401. 75. (Abril 2016) Consenso entre expertos en música: un enfoque matemático

1. Sobre el consenso entre expertos en música El artículo de este mes versa sobre un problema que me he encontrado con cierta frecuencia en el campo de la teoría musical y de la musicología. Ese problema es el del consenso entre expertos en música. A la hora de evaluar un fenómeno musical, ¿cómo se ponen de acuerdo los expertos? ¿Son capaces de formalizar los criterios por los cuales toman su decisión? Si hay desacuerdo entre ellos, ¿cómo se formula tal desacuerdo? ¿Qué metodología usan para evaluar el fenómeno y poner en común una evaluación final? ¿Cómo se matiza tal evaluación? ¿Cuántos expertos es recomendable tener para una evaluación mínimamente fiable? Estas preguntas aparecen en el transcurso de la investigación en música. Por asombroso que parezca, en numerosas ocasiones he visto evaluaciones hechas por un único experto y que el resto de la comunidad ha dado por buena o al menos con muy pocas voces discordantes. De que ese único experto tenía un conocimiento y experiencia formidables no cabía ninguna duda; pero incluso los expertos cometen errores de juicio; pero además no es riguroso aceptar la opinión de un solo experto, por muy prestigioso que este sea. He visto también, por ejemplo, que un experto prestigioso ha basado su evaluación en pequeñísimo número de piezas musicales, a veces tres, pero en otros casos no más de una decena. También aquí parece que falta rigor. Lo observable en un número tan pequeño de piezas puede no ser generalizable al resto y si así lo es habría que justificarlo adecuadamente (normalmente tal justificación está ausente). En el transcurso de mis investigaciones me he encontrado con ejemplos de esta situación, tanto al estudiar artículos como en los proyectos de investigación en que he participado. Por ejemplo, en el caso del flamenco no hay consenso en cuanto a cómo se tiene que transcribir, si bien creando una nueva notación, posiblemente partiendo de la notación occidental, o bien tomando la notación occidental como método único de transcripción. La notación occidental se creó para escribir una música cuyas características no coinciden totalmente con las del flamenco. Además, hay diferencias entre proponer un sistema de transcripción para la guitarra y otro para la voz. La guitarra es un instrumento de afinación fija, pero la voz y menos en el flamenco, no lo es. Donnier para la voz propone un sistema que parte del cante gregoriano [Don11, Don96], pero otros autores como los hermanos Hurtado abogan rotundamente por la notación occidental para todo el flamenco; véase [HH02]. El guitarrista y musicólogo Rafael Hoces, en su tesis doctoral La transcripción para guitarra flamenca [Hoc13], apoya la idea del uso de la notación occidental solo para la transcripción de la guitarra. Entre los flamencólogos, cuando se presenta este debate, algunos llegan a decir es mejor seguir con la notación occidental pues no se alcanzaría acuerdo en diseñar una nueva notación que se adecuase a las peculiaridades del flamenco. De nuevo, aquí estamos en presencia del problema del consenso entre expertos. En los últimos años se está investigando con fuerza los mecanismos que subyacen en la improvisación. Hay dos escuelas de pensamiento al respecto, una que propone que la improvisación se configura a partir de reglas, al estilo de las gramáticas generativas de Chomsky, o trasladado al ámbito músical, al estilo de la teoría generativa de la música de Fred Lerdahl y Ray Jackendoff [LJ03] (véase la serie correspondiente en esta columna [Góm14]). Cada estilo (jazz, flamenco, etc.) tiene sus reglas precisas que hacen que una improvisación se vea dentro del estilo o fuera de él. La otra escuela mantiene que la improvisación se hace a base de patrones, que pueden ser de todo tipo: melódicos, armónicos, rítmicos, formales; y que entonces la calidad de la improvisación está en función de la combinación acertada de esos patrones. Probablemente, la improvisación venga dada por una combinación de ambas. No se sabe, empero, para qué parámetros musicales y en qué grado se produce tal combinación. Investigadores de ambas escuelas de pensamiento han escrito programas que toman, por ejemplo, un corpus de solos de un trompetista de jazz (Parker, Coltrane u otros) y a partir de ese corpus, bien por reglas [GKT10] o por patrones [NSM13], componen solos en su estilo. A la hora de evaluar los resultados del programa, esto es, cuán fielmente se reflejan las características del músico en cuestión, con frecuencia nos encontramos que es la opinión de los autores del artículo el único criterio de evaluación. Los autores afirman que los solos son buenos porque “suenan al trompetista”, o porque “reflejan su pensamiento musical”, pero no aportan razones que sostengan estas afirmaciones. Y no dudo de la honestidad intelectual de estos investigadores, pero desde el punto de vista del rigor metodológico, en ciencia (y la musicología lo es) es difícil aceptar esas afirmaciones. 2. ¿Qué pueden hacer las matemáticas? En otros campos ya ha surgido el problema de alcanzar consenso entre expertos. En medicina, por ejemplo, es un problema que aparece con frecuencia. ¿Cómo lo resuelven en medicina? Hay varios métodos, pero uno de ellos, que goza de cierta popularidad, es el llamado método Delphi. La técnica Delphi es un método para recoger información de expertos y construir consenso a partir de dicha información. Vamos a describir ese método y ver cómo se podría aplicar a la teoría de la música. Jorm [Jor15], en un artículo titulado Using the Delphi expert consensus method in mental health research, investiga la aplicación del método Delphi al acuerdo entre expertos en el campo de la salud mental. El primer paso en la implementación del método es la selección de los expertos. Basándose en el trabajo de Surowiecki [Sur04], el famoso libro The wisdom of crowds: why the many are smarter than the few, propone las siguientes condiciones para elegirlos: Diversidad de expertos. Un grupo heterogéneo de expertos previsiblemente producirá resultados de mayor calidad que un grupo fuertemente homogéneo. Independencia. Los expertos han de tomar sus decisiones de modo independiente y sin influencia externa. Descentralización. Los expertos trabajan de manera autónoma en la producción de sus resultados. Coordinación. Para los resultados finales existe un mecanismo de coordinación entre los expertos. Aunque no en todas las circunstancias el trabajo de un grupo de expertos da buenos resultados, se han estudiado las condiciones bajo las cuales esto ocurre. Hay una gran variedad de contextos en que dicho trabajo es útil y valioso; para más detalles, véanse las referencias del artículo de Jorm [Jor15] (página 888). Hay muchas variantes del método Delphi, sobre todo en función de la aplicación particular, pero se puede describir de forma general como una serie de rondas en que el coordinador del método manda a los expertos unos cuestionarios. Los expertos han de responder a estos cuestionarios y devolverlos al coordinador, quien a su ve estructura la información y los vuelve a mandar a los expertos, quienes, a su vez, han de revisar y criticar sus respuestas anteriores. Este proceso se repite hasta que se alcanza el máximo número de rondas establecido o se alcanza consenso. Asociado al método suele haber tratamiento estadístico de los datos, tanto cuantitativo como cualitativo. Veamos más en concreto cómo se implementa el método Delphi; seguimos aquí el trabajo de Jorm. Los pasos que este establece son los siguientes: Establecimiento de la pregunta de investigación. Como en toda investigación, hay una serie de pregunta o preguntas que se esperan responder en este caso a partir del consenso entre los expertos. Selección del panel de expertos. Más arriba se describió cómo elegirlos. Determinación del tamaño del panel de expertos. Esta cuestión es delicada y depende en gran medida de la disponibilidad de los expertos y del problema en concreto. Obviamente, un número excesivamente pequeño de expertos no proporciona buenos resultados, pues la opinión de cada experto tendría mucha influencia. Lo ideal es encontrar el número mínimo de expertos que garanticen la estabilidad en los resultados. Algunos autores recomiendan un número alrededor de 23 expertos. En ciertos contextos, esto no es posible porque no hay un número tan alto de expertos o porque los expertos no siguen la metodología Delphi fielmente (y entonces hay que descartar su aportación). Diseño del cuestionario. El cuestionario se basa en una fase previa de documentación, la cual se hace mediante una revisión de la bibliografía existente. Es importante hacer preguntas que sean de máxima relevancia (estamos usando el precioso tiempo de los expertos). Cuanto mejor esté formulada la pregunta de investigación, más relevantes serán las preguntas en el cuestionario. Existen metodologías específicas para redactar los cuestionarios; véanse las referencias citadas en [Jor15]. Información previa proporcionada al panel de expertos. En algunos casos, los expertos reciben información sobre cómo puntuar las preguntas (si estas así lo exigen, típicamente en una escala de Likert), el formato de las preguntas o la justificación de las respuestas. Es importante que las instrucciones de cómo contestar a los cuestionarios sean muy claras de modo que los expertos contesten correctamente. Distribución del cuestionario. Los expertos no tienen que reunirse para contestar a los cuestionarios. Los medios para distribuir son variados, desde una encuesta por vía de un formulario web hasta el clásico correo electrónico. Análisis y crítica de las información recogida en las rondas. El método Delphi requiere una definición de consenso. Una definición general y aplicable a cada no existe. Cada equipo de investigadores tiene que construir su propia definición y ponerla a prueba durante el proceso. Tras la primera ronda, el equipo de investigadores analiza los resultados y en función de ellos vuelve a mandar una segunda ronda de cuestionarios. Los expertos reciben críticas y comentarios a las respuestas de su primera ronda y se les pide que contesten a esta segunda ronda. Este proceso se repite cierto número de veces. Algunos autores recomiendan que sea tres o cuatro veces. De nuevo, depende de la investigación, pero no puede ser muy alto ya que se produce cansancio intelectual y psicológico en los expertos. El tiempo entre ronda y ronda no debería ser muy alto, pues de lo contrario se pierde interés en el proceso. Si la naturaleza del problema lo permite, se pueden tomar medidas cuantitativas y cualitativas y llevar a cabo análisis estadísticos. Informe de los resultados. El informe de resultados puede adoptar muchas formas. Puede consistir simplemente en un recuento de los puntos en los que hubo acuerdo o puede llegar a ser algo muy complejo que se puede describir en términos de grafos, mapas conceptuales, análisis de agrupamientos, entre otros. En la figura 1 se ve un ejemplo tomado del artículo de Jorm donde se esquematiza el proceso de las rondas y se informa del número de ítems incluidos en una investigación médica. Figura 1: Diagrama de flujo asociado a un proceso Delphi (figura tomada de [Jor15]) En un reciente artículo (junio de 2015), Albert Fornells y sus coautores [FRR+15] aplican la metodología Delphi a problemas de consenso entre expertos en el campo de la hostelería. Los resultados de su método aparecen en forma de mapa conceptual. La formalización matemática de su método es muy alta. Formalizan el razonamiento cualitativo de los expertos usando teoría de conjuntos y tras pasar revista varios índices de consenso, proponen el suyo propio. Los mapas conceptuales los construyen usando técnicas clásicas de agrupamiento tales como los grafos filogenéticos. Este trabajo da una idea del nivel de formalización que se puede introducir en el problema del consenso entre expertos. 3. Conclusiones El método que hemos examinado es totalmente aplicable al problema de alcanzar consenso entre expertos en música. Su uso contribuiría, sin duda, a dar más rigor a las conclusiones en las investigaciones musicales. ¿Cuál es, pues, la contribución de las matemáticas aquí? El rigor; el rigor metodológico. La aplicación de las matemáticas a la música que proponemos en la columna de este mes no está relacionada con la formalización de una propiedad musical en términos matemáticos o en la aplicación de una idea matemática a la composición musical, por poner dos ejemplos clásicos; no, está relacionada con el espíritu de las matemáticas, con la voluntad de rigor que poseen.   Bibliografía [Don96] Ph. Donnier. Flamenco, structures temporelles et processus d’improvisation. PhD thesis, Université Paris X. Nanterre, 1996. [Don11] P. Donnier. Flamenco: elementos para la transcripción. Del cante y de la guitarra. http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=12354&directory=67, abril de 2011. [FRR+15] Albert Fornells, Zaida Rodrigo, Xari Rovira, Mónica Sánchez, Ricard Santomà, Francesc Teixidó-Navarro, and Elisabet Golobardes. Promoting consensus in the concept mapping methodology: An application in the hospitality sector. Pattern Recognition Letters, 67:39–48, 2015. [GKT10] J. Gillick, R. M. Keller, and M. Tang, K. Machine learning of jazz grammars. Computer Music Journal, 34:56–66, 2010. [Góm14] P. Gómez. Teoría generativa de la música - I. http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=16037&directory=67, junio de 2014. [HH02] A. Hurtado and D. Hurtado. La voz de la tierra: estudio y transcripción de los cantes campesinos en las provincias de Jaén y Córdoba. Junta de Andalucía, Centro Andaluz de Flamenco, Sevilla, 2002. [Hoc13] R. Hoces. La transcripción para guitarra flamenca. PhD thesis, Universidad de Sevilla, 2013. [Jor15] A. F. Jorm. Using the Delphi expert consensus method in mental health research. Australian and New Zealand Journal of Psychiatry, 49(10):887–897, 2015. [LJ03] Fred Lerdahl and Ray Jachendoff. Teoría generativa de la música tonal. Akal, Madrid, 2003. [NSM13] M. Norgaard, J. Spencer, and M. Montiel. Testing cognitive theories by creating a pattern-based probabilistic algorithm for melody and rhythm in jazz improvisation. Psychomusicology, 23:243–254, 2013. [Sur04] J.. Surowiecki. The wisdom of crowds: why the many are smarter than the few. Abacus, Londres, 2004.

Viernes, 15 de Abril de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

402. 109. Reglas de Cálculo en el Cine (I)

A veces, no muchas, pero sí algunas, uno tiene que hacer un cambio en lo que tiene pensado a petición de algunas personas (es lo que tienen las redes sociales). Es el caso de la reseña de este mes, que ha surgido sobre la marcha....Por cierto, hay tantas referencias que la dividiremos en varias partes (no necesariamente consecutivas). Hace unos días (concretamente el pasado 1 de marzo) visité la exposición Érase una vez... la Informática en el Museo de la Ciencia de Valladolid. Una de las piezas expuestas es una reproducción en grande de una regla de cálculo, una de las herramientas indispensables para realizar ciertos cálculos hasta no hace mucho (yo reconozco no haberla utilizado nunca; las calculadoras de bolsillo ya existían en mi infancia). Y colgué una foto en la página de Facebook dedicada a Las Matemáticas en el Cine (para los que no la conozcan, se trata de una página en la que de vez en cuando voy subiendo fotogramas de las películas que aparecen en el libro y que allí no aparecen, o de películas nuevas, en definitiva de cosillas sueltas que van apareciendo con una explicación mínima, y también de pequeños retos de averiguar a qué película corresponde tal o cual imagen), y propuse a quien se acercara por ella indicar películas o series de televisión en las que aparezca dicha herramienta. No tuve mucha suerte (apenas un par de referencias), y entonces decidí ampliar la lista con algunas que yo conocía o he ido recopilando en la red, indicando en dónde las encontré en ese caso. Aún no he subido más de media docena, pero he comprobado, tanto por los comentarios como por el número de visitas, que ha tenido cierta repercusión, y por ello, he decidido dedicarle una reseña más amplia en este rinconcito de DivulgaMAT. En un principio mi idea era presentar este instrumento, fundamentado en las escalas logarítmicas y en las propiedades de este concepto. Sin embargo es tanta la información en internet, y en el propio portal DivulgaMAT que en este sentido me limitaré a indicar los enlaces correspondientes que me han parecido más interesantes, y pasar directamente a mostrar algunas de sus apariciones (sólo algunas, porque hay un montón) en las películas o las series de televisión. Sin duda, la página más completa en castellano, en la que uno puede pasarse horas aprendiendo, curioseando y comprobando la gran cantidad de usuarios, y el interés que aún hoy despierta este instrumento, es la página de los Amigos de la Regla de Cálculo. Prácticamente todo lo que deseemos saber aparece en ella (Historia, Funcionamiento, Manuales, Simuladores, Tipos, Fabricantes, Cómo construirlas, Un foro, exposiciones, vídeos en clases de Secundaria (nuestro compañero y colaborador en DivulgaMAT Angel Requena, por ejemplo, tiene uno), un apartado de compra y venta,..., en fin prácticamente todo). Sólo añadir otro estupendo artículo publicado en la revista Investigación y Ciencia en julio de 2006: Historia de la regla de cálculo, de Cliff Stoll. Clifford Stoll es físico, astrónomo, experto en ordenadores y escritor. Además ha colaborado en cadenas de radio, ha participado en videos de divulgación, fabrica y vende botellas de Klein, y da clases, entre otras ocupaciones  (datos tomados de la Wikipedia). Desde el enlace, se puede descargar el artículo a un módico precio. Vamos por tanto a lo nuestro, al Cine. Después de proponer títulos en la página de FB mencionada arriba, enseguida me contestó Rubén Quejigo proponiendo Apolo 13 (Apollo 13, Ron Howard, EE. UU., 1995). Las dos imágenes siguientes están tomadas de la película Prácticamente hasta los años setenta del siglo pasado, la regla de cálculo era inseparable de cualquier ingeniero o científico, en algunos casos, también militares, que la llevaban en el bolsillo de la camisa o de la típica bata blanca, de tal modo que constituía prácticamente una seña de identidad. Con ella ejecutaban multiplicaciones, divisiones, inversos, extraían raíces, calculaban potencias, proporciones, obtenían razones trigonométricas, con algunas específicas hacían conversiones en diferentes unidades métricas, de peso, capacidad, etc., y con una destreza envidiable. Otra muestra la tenemos en el general Carter interpretado por Edmond O´Brien en la popular Viaje Alucinante (Fantastic Voyage, Richard Fleischer, EE. UU., 1966). La imagen corresponde a un momento complicado en el que los encargados del centro de control del CMDF (Fuerzas Disuasorias de Miniaturas Combinadas) proponen extraer el submarino miniaturizado que recorre el cuerpo del profesor al que han dejado en estado de coma. Recuérdese que la misión de la expedición es operar al profesor desde el interior de su cuerpo (este profesor posee una información secreta que hay que recuperar: cómo lograr que las miniaturizaciones duren más de una hora). Quieren extraerlo porque han encontrado una fístula arteriovenosa que los obliga a atravesar el corazón, y esto los retrasará y quizá ni puedan realizar su misión en el plazo de una hora. Entonces el general Carter saca de su chaqueta la regla de cálculo, y llega a la conclusión de que en 51 minutos pueden lograrlo, dentro del plazo establecido por tanto. Otra de las aportaciones es la de Mónica Sangrador, una fiel visitante de la página, con una película que no conocía, El viento se levanta (Kaze Tachinu, Hayao Miyazaki, Japón, 2013), la duodécima y última por ahora de Miyazaki. Narra la vida del ingeniero aeronáutico Jirō Horikoshi, el hombre que diseñó el avión de combate Zero, que fue usado en el ataque a Pearl Harbor durante Guerra del Pacífico de la Segunda Guerra Mundial. Hay por tanto varias escenas de cálculos, como la de la imagen que aportó Mónica, en la que observamos en la parte inferior a uno de los trabajadores con una regla de cálculo en la mano. Una de las fotos más compartidas y que más han gustado de las que he puesto ha sido la de Mr. Spock (Leonard Nimoy) con una regla de cálculo circular, modelo muy utilizado en aviación y aeronáutica (¡¡como corresponde, obviamente!!). Está claro que hay mucho trekkie suelto por ahí, aunque no hayan sabido identificar de qué episodio era la imagen. Son varios en los que Spock ha necesitado echar mano de este instrumento, lógico al estar en el puente de mando. La imagen corresponde al episodio ¿Quién llora por Adonis? (Who mourns for Adonais?, Marc Daniels, EE. UU., 1967). Se trata del episodio 31 de Star Trek: La serie original (el 33 en ser producido; siempre hay un desfase de dos unidades porque hubo dos episodios piloto); si se cuenta por temporadas, el segundo de la segunda temporada. Otro episodio de esta serie en el que aparecen claramente utilizando reglas de cálculo es Las maniobras de la Carbonita (The Corbonite Maneuver, Joseph Sargent, EE. UU., 1966), tercer episodio de la primera temporada, el primero después de los dos episodios piloto, aunque fue emitido en décimo lugar. Si se hubiera respetado el orden correcto, sería la primera vez que aparece Mr. Spock. La edición remasterizada en DVD ha incorporado algunos cambios en imágenes y gráficos por CGI más modernas y creíbles que las originales (en este enlace se puede ver gran parte del episodio al lado del remasterizado). En la imagen correspondiente a este episodio vemos nuevamente sobre la mesa de la sala de reuniones (concretamente al teniente Dave Bailey (el actor Anthony Call, el que va de rojo) utilizando el modelo Jeppesen B-1 Slide Graphic Vector Computer. Por cierto, ¿qué os parece la idea de utilizar un cubo con caras de diferente color girando en el espacio como mojón de los límites de la Primera Federación (ver imagen)? ¿Y engañar a Balok con el farol de la carbonita? ¿Póker o ajedrez? (Esto último sólo para trekkies convencidos, ja ja ja). En el siguiente capítulo, Las mujeres de Mudd (Mudd’s Women, Leo Penn, EE. UU., 1966) también hay reglas de cálculo, pero es especialmente curioso tanto por sus referencias sexuales (no me imagino cómo sería el doblaje español de esta época), como por tener como guionista al excelente Richard Matheson (entre las películas llevadas al cine basadas en obras suyas o directamente guionizadas por él, El increible hombre menguante, Soy leyenda (en sus tres versiones cinematográficas), El diablo sobre ruedas, o la serie Twilight Zone). Gran parte de esta información, junto con más imágenes de StarTrek y las reglas de cálculo las he extraído de esta página (yo no soy demasiado fan de StarTrek, ni de series de televisión en general, lo confieso). Otra aparición muy conocida tiene lugar en El vuelo del Fénix (The Flight of the Phoenix, Robert Aldrich, EE. UU., 1965). En ella un avión con catorce pasajeros de muy diferentes procedencias y ocupaciones ha hecho un aterrizaje de emergencia cuando sobrevolaban el desierto del Sahara por culpa de una tormenta de arena. Son varias las opciones que se les ocurren para salir de allí (están completamente incomunicados). Una de ellas la propone el diseñador aeronáutico alemán Heinrich Dorfmann (Hardy Krüger), que en la foto está regla de cálculo en mano, explicando al resto de compañeros cómo construir un pequeño avión, utilizando para ello partes del avión siniestrado, desarmando y cortando las alas en buen estado y uniéndolas al único motor no averiado, además de reemplazar el tren de aterrizaje por patines hechos de planchas de metal. Tienen algunas herramientas y equipos que pueden servirles para este propósito. Quizá haya algún lector que se muestre sorprendido por la presencia de una regla de cálculo en la película Titanic (Titanic, James Cameron, EE. UU., 1997), (en la imagen, delante del libro) pensando en un anacronismo (recordemos que el trasatlántico se hundió en 1912). La Regla de Cálculo la inventó William Oughtred, un clérigo inglés, en 1622. Robert Bissaker construyó en 1654 la primera, si bien es cierto que no sería hasta 1850 aproximadamente cuando empezó a popularizarse. De hecho Augustus de Morgan en aquella época se lamentaba de la reticencia a utilizar este instrumento. En 1814, Peter Roger presentó una regla de cálculo doblemente logarítmica, con la que se ampliaba la capacidad de cálculo a potencias y raíces de exponente fraccionario. Con los años sus capacidades se fueron ampliando a más decimales de precisión, añadiendo marcas con constantes habituales (como π, o e) y se particularizaron por profesiones, apareciendo reglas de cálculo específicas para químicos (con masas moleculares grabadas), ingenieros navales (con relaciones hidráulicas), por citar un par de ejemplos concretos. Durante la segunda guerra mundial su uso era habitual, y a partir de entonces, como se dijo anteriormente, su presencia era obligada entre los técnicos. Las últimas imágenes, por ahora, corresponden a la película Hindenburg (The Hindenburg, Robert Wise, EE. UU., 1975). Este dirigible se incendió en 1937 al aterrizar, causando la muerte de la tercera parte de los pasajeros. ¿Sabéis que segunda función presentaba la película de este artilugio? alfonso@mat.uva.es

Martes, 12 de Abril de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

403. 137. (Abril 2016) Las cartas transpuestas

Para completar el círculo que iniciamos con el juego de los tres montones y el de las diez parejas, desarrollados en las entregas anteriores, esta vez nos detendremos en otro clásico de la magia, el juego de las 16 caras o el de las 25 cartas o, en general, el del cuadrado con cartas. Una referencia básica del juego es la del profesor Hoffmann (a quien Houdini describió como la estrella más brillante en el firmamento de la literatura mágica) y su libro Modern Magic, publicado por primera vez en 1876. Como se indica en la publicidad del libro electrónico comercializado por lybrary.com, «... el profesor Hoffmann ha sido el primero de la historia moderna en recopilar la magia de forma enciclopédica, a través de la trilogía "Modern Magic", "More Magic" y "Later Magic". Ninguno de los libros publicados antes que estos, la mayoría copias unos de otros, alcanza la profundidad y aroma del trabajo del profesor Hoffmann. El material incluido en esta enciclopedia representa el estado del arte de la magia a finales del siglo XIX. Hoy en día sabemos más trucos y hemos refinado nuestras técnicas y métodos, pero es inimaginable lo que ya se conocía en esa época. Una lectura cuidadosa de esta enciclopedia permitirá descubrir algunos métodos ingeniosos que han sido olvidados o han caído en desuso en la magia de hoy. Si realmente quieres sorprender a tus amigos magos, lee este libro y realiza alguno de sus muchos -no tan bien conocidos- secretos.» [Hubo una secuela a la trilogía citada, el libro "Latest magic", publicado en 1918, convirtiendo su enciclopedia en una tetralogía.] Del profesor Hoffmann apuntaremos que se trataba del nombre artístico de Angelo John Lewis (1839-1919), abogado de profesión y aficionado a los juegos de ingenio. En 1893 publicó el clásico "Puzzles old and new", un completo catálogo que incluye la mayoría de los puzles mecánicos conocidos en el Londres victoriano de la época. Volviendo al juego que nos ocupa y al capítulo III del libro "Modern magic", una página después de la descripción del juego que explicamos el mes pasado aparece el juego titulado "Another mode of discovering a card thought of". Así funciona: Reparte sobre la mesa las 25 cartas, caras arriba, formando un cuadrado con cinco filas y cinco columnas. Invita a una persona que piense una de las cartas y te indique en qué fila se encuentra. Digamos que te dice la fila X. Recoge ahora todas las cartas del modo siguiente: coloca la última carta de la última fila sobre la última carta de la cuarta fila; colocas estas dos cartas sobre la última carta de la tercera fila, y así sucesivamente; al terminar de recoger la última columna, colocas las cinco cartas sobre la última carta de la quinta fila, el grupo de cartas sobre la última carta de la cuarta fila, siempre de la misma forma, hasta recoger todas las cartas. Si imaginamos que las cartas están dispuestas según el siguiente esquema, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 el orden de recogida es 25-20-15-10-5-24-19-14-9-4-23-...-2-21-16-11-6-1. Reparte nuevamente todas las cartas en cinco filas de cinco cartas cada una, en el orden "habitual": las cinco primeras cartas formarán la primera fila, las cinco siguientes se colocarán bajo las anteriores, y así sucesivamente. Según el esquema anterior, las cartas quedarán colocadas en el orden siguiente: 1 6 11 16 21 2 7 12 17 22 3 8 13 18 23 4 9 14 19 24 5 10 15 20 25 Preguntas de nuevo al espectador en qué fila se encuentra ahora su carta. Supongamos que te dice la fila Y. Un rápido vistazo a la mesa te indicará la carta pensada por el espectador: basta que localices la carta que ocupa la fila Y y la columna X. Por ejemplo, si la carta estaba primero en la fila 4 y luego en la fila 2, se trata del cuatro de picas, pues es la cuarta carta de la segunda fila. La explicación es muy sencilla: la forma de recoger y repartir hace que todas las cartas hayan intercambiado la fila con la columna. Si una carta estaba en la fila A y columna B, ahora está en la fila B y columna A. En matemáticas se dice que la nueva matriz es la transpuesta de la matriz inicial. Ahora entenderás también la afirmación que hicimos al principio: el juego puede realizarse con 9, 16, 25, 36 o, en general, con cualquier número cuadrado de cartas. Sin embargo, no hay ninguna limitación matemática que impida realizar el juego con n x m cartas, siendo n y m distintos. Bastará que, en el primer reparto, se formen n filas y m columnas y, en el segundo reparto, se formen m filas y n columnas. En la práctica, esta distribución asimétrica no es natural y hace sospechoso el proceso. La explicación de este juego, con algunos interesantes comentarios, también aparece en el libro "Mathematical recreations and essays" (originalmente titulado "Mathematical recreations and problems of past and present times"), un cofre lleno de tesoros del historiador de las matemáticas Walter William Rouse Ball, publicado por primera vez en 1892 y que va por la decimotercera edición. Te recomiendo la lectura de una divertida biografía de Rouse Ball, titulada "Mathematics and Hocus Pocus", escrita por Philip Davis. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Lunes, 04 de Abril de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

404. 26. (Abril 2016) Geometría que levita y Aritmética que engancha

La representación iconográfica de las alegorías femeninas de la Aritmética y la Geometría no ha dejado de evolucionar desde que Marciano Capella, un mediocre escritor latino tardorromano, convirtiera su libro Las nupcias de Filología y Mercurio en uno de los libros más populares del medioevo. El imperio romano de occidente agonizaba, todo un mundo iba a eclipsarse. Algunos de los que fueron conscientes en el siglo V de que vivían el fin de un ciclo intentarán apresuradamente y con escaso conocimiento salvar algo de una cultura que languidece. Así, un autor secundario como Martianus Capella se verá convertido en protagonista durante más de un milenio de una concepción de las ciencias. Marciano Capella vivió en el norte de África, cerca de Cartago, entre los siglos IV y V, ha quedado inmortalizado con una obra menor escrita en un latín deficiente y mera copia de las escasas obras latinas sobre ciencias, Las nupcias despliegan una enorme fuerza visual: las artes liberales toman forma alegórica como bellas mujeres, ricamente ataviadas, que acompañan en el cortejo nupcial a los sabios más distinguidos en cada ciencia. Las alegorías de las siete artes -llamadas después liberales- van a adornar durante siglos iglesias, monasterios, palacios, mausoleos, bibliotecas e incluso las cocinas. La potencia visual de las alegorías de Capella ha dejado huella en todo tipo de materiales: vidrieras, escultura, pintura, tapicería, marquetería, orfebrería y cerámica.  Los artistas y artesanos necesitan imágenes y Capella se las proporcionó con todo detalle. En el caso de la Aritmética, sus ágiles dedos no paran de moverse como muestra de su capacidad de cálculo. El contenido científico de la obra de Marciano Capella es muy escaso, muy pobre, simples anotaciones tomadas de Las noches áticas de Aulio Gelio que a su vez copiaba Los nueve libros de las disciplinas de Marco Terencio Varrón. El latín nunca fue en el mundo antiguo el lenguaje de la ciencia, está seguía usando el griego como lengua vehicular. El merito de Capella consistió en dar forma humana a las disciplinas de Varrón. Quizá tomando las musas como inspiración se desarrolla una iconología de gran éxito que no pasaría desapercibida a los artistas. La descripción que hace Capella de la Aritmética es la siguiente: Los dedos de la doncella vibraban a tal velocidad que hacen borrosa su visión … Pitágoras que se encontraba entre los filósofos siguió detrás de la dama tan rápido como el ábaco, y cuando la doncella estaba lista para exponer su disciplina se mantuvo en pie a su lado sujetando una brillante antorcha delante de ella. De la misma forma, dice de la Geometría: Una dama distinguida que portaba una vara de medir en su mano derecha y un globo sólido en la izquierda. Las representaciones irán cambiando con el tiempo. La Aritmética dejará los dedos para usar el ábaco y después la cifras indoárabigas. Mientras la Geometría abandonará la regla o la vara para usar el compás y la escuadra, o esporádicamente las figuras geométricas planas y los poliedros. Este escrito está dedicado a algunas curiosas representaciones o extrañas anomalías: Alegorías de la Geometría levitando entre las nubes, como si de la Virgen María se tratara, o una dama Aritmética con un gancho como utensilio simbólico. La Geometría que levita parece tener su origen en el Tarot de Mantenga, una mística baraja de cartas atribuida apócrifamente al gran pintor Andrea Mantenga y que tuvo cierta difusión durante el Renacimiento. La Geometría flota sobre una nube y dibuja u opera con un triángulo, un cuadrado y un círculo. La difusión cultural usará el grabado para expandir los modelos y de aquí que la Geometría del Tarot nos la hayamos encontrado en lugares tan alejados como el Cortile Vecchio del Palazzo Bo en Padua o el Mausoleo del obispo Hugues des Hazards en Blénod lès Toul. En la parte renacentista del rectorado de la Universidad de Padua, el Palacio Bo, donde están el Teatro Anatómico o la Cátedra de Galileo, se atraviesa un hermoso patio porticado. En la galería superior, las Artes Liberales y otras disciplinas están representadas en las basas externas de las columnas. La alegoría de la Geometría muestra el compás y las tres figuras planas tomadas del Tarot de Mantenga adquieren profundidad. La alegoría levita sobre una curiosa nube por la dificultad de representarla en piedra. Hugues des Hazards fue obispo de Toul a primeros del siglo XVI. Su mausoleo renacentista se debe al escultor loreno Mansuy Gauvin y se encuentra en la Iglesia de San Médard de Blénod lès Toul, su villa natal. La tumba del obispo Hugues sigue el modelo del sepulcro del Papa Sixto IV, recurriendo a la representación de las Artes Liberales como muestra de su cultura humanística y su interés por las ciencias. La disposición vertical recuerda al mausoleo de Ramón Llull en Palma. Al precioso monumento funerario no le quedan hoy restos de policromía pero si podemos encontrar alguna reproducción antigua que la pone de manifiesto, tal como apreciamos el detalle de la Aritmética, la Música y la Geometría que colocábamos en la portada de este escrito. La Geometría vuelve a levitar otra vez con su tabla donde están dibujados el triángulo, el círculo y el cuadrado. Blénod lès Toul apenas llega a los mil habitantes pero su iglesia alberga una de los más interesantes mausoleos renacentistas de Francia: las Artes Liberales mantienen su encanto más allá del gótico. Respecto a la alegoría de la Aritmética representada con un gancho, la encontraremos en los deliciosos frescos del Palacio Arese Borromeo de Cesano Maderno. El Palacio y Jardines Arese Borromeo pueden ser uno de los recuerdos más interesantes de la Monarquía Ibérica en el Milanesado. Tras un periodo de abandono, decadencia y ruina, la Citta di Cesano Maderno se hizo cargo del complejo monumental e inició en 1990 la restauración del edificio y el cuidado del parque. Los Arese Borromeo encarnan las virtudes de los buenos administradores y juristas al servicio del gobierno. Durante el periodo de la Casa de Austria española alcanzarán su mayor esplendor, llegando a presidir el parlamento, y obteniendo las mayores distinciones, entre otras las de Caballeros de Calatrava. Milán fue una pieza clave dentro del Imperio, especialmente desde el punto de vista técnico y militar. Los Arese reconstruyeron su Palazzo en la segunda mitad del siglo XVII. El programa decorativo estuvo prácticamente finalizado en 1671. La nobleza mantuvo durante el barroco la tradición renacentista de dedicar una zona de su residencia a la Sabiduría, las Artes y las Ciencias. En el Palazzo Arese Borromeeo se encuentran en una de las habitaciones más grandes y luminosas: la Galleria delle statue. Las siete Artes Liberales representadas en frescos que imitan estatuas, sombras incluidas, decoran la estancia. Pegadas al muro del patio están las Alegorías femeninas, enfrente los Sabios que las encarnan. La Aritmética se mantiene acompañada de Pitágoras. La Alegoría es muy especial e innovadora: aparte de la tablilla numérica tiene un gancho. La Aritmética engancha: buen mensaje aunque quizá no todo el mundo lo comparta. La única representación similar de la Aritmética que engancha la hemos encontrado en un grabado de finales del siglo XVI del pintor veronés Paolo Farinati, en un boceto para las pinturas murales de los palacios como el Giuliari, que hoy es propiedad de la Universidad de Verona.

Lunes, 04 de Abril de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

405. 105. (Marzo 2016) Retrato alfabético de Alexander Grothendieck, de Roberto Muñoz

If there is one thing in mathematics that fascinates me more than anything else (and doubtless always has), it is neither "number" nor "size", but always form. And among the thousand-and-one faces whereby form chooses to reveal itself to us, the one that fascinates me more than any other and continues to fascinate me, is the structure hidden in mathematical things. Alexander Alemán Apátrida Francia. Bourbaki Matemática pura, fundamentos, construcción. Cuántico Es el avance de la ciencia, algunas figuras –tan especiales– provocan los saltos. Deligne Demazure Doctorandos por d. EGA Éléments de Géométrie Algébrique, enciclopedia de la geometría algebraica, compendio y creación y ordenación. SGA. Fields Medal 1966, Unión de Repúblicas Socialistas Soviéticas: ¡NO! General General, más general, más unificado, con más perspectiva: la geometría algebraica con la aritmética, con la topología. Haz Faisceau, sheaf: una manera de disponerse, de colocarse localmente, como en un ramillete, en un racimo. Relativamente a una base. IHES Institut des Hautes Études Scientifiques: trabajo e investigación, estudio, enseñanza, Jean Dieudonné. Jean Dieudonné Instituto de Estudios Científicos Avanzados, Institut des Hautes Études Scientifiques. K-teoría Grupo de Grothendieck. Libertad Para la creación, para la opinión, para la oposición, para el desvarío, para el desatino. Montpellier Profesor. Nancy Doctor. Ñ Ñ de guerra de España, la guerra que separa –temporalmente– de los padres. Oposición Opción One Véase Yeats. “… one of the most important mathematicians of the second half of the twentieth century”, una cita. Probar Política Paz Pensamiento Comprender, demostrar, definir, enunciar, construir, aplicar, calcular, ¿en qué orden? Pacificar. Quite “Quite unique in the history of mathematics”, otra cita. Relativo Objetos que se mueven sobre otros, o no, o sobre otros diferentes. Las relaciones entre los objetos más que su propia existencia. Retiro Récoltes et Semailles. Scheme Sobrevivir Saint-Lizier Scheme –esquema–, la definición abstracta de variedad, con su información algebraica, en versión relativa. Survivre, y también Survivre et Vivre. La muerte. Topológico Turning Teorema Espacios vectoriales topológicos. 1970, the great turning point. Unificación La perspectiva que une, que muestra las similitudes, las diferencias, lo que iguala y lo que discrimina. Geometría, aritmética, álgebra. Vector Véase topológico. Weil Conjeturas. X La incógnita, el parámetro, la variable, la unidad de memoria, lo desconocido. Yeats “Los mejores carecen de toda convicción, mientras que los peores están llenos de apasionada intensidad”, o quizás no, o hay excepciones. Zoom Zoom out or zoom in ? Más general, más perspectiva, más comprensión, más abstracto, más oscuro, más incomprensión. But you do not ask the most obvious question, the one every reader expects you to answer: why did you yourself abandon the work in question? Jean Pierre Serre Nota Roberto Muñoz, autor de este retrato alfabético es profesor del Departamento de Matemática Aplicada, Ciencia e Ingeniería de los Materiales y Tecnología Electrónica de la Universidad Rey Juan Carlos.

Martes, 22 de Marzo de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

406. 74. (Marzo 2016) Música y probabilidad (IV)

Esta es la última entrega de la serie Música y probabilidad en la que estamos estudiando modelos probabilísticos siguiendo el libro de Temperley Music and Probability [Tem10]. Estudiaremos en esta cuarta entrega los modelos de expectativa musical, tanto de ritmo como de altura del sonido así como los de detección de errores. La primera entrega [Góm16c] consistió en un argumentario a favor del estudio de la probabilidad por parte de los músicos y una introducción al libro de Temperley. En la segunda entrega [Góm16a], estudiamos los modelos computacionales y probabilísticos para el ritmo, y en la tercera entrega [Góm16b], los modelos probabilísticos de la altura del sonido. Esperamos que con estos cuatro artículos hayamos convencido, o al menos ablandado, al lector escéptico acerca de las bondades del conocimiento de la probabilidad para el estudiante de música, en especial para el futuro musicólogo. 1. Probabilidad de una melodía En las dos entregas anteriores se trató el ritmo y la altura del sonido por separado. En esta entrega vamos a combinar ambos para dar un modelo conjunto de la melodía. La hipótesis principal que Temperley hace sobre el modelo conjunto es que ritmo y altura se pueden elegir independiente de modo que la probabilidad de una melodía es el producto de la probabilidad de los patrones rítmicos (duraciones) por la probabilidad de la sucesión de alturas. El estudio que lleva a cabo sobre la probabilidad de la melodía (capítulo 5) se centra en dos fenómenos, a saber, las expectativas musicales y la detección de errores. Las expectativas se refiere a las notas que el oyente espera tras haber oído una melodía previa. La detección de errores se refiere a cómo el oyente detecta errores en la melodía. Las expectativas en la melodía se dividen en las expectativas sobre la altura del sonido y sobre el ritmo, las cuales tratamos por separado. 2. Expectativas en la altura de la melodía En la percepción de la melodía, las expectativas desempeñan un papel importante. La investigación en cognición musical ha estudiado esta cuestión desde hace mucho tiempo. Los oyentes se forman expectativas en cuanto a las notas que siguen una sucesión de notas previas —tanto en términos de ritmo como de altura del sonido— y ello crea y disuelve la tensión musical, que es entre otros factores la manera en que el discurso musical progresa. Se sabe que la creación, la confirmación y la negación de las expectativas musicales es una parte fundamental del proceso de creación del significado musical. Ya Meyer [Mey56] en su libro de 1956 Emotion and Meaning in Music analiza exhaustivamente esta cuestión en base a la teoría de la percepción de la forma (Gestalt). Posteriormente, Narmour [Nar90], en 1990, con su libro The Analysis and Cognition of Basic Melodic Structures: The Implication- Realization Model extiende y profundiza notablemente el estudio de las expectativas musicales. Desde un punto de vista experimental, hay dos enfoques o paradigmas: el paradigma de la percepción y el de la producción. En los estudios pertenecientes al primer paradigma se pide a los sujetos que, tras oír un fragmento de una melodía, juzguen si una cierta nota es la mejor continuación; véanse los trabajos de Schmuckler [Sch89] y Cuddy y Lunney [CL95]. En el paradigma de la producción, en cambio, se pide a los sujetos que produzcan la nota que consideran más adecuada para continuar la melodía; véanse los artículos de [Pov96], [TCP97], and [Lar04] así como las referencias del propio libro de Temperley. El modelo de Temperley se basa en el trabajo de Cuddy y Lunney [CL95]. En los experimentos llevados a cabo por estos autores, los sujetos tenían que juzgar una melodía de dos notas que era continuada por una tercera nota en una escala de 1 a 7, donde 1 corresponde a una “extremadamente mala continuación” y 7 a una “extremadamente buena continuación”. Las melodías (o contextos musicales, como los llama Temperley) fueron los siguientes: (A) segunda mayor ascendente; (B) segunda mayor descendente; (C) tercera menor ascendente; (D) tercera menor descendente; (E) sexta mayor ascendente; (F) sexta mayor descendente; (G) séptima mayor ascendente; (H) séptima mayor descendente; véase la figura 1. Figura 1: Melodías de dos notas usadas en los experimentos de Cuddy y Lunney [CL95] (figura tomada de [Tem10]) Los autores presentaron 25 continuaciones diferentes para cada par de notas; esas continuaciones se generaron tomando todos los tonos posibles dentro de una octava hacia arriba y hacia abajo. A partir de estos datos, Cuddy y Lunney dieron la clasificación media para cada continuación tomada entre todos los sujetos. Entre los numerosos modelos de expectativa de las alturas de sonido, Temperley se fijó en los modelos perceptuales y descartó los teóricos, es decir, se quedó con aquellos modelos que tenían su base en experimentos perceptuales con sujetos reales. Estos modelos suelen usar regresión múltiple como método para obtener las mejores continuaciones. Uno de esos ejemplos se encuentra en el trabajo de Schmuckler [Sch89], en el que el autor asigna una puntuación a cada posible continuación que es una combinación lineal de varios factores. La regresión múltiple se usa para ajustar estas variables a los resultados de los sujetos de manera óptima (minimizando el error de la predicción). Otro grupo de trabajos se centró en la teoría de la implicación-realización de Narmour [Nar90]. En particular, Krumhansl [Kru95] y Schellenger [Sch96] dieron cobertura experimental a la teoría de Narmour. Schellenger consiguió un coeficiente de correlación de 0.8 al aplicar regresión múltiple usando como variables independientes las dadas por el modelo de Narmour y como variables dependientes las medidas experimentales de Cuddy y Lunney. En su libro Temperley toma los datos de Cuddy y Lunney y los reinterpreta en términos probabilísticos. Tras comparar varios métodos, decide interpretar las puntuaciones de las continuaciones dadas por los sujetos como los logaritmos de las probabilidades. En concreto, se interpretan como los logaritmos de las probabilidades condicionadas, es decir, los logaritmos de la probabilidad de que un tono sea una continuación dada un contexto previo de dos notas. Usando los parámetros obtenidos a partir del corpus Essen Folksong Collection [Sch95], Temperley es capaz de obtener un coeficiente de correlación de 0.729. Tras algunos ajustes en el modelo, llega a obtener un coeficiente de 0.87. En la figura 2 se comparan el modelo de Cuddy y Lunney y el de Temperley para dos intervalos dados, la segunda mayor ascendente y la sexta mayor descendente. El eje horizontal muestra las posibles continuaciones descritas en términos de semitonos (de ahí el rango de +12 a -12); el eje vertical proporciona la puntuación media de los sujetos. Figura 2: Comparación de los datos de los experimentos de Cuddy y Lunney [CL95] y del modelo de Temperley (figura tomada de [Tem10]) En su modelo probabilístico, Temperley tiene en cuenta el fenómeno de las inversiones post-salto. Es un hecho comprobado que grandes saltos en la melodía suelen estar seguidos por cambios en la dirección melódica. Tanto los modelos de Narmour como el de Schellenger tienen en cuenta este fenómeno. Otros autores, como von Hippel y Huron [vHH00], lo niegan y argumentan que se trata de un efecto debido a la regresión a la media, que no expresa sino la tendencia a estar en el centro de la tesitura. La manera en que se trata la inversiones post-salto se refleja en las probabilidades que se obtienen en el modelo. No entraremos a describir la implementación de este fenómeno; el lector interesado puede consultar el libro de Temperley en las páginas 69 a 70. 3. Expectativas en el ritmo El modelo probabilístico de Temperley también considera la componente rítmica. Las expectativas son similares a las del caso de la altura de sonido. Tras escuchar unas secuencias de duraciones, el oyente espera con más probabilidad ciertas continuaciones que otras. Este hecho se puede justificar en base a la ley de continuación de la percepción de la forma (véase el libro de Meyer [Mey56]). Por ejemplo, tras oír una sucesión de notas de igual duración, el oyente espera encontrar otra nota de igual duración; véase la figura 3. Figura 3: Comparación de los datos de los experimentos de Cuddy y Lunney [CL95] y del modelo de Temperley (figura tomada de [Tem10]) Esta expectativa del oyente influye en la percepción de la altura. En efecto, cuando una nota ocurre en la posición de mayor expectativa, la altura es evaluada con más precisión por el oyente que si ocurre un poco o bien un poco después. Large y Jones, dos autores que han estudiado este fenómeno en profundidad, lo llaman el modelo del oscilador [LJ99] Para su modelo de expectativa del ritmo, Temperley acude al modelo de ritmo que presentó previamente (capítulo 3 de su libro [Tem10]; tercera entrega de nuestra serie [Góm16b]). La expectativa de una continuación será la probabilidad condicionada de la continuación dado el contexto. En el caso del ritmo, la adaptación del modelo de ritmo a un modelo de expectativa del ritmo no es directa, como sí ocurrió en el caso de la altura del sonido. Hay una discusión técnica de cómo se puede llevar a cabo tal adaptación, discusión que no reproduciremos aquí, pero que el lector con suficiente entrenamiento en probabilidad puede seguir en las páginas 72 y 73 del libro de Temperley. Las probabilidades que aparecen en la figura 3 están calculadas con el modelo de ritmo y esa adaptación de la que hablamos. 4. Detección de errores Temperley aprovecha su modelo para estudiar otro fenómeno musical: la detección de errores. Se sabe por los experimentos llevados a cabo en la investigación que los oyentes pueden detectar errores en la música, incluso aunque se trate de música de tradiciones que les son desconocidas. Esto se debe a que en la escucha el cerebro detecta patrones con mucha eficiencia y, aunque el oyente no conozca el estilo, detecta dichos errores. Los errores en las notas se pueden clasificar en varias categorías: errores en la nota, donde el intérprete toca una nota por otra; errores en la afinación (cuartos de tono en las cuerdas o las notas en la octava aguda dadas por la sobrepresión en los vientos); errores que el oyente no percibe (porque su cerebro corrige la nota); errores detectados, entre otros. De nuevo, Temperley recurre al corpus de Essen [Sch95], que ya empleara para probar el modelo de alturas. Modifica aleatoriamente el ritmo y la altura de las notas y obtiene un nuevo corpus de 650 piezas, sumadas las piezas originales y las modificadas (esto es, las versiones con errores). A continuación obtiene las probabilidades de continuación para las melodías y compara las versiones originales con las versiones modificadas. Para la altura de sonido, en 573 de las 650 melodías el modelo asignó mayor probabilidad a la versión original que a la versión modificada. En el caso del ritmo, en 49 de 650 casos, el modelo no detectó como diferente la versión modificada. De los restantes casos, 601, el modelo asignó correctamente la probabilidad en 493 de los casos, que es un 82%. 5. Conclusiones Esperamos haber ilustrado fehacientemente las conexiones entre la probabilidad y la música. Esas conexiones son mucho más extensas y profundas que las mostradas en las cuatro entregas de esta serie, como se puede ver en los restantes capítulos del libro de Temperley (nosotros hemos glosado aquí solo los cinco primeros) y en sus referencias. Asimismo, esperamos haber convencido al lector escéptico, especialmente el músico, de las bondades de incluir la formación matemática en la música, en particular la de la probabilidad. Durante estos primeros seis meses de 2016 estoy pasando una estancia de investigación en la Universidad del Estado de Georgia, Atlanta. Estoy un curso cuyo título es Introducción a los modelos matemáticos y que está dirigido a alumnos que no son de matemáticas. En mi clase tengo a estudiantes de cine, enfermería, ciencias políticas, criminología, trabajo social... y música. Sí, música. Aquí hacen estudiar a los alumnos de ciencias humanidades y artes; y a los de humanidades y artes, ciencias. Y he decir que los alumnos de música están entre los mejores a la hora de razonar matemáticamente. No me imagino en ningún conservatorio de España poniendo en el plan de estudios asignaturas de matemáticas. Fuera de nuestras fronteras, lleva años haciéndose. Quizás sea esa la razón por la que apenas nadie destaca en este país en Musicología Sistemática y menos aún en Musicología Computacional.   Bibliografía [CL95] L. L. Cuddy and C. A. Lunney. Expectancies generated by melodic intervals: Perceptual judgments of melodic continuity. Perception and Psychophysics, 57:451–462, 1995. [Góm16a] P. Gómez. Música y Probabilidad (II). http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=16921&directory=67, diciembre de 2016. [Góm16b] P. Gómez. Música y Probabilidad (III). http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=16940&directory=67, diciembre de 2016. [Góm16c] P. Gómez. Música y Probabilidad (I). http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=16871&directory=67, noviembre de 2016. [Kru95] C. L. Krumhansl. Music psychology and music theory: Problems and prospects. Music Theory Spectrum, 17:53–80, 1995. [Lar04] S. Larson. Musical forces and melodic expectations: Comparing computer models and experimental results. Music Perception, 21:457–498, 2004. [LJ99] E. W. Large and M. R. Jones. The dynamics of attending: How people track time varying events. Psychological Review, 106:119–159, 1999. [Mey56] Leonard Meyer. Emotion and Meaning in Music. University of Chicago Press, Chicago, 1956. [Nar90] E. Narmour. The Analysis and Cognition of Basic Melodic Structures: The Implication-Realization Model. University of Chicago Press, Chicago, 1990. [Pov96] D.-J. Povel. Exploring the fundamental harmonic forces in the tonal system. Psychological Research, 58:274–283, 1996. [Sch89] M. Schmuckler. Expectation and music: Investigation of melodic and harmonic processes. Music Perception, 7:109–150, 1989. [Sch95] H. Schaffrath. The Essen Folksong Collection. Center for Computer-Assisted Research in the Humanities, Stanford, Calif., 1995. Editado por D. Huron. [Sch96] E. G. Schellenberg. Expectancy in melody: Tests of the implication–realization model. Cognition, 58:75–125, 1996. [TCP97] W. F. Thompson, L. L. Cuddy, and C. Plaus. Expectancies generated by melodic intervals: Evaluation of principles of melodic implication in a melody-completion task. Perception & Psychophysics, 59:1069–1076, 1997. [Tem10] D. Temperley. Music and Probability. MIT Press Ltd, 2010. [vHH00] P. von Hippel and D. Huron. Why do skips precede reversals? The effect of tessitura on melodic structure. Music Perception, 18:59–85, 2000.

Martes, 15 de Marzo de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

407. 108. OBELISKOS

Se acerca la Semana Santa, y las televisiones (¡¡gran imaginación!!) suelen programar películas de corte bíblico o histórico. Y con sus limitaciones argumentales (la época de producción es la que es), normalmente las clásicas siguen siendo la mejor opción. Y en algunas, hasta podemos encontrar algo de matemáticas... Prescindiremos en esta ocasión de la ficha técnica y artística, dado que sólo nos vamos a referir a una escena concreta, y no a la película íntegra. Todo un clásico: Los diez mandamientos, (The Ten Commandments, EE. UU., 1956), de Cecil B. de Mille. ¿Qué matemáticas podemos encontrar en ella aparte del número del título? Pensemos medio minuto.... Vaya el título de la reseña, lo delata. Durante el primer cuarto de la película, Moisés (Charlton Heston), hijo adoptado por el faraón Seti (Cedric Hardwicke) (supongo que todo el mundo conoce aquello de que fue salvado de las aguas por la hija del faraón que no podía tener descendencia), resulta ser un competente ingeniero al que Seti encarga erigir en su nombre toda una ciudad, ante la indolencia del hijo legítimo del faraón, Ramsés (Yul Brynner). Uno de los momentos más delicados de la construcción es el levantamiento de los enormes obeliscos que anuncian la entrada a la ciudad. En ese instante, inoportunamente, se presenta el faraón que se molesta por parecer no ser bien recibido. Esta es la escena (que puede verse aquí; desde el minuto 0:53): Baka: Esa pendiente exige más presión para levantarla. Hace falta más arena. Moisés: Yo voy a arriesgarme. Queda poco tiempo para el día del aniversario. Baka: Y si la piedra se parte, nos partimos con ella. Moisés: ¿Preparado el sistema de señales? ¡Flámula Azul! Capataz: ¡Flámula azul! ¡Quitad los calzos! Señalero: Calzos quitados. Moisés: ¡Flámula verde! Capataz 2: ¡Los maceros! ¡Preparados! Señalero: Maceros a punto. En ese momento, se presenta el faraón Seti acompañado de su hijo Ramsés. Moisés lo advierte y se quita un guante contrariado; los demás reverencian al faraón. Seti: ¿No te complace verme aquí? Moisés: Mucho, Gran Faraón. Pero ahora tengo algo muy importante que hacer. ¡Preparada flámula roja! Seti: Sí, ya me lo había dicho Ramsés. ¿Y es más importante que obedecer mis órdenes? Moisés: Tú me ordenaste que terminara esta ciudad. La tensión desafiada es enorme. No podemos esperar. ¡Flámula roja! Capataz 2: ¡Flámula roja! ¡Descargad! El obelisco va elevándose. Producto de la tensión se van rompiendo a trozos la plataforma de madera sobre la que descansa. La fuerza hace que varios obreros (esclavos, en este caso) que sujetan las cuerdas para que el obelisco siga una trayectoria y no se vaya a un lado, sean despedidos por el aire. Setí: ¡Se quebrará! Moisés: Hay 2000 esclavos en las maromas. El obelisco se acaba poniendo en pie con gran expectación de todos. Moisés: Ahí tienes el obelisco de tu aniversario. Baka, que un millar de esclavos retiren la arena para que el obelisco quede bien asentado en su base. Moisés: ¿Satisfecho el faraón? Seti: Del obelisco, sí, pero no de ciertas acusaciones que se han hecho contra ti... Hasta aquí lo relativo al obelisco (la escena puede seguirse hasta el final en el enlace anterior). Digamos sobre el diálogo que, está bastante bien doblado respecto a la versión original. Es ligeramente diferente la primera frase de Baka que en el original dice “Esa caída pone demasiada tensión en la piedra. Necesitamos más arena”, que bajo mi punto de vista es más correcta. Para levantar el obelisco la pendiente no exige más presión, en todo caso exige más fuerza, pero no se entiende lo de “presión”. En cambio, en la versión original, que la pendiente ponga mucha tensión para levantar el citado obelisco, sí es correcto. En cualquier caso, esta superficie tridimensional parece “confundir” a mucha gente, porque a lo largo de la Historia ha sido objeto de múltiples atenciones y desplantes. Para empezar, si buscamos en el diccionario de la Real Academia Española de la Lengua su definición, nos encontramos con lo siguiente: Del lat. obeliscus, y este del gr. ὀβελίσκος obelískos, dim. de ὀβελός obelós 'espeto', usado en sent. irón. 1. m. Pilar muy alto, de cuatro caras iguales un poco convergentes y terminado por una punta piramidal muy achatada, que sirve de adorno en lugares públicos. 2. m. Señal que se solía poner en el margen de los libros para anotar una cosa particular. Creo que no hace falta tampoco comentar demasiado con términos como “muy alto”, “un poco”, “muy achatada”. Vamos, una definición “súper-precisa”, con la que alguien que no haya visto nunca uno le queda claro el concepto. Tampoco en algunas páginas de internet dedicadas en teoría a aclarar dudas, se quedan atrás. En alguna se puede leer “poliedro que se obtiene al truncar un cuña con un plano paralelo a la base”. ¿Qué pasa que las “cuñas” son estándar? Porque yo puedo imaginar muchas cuñas (entendiendo por cuña lo que entiende todo el mundo) diferentes que desde luego no proporcionan obeliscos al cortarlas por un plano de esos. Sinceramente, da la impresión de que este tipo de definiciones son a posteriori de conocer qué es un obelisco, y sencillamente tratan de describirlo lo más aproximadamente que saben con pocas palabras. Y eso en matemáticas sabemos que no vale. El diccionario británico lo hace “algo” (el entrecomillado es sarcástico) mejor: Pilar de piedra de sección transversal cuadrada o rectangular y caras laterales que se estrechan hacia una parte superior piramidal, que a menudo se utilizó como monumento en el antiguo Egipto. Si acudimos finalmente a la CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, nos dice que es un “poliedro formado por dos rectángulos paralelos, no congruentes entre sí, cuyas caras laterales son trapecios”. Y acompañando la definición aparece la imagen de la derecha. ¡¡¡Bien!!! Por fin sabemos lo que es un obelisco. La pirámide que, en efecto los egipcios añadían en la parte superior, no es parte de la definición geométrica de obelisco. Era una pirámide de base el rectángulo superior del obelisco, pero cambiaba la pendiente que los trapecios llevaban desde la base. Se llama piramidión, y el colocarla tenía que ver con su concepción simbólica de los rayos del Sol (para los egipcios, el Sol era el que otorga vida). Por otro lado el obelisco también representa la estabilidad. Ellos tallaban el conjunto en una sola pieza, pero en realidad, matemáticamente, son dos objetos diferentes, un tronco de pirámide y otra pirámide, que, digámoslo de nuevo, cambia la pendiente de las aristas al llegar al piramidión. Para el acervo popular, el obelisco es identificado con el obelisco egipcio, pero como vemos, no es lo mismo. El problema de la erección Que nadie piense mal cuando lea el título del párrafo, estamos hablando de obeliscos. Quizá por ello, desde la misma cultura egipcia, se lo ha relacionado también con el poder, con la forma fálica, porque ese órgano, justificaban, proporciona vida. Quizá también por eso, el uso de la palabra obelisco (entendiendo en este contexto por tal el egipcio) estaba prohibido en la Biblia, y fue sustituida por “imágenes”. Por ejemplo, en Éxodo 34:13, se dice, “Derribaréis sus altares, y quebraréis sus estatuas, y cortaréis sus imágenes de Asera”. No podemos asegurar cuando realmente se refiere a imágenes o a obeliscos (la seudociencia iluminada ha ido emborronándolo todo a lo largo de los siglos lamentablemente), el caso es que el hecho objetivo es que la palabra obelisco no aparece en la Biblia, al menos en la oficial. Se le de la interpretación que se quiera, el caso es que muchas naciones, también en la actualidad, han erigido obeliscos para conmemorar victorias. Y muchas de las grandes urbes actuales (incluido en el Vaticano, paradójicamente; el que quiera puede curiosear un poco aquí por los trece obeliscos de Roma, porque es curioso en muchos casos) tienen alguno (lamentablemente la mayor parte expoliados a Egipto). A lo que íbamos. Trasladar un obelisco o levantarlo conlleva muchos problemas técnicos, dada su imponente altura, y a que estaban tallados, como ya se ha dicho, de una sola pieza. Añadiendo a ello el material, normalmente la piedra, que los hacen muy pesados. Así pues la escena de la película no es en absoluto trivial. Incluso hoy en día los problemas que ha habido que solventar han sido cuantiosos, lo que ha alimentado (¡Otra vez! Están por todos los lados) teorías de  lo más variopinto (no voy a repetir ninguna, pero os podéis imaginar a qué extremo llegan algunas) sobre cómo se solventó en la Antigüedad el problema de su erección. La más común, entre las no alucinadas, la que siguen explicando los guías turísticos in situ, es la mostrada en la película: se arrastra el obelisco hasta donde se quiere erigir haciéndolo descender a través de una rampa sobre la que se va deslizando hasta que coincidiera el borde inferior del obelisco con la muesca de la base del pedestal. Se iría controlando ese descenso mediante cuerdas haciendo uso de andamios, poleas, etc. Este sistema plantea múltiples interrogantes (no olvidemos que la mayor parte miden más de 30 metros de altura, pesan más de trescientas toneladas, y en muchos casos el espacio disponible alrededor era limitado a una veintena de metros). Algunos estudiosos indican un sistema de canales rellenos de arena que van dejando que el obelisco vaya cayendo en el espacio que la arena libera (recuérdese el sellado de la pirámide de la película Tierra de Faraones (Land of the Pharaohs,  Howard Hawks, EE. UU., 1955)). La imagen está tomada de esta página del portal de divulgación conec.es. Es muy conocido, y más que aclarar, ha dado lugar a más especulaciones, el intento de levantar hace unos años un obelisco por un equipo de televisión capitaneado por Evan Hadingham, que posteriormente ha escrito varios artículos sobre el tema. Recientemente, la doctora Maureen Clemmons ha desarrollado, con cierto éxito, el proyecto Cometa, en el que gracias a la fuerza del viento, y a un sistema de cometas, ha logrado izar pesos de cierta envergadura. Mayor información y vídeos en este enlace. Volumen de un obelisco A todo esto, ¿sabrías calcular el volumen de un obelisco? Se trata de un típico ejercicio propuesto en primeros cursos de carreras universitarias (ingenierías, etc.) como aplicación del cálculo de volúmenes mediante integrales definidas, pero así como no hay demasiados problemas para calcular el volumen de una pirámide o de un cono (bueno, miento, el 70% de los alumnos no lo hace o lo hace mal, incluso con esos cuerpos geométricos) con el obelisco parece que hay algo atávico (¡mira que si los vendedores de humo tuvieran razón! Pero en fin, yo les sugeriría que antes de hablar de propiedades supuestamente “mágicas”, al menos conocieran bien el objeto, y supieran por tanto cómo se hallan sus dimensiones básicas. Así podrían buscar cuerpos en proporción áurea, y todas esas cosas que tanto les gustan, y que en realidad, sólo son curiosidades y entretenimientos). Se trata de calcular el volumen del obelisco de la figura (le hemos quitado el piramidón de la parte superior; simplemente se le sumaría a lo que vamos a calcular), de altura h y de bases rectangulares de dimensiones A, B, para la base mayor, y a, b, para la menor. El volumen lo calculamos, por ejemplo, por secciones, perpendiculares al eje OZ (el vertical, cuyos límites para el obelisco señalado serán entre 0 y h). ¿Por qué? Pues es evidente: las secciones son rectángulos, y otra cosa no sabremos, pero el área de un rectángulo, si, base por altura. Así pues, si pasáramos una cuchilla por el obelisco a altura z y perpendicularmente al eje Z, obtendríamos el rectángulo marcado en verde de la imagen. El volumen del obelisco, vendrá entonces dado por la integral V = , siendo S(z) la superficie del rectángulo pintado de verde. Todo el problema consiste en calcular ese área S(z) en función de los datos suministrados por el problema, es decir, A, B, a, b, y por supuesto z, que va a ser la variable de integración, y en donde va variando el corte que damos al objeto (entre 0 y h), porque el volumen vendrá dado por la suma de la áreas de los infinitos rectángulos que vamos obteniendo al pasar la “cuchilla” (en matemáticas somos menos agresivos, y decimos el plano) desde la base (z = 0) hasta la cúspide (z = h). El planteamiento es bastante claro (lo entiendo hasta yo mismo); otra cosa es que sepamos encontrar S(z), y luego resolver la integral (aunque en este caso será polinómica, o sea que la hace hasta un chaval de secundaria). Hagamos otro par de dibujillos para entender bien cómo vamos a razonar. Fijémonos en la superficie cuyos bordes están marcados en rojo en la imagen adjunta. Se trata de un trapecio que vamos a prolongar hasta la punta a un triángulo. ¿Por qué? Porque para relacionar los lados del rectángulo que nos sale a la altura z con las dimensiones del rectángulo base, y el de la “cima”, vamos a aplicar otro viejo conocido de la afición estudiantil, el teorema de Tales, y ése se aplica a triángulos. En definitiva que vamos a pensar sobre el triángulo de esta nueva figura que tenemos dibujada por aquí. La base de dicho triángulo es A/2 porque la base del trapecio va desde el centro del rectángulo base al centro del lado, igualmente con el superior, a/2, y con el que está a altura z, que desconocemos, y lo hemos denotado como BASE/2. La altura total del triángulo la hemos llamado L, y h y z están señaladas claramente en el dibujo. Empecemos a aplicar Tales a los tres triángulos que aparecen: Echando cuentas por separado en las igualdades, tomando respectivamente, primer y segundo miembro, y después el primero y el tercero, se llega sin demasiados esfuerzos a que Operando en la primera, se tiene que BASE =  , y de la segunda, . Combinando ambas (o sea, sustituyendo la segunda en la primera), se obtiene que Esa es la base del rectángulo que surge a la altura z. Necesitamos calcular la longitud del otro lado del rectángulo (o sea, exactamente las mismas cuentas pero con B y b). Se obtiene entonces que la altura del rectángulo “verde” viene dada por ¿Cuál es entonces S(z), área del rectángulo verde? Claramente, BASE por ALTURA. Por tanto Evidentemente las cuentas intermedias no están detalladas pero son elementales, pero si alguien tiene algún problema y está interesado, no tiene más que mandarme un correo. A todo esto, y ya puestos, el lector podría intentar deducir al área lateral y total de dicho obelisco, para completar su estudio, y tenerlo completamente dominado. Volviendo a la película, en la imagen adjunta observamos cómo el ingeniero Moisés maneja una especie de teodolito. Y lo llamo así, porque lo maneja y usa como un teodolito. Este instrumento de medición se utiliza para obtener ángulos verticales y, en la mayoría de los casos, horizontales, pues su precisión en éstos últimos es bastante ajustada. También pueden medirse con él distancias y desniveles, aunque en estos casos, con materiales auxiliares. Su fin es más bien topográfico (triangulaciones sobre todo). Moisés parece utilizarlo para medir distancias y ángulos, y a partir de esas mediciones, ordena a sus capataces (¡que bonita la palabra “flámula”, apenas utilizada! Es, por cierto, una planta de olor muy agradable, pero extremadamente tóxica, con hojas en forma triangular, como las banderas utilizadas, muy vistosa, y parecida al almendro en flor o al jazmín). En el cine se han empleado en varias ocasiones. Recordemos cómo Indiana Jones buscaba el lugar donde se escondía un objeto muy preciado (foto) en En busca del arca perdida (Steven Spielberg, EE. UU., 1981), o Hugh Grant trata de dilucidar si Ffinnon Garw es una colina o una montaña en El Inglés que subió una colina pero bajó una montaña (Christopher Monger, Gran Bretaña, 1995). En estos casos pase, pero ¿había teodolitos en el Antiguo Egipto? Si alguien lo sabe, que nos ilumine. También a Ramsés (Yul Brynner) le da por juguetear con una balanza, para demostrar “las malas artes” de Moisés, sólo que éste parece que tiene respuestas más ingeniosas (¿Para qué necesitaba entonces a Aaron como intérprete ante el faraón? Charlton Heston se basta y sobra. No sé, algo no me cuadra, pero en fin, esto es cine, y no debemos darle muchas vueltas). Un par de curiosidades finales. El señor de la izquierda debe su nombre a los obeliscos también. Y este objeto fue elegido como símbolo de la masonería (también pirámides y triángulos), por lo que no es raro encontrarnos en muchos cementerios de nuestro país, tumbas y panteones coronados por estas figuras en lugar de cruces cristianas o con ellas en algún lateral, como el de la foto tomada en el cementerio del Carmen de Valladolid. ¿Quien nos iba a decir que estas superficies nos iban a dar tanto juego?

Lunes, 07 de Marzo de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

408. 25. (Marzo 2016) Poliedros en los mausoleos ingleses

Los poliedros han sido una forma atractiva desde la noche de los tiempos. Platón en el Timeo atribuye a los cinco sólidos regulares convexos un significado cosmológico que aumenta  su atractivo estético. Los artistas y matemáticos del Renacimiento no podían sustraerse del encanto de los poliedros y encuentran en ellos una forma de ejercicio para practicar con la nueva perspectiva realista. Primero Piero della Francesca recupera los poliedros regulares y algunos arquimedianos, después Leonardo con sus ilustraciones para La divina proporción de Luca Pacioli amplia las formas, y Durero se sumará al grupo inventando su extraño poliedro. La atracción por los poliedros lleva a hacer habitual que durante el siglo XVI las portadas de los libros y los trabajos de taracea se decoren con poliedros sólidos o vacíos. Los libros de perspectiva los describen para uso de artistas y artesanos. Incluso la cerámica los incorpora en azulejos según los diseños del grabador Georg Penz. Una curiosa presencia de los poliedros la encontramos en los mausoleos ingleses de cortesanos, altos cargos y matemáticos durante el Renacimiento Isabelino. El atributo cosmológico de Platón vuelve para plasmarse en los memoriales que den eternidad a sus personajes. El mausoleo más espectacular es el de Sir Thomas Gorges (1536-1610), sobrino de Ana Bolena y persona muy influyente en su época. Este escrito está encabezado con su monumento funerario, que se encuentra en la Catedral de Salisbury. Las estatuas yacentes de Sir Thomas y su esposa se hallan dentro de un templete de columnas salomónicas coronado por alegorías y poliedros vacíos. Domina el conjunto un dodecaedro regular encima de una esfera: la quintaesencia y la eternidad de los cielos. Más abajo, tres icosaedros, en frente y laterales, y dos cuboctaedros arquimedianos en la frontal. Mausoleo de Sir Thomas Gorges. Catedral de Salisbury. Detalle frontal. Mausoleo de Sir Thomas Gorges. Catedral de Salisbury. Detalle lateral. Otro cortesano influyente de la corte isabelina con poliedros en su tumba fue Sir Anthony Ashley (†1627), llavero y delegado de la reina durante la ocupación de Cádiz, aunque después cayó en desgracia cuando le acusaron de malversación. El memorial de Sir Anthony y su esposa se encuentran en la parroquia de su señorío de Wimborne St Giles, en el suroeste de Inglaterra. Se trata de un vistoso mausoleo policromado y dorado. Solo se ha representado un poliedro arquimediano, un icosaedro truncado. Se trata de un poliedro muy conocido por usarse como base de balones de fútbol y que ha tomado un valor considerable con la nueva química del carbono, el fullereno C60, prometedor microenvase monocapa. Mausoleo de Sir Anthony Ashley . Parroquia de Wimborne St Giles. El poliedro se encuentra a los pies de la dama y puede servir de lámpara. Mausoleo de Sir Anthony Ashley . Parroquia de Wimborne St Giles .Detalle del poliedro. El memorial más fiel a los sólidos platónicos lo encontramos en la Iglesia de San Lorenzo de Reading y es el mausoleo del astrónomo y matemáticos John Blagrave (1561–1611). Alegorías femeninas sujetan los cinco poliedros dorados. Blagrave fue un matemático inglés formado en la Reading School y en el St John’s College de Oxford, si bien no acabó sus estudios. Editó varios libros astronómicos que le hicieron popular sobre el uso de instrumentos de posicionamiento y construcción de relojes solares, algo que refleja la figura central de su monumento. Mausoleo de John Blagrave. Iglesia de San Lorenzo, Reading. Detalle del dodecaedro. El Memorial es un arquetipo del interés místico matemático de los estudiosos y nobles ingleses por los poliedros regulares. Blagrave fallece por los mismos años en  que Kepler utiliza el modelo platónico del Timeo para explicar la separación de las órbitas planetarias. Después Kepler abandonaría su forzado modelo cosmológico y los sustituiría por las tres leyes que sirvieron a Newton para demostrar la gravitación. Mausoleo de John Blagrave. Iglesia de San Lorenzo, Reading. El Merton College de Oxford fue desde la alta Edad Media un centro matemático fundamental. Otro momento de esplendor lo vivirá durante el reinado de Isabel. El aristócrata renacentista Thomas Bodley es uno de los exponentes de la ilustración inglesa de la época isabelina. Este diplomático y universitario es hoy recordado por llevar su nombre la Bodleian Library de Oxford, la biblioteca cuya reforma acometió dándole un carácter avanzado. En la capilla del Merton College destaca el mausoleo de alabastro de Bodley, fallecido en 1613. Es de reseñar que este memorial conecta dos tradiciones: la representación de los poliedros y la de acompañar el sepulcro con las alegorías de las Artes Liberales. Reyes, nobles y eclesiásticos cubrieron su sepultura con representaciones de las Artes en toda Europa, pero el uso de los poliedros es casi un endemismo inglés del que estamos dando cuenta. La Aritmética, con tablilla numérica, se encuentra representada en la parte superior derecha del medallón, y la Geometría, con regla y compás, en la inferior izquierda. Las huellas del manierismo no pueden dejar de verse. En la esquina superior izquierda se ha colocado un octaedro truncado, sólido de Kelvin, el único sólido arquimediano que rellena el espacio. Al otro lado se encuentra una esfera armilar. Mausoleo de Thomas Bodley. Capilla del Merton College.  Oxford. Detalle. Mausoleo de Thomas Bodley. Capilla del Merton College. Oxford. Completamos el recorrido con una curiosa representación de los poliedros platónicos que se encontraba en la Biblioteca Bodleiana y que ahora se exhibe en el Museo de Historia de la Ciencia en Oxford. Los poliedros están tallados en alabastro y metal. Poliedros de la  Bodleian Library. Oxford.

Martes, 01 de Marzo de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

409. 136. (Marzo 2016) El juego de las diez parejas

La historia del juego de los tres montones, analizado en las dos entregas anteriores, está íntimamente ligada a la de otro juego no tan antiguo pero no por ello menos clásico. Los magos de cierta edad, más bien los de edad incierta, asociamos las palabras mágicas MUTUS-DEDIT-NOMEN-COCIS a uno de los primeros juegos que aprendimos en nuestros inicios. De manera similar al juego de los tres montones, este juego era uno de los que todo aficionado utilizaba para impresionar al primer mago que se encontraba. Sin embargo, a diferencia del juego de los tres montones, esta tradición se ha perdido en la actualidad y el juego es menos conocido que antaño. Al tratarse de uno de los clásicos de la magia, y esconder un principio matemático sencillo, haremos un recorrido histórico por el juego, a partir de la información que nos proporciona la MAGICPEDIA. Pero antes, veamos cómo se realiza el juego y qué papel desempeñan nuestras palabras mágicas. Para este juego sólo necesitaremos 20 cartas -no importa cuáles-, un mago que serás tú y un espectador que elegirás a tu gusto. Reparte sobre la mesa las 20 cartas, caras arriba, en diez parejas y pide al espectador que mire y recuerde las dos cartas de cualquier pareja que desee. Recoge ahora todas las cartas, en cualquier orden pero sin deshacer las parejas, y vuelve a colocarlas sobre la mesa, caras hacia arriba, formando un rectángulo de cuatro filas por cinco columnas. Explica que harás el reparto de forma aleatoria, colocando descuidadamente las cartas. Por el contrario, lo que vas a hacer es colocar las cartas siguiendo la regla mnemotécnica de las palabras mágicas MUTUS-DEDIT-NOMEN-COCIS. Así pues, coloca las dos primeras cartas en los lugares que ocuparían las dos letras "M" en la disposición de la figura inicial. Quedarían dispuestas según la imagen siguiente: Reparte las dos siguientes cartas colocándolas en la posición que ocuparían las letras "U" de la frase mnemotécnica. Tendrás ahora cuatro cartas sobre la mesa, en las posiciones de la imagen: Repite el reparto con las siguientes dos cartas, colocándolas en las posiciones de las letras "T", como en la imagen: Continúa repartiendo así todas las cartas, dando la impresión de que quedan completamente desordenadas y que las parejas iniciales se han deshecho. Pide al espectador que te indique solamente en qué filas están sus cartas. Basta esa información para que adivines sus dos cartas elegidas. Como habrás comprobado, las cuatro palabras que hemos memorizado tienen dos propiedades fundamentales: En total tienen diez letras distintas y cada una aparece exactamente dos veces. Cada pareja de cartas corresponde a una única combinación de filas. Esto permite saber cuáles son las cartas del espectador conocidas las filas que las contienen. Por ejemplo, si el espectador nombra la segunda y cuarta filas, las cartas deben ocupar los lugares de la letra "I", es decir corresponderán a la tercera carta de cada fila. Si las dos cartas están en la tercera fila, ocuparán los lugares de la letra "N" y serán la primera y última carta de dicha fila. Te puedes considerar un experto en este "rincón matemágico" si has sido capaz de asociar este juego con el que describíamos allá por el año 2004 bajo el título "Un problema divertido y deleitable" parafraseando el título de la obra del señor de Méziriac, Claude-Gaspard Bachet, publicada en 1612, libro que citábamos también como parte del recorrido histórico por el juego de los tres montones. Adoptaremos pues ese año para marcar el punto de partida de la historia de este juego y bautizar el juego como el truco de Bachet. Más de un siglo y medio después vuelve a aparecer el juego en su versión más conocida, donde se usa la frase mnemotécnica que hemos utilizado aquí, en el libro "Nouvelles récréations physiques et mathématiques", de Edmé-Gilles Guyot, publicado por primera vez en 1769 (recreación número catorce del apartado "juegos de cartas en los que se emplea la habilidad de manos"). Unos años después, concretamente en 1774, aparece la ¿traducción? ¿adaptación? ¿plagio? en el libro "Rational recreations, in which the principles of numbers and natural philosophy are clearly and copiously elucidated, by a series of easy, entertaining, interesting experiments among which are all those commonly performed with the cards", escrito por William Hooper, bajo el título "The ten duplicates". Como era de esperar, el juego ha sido objeto de diversas modificaciones y variantes a lo largo de los tiempos. Una de las primeras modificaciones es la de realizar el juego a varios espectadores simultáneamente, debido a la correspondencia que existe entre parejas de filas y parejas de letras repetidas. Esto producirá un mayor efecto entre el público a pesar de que no requiere mayor esfuerzo en el mago. Utilizando otras frases mnemotécnicas, es posible realizar el juego con más cartas -pero siempre que la cantidad sea producto de dos números consecutivos-, como las ideadas por David Silverman, LIVELY-RHYTHM-MUFFIN-SUPPER-SAVANT, donde se utilizan 30 cartas, o las descubiertas por Albert Ross Eckler, MEACOCK-RODDING-GUFFAWS-TWIZZLE-RHYTHMS-KNUBBLY, con 42 cartas. ¿Te atreves a buscar otras secuencias de palabras que sean más sencillas de memorizar? Más lejos ha llegado el propio Albert Ross Eckler en el artículo titulado "A card trick mnemonic revisited" al proponer una lista de 26 palabras que permiten realizar el juego con las 52 cartas de una baraja francesa. Es fácil comprender que el juego puede realizarse también con otros objetos, como tarjetas con palabras o números que el propio espectador elige. Esta idea ha sido puesta en práctica por Tom Sellers con el juego "Double date" que aparece en su libro "Magical Pleasantries", de 1931. En el portal AUTOMAGIA hemos incluido un programa, llamado juego de Bachet, que puedes descargar para realizar el juego de forma interactiva. Este programa, elaborado por Juan Carlos Ruiz de Arcaute, tiene también la opción de utilizar distintas cantidades. Para terminar, quiero plantear una cuestión y resolver otra. La cuestión es: ¿en qué momento se sustituyó la frase original MUTUS-DEDIT-NOMEN-COCIS por la actual MUTUS-NOMEN-DEDIT-COCIS? Y lo que quiero contestar es la pregunta: ¿por qué el juego sólo se puede realizar con una cantidad de cartas igual al producto de dos números consecutivos? Teniendo en cuenta que la única información que tiene el mago es una combinación de dos números, que son las dos filas que contienen las cartas elegidas, para que esa información sea suficiente, el número de cartas debe ser igual al número de dichas combinaciones. Si formamos n filas de cartas, el número de parejas de filas, comprendidas entre 1 y n, es igual al número de las llamadas combinaciones con repetición de n (números) en dos (filas). La fórmula para contarlas es CR(n,2) = C(n+1,2) = n(n+1)/2. Se necesitan n(n+1)/2 parejas de cartas, es decir n(n+1) cartas. Así pues, el juego clásico se realiza con n = 4 filas, por tanto se necesitan 4 x 5 = 20 cartas. Podría hacerse también con 3 x 4 = 12 cartas y 3 filas de cuatro cartas cada una. No parece complicado inventar una regla mnemotécnica para este caso más simple. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Martes, 01 de Marzo de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

410. 100. (Febrero 2016) Das Triadisches Ballet, de Oskar Schlemmer

Das Triadisches Ballet (1922) –El Ballet Triádico– es la obra más conocida del diseñador Oskar Schlemmer (1888-1943), miembro de la Escuela de la Bauhaus, en la que entró en 1920. Vestuario del ballet triádico diseñado por Oskar Schlemmer (representación de 1922). Podríamos resumir la obra como un ‘homenaje geométrico al número tres’, y por ello la traemos a esta sección de DivulgaMAT. Como el propio autor explica –Man and Art Figure, en [3]–, el Ballet Triádico consta de tres partes, que van evolucionando desde lo cómico hasta lo serio. La primera pieza, de tipo cómico-burlesco, tiene lugar en un escenario amarillo limón. La segunda parte, basada en el color rosa, es de tipo ceremonial y solemne. Por último, la tercera escena, con un decorado negro, tiene un carácter místico-fantástico. Oskar Schlemmer, Triadisches Ballett, Bocetos de los trajes para los bailarines. Oskar Schlemmer, Triadisches Ballett, Bocetos de los trajes para los bailarines, 1922 (versión en color 1924-1926). En la obra, tres bailarines –dos hombres y una mujer– ejecutan doce coreografías de forma alternativa, utilizando dieciocho indumentarias distintas. Los trajes –basados en tres formas geométricas precisas: círculo, cuadrado y triángulo–, confeccionados con materiales pesados y rígidos –papel maché, tela acolchada, metal y pintura– reducen intencionadamente la movilidad de los actores, que además van provistos de máscaras: son títeres que evolucionan a pesar de las limitaciones impuestas. El mismísimo David Bowie se dejó seducir por uno de estos sofisticados trajes (ver [1]). Para Schlemmer (ver [5]), el tres ‘trasciende tanto el egotismo como la dualidad, dando lugar a lo colectivo. Lo siguen en importancia el cinco, después el siete y así sucesivamente.’ Además de los ‘grupos de tres’ citados arriba –colores, bailarines, trajes, escenas, coreografías, formas–, este número aparece vinculado también al espacio –altura, profundidad y anchura– o a la tríada formada por danza, música y vestuario… un verdadero homenaje al número tres. Debajo puede verse una reconstrucción del Ballet Triádico a cargo de Margarete Hastings (1970); esta versión se basa en los bocetos, fotografías y documentos de Oskar Schlemmer. Existen diferentes versiones de esta performance que pueden disfrutarse en youtube.   Referencias: [1] Courtney Cady, Movement Study: ‘Das Triadisches Ballett’, Oskar Schlemmer, and the Bauhaus Theater, Bagtazo, 2015 [2] Marta Macho Stadler, El Ballet Triádico: un homenaje al número tres, Cuaderno de Cultura Científica, 2016 [3] Oskar Schlemmer, Laszlo Moholy-Nagy and Farkas Molnár, The theater of the Bauhaus, Wesleyan University Press, 1961 [4] The theater of the Bauhaus, Oskar Schlemmer, Project Fabrica [5] Trádico[s] [6] Oskar Schlemmer: The Bauhaus Master of Multimedia Design, Blog Athenna, 2014

Viernes, 19 de Febrero de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico