461. 99. Hasta el diablo se vuelve adicto

Echamos un vistazo en esta ocasión a un curioso cortometraje de la desaparecida Unión Soviética del que podemos disfrutar gracias a Internet. Durante mucho tiempo, las circunstancias políticas de nuestro país, las internacionales, y las propias de la antigua URSS, crearon en prácticamente todo el mundo cierto halo enigmático y represivo en torno a aquel país. El régimen comunista, el secretismo, la guerra fría, la desinformación y otros muchos factores, provocaban por un parte rechazo, y por otra hacer volar la imaginación sobre su grado de desarrollo técnico y social. Después descubrimos que en realidad aquella gran potencia no lo era tanto, y guardaba parecidas o peores miserias que las del resto del mundo. Eso sí, sabíamos que eran buenos jugando al ajedrez, y que hacían muchas integrales, habida cuenta de los gruesos manuales matemáticos que nos llegaban (Piskunov, Demidovich, etc.). Tampoco sabíamos mucho sobre su cine, aunque siempre había intrépidos cinéfilos que gracias a cine-clubs, salas de arte y ensayo o algún espacio televisivo nocturno, nos informaban de la existencia de nombres casi míticos como Eisenstein, Pudovkin, Kozintsev, Yukévitch, Vassiliev, Rochal, Eisymont, Rappaport, Yarmatov, Zgouridi, Verner, Dovjenko, Romm, Fajziev, Abbasov, Tarkovski, …. Y conste que lo de intrépidos no es exagerado, porque algunas producciones de éstos y otros insignes realizadores europeos, en fin, que había que tener muchas ganas para terminarlas. Pues bien, gracias a Internet, YouTube y amables internautas que dominan varios idiomas, podemos pasar un buen rato con producciones como la que traemos en esta ocasión, y de paso comprobar cómo por muchos límites que se impongan, el gusanillo cultural se abre camino (adaptación de un relato norteamericano por parte de un ruso). Claro que, en este caso, puede haber más de una lectura e intención, pero de eso, hablamos luego, después de verlo. Como siempre, empezamos con la ficha técnica y artística: Las matemáticas y el diablo Titulo Original: Математик и чёрт (Matematik i chyort). Nacionalidad: Unión Soviética, 1972. Dirección: Semion Lipovich Raytburt. Guión: Semion Lipovich Raytburt, basado en un relato de Arthur Porges. Fotografía: Pavel Tartakov, en B/N. Montaje: N. Kaspe. Duración: 21 min. Intérpretes: Vsevolod Shestakov (El Matemático), Aleksandr Kaydanovskiy (El Diablo), Alla Pokrovskaya (Zhena, esposa del matemático) Argumento: Si el diablo te propusiera resolverte el enigma que quisieras a cambio de tu alma, ¿aceptarías? En caso afirmativo, ¿qué elegirías? ¿Seguro que sería capaz? Un matemático se encuentra relajándose en su despacho escuchando música  clásica cuando suena el teléfono. Apaga el magnetófono y contesta. De sus respuestas parece hablar con un joven de 20 años que busca tutor para hacer una tesis, un trabajo, una investigación o algo similar. El profesor parece contrariado: ─ ¿Y quien te sugirió que te enfrentaras a ese maldito problema? Es un trabajo del diablo. Yo mismo vendería mi alma por la solución de ese enigma. Pero ya se sabe que no existe diablo en la Tierra, así que… Al colgar el teléfono, la cámara gira y observamos al fondo la habitación, medio en penumbra, a un joven. El matemático se sorprende, pero con gran serenidad, dadas las circunstancias, y entendiendo quien es, pregunta: Matemático: ¿Has venido por mí? Diablo: Estoy a tu servicio. Matemático: Pero yo no te he llamado. Diablo: Lo hiciste. Para la solución de un enigma. Matemático: ¿Es esto un nuevo episodio de “Mathematicians Kidding” (algo así como “Matemáticos bromeando”)? Diablo: Ni soy matemático, ni estoy bromeando. Matemático: Tomaré como una hipótesis de trabajo el que estoy soñando contigo, al fin y al cabo muchos descubrimientos científicos se han hecho en un sueño. Diablo: Ni idea, no tomé parte en ninguno […]. Si fuera posible, vamos al asunto. El matemático le hace la siguiente proposición: le hará una única pregunta, que el diablo debe responder en 24 horas; si no logra responderla, deberá pagarle 100.000 dólares (recordemos que el corto es de 1972, y eso era entonces una fortuna), y no tendrá ningún tipo de represalias, ni daño a amigos o familiares; en caso contrario, el matemático será su esclavo durante algún tiempo, “pero sin pérdida de alma, tormento o cualquier otro truco de los suyos”. El diablo le indica que no puede asumirlo: trabaja con almas, no con esclavos. Así que le hace una contraoferta: si no fuera capaz de responder a su cuestión, no recibiría unos mezquinos 100.000 dólares, sino una cantidad más razonable, además de proporcionarle salud y felicidad todo el tiempo que viva. Si la respondiera correctamente, las consecuencias serían las esperables, o sea, plena disposición de su alma para siempre. El matemático acepta añadiendo también la provisión de salud y felicidad para su esposa. A continuación, el diablo le aclara que la pregunta debe tener respuesta, o el contrato quedaría invalidado. Diablo: Nada de acertijos a los que eran tan aficionados en la Edad Media como ese del barbero, el único del pueblo, que afeitaba sólo a aquellos que no pudieran hacerlo por si mismos. ¿Quién afeitaba al barbero? El matemático sonríe y recuerda que Bertrand Russell ya explicó lo que pasaba con ese tipo de cuestiones. Y le asegura que su pregunta no tendrá paradoja alguna incluida. Ansioso por conocer la pregunta, el diablo le pide rapidez. La pregunta resulta ser “¿Es cierto el último teorema de Fermat?” Sorprendido, el diablo se encoge de hombros (“¿El último qué de quién?”). El sorprendido entonces es el matemático al no tener su oponente ni idea de qué le habla. Entonces comienza explicando que “Pierre Fermat fue un gran matemático. Nació en 1608, y murió en 1665. Trabajó en Toulouse como abogado en el Parlamento. […] Hacia matemáticas en su tiempo libre, como hobby”. Después le explica qué dice el último teorema de Fermat, y lo hace correctamente (ya sabéis porqué comento esto: no sería la primera vez que el guionista “mete la pata”): “El último teorema de Fermat establece que la ecuación xn + yn = zn, no tiene una solución racional no trivial para cualquier entero positivo n mayor que 2”. El diablo pone cara de póquer, y pregunta qué significa eso. El matemático le da la siguiente explicación: “Verás, cualquiera puede encontrar dos números enteros cuyos cuadrados sumados den un nuevo cuadrado. Por ejemplo 32 + 42 = 52. […] Hay muchos números (aquí debería haber dicho infinitos, pero bueno) de los que una suma de su segunda potencia es igual a la potencia segunda de otro número. Pero nadie ha encontrado números enteros tales que la suma de sus potencias terceras sea igual a la potencia tercera de otro número entero, por no mencionar potencias mayores”. Es curioso cómo interpreta el diablo lo de “3 al cuadrado” (ver imagen). El matemático le escribe en su cuaderno (el del diablo) cómo se escribe correctamente. Finalmente le cuenta que Fermat dijo que tenía una demostración de que no existen números que lo verifican, que no pudo escribir en los márgenes de un libro por ser demasiado estrecho el margen, y que su objetivo es encontrar una respuesta concreta con una demostración en 24 horas. Ante sus objeciones, el matemático “lo anima” un poco: Matemático: Después de todo, un hombre, – perdón –, demonio, de tu inteligencia y vasta experiencia seguramente pueda componer unas pocas matemáticas en ese tiempo. Diablo: He hecho cosas más duras antes, querido profesor. Una vez fui a una estrella lejana y recogí un litro de neutronio en sólo 16 horas. Matemático: Lo sé, lo sé, eres muy bueno con esos trucos. Diablo: No fue un truco, hubo que resolver gigantescas dificultades técnicas. Matemático: No hablemos del pasado. Diablo: Tengo que irme a una biblioteca ahora. Hasta mañana a esta hora. Matemático: No, hemos firmado el contrato hace 20 minutos, así que, nos volveremos a ver dentro de 23 horas y 40 minutos. En una posterior conversación con su esposa (que también hace de secretaria personal), el profesor aporta nuevos datos sobre el teorema: en 1908 la Academia de Ciencias de Gotinga anunció que daría 100.000 marcos a quien lograra dar una solución al enigma. Todo tipo de pruebas llegaron a Gotinga de todo tipo de profesionales y aficionados a las matemáticas. “Y tanto esfuerzo, ¿merece la pena?”, le pregunta su esposa. Desde el punto de vista matemático, el profesor asevera. Ernst Kummer, buscando la respuesta, fundó la teoría de números algebraicos. Llegados a este punto, y para no estropear la resolución del corto, el que desee saber cómo concluye no tiene más que verlo (subtitulado en inglés) en el siguiente enlace. No es difícil entender qué sucede, pero si alguien está muy intrigado y no controla mucho el inglés, no tiene más que mandarme un mail (o utilizar el traductor de Google), aunque quizá en lo que sigue se pueda hacer una idea (que procuraré que no). La realización del corto es correcta, si bien se aprecia que no gozó de demasiado presupuesto, ni falta que le hace. Los escasos efectos especiales (aparición y desaparición del diablo) son bastante convencionales. El montaje es también convencional, y la puesta en escena un tanto lúgubre, pero obviamente es lo que pide el tema, sobre todo al principio. El corto está repleto de notas de humor, o más bien sarcasmo, como cuando el matemático, tras acordar el trato con el diablo, le pregunta si lo firman con sangre. El diablo le responde que se deje de gilipolleces, que no está para perder el tiempo, y que basta con que lo firme con la pluma. O al rato, cuando le explica el sentido de la pregunta, le suelta “¿Tú crees que puedo perder el tiempo con esa mierda? ¿Tú crees que es ético hacerme esa pregunta?”. O cuando le tiene que explicar cómo se escribe 32 + 42 = 52. O cuando le cuenta lo de la demostración maravillosa que Fermat encontró pero no pudo escribir en los márgenes del libro que leía, el diablo indica: “¡Os tomó el pelo! ¡Un anciano gastaba bromas en su tiempo libre, y vosotros no podéis dormir por ello durante 300 años!” El relato La historia en la que se basa el guión, The Devil and Simon Flagg, escrita en 1954 por Arthur Porges, aparece en el libro de cuentos Fantasia Mathematica, publicada en 1958 por Simon and Schuster en Nueva York, y reimpreso en 1997.  Arthur Porges (20 Agosto 1915 – 12 Mayo 2006) nació en Chicago, Illinois, licenciándose y haciendo el doctorado en matemáticas. Durante la II Guerra Mundial fue reclutado por el ejército siendo instructor en California. Al finalizar la guerra, dio clases de matemáticas en un instituto hasta su jubilación. Publicó ensayos y trabajos de no ficción, pero paralelamente escribió numerosos relatos de ciencia ficción, fantasía y misterio, la mayoría en los años 50 y 60, aunque continuó publicando hasta prácticamente su muerte, El último teorema de Fermat Probablemente, el resultado matemático más popular con permiso de Pitágoras (caso particular de aquel, si bien uno es cierto y otro no), seguramente por la célebre historia que lo rodea. Mucho se ha escrito sobre este resultado, aunque para mi gusto todo está magníficamente descrito y explicado en El enigma de Fermat, de Simon Singh. Este autor nos indica (pp. 81 a 84 en la edición de editorial Planeta, 1998) que la importancia de demostrar un resultado en matemáticas radica en su posterior desarrollo, esto es, en el abanico de nuevos resultados (e incluso nuevas teorías) que puedan probarse a partir de él. Visto así, hallar una demostración del último teorema de Fermat (la última conjetura de Fermat, hubiera sido más propio) no parecía satisfacer ningún criterio relevante: no daba la impresión de que condujera a nada relevante más allá de una curiosidad numérica. Su fama parecía proceder sólo del hecho de su dificultad de probarlo o refutarlo. Fermat supo con su comentario desafiar al mundo: sólo el conocía algo que nadie sabía, y ese reto caló en el ego de generaciones. En el corto (y relato original), el diablo descubre (por supuesto es algo imaginado por el autor) que para poder resolver la cuestión, necesita aprender muchas más matemáticas que Álgebra y Geometría elementales (cito lo que se dice en el corto): Geometría Analítica, Esférica y Algebraica, de Riemann y no-euclídea, Cálculo, Elemental, Ecuaciones Diferenciales, Diferencias Finitas, quizá fracciones continuas. Pero, en realidad, ¿qué se conocía en 1972, fecha de realización del cortometraje, sobre la demostración del resultado? El propio Fermat había probado que para potencias cuartas (y todos sus múltiplos) el resultado era falso. Utilizó un método de demostración llamado descenso infinito, uno de los estándares en demostraciones matemáticas junto al principio de inducción, la reducción al absurdo, o el principio del palomar. Euler en 1735 pensó haber encontrado la prueba para n = 3, pero posteriormente se encontró un error (¡Sí, los genios también se equivocan!). No obstante, en otros trabajos se hallaron indicios de una demostración por métodos más sencillos, por lo que se considera su lícito descubridor. Un gran avance lo dio Sophie Germain con un procedimiento diferente, que retomaron Legendre y Dirichlet (probaron el caso n = 5), Lamé (n = 7, en 1839),… pero todo estaba encaminado a probar caso por caso, no a encontrar una demostración general para todo valor de n. El matemático protagonista expone el premio que anunció la Universidad de Gotinga en 1908. Tiene detrás una historia muy curiosa y al matemático Paul Wolfskehl de quien podemos decir que el último teorema de Fermat le salvó la vida. Básicamente, como consecuencia de un desengaño amoroso, decide suicidarse en una fecha y hora concreta. Esperando la llegada de ese momento, decide ponerse a leer los trabajos de Kummer sobre la demostración, y encuentra en ellos un error. Animado por ello, se pone a trabajar, pasándosele el momento elegido para suicidarse, y encontrando una nueva ilusión por la que seguir viviendo. Cuando murió en 1908, su familia se quedó sorprendida al leer sus últimas voluntades en la que explicaba lo que había pasado, y porqué donaba 100.000 marcos a quien resolviera la conjetura de Fermat. Y se formalizó el reto, que caducaba el 13 de septiembre de 2007. Aunque había trampa: el premio se lo llevaría quien demostrara que el teorema era verdadero (o sea que la famosa fórmula es cierta), pero ni un solo marco si resultaba ser falso (o sea que no existían números que cumplen la fórmula). Hacia 1955 dos jóvenes matemáticos japoneses habían establecido un procedimiento general que de ser cierto, serviría para resolver finalmente el enigma: la conjetura de Taniyama-Shimura, un complejo resultado que relacionaba campos tan aparentemente diferentes como las formas modulares y las ecuaciones elípticas. Ahí se encontraría trabajando en 1972 el matemático de la película, y entendiendo de qué va el asunto, es bastante lógica la conclusión del cortometraje. Quizá llegados a este punto el lector deseé saber más (realmente la historia es cuanto menos curiosa), pero la extensión de esta reseña es demasiado estrecha para poder contener lo que sucedió (je je je), así que, sintiéndolo mucho, les remito al libro de Singh. Otras referencias cinematográficas Un resultado tan célebre ha sido referenciado en múltiples relatos, novelas, y por supuesto películas. Habiéndolas dedicado ya otras reseñas, simplemente las enunciamos. Un diablo bastante diferente en apariencia al del cortometraje, borra de una pizarra un ejercicio planteado para alumnos de Secundaria que no es otro que demostrar el último teorema de Fermat en Al diablo con el diablo (Bedazzled, 2000), la versión filmada del musical Fermat´s Last Tango (2001) y la española Los Crímenes de Oxford (2008) aunque se disfrace a Fermat como Bormat y a Wiles como Wilkes. En televisión el episodio “The Royale” (1989) de la saga Star Trek: La siguiente Generación el capitán Picard recuerda la historia del resultado y afirma haber buscado una demostración, en Star Trek: Espacio profundo 9 en el episodio “Facets” (1995) se habla de la demostración de Wiles y se busca una diferente, dos episodios de Los Simpson muestran dos contraejemplos en “La casa-árbol del terror VI” (episodio 7.4, 1995, segmento Homer3) y “El mago de Evergreen Terrace” (episodio 10.2, 1998). Finalmente el nombre de Fermat se referencia en La habitación de Fermat (2007), aunque en ella el resultado sobre el que se da vueltas no es el último teorema sino la conjetura de Goldbach. ¿Recuerda el lector alguna otra referencia donde aparezca el famoso teorema? Director y Actores No he encontrado ninguna información sobre Semion Lipovich Raytburt, salvo que empezó su carrera dirigiendo el documental Effekt Kuleshova (El efecto Kuleshov, 1969), para después escribir y dirigir dos únicos cortometrajes Matematik i chyort (El matemático y el diablo, 1972) y Kto za stenoy? (¿Quién está detrás de la pared?, 1977). De Vsevolod Shestakov (1927 – 2011) lo de menos es su actividad como actor. Era Hidrogeólogo, Doctor en Ciencias Técnicas (1964), Director del Departamento de Hidrogeología Geológica de la Facultad de la Universidad Estatal de Moscú de 1972 a 1988 (profesor desde 1967), miembro del Consejo Científico de la Facultad de Geología de la Universidad Estatal de Moscú, del Consejo Científico de la URSS en hidrogeología y experto en ingeniería geológica Gosplan, de la sección del Consejo Científico y Técnico del Comité Estatal de Construcción de la URSS y el Ministerio de Energía URSS, Presidente de la Junta para tesis doctorales, miembro de la Junta de VSEGINGEO, secciones del Consejo de Educación Superior del Ministerio de Educación Superior geológica de la URSS, miembro del consejo de redacción de "Vestnik. Moskov. Univ. Ser. geología", editor RISO "Nedra", Presidente del Consejo de Coordinación sobre el tema "La protección de los recursos naturales de agua", llevado a cabo de acuerdo con el plan de cooperación intergubernamental entre la URSS y la RDA. Su obra teatral se relaciona principalmente con el Teatro MSU de Estudiantes, donde trabajó durante más de 20 años, cuando era un gran científico. De su filmografia destacan: Oni zhivut ryadom (Viven cerca, 1967), Dvoryanskoye gnezdo (Nido Noble, 1970),  Fizika v polovine desyatogo (Física a las nueve y media, 1971), Matematik i chert (El matemático y el diablo, 1972), Poputchik (Compañero, 1986). Los títulos en castellano son sólo indicativos (o sea hechos por mí): ninguno se ha estrenado en nuestro país. Mayor trayectoria tiene el actor y director Aleksandr Kaydanovskiy (1946 – 1995). Comenzó estudiando para soldador en un instituto de formación profesional, pero aquello no le llenaba y en 1965 comenzó a estudiar actuación en la Escuela de Teatro de Rostov y el Instituto Schukin de Moscú. Antes de completar sus estudios, debutó en la película Tainstvennaya stena (Una Pared Misteriosa, 1967). Tras su graduación en 1969, trabajó como actor de teatro en el teatro de Eugene Vakhtangov. En 1971 se unió al MKHAT, el Teatro de Arte de Moscú, el mejor teatro clásico en Rusia, un raro privilegio para un graduado de 25 años de edad. Con más de dos docenas de películas a sus espaldas, en los años 70 se convirtió en uno de los actores más populares de la Unión Soviética, fijándose en él Andrei Tarkovsky con el que trabajó en Stalker (1979), papel por el que logró reconocimiento internacional (ésta es la única película estrenada en nuestro país de las mencionadas, y disponible en DVD). Finalmente, aunque su papel sea muy breve, Alla Pokrovskaya (Moscú, 1937) es una célebre actriz hija de un importante director de ópera del teatro Bolshoi y de una directora del teatro Central para niños de Moscú. Se graduó en 1959 debutando en el cine de la mano del director Nikolai Rozantsev. Ha trabajado con los mejores y más populares actores rusos. En la actualidad es profesora de la Escuela del Teatro del Arte de Moscú y del Stanislavski Acting School en Kembridge, Reino Unido. Ha impartido cursos de actuación en la Carnegie-Mellon University de Pittsburg, EE. UU. En 1998 recibió el Premio Stanislavski a la excelencia docente.

Martes, 07 de Abril de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

462. 126. (Abril 2015) Fuerza subliminal

Una vez más, seguiremos hablando de la mezcla Klondike, cuya presentación y primera descripción realizábamos en la entrega de diciembre de 2014 y cuyas propiedades matemáticas enunciábamos en la entrega de marzo de 2015. Otro juego que utiliza esta mezcla es el titulado "Fuerza subliminal" y se atribuye a Karl Fulves, mago que ya ha aparecido muchas veces en este rincón, lo cual no es de extrañar pues no se me ocurre ningún nombre de autor más prolífico en el mundo de la magia. Una pequeña biografía y una lista de sus publicaciones aparece en la Magicpedia. El juego que describiremos en esta ocasión aparece en el libro “My best self-working card tricks” y ha suscitado alguna polémica en los foros de magia porque hay algunos errores en la descripción. Las instrucciones que aparecen en el libro no son correctas y algunas correcciones que he leído en los foros tampoco aciertan, de modo que escribo aquí mi versión corregida. Dejo los detalles de la presentación, que justifica el título de Fulves, para los que posean el libro. Se necesitan nueve cartas de dorso azul y una carta de dorso rojo. Además, una de las cartas de dorso azul es roja, digamos el cinco de rombos. La carta de dorso rojo es negra, por ejemplo el tres de picas. El resto son cartas negras de puntos (no figuras). A modo de ejemplo, estas podrían ser las cartas utilizadas: Ordena estas diez cartas, caras abajo, con el 5R en la parte superior, seguido por las ocho cartas negras de dorso azul y debajo el 3P de dorso rojo. En una hoja de papel escribe la predicción: “Elegirás la única carta roja”. A continuación, procede como sigue. Con el paquete caras arriba, deja sobre la mesa, una a una y contando en voz alta, las cinco cartas superiores, formando un montón. Gira caras abajo las cinco cartas restantes y las colocas en la mesa sobre las anteriores, también contando una a una invirtiendo así su orden. Recoge el paquete y realiza una mezcla Klondike. Recuerda: arrastras la carta superior y la inferior juntas y las dejas sobre la mesa, vuelves a repetir la operación con las nuevas cartas superior e inferior y las dejas sobre las anteriores, y así sucesivamente hasta que hayas repartido todas las cartas. De este modo, las dos cartas rojas (la de cara y la de dorso) están en los extremos del paquete. Recoge de nuevo las cartas de la mesa y pide a un espectador que elija un número entre 1 y 10. Supongamos que dice el cuatro: cuenta las tres cartas superiores y las dejas sobre la mesa, sin invertir su orden, formando un montón; coloca un clip en la cuarta carta y la dejas sobre las cartas de la mesa; deja el resto de cartas sobre las anteriores. Recoge otra vez las cartas de la mesa y reparte dos columnas de cinco cartas, alternativamente a la izquierda y a la derecha. Explica que la carta que tiene el clip nos indicará la carta seleccionada: será la que esté en su misma fila de la otra columna. Si dicha carta está cara arriba, vuelve cara abajo todas las demás para comprobar que es la única que tiene dorso rojo; si está cara abajo, vuelve cara arriba todas las demás para comprobar que es la única de valor rojo. Deja leer lo escrito en el papel para mostrar tu predicción. Para descubrir cómo funciona el juego, basta hacer una simulación con las posibles elecciones del número y comprobar dónde queda la carta elegida en relación con alguna de las cartas rojas. El reparto de cartas cara arriba y cara abajo hace pensar que sólo hay una carta diferente de las demás ya que, en ningún momento, se ven dos cartas rojas. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Miércoles, 01 de Abril de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

463. 91. (Marzo 2015) "Urania. La vida de Émilie du Châtelet", de Jyl Bonaguro

En la mitología griega, Urania es la musa de la astronomía. Los cuadros y esculturas que la representan, lo hacen acompañándola de un globo terráqueo y un compás. Su diadema y su manto van decorados con grupos de estrellas. En alguna de sus figuraciones la acompañan otros instrumentos usados en matemáticas y navegación; por ello, se la suele considerar la musa de las matemáticas y de todas las ciencias exactas. Urania. The life of ÉMilie du Châtelet, de la artista y dramaturga Jyl Bonaguro, está basada en la biografía La Dame D'Esprit: A Biography of The Marquise Du Châtelet (Viking, 2006) de la historiadora  Judith P. Zinsser. Urania comienza con la llegada de la Ilustración e incorpora a muchas de las grandes mentes de esa época. La vida de Émilie se narra –como comenta la responsable de Urania–  centrándose en sus trabajos de física y en su obsesión por  terminar la traducción y comentario de los Principia de Newton: su prematura muerte y sus amoríos –en particular con Voltaire– han eclipsado en muchas ocasiones la importancia de su trabajo, realizado en un tiempo en el que a las mujeres se les negaba el derecho a la educación. Tras conocer a Voltaire, convivieron y estudiaron en el castillo de la marquesa: ciencias, matemáticas, poesía y literatura llenaban sus días, acompañados a menudo de ilustres invitados. Todas las pasiones de Émilie du Châtelet tienen cabida en Urania, las personales y las científicas; su avidez por conocer y entender el mundo que nos rodea, su inteligencia y su dedicación merecen, sin duda, admiración y reconocimiento. Puede encontrarse información completa en Urania, The play.

Martes, 31 de Marzo de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

464. 94. (Marzo 2015) Alfabeto, de Inger Christensen

La editorial Sexto Piso publicó a finales de 2014 –en edición bilingüe danés-español – el bellísimo poemario Alfabet (1981) de Inger Christensen (1935-2009). La editorial presenta el libro del siguiente modo: Alfabeto es uno de los libros esenciales de la poesía europea del siglo XX. Hasta hoy era, de forma incomprensible, inédito en nuestra lengua. Es un largo poema cuya forma sigue dos principios de composición. El primero es la secuencia de Fibonacci. Es decir, cada verso es la suma de los dos precedentes: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13… El segundo es el alfabeto. Cada poema, y las palabras que utiliza, sigue el orden de las letras: a, b, c, d, e. Sin embargo, bajo esta forma aparentemente estricta, hay lugar para el azar. Como en una de las más antiguas tradiciones hebreas, Christensen juega con la materia misma con la que está construido el mundo: las letras, y su misterioso orden. Con ese magma informe y primigenio, recrea el mundo y su destrucción. Verso a verso, letra a letra, va moldeando cada una de las cosas que lo pueblan –el amor, la infancia, la vejez, el olvido, el odio, la muerte, la memoria– hasta que el árbol de las palabras, el árbol de la vida, surge, hermoso e indemne, ante nosotros. Al final, como los vocablos mismos, todo desaparece en un soplo. En los labios no nos queda más que la fragilidad de la vida y de las palabras, y la certeza de que una magia, oculta y aún nombrable, habita en ellas. En efecto, el poemario está basado en el alfabeto –cada una de sus catorce series comienza y está dominada por una letra, de la A [albaricoquero] a la N [noche]– y la sucesión de Fibonacci –cada poema posee tantos versos como el término correspondiente de la sucesión de Fibonacci, de la que la autora elimina los dos primeros elementos–. Esas son las dos reglas que dirigen la versión original danesa: el traductor –Francisco J. Uriz– ha intentado preservar la parte relativa al alfabeto… siempre que le ha sido posible. 1-A (1 verso) los albaricoqueros existen, los albaricoqueros existen 2-B (2 versos) los helechos existen; y zarzamoras, zarzamoras y bromo existen; y el hidrógeno, el hidrógeno 3-C (3 versos) las cigarras existen; chicoria, cromo y limoneros existen; las cigarras existen; cigarras, cedros, cipreses, cerebelo Siguiendo de este modo, el cuarto poema –basado en la letra D– tiene 5 versos, el sexto –basado en la letra E– tiene 8 versos, el séptimo –basado en la letra F– tiene 13 versos, etc. Además, a partir del séptimo –que tiene ya 21 versos–, cada poema se va dividiendo en párrafos que juegan también con los números de la sucesión de Fibonacci: 7-G (21 = 8 +13 versos), se divide del siguiente modo: 1 de 1 verso 2 de 2 versos 2 de 3 versos 2 de 5 versos 8-H (34 = 13 + 21 versos), se divide del siguiente modo: 1 de 2 versos 2 de 3 versos 2 de 5 versos 2 de 8 versos 9-I (55 = 21 + 34 versos), se divide del siguiente modo: 1 de 3 versos 2 de 5 versos 2 de 8 versos 2 de 13 versos 10-J (89 = 34 +55 versos), se divide en dos grandes bloques subdivididos a su vez: 47 1 de 5 versos 2 de 8 versos 2 de 13 versos 42 2 de 1 verso 3 de 2 versos 1 de 8 versos 2 de 3 versos 4 de 5 versos 11-K (144 = 55+ 89 versos) 34 1 de 8 versos 2 de 13 versos 21 7 de 3 versos 21 3 de 7 versos 68 2 de 2 versos 4 de 3 versos 4 de 5 versos 4 de 8 versos 12-L (233 = 89 + 144 versos) 13 1 de 13 versos 21 4 de 4 versos 1 de 5 versos 21 5 de 4 versos 1 de 1 verso 34 11 de 3 versos 1 de 1 verso 34 8 de 4 versos 1 de 2 versos 110 2 de 3 versos 3 de 5 versos 1 de 4 versos 1 de 9 versos 4 de 13 versos 13-M (377 = 144 + 233 versos) 21 1 de 1 verso 2 de 2 versos 2 de 3 versos 2 de 5 versos 34 11 de 3 versos 1 de 1 verso 34 6 de 5 versos 1 de 4 versos 55 13 de 4 versos 1 de 3 versos 55 1 de 55 versos 94 2 de 5 versos 4 de 8 versos 4 de 13 versos 14-N (321 versos), aquí se rompe la sucesión de Fibonacci, ya que corresponderían en realidad 610 = 233 + 377 versos. ¿Por qué esta ruptura? ¿3-2-1 anuncia el final? ¿Y por qué se termina con la letra N? ¿La N alude los números naturales? ¿O quizás representa la naturaleza? Estos 321 versos se distribuyen de este modo: 33 1 de 2 versos 2 de 3 versos 2 de 5 versos 1 de 7 versos 1 de 8 versos 55 1 de 55 versos 55 2 de 7 versos 2 de 6 versos 2 de 5 versos 2 de 4 versos 2 de 3 versos 2 de 2 versos 1 de 1 verso 89 22 de 4 versos 1 de 1 verso 89 44 de 2 versos 1 de 1 verso En este video puede verse una performance poético-musical de Alfabeto (en francés, con subtítulos en italiano) de la mano de Christiane Hommelsheim e Irene Mattioli. Domina en toda la composición el concepto de existencia y de destrucción. Inger Christensen enumera, confronta, describe y analiza. Las continuas iteraciones producen un efecto de reverberación; resuenan en los versos tanto la belleza de la naturaleza como la devastación producida por la acción del ser humano. Copenhague Más información: Marta Macho Stadler, Inger Christensen (1935-2009),  Espacio Luke 103, 2009 Cecilia Dreymüller, Matamos más de lo que creemos,  Babelia, 2014 (con enlace a las primeras páginas del libro

Viernes, 27 de Marzo de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

465. 66. (Marzo 2015) Otras armonías son posibles (II)

1. Introducción Este es el segundo artículo de la serie Otras armonías son posibles. La serie investiga la existencia de otros sistemas armónicos diferentes del tonal. Lo hacemos de la mano de un libro de notable factura, Other harmony (beyond tonal and atonal) [Joh14a], escrito por el compositor Tom Johnson. En el primer artículo de la serie [Góm15] nos volcamos en la armonía tonal, de la que dimos una visión breve y concisa, así como de diversas formas de visualización de la armonía a través de técnicas matemáticas (algunas de estas técnicas reaparecerán más tarde, especialmente las que se encuentran en la obra de Tymoczko [Tym11, Tym15]). En el presente artículo examinaremos la armonía atonal. Como ya advertimos en la introducción del primer artículo, por armonía atonal nos referiremos a la armonía que rechaza las jerarquías tonales y la prominencia de un tono particular, pero que todavía usa el concepto de tono. En esencia, estamos hablando del dodecafonismo. En el libro de Johnson las armonías no tonales distintas del dodecafonismo se llaman Otras Armonías (de nuevo, así, en mayúscula). Ya que esta serie constituye una recensión de esta obra de Johnson, adoptaremos tal terminología. 2. Armonía atonal El atonalismo dodecafónico es un sistema de composición concebido por Arnold Schoenberg (1874-1951) en que ningún grado de la escala cromático posee ningún énfasis armónico especial. En particular, Schoenberg exige en su sistema que se establezca un orden fijo de aparición de las notas, el cual se repite a lo largo de la obra, para así asegurar que todas las notas tienen igual importancia. Esta es una manera de destruir la tonalidad imperante durante los siglos anteriores, durante la práctica común. En efecto, donde antes la armonía tonal establecía una jerarquía entre los tonos, tal jerarquía desaparece ahora al dotar a todos los grados de la escala de igual importancia; donde antes había una teoría de la consonancia que clasificaba los acordes, ahora tal clasificación se desvanece por pura falta de contexto; donde antes había unas reglas contrapuntísticas bien definidas, ahora tales reglas carecen de sentido; donde antes podíamos hablar de polos tonales, ahora estamos en presencia de un perpetuum mobile tonal, sin implicaciones jerárquicas, regido por un estricto orden de aparición. Este sistema compositivo dio lugar a la Segunda Escuela de Viena, cuyos miembros más destacados fueron Alban Berg, Anton Webern, Hanns Eisler y el propio Schoenberg; véase [Nei97] para más información. La técnica compositiva de Schoenberg se basa en el concepto de secuencia de tonos, que no es más que una ordenación de los doce tonos de la escala cromática. Para definir esa secuencia de tonos, se establecen las siguientes cuatro condiciones: La secuencia de tonos se da en un orden fijo, que ha de mantenerse durante la obra. Los tonos pueden aparecer en cualquier octava. No puede haber repeticiones de tonos en la secuencia. La secuencia de tonos puede someterse a transformaciones que dejen invariante el contenido interválico, esto es, las distancias entre las notas medidas en semitonos (esto se explica desde un punto de vista geométrico con más detalle más adelante). Las transformaciones que dejan intacto el contenido interválico son la retrogradación (invertir el orden de la secuencia de tonos), la inversión (cambiar la dirección de los intervalos), la retrogradación de la inversión (la combinación de las dos anteriores) y cualquier combinación de las anteriores. Dada una transformación de una secuencia de tonos, esta puede empezar en cualquiera de sus notas. Pondremos algunos ejemplos (tomados de [Wik15]). Si la secuencia de tonos inicial es Figura 1: Secuencia de tonos inicial (tomada de [Wik15]). Si tomamos las distancias entre las notas consecutivas de la secuencia, medida en semitonos, tenemos que es (-1,-3,+6,+2,-3,+2,-5,-3,-2,+4,-3); se ha indicado la dirección del movimiento melódico con un signo más o menos. La secuencia puesta en retrogradación es Figura 2: Secuencia de tonos en retrogradación (tomada de [Wik15]). La secuencia de distancias es ahora (+3,-4,+2,+3,+5,-2,+3,-2,-6,+3,+1), que no es más que la secuencia original leída de derecha a izquierda. Obsérvese que como consecuencia de invertir el orden, también se intercambia la dirección melódica (y los signos + y -). La secuencia invertida es Figura 3: Secuencia de tonos invertida (tomada de [Wik15]). La secuencia de distancias es (+1,+3,-6,-2,+3,-2,+5,+3,+2,-4,+3), obtenida intercambiando + por - y viceversa en la secuencia original. Por último, la retrogradación de la secuencia invertida es Figura 4: Secuencia de tonos en retrogradación e invertida (tomada de [Wik15]). Finalmente, la secuencia de distancia es (-3,+4,-2,-3,-5,+2,-3,+2,+6,-3,-1). En la figura de abajo tenemos un fragmento del quinteto para viento opus 26 de Schoenberg donde él mismo anotó las notas de la secuencia de tonos. Figura 5: Fragmento del quinteto para viento, opus 26 (tomada de [Wik15]). Como puede verse en el ejemplo anterior, la instrumentación, ritmo, textura y otros parámetros musicales no se someten a ningún orden particular; el compositor tiene total libertad para manipularlos. Posteriormente, otros compositores sistematizaron la elección de esos parámetros musicales también, lo que dio lugar a una música más formalizada. El libro de Johnson proporciona un ejemplo muy ilustrativo de secuencia de tonos (quien a su vez lo toma del libro de Mazzola [Maz02] The Topos of Music); véase la figura 6. Figura 6: Matriz de alturas de sonido del cuarteto para cuerda, opus 28, de Webern. (figura tomada de [Joh14b]). Suponiendo que la fila uno es do, la fila dos, do♯, y así sucesivamente, cuando la matriz se lee horizontalmente, se obtiene la secuencia de tonos (escrita en notas y grados de la escala): (do♯, do, re♯, re, fa♯, sol, mi, fa, la, la♭, si, si♭) (1, 0, 3, 2, 6, 7, 4, 5, 9, 8, 11, 10) Además, la matriz refleja clara y elegantemente la simetría que hay en la secuencia, donde se ve que la segunda mitad es la retrogradación de la inversión de la primera mitad. En efecto, la secuencia de distancias para la segunda mitad es (+1,+4,-1,+3,-1) (empezando en la nota mi), y cuando hacemos la retrogradación de la inversión obtenemos la secuencia (-1,+3,-1,+4,+1), que es la correspondiente a la primera mitad. Johnson, quien está francamente bien informado de las matemáticas que se han aplicado a la música, pone otro ejemplo notable, el de Jedrzejewski, quien en su Mathematical Theory of Music [Jed06] clasifica los 9.979.200 posibles secuencias de tonos a exactamente 554 a través de la teoría de nodos, una conexión sorprendente y profunda entre matemáticas y música. En la figura 7 vemos la interpretación geométrica que permitió a Jedrzejewski construir esa clasificación. Tomando como secuencia de tonos la secuencia del cuarteto de Webern de más arriba, el nudo que aparece en la figura se construye poniendo sobre un círculo de 12 puntos equiespaciados la secuencia de tonos (1,0,3,2,6,7,4,5,9,8,11,10) y a continuación uniendo aquellos tonos cuya distancia es un tritono. Figura 7: Clasificación de la secuencia del cuarteto de cuerda de Webern según el método de Jedrzejewski (figura tomada de [Joh14b]). El dodecafonismo ha sido estudiado profunda y extensamente. Por ejemplo, Simms [Sim00] constituye un buen estudio de la música del propio Schoenber y el reciente libro [For14] de Forte, un excelente tratado de la música de Webern, otro importante músico seguidor de esta corriente estética y musical. Para un tratado del contrapunto en la música atonal, véase el libro de Funicelli [Fun09]. Los libros de Allen  [For77] y Tymoczko [Tym11] son muy recomendables para el lector interesado. 3. La nomenclatura de acordes de Allen Forte Johnson también glosa para el lector otra nomenclatura de acordes, la de Allen Forte. En su libro The Structure of Atonal Music [For77] Forte ofrece una clasificación de los acordes de mucho más profunda y sistemática que las clasificaciones dadas hasta el momento. La clasificación de Forte se basa en dos ideas principales: primero, clasificar los acordes según las distancias entre sus notas o contenido interválico; segundo, considera que dos acordes son iguales si uno se puede transformar en el otro a través de movimientos rígidos, esto es, movimientos que dejen invariante el contenido interválico. Explicaremos con un poco más de detalle la clasificación de Forte. Seguiremos, con permiso del lector, la exposición que hicimos en un artículo anterior de mayo de 2010 (véase [Góm10]). Supongamos que ponemos las notas de una secuencia de notas (en principio, de cualquier longitud) sobre el círculo cromático. El contenido interválico depende solo de la distancia entre los puntos del círculo. Los movimientos rígidos son aquellos que preservan las distancias entre pares de puntos y, por tanto, preservarán el contenido interválico. Esos movimientos son los giros, las simetrías respecto a un diámetro y las simetrías seguidas por giros. Pongamos un ejemplo; consideremos el conjunto A = . Si lo giramos 4 posiciones obtenemos T4(A) = . Si le aplicamos una simetría S respecto al diámetro que pasa por 0, resulta el conjunto S(A) = . Por último, la composición de ambas operaciones da S(T4(A)) = ; véase la figura 8. Figura 8: Transformaciones de tonos mediante movimientos rígidos. Dos conjuntos de puntos (o dos acordes) se dicen congruentes si uno se obtiene del otro mediante movimientos rígidos. Dos conjuntos de puntos (o dos acordes) se dicen homométricos si ambos tienen el mismo contenido interválico. La pregunta natural, obligada, es: ¿existen conjuntos no congruentes que poseen el mismo contenido interválico? La respuesta es sí y un ejemplo de ello serían, por ejemplo, A = y B = ; véase la figura 9. Figura 9: Dos acordes homométricos pero no congruentes. En música los conjuntos homométricos se llaman isómeros o también se dice que tienen la propiedad Z [For77]. Ahora es hora de describir lo anterior a términos musicales. Un acorde o una escala se puede concebir como un subconjunto de puntos en el círculo. Un giro corresponde a una transposición de un acorde o una escala. Lamentablemente, transposición en música no significa lo mismo que en teoría de grupos, y eso a veces causa confusión. Aquí usaremos ese término en el sentido musical. Las transposiciones de un acorde se corresponden con las permutaciones circulares del conjunto de puntos asociado. Figura 10: Transposición de un acorde. Los giros de un conjunto de puntos se corresponden con un cambio de fundamental en el acorde. Figura 11: Cambio de fundamental de un acorde vía transposición. Las simetrías seguidas de giros dan cuenta de diversos cambios de acordes. Permiten, por ejemplo, cambiar de modo. En la figura 8 se ve un cambio de do mayor a do menor. Figura 12: Cambio del modo de un acorde vía la simetría. O también pasar de un acorde de séptima de dominante a un acorde séptima de sensible: Figura 13: Transposición de un acorde. En la siguiente tabla encontramos la clasificación de acordes de Forte: Figura 14: Clasificación de acordes de Forte (figura tomada de [Joh14b]). Johnson refleja en su libro las quejas de algunos teóricos de la música por la clasificación de Forte, pero las refuta. Recoge, por ejemplo, la queja de que el acorde Forte 311 (0, 3, 7), que es la triada menor, es equivalente ¡a la triada mayor! En efecto, ambas triadas tienen el mismo contenido interválico y es posible pasar de una a otra por movimientos rígidos (con una simetría más una transposición). Dice Johnson, muy acertadamente, que algunos compositores“quieren oír la música como siempre la oyeron antes que abrir sus oídos a una escucha más objetiva” (página 28). En el resto del capítulo Johnson investiga los acordes con la propiedad Z (aunque más tarde en el libro vuelve a ellas). En las últimas páginas de la sección sobre atonalidad del libro de Johnson, este investiga las propiedades del acorde Forte 4-22 (0, 2, 4, 7). Si el 0 lo situamos sobre la nota do, este acorde es una tríada mayor con la nota re añadida. Este acorde se puede interpretar como la inversión de un acorde de novena dominante con la séptima ausente. Johnson se plantea construir una sucesión de acordes a partir de (0, 2, 4, 7) de modo que dos acordes consecutivos solo difieran en una nota. Curiosamente, le salen dos ciclos disjuntos. El primer ciclo está generado por los cambios en (0, 2, 4, 7) y el segundo, por la forma invertida del acorde (0, 3, 5, 7). El primer ciclo está en la figura siguiente, primero dibujado como un ciclo de acordes y luego escrito con notación musical. Figura 15: Primer ciclo de acordes derivados de Forte 4-22 (figura tomada de [Joh14b]). El segundo ciclo, el basado en (0, 3, 5, 7), está dado en la figura de abajo. Figura 16: Segundo ciclo de acordes derivados de Forte 4-22 (figura tomada de [Joh14b]).   Bibliografía [For77] Allen Forte. The Structure of Atonal Music. The Yale University Press, Madison, WI, 1977. [For14] A. Forte. The Atonal Music of Anton Webern. Yale University Press, 2014. [Fun09] S. A. Funicelli. Basic Atonal Counterpoint. Createspace, 2009. [Góm10] P.. Gómez. El teorema del hexacordo. http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=10806&directory=67, mayo de 2010. [Góm15] P.. Gómez. Otras armonías son posibles (I). http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=16413&directory=67, febrero de 2015. [Jed06] F. Jedrzejewski. Mathematical Theory of Music. Editions Delatour, 2006. [Joh14a] Tom Johnson. Other harmony. 75 Editions, 2014. [Joh14b] Tom Johnson. Other harmony. http://oh.editions75.com, 2014. [Maz02] G. Mazzola. The Topos of Music. Birkhäuser Basel, 2002. [Nei97] O. Neighbour. The New Grove Second Viennese School: Schoenberg, Webern, Berg. Norton & Company, 1997. [Sim00] B. R. Simms. The Atonal Music of Arnold Schoenberg, 1908-1923. Oxford University Press, 2000. [Tym11] D. Tymoczko. A Geometry of Music: Harmony and Counterpoint in the Extended Common Practice. Oxford University Press, 2011. [Tym15] D. Tymoczko. Chordgeometries. http://dmitri.tymoczko.com/ChordGeometries.html, consultada en enero de 2015. [Wik15] Wikipedia. Twelve-tone technique. http://en.wikipedia.org/wiki/Twelve-tone_technique, consultada en febrero de 2015.

Lunes, 16 de Marzo de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

466. 15. (Marzo 2015) Matemática en vidrio

La extensión del estilo gótico por la Europa Medieval permitió la construcción de iglesias muy luminosas con grandes rosetones y ventanales que se llenaron de coloristas vitrales. La representación de las Artes Liberales no podía faltar en las majestuosas vidrieras, y así el frágil vidrio también sirve de soporte a las alegorías de la Aritmética y la Geometría. Pasaremos revista a algunas de ellas. La vidriera de la Aritmética que mostramos más arriba es la más antigua de la selección, data de los siglos XIII-XIV. Se encuentra en la Catedral de León. En el intento de hacer compatible fe y razón, y para manifestar la grandeza y el poder de Dios, era frecuente decorar las grandes catedrales del Medievo –en especial si había centros de estudio episcopales, con las artes liberales. Es una pena que ésta preciosa vidriera no se aprecie sin prismáticos. Se encuentra en la parte más alta del lateral izquierdo. Las letras son vidriadas y no pintadas. La vidriera representa a unos monjes o novicios realizando cálculos, y no la alegoría de una bella dama tal como la describe Marciano Capella. Al igual que en Burgos, se insiste más en la docencia que en las alegorías tradicionales. El atributo habitual en ésta época eran los ábacos o el movimiento de manos y la tablilla de números tras extenderse el algoritmo de las cifras indo-árabes. Las siguientes vidrieras si representan a las nobles damas realizando su actividad matemática. Las alegorías pertenecieron a la Biblioteca Capitular de la Catedral de Chartres, hoy capilla de San Piato. Lamentablemente fueron destruidas en 1906 y hemos de conformarnos con sus reproducciones.  Son imágenes diseñadas en los inicios del siglo XV. La Alegoría de la Aritmética lleva ya la tablilla de números que curiosamente, como en el Códice de Albelda, aparecen escritos de derecha a izquierda, al modo árabe. El rico vestido parece conservar algún número bordado tal como escribía Capella que debía ser el atuendo. La Alegoría de la Geometría es la clásica de escuadra y gran compás. Otra gran catedral con vidrieras de las Artes Liberales es Laon. Se trata de una construcción moderna. En 1870 se produjo una enorme explosión de pólvora en Nuestra Señora de Laon que reduce a polvo casi todas sus vidrieras. Reconstruidas con cierto cuidado vuelven a adornar la hermosa catedral, una de las primeras góticas de Francia. Las alegorías de las artes liberales de Marciano Capella son también uno de sus motivos decorativos y didácticos. La Aritmética aparece con cuentas en los dedos, para realizar los cálculos, mientras que la Geometría se nos muestra con su compás trazando dibujos. Las dovelas de uno de los dos grandes ventanales de Laon, el de la derecha, si conserva en piedra sus preciosas figuras originales. Del Renacimiento, ya Manierismo, conservamos un bonito dibujo sobre vidrio que se encuentra en el recientemente reabierto Rijksmuseum y nos presenta la Geometría de Frans Floris en un panel retroiluminado, rodeada de imágenes bíblicas y mitológicas. Floris fue un pintor manierista flamenco que nos ha dejado toda una estela de pinturas y dibujos alegóricos de las Artes Liberales. El grabador Cornelius Cort se encargó de popularizar mediante la imprenta esas potentes imágenes, y así las podemos encontrar en sitios diversos y sobre distintos materiales. En este caso sobre vidrio los efectos son bastante espectaculares. La Geometría aparece enseñando su arte mediante un compás y un globo aunque otros instrumentos se encuentran en el suelo. Los alumnos son artesanos maduros, ya no tiene nada que ver con la enseñanza medieval dirigida a los nobles. El pueblo llano se apropia del saber científico y las artes se democratizan. También el Gran Hall de la planta noble del Rijksmuseum, que da acceso a la Galería de Honor, donde se exhiben los Rembrandt y los Vermeer, está decorado con frescos y vidrieras con notable presencia matemática, destacando su valor y su relación con las artes. En 1885 se inauguró en Ámsterdam el gran edificio que hoy alberga el Museo del Reino: un palacete neogótico y neorrenacentista del arquitecto Pierre Cuypers. La edificación ha sido recientemente renovada por el estudio sevillano de Cruz y Ortiz. Las vidrieras son, pues, del siglo XIX. Hasta siete grandes vitrales hacen alusión a las matemáticas, su uso y sus instrumentos. Destacamos el que hace referencia a la enseñanza de la geometría, un vitral que está encima de Platón y que parece recordarnos el celebre frontispicio de la Academia: no entre aquí quien no sepa Geometría. Un maestro con un compás enseña geometría a un joven bajo la atenta mirada del filosofo Platón. Terminamos el recorrido iconográfico con una vidriera del siglo XX. Las construcciones historicistas de finales del siglo XIX e inicios del XX quieren recuperar esa majestuosidad construyendo obras imitativas como la del Memorial Knowles (1932). Lo que nos interesa de esta iglesia es el vitral de su gran rosetón con la Sabiduría rodeada de las Artes Liberales, que son sus siete pilares según dice la inscripción. El quadrivium se encuentra a la derecha. La Aritmética se representa con un ábaco y la Geometría con un compás y un globo terráqueo. La epigrafía superior sentencia que Es mejor sabiduría que fuerza. El Memorial es una iglesia catalogada como monumento que se encuentra en Winter Park, un paradisíaco lugar a orillas del Lago Virginia, al nordeste de Orlando, Florida. El Memorial sirve de Capilla para el Rollins College que, fundado en 1885, es la institución universitaria más antigua de Florida. Otras universidades americanas tiene vitrales con las Artes pero el de Winter Park es una buena muestra y quizá el que más copia a los medievales. Una excursión sobre vidrio y matemáticas quedaría muy incompleta sin hacer referencia a una de las más deliciosas Novelas Ejemplares de Cervantes: El Licenciado Vidriera. Y más si estamos en el año del centenario de la segunda parte del Ingenioso Hidalgo. El licenciado es un personaje de vidrio, frágil, que no le impide conocer el arte de la espada, que resulta ser una disciplina matemática al modo de Euclides: "tocaban algo en presuntuosos, pues querían reducir [la esgrima] a demostraciones matemáticas que son infalibles los movimientos y pensamientos coléricos de sus contrarios"

Viernes, 06 de Marzo de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

467. 98. 100 Escenas de cine y televisión para la clase de Matemáticas

Comentamos en esta ocasión un nuevo libro relacionado con las matemáticas y el cine que se ha publicado hace unos días, y conversamos con su autor sobre él y en general sobre la docencia de las matemáticas en Secundaria. La Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas (FESPM), como su propio nombre sugiere, es una agrupación de colectivos cuyo interés se centra en la mejora de la Educación Matemática en España. Se constituyó en Sevilla en el año 1988, y en ella están integradas todas las Sociedades y Asociaciones que comparten ese mismo objetivo en cada Comunidad Autónoma, actualmente 21. Además de la página web anteriormente indicada, quien desee conocer con mayor detalle su actividad, objetivos, etc., puede consultar este artículo publicado en Diciembre de 2014 en la revista UNION, y quien desee recibir puntualmente información de la misma puede adherirse a las páginas correspondientes de Facebook o Twitter. Entre las diversas actividades que realiza se encuentra un Servicio de Publicaciones que tiene el objetivo de poner al alcance del profesorado textos sobre las Matemáticas y su didáctica difíciles de encontrar editados por las editoriales convencionales. Su catálogo está formado por distintas colecciones que se agrupan bajo temas afines. Una de estas colecciones es la de Materiales y Recursos para el aula, cuyo tercer volumen lleva por título 100 Escenas de Cine y Televisión para la clase de Matemáticas, escrito por José María Sorando Muzás. Se trata de una colección de actividades (no sólo se plantean ejercicios de matemáticas como los que acostumbramos a encontrar en los libros de texto, de cálculo y/o planteamiento; también hay propuestas para desarrollar un tema, buscar un concepto u opinar razonando sobre las afirmaciones de las escenas) dirigidas a las Enseñanzas Primaria (5º y 6º solamente) y Secundaria (ESO y Bachillerato), a propósito de algunas secuencias de películas, documentales y series de televisión. Previamente se describen las citadas escenas, reproduciendo diálogos cuando es necesario. En la página de DivulgaMAT dedicada al libro (enlace), el autor ha aportado generosamente una propuesta didáctica general acerca del uso del cine en el aula, junto al índice del centenar de escenas que componen el libro clasificadas por temas de los currícula de los niveles indicados anteriormente (Números Naturales, Divisibilidad, Fracciones, Decimales, Medida, Potencias y Raíces, Proporcionalidad y Porcentajes, Sucesiones, Álgebra, Funciones, Figuras Planas, Simetría, Geometría 3D, Combinatoria, Probabilidad, Estadística, Resolución de Problemas, y un último dedicado a Educación en Valores). El número de escenas para cada uno de esos temas van desde un mínimo de tres hasta algunos que llegan a la docena, estando entre cinco y siete la mayor parte. El enlace además permite ir a cada escena que va enlazada a comentarios que incluyen fotografías y la visualización de las mismas en la página web que mantiene el autor. Un espléndido complemento al texto del libro que permite al lector (profesor, alumno, padre) ampliar la información sobre cada escena. El libro contiene al final, antes de la bibliografía, una guía de las escenas en la que se especifican en forma de tabla los niveles para los que está indicada cada actividad, y la página en la que se encuentran, muy útil para la localización rápida de los datos. De las cien escenas, 56 corresponden a películas comerciales, 18 a series de televisión y 9 a documentales. Hay además  una decena de películas y series de animación. La diferencia al total se explica porque algunas películas dan juego para más de una escena, de temas diferentes, y por tanto aparecen varias veces (por ejemplo, La habitación de Fermat proporciona hasta cinco escenas distintas, o el documental Ojo Matemático media docena). Las cuestiones planteadas son claras y sencillas, de respuesta breve (no más de dos o tres operaciones matemáticas), y rara vez profundizan en temas más allá del que se encuentran. Esto tiene su parte positiva (los alumnos se interesan y no se agobian por un exceso de trabajo; el objetivo es llegar al cien por cien de la clase) y sus inconvenientes (se podía sacar más jugo de algunas escenas), pero la decisión de este formato queda clara a partir de la justificación del autor descrita más abajo, en la entrevista que mantuvimos. Se incluye la respuesta completa a las cuestiones planteadas, y en algunas escenas se dan algunos consejos prácticos al docente o la persona que pretenda utilizarlas en el aula (lo cual incluye advertencias sobre la idoneidad o no de visionar al completo algunas películas, algunas claramente poco adecuadas según la edad de los alumnos; en general lo que se propone es el visionado sólo de las escenas, no de la película completa). Así pues, a modo de síntesis, nos encontramos con un libro fundamentalmente práctico, que va al grano de lo que se pretende, y que contempla aspectos básicos de temas de Secundaria con la intención de enganchar mediante imágenes al alumno para, o bien estudiar con otro ánimo del habitual el tema que corresponde si el recurso se utiliza antes, o bien comprobar lo que ha entendido del citado tema, si planteamos la actividad después. Escena Ejemplo Gracias a la amabilidad del autor y al Servicio de Publicaciones de la FESPM, a los que agradecemos su inmejorable predisposición, reproducimos una de las escenas del libro para que el lector se haga una idea de su contenido. 62. La ecuación preferida del profesor3 (The professor´s beloved eqution – Hakase no aishita sushiki) Director: Takashi Koizumi. Producción: Asmik Ace Entertainment/ Hakuhodo DY Media Partners/ Imagica/ Sumitomo Corporation/ Tokyu Recreation. Japón. 2006. Nivel: 3º - 4º ESO. Escena en 0:00:30. Duración: 0:34. Argumento: Entre clases, en un aula de Japón, los estudiantes alborotan y escriben en la pizarra, a la espera de que llegue el profesor, cuyo apodo es “Raíz”. Diálogo: - Pi es igual a 3,141592653… - ¡Qué lástima! ¿Por qué no lo dejaron en 3? - Si lo dejas en 3 te saldría un hexágono en lugar de un círculo. - ¡Hey, ya viene Raíz! Todos los alumnos ocupan sus asientos, se hace silencio y entra el profesor. - ¡Levantaos! Los alumnos se ponen en pié. - ¡Inclinaos! Los alumnos y el profesor se hacen mutuamente una reverencia. En el aula: 1. Para entender lo que dice el alumno acerca de un hexágono, pensemos primero en la definición de π como el cociente entre el perímetro y el doble del radio. ¿En qué figuras tiene sentido la anterior definición? 2. Llamemos πn al valor de π en el polígono regular de n lados. Según esa notación, el alumno ha dicho que π6 = 3. Justifícalo. 3. Calcula los valores de π3 y de π4. 4. A partir de los anteriores valores calculados y del valor conocido de π en el círculo, ¿qué tendencia adviertes? 5. ¿Se parece la clase de la película a la tuya? Contenidos: Polígonos regulares. Propiedades del centro de un triángulo equilátero. Propiedad del radio del hexágono regular. Teorema de Pitágoras. Paso al límite. Comentario: 1. Sólo se puede hablar de radio en los polígonos regulares, cuyo radio es el de la circunferencia circunscrita. Su medida es la distancia desde el centro a cualquier vértice. 2. En un hexágono regular, el lado l mide igual que el radio r, de modo que: 3. En un triángulo equilátero: El centro es a la vez baricentro, circuncentro, incentro y ortocentro. Sabemos que el baricentro divide a cada mediana en dos segmentos que son uno el doble del otro. Así que si el mayor es un radio r, el menor es su mitad r/2. Para expresar el radio r en función del lado l, aplicaremos el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo de la figura. De donde: Despejando r: Ya podemos calcular π3:   En un cuadrado: La diagonal del cuadrado mide 2 veces el radio y se puede calcular mediante el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo de la figura: Ya podemos calcular π4: 4. Resumiendo: π3 ≈ 2,6     π4 ≈ 2,83 …   π6 = 3     π = 3.141592… Conforme aumenta el número de lados de un polígono regular, el cociente entre su perímetro y dos veces su radio es un valor cada vez más próximo al número π, que corresponde a dicho cociente en un polígono regular de infinitos lados. Hasta finales del XVII no había otra forma de aproximar π más que esa, por polígonos de mayor número de lados. Después se mejoró la convergencia con el análisis. 5. Cabe fijarse en el silencio que se hace en el aula al entrar el profesor y el saludo mutuo antes de comenzar la clase.   El autor (En lo que sigue, siempre que aparezca un texto en color rojo, corresponde a la opinión expresada por el autor). José María Sorando Muzás es Catedrático de Matemáticas en el IES Élaios de Zaragoza. Se licenció en Ciencias Matemáticas en la Universidad de dicha ciudad, además de disponer  del título de máster en Tecnologías de la Información Aplicadas a la Educación por la Universidad de Murcia. En 1979 obtiene plaza de Profesor Agregado de Bachillerato, dedicándose a la docencia desde entonces. Recorriendo un proceso similar al de la mayoría de profesores, comienza reproduciendo los mismos esquemas que recibió durante toda su formación, según nos cuenta en la entrevista que mantuvimos, pero pronto descubre que aquello de “obtener delta en función de épsilon en 2º de BUP” no conducía sino a desesperarse y lo que es peor, a amargar la vida a unos chavales que no acertaban a entender el porqué ni el para qué. “La obligada autocrítica me enseñó que no son mejores clases de matemáticas aquellas en las que se expone más información, sino aquellas en las que los alumnos se interesan y se apropian de su aprendizaje. Lo que no interesa no se aprende. Para conseguir captar ese interés hay múltiples recursos. A lo largo de 35 años de práctica docente he probado unos cuantos, con resultados varios; los reviso y sigo buscando nuevas ideas. Esos recursos nos permiten jugar con la sorpresa y hacer de ésta la rampa de lanzamiento de propuestas de trabajo: lecturas, trucos de magia, juegos, noticias, experiencias, publicidad, resolución de problemas en la realidad, gymkhanas matemáticas, etc. El cine es solo un recurso más, no tiene un papel dominante”. Paralelamente y con el auge de Internet, abre y mantiene una página web, Matemáticas en tu mundo, en la que incorpora y profundiza en todos esos recursos que nos comenta con un fin educativo y cultural. En el año 2004 incorpora a sus secciones una dedicada al Cine, comentando escenas de películas y proponiendo actividades relacionadas. Pero no será la última, sino que su página ha ido ampliándose de tal modo (exposiciones, blogs, enlaces, artículos, problemas propuestos y resueltos, etc.) que en la actualidad es sin duda una de las referencias obligadas en español a la hora de consultar, buscar, y lo más importante, encontrar, materiales útiles para llevar al aula diariamente. En Noviembre de 2004, se hace cargo de la sección CineMATeca de la revista SUMA (número 47), en la que a lo largo de treinta números (en el último número publicado, el 77, en noviembre de 2014, se despide de la misma) comenta aspectos matemáticos de diferentes películas y series de televisión, de acuerdo a un tema concreto (en la sección de cine de su página web están todos a disposición del lector, en este enlace). Fruto de su tenaz y edificante proceder, obtiene, entre otros, el Premio Santillana 2010 en experiencias docentes, que con seguridad no será el último, teniendo en cuenta su incansable dedicación. Diálogo con el autor 1.- En el inicio (Por qué este libro) comentas que cuando publicaste una primera propuesta de uso didáctico del cine en clase de matemáticas, fue acogida con simpatía y escepticismo. ¿Ha cambiado esa impresión con el paso del tiempo a pesar de esa multiplicación de referencias a películas en internet de la que también hablas? ¿No seguimos siendo unos “outsiders” los que defendemos este tipo de actividades? En buena medida se ha derribado la inicial oposición conceptual a utilizar en clase un recurso no convencional como es el cine. Además, al profesorado de matemáticas, en general, le gusta conocer la existencia de estas escenas. Sin embargo, la realidad es que se utilizan en muy pocos casos. Un motivo importante para ello podía ser el gran trabajo de búsqueda que exigía. Tanto esfuerzo por localizar escenas aprovechables que luego solo cubren parte de una clase parecía poco rentable para unos docentes cada día más cargados de horas lectivas y de tareas fuera del aula. Para reducir ese trabajo he escrito este libro, ofreciendo escenas clasificadas por temas y niveles, con propuestas de uso, “para llegar y usar”. 2.- Los libros de texto actuales no son como los de hace 30 años. Incluyen propuestas de lecturas sobre historia de las matemáticas, ejercicios curiosos, aplicaciones de las matemáticas a la vida real, propuestas con calculadora y ordenador, etc., y un montón de ejercicios de los de siempre, baremados en orden de dificultad (quizá eso no sea del todo buena idea: los de tres “estrellas” directamente ni los intentan). Yo nunca he impartido docencia en Secundaria pero conozco la dinámica de algunos institutos y profesores y escucho a alumnos, comprobando que “se pasa de todos estos añadidos” y se sigue una metodología, en la mayoría de los casos (hay excepciones, afortunadamente) como la que yo “disfruté” hace 40 años (profesor explica, alumnos resuelven ejercicios y consumen las horas corrigiéndolos en el encerado; el resto mira y se aburre). Pocos son los que, como en tu caso, proponen otros recursos para hacer matemáticas (prensa, fotografía, internet, anuncios publicitarios, cine, etc.) ¿Crees que sirve para algo todo ese esfuerzo? Es muy común escuchar a compañeros considerar estas iniciativas como “pérdidas de tiempo”. ¿Tienes la misma percepción que yo? Coméntanos un poco tu opinión al respecto. En absoluto son una pérdida de tiempo. La pérdida de tiempo se da, en mi experiencia, si sólo llenamos pizarras mientras unos miran por la ventana y otros al reloj. Esas experiencias diferentes rompen prejuicios contra las matemáticas, que dejan de ser vistas por los alumnos como “una marcianada”, y contribuyen a un clima de clase positivo y colaborativo. El cine, como los demás recursos tiene un alcance limitado, pero todos ellos en conjunto configuran una “didáctica impresionista”, cuyas pinceladas sueltas adquieren su sentido en conjunto, que no es otro que la apropiación del conocimiento matemático por los alumnos. Y aún queda mucho tiempo para la pizarra y para las hojas de ejercicios que, por supuesto, seguimos haciendo, aunque con mejor cara. 3.- ¿Cómo es tu experiencia con alumnos respecto al uso de escenas de cine y actividades como las planteadas en el libro? ¿Les motiva? ¿Aprenden? Descríbenos brevemente la metodología que empleas con los alumnos. Cada curso y cada grupo de clase tienen sus características. No existe la receta universal. Lo que funciona en 1º B porque se ha conseguido una buena sintonía de trabajo en un ambiente relajado, tal vez no funcione en 1º C por problemas en la dinámica del grupo. En el presente curso académico imparto clases en 1º ESO y en 2º Bachillerato. En 1º ESO, al terminar cada tema (lo que viene a ser cada 3 semanas), vemos 2 escenas relacionadas con los contenidos estudiados. Les planteo preguntas de viva voz y hacemos una especie de forum matemático. Una vez que damos por buena la respuesta más depurada, volvemos a ver cada escena. El principal problema es ordenar el debate, pues a los pequeños les cuesta controlar su espontaneidad y las ganas de participar. Ello ocupa unos 20 ó 25 minutos. En 2º Bachillerato hago algo similar a lo anterior, aunque al término de cada uno de los tres bloques del currículo, con 4 escenas cada vez. Previamente, les he dado los diálogos en una fotocopia para que preparen las cuestiones la víspera. En clase vemos las escenas y exponen las soluciones que traen pensadas. Dedicamos una clase entera (3 en todo el curso). ¿Aprenden? No menos que con ejercicios del libro y, por el interés mostrado, pienso que algo más. Sobre todo, aprenden a decodificar al lenguaje matemático situaciones de diferentes contextos, algo en lo que cada vez inciden más los documentos oficiales (empezando por el venerado Informe PISA), aunque se pongan tan pocos medios para ello. 4.- ¿Ha habido alguna escena, película o documental que te haya llamado especialmente la atención, que te haya sorprendido en algún sentido, tanto positiva como negativamente? Las escenas que llevo al aula las he seleccionado previamente, pero la sorpresa viene a veces por la desigual acogida que reciben, dado que no siempre alumnos y profesores compartimos las claves del humor o de la oportunidad. Trabajar con gente joven te obliga a estar en continua actualización en cuanto a códigos sociales. En general, entre el alumnado reciben mejor aceptación las teleseries que el cine, cuyos títulos de no hace muchos años ven ya como algo antiguo (no digamos si son en blanco y negro)… aunque ahí tenemos también una pequeña oportunidad de contribuir a su alfabetización audiovisual. Y debo decir que estas experiencias y mis comentarios cinéfilo-matemáticos producen algún seguimiento fuera del aula: alumnos y familias que por esos comentarios se han descargado la serie Numb3rs o van a ver The Imitation Game. 5.- La única película que, en el libro comentas, propondrías para ver íntegra es “La habitación de Fermat”. Ciertamente la dificultad para ver en horario de clase una película íntegra es grande (verla a trozos, compaginar con otro profesor interesado en tema del que la película también trate, etc). No obstante, ¿crees que, desde el punto de vista de las matemáticas, ninguna otra película no documental no merece la pena verse íntegra? ¿Consideras que el cine no trata a las matemáticas y los matemáticos (científicos en general) como se merece? Solo propondría la visión íntegra de otras dos películas. En ambas las matemáticas son instrumento de superación personal para ir más allá de las limitaciones impuestas por el entorno social. Me refiero a Lecciones inolvidables (Stand & Deliver) y a Cielo de Octubre. Pero, dado que su núcleo central es la educación en valores, me ha parecido más adecuada su visión en las sesiones de tutoría, pues, salvo en alguna escena, lo matemático está al fondo. Sin embargo, La habitación de Fermat permite una continuada resolución de problemas. Otras películas pueden ser interesantes, pero no tanto como para dedicarles un par de clases. Reitero que el cine solo es una pincelada más en “el cuadro” y gestionar bien el limitado tiempo de clase es complicado. 6.- Las actividades que propones a propósito de las escenas son más bien breves y de respuesta rápida (la mayoría dos o tres cuestiones). ¿Obedece a alguna cuestión didáctica que consideras buena, o es simple casualidad? Lo digo porque matemáticamente, en algunas propuestas, se podría profundizar o añadir más cuestiones interesantes, sin salirse del nivel de Secundaria (saliéndonos, mucho más, claro). Tenemos la tendencia a incorporar las innovaciones “además de” y no “en vez de”, de modo que hacemos lo de antes y además lo nuevo, lo cual pronto resulta inviable. Por eso me gustan las propuestas breves, que por ello sean asumidas sin reparos y que, al crear experiencias positivas siembren el convencimiento de que merece la pena explorar en clase otras situaciones didácticas no tradicionales. Por otra parte, las cuestiones planteadas son, según mi experiencia, las abordables por el alumnado medio de cada nivel. Por supuesto que es posible un aprovechamiento matemáticamente más rico de cada escena, pero ese camino tal vez me alejaba del sentido práctico que he querido dar al libro. He preferido aportar muchas escenas con un enfoque que consideré realista que pocas escenas aprovechadas a fondo. 7.- ¿Deseas añadir alguna otra cosa, algún comentario que consideréis oportuno o que te apetezca? Reiterar algo ya escrito en el libro: Espero que esta propuesta sea tan solo un punto de partida para quienes tras su lectura decidan llevar el cine al aula, que la adapten, la amplíen y la mejoren con esa creatividad que adorna a los buenos profesores.   Nota Final Agradecemos una vez más a José María su amable atención a la hora de atendernos y su colaboración. Esperamos que estas líneas hayan servido para dar una idea del contenido de este recomendable libro, que puede adquirirse en el Servicio de Publicaciones de la FESPM a través del formulario disponible en este enlace.

Miércoles, 04 de Marzo de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

468. 125. (Marzo 2015) Las gemelas Klondike

En nuestra entrega de diciembre de 2014 presentábamos un nuevo tipo de mezcla con cartas, la mezcla Klondike, también llamada mezcla Alfa (en español) y Milk shuffle (en inglés, seguramente debido al efecto de ordeñar la baraja que simula esta mezcla). Recordamos que la mezcla consiste en tomar juntas la carta superior y la carta inferior y dejarlas sobre la mesa para, a continuación, repetir el proceso con las cartas restantes. No se conoce bien el origen de esta mezcla pero un método para hacer trampas en los juegos de cartas en el que se aplica esta mezcla aparece explicado en el libro de autor anónimo "The Whole Art and Mystery of Modern Gaming Fully Expos'd and Detected", publicado en 1726 y digitalizado en 2009 por Google. Como mezclar una baraja consiste precisamente en realizar una permutación del conjunto cuyos elementos son las cartas de la baraja, describir una mezcla equivale a definir la función correspondiente. Por ejemplo, dado el conjunto de diez cartas en el orden 0 -1 -2 - ... - 9 - 10, después de una mezcla Klondike el orden de las cartas es 4 - 5 - 3 - 6 - 2 - 7 - 1 - 8 - 0 - 9. En general, si tenemos una baraja de 2N cartas, que llamaremos , la mezcla Klondike es la aplicación definida por K(n) = 2n - 2N + 1, si n ≥ N, K(n) = 2N - 2n - 2, si n < N. En el capítulo 6 del libro "Magical mathematics: the mathematical ideas that animate great magic tricks", de Persi Diaconis y Ron Graham, se descubren algunas propiedades interesantes de esta mezcla, en relación con otras mezclas matemáticas. Por ejemplo: La mezcla Klondike y un tipo de mezcla Monge son inversas, es decir, si realizamos una mezcla Klondike y, a continuación, una mezcla Monge, todas las cartas vuelven a su posición inicial. Si se realiza una mezcla Faro, la posición que ocupa la mitad inferior de la baraja es la misma que ocuparían si se realiza una mezcla Klondike. Terminaremos con la descripción de un juego matemático contenido en el libro "The very best of Dai Vernon", traducido al francés por Richard Vollmer, que tiene relación con la mezcla Klondike. El juego original, de Alex Elmsley, se realizaba con la mezcla Faro pero Herb Zarrow mostró que el principio funcionaba con la mezcla Klondike y Dai Vernon construyó esta rutina. La versión que describe Richard Vollmer necesita que la baraja tenga 51 ó 53 cartas, lo que no me gusta demasiado. Así que la cambiaré ligeramente para que se utilice la baraja completa. Entregas la baraja a un espectador para que la mezcle. Cuando te la devuelve, la abres en abanico, caras hacia ti, y cuentas disimuladamente 25 cartas y recuerdas la siguiente. Sigues hojeando las cartas para buscar la carta gemela de la anterior, la cual sacas sin mostrar y la dejas sobre la mesa cara abajo indicando que se trata de una predicción. Si dicha carta está en la mitad inferior del paquete, debes pasar una carta de arriba abajo. Si tienes la habilidad suficiente, cortas por la mitad, miras la carta inferior del paquete superior y vuelves a colocar el paquete superior sobre el inferior. Luego ya puedes extender la baraja y buscar la carta gemela como indico anteriormente. En definitiva, hay una carta sobre la mesa y su carta gemela está exactamente en el centro de la baraja ocupando el lugar 25 tanto desde arriba como desde abajo. Recoges la baraja con el dedo pulgar en el canto estrecho inferior y el dedo medio en el canto estrecho superior y vas sacando cartas desde la parte inferior de la baraja, dejándolas en un montón sobre la mesa. Pides al espectador que te detenga cuando quiera, pero haz que sea un poco antes de la mitad de la baraja (entre 10 y 20 cartas está bien). Ahora formas un nuevo montón sobre la mesa repartiendo cartas de dos en dos, como en una mezcla Klondike, sacando simultáneamente una de arriba y una de abajo. Vuelves a pedir al espectador que te detenga en el momento que desee, pero después de haber repartido casi todas las cartas (pueden quedar hasta 10 cartas sin repartir). A continuación deja el resto de las cartas sobre el montón recién formado. Pide al espectador que cuente el número de cartas del primer montón y que retire del segundo montón, desde la parte superior, el mismo número de cartas. Giras ahora la primera carta del paquete restante y la carta de la predicción inicial. Resulta que las cartas son gemelas. ¿Cuál es el fundamento de este principio? Antes de los repartos, tenemos la baraja dividida en tres partes: la parte superior con 25 cartas, la carta C gemela a la que está oculta sobre la mesa y la parte inferior con 25 cartas. Después de repartir X cartas, la parte inferior tiene ahora 25 – X cartas. El reparto tipo Klondike hace que se repartan 25 – X cartas de la parte superior y 25 – X cartas de la parte inferior, las cuales quedarán bajo la carta C. Así pues, sobre dicha carta habrá exactamente X cartas. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Domingo, 01 de Marzo de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

469. 90. (Febrero 2015) Derivada de LAPS/équipe du matin

Dérivée –Derivada– es una pieza de teatro forum a cargo de la compañía LAPS/équipe du matin y centrada en el tema de las mujeres, las ciencias y las técnicas. Intenta analizar y desterrar los estereotipos ligados a estos temas. Basada en testimonios de varias mujeres matemáticas recogidos por la asociación Femmes & Mathématiques, Dérivée cuenta la historia de Alice, una alumna de Terminale –el último año de educación secundaria–, buena en matemáticas, pero que  empieza a dudar de sus capacidades y de lo que quiere hacer de su futuro. La obra intenta hacer reflexionar sobre esos ‘comentarios’ aparentemente inocentes, sobre esas pequeñas observaciones –en el seno de la familia, de la escuela, de los colegas, etc.–, que provocan esas dudas y bloqueos en muchas adolescentes: están en un momento de su vida en el que son muy vulnerables, en el que intentan construir su personalidad, y los estereotipos les afectan sin que sean muy conscientes de ello. En una primera parte de Dérivée –de unos 40 minutos–, de manera distendida y divertida, Alice, Bob y Ève se encuentran en el aula, intentando preparar un examen de matemáticas. Allí surgen los conflictos y las diferencias entre ellos. En una segunda parte –de unos 45 minutos–, tras la actuación, llega la improvisación. Se pregunta a las y los espectadores –está dirigido a alumnado de enseñanza secundaria, a sus madres y padres y a su profesorado–  que opinen sobre lo acontecido en escena y sobre su reacción ante alguno de los conflictos y situaciones planteadas. Junto a las actrices y actores, se invita al auditorio a que improvise reacciones o soluciones a los problemas expuestos. Entre otros, salen a relucir en esta última parte las siguientes cuestiones: los estereotipos sobre las mujeres y sus estudios y oficios científicos y técnicos, la orientación a la hora de decidir, la proyección sobre la vida personal, el conocimiento de los oficios, los criterios sobre los que se basan las elecciones de estudios o profesiones, el éxito o el fracaso escolar, la relación con las calificaciones, la presión, la motivación, el diálogo madres/padres-hijas/hijos y docentes-alumnado, la imagen de una misma, la afirmación de la personalidad y de las ambiciones, las relaciones chicas-chicos: amistad, amorosas, colegas en la escuela, etc. Sin duda, esta propuesta puede ayudar a reflexionar a jóvenes y las personas que les influyen en cómo lo ‘sutil’ es a veces tan demoledor a la hora de decantarse por estudios o profesiones científico-técnicas… sobre todo en el caso de las chicas.

Jueves, 26 de Febrero de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

470. 65. (Febrero2015) Otras armonías son posibles (I)

1. Introducción Gracias al acertado consejo de un buen amigo, recientemente cayó en mis manos el excelente libro Other harmony (beyond tonal and atonal) [Joh14a], escrito por el compositor Tom Johnson. En este libro se examinan, desde un punto divulgativo pero riguroso, varios sistemas de armonía musical, algunos de los cuales tienen principios matemáticos. Entre estos sistemas se encuentran la armonía tonal, la armonía atonal y lo que el autor llama muy provocativamente Otras Armonías. Las mayúsculas son correctas (Other Harmony en el original), en efecto, y nosotros mantendremos esa provocación en este artículo. Por armonía atonal, Johnson se refiere a la armonía que rechaza las jerarquías tonales y la prominencia de un tono particular, pero que todavía usa el concepto de tono; dentro de esta categoría estaría, por ejemplo, el dodecafonismo. Una fuerza vigorosa dentro de la música occidental ha sido siempre la superación del sistema armónico en curso. Nuevas reglas permitieron que lo que antes eran disonancias o progresiones prohibidas ahora se usen con total naturalidad. Ese empuje llevó la armonía tonal a su límite a principios del siglo XX. En ese tiempo la superación de la armonía tonal clásica era en muchos casos una elección estética inevitable. Sin embargo, como ilustra Johnson en su libro, las formas en que los compositores superaron la armonía tonal fueron extraordinariamente variadas. Muchas de ellas son desconocidas, bien porque no tuvieron éxito entre los compositores, o bien porque otras sistemas compositivos les hicieron sombra y cayeron en el olvido. En el libro de Johnson se rescatan algunos de esos sistemas compositivos. La serie de cuatro artículos de los próximos meses será una recensión crítica de Other Harmony. En la figura de abajo, se muestra el índice de contenidos del libro, el cual nos da una idea de cuál es el camino que ha seguido Johnson es su particular andadura por la armonía no convencional, por las Otras Armonías (esta figura y otras que aparecerán en los artículos han sido tomadas de la página web de la editorial  [Joh14b], donde se entiende que son de libre disposición siempre y cuando se cite la fuente). Johnson explora muchos sistemas armónicos que no pertenecen a los reinos clásicos de la tonalidad y la atonalidad, sino a las tierras disconformes y heterodoxas de la Otra Armonía. Algunos de estos últimos sistemas, como veremos, no calaron en la práctica compositiva; unos pocos —el ejemplo más notable es el de Messian — sí tuvieron repercusión musical y se incorporaron a las prácticas compositivas modernas. Figura 1: Índice de contenidos del libro Other Harmony [Joh14b] En este primer artículo explicaremos la armonía tonal para el lector sin una fuerte formación musical. Para este lector recomendamos el libro Armonía [PMA12], de Walter Piston, el cual presenta la armonía de una manera muy gradual y didáctica, con un buen número de ejercicios; otras referencias a tener en cuenta son [KP12, ASC10] Entendemos que para el lector músico o con una fuerte formación musical esta sección no tiene más que un interés divulgativo. Si lo considera necesario, puede saltársela. Dentro de la sección de armonía tonal presentaremos algunos modelos matemáticos que en especial permitirán una visualización geométrica de las relaciones armónicas. Con ello cerraremos el artículo de este mes. 2. Armonía tonal En esta sección seguiremos básicamente la exposición del libro de Piston [PMA12]. Pondremos en negrita aquellos términos que constituyan una definición. La armonía, definida de una manera eminentemente práctica, es el estudio de los acordes —el uso de dos o más notas simultáneamente— , su construcción, el enlace entre ellos y sus progresiones. La armonía de la tradición clásica occidental está basada fundamentalmente en las propiedades acústicas del sonido. Todo empieza con el concepto de intervalo. Un intervalo son dos sonidos. Si suenan a la vez, hablamos de intervalo armónico y si suenan una tras el otro, de intervalo melódico; véase la figura 2. Figura 2: Intervalos melódicos y armónicos Las notas que forman los intervalos se extraen de las escalas. Las escalas son distribuciones de notas. Hay muchos tipos de escalas (véase [Slo47] como ejemplo sobresaliente de recopilación). Las que se usan en la tradición clásica occidental son principalmente escalas diatónicas, formadas por la combinación de tonos y semitonos. Las dos principales escalas son la escala mayor y la escala menor. En la figura de abajo se muestran ejemplos de varias escalas. Las escalas diatónicas están formadas por siete notas y cada una de esas notas recibe el nombre de grado. Los grados tienen nombres especiales: Tónica o nota de la escala. Cuando decimos escala de do mayor indicamos que la nota tónica es do. Supertónica o nota siguiente a la tónica. Mediante o tercer grado de la escala. Subdominante o cuarto grado. Dominante o quinto grado. Submediante o sexto grado. Sensible o séptimo grado. El nombre de sensible se aplica cuando la distancia entre la tónica en la siguiente octava y esta nota es de medio tono. Si es de un tono entero, se habla de séptimo grado. Los grados más importantes en la armonía clásica son la tónica, la dominante y la subdominante. Dado que los acordes están formados por sonidos tocados simultáneamente, necesitamos clasificar los intervalos armónicos. Fijemos una escala mayor cualquiera y comparémosla con la correspondiente escala menor. Los intervalos comunes a ambas escalas son el unísono, la cuarta, la quinta y la octava. Estos intervalos se llaman justos. El resto de los intervalos de la escala mayor son intervalos mayores y son la segunda, la tercera, la sexta y la séptima. En el caso de la escala menor, estos intervalos son menores. Cuando a uno de los intervalos anteriores se le baja medio tono a la nota más grave, o bien se le sube medio tono a la nota más aguda, tenemos un intervalo aumentado. Si ahora se sube medio tono la nota más grave o se baja medio tono la más aguda, tenemos un intervalo disminuido. La figura de abajo contiene una tabla con la clasificación de los intervalos (m= menor, M= mayor, J=justo, A=aumentado, d=disminuido). Figura 3: Clasificación de los intervalos (figura tomada de [Wik15]) Como dijimos más arriba, un acorde se forma por dos o más sonidos que se producen simultáneamente. El acorde más común es la triada o acorde de tres notas. Las triadas se forman encadenando intervalos de tercera sobre la nota base del acorde. Según el tipo de terceras implicadas en la formación de la triada tenemos los siguientes tipos de acordes: Triada mayor, formada por una tercera mayor seguida de una tercera menor; Triada menor, formada por una tercera menor seguida de una tercera mayor; Triada aumentada, formada por dos terceras mayores consecutivas; Triada disminuida, formada por dos terceras menores consecutivas. Véase la figura 2 para ejemplos de estos tipos de triadas. Las notas de los acordes pueden variar en su disposición y entonces hablamos de las inversiones del acorde. Si la primera nota del acorde es la más grave, el acorde está en estado fundamental; si la tercera del acorde es la nota más grave, el acorde está en primera inversión; y, por último, si la quinta del acorde es la nota más grave, entonces el acorde está en segunda inversión. En la figura 4 vemos un acorde y sus inversiones. Figura 4: Un acorde y sus inversiones La armonía clásica occidental se ha basado en el concepto de consonancia y disonancia. Tales conceptos se aplican a la clasificación de los intervalos. Se consideran consonantes los intervalos justos, las terceras y las sextas (sean estas dos últimas mayores o menores). Las segundas, las séptimas, los intervalos disminuidos y aumentados se consideran disonantes. Como excepción, la cuarta justa es disonante si está sola y es consonante si tiene hay una tercera o una quinta justa por debajo de ella. Piston [PMA12], en la página 14, dice que “la cualidad esencial de la disonancia es su sentido del movimiento y no, como a veces se cree erróneamente, su nivel de desagrado al oído”. Las progresiones de acordes que se encuentran en la música tonal occidental son las que aparecen en la lista de abajo (tomadas de nuevo de [PMA12]). Téngase en cuenta que estas progresiones son producto de la observación de la práctica compositiva y no un conjunto de reglas establecidas a priori. Esta lista produce una clasificación de las progresiones en frecuentes, menos frecuentes y poco frecuentes (se sigue del orden de presentación en la lista). Al grado I le sigue el V o el IV; a veces el VI; y con menos frecuencia el II o el III. Al grado II le sigue el V; a veces el VI o el IV; y con menos frecuencia el I o el III. Al grado III le sigue el VI; a veces el IV; y con menos frecuencia el I, el II o el V. Al grado IV le sigue el V; a veces el I o el II; y con menos frecuencia el III o el VI. Al grado V le sigue el I; a veces el IV o el VI; y con menos frecuencia el II o el III. Al grado VI le sigue el II o el V; a veces el III o el IV; y con menos frecuencia el I. Al grado VII le sigue el I o el III; a veces el VI; y con menos frecuencia el II, el IV o el V. La lista anterior da lugar a un grafo de relaciones entre los acordes tal y como se muestra en la figura 5. Las líneas gruesas muestran las progresiones frecuentes; las líneas discontinuas corresponden a las progresiones menos frecuentes; las progresiones poco frecuentes no se muestran por claridad del dibujo. Figura 5: Grafo de las progresiones de acordes Este grafo nos ilustra el concepto de función tonal. Vemos que el grado V, la dominante, es la manera más frecuente de acabar en la tónica (el grado VII sobre la nota sensible se suele interpretar como una forma de dominante), seguido en menor medida por la subdominante. Estos tres grados son los más importantes y con los que se establece el polo tonal en una pieza musical en el periodo de la práctica común (término habitual para referirse a la música clásica entre 1600 y 1900 aproximadamente). En la definición dada al principio de la sección señalamos que la armonía estudia la forma en que los acordes se enlazan entre ellos. No solo es importante qué acorde va después de otro, sino cómo se pasa de uno a otro. Este proceso se llama conducción de voces. En esta breve introducción a la armonía tonal, por falta de espacio, no entraremos a describirla, pero el lector interesado puede consultar las referencias [PMA12, KP12, ASC10]. Los triadas consonantes se pueden volver disonantes cuando se les añade una nota más. Esa nota es con frecuencia una séptima, pero también se encuentran otras notas como la novena, la once o la trece, especialmente cuando avanzamos en el tiempo en el periodo de la práctica común. Los acordes disonantes tienen que resolverse en acordes consonantes y recuperar con ello el equilibrio entre las tensión —producida por las disonancias— y la relajación —proporcionada por la consonancia—. También es normal en la armonía tonal el cambio de tono. Tal proceso se llama modulación. Por ejemplo, es normal que en una sonata haya modulaciones a otros tonos. Los tonos a los que se modulan habitualmente son los tonos vecinos o los menores relativos. La relación de vecindad de la que hablamos tiene que ver con el número de notas comunes que tienen las escalas de los tonos implicados. Por ejemplo, si estamos en do mayor, la escala de la menor tiene las mismas notas, y por ello encontramos en la práctica común modulaciones al tono menor (aparte de cambios de modo). Si seguimos en do mayor, las tonalidades de sol mayor y fa mayor comparten las mismas notas salvo uno. El cambio entre do mayor y estas tonalidades es más suave que en el caso de otras tal como fa sostenido mayor. La figura 6 muestra el clásico círculo de quintas en que se muestran estas relaciones de vecindad tonal. Figura 6: Círculo de quintas (figura tomada de [Alm14]) Para el lector que quiera profundizar más, recomendamos las referencias  [PMA12, KP12, ASC10] así como el mapa conceptual de [YK15]. 3. Visualización del sistema tonal La idea de representar el sistema tonal de una manera gráfica y concisa ha suscitado interés en músicos y matemáticos desde siempre. Euler, por ejemplo, propuso un modelo en el plano en que las terceras se colocan en el eje y y las quintas en el eje x, tal y como se ve en la figura 7. Figura 7: Modelo bidimensional del sistema tonal de Euler (figura tomada de [Joh14a]) En su libro A geometry of music, Dmitri Tymoczko [Tym11] ofrece una visualización más elaborada que comprende no solo el sistema tonal clásico sino la práctica común extendida (esto es, sistemas armónicos más complejos). Johnson, basándose en las ideas de Tymoczko, ofrece el siguiente diagrama del sistema tonal. Aquí cada tono tiene tres vecinos y las tonalidades (mayores y menores) se disponen en forma hexagonal. Los vecinos son tres: la diagonal derecha, la izquierda y el vecino situado en la vertical. Por ejemplo, si tomamos do mayor, tiene su tono relativo menor en la diagonal derecha, la tonalidad menor en la diagonal izquierda y abajo la tercera menor (mi menor en este caso). Si el vecino en la vertical está arriba, es una tercera menor ascendente y si el vecino está abajo es una tercera menor descendente. Figura 8: Visualización del sistema tonal El libro de Johson también glosa brevemente otros modelos de visualización del sistema tonal, en particular, el de Mazzola [Maz02], que usa un toro. La visualización de la armonía de una pieza de música por vía de programas de ordenador es una realidad desde hace tiempo. Un programa que visualiza muy bien la armonía de una pieza, sobre todo si es tonal, es Mapping Tonal Harmony [?]; véase una captura de pantalla en la figura siguiente. Figura 9: El sistema Mapping Tonal Harmony Otro sistema, más propio para conocedores de la armonía en profundidad, es ChordGeometries, también de Tymoczko [Tym15], donde se muestra la evolución de la armonía de una pieza sobre un círculo. Bibliografía [Alm14] M. Almendralejo. Modulaciones diatónica y cromática. https://aulavirtualmtardio.wordpress.com/2013/11/28/modulaciones-diatonica-y-cromatica/, 2014. [ASC10] E. Aldwell, C. Schachter, and A. Cadwallader. Harmony and Voice Leading. Cengage Learning, 2010. [Joh14a] Tom Johnson. Other harmony. 75 Editions, 2014. [Joh14b] Tom Johnson. Other harmony. http://oh.editions75.com, 2014. [KP12] S. Kostka and D. Payne. Tonal Harmony. McGraw-Hill, 2012. [Maz02] G. Mazzola. The Topos of Music. Birkhäuser Basel, 2002. [PMA12] W. Piston and J. L. Milán Amat. Armonía. Mundimusica, 2012. [Slo47] N. Slonimsky. Thesaurus of scales and melodic patterns. Charles Scribner’s Sons, 1947. [Tym11] D. Tymoczko. A Geometry of Music: Harmony and Counterpoint in the Extended Common Practice. Oxford University Press, 2011. [Tym15] D. Tymoczko. Chordgeometries. http://dmitri.tymoczko.com/ChordGeometries.html, consultada en enero de 2015. [Wik15] Wikipedia. Intervalo musical. http://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo_%28m%C3%BAsica%29, consultada en enero de 2015. [YK15] YK. Analyzing harmony. http://www.mindomo.com/mindmap/analyzing-harmony-6c33195ff154442ea3619565cba64afa, consultada en enero de 2015.

Viernes, 20 de Febrero de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico