431. 104. Una decena de gazapos matemáticos

Hace unas semanas compartí en la página de Facebook homónima de esta sección un video con gazapos matemáticos en películas. Al estar en inglés, muchos amigos me han pedido si fuera posible que les pasara la traducción al español. Además de eso le dedicamos esta reseña. Y adelantamos la publicación de un nuevo libro, Aventuras Matemáticas en el Cine. Burkard Polster, el matemático de la imagen, además de su labor docente en la School of Mathematical Sciences en la Universidad de Monash (Universidad pública en Melbourne, Australia), y su trabajo de investigación (en geometría finita y topológica, teoría de grupos, diseños en combinatoria, historia de las matemáticas, interpolación clásica, visualización por ordenador, educación en matemáticas y divulgación, además de cualquier cosa de matemática recreativa), se ha creado un personaje, Mathologer, que en un canal especifico de YouTube, presenta, dirige y pone a disposición de todo el que quiera verlo, una serie de clips de divulgación matemática sobre los más variopintos temas. Junto a su compañero Marty Ross es autor del libro Maths Goes to the Movies (ver reseña 85, de diciembre de 2013), además de colaborador en periódicos, revistas, blogs, páginas web,..., ¡¡Uf, la lista es interminable!! (¿Cómo les da el tiempo para tanto a algunos? Le crean a uno complejo de mal organizador del tiempo, como poco). El vídeo del que nos ocupamos lleva por título 10 of the greatest math movie bloopers. Esta es su transcripción (en negro), y mis comentarios y ampliaciones (en azul). Hoy tengo algo muy especial para ustedes. He preparado un cartel de 10 secuencias de películas y su misión, si deciden aceptarla, es encontrar todas las meteduras de pata matemáticas en estos clips, señaladas en los comentarios. En segundo lugar, tratar de identificar en que películas y series de televisión aparecen, que también está en los comentarios. Y finalmente, si conocen cualquier otro gazapo matemático en alguna película, pueden indicármelo, por supuesto, en los comentarios. Después les comentaré algo más de todo esto, pero por el momento sólo diviértanse. 1.- El Capitán Kirk hace sentirse orgullosa a la Academia de la Flota Estelar. Capitán Kirk: ¿Preparado Mr. Spock? Mr. Spock: Cuando guste, capitán. Capt Kirk: Señores, este equipo tiene una sensibilidad auditiva que permite percibir sonidos. Mediante la instalación de un amplificador podemos aumentar esa capacidad en un orden de 1 elevado a la cuarta potencia. Comentario: Incrementar esa capacidad en un orden de 1 elevado a la cuarta potencia. 14 = 1 x 1 x 1 x 1 Parece claro que lo que se quiso decir era que el incremento sería del orden de 104, sólo que el actor se equivocó, y nadie reparó en la tontería que dice (o simplemente, les dio igual, que no me extrañaría). Aparece en el episodio vigésimo de la primera temporada de la serie Star Trek, titulado Consejo de guerra (Court Martial)  estrenado en los EE. UU. el 2 de febrero de 1967. Corresponde a la fecha estelar 2947.3, y en él, el capitán Kirk se enfrenta a un consejo de guerra, acusado de una negligencia que ha matado a un miembro de su tripulación. Cuando descubre que uno de los miembros del Tribunal que lo juzga es una antigua amante, Kirk teme por el futuro de su carrera. Con argumentos como el mostrado, mal lo tiene, la verdad. 2.- Atletismo matemático en su máxima expresión En este caso se trata de una imagen, ampliamente conocida. Los alumnos celebran el día dedicado al número Pi (tradición en los países anglosajones el 14 de marzo (por aquello de 3.14; ya saben que primero ponen el mes y luego el día), y venden tartas y empanadas (Pie en inglés suena igual que Pi) Comentario: Pi – i –cidio. La canción que suena en la escena es Three is a magic number, interpretada en la película por el grupo Blind Melon. Se ha convertido en una canción muy popular y tiene su historia que brevemente resumo. Bob Dorough (nacido en 1923, tiene ahora 91 años) es un pianista norteamericano de bebop y cool (por si no lo sabéis, el bebop es una variante del jazz que se desarrolla en la década de los cuarenta del siglo XX, que  cronológicamente sucede al swing y precede al cool y al hard bop), cantante, compositor, arreglista y productor. Trabajó con Miles Davis y Blossom Dearie, aunque es más conocido por ser el compositor principal e intérprete de muchas de las canciones utilizadas en la serie Schoolhouse Rock!, una serie de cortos animados educativos que se emitieron en las cadenas de televisión filiales de la ABC norteamericana los sábados por la mañana en los años 1970 y 1980. Aparte de eso, Dorough ha lanzado álbumes de jazz periódicamente durante los últimos cincuenta años, el último, Eulalia, en 2014. Pues bien, Dorough compuso la canción Three is a magic number (aquí se puede ver el episodio original de la Schoolhouse Rock! emitido el 3 de febrero de 1973) después de que David McCall, presidente de una agencia de publicidad comprobara que su hijo se sabía perfectamente todas las letras de las canciones de los Beatles (no me extraña; yo también me las sé), y sin embargo era incapaz de aprender las tablas de multiplicar. Así que encargó a Bob una canción, y Three is a magic number es lo que salió. No consta en ningún sitio si el niño aprendió finalmente las tablas, pero fue el germen de la serie de animación anteriormente citada, que estuvo en antena desde 1973 a 1985. En ella trataron temas de gramática, ciencia, economía, historia, matemáticas, y civismo. Las tablas de multiplicar tuvieron una sub-serie concreta denominada Multiplication Rock de 12 episodios. Sus títulos (que pueden verse en YouTube sin más que buscarlos por su nombre) son: My Hero, Zero (dedicado a las potencias de 10), Elementary, My Dear (tabla del 2), Three Is a Magic Number (tabla del 3), The Four-Legged Zoo (tabla del 4), Ready or Not, Here I Come (tabla del 5), I Got Six (tabla del 6), Lucky Seven Sampson (tabla del 7), Figure Eight (tabla del 8), Naughty Number Nine (tabla del 9), The Good Eleven (tabla del 11) y Little Twelvetoes (tabla del 12). La sencillez de las letras hace que para nosotros sean unos cortos animados estupendos no sólo para las tablas de multiplicar sino también para la práctica del inglés. Una idea de lo popular que es esta canción la da la cantidad de intérpretes, grupos y bandas de rock que la han interpretado (una pequeña muestra: Blind Melon; Jeff Buckley; Embrace; Greg Raposo, Matt Ballinger, y Stevie Brock en una versión para Disney con una letra diferente, versiones de orquesta, etc...). Por si alguien la quiere seguir, aquí está la letra en inglés: Three is a magic number // Yes it is, it's a magic number // Somewhere in that ancient mystic trinity // You'll get three // As a magic number The past, the present, the future, // Faith, and hope, and charity, The heart, the brain, the body, // Will give you three, // It's a magic number It takes three legs to make a tripod or to make a table stand, And it takes three wheels to make a vehicle called a tricycle And every triangle has three corners, // Every triangle has three sides, // No more, no less, // You don't have to guess // That it's three // Can't you see? It's a magic number A man and a woman had a little baby // Yeah they did // And there were three in the family // And that's a magic number 3, 6, 9, // 12, 15, 18, // 21, 24, 27, // 30 Now multiply backwards from 3x10 3x10 is 30 // 3x9 is 27 // 3x8 is 24 // 3x7 is 21// 3x6 is 18 //  3x5 is 15 3x4 is 12 // And 3x3 is 9 // And 3x2 is 6 // And 3x1 is 3 of course (now dig the pattern once more!) 3, 6, 9, // 12, 15, 18 // Oh yeah // 3x10 is 30 // 3x9 is 27 // 3x8 is 24 3x7 is 21 // 3x6 is 18 // 3x5 is 15 // 3x4 is 12 // And 3x3 is 9 And 3x2 is 6 // And 3x1 // What is it? // 3 A man and a woman had a little baby // There were three in the family And that's a magic number Y la película es Nunca me han besado (Never been kissed, Raja Gosnel, 1999). 3.- Uno de los mejores momentos de James Bond La escena no está completa, sino que se ha cortado parte del diálogo. El caso es que lanzan una bomba contra el oleoducto más importante de petróleo de Occidente cuya destrucción dejará sin suministro a la gente durante el próximo siglo (lo de siempre en estas películas, ¿porqué quedarse cortos? Que se note que la situación es crítica). Alguien: Va a la terminal petrolífera 007: Allí el daño sería mayor. Que tus hombres evacuen esa terminal. 007: Va a por el petróleo. 007: ¿A que distancia está de la terminal? ¿Y a que velocidad va? Alguien: Está a 106 millas de la terminal, y va a 70 millas por hora. 007: Tenemos 78 minutos. Comentario 106 millas a 70 millas por hora = 78 minutos Claramente la cuenta está mal en la versión original. La cuenta da 90.85 minutos aproximadamente, pero es que en la versión doblada al español (que podían haberlo arreglado; a veces se ha hecho), se toman la molestia de pasar las millas a kilómetros (1 milla son 1.609 kilómetros; 1.609 x 106 = 170.554, redondean a 170, y la velocidad sería 70 x 1.609 = 112.63 Km/hora, pero ¿para que poner 112, si 110 es más redondito), pero dejan el error de Bond (total hay que ser fieles al original). La frase que aparece es por tanto: Está a 170 Km., y va a 110 Km. por hora. Por tanto Bond es aún más bruto aquí porque serían 92.72 minutos lo que tardaría en llegar la bomba. Más bruto en los cálculos, se entiende, a pesar de decirlo tan convencido lo de los 78 minutos. Moraleja: no se fíen de Bond, en nada. La película es El mundo nunca es suficiente (The World is Not Enough, Michael Apted, 1999). 4.- El futuro del mundo depende de dos chicos que tienen el mismo error matemático de la misma manera. General: Tendremos que utilizar toda la energía que haya al Este de las Rocosas para disparar el Destiny. Otro pico EM y no tendremos energía. Stickley: General, tiene que darles más tiempo. General: Ya no hay más tiempo. Coronel, llame al Destiny. Stickley: Presentaré una demanda formal contra usted ante el Departamento de Defensa. Rata: Rata a Josh. Josh Keys: Aquí, Rata. Rata: Hola. Te doy los datos del campo EM. ¿Vale primo? Josh Keys: Captado Rata. Vale primo, vale primo. Números primos... 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 ... En pantalla aparece el mensaje: Lo del Destiny suena fatal. ¿Puedo ayudar? Comentario: Números primos. La verdad es que siendo la película entera un despropósito científico (se trata de El núcleo, dirigida en 2003 por Jon Amiel), casi no es reseñable que se utilicen los primeros números primos como sistema de codificación de un mensaje, pero en efecto, parece una simpleza de niños hacerlo así, no de unos teóricamente “prestigiosos científicos”. 5.- Arquímedes se retorcería en su tumba  (St. Trinian's) Stephen Fry (Presentador): Y ahora matemáticas. ¿Qué tal vais con las matemáticas, chicas? Vamos allá. ¿Cuál es el volumen de una esfera? (Dan al botón). Presentador: Si, Peaches, has llegado la primera. Peaches: Bastante alto. Presentador: Estás ladrando al árbol equivocado. Esto no es exactamente lo que queremos decir con "volumen". ¿Alguna idea? ¿Si, Jemima? Jemina: Pi por R al cubo. Pi veces el radio al cubo. Presentador: Es Pi por R al cubo. Bien dicho. Siempre he sido bastante bueno con las cifras. Comentario: “Bastante alto” era mejor respuesta. Y Stephen Fry seguramente es menos guay de lo que se cree. La película se estrenó en España con el “atrayente” título de Supercañeras - El internado puede ser una fiesta (St. Trinian’s, Oliver Parker y Barnaby Thompson, 2007). Creo que no hay mucho más que decir. 6.- Las matemáticas de los vampiros dan más miedo que los propios vampiros. Ben Mears: Escúchame. Tienes que conseguir sellar la casa. Los crucifijos se encuentran en... Susan: Mamá no me hará caso. Ben: ¡Tiene que hacerlo! Se reproducen a partir de otros. Los vampiros crean vampiros. Es una progresión geométrica: 2 x 2 x 4 x 8 Comentario: progresión geométrica: 2 x 2 x 4 x 8. Entre La matanza de Texas y Poltergeist, el director de culto Tobe Hooper dirigió para televisión El misterio de Salem's Lot (Salem's Lot, (1979). El célebre entonces David Soul (el rubio de Starsky y Hutch) intenta describir el típico modelo de crecimiento de una población, aunque parece no haber entendido el concepto en el que se basa. 7.- El cazador de extraterrestres James Spader preocupándose demasiado Kate: No hay señal de ningún patógeno. Michael: ¿Estás segura? Kate: Mira tú mismo. Nada más que células sanas. Nyla: Podría estar oculto en la proteína. Michael: Sabes que es poco probable. Julian: ¿Cómo de improbable? ¿Cuáles son las probabilidades? Kate: 99.99999.... hasta infinito Julian: ¿Pero no 100? Comentario: 99.999999.... , pero no 100 Se trata de la película Alien Hunter (Ron Krauss, 2003). El personaje principal, Julian Rome (James Spader) es un experto criptógrafo que trabaja en un programa de búsqueda de inteligencia extraterrestre del gobierno de EE.UU. En la película, al final, logra descifrar un complejo código, pero la verdad es que hacer ese comentario sobre si 99.999999999...... nunca llega a 100, y no saltar con los ojos de par en par escuchando como se identifica probabilidad con porcentaje, pues deja mucho que desear, sinceramente. 8.- Peter Dinklage como un genio de las matemáticas hablando del concepto de grupo. Operación Threshold (algo así como Operación Límite, pero no se ha traducido en castellano esa palabra inexplicablemente) es una serie de televisión de la que sólo se realizó una temporada de trece episodios que se canceló apresuradamente, no sé sabe porqué, ya que estaba prevista su continuación, además de tener una aceptable respuesta del público. Uno de sus protagonistas es el actor Peter Dinklage (sobradamente conocido por Juego de Tronos), que interpreta a Arthur Ramsey, un sarcástico matemático. La escena pertenece al segundo episodio titulado Trees Made of Glass, de 2005. La escena tiene lugar en un bar, en la que Ramsey habla con un superior, que trata de convencerle de que vuelva a su trabajo. El diálogo que nos importa es la última frase de Ramsey: Ramsey: ¿Novakovic? Un matemático mamón. Humo y apariencia. Terapia de grupos isomorfos, sucesiones monótonas conocidas, reciprocidad cuadrática, y bla, bla, bla. Vamos con algo nuevo, por favor. Comentario: ¿Tera... qué, de Grupos? Claramente el actor debió decir Isomorphic Group Theory (Teoría de Grupos Isomorfos), pero soltó Isomorphic Group Therapy, y así lo dejaron. 9.- El equipo de Stargate pasa el tiempo con un relajante juego de primo-no primo. Mientras realizan una aburrida exploración, los integrantes de la patrulla juegan a decir si un número es primo o no es primo. Este es el diálogo: Zelenka: 7.549. Mckay: Oh, por favor. Primo. 4021. Zelenka: Ah, buen intento. No es primo. Ok. Teniente Ford, 599. Ford: No me importa si es un número primo o no. Zelenka: Oh, vamos. ¿Si o no? Ford: No. Zelenka: Es increíble. Diez de diez. Mckay: Es terrible. Ford: Me la suda esto de primo / no primo. De todos modos, voy a dormir esta noche. Zelenka: Esto va mucho más allá de no conocer números primos. Mckay: Es un juego de verdadero / falso. Estadísticamente, por simple suposición, debería obtenerse al menos la mitad de ellos correctamente. Mira, 993. Ford: Primo. Mckay: Oh, venga. Ese es muy fácil. ¿Estás escuchando esto, Hays? Hays: En realidad no. Supongo que he estado demasiado ocupado haciendo mi trabajo. El diálogo continúa así: Mckay: Nosotros ya hemos pasado por esta sección de Atlántida, Dr. Killjoy. Es estructuralmente sólida. Zelenka: (empieza a reírse) Teniente Ford, ¿le importaría ser un tema de trabajo de investigación sobre improbabilidades estadísticas? Ford: Esto es un tipo de venganza porque tipos como yo golpeábamos a tipos como tú en el instituto, ¿verdad? En este caso no aparece comentario alguno, pero 4021, sí es primo. Se trata de la serie de televisión Stargate: Atlantis, el episodio 1.13 titulado Hot Zone (2004). Creo que no se ha estrenado en España. 10.- Mel Gibson interpreta a un hombre con una cara desfigurada que enseña geometría aún más aterradora. McLeod: Dibuja un círculo. ABC. Dibuja sobre él una recta cualquiera AB. Ahora cortamos AB por su punto medio D, y dibujando una recta DC que forme un ángulo recto con AB. ¿Me sigues Noodstad? Norstadt: Si, señor. McLeod: Ok. Y con la otra recta AC, tomando su punto medio, encontramos el centro del círculo. Comentario: Cerca, pero no hay plátano.... Escena muy difundida de El hombre sin rostro (Man without a face, Mel Gibson, 1993). En ella Justin McLeod (Mel Gibson) trata de demostrar cómo encontrar el centro de una circunferencia a partir de dos cuerdas que tienen un punto común. Es un caso particular, porque la demostración general (la proposición 47 de Euclides, que dice en la película) no exige que dichas cuerdas tengan un punto común. En realidad es un corolario al problema I del tercer libro de los Elementos de Euclides, pero depende de como numeren los capítulos y las proposiciones. Yo no lo hubiera incluido como gazapo, sinceramente, porque todo lo que dice (salvo llamar círculo cuando quiere decir circunferencia, y recta en lugar de cuerda o segmento) es correcto. No totalmente general, pero no incorrecto. Finalmente, Burkhard concluye este video con estas palabras: Bukhard: Espero que hayan disfrutado de todo esto y que no les haya costado descubrir los títulos a los que pertenecen, después de haber mostrado un poco el contexto. Si echan un vistazo a esta portada, el libro Math Goes to the Movies, y lo conocen, les habrán resultado familiares. Aquí está el fondo de lo que estoy utilizando para estos vídeos de Mathloger. Un amigo, Marty Ross, y yo lo publicamos en 2012. Hemos estado obsesionados recopilando trocitos y escenas de matemáticas en las películas desde hace más de 20 años y tenemos una enorme colección de este tipo. Decidimos ponerlo todo junto en un libro, y este el resultado, pero no sólo eso. También tenemos un sitio web para mostrar y hablar de clips de películas y de toda clase de matemáticas divertidas, y lo venimos desde hace años y años y años y, bien, si hace clic en ese enlace aquí justo en la parte superior, usted conseguirá entrar en él.  La página se llama Mathematical Movie Database y es una enorme, enorme recopilación de unas mil entradas de secuencias de matemáticas en las películas. Si desea puede echarle un vistazo de vez en cuando, e indicarnos alguna otra película que usted conozca  Aquí hay un apartado para los Gazapos Matemáticos, aunque antes de mandárnoslo, compruebe que no se encuentra ya registrado. En próximas ediciones habrá más acción matemática de película en Mathologer, pero esto es básicamente lo que hay para hoy. Como comentaba al principio, prácticamente al cierre de esta reseña, me llegó la noticia de la edición y publicación de un nuevo libro en español sobre Cine y Matemáticas. Se trata de Aventuras Matemáticas en el Cine, y su autor es nuestro compañero, José María Sorando Muzás (de cuto libro anterior hablamos ampliamente en la reseña 98, de esta misma sección). En cuanto tengamos más información sobre el mismo os la daremos puntualmente, y si es posible, volveremos a charlas con su autor. De momento indicar que va dirigida al público en general, que aborda 152 escenas pertenecientes a 142 películas y teleseries, y que se divide en ocho capítulos que tiene estos llamativos títulos: 1 Qué difícil es ser un héroe de película 2 Extrañados por el azar 3 Risas matemáticas 4 ¿Hay alguien? 5 La estrategia del pistolero 6 Amar matemáticamente 7 Números y conciencia 8 Pero, ¿qué son las matemáticas? Hasta el mes que viene.

Domingo, 01 de Noviembre de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

432. 100. (Octubre 2015) "Es un oficio de hombres. Autorretratos de hombres y mujeres en reposo" de OuLiPo

Ayer mismo recibí en casa el magnífico Es un oficio de hombres. Autorretratos de hombres y mujeres en reposoi escrito por 10 + 1 –luego explico la razón de esta escritura– miembros del grupo OuLiPo. Había leído antes el texto en francés C’est un métier d’homme. Autoportraits d’hommes et de femmes au reposii que OuLiPo publicó con motivo del cincuenta aniversario de la creación del grupo literarioiii; pero en cuanto vi que se había traducido al castellano y quien lo había traducido – Pablo M. Sáncheziv + Pablo M. Sánchezv– pedí un par de ejemplares a la editorial. Los miembros de OuLiPo escriben bajo constricción, es decir, se imponen una serie de reglas para crear sus textos. En la mayoría de los casos, al principio o final de un libro sujeto a unas o varias de estas trabas, se explica cuales son las restricciones que se ha marcado el autor. En este caso, se parte de un relato de Paul Fournel –El esquiador, que describe el oficio de este deportista–: es el texto guía. El resto de los escritos –20 traducidos del original en francés + 1 añadido a la versión en castellano– deben mantener de la manera más exacta posible la estructura del texto guía, describiendo un oficio diferente. Los 10 + 1 autores son: Paul Fournel, Hervé le Tellier, Jacques Jouet, Frédéric Forte, Michelle Grangaud, Marcel Bénabou, Ian Monk, Michèle Audin, Daniel Levin Becker y Olivier Salon… + Eduardo Bertivi. Hay 1 + 20 + 1 oficios descritos: (el texto guía) + (algunos autores escriben sobre un único oficio y otros hablan de varios) + (Eduardo Berti cierra el libro con un divertido Autorretrato del oulipiano, que piensa obsesivamente en crear constricciones… o en aplicarlas). La matemática Michèle Audinvii describe tres oficios: La peonza, La raíz de 2 y La mujer en quietud. En el Coloquio Michèle Audin: Las dos ideas de Sofia Kovalevskaya, la peonza fue una de las grandes protagonistas de la conferencia. De hecho, Michèle realizó una serie de experimentos con una peonza roja de madera, como la que aparece en Es un oficio de hombres (página 81), explicando cómo sus revoluciones obedecen a precisas leyes físicas y matemáticas. Michèle Audin, Biblioteca de Bidebarrieta (Bilbao), 2011 La raíz de 2 (página 93) tiene, como no podía ser de otra manera, un oficio irracional… y La mujer en quietud (página 125) habla de una esquiadora, que ¿tendrá algo que ver con El esquiador del texto guía? Es un oficio de hombres. Autorretratos de hombres y mujeres en reposo es un texto divertido, con estilos y autores variados –sin perder nunca de vista la constricción inicial–; la traba impuesta por el texto guía no impide que los oficios sean descritos de manera original, e incluso insólita.   Notas: i OuLiPo, Es un oficio de hombres. Autorretratos de hombres y mujeres en reposo, La Uña Rota, 2015. ii OuLiPo, C’est un métier d’homme. Autoportraits d’hommes et de femmes au repos, Mille et une nuits, 2010. iii Leticia Fernández Abejón y Marta Macho Stadler, 50 (+1) años de OuLiPO, Matematicalia vol. 7, no. 3, 2011. iv Pablo Martín Sánchez ingresó en OuLiPo en abril de 2014. Aparte de conocerle –y admirarle– como escritor, tuvo la amabilidad de ejercer como jurado en el concurso de bolas de nieve literarias que DivulgaMAT convocó en julio de 2014, y fue aún más amable al dedicarle una bola de nieve a la ganadora del concurso. v A Pablo Moíño Sánchez le conocía por la traducción El aumento de sueldo (La Uña Rota, 2009) de George Perec. vi Eduardo Berti ingresó en OuLiPo al mismo tiempo que Pablo Martín Sánchez, en abril de 2014. Son los dos primeros miembros del grupo de habla hispana. Su texto Autorretrato del oulipiano no aparecía en la versión francesa aparecida en 2010; se ha incluido como apéndice en la edición de La Uña Rota, aunque el texto original, como aclaran los traductores, estaba en francés. vii No es la primera vez que hablamos de Michèle Audin en DivulgaMAT. Su Mai quai Conti es una obra de arte sujeta a una bellísima constricción geométrica.

Martes, 13 de Octubre de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

433. 103. El hombre que conoció el infinito

Como ya sucedió el año pasado con The Imitation Game, el Festival Internacional de Toronto acogió este año la première mundial de The man who knew Infinity, nuevo biopic sobre un matemático, el genial Srinivasa Ramanujan. Adelantamos algo de lo que encontraremos en ella. En 1991, el ingeniero norteamericano Robert Kanigel (nacido en 1946) escribió una biografía altamente valorada internacionalmente (y por supuesto nunca editada en España, para no variar) sobre Ramanujan, The Man Who Knew Infinity: A Life of the Genius Ramanujan. En ella no sólo encontramos una descripción de la vida de este ser humano único, sino también una mini-biografía de Godfrey Harold Hardy, probablemente el matemático británico más brillante de su generación, y una aproximación bastante interesante sobre el mundo académico de la Universidad de Cambridge de esa época (principios del siglo XX). Un libro muy ameno, de los que se leen de un tirón sin demasiado esfuerzo. Basándose en él, el guionista y director de cine Matthew Brown (su anterior y primer largometraje fue la comedia romántica Ropewalk (2000), no estrenada comercialmente en nuestro país) nos presenta esta película (en este caso si parece probable que llegue a nuestras pantallas), de la que, como es habitual, adelantamos una pequeña ficha técnica y artística. Ficha Técnica: Título Original: The Man who Knew Infinity. Nacionalidad: Reino Unido y EE. UU., 2015. Dirección: Matthew Brown. Guión: Matthew Brown, basada en la biografía novelada homónima de Robert Kanigel. Fotografía: Larry Smith, en Color. Montaje: JC Bond. Música: Coby Brown. Producción: Jon Katz, Edward R. Pressman, Sofia Sondervan, Joe Thomas y Jim Young. Duración: 114 min. Ficha artística: Intérpretes: Jeremy Irons (G. H. Hardy), Dev Patel (Srinivasa Ramanujan), Toby Jones (Littlewood), Stephen Fry (Sir Francis Spring), Jeremy Northam (Bertrand Russell), Kevin McNally (Major McMahon), Enzo Cilenti (Doctor), Shazad Latif (Chandra Mahalanobis), Padraic Delaney (Beglan), Nicholas Agnew (Andrew Hartley), Devika Bhise (Janaki), Alan Bentley (Fellow), Richard Cunningham (Hobson), Alexander Cooper (Camillero), Roger Narayan (Mr. Iyengar / El Escriba), Elaine Caulfield (Ward Sister), Eleanor Inglis (Ward Sister), James Francis Andrews (Transeúnte y Soldado), Devlin Lloyd (Estudiante / Cadete), Roman Green (Soldado Herido), Jack Philips (Estudiante matón y Soldado), Pat Carney (Fellow de la Royal Society), Dominic Cazenove (Camarero), Imogen Sage (Enfermera), Shenagh Govan (Encargada del correo), Pip Barclay (Estudiante). Alexander Forsyth (Barnie), Jon Lawes (Soldado Herido). Thomas Bewley (Baker). Aquellos que conozcan la historia, el trabajo y el legado de este matemático, por poco que sea, seguramente se acercarán con desconfianza a cualquier película sobre su persona. Es difícil plasmar en la pantalla el alcance de sus trabajos. Por otro lado, una película es, hoy más que nunca, un producto comercial que busca en primer lugar rentabilizar la costosa inversión que normalmente se hace. Después están los añadidos tales como difundir la cultura, hacer reflexionar al espectador, bla, bla, bla, que debería ser, y así se manifiesta reiteradamente, el objetivo principal, pero hace tiempo que las cosas no van por ahí, desgraciadamente. Y ¿qué puede hacer al público actual pagar una cantidad no despreciable sino simplemente por pasar un buen rato y entretenerse? Desde luego no la profundidad de las ecuaciones y fórmulas descritas por Ramanujan en sus célebres Cuadernos. Nos tendremos que conformar con que se relate su peripecia vital al menos del modo más riguroso posible, pero de nuevo, sin perder esa chispa de forzada emoción que debe incluir cualquier biopic que quiera no pasar desapercibido, y una impecable factura técnica (puesta en escena, música, actuaciones, fotografía, etc.). No debe entenderse mal el sentido del párrafo anterior: estamos encantados de que se lleven a escena, y se difunda la existencia de célebres científicos y matemáticos. Es muy positivo, cultural e informativamente. Pero también es cierto que hacerlo mal o parcialmente puede ser incluso más pernicioso que no hacerlo (que se lo digan a arqueólogos o historiadores qué les parece cómo se han mostrado algunos hechos e incluso civilizaciones). Por eso, nos gustaría que el enorme esfuerzo que somos conscientes lleva la realización de una producción cinematográfica de cierta envergadura como ésta, fuera acompañada del máximo respeto (eso lo tiene seguro) y rigor científico (o sea algo un pelín más allá de lo mero anecdótico de la descomposición de 1729 como suma de dos cubos distintos mentalmente). No es otra la intención y el deseo de estas líneas. Dicho lo cual, indagamos un poco en el trabajo de preparación de la película. De principio parece prometedor que el director se haya tirado ocho años en tener preparado el guión. Además, las producciones actuales (seguramente las antiguas también, aunque en general no se ha dejado constancia de ello en la mayor parte), aproximadamente desde finales de los años ochenta del siglo pasado, han venido incorporando expertos asesores técnicos en los más diversos campos que dignifiquen un poco lo que se va a contar. En este caso han contado con uno de los mejores conocedores de la obra de Ramanujan, el matemático norteamericano Ken Ono. Este conocimiento viene dado por el campo en el que trabaja y está especializado: formas modulares y automórficas, teoría algebraica de números, teoría de particiones, curvas elípticas y combinatoria. En 2010 presentó el desarrollo de una  fórmula de cálculo de particiones de números, basada en conjuntos fractales, que abre interesantes vías en la demostración de varios problemas clásicos de teoría de números aún sin refutar o probar. En este enlace puede verse una de sus conferencias para un público no especializado (está en inglés) sobre sus trabajos, altamente recomendable. Me consta que Ono ha realizado un trabajo a fondo en el asesoramiento de la película: explicando al protagonista Dev Patel (¿recuerdan aquel joven de Slumdog millionaire?) diferentes resultados matemáticos (los vemos en la imagen, cortesía de Ken Ono y Pressman Films), con Jeremy Irons (interpreta a Hardy) indicándolo cómo se expresa, piensa y se comporta un matemático en general (o sea tratando de hacer creíble su personaje; además, Irons es un actor muy cerebral, que siempre impregna a sus personajes de una cuidada apariencia de verosimilitud). Especialmente satisfecho se manifiesta Ono de haber logrado que el protagonista haya sido capaz de reproducir de su propia mano una nada despreciable cantidad de fórmulas y expresiones matemáticas complejas sin ningún error. Pero su trabajo no sólo ha consistido en cuidar las apariencias. También ha seleccionado los resultados de Ramanujan que consideró más adecuados que fueran mostrados, y ha tratado de modificar los diálogos del guión de modo que las matemáticas sonaran, no del modo actual, sino como lo harían los matemáticos de principios de siglo (no es algo trivial; las matemáticas han progresado mucho desde entonces, y no es difícil que se cuele algún anacronismo con algún teorema o resultado probado posteriormente). Entre la selección que ha hecho se encuentran las evaluaciones de la fracción continua de Rogers-Ramanujan, las fórmulas de Ramanujan para aproximar el número Pi (en las imágenes pueden verse algunas), la conocida como fórmula de Hardy-Ramanujan para la función partición, y su trabajo en la factorización de números altamente compuestos. Sin profundizar demasiado, expliquemos sucintamente algo sobre estos últimos. Ramanujan introdujo en 1915 el concepto de Número Altamente Compuesto (High Composite Number; abreviadamente HCN) en un artículo con ese mismo título para definir a todo aquel entero positivo que tiene más divisores que cualquier entero positivo más pequeño que él. En términos matemáticos, aquellos n tales que d(n) > d(k) para todo k < n, siendo d(n) el número de divisores de n. Por ejemplo el número 6 es un número altamente compuesto porque tiene 4 divisores (1, 2, 3, 6), más que todos los enteros menores que él (1, 2, 3, 4 y 5; el 4 tiene sólo tres divisores). Sin embargo el 8 no es un número altamente compuesto precisamente porque un número menor que él (el 6) tiene el mismo número de divisores (4 divisores). Hay muchos otros tipos de números relacionados con este concepto. Describiremos sólo dos: Números Suaves (Smooth Numbers o 7-Smooth Numbers) que son aquellos cuya descomposición en producto de números primos sólo contiene potencias de los primos de un solo dígito, esto es, potencias de 2, 3, 5, 7 (por ejemplo, 10500 es un número suave ya que es 22 x 3 x 53 x 7; no tienen por qué estar los cuatro). El concepto se generaliza a Número k-suave (cuando no tiene factores primos mayores que k). Número ampliamente compuesto (Largely Composite Number) son aquellos que tienen al menos tantos divisores como cualquier entero positivo menor que ellos. En términos matemáticos, n es ampliamente compuesto si, y sólo si,  d(n) ≥ d(k) para k desde 1 hasta n – 1, siendo, como antes, d(n) el número de divisores de n. Tanto el 6 como el 8 son ampliamente compuestos. No he encontrado ninguno de estos números definidos en español. Si existieran con otro nombre lo desconozco. Esta traducción es la que me ha parecido más adecuada al original Para aquellos interesados en vislumbrar un poco el porqué de estas definiciones, pueden en este enlace leer y descargar el artículo original de Ramanujan sobre los Números Altamente Compuestos, comentado y aclarado (afortunadamente) por Jean-Louis Nicolas en 1995. Nosotros debemos seguir con la película que es lo que nos ocupa. La película comenzó a rodarse el 3 de agosto de 2014 en Cambridge y se ha estrenado mundialmente el 17 de septiembre en el Festival Internacional de Cine de Toronto (Canadá). No ha logrado ningún premio importante en dicho festival. Una semana después, el 24 de septiembre hizo lo propio en el Festival de Zurich  (Suiza). De estas premieres parten las imágenes que acompañan esta reseña. El primer país que ha anunciado su distribución ha sido Dinamarca que la estrenará en salas comerciales el próximo 21 de enero. De todo ello se deduce que el que esto escribe aún no ha logrado verla en su totalidad (sólo algunos fragmentos) dado que en esta ocasión no ha sido posible asistir a ninguno de esos festivales, por lo que simplemente recogeremos algunas de las opiniones de la crítica especializada sobre la película (que normalmente y salvo excepciones, no tienen mucha idea de los aspectos científicos ni matemáticos, dicho sea de paso). Qué dicen los que la han visto Una de las coincidencias manifestadas por la mayor parte de los críticos es que el resultado es un tanto convencional, sobre todo la parte relacionada con la descripción de la vida del protagonista en la India. Sorprende que a pesar de lo comentado anteriormente, el crítico Justin Chang afirme en Variety que “aquel que espere saber más acerca de las contribuciones de Ramanujan a la teoría de números, fracciones continuas y otras ramas de las matemáticas harán bien en consultar otros tratamientos dramáticos de su vida”, añadiendo a continuación que “nunca es una buena señal que una película termine con una exaltación de los logros de su protagonista mientras se deja a los espectadores con una comprensión meramente rudimentaria de lo que fueron esos logros. Y tal es el caso de The Man Who Knew Infinity, que, a pesar de sus continuos diálogos hablando de pruebas y teoremas, propone su historia a un público cuyo interés por las matemáticas de nivel superior es de suponer que esté bastante lejos de infinito”. Suena fuerte, ¿verdad? Personalmente me parece un poco contradictorio que por un lado indique que no se profundiza en el legado de Ramanujan, y por otro se queje de la excesiva verborrea de teoremas, fórmulas y resultados. ¿Quizá es que no alcanza a entender algunas de esas cosas? Es la única explicación que veo. El tono mejora con la aparición de Hardy y el desplazamiento al Trinity College (obtuvieron permiso, por cierto, para rodar en la propia universidad histórica, lo que aporta calidad estética al conjunto), en una nueva película Oxbridge (Oxford & Cambridge). Ciertamente los mejores momentos parecen estar en la tensión dialéctica entre ambas personalidades: Ramanujan quiere que le publiquen sus trabajos rápidamente, pero Hardy quiere las cosas con rigor, con demostraciones y pasos detallados, modo de trabajo que no alcanza a comprender Ramanujan (que no olvidemos, afirmaba que sus descubrimientos le venían dictados por la diosa Namagiri, la deidad de su familia, afirmaciones que chocan de lleno contra el ateismo militante del matemático inglés). Por otro lado, aparecen los prejuicios e incluso el racismo oculto de una sociedad, la británica, que no puede entender cómo se mantiene y gastan recursos por una persona que, según ellos, no aporta nada de acuerdo a su rígida visión academicista. Aunque no todo será hostilidad. El contrapunto lo proporcionan el amistoso John Edensor Littlewood (un magnífico Toby Jones) y Bertrand Russell (Jeremy Northam), miembros de la facción progresista de Cambridge, puesta a prueba por el inicio de la primera guerra mundial. Su exhibición de ingenio, combatiendo a los detractores de Ramanujan o mostrándole los entresijos del santificado Trinity, imprime una gran convicción a la puesta en escena. En todo caso, volveremos sobre ella, cuando se estrene, con más conocimiento de causa. Las imágenes del rodaje de la película que se incluyen fueron tomadas por Geoff Robinson el 18 de agosto de 2014 en Cambridge. Otras personalidades Además de Ramanujan, la película presenta otros matemáticos y científicos de los que conviene saber al menos porqué destacaron y porqué aparecen en la película. Para no extender demasiado la reseña, dejaremos a un lado los suficientemente conocidos G. H. Hardy, J. E. Littlewood (recordemos simplemente la famosa conjetura Hardy-Littlewood respecto primos gemelos), y Bertrand Russell (del que ya hablamos en la reseña 66, de enero de 2012). Recordaremos brevemente a dos menos conocidos: Prasanta Chandra Mahalanobis (29 de junio de 1893 – 28 de junio de 1972) fue un científico indio que destacó en estadística aplicada. Su contribución más conocida es la distancia de Mahalanobis, una medida de distancia estadística. Realizó trabajos pioneros en las variaciones antropométricas en la India. Fundó el Instituto Indio de Estadística, y contribuyó de manera fundamental al desarrollo de las encuestas a gran escala en la India, en estudios de gastos de consumo (como los hábitos de consumo de té), medición de rendimiento de los cultivos, enfermedades de las plantas, censos, etc. Se graduó en física en 1912 por la Universidad presidencial de Calcuta, y completó sus estudios en el King's College de Cambridge, tras lo que volvió a Calcuta. En 1913 conoció y coincidió con Ramanujan en Cambridge. Su interés por la cultura le llevó también a otras disciplinas, como por ejemplo trabajar como secretario del poeta Rabindranath Tagore durante sus viajes a países extranjeros. Sir Francis Joseph Edward Spring (1849 - 1933) fue un ingeniero civil anglo-irlandés, miembro del Consejo Legislativo Imperial británico que jugó un papel pionero en el  desarrollo de los ferrocarriles de la India. Entre sus trabajos se encuentra la construcción de un célebre puente de ferrocarril a través del río Godavari. Desempeñó diversos cargos relevantes (Secretario Adjunto del Gobierno de la India, Subsecretario de Gobierno de Bengala, Gerente de los Ferrocarriles de la Costa Este de la India, Secretario del Gobierno de Madrás, Presidente de la Madras Port Trust, miembro de la Universidad de Madras y la Universidad de Calcuta, entre otros),  colaborador habitual en revistas especializadas de ingeniería en la India, aunque su aparición en la película viene justificada por haber sido la persona que más interés puso para que el gobierno apoyara y patrocinara los estudios de investigación matemática de Ramanujan en Inglaterra. Ramanujan trabajó como empleado de Grado III Clase IV entre 1912 y 1914 en el Madras Port Trust siendo Spring presidente de la institución. Fue el superior de Ramanujan, S. Narayana Iyer, quien puso en conocimiento de Spring su talento matemático. Ramanujan en el cine Los fieles seguidores de esta sección probablemente recuerden que no hace mucho (el año pasado) se estrenó Ramanujan, la película (ver Reseña 93, octubre de 2014), película anglo-india que no se ha distribuido ni estrenado en España. Además, Ramanujan es mencionado en una conversación entre Robin Williams y Stellan Skarsgård en El indomable Will Hunting (Gus Van Sant, EE. UU., 1997), e implícitamente en varios episodios de la serie de animación Futurama (Bender es un robot cuyo número de serie es 1729; Pero hay más, ¿los recordáis? Una imagen que quizá refresque la memoria). Un problemilla En el libro The man who knew Infinity, se cita un ejercicio cuya resolución inmediata se atribuye a Ramanujan, que hubiera estado interesante que apareciera en la película (¡¡quizá lo esté!!). Os lo dejo por si alguien quiere pensarlo un poco (el mes que viene os pongo la solución). Reproduzco el extracto del libro en el que aparece: La popular revista inglesa Strand tenía desde hacía tiempo una sección llamada Perplejidades, dedicada a acertijos intrigantes, numerados y con títulos atrayentes como “La mosca y la miel” o “Los azulejos teselados” y las respuestas aparecían desarrolladas al mes siguiente. En Navidades, las perplejidades se ampliaban y el autor acoplaba los rompecabezas en una historia corta. En diciembre de 1914, “Rompecabezas en la posada de un pueblo” trasladó a sus lectores al imaginario pueblo de Little Wurzelfold, donde el principal punto de interés era lo que había sucedido en Lovania. A finales de agosto, persiguiendo una política explícita de brutalización contra la población civil, las tropas alemanas comenzaron a quemar la ciudad medieval belga de Lovaina, entre Lieja y Bruselas. Casa por casa, y calle por calle pasaron a fuego Lovaina, destruyendo su gran biblioteca, con su cuarto de millón de libros y manuscritos medievales, asesinando a muchos civiles. La quema de Lovaina horrorizó al mundo, galvanizó la opinión pública contra Alemania, y unió a Francia, Rusia e Inglaterra más irrevocablemente. “La marcha de los hunos”, lo calificaron los periódicos ingleses, o “Traición a la civilización”. Fue un primer punto de inflexión de la guerra, marcando a partir de ese momento su tono. Lovaina vino a simbolizar la descomposición de la civilización. Y alcanzó incluso la página de “Perplejidades” de Strand. Una mañana de domingo después de que apareciera el ejemplar de diciembre, P. C. Mahalanobis estaba sentado con la revista en una mesa en las habitaciones de Ramanujan en Whewell´s Court. Mahalanobis era estudiante en el King´s College, y estaba preparándose el Tripos en ciencias naturales (nota aclaratoria: el Tripos es en Cambridge el examen de licenciatura de la materia correspondiente), y había encontrado a Ramanujan tiritando junto a la chimenea e instruyéndose en los matices de la manta inglesa. Ahora, con Ramanujan en la habitación trasera agitando verduras sobre el fuego de gas, Mahalanobis estaba intrigado en un problema y pensó en proponérselo a su amigo. “Aquí hay un problema para ti”, le gritó desde la otra habitación. “¿Qué problema? Dime,”, dijo Ramanujan, mientras seguía preparándose sus verduras. Y Mahalanobis se lo leyó: “Estaba charlando el otro día”, dijo William Rogers a los demás habitantes reunidos alrededor del fuego de la posada, “a un caballero sobre el lugar llamado Lovaina, que los alemanes habían arrasado. Dijo que lo conocía bien – solía ir a visitar a un amigo belga allí. Dijo que la casa de su amigo estaba en una calle larga, numerada a un lado mediante uno, dos, tres, y así sucesivamente, y que los números a un lado de su casa sumaban exactamente lo mismo que los números al otro lado de ella. ¡Qué curioso! Dijo que sabía que había más de cincuenta casas en la calle, pero menos de quinientas.  Mencioné el asunto a nuestro párroco, que tomó un lápiz y averiguó el número de la casa donde vivía el belga.  No se cómo lo hizo”. Quizá el lector pueda descubrir el número de dicha casa. Mediante ensayo y error, Mahalanobis lo encontró en pocos minutos. Ramanujan lo hizo también, pero añadiendo un guiño. “Por favor, toma la solución”, dijo y procedió a dictar una fracción continua. No era la solución al problema, era la solución a toda la clase de problemas implícitos en el rompecabezas. Tal y como estaba enunciado, el problema sólo tenía una solución (la casa nº 204 de un total de 288 casas; 1+2+3+….+203 = 205+ 206+….+288). Pero sin la restricción de estar entre 50 y 500, hay más soluciones. La fracción continua de Ramanujan incluía en una única expresión todas las posibles soluciones. Mahalanobis estaba asombrado. ¿Cómo lo había hecho? “En cuanto escuché el problema estaba claro que la solución debía obviamente ser una fracción continua; entonces pensé, ¿qué fracción continua? Y la respuesta vino a mi mente”. Hasta aquí el fragmento del libro. Se trata no de resolver el rompecabezas (cuya solución ya se da), sino de encontrar esa fracción continua que resuelve el ejercicio y todos los demás que no tengan acotación alguna en cuanto al número de casas de la calle. Hasta el mes que viene.

Miércoles, 07 de Octubre de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

434. 20. (Octubre 2015) Taracea poliédrica alemana en España

El pintor y matemático Piero della Francesca en sus investigaciones sobre perspectiva fue el encargado de llamar la atención sobre los poliedros tanto platónicos como arquimedianos para ejercitar el arte de la representación. A continuación fueron las ilustraciones de Leonardo para De Divina Proportione de Fra Luca Pacioli las que ofrecerán un material que no pasará desapercibido a los Maestros de Perspectiva, como se llegó a llamar a los intarsiatori del Renacimiento italiano. El arte de la intarsia prospectiva que había alcanzado la perfección en Italia en la primera mitad del siglo XVI va a pasar el relevo a las ciudades alemanas de Nuremberg y Augsburgo en la segunda mitad del siglo, justamente en los momentos álgidos del imperio de Felipe II. La taracea alemana incorporará más colores pero no renunciará a los poliedros, si bien los mezclara con formas más retorcidas y sofisticadas. El diseñador que aportara una rica variedad de dibujos será Lorenz Stöer cuyo libro Geometría y perspectiva fue publicado en Augsburgo en 1567. Muchos diseños quedaron inéditos pero circularon con profusión. En España tenemos dos espléndidas muestras de la marquetería poliédrica alemana: las Puertas Alemanas del Monasterio de San Lorenzo de El Escorial y el Escritorio del Museo de Bellas Artes de Bilbao. Las Puertas Alemanas del Monasterio de El Escorial Felipe II encargó a los talleres de Bartolomé Weisshaupt de Augsburgo varias puertas monumentales. El encargado de traer los muebles artísticos de Alemania fue Jeremías Jamnitzer, un hijo de Wentzel, el orfebre de Nuremberg autor de Perspectiva corporum regularium, un tratado sobre tallado de los cinco sólidos platónicos. Las puertas ocupan el interior y el exterior de dos grandes salas, la de Embajadores y la Antecámara. Las más matemáticas al modo de Stöer son las dos de la Sala de Espera. Juan de Herrera nos muestra todo su lulismo en su Discurso sobre la figura cúbica. El cubo es la referencia para el arquitecto matemático. El Monasterio de San Lorenzo de El Escorial tiene un cubo en el lugar más destacado: el asiento de Dios en el gran fresco de Luca Cambiaso de la bóveda de la Iglesia del Monasterio. El cubo está implícito en múltiples lugares, como en la cenefa de una de las puertas, pero curiosamente no es el poliedro más representado en el Monasterio-Palacio-Panteón-Biblioteca: el icosidodecaedro se representa cuatro veces. Podemos encontrar los sólidos platónicos en tres lugares: biblioteca, iglesia y palacio. En las Puertas de Taracea de Augsburgo también se representan sólidos arquimedianos, destacando tres icosidodecaedros sólidos y uno más con las aristas resaltadas. El icosidodecaedro es uno de los seis (de trece) sólidos arquimedianos cuya perspectiva dibuja  Leonardo para La divina proporción de Pacioli. Sin embargo los intarsiatori italianos no le prestaron demasiada atención. Solo lo hemos encontrado en un panel de Fra Damiano en Bolonia y que, además, es seguramente un trabajo de aprendizaje de su taller. En cambio Fra Giovanni alcanza la perfección cuando muestra la forma estrellada del icosidodecaedro vacío en Verona y en Santa María del Monte Oliveto. El éxito del icosidodecaedro en Alemania fue debido a las múltiples láminas de Lorenz Stöer. En el escritorio del Museo de Bellas Artes de Bilbao aparece tres veces y cuatro en el Monasterio de San Lorenzo: dos veces en la cenefa de la puerta este de la Antecámara y las otras dos en la puerta oeste. La forma híbrida de sólido/vacío apenas puede verse pues hay que mirar por detrás. Quien esperara audiencia con Felipe II se encontraba bien guardado por el icosidodecaedro. El Escritorio del Museo de Bellas Artes de Bilbao El Museo de Bellas Artes de Bilbao exhibe -tras su reciente restauración- un escritorio (similar al bargueño español) de taracea realizado en Augsburgo en la segunda mitad del siglo XVI. La marquetería alemana supera a la italiana en policromía y comparte con ella la fuerte presencia de la perspectiva con la representación de los sólidos, los platónicos y sus variantes. El escritorio bilbaíno pone de manifiesto la gran influencia de la perspectiva de Stöer de forma más palmaria que las puertas de El Escorial: todas las representaciones están tomadas de su obra. El frontal representa las artes liberales pero lo más interesante es lo que no suele verse por estar cerrado, solo suele ser visible la taracea de los laterales, interior, superior y mesa suelen estar ocultos. La cubierta apenas es visible, aún de puntillas. Sería bueno que el escritorio se expusiera abierto, o por lo menos con alguna lámina de su interesante interior. En la puerta interior observamos un dodecaedro, un icosaedro, un dodecaedro truncado (icosidodecaedro arquimediano), un intersecado o maclado de tetraedros (octaedro estrellado) y un cubo cruzado. El cajón inferior albergaba una tabla para servir de atril y es una verdadera sinfonía del cubo. Solo nos falta el dodecaedro rómbico para que el placer sea completo. Se representan sólidos platónicos y arquimedianos pero no de Catalá. La taracea italiana renacentista es heredera de los dibujos de Leonardo para La Divina proporción y sorprende que no aparezca el cubo truncado. Stöer no se olvida de él y lo representa tanto sólido como vacío. Hasta siete figuras relacionadas con el cubo nos encontramos en el atril: dos cubos vacíos, un cuboctaedro sólido, un rombicuboctaedro sólido, un cubo truncado hueco con vaciado de círculos en las caras octogonales y un cubo truncado sólido. El séptimo es una de las figuras que más aparece en el mueble: el octaedro estrellado o macla de dos tetraedros. La relación con el cubo se debe a que si unimos dos lo que nos aparece es el cuboctaedro. Estamos ante la representación del óptimo de apilamiento de esferas: el sistema cúbico centrado en las caras o conjetura (hoy teorema) de Kepler. La tapa superior tiene representados el icosidodecaedro y el octaedro estrellado destacando su geometría entre motivos florales. El motivo del fondo oculto del escritorio, como lo más escondido, es otra vez el icosidodecaedro. El número 5 del Boletín del Museo contiene un documentado y muy recomendable estudio de María Paz Aguiló sobre tan importante pieza.

Lunes, 05 de Octubre de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

435. 131. (Octubre 2015) Siempre en medio

A medida que pasa el tiempo, se van agotando los asuntos que podemos tratar en este rincón. Es difícil encontrar juegos originales de magia que puedan explicarse mediante propiedades matemáticas elementales. Lo que no es difícil es encontrar juegos similares basados en los mismos principios. Esto hace que aparezcan regularmente recopilaciones de estos juegos en distintos formatos. Hoy nos dedicaremos a comentar un libro de reciente publicación: se trata del titulado "Maths tricks & number magic", escrito por el mago británico Chris Wardle, y cuya portada puedes ver en la imagen que encabeza la entrega de este mes. Ya en la portada del libro aparece un elemento recurrente en la magia matemática: un cuadrado mágico. Pero este es especial porque es a la vez un ambigrama, es decir que puede leerse dando la vuelta al libro. Lamentablemente, al leerlo del revés ya no es mágico. Sin embargo, Chris es el creador de algunos ambigramas que son cuadrados mágicos en ambos sentidos (puedes ver uno de ellos en su página personal http://www.chriswardle.co.uk/ y más información en la página http://markfarrar.co.uk/chris-wardles-dual-magic-square.htm). Como maestro de enseñanza primaria, Chris Wardle ha diseñado el libro para que los niños exploren la magia de las matemáticas. Con ese fin, el autor presenta una colección de 60 juegos de magia y predicciones numéricas, la mayoría de ellos basados en propiedades aritméticas elementales que ya hemos tratado en este rincón. El acierto del libro es que el autor ha seleccionado aquellos juegos en los que predice exactamente el resultado final. Esto hace que puedan realizarse sin intervención directa del mago, ya sea por teléfono o a través de un medio escrito como este rincón. Como muestra, he seleccionado dos juegos que me han llamado la atención: el primero porque no sé la explicación y el segundo porque la explicación es curiosa. Los dos juegos se realizan con una baraja francesa de 52 cartas. Cuando la tengas a mano, continúa leyendo. ¿Estás seguro que la baraja está completa? Compruébalo y mézclala bien. ¿Seguro que has mezclado bien? Por si acaso, mezcla de nuevo. ¿Ahora ya está bien mezclada? Yo creo que no. ¿Por qué lo creo? Porque si recorres las cartas a lo largo de la baraja, una por una, estoy seguro que hay un as y un tres, o bien un dos y un cuatro, que están juntos. Compruébalo, por favor. Si es cierto lo que digo, mezcla de nuevo. Ahora comprueba que no haya ningún as junto a ningún tres y ningún dos junto a ningún cuatro. Si no los has conseguido, repite la operación una vez más. ¿Ahora ya están separados los doses de los cuatros y los ases de los treses? No importa si no lo consigues. Pasemos al siguiente juego. Como ya estará bien mezclada, no hace falta que la mezcles de nuevo. Sólo reparte sobre la mesa, caras hacia abajo, 26 cartas. Mira y recuerda la carta superior del paquete que está sobre la mesa. Vuelve a colocar la carta en su mismo lugar y deja el paquete que tienes en la mano sobre el de la mesa. Recoge todas las cartas y reparte ahora, dejando sobre la mesa una a una y de izquierda a derecha, cuatro paquetes, como en una partida de cartas. Por si no lo recuerdas: primero cuatro cartas, de izquierda a derecha, la quinta sobre la primera, la sexta sobre la segunda, la séptima sobre la tercera, la octava sobre la cuarta y vuelta a empezar. ¿Has terminado? Pues retira el montón de la izquierda. Ya no lo usaremos más. ¿Te quedan tres montones? Pues retira los de los extremos. Tampoco los usaremos más. Te quedarás sólo con el montón central. Recoge ese montón y repite el procedimiento anterior de repartir cuatro montones sobre la mesa, del mismo modo que has hecho antes. ¿El montón de la izquierda tiene una carta más? Pues lo retiras. ¿Te quedan tres montones? Pues retira los dos extremos y te quedas, como antes, con el montón central. Recoge ese montón y vuelve a repetir el proceso anterior. ¿Que sólo te quedan tres cartas? Pues reparte tres montones. Ya sabes, retira los extremos y te queda el montón central. ¿Sólo tiene una carta? ¡Seguro que es la elegida al principio! Si repasas cada uno de los pasos, comprobarás fácilmente que se trata de una simple propiedad de divisibilidad. Sin embargo, el juego inicial está basado en una propiedad probabilística poco intuitiva, como suele suceder habitualmente. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Lunes, 05 de Octubre de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

436. 96. (Septiembre 2015) Silent Sky, de Lauren Gunderson

Silent Sky –Cielo silencioso– es una obra de teatro de la dramaturga Lauren Gunderson, que comienza con esta preciosa cita: In our troubled days it is good to have something outside our planet, something fine and distant for comfort. Annie Jump Cannon Los personajes de la obra son cinco: la astrónoma Henrietta Leavitt (1868-1921), su hermana Margaret Leavitt, el joven astrónomo Peter Shaw, representando la élite masculina del Observatorio de Harvard, la astrónoma Annie Cannon (1863-1941), y la astrónoma Williamina Fleming (1857-1911). Henrietta Leavitt, Annie Cannon y Williamina Fleming Silent Sky comienza cuando la joven Henrietta, ayudada por su hermana Margaret, consigue abandonar la casa familiar para aprender sobre las estrellas en el Observatorio de la Universidad de Harvard. Allí encuentra a Peter, un joven astrónomo que –supuestamente– es su superior, y a sus compañeras ‘calculadoras’: Willamina –ama de casa convertida en astrónoma– y Annie –que dirige a las mujeres contratadas por el Observatorio como mano de obra barata–. La labor de estas mujeres es la de analizar fotografías del firmamento con el objetivo de catalogar estrellas(1). Las ‘calculadoras’ del llamado harén de Pickering no pueden ni opinar ni tocar los telescopios… pero Henrietta trabaja en secreto por las noches, intentando medir la luminosidad de las estrellas y las distancias entre ellas: se acerca cada vez más a sus grandes descubrimientos astronómicos. Las habilidades musicales de su hermana Margaret –no las enseñanzas de Peter, que se enamora de ella– despiertan el genio matemático de Henrietta: la música y las matemáticas la llevan a descubrir la relación entre el periodo(2) y la luminosidad de las estrellas de brillo variable(3), clave para medir distancias astronómicas(4). Aunque su fama aumenta gracias a sus continuos logros, un cáncer de ovarios comienza a debilitarla, y debe abandonar sus investigaciones en el observatorio. Mientras tanto, Annie demanda el sufragio femenino: If women can organize the sky we can organize the vote. Henrietta no vivirá para ver ni las numerosas aplicaciones de su trabajo, ni la llegada del voto femenino…   NOTAS (1) Estas imágenes se obtenían a través de las cámaras fotográficas acopladas a los telescopios: el volumen de datos obtenidos era tan grande, que se necesitaban gran cantidad de personas catalogando y clasificando. Se trataba de un trabajo repetitivo que requería medir el brillo, la posición y el color de cada estrella en la placa fotográfica. El director del Observatorio, Edward Charles Pickering, decidió contratar a mujeres para realizar esta labor porque pensaba que se ajustaba mejor al ‘talento observador y paciente’ de las mujeres… y porque a ellas se les pagaba un tercio de lo que percibían los varones. (2) Expansión o contracción periódica de las capas exteriores de la estrella, que hacen variar su luminosidad, su temperatura superficial y su espectro. (3) Las cefeidas. (4) Estos descubrimientos fueron fundamentales para el descubrimiento de la expansión del universo por Edwin Hubble.   Más información: Silent Sky Algunas imágenes de la representación de Silent Sky (2015) Henrietta's Rhapsody For The Silent Sky

Miércoles, 30 de Septiembre de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

437. 70. (Septiembre 2015) Fractales en la percusión

1. Fractales Los fractales son extremadamente ubicuos y, por lo que vamos a ver en el artículo de este mes, profundamente humanos, ya que al menos los encontramos en actividades tan diversas como las matemáticas y la música. En la columna de este mes glosaremos el artículo Fluctuations of Hi-Hat Timing and Dynamics in a Virtuoso Drum Track of a Popular Music Recording [EPV+15] publicado en la revista PLoS ONE y cuyos autores son los investigadores Esa Räsäänen, Otto Pulkkinen, Tuomas Virtanen, Manfred Zollner y Holger Hennig (todos ellos físicos de prestigiosas universidades). En este artículo, los investigadores han descubierto patrones fractales en la música del percusionista Jeff Porcaro (1954–1992), quien es especialmente popular por que fue el batería de la banda de rock Toto. Pero ¿qué son los fractales? Hay muchas maneras de responder a esta pregunta dependiendo del interlocutor. Para aquel interlocutor con formación matemática son conjuntos recursivos de dimensión fraccionaria (véase [Man04] y las referencias allí contenidas para los aspectos técnicos de esta definición). Hubo matemáticos que intuyeron el concepto, aunque no lo formalizaron suficientemente, pero fue Mandelbrot quien en 1975 introdujo el término fractal y proporcionó una descripción y una formalización coherentes y funcionales. Desde entonces el estudio de estos objetos explotó exponencial, tanto en la matemática pura (teoría del caos, procesos estocásticos) como en las aplicaciones (predicciones, optimización, arte, informática gráfica). Para el interlocutor con menos formación matemática, un fractal es un conjunto autosemejante (no siempre estrictamente), esto es, un conjunto que se repite a sí mismo a diferentes escalas. En la figura de abajo podemos ver el conjunto de Mandelbrot. Si hiciésemos zum en cualquier parte comprobaríamos que la parte es igual al todo salvo en las proporciones y que no importa el nivel de zum que apliquemos que esa propiedad se conserva. En el artículo Fractals [Wik15] de Wikipedia se encuentra ilustrado este proceso de amplificación sucesiva de las partes del conjunto de Mandelbrot. Figura 1: El conjunto de Mandelbrot Para muchos, los fractales están relacionados con el arte y a menudo se oye hablar del arte fractal entre el público no matemático. En particular, existe la llamada música fractal, música de composición inspirada en los patrones fractales o bien con estructura fractal. 2. Jeff Porcaro Jeff Porcaro fue un influyente percusionista, escritor de canciones y productor. Aunque es muy conocido por haber sido el batería de la banda de rock Toto, Porcaro fue un músico de estudio que participó en cientos de álbumes y que gozaba de una gran reputación entre los músicos de su generación. Sin ánimo de dar una lista exhaustiva, Porcaro tocó para Paul McCartney, Dire Straits, Michael Jackson, Al Jarreau, George Benson, Joe Cocker, Stan Getz, Barbra Streisand, Donna Summer, Diana Ross, Eric Clapton, Miles Davis, Bruce Springsteen, Elton John, entre otros. Como se puede ver, los gustos musicales de Porcaro eran muy amplios y su versatilidad como músico, alta. Su originalidad como percusionista ha sido muy apreciada y para muchos ha sido un auténtico renovador de la batería, especialmente en el panorama del jazz y el rock de entre finales de los 70 y principios de los 90. En Youtube hay muchos vídeos (no de buena calidad siempre) sobre él, tanto de sus compañeros músicos como de sus fans (lamentablemente, murió muy joven). Por ejemplo, en este vídeo [Por15b] podemos escuchar un solo de Porcaro, vibrante, lleno de inventiva, y con un sentido de la tímbrica deslumbrante. En este otro vídeo [Por15a], Nick Molenda explica en detalle la técnica de Porcaro; analiza las figuras rítmicas que usa, la elección de los acentos, la combinación de tambores y en particular su técnica de charles (hit-hat en inglés), por la que era especialmente famoso. Porcaro pensaba que la docencia era importante y en Youtube se encuentran muchos vídeos en que explica su técnica; en este aspecto era de una generosidad infrecuente. 3. Los patrones fractales en la música de Porcaro El artículo de Esa Räsäänen y sus colaboradores es bastante complejo, sobre todo por las técnicas de análisis que utilizan, y aquí solo lo describiremos con un propósito divulgativo. Muchos fenómenos naturales presentan fluctuaciones de ruido rosa, también llamadas fluctuaciones fractales. Dichos fenómenos se encuentran en campos como la física, la biología, la economía y la música. Estudios previos a este artículo mostraron que la altura de sonido y el volumen presentan fluctuaciones fractales. Con respecto al ritmo también existen estudios que examinan esas fluctuaciones, pero sin embargo están limitados metodológicamente ya que se han realizado o bien en condiciones ideales en el laboratorio o bien con un solista tocando en presencia de un metrónomo. El estudio que nos ocupa va un paso más allá e investiga música grabada en vivo, en condiciones reales, y sin metrónomo, en este caso en la música de Porcaro. En concreto, sus autores investigan las propiedades de correlación del volumen de patrones rítmicos y para ello proponen métodos novedosos. El artículo, empero, no presenta interpretaciones musicológicas de los resultados (todos sus autores son físicos). En este trabajo se analiza el patrón de charles de una pieza representativa, I keep forgettin’, de Michael McDonald, grabada en 1982 con Porcaro a la batería. El patrón de charles se toca con una sola mano (Porcaro declara en un vídeo que tocar esos patrones con una sola mano proporcionaba una articulación más suave). Para analizar la señal los autores usaron herramientas muy sensibles, capaces de detectar tiempos de ataque de las notas del orden de milisegundos. A continuación, llevaron a cabo un análisis de series temporales de las sucesiones de los ataques obtenidos. Un primer análisis mostró que los ataques presentaban las variaciones típicas de una pieza grabada sin metrónomo. Tras ello, usaron el método de deducción de la fluctuación de tendencias (DFA, detrended fluctuation analysis en sus siglas inglesas) para estudiar la autocorrelación entre las distintas partes de la pieza y así analizar el nivel de autosemejanza. El DFA, que fue introducido por primera vez en 1994 por Peng y otros, es una generalización del análisis ordinario de la fluctuación. Este análisis aparece en procesos estocásticos, teoría del caos y análisis de series temporales. Se emplea con frecuencia para examinar la estructura interna de series temporales, especialmente autocorrelaciones de rango amplio. Los resultados de los análisis anteriores revelaron que los patrones rítmicos y de volumen detectados a pequeña escala, en un par de compases, se replicaban a escalas mayores hasta llegar a la escala de la pieza entera. Incluso los patrones de desviación expresiva del tempo siguen pautas regulares. Uno de los autores, Henning, “cree firmemente que la presencia de estos patrones es parte de la magia de la manera de tocar de Porcaro”. En las conclusiones los autores se hacen muchas preguntas fascinantes, entre ellas si estos patrones son universales o propios de Porcaro (creen que son universales), cómo se originan esos patrones a nivel neuronal, cómo se pierden esos patrones con la edad o la enfermedad (recientemente descubrieron un pianista profesional con Parkinson que los había perdido). El caso es que este trabajo ha confirmado sólidamente la presencia de los fractales en la música.   Bibliografía [EPV+15] Räsäänen E., O. Pulkkinen, T. Virtanen, M. Zollner, and H. Hennig. Fluctuations of Hi-Hat Timing and Dynamics in a Virtuoso Drum Track of a Popular Music Recording. PLoS ONE, 10(6), 2015. [Man04] Benoît Mandelbrot. Fractals and Chaos. Berlin: Springer, 2004. [Por15a] Jeff Porcaro. Jeff Porcaro on Rosanna - Shuffle Groove Breakdown by Nick Molenda. https://www.youtube.com/watch?v=u-N3ohNSYsU, visionado en septiembre de 2015. [Por15b] Jeff Porcaro. Solo de Jeff Porcaro. https://www.youtube.com/watch?v=-5BIUhCMQo8, visionado en septiembre de 2015. [Wik15] Wikipedia. Fractals. https://en.wikipedia.org/wiki/Fractal, consultada en agosto de 2015.

Viernes, 25 de Septiembre de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

438. 102. SOLUCIÓN CONCURSO DEL VERANO DE 2015

Todo llega. Un nuevo septiembre, y con él un nuevo curso y las conclusiones de este ¿original? ¿distinto? ¿singular? (dejemos las consideraciones  < 0 para otro momento) concurso también. Este verano, a tenor de la menor participación, vuestros comentarios, y la resolución de las cuestiones planteadas, las puntuaciones finales, etc., podemos concluir que ha resultado más difícil que en otras ocasiones. Y eso que la mecánica ha sido similar a otras ocasiones (ejercicios de diferentes niveles y ramas de la matemática, y tres o cuatro cuestiones un poco más elevadas, normalmente extraídas de otros certámenes y concursos tipo olimpiadas matemáticas). Es cierto que probablemente la película era más difícil de descubrir y localizar (no para cinéfilos), pero deseaba que fuera española, diferente, y de un director esencial aunque seguramente no lo suficientemente reconocido, no por sus méritos cinematográficos (que los tiene), sino por la singularidad de sus propuestas en una época complicada y no propicia para demasiadas alegrías. No obstante la mitad de los participantes la han acertado. Y claro, si era complicado para nosotros, casi imposible para los participantes allende los mares. Porque esta vez, tenemos que dar la bienvenida y congratularnos de la participación de una amiga nada menos que desde nuestra querida Argentina (estupendas películas también allí). Sin más, vamos con las soluciones a las cuestiones. Cuestiones Generales C – 1.- De las indicaciones dadas, está claro que el juego es la ruleta. C – 2.- El protagonista, BB (Basilio Beltrán), al ver en la sala a un jorobado, pasa disimuladamente su moneda de duro por su “chepa”, dado que los supersticiosos consideran que esto atrae la suerte. C – 3.- Sabiendo que el juego es la ruleta, ruleta española para más señas, no la americana, ésta contiene 36 números y un número 0: 37 sectores en total. El polígono regular de 37 lados se llama Triacontakaiheptágono. El nombre está conformado con el prefijo triaconta (30 lados), kai (más) y heptágono (polígono de 7 lados). C – 4.- Para encriptar su nombre se ha empleado el método de la escítala. Se puede reproducir sobre una cuadrícula del siguiente modo: T T P R A T I K A A A G C I O O H N N E O Colocando las letras por filas, aparece la disposición que se proponía. Se ha utilizado el 7 como clave, dada su pertinencia en esta película, además de que el nombre del polígono estrellado tiene 21 letras exactamente, y “cuadraba” el 7. También se ha dado por válido la trasposición, dado que no había mayor información en el texto sobre el procedimiento, y porque también responde al encriptado. Eso sí, se ha valorado más cuando se ha explicado cómo se ha llegado a descifrar (disposición en tres columnas) que cuando sencillamente se ha dicho que por trasposición sin más explicaciones. C – 5.- Se ha dado por válida tanto la respuesta grafo, como politopo (aunque ésta última es más para objetos tridimensionales; sin embargo puede aplicársele, teniendo en cuenta que la definición de politopo no está suficientemente clarificada). Sin embargo, no se ha dado validez a curvas de Bezier, ya que el contexto de éstas y su utilización es otro completamente diferente al propuesto. C – 6.- El espejo es un elemento que ha suscitado a lo largo de la historia de la humanidad mucha literatura (y por supuesto, películas), fundamentalmente en dos facetas: como  muestra de la realidad (realidad que a veces nos negamos a ver), y como inquietante, incluso terrorífico (porque quizá pueda reflejarnos lo que no podemos ver al natural pero que está presente, con nosotros). Así, desde Narciso y Perseo cargándose a la Medusa (nunca mejor dicho en el caso que nos ocupa) a otros más recientes, disponemos de un amplia variedad de títulos. Unos cuantos ejemplos, que se unen (algunos coinciden) a los que habéis propuesto cada uno: Películas: A través del espejo (The dark mirror, Robert Siodmak, 1946), La dama de Shanghai (The Lady From Shanghai, Orson Welles, 1947), El hombre de la pistola de oro (The Man With the Golden Gun, Guy Hamilton, 1974), Taxi Driver (Martin Scorsese, 1976), Reflejos (Mirrors, Alexandre Aja, EE. UU., 2008), Cisne Negro (Black Swan, Darren Aronovsky, 2010). Obras literarias: Blancanieves y los siete enanitos (Hermanos Grimm), El Aleph (Jorge Luis Borges), Alicia a través del Espejo (Lewis Carroll), El espejo curvo (Antón Chejov), El espejo roto (Agatha Christie). C – 7.- La célebre frase corresponde a la película El sexto sentido (The Sixth Sense, M. Night Shyamalan, 1999), y la relación con la película que nos ocupa es la aparición de un espectro que busca que le ayuden a descubrir un asesinato en un caso, o a evitar que se cometa uno, en el otro, pero en esencia lo mismo. En definitiva que los guionistas recurren a lo mismo de siempre ante la absoluta falta de ideas nuevas (y normalmente, empeorando o infantilizando la propuesta). C – 8.- La escalera de caracol (The Spiral Staircase, Robert Siodmak, 1945), El tercer hombre (The Third Man, Carol Reed, 1949), De repente el último verano (Suddenly last summer, Joseph Leo Mankiewicz, 1959), Al final de la escalera (The Changeling, Peter Medak, 1980), Goya en Burdeos (Carlos Saura, 1999), El árbol de la Vida (The Tree of Life, Terrence Malick, 2011), entre otras muchas. La imagen de la foto corresponde a la serie de televisión El ministerio del tiempo. C – 9.- En 1954, José Luis Sáenz de Heredia dirige Todo es posible en Granada, con argumento también de corte fantástico, en el que se juega con la creencia de que en Granada se encuentra enterrado un fabuloso tesoro, musulmán en este caso. Francisco Rabal la protagoniza. Años después, en 1982, Rafael Romero Marchent dirige una nueva versión (aún peor que la precedente) de la misma historia, interpretada por Manolo Escobar, en la que fue su última aparición en el cine (de ahí lo de indicar que no tendría muy buen recuerdo de ella) C – 10.- Sugiere que es bastante falsa, ya que César en latín era Caesar, y que no tenía el que la esculpió demasiada idea de cómo funcionan los números romanos. El título de la película es La torre de los siete jorobados, dirigida por Edgar Neville, en 1944, basada en un conjunto de relatos de Emilio Carrere. Se trata de una curiosa mezcla de géneros: costumbrismo, policiaco, negro, terror, aventura y fantástico. Son claras las influencias del cine expresionista alemán (tipo Nosferatu o El gabinete del doctor Caligari) y del cine gótico. Cuestiones Matemáticas M – 1.- Apostar a la ruleta no es, salvo que estemos compinchados con el crupier, una buena idea, porque la esperanza matemática de ganar, sean apuestas sencillas o combinadas, es siempre negativa. Para probarlo, empecemos con las apuestas simples. En la película, la ruleta es la europea (36 números, más un número cero; total 37 posibilidades en cada juego). Echemos un vistazo a cada una de las posibles apuestas que se pueden hacer. Tomamos 1 euro (o 1 dólar) como apuesta genérica. 1.- Apuesta a un único número. El pago es 35 a 1 (es decir, si sale nuestro número nos pagan 35 veces nuestra apuesta, más lo que apostamos). Recordemos que la esperanza matemática es la suma del producto de la probabilidad de cada suceso por el valor de dicho suceso. E1 = (1/37) 35 + (36/37) (─ 1) = ─ 1/37 2.- Apuesta a dos números adyacentes. La ganancia es 17:1. E2 = (2/37) 17 + (35/37) (─ 1) = ─ 1/37 3.- Apuesta a una fila completa (tres números). La proporción de pago es 11:1. E3 = (3/37) 11 + (34/37) (─ 1) = ─ 1/37 4.- Apuesta a cuatro números. Se paga 8:1. E4 = (4/37) 8 + (33/37) (─ 1) = ─ 1/37 5.- Apuesta a dos filas. Las ganancias son 5:1. E5 = (6/37) 5 + (31/37) (─ 1) = ─ 1/37 6.- Apuesta al primer tercio (doce números). La proporción es 2:1. E6 = (12/37) 2 + (25/37) (─ 1) = ─ 1/37 7 y 8.- Apuesta a una mitad (18 números) o a un color (18 números). Las ganancias se pagan 1:1. E7 = (18/37) 1 + (19/37) (─ 1) = ─ 2/37 Las apuestas combinadas consisten en combinar dos de las anteriores (por ejemplo, apostar al color negro y a los números 13, 14, 16 y 17; está permitido apostar cantidades diferentes a cada uno de ellos). La esperanza en este caso es la suma de ambas, es decir que cualquier apuesta combinada (tomando como referencia 1 euro como antes) tendrá por esperanza E = (─ 1/37) + (─ 1/37) = ─ 2/37 M – 2.- Para calcular el número de metros de hilo que tenemos que utilizar para componer el hilorama de 37 puntos (el grafo completo del polígono regular de 37 lados), nos vamos a fijar en uno cualquiera de los puntos, y vamos a calcular las longitudes a cada uno de los restantes 36 puntos (los hiloramas no se construyen en la realidad así, porque no cortamos el hilo, pero como lo que tenemos que hacer es unir todos los vértices con todos, en el fondo el resultado es el mismo, sólo cambia la forma en que lo vamos a calcular). Como esa operación la hacemos con cada vértice, multiplicamos por 37 el valor que nos de la suma de longitudes de ese primer vértice, y lo tenemos. Las distancias a cada punto son diferentes, aunque por simetría nos podremos ahorrar algunas. Para calcular esas distancias, primero representamos los puntos. Una forma es en coordenadas polares. Como el diámetro es de 40 cm., el radio es de 20 cm. con lo que el radio vector lo pondremos en 20, y el argumento, 2kπ/37, k = 0,…., 36. Denotaremos entonces cada vértice como Pk = (20, 2kπ/37), k = 0,…., 36 El número de aristas que unen los vértices una sola vez del grafo completo (así evitamos las repeticiones) viene dado por n(n – 1) /2, que en este caso son 37 ▪ 36/2 = 37 ▪ 18 = 666 (un número como cualquier otro, ¿o no?). Además 18 son el número de distancias diferentes que tenemos desde cada punto al resto, porque d(P0, P1) = d(P0, P36) = 40 sen (π/37) d(P0, P2) = d(P0, P35) = 40 sen (2π/37) d(P0, P3) = d(P0, P34) = 40 sen (3π/37) ………………………………….. d(P0, P18) = d(P0, P19) = 40 sen (18π/37) Para calcular esas distancias, si se emplea la fórmula habitual, no se olviden pasar los puntos a coordenadas cartesianas, esto es Pk = (20 cos(2kπ/37), 20 sen(2kπ/37)),    k = 0,…., 36 La suma de esas dieciocho distancias (ojo: no el doble, aunque para cada punto salga así; si pusiéramos el doble, repetiríamos distancias. Recuérdese la expresión del número de aristas distintas) es Por tanto el total será 37 ▪ 470.8155711 = 1742.017613 cm., esto es 17.42 m. aproximadamente. M – 3.- Estas construcciones aparecen en la llamada teoría de Ramsey. Básicamente trata sobre situaciones en las que hay que probar que en una colección grande de objetos, hay configuraciones más pequeñas con alguna regularidad. Una forma de demostración es a través del coloreado de grafos completos que al final muestran la estructura de un hilorama. Un problema típico, el de la amistad: Probar que en un grupo de seis personas, o se cumple que tres se conocen entre sí, o se cumple que tres no se conocen entre sí. Representamos cada persona mediante un punto, y la relación de conocimiento o desconocimiento mediante aristas que los unan. Por ejemplo, rojo indica que sí se conocen y azul lo contrario. (un enunciado en términos de grafos del mismo problema es: en el grafo completo K6 coloreadas sus aristas de dos colores, siempre encontramos un subgrafo K3 monocolor. M – 4.- Para verse de cuerpo entero en un espejo, éste ha de tener una medida vertical mínima igual a la mitad de la altura de la persona,  y estar a una altura máxima igual a la mitad de la distancia que haya entre los ojos y el suelo (es fácil encontrar o deducir la demostración en la que se aplica una semejanza de triángulos vía teorema de Tales). Por tanto para que BB se vea al completo, el espejo debe tener una altura mínima de 0.825 m. y para la segunda cuestión no disponemos de todos los datos necesarios. M – 5.- Una cuestión muy sencilla. En una ecuación de segundo grado, ax2 + bx + c = 0, sabemos que el producto de sus raíces (que en este caso son las dimensiones del espejo rectangular) viene dado por c/a, y su suma (el perímetro será el doble), por -b/a. Así pues, la superficie del espejo será 17/19 m2, y su perímetro, 86/19 m. Ambos son números racionales, por tanto su expresión decimal, o es finita, o es infinita periódica. Como el denominador, 19, no contiene como factores primos ni al 2 ni al 5, debe ser periódicos puros. Otro modo de comprobarlo es pasando el número a fracción continua: si el número de denominadores es finito, el número es periódico puro. En el caso de 17/19 el periodo es de 18 cifras (0.894736842105263157.....), y para 86/19 es también de 18 (4.526315789473684210.....). ¿Tendrán todas las fracciones de denominador 19 periodo 18? Por cierto, no sé si conocéis la siguiente propiedad: tomad la mitad de los números del periodo de cualquiera de los números anteriores. A continuación sumadle el resto del periodo (o sea, para el primer número algo así: 894736842 + 105263157). ¿Qué se obtiene? ¿Es así siempre? Si fuese cierto, no haría falta más que calcular la mitad de los decimales, ¿no? ¿O falla algo? El concurso ya acabó, pero un matemático nunca deja de hacerse preguntas... M – 6.- Análoga a la anterior, en este caso, sabiendo que la habitación tiene forma de paralelepípedo (V = abc). Sabiendo que esas dimensiones son las raíces (x – a) (x – b) (x – c) = x3 – (a + b + c) x2 + (ab + ac + bc) x – abc El volumen de la habitación (abc) es por tanto 12600 m3, y la superficie total, que viene dada por 2(ab + ac + bc), será (véase el término en x) 2 x 1629 = 3258 m2. Lo que mató a la curiosidad fue al gato (dicho popular que se remonta a la Inglaterra del siglo XVI), animal que aparece varias veces en la película, y dado el carácter supersticioso del protagonista, es negro, como dice el enunciado. M – 7.- Suponiendo que en cada jugada se tarden 5 minutos, al cabo de una hora se juegan 12 veces. Buscamos entonces la probabilidad de que en la ruleta europea, de 12 jugadas, salga 6 veces el mismo número. Esto es, una probabilidad ciertamente baja, de donde tal suceso se antoja prácticamente imposible (en una ruleta sin trucar, claro, como se supone que es la de la película). Por tanto, sí se puede afirma que ocurre “algo extraño”. M – 8.- La banca gana con seguridad cuando sale el cero. La probabilidad de que esto ocurra es Teniendo en cuenta además que la banca siempre juega, aún no me explico cómo a la gente le gusta enriquecer a los casinos tan estúpidamente. M – 9.- BB empezó ganado con una peseta. Como en la ruleta la ganancia a un número es 35:1, que se acumula a lo apostado, tras la primera vez tiene 36 pesetas. Apuesta todo ello a un número de nuevo, con lo que gana 35 · 36 + 36 = 362 (=1296), que vuelve a apostar y ganar, con lo que obtiene 363 (= 46656). En ese momento se le cae una ficha. Algunos concursantes han supuesto que era de las de una peseta, y otros han hilado más fino y han considerado que era de las de 5 pesetas, comparando con escenas previas (tanto a unos como a otros les he valorado igual; lo que me importan son las matemáticas empleadas). Como vuelve a ganar con esa ficha que se le cae, el beneficio será de 5 · 35 más. Es decir,  363 – 5 + 5 · 35 = 46826 pesetas, aproximadamente. Como nos recuerda Pablo Palacio Puente, “teniendo en cuenta que al principio de la película, BB está preocupado si con un duro podrían comer tres personas, es más que evidente que después de la ganancia obtenida podrá invitar a comer a dos personas (y a bastantes más)”. M – 10.- La mente de los jugadores siempre ha sido muy productiva a la hora de idear estrategias para intentar ganar con seguridad a cualquier juego de apuestas. Otra cosa es que sean de verdad eficientes. 1.- La más conocida es seguramente la Martingala. Consiste en doblar una apuesta después de perder la anterior, siempre que pérdidas y ganancias estén al 50%. Así, cuando se gane, se recupera todo lo perdido anteriormente. Por ejemplo, apostamos a un color (hay “casi” 50% de posibilidades de ganar y perder; el “casi” es por el maldito cero que desnivela las posibilidades). Si sólo apuestas a un color y se va doblando la apuesta hasta que se gane, todas las pérdidas podrían verse recuperadas. Muy bonito, salvo que nadie tiene asegurado que tras cuatros rojos aparezca un negro. Podría salir una sucesión de veinte rojos, por ejemplo, y claro, salvo que seas millonario no se tienen recursos infinitos para seguir apostando. Además se puede alcanzar rápidamente el umbral máximo de apuesta tras varias veces perdiendo. 2.- La estrategia D´Alembert. Un poco más segura que la martingala, consiste en aumentar o disminuir las apuestas en base a factores aritméticos en lugar de geométricos. En lugar de doblar la apuesta al perder (como en la martingala), aumentamos la apuesta en una unidad (1€, por ejemplo), mientras que la bajamos después de ganar. Si se gana el mismo número de veces que se pierde, esta estrategia puede llevarnos a tener beneficios. La estrategia D´Alembert es un sistema de apuesta que puede funcionar apostando a par o impar, a color, o a números entre 1-18 o entre 19-36. Por ejemplo, comenzamos apostando 5€ al negro. Perdemos. Entonces apostamos 6€ al negro. Perdemos otra vez. Apostamos entonces 7€ al negro. Si en ese momento ganamos, bajamos la apuesta a 6€. Si volvemos a ganar, dejamos de jugar. Hemos ganado tantas rondas como hemos perdido, pero tenemos beneficios: ─5─6+7+6= +2. Nuevamente, la estrategia se basa en que “teóricamente” (ley de los grandes números) se tiende a un equilibrio entre las veces que se gana y las que se pierde, pero nos olvidamos de que ese principio funciona “en el infinito”, no con un número concreto de jugadas, que son las que podemos hacer en una tarde. Por otro lado, hay que tener la suficiente sangre fría como para dejar de jugar cuando hemos alcanzado ese equilibrio, algo prácticamente imposible hablando de jugadores (léase El jugador de Dostoyevski, por ejemplo). 3.- La estrategia Fibonacci. Consiste en seguir la famosa sucesión, generada sumando dos números para obtener cada uno de los siguientes: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610,…. Esta estrategia supone apostar sumando las dos apuestas anteriores para obtener el monto de la siguiente. Cuando se pierde, se sigue adelante con la secuencia; cuando se gana, se vuelve dos apuestas hacia atrás en la secuencia y se apuesta esa cantidad. Se pueden obtener beneficios incluso aunque se pierda más veces que las que se gane. Pero, cuanto más se avanza en la secuencia, más dinero puede perderse. Veamos un ejemplo. Apostamos al negro, 3€; perdemos. Apostamos al negro otros 3€; volvemos a perder. Entonces apostamos al negro 6€; perdemos de nuevo. Siguiendo esta estrategia, apostamos entonces al negro 9€; volvemos a perder. Volvemos a apostar al negro, ahora 15€. Supongamos que ganamos. La siguiente ronda entonces apostamos al negro 6€. Ahora perdemos. Apostamos entonces al negro 9€, y ganamos. Después apostamos al negro 3€. Si ganamos, y volvemos a apostar 3€, y volvemos a ganar, en el cómputo general hemos perdido más veces de las que hemos ganado, pero hemos tenido beneficios:  ─3 ─3 ─6 ─9 +15 – 6 + 9 +3 +3 = +3 Otras estrategias son la martingala inversa, la estrategia James Bond, etc. En Internet o libros especializados pueden encontrarse todas las que se quieran, pero ninguna puede garantizarnos ninguna ganancia. M – 11.- La situación propuesta es similar a la de la imagen, siendo P el punto en el que BB se encuentra, y la incógnita x es la distancia PD. Utilizando la cuarta ecuación, sustituyendo y operando, se tiene que x2 = n2 + q2 = (a2 – m2) + (c2 – p2) = a2 + c2 – (m2 + p2) = a2 + c2 – b2 por lo que, x = PD = = 11 m.   Las dimensiones de la sala no es posible calcularlas con los datos dados, ya que quedan en función de un parámetro, con lo que hay infinitas soluciones posibles. M – 12.- Según las condiciones descritas, la escalera se asienta sobre un tronco de cono de sección circular, de altura 20 m., y de longitudes de circunferencias superior e inferior 12 m. y 4 m., respectivamente. Si cortáramos por la mitad verticalmente dicho tronco de cono, tendríamos algo parecido a la imagen de la derecha, donde se ha situado en la base la altura del tronco de cono, y en las abscisas las longitudes de las circunferencias superior e inferior. He considerado todo muy regular (una escalera real normalmente no lo es). Los tramos de escalera (como da 4 vueltas, recorre 5 metros en cada vuelta) serían los segmentos de color morado del dibujo. Bastaría por tanto con sumar las longitudes de cada tramo. 1er tramo: longitud desde el punto (0, 12) al punto (5, 1): 2º tramo: longitud desde el punto (5, 11) al punto (10, 2): 3er tramo: longitud desde el punto (10, 10) al punto (15, 3): 4º tramo: longitud desde el punto (15, 9) al punto (20, 4): Por tanto la citada escalera tendrá un longitud total de (unos 38 metros). M – 13.- Sea xyz el número en cuestión. La condición que nos dan es que x2 + y2 + z2 = ½ (100x + 10y + z), de donde se deduce que z debe ser un número par (el número de esculturas, xyz, es un número entero positivo, obviamente). Pongamos entonces que z = 2λ, con 0 ≤ λ < 5, lo que sustituido en la ecuación nos lleva a que x2 + y2 + (2λ)2 = 50x + 5y + λ. Hagamos algunas operaciones elementales: x2 – 50x + y2 – 5y = λ – 4 λ2 (x – 25)2 + (y – 5/2)2 = 252 + 25/4 + λ – 4 λ2 (2x – 50)2 + (2y – 5)2 = 2525 +4 λ(1 – 4 λ) Sean α = 50 – 2x,  β = 2y – 5. Claramente α < 50, y β ≤ 13 (porque y ≤ 9). Consideremos los posibles valores de λ. Obsérvese que un número N = kt2, con k no cuadrado perfecto, nunca puede ser suma de dos cuadrados si k tiene algún factor de la forma 4n – 1: i)        Si λ = 0, α2 + β2 = 2525 = 502 + 52 =342 + 372 = 262 +432, ninguno de los cuales nos da valores enteros para x, y entre 0 y 9. ii)       Si λ = 1, α2 + β2 = 2513 = 359 · 7, imposible por el factor 7. iii)     Si λ = 2, α2 + β2 = 2469 = 823 · 3, imposible por el factor 3. iv)     Si λ = 3, α2 + β2 = 2393 = 322 + 372, inaceptable para x, y entre 0 y 9. v)      Si λ = 4, α2 + β2 = 2285 = 457 · 5 = (212 + 42)(22 + 12) = 382 + 292 = 462 + 132. En este último caso, sí estamos en el rango de α y β, con lo que α = 46 y β = 13, que nos llevan a que x = 2, y = 9 (y por tanto z = 8). Por tanto el número de esculturas en la habitación era de 298. M – 14.- Llamando x ≡ cantidad de monedas (en kilogramos) y ≡ cantidad de aditivo “envejecedor” (en kilogramos), del enunciado del ejercicio se tiene que se trata de Maximizar z = 40 x + 30 y sujeto a las condiciones 2/5 x + ½ y ≤ 20 1/5 y ≤ 5 3/5 x + 3/10 y ≤ 21 x ≥ 0, y ≥ 0. Se trata por tanto de un ejercicio elemental de programación lineal. Comenzamos por dibujar la región factible a partir de las desigualdades que dan las condiciones. La zona coloreada de verde es dicha región. A partir de la función objetivo, trazamos varias rectas para diferentes valores de c (en la gráfica se han tomado desde 100 a 2000, de 50 en 50, por ejemplo) 40 x + 30 y = c Observamos (y sabemos, si conocemos algo de programación lineal; basta considerar el gradiente de la función objetivo para ver cómo “van desplazándose” las rectas anteriores), que los extremos (mínimos y máximos), se alcanzan en este caso en alguno de los vértices del trapecio. En virtud del teorema de Weierstrass (la recta es continua, y la región factible es un conjunto compacto de R2, esto es, es cerrado y acotado), dichos óptimos están entre las imágenes de la función objetivo en esos puntos. Basta por tanto con evaluar la función objetivo en ellos (se obtienen resolviendo los sistemas correspondientes a cada par de rectas): F (0, 0) = 0 F (35, 0) = 1400 F (0, 25) = 750 F (75/4, 25) = 1500 F (25, 20) = 1600 El beneficio máximo se alcanza por tanto con la fabricación de 25 kilos de monedas y 20 kilos de aditivo, siendo dicho beneficio en ese caso de 1600 u.m. M – 15.- Pensemos en una habitación que tenga un número cualquiera de puertas. Una persona puede estar dentro o fuera de la habitación. Es evidente que, si una persona atraviesa las puertas un número par de veces, al final estará en la misma situación de la que partió (dentro o fuera), mientras que, si el número es impar, quedará en situación contraria a la inicial. Por otro lado, no nos dicen de qué estancia parte, por lo que debemos analizar qué sucede si parte sucesivamente de cada una de las salas A, B, C y D. Apliquemos todo ello a la situación planteada: 1) El vigilante parte de la estancia A. a) Supongamos que el vigilante ha atravesado cuatro veces la puerta u. Como no parte de D, y la suma de las veces que atraviesa sus dos puertas (u y z) es 4 + 6 = 10 que es un número par, el recorrido no puede acabar en esa habitación. Por la misma razón tampoco puede acabar en C. Saliendo de A, como 7 + 4 = 11 es impar, el recorrido tampoco puede acabar en A, luego acaba en B ya que el vigilante parte del exterior de B y el número de veces que pasa por las puertas de B es impar (11). Solución válida. b) Supongamos que el vigilante ha atravesado tres veces la puerta u. Al ser en este caso un número par las veces que atraviesa las puertas de A, el recorrido debería acabar en A, pero a la vez, tendría que acabar en B, lo que nos lleva a un absurdo. Por tanto no puede pasar tres veces por u. 2) El vigilante parte de la estancia B. Las puertas que acceden a B son transitadas 11 veces, número impar, por tanto el vigilante tiene que acabar fuera de B. Por las puertas que permiten la entrada a C pasa un número par de veces, 10, por tanto, y como de inicio está fuera de C, tiene que acabar también fuera de C. a) Supongamos que el vigilante ha atravesado cuatro veces la puerta u. Entonces ha pasado un número par de veces por las puertas que dan paso a D, lo que significa que, como partía de fuera de D, debe acabar fuera de D. Como por A atraviesa las puertas un número impar de veces, 11, y partía de B (fuera de A), debe acabar en A. Solución válida. b) Supongamos que el vigilante ha atravesado tres veces la puerta u. Entonces ha pasado un número impar de veces por las puertas que dan paso a D, 9, lo que significa que, como partía de fuera de D, debe acabar dentro de D, y fuera de A, siguiendo un razonamiento similar al caso anterior. Solución válida. 3) El vigilante parte de la estancia C. Al pasar por las puertas que dan a C un número par de veces, 10, el vigilante acabará en C. Pero al pasar 11 veces por las puertas que dan a B, como de inicio estaba fuera de B (porque parte de C), debe acabar dentro de B también, lo que nos lleva a una situación contradictoria que no se puede dar. 4) El vigilante parte de la estancia D. a) Supongamos que el vigilante ha atravesado cuatro veces la puerta u. Entonces pasa un número par de veces por las puertas que acceden a D, lo que indica que ha de acabar dentro de D. Por las puertas de C pasa también un número par de veces, lo que no es contradictorio con lo anterior (estaba fuera de C, y queda fuera de C). Sin embargo al ser impar con B, debe quedar al contrario de cómo estaba en esa sala. Como estaba fuera de B, debe quedar finalmente dentro de B, lo que nos lleva a un absurdo al tener que estar a la vez al final dentro de B y de D. b) Supongamos que el vigilante ha atravesado tres veces la puerta u. Entonces pasa un número impar de veces por las puertas que acceden a D, lo que indica que ha de acabar fuera de D. También fuera de C, y fuera de A. Como por B pasa un número impar de veces, debe quedar dentro de B (situación contraria a como empezó). Solución válida. Por tanto, habiendo cuatro soluciones posibles, concluimos que para poder responder a las cuestiones, es necesario conocer de qué sala partió inicialmente el vigilante. M – 16.- El método de sustitución polialfabética más famoso del siglo XVI es la tabla de Vigénere, también conocido como le chiffre indéchiffrable, por que durante mucho tiempo se pensó que era irresoluble, a pesar de su sencillez en el cifrado. Es muy fácil de decodificar conociendo la palabra clave con la que se ha cifrado el mensaje, pero para complicarlo un poco, nosotros no hemos dado dicha clave. Además, hemos cambiado adrede tres letras, para entreteneros un poco más. El criptograma esconde el nombre de uno de los personajes de la película, LA BELLA MEDUSA. M – 17.- Llamemos α a uno cualquiera de los asistentes a la sala de fiestas, y sea A = el conjunto de sus amistades. Si n = 2 (n es el número total de personas en la fiesta) entonces r = 1, y ambos conocen a una persona. Si n > 2, entonces n ≥ 4, y es fácil comprobar que r ≥ 2. Como los elementos de A tienen a α como amistad común, dos a dos no conocen a ningún otro; en particular, α1 y α2 tienen exactamente tienen exactamente un conocido común adicional β1. Llamemos B1 al conjunto de amistades de β1. Como α  y  β1 tienen a α1 y α2 como amistades comunes, y por hipótesis no pueden tener más, se tiene que A ∩ B1 = Tomemos ahora un β2 ≠ β1, con β2 ∉ A, y sea B2 el conjunto de amistades de β2. Entonces, A ∩ B2 = , para distintos i, j ∈ . Si i = 1 y j = 2 (o viceversa), entonces α1 y α2 podrían tener tres amistades comunes, digamos α, β1, β2, lo que contradice las hipótesis. Por tanto, A ∩ B1 ≠ A ∩ B2. Esto demuestra que existe una correspondencia biyectiva entre pares ordenados de elementos de A y los n – r – 1 participantes que α no conoce. Por consiguiente, , y de ahí, r2 + r + 2 – 2n = 0    (1) Resolviendo la ecuación de segundo grado, se tiene que Como r2 es negativa, la descartamos. De modo que la solución es r1, que es independiente de la elección de α. Obsérvese que la condición (1) nos lleva a que  como condición necesaria, pero no suficiente. Puede comprobarse con el caso r = 3, n = 7, que no tiene solución. Puntuación final Sobre un total de 310 puntos posibles (se anunció que 300, pero no estaba incluido el título de la película enigma, que al final he valorado con 10 puntos, como el resto de cuestiones), la valoración final ha sido así: Andrés Mateo Piñol                 156 Pablo Palacio Puente              154 Celso de Frutos de Nicolás      144 Virginia Basgall                        71 ¡¡Enhorabuena a los cuatro!! En unos días recibiréis un correo electrónico solicitándoos una dirección postal para haceros llegar un obsequio de DivulgaMAT por participar en esta propuesta. Contamos con vosotros (y con todo el que se anime) para la próxima.

Viernes, 04 de Septiembre de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

439. 99. (Septiembre 2015) SOLUCIÓN DEL CONCURSO: Y los retratos alfabéticos ganadores son…

El plazo final del concurso Un relato alfabético de… ya ha llegado. Muchas gracias a todas las personas participantes con sus excelentes propuestas. ¡Nuestro jurado lo ha tenido muy difícil para decidir! Por cierto ese jurado ha estado formado por cuatro colegas de la Sección de Matemáticas de la UPV/EHU: Pedro Alegría Ezquerra, María Merino Maestre, Raúl Ibáñez Torres y Judith Rivas Ulloa. Tras sus deliberaciones, las tres propuestas ganadoras han sido las siguientes... PRIMER PREMIO Le ha correspondido al Retrato alfabético de… Sophie Germain, de Rocío Pérez Batanero, que se define como ‘apasionada por la educación y las matemáticas’ y es además la responsable del blog Portfolio de una aphicionada. Rocío ha realizado un retrato precioso, muy bien documentado, y además nos ha regalado una bonita imagen de Sophie Germain, generada con WordCloud Generator y utilizando las palabras elegidas para su retrato alfabético. “(…) No son cosas de mujeres”. The woman who won1 Autodidacta Al no tener el reconocimiento y la oportunidad de formarse ni en casa ni en la sociedad en la que vivía, tuvo que aprender por sus propios medios. Bezout Con el consentimiento de sus padres comenzó a estudiar el Tratado de aritmética de Bezout, para luego seguir estudiando las obras de Newton y Euler. Curvatura media En su tratado “Mémoire sur la courbure des surfaces” definió el concepto de curvatura media como la semisuma de las curvaturas principales. Derechos Sophie Germain fue toda una feminista de la época, al luchar por sus propios derechos no reconocidos en aquella época. Elasticidad Sophie se interesó por la teoría de la elasticidad cuando en 1809 la Academia de Ciencias de París lo propuso como tema para la obtención del premio extraordinario. Investigando observó una relación directa entre la fuerza y la curvatura de la superficie, publicando varios estudios que recibieron gran reconocimiento. Fourier Gracias al apoyo de Fourier y por haber conseguido el Premio de la Academia de las Ciencias de París, fue la primera mujer, no esposa de académico, en acudir a dicha Academia. Grand Prix Desde 2003, el Instituto de Francia concede anualmente el premio “Le Grand Prix Sophie Germain” al investigador en Matemáticas más sobresaliente. Historia de las Matemáticas Sophie quedó Impactada al leer sobre la muerte de Arquímedes en el libro Historia de las Matemáticas de Jean-Baptiste Montucla. Quería conocer qué tenían las Matemáticas para eclipsar, hasta el punto de ignorar el ataque de un soldado. Ilustración Sophie nació el 1 de abril de 1776 y falleció el 27 de junio de 1831 debido a un cáncer de mama. En pleno siglo de las luces, Sophie y sus colegas alumbraron la humanidad mediante las luces de la razón. Joseph-Louis de Lagrange Sophie consiguió apuntes de las clases de Lagrange y presentaba sus trabajos bajo el nombre de M. LeBlanc. Lagrange se convirtió en su mentor cuando impresionado por sus trabajos, quiso conocer su verdadera identidad, descubriendo que se trataba de una mujer. Karl F. Gauss Alentada por Lagrange, Sophie mantuvo correspondencia con Gauss bajo el nombre de M. LeBlanc compartiendo sus investigaciones sobre la teoría de números. Cuando Gauss descubre que se trata de una mujer, reconoce su talento “…cuando una persona de un sexo que, debido a nuestros prejuicios y costumbres, encuentra muchísimas más dificultades, logra sobreponerse a todos los obstáculos y descubre con éxito los problemas más difíciles, entonces hay que reconocer que esa persona tiene un mérito y un genio sin igual. Legendre Legendre escribe, una de las obras que induce a Sophie al estudio de la Teoría de Números, más tarde trabajarán juntos en diversas investigaciones. Gracias a las menciones que hace Legendre en sus publicaciones, son conocidas las investigaciones de Sophie. M. LeBlanc Seudónimo que utilizó Sophie para ocultar su verdadero sexo, correspondiente a un antiguo alumno de Lagrange que se exilió de París abandonando las clases. Napoleón Cuando Napoleón conquistó Prusia, Sophie temió por la muerte de Gauss, pues le recordaba a la muerte de Arquímedes, por lo que envió a un general francés amigo de la familia para protegerlo. Es entonces cuando Gauss descubre que Sophie era en realidad una mujer. Obras filosóficas De forma paralela, Sophie realizó diversos ensayos filosóficos comparando las artes y las ciencias. París Lugar de nacimiento y residencia de Sophie Germain. Quinientos nueve Una de sus grandes contribuciones a las matemáticas deriva de los ahora llamados “números primos de Germain” (números primos cuyo doble incrementado en una unidad es también un número primo). Por ejemplo, el número primo 509, pues 1019 también es primo. Rentière-annuitant A pesar de su extensa carrera profesional, en el certificado de defunción de Sophie no fue reconocida y consta como “Mujer soltera sin profesión”. Sophie Germain   Teoría de números Impresionada por las obras “Essai sur la théorie des nombres” (Legendre) y “Disquisitiones Arithmeticae” (Gauss). Sophie se dedicó al estudio de la Teoría de Números. En particular demostró que: “para cualquier número natural a (mayor que 1) la expresión: a4+4, es siempre un número compuesto”. Resultado que permitió demostrar el último teorema de Fermat para n=5, y que sirvió para las futuras investigaciones en la demostración de dicho teorema. Abandonó el estudio de la Teoría de Números al no recibir respuesta por parte de Gauss frente a su teorema y para dedicarse plenamente a la Teoría de la Elasticidad. Usurpación Dado que no fue aceptada en l’Ècole Polytechnique por ser mujer, Sophie tuvo que usurpar la identidad de un hombre. Vibraciones El ingeniero E. Chladni presentó sus experiencias sobre la vibración de las superficies elásticas observando las figuras formadas cuando se esparcía arena sobre una placa y se la hacía vibrar al puntear el borde con el arco de un violín. La arena se concentraba donde las vibraciones eran más débiles, formando figuras geométricas muy interesantes. Estos estudios fueron el inicio de la Teoría de la Elasticidad a la que Sophie dedica gran parte de su carrera. WOmaN Woman who won. Puesto que logró impresionar a grandes matemáticos de la época, a pesar de que todos insistían en que no eran cosas de mujeres. xn+yn=zn Gracias a las investigaciones de Sophie se avanzó en la demostración del Teorema de Fermat, dividiendo dicho problema en dos casos: 1º. Ninguno de los números x, y, z es divisible por n. 2º. Uno sólo de los tres números es divisible por n. El teorema de Sophie Germain demuestra que si n es un número primo tal que 2n+1 es primo, entonces el primer caso del teorema de Fermat es verdadero. 1 A pesar de estar toda la vida escuchando que la ciencia no era para mujeres, Sophie luchó por hacerse un hueco en el estudio y descubrimiento de las Matemáticas y la Física. Enhorabuena a Rocío, y muchas gracias por este delicioso regalo. Al igual que los otros dos premiados, Rocío recibirá un ejemplar de Lilavati. Matemática en verso del siglo XII de Bhaskara Achãrya en una versión adaptada y ampliada por Ángel Requena y Jesús Malia (Colección Biblioteca estímulos matemáticos, RSME y Ediciones SM, 2015). Y además, por ser la ganadora y para que siga leyendo sobre su protagonista –si es que aún le hace falta aprender algo sobre ella–, recibirá también un ejemplar de Sophie Germain. Las matemáticas como pasión de Laura Sánchez Fernández (La matemática en sus personajes 47, Nivola, 2013). SEGUNDO PREMIO Por decisión del jurado, le ha correspondido al Retrato alfabético de… Leonhard Euler, de MV. Revenga. También muy bien documentado, el autor subtitulaba su propuesta como ‘un pequeño homenaje a un gran matemático’. Asteroide (2002) Euler Descubierto en 1973 por T. M. Smirnova y denominado así en honor al insigne matemático. Basilea Ciudad de nacimiento de Euler. Característica de Euler Invariante topológico que, en el caso de poliedros, se obtiene mediante la fórmula C+V-A.[C] Daniel Bernoulli Amigo y compañero de Euler, e hijo de Johann Bernoulli, que fue profesor del homenajeado. E O mejor, e, uno de sus números-letra “fetiche”. Fermat De cuyo teorema Euler dio una generalización. Goldbach Ni Euler pudo con su famosa conjetura. Hidrodinámica Parte de la mecánica a la que Euler hizo algunas contribuciones singulares. Introductio in analysin infinitorum. Una de sus principales obras. Jugando Se dice que así escribía memorias matemáticas. Acompañaba a sus hijos. Königsberg Antigua capital de la Prusia Oriental conocida por el problema de sus puentes sobre el río Pregel resuelto por Euler, cuya solución se considera el primer teorema de grafos. Leonhard Su nombre de pila. Methodus inveniendi líneas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti Título de una de sus numerosas obras.   Notación Introdujo y difundió el uso de diferentes expresiones y símbolos: f(x),  e, i, Σ. Opera Omnia Título de la colección de los trabajos de Euler que en 1911 empezó a publicar la Academia Suiza de las Ciencias. Prolífico En lo profesional: su obra científica está compuesta por más de ochocientos tratados. En lo personal: tuvo trece hijos. Q-series Series en las que los coeficientes son funciones de q y cuyos primeros estudios son debidos, entre otros, a Euler.[Q] Recta de Euler La que contiene al baricentro, circuncentro y ortocentro de un triángulo. Series Las manejaba como nadie, incluso con imprudencia, según algunos historiadores. Trascendentes Elaboró la teoría de las funciones que llevan ese nombre, introduciendo la función gamma. Único Y con eso está dicho casi todo, a falta de las entradas a las cinco últimas letras. Visión La intelectual estuvo muy por encima de la ocular.[V] Winner En una encuesta entre los lectores de la revista Mathematical Intelligencer sobre las fórmulas más bellas, Euler quedó ganador con su famosa identidad eiπ + 1 = 0.[W] X En matemáticas Euler despejó muchas incógnitas. Y para finalizar… Zeta Nombre de función en cuyo estudio Riemann consideró lo que se conoce como producto de Euler para dicha función. [C] C representa el número de caras, V el número de vértices y A el número de aristas. [Q] En realidad, tales series son denominadas q-series y no Q-series. El uso de la mayúscula está motivado por hacer una presentación similar en todas las entradas del documento. La función de Euler Φ(q)= Π k≥1 (1-qk) es una q-serie. [V] Los últimos diecisiete años de su vida Euler sufrió una ceguera total, lo que no le impidió seguir trabajando de manera extensa y brillante. [W] La licencia de usar este vocablo inglés es por asemejar el resultado al de algunos concursos cinematográficos. ¿Entendéis ahora la razón por la que el jurado lo ha tenido tan difícil? Gracias por este magnífico retrato…  tu Lilavati te llegará pronto. TERCER PREMIO De nuevo una mujer para el Retrato alfabético de… Emmy Noether, de Iasafro Maesman. Álagebra abstracte, de la que es madre. Brynn Mawr, donde murió. Cadenas, estudiadas y vividas. Dedekind, su ídolo. Erlangen, donde nació, creció y se educó. Física, en la que contó invariantes y simetrías en caras de una misma moneda. Gordan, su director de tesis. Hilbert, su primer defensor. Ideales, cuyas cadenas estudiaba. Judía, su segunda cadena. Klein, su segundo defensor. Llama, la que encendía en su matemática descendencia. Mujer, su primera cadena. Noether, el padre al que eclipso. Odisea vivida antes, durante y después del nazismo. Prole, pues no solo fue maestra, sino también “madre”. Querida por sus estudiantes, a quienes regalaba sus ideas. Revolucionaria en matemáticas y, fuera de ellas, su tercera cadena. Simplicidad, sustituyó el cálculo por el concepto. Trascendente, sus ideas fueron más allá del álgebra y su época. Unidad, al reconocer lo común en lo dispar. Van der Waerden, su expositor principal. W   X   Y   Zürich, donde fue el Congreso Internacional de Matemáticas en la que se la reconoció. ¡Fantástico retrato de esta no menos fantástica mujer! Muchísimas gracias a todas y todos los participantes, enhorabuena a la premiada y los premiados… ¡hasta el próximo concurso!

Viernes, 04 de Septiembre de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

440. 19. (Septiembre 2015) Taracea marmórea veneciana

La taracea con piedras duras y mármoles multicolores para decorar suelos y paredes es de tradición romana: opus sectile era su nombre. Desde el siglo XII se recupera en Italia la actividad: el marmolista Laurentius y más tarde los Cosmati recortan teselas poligonales para insertarlas formando diversos dibujos geométricos. La recuperación de la antigüedad durante Renacimiento relanzó una actividad que nunca había llegad a desaparecer del todo. A suelos y paredes siguen mesas y altares. La taracea marmórea recibe el nombre de commesso en las ciudades italianas pletóricas de actividad artística. En Venecia vamos a encontrar algunas taraceas poliédricas de mucho interés: los pequeños y grandes dodecaedros de San Marcos y San Pantaleón. En el suelo del Duomo de San Marcos en Venecia, cerca de las puertas, se encuentra la afamada intarsia marmorea atribuida a Paolo Ucello: la proyección del pequeño dodecaedro estrellado. La impresionante imagen encabeza esta instantánea. Ucello fue un pintor muy preocupado y cuidadoso con la perspectiva. Sus pinturas de batallas son modelos de escorzos; y su deleite al pintar mazzochios refuerzan ese carácter de pintor aplicado en la nueva perspectiva matemática del Quattrocento. Sin embargo es poco verosímil que el dodecaedro estrellado de la puerta de salida haya sido diseñado por el pintor. La introducción teórica de los poliedros regulares cóncavos se debe a Kepler, y más tarde fueron completados por Poinsot. La atribución a Ucello adelantaría 150 años la construcción. En todo caso, los diseños del orfebre Wentzel Jamnitzer son medio siglo anteriores a Kepler. La existencia en Venecia de otras representaciones del gran dodecaedro parece confirmar el carácter tardío de la taracea. La fecha más viable de construcción sería finales del siglo XVII o inicios del XVIII. El pequeño dodecaedro estrellado del pavimento de la puerta de salida derecha del duomo de San Marcos no es el único de la catedral veneciana: apenas visible para la visita ordinaria hay otro más pequeño, justo debajo del iconostasio en su centro, en lugar preferente y en línea con el altar. Si se entra hacia la Pala de Oro puede verse una mancha central en la lejanía pero casi sin distinguirse. El sólido regular cóncavo no desmerece de su hermano mayor, si cabe revela mayor virtuosismo y ostentación del dominio de la perspectiva matemática. De los cuatro sólidos regulares cóncavos, los dos de Poinsot y los dos de Kepler. Venecia nos ofrece los dos últimos en San Pantaleón y uno en San Marcos pero en dos lugares, uno alejado para despedirse del templo y otro en el lugar más destacado: la entrada central al recinto más sagrado. El dodecaedro estrellado de la puerta (abajo) solo tiene una corona de taracea marmórea complementaria mientras que el del iconostasio (arriba) tiene tres. Menos conocidos que el pequeño dodecaedro estrellado de la salida de San Marcos, la iglesia de San Pantaleone tiene cuatro dodecaedros regulares cóncavos de Kepler en el pavimento de la capilla del santo: dos pequeños dodecaedros estrellados y dos grandes dodecaedros estrellados. Lamentablemente estos últimos han quedado parcialmente tapados por una barandilla de balaustrada construida sin respeto por encima de ellos. Los sólidos de taracea marmórea se disponen de forma que ocupan las partes centrales de la capilla, mientras que en las esquinas se dibuja una pirámide truncada. Los gran-dodecaedros están en los laterales y por eso han quedado tapados por el balaustre levantado posteriormente. Es posible que San Pantalón (forma coloquial veneciana) nos arroje algo de luz sobre la datación de los dodecaedros: la inscripción central permite situar el pavimento en 1707. La fecha es mucho más razonable que la atribución a Paolo Uccello del conocido de San Marcos. Es muy probable que ambos pavimentos provengan del mismo taller. No es mala forma de empezar la visita a Venecia por esta iglesia dada su cercanía a la Plaza Roma, Santa Lucia y el nuevo puente de Calatrava. San Pantaleón es una modesta iglesia y no suele aparecer en las guías resumidas para hacer una visita esencial, aún teniendo uno de los techos más impresionantes de la ciudad. Taracea marmórea prospectiva en San Marcos de Venecia En el pavimento de San Marcos no solo encontramos los dos pequeños dodecaedros estrellados de Kepler que ya hemos reseñado, también podemos contemplar lo que podemos clasificar como un auténtico catalogo de ilusiones ópticas de profundidad. En el crucero menor, mirando el altar a nuestra derecha, por donde se visita la Pala de Oro, es donde se concentran una decena de magnificas taraceas marmóreas geométricas, una variedad similar a las del claustro de Santa María del Monte Oliveto. Mientras las de Siena son pinturas al fresco, las de San Marcos son taraceas realizadas por un virtuoso artesano. Solo reproducimos algunas como muestra de la variedad de formas: los hexágonos encadenados, la rejilla en blanco y negro o los prismas rectangulares huecos.

Miércoles, 02 de Septiembre de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico