421. 98. (Diciembre 2015) No horizon, de Andy Platt

El matemático Nicholas Saunderson (1682-1739) perdió la vista debido a la viruela con tan solo un año y, a pesar de  ello, consiguió aprender latín, francés y griego, y estudió matemáticas. Debido a su ceguera, adquirió un excepcional sentido del oído y del tacto, y una increíble agilidad mental para los cálculos matemáticos. En 1718 fue admitido en la sociedad científica Royal Society, donde compartió amistad con científicos de la talla de Isaac Newton, Edmund Halley, Abraham de Moivre o Roger Cotes. Para saber más de su vida y sus logros, os invito a leer el extraordinario Retrato alfabético de Nicholas Saunderson, escrito por José A. Bustelo y que se ha publicado precisamente en la sección de Literatura y Matemáticas de este mes de diciembre. No Horizon (estrenado en 2006 y reestrenado a finales de 2015) es un musical inspirado en la historia de Nicholas Saunderson, el niño ciego de Yorkshire, que pretende rendir un homenaje a este científico que realizó grandes contribuciones a la ciencia, facilitando además su acceso a personas invidentes. Más información: No horizon (imágenes, video, audios) Página de No horizon en Facebook Canal YouTube de No horizon Nicholas Saunderson, MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews José A. Bustelo, Retrato alfabético de Nicholas Saunderson, DivulgaMAT, Literatura y Matemáticas, Diciembre 2015 J.J. Tattersall, Nicholas Saunderson: The blind Lucasian professor, Historia Mathematica 19 (4), 356–370, 1992 No Horizon

Martes, 29 de Diciembre de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

422. 102. (Diciembre 2015) Retrato alfabético de Nicholas Saunderson, de José A. Bustelo

⠁Aritmética palpable Sistema de cálculo ideado por este matemático invidente, a modo de ábaco, que le permitía identificar las cifras mediante el tacto. ⠃Boxworth Está enterrado en la capilla mayor de la iglesia parroquial de Boxworth, población cercana a Cambridge. ⠉ Cambridge Comenzó su actividad docente en 1707 como profesor de matemáticas en el Christ’s College. ⠙ Diderot El enciclopedista francés comenta en su Carta sobre los ciegos: “es mucho más rápido usar símbolos ya inventados que inventarlos uno mismo, como se está forzado, cuando nos cogen desprevenidos. ¡Cuánto mejor hubiera sido para Saunderson haber encontrado una aritmética palpable, ya preparada, cuando tenía cinco años, en vez de tener que imaginársela a los veinticinco!” ⠑ Escorbuto Enfermedad provocada por la deficiencia de vitamina C, que causó su muerte. ⠋ Fluxiones Publicó un manual sobre este tema para sus alumnos, donde explicaba las bases del cálculo infinitesimal desarrollado por Newton. ⠛ Geometría En el mismo ábaco que empleaba para cálculos aritméticos, dibujaba figuras geométricas reconocibles por el tacto, a base de hilos y alfileres. ⠓ Halley Tras ser nombrado profesor de matemáticas, Edmond Halley comentó en tono jocoso que “Whiston fue apartado por ser demasiado religioso, y se eligió a Saunderson por no serlo en absoluto”. ⠊ Isaac Newton Además de con Newton, mantuvo amistad con otros matemáticos como Abraham de Moivre, John Machin y William Jones. ⠚ John Colson Fue su sucesor, y publicó en 1740 Saunderson’s Palpable Arithmetic Decypher’d. ⠅ Keill Amigo y colega, fue también gran divulgador de la filosofía newtoniana. ⠇Lucasiana Ocupó la Cátedra Lucasiana de Matemáticas desde 1711 hasta su muerte, en 1739. ⠍ Manos El sentido del tacto se convirtió en el vehículo para que la geometría y el álgebra vertieran conocimiento en su mente. ⠝ No Horizon Título de un musical basado en su vida, compuesto en 2006 por Andy Platt. ⠕ Óptica Como cuenta Diderot, “pronunció discursos sobre la naturaleza de la luz y los colores, explicó la teoría de la visión, trató los efectos de los cristales, los fenómenos del arco iris y de varias otras materias relativas a la visión y su órgano”. ⠏ Penistone En esta población, comenzó a aprender a leer palpando las letras grabadas en las lápidas de las tumbas. ⠟ Queen Anne La monarca le otorgó el título académico que le habilitaba para ser profesor en Cambridge. ⠗ Royal Society Su ingreso en la institución tuvo lugar en 1718. ⠎ Sistema de numeración(Nota 1) Su invención más notable fue asociar cada cifra numérica con un símbolo táctil, 118 años antes de que Louis Braille perfeccionara su sistema de lectoescritura. ⠞ Teorema de Bayes Según el historiador de la estadística Stephen Stigler, podría ser el más precoz descubridor del conocido teorema. ⠥ Universal Arithmetick Con esta obra de Newton comenzó su formación y el desarrollo de su capacidad de abstracción e imaginación para problemas matemáticos. ⠧ Viruela Enfermedad causante de su ceguera a la edad de un año. ⠺ Whiston Mentor y predecesor en la Cátedra Lucasiana. ⠭ X Se cree que dividía en dos partes su ábaco, como hace el signo “=” en una ecuación algebraica, para realizar el balance aritmético que desvela la incógnita. ⠽ Yorkshire Condado donde se encuentra Thurlstone, su ciudad natal. ⠵ Z El conjunto de los números enteros engloba las soluciones de las ecuaciones diofánticas que estudia en sus Elementos de Álgebra. -oOo- Nota 1 (de José A. Bustelo) Sistema de numeración Saunderson, combinando la posición de dos alfileres en una cuadrícula, uno de cabeza gruesa y otro de cabeza fina. Nota 2 (de Marta Macho Stadler) Este retrato alfabético ha recibido el premio al mejor relato en castellano (compartido) en el concurso Un relato alfabético de… organizado durante la Zientzia Astea (UPV/EHU) en 2015. José A. Bustelo ha conseguido escribir el ‘retrato’ de Nicholas Saunderson utilizando todas las letras del alfabeto. ¡Enhorabuena! No es nada fácil hacerlo. Además ha incorporado el alfabeto braille a su texto: la imagen que preside esta biografía es ‘Nicholas Saunderson’ escrito en lenguaje braille. Nota 3 (de Marta Macho Stadler) José A. Bustelo, autor de este relato alfabético de Nicholas Saunderson, es ingeniero agrónomo y divulgador científico. Dirige la Escuela de Literatura Científica Creativa y es autor del blog El pintor de las sombras. Puedes seguirle en Facebook, Google + y twitter.

Lunes, 28 de Diciembre de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

423. 72. (Diciembre 2015) Música y probabilidad (II)

1. El modelo rítmico En esta segunda entrega de la serie Música y probabilidad vamos a examinar los modelos computacionales del ritmo y, en particular, el de Temperley [Tem10], que es un modelo probabilístico y computacional. Seguiremos la exposición que hace Temperley en su libro. En el artículo pasado [Góm16] discutimos la pertinencia del estudio de las matemáticas en la formación de los músicos y en concreto la probabilidad así como los problemas que hay en su enseñanza. Los artículos que siguen en esta serie tienen un cierto nivel matemático y es posible que a algunos lectores les cueste seguirlo, sobre todo a los de menos formación matemática. He intentado mantener el nivel de formalización lo más bajo posible sin comprometer la precisión con el fin de hacer el texto lo más divulgativo posible. Es un poco sorprendente, pero hasta lo que nuestro conocimiento alcanza no existen textos de probabilidad dirigidos exclusivamente a músicos. Es una laguna que habría que cubrir con cierta urgencia. La mejor opción para un músico que quisiese aprender probabilidad (y estadística) sería la de encontrar un buen profesor, con un método de aprendizaje activo, con sensibilidad hacia el perfil de estos alumnos, y con pasión por la materia. A falta de tan favorables circunstancias, una posibilidad alternativa es la de los cursos en línea como Statistics One [Con16] o Statistics: Making Sense Out of Data [GJ16]; estos cursos requieren esfuerzo continuado en el tiempo así como una voluntad de aprendizaje sólida. 2. Ritmo y métrica La escucha de una melodía no consiste en la mera detección de los patrones de duración. El cerebro interpreta el ritmo de la melodía extrayendo una gran cantidad de información previa y combinándola con la información recibida durante la propia escucha de la pieza. Así, impone a la interpretación del patrón rítmico de la melodía una estructura perceptual y cognitiva rica y compleja. Esta estructura incluye la familiaridad con el estilo, la enculturación del oyente, su estado de ánimo, su formación musical, entre otros factores. Como ejemplo de dicha complejidad, consideremos la figura 1, donde podemos ver en la parte de arriba un patrón rítmico, dado por sus ataques medidos en milisegundos. Debajo del patrón vemos hasta cinco interpretaciones diferentes en términos de métrica. La interpretación A asocia el patrón a un compás de 2/4, dando una negra con puntillo, una corchea y dos negras. Aquí los tiempos fuertes son el primero y el tercero. En la interpretación B tenemos un compás de 3/4. El patrón queda ahora incompleto, pues el último compás solo tiene una negra. Los tiempos fuertes ahora son el primero y el cuarto. Para la interpretación C tenemos un compás de 6/8, de subdivisión ternaria, donde de nuevo los tiempos fuertes son el primero y el cuarto. En la interpretación D la segunda nota es una nota de adorno de nuevo dentro de un compás de 2/4. Por último, en la interpretación E nos topamos con una visión del patrón que empieza con un silencio. Ahora solo hay un tiempo fuerte en la segunda nota (esta última interpretación está más bien forzada). De entre todas las interpretaciones ofrecidas aquí, parece que la más probable es la primera, aunque sin duda habrá lectores que discrepen de esta afirmación. Este ejemplo ilustra el problema de encontrar el contexto métrico más adecuado para enmarcar un patrón rítmico. Aquí el sentido la expresión “más adecuado” significa más musical, lo cual, una vez más, es relativo al estilo musical concreto (supondremos aquí que hablamos de la música tonal occidental). Figura 1: Un patrón rítmico con diversas interpretaciones (figura tomada de [Tem10]) La métrica se define como un patrón de acentos que se producen de manera regular y sobre los cuales se construyen los patrones rítmicos. Los tiempos acentuados se llaman fuertes y los no acentuados, débiles. En esta definición se supone que hay pulso asíncrono encima del cual se define la métrica. La figura 2 muestra la estructura métrica de algunos de los compases más frecuentes en la música tonal occidental. El patrón de acentos se reproduce a distintos niveles, donde el más bajo suele ser el del pulso. Los tiempos que tienen más puntos encima son los tiempos que tienen más prominencia métrica. En la figura se ve que esos tiempos coinciden con el primer tiempo de cada compás. Figura 2: Métricas para compases frecuentes (figura tomada de [Tem10]) En su libro, Temperley argumenta la importancia de la estructura métrica. Para ello, cita varios artículos de autores ilustres, como el artículo clásico de Gabrielsson [Gab73], donde que melodías con estructuras métricas similares se tienden a juzgar como más similares; o los trabajos más recientes de Sloboda [Slo85] y Povel y Essens [PE85] donde prueban que la ambigüedad métrica influye en la complejidad rítmica. Temperley alude a trabajos que han tratado otros aspectos de la métrica, como el papel de esta en la percepción de otras variables musicales (como la armonía y la estructura de la frase), su función en la interpretación o cómo configura la expectativa musical (véanse las referencias de la página 26 de citetemper-10). Hay, sin embargo, un autor que humildemente consideramos que Temperley ha pasado por alto y es Stephen Handel. En su artículo The interplay between metric and figural rhythmic organization [Han98] de 1998 prueba que la agrupación (en inglés, figural organization) es mucho más preponderante que la estructura rítmica. Lo hace a partir de una serie de experimentos muy exhaustivos y bien diseñados donde confronta patrones de agrupación contra patrones métricos. No obstante, el trabajo de Temperley consiste en diseñar modelos computaciones para la métrica y no para la agrupación. Pero dado el trabajo de Handel, parece una buena idea construir modelos computacionales para la agrupación. 3. Modelos de percepción rítmica La modelización de la percepción rítmica ha sido un problema de investigación que ha atraído a muchos investigadores de diversas áreas desde hace varias décadas. El propio Temperley, en una obra anterior, The cognition of basic musical structures [Tem01], hace una revisión bastante exhaustiva de esos modelos. Hay varios criterios para clasificar los modelos de percepción rítmica. Uno muy general es el tipo de entrada, que puede ser simbólica, cuando la entrada es una partitura o un fichero tipo midi, o de audio, cuando la entrada es un fichero de audio. Atendiendo a la estrategia de modelización, tenemos los siguientes modelos: Métodos basados en reglas: El patrón rítmico se analiza en orden cronológico y se construye los niveles métricos basados en reglas explícitas de carácter deductivo; véase [Lee91]. Métodos conexionistas: El patron rítmico es representado en una red neuronal de la cual se infiere la estructura métrica; véase [DH99]. Métodos basados en reglas de preferencia: En base al análisis de muchos patrones rítmicos se construyen reglas que determinan la estructura métrica preferida por el oyente en un patrón rítmico dado; véase [Tem01]. Métodos probabilísticos: Son métodos basados principalmente en la inferencia bayesiana; para más información, véase [CKH00] Como el libro de Temperley se centra en esta última categoría, vamos a profundizar un poco más en ellos. Típicamente, en un método probabilístico, se consideran una interpretación de un patrón rítmico Int y una representación de ese patrón o partitura Par (normalmente dada duraciones en milisegundos). El objetivo es determinar la partitura Par que maximiza la probabilidad P(Par|Int) Esta probabilidad representa la fidelidad de la partitura respecto a la interpretación. En la figura 3 tenemos un ritmo (en la primera línea) y dos posibles interpretaciones, dadas por los histogramas debajo del ritmo. Es claro que la primera interpretación es mucho más probable que la segunda. Figura 3: Un patrón rítmico y dos posibles interpretaciones (figura tomada de [Tem10]) Se puede probar usando argumentos de probabilidad bayesiana que maximizar P(Par|Int) es equivalente a maximizar P(Int|Par) ⋅ P(Par). 4. El modelo probabilístico de Temperley 4.1. El proceso generativo Temperley, tras examinar un par de modelos probabilísticos y mostrar sus limitaciones, propone el suyo, que también está basado en el teorema de Bayes. El objetivo de su modelo es inferir la estructura métrica a partir de un patrón rítmico. Si PR designa un patrón rítmico y M una estructura métrica, la ecuación que relaciona a ambas es P (M|PR) = P(PR|M)⋅P(M) La estructura métrica M que maximiza la expresión anterior será la más probable para el patrón rítmico dado. El autor usa un modelo generativo de ritmo para calcular las probabilidades de la ecuación anterior. El modelo generativo no es un modelo del proceso creativo sino que intenta capturar el proceso de escucha y decodificación de la información rítmica por parte del oyente. Véase [Góm14] para más información sobre modelos generativos en música. El modelo generativo está basado en una estructura métrica de tres niveles. El primer nivel es una malla de pulsos regulares. El segundo nivel es el tactus, también llamado pulso percibido y el tercero es un nivel más abstracto, que cabalga sobre los otros dos, y que representa el compás. Las notas tienen que ocurrir sobre la malla de puntos regulares del primer nivel. El modelo se concibe como un grafo cuyos nodos contienen información y flechas que muestran las relaciones entre los nodos. La información de los nodos se puede concebir como variables aleatorias con ciertas distribuciones de probabilidad. Las variables implicadas en el modelo son las siguientes (dejamos los nombres originales de las variables del libro): UT: Define si el compás es de subdivisión binaria o ternaria. UPh: Controla la fase del nivel 3 con relación al nivel 2, esto es, qué posición ocupa la primera nota del nivel 3 en el nivel 2. L: Detecta si el nivel 2 es de subdivisión binaria o ternaria con respecto al nivel 1. A partir de estas variables el nivel del tactus se puede generar ya. La generación del nivel de tactus es independiente de la determinación del compás. Se empieza con una primera nota del tactus en el tiempo cero y la variable T1 marca la duración de esta primera nota. En general, Tn será la n-ésima duración del tactus y es una variable distribución de probabilidad que se apoya en la duración de la variable Tn-1. Acompañando a están las variables An, que dictan si en cada paso hay que generar otra nota de tactus o el proceso se finaliza. La combinación de los pasos anteriores de la generación del tactus da automáticamente las notas del tactus, la fase y el periodo en el siguiente nivel. Pero aun falta la generación de las notas de nivel 2. Toda nota de nivel 2 lo es de nivel 1, pero hay otras notas entre medias que están en el primero y no en el segundo nivel. En función de si el compás es de subdivisión binaria o ternaria así se rellenarán. La variable DBn representan la posición de estas notas intermedias cuando la subdivisión es binaria y TB1n y TB2n cuando la subdivisión es ternaria. Poniendo en combinación todo lo anterior se generan las notas del patrón rítmico; la variable Np indica si hay una nota en la posición p. La figura 4 muestra un esquema de todo el proceso. Figura 4: El proceso generativo del modelo probabilístico de Temperley (figura tomada de [Tem10]) El modelo funciona a partir de unos parámetros probabilísticos. ¿Cómo se eligen los valores de esos parámetros? La manera en que Temperley lo soluciona es recurriendo a un corpus musical suficientemente extenso, el cual analiza y extrae las probabilidades para inicializar su modelo. Lo ideal sería que esos parámetros reflejasen las decisiones de los oyentes en la decodificación de los patrones rítmicos. A falta de tales parámetros, Temperley escogió el corpus Essen Folksong Collection [Sch95]. Con este corpus, por ejemplo, se puede asignar una probabilidad al suceso de que una canción tenga un compás de subdivisión binaria o ternaria. No habría más que calcular su frecuencia relativa en el corpus. Otros parámetros no tienen tan obvia y directa traslación en el corpus. Por ejemplo, la distribución de Tn tiene la siguiente definición: donde Tn se mide en unidades enteras de 50 milisegundos. Esta definición refleja el hecho conocido en psicología de la música que el tactus suele rondar los 700 milisegundos y que suele ser regular a lo largo de la pieza. No vamos a entrar en una explicación detallada de todos los parámetros del modelo y su inicialización porque sería excesivamente prolijo. Las tablas siguientes muestran los valores ya inicializados: Figura 5: Los parámetros del modelo de Temperley (I) (figura tomada de [Tem10]) Figura 6: Los parámetros del modelo de Temperley (II) (figura tomada de [Tem10]) 4.2. El proceso de búsqueda de la métrica Como dijimos más arriba, el objetivo es maximizar P(M|PR), que es a su vez equivalente a maximizar P(PR|M) ⋅P(M). Aplicando el modelo construido tenemos que la forma final de la ecuación a maximizar es P(M|PR) = P(PR|M) ⋅ P(M) = P(UT) ⋅ P(LT) ⋅ P(UPh) ⋅ P(T1) ⋅∏n=2tP(An)⋅ ∏n=2t-1P(Tn|Tn-1) ⋅∏n=1tP(DBn) ⋅∏p=1qP(Np) donde t es el número de tactus en la pieza y q es su número de notas. Para alcanzar el máximo es necesario considerar todas las posibles estructuras métricas. Ello no es ni computacionalmente tratable ni psicológicamente razonable. Muchas de las estructuras métricas no tendrían sentido musical ni cognitivo y añadirían coste computacional de modo innecesario. Gracias a ciertas suposiciones que se pueden realizar sobre las distribuciones de probabilidad del modelo, se puede bajar la complejidad a cotas razonables. Cómo se hace esto se escapa del propósito de este artículo de divulgación. El lector interesado puede consultar las páginas 36 a 40 del libro de Temperley. 4.3. Prueba del modelo Tras la construcción del modelo, Temperley hace pruebas para determinar la bondad del mismo. Introduce las piezas en el sistema y examina el porcentaje de análisis correctos, es decir, de estructuras métricas correctas asociadas a cada pieza del corpus de Essens. Como comparación adicional usa otro sistema, Melisma, que persigue los mismos objetivos que su modelo. El porcentaje de análisis correctos para el sistema de Temperley es del 79.3% y del del 86.5% para Melisma. En la figura 7 vemos dos análisis; el primero corresponde al correcto y el segundo al proporcionado por el sistema. Vemos que el sistema ha asignado incorrectamente el compás confundiendo un 6/8 con un 3/4. Figura 7: Determinación de la estructura métrica con el sistema de Temperley (figura tomada de [Tem10]) 5. Conclusiones Al final del capítulo 3, Temperley analiza las limitaciones de su sistema y las posibilidades de mejora. Su sistema no tiene en cuenta otros parámetros que contribuyen a la percepción rítmica, tales como la armonía, el acento o la estructura melódica. El modelo de Temperley es generalizable a música polifónica, aunque es claro que la complejidad conceptual y computacional aumentará. También argumenta Temperley que su modelo es extrapolable a otras tradiciones musicales porque en la construcción del mismo no se ha basado fuertemente en los principios musicales de la tradición occidental. Esto necesita más argumentación porque la estructura métrica que se estudia aquí es la de la tradición occidental y nosotros en particular cómo se podría aplicar a tradiciones donde el ritmo es aditivo o carecen de métrica, por poner dos ejemplos extremos.   Bibliografía [CKH00] A. T. B. Cemgil, P. Desain Kappen, and H. Honing. On tempo tracking: Tempogram representation and Kalman filtering. Journal of New Music Research, 29:259–273, 2000. [Con16] Andrew Conway. Statistics 101. https://es.coursera.org/course/stats1, consultado en noviembre de 2016. Universidad de Princeton. [DH99] P. Desain and H. Honing. Computational models of beat induction: The rule-based approach. Journal of New Music Research, 28:29–42, 1999. [Gab73] A. Gabrielsson. Studies in rhythm. Acta Universitatis Upsaliensis, 7:3–19, 1973. [GJ16] Alison Gibbs and Rosenthal Jeffrey. Statistics: Making Sense Out of Data. https://es.coursera.org/course/introstats, consultado en noviembre de 2016. Universidad de Toronto. [Góm14] P. Gómez. Teoría generativa de la música - I. http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=16037&directory=67, junio de 2014. [Góm16] P. Gómez. Música y Probabilidad (I). http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=16871&directory=67, noviembre de 2016. [Han98] Stephen Handel. The interplay between metric and figural rhythmic organization. Journal of Experimental Psychology: Human Perception and Performance, 24(5):1546–1561, 1998. Documento accesible en http://dx.doi.org/10.1037/0096-1523.24.5.1546. [Lee91] C. Lee. The perception of metrical structure: Experimental evidence and a model. Academic Press., Londres, 1991. Capítulo del libro Representing Musical Structure, P. Howell, R. West, and I. Cross (eds.). [PE85] D.-J. Povel and P. Essens. Perception of temporal patterns. Music Perception, 2:411–440, 1985. [Sch95] H. Schaffrath. The Essen Folksong Collection. Center for Computer-Assisted Research in the Humanities, Stanford, Calif., 1995. Editado por D. Huron. [Slo85] J. A. Sloboda. The Musical Mind. Oxford: Clarendon Press, 1985. [Tem01] D. Temperley. The Cognition of Basic Musical Structures. MIT Press, Cambridge, Mass., 2001. [Tem10] D. Temperley. Music and Probability. MIT Press Ltd, 2010.

Miércoles, 09 de Diciembre de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

424. 22. (Diciembre 2015) Los filósofos matemáticos de José Ribera

José Ribera, el pintor valenciano asentado en Nápoles, nos ha dejado una de las mejores colecciones (y más completa) de pinturas de matemáticos de la antigüedad. Además, será la iconología matemática lo que caracterizará la sabiduría de cualquier filósofo. El estudio de las matemáticas sirve como muestra de piedad y renuncia, como desprecio por las veleidades mundanas y los falsos placeres. Luca Giordano, su  prolífico discípulo, continuará la misma senda pero perdiendo en el camino algo de la serenidad que caracteriza las representaciones del artista de Xàtiva. Ribera se inspiró en las descripciones que hace Diógenes Laercio en sus Vidas opiniones y sentencias de los filósofos más ilustres. La característica común de todas las obras será muy grata al sentimiento barroco: tenebrismo, serenidad, pobreza, renuncia al mundo y… geometría. Se puede decir que los sabios del Españoleto son cínico-matemáticos: la geometría es fuente de paz interior e ingrediente de la renuncia. Como decía Séneca de Demócrito: pobreza con sabiduría es un divino compuesto, que todo lo tiene y de todo carece. También el ideal platónico es expresado con claridad: el mundo que percibimos es mero reflejo en los muros de la caverna, lo que cuenta es la perfección de las ideas. La matemática es iniciática en el platonismo. ¿Euclides? El Museo Paul Getty de Santa Mónica exhibe la excepcional  pintura de José Ribera que encabeza este escrito. Catalogada como El filósofo, la tela nos muestra a uno más de los sabios matemáticos que muestra de forma más ostentosa el objeto de sus estudios. En este caso el filósofo enseña un tratado griego de geometría donde apreciamos un pentágono cuasi-inscrito en una circunferencia. La figura que se vislumbra  puede ser la ilustración de la Proposición 14 del libro IV de Los elementos: circunscribir un círculo en un pentágono. Deducimos de ello que puede tratarse de Euclides. Ribera completaría así los retratos de los tres grandes de la matemática griega: Euclides, Arquímedes y Pitágoras. Aristóteles geómetra Los representantes del Príncipe de Liechtenstein abonaron en 1636 a José Ribera los derechos por las pinturas de doce filósofos. Se sabe que llegaron solo seis a su destino: Platón, Aristóteles, Anaxágoras, Diógenes, Protágoras y Crates. En 1957 se vendieron las obras y se repartieron por distintas colecciones y museos. Aristóteles, durante mucho tiempo fue llamado Arquímedes por sus dibujos e instrumento, se encuentra  en el Indianapolis Museum of Art, uno de esos enormes museos enciclopédicos de los EEUU. Se suele considerar a Aristóteles (firmada en 1637) como la mejor obra de la serie, equiparable quizá con el Demócrito (1630), antes también Arquímedes, del Museo del Prado. Ribera hace del gran filósofo de la antigüedad un matemático. Los dibujos geométricos apenas se vislumbran tras el papel blanco dispuesto para seguir los estudios. En este caso se ha pintando una escuadra en lugar de compás. Demócrito (antes Arquímedes) El Museo del Prado tiene varios sabios matemáticos de Ribera. El más conocido es Demócrito, el que nunca abandona la colección permanente por su excepcional calidad. Anteriormente el compás y los apuntes matemáticos lo convirtieron en Arquímedes. Parece que definitivamente, la sonrisa le caracteriza como el filósofo que ríe, uno de los atributos del fundador del atomismo. Como matemático, a Demócrito se le atribuye el factor un tercio para calcular el volumen de la pirámide o del cono. L a tela fue pintado en 1630 y es quizá la primera vez que el Españoleto opta con contundencia por el modelo de filósofo que parece más un mendigo con paz interior. Arquímedes (antes Aristóteles) Entre los fondos almacenados del Museo del Prado hay otra pintura de Ribera que llegó a llamarse Aristóteles y hoy se cataloga como Arquímedes. La confusión es normal porque salvo en contadas ocasiones el cuadro no contiene el nombre y sobre el simbolismo hay veces que no es fácil ponerse de acuerdo. En particular los libros de matemáticas son una característica general de la mayoría.  En este caso se trata de un libro abierto que contiene construcciones geométricas muy similares a la proposición 91 de libro X de Los elementos de Euclides. El sabio griego con compás en Tucson Hasta el Museo de Arte de la Universidad de Arizona en Tucson ha ido a parar uno de los filósofos matemáticos de José Ribera, el Españoleto. La copia del cuadro tenebrista no deja ver bien el compás, pero si los apuntes matemáticos. El filósofo de Ribera de Sintra Al subir una escalera de caracol en madera del Palacio Nacional de Sintra nos encontraremos con unas pequeñas estancias dedicadas a monjes, y en su acceso hallaremos este filósofo matemático que nos muestra la levedad de la vida con la mano en el reloj y la infinitud del saber en su trabajo matemático. La figura del primer plano de ese manuscrito tiene su historia, se trata de la proposición 17 del libro III de Los elementos de Euclides: trazar la tangente a una circunferencia desde un punto exterior. Curiosamente el procedimiento euclideo era menos simple y fue modificado en la edición del padre Clavius, en su escolio. El pintor de Xátiva parece utilizar la versión del jesuita. Pobreza, desprendimiento del mundo o éxtasis en el estudio  muestran una alternativa a la vanidad de las riquezas materiales y pseudonecesidades. Quizá la actualidad de Ribera sea mayor hoy que en su época. Pitágoras del Españoleto en Valencia El Museo de Bellas Artes de Valencia ha podido adquirir uno de los filósofos matemáticos del que quizá sea su pintor más universal. La tela está datada en 1630. Pitágoras no tiene más atributo que el libro con el escrito en latín: scientia numerorum. Anaxágoras Terminamos la selección con una pintura de la que no cabe duda en la atribución: su nombre aparece en los folios inferiores. Anaxágoras formaba parte de los seis filósofos del Príncipe de Liechtenstein y ahora pertenece a una colección privada. Anaxágoras es un buen testimonio  de como sabiduría y matemáticas están identificadas en la obra de Ribera: matemáticos son los libros, geométricos los apuntes.

Viernes, 04 de Diciembre de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

425. 105. Aventuras Matemáticas en el cine

Analizamos el nuevo libro aparecido recientemente con Matemáticas y Cine como binomio protagonista. Nuestra recomendación para las próximas Navidades. En la pasada reseña del mes de marzo, entrevistábamos al catedrático del Instituto IES Elaios de Zaragoza,  José María Sorando Muzás, con motivo de la publicación de un libro en el que propone un centenar de escenas de películas acompañadas de unas actividades, como uno más de los recursos con los que tratar de “enganchar” a los alumnos de Secundaria a las Matemáticas, a la vez que mostrar que éstas no son sólo una disciplina teórica sino aplicable en muchas situaciones concretas. Además, por supuesto, de facilitar al docente un material concreto (recordemos asimismo que las escenas pueden descargarse sin dificultad de la página web del autor), de modo que los más reticentes ya deben buscarse otras excusas diferentes a las habituales de los medios técnicos o el trabajo de idear ejercicios relacionados. Apenas ocho meses después, José María nos propone un nuevo libro, en esta ocasión no dirigido exclusivamente al quehacer docente, sino al público en general, aprovechando y ampliando en algunos casos, las reseñas que venía redactando desde noviembre de 2004 en la revista SUMA. El libro se divide en  ocho capítulos, cada uno de los cuales está dedicado a diferentes tipos de “Aventuras” (una descripción más detallada puede verse en este enlace): I.- Qué difícil es ser un héroe de película II.- Extrañados por el azar III.- Risas matemáticas IV.- ¿Hay alguien? V.- La estrategia del pistolero VI.- Amar matemáticamente VII.- Números y conciencia VIII.- Pero, ¿qué son las matemáticas? De los títulos se infiere en la mayor parte de los casos la temática de cada capítulo. Así en el primero se articula en torno a películas de acción, el segundo por lo estocástico y probabilístico,  el tercero gira a ritmo de comedia y sobre todo las grandes “burradas” con que en muchas ocasiones nos “deleitan” los protagonistas de las películas, el siguiente la ciencia ficción y la búsqueda de vida inteligente (y en muchos casos seudo-inteligente) en el espacio exterior, los enfrentamientos entre dos o más contendientes son el leit-motiv del quinto, las pasiones y amores en el sexto, la relación con la moral y la ética en diferentes ideologías en el séptimo, para finalizar con aquellas producciones en las que el argumento o los personajes son científicos o matemáticos. El autor ha seleccionado aquellas escenas que más se ajustaban (y/o más le gustaban) al contenido de dichos capítulos y fueran lo suficientemente representativas. Esta circunstancia provoca que algunas de las películas y escenas seleccionadas hayan sido tratadas en otros lugares, si bien ha procurado en ellas aportar algún aspecto diferente al conocido, uno de los méritos del texto. En este sentido, aproximadamente un 45% de las películas son conocidas (en el sentido de haberse difundido ya por otros autores, blogs, reseñas, etc.) siendo el restante 55% inéditas, lo cual no es sencillo tampoco habida cuenta de la amplia bibliografía que las matemáticas y el cine han ido produciendo ya. Siendo una asociación tan llamativa, son muchos los profesores, estudiantes, o simplemente aficionados a ambos géneros los que están continuamente en internet fundamentalmente, proponiendo y localizando nuevas secuencias matemáticamente aprovechables (lo mismo en otras materias como la historia, la física, la química, la literatura, el derecho, la medicina, la filosofía, etc.). Ese es uno de los atractivos del cine, no por secundario desde un punto de vista estrictamente cinematográfico, menos relevante. Por eso también acogemos con interés este texto, ya que cuantas más visiones de diferentes personas se tengan, más riqueza de enfoques encontrarán alumnos, profesores y, en general, los lectores. Dividiré esta crónica en dos apartados, entrelazando algunas frases o párrafos del libro, que pueden ayudar a hacer una idea de su contenido, y por supuesto, que vayáis a comprarlo y leerlo con el mismo interés con el que lo he devorado yo. Lo que más me ha gustado El autor no se limita a describir y comentar las escenas que aparecen, sino que allí donde puede aclarar aspectos de cultura (y no sólo cultura matemática, como qué es la lógica, cómo se codifican mensajes, los problemas clásicos de la Antigüedad, los sólidos platónicos, etc.), de hechos destacables de matemáticos célebres, de crítica y reivindicación, en suma de informaciones relacionadas con aquello que aparece en la escena y tal que su conocimiento es relevante para el espectador y que habitualmente ni se plantea cuando visiona la película (y obviamente no puedo estar más de acuerdo con esa filosofía ya que es la que mueve otro antecedente sobre el tema, Las Matemáticas en el Cine; aquel ordenado temporalmente como antología, éste por temas, como ya se ha comentado anteriormente). En el aspecto crítico/reivindicativo (el que más me gusta), algunas muestras: Pág. 51: “Los números dichos rápidamente casi siempre abruman. Los políticos, especialmente los tecnócratas, lo saben bien”. Pág. 63: “Homer (Simpson) es la caricatura de un tipo de ciudadano algo común: comodón, consumista, poco amigo de los números, ingenuo y fácil de engañar. A demasiada gente le ocurre otro tanto. Eso explica que haya campañas de publicidad que utilizan reclamos del estilo: Por lo que cuesta un café diario tendrá nuestros servicios”. Pág. 70: “Afortunadamente no vivimos en la Idiocracia. La sátira extrema caricaturiza la ficción. Pero escuchar conversaciones en el autobús, ver escaparates, aguantar reality shows en TV o leer la prensa ofrece bastantes muestras de una pobreza numérica que, según los casos, unas veces provoca risa y otras causa pena”. En particular está presente en todo el libro una estupenda intención de desmontar falsos mitos, creencias seudocientíficas y leyendas urbanas que aceptamos como veraces. Incluso algunos poseen dichos o refranes popularmente extendidos que se mencionan, y se desmontan con acierto: Pág 43 (Sobre coincidencias “extraordinarias”): “Sin necesidad de mucha teoría ni de símbolos la educación común y obligatoria debiera proporcionar a todos los ciudadanos las ideas básicas y los procedimientos de cálculo suficientes para superar el asombro antes esas curiosas coincidencias, cuantificar su probabilidad y juzgar racionalmente si son o no extraordinarias”. Pág 45 (Sobre los juegos de azar organizados): “Estos juegos están diseñados de modo que las probabilidades sean favorables al organizador. El individuo que juega en el casino depende de un azar que de partida le es desventajoso, pese a lo cual puede tener una buena racha. Esa es una pequeña probabilidad a la que se aferra. El casino juega continuamente y su fortuna no depende del azar, sino de la Ley de los Grandes Números que le asegura una regularidad estadística de ganancias. [...] Por tales motivos decía Albert Einstein: “La mejor forma de ganar dinero en un casino es asaltarlo con una pistola”. Nuestra conclusión será más conservadora y tranquila. Simplemente digamos que la mejor forma de no perder dinero en un casino es no jugar”. Lo que menos me ha gustado Evidentemente siendo un libro del que digo que me ha gustado y que recomiendo encarecidamente, no puede tener muchas cosas que no me agraden. Hasta el colofón final, con la escena que más gusta al autor, la del descubrimiento de las trayectorias elípticas de los planetas por Hipatia en Ágora, coincide con la mía propia, manifestada en múltiples ocasiones tanto escritas como orales. Sin embargo, y para que nadie piense que esto es una mera propaganda del libro de un compañero y amigo, daré un par de apuntes un poquitín más críticos, razonados por supuesto (otra cosa es que se compartan). El libro está pensado para el público en general, y por ello, las matemáticas explícitas son limitadas, asequibles en general a todo el mundo, y esto no es que no me guste (entiendo que debe ser así), el problema aparece cuando los argumentos no generalizan todas las situaciones, y se induce al error. Por ejemplo, en la conocida escena en la que Bruce Willis “resuelve” el problema de llenar una garrafa con 4 galones exactos de agua utilizando otras dos garrafas de capacidad 5 y 3 galones, se explica lo siguiente (Pág. 32): La obtención de soluciones en las ecuaciones diofánticas no se hace por tanteos al azar. Hay un método: se despeja una de las dos incógnitas y se van dando valores a la otra. En el ejemplo que nos ocupa 5a = 4 – 3b de donde a = Como a y b deben de ser enteros, podemos hacer ahora un tanteo sistemático, dando a b valores que consigan que el numerador sea un múltiplo de 5. Se pasa a continuación a resolver y explicar las soluciones que pueden darse en la situación planteada en la película. Dejando de lado que un “tanteo sistemático”, no es al azar, pero sigue siendo un tanteo, y no vale como procedimiento (bajo mi punto de vista, pero todo es discutible), lo que no me gusta es que lo descrito no es en absoluto un método general. ¿Cómo se resolvería, con ese método, la situación análoga de obtener 9 galones con garrafas de 10 y 6 galones? Pues no se puede, y estaríamos tanteando sistemáticamente hasta el fin de los tiempos, porque la ecuación correspondiente (10a + 6b = 9) no tiene soluciones enteras. La discusión general simplemente involucra un concepto que debería ser conocido también por todos los lectores (yo lo considero básico, puesto que se estudia en la enseñanza más básica) como es el máximo común divisor de dos números. Una ecuación diofántica lineal ax + by = c tiene soluciones enteras, si, y sólo si, el mcd(a, b) divide a c. ¿Que excede el nivel que se quiere dar al texto? Entonces, al menos, indicar que no todas esas ecuaciones pueden resolverse, y menos con el método que se indica. Tampoco es un método práctico si las soluciones son de números altos, porque el tanteo sistemático en ese caso, es desaconsejable si no se efectúa con ordenador o calculadora. Por otro lado, el libro aporta al final de cada capítulo una detallada filmografía de todas las películas y series de televisión consideradas, lo correcto por otra parte. Sin embargo se echan un poco en falta otras publicaciones y referencias a las matemáticas y el cine publicadas en nuestro país (curiosamente el país donde más trabajos en este sentido se llevan editados, lo que no deja de ser paradójico: nos encanta el cine, pero las salas acusan un descenso progresivo de asistencia, salvo en casos puntuales, y no digamos lo que nos gustan las matemáticas en general) que, en muchos casos, ya se han ocupado con anterioridad de títulos que aparecen en el libro. Se trata por tanto de una bibliografía exclusivamente de las fuentes consultadas, y no general. Es una opción respetable, aunque personalmente me decanto por una más generalista por aquello de que el lector, si lo deseara, tuviera unas referencias para ampliar o simplemente comparar enfoques. Finalmente indicar en el debe que conforme se va progresando en la lectura, las referencias cinematográficas van disminuyendo (al menos, las novedosas). Por ejemplo, en el capítulo quinto, La estrategia del pistolero, básicamente todo gira en torno a la discusión del desenlace de El bueno, el feo y el malo, citándose otros duelos famosos, pero con escasa o ninguna relación matemática concreta (entiéndase que aparezca en la propia película; siempre podemos añadir nosotros los datos de acuerdo al problema que queramos plantear y resolver). Cito en particular este capítulo, dada mi gran afición al western, queriendo descubrir nuevas ideas en un género que, como digo, teniendo tan trillado, no he logrado localizar más de lo que se ha comentado en las referencias clásicas. En este caso, no es un asunto achacable al texto, sino al deseo personal de nuevas expectativas. Independientemente de todo lo dicho, considero este libro un excelente regalo para estas próximas Navidades y fiestas (para los demás y para vosotros mismos) con el que os queremos desear lo mejor de lo mejor para este nuevo año que comienza, cuya expresión numérica tiene, por si no os habíais dado cuenta, todos los números primos de una cifra en su factorización (sí, ya se que uno se repite, pero que le vamos a hacer, como diría el genial Billy Wilder, Nobody is perfect!). Pasadlo bien, pero cuidad los excesos, que a la vuelta os espera mucho más cine,... y matemáticas.

Viernes, 04 de Diciembre de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

426. 133. (Diciembre 2015) Magia topológica

La Topología es una especialidad matemática tan importante como difícil. Los historiadores de la matemática coinciden en que su origen se remonta a la solución dada por Euler del famoso problema de los puentes de Königsberg. De hecho, el título del artículo de Euler, "Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis" contiene el nombre dado originalmente a esta rama de las matemáticas "geometriam situs" o "geometría de posición". Para conocer la historia, te recomiendo el artículo "Leonard Euler's solution to the Konigsberg bridge problem", de Leo Paoletti para Math DL. También puedes leer una detallada introducción a la Topología en el artículo de Marta Macho titulado ¿Qué es la Topología?, publicado en el número 20 de la revista Sigma (febrero de 2002). Debido a que algunas características de la Topología son muy contrarias a la intuición, no es de extrañar que atraigan la atención de los magos, bien para construir historias pseudomatemáticas con algunos de sus juegos, bien para utilizar propiedades topológicas que contengan resultados sorprendentes para el público. El juego topológico por excelencia es el titulado "bandas afganas", con el que se explotan las propiedades de la banda de Möbius (llamada así por haberla "descubierto" August Möbius aunque fuera también descubierta paralelamente por Johann Listing), esa superficie no orientable que sólo tiene una cara y un lado. La banda de Möbius ha despertado mucha curiosidad y ha inspirado muchas historias de mayor o menor originalidad. Un entretenido, y a la vez erudito, cómic basado en sus propiedades es "El topologicón", escrito por Jean-Pierre Petit, presidente de la asociación "Savoir sans frontières". Esta asociación tiene como objetivo favorecer la difusión del saber, principalmente científico y técnico, para lo cual ofrece de forma gratuita obras de divulgación en multitud de idiomas. De vuelta a nuestros asuntos, es muy significativo el hecho de que uno de los primeros juegos de magia matemática que han sido publicados tiene sabor topológico: se trata del que escribió Luca Pacioli, alrededor del año 1494, en su libro "De viribus quantitatis" (Sobre el poder de los números), una larga colección de problemas recreativos aritméticos y geométricos, proverbios, juegos y adivinanzas de todo tipo y del que se dice que contiene juegos de magia numérica inventados por Leonardo da Vinci. Merece la pena revivir las vicisitudes de este libro, leyendo el artículo aparecido en El País el 11 de abril de 2007. El juego topológico citado es el titulado "De cavare un filo de mano et un anello" y se demuestra que un anillo puede atravesar una cuerda sin soltar, aparentemente, sus extremos. El juego que quiero describir en esta ocasión es un poco más moderno y menos conocido. La idea original es del personaje de la foto, Stewart Judah (1893-1966), un mago americano que fue considerado allá por el año 1938 como uno de los diez mejores cartomagos del momento. El juego se comercializó bajo el nombre "The Judah' penetration trick" y aparece explicado en el libro The Second Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions, de Martin Gardner. La idea ha llamado la atención de Michael Close y, en el segundo tomo de su monumental obra Complete Workers, desarrolla una rutina de juegos que incluye una variante del de Stewart Judah. Posteriormente, publicó otra vez el juego en la revista M-U-M (agosto de 2013). Para realizar el juego necesitarás un cordón (como el de los zapatos), un lápiz (o varita), un par de gomas elásticas (o cinta adhesiva) y una tira de cartulina o cartón del tamaño del lápiz. Originalmente se utilizaba una pajita de bebidas pero ya no son de papel y, como comprobarás al final de la descripción, las de plástico no sirven. Para la descripción, nos ayudaremos de las imágenes que aparecen en el libro citado de Martin Gardner. Ata, con uno de los elásticos, la parte inferior del lápiz con una esquina de la tira de cartulina (figura 1). Entrega el lápiz a un espectador para que lo sujete. Deja caer la cartulina hacia adelante y coloca el cordón delante del lápiz (figura 2). Intercambia de lado los extremos del cordón haciéndolos pasar por detrás del lápiz, teniendo la precaución de que la parte izquierda pase por encima de la parte derecha (figura 3). En las etapas sucesivas, la esquina con la letra "a" debe pasar por encima de la esquina que lleva la letra "b". Pasa ahora por delante del lápiz los dos extremos del cordón, intercambiando su posición, el lado de la izquierda por encima del lado de la derecha (figura 4). Coloca la cartulina por delante del lápiz y átala, con el otro elástico, a la parte superior del lápiz (figura 5). Pasa el cordón por delante de la cartulina, intercambiando sus extremos, pero recuerda que el lado de la izquierda debe pasar por encima del lado de la derecha (figura 6). Pasa el cordón por detrás del lápiz, intercambiando de nuevo sus extremos, pasando ahora el lado de la derecha sobre el lado de la izquierda (figura 7). Pasa otra vez los extremos el cordón por delante de la cartulina, haciendo que el lado de la izquierda pase por encima del lado de la derecha (figura 8). Con el espectador sujetando el lápiz por sus extremos, tira fuertemente de ambos extremos del cordón. Verás que la cuerda rompe la cartulina pero atraviesa limpiamente el lápiz. Observaciones. Una gran cantidad de efectos pseudo-topológicos se realizan con cuerdas. Uno de los nudos falsos más sorprendentes recibe el nombre de nudo Chefalo, y puedes aprender a realizarlo siguiendo los pasos de Louis Kauffman en este video. ¿Quién no ha oído hablar del reto que consiste en sujetar cada extremo de una cuerda con una mano y formar un nudo sin soltar la cuerda? Topológicamente es imposible pero, si cruzas primero los brazos y agarras la cuerda, al descruzar los brazos se forma un nudo en la cuerda. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Martes, 01 de Diciembre de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

427. 97. (Noviembre 2015) VI Jornadas de Teatro Científico Divulgativo Ciencia y Teatro

Las VI Jornadas de Teatro Científico Divulgativo, Ciencia y Teatro 2015 tendrán lugar del 10 al 13 de diciembre de 2015: serán en el Centro Cultural "Quinto Cecilio Metello" de Medellín. Paralelamente habrá actividades en el Teatro Imperial de Don Benito para alumnos de secundaria y Bachillerato y también, como en otras ediciones, en la sala Trajano de Mérida. Esta reunión es la continuación de las jornadas iniciadas en 2009: su objetivo es el de reunir a gentes procedentes del mundo de la ciencia, de la filosofía, de la dramaturgia, de la literatura, para compartir ideas y experiencias sobre la divulgación de la ciencia a través del arte. Conferencias, lecturas dramatizadas, representaciones teatrales, danza, actividades mirando al cielo (astronomía y aves),… un programa tentador para aprender ciencia y teatro, teatro y ciencia a través de algunas y algunos de sus protagonistas. Puedes inscribirte en este enlace.

Lunes, 30 de Noviembre de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

428. 101. (Noviembre 2015) Retrato alfabético de Grigori Yakovlevich Perelman, de Iker Ruiz de Infante

“No estoy interesado en el dinero o la fama; no quiero estar expuesto como un animal en el zoo. [...] No quiero que todo el mundo esté mirándome.” Grigori Y. Perelman Asteroide El asteroide 50033-Perelman del cinturón de asteroides del Sistema Solar, que fue descubierto el 3 de enero del 2000 por el astrónomo aficionado Stefano Sposetti, lleva su nombre en su honor. Solo los/as matemáticos/as más famosos/as tienen un asteroide con su nombre; en contra de toda lógica, no hay ninguno con el nombre de Cauchy. Berkeley Perelman estuvo en la universidad pública de California en Berkeley dos años, entre 1993 y 1995, gracias a la prestigiosa beca Miller de investigación. En ese periodo dio una demostración concisa para la ‘conjetura del alma’ de la geometría de Riemann. Conjetura de Poincaré Hernri Poincaré conjeturó en 1904 el problema topológico que casi 100 años más tarde, en 2002, Perelman terminó demostrando. Tras esto la conjetura adquirió el estatus de teorema. Diferente La comunidad matemática en general, y más concretamente la occidental, ha considerado su comportamiento como diferente por su decisión de anteponer las matemáticas a la fama. El documental ruso El hombre que camina diferente: La lección de Perelman, publicado en 2011, estudia la figura del matemático. Esfera La esfera en tres dimensiones es un objeto importante en los resultados sobre topología de Henri Poincaré. Su extensión a las cuatro dimensiones, la hiperesfera, es el objeto geométrico protagonista del teorema de Poincaré. Flujo de Ricci Es un tipo de flujo geométrico, denominado así en honor a Gregorio Ricci-Curbastro. Es imprescindible en la demostración de la conjetura de Poincaré dada por Perelman. Genio En los años 80 Perelman consiguió la mayor puntuación de la asociación MENSA. En la actualidad, con un cociente intelectual de 238 puntos, es considerado una de las personas más inteligentes del mundo. Humilde Perelman siempre ha mantenido una actitud humilde respecto a sus logros. Defiende que es injusto no reconocer a Richard Hamilton tanto mérito como a él en la demostración de la conjetura de Poincaré. Inconformista La crítica de Perelman a la mayoría de matemáticos/as de la comunidad internacional es que son conformistas. Ya que, a pesar de ser honestos/as, son tolerantes con quienes no lo son. Jaula Perelman vive como en una jaula, incomunicado de la comunidad matemática en general. En parte por decisión personal, y por otra debido al aislamiento sufrido por su sentido de la ética, según el mismo dice. Kleiner-Lott Bruce Kleiner y John Lott formaron uno de los equipos encargados de verificar la demostración de la conjetura de Poincaré ofrecida por Perelman. Publicaron sus notas sobre los papeles de Perelman el 25 de mayo del 2006. Leningrado Conocida como Petrogrado hasta la muerte de Lenin, y actualmente llamada San Petersburgo, es la ciudad en la que Perelman nació, se crió, estudió y desarrolló las matemáticas y los conocimientos suficientes para alcanzar los logros que lo han hecho famoso. Medalla Fields Galardón otorgado por la Unión Matemática Internacional por descubrimientos sobresalientes en matemáticas. Es la mayor distinción entre la comunidad matemática internacional, y es considerada el Nobel de matemáticas. Perelman ha sido la única persona en la historia en rechazar este premio. Nudos En topología, un nudo es una curva cerrada que se cruza consigo misma, entrelazándose. El teorema de Poincaré establece una relación entre los complementos de algunos nudos, la cual establece una relación entre esos nudos. Olimpiada Internacional de Matemática Competición internacional de matemáticas para alumnos de bachiller. Grigori Perelman participó a los 16 años con el equipo soviético, que quedó segundo, detrás de la República Federal Alemana y por delante de la República Democrática Alemana. Perelman compartió el primer puesto y la medalla de oro, con una puntuación perfecta, junto a un estudiante alemán y otro vietnamita. Problemas del milenio Lista de los 7 problemas matemáticos más importantes, sin resolver, propuesta por el Instituto Clay de Matemáticas en el año 2000. La conjetura de Poincaré es el único problema resuelto, el cual figuraba en la lista junto a la Hipótesis de Riemann, el problema sobre la inclusión entre las clases de complejidad P y NP, y otros. La resolución de cada problema se premia con un millón de dólares estadounidenses. Perelman rechazó el premio. Quasar Cuerpo celeste cuya imagen guarda cierta similitud con la proyección estereográfica de los paralelos y los meridianos de una hiperesfera. Una de las dificultades de la conjetura de Poincaré era trabajar con la esfera de cuatro dimensiones espaciales. Y una forma que tenemos de entender la hiperesfera es mediante su proyección en las tres dimensiones, usando la proyección estereográfica. Richard Hamilton Matemático y doctor en filosofía estadounidense conocido por descubrir el flujo de Ricci. Inició un programa de investigación que Grigori Perelman culminó con la demostración de la conjetura de Poincaré. Recibió el premio Oswald Veblen por sus importantes aportaciones a la geometría y la topología S1 La circunferencia. Henri Poincaré estableció la relación topológica entre la esfera y el resto de superficies cerradas en las que cualquier circunferencia situada en dicha superficie puede contraerse, sin romperse, hasta reducirse a un solo punto, sin salirse de la superficie. El éxito de Perelman radica en demostrar una relación análoga para la hiperesfera y otros objetos geométricos en la cuarta dimensión. Tian-Morgan Los matemáticos Gang Tian y John Morgan formaron un equipo para verificar la validez de la famosa demostración de Perelman. En la sesión plenaria del 24 de agosto del 2006 del Congreso Internacional de Matemáticos Morgan declaró: “En 2003 Perelman demostró la conjetura de Poincaré”. Unión de Repúblicas Socialistas Soviéticas El gran compromiso del pueblo soviético con la educación, las ciencias y las nuevas formas de conocimiento dio lugar a programas muy avanzados para la formación de matemáticos/as. Gracias a esto Perelman pudo desarrollar todo su potencial en esta ciencia. Violinista Grigori Perelman demostró desde pequeño una sensibilidad especial para la música. Tocaba el violínn con virtuosismo, y era aficionado a la ópera italiana. Yehudim Perelman nació en el seno de una familia perteneciente al pueblo judío. Su padre, Yakov, que era ingeniero eléctrico, le enseño a jugar al ajedrez y fue quien le facilitó cantidad de problemas matemáticos y lógicos. Su madre, Lyubov, era maestra de matemáticas y fue quien se preocupó de dirigir el talento de Grigori hacia la formación en un club de matemáticas. Zhu-Cao Los matemáticos chinos Zhu Xiping y Huai-Dong Cao formaron el tercero de los equipos para verificar la demostración de la conjetura de Poincaré. Tuvieron que rectificar los resultados que publicaron en junio del 2006 al respecto porque en ellos daban a entender que dichos resultados eran una demostración propia de la conjetura basándose en los estudios de Hamilton y Perelman. -oOo- Nota 1 (de Iker Ruiz de Infante) He hecho el retrato alfabético de Grigori Perelman usando todas las letras a excepción de la W y la X. La imagen es un diseño propio basándome en el estilo constructivista ruso. Este trabajo se ha realizado en su totalidad con software libre y de código abierto. Sistema Operativo: Manjaro Linux Explorador de Internet: Mozilla Firefox Editor LaTeX: Texmaker Visor de PDF: Evince Visor de imágenes: Viewnior Editor de imágenes: GIMP Editor de texto plano: Mousepad Nota 2 (de Marta Macho Stadler) Este retrato alfabético ha recibido el premio al mejor relato en castellano (compartido) en el concurso Un relato alfabético de… organizado durante la Zientzia Astea (UPV/EHU) en 2015. No es la primera vez que se incluyen este tipo de relatos en DivulgaMAT: recordemos el concurso organizado durante este verano y los relatos que se seleccionaron como ganadores. Iker Ruiz de Infante, autor de este relato alfabético de Grigori Yakovlevich Perelman, es alumno del Grado de Matemáticas en la UPV/EHU.

Miércoles, 11 de Noviembre de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

429. 21. (Noviembre 2015) Matemáticas en La tabla de Cebes

La Tabla de Cebes es un texto moral griego del siglo I d.C. atribuido erróneamente al filósofo tebano discípulo de Sócrates. La Tabla fue muy utilizada en el mundo latino para la enseñanza conjunta del griego y la ética, por su sencillez y sus expresivas imágenes alegóricas. Con la llegada de la imprenta y el Renacimiento el Pinax o Tabula Cebetis se convirtió en una obra de gran éxito que alcanzó decenas de ediciones en griego, latín, lenguas vernáculas e incluso en árabe. La primera traducción al castellano (1532) de La Tabla se debe al matemático Juan Martínez Silício Población, medico de Francisco I, rey de Francia. Martínez Población ya había publicado una aritmética práctica y un tratado sobre el uso del astrolabio. Dos traducciones más se realizaron en el mismo siglo. La Tabla de Cebes es un diálogo alegórico de la vida humana. Un grupo de personas visita el templo de Saturno y encuentra una tabla pintada con tres recintos concéntricos amurallados, tal como muestra la pintura de Jan Sons del Museo Capodimonte de Nápoles (circa 1600). Un venerable viejo se acerca a los viajeros y se ofrece a contarles el significado de las imágenes. Una muchedumbre se agolpa en la puerta exterior donde aguarda un joven: - ¿No ves tú junto a la puerta aquella silla, precisamente en el sitio por donde  ha de pasar la multitud, y sentado en ella a un mancebo de muy buena presencia, de figura seductora, con un vaso en la mano? - Si que lo veo, pero, ¿quien es? - Este se llama el Engaño, porque no más dice mentiras para cautivar a todos los hombres. - ¿Y pues que diablos hace? - Brinda con un brebaje a cuantos entran en la vida. - ¿Qué brebaje es ése? - El brebaje del Error y la Ignorancia. … - ¿Y beben todos del error? - Todos beben: unos, más; otros, menos. Conforme se avanza por el interior se van mostrándose los distintos vicios que asolan a la humanidad. Resulta interesante que la fabula moral incluya las ciencias matemáticas en el segundo recinto, el de las falsas disciplinas, pero eso mismo nos permite disfrutar con deliciosas representaciones de los quehaceres matemáticos desde el punto de vista de la época.  Veamos lo que dice el texto: - Fuera de la muralla ¿no ves junto a la puerta, una mujer, de pie, al parecer muy aseada  y compuesta? - Si. - Llamanla Ciencia, la mayoría, la gente mas tonta;  pero no es otra cosa que la Falsa Ciencia. Cuantos escaparon antes al peligro, acuden primero a ella, teniéndola por la Verdadera. - ¿Y como es que no hay otro camino para llegar a ella? - ¡Vaya si le hay! - ¿Y esos hombres que dentro del recinto van y vienen, quiénes son? - Los enamorados de la falsa ciencia, gozosos en su error de creer que tratan con la verdadera. - ¿Como se llaman? - Llámenle poetas; oradores, otros; estos dialécticos; esos artistas;  esotros, aritméticos y geómetras; aquellos, astrólogos; tales sensualistas; cuales, peripatéticos; quienes,  críticos en fin. Otros muchos por el estilo, que todos se les asemejan. La imagen que encabeza la Instantánea corresponde a la representación de los matemáticos de un tapiz del XVI que se conserva en el Museo Metropolitano de Arte en Nueva York y que lleva el significativo título de El jardín del Falso Conocimiento. La disposición del tapiz se corresponde casi totalmente con la del cuadro de Jan Sons en Nápoles. Un geómetra realiza sus cálculos con un compás sobre la muralla, un astrónomo con compás utiliza un cuadrante y otro porta una esfera armilar y un geógrafo lleva un globo terrestre algo más al fondo. El aritmético opera con la tablilla numérica. No puede extrañarnos que La Tabla fuera recomendada por enemigos irreconciliables, tanto por los jesuitas como por la iglesia luterana. La tabla ponía la vida virtuosa como única ciencia verdadera y la más difícil de alcanzar. Reproducimos a continuación la porción de la pintura napolitana con los matemáticos que se corresponde con el tapiz inicial: Otra curiosidad en forma de metáfora matemática nos la encontramos en la representación de la Fortuna, que como es inestable se encuentra sobre una esfera: En contraposición, la Verdadera Ciencia se sienta sobre un cubo, símbolo de estabilidad y firmeza. La Tabla de Cebes fue también muy usada por los impresores para ilustrar muchos libros de diferentes autores que van desde el geógrafo Estrabón al humanista Erasmo. Algunos grandes artistas como Hans Holbein el Joven o  Ehhard Schoen fueron los encargados de hacer el diseño de los grabados. Reproducimos un detalle del segundo recinto del grabado de Schoen conservado en el British Museum. Un geómetra opera al lado del calculista que todavía maneja el ábaco para realizar las operaciones.  También en las Tablas de Cebes se observa la convivencia del algoritmo y el ábaco.

Lunes, 02 de Noviembre de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

430. 71. (Noviembre 2015) Música y probabilidad (I)

1. ¿Por qué estudiar Probabilidad en Música? El ser humano ha convivido desde siempre con la incertidumbre. Estamos tan acostumbrados a aceptar hechos que conocemos de manera fragmentaria, a razonar a partir de premisas incompletas, a tomar decisiones basadas en creencias subjetivas, que la presencia de la incertidumbre nos resulta natural. Si salimos a la calle, lo más probable es que, antes de decidir qué ropa ponernos, consideremos las posibilidades de lluvia, quizás sólo observando el trozo de cielo que nos deja ver la ventana, quizás recordando la estación del año y el tiempo que hizo en los últimos días. En todo caso, lo único que hemos hecho es decidir en base a un razonamiento aproximado y cargado de incertidumbre. La causa de esa presencia ubicua de la incertidumbre es la extraordinaria complejidad de la realidad, la multitud de causas que se esconden detrás de hechos simples y que nos resulta difícil de comprender. Sin embargo, sobrevivimos en medio de esa sopa de incertidumbre que nos rodea: tomamos decisiones, creamos modelos para explicar la realidad, nos esforzamos por comprender esa aleatoriedad, por tratarla y sacar provecho de ella, razonamos en su presencia e incluso acumulamos conocimiento a su pesar. Hay muchos fenómenos físicos gobernados por la incertidumbre, como por ejemplo los fenómenos microscópicos. Pensemos en el comportamiento de los gases, formados por muchísimas partículas cuyo comportamiento se describe teniendo en cuenta las interacciones aleatorias entre ellas. A pesar de esto, hay una teoría de los gases que predice con bastante exactitud el comportamiento macroscópico, lo cual no deja de sorprendernos. Sin duda, donde reina la incertidumbre por sus fueros es en la Mecánica Cuántica, entronizada por el principio de Heisenberg enunciado en el año 1927. Este principio afirma que cuanto más precisa es la medida de la posición de un electrón, más imprecisa es la medida de su velocidad, de modo que no es posible conocer ambos con precisión absoluta. ¿Hay una afirmación más rotunda de la incertidumbre? Las consecuencias de este principio son profundísimas y alcanzan a la ciencia y la técnica de nuestros días, pues termina con una manera determinista de concebir el conocimiento. No sólo en los fenómenos cuánticos aparece la incertidumbre; quizás en este campo es más patente a causa del principio de incertidumbre, pero a medida que el progreso científico exigió un conocimiento en profundidad de los fenómenos, con más capacidad de predicción, la incertidumbre empieza a aparecer de modo natural. Antes del desarrollo de la probabilidad y la estadística los análisis de los problemas eran deterministas, y sus conclusiones, limitadas. La incertidumbre, entre otros muchos campos, aparece en: Economía y Ciencias Sociales: comportamiento de mercados, índices bursátiles, tendencias sociales, resultados de elecciones, etc. Ingeniería: procesos de fabricación, control de calidad, planificación de tareas, mediciones de características, etc. Informática y Computación: tráfico en redes de comunicaciones, tiempo de ejecución de programas, accesos a páginas web, comportamiento de estructuras de datos, gestión de recursos, etc. Esa incertidumbre es consecuencia de que los fenómenos que estudiamos vienen dados por un alto número de causas, muchas de ellas de pequeño efecto, interdependientes de un modo desconocido, y de comportamiento difícil de explicar o modelizar. De esto se sigue la necesidad de incorporar la incertidumbre al razonamiento, a la deducción, en suma, al método científico. Si pretendemos tener modelos que expliquen la realidad, entonces no podemos ignorar ese aspecto. La Teoría de la Probabilidad es la rama de las Matemáticas que materializa tal incorporación. Podríamos decir que la probabilidad es la lógica de la incertidumbre. Feller (1906 - 1970), uno de los grandes probabilistas del siglo XX, resaltaba de la probabilidad tres características, que a su juicio, le proporcionan su utilidad y belleza [Fel63]: Intuición. La probabilidad es intuitiva porque la usamos en el razonamiento cotidiano. Nos sirve para cuantificar el conocimiento subjetivo que tenemos de un hecho y tomar decisiones. Formalismo lógico. La probabilidad es de suma importancia para el método científico. A partir de Kolmogorov, que introduce la definición axiomática de probabilidad, esta se une con la lógica, esto es, con las leyes del pensamiento. Esto permitió que la probabilidad, ahora con el soporte de la lógica, se desarrollase como una rama del conocimiento plenamente independiente. Esta unión de la lógica y la intuición parece que es lo que desconcierta al estudiante en un primer momento. Aplicaciones. Son muchas y en los ámbitos más diversos. Nombrar todas sus aplicaciones sería largo, pero, dado que este material está dirigido a alumnos de estudios musicales, merece la pena nombrar algunas de las más relevantes. Sin embargo, dejamos al alumno que las busque él por su cuenta. Esta introducción que está en cursiva corresponde a la introducción de mis notas de estadística que doy a mis alumnos de informática. Sin embargo, cambié el título y algo tramposamente en su lugar puse ¿Por qué estudiar Probabilidad en Música? ¿No es esta introducción igualmente válida si se tratase de alumnos del conservatorio? Pensamos que sí, que lo sería, que las diferencias serían pocas. Esta introducción es general y sirve para cualquier disciplina. Sin embargo, como no nos hemos cansado de señalar, los estudios científicos —ya ni siquiera las matemáticas— están casi ausentes por completo en los planes de estudio de los conservatorios españoles (la excepción es la asignatura de acústica, por supuesto). Pero ¿por qué debería estudiar un músico una materia como probabilidad? Daría dos razones rápidas en este momento, a falta de más desarrollo. La primera es porque le enseña a pensar de un modo que es fundamental en cualquier persona que tenga una educación superior (de secundaria en adelante, digamos). La segunda razón es que en especialidades como musicología y composición estos conocimientos son importantes, sobre todo a la luz del desarrollo moderno de ambos campos (musicología sistemática y computacional y música de los siglos XX y XXI). Mis notas siguen con una definición de la disciplina de Informática dada por la ACM, la prestigiosa asociación de informática estadounidense; dicha definición está contenida en un informe periódico sobre el estado de la informática, el informe The Joint Task Force for Computing Curricula; véase [Cur05]. Reproduzco aquí, por completitud, la definición que establecen los autores de dicho informe (nuestra traducción): De modo general, podemos dar el significado de computación a toda actividad que específicamente requiera ordenadores, se beneficie de ellos o los cree. Así pues, la computación incluye: el diseño de sistemas hardware y software para un amplio rango de objetivos; procesamiento, estructuración y gestión de varios tipos de información; la realización de estudios científicos; hacer que los ordenadores se comporten inteligentemente; crear y usar comunicaciones y entretenimiento multimedia; buscar y recopilar información relevante para cualquier objetivo particular, entre otros. La lista es virtualmente interminable y las posibilidades son infinitas. Computación tiene otros significados que son más específicos, basados en el contexto en que se usa el término. Por ejemplo, un especialista en sistemas de información verá el término computación de modo diferente al de un ingeniero de software. Con independencia del contexto, hacer computación de calidad puede ser complicada difícil y complicado. Porque la sociedad necesita gente que haga computación de calidad, concebimos la computación no solamente como una profesión sino como una disciplina científica. Trasladando lo anterior a nuestro objeto de interés, la música, nos preguntamos ¿qué es la música? ¿De qué definición de música disponemos? Quizás estamos profundamente equivocados y la definición de música no deja resquicio alguno para la necesidad del estudio de las matemáticas en la música y aun menos de la probabilidad. Una definición de la música es una empresa mucho más arriesgada que la definición de la actividad informática. En torno a la definición de la música no hay consenso en absoluto, tal es su complejidad fenomenológica, cultural, social, semiótica, funcional, cognitiva y perceptual. Como ejemplo de la disparidad de definiciones de música que podemos encontrar, aquí está la de Xenakis, tomada de su libro Formalized music [Xen01] (la dejamos en inglés por ser lo suficientemente clara y por respeto al original): It[Music] is a sort of comportment necessary for whoever thinks it and makes it. It is an individual pleroma, a realization. It is a fixing in sound of imagined virtualities (cosmological, philosophical,…, arguments) It is normative, that is, unconsciously it is a model for being or for doing by sympathetic drive. It is catalytic: its mere presence permits internal psychic or mental transformations in the same way as the crystal ball of the hypnotist. It is the gratuitous play of a child. It is a mystical (but atheistic) asceticism. Consequently, expressions of sadness, joy, love and dramatic situations are only very limited particular instances. Es una definición que combina elementos poéticos (gratuitous play of a child) con elementos cognitivos (mental transformations) y con elementos espirituales (asceticism). En una aparente paradoja, parece que esta definición deja poca oportunidad al estudio de la probabilidad en la música. Sin embargo, ¡Xenakis compuso música con métodos probabilísticos! (véanse los artículos de esta columna de finales de 2010 [Góm10c, Góm10b, Góm10a] para análisis de la música de Xenakis, en particular de la música que usa probabilidad). Otra definición de música muy citada por su versatilidad es la que dio Edgard Varèse: música es sonido organizado. Varèse hacía referencia a su propia estética musical como compositor modernista que era, pero a la vez resume elegantemente múltiples aspectos de la definición de música. ¿Quién organiza la música o decide qué organizaciones del sonido son válidas? La cultura y la sociedad. Pero eso, aunque no está en su definición, aparece sutilmente implícito. Otras escuelas de pensamiento hablan de la música como constructo social y afirman que la música es un acto totalmente social. Su definición y tratamiento dependen esencialmente de su consideración como fenómeno social. Otros autores consideran la música como un lenguaje enmarcado dentro de un contexto cultural y llegan a estudiar la música como un fenómeno semiótico. Aun otros autores ligan la definición de música a la capacidad del sonido de producir emociones en el oyente (la visión psicológica). En el libro Psychological Foundations of Musical Behavior [RB06], Radocy y Boyle llevan a cabo un análisis exhaustivo de varios aspectos fundamentales de la música. Empiezan con la biomusicología, en particular, con la musicología evolutiva, que intenta explicar los orígenes evolutivos de la música, y con la neuromusicología, que se ocupa del estudio de los procesos neuronales y cognitivos que subyacen en la actividad musical. La música es un universal humano, pues todas las sociedades humanas conocidas tienen música vocal y prácticamente todas tienen alguna forma instrumental. Continúan con la perspectiva antropológica de la música. Porque la música es creada por el ser humano, aquella ha de servir a un fin y entonces hablamos de las funciones de la música (hay muchas: desde el entretenimiento hasta el ritual religioso). Estos autores prosiguen examinando la interesante perspectiva de la música como canalizador de la actividad motora, en especial su relación con el baile, y de ahí a la música como refuerzo de la conformidad con las normas sociales o como elemento integrador en el contexto social. Sin embargo, sea cual sea la definición de música que intentemos establecer, hay un aspecto innegable en la música: se trata de un fenómeno. Nos puede interesar sus efectos emocionales en nosotros, o su raíces sociales y culturales, o sus aspectos organizativos, pero siempre permanecerá el hecho de que se puede estudiar como fenómeno. En este sentido, es lícito y necesario usar métodos científicos para su estudio. Obviamente, no abogamos aquí porque el estudio de la música se haga exclusivamente con esos métodos. Si la música es tal fenómeno multidimensional y complejo, los métodos de su estudio tendrán que tener esos atributos, y entre ellos se contará el método científico. Cualquier fenómeno lo suficientemente complejo—y la música ciertamente lo es — necesitará el razonamiento y el análisis en presencia de la incertidumbre del que hablaba en la introducción más arriba. En los siguientes cuatro artículos de esta columna estudiaremos varios ejemplos de análisis musical por vía de la probabilidad. En 2010 David Temperley publicó un excelente libro [Tem10], Music and Probability, cuyo título no puede ser más elocuente; véase la portada del libro en la figura abajo. Aprovecharemos este recorrido por la música de la mano de la probabilidad para analizar el libro. Figura 1: Music and probability, de David Temperley Ciertamente, el libro de Temperley no se podría considerar como un texto posible para un curso de probabilidad para músicos (o al menos para musicólogos), especialmente el capítulo 2. Cubre demasiado rápido y de una manera algo superficial el material básico de probabilidad (apenas siete páginas). Por el contrario, tiene el mérito de que sus ejemplos y explicaciones intuitivas son muy efectivos y originales. En verdad, la verdadera valía del libro reside en las aplicaciones que presenta. Para que el lector se haga una idea precisa de su contenido, en la figura 2 de abajo se encuentra el índice de contenidos. Figura 2: Índice de contenidos de Music and probability ¿Cuál sería, pues, una buena introducción a la probabilidad para músicos? Eso, claro es, depende del nivel previo de conocimiento que traigan esos músicos. Para fijar ideas, pensaremos en un alumno medio que estudia música con intención de llegar a ser profesional y que hizo el bachillerato, uno de letras (como mucho el de ciencias sociales). Con frecuencia, la última vez que estudió matemáticas fue en 4o de la ESO. El programa de este curso, de 4o de la ESO, tomado de [BOC15] (páginas 104–105), consiste en lo siguiente: Contenidos de matemáticas de 4o de la ESO: Aritmética: números reales y radicales. Álgebra: polinomios, fracciones algebraicas, ecuaciones y sistemas no lineales. Geometría y trigonometría: razones trigonométricas, triángulos rectángulos, distancias, vectores en el plano, ecuaciones de la recta en el plano. Funciones: conceptos básicos, representación gráfica de parábolas e hipérbolas, representación de raíces, exponenciales y funciones definidas a trozos. Estadística, combinatoria y probabilidad: estudio de una variable estadística, distribuciones bidimensionales, recta de regresión, combinatoria y técnicas de recuento, conceptos básicos de probabilidad. Como se puede apreciar, los contenidos son los habituales, nada fuera de lo esperado. Este es, sin embargo, el problema. Son los contenidos habituales. Esto significa, en el contexto de España, enseñanza tradicional, donde el alumno es un sujeto pasivo, donde hay más énfasis en la enseñanza del profesor que en el aprendizaje del alumno, donde el profesor ejerce una autoridad que no favorece el aprendizaje, donde el conocimiento se le da al alumno construido externamente y donde los contenidos se centran en los aspectos calculísticos y operativos en lugar de en las ideas y los conceptos, que es la verdadera riqueza y goce de las matemáticas. Para una crítica certera y feroz de la enseñanza actual de las matemáticas, urgimos encarecidamente al lector que lea el legendario artículo El lamento de un matemático de Paul Lockhart [Loc08]. Y por más paradójico que pueda sonar, el propio BOCM propone, a continuación de los contenidos, objetivos de aprendizaje de tipo conceptual e incluso emocional (“Confianza en las propias capacidades”). He aquí esa paradójica lista de objetivos de aprendizaje: Procesos, métodos y actitudes en matemáticas: 1. Resolución de problemas. Planificación del proceso de resolución de problemas. Estrategias y procedimientos puestos en práctica: uso del lenguaje apropiado: (gráfico, numérico, algebraico, etc.), reformulación del problema, resolver subproblemas, recuento exhaustivo, empezar por casos particulares sencillos, buscar regularidades y leyes, etc. Reflexión sobre los resultados: revisión de las operaciones utilizadas, asignación de unidades a los resultados, comprobación e interpretación de las soluciones en el contexto de la situación, búsqueda de otras formas de resolución, etc. 2. Investigaciones matemáticas. Planteamiento de investigaciones matemáticas escolares en contextos numéricos, geométricos, funcionales, estadísticos y probabilísticos. Práctica de los procesos de matematización y modelización, en contextos de la realidad y en contextos matemáticos. Confianza en las propias capacidades para desarrollar actitudes adecuadas y afrontar las dificultades propias del trabajo científico. 3. Utilización de medios tecnológicos en el proceso de aprendizaje para: (a) la recogida ordenada y la organización de datos. (b) la elaboración y creación de representaciones gráficas de datos numéricos, funcionales o estadísticos. (c) facilitar la comprensión de propiedades geométricas o funcionales y la realización de cálculos de tipo numérico, algebraico o estadístico. (d) el diseño de simulaciones y la elaboración de predicciones sobre situaciones matemáticas diversas. (e) la elaboración de informes y documentos sobre los procesos llevados a cabo y los resultados y conclusiones obtenidos. (f) comunicar y compartir, en entornos apropiados, la información y las ideas matemáticas. Las razones por las que calificamos esta lista de paradójica son que, en la realidad —en la triste realidad diríamos— esto no se enseña o se mal enseña. Por un lado, los profesores persisten en la enseñanza tradicional de las matemáticas, a pesar de su fracaso evidente. Por otro lado, los alumnos adoptan una actitud de vómito (memorizar la materia, sin comprenderla, con frecuencia el día anterior, y vomitarla el día del examen para después olvidarlo todo y así fomentar la ignorancia). A esto se añade el mal funcionamiento del sistema educativo (¿existe la inspección educativa en este país?), que permite lo anterior, junto una confusión pedagógica notable (¿quién enseña pedagogía a los profesores de instituto y universidad?, ¿cómo es posible que no conozcan nada sobre la psicología de los alumnos, su primordial material de trabajo?, ¿cómo es posible que algunos presuman de esta ignorancia y otros muchos nunca se decidan a cubrir esa laguna?). Si de verdad queremos enseñar probabilidad a los músicos, debe ser desde el aprendizaje auténtico y significativo y no desde la enseñanza tradicional. En realidad, el capítulo 2 del libro de Temperley abunda en esa enseñanza tradicional. Se apresura por cubrir los rudimentos porque quiere llegar a las fascinantes y emocionantes aplicaciones. Pero este enfoque es un error porque los lectores se rendirán mucho antes si no entienden el capítulos de los fundamentos de la probabilidad. 2. Aprendizaje de la Probabilidad para músicos En esta sección vamos a explicar brevemente cómo enfocaríamos la enseñanza de la probabilidad a músicos. La probabilidad, como dijimos antes, es razonamiento en presencia de la incertidumbre y se rinda a la evidencia de que los modos deterministas de razonamiento no funcionan en muchos contextos. Por tanto, la única manera de que alguien, músico o no, aprenda probabilidad es que se enfrente a problemas de probabilidad. De modo que empezaríamos proponiendo algunos problemas, por ejemplo, el clásico problema de Monty Hall. Helo aquí. Problema 2.1 El nombre de la paradoja viene por el nombre del presentador del concurso Let’s make a deal. En el concurso se presenta al concursante tres puertas; detrás de una ellas hay un coche y detrás de cada una de las otras dos una cabra. El concursante elige una puerta y entonces Monty Hall, el presentador, abre otra puerta que siempre corresponde a la de una cabra. En este momento el presentador ofrece al concursante la posibilidad de cambiar su elección. ¿Debe el concursante mantener su elección original o escoger la otra puerta? ¿Supone alguna diferencia? Este problema lo resolverían los alumnos en clase, no importa cuánto tarden, no importa cuántos errores cometan, no importan cuánto se resistan a razonar (muchos traerán baja autoestima matemática). Con este problema evaluaría su capacidad de argumentación, su rigor intelectual, su lenguaje, la precisión de su vocabulario, su autoestima matemática, su empatía, entre otras variables de importancia para el aprendizaje individual y colectivo. Tras unas pocas sesiones de problemas de probabilidad, entraríamos en un mínimo de formalización y de terminología. En las discusiones habría aparecido la necesidad de dicha terminología y formalización. Habríamos de dar los conceptos de experimento aleatorio, espacio muestral, espacio de sucesos, sucesos elementales y compuestos, sucesos incompatibles. Dado que nuestros alumnos tendrían muy lejos los conjuntos, se haría necesario un repaso de este material, siempre en forma de problemas y discusiones, y dejando que ellos mismos se expliquen la materia entre sí. De ahí entraríamos a la definición de espacio de probabilidad, que sería la definición axiomática de Kolmogorov. Esta definición, si se presenta adecuadamente, la puede comprender un alumno de primero de grado superior, por ejemplo. Tras esta definición vendrían la prueba de propiedades y, de nuevo, la resolución de problemas. Como ejemplo de propiedades, podríamos poner las siguientes: Teorema 2.2 Sea (E,℘,P) un espacio de probabilidad. (a) Si A,B son dos sucesos cualesquiera y A ⊆ B, entonces P(A) ≤ P(B). (b) La probabilidad es un número entre 0 y 1. (c) Para todo A ∈ ℘, se tiene que P(A) = 1 - P(A). (d) Si A,B son dos sucesos cualesquiera, entonces P(A ∪ B ) = P (A) + P(B )- P (A ∩ B ) Tras este primer bloque de contacto con la probabilidad, entraríamos en la probabilidad condicionada. Con mis alumnos de informática, suelo emplear cerca de una hora en discutir cuál es el concepto que está detrás de la probabilidad condicionada y por qué llegamos a la fórmula Profundizando en este contexto, aprenderían el teorema de la probabilidad total y el concepto de independencia. Este aprendizaje tiene que venir reforzado por problemas y discusiones. No aprenderán todo este aparato conceptual sin el crecimiento intelectual que supone resolver problemas y explicarle la solución a sus compañeros. Y, por fin, iríamos al grandioso teorema de Bayes. Aquí es muy importante que entiendan este teorema en el contexto epistemológico, esto es, como mejora de los modelos de conocimiento. Los problemas deben elegirse cuidadosamente. En particular, y esto vale para todo lo anterior, los problemas que se propongan a los alumnos deben suponerles dificultades de lectura comprensiva y deben ser problemas que contengan una fuerte carga de interpretación (no deben ser problemas de respuesta cerrada). En [Góm15b, Góm15c] se pueden encontrar las notas de probabilidad en la asignatura que damos para ingenieros informáticos. Sobre mis métodos de aprendizaje, que son una combinación del método Moore (aprendizaje por indagación) y del aprendizaje colaborativo, se puede consultar [Góm15a]. Sobre la aplicación de dichos métodos al aprendizaje de la música, véase [TG15] (escrito en colaboración con Manuel Tizón).   Bibliografía [BOC15] BOCM. Decreto 48/2015. http://www.bocm.es/boletin/CM_Orden_BOCM/2015/05/20/BOCM-20150520-1.PDF, mayo de 2015. [Cur05] ACM Computing Curricula. The joint task force for computing curricula 2005. http://www.acm.org/education/curricvols/CC2005-March06Final.pdf, 2005. [Fel63] W. Feller. An Introduction to Probability Theory and Its Applications. Wiley, 1963. [Góm10a] P. Gómez. Las matemáticas en la música de Xenakis III. http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=11648&directory=67, diciembre de 2010. [Góm10b] P. Gómez. Las matemáticas en la música de Xenakis II. http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=11510&directory=67, noviembre de 2010. [Góm10c] P. Gómez. Las matemáticas en la música de Xenakis I. http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=11360&directory=67, octubre de 2010. [Góm15a] P. Gómez. El método Moore o el aprendizaje por indagación. http://webpgomez.com/social/educacion/408-metodo-moore, consultado en septiembre de 2015. [Góm15b] P. Gómez. Probabilidad (I) (notas de la asignatura de estadística). http://www.ma.eui.upm.es/usuarios/Fmartin/Docencia/Estadistica-15/Guion-Estad-15-16-tema-2-(I).pdf, septiembre de 2015. [Góm15c] P. Gómez. Probabilidad (II) (notas de la asignatura de estadística). http://www.ma.eui.upm.es/usuarios/Fmartin/Docencia/Estadistica-15/Guion-Estad-15-16-tema-2-%28II%29.pdf, septiembre de 2015. [Loc08] Paul Lockhart. El lamento de un matemático. La gaceta de la Real Sociedad Matemática Española, 11(4):737–766, 2008. Documento accesible en http://www.rsme.es/gacetadigital/abrir.php?id=824. [RB06] Rudolf E. Radocy and J. David Boyle. Psychological Foundations of Musical Behavior. Charles C Thomas, Illinois, 2006. [Tem10] D. Temperley. Music and Probability. MIT Press Ltd, 2010. [TG15] M. Tizón and P. Gómez. El aprendizaje por indagación II. http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=14957&directory=67, consultado en septiembre de 2015. [Xen01] Iannis Xenakis. Formalized Music: Thought and Mathematics in Composition. Number 6 in Harmonologia. Pendragon Press, Hillsdale, NY, 2001.

Lunes, 02 de Noviembre de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico