471. 24. (Febrero 2009) Calculus

Calculus de Carl Djerassi Esta obra de teatro trata sobre la autoría de la invención del cálculo infinitesimal y la polémica que mantuvieron sus dos creadores: el inglés Sir Isaac Newton y el alemán Gottfried Wilhelm Leibniz. Newton describe en un manuscrito de 1669  - que nunca se publicó - su método denominado de fluxiones, un conjunto de reglas con las que era capaz de calcular máximos, mínimos y tangentes, sin que las cantidades fraccionarias o irracionales supusieran ningún problema. La fama de Newton surgió en 1687, cuando publicó su Principia Mathematica, en la que explicaba las leyes que rigen el universo. Newton se convirtió en el símbolo de la nueva ciencia y en un semidiós en los ámbitos científicos, y comenzó a obtener numerosos reconocimientos y cargos, entre ellos, el de presidente de la Royal Society.   Newton era una persona de naturaleza competitiva, y tuvo muchos conflictos, a veces violentos, con otros científicos de su época, como el físico Robert Hooke (1635-1703) o el astrónomo John Flamsteed (1646-1719), con quienes se disputó la autoría de algunos descubrimientos. En 1684, Leibniz publicó un trabajo matemático en la revista Acta Eruditorum en el que se anunciaba "un nuevo método para los máximos, los mínimos y las tangentes, que no es obstaculizado por las cantidades fraccionarias, ni irracionales, así como un notable tipo de cálculo para esto", es decir, un trabajo sobre cálculo diferencial. Dos años después publicó en la misma revista las bases de lo que hoy conocemos como cálculo integral. Su descubrimiento fue realizado de manera independiente a Newton, aunque antes de la publicación de su trabajo había visto el manuscrito inédito del científico inglés e intercambiado algunas cartas con él, hecho que nunca comentó. Leibniz fue acusado de plagio: el matemático y astrónomo suizo Nicolas Fatio de Duillier (1664-1753) y discípulo de Newton,  escribió en 1699 una carta a Leibniz en la que le reprochaba el haberse apropiado de una propiedad intelectual que no le pertenecía. Otro de los discípulos de Newton, John Keill (1671-1721) insistió en la acusación de plagio en la revista Philosophical Transactions of the Royal Society en 1710. El científico alemán expuso una queja a la academia científica, y la Royal Society respondió emitiendo un informe en 1713, que adjudicaba la autoría de la invención del cálculo a Newton… el informe era anónimo y además, en aquel momento, Newton era el presidente de la sociedad científica. Calculus es una obra en dos actos que trata precisamente de lo que ocurrió antes de la difusión de ese informe de la Royal Society. Los principales personajes son: 1. Colley Cibber (1671-1757), actor, dramaturgo y poeta inglés. 2. Sir John Vanbrugh (1664-1726), arquitecto y dramaturgo inglés. 3. Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), filósofo, matemático y político alemán (este personaje está representado por el mismo actor que interpreta a Colley Cibber). 4. Sir Isaac Newton (1642-1727), físico, filósofo, inventor, alquimista y matemático inglés (este personaje está representado por el mismo actor que interpreta a Sir John Vanbrugh). 5. John Arbuthnot (1667-1735), médico, escritor satírico escocés y con algunos conocimientos de estadística. Miembro de la “comisión anónima” de la Royal Society de 1712. 6. Margaret Arbuthnot (¿?-1730), esposa de John Arbuthnot. 7. Louis Frederick Bonet  (1670-1762), ciudadano genovés y representante del rey de Prusia en Londres en el período 1696-1719. Miembro de la “comisión anónima” de la Royal Society de 1712. 8. Abraham de Moivre (1667-1754), matemático francés. Miembro de la “comisión anónima” de la Royal Society de 1712. 9. Lady Brasenose, salonnière londinense. 10. Aparte de Newton (que la presidía), Arbuthnot, Bonet y De Moivre, la “comisión anónima” de la Royal Society estuvo formada por Francis Aston (1645-1715), William Burnet (1688-1729), Edmond Halley (1656-1742), Abraham Hill (1635-1722), William Jones (1675-1749), John Machin (1680-1751), Francis Robartes (1650-1718) y Brook Taylor (1685-1731). Estos personajes aparecen representados por actores en silencio o por maniquís. La obra de teatro comienza con una escena en la que se encuentran Colley Cibber y John Vanbrugh: estamos en Londres en 1725, Vanbrugh presenta a Cibber el libreto de una obra de teatro, con la que desea provocar el escándalo. Su texto habla sobre once subalternos de Newton “marcados” por la falta de honestidad: los once miembros de un comité formado en la Royal Society para decidir sobre la autoría del cálculo. Vanbrugh comenta a Cibber el origen de la historia, de cómo Newton y Leibniz se disputaron este descubrimiento: aunque Newton había sido el primero en hablar de ello (el método de fluxiones), Leibniz, de formación mucho más algebraica, había desarrollado su método de manera independiente, lo había formalizado de manera rigurosa (de hecho, es su formulación la que se conserva hoy en día) y publicado. Newton quería ser reconocido como el primero en realizar el descubrimiento: “second inventors have no rights”, según palabras del científico inglés en la obra. La siguiente escena se sitúa ya en 1712, momento en el que discurre la mayoría de la obra. Tras las acusaciones de plagio a Leibniz, éste pide una aclaración y la Royal Society decide formar un comité para decidir sobre la autoría del cálculo. En aquel momento, Newton es el presidente de esta asociación científica y solicita a once personas que formen parte del comité de decisión: John Arbuthnot, Francis Aston, Louis Frederick Bonet, William Burnet, Abraham de Moivre,  Edmond Halley, Abraham Hill, William Jones, John Machin, Francis Robartes y Brook Taylor.  La mayoría de ellos son cercanos a Newton (o personas que le temen) y muchos de ellos sin ninguna formación matemática (Aston, Bonet, Burnet, Hill y Robartes). Además, en ese comité, Bonet es nombrado tres semanas más tarde que los demás, y Aston, de Moivre y Taylor tan sólo dos días antes de la reunión a la que se alude en la obra. Bonet y de Moivre se encuentran en la antecámara de la Royal Society antes de la reunión del comité. Bonet pregunta ¿Por qué once personas? A lo que de Moivre responde con la broma: ¿Quizás para excluir un Judas entre los apóstoles de Newton? Antes de entrar en la sala, de Moivre explica a Bonet – que no tiene formación matemática - de que trata el cálculo: introduce el cálculo diferencial mientras come una manzana y el cálculo integral realizando una analogía con la llegada de la muerte, ya que a partir de cierta edad se duerme un poco más, con pequeños incrementos en el tiempo de sueño cada noche, hasta dormir durante 24 horas consecutivas. Cuando entran en la sala de reunión, el resto de los miembros del comité ya están sentados. Newton pasa a cada uno de ellos una copia del informe que - él solo - ya ha redactado, y abandona la sala. En este informe, Newton, citando una serie de cartas de personas ya fallecidas, manuscritos y publicaciones, demuestra que él es el creador del cálculo. Arbuthnot no está de acuerdo con firmar el documento sin discutirlo previamente. De Moivre duda, aunque piensa – agradecido a Newton por haberle elegido como miembro del comité -  que el creador del Principia Matemática no puede equivocarse. Por otro lado, Bonet tiene una clara antipatía por Leibniz: el alemán es el presidente de la Academia en Berlín, y Bonet aún no ha conseguido entrar en ella. Deciden volver a reunirse al día siguiente para determinar que hacer. En el salón de Lady Brasenose, la mujer es muy crítica con la situación perversa creada por Newton y pide a Bonet que no firme el documento. Sin embargo, en el hogar de los Arbuthnot, la esposa pide a John que firme, recodándole la crueldad de Newton con aquellos que le llevan la contraria. El segundo acto comienza al día siguiente con Arbuthnot conversando con Newton antes de entrar de nuevo a la reunión del comité: Arbuthnot propone a Newton que el informe sea aprobado por unanimidad, pero de manera anónima, es decir, ocultando la identidad del comité. Eso es lo que se hace finalmente. En el salón de Lady Brasenose, la salonnière acusa a Arbuthnot, Bonet y de Moivre de cobardía, de prevaricación: han aceptado lo que Newton les ha obligado a firmar, sin escuchar la opinión de Leibniz y basándose en muchos documentos de personas ya fallecidas. Bonet insiste en que no ha actuado a favor de Newton, sino en contra de Leibniz, porque el desacreditarle le podría ayudar a entrar en la Academia en Berlín. De Moivre ha actuado por interés, para buscar el favor del influyente Newton. Reaparecen Cibber y Vanbrugh, que estaban leyendo el libreto de la obra de teatro. Vanbrugh admite que su fuente era Lady Brasenose, y Cibber acepta retocar el escrito y representar la obra que iría firmada por él mismo y por un tal H. Van Grub (anagrama del nombre de Vanbrugh, grub significa larva en inglés). La última escena se sitúa en 1731: se acaba de representar la obra Calculus: a Morality Play de H. Van Grub y Colley Cibber. Arbuthnot, con 64 años y enfermo, acude al camerino de Cibber para preguntarle la razón por la que ha esperado seis años para representar la obra, con Vanbrugh ya fallecido y utilizando los nombres reales de todos los personajes. Arbuthnot afirma que un pueblo necesita héroes, y Newton – con ya 84 años - lo era para los ingleses… sin embargo Cibber opina que Newton es el creador, pero también el corruptor. Se descubre que Lady Brasenose no existía: la fuente de Vanbrugh había sido el propio Arbuthnot, que había sugerido al dramaturgo inventar el personaje de la salonnière. Arbuthnot, el verdadero autor de la obra, se lamenta de que Cibber haya elegido destruir reputaciones con su versión. Y así finaliza esta obra de teatro dentro de una obra de teatro, pieza que describe una de las más vergonzosas situaciones de la historia de la ciencia. BREVE RESEÑA BIOGRÁFICA SOBRE EL AUTOR (biografía completa) Carl Djerassi (Viena 1923- ) es químico, novelista y dramaturgo, conocido por su contribución en el desarrollo de la píldora anticonceptiva. El nacimiento químico de la píldora anticonceptiva tuvo lugar en octubre de 1951, en las instalaciones del laboratorio Sintex (ciudad de México): en ese momento se hizo público que el equipo liderado por Djerassi había logrado la síntesis del primer compuesto químico (noretisterona) a partir de una fuente vegetal mexicana (el barbasco o Discorea genus), sustancia que sigue siendo uno de los ingredientes activos de los anticonceptivos orales que toman millones de mujeres. Carl Djerassi empezó a ser considerado desde entonces el padre de la píldora anticonceptiva, aunque el científico siempre ha preferido el título de madre, porque según él la química es una ciencia madre: […] pienso que todo empieza en la química. El químico es la madre del descubrimiento; el biólogo, el padre, y el médico, la comadrona (extraído de una entrevista realizada en febrero de 2004). Djerassi, profesor emérito de química de la Universidad de Stanford ha sido distinguido con los dos reconocimientos más importantes de EE.UU.: la Medalla Nacional de la Ciencia (por la síntesis del primer esteroide oral anticonceptivo) y la Medalla Nacional de Tecnología (por promover nuevas formas de control de la población de insectos). Djerassi sustituyó hace años su trabajo como químico por la escritura de novelas, textos autobiográficos, poemas y obras de teatro. Es el mayor coleccionista privado de obras de Paul Klee y dirige el Programa de Artistas Residentes auspiciado por la Fundación Djerassi en honor a su fallecida hija Pamela. BIBLIOGRAFÍA [1] Carl Djerassi, Calculus, página web del autor. [2] C. Djerassi, Calculus, version 8 para representación en Londres, 2004, fichero pdf. [3] Carl Djerassi y David Pinner, Newton’s darkness, two dramatic views, Imperial College Press, 2003. [4] Antonio J. Durán, La polémica sobre la invención del cálculo infinitesimal, Crítica, 2006. [5] Reseñas y críticas de la obra.

Domingo, 01 de Febrero de 2009 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

472. 93. (Febrero 2015) "La botella de Klein. Topología de la novela", de Enrique Anderson Imbert

La botella de Klein es un libro de cuentos del escritor argentino Enrique Anderson Imbert (1910-2000). La botella de Klein. Topología de la novela es el primero de los cuentos que componen la antología, y comienza así Yo había dejado descansar los remos y el bote seguía su impulso cuando, en el silencio de la madrugada, algo golpeó contra la quilla. Metí la mano en el mar y pesqué una botella. ¿Botella? Botella por el vidrio y por el tamaño, no por su forma, que según lo que yo palpaba debía de ser grotesca. Al principio no pude verla porque los párpados de la neblina me cegaban pero el tacto terminó por aguzarme la vista. Los ojos se hicieron tan táctiles como las manos, las manos tan videntes como los ojos y gracias a la vislumbre del amanecer reconocí la botella: yo acababa de pescar la Botella de Klein que horas antes me había regocijado en la ilustración de un libro de matemáticas. El cuello, sin gollete, se curvaba y volvía a sumirse en la botella como si, pornográficamente, quisiera penetrar en su trasero. Absurdo. Y el trasero de la botella, a su vez, se abría penetrado desde dentro por el cuello, excepto que no había ningún adentro. Absurdo. La Botella de Klein carecía de agujero y, no obstante, enloquecida frente al espacio, se escapaba por el interior de sí misma. Absurdo. El narrador intenta llenar la botella con agua, pero se le resbala de las manos, aparentemente se aleja flotando, y finalmente le engulle: Comprendí que no la veía más, no por estar lejos, sino porque yo, sin saber cómo, me había dejado embotellar y estaba flotando simultáneamente por los adentros y las afueras de la Botella de Klein, botella que no tiene ni afueras ni adentros. Absurdo, absurdo, absurdo. El náufrago llega a una isla, y desde su playa a una ciudad con edificios idénticos multiplicándose sin fin: es una ciudad-biblioteca, cuyos habitantes son los protagonistas de los libros que la forman. Odiseo sale a su encuentro y conversa con él. El narrador imparte –dirigiéndose a Odiseo– una auténtica lección de homotopía: Una naranja, una moneda, un dado parecen muy diferentes y sin embargo son iguales en virtud de que sus superficies no se rompen con ningún agujero. Un anillo y un túnel, por diferentes que sean, se parecen en que ambos tienen un agujero solo. Con la arcilla blanda de una jarra de dos asas uno podría formar el número 8 siempre que, al deformarla y transformarla, no la desgarrásemos. Mientras conservemos sus dos agujeros el 8 tiene las dos asas de la jarra. Todo es cuestión de mantener la buena contabilidad de agujeros. Después, explica a Odiseo cómo la topología puede ayudarle a relatar de otro modo La Odisea. – Odiseo: yo he de escribir una novela que, sin romperlas, comprima, amase, contorsione y estire las formas de la Odisea. Tomo una cinta… Por si mi pensamiento no bastaba me ayudé con las manos y me desprendí del cinturón: –Tomo una cinta y ¿ves? La tuerzo con una media vuelta antes de pegar sus extremos. Ahora la cinta… Debo decir aquí que en ese momento vi la Cinta de Möbius tan patente como había visto la Botella de Klein, iguales ambas a las ilustraciones de mi libro de matemáticas: –Ahora la cinta tiene un solo borde, un solo lado. Pongo el dedo en la superficie interior y lo deslizo tocando siempre el mismo lado: llega un momento ¿ves? en el que el dedo ya no está adentro, sino que continúa por fuera.  Si la corto a todo lo largo y por el medio, tal cinta, que sólo tenía un lado, no se dividirá en dos cinturones separables, sino que crecerá en un gran cinturón con dos lados y si en vez de cortarla por el medio la corto siguiendo una línea paralela al borde, a una distancia de un tercio del ancho de la cinta, la tijera dará dos vueltas alrededor de la cinta, en un corte continuo, y saldrán, sí, dos cinturones, pero uno dentro del otro, uno con dos lados y el otro, nuevamente, con un solo lado… Y sin con este último repito la operación… ¡oh!... […] –¡Oh, qué novela, qué novela me saldría si con el ejemplo de la Topología yo continuara los juegos espaciales de la Odisea! El narrador ha explicado con soltura las propiedades más conocidas de la banda de Möbius (ver [2] para más detalles. Al cortar una banda de Möbius a lo largo de una circunferencia situada a mitad de altura, se obtiene una única cinta con dos caras (un cilindro). Al cortar una banda de Möbius a lo largo de una circunferencia situada a altura de un tercio, se obtienen dos cintas enlazadas: una banda de Möbius y un cilindro. El narrador describe con verdadera pasión esa novela tan especial que desearía escribir: –Mi novela –seguí– sería una novela consciente de ser novela. El espacio interior de mi narración quedaría configurado en inesperados laberintos. Una novela dentro de la cual se reproduce otra; y de ésta se desprende otra, y otra… […] Con arte combinatorio yo mostraría formas que no se alteran a pesar de la distorsión de los conjuntos porque conservan una propiedad común: la de ciertos agujeros permanentes. Odiseo, aburrido, regresa a su casa-libro… el narrador retorna a su barca y se duerme. ¿Y la botella de Klein? Está presente en toda la historia –su sombra, su forma, etc. – y, además,  la botella de Klein se puede construir adjuntando dos bandas de Möbius mediante la aplicación identidad que identifica sus bordes… La circunferencia frontera (el único borde) de la banda de Möbius A se pega con la circunferencia frontera de la banda de Möbius B: se obtiene así una botella de Klein.   Más información: [1] Enrique Anderson Imbert, La botella de Klein, P.E.N. Club Internacional, Centro Argentino, 1975. [2] Marta Macho Stadler, Listing, Möbius y su famosa banda, Un Paseo por la Geometría 2008/2009 (2009) 59-78.

Viernes, 13 de Febrero de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

473. 97. Un poco más sobre Descifrando Enigma

Desde su estreno el primer día de enero, Descifrando Enigma no ha dejado de recibir reseñas, comentarios, opiniones en diferentes medios de comunicación. Aportamos la nuestra, esperando que entre todas, el espectador extraiga sus propias conclusiones sobre esta película. Antes de continuar es pertinente avisar a aquellos que no hayan visto aún la película y tengan intención de hacerlo, que en algún momento puede que lo que sigue les “estropee” algún momento  interesante del argumento. Procuraremos que eso no suceda, y si lo hace, sea en la menor medida posible (¿se nota mucho que no me gusta utilizar la palabra “Spoiler” que resume todo eso?  Con tanto anglicismo y mensaje de redes sociales y móviles, acabaremos olvidando nuestro idioma. Y no es que el inglés no me guste, que me encanta por cierto, pero a cada cual lo suyo. O hablamos en inglés o en castellano, pero no en batiburrillos artificiosos, a los que los críticos de cine son, por cierto, muy dados, pretendiendo no sé, ser más cultos, cuando es pura y simple pedantería; pero en fin, a lo nuestro). Otro aviso por adelantado. Particularmente estamos encantados con que se sigan produciendo y realizando películas y series de televisión en las que las matemáticas y/o sus aplicaciones tengan presencia. También la recreación de la vida de matemáticos y científicos, profesiones escasas en el cine (que recordemos es un poderoso medio de difusión de información y cultura, aunque también de propaganda y de “circunstancias” falsas; y es difícil en muchas ocasiones discriminar y diferenciar unas de otras). Por otro lado, vaya también por delante que esta película es un producto cuidado (en cuanto a aspectos técnicos, como fotografía, banda sonora, estupendas y creíbles interpretaciones del elenco artístico, etc.), ameno, quizá un tanto convencional en algunos momentos (pero son soportables),... En definitiva, el espectador se va a encontrar con cerca de dos horas agradablemente entretenido, y con una sensación final de no haber perdido mucho el tiempo, incluso con una reflexión crítica en su mente acerca de las injusticias de la historia para con relevantes personas y de cuan hipócrita es la sociedad en la que vivimos. Pero,... Es claro que de todas esas reseñas y comentarios a las que nos hemos referido al inicio, sólo un pequeño porcentaje se debe a personas que tengan cierto conocimiento de los hechos que se relatan. La mayoría son de periodistas especializados en cine, o colaboradores de periódicos y revistas también de cine (en la página de Facebook complementaria a esta sección, se han enlazado unas cuantas) que se centran en esos aspectos señalados de la trama. Sin embargo, aquellos que conocen más datos de la vida de Turing, matemáticos, criptoanalistas, etc., han discrepado del guión. Y no es que estemos siendo super-puntillosos, ni que no entendamos que una película no es un documental. Es que si fuera un guión de una película de personajes anónimos, se diría, pero como información simplemente. Pero en este caso, si se pretende rehabilitar el trabajo y la vida del personaje real, injusta y tremendamente machacado, no se deben INVENTAR, MODIFICAR o TERGIVERSAR los hechos a conveniencia. A conveniencia de recibir halagos y galardones como ya sucedió con Una mente maravillosa. Si se pretende hacer ficción, lo que procede es elegir nombres y personajes inventados (como en Enigma, por ejemplo), pero no aprovecharse del “tirón mediático” que las desgracias, en este caso, acompañan. Evidentemente cuando se hacen este tipo de afirmaciones, hay que tratar de probarlas (otra cosa es que lo consiga; si no es así, vayan por delante las disculpas, pero yo al menos, sí lo veo así). Como no desearía alargar mucho el texto, permitidme que exponga las cosas en forma de lista, tratando de ser más conciso y directo. Algunas de las explicaciones que incluiré son propias, pero otras ya han aparecido publicadas. También tratando de no estar poniendo llamadas constantemente, diré que las reseñas con las que más de acuerdo estoy, y que ya han aportado bastantes de los datos que yo volveré a comentar (esto me pasa por dejarlo para tan tarde, que otros se adelantan, pero uno no vive de esto y con una reseña al mes ya tengo bastante lío), son la de Jot Down de Javier Bilbao y la de David G. Ortiz. Diferenciaremos tres apartados: carencias, falsedades, y dejaremos para el final, los aciertos, para que quede mejor sabor de boca. Carencias de la película 1.- La película no muestra más que una pequeña parte de los trabajos y logros de Alan Turing, básicamente la puesta en marcha de las Bombe con las que descifraron los mensajes codificados por la última versión de la Enigma alemana. Se menciona de pasada su importante artículo On computable numbers with an application to the Entscheidungsproblem, sin aclarar nada de su trascendencia (que la tuvo, y mucha; se considera la piedra angular de la informática moderna), y un pequeño comentario sobre cómo se entiende eso de que las máquinas puedan pensar. Pero Turing hizo mucho más: desentrañó también los mensajes de otra máquina alemana, la Tunny, más sofisticada que la Enigma, base de una red de comunicaciones precedente de las actuales de telefonía móvil con la que los generales, dirigentes y el alto mando alemanes intercambiaban mensajes privados. Este tercer descubrimiento (junto con el diseño de la Bombe, y el desencriptado de la Enigma) fueron los tres pilares con los que los servicios de inteligencia británica contribuyeron a la victoria aliada. De la máquina universal de Turing, de sus célebres encontronazos con Wittgenstein en sus trabajos sobre lógica y lenguaje, del diseño del ACE (una computadora de programa almacenado, base de los posteriores ordenadores personales), de sus investigaciones en inteligencia artificial y la creación del primer programa en IA (que jugaba al ajedrez, por tanto también uno de los primeros juegos electrónicos de la historia), de sus pioneros estudios sobre cómo desarrollan su forma y estructura algunos seres vivos (morfogénesis), trabajos que recientemente se han retomado y se han considerado acertados, de todo ello por lo que se le considera uno de las mentes más importantes del siglo XX, de eso nada o muy ligeras referencias que quedan para el espectador completamente ocultas, se relata en la película. Pero puede ser disculpable: la película no se titula Life of Turing, sólo pretendía relatar una parte de su historia. Vale, lo admitimos. 2.- En una escena, al llegar la medianoche y tener que empezar de nuevo desde cero sin haber descifrado los mensajes del día, Hugh Alexander se desespera y dice “Ahora es aún más imposible”. ¿Y por qué? ¿Qué cambia de una noche a otra? O es una mala traducción, o algo no se ha contado. Sospecho que se debe a cuando los alemanes incorporan un quinto rotor a la máquina. Ese es un debe importante en la película. Se aportan cifras en varias ocasiones acerca del número de combinaciones a analizar, pero en ningún momento nos dan una explicación de cómo era Enigma, más allá de que en un teclado se pulsa una letra y unos rotores giran y la cambian a otra. Es más se muestra una Enigma de tres rotores y Turing exclama, desde el principio de la película, ¡una Enigma de 5 rotores! 3.- Cuando Denniston registra el lugar de trabajo de Turing y su grupo buscando el espía que colabora con los rusos, enseña a Alan un texto, que el dice que está codificado con la cifra Beale. Después, cuando sabemos quien es, descubrimos que cifra sus mensajes con la Biblia. El que no conozca cómo es el cifrado Beale, no sabe a qué se refieren. En realidad hay tres modalidades de la cifra Beale. La de la película es como sigue. Básicamente consiste en elegir un texto-clave (en este caso, algún pasaje de la Biblia), al que se le van numerando las palabras. A continuación, se asocia cada número con la primera letra de cada palabra (obsérvese que es probable que la misma letra puede asociarse a números diferentes). Finalmente se sustituye el mensaje en clave por los números proporcionados por estas asignaciones numéricas. Para ver si lo habéis entendido, utilizando como texto-clave, la introducción en cursiva de esta reseña, descifrad este mensaje: 19   2  30  18  32  34  24  21  33  26  18 A ver quien es el primero que me manda su significado. 4.- En un momento, las Wrens (más abajo se explica que son), trasladan mensajes interceptados a diferentes barracones, donde los clasifican en montones distintos. No se explica nada de porqué ese proceder. Creo que se trata de las diferentes redes de Enigma, a las que se dieron diferentes nombres en clave: Amarillo, Rojo, Verde, Celeste, Tiburón, Delfín, Marsopa, Cernícalo, Langosta,...., por citar sólo algunos. Creo recordar que Delfín aparece varias veces en la película, pero no estoy seguro (sólo la he visto una vez, por ahora). 5.- El importante trabajo del equipo polaco en el descifrado de la Enigma está dicho muy de pasada, casi imperceptible, y en realidad fue importante para que Turing siguiera adelante. Falsedades 1.- Alan Turing no era un remedo de Sheldon Cooper a lo borde, ni como el personaje de Sherlock que el propio Cumberbatch interpreta en una serie de televisión. La película lo muestra sin sentido del humor, sin entender los dobles sentidos más comunes, asocial, obsesionado con su trabajo hasta el punto de mandar a paseo a dos compañeros que no daban la talla según su criterio, muy seguro de si mismo, soberbio (véase la entrevista inicial con el Comandante Denniston, o cuando controla a los posibles criptógrafos sometidos a una prueba),…., en fin, una joya egocéntrica. Salvo que era muy brillante y estaba muy centrado en el trabajo en el que creía, todo ello es FALSO. En el primer capítulo de B. Jack Copeland recientemente publicada en España por la editorial Turner (reseña del libro aquí), el autor dice: ¿Tres palabras que resuman a Alan Turing? Humor: tenía un sentido del humor travieso, irreverente y contagioso. Valor. Aislamiento: le encantaba trabajar solo. [...] Era un hombre tímido, de pocas palabras. Su reserva no era altanería. [...] Una vez llegabas a conocerlo, Turing era divertido: alegre, animado, estimulante, chistoso,..., rebosaba entusiasmo infantil. [...] En ocasiones, Turing podía llegar a ser muy grosero. Si pensaba que alguien le estaba escuchando sin poner demasiada atención, podía, sencillamente, marcharse. Era el tipo de hombre que, a menudo sin querer, irritaba a los demás, especialmente a la gente pretenciosa, a las personas con autoridad y a los científicos engreídos. ¿Y se iba él a comportar de la forma que más odiaba? FALSO. Como lo es que despidiera a compañeros, que no le gustaran los sandwiches, o que no aguantara que se mezclaran guisantes y zanahorias en base a sus colores. O que no entendiera los chistes, las bromas y los sarcasmos. Una cosa es tener un sentido del humor particular, y otra que fuera imbécil. 2.- Uno de los compañeros de Turing en el cobertizo 8 de Bletchley Park fue Peter Hilton. En la película es aquel que suplica avisar al barco que descubren que van a hundir porque allí está su hermano. Es uno de los momentos más tensos y dramáticos de la película. FALSO. ¿Alguien puede creerse que unos simples colaboradores (los criptógrafos) van a tener la potestad de tomar decisiones de este calibre? ¿El Alto Mando británico entonces que hace? Es conocido, por ejemplo, que Winston Churchill supo del bombardeo al que la ciudad de Coventry iba a ser sometido, y no hizo nada para evitarlo como estrategia ante los alemanes. La ciudad mantiene las ruinas de muchos edificios en la actualidad, como recuerdo del sacrificio. Pero fue él, el Primer Ministro, el que, obviamente tomó la decisión. Hablemos un poco por otra parte de Peter Hilton. Peter Hilton (en la foto) entró a formar parte del grupo de criptoanalistas en 1942 con sólo 18 años. Turing llevaba allí desde el 4 de septiembre de 1939, el día después de que Neville Chamberlain (primer ministro británico de 1937 a 1940) declarase la guerra a Alemania. Había estudiado en Oxfors, en lugar de Cambridge como el resto. Tuvo trato directo con Alan Turing, eso es cierto. Cuenta algunos de sus recuerdos en el siguiente artículo que puede leerse siguiendo el enlace: Reminiscences of Bletchley Park, 1942 – 1945. Entre las varias cosas interesantes que cuenta extraigo algunas que contradicen directamente lo que aparece en la película. La introducción comienza así: “En octubre de 1941, una carta escrita por Stuart Milner-Barry, Hugh  Alexander (alguna vez campeón británico de ajedrez), Gordon Welchman (matemático de Cambridge), y Alan Turing, fue entregada en el 10 de Downing Street. La carta, cuyo texto completo puede verse en el apéndice de [Hinsley], solicitaba a Churchill un incremento sustancial para el personal criptoanalista de Bletchley Park que trabajaba en las cifras alemanas de alta complejidad”. Queda claro, por tanto (no es la única referencia bibliográfica que así lo indica), que Alan Turing nunca escribió esa carta a título personal, por su cuenta y riesgo, como se sugiere en la película. FALSO. Uno de los efectos de esa carta fue precisamente el reclutar más personal. Una de las condiciones era que tuviera conocimiento de idiomas europeos (alemán, obviamente). En Oxford no había especialistas matemáticos con esas características, y lo más cercano que encontraron fue precisamente él, Peter Hilton, que aún no había acabado sus estudios de matemáticas, pero tenía conocimientos de alemán. A propósito, Turing había estado varias veces en Alemania, y es más que probable que sí supiera algo de alemán. En la película se dice que no tenía ni idea, tratando de “alucinar” aún más al espectador. FALSO. Hilton menciona en el artículo la película y obra teatral Breaking the Code. Menciona que a pesar de que es coherente como obra teatral, no deja de ser una ficción, y es seriamente engañosa respecto a la vida personal de Turing  y a su trabajo como criptoanalista. Es una de las razones que le mueven a escribir el artículo, transmitir algo más de realidad sobre Turing. ¿Qué pensaría entonces Hilton si pudiera ver Descifrando Enigma? Además, inventándole un hermano. FALSO. El 10 de enero de 1942, según sus palabras, “fue entrevistado por un individuo particular, aunque no sabría decir porqué, cuya primera pregunta fue: ¿Juegas al ajedrez? Afortunadamente pude responder afirmativamente, y la mayor parte de mi primer día de servicio a la nación consistió en ayudar a Turing a resolver un problema de ajedrez que le intrigaba”. De nuevo sobre la personalidad de Turing, Hilton indica: «obviamente, Alan Turing era un genio, pero un genio accesible y simpático. Estaba siempre dispuesto a dedicar el tiempo y el esfuerzo necesarios para explicar sus ideas; pero no era un especialista restringido, de manera que su polifacético pensamiento abarcaba un área enorme de las ciencias exactas». Gracias a sus extraordinarias facultades de visualización, fue capaz de separar cadenas de caracteres de dos teletipos distintos - una hazaña de gimnasia mental que resultó vital cuando los alemanes introdujeron una nuevo sistema de cifrado de teleimpresora producido por una máquina mucho más grande y más compleja que la Enigma. Era todo un “colega” habitual de la barra del pub de Bletchley (que posteriormente fue rebautizado como El Enigma), y asistió a menudo a los actos culturales organizados por las Wrens (ver explicación más abajo) en la cercana abadía de Woburn. Se convirtió en un exponente de renombre tanto de canciones subidas de tono y chistes verdes y una vez pasó la noche en vela para componer uno de los palíndromos más largas del mundo: DOC, NOTE: I DISSENT. A FAST NEVER PREVENTS A FATNESS. I DIET ON COD. (La traducción, el sentido más bien, sería: nota del Doctor: Disiento. El ayuno nunca previene la gordura. Mi dieta es a base de bacalao). Después de la guerra, Hilton se convirtió en profesor de matemáticas en la Universidad de Cornell y ayudó a crear una nueva disciplina, la teoría de la homología. Una vez que las Leyes de Secretos Oficiales se levantaron en los años ochenta en el Reino Unido, sus conferencias sobre los años en Bletchley Park se convirtieron en muy populares en lugares de todo el mundo. Wren: Miembros de la Women’s Royal Naval Service (WRNS), o sea, Servicio femenino de la Marina Real, popularmente conocidas por “Wrens”. Se forman en 1917, con la I Guerra Mundial y se disuelven en 1919. Volverían a surgir en 1939, y se integran en la Royal Navy en 1993. Las Wrens incluían a cocineras, recepcionistas, telegrafistas, trazadores de radar, analistas de armas, asesores de alcance, electricistas y mecánicos de aire. En la imagen, una Wren de la II Guerra Mundial. En inglés, wren es también un tipo de pajarito pequeño, y ha dado lugar a un tipo de ropa, similar a la empleada por este cuerpo militar. 3.- Desde el primer momento en la película se muestra que al comandante Alastair Denniston (interpretado por Charles Dance), director de la Govemment Code and Cypher School (GC&CS, Escuela Gubernamental de Códigos y Cifras), la sección de descodificación de Bletchley Park, no le cae demasiado bien Alan Turing. En la entrevista de recibimiento a Bletchley, al entrar en su despacho y verlo sentado, le llama la atención por no haberle esperado fuera. Turing: Me lo dijo su secretaria. Denniston: ¿Y no le dijo que se sirviera un té de paso? Turing: No, eso no me lo dijo. Mala cara del comandante que le reprocha que no sea capaz de entender un sarcasmo. Alguien debía ser el antipático de la película (un “malo-malo” es difícil, al centrarse la película básicamente en la hazaña de unos personajes considerados héroes). Además al verdadero Turing nunca le agradó demasiado ni lo militar, ni sus rígidas disciplinas, ni su organización piramidal, así que el guionista ha pensado que éste debería ser el mejor candidato para crear tensión dramática. El diálogo prosigue en las mismas (en la imagen, el verdadero Denniston y Charles Dance el actor que lo encarna; tomada de The Telegraph): Denniston: ¿Quién es usted? Turing: Alan Turing. Denniston: ¡Ah, Turing! El matemático. ¿Cómo lo habré adivinado? Turing: No lo ha adivinado. Lo ha leído en ese papel. De nuevo, cara de pocos amigos de Denniston. Muy peliculero, pero en fin, es a lo que estamos. Es cierto, según indican testimonios de las personas que trabajaron en Bletchley, que existía cierta tensión entre los criptógrafos (recordemos que casi todos procedían de la Universidad) y los militares, pero nunca llegaron al grado de enfrentamiento que presenta la película, al punto de intentar “apagar” la máquina Bombe, ni que les dieran ultimátums en forma de plazos de tiempo para lograr descifrar los mensajes. FALSO. Hodges, biógrafo de Turing, indica que "tenía poco tiempo para Denniston". El problema es que, como han indicado los familiares vivos del comandante, sus nietos sobre todo, este hombre no era así. Se han mostrado consternados, en primer lugar por no haber sido nunca consultados ni informados de que su abuelo aparecería en la película (lo cual ya es grave a mi entender), y en segundo por la imagen que se da de él. El Alastair Denniston de la vida real pasó la mayor parte de su carrera como director del Government Code and Cypher School, fue una persona "humilde" en su carácter, dedicado a su trabajo, y fue el primero en requerir personal para ayudar a romper el código Enigma. De hecho, él mismo fue criptógrafo durante la Primera Guerra Mundial (desde entonces dirigía el GC&CS). Es cierto que entrevistó a Turing al llegar a Bletchley en 1939 a partir de la información que tenían de él en Cambridge y sus trabajos sobre máquinas de cálculo. No hay ningún registro de ningún contencioso entre Turing y Denniston, ni de que Denniston lo pretendiera despedir. FALSO. Es entendible que los familiares del comandante quieran que su verdadera contribución al esfuerzo de guerra sea reconocida, y no se tenga la imagen que se ha mostrado en la película. En torno al minuto 46, Denniston irrumpe en el Barracón 8 cuando los criptógrafos trabajan. Han descubierto un mensaje de un agente doble. Denniston y unos policías militares revuelven todos los objetos personales de todos ellos, buscando al espía. Turing pide explicaciones, y Denniston se las da: Denniston: Los agentes dobles son unos canallas, solitarios, marginados, sin lazos familiares o de amistad, arrogantes. ¿Conoce a alguien así? A todos los que argumentan que los críticos se pasan, que esto no es más que una película y no hay que ser tan puntilloso, ¿os gustaría que tratasen así a algún antepasado vuestro? ¿O que fuera así representado siendo en todo esto, en ambos casos, FALSO? Pues, sinceramente, a mi no me gustaría. Más adelante, se sigue metiendo “más madera” (imagen), Denniston: Puede que el Ministerio del Interior lo proteja por el momento, pero tarde o temprano cometerá un error, y entonces no tendré que despedirlo. ¡Lo ahorcarán por traidor! 4.- Sobre Joan Clarke, matemática de Cambridge de aguda inteligencia, una de las pocas mujeres que trabajaron como criptoanalistas en los barracones de hombres. Su sueldo base, era menor que el de las Wrens, apenas dos libras esterlinas por semana. Como Turing fue reclutada mediante una entrevista personal por su profesor de Geometría y criptoanalista en Bletchley Park, Gordon Welchman en junio de 1940, no en una competición a partir del crucigrama del Daily Telegraph. FALSO. A diferencia de Turing, a ella nunca se le indicó que iba a hacer nada relacionado con las matemáticas. Aunque no era tan atractiva como Keira Knightley, ésta si ha retratado bastante bien su personalidad: "agradable pero tímida, gentil y amable, no agresiva y siempre subordinada a los hombres de su vida", según referencias de compañeros reales. Su entusiasmo y su energía fueron legendarios. Era reacia a entregar su trabajo al final de su turno para continuar probando para ver si unos cuantos cálculos más producirían algún resultado mejor. Gracias a sus progresos, se le dispuso un aumento salarial siendo ascendida a "lingüista" a pesar de que no hablaba ningún otro idioma que el inglés. Contaba orgullosa que se sintió feliz en una ocasión al responder a un cuestionario de este modo: "Grado: Lingüista. Idiomas: ninguno". Es cierto que Turing y ella estuvieron durante un corto tiempo comprometidos, pero no al punto de que Alan fuera una noche a su residencia y se metiera en su cuarto por la ventana. FALSO. Compartían interés por la botánica y el ajedrez. Turing y Clarke se mantuvieron en contacto después de que su compromiso hubiera terminado, y Turing incluso trató de reavivar su relación después de un par de años, pero Clarke le rechazó. Clarke se convirtió en subdirectora del Barracón 8 a principios de 1944 y, después de la guerra, se casó con un oficial del ejército que había conocido cuando trabaja en el GCHQ. Turing también escribió una carta a Clarke en 1952 para informarle de su inminente juicio por indecencia, pero nunca se volvieron a ver. La escena en la que Joan visita a Alan durante su libertad condicional nunca tuvo lugar. FALSO. Por cierto, muy interesante el libro de Kerry Howard cuya imagen se muestra a la derecha. Yo sólo he podido leer unos extractos, pero me han gustado bastante. 5.- En Descifrando Enigma, Hugh Alexander es un galán, enfrentado en un principio a Alan, que después reconocerá su valía. Conel Hugh O'Donel Alexander, conocido en Bletchley de forma críptica como CHO'D, estudió matemáticas en Cambridge, pero se encontró en el Barracón 6 en 1940 gracias a su brillantez en el ajedrez. Dos veces campeón de ajedrez británico, y Maestro Internacional, hizo importantes contribuciones a dos estrategias del ajedrez clásico: la defensa holandesa y la defensa Petroff. Pudo llegar a ser campeón del mundo, pero las autoridades británicas le prohibieron, dados sus conocimientos secretos, ir a la Unión Soviética a disputar la competición. Hugh Alexander (en la imagen el real, y el de ficción) comenzó a trabajar a Bletchley varios meses después de que Turing llegara, y los dos no empezaron a trabajar juntos hasta un año después más o menos, cuando Alexander fue  trasladado al equipo de Turing para trabajar en romper el código naval Enigma de Alemania. Así que lo de la película de que Alexander era el jefe antes de que apareciera Turing, FALSO. Hugh Alexander tenía mejor don de gentes que Turing (en la película aparece como un tanto “ligón”; recuérdese lo que dice al ver pasar un par de Wrens por la ventana: “Dios mío, ¿qué es lo que tienen las mujeres con sombrero?”) y era buen organizador y diplomático. Ambos trabajaron en una técnica que permitiera averiguar los bigramas que conformaban la configuración diaria de la Enigma. Lo denominaron Bamburismo, porque se trataba de agujeros perforados en largas hojas de papel impresas en Banbury, localidad a 32 Km. al norte de Oxford. Como explica Jack Copeland en su libro sobre Turing, el banburismo explotaba el hecho de que, si dos fragmentos de texto llano de Delfín se superponían, había una probabilidad de uno contra diecisiete de que dos letras coincidieran; en cambio si se superponían dos fragmentos de letras seleccionadas al azar, la probabilidad de que dos coincidieran era de uno contra veintiséis. Alexander era el campeón en utilizar este procedimiento. Su relación fue amistosa y mutuamente respetuosa. De hecho, cuando Turing fue procesado por indecencia en 1952, Alexander declaró a su favor como testigo para la defensa. 6.- Podemos seguir con más detalles sobre el resto de personajes, pero observo que esto va creciendo peligrosamente, así que resumiremos. Stewart Menzies era el jefe encargado del MI6. Éste era el que tenía potestad para decidir qué información se utilizaba y cuál no para que los alemanes no sospecharan. Nunca se encontró directamente con Turing. En la película aparece con el grupo al completo, luego en el apartamento de Joan, con Joan y Turing en una cafetería. Todo ello, FALSO. John Cairncross, el espía del grupo que pasaba información a los rusos. Se da a entender en la película que Menzies sabía exactamente lo que el espía John Cairncross hacía en la Estación X. Los Cinco de Cambridge era un anillo de espías reclutados por el ruso Arnold Deutsch en el Reino Unido, que pasaron información a la Unión Soviética durante la II Guerra Mundial y al inicio de la década de 1950. Cuatro miembros de la banda han sido identificados: Kim Philby (criptónimo: Stanley), Donald Duart Maclean (criptónimo: Homer), Guy Burgess (criptónimo: Hicks) y Anthony Blunt (criptónimo: Johnson), que conjuntamente se les conoce como los Cuatro de Cambridge. El apelativo "Cambridge" se refiere a que fueron captados durante sus estudios en la Universidad de Cambridge en 1930. Los cuatro miembros conocidos asistieron a la universidad, al igual que el presunto quinto, Cairncross. Varias personas han sido sospechosas de ser el "quinto hombre" del grupo, John Cairncross (criptónimo: Liszt, por su gusto por la música clásica) identificado como tal por Oleg Gordievsky, aunque muchos otros también han sido acusados ​​de pertenecer al anillo Cambridge. Tanto Blunt como Burgess eran miembros de los Apóstoles, una sociedad exclusiva y prestigiosa sociedad de Trinity and King's Colleges. Cairncross también era un apóstol. Otros acusados ​​de haber sido el "quinto hombre" son Michael Whitney Straight, Victor Rothschild y Liddell Guy. A fecha de hoy no se sabe con absoluta certeza, así que lo que indica la película es nuevamente FALSO. Por otro lado, Cairncross llegó a Bletchley Park en 1942 y se fue a trabajar en el Barracón 3 del grupo de comunicaciones del ejército alemán. Nunca coincidió con Turing (Barracón 8), FALSO, ni tampoco pudo hacerle chantaje, FALSO, y menos con el tema de la homosexualidad que aunque Alan lo llevaba con discreción, muchos de los que trabajaron con él lo sabían. Se especula que Menzies sabía lo que hacía Cairncross, y se servía de él para pasar a los rusos la información que se deseaba. Quizá por ello, Cairncross nunca fue buscado ni detenido cuando salió de Bletchley. Por último, Jack Good, matemático de Cambridge de mostacho poblado (en la película no lo tiene, FALSO) que trabajó estrechamente con Turing en el Barracón 8 y era propenso a dormir la siesta en el suelo del barracón, especialmente después de un largo turno. Esto fue bueno porque rompió un código vital durmiendo, con la solución que se le mostró en el sueño. Cuando Good (interpretado por James Northcote en la película) mencionó su descubrimiento a Turing, el genio se sintió avergonzado, y le dijo: "Yo podría haber jurado que lo había intentado ya" Rápidamente se convirtió en una parte importante del procedimiento de Banburismos para reconocer bigramas. Después de la guerra, Good se convirtió en profesor y trabajó como consultor de Stanley Kubrick en la película 2001: Una odisea del espacio. Según dijo en una ocasión, nunca adivinó la orientación sexual de Turing en todo el tiempo que trabajaron juntos, y según él, tampoco las autoridades Bletchley Park. "De lo contrario,” afirmó, "Turing podía haber sido impulsado a suicidarse antes, y entonces podíamos haber perdido la guerra". En esta página de la Wikipedia hay una descripción bastante completa de cómo estaba organizado Bletchley Park. 7.- Turing nunca pudo escribir en su relación con Chritopher Morcom esta frase de la imagen (descifradla), ni llamó Christopher a su Bombe (¡que infantil, ¿no?). FALSO. Aciertos y alguna cuestión 1.- Me gusta particularmente la idea que transmite la película de que el trabajo de un matemático es aplicable a la realidad, resolviendo problemas, y algunos como éste de importancia, más allá de teoremas, demostraciones, lemas y corolarios. Éstos son necesarios además para poder resolver dichos problemas. Turing trabaja aparentemente a su aire, en asuntos teóricos, y la gente se impacienta, pero luego se ven los resultados. En definitiva, el avance de la ciencia necesita también de paciencia. 2.- No todos los detalles de la película están equivocados. Por ejemplo, no conocía lo del crucigrama para reclutar criptoanalistas, y me ha parecido curioso. El Daily Telegraph lo publicó el 13 de Enero de 1942 para reclutar criptoanalistas para Bletchley Park. Si lo resolvéis en menos de 12 minutos (no 10 como dice la película) podríais haber sido elegidos. 3.- El dato (redondeado) de que las combinaciones posibles a verificar diariamente eran 139 trillones para la Enigma de cinco rotores es correcto (¿alguien se atreve a verificarlo y mandarnos la cuenta?). Además se ha tenido precaución en el doblaje con lo del billón y trillón anglosajón (¿o no? No la he visto en versión original todavía). Turing dice “más de 150 millones de billones de configuraciones”, y Hugh Alexander precisa lo de los 159 trillones. 4.- En el relato Turing nos deja un sencillo problema de estimación, que reproduzco de nuevo para el que quiera corroborarlo: “Si tuviéramos 10 hombres que comprobaran una configuración por minuto durante 24 horas todos los días, 7 días a la semana, ¿cuántos días creen que tardaríamos en comprobar todas las configuraciones? No serían días, serían años. 20 millones de años. 20 millones de años para hacerlo en 20 minutos”. 5.- En otro momento, Hugh Alexander indica que mediante un análisis de la frecuencia de la distribución de las letras han conseguido descifrar algunos mensajes alemanes, dando a entender a Turing que ese es el camino. La respuesta de Alan es contundente: “Hasta un reloj averiado acierta dos veces al día la hora. Eso no es progresar, es mera coincidencia”. Algunos deberían aplicarse análisis similares para esto de las coincidencias, pero en fin, eso ahora no viene al caso.... 6.- Correcta la demostración de que la raíz cuadrada de 2 no es un número racional (en la imagen está descrita en la pizarra). He leído alguna reseña en la que dice que el profesor se equivoca porque va a demostrar que raíz de 2 es racional. Se equivoca, en este caso el problema es del doblaje (esta si la he oído en V. O.). El profesor dice: “If we assume that the square root of 2 is a rational number, then we can say that the square root of 2 is a over b, where a and b are whole numbers, and b is not zero”. O sea hace el típico razonamiento de reducción al absurdo correctamente: “Si suponemos que la raíz cuadrada de 2 es un número racional, entonces podríamos decir que es de la forma a partido por b, donde a y b son números enteros y b es distinto de cero”. 7.- ¿Reconocéis diferentes objetos matemáticos o teoremas en las hojas en algunas instantáneas que recorren las paredes del apartamento de Turing? La primera foto que puse tiene algunas, y esta otra alguna más. Conclusión Hay muchos errores, la descripción de Turing no es muy fiel (y menos la de otros personajes), pero creo que la película es recomendable, está muy bien ambientada, y es atractiva para el espectador. No dejéis de verla si tenéis ocasión, a pesar de todo. Está nominada a 8 Oscars. Lo justo sería que como mucho se llevara el de la banda sonora (muy buena), el de mejor actriz secundaria (Keira está estupenda; ella no tiene la culpa de que la hayan elegido para ese papel), mejor montaje y mejor dirección de arte. Dudo el del actor principal, pero tiene opciones. Desde luego nunca debería llevarse el de mejor película (viendo las otras nominadas), el de mejor guión adaptado, ni el de mejor director, pero ya se sabe que aquí no hay lógica, sino muchos intereses...

Viernes, 06 de Febrero de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

474. 14. (Febrero 2015) Los tapices matemáticos de Cornelis Schut en España

La decoración con tapices de palacios e iglesias era costumbre generalizada entre la nobleza y el clero. Lo que hoy aparece como un gran espacio desnudo podía ser cubierto por tapices. Los grandes talleres del norte de Francia (Arras) se van desplazando hacia la actual Bélgica, primero a Tournai y después a Bruselas, que ya desde el siglo XVI domina la producción de tapices de alta calidad. La vinculación de Flandes a la corona española y su comercio con Castilla hace que en la Península Ibérica encontremos numerosos y ricos tapices, tanto pertenecientes al Patrimonio Nacional, las diócesis o la casas nobiliarias. Desde los primeras importaciones no han faltado los tapices de iconografía matemática. Múltiples representaciones de las Artes Liberales se pueden encontrar tanto como motivo principal o en las cenefas de tapices de contenido religioso o mitológico. Las razones de la presencia de la matemática, de las artes en general, hay que buscarlas en su vinculación con el buen gobierno y con el deseo de la iglesia de unir fe y sabiduría. En el Museo Diocesano de Tarragona, en el Palacio de La Granja y en el Museo de Santa Cruz de Toledo encontraremos bellos ejemplos de esa tendencia. Ya daremos cuenta de ellos pues por ahora vamos a exponer la serie más completa que pueda encontrarse en un único país: las cuatro series de tapices del siglo XVII con Alegorías de las Artes Liberales que usaron los cartones del pintor barroco flamenco Cornelis Schut (1597-1655). El prolífico y multifacético Schut fue el discípulo más original de Rubens y suele ser considerado como un rococó antes de tiempo, tras viajar a Roma y acusar su influencia. El pintor vivió unos años en España pero no debe confundirse con otro del mismo nombre  (”el joven”) que muere en Sevilla. Las cuatro series localizadas en España gozan además de un rico anecdotario por sus peripecias. Cada serie consta de ocho tapices: el Cuadrivium (la Aritmética, la Geometría, la Música y la Astronomía), el Trivium (la Lógica, la Retórica y la Dialéctica) y la Apoteosis de las Artes (con las siete). No todas están completas, y algunas tienen un lamentable estado de conservación, pero son sin duda un conjunto impresionante. Tres de las series pertenecen a las Catedrales de Córdoba, Zamora y Toledo, y la cuarta se encuentra en Castrojeriz. Solo esta última puede visitarse libremente en la Iglesia de San Juan, en pleno Camino de Santiago. La serie castreña está perfecta de conservación ya que fue robada por el rocambolesco Eric el Belga y una vez recuperada se restauró. Iremos haciendo referencia solamente a la Aritmética, la Geometría y la Apoteosis. La primera imagen que se ha puesto, en portada, corresponde a la Aritmética de Castrojeriz y la de debajo a la Aritmética de Zamora. En ambas puede verse a la figura femenina alegórica con una tablilla con operaciones, y otra tablilla en la pared. La castreña tiene una tercera tablilla en la cenefa inferior. Los comerciantes, el cofre y el dinero revelan ya una imagen laica y burguesa de la aritmética. La primera tiene un rotulo en la parte superior con “Par et impar” lo que  hace imposible la confusión.  Quizá por su carencia el tapiz de Zamora sigue apareciendo como “la riqueza”, pese a ya conocerse que se trata de una alegoría matemática. Lo que más llama la atención comparando las series es la simetría especular. Las de Toledo y Zamora están a izquierdas y las de Castrojeriz y Córdoba a derechas. Era normal que un taller trabajará con un grabado y otro con el mismo invertido, Hay que tener en cuenta que el grabado invierte la imagen, y la copia de la copia la restaura. Los motivos de las cenefas castreñas/cordobesas son matemáticos mientras que los otros son florales. En Toledo podemos ver los tapices colgados en la calle durante la procesión del Corpus. Su conservación es deficiente pero es curioso observar su uso tradicional. Las imágenes siguientes de la Apoteosis muestran como coinciden Toledo y Zamora. Castrojeriz (abajo) y Córdoba tienen la cenefa inferior con erotes y esfera armilar. En las Apoteosis podemos ver a la Geometría en primer plano con esfera, compás y sus instrumentos por el suelo; mientras la Aritmética concentrada calcula sobre una mesa. La Astronomía es la figura con alas y esfera armilar. La Geometría muestra generosamente sus encantos. El tapiz de la Geometría pone de manifiesto su relación con el arte militar en una época dominada por las guerras: por un lado el compás, la regla y el globo y por el otro las fortificaciones y el cañón. En Castrojeriz falta este tapiz y el toledano está casi borrado. Terminamos con una curiosidad: la carencia del angelote inferior izquierdo de la  Apoteosis castreña ha quedado como recuerdo del robo de Erik el Belga: cuando se recuperó ya se había recortado. Apareció el tapiz pero no su esquina.

Martes, 03 de Febrero de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

475. 124. (Enero 2015) SOLUCIÓN CONCURSO NAVIDEÑO: Proeza numérica

Antes de resolver los problemas planteados en nuestro habitual concurso navideño, en la primera entrega de este año vamos a realizar una primera predicción numérica sobre el 2015. Como 2+0+1+5=8, los augurios confirman que la energía proporcionada por el número 8 ayudará a que se cumplan tus objetivos materiales. Lo que no saben los agoreros y pitonisas es que 8 es también el número de divisores de 2015: 1, 5, 13, 31, 65, 155, 403 y el propio 2015. Aunque no es un número primo (sólo faltan dos años para que lo sea), es capicúa por partida triple, ya que 2015=13x5x31=31x5x13 pero, además, 2015=11111011111 (esto último en binario, como podrás suponer). En definitiva, no esperes a 2016 para que la suerte acompañe a tus esfuerzos. De vuelta a la realidad, recordamos el primer juego propuesto en la entrega anterior, "Armchair bowler" de Phil Goldstein: El mago pide a un espectador que cierre los ojos, que imagine que está jugando a los bolos, que lanza una bola, que la bola recorre velozmente los 19.20 metros de la pista, que al final de su recorrido la bola golpea y hace caer algunos bolos y deja en pie los restantes, que diga en voz alta el número de bolos que han caido y, por último, que abra los ojos. El mago entrega al espectador un sobre cerrado para que lo abra. Dentro hay una hoja de papel con un número escrito: precisamente el número que corresponde a la jugada obtenida por el espectador. Sin entrar en detalles técnicos reservados a los que se dedican a la magia escénica, la solución que el propio Phil Goldstein ofrece es tener cuatro sobres, ocultos en diferentes lugares, cada uno de ellos con una tarjeta en la que está impreso uno de los números 2, 3, 5 y 9. La primera sutileza lingüística aplicada en este juego aparece cuando el mago indica que la bola hace caer algunos bolos y deja en pie los restantes. Esto significa que no caen todos los bolos pero tampoco ninguno, lo cual elimina los posibles resultados 0 y 10. Esta expresión, junto con la frase final donde la predicción corresponde a la jugada obtenida por el espectador, permite al mago jugar con dos posibilidades: número de bolos caídos y número de bolos que quedan en pie. Por tanto: Si el espectador indica que han caído 1 ó 9 bolos, el mago muestra el sobre que contiene el número 9 que corresponde a la jugada obtenida o al número de bolos caídos. Si han caído 2 u 8 bolos, el mismo argumento vale para el sobre que contiene el número 2. Si han caído 3 ó 7 bolos, se muestra el sobre con el número 3 y se justifica como antes. Si han caído 5 bolos, no hay ambigüedad al mostrar el sobre con el número 5. ¿Si caen 4 ó 6 bolos? Si la predicción se escribe correctamente, el número 9 se confunde con el 6 al mostrarse al revés, de modo que basta mostrar el sobre con el número 9. El mago debe saber cómo mostrar el sobre para que, al sacar la tarjeta, aparezca el número adecuado. Vamos ahora con el juego "Numeral-oh-gee" de Shigeo Futagawa. El mago enseña cuatro cartulinas blancas en las que están escritos los siguientes números: CARA DORSO TARJETA 1 17 30 TARJETA 2 26 39 TARJETA 3 28 41 TARJETA 4 45 58 Entrega las cartulinas a un espectador para que las mezcle a su gusto, incluso girando las tarjetas las veces que desee. Una vez mezcladas, el espectador coloca las cuatro tarjetas sobre la mesa, formando una fila con cuatro números a la vista. Antes de eso, el mago escribe una predicción en una hoja de papel y la deja sobre la mesa, sin dejar ver el contenido de la predicción. Como ya adelantábamos, hay 16 posibles resultados pues cada cartulina puede mostrar una de sus dos caras. Sin embargo, la distribución de los números en las tarjetas hace que sólo sean posibles cinco sumas: 116, 129, 142, 155 y 168. Esto es así porque la diferencia entre los números que hay en cada tarjeta es siempre igual a 13. Además, las probabilidades de cada suma son distintas; en particular, la probabilidad de que la suma de los valores mostrados en las cuatro tarjetas sea 142 es igual a 3/8, mayor que el resto de posibilidades pues ocurrirá cuando dos cartulinas muestren el número de la cara (que es el menor valor) y las otras dos el número del dorso (que es el mayor valor). Hay varios métodos para conseguir que, después de diferentes mezclas, queden a la vista cuatro números cuya suma es igual a 142. Uno de ellos, básicamente el que explica Martin Gardner en el artículo citado el pasado mes, es el siguiente: Distingue ambos lados de la cartulina de alguna forma, por ejemplo escribiendo los números en un tono diferente de color: los más pequeños de un color y los mayores de otro. Deja que el espectador mezcle las tarjetas y, cuando las coloca sobre la mesa, con un simple vistazo sabrás cuántas tarjetas están de cara y cuántas de dorso. A continuación, de forma casual pero intencionada, le pides al espectador que gire un número determinado de tarjetas: si todas estaban de cara o de dorso, debe girar dos de ellas, las que quiera; si había tres de cara o tres de dorso, giras la del color diferente como muestra de lo que tiene que hacer, y haces que el espectador gire dos tarjetas más, las que quiera; por último, si había dos de cara, las dejará como están. Este simple proceso hará que haya dos tarjetas de cara y dos de dorso, en cuyo cao la suma será igual a 142. La versión de Karl Fulves titulada "Stunumbers", que aparece en el libro "Self-working number magic", contiene algún error. Puedes leer una traducción alternativa en el blog "magia por principios". Varios lectores han tenido la amabilidad de participar en el concurso con suerte dispar. Por ejemplo, Andrés Mateo Piñol da como solución del primer problema los valores 1, 2, 3 y 4 pero olvida el caso en que caigan cinco bolos. Celso de Frutos de Nicolás tampoco considera la posibilidad de aprovechar la simetría de los números 6 y 9 pero, a cambio, juega un poco más con el lenguaje: al sugerir el mago que caen algunos bolos y quedan en pie los restantes, impide que el espectador tire o deje en pie un solo bolo. Por su parte, Roberto Camponovo descubre que son cinco las posibles sumas para el segundo juego y deduce que debe haber dos tarjetas de cara y dos de dorso para llegar a la predicción. Es bien sabido que los magos buscan siempre conseguir "el más difícil todavía". Esto también ocurre con las matemáticas. Aplicado a la magia matemática, lograr el más difícil todavía en este juego sería buscar una combinación de números en las tarjetas para que el mago pueda predecir el producto de los cuatro números, en lugar de la suma. Esto ya lo consiguió Shigeo Futagawa y lo reflejó Martin Gardner en el artículo ya comentado de la revista "El universo matemágico de Martin Gardner". Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Viernes, 30 de Enero de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

476. 96. Nuevo Año, Nuevos Propósitos

Es habitual, finalizado un año, hacer un repaso de lo tratado, e intentar fijar nuevas metas para el nuevo. Empecemos en nuestro caso con una pequeña reflexión, que nos servirá para presentar un destacable documental e ir adelantando algo sobre la recién estrenada “Descifrando Enigma”. Las Matemáticas y el Cine. Desde que allá por 2005 comenzábamos estas reseñas mensuales, uno tiene la impresión de que sí que ha cambiado algo esta asociación, un tanto insólita en aquel momento. Entonces no eran muchos los que fueran capaces de indicar alguna relación entre esas disciplinas tan aparentemente alejadas; como mucho, encontrábamos media docena de títulos que más o menos tuvieran algún contenido o comentario de tipo matemático, casi siempre anecdótico o que el protagonista se dedicara por alguna peregrina razón a enseñar o trabajar con fórmulas y símbolos. Hoy, raro es el blog, revista de divulgación (incluso seria) y hasta programa de radio o televisión que no haga alguna referencia o apunte a las matemáticas (o la ciencia en general) y el cine. Hasta se han publicado algunos libros sobre el tema, que si bien no han llegado a ser súper-ventas (ni lo pretendían ni por asomo, por supuesto), sí han recibido una agradecida respuesta de lectores y puede que hayan contribuido a que editores, libreros, cineastas, y personas en general no dejen traslucir un semblante similar al de haber sido interpelados por alguien que vague por Betelgeuse como poco (aunque también ha contribuido la moda de ser freakie de lo que sea). Pero además de localizar títulos y referencias a las matemáticas, y en algún caso, proponer ejercicios relacionados con tal o cual escena o película concreta (es decir, una cierta motivación o enganche para algunos alumnos), ¿esto sirve para algo más allá de la anécdota? ¿Podemos afirmar que el cine puede ser un recurso a partir del que un profesor pueda enseñar matemáticas? La respuesta creemos que depende de cada uno, de su propia concepción de la materia, de cómo se plantee la enseñanza, de lo que esté dispuesto a “entretenerse” en preparar las clases, etc. Hay muchos docentes, afortunadamente cada vez más, que conciben la enseñanza de las matemáticas de un modo diferente al que hemos aguantado a través de los siglos (que no es que sea malo, ojo, la prueba es que algunos hemos adoptado las matemáticas como “nuestra”  profesión, pero si que cada vez es menos atrayente para el alumno actual, que vive en un mundo muy diferente al del pasado, rodeado de estímulos visuales, digitales, tecnológicos), pero estaremos de acuerdo en que siguen siendo la minoría. Y qué demonios, ¿para que complicarse? El que no quiera estudiar ni aprender, es su problema. Los materiales manipulativos, juegos matemáticos, novelas, vídeos, hasta los problemas de olimpiadas matemáticas o recreativos, etc., todo son…. ¡Paparruchas! (está reciente Dickens y su Mr. Scrooge). Lápiz, papel, pizarra (de tiza, por supuesto) y libro de texto (¿porqué cada vez añaden más páginas con asuntos de historia de las matemáticas y problemas de los que los alumnos, y yo, docente, pasamos completamente? Claro, así el libro es más caro y las editoriales ganan más) son suficientes. Evidentemente con esta mentalidad, poco más hay que decir, salvo que quizá, amigo, la enseñanza en ese caso (no sólo de las matemáticas) no sea lo tuyo, al menos en la actualidad. ¡Ah, claro, es que el temario hay que acabarlo y cada vez hay menos tiempo! Es verdad, el recurrido asunto del temario. Evidentemente, si no me da tiempo tal y como lo hago actualmente, a lo mejor lo que hay que hacer es cambiar el método. ¡Ah, que no da tiempo a asimilar los conceptos si no hago tropecientos y pico mil ejercicios de patas, cabezas y gallinas! Claro, claro, siempre hay un pero. Pues añadamos otro: ¿pero no os habéis fijado que desde 1º ESO hasta 4º ESO se repiten (será para repasar, ¿no?) constantemente algunos temas? Pues a pesar de eso, si tomamos los ejercicios que se proponían de cualquier tema hace unos años de un libro como el de la foto (lo he comprobado con alumnos que obtienen buenas calificaciones de 3º y 4º de la ESO) por poner con el que un servidor estudió, pues, en fin, que andan un poco perdidos y que maldicen su existencia (y la mía). Ok, estupendo. El que escribe tiene la solución. Voy a escribirle y que me muestre su maravillosa panacea universal para tener a los alumnos atentos, interesados y que aprendan todos. Pues miren, no, lo siento. La solución homeopática aquí (ni en ningún lado, por cierto) existe. Cada curso, cada grupo, cada alumno, requiere diferentes “tratamientos”. Con estas líneas no pretendo dar solución alguna, sólo que pensemos en ello, siquiera los diez minutos que tardamos en leerlo, si es que llegamos al final. Esto sólo pretende ser una reflexión que me hago y comparto, que puede que no tenga ningún sentido (¡¡decídmelo, compartid vuestras opiniones!!). Hablando estrictamente de matemáticas, que independientemente de la metodología, supongo que eso al menos nos une a todos, hace 20 años, era impensable encontrar en el medio que fuera, a compañeros investigadores, profesores, españoles, publicando libros, hablando en la radio o en la televisión, proponiendo actividades en museos o en la misma calle. Y recalco, españoles. Sólo teníamos referencias de Gardner, Stewart, Bolt, etc. Y conste que a mi el orgullo patrio nacional, me importa más bien poco, pero sinceramente, uno se siente reconfortado porque (a lo mejor sólo es ilusión, pero quiero creer que no) con compañeros motivando las matemáticas, mostrando sus aplicaciones más allá de sus algoritmos técnicos en los que el más común de los mortales desconecta al primer “dado un épsilon positivo”, podemos pensar que nuestras aulas están mejor atendidas, aunque sólo sea para comentar aquello que se dijo en Órbita Laika anoche. Pero no nos engañemos. Siendo positivo, aunque sólo sea un épsilon insignificante, no bastaría con que fuera flor de un día. Muchos países (y no pensemos que sólo los más desarrollados que el nuestro, porque podemos encontrar sorpresas, sonrojantes para nosotros) nos llevan mucha ventaja en este sentido. Pero en fin, ahí estamos, al menos, de momento. Volviendo a nuestro redil, sería fácil argumentar aquello de que los medios audiovisuales son actualmente imprescindibles para demostrar que existes (en positivo también; en negativo supongo que todo el mundo sabe que gobiernos y dirigentes tratan siempre de controlar estos medios. Recordemos Goebbles y Leni Riefenstahl, por ejemplo, y sí, ya sé que no debo irme tan lejos en el tiempo para poner el ejemplo). Desde esta sección hemos venido alternando las películas comerciales con los documentales de temática matemática y los programas de televisión. Y siempre nos hemos venido lamentando de la poca incidencia que nuestros matemáticos (y científicos, en general) tienen. No obstante la comunidad matemática está haciendo notables esfuerzos en este sentido (asociaciones, profesores, investigadores, como dije antes). Sirvan estas líneas para apoyar su labor, y pedirles que continúen en esa línea, porque con el paso del tiempo, los documentos filmados seguirán estando, y los alumnos, las personas en general, podrán engancharse con más facilidad al estudio de la obra de los científicos (por supuesto después deberán pasar a las fuentes tradicionales si desean profundizar) o de cualquier personaje notable de cualquier rama del conocimiento y la cultura. Y como todo se entiende mejor con algún ejemplo concreto, en esta ocasión vamos a acercarnos a un reciente documental producido por el Instituto Henri Poincaré con motivo del bicentenario del fallecimiento en 2013 de Joseph-Louis Lagrange (1736 – 1813), en coproducción con el CNRS (Centre Nationale de la Recherche Scientifique) y el Instituto Lagrange de París. Recientemente se ha puesto a disposición de todos este documental en la red (más adelante se indica el enlace) y por ello me ha parecido interesante compartirlo y que, de paso, valoréis si merece o no la pena realizar y divulgar este tipo de documentos. Previamente una pequeña ficha técnica. Título Original: Lagrange. Nacionalidad: Francia, 2013. Dirección: Quentin Lazzarotto. Dirección Científica: Frederic Brechenmacher. Animación Gráfica: Arthur Milleville. Música: Arthur Dairaine Andrianaivo. Producción: Cédric Villani, Jean-Philippe Uzan para el Henri Poincaré Institute (IHP), en coproducción con CNRS Images y el Instituto Lagrange de Paris. La película ha recibido financiación de la Universidad Pierre y Marie Curie, y de Labex Carmin. Duración: 33 min. Colaboradores: Luigi Pepe (Universidad de estudios de Ferrara), Jérôme Pérez (Profesor del ENSTA Paristech), Silvia Roero (Universidad de estudios de Torino), Cédric Villani (Universidad de Lyon, Director del Instituto Henri Poincaré), Bruno Belhoste (Universidad Paris 1), Alberto Conte (Presidente de la Academia de Ciencias de Turín), Laurent Guin (Estudiante de tercer año en L’Ecole Politechnique), Eberhard Knobloch (Miembro de la Academia de las Ciencias de Berlín-Brandenburgo), Jacques Laskar (CNRS, Observatorio de París, Miembro del Bureau de las longitudes, entre otros cargos), Thomas Morel (Universidad Técnica de Berlín), Anne-Sophie Bonnet-Bendhia, Jenny Boucard, Maria Munoz. El documental sigue un esquema clásico de localización de lugares que marcan la vida y la obra del personaje según se desgrana su biografía, salpicado por intervenciones de prestigiosas personalidades que lo han estudiado y/o trabajado. Antes del título, algunos de ellos nos hacen, en pocas palabras, una semblanza de lo que destacarían de Lagrange: unos destacando su trabajo matemático, otros en Física, Astronomía, en su trabajo académico, y algunos nos adelantan detalles de su personalidad. Tras ese preámbulo, visitaremos las tres ciudades que marcaron con mayor incidencia su existencia: Turín, Berlín y París. En Turín, el matemático y actualmente Presidente de la Sociedad Italiana de Historia de las Matemáticas, Luigi Pepe aparece recorriendo la Via Lagrange en busca del portal nº 29, edificio donde nació Lagrange. ¿A que pensabais que era francés? Pues no, piamontés, de nombre Giuseppe Luigi Lagrange, como se muestra en una lápida de la casa natal.  De paso se nos va contando cómo su padre fue tesorero público del Estado y su madre hija de un rico doctor de Cambiano, que tuvieron once hijos, siendo nuestro Lagrange el primogénito. A los 14 años ingresó en la Universidad de Turín donde estudió durante dos años entre otros el Introductio in analysin infinitorum (Euler, 1748) (para muchos “el libro de texto más importante de los tiempos modernos”), el tratado de Wolff, el libro de Agnesi o el de cálculo integral de  Johann Bernoulli, entre otros. Después trabajó como colaborador ayudante de los profesores de matemáticas en la Academia Militar de Turín, dando clase a personas siempre mayores que él. Como el documental puede verse íntegro (en francés; no obstante en este enlace además se puede ver subtitulado en inglés), no me parece oportuno detallarlo al completo, simplemente destacar algunas curiosidades como que Lagrange, a diferencia de otros que trabajaron como filósofos, físicos u otras disciplinas, siempre lo haría como matemático; que le disgustaban profundamente las visitas y la vida social; que siempre trabajaba sin descanso alguno de 6 de la tarde a 12 de la noche; que la Revolución francesa le pilló en mal momento y por supuesto que su producción científica es de las más destacables de la Historia. Personalmente no conocía los denominados puntos de Lagrange. Están muy relacionados con un problema clásico que abordó Lagrange: el problema de los tres cuerpos. Todos hemos estudiado que la atracción gravitatoria que un cuerpo ejerce sobre otro de distinta masa es directamente proporcional al producto de dichas masas, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa. Incluso podemos sin demasiada dificultad escribir la fórmula que sintetiza dicha ley, universalmente conocida como ley de gravitación universal, y que fue expuesta por Isaac Newton. Con dos cuerpos por tanto, la cosa está bastante clara. Sin embargo las cosas se complican, y mucho, cuando entran en escena tres o más cuerpos. De hecho, hoy conocemos que la dinámica de tres cuerpos es caótica, tan irregular que presenta indicios de aleatoriedad. Hasta finales del siglo XIX, poco se sabía sobre el movimiento de tres cuerpos celestes, aunque uno de ellos fuera de una masa poco menos que despreciable. Lagrange estudió lo que se denomina el problema restringido, es decir, considerando que las órbitas fueran o bien circulares o bien elípticas. En el caso circular, se demostró la existencia de cinco puntos de equilibrio, los puntos de Lagrange, denominados así en su honor. En la imagen (tomada de la Wikipedia) aparecen detallados esos puntos y sus curvas de potencial (sólo aparecen dos cuerpos, el Sol y la Tierra). Quien desee profundizar un poco (nivel elemental) sobre el asunto, una vez visinado el documental, puede consultar la entrada de donde se ha tomado la imagen, aquí. El problema de los tres cuerpos, que comenzó siendo una mera curiosidad matemática, pronto se tornó de suma importancia, esencial para comprender o decidir si nuestro sistema solar (o el Universo entero) es o no estable. A este respecto recomiendo vivamente el capítulo octavo del libro Los grandes problemas matemáticos de Ian Stewart dedicado íntegramente a este asunto. Para quien desee aprender algo del mismo a partir de una novela, recuérdese La incógnita Newton, de Catherine Shaw. Volviendo a la reflexión con la que empezaba, una vez producido y realizado el documental, ¿de qué serviría si no se difunde? Pero no sólo comercializándolo o poniéndolo a disposición de todos. El 6 de Diciembre de 2013, uno de los colaboradores del documental, Jérôme Perez, astrofísico teórico del Laboratoire de Mathématiques Appliquées del ENSTA Paristech, organiza un auténtico maratón acerca de Lagrange, uno de cuyos elementos lo constituye el visionado del documental. Quien desee ver todas las conferencias y actos en relación con esta celebración (en francés), puede acceder a través de este enlace. Descifrando Enigma Tenemos en la actualidad también esta película, comercial en este caso, acerca de la vida y parte de la obra de Alan Turing, producción que además opta a cinco globos de oro. A través de la página de Facebook de Las Matemáticas en el Cine, se han ido incorporando algunas de las críticas y reseñas que algunos medios de comunicación han venido realizando sobre la película. Aquí haremos un análisis un poco más profundo de la misma, aunque cabe adelantar que se trata de un producto interesante, mucho menos tramposo que la recreación de la vida de Nash en Una mente maravillosa, aunque no le falte en determinados momentos esa exagerada tensión que trata de hacerla más comercial, aún distorsionando ciertos aspectos por los que no es de extrañar que el biógrafo oficial, Andrew Hodges, en cuya detallada obra se ha basado el guionista, haya puesto el grito en el cielo. Sutilezas aparte, uno de sus grandes aciertos es que transmite con cierta emoción al público en general, una de las aplicaciones prácticas más palpables de las matemáticas que además ha sido rigurosamente cierta. Algo tangible. Tangible pero, no olvidemos, generado por todos esos símbolos, ecuaciones y teoremas que la gente considera aún más indescifrables que el propio código Enigma. Muy recomendable para los que aún no la hayan visto. Los peros, el próximo mes.

Viernes, 09 de Enero de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

477. 89. (Enero 2015) Pixel. Una danza-show de Adrien M / Claire B

Once bailarines evolucionando en un entorno visual en la frontera entre lo virtual y lo real. Un trabajo sobre la ilusión conjugando energía y poesía, ficción y proeza técnica, hip-hop y circo, para crear un espectáculo en el cruce de las artes y de los universos de Adrien M / Claire B y Mourad Merzouki. Adrien Mondot es un artista pluridisciplinar, informático y malabarista, que crea espectáculos  mediante la implementación de interacciones sensibles entre lo digital, el malabarismo, la danza y la música. Claire Bardainne es diseñadora gráfica y escenógrafa. Ellos son la compañía Adrien M / Claire B. eMotion Crean sus coreografías mediante eMotion –el nombre viene de electronic Motion–, una aplicación que escribe las interacciones entre los objetos y los datos y que se basa en modelos físicos para animar situaciones. El programa genera imágenes que se proyectan en directo mientras las bailarinas y bailarines danzan: son una presencia palpable en la escena. Las matemáticas se trasforman de este modo en una herramienta para la construcción poética, creando nuevos espacios sensibles. Imagen extraída de Colossal Mourad Merzouki es el responsable de Cie Kafig, especialista en hip-hop. © Adrien M / Claire B. Fotografía de @Raoul Lemercier Imagen extraída de Colossal Podéis ver un extracto de Pixel en este video: Más información: Dosier de prensa (en francés) Pixel en Adrien M / Claire B Pixel en Cie Kafig

Lunes, 05 de Enero de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

478. 13. (Enero 2015) La Geometría de Marten de Vos, la globalización iconográfica

La imprenta contribuyó a la extensión de iconografías tipificadas para uso de los artistas, imágenes que se expandirían por un mundo ya totalmente globalizado tras la primera circunnavegación de Magallanes y Elcano.  Desde el siglo XVI se han impreso gran número de Iconologías, quizá la más famosa fue la de Cesare Ripa, una extensa colección de alegorías editada en 1593 y que tuvo numerosas reediciones. Pero los artistas no habían esperado a la edición de las obras recopilatorias e imaginativas como las de Ripa: para sus necesidades les bastaba con estampas, con simples grabados hechos a partir de cartones o pinturas.  Vamos a hacer un recorrido por una de las más exitosas alegorías: la Geometría tal como la veía el pintor manierista flamenco Marten de Vos.  Una presentación similar podíamos haberla hecho con cualquiera de las otras artes del cuadrivium. Desde que Marciano Capella, poco antes del hundimiento definitivo del imperio romano, acuñara las alegorías de las Artes Liberales como bellas damas, a modo de musas, las sietes doncellas fueron reproducidas a lo largo y ancho de Europa Occidental en catedrales, palacios, códices, mosaicos, vidrieras, tapices, etc. El Renacimiento continuara esa tradición. Las Artes pueden reproducirse individualmente o en grupo, a las representaciones conjuntas se les suele llamar Apoteosis de las Artes. Una bonita muestra de Apoteosis nos la encontraremos en la pintura del dormitorio de la reina del Palacio de La Granja de San Ildefonso  que hemos reproducido más arriba.  El cuadro de mediano tamaño está firmado por Marten de Vos en 1590. La alada Astronomía ocupa el centro, tiene una mano descansando sobre una esfera celeste, con las constelaciones, y porta un cetro en la otra; a sus pies podemos ver varios relojes solares. A nuestra izquierda la Aritmética realiza operaciones en una tablilla al lado de la Geometría. En el lomo del libro que se apoya a los pies de la alegoría de la ciencia del número se lee Pitágoras, el sabio asociado a ella. La Geometría de De Vos se representara con el habitual compás y el globo terráqueo con eclíptica, haciendo uso de la etimología de la palabra. Para dar más fuerza visual a la Tierra se incorporan dos animales asociados, una serpiente y un sapo. En el suelo se sitúan los instrumentos del geómetra: regla, escuadra y compás.  Del pintor flamenco también proviene la coronación del peinado con torreones. De Vos también realiza patrones individualizados para cada una de las Artes; estas potentes imágenes alegóricas son las que se extenderán por los lugares diversos y sobre distintos materiales. Una característica de los grabados es la facilidad para ejecutar su simétrico: basta con tallar el original y se imprimirá su simétrico. No deberá extrañarnos encontrarnos imágenes a derecha o a izquierda. Los grabados se atribuyen tanto a De Vos como a un compatriota, el grabador Egidius Sadeler II de Amberes. Las imágenes se expanden desde Flandes al resto de Europa: a Escocia en piedra, a Lisboa en azulejos, a Aranjuez en tapiz o a Núremberg en pintura. En el patio de las románticas ruinas del Castillo de Ezdell, al norte de Edimburgo, se pueden admirar las alegorías con que la nobleza ilustrada decoraba sus mansiones. En Italia era habitual encontrarlas en los studiolos, los lugares de recogimiento, pero aquí como en Lisboa las vemos en los jardines. La representación escocesa de la Geometría, esculpida en bulto redondo, es muy fiel al original. Solo se ha añadido el arco superior. Tras la separación de Portugal de la corona española, a mediados del siglo XVII, algunos nobles se construyen sus palacios en las proximidades de Lisboa. Es el caso de los Marqueses de Fronteira. El palacio se encuentra en Monsanto y ha sido hoy prácticamente incorporado a la ciudad. El Palacio Fronteira muestra en sus jardines una de las mejores colecciones de azulejos de la ciudad, y entre sus paneles destacamos la Galería de las Artes Liberales.  Una vez más podemos contemplar la Geometría reproducida fielmente del grabado. No aparecen las ruinas del fondo y se han añadido unos amorcillos con los rótulos. Un lugar donde podemos ver la imagen de la Geometría a derechas y a izquierdas es en la Sala de Alabarderos del Palacio Real de Aranjuez.  La sala está decorada con dos series de tapices flamencos de finales del siglo XVI. Una de las series narra la Historia de Ciro como motivo central; en las cenefas de estos tapices se reproducen las Artes Liberales. La Geometría aparece en repetidas ocasiones a un lado y otro. Las características de los tapices hacen que los detalles se reduzcan y hasta se puede contemplar un híbrido: se han añadido los signos del zodiaco a la eclíptica. No hemos podido encontrar, por ahora, las pinturas que dieron lugar a los grabados. Un dato que confirma que debieron existir es una de las siempre interesantes reproducciones de Galerías de Pintura, espacios  saturados de cuadros donde la nobleza de sangre o del dinero hacía ostentación de su riqueza. La galería de uno de estos ricos burgueses o marchantes es el motivo del cuadro de 1702 que reproducimos, obra de Johann Michael Bretschneider, que se encuentra en el Germanisches Nacional Museum de Núremberg. Algunos de estas pinturas de pinturas nos permiten localizar cuadros de interés u obras perdidas. Entre los muchos cuadros que aparecen varios tienen interés matemático, entre ellos las alegorías de la Geometría, la pintura reproducida al inicio, antes del título, y la Astronomía de Marten de Vos. Las imágenes alegóricas están en el centro de la mitad derecha. La reproducción es muy detallista y contiene los principales elementos del grabado.

Lunes, 05 de Enero de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

479. 92. (Enero 2015) ¿Quién ha matado al duque de Densmore?, de Claude Berge

Qui a tué le duc de Densmore? es un relato policíaco escrito por el miembro del grupo OuLiPo y matemático –especialista en teoría de grafos– Claude Berge (1926-2002). El detective Ralston y el inspector Vaughan (Scotland Yard) llegan a la isla de White: desde hace un año no se tienen noticias de Jeremy Morse –el duque de Densmore– y de su mayordomo Stewart. Son los únicos habitantes de la isla; los pescadores que solían verlos con frecuencia comentan a los policías que no se habían preocupado por la ausencia, al pensar que estaban de viaje. Al llegar, los policías observan que una de las torres del castillo está completamente destruida; una fuerte explosión la ha derribado y, entre el mobiliario carbonizado, encuentran los cadáveres del duque, del mayordomo y de Arquímedes –el cocodrilo, mascota de Jeremy Morse–. La investigación lleva a los agentes de Scotland Yard a deducir que una carga explosiva se había conectado a un interruptor de uno de los laberintos del castillo. Además, en la  habitación del duque encuentran un cuaderno en el que estaban anotados los nombres de las personas que habían pasado una temporada en la isla: sólo ocho mujeres habían visitado al solitario duque; los pescadores corroboran este punto, al no haber visto a nadie más en el único embarcadero que conducía a la isla de White. Estas ocho mujeres son: Miss Felicia Wynn, una modelo que conoció al duque en un crucero por el Mediterráneo a bordo del Sam Loyd; Lady Cynthia Mansfield, jugadora profesional en el casino de Montecarlo; Mrs Georgia Blake, teósofa vegetariana y espiritista; Miss Diana Macleod,  traductora (a inglés) del libro Las Cosas de Georges Perec; Miss Emily Healey, mujer rusa-irlandesa especialista en lepidópteros; Miss Ann Laybourn, jugadora de ajedrez, con una puntuación Elo de 2075; Miss Betty Townsend, pianista; y Miss Helen Grimshaw, joven actriz que había representado con trece años el papel de Zazie en Nottingham, y con dieciséis el de Vittoria en El Diablo Blanco de John Webster. El detective interroga a cada una de ellas sobre su estancia en el castillo de la isla de White. Ellas relatan como conocieron al duque, y algunas de las vivencias durante su visita. Al haber pasado un año, no recuerdan las fechas exactas, pero no han olvidado con que otras mujeres se cruzaron en la isla: Miss Felicia Wynn dice haber visto a Ann y Emily; Lady Cynthia Mansfield comenta que se cruzó con Ann, Betty, Diana, Emily y Helen; Mrs Georgia Blake compartió la visita con Ann y Helen; Miss Diana Macleod vió a Cynthia y Emily; Miss Emily Healey recuerda a Ann, Cynthia, Diana y Felicia; Miss Ann Laybourn comenta haberse cruzado con Betty, Cynthia, Diana, Emily, Felicia y Georgia; Miss Betty Townsend coincidió con Ann, Cynthia y Helen; y Miss Helen Grimshaw recuerda haberse encontrado con Betty, Cynthia y Georgia. Se sabe además que cada una de ellas sólo realizó una estancia en la isla –hecho de nuevo corroborado por los pescadores de la zona–. Tras las entrevistas, y teniendo en cuenta que la preparación de una tal bomba requería numerosos preparativos –el culpable había tenido que pasar forzosamente bastante tiempo en la isla–, que parecía haber sido una acción individual y que sólo el mayordomo poseía las llaves del ala del castillo en la que se había producido la explosión –y la puerta estaba cerrada con llave–, el detective Ralston concluye que el asesino era obligatoriamente Stewar y que había muerto accidentalmente. La culpa, como siempre ¡del mayordomo! Semanas más tarde, Ralston se encuentra casualmente con Cedric Turner-Smith –profesor en Merton College y especialista en matemáticas finitas–, un amigo que le había ayudado tiempos atrás a resolver un caso. El detective le comenta este singular caso, le habla de sus interrogatorios y de sus conclusiones. El profesor dibuja un grafo –no dirigido– resumiendo toda la información: explica al detective que cada vértice corresponde a una de las mujeres –etiqueta cada uno de ellos con la inicial de una mujer: A por Ann, B por Betty, C por Cynthia, D por Diana, E por Emily, F por Felicia, G por Georgia y H por Helen– y une dos de los vértices mediante una arista si las dos mujeres recuerdan haberse encontrado en la isla. Tras observarlo, Turner-Smith afirma con contundencia que el mayordomo es inocente y que además conoce la identidad de la culpable. ¿Cómo lo ha deducido? Si ninguna de las mujeres se ha escondido del resto del grupo y ninguna de ellas miente, su presencia en la isla se puede representar mediante intervalos dibujados sobre un eje temporal: si dos intervalos se superponen, eso significa que esas dos mujeres se han encontrado. El grafo dibujado es el grafo de intervalos correspondiente a las estancias de las ocho mujeres: cada vértice corresponde a un intervalo de tiempo –el tiempo que permaneció en la isla la mujer etiquetada– y una arista une dos vértices si los correspondientes intervalos temporales se cruzan. El profesor comenta al detective que este tipo de grafos son conocidos desde 1957 gracias al matemático György Hajós, y que, para averiguar la verdad, se ha basado en dos de sus propiedades: PROPIEDAD 1: Un grafo de intervalos siempre está triangulado –también se dice que los grafos de intervalos son cordales–, es decir, cada bucle de longitud mayor o igual que cuatro contiene al menos una cuerda –una cuerda es una arista que une los vértices de un bucle, pero que no pertenece al bucle–. No vamos a hacer la prueba de este hecho –puede encontrarse en cualquier manual que hable de grafos de intervalos–, pero vamos a explicarlo sobre el grafo de esta novela. Como comenta Turner-Smith, en el grafo que ha dibujado existen dos cuadriláteros problemáticos: i) ACHG: ii) y ABHG: ¿Por qué son problemáticos? Miremos, por ejemplo, el segundo, reflexionando en los intervalos temporales que representa. Si A y B han coincidido, B y H, H y G y finalmente A y G, necesariamente, B y H también han tenido que compartir un intervalo de tiempo (en este caso, en la isla). Es decir, el grafo debería tener una arista uniendo B y G: Pero esta arista no existe… Si los cuadriláteros ACHG y ABHG no son posibles, eso significa que alguna de las mujeres involucradas ha falseado su declaración, es decir, alguna entre Ann, Cynthia, Helen o Georgia –para ACHG– miente y alguna entre Ann, Betty, Helen o Georgia –para ABHG– no ha dicho la verdad. Como sólo hay una culpable, la mentirosa debe encontrarse entre Ann, Helen o Georgia. PROPIEDAD 2: En un grafo de intervalos no puede encontrarse un triangulo inscrito en un hexágono. En nuestro caso, el único hexágono existente es ABCDEF. Si analizamos el significado de este subgrafo en términos de intervalos de tiempo, vemos que si Ann, Betty, Cynthia, Diana, Emily y Felicia han coincido, según ellas confiesan, necesariamente Ann y Diana también han tenido que compartir tiempo de estancia en la isla. Es decir, el verdadero grafo debería ser éste: Eso significa que una de estas mujeres ha mentido: Ann, Betty, Cynthia, Diana, Emily o Felicia. Teniendo en cuenta estas dos propiedades de grafos de intervalos, se deduce –como bien comenta el profesor en la novela– que Ann es, sin ninguna duda, la culpable. Cuando el detective va a su casa a interrogarla, ve que se ha suicidado; una nota dejada en una mesa explica su historia: sumida en la ruina, chantajeaba al duque –le había engañado haciéndole creer que había matado a una persona en un atropello durante una borrachera–, el duque pretendía denunciarla, y ella le mata para silenciarle… Al regresar al castillo para cerrar la investigación, encuentran la libreta del mayordomo en la que anotaba las visitas, con fecha de estancia y habitación asignada a cada mujer. Los días de las visitas de cada una de ellas son: Miss Felicia Wynn: 20 a 25 de junio, Lady Cynthia Mansfield: 29 junio a 2 agosto, Mrs Georgia Blake: 3 a 7 de agosto, Miss Diana Macleod: 28 de junio a 4 de julio, Miss Emily Healey: 15 de junio a 4 de julio, Miss Ann Laybourn: 21 de junio a 7 de agosto, Miss Betty Townsend: 9 a 30 de julio, y Miss Helen Grimshaw: 18 de julio a 4 de agosto. Es decir, sus intervalos de coincidencia son: Y así, el verdadero grafo de intervalos es: Las mentiras de Ann suponían una coincidencia de este tipo: Y esta situación es imposible con una única estancia de Ann en la isla. De hecho, en su declaración, Ann dice haber visto a Diana –pero Diana no habla de haber coincidido con ella, por eso Turner-Smith no traza la arista entre los vértices A y D– y Ann miente al decir que no ha visto a Helen –aunque es cierto que Helen no ha visto a Ann–: en ambos casos ella estaba escondida preparando su perverso plan… ¡Una interesante aplicación de la teoría de grafos! Más información: Puede leerse el relato completo en las páginas 77 a 90 de esta tesis doctoral (2013) Recordé la historia al ver la entrada Deux minutes pour le duc de Densmore (28 de diciembre de 2014) en el blog Choux Romanesco, Vache qui rit et Intégrales curvilignes

Viernes, 02 de Enero de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

480. 88. (Diciembre 2014) El Espíritu de la Representación

[...]  El  matemático y el dramaturgo, el científico y el escritor son trabajadores de la imaginación: gente que se obliga a mirar las cosas como no suelen ser vistas. Se hacen más preguntas, establecen conexiones inesperadas. [...] Es cierto que el teatro es más exigente que otros medios: exige una capacidad de escuchar, no consiente el “zapeo”, te exige atención. Su gran fuerza reside en convertir al espectador en cómplice, por eso es exigente. Pero el espectador puede experimentar un goce al participar. Y eso pasa con las matemáticas. [...] Por así decirlo, un problema matemático en el que a uno le ofrecen que resuelva una situación hasta llegar a un resultado debería ser una ocasión para disfrutar, y no una amenaza. En este sentido, yo creo que hay una similitud entre el estudiante de matemáticas y el espectador de teatro. [...] Fragmento de la entrevista realizada al dramaturgo Juan Mayorga para la revista Matematicalia (2010) Para despedir el año quiero recuperar el mensaje que el dramaturgo Brett Bailey escribió para celebrar el Día Mundial del Teatro 2014: Donde quiera que haya sociedad humana, el irreprimible Espíritu de la Representación se manifiesta. Bajo los árboles de pequeñas aldeas y sobre sofisticados escenarios en grandes metrópolis; en salones de actos de colegios y en campos y en templos; en suburbios, en plazas públicas, en centros cívicos y en los subsuelos de las ciudades, la gente se reúne en comunión en torno a los efímeros mundos teatrales que creamos para expresar nuestra complejidad humana, nuestra diversidad, nuestra vulnerabilidad, en carne y hueso, aliento y voz. Nos reunimos para llorar y para recordar; para reír y contemplar; para aprender, afirmar e imaginar. Para maravillarnos ante la destreza técnica, y para encarnar dioses. Para dejarnos sin respiración ante nuestra capacidad de belleza, compasión y monstruosidad. Vamos para llenarnos de energía y poder. Para celebrar la riqueza de nuestras diferentes culturas, y para hacer desaparecer las barreras que nos dividen. Donde quiera que haya sociedad humana, el irreprimible Espíritu de la Representación se manifiesta. Nacido de la comunidad, lleva puestas las máscaras y vestimentas de nuestras distintas tradiciones. Utiliza nuestras lenguas, ritmos y gestos, y abre un espacio entre nosotros. Y nosotros, los artistas que trabajamos con este antiguo espíritu, nos sentimos impulsados a canalizarlo a través de nuestros corazones, nuestras ideas y nuestros cuerpos para revelar nuestras realidades en toda su cotidianeidad y su rutilante misterio. Pero en esta época en la que tantos millones de personas luchan por sobrevivir, sufren bajo regímenes opresivos y el capitalismo depredador, huyen del conflicto y la escasez; en la que nuestra privacidad es invadida por servicios secretos y nuestras palabras censuradas por gobiernos intrusivos; en la que se aniquilan los bosques, se exterminan especies y se envenenan los océanos: ¿Qué nos sentimos impulsados a revelar? En este mundo de poder desigual, en el que distintos órdenes hegemónicos intentan convencernos de que una nación, una raza, un género, una preferencia sexual, una religión, una ideología, un marco cultural es superior al resto, ¿se puede realmente defender la idea de que las artes deberían apartarse de las agendas sociales? Nosotros, los artistas de escenarios y ágoras, ¿nos conformamos con las demandas asépticas del mercado, o utilizamos el poder que tenemos: para abrir un espacio en los corazones y las mentes de la sociedad, para reunir gente a nuestro alrededor, para inspirar, maravillar e informar, y para crear un mundo de esperanza y colaboración sincera? Un país sin teatro es un país sin espejos. Rodolfo Usigli

Lunes, 29 de Diciembre de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico