendimiento en matemáticas. Necesitamos estudios que controlen la docencia y que esta sea verdadera educación musical. Solo así tendrá sentido plantearse si existe una transferencia entre el aprendizaje musical y el matemático. Por tanto, para seguir con la pregunta que nos obsesiona, algunas experiencias de aprendizaje musical tienen un impacto positivo en el aprendizaje de las matemáticas bajo ciertas circunstancias.   Bibliografía [ABL+10] S.A. Ambrose, M.W. Bridges, M.C. Lovett, M. DiPietro, and M. K. Norman. How learning works. Seven research-based principles for smart teaching. Jossey-Bass, 2010. [Bai04] Ken Bain. What the best college teachers do. Harvard University Press, 2004. [Car03] D. M. Cardarelli. The effects of music instrumental training on performance on the reading and mathematics portions of the Florida Comprehensive Achievement Test for third-grade students. PhD thesis, University of Central Florida, 2003. Dissertation Abstracts International, 64 (10), 3624A. [Cox01] R. W. Cox. Effects on academic achievement for fifth-grade students in a band pull-out program. Master’s thesis, California State University, Fresno, USA, 2001. Masters Abstracts International, 40 (01), 26. [CWP06] R. Cerncek, S. J. Wilson, and M. Prior. The cognitive and academic benefits of music to children: Facts and fiction. Educational Psychology, 26(4):579–594, 2006. [GFKJ96] M.F. Gardiner, A. Fox, F. Knowles, and D. Jeffrey. Learning improved by arts training. Nature, 381:284, 1996. [GM96] N. Geoghegan and M. Mitchelmore. Possible effects of early childhood music on mathematical achievement. Journal for Australian Research in Early Childhood Education, 1:57–64, 1996. [Góm14a] Gómez, P. Matemáticas y música en niños pequeños. http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=14201&directory=67, consultado en noviembre de 2014. [Góm14b] Gómez, P. ¿Influye la formación musical en el aprendizaje de las matemáticas? (I). http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=16312&directory=67, consultado en noviembre de 2014. [Hod14] Hodges, D. (Ed). Sounds of Learning: The Impact of Music Education. https://performingarts.uncg.edu/mri/research-areas/_files/solproject_final.pdf, consultado en noviembre de 2014. [JM06] C. M. Johnson and J. E. Memmott. Examination of relationships between participation in school music programs of differing quality and standardized test results. Journal of Research in Music Education, 54(4):293–307, Winter 2006. [Kem03] K. P. Kemmerer. Relationship between the number of hours spent in general music class and reading skills in kindergarten through grade 3. PhD thesis, Leighl University, 2003. [Loc08] Paul Lockhart. El lamento de un matemático. La gaceta de la Real Sociedad Matemática Española, 11(4):737–766, 2008. Documento accesible en http://www.rsme.es/gacetadigital/abrir.php?id=824. [Mor94] S. J. Morrison. Music students and academic growth. Music Educators Journal, 81(2):33–36, Winter 1994. [Rey11] M. C. Reyes. El rendimiento académico de los alumnos de primaria que cursan estudios artístico-musicales en la comunidad valenciana. PhD thesis, Universidad de Valencia, 2011. [Sch00] Schneider, T. W. and Klotz, J. The impact of music education and athletic participation on academic achievement. ERIC Document Reproduction Service No. ED448186, 2000. [Tre96] D. E. Trent. The impact of instrumental music education on academic achievement. PhD thesis, East Texas State University, 1996. Dissertation Abstracts International, 57 (07), 2933A. [Whi01] B.J. Whitehead. The effect of music-intensive intervention on mathematics scores of middle and high school students. PhD thesis, Capella University, 2001. Dissertation Abstracts International, 62 (08), 2710A.

Jueves, 01 de Enero de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

482. 91. (Diciembre 2014) El material del Taller de Literatura OuLiPo

El Taller de Literatura OuLiPo tuvo lugar del 1 al 4 de diciembre de 2014 en el Círculo de Bellas Artes (CBA) dentro del ciclo Matemáticas en el Círculo organizado por  el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) en el marco de la Iniciativa por las Matemáticas y las Artes (IMA). El lunes 1 de diciembre, comenzamos con la conferencia inaugural titulada OuLiPo: cifras y letras, dividida en dos partes: Orígenes, historia y poética del OuLiPo (Francisco González) Matemáticas y literatura: un camino de ida y vuelta (Marta Macho Stadler) Pueden descargarse las diapositivas de la conferencia en este enlace (ICMAT). Los siguientes días se dedicaron a los talleres; 20 personas de diferentes formaciones e intereses participaron de manera muy dinámica en las actividades y ejercicios propuestos. Fue muy fácil y gratificante trabajar con un grupo tan entusiasta y entregado. Algunos de los libros con los que trabajamos en los talleres. El martes 2 de diciembre comenzamos con el taller El OuLiPo antes del OuLiPo, estudiando diferentes textos en los que se ejemplificaban diferentes cortapisas. Practicamos juegos oulipianos como lipogramas, L.S.D., homosintaxismos, S+7, etc. Pueden descargarse las diapositivas del primer taller en este enlace (ICMAT). Haciendo Matemáticas en el círculo en el Taller de Literatura OuLiPo (a partir de cuatro fotografías tomadas durante los talleres por Ágata Timón). Continuamos el miércoles  3 de diciembre con el segundo taller Breve antología oulipiana, en el que expusimos algunas de las estructuras matemáticas más logradas del OuLiPo: sextinas, poemas combinatorios, grafos, bandas de Möbius, etc. Pueden descargarse las diapositivas del segundo taller en este enlace (ICMAT). Francisco Fernández y Marta Macho Stadler. Fotografías de Ágata Timón. El jueves 4 de diciembre tuvo lugar el tercer y último taller Dominós viciosos y círculos visuales, en el que presentamos al grupo OuBaPo –el que realiza el tebeo oulipiano– y jugamos con cortapisas visuales y semánticas. Pueden descargarse las diapositivas del tercer taller en este enlace (ICMAT). Este taller fue un laboratorio de aprendizaje para todas las personas que asistimos;  también para sus directores que, con formaciones tan diferentes, nos aproximamos a los problemas de distinta manera, pero nos complementamos con desenvoltura. En mi caso, fue una auténtica gozada trabajar con Paco, he aprendido y disfrutado preparando e impartiendo con él este taller. ¡Ojalá repitamos pronto! Más información: El ICMAT y el CBA organizan el taller de literatura experimental OuLiPo, Nota de Prensa ICMAT Taller de literatura OuLiPo, ICMAT Materiales del curso, ICMAT Taller de literatura OuLiPo, CBA El sonido sigiloso del OuLiPo, Blog CBA Fusión entre matemáticas y literatura: OuLiPo-03.12.14, Universo Paralelo, Radio Círculo

Martes, 23 de Diciembre de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

483. 57. (Mayo 2014) COFLA: la música flamenca y su estudio computacional - II

1. El grupo COFLA En la anterior entrega [1] dimos a conocer el grupo COFLA [3], un grupo de investigadores que estudian la música flamenca desde un enfoque interdisciplinar. En COFLA podemos encontrar expertos en flamenco, músicos, musicólogos, expertos en literatura, psicólogos, pero también ingenieros, informáticos y matemáticos. Cuando el objeto de estudio presenta tal complejidad como es el caso de la música, el enfoque multidisciplinar es imprescindible y esencial. También describimos en esa entrega la metodología del grupo COFLA y proporcionamos al lector una lista de los problemas de investigación en que trabaja el grupo. Esos problemas provenían del estudio del flamenco y proporcionaban material de investigación a las disciplinas implicadas, desde la musicología a la computación. Estudiaremos el problema de la similitud melódica en el marco de la clasificación de estilos. 2. Similitud melódica en el cante a palo seco del flamenco Uno de los problemas que ha abordado COFLA es el de la clasificación de los cantes a palo seco. Recordamos de nuevo del artículo anterior [1] las características del cante flamenco a fin de que el lector aprecie la dificultad del problema. Uso de grados conjuntos. El movimiento melódico ocurre casi siempre por grados conjuntos. Escalas. Ciertas modos tales como el modo frigio y jónico son predominantes. En el caso del modo frigio, la subida cromática del tercer y séptimo grados es frecuente. Ornamentación. Existe un alto grado de ornamentación, que es también muy compleja. Los melismas son uno de los recursos expresivos más importantes. Microtonalidad. El uso de intervalos menores que los del sistema temperado de la música clásica occidental es habitual. Escalas enarmónicas. Esto se refiere a las diferencias interválicas microtonales entre las notas enarmónicas. En nuestro estudio tomamos tres subestilos de un estilo llamado tonás; esos tres subestilos fueron deblas, martinete-1 y martinete-2. Las tonás son cantes que se cantan con ritmo libre. Las escalas y melodías son típicamente modales. Los modos más frecuentes que encontramos en estos estilos son el modo mayor, el menor y el frigio; también es habitual la alternancia de modos dentro de un mismo cante. Las letras de estos cantes varían ampliamente en tema. Estos cantes presentan un alto grado de ornamentación; véase [7] y [6] para más información. En las figuras 1 y 2 se encuentran transcritas dos deblas. Figura 1: Interpretación de Mairena de En el barrio de Triana. Figura 2: Interpretación de Lobato de En el barrio de Triana. Dado que no había partituras disponibles, el primer paso que dimos fue el de hacer la transcripción automática a partir de los ficheros de audio. El corpus estaba compuesto de 72 tonás, las cuales incluían deblas, martinete-1 y martinete-2. Para tal fin, usamos el sistema propuesto por Gómez y Bonada [2]. El proceso de transcripción melódica se estructura normalmente en tres pasos diferentes que se pueden ver en la figura 3. Se empieza por una extracción de los descriptores de bajo nivel; sigue una segmentación de notas basada en la posición de los ataques de las notas; y, por último, un proceso de etiquetado de las notas. Véase [2] y las referencias allí contenidas para más información sobre la parte técnica de este algoritmo de transcripción. Figura 3: Fases de la transcripción melódica automática. La salida de este algoritmo es un fichero tipo MIDI que contiene la sucesión de notas con sus alturas y duraciones. Esta sucesión representa el contorno melódico. El corpus que se empleó para nuestra investigación se puede encontrar en [4]. En términos geométricos, esa sucesión se puede interpretar como una cadena poligonal. A partir de entonces, muchas técnicas matemáticas se pueden aplicar al problema de determinar la distancia de dos cantes. El problema de determinar cuán similar son dos cantes se ha transformado en el de determinar al distancia entre las cadenas poligonales dadas por los contornos melódicos. Existe una miriada de algoritmos para calcular la distancia entre dos cadenas de ese tipo (distancia de edición, n-grams, correlación de vectores, etc.). Sin embargo, la mayoría de esas medidas carecen de validación perceptual, esto es, no han sido comprobadas con sujetos. En 2004 Müllensiefen y Frieler [8] atacaron este problema, por otro lado, tan básico. El primer paso fue establecer un sistema de evaluación de la similitud bajo ciertas condiciones. Este sistema incluía una selección muy rigurosa de los sujetos. Se eligieron por su capacidad de ser consistentes en sus juicios musicales durante periodos de semanas. El segundo paso fue estudiar 34 medidas de similitud (o distancias de disimilitud) que encontraron en la bibliografía existentes para determinar las medidas más adecuadas en términos de validez perceptual. Dado que la combinación lineal de dos medidas de similitud da una nueva medida de similitud, estos autores calcularon tales combinaciones lineales. La mejor medida de similitud resultó ser la combinación de la distancia de edición en bruto y la medida n-grams. Nosotros seguimos sus resultados a la hora de definir y calcular las medidas de similitud entre los cantes. La matriz de distancias obtenida se usó para alimentar un algoritmo que calcula y construye grafos filogenéticos. Dada una matriz de distancia entre un conjunto de objetos, un grafo filogenético es un grafo cuyos nodos son los objetos del conjunto y tal que la distancia entre los nodos del grafo se corresponde con la distancia en la matriz; véase [5] para las definiciones y detalles técnicos de su construcción. El grafo resultante cuando aplicamos el algoritmo a nuestro conjunto de cantes se puede ver en la figura 4. Figura 4: The phylogenetic graph for the melodic contour distance. A causa del problema de la ornamentación mencionado anteriormente (en la entrega anterior), el grafo filogenético produjo resultados pobres (había varios cantes mal clasificados). En efecto, dos cantes pueden tener las mismas notas principales y las ornamentaciones entre estas ser muy diferentes. Sin embargo, la distancia de edición daría una distancia alta entre ellos. Hacía falta poner más conocimiento y refinamiento en el problema para obtener mejores resultados. Típicamente, los descriptores musicales se clasifican en tres categorías: los descriptores de bajo nivel, que están relacionados principalmente con propiedades tales como la frecuencia, el espectro o la intensidad; los descriptores de medio nivel, asociados con la altura del sonido, la melodía, los acordes, el timbre, la métrica o los patrones rítmicos; y finalmente los descriptores de alto nivel, típicamente relacionados con el significado y la expresividad, como por ejemplo el carácter y las respuestas afectivas y motoras. Para sortear el problema de la ornamentación en los cantes, definimos una distancia basada en descriptores de medio nivel. Los descriptores de medio nivel que usamos para todas las tonás de nuestro estudio fueron los siguientes: Nota inicial de la pieza; Simetría del grado más alto de la escala en el segundo hemistiquio; La frecuencia del grado más alto del segundo hemistiquio.; Presencia del clivis al final del segundo hemistiquio (clivis es un patrón melódico); Nota final en el segundo hemistiquio; Grado más alto en el cante; Duración del cante. Como es obvio, si usásemos características peculiares de un estilo dado, el análisis estaría distorsionado, ya que el poder de discriminación sería muy alto. Nuestra intención fue seleccionar un conjunto pequeño de descriptores que fuesen capaces de discriminar entre los diferentes cantes. Nótese que estos descriptores tienen naturaleza eminentemente musical. El cálculo de los valores de estos descriptores requiere que la ornamentación se tenga en cuenta, razón por la cual se calcularon manualmente por expertos en flamenco. El grupo COFLA está trabajando actualmente en cómo calcularlas automáticamente (y aquí aparecen problemas muy duros, créanos el lector). Definimos una nueva distancia que fue la combinación lineal entre la distancia del contorno melódico y la distancia de los descriptores de medio nivel. Los resultados al usar la nueva distancia mejoraron significativamente. La distancia del contorno melódico detectaba los cambios locales con precisión y la distancia de medio nivel medía adecuadamente los cambios globales. Presentamos el nuevo grafo filogenético a los expertos en flamenco y su evaluación fue positiva (el número de mal clasificados bajó a niveles aceptables). La nueva distancia también permitió el estudio intra-estilo, estudio que no era posible con la distancia del contorno melódico solo. 3. Conclusiones En este artículo hemos querido presentar al lector un ejemplo de investigación interdisciplinar en el marco del grupo COFLA. En ese ejemplo hemos mostrado cómo atacar de modo interdisciplinar el problema de la similitud melódica en los cantes a palo seco. El corpus fue seleccionado por expertos en flamenco; los informáticos e ingenieros del grupo diseñaron los algoritmos para extraer las sucesiones melódicas a partir de los ficheros de audio; los matemáticos estudiaron el problema de la distancia de similitud. Como los resultados no fueron en un primer momento satisfactorios, cuando se uso solo la distancia del contorno melódico, los expertos en flamenco y los musicólogos del grupo diseñaron la distancia de medio nivel; de nuevo, los científicos del grupo la integraron con la distancia previa. Finalmente, los expertos en flamenco evaluaron los resultados. Muchos problemas abiertos quedan por considerar en este ejemplo. Nuestra distancia, aunque da buenos resultados, todavía puede mejorarse. En particular, estamos trabajando en la generalización de la distancia de medio nivel a otros estilos flamencos. Una cuestión interesante es cuál es el mínimo número de variables (descriptores) que es necesario para medir la similitud melódica en el flamenco.   Referencias [1] Gómez F., Gómez E., Mora J., and Díaz-Báñez J.M. COFLA: la música flamenca y su estudio computacional - I. [2] Emilia Gómez and J Bonada. Towards computer-assisted flamenco transcription: An experimental comparison of automatic transcription algorithms as applied to a cappella singing. Computer Music Journal, 37:73–90, 2013. [3] The COFLA group. The COFLA group. http://mtg.upf.edu/research/projects/cofla. [4] The COFLA group. Corpus tonás. http://mtg.upf.edu/download/datasets/tonas, accessed in January, 2014. [5] Daniel H Huson and David Bryant. Application of phylogenetic networks in evolutionary studies. Mol Biol Evol, 23(2):254–267, 2006. [6] Cabrera J.J., Díaz-Bañez J.M., Escobar-Borrego F.J., and J. Gómez E., Mora. Comparative melodic analysis of a cappella flamenco cantes. In Fourth Conference on Interdisciplinary Musicology (CIM08), Tesalónica, Grecia, 2008. [7] J. Mora, F. Gómez, E. Gómez, F. Escobar Borrego, and Díaz Báñez J.M. Characterization and melodic similarity of a cappella flamenco cantes. In ISMIR (International Symposium on Music Information Retrieval), Utrecht, Netherland, August 2010. [8] D. Müllensiefen and J. Frieler, K. Cognitive adequacy in the measurement of melodic similarity: algorithmic vs. human judgments. Computing in Musicology, 13:147–176, 2004.   El grupo COFLA está financiado por el Proyecto de Excelencia de la Junta de Andalucia P12-TIC-1362.

Jueves, 01 de Mayo de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

484. 56. (Abril 2014) COFLA: la música flamenca y su estudio computacional - I

1. Música, Matemáticas, Computación La música es un fenómeno que siempre ha fascinado a investigadores de un amplio rango de disciplinas. La música es compleja, multidimensional y universal. La música se puede ver como un fenómeno del individuo, la sociedad y la cultura, como se estudia en la antropología [27]; también como un fenómeno físico, y como tal es abordado por físicos e ingenieros [4]; como un fenómeno de la mente, el cual es entonces objeto de estudio de la cognición musical [20, 33, 34]; como un fenómeno puramente musical, y entonces cuestiones tales como la melodía, el ritmo y la organización armónica son relevantes; o como un fenómeno afectivo, y entra en ese caso en el reino de la psicología [30, 7]. Sin embargo, por larga que parezca esta enumeración, la música ha despertado el interés de investigadores de campos aparentemente muy alejados de ella tales como las matemáticas y la computación. El interés de las matemáticas por la música no es en modo alguno nuevo; se remonta a los griegos (por ejemplo, Pitágoras y su teoría de las proporciones para explicar la consonancia musical). Ese interés se ha renovado a lo largo de los siglos según las matemáticas han ido avanzando. Nuevo entendimiento en las matemáticas tarde o temprano ha conducido a nuevas interpretaciones de las estructuras musicales. Esto ha sido incluso más acusado en las últimas décadas. La música está llena de patrones y estructuras y esto inexorablemente ha atraído el interés de los matemáticos. Este interés, no obstante, no se debería entender como un deseo irrefrenable por encontrar patrones y estructuras en la música independientemente del objeto musical mismo. Esto proporcionaría una impresión injusta y equivocada de las matemáticas y sus métodos. En la investigación matemática hay un genuino interés por entender la naturaleza de la música. El lector puede encontrar una discusión razonada del alcance y propósito de las matemáticas y la computación en la música en [36]. Dado que los ordenadores permiten tales formidables formas de procesar los datos musicales, una importante cantidad de investigación matemática ha servido de fundamento teórico a la tecnología musical. Un subcampo importante de la tecnología musical es el MIR (music information retrieval o MIR, en sus siglas inglesas), que consiste en el tratamiento computacional en todas sus formas de la música. El lector puede acudir a las siguientes referencias para ver conexiones entre matemáticas y música: [3] (para un panorama general); [9] and [12] (la geometría en la música); [25] (teoría de categorías); [2] (teoría de números). La lista no es única ni exhaustiva, como es de esperar; las referencias que contienen estas obras permitirá al lector profundizar aun más. Durante los últimos años el uso del ordenador (las herramientas computacionales) en la investigación de la música han crecido espectacularmente, especialmente en MIR. Por ejemplo, Meinard [26] identifica cuatro grandes áreas las técnicas de procesamiento de la señal en MIR se han aplicado intensivamente a la música, a saber, la recuperación de archivos sonoros, la sincronización, el análisis de las estructuras musicales y el análisis de interpretaciones (aunque él mismo reconoce que “la lista apenas escarba bajo la superficie”). Sin embargo, estas técnicas no están pensadas para sustituir a los métodos tradicionales de investigación en música. Aunque es cierto que cuando el MIR se estaba estableciendo como disciplina se puso un énfasis excesivo en la computación per se, después de un tiempo la comunidad MIR entendió que un enfoque interdisciplinar era necesario para analizar la música en toda su complejidad. Hoy las técnicas computaciones se piensan como herramientas para asistir, complementar e incrementar el poder de análisis de las metodologías tradicionales, tanto en términos cuantitativos como cualitativos. El número de aplicaciones de la tecnología musical que se pueden encontrar en la bibliografía es sencillamente espectacular; véanse el número de artículos presentados en ISMIR [11], la principal conferencia del campo para hacerse una idea de la gran variedad de resultados. Sorprendentemente, la mayor parte de esa investigación y sus aplicaciones se han hecho para la música occidental, bien música popular o música clásica de periodo de la práctica común. En 2010 Cornelis y sus coautores [6] estudiaron la situación y encontraron que el problema persiste (ya se había detectado el problema más de una década antes), y a pesar de la cantidad sustancial de investigación desarrollada en los últimos años, la investigación dirigida a entender los procesos de la música étnica (música no occidental y folclórica) es escasa y está dispersa. Los desafíos que supone la investigación en este tipo de música son significativos por las características musicales de las tradiciones en particular, las cuales son marcadamente diferentes de las occidentales. Véase, por ejemplo, el proyecto CompMusic [32], financiado por el European Research Council y coordinado por Xavier Serra (Music Technology Group, Universitat Pompeu Fabra). La investigación en tecnología musical no se ha centrado solamente en la música occidental, sino en la música escrita, y solo recientemente han empezado los investigadores a prestar atención a las tradiciones orales. En este respecto, es un ejemplo ilustrativo de esta situación. La música flamenca es una tradición no occidental, oral y con unas características musicales cuyo análisis requiere ciertamente un enfoque interdisciplinar. Una cuestión tan aparentemente simple como la transcripción no está resuelta en absoluto en la música flamenca, solo por nombrar un problema fundamental en análisis musical. Aun más, otros problemas igual de fundamentales en el flamenco están todavía abiertos o apenas tratados, tales como la similitud melódica y rítmica, la clasificación de estilos, la identificación de cantaores, entre otros. En esta serie de artículos nos proponemos varios objetivos divulgativos. En primer lugar, como siempre en esta columna, mostrar las conexiones entre matemáticas y computación y la música. En segundo lugar, llamar la atención sobre el flamenco como objeto de estudio serio, tanto como lo puede ser la música del Barroco o el jazz. En tercer lugar, queremos dar a conocer los esfuerzos del grupo de investigación COFLA[15], que está formado por investigadores de varias disciplinas —y al cual pertenece el autor de estas líneas— cuyo objeto de estudio es la música. El grupo está financiado por el gobierno de Andalucía. Su objetivo es analizar el flamenco desde varias disciplinas. Para lograr este objetivo COFLA está compuesto por un equipo interdisciplinar que incluye expertos de disciplinas tales como la Musicología, Etnomusicología, la Historia, la Literatura, la Educación, la Sociología, pero también las Matemáticas, la Ingeniería y la Computación. Para obtener más información sobre la filosofía del grupo, véase la comunicación [10]. En la sección daremos una brevísima descripción musical del flamenco. En las secciones siguientes daremos algunos ejemplos del trabajo del grupo COFLA. 2. La música flamenca La música flamenca es eminentemente individual y todavía una forma de música altamente estructurada. En efecto, por una parte existe una alto grado de improvisación y espontaneidad; por el otro, hay un organización extremadamente estable del material musical sin la cual la improvisación no funcionaría. La música flamenca es el resultado de la influencia mutua de varias culturas a lo largo del tiempo, lo cual originó una combinación única de canto, danza y toque de guitarra. Ha recibido influencias de la cultura judía y árabe así como de la de los gitanos andaluces, quienes contribuyeron decisivamente a su forma tal cual la conocemos hoy. El lector puede consultar los libros de Blas Vega y Ríos Ruiz [5], Navarro y Ropero [29] y Gamboa [13] para un estudio extenso de las formas musicales, estilos e historia del flamenco. Según Gamboa [13], la música flamenca se desarrolló principal a partir de la tradición vocal. Por tanto, el papel del cantante es predominante y fundamental en el flamenco. A continuación describimos las principales características del cante flamenco (siguiendo a [28]). Inestabilidad de las alturas. En general, las notas no se atacan claramente. Los portamenti o transiciones continuas entre sonidos son muy comunes. Cambios súbitos de volumen. Estos cambios se usan como recursos expresivos con mucha frecuencia. Ámbito melódico reducido. Esta normalmente reducido a una octava y se caracterizan por la insistencia en una nota y sus contiguas. Inteligibilidad de las voces. Las letras son importantes en el flamenco y, por tanto, la inteligibilidad es deseable. Por esta razón, las voces de tenor y barítono son las tesituras preferidas. Timbre. Las características del timbre varían dependiendo del cantaor. Como aspectos relevantes del timbre, destacamos la voz ronca o rasgada y la ausencia de los formantes de frecuencias altas. El siguiente vídeo, con el genial Paco de Lucía, ilustra las características que acabamos de describir. Como se usarán más tarde con fines ilustrativos, describiremos brevemente los cantes a palo seco (a capella) en el flamenco. Estos cantes constituyen un grupo de estilos muy importante dentro del flamenco. Son cantes sin acompañamiento, o en algunos casos con percusión. Desde un punto de vista musical poseen las siguientes características: Uso de grados conjuntos. El movimiento melódico ocurre casi siempre por grados conjuntos. Escalas. Ciertas modos tales como el modo frigio y jónico son predominantes. En el caso del modo frigio, la subida cromática del tercer y séptimo grados es frecuente. Ornamentación. Existe un alto grado de ornamentación, que es también muy compleja. Los melismas son uno de los recursos expresivos más importantes. Microtonalidad. El uso de intervalos menores que los del sistema temperado de la música clásica occidental es habitual. Escalas enarmónicas. Esto se refiere a las diferencias interválicas microtonales entre las notas enarmónicas. Estas características no son exclusivas de los cantes a palo seco y se pueden encontrar en otros estilos flamencos. En el siguiente vídeo, vemos a Agujetas interpretar un cante a palo seco. 3. El grupo COFLA El grupo COFLA tiene como objetivo principal el estudio interdisciplinar del flamenco. En esta sección presentamos algunos problemas en que trabaja el grupo y la metodología con que los aborda. Distinguiremos varias secciones que corresponden a temas generales e incluimos algunos problemas fundamentales a tratar que se generan de las propias tareas del grupo COFLA. 3.1. El problema de la transcripción Como ocurre con frecuencia en las tradiciones orales, las transcripciones se suelen reducir a los instrumentos, en el caso del flamenco, a la guitarra. La voz normalmente no es transcrita y los cantaores aprenden de memoria los cantes bien de sus maestros, bien de los registros sonoros o de las actuaciones en vivo. Como tradición oral, los intérpretes nunca tuvieron la necesidad de transcribir. Pero la situación es aun más grave. El flamenco ha empezado a estudiarse desde hace relativamente poco (comparado con, por ejemplo, la música clásica u otras tradiciones) de modo que a día de hoy no hay consenso entre los expertos en flamenco acerca de cuál es el mejor método para transcribir el flamenco. Mientras Philippe Donnier [8] aboga por el uso de los neumas gregorianos para anotar el cante flamenco, los hermanos Hurtado and Hurtado [21] y Rafael Hoces [19] argumentan a favor de la notación clásica occidental (con algunas modificaciones). Desde el punto de vista tecnológico, Emilia Gómez (COFLA) y sus colaboradores han desarrollado algoritmos que proporcionan una transcripción automática de los cantes a palo seco a partir de un fichero de audio; véase [14]. La anotación manual de la melodía es una tarea ardua y que conlleva mucho tiempo de dedicación y siempre trabaja con cierto peso específico de subjetividad. Con el fin de minimizar el trabajo de anotación manual, se pueden aplicar técnicas actuales de descripción y anotación automática de señales de audio al caso particular del flamenco. El Grupo de investigación en Tecnología Musical de la Universidad Pompeu Fabra tiene una gran experiencia en este problema. Resulta de gran utilidad los algoritmos de descripción automática de la melodía a partir de un fichero de audio para extraer una curva melódica a partir de una grabación de cante acompañado por guitarra. Citamos las herramientas de estimación de melodía y de melodía en entorno polifónico desarrolladas por Klapuri [24] y Salamon y Gómez [31]. Para material monofónico (cantes a palo seco en flamenco), puede utilizarse el método de Gómez y coautores [17]. Una opción alternativa a la extracción de polifonías de flamenco consiste en la separación de voces y el método de transcripción se realizaría en dos etapas, a saber, una primera de separación de voces, donde se filtra el sonido dejando la voz del cantaor sin guitarra ni percusión y, una segunda, donde es realiza la segmentación monofónica del resultado. La separación de voces es uno de los problemas de mayor actualidad en tecnología musical y puede realizar con técnicas de aprendizaje automático. Los primeros pasos en el caso de la música flamenca se están dando en el marco del grupo COFLA con la colaboración de varios expertos en ingeniería del sonido (véase [16]). Hay que señalar que éstas tecnologías, al igual que cualquier tipo de transcripción manual, ofrecerán una aproximación más o menos fiel a lo que se canta, no se pretende sustituir la transcripción manual sino que constituye una herramienta útil para muchos problemas de investigación sobre grandes colecciones de datos. Algunos problemas relevantes en este marco son los siguientes: Problema 1 (musicología y pedagogía): Establecer unos criterios y una metodología para transcribir el cante flamenco que sea adecuada para el análisis y la enseñanza. Problema 2 (tecnología y música): Diseño de un algoritmo robusto de separación de la voz flamenca. Diseño de un método de estimación de altura y segmentación en notas. Problema 3 (matemáticas y computación): Diseño de un algoritmo de extracción del contorno melódico global. 3.2. Similitud musical Es quizás en este problema donde el flamenco se muestra extraordinariamente difícil de analizar. En otras tradiciones la similitud musical se evalúa a partir de la sucesión de notas y el orden en que aparecen. En el flamenco no es así ni mucho menos. Dos cantes que pertenecen al mismo estilo pueden sonar muy diferentes a un oído desprevenido. Subyacente a cada cante hay un esqueleto melódico. Donnier [8] ha denominado a ese esqueleto melódico “el gen melódico del cante”. El cantaor puede intercalar todo tipo de melismas, ornamentación y otros recursos expresivos entre las notas del esqueleto melódico. Un oyente acostumbrado flamenco reconocería ambos cantes como el mismo a pesar de los rellenos melódicos diferentes. Con el fin de que el lector entienda esta delicada cuestión, en las figuras 1 y 2 mostramos una transcripción de dos versiones del mismo cante escrita en notación clásica. Un oyente habitual de flamenco reconocería ambas versiones porque ciertas notas aparecen en cierto orden. Lo que pase entre medias no importa en términos de clasificación del estilo, pero importa en términos de evaluación de la interpretación. Las notas principales han sido subrayadas para facilitar la lectura. Véase [28] para más información. Figura 1: Interpretación de Mairena de En el barrio de Triana. Figura 2: Interpretación de Lobato de En el barrio de Triana. Tanto músicos como psicólogos han estudiado en profundidad medidas de similitud, debido en parte, a multitud de aplicaciones comerciales tales como sistemas de recomendación, demandas de plagio, organización de bases de datos (audios), clasificación de estilos, etc. Entre las medidas de similitud que se han propuesto destacamos las de carácter geométrico y las distancias de transporte. Un buen trabajo donde se revisan medidas de similitud mélodica es el de W. Hewlett y E. Selfridge-Field [18]. Como es habitual, la investigación existente en similitud musical está centrada fundamentamente en música occidental y en los sistemas actuales de recomendación, es esta música la que se encuentra etiquetada. Sin embargo, existe un creciente interés en el campo para analizar y etiquetar músicas tradicionales y folclóricas. Puesto que no existen en la actualidad modelos computacionales que traten la melodía del flamenco (en realidad, la investigación científica del flamenco está dando los primeros pasos hoy en día), se requiere un estudio profundo del tema para el que se requiere la colaboración con musicólogos y psicólogos expertos en la materia. Los trabajos de Cabrera y otros [22] y de Mora y otros [28] suponen los primeros pasos en este ámbito. Por otra parte, muchos problemas relacionados con la teoría de similitud y tecnología musical son fundamentalmente geométricos por naturaleza, esto es, miden alguna característica que contiene el corpus musical; véase el trabajo de Toussaint [35]. Pongamos un ejemplo: dos melodías pueden ser representadas por poligonales ortogonales (funciones escalón) y una posible medida de similitud es el área comprendida entre las dos curvas (permitiendo traslaciones verticales y horizontales). De esta forma, el problema se traslada al campo de Matemáticas, donde coincide con el problema de emparejamiento de formas poligonales [1] y problemas de aproximación de funciones escalonadas [23]. Señalamos aquí dos problemas inherentes al estudio de similitud musical: Problema 4 (cognición, musicología y matemáticas): Definición de una distancia de similitud melódica adecuada. Problema 5 (tecnología y matemáticas): Diseño de un algoritmo eficiente de cálculo de similitud melódica. 3.3. Detección automática de patrones distintivos El estudio de patrones melódicos distintivos es un tema íntimamente relacionado con la definición de estilo musical, mucho más claro en el caso de músicas de tradición oral. La conservación de los cantes flamencos de generación en generación hace que la melodía juegue un papel crucial en la evolución y clasificación de los distintos estilos del flamenco. Una definición precisa y efectiva de patrón melódico en los palo flamenco constituye uno de los requisitos necesarios para elaborar una clasificación de los cantes, clasificación que tiene sus aplicaciones en la didáctica y estudio del flamenco. De hecho, lo que recuerda el cantaor es un esqueleto melódico sobre el cual puede añadir unas ornamentaciones u otras que dependen de la influencia de otros cantaores (escuelas) o de la propia capacidad vocal del intérprete (aportación personal). Permita el lector que pongamos un ejemplo. Si aceptamos que el precursor del cante de debla fue Tomás Pabón, podemos tomar su interpretación como modelo canónico. Sin embargo, la debla interpretada por Antonio Mairena o Naranjito de Triana, aún manteniendo un alto grado de similitud con el canon, aparece más ornamentada, y con un contorno melódico bastante diferente. Como ocurre en muchos temas de investigación musical del flamenco la caracterización de estilos a través de patrones melódicos ha recibido escasa atención. Podemos destacar dos estrategias o metodologías. Se analiza la música para “descubrir” los patrones distintivos (método inductivo) o bien, se parte de un conjunto de patrones considerados canónicos y se buscan en la colección o corpus correspondiente (método deductivo). Podemos decir que existen varias categorías de patrones, según sea la posición en la pieza (exposición, remate, etc.) o el carácter (preceptivo del cante, ornamental, etc.). En este marco aparecen cuestiones fundamentales que están íntimamente relacionadas entre sí: ¿Cuál es el patrón melódico común a todas las interpretaciones grabadas por maestros consagrados? ¿Qué tipo de ornamentos son carácterísticos en el estilo? ¿Qué ornamentos son preceptivos del estilo y cuáles no? ¿Qué patrones determinan la macro- y la micro-estructura del estilo? A partir de lo dicho en anteriormente, surgen las siguientes temas de investigación: Problema 6 (Musicología): Codificación y clasificación de los ornamentos del flamenco. Ornamentos estéticos o preceptivos del cante. Problema 7 (Musicología): Estudio del melisma flamenco. Carácter y similitudes con otras culturas. Problema 8 (Musicología): Reconstrucción de arquetipos (patrones) ornamentales comunes a otros géneros melismáticos de tradición oral (Musicología comparada). Problema 9 (Matemáticas, aprendizaje automático, inteligencia artificial): Diseño de algoritmos para la detección automática de patrones o motivos melódicos. 3.4. Patrones melódicos estructurales En el análisis de la estructura melódica de un determinado cante flamenco aparecen varias tipos de patrones según la localización de los mismos. De hecho, son estos micropatrones los que definen las distintas variantes de un determinado palo flamenco. Destacamos los patrones de exposición del cante (muchas veces resultan suficientes para clasificar la variante cantada), los de ligado o intermedios y los de caída o remate. El trabajo de Pikrakis et al. (2012) recoge los primeros avances en el desarrollo de algoritmos para la detección automática de patrones. Los problemas de investigación que surgen inmediatamente al considerar esta cuestión son, entre otros, los siguientes: Problema 10 (Musicología): Codificación y clasificación de patrones melódicos del cante flamenco. Patrones de exposición, de ligado, de remate o caída. Problema 11 (Matemáticas, aprendizaje automático, inteligencia artificial): Diseño de algoritmos para la detección automática de patrones melódicos. 4. Conclusiones En esta primera entrega hemos presentado un ejemplo de investigación interdisciplinar a través del grupo COFLA. En este grupo hay investigadores de varias disciplinas que tratan de resolver problemas abiertos en la música flamenca. Hemos enumerado unos cuantos problemas representativos en que trabaja el grupo con la esperanza de que el lector se haya hecho una idea de cómo trabaja un grupo de estas características. En la próxima entrega pondremos un ejemplo de un problema de similitud melódica y lo resolveremos (y evaluaremos la solución) con métodos interdisciplinares.   Bibliografía [1] Greg Aloupis, Thomas Fevens, Stefan Langerman, Tomomi Matsui, Antonio Mesa, Yurai Nuñez, David Rappaport, and Godfried Toussaint. Computing a geometric measure of the similarity between two melodies. In Proc. 15th Canadian Conf. Computational Geometry, pages 81–84, Dalhousie University, Halifax, Nova Scotia, Canada, August 11-13 2003. [2] S. Beall. Functional melodies: Finding mathematical relationships in music. Key Curriculum Press, 2000. [3] D. Benson. Music: A Mathematical Offering. Cambridge University Press, 2006. [4] R. Berg and D.G. Stork. The physics of sound. Addison-Wesley, 2004. [5] J. Blas Vega and M. Ríos Ruiz. Diccionario enciclopédico ilustrado del flamenco. Cinterco, Madrid, 1988. [6] Olmo Cornelis, Micheline Lesaffre, Dirk Moelants, and Marc Leman. Access to ethnic music: Advances and perspectives in content-based music information retrieval. Signal Processing, 90(4):1008–1031, 2010. [7] Diana Deutsch. The Psychology of Music. Academic Press, 1998. [8] P. Donnier. Flamenco: elementos para la transcripción del cante y la guitarra. In Proceedings of the III Congress of the Spanish Ethnomusicology Society, Spain, 1997. [9] D.Tymoczko. A geometry of music: harmony and counterpoint in the extended common practice. Oxford University Press, 2011. [10] J.M. Díaz-Báñez and R. Gutiérrez. Predominant fundamental frequency estimation vs singing voice separation for the automatic transcription of accompanied flamenco singing. In COFLA: un ejemplo de investigación interdisciplinar, La Rioja, 2013. [11] International Society for Music Information Retrieval. (ISMIR). http://www.ismir.net/, accessed in January, 2014. [12] Toussaint G. Computational geometric aspects of rhythm, melody, and voice-leading. Computational Geometry: Theory and Applications, 43:2–22, 2011. [13] J. M. Gamboa. Una historia del flamenco. Espasa-Calpe, Madrid, 2005. [14] Emilia Gómez and J Bonada. Towards computer-assisted flamenco transcription: An experimental comparison of automatic transcription algorithms as applied to a cappella singing. Computer Music Journal, 37:73–90, 2013. [15] The COFLA group. The COFLA group. http://mtg.upf.edu/research/projects/cofla. [16] E. Gómez, Cañadas F. J., J. Salomon, J. Bonada, P. Vera, and P. Cabañas. Predominant fundamental frequency estimation vs singing voice separation for the automatic transcription of accompanied flamenco singing. In 13th International Society for Music Information Retrieval Conference (ISMIR 2012), Porto, 08/10/2012 2012. [17] E. Gómez, A. Klapuri, and B. Meudic. Melody description and extraction in the context of music content processing. Journal of New Music Research, 32(1), 2003. [18] W. B. Hewlett and E. Selfridge-Field, editors. Melodic Similarity: Concepts, Procedures, and Applications. The MIT Press, Cambridge, MA, 1998. [19] R. Hoces. La transcripción musical para guitarra flamenca: análisis e implementación metodológica. PhD thesis, Universidad de Sevilla, 2011. [20] H. Honing. Musical Cognition: A science of listening. Transaction Publishers, 2013. [21] D. Hurtado and A. Hurtado. El arte de la escritura musical flamenca. In Bienal de Arte Flamenco, Sevilla, 1998. [22] Cabrera J.J., Díaz-Bañez J.M., Escobar-Borrego F.J., and J. Gómez E., Mora. Comparative melodic analysis of a cappella flamenco cantes. In Fourth Conference on Interdisciplinary Musicology (CIM08), Tesalónica, Grecia, 2008. [23] Díaz-Báñez J.M. and Mesa A. Fitting rectilinear polygonal curves to a set of points in the plane. European Journal of Operational Research, 130(1):214–222, 2001. [24] A. Klapuri and M. Davy. Signal Processing Methods for Music Transcription. Springer-Verlag, 2006. [25] G. Mazzola. The Topos of Music, Geometric Logic of Concepts, Theory, and Performance. Birkhäuser, 2002. [26] M. Meinard. New developments in music information retrieval. In Audio Engineering Society 42nd International Conference, Ilmenau, Germany, July 2011. [27] B. Merker and S. Brown. The origins of music. MIT Press, Cambridge, 2000. [28] J. Mora, F. Gómez, E. Gómez, F. Escobar Borrego, and Díaz Báñez J.M. Characterization and melodic similarity of a cappella flamenco cantes. In ISMIR (International Symposium on Music Information Retrieval), Utrecht, Netherland, August 2010. [29] J.L. Navarro and M. Ropero, editors. Historia del flamenco. Ed. Tartessos, Sevilla, 1995. [30] R. E. Radocy and D. J. Boyle. Psychological Foundations of Musical Behaviors. Charles C. Thomas, Springfield, Ill., 2003. [31] J. Salamon and E. Gómez. Melody extraction from polyphonic music signals using pitch contours characteristics. IEEE Transactions on Audio, Speech and Language Processing, 20(6):1759–1770, 2012. [32] X.(coordinator) Serra. CompMusic. http://compmusic.upf.edu/, accessed in January, 2014. [33] J. Sloboda. Exploring the musical mind: cognition, emotion, ability, function. Oxford University Press, 2005. [34] David Temperley. The Cognition of Basic Musical Structures. The MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 2001. [35] G. Toussaint. The Geometry of Musical Rhythm. Chapman and Hall/CRC, 2013. [36] A. Volk and A. Honingh. Mathematical and computational approaches to music: challenges in an interdisciplinary enterprise. Journal of Mathematics and Music, 6(2):73–81, 2012.   El grupo COFLA está financiado por el Proyecto de Excelencia de la Junta de Andalucia P12-TIC-1362.

Viernes, 25 de Abril de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

485. 63. (Diciembre 2014) ¿Influye la formación musical en el aprendizaje de las matemáticas? (I)

1. Introducción En la mayor parte de los artículos de esta columna hemos tratado las relaciones entre las matemáticas y la música desde el punto de vista de su contenido como disciplinas. En unas pocas ocasiones hemos examinado las relaciones entre ambas desde el punto de vista pedagógico (véanse las series de artículos Enseñanza de música por vía de las matemáticas [Góm14c], [Góm14d], [Góm14e] y El aprendizaje por indagación [Góm14a], [Góm14b]). En las dos próximas entregas vamos a considerar más a fondo esa fascinante relación. En particular, nos vamos a interrogar por una cuestión que ha sido estudiada en las últimas tres últimas décadas con interés creciente dentro de la comunidad científica. Se sabe que hay pocas actividades cuya práctica implique una transferencia entre diferentes dominios cognitivos. Sin embargo, parece que hay ciertas pruebas de que la actividad musical mejora el rendimiento en otras áreas tales como las matemáticas (de ahí nuestro interés en la cuestión), el lenguaje, o incluso destrezas como la capacidad de concentración o las relaciones sociales. La cuestión tal cual está formulada —¿influye la formación musical en el aprendizaje de las matemáticas? —  es bastante amplia. Necesitamos definir bien los términos de la cuestión para poder dar respuestas útiles y significativas. Por poner un ejemplo de la amplitud de la cuestión, deberíamos definir qué es formación musical y cómo se mide su rendimiento; análogamente, qué se entiende por aprendizaje en matemáticas y cómo se mide este; también qué edades se están considerando; qué intervalos de tiempo de formación musical estamos contemplando; qué tipo de formación en concreto; en qué tipo de estudiantes dicha influencia es mayor, entre otros factores. Examinaremos la bibliografía pertinente para definir correctamente la pregunta y posteriormente dar respuestas razonablemente fundadas y sólidas, siquiera parcialmente, a esa cuestión. Nos gustaría que hubiese más estudios sobre este tema en nuestro país. Lamentablemente, no es así, y una buena parte del material que presentaremos en los dos próximos artículos se refiere a la situación en Estados Unidos y otros países occidentales. Entendemos que, salvando ciertas diferencias, la situación es similar en nuestro país; iremos desgranando cuando sea oportuno dichas diferencias (especialmente en el segundo artículo de la serie). Como primera distinción terminológica nos gustaría diferenciar educación e instrucción, pues ello nos será de utilidad, especialmente en la discusión final de las conclusiones. La misma Real Academia de la Lengua, en su diccionario, define la instrucción como “la comunicación sistemática de ideas y conocimientos” [Rea14a]. Esto, aunque a primera vista parezca lo mismo, es diferente de la educación, que es “desarrollar las facultades intelectuales y morales” [Rea14b]. La diferencia estriba en las componentes emocionales y morales que implica la educación frente a la instrucción, entendida esta como la mera transmisión de conocimientos. El lector quizá se muestre anonadado por el hecho de que la anterior distinción implica un concepto de docencia desnudo de componentes emocionales y morales. ¿Puede haber docencia en un sentido estricto sin que haya implicación emocional y moral, tanto en matemáticas como en música, y para el caso en cualquier disciplina? La respuesta es un rotundo y sonoro no. Pero tal rotundidad y volumen no impide a ese mismo lector anonadado ver, tras un rápido vistazo a su alrededor, que esa práctica docente reducida a una fría y lejana transmisión de conocimientos es frecuente en todos los niveles de la educación, en nuestro país y en general en los países occidentales. Esta distinción terminológica nos permitirá más adelante analizar qué tipo de docencia permite —si finalmente se prueba que es así— que la formación musical ejerza una influencia beneficiosa en el aprendizaje de las matemáticas. 2. Los beneficios de la educación musical Los beneficios de la educación musical han sido ampliamente estudiados por la comunidad científica, especialmente desde la psicología y la pedagogía. Esta avalancha de resultados han llegado al gran público de manera confusa e incompleta en numerosas ocasiones. A veces esos resultados han sido recogidos por los medios de comunicación de una manera superficial o exagerada, en ocasiones deformando los resultados mismos. Como ejemplo anecdótico, valga el famoso efecto Mozart en que el mismísimo Alex Ross, crítico musical de prestigio, en el New York Times llegó a afirmar que escuchar a Mozart te vuelve más listo (ojalá, fuera cierto: Mozart es uno de mis compositores favoritos, pero ya comprueba el lector mi torpeza cada mes). En otras ocasiones, sencillamente los resultados y sus discusiones no llegan al gran público. Dado que el periodismo científico de calidad es raro de encontrar y el peligro de la desinformación del gran público, perniciosa, opino humildemente que los científicos deberían hacer un esfuerzo en comunicar la ciencia a la sociedad de modo más efectivo y sistemático. La verdadera sinergia vendría de periodistas con más formación científica y de científicos que concibiesen la divulgación científica como una obligación profesional y moral. A continuación vamos a glosar brevemente unos cuantos artículos que describen resultados que relacionan el aprendizaje de la música con el de las matemáticas. Están tomados de revistas con procesos rigurosos de revisión y por tanto poco sospechosas de sesgos ideológicos. Varios de los resultados que se presentan están tomados de [VH114] y [Hod14]. 2.1. Los beneficios en el desarrollo cognitivo Los primeros signos de reacción a los estímulos musicales ocurren a partir de los tres últimos meses de gestación. Durante ese período el córtex auditivo y las neuronas del feto se han estabilizado y muestran una gran actividad. Se han llevado a cabo investigaciones sobre la percepción musical en niños de corta edad y, por ejemplo, se sabe que niños de entre 6 y 8 meses de edad ya son capaces de detectar un cambio de una sola nota en una corta melodía de 6 notas, incluso aunque el cambio sea sutil. También se sabe que pronto desarrollan un cierto sentido de la armonía y que muestran preferencia por intervalos consonantes (entendiendo intervalos consonantes como el unísono, las terceras, las cuartas, las quintas, las sextas y las octavas). El ritmo es otro aspecto musical que los niños pequeños desarrollan pronto. Se ha demostrado que son capaces de reconocer un pulso regular y que poseen capacidad de reconocer patrones rítmicos basados en similitud de las figuras rítmicas y en la proximidad temporal de las figuras. Para más información sobre este tema, véase el artículo en esta misma sección [Góm14f] y el capítulo 3 de Sounds of Learning [Hod14] así como las referencias allí contenidas. Cuestiones abiertas en este fascinante campo son determinar la existencia o no de un punto a partir del cual la exposición y la actividad musical ayuda significativamente al desarrollo cerebral y si existe un punto crítico en que la exposición a la música dé como resultado un futuro desarrollo musical destacado en el niño. En un artículo de 2012, Skoe y Kraus [SK12] estudiaron el efecto en adultos de la educación musical recibida de niños desde el punto de vista de los cambios neuronales, esto es, de la neuroplasticidad. Estos autores tomaron medidas electrofisiológicas como respuestas a estímulos musicales. Hallaron que las respuestas fueron más robustas en adultos que habían adquirido una formación musical en su niñez (empezando alrededor de los cinco años) que en aquellos que no la tenían. Sus hallazgos sugieren que esos cambios neuronales permanecen en la edad adulta. Wong y sus coautores [WSR+07] por su parte han encontrado pruebas de que la formación musical mejora el procesamiento de los sonidos del lenguaje. Aunque los propios autores reconocen ciertas limitaciones en su diseño experimental, sobre todo el relativamente pequeño tamaño muestral, concluyeron que los participantes que tenían formación musical demostraron mayor competencia en la percepción y procesamiento del sonido. Pantev y sus coautores [POE+98], de la Universidad de Munster en Alemania, publicaron un artículo en Nature en que describían el aumento del tamaño del cerebro en niños que tomaban lecciones de música. El área donde se producía ese aumento era la especializada en el procesamiento de la altura del sonido. Cuanto antes empezaba la formación musical, mayor era el crecimiento del cerebro. En general, se han encontrado pruebas diversas y con distinto grado de solidez de que la actividad musical produce cambios neuronales, bien especializaciones, bien activación de patrones o bien creaciones de conexiones entre diversas zonas del cerebro. Por ejemplo, se sabe que en general el hemisferio izquierdo es más sensible al procesamiento de la altura del sonido y que el derecho responde más al procesamiento del ritmo, y que por tanto la actividad musical favorece las relaciones entre ambos hemisferios. Para más información y referencias a artículos más especializados, véase el capítulo 3 de [Hod14]. 2.2. Impacto en los indicadores de la inteligencia Tenemos, pues, que la música provoca cambios neuronales, pero esto obviamente no implica que tales cambios estén asociados a la mejora en el rendimiento en otras áreas. Quedaría por probar la existencia de una relación entre la actividad musical y el aumento de la inteligencia (en realidad, el aumento de ciertos indicadores que miden la inteligencia). Se ha probado que la formación musical está asociada positivamente con varias funciones cognitivas. Entre estas funciones se encuentran la capacidad de razonamiento espacio-temporal [Het00], la integración visual y motriz [OM99], la atención selectiva [HWBK75], la memoria del estímulo verbal [JCK03], las destrezas lectoras [But00] y las destrezas matemáticas [Vau00]. Los investigadores de este campo han intentado ir más allá de la mera correlación y han buscado establecer una relación causa-efecto entre la instrucción musical y ciertos indicadores de la inteligencia. Para este fin, varios investigadores optaron por usar un método aleatorio de elección de sujetos de manera que se aseguraran que las variables espúreas (extracción socio-económica, otras actividades extraescolares, género, etc.) no afectaran a los resultados finales. Con este método hubo estudios que no probaron relación entre la destreza lectora y el rendimiento en matemática en alumnos de primero de primaria, pero otros investigadores sí probaron relación con las habilidades espaciales. Todos estos estudios no son completos y requieren todavía más experimentación para extraer conclusiones definitivas (todos los autores reconocen este extremo). De hecho, alguno de esos estudios adolece de un diseño experimental erróneo. Schellenberg y sus coautores [SNHT07] abordaron la cuestión estudiando la relación entre la instrucción musical y un indicador global de la inteligencia. Para estudiar esa relación decidieron incorporar en el estudio la formación teatral y como grupo de control pusieron un grupo de alumnos que no recibió instrucción ni en música ni en teatro. El indicador global de inteligencia fue el indicador de Wescheler [Wec39], que proporciona un coeficiente conjunto basado en la combinación de cuatro índices que miden la comprensión verbal, la organización perceptual, el procesamiento del habla y la capacidad de concentración. El grupo de la instrucción musical mejoró sustancialmente en los cuatro índices y además lo hizo mejor que el grupo que no recibió instrucción alguna y que el grupo que recibió formación teatral. No obstante el trabajo de Schellenberg y sus coautores y sus buenos resultados, todavía hacen falta más estudios que comparen los efectos de la formación musical con otros tipos de formación. 2.3. Influencia en el desarrollo emocional Nadie discute a estas alturas las consecuencias emocionales de la música. Los estudios científicos han investigado tres cuestiones principales: la respuesta emocional en la escucha, la respuesta emocional en el aprendizaje musical y la respuesta emocional durante la ejecución musical. En el primer caso se ha investigado el efecto de la formación musical y en general se ha encontrado que la respuesta emocional es la misma independientemente del nivel de formación musical. Cuando se consideran sujetos con formación musical sí se observa que los juicios musicales son más sólidos y que son capaces de detectar detalles muy sutiles del discurso musical. También se ha observado que tienen un juicio estético superior al de los sujetos sin entrenamiento musical. En cuanto al tercer aspecto, la respuesta emocional durante la ejecución musical, hay estudios que han examinado el papel de la música en adultos que son músicos aficionados. Han encontrado que estos presentan una mayor habilidad para expresar su identidad de forma no verbal y una mayor capacidad de concentración. Véase [Hod14] y las referencias allí contenidas para más información sobre esta cuestión. 2.4. Influencia en el desarrollo social En la cuestión de la influencia musical en el desarrollo social queda mucho por investigar, pues los estudios son pocos y no abarcan poblaciones muy grandes sino con frecuencia pequeños estudios de casos. No obstante, de los estudios disponibles se puede concluir que la música ayuda a iniciar el contacto social, baja los índices de absentismo escolar y fomenta el aprendizaje individual y en grupo; consúltese [Hod14] para más información. 3. Conclusiones En este primer artículo hemos presentado la cuestión de si la instrucción musical tiene influencia en el aprendizaje musical. Sabemos que hay confusión al respecto y en muchos exageración o desconocimiento de los resultados obtenidos por los estudiosos de la cuestión. Hemos hecho una breve revisión de los resultados que afectan al desarrollo cognitivo derivado de la instrucción musical. A continuación hemos analizado su impacto en los indicadores de la inteligencia. Por último, hemos examinado el impacto en el desarrollo emocional y social. En el siguiente artículo y último de la serie, trataremos el impacto en el rendimiento académico y acabaremos con una discusión razonada basada en los resultados glosados aquí.   Bibliografía [But00] R. Butzlaff. Can music be used to teach reading? Journal of Aesthetic Education, 34(3/4):167–178, 2000. [Góm14a] Gómez, P. El aprendizaje por indagación - I. http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=14825&directory=67, consultado en noviembre de 2014. [Góm14b] Gómez, P. El aprendizaje por indagación - II. http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=14957&directory=67, consultado en noviembre de 2014. [Góm14c] Gómez, P. Enseñanza de música por vía de las matemáticas - I. http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=14600&directory=67, consultado en noviembre de 2014. [Góm14d] Gómez, P. Enseñanza de música por vía de las matemáticas - II. http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=14672&directory=67, consultado en noviembre de 2014. [Góm14e] Gómez, P. Enseñanza de música por vía de las matemáticas - III. http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=14759&directory=67, consultado en noviembre de 2014. [Góm14f] Gómez, P. Matemáticas y música en niños pequeños. http://www.divulgamat.net/index.php?option=com_content&view=article&id=14201&directory=67, consultado en noviembre de 2014. [Het00] L. Hetland. Learning to make music enhances spatial reasoning. Journal of Aesthetic Education, 34(3/4):179–238, 2000. [Hod14] Hodges, D. (Ed). Sounds of Learning: The Impact of Music Education. https://performingarts.uncg.edu/mri/research-areas/_files/solproject_final.pdf, consultado en noviembre de 2014. [HWBK75] I. Hurwitz, P. H. Wolff, B. D. Bortnick, and K. Kokas. Nonmusical effects of the kodály music curriculum in primary grade children. Journal of Learning Disabilities, 8:167–174, 1975. [JCK03] L. S. Jakobson, L. L. Cuddy, and A. R. Kilgour. Time tagging: A key to musicians? superior memory. Music Perception, 20:307–313, 2003. [OM99] G. I. Orsmond and L. K. Miller. Cognitive, musical and environmental correlates of early music instruction. Psychology of Music, 27:18–37, 1999. [POE+98] C. Pantev, R. Oostenveld, A. Engelien, B. Ross, B. Roberts3, and M. Hoke. Increased auditory cortical representation in musicians. Nature, 392:811–814, 1998. [Rea14a] Real Academia de la Lengua. Diccionario de la RAE. http://lema.rae.es/drae/?val=instruir, consultado en noviembre de 2014. [Rea14b] Real Academia de la Lengua. Diccionario de la RAE. http://lema.rae.es/drae/?val=educar, consultado en noviembre de 2014. [SK12] E. Skoe and N. Kraus. A Little Goes a Long Way: How the Adult Brain Is Shaped by Musical Training in Childhood. Journal of Neuroscience, 32:11507–11510, 2012. [SNHT07] E. G. Schellenberg, T. Nakata, P. G. Hunter, and S. Tamoto. Exposure to Music and Cognitive Performance: Tests of Children and Adults. Psychology of Music, 35:5–20, 2007. [Vau00] K. Vaughn. Music and mathematics: Modest support for the oft-claimed relationship. Journal of Aesthetic Education, 34:149–166, 2000. [VH114] VH1 - Save the music foundation. The benefits of music education. http://www.vh1savethemusic.org/sites/default/files/BenefitsofMusicEd\%20(1)_1.pdf, consultado en noviembre de 2014. [Wec39] D. Wechsler. The Measurement of Adult Intelligence. Williams & Witkins, 1939. [WSR+07] P. Wong, P. Skoe, N. Russo, T. Dees, and N. Kraus. Musical experience shapes human brainstem encoding of linguistic pitch patterns. Nature Neuroscience, 10:420–422, 2007.

Lunes, 22 de Diciembre de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

486. 123. (Diciembre 2014) CONCURSO NAVIDEÑO: Proeza numérica

Una de las habilidades que adquieren los magos a través de la experiencia es la de sacar provecho a diversas situaciones posibles. Incluso, con una adecuada dosis de experiencia y psicología, son capaces de provocar de forma aparentemente casual la situación más favorable para sus intereses. A nivel elemental, es bastante común encontrarse un aficionado que te aborda diciendo: - Tengo un as en el bolsillo. Elige un palo. Sea cual sea el palo elegido, nuestro candidato a mago mete la mano en el bolsillo, saca un as de dicho palo y muestra que el bolsillo está ahora vacío. Ya habrás adivinado que el sujeto tiene cuatro ases de distintos palos en cuatro bolsillos diferentes y su única preocupación consiste en recordar en qué bolsillo está cada as. A pesar de su simplicidad, este principio puede -y debe- ocultarse al público y el mago tiene que elaborar sus juegos y la presentación de los mismos de forma que no pueda sospecharse esta situación. La mejor estrategia, al menos la más sencilla, es hacer creer que los resultados de un experimento son más numerosos de los que realmente existen. Por ejemplo, ¿sospecharías que se está usando esta técnica si el mago te pide que nombres una carta y, a continuación, mete la mano al bolsillo, saca la carta nombrada y muestra el bolsillo vacío? No parece factible que tenga 52 bolsillos, ni siquiera que disponga de 52 lugares distintos donde ocultar una carta. Incluso, si fuera posible, sería demasiado complicado recordar dónde ocultó cada carta. Hay muchos juegos en los que se aplica de forma muy ingeniosa esta técnica psicológica. Describiré brevemente el juego titulado "Armchair bowler", de Phil Goldstein, cuyos detalles de presentación aparecen publicados en la revista Apocalypse (abril de 1978), acompañados de la imagen adjunta. El mago pide a un espectador que cierre los ojos, que imagine que está jugando a los bolos, que lanza una bola, que la bola recorre velozmente los 19.20 metros de la pista, que al final de su recorrido la bola golpea y hace caer algunos bolos y deja en pie los restantes, que diga en voz alta el número de bolos que han caído y, por último, que abra los ojos. El mago entrega al espectador un sobre cerrado para que lo abra. Dentro hay una hoja de papel con un número escrito: precisamente el número que corresponde a la jugada obtenida por el espectador. ¿Crees que el mago necesita 10 sobres diferentes? Phil Goldstein asegura que sólo hacen falta 4 sobres. ¿Cómo lo logra? Esta misma idea es la base del juego matemático que describiremos en esta entrega. El inventor del juego es el japonés Shigeo Futagawa (Yokohama, 1943), mago de dilatada trayectoria y profesor de matemáticas hasta su jubilación, creador de varios efectos con sabor matemático, como el de las tres cuerdas que puedes ver en Youtube. El juego de este mes se publicó por primera vez en la citada revista Apocalypse (junio de 1979) bajo el título "Numeral-oh-gee" y más tarde en el libro "Self-working number magic" de Karl Fulves (1984) bajo el título "Stunumbers". Entre ambas publicaciones, el mismo juego está recogido por Martin Gardner para su columna de Scientific American ya que aparece en el artículo "Psychic wonders and probability" de mayo de 1979. Este artículo ha sido, además, uno de los seleccionados por Fernando Blasco para la edición especial de la colección Temas de Investigación y Ciencia titulada "El universo matemágico de Martin Gardner", publicada con motivo del centenario del nacimiento de este gran personaje. Huelga decir que esta revista es imprescindible en la biblioteca de cualquier gardnerófilo. Vamos con el juego. El mago enseña cuatro cartulinas blancas en las que están escritos los siguientes números: CARA DORSO TARJETA 1 17 30 TARJETA 2 26 39 TARJETA 3 28 41 TARJETA 4 45 58 Entrega las cartulinas a un espectador para que las mezcle a su gusto, incluso girando las tarjetas las veces que desee. Una vez mezcladas, el espectador coloca las cuatro tarjetas sobre la mesa, formando una fila con cuatro números a la vista. Antes de eso, el mago escribe una predicción en una hoja de papel y la deja sobre la mesa, sin dejar ver el contenido de la predicción. Dejaré aquí la descripción y pasaré el turno a los lectores de esta sección. ¿Cómo puede saber el mago el resultado de la suma de los cuatro números que han quedado a la vista? Aparentemente, hay 16 posibles resultados, dos por cada tarjeta, pero en realidad son muchos menos. ¿Qué método ingenioso permite al mago escribir como única predicción el número 142? Así, si descubres alguna solución para este problema o para el del juego de los bolos planteado al principio, escríbenos y participarás en el habitual CONCURSO NAVIDEÑO de este rincón. Las mejores soluciones se publicarán el próximo mes y los ganadores del concurso recibirán un obsequio por gentileza de la redacción de Divulgamat. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Lunes, 22 de Diciembre de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

487. 95. Geometría para desaparecer

Suele ser la Navidad una época propicia para los cuentos, las narraciones fantásticas, la evasión, en suma, de nuestra cotidianeidad. Nada mejor por tanto que un relato de este estilo. A la espera de que a principios de año (el día 1 de Enero está anunciado su estreno) llegue a nuestros cines Descifrando Enigma, título con el que finalmente se estrenará The Imitation Game (ver reseña nº 94; aquí trailer en castellano), evadámonos (nunca mejor dicho) con este cortometraje, no estrenado en España, pero del que podemos hacernos una idea gracias a YouTube (Cinco minutos del cortometraje y en inglés, of course) y sobre todo al relato original disponible en la Red (más abajo se da el enlace). En primer lugar, como es preceptivo, una breve ficha técnica y artística: SOLID GEOMETRY Título Original: Solid Geometry. Nacionalidad: Reino Unido, 2002. Director: Denis Lawson. Guión: Denis Lawson, basada en un relato de Ian McEwan. Fotografía: Robin Vidgeon, en Color. Montaje: Kant Pan. Música: Nick Bicât. Producción: Lawrence Henry, Stella Maris, Gary Parry, Gill Parry. Duración: 24 min. Intérpretes: Ewan McGregor (Phil), Ruth Millar (Maisie), Peter Capaldi (David Hunter), Jonathan Watson (Patrick Murray), John Murtagh (Dr. Vosse), Angela Darcy (Amiga de Phil), James Lyon (Ingeniero de sonido), Beth Marshall (Amiga de Phil), Frank Miller (Actor), Stuart Wilkinson (Amigo de Phil). Argumento: Phil es un joven ejecutivo de publicidad de éxito y Maisie (Millar) su hedonista esposa. Un día Phil hereda de su tatarabuelo los 45 volúmenes de sus diarios personales, lo cual cambiará radicalmente la vida de la pareja. Phil se obsesiona con las investigaciones en geometría contenidas en los diarios, quedando particularmente fascinado por la teoría de "un plano sin una superficie". Su búsqueda de este mítico concepto geométrico distorsiona su matrimonio. La película está salpicada de flashbacks que muestran cómo el tatarabuelo de Phil descubre la parte sobrenatural que encierra la geometría, a la vez que vemos cómo lo hace Phil siguiendo los pasos indicados en los diarios. Comentarios, reflexiones, miscelánea variada sobre la película Antes de nada nos gustaría apuntar que este relato se basa en un conocido hecho matemático que puede recrearse doblando un papel (el paso de dos a tres dimensiones, o de una a dos), a partir del cual se echa a volar la fantasía e imaginación, que se aprovecha para abordar una situación concreta de crisis en la vida de una pareja (el tema del cansancio en la relación de una pareja, la monotonía, el no conocerse realmente hasta compartir sus vidas, etc. que personalmente considero el verdadero argumento del cortometraje y del relato; la Geometría es un mero aderezo). Esta aclaración viene en relación a la inagotable literatura y demás parafernalia relacionada con lo que se ha dado en llamar por algunos Geometría sagrada, mística, del conocimiento y demás adjetivos seudocientíficos que nos permiten alcanzar no se sabe que estados de gracia (asociado a expresiones como Otras dimensiones, y bla, bla, bla). Todos estos utilizan conceptos reales de matemáticas como un reclamo para llamar la atención y darse el empaque necesario para atraer incautos, buscando propiedades cualitativas, espirituales, exclusivamente en la forma de los objetos matemáticos (simetría, belleza subjetiva, etc.) obviando por completo cualquier fundamento matemático (que ni les interesa, ni entienden, por supuesto), lo que les hace inferir autenticas barbaridades y disparates que, desgraciadamente parecen cautivar a muchas personas poco atentas o ilustradas. Evidentemente cada uno es libre de pensar lo que quiera, y de tener la mente abierta, pero, como dijo alguien (varios se atribuyen la frase, aunque siempre he considerado que su autor fue el físico Richard Feynman), no tanto como para que se te caiga el cerebro. (Imagen: Phil leyendo uno de los tomos del diario de su tatarabuelo). Este cortometraje fue producido por la cadena de televisión Channel 4. Hubo un primer proyecto de rodar en un telefilme sobre esta historia a mediados de los años 70 del siglo pasado, pero finalmente no se llevó a cabo por que la BBC estimó que las referencias sexuales eran demasiado explícitas. En efecto el relato menciona hechos que podrían considerarse inapropiados para una mentalidad victoriana, o de mal gusto para otros, pero en fin, la mayoría las considerará (lo que son) casi anecdóticas. Simplemente se menciona que al tatarabuelo le llamó la atención adquirir en una subasta un recipiente de cristal conteniendo el pene de un tal Capitán Nicholls, “en un hermoso estado de conservación” (ya se sabe que en otras épocas consideraban ciertas partes humanas o animales también con propiedades maravillosas, otra, con perdón, gilipollez, que hoy en día está haciendo peligrar la conservación de ciertas especies animales. ¿Estamos tontos o qué?). Otro objeto en la misma subasta era “la porción sin nombre de la difunta lady Barrymore”. Además, según unas sesudas investigaciones del tatarabuelo del protagonista, matemáticamente demostró que el número máximo de posiciones posibles en el acto sexual (de una pareja, se supone) es el número primo 17. Mr. Murray (en el relato, M.), amigo inseparable del tatarabuelo, se burla de esa cantidad, afirmando que “había visto una colección de dibujos de Romano, discípulo de Rafael, en el que se muestran veinticuatro posiciones. Además, dijo, había oído hablar de un tal señor F.K. Forberg que había contabilizado noventa” (Tranquilos, no vamos a proponer su verificación como ejercicio de vacaciones; en todo caso, el lector interesado puede averiguar quien fue Forberg y su trabajo pictórico aquí). Pues estas son básicamente las referencias al tema tabú del relato (de la relación conyugal entre Phil y Maisie no es muy explícito, pero se lo puede uno suponer ya que la relación entre la pareja no es demasiado buena). Al inicio se nos dice que el tatarabuelo de Phil vive gracias a los dividendos que le genera la patente de un descubrimiento de su padre (un práctico cierre de corsés), lo que explica que tenga todo el tiempo del mundo para pensar en este tipo de, seamos finos, veleidades. Según prosigue la lectura del diario, Phil descubre que, aunque su tatarabuelo se considera matemático, el descubrimiento que dice poseer, llega a él a través de su amigo M, que a su vez lo recibió del matemático David Hunter, al que prometió guardarlo si a él le pasaba algo. Imagen: El verdadero descubridor del “plano sin superficie”, David Hunter y M de espaldas. En fin, no voy a desvelar más contenido del corto ni del relato, el caso es que hay varias desapariciones misteriosas, consecuencia de, se supone, haber pasado a otra dimensión que se alcanza formando cuidadosamente una especie de flor de loto a partir de una hoja de papel. Una vez terminada, comienza a emitir una luz brillante, se pliega sobre sí misma y desaparece. Al ser testigo de este suceso, Phil decide investigar más a fondo los diarios (en una primera lectura había pasado completamente de todo lo relacionado con las matemáticas, al no ser de su interés) y la misteriosa desaparición de su tatarabuelo. Finalmente, el descubrimiento le servirá de algún modo que no contamos pero que es bastante obvio. Imagen: El tribunal de matemáticos expectantes escuchando el “hallazgo” de David Hunter. En el cortometraje hay alguna referencia matemática más, sobre todo dibujos y representaciones gráficas que prácticamente aparecen como decorado de fondo, junto a instrumentos de dibujo, en particular uno para representar rectas paralelas. Sobre el título original, Solid Geometry, es el modo al que los anglosajones se refieren a la Geometría en tres dimensiones (ya sabéis, largo, alto y ancho), el espacio en el que vivimos. El relato Se publicó por primera vez en 1975 en el libro First Love, Last Rites, un compendio de ocho historias cortas del autor, el británico Ian McEwan,  la segunda de las cuales es la que nos ocupa. En los EE. UU. se editó en 1982 en The Imitation Game and Other Plays, y ha tenido varias reimpresiones, la última en 1997. El relato completo, para el que lo desee, puede leerse en inglés, aquí, y la página oficial de su autor es esta. Antecedentes Existe mucha literatura en relación al paso a otra dimensión (al igual que a los viajes en el tiempo, otro asunto del que algún día nos ocuparemos ya que algunas de las películas que lo ponen en escena utilizan, como no, desarrollos matemáticos; ya se sabe, como las matemáticas no las entiende nadie, pues hala, a utilizarlas como recurso de lo inverosímil). El lector seguramente puede recordar algunos ejemplos tanto en novela como en cine. No obstante el argumento de este relato guarda muchas similitudes con  otra historia corta escrita en 1946 por Martin Gardner titulada The No-Sided Professor. Martin Gardner está siendo ampliamente reconocido, homenajeado (muy a su pesar) en todo el mundo (incluido nuestro país) a través de charlas, talleres, artículos, congresos, etc. como gran divulgador de las matemáticas, además de declarado escéptico. Su producción bibliográfica roza el centenar de libros. Entre ellos, también hizo sus pinitos en el terreno de los relatos, aspecto que no ha sido tan divulgado como los otros mencionados (al menos a mi me lo parece o no he tenido la ocasión de verlo porque la cantidad de eventos en torno a su trabajo es bastante amplia). La imagen adjunta es de su primer libro de historias cortas de ficción, recopiladas de revistas como Esquire o la London Mystery Magazine. A partir de la lectura de algunas de ellas se puede apreciar el mismo encanto magistral, ingenio, humor y brío filosófico que caracterizan sus libros de divulgación matemática. En concreto, en The No-Sided Professor, el protagonista es el Dr. Stanislaw Slapenarski, que por medio de una clase de yoga matemática se pliega sobre sí mismo y su némesis aparece en otra dimensión. La banda de Moebius y la botella de Klein son las referencias topológicas que utiliza en la trama. Todos sabemos la sorpresa que se produce al ver por primera vez cómo una tira de papel con dos caras se transforma en una superficie de una sola cara. El relato plantea la posibilidad de continuar, esto es, ¿no seria posible pasar de una cara a ninguna? ¿Y que sucedería si esto se hiciera a una persona? Sobre esta hipótesis se elucubra y analiza las hipotéticas consecuencias en este relato. En el prefacio del relato, Gardner indica que, “a pesar de que en muchos círculos matemáticos se va contando que el Dr. Slapenarski está basado en el topólogo polaco Samuel Eilenberg, pero nunca había oído hablar de Eilenberg, y en realidad no tenía a nadie en mente. Robert Simpson, sin embargo, es el matemático Robert Simpson, a quien conocí cuando era un estudiante de posgrado en la Universidad de Wisconsin". No Sided Professor puede leerse aquí: http://issuu.com/carmelonegro/docs/the_no-sided_professor__and_other_t/43 Finalmente, si alguien quiere probar estas Navidades a desaparecer construyendo flores de loto, en internet hay muchos tutoriales de papiroflexia y origami que le pueden ayudar; un ejemplo entre otros muchos es el de este enlace. ¡¡¡ FELICES FIESTAS !!!

Viernes, 05 de Diciembre de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

488. 12. (Diciembre 2014) La muerte de Arquímedes en el arte

El legado de Arquímedes, el principal matemático de la antigüedad, no se ha limitado a sus teoremas y descubrimientos, también las leyendas de su vida le han acompañado, engrandeciendo su ya potente figura. Las grandes figuras son observadas con detenimiento y los episodios de su vida son contados hasta convertirse en mitos. Algunos hagiógrafos también las adornan. Así, Arquímedes es de gran utilidad para narrar matemáticas, algo que siempre es muy útil al enseñante. Muchas historias y anécdotas han pasado a engrosar la tradición colectiva: “dadme un punto de apoyo y moveré el mundo”, gritar ¡Eureka! corriendo desnudo por Siracusa tras resolver la composición de la corona real, el levantamiento de barcos, la espuria historia de los espejos ustorios que queman la flota romana, la iconografía de su mausoleo (Plutarco: su sepulcro era un cilindro con una esfera circunscrita en él, poniendo por inscripción la razón del exceso que hubiese entre el sólido continente y el contenido),… y su muerte a manos de un soldado romano tras la conquista de Siracusa durante las Guerras Púnicas. A estas deliciosas historias tenemos que añadir otra muy apasionante: la larga marcha del palimpsesto del Método hasta su descubrimiento y restauración. Ha sido la última de las batallas ganadas por el sabio siracusano. Entre todas las historias, la que dejado más huella ha sido su muerte violenta mientras trabajaba, concentrado y ajeno a las cosas materiales. Los artistas no podían dejar un tema así sin plasmar la fuerza de sus imágenes. En lugares tan emblemáticos como las Estancias de Rafael del Vaticano, la Biblioteca del Monasterio de San Lorenzo de El Escorial o la Asamblea Nacional Francesa, encontraremos la espada que da muerte a Arquímedes. El episodio es narrado por Plutarco en su Vida de Marcelo, el general romano que asalta Siracusa. Leamos el largo párrafo en detalle pues se narran tres historias: Mas lo que principalmente afligió a Marcelo fue lo que ocurrió con Arquímedes: hallábase este casualmente entregado al examen de cierta figura matemática, y fijos en ella su ánimo y su vista, no sintió la invasión de los romanos ni la toma de la ciudad. Presentósele repentinamente un soldado, dándole orden de que le siguiera a casa de Marcelo; pero el no quiso antes de resolver el problema y llevarlo hasta la demostración; con lo que, irritado el soldado, desenvainó la espada y le dio muerte. Otros dicen que ya el romano se le presentó con la espada desenvainada en actitud de matarle, y que al verle le rogó y le suplicó que esperara un poco, para no dejar imperfecto y oscuro lo que estaba investigando; de lo que el soldado no hizo caso y le pasó con la espada. . Todavía hay acerca de esto otra relación, diciéndose que Arquímedes llevaba a Marcelo algunos instrumentos matemáticos, como cuadrantes, esferas y ángulos, con los que manifestaba a la vista la longitud del sol, y que dando con él los soldados, como creyesen que dentro llevaba oro, le mataron. Tres muertes alternativas. La que más nos gusta es la segunda. Plutarco muestra las características de la matemática griega que han sido los objetivos de todos los tiempos: claridad y perfección. En la primera se insiste en la demostración y en la última destaca otro aspecto de Arquímedes: la fabricación y uso de modelos físicos. La primera representación de la muerte de Arquímedes que hemos encontrado es un mosaico romano que se encuentra en Francfort. Véase más arriba. La representación es ingenua pero muy expresiva. En lugar del dibujar sobre arena, el sabio  trabaja sobre una tablilla. Tras el mosaico nos vamos al Vaticano, a la Estancia de la Signatura de Rafael, dominada por la impresionante Escuela de Atenas. Platón y Aristóteles en el centro y el resto de los sabios trabajando en sus quehaceres. A nuestra derecha se encuentran Ptolomeo con esfera y una figura inclinada sobre una pizarra con un compás. Esta figura puede representar a Euclides pero también a Arquímedes pues justo debajo, en el zócalo y sin policromía, se encuentra la conquista de Siracusa y la muerte de Arquímedes. De las Estancias Vaticanas pasamos otro sitio emblemático, a la Biblioteca del Monasterio de San Lorenzo de El Escorial. Arquímedes aparece dos veces. La escena más cuidada por el pintor Pellegrino Tibaldi es la representación de los soldados en el momento de matar a un Arquímedes concentrado en la demostración del Teorema de Pitágoras. Del manierismo al barroco. La dramatización del momento llega al paroxismo. Tres pintores de la segunda mitad del XVII recrean la muerte de Arquímedes reduciéndola a lo esencial: la espada, el sabio en trance y el soldado feroz. El francés Guillaume Courtois, llamado Il Borgognone, tiene en el Museo del Barroco en Ariccia una de estas representaciones básicas: La misma escena con caras desencajadas la encontramos en Burdeos con la representación de Pietro Della Vecchia (marco dorado) y en una pintura de Pier Francesco Mola perteneciente a una colección privada. Al romanticismo tampoco le paso desapercibido el acontecimiento. Entre las muchas representaciones del siglo XIX elegimos una que decora el Palacio de la Asamblea Nacional de Francia, firmada por Eugène Delacroix. En este caso la espada se convierte en lanza para dar más dinamismo al momento.

Miércoles, 03 de Diciembre de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

489. 122. (Diciembre 2014) Mezcla Klondike

Como es bien sabido, una simple mezcla de cartas no es una operación tan inocente como se podía esperar. Si el origen y la razón fundamental para mezclar una baraja es perder el orden inicial de dicha baraja, varios tipos de mezcla consiguen el efecto contrario: es posible predecir la posición de algunas o todas las cartas después de realizar una mezcla de tipo matemático. Los ejemplos más significativos son la mezcla faro (paradójicamente conocida también como mezcla perfecta) y la mezcla australiana. Las propiedades matemáticas de la mezcla faro se han estudiado profundamente pero la mejor referencia que conozco es el libro de S. Brent Morris titulado Magic tricks, card shuffling and dynamic computer memories. Con respecto a la mezcla australiana, puedes encontrar diversas propiedades en el artículo publicado en la revista Eureka así como en entregas pasadas de este rincón, como en mayo de 2006 y en mayo de 2010 (en los capítulos 2 y 6 del libro "Magia por principios" también se estudian con cierto detalle las propiedades de estas mezclas). Un par de variantes de la mezcla australiana, menos conocidas, son la mezcla Monge, de la que ya hemos hablado en este rincón (octubre de 2007) y la mezcla Klondike. Puedes ver ambas mezclas en acción en estos enlaces de Youtube: mezcla Monge, mezcla Klondike. Básicamente, la mezcla Klondike consiste en lo siguiente: Con las cartas en una mano, agarradas por los lados cortos, se acerca la otra mano y se coloca el dedo pulgar sobre la baraja y el resto de los dedos bajo la misma. Se arrastran juntas las cartas superior e inferior y se dejan sobre la mesa. Se repite el proceso y se dejan las dos cartas siguientes sobre las anteriores y así sucesivamente, hasta que se hayan repartido todas las cartas. Algunos de los magos más prolíficos en la creación de juegos relacionados con la mezcla Klondike son Karl Fulves, Peter Duffie y Werner Miller. En una entrega posterior describiremos algunos de los juegos de Peter Duffie pero en esta ocasión dejemos que Werner Miller nos enseñe un juego donde se explotan por partida doble las características de la mezcla Klondike. En el portal lybrary.com puedes conseguir muchas de las publicaciones de este matemático-mago alemán. Separa de la baraja las 13 cartas de picas y retira el resto. Retira la dama y entrega las 12 cartas restantes a un espectador para que las mezcle y haga tres montones de cuatro cartas caras abajo sobre la mesa. Un segundo espectador elige uno de los montones, mira la carta inferior, la recuerda y coloca el paquete sobre cualquiera de los otros dos. Un tercer espectador elige cualquiera de los dos montones, mira la carta inferior, la recuerda y coloca el montón elegido sobre el otro. Muestra la dama y colócala cara abajo sobre el paquete de doce cartas. Realiza dos mezclas Klondike, una por cada carta elegida. Entonces deletrea "D-A-M-A", repartiendo desde arriba una carta por cada letra, formando un nuevo montón. Deletrea "D-E", repartiendo dos cartas en otro montón. Deletrea "P-I-C-A-S", repartiendo cinco cartas en un tercer montón. Te quedarán dos cartas que las dejas aparte. Gira cara arriba la primera carta del último montón ... es la dama de picas. Gira caras arriba las cartas superiores de los otros dos montones ... son las cartas elegidas (la que estaba originalmente octava es la superior del primer montón y la que estaba originalmente cuarta es la carta superior del segundo montón). Vas a comprobar que los cincos (valen también los sietes y los nueves) tienen el mismo talento para localizar cartas, repitiendo el efecto. Vuelve caras abajo las cartas mostradas y reúne los tres montones en cualquier orden y coloca encima las dos cartas desechadas anteriormente. Busca los tres cincos restantes en la baraja y pide a un espectador que elija uno de ellos. Si elige el cinco de corazones, lo eliminas y dejas que el espectador elimine cualquier otro. El caso es que la carta elegida sea el cinco de rombos o de trébol (pues cualquiera de estos palos puede deletrearse con seis letras). Añade al montón de 13 cartas los dos cincos no elegidos. Pide a un espectador que mezcle el paquete de 15 cartas y reparta tres manos de cinco cartas cada una. Repite lo anterior, con una diferencia: después de deletrear el palo del cinco elegido, coloca el resto de las cartas en bloque sobre el último paquete repartido. Ahora las cartas superiores de cada paquete son las elegidas y el cinco deletreado. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Lunes, 01 de Diciembre de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

490. 62. (Noviembre 2014) Paradojas matemáticas y musicales

1. Introducción ¿Qué es una paradoja? Si algo caracteriza una paradoja es la capacidad de sumirnos en un estado de perplejidad, el cual suele ir seguido de una disposición a resolver la aparente contradicción. El diccionario de la Real Academia de la Lengua [Rea14] trae varias acepciones de la palabra paradoja. En primer lugar habla de “idea extraña u opuesta a la común opinión y al sentir de las personas”. En efecto, una paradoja siempre causa extrañeza porque desafía la lógica en su sentido más habitual, porque nos muestra una situación bajo una luz diferente y cuyos resultados nos son inesperados. Enfrentados a una paradoja siempre tenemos la sospecha de que estamos en presencia de una trampa. La paradoja es más potente cuanta más perplejidad causa en nosotros. En la siguiente acepción, la RAE habla de “una aserción inverosímil o absurda, que se presenta con apariencias de verdadera”. Y he aquí una segunda característica de las paradojas: han de ser aparentemente contradictorias. El diccionario de la RAE quizás se excede en esta definición cuando dice que la aserción es absurda o inverosímil. Hay paradojas —sobre todo en matemáticas—que no fueron absurdas en su momento y que mostraron serias grietas en los fundamentos de las matemáticas; piénsese en las paradojas de Russell, de las que hablaremos más abajo. Las paradojas, empero, no se limitan a las matemáticas. Las hay lógicas, psicológicas, filosóficas, físicas, biológicas, lingüísticas y musicales, entre otras; véase [Wik14] para una lista más larga de ellas. En la columna de este mes vamos a examinar las paradojas matemáticas y las paradojas musicales. 2. Paradojas matemáticas 2.1. Las paradojas de Zenón de Elea Las paradojas de Zenón de Elea (490-430 a.C.) se cuentan entre las más conocidas en matemáticas. Estas paradojas tienen consecuencias matemáticas y filosóficas; véanse  [Sai09] y [Pal08] para más información sobre este filósofo y sus paradojas. Como ejemplo, vamos a presentar en la columna de este mes la paradoja de Aquiles y la tortuga. Aquiles es un famoso guerrero aqueo por la velocidad de su carrera hasta tal punto que es conocido como “el de los pies ligeros”. Entre sus hazañas se cuenta haber matado al príncipe troyano Héctor durante la guerra de Troya. La paradoja propone una carrera entre el rápido Aquiles y una tortuga. Para equilibrar la carrera, la tortuga cuenta con una ventaja inicial. La carrera empieza y Aquiles corre raudo y veloz y en poco tiempo alcanza el punto en que estaba la tortuga al inicio de la carrera. Sin embargo, la tortuga ya no está allí. En el tiempo que ha empleado Aquiles en recorrer esa distancia, la tortuga ha avanzado un cierto trecho. Aquiles corre, otra vez raudo y veloz, hasta ese nuevo punto solo para encontrarse con que la tortuga ya no está, ha seguido avanzando. Cada vez que Aquiles llega a un nuevo punto, la tortuga ya no se encuentra allí. Este proceso se repite todo el tiempo. Llegamos a la conclusión de que Aquiles, por muy raudo que sea, nunca alcanzará a la tortuga. En la figura 1 se ilustra la paradoja. Figura 1: La paradoja de Aquiles y la tortuga (figura tomada de [Rub14]). Como vemos, la paradoja provoca perplejidad, pues nuestra experiencia cotidiana nos dice que no ocurre lo que describe la paradoja. Sabemos que hay algo que no funciona, pero ¿qué es? Hay varias maneras de explicar la paradoja y señalar dónde está el error en la paradoja. Hay una explicación filosófica y es la de advertir que la paradoja de Zenon confunde el espacio real con su modelo matemático. Para fijar ideas, supongamos que Aquiles es diez veces más rápido que la tortuga y que la distancia inicial entre Aquiles y la tortuga era de 10 metros. Después de n pasos Aquiles se encontrará a una distancia de . Cuando n sea muy grande, esa cantidad en el mundo matemático es todavía positiva, pero en el mundo real eso significa que Aquiles ya ha alcanzado a la tortuga. Desde el punto de vista estrictamente matemático la paradoja se puede explicar también usando series numéricas. Teniendo en cuenta la distancia inicial y la velocidad de Aquiles, la distancia que recorre Aquiles viene dada por la siguiente suma: La serie infinita que aparece es la suma de una progresión geométrica de razón menor que uno, la cual es convergente. Tenemos entonces que: que es una cantidad finita. Por tanto, la suma infinita de números puede dar un resultado finito. La paradoja nos estaba haciendo creer que eso era imposible y que, por tanto, Aquiles nunca alcanzaría a la tortuga. Sin embargo, los cálculos anteriores desenmascaran la paradoja. 2.2. Las paradojas autorreferenciales Las paradojas autorreferenciales son aquellas que se derivan de enunciados que se refieren a sí mismos. La historia de estas paradojas es instructiva e interesante. A finales del siglo XIX hubo una escuela de pensamiento matemático, el formalismo, que concebía las matemáticas únicamente como un sistema formal basado en axiomas y demostraciones. Hoy en día se acepta mayoritariamente que las matemáticas tienen como características la abstracción, las demostraciones y las aplicaciones (véanse [AKL12, Sna79] para más detalles sobre las posibles definiciones de matemáticas). Obviamente, el formalismo enfatizó la segunda característica, las demostraciones. Durante un cierto tiempo los formalistas creyeron que la lógica y la teoría de conjuntos, tal cual estaban definidas entonces, constituirían los fundamentos de las matemáticas. Entonces aparecieron una serie de paradojas que les hicieron replantearse esa idea. Una de ellas fue la paradoja del barbero de Bertrand Russell. La paradoja va como sigue. Hay una ciudad donde hay un único barbero, que resulta ser un hombre. En esa ciudad misteriosa no hay hombres que se dejen barba. Para afeitarse hacen una de las dos cosas siguientes: o bien se afeitan a sí mismos o bien acuden a la barbería para afeitarse. Además el barbero solo afeita a aquellos que no se afeitan a sí mismos. La pregunta es quién afeita al barbero. Si el barbero se afeita a sí mismo, caemos en una contradicción, ya que el barbero no afeita a quien se afeita a sí mismo. Si declaramos al barbero como miembro del conjunto de los que no se afeitan a sí mismo, por las condiciones del problema, tendría que ir a la barbería a que le afeitaran. Pero entonces se afeitaría a sí mismo y ya hemos visto que eso es contradictorio. La paradoja del barbero pone de manifiesto que no es posible definir un conjunto cuya definición se refiera a sí mismo. Relacionadas con esta paradoja están las paradojas lógicas consistentes en enunciados cuyo valor de verdad no se puede establecer. Por ejemplo, ”esta frase es falsa”, es un ejemplo clásico (la paradoja del mentiroso). Estos enunciados no son objeto de la lógica de proposiciones, la cual requiere que todo enunciado que participe en un razonamiento sea susceptible de determinarse su valor de verdad. La autorreferencia o circularidad ha aparecido en otros campos como la literatura o las artes plásticas. Escher la usó mucho; abajo tenemos una famosa litografía suya tratando este tema. Figura 2: Drawing hands, de M. Escher. 2.3. Las paradojas relativas a conjuntos infinitos A veces la paradoja no es tal, sino el producto de un sesgo cognitivo. La idea de que el todo es mayor que sus partes nos parece natural e incontestable. En realidad, eso solo ocurre para conjuntos finitos. Con los conjuntos infinitos las cosas siempre son más divertidas. Consideremos el siempre inocente y familiar conjunto de los números naturales ℕ. Ilustraremos sus curiosas propiedades a través de la paradoja del Gran Hotel debida a Hilbert (véase, por ejemplo, [Gar89, Dek14]). El Gran Hotel es un hotel especial; tiene infinitas habitaciones, infinitas del tipo de los números naturales (el lector ya me entiende). Estamos en el fin de semana en que se celebra el aniversario del nacimiento de Martin Gardner, el ya conocido Celebration of Mind, y el hotel se encuentra totalmente lleno. No queda ni una sola habitación libre. Su recepcionista, Adolfo Diligente, es el ser más servicial que quepa imaginar, amén de un amante de las matemáticas. Cerca del mediodía llega Maryam Mirzakhani, la medalla Fields de 2014. Entre tanta entrega y homenaje, olvidó hacer la reserva y ahora no tiene habitación. Preguna, compungida, a Adolfo qué puede hacer él. Este, que la admira profundamente, responde resueltamente a su petición. — No se preocupe, señora Mirzakhani, estamos en el Grand Hotel, un hotel infinito donde los haya, y aquí hay solución para todos los problemas. Mire lo que haré. Pediré a cada huésped que se vaya a la habitación siguiente a la suya. Esto nos dejará la habitación número uno libre para usted. Esta es, señora Mirzakhani, una de las mejores del hotel —y Adolfo sonrió cálidamente al tiempo que dejaba ver sus blancos dientes—. — Gracias, Adolfo. Nunca olvidaré esto —dijo la señora Mirzakhani con una expresión sincera—. Adolfo se sumió en sus quehaceres y aunque fijaba su atención en ellos se sentía secretamente feliz por haber tenido la oportunidad de hablar con una matemática de la talla de la señora Mirzakhani. Al poco entró un grupo de viajeros. Se identificaron como matemáticos que iban a asistir a la Celebration of Mind, pero, igual que la señora Mirzakhani, habían olvidado reservar habitación. El resto de los hoteles de la ciudad eran finitos y todos, que también estaban llenos, les habían mandado al Grand Hotel, el único hotel infinito en la zona. Amablemente preguntaron a Adolfo si algo se podía hacer. Adolfo, mientras hablaba con el portavoz del grupo, los contó disimuladamente. Es un número finito, pensó, y eso se puede arreglar. — Estimados señores, veo que su grupo consta de 25 personas. Dado que este hotel es infinito, les puedo acomodar. Pediré a cada huésped que amablemente se cambia a la habitación que marca su número más 25, salvo la primera habitación. En ella se aloja la señora Mirzakhani y no se la puede molestar, ya me comprenden ustedes —el grupo de viajero asintió con seriedad—. Tienen ustedes las habitaciones de la 2 a la 26. Permítanme su documentación, por favor. Y así fue como Adolfo acomodó a este grupo. Dos horas más tarde, cerca de la hora del aperitivo, cuando los infinitos huéspedes departían relajadamente en el infinito salón del Grand Hotel (hotel infinito para huéspedes infinitos, claro), un nuevo grupo de viajeros llegó. Pero esta vez el grupo era diferente: era un grupo infinito de personas. Este grupo de matemáticos absortos habían tratado de probar un teorema y tal fue la concentración que pensaron que habían reservado el hotel, pero, de hecho, solo fue una intención que nunca se materializó. Adolfo escuchó educadamente la historia de los infinitos matemáticos. Luego hizo la siguiente pregunta: — Señor, el infinito de ustedes, ¿es numerable?, esto es, ¿es el infinito de los números naturales? En otro caso, me temo que nada podría hacer. — Venimos en número infinito numerable, señor; nos podemos poner en biyección con los números naturales, sí, en efecto. Adolfo sonrió e informó que sus habitaciones estarían listas después de comer. De momento, los condujo a la consigna para que dejasen sus maletas allí. Durante la comida pediría a los huéspedes que se mudasen a la habitación cuyo número es el doble de la que ahora tienen. De este modo se quedarían libres un número infinito de habitaciones. Ese infinito es numerable y, por tanto, los nuevos huéspedes cabrían. Sentía tener que mover a la señora Mirzakhani, pero estaba seguro de que era comprensiva. Y hasta aquí nuestra versión de la paradoja del infinito. Como vemos, la paradoja apela a la intuición bastante común de que las partes son más pequeñas que el todo, pero se resuelve en cuanto estudiamos mínimamente las propiedades de los conjuntos infinitos. Se sabe que los números pares tiene el mismo cardinal que el propio conjunto ℕ; en realidad, el conjunto de los múltiplos de cualquier número k ∈ ℕ fijo tiene el mismo cardinal que ℕ. 3. Paradojas musicales Hay varias paradojas en el mundo de la música. Vamos a describir una de las más conocidas, la paradoja del tritono, que fue descubierta por la psicóloga de la música Diana Deutsch [Deu86]. En su página web tiene un artículo excelente, donde explica con mucho detalle la paradoja y sus consecuencias; consúltese [Deu14]. Para un buen artículo de divulgación sobre las paradojas, véase Paradoxes of musical pitch [Deu92] de la la misma autora. La paradoja del tritono presenta dos sonidos producidos uno después del otro y separados por un tritono, esto es, exactamente por la mitad de una octava. Cuando estos sonidos se tocan en sucesión ascendente ocurre que a veces se oyen como descendentes (el primer sonido es más agudo que el segundo) cuando en realidad se han tocado ascendentes (el primer sonido es más grave que el segundo). Esto no pasa en todas las ocasiones ni con todos los sujetos, pero a Deutsch le pareció que merecía la pena investigarlo. Para ello diseñó un experimento en que presentó a los sujetos una sucesión de intervalos de tritono que primero subían y luego bajaban. Cuando un sujeto percibía que el intervalo subía, dibujaba una flecha hacia arriba; en caso contrario, dibujaba una flecha hacia abajo. El experimento se repitió varias veces con los mismos sujetos y los mismos patrones melódicos. En la figura 3 tenemos los resultados de un sujeto en particular. La gráfica muestra el porcentaje de veces que el sujeto oyó el patrón melódico como descendente. Uno esperaría que la gráfica tomase dos valores solo, 0 y 100, pero en lugar de eso vemos que hay una curva que indica que ciertos intervalos ascendentes se oyen como descendentes. Deutsch conjeturó que este fenómeno no se da uniformemente y que depende de los tonos en particular. Figura 3: Experimento asociado a la paradoja del tritono. También conjeturó que esa circunstancia varía de un sujeto a otro y que está relacionada incluso con la procedencia geográfica, la posesión de oído absoluto, la lengua madre o los patrones del habla a que estamos acostumbrados o expuestos. En la figura 4 vemos los resultados de otro sujeto. Son muy diferentes a los del sujeto de más arriba. Ahora la confusión en la dirección melódica ocurre cerca de de otros tonos, en este caso do# y re. Las gráficas de las dos figuras parecen casi complementarias. Figura 4: Experimento asociado a la paradoja del tritono. 4. Conclusiones En este artículo hemos examinado las paradojas en las matemáticas y en la música. La naturaleza de las paradojas en música es de tipo cognitivo. La sorpresa viene de que nuestro sistema cognitivo percibe un estímulo de modo incorrecto, pero nada podemos hacer al respecto (Deutsch incluyó músicos en sus experimentos y eso no cambió los resultados). En el caso de las matemáticas, las paradojas se pueden resolver bien ofreciendo explicaciones más finas (como en el caso de las paradojas de Zenón de Elea o del infinito) o bien fortaleciendo los matemáticas en sí (como en el caso de las paradojas autorreferenciales).   Bibliografía [AKL12] A.D. Aleksandrov, A.N. Kolmogorov, and M.A. Lavrentiev. Mathematics: Its Content, Methods and Meaning. Dover Publications, 2012. Primera edición en 1956. [Dek14] Jeff Dekofsky. The Infinite Hotel Paradox. http://ed.ted.com/lessons/the-infinite-hotel-paradox-jeff-dekofsky/, consultado en octubre de 2014. [Deu86] D. Deutsch. A musical paradox. Music Perception, 3:275–280, 1986. [Deu92] D. Deutsch. Paradoxes of musical pitch. Scientific American, 267:88–95, 1992. [Deu14] D. Deutsch. Tritone paradox. http://deutsch.ucsd.edu/psychology/pages.php?i=206, consultado en octubre de 2014. [Gar89] Martin Gardner. ¡Ajá! inspiración. Editorial Labor, 1989. [Pal08] John Palmer. Zeno of Elea. Stanford Encyclopedia of Philosophy. Springer, 2008. [Rea14] Real Academia de la Lengua. Diccionario de la RAE. http://lema.rae.es/drae/?val=paradoja, consultado en octubre de 2014. [Rub14] Rosa Rubicondior. Xeno’s Religious Paradox. http://rosarubicondior.blogspot.com.es/2011/11/xenos-religious-paradox.html, consultado en octubre de 2014. [Sai09] R. M. Sainsbury. Paradoxes. Cambridge University Press, 2009. [Sna79] Ernst Snapper. The Three Crises in Mathematics: Logicism, Intuitionism and Formalism. Mathematics Magazine, 52(4):207–216, 1979. [Wik14] Wikipedia. List of paradoxes. http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_paradoxes, consultado en octubre de 2014.

Miércoles, 26 de Noviembre de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico