411. 104. (Febrero 2016) Botella de Klein, de Juan José Arreola

La botella de Klein es uno de los cuentos de Palindroma (1971) de Juan José Arreola (1918-2001). Debajo se incluye el texto íntegro de este cuento, pero antes vamos a recordar que la botella de Klein es un ejemplo de superficie (variedad topológica de dimensión 2) compacta (cerrada y acotada), conexa (de una pieza) y no orientable (contiene bandas de Möbius). La botella de Klein no vive en dimensión 3, lo hace de manera natural en dimensión 4. Las imágenes insertadas en el texto –no están en la versión de Arreola– sólo intentan ayudar en la lectura. –oOo– BOTELLA DE KLEIN “El cilindro es al toro lo que la Banda de Moebius a la Botella de Klein”(ver nota (1) en [2]). Y Francisco Medina Nicolau(ver nota (3) en [2]) sacó de una gaveta la célebre cinta de papel, ahora con las puntas pegadas de un modo particular, como en un cuello de camisa. Sus manos de prestidigitador la hicieron girar y en el aire quedó la forma pura: – Cuando la Banda de Moebius se esconde en ella misma, surge la Botella de Klein… ¿La ves? Quedé perplejo y salí por tangente literaria: – Es el procedimiento de Kafka, según la ley de Roberto Wilcock: sacarse de la cabeza un objeto, escamotearlo y seguir hablando sobre él… El doctor Garfias estaba presente. – A propósito de cabeza, no se la quiebre usted, que al fin y al cabo la botella es de vidrio. La inventaron los alquimistas. Creo que fue Jehan Brodel, denunciado a la Inquisición por sus vecinos de la calle del Pot de Fer ¿se acuerda usted? El cuerpo infame sin principio ni fin era la imagen blasfematoria de Dios. Fue destruido el original y los dibujos previos también. Pero la cosa llegó si no a los ojos, a los oídos del Bosco, que pintaba de memoria: allí está el ámpula, la burbuja de jabón que encierra a los amantes en el Jardín de las Delicias… Panel central de El Jardín de las Delicias de El Bosco (1450-1516). Detalle de El Jardín de las Delicias de El Bosco (1450-1516). El ámpula en la que se sitúan los amantes, es ¿una botella de Klein? Ludlow llegó en ese momento con envoltorio sospechoso y sonrisa feliz. Había alcanzado a oír las palabras de Garfias y enlazó los puntos suspensivos: –… la botella figura también dentro de la tradición castellana. Es el fracaso del Marqués de Villena citado por Quevedo y por Vélez de Guevara. Es la redoma que encerraba al Homúnculo, el feto infernal, el niño que no necesita madre para nacer… Mis tres doctores en física, topología y lógica me acorralaron en una superficie collado sin pies ni cabeza. Hicieron y deshicieron nudos imaginarios y reales con cuerdas y palabras. Yo dije, recordando a Rafael, que el collado se parece al fuste de una silla de montar y que los artesanos de Colima trazan la superficie sobre pergaminos como Dios les da a entender sirviéndose de patrones heredados. Se rieron. Jorge Ludlow desenvolvió su paquete. – ¿Quería una Botella de Klein? No paso a creerlo. Siguiendo indicaciones precisas, los diseñadores y obreros de la casa Pyrex, especializada en materiales refractarios, me hicieron el capricho. No paso a creerlo. Después de muchas tentativas, aquí está el milagro físico sin interior ni exterior, perfectamente soplado y sin defecto. Botella de Klein (de vino) de Cliff Stoll Ahora estoy sólo frente al objeto irracional, llenándolo con mis ojos antes de ponerle tinto de Borgoña. Aquí está sobre mi mesa de ¿trabajo? la Botella de Klein que busqué por más de veinte años de ¿trabajo? Mi mente trabajada no puede más, siguiendo las curvas del palindroma de cristal. ¿Eres un cisne que se hunde el cuello en el pecho y se atraviesa para abrir el pico por la cola? Me emborracho mentalmente gota a gota con la clepsidra que llueve lentamente sus monosílabos de espacio y tiempo. Mojo la pluma en ese falso tintero y escribo sin mano una por una las definiciones inútiles: signos de interrogación estatuaria. Trompa gigante de Falopio. Corno de caza que me da el toque de atención al silencio, cuerno de la abundancia vacía, cornucopia rebosante de nada… Víscera dura que desdice la vida diciendo soy útero y falo, la boca que dice estas cosas: soy tu yo de narciso inclinado a su lirio, tu dentro y tu fuera, abierto y cerrado, tu liberación y tu cárcel, no bajes los ojos ¡mírame! Pero ya no puedo mirar porque la cabeza se me fue a las entrañas, ¿porque los topólogos no trabajan con vísceras y desarrollan hígados, riñones y asas intestinales en vez de nudos y toros? Se lo voy a proponer si despierto mañana. Por ahora empuño la Botella de Klein. La empuñas, pero no la empinas. ¿Cómo puedo beber al revés? Tienes miedo en pie como falso suicida, jugando metafísico el peligroso juguete en tus manos, revólver de vidrio y vaso de veneno… Porque tienes miedo de beberte hasta el fondo, miedo de saber a qué sabe tu muerte, mientras te crece en la boca el sabor, la sal del dormido que reside en la tierra… –oOo– Botella de Klein encierra numerosas metáforas (ver [3]): el narrador acaba entrando dentro de la botella de Klein, o transformándose en ese objeto, que califica de irracional. Ese retorcido, como el cuello de un cisne, dota a la botella de Klein de cualidades excepcionales –provienen en realidad de su falta de orientabilidad–: representa al mismo tiempo la perfección absoluta, el mal, la muerte… Más información: [1] Juan José Arreola, Palindroma, Joaquín Moritz, 1974 [2] Marta Macho Stadler, La botella de Klein: geometría ‘palindrómica’, Cuaderno de Cultura Científica, Matemoción, 9 diciembre 2015 [3] Paul Quinn, Arreola, Escher y Barth. Una eterna brida dorada, Actas del XIII Congreso de la Asociación Internacional de Hispanistas (1998), vol III, 356-361

Lunes, 15 de Febrero de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

412. 107. ¿Existe una fórmula para el amor?

Pregunta que ya ha aparecido en otras ocasiones en esta sección, redundante por tanto en los cineastas. Ahora bien, lo que es claro es que, de haberla, en España nos quedamos sin conocerla, porque de nuevo por n-ésima vez, una película interesante (y no solamente por las matemáticas) queda vergonzosamente sin estrenarse por aquí. Ficha Técnica: Título Original: X Plus Y (A Brilliant Young Mind). Nacionalidad: Reino Unido, 2015. Dirección: Morgan Matthews. Guión: James Graham. Fotografía: Danny Cohen, en Color. Montaje: Peter Lambert. Música: Martin Phipps. Producción: Laura Hastings-Smith, David M. Thompson. Duración: 111 min. Ficha artística: Intérpretes: Asa Butterfield            (Nathan Ellis), Rafe Spall (Martin Humphreys), Sally Hawkins (Julie Ellis), Eddie Marsan       (Richard), Jo Yang (Zhang Mei), Martin McCann (Michael Ellis), Jake Davies (Luke Shelton), Alex Lawther (Isaac Cooper), Alexa Davies           (Rebecca Dunn), Orion Lee (Deng Laoshi), Edward Baker-Close (Nathan Ellis, 9 años), Percelle Ascott (Ben Morgan), Suraj Rattu    (Pav Kamdar), Jamie Ballard            (Director de la escuela), Clare Burt (Doctor). Breve Sinopsis: Nathan es un niño de 9 años al que diagnostican características de autismo (autistic spectrum condition (ASC); pongo estas siglas porque es muy común que aparezcan así descritas, incluso en idiomas diferentes del español). No le resulta sencillo entender a los que le rodean, ni siquiera a su paciente madre que se esfuerza especialmente en comprenderlo. Lo único que realmente entiende bien son los números y sus relaciones. A través de sus médicos, es matriculado en un centro escolar especializado en la enseñanza de alumnos con altas capacidades. Allí  conocerá a un profesor anárquico y poco convencional, el Sr. Humphreys, a través del cual, realiza un examen de preselección para asistir a un campamento británico para seleccionar los seis miembros que representarán a Reino Unido en la Olimpiada Internacional de Matemáticas de ese año. Aunque no todo es tan maravilloso como aparenta. Comentario Es probable que muchos lectores después de haber leído las líneas precedentes estén pensando: la n-ésima película de un autista (o Asperger, tanto da) con altas capacidades que seguro que, a pesar de sus limitaciones sociales se lleva de calle todo lo que le proponen por difícil que parezca, con alguna intriga intermedia para amenizar. Quizá si habláramos de una producción usamericana así sería, pero en este caso, la película aporta bastante más, bajo mi personal punto de vista (aunque como veremos, tampoco acaba de ser redonda). Lo paradójico es que si hubiera sido usamericana, seguramente si se hubiera distribuido en España, en virtud de los “complejos” contratos que los americanos exigen para poder proyectar otras cosas (hablando claro: España, si quieres que te dejemos estrenar Star Wars VII, tienes que programar estos otros veinte estrenos; ¿Qué son diecinueve bodrios y medio? A mí no me cuentes, el pack es indisoluble). En fin, a lo nuestro. Siendo complicado dar detalles concretos sin caer en los denostados spoilers (lo que hay que hacer primero es ver la película), lo intentaré. Os dejo un enlace en internet donde podéis ver la película íntegra, subtitulada en español (no son unos subtítulos maravillosos, sobre todo en la parte matemática, pero sirven para seguir el argumento). A veces el enlace no funciona, pero intentándolo en otro momento, sí lo hace. Tampoco se puede garantizar que funcione de por vida, porque ya se sabe que estas cosas vulneran los derechos de autor y yo creo que no son legales, pero, como digo, es a lo que llevan a la gente por no estrenar o distribuir determinadas películas. El enlace es http://peliculasio.com/x-y, y debéis elegir el “reproductor 2”. ¡Qué tengáis suerte, y si es así, ya me comentaréis si mereció la pena! Después, podéis seguir leyendo sin temor a spoilers. Para empezar digamos que su director, Morgan Matthews, es un realizador británico, fundador de Minnow Films, y lleva más de diez años dirigiendo documentales. Ésta es su primera película no documental, aunque sin embargo tiene mucha relación con su anterior Beautiful Young Minds, estrenado en 2007 en la cadena de televisión BBC2. En él, se sigue el proceso de selección y capacitación del equipo británico para competir en la Olimpiada Internacional de Matemáticas 2006 (en lo sucesivo, OIM). Algunos de los jóvenes matemáticos que participaron tenían características de autismo (hay grados), que el documental vincula de algún modo a la capacidad matemática. El equipo ganó numerosas medallas en la Olimpiada, incluyendo cuatro de plata y una de bronce. Así pues, el guión de X+Y está claramente inspirado en la realidad, tomando como protagonista al participante de aquella Olimpiada Daniel Lightwing. En la imagen, Daniel junto a su compañera Yan Zhu, con la que contrajo matrimonio. Daniel Lightwing tenía 17 años cuando participó en la OIM, estaba diagnosticado con síndrome de Asperger, estuvo un año entero “entrenando” con la escuadra británica en China, dando clases de inglés allí para sacarse un dinero, y viajando por todo el país. Lo que el director ha recogido de Lightwing para hacer la película han sido sobre todo sentimientos, sensaciones que experimentan los chicos con ASC. El resto no responde al pie de la letra a su biografía. Así, por ejemplo, el padre de Daniel goza de una magnífica salud en la actualidad, Daniel logró una medalla de plata y una de bronce en las OIM, el profesor-tutor de Daniel no es ni parecido al mostrado en la película, y Daniel se enamoró y contrajo matrimonio con una compañera china, pero ya no están juntos. Daniel estuvo trabajando de programador para Google en Londres durante un tiempo, y un día, al volver a casa, descubrió que su mujer se había vuelto a China sin explicación alguna. Daniel lo recuerda con dolor, y afirma no haber vuelto a querer saber nada de ella (por cierto, era recepcionista del hotel donde se alojaba, no compañera de Olimpiada); tampoco desea dar mayores explicaciones para no herir los sentimientos de su actual pareja, también de nacionalidad china, por cierto. Pero hay otras muchas diferencias. A Lightwing no lo diagnosticaron ASC hasta los 16 años. Era el mayor de seis hermanos, y sus padres, lejos de ser tan comprensivos como los de la película, querían a toda costa que si hijo fuera una persona “normal”. Su madre, profesora de Ciencias, empezó a entender que Daniel era diferente tras leer El curioso incidente del perro a medianoche, y entonces lo llevaron a un especialista que determinó lo que tenía. Por tanto la película no es una biografía tal cual, sino que, como sucede muy a menudo, se toma sus licencias pensando en aportar mucha más información, y sobre todo ser más dinámica de cara al espectador. Lo que sí es tal cual, son, como hemos dicho, los sentimientos de una persona con ASC. También es real la primera hoja de papel que vemos garabatear al protagonista (ver imagen): es una página personal de Daniel Lightwing cuando tenía la edad representada en ese momento en la película. Todo esto, que hablando de cine, yo creo que es de perogrullo, hace que me sorprenda ante las (escasas hay que decir) puntualizaciones que algunas personas han hecho sobre algunos aspectos de la película. Por ejemplo, Adam P Goucher, miembro del equipo británico de la OIM en 2011, escribió un artículo en The Guardian, en el que manifiesta, desde su propia experiencia, que aunque la escena de los participantes jugando al ajedrez en el suelo de la terminal del aeropuerto no es muy diferente de lo que sucede en la realidad, lo que no admite es la descripción de los miembros del grupo: “mis compatriotas eran mucho más amables y agradables que sus homólogos de cine, arrogantes y pretenciosos. Por el contrario, teníamos un respeto mutuo inmediato”. Nathan (el protagonista de X + Y) recibe una ovación cuando presenta una solución inmediatamente después haberle hecho una cuestión acerca de un juego de cartas (la cuestión cuarta descrita más abajo). Adam lo describe como “muy poco realista, ya que la cuestión es totalmente trivial en comparación con los problemas que se plantean a nivel internacional. Tanto Nathan como yo lo resolveríamos en una fracción de segundo, mientras que los problemas de la OIM a este nivel suelen llevar varios minutos o incluso horas para ser resueltos”. Amigo Adam, debería recordarte alguien que estamos ante una película, que trata de difundir de qué trata una OIM a un público tan general que presumiblemente muchos espectadores no sabrán ni calcular un mcd, y que Nathan tiene problemas de relación, así que, colega, no hagas comentarios como los que haría Luke, ese miembro del equipo que según tú no existe en la realidad. Este joven olímpico prosigue alabando el retrato del protagonista, del profesor, pero no le gusta nada el jefe de expedición Richard, del que dice que es “poco natural y exagerado. En particular, me decepcionó que todos los competidores fueran retratados como autistas o rozando el síndrome, cuando en realidad hay una mezcla mucho más diversa de individuos”. En efecto, en los demás equipos, hay una aparente variedad de personas. Sólo el equipo británico (que recuerdo que en algunas ediciones, prácticamente los seis llevaron personas con ASC), que como yo veo sólo presenta dos miembros así de los cuatro, parece molestar a Adam. Seguramente si fuera le equipo chino, o el norteamericano el descrito de ese modo, no hubiera dicho nada. En fin, que me parece poco objetivo, y que su molestia tiene más que ver con causas de orgullo patrio herido, sinceramente. Tampoco encuentra convincente la historia de amor que surge entre Nathan y Zhang Mei. Explica que desde que en la década de los ochenta, un miembro del equipo británico (¡jo, lo acaparan todo!) “disfrutó” de un ménage-a-trois en una OIM, los organizadores aumentaron los controles de seguridad y está prohibido que chicos y chicas entren en las habitaciones de los demás. Aunque lo más absurdo para Adam es la escena culminante del amor de ambos, en la que ven “un arco iris realizado con ordenador ópticamente inconsistente. Los colores aparecen en el mismo orden en los arco iris interior y exterior, cuando en un reflejo deberían aparecer en orden inverso”. Vale, Adam, en el cine hay fallos. ¿Es la primera película que ves? El joven acaba sin embargo con unas palabras finales de reconocimiento: “A pesar de que no es una representación fiel de la vida en una Olimpiada, espero que X + Y inspire y anime a los aspirantes a jóvenes matemáticos para perseguir su interés al nivel más alto posible”. Muy bien, Adam, nosotros también esperamos leer algún día y ver en pantalla ese magnífico guión realista que te debería haber puesto a escribir nada más terminar de ver la película. Un par de Curiosidades Probablemente, a muchos les suene haber visto en alguna parte al chaval que interpreta a Isaac, el actor Alex Lawther. En efecto. Es el joven Alan Turing en Descifrando Enigma (The Imitation Game, 2014). Tras varias obras de teatro, programas de radio y un documental, sus dos únicas interpretaciones en pantalla grande son de genio de las matemáticas. ¿Seguirá por esos derroteros? Por otro lado, la 59 Olimpiada que describe la película en Cambridge,  aún no ha tenido lugar (será en 2018 en Rumanía). En Cambridge no se ha celebrado nunca. Reino Unido ha acogido dos, por ahora: en 1979 en Londres, y en 2002 en Glasgow. La sexagésima, en 2019, volverá a Reino Unido, aunque la sede está aún por determinar. El libro que Nathan lee en la cama la noche antes de la competición es real. Es Ten Years of Mathematical Challenges, 1997 – 2006, el de la imagen. También se menciona en otro momento de la película, Los nueve capítulos sobre arte matemático. Se trata de un libro de matemática china, cuyo origen se remonta al período de la Dinastía Zhou y fue compilado por varias generaciones de escribas entre los siglos II y I a.C. Es uno de los libros de matemáticas más antiguos de China. Está centrado en hallar los métodos más generales de resolución de problemas, en contraste con la idea común de los matemáticos griegos, de deducir proposiciones a partir de un conjunto inicial de axiomas. Las matemáticas de la película Obviamente al describir la OIM, aparecen bastantes referencias matemáticas, muchas de ellas a problemas propuestos en la propia OIM. No tenemos espacio para resolverlos, pero ahí quedan para el que quiera intentarlos, o buscarlos. Son éstos: 1.- Minuto 12:25 hasta 13:15, descrito como El problema más difícil de la OIM: la quinta cuestión de 1996: Sea ABCDEF un hexágono convexo, tal que AB es paralelo a DE, BC es paralelo a EF, y CD es paralelo a FA. Si RA, RC, RE denotan los radios de las circunferencias circunscritas a los triángulos FAB, BCD, DEF, respectivamente, y P es el perímetro del hexágono, demostrar que RA + RC + RE ≥ P/2. 2.- Minuto 15:29 al 15:31. Uno de los ejercicios que proponen a Nathan para ver si lo integran en un campus de formación de aspirantes a representar a Reino Unido en la OMI: ¿Existen infinitos pares de enteros positivos (m, n) tales que m divide a n al cuadrado más uno, y n divide a m al cuadrado más uno? 3.- Minuto 44:18 al 45:10. Los vértices de un polígono regular de 72 lados se colorean de rojo, verde y azul en cantidades iguales. Demostrar que siempre podemos elegir cuatro vértices rojos, verdes y azules de manera que cada conjunto monocromático forme un cuadrilátero congruente. 4.- Minuto 59:39 al 1:02. Se colocan 20 cartas al azar en una fila todas boca abajo. Un movimiento consiste en dar la vuelta a una carta que esté boca abajo e inmediatamente dar la vuelta de la que esté a su derecha. Demostrar que no importa qué cartas se elijan, esta secuencia de movimientos siempre termina. A pesar de lo expuesto más arriba, el modo de resolver el protagonista esta cuestión, me parece, desde el punto de vista del público, muy bien llevada, porque propone un razonamiento apartado de tediosas operaciones (que es lo que la gente asocia a las matemáticas), y perfectamente entendible. Lo recordamos. Nathan: Tenemos que ver las cartas no como cartas, sino como,...como números. Podemos designar a las cartas boca abajo con un 1, y a las cartas boca arriba con un 0. Al principio sería una secuencia de unos, ya que todas están boca abajo. Pero después de un tiempo se vería algo así: (ver imagen; como ejemplo pone 10011010). Como podemos ver, es un número binario. Un movimiento que consiste en dar la vuelta a una carta boca abajo, e inmediatamente a la de su derecha, nos lleva a que un uno seguido de otro uno, se convertirá en un cero seguido de otro cero. Eso sería así. Si tuviéramos un uno seguido de un cero, se convertiría en un cero seguido de un uno. En cualquier caso, vemos que el número en binario es estrictamente decreciente. Richard: ¿Y eso significa? Nathan: Lo que quiere decir es que la secuencia debe terminar. Richard: ¿Por qué? Nathan: Porque no puedes seguir quitando de un número entero positivo sin que se convierta en negativo. Richard: No, no puedes. Definitivamente no se puede. Buen trabajo. 5.- Minuto 01:11 al 01:12. Cada entero se colorea de color rojo, amarillo o verde. Demostrar que siempre existen a, b, c de tal manera que a, b, c, a + b, a + c, a + b, a + c, b + c y a + b + c son todos del mismo color. 6.- Minuto 01:36 al 01:37. 4n2 trenes están dispuestos en un cuadrado 2n x 2n, y cada uno se pinta con uno de cuatro colores. Cada cuadrado 2 x 2 de trenes tiene cada uno de los cuatro colores. Demostrar que los trenes en las esquinas del cuadrado 2n x 2n están pintadas con colores diferentes. En la película se mencionan además otros conceptos, como son el diagrama de árbol de los resultados de una moneda, el teorema de Pitágoras, la sucesión de Fibonacci, la conjetura de Goldbach, la teoría de Ramsey, la desigualdad de Muirhead, la desigualdad de Schur, etc. Imagen: fórmula del amor que parece en la película y que Nathan confiesa no entender. A modo de conclusión Independientemente de lo mejor o peor que estén retratadas las OIM en la película (que bajo mi punto de vista, no lo están nada mal), plantea de una forma bastante realista la complicada convivencia con las personas con alguna enfermedad crónica y/o degenerativa, no sólo desde el punto de vista de los familiares, sino de los sentimientos y percepciones que ellos mismos sufren. En general estamos poco sensibilizados con los problemas de los demás, y aunque sólo sea en el rato de visionado de la película, es pertinente ponerse en el lugar del que padece o sufre la enfermedad, cultivar un poco la empatía en una sociedad en la que vivimos bastante egoísta. desde este punto de vista, la película perfila muy bien un montón de relaciones de parejas diferentes (¿qué es nuestra vida cotidiana sino una predominante sucesión de relaciones por parejas; yo creo que ese es el sentido del título, x + y). Así observamos la relación entre Nathan y Zhang Mei, entre Nathan y su madre, Nathan y su padre, Nathan y el Sr. Humphreys, entre Humphreys y Julie, entre Humphreys y Richard, entre Richard y el delegado chino, entre Nathan y Luke, entre Nathan e Isaac, entre Luke y Isaac, entre el padre y la madre de Nathan, etc., todas ellas, muy bien perfiladas y definidas, a pesar de ser algunas mucho más breves que otras. Un dato final, no totalmente objetivo, pero sí estadístico: La puntuación recibida por 15433 espectadores que la han valorado en internet es de 7.2 sobre 10 puntos. La Olimpiada Internacional de Matemáticas Algunos datos sobre la IMO (International Mathematical Olympiad; en español, las siglas son OIM, Olimpiada Internacional de Matemáticas). Al igual que en el evento deportivo, la OIM tiene un distintivo que en este caso es una banda de Moebius en la que se ha entrelazado una circunferencia, y en él aparecen los cinco colores olímpicos que representan cada uno de los continentes (imagen a la derecha). Es una competición anual para estudiantes pre-universitarios (la más antigua de las Olimpiadas Internacionales de Ciencias). En torno a un centenar de países de todo el mundo envían equipos de un máximo de 6 estudiantes, junto con un líder de equipo, un tutor y observadores. La competición consta de dos cuestionarios con tres problemas cada uno. Cada pregunta se valora con una puntuación máxima de 7 puntos. La prueba se desarrolla en dos días, en cada uno de los cuales el concursante dispone de cuatro horas y media para resolver los tres problemas. Se escogen entre diferentes áreas de la matemática de la Educación Secundaria, usualmente Geometría, Teoría de números, Álgebra y Combinatoria. Para su resolución no se requieren conocimientos de matemáticas superiores y valorándose especialmente soluciones breves y elegantes. Esto, personalmente, no lo entiendo. En el plan de estudios español, nunca, ni mucho menos en la actualidad (el peor desde hace tiempo respecto a las matemáticas, gracias a tantos “amigos y salvadores de una España en la que ni residen”) han estado en Secundaria el pequeño teorema de Fermat, el teorema chino del resto, y tantos resultados sin los que es literalmente imposible resolver la mayor parte de los problemas de las Olimpiadas. Si los alumnos no lo preparan explícitamente (clases específicas, libros orientativos, etc.), es imposible siquiera que un alumno entienda muchos de los enunciados de las OIM, exclusivamente a partir de lo que da en los temarios de Secundaria y Bachillerato. De modo que, o en el resto de países tiene un currículo mucho más amplio, o la frase en negrita que indica una de las características de esta competencia, no es cierta. El proceso de selección es diferente según el país, pero a menudo consiste en una serie de pruebas que van filtrando el número de estudiantes en cada una. Aunque en la película no se describe completamente, en Reino Unido, el profesor inscribe a los alumnos que considera aptos. Entonces, en un aula totalmente vacía de más personas que el tutor y el alumno (se hace uno a uno), el alumno dispone de tres horas y media para resolver el BMO1, seis cuestiones que han sido entregadas al tutor en sobre cerrado y no deben abrirse hasta ese preciso instante. Semanas después tiene lugar el BMO2 (en la película sólo aparece una de estas pruebas, para agilizar el argumento), con cuatro ejercicios más complejos que las de la primera prueba. Los veinte mejores de todo el país participan en un campamento, de donde deben salir elegidos los seis que representaran al país. Este campamento es siempre en Reino Unido, no en el extranjero como se cuenta en la película (concretamente en la película viajan a Taipei). En nuestro país, el proceso es distinto. Los miembros del equipo salen de los ganadores de las sucesivas olimpiadas provinciales, regionales y nacional. Los participantes deben ser menores de veinte años y no deben estar matriculados en institución de educación superior alguna. Verificando estas condiciones, un individuo puede participar cuantas veces desee en la OMI. La primera IMO se celebró en Rumania en 1959, y desde entonces se celebra cada año.

Jueves, 04 de Febrero de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

413. 135. (Febrero 2016) El juego de los "m" montones

Como anunciábamos en la entrega anterior, vamos a continuar la historia del truco de las 21 cartas aportando algunos aspectos matemáticos del juego. Tenemos varias preguntas pendientes de contestar y las respuestas nos sugerirán nuevas cuestiones pero también darán lugar a interesantes variantes del juego original. La primera pregunta que planteábamos era: ¿por qué la carta elegida pasa a ocupar la posición central del paquete? Para averiguar la respuesta, vamos a examinar un ejemplo que nos permitirá deducir la situación general. Apreciaremos de forma más visual todo el proceso eligiendo adecuadamente las cartas a utilizar. Así pues, buscamos las siete primeras cartas de picas, de tréboles y de corazones y las repartimos en tres montones sobre la mesa, donde el montón superior contiene las cartas de tréboles, el central las cartas de corazones y el inferior las cartas de picas. Ilustramos esta situación en la figura siguiente: Primer reparto Supongamos que el espectador nos dice que ha pensado una carta que está en el montón central. Recogemos el montón superior, giramos las cartas y las colocamos en la mano; recogemos a continuación el montón central, lo giramos también y lo colocamos en la mano sobre las cartas que ya tenemos; recogemos por último el montón inferior y repetimos las acciones anteriores. Realizamos ahora el segundo reparto: tomamos la primera carta, la giramos y la dejamos sobre la mesa formando el montón superior, tomamos la segunda, la giramos y la dejamos bajo la anterior formando el montón central, tomamos la tercera, la giramos y la dejamos bajo las anteriores formando el montón inferior. Seguimos repartiendo de este modo el resto de las cartas, colocándolas sucesivamente en el montón superior, central e inferior, hasta terminar las 21 cartas. La figura siguiente muestra el resultado. Segundo reparto Lo primero que se observa es que las cartas rojas están en el centro de los montones: al menos hay dos cartas negras en los extremos de cada montón. Supongamos ahora que el espectador indica que su carta está en el montón inferior. Por tanto, recogemos el montón superior, luego el inferior y, por último, el central (del mismo modo como hicimos en la recogida anterior). Volvemos a repartir las cartas, también de la misma forma que en el reparto anterior, quedando las cartas como se ilustra en la figura. Tercer reparto En este momento, la carta pensada por el espectador estará ocupando la posición central en su paquete. Por ejemplo, si se encuentra en el montón central, sabemos que se trata del cinco de corazones. Por tanto, al recoger los montones como se ha indicado -primero el montón superior, luego el montón central y por último el montón inferior- la carta elegida ocupará la undécima posición, tanto desde arriba como desde abajo. Si queremos encontrar una fórmula general que sirva para cualquier número de cartas, vamos a sustituir los valores de las cartas por sus posiciones, empezando por cero para que los cálculos sean más simples, y vamos a observar cómo cambian dichas posiciones después de cada proceso de reparto y recogida indicados en el ejemplo anterior. De este modo, en el juego de las 21 cartas, la posición inicial de las cartas sigue el orden natural: 0, 1, 2, 3, ..., 19, 20. Después del primer reparto y la primera recogida, recordando que el montón que contiene la carta elegida debe recogerse en segundo lugar, esta carta ocupará alguna de las posiciones 7, 8, 9, 10, 11, 12 o 13. Es evidente que, durante el segundo reparto, la carta elegida no puede ser ninguna de las siete primeras ni de las siete últimas. Al recoger por segunda vez los montones, la carta elegida debe tener al menos nueve cartas encima y nueve cartas debajo. Es decir, debe ocupar alguna de las posiciones 9, 10 u 11. En el tercer reparto, la carta elegida no será ninguna de las nueve primeras ni de las nueve últimas, así que tiene tres cartas por encima y tres cartas por debajo, dentro de su montón. Al recoger este montón en segundo lugar, la carta elegida tendrá diez cartas por encima y diez cartas por debajo, de modo que está en el centro de la baraja, ocupando la posición 10. La tabla siguiente resume este proceso. p0 p1 p2 p3 0 3 6 9 12 15 18 1 4 7 10 13 16 19 2 5 8 11 14 17 20 7 8 9 10 11 12 13 9 10 11 10 Puedes encontrar otra explicación del mismo juego en el blog "The math mom". ¿Nos atrevemos a repetir este argumento en el caso general? Vamos a intentarlo. Para ello, llamamos "m" al número de montones repartidos y "c" al número de cartas en cada montón. Necesitamos que ambos números sean impares para que tengan sentido dos pasos clave: en cada recogida, el montón que contiene la carta elegida debe quedar en medio de los demás y, al final, la carta elegida debe quedar en medio de la baraja. Cada iteración del proceso consiste en repartir las cartas en "m" montones y recogerlos de modo que la carta elegida quede en el montón central. Si pk es la posición de la carta elegida (empezando a contar en cero) después de la k-ésima iteración, se puede comprobar que pk = [pk-1/m]+ (m-1)·c/2, donde el símbolo [x] representa la parte entera del número x, es decir el mayor entero que es menor o igual que el número x. Es evidente entonces que el truco funcionará siempre que después de n iteraciones se llegue a pn = [m·c/2], lo que significa que la carta elegida ocupa la posición central del paquete de cartas. El ejemplo que hemos desarrollado corresponde al caso m = 3 y c = 7, y hemos comprobado que, después de tres iteraciones, la carta elegida ocupa la posición p3 = [m·c/2] = [10,5] = 10. Otros ejemplos sencillos son los mostrados en las siguientes tablas: m = 5, c = 5: p0 p1 p2 0 5 10 15 20 1 6 11 16 21 2 7 12 17 22 3 8 13 18 23 4 9 14 19 24 10 11 12 13 14 12 m = 3, c = 5: p0 p1 p2 p3 0 3 6 9 12 1 4 7 10 13 2 5 8 11 14 5 6 7 8 9 6 7 8 7 Curiosamente, si utilizamos 25 cartas y repartimos cinco montones, basta repetir el proceso dos veces para que la carta elegida quede en la posición central. Observamos también que, haciendo m = 3 (tres montones), hacen falta tres iteraciones tanto en el caso c = 5 como c = 7. El mes pasado nos preguntábamos cuál era el número máximo de cartas con las que funciona el juego si se realizan tres repartos. Dicho número no es 21, como cabía esperarse por ser más popular el juego de las 21 cartas. Con 27 cartas, es decir m = 3 y c = 9, también son suficientes tres iteraciones para que la carta elegida ocupe la posición central. De hecho, matemáticamente es más natural porque 27 = 3 x 3 x 3. Ahora te estarás preguntando si 81 cartas serán suficientes para que el juego funcione haciendo cuatro iteraciones con tres montones cada vez. Efectivamente, así es. Se cree que la popularidad del juego de las 21 cartas reside en que el número de cartas no es tan elevado para que el proceso repetitivo de repartir y recoger montones resulte aburrido para el espectador. Como adelantábamos en la entrega anterior, quienes saben del asunto cuentan que el primero en analizar y generalizar el juego de los tres montones fue el gran matemático francés Joseph Diaz Gergonne (personaje de la imagen adjunta) en el artículo "Récréations mathématiques. Recherches sur un tour de cartes" publicado en la revista que él mismo fundó Annales de mathématiques pures et appliquées, 4 (1813-1814), p. 276-283 (su intensa dedicación a la revista hizo que fuera conocida popularmente con el nombre de Annales de Gergonne). No sé si por desconocimiento de la historia (como ha sido mi caso) o de forma deliberada, en el entorno científico el truco y sus variantes se conoce como el "truco de Gergonne" en lugar de llamarse el "truco de Galasso". Compruébalo tú mismo escribiendo las palabras Gergonne trick en cualquier buscador de internet. En su artículo, Gergonne analiza el juego titulado "Une personne ayant secrètement pensé una carte, la faire trouver dans le jeu au nombre qu'ell aura demandé" (Hacer aparecer una carta pensada por una persona en la posición indicada por ella), que corresponde a la trigésima recreación (en el apartado de juegos de cartas que requieren destreza manual) del tercer tomo del libro "Nouvelles récréations physiques et mathématiques", de Edmé-Gilles Guyot, publicado por primera vez en 1769. No nos detendremos ahora en glosar la figura de Guyot pero el libro causó un gran impacto en la época por revelar los secretos de muchos juegos clásicos de magia. Esto nos lleva a la última pregunta planteada el mes pasado: ¿por qué la carta elegida pasa a ocupar la posición central del paquete? Una interesante interpretación del sistema de numeración en base tres permite realizar una interesante variante del juego mediante el cual la carta elegida va a parar a una posición previamente escogida por el público. Esta variante es la que describe Guyot y analiza Gergonne. Terminaremos esta "bilogía" dedicada al juego de los tres montones con la explicación de esta versión. Supongamos que nos piden que la carta elegida aparezca en la posición número 15. Mentalmente, o con ayuda de algún dispositivo electrónico, realizaremos el siguiente cálculo: Se resta una unidad al número elegido. En nuestro ejemplo, 15 - 1 = 14. Se escribe el resultado en el sistema de numeración de base tres. Así pues, 14 = 112(3). Se recuerdan las cifras del resultado de derecha a izquierda. En nuestro ejemplo se trata de la secuencia 2 - 1 - 1. Se aplican a dichas cifras la clave: 0 = arriba, 1 = centro, 2 = abajo. En nuestro ejemplo, debemos recordar la secuencia abajo-centro-centro pues equivale a los números 2-1-1. Ya podemos realizar el juego en su forma clásica, es decir, repartimos las 27 cartas formando tres montones sobre la mesa y pedimos a un espectador que piense una de las cartas y nos indique el montón donde se encuentra. Recogemos los tres montones teniendo en cuenta que el montón que contiene la carta elegida se recoge en la posición indicada por la clave que hemos aplicado. Como la primera palabra clave es "abajo", recogemos el montón de la carta elegida en primer lugar para que quede debajo de los otros dos. Repetimos el reparto una segunda vez y pedimos al espectador que nos indique el montón que contiene la carta elegida. Como la segunda palabra clave es "centro", recogemos ese montón en segundo lugar para que quede en el centro de los otros dos. Repetimos el reparto por tercera y última vez, volvemos a preguntar por el montón que contiene la carta elegida y recogemos este montón en segundo lugar, ya que la tercera palabra clave es "centro". Sólo queda repartir las cartas una por una hasta llegar a la décimoquinta. Muéstrala con suspense y comprueba que se trata de la carta elegida. Observaciones finales. En el libro "Mathematics, magic and mystery", Martin Gardner describe otra versión del juego donde el mago se encuentra de espaldas, el espectador realiza los repartos y recoge los montones en el orden que le apetece y, sin embargo, el mago adivina la carta elegida. También puedes encontrar la explicación en el libro "Magia por principios". Para profundizar en otros aspectos matemáticos del juego, pueden consultarse los siguientes trabajos: Roy Quintero, El truco de las 21 cartas a través de permutaciones, EDUCERE, 2006. Ethan Bolker, Gergonne's card trick, positional notation and radix sort, Mathematics Magazine, 2010. Carlos Vinuesa, Matemagia básica, La Gaceta de la RSME, 2011. h2g2, Why the 21 card trick works. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Martes, 02 de Febrero de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

414. 24. (Febrero 2016) Melancolías Matemáticas

Bien han exagerado vuesas mercedes sus desgracias -dijo a esta sazón el matemático-; pero, al fin, el uno tiene libro que dirigir y el otro está en potencia propincua de sacar la piedra filosofal; más, ¿qué diré yo de la mía, que es tan sola que no tiene dónde arrimarse? Veinte y dos años ha que ando tras hallar el punto fijo, y aquí lo dejo y allí lo tomo; y, pareciéndome que ya lo he hallado y que no se me puede escapar en ninguna manera, cuando no me cato, me hallo tan lejos dél, que me admiro. Lo mismo me acaece con la cuadratura del círculo: que he llegado tan al remate de hallarla, que no sé ni puedo pensar cómo no la tengo ya en la faldriquera; y así, es mi pena semejable a las de Tántalo, que está cerca del fruto y muere de hambre, y propincuo al agua y perece de sed. Por momentos pienso dar en la coyuntura de la verdad, y por minutos me hallo tan lejos della, que vuelvo a subir el monte que acabé de bajar, con el canto de mi trabajo a cuestas, como otro nuevo Sísifo. Miguel de Cervantes en El coloquio de los perros Quizá sea Cervantes un buen introductor de la Melancolía Matemática y la plasmación de los desvelos en busca de las elusivas verdades que parecen alejarse por momentos. El grabado Melencolia I (1514) de Alberto Durero se puede incluir entre las obras que ha hecho correr más ríos de tinta y que más se han prestado a la especulación. La riqueza simbólica es de tal magnitud que podemos encontrar en ella múltiples interpretaciones. Pero en lo que todo el mundo está de acuerdo es el papel protagonista que Durero presta a la Matemática. Pretendemos en está Instantánea mostrar como la potencia simbólica de la Melancolía I generó toda una secuela de obras que mantenían los elementos geométricos como aspectos centrales de la alegoría, mas que insistir en una obra suficientemente conocida por nuestro gremio matemático. Los tratados matemáticos de Piero della Francesca marcaron el camino de los pintores del Renacimiento. Leonardo y Durero son los exponentes más destacados de esta tendencia: la pintura no se concibe sin matemáticas.  La obra geométrica de Durero se público en dos voluminosos tratados como Los cuatro libros sobre medición. Instrucciones de medición con compás y regla (1525) y Los cuatro libros de la proporción humana (1528) donde el pintor alemán muestra un nivel nada desdeñable, incluyendo el conocimiento de las Cónicas de Apolonio. El grabado saturnal de la Melancolia I presenta varios símbolos matemáticos muy directos: compás (elemento central), esfera, escuadra, romboedro truncado, angelote calculando y cuadrado mágico. Indirectamente se aprecian la balanza, el reloj solar, el reloj de arena y el arco iris. Se ha dado tantas vueltas interpretativas (especulativas) que sólo nos vamos fijar en algunas que tienen relación con los aspectos numéricos y geométricos. El número mágico, 34, del cuadrado se relaciona con las siete artes de la formación clásica y los siete peldaños de la escalera que hay que ascender en la senda del conocimiento. La proyección del romboedro truncado nos da la parrilla 4x4 del talismán de Júpiter. La fuerza visual de la imagen matemática de la Melancolía de Durero ha marcado la obra de otros artistas hasta nuestros días. Influencia que vamos a poner de manifiesto a través de los grabados de Beham Hans Sebald (1539) y Virgil Solis (c. 1550), y las pinturas de Georg Penz (1545), Matthias Gerung (1558), Domenico Feti (1618) y , ya en el siglo XX, Hans Erni (1979). La Melancolia (1539) (arriba) de Beham Hans Sebald toma de Durero el compás, la esfera, el reloj de arena y los instrumentos de trabajo como aplicaciones de la geometría.  La pose de la figura alada es similar pero mucho menos dramática. Del abigarrado conjunto simbólico de Durero se pasa a la extrema simplificación de Virgilio Solis: pose meditativa, el compás y dos animales alegóricos. Pasando a la pintura nos referiremos a la obra que encabeza la Instantánea, se trata de la Melancolia (1545) del pintor y grabador Georg Penz que se encuentra en el Palacio de Weißenstein. Se trata de una representación casi voluptuosa que conserva el compás mientras un frasco de la estantería en penumbras nos recuerda que estamos ante la bilis negra del humor melancólico. La imagen gana serenidad y pierde fuerza. Mucho más complejo es el cuadro La melancolía en el jardín de la vida (1558) de Matthias Gerung en el Karlsruhe Kunsthalle. La huella de Durero está muy marcada por el arco iris y el paisaje, pero el resto es un desarrollo de las actividades del hombre y no sólo las determinadas por el humor melancólico. La pintura es deliciosa por la descripción de la vida humana que sirve de marco a los dos elementos simbólicos centrales: la figura femenina central y el sabio con globo y compás del primer plano. Cambiando de siglo, el barroco Domenico Fetti también abordó el tema de la Melancolía en dos versiones, nos fijamos en la del Louvre (1618) porque no olvida señalar los estudios matemáticos aunque los oculta en la sombra: la esfera armilar apenas se insinúa, al igual que el reloj de arena. Terminamos el recorrido iconográfico con un detalle del gran mural Panta Rhei (1979) en Lucerna donde el pintor suizo Hans Erni plasmo toda la historia de la humanidad a través de la ciencia y los grandes pensadores: cuando llegamos al renacimiento las figuras notables son Gutemberg, Erasmo, Lutero, Copernico y Tycho Brahe pero entre ellos destaca el melancólico sólido de Durero.

Lunes, 01 de Febrero de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

415. 103. (Enero 2016) Retrato alfabético de Niccolò Fontana Tartaglia (1499-1557), de Natalia de Lucas Alonso

‘Ars Magna’ Importante libro de matemáticas escrito originalmente en latín por Gerolamo Cardano en 1545, que contiene la primera solución publicada para las ecuaciones de tercer grado, mediante un método creado por los matemáticos Tartaglia y Scipione del Ferro. Brescia Pequeño pueblo al norte de Italia donde nació Tartaglia y donde en 1512 se libró una terrible batalla, durante la cual un jinete francés hirió a Tartaglia con una espada y una de las heridas le perforó la tráquea hasta tal punto que nunca volvió a hablar con normalidad. Esta herida le produjo un defecto en el habla y le apodaron Tartaglia porque tartamudeaba. Cardano Gerolamo Cardano (1501-1576) fue un médico notable, además de un célebre matemático italiano del Renacimiento, astrólogo, filósofo, estudioso del azar y autor de una de las primeras autobiografías modernas. Se enemistó con Tartaglia de por vida, pues le había prometido mantener en secreto el método para resolver ecuaciones de tercer grado que habían descubierto Tartaglia y Del Ferro por separado. Cardano no cumplió su palabra y lo publicó en su obra Ars Magna. Demostración Es un argumento deductivo para asegurar la verdad de una proposición matemática. En la argumentación se pueden usar otras afirmaciones previamente establecidas, tales como teoremas o bien las afirmaciones iniciales o axiomas. Tartaglia dedujo la solución de la ecuación de tercer grado mediante una demostración geométrica. Ecuación Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones algebraicas denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Tartaglia estudió cómo resolver las ecuaciones de tercer y cuarto grado. Ferrari Ludovico Ferrari (1522-1565) es considerado como la mente probablemente más lúcida en el ámbito de las matemáticas de todo el Renacimiento italiano. Se quedó huérfano durante su adolescencia yéndose a vivir con su tío Vicenzo. A los 14 años fue enviado a Milán como discípulo de Cardano, donde en muy poco tiempo aprendió latín, griego y matemáticas y se hizo colega y amigo suyo. Murió en 1565 algunos dicen que  envenenado por su hermana. Gaston de Foix También llamado ‘el Rayo de Italia’ que dirigió a las tropas francesas desde 1489 a 1512. A la edad de 22 años conquistó Brescia, el 19 de febrero de 1512, asesinando, violando, robando y quemando. Murió cincuenta y siete días después en la batalla de Ravena con la cara atravesada con quince lanzas. Herón de Alejandría La fórmula de Herón (de Alejandría) da el área de un triángulo en términos de las longitudes de sus lados a, b y c. Tartaglia realizó una generalización de esta fórmula para el cálculo del volumen de un tetraedro cualquiera en función de las longitudes de sus lados, la llamada fórmula de Tartaglia. Irreducible Se le dio el nombre de caso irreducible cuando al resolver una ecuación de tercer grado, se obtiene dentro de la raíz cúbica una raíz cuadrada con radicando negativo. Este fue al problema con el que se enfrentaron Tartaglia y los demás algebristas de la época. Juegos de azar Cardano fue toda su vida un jugador empedernido. En su autobiografía dedica un capítulo a sus aficiones resaltando el desenfreno con el que se dedicó al juego. Analizó diversos juegos de azar y cuándo el juego es justo o no. Khwarizmi, Al Fue un matemático (780-835) árabe y astrónomo en el observatorio de Bagdag y en opinión de Cardano, debía ser considerado el padre del álgebra. Tartaglia estudió como todos los algebristas de su época la obra de Al Khwarizmi. Luca Pacioli Fraile benedictino (1445-1517) que escribió la obra ‘Summa de arithmetica, geometría, proportioni et proportionalità’ que puede ser considerada como el mejor y más famoso tratado de ábaco. Mechanica Es la rama de la física que estudia y analiza el movimiento y reposo de los cuerpos, y su evolución en el tiempo, bajo la acción de fuerzas. Tartaglia abordó problemas relativos a esta rama en los libros VII y VIII de su obra ‘Quesiti et inventioni diverse’. ‘Nova Scientia’ Primer libro publicado por Tartaglia impreso en Venecia en 1537, en el que Nicolo pretendía enfocar la dinámica y el movimiento de una nueva forma más matemática. ‘Opus novum proportionibus’ Es una de las obras de Cardano, donde Gerolamo trató de aplicar métodos cuantitativos al estudio de la física e hizo contribuciones importantes a la hidrodinámica. Piero della Francesca Piero della Francesca (1415-1492), que además de pintor fue geómetra y matemático. Los mismos intereses matemáticos que aparecen en las obras de Piero, se aprecian también en otros muchos matemáticos del Renacimiento, como Tartaglia. ‘Quesiti et inventioni diverse’ Es una obra de Tartaglia cuyo título se puede traducir como Investigaciones y descubrimientos diversos, que fue escrita en italiano y publicada por primera vez en 1546 y consiste en una serie de preguntas (quesiti) y respuestas a modo de diálogo. Renacimiento Es el nombre dado a un amplio movimiento cultural que se produjo en Europa Occidental durante los siglos XV y XVI. Fue un período de transición entre la Edad Media y el mundo moderno. Sus principales exponentes se hallan en el campo de las artes, aunque también se produjo una renovación en las ciencias, tanto naturales como humanas. Tartaglia vivió durante esta época. Scipione del Ferro Scipione del Ferro (1465-1526) fue un algebrista del Renacimiento coetáneo de Cardano y Tartaglia. Se cree que fue Del Ferro el que descubrió por primera vez un método para resolver las ecuaciones de tercer grado del tipo x3+ax=b, sobre el año 1515 y lo guardó en secreto. Antes de morir, Del Ferro comunicó a su yerno y a un alumno su resultado. Triángulo de Tartaglia Triángulo formado por los coeficientes de las sucesivas potencias de un binomio. Cada fila de este triángulo comienza y termina con un uno. El resto de los números de la fila se obtienen sumando los dos números de la fila anterior situados inmediatamente encima. Cada una de estas filas corresponde a los coeficientes del desarrollo de la potencia n-ésima de un binomio. Universidad Muchos de los matemáticos de esta época dieron clase en la universidad, como Cardano que fue un importante profesor de Medicina en la Universidad de Pavía. Del Ferro, era el jefe de departamento de aritmética y geometría de la Universidad de Bolonia Venecia Ciudad de Italia en la vivió y murió Tartaglia. ‘La noche del 12 de febrero de 1535 Nicolo sentado en el escritorio de su casa veneciana lee y relee los problemas planteados por su rival Antonio María del Fiore…’, así comienza la historia de la resolución de la ecuación cúbica. Abu’l-Wofa Matemático (940-998) que inició el estudio de los problemas de geometría con el compás de apertura fija. En el siglo XVI Scipione del Ferro, Tartaglia, Cardano y Ferrari retomaron este tipo de problemas. x3=15 x+4 Se trata de una ecuación perteneciente al caso del cubo igual a las cosas más el número. Aplicando la fórmula de Del Ferro-Tartaglia se obtiene dentro de la raíz cúbica una raíz cuadrada con radicando negativo: y3+8y=124 En el capítulo XVII del ‘Ars Magna’ titulado ‘Del cubo, cuadrado, y la cosa igual al número’ aborda la resolución de una ecuación cúbica completa: x3+ 6x2+20x=100. Para resolverla se vale de una estrategia, reducir la ecuación anterior a una incompleta de tipo básico resoluble mediante la fórmula de Del Ferro-Tartaglia. El cambio de variable que propone es x=y-2 y así se obtiene la ecuación: y3+8y=124. Zanipolo La iglesia de San Zanipolo (contracción formada por los nombres de los Santos Giovanni y Paolo) situada en Venecia, anexa a la escuela de matemáticas donde Tartaglia impartió clases de aritmética desde 1534.   Nota (de Marta Macho Stadler): Natalia de Lucas Alonso, autora de este retrato alfabético –que es una auténtica lección de historia de las matemáticas– es profesora de matemáticas del IES Carmen Burgos de Seguí-Alovera (Guadalajara). La preciosa caricatura de Tartaglia, que incorpora las palabras utilizadas en su retrato, también es obra de Natalia.

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416. 99. (Enero 2016) Don Juan Tenorio, de José Zorrilla

¿En El Tenorio también hay matemáticas? Yo diría que sí, las mismas matemáticas que pueden rodear el día a día de cualquier persona. Pero en este caso quería traer a esta sección de DivulgaMAT un diálogo –y una cuenta deducida de él– entre Don Juan y Don Luis, tras un año de aventuras y mediando una apuesta ‘quién de ambos sabría obrar peor, con mejor fortuna, en el término de un año’. Estamos en la escena XII del acto primero: Don Luis: Razón tenéis en verdad. Aquí está el mío: mirad, por una línea apartados traigo los nombres sentados para mayor claridad. Don Juan: Del mismo modo arregladas mis cuentas traigo en el mío: en dos líneas separadas los muertos en desafío y las mujeres burladas. Contad. Don Luis: Contad. Don Juan: Veinte y tres. Don Luis: Son los muertos. A ver vos. ¡Por la cruz de San Andrés! Aquí sumo treinta y dos. Don Juan: Son los muertos. Don Luis: Matar es. Don Juan: Nueve os llevo. Don Luis: Me vencéis. Pasemos a las conquistas. Don Juan: Sumo aquí cincuenta y seis. Don Luis: Y yo sumo en vuestras listas setenta y dos. Don Juan: Pues perdéis. Don Luis: ¡Es increíble, don Juan! Don Juan: Si lo dudáis, apuntados los testigos ahí están, que si fueren preguntados os lo testificarán. Don Luis: ¡Oh! y vuestra lista es cabal. Don Juan: Desde una princesa real a la hija de un pescador, ¡oh! ha recorrido mi amor toda la escala social. ¿Tenéis algo que tachar? Don Luis: Sólo una os falta en justicia. Don Juan: ¿Me la podéis señalar? Don Luis: Sí, por cierto, una novicia que esté para profesar. Don Juan: ¡Bah! pues yo os complaceré doblemente, porque os digo que a la novicia uniré la dama de algún amigo que para casarse esté. Don Luis: ¡Pardiez que sois atrevido! Don Juan: Yo os lo apuesto si queréis. Don Luis: Digo que acepto el partido. ¿Para darlo por perdido queréis veinte días? Don Juan: Seis. Don Luis: ¡Por Dios que sois hombre extraño! ¿Cuántos días empleáis en cada mujer que amáis? Don Juan: Partid los días del año entre las que ahí encontráis. Uno para enamorarlas, otro para conseguirlas, otro para abandonarlas, dos para sustituirlas, y una hora para olvidarlas. Pero, la verdad a hablaros, pedir más no se me antoja porque, pues vais a casaros, mañana pienso quitaros a doña Ana de Pantoja. En el anterior video, con la obra completa, este diálogo aparece a partir del minuto 21:45… aunque os aconsejo que lo miréis desde el principio. Vamos a fijarnos en esta frase de Don Juan, respondiendo a la pregunta de su amigo: ¿cuánto tiempo emplea en cada mujer que ‘ama’? –recordad que son 72 a lo largo del año anterior–: Partid los días del año entre las que ahí encontráis. Uno para enamorarlas, otro para conseguirlas, otro para abandonarlas, dos para sustituirlas, y una hora para olvidarlas. Repasemos las cuentas de Don Juan: invierte en cada mujer 5 días: en enamorar (1 día), en conseguir (1 día), en abandonar (1 día) y en sustituir (2 días). Como en su lista había 72 mujeres, son en total 72 x 5 = 360 días; además, necesita una hora para olvidar a cada mujer, es decir  72  x 1 hora = 3 días. Es decir, según los datos proporcionados, ha precisado 363 días para ‘burlar’ –así denomina Don Juan su dudosa ‘hazaña’– a esas 72 mujeres… una cuenta bien precisa, ¡e incluso le quedan un par de días para descansar! Nota 1: Esta cita me la hizo llegar mi amigo José Ignacio Royo hace ya algunos años; me comentó que fue su abuelo el que se entretuvo en comprobar las cantidades incluidas en este diálogo. Nota 2: Ver también Zorrilla y Dalí… y una cuenta muy bien hecha.

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417. 23. (Enero 2016) Matemáticas en el arte efímero: Festejos por el bautismo de Isabel de Hesse

Los esponsales, el nacimiento de una princesa o la visita de un rey a una población fueron durante siglos motivo de grandes fiestas, desfiles, torneos y de adornos monumentales de las ciudades. Se trata de arquitecturas y manifestaciones artísticas efímeras pero muy impactantes. Muchas veces la única constancia son las descripciones literarias de asombro y admiración ante los arcos triunfales y embellecimiento de la ciudad en festiva celebración. En algunos casos se hicieron ilustraciones y dibujos de calidad que dan idea del esfuerzo realizado en pro del boato y la exhibición. En circunstancias excepcionales se intenta perpetuar el efímero esfuerzo con deliciosos libros ilustrados que dan cuenta de lo especial del acontecimiento: estamos ante el caso de las festividades con motivo del bautismo de la Princesa Isabel de Hesse. La Biblioteca Estatal de Baviera (BSB) conserva dos bellos manuscritos profusamente ilustrados que describen las ocho festividades que organizó el landgrave Mauricio de Hesse (1572–1632) para celebrar el bautismo de su hija, Isabel de Hesse-Kassel (1596–1625), con cuatro días de fastuosos juegos, torneos y fuegos artificiales. No muchas veces tenemos hoy la oportunidad de ver a la Aritmética o la Geometría a caballo, desfilando, tal como nos las describen los libros ilustrados sobre los acontecimientos de agosto de 1596. El manuscrito de más calidad lleva por título Descripción del bautismo de la dama Isabel de Hesse y fue realizado dos años más tarde por el pintor, grabador y editor Wilhelm Dillich. Las bellas y ricas ilustraciones detallan sobre todo los trajes y las carrozas de las diversas festividades, con muchos de los asistentes vestidos como personajes históricos, alegóricos o mitológicos El trabajo de Dillich es de mucha calidad. A el pertenecen las imágenes anteriores. El otro manuscrito que también narra el acontecimiento, Descripción de las ocho festividades celebradas durante los juegos con motivo del bautismo de la princesa Isabel de Hesse, no tiene autor conocido. La menor calidad se compensa con adornos florales y las escenas se enmarca en un colorista recuadro. Los manuscritos detallan los trajes, adornos, carrozas y emblemas usados en las ocho escenografías que acompañan al acto central, Ringelrennen, un juego de habilidad, una variante tardía de los torneos medievales, que tuvo lugar el 27 de agosto de 1596. Cada festividad presenta un motivo alegórico o mitológico. Fueron usados 165 fantásticos trajes con finos detalles. Las ocho escenas que se presentan fueron: Jasón y Perseo Sobre los vicios Las cuatro estaciones Las hazañas de un verdadero príncipe El Sol y la Luna El juicio de Paris Sobre las siete artes liberales Sobre los cuatro continentes. En la escena séptima encontramos representadas como bellas amazonas a la Aritmética (con tablilla de números indoarábigos), la Geometría (con escuadra), y la Astronomía (con esfera armilar). No son las únicas partes de interés matemático. Nos parece interesante mostrar como en la escena de los continentes, personificaciones fantásticas de América, África, Asia y Europa, se muestra la alegoría de Europa como soberana y dominadora, en base a la sabiduria griega representada por una lanza terminada en esfera armilar. Resulta curiosa la representación de La Fortuna mediante un equilibrio inestable: ciega, desnuda, sujeta a vaivenes y apoyada en una esfera puede caer hacía cualquier lado. No podemos terminar el divertimento sin recordar la relación de los grandes matemáticos Descartes, Leibniz o Euler con las princesas alemanas. Los tres fueron tutores, prepararon lecciones y mantuvieron correspondencia con ellas. No parece que Isabel de Hesse se orientara a la matemática pero si lo hicieron Isabel del Palatinado (1618-1680) con Descartes, Sofía Carlota de Hannover (1668-1705) con Leibniz, y Carlota Ludovica de Branderburgo (1745-1808) con Euler.

Lunes, 11 de Enero de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

418. 134. (Enero 2016) El juego de los tres montones

¿Quién no ha oído hablar del juego de los tres montones, también conocido como el juego de las 21 cartas? No sería muy aventurado asegurar que se trata de uno de los primeros juegos de magia que aprenden los niños desde hace varios siglos. De hecho, este juego aparece descrito en el libro del italiano Horatio Galasso titulado "Giochi di carte bellissimi di regola e di memoria", publicado en 1593. El libro contiene varios juegos de cartas basados en principios aritméticos y otros juegos diversos, algunos de los cuales aparecen también en el libro "De viribus quantitatis" de Luca Pacioli, escrito casi un siglo antes. Se puede encontrar una traducción del manuscrito en el segundo número del segundo volumen de la publicación bianual Gibecière, correspondiente al año 2007. El juego vuelve a aparecer el año 1612 en el problema XVIII del libro "Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres", de Claude-Gaspard Bachet (1581-1638), señor de Méziriac, incluyendo una primera explicación del método (allá por el año 2004 -rincón matemágico número 3- describíamos un juego contenido en este libro). Aparentemente, el primero en analizar y generalizar el juego de los tres montones fue el gran matemático francés Joseph Diaz Gergonne (1771-1859) en el artículo "Récréations mathématiques. Recherches sur un tour de cartes" publicado en la revista que él mismo fundó Annales de mathématiques pures et appliquées, 4 (1813-1814), p. 276-283. Hablaremos con detalle de este artículo en la próxima entrega de este rincón. Quizá sea el momento de entrar en detalles y pasar a la descripción del juego, por si queda alguien que lo ha olvidado o pertenece a esa minoría que no lo conoce. Busca una baraja y cuenta 21 cartas cualesquiera. Aparta el resto. Con las 21 cartas, reparte sobre la mesa tres montones de 7 cartas cada uno, con las cartas caras arriba, de la siguiente forma: la primera a la izquierda, la segunda en el centro, la tercera a la derecha, la cuarta sobre la primera, la quinta sobre la segunda, y así sucesivamente hasta repartir las 21 cartas. Durante el reparto elige una de las cartas y fíjate en qué fila se encuentra. Recoge los tres montones de la mesa, de modo que el montón que contiene la carta elegida quede entre los otros dos. Repite el proceso: reparte tres montones sobre la mesa, en el mismo orden anterior y recordando el montón donde queda la carta elegida. Recoge otra vez las cartas colocando siempre el montón que contiene la carta elegida entre los otros dos. Repite por tercera y última vez el proceso: tres montones sobre la mesa, izquierda, centro, derecha, izquierda, centro, derecha,  etc., recordando el montón donde queda la carta elegida. Recoge por última vez las cartas colocando el montón que contiene la carta elegida entre los otros dos. Sólo queda recitar la palabra mágica más mágica de todos los tiempos: ABRACADABRA. Mientras deletreas dicha palabra, por cada letra vas dejando una carta sobre la mesa. Al deletrear la última letra, estarás dejando sobre la mesa una carta. ¡Precisamente la carta elegida! Todo parece indicar que la carta elegida siempre queda en la misma posición. Como la palabra ABRACADABRA tiene 11 letras, resulta que la carta elegida ocupa la undécima posición. Como había un total de 21 cartas, la carta ocupa la posición central. Podíamos haber deletreado la palabra mágica con las cartas caras arriba o con las cartas caras abajo. Hasta aquí llega el saber popular. Cuando se te acerca un aficionado, descubre que eres mago y quiere demostrar su propia habilidad, es muy probable que te haga este juego. Al terminar, casi siempre se repite esta conversación. - ¿Qué te ha parecido?- pregunta buscando tu aprobación. - Muy bien, te ha salido perfectamente -respondes con amabilidad. -¿Cómo lo has hecho? -le preguntas por cortesía. - No sé, me lo contaron así. - ¡Ah! ¿Y sólo funciona con 21 cartas, tres montones y esa palabra mágica?- replicas con una pizca de mala intención. - Tampoco lo sé. ¿Tú lo sabes? Pues sí, y tú también lo vas a saber enseguida debido a la simplicidad del proceso. Si retomamos el origen de la historia, encontramos algunas respuestas. En 2007, Jon Racherbaumer ha publicado el libro titulado "7-7-7. The 21 card trick book" con multitud de versiones del juego y, cómo no, empieza traduciendo el juego original de Galasso. Incluyo aquí la traducción al castellano a partir de la traducción al francés de Philippe Billot y Pierre Guedin (como aparece en su libro "Prestidigitation, mille et une sources") de la traducción al inglés de Jon Racherbaumer del original en italiano de Horatio Galasso (con tanta traducción, cualquier parecido con la realidad debe ser pura coincidencia): En primer lugar tome su señoría quince cartas, entrégueselas a la persona que desee, y que ella piense una de las cartas o bien láncelas caras arriba sobre la mesa indicándole que piense una de ellas. A continuación, recójalas y reparta tres montones, caras arriba, comenzando por su izquierda, dejándolas superpuestas y colocando cinco cartas en cada montón. Pregúntele en qué montón se encuentra la carta pensada y recoja los tres montones colocando ese montón entre los otros dos. Siga este procedimiento dos veces más, preguntando cada vez en qué montón se encuentra la carta y colocando cada vez este montón entre los otros dos. Habiendo seguido esta regla tres veces, se dará cuenta que la octava carta será la pensada y esta será la carta central de las quince. Y que podrá utilizar esta regla sin importar el número de cartas siempre que sea impar. Ya tenemos la primera respuesta: el juego funciona con 15 cartas y tres montones. La carta pensada sigue quedando en la posición central: con quince cartas será la octava y con 21 cartas será la undécima. ¿Será cierto que el juego funciona con cualquier número impar como asegura Galasso? En primer lugar, habrá que interpretar la última frase del juego suponiendo que el número impar es múltiplo de tres para que sea posible repartir tres montones con el mismo número de cartas en cada uno (de hecho, esta suposición ya está reflejada en el problema XVI del libro "Récréations mathématiques et physiques" del matemático francés Jacques Ozanam, publicado en 1694). En segundo lugar, no parece probable que sean suficientes tres repartos si el número de cartas es más elevado. ¿Podrías calcular el número máximo de cartas con las que funciona el juego si se realizan tres repartos? Dejaremos para el próximo mes la respuesta a la pregunta anterior y a esta otra: ¿por qué la carta elegida pasa a ocupar la posición central del paquete? Como aperitivo, terminaremos aquí con la descripción de una versión del juego donde se utilizan ¡las 52 cartas de una baraja francesa! Esta versión aparece publicada en el libro "Charles Jordan's best card tricks" de Karl Fulves, publicado en 1992. Un espectador nombra un número entre 1 y 52 y piensa una carta de la baraja francesa (de 52 cartas), sin nombrarla. Con las cartas caras abajo en la mano, el mago reparte caras hacia arriba todas las cartas de la baraja, una a una, formando cuatro filas sobre la mesa y el espectador indica en qué montón se encuentra la carta pensada. Se juntan los cuatro montones y se realiza el proceso anterior tres veces más. En cada reparto, el espectador sólo indica en qué montón está la carta pensada. Se agrupan por última vez los cuatro montones y el espectador busca la carta que ocupa el lugar indicado por el número elegido al principio del juego. Dicha carta es precisamente la pensada por el espectador. Explicación. El número elegido por el espectador es toda la información que el mago necesita para recomponer adecuadamente las cartas después de cada reparto. La clave para cada número está contenida en la siguiente tabla: CLAVE ORDEN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1-1-1 2-2-1 3-3-1 4-4-1 2-2-2 3-3-2 4-4-2 2-2-3 3-3-3 4-4-3 2-2-4 3-3-4 4-4-4 La primera columna indica el número elegido por el espectador al principio del juego. Si dicho número es mayor que 13, se busca en la tabla el resto de la división por 13. La segunda columna indica la forma de agrupar los montones después de los tres primeros repartos. Por ejemplo, si el número elegido por el espectador es 6, la clave 3-3-2 indica que el montón donde se encuentra la carta del espectador debe recogerse en tercer lugar después del primer reparto, en tercer lugar después del segundo reparto y en segundo lugar después del primer reparto. La forma de recoger los paquetes es la siguiente: se recoge un paquete y se deja en la mano, con las caras hacia arriba; se recoge el segundo paquete y se coloca sobre el primero; se recoge el tercer paquete y se coloca sobre los otros dos, y de la misma forma se recoge el último paquete. A continuación, se gira toda la baraja para realizar el siguiente reparto. Si el número elegido está entre 1 y 13, después del último reparto el montón que contiene la carta elegida se recoge en primer lugar; si el número está entre 14 y 26, el montón que contiene la carta elegida se recogerá después del último reparto en segundo lugar, y así sucesivamente. Con estas indicaciones, la carta elegida pasa automáticamente al lugar deseado. Es un buen ejercicio estudiar la secuencia que produce la tabla anterior y su relación con el sistema de numeración en base cuatro. Si utilizáramos todas las permutaciones con repetición de los números 1, 2, 3 y 4 en la tabla anterior, comprenderemos que el mismo experimento puede realizarse con un número mayor de cartas. Comentario final. Para no alargar esta apasionante historia, en realidad mucho más compleja y con muchos más personajes destacados, diremos que el nombre actual "The Twenty-One Card Trick" fue adoptado en 1891 por Frank Desmond en el libro "Everybody’s Guide to Conjuring". Sólo como ilustración de que la historia no tiene final, te dejo un video del genial Dani DaOrtiz con su versión más personal del juego. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Jueves, 07 de Enero de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

419. 106. La profesora de Historia

Empezamos el año revisando una película estrenada en mayo de 2015, que nos deja poco de matemáticas, y mucho de reflexión sobre educación e intolerancias varias, así como de lo fácil que resulta olvidarnos de un pasado no tan lejano y que como indica el adagio, podemos estar condenados a repetir. Ficha Técnica: Título Original: Les héritiers. Nacionalidad: Francia, 2014. Dirección: Marie-Castille  Mention-Schaar. Guión: Ahmed Dramé y Marie-Castille Mention-Schaar, basada en. Fotografía: Myriam Vinocour, en Color. Montaje: Benoît Quinon. Música: Pascal Mayer. Producción: Pierre Kubel y Marie-Castille Mention-Schaar. Duración: 105 min. Ficha artística: Intérpretes: Ariane Ascaride (Anne Gueguen), Ahmed Dramé (Malik), Noémie Merlant (Mélanie), Geneviève Mnich (Yvette), Stéphane Bak (Max), Wendy Nieto (Jamila), Aïmen Derriachi (Saïd), Mohamed Seddiki (Olivier / Brahim), Naomi Amarger (Julie), Alicia Dadoun (Camélia), Adrien Hurdubae (Théo), Raky Sall (Koudjiji), Amine Lansari (Rudy). Nueva entrega del cine galo en torno a la educación (recurrente en su pasado filmográfico; entre las más recientes, recuérdense Hoy empieza todo, Bertrand Tavernier, 1999; Ser y Tener, Nicolas Philibert, 2002; La clase, Laurent Cantet, 2008 [1]). Algo más floja que cualquiera de éstas, en esta ocasión la trama gira en torno a una clase de bachillerato multicultural (distintas nacionalidades, distintas religiones, aunque de un nivel social similar, eso sí, sin demasiado interés por estudiar o formarse, algo que choca en estos estudios; en nuestro país, llegados al bachillerato, las salidas de tono por indisciplina no son tan abundantes como en cursos previos o como se muestra en la película). Antes de centrarse en el aula concreta, observamos en un prólogo inicial una discusión entre una profesora, el director del centro y una madre y su hija ataviadas con el velo islámico. Los primeros se niegan a entregarles el certificado de calificaciones si no se presentan sin dicha indumentaria, como han ido haciendo durante su trayectoria lectiva. Esto desemboca en las típicas acusaciones de intolerancia religiosa y cultural que advierten al espectador de por dónde irán los tiros en cuanto a la temática central de la película. Aunque en apariencia el planteamiento parece el de siempre (profesora con vocación empeñada en recuperar alumnos problemáticos y marginales frente a la desidia de compañeros de profesión y estamentos oficiales), tras el prólogo relatado arriba comprobamos que el enfoque es diferente al de los ya tratados en las otras películas mencionadas. Pero dejemos para más adelante los comentarios generales sobre la película para centrarnos en primer lugar en la (breve) referencia matemática. La escena matemática Prácticamente la totalidad de la película se desarrolla en la clase de historia con la tutora de la clase. No obstante, al inicio, aparece una breve escena con un joven profesor de matemáticas. Observamos a dos alumnas en un rincón del aula al lado de una ventana, pintándose las uñas en plena clase y cuchicheando entre ellas. De fondo escuchamos una alumna: Alumna: AD más DC igual a AC. Profesor: Muy bien. La traslación doble de A en D, y luego de D en C da el vector AC (en ese momento lanza una tiza a otro alumno que está medio dormido), lo que se conoce como teorema de Chasles, y es un punto muy importante del programa. En ese momento reprende a las dos alumnas que están secando sus uñas al aire, instándolas a dejar de hacerlo. Ellas se justifican indicando que no pueden hasta que no se sequen, a lo que el profesor las advierte con un “Veremos qué hacéis en el examen” (en los subtítulos en cambio lo que se dice es “Ya verás que bien se te secan castigada después de clase”). Comentario Como casi siempre, el doblaje en nuestro país “pasa” completamente del rigor y la precisión en cuanto a los asuntos científicos. Si uno busca “teorema de Chasles” en libros o Google, se encontrará con resultados que poco tienen que ver con el expuesto en la película, que en realidad es la “relación de Chasles” de la geometría del espacio afín que indica cómo es posible llegar de A a C a través de cualquier punto intermedio (B), y que nos dice además cómo sumar vectores. Si los vectores que se suman tienen el mismo origen, a través de esta relación se construye el paralelogramo que también observamos en el encerado de la película, y que conocen (creo) todos los alumnos de Secundaria. Quién fue Chasles El matemático francés Michel Floréal Chasles (Épernon, 15 de noviembre de 1793 - París, 18 de diciembre de 1880) está considerado como “uno de los mayores geómetras de todos los tiempos, con contribuciones fundamentales a la ciencia” (cita textual de la Wikipedia), a pesar de lo cual no es demasiado conocido por el público en general, al menos no suele citarse entre los matemáticos más ilustres, fuera de su país natal. De hecho hay que indagar un poco en la red para entresacar algo más que un puñado de datos relevantes de su trayectoria vital. Estudiante brillante en el Lycée impérial, fue compañero de estudios del florentino Gaetano Giorgini (1795-1874) en la École Polytechnique, en donde rivalizaron en genio y brillantez académica.  En 1814 participó en la defensa de París en la Guerra de la sexta coalición (coalición formada por el Reino Unido, Rusia, Prusia, Suecia, Austria, y varios estados germánicos para combatir al Imperio francés de Napoleón y sus aliados; como resultado de esta guerra Napoleón fue derrocado y confinado a la isla de Elba). Su valentía y patriotismo fue ensalzado junto a otros estudiantes de la Polytechnique por el ministro del interior Carnot en una carta dirigida al máximo responsable de la institución. Se citan diversos testimonios en los que se pone de manifiesto su bondad y compañerismo. Entre 1814 y 1816 publica unos artículos sobre superficies de segundo orden y sobre la envolvente de una superficie de segundo grado homotética a sí misma y tangente a otras tres superficies de segundo orden homotéticas entre ellas. Comenzaba a adquirir cierto prestigio entre los geómetras cuando su padre, que prefería asegurarle el futuro, lo coloca como agente de bolsa en París. Esto lo aparta de la ciencia y durante unos años hace que Chasles se relacione más con la buena vida y las diversiones parisinas. En 1828 retorna a la geometría como consecuencia de unos malos resultados económicos familiares, con unos trabajos sobre cónicas, sobre la proyección estereográfica y algunas aplicaciones de homología y de la teoría de las polares recíprocas. Precisamente sobre este último asunto, la Academia de Bruselas había propuesto un premio para el mejor trabajo sobre el análisis filosófico de la nueva geometría y dicha teoría. Chasles envía en 1830 su trabajo que es ensalzado ampliamente por expertos y contemporáneos. Se publicaría en 1837 con el título Aperçu historique sur l'origine et le dévéloppement des méthodes en géométrie. El libro consta de tres partes: la primera dedicada a la historia de la Geometría, la segunda consistente en treinta y cuatro notas que justifican algunas afirmaciones y desarrollan nuevas teorías, y la tercera sección incluye dos libros de memorias sobre homografía y dualidad, precedida de una breve introducción. También destacó en trabajos de Física matemática (electricidad y magnetismo estaban de moda en aquellas fechas). El 11 de febrero de 1839 comunica a la Academia de Ciencias francesa una serie de resultados sintéticos sobre la atracción de elipsoides que generaliza a otros cuerpos. El problema había sido planteado una década antes por Green. Tanto éste, como Gauss y Chasles dieron soluciones al asunto, completamente distintas, y todas correctas. El que finalmente pasó a la posteridad por ello fue el matemático inglés (teorema de Green) ya que fue el primero en publicarlo (dos años antes que los otros dos). A partir de 1841 el trabajo de Chasles se incrementa considerablemente, al ser nombrado  profesor de Geodesia y máquinas en la École Polytechnique, y en 1846 profesor de geometría en la Sorbona. A pesar del tiempo que empleaba en dictar sus lecciones, publica en numerosas revistas y escribe la mayor parte de su obra. En 1851 ingresa en la Academia de Ciencias francesa, un poco tarde a decir de sus seguidores, probablemente por la consideración que se tenía de la geometría en aquel momento, más como una disciplina escolar que como una de interés investigador.  En 1852 publica Traité de géométrie supérieure, obra novedosa en ese momento por los temas tratados, y fundamentalmente por los métodos de demostración empleados en los que incluía números complejos lo que permitía utilizar toda la potencia y las ventajas del Análisis Matemático. Contiene también resultados sobre razón doble, involución, o figuras homográficas congruentes y sus aplicaciones a los polígonos y círculos. Termina con dos capítulos interesantes, uno sobre algunas  propiedades de dos círculos que proporcionan representaciones elegantes de ecuaciones con funciones elípticas, y el otro sobre la teoría de conos de base circular y sobre cónicas. En 1860 escribe tres volúmenes sobre los porismas de Euclides (los trabajos menos conocidos y leídos de Chasles, de cierta complejidad y abstracción), y en 1865 un Traité de sections coniques. Probablemente sea su teoría de las características el descubrimiento más original de Chasles, aunque también uno de los más tardíos, ya que no se publicó hasta 1864. Se trata de un método para tratar los diferentes problemas de determinación de cónicas y de curvas algebraicas, estableciendo de un modo geométrico diversas propiedades de los sistemas de cónicas. Al año siguiente la Royal Society de Londres le concede por ello la medalla Copley (logros en ciencias físicas o biológicas; es el galardón más antiguo concedido por una institución académica, ya que la primera medalla se concedió en 1731). En 1867 fue víctima de un engaño lamentable. El embaucador y falsificador Denis Vrain-Lucas, tras contarle una rocambolesca historia, le vendió a cambio de una suculenta cantidad (unos 170.000 francos, según admitió el propio Chasles) una supuesta colección de cartas, artículos y trabajos manuscritos de Pascal (entre otros) en los que se demostraba que Pascal había descubierto antes que Newton el principio de gravitación universal. Chasles llevó el asunto hasta la Academia de Ciencias, que tras dos años de farragosas investigaciones en las que cada vez aparecían más documentos aunque cada vez más discutibles, finalmente tuvo que reconocer públicamente en un juicio que su pasión por la ciencia y su país (¿se imaginan: un francés había descubierto uno de los principios más importantes de la historia, y un inglés se estaba llevando el mérito? Por supuesto los ingleses no estuvieron impasibles; lean la historia, que duró ocho años en total, y que demuestra que la picaresca no es patrimonio exclusivo nuestro, y que los más insignes pensadores pueden a veces ser engañados como colegiales), lo habían llevado a obcecarse en una entelequia un tanto absurda. La mayor parte de los historiadores destacan a Chasles como continuador de los trabajos de Poncelet en geometría proyectiva, de forma independiente a Steiner. El siglo XIX fue muy productivo en el desarrollo de distintas ramas de la geometría, y no fue extraño que diferentes geómetras desarrollaran resultados y procedimientos de las mismas materias pero de forma independiente sin que hubiera entre ellos comunicación alguna (ni por supuesto indicios de plagio). Finalmente la geometría proyectiva tal y como la estudiamos y trabajamos hoy, con un enfoque más sintético que analítico, quedó establecida por Von Staudt. En 1867, la Sociedad Matemática de Londres lo proclamó miembro honorario de la institución, el mismo año en el que el polifacético e insigne español José Echegaray (recuerden, ministro con cuatro gobiernos diferentes, premio nobel de literatura, fundador de la actual RSME, ingeniero, matemático, y un largo etcétera) expuso la geometría de Chasles en una serie de artículos en varias revistas, que posteriormente serían recopiladas en la obra Introducción a la geometría superior,  como modelo para la educación superior para nuestro país. Recordemos también sus quejas respecto a la posible caída en saco roto de sus desvelos, debida en parte a la falta de orientación clara en los estudios de educación secundaria y las limitaciones de nuevos planes de estudios (¿les resulta familiar? Quien desee documentarse más a fondo, descárguense el clarificador artículo Los estudios de Geometría Superior en España en el siglo XIX, escrito por Ana Millán, Universidad de Zaragoza, en el año 1991, pp. 126 en adelante, y disponible en el enlace). Posteriormente Garcia de Galdeano, Eduardo Torroja  y otros introducen también la geometría proyectiva en las Escuelas de Ingeniería a partir de los trabajos de Chasles y Steiner,  aunque como se indicó anteriormente, la visión de Von Staudt acabaría por imponerse. Era un momento en el que, si bien no investigando aún, los matemáticos y geómetras españoles se encontraban muy al tanto de lo que Europa estaba produciendo. Como seguramente conocerá el lector, Gustave Eiffel dedicó a los científicos e ingenieros franceses de los siglos XVIII y XIX (entre 1789 y 1889) parte del primer piso de su famosa torre, incluyendo los nombres de los 72 más relevantes, entre ellos 21 matemáticos. No se conoce el criterio con el que eligieron los nombres, aunque sí se sabe que algunos se descartaron por su excesiva longitud. Chasles es el undécimo, como vemos en la imagen en la que aparecen del noveno al décimo tercero. También París ha dedicado cerca de un centenar de calles a destacados matemáticos, no todos franceses (uno de los detalles que delatan el poco interés matemático o científico de nuestro país a lo largo de su historia, puede ser precisamente la ausencia de calles, monumentos, instituciones, etc., recordándolos, a excepción, obviamente, de sus localidades natales: sería muy fuerte, por ejemplo, que Logroño no tuviera nada dedicado a Rey Pastor). Chasles tiene la suya en París, como vemos en la placa de la fotografía. Un par de curiosidades más: ¿saben cómo murió el bueno de Chasles? Pues indaguen, aunque quizá alguien deje de comer una de las aportaciones francesas más conocidas a la gastronomía. Por otro lado, el 16 de septiembre de 1996, el astrónomo aficionado Paul G. Comba, bautizó con el nombre de Chasles el asteroide 18510 descubierto desde su propio observatorio Prescott, en Arizona. Sobre la película Tercer trabajo cinematográfico de la directora, productora y guionista francesa Marie-Castille Mention-Schaar. Rodada en el Liceo León Blum de Créteil donde estudian los protagonistas (Malik,  Mélanie, Said, Olivier, Julie, Camélia y Théo), alumnos de diferentes religiones, un tanto revoltosos y ruidosos para la edad que representan como indicamos anteriormente, su actitud cambiará como consecuencia del trabajo encomendado por su profesora de Historia para participar en el Concurso Nacional de la Resistencia y la Deportación que se celebra anualmente en Francia. Si nos fijamos en la ficha técnica y artística, el actor que interpreta a Malik, es además guionista de la película, ya que los hechos narrados están basados en su propia experiencia personal. Tanto él como la directora trataron de reproducir en los jóvenes protagonistas la sorpresa de encontrarse frente a frente con Léon Zyguel, superviviente de los campos  de Auschwitz y Buchenwald, lo cual consiguieron según relatan en entrevistas posteriores (falleció al poco, en enero de 2015; la película se estrenó en Francia en diciembre de 2014). Desafortunadamente, bajo mi punto de vista, ese impacto no se traslada al espectador, ya que su aparición va alternándose con las reacciones de los alumnos que restan fuerza dramática a su presencia en beneficio de algo más melodramático (y por tanto menos impactante aunque su intención haya sido la contraria; dicho de otro modo, querer provocar la lágrima fácil desvirtúa la crudeza real). En cualquier caso, a pesar de todo lo dicho, la película contiene momentos interesantes de reflexión, más para adultos que para jóvenes, a los que la sociedad y sus hábitos ha acostumbrado a rechazar desde el principio cualquier cosa que no se adapte a un ritmo desenfrenadamente videojuguetil. Y por tanto esos herederos (el título original de la película) ni saben ni se quieren enterar de cualquier cosa que afectara a sus antepasados. Y ahí estamos en este momento. Referencias [1] Población Sáez, Alfonso J. Applets en el cine. UNO, Revista de Didáctica de las matemáticas número 58, julio-agosto-septiembre 2011, pp. 108-110.

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420. 73. (Enero 2016) Música y probabilidad (III)

En la anterior entrega [Góm16] de la serie Música y probabilidad estudiamos los modelos computacionales del ritmo, en particular, los modelos probabilísticos. La presenta entrega de la serie versa sobre los modelos probabilísticos de la altura del sonido. De nuevo, seguiremos para nuestra exposición el excelente libro de Temperley Music and Probability. 1. El modelo de alturas Por modelo de alturas se puede entender muchos conceptos. La altura es la cualidad que permite distinguir un sonido grave de uno agudo y está directamente relacionada con la frecuencia del sonido en cuestión, pero hay otros muchos factores que influyen en su percepción final (los sonidos vecinos, el contexto tonal, el timbre, el volumen, entre otros). En nuestro caso, nos vamos a centrar en los modelos de percepción de la tonalidad. La música que vamos a analizar, la música occidental de la práctica común, está en el marco de la música tonal y los modelos de alturas están estrechamente relacionados con la percepción de la tonalidad. En cuanto a las voces, nos vamos a concentrar en una sola voz, esto es, en entradas monofónicas. El libro de Temperley empieza su estudio de los modelos de alturas con una revisión bastante exhaustiva de la bibliografía sobre percepción de alturas en el campo de la cognición musical. La mayor parte de los estudios que glosa Temperley usa un contexto tonal. Por ejemplo, una grupo de estudios se podrían clasificar bajo el epígrafe de estudios de notas de contraste (probe-tone studies, en inglés). En estos estudios se proporciona a los sujetos una melodía con una tonalidad bien establecida y luego se presenta una nota aparte y se pide a los sujetos que digan si esa nota pertenece a la tonalidad de la melodía; véase los estudios de Krumhansl [Kru90] o Brown y colaboradores [BBJ94]. Otros estudios investigaron el papel de la tonalidad en la percepción de la altura y de la melodía en contextos más generales. Se concluyó que la tonalidad establece jerarquía en las alturas (véase [PK87]), afecta a la memoria, influye en el reconocimiento de melodías (véase [CCM81]) y condiciona las expectativas musicales (véase [CL95]). Otros autores han investigado la cuestión de cómo los oyentes deducen la tonalidad, problema que se llama determinación de la tonalidad. Esta cuestión fue estudiada por Longuet-Higgins y Steedman [LHS71] en un artículo de 1971. Su modelo estaba diseñado únicamente para música monofónica y se basaba en la relación que hay entre tonalidad y escala. Esos autores explotan la idea de que la escala refleja la tonalidad y a partir de ello construyeron un algoritmo para determinar la tonalidad. Por ejemplo, la escala asociada a la tonalidad de sol mayor son y en una melodía en esa tonalidad deberíamos esperar que la mayor parte de las notas perteneciesen a ese conjunto. El algoritmo procesa una a una las notas de la melodía de principio a fin y para cada nota elimina las tonalidades que no tienen a esa nota en su escala. Si al final del proceso, solo queda una tonalidad, esa será la tonalidad elegida. Si por el contrario, no quedan tonalidades candidatas, entonces el algoritmo toma la primera nota y establece la tonalidad en que esa nota es la fundamental. Si esa decisión no es coherente, entonces el algoritmo elige como tonalidad aquella en que la primera nota es la dominante. Por ejemplo, si la primera nota fuese sol, hay siete posibles tonalidades que tienen la nota sol; se elige en primera opción la tonalidad de sol y si esta no funciona se toma do (para la que sol es la dominante). Longuett-Higgins y Steedman comprobaron la validez de su modelo con los temas de las fugas de El clave bien temperado de Bach. En todos los casos su algoritmo dio con la tonalidad correcta. Sin embargo, es fácil darse cuenta de que el modelo de estos autores no funciona en todos los casos. Cuando los centros tonales de la melodía se refuerzan mediante cromatismo, entonces el modelo puede asignar una tonalidad errónea. Por ejemplo, en la figura 1 tenemos dos melodías. La primera, la A, está claramente en la tonalidad de si♭ mayor; empero, el modelo, por falta de más información, tendría que decidir entre varias tonalidades, a saber, fa mayor, si♭ mayor, mi♭ y otras. Aplicando la regla de la primera nota, establecería que la tonalidad es fa mayor, lo que es incorrecto. En la segunda melodía, la B, se ve inmediatamente que está en do mayor, especialmente gracias a los compases dos y cuatro. No obstante, a causa de las notas cromáticas fa# y do#, las tonalidades que incluyen estas notas se considerarían candidatas, lo que no es lógico por la forma de esta melodía. Figura 1: El algoritmo de Longuett-Higgins y Steedman (figura tomada de [Tem10]) El trabajo de Krumhansl-Schmuckler (K-S de ahora en adelante), y el cual se resume magníficamente en el libro de Krumhansl Cognitive Foundations of Musical Pitch [Kru90], presenta un algoritmo más robusto y con base empírica. El algoritmo K-S se basa en los denominados perfiles de tonalidad, que miden la compatibilidad de cada altura con su tonalidad. Estos perfiles de tonalidad se obtuvieron a partir de cuidadosos experimentos con sujetos que llevaron a cabo los autores. Para cada tonalidad concreta se construyeron dos perfiles, uno para el modo mayor y otro para el modo menor (en total hay 24 perfiles de tonalidad). La figura 2 muestra dos ejemplos de perfiles; el primer perfil corresponde al modo mayor y el segundo, al modo menor. En el modo mayor se puede que en orden decreciente de compatibilidad tenemos la tónica, la dominante, la tercera, la subdominante y luego el resto de los grados. La situación es diferente para el modo menor, donde el tercer grado menor tiene más compatibilidad que la dominante. Figura 2: Perfiles de tonalidades (figura tomada de [Tem10]) La manera en que el algoritmo K-S funciona es por correlación. Dada una pieza cuya tonalidad se quiere determinar, se toman las duraciones de las doce notas de la escala cromática en la pieza (algunas, claro es, podrían ser cero). Llamémos x a ese vector de duraciones. Si y es el vector dado por los perfiles tonales, entonces el algoritmo K-S calcula el coeficiente de correlación r como sigue: donde y  son las medias de los vectores x e y, respectivamente. Se calculan todos los coeficientes de correlación para todas las tonalidades en ambos modos y se elige como tonalidad definitiva aquella que maximice el coeficiente de correlación. El lector avispado —es decir, cualquier lector de esta columna—ya se habrá dado cuenta de un inconveniente que tiene el modelo K-S. Si una nota se repite mucho, aunque no pertenezca a la tonalidad, proporcionará mucho peso en el coeficiente de correlación, pero no reflejará la verdadera tonalidad. Extensiones y críticas al modelo K-S han aparecido en la bibliografía. En general, es un modelo válido y está basado en principios musicales y apoyado por experimentos con sujetos. 2. El modelo de Temperley El modelo de Temperley es un modelo probabilístico que se basa en inferencia bayesiana. Sigue unos principios similares a su modelo rítmico, aunque es más complejo que en el caso del ritmo y lo describiremos sin entrar en el aparato matemático. Se especifica un modelo que depende de unos parámetros iniciales, los cuales se deducen a partir de un corpus musical. El corpus elegido es de nuevo la Essen Folksong Collection [Sch95]. La idea de Temperley para construir su modelo es refinar la idea de Krumhansl-Schmuckler de los perfiles de tonalidad. Temperley escoge tres perfiles para los cuales estudia su distribución en el corpus. Esos tres perfiles son: el perfil de alturas, el perfil de rango y el perfil de proximidad. El perfil de alturas de la colección Essen es el que aparece en la figura siguiente, donde las alturas se han representado por números enteros con C4=60. Figura 3: Distribución de las alturas en el corpus Essen (figura tomada de [Tem10]) Temperley estudia la media y la varianza del corpus entero así como de las melodías individuales. A pesar de los valles y picos que tiene la gráfica anterior, Temperley impone como modelo probabilístico una normal cuyos parámetros extrae del corpus (usa el método de los momentos, donde identifica los momentos muestrales con los momentos poblacionales). A continuación crea una segunda distribución que modeliza el rango de la melodía y para la que también usa una distribución normal. Por último, modeliza la distribución de los intervalos melódicos con una distribución normal, pero esta vez con una peculiaridad: la media de una nota particular depende de la nota anterior. Esto refleja el hecho conocido de que la probabilidad de que una nota siga a otra no es uniforme, sino que depende del contexto armónico-melódico. Con estos tres perfiles se crea un perfil global, llamado perfil RPK, que es el producto de los tres perfiles, el de alturas, el de rango y el de proximidad. En la figura siguente se muestran los parámetros del modelo de Temperley. Figura 4: Distribución de las alturas en el corpus Essen (figura tomada de [Tem10]) Tras configurar los valores iniciales del modelo, a continuación se calcula la probabilidad de una melodía en una tonalidad dada. Esto se hace para todas las tonalidades posibles. La tonalidad que maximiza la probabilidad es la que el algoritmo de Temperley devuelve como tonalidad de la melodía. Temperley probó su sistema con un subconjunto de melodías del corpus Essen que no usó para configurar su algoritmo. Acertó en el 87,7% de los casos. Analizando en particular los casos en que falló, Temperley vio que se trataba de casos claros de melodías modales (que estaban en otros modos que no eran el mayor y el menor). Para las melodías en modos mayor y menor no falló nunca. 3. Conclusiones Los fallos del modelo de Temperley no son excesivamente graves. Su modelo está diseñado para la detección de tonalidad en los modos mayor y menor y no en otros. Sin embargo, eso se puede enmendar sin más que crear perfiles de tonalidad para todos los demás modos. Esto, por supuesto, implica inicializar el modelo con corpus que contengan el resto de los modos.   Bibliografía [BBJ94] H. Brown, D. Butler, and M. R. Jones. Musical and temporal influences on key discovery. Music Perception, 11:371–407, 1994. [CCM81] L. L. Cuddy, A. J. Cohen, and D. J. K. Mewhort. Perception of structure in short melodic sequences. Journal of Experimental Psychology: Human Perception and Performance, 7:869–883, 1981. [CL95] L. L. Cuddy and C. A. Lunney. Expectancies generated by melodic intervals: Perceptual judgments of melodic continuity. Perception and Psychophysics, 57:451–462, 1995. [Góm16] P. Gómez. Música y Probabilidad (II). http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=16921&directory=67, diciembre de 2016. [Kru90] C. L.. Krumhansl. Cognitive Foundations of Musical Pitch. Oxford University Press, New York, 1990. 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Lunes, 04 de Enero de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico