441. 130. (Septiembre 2015) SOLUCIÓN CONCURSO DEL VERANO 2015: Mix mezclado

A la vuelta del verano y como de costumbre, vamos a explicar el juego que describimos en la entrega anterior, relativo a las propiedades de algunos tipos de mezclas de cartas. Recordemos que el juego consiste en realizar dos mezclas distintas de forma consecutiva a dos grupos de cartas para conseguir que todas las cartas vuelvan a su orden inicial. Una de ellas es la mezcla Klondike, la cual, como cualquier mezcla, consiste en una permutación del conjunto de cartas, es decir, se trata de una aplicación del conjunto de cartas en sí mismo de modo que sólo altera el orden. El resultado de la permutación se describe en las fórmulas siguientes, según que el número de cartas sea par o impar. K(1, 2, ..., 2n-1, 2n) = (n, n+1, n-1, n+2, n-2, ..., 2, 2n-1, 1, 2n); K(1, 2, ..., 2n-1) = (n, n-1, n+1, n-2, n+2, ..., 2, 2n-2, 1, 2n-1). [Con esta forma de escribir, simplemente queremos indicar que, si las cartas están inicialmente en el orden 1, 2, ..., 2n-1, 2n, después de la mezcla Klondike quedan en el orden n, n+1, n-1, n+2, n-2, ..., 2, 2n-1, 1, 2n y de forma similar cuando el número de cartas es impar.] Las siguientes fórmulas son las correspondientes a la mezcla Monge, donde distinguimos también los casos en que el número de cartas es par o impar: M(1, 2, ..., 2n-1, 2n) = (2n, 2n-2, 2n-4, ..., 2, 1, 3, ..., 2n-3, 2n-1); M(1, 2, ..., 2n-1) = (2n-2, 2n-4, ..., 2, 1, 3, ..., 2n-3, 2n-1). Realizar de forma consecutiva una mezcla Klondike y, a continuación, una mezcla Monge consiste en lo que, en Matemáticas, se llama la composición de las dos aplicaciones. Así que el orden final en que han quedado las cartas después de la primera mezcla se convierte en el orden inicial antes de realizar la segunda mezcla. El resultado de la composición obedece a las fórmulas siguientes, otra vez según que el número de cartas sea par o impar: M(K(1, 2, ..., 2n-1, 2n)) = (2n, 2n-1, 2n-2, ..., 2, 1); M(K(1, 2, ..., 2n-1)) = (1, 2, 3, ..., 2n-2, 2n-1). ¡Ya hemos encontrado la propiedad que buscábamos! Con un número par de cartas, la secuencia mezcla Klondike-mezcla Monge invierte el orden inicial de las cartas; con un número impar de cartas, la misma secuencia de mezclas vuelve todas las cartas a su posición inicial. Esta es la propiedad que citábamos en el número 125 de nuestro rincón (marzo de 2015) y la que da origen al juego, de título Teamwork, como aparece en el libro "Ear Marked" de Werner Miller, no sólo gran conocedor de las propiedades de estas mezclas sino experto en crear juegos de magia utilizando estas propiedades como base. Recordemos ahora la descripción que hacíamos del juego en la entrega anterior. Busca en la baraja las trece cartas de un mismo palo y ordénalas de menor a mayor para formar un paquete. Con las cartas en la mano, dorsos hacia arriba, reparte sobre la mesa, de una en una, hasta formar un pequeño montón. No importa el tamaño. Con las cartas que te quedan en la mano, haz una mezcla Klondike y, a continuación, una mezcla Monge. Realiza la misma operación con las cartas de la mesa: primero una mezcla Klondike y luego una mezcla Monge. Seguro que uno de los montones contiene un número par de cartas. ¡A que sí! Coloca ese montón sobre el otro. Adivina lo que ha pasado: ¡las cartas vuelven a estar ordenadas! Los detalles que permiten aplicar las propiedades que hemos descubierto son los siguientes: En primer lugar, la descomposición del número impar 13 en dos sumandos produce inevitablemente un número par y un número impar (claro, la suma de dos números pares es par y la suma de dos números impares también es par). Al repartir sobre la mesa un grupo de cartas, de una en una, se invierte el orden de dicho grupo. La combinación de mezclas Klondike-Monge invierte el orden del paquete que tiene un número par de cartas pero deja inalterado el orden del paquete que tiene un número impar de cartas. Al recomponer el paquete par sobre el impar, se devuelve el orden inicial de todo el paquete. ¡No, espera! A simple vista es así, pero la mitad de las veces las cartas han pasado a estar ordenadas de mayor a menor. Esto ocurrirá cuando se reparte sobre la mesa un número impar de cartas. La solución ya no es matemática sino de percepción: al ver las cartas en orden, casi nadie advierte que ahora el orden es inverso. Siempre esperamos vuestra participación en estos concursos, principalmente para sentir que hay alguien al otro lado de la pantalla del ordenador pero no parece que el verano sea época propicia para ello. Sin embargo, agradecemos a nuestro fiel concursante Roberto Camponovo su dedicación al problema y su respuesta correcta y bien documentada. Observaciones finales. Queríamos buscar también una forma entretenida de presentar el juego ante el público. Lo que propone Werner Miller en su libro me parece lo más adecuado: uno de los paquetes se entrega al mago y el otro al espectador. El mago realiza las mezclas y el espectador imita sus movimientos. Durante el proceso, el mago cuenta sus cartas y, si tiene un número par, entrega su paquete para que el espectador lo coloque sobre el suyo; si tiene un número impar, pide al espectador su paquete y lo coloca sobre el suyo. Al final, todas las cartas, a pesar de ser manejadas por dos personas distintas, han vuelto a su orden inicial. Está claro que el juego funciona exactamente igual con otra cantidad de cartas, siempre que sea impar. ¿Y si fuera par? Pues también funcionará con pequeñas modificaciones. Una de ellas es que no se reparten sobre la mesa un grupo de cartas sino que se corta el paquete en dos montones. Así ambos tendrán un número par de cartas o ambos tendrán un número impar de cartas. La combinación mezcla Klondike-mezcla Monge deja el orden inicial en ambos montones si son impares o invierte el orden en los dos montones si son pares. Sólo hay que recomponer adecuadamente los dos montones para que todas las cartas vuelvan a su orden inicial. Si tenemos un poco de curiosidad matemática, quizá nos preguntamos qué pasa si se realizan las mezclas en el orden inverso, es decir si primero hacemos una mezcla Monge y luego una mezcla Klondike. Las fórmulas que se obtienen son las siguientes: K(M(1, 2, ..., 2n-1, 2n)) = (2, 1, 4, 3, 6, 5, ..., 2n, 2n-1); K(M(1, 2, ..., 2n-1)) = (1, 2, 3, ..., 2n-2, 2n-1). Descubrimos que, con un número impar de cartas, el orden en que se realizan las mezclas es indiferente. En matemáticas se dice que la composición de estas dos aplicaciones es conmutativa. Sin embargo, la propiedad conmutativa no se cumple con un número par de cartas. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Miércoles, 02 de Septiembre de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

442. 69. (Julio 2015) Teoría matemática de la música

1. Introducción Históricamente, la teoría de la música en Occidente ha sido desarrollada por músicos y desde la propia música. Uno podría pensar: ¿por quién si no? En cualquier periodo de la historia de la música Occidental que observemos, desde la Edad Media a nuestros días, encontraremos muchos teóricos de la música y con muy diversos enfoques. En general, su misión es la de describir, codificar, explicar y proponer nuevos modos de escribir, pensar y componer la música. Entre las cuestiones más importantes a las que se han dedicado los teóricos de la música se cuentan la clasificación de los intervalos, los sistemas de afinación, la definición de los modos, la conducción de voces, la teoría de la consonancia y la disonancia, la clasificación de los acordes, la organización rítmica y métrica, la organización melódica, la orquestación y la psicoacústica, por citar unas cuantas. Hasta el final del siglo XIX esta situación se mantuvo intacta. Sin embargo, la psicología se consolidó como disciplina científica y desde entonces hasta el presente tomó como objeto el estudio de la percepción y la cognición musicales. Se estudiaron a fondo los procesos de percepción del sonido a nivel físico así como el papel de la enculturación en la percepción musical. Por ejemplo, por mucho que nos parezca natural, la clasificación de los intervalos en consonantes y disonantes que conocemos en la música occidental no es ni mucho un universal musical y los percibimos así en buena parte por la exposición a esa música a la que hemos sido sometidos. En suma, podemos decir que una nota es nuestra experiencia de un sonido. La música es un rico entramado de múltiples elementos, en que abundan las estructuras complejas y aparecen patrones repetidamente. Las matemáticas, por otra parte, son el estudio de la cantidad, la estructura, el espacio y el cambio [Wik15]. Indudable e inexorablemente, los matemáticos acabarían por estudiar la música de un modo sistemático. Así surge la teoría matemática de la música. Cierto es que en las últimas décadas esta disciplina ha cogido mucha fuerza, pero ya desde los griegos se estudió la música desde un punto de vista matemático (Pitágoras usó las proporciones para construir sistemas de afinación). El objeto de este artículo es ilustrar el papel de la teoría matemática de la música en la moderna teoría de la música. 2. ¿Por qué una teoría matemática de la música? La teoría matemática de la música usa estructuras y técnicas matemáticas para analizar obras musicales, para estudiar, caracterizar y reconstruir objetos musicales, y finalmente como fuente de inspiración para la composición musical. Esta es una definición que dio Thomas Fiore [Fio11] en 2011 y que resume concisa y adecuadamente el objeto de la teoría matemática de la música. Hay varios matemáticos y músicos que han dedicado sus esfuerzos de investigación a la teoría matemática de la música (las cursivas no son un error). Déjenos el lector nombrar unos cuantos, quizás los más importantes del panorama en las tres últimas décadas. Uno de los pioneros de la moderna teoría matemática de la música es Guerino Mazzola. Este matemático y músico de free jazz escribió un libro, The Topos of Music, Geometric Logic of Concepts, Theory, and Performance [Maz02], donde aplica la teoría de categorías y álgebra abstracta a múltiples aspectos de la música, desde la misma ontología hasta la modelización de ritmo, melodía, armonía, orquestación e interpretación sin olvidar la creación de una musicología computacional. La obra de Mazzola tiene un carácter enciclopédico y fundacional y en ella encontramos mucha matemática moderna aplicada al análisis y la composición musicales. Posee un apéndice que contiene los fundamentos matemáticos para entender la obra. Estos incluyen teoría de conjuntos, teoría de grupos (de monoides a grupos abelianos), teoría de anillos, el algoritmo de Euclides, teoría de módulos, teoría de categorías, geometría algebraica, lógica, topología —en especial topología algebraica— y finalmente cálculo y ecuaciones diferenciales ordinarias. Como se puede apreciar, estas no son matemáticas triviales ni mucho menos. David Lewin es otra figura importante en la teoría matemática de la música. Su pensamiento musical no está expuesto en una obra principal, al estilo de Mazzola, sino que está repartido a lo largo de los múltiples artículos que escribió en sus 69 años de vida (murió en 2003). Sin embargo, es en su Generalized Musical Intervals and Transformations [Lew87] donde expone lo esencial de su teoría transformacional de la música. Esta teoría estudia en particular cómo se produce la transformación del material musical. Lewin aplica la teoría de grupos a tal efecto. Otra figura muy activa es Thomas Noll, matemático y músico que da clases e investiga en la Escola Superior de Música de Cataluña. Noll fue alumno de doctorado de Mazzola y hereda y prosigue la tradición de abstracción y aplicación de la matemática moderna a la música. Noll ha estudiado especialmente las estructuras matemáticas subyacentes en los objetos musicales, en particular la construcción de escalas bien definidas, la clasificación de modos e intervalos así como las operaciones musicales. También es un gran defensor de la introducción de las matemáticas en el currículo de los músicos. Como editor ha estado al cargo de la revista Journal of Mathematics and Music. Por último, me gustaría citar a Dmitri Tymoczko, compositor y teórico de la música en la Universidad de Princenton. Desarrolló un método de análisis armónico y de conducción de voces basado en topología, al que bautizó como teoría geométrica de la música; véanse [Tym11],[Tym15]. En este método modeliza las armonías como puntos en un cierto espacio topológico y las progresiones de acordes se corresponden a ciertas trayectorias entre dichos puntos. Además, Tymoczko escribió un artículo, The geometry of musical chords [Tym06], que fue publicado en la prestigiosa revista Science (tiene un alto factor de impacto y un alto porcentaje de rechazos); fue el primer artículo sobre música que publicaba dicha revista. 3. Conclusiones Arriba no defendí vehemente la validez de la teoría matemática de la música. Considero que a esta altura es innecesario. Soy perfectamente consciente de que en los conservatorios de este país no se considera la posibilidad de que se enseñe este tipo de teoría de la música. Creo que es una cuestión de tiempo —probablemente, de mucho tiempo— que se vaya introduciendo poco a poco. Me pregunto cuándo se enseñarán en los conservatorios, por ejemplo, los resultados de Tymoczko, cuyos modelos están claramente orientados al análisis musical, en especial al de la música atonal. Nótese que Tymoczko es músico y no matemático y, por tanto, nada sospechoso de un contubernio de matemáticos con ínfulas de teóricos de la música. O ¿qué herramientas de análisis se puede ofrecer a un estudiante de conservatorio ante una música compuesta desde principios matemáticos (música fractal, música algorítmica, la obra de Xenakis)? Pocas si solo nos restringimos a las técnicas clásicas. Abogar por la introducción de la teoría matemática de la música no implica eliminar los modos tradicionales de análisis. Antes bien, la idea es complementarlo. Los fenómenos musicales cada vez son más complejos y requieren herramientas que puedan captar esa complejidad y riqueza. Y en ciertos contextos las herramientas clásicas no son suficientes. Por último, somos conscientes de que ha habido excesos por parte de algunos practicantes de la teoría matemática de la música. Los analizamos exhaustivamente en la columna de octubre de 2012 [Góm15]. Dichos excesos no invalidan la teoría matemática de la música porque a estas alturas ya ha probado su poder explicatorio y su capacidad de inspiración. Hay que hacer una teoría correcta, significativa y potente, y evitar extralimitarse, pues ninguna teoría de la música, matemática, tradicional, o histórica por sí sola será capaz de explicar satisfactoriamente algo tan bello y complejo como la música.   Bibliografía [Fio11] T. Fiore. What is Mathematical Music Theory? An Introduction via Perspectives on Consonant Triads. Colloquium held at Stony Brook University, 2011. [Góm15] P. Gómez. Alcance y extralimitaciones de las matemáticas y la computación en la música. http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=14518&directory=67, consultada en junio de 2015. [Lew87] D. Lewin. Generalized Musical Intervals and Transformations. New Haven, CT, and London: Yale University Press, 1987. [Maz02] G. Mazzola. The Topos of Music. Birkhäuser Basel, 2002. [Tym06] D. Tymoczko. The geometry of musical chords. Science, 313:72–74, 2006. [Tym11] D. Tymoczko. A Geometry of Music: Harmony and Counterpoint in the Extended Common Practice. Oxford University Press, 2011. [Tym15] D. Tymoczko. Chordgeometries. http://dmitri.tymoczko.com/ChordGeometries.html, consultada en enero de 2015. [Wik15] Wikipedia. Mathematics. https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematics, consultada en junio de 2015.

Jueves, 23 de Julio de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

443. 95. (Julio 2015) Ada Lovelace, de Lo Glassman

El musical Ada Lovelace de Lo Glassman se centra en la vida de Ada Augusta Byron, condesa de Lovelace (1815-1852) en el momento en el que concibe el primer programa informático de la historia. A través de la lucha de esta matemática para conseguir sus propósitos, el espectáculo habla de otros ‘programas’, del social y mental que parecen gobernar nuestras vidas, ¿realmente tenemos algún margen de libertad? SINOPSIS Londres, 1843. Ada Lovelace es matemática. Hija de Lord Byron, célebre poeta de costumbres depravadas, ha sido educada y condicionada por su madre y sus preceptoras para transformarse en una mujer sumisa y sin problemas, respetuosa con las convenciones y el orden establecido. Colabora con Charles Babbage, un científico que proyecta fabricar la máquina analítica. Esta máquina mecánica de cálculo tendrá la particularidad de ser programable, lo que hará de ella un verdadero ordenador. Ada trabaja en la invención del primer programa informático de la historia, pero discrepancias con Babbage interrumpirán sus avances y reavivarán las profundas heridas que lleva en su interior. Para conseguir cumplir con su tarea y programar su máquina –que presagia la llegada del mundo moderno–, Ada deberá modificar su propio programa de obediencia. Arriesgando su salud mental y su vida, deberá volver a evaluar sus ideas sobre el orden del mundo que le rodea y repasar el condicionamiento social del que es objeto. Los personajes de este musical son cinco: Lady Ada Augusta Byron King, condesa de Lovelace: es un personaje doble que se manifiesta a veces en modo Ada –mujer sumisa– y a veces en modo Augusta –criatura rebelde–. En 1843, Ada Augusta tiene 28 años, pero también aparece con 13 años, en 1828. Janet (Jessamine Bilford) es una joven doncella. El frenólogo Doctor Deville. Miss Knightsbridge, el ama de llaves de Lady Lovelace. La preceptora de Ada durante su adolescencia. Ada Lovelace es una revisión de Le crâne et la Mécanique de Lo Glasman, con diálogos renovados, pero compartiendo una misma línea argumental y muchas de las canciones de la obra estrenada en 2008 por la compañía teatral Les Passeurs d’Ondes. Cortar las camelias o cortar los claveles, se trata siempre de la misma operación, ¿no? Para variables diferentes. Se multiplique a por n o x por x, se trata siempre de una multiplicación. […] Se trata de nuevo de la misma operación. Deshojar los claveles implica cortar las hojas y los pequeños tallos… ¡cortar, cortar, cortar, cortar, cortar y… cortar! ¡Siempre la misma operación! El papel del programa es indicar al eje si debe posicionarse en modo multiplicación, adición, división o sustracción. […] Esto es a lo que debo de llegar Janet. A dar el buen orden exacto. En el momento preciso. No hay que esperar del eje de la máquina ninguna especie de iniciativa. El Programa sustituye al pensamiento. Una casa ordenada debe funcionar de la misma manera. No hay lugar para iniciativas desordenadas. Sólo órdenes absolutamente exactas y criados de obediencia perfecta. Parte de un diálogo de Ada con su doncella Janet, extraída de [3] Más información: [1] Marta Macho Stadler, Le Crâne et la Mécanique ou La double vie d’Ada Lovelace, de Lo glasman, DivulgaMAT, Teatro y Matemáticas, marzo 2010 [2] Ada Lovelace, Les Passeurs d’Ondes [3] Dossier Ada Lovelace Nota: Las traducciones del francés original han sido realizadas por la autora del artículo.

Miércoles, 22 de Julio de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

444. 98. (Julio 2015) CONCURSO: Un retrato alfabético de…

Para este verano, quería proponer –como el año pasado– un concurso de redacción utilizando una restricción oulipiana. Imagen de Ada Lovelace generada con WordCloud Generator La contrainte –restricción– que he elegido es el retrato alfabético, que traduzco directamente de la página de OuLiPo: Definición: Un retrato alfabético es un listado de palabras (eventualmente acompañadas de frases breves) ordenadas en orden alfabético, que dibujan un retrato. El ejemplo que acompaña esta definición en la página de OuLiPo es un retrato alfabético del oulipiano Italo Calvino. Lo copio literalmente en la tabla de debajo –columna izquierda– y lo traduzco –columna derecha– con enlace al libro de este escritor que contiene la palabra correspondiente –en el título o su interior–. En la traducción, como podéis comprobar, dos de las letras no coinciden –la x y la z–. Américaines (leçons) Bersabée classiques destins (croisés) exactitude Fleurs (bleues) g Hermès (ou Mercure) invisibles (villes) Jacques (le fataliste) Kublai (khan) Ludmilla Maurillia nuit (d’hiver) opaque Palomar Qfwfq rapidité (et légèreté) subtilité Theodora u vicomte (pourfendu) w Xénophon y zéro (temps) Americanas (lecciones) Bersabea clásicos destinos (cruzados) exactitud flores (azules) g Hermes (o Mercurio) invisibles (ciudades) Jacques (el fatalista) Kublai (khan) Ludmilla Maurillia noche (invierno) opaco Palomar Qfwfq rapidez (y ligereza) sutilidad Teodora u vizconde (demediado) w (x) Jenofonte y (z) cero (tiempo) Imagen de Émilie du Châtelet generada con WordCloud Generator El concurso consiste en redactar un retrato alfabético de algún personaje matemático, teniendo en cuenta las siguientes instrucciones: El texto debe llevar el título del matemático o matemática retratada, con un subtítulo, si se desea. En el retrato deben aparecer las 26 letras –ver el ejemplo de arriba– en orden;  para facilitar la escritura, se permite no utilizar –a lo sumo– 4 letras. Las palabras deben referirse a detalles de su vida –lugares, personas relacionadas, obra matemática, etc.– y pueden ir acompañadas de una breve descripción. Se agradecería una aclaración sobre  las palabras elegidas, a pie de página. En Sofia Kovalevskaya, retrato alfabético (Mujeres con ciencia, 15 de octubre de 2014) podéis leer otro ejemplo de retrato alfabético: la matemática y oulipiana Michèle Audin se lo dedicó a la extraordinaria Sofia Kovalevskaya. Tenéis hasta el 31 de agosto para enviar vuestras propuestas a esta dirección. Al igual que el año pasado, las mejores propuestas ¡tendrán su premio (en forma de libro)! ¡Animaos a participar!

Viernes, 17 de Julio de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

445. 129. (Julio 2015) CONCURSO DEL VERANO 2015: Mix mezclado

No abandonamos todavía los juegos relacionados con las mezclas de cartas. A lo largo de las últimas entregas, hemos podido comprobar que existen diferentes mezclas, aparentemente aleatorias, pero cuyo comportamiento está perfectamente determinado de antemano. Ya conocemos la mezcla australiana, la mezcla Monge y la mezcla Klondike, entre otras. Incluso, navegando por la red, podemos encontrar programas de ordenador, en diferentes formatos, que simulan estas mezclas y permiten estudiar las propiedades matemáticas que ofrecen. Por ejemplo, Rob de Graaf ofrece la posibilidad de ver online el resultado de varias mezclas (en la página http://www.rdegraaf.nl/magic/card-deck-shuffle-simulator/), así como Atsushi Yamamoto ha programado la app Playing cards simulator ShuffleSIM con similares prestaciones. Ahora es tu turno de descubrir otras propiedades de estas mezclas. En matemáticas, una mezcla recibe el nombre de permutación, que es una operación en un conjunto que sólo altera el orden de sus elementos. Por tanto, mezclar dos veces una baraja será equivalente a realizar dos permutaciones, una tras otra. A diferencia de lo que ocurre con las operaciones algebraicas usuales, suma y multiplicación, la operación de permutación no es conmutativa lo que significa que, si realizamos dos mezclas A y B a una baraja, se puede llegar a un resultado distinto si hacemos primero la mezcla A y luego la B que si hacemos primero la B y luego la A. Puedes leer un artículo elemental e ilustrativo donde se explica esta propiedad de las permutaciones en este blog. El juego que describiremos a continuación es un ejemplo práctico de esta propiedad. Vamos a mezclar dos mezclas y comprobar si la propiedad conmutativa se cumple. Las dos mezclas involucradas serán la mezcla Monge (descrita en la entrega de octubre de 2007) y la mezcla Klondike (descrita en la entrega de diciembre de 2014). En lugar de dar la explicación del juego, aprovecharemos la llegada del verano para darte la palabra y proponerlo como problema. El proceso es muy simple: Busca en la baraja las trece cartas de un mismo palo y ordénalas de menor a mayor para formar un paquete. Con las cartas en la mano, dorsos hacia arriba, reparte sobre la mesa, de una en una, hasta formar un pequeño montón. No importa el tamaño. Con las cartas que te quedan en la mano, haz una mezcla Klondike y, a continuación, una mezcla Monge. Realiza la misma operación con las cartas de la mesa: primero una mezcla Klondiky y luego una mezcla Monge. Seguro que uno de los montones contiene un número par de cartas. ¡A que sí! Coloca ese montón sobre el otro. Adivina lo que ha pasado: ¡las cartas vuelven a estar ordenadas! Si descubres la explicación, participa en nuestro habitual concurso de verano: envía un correo a la dirección pedro.alegria@ehu.eus explicando las propiedades de las mezclas con las que se consigue este resultado. ¿Tienen que utilizarse 13 cartas? ¿El orden en que se realizan las mezclas es importante? ¿Se te ocurre una presentación ingeniosa para realizar el juego ante el público? Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Miércoles, 01 de Julio de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

446. 101. CONCURSO DEL VERANO DE 2015

Fieles a la cita, una nueva edición de este esperado cuestionario matemático-cinéfilo. Desde esta sección os deseamos unas vacaciones estupendas, allá donde cada uno haya decidido disfrutarlas. A ver si este año lo resumo en menos palabras. Se trata de averiguar el título de una película (o películas), oculta entre las pistas (diálogos, imágenes, problemas, etc.), además de responder una serie de cuestiones planteadas (unas de tipo matemático o científico, las de color rojo; otras de tipo cultural, las azules). Cada cuestión tiene una valoración que se indica al final. Quien mayor puntuación alcance será el ganador, al que la dirección de DivulgaMAT le hará llegar algún obsequio (suele haber obsequio para más de un concursante). Se intenta (no siempre se logra) plantear cuestiones de todos los niveles (sencillas, medias, difíciles), pero como nadie sabe a que categoría pertenece cada una (además de que la dificultad de algo siempre es un concepto subjetivo), ninguna a priori debería evitarse. CONCURSO ¿Está ya todo inventado? En el cine, en la literatura (incluso en la filosofía), ¿estamos repitiendo esquemas y argumentos que otros concibieron? Muchos autores se esconden en el hecho de que, salvo unos pocos especialistas, el público no ha leído o visto todo lo escrito o filmado, y pasan por novedosas obras que no son sino vueltas de tuerca de algo ya planteado en el pasado. Incluso, en el cine, no se cortan un pelo y proponen lo mismo, “actualizado” dicen, simplemente porque las posibilidades técnicas dan hoy más juego, o porque trasladan una historia a la sociedad actual (remakes, los llaman). Y siendo así, ¿son mejores, peores, iguales? Evidentemente, como hay gustos para todo, habrá quien tenga las más variopintas opiniones. Lo que es evidente es que en ciencia, en matemáticas en particular, detectar las repeticiones es seguramente más sencillo para los especialistas en los diferentes temas, aunque también ha habido “pufos” sonados. Y como nadie está libre, y menos cuando tiene otros muchos quehaceres, el que esto escribe desde luego declara que los ejercicios que se proponen en esta y pasadas convocatorias, no son originales, sino variaciones de otros (la verdad es que cuando ponemos exámenes tampoco se puede decir que seamos muy originales, aunque a los alumnos les parezca lo contrario), aunque eso sí, tratando de que estén lo suficientemente disfrazados como para que los potenciales concursantes no puedan encontrar su solución con facilidad en la red de redes o en libros (si no el concurso no tendría mucho aliciente, sería una simple búsqueda, que con el tiempo suficiente acabaría localizándose). En fin, vayamos al asunto. La enigmática película que buscamos este año tiene ya sus años (recordad que pretendemos “descubrir” a los concursantes            producciones interesantes, quizá olvidadas), pero el caso es que muchos elementos que en ella aparecen se siguen repitiendo, y apareciendo una y mil veces. ¿Qué haría un joven actual si desea quedar bien con una chica que le mola (invitarla a cenar, por ejemplo), y no dispone de demasiado dinero? Por supuesto, hablamos de conductas legales y “moralmente” aceptables. No, no tiene un Sr. Grey a mano que le preste nada, además que un tal sujeto, seguramente le levantaría a la chica, a la madre, y a lo que se le pusiera por delante, y sería peor el remedio que la enfermedad. Bueno pues a nuestro joven protagonista (y un tanto superficial, la verdad, entre otros adjetivos “súper” que se le pueden adjudicar, y que cada uno piense lo que quiera), se le ocurre apostar sus escasos bienes a ver si se multiplican. No sé si el juego que elige os parecerá el más adecuado, pero el caso es que se presenta con su duro (para los muy jóvenes, un duro eran 5 pesetas hace algún tiempo, pero vamos que si quieren pueden pensar en 5 dólares, o 5 euros, o 5 lo que quieran, pongamos “unidades monetarias”, u.m., en lo sucesivo), “a ver si se convierte en cuatro”, comenta,  y lo apuesta al “3 encarnado”, sin demasiada fortuna la verdad, a pesar de sus poco ortodoxos métodos para atraer la suerte (C – 1), (M – 1), (C – 2). Por si aún no está claro dónde apuesta su dinero, digamos que en uno de los elementos integrantes del juego se dibuja un TTPRATIKAAAGCIOOHNNEO (C – 3). Si uno es suficientemente sagaz, con lo dicho ya casi se podría aventurar en qué película se basa este concurso, y de algún modo, descifrando la secuencia de letras anterior, se pueden también encontrar algunos datos sobre la misma (incluyendo una pista sobre el título). (C – 4). En la imagen de la izquierda podemos ver una conocida manualidad denominada hilorama. Si deseáramos hacer uno similar a partir del objeto descrito anteriormente, con un diámetro de 40 cm., y con un único ovillo, ¿de cuántos metros debería de ser? (M – 2), (C – 5), (M – 3). Volviendo al joven BB (creo que no lo dije: lo llamaremos en adelante BB porque así se llama en la película), lo vemos en el fotograma de la derecha. ¡Ah, perdón! parece que se ha movido tan rápido que ya no aparece. Está nervioso, porque pasa el tiempo y sigue sin un céntimo. Incluso se ve algo que ha dejado por ahí tirado de un modo poco cívico, por cierto. Casualmente, en uno de los bolsos de su chaqueta, BB encuentra 1 u.m. A pesar de su experiencia anterior, vuelve a probar fortuna. Pero antes de olvidarnos de la foto anterior, suponiendo que BB tuviera una altura de 1.65 metros, ¿que altura debería tener el espejo para que pudiera reflejarse entero? ¿A qué distancia debe situarse? (M – 4), (C – 6). (M – 5), (M – 6). Y repite al mismo número de antes que lleva saliendo a lo largo de la tarde media docena de veces en una hora (M – 7), (M – 8). El caso es que esta vez, apostando a ese mismo número su 1 u.m. gana; de nuevo apuesta todo lo ganado al mismo número, y vuelve a ganar. A continuación, cambia de número, pero apuesta todo lo acumulado, y vuelve a ganar (la verdad es que tiene ayuda, y no, no son Los Pelayo) (M – 9). Él desea seguir la racha, pero su “ayudante” le advierte de que si sigue lo perderá todo (M – 10), (M – 11). Volviendo al asunto de que los guionistas repiten esquemas, hace algunos años fue muy popular la frase “En ocasiones veo muertos”. Al parecer ese don (ya sabéis que no soy muy partidario de dar rienda suelta a determinadas sandeces seudocientíficas, pero es que en esta ocasión la película es de género fantástico, y en muchas ocasiones la ciencia ficción, el fantástico, el terror, han posibilitado obras y reflexiones de interés, porque se suscitan preguntas, se investigan hechos,...; el problema es el negocio que quieren seguir teniendo algunos cuando la ciencia explica los fenómenos y se les acaba el “chollo”), y las ayudas que buscan los habitantes “del más allá”, llevan tiempo siendo utilizadas por lo que se ve (C – 7). Por otro lado, quizá a alguien le suene esta escalera de la imagen. Ha sido toda una revelación durante este año. El cine ha utilizado, quizá por su plasticidad o su belleza, también muchas veces escaleras de este tipo, fotografiándolas desde los más imaginativos ángulos (C – 8). En la película que buscamos, también aparece una escalera que salva un desnivel de unos 20 metros de altura, pero las longitudes de las circunferencias en el inicio y en la base, son diferentes, 12 y 4 metros, respectivamente. Muchos son los escalones que BB debe bajar, pero lo que nos contentamos con saber es la longitud de dicha escalera, sabiendo que da cuatro vueltas completas de principio a fin (M – 12). Al llegar abajo BB descubre algo por lo que pasarán Francisco Rabal y Manolo Escobar en años posteriores (quizá para el segundo, con no muy buen recuerdo) aunque con algún que otro detalle distinto, pero básicamente con la misma idea. Desgraciadamente, BB es descubierto, lo que le impedirá salir de allí si antes no hace algo (C – 9). Un poco antes, BB conoce a otra joven, mucho más atractiva y menos interesada que la primera, a la que debe proteger de una amenaza que la acecha. Aunque, en principio no la hace demasiada gracia el joven BB, la mención de éste de conocer a un familiar suyo, la hace tratar de colaborar con él. Aunque a la típica ama de llaves, este joven no parece hacerle mucha gracia (¡ay, Sra. Danvers, qué escuela creó!), el caso es que BB y la joven buscan pistas que le hagan averiguar qué le sucedió a su conocido común. Y en éstas están cuando: - ¿Y esa habitación? - Una especie de pequeño museo en el que mi tío guardaba todas las piezas de valor halladas por él. Usted que es aficionado a la arqueología sabrá reconocer el valor de todo esto. - Ya lo creo. Es magnífico. Realmente el profesor tenía una buena colección. ¿Cuántas hay aquí? - Días antes de morir hizo un recuento. Siendo como era amante de los acertijos y misterios, no indicó una cantidad exacta, pero comentó que si sumaba los cuadrados de los tres dígitos que forman la cantidad total, sabría exactamente la mitad del número total. - ¿Y lo averiguó? - No me dio tiempo. Cuando estaba pensándolo, me entró como un sopor, como si alguien quisiera entrar en mis pensamientos. Y me fui a dormir. - Bueno, tampoco importa mucho. Sólo era por curiosidad. (M – 13). En la imagen vemos una de las piezas que hay en la habitación. ¿Sugiere algo? (C – 10). En otro momento de la película (en realidad, de principio a fin), van apareciendo unos pintorescos personajes que resulta que trabajan en el oculto lugar al que BB accede desde la escalera de antes. Utilizan tres materias primas para falsificar monedas (tienen que sobrevivir, que la cosa estaba muy fea, y al gobierno de entonces no le hacían mucha gracia las ayudas sociales, aunque, proponía algunas, de maquillaje fundamentalmente, todo hay que decirlo), que hacen esencialmente mediante dos procesos: la confección de la propia moneda y la elaboración de un aditivo que las hace envejecer y parecer antiguas. Para obtener un kilo de aleación para las monedas precisan 2/5 de kilogramo de material 1 y 3/5 de kilo de material 3. Un kilo de aditivo es una mezcla de ½ kilo de material 1, 1/5 de kilo de material 2 y 3/10 de kilo de material 3. Los beneficios que obtienen son de 40 u.m. por kilo de moneda y 30 u.m. por kilo de aditivo. BB averigua que la disponibilidad de materias primas en el momento que los descubre es de 20 kilos de material 1, 5 kilos de material 2 y 21 kilos de material 3. Por un momento, BB piensa en cuántos kilos de cada elemento (monedas y aditivo) deben fabricar para obtener el máximo beneficio, pero como se aturde un poco con las cuentas (bueno, se aturde con casi todo), lo deja para mejor ocasión (M – 14). El lugar es bastante tétrico (con cadáveres, esqueletos, ratas, y toda la parafernalia típica, aunque la verdad no da mucho miedo). Ocultándose de sus perseguidores, BB escapa por laberínticos pasadizos. El jefe de la cuadrilla reparte a sus secuaces por distintas zonas que controlan diversas estancias. Una de ellas, es la de la imagen, una sala central circundada por otras cuatro etiquetadas como A, B, C y D. Hay cuatro puertas: x, y, z, u. En dos horas, el vigilante ha pasado 7 veces por la puerta x, 4 por la puerta y, 6 por la puerta z, y tres o cuatro, no se acuerda demasiado bien, por la puerta u. ¿Dónde se encuentra después de hacer ese recorrido? ¿Cuántas veces ha pasado por la puerta u?  (M – 15). La verdad es que, creo que ya está muy claro de qué película se trata, pero quizá no esté de más dar alguna pistilla sobre la novela en la que se basa, novela que, curiosamente, no escribió su autor. Sí, “negros” han existido también siempre (en la acepción literaria en la que estamos, no tergiversemos las cosas, que no quiero dimitir por decir algo no apropiado, ahora que está de moda), pero no es el caso. Su autor hizo un relato, que le pidieron ampliar, a lo que se negó rotundamente (tenía otras “ocupaciones” más divertidas, menudo pieza era, según dicen; ¿quizá por eso tuvo luego un cargo relevante en su ciudad? Vale, que la volvemos a liar). En la imagen se muestra otro fotograma de la película en la que aparece un mensaje en clave. Como no podía ser de otro modo, un experto criptógrafo tocayo mío es el que acaba descifrando el contenido que se encontraba escrito en una pared de la esquina de una casa de un típico barrio de la ciudad en que acontece la acción. No vamos a pedir al lector que lo descifre, dado que, según se dice, responde a un antiguo alfabeto asirio (que es de suponer que es mentira, obviamente), pero sí que descifre este otro mensaje, cifrado mediante un conocido método de sustitución polialfabética, muy utilizado en el siglo XVI (que quedó obsoleto cuando se descubrieron procedimientos que rompieron esa cifra). En este caso lo que esconde el mensaje es el nombre de un personaje de la película (son tres palabras), con el que quizá algunos se topen este verano (M – 16): OIWYNRAYEWXAV En otro momento, al inicio de la película, BB se encuentra rodeado de un montón de gente, en una mesa para el solito (privilegios que tiene) escuchando y disfrutando de un espectáculo. Suponiendo que en ese lugar haya n personas, y que i) cada dos personas que se conocen entre sí, no tienen otras amistades comunes. ii) cada dos personas que no se conocen entre sí, tienen exactamente dos amistades comunes en la sala. Demostrar que, con estos supuestos, todas las personas presentes en el local tienen amistad con el mismo número de personas. (M – 17). Cuestiones M – 1.- ¿Se trata de una decisión acertada? Demostrar que independientemente de que haga apuestas sencillas o combinadas, las expectativas de ganar en este juego, en cualquier caso, son idénticas. M – 2.- Calcular la longitud del ovillo. M – 3.- Estas estructuras sirven para resolver un tipo de problemas matemáticos muy concretos. Enuncia y resuelve alguno ayudándote de alguna de estas construcciones. ¿Cuál es el nombre de la teoría matemática que las estudia? Indicación: no sirve teoría de grafos como respuesta; nos referimos a algo más concreto. M – 4.- Justificar las afirmaciones realizadas en la respuesta. M – 5.- Por cierto, las dimensiones del espejo de la fotografía en metros son las raíces del polinomio 19x2 – 43x + 17. El caso es que queremos averiguar el perímetro del espejo y su superficie, pero sin calcular dichas raíces, que quedan muy feas. Además no queremos expresiones decimales, que también resultan un poco molestas, sino su valor exacto. Aunque, sí nos gustaría saber, ya que estamos, si su expresión decimal (la del perímetro y el área) es periódica o no, y si lo es, cuál es el valor de ese periodo. M – 6.- Análogamente, las raíces del polinomio x3 – 70x2 + 1629x – 12600 son las medidas de las dimensiones de la habitación rectangular en la que están, medidas en metros. Calcular la superficie total y el volumen de la habitación (cuando las puertas y ventanas de la habitación están cerradas, claro), a ser posible, también sin hallar dichas raíces, por mucho que os corroa la curiosidad, que ya sabéis que hizo algo raro con alguien o algo que también aparece en la película, y que, como no, era negro. M – 7.- Suponiendo que en cada jugada se tarden 5 minutos, ¿cuál es la probabilidad de que salga el mismo número esa media docena de veces? ¿Puede afirmarse que pasa “algo raro”? M – 8.- ¿Es más o menos probable que la banca gane en esa hora tres veces? M – 9.- Dar una estimación del dinero ganado. ¿Tiene suficiente para invitar a cenar a dos personas? M – 10.- Existen varias estrategias que los jugadores utilizan para tratar de ganar en este juego. Cita al menos tres diferentes, y justifica, si es posible, si matemáticamente son aceptables. M – 11.- La sala en la que se encuentra BB es rectangular. Desde el punto en que encuentra, la distancia a tres de los vértices de la sala son, respectivamente, 5 m., 10 m. y 14 m. ¿A qué distancia se encuentra del cuarto vértice? ¿Es posible conocer las dimensiones de la sala? M – 12.- Razonar cuál es la longitud de la escalera. M – 13.- Pero seguro que el ávido lector sí es capaz de saber cuántas estatuas había en la habitación. M – 14.- ¿Qué cantidades de cada elemento deben fabricar para que el beneficio sea máximo? M - 15.- Responder razonadamente a las cuestiones planteadas. M – 16.- ¿Qué se esconde tras este mensaje? ¿Con que sistema se ha cifrado? ¿Cómo lo has descifrado? M – 17.- Demostrar lo indicado. C – 1.- ¿A que juego de azar apuesta su moneda? C – 2.- ¿A qué método no ortodoxo nos referimos? C – 3.- ¿Qué significa? ¿Puedes justificar de algún modo su complicado nombre? C – 4.- ¿A qué obedece esa disposición de las letras? ¿Con qué clásico método de encriptación de mensajes se ha realizado? C – 5.- ¿Qué nombre más técnico, más matemático, reciben los objetos construidos en los hiloramas? C – 6.- ¿Podrías indicar media docena de películas, y otra media docena de obras literarias en las que un espejo sea un elemento relevante (sin incluir la que nos ocupa)? C – 7.- Origen de esa frase, y relación con la película que buscamos. C – 8.- Citar otra media docena de películas en las que aparezcan, escaleras helicoidales, espirales, etc., sin contar la que buscamos, pero incluyendo la de la imagen, aunque no se haya visto en salas de cine. C – 9.- Tratar de explicar todas las afirmaciones hechas. C – 10.- Confiamos que el lector conozca y/o recuerde el latín que ya no se estudia, al menos por todos los alumnos de Secundaria. Yo sí lo hice, y aunque en su momento no me ilusionaba mucho la idea, hoy reconozco que fue interesante y enriquecedor. Claro que un buen profesor hace mucho. Y la cuestión final : ¿Cuál es el título de la película? ¿Qué te ha parecido? Baremo: Todas las cuestiones se valorarán con 10 puntos, tanto las azules como las rojas, excepto las cuestiones numeradas como M – 12, M – 13 y M – 17, que se valorarán con 20 puntos. En total, 300 puntos, creo. La última cuestión, la más importante, la del título de la película en la que se basa el juego, no tiene puntuación, dado que en otras cuestiones previas ya se va de algún modo viendo y valorando su respuesta. Todo comentario, sugerencia, queja, etc., será bien recibido. Si no salen algunas cosas, no importa; lo que cuenta es tratar de pasar un buen rato, disfrutar de películas (que el verano da para mucho), y mantener las neuronas  un poco activas. P.D.: Espero que no haya ningún error en las cuestiones. Se han repasado varias veces, pero algunas, al ser inventadas o retocadas de otros enunciados, podrían tener alguna errata. Sed benévolos con vuestros calificativos si tal cosa sucediera. El plazo para enviar las respuestas, es como en años precedentes, hasta las 00:00 del 1 de Septiembre, o las 23:59 del lunes 31 de agosto de 2015, si alguien tiene manía a los ceros, a la dirección alfonso@mat.uva.es, indicando en el asunto Verano 2015. ¡¡¡¡Buen Verano Cinematemático!!!!

Lunes, 22 de Junio de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

447. 94. (Junio 2015) "Hypermusic Prologue, A Projective Opera in Seven Planes", de Lisa Randall (libreto) y Hèctor Parra (música)

Hypermusic Prologue, A Projective Opera in Seven Planes se presenta como una ‘ópera proyectiva para soprano, barítono, ensemble y electrónica en tiempo real’, con libreto de Lisa Randall y música de Hèctor Parra. Se trata de un diálogo entre un hombre y una mujer, que representan lo viejo y lo nuevo, lo tangible –las dimensiones que percibimos– y lo intangible –las dimensiones extra, más allá del espacio y el tiempo–. La escena se divide en dos espacios: uno para el barítono –la parte conservadora, con decorado más sencillo– y otro para la soprano –la parte progresista, decorada con luces y colores estridentes–. Fotografía extraída de la referencia [3] La obra está basada en el libro de divulgación científica Warped Passages –traducido al castellano en Universos ocultos, ver la referencia [1]– de Lisa Randall, en el que la física teórica habla de los últimos grandes descubrimientos de la física. En la ópera, la protagonista es una compositora-científica que lucha entre el amor por su compañero y su pasión por la ciencia y la investigación: sus pioneras teorías sobre la quinta dimensión son refutadas por el barítono… mientras ella se mueve con libertad por el hiperespacio de cinco dimensiones –aunque también duda, como buena científica que es–, su pareja se mantiene aferrada a la realidad tangible del espacio-tiempo que conoce –la física clásica–. Más información Conferencia-presentación del libro: Lisa Randall, Universos ocultos. Un viaje a las dimensiones extras del cosmos, Acantilado, 2011 Stefan Michalowski & Georgia Smith, Solo journey to a fifth dimension, Nature 460, 177 (9 July 2009) | doi:10.1038/460177a; Published online 8 July 2009 Calla Cofield, Gallery: Hypermusic prologue, Symmetry, A joint Fermilab/SLAC publication, 2009 Daniel Spreadbury, Hector Parra’s Hypermusic Prologue prepared in Sibelius, Sibelius blog, 2009 Elizabeth Cline, Opera in the Fifth Dimension, Seed Magazine, 2009 Hypermusic prologue, Tritó Hypermusic Prologue, AVL Hèctor Parra, Hypermusic Prologue, A Projective Opera in Seven Planes, Sonograma no. 18 (2013) 1-17

Viernes, 19 de Junio de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

448. 68. (Junio 2015) Otras armonías son posibles (IV)

1. Introducción Este es el último artículo de la serie Otras armonías son posibles. La serie está basada en el libro de Tom Johnson Other harmony (beyond tonal and atonal) [Joh14a], libro en que se investiga los sistemas armónicos no tradicionales. Entre ellos, hemos seleccionado para esta serie de cuatro artículos aquellos que tienen base matemática. Por completitud, en el primer artículo de la serie [Góm15a] dimos unas nociones básicas de la armonía tonal; en el segundo artículo [Góm15b] analizamos la armonía atonal con ejemplos tomados de la técnica dodecafónica, la nomenclatura de acordes de Forte y la clasificación de Jedrzejewski basada en teoría de nudos. En el tercer artículo [Góm15d] estudiamos las armonías de Euler, Hauer, Slonimsky y Schillinger, autores que inventaron sistemas armónicos con base matemática. En este último artículo examinaremos las ideas matemáticas del resto del libro de Johnson, ideas que se basan en conceptos en apariencia simples y que dan lugar a sistemas armónicos desligados de la psicoacústica (como es el caso de la armonía tonal clásica). 2. Igualdad y completitud En el capítulo Equal and Complete [Joh14b] (página 109 y siguientes), Johnson analiza el papel que la igualdad y completitud en la estética musical y en particular en la armonía. Él mismo reconoce que muchos músicos e improvisadores no tienen ningún interés en esas dos características; quieren tener máxima libertad y no quieren estar constreñidos por reglas formales. Sin embargo, otros músicos e improvisadores —aunque habría que matizar que en distintos grados — sí han sentido atracción por la igualdad y la completitud y han reconocido su valía como criterios estéticos. Para justificar por qué esos criterios son válidos estéticamente, Johnson menciona la corriente literaria OuLiPo o taller de literatura potencial. Esta corriente tiene un fuerte carácter experimental y usa técnicas literarias que implican estrictos límites formales, los cuales desembocan en obras tales como novelas anagramáticas, variaciones temáticas, literatura combinatoria, entre otras. Para más información sobre OuLiPo recomendamos al lector que visite su excelente página web [OuL15]. Por su calidad, y también por cariño, pues se trata de una compañera de Divulgamat, no resistimos la tentación de mencionar a Marta Macho [Mac15d]. Es una experta en la obra de Oulipo y ha contribuido notablemente a su difusión en España; véanse, como botón de muestra, los magníficos artículos de divulgación [Mac15c], [Mac15a],  [Mac15e], y [Mac15b]. Johnson también argumenta la importancia de la igualdad y completitud extrayendo ejemplos de la poesía, de la música misma (de la obra de Bach y de Jürg Frey, del grupo Wandelweiser) y de las artes plásticas (del minimalista Sol LeWitt). Pero ¿qué significa igualdad y completitud en la armonía? Hay muchas maneras de interpretar ambos conceptos, sin duda, y Johnson en buena parte del resto del libro se dedica a estudiar los diferentes matices escondidos en ellos. El capítulo Equal and Complete acaba con un ejemplo de Jürg Grey, un miembro del grupo Wandelweiser, formado por un conjunto de intérpretes y compositores de carácter internacional, fundado en 1992, y que tiene fuertes influencias de John Cage y su tratamiento del silencio. La obra que analiza Johnson es Sam Lazaro Bros, una pieza que consiste exclusivamente en las 12 triadas menores, donde la primera y segunda inversión se permiten así como conducciones de voces entre las notas de los acordes. La obra, según Johnson, “nunca resulta aburrida o repetitiva”. Entusiasmado por el modo en que Grey compuso Sam Lazaro Bros, Johnson describe cómo se lanzó él a componer una pieza en que aparecieran todos (completitud) las transposiciones e inversiones de un acorde de 3 notas (igualdad), el acorde Forte 3-7 (do-re-fa) y de modo que cada acorde tenga dos notas en común con el siguiente. Encontró que la tarea no era tan fácil como había supuesto en un principio. Para aclarar las ideas se ayudó del siguiente grafo: Figura 1: Grafo con los 24 acordes pertenecientes al acorde 3-7 de Forte (figura tomada de [Joh14b]). El cual dio lugar a la siguiente secuencia de acordes: Figura 2: Secuencia de los acordes pertenecientes al acorde 3-7 de Forte (figura tomada de [Joh14b]). Johnson concluye (aunque sin pruebas) que “podemos percibir completitud cuando oímos una secuencia como esta, al menos a un cierto nivel inconsciente”. 3. Alturas y sumas En el capítulo, Heights and Sums, Johnson explora la generalización de altura a acordes. En general, se habla de la diferencia de altura entre dos notas como el intervalo medido desde la más grave a la más aguda. Ahora hablamos de la altura de un acorde. Empecemos por numerar las notas, por ejemplo desde do. La nota do es el 0, la nota do# es 1, la nota re 2 y así sucesivamente. Cada uno de estos números es la altura de la nota. Dado un acorde, se define su altura como la suma de las alturas de sus notas. Así por ejemplo, el acorde de do mayor, do-mi-sol, tiene altura 11 porque la altura de sus notas es . El lector ya habrá adivinado que el juego compositivo y armónico es el de escribir una pieza en que aparezcan todos los acordes que tengan una altura fija. Para ilustrar a fondo el concepto, Johnson da una tabla con el número de acordes que hay para una altura dada cuando esta varía entre 3 (el mínimo posible) y 30 (el máximo posible). Figura 3: Número de acordes de tres notas con altura dada (figura tomada de [Joh14b]). Como se ve en la figura 3, el mínimo valor se alcanza con alturas 3 y 30, y el máximo valor para el rango de alturas entre 15 y 19, con 15 acordes cada una. Fijémonos en la altura 16. Los 15 acordes resultantes están en la siguiente tabla: ,,,,,, ,,,,, ,,} ¿Cómo conectar estos conjuntos de acordes? Johnson, entre las muchas posibilidades, escoge dos que aplican dos propiedades matemáticas: se unen bien por sus diferencias mínimas o bien por sus diferencias máximas. Por diferencias mínimas quiere decir moviendo las notas del acorde lo mínimo posible (con frecuencia una subida y una bajada de un semitono). En el caso de las diferencias mínimas, la figura 4 muestra una posibilidad. Para que la altura se mantenga constante, una subida de un semitono ha de compensarse con la bajada de otro semitono. Figura 4: Acordes de suma 16 unidos por sus diferencias mínimas (figura tomada de [Joh14b]). Para las diferencias máximas se intenta mover las notas lo más posible dejando la altura constnate. Cuando se trata de las diferencias máximas, la conducción de voces se hace un poco brusca. Aquí está una solución dada por Johnson. Figura 5: Acordes de suma 16 unidos por sus diferencias máximas (figura tomada de [Joh14b]). 4. Progresión de acordes En el capítulo Advancing Johnson abunda en la idea de conectar acordes que compartan el mayor número de notas entre sí, por ejemplo, que solo varíe una nota entre acorde y acorde. Esta idea no es extraña a la armonía tonal ni mucho menos. En la armonía tonal el enlace entre acordes se hace cambiando el mínimo número de notas y dos acordes se consideran semejantes o relacionados entre sí si provienen de escalas que difieren en el menor número de notas (como do mayor y sol mayor, por ejemplo). Evidentemente, aquí Johnson usa esta idea para conectar acordes fuera del contexto tonal. Como ejemplo inicial, pone el de ir desde el acorde hasta el (en este capítulo Johnson fija un acorde origen y un acorde final). La secuencia sería (se muestra incompleta, página 136): → →  → ......→ →  → Esta idea da lugar a bonitos grafos de acordes. En el siguiente ejemplo, el autor de Other harmony toma el conjunto de notas (inspirado en el Thesaurus de Slonimsky [Slo47]) y genera el grafo de la figura 6. Los nodos del grafo son el conjunto de acordes de tres notas tomados de ese conjunto, y dos acordes están unidos por una arista si difieren solo en un nota. El acorde origen es re-fa#-sol y el acorde final si-do-mi. Recorrer el grafo entero visitando cada acorde una sola vez empezando en el acorde origen y terminando en el acorde final es equivalente a encontrar un camino hamiltoniano en el grafo. El grafo en cuestión admite tal camino, como se comprueba fácilmente. Figura 6: Grafo de los acordes de 3 notas formados a partir de (figura tomada de [Joh14b]). Por último y en un giro inesperado, Johnson propone usar ¡el círculo de quintas! para construir una progresión de acordes, nada menos que en el ignoto territorio de la Otra armonía. Casi se diría que Johnson escribe esta sucesión de dominantes con un sentido de lo prohibido a la vez divertido y gratificante. Figura 7: El acorde Forte 4-16 en un ciclo de quintas (figura tomada de [Joh14b]). 5. Intervalos adyacentes Johnson está interesado ahora en progresiones donde se fijan las notas más grave y aguda de un acorde y se varían las notas interiores. El autor previene al lector de un error y es el de pensar que la altura del acorde no varía. Si tomamos el caso de una triada mayor, , y observamos sus intervalos, vemos que no cambian con respecto a los de una triada menor . Ambos acordes están formados por una quinta justa, una tercera mayor y una tercera menor. La diferencia está solamente en el orden de aparición de dichos intervalos. Sin embargo, ambas triadas tienen alturas diferentes. La triada menor tiene altura 10 y la triada mayor, 11. Entre los ejemplos con que Johnson ilustra esta técnica nos llama la atención las progresiones en que se mueve una sola voz cada vez. Johnson contempla todas las posibilidades para esta progresión y construye un grafo. Se podría pensar —y así lo reconoce el propio Johnson— que el grafo tendrá bastantes triángulos, pero no es así; principalmente está formado por cuadrados, como se puede ver en la figura 8 (donde, por cierto, las notas externas no se han indicado). Figura 8: Grafo de los acordes de cinco notas con las mismos intervalos adyacentes y con las notas exteriores fijas (figura tomada de [Joh14b]). No es muy difícil ver que el grafo, que goza de bastante simetría, es, en efecto, hamiltoniano y que admite, por tanto, un ciclo que visita todos los nodos sin repetición. Una posible solución es la de la figura 9. Figura 9: Acordes correspondientes a la figura 8 (figura tomada de [Joh14b]). 6. Sumas módulo n Ahora Johnson abandona el concepto de altura y sus implicaciones armónicas y presenta uno nuevo: las sumas módulo n. Fijado un entero n distinto de cero, dos números enteros se dicen son congruentes módulo n si su diferencia es divisible por n. Por ejemplo, si n es 2, todos los números congruentes con 0 son los números pares y todos los congruentes con 1 son los números impares. La relación de congruencia es una relación de equivalencia y las clases de equivalencia asociadas son los restos de la división entera por n, que son 0, 1,…, n - 1. Johnson comienza considerando sumas módulo 2 del siguiente modo. Aquí el 2 va indicar el número de notas del acorde. Siguiendo con la numeración por semitonos de la octava de 0 a 11, Johnson clasifica los intervalos (acordes de dos notas) por la paridad de su altura. Así, obtiene intervalos pares e intervalos impares. La figura 10 muestra los intervalos pares a la izquierda (todos los que son congruentes con 0 módulo 2) y los impares a la derecha (todos los que son congruentes con 1 módulo 2). Figura 10: Clasificación de los intervalos módulo 2 (figura tomada de [Joh14b]). Esta división no deja de ser curiosa. La teoría de la consonancia ha sufrido cambios a lo largo de la historia y el intervalo disonante de hoy será la consonancia de mañana. En la armonía tonal la consonancia ha tenido un fundamento psicoacústico, basado en la serie de los armónicos. Aquí Johnson sugiere un criterio matemático, como por ejemplo que los intervalos pares se consideren consonantes y los impares disonantes, o viceversa. Cuando queremos considerar los acordes de 3 notas hemos de tomar números módulo 3. La relación de congruencia módulo 3 clasifica los números en tres grupos: los que al dividir por 3 da resto 0, los que da 1 y los que da resto 2 (y no hay otras posibilidades). En la figura 11 se muestran todos los acordes de 3 notas clasificados según la congruencia módulo 3 de su altura. Figura 11: Acordes de 3 notas clasificados módulo 3 (figura tomada de [Joh14b]). La clase de los acordes 0 módulo 3 está formado por acordes con dos intervalos iguales; de ahí que acordes disminuidos y similares aparezcan en dicha clase. En la clase 1 módulo 3 aparecen, en cambio, acordes menores. Y, finalmente, en la clase 2 módulo 3 encontramos la triada mayor junto con otros acordes de diversa naturaleza. Nótese que la transposición o la inversión de un acorde no cambia su congruencia. La razón por la que la transposición no cambia la congruencia es porque se añade una altura constante a cada una de las tres notas del acorde, es decir, se añade un múltiplo de 3, que es 0 módulo 3. En cuanto a la inversión, dado que la octava son 12 semitonos y 12 es 0 módulo 3, y dado que la inversión consiste en cambiar una nota una octava arriba, tampoco afecta a la congruencia módulo 3. En el resto del capítulo Johnson sigue analizando más acordes, entre ellos los de cuatro notas, para lo cual usa toma módulo 4 en la altura. El grupo de acordes que suman 1 módulo 4 resulta contener todos los acordes de séptima de dominante. El grupo cuya suma es 3 módulo 4 también es interesante y en él encontramos los acordes de Tristán así como otros acordes más cromáticos. Para terminar esta sección voy a reproducir el grafo de la página 162 del libro de Johnson. En él se muestran 30 acordes del grupo cuya suma es 1 módulo 4, donde se ha trazado una arista si dos acordes tienen tres notas en común. Figura 12: Grafo de 30 acordes con suma igual a 1 módulo 4 (figura tomada de [Joh14b]). 7. Tetracordos paninterválicos y homometrías El siguiente capítulo, All-interval tetrachords and other homometries, versa sobre homometrías y es quizás uno de los mejores capítulos del libro. Dado un acorde, su contenido interválico consiste en todos los intervalos que se pueden formar con sus notas. Un acorde de dos notas solo tiene un posible intervalo; uno de tres notas da lugar a tres intervalos. Por ejemplo, la triada mayor da lugar a tres intervalos: 4, 5 y 3 (seguimos midiendo los intervalos en semitonos). Los intervalos del acorde se miden tomando la distancia más corta entre las dos notas; esto da lugar a que los intervalos no sean mayores que 6, el tritono. Cuantas más notas tenga el acorde, mayor se hace el contenido interválico. Dos acordes se dicen que son homométricos si tienen el mismo contenido interválico; para más información sobre acordes homométricos, véase la serie dedicada al teorema del hexacordo ([Góm15c] y dos siguientes números). En la figura 13 se ve el contenido interválico de dos hexacordos (acordes de seis notas); se han dibujado las notas sobre un círculo de 12 puntos para mejor visualización. Una pregunta fácil de hacerse es si dos acordes homométricos son equivalentes en el sentido en que se puede obtener el uno del otro por transposiciones u otros movimientos rígidos. La respuesta es no y la propia figura 13 proporciona el contraejemplo. En el libro de Johnson se estudian los tetracordos paninterválicos, que son los acordes de cuatro notas cuyo contenido intervalo tiene los seis intervalos posibles exactamente una vez cada uno. Figura 13: El contenido interválico de dos acordes. Tetracordos paninterválicos hay 48, como bien lista Johnson, y son estos: Figura 14: Los 48 tetracordos paninterválicos (figura tomada de [Joh14b]). El libro de Johnson está plagado de visualizaciones de acordes y sus relaciones. Para los tetracordos paninterválicos propone el grafo de la figura 15. Este grafo muestra para cada acorde la tercera menor y mayor como un vértice; nótese que por ser paninterválicos dichas terceras han de existir. A continuación las conecta con las segundas menores y cuartas que aparecen en el acorde. En realidad, las aristas de este grafo son las que determinan cada uno de los tetracordos; compárense esas aristas con los elementos de la tabla de la figura 14. Figura 15: Los 48 tetracordos paninterválicos vistos en un grafo (figura tomada de [Joh14b]). 8. Diseño de bloques Los dos últimos capítulos de Other harmony toman un giro más radical e introduce el diseño de bloques (block designs). Las consideraciones para la construcción armónica se vuelven puramente matemáticas, en particular combinatorias. Esto es lo que dice Johnson al respecto, que reproduzco literalmente dada su elocuencia (dejo el original tal cual pues creo que se entiende bien): With block designs all acoustical characteristics are essentially forgotten. No more overtone series, no more ideas of consonance and dissonance, and no more octave equivalence. In the real world octaves never were equal, or even equivalent. Accepting the convention of octave equivalence was reasonable for music theorist Rameau to Forte, and this convention worked fine for the music they studied. (...) Block designs come from an abstract mathematical world, rather a long way from the acoustical world. Scales are no longer scales but rather sets. Chords are no longer chords but rather subsets. Notes are no longer notes but rather elements. Music theory is now replaced by group theory, though we can make music all the same. Un bloque es un conjunto de acordes de m notas que se extraen de una escala de n notas y en que se fija el número k de veces que aparecen en el bloque entero. Los bloques se designan por (n, m, k). El bloque más pequeño es (6, 3, 2), lo cual quiere decir que tiene 6 elementos, divididos en subconjuntos de 3 elementos y en los que cada par de elementos aparece 2 veces en cada uno de los bloques. Por comodidad, usemos el conjunto para designar los elementos del bloque. Todos las parejas sin repetición que se pueden formar con los elementos de este conjunto son: ,,,,, ,,,, ,,, ,, } Ahora habría que añadir un tercer elemento a cada pareja de modo que todo par de elementos apareciese exactamente dos veces. Ello implicará que desaparecerán algunas parejas. El conjunto final tiene 10 elementos y es este: ,,,,, ,,, , } Johnson presenta en la página 195 una visualización geométrica de este conjunto en forma de grafo; véase la figura 16. El grafo de la figura, dibujado como es habitual, no sería un grafo plano, pues se trata del grafo completo K5. Aquí Johnson duplica algunos vértices, los que aparecen entre paréntesis, y da una representación, digamos, pseudo-plana de K5. En esta representación las caras triangulares son los elementos del bloque, como es inmediato de comprobar. Figura 16: Grafo asociado al bloque (6, 3, 2) (figura tomada de [Joh14b]). Una posible transformación del grafo en notación musical puede ser la de la figura 17. Figura 17: Interpretación musical del bloque (6, 3, 2) (figura tomada de [Joh14b]). 9. Bloques paralelos En este último capítulo se consideran bloques con una condición extra y es que los bloques estén definidos de tal forma que por cada subconjunto aparezca su complementario. A este tipo de bloques los llama Johnson bloques paralelos (en realidad una mejor terminología sería bloques autocomplementarios). El bloque (6 3, 2) que aparece más arriba no es paralelo porque el complementario del subconjunto no aparece en el bloque. De nuevo, Johnson nos sorprende gratamente con otro grafo en que representa profundamente las relaciones entre los acordes. En la figura 18 vemos los 20 acordes que se pueden forman con tres notas. De ellos, la mitad están rodeados por un círculo y otros no. Los que tienen círculo forman una clase paralela y Johnson los ha unido con una línea discontinua. Las aristas sólidas están dadas por la relación de diferencia mínima (dos acordes varían en una sola nota). Para una mejor visualización, los nodos de la izquierda van en orden creciente de altura, mientras que los de la derecha van en orden decreciente de altura. Por último, nótese que la clase con círculo es paralela, pero que la clase sin círculo es también una clase paralela. Esto es consecuencia de la propia definición de bloque paralelo. Figura 18: Visualización de bloques paralelos en (6, 3, 2) (figura tomada de [Joh14b]). Johnson muestra otro método para obtener bloques paralelos, los cuadrados. Por ejemplo, el bloque (9, 3, 1) lo extrae del siguiente cuadrado o matriz 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Curiosamente, cuando se leen los elementos de este cuadrado horizontalmente, verticalmente y diagonalmente se obtienen bloques paralelos correspondientes a (9, 3, 1) (cada fila abajo corresponde con un bloque paralelo): ,,, ,,, ,,, ,,} 10. Progresiones armónicas Casi no El último capítulo Johnson habla de las progresiones Casi no que no son otras que las progresiones que no van a ningún sitio. De nuevo, las palabras más elocuentes para explicar esto son las del propio Johnson: We are accustomed to thinking of chord progressions as progressions that go somewhere, and these (Almost not progressions) just noodle around as if they were going to neighbor notes and back. Each note is as important as each other note, and they somehow belong together, because they have equal places in a complete block design. A continuación Johnson justifica brevemente las progresiones Casi no poniendo ejemplo de la historia de la música con las armonías wagnerianas y post-wagnerianas. Cierra el capítulo con un análisis de estas progresiones, que ya por brevedad, no glosamos aquí. 11. Conclusiones En una serie de cuatro artículos hemos glosado el libro de Tom Johnson Other harmony (beyond tonal and atonal). Este libro es, en el fondo, una excursión por las ideas matemáticas que inspiraron nuevas formas de concebir la armonía. Esperamos que al lector que proviene del mundo de las matemáticas le haya abierto los ojos a la armonía, sobre todo a las Otras Armonías, y que, en cambio, al lector que proviene del mundo de las música le haya abierto los ojos a los conceptos matemáticos. Si esto hemos conseguido, siquiera modestamente, habremos cumplido nuestro objetivo.   Referencias [Góm15a] P. Gómez. Otras armonías son posibles (I). http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=16413&directory=67, consultado en febrero de 2015. [Góm15b] P. Gómez. Otras armonías son posibles (II). http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=16445&directory=67, consultado en marzo de 2015. [Góm15c] P. Gómez. El teorema del hexacordo (I). http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=10806&directory=67, consultado en mayo de 2015. [Góm15d] P. Gómez. Otras armonías son posibles (III). http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=16588&directory=67, consultado en mayo de 2015. [Joh14a] Tom Johnson. Other harmony. 75 Editions, 2014. [Joh14b] Tom Johnson. Other harmony. http://oh.editions75.com, 2014. [Mac15a] Marta Macho. 50 (+1) años de OuLiPo. http://www.matematicalia.net/articulos/v7n3sep2011/OuLiPo.pdf, consultado en mayo de 2015. artículo publicado en la revista digital Matematicalia. [Mac15b] Marta Macho. El material del taller de literatura OuLiPo. http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=16316&directory=67, consultado en mayo de 2015. [Mac15c] Marta Macho. Oulipo: mestizaje entre cifras y letras. http://www.ehu.eus/~mtwmastm/Alliance2013.pdf, consultado en mayo de 2015. [Mac15d] Marta Macho. Página web de Marta Macho. http://www.ehu.eus/~mtwmastm/Datos.html, consultado en mayo de 2015. [Mac15e] Marta Macho. Taller de literatura OuLiPo. http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=16260&directory=67, consultado en mayo de 2015. [OuL15] OuLiPo. OuLiPo | Ouvroir de littérature potentialle. http://OuLiPo.net/, consultado en mayo de 2015. [Slo47] N. Slonimsky. Thesaurus of scales and melodic patterns. Charles Scribner’s Sons, 1947.

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449. 97. (Junio 2015) La diosa de las pequeñas victorias, de Yannick Grannec

La diosa de las pequeñas victorias (Alfaguara, 2015) es una novela de Yannick Grannec. Escrita originalmente en francés, La Déesse des petites victoires (Ed. Anne Carrière, 2012), recibió el Premio de los Libreros Franceses en 2013. SINOPSIS Universidad de Princeton, 1980. La joven documentalista Anna Roth emprende una ambiciosa tarea: recuperar los archivos de Kurt Gödel, el matemático más fascinante y hermético del siglo XX. Su misión consiste en ganarse la confianza de la viuda de Gödel, Adele, una anciana muy peculiar, reacia a entregar esos documentos de gran valor científico. Tras su primer encuentro, Adele establece sus reglas. Sabe que su muerte está próxima y tiene una historia que contar, un relato que nadie ha escuchado hasta entonces. De la Viena de los años treinta al Princeton de posguerra, de la Segunda Guerra Mundial al macartismo, del fin del ideal positivista a la llegada del arma nuclear, Anna se rinde a los encantos de una mujer que vivió confrontada a la difícil ecuación entre genio y amor, y que le proporcionará el valor necesario para cambiar su propia vida. La diosa de las pequeñas victorias es una biografía novelada del matemático Kurt Gödel (1906-1978) desde la mirada de su esposa Adele Nimbursky (nacida Porkert, 1899-1981). En realidad, Adele entregó los archivos personales de su marido –el Nachlass, su herencia, sus documentos– a la biblioteca Firestone de la Universidad de Princeton voluntariamente. Pero esta ficción sirve para poner en contacto a Anna –la documentalista de la Universidad de Princeton– con Adele –la viuda de Kurt Gödel– en octubre de 1980. En  la novela, Adele no parece tener intención de legar los documentos de su marido, incluso en alguna ocasión amenaza con destruirlos; Anna piensa que la tarea va a ser imposible, pero sigue visitando a esta anciana cuya historia le fascina. Entre las dos se crea un vínculo afectivo en la que la anciana habla de su vida –entregada a su marido, renunciando por él a la maternidad– y Anna –neurótica y enamorada de alguien que sólo le hace daño– consigue crecer gracias a la influencia de Adele. Anna brinda a Adela el regalo de la escucha y Adele devuelve a Anna la alegría de vivir. La historia de Adele y Kurt es una gran historia de amor: él no era nada sin ella. El matemático sufría psicosis paranoide y depresiones, Adele era la única persona que le procuraba una cierta estabilidad emocional, ocupándose de todos sus asuntos cotidianos. Las matemáticas lo mataron y a la vez lo salvaron de la melancolía. Ejercitar la mente era lo que le mantenía de una sola pieza. Era un uso tan exclusivo que hasta se olvidaba de su propio cuerpo. A la vez un combustible y un veneno. No podía vivir ni con ellas ni sin ellas. Palabras de Adele, pág. 188 Cada visita de Anna a la anciana aporta nuevos episodios de las vidas de Adele y Kurt: el momento en el que se conocieron, siendo ella bailarina; el Anschluss; su vida en Viena; la segunda Guerra Mundial; su huida a EE.UU. y la invitación de la Universidad de Princeton para que Gödel colaborara con ellos; la estrecha amistad del matemático con Albert Einstein; la llegada del macartismo; etc. La autora dedica algunos fragmentos a las matemáticas, la lógica, la ciencia que se hacía en aquel momento. Pero La diosa de las pequeñas victorias es fundamentalmente la historia de una época y de sus gentes. Adele, que al principio aparece como una mujer arisca y a veces vulgar, acaba siendo reconocida como una entregada diosa de la lucha cotidiana, la mujer de las pequeñas victorias, las que mantienen a su marido vivo y en contacto con la realidad. Las grandes victorias –las científicas– fueron las de Kurt Gödel: Adele también formó parte de ellas. La inmortalidad de lo cotidiano irrita la piel. Palabras de Adele, pág. 393

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450. 18. (Junio 2015) La dactilonomía en el arte

La imagen que encabeza esta instantánea sobre la dactilonomía, el antiguo sistema de cómputo digital, procede del Palacio Trinci de Foligno; el fresco se atribuye a Gentile de Fabriano y fue pintado hacia 1412. La alegoría de la Aritmética desde su trono enseña a un joven el arte de contar con los dedos de las manos. Con la derecha marcan mil y con la izquierda cuarenta. El triunfo del sistema de numeración de base diez se debe a la posibilidad de utilizar los dedos para contar y operar. Desde oriente a occidente se recogen numerosos testimonios escritos y gráficos sobre la práctica de contar con las manos. El cómputo digital romano fue bastante sofisticado y todavía estuvo muy presente tanto en el medievo como en los inicios del Renacimiento, tal como vemos en las imágenes alegóricas de la Aritmética y las obras publicadas. Los romanos hacían amplio uso para contar de los dedos de las manos. Hay numerosos restos arqueológicos de téseras, pequeñas fichas de hueso que eran usadas a modo de recibo. Fichas que por un lado llevaban la cifra romana y por el otro la figura digital. De igual forma existen abundantes citas literarias latinas como las de Plauto, Juvenal, Cicerón, Ovidio,  Apuleyo, o Qintiliano. En fuentes cristianas la descripción más antigua conocida del sistema de cómputo digital procede del Liber de computo de San Cirilo de Alejandría (c. 376-444). San Isidoro de Sevilla lo reproducirá en sus Etimologías. Ahora bien, la obra más influyente y que no dejó de reproducirse durante la Edad Media fue De ratione temporum del monje Beda el Venerable (672 – 735), cuyo primer capítulo, Sobre la cuenta o lenguaje de dedos, daba un sistema completa hasta el millón. El sistema del monje irlandés hacía uso de la mano izquierda para los números del 1 al 90 y de la derecha (sus simétricos) para los que van del 100 al 9000, tal como vemos reproducida en la Summa de Aritmética (1494) de Fra Luca Pacioli de la ilustración inferior sin color. La otra imagen colorista procede de un manuscrito miniado de Rabano Mauro (siglo IX) En obras tan tardías como el Theatrum Arithmetico Geometricum (Liepzig, 1724) de Jacob Leupold (1674-1727) todavía se ilustra el sistema de Beda el Venerable. El arte alto medieval y renacentista italiano tiende a representar la alegoría de la Aritmética haciendo uso del cálculo digital coexistiendo con el ábaco y el algoritmo indo-arábigo. Las más numerosas muestras de alegorías de la Aritmética usando exclusivamente el cómputo digital nos las ofrecen los bajorrelieves de la Familia Pisano en Florencia, Pisa, Siena o Perugia. Reproducimos como muestra el panel de la Fontana Maggiore de Perugia de iconografía similar a la de Foligno: la dama enseña al joven el arte de contar. Durante largo tiempo se usa una representación híbrida: con una mano se opera con los dedos y con la otra se sujeta una tablilla de números arábigos. Son muchas las imágenes de este tipo por lo que reproducimos solo algunas de las significativas. Empezamos con un detalle de las Siete Artes Liberales de Giovanni di Ser Giovanni «Lo Scheggia» que se encuentra en el Museo de Arte de Catalunya. Debajo de la Aritmética se encuentra Pitágoras. De las mismas características es la representación de Andrea di Bonaiuto en la Capilla de los Españoles de Santa María Novella en Florencia, obra acabada en 1365. La obra ensalza la orden de los Dominicos, situando a Santo Tomás de Aquino en la cima de la sabiduría y la teología. Una forma muy bella y menos estática que utiliza el mismo motivo mixto de cálculo digital y algorítmico es el fresco de Sandro Botticelli para la Villa Lemmi de Florencia, que hoy se exhibe en el Museo del Louvre. La Aritmética es la que se encuentra inmediatamente a la derecha de la más elevada (Filosofía). Su mano derecha calcula mientras la tablilla descansa a su izquierda. La tablilla y el gesto de operar con los dedos se encuentran también en un sitio emblemático, el templete enrejado de la Plaza del Palio en Siena. Un siglo más tarde, ya en la época manierista,  Pellegrino Tibaldí decora la parte central de la Biblioteca del Monasterio Palacio de San Lorenzo de El Escorial con una majestuosa Aritmética híbrida.

Lunes, 08 de Junio de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico