391. 76. (Mayo 2016) Cadenas de Markov con restricciones aplicadas a modelos cognitivos en la improvisación del jazz

Este mes vamos a presentar un trabajo hecho por Kristy Yun y Mariana Montiel, de Georgia State University, en Atlanta (donde estoy pasando mi sabático). Kristy es una estudiante de licenciatura que está a punto de obtener su título. En las universidades americanas los estudiantes de licenciatura acuden a unas conferencias llamadas conferencias de investigación para alumnos de grado. En esas conferencias los alumnos de licenciatura presentan pequeños proyectos de investigación supervisados por un profesor. Ni en el campo de las matemáticas ni en el de la música existen en España estas conferencias. Y es una pena. Primero, habla del nivel de nuestras universidades. ¿Es que no pueden nuestros alumnos de los últimos años de grado adentrarse en el mundo de la investigación y presentar pequeños resultados en una conferencia de estas características? Constituyen una experiencia previa para ellos que es muy valiosa en tantos aspectos: se enfrentan a problemas de investigación; se prueban a sí mismos; conviven con su profesor; supone una gran emoción presentar su trabajo antes sus compañeros (normalmente, en forma de póster o de comunicación corta); ponen en práctica sus habilidades de escritura y orales, entre otras. Me llamó la atención el trabajo de Kristy Yun y Mariana Montiel en la conferencia de este año y les propuse publicarlo en formato divulgativo en esta columna. Les agradezco profundamente que hayan aceptado la invitación. Espero que este ejemplo cunda y empecemos a celebrar este tipo de conferencias para alumnos de licenciatura en España también de modo generalizado. Los investigadores más productivos que he conocido siempre han tenido una amplia red de alumnos a su alrededor con quienes han desarrollado relaciones personales excelentes y en quienes han podido depositar sus ideas para llevarlas a cabo, todo ello en el contexto de una cálida simbiosis humana y científica. Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid) Resumen del estudio Las improvisaciones en el jazz consisten en ciertos patrones rítmicos y melódicos que oímos en cierto orden. Por medio del estudio de la genésis de estos patrones podemos entender el proceso de la toma de decisiones en tiempo real en el contexto de una estructura dada en que consiste la improvisación. No hay teorías que describan a fondo y con precisión la improvisación, pero entre las existentes destacan dos escuelas de pensamiento: una es la teoría basada en patrones; la otra se basa en gramáticas o reglas. La primera teoría propone que los improvisadores se nutren de un corpus de patrones rítmicos y melódicos memorizados y que dichos patrones se insertan en el proceso de una improvisación en curso dentro de unas ciertas reglas de estilo. Otra teoría, encontrada con la primera, asevera que los improvisadores generan notas por medio de los algoritmos y las reglas del jazz tonal, sin la ayuda de patrones memorizados. Para comprobar la validez de estas teorías, en un estudio previo [7] llevado a cabo por Martin Norgaard y sus coloaboradores se analizó un corpus de 48 solos improvisados por el gran saxofonista de jazz Charlie Parker. Los resultados del estudio mostraron que la incidencia de patrones en el corpus de Charlie Parker coincide con el algoritmo basado en patrones implementado en ese estudio. En cambio, las improvisaciones generadas por Impro-Visor, un software desarrollado en base a gramáticas y reglas tomadas de los acordes musicales introducidos por el usuario, no generó una presencia de patrones similar a la del corpus real de Parker. En vista de los resultados positivos del algoritmo, el siguiente paso era la incorporación de acordes; sin embargo, se quería evitar que dichos acordes dictasen la melodía y el contorno de la salida musical de manera excesivamente estricta, ya que la coincidencia de patrones era muy apegada a las improvisaciones de Parker. Se vio que una posible solución era el empleo de modelos de Markov no homogéneos, en que los acordes se entendiesen como restricciones. Cabe mencionar que podría haber aplicaciones de ese algoritmo que transcendiesen el género de jazz y aún la música, ya que se basa en patrones. La creatividad en áreas tales como los video juegos se puede modelar, dado que los jugadores deben responder de forma creativa en tanto adquieren ciertos patrones de respuesta con restricciones inherentes al contexto. Introducción Normalmente, cuando los músicos profesionales de jazz tocan en pequeños grupos no leen partituras, sino que improvisan. Los ejecutantes escogen frases que al público podría parecerles prescritas, pero que realmente se crean en el acto. Estos músicos profesionales desarrollan una forma muy intrincada de tema y variación; cada uno es consciente de su tonada y su papel; esto explica la razón por la que la improvisación de jazz sirve como un paradigma excelente para el estudios de la creatividad en tiempo real. La improvisación en el jazz es también un prototipo de la actividad mental común al reconocimiento del habla y otras áreas de interés en la inteligencia artificial. Actualmente hay dos teorías encontradas en el estudio de la improvisación en el jazz: (1) el enfoque basado en los patrones y (2) el enfoque basado en reglas; la figura 1 ilustra esta situación esquemáticamente (se ha dejado el texto en el inglés original). Figura 1. Teorías cognitivas encontradas Hay varios softwares para la improvisación en el jazz que se basan en una de las teorías descritas más arriba, patrones o reglas. Un ejemplo de un software basado en reglas es Impro-Visor, un software para la notación musical diseñada para ayudar a los estudiantes de jazz componer y escuchar solos similares a los que podrían improvisarse sobre los acordes dados. Martin y sus colaboradores [7], en un artículo de 2013, analizaron las dos teorías cognitivas prevalecientes por medio del análsis de un corpus de solos de Charlie Parker. Los resultados del estudio (mostrados en la figura 2, primera parte) demostró que el porcentaje de notas que inician un patrón de 4 intervalos como una función del número de veces el patrón ocurre en las improvisaciones no es coherente con el corpus de Charlie Parker cuando se emplea el software Impro-Visor (mostrados en la figura 2, segunda parte). Figura 2 (primera parte). Comparación del porcentaje de notas que inician un patrón de 4 intervalos como una función del número de veces que el patrón ocurre en el corpus. [2] Figura 2 (segunda parte). Comparación de los porcentajes de notas que inician en un patrón de 4 intervalos como una función del número de veces que el patrón ocurre en 1) una melodía generada según la gramática de Parker en el software Impro-Visor y 2) utilizando nuestro algoritmo. [2] No obstante, un algoritmo basado en patrones melódicos parece reflejar el corpus de Parker con mucha más fidelidad. Tras los buenos resultados conseguidos por este último algoritmo, los autores pensaron en incorporar los acordes a la generación de los solos. Los acordes son fundamentales en la improvisación en el jazz y existe una íntima relación entre melodía y acordes que no es posible deslindar en modo alguno en este estilo. Existía, empero, el peligro de que la incorporación de los acordes restringiese excesivamente las posibilidades de elección de los patrones si dicha incorporación no se hacía de modo cuidadoso. Entonces, para incorporar los acordes y, a la vez, modificar lo menos posible las improvisaciones que resultan de nuestro algoritmo, decidimos explorar las cadenas de Markov no homogéneos. Modelos de Markov Los procesos de Markov son una herramienta popular de modelaje que se emplean en la generación de contenido, tales como la generación de textos, la composición musical y la interacción. El principio básico de la suposición de Markov es que los estados futuros dependen sólo del pasado inmediato y de la sucesión de eventos que ocurrió anteriormente. Matemáticamente, para una sucesión : p(qi|q1,...,qi-1) = p(qi|qi-1)(1) Ejemplo de un proceso de Markov[4] El pronóstico del tiempo consiste en adivinar el estado del clima mañana basado en una historia de observaciones en torno al tiempo. En base a la tabla 1 de números escogidos aleatoriamente, mas el autómata generado de esta tabla en la figura 3, intentaremos pronosticar el tiempo. Tabla 1. Probabilidades escogidas aleatoriamente para el tiempo. Figura 3. Autómatas generadas de la Tabla 1. Por ejemplo, en vista de que hoy es un día soleado, ¿cuál es la probabilidad que mañana sea soleado y que el día siguiente sea lluvioso? Esto se traduce en los siguientes cálculos: P(q2 = soleado, q3 = lluvioso | q1 = soleado) = P(q3 = lluvioso | q2 = soleado, q1 = soleado) x P(q2 = soleado | q1 = soleado) = P(q3 = lluvioso | q2 = soleado) x P(q2 = soleado | q1 = soleado) = (0.05)(0.8) = 0.04 Esta probabilidad también se puede obtener a través del autómata de la figura 3, multiplicando las probabilidades correspondientes en el proceso. Resultados En el artículo de Pachet, Finite-length Markov processes with constraints [5], se muestra que las restricciones pueden compilarse en un nuevo modelo de Markov cuyas probabilidades sean equivalentes al modelo inicial. Según el propio Pachet, al hablar su método, “esto nos deja con la ventaja de retener la sencillez de los trayectos aleatorios, en tanto asegura que las restricciones de control se satisfagan"[5]. Estos resultados se pueden aplicar a nuestro algoritmo melódico y rítmico actual para mantener las probabilidades de la salida musical original (la “improvisación”), en tanto los acordes son incorporados como restricciones. Una vez más se enfatiza que la meta es no dejar que los acordes “dicten” el contenido melódico, cosa que sí sucede en el software Impro-Visor, donde la incidencia de patrones presentes en el corpus de solos de Parker se pierde en las improvisaciones generadas (aunque somos los primeros en reconocer lo ingenioso y la utilidad didáctica de Impro-Visor). Nuestra meta es generar un modelo no homogéneo de Markov, representado por una serie de matrices de transición. Para mostrar cómo las restricciones se pueden compilar en un modelo no homogéneo de Markov, tomaremos un ejemplo de generación de melodía con una restricción simple. La restricción se reduce a que toda melodía de 4 notas tiene que terminar en C (do); de nuevo se usarán el ejemplo original en inglés. Considérese un modelo de Markov estimado a partir de las sucesiones de la figura 4. El vector a priori es: C D E donde las entradas se originan en las melodías de la figura 4. Por ejemplo, para encontrar la probabilidad de C, primeramente se toman el número total de notas en cada melodía, que en este caso son 6 para cada una. Por lo tanto, de las doce notas C aparece 4 veces y esto arroja la probabilidad 4/12 = 1/3. Figura 4. Dos melodías sencillas de entrada usadas para estimar M. Las probabilidades de transición de M también se pueden generar de las dos melodías de entrada. Por ejemplo, cuando C va a D (re), podemos ver de nuestras melodías que la totalidad de posibles transiciones que comienzan con C son: C va a D (primera melodía) C va a E (segunda melodía) C va a D (segunda melodía). De las tres transiciones posibles, 2 de las 3 terminan de D. Por lo tanto, la probabilidad de ir de C a D es 2/3. Por medio de un programa sencillo creado para generar todas las posibles combinaciones de melodías de 4 notas (véase la figura 5), obtenemos 12 posibilidades de probabilidades diferentes de cero, como se ve en la tabla 2. Figura 5. Todas las posibles combinaciones de melodías de 4 notas que satisfacen la restricción. Tabla 2. Las 12 melodías de 4 notas que satisfacen la restricción del control y sus probabilidades en M, donde la suma de las probabilidades para estas sucesiones es s. Las probabilidades de obtener melodías de 4 notas que terminan en C pueden detectarse por medio de nuestro vector a priori M, junto con las probabilidades de transición. Por ejemplo: Después de la generación de estas matrices primarias, el primer paso en nuestro proceso es hacer que nuestro problema inducido de satisfación de restricciones (CSP) cumpla con la consistencia de arcos. La consistencia de arcos consiste en la propagación de las restricciones en todo el problema de la satisfacción de restricciones através de un algoritmo de punto fijo que considera la restricciones de manera individual [6]. Para nuestro ejemplo, la consistencia de arcos elimina C y E del dominio de V3 y arroja los siguientes dominios: donde Ki es el estado de transición entre Z(i-1) a Zi y Vi es el estado. Esto asegura que durante cualquier trayecto aleatorio no habrá una situación en la cual se escoja una alternativa que no tenga continuación. El siguiente paso es extraer las matrices de los dominios. Por medio del algoritmo de Pachet[5]: mantenemos las siguientes matrices: Finalmente, construimos las matrices de transición definitivas M̃(i) a M̃ através de un proceso sencillo de derecha-a-izquierda para poder propagar las perturbaciones en las matrices inducidas por la normalización individual al revés, comenzando con la que está más a la derecha.[5] Para lograr lo anterior, primeramente normalizamos la última matriz Z(L-1)individualmente. En seguida se propaga la normalización de la derecha a la izquierda hasta llegar al vector a priori Z(0). Los elementos de las matrices M̃(i) y el vector a priori M̃(0) se definen através de las siguientes relaciones de recurrencia: Por medio de la relación arriba expuesta, logramos las siguientes matrices de transición para nuestro ejemplo. Por medio de calculos similares para i = 1 y i = 0, como resultado contamos con las siguientes matrices de transición: Discusión Este es un enfoque eficiente para controlar la generación de Markov con restricciones que pueden: garantizar que las sucesiones generadas satisfagan las restricciones. seguir la distribución de probabilidad del modelo de Markov inicial. Podemos ver que la matriz final de transición M̃ mantuvo la misma distribución de probabilidad que el vector a priori M. La tabla 3 muestra las probabilidades M̃ de todas las posibles sucesiones de soluciones, donde estas probabilidades son iguales a las probabilidades iniciales hasta un factor constante de multiplicación α(0). Tabla 3. La probabilidad del conjunto de sucesiones de soluciones en M̃. La razón de probabilidades es constante. Este algoritmo no tienen que ser específico al género de jazz, ya que se basa en los patrones reales de un corpus. Ha habido implementaciones con música clásica, música blue grass y otras músicas. Se piensa que este algoritmo puede trascender la música y utilizarse para estudiar la creatividad en áreas tales como los video juegos, donde la improvisación juega un papel significativo dado que los participantes deben responder de manera creativa en tanto adquieren ciertos patrones de respuesta como resultado de las restricciones. Actualmente estamos trabajando en la incorporación de los acordes en el algoritmo y este método parece prometedor. Mi contribución en este proyecto de investigación consistió en encontrar esta técnica y mostrar su relevancia para el siguiente paso importante en el desarrollo de este software para la improvisación. Reconocimientos Primeramente quiero agradecer a mi asesora de investigación, Dr. Mariana Montiel. Sin su ayuda e involucramiento dedicado en cada paso de este proceso, este trabajo jamás se habría realizado. Me gustaría darle las gracias por su apoyo, orientación, paciencia y, sobre todo, su tutoría. También me gustaría mostrar mi gratitud a mi grupo de investigación de la neurofísica, incluyendo al Dr. Mukesh Dhamala, el Dr. Martin Norgaard, y a Kiran Dhakal por compartir mi interés y emoción durante el transcurso de esta investigación. Sin la oportunidad que me aportó el Dr. Dhamala de trabajar junto con Kiran en el registro de los datos fMRI de los músicos de jazz, no habría podido trabajar tan cercanamente con la Dra. Montiel y con el Dr. Norgaard en este proyecto. Asimismo, gracias al Dr. Paco Gómez por su ayuda con las últimas partes de los cálculos.   Referencias [1] "Jazz Improvisation." A Passion for Jazz! Music History & Education. http://www.apassion4jazz.net [2] Pressing, J. (1988). Improvisation: Methods and model. In J. A. Sloboda (Ed.), Generative processes in music (pp.129-178). Oxford, UK: Oxford University Press. [3] Johson-Laird,P.N.(2002).How jazz musicians improvise. Music Perception., 19, 415-442. [4] Resch, Barbara, Hidden Markov Models: A Tutorial for the Course Computational Intelligence. http://www.igi.tugraz.at/lehre/CI [5] Pachet , Pierre Roy , Gabriele Barbieri, Finite-length Markov processes with constraints, Proceedings of the Twenty-Second International joint conference on Artificial Intelligence, July 16-22, 2011 [6] C. Bessiere, E. C. Freuder, and J.-C. Regin. Using inference to reduce arc consistency computation. In Proc. of the IJCAI95, pages 592-598. Morgan Kaufmann, 1995. [7] Norgaard, Martin; Spencer, Jonathan; Montiel, Mariana. Testing Cognitive Theories by Creating a Pattern-Based Probabilistic Algorithm for Melody and Rhythm in Jazz Improvisation. Psychomusicology, vol. 23, No. 4. 2013

Viernes, 20 de Mayo de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

392. 139. (Junio 2016) Corta libremente

Creo que el ingenio es una de las características más notables de las personas de éxito: un novelista capaz de desarrollar una idea original, un artista plástico que sorprende con una creación innovadora, un músico que combina con maestría la letra y la melodía de una canción son algunos ejemplos que muestran la aplicación del ingenio como parte fundamental de una obra exitosa. En matemáticas, y en las ciencias en general, el ingenio es también fundamental: la resolución de un problema requiere en muchos casos una buena dosis de ingenio, creatividad y, por supuesto, constancia. Pero no hace falta ser matemático profesional, algunos magos han desarrollado el ingenio para resolver problemas que surgen durante la creación y desarrollo de un truco. Precisamente, el apelativo más adecuado para el principio que vamos hoy a descubrir es el de ingenioso. Así que, en primer lugar, desarrollamos un juego en el que se descubren las ideas básicas y, a continuación, haremos un recorrido por su historia. Busca una baraja y reparte sobre la mesa dos montones de 10 cartas cada uno, de modo que el montón de la izquierda esté caras abajo y el montón de la derecha caras arriba. Observarás mejor el efecto final si cada paquete contiene las cartas del as al diez, en orden creciente. Retira un pequeño paquete de cartas del montón de la izquierda y mira y recuerda la carta que ha quedado en la parte superior del montón que queda en la mesa. Corta un pequeño paquete del montón de la derecha y colócalo, todavías caras arriba, sobre el montón de la izquierda. Ahora, la carta que has pensado está debajo de un número indeterminado de cartas. Mira ahora y recuerda la carta superior del paquete de la derecha (como está de cara, la ves directamente) y coloca el paquete que habías retirado al principio sobre este montón, ocultando así la segunda carta pensada. Coloca el montón de la derecha sobre el montón de la izquierda. Si extiendes las cartas, observarás que están agrupadas en montones de cartas caras abajo y caras arriba. Pasa de arriba abajo el primer paquete de cartas que están caras abajo. ¡Vaya, la carta que queda arriba es la segunda carta pensada! Pasa de arriba abajo todo el paquete de cartas que están caras arriba. ¡Nueva sorpresa!, la carta que queda arriba es la segunda carta pensada. ¿Qué ha pasado en realidad? Que hemos dado un corte completo a cada paquete de cartas y luego otro corte al conjunto total, a pesar de la libertad que hemos gozado al cortar e intercambiar ambos paquetes. En esto consiste el llamado "principio del corte libre", el cual, según apunta su supuesto inventor Gene Finnell (1929-2002), aparece por primera vez en el juego que él mismo comercializó poco tiempo antes de 1967 bajo el título “Spelling the aces”. Un poco después publicó el folleto titulado precisamente "Free cut principle", del cual hemos traducido el juego anterior. Algunas de las aportaciones a la magia de Gene Finnell se recogen en el libro de Karl Fulves titulado “Gene Finnell’s card magic”, publicado en 1973 y también en la antología de Arthur McTier titulada “Card concepts” (2000), donde el principio del corte libre se llama ahora "principio del reemplazamiento inverso". También en el libro “Magia por principios” dedico un capítulo a este principio. ¿Por qué he llamado a Gene Finnell el "supuesto inventor"? Resulta que el principio había sido aplicado ya en 1948 por John Hamilton en el juego titulado “Eyes of the God”, como aclara Karl Fulves en la revista de magia "Pallbearer’s Review" de agosto de 1970. Basados en este mismo principio, puedes encontrar en internet algunos juegos. Podrás seguir fácilmente el proceso de uno de ellos en este video de Youtube, creado por el mago japonés Shanla. Y, si tienes ganas y paciencia, puedes traducir y aprender este juego de Peter Duffie. En el blog magiaporprincipios he publicado un juego muy interesante de Gene Finnell, también traducido del folleto antes citado. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Miércoles, 01 de Junio de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

393. 107. (Mayo 2016) "Soñadores. Cuatro genios que cambiaron la Historia", de Cédric Villani (guión) y Edmond Baudoin (dibujos)

Gracias a un tuit de Francesc Rosselló –(co)protagonista de Lo tuyo es puro teatro– me he enterado de que la editorial Astiberri ha traducido al castellano Les rêveurs lunaires. Quatre génies qui ont changé l’Histoire del que hablamos hace algo más de un año en esta misma sección. La editorial presenta de este modo el libro: A veces, un destello de ingenio cambia el curso de la Historia. Fue el caso de aquellos cuatro visionarios que fueron actores claves pero discretos de una aventura que los sobrepasaba, la Segunda Guerra Mundial: Werner Heisenberg, pionero en la investigación de la bomba atómica, Alan Turing, quien consiguió descifrar el código Enigma del régimen nazi, Leo Szilard, que entendió antes que nadie la reacción nuclear en cadena, y Hugh Dowding, un militar cuya reflexión estratégica fue decisiva en la batalla de Inglaterra. Edmond Baudoin, uno de los autores emblemáticos del cómic francés contemporáneo, une su talento al del prestigioso matemático galo Cédric Villani para alumbrar esta obra, entre documental científico y cómic poético, que trasciende géneros y disciplinas. Se sumergen en la mente y en el corazón de aquellos cuatro hombres, interesándose sobre todo por su faceta más humana: “los militares y los científicos no son meros peones al servicio de la colectividad, sometidos a las órdenes de los políticos —escribe Villani—, son ante todo seres humanos, a menudo imprevisibles; a veces sus descubrimientos pueden cambiar el desenlace de un conflicto; a veces ejecutan mal las órdenes; a veces lo hacen a regañadientes; a veces no lo logran. Con frecuencia chocan con los mecanismos de su propia organización. En muchas ocasiones, la Historia no reconoce sus méritos. Y cuando la acción termina y tienen suficiente tiempo para dejar que divague el pensamiento, ¿cómo se juzgan ellos mismos? Participaron en una gran batalla en la que estuvo en juego la suerte de su país o del mundo entero: ¿se sienten orgullosos, avergonzados, desamparados, resentidos…?”. Con guión del matemático Cédric Villani y dibujos del ilustrador Edmond Baudoin, http://www.edmondbaudoin.com/ estos cuatro soñadores son –como adelanta la editorial– el físico Werner Heisenberg (1901-1976), el matemático Alan Turing (1912-1954), el físico Leo Szilard (1898-1964) y el militar Hugh Dowding (1882-1970), actores cruciales durante la Segunda Guerra Mundial. Villani y Baudoin son narradores y protagonistas en las páginas de Soñadores, en las que repasan fragmentos de la historia a través de las reflexiones los cuatro protagonistas del libro. Uno a uno, los soñadores van desfilando y mostrando los problemas morales ligados a su deber, su responsabilidad en el conflicto, sus sentimientos de orgullo o amargura, sus complejas situaciones personales… Soñadores nos brinda, además, la ocasión de reflexionar sobre las complejas relaciones entre la ciencia y la tecnología y nuestra sociedad. Más información: Soñadores en Astiberri "Los soñadores lunares. Cuatro genios que cambiaron la historia", de Cédric Villani y Baudoin, DivulgaMAT, Literatura y matemáticas, abril 2015

Lunes, 30 de Mayo de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

394. 103. (Mayo 2016) Lo tuyo es puro teatro, de Francesc Rosselló Llompart y Patricia Trapero Llobera

Pensaba que ya había hablado en esta sección de DivulgaMAT de la obra Lo tuyo es puro teatro… pero fue en otro blog, hace tiempo. ¡Vaya despiste! Tuve el privilegio de ver esta obra en directo en la clausura de las XVI JAEM en Palma, y debo reconocer que aprendí un poco de estadística, y además lo pasé muy bien. Lo tuyo es puro teatro lleva al escenario la probabilidad y la estadística de la mano de Francesc Rosselló Llompart (Departamento de Ciencias Matemáticas e Informática, UIB) y Patricia Trapero Llobera (Departamento de Filología Española, Moderna y Clásica, UIB). En la obra, tal y como la vimos en 2013, se representan cinco micro piezas teatrales relacionadas de alguna manera con la probabilidad y la estadística. La primera de las piezas representa una entrevista a Florence Nightingale.(1820-1910), pionera en la práctica de la enfermería y notable estadística. La segunda propuesta introduce el test de las tazas de té (citado por el estadístico y científico Ronald Fisher (1890-1962) en su The design of experiments) realizado a la bióloga Muriel Bristol-Roach (1888-1950). La tercera pieza explica el teorema de Bayes a través de los test con falsos positivos La cuarta pieza se centra en la estadística descriptiva a través de un especial juicio en el que se pretende decidir si las pruebas disponibles permiten deducir que un alumno ha copiado en un examen… Por último, la quinta pieza exhibe un interrogatorio al biólogo Chester Ittner Bliss (1899-1979) que realizó grandes aportaciones a la estadística. Una delicia de obra, en la que se puede aprender mientras se disfruta. La puedes ver completa en el video de debajo, aunque la auténtica ‘gozada’ fue saborearla en directo.

Lunes, 30 de Mayo de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

395. 110. Las relaciones peligrosas

Madame Tourvel, el vizconde de Valmont, Cécile Volanges,…, probablemente no nos suenen demasiado a nada matemático, y mucho menos Roger Vadim, su realizador, pero es que hay mucho cine antes de Stephen Frears o Milos Forman. Eso sí, desconocido por casi todo el mundo, aunque nos puede dar gratas sorpresas. Ficha Técnica: Título Original: Les liaisons dangereuses. Nacionalidad: Francia / Italia, 1959. Dirección: Roger Vadim. Guión: Claude Brulé, Roger Vadim y Roger Vailland, basada en la novela homónima de Choderlos de Laclos. Fotografía: Marcel Grignon, en B/N. Montaje: Victoria Mercanton. Música: James Campbell, Duke Jordan y Thelonious Monk. Duración: 106 min. Ficha artística: Intérpretes: Jeanne Moreau (Juliette de Merteuil), Gérard Philipe (Vizconde de Valmont), Annette Stroyberg (Marianne Tourvel), Madeleine Lambert (Mme Rosemonde), Jeanne Valérie (Cécile Volanges), Nicolas Vogel (Jerry Court), Boris Vian (Prévan), Gillian Hills (Una amiga de Cécile), Paquita Thomas (Nicole), Jean-Louis Trintignant    (Danceny), Simone Renant (Mme Volanges). Sinopsis: Aunque esté en la mente de todos el argumento a través de las versiones más recientes, conviene que lo recordemos un poco, y de paso observemos algunas diferencias. Esta versión está enmarcada en la Francia actual (bueno en la de finales de los años cincuenta del siglo pasado, fecha de producción de la película). Juliette de Merteuil es una bella mujer bien considerada socialmente que está felizmente casada con el vizconde de Valmont, un diplomático distinguido. Manteniendo una apariencia de respetabilidad burguesa, Juliette y su marido se entregan a juegos crueles de seducción para su propia diversión. Cuando Juliette se entera de que un amante suyo la deja para casarse con Cécile Volanges, su prima de 17 años, se indigna y planea vengarse. Engatusa a Valmont para que seduzca a la inocente joven antes de la boda. Cécile por otro lado, está enamorada de Danceny, un estudiante de matemáticas empobrecido, pero éste insiste en que aún no está listo para casarse. Esto convierte a Cécile, que no desea casarse con Jerry Court, en una presa fácil para Valmont. Mientras está llevando a cabo esta misión, Valmont cae bajo el hechizo de otra mujer, Marianne Tourvel, de fuertes convicciones. La fidelidad de Marianne a su marido es vista por Valmont como un desafío, un reto personal. Cuando Juliette escucha de esta victoria de su marido, duramente ganada, deduce, correctamente, que Valmont se ha enamorado de Marianne y eso no lo va a permitir, cueste lo que cueste... Las matemáticas El paciente y ordenado lector se habrá percatado una fugaz mención a éstas en la descripción de la sinopsis (el transversal que haga el favor de volver atrás, a leerla). Cécile aparece en un par de escenas (muy breves) estudiando, y en otro momento hablando con su enamorado, también tangencialmente de matemáticas. En la célebre novela epistolar, Danceny daba clases de música a la joven Cécile; en esta adaptación al presente la música se ha cambiado por las matemáticas. Danceny vive en una pequeña habitación de hotel, se va a examinar en junio, y sus intenciones son dedicarse a la investigación. Confiesa adorar las matemáticas. En la imagen al pie, vemos a Cécile frente a una pizarra en el apartamento de Danceny, en la que observamos fórmulas físicas, parece que algo sobre péndulos y el movimiento armónico simple, dado que la expresión que más claramente se aprecia es , que responde al periodo de oscilación de un péndulo físico. Delante un P XII, que puede indicar que está resolviendo el Problema XII de una lista. Es probable que se trate de calcular el momento de inercia I de un objeto plano, una de las aplicaciones del péndulo físico (no confundir con el péndulo simple; un péndulo físico o péndulo compuesto es cualquier cuerpo rígido que oscila libremente alrededor de un eje horizontal que no pasa por su centro de masas). El asunto del péndulo me recuerda que, en 1790, el estadista Charles-Maurice de Talleyrand-Périgord, propuso la reforma del sistema de pesas y medidas. El Comité de la Academia de Ciencias francesa encargado del asunto (en el que estaban entre otros Lagrange y Condorcet) barajó dos posibilidades para elegir la unidad de medida básica: la longitud del péndulo que bate segundos, o la medida de la longitud del meridiano terrestre. Como sabemos se eligió como referencia la segunda (recordemos que en tal medida, por triangulación, estuvo directamente involucrado el español Jorge Juan), pero no deja de ser curioso (a lo mejor sólo es casual, pero cada vez estoy más convencido de que casualidades de este tipo son muy “forzadas”) que los guionistas elijan un ejercicio de péndulos en una traslación de una obra literaria prácticamente contemporánea a aquel hecho. En otro momento nos encontramos a Cécile tratando de estudiar después de, bueno, digamos, tener un momento apasionado (ya se sabe que cualquier momento es bueno para hacer matemáticas, je je je; otros se fuman un cigarrillo). Tiene lugar el siguiente diálogo: Cécile: Ayúdame con estos problemas. Danceny: Ya tengo los míos. Cécile: Pero no son de geometría descriptiva. No entiendo nada. Danceny: ¿Qué te pasa? Cécile: No consigo hallar la hipotenusa. Danceny: Dame. Es muy fácil hallar la hipotenusa. Ha de ser perpendicular a la horizontal del plano. La pluma. ¿Cuál es el camino más corto entre dos puntos? Cécile: La línea recta. Danceny: Debo de ser imbécil. El camino más corto es la línea recta. Tengo que ir a su casa. Está claro que Danceny está pensando en algo muy distinto al problema de Cécile. Ésta menciona la Geometría descriptiva. Seguramente el lector no especializado habrá oído alguna vez diferentes adjetivos que acompañan a la palabra Geometría (Analítica, Cartesiana, Proyectiva, Euclidea, Algebraica, Hiperbólica, Esférica, Fractal, etc.). Cada una de ellos especifica el punto de vista desde el que se estudian los objetos geométricos (Planos y Tridimensionales que son los que podemos representar gráficamente; pero la Geometría estudia y trabaja también con objetos de mayores dimensiones; no olvidemos que las matemáticas generalizan). En este caso se llama Geometría Descriptiva al conjunto de métodos y herramientas mediante las cuales es posible estudiar y representar objetos tridimensionales en el plano. Por ello está muy relacionada con el dibujo técnico (hoy en día prácticamente todos los volúmenes de Geometría Descriptiva los relacionaríamos más con esta disciplina que con la geometría) y la geometría proyectiva. No tiene por tanto mucho que ver con el cálculo de una hipotenusa. Vamos a la versión original en francés. Lo de la geometría descriptiva está tal cual (“Mais toi, c'est pas de la géométrie descriptive. Je n'y comprends absolument rien”). Sin embargo, en el resto del diálogo no se habla de hipotenusa por ninguna parte. Veamos (entre paréntesis pongo la traducción “correcta”): Danceny: Qu'est-ce qui t'arrête?  (¿Que te pasa?) Cécile: Je n'arrive pas à construire ma ligne de pente. (No puedo construir la línea de caida). Danceny: Donne. C'est pourtant simple. (Hecho. Es muy sencillo). La ligne de pente est forcément perpendiculaire à l'horizontale du plan. Stylo. (La línea de caída es necesariamente perpendicular al plano horizontal. Pluma). Quel est le chemin le plus court d'un point à un autre? (¿Cuál es el camino más corto de un punto a otro?) Cécile: C'est la ligne droite. (La línea recta). Danceny: C'est moi qui suis un imbécile. (Debo de ser imbécil). Le chemin le plus court, c'est la S.N.C.F. ! (El camino más corto es el S.N.C.F.). Je la retrouverai chez elle. (La encontraré en su casa). La “línea de caída” es la de menor pendiente, la perpendicular en definitiva. Y la S.N.C.F. son las siglas de Société Nationale des Chemins de Fer Français, o sea, la Sociedad Nacional de Ferrocarriles Francesa. Así pues, ¿dónde está la hipotenusa? En ninguna parte, un nuevo ejemplo de “invención” en el doblaje, y en efecto, lo que está haciendo es algún ejercicio de dibujo, y por tanto de geometría descriptiva (en la foto, en el cuaderno, no hay matemáticas, sólo dibujos). Por cierto, el actor que interpreta a Danceny, Jean-Louis Trintignant, lo vemos años después ejerciendo de ingeniero de Michelín en otra película, leyendo libros de matemáticas mientras desayuna y discutiendo sobre el azar y las probabilidades a propósito de la obra de Pascal. Seguramente el lector sepa de qué película hablamos... La película La idea que de Roger Vadim (1928 – 2000) ha quedado entre el público y muchos críticos es la un realizador superficial, que mostró a la mujer de un modo decorativo y degradante (erotismo explícito y presentación de la mujer como mero objeto del deseo masculino), y que sus películas no persiguen más que entretener, aunque eso sí, le suelen reconocer la autoría de una cierta estética que marca ciertos parámetros fundamentalmente en los años sesenta del siglo pasado. Ciertamente sus numerosas conquistas y relaciones sentimentales en su vida personal ayudan a conformar esa opinión. Reconozco no haber visto demasiadas películas suyas (Barbarella, y poco más, y ya tuve suficiente), sin embargo al igual que el mejor escribiente siempre echa un borrón, un director como éste tiene alguna cosa interesante. Y es sin duda esta película. Vadim fue el primero en atreverse a llevar a la pantalla este clásico y provocador relato epistolar, pero no hace una adaptación de época sino que traslada junto al novelista Roger Vailland y al dramaturgo Claude Brulé a la época contemporánea. Eso les conlleva a una denuncia de la Sociedad de autores francesa por considerar que el título de la película incitaba al error. Los llevan a juicio, y representados por el joven abogado François Mitterrand, lo ganan con el único requisito de que la película se retitule como Les liaisons dangereuses 1960. Una de las constantes de la vida del realizador fue jugar con la provocación y, al igual que el autor, Choderlos de Laclos en su momento, esta película provocó en Francia en su estreno una reacción bastante hostil; sin embargo no es menos cierto que el retrato que muestra de la sociedad francesa no andaba demasiado desencaminado. Respecto a la película propiamente dicha, y aunque las comparaciones sean odiosas (pero aquí, es inevitable tener en mente las adaptaciones más conocidas), hay que decir (los críticos actuales lo confirman) que la profundidad que logra dar a los personajes femeninos no lo consigue ni Stephen Frears (Las amistades peligrosas, 1988) ni Milos Forman (Valmont, 1989), a pesar de hacer unas películas más cuidadas en la forma (gracias a un presupuesto incomparable con el que tuvo Vadim, por supuesto). La de Frears es un drama eficaz y bastante efectista. Forman le da un toque más romántico. Pero es Vadim quien llega al fondo de los personajes, de la virtud y de la maldad, y sin golpes de efecto, sirviéndose de unas interpretaciones sutiles y absolutamente precisas, logrando que aunque la libertad sexual haya avanzado tanto respecto a la época en que se escribió, siga removiendo las tripas. Muy acertada a este respecto la cita que se escoge nada más iniciarse la película: «Algunos de los personajes que el autor pone en escena tienen tan malas costumbres que es imposible suponer que hayan vivido en nuestro siglo, en el que, como sabemos, todos los hombres son honestos y todas las mujeres son modestas y discretas». Choderlos de Laclos, 1792. Pero no sólo el guión y las soberbias interpretaciones hacen recomendable su visionado. La atmósfera que Vadim consigue mediante una fotografía en claro-oscuro muy selectiva, los “zooms” admirablemente elegidos para empujarnos literalmente al interior de los personajes y sus conflictos internos cuando aún no estaban de moda (y que tanto hastío y pesadez provocarían en los setenta por artificiosos), y sobre todo, el ingrediente esencial y más innovador de la película: su banda sonora de jazz, a cargo en su mayor parte del legendario pianista y compositor Thelonious Monk, con unas pocas piezas adicionales de Art Blakey y los Jazz Messengers. En seguida nos viene a la mente que Vadim pudo estar directamente influenciado por la reciente Ascensor para el cadalso (Louis Malle, 1958), buscando una modernidad que lo distinguiera de los presuntuosos melodramas franceses de aquella década. Todo ello para lograr un aire de decadencia, tan enigmático y atractivo como los personajes principales, Merteuil y Valmont. Por supuesto en España no se estrenará hasta el 19 de junio de 1974, quince años después de su estreno en Francia (9 de septiembre de 1959). Como curiosidad, fatídica en este caso, dos de los actores de la película fallecieron al poco de estrenarse: el actor principal, el galán francés e los n este caso, Francia (9 de septiembre de 1959).os odiosas, hay queGérard Philipe, con 36 años, víctima de un fulminante cáncer de hígado, y el polifacético dramaturgo Boris Vian, que hace una breve aparición. Ambos tienen sendas calles dedicadas en París, como vemos en las imágenes. El autor Francia y el siglo XVIII estarán siempre unidos a la Revolución Francesa, lo que eclipsa otros asuntos, algunos nada desdeñables, como el relativo a las matemáticas. Como describe Boyer en su Historia de las Matemáticas, se encuentran además entre dos siglos, el anterior y posterior, especialmente determinantes en el desarrollo de esta disciplina, otro factor que oculta su valía. La mayor parte de los matemáticos franceses del siglo XVIII no se encontraban en las universidades, sino relacionados con la iglesia, con el ejército, daban clases particulares o eran requeridos por alguna monarquía. Las academias militares en particular gozaban de gran prestigio, y su interés estaba puesto sobre todo en las enseñanzas técnicas. Las matemáticas (la física y la química también) tenían cierta consideración, quizá también favorecidas porque célebres personajes (como el mismísimo Napoleón Bonaparte) hicieran gala de su conocimiento y práctica (“El progreso y el perfeccionamiento de la matemática están íntimamente ligados a la prosperidad del Estado”, Napoleón dixit). No es extraño por tanto que Pierre Ambroise Choderlos de Laclos (1741 – 1803), oficial militar de vocación, tuviera un interés especial por las matemáticas, y le determinara su ingreso en el cuerpo de artilleros. La Artillería es la unidad militar que maneja todas aquellas armas de guerra que disparan proyectiles a largas distancias utilizando cargas explosivas como medio impulsor. Simplemente de tal definición se infiere que el artillero debe tener cierta idea no sólo del manejo de dicha armas, sino del cálculo y la estimación de distancias, ángulos, fuerzas de lanzamiento y retroceso,... Junto a los ingenieros constituyen la unidad en la que más conceptos de tipo matemático son necesarios. Así, Choderlos de Laclos, décimo hijo de una familia media y con ciertos anhelos de triunfar, hace carrera de artillero llegando a capitán. Sus biógrafos le atribuyen el diseño y utilización de una bala hueca rellena de pólvora como munición, en definitiva, el obús, y lo definen como un experto en balística (estudio científico de todo lo relacionado con el movimiento de los proyectiles: análisis de fuerzas, trayectorias, rotaciones y comportamientos diversos de los proyectiles en diferentes ambientes de empleo, además de la forma del proyectil, sustancias, temperaturas, presiones gaseosas, etc., situaciones que suceden en las diferentes fases del disparo, desplazamiento del proyectil a lo largo del ánima y salida al exterior, trayectoria e impacto, entre otros asuntos). Para los curiosos, su biografía resulta de lo más clarificador sobre su persona. Aburrido de la vida en los cuarteles (o sea sin ningún conflicto bélico en el que enrolarse), se empieza a interesar por la literatura, comenzando a escribir alguna que otra obra no demasiado afortunada. Sin embargo alentado ante la idea de “escribir una obra que se salga de lo corriente, que haga mucho ruido, y que siga resonando sobre la tierra cuando yo haya muerto”, en 1778 empieza a escribir Las relaciones peligrosas. La obra se publica en cuatro volúmenes el 23 de marzo de 1782, y causa un gran escándalo, ya que plasma la amoralidad de la clase noble, mostrándola como perversa, egocéntrica e hipócrita, y detallando comportamientos en las relaciones personales no demasiado edificantes. Lógico, por otro lado, siendo seguidor de las ideas de Jean-Jacques Rousseau. Artillería en España Al hilo de este asunto, simplemente apuntar que el año pasado se celebró el 250 aniversario de la fundación de la Academia de Artillería de Segovia, lo cual nada pinta aquí salvo que entre los eventos que se celebraron tuvo lugar un Congreso: Las nuevas metodologías en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. En la conferencia inaugural, se reivindicó dicha Academia de Artillería como cuna de las matemáticas en Castilla y León. La historia es la que es, aunque a veces  nos hubiera gustado que fuera más hollywoodense. En dicha conferencia (que se puede ver en el enlace anterior), se hizo un sintético repaso por la institución y su relación con las matemáticas, y entre lo más llamativo me resultó (estuve presente) los estudios matemáticos que se exigía a un artillero: Geometría elemental, Trigonometría, Álgebra, Cálculo diferencial e integral, y Mecánica (ésta más relacionada con la Física). Interesante su biblioteca y el museo de instrumentos científicos, a las que corresponden las dos fotografías, respectivamente. Agradecimiento y Aviso No sería justo si no dedicara al menos una cita a mi compañero Miguel Martínez Panero, del Dpto. de Economía Aplicada de la UVa, fiel seguidor de estas reseñas, que me habló de esta película (hace mucho, en julio de 2013; disculpas por la tardanza en dedicarle una reseña). A él hay que agradecerle que aparezca por aquí. Y el aviso. Como es costumbre, la reseña de junio aparecerá un poco más tarde de lo habitual (mediados o finales), y consistirá en el ya célebre y esperado Concurso del Verano, para el que ya estoy configurando unas cuestiones la mar de sugerentes... alfonso@mat.uva.es

Jueves, 05 de Mayo de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

396. 138. (Mayo 2016) Las cartas adjuntas

En más de una ocasión hemos puesto de manifiesto el paralelismo entre la magia y las matemáticas en relación al desarrollo de nuevas ideas: mientras el lema "¿se puede hacer más difícil todavía?" está en la mente de todo creador de efectos mágicos, la pregunta "¿se puede generalizar de alguna forma?" es una constante en la tarea de cualquier investigador en matemáticas. El juego del cuadrado de cartas que describimos en la entrega anterior (las cartas transpuestas) es un buen ejemplo para ilustrar esta situación. El principio básico en el que se sustenta es muy simple, lo cual dificulta que pueda sorprender al público. De modo que apelamos al comodín de la pregunta: ¿se puede modificar el juego o la presentación para que produzca mayor sensación de dificultad? O, incluso, ¿podemos convertir en magia este principio matemático? La historia vuelve a rescatarnos en la búsqueda de respuestas. Tenemos que remontarnos al año 1624 cuando salió a la luz la obra titulada "Récréation mathématique, composée de plusieurs problèmes plaisants et facétieux en faict d'Arithmetique, Geometrie, Mechanique, Optique & autres parties de ces belles sciences" y escrita por el jesuita y matemático francés Jean Leurechon. Ya la historia del libro es apasionante, en primer lugar porque, como afirma el historiador Albrecht Heeffer, es una de las primeras veces que aparece la frase "matemática recreativa" en el título de un libro. Por otra parte, durante algún tiempo se atribuyó su autoría a Hendrick van Etten, uno de sus alumnos. Pero, además, porque no parece que sea original: en la versión inglesa de 1633, que contiene un apéndice firmado por William Oughtred, titulada "Mathematicall recreations. Or, A collection of many problemes, extracted out of the ancient and modern philosophers as secrets and experiments in arithmetick, geometry, cosmographie, horologiographie, astronomie, navigation, musick, opticks, architecture, statick, mechanicks, chemistry, water-works, fire-works, &c.", el autor afirma: «Not vulgarly manifest till now. Written first in Greeke and Latin, lately compi'ld in French, by Henry Van Etten, and now in English, with the examinations and augmentations of divers modern mathematicians whereunto is added the description and use of the generall horologicall ring: and the double horizontall diall.» De hecho, muchos de los problemas planteados por Leurechon ya aparecen en el libro "Problèmes plaisants ..." (1612), de Claude-Gaspar Bachet, ya citado en varias ocasiones en este rincón. Dejamos a un lado la polémica y nos centramos en el problema 64 del libro de Leurechon, titulado "Plusieurs cartes estans proposées à plusieurs personnes, deviner quelle carte chaque personne aura pensé". No nos limitaremos a traducirlo sino que lo describiremos con algo más de detalle. Para este juego necesitarás una baraja de cartas y cinco espectadores. Entregas la baraja a uno de los espectadores para que la mezcle a conciencia y te la devuelva. Repartes sobre la mesa, caras hacia abajo, cinco cartas a cada uno de los cinco jugadores simulando una partida de póquer. Por ejemplo, si llamamos A, B, C, D y E a los cinco espectadores, un posible reparto sería el que se ilustra en el cuadro siguiente. A B C D E 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Pides a cada espectador que recoja sus cinco cartas, las mire y piense una de ellas. Después vuelve a dejar sus cartas formando un montón sobre la mesa. Seguimos con el ejemplo: supongamos que el espectador A elige el 2 de corazones, el espectador B la jota de corazones, el espectador C el as de corazones, el espectador D el cuatro de rombos y el espectador E el 6 de corazones. Una vez que todos los espectadores han seguido tus instrucciones, recoges todas las cartas: colocas el montón del primer espectador sobre el montón del segundo espectador, luego estas diez cartas sobre el montón del tercer espectador y así hasta que tengas un solo montón con las 25 cartas. Repartes nuevamente cinco manos de póquer a los cinco espectadores pero esta vez dejando las cartas cara arriba. De este modo, las cartas que tiene cada espectador son las indicadas en el cuadro: A B C D E 1 6 11 16 21 2 7 12 17 22 3 8 13 18 23 4 9 14 19 24 5 10 15 20 25 Una vez repartidas las 25 cartas, pides a los cinco espectadores que se fijen en la primera mano, es decir en las cinco cartas del primer espectador y preguntas si alguien ve la carta que ha pensado. Repites la operación con el resto de montones y terminas adivinando todas las cartas pensadas y qué espectador pensó cada una de ellas. ¿Cómo tienes tanta información? Basta observar que el todo el proceso equivale al que seguimos en el juego descrito el pasado mes: el segundo reparto hace que se hayan intercambiado las filas y las columnas. Por tanto, si el espectador X dice que ha visto su carta en el montón Y, su carta será la que ocupa la posición X de dicho montón. En el ejemplo propuesto, el espectador A verá su carta en el montón A, de modo que se trata del 2 de corazones; nadie verá su carta en el montón B; los espectadores B y D verán su carta en el montón C, de modo que son la jota de corazones y el cuatro de rombos, segunda y cuarta cartas; los espectadores C y E verán su carta en el montón D, por lo que se trata del as de corazones y el seis de corazones, tercera y quinta cartas. Como podrás apreciar, esta presentación disimula la obviedad del principio utilizado ya que la excusa del juego de póquer hace que esta forma de repartir sea muy natural. Entenderás también que el juego funciona igual si simulas una partida de mus y repartes 16 cartas entre cuatro jugadores. Este juego ha sido ampliamente estudiado y, a lo largo del tiempo, se han escrito multitud de variaciones, unas destacando el aspecto matemático y otras profundizando los detalles técnicos. Aparece explicado, cómo no, en la obra "Modern magic", ya citada en la entrega anterior. En el mundillo mágico es conocido con el nombre "póquer mental", debido a la forma usual de presentarlo como una demostración de adivinación de cartas en una partida de póquer (no confundirlo con el juego de estrategia, también llamado póquer mental, en cuyo desarrollo se aplican técnicas criptográficas). Te recomiendo la lectura del artículo titulado "A brief analysis of the twenty-one card trick and related effects", de Justin Higham, donde el autor realiza un completo recorrido por todos los juegos que hemos descrito a lo largo de estos últimos meses. También puedes ver la ejecución del juego en uno de los videos del canal ScamSchool. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Martes, 03 de Mayo de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

397. 27. (Mayo 2016) Matemáticas en las fuentes

(Alegoría de la Geometría. Fontana Maggiore. Perugia) El agua fue el principio de todas las cosas para el milesio Tales. El atomismo desplazo al líquido elemento del primer lugar pero no de su condición de fuente de vida. Las fuentes con alegorías matemáticas dan cuenta de la fusión de lo material y el pensamiento como los dos elementos complementarios de la condición humana. La construcción de fuentes públicas para abastecimiento requiere un gran trabajo de ingeniería. Hay que hacer presas, galerías y acueductos para garantizar  el suministro de agua de calidad a toda la población. Los gastos de infraestructura suelen ser altos y es bueno darle un acabado acorde con la obra. La fuente es una construcción práctica pero también ornamento y discurso donde no faltan las matemáticas. (Fontana Maggiore. Perugia) La Fontana Maggiore de Perugia es ejemplar en su género. Consta de tres cuerpos, el inferior recoge el agua y está decorado con 25 paneles, en total 50 bajorrelieves de los escultores Nicola y Giovanni Pisano, que los ejecutan a finales del siglo XIII e inicios del XIV. La parte superior como corresponde en jerarquía tiene a santos, reyes bíblicos y alegorías de ciudades. En la inferior están los oficios de las estaciones, y las artes liberales. La aritmética comparte panel con la retórica, y la geometría con la música. Los Pisano ya habían representado las artes liberales en sitios tan emblemáticos como el Campanile de Giotto en Florencia o los monumentales púlpitos de Pisa o Siena. La Geometría es representada con un compás, resolviendo problemas, y la Aritmética enseñando a un joven las operaciones con los dedos, la dactilonomía. (Alegoría de la Aritmética. Fontana Maggiore. Perugia) Otra gran fuente pública medieval con presencia matemática la encontramos en Nuremberg. Entre los muchos atractivos de la ciudad se encuentra la Schoener Brunnen (la Fuente Bella), situada en pleno centro, en un lateral de la Plaza Principal del Mercado. (Schoener Brunnen. Nuremberg) La fuente gótica de 19 metros se construyó a finales del siglo XIV por Heinrich Beheim. La restauración de 1912 sobrevivió a la segunda guerra mundial. La fuente que permanece en la plaza es una réplica pues partes de la original se encuentran en el Museo Germánico. La fuente tiene cuarenta figuras policromadas de profetas, evangelistas, electores, reyes y figuras alegóricas a las Artes Liberales y la Filosofía. Ptolomeo (con cuadrante) representa la Astronomía, Pitágoras a la Música, Nicómaco (muy pensativo con libro) a la Aritmética y Euclides (con escuadra y compás) a la Geometría. Todas las figuras llevan rotulados sus nombres. Cuando Pitágoras aparece con la Música, la figura alegórica para la Aritmética suele ser Boecio, pero en este caso se da el caso singular de simbolizarla con Nicómaco de Gerasa, el místico de los números quien es representado en trance. (Euclides. Schoener Brunnen. Nuremberg) El conjunto está protegido con una bella reja a la que se atribuyen extraños poderes: las ciencias contemplan hieráticas como la superstición pervive. Ptolomeo permanece impasible observando los cielos y Nicómaco no termina de salir de su éxtasis numérico. (Nicómaco de Gerasa. Schoener Brunnen. Nuremberg) (Ptolomeo. Schoener Brunnen. Nuremberg) La tradición se ha mantenido en una fuente moderna pero que quiere enlazar con la historia. Se trata de la Fuente de las Artes, una fuente ornamental de Aquisgrán (Aachen en alemán). La Karlshofbrunnen fue diseñada en 1969 por Ottmar Hollmann en mármol, hormigón y bronce, con planta octogonal y gallones que se inspiran en el monumento más emblemático de la ciudad: la Catedral y la Capilla Palatina de Carlomagno. La fuente se encuentra en el patio interior del Karlshof, enfrente de la Plaza del Mercado de Aachen. Los relieves de bronce muestran las siete Artes Liberales de la enseñanza medieval basada en la estructuración realizada por Marciano Capella. Parece muy oportuno que un monumento haga patente que el llamado Renacimiento Carolingio fue un momento de esplendor en una época oscura. El propio Carlomagno fue analfabeto pero el florecimiento cultural no se limitó a sus construcciones admirables. La representación de la Geometría se hace mediante pentágonos y estrellas pentagonales y personas que recuerdan al Hombre de Vitruvio de Leonardo. (La Geometría. Karlshofbrunnen. Aachen) La Aritmética se nos presenta con cuatro calculistas en una mesa rómbica, operando con bolas y palitos en un marco muy geométrico. Al-Jwārizmī y Carlomagno fueron casi contemporáneos: las cifras indoarábigas iban a llegar pronto a Al-Andalus pero tardarían todavía varios siglos en imponerse. (La Aritmética. Karlshofbrunnen. Aachen) (Karlshofbrunnen. Aachen) Nos hemos limitado a dar cuenta de tres fuentes con representaciones explícitas de las matemáticas. También las fuentes llenan el espacio de parábolas y paraboloides en cualquier parque o plaza. Además algunos diseñadores han aprovechado las fuentes para completar su uso con el de instrumentos como relojes solares. El asunto admite múltiples derivaciones.

Lunes, 02 de Mayo de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

398. 102. (Abril 2016) Claro que necesitamos teatro…

Os recordamos que en la entrada del mes de marzo ¿Necesitamos teatro? os proponíamos un juego para celebrar el Día del Teatro. Os mostrábamos ocho imágenes de obras de teatro reseñadas en la sección de Teatro y matemáticas del portal DivulgaMAT, y se trataba de averiguar de qué obras de teatro estábamos hablando. Las soluciones, junto a los enlaces a las reseñas correspondientes en DivulgaMAT son: Madama Butterfly ¿Son raras las mujeres de talento? Infinities Silent Sky Fermat’s last tango El encuentro de Descartes con Pascal joven Contra el tiempo El chico de la última fila Pocas personas han acertado las 8 obras, pero entre las que han acertado al menos 5, hemos realizado el sorteo prometido: se llevarán un ejemplar de La entrevista de Luisa Extenike y Gustavo Ariel Schwartz (Editorial El Gallo de Oro, 2016)… Ane Martínez Goiri y Pedro Santos López. ¡Enhorabuena a la ganadora y el ganador!

Jueves, 28 de Abril de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

399. 106. (Abril 2016) 3 segundos, de Marc-Antoine Mathieu

3 SEGUNDOS Es el tiempo que tarda la luz en atravesar 900.000 km, el tiempo que necesita una bala para recorrer un km. El tiempo de un respiro. El tiempo de una lágrima, de una explosión, de un SMS. 3 SEGUNDOS Es un enigma mudo en el que se imbrican personajes y pistas. ¿Cuál es la relación entre este avión, estos disparadores, este estadio? Al lector le toca reconstruir este puzle. 3 SEGUNDOS Es un relato que se lee en forma de libro, pero también de otra manera, en versión digital. Son varias maneras de experimentar el espacio-tiempo a través de un vertiginoso zoom gráfico. Así presenta 3 segundos la editorial francesa Delcourt, un tebeo mudo de Marc-Antoine Mathieu, autor del que ya hemos hablado anteriormente en esta sección de DivulgaMAT, presentando su serie Julius Corentin Acquefacques, prisionero de los sueños y su curioso Labyrinthum. Como anuncia la editorial, el tebeo es un enorme puzle en el que debemos ir descubriendo lo que está sucediendo en esos 3 segundos en los que la luz recorre 900.000 km. La luz sale de un satélite artificial para llegar a una habitación. Tras múltiples reflejos sobrevuela la ciudad, sigue reflejándose, llega a un avión, un estadio de fútbol, regresa a la Luna, rebota en una sonda espacial situada sobre nuestro satélite, y de regreso a la Tierra pasa de nuevo por esa habitación… pero tras esos tres segundos y al volver desde otro ángulo, la escena ya no es lo que parecía al principio. No hay diálogos, las únicas pistas escritas son las que se pueden apreciar sobre las páginas de algún periódico o los carteles y anuncios que se incorporan en cada viñeta: estos indicios son fundamentales para comprender la trama. Cada plancha del cómic consta de nueve viñetas organizadas en tres filas: cada fila representa la misma imagen a la que se le va aplicando un zoom; va apareciendo entonces un objeto reflectante, y la luz rebota y toma una trayectoria diferente para mostrar otra faceta de la acción. La información que nos llega es poliédrica: las imágenes –la luz que realiza su recorrido– rebotan en un espejo, un teléfono móvil, una pantalla de ordenador, el cristal de unas gafas, un reloj, el cristalino de un ojo, un jarrón,… Con cada reflejo obtenemos un punto de vista diferente que permite comprender un matiz distinto de la acción, algo que antes permanecía oculto. La historia comienza con un arma a punto de dispararse y prácticamente termina cuando ese disparo ya se ha realizado; el paso del tiempo se muestra a través del arma aún humeante. Desde la habitación, la luz se dirige a una galería de arte situada justo enfrente: allí, el artista Otto Spiegel –spiegel es espejo en alemán– presenta su obra Reflexion Works. Un hombre viste una chaqueta en la que aparece escrita la palabra Something –algo– y sostiene un espejo –en cuyo dorso se lee Anything, cualquier cosa–  dirigido hacia un segundo espejo que nos dirige hacia la luz absoluta… El mundo del fútbol y la política, un escándalo financiero, un futbolista que desea luchar contra la corrupción, un disparo, un avión que explosiona en pleno vuelo… ¿Qué está sucediendo realmente? Existe una la versión electrónica, en la que se ofrece una animación de este impresionante zoom. En esta versión digital, es posible acelerar o frenar el zoom, detener la animación, o recorrerla en sentido inverso para detectar algún detalle que nos proporcione una pista diferente y reveladora… Para acceder a ella es preciso disponer de una clave que aparece en el cómic impreso. En el video de debajo se muestra un collage presentando esta animación:

Jueves, 28 de Abril de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

400. 101. (Marzo 2016) ¿Necesitamos teatro?

Con esta pregunta, el director de teatro Anatoli Vassiliev comenzaba su mensaje, el mensaje del Día Mundial del Teatro 2016, celebrado cada 27 de marzo. Claro que lo necesitamos, como Vassiliev afirma en una parte de su mensaje: … sólo el teatro nos da una palabra de boca en boca, una mirada de ojo a ojo, un gesto de mano en mano y de cuerpo a cuerpo. Para celebrar el día, os proponemos un juego: debajo os mostramos ocho imágenes de obras de teatro que hemos reseñado en la sección de Teatro y matemáticas del portal DivulgaMAT. Algunas de las ilustraciones aparecen en esas reseñas pero, para complicar un poco las cosas, otras no. Os invitamos a que intentéis averiguar de qué obras de teatro estamos hablando: las matemáticas aparecen a través de las o los personajes principales, en el decorado o la estructura de la obra, o tan solo a través de una especial escena. Si os apetece jugar, enviad un mensaje a marta.macho@gmail.com e indicad, para cada una de las ocho imágenes, la obra de teatro (hay alguna ópera o algún musical) correspondiente y su relación con las matemáticas. Entre todas aquellas personas que respondan correctamente a (al menos) 5 de los 8 ‘retos’ –título de la obra y su relación con las matemáticas– sortearemos dos ejemplares del libro La entrevista de Luisa Extenike y Gustavo Ariel Schwartz (Editorial El Gallo de Oro, 2016), que recoge en edición bilingüe castellano-inglés el libreto de la obra del mismo título que reseñamos con motivo de su estreno en 2013. Tenéis hasta el 27 de abril para contestar. ¡Ánimo y suerte!

Miércoles, 30 de Marzo de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico